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- Überlege, wie man den Durchschnittswert bei einer Reihe von Versuchen nennt. - Welche Verteilung liegt vor, wenn es nur „richtig“ oder „falsch“ gibt? - Wie lautet die Formel für die Wahrscheinlichkeit eines exakten Trefferwertes?

1. Berechnung des Erwartungswerts für die binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit \(n = 60\) und \(p = 0{,}25\): \(\mu = n \cdot p = 60 \cdot 0{,}25 = 15\). 2. Interpretation: Bei einer sehr großen Anzahl von Testdurchläufen würde der Schüler im Durchschnitt \(15\) Fragen pro Test richtig beantworten. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(X = 15\) mit der Bernoulli-Formel: \(P(X = 15) = \binom{60}{15} \cdot 0{,}25^{15} \cdot 0{,}75^{45} \approx 0{,}1152\).

a) \(\mu = 15\). Interpretation: Der Schüler erzielt bei häufiger Durchführung des Tests im Durchschnitt \(15\) Treffer. b) \(P(X = 15) \approx 0{,}1152\) (bzw. \(11{,}52\,\%\)).

- Was gibt der Erwartungswert eigentlich an – ein einzelnes Ergebnis oder einen langfristigen Durchschnitt? - Überlege dir, wie man den Durchschnitt von Noten berechnet. Muss der Durchschnitt eine Note sein, die man tatsächlich bekommen kann? - Wie berechnet man den Erwartungswert, wenn die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse unterschiedlich sind?

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse: \(P(X=1) = \frac{1}{4} = 0{,}25\); \(P(X=2) = \frac{2}{4} = 0{,}5\); \(P(X=5) = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 2. Berechnung des Erwartungswertes: \(E(X) = 1 \cdot 0{,}25 + 2 \cdot 0{,}5 + 5 \cdot 0{,}25 = 0{,}25 + 1 + 1{,}25 = 2{,}5\). 3. Beurteilung der Aussage: Die Aussage ist falsch. Der Erwartungswert \(E(X) = 2{,}5\) ist keine ganze Zahl, obwohl alle möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments (\(1, 2, 5\)) ganzzahlig sind. 4. Begründung: Der Erwartungswert ist ein gewichteter Durchschnittswert bei einer großen Anzahl von Versuchen und muss nicht mit einem der tatsächlich möglichen Werte der Zufallsgröße übereinstimmen.

a) \(E(X) = 2{,}5\) b) Die Aussage ist falsch. Der Erwartungswert ist ein theoretischer Mittelwert (langfristiger Durchschnitt) und muss kein Wert sein, den die Zufallsgröße tatsächlich annehmen kann. Im Beispiel ist \(2{,}5\) kein möglicher Ausgang eines Wurfs.

- Überlege dir zuerst, wie groß die Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Ergebnisse sein muss. - Kannst du aus dieser Information eine Gleichung für die unbekannte Konstante aufstellen? - Wenn du alle Wahrscheinlichkeiten kennst, wie gewichtest du dann die Werte der Zufallsgröße, um den Erwartungswert zu erhalten?

1. Nutzung der Summeneigenschaft der Wahrscheinlichkeiten: \(P(Y=1) + P(Y=2) + P(Y=3) + P(Y=4) = 1\). 2. Einsetzen der gegebenen Terme: \(c + 2c + 0{,}3 + 0{,}1 = 1\). 3. Zusammenfassen und Berechnen von \(c\): \(3c + 0{,}4 = 1 \implies 3c = 0{,}6 \implies c = 0{,}2\). 4. Aufstellen der vollständigen Wahrscheinlichkeitsverteilung: \(P(Y=1) = 0{,}2\), \(P(Y=2) = 0{,}4\), \(P(Y=3) = 0{,}3\), \(P(Y=4) = 0{,}1\). 5. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(Y) = 1 \cdot 0{,}2 + 2 \cdot 0{,}4 + 3 \cdot 0{,}3 + 4 \cdot 0{,}1 = 0{,}2 + 0{,}8 + 0{,}9 + 0{,}4 = 2{,}3\).

\(c = 0{,}2\) \(E(Y) = 2{,}3\)

- Was bedeutet es für den Gewinn eines Spielers im Durchschnitt, wenn ein Spiel als fair bezeichnet wird? - Kannst du die Wahrscheinlichkeiten für jedes mögliche Ergebnis bestimmen? - Wie berechnet man den Durchschnittswert einer Zufallsgröße? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Einsatz und der durchschnittlichen Auszahlung bei einem fairen Spiel?

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Auszahlungen: \(P(X = 15) = \frac{2}{20} = 0{,}1\); \(P(X = 5) = \frac{5}{20} = 0{,}25\); \(P(X = 0) = \frac{13}{20} = 0{,}65\). 2. Berechnung des Erwartungswerts der Auszahlung: \(E(X) = 15 \cdot 0{,}1 + 5 \cdot 0{,}25 + 0 \cdot 0{,}65 = 1{,}5 + 1{,}25 + 0 = 2{,}75\). 3. Ein Spiel gilt als fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns (Auszahlung minus Einsatz) null ist. Dies ist der Fall, wenn der Einsatz dem Erwartungswert der Auszahlung entspricht. 4. Der faire Einsatz beträgt somit \(2{,}75\,\text{€}\).

Der Einsatz muss \(2{,}75\,\text{€}\) betragen.

- Überlege dir zuerst, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ereignis ist. - Welchen Kennwert einer Verteilung nutzt man, um den langfristigen Durchschnitt zu beschreiben? - Für die Wahrscheinlichkeit bei einer festen Anzahl von Versuchen hilft die Formel von Bernoulli. - „Höchstens“ bedeutet, dass du mehrere Einzelergebnisse zusammenzählen musst.

1. Bestimmung der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\): Da jede 20. Diode einen Fehler hat, gilt \(p = \frac{1}{20} = 0{,}05\). 2. Berechnung des Erwartungswerts für \(n = 1\,400\): \(E(X) = n \cdot p = 1\,400 \cdot 0{,}05 = 70\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für genau einen Fehler bei \(n = 25\): \(P(X = 1) = \binom{25}{1} \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^{24} \approx 0{,}3576\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei Fehler bei \(n = 25\): \(P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0{,}95^{25} + \binom{25}{1} \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^{24} + \binom{25}{2} \cdot 0{,}05^2 \cdot 0{,}95^{23} \approx 0{,}2774 + 0{,}3576 + 0{,}2259 = 0{,}8609\).

a) Der Erwartungswert beträgt \(70\) Dioden. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(35{,}76\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(86{,}09\,\%\).

- Welche Art von Zufallsexperiment liegt hier vor, wenn jeder Samen unabhängig voneinander keimt oder nicht? - Wie berechnet man den Mittelwert bei einer solchen Verteilung? - Welche Formel hilft dir dabei, die Wahrscheinlichkeit für eine ganz exakte Anzahl an Treffern zu finden?

1. Bestimmung der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 15\) und \(p = 0{,}8\). 2. Berechnung des Erwartungswertes: \(E(X) = n \cdot p = 15 \cdot 0{,}8 = 12\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(k = 12\): \(P(X = 12) = \binom{15}{12} \cdot 0{,}8^{12} \cdot 0{,}2^3\). 4. Ausrechnen des Binomialkoeffizienten und der Potenzen: \(455 \cdot 0{,}068719 \cdot 0{,}008 \approx 0{,}2501\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(25{,}0\,\%\).

a) Es sind \(12\) keimende Samen zu erwarten. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(25{,}0\,\%\).

- Überlege dir zuerst, wie viele Werte die Zufallsgröße annehmen kann und welche Wahrscheinlichkeit jedem Wert zukommt. - Wie berechnet man allgemein den Durchschnitt von Werten, wenn alle die gleiche Gewichtung haben? - Fällt dir eine Symmetrie in der Menge der Zahlen auf?

1. Bestimmung der Anzahl der möglichen Werte: Die Menge \(M\) enthält \(n = 10\) Elemente. 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für jeden Wert: Da \(X\) gleichverteilt ist, gilt \(P(X = x_i) = \frac{1}{10}\) für alle \(x_i \in M\). 3. Berechnung der Summe aller Werte in \(M\): \(10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 + 100 = 550\). 4. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = \frac{1}{10} \cdot 550 = 55\). Alternativ lässt sich aufgrund der Symmetrie der Erwartungswert als Mittelwert des kleinsten und größten Wertes berechnen: \(E(X) = \frac{10 + 100}{2} = 55\).

\(E(X) = 55\)

- Wie berechnet man den Durchschnittswert einer Zufallsgröße, wenn die Wahrscheinlichkeiten bekannt sind? - Was bleibt dem Betreiber übrig, wenn man die durchschnittliche Auszahlung vom Einsatz abzieht? - Kannst du eine Formel aufstellen, die das Verhältnis zwischen Auszahlung und Einsatz beschreibt? - Überlege, wie du eine Ungleichung nach dem gesuchten Einsatz auflöst.

1. Berechnung des Erwartungswerts \(E(X)\) durch Summation der Produkte aus Gewinnwerten und Wahrscheinlichkeiten: \(E(X) = 0 \cdot 0{,}85 + 2 \cdot 0{,}10 + 10 \cdot 0{,}04 + 50 \cdot 0{,}01 = 0 + 0{,}20 + 0{,}40 + 0{,}50 = 1{,}10\,\text{€}\). 2. Bestimmung des erwarteten Gewinns des Betreibers als Differenz von Einsatz und erwarteter Auszahlung: \(G = 2{,}00\,\text{€} - 1{,}10\,\text{€} = 0{,}90\,\text{€}\). 3. Aufstellen der Ungleichung für die gesetzliche Regelung mit dem Einsatz \(e\): \(E(X) \ge 0{,}45 \cdot e\). Einsetzen des Erwartungswerts: \(1{,}10 \ge 0{,}45 \cdot e\). 4. Auflösen nach \(e\): \(e \le \frac{1{,}10}{0{,}45} \approx 2{,}4444\). Der maximale Einsatz beträgt somit \(2{,}44\,\text{€}\).

a) \(E(X) = 1{,}10\,\text{€}\) b) Der erwartete Gewinn beträgt \(0{,}90\,\text{€}\). c) Der maximale Einsatz beträgt \(2{,}44\,\text{€}\).

- Wie berechnet man allgemein den Durchschnittswert einer Verteilung, wenn die Wahrscheinlichkeiten gegeben sind? - Nutze die Summe über alle Produkte aus dem Wert \(k\) und der Wahrscheinlichkeit \(P(X=k)\). - Welche einfache Formel verbindet bei einer Binomialverteilung die Parameter \(n\) und \(p\) mit dem Erwartungswert? - Setze deine bekannten Werte in diese Formel ein, um die Unbekannte zu isolieren.

1. Berechnung des Erwartungswerts \(E(X)\) nach der Definition \(\sum k \cdot P(X=k)\): \(E(X) = 0 \cdot 0{,}064 + 1 \cdot 0{,}288 + 2 \cdot 0{,}432 + 3 \cdot 0{,}216\) \(E(X) = 0 + 0{,}288 + 0{,}864 + 0{,}648 = 1{,}8\) 2. Bestimmung von \(p\) über die Formel für den Erwartungswert bei Binomialverteilungen: Es gilt \(\mu = n \cdot p\). Mit \(n = 3\) und \(E(X) = 1{,}8\) folgt: \(1{,}8 = 3 \cdot p \implies p = \frac{1{,}8}{3} = 0{,}6\)

a) \(E(X) = 1{,}8\) b) \(p = 0{,}6\)

- Was berechnest du, wenn du jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizierst und die Ergebnisse addierst? - Denke daran, dass der Gewinn eines Spielers nicht nur aus dem ausgezahlten Betrag besteht, sondern auch die Kosten für das Los berücksichtigt werden müssen. - Was bedeutet „fair“ im Zusammenhang mit dem durchschnittlichen Gewinn über lange Zeit? - Stell dir vor, du spielst das Spiel 1000-mal. Wie viel Geld hättest du am Ende im Durchschnitt pro Spiel verloren oder gewonnen?

1. Berechnung des Erwartungswerts des Auszahlungswerts \(E(X)\): \(E(X) = 0\,\text{€} \cdot 0{,}80 + 5\,\text{€} \cdot 0{,}15 + 10\,\text{€} \cdot 0{,}05 = 0{,}75\,\text{€} + 0{,}50\,\text{€} = 1{,}25\,\text{€}\). 2. Berechnung des Erwartungswerts für den Reingewinn \(G\): \(E(G) = E(X) - \text{Einsatz} = 1{,}25\,\text{€} - 2{,}50\,\text{€} = -1{,}25\,\text{€}\). 3. Interpretation: Bei einer sehr großen Anzahl von gespielten Losen verliert ein Spieler im Durchschnitt \(1{,}25\,\text{€}\) pro Los. 4. Bestimmung des fairen Preises: Ein Spiel gilt als fair, wenn der erwartete Reingewinn Null ist. Dies ist der Fall, wenn der Lospreis dem erwarteten Auszahlungswert entspricht, also \(1{,}25\,\text{€}\).

a) Der Erwartungswert für den Reingewinn beträgt \(-1{,}25\,\text{€}\). b) Bei einer sehr großen Anzahl von Losen macht der Spieler pro Los im Durchschnitt einen Verlust von \(1{,}25\,\text{€}\). c) Damit das Spiel fair ist, müsste ein Los \(1{,}25\,\text{€}\) kosten.

- Welche Formel hilft dir, den Durchschnittswert bei einer bekannten Trefferquote und fester Versuchsanzahl zu bestimmen? - Überlege, was passieren würde, wenn der Sportler die gesamte Saison sehr oft unter identischen Bedingungen wiederholen könnte. - Ist der Erwartungswert ein Wert, der zwingend genau so eintreten muss, oder beschreibt er einen langfristigen Trend?

1. Identifikation der Parameter für die Binomialverteilung: \(n = 1200\) und \(p = 0{,}85\). 2. Berechnung des Erwartungswerts mit der Formel \(\mu = n \cdot p\): \(\mu = 1200 \cdot 0{,}85 = 1020\). 3. Interpretation: Der Erwartungswert von \(1020\) gibt die Trefferzahl an, die bei einer sehr großen Anzahl von Wiederholungen solcher Versuchsreihen (mit jeweils \(1200\) Schüssen) im Durchschnitt erzielt wird. Er dient als Kennmaß für das Zentrum der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

a) Der Erwartungswert beträgt \(1020\) Treffer. b) Der Wert gibt die langfristig zu erwartende mittlere Trefferzahl bei vielen Wiederholungen der Versuchsreihe an.

- Überlege dir, wie man den Durchschnittswert berechnet, wenn man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und die Gesamtzahl der Versuche kennt. - Was muss für die einzelnen Teilnehmer gelten, damit man die Wahrscheinlichkeiten einfach auf die große Gruppe übertragen kann? - Überprüfe am Ende, ob die Summe deiner berechneten Anzahlen wieder die Gesamtzahl der Probanden ergibt.

1. Berechnung der erwarteten Anzahl für jede Kategorie mit der Formel für den Erwartungswert \(E(X) = n \cdot p\), wobei \(n = 250\,000\). 2. Keine Nebenwirkungen: \(250\,000 \cdot 0{,}9350 = 233\,750\). 3. Leichte Nebenwirkungen: \(250\,000 \cdot 0{,}0520 = 13\,000\). 4. Mittlere Nebenwirkungen: \(250\,000 \cdot 0{,}0115 = 2\,875\). 5. Schwere Nebenwirkungen: \(250\,000 \cdot 0{,}0015 = 375\). 6. Voraussetzung für die Schätzung: Die Reaktionen der einzelnen Probanden müssen voneinander unabhängig sein und die Wahrscheinlichkeiten müssen für alle Teilnehmer der Gruppe identisch sein (Modell der Bernoulli-Kette bzw. Binomialverteilung).

Zu erwartende Anzahl der Probanden: - Keine Nebenwirkungen: \(233\,750\) - Leichte Nebenwirkungen: \(13\,000\) - Mittlere Nebenwirkungen: \(2\,875\) - Schwere Nebenwirkungen: \(375\) Voraussetzung: Die Ereignisse müssen stochastisch unabhängig sein und die Erfolgswahrscheinlichkeiten müssen für alle Versuche konstant bleiben.

- Wo liegt in der Tabelle der höchste Wert? Was sagt das über den Erwartungswert aus? - Wie hängen der Erwartungswert, die Trefferzahl und die Wahrscheinlichkeit zusammen? - Kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit durch Addieren von Werten aus der Tabelle finden? - Manchmal ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses zu berechnen, das gerade nicht eintreten soll.

1. Bestimmung von \(p\): Da der Erwartungswert \(E(X) = n \cdot p\) ganzzahlig ist und die höchste Wahrscheinlichkeit (der Modalwert) bei \(k = 1\) liegt, ist \(E(X) = 1\) naheliegend. Mit \(n = 10\) ergibt sich \(10 \cdot p = 1\), also \(p = 0{,}1\). Eine Überprüfung mit \(P(X=0) = (1-p)^{10} = 0{,}9^{10} \approx 0{,}3487\) bestätigt diesen Wert. 2. Berechnung von \(P(1 \le X \le 3)\): Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten für \(k=1\), \(k=2\) und \(k=3\). \(P(1 \le X \le 3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0{,}3874 + 0{,}1937 + 0{,}0574 = 0{,}6385\). 3. Berechnung von \(P(X \ge 1)\): Über das Gegenereignis \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)\) folgt: \(P(X \ge 1) = 1 - 0{,}3487 = 0{,}6513\).

a) \(p = 0{,}1\) b) \(P(1 \le X \le 3) = 0{,}6385\) c) \(P(X \ge 1) = 0{,}6513\)

- Schau dir den Verlauf der Wahrscheinlichkeiten an. Bei welchem \(k\) vermutest du das Zentrum der Verteilung? - Nutze die Formel für den Erwartungswert bei Binomialverteilungen. - Für Intervalle wie \(2 \le X \le 4\) musst du die passenden Einzelwahrscheinlichkeiten kombinieren. - Überlege dir bei „mindestens“, ob das Gegenereignis weniger Rechenaufwand bedeutet.

1. Bestimmung von \(p\): Der Erwartungswert \(E(X) = n \cdot p\) liegt bei einer Binomialverteilung nahe dem Modalwert (Maximum der Verteilung). Die Tabelle zeigt steigende Werte bis \(k=5\). Da \(E(X)\) ganzzahlig sein soll, testen wir \(E(X) = 5\). Dies führt zu \(25 \cdot p = 5\), also \(p = 0{,}2\). Die Überprüfung mit \(P(X=0) = 0{,}8^{25} \approx 0{,}003778 \approx 0{,}0038\) bestätigt den Parameter. 2. Berechnung von \(P(2 \le X \le 4)\): Addition der Tabellenwerte für \(k=2, 3, 4\): \(P(2 \le X \le 4) = 0{,}0708 + 0{,}1358 + 0{,}1867 = 0{,}3933\). 3. Berechnung von \(P(X \ge 1)\): Nutzung des Gegenereignisses \(1 - P(X=0)\): \(P(X \ge 1) = 1 - 0{,}0038 = 0{,}9962\).

a) \(p = 0{,}2\) b) \(P(2 \le X \le 4) = 0{,}3933\) c) \(P(X \ge 1) = 0{,}9962\)

- Was muss für die Summe aller Wahrscheinlichkeiten eines Zufallsexperiments gelten? - Wie berechnet man den Durchschnittswert (Erwartungswert) einer Auszahlung? - In welchem Verhältnis stehen Einsatz, Auszahlung und der Gewinn des Betreibers zueinander?

1. Bestimmung der Proportionalitätskonstante \(c\): Aus der Bedingung \(\sum P(X=k) = 1\) folgt \(c \cdot (1 + 2 + 3 + 4) = 10c = 1\), also \(c = 0{,}1\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(1) = 0{,}1\); \(P(2) = 0{,}2\); \(P(3) = 0{,}3\); \(P(4) = 0{,}4\). 3. Berechnung des Erwartungswerts der Auszahlung \(E(A)\): \(E(A) = 0{,}1 \cdot 2{,}00 + 0{,}2 \cdot 2{,}00 + 0{,}3 \cdot 5{,}00 + 0{,}4 \cdot 10{,}00\). 4. Ergebnis der Auszahlung: \(E(A) = 0{,}20 + 0{,}40 + 1{,}50 + 4{,}00 = 6{,}10\,\text{€}\). 5. Berechnung des Einsatzes: Um einen Gewinn von \(0{,}50\,\text{€}\) zu erzielen, muss der Einsatz um diesen Betrag höher sein als die erwartete Auszahlung: \(Einsatz = 6{,}10\,\text{€} + 0{,}50\,\text{€} = 6{,}60\,\text{€}\).

Der Einsatz muss \(6{,}60\,\text{€}\) betragen.

- Erinnere dich an die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einer Verteilung. - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der nur noch eine Unbekannte vorkommt? - Was passiert mit dem Durchschnitt der Ergebnisse, wenn man ein Experiment immer und immer wieder wiederholt?

1. Ansatz mit einer Variablen für die gesuchten Wahrscheinlichkeiten: Sei \(p = P(Z=5)\). Da die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 betragen muss, gilt \(P(Z=0) = 1 - p\). 2. Aufstellen der Gleichung für den Erwartungswert: \(E(Z) = 0 \cdot (1-p) + 5 \cdot p = 3{,}5\). 3. Lösen der Gleichung: \(5p = 3{,}5 \Rightarrow p = 0{,}7\). 4. Bestimmung der Verteilung: \(P(Z=5) = 0{,}7\) und \(P(Z=0) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\). 5. Interpretation: Führt man das Experiment sehr oft durch, so wird das arithmetische Mittel aller erzielten Ergebnisse (die Summe aller Ergebnisse geteilt durch die Anzahl der Versuche) nahe beim Wert \(3{,}5\) liegen.

a) \(P(Z=0) = 0{,}3\) und \(P(Z=5) = 0{,}7\) b) Bei einer großen Anzahl von Versuchen stabilisiert sich der Durchschnittswert der Ergebnisse um den Wert \(3{,}5\).

- Welche Werte kann die Anzahl der Versuche annehmen? - Überlege dir, wie viele Fehlversuche maximal hintereinander möglich sind, bevor der nächste Stick sicher ein Treffer sein muss. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für einen Pfad in einem Baumdiagramm bei Ziehen ohne Zurücklegen? - Was musst du tun, um den Durchschnittswert einer Zufallsgröße aus ihrer Verteilung zu berechnen?

1. Bestimmung der möglichen Werte für \(X\): Da 3 Sticks leer sind, muss spätestens beim 4. Versuch ein Stick mit der Präsentation gefunden werden (wenn die ersten drei leer waren). Somit gilt \(X \in \{1, 2, 3, 4\}\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten für das Ziehen ohne Zurücklegen: \(P(X=1) = \frac{2}{5} = 0{,}4\) \(P(X=2) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = 0{,}3\) \(P(X=3) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{60} = 0{,}2\) \(P(X=4) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} = \frac{12}{120} = 0{,}1\) 3. Berechnung des Erwartungswerts als Summe der Produkte aus Wert und Wahrscheinlichkeit: \(E(X) = 1 \cdot 0{,}4 + 2 \cdot 0{,}3 + 3 \cdot 0{,}2 + 4 \cdot 0{,}1 = 0{,}4 + 0{,}6 + 0{,}6 + 0{,}4 = 2{,}0\).

a) <table border="1"> <tr> <td>\(k\)</td> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> <td>4</td> </tr> <tr> <td>\(P(X=k)\)</td> <td>\(0{,}4\)</td> <td>\(0{,}3\)</td> <td>\(0{,}2\)</td> <td>\(0{,}1\)</td> </tr> </table> b) \(E(X) = 2{,}0\)

- Wann ist man sicher, ein defektes Teil gefunden zu haben, wenn man zuvor nur intakte Teile erwischt hat? - Welche Pfade im Baumdiagramm entsprechen dem Ereignis, spätestens beim zweiten Test Erfolg zu haben? - Wie hängen die Einzelwahrscheinlichkeiten und der Erwartungswert zusammen?

1. Bestimmung der Maximalanzahl: Im ungünstigsten Fall werden zuerst alle 4 intakten Bauteile geprüft. Das 5. Bauteil muss dann zwingend defekt sein. Die maximale Anzahl beträgt somit 5. 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei Prüfungen: \(P(X=1) = \frac{3}{7}\) \(P(X=2) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}\) \(P(X \le 2) = \frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \approx 0{,}714\) 3. Berechnung des Erwartungswerts: Zunächst weitere Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X=3) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{35}\); \(P(X=4) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{35}\); \(P(X=5) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{35}\). Mit \(P(X=1) = \frac{15}{35}\) und \(P(X=2) = \frac{10}{35}\) ergibt sich: \(E(X) = 1 \cdot \frac{15}{35} + 2 \cdot \frac{10}{35} + 3 \cdot \frac{6}{35} + 4 \cdot \frac{3}{35} + 5 \cdot \frac{1}{35} = \frac{15+20+18+12+5}{35} = \frac{70}{35} = 2\).

a) Maximal 5 Prüfungen. b) \(P(X \le 2) = \frac{5}{7} \approx 0{,}714\) c) Im Durchschnitt sind 2 Prüfungen erforderlich.

- Was muss für die Summe aller Wahrscheinlichkeiten einer Zufallsgröße immer gelten? - Wie hängen die einzelnen Wahrscheinlichkeiten von der Konstanten ab? - Welche Rechenvorschrift nutzt man, um den Durchschnittswert bei bekannter Verteilung zu ermitteln?

1. Aufstellen der Normierungsbedingung: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss \(1\) ergeben: \(\sum P(X=x) = k \cdot (0+1) + k \cdot (2+1) + k \cdot (4+1) + k \cdot (6+1) = 1\). 2. Zusammenfassen und Lösen nach \(k\): \(k \cdot (1 + 3 + 5 + 7) = 16k = 1\). Daraus folgt \(k = \frac{1}{16} = 0{,}0625\). 3. Bestimmen der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X=0) = \frac{1}{16}\), \(P(X=2) = \frac{3}{16}\), \(P(X=4) = \frac{5}{16}\) und \(P(X=6) = \frac{7}{16}\). 4. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = \sum x_i \cdot P(X=x_i) = 0 \cdot \frac{1}{16} + 2 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot \frac{5}{16} + 6 \cdot \frac{7}{16} = \frac{0 + 6 + 20 + 42}{16} = \frac{68}{16} = 4{,}25\).

a) \(k = \frac{1}{16} = 0{,}0625\) b) \(E(X) = 4{,}25\)

- Wann bezeichnet man ein Spiel in der Wahrscheinlichkeitsrechnung als fair? - Wie hängen die Flächenanteile (bzw. Wahrscheinlichkeiten) mit den Mittelpunktswinkeln eines Kreises zusammen? - In Teil b) gibt es mehr Unbekannte als Gleichungen. Du kannst also für einige Sektoren Werte vorgeben und die restlichen berechnen. - Achte darauf, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten immer 1 ergeben muss.

1. Berechnung des Erwartungswerts für Teil a): Da alle Sektoren gleich groß sind, ist die Wahrscheinlichkeit für jeden Sektor \(p = \frac{1}{4} = 0{,}25\). Der Erwartungswert der Auszahlung berechnet sich zu \(E(X) = 0 \cdot 0{,}25 + 2 \cdot 0{,}25 + 5 \cdot 0{,}25 + 9 \cdot 0{,}25 = 4{,}00\,\text{€}\). Für ein faires Spiel muss der Einsatz dem Erwartungswert entsprechen, also \(4{,}00\,\text{€}\). 2. Ansatz für Teil b): Ein faires Spiel erfordert \(E(X) = 3{,}50\,\text{€}\). Es gilt die Gleichung \(0 \cdot p_1 + 2 \cdot p_2 + 5 \cdot p_3 + 9 \cdot p_4 = 3{,}5\) sowie die Nebenbedingung \(p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1\). 3. Beispielhafte Lösung durch Wahl von Werten: Setzt man beispielsweise \(p_4 = 0{,}2\) und \(p_3 = 0{,}2\), ergibt sich \(2 \cdot p_2 + 1{,}0 + 1{,}8 = 3{,}5\), woraus \(2 \cdot p_2 = 0{,}7\) und somit \(p_2 = 0{,}35\) folgt. Die restliche Wahrscheinlichkeit für den Nullsektor beträgt \(p_1 = 1 - 0{,}2 - 0{,}2 - 0{,}35 = 0{,}25\). 4. Umrechnung in Mittelpunktswinkel (\(\alpha_i = p_i \cdot 360^\circ\)): \(\alpha_1 = 90^\circ\), \(\alpha_2 = 126^\circ\), \(\alpha_3 = 72^\circ\), \(\alpha_4 = 72^\circ\).

a) Der Einsatz muss \(4{,}00\,\text{€}\) betragen. b) Eine mögliche Verteilung der Mittelpunktswinkel ist: \(90^\circ\) für den \(0\,\text{€}\)-Sektor, \(126^\circ\) für den \(2\,\text{€}\)-Sektor, \(72^\circ\) für den \(5\,\text{€}\)-Sektor und \(72^\circ\) für den \(9\,\text{€}\)-Sektor.

- Was bedeutet Fairness für den Zusammenhang zwischen dem Erwartungswert der Gewinne und dem Lospreis? - Wie berechnet man den Erwartungswert, wenn die absolute Anzahl der Lose und die Gesamtzahl bekannt sind? - Stelle für den zweiten Teil ein kleines Gleichungssystem auf. Da es drei Unbekannte aber nur zwei Bedingungen gibt, kannst du eine Variable geschickt wählen. - Vergiss nicht, dass die Anzahl der Lose eine natürliche Zahl sein muss.

1. Berechnung des Erwartungswerts für Teil a): \(E(X) = 0 \cdot 0{,}7 + 10 \cdot 0{,}2 + 50 \cdot 0{,}1 = 0 + 2 + 5 = 7{,}00\,\text{€}\). Der faire Preis entspricht dem Erwartungswert der Auszahlung, also \(7{,}00\,\text{€}\). 2. Aufstellen der Gleichungen für Teil b): Sei \(n_0, n_{10}, n_{50}\) die Anzahl der jeweiligen Lose. Es gilt \(n_0 + n_{10} + n_{50} = 40\) und für die Fairness \(\frac{0 \cdot n_0 + 10 \cdot n_{10} + 50 \cdot n_{50}}{40} = 10\). 3. Vereinfachung der Fairness-Gleichung: \(10 \cdot n_{10} + 50 \cdot n_{50} = 400 \Rightarrow n_{10} + 5 \cdot n_{50} = 40\). 4. Bestimmung einer ganzzahligen Lösung: Wählt man beispielsweise \(n_{50} = 4\), so folgt \(n_{10} + 20 = 40\), also \(n_{10} = 20\). 5. Berechnung der Anzahl der Nieten: \(n_0 = 40 - 20 - 4 = 16\). Alle Bedingungen (mindestens ein Los pro Wert, Summe 40) sind erfüllt.

a) Der faire Preis beträgt \(7{,}00\,\text{€}\). b) Eine mögliche Verteilung ist: \(16\) Lose mit \(0\,\text{€}\), \(20\) Lose mit \(10\,\text{€}\) und \(4\) Lose mit \(50\,\text{€}\).

- Wie viele verschiedene Ergebnisse gibt es insgesamt beim dreimaligen Werfen einer Münze? - Überlege dir, wie oft die Bedingungen „dreimal Kopf“ oder „zweimal Kopf“ in der Ergebnismenge vorkommen. - Stelle eine Gleichung auf, in der die Summe der gewichteten Auszahlungen dem Einsatz entspricht. - Was muss passieren, damit der durchschnittliche Reingewinn genau null ist?

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die relevanten Ereignisse beim dreimaligen Münzwurf: \(P(\text{3-mal Kopf}) = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}\); \(P(\text{genau 2-mal Kopf}) = \binom{3}{2} \cdot (\frac{1}{2})^3 = \frac{3}{8}\). 2. Aufstellen der Gleichung für den Erwartungswert der Auszahlung \(E(A)\): \(E(A) = x \cdot \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{3}{8} + 0 \cdot \frac{4}{8} = \frac{x + 12}{8}\). 3. Bedingung für ein faires Spiel: Der Erwartungswert der Auszahlung muss gleich dem Einsatz sein, also \(E(A) = 3\). 4. Lösen der Gleichung nach \(x\): \(\frac{x + 12}{8} = 3 \implies x + 12 = 24 \implies x = 12\). 5. Für einen Auszahlungsbetrag von \(12{,}00\,\text{€}\) bei „dreimal Kopf“ ist das Spiel fair.

Der Wert von \(x\) muss \(12{,}00\, ext{€}\) betragen.

- Welche Kosten entstehen der Firma, wenn das erste Teil direkt funktioniert? - Wie hoch sind die Gesamtkosten, wenn ein Ersatzteil geliefert werden muss? - Wie berechnet man den Durchschnittswert (Erwartungswert) der Kosten unter Berücksichtigung der Defektwahrscheinlichkeit? - Wie hängen Verkaufspreis, erwartete Kosten und der gewünschte Gewinn zusammen?

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die Fälle „Sensor einwandfrei“ (\(P = 0{,}94\)) und „Sensor defekt“ (\(P = 0{,}06\)). 2. Ermittlung der Kosten pro Verkauf: Im fehlerfreien Fall entstehen Kosten von \(15\,\text{€}\). Im Fehlerfall entstehen Gesamtkosten von \(15\,\text{€} + 18\,\text{€} = 33\,\text{€}\). 3. Berechnung des Erwartungswerts der Kosten: \(E(K) = 0{,}94 \cdot 15\,\text{€} + 0{,}06 \cdot 33\,\text{€} = 14{,}10\,\text{€} + 1{,}98\,\text{€} = 16{,}08\,\text{€}\). 4. Aufstellen der Gewinngleichung für den Verkaufspreis \(x\): \(x - 16{,}08\,\text{€} = 4\,\text{€}\). 5. Berechnung des Preises: \(x = 20{,}08\,\text{€}\).

Der Verkaufspreis muss \(20{,}08\,\text{€}\) betragen.

- Kannst du das Problem als zweistufiges Zufallsexperiment betrachten? - Welche Wahrscheinlichkeit besteht überhaupt, das Glücksrad drehen zu dürfen? - Wie hängen der Erwartungswert des Gewinns und die einzelnen Sektoren zusammen? - Denke daran, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten am Glücksrad immer 1 ergeben muss.

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, das Glücksrad drehen zu dürfen: \(P(\text{Glücksrad}) = \frac{5}{25} = 0{,}2\). 2. Aufstellen der Gleichung für die Summe der Wahrscheinlichkeiten am Glücksrad: \(p_G + p_S + 0{,}5 = 1 \implies p_S = 0{,}5 - p_G\). 3. Aufstellen der Gleichung für den Erwartungswert: \(E(X) = 0{,}2 \cdot (100 \cdot p_G + 40 \cdot p_S + 10 \cdot 0{,}5) = 7\). 4. Umformen der Erwartungswertgleichung: \(100 p_G + 40 p_S + 5 = \frac{7}{0{,}2} = 35 \implies 100 p_G + 40 p_S = 30\). 5. Einsetzen von \(p_S\): \(100 p_G + 40(0{,}5 - p_G) = 30 \implies 100 p_G + 20 - 40 p_G = 30 \implies 60 p_G = 10\). 6. Berechnung der Ergebnisse: \(p_G = \frac{1}{6} \approx 0{,}167\) und \(p_S = 0{,}5 - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\).

Die Wahrscheinlichkeit für den Sektor Gold beträgt \(\frac{1}{6}\) (ca. \(16{,}7\,\%\)) und für den Sektor Silber \(\frac{1}{3}\) (ca. \(33{,}3\,\%\)).

- Identifiziere die Trefferwahrscheinlichkeit aus dem Text. - Wie berechnet man den Mittelwert bei einer binomialverteilten Größe? - Überlege dir bei „mindestens“, welche Fälle genau eintreten können. - Nutze für die Einzelwahrscheinlichkeiten die Binomialverteilung.

1. Festlegung der Parameter: Die Trefferwahrscheinlichkeit (Keimen) ist \(p = 0{,}8\). 2. Berechnung des Erwartungswerts für \(n = 450\): \(E(X) = n \cdot p = 450 \cdot 0{,}8 = 360\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für genau 18 Treffer bei \(n = 20\): \(P(X = 18) = \binom{20}{18} \cdot 0{,}8^{18} \cdot 0{,}2^2 \approx 0{,}1369\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für mindestens 19 Treffer: \(P(X \ge 19) = P(X=19) + P(X=20) = \binom{20}{19} \cdot 0{,}8^{19} \cdot 0{,}2^1 + 0{,}8^{20} \approx 0{,}0576 + 0{,}0115 = 0{,}0691\).

a) Er kann im Durchschnitt mit \(360\) Keimlingen rechnen. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(13{,}69\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(6{,}91\,\%\).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn zwei aufeinanderfolgende Werte einer Folge gleich sind? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der \(n\) und \(n+1\) vorkommen? - Überlege, wie du Potenzen mit der gleichen Basis wie \(0{,}75^n\) und \(0{,}75^{n+1}\) geschickt kürzen kannst. - Nachdem du \(n\) berechnet hast, vergiss nicht, auch den darauffolgenden Wert anzugeben.

1. Ansatz für zwei aufeinanderfolgende Werte: \(E(n) = E(n+1)\) 2. Einsetzen der Terme: \(20n \cdot 0{,}75^n = 20(n+1) \cdot 0{,}75^{n+1}\) 3. Division durch \(20 \cdot 0{,}75^n\) (da dieser Ausdruck stets ungleich null ist): \(n = (n+1) \cdot 0{,}75\) 4. Auflösen der Klammer und Umstellen nach \(n\): \(n = 0{,}75n + 0{,}75 \iff 0{,}25n = 0{,}75 \iff n = 3\) 5. Die gesuchten aufeinanderfolgenden Werte sind somit \(n = 3\) und \(n = 4\). 6. Überprüfung der Werte: \(E(3) = 60 \cdot 0{,}75^3 = 25{,}3125\) und \(E(4) = 80 \cdot 0{,}75^4 = 25{,}3125\).

Die Erwartungswerte stimmen für \(n = 3\) und \(n = 4\) überein.

- Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Fahrzeuge mit Lackfehlern, wenn jedes Fahrzeug unabhängig mit der gleichen Wahrscheinlichkeit betroffen ist? - Wo liegt bei dieser Verteilung üblicherweise der „Gipfel“ der Wahrscheinlichkeiten? - Berechne den Erwartungswert als Orientierungshilfe. - Vergleiche die Wahrscheinlichkeiten für die ganzzahligen Werte, die dem Erwartungswert am nächsten liegen.

1. Identifikation der Verteilung: Es liegt eine Binomialverteilung mit den Parametern \(n = 30\) und \(p = 0{,}08\) vor. 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 30 \cdot 0{,}08 = 2{,}4\). 3. Bestimmung des wahrscheinlichsten Werts \(k\): Da die Wahrscheinlichkeiten bei einer Binomialverteilung nahe dem Erwartungswert am größten sind, kommen \(k = 2\) oder \(k = 3\) infrage. 4. Überprüfung durch die Bedingung für den Modus: \((n+1) \cdot p = (30+1) \cdot 0{,}08 = 31 \cdot 0{,}08 = 2{,}48\). 5. Da \(2{,}48\) keine ganze Zahl ist, ist der wahrscheinlichste Wert \(k = \lfloor 2{,}48 \rfloor = 2\). 6. Alternativer Vergleich der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X=2) = \binom{30}{2} \cdot 0{,}08^2 \cdot 0{,}92^{28} \approx 0{,}2696\) und \(P(X=3) = \binom{30}{3} \cdot 0{,}08^3 \cdot 0{,}92^{27} \approx 0{,}2188\). Somit ist \(k=2\) das Ergebnis mit der größten Wahrscheinlichkeit.

Die größte Wahrscheinlichkeit liegt bei \(2\) Fahrzeugen mit Lackfehler vor.

- Wie hängt die Summe der Zahlen \(1\) bis \(n\) mit der Anzahl \(n\) zusammen? - Kannst du zuerst die Anzahl der Lose im Behälter bestimmen? - Wenn du die Gesamtsumme und die Anzahl der Lose kennst, wie berechnest du dann den Durchschnittswert?

1. Aufstellen der Formel für die Summe der ersten \(n\) natürlichen Zahlen: \(S = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}\). 2. Gleichsetzen mit dem gegebenen Wert zur Bestimmung von \(n\): \(\frac{n \cdot (n + 1)}{2} = 1275 \implies n^2 + n - 2550 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung: Die positive Lösung ist \(n = 50\). 4. Berechnung des Erwartungswerts für eine Gleichverteilung auf \(\{1, \dots, n\}\): \(E = \frac{n + 1}{2}\) oder \(E = \frac{\text{Gesamtsumme}}{n}\). 5. Einsetzen der Werte: \(E = \frac{50 + 1}{2} = 25{,}5\) oder \(E = \frac{1275}{50} = 25{,}5\).

Der Erwartungswert beträgt \(25{,}5\).

- Was bedeutet der Begriff „Gewinn“ im Unterschied zur „Auszahlung“? - Wie berechnet man den gewichteten Durchschnitt aller möglichen Ergebnisse? - Wann genau bezeichnet man ein mathematisches Spiel als „fair“? - Überlege, welche Wahrscheinlichkeiten den einzelnen Ereignissen am Glücksrad zugeordnet werden müssen.

1. Sei \(A\) die Auszahlung. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Auszahlungen: \(P(A = 12) = \frac{2}{20} = 0{,}1\); \(P(A = 4) = \frac{5}{20} = 0{,}25\); \(P(A = 0) = \frac{13}{20} = 0{,}65\). 2. Berechnung des Erwartungswerts der Auszahlung: \(E(\text{Auszahlung}) = 12 \cdot 0{,}1 + 4 \cdot 0{,}25 + 0 \cdot 0{,}65 = 1{,}2 + 1 + 0 = 2{,}20\,\text{€}\). 3. Berechnung des Erwartungswerts für den Gewinn \(X\) (Auszahlung minus Einsatz): \(E(X) = 2{,}20\,\text{€} - 2{,}50\,\text{€} = -0{,}30\,\text{€}\). 4. Da der Erwartungswert \(E(X) \neq 0\) ist, ist das Spiel nicht fair. 5. Ein Spiel gilt als fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns null ist. Dies ist der Fall, wenn der Einsatz dem Erwartungswert der Auszahlung entspricht. Der faire Einsatz beträgt somit \(2{,}20\,\text{€}\).

Der Erwartungswert für den Gewinn beträgt \(E(X) = -0{,}30\,\text{€}\). Das Spiel ist nicht fair, da der Erwartungswert nicht null ist. Damit das Spiel fair wäre, müsste der Einsatz \(2{,}20\,\text{€}\) betragen.

- Stelle zuerst die Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine einzelne Ziehung auf. - Berechne, wie viel Geld im Durchschnitt pro Spiel an die Spieler zurückfließt. - Wie hängen der erwartete Verlust des Spielers und der erwartete Gewinn des Betreibers zusammen? - Nutze die Linearität des Erwartungswerts, um das Ergebnis auf eine größere Anzahl an Spielen hochzurechnen.

1. Aufstellen der Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Auszahlung: \(P(20) = \frac{1}{25} = 0{,}04\); \(P(5) = \frac{4}{25} = 0{,}16\); \(P(0) = \frac{20}{25} = 0{,}80\). 2. Berechnung des Erwartungswerts der Auszahlung pro Spiel: \(E(\text{Auszahlung}) = 20 \cdot 0{,}04 + 5 \cdot 0{,}16 + 0 \cdot 0{,}80 = 0{,}8 + 0{,}8 = 1{,}60\,\text{€}\). 3. Berechnung des Erwartungswerts für den Gewinn \(X\) des Spielers: \(E(X) = 1{,}60\,\text{€} - 3{,}00\,\text{€} = -1{,}40\,\text{€}\). Ein Spieler verliert also im Schnitt \(1{,}40\,\text{€}\) pro Spiel. 4. Der erwartete Gewinn des Betreibers pro Spiel entspricht dem negativen Erwartungswert des Spielers: \(E(\text{Betreiber}) = 1{,}40\,\text{€}\). 5. Berechnung des Gesamterwartungswerts für \(200\) Spiele: \(200 \cdot 1{,}40\,\text{€} = 280{,}00\,\text{€}\).

Ein Spieler hat einen erwarteten Verlust von \(1{,}40\,\text{€}\) pro Spiel (\(E(X) = -1{,}40\,\text{€}\)). Bei \(200\) Spielen kann der Betreiber einen Gesamtgewinn von \(280{,}00\,\text{€}\) erwarten.

- Was müssen alle Wahrscheinlichkeiten eines Zufallsexperiments zusammen ergeben? - Wie groß ist der Anteil der Spiele, bei denen überhaupt etwas gewonnen wird? - Welcher Betrag soll im Durchschnitt pro Spiel ausgezahlt werden? - Kannst du den Erwartungswert als Gleichung formulieren, in der \(H\) die Unbekannte ist?

1. Berechnung der Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle Gewinne größer als Null: \(P(X > 0) = \frac{1}{5} + \frac{1}{20} + \frac{1}{50} + \frac{1}{100} + \frac{1}{500} = \frac{100}{500} + \frac{25}{500} + \frac{10}{500} + \frac{5}{500} + \frac{1}{500} = \frac{141}{500} = 0{,}282\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für keine Auszahlung ist das Gegenereignis: \(P(X = 0) = 1 - 0{,}282 = 0{,}718\). 3. Zielwert für den Erwartungswert festlegen: \(E(X) = 0{,}60 \cdot 0{,}50\,\text{€} = 0{,}30\,\text{€}\). 4. Aufstellen der Gleichung für den Erwartungswert: \(0{,}10 \cdot \frac{1}{5} + 0{,}50 \cdot \frac{1}{20} + 2{,}00 \cdot \frac{1}{50} + 5{,}00 \cdot \frac{1}{100} + H \cdot \frac{1}{500} = 0{,}30\). 5. Berechnung der Teilsumme der bekannten Terme: \(0{,}02 + 0{,}025 + 0{,}04 + 0{,}05 = 0{,}135\). 6. Auflösen nach \(H\): \(0{,}135 + \frac{H}{500} = 0{,}30 \implies \frac{H}{500} = 0{,}165 \implies H = 82{,}50\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}718\) (oder \(71{,}8\,\%\)). b) Der Hauptgewinn \(H\) muss \(82{,}50\,\text{€}\) betragen.

- Welche Werte kann die Anzahl der E-Mails annehmen? - Wann genau wird eine fünfte E-Mail verschickt? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis erst beim \(k\)-ten Versuch eintritt? - Überlege, wie sich die Wahrscheinlichkeit für den Maximalwert von den anderen unterscheidet.

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der gesendeten E-Mails mit den möglichen Werten \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten unter Verwendung der Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\): \(P(X=1) = 0{,}12\) \(P(X=2) = 0{,}88 \cdot 0{,}12 = 0{,}1056\) \(P(X=3) = 0{,}88^2 \cdot 0{,}12 = 0{,}092\,928\) \(P(X=4) = 0{,}88^3 \cdot 0{,}12 = 0{,}081\,776\,64\) \(P(X=5) = 0{,}88^4 = 0{,}599\,695\,36\) (Eintritt, wenn die ersten 4 E-Mails nicht geöffnet wurden). 3. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = 1 \cdot 0{,}12 + 2 \cdot 0{,}1056 + 3 \cdot 0{,}092\,928 + 4 \cdot 0{,}081\,776\,64 + 5 \cdot 0{,}599\,695\,36 = 3{,}735\,872\).

Ein Neukunde erhält im Durchschnitt etwa \(3{,}74\) E-Mails (exakt \(3{,}735\,872\)).

- Notiere dir zuerst alle möglichen Szenarien für die Anzahl der Drehungen. - Wie wahrscheinlich ist es, dass man genau zwei, drei oder vier Mal drehen muss? - Bedenke, dass die vierte Drehung in jedem Fall stattfindet, wenn die ersten drei keine Gewinne waren. - Wie hängen die Anzahl der Drehungen und die Gesamtkosten zusammen?

1. Festlegen der Zufallsgröße \(X\) für die Anzahl der Drehungen mit den Werten \(\{1, 2, 3, 4\}\). 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten mit \(p = 0{,}25\) und \(q = 0{,}75\): \(P(X=1) = 0{,}25\) \(P(X=2) = 0{,}75 \cdot 0{,}25 = 0{,}1875\) \(P(X=3) = 0{,}75^2 \cdot 0{,}25 = 0{,}140\,625\) \(P(X=4) = 0{,}75^3 = 0{,}421\,875\) (da nach 3 Misserfolgen die 4. Drehung unabhängig vom Ergebnis die letzte ist). 3. Berechnung des Erwartungswerts der Drehungen: \(E(X) = 1 \cdot 0{,}25 + 2 \cdot 0{,}1875 + 3 \cdot 0{,}140\,625 + 4 \cdot 0{,}421\,875 = 2{,}734\,375\). 4. Berechnung der erwarteten Kosten: \(E(\text{Kosten}) = 1{,}50\,\text{€} \cdot 2{,}734\,375 = 4{,}101\,562\,5\,\text{€}\).

Der Spieler muss mit durchschnittlichen Kosten von ca. \(4{,}10\,\text{€}\) rechnen (exakt \(4{,}101\,562\,5\,\text{€}\)).

- Erinnere dich an die Formel von Bernoulli für die Einzelwahrscheinlichkeiten. - Eine Tabelle hilft dir, die Werte für \(k\) und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten übersichtlich zu ordnen. - Der Erwartungswert ist der gewichtete Durchschnitt aller möglichen Werte der Zufallsgröße. - Multipliziere jeden Wert \(k\) mit seiner Wahrscheinlichkeit und addiere diese Ergebnisse.

1. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten mit der Formel \(P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\): \(P(X=0) = \binom{5}{0} \cdot 0{,}4^0 \cdot 0{,}6^5 = 0{,}077\,76\) \(P(X=1) = \binom{5}{1} \cdot 0{,}4^1 \cdot 0{,}6^4 = 5 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}1296 = 0{,}2592\) \(P(X=2) = \binom{5}{2} \cdot 0{,}4^2 \cdot 0{,}6^3 = 10 \cdot 0{,}16 \cdot 0{,}216 = 0{,}3456\) \(P(X=3) = \binom{5}{3} \cdot 0{,}4^3 \cdot 0{,}6^2 = 10 \cdot 0{,}064 \cdot 0{,}36 = 0{,}2304\) \(P(X=4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}4^4 \cdot 0{,}6^1 = 5 \cdot 0{,}0256 \cdot 0{,}6 = 0{,}0768\) \(P(X=5) = \binom{5}{5} \cdot 0{,}4^5 \cdot 0{,}6^0 = 0{,}010\,24\) 2. Berechnung des Erwartungswerts über die Summe der Produkte \(k \cdot P(X=k)\): \(E(X) = 0 \cdot 0{,}077\,76 + 1 \cdot 0{,}2592 + 2 \cdot 0{,}3456 + 3 \cdot 0{,}2304 + 4 \cdot 0{,}0768 + 5 \cdot 0{,}010\,24\) \(E(X) = 0 + 0{,}2592 + 0{,}6912 + 0{,}6912 + 0{,}3072 + 0{,}0512 = 2{,}0\)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist: <table border='1'> <tr><td>\(k\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr> <tr><td>\(P(X=k)\)</td><td>\(0{,}077\,76\)</td><td>\(0{,}2592\)</td><td>\(0{,}3456\)</td><td>\(0{,}2304\)</td><td>\(0{,}0768\)</td><td>\(0{,}010\,24\)</td></tr> </table> Der Erwartungswert beträgt \(E(X) = 2{,}0\).

- Überlege dir zuerst, wie viel Prozent der Akkus in den jeweiligen Zeitabschnitten (z. B. zwischen der 5. und 10. Stunde) kaputtgehen. - Wenn du weißt, wie groß die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall ist, welchen Zeitwert könntest du als Durchschnitt für dieses Intervall annehmen? - Wie berechnet man allgemein den Durchschnittswert (Erwartungswert), wenn man verschiedene Ergebnisse und deren Wahrscheinlichkeiten hat?

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für das Ausfallen innerhalb der Zeitintervalle durch Differenzbildung der Anteile: - \(P(0 < X \le 5) = 1{,}00 - 0{,}95 = 0{,}05\) - \(P(5 < X \le 10) = 0{,}95 - 0{,}85 = 0{,}10\) - \(P(10 < X \le 15) = 0{,}85 - 0{,}60 = 0{,}25\) - \(P(15 < X \le 20) = 0{,}60 - 0{,}30 = 0{,}30\) - \(P(20 < X \le 25) = 0{,}30 - 0{,}05 = 0{,}25\) - \(P(25 < X \le 30) = 0{,}05 - 0{,}00 = 0{,}05\) 2. Festlegung der Intervallmitten als Repräsentanten: \(2{,}5; 7{,}5; 12{,}5; 17{,}5; 22{,}5; 27{,}5\). 3. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = 0{,}05 \cdot 2{,}5 + 0{,}10 \cdot 7{,}5 + 0{,}25 \cdot 12{,}5 + 0{,}30 \cdot 17{,}5 + 0{,}25 \cdot 22{,}5 + 0{,}05 \cdot 27{,}5\) \(E(X) = 0{,}125 + 0{,}75 + 3{,}125 + 5{,}25 + 5{,}625 + 1{,}375 = 16{,}25\).

Der Schätzwert für die mittlere Lebensdauer beträgt \(16{,}25\,\text{Stunden}\).

- Wie hängen die Werte der Zufallsgröße und ihre jeweiligen Wahrscheinlichkeiten mit dem Erwartungswert zusammen? - Stelle eine Formel für den Erwartungswert auf, in der \(a\) vorkommt. - Überlege dir, welche Wahrscheinlichkeit abnimmt, wenn \(a\) (die Wahrscheinlichkeit für den Wert 1) zunimmt. - Welchen Einfluss haben höhere oder niedrigere Werte auf den „Schwerpunkt“ der Verteilung?

1. Aufstellen der Gleichung für den Erwartungswert: \(E(X) = 1 \cdot a + 2 \cdot 0{,}4 + 3 \cdot (0{,}6 - a)\). 2. Vereinfachen des Terms: \(E(X) = a + 0{,}8 + 1{,}8 - 3a = 2{,}6 - 2a\). 3. Lösen der Gleichung für \(E(X) = 2{,}3\): \(2{,}6 - 2a = 2{,}3 \implies 0{,}3 = 2a \implies a = 0{,}15\). 4. Begründung für die Änderung: Wenn \(a\) größer wird, nimmt die Wahrscheinlichkeit für den kleinsten Wert (\(X=1\)) zu, während die Wahrscheinlichkeit für den größten Wert (\(X=3\)) im gleichen Maße abnimmt. Da die Wahrscheinlichkeit für den mittleren Wert (\(X=2\)) konstant bleibt, verschiebt sich das „Gewicht“ der Verteilung hin zu kleineren Werten, wodurch der Erwartungswert sinkt.

a) Der Parameter muss den Wert \(a = 0{,}15\) annehmen. b) Der Erwartungswert sinkt, wenn \(a\) größer wird, da die Wahrscheinlichkeit für den kleinsten Wert \(1\) zunimmt und die für den größten Wert \(3\) abnimmt.

- Was bedeutet der Begriff „im Durchschnitt zu erwarten“ für die Wahl deiner Formel? - Wie lässt sich ein Prozentsatz oder eine Angabe wie „jede hundertste“ in einen Dezimalbruch für die Wahrscheinlichkeit \(p\) umwandeln? - Wenn die Wahrscheinlichkeit für einen Defekt sinkt, muss die Anzahl der Versuche dann steigen oder fallen, um denselben Durchschnittswert zu erhalten?

1. Berechnung des Erwartungswerts für Teilaufgabe a) mit \(n = 600\) und \(p = 0{,}025\): \(\mu = 600 \cdot 0{,}025 = 15\). 2. Bestimmung der neuen Wahrscheinlichkeit aus der Angabe „jede hundertste“: \(p_{neu} = \frac{1}{100} = 0{,}01\). 3. Aufstellen der Gleichung für den gesuchten Stichprobenumfang \(n_{neu}\) bei gleichbleibendem Erwartungswert \(\mu = 15\): \(15 = n_{neu} \cdot 0{,}01\). 4. Berechnung von \(n_{neu}\) durch Division: \(n_{neu} = \frac{15}{0{,}01} = 1500\).

a) Es sind durchschnittlich \(15\) fehlerhafte Leuchten zu erwarten. b) Die Charge müsste einen Umfang von \(1500\) Stück haben.

- Wie berechnet man die Anzahl der erwarteten Treffer bei einer bekannten Trefferquote? - Für den zweiten Teil kannst du entweder die Kosten pro Gewinnklasse addieren oder zuerst ausrechnen, wie viel ein Spiel im Durchschnitt an Gewinn ausschüttet. - Achte beim Rechnen mit den Brüchen darauf, diese in Dezimalzahlen umzuwandeln oder direkt mit dem Taschenrechner zu verrechnen.

1. Berechnung der erwarteten Anzahl pro Gewinnklasse (\(n = 12\,000\)): - Hauptgewinn: \(12\,000 \cdot \frac{1}{1\,000} = 12\). - Kleingewinn: \(12\,000 \cdot \frac{3}{100} = 360\). - Trostpreis: \(12\,000 \cdot \frac{1}{10} = 1\,200\). 2. Berechnung der Gesamtsumme der Preise: - Weg A: Summe der Produkte aus erwarteter Anzahl und Wert: \(12 \cdot 250\,\text{€} + 360 \cdot 10\,\text{€} + 1\,200 \cdot 2\,\text{€} = 3\,000\,\text{€} + 3\,600\,\text{€} + 2\,400\,\text{€} = 9\,000\,\text{€}\). - Weg B: Erwartungswert für ein Spiel \(E(X) = \frac{1}{1\,000} \cdot 250 + \frac{3}{100} \cdot 10 + \frac{1}{10} \cdot 2 = 0{,}25 + 0{,}30 + 0{,}20 = 0{,}75\,\text{€}\). Gesamtwert: \(12\,000 \cdot 0{,}75\,\text{€} = 9\,000\,\text{€}\).

a) Erwartete Anzahl der Gewinner: - Hauptgewinn: \(12\) - Kleingewinn: \(360\) - Trostpreis: \(1\,200\) b) Der Erwartungswert für die Gesamtsumme der Preise beträgt \(9\,000\,\text{€}\).

- Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt vor, wenn eine Münze mehrmals geworfen wird? - Wie wirkt sich die Bedingung, dass das Quadrat der Trefferanzahl ausgezahlt wird, auf die Berechnung des Erwartungswerts aus? - Wann bezeichnet man ein Spiel als vorteilhaft für den Spieler? - Gibt es eine Formel, die den Erwartungswert von \(X^2\) mit der Varianz und dem Erwartungswert von \(X\) verknüpft?

1. Identifikation der Verteilung: Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 5\) und \(p = 0{,}5\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten \(P(X=k)\) für \(k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\): \(P(0) = \frac{1}{32}\), \(P(1) = \frac{5}{32}\), \(P(2) = \frac{10}{32}\), \(P(3) = \frac{10}{32}\), \(P(4) = \frac{5}{32}\), \(P(5) = \frac{1}{32}\). 3. Berechnung des Erwartungswerts der Auszahlung \(E(X^2)\): \(E(X^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{32} + 1^2 \cdot \frac{5}{32} + 2^2 \cdot \frac{10}{32} + 3^2 \cdot \frac{10}{32} + 4^2 \cdot \frac{5}{32} + 5^2 \cdot \frac{1}{32}\). 4. Summation der Werte: \(E(X^2) = \frac{0 + 5 + 40 + 90 + 80 + 25}{32} = \frac{240}{32} = 7{,}5\). Die erwartete Auszahlung beträgt \(7{,}50\,\text{€}\). Alternativer Weg über Varianz: \(E(X^2) = Var(X) + (E(X))^2 = (5 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5) + (5 \cdot 0{,}5)^2 = 1{,}25 + 6{,}25 = 7{,}5\). 5. Berechnung des erwarteten Gewinns: \(G = 7{,}50\,\text{€} - 8{,}00\,\text{€} = -0{,}50\,\text{€}\).

Das Spiel ist für den Spieler langfristig nicht vorteilhaft, da er pro Spiel einen erwarteten Verlust von \(0{,}50\,\text{€}\) macht.

- Überlege dir für beide Fälle (Reklamation und keine Reklamation), wie viel Geld am Ende in der Kasse der Druckerei bleibt. - Beachte, dass bei einer Reklamation die Einnahmen wegfallen, aber die Kosten für die Produktion bereits entstanden sind. - Stelle für den zweiten Teil eine Gleichung oder Ungleichung auf, in der die Reklamationsquote als Variable \(p\) vorkommt. - Was bedeutet ein negativer Gewinn in einem der Fälle für die Berechnung des Erwartungswerts?

1. Berechnung des Gewinns pro Fall: Ohne Reklamation (\(96\,\%\)): \(14{,}50\,\text{€} - 8\,\text{€} = 6{,}50\,\text{€}\). Mit Reklamation (\(4\,\%\)): \(0\,\text{€} - 8\,\text{€} - 5\,\text{€} = -13{,}00\,\text{€}\) (Rückzahlung des Preises, Kosten für Produktion und Gutschein). 2. Erwartungswert für Teilaufgabe a): \(E(G) = 0{,}96 \cdot 6{,}50\,\text{€} + 0{,}04 \cdot (-13{,}00\,\text{€}) = 6{,}24\,\text{€} - 0{,}52\,\text{€} = 5{,}72\,\text{€}\). 3. Ansatz für Teilaufgabe b) mit Reklamationsquote \(p\): \(E(G) = (1-p) \cdot 6{,}50 - p \cdot 13{,}00 \ge 5\). 4. Umformung der Ungleichung: \(6{,}50 - 6{,}50p - 13{,}00p \ge 5 \implies 6{,}50 - 19{,}50p \ge 5\). 5. Isolieren von \(p\): \(1{,}50 \ge 19{,}50p \implies p \le \frac{1{,}5}{19{,}5} = \frac{1}{13} \approx 0{,}0769\).

a) Der erwartete Gewinn beträgt \(5{,}72\,\text{€}\) pro Bestellung. b) Die Reklamationsquote darf höchstens etwa \(7{,}69\,\%\) (exakt \(\frac{1}{13}\)) betragen.

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, die zweite Stufe des Spiels zu erreichen? - Stelle ein Gleichungssystem für die beiden gesuchten Wahrscheinlichkeiten auf. - Wie rechnet man eine Wahrscheinlichkeit am Glücksrad in einen Grad-Winkel um? - Überprüfe, ob die Summe aller Winkel am Ende \(360^\circ\) ergibt.

1. Wahrscheinlichkeit für die Qualifikation zum Glücksrad: \(P(\text{1 würfeln}) = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 2. Wahrscheinlichkeit für eine Niete am Rad: \(p_N = \frac{120}{360} = \frac{1}{3}\). 3. Summe der restlichen Wahrscheinlichkeiten: \(p_H + p_T = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\). 4. Ansatz über den Erwartungswert: \(E(X) = 0{,}25 \cdot (60 \cdot p_H + 15 \cdot p_T + 0 \cdot \frac{1}{3}) = 5{,}25\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(60 p_H + 15 p_T = \frac{5{,}25}{0{,}25} = 21\). 6. Einsetzen von \(p_T = \frac{2}{3} - p_H\): \(60 p_H + 15(\frac{2}{3} - p_H) = 21 \implies 60 p_H + 10 - 15 p_H = 21 \implies 45 p_H = 11\). 7. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: \(p_H = \frac{11}{45}\) und \(p_T = \frac{2}{3} - \frac{11}{45} = \frac{30}{45} - \frac{11}{45} = \frac{19}{45}\). 8. Umrechnung in Winkel: \(\alpha_H = \frac{11}{45} \cdot 360^\circ = 88^\circ\) und \(\alpha_T = \frac{19}{45} \cdot 360^\circ = 152^\circ\).

Der Mittelpunktswinkel für den Hauptpreis beträgt \(88^\circ\) und für den Trostpreis \(152^\circ\).

- Beginne damit, die Bedingung für die Gleichheit von zwei benachbarten Werten allgemein in Abhängigkeit von \(p\) und \(n\) zu formulieren. - Welchen Wert müsste \(p\) haben, damit \(E(n) = E(n+1)\) gilt? - Welchen Wert müsste \(p\) haben, damit \(E(n+1) = E(n+2)\) gilt? - Können diese beiden Ausdrücke für \(p\) jemals den exakt gleichen Wert annehmen? - Untersuche die resultierende Gleichung auf ihre Lösbarkeit für natürliche Zahlen \(n\).

1. Bedingung für \(E(n) = E(n+1)\): \(n \cdot p^n = (n+1) \cdot p^{n+1} \implies n = (n+1) \cdot p \implies p = \frac{n}{n+1}\). 2. Bedingung für \(E(n+1) = E(n+2)\): \((n+1) \cdot p^{n+1} = (n+2) \cdot p^{n+2} \implies n+1 = (n+2) \cdot p \implies p = \frac{n+1}{n+2}\). 3. Damit drei aufeinanderfolgende Werte gleich sind, müssten beide Bedingungen für dasselbe \(p\) erfüllt sein: \(\frac{n}{n+1} = \frac{n+1}{n+2}\). 4. Kreuzweise Multiplikation führt zu: \(n(n+2) = (n+1)^2 \iff n^2 + 2n = n^2 + 2n + 1\). 5. Dies führt zum Widerspruch \(0 = 1\). Somit kann es kein solches \(p\) geben, und die Behauptung ist wahr.

Die Behauptung ist richtig. Die Gleichsetzung der Bedingungen für die Gleichheit zweier aufeinanderfolgender Paare führt auf den Widerspruch \(n^2 + 2n = n^2 + 2n + 1\), was für keine natürliche Zahl \(n\) erfüllt werden kann.

- Wie berechnet man den Erwartungswert bei einer Binomialverteilung? - Um ein Intervall mit einer bestimmten Gesamtwahrscheinlichkeit zu finden, ist es hilfreich, die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse aufzusummieren. - Beginne beim Erwartungswert und nimm schrittweise benachbarte Werte hinzu, bis die gewünschte Prozentmarke überschritten wird. - Denke daran, dass die Anzahl der Erfolge nur ganze Zahlen sein können.

1. Identifikation der Parameter: \(n = 20\), \(p = 0{,}1\). 2. Berechnung des Erwartungswertes: \(E(X) = 20 \cdot 0{,}1 = 2\). 3. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten \(P(X = k)\) um den Erwartungswert herum: \(P(X = 0) \approx 0{,}1216\) \(P(X = 1) \approx 0{,}2702\) \(P(X = 2) \approx 0{,}2852\) \(P(X = 3) \approx 0{,}1901\) \(P(X = 4) \approx 0{,}0898\) \(P(X = 5) \approx 0{,}0319\) 4. Prüfung von Intervallen um \(\mu = 2\): Für \([0; 4]\): \(P(0 \le X \le 4) = 0{,}1216 + 0{,}2702 + 0{,}2852 + 0{,}1901 + 0{,}0898 = 0{,}9569\). Für \([0; 3]\): \(P(0 \le X \le 3) = 0{,}8671\) (unter \(90\,\%\)). Für \([1; 4]\): \(P(1 \le X \le 4) = 0{,}8353\) (unter \(90\,\%\)). Das kürzeste Intervall ist somit \([0; 4]\).

a) Der Erwartungswert beträgt \(2\). b) Das Intervall lautet \([0; 4]\). Die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen \(0\) und \(4\) Bauteile defekt sind, beträgt ca. \(95{,}7\,\%\).

- Handelt es sich hier um eine Kette von unabhängigen Versuchen? - Wie berechnet man den Wert, um den herum die Wahrscheinlichkeiten am höchsten sind? - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeiten, wenn das Produkt aus der Anzahl der Versuche (plus eins) und der Erfolgswahrscheinlichkeit genau eine ganze Zahl ergibt? - Überprüfe die Werte direkt über und unter dem Erwartungswert.

1. Identifikation der Verteilung: Binomialverteilung mit \(n = 15\) und \(p = 0{,}75\). 2. Berechnung des Werts \((n+1) \cdot p\): \((15+1) \cdot 0{,}75 = 16 \cdot 0{,}75 = 12\). 3. Da \((n+1) \cdot p = 12\) eine ganze Zahl ist, gibt es zwei Werte mit der maximalen (und identischen) Wahrscheinlichkeit: \(k_1 = 12\) und \(k_2 = 12 - 1 = 11\). 4. Überprüfung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X=11) = \binom{15}{11} \cdot 0{,}75^{11} \cdot 0{,}25^4 \approx 0{,}2252\) \(P(X=12) = \binom{15}{12} \cdot 0{,}75^{12} \cdot 0{,}25^3 \approx 0{,}2252\) 5. Beide Ergebnisse, \(11\) und \(12\), haben somit die größte Wahrscheinlichkeit.

Die Ergebnisse \(11\) und \(12\) keimende Samen haben beide die größte Wahrscheinlichkeit.

- Bestimme zunächst, welcher Anteil der Setzlinge jeweils im Verlauf der ersten, zweiten, ..., sechsten Woche eingeht. - Für die untere Grenze nimmst du an, dass die Setzlinge jeweils zum frühestmöglichen Zeitpunkt innerhalb ihrer Sterbewoche eingehen. - Für die obere Grenze nimmst du an, dass sie jeweils zum spätestmöglichen Zeitpunkt eingehen. - Wie wirkt sich diese Verschiebung um eine ganze Woche auf den Erwartungswert aus?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für das Eingehen pro Woche (\(\Delta\) der Anteile): - Woche 1: \(0{,}08\) - Woche 2: \(0{,}12\) - Woche 3: \(0{,}25\) - Woche 4: \(0{,}30\) - Woche 5: \(0{,}20\) - Woche 6: \(0{,}05\) 2. Untere Grenze (Annahme: alle sterben am Anfang der Woche, z. B. nach 0, 1, 2, ... Wochen): \(E_{min} = 0 \cdot 0{,}08 + 1 \cdot 0{,}12 + 2 \cdot 0{,}25 + 3 \cdot 0{,}30 + 4 \cdot 0{,}20 + 5 \cdot 0{,}05 = 2{,}57\). 3. Obere Grenze (Annahme: alle sterben am Ende der Woche, z. B. nach 1, 2, 3, ... Wochen): \(E_{max} = 1 \cdot 0{,}08 + 2 \cdot 0{,}12 + 3 \cdot 0{,}25 + 4 \cdot 0{,}30 + 5 \cdot 0{,}20 + 6 \cdot 0{,}05 = 3{,}57\). Alternativ: \(E_{max} = E_{min} + 1\), da jedes Intervall genau eine Woche lang ist.

Die untere Grenze für den Erwartungswert liegt bei \(2{,}57\,\text{Wochen}\), die obere Grenze bei \(3{,}57\,\text{Wochen}\).