Kostenlose Arbeitsblätter

- Welche möglichen Werte von \(X\) und welche Wahrscheinlichkeiten zeigt das Diagramm? - Beim Erwartungswert wird jeder mögliche Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichtet.

1. Aus dem Diagramm liest man \(P(X=0)=0{,}75\) und \(P(X=2)=0{,}25\) ab. 2. Der Erwartungswert ist der gewichtete Mittelwert: \(E(X)=0\cdot0{,}75+2\cdot0{,}25=0{,}5\).

\(E(X)=0{,}5\)

- Vergleiche für a) die beiden Wahrscheinlichkeiten. - Der Erwartungswert ist ein gewichteter Mittelwert und muss nicht selbst in der Wertemenge liegen.

1. Da \(0{,}6>0{,}4\), ist \(0\) der wahrscheinlichste Wert. 2. \(E(X)=0\cdot0{,}6+2\cdot0{,}4=0{,}8\). 3. Die möglichen Werte sind nur \(0\) und \(2\). Daher ist \(0{,}8\) kein möglicher Wert von \(X\).

a) \(0\) b) \(E(X)=0{,}8\) c) Nein.

- Wann endet das Spiel bereits nach dem ersten Versuch? - Unter welcher Bedingung wird der zweite Versuch überhaupt durchgeführt? - Berechne den Erwartungswert erst, nachdem du die beiden möglichen Werte von \(T\) und ihre Wahrscheinlichkeiten bestimmt hast.

1. \(T=1\) tritt genau dann ein, wenn der erste Versuch trifft. Daher gilt \(P(T=1)=\frac12\). 2. \(T=2\) tritt genau dann ein, wenn der erste Versuch nicht trifft. Unabhängig vom Ergebnis des zweiten Versuchs gilt daher \(P(T=2)=\frac12\). 3. Somit ist \(E(T)=1\cdot\frac12+2\cdot\frac12=1{,}5\).

a) \(P(T=1)=\frac12\), \(P(T=2)=\frac12\) b) \(E(T)=1{,}5\)

- Welche Parameter \(n\) und \(p\) hat die Binomialverteilung? - Wie wird der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße berechnet und im Kontext gedeutet? - Für welchen exakten Trefferwert musst du in Teil b) die Punktwahrscheinlichkeit bestimmen?

1. Für \(X\sim B(60,0{,}25)\) gilt \(\mu=60\cdot0{,}25=15\). 2. Bei sehr vielen vergleichbaren Testdurchführungen würde Lena im Mittel \(15\) Fragen pro Test richtig beantworten. 3. Für genau den Erwartungswert gilt \(P(X=15)=\binom{60}{15}0{,}25^{15}0{,}75^{45}\approx0{,}1182\).

a) \(\mu=15\). Bei häufiger Durchführung beantwortet Lena im Mittel \(15\) Fragen richtig. b) \(P(X=15)\approx0{,}1182\)

- Welche Beziehung verbindet bei einer Binomialverteilung \(n\), \(p\) und den Erwartungswert? - Was ändert sich beim zweiten Versuch: die Erfolgswahrscheinlichkeit oder nur die Anzahl der Versuche? - Welche Werte kann eine Zählvariable in einem einzelnen Versuch überhaupt annehmen?

1. Für eine binomialverteilte Zufallsgröße gilt \(E(X)=np\). Daher ist \(9{,}2=10p\) und damit \(p=0{,}92\). 2. Für \(Y\sim B(25,0{,}92)\) gilt \(E(Y)=25\cdot0{,}92=23\). 3. Der Erwartungswert beschreibt einen langfristigen Mittelwert und muss kein möglicher Einzelwert der Zufallsgröße sein. \(X\) nimmt nur ganze Werte an; \(9{,}2\) kann daher in einem einzelnen Zehnerblock nicht auftreten.

a) \(p=0{,}92\) b) \(E(Y)=23\) c) Die Aussage ist falsch. \(9{,}2\) ist ein langfristiger Mittelwert und kein möglicher Einzelwert von \(X\).

- Was gibt der Erwartungswert eigentlich an – ein einzelnes Ergebnis oder einen langfristigen Durchschnitt? - Überlege dir, wie man den Durchschnitt von Noten berechnet. Muss der Durchschnitt eine Note sein, die man tatsächlich bekommen kann? - Wie berechnet man den Erwartungswert, wenn die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse unterschiedlich sind?

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse: \(P(X=1) = \frac{1}{4} = 0{,}25\); \(P(X=2) = \frac{2}{4} = 0{,}5\); \(P(X=5) = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 2. Berechnung des Erwartungswertes: \(E(X) = 1 \cdot 0{,}25 + 2 \cdot 0{,}5 + 5 \cdot 0{,}25 = 0{,}25 + 1 + 1{,}25 = 2{,}5\). 3. Beurteilung der Aussage: Die Aussage ist falsch. Der Erwartungswert \(E(X) = 2{,}5\) ist keine ganze Zahl, obwohl alle möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments (\(1, 2, 5\)) ganzzahlig sind. 4. Begründung: Der Erwartungswert ist ein gewichteter Durchschnittswert bei einer großen Anzahl von Versuchen und muss nicht mit einem der tatsächlich möglichen Werte der Zufallsgröße übereinstimmen.

a) \(E(X) = 2{,}5\) b) Die Aussage ist falsch. Der Erwartungswert ist ein theoretischer Mittelwert (langfristiger Durchschnitt) und muss kein Wert sein, den die Zufallsgröße tatsächlich annehmen kann. Im Beispiel ist \(2{,}5\) kein möglicher Ausgang eines Wurfs.

- Überlege dir zuerst, wie groß die Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Ergebnisse sein muss. - Kannst du aus dieser Information eine Gleichung für die unbekannte Konstante aufstellen? - Wenn du alle Wahrscheinlichkeiten kennst, wie gewichtest du dann die Werte der Zufallsgröße, um den Erwartungswert zu erhalten?

1. Nutzung der Summeneigenschaft der Wahrscheinlichkeiten: \(P(Y=1) + P(Y=2) + P(Y=3) + P(Y=4) = 1\). 2. Einsetzen der gegebenen Terme: \(c + 2 \cdot c + 0{,}3 + 0{,}1 = 1\). 3. Zusammenfassen und Berechnen von \(c\): \(3 \cdot c + 0{,}4 = 1 \implies 3 \cdot c = 0{,}6 \implies c = 0{,}2\). 4. Aufstellen der vollständigen Wahrscheinlichkeitsverteilung: \(P(Y=1) = 0{,}2\), \(P(Y=2) = 0{,}4\), \(P(Y=3) = 0{,}3\), \(P(Y=4) = 0{,}1\). 5. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(Y) = 1 \cdot 0{,}2 + 2 \cdot 0{,}4 + 3 \cdot 0{,}3 + 4 \cdot 0{,}1 = 0{,}2 + 0{,}8 + 0{,}9 + 0{,}4 = 2{,}3\).

\(c = 0{,}2\) \(E(Y) = 2{,}3\)

- Was bedeutet es für den Gewinn eines Spielers im Durchschnitt, wenn ein Spiel als fair bezeichnet wird? - Kannst du die Wahrscheinlichkeiten für jedes mögliche Ergebnis bestimmen? - Wie berechnet man den Durchschnittswert einer Zufallsgröße? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Einsatz und der durchschnittlichen Auszahlung bei einem fairen Spiel?

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Auszahlungen: \(P(X = 15) = \frac{2}{20} = 0{,}1\); \(P(X = 5) = \frac{5}{20} = 0{,}25\); \(P(X = 0) = \frac{13}{20} = 0{,}65\). 2. Berechnung des Erwartungswerts der Auszahlung: \(E(X) = 15 \cdot 0{,}1 + 5 \cdot 0{,}25 + 0 \cdot 0{,}65 = 1{,}5 + 1{,}25 + 0 = 2{,}75\). 3. Ein Spiel gilt als fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns (Auszahlung minus Einsatz) null ist. Dies ist der Fall, wenn der Einsatz dem Erwartungswert der Auszahlung entspricht. 4. Der faire Einsatz beträgt somit \(2{,}75\,\text{€}\).

Der Einsatz muss \(2{,}75\,\text{€}\) betragen.

- Welche feste Versuchszahl und welche Trefferwahrscheinlichkeit sind gegeben? - Wie berechnet sich der Erwartungswert einer Binomialverteilung? - Für Teil b brauchst du die Punktwahrscheinlichkeit genau beim Erwartungswert.

1. Es gilt \(X\sim B(15,0{,}8)\). 2. Der Erwartungswert ist \(E(X)=15\cdot0{,}8=12\). 3. Für genau zwölf keimende Samen gilt \(P(X=12)=\binom{15}{12}0{,}8^{12}0{,}2^3\approx0{,}2501\).

a) \(12\) Samen b) \(P(X=12)\approx0{,}2501\)

- Überlege dir, wie man den Anteil eines Ganzen berechnet, wenn die Wahrscheinlichkeit als Dezimalzahl gegeben ist. - Welche mathematische Operation verknüpft die Gesamtzahl der Versuche mit der Wahrscheinlichkeit eines Einzelereignisses? - Die gesuchte Anzahl entspricht dem theoretischen Mittelwert bei häufiger Durchführung.

Die erwartete Anzahl der Sensoren mit Ungenauigkeiten (Erwartungswert) in einer Bernoulli-Kette berechnet sich durch die Formel \(E = n \cdot p\). 1. Für \(n = 1200\) und \(p = 0{,}025\) ergibt sich \(1200 \cdot 0{,}025 = 30\). Es sind \(30\) Sensoren zu erwarten. 2. Für \(n = 15\,000\) und \(p = 0{,}008\) ergibt sich \(15\,000 \cdot 0{,}008 = 120\). Es sind \(120\) Sensoren zu erwarten. 3. Für \(n = 450\) und \(p = 0{,}12\) ergibt sich \(450 \cdot 0{,}12 = 54\). Es sind \(54\) Sensoren zu erwarten.

1. \(30\) Sensoren 2. \(120\) Sensoren 3. \(54\) Sensoren

- Überlege dir zuerst, wie viele Werte die Zufallsgröße annehmen kann und welche Wahrscheinlichkeit jedem Wert zukommt. - Wie berechnet man allgemein den Durchschnitt von Werten, wenn alle die gleiche Gewichtung haben? - Fällt dir eine Symmetrie in der Menge der Zahlen auf?

1. Bestimmung der Anzahl der möglichen Werte: Die Menge \(M\) enthält \(n = 10\) Elemente. 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für jeden Wert: Da \(X\) gleichverteilt ist, gilt \(P(X = x_i) = \frac{1}{10}\) für alle \(x_i \in M\). 3. Berechnung der Summe aller Werte in \(M\): \(10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 + 100 = 550\). 4. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = \frac{1}{10} \cdot 550 = 55\). Alternativ lässt sich aufgrund der Symmetrie der Erwartungswert als Mittelwert des kleinsten und größten Wertes berechnen: \(E(X) = \frac{10 + 100}{2} = 55\).

\(E(X) = 55\)

- Wo liegt der Mittelpunkt zwischen der kleinsten möglichen Losnummer \(1\) und der größten Losnummer \(n\)? - Wie hängt dieser Mittelpunkt bei einer Gleichverteilung mit dem Erwartungswert zusammen? - Setze den gegebenen Erwartungswert erst ein, nachdem du diese Beziehung formuliert hast.

1. Bei einer Gleichverteilung auf \(\{1,2,\ldots,n\}\) liegen jeweils die Werte \(1\) und \(n\), \(2\) und \(n-1\) usw. symmetrisch um den Mittelwert \(\frac{n+1}{2}\). 2. Daher gilt \(E(X)=\frac{n+1}{2}\). 3. Aus \(\frac{n+1}{2}=25{,}5\) folgt \(n+1=51\) und damit \(n=50\).

\(n=50\)

- Wie erhältst du den Erwartungswert aus Auszahlungen und Wahrscheinlichkeiten? - Der erwartete Betreibergewinn ist die Differenz zwischen Einsatz und erwarteter Auszahlung. - Übersetze die Bedingung in eine Ungleichung mit dem unbekannten Einsatz.

1. \(E(X)=0\cdot0{,}85+2\cdot0{,}10+10\cdot0{,}04+50\cdot0{,}01=1{,}10\,\text{€}\). 2. Der erwartete Betreibergewinn ist \(2{,}00\,\text{€}-1{,}10\,\text{€}=0{,}90\,\text{€}\). 3. Für den Einsatz \(e\) gilt \(1{,}10 \ge 0{,}45e\), also \(e \le \frac{1{,}10}{0{,}45}\approx2{,}4444\). Auf Cent nach unten begrenzt ist der höchste zulässige Einsatz \(2{,}44\,\text{€}\).

a) \(E(X)=1{,}10\,\text{€}\) b) \(0{,}90\,\text{€}\) c) \(2{,}44\,\text{€}\)

- Welche Trefferwahrscheinlichkeit ergibt sich aus den vier gleich großen Sektoren? - Vergleiche bei a) zwei Punktwahrscheinlichkeiten mit unterschiedlichen Versuchszahlen. - Ein Erwartungswert beschreibt einen Durchschnitt, nicht ein garantiertes Einzelergebnis. - Für „mindestens ein Gewinn“ ist das Gegenereignis besonders kurz.

1. Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt \(p=\frac14\), die Gegenwahrscheinlichkeit \(\frac34\). 2. \(P(A)=\binom41\frac14\left(\frac34\right)^3=\frac{27}{64}\). 3. \(P(B)=\binom82\left(\frac14\right)^2\left(\frac34\right)^6\approx0{,}3115\). Die Wahrscheinlichkeiten sind nicht gleich. 4. Ein Erwartungswert beschreibt einen langfristigen Mittelwert und garantiert keinen Gewinn in jeder Viererserie. 5. \(P(C)=1-P(X=0)=1-\left(\frac34\right)^4=\frac{175}{256}<1\). Daher ist \(C\) kein sicheres Ereignis.

a) \(P(A)=\frac{27}{64}\), \(P(B)\approx0{,}3115\); die Wahrscheinlichkeiten sind nicht gleich. b) Die Aussage ist falsch. \(P(C)=\frac{175}{256}\), also ist \(C\) nicht sicher.

- Erinnere dich an die Formel von Bernoulli für die Einzelwahrscheinlichkeiten. - Eine Tabelle hilft dir, die Werte für \(k\) und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten übersichtlich zu ordnen. - Der Erwartungswert ist der gewichtete Durchschnitt aller möglichen Werte der Zufallsgröße. - Multipliziere jeden Wert \(k\) mit seiner Wahrscheinlichkeit und addiere diese Ergebnisse.

1. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten mit der Formel \(P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\): \(P(X=0) = \binom{5}{0} \cdot 0{,}4^0 \cdot 0{,}6^5 = 0{,}07776\) \(P(X=1) = \binom{5}{1} \cdot 0{,}4^1 \cdot 0{,}6^4 = 5 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}1296 = 0{,}2592\) \(P(X=2) = \binom{5}{2} \cdot 0{,}4^2 \cdot 0{,}6^3 = 10 \cdot 0{,}16 \cdot 0{,}216 = 0{,}3456\) \(P(X=3) = \binom{5}{3} \cdot 0{,}4^3 \cdot 0{,}6^2 = 10 \cdot 0{,}064 \cdot 0{,}36 = 0{,}2304\) \(P(X=4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}4^4 \cdot 0{,}6^1 = 5 \cdot 0{,}0256 \cdot 0{,}6 = 0{,}0768\) \(P(X=5) = \binom{5}{5} \cdot 0{,}4^5 \cdot 0{,}6^0 = 0{,}01024\) 2. Berechnung des Erwartungswerts über die Summe der Produkte \(k \cdot P(X=k)\): \(E(X) = 0 \cdot 0{,}07776 + 1 \cdot 0{,}2592 + 2 \cdot 0{,}3456 + 3 \cdot 0{,}2304 + 4 \cdot 0{,}0768 + 5 \cdot 0{,}01024\) \(E(X) = 0 + 0{,}2592 + 0{,}6912 + 0{,}6912 + 0{,}3072 + 0{,}0512 = 2{,}0\)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist: <table border='1'> <tr><td>\(k\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr> <tr><td>\(P(X=k)\)</td><td>\(0{,}07776\)</td><td>\(0{,}2592\)</td><td>\(0{,}3456\)</td><td>\(0{,}2304\)</td><td>\(0{,}0768\)</td><td>\(0{,}01024\)</td></tr> </table> Der Erwartungswert beträgt \(E(X) = 2{,}0\).

- Wie berechnet man allgemein den Durchschnittswert einer Verteilung, wenn die Wahrscheinlichkeiten gegeben sind? - Nutze die Summe über alle Produkte aus dem Wert \(k\) und der Wahrscheinlichkeit \(P(X=k)\). - Welche einfache Formel verbindet bei einer Binomialverteilung die Parameter \(n\) und \(p\) mit dem Erwartungswert? - Setze deine bekannten Werte in diese Formel ein, um die Unbekannte zu isolieren.

1. Berechnung des Erwartungswerts \(E(X)\) nach der Definition \(\sum k \cdot P(X=k)\): \(E(X) = 0 \cdot 0{,}064 + 1 \cdot 0{,}288 + 2 \cdot 0{,}432 + 3 \cdot 0{,}216\) \(E(X) = 0 + 0{,}288 + 0{,}864 + 0{,}648 = 1{,}8\) 2. Bestimmung von \(p\) über die Formel für den Erwartungswert bei Binomialverteilungen: Es gilt \(\mu = n \cdot p\). Mit \(n = 3\) und \(E(X) = 1{,}8\) folgt: \(1{,}8 = 3 \cdot p \implies p = \frac{1{,}8}{3} = 0{,}6\)

a) \(E(X) = 1{,}8\) b) \(p = 0{,}6\)

- Was berechnest du, wenn du jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizierst und die Ergebnisse addierst? - Denke daran, dass der Gewinn eines Spielers nicht nur aus dem ausgezahlten Betrag besteht, sondern auch die Kosten für das Los berücksichtigt werden müssen. - Was bedeutet „fair“ im Zusammenhang mit dem durchschnittlichen Gewinn über lange Zeit? - Stell dir vor, du spielst das Spiel 1000-mal. Wie viel Geld hättest du am Ende im Durchschnitt pro Spiel verloren oder gewonnen?

1. Berechnung des Erwartungswerts des Auszahlungswerts \(E(X)\): \(E(X) = 0\,\text{€} \cdot 0{,}80 + 5\,\text{€} \cdot 0{,}15 + 10\,\text{€} \cdot 0{,}05 = 0{,}75\,\text{€} + 0{,}50\,\text{€} = 1{,}25\,\text{€}\). 2. Berechnung des Erwartungswerts für den Reingewinn \(G\): \(E(G) = E(X) - \text{Einsatz} = 1{,}25\,\text{€} - 2{,}50\,\text{€} = -1{,}25\,\text{€}\). 3. Interpretation: Bei einer sehr großen Anzahl von gespielten Losen verliert ein Spieler im Durchschnitt \(1{,}25\,\text{€}\) pro Los. 4. Bestimmung des fairen Preises: Ein Spiel gilt als fair, wenn der erwartete Reingewinn Null ist. Dies ist der Fall, wenn der Lospreis dem erwarteten Auszahlungswert entspricht, also \(1{,}25\,\text{€}\).

a) Der Erwartungswert für den Reingewinn beträgt \(-1{,}25\,\text{€}\). b) Bei einer sehr großen Anzahl von Losen macht der Spieler pro Los im Durchschnitt einen Verlust von \(1{,}25\,\text{€}\). c) Damit das Spiel fair ist, müsste ein Los \(1{,}25\,\text{€}\) kosten.

- Welche Formel hilft dir, den Durchschnittswert bei einer bekannten Trefferquote und fester Versuchsanzahl zu bestimmen? - Überlege, was passieren würde, wenn der Sportler die gesamte Saison sehr oft unter identischen Bedingungen wiederholen könnte. - Ist der Erwartungswert ein Wert, der zwingend genau so eintreten muss, oder beschreibt er einen langfristigen Trend?

1. Identifikation der Parameter für die Binomialverteilung: \(n = 1200\) und \(p = 0{,}85\). 2. Berechnung des Erwartungswerts mit der Formel \(\mu = n \cdot p\): \(\mu = 1200 \cdot 0{,}85 = 1020\). 3. Interpretation: Der Erwartungswert von \(1020\) gibt die Trefferzahl an, die bei einer sehr großen Anzahl von Wiederholungen solcher Versuchsreihen (mit jeweils \(1200\) Schüssen) im Durchschnitt erzielt wird. Er dient als Kennmaß für das Zentrum der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

a) Der Erwartungswert beträgt \(1020\) Treffer. b) Der Wert gibt die langfristig zu erwartende mittlere Trefferzahl bei vielen Wiederholungen der Versuchsreihe an.

- Was bedeutet der Begriff „im Durchschnitt zu erwarten“ für die Wahl deiner Formel? - Wie lässt sich ein Prozentsatz oder eine Angabe wie „jede hundertste“ in einen Dezimalbruch für die Wahrscheinlichkeit \(p\) umwandeln? - Wenn die Wahrscheinlichkeit für einen Defekt sinkt, muss die Anzahl der Versuche dann steigen oder fallen, um denselben Durchschnittswert zu erhalten?

1. Berechnung des Erwartungswerts für Teilaufgabe a) mit \(n = 600\) und \(p = 0{,}025\): \(\mu = 600 \cdot 0{,}025 = 15\). 2. Bestimmung der neuen Wahrscheinlichkeit aus der Angabe „jede hundertste“: \(p_{neu} = \frac{1}{100} = 0{,}01\). 3. Aufstellen der Gleichung für den gesuchten Stichprobenumfang \(n_{neu}\) bei gleichbleibendem Erwartungswert \(\mu = 15\): \(15 = n_{neu} \cdot 0{,}01\). 4. Berechnung von \(n_{neu}\) durch Division: \(n_{neu} = \frac{15}{0{,}01} = 1500\).

a) Es sind durchschnittlich \(15\) fehlerhafte Leuchten zu erwarten. b) Die Charge müsste einen Umfang von \(1500\) Stück haben.

- Für den Erwartungswert einer Anzahl genügt der erwartete Beitrag einer einzelnen Person. - Unterscheide zwischen Voraussetzungen für einen Erwartungswert und Voraussetzungen für eine Binomialverteilung. - Prüfe, ob sich die vier erwarteten Anzahlen wieder zu \(250\,000\) summieren.

1. Für die Erwartungswerte genügt, dass jede Person dieselben angegebenen Kategorienwahrscheinlichkeiten besitzt. Es gilt jeweils \(E(X_i)=n p_i\); Unabhängigkeit ist dafür nicht erforderlich. 2. Keine: \(250\,000\cdot0{,}9350=233\,750\). 3. Leicht: \(250\,000\cdot0{,}0520=13\,000\). 4. Mittel: \(250\,000\cdot0{,}0115=2875\). 5. Schwer: \(250\,000\cdot0{,}0015=375\). 6. Für ein Binomialmodell einer einzelnen Kategorienanzahl muss zusätzlich angenommen werden, dass die Zuordnungen der Personen unabhängig sind und die jeweilige Kategorienwahrscheinlichkeit konstant bleibt.

Erwartete Anzahlen: \(233\,750\), \(13\,000\), \(2875\), \(375\). Für ein Binomialmodell der jeweiligen Kategorienanzahl ist zusätzlich Unabhängigkeit bei konstanter Kategorienwahrscheinlichkeit nötig.

- Wie berechnet man die Anzahl der erwarteten Treffer bei einer bekannten Trefferquote? - Für den zweiten Teil kannst du entweder die Kosten pro Gewinnklasse addieren oder zuerst ausrechnen, wie viel ein Spiel im Durchschnitt an Gewinn ausschüttet. - Achte beim Rechnen mit den Brüchen darauf, diese in Dezimalzahlen umzuwandeln oder direkt mit dem Taschenrechner zu verrechnen.

1. Berechnung der erwarteten Anzahl pro Gewinnklasse (\(n = 12\,000\)): - Hauptgewinn: \(12\,000 \cdot \frac{1}{1000} = 12\). - Kleingewinn: \(12\,000 \cdot \frac{3}{100} = 360\). - Trostpreis: \(12\,000 \cdot \frac{1}{10} = 1200\). 2. Berechnung der Gesamtsumme der Preise: - Weg A: Summe der Produkte aus erwarteter Anzahl und Wert: \(12 \cdot 250\,\text{€} + 360 \cdot 10\,\text{€} + 1200 \cdot 2\,\text{€} = 3000\,\text{€} + 3600\,\text{€} + 2400\,\text{€} = 9000\,\text{€}\). - Weg B: Erwartungswert für ein Spiel \(E(X) = \frac{1}{1000} \cdot 250 + \frac{3}{100} \cdot 10 + \frac{1}{10} \cdot 2 = 0{,}25 + 0{,}30 + 0{,}20 = 0{,}75\,\text{€}\). Gesamtwert: \(12\,000 \cdot 0{,}75\,\text{€} = 9000\,\text{€}\).

a) Erwartete Anzahl der Gewinner: - Hauptgewinn: \(12\) - Kleingewinn: \(360\) - Trostpreis: \(1200\) b) Der Erwartungswert für die Gesamtsumme der Preise beträgt \(9000\,\text{€}\).

- Multipliziere jeden möglichen Gewinn mit seiner Wahrscheinlichkeit. - Gehört der berechnete Erwartungswert überhaupt zur Wertemenge von \(X\)? - Welche Aussage macht ein Erwartungswert über viele Wiederholungen statt über eine einzelne Runde?

1. Es gilt \(E(X)=0\cdot0{,}2+2\cdot0{,}5+5\cdot0{,}3=2{,}5\). 2. Der Wert \(2{,}50\,\text{€}\) gehört nicht zur Wertemenge \(\{0\,\text{€},2\,\text{€},5\,\text{€}\}\) und kann in einer einzelnen Runde nicht auftreten. 3. Der Erwartungswert beschreibt den langfristigen durchschnittlichen Gewinn pro Runde bei sehr vielen Wiederholungen unter gleichbleibenden Bedingungen.

a) \(E(X)=2{,}50\,\text{€}\) b) \(2{,}50\,\text{€}\) ist kein möglicher Einzelgewinn; der Wert beschreibt den langfristigen Durchschnitt pro Runde.

- Welchen Erwartungswert hat eine Zufallsgröße, die nur \(0\) und \(1\) annimmt? - Wie hängt \(X\) mit den drei Indikatorvariablen zusammen? - Prüfe, welche Voraussetzung die Linearität des Erwartungswerts tatsächlich benötigt.

1. Für eine Indikatorvariable gilt \(E(I_j)=P(I_j=1)\). 2. Daher ist \(E(I_1)=0{,}2\), \(E(I_2)=0{,}3\) und \(E(I_3)=0{,}4\). 3. Mit der Linearität des Erwartungswerts folgt \(E(X)=E(I_1)+E(I_2)+E(I_3)=0{,}9\). 4. Die Linearität des Erwartungswerts gilt auch für abhängige Zufallsgrößen; deshalb ist Unabhängigkeit für diese Rechnung nicht erforderlich.

\(E(X)=0{,}9\). Für die Linearität des Erwartungswerts ist keine Unabhängigkeit nötig.

- Wie verhält sich der Erwartungswert bei einer linearen Transformation einer Zufallsgröße? - Nachdem du \(E(X)\) kennst: Welche Beziehung gilt für eine Binomialverteilung? - Übertrage die gefundene Trefferwahrscheinlichkeit auf die zweite Anzahl von Kontrollen.

1. Mit der Linearität des Erwartungswerts gilt \(E(S)=3E(X)-8\). Aus \(7=3E(X)-8\) folgt \(E(X)=5\). 2. Für \(X\sim B(25,p)\) gilt \(E(X)=25p\). Daher ist \(5=25p\) und somit \(p=0{,}2\). 3. Für \(Y\sim B(40,0{,}2)\) gilt \(E(Y)=40\cdot0{,}2=8\). 4. Somit ist \(E(T)=3E(Y)-8=3\cdot8-8=16\). 5. Der Faktor \(3\) skaliert den Erwartungswert mit \(3\); die feste Verschiebung \(-8\) verschiebt ihn anschließend um \(-8\).

a) \(E(X)=5\), \(p=0{,}2\) b) \(E(T)=16\) c) Der Faktor \(3\) verdreifacht den Erwartungswert; die Verschiebung um \(-8\) vermindert ihn anschließend um \(8\).

- Was muss für die Summe aller Wahrscheinlichkeiten eines Zufallsexperiments gelten? - Wie berechnet man den Durchschnittswert (Erwartungswert) einer Auszahlung? - In welchem Verhältnis stehen Einsatz, Auszahlung und der Gewinn des Betreibers zueinander?

1. Bestimmung der Proportionalitätskonstante \(c\): Aus der Bedingung \(\sum P(X=k) = 1\) folgt \(c \cdot (1 + 2 + 3 + 4) = 10c = 1\), also \(c = 0{,}1\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(1) = 0{,}1\); \(P(2) = 0{,}2\); \(P(3) = 0{,}3\); \(P(4) = 0{,}4\). 3. Berechnung des Erwartungswerts der Auszahlung \(E(A)\): \(E(A) = 0{,}1 \cdot 2{,}00 + 0{,}2 \cdot 2{,}00 + 0{,}3 \cdot 5{,}00 + 0{,}4 \cdot 10{,}00\). 4. Ergebnis der Auszahlung: \(E(A) = 0{,}20 + 0{,}40 + 1{,}50 + 4{,}00 = 6{,}10\,\text{€}\). 5. Berechnung des Einsatzes: Um einen Gewinn von \(0{,}50\,\text{€}\) zu erzielen, muss der Einsatz um diesen Betrag höher sein als die erwartete Auszahlung: \(Einsatz = 6{,}10\,\text{€} + 0{,}50\,\text{€} = 6{,}60\,\text{€}\).

Der Einsatz muss \(6{,}60\,\text{€}\) betragen.

- Erinnere dich an die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einer Verteilung. - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der nur noch eine Unbekannte vorkommt? - Was passiert mit dem Durchschnitt der Ergebnisse, wenn man ein Experiment immer und immer wieder wiederholt?

1. Ansatz mit einer Variablen für die gesuchten Wahrscheinlichkeiten: Sei \(p = P(Z=5)\). Da die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 betragen muss, gilt \(P(Z=0) = 1 - p\). 2. Aufstellen der Gleichung für den Erwartungswert: \(E(Z) = 0 \cdot (1-p) + 5 \cdot p = 3{,}5\). 3. Lösen der Gleichung: \(5 \cdot p = 3{,}5 \Rightarrow p = 0{,}7\). 4. Bestimmung der Verteilung: \(P(Z=5) = 0{,}7\) und \(P(Z=0) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\). 5. Interpretation: Führt man das Experiment sehr oft durch, so wird das arithmetische Mittel aller erzielten Ergebnisse (die Summe aller Ergebnisse geteilt durch die Anzahl der Versuche) nahe beim Wert \(3{,}5\) liegen.

a) \(P(Z=0) = 0{,}3\) und \(P(Z=5) = 0{,}7\) b) Bei einer großen Anzahl von Versuchen stabilisiert sich der Durchschnittswert der Ergebnisse um den Wert \(3{,}5\).

- Welche Werte kann die Anzahl der Versuche annehmen? - Überlege dir, wie viele Fehlversuche maximal hintereinander möglich sind, bevor der nächste Stick sicher ein Treffer sein muss. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für einen Pfad beim Ziehen ohne Zurücklegen? - Wie wird der Erwartungswert aus den Werten und ihren Wahrscheinlichkeiten berechnet?

1. Da drei Sticks leer sind, muss spätestens beim vierten Versuch ein Stick mit der Präsentation gefunden werden. Somit gilt \(X \in \{1;2;3;4\}\). 2. \(P(X=1)=\frac{2}{5}=0{,}4\). 3. \(P(X=2)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=0{,}3\). 4. \(P(X=3)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{2}{3}=0{,}2\). 5. \(P(X=4)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{2}=0{,}1\). 6. \(E(X)=1\cdot0{,}4+2\cdot0{,}3+3\cdot0{,}2+4\cdot0{,}1=2\).

a) <table> <tr><td>\(k\)</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td></tr> <tr><td>\(P(X=k)\)</td><td>\(0{,}4\)</td><td>\(0{,}3\)</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}1\)</td></tr> </table> b) \(E(X)=2\)

- Wann ist man sicher, ein defektes Teil gefunden zu haben, wenn man zuvor nur intakte Teile erwischt hat? - Welche Pfade im Baumdiagramm entsprechen dem Ereignis, spätestens beim zweiten Test Erfolg zu haben? - Wie hängen die Einzelwahrscheinlichkeiten und der Erwartungswert zusammen?

1. Bestimmung der Maximalanzahl: Im ungünstigsten Fall werden zuerst alle 4 intakten Bauteile geprüft. Das 5. Bauteil muss dann zwingend defekt sein. Die maximale Anzahl beträgt somit 5. 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei Prüfungen: \(P(X=1) = \frac{3}{7}\) \(P(X=2) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}\) \(P(X \le 2) = \frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \approx 0{,}714\) 3. Berechnung des Erwartungswerts: Zunächst weitere Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X=3) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{35}\); \(P(X=4) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{35}\); \(P(X=5) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{35}\). Mit \(P(X=1) = \frac{15}{35}\) und \(P(X=2) = \frac{10}{35}\) ergibt sich: \(E(X) = 1 \cdot \frac{15}{35} + 2 \cdot \frac{10}{35} + 3 \cdot \frac{6}{35} + 4 \cdot \frac{3}{35} + 5 \cdot \frac{1}{35} = \frac{15+20+18+12+5}{35} = \frac{70}{35} = 2\).

a) Maximal 5 Prüfungen. b) \(P(X \le 2) = \frac{5}{7} \approx 0{,}714\) c) Im Durchschnitt sind 2 Prüfungen erforderlich.

- Was muss für die Summe aller Wahrscheinlichkeiten einer Zufallsgröße immer gelten? - Wie hängen die einzelnen Wahrscheinlichkeiten von der Konstanten ab? - Welche Rechenvorschrift nutzt man, um den Durchschnittswert bei bekannter Verteilung zu ermitteln?

1. Aufstellen der Normierungsbedingung: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss \(1\) ergeben: \(\sum P(X=x) = k \cdot (0+1) + k \cdot (2+1) + k \cdot (4+1) + k \cdot (6+1) = 1\). 2. Zusammenfassen und Lösen nach \(k\): \(k \cdot (1 + 3 + 5 + 7) = 16 \cdot k = 1\). Daraus folgt \(k = \frac{1}{16} = 0{,}0625\). 3. Bestimmen der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X=0) = \frac{1}{16}\), \(P(X=2) = \frac{3}{16}\), \(P(X=4) = \frac{5}{16}\) und \(P(X=6) = \frac{7}{16}\). 4. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = \sum x_i \cdot P(X=x_i) = 0 \cdot \frac{1}{16} + 2 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot \frac{5}{16} + 6 \cdot \frac{7}{16} = \frac{0 + 6 + 20 + 42}{16} = \frac{68}{16} = 4{,}25\).

a) \(k = \frac{1}{16} = 0{,}0625\) b) \(E(X) = 4{,}25\)

- Wann bezeichnet man ein Spiel in der Wahrscheinlichkeitsrechnung als fair? - Wie hängen die Flächenanteile (bzw. Wahrscheinlichkeiten) mit den Mittelpunktswinkeln eines Kreises zusammen? - In Teil b) gibt es mehr Unbekannte als Gleichungen. Du kannst also für einige Sektoren Werte vorgeben und die restlichen berechnen. - Achte darauf, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten immer 1 ergeben muss.

1. Berechnung des Erwartungswerts für Teil a): Da alle Sektoren gleich groß sind, ist die Wahrscheinlichkeit für jeden Sektor \(p = \frac{1}{4} = 0{,}25\). Der Erwartungswert der Auszahlung berechnet sich zu \(E(X) = 0 \cdot 0{,}25 + 2 \cdot 0{,}25 + 5 \cdot 0{,}25 + 9 \cdot 0{,}25 = 4{,}00\,\text{€}\). Für ein faires Spiel muss der Einsatz dem Erwartungswert entsprechen, also \(4{,}00\,\text{€}\). 2. Ansatz für Teil b): Ein faires Spiel erfordert \(E(X) = 3{,}50\,\text{€}\). Es gilt die Gleichung \(0 \cdot p_1 + 2 \cdot p_2 + 5 \cdot p_3 + 9 \cdot p_4 = 3{,}5\) sowie die Nebenbedingung \(p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1\). 3. Beispielhafte Lösung durch Wahl von Werten: Setzt man beispielsweise \(p_4 = 0{,}2\) und \(p_3 = 0{,}2\), ergibt sich \(2 \cdot p_2 + 1{,}0 + 1{,}8 = 3{,}5\), woraus \(2 \cdot p_2 = 0{,}7\) und somit \(p_2 = 0{,}35\) folgt. Die restliche Wahrscheinlichkeit für den Nullsektor beträgt \(p_1 = 1 - 0{,}2 - 0{,}2 - 0{,}35 = 0{,}25\). 4. Umrechnung in Mittelpunktswinkel (\(\alpha_i = p_i \cdot 360^\circ\)): \(\alpha_1 = 90^\circ\), \(\alpha_2 = 126^\circ\), \(\alpha_3 = 72^\circ\), \(\alpha_4 = 72^\circ\).

a) Der Einsatz muss \(4{,}00\,\text{€}\) betragen. b) Eine mögliche Verteilung der Mittelpunktswinkel ist: \(90^\circ\) für den \(0\,\text{€}\)-Sektor, \(126^\circ\) für den \(2\,\text{€}\)-Sektor, \(72^\circ\) für den \(5\,\text{€}\)-Sektor und \(72^\circ\) für den \(9\,\text{€}\)-Sektor.

- Was bedeutet Fairness für den Zusammenhang zwischen dem Erwartungswert der Gewinne und dem Lospreis? - Wie berechnet man den Erwartungswert, wenn die absolute Anzahl der Lose und die Gesamtzahl bekannt sind? - Stelle für den zweiten Teil ein kleines Gleichungssystem auf. Da es drei Unbekannte aber nur zwei Bedingungen gibt, kannst du eine Variable geschickt wählen. - Vergiss nicht, dass die Anzahl der Lose eine natürliche Zahl sein muss.

1. Berechnung des Erwartungswerts für Teil a): \(E(X) = 0 \cdot 0{,}7 + 10 \cdot 0{,}2 + 50 \cdot 0{,}1 = 0 + 2 + 5 = 7{,}00\,\text{€}\). Der faire Preis entspricht dem Erwartungswert der Auszahlung, also \(7{,}00\,\text{€}\). 2. Aufstellen der Gleichungen für Teil b): Sei \(n_0, n_{10}, n_{50}\) die Anzahl der jeweiligen Lose. Es gilt \(n_0 + n_{10} + n_{50} = 40\) und für die Fairness \(\frac{0 \cdot n_0 + 10 \cdot n_{10} + 50 \cdot n_{50}}{40} = 10\). 3. Vereinfachung der Fairness-Gleichung: \(10 \cdot n_{10} + 50 \cdot n_{50} = 400 \Rightarrow n_{10} + 5 \cdot n_{50} = 40\). 4. Bestimmung einer ganzzahligen Lösung: Wählt man beispielsweise \(n_{50} = 4\), so folgt \(n_{10} + 20 = 40\), also \(n_{10} = 20\). 5. Berechnung der Anzahl der Nieten: \(n_0 = 40 - 20 - 4 = 16\). Alle Bedingungen (mindestens ein Los pro Wert, Summe 40) sind erfüllt.

a) Der faire Preis beträgt \(7{,}00\,\text{€}\). b) Eine mögliche Verteilung ist: \(16\) Lose mit \(0\,\text{€}\), \(20\) Lose mit \(10\,\text{€}\) und \(4\) Lose mit \(50\,\text{€}\).

- Wie viele verschiedene Ergebnisse gibt es insgesamt beim dreimaligen Werfen einer Münze? - Überlege dir, wie oft die Bedingungen „dreimal Kopf“ oder „zweimal Kopf“ in der Ergebnismenge vorkommen. - Stelle eine Gleichung auf, in der die Summe der gewichteten Auszahlungen dem Einsatz entspricht. - Was muss passieren, damit der durchschnittliche Reingewinn genau null ist?

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die relevanten Ereignisse beim dreimaligen Münzwurf: \(P(\text{3-mal Kopf}) = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}\); \(P(\text{genau 2-mal Kopf}) = \binom{3}{2} \cdot (\frac{1}{2})^3 = \frac{3}{8}\). 2. Aufstellen der Gleichung für den Erwartungswert der Auszahlung \(E(A)\): \(E(A) = x \cdot \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{3}{8} + 0 \cdot \frac{4}{8} = \frac{x + 12}{8}\). 3. Bedingung für ein faires Spiel: Der Erwartungswert der Auszahlung muss gleich dem Einsatz sein, also \(E(A) = 3\). 4. Lösen der Gleichung nach \(x\): \(\frac{x + 12}{8} = 3 \implies x + 12 = 24 \implies x = 12\). 5. Für einen Auszahlungsbetrag von \(12{,}00\,\text{€}\) bei „dreimal Kopf“ ist das Spiel fair.

Es gilt \(x = 12\); die Auszahlung bei „dreimal Kopf“ beträgt also \(12{,}00\,\text{€}\).

- Welche Kosten entstehen der Firma, wenn das erste Teil direkt funktioniert? - Wie hoch sind die Gesamtkosten, wenn ein Ersatzteil geliefert werden muss? - Wie berechnet man den Durchschnittswert (Erwartungswert) der Kosten unter Berücksichtigung der Defektwahrscheinlichkeit? - Wie hängen Verkaufspreis, erwartete Kosten und der gewünschte Gewinn zusammen?

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die Fälle „Sensor einwandfrei“ (\(P = 0{,}94\)) und „Sensor defekt“ (\(P = 0{,}06\)). 2. Ermittlung der Kosten pro Verkauf: Im fehlerfreien Fall entstehen Kosten von \(15\,\text{€}\). Im Fehlerfall entstehen Gesamtkosten von \(15\,\text{€} + 18\,\text{€} = 33\,\text{€}\). 3. Berechnung des Erwartungswerts der Kosten: \(E(K) = 0{,}94 \cdot 15\,\text{€} + 0{,}06 \cdot 33\,\text{€} = 14{,}10\,\text{€} + 1{,}98\,\text{€} = 16{,}08\,\text{€}\). 4. Aufstellen der Gewinngleichung für den Verkaufspreis \(x\): \(x - 16{,}08\,\text{€} = 4\,\text{€}\). 5. Berechnung des Preises: \(x = 20{,}08\,\text{€}\).

Der Verkaufspreis muss \(20{,}08\,\text{€}\) betragen.

- Kannst du das Problem als zweistufiges Zufallsexperiment betrachten? - Welche Wahrscheinlichkeit besteht überhaupt, das Glücksrad drehen zu dürfen? - Wie hängen der Erwartungswert des Gewinns und die einzelnen Sektoren zusammen? - Denke daran, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten am Glücksrad immer 1 ergeben muss.

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, das Glücksrad drehen zu dürfen: \(P(\text{Glücksrad}) = \frac{5}{25} = 0{,}2\). 2. Aufstellen der Gleichung für die Summe der Wahrscheinlichkeiten am Glücksrad: \(p_G + p_S + 0{,}5 = 1 \implies p_S = 0{,}5 - p_G\). 3. Aufstellen der Gleichung für den Erwartungswert: \(E(X) = 0{,}2 \cdot (100 \cdot p_G + 40 \cdot p_S + 10 \cdot 0{,}5) = 7\). 4. Umformen der Erwartungswertgleichung: \(100 \cdot p_G + 40 \cdot p_S + 5 = \frac{7}{0{,}2} = 35 \implies 100 \cdot p_G + 40 \cdot p_S = 30\). 5. Einsetzen von \(p_S\): \(100 \cdot p_G + 40 \cdot (0{,}5 - p_G) = 30 \implies 100 \cdot p_G + 20 - 40 \cdot p_G = 30 \implies 60 \cdot p_G = 10\). 6. Berechnung der Ergebnisse: \(p_G = \frac{1}{6} \approx 0{,}167\) und \(p_S = 0{,}5 - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\).

Die Wahrscheinlichkeit für den Sektor Gold beträgt \(\frac{1}{6}\) (ca. \(16{,}7\,\%\)) und für den Sektor Silber \(\frac{1}{3}\) (ca. \(33{,}3\,\%\)).

- In Aufgabenteil a) suchst du den klassischen Erwartungswert einer binomialverteilten Größe. - In Aufgabenteil b) musst du die Formel für den Erwartungswert nach der Anzahl der Versuche umstellen. - Erinnere dich für Teil c) daran, wie die relative Häufigkeit aus der Anzahl der Treffer und der Gesamtzahl der Versuche gebildet wird. - Was sagt das Gesetz der großen Zahlen über das Verhältnis von relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit aus?

1. Berechnung des Erwartungswerts für \(n = 800\): \(E = 800 \cdot 0{,}05 = 40\). Der Hauptgewinn ist theoretisch \(40\)-mal zu erwarten. 2. Bestimmung der Gesamtzahl \(n\) bei gegebenem Erwartungswert \(E = 35\): Aus \(35 = n \cdot 0{,}05\) folgt \(n = \frac{35}{0{,}05} = 700\). Das Rad wurde \(700\)-mal gedreht. 3. Berechnung der relativen Häufigkeit \(h\): \(h = \frac{112}{2000} = 0{,}056\). Vergleich mit der Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}05\): Die relative Häufigkeit liegt um \(0{,}006\) (bzw. \(0{,}6\,\text{Prozentpunkte}\)) über der theoretischen Wahrscheinlichkeit.

a) \(40\)-mal b) \(700\)-mal c) Relative Häufigkeit: \(0{,}056\) (oder \(5{,}6\,\%\)). Sie weicht um \(0{,}006\) (oder \(0{,}6\,\text{Prozentpunkte}\)) nach oben von der theoretischen Wahrscheinlichkeit (\(0{,}05\)) ab.

- Was bedeutet der Begriff „Gewinn“ im Unterschied zur „Auszahlung“? - Wie berechnet man den gewichteten Durchschnitt aller möglichen Ergebnisse? - Wann genau bezeichnet man ein mathematisches Spiel als „fair“? - Überlege, welche Wahrscheinlichkeiten den einzelnen Ereignissen am Glücksrad zugeordnet werden müssen.

1. Sei \(A\) die Auszahlung. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Auszahlungen: \(P(A = 12) = \frac{2}{20} = 0{,}1\); \(P(A = 4) = \frac{5}{20} = 0{,}25\); \(P(A = 0) = \frac{13}{20} = 0{,}65\). 2. Berechnung des Erwartungswerts der Auszahlung: \(E(\text{Auszahlung}) = 12 \cdot 0{,}1 + 4 \cdot 0{,}25 + 0 \cdot 0{,}65 = 1{,}2 + 1 + 0 = 2{,}20\,\text{€}\). 3. Berechnung des Erwartungswerts für den Gewinn \(X\) (Auszahlung minus Einsatz): \(E(X) = 2{,}20\,\text{€} - 2{,}50\,\text{€} = -0{,}30\,\text{€}\). 4. Da der Erwartungswert \(E(X) \neq 0\) ist, ist das Spiel nicht fair. 5. Ein Spiel gilt als fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns null ist. Dies ist der Fall, wenn der Einsatz dem Erwartungswert der Auszahlung entspricht. Der faire Einsatz beträgt somit \(2{,}20\,\text{€}\).

Der Erwartungswert für den Gewinn beträgt \(E(X) = -0{,}30\,\text{€}\). Das Spiel ist nicht fair, da der Erwartungswert nicht null ist. Damit das Spiel fair wäre, müsste der Einsatz \(2{,}20\,\text{€}\) betragen.

- Stelle zuerst die Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine einzelne Ziehung auf. - Berechne, wie viel Geld im Durchschnitt pro Spiel an die Spieler zurückfließt. - Wie hängen der erwartete Verlust des Spielers und der erwartete Gewinn des Betreibers zusammen? - Nutze die Linearität des Erwartungswerts, um das Ergebnis auf eine größere Anzahl an Spielen hochzurechnen.

1. Aufstellen der Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Auszahlung: \(P(20) = \frac{1}{25} = 0{,}04\); \(P(5) = \frac{4}{25} = 0{,}16\); \(P(0) = \frac{20}{25} = 0{,}80\). 2. Berechnung des Erwartungswerts der Auszahlung pro Spiel: \(E(\text{Auszahlung}) = 20 \cdot 0{,}04 + 5 \cdot 0{,}16 + 0 \cdot 0{,}80 = 0{,}8 + 0{,}8 = 1{,}60\,\text{€}\). 3. Berechnung des Erwartungswerts für den Gewinn \(X\) des Spielers: \(E(X) = 1{,}60\,\text{€} - 3{,}00\,\text{€} = -1{,}40\,\text{€}\). Ein Spieler verliert also im Schnitt \(1{,}40\,\text{€}\) pro Spiel. 4. Der erwartete Gewinn des Betreibers pro Spiel entspricht dem negativen Erwartungswert des Spielers: \(E(\text{Betreiber}) = 1{,}40\,\text{€}\). 5. Berechnung des Gesamterwartungswerts für \(200\) Spiele: \(200 \cdot 1{,}40\,\text{€} = 280{,}00\,\text{€}\).

Ein Spieler hat einen erwarteten Verlust von \(1{,}40\,\text{€}\) pro Spiel (\(E(X) = -1{,}40\,\text{€}\)). Bei \(200\) Spielen kann der Betreiber einen Gesamtgewinn von \(280{,}00\,\text{€}\) erwarten.

- Was müssen alle Wahrscheinlichkeiten eines Zufallsexperiments zusammen ergeben? - Wie groß ist der Anteil der Spiele, bei denen überhaupt etwas gewonnen wird? - Welcher Betrag soll im Durchschnitt pro Spiel ausgezahlt werden? - Kannst du den Erwartungswert als Gleichung formulieren, in der \(H\) die Unbekannte ist?

1. Berechnung der Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle Gewinne größer als Null: \(P(X > 0) = \frac{1}{5} + \frac{1}{20} + \frac{1}{50} + \frac{1}{100} + \frac{1}{500} = \frac{100}{500} + \frac{25}{500} + \frac{10}{500} + \frac{5}{500} + \frac{1}{500} = \frac{141}{500} = 0{,}282\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für keine Auszahlung ist das Gegenereignis: \(P(X = 0) = 1 - 0{,}282 = 0{,}718\). 3. Zielwert für den Erwartungswert festlegen: \(E(X) = 0{,}60 \cdot 0{,}50\,\text{€} = 0{,}30\,\text{€}\). 4. Aufstellen der Gleichung für den Erwartungswert: \(0{,}10 \cdot \frac{1}{5} + 0{,}50 \cdot \frac{1}{20} + 2{,}00 \cdot \frac{1}{50} + 5{,}00 \cdot \frac{1}{100} + H \cdot \frac{1}{500} = 0{,}30\). 5. Berechnung der Teilsumme der bekannten Terme: \(0{,}02 + 0{,}025 + 0{,}04 + 0{,}05 = 0{,}135\). 6. Auflösen nach \(H\): \(0{,}135 + \frac{H}{500} = 0{,}30 \implies \frac{H}{500} = 0{,}165 \implies H = 82{,}50\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}718\) (oder \(71{,}8\,\%\)). b) Es gilt \(H = 82{,}50\); der Hauptgewinn beträgt also \(82{,}50\,\text{€}\).

- Welche Werte kann die Anzahl der E-Mails annehmen? - Wann genau wird eine fünfte E-Mail verschickt? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis erst beim \(k\)-ten Versuch eintritt? - Überlege, wie sich die Wahrscheinlichkeit für den Maximalwert von den anderen unterscheidet.

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der gesendeten E-Mails mit den möglichen Werten \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten unter Verwendung der Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\): \(P(X=1) = 0{,}12\) \(P(X=2) = 0{,}88 \cdot 0{,}12 = 0{,}1056\) \(P(X=3) = 0{,}88^2 \cdot 0{,}12 = 0{,}092928\) \(P(X=4) = 0{,}88^3 \cdot 0{,}12 = 0{,}08177664\) \(P(X=5) = 0{,}88^4 = 0{,}59969536\) (Eintritt, wenn die ersten 4 E-Mails nicht geöffnet wurden). 3. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = 1 \cdot 0{,}12 + 2 \cdot 0{,}1056 + 3 \cdot 0{,}092928 + 4 \cdot 0{,}08177664 + 5 \cdot 0{,}59969536 = 3{,}93556736\).

Ein Neukunde erhält im Durchschnitt etwa \(3{,}94\) E-Mails (exakt \(3{,}93556736\)).

- Notiere alle möglichen Werte für die Zahl der tatsächlich durchgeführten Drehungen. - Wann genau werden zwei, drei oder vier Drehungen benötigt? - Die vierte Drehung findet statt, sobald die ersten drei Drehungen erfolglos waren. - Die Gesamtkosten sind proportional zur Anzahl der Drehungen.

1. Die Zufallsgröße \(X\) ist die Anzahl der tatsächlich durchgeführten Drehungen und kann die Werte \(1,2,3,4\) annehmen. 2. Mit \(p=0{,}25\) und \(q=0{,}75\) gilt \(P(X=1)=0{,}25\), \(P(X=2)=0{,}75\cdot0{,}25=0{,}1875\), \(P(X=3)=0{,}75^2\cdot0{,}25=0{,}140625\) und \(P(X=4)=0{,}75^3=0{,}421875\). 3. \(E(X)=1\cdot0{,}25+2\cdot0{,}1875+3\cdot0{,}140625+4\cdot0{,}421875=2{,}734375\). 4. Die erwarteten Kosten sind \(1{,}50\,\text{€}\cdot2{,}734375=4{,}1015625\,\text{€}\approx4{,}10\,\text{€}\).

Die durchschnittlichen Kosten betragen \(4{,}1015625\,\text{€}\approx4{,}10\,\text{€}\).

- Identifiziere die Trefferwahrscheinlichkeit dafür, dass ein einzelner Fehler auf den betrachteten Server fällt. - Welche Verteilung beschreibt die Fehlerzahl auf diesem Server bei \(120\) unabhängigen Zuordnungen? - Für „mehr als zwei“ ist ein Gegenereignis hilfreich. - Für Teil b kannst du für jeden Server eine Indikatorvariable „mindestens ein Fehler“ betrachten.

1. Für die Fehlerzahl \(X\) auf einem festen Server gilt \(X\sim B(120,0{,}02)\). 2. \(P(X=0)=0{,}98^{120}\approx0{,}0885\), also \(8{,}85\,\%\). 3. \(P(X=1)=120\cdot0{,}02\cdot0{,}98^{119}\approx0{,}2168\), also \(21{,}68\,\%\). 4. \(P(X=2)=\binom{120}{2}0{,}02^2 0{,}98^{118}\approx0{,}2633\), also \(26{,}33\,\%\). 5. Mit ungerundeten Werten ist \(P(X>2)=1-P(X\le2)\approx0{,}4313\), also \(43{,}13\,\%\). 6. Für einen Server ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einen Fehler zu erhalten, \(1-0{,}98^{120}\). Mit Indikatorvariablen und Linearität des Erwartungswerts ergibt sich für die Zahl \(Y\) der betroffenen Server \(E(Y)=50(1-0{,}98^{120})\approx45{,}57\).

a) \(P(X=0)\approx8{,}85\,\%\), \(P(X=1)\approx21{,}68\,\%\), \(P(X=2)\approx26{,}33\,\%\), \(P(X>2)\approx43{,}13\,\%\) b) \(E(Y)\approx45{,}57\) Server

- Betrachte einen festen Chip und jeden Defekt als einen Versuch. - Wie groß ist die Trefferwahrscheinlichkeit eines Defekts für genau diesen Chip? - Für Teil b wird die Punktwahrscheinlichkeit auf \(1000\) gleichartige Chips übertragen.

1. Für einen festen Chip ist jeder der \(50\) Defekte ein unabhängiger Versuch mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p=\frac{1}{1000}=0{,}001\). Daher gilt \(X\sim B(50,0{,}001)\). 2. \(P(X=0)=0{,}999^{50}\approx0{,}9512\). 3. \(P(X=2)=\binom{50}{2}0{,}001^2 0{,}999^{48}\approx0{,}0011676\). 4. Für \(1000\) Chips ist die erwartete Anzahl mit genau zwei Defekten \(1000\cdot P(X=2)\approx1{,}17\). 5. Ein „Erfolg“ bedeutet, dass ein bestimmter Defekt auf den betrachteten Chip fällt; die Kettenlänge ist \(n=50\).

a) \(P(X=0)\approx0{,}9512\) b) \(\approx1{,}17\) Chips c) Erfolg: Ein Defekt trifft den betrachteten Chip; Kettenlänge: \(n=50\).

- Welche Trefferwahrscheinlichkeit hat eine vorher festgelegte Augenzahl bei einem fairen Würfel? - Wie lauten die Punktwahrscheinlichkeiten für null bzw. genau einen Treffer? - Für Teil 3 kannst du jede Augenzahl einzeln betrachten und die erwarteten Beiträge addieren.

1. Für eine festgelegte Augenzahl gilt pro Wurf \(p=\frac16\). Daher ist \(P(X=0)=(\frac56)^6\approx0{,}3349\), also \(33{,}49\,\%\). 2. \(P(X=1)=\binom61\frac16(\frac56)^5=(\frac56)^5\approx0{,}4019\), also \(40{,}19\,\%\). 3. Für jede der sechs Augenzahlen ist die Nichtauftretenswahrscheinlichkeit \((\frac56)^6\). Mit Linearität des Erwartungswerts ergibt sich \(6(\frac56)^6\approx2{,}01\). 4. Ein Drittel von \(6\) ist \(2\). Damit ist der Erwartungswert geringfügig größer als ein Drittel der möglichen Augenzahlen.

1. \(\approx33{,}49\,\%\) 2. \(\approx40{,}19\,\%\) 3. \(\approx2{,}01\) Augenzahlen; das ist mehr als ein Drittel von \(6\).

- Betrachte zunächst nur einen einzigen Tag und die Anzahl der Personen mit Geburtstag an diesem Tag. - Wie wird aus einer Wahrscheinlichkeit für einen festen Tag eine erwartete Anzahl von Tagen im Jahr? - „Mehr als eine Person“ ist das Gegenereignis zu „keine oder genau eine Person“.

1. Für einen festen Tag ist die Anzahl \(X\) der Personen mit Geburtstag binomialverteilt mit \(n=500\) und \(p=\frac{1}{365}\). 2. \(P(X=0)=(\frac{364}{365})^{500}\approx0{,}253664\), also \(25{,}37\,\%\). 3. Die erwartete Anzahl leerer Tage ist \(365P(X=0)\approx92{,}6\). 4. Für genau eine Person gilt \(P(X=1)=\binom{500}{1}\frac{1}{365}(\frac{364}{365})^{499}\approx0{,}348440\). 5. Damit ist \(P(X>1)=1-P(X=0)-P(X=1)\), und die erwartete Anzahl solcher Tage ist \(365P(X>1)\approx145{,}2\).

a) \(\approx25{,}37\,\%\) b) \(\approx92{,}6\) Tage c) \(\approx145{,}2\) Tage

- Wie erhältst du aus zwei aufeinanderfolgenden Überlebensanteilen die Wahrscheinlichkeit, dass der Ausfall dazwischen liegt? - Welche Werte nimmt die diskrete Näherungsvariable \(Y\) an? - Wie wird aus den Werten von \(Y\) und ihren Wahrscheinlichkeiten der Erwartungswert gebildet?

1. Die Ausfallwahrscheinlichkeiten erhält man aus den Abnahmen der funktionsfähigen Anteile: \(0{,}05\), \(0{,}10\), \(0{,}25\), \(0{,}30\), \(0{,}25\), \(0{,}05\). 2. Den Intervallen \((0;5]\), \((5;10]\), \((10;15]\), \((15;20]\), \((20;25]\), \((25;30]\) werden die Mittelpunkte \(2{,}5\), \(7{,}5\), \(12{,}5\), \(17{,}5\), \(22{,}5\), \(27{,}5\) zugeordnet. 3. Damit ist \(E(Y)=0{,}05\cdot2{,}5+0{,}10\cdot7{,}5+0{,}25\cdot12{,}5+0{,}30\cdot17{,}5+0{,}25\cdot22{,}5+0{,}05\cdot27{,}5=16{,}25\,\text{Stunden}\). 4. Der Wert ist eine Näherung, weil alle Ausfälle eines Intervalls durch dessen Mittelpunkt repräsentiert werden.

a) <table><tr><td>\(y\) in Stunden</td><td>\(2{,}5\)</td><td>\(7{,}5\)</td><td>\(12{,}5\)</td><td>\(17{,}5\)</td><td>\(22{,}5\)</td><td>\(27{,}5\)</td></tr><tr><td>\(P(Y=y)\)</td><td>\(0{,}05\)</td><td>\(0{,}10\)</td><td>\(0{,}25\)</td><td>\(0{,}30\)</td><td>\(0{,}25\)</td><td>\(0{,}05\)</td></tr></table> b) \(E(Y)=16{,}25\,\text{Stunden}\); dies ist eine Näherung für die mittlere Lebensdauer.

- Wie hängen die Werte der Zufallsgröße und ihre jeweiligen Wahrscheinlichkeiten mit dem Erwartungswert zusammen? - Stelle eine Formel für den Erwartungswert auf, in der \(a\) vorkommt. - Überlege dir, welche Wahrscheinlichkeit abnimmt, wenn \(a\) (die Wahrscheinlichkeit für den Wert 1) zunimmt. - Welchen Einfluss haben höhere oder niedrigere Werte auf den „Schwerpunkt“ der Verteilung?

1. Aufstellen der Gleichung für den Erwartungswert: \(E(X) = 1 \cdot a + 2 \cdot 0{,}4 + 3 \cdot (0{,}6 - a)\). 2. Vereinfachen des Terms: \(E(X) = a + 0{,}8 + 1{,}8 - 3 \cdot a = 2{,}6 - 2 \cdot a\). 3. Lösen der Gleichung für \(E(X) = 2{,}3\): \(2{,}6 - 2 \cdot a = 2{,}3 \implies 0{,}3 = 2 \cdot a \implies a = 0{,}15\). 4. Begründung für die Änderung: Wenn \(a\) größer wird, nimmt die Wahrscheinlichkeit für den kleinsten Wert (\(X=1\)) zu, während die Wahrscheinlichkeit für den größten Wert (\(X=3\)) im gleichen Maße abnimmt. Da die Wahrscheinlichkeit für den mittleren Wert (\(X=2\)) konstant bleibt, verschiebt sich das „Gewicht“ der Verteilung hin zu kleineren Werten, wodurch der Erwartungswert sinkt.

a) Der Parameter muss den Wert \(a = 0{,}15\) annehmen. b) Der Erwartungswert sinkt, wenn \(a\) größer wird, da die Wahrscheinlichkeit für den kleinsten Wert \(1\) zunimmt und die für den größten Wert \(3\) abnimmt.

- Bestimme zuerst die Gesamtzahl aller Felder auf dem Glücksrad. - Wie viele Felder zeigen jeweils den Gewinn \(0\,\text{€}\), \(1\,\text{€}\), \(2\,\text{€}\) und \(5\,\text{€}\)? - Nutze diese Anzahlen, um die fehlenden Wahrscheinlichkeiten in der Tabelle zu bestimmen. - Erinnere dich daran, wie man den Erwartungswert als gewichteten Durchschnitt berechnet. - Vergleiche den erwarteten Auszahlungsbetrag mit dem Einsatz des Spiels.

1. Teilaufgabe a): Das Glücksrad hat insgesamt 12 gleich große Sektoren. - Für den Gewinn \(x = 1\,\text{€}\) gibt es 4 Sektoren. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(X = 1) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\). - Für den Gewinn \(x = 5\,\text{€}\) gibt es 1 Sektor. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(X = 5) = \frac{1}{12}\). 2. Teilaufgabe b): Der Erwartungswert \(E(X)\) berechnet sich aus der Summe der Produkte der Gewinne und ihrer Wahrscheinlichkeiten: \(E(X) = 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 5 \cdot \frac{1}{12} = \frac{4}{12} + \frac{6}{12} + \frac{5}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1{,}25\,\text{€}\). 3. Teilaufgabe c): Um die Fairness zu beurteilen, berechnen wir den erwarteten Nettogewinn: \(\text{Nettogewinn} = E(X) - \text{Einsatz} = 1{,}25\,\text{€} - 1{,}50\,\text{€} = -0{,}25\,\text{€}\). Da der erwartete Nettogewinn kleiner als \(0\,\text{€}\) ist, ist das Spiel für den Spieler nicht fair; er macht im Durchschnitt einen Verlust von \(0{,}25\,\text{€}\) pro Spiel.

a) Die fehlenden Werte in der Tabelle sind: - Für \(x = 1\): \(\frac{1}{3}\) - Für \(x = 5\): \(\frac{1}{12}\) b) Der Erwartungswert beträgt \(E(X) = 1{,}25\,\text{€}\). c) Das Spiel ist nicht fair. Der erwartete Nettogewinn beträgt \(1{,}25\,\text{€} - 1{,}50\,\text{€} = -0{,}25\,\text{€}\). Der Spieler macht auf lange Sicht im Durchschnitt \(0{,}25\,\text{€}\) Verlust pro Spiel.

- Bestimme zunächst für jeden möglichen Auszahlungsbetrag die Anzahl der Sektoren auf dem Glücksrad. - Wie hängen die Anzahl der günstigen Sektoren und die Gesamtzahl der Sektoren mit der Wahrscheinlichkeit zusammen? - Was bedeutet der Begriff „Erwartungswert“ anschaulich und wie berechnet man ihn? - Wann nennt man ein Spiel „fair“? Überlege, welche Beziehung dann zwischen dem Spieleinsatz und der erwarteten Auszahlung bestehen muss. - Wenn der Betreiber einen Gewinn erzielen möchte, muss er den Einsatz im Vergleich zur durchschnittlichen Auszahlung erhöhen oder senken?

1. Für Aufgabenteil a) stellen wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) auf. Die möglichen Auszahlungsbeträge (in €) sind \(0\), \(2\), \(5\) und \(10\). Da alle 8 Sektoren gleich groß sind, ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten: - \(P(X = 0) = \frac{3}{8}\) - \(P(X = 2) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\) - \(P(X = 5) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\) - \(P(X = 10) = \frac{1}{8}\) Die Wahrscheinlichkeitsverteilung als Tabelle: <table> <thead> <tr> <th>\(x_i\) (in \(\text{€}\))</th> <th>0</th> <th>2</th> <th>5</th> <th>10</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <th>\(P(X = x_i)\)</th> <td>\(\frac{3}{8}\)</td> <td>\(\frac{2}{8}\)</td> <td>\(\frac{2}{8}\)</td> <td>\(\frac{1}{8}\)</td> </tr> </tbody> </table> Der Erwartungswert \(E(X)\) berechnet sich wie folgt: \(E(X) = 0 \cdot \frac{3}{8} + 2 \cdot \frac{2}{8} + 5 \cdot \frac{2}{8} + 10 \cdot \frac{1}{8} = \frac{0 + 4 + 10 + 10}{8} = \frac{24}{8} = 3\,\text{€}\). 2. Für Aufgabenteil b): Ein Spiel ist fair, wenn der erwartete Gewinn für beide Seiten \(0\,\text{€}\) beträgt. Das bedeutet, dass der Einsatz genau dem erwarteten Auszahlungsbetrag entsprechen muss. Der faire Einsatz beträgt somit \(3\,\text{€}\). 3. Für Aufgabenteil c): Wenn der Betreiber einen erwarteten Gewinn von \(0{,}50\,\text{€}\) pro Spiel erzielen möchte, muss der Einsatz um diesen Betrag höher sein als der erwartete Auszahlungsbetrag: \(\text{Einsatz} = E(X) + 0{,}50\,\text{€} = 3\,\text{€} + 0{,}50\,\text{€} = 3{,}50\,\text{€}\).

a) Die Wahrscheinlichkeitsverteilung lautet: \(P(X = 0) = \frac{3}{8}\), \(P(X = 2) = \frac{1}{4}\), \(P(X = 5) = \frac{1}{4}\), \(P(X = 10) = \frac{1}{8}\). Der Erwartungswert beträgt \(E(X) = 3\,\text{€}\). b) Der faire Spieleinsatz beträgt \(3\,\text{€}\). c) Der Betreiber muss einen Einsatz von \(3{,}50\,\text{€}\) verlangen.

- Was versteht man unter dem Reingewinn bei einem Spiel, bei dem man einen Einsatz zahlen muss? - Wie viele Felder hat das Glücksrad insgesamt und wie oft kommt jede Zahl vor? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für jedes mögliche Ergebnis? - Wie ist der Erwartungswert einer Zufallsgröße definiert? - Wann bezeichnet man ein Spiel in der Mathematik als „fair“?

1. Bestimmung des Reingewinns \(X\) für jedes Ergebnis: - Feld „5“ (rot): Reingewinn \(10\,\text{€} - 3\,\text{€} = 7\,\text{€}\) - Feld „2“ (blau): Reingewinn \(4\,\text{€} - 3\,\text{€} = 1\,\text{€}\) - Feld „1“ (gelb): Reingewinn \(0\,\text{€} - 3\,\text{€} = -3\,\text{€}\) 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ereignisse: Das Glücksrad hat insgesamt 6 gleich große Felder. - Wahrscheinlichkeit für die „1“ (3 gelbe Felder): \(P(X = -3) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) - Wahrscheinlichkeit für die „2“ (2 blaue Felder): \(P(X = 1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) - Wahrscheinlichkeit für die „5“ (1 rotes Feld): \(P(X = 7) = \frac{1}{6}\) Die Wahrscheinlichkeitsverteilung lautet: <table> <tr> <th>\(x_i\) (in \(\text{€}\))</th> <td>\(-3\)</td> <td>\(1\)</td> <td>\(7\)</td> </tr> <tr> <th>\(P(X = x_i)\)</th> <td>\(\frac{1}{2}\)</td> <td>\(\frac{1}{3}\)</td> <td>\(\frac{1}{6}\)</td> </tr> </table> 3. Berechnung des Erwartungswerts \(E(X)\): \(E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i) = -3 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 7 \cdot \frac{1}{6}\) \(E(X) = -\frac{3}{2} + \frac{1}{3} + \frac{7}{6} = -\frac{9}{6} + \frac{2}{6} + \frac{7}{6} = \frac{0}{6} = 0\,\text{€}\) 4. Fazit: Da der Erwartungswert des Reingewinns genau \(0\,\text{€}\) beträgt, ist das Spiel fair. Weder der Spieler noch der Betreiber haben auf lange Sicht einen Vor- oder Nachteil.

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table> <tr> <th>\(x_i\)</th> <td>\(-3\)</td> <td>\(1\)</td> <td>\(7\)</td> </tr> <tr> <th>\(P(X = x_i)\)</th> <td>\(\frac{1}{2}\)</td> <td>\(\frac{1}{3}\)</td> <td>\(\frac{1}{6}\)</td> </tr> </table> b) Der Erwartungswert beträgt \(E(X) = 0\,\text{€}\). Das Spiel ist somit fair.

- Überlege zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Sektor ist, wenn alle 10 Sektoren gleich groß sind. - Wie viele Sektoren zeigen den gleichen Betrag? Nutze dies für die Wahrscheinlichkeitstabelle. - Der Erwartungswert wird berechnet, indem man jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multipliziert und die Ergebnisse addiert. - Ein Spiel ist „fair“, wenn der durchschnittliche Gewinn (Auszahlung minus Einsatz) Null beträgt. - Setze für den unbekannten Gewinn in Teil c) eine Variable ein und löse die Gleichung für den Erwartungswert nach dieser Variablen auf.

1. Aufstellen der Wahrscheinlichkeitsverteilung: Da es 10 gleich große Sektoren gibt, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jeden Sektor \(0{,}1\). Durch Abzählen der Häufigkeiten der Beträge ergibt sich: \(P(X = 0) = \frac{5}{10} = 0{,}5\) \(P(X = 2) = \frac{3}{10} = 0{,}3\) \(P(X = 10) = \frac{1}{10} = 0{,}1\) \(P(X = 24) = \frac{1}{10} = 0{,}1\) 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = 0 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}3 + 10 \cdot 0{,}1 + 24 \cdot 0{,}1 = 0 + 0{,}6 + 1 + 2{,}4 = 4{,}00\) Der Erwartungswert der Auszahlung beträgt \(4{,}00\,\text{€}\). 3. Bestimmung des fairen Einsatzes: Ein Spiel gilt als fair, wenn der Einsatz dem Erwartungswert der Auszahlung entspricht. Der Einsatz muss also \(4{,}00\,\text{€}\) betragen. 4. Berechnung des neuen Gewinns \(a\): Es soll gelten: \(E_{neu}(X) = 5\). \(0 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}3 + 10 \cdot 0{,}1 + a \cdot 0{,}1 = 5\) \(1{,}6 + 0{,}1a = 5\) \(0{,}1a = 3{,}4\) \(a = 34\) Der neue Gewinnbetrag muss \(34{,}00\,\text{€}\) betragen.

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table> <tr> <td>Gewinn \(x_i\) in \(\text{€}\)</td> <td>0</td> <td>2</td> <td>10</td> <td>24</td> </tr> <tr> <td>\(P(X = x_i)\)</td> <td>\(0{,}5\)</td> <td>\(0{,}3\)</td> <td>\(0{,}1\)</td> <td>\(0{,}1\)</td> </tr> </table> b) Der Erwartungswert beträgt \(E(X) = 4\,\text{€}\). Für ein faires Spiel muss der Einsatz ebenfalls \(4{,}00\,\text{€}\) betragen. c) Der neue Gewinnbetrag muss \(a = 34\,\text{€}\) sein.

- Welche Satzfolgen beenden das Match bereits nach zwei Sätzen? - Ein Verlauf endet sofort, sobald eine Person den zweiten Satz gewonnen hat. - Fasse für die Verteilung von \(X\) alle vollständigen Matchverläufe mit derselben Satzanzahl zusammen.

1. Das Match endet nach zwei Sätzen bei den Verläufen \(LL\) und \(MM\). Es gilt \(P(LL)=0{,}6^2=0{,}36\) und \(P(MM)=0{,}4^2=0{,}16\). 2. Nach einem Zwischenstand von \(1{:}1\) wird ein dritter Satz gespielt. Die vollständigen Verläufe sind \(LML\), \(LMM\), \(MLL\) und \(MLM\) mit den Wahrscheinlichkeiten \(0{,}144\), \(0{,}096\), \(0{,}144\) und \(0{,}096\). 3. Damit ist \(P(X=2)=0{,}36+0{,}16=0{,}52\) und \(P(X=3)=0{,}48\). 4. Der Erwartungswert beträgt \(E(X)=2\cdot0{,}52+3\cdot0{,}48=2{,}48\).

a) \(P(LL)=0{,}36\), \(P(MM)=0{,}16\), \(P(LML)=0{,}144\), \(P(LMM)=0{,}096\), \(P(MLL)=0{,}144\), \(P(MLM)=0{,}096\) b) \(P(X=2)=0{,}52\), \(P(X=3)=0{,}48\) c) \(E(X)=2{,}48\)

- Welche Werte nimmt \(Y\) zu den drei gegebenen Werten von \(X\) an? - Schreibe den Erwartungswert allgemein als Summe aus Wert mal Wahrscheinlichkeit. - Welche bekannte Summe entsteht bei den konstanten \(b\)-Anteilen?

1. \(E(X)=(-1)\cdot0{,}25+0\cdot0{,}50+2\cdot0{,}25=0{,}25\). 2. Die möglichen Werte von \(Y\) sind \(1\), \(4\) und \(10\) mit denselben zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Daher ist \(E(Y)=1\cdot0{,}25+4\cdot0{,}50+10\cdot0{,}25=4{,}75\). 3. Für mögliche Werte \(x_i\) mit Wahrscheinlichkeiten \(p_i\) gilt \(E(aX+b)=\sum_i(ax_i+b)p_i\). 4. Durch Aufteilen der Summe erhält man \(E(aX+b)=a\sum_i x_i p_i+b\sum_i p_i\). 5. Wegen \(\sum_i p_i=1\) folgt \(E(aX+b)=aE(X)+b\). Im konkreten Beispiel ist damit auch \(3\cdot0{,}25+4=4{,}75\).

a) \(E(X)=0{,}25\), \(E(Y)=4{,}75\) b) \(E(aX+b)=aE(X)+b\)

- Welche Bedingungen müssen Wiederholungen erfüllen, damit ein Binomialmodell plausibel ist? - Was ist der Erwartungswert der Anzahl erscheinender Gäste unter diesem Modell? - Wie wirkt sich eine lineare Änderung der Zufallsgröße auf ihren Erwartungswert aus?

1. Für ein Binomialmodell müssen die \(20\) Buchungen als gleichartige Bernoulli-Versuche mit annähernd gleicher Anreisewahrscheinlichkeit \(0{,}85\) und hinreichend unabhängigen Anreiseentscheidungen aufgefasst werden können. 2. Unter diesen Annahmen gilt \(E(X)=np=20\cdot0{,}85=17\). 3. Mit der affinen Erwartungswertregel folgt \(E(Y)=8E(X)-90=8\cdot17-90=46\,\text{€}\).

a) Annähernd konstante Anreisewahrscheinlichkeit \(0{,}85\) und hinreichend unabhängige Anreiseentscheidungen bei \(20\) gleichartigen Buchungen. b) \(E(Y)=46\,\text{€}\)

- Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt vor, wenn eine Münze mehrmals geworfen wird? - Wie wirkt sich die Bedingung, dass das Quadrat der Trefferanzahl ausgezahlt wird, auf die Berechnung des Erwartungswerts aus? - Wann bezeichnet man ein Spiel als vorteilhaft für den Spieler? - Berechne zuerst die Einzelwahrscheinlichkeiten und gewichte anschließend die zugehörigen Auszahlungsbeträge.

1. Identifikation der Verteilung: Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 5\) und \(p = 0{,}5\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten \(P(X=k)\) für \(k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\): \(P(0) = \frac{1}{32}\), \(P(1) = \frac{5}{32}\), \(P(2) = \frac{10}{32}\), \(P(3) = \frac{10}{32}\), \(P(4) = \frac{5}{32}\), \(P(5) = \frac{1}{32}\). 3. Berechnung des Erwartungswerts der Auszahlung \(E(X^2)\): \(E(X^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{32} + 1^2 \cdot \frac{5}{32} + 2^2 \cdot \frac{10}{32} + 3^2 \cdot \frac{10}{32} + 4^2 \cdot \frac{5}{32} + 5^2 \cdot \frac{1}{32}\). 4. Summation der Werte: \(E(X^2) = \frac{0 + 5 + 40 + 90 + 80 + 25}{32} = \frac{240}{32} = 7{,}5\). Die erwartete Auszahlung beträgt \(7{,}50\,\text{€}\). 5. Berechnung des erwarteten Gewinns: \(G = 7{,}50\,\text{€} - 8{,}00\,\text{€} = -0{,}50\,\text{€}\).

Das Spiel ist für den Spieler langfristig nicht vorteilhaft, da er pro Spiel einen erwarteten Verlust von \(0{,}50\,\text{€}\) macht.

- Überlege dir für beide Fälle (Reklamation und keine Reklamation), wie viel Geld am Ende in der Kasse der Druckerei bleibt. - Beachte, dass bei einer Reklamation die Einnahmen wegfallen, aber die Kosten für die Produktion bereits entstanden sind. - Stelle für den zweiten Teil eine Gleichung oder Ungleichung auf, in der die Reklamationsquote als Variable \(p\) vorkommt. - Was bedeutet ein negativer Gewinn in einem der Fälle für die Berechnung des Erwartungswerts?

1. Berechnung des Gewinns pro Fall: Ohne Reklamation (\(96\,\%\)): \(14{,}50\,\text{€} - 8\,\text{€} = 6{,}50\,\text{€}\). Mit Reklamation (\(4\,\%\)): \(0\,\text{€} - 8\,\text{€} - 5\,\text{€} = -13{,}00\,\text{€}\) (Rückzahlung des Preises, Kosten für Produktion und Gutschein). 2. Erwartungswert für Teilaufgabe a): \(E(G) = 0{,}96 \cdot 6{,}50\,\text{€} + 0{,}04 \cdot (-13{,}00\,\text{€}) = 6{,}24\,\text{€} - 0{,}52\,\text{€} = 5{,}72\,\text{€}\). 3. Ansatz für Teilaufgabe b) mit Reklamationsquote \(p\): \(E(G) = (1-p) \cdot 6{,}50 - p \cdot 13{,}00 \ge 5\). 4. Umformung der Ungleichung: \(6{,}50 - 6{,}50 \cdot p - 13{,}00 \cdot p \ge 5 \implies 6{,}50 - 19{,}50 \cdot p \ge 5\). 5. Isolieren von \(p\): \(1{,}50 \ge 19{,}50 \cdot p \implies p \le \frac{1{,}5}{19{,}5} = \frac{1}{13} \approx 0{,}0769\).

a) Der erwartete Gewinn beträgt \(5{,}72\,\text{€}\) pro Bestellung. b) Die Reklamationsquote darf höchstens etwa \(7{,}69\,\%\) (exakt \(\frac{1}{13}\)) betragen.

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, die zweite Stufe des Spiels zu erreichen? - Stelle ein Gleichungssystem für die beiden gesuchten Wahrscheinlichkeiten auf. - Wie rechnet man eine Wahrscheinlichkeit am Glücksrad in einen Grad-Winkel um? - Überprüfe, ob die Summe aller Winkel am Ende \(360^\circ\) ergibt.

1. Wahrscheinlichkeit für die Qualifikation zum Glücksrad: \(P(\text{1 würfeln}) = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 2. Wahrscheinlichkeit für eine Niete am Rad: \(p_N = \frac{120}{360} = \frac{1}{3}\). 3. Summe der restlichen Wahrscheinlichkeiten: \(p_H + p_T = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\). 4. Ansatz über den Erwartungswert: \(E(X) = 0{,}25 \cdot (60 \cdot p_H + 15 \cdot p_T + 0 \cdot \frac{1}{3}) = 5{,}25\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(60 \cdot p_H + 15 \cdot p_T = \frac{5{,}25}{0{,}25} = 21\). 6. Einsetzen von \(p_T = \frac{2}{3} - p_H\): \(60 \cdot p_H + 15 \cdot (\frac{2}{3} - p_H) = 21 \implies 60 \cdot p_H + 10 - 15 \cdot p_H = 21 \implies 45 \cdot p_H = 11\). 7. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: \(p_H = \frac{11}{45}\) und \(p_T = \frac{2}{3} - \frac{11}{45} = \frac{30}{45} - \frac{11}{45} = \frac{19}{45}\). 8. Umrechnung in Winkel: \(\alpha_H = \frac{11}{45} \cdot 360^\circ = 88^\circ\) und \(\alpha_T = \frac{19}{45} \cdot 360^\circ = 152^\circ\).

Der Mittelpunktswinkel für den Hauptpreis beträgt \(88^\circ\) und für den Trostpreis \(152^\circ\).

- Betrachte zunächst nur ein festes Testfeld. - „Mindestens drei“ lässt sich über die Trefferzahlen \(0\), \(1\) und \(2\) des Gegenereignisses berechnen. - Für die erwartete Zahl leerer Felder überträgst du die Leerwahrscheinlichkeit auf \(200\) Felder.

1. Für ein festes Feld gilt \(X\sim B(80,\frac{1}{200})\). 2. Für mindestens drei Kolonien gilt \(P(X\ge3)=1-P(X\le2)\). Mit der Binomialformel ergibt sich \(P(X\ge3)\approx0{,}0077\). 3. Die Leerwahrscheinlichkeit ist \(P(X=0)=(\frac{199}{200})^{80}\approx0{,}6696\). Damit ist die erwartete Anzahl leerer Felder \(200\cdot P(X=0)\approx133{,}93\), gerundet \(134\). 4. Die Binomialverteilung ist geeignet, weil jede Kolonie einen unabhängigen Versuch mit derselben Trefferwahrscheinlichkeit \(\frac{1}{200}\) für das betrachtete Feld darstellt.

a) \(P(X\ge3)\approx0{,}0077\) b) Etwa \(134\) Testfelder c) Die \(80\) Zuordnungen sind unabhängig und haben für das betrachtete Feld jeweils dieselbe Trefferwahrscheinlichkeit \(\frac{1}{200}\).

- Für Teil a betrachtest du das Gegenereignis zur Zahl \(20\) in jedem Wurf. - Für Teil b beginne mit einer festen Augenzahl: Wie wahrscheinlich ist es, dass sie nie erscheint? - Der Erwartungswert der Anzahl noch fehlender Zahlen entsteht aus \(20\) gleichartigen Indikatorvariablen. - Eine Unbekannte im Exponenten lässt sich mit Logarithmen bestimmen.

1. In einem Wurf ist die Wahrscheinlichkeit, nicht die \(20\) zu erhalten, \(\frac{19}{20}=0{,}95\). Daher ist \(P(\text{keine 20})=0{,}95^{15}\approx0{,}4633\). 2. Für eine feste Zahl beträgt die Wahrscheinlichkeit, nach \(n\) Würfen nie erschienen zu sein, \(0{,}95^n\). 3. Für die Zahl \(Y\) der noch nie erschienenen Augenzahlen gilt \(E(Y)=20\cdot0{,}95^n\). 4. Mit \(E(Y)=4\) folgt \(20\cdot0{,}95^n=4\) und damit \(n=\frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}95)}\approx31{,}38\). Als Schätzwert ergibt sich \(n\approx31\).

a) \(P(\text{keine 20})\approx0{,}4633\) b) Etwa \(31\) Würfe

- Betrachte für alle Teilaufgaben zunächst ein festes Brötchen. - Die Trefferwahrscheinlichkeit einer einzelnen Rosine ist für jedes Brötchen gleich. - Für Teil b ist das Gegenereignis \(X\le4\) hilfreich. - In Teil c steht die gesuchte Gesamtzahl der Rosinen im Exponenten.

1. Für ein festes Brötchen hat jede Rosine Trefferwahrscheinlichkeit \(p=\frac{1}{150}\). 2. Bei \(450\) Rosinen gilt \(X\sim B(450,\frac{1}{150})\) und \(P(X=3)=\binom{450}{3}(\frac{1}{150})^3(\frac{149}{150})^{447}\approx0{,}2248\). 3. Es gilt \(P(X>4)=1-P(X\le4)\approx0{,}1842\). Daher werden \(150\cdot0{,}1842\approx27{,}63\), also rund \(28\) Brötchen mit mehr als vier Rosinen erwartet. 4. Für insgesamt \(n\) Rosinen ist \(P(X=0)=(\frac{149}{150})^n\). Die Bedingung \((\frac{149}{150})^n\le0{,}05\) ergibt \(n\ge\frac{\ln(0{,}05)}{\ln(149/150)}\approx447{,}86\). 5. Die kleinste ganze Zahl ist \(448\).

a) \(P(X=3)\approx0{,}2248\) b) Etwa \(28\) Brötchen c) Mindestens \(448\) Rosinen

- Wie viele Fehler entsprechen im ersten Teil durchschnittlich \(1{,}5\) Fehlern auf jedem der \(200\) Bildschirme? - Für einen festen Bildschirm ist „fehlerfrei“ das Ereignis, dass keiner der Fehler dort landet. - In Teil b kannst du den beobachteten Anteil fehlerfreier Bildschirme als Schätzwert für diese Modellwahrscheinlichkeit verwenden.

1. In Teil a entsprechen \(1{,}5\) Fehler pro Bildschirm insgesamt \(300\) Fehlern. Für einen festen Bildschirm ist die Trefferwahrscheinlichkeit pro Fehler \(\frac{1}{200}\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für keinen Fehler ist \((\frac{199}{200})^{300}\approx0{,}2223\), also \(22{,}23\,\%\). 3. Die erwartete Anzahl betroffener Bildschirme ist \(200(1-(\frac{199}{200})^{300})\approx155{,}54\), gerundet \(156\). 4. In Teil b wird \(\frac{90}{200}=0{,}45\) als Modellschätzung für die Leerwahrscheinlichkeit verwendet. Daher gilt \((\frac{199}{200})^n=0{,}45\). 5. Auflösen ergibt \(n=\frac{\ln(0{,}45)}{\ln(199/200)}\approx159{,}30\), also etwa \(159\) Fehler.

a) Fehlerfrei mit \(\approx22{,}23\,\%\); etwa \(156\) Bildschirme mit mindestens einem Fehler b) Etwa \(159\) Pixelfehler

- Untersuche zunächst eine feste Zahl, zum Beispiel \(42\). - Welche Verteilung beschreibt ihre Häufigkeit in \(100\) unabhängigen Ziehungen? - Wie überträgst du die Wahrscheinlichkeit für eine feste Zahl auf die erwartete Anzahl unter \(100\) möglichen Zahlen?

1. Für eine feste Zahl ist ihre Häufigkeit \(X\) binomialverteilt mit \(n=100\) und \(p=0{,}01\). 2. Die Nichtauftretenswahrscheinlichkeit ist \(P(X=0)=0{,}99^{100}\approx0{,}366032\). Für \(100\) mögliche Zahlen ergibt sich mit Linearität des Erwartungswerts \(100P(X=0)\approx36{,}6\). 3. Für genau zwei Vorkommen gilt \(P(X=2)=\binom{100}{2}0{,}01^2 0{,}99^{98}\approx0{,}184865\). 4. Daher ist die erwartete Anzahl der genau zweimal vorkommenden Werte \(100P(X=2)\approx18{,}5\).

a) \(\approx36{,}6\) Werte b) \(\approx18{,}5\) Werte

- Bestimme zunächst für jede Woche die Wahrscheinlichkeit, dass der Ausfall in genau dieser Woche liegt. - Wo müsste jeder Ausfall innerhalb seines Wochenintervalls liegen, damit der Erwartungswert möglichst klein wird? - Wo müsste er liegen, damit der Erwartungswert möglichst groß wird?

1. Aus den Abnahmen der Überlebensanteile folgen die Wahrscheinlichkeiten für einen Ausfall in Woche 1 bis 6: \(0{,}08\), \(0{,}12\), \(0{,}25\), \(0{,}30\), \(0{,}20\), \(0{,}05\). 2. Für den kleinsten möglichen Erwartungswert setzt man jeden Ausfall an den Anfang seines Wochenintervalls: \(E_{\min}=0\cdot0{,}08+1\cdot0{,}12+2\cdot0{,}25+3\cdot0{,}30+4\cdot0{,}20+5\cdot0{,}05=2{,}57\). 3. Für den größten möglichen Erwartungswert setzt man jeden Ausfall an das Ende seines Wochenintervalls: \(E_{\max}=1\cdot0{,}08+2\cdot0{,}12+3\cdot0{,}25+4\cdot0{,}30+5\cdot0{,}20+6\cdot0{,}05=3{,}57\). 4. Damit muss \(E(T)\) zwischen \(2{,}57\) und \(3{,}57\) Wochen liegen.

\(2{,}57\,\text{Wochen}\le E(T)\le3{,}57\,\text{Wochen}\)

- Betrachte zunächst nur einen fest ausgewählten Song und seine Häufigkeit unter den \(50\) Wiedergaben. - Für „mindestens zweimal“ ist das Gegenereignis aus „keinmal“ und „genau einmal“ zusammengesetzt. - Wie lässt sich die erwartete Zahl nicht gespielter Songs aus der Nichtauftretenswahrscheinlichkeit eines einzelnen Songs bestimmen?

1. Für einen fest gewählten Song ist die Anzahl seiner Wiedergaben binomialverteilt mit \(n=50\) und \(p=\frac{1}{50}=0{,}02\). 2. Für kein Vorkommen gilt \(P(X=0)=0{,}98^{50}\approx0{,}3642\). 3. Für genau ein Vorkommen gilt \(P(X=1)=\binom{50}{1}0{,}02\cdot0{,}98^{49}=0{,}98^{49}\). Damit ist \(P(X\ge2)=1-P(X=0)-P(X=1)\approx0{,}2642\). 4. Sei \(Y\) die Anzahl der Songs, die gar nicht vorkommen. Für jeden der \(50\) Songs beträgt die Nichtauftretenswahrscheinlichkeit \(0{,}98^{50}\). Mit der Linearität des Erwartungswerts folgt \(E(Y)=50\cdot0{,}98^{50}\approx18{,}2\).

a) \(P(X=0)\approx0{,}3642\) b) \(P(X\ge2)\approx0{,}2642\) c) \(E(Y)\approx18{,}2\) Songs

- Welche Information über die möglichen Drehwerte liefert dir die Abbildung, die im Text nicht noch einmal aufgelistet ist? - Trenne die Frage „Wird überhaupt ausgezahlt?“ von der Frage nach der durchschnittlichen Summe im Auszahlungsfall. - Vergleiche für Teil c) die Terme \(E(n)\) und \(E(n+1)\), ohne zuerst einzelne Werte auszuprobieren.

1. Fünf der sechs Sektoren sind ungleich null. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Drehung keine „0“ zu erhalten, \(b = \frac{5}{6}\). 2. Unter der Bedingung, dass keine „0“ fällt, sind die fünf Werte \(2\), \(4\), \(6\), \(8\) und \(10\) gleich wahrscheinlich. Ihr Mittelwert ist \(a = \frac{2+4+6+8+10}{5} = 6\). Damit gilt \(E(n)=6n\left(\frac{5}{6}\right)^n\). 3. Für \(n=3\) ergibt sich \(E(3)=18\left(\frac{5}{6}\right)^3=\frac{125}{12}\,\text{€}\approx10{,}42\,\text{€}\). 4. Für \(n=4\) ergibt sich \(E(4)=24\left(\frac{5}{6}\right)^4=\frac{625}{54}\,\text{€}\approx11{,}57\,\text{€}\). 5. Aus \(E(n)=E(n+1)\) folgt \(6n\left(\frac{5}{6}\right)^n=6(n+1)\left(\frac{5}{6}\right)^{n+1}\). Nach Kürzen gilt \(n=\frac{5}{6}(n+1)\), also \(n=5\). 6. Somit sind \(E(5)\) und \(E(6)\) gleich. Tatsächlich gilt \(E(5)=E(6)=\frac{15625}{1296}\,\text{€}\approx12{,}06\,\text{€}\).

a) \(a=6\) und \(b=\frac{5}{6}\). b) \(E(3)\approx10{,}42\,\text{€}\) und \(E(4)\approx11{,}57\,\text{€}\). c) Die aufeinanderfolgenden Werte sind \(n=5\) und \(n=6\); für beide gilt \(E(n)\approx12{,}06\,\text{€}\).

- Nutze die Abbildung, um die fünf möglichen Werte einer einzelnen Drehung zu erfassen. - Welche geordneten Paare können bei zwei Drehungen entstehen, und welche Produkte fallen dabei zusammen? - Für Teil c) kannst du den Erwartungswert einer einzelnen Drehung betrachten und die Unabhängigkeit der beiden Drehungen nutzen.

1. Es gibt \(5\cdot5=25\) gleich wahrscheinliche geordnete Paare. Die Produkte besitzen die Häufigkeiten \(1,2,2,3,2,2,2,1,2,2,2,1,2,1\) zu den Werten \(1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,20,25\). 2. Damit ergibt sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung aus diesen Häufigkeiten geteilt durch \(25\). 3. Der Erwartungswert beträgt \(E(X)=\frac{225}{25}=9\). Gleichwertig gilt wegen der unabhängigen Drehungen \(E(X)=E(X_1)E(X_2)=3\cdot3=9\). 4. Nach dem Ersetzen der größten Zahl durch \(k\) ist der Erwartungswert einer Drehung \(\frac{1+2+3+4+k}{5}=\frac{10+k}{5}\). 5. Für den Produkt-Erwartungswert \(16\) muss \(\left(\frac{10+k}{5}\right)^2=16\) gelten. Da der Mittelwert positiv ist, folgt \(\frac{10+k}{5}=4\) und damit \(k=10\).

a) <table> <tr><td>\(x_i\)</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>12</td><td>15</td><td>16</td><td>20</td><td>25</td></tr> <tr><td>\(P(X=x_i)\)</td><td>\(\frac{1}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{3}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{1}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{1}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{1}{25}\)</td></tr> </table> b) \(E(X)=9\). c) \(k=10\).

- Betrachte zunächst nur eine feste Kategorie. - Das Gegenereignis zu „mindestens einmal“ ist „kein einziges Mal“. - Wie kannst du die Anzahl der vorkommenden Kategorien als Summe von \(0\)-\(1\)-Variablen schreiben? - Erst nach der allgemeinen Herleitung solltest du \(m=4\) und \(n=6\) einsetzen.

1. Für Kategorie \(j\) sei \(I_j=1\), falls sie mindestens einmal vorkommt, sonst \(I_j=0\). Dann gilt \(X=I_1+\dots+I_m\). 2. Eine feste Kategorie kommt in einem Abruf mit Wahrscheinlichkeit \(1-\frac1m\) nicht vor. Nach \(n\) unabhängigen Abrufen ist die Wahrscheinlichkeit für „nie“ gleich \(\left(1-\frac1m\right)^n\). 3. Daher ist \(E(I_j)=P(I_j=1)=1-\left(1-\frac1m\right)^n\). 4. Mit der Linearität folgt \(E(X)=m\left[1-\left(1-\frac1m\right)^n\right]\). 5. Für \(m=4\) und \(n=6\) ergibt sich \(E(X)=4\left[1-\left(\frac34\right)^6\right]=\frac{3367}{1024}\approx3{,}2881\).

a) \(E(X)=m\left[1-\left(1-\frac1m\right)^n\right]\) b) \(E(X)\approx3{,}2881\)