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Wahrscheinlichkeitsverteilung

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Schwierigkeit: 1 – 5

42358512

Eine Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit den Parametern \(n = 3\) und \(p = 0{,}4\). Erstelle die vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung für \(X\) in Form einer Tabelle.

Denkanstöße

- Welche Werte kann die Zufallsgröße \(X\) bei drei Versuchen annehmen? - Kennst du eine Formel, mit der man die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer berechnen kann? - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen „Nicht-Treffer“? - In einer Verteilungstabelle ordnest du jedem möglichen Wert von \(X\) seine Wahrscheinlichkeit zu.

Lösung

1. Bestimmung der Parameter: Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}4\), Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\) und Anzahl der Versuche \(n = 3\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten mit der Bernoulli-Formel \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}\) für alle möglichen Werte von \(k \in \{0, 1, 2, 3\}\). 3. \(P(X = 0) = \binom{3}{0} \cdot 0{,}4^0 \cdot 0{,}6^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}216 = 0{,}216\). 4. \(P(X = 1) = \binom{3}{1} \cdot 0{,}4^1 \cdot 0{,}6^2 = 3 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}36 = 0{,}432\). 5. \(P(X = 2) = \binom{3}{2} \cdot 0{,}4^2 \cdot 0{,}6^1 = 3 \cdot 0{,}16 \cdot 0{,}6 = 0{,}288\). 6. \(P(X = 3) = \binom{3}{3} \cdot 0{,}4^3 \cdot 0{,}6^0 = 1 \cdot 0{,}064 \cdot 1 = 0{,}064\).

Antwort

<table> <tr> <td>\(k\)</td> <td>0</td> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> </tr> <tr> <td>\(P(X = k)\)</td> <td>\(0{,}216\)</td> <td>\(0{,}432\)</td> <td>\(0{,}288\)</td> <td>\(0{,}064\)</td> </tr> </table>

43085312

Ein unsymmetrischer Tetraederwürfel besitzt die vier Seitenflächen mit den Augenzahlen 1, 2, 3 und 4. Aufgrund seiner Form sind die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse unterschiedlich. In der folgenden Tabelle sind die Wahrscheinlichkeiten für die Zufallsgröße \(X\), welche die gewürfelte Augenzahl beschreibt, teilweise angegeben: <table> <tr> <td>\(k\)</td> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> <td>4</td> </tr> <tr> <td>\(P(X = k)\)</td> <td>\(0{,}18\)</td> <td>\(0{,}32\)</td> <td>\(p\)</td> <td>\(0{,}25\)</td> </tr> </table> 1. Bestimme den Wert der Wahrscheinlichkeit \(p\). 2. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die gewürfelte Zahl ungerade ist. 3. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augenzahl mindestens 2 ist.

Denkanstöße

- Überlege, welchen Wert die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten eines Zufallsexperiments immer annehmen muss. - Welche Augenzahlen erfüllen die Bedingung, ungerade zu sein? - Was bedeutet der Begriff „mindestens“ mathematisch für die Auswahl der Augenzahlen? - Kannst du bei der letzten Teilaufgabe Zeit sparen, indem du das Gegenteil betrachtest?

Lösung

1. Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten eines Zufallsexperiments \(1\) ergeben muss, gilt \(0{,}18 + 0{,}32 + p + 0{,}25 = 1\). Daraus folgt \(0{,}75 + p = 1\), also \(p = 0{,}25\). 2. Das Ereignis „ungerade“ umfasst die Ergebnisse \(\{1; 3\}\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(X \in \{1; 3\}) = P(X=1) + P(X=3) = 0{,}18 + 0{,}25 = 0{,}43\). 3. Das Ereignis „mindestens 2“ umfasst die Ergebnisse \(\{2; 3; 4\}\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(X \ge 2) = 0{,}32 + 0{,}25 + 0{,}25 = 0{,}82\). Alternativ über das Gegenereignis: \(1 - P(X=1) = 1 - 0{,}18 = 0{,}82\).

Antwort

1. \(p = 0{,}25\) 2. \(P(\text{ungerade}) = 0{,}43\) 3. \(P(X \ge 2) = 0{,}82\)

43097312

Bei einem Spiel wird ein fairer sechsseitiger Würfel zweimal nacheinander geworfen. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Summe der beiden geworfenen Augenzahlen. Beschreibe die folgenden Ereignisse mithilfe der Zufallsgröße \(X\) und berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses: a) Die Augensumme beträgt mindestens 4, aber weniger als 7. b) Die Augensumme ist eine Primzahl. c) Die Augensumme ist entweder höchstens 3 oder größer als 10.

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, wie viele Kombinationsmöglichkeiten es insgesamt gibt, wenn man zwei Würfel wirft. - Kannst du eine Tabelle erstellen, in der alle möglichen Summen der beiden Würfel eingetragen sind? - Achte genau auf Formulierungen wie „höchstens“, „mindestens“ oder „weniger als“. - Für die Primzahlen: Welche Zahlen zwischen 2 und 12 sind Primzahlen? - Zähle für jedes Ereignis einzeln ab, wie viele der 36 Felder in deiner Tabelle die Bedingung erfüllen.

Lösung

1. Der Ergebnisraum des zweifachen Würfelns umfasst \(6 \cdot 6 = 36\) gleichwahrscheinliche Elementarereignisse. 2. Für Teilaufgabe a) wird das Ereignis durch \(4 \le X < 7\) bzw. \(P(4 \le X \le 6)\) beschrieben. Die günstigen Summen sind 4 (3 Möglichkeiten: (1,3), (2,2), (3,1)), 5 (4 Möglichkeiten: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)) und 6 (5 Möglichkeiten: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)). Die Anzahl der günstigen Fälle ist \(3 + 4 + 5 = 12\). Damit gilt \(P(4 \le X < 7) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}\). 3. Für Teilaufgabe b) wird das Ereignis durch „\(X \in \{2, 3, 5, 7, 11\}\)“ beschrieben. Die Anzahl der Möglichkeiten für die einzelnen Summen sind: \(X=2\) (1), \(X=3\) (2), \(X=5\) (4), \(X=7\) (6), \(X=11\) (2). Die Summe der günstigen Fälle beträgt \(1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(X \in \text{Prim}) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}\). 4. Für Teilaufgabe c) lautet die Beschreibung \(X \le 3 \lor X > 10\). Günstige Summen sind 2 (1), 3 (2), 11 (2) und 12 (1). Die Anzahl der günstigen Fälle ist \(1 + 2 + 2 + 1 = 6\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(X \le 3 \lor X > 10) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).

Antwort

a) \(P(4 \le X < 7) = \frac{1}{3}\) b) \(P(X \in \{2, 3, 5, 7, 11\}) = \frac{5}{12}\) c) \(P(X \le 3 \lor X > 10) = \frac{1}{6}\)

43097712

In einem Kundenzentrum wurde die Wartezeit der Besucher statistisch erfasst. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Wartezeit einer zufällig ausgewählten Person in Minuten. Die folgende Tabelle gibt die kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung an, also den Anteil der Personen, die höchstens eine bestimmte Zeit warten mussten: <table> <thead> <tr> <th>Wartezeit \(x\) in Minuten</th> <th>Anteil \(P(X \le x)\)</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td>2</td> <td>\(0{,}18\)</td> </tr> <tr> <td>5</td> <td>\(0{,}45\)</td> </tr> <tr> <td>10</td> <td>\(0{,}72\)</td> </tr> <tr> <td>15</td> <td>\(0{,}88\)</td> </tr> <tr> <td>20</td> <td>\(0{,}96\)</td> </tr> <tr> <td>30</td> <td>\(1{,}00\)</td> </tr> </tbody> </table> Bestimme anhand der Tabelle die folgenden Wahrscheinlichkeiten: a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person länger als \(10\) Minuten warten muss? b) Berechne die Wahrscheinlichkeit \(P(5 < X \le 20)\). c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Wartezeit zwischen \(2\) und \(10\) Minuten (einschließlich \(10\), ohne \(2\))?

Denkanstöße

- Was bedeutet der Begriff „kumuliert“ für die Werte in der Tabelle? - Wie hängen die Ereignisse „höchstens \(x\) Minuten“ und „mehr als \(x\) Minuten“ zusammen? - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich zwischen zwei Werten suchst, wie kannst du die Anteile bis zu diesen Werten miteinander verrechnen? - Überlege dir, welche Personen in der Gruppe „bis 20 Minuten“ enthalten sind, die nicht in der Gruppe „bis 5 Minuten“ sind.

Lösung

1. Bestimmung von \(P(X > 10)\): Die Gegenwahrscheinlichkeit zu \(P(X \le 10)\) wird berechnet durch \(1 - P(X \le 10) = 1 - 0{,}72 = 0{,}28\). 2. Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeit \(P(5 < X \le 20)\): Hierfür wird der kumulierte Wert bei \(5\) vom kumulierten Wert bei \(20\) subtrahiert: \(P(X \le 20) - P(X \le 5) = 0{,}96 - 0{,}45 = 0{,}51\). 3. Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeit \(P(2 < X \le 10)\): Analog zur vorherigen Teilaufgabe wird die Differenz der Tabellenwerte gebildet: \(P(X \le 10) - P(X \le 2) = 0{,}72 - 0{,}18 = 0{,}54\).

Antwort

a) \(P(X > 10) = 0{,}28\) b) \(P(5 < X \le 20) = 0{,}51\) c) \(P(2 < X \le 10) = 0{,}54\)

43105312

Ein Glücksrad mit vier gleich großen Sektoren, von denen genau einer rot ist, wird \(n = 40\)-mal gedreht. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der roten Treffer (\(p = 0{,}25\)). a) Berechne den Erwartungswert \(\mu\) der Zufallsgröße \(X\). b) Eine mathematische Regel besagt: Ist \(\mu\) ganzzahlig, dann ist \(P(X = \mu)\) der größte Wert der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Berechne \(P(X = 10)\). c) Überprüfe die Regel, indem du die Wahrscheinlichkeiten \(P(X = 9)\) und \(P(X = 11)\) berechnest und diese mit deinem Ergebnis aus Teilaufgabe b) vergleichst.

Denkanstöße

- Wie berechnet man den Erwartungswert bei einer Binomialverteilung? - Welche Formel nutzt du, um die Wahrscheinlichkeit für eine exakte Trefferzahl zu bestimmen? - Was bedeutet es für die Verteilung, wenn ein Wert als „Maximum“ bezeichnet wird?

Lösung

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 40 \cdot 0{,}25 = 10\). 2. Da \(\mu = 10\) ganzzahlig ist, sollte nach der Regel \(P(X = 10)\) das Maximum sein. 3. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten mit der Formel \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\): \(P(X = 10) = \binom{40}{10} \cdot 0{,}25^{10} \cdot 0{,}75^{30} \approx 0{,}1444\). \(P(X = 9) = \binom{40}{9} \cdot 0{,}25^9 \cdot 0{,}75^{31} \approx 0{,}1293\). \(P(X = 11) = \binom{40}{11} \cdot 0{,}25^{11} \cdot 0{,}75^{29} \approx 0{,}1313\). 4. Vergleich der Ergebnisse: Es gilt \(0{,}1444 > 0{,}1313 > 0{,}1293\), somit ist \(P(X = 10)\) tatsächlich der größte Wert.

Antwort

a) \(\mu = 10\) b) \(P(X = 10) \approx 0{,}1444\) c) \(P(X = 9) \approx 0{,}1293\) und \(P(X = 11) \approx 0{,}1313\). Da \(P(X = 10)\) größer als beide benachbarten Werte ist, liegt hier das Maximum der Verteilung vor.

43115512

An einem Glücksrad mit 5 gleich großen Sektoren sind die Zahlen \(1, 1, 2, 5\) und \(10\) abgebildet. Das Rad wird einmal gedreht. Die Zufallsgröße \(X\) ordnet jedem Sektor die darauf stehende Zahl zu. 1. Gib die Ergebnismenge \(S\) des Zufallsexperiments und die Wertemenge \(W\) der Zufallsgröße \(X\) an. 2. Erstelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) in Tabellenform. 3. Erläutere kurz, wie ein Histogramm dieser Verteilung aufgebaut ist und welche Bedeutung die Höhe der Säulen hat, wenn die Breite jeder Säule genau \(1\) Einheit beträgt.

Denkanstöße

- Was ist der Unterschied zwischen den physikalischen Ergebnissen (Sektoren) und den Zahlenwerten, die wir beobachten wollen? - Wie viele Sektoren zeigen die gleiche Zahl? - Überlege, was die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in deiner Tabelle ergeben muss. - Erinnere dich an die Definition eines Histogramms: Was wird auf der x-Achse und was auf der y-Achse abgetragen?

Lösung

1. Die Ergebnismenge \(S\) besteht aus den fünf unterscheidbaren Sektoren des Glücksrads. Da die Sektoren gleich groß sind, ist die Wahrscheinlichkeit für jeden Sektor \(P(s_i) = \frac{1}{5} = 0{,}2\). Die Wertemenge der Zufallsgröße \(X\) ist die Menge der Zahlen auf den Sektoren: \(W = \{1; 2; 5; 10\}\). 2. Die Wahrscheinlichkeiten berechnen sich durch Abzählen der Sektoren für jeden Wert: \(P(X=1) = \frac{2}{5} = 0{,}4\); \(P(X=2) = \frac{1}{5} = 0{,}2\); \(P(X=5) = \frac{1}{5} = 0{,}2\); \(P(X=10) = \frac{1}{5} = 0{,}2\). 3. Ein Histogramm stellt auf der x-Achse die Werte \(k \in W\) und auf der y-Achse die Wahrscheinlichkeiten \(P(X=k)\) dar. Über jedem Wert \(k\) wird eine Säule (Rechteck) gezeichnet. Bei einer Säulenbreite von \(1\) entspricht die Höhe der Säule direkt der Wahrscheinlichkeit \(P(X=k)\), sodass der Flächeninhalt der Säule ebenfalls den Wert der Wahrscheinlichkeit angibt.

Antwort

1. \(S = \{s_1; s_2; s_3; s_4; s_5\}\) (fünf Sektoren); \(W = \{1; 2; 5; 10\}\). 2. Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table> <tr><td>\(k\)</td><td>1</td><td>2</td><td>5</td><td>10</td></tr> <tr><td>\(P(X=k)\)</td><td>\(0{,}4\)</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}2\)</td></tr> </table> 3. Ein Histogramm besteht aus Rechtecken über den Werten von \(X\). Die Höhe entspricht \(P(X=k)\). Da die Breite \(1\) ist, entspricht der Flächeninhalt der Wahrscheinlichkeit.

42358612

Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit \(n = 5\) und \(p = 0{,}2\). a) Berechne die Wahrscheinlichkeiten \(P(X = k)\) für alle \(k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\). b) Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten bildest.

Denkanstöße

- Verwende für jeden Wert von \(k\) die Formel von Bernoulli. - Denk daran, dass \(\binom{n}{k}\) die Anzahl der Pfade im Baumdiagramm angibt. - Was muss für die Summe aller Wahrscheinlichkeiten eines Zufallsexperiments immer gelten? - Achte beim Rechnen auf die Potenzen der Gegenwahrscheinlichkeit.

Lösung

1. Identifikation der Parameter: \(n = 5\), \(p = 0{,}2\), \(q = 0{,}8\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X = 0) = \binom{5}{0} \cdot 0{,}2^0 \cdot 0{,}8^5 = 0{,}32768\) \(P(X = 1) = \binom{5}{1} \cdot 0{,}2^1 \cdot 0{,}8^4 = 0{,}4096\) \(P(X = 2) = \binom{5}{2} \cdot 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^3 = 0{,}2048\) \(P(X = 3) = \binom{5}{3} \cdot 0{,}2^3 \cdot 0{,}8^2 = 0{,}0512\) \(P(X = 4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}2^4 \cdot 0{,}8^1 = 0{,}0064\) \(P(X = 5) = \binom{5}{5} \cdot 0{,}2^5 \cdot 0{,}8^0 = 0{,}00032\) 3. Summenbildung: \(0{,}32768 + 0{,}4096 + 0{,}2048 + 0{,}0512 + 0{,}0064 + 0{,}00032 = 1\). Die Summe ergibt exakt 1, was die Korrektheit der Verteilung bestätigt.

Antwort

a) \(P(X=0) = 0{,}32768\); \(P(X=1) = 0{,}4096\); \(P(X=2) = 0{,}2048\); \(P(X=3) = 0{,}0512\); \(P(X=4) = 0{,}0064\); \(P(X=5) = 0{,}00032\). b) Die Summe ist \(0{,}32768 + 0{,}4096 + 0{,}2048 + 0{,}0512 + 0{,}0064 + 0{,}00032 = 1\).

42380512

Ein Glücksrad mit drei gleich großen Sektoren, die mit den Zahlen 1, 2 und 3 beschriftet sind, wird zweimal nacheinander gedreht. Die Zufallsgröße \(S\) beschreibt die Summe der beiden erzielten Zahlen. a) Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(S\) in einer Tabelle auf. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe mindestens 4 beträgt.

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, welche Kombinationen von Zahlen bei zwei Drehungen möglich sind. - Wie viele verschiedene Ergebnisse gibt es insgesamt, wenn jede Zahl gleich wahrscheinlich ist? - Erstelle eine Liste oder ein Gitter, um alle möglichen Summen zu finden. - Was bedeutet der Begriff „mindestens“ mathematisch für die Auswahl der Ergebnisse?

Lösung

1. Bestimmung des Ergebnisraums: Da jeder Sektor mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{3}\) eintritt, gibt es bei zwei Drehungen \(3 \cdot 3 = 9\) gleichwahrscheinliche Ergebnisse: \((1|1), (1|2), (1|3), (2|1), (2|2), (2|3), (3|1), (3|2), (3|3)\). 2. Berechnung der Summen \(S\) und ihrer Häufigkeiten: - \(S=2\): \((1|1)\) (1-mal) \(\rightarrow P(S=2) = \frac{1}{9}\) - \(S=3\): \((1|2), (2|1)\) (2-mal) \(\rightarrow P(S=3) = \frac{2}{9}\) - \(S=4\): \((1|3), (3|1), (2|2)\) (3-mal) \(\rightarrow P(S=4) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\) - \(S=5\): \((2|3), (3|2)\) (2-mal) \(\rightarrow P(S=5) = \frac{2}{9}\) - \(S=6\): \((3|3)\) (1-mal) \(\rightarrow P(S=6) = \frac{1}{9}\) 3. Aufstellen der Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung mit diesen Werten. 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(S \ge 4\): \(P(S \ge 4) = P(S=4) + P(S=5) + P(S=6) = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\).

Antwort

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table border="1"> <tr> <td>\(s\)</td> <td>2</td> <td>3</td> <td>4</td> <td>5</td> <td>6</td> </tr> <tr> <td>\(P(S=s)\)</td> <td>\(\frac{1}{9}\)</td> <td>\(\frac{2}{9}\)</td> <td>\(\frac{3}{9}\)</td> <td>\(\frac{2}{9}\)</td> <td>\(\frac{1}{9}\)</td> </tr> </table> b) \(P(S \ge 4) = \frac{2}{3} \approx 66{,}7\,\%\)

42380612

In einer Urne befinden sich 5 rote und 3 gelbe Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der gezogenen roten Kugeln an. a) Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) auf. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine rote Kugel gezogen wird.

Denkanstöße

- Zeichne ein Baumdiagramm für die zwei Züge, um die Pfade zu visualisieren. - Achte darauf, dass „mit Zurücklegen“ bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeiten im zweiten Zug gleich bleiben. - Wie viele Pfade im Baumdiagramm führen zu genau einer roten Kugel? - Kannst du das Gegenereignis nutzen, um die Rechnung bei Teilaufgabe b) zu verkürzen?

Lösung

1. Grundwahrscheinlichkeiten für einen Zug: \(P(\text{rot}) = \frac{5}{8}\) und \(P(\text{gelb}) = \frac{3}{8}\). 2. Da mit Zurücklegen gezogen wird, sind die Züge unabhängig. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für die Anzahl der roten Kugeln \(X\): - \(P(X=0)\): Beide Kugeln gelb \(\rightarrow \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{64}\). - \(P(X=1)\): Eine rote und eine gelbe Kugel in beliebiger Reihenfolge (rg, gr) \(\rightarrow 2 \cdot \left(\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{8}\right) = \frac{30}{64} = \frac{15}{32}\). - \(P(X=2)\): Beide Kugeln rot \(\rightarrow \frac{5}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{25}{64}\). 3. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Zuordnung dieser Werte zu \(X \in \{0, 1, 2\}\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für mindestens eine rote Kugel (\(X \ge 1\)): Entweder über die Summe \(P(X=1) + P(X=2) = \frac{30}{64} + \frac{25}{64} = \frac{55}{64}\) oder über das Gegenereignis \(1 - P(X=0) = 1 - \frac{9}{64} = \frac{55}{64}\).

Antwort

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table border="1"> <tr> <td>\(x\)</td> <td>0</td> <td>1</td> <td>2</td> </tr> <tr> <td>\(P(X=x)\)</td> <td>\(\frac{9}{64}\)</td> <td>\(\frac{30}{64}\)</td> <td>\(\frac{25}{64}\)</td> </tr> </table> b) \(P(X \ge 1) = \frac{55}{64} \approx 85{,}9\,\%\)

42574912

An einem Glücksrad mit fünf gleich großen Sektoren, die mit den Ziffern 1, 2, 3, 4 und 5 beschriftet sind, wird dreimal gedreht. Die Ergebnisse der Drehungen seien \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\). Aus diesen Werten werden nacheinander die Teilsummen \(S_1 = x_1\), \(S_2 = x_1 + x_2\) und \(S_3 = x_1 + x_2 + x_3\) gebildet. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine der drei Teilsummen durch 5 teilbar ist. b) Das Spiel wird nun insgesamt zehnmal durchgeführt (ein Spiel besteht aus drei Drehungen). Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in genau fünf dieser Spiele keine der Teilsummen durch 5 teilbar ist.

Denkanstöße

- Überlege dir für jede Drehung einzeln, wie viele der fünf möglichen Ergebnisse dazu führen, dass die aktuelle Summe durch 5 teilbar wird. - Hängt die Anzahl der „verbotenen“ Ergebnisse bei der zweiten Drehung davon ab, was bei der ersten Drehung kam? - Handelt es sich bei der wiederholten Durchführung der Spiele um eine Bernoullikette? Welche Parameter \(n\), \(p\) und \(k\) liegen vor?

Lösung

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Spiel: Bei jeder Drehung ist die Wahrscheinlichkeit für jede Ziffer \(\frac{1}{5}\). Damit \(S_1\) nicht durch 5 teilbar ist, darf \(x_1\) nicht 5 sein (\(P = \frac{4}{5}\)). Für jede weitere Teilsumme \(S_k\) gilt: Ist \(S_{k-1}\) nicht durch 5 teilbar, gibt es unter den fünf möglichen Werten für \(x_k\) genau einen Wert, der die Summe \(S_k\) zu einem Vielfachen von 5 macht. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Teilsumme weiterhin nicht durch 5 teilbar ist, in jedem Schritt \(\frac{4}{5}\). 2. Die Gesamtwahrscheinlichkeit für ein gewonnenes Spiel beträgt \(p = \left(\frac{4}{5}\right)^3 = \frac{64}{125} = 0{,}512\). 3. Für zehn Spiele ist die Anzahl der Gewinne \(K\) binomialverteilt mit \(n = 10\) und \(p = 0{,}512\). 4. Berechnung für \(k = 5\): \(P(K = 5) = \binom{10}{5} \cdot 0{,}512^5 \cdot (1 - 0{,}512)^5 \approx 252 \cdot 0{,}03518 \cdot 0{,}02824 \approx 0{,}2504\).

Antwort

a) \(P(\text{Gewinn}) = 0{,}512\) (oder \(\frac{64}{125}\)) b) \(P(K = 5) \approx 0{,}2504\)

42705612

In einem Kurs befinden sich 12 Jugendliche, von denen 7 ein Instrument spielen. Für eine Umfrage werden 4 Jugendliche zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der Jugendlichen unter den Ausgewählten an, die ein Instrument spielen. a) Erstelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) in Form einer Tabelle. b) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als die Hälfte der ausgewählten Jugendlichen ein Instrument spielt.

Denkanstöße

- Handelt es sich hier um Ziehen mit oder ohne Zurücklegen? - Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, 4 Personen aus 12 auszuwählen? - Was bedeutet „mehr als die Hälfte“ konkret für die Anzahl der Personen bei einer Stichprobe von 4? - Stelle sicher, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in deiner Tabelle 1 ergibt.

Lösung

1. Modellierung: Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen aus einer endlichen Gesamtheit (\(N=12\), \(K=7\), \(n=4\)). Die Wahrscheinlichkeiten werden mit der hypergeometrischen Verteilung berechnet: \(P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten für die Tabelle (\(\binom{12}{4} = 495\)): \(P(X=0) = \frac{\binom{7}{0} \cdot \binom{5}{4}}{495} = \frac{1 \cdot 5}{495} = \frac{5}{495} = \frac{1}{99}\) \(P(X=1) = \frac{\binom{7}{1} \cdot \binom{5}{3}}{495} = \frac{7 \cdot 10}{495} = \frac{70}{495} = \frac{14}{99}\) \(P(X=2) = \frac{\binom{7}{2} \cdot \binom{5}{2}}{495} = \frac{21 \cdot 10}{495} = \frac{210}{495} = \frac{42}{99}\) \(P(X=3) = \frac{\binom{7}{3} \cdot \binom{5}{1}}{495} = \frac{35 \cdot 5}{495} = \frac{175}{495} = \frac{35}{99}\) \(P(X=4) = \frac{\binom{7}{4} \cdot \binom{5}{0}}{495} = \frac{35 \cdot 1}{495} = \frac{35}{495} = \frac{7}{99}\) 3. Berechnung für Teilaufgabe b): „Mehr als die Hälfte“ bedeutet bei 4 Personen \(X > 2\), also \(P(X=3) + P(X=4)\). \(P(X > 2) = \frac{35}{99} + \frac{7}{99} = \frac{42}{99} = \frac{14}{33} \approx 0{,}4242\).

Antwort

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table> <tr><td>\(k\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td></tr> <tr><td>\(P(X=k)\)</td><td>\(\frac{1}{99}\)</td><td>\(\frac{14}{99}\)</td><td>\(\frac{42}{99}\)</td><td>\(\frac{35}{99}\)</td><td>\(\frac{7}{99}\)</td></tr> </table> b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{14}{33} \approx 42{,}42\,\%\).

43081112

Ein länglicher Spezialwürfel hat zwei quadratische Endflächen (markiert mit 1 und 2) und vier rechteckige Seitenflächen (markiert mit 3, 4, 5 und 6). Aufgrund der Geometrie des Körpers sind die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Flächen unterschiedlich: \(P(1) = P(2) = 0{,}12\) und \(P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 0{,}19\). Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die geworfene Augenzahl. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die geworfene Zahl mindestens 4 ist. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass eine Primzahl geworfen wird. c) Berechne den Erwartungswert \(E(X)\) dieses Zufallsversuchs.

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, welche Augenzahlen die Bedingung „mindestens 4“ erfüllen. - Welche der Zahlen von 1 bis 6 sind Primzahlen? - Erinnere dich an die Formel für den Erwartungswert, bei der jeder mögliche Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichtet wird. - Die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten eines Zufallsexperiments muss immer 1 ergeben.

Lösung

1. Berechnung von \(P(X \ge 4)\): Summenbildung der Einzelwahrscheinlichkeiten \(P(4) + P(5) + P(6) = 0{,}19 + 0{,}19 + 0{,}19 = 0{,}57\). 2. Bestimmung der Primzahlen in der Ergebnismenge: \(\{2; 3; 5\}\). 3. Berechnung von \(P(\text{Primzahl})\): Summenbildung \(P(2) + P(3) + P(5) = 0{,}12 + 0{,}19 + 0{,}19 = 0{,}50\). 4. Berechnung des Erwartungswerts \(E(X)\): Anwendung der Formel \(E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i)\). 5. Einsetzen der Werte: \(1 \cdot 0{,}12 + 2 \cdot 0{,}12 + 3 \cdot 0{,}19 + 4 \cdot 0{,}19 + 5 \cdot 0{,}19 + 6 \cdot 0{,}19 = 0{,}12 + 0{,}24 + 0{,}57 + 0{,}76 + 0{,}95 + 1{,}14 = 3{,}78\).

Antwort

a) \(P(X \ge 4) = 0{,}57\) b) \(P(\text{Primzahl}) = 0{,}50\) c) \(E(X) = 3{,}78\)

43085412

Ein Glücksrad mit acht Sektoren ist mit den Zahlen 1 bis 8 beschriftet. Da die Sektoren unterschiedlich groß sind, gelten für das einmalige Drehen folgende Wahrscheinlichkeiten: \(P(1)=0{,}05\); \(P(2)=0{,}15\); \(P(3)=0{,}10\); \(P(4)=0{,}20\); \(P(5)=0{,}08\); \(P(6)=0{,}12\); \(P(7)=0{,}15\); \(P(8)=0{,}15\). Berechne die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse: \(A\): Die Zahl ist eine Quadratzahl. \(B\): Die Zahl ist größer als 4. \(C\): Die Zahl ist eine Primzahl. \(D\): Die Zahl ist ungerade oder durch 4 teilbar.

Denkanstöße

- Notiere dir für jedes Ereignis zuerst die Menge der günstigen Ergebnisse. - Erinnere dich daran, dass die 1 keine Primzahl ist. - Welche Zahlen zwischen 1 und 8 sind Quadratzahlen? - Bei „oder“-Verknüpfungen musst du alle Ergebnisse zählen, die mindestens eine der Bedingungen erfüllen. Achte darauf, keine Zahl doppelt zu zählen, falls sie beide Bedingungen erfüllt.

Lösung

1. Ereignis \(A\) (Quadratzahlen): Die Ergebnisse sind \(\{1; 4\}\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(A) = P(1) + P(4) = 0{,}05 + 0{,}20 = 0{,}25\). 2. Ereignis \(B\) (\(> 4\)): Die Ergebnisse sind \(\{5; 6; 7; 8\}\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(B) = 0{,}08 + 0{,}12 + 0{,}15 + 0{,}15 = 0{,}50\). 3. Ereignis \(C\) (Primzahlen): Die Ergebnisse sind \(\{2; 3; 5; 7\}\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(C) = 0{,}15 + 0{,}10 + 0{,}08 + 0{,}15 = 0{,}48\). 4. Ereignis \(D\) (ungerade oder durch 4 teilbar): Die Ergebnisse sind \(\{1; 3; 5; 7\}\) (ungerade) und \(\{4; 8\}\) (durch 4 teilbar). Da keine Zahl beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt, ist \(P(D) = P(1) + P(3) + P(5) + P(7) + P(4) + P(8) = 0{,}05 + 0{,}10 + 0{,}08 + 0{,}15 + 0{,}20 + 0{,}15 = 0{,}73\).

Antwort

\(P(A) = 0{,}25\) \(P(B) = 0{,}50\) \(P(C) = 0{,}48\) \(P(D) = 0{,}73\)

43096912

Ein Basketballspieler trifft bei Freiwürfen mit einer Wahrscheinlichkeit von \(p = 0{,}75\). Bei einem Training führt er eine Serie von \(4\) Freiwürfen aus. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Treffer in dieser Serie. a) Erstelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) in Form einer Tabelle. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt der Spieler mindestens \(3\) Treffer?

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, welche Werte die Zufallsgröße annehmen kann. - Welches Modell beschreibt eine Kette von Versuchen mit nur zwei möglichen Ausgängen? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer? - Was bedeutet „mindestens 3“ mathematisch für die möglichen Werte von \(X\)?

Lösung

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 4\) und \(p = 0{,}75\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten mit der Formel \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\): \(P(X = 0) = \binom{4}{0} \cdot 0{,}75^0 \cdot 0{,}25^4 = \frac{1}{256} \approx 0{,}0039\) \(P(X = 1) = \binom{4}{1} \cdot 0{,}75^1 \cdot 0{,}25^3 = \frac{12}{256} \approx 0{,}0469\) \(P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}75^2 \cdot 0{,}25^2 = \frac{54}{256} \approx 0{,}2109\) \(P(X = 3) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}75^3 \cdot 0{,}25^1 = \frac{108}{256} \approx 0{,}4219\) \(P(X = 4) = \binom{4}{4} \cdot 0{,}75^4 \cdot 0{,}25^0 = \frac{81}{256} \approx 0{,}3164\) 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für mindestens \(3\) Treffer: \(P(X \ge 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = \frac{108}{256} + \frac{81}{256} = \frac{189}{256} \approx 0{,}7383\).

Antwort

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table border="1"> <tr><td>\(k\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td></tr> <tr><td>\(P(X=k)\)</td><td>\(\approx 0{,}0039\)</td><td>\(\approx 0{,}0469\)</td><td>\(\approx 0{,}2109\)</td><td>\(\approx 0{,}4219\)</td><td>\(\approx 0{,}3164\)</td></tr> </table> b) Die Wahrscheinlichkeit für mindestens \(3\) Treffer beträgt \(P(X \ge 3) = \frac{189}{256} \approx 0{,}7383\).

43097012

In einer Produktion von Mikrochips sind erfahrungsgemäß \(10\,\%\) der Teile fehlerhaft. Einer laufenden Produktion wird eine Stichprobe von \(5\) Chips entnommen. Die Zufallsgröße \(Y\) gibt die Anzahl der fehlerhaften Chips in der Stichprobe an. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Y\). b) Berechne den Erwartungswert \(E(Y)\) der Zufallsgröße.

Denkanstöße

- Welche Verteilung liegt vor, wenn man eine feste Anzahl von Objekten mit einer konstanten Fehlerquote prüft? - Stelle alle möglichen Anzahlen von fehlerhaften Chips in der Stichprobe auf. - Es gibt eine einfache Formel für den Erwartungswert bei diesem Verteilungstyp.

Lösung

1. Festlegung der Parameter: Trefferwahrscheinlichkeit (Chip fehlerhaft) \(p = 0{,}1\) und Stichprobenumfang \(n = 5\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten \(P(Y = k)\) für \(k \in \{0; 1; 2; 3; 4; 5\}\): \(P(Y = 0) = \binom{5}{0} \cdot 0{,}1^0 \cdot 0{,}9^5 = 0{,}590\,49\) \(P(Y = 1) = \binom{5}{1} \cdot 0{,}1^1 \cdot 0{,}9^4 = 0{,}328\,05\) \(P(Y = 2) = \binom{5}{2} \cdot 0{,}1^2 \cdot 0{,}9^3 = 0{,}0729\) \(P(Y = 3) = \binom{5}{3} \cdot 0{,}1^3 \cdot 0{,}9^2 = 0{,}0081\) \(P(Y = 4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}1^4 \cdot 0{,}9^1 = 0{,}000\,45\) \(P(Y = 5) = \binom{5}{5} \cdot 0{,}1^5 \cdot 0{,}9^0 = 0{,}000\,01\) 3. Berechnung des Erwartungswerts für eine binomialverteilte Zufallsgröße: \(E(Y) = n \cdot p = 5 \cdot 0{,}1 = 0{,}5\).

Antwort

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table border="1"> <tr><td>\(k\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr> <tr><td>\(P(Y=k)\)</td><td>\(0{,}590\,49\)</td><td>\(0{,}328\,05\)</td><td>\(0{,}0729\)</td><td>\(0{,}0081\)</td><td>\(0{,}000\,45\)</td><td>\(0{,}000\,01\)</td></tr> </table> b) Der Erwartungswert beträgt \(E(Y) = 0{,}5\).

43097212

In einer Urne befinden sich fünf Kugeln, die mit den Zahlen 1, 2, 3, 4 und 5 beschriftet sind. Es werden nacheinander zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße \(Z\) wird wie folgt festgelegt: - \(Z = 10\), wenn die Summe der beiden gezogenen Zahlen größer als 7 ist. - \(Z = 5\), wenn die Summe der beiden gezogenen Zahlen genau 7 ist. - \(Z = -5\), wenn die Summe der beiden gezogenen Zahlen kleiner als 7 ist. Ermittle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Z\).

Denkanstöße

- Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es insgesamt, wenn man zweimal aus fünf Kugeln zieht? - Kannst du alle Paare finden, deren Summe genau 7 ergibt? - Überlege dir eine systematische Art, alle Paare aufzuschreiben, zum Beispiel in einer \(5 \times 5\)-Tabelle, um keine Kombination zu vergessen. - Prüfe am Ende, ob die Summe deiner berechneten Wahrscheinlichkeiten genau 1 ergibt.

Lösung

1. Berechnung der Gesamtzahl der Ergebnisse: Da mit Zurücklegen gezogen wird, gibt es \(5 \cdot 5 = 25\) mögliche Zahlenpaare. 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für \(Z=5\) (Summe genau 7): Mögliche Paare sind \((2,5), (3,4), (4,3), (5,2)\). Es gibt 4 Paare, also \(P(Z=5) = \frac{4}{25} = 0{,}16\). 3. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für \(Z=-5\) (Summe kleiner als 7): Mögliche Summen sind 2, 3, 4, 5 und 6. Die Paare sind \((1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (5,1)\). Dies sind 15 Paare, also \(P(Z=-5) = \frac{15}{25} = 0{,}6\). 4. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für \(Z=10\) (Summe größer als 7): Über das Komplementärereignis oder Abzählen \((3,5), (4,4), (4,5), (5,3), (5,4), (5,5)\) ergeben sich 6 Paare, also \(P(Z=10) = \frac{6}{25} = 0{,}24\).

Antwort

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Z\) ist: <table border="1"> <tr> <td>\(z_i\)</td> <td>\(-5\)</td> <td>\(5\)</td> <td>\(10\)</td> </tr> <tr> <td>\(P(Z=z_i)\)</td> <td>\(0{,}6\)</td> <td>\(0{,}16\)</td> <td>\(0{,}24\)</td> </tr> </table>

43097412

Zwei faire sechsseitige Würfel werden gleichzeitig geworfen. Die Zufallsgröße \(S\) gibt die Augensumme der beiden Würfel an. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse und drücke das Ereignis jeweils formal unter Verwendung von \(S\) aus: a) Die Augensumme liegt im Intervall \([5; 8]\). b) Die Augensumme ist ungerade und gleichzeitig größer als 8. c) Die Augensumme ist weder 7 noch 11.

Denkanstöße

- Was bedeutet die Intervallschreibweise \([5; 8]\) für die möglichen Werte von \(S\)? - Bei Teilaufgabe b) müssen zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein. Welche Summen erfüllen beide? - Manchmal ist es einfacher, die Fälle zu zählen, die NICHT eintreten sollen, und das Ergebnis von 1 abzuziehen. - Erinnere dich daran, dass die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Summe \(k\) beim zweifachen Würfeln zunimmt, bis sie bei der Summe 7 ihr Maximum erreicht, und danach wieder abnimmt.

Lösung

1. Die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse beim Wurf zweier Würfel ist \(n = 36\). 2. Ereignis a): \(P(5 \le S \le 8)\). Die günstigen Augensummen sind 5, 6, 7 und 8. Die Anzahl der Möglichkeiten für diese Summen sind: \(S=5\) (4), \(S=6\) (5), \(S=7\) (6), \(S=8\) (5). Gesamtzahl günstiger Fälle: \(4+5+6+5 = 20\). Wahrscheinlichkeit: \(P(5 \le S \le 8) = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}\). 3. Ereignis b): \(P(S \in \{9, 11\})\). Die ungeraden Summen größer als 8 sind 9 und 11. Möglichkeiten für \(S=9\): (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) (also 4). Möglichkeiten für \(S=11\): (5,6), (6,5) (also 2). Gesamtzahl: \(4+2=6\). Wahrscheinlichkeit: \(P(S > 8 \land S \text{ ungerade}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\). 4. Ereignis c): \(P(S \neq 7 \land S \neq 11)\). Am einfachsten über das Gegenereignis \(S \in \{7, 11\}\). Möglichkeiten für 7 sind 6, für 11 sind es 2. Zusammen 8 Möglichkeiten. \(P(S \in \{7, 11\}) = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}\). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist \(1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}\).

Antwort

a) \(P(5 \le S \le 8) = \frac{5}{9}\) b) \(P(S > 8 \land S \text{ ungerade}) = \frac{1}{6}\) c) \(P(S \notin \{7, 11\}) = \frac{7}{9}\)

43097512

Zwei gleich starke Tennisspieler treten in einem Turnier im „Best-of-Seven“-Modus gegeneinander an. Das bedeutet, dass derjenige das Match gewinnt, der zuerst vier Sätze für sich entscheidet. Da beide Spieler gleich stark sind, gewinnt jeder von ihnen einen einzelnen Satz mit der Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}5\). Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Sätze, die bis zur Entscheidung des Matches gespielt werden. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\). b) Berechne den Erwartungswert \(E(X)\) der Anzahl der gespielten Sätze.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, welche Werte die Anzahl der Sätze überhaupt annehmen kann. - Wann genau ist ein Match nach beispielsweise 5 Sätzen zu Ende? Wer muss den 5. Satz gewinnen? - Beachte, dass es zwei Spieler gibt, die das Match gewinnen können. - Wie berechnet man den Durchschnittswert einer Zufallsgröße aus ihrer Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Lösung

1. Bestimmung der möglichen Werte für \(X\): Da ein Spieler 4 Sätze zum Sieg benötigt, kann das Match nach \(X \in \{4, 5, 6, 7\}\) Sätzen beendet sein. 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten unter Berücksichtigung, dass der Sieger den jeweils letzten Satz gewinnen muss: \(P(X=4) = 2 \cdot 0{,}5^4 = 0{,}125\) \(P(X=5) = 2 \cdot \binom{4}{3} \cdot 0{,}5^4 \cdot 0{,}5 = 2 \cdot 4 \cdot 0{,}5^5 = 0{,}25\) \(P(X=6) = 2 \cdot \binom{5}{3} \cdot 0{,}5^5 \cdot 0{,}5 = 2 \cdot 10 \cdot 0{,}5^6 = 0{,}3125\) \(P(X=7) = 2 \cdot \binom{6}{3} \cdot 0{,}5^6 \cdot 0{,}5 = 2 \cdot 20 \cdot 0{,}5^7 = 0{,}3125\) 3. Tabellarische Darstellung der Verteilung: <table> <tr><td>\(k\)</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td></tr> <tr><td>\(P(X=k)\)</td><td>\(0{,}125\)</td><td>\(0{,}25\)</td><td>\(0{,}3125\)</td><td>\(0{,}3125\)</td></tr> </table> 4. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = 4 \cdot 0{,}125 + 5 \cdot 0{,}25 + 6 \cdot 0{,}3125 + 7 \cdot 0{,}3125 = 0{,}5 + 1{,}25 + 1{,}875 + 2{,}1875 = 5{,}8125\)

Antwort

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: \(P(X=4) = 0{,}125\) \(P(X=5) = 0{,}25\) \(P(X=6) = 0{,}3125\) \(P(X=7) = 0{,}3125\) b) Der Erwartungswert beträgt \(E(X) = 5{,}8125\) Sätze.

43098712

Zwei unterschiedliche Zufallsexperimente zur Untersuchung der Augensumme \(S\) werden durchgeführt: Experiment 1: Es werden zwei faire sechsseitige Würfel (W6) geworfen. Experiment 2: Es werden ein fairer dreiseitiger Würfel (Seiten 1 bis 3) und ein fairer neunseitiger Würfel (Seiten 1 bis 9) geworfen. In beiden Fällen kann die Augensumme Werte von 2 bis 12 annehmen. a) Zeige durch Rechnung, dass der Erwartungswert der Augensumme in beiden Experimenten identisch ist. b) Vergleiche die Wahrscheinlichkeiten für das Ereignis „Die Augensumme ist genau 7“. In welchem Experiment ist dieses Ereignis wahrscheinlicher? c) Bei welchem Experiment ist es wahrscheinlicher, eine Augensumme von höchstens 4 zu erzielen? Begründe deine Antwort mathematisch.

Denkanstöße

- Wie berechnet man den Erwartungswert für einen einzelnen Würfel? Hilft dir die Linearität des Erwartungswerts weiter? - Erstelle für die Wahrscheinlichkeiten am besten eine kleine Tabelle oder liste die günstigen Kombinationen systematisch auf. - Achte darauf, dass die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse (der Nenner) in beiden Experimenten unterschiedlich ist.

Lösung

1. Der Erwartungswert einer Summe unabhängiger Zufallsgrößen entspricht der Summe der Erwartungswerte der Einzelereignisse. Für einen fairen \(n\)-seitigen Würfel beträgt der Erwartungswert \(E = \frac{n+1}{2}\). In Experiment 1 ergibt sich \(E[S_1] = 3{,}5 + 3{,}5 = 7\). In Experiment 2 ergibt sich \(E[S_2] = \frac{3+1}{2} + \frac{9+1}{2} = 2 + 5 = 7\). 2. In Experiment 1 gibt es \(6 \cdot 6 = 36\) gleich wahrscheinliche Elementarereignisse. Die Summe 7 tritt bei 6 Kombinationen auf, woraus \(P(S_1 = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167\) folgt. In Experiment 2 gibt es \(3 \cdot 9 = 27\) Elementarereignisse. Die Summe 7 wird durch 3 Kombinationen \((1|6), (2|5), (3|4)\) erreicht, also \(P(S_2 = 7) = \frac{3}{27} = \frac{1}{9} \approx 0{,}111\). Das Ereignis ist in Experiment 1 wahrscheinlicher. 3. Für Experiment 1 sind die günstigen Kombinationen für \(S \le 4\) die Paare mit den Summen 2 (1 Weg), 3 (2 Wege) und 4 (3 Wege), insgesamt 6 von 36 Möglichkeiten, also \(P(S_1 \le 4) = \frac{1}{6} \approx 0{,}167\). In Experiment 2 gibt es ebenfalls 6 günstige Wege \((1|1), (1|2), (2|1), (1|3), (2|2), (3|1)\), jedoch bei nur 27 Gesamtmöglichkeiten. Somit ist \(P(S_2 \le 4) = \frac{6}{27} = \frac{2}{9} \approx 0{,}222\). Das Ereignis ist in Experiment 2 wahrscheinlicher.

Antwort

a) Beide Erwartungswerte betragen 7. b) In Experiment 1 (\(P \approx 0{,}167\)) ist eine 7 wahrscheinlicher als in Experiment 2 (\(P \approx 0{,}111\)). c) In Experiment 2 (\(P \approx 0{,}222\)) ist eine Augensumme von höchstens 4 wahrscheinlicher als in Experiment 1 (\(P \approx 0{,}167\)).

43105412

Ein neues Medikament hat eine Heilungschance von \(p = 0{,}7\). In einer Studie wird das Medikament an einer Gruppe von \(n = 15\) Patienten getestet. a) Bestimme den Erwartungswert \(\mu\) und die Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 1 - p\). b) Wenn \(\mu\) nicht ganzzahlig ist, liegt der wahrscheinlichste Wert \(k\) der Verteilung im Intervall \([\mu - q; \mu + p]\). Bestimme dieses Intervall und gib die darin liegende ganze Zahl \(k\) an. c) Weise durch Berechnung von \(P(X = k)\) sowie der benachbarten Wahrscheinlichkeiten \(P(X = k-1)\) und \(P(X = k+1)\) nach, dass \(k\) der wahrscheinlichste Wert für die Anzahl der geheilten Patienten ist.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, ob der Erwartungswert eine ganze Zahl ist oder nicht. - Achte beim Berechnen des Intervalls genau auf die Grenzen. Welche ganze Zahl passt dazwischen? - Vergleiche den Wert im Intervall mit seinen direkten Nachbarn, um die Eigenschaft als Maximum zu prüfen.

Lösung

1. Erwartungswert und Gegenwahrscheinlichkeit berechnen: \(\mu = 15 \cdot 0{,}7 = 10{,}5\); \(q = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\). 2. Bestimmung des Intervalls: \([\mu - q; \mu + p] = [10{,}5 - 0{,}3; 10{,}5 + 0{,}7] = [10{,}2; 11{,}2]\). 3. Die einzige ganze Zahl in diesem Bereich ist \(k = 11\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: \(P(X = 11) = \binom{15}{11} \cdot 0{,}7^{11} \cdot 0{,}3^4 \approx 0{,}2186\). \(P(X = 10) = \binom{15}{10} \cdot 0{,}7^{10} \cdot 0{,}3^5 \approx 0{,}2061\). \(P(X = 12) = \binom{15}{12} \cdot 0{,}7^{12} \cdot 0{,}3^3 \approx 0{,}1700\). 5. Fazit: Da \(P(X = 11)\) der größte der berechneten Werte ist, ist \(k = 11\) der wahrscheinlichste Wert.

Antwort

a) \(\mu = 10{,}5\); \(q = 0{,}3\) b) Intervall: \([10{,}2; 11{,}2]\); ganzzahliger Wert: \(k = 11\) c) \(P(X = 10) \approx 0{,}2061\); \(P(X = 11) \approx 0{,}2186\); \(P(X = 12) \approx 0{,}1700\). Da \(P(X = 11)\) am größten ist, ist \(11\) der wahrscheinlichste Wert.

43109312

Ein Biologe untersucht die Verteilung von Pollenkörnern auf einem Objektträger, der in ein Gitter mit \(100\) gleich großen quadratischen Feldern unterteilt ist. Insgesamt befinden sich \(120\) Pollenkörner auf dem Träger. Es wird angenommen, dass sich die Pollenkörner rein zufällig und unabhängig voneinander über die Felder verteilen. Berechne für ein beliebig gewähltes Feld die Wahrscheinlichkeit, dass es: a) kein Pollenkorn enthält. b) genau ein Pollenkorn enthält. c) genau zwei Pollenkörner enthält. Bestimme zudem, wie viele der \(100\) Felder man theoretisch mit jeweils genau einem Pollenkorn erwarten würde.

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Pollenkorn ist, in ein ganz bestimmtes Feld zu gelangen. - Welches Verteilungsmodell eignet sich, wenn man viele unabhängige Versuche (Pollenkörner) mit einer jeweils sehr kleinen Erfolgswahrscheinlichkeit hat? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Feld und die erwartete Anzahl über alle Felder hinweg zusammen?

Lösung

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der Pollenkörner in einem Feld. Da jedes der \(n = 120\) Pollenkörner mit der Wahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{100} = 0{,}01\) in das betrachtete Feld fällt, ist \(X\) binomialverteilt mit \(B(120; 0{,}01)\). 2. Berechnung für a): \(P(X = 0) = \binom{120}{0} \cdot 0{,}01^0 \cdot 0{,}99^{120} = 0{,}99^{120} \approx 0{,}2997\). 3. Berechnung für b): \(P(X = 1) = \binom{120}{1} \cdot 0{,}01^1 \cdot 0{,}99^{119} = 120 \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}99^{119} \approx 1{,}2 \cdot 0{,}3027 \approx 0{,}3633\). 4. Berechnung für c): \(P(X = 2) = \binom{120}{2} \cdot 0{,}01^2 \cdot 0{,}99^{118} = 7140 \cdot 0{,}0001 \cdot 0{,}3058 \approx 0{,}2183\). 5. Erwartungswert für die Anzahl der Felder mit genau einem Pollenkorn: \(E = N \cdot P(X = 1) = 100 \cdot 0{,}3633 = 36{,}33\).

Antwort

a) \(P(X=0) \approx 29{,}97\,\%\) b) \(P(X=1) \approx 36{,}33\,\%\) c) \(P(X=2) \approx 21{,}83\,\%\) Es sind etwa \(36\) Felder mit genau einem Pollenkorn zu erwarten.

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Bei einem Spiel werden zwei ideale vierseitige Würfel (Tetraeder mit den Zahlen 1 bis 4) gleichzeitig geworfen. Die Zufallsgröße \(Y\) beschreibt die Summe der beiden oben liegenden Zahlen. 1. Bestimme die Wertemenge \(W\) der Zufallsgröße \(Y\). 2. Berechne die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Y\) und stelle sie tabellarisch dar. 3. Erläutere an diesem Beispiel den Unterschied zwischen einem Ergebnis des Zufallsexperiments und einem Wert der Zufallsgröße.

Denkanstöße

- Stelle dir eine Tabelle oder ein Gitter vor, um alle \(16\) möglichen Kombinationen der beiden Würfel zu finden. - Wie viele Möglichkeiten gibt es für jede Augensumme? - Überlege dir, ob die Augensumme „5“ ein Ergebnis des Experiments ist oder eine Eigenschaft, die man misst. - Was genau passiert, wenn man eine Zufallsgröße als „Abbildung“ oder „Funktion“ betrachtet?

Lösung

1. Die kleinstmögliche Summe ist \(1+1=2\), die größtmögliche \(4+4=8\). Die Wertemenge ist \(W = \{2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}\). 2. Es gibt insgesamt \(4 \cdot 4 = 16\) gleichwahrscheinliche Ergebnisse (Tupel). Durch Abzählen der Kombinationen ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten: \(P(Y=2) = \frac{1}{16}\) (Kombination (1,1)), \(P(Y=3) = \frac{2}{16}\) ((1,2), (2,1)), \(P(Y=4) = \frac{3}{16}\) ((1,3), (3,1), (2,2)), \(P(Y=5) = \frac{4}{16}\) ((1,4), (4,1), (2,3), (3,2)), \(P(Y=6) = \frac{3}{16}\) ((2,4), (4,2), (3,3)), \(P(Y=7) = \frac{2}{16}\) ((3,4), (4,3)), \(P(Y=8) = \frac{1}{16}\) ((4,4)). 3. Ein Ergebnis ist ein Element der Ergebnismenge \(S\), hier ein Tupel wie \((1, 3)\), das genau beschreibt, was jeder Würfel zeigt. Die Zufallsgröße \(Y\) ist eine Funktion, die jedem dieser Ergebnisse eine reelle Zahl zuordnet (hier die Summe \(4\)). Ein Wert der Zufallsgröße (z. B. \(y=4\)) kann also durch mehrere verschiedene Ergebnisse des Experiments (hier drei verschiedene Tupel) realisiert werden.

Antwort

1. \(W = \{2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}\). 2. Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table> <tr><td>\(k\)</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td></tr> <tr><td>\(P(Y=k)\)</td><td>\(\frac{1}{16}\)</td><td>\(\frac{2}{16}\)</td><td>\(\frac{3}{16}\)</td><td>\(\frac{4}{16}\)</td><td>\(\frac{3}{16}\)</td><td>\(\frac{2}{16}\)</td><td>\(\frac{1}{16}\)</td></tr> </table> 3. Ein Ergebnis ist ein konkreter Ausgang des Wurfs (z. B. \((2, 3)\)). Die Zufallsgröße ordnet diesem Ergebnis einen Zahlenwert zu (die Summe \(5\)). Mehrere Ergebnisse können denselben Wert der Zufallsgröße liefern.

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Ein fairer 6-seitiger Würfel (Hexaeder) und ein fairer 8-seitiger Würfel (Oktaeder), beide mit den Augenzahlen \(1, 2, 3, \dots\), werden gleichzeitig geworfen. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Summe der beiden oben liegenden Augenzahlen. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) in tabellarischer Form. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Augensumme eine Quadratzahl? c) Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(E\), dass die Augensumme größer als \(5\) und höchstens \(9\) ist.

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, wie viele Kombinationsmöglichkeiten es insgesamt für die beiden Würfel gibt. - Erstelle eine Tabelle oder ein Gitter, um systematisch alle möglichen Summen und deren Häufigkeit zu erfassen. - Welche Zahlen zwischen 2 und 14 sind Quadratzahlen? - Achte bei den Ungleichungen genau darauf, welche Werte der Augensumme eingeschlossen sind und welche nicht.

Lösung

1. Es gibt insgesamt \(6 \cdot 8 = 48\) gleichwahrscheinliche Ergebnisse. 2. Die möglichen Summen \(x_i\) liegen im Bereich von \(2\) bis \(14\). Durch Abzählen der Kombinationen ergibt sich die Verteilung: \(P(X=2) = \frac{1}{48}\), \(P(X=3) = \frac{2}{48}\), \(P(X=4) = \frac{3}{48}\), \(P(X=5) = \frac{4}{48}\), \(P(X=6) = \frac{5}{48}\), \(P(X=7) = \frac{6}{48}\), \(P(X=8) = \frac{6}{48}\), \(P(X=9) = \frac{6}{48}\), \(P(X=10) = \frac{5}{48}\), \(P(X=11) = \frac{4}{48}\), \(P(X=12) = \frac{3}{48}\), \(P(X=13) = \frac{2}{48}\), \(P(X=14) = \frac{1}{48}\). 3. Quadratzahlen im Wertebereich sind \(4\) und \(9\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(X=4) + P(X=9) = \frac{3}{48} + \frac{6}{48} = \frac{9}{48} = \frac{3}{16} = 0{,}1875\). 4. Für das Ereignis \(E: 5 < X \le 9\) werden die Wahrscheinlichkeiten für \(X \in \{6, 7, 8, 9\}\) addiert: \(P(E) = \frac{5}{48} + \frac{6}{48} + \frac{6}{48} + \frac{6}{48} = \frac{23}{48} \approx 0{,}4792\).

Antwort

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table> <tr><td>\(x_i\)</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>11</td><td>12</td><td>13</td><td>14</td></tr> <tr><td>\(P(X=x_i)\)</td><td>\(\frac{1}{48}\)</td><td>\(\frac{2}{48}\)</td><td>\(\frac{3}{48}\)</td><td>\(\frac{4}{48}\)</td><td>\(\frac{5}{48}\)</td><td>\(\frac{6}{48}\)</td><td>\(\frac{6}{48}\)</td><td>\(\frac{6}{48}\)</td><td>\(\frac{5}{48}\)</td><td>\(\frac{4}{48}\)</td><td>\(\frac{3}{48}\)</td><td>\(\frac{2}{48}\)</td><td>\(\frac{1}{48}\)</td></tr> </table> b) \(P(\text{Quadratzahl}) = \frac{3}{16} = 0{,}1875\). c) \(P(5 < X \le 9) = \frac{23}{48} \approx 0{,}4792\).

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In einer Urne befinden sich \(20\) Kugeln, die von \(1\) bis \(20\) durchnummeriert sind. Es werden nacheinander \(3\) Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße \(X\) gibt an, wie viele der gezogenen Kugeln eine Zahl von \(1\) bis \(5\) tragen. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) in Tabellenform und berechne den Erwartungswert \(E(X)\).

Denkanstöße

- Überlege dir, ob die Kugeln nach dem Ziehen zurückgelegt werden oder nicht. - Welche Werte kann die Zufallsgröße \(X\) annehmen? - Erinnere dich an die Formel für die hypergeometrische Verteilung (Ziehen ohne Zurücklegen). - Der Erwartungswert lässt sich bei dieser Verteilung besonders einfach über die Anteile in der Grundgesamtheit berechnen.

Lösung

1. Identifikation der Verteilung: Da ohne Zurücklegen aus einer endlichen Grundgesamtheit gezogen wird, ist \(X\) hypergeometrisch verteilt mit \(N=20\) (Gesamtanzahl), \(M=5\) (Kugeln mit Zahlen 1 bis 5) und \(n=3\) (Stichprobenumfang). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten \(P(X=k) = \frac{\binom{M}{k} \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}\) für \(k \in \{0, 1, 2, 3\}\): - Gesamtmöglichkeiten: \(\binom{20}{3} = 1140\) - \(P(X=0) = \frac{\binom{5}{0} \binom{15}{3}}{1140} = \frac{1 \cdot 455}{1140} = \frac{91}{228} \approx 0{,}3991\) - \(P(X=1) = \frac{\binom{5}{1} \binom{15}{2}}{1140} = \frac{5 \cdot 105}{1140} = \frac{35}{76} \approx 0{,}4605\) - \(P(X=2) = \frac{\binom{5}{2} \binom{15}{1}}{1140} = \frac{10 \cdot 15}{1140} = \frac{5}{38} \approx 0{,}1316\) - \(P(X=3) = \frac{\binom{5}{3} \binom{15}{0}}{1140} = \frac{10 \cdot 1}{1140} = \frac{1}{114} \approx 0{,}0088\) 3. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = n \cdot \frac{M}{N} = 3 \cdot \frac{5}{20} = 0{,}75\).

Antwort

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\): <table> <tr> <td>\(k\)</td> <td>0</td> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> </tr> <tr> <td>\(P(X=k)\)</td> <td>\(\frac{91}{228} \approx 0{,}3991\)</td> <td>\(\frac{35}{76} \approx 0{,}4605\)</td> <td>\(\frac{5}{38} \approx 0{,}1316\)</td> <td>\(\frac{1}{114} \approx 0{,}0088\)</td> </tr> </table> Der Erwartungswert beträgt \(E(X) = 0{,}75\).

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In einem Kurs mit \(24\) Personen haben \(8\) ein Tablet für den Unterricht dabei. Für eine Projektgruppe werden zufällig \(4\) Personen ausgewählt. Die Zufallsgröße \(Y\) beschreibt die Anzahl der Personen in der Gruppe, die ein Tablet dabeihaben. Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Y\) auf und gib den Erwartungswert \(E(Y)\) an.

Denkanstöße

- Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, eine 4-köpfige Gruppe aus 24 Personen zu bilden? - Überlege dir für jeden Wert von \(k\), wie viele Möglichkeiten es gibt, genau \(k\) Personen mit Tablet und entsprechend viele Personen ohne Tablet auszuwählen. - Nutze den Binomialkoeffizienten für die Berechnungen. - Wie hängen der Stichprobenumfang und der Anteil der Tablet-Besitzer im Kurs mit dem Erwartungswert zusammen?

Lösung

1. Modellierung: Ziehen ohne Zurücklegen (da Personen nicht mehrfach gewählt werden können). Hypergeometrische Verteilung mit \(N=24\), \(M=8\) und \(n=4\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: - Nenner: \(\binom{24}{4} = 10\,626\) - \(P(Y=0) = \frac{\binom{8}{0} \binom{16}{4}}{10\,626} = \frac{1820}{10\,626} = \frac{130}{759} \approx 0{,}1713\) - \(P(Y=1) = \frac{\binom{8}{1} \binom{16}{3}}{10\,626} = \frac{4480}{10\,626} = \frac{320}{759} \approx 0{,}4216\) - \(P(Y=2) = \frac{\binom{8}{2} \binom{16}{2}}{10\,626} = \frac{3360}{10\,626} = \frac{240}{759} \approx 0{,}3162\) - \(P(Y=3) = \frac{\binom{8}{3} \binom{16}{1}}{10\,626} = \frac{896}{10\,626} = \frac{64}{759} \approx 0{,}0843\) - \(P(Y=4) = \frac{\binom{8}{4} \binom{16}{0}}{10\,626} = \frac{70}{10\,626} = \frac{5}{759} \approx 0{,}0066\) 3. Erwartungswert: \(E(Y) = n \cdot \frac{M}{N} = 4 \cdot \frac{8}{24} = 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \approx 1{,}333\).

Antwort

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Y\): <table> <tr> <td>\(k\)</td> <td>0</td> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> <td>4</td> </tr> <tr> <td>\(P(Y=k)\)</td> <td>\(\frac{130}{759}\)</td> <td>\(\frac{320}{759}\)</td> <td>\(\frac{240}{759}\)</td> <td>\(\frac{64}{759}\)</td> <td>\(\frac{5}{759}\)</td> </tr> </table> (Gerundete Dezimalwerte: \(0{,}1713\); \(0{,}4216\); \(0{,}3162\); \(0{,}0843\); \(0{,}0066\)) Der Erwartungswert ist \(E(Y) = \frac{4}{3} \approx 1{,}33\).

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In einer Urne befinden sich drei Kugeln mit den Aufschriften 1, 2 und 3. Es wird dreimal nacheinander eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Die Ziffern der Ziehungen werden mit \(z_1, z_2, z_3\) bezeichnet. Man betrachtet die Teilsummen \(s_1 = z_1\), \(s_2 = z_1 + z_2\) und \(s_3 = z_1 + z_2 + z_3\). Die Zufallsgröße \(X\) gibt an, wie viele dieser drei Teilsummen einen geraden Wert annehmen. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) und gib diese in Form einer Tabelle an.

Denkanstöße

- Erstelle ein Baumdiagramm, das sich nur auf die Eigenschaft „gerade“ oder „ungerade“ der gezogenen Ziffern bezieht. - Notiere an jedem Endknoten die Werte der Teilsummen \(s_1, s_2, s_3\) und zähle, wie viele davon gerade sind. - Beachte, dass die Wahrscheinlichkeiten für „gerade“ (\(1/3\)) und „ungerade“ (\(2/3\)) nicht gleich sind. - Überprüfe am Ende, ob die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in deiner Tabelle genau 1 ergibt.

Lösung

1. Identifikation der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(\text{gerade}) = P(\{2\}) = \frac{1}{3}\) und \(P(\text{ungerade}) = P(\{1, 3\}) = \frac{2}{3}\). 2. Analyse der Pfade im Baumdiagramm (U = ungerade, G = gerade): - \(z_1=U, z_2=G, z_3=G \implies (s_1, s_2, s_3)=(U, U, U)\), \(X=0\). \(P(X=0) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{27}\). - \(X=1\) tritt auf bei den Pfaden \((U, G, U)\), \((U, U, U)\) und \((G, U, G)\). Berechnung: \(P(U, G, U) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{27}\); \(P(U, U, U) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{27}\); \(P(G, U, G) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{27}\). Summe \(P(X=1) = \frac{14}{27}\). - \(X=2\) tritt auf bei \((U, U, G)\), \((G, U, U)\) und \((G, G, U)\). Berechnung: \(P(U, U, G) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27}\); \(P(G, U, U) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{27}\); \(P(G, G, U) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{27}\). Summe \(P(X=2) = \frac{10}{27}\). - \(X=3\) tritt nur bei \((G, G, G)\) auf. \(P(X=3) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27}\). 3. Zusammenstellung der Tabelle und Kontrolle der Summe: \(\frac{2+14+10+1}{27} = 1\).

Antwort

<table border="1"> <tr> <td>\(k\)</td> <td>0</td> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> </tr> <tr> <td>\(P(X=k)\)</td> <td>\(\frac{2}{27}\)</td> <td>\(\frac{14}{27}\)</td> <td>\(\frac{10}{27}\)</td> <td>\(\frac{1}{27}\)</td> </tr> </table>

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Ein Multiple-Choice-Test besteht aus 5 Fragen. Zu jeder Frage gibt es 3 Antwortmöglichkeiten, von denen jeweils nur eine richtig ist. Ein Schüler kreuzt bei jeder Frage rein zufällig eine Antwort an. Erstelle eine Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl \( X \) der richtig beantworteten Fragen. Runde die Wahrscheinlichkeiten dabei auf vier Nachkommastellen.

Denkanstöße

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine einzelne Frage durch Raten richtig zu beantworten? - Welche Werte kann die Zufallsgröße \( X \) (Anzahl der richtigen Antworten) annehmen? - Kennst du eine Formel, mit der man die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl an Erfolgen in einer Versuchsreihe berechnet? - Was müssen alle Wahrscheinlichkeiten in deiner Tabelle zusammen ergeben?

Lösung

1. Festlegung der Parameter: \( n = 5 \), \( p = \frac{1}{3} \), \( q = \frac{2}{3} \). 2. Anwendung der Bernoulli-Formel \( P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k} \) für \( k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \). 3. \( P(X=0) = \left(\frac{2}{3}\right)^5 = \frac{32}{243} \approx 0{,}1317 \). 4. \( P(X=1) = 5 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{80}{243} \approx 0{,}3292 \). 5. \( P(X=2) = 10 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{80}{243} \approx 0{,}3292 \). 6. \( P(X=3) = 10 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{40}{243} \approx 0{,}1646 \). 7. \( P(X=4) = 5 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{243} \approx 0{,}0412 \). 8. \( P(X=5) = \left(\frac{1}{3}\right)^5 = \frac{1}{243} \approx 0{,}0041 \).

Antwort

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung lautet: <table> <tr> <td>\( k \)</td> <td>0</td> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> <td>4</td> <td>5</td> </tr> <tr> <td>\( P(X=k) \)</td> <td>\( 0{,}1317 \)</td> <td>\( 0{,}3292 \)</td> <td>\( 0{,}3292 \)</td> <td>\( 0{,}1646 \)</td> <td>\( 0{,}0412 \)</td> <td>\( 0{,}0041 \)</td> </tr> </table>

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Bei einem Badminton-Match zwischen zwei Spielern, Herr Schmidt und Frau Weber, gewinnt Frau Weber einen Satz erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von \(p = 0{,}6\). Das Match wird im „Best-of-Five“-Modus ausgetragen, das heißt, wer zuerst drei Sätze gewinnt, ist Gesamtsieger. a) Ermittle die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\), welche die Gesamtzahl der gespielten Sätze angibt. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Frau Weber das gesamte Match?

Denkanstöße

- Berücksichtige, dass die Gewinnwahrscheinlichkeiten hier nicht gleich verteilt sind. - Ein Spieler gewinnt in genau 4 Sätzen, wenn er den vierten Satz gewinnt und von den ersten drei Sätzen genau zwei gewonnen hat. - Addiere für die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Sieges von Frau Weber alle Fälle, in denen sie das Match (nach 3, 4 oder 5 Sätzen) beendet. - Prüfe am Ende, ob die Summe aller Wahrscheinlichkeiten für \(X\) genau 1 ergibt.

Lösung

1. Mögliche Werte für \(X\): \(X \in \{3, 4, 5\}\). Sei \(p = 0{,}6\) (Frau Weber) und \(q = 0{,}4\) (Herr Schmidt). 2. Berechnung \(P(X=3)\): Match endet nach 3 Sätzen, wenn entweder Weber (WWW) oder Schmidt (SSS) gewinnt. \(P(\text{Weber gewinnt in 3}) = 0{,}6^3 = 0{,}216\) \(P(\text{Schmidt gewinnt in 3}) = 0{,}4^3 = 0{,}064\) \(P(X=3) = 0{,}216 + 0{,}064 = 0{,}28\) 3. Berechnung \(P(X=4)\): Sieger muss den 4. Satz gewinnen und 2 der ersten 3 Sätze. \(P(\text{Weber gewinnt in 4}) = \binom{3}{2} \cdot 0{,}6^2 \cdot 0{,}4^1 \cdot 0{,}6 = 0{,}2592\) \(P(\text{Schmidt gewinnt in 4}) = \binom{3}{2} \cdot 0{,}4^2 \cdot 0{,}6^1 \cdot 0{,}4 = 0{,}1152\) \(P(X=4) = 0{,}2592 + 0{,}1152 = 0{,}3744\) 4. Berechnung \(P(X=5)\): Sieger gewinnt 5. Satz und 2 der ersten 4 Sätze. \(P(\text{Weber gewinnt in 5}) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}6^2 \cdot 0{,}4^2 \cdot 0{,}6 = 0{,}207\,36\) \(P(\text{Schmidt gewinnt in 5}) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}4^2 \cdot 0{,}6^2 \cdot 0{,}4 = 0{,}138\,24\) \(P(X=5) = 0{,}207\,36 + 0{,}138\,24 = 0{,}3456\) 5. Wahrscheinlichkeit für Sieg Frau Weber: \(P(\text{Weber gewinnt}) = 0{,}216 + 0{,}2592 + 0{,}207\,36 = 0{,}682\,56\)

Antwort

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: \(P(X=3) = 0{,}28\) \(P(X=4) = 0{,}3744\) \(P(X=5) = 0{,}3456\) b) Frau Weber gewinnt das Match mit einer Wahrscheinlichkeit von \(0{,}682\,56\) (ca. \(68{,}3\,\%\)).

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Ein Logistikunternehmen wertet die jährliche Fahrleistung seiner Fahrzeuge aus. Dabei werden zwei Fahrzeugtypen unterschieden: Kleintransporter (\(X_1\)) und schwere LKW (\(X_2\)). Die Fahrleistung wird in \(1\,000\,\text{km}\) gemessen. Die Tabelle zeigt die kumulierten relativen Häufigkeiten der jährlichen Fahrleistungen: <table> <thead> <tr> <th>Fahrleistung bis zu ... \(1\,000\,\text{km}\)</th> <th>Kleintransporter \(X_1\)</th> <th>Schwere LKW \(X_2\)</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td>20</td> <td>\(0{,}12\)</td> <td>\(0{,}04\)</td> </tr> <tr> <td>40</td> <td>\(0{,}38\)</td> <td>\(0{,}15\)</td> </tr> <tr> <td>60</td> <td>\(0{,}65\)</td> <td>\(0{,}32\)</td> </tr> <tr> <td>80</td> <td>\(0{,}84\)</td> <td>\(0{,}58\)</td> </tr> <tr> <td>100</td> <td>\(0{,}95\)</td> <td>\(0{,}82\)</td> </tr> <tr> <td>120</td> <td>\(1{,}00\)</td> <td>\(1{,}00\)</td> </tr> </tbody> </table> Beantworte die folgenden Fragen: a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter schwerer LKW mehr als \(80\,000\,\text{km}\) pro Jahr fährt? b) Vergleiche die Wahrscheinlichkeiten \(P(40 < X_1 \le 80)\) und \(P(40 < X_2 \le 80)\). Welcher Fahrzeugtyp hat eine höhere Wahrscheinlichkeit, eine Fahrleistung in diesem Intervall zu erbringen? c) In welchem der Intervalle \([0; 40]\), \(]40; 80]\) oder \(]80; 120]\) liegt bei den Kleintransportern die höchste Wahrscheinlichkeit?

Denkanstöße

- Beachte, dass die Tabellenwerte bereits die Summe der Wahrscheinlichkeiten bis zu diesem Punkt darstellen. - Wie berechnet man den Anteil in einem Bereich, wenn man nur die Gesamtsummen bis zu den Rändern kennt? - Lies die Werte für beide Fahrzeugtypen getrennt aus den entsprechenden Spalten ab. - Um Intervalle zu vergleichen, musst du für jedes Intervall die Differenz der kumulierten Werte am oberen und unteren Rand bilden.

Lösung

1. Berechnung von \(P(X_2 > 80)\): Über die Gegenwahrscheinlichkeit gilt \(1 - P(X_2 \le 80) = 1 - 0{,}58 = 0{,}42\). 2. Vergleich der Intervallwahrscheinlichkeiten für \(]40; 80]\): Für \(X_1\): \(P(40 < X_1 \le 80) = P(X_1 \le 80) - P(X_1 \le 40) = 0{,}84 - 0{,}38 = 0{,}46\). Für \(X_2\): \(P(40 < X_2 \le 80) = P(X_2 \le 80) - P(X_2 \le 40) = 0{,}58 - 0{,}15 = 0{,}43\). Der Kleintransporter (\(X_1\)) hat mit \(0{,}46\) die höhere Wahrscheinlichkeit. 3. Untersuchung der Intervalle für \(X_1\): \(P(0 \le X_1 \le 40) = 0{,}38\). \(P(40 < X_1 \le 80) = 0{,}46\). \(P(80 < X_1 \le 120) = 1{,}00 - 0{,}84 = 0{,}16\). Die höchste Wahrscheinlichkeit liegt im Intervall \(]40; 80]\) mit \(0{,}46\).

Antwort

a) \(P(X_2 > 80) = 0{,}42\) b) \(P(40 < X_1 \le 80) = 0{,}46\) und \(P(40 < X_2 \le 80) = 0{,}43\). Die Wahrscheinlichkeit ist bei den Kleintransportern (\(X_1\)) höher. c) Die höchste Wahrscheinlichkeit liegt im Intervall \(]40; 80]\) mit \(0{,}46\).

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Zwei Spieler vergleichen die Gewinnchancen bei der Augensumme zweier sechsseitiger Würfel. Set A besteht aus zwei fairen Würfeln. Set B besteht aus einem fairen Würfel und einem gezinkten Würfel. Bei dem gezinkten Würfel fallen die Zahlen 1 bis 5 jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von \(0{,}1\), während die Zahl 6 mit einer Wahrscheinlichkeit von \(0{,}5\) erscheint. a) Berechne für beide Sets die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme 12 zu würfeln. b) Zeige rechnerisch, dass die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 7 bei beiden Sets exakt gleich groß ist. c) Bestimme den Erwartungswert der Augensumme für Set B. Um wie viel weicht dieser vom Erwartungswert bei Set A ab?

Denkanstöße

- Für die Augensumme 12 gibt es bei sechsseitigen Würfeln nur eine einzige Kombination. - Überlege dir für die Augensumme 7, wie die Wahrscheinlichkeit des fairen Würfels als Faktor ausgeklammert werden kann. - Der Erwartungswert einer Summe ist immer die Summe der einzelnen Erwartungswerte, egal ob die Würfel fair sind oder nicht.

Lösung

1. Bei Set A beträgt die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 12 (Kombination 6 und 6) \(P(S=12) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \approx 0{,}028\). Bei Set B wird die 12 durch die Kombination aus dem fairen Würfel (\(P=1/6\)) und der 6 des gezinkten Würfels (\(P=0{,}5\)) erreicht: \(P(S=12) = \frac{1}{6} \cdot 0{,}5 = \frac{1}{12} \approx 0{,}083\). 2. Sei \(X\) das Ergebnis des fairen Würfels und \(Y\) das des gezinkten Würfels. Die Wahrscheinlichkeit für die Summe 7 berechnet sich über \(\sum_{i=1}^{6} P(X=i) \cdot P(Y=7-i)\). Da \(P(X=i) = 1/6\) für alle \(i\) gilt, lässt sich dieser Faktor ausklammern: \(P(S=7) = \frac{1}{6} \cdot (P(Y=6) + P(Y=5) + \dots + P(Y=1))\). Da die Summe der Wahrscheinlichkeiten des gezinkten Würfels 1 ergeben muss, folgt \(P(S=7) = \frac{1}{6} \cdot 1 = \frac{1}{6}\), was identisch zu Set A ist. 3. Der Erwartungswert des fairen Würfels ist \(E[X] = 3{,}5\). Für den gezinkten Würfel gilt \(E[Y] = 0{,}1 \cdot (1+2+3+4+5) + 0{,}5 \cdot 6 = 1{,}5 + 3 = 4{,}5\). Der Gesamterwartungswert für Set B ist \(E[S_B] = 3{,}5 + 4{,}5 = 8\). Im Vergleich zu Set A (\(E[S_A] = 7\)) liegt der Erwartungswert bei Set B um genau 1 höher.

Antwort

a) Set A: \(rac{1}{36}\); Set B: \(rac{1}{12}\). b) In beiden Fällen beträgt die Wahrscheinlichkeit \(rac{1}{6}\). c) Der Erwartungswert für Set B ist \(8{,}0\). Er ist um \(1\) größer als der Erwartungswert von Set A (\(7{,}0\)).

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Bei der Qualitätskontrolle von Glasplatten wird eine Platte in \(80\) gleich große Sektoren unterteilt. Auf der Platte befinden sich insgesamt \(60\) winzige Lufteinschlüsse, die zufällig über die gesamte Fläche verteilt sind. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, mit der ein zufällig ausgewählter Sektor mehr als zwei Lufteinschlüsse aufweist. b) Wie viele der \(80\) Sektoren sind im Durchschnitt völlig frei von Lufteinschlüssen?

Denkanstöße

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Einschluss in einem bestimmten Sektor landet? - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für „mehr als zwei“ berechnen sollst, ist es oft einfacher, das Gegenereignis zu betrachten. - Wie berechnet man den Erwartungswert für die Anzahl der Sektoren, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen?

Lösung

1. Modellierung: Die Anzahl \(X\) der Einschlüsse pro Sektor ist binomialverteilt mit \(n = 60\) (Gesamtzahl der Einschlüsse) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{80} = 0{,}0125\) für einen spezifischen Sektor. 2. Zu a): Gesucht ist \(P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2))\). 3. \(P(X=0) = 0{,}9875^{60} \approx 0{,}4701\) 4. \(P(X=1) = 60 \cdot 0{,}0125 \cdot 0{,}9875^{59} \approx 0{,}75 \cdot 0{,}4760 \approx 0{,}3570\) 5. \(P(X=2) = \binom{60}{2} \cdot 0{,}0125^2 \cdot 0{,}9875^{58} = 1770 \cdot 0{,}000\,156\,25 \cdot 0{,}4821 \approx 0{,}1333\) 6. \(P(X > 2) = 1 - (0{,}4701 + 0{,}3570 + 0{,}1333) = 1 - 0{,}9604 = 0{,}0396\). 7. Zu b): Erwartete Anzahl leerer Sektoren: \(E = 80 \cdot P(X=0) = 80 \cdot 0{,}4701 \approx 37{,}61\).

Antwort

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(3{,}96\,\%\). b) Es sind im Durchschnitt etwa \(37{,}6\) Sektoren frei von Einschlüssen.

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Es werden zwei verschiedene Zufallsexperimente verglichen: Experiment A: Zwei faire 4-seitige Würfel (Tetraeder mit den Zahlen 1 bis 4) werden geworfen. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Augensumme an. Experiment B: Ein fairer 2-seitiger Würfel (mit den Zahlen 1 und 2) und ein fairer 6-seitiger Würfel (Zahlen 1 bis 6) werden geworfen. Die Zufallsgröße \(Y\) gibt die Augensumme an. a) Bestimme für beide Zufallsgrößen die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme genau \(5\) beträgt. Bei welchem Experiment ist dieser Wert höher? b) Untersuche rechnerisch, ob die Wahrscheinlichkeit für eine Augensumme von mindestens \(7\) bei beiden Experimenten gleich groß ist. c) Berechne den Erwartungswert für beide Zufallsgrößen und vergleiche die Ergebnisse.

Denkanstöße

- Bestimme für jedes Experiment separat die Gesamtzahl der möglichen Elementarereignisse. - Liste für die gesuchten Summen alle günstigen Zahlenpaare systematisch auf. - „Mindestens 7“ bedeutet, dass die Summe 7 oder größer sein darf. - Nutze für den Erwartungswert die Linearität: Der Erwartungswert einer Summe ist die Summe der Erwartungswerte der Einzelwürfel.

Lösung

1. Experiment A: \(4 \cdot 4 = 16\) Ergebnisse. Kombinationen für \(X=5\): \((1,4), (2,3), (3,2), (4,1)\), also \(P(X=5) = \frac{4}{16} = 0{,}25\). 2. Experiment B: \(2 \cdot 6 = 12\) Ergebnisse. Kombinationen für \(Y=5\): \((1,4), (2,3)\), also \(P(Y=5) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667\). Die Wahrscheinlichkeit ist bei Experiment A höher. 3. Wahrscheinlichkeit für mindestens 7: Bei A: \(X=7: (3,4), (4,3)\); \(X=8: (4,4)\). Insgesamt \(3\) von \(16\), also \(P(X \ge 7) = \frac{3}{16} = 0{,}1875\). Bei B: \(Y=7: (1,6), (2,5)\); \(Y=8: (2,6)\). Insgesamt \(3\) von \(12\), also \(P(Y \ge 7) = \frac{3}{12} = 0{,}25\). Die Wahrscheinlichkeiten sind nicht gleich groß. 4. Erwartungswerte: \(E(X) = E(W_4) + E(W_4) = 2{,}5 + 2{,}5 = 5\). \(E(Y) = E(W_2) + E(W_6) = 1{,}5 + 3{,}5 = 5\). Beide Erwartungswerte sind mit \(5\) identisch.

Antwort

a) \(P(X=5) = 0{,}25\); \(P(Y=5) = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667\). Bei Experiment A ist sie höher. b) Nein, sie sind nicht gleich groß: \(P(X \ge 7) = 0{,}1875\) und \(P(Y \ge 7) = 0{,}25\). c) \(E(X) = 5\) und \(E(Y) = 5\). Die Erwartungswerte sind gleich.

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