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- Welche Werte kann die Zufallsgröße \(X\) bei drei Versuchen annehmen? - Kennst du eine Formel, mit der man die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer berechnen kann? - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen „Nicht-Treffer“? - In einer Verteilungstabelle ordnest du jedem möglichen Wert von \(X\) seine Wahrscheinlichkeit zu.

1. Bestimmung der Parameter: Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}4\), Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\) und Anzahl der Versuche \(n = 3\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten mit der Bernoulli-Formel \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}\) für alle möglichen Werte von \(k \in \{0, 1, 2, 3\}\). 3. \(P(X = 0) = \binom{3}{0} \cdot 0{,}4^0 \cdot 0{,}6^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}216 = 0{,}216\). 4. \(P(X = 1) = \binom{3}{1} \cdot 0{,}4^1 \cdot 0{,}6^2 = 3 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}36 = 0{,}432\). 5. \(P(X = 2) = \binom{3}{2} \cdot 0{,}4^2 \cdot 0{,}6^1 = 3 \cdot 0{,}16 \cdot 0{,}6 = 0{,}288\). 6. \(P(X = 3) = \binom{3}{3} \cdot 0{,}4^3 \cdot 0{,}6^0 = 1 \cdot 0{,}064 \cdot 1 = 0{,}064\).

<table> <tr> <td>\(k\)</td> <td>0</td> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> </tr> <tr> <td>\(P(X = k)\)</td> <td>\(0{,}216\)</td> <td>\(0{,}432\)</td> <td>\(0{,}288\)</td> <td>\(0{,}064\)</td> </tr> </table>

- Welchen Kennwert einer Verteilung nutzt man oft, um das Zentrum der Verteilung zu beschreiben? - In welchem Bereich der Verteilung vermutest du die höchsten Säulen im Histogramm? - Wie hängen der Erwartungswert und der Modalwert bei einer Binomialverteilung zusammen?

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 80 \cdot 0{,}45 = 36\). 2. Da der Erwartungswert \(\mu = 36\) eine ganze Zahl ist, liegt das Maximum der Wahrscheinlichkeitsverteilung bei einer Binomialverteilung genau an dieser Stelle. 3. Alternativ über die Bedingung für das Maximum: Das Maximum liegt bei \(k = \lfloor (n+1) \cdot p \rfloor\). Hier ist \((80+1) \cdot 0{,}45 = 81 \cdot 0{,}45 = 36{,}45\). Der ganzzahlige Anteil ist \(36\). 4. Somit ist \(P(X = 36)\) der größte Wert der Verteilung.

Der größte Wert liegt bei \(k = 36\).

- Stelle zuerst die Formeln für die beiden Wahrscheinlichkeiten auf. - Gibt es eine Beziehung zwischen den beiden Binomialkoeffizienten? - Überlege, durch welche gemeinsamen Faktoren du die Ungleichung teilen kannst. - Denk daran, dass die Basis eines Potenzausdrucks hier immer positiv ist.

1. Aufstellen der Ungleichung mit der Formel von Bernoulli: \(\binom{100}{45} \cdot p^{45} \cdot (1-p)^{55} < \binom{100}{55} \cdot p^{55} \cdot (1-p)^{45}\). 2. Nutzen der Symmetrie der Binomialkoeffizienten: Da \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) gilt, ist \(\binom{100}{45} = \binom{100}{55}\). 3. Vereinfachen der Ungleichung durch Division: Da \(p \in ]0; 1[\), sind alle Faktoren positiv. Division durch \(\binom{100}{45} \cdot p^{45} \cdot (1-p)^{45}\) ergibt \((1-p)^{10} < p^{10}\). 4. Da beide Basen im Intervall \(]0; 1[\) liegen, folgt durch Ziehen der 10. Wurzel: \(1-p < p\). 5. Auflösen nach \(p\): \(1 < 2p \iff p > 0{,}5\).

\(0{,}5 < p < 1\) (bzw. \(p \in ]0{,}5; 1[\))

- Wie hängen Erwartungswert, Kettenlänge und Trefferwahrscheinlichkeit zusammen? - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaft der Binomialkoeffizienten im pascalschen Dreieck. - Was passiert mit den Termen \(p^k\) und \((1-p)^{n-k}\) in der Formel, wenn \(p\) genau \(0{,}5\) ist? - Überlege, welcher Wert genau in der Mitte zwischen \(0\) und \(n\) liegt.

1. Berechnung von \(n\): Aus \(E(X) = n \cdot p\) folgt \(6 = n \cdot 0{,}5\), also \(n = 12\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: \(P(X = 4) = \binom{12}{4} \cdot 0{,}5^{12} = 495 \cdot 0{,}5^{12} \approx 0{,}1208\). Da \(\binom{12}{8} = \binom{12}{4}\) und die Potenzen von \(0{,}5\) wegen \(p = 1-p\) identisch zusammengefasst werden können, gilt \(P(X = 8) = P(X = 4) \approx 0{,}1208\). 3. Allgemeine Begründung: Für \(p = 0{,}5\) gilt \(1-p = 0{,}5\). Die Formel vereinfacht sich zu \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot 0{,}5^k \cdot 0{,}5^{n-k} = \binom{n}{k} \cdot 0{,}5^n\). Da der Binomialkoeffizient die Eigenschaft \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) besitzt, folgt \(P(X = k) = P(X = n-k)\). Dies entspricht einer Achsensymmetrie des Histogramms bezüglich der Mitte \(k = \frac{n}{2}\).

a) \(n = 12\) b) \(P(X = 4) \approx 0{,}1208\) und \(P(X = 8) \approx 0{,}1208\) c) Durch Einsetzen von \(p = 0{,}5\) in die Bernoulli-Formel ergibt sich \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot 0{,}5^n\). Wegen \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) gilt \(P(X = k) = P(X = n-k)\), was die Achsensymmetrie beweist.

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine einzelne Frage durch Raten richtig zu beantworten? - Welche Werte kann die Zufallsgröße \( X \) (Anzahl der richtigen Antworten) annehmen? - Kennst du eine Formel, mit der man die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl an Erfolgen in einer Versuchsreihe berechnet? - Was müssen alle Wahrscheinlichkeiten in deiner Tabelle zusammen ergeben?

1. Festlegung der Parameter: \( n = 5 \), \( p = \frac{1}{3} \), \( q = \frac{2}{3} \). 2. Anwendung der Bernoulli-Formel \( P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k} \) für \( k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \). 3. \( P(X=0) = \left(\frac{2}{3}\right)^5 = \frac{32}{243} \approx 0{,}1317 \). 4. \( P(X=1) = 5 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{80}{243} \approx 0{,}3292 \). 5. \( P(X=2) = 10 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{80}{243} \approx 0{,}3292 \). 6. \( P(X=3) = 10 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{40}{243} \approx 0{,}1646 \). 7. \( P(X=4) = 5 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{243} \approx 0{,}0412 \). 8. \( P(X=5) = \left(\frac{1}{3}\right)^5 = \frac{1}{243} \approx 0{,}0041 \).

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung lautet: <table> <tr> <td>\( k \)</td> <td>0</td> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> <td>4</td> <td>5</td> </tr> <tr> <td>\( P(X=k) \)</td> <td>\( 0{,}1317 \)</td> <td>\( 0{,}3292 \)</td> <td>\( 0{,}3292 \)</td> <td>\( 0{,}1646 \)</td> <td>\( 0{,}0412 \)</td> <td>\( 0{,}0041 \)</td> </tr> </table>

- Überlege, welchen Wert die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten eines Zufallsexperiments immer annehmen muss. - Welche Augenzahlen erfüllen die Bedingung, ungerade zu sein? - Was bedeutet der Begriff „mindestens“ mathematisch für die Auswahl der Augenzahlen? - Kannst du bei der letzten Teilaufgabe Zeit sparen, indem du das Gegenteil betrachtest?

1. Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten eines Zufallsexperiments \(1\) ergeben muss, gilt \(0{,}18 + 0{,}32 + p + 0{,}25 = 1\). Daraus folgt \(0{,}75 + p = 1\), also \(p = 0{,}25\). 2. Das Ereignis „ungerade“ umfasst die Ergebnisse \(\{1; 3\}\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(X \in \{1; 3\}) = P(X=1) + P(X=3) = 0{,}18 + 0{,}25 = 0{,}43\). 3. Das Ereignis „mindestens 2“ umfasst die Ergebnisse \(\{2; 3; 4\}\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(X \ge 2) = 0{,}32 + 0{,}25 + 0{,}25 = 0{,}82\). Alternativ über das Gegenereignis: \(1 - P(X=1) = 1 - 0{,}18 = 0{,}82\).

1. \(p = 0{,}25\) 2. \(P(\text{ungerade}) = 0{,}43\) 3. \(P(X \ge 2) = 0{,}82\)

- Überlege dir zuerst, wie viele Kombinationsmöglichkeiten es insgesamt gibt, wenn man zwei Würfel wirft. - Kannst du eine Tabelle erstellen, in der alle möglichen Summen der beiden Würfel eingetragen sind? - Achte genau auf Formulierungen wie „höchstens“, „mindestens“ oder „weniger als“. - Für die Primzahlen: Welche Zahlen zwischen 2 und 12 sind Primzahlen? - Zähle für jedes Ereignis einzeln ab, wie viele der 36 Felder in deiner Tabelle die Bedingung erfüllen.

1. Der Ergebnisraum des zweifachen Würfelns umfasst \(6 \cdot 6 = 36\) gleichwahrscheinliche Elementarereignisse. 2. Für Teilaufgabe a) wird das Ereignis durch \(4 \le X < 7\) bzw. \(4 \le X \le 6\) beschrieben. Die günstigen Summen sind \(4\) (3 Möglichkeiten: \((1; 3)\), \((2; 2)\), \((3; 1)\)), \(5\) (4 Möglichkeiten: \((1; 4)\), \((2; 3)\), \((3; 2)\), \((4; 1)\)) und \(6\) (5 Möglichkeiten: \((1; 5)\), \((2; 4)\), \((3; 3)\), \((4; 2)\), \((5; 1)\)). Die Anzahl der günstigen Fälle ist \(3 + 4 + 5 = 12\). Damit gilt \(P(4 \le X < 7) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}\). 3. Für Teilaufgabe b) wird das Ereignis durch „\(X \in \{2, 3, 5, 7, 11\}\)“ beschrieben. Die Anzahlen der Möglichkeiten für die einzelnen Summen lauten: \(X=2\) (1), \(X=3\) (2), \(X=5\) (4), \(X=7\) (6), \(X=11\) (2). Die Summe der günstigen Fälle beträgt \(1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(X \in \{2, 3, 5, 7, 11\}) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}\). 4. Für Teilaufgabe c) lautet die Beschreibung \(X \le 3 \lor X > 10\). Günstige Summen sind \(2\) (1), \(3\) (2), \(11\) (2) und \(12\) (1). Die Anzahl der günstigen Fälle ist \(1 + 2 + 2 + 1 = 6\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(X \le 3 \lor X > 10) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).

a) \(P(4 \le X < 7) = \frac{1}{3}\) b) \(P(X \in \{2, 3, 5, 7, 11\}) = \frac{5}{12}\) c) \(P(X \le 3 \lor X > 10) = \frac{1}{6}\)

- Was bedeutet der Begriff „kumuliert“ für die Werte in der Tabelle? - Wie hängen die Ereignisse „höchstens \(x\) Minuten“ und „mehr als \(x\) Minuten“ zusammen? - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich zwischen zwei Werten suchst, wie kannst du die Anteile bis zu diesen Werten miteinander verrechnen? - Überlege dir, welche Personen in der Gruppe „bis 20 Minuten“ enthalten sind, die nicht in der Gruppe „bis 5 Minuten“ sind.

1. Bestimmung von \(P(X > 10)\): Die Gegenwahrscheinlichkeit zu \(P(X \le 10)\) wird berechnet durch \(1 - P(X \le 10) = 1 - 0{,}72 = 0{,}28\). 2. Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeit \(P(5 < X \le 20)\): Hierfür wird der kumulierte Wert bei \(5\) vom kumulierten Wert bei \(20\) subtrahiert: \(P(X \le 20) - P(X \le 5) = 0{,}96 - 0{,}45 = 0{,}51\). 3. Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeit \(P(2 < X \le 10)\): Analog zur vorherigen Teilaufgabe wird die Differenz der Tabellenwerte gebildet: \(P(X \le 10) - P(X \le 2) = 0{,}72 - 0{,}18 = 0{,}54\).

a) \(P(X > 10) = 0{,}28\) b) \(P(5 < X \le 20) = 0{,}51\) c) \(P(2 < X \le 10) = 0{,}54\)

- Überlege zuerst, ob es sich um ein Experiment mit zwei möglichen Ausgängen handelt, das mehrfach wiederholt wird. - Welche Werte kann die Anzahl der defekten Chips annehmen? - Notiere dir die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Versuche. - Verwende die Formel von Bernoulli, um die Wahrscheinlichkeit für jeden möglichen Wert der Zufallsgröße einzeln zu berechnen. - Zur Kontrolle: Die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten muss vor dem Runden genau 1 ergeben.

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung: Da die Chips unabhängig voneinander mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}12\) defekt sind, ist \(X\) binomialverteilt mit \(n = 4\) und \(p = 0{,}12\). Die Gegenwahrscheinlichkeit ist \(q = 1 - p = 0{,}88\). 2. Berechnung der Punktwahrscheinlichkeiten mit der Formel \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}\) für \(k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\): - \(P(X = 0) = \binom{4}{0} \cdot 0{,}12^0 \cdot 0{,}88^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}59969536 \approx 0{,}5997\) - \(P(X = 1) = \binom{4}{1} \cdot 0{,}12^1 \cdot 0{,}88^3 = 4 \cdot 0{,}12 \cdot 0{,}681472 = 0{,}32710656 \approx 0{,}3271\) - \(P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}12^2 \cdot 0{,}88^2 = 6 \cdot 0{,}0144 \cdot 0{,}7744 = 0{,}06690816 \approx 0{,}0669\) - \(P(X = 3) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}12^3 \cdot 0{,}88^1 = 4 \cdot 0{,}001728 \cdot 0{,}88 = 0{,}00608256 \approx 0{,}0061\) - \(P(X = 4) = \binom{4}{4} \cdot 0{,}12^4 \cdot 0{,}88^0 = 1 \cdot 0{,}00020736 \cdot 1 = 0{,}00020736 \approx 0{,}0002\)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) lautet (gerundet auf vier Nachkommastellen): <table> <tr> <td>\(k\)</td> <td>0</td> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> <td>4</td> </tr> <tr> <td>\(P(X = k)\)</td> <td>\(0{,}5997\)</td> <td>\(0{,}3271\)</td> <td>\(0{,}0669\)</td> <td>\(0{,}0061\)</td> <td>\(0{,}0002\)</td> </tr> </table>

- Welche Parameter \(n\) und \(p\) kennzeichnen diesen Zufallsversuch? - Erinnere dich an die Formel von Bernoulli für Einzelwahrscheinlichkeiten. - Was bedeutet der Begriff „höchstens“ mathematisch für die Summenbildung? - Kannst du das Gegenereignis nutzen, um die Rechnung bei „mindestens“ zu verkürzen?

1. Es liegt eine Binomialverteilung mit \(n = 6\) und \(p = 0{,}2\) vor. Die Einzelwahrscheinlichkeiten berechnen sich nach \(P(X = k) = \binom{6}{k} \cdot 0{,}2^k \cdot 0{,}8^{6-k}\). 2. Berechnung der Tabellenwerte: \(P(X=0) \approx 0{,}2621\); \(P(X=1) \approx 0{,}3932\); \(P(X=2) \approx 0{,}2458\); \(P(X=3) \approx 0{,}0819\); \(P(X=4) \approx 0{,}0154\); \(P(X=5) \approx 0{,}0015\); \(P(X=6) \approx 0{,}0001\). 3. Berechnung für (1): \(P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0{,}2621 + 0{,}3932 + 0{,}2458 = 0{,}9011\). 4. Berechnung für (2): \(P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0{,}2621 = 0{,}7379\).

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table border="1"> <tr><td>\(k\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td></tr> <tr><td>\(P(X=k)\)</td><td>\(0{,}2621\)</td><td>\(0{,}3932\)</td><td>\(0{,}2458\)</td><td>\(0{,}0819\)</td><td>\(0{,}0154\)</td><td>\(0{,}0015\)</td><td>\(0{,}0001\)</td></tr> </table> b) (1) \(P(X \le 2) \approx 0{,}9011\) (bzw. \(90{,}11\,\%\)); (2) \(P(X \ge 1) \approx 0{,}7379\) (bzw. \(73{,}79\,\%\)).

- Wie berechnet man den Erwartungswert bei einer Binomialverteilung? - Welche Formel nutzt du, um die Wahrscheinlichkeit für eine exakte Trefferzahl zu bestimmen? - Was bedeutet es für die Verteilung, wenn ein Wert als „Maximum“ bezeichnet wird?

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 40 \cdot 0{,}25 = 10\). 2. Da \(\mu = 10\) ganzzahlig ist, sollte nach der Regel \(P(X = 10)\) das Maximum sein. 3. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten mit der Formel \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\): \(P(X = 10) = \binom{40}{10} \cdot 0{,}25^{10} \cdot 0{,}75^{30} \approx 0{,}1444\). \(P(X = 9) = \binom{40}{9} \cdot 0{,}25^9 \cdot 0{,}75^{31} \approx 0{,}1397\). \(P(X = 11) = \binom{40}{11} \cdot 0{,}25^{11} \cdot 0{,}75^{29} \approx 0{,}1312\). 4. Vergleich der Ergebnisse: Es gilt \(0{,}1444 > 0{,}1397 > 0{,}1312\), somit ist \(P(X = 10)\) tatsächlich der größte Wert.

a) \(\mu = 10\) b) \(P(X = 10) \approx 0{,}1444\) c) \(P(X = 9) \approx 0{,}1397\) und \(P(X = 11) \approx 0{,}1312\). Da \(P(X = 10)\) größer als beide benachbarten Werte ist, liegt hier das Maximum der Verteilung vor.

- Was ist der Unterschied zwischen den physikalischen Ergebnissen (Sektoren) und den Zahlenwerten, die wir beobachten wollen? - Wie viele Sektoren zeigen die gleiche Zahl? - Überlege, was die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in deiner Tabelle ergeben muss. - Erinnere dich an die Definition eines Histogramms: Was wird auf der x-Achse und was auf der y-Achse abgetragen?

1. Die Ergebnismenge \(S\) besteht aus den fünf unterscheidbaren Sektoren des Glücksrads. Da die Sektoren gleich groß sind, ist die Wahrscheinlichkeit für jeden Sektor \(P(s_i) = \frac{1}{5} = 0{,}2\). Die Wertemenge der Zufallsgröße \(X\) ist die Menge der Zahlen auf den Sektoren: \(W = \{1; 2; 5; 10\}\). 2. Die Wahrscheinlichkeiten berechnen sich durch Abzählen der Sektoren für jeden Wert: \(P(X=1) = \frac{2}{5} = 0{,}4\); \(P(X=2) = \frac{1}{5} = 0{,}2\); \(P(X=5) = \frac{1}{5} = 0{,}2\); \(P(X=10) = \frac{1}{5} = 0{,}2\). 3. Ein Histogramm stellt auf der x-Achse die Werte \(k \in W\) und auf der y-Achse die Wahrscheinlichkeiten \(P(X=k)\) dar. Über jedem Wert \(k\) wird eine Säule (Rechteck) gezeichnet. Bei einer Säulenbreite von \(1\) entspricht die Höhe der Säule direkt der Wahrscheinlichkeit \(P(X=k)\), sodass der Flächeninhalt der Säule ebenfalls den Wert der Wahrscheinlichkeit angibt.

1. \(S = \{s_1; s_2; s_3; s_4; s_5\}\) (fünf Sektoren); \(W = \{1; 2; 5; 10\}\). 2. Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table> <tr><td>\(k\)</td><td>1</td><td>2</td><td>5</td><td>10</td></tr> <tr><td>\(P(X=k)\)</td><td>\(0{,}4\)</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}2\)</td></tr> </table> 3. Ein Histogramm besteht aus Rechtecken über den Werten von \(X\). Die Höhe entspricht \(P(X=k)\). Da die Breite \(1\) ist, entspricht der Flächeninhalt der Wahrscheinlichkeit.

- Verwende für jeden Wert von \(k\) die Formel von Bernoulli. - Denk daran, dass \(\binom{n}{k}\) die Anzahl der Pfade im Baumdiagramm angibt. - Was muss für die Summe aller Wahrscheinlichkeiten eines Zufallsexperiments immer gelten? - Achte beim Rechnen auf die Potenzen der Gegenwahrscheinlichkeit.

1. Identifikation der Parameter: \(n = 5\), \(p = 0{,}2\), \(q = 0{,}8\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X = 0) = \binom{5}{0} \cdot 0{,}2^0 \cdot 0{,}8^5 = 0{,}32768\) \(P(X = 1) = \binom{5}{1} \cdot 0{,}2^1 \cdot 0{,}8^4 = 0{,}4096\) \(P(X = 2) = \binom{5}{2} \cdot 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^3 = 0{,}2048\) \(P(X = 3) = \binom{5}{3} \cdot 0{,}2^3 \cdot 0{,}8^2 = 0{,}0512\) \(P(X = 4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}2^4 \cdot 0{,}8^1 = 0{,}0064\) \(P(X = 5) = \binom{5}{5} \cdot 0{,}2^5 \cdot 0{,}8^0 = 0{,}00032\) 3. Summenbildung: \(0{,}32768 + 0{,}4096 + 0{,}2048 + 0{,}0512 + 0{,}0064 + 0{,}00032 = 1\). Die Summe ergibt exakt 1, was die Korrektheit der Verteilung bestätigt.

a) \(P(X=0) = 0{,}32768\); \(P(X=1) = 0{,}4096\); \(P(X=2) = 0{,}2048\); \(P(X=3) = 0{,}0512\); \(P(X=4) = 0{,}0064\); \(P(X=5) = 0{,}00032\). b) Die Summe ist \(0{,}32768 + 0{,}4096 + 0{,}2048 + 0{,}0512 + 0{,}0064 + 0{,}00032 = 1\).

- Überlege dir zuerst, welche Kombinationen von Zahlen bei zwei Drehungen möglich sind. - Wie viele verschiedene Ergebnisse gibt es insgesamt, wenn jede Zahl gleich wahrscheinlich ist? - Erstelle eine Liste oder ein Gitter, um alle möglichen Summen zu finden. - Was bedeutet der Begriff „mindestens“ mathematisch für die Auswahl der Ergebnisse?

1. Bestimmung des Ergebnisraums: Da jeder Sektor mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{3}\) eintritt, gibt es bei zwei Drehungen \(3 \cdot 3 = 9\) gleichwahrscheinliche Ergebnisse: \((1|1), (1|2), (1|3), (2|1), (2|2), (2|3), (3|1), (3|2), (3|3)\). 2. Berechnung der Summen \(S\) und ihrer Häufigkeiten: - \(S=2\): \((1|1)\) (1-mal) \(\rightarrow P(S=2) = \frac{1}{9}\) - \(S=3\): \((1|2), (2|1)\) (2-mal) \(\rightarrow P(S=3) = \frac{2}{9}\) - \(S=4\): \((1|3), (3|1), (2|2)\) (3-mal) \(\rightarrow P(S=4) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\) - \(S=5\): \((2|3), (3|2)\) (2-mal) \(\rightarrow P(S=5) = \frac{2}{9}\) - \(S=6\): \((3|3)\) (1-mal) \(\rightarrow P(S=6) = \frac{1}{9}\) 3. Aufstellen der Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung mit diesen Werten. 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(S \ge 4\): \(P(S \ge 4) = P(S=4) + P(S=5) + P(S=6) = \frac{3}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\).

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table border="1"> <tr> <td>\(s\)</td> <td>2</td> <td>3</td> <td>4</td> <td>5</td> <td>6</td> </tr> <tr> <td>\(P(S=s)\)</td> <td>\(\frac{1}{9}\)</td> <td>\(\frac{2}{9}\)</td> <td>\(\frac{3}{9}\)</td> <td>\(\frac{2}{9}\)</td> <td>\(\frac{1}{9}\)</td> </tr> </table> b) \(P(S \ge 4) = \frac{2}{3} \approx 66{,}7\,\%\)

- Zeichne ein Baumdiagramm für die zwei Züge, um die Pfade zu visualisieren. - Achte darauf, dass „mit Zurücklegen“ bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeiten im zweiten Zug gleich bleiben. - Wie viele Pfade im Baumdiagramm führen zu genau einer roten Kugel? - Kannst du das Gegenereignis nutzen, um die Rechnung bei Teilaufgabe b) zu verkürzen?

1. Grundwahrscheinlichkeiten für einen Zug: \(P(\text{rot}) = \frac{5}{8}\) und \(P(\text{gelb}) = \frac{3}{8}\). 2. Da mit Zurücklegen gezogen wird, sind die Züge unabhängig. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für die Anzahl der roten Kugeln \(X\): - \(P(X=0)\): Beide Kugeln gelb \(\rightarrow \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{64}\). - \(P(X=1)\): Eine rote und eine gelbe Kugel in beliebiger Reihenfolge (rg, gr) \(\rightarrow 2 \cdot \left(\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{8}\right) = \frac{30}{64} = \frac{15}{32}\). - \(P(X=2)\): Beide Kugeln rot \(\rightarrow \frac{5}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{25}{64}\). 3. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Zuordnung dieser Werte zu \(X \in \{0, 1, 2\}\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für mindestens eine rote Kugel (\(X \ge 1\)): Entweder über die Summe \(P(X=1) + P(X=2) = \frac{30}{64} + \frac{25}{64} = \frac{55}{64}\) oder über das Gegenereignis \(1 - P(X=0) = 1 - \frac{9}{64} = \frac{55}{64}\).

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table border="1"> <tr> <td>\(x\)</td> <td>0</td> <td>1</td> <td>2</td> </tr> <tr> <td>\(P(X=x)\)</td> <td>\(\frac{9}{64}\)</td> <td>\(\frac{30}{64}\)</td> <td>\(\frac{25}{64}\)</td> </tr> </table> b) \(P(X \ge 1) = \frac{55}{64} \approx 85{,}9\,\%\)

- Handelt es sich hier um Ziehen mit oder ohne Zurücklegen? - Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, 4 Personen aus 12 auszuwählen? - Was bedeutet „mehr als die Hälfte“ konkret für die Anzahl der Personen bei einer Stichprobe von 4? - Stelle sicher, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in deiner Tabelle 1 ergibt.

1. Modellierung: Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen aus einer endlichen Gesamtheit (\(N=12\), \(K=7\), \(n=4\)). Die Wahrscheinlichkeiten werden mit der hypergeometrischen Verteilung berechnet: \(P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten für die Tabelle (\(\binom{12}{4} = 495\)): \(P(X=0) = \frac{\binom{7}{0} \cdot \binom{5}{4}}{495} = \frac{1 \cdot 5}{495} = \frac{5}{495} = \frac{1}{99}\) \(P(X=1) = \frac{\binom{7}{1} \cdot \binom{5}{3}}{495} = \frac{7 \cdot 10}{495} = \frac{70}{495} = \frac{14}{99}\) \(P(X=2) = \frac{\binom{7}{2} \cdot \binom{5}{2}}{495} = \frac{21 \cdot 10}{495} = \frac{210}{495} = \frac{42}{99}\) \(P(X=3) = \frac{\binom{7}{3} \cdot \binom{5}{1}}{495} = \frac{35 \cdot 5}{495} = \frac{175}{495} = \frac{35}{99}\) \(P(X=4) = \frac{\binom{7}{4} \cdot \binom{5}{0}}{495} = \frac{35 \cdot 1}{495} = \frac{35}{495} = \frac{7}{99}\) 3. Berechnung für Teilaufgabe b): „Mehr als die Hälfte“ bedeutet bei 4 Personen \(X > 2\), also \(P(X=3) + P(X=4)\). \(P(X > 2) = \frac{35}{99} + \frac{7}{99} = \frac{42}{99} = \frac{14}{33} \approx 0{,}4242\).

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table> <tr><td>\(k\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td></tr> <tr><td>\(P(X=k)\)</td><td>\(\frac{1}{99}\)</td><td>\(\frac{14}{99}\)</td><td>\(\frac{42}{99}\)</td><td>\(\frac{35}{99}\)</td><td>\(\frac{7}{99}\)</td></tr> </table> b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{14}{33} \approx 42{,}42\,\%\).

- Was passiert mit der Form der Binomialverteilung, wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit genau \(0{,}5\) beträgt? - Wo liegt die Symmetrieachse der Verteilung? - Berechne den Erwartungswert und schau dir die benachbarten ganzen Zahlen an.

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = 25 \cdot 0{,}5 = 12{,}5\). Da der Erwartungswert genau zwischen zwei ganzen Zahlen liegt, ist die Verteilung dort am höchsten. 2. Untersuchung des Terms \((n+1) \cdot p\): \((25+1) \cdot 0{,}5 = 26 \cdot 0{,}5 = 13\). Wenn dieser Wert eine ganze Zahl ist, gibt es zwei Maxima bei \(k = 13\) und \(k-1 = 12\). 3. Symmetrie: Da \(p = 0{,}5\) ist, ist die Verteilung achsensymmetrisch zu \(\mu = 12{,}5\). Daraus folgt direkt, dass \(P(Y = 12) = P(Y = 13)\) gelten muss.

a) Da \((n+1) \cdot p = 13\) eine ganze Zahl ist, treten zwei gleich große Maxima bei \(k\) und \(k-1\) auf. b) Die Werte sind \(k = 12\) und \(k = 13\). Aufgrund der Symmetrie bei \(p = 0{,}5\) zur Achse \(x = 12{,}5\) sind die Wahrscheinlichkeiten für Werte, die gleich weit vom Zentrum entfernt liegen, identisch.

- Übersetze den Text „mindestens so groß wie“ in ein mathematisches Vergleichszeichen. - Setze die gegebenen Werte für \(n\) und \(k\) in die Bernoulli-Formel ein. - Vereinfache die Ungleichung, indem du Potenzen von \((1-p)\) kürzt. - Achte am Ende darauf, dass die Lösung im vorgegebenen Bereich für \(p\) liegen muss.

1. Aufstellen der Bedingung: \(P(Y = 0) \ge P(Y = 1)\). 2. Einsetzen in die Formel der Binomialverteilung: \(\binom{3}{0} \cdot p^{0} \cdot (1-p)^{3} \ge \binom{3}{1} \cdot p^{1} \cdot (1-p)^{2}\). 3. Berechnen der Terme: \(1 \cdot 1 \cdot (1-p)^{3} \ge 3 \cdot p \cdot (1-p)^{2}\). 4. Vereinfachen: Da \(p < 1\), ist \((1-p) > 0\). Division durch \((1-p)^2\) liefert \(1-p \ge 3p\). 5. Zusammenfassen und nach \(p\) auflösen: \(1 \ge 4p \iff p \le 0{,}25\). 6. Unter Berücksichtigung des Definitionsbereichs \(p \in ]0; 1[\) ergibt sich das Intervall \(]0; 0{,}25]\).

\(0 < p \le 0{,}25\) (bzw. \(p \in ]0; 0{,}25]\))

- Überlege dir zuerst, welche Augenzahlen die Bedingung „mindestens 4“ erfüllen. - Welche der Zahlen von 1 bis 6 sind Primzahlen? - Erinnere dich an die Formel für den Erwartungswert, bei der jeder mögliche Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichtet wird. - Die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten eines Zufallsexperiments muss immer 1 ergeben.

1. Berechnung von \(P(X \ge 4)\): Summenbildung der Einzelwahrscheinlichkeiten \(P(4) + P(5) + P(6) = 0{,}19 + 0{,}19 + 0{,}19 = 0{,}57\). 2. Bestimmung der Primzahlen in der Ergebnismenge: \(\{2; 3; 5\}\). 3. Berechnung von \(P(\text{Primzahl})\): Summenbildung \(P(2) + P(3) + P(5) = 0{,}12 + 0{,}19 + 0{,}19 = 0{,}50\). 4. Berechnung des Erwartungswerts \(E(X)\): Anwendung der Formel \(E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i)\). 5. Einsetzen der Werte: \(1 \cdot 0{,}12 + 2 \cdot 0{,}12 + 3 \cdot 0{,}19 + 4 \cdot 0{,}19 + 5 \cdot 0{,}19 + 6 \cdot 0{,}19 = 0{,}12 + 0{,}24 + 0{,}57 + 0{,}76 + 0{,}95 + 1{,}14 = 3{,}78\).

a) \(P(X \ge 4) = 0{,}57\) b) \(P(\text{Primzahl}) = 0{,}50\) c) \(E(X) = 3{,}78\)

- Notiere dir für jedes Ereignis zuerst die Menge der günstigen Ergebnisse. - Erinnere dich daran, dass die 1 keine Primzahl ist. - Welche Zahlen zwischen 1 und 8 sind Quadratzahlen? - Bei „oder“-Verknüpfungen musst du alle Ergebnisse zählen, die mindestens eine der Bedingungen erfüllen. Achte darauf, keine Zahl doppelt zu zählen, falls sie beide Bedingungen erfüllt.

1. Ereignis \(A\) (Quadratzahlen): Die Ergebnisse sind \(\{1; 4\}\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(A) = P(1) + P(4) = 0{,}05 + 0{,}20 = 0{,}25\). 2. Ereignis \(B\) (\(> 4\)): Die Ergebnisse sind \(\{5; 6; 7; 8\}\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(B) = 0{,}08 + 0{,}12 + 0{,}15 + 0{,}15 = 0{,}50\). 3. Ereignis \(C\) (Primzahlen): Die Ergebnisse sind \(\{2; 3; 5; 7\}\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(C) = 0{,}15 + 0{,}10 + 0{,}08 + 0{,}15 = 0{,}48\). 4. Ereignis \(D\) (ungerade oder durch 4 teilbar): Die Ergebnisse sind \(\{1; 3; 5; 7\}\) (ungerade) und \(\{4; 8\}\) (durch 4 teilbar). Da keine Zahl beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt, ist \(P(D) = P(1) + P(3) + P(5) + P(7) + P(4) + P(8) = 0{,}05 + 0{,}10 + 0{,}08 + 0{,}15 + 0{,}20 + 0{,}15 = 0{,}73\).

\(P(A) = 0{,}25\) \(P(B) = 0{,}50\) \(P(C) = 0{,}48\) \(P(D) = 0{,}73\)

- Bestimme zuerst, wie viele der Zahlen von 1 bis 10 durch 3 teilbar sind. - Da das Rad zweimal gedreht wird, kannst du die Pfadregeln im Baumdiagramm oder die Formel für die Binomialverteilung nutzen. - Was bedeutet „die erste oder die zweite Zahl (oder beide)“ für den Wert der Zufallsgröße \(X\)? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit für „mindestens einen Treffer“ einfach aus deiner Tabelle in Teil a) ablesen oder berechnen?

1. Die Zahlen im Bereich 1 bis 10, die durch 3 teilbar sind, sind \(\{3, 6, 9\}\). Damit ist die Trefferwahrscheinlichkeit bei einem Dreh \(p = \frac{3}{10} = 0{,}3\) und die Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 0{,}7\). 2. Da es sich um \(n=2\) unabhängige Versuche handelt, ist \(X\) binomialverteilt mit \(B(2; 0{,}3)\). 3. Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen: \(P(X=0) = 0{,}7^2 = 0{,}49\) \(P(X=1) = 2 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 0{,}42\) \(P(X=2) = 0{,}3^2 = 0{,}09\) 4. Zu b): Das Ereignis entspricht \(P(X \ge 1)\). Berechnung: \(P(X=1) + P(X=2) = 0{,}42 + 0{,}09 = 0{,}51\) (oder über das Gegenereignis \(1 - 0{,}49 = 0{,}51\)). 5. Zu c): Die Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer ist \(P(X=1) = 0{,}42\). Da \(0{,}51 > 0{,}42\), ist das Ereignis aus b) wahrscheinlicher.

a) <table> <tr><td>\(k\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td></tr> <tr><td>\(P(X=k)\)</td><td>\(0{,}49\)</td><td>\(0{,}42\)</td><td>\(0{,}09\)</td></tr> </table> b) \(P(X \ge 1) = 0{,}51\) c) Das Ereignis „mindestens eine Zahl durch 3 teilbar“ (\(0{,}51\)) ist wahrscheinlicher als „genau eine Zahl durch 3 teilbar“ (\(0{,}42\)).

- Setze die gegebenen Werte in die Bernoulli-Formel ein und vergleiche die Terme. - Welche besondere Eigenschaft hat die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}5\) im Vergleich zur Gegenwahrscheinlichkeit \(1-p\)? - Erinnere dich an die Symmetrie-Eigenschaft des Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\).

1. Berechnung von \(P(X=2)\): Anwendung der Bernoulli-Formel \(P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\). Für \(k=2\) ergibt sich \(\binom{10}{2} \cdot 0{,}5^2 \cdot 0{,}5^8 = 45 \cdot 0{,}5^{10} \approx 0{,}0439\). 2. Berechnung von \(P(X=8)\): Für \(k=8\) ergibt sich \(\binom{10}{8} \cdot 0{,}5^8 \cdot 0{,}5^2 = 45 \cdot 0{,}5^{10} \approx 0{,}0439\). 3. Erläuterung der Identität: Der Binomialkoeffizient ist symmetrisch, es gilt \(\binom{10}{2} = \binom{10}{8} = 45\). Da \(p = 1-p = 0{,}5\) ist, sind auch die Faktoren für die Wahrscheinlichkeiten \(p^k \cdot (1-p)^{n-k} = 0{,}5^{10}\) für beide Fälle identisch. Somit müssen die Gesamtwahrscheinlichkeiten gleich sein.

a) \(P(X = 2) = P(X = 8) = \frac{45}{1024} \approx 0{,}0439\) b) Die Wahrscheinlichkeiten sind gleich, da \(\binom{10}{2} = \binom{10}{8}\) gilt und wegen \(p = 1-p = 0{,}5\) die Terme \(p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) für \(k=2\) und \(k=8\) beide den Wert \(0{,}5^{10}\) annehmen.

- Welche Werte kann die Zufallsgröße \(X\) annehmen? - Wie viele Möglichkeiten gibt es, genau \(k\) Gutscheintüten und \(3-k\) Tüten ohne Gutschein auszuwählen? - Überprüfe am Ende, ob die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten \(1\) ergibt.

Die Gesamtzahl der möglichen Auswahlen beträgt \(\binom{15}{3} = 455\). Für \(k \in \{0;1;2;3\}\) gilt \(P(X=k) = \frac{\binom{6}{k} \cdot \binom{9}{3-k}}{\binom{15}{3}}\). - \(P(X=0) = \frac{\binom{6}{0} \cdot \binom{9}{3}}{455} = \frac{84}{455} \approx 0{,}1846\) - \(P(X=1) = \frac{\binom{6}{1} \cdot \binom{9}{2}}{455} = \frac{216}{455} \approx 0{,}4747\) - \(P(X=2) = \frac{\binom{6}{2} \cdot \binom{9}{1}}{455} = \frac{135}{455} \approx 0{,}2967\) - \(P(X=3) = \frac{\binom{6}{3} \cdot \binom{9}{0}}{455} = \frac{20}{455} \approx 0{,}0440\) Die Wahrscheinlichkeiten ergeben zusammen \(1\).

\(P(X=0) \approx 18{,}46\,\%\), \(P(X=1) \approx 47{,}47\,\%\), \(P(X=2) \approx 29{,}67\,\%\), \(P(X=3) \approx 4{,}40\,\%\)

- Überlege dir zuerst, wie viele Ergebnismöglichkeiten es insgesamt für die drei Würfe gibt. - Bei einer streng monotonen Folge ist die Reihenfolge der Zahlen fest vorgegeben, sobald du die drei Zahlen ausgewählt hast. - Wie viele verschiedene Werte kann die Zufallsgröße \(X\) annehmen? Überlege, welche Fälle eintreten können (alle gleich, zwei gleich, alle verschieden). - Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in deiner Verteilungstabelle muss 1 ergeben. Das ist eine gute Kontrolle.

1. Die Gesamtzahl der Ergebnisse bei drei Würfen beträgt \(12^3 = 1728\). Für drei verschiedene Zahlen gibt es \(12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320\) Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{verschieden}) = \frac{1320}{1728} = \frac{55}{72} \approx 0{,}7639\). 2. Eine streng monoton steigende Folge erfordert die Auswahl von 3 verschiedenen Zahlen aus 12, für die es genau eine Anordnung gibt. Anzahl der Möglichkeiten: \(\binom{12}{3} = 220\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{steigend}) = \frac{220}{1728} = \frac{55}{432} \approx 0{,}1273\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für \(X \in \{1, 2, 3\}\): - \(P(X=1)\): Alle Zahlen gleich. Es gibt 12 Möglichkeiten: \((1; 1; 1), \ldots, (12; 12; 12)\). \(P(X=1) = \frac{12}{1728} = \frac{1}{144} \approx 0{,}0069\). - \(P(X=2)\): Genau zwei Zahlen gleich. Auswahl der doppelt vorkommenden Zahl (12), Auswahl der Position der einfachen Zahl (3), Auswahl der verschiedenen Zahl (11). \(12 \cdot 3 \cdot 11 = 396\) Möglichkeiten. \(P(X=2) = \frac{396}{1728} = \frac{11}{48} \approx 0{,}2292\). - \(P(X=3)\): Alle drei verschieden (siehe Schritt 1). \(P(X=3) = \frac{1320}{1728} = \frac{55}{72} \approx 0{,}7639\). Die Tabelle ordnet jedem Wert \(x_i\) seine Wahrscheinlichkeit \(P(X=x_i)\) zu.

1. \(P \approx 0{,}7639\) oder \(\frac{55}{72}\) 2. \(P \approx 0{,}1273\) oder \(\frac{55}{432}\) 3. Wahrscheinlichkeitsverteilung: | \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | \(P(X=x_i)\) | \(\frac{1}{144}\) | \(\frac{11}{48}\) | \(\frac{55}{72}\) |

- Überlege dir zuerst, welche Werte die Zufallsgröße annehmen kann. - Welches Modell beschreibt eine Kette von Versuchen mit nur zwei möglichen Ausgängen? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer? - Was bedeutet „mindestens 3“ mathematisch für die möglichen Werte von \(X\)?

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 4\) und \(p = 0{,}75\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten mit der Formel \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\): \(P(X = 0) = \binom{4}{0} \cdot 0{,}75^0 \cdot 0{,}25^4 = \frac{1}{256} \approx 0{,}0039\) \(P(X = 1) = \binom{4}{1} \cdot 0{,}75^1 \cdot 0{,}25^3 = \frac{12}{256} \approx 0{,}0469\) \(P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}75^2 \cdot 0{,}25^2 = \frac{54}{256} \approx 0{,}2109\) \(P(X = 3) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}75^3 \cdot 0{,}25^1 = \frac{108}{256} \approx 0{,}4219\) \(P(X = 4) = \binom{4}{4} \cdot 0{,}75^4 \cdot 0{,}25^0 = \frac{81}{256} \approx 0{,}3164\) 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für mindestens \(3\) Treffer: \(P(X \ge 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = \frac{108}{256} + \frac{81}{256} = \frac{189}{256} \approx 0{,}7383\).

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table border="1"> <tr><td>\(k\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td></tr> <tr><td>\(P(X=k)\)</td><td>\(\approx 0{,}0039\)</td><td>\(\approx 0{,}0469\)</td><td>\(\approx 0{,}2109\)</td><td>\(\approx 0{,}4219\)</td><td>\(\approx 0{,}3164\)</td></tr> </table> b) Die Wahrscheinlichkeit für mindestens \(3\) Treffer beträgt \(P(X \ge 3) = \frac{189}{256} \approx 0{,}7383\).

- Welche Verteilung liegt vor, wenn man eine feste Anzahl von Objekten mit einer konstanten Fehlerquote prüft? - Stelle alle möglichen Anzahlen von fehlerhaften Chips in der Stichprobe auf. - Es gibt eine einfache Formel für den Erwartungswert bei diesem Verteilungstyp.

1. Festlegung der Parameter: Trefferwahrscheinlichkeit (Chip fehlerhaft) \(p = 0{,}1\) und Stichprobenumfang \(n = 5\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten \(P(Y = k)\) für \(k \in \{0; 1; 2; 3; 4; 5\}\): \(P(Y = 0) = \binom{5}{0} \cdot 0{,}1^0 \cdot 0{,}9^5 = 0{,}59049\) \(P(Y = 1) = \binom{5}{1} \cdot 0{,}1^1 \cdot 0{,}9^4 = 0{,}32805\) \(P(Y = 2) = \binom{5}{2} \cdot 0{,}1^2 \cdot 0{,}9^3 = 0{,}0729\) \(P(Y = 3) = \binom{5}{3} \cdot 0{,}1^3 \cdot 0{,}9^2 = 0{,}0081\) \(P(Y = 4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}1^4 \cdot 0{,}9^1 = 0{,}00045\) \(P(Y = 5) = \binom{5}{5} \cdot 0{,}1^5 \cdot 0{,}9^0 = 0{,}00001\) 3. Berechnung des Erwartungswerts für eine binomialverteilte Zufallsgröße: \(E(Y) = n \cdot p = 5 \cdot 0{,}1 = 0{,}5\).

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table border="1"> <tr><td>\(k\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr> <tr><td>\(P(Y=k)\)</td><td>\(0{,}59049\)</td><td>\(0{,}32805\)</td><td>\(0{,}0729\)</td><td>\(0{,}0081\)</td><td>\(0{,}00045\)</td><td>\(0{,}00001\)</td></tr> </table> b) Der Erwartungswert beträgt \(E(Y) = 0{,}5\).

- Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es insgesamt, wenn man zweimal aus fünf Kugeln zieht? - Kannst du alle Paare finden, deren Summe genau 7 ergibt? - Überlege dir eine systematische Art, alle Paare aufzuschreiben, zum Beispiel in einer \(5 \times 5\)-Tabelle, um keine Kombination zu vergessen. - Prüfe am Ende, ob die Summe deiner berechneten Wahrscheinlichkeiten genau 1 ergibt.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Ergebnisse: Da mit Zurücklegen gezogen wird, gibt es \(5 \cdot 5 = 25\) mögliche Zahlenpaare. 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für \(Z=5\) (Summe genau 7): Mögliche Paare sind \((2,5), (3,4), (4,3), (5,2)\). Es gibt 4 Paare, also \(P(Z=5) = \frac{4}{25} = 0{,}16\). 3. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für \(Z=-5\) (Summe kleiner als 7): Mögliche Summen sind 2, 3, 4, 5 und 6. Die Paare sind \((1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (5,1)\). Dies sind 15 Paare, also \(P(Z=-5) = \frac{15}{25} = 0{,}6\). 4. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für \(Z=10\) (Summe größer als 7): Über das Komplementärereignis oder Abzählen \((3,5), (4,4), (4,5), (5,3), (5,4), (5,5)\) ergeben sich 6 Paare, also \(P(Z=10) = \frac{6}{25} = 0{,}24\).

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Z\) ist: <table border="1"> <tr> <td>\(z_i\)</td> <td>\(-5\)</td> <td>\(5\)</td> <td>\(10\)</td> </tr> <tr> <td>\(P(Z=z_i)\)</td> <td>\(0{,}6\)</td> <td>\(0{,}16\)</td> <td>\(0{,}24\)</td> </tr> </table>

- Was bedeutet die Intervallschreibweise \([5; 8]\) für die möglichen Werte von \(S\)? - Bei Teilaufgabe b) müssen zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein. Welche Summen erfüllen beide? - Manchmal ist es einfacher, die Fälle zu zählen, die NICHT eintreten sollen, und das Ergebnis von 1 abzuziehen. - Erinnere dich daran, dass die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Summe \(k\) beim zweifachen Würfeln zunimmt, bis sie bei der Summe 7 ihr Maximum erreicht, und danach wieder abnimmt.

1. Die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse beim Wurf zweier Würfel ist \(n = 36\). 2. Ereignis a): \(5 \le S \le 8\). Die günstigen Augensummen sind \(5\), \(6\), \(7\) und \(8\). Die Anzahlen der Möglichkeiten für diese Summen lauten: \(S=5\) (4), \(S=6\) (5), \(S=7\) (6), \(S=8\) (5). Gesamtzahl günstiger Fälle: \(4 + 5 + 6 + 5 = 20\). Wahrscheinlichkeit: \(P(5 \le S \le 8) = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}\). 3. Ereignis b): \(S \in \{9, 11\}\). Die ungeraden Summen größer als \(8\) sind \(9\) und \(11\). Möglichkeiten für \(S=9\): \((3; 6)\), \((4; 5)\), \((5; 4)\), \((6; 3)\) (also 4). Möglichkeiten für \(S=11\): \((5; 6)\), \((6; 5)\) (also 2). Gesamtzahl: \(4 + 2 = 6\). Wahrscheinlichkeit: \(P(S > 8 \land S \text{ ungerade}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\). 4. Ereignis c): \(S \neq 7 \land S \neq 11\). Am einfachsten rechnet man über das Gegenereignis \(S \in \{7, 11\}\). Für die Summe \(7\) gibt es 6 Möglichkeiten, für die Summe \(11\) gibt es 2. Zusammen sind das 8 Möglichkeiten. Es gilt \(P(S \in \{7, 11\}) = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}\). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist \(1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}\).

a) \(P(5 \le S \le 8) = \frac{5}{9}\) b) \(P(S > 8 \land S \text{ ungerade}) = \frac{1}{6}\) c) \(P(S \notin \{7, 11\}) = \frac{7}{9}\)

- Überlege zuerst, welche Werte die Anzahl der Sätze überhaupt annehmen kann. - Wann genau ist ein Match nach beispielsweise 5 Sätzen zu Ende? Wer muss den 5. Satz gewinnen? - Beachte, dass es zwei Spieler gibt, die das Match gewinnen können. - Wie berechnet man den Durchschnittswert einer Zufallsgröße aus ihrer Wahrscheinlichkeitsverteilung?

1. Bestimmung der möglichen Werte für \(X\): Da ein Spieler 4 Sätze zum Sieg benötigt, kann das Match nach \(X \in \{4, 5, 6, 7\}\) Sätzen beendet sein. 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten unter Berücksichtigung, dass der Sieger den jeweils letzten Satz gewinnen muss: \(P(X=4) = 2 \cdot 0{,}5^4 = 0{,}125\) \(P(X=5) = 2 \cdot \binom{4}{3} \cdot 0{,}5^4 \cdot 0{,}5 = 2 \cdot 4 \cdot 0{,}5^5 = 0{,}25\) \(P(X=6) = 2 \cdot \binom{5}{3} \cdot 0{,}5^5 \cdot 0{,}5 = 2 \cdot 10 \cdot 0{,}5^6 = 0{,}3125\) \(P(X=7) = 2 \cdot \binom{6}{3} \cdot 0{,}5^6 \cdot 0{,}5 = 2 \cdot 20 \cdot 0{,}5^7 = 0{,}3125\) 3. Tabellarische Darstellung der Verteilung: <table> <tr><td>\(k\)</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td></tr> <tr><td>\(P(X=k)\)</td><td>\(0{,}125\)</td><td>\(0{,}25\)</td><td>\(0{,}3125\)</td><td>\(0{,}3125\)</td></tr> </table> 4. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = 4 \cdot 0{,}125 + 5 \cdot 0{,}25 + 6 \cdot 0{,}3125 + 7 \cdot 0{,}3125 = 0{,}5 + 1{,}25 + 1{,}875 + 2{,}1875 = 5{,}8125\)

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: \(P(X=4) = 0{,}125\) \(P(X=5) = 0{,}25\) \(P(X=6) = 0{,}3125\) \(P(X=7) = 0{,}3125\) b) Der Erwartungswert beträgt \(E(X) = 5{,}8125\) Sätze.

- Berücksichtige, dass die Gewinnwahrscheinlichkeiten hier nicht gleich verteilt sind. - Ein Spieler gewinnt in genau 4 Sätzen, wenn er den vierten Satz gewinnt und von den ersten drei Sätzen genau zwei gewonnen hat. - Addiere für die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Sieges von Frau Weber alle Fälle, in denen sie das Match (nach 3, 4 oder 5 Sätzen) beendet. - Prüfe am Ende, ob die Summe aller Wahrscheinlichkeiten für \(X\) genau 1 ergibt.

1. Mögliche Werte für \(X\): \(X \in \{3, 4, 5\}\). Sei \(p = 0{,}6\) (Frau Weber) und \(q = 0{,}4\) (Herr Schmidt). 2. Berechnung \(P(X=3)\): Match endet nach 3 Sätzen, wenn entweder Weber (WWW) oder Schmidt (SSS) gewinnt. \(P(\text{Weber gewinnt in 3}) = 0{,}6^3 = 0{,}216\) \(P(\text{Schmidt gewinnt in 3}) = 0{,}4^3 = 0{,}064\) \(P(X=3) = 0{,}216 + 0{,}064 = 0{,}28\) 3. Berechnung \(P(X=4)\): Sieger muss den 4. Satz gewinnen und 2 der ersten 3 Sätze. \(P(\text{Weber gewinnt in 4}) = \binom{3}{2} \cdot 0{,}6^2 \cdot 0{,}4^1 \cdot 0{,}6 = 0{,}2592\) \(P(\text{Schmidt gewinnt in 4}) = \binom{3}{2} \cdot 0{,}4^2 \cdot 0{,}6^1 \cdot 0{,}4 = 0{,}1152\) \(P(X=4) = 0{,}2592 + 0{,}1152 = 0{,}3744\) 4. Berechnung \(P(X=5)\): Sieger gewinnt 5. Satz und 2 der ersten 4 Sätze. \(P(\text{Weber gewinnt in 5}) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}6^2 \cdot 0{,}4^2 \cdot 0{,}6 = 0{,}20736\) \(P(\text{Schmidt gewinnt in 5}) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}4^2 \cdot 0{,}6^2 \cdot 0{,}4 = 0{,}13824\) \(P(X=5) = 0{,}20736 + 0{,}13824 = 0{,}3456\) 5. Wahrscheinlichkeit für Sieg Frau Weber: \(P(\text{Weber gewinnt}) = 0{,}216 + 0{,}2592 + 0{,}20736 = 0{,}68256\)

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: \(P(X=3) = 0{,}28\) \(P(X=4) = 0{,}3744\) \(P(X=5) = 0{,}3456\) b) Frau Weber gewinnt das Match mit einer Wahrscheinlichkeit von \(0{,}68256\) (ca. \(68{,}3\,\%\)).

- Was bedeutet es für die Anzahl der Nieten, wenn du genau einen Gewinn erzielst? - Wie ändern sich die Rollen von Treffer- und Gegenwahrscheinlichkeit, wenn man den Fokus von „Gewinn“ auf „Niete“ verschiebt? - Erinnerst du dich an eine Eigenschaft des Binomialkoeffizienten im pascalschen Dreieck, die mit Symmetrie zu tun hat?

1. Identifikation der Parameter für \(X\): Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{4} = 0{,}25\), Anzahl der Versuche \(n = 4\). Berechnung der Wahrscheinlichkeiten mit der Bernoulli-Formel \(P(X=k) = \binom{4}{k} \cdot 0{,}25^k \cdot 0{,}75^{4-k}\): \(P(X=0) \approx 0{,}3164\); \(P(X=1) \approx 0{,}4219\); \(P(X=2) \approx 0{,}2109\); \(P(X=3) \approx 0{,}0469\); \(P(X=4) \approx 0{,}0039\). 2. Identifikation der Parameter für \(Y\): Hier gilt „Niete“ als Erfolg, also \(p = \frac{3}{4} = 0{,}75\) und \(n = 4\). Berechnung mit \(P(Y=k) = \binom{4}{k} \cdot 0{,}75^k \cdot 0{,}25^{4-k}\): \(P(Y=0) \approx 0{,}0039\); \(P(Y=1) \approx 0{,}0469\); \(P(Y=2) \approx 0{,}2109\); \(P(Y=3) \approx 0{,}4219\); \(P(Y=4) \approx 0{,}3164\). 3. Vergleich: Die Wahrscheinlichkeitswerte sind identisch, aber in umgekehrter Reihenfolge angeordnet. Es gilt allgemein \(P(X=k) = P(Y=4-k)\), da ein Versuch mit \(k\) Gewinnen zwangsläufig \(n-k\) Nieten zur Folge hat. Mathematisch folgt dies aus der Symmetrie der Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\).

a) \(P(X=0) \approx 0{,}3164\); \(P(X=1) \approx 0{,}4219\); \(P(X=2) \approx 0{,}2109\); \(P(X=3) \approx 0{,}0469\); \(P(X=4) \approx 0{,}0039\). b) \(P(Y=0) \approx 0{,}0039\); \(P(Y=1) \approx 0{,}0469\); \(P(Y=2) \approx 0{,}2109\); \(P(Y=3) \approx 0{,}4219\); \(P(Y=4) \approx 0{,}3164\). c) Die Verteilungen sind gespiegelt. Es gilt \(P(X=k) = P(Y=4-k)\).

- Was ist in diesem Fall ein „Treffer“ und wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür? - Wie oft wird das Zufallsexperiment durchgeführt? - Erstelle eine Tabelle, in der du jedem möglichen Wert für die Anzahl der Anschlüsse die entsprechende Wahrscheinlichkeit zuordnest. - Denk an den Binomialkoeffizienten, um die Anzahl der Pfade im Baumdiagramm zu berücksichtigen.

1. Festlegung des Modells: Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge \(n = 5\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}28\). Die Wahrscheinlichkeit für keinen Anschluss beträgt \(q = 0{,}72\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten für \(k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\) mittels \(P(Y = k) = \binom{5}{k} \cdot 0{,}28^k \cdot 0{,}72^{5-k}\): - \(P(Y = 0) = 0{,}72^5 \approx 0{,}1935\) - \(P(Y = 1) = 5 \cdot 0{,}28 \cdot 0{,}72^4 \approx 0{,}3762\) - \(P(Y = 2) = 10 \cdot 0{,}28^2 \cdot 0{,}72^3 \approx 0{,}2926\) - \(P(Y = 3) = 10 \cdot 0{,}28^3 \cdot 0{,}72^2 \approx 0{,}1138\) - \(P(Y = 4) = 5 \cdot 0{,}28^4 \cdot 0{,}72 \approx 0{,}0221\) - \(P(Y = 5) = 0{,}28^5 \approx 0{,}0017\)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Y\) ist (Werte gerundet): <table> <tr> <td>\(k\)</td> <td>0</td> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> <td>4</td> <td>5</td> </tr> <tr> <td>\(P(Y = k)\)</td> <td>\(0{,}1935\)</td> <td>\(0{,}3762\)</td> <td>\(0{,}2926\)</td> <td>\(0{,}1138\)</td> <td>\(0{,}0221\)</td> <td>\(0{,}0017\)</td> </tr> </table>

- Welche Formel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Erfolge zu berechnen? - Wie viele Stufen hat der Versuch und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für die Entwicklung von \((a+b)^n\). - Was muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten einer Verteilung immer ergeben?

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 5\), \(p = \frac{1}{3}\) und \(q = 1 - p = \frac{2}{3}\). 2. Berechnung der Punktwahrscheinlichkeiten mit der Formel \(P(X=k) = \binom{5}{k} \cdot (\frac{1}{3})^k \cdot (\frac{2}{3})^{5-k}\): - \(P(X=0) = 1 \cdot (\frac{2}{3})^5 = \frac{32}{243}\) - \(P(X=1) = 5 \cdot \frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3})^4 = \frac{80}{243}\) - \(P(X=2) = 10 \cdot (\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^3 = \frac{80}{243}\) - \(P(X=3) = 10 \cdot (\frac{1}{3})^3 \cdot (\frac{2}{3})^2 = \frac{40}{243}\) - \(P(X=4) = 5 \cdot (\frac{1}{3})^4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{243}\) - \(P(X=5) = 1 \cdot (\frac{1}{3})^5 = \frac{1}{243}\) 3. Zusammenhang mit dem binomischen Lehrsatz: Die Entwicklung von \((p+q)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} p^k q^{n-k}\) liefert genau die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten der Verteilung. Da \(p+q = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1\) gilt, ist \((\frac{1}{3} + \frac{2}{3})^5 = 1^5 = 1\), was der Normierung der Wahrscheinlichkeitsverteilung entspricht.

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: \(P(X=0) = \frac{32}{243}\); \(P(X=1) = \frac{80}{243}\); \(P(X=2) = \frac{80}{243}\); \(P(X=3) = \frac{40}{243}\); \(P(X=4) = \frac{10}{243}\); \(P(X=5) = \frac{1}{243}\). b) Die Wahrscheinlichkeiten \(P(X=k)\) entsprechen genau den einzelnen Summanden in der Entwicklung des Binoms \((\frac{1}{3} + \frac{2}{3})^5\) nach dem binomischen Lehrsatz. Da die Summe der Wahrscheinlichkeiten \(1\) sein muss, entspricht dies der Gleichung \((\frac{1}{3} + \frac{2}{3})^5 = 1^5 = 1\).

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Frage mit 5 Optionen die richtige Antwort zu raten? - Was bedeutet „mindestens zwei“ mathematisch ausgedrückt für die Werte von \(X\)? - Überlege, ob es schneller ist, die gesuchten Wahrscheinlichkeiten zu addieren oder das Gegenereignis zu nutzen. - Welche Zahl in der Bernoulli-Formel gibt die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten (Pfade) an?

1. Bestimmung der Parameter: \(n = 4\), \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\), \(q = 0{,}8\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten \(P(X=k) = \binom{4}{k} \cdot 0{,}2^k \cdot 0{,}8^{4-k}\): - \(P(X=0) = 0{,}8^4 = 0{,}4096\) - \(P(X=1) = 4 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8^3 = 0{,}4096\) - \(P(X=2) = 6 \cdot 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^2 = 0{,}1536\) - \(P(X=3) = 4 \cdot 0{,}2^3 \cdot 0{,}8 = 0{,}0256\) - \(P(X=4) = 0{,}2^4 = 0{,}0016\) 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Treffer: \(P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0{,}1536 + 0{,}0256 + 0{,}0016 = 0{,}1808\) (oder über das Gegenereignis \(1 - (P(X=0) + P(X=1)) = 1 - 0{,}8192 = 0{,}1808\)). 4. Der Binomialkoeffizient für \(k=2\) Erfolge bei \(n=4\) Versuchen ist \(\binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6\).

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table> <tr><td>\(k\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td></tr> <tr><td>\(P(X=k)\)</td><td>\(0{,}4096\)</td><td>\(0{,}4096\)</td><td>\(0{,}1536\)</td><td>\(0{,}0256\)</td><td>\(0{,}0016\)</td></tr> </table> b) \(P(X \ge 2) = 0{,}1808\) c) Der Binomialkoeffizient ist \(\binom{4}{2}\). Sein Wert ist \(6\).

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg bei einem einzelnen Zug? - Welche Formel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für eine exakte Anzahl an Erfolgen in einer Versuchsreihe zu berechnen? - Achte bei Teilaufgabe b darauf, dass sich die Anzahl der Versuche \(n\) ändert. - Vergleiche die Brüche am besten, indem du sie auf einen gemeinsamen Nenner bringst.

1. Erfolgswahrscheinlichkeit bestimmen: Da eine von drei Kugeln rot ist, gilt \(p = \frac{1}{3}\) und \(q = \frac{2}{3}\). 2. Berechnung von \(P(E_1)\): Mit der Bernoulli-Formel ergibt sich \(P(E_1) = \binom{3}{1} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^1 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{9}\). 3. Berechnung von \(P(E_2)\): Es gilt \(P(E_2) = \binom{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^1 = 3 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}\). 4. Vergleich: Da \(\frac{4}{9} = 2 \cdot \frac{2}{9}\), ist \(P(E_1)\) doppelt so groß wie \(P(E_2)\). 5. Berechnung von \(P(E_3)\): Für \(n=6\) und \(k=2\) ergibt sich \(P(E_3) = \binom{6}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 15 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{16}{81} = \frac{5}{3} \cdot \frac{16}{81} = \frac{80}{243}\). 6. Vergleich mit \(P(E_1)\): Es ist \(P(E_1) = \frac{4}{9} = \frac{108}{243}\). Da \(108 \neq 2 \cdot 80 = 160\), ist \(P(E_1)\) nicht doppelt so groß wie \(P(E_3)\). Tatsächlich gilt \(P(E_1) = 1{,}35 \cdot P(E_3)\).

a) \(P(E_1) = \frac{4}{9}\) und \(P(E_2) = \frac{2}{9}\). Es gilt \(\frac{4}{9} = 2 \cdot \frac{2}{9}\). b) Nein, \(P(E_1) = \frac{108}{243}\) und \(P(E_3) = \frac{80}{243}\). Somit ist \(P(E_1)\) nicht doppelt so groß wie \(P(E_3)\).

- Stelle dir eine Tabelle oder ein Gitter vor, um alle \(16\) möglichen Kombinationen der beiden Würfel zu finden. - Wie viele Möglichkeiten gibt es für jede Augensumme? - Überlege dir, ob die Augensumme „5“ ein Ergebnis des Experiments ist oder eine Eigenschaft, die man misst. - Was genau passiert, wenn man eine Zufallsgröße als „Abbildung“ oder „Funktion“ betrachtet?

1. Die kleinstmögliche Summe ist \(1+1=2\), die größtmögliche \(4+4=8\). Die Wertemenge ist \(W = \{2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}\). 2. Es gibt insgesamt \(4 \cdot 4 = 16\) gleichwahrscheinliche Ergebnisse (Tupel). Durch Abzählen der Kombinationen ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten: \(P(Y=2) = \frac{1}{16}\) (Kombination (1; 1)), \(P(Y=3) = \frac{2}{16}\) ((1; 2), (2; 1)), \(P(Y=4) = \frac{3}{16}\) ((1; 3), (3; 1), (2; 2)), \(P(Y=5) = \frac{4}{16}\) ((1; 4), (4; 1), (2; 3), (3; 2)), \(P(Y=6) = \frac{3}{16}\) ((2; 4), (4; 2), (3; 3)), \(P(Y=7) = \frac{2}{16}\) ((3; 4), (4; 3)), \(P(Y=8) = \frac{1}{16}\) ((4; 4)). 3. Ein Ergebnis ist ein Element der Ergebnismenge \(S\), hier ein Tupel wie \((1; 3)\), das genau beschreibt, was jeder Würfel zeigt. Die Zufallsgröße \(Y\) ist eine Funktion, die jedem dieser Ergebnisse eine reelle Zahl zuordnet (hier die Summe \(4\)). Ein Wert der Zufallsgröße (z. B. \(y=4\)) kann also durch mehrere verschiedene Ergebnisse des Experiments (hier drei verschiedene Tupel) realisiert werden.

1. \(W = \{2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}\). 2. Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table> <tr><td>\(k\)</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td></tr> <tr><td>\(P(Y=k)\)</td><td>\(\frac{1}{16}\)</td><td>\(\frac{2}{16}\)</td><td>\(\frac{3}{16}\)</td><td>\(\frac{4}{16}\)</td><td>\(\frac{3}{16}\)</td><td>\(\frac{2}{16}\)</td><td>\(\frac{1}{16}\)</td></tr> </table> 3. Ein Ergebnis ist ein konkreter Ausgang des Wurfs (z. B. \((2; 3)\)). Die Zufallsgröße ordnet diesem Ergebnis einen Zahlenwert zu (die Summe \(5\)). Mehrere Ergebnisse können denselben Wert der Zufallsgröße liefern.

- Wie lautet die Formel für die Punktwahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung? - Vergleiche die Struktur der Wahrscheinlichkeitsformel mit den Gliedern in der Summe des binomischen Lehrsatzes. - Was passiert, wenn du für die Variablen im Lehrsatz die entsprechenden Werte aus der Binomialverteilung einsetzt? - Welchen Wert hat die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments immer?

1. Aufstellen der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(S = \sum_{k=0}^n P(X=k) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\). 2. Vergleich der Summe mit der Struktur des binomischen Lehrsatzes: Identifikation von \(a = p\) und \(b = 1-p\). 3. Anwendung des Lehrsatzes führt auf den Ausdruck \((p + (1-p))^n\). 4. Da die Summe der Terme in der Klammer \(p + 1 - p = 1\) ergibt, folgt \(1^n = 1\). Somit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit stets 1.

a) \(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) b) Durch Einsetzen von \(a=p\) und \(b=1-p\) in den binomischen Lehrsatz erhält man \((p + (1-p))^n = 1^n = 1\).

- Welche Rolle spielen die Hochzahlen und der Vorfaktor in der Formel für die Binomialverteilung? - Erinnerst du dich an die Formel \((a+b)^n\)? Was passiert, wenn \(a+b=1\) ist? - Wenn eine Summe fast alle Möglichkeiten abdeckt, außer eine einzige – wie kann man das einfach berechnen? - Was bedeutet es für ein Zufallsexperiment, wenn man die Wahrscheinlichkeiten für absolut alle möglichen Ausgänge addiert?

1. Identifikation der Parameter: Aus der Struktur \(\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\) liest man \(n = 12\) und \(p = 0{,}25\) ab. Der Ausdruck \(T\) stellt die Summe aller Wahrscheinlichkeiten \(P(X=k)\) für \(k=0\) bis \(12\) dar, also die Gesamtwahrscheinlichkeit. 2. Berechnung von \(T\) über den binomischen Lehrsatz: \(T = (0{,}25 + 0{,}75)^{12} = 1^{12} = 1\). 3. Analyse der Teilsumme: Wenn der Index bei \(k=1\) startet, fehlt der Summand für \(k=0\). 4. Der neue Wert ist \(T - P(X=0) = 1 - \binom{12}{0} \cdot 0{,}25^0 \cdot 0{,}75^{12} = 1 - 0{,}75^{12}\).

a) \(n=12\), \(p=0{,}25\). Der Ausdruck \(T\) gibt die Gesamtwahrscheinlichkeit einer \(B(12; 0{,}25)\)-verteilten Zufallsgröße an. b) \(T = 1\) c) Der Wert verringert sich um \(P(X=0)\). Neuer Wert: \(1 - 0{,}75^{12}\) (ca. \(0{,}9683\)).

- Überlege dir zuerst, wie viele Kombinationsmöglichkeiten es insgesamt für die beiden Würfel gibt. - Erstelle eine Tabelle oder ein Gitter, um systematisch alle möglichen Summen und deren Häufigkeit zu erfassen. - Welche Zahlen zwischen 2 und 14 sind Quadratzahlen? - Achte bei den Ungleichungen genau darauf, welche Werte der Augensumme eingeschlossen sind und welche nicht.

1. Es gibt insgesamt \(6 \cdot 8 = 48\) gleichwahrscheinliche Ergebnisse. 2. Die möglichen Summen \(x_i\) liegen im Bereich von \(2\) bis \(14\). Durch Abzählen der Kombinationen ergibt sich die Verteilung: \(P(X=2) = \frac{1}{48}\), \(P(X=3) = \frac{2}{48}\), \(P(X=4) = \frac{3}{48}\), \(P(X=5) = \frac{4}{48}\), \(P(X=6) = \frac{5}{48}\), \(P(X=7) = \frac{6}{48}\), \(P(X=8) = \frac{6}{48}\), \(P(X=9) = \frac{6}{48}\), \(P(X=10) = \frac{5}{48}\), \(P(X=11) = \frac{4}{48}\), \(P(X=12) = \frac{3}{48}\), \(P(X=13) = \frac{2}{48}\), \(P(X=14) = \frac{1}{48}\). 3. Quadratzahlen im Wertebereich sind \(4\) und \(9\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(X=4) + P(X=9) = \frac{3}{48} + \frac{6}{48} = \frac{9}{48} = \frac{3}{16} = 0{,}1875\). 4. Für das Ereignis \(E: 5 < X \le 9\) werden die Wahrscheinlichkeiten für \(X \in \{6, 7, 8, 9\}\) addiert: \(P(E) = \frac{5}{48} + \frac{6}{48} + \frac{6}{48} + \frac{6}{48} = \frac{23}{48} \approx 0{,}4792\).

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table> <tr><td>\(x_i\)</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>11</td><td>12</td><td>13</td><td>14</td></tr> <tr><td>\(P(X=x_i)\)</td><td>\(\frac{1}{48}\)</td><td>\(\frac{2}{48}\)</td><td>\(\frac{3}{48}\)</td><td>\(\frac{4}{48}\)</td><td>\(\frac{5}{48}\)</td><td>\(\frac{6}{48}\)</td><td>\(\frac{6}{48}\)</td><td>\(\frac{6}{48}\)</td><td>\(\frac{5}{48}\)</td><td>\(\frac{4}{48}\)</td><td>\(\frac{3}{48}\)</td><td>\(\frac{2}{48}\)</td><td>\(\frac{1}{48}\)</td></tr> </table> b) \(P(\text{Quadratzahl}) = \frac{3}{16} = 0{,}1875\). c) \(P(5 < X \le 9) = \frac{23}{48} \approx 0{,}4792\).

- Überlege dir, ob die Kugeln nach dem Ziehen zurückgelegt werden oder nicht. - Welche Werte kann die Zufallsgröße \(X\) annehmen? - Erinnere dich an die Formel für die hypergeometrische Verteilung (Ziehen ohne Zurücklegen). - Der Erwartungswert lässt sich bei dieser Verteilung besonders einfach über die Anteile in der Grundgesamtheit berechnen.

1. Identifikation der Verteilung: Da ohne Zurücklegen aus einer endlichen Grundgesamtheit gezogen wird, ist \(X\) hypergeometrisch verteilt mit \(N=20\) (Gesamtanzahl), \(M=5\) (Kugeln mit Zahlen 1 bis 5) und \(n=3\) (Stichprobenumfang). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten \(P(X=k) = \frac{\binom{M}{k} \cdot \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}\) für \(k \in \{0, 1, 2, 3\}\): - Gesamtmöglichkeiten: \(\binom{20}{3} = 1140\) - \(P(X=0) = \frac{\binom{5}{0} \cdot \binom{15}{3}}{1140} = \frac{1 \cdot 455}{1140} = \frac{91}{228} \approx 0{,}3991\) - \(P(X=1) = \frac{\binom{5}{1} \cdot \binom{15}{2}}{1140} = \frac{5 \cdot 105}{1140} = \frac{35}{76} \approx 0{,}4605\) - \(P(X=2) = \frac{\binom{5}{2} \cdot \binom{15}{1}}{1140} = \frac{10 \cdot 15}{1140} = \frac{5}{38} \approx 0{,}1316\) - \(P(X=3) = \frac{\binom{5}{3} \cdot \binom{15}{0}}{1140} = \frac{10 \cdot 1}{1140} = \frac{1}{114} \approx 0{,}0088\) 3. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = n \cdot \frac{M}{N} = 3 \cdot \frac{5}{20} = 0{,}75\).

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\): <table> <tr> <td>\(k\)</td> <td>0</td> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> </tr> <tr> <td>\(P(X=k)\)</td> <td>\(\frac{91}{228} \approx 0{,}3991\)</td> <td>\(\frac{35}{76} \approx 0{,}4605\)</td> <td>\(\frac{5}{38} \approx 0{,}1316\)</td> <td>\(\frac{1}{114} \approx 0{,}0088\)</td> </tr> </table> Der Erwartungswert beträgt \(E(X) = 0{,}75\).

- Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, eine 4-köpfige Gruppe aus 24 Personen zu bilden? - Überlege dir für jeden Wert von \(k\), wie viele Möglichkeiten es gibt, genau \(k\) Personen mit Tablet und entsprechend viele Personen ohne Tablet auszuwählen. - Nutze den Binomialkoeffizienten für die Berechnungen. - Wie hängen der Stichprobenumfang und der Anteil der Tablet-Besitzer im Kurs mit dem Erwartungswert zusammen?

1. Modellierung: Ziehen ohne Zurücklegen (da Personen nicht mehrfach gewählt werden können). Hypergeometrische Verteilung mit \(N=24\), \(M=8\) und \(n=4\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: - Nenner: \(\binom{24}{4} = 10\,626\) - \(P(Y=0) = \frac{\binom{8}{0} \binom{16}{4}}{10626} = \frac{1820}{10626} = \frac{130}{759} \approx 0{,}1713\) - \(P(Y=1) = \frac{\binom{8}{1} \binom{16}{3}}{10626} = \frac{4480}{10626} = \frac{320}{759} \approx 0{,}4216\) - \(P(Y=2) = \frac{\binom{8}{2} \binom{16}{2}}{10626} = \frac{3360}{10626} = \frac{240}{759} \approx 0{,}3162\) - \(P(Y=3) = \frac{\binom{8}{3} \binom{16}{1}}{10626} = \frac{896}{10626} = \frac{64}{759} \approx 0{,}0843\) - \(P(Y=4) = \frac{\binom{8}{4} \binom{16}{0}}{10626} = \frac{70}{10626} = \frac{5}{759} \approx 0{,}0066\) 3. Erwartungswert: \(E(Y) = n \cdot \frac{M}{N} = 4 \cdot \frac{8}{24} = 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \approx 1{,}333\).

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Y\): <table> <tr> <td>\(k\)</td> <td>0</td> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> <td>4</td> </tr> <tr> <td>\(P(Y=k)\)</td> <td>\(\frac{130}{759}\)</td> <td>\(\frac{320}{759}\)</td> <td>\(\frac{240}{759}\)</td> <td>\(\frac{64}{759}\)</td> <td>\(\frac{5}{759}\)</td> </tr> </table> (Gerundete Dezimalwerte: \(0{,}1713\); \(0{,}4216\); \(0{,}3162\); \(0{,}0843\); \(0{,}0066\)) Der Erwartungswert ist \(E(Y) = \frac{4}{3} \approx 1{,}33\).

- Überlege zuerst, welche Geldbeträge der Spieler am Ende tatsächlich gewinnen oder verlieren kann (Reingewinn). - Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, zwei Kugeln aus der Urne zu ziehen, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt? - Bestimme für jedes mögliche Ergebnis die Anzahl der günstigen Kombinationen. - Wie berechnet man den Erwartungswert einer Zufallsgröße? - Wann gilt ein Spiel in der Wahrscheinlichkeitsrechnung als fair?

1. Bestimmung der möglichen Werte der Zufallsgröße \(X\) (Auszahlung minus Einsatz von \(1{,}50\,\text{€}\)): - Zwei rote Kugeln: \(5{,}00\,\text{€} - 1{,}50\,\text{€} = 3{,}50\,\text{€}\) - Zwei blaue Kugeln: \(2{,}00\,\text{€} - 1{,}50\,\text{€} = 0{,}50\,\text{€}\) - Eine grüne und eine andere Kugel: \(1{,}00\,\text{€} - 1{,}50\,\text{€} = -0{,}50\,\text{€}\) - Eine rote und eine blaue Kugel (sonstiges): \(0{,}00\,\text{€} - 1{,}50\,\text{€} = -1{,}50\,\text{€}\) 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für das Ziehen von zwei Kugeln ohne Zurücklegen aus insgesamt 8 Kugeln (Gesamtzahl der Kombinationen: \(\binom{8}{2} = 28\)): - \(P(X = 3{,}50) = P(\text{zwei rote Kugeln}) = \frac{\binom{3}{2}}{28} = \frac{3}{28}\) - \(P(X = 0{,}50) = P(\text{zwei blaue Kugeln}) = \frac{\binom{4}{2}}{28} = \frac{6}{28} = \frac{3}{14}\) - \(P(X = -0{,}50) = P(\text{eine grüne Kugel}) = \frac{\binom{1}{1} \cdot \binom{7}{1}}{28} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}\) - \(P(X = -1{,}50) = P(\text{eine rote und eine blaue Kugel}) = \frac{\binom{3}{1} \cdot \binom{4}{1}}{28} = \frac{12}{28} = \frac{3}{7}\) 3. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung lautet: <table border="1" style="border-collapse: collapse; text-align: center;"> <tr> <th style="padding: 5px;">\(k\) (in €)</th> <td style="padding: 5px;">\(-1{,}50\)</td> <td style="padding: 5px;">\(-0{,}50\)</td> <td style="padding: 5px;">\(0{,}50\)</td> <td style="padding: 5px;">\(3{,}50\)</td> </tr> <tr> <th style="padding: 5px;">\(P(X = k)\)</th> <td style="padding: 5px;">\(\frac{12}{28}\) (oder \(\frac{3}{7}\))</td> <td style="padding: 5px;">\(\frac{7}{28}\) (oder \(\frac{1}{4}\))</td> <td style="padding: 5px;">\(\frac{6}{28}\) (oder \(\frac{3}{14}\))</td> <td style="padding: 5px;">\(\frac{3}{28}\)</td> </tr> </table> 4. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = -1{,}50 \cdot \frac{12}{28} - 0{,}50 \cdot \frac{7}{28} + 0{,}50 \cdot \frac{6}{28} + 3{,}50 \cdot \frac{3}{28} = -\frac{8}{28} = -\frac{2}{7}\,\text{€} \approx -0{,}29\,\text{€}\) Da der Erwartungswert negativ ist (\(E(X) \approx -0{,}29\,\text{€}\)), ist das Spiel nicht fair. Der Spieler verliert auf lange Sicht im Durchschnitt etwa \(0{,}29\,\text{€}\) pro Spiel.

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: \(P(X = -1{,}50) = \frac{3}{7}\) \(P(X = -0{,}50) = \frac{1}{4}\) \(P(X = 0{,}50) = \frac{3}{14}\) \(P(X = 3{,}50) = \frac{3}{28}\) b) Der Erwartungswert beträgt \(E(X) = -\frac{2}{7}\,\text{€} \approx -0{,}29\,\text{€}\). Das Spiel ist nicht fair.

- Überlege dir zuerst, wie viele Kugeln insgesamt in der Urne sind und welche Farben sie haben. - Da zwei Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen gezogen werden, ändert sich die Anzahl der Kugeln im zweiten Zug. Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt für zwei Züge? - Welche möglichen Farbkombinationen können auftreten und welchen Gesamtgewinn bedeuten diese jeweils für den Spieler? - Berechne für jede mögliche Gewinnsumme die zugehörige Wahrscheinlichkeit, indem du die günstigen Pfade bestimmst. - Eine Tabelle hilft dir dabei, die Werte der Zufallsgröße und ihre Wahrscheinlichkeiten übersichtlich darzustellen.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Kugeln: In der Urne befinden sich insgesamt \(3\) rote, \(4\) blaue und \(2\) gelbe Kugeln, also insgesamt \(9\) Kugeln. 2. Da nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden, gibt es insgesamt \(9 \cdot 8 = 72\) gleichwahrscheinliche Elementarereignisse (wenn man die Kugeln einzeln unterscheidet). 3. Bestimmung der Werte der Zufallsgröße \(X\) und ihrer Wahrscheinlichkeiten: - Kombination gelb-gelb: Gewinn \(X = -3 - 3 = -6\,\text{€}\). Anzahl der Möglichkeiten: \(2 \cdot 1 = 2\). Wahrscheinlichkeit: \(P(X = -6) = \frac{2}{72} = \frac{1}{36}\). - Kombination rot-gelb oder gelb-rot: Gewinn \(X = 1 - 3 = -2\,\text{€}\). Anzahl der Möglichkeiten: \(3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 12\). Wahrscheinlichkeit: \(P(X = -2) = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}\). - Kombination blau-gelb oder gelb-blau: Gewinn \(X = 2 - 3 = -1\,\text{€}\). Anzahl der Möglichkeiten: \(4 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 16\). Wahrscheinlichkeit: \(P(X = -1) = \frac{16}{72} = \frac{2}{9}\). - Kombination rot-rot: Gewinn \(X = 1 + 1 = 2\,\text{€}\). Anzahl der Möglichkeiten: \(3 \cdot 2 = 6\). Wahrscheinlichkeit: \(P(X = 2) = \frac{6}{72} = \frac{1}{12}\). - Kombination blau-rot oder rot-blau: Gewinn \(X = 2 + 1 = 3\,\text{€}\). Anzahl der Möglichkeiten: \(4 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 24\). Wahrscheinlichkeit: \(P(X = 3) = \frac{24}{72} = \frac{1}{3}\). - Kombination blau-blau: Gewinn \(X = 2 + 2 = 4\,\text{€}\). Anzahl der Möglichkeiten: \(4 \cdot 3 = 12\). Wahrscheinlichkeit: \(P(X = 4) = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}\). 4. Zusammenfassung der Wahrscheinlichkeiten in einer Tabelle.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) lautet: <table border="1" style="border-collapse: collapse; text-align: center; margin-top: 10px;"> <thead> <tr> <th style="padding: 8px; background-color: #f2f2f2;">\(k\) (in €)</th> <th style="padding: 8px;">\(-6\)</th> <th style="padding: 8px;">\(-2\)</th> <th style="padding: 8px;">\(-1\)</th> <th style="padding: 8px;">\(2\)</th> <th style="padding: 8px;">\(3\)</th> <th style="padding: 8px;">\(4\)</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <th style="padding: 8px; background-color: #f2f2f2;">\(P(X = k)\)</th> <td style="padding: 8px;">\(\frac{1}{36}\)</td> <td style="padding: 8px;">\(\frac{1}{6}\)</td> <td style="padding: 8px;">\(\frac{2}{9}\)</td> <td style="padding: 8px;">\(\frac{1}{12}\)</td> <td style="padding: 8px;">\(\frac{1}{3}\)</td> <td style="padding: 8px;">\(\frac{1}{6}\)</td> </tr> </tbody> </table>

- Überlege dir zuerst, welche Zahlen beim einmaligen Drehen mit welcher Wahrscheinlichkeit auftreten können. - Welche verschiedenen Ergebnisse sind für das Produkt der beiden Zahlen möglich? - Ein Baumdiagramm kann helfen, alle Kombinationen für zwei Drehungen und deren Wahrscheinlichkeiten systematisch zu erfassen. - Denke daran, dass für das Produkt 0 mehrere verschiedene Kombinationen der Zahlen auf dem Glücksrad infrage kommen. - Zur Kontrolle: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in deiner Tabelle muss genau 1 ergeben.

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für ein einzelnes Drehen: \(P(0) = \frac{1}{6}\), \(P(1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\), \(P(2) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). 2. Bestimmung der möglichen Werte für das Produkt \(Y\): Mögliche Produkte sind \(0 \cdot 0 = 0\), \(0 \cdot 1 = 0\), \(0 \cdot 2 = 0\), \(1 \cdot 1 = 1\), \(1 \cdot 2 = 2\) und \(2 \cdot 2 = 4\). Die Ergebnismenge für \(Y\) ist also \(\{0; 1; 2; 4\}\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für jeden Wert von \(Y\): - \(P(Y=0)\): Das Produkt ist 0, wenn mindestens eine der beiden Zahlen 0 ist. \(P(Y=0) = P(0,0) + P(0,1) + P(0,2) + P(1,0) + P(2,0) = \frac{1}{36} + \frac{2}{36} + \frac{3}{36} + \frac{2}{36} + \frac{3}{36} = \frac{11}{36}\). - \(P(Y=1)\): Das Produkt ist 1 nur bei der Kombination (1, 1). \(P(Y=1) = P(1,1) = \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}\). - \(P(Y=2)\): Das Produkt ist 2 bei den Kombinationen (1, 2) und (2, 1). \(P(Y=2) = P(1,2) + P(2,1) = \frac{2}{6} \cdot \frac{3}{6} + \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{6}{36} + \frac{6}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}\). - \(P(Y=4)\): Das Produkt ist 4 nur bei der Kombination (2, 2). \(P(Y=4) = P(2,2) = \frac{3}{6} \cdot \frac{3}{6} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}\). 4. Zusammenfassung in der Tabelle. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten beträgt \(\frac{11+4+12+9}{36} = 1\).

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Y\) ist: <table> <tr> <td>\(y_i\)</td> <td>0</td> <td>1</td> <td>2</td> <td>4</td> </tr> <tr> <td>\(P(Y = y_i)\)</td> <td>\(\frac{11}{36}\)</td> <td>\(\frac{1}{9}\)</td> <td>\(\frac{1}{3}\)</td> <td>\(\frac{1}{4}\)</td> </tr> </table>

- Überlege dir zuerst, wie viele Kugeln insgesamt in der Urne sind. - Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, zwei Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen zu ziehen? - Kannst du für jeden möglichen Gewinn die Anzahl der günstigen Kugel-Kombinationen bestimmen? - Hilft es dir, die Wahrscheinlichkeit für einen Verlust über das Gegenereignis zu berechnen?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Kugeln (\(n = 12\)) und der Anzahl der günstigen Ergebnisse für jede Farbe: 2 violette, 4 orangefarbene und 6 graue Kugeln. 2. Berechnung der Gesamtzahl der möglichen Kombinationen bei zwei Zügen ohne Zurücklegen: \(\binom{12}{2} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für die Werte der Zufallsgröße \(X\): - \(P(X = 15)\): Zwei violette Kugeln. \(\binom{2}{2} = 1\) Möglichkeit. \(P(X = 15) = \frac{1}{66}\). - \(P(X = 5)\): Zwei orangefarbene Kugeln. \(\binom{4}{2} = 6\) Möglichkeiten. \(P(X = 5) = \frac{6}{66} = \frac{1}{11}\). - \(P(X = 2)\): Eine violette und eine orangefarbene Kugel. \(\binom{2}{1} \cdot \binom{4}{1} = 2 \cdot 4 = 8\) Möglichkeiten. \(P(X = 2) = \frac{8}{66} = \frac{4}{33}\). - \(P(X = -1)\): Mindestens eine graue Kugel. Dies entspricht dem Gegenereignis zu „keine graue Kugel“ (also nur violett oder orange). Es gibt \(2 + 4 = 6\) nicht-graue Kugeln. \(P(\text{keine graue}) = \frac{\binom{6}{2}}{66} = \frac{15}{66}\). Somit ist \(P(X = -1) = 1 - \frac{15}{66} = \frac{51}{66} = \frac{17}{22}\). 4. Zusammenfassung in der Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table> <tr> <td>\(x_i\) (in €)</td> <td>\(15\)</td> <td>\(5\)</td> <td>\(2\)</td> <td>\(-1\)</td> </tr> <tr> <td>\(P(X = x_i)\)</td> <td>\(\frac{1}{66}\)</td> <td>\(\frac{1}{11}\)</td> <td>\(\frac{4}{33}\)</td> <td>\(\frac{17}{22}\)</td> </tr> </table>

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für \(X\) ist: \(P(X = 15) = \frac{1}{66}\) \(P(X = 5) = \frac{1}{11}\) \(P(X = 2) = \frac{4}{33}\) \(P(X = -1) = \frac{17}{22}\)

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine richtige Antwort bei vier Auswahlmöglichkeiten ist. - Ein Baumdiagramm kann dir helfen, alle möglichen Pfade für 0, 1, 2 oder 3 Treffer zu finden. - Erinnere dich an die Pfadregeln: Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades werden multipliziert. - Wie hängen die Koeffizienten in der binomischen Entwicklung mit der Anzahl der Pfade im Baum zusammen?

1. Identifikation der Parameter: Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 3\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}25\) (Treffer \(T\)) sowie der Misserfolgswahrscheinlichkeit \(q = 1 - p = 0{,}75\) (falsche Antwort \(N\)). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für die Werte von \(X\): - \(P(X=0) = 0{,}75^3 = 0{,}421875\) - \(P(X=1) = 3 \cdot 0{,}25^1 \cdot 0{,}75^2 = 0{,}421875\) - \(P(X=2) = 3 \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^1 = 0{,}140625\) - \(P(X=3) = 0{,}25^3 = 0{,}015625\) 3. Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table> <tr><td>\(k\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr> <tr><td>\(P(X=k)\)</td><td>\(0{,}421875\)</td><td>\(0{,}421875\)</td><td>\(0{,}140625\)</td><td>\(0{,}015625\)</td></tr> </table> 4. Zusammenhang mit \((p+q)^3 = p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3\): Die Terme entsprechen genau den Wahrscheinlichkeiten \(P(X=k)\). Mit \(p=0{,}25\) und \(q=0{,}75\) ist \(P(X=3)\) der Term \(p^3\), \(P(X=2)\) entspricht \(3p^2q\), \(P(X=1)\) entspricht \(3pq^2\) und \(P(X=0)\) entspricht \(q^3\).

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist: \(P(X=0) \approx 0{,}4219\); \(P(X=1) \approx 0{,}4219\); \(P(X=2) \approx 0{,}1406\); \(P(X=3) \approx 0{,}0156\). Der Term \((0{,}25 + 0{,}75)^3\) lässt sich zu \(0{,}25^3 + 3 \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75 + 3 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75^2 + 0{,}75^3\) ausmultiplizieren. Jeder Summand entspricht genau der Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl an Treffern.

- Die Wahrscheinlichkeit für eine „6“ bleibt bei jedem Wurf gleich. - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keine Sechs zu würfeln? - Benutze die Formel für die Binomialverteilung oder zeichne dir ein vereinfachtes Baumdiagramm mit den Ästen „6“ und „nicht 6“.

1. Parameter bestimmen: \(n = 3\), \(p = \frac{1}{6}\) (Erfolg: „6“), \(q = \frac{5}{6}\) (keine „6“). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten mit der Bernoulli-Formel \(P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}\): - \(P(X=0) = \binom{3}{0} \cdot (\frac{1}{6})^0 \cdot (\frac{5}{6})^3 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{125}{216} \approx 0{,}5787\) - \(P(X=1) = \binom{3}{1} \cdot (\frac{1}{6})^1 \cdot (\frac{5}{6})^2 = 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{25}{36} = \frac{75}{216} \approx 0{,}3472\) - \(P(X=2) = \binom{3}{2} \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^1 = 3 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{216} \approx 0{,}0694\) - \(P(X=3) = \binom{3}{3} \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^0 = 1 \cdot \frac{1}{216} \cdot 1 = \frac{1}{216} \approx 0{,}0046\) 3. Summe prüfen: \(\frac{125 + 75 + 15 + 1}{216} = \frac{216}{216} = 1\).

a) Wahrscheinlichkeiten: \(P(X=0) = \frac{125}{216} \approx 0{,}579\); \(P(X=1) = \frac{75}{216} \approx 0{,}347\); \(P(X=2) = \frac{15}{216} \approx 0{,}069\); \(P(X=3) = \frac{1}{216} \approx 0{,}005\). b) Die Summe ist \(\frac{125+75+15+1}{216} = 1\).

- Erstelle ein Baumdiagramm, das sich nur auf die Eigenschaft „gerade“ oder „ungerade“ der gezogenen Ziffern bezieht. - Notiere an jedem Endknoten die Werte der Teilsummen \(s_1, s_2, s_3\) und zähle, wie viele davon gerade sind. - Beachte, dass die Wahrscheinlichkeiten für „gerade“ (\(1/3\)) und „ungerade“ (\(2/3\)) nicht gleich sind. - Überprüfe am Ende, ob die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in deiner Tabelle genau 1 ergibt.

1. Identifikation der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(\text{gerade}) = P(\{2\}) = \frac{1}{3}\) und \(P(\text{ungerade}) = P(\{1, 3\}) = \frac{2}{3}\). 2. Analyse der Pfade im Baumdiagramm (U = ungerade, G = gerade): - \(z_1=U, z_2=G, z_3=G \implies (s_1, s_2, s_3)=(U, U, U)\), \(X=0\). \(P(X=0) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{27}\). - \(X=1\) tritt auf bei den Pfaden \((U, G, U)\), \((U, U, U)\) und \((G, U, G)\). Berechnung: \(P(U, G, U) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{27}\); \(P(U, U, U) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{27}\); \(P(G, U, G) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{27}\). Summe \(P(X=1) = \frac{14}{27}\). - \(X=2\) tritt auf bei \((U, U, G)\), \((G, U, U)\) und \((G, G, U)\). Berechnung: \(P(U, U, G) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27}\); \(P(G, U, U) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{27}\); \(P(G, G, U) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{27}\). Summe \(P(X=2) = \frac{10}{27}\). - \(X=3\) tritt nur bei \((G, G, G)\) auf. \(P(X=3) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27}\). 3. Zusammenstellung der Tabelle und Kontrolle der Summe: \(\frac{2+14+10+1}{27} = 1\).

<table border="1"> <tr> <td>\(k\)</td> <td>0</td> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> </tr> <tr> <td>\(P(X=k)\)</td> <td>\(\frac{2}{27}\)</td> <td>\(\frac{14}{27}\)</td> <td>\(\frac{10}{27}\)</td> <td>\(\frac{1}{27}\)</td> </tr> </table>

- Beachte, dass die Tabellenwerte bereits die Summe der Wahrscheinlichkeiten bis zu diesem Punkt darstellen. - Wie berechnet man den Anteil in einem Bereich, wenn man nur die Gesamtsummen bis zu den Rändern kennt? - Lies die Werte für beide Fahrzeugtypen getrennt aus den entsprechenden Spalten ab. - Um Intervalle zu vergleichen, musst du für jedes Intervall die Differenz der kumulierten Werte am oberen und unteren Rand bilden.

1. Berechnung von \(P(X_2 > 80)\): Über die Gegenwahrscheinlichkeit gilt \(1 - P(X_2 \le 80) = 1 - 0{,}58 = 0{,}42\). 2. Vergleich der Intervallwahrscheinlichkeiten für \(]40; 80]\): Für \(X_1\): \(P(40 < X_1 \le 80) = P(X_1 \le 80) - P(X_1 \le 40) = 0{,}84 - 0{,}38 = 0{,}46\). Für \(X_2\): \(P(40 < X_2 \le 80) = P(X_2 \le 80) - P(X_2 \le 40) = 0{,}58 - 0{,}15 = 0{,}43\). Der Kleintransporter (\(X_1\)) hat mit \(0{,}46\) die höhere Wahrscheinlichkeit. 3. Untersuchung der Intervalle für \(X_1\): \(P(0 \le X_1 \le 40) = 0{,}38\). \(P(40 < X_1 \le 80) = 0{,}46\). \(P(80 < X_1 \le 120) = 1{,}00 - 0{,}84 = 0{,}16\). Die höchste Wahrscheinlichkeit liegt im Intervall \(]40; 80]\) mit \(0{,}46\).

a) \(P(X_2 > 80) = 0{,}42\) b) \(P(40 < X_1 \le 80) = 0{,}46\) und \(P(40 < X_2 \le 80) = 0{,}43\). Die Wahrscheinlichkeit ist bei den Kleintransportern (\(X_1\)) höher. c) Die höchste Wahrscheinlichkeit liegt im Intervall \(]40; 80]\) mit \(0{,}46\).

- Bestimme für jedes Experiment separat die Gesamtzahl der möglichen Elementarereignisse. - Liste für die gesuchten Summen alle günstigen Zahlenpaare systematisch auf. - „Mindestens 7“ bedeutet, dass die Summe 7 oder größer sein darf. - Nutze für den Erwartungswert die Linearität: Der Erwartungswert einer Summe ist die Summe der Erwartungswerte der Einzelwürfel.

1. Experiment A: \(4 \cdot 4 = 16\) Ergebnisse. Kombinationen für \(X=5\): \((1,4), (2,3), (3,2), (4,1)\), also \(P(X=5) = \frac{4}{16} = 0{,}25\). 2. Experiment B: \(2 \cdot 6 = 12\) Ergebnisse. Kombinationen für \(Y=5\): \((1,4), (2,3)\), also \(P(Y=5) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667\). Die Wahrscheinlichkeit ist bei Experiment A höher. 3. Wahrscheinlichkeit für mindestens 7: Bei A: \(X=7: (3,4), (4,3)\); \(X=8: (4,4)\). Insgesamt \(3\) von \(16\), also \(P(X \ge 7) = \frac{3}{16} = 0{,}1875\). Bei B: \(Y=7: (1,6), (2,5)\); \(Y=8: (2,6)\). Insgesamt \(3\) von \(12\), also \(P(Y \ge 7) = \frac{3}{12} = 0{,}25\). Die Wahrscheinlichkeiten sind nicht gleich groß. 4. Erwartungswerte: \(E(X) = E(W_4) + E(W_4) = 2{,}5 + 2{,}5 = 5\). \(E(Y) = E(M_2) + E(W_6) = 1{,}5 + 3{,}5 = 5\). Beide Erwartungswerte sind mit \(5\) identisch.

a) \(P(X=5) = 0{,}25\); \(P(Y=5) = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667\). Bei Experiment A ist sie höher. b) Nein, sie sind nicht gleich groß: \(P(X \ge 7) = 0{,}1875\) und \(P(Y \ge 7) = 0{,}25\). c) \(E(X) = 5\) und \(E(Y) = 5\). Die Erwartungswerte sind gleich.

- Überlege zuerst, welche Ergebnisse bei einem einzelnen Dreh möglich sind und mit welchen Wahrscheinlichkeiten sie auftreten. - Welche verschiedenen Summen können entstehen, wenn das Rad zweimal gedreht wird? Liste alle diese möglichen Summen systematisch auf. - Berechne für jede mögliche Summe die Wahrscheinlichkeit, indem du alle Pfade im Baumdiagramm addierst, die zu dieser Summe führen. - Wie ist der Erwartungswert einer Zufallsgröße definiert? Nutze die Formel, bei der jeder mögliche Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multipliziert und die Ergebnisse addiert werden. - Kannst du den Erwartungswert für das zweimalige Drehen auch direkt aus dem Erwartungswert für ein einmaliges Drehen bestimmen?

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Zahlen bei einem Dreh: \(P(0) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) \(P(2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) \(P(5) = \frac{1}{6}\) 2. Bestimmung der möglichen Werte für die Summe \(X\) und deren Wahrscheinlichkeiten: \(X = 0\): Pfad \((0, 0) \implies P(X=0) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\) \(X = 2\): Pfade \((0, 2), (2, 0) \implies P(X=2) = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}\) \(X = 4\): Pfad \((2, 2) \implies P(X=4) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}\) \(X = 5\): Pfade \((0, 5), (5, 0) \implies P(X=5) = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}\right) = \frac{1}{6}\) \(X = 7\): Pfade \((2, 5), (5, 2) \implies P(X=7) = 2 \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}\right) = \frac{1}{9}\) \(X = 10\): Pfad \((5, 5) \implies P(X=10) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\) 3. Berechnung des Erwartungswerts \(E(X)\): Über die Verteilung: \(E(X) = 0 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{3} + 4 \cdot \frac{1}{9} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 7 \cdot \frac{1}{9} + 10 \cdot \frac{1}{36} = \frac{24}{36} + \frac{16}{36} + \frac{30}{36} + \frac{28}{36} + \frac{10}{36} = \frac{108}{36} = 3\) Alternativ über die Linearität des Erwartungswerts: Der Erwartungswert für einen einzelnen Dreh ist \(E(Y) = 0 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{3} + 5 \cdot \frac{1}{6} = 1{,}5\). Bei zwei Drehs gilt \(E(X) = 2 \cdot E(Y) = 2 \cdot 1{,}5 = 3\).

a) Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) lautet: <table> <thead> <tr> <th>\(k\)</th> <th>0</th> <th>2</th> <th>4</th> <th>5</th> <th>7</th> <th>10</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <th>\(P(X = k)\)</th> <td>\(\frac{1}{4}\)</td> <td>\(\frac{1}{3}\)</td> <td>\(\frac{1}{9}\)</td> <td>\(\frac{1}{6}\)</td> <td>\(\frac{1}{9}\)</td> <td>\(\frac{1}{36}\)</td> </tr> </tbody> </table> b) Der Erwartungswert beträgt \(E(X) = 3\).