Kostenlose Arbeitsblätter

- Überlege, wie man den Durchschnittswert bei einer Reihe von Versuchen nennt. - Welche Verteilung liegt vor, wenn es nur „richtig“ oder „falsch“ gibt? - Wie lautet die Formel für die Wahrscheinlichkeit eines exakten Trefferwertes?

1. Berechnung des Erwartungswerts für die binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit \(n = 60\) und \(p = 0{,}25\): \(\mu = n \cdot p = 60 \cdot 0{,}25 = 15\). 2. Interpretation: Bei einer sehr großen Anzahl von Testdurchläufen würde der Schüler im Durchschnitt \(15\) Fragen pro Test richtig beantworten. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(X = 15\) mit der Bernoulli-Formel: \(P(X = 15) = \binom{60}{15} \cdot 0{,}25^{15} \cdot 0{,}75^{45} \approx 0{,}1182\).

a) \(\mu = 15\). Interpretation: Der Schüler erzielt bei häufiger Durchführung des Tests im Durchschnitt \(15\) Treffer. b) \(P(X = 15) \approx 0{,}1182\) (bzw. \(11{,}82\,\%\)).

- Was gibt der Erwartungswert eigentlich an – ein einzelnes Ergebnis oder einen langfristigen Durchschnitt? - Überlege dir, wie man den Durchschnitt von Noten berechnet. Muss der Durchschnitt eine Note sein, die man tatsächlich bekommen kann? - Wie berechnet man den Erwartungswert, wenn die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse unterschiedlich sind?

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse: \(P(X=1) = \frac{1}{4} = 0{,}25\); \(P(X=2) = \frac{2}{4} = 0{,}5\); \(P(X=5) = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 2. Berechnung des Erwartungswertes: \(E(X) = 1 \cdot 0{,}25 + 2 \cdot 0{,}5 + 5 \cdot 0{,}25 = 0{,}25 + 1 + 1{,}25 = 2{,}5\). 3. Beurteilung der Aussage: Die Aussage ist falsch. Der Erwartungswert \(E(X) = 2{,}5\) ist keine ganze Zahl, obwohl alle möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments (\(1, 2, 5\)) ganzzahlig sind. 4. Begründung: Der Erwartungswert ist ein gewichteter Durchschnittswert bei einer großen Anzahl von Versuchen und muss nicht mit einem der tatsächlich möglichen Werte der Zufallsgröße übereinstimmen.

a) \(E(X) = 2{,}5\) b) Die Aussage ist falsch. Der Erwartungswert ist ein theoretischer Mittelwert (langfristiger Durchschnitt) und muss kein Wert sein, den die Zufallsgröße tatsächlich annehmen kann. Im Beispiel ist \(2{,}5\) kein möglicher Ausgang eines Wurfs.

- Überlege dir zuerst, wie groß die Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Ergebnisse sein muss. - Kannst du aus dieser Information eine Gleichung für die unbekannte Konstante aufstellen? - Wenn du alle Wahrscheinlichkeiten kennst, wie gewichtest du dann die Werte der Zufallsgröße, um den Erwartungswert zu erhalten?

1. Nutzung der Summeneigenschaft der Wahrscheinlichkeiten: \(P(Y=1) + P(Y=2) + P(Y=3) + P(Y=4) = 1\). 2. Einsetzen der gegebenen Terme: \(c + 2 \cdot c + 0{,}3 + 0{,}1 = 1\). 3. Zusammenfassen und Berechnen von \(c\): \(3 \cdot c + 0{,}4 = 1 \implies 3 \cdot c = 0{,}6 \implies c = 0{,}2\). 4. Aufstellen der vollständigen Wahrscheinlichkeitsverteilung: \(P(Y=1) = 0{,}2\), \(P(Y=2) = 0{,}4\), \(P(Y=3) = 0{,}3\), \(P(Y=4) = 0{,}1\). 5. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(Y) = 1 \cdot 0{,}2 + 2 \cdot 0{,}4 + 3 \cdot 0{,}3 + 4 \cdot 0{,}1 = 0{,}2 + 0{,}8 + 0{,}9 + 0{,}4 = 2{,}3\).

\(c = 0{,}2\) \(E(Y) = 2{,}3\)

- Was bedeutet es für den Gewinn eines Spielers im Durchschnitt, wenn ein Spiel als fair bezeichnet wird? - Kannst du die Wahrscheinlichkeiten für jedes mögliche Ergebnis bestimmen? - Wie berechnet man den Durchschnittswert einer Zufallsgröße? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Einsatz und der durchschnittlichen Auszahlung bei einem fairen Spiel?

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Auszahlungen: \(P(X = 15) = \frac{2}{20} = 0{,}1\); \(P(X = 5) = \frac{5}{20} = 0{,}25\); \(P(X = 0) = \frac{13}{20} = 0{,}65\). 2. Berechnung des Erwartungswerts der Auszahlung: \(E(X) = 15 \cdot 0{,}1 + 5 \cdot 0{,}25 + 0 \cdot 0{,}65 = 1{,}5 + 1{,}25 + 0 = 2{,}75\). 3. Ein Spiel gilt als fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns (Auszahlung minus Einsatz) null ist. Dies ist der Fall, wenn der Einsatz dem Erwartungswert der Auszahlung entspricht. 4. Der faire Einsatz beträgt somit \(2{,}75\,\text{€}\).

Der Einsatz muss \(2{,}75\,\text{€}\) betragen.

- Welche Art von Zufallsexperiment liegt hier vor, wenn jeder Samen unabhängig voneinander keimt oder nicht? - Wie berechnet man den Mittelwert bei einer solchen Verteilung? - Welche Formel hilft dir dabei, die Wahrscheinlichkeit für eine ganz exakte Anzahl an Treffern zu finden?

1. Bestimmung der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 15\) und \(p = 0{,}8\). 2. Berechnung des Erwartungswertes: \(E(X) = n \cdot p = 15 \cdot 0{,}8 = 12\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(k = 12\): \(P(X = 12) = \binom{15}{12} \cdot 0{,}8^{12} \cdot 0{,}2^3\). 4. Ausrechnen des Binomialkoeffizienten und der Potenzen: \(455 \cdot 0{,}068719 \cdot 0{,}008 \approx 0{,}2501\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(25{,}0\,\%\).

a) Es sind \(12\) keimende Samen zu erwarten. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(25{,}0\,\%\).

- Überlege dir, wie man den Anteil eines Ganzen berechnet, wenn die Wahrscheinlichkeit als Dezimalzahl gegeben ist. - Welche mathematische Operation verknüpft die Gesamtzahl der Versuche mit der Wahrscheinlichkeit eines Einzelereignisses? - Die gesuchte Anzahl entspricht dem theoretischen Mittelwert bei häufiger Durchführung.

Die erwartete Anzahl der Sensoren mit Ungenauigkeiten (Erwartungswert) in einer Bernoulli-Kette berechnet sich durch die Formel \(E = n \cdot p\). 1. Für \(n = 1200\) und \(p = 0{,}025\) ergibt sich \(1200 \cdot 0{,}025 = 30\). Es sind \(30\) Sensoren zu erwarten. 2. Für \(n = 15\,000\) und \(p = 0{,}008\) ergibt sich \(15\,000 \cdot 0{,}008 = 120\). Es sind \(120\) Sensoren zu erwarten. 3. Für \(n = 450\) und \(p = 0{,}12\) ergibt sich \(450 \cdot 0{,}12 = 54\). Es sind \(54\) Sensoren zu erwarten.

1. \(30\) Sensoren 2. \(120\) Sensoren 3. \(54\) Sensoren

- Überlege dir zuerst, wie viele Werte die Zufallsgröße annehmen kann und welche Wahrscheinlichkeit jedem Wert zukommt. - Wie berechnet man allgemein den Durchschnitt von Werten, wenn alle die gleiche Gewichtung haben? - Fällt dir eine Symmetrie in der Menge der Zahlen auf?

1. Bestimmung der Anzahl der möglichen Werte: Die Menge \(M\) enthält \(n = 10\) Elemente. 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für jeden Wert: Da \(X\) gleichverteilt ist, gilt \(P(X = x_i) = \frac{1}{10}\) für alle \(x_i \in M\). 3. Berechnung der Summe aller Werte in \(M\): \(10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 + 100 = 550\). 4. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = \frac{1}{10} \cdot 550 = 55\). Alternativ lässt sich aufgrund der Symmetrie der Erwartungswert als Mittelwert des kleinsten und größten Wertes berechnen: \(E(X) = \frac{10 + 100}{2} = 55\).

\(E(X) = 55\)

- Wie berechnet man den Durchschnittswert einer Zufallsgröße, wenn die Wahrscheinlichkeiten bekannt sind? - Was bleibt dem Betreiber übrig, wenn man die durchschnittliche Auszahlung vom Einsatz abzieht? - Kannst du eine Formel aufstellen, die das Verhältnis zwischen Auszahlung und Einsatz beschreibt? - Überlege, wie du eine Ungleichung nach dem gesuchten Einsatz auflöst.

1. Berechnung des Erwartungswerts \(E(X)\) durch Summation der Produkte aus Gewinnwerten und Wahrscheinlichkeiten: \(E(X) = 0 \cdot 0{,}85 + 2 \cdot 0{,}10 + 10 \cdot 0{,}04 + 50 \cdot 0{,}01 = 0 + 0{,}20 + 0{,}40 + 0{,}50 = 1{,}10\,\text{€}\). 2. Bestimmung des erwarteten Gewinns des Betreibers als Differenz von Einsatz und erwarteter Auszahlung: \(G = 2{,}00\,\text{€} - 1{,}10\,\text{€} = 0{,}90\,\text{€}\). 3. Aufstellen der Ungleichung für die gesetzliche Regelung mit dem Einsatz \(e\): \(E(X) \ge 0{,}45 \cdot e\). Einsetzen des Erwartungswerts: \(1{,}10 \ge 0{,}45 \cdot e\). 4. Auflösen nach \(e\): \(e \le \frac{1{,}10}{0{,}45} \approx 2{,}4444\). Der maximale Einsatz beträgt somit \(2{,}44\,\text{€}\).

a) \(E(X) = 1{,}10\,\text{€}\) b) Der erwartete Gewinn beträgt \(0{,}90\,\text{€}\). c) Der maximale Einsatz beträgt \(2{,}44\,\text{€}\).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Ereignis „sicher“ ist? - Hilft dir das Gegenereignis bei der Berechnung von „mindestens ein Erfolg“ weiter? - Sagt der Erwartungswert etwas darüber aus, ob ein Ergebnis auf jeden Fall eintritt? - Berechne für den Vergleich in Teil a die Werte mit ausreichender Genauigkeit oder als Brüche.

1. Parameter festlegen: Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist \(p = 0{,}25\), die Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 0{,}75\). 2. Wahrscheinlichkeit für \(A\): \(P(A) = \binom{4}{1} \cdot 0{,}25^1 \cdot 0{,}75^3 = 4 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}421875 = 0{,}421875\). 3. Wahrscheinlichkeit für \(B\): \(P(B) = \binom{8}{2} \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^6 = 28 \cdot 0{,}0625 \cdot 0{,}1779785 \approx 0{,}3115\). Die Wahrscheinlichkeiten sind nicht gleich groß. 4. Beurteilung der Aussage: Ein Ereignis ist sicher, wenn seine Wahrscheinlichkeit \(1\) beträgt. Der Erwartungswert gibt nur den Durchschnittswert an, garantiert aber keinen Erfolg. 5. Wahrscheinlichkeit für \(C\): Über das Gegenereignis „kein Gewinn“ berechnet man \(P(C) = 1 - P(X=0) = 1 - 0{,}75^4 = 1 - 0{,}31640625 = 0{,}68359375\). Da \(P(C) < 1\), ist es kein sicheres Ereignis.

a) \(P(A) = 0{,}421875\) und \(P(B) \approx 0{,}3115\). Die Wahrscheinlichkeiten sind nicht gleich groß. b) Die Aussage ist falsch. Ein Erwartungswert von 1 bedeutet nicht, dass ein Erfolg garantiert ist. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(C) \approx 0{,}6836\). Da \(P(C) \neq 1\), ist es kein sicheres Ereignis.

- Wie berechnet man allgemein den Durchschnittswert einer Verteilung, wenn die Wahrscheinlichkeiten gegeben sind? - Nutze die Summe über alle Produkte aus dem Wert \(k\) und der Wahrscheinlichkeit \(P(X=k)\). - Welche einfache Formel verbindet bei einer Binomialverteilung die Parameter \(n\) und \(p\) mit dem Erwartungswert? - Setze deine bekannten Werte in diese Formel ein, um die Unbekannte zu isolieren.

1. Berechnung des Erwartungswerts \(E(X)\) nach der Definition \(\sum k \cdot P(X=k)\): \(E(X) = 0 \cdot 0{,}064 + 1 \cdot 0{,}288 + 2 \cdot 0{,}432 + 3 \cdot 0{,}216\) \(E(X) = 0 + 0{,}288 + 0{,}864 + 0{,}648 = 1{,}8\) 2. Bestimmung von \(p\) über die Formel für den Erwartungswert bei Binomialverteilungen: Es gilt \(\mu = n \cdot p\). Mit \(n = 3\) und \(E(X) = 1{,}8\) folgt: \(1{,}8 = 3 \cdot p \implies p = \frac{1{,}8}{3} = 0{,}6\)

a) \(E(X) = 1{,}8\) b) \(p = 0{,}6\)

- Was berechnest du, wenn du jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizierst und die Ergebnisse addierst? - Denke daran, dass der Gewinn eines Spielers nicht nur aus dem ausgezahlten Betrag besteht, sondern auch die Kosten für das Los berücksichtigt werden müssen. - Was bedeutet „fair“ im Zusammenhang mit dem durchschnittlichen Gewinn über lange Zeit? - Stell dir vor, du spielst das Spiel 1000-mal. Wie viel Geld hättest du am Ende im Durchschnitt pro Spiel verloren oder gewonnen?

1. Berechnung des Erwartungswerts des Auszahlungswerts \(E(X)\): \(E(X) = 0\,\text{€} \cdot 0{,}80 + 5\,\text{€} \cdot 0{,}15 + 10\,\text{€} \cdot 0{,}05 = 0{,}75\,\text{€} + 0{,}50\,\text{€} = 1{,}25\,\text{€}\). 2. Berechnung des Erwartungswerts für den Reingewinn \(G\): \(E(G) = E(X) - \text{Einsatz} = 1{,}25\,\text{€} - 2{,}50\,\text{€} = -1{,}25\,\text{€}\). 3. Interpretation: Bei einer sehr großen Anzahl von gespielten Losen verliert ein Spieler im Durchschnitt \(1{,}25\,\text{€}\) pro Los. 4. Bestimmung des fairen Preises: Ein Spiel gilt als fair, wenn der erwartete Reingewinn Null ist. Dies ist der Fall, wenn der Lospreis dem erwarteten Auszahlungswert entspricht, also \(1{,}25\,\text{€}\).

a) Der Erwartungswert für den Reingewinn beträgt \(-1{,}25\,\text{€}\). b) Bei einer sehr großen Anzahl von Losen macht der Spieler pro Los im Durchschnitt einen Verlust von \(1{,}25\,\text{€}\). c) Damit das Spiel fair ist, müsste ein Los \(1{,}25\,\text{€}\) kosten.

- Welche Formel hilft dir, den Durchschnittswert bei einer bekannten Trefferquote und fester Versuchsanzahl zu bestimmen? - Überlege, was passieren würde, wenn der Sportler die gesamte Saison sehr oft unter identischen Bedingungen wiederholen könnte. - Ist der Erwartungswert ein Wert, der zwingend genau so eintreten muss, oder beschreibt er einen langfristigen Trend?

1. Identifikation der Parameter für die Binomialverteilung: \(n = 1200\) und \(p = 0{,}85\). 2. Berechnung des Erwartungswerts mit der Formel \(\mu = n \cdot p\): \(\mu = 1200 \cdot 0{,}85 = 1020\). 3. Interpretation: Der Erwartungswert von \(1020\) gibt die Trefferzahl an, die bei einer sehr großen Anzahl von Wiederholungen solcher Versuchsreihen (mit jeweils \(1200\) Schüssen) im Durchschnitt erzielt wird. Er dient als Kennmaß für das Zentrum der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

a) Der Erwartungswert beträgt \(1020\) Treffer. b) Der Wert gibt die langfristig zu erwartende mittlere Trefferzahl bei vielen Wiederholungen der Versuchsreihe an.

- Überlege dir, wie man den Durchschnittswert berechnet, wenn man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und die Gesamtzahl der Versuche kennt. - Was muss für die einzelnen Teilnehmer gelten, damit man die Wahrscheinlichkeiten auf die große Gruppe übertragen kann? - Überprüfe am Ende, ob die Summe deiner berechneten Anzahlen wieder die Gesamtzahl der Probanden ergibt.

1. Für jede Kategorie wird die erwartete Anzahl mit \(E(X_i)=n \cdot p_i\) berechnet, wobei \(X_i\) die Anzahl der Probanden in der jeweiligen Kategorie bezeichnet und \(n=250\,000\) gilt. 2. Keine Nebenwirkungen: \(250\,000 \cdot 0{,}9350 = 233\,750\). 3. Leichte Nebenwirkungen: \(250\,000 \cdot 0{,}0520 = 13\,000\). 4. Mittlere Nebenwirkungen: \(250\,000 \cdot 0{,}0115 = 2875\). 5. Schwere Nebenwirkungen: \(250\,000 \cdot 0{,}0015 = 375\). 6. Voraussetzung: Die Reaktionen verschiedener Probanden werden als unabhängig modelliert, und die angegebenen Kategoriewahrscheinlichkeiten gelten für alle Probanden gleichermaßen. Die vier Anzahlen bilden gemeinsam ein multinomiales Modell; jede einzelne Kategorienanzahl ist binomialverteilt.

Zu erwartende Anzahl der Probanden: - Keine Nebenwirkungen: \(233\,750\) - Leichte Nebenwirkungen: \(13\,000\) - Mittlere Nebenwirkungen: \(2875\) - Schwere Nebenwirkungen: \(375\) Voraussetzung: Die Reaktionen verschiedener Probanden werden als unabhängig und die Kategoriewahrscheinlichkeiten als konstant modelliert.

- Wo liegt in der Tabelle der höchste Wert? Was sagt das über den Erwartungswert aus? - Wie hängen der Erwartungswert, die Trefferzahl und die Wahrscheinlichkeit zusammen? - Kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit durch Addieren von Werten aus der Tabelle finden? - Manchmal ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses zu berechnen, das gerade nicht eintreten soll.

1. Bestimmung von \(p\): Da der Erwartungswert \(E(X) = n \cdot p\) ganzzahlig ist und die höchste Wahrscheinlichkeit (der Modalwert) bei \(k = 1\) liegt, ist \(E(X) = 1\) naheliegend. Mit \(n = 10\) ergibt sich \(10 \cdot p = 1\), also \(p = 0{,}1\). Eine Überprüfung mit \(P(X=0) = (1-p)^{10} = 0{,}9^{10} \approx 0{,}3487\) bestätigt diesen Wert. 2. Berechnung von \(P(1 \le X \le 3)\): Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten für \(k=1\), \(k=2\) und \(k=3\). \(P(1 \le X \le 3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0{,}3874 + 0{,}1937 + 0{,}0574 = 0{,}6385\). 3. Berechnung von \(P(X \ge 1)\): Über das Gegenereignis \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)\) folgt: \(P(X \ge 1) = 1 - 0{,}3487 = 0{,}6513\).

a) \(p = 0{,}1\) b) \(P(1 \le X \le 3) = 0{,}6385\) c) \(P(X \ge 1) = 0{,}6513\)

- Nutze die Information, dass \(E(X)=25p\) ganzzahlig ist. - Vergleiche die dadurch möglichen Werte von \(P(X=0)=(1-p)^{25}\) mit dem Tabellenwert. - Für ein Intervall wie \(2 \leq X \leq 4\) werden die passenden Einzelwahrscheinlichkeiten addiert. - Bei „mindestens einem Treffer“ ist das Gegenereignis besonders einfach.

1. Da der Erwartungswert ganzzahlig ist, gilt \(E(X)=25p=m\) mit einem ganzzahligen \(m\). Also ist \(p=\frac{m}{25}\). Der Tabellenwert \(P(X=0)=0{,}0038\) erlaubt die eindeutige Auswahl: Für \(m=5\) ist \(p=0{,}2\) und \(P(X=0)=0{,}8^{25}\approx0{,}003778\approx0{,}0038\). Die benachbarten ganzzahligen Erwartungswerte liefern \(0{,}84^{25}\approx0{,}0128\) beziehungsweise \(0{,}76^{25}\approx0{,}0010\) und passen nicht zur Tabelle. Daher ist \(p=0{,}2\). 2. Für \(2 \leq X \leq 4\) werden die angegebenen Tabellenwerte addiert: \(P(2 \leq X \leq 4)=0{,}0708+0{,}1358+0{,}1867=0{,}3933\). 3. Für mindestens einen Treffer wird das Gegenereignis verwendet: \(P(X \geq 1)=1-P(X=0)=1-0{,}0038=0{,}9962\).

a) \(p = 0{,}2\) b) \(P(2 \le X \le 4) = 0{,}3933\) c) \(P(X \ge 1) = 0{,}9962\)

- Was muss für die Summe aller Wahrscheinlichkeiten eines Zufallsexperiments gelten? - Wie berechnet man den Durchschnittswert (Erwartungswert) einer Auszahlung? - In welchem Verhältnis stehen Einsatz, Auszahlung und der Gewinn des Betreibers zueinander?

1. Bestimmung der Proportionalitätskonstante \(c\): Aus der Bedingung \(\sum P(X=k) = 1\) folgt \(c \cdot (1 + 2 + 3 + 4) = 10c = 1\), also \(c = 0{,}1\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(1) = 0{,}1\); \(P(2) = 0{,}2\); \(P(3) = 0{,}3\); \(P(4) = 0{,}4\). 3. Berechnung des Erwartungswerts der Auszahlung \(E(A)\): \(E(A) = 0{,}1 \cdot 2{,}00 + 0{,}2 \cdot 2{,}00 + 0{,}3 \cdot 5{,}00 + 0{,}4 \cdot 10{,}00\). 4. Ergebnis der Auszahlung: \(E(A) = 0{,}20 + 0{,}40 + 1{,}50 + 4{,}00 = 6{,}10\,\text{€}\). 5. Berechnung des Einsatzes: Um einen Gewinn von \(0{,}50\,\text{€}\) zu erzielen, muss der Einsatz um diesen Betrag höher sein als die erwartete Auszahlung: \(Einsatz = 6{,}10\,\text{€} + 0{,}50\,\text{€} = 6{,}60\,\text{€}\).

Der Einsatz muss \(6{,}60\,\text{€}\) betragen.

- Erinnere dich an die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einer Verteilung. - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der nur noch eine Unbekannte vorkommt? - Was passiert mit dem Durchschnitt der Ergebnisse, wenn man ein Experiment immer und immer wieder wiederholt?

1. Ansatz mit einer Variablen für die gesuchten Wahrscheinlichkeiten: Sei \(p = P(Z=5)\). Da die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 betragen muss, gilt \(P(Z=0) = 1 - p\). 2. Aufstellen der Gleichung für den Erwartungswert: \(E(Z) = 0 \cdot (1-p) + 5 \cdot p = 3{,}5\). 3. Lösen der Gleichung: \(5 \cdot p = 3{,}5 \Rightarrow p = 0{,}7\). 4. Bestimmung der Verteilung: \(P(Z=5) = 0{,}7\) und \(P(Z=0) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\). 5. Interpretation: Führt man das Experiment sehr oft durch, so wird das arithmetische Mittel aller erzielten Ergebnisse (die Summe aller Ergebnisse geteilt durch die Anzahl der Versuche) nahe beim Wert \(3{,}5\) liegen.

a) \(P(Z=0) = 0{,}3\) und \(P(Z=5) = 0{,}7\) b) Bei einer großen Anzahl von Versuchen stabilisiert sich der Durchschnittswert der Ergebnisse um den Wert \(3{,}5\).

- Welche Werte kann die Anzahl der Versuche annehmen? - Überlege dir, wie viele Fehlversuche maximal hintereinander möglich sind, bevor der nächste Stick sicher ein Treffer sein muss. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für einen Pfad in einem Baumdiagramm bei Ziehen ohne Zurücklegen? - Was musst du tun, um den Durchschnittswert einer Zufallsgröße aus ihrer Verteilung zu berechnen?

1. Bestimmung der möglichen Werte für \(X\): Da 3 Sticks leer sind, muss spätestens beim 4. Versuch ein Stick mit der Präsentation gefunden werden (wenn die ersten drei leer waren). Somit gilt \(X \in \{1, 2, 3, 4\}\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten für das Ziehen ohne Zurücklegen: \(P(X=1) = \frac{2}{5} = 0{,}4\) \(P(X=2) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = 0{,}3\) \(P(X=3) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{60} = 0{,}2\) \(P(X=4) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} = \frac{12}{120} = 0{,}1\) 3. Berechnung des Erwartungswerts als Summe der Produkte aus Wert und Wahrscheinlichkeit: \(E(X) = 1 \cdot 0{,}4 + 2 \cdot 0{,}3 + 3 \cdot 0{,}2 + 4 \cdot 0{,}1 = 0{,}4 + 0{,}6 + 0{,}6 + 0{,}4 = 2{,}0\).

a) <table border="1"> <tr> <td>\(k\)</td> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> <td>4</td> </tr> <tr> <td>\(P(X=k)\)</td> <td>\(0{,}4\)</td> <td>\(0{,}3\)</td> <td>\(0{,}2\)</td> <td>\(0{,}1\)</td> </tr> </table> b) \(E(X) = 2{,}0\)

- Wann ist man sicher, ein defektes Teil gefunden zu haben, wenn man zuvor nur intakte Teile erwischt hat? - Welche Pfade im Baumdiagramm entsprechen dem Ereignis, spätestens beim zweiten Test Erfolg zu haben? - Wie hängen die Einzelwahrscheinlichkeiten und der Erwartungswert zusammen?

1. Bestimmung der Maximalanzahl: Im ungünstigsten Fall werden zuerst alle 4 intakten Bauteile geprüft. Das 5. Bauteil muss dann zwingend defekt sein. Die maximale Anzahl beträgt somit 5. 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei Prüfungen: \(P(X=1) = \frac{3}{7}\) \(P(X=2) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}\) \(P(X \le 2) = \frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \approx 0{,}714\) 3. Berechnung des Erwartungswerts: Zunächst weitere Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X=3) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{35}\); \(P(X=4) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{35}\); \(P(X=5) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{35}\). Mit \(P(X=1) = \frac{15}{35}\) und \(P(X=2) = \frac{10}{35}\) ergibt sich: \(E(X) = 1 \cdot \frac{15}{35} + 2 \cdot \frac{10}{35} + 3 \cdot \frac{6}{35} + 4 \cdot \frac{3}{35} + 5 \cdot \frac{1}{35} = \frac{15+20+18+12+5}{35} = \frac{70}{35} = 2\).

a) Maximal 5 Prüfungen. b) \(P(X \le 2) = \frac{5}{7} \approx 0{,}714\) c) Im Durchschnitt sind 2 Prüfungen erforderlich.

- Was muss für die Summe aller Wahrscheinlichkeiten einer Zufallsgröße immer gelten? - Wie hängen die einzelnen Wahrscheinlichkeiten von der Konstanten ab? - Welche Rechenvorschrift nutzt man, um den Durchschnittswert bei bekannter Verteilung zu ermitteln?

1. Aufstellen der Normierungsbedingung: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss \(1\) ergeben: \(\sum P(X=x) = k \cdot (0+1) + k \cdot (2+1) + k \cdot (4+1) + k \cdot (6+1) = 1\). 2. Zusammenfassen und Lösen nach \(k\): \(k \cdot (1 + 3 + 5 + 7) = 16 \cdot k = 1\). Daraus folgt \(k = \frac{1}{16} = 0{,}0625\). 3. Bestimmen der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X=0) = \frac{1}{16}\), \(P(X=2) = \frac{3}{16}\), \(P(X=4) = \frac{5}{16}\) und \(P(X=6) = \frac{7}{16}\). 4. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = \sum x_i \cdot P(X=x_i) = 0 \cdot \frac{1}{16} + 2 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot \frac{5}{16} + 6 \cdot \frac{7}{16} = \frac{0 + 6 + 20 + 42}{16} = \frac{68}{16} = 4{,}25\).

a) \(k = \frac{1}{16} = 0{,}0625\) b) \(E(X) = 4{,}25\)

- Wann bezeichnet man ein Spiel in der Wahrscheinlichkeitsrechnung als fair? - Wie hängen die Flächenanteile (bzw. Wahrscheinlichkeiten) mit den Mittelpunktswinkeln eines Kreises zusammen? - In Teil b) gibt es mehr Unbekannte als Gleichungen. Du kannst also für einige Sektoren Werte vorgeben und die restlichen berechnen. - Achte darauf, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten immer 1 ergeben muss.

1. Berechnung des Erwartungswerts für Teil a): Da alle Sektoren gleich groß sind, ist die Wahrscheinlichkeit für jeden Sektor \(p = \frac{1}{4} = 0{,}25\). Der Erwartungswert der Auszahlung berechnet sich zu \(E(X) = 0 \cdot 0{,}25 + 2 \cdot 0{,}25 + 5 \cdot 0{,}25 + 9 \cdot 0{,}25 = 4{,}00\,\text{€}\). Für ein faires Spiel muss der Einsatz dem Erwartungswert entsprechen, also \(4{,}00\,\text{€}\). 2. Ansatz für Teil b): Ein faires Spiel erfordert \(E(X) = 3{,}50\,\text{€}\). Es gilt die Gleichung \(0 \cdot p_1 + 2 \cdot p_2 + 5 \cdot p_3 + 9 \cdot p_4 = 3{,}5\) sowie die Nebenbedingung \(p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 1\). 3. Beispielhafte Lösung durch Wahl von Werten: Setzt man beispielsweise \(p_4 = 0{,}2\) und \(p_3 = 0{,}2\), ergibt sich \(2 \cdot p_2 + 1{,}0 + 1{,}8 = 3{,}5\), woraus \(2 \cdot p_2 = 0{,}7\) und somit \(p_2 = 0{,}35\) folgt. Die restliche Wahrscheinlichkeit für den Nullsektor beträgt \(p_1 = 1 - 0{,}2 - 0{,}2 - 0{,}35 = 0{,}25\). 4. Umrechnung in Mittelpunktswinkel (\(\alpha_i = p_i \cdot 360^\circ\)): \(\alpha_1 = 90^\circ\), \(\alpha_2 = 126^\circ\), \(\alpha_3 = 72^\circ\), \(\alpha_4 = 72^\circ\).

a) Der Einsatz muss \(4{,}00\,\text{€}\) betragen. b) Eine mögliche Verteilung der Mittelpunktswinkel ist: \(90^\circ\) für den \(0\,\text{€}\)-Sektor, \(126^\circ\) für den \(2\,\text{€}\)-Sektor, \(72^\circ\) für den \(5\,\text{€}\)-Sektor und \(72^\circ\) für den \(9\,\text{€}\)-Sektor.

- Was bedeutet Fairness für den Zusammenhang zwischen dem Erwartungswert der Gewinne und dem Lospreis? - Wie berechnet man den Erwartungswert, wenn die absolute Anzahl der Lose und die Gesamtzahl bekannt sind? - Stelle für den zweiten Teil ein kleines Gleichungssystem auf. Da es drei Unbekannte aber nur zwei Bedingungen gibt, kannst du eine Variable geschickt wählen. - Vergiss nicht, dass die Anzahl der Lose eine natürliche Zahl sein muss.

1. Berechnung des Erwartungswerts für Teil a): \(E(X) = 0 \cdot 0{,}7 + 10 \cdot 0{,}2 + 50 \cdot 0{,}1 = 0 + 2 + 5 = 7{,}00\,\text{€}\). Der faire Preis entspricht dem Erwartungswert der Auszahlung, also \(7{,}00\,\text{€}\). 2. Aufstellen der Gleichungen für Teil b): Sei \(n_0, n_{10}, n_{50}\) die Anzahl der jeweiligen Lose. Es gilt \(n_0 + n_{10} + n_{50} = 40\) und für die Fairness \(\frac{0 \cdot n_0 + 10 \cdot n_{10} + 50 \cdot n_{50}}{40} = 10\). 3. Vereinfachung der Fairness-Gleichung: \(10 \cdot n_{10} + 50 \cdot n_{50} = 400 \Rightarrow n_{10} + 5 \cdot n_{50} = 40\). 4. Bestimmung einer ganzzahligen Lösung: Wählt man beispielsweise \(n_{50} = 4\), so folgt \(n_{10} + 20 = 40\), also \(n_{10} = 20\). 5. Berechnung der Anzahl der Nieten: \(n_0 = 40 - 20 - 4 = 16\). Alle Bedingungen (mindestens ein Los pro Wert, Summe 40) sind erfüllt.

a) Der faire Preis beträgt \(7{,}00\,\text{€}\). b) Eine mögliche Verteilung ist: \(16\) Lose mit \(0\,\text{€}\), \(20\) Lose mit \(10\,\text{€}\) und \(4\) Lose mit \(50\,\text{€}\).

- Wie viele verschiedene Ergebnisse gibt es insgesamt beim dreimaligen Werfen einer Münze? - Überlege dir, wie oft die Bedingungen „dreimal Kopf“ oder „zweimal Kopf“ in der Ergebnismenge vorkommen. - Stelle eine Gleichung auf, in der die Summe der gewichteten Auszahlungen dem Einsatz entspricht. - Was muss passieren, damit der durchschnittliche Reingewinn genau null ist?

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die relevanten Ereignisse beim dreimaligen Münzwurf: \(P(\text{3-mal Kopf}) = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}\); \(P(\text{genau 2-mal Kopf}) = \binom{3}{2} \cdot (\frac{1}{2})^3 = \frac{3}{8}\). 2. Aufstellen der Gleichung für den Erwartungswert der Auszahlung \(E(A)\): \(E(A) = x \cdot \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{3}{8} + 0 \cdot \frac{4}{8} = \frac{x + 12}{8}\). 3. Bedingung für ein faires Spiel: Der Erwartungswert der Auszahlung muss gleich dem Einsatz sein, also \(E(A) = 3\). 4. Lösen der Gleichung nach \(x\): \(\frac{x + 12}{8} = 3 \implies x + 12 = 24 \implies x = 12\). 5. Für einen Auszahlungsbetrag von \(12{,}00\,\text{€}\) bei „dreimal Kopf“ ist das Spiel fair.

Es gilt \(x = 12\); die Auszahlung bei „dreimal Kopf“ beträgt also \(12{,}00\,\text{€}\).

- Welche Kosten entstehen der Firma, wenn das erste Teil direkt funktioniert? - Wie hoch sind die Gesamtkosten, wenn ein Ersatzteil geliefert werden muss? - Wie berechnet man den Durchschnittswert (Erwartungswert) der Kosten unter Berücksichtigung der Defektwahrscheinlichkeit? - Wie hängen Verkaufspreis, erwartete Kosten und der gewünschte Gewinn zusammen?

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die Fälle „Sensor einwandfrei“ (\(P = 0{,}94\)) und „Sensor defekt“ (\(P = 0{,}06\)). 2. Ermittlung der Kosten pro Verkauf: Im fehlerfreien Fall entstehen Kosten von \(15\,\text{€}\). Im Fehlerfall entstehen Gesamtkosten von \(15\,\text{€} + 18\,\text{€} = 33\,\text{€}\). 3. Berechnung des Erwartungswerts der Kosten: \(E(K) = 0{,}94 \cdot 15\,\text{€} + 0{,}06 \cdot 33\,\text{€} = 14{,}10\,\text{€} + 1{,}98\,\text{€} = 16{,}08\,\text{€}\). 4. Aufstellen der Gewinngleichung für den Verkaufspreis \(x\): \(x - 16{,}08\,\text{€} = 4\,\text{€}\). 5. Berechnung des Preises: \(x = 20{,}08\,\text{€}\).

Der Verkaufspreis muss \(20{,}08\,\text{€}\) betragen.

- Kannst du das Problem als zweistufiges Zufallsexperiment betrachten? - Welche Wahrscheinlichkeit besteht überhaupt, das Glücksrad drehen zu dürfen? - Wie hängen der Erwartungswert des Gewinns und die einzelnen Sektoren zusammen? - Denke daran, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten am Glücksrad immer 1 ergeben muss.

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, das Glücksrad drehen zu dürfen: \(P(\text{Glücksrad}) = \frac{5}{25} = 0{,}2\). 2. Aufstellen der Gleichung für die Summe der Wahrscheinlichkeiten am Glücksrad: \(p_G + p_S + 0{,}5 = 1 \implies p_S = 0{,}5 - p_G\). 3. Aufstellen der Gleichung für den Erwartungswert: \(E(X) = 0{,}2 \cdot (100 \cdot p_G + 40 \cdot p_S + 10 \cdot 0{,}5) = 7\). 4. Umformen der Erwartungswertgleichung: \(100 \cdot p_G + 40 \cdot p_S + 5 = \frac{7}{0{,}2} = 35 \implies 100 \cdot p_G + 40 \cdot p_S = 30\). 5. Einsetzen von \(p_S\): \(100 \cdot p_G + 40 \cdot (0{,}5 - p_G) = 30 \implies 100 \cdot p_G + 20 - 40 \cdot p_G = 30 \implies 60 \cdot p_G = 10\). 6. Berechnung der Ergebnisse: \(p_G = \frac{1}{6} \approx 0{,}167\) und \(p_S = 0{,}5 - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\).

Die Wahrscheinlichkeit für den Sektor Gold beträgt \(\frac{1}{6}\) (ca. \(16{,}7\,\%\)) und für den Sektor Silber \(\frac{1}{3}\) (ca. \(33{,}3\,\%\)).

- In Aufgabenteil a) suchst du den klassischen Erwartungswert einer binomialverteilten Größe. - In Aufgabenteil b) musst du die Formel für den Erwartungswert nach der Anzahl der Versuche umstellen. - Erinnere dich für Teil c) daran, wie die relative Häufigkeit aus der Anzahl der Treffer und der Gesamtzahl der Versuche gebildet wird. - Was sagt das Gesetz der großen Zahlen über das Verhältnis von relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit aus?

1. Berechnung des Erwartungswerts für \(n = 800\): \(E = 800 \cdot 0{,}05 = 40\). Der Hauptgewinn ist theoretisch \(40\)-mal zu erwarten. 2. Bestimmung der Gesamtzahl \(n\) bei gegebenem Erwartungswert \(E = 35\): Aus \(35 = n \cdot 0{,}05\) folgt \(n = \frac{35}{0{,}05} = 700\). Das Rad wurde \(700\)-mal gedreht. 3. Berechnung der relativen Häufigkeit \(h\): \(h = \frac{112}{2000} = 0{,}056\). Vergleich mit der Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}05\): Die relative Häufigkeit liegt um \(0{,}006\) (bzw. \(0{,}6\,\text{Prozentpunkte}\)) über der theoretischen Wahrscheinlichkeit.

a) \(40\)-mal b) \(700\)-mal c) Relative Häufigkeit: \(0{,}056\) (oder \(5{,}6\,\%\)). Sie weicht um \(0{,}006\) (oder \(0{,}6\,\text{Prozentpunkte}\)) nach oben von der theoretischen Wahrscheinlichkeit (\(0{,}05\)) ab.

- Wie hängt die Summe der Zahlen \(1\) bis \(n\) mit der Anzahl \(n\) zusammen? - Kannst du zuerst die Anzahl der Lose im Behälter bestimmen? - Wenn du die Gesamtsumme und die Anzahl der Lose kennst, wie berechnest du dann den Durchschnittswert?

1. Aufstellen der Formel für die Summe der ersten \(n\) natürlichen Zahlen: \(S = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}\). 2. Gleichsetzen mit dem gegebenen Wert zur Bestimmung von \(n\): \(\frac{n \cdot (n + 1)}{2} = 1275 \implies n^2 + n - 2550 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung: Die positive Lösung ist \(n = 50\). 4. Berechnung des Erwartungswerts für eine Gleichverteilung auf \(\{1, \dots, n\}\): \(E = \frac{n + 1}{2}\) oder \(E = \frac{\text{Gesamtsumme}}{n}\). 5. Einsetzen der Werte: \(E = \frac{50 + 1}{2} = 25{,}5\) oder \(E = \frac{1275}{50} = 25{,}5\).

Der Erwartungswert beträgt \(25{,}5\).

- Was bedeutet der Begriff „Gewinn“ im Unterschied zur „Auszahlung“? - Wie berechnet man den gewichteten Durchschnitt aller möglichen Ergebnisse? - Wann genau bezeichnet man ein mathematisches Spiel als „fair“? - Überlege, welche Wahrscheinlichkeiten den einzelnen Ereignissen am Glücksrad zugeordnet werden müssen.

1. Sei \(A\) die Auszahlung. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Auszahlungen: \(P(A = 12) = \frac{2}{20} = 0{,}1\); \(P(A = 4) = \frac{5}{20} = 0{,}25\); \(P(A = 0) = \frac{13}{20} = 0{,}65\). 2. Berechnung des Erwartungswerts der Auszahlung: \(E(\text{Auszahlung}) = 12 \cdot 0{,}1 + 4 \cdot 0{,}25 + 0 \cdot 0{,}65 = 1{,}2 + 1 + 0 = 2{,}20\,\text{€}\). 3. Berechnung des Erwartungswerts für den Gewinn \(X\) (Auszahlung minus Einsatz): \(E(X) = 2{,}20\,\text{€} - 2{,}50\,\text{€} = -0{,}30\,\text{€}\). 4. Da der Erwartungswert \(E(X) \neq 0\) ist, ist das Spiel nicht fair. 5. Ein Spiel gilt als fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns null ist. Dies ist der Fall, wenn der Einsatz dem Erwartungswert der Auszahlung entspricht. Der faire Einsatz beträgt somit \(2{,}20\,\text{€}\).

Der Erwartungswert für den Gewinn beträgt \(E(X) = -0{,}30\,\text{€}\). Das Spiel ist nicht fair, da der Erwartungswert nicht null ist. Damit das Spiel fair wäre, müsste der Einsatz \(2{,}20\,\text{€}\) betragen.

- Stelle zuerst die Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine einzelne Ziehung auf. - Berechne, wie viel Geld im Durchschnitt pro Spiel an die Spieler zurückfließt. - Wie hängen der erwartete Verlust des Spielers und der erwartete Gewinn des Betreibers zusammen? - Nutze die Linearität des Erwartungswerts, um das Ergebnis auf eine größere Anzahl an Spielen hochzurechnen.

1. Aufstellen der Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Auszahlung: \(P(20) = \frac{1}{25} = 0{,}04\); \(P(5) = \frac{4}{25} = 0{,}16\); \(P(0) = \frac{20}{25} = 0{,}80\). 2. Berechnung des Erwartungswerts der Auszahlung pro Spiel: \(E(\text{Auszahlung}) = 20 \cdot 0{,}04 + 5 \cdot 0{,}16 + 0 \cdot 0{,}80 = 0{,}8 + 0{,}8 = 1{,}60\,\text{€}\). 3. Berechnung des Erwartungswerts für den Gewinn \(X\) des Spielers: \(E(X) = 1{,}60\,\text{€} - 3{,}00\,\text{€} = -1{,}40\,\text{€}\). Ein Spieler verliert also im Schnitt \(1{,}40\,\text{€}\) pro Spiel. 4. Der erwartete Gewinn des Betreibers pro Spiel entspricht dem negativen Erwartungswert des Spielers: \(E(\text{Betreiber}) = 1{,}40\,\text{€}\). 5. Berechnung des Gesamterwartungswerts für \(200\) Spiele: \(200 \cdot 1{,}40\,\text{€} = 280{,}00\,\text{€}\).

Ein Spieler hat einen erwarteten Verlust von \(1{,}40\,\text{€}\) pro Spiel (\(E(X) = -1{,}40\,\text{€}\)). Bei \(200\) Spielen kann der Betreiber einen Gesamtgewinn von \(280{,}00\,\text{€}\) erwarten.

- Was müssen alle Wahrscheinlichkeiten eines Zufallsexperiments zusammen ergeben? - Wie groß ist der Anteil der Spiele, bei denen überhaupt etwas gewonnen wird? - Welcher Betrag soll im Durchschnitt pro Spiel ausgezahlt werden? - Kannst du den Erwartungswert als Gleichung formulieren, in der \(H\) die Unbekannte ist?

1. Berechnung der Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle Gewinne größer als Null: \(P(X > 0) = \frac{1}{5} + \frac{1}{20} + \frac{1}{50} + \frac{1}{100} + \frac{1}{500} = \frac{100}{500} + \frac{25}{500} + \frac{10}{500} + \frac{5}{500} + \frac{1}{500} = \frac{141}{500} = 0{,}282\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für keine Auszahlung ist das Gegenereignis: \(P(X = 0) = 1 - 0{,}282 = 0{,}718\). 3. Zielwert für den Erwartungswert festlegen: \(E(X) = 0{,}60 \cdot 0{,}50\,\text{€} = 0{,}30\,\text{€}\). 4. Aufstellen der Gleichung für den Erwartungswert: \(0{,}10 \cdot \frac{1}{5} + 0{,}50 \cdot \frac{1}{20} + 2{,}00 \cdot \frac{1}{50} + 5{,}00 \cdot \frac{1}{100} + H \cdot \frac{1}{500} = 0{,}30\). 5. Berechnung der Teilsumme der bekannten Terme: \(0{,}02 + 0{,}025 + 0{,}04 + 0{,}05 = 0{,}135\). 6. Auflösen nach \(H\): \(0{,}135 + \frac{H}{500} = 0{,}30 \implies \frac{H}{500} = 0{,}165 \implies H = 82{,}50\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}718\) (oder \(71{,}8\,\%\)). b) Es gilt \(H = 82{,}50\); der Hauptgewinn beträgt also \(82{,}50\,\text{€}\).

- Welche Werte kann die Anzahl der E-Mails annehmen? - Wann genau wird eine fünfte E-Mail verschickt? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis erst beim \(k\)-ten Versuch eintritt? - Überlege, wie sich die Wahrscheinlichkeit für den Maximalwert von den anderen unterscheidet.

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der gesendeten E-Mails mit den möglichen Werten \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten unter Verwendung der Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\): \(P(X=1) = 0{,}12\) \(P(X=2) = 0{,}88 \cdot 0{,}12 = 0{,}1056\) \(P(X=3) = 0{,}88^2 \cdot 0{,}12 = 0{,}092928\) \(P(X=4) = 0{,}88^3 \cdot 0{,}12 = 0{,}08177664\) \(P(X=5) = 0{,}88^4 = 0{,}59969536\) (Eintritt, wenn die ersten 4 E-Mails nicht geöffnet wurden). 3. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = 1 \cdot 0{,}12 + 2 \cdot 0{,}1056 + 3 \cdot 0{,}092928 + 4 \cdot 0{,}08177664 + 5 \cdot 0{,}59969536 = 3{,}93556736\).

Ein Neukunde erhält im Durchschnitt etwa \(3{,}94\) E-Mails (exakt \(3{,}93556736\)).

- Notiere dir zuerst alle möglichen Szenarien für die Anzahl der Drehungen. - Wie wahrscheinlich ist es, dass man genau zwei, drei oder vier Mal drehen muss? - Bedenke, dass die vierte Drehung in jedem Fall stattfindet, wenn die ersten drei keine Gewinne waren. - Wie hängen die Anzahl der Drehungen und die Gesamtkosten zusammen?

1. Festlegen der Zufallsgröße \(X\) für die Anzahl der Drehungen mit den Werten \(\{1, 2, 3, 4\}\). 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten mit \(p = 0{,}25\) und \(q = 0{,}75\): \(P(X=1) = 0{,}25\) \(P(X=2) = 0{,}75 \cdot 0{,}25 = 0{,}1875\) \(P(X=3) = 0{,}75^2 \cdot 0{,}25 = 0{,}140625\) \(P(X=4) = 0{,}75^3 = 0{,}421875\) (da nach 3 Misserfolgen die 4. Drehung unabhängig vom Ergebnis die letzte ist). 3. Berechnung des Erwartungswerts der Drehungen: \(E(X) = 1 \cdot 0{,}25 + 2 \cdot 0{,}1875 + 3 \cdot 0{,}140625 + 4 \cdot 0{,}421875 = 2{,}734375\). 4. Berechnung der erwarteten Kosten: \(E(\text{Kosten}) = 1{,}50\,\text{€} \cdot 2{,}734375 = 4{,}1015625\,\text{€}\).

Der Spieler muss mit durchschnittlichen Kosten von ca. \(4{,}10\,\text{€}\) rechnen (exakt \(4{,}1015625\,\text{€}\)).

- Erinnere dich an die Formel von Bernoulli für die Einzelwahrscheinlichkeiten. - Eine Tabelle hilft dir, die Werte für \(k\) und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten übersichtlich zu ordnen. - Der Erwartungswert ist der gewichtete Durchschnitt aller möglichen Werte der Zufallsgröße. - Multipliziere jeden Wert \(k\) mit seiner Wahrscheinlichkeit und addiere diese Ergebnisse.

1. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten mit der Formel \(P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\): \(P(X=0) = \binom{5}{0} \cdot 0{,}4^0 \cdot 0{,}6^5 = 0{,}07776\) \(P(X=1) = \binom{5}{1} \cdot 0{,}4^1 \cdot 0{,}6^4 = 5 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}1296 = 0{,}2592\) \(P(X=2) = \binom{5}{2} \cdot 0{,}4^2 \cdot 0{,}6^3 = 10 \cdot 0{,}16 \cdot 0{,}216 = 0{,}3456\) \(P(X=3) = \binom{5}{3} \cdot 0{,}4^3 \cdot 0{,}6^2 = 10 \cdot 0{,}064 \cdot 0{,}36 = 0{,}2304\) \(P(X=4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}4^4 \cdot 0{,}6^1 = 5 \cdot 0{,}0256 \cdot 0{,}6 = 0{,}0768\) \(P(X=5) = \binom{5}{5} \cdot 0{,}4^5 \cdot 0{,}6^0 = 0{,}01024\) 2. Berechnung des Erwartungswerts über die Summe der Produkte \(k \cdot P(X=k)\): \(E(X) = 0 \cdot 0{,}07776 + 1 \cdot 0{,}2592 + 2 \cdot 0{,}3456 + 3 \cdot 0{,}2304 + 4 \cdot 0{,}0768 + 5 \cdot 0{,}01024\) \(E(X) = 0 + 0{,}2592 + 0{,}6912 + 0{,}6912 + 0{,}3072 + 0{,}0512 = 2{,}0\)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist: <table border='1'> <tr><td>\(k\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr> <tr><td>\(P(X=k)\)</td><td>\(0{,}07776\)</td><td>\(0{,}2592\)</td><td>\(0{,}3456\)</td><td>\(0{,}2304\)</td><td>\(0{,}0768\)</td><td>\(0{,}01024\)</td></tr> </table> Der Erwartungswert beträgt \(E(X) = 2{,}0\).

- Überlege dir, ob die einzelnen Drehungen voneinander abhängen und welche Verteilung vorliegt. - Für den Teil „mehr als 2-mal“ ist es oft einfacher, über das Gegenereignis nachzudenken. - Betrachte für den zweiten Teil zunächst nur ein einzelnes Feld: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Feld bei 100 Versuchen nie getroffen wird? - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für ein Feld hast, wie kannst du das auf alle 32 Felder hochrechnen?

1. Definition der Zufallsgröße: Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Treffer auf der Zahl \(13\). Da die Drehungen unabhängig sind, ist \(X\) binomialverteilt mit \(n = 100\) und \(p = \frac{1}{32} = 0{,}03125\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: - \(P(X = 0) = \binom{100}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{100} = \left(\frac{31}{32}\right)^{100} \approx 0{,}0418\) - \(P(X = 1) = \binom{100}{1} \cdot p^1 \cdot (1-p)^{99} = 100 \cdot \frac{1}{32} \cdot \left(\frac{31}{32}\right)^{99} \approx 0{,}1348\) - \(P(X = 2) = \binom{100}{2} \cdot p^2 \cdot (1-p)^{98} = 4950 \cdot \left(\frac{1}{32}\right)^2 \cdot \left(\frac{31}{32}\right)^{98} \approx 0{,}2153\) 3. Berechnung für mehr als \(2\)-mal: \(P(X > 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)) \approx 0{,}6081\). 4. Erwartungswert der Anzahl der getroffenen Felder: Sei \(Y_i\) eine Indikatorvariable, die \(1\) ist, wenn Feld \(i\) mindestens einmal getroffen wurde, sonst \(0\). Die Wahrscheinlichkeit, dass ein spezifisches Feld mindestens einmal getroffen wird, ist \(p_{\text{Treffer}} = 1 - \left(\frac{31}{32}\right)^{100} \approx 0{,}9582\). Der Erwartungswert der Summe dieser \(32\) Variablen ist \(E = 32 \cdot p_{\text{Treffer}} \approx 30{,}66\).

a) \(P(0) \approx 4{,}18\,\%\); \(P(1) \approx 13{,}48\,\%\); \(P(2) \approx 21{,}53\,\%\); \(P(>2) \approx 60{,}81\,\%\). b) Im Durchschnitt wird das Rad auf ca. \(30{,}66\) verschiedenen Feldern mindestens einmal stehen geblieben sein.

- Identifiziere die Trefferwahrscheinlichkeit für einen einzelnen Fehler auf einem ganz bestimmten Server. - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Fehler auf diesem Server bei 120 unabhängigen Ereignissen? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für „mindestens einen Fehler“? - Nutze die Linearität des Erwartungswerts: Die Gesamtzahl der betroffenen Server ist die Summe der betroffenen Einzelserver.

1. Modellierung: Die Anzahl der Fehler \(X\) auf einem bestimmten Server ist binomialverteilt mit \(n = 120\) (Anzahl der Fehlerereignisse) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{50} = 0{,}02\) pro Ereignis. 2. Punktwahrscheinlichkeiten berechnen: - \(P(X = 0) = 0{,}98^{120} \approx 0{,}0885\) - \(P(X = 1) = 120 \cdot 0{,}02^1 \cdot 0{,}98^{119} \approx 0{,}2168\) - \(P(X = 2) = \binom{120}{2} \cdot 0{,}02^2 \cdot 0{,}98^{118} \approx 0{,}2633\) 3. Kumulierte Wahrscheinlichkeit: \(P(X > 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)) \approx 0{,}4313\). 4. Erwartungswert für die Anzahl betroffener Server: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Server mindestens einen Fehler hat, ist \(P(\text{mindestens ein Fehler}) = 1 - P(X=0) = 1 - 0{,}98^{120} \approx 0{,}9115\). Da es \(50\) Server gibt, ist der Erwartungswert \(E = 50 \cdot (1 - 0{,}98^{120}) \approx 45{,}57\).

a) \(P(0) \approx 8{,}85\,\%\); \(P(1) \approx 21{,}68\,\%\); \(P(2) \approx 26{,}33\,\%\); \(P(>2) \approx 43{,}13\,\%\). b) Es ist zu erwarten, dass etwa \(45{,}57\) Server von mindestens einem Fehler betroffen sind.

- Überlege dir, wie viele „Versuche“ es insgesamt gibt (jeder Defekt ist ein Versuch). - Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein ganz bestimmter Defekt auf einem ganz bestimmten Chip landet? - Der Erwartungswert für die Anzahl der Chips ergibt sich aus der Gesamtzahl der Chips multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses bei einem Chip. - Was müsste gelten, damit Versuche als unabhängig voneinander angesehen werden können?

1. Modellierung: Die Anzahl der Defekte auf einem spezifischen Chip ist binomialverteilt mit \(n = 50\) (Gesamtzahl der Defekte) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{1000} = 0{,}001\) pro Defekt, diesen speziellen Chip zu treffen. 2. Wahrscheinlichkeit für \(0\) Defekte: \(P(X = 0) = \binom{50}{0} \cdot 0{,}001^0 \cdot 0{,}999^{50} = 0{,}999^{50} \approx 0{,}9512\). 3. Wahrscheinlichkeit für genau \(2\) Defekte: \(P(X = 2) = \binom{50}{2} \cdot 0{,}001^2 \cdot 0{,}999^{48} \approx 1225 \cdot 0{,}000001 \cdot 0{,}9531 \approx 0{,}001168\). 4. Erwartungswert für die Anzahl der Chips: \(E = N \cdot P(X = 2) = 1000 \cdot 0{,}001168 \approx 1{,}17\). Man kann also auf etwa \(1{,}17\) Chips genau zwei Defekte erwarten. 5. Modellannahmen: Unabhängigkeit der Defekte voneinander; jeder Chip ist gleich groß/wahrscheinlich betroffen. Erfolg: Ein Defekt landet auf dem betrachteten Chip. Kettenlänge: Gesamtzahl der Defekte (\(n = 50\)).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(95{,}12\,\%\). b) Man kann auf etwa \(1{,}17\) Chips (also gerundet auf \(1\) Chip) genau zwei Defekte erwarten. c) Annahmen: Unabhängige Platzierung der Defekte, konstante Trefferwahrscheinlichkeit. Ein „Erfolg“ ist das Auftreten eines Defekts auf dem gewählten Chip; die Länge der Bernoulli-Kette ist \(n = 50\).

- Betrachte den Vorgang als eine Kette von unabhängigen Versuchen. - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein ganz bestimmtes Ereignis in einem Versuch nicht eintritt? - Überlege dir, wie oft man dieses Ergebnis bei einer bestimmten Anzahl von Versuchen hintereinander erwarten würde. - Um eine unbekannte Anzahl an Versuchen zu schätzen, kannst du den theoretischen Erwartungswert mit dem beobachteten Wert gleichsetzen. - Logarithmen sind hilfreich, um Gleichungen zu lösen, bei denen die Unbekannte im Exponenten steht.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Teilaufgabe a): Die Wahrscheinlichkeit, in einem Wurf nicht die 20 zu erhalten, beträgt \(p = \frac{19}{20} = 0{,}95\). Bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(15\) ist die Wahrscheinlichkeit für null Treffer \(P(X=0) = 0{,}95^{15} \approx 0{,}4633\). 2. Schätzung der Anzahl der Würfe für Teilaufgabe b): Sei \(X\) die Anzahl der Zahlen, die nach \(n\) Würfen noch nicht erschienen sind. Da jede der 20 Zahlen mit der Wahrscheinlichkeit \(( \frac{19}{20} )^n\) nicht erscheint, ist der Erwartungswert \(E(X) = 20 \cdot ( \frac{19}{20} )^n\). 3. Gleichsetzen des Erwartungswerts mit dem beobachteten Wert: \(20 \cdot 0{,}95^n = 4\). 4. Lösen der Gleichung nach \(n\): \(0{,}95^n = 0{,}2 \implies n = \frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}95)} \approx 31{,}38\). Die geschätzte Anzahl der Würfe beträgt etwa 31.

a) ca. \(46{,}3\,\%\) b) ca. 31 Würfe

- Wie hängt die durchschnittliche Anzahl an Fehlern pro Gerät mit der Gesamtzahl der Fehler zusammen? - „Mindestens ein Fehler“ ist das Gegenereignis zu „kein Fehler“. - Verwende den beobachteten relativen Anteil der fehlerfreien Geräte als Wahrscheinlichkeit \(P(X=0)\), um auf die unbekannte Anzahl der Versuche \(n\) zurückzuschließen.

1. Berechnung für durchschnittlich \(1{,}5\) Fehler: Die Gesamtzahl der Fehler ist \(n = 200 \cdot 1{,}5 = 300\). Die Trefferwahrscheinlichkeit für einen Fehler auf einem spezifischen Bildschirm ist \(p = \frac{1}{200}\). \(P(X = 0) = \binom{300}{0} \cdot \left(\frac{1}{200}\right)^0 \cdot \left(\frac{199}{200}\right)^{300} \approx 0{,}2223\). Die Wahrscheinlichkeit für einen fehlerfreien Bildschirm beträgt ca. \(22{,}23\,\%\). Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Fehler ist \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) \approx 0{,}7777\). Voraussichtliche Anzahl betroffener Bildschirme: \(200 \cdot 0{,}7777 \approx 155{,}5\). Es sind etwa 156 Bildschirme betroffen. 2. Schätzung der Gesamtzahl \(n\): Der Anteil der fehlerfreien Bildschirme ist \(\frac{90}{200} = 0{,}45\). Dieser Wert dient als Schätzung für \(P(X = 0)\). Es gilt \(P(X = 0) = \left(\frac{199}{200}\right)^n = 0{,}45\). Lösen nach \(n\): \(n = \frac{\ln(0{,}45)}{\ln(199/200)} \approx 159{,}3\). Die Gesamtzahl der Pixelfehler wird auf ca. 159 geschätzt.

a) Die Wahrscheinlichkeit für einen fehlerfreien Bildschirm beträgt ca. \(22{,}23\,\%\). Es sind etwa 156 Bildschirme mit mindestens einem Fehler zu erwarten. b) Die Gesamtzahl der Pixelfehler wird auf ca. 159 geschätzt.

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen „Erfolg“ (die Zahl wird gewürfelt) bei einem einzelnen Wurf ist. - Welches Verteilungsmodell eignet sich für eine Kette von Versuchen mit gleichbleibender Wahrscheinlichkeit? - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für eine einzelne Zahl kennst, wie kannst du diese auf die Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse übertragen? - Erinnere dich an die Formel für den Erwartungswert bei der Binomialverteilung oder nutze die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten.

1. Die Anzahl der Treffer für eine bestimmte Zahl folgt einer Binomialverteilung mit \(n = 6\) und \(p = \frac{1}{6}\). Die Wahrscheinlichkeit für null Treffer berechnet sich zu \(P(X = 0) = \binom{6}{0} \cdot (\frac{1}{6})^0 \cdot (\frac{5}{6})^6 = (\frac{5}{6})^6 \approx 0{,}3349\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer beträgt \(P(X = 1) = \binom{6}{1} \cdot (\frac{1}{6})^1 \cdot (\frac{5}{6})^5 = 6 \cdot \frac{1}{6} \cdot (\frac{5}{6})^5 = (\frac{5}{6})^5 \approx 0{,}4019\). 3. Sei \(X_i\) eine Zufallsgröße, die 1 ist, wenn die Augenzahl \(i\) nicht auftritt, und sonst 0. Der Erwartungswert für eine einzelne Zahl ist \(E(X_i) = P(X = 0) \approx 0{,}3349\). Für alle sechs Zahlen ergibt sich aus der Linearität des Erwartungswerts \(E = 6 \cdot 0{,}3349 \approx 2{,}0094\). Da \(\frac{2{,}0094}{6} \approx 0{,}3349 > \frac{1}{3} \approx 0{,}3333\), macht dies mehr als ein Drittel der möglichen Ergebnisse aus.

1. \(P(X = 0) \approx 0{,}3349\) (bzw. \(33{,}49\,\%\)). 2. \(P(X = 1) \approx 0{,}4019\) (bzw. \(40{,}19\,\%\)). 3. Im Durchschnitt treten ca. \(2{,}01\) Zahlen nicht auf. Da \(2{,}01 > 2\) (ein Drittel von 6), ist die Aussage bestätigt.

- Betrachte zunächst nur einen einzigen Tag und überlege, wie die Anzahl der Personen, die an diesem Tag Geburtstag haben, verteilt ist. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis bei einer Binomialverteilung? - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für einen Tag kennst, wie oft tritt dieses Ereignis dann im Schnitt bei 365 Tagen auf? - Denk daran, dass „mehr als eine Person“ das Gegenereignis zu „keine oder genau eine Person“ ist.

1. Modellierung: Für einen festen Tag ist die Anzahl der Personen mit Geburtstag binomialverteilt mit \(n = 500\) und \(p = \frac{1}{365}\). 2. Wahrscheinlichkeit für keinen Geburtstag an einem Tag: \(P(X = 0) = \left(\frac{364}{365}\right)^{500} \approx 0{,}2537\). 3. Erwartungswert für Tage ohne Geburtstag: \(E(\text{Tage ohne Geburtstag}) = 365 \cdot P(X = 0) = 365 \cdot \left(\frac{364}{365}\right)^{500} \approx 92{,}6\). 4. Wahrscheinlichkeit für genau eine Person: \(P(X = 1) = \binom{500}{1} \cdot \frac{1}{365} \cdot \left(\frac{364}{365}\right)^{499} \approx 0{,}3485\). 5. Wahrscheinlichkeit für mehr als eine Person: \(P(X > 1) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \approx 1 - 0{,}2537 - 0{,}3485 = 0{,}3978\). 6. Erwartungswert für Tage mit mehr als einem Geburtstag: \(E(\text{Tage} > 1) = 365 \cdot P(X > 1) \approx 365 \cdot 0{,}3978 \approx 145{,}2\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(25{,}37\,\%\). b) Es ist zu erwarten, dass an ca. \(92{,}6\) Tagen niemand Geburtstag hat. c) Im Durchschnitt gibt es ca. \(145{,}2\) Tage mit mehr als einem Geburtstagskind.

- Überlege dir zuerst, wie viel Prozent der Akkus in den jeweiligen Zeitabschnitten (z. B. zwischen der 5. und 10. Stunde) kaputtgehen. - Wenn du weißt, wie groß die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall ist, welchen Zeitwert könntest du als Durchschnitt für dieses Intervall annehmen? - Wie berechnet man allgemein den Durchschnittswert (Erwartungswert), wenn man verschiedene Ergebnisse und deren Wahrscheinlichkeiten hat?

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für das Ausfallen innerhalb der Zeitintervalle durch Differenzbildung der Anteile: - \(P(0 < X \le 5) = 1{,}00 - 0{,}95 = 0{,}05\) - \(P(5 < X \le 10) = 0{,}95 - 0{,}85 = 0{,}10\) - \(P(10 < X \le 15) = 0{,}85 - 0{,}60 = 0{,}25\) - \(P(15 < X \le 20) = 0{,}60 - 0{,}30 = 0{,}30\) - \(P(20 < X \le 25) = 0{,}30 - 0{,}05 = 0{,}25\) - \(P(25 < X \le 30) = 0{,}05 - 0{,}00 = 0{,}05\) 2. Festlegung der Intervallmitten als Repräsentanten: \(2{,}5; 7{,}5; 12{,}5; 17{,}5; 22{,}5; 27{,}5\). 3. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = 0{,}05 \cdot 2{,}5 + 0{,}10 \cdot 7{,}5 + 0{,}25 \cdot 12{,}5 + 0{,}30 \cdot 17{,}5 + 0{,}25 \cdot 22{,}5 + 0{,}05 \cdot 27{,}5\) \(E(X) = 0{,}125 + 0{,}75 + 3{,}125 + 5{,}25 + 5{,}625 + 1{,}375 = 16{,}25\).

Der Schätzwert für die mittlere Lebensdauer beträgt \(16{,}25\,\text{Stunden}\).

- Wie hängen die Werte der Zufallsgröße und ihre jeweiligen Wahrscheinlichkeiten mit dem Erwartungswert zusammen? - Stelle eine Formel für den Erwartungswert auf, in der \(a\) vorkommt. - Überlege dir, welche Wahrscheinlichkeit abnimmt, wenn \(a\) (die Wahrscheinlichkeit für den Wert 1) zunimmt. - Welchen Einfluss haben höhere oder niedrigere Werte auf den „Schwerpunkt“ der Verteilung?

1. Aufstellen der Gleichung für den Erwartungswert: \(E(X) = 1 \cdot a + 2 \cdot 0{,}4 + 3 \cdot (0{,}6 - a)\). 2. Vereinfachen des Terms: \(E(X) = a + 0{,}8 + 1{,}8 - 3 \cdot a = 2{,}6 - 2 \cdot a\). 3. Lösen der Gleichung für \(E(X) = 2{,}3\): \(2{,}6 - 2 \cdot a = 2{,}3 \implies 0{,}3 = 2 \cdot a \implies a = 0{,}15\). 4. Begründung für die Änderung: Wenn \(a\) größer wird, nimmt die Wahrscheinlichkeit für den kleinsten Wert (\(X=1\)) zu, während die Wahrscheinlichkeit für den größten Wert (\(X=3\)) im gleichen Maße abnimmt. Da die Wahrscheinlichkeit für den mittleren Wert (\(X=2\)) konstant bleibt, verschiebt sich das „Gewicht“ der Verteilung hin zu kleineren Werten, wodurch der Erwartungswert sinkt.

a) Der Parameter muss den Wert \(a = 0{,}15\) annehmen. b) Der Erwartungswert sinkt, wenn \(a\) größer wird, da die Wahrscheinlichkeit für den kleinsten Wert \(1\) zunimmt und die für den größten Wert \(3\) abnimmt.

- Was bedeutet der Begriff „im Durchschnitt zu erwarten“ für die Wahl deiner Formel? - Wie lässt sich ein Prozentsatz oder eine Angabe wie „jede hundertste“ in einen Dezimalbruch für die Wahrscheinlichkeit \(p\) umwandeln? - Wenn die Wahrscheinlichkeit für einen Defekt sinkt, muss die Anzahl der Versuche dann steigen oder fallen, um denselben Durchschnittswert zu erhalten?

1. Berechnung des Erwartungswerts für Teilaufgabe a) mit \(n = 600\) und \(p = 0{,}025\): \(\mu = 600 \cdot 0{,}025 = 15\). 2. Bestimmung der neuen Wahrscheinlichkeit aus der Angabe „jede hundertste“: \(p_{neu} = \frac{1}{100} = 0{,}01\). 3. Aufstellen der Gleichung für den gesuchten Stichprobenumfang \(n_{neu}\) bei gleichbleibendem Erwartungswert \(\mu = 15\): \(15 = n_{neu} \cdot 0{,}01\). 4. Berechnung von \(n_{neu}\) durch Division: \(n_{neu} = \frac{15}{0{,}01} = 1500\).

a) Es sind durchschnittlich \(15\) fehlerhafte Leuchten zu erwarten. b) Die Charge müsste einen Umfang von \(1500\) Stück haben.

- Wie berechnet man die Anzahl der erwarteten Treffer bei einer bekannten Trefferquote? - Für den zweiten Teil kannst du entweder die Kosten pro Gewinnklasse addieren oder zuerst ausrechnen, wie viel ein Spiel im Durchschnitt an Gewinn ausschüttet. - Achte beim Rechnen mit den Brüchen darauf, diese in Dezimalzahlen umzuwandeln oder direkt mit dem Taschenrechner zu verrechnen.

1. Berechnung der erwarteten Anzahl pro Gewinnklasse (\(n = 12\,000\)): - Hauptgewinn: \(12\,000 \cdot \frac{1}{1000} = 12\). - Kleingewinn: \(12\,000 \cdot \frac{3}{100} = 360\). - Trostpreis: \(12\,000 \cdot \frac{1}{10} = 1200\). 2. Berechnung der Gesamtsumme der Preise: - Weg A: Summe der Produkte aus erwarteter Anzahl und Wert: \(12 \cdot 250\,\text{€} + 360 \cdot 10\,\text{€} + 1200 \cdot 2\,\text{€} = 3000\,\text{€} + 3600\,\text{€} + 2400\,\text{€} = 9000\,\text{€}\). - Weg B: Erwartungswert für ein Spiel \(E(X) = \frac{1}{1000} \cdot 250 + \frac{3}{100} \cdot 10 + \frac{1}{10} \cdot 2 = 0{,}25 + 0{,}30 + 0{,}20 = 0{,}75\,\text{€}\). Gesamtwert: \(12\,000 \cdot 0{,}75\,\text{€} = 9000\,\text{€}\).

a) Erwartete Anzahl der Gewinner: - Hauptgewinn: \(12\) - Kleingewinn: \(360\) - Trostpreis: \(1200\) b) Der Erwartungswert für die Gesamtsumme der Preise beträgt \(9000\,\text{€}\).

- Bestimme zuerst die Gesamtzahl aller Felder auf dem Glücksrad. - Wie viele Felder zeigen jeweils den Gewinn \(0\,\text{€}\), \(1\,\text{€}\), \(2\,\text{€}\) und \(5\,\text{€}\)? - Nutze diese Anzahlen, um die fehlenden Wahrscheinlichkeiten in der Tabelle zu bestimmen. - Erinnere dich daran, wie man den Erwartungswert als gewichteten Durchschnitt berechnet. - Vergleiche den erwarteten Auszahlungsbetrag mit dem Einsatz des Spiels.

1. Teilaufgabe a): Das Glücksrad hat insgesamt 12 gleich große Sektoren. - Für den Gewinn \(x = 1\,\text{€}\) gibt es 4 Sektoren. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(X = 1) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\). - Für den Gewinn \(x = 5\,\text{€}\) gibt es 1 Sektor. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(X = 5) = \frac{1}{12}\). 2. Teilaufgabe b): Der Erwartungswert \(E(X)\) berechnet sich aus der Summe der Produkte der Gewinne und ihrer Wahrscheinlichkeiten: \(E(X) = 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 5 \cdot \frac{1}{12} = \frac{4}{12} + \frac{6}{12} + \frac{5}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1{,}25\,\text{€}\). 3. Teilaufgabe c): Um die Fairness zu beurteilen, berechnen wir den erwarteten Nettogewinn: \(\text{Nettogewinn} = E(X) - \text{Einsatz} = 1{,}25\,\text{€} - 1{,}50\,\text{€} = -0{,}25\,\text{€}\). Da der erwartete Nettogewinn kleiner als \(0\,\text{€}\) ist, ist das Spiel für den Spieler nicht fair; er macht im Durchschnitt einen Verlust von \(0{,}25\,\text{€}\) pro Spiel.

a) Die fehlenden Werte in der Tabelle sind: - Für \(x = 1\): \(\frac{1}{3}\) - Für \(x = 5\): \(\frac{1}{12}\) b) Der Erwartungswert beträgt \(E(X) = 1{,}25\,\text{€}\). c) Das Spiel ist nicht fair. Der erwartete Nettogewinn beträgt \(1{,}25\,\text{€} - 1{,}50\,\text{€} = -0{,}25\,\text{€}\). Der Spieler macht auf lange Sicht im Durchschnitt \(0{,}25\,\text{€}\) Verlust pro Spiel.

- Bestimme zunächst für jeden möglichen Auszahlungsbetrag die Anzahl der Sektoren auf dem Glücksrad. - Wie hängen die Anzahl der günstigen Sektoren und die Gesamtzahl der Sektoren mit der Wahrscheinlichkeit zusammen? - Was bedeutet der Begriff „Erwartungswert“ anschaulich und wie berechnet man ihn? - Wann nennt man ein Spiel „fair“? Überlege, welche Beziehung dann zwischen dem Spieleinsatz und der erwarteten Auszahlung bestehen muss. - Wenn der Betreiber einen Gewinn erzielen möchte, muss er den Einsatz im Vergleich zur durchschnittlichen Auszahlung erhöhen oder senken?

1. Für Aufgabenteil a) stellen wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\) auf. Die möglichen Auszahlungsbeträge (in €) sind \(0\), \(2\), \(5\) und \(10\). Da alle 8 Sektoren gleich groß sind, ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten: - \(P(X = 0) = \frac{3}{8}\) - \(P(X = 2) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\) - \(P(X = 5) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\) - \(P(X = 10) = \frac{1}{8}\) Die Wahrscheinlichkeitsverteilung als Tabelle: <table> <thead> <tr> <th>\(x_i\) (in \(\text{€}\))</th> <th>0</th> <th>2</th> <th>5</th> <th>10</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <th>\(P(X = x_i)\)</th> <td>\(\frac{3}{8}\)</td> <td>\(\frac{2}{8}\)</td> <td>\(\frac{2}{8}\)</td> <td>\(\frac{1}{8}\)</td> </tr> </tbody> </table> Der Erwartungswert \(E(X)\) berechnet sich wie folgt: \(E(X) = 0 \cdot \frac{3}{8} + 2 \cdot \frac{2}{8} + 5 \cdot \frac{2}{8} + 10 \cdot \frac{1}{8} = \frac{0 + 4 + 10 + 10}{8} = \frac{24}{8} = 3\,\text{€}\). 2. Für Aufgabenteil b): Ein Spiel ist fair, wenn der erwartete Gewinn für beide Seiten \(0\,\text{€}\) beträgt. Das bedeutet, dass der Einsatz genau dem erwarteten Auszahlungsbetrag entsprechen muss. Der faire Einsatz beträgt somit \(3\,\text{€}\). 3. Für Aufgabenteil c): Wenn der Betreiber einen erwarteten Gewinn von \(0{,}50\,\text{€}\) pro Spiel erzielen möchte, muss der Einsatz um diesen Betrag höher sein als der erwartete Auszahlungsbetrag: \(\text{Einsatz} = E(X) + 0{,}50\,\text{€} = 3\,\text{€} + 0{,}50\,\text{€} = 3{,}50\,\text{€}\).

a) Die Wahrscheinlichkeitsverteilung lautet: \(P(X = 0) = \frac{3}{8}\), \(P(X = 2) = \frac{1}{4}\), \(P(X = 5) = \frac{1}{4}\), \(P(X = 10) = \frac{1}{8}\). Der Erwartungswert beträgt \(E(X) = 3\,\text{€}\). b) Der faire Spieleinsatz beträgt \(3\,\text{€}\). c) Der Betreiber muss einen Einsatz von \(3{,}50\,\text{€}\) verlangen.

- Was versteht man unter dem Reingewinn bei einem Spiel, bei dem man einen Einsatz zahlen muss? - Wie viele Felder hat das Glücksrad insgesamt und wie oft kommt jede Zahl vor? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für jedes mögliche Ergebnis? - Wie ist der Erwartungswert einer Zufallsgröße definiert? - Wann bezeichnet man ein Spiel in der Mathematik als „fair“?

1. Bestimmung des Reingewinns \(X\) für jedes Ergebnis: - Feld „5“ (rot): Reingewinn \(10\,\text{€} - 3\,\text{€} = 7\,\text{€}\) - Feld „2“ (blau): Reingewinn \(4\,\text{€} - 3\,\text{€} = 1\,\text{€}\) - Feld „1“ (gelb): Reingewinn \(0\,\text{€} - 3\,\text{€} = -3\,\text{€}\) 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ereignisse: Das Glücksrad hat insgesamt 6 gleich große Felder. - Wahrscheinlichkeit für die „1“ (3 gelbe Felder): \(P(X = -3) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) - Wahrscheinlichkeit für die „2“ (2 blaue Felder): \(P(X = 1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) - Wahrscheinlichkeit für die „5“ (1 rotes Feld): \(P(X = 7) = \frac{1}{6}\) Die Wahrscheinlichkeitsverteilung lautet: <table> <tr> <th>\(x_i\) (in \(\text{€}\))</th> <td>\(-3\)</td> <td>\(1\)</td> <td>\(7\)</td> </tr> <tr> <th>\(P(X = x_i)\)</th> <td>\(\frac{1}{2}\)</td> <td>\(\frac{1}{3}\)</td> <td>\(\frac{1}{6}\)</td> </tr> </table> 3. Berechnung des Erwartungswerts \(E(X)\): \(E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i) = -3 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 7 \cdot \frac{1}{6}\) \(E(X) = -\frac{3}{2} + \frac{1}{3} + \frac{7}{6} = -\frac{9}{6} + \frac{2}{6} + \frac{7}{6} = \frac{0}{6} = 0\,\text{€}\) 4. Fazit: Da der Erwartungswert des Reingewinns genau \(0\,\text{€}\) beträgt, ist das Spiel fair. Weder der Spieler noch der Betreiber haben auf lange Sicht einen Vor- oder Nachteil.

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table> <tr> <th>\(x_i\)</th> <td>\(-3\)</td> <td>\(1\)</td> <td>\(7\)</td> </tr> <tr> <th>\(P(X = x_i)\)</th> <td>\(\frac{1}{2}\)</td> <td>\(\frac{1}{3}\)</td> <td>\(\frac{1}{6}\)</td> </tr> </table> b) Der Erwartungswert beträgt \(E(X) = 0\,\text{€}\). Das Spiel ist somit fair.

- Überlege zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Sektor ist, wenn alle 10 Sektoren gleich groß sind. - Wie viele Sektoren zeigen den gleichen Betrag? Nutze dies für die Wahrscheinlichkeitstabelle. - Der Erwartungswert wird berechnet, indem man jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multipliziert und die Ergebnisse addiert. - Ein Spiel ist „fair“, wenn der durchschnittliche Gewinn (Auszahlung minus Einsatz) Null beträgt. - Setze für den unbekannten Gewinn in Teil c) eine Variable ein und löse die Gleichung für den Erwartungswert nach dieser Variablen auf.

1. Aufstellen der Wahrscheinlichkeitsverteilung: Da es 10 gleich große Sektoren gibt, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jeden Sektor \(0{,}1\). Durch Abzählen der Häufigkeiten der Beträge ergibt sich: \(P(X = 0) = \frac{5}{10} = 0{,}5\) \(P(X = 2) = \frac{3}{10} = 0{,}3\) \(P(X = 10) = \frac{1}{10} = 0{,}1\) \(P(X = 24) = \frac{1}{10} = 0{,}1\) 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = 0 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}3 + 10 \cdot 0{,}1 + 24 \cdot 0{,}1 = 0 + 0{,}6 + 1 + 2{,}4 = 4{,}00\) Der Erwartungswert der Auszahlung beträgt \(4{,}00\,\text{€}\). 3. Bestimmung des fairen Einsatzes: Ein Spiel gilt als fair, wenn der Einsatz dem Erwartungswert der Auszahlung entspricht. Der Einsatz muss also \(4{,}00\,\text{€}\) betragen. 4. Berechnung des neuen Gewinns \(a\): Es soll gelten: \(E_{neu}(X) = 5\). \(0 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}3 + 10 \cdot 0{,}1 + a \cdot 0{,}1 = 5\) \(1{,}6 + 0{,}1a = 5\) \(0{,}1a = 3{,}4\) \(a = 34\) Der neue Gewinnbetrag muss \(34{,}00\,\text{€}\) betragen.

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table> <tr> <td>Gewinn \(x_i\) in \(\text{€}\)</td> <td>0</td> <td>2</td> <td>10</td> <td>24</td> </tr> <tr> <td>\(P(X = x_i)\)</td> <td>\(0{,}5\)</td> <td>\(0{,}3\)</td> <td>\(0{,}1\)</td> <td>\(0{,}1\)</td> </tr> </table> b) Der Erwartungswert beträgt \(E(X) = 4\,\text{€}\). Für ein faires Spiel muss der Einsatz ebenfalls \(4{,}00\,\text{€}\) betragen. c) Der neue Gewinnbetrag muss \(a = 34\,\text{€}\) sein.

- Überlege dir zuerst, wie viele verschiedene Kombinationen beim zweimaligen Drehen möglich sind. - Erstelle eine Tabelle oder ein Baumdiagramm, um alle möglichen Produkte zu finden. - Wie berechnet man den Erwartungswert einer Zufallsgröße aus ihrer Wahrscheinlichkeitsverteilung? - Gibt es eine Eigenschaft für den Erwartungswert eines Produkts von zwei unabhängigen Zufallsgrößen? - Wenn du den Erwartungswert für eine einzelne Drehung kennst, wie hängt dieser mit dem Erwartungswert des Produkts nach zwei Drehungen zusammen?

1. Bestimmung der möglichen Produkte und ihrer Häufigkeiten: Es gibt insgesamt \(5 \cdot 5 = 25\) gleich wahrscheinliche Elementarereignisse. Die möglichen Werte der Zufallsgröße \(X\) (Produkt der Zahlen) und ihre Wahrscheinlichkeiten \(P(X=x_i)\) sind: <table> <tr><td>\(x_i\)</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>12</td><td>15</td><td>16</td><td>20</td><td>25</td></tr> <tr><td>\(P(X=x_i)\)</td><td>\(\frac{1}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{3}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{1}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{1}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{1}{25}\)</td></tr> </table> 2. Berechnung des Erwartungswerts \(E(X)\): \(E(X) = \sum x_i \cdot P(X=x_i) = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 2 + 8 \cdot 2 + 9 \cdot 1 + 10 \cdot 2 + 12 \cdot 2 + 15 \cdot 2 + 16 \cdot 1 + 20 \cdot 2 + 25 \cdot 1}{25} = \frac{225}{25} = 9\). Alternativ gilt für unabhängige Drehungen: \(E(X) = E(X_1 \cdot X_2) = E(X_1) \cdot E(X_2) = 3 \cdot 3 = 9\). 3. Bestimmung von \(k\) für \(E_{neu}(X) = 16\): Es soll gelten: \(E_{neu}(X_1) \cdot E_{neu}(X_2) = 16\). Da die Drehungen identisch sind: \((E_{neu}(X_1))^2 = 16 \Rightarrow E_{neu}(X_1) = 4\). Berechnung von \(k\): \(\frac{1+2+3+4+k}{5} = 4 \Rightarrow 10+k = 20 \Rightarrow k = 10\).

a) Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist: <table> <tr><td>\(x_i\)</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td><td>12</td><td>15</td><td>16</td><td>20</td><td>25</td></tr> <tr><td>\(P(X=x_i)\)</td><td>\(\frac{1}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{3}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{1}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{1}{25}\)</td><td>\(\frac{2}{25}\)</td><td>\(\frac{1}{25}\)</td></tr> </table> b) Der Erwartungswert beträgt \(E(X) = 9\). c) Die Zahl 5 muss durch \(k = 10\) ersetzt werden.

- Überlege dir, unter welchen Bedingungen das Match bereits nach dem zweiten Satz beendet ist. - Zeichne alle möglichen Verläufe auf. Achte darauf, dass ein Pfad abbricht, sobald ein Spieler zwei Siege hat. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade mit der Gesamtwahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl an Sätzen zusammen? - Für den Erwartungswert multiplizierst du jeden möglichen Wert der Zufallsgröße mit seiner Wahrscheinlichkeit und addierst diese Produkte.

1. Bestimmung der Pfade und Endzustände: Ein Match endet nach 2 Sätzen, wenn ein Spieler beide gewinnt: - \(P(AA) = 0{,}6 \cdot 0{,}6 = 0{,}36\) - \(P(BB) = 0{,}4 \cdot 0{,}4 = 0{,}16\) Ein Match endet nach 3 Sätzen, wenn es nach zwei Sätzen 1:1 steht: - \(P(ABA) = 0{,}6 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 0{,}144\) - \(P(ABB) = 0{,}6 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}4 = 0{,}096\) - \(P(BAA) = 0{,}4 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}6 = 0{,}144\) - \(P(BAB) = 0{,}4 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}4 = 0{,}096\) 2. Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\): - \(P(X = 2) = P(AA) + P(BB) = 0{,}36 + 0{,}16 = 0{,}52\) - \(P(X = 3) = P(ABA) + P(ABB) + P(BAA) + P(BAB) = 0{,}144 + 0{,}096 + 0{,}144 + 0{,}096 = 0{,}48\) 3. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = 2 \cdot P(X = 2) + 3 \cdot P(X = 3)\) \(E(X) = 2 \cdot 0{,}52 + 3 \cdot 0{,}48 = 1{,}04 + 1{,}44 = 2{,}48\) Im Durchschnitt werden \(2{,}48\) Sätze gespielt.

a) Die Wahrscheinlichkeiten sind: \(P(AA) = 0{,}36\); \(P(BB) = 0{,}16\); \(P(ABA) = 0{,}144\); \(P(ABB) = 0{,}096\); \(P(BAA) = 0{,}144\); \(P(BAB) = 0{,}096\). b) Die Verteilung ist: \(P(X = 2) = 0{,}52\) und \(P(X = 3) = 0{,}48\). c) Der Erwartungswert beträgt \(E(X) = 2{,}48\).

- Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt vor, wenn eine Münze mehrmals geworfen wird? - Wie wirkt sich die Bedingung, dass das Quadrat der Trefferanzahl ausgezahlt wird, auf die Berechnung des Erwartungswerts aus? - Wann bezeichnet man ein Spiel als vorteilhaft für den Spieler? - Berechne zuerst die Einzelwahrscheinlichkeiten und gewichte anschließend die zugehörigen Auszahlungsbeträge.

1. Identifikation der Verteilung: Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 5\) und \(p = 0{,}5\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten \(P(X=k)\) für \(k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\): \(P(0) = \frac{1}{32}\), \(P(1) = \frac{5}{32}\), \(P(2) = \frac{10}{32}\), \(P(3) = \frac{10}{32}\), \(P(4) = \frac{5}{32}\), \(P(5) = \frac{1}{32}\). 3. Berechnung des Erwartungswerts der Auszahlung \(E(X^2)\): \(E(X^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{32} + 1^2 \cdot \frac{5}{32} + 2^2 \cdot \frac{10}{32} + 3^2 \cdot \frac{10}{32} + 4^2 \cdot \frac{5}{32} + 5^2 \cdot \frac{1}{32}\). 4. Summation der Werte: \(E(X^2) = \frac{0 + 5 + 40 + 90 + 80 + 25}{32} = \frac{240}{32} = 7{,}5\). Die erwartete Auszahlung beträgt \(7{,}50\,\text{€}\). 5. Berechnung des erwarteten Gewinns: \(G = 7{,}50\,\text{€} - 8{,}00\,\text{€} = -0{,}50\,\text{€}\).

Das Spiel ist für den Spieler langfristig nicht vorteilhaft, da er pro Spiel einen erwarteten Verlust von \(0{,}50\,\text{€}\) macht.

- Überlege dir für beide Fälle (Reklamation und keine Reklamation), wie viel Geld am Ende in der Kasse der Druckerei bleibt. - Beachte, dass bei einer Reklamation die Einnahmen wegfallen, aber die Kosten für die Produktion bereits entstanden sind. - Stelle für den zweiten Teil eine Gleichung oder Ungleichung auf, in der die Reklamationsquote als Variable \(p\) vorkommt. - Was bedeutet ein negativer Gewinn in einem der Fälle für die Berechnung des Erwartungswerts?

1. Berechnung des Gewinns pro Fall: Ohne Reklamation (\(96\,\%\)): \(14{,}50\,\text{€} - 8\,\text{€} = 6{,}50\,\text{€}\). Mit Reklamation (\(4\,\%\)): \(0\,\text{€} - 8\,\text{€} - 5\,\text{€} = -13{,}00\,\text{€}\) (Rückzahlung des Preises, Kosten für Produktion und Gutschein). 2. Erwartungswert für Teilaufgabe a): \(E(G) = 0{,}96 \cdot 6{,}50\,\text{€} + 0{,}04 \cdot (-13{,}00\,\text{€}) = 6{,}24\,\text{€} - 0{,}52\,\text{€} = 5{,}72\,\text{€}\). 3. Ansatz für Teilaufgabe b) mit Reklamationsquote \(p\): \(E(G) = (1-p) \cdot 6{,}50 - p \cdot 13{,}00 \ge 5\). 4. Umformung der Ungleichung: \(6{,}50 - 6{,}50 \cdot p - 13{,}00 \cdot p \ge 5 \implies 6{,}50 - 19{,}50 \cdot p \ge 5\). 5. Isolieren von \(p\): \(1{,}50 \ge 19{,}50 \cdot p \implies p \le \frac{1{,}5}{19{,}5} = \frac{1}{13} \approx 0{,}0769\).

a) Der erwartete Gewinn beträgt \(5{,}72\,\text{€}\) pro Bestellung. b) Die Reklamationsquote darf höchstens etwa \(7{,}69\,\%\) (exakt \(\frac{1}{13}\)) betragen.

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, die zweite Stufe des Spiels zu erreichen? - Stelle ein Gleichungssystem für die beiden gesuchten Wahrscheinlichkeiten auf. - Wie rechnet man eine Wahrscheinlichkeit am Glücksrad in einen Grad-Winkel um? - Überprüfe, ob die Summe aller Winkel am Ende \(360^\circ\) ergibt.

1. Wahrscheinlichkeit für die Qualifikation zum Glücksrad: \(P(\text{1 würfeln}) = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 2. Wahrscheinlichkeit für eine Niete am Rad: \(p_N = \frac{120}{360} = \frac{1}{3}\). 3. Summe der restlichen Wahrscheinlichkeiten: \(p_H + p_T = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\). 4. Ansatz über den Erwartungswert: \(E(X) = 0{,}25 \cdot (60 \cdot p_H + 15 \cdot p_T + 0 \cdot \frac{1}{3}) = 5{,}25\). 5. Vereinfachen der Gleichung: \(60 \cdot p_H + 15 \cdot p_T = \frac{5{,}25}{0{,}25} = 21\). 6. Einsetzen von \(p_T = \frac{2}{3} - p_H\): \(60 \cdot p_H + 15 \cdot (\frac{2}{3} - p_H) = 21 \implies 60 \cdot p_H + 10 - 15 \cdot p_H = 21 \implies 45 \cdot p_H = 11\). 7. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: \(p_H = \frac{11}{45}\) und \(p_T = \frac{2}{3} - \frac{11}{45} = \frac{30}{45} - \frac{11}{45} = \frac{19}{45}\). 8. Umrechnung in Winkel: \(\alpha_H = \frac{11}{45} \cdot 360^\circ = 88^\circ\) und \(\alpha_T = \frac{19}{45} \cdot 360^\circ = 152^\circ\).

Der Mittelpunktswinkel für den Hauptpreis beträgt \(88^\circ\) und für den Trostpreis \(152^\circ\).

- Wenn nach „mindestens“ gefragt wird, ist es oft einfacher, mit dem Gegenereignis zu rechnen. - Stell dir vor, du verteilst die 80 Kolonien nacheinander auf die 200 Felder. - Wie berechnet man die Anzahl der erwarteten Felder mit einer bestimmten Eigenschaft? - Welche Rolle spielt die Unabhängigkeit der Platzierung für das Modell?

1. Parameter: \(n = 80\) (Anzahl der Kolonien), \(p = \frac{1}{200} = 0{,}005\) (Wahrscheinlichkeit, dass eine Kolonie in einem bestimmten Feld landet). 2. Mindestens drei Kolonien: \(P(X \ge 3) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2))\). 3. Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X=0) = \binom{80}{0} \cdot 0{,}005^0 \cdot 0{,}995^{80} \approx 0{,}6696\) \(P(X=1) = \binom{80}{1} \cdot 0{,}005^1 \cdot 0{,}995^{79} \approx 0{,}2691\) \(P(X=2) = \binom{80}{2} \cdot 0{,}005^2 \cdot 0{,}995^{78} \approx 0{,}0534\) 4. Summe: \(P(X \ge 3) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)) \approx 0{,}0077\). 5. Erwartete leere Felder: \(E = 200 \cdot P(X=0) \approx 133{,}93\). 6. Begründung: Die Kolonien werden als unabhängige Ereignisse betrachtet, die mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit in jedes Feld fallen können (Bernoulli-Experiment).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}77\,\%\) (genauer \(0{,}0077\)). b) Es sind voraussichtlich etwa \(134\) Testfelder frei von Kolonien. c) Die Binomialverteilung ist geeignet, da die Platzierung jeder Kolonie als unabhängiger Versuch mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit für ein Feld angesehen werden kann.

- Überlege dir, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine einzelne Rosine in einem ganz bestimmten Brötchen landet. - Welches Verteilungsmodell eignet sich, wenn viele unabhängige Versuche (Rosinen) mit derselben kleinen Erfolgswahrscheinlichkeit durchgeführt werden? - Für den Erwartungswert einer Anzahl von Objekten in einer Gesamtheit multipliziert man die Wahrscheinlichkeit des Merkmals mit der Gesamtzahl der Objekte. - Bei Teilaufgabe c) kannst du die Unbekannte im Exponenten mit Hilfe des Logarithmus isolieren.

Die Verteilung der Rosinen kann als Bernoulli-Kette modelliert werden. Für ein einzelnes Brötchen beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Rosine in diesem Brötchen landet, \(p = \frac{1}{150}\). Bei \(n = 450\) Rosinen ist die Zufallsgröße \(X\), welche die Anzahl der Rosinen in einem Brötchen zählt, binomialverteilt mit \(B\left(450; \frac{1}{150}\right)\). 1. Berechnung von \(P(X = 3)\): \(P(X = 3) = \binom{450}{3} \cdot \left(\frac{1}{150}\right)^3 \cdot \left(\frac{149}{150}\right)^{447} \approx 0{,}2248\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(22{,}48\,\%\). 2. Erwartete Anzahl der Brötchen mit mehr als 4 Rosinen: Zunächst wird \(P(X > 4) = 1 - P(X \le 4)\) berechnet. \(P(X \le 4) = \sum_{k=0}^{4} \binom{450}{k} \cdot \left(\frac{1}{150}\right)^k \cdot \left(\frac{149}{150}\right)^{450-k} \approx 0{,}8158\). Damit ist \(P(X > 4) \approx 1 - 0{,}8158 = 0{,}1842\). Die erwartete Anzahl der Brötchen in der Charge von 150 Stück ist \(E = 150 \cdot P(X > 4) \approx 27{,}63\). Es sind also etwa 28 Brötchen zu erwarten. 3. Bestimmung der erforderlichen Gesamtzahl der Rosinen \(n\): Die Bedingung lautet \(P(X = 0) \le 0{,}05\). \(P(X = 0) = \binom{n}{0} \cdot \left(\frac{1}{150}\right)^0 \cdot \left(\frac{149}{150}\right)^n = \left(\frac{149}{150}\right)^n\). Lösen der Ungleichung \(\left(\frac{149}{150}\right)^n \le 0{,}05\) durch Logarithmieren: \(n \cdot \ln\left(\frac{149}{150}\right) \le \ln(0{,}05) \Rightarrow n \ge \frac{\ln(0{,}05)}{\ln\left(\frac{149}{150}\right)} \approx 447{,}9\). Es müssten mindestens 448 Rosinen verwendet werden; die im Aufgabentext genannten 450 Rosinen erfüllen diese Bedingung bereits.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(22{,}48\,\%\). b) Es sind etwa 28 Brötchen zu erwarten. c) Es müssten mindestens 448 Rosinen verwendet werden; mit 450 Rosinen ist die Bedingung bereits erfüllt.

- Stelle dir vor, du untersuchst eine feste Zahl, zum Beispiel die 42. Wie wahrscheinlich ist es, dass sie bei 100 Versuchen kein einziges Mal gezogen wird? - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Treffer bei einer festen Zahl? - Der Erwartungswert einer Summe von Indikatorvariablen (hier: „Zahl kommt vor/nicht vor“) ist die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten. - Wie viele Zahlen gibt es insgesamt, für die dieses Ereignis eintreten kann?

1. Modellierung: Die Häufigkeit, mit der eine bestimmte Zahl \(k \in \{1; \dots; 100\}\) auftritt, ist binomialverteilt mit \(n = 100\) und \(p = \frac{1}{100} = 0{,}01\). 2. Wahrscheinlichkeit für das Nicht-Vorkommen einer Zahl: \(P(X = 0) = \binom{100}{0} \cdot 0{,}01^0 \cdot 0{,}99^{100} = 0{,}99^{100} \approx 0{,}3660\). 3. Erwartungswert für die Anzahl der nicht vorkommenden Werte: \(E(\text{nicht vorkommend}) = 100 \cdot P(X = 0) \approx 36{,}60\). 4. Wahrscheinlichkeit für das genau zweifache Vorkommen einer Zahl: \(P(X = 2) = \binom{100}{2} \cdot 0{,}01^2 \cdot 0{,}99^{98} = 4950 \cdot 0{,}0001 \cdot 0{,}99^{98} \approx 0{,}1849\). 5. Erwartungswert für die Anzahl der Werte mit Häufigkeit 2: \(E(\text{Häufigkeit 2}) = 100 \cdot P(X = 2) \approx 18{,}49\).

a) Es werden durchschnittlich ca. \(36{,}6\) Zahlen nicht in der Liste vorkommen. b) Es ist zu erwarten, dass ca. \(18{,}5\) Zahlen genau zweimal in der Liste enthalten sind.

- Bestimme zunächst, welcher Anteil der Setzlinge jeweils im Verlauf der ersten, zweiten, ..., sechsten Woche eingeht. - Für die untere Grenze nimmst du an, dass die Setzlinge jeweils zum frühestmöglichen Zeitpunkt innerhalb ihrer Sterbewoche eingehen. - Für die obere Grenze nimmst du an, dass sie jeweils zum spätestmöglichen Zeitpunkt eingehen. - Wie wirkt sich diese Verschiebung um eine ganze Woche auf den Erwartungswert aus?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für das Eingehen pro Woche (\(\Delta\) der Anteile): - Woche 1: \(0{,}08\) - Woche 2: \(0{,}12\) - Woche 3: \(0{,}25\) - Woche 4: \(0{,}30\) - Woche 5: \(0{,}20\) - Woche 6: \(0{,}05\) 2. Untere Grenze (Annahme: alle sterben am Anfang der Woche, z. B. nach 0, 1, 2, ... Wochen): \(E_{min} = 0 \cdot 0{,}08 + 1 \cdot 0{,}12 + 2 \cdot 0{,}25 + 3 \cdot 0{,}30 + 4 \cdot 0{,}20 + 5 \cdot 0{,}05 = 2{,}57\). 3. Obere Grenze (Annahme: alle sterben am Ende der Woche, z. B. nach 1, 2, 3, ... Wochen): \(E_{max} = 1 \cdot 0{,}08 + 2 \cdot 0{,}12 + 3 \cdot 0{,}25 + 4 \cdot 0{,}30 + 5 \cdot 0{,}20 + 6 \cdot 0{,}05 = 3{,}57\). Alternativ: \(E_{max} = E_{min} + 1\), da jedes Intervall genau eine Woche lang ist.

Die untere Grenze für den Erwartungswert liegt bei \(2{,}57\,\text{Wochen}\), die obere Grenze bei \(3{,}57\,\text{Wochen}\).

- Identifiziere die Trefferwahrscheinlichkeit für einen einzelnen Song bei einer Auswahl. - Für Teilaufgabe b) ist es oft einfacher, die Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis zu berechnen. - Was bedeutet „mindestens zwei“ mathematisch ausgedrückt? - Wenn jeder Song die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, nicht gespielt zu werden, wie lässt sich daraus die Gesamtzahl der „übergangenen“ Songs im Durchschnitt bestimmen?

1. Die Anzahl der Wiedergaben eines bestimmten Songs ist binomialverteilt mit \(n = 50\) und \(p = \frac{1}{50} = 0{,}02\). 2. Wahrscheinlichkeit für keinmal (\(X = 0\)): \(P(X = 0) = (1 - 0{,}02)^{50} = 0{,}98^{50} \approx 0{,}3642\) 3. Wahrscheinlichkeit für mindestens zweimal (\(X \ge 2\)): Gegenereignis ist \(X < 2\), also \(X=0\) oder \(X=1\). \(P(X = 1) = \binom{50}{1} \cdot 0{,}02^1 \cdot 0{,}98^{49} = 1 \cdot 0{,}98^{49} \approx 0{,}3716\) \(P(X \ge 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1)) \approx 1 - (0{,}3642 + 0{,}3716) = 0{,}2642\) 4. Erwartete Anzahl der nicht gespielten Songs: Sei \(Y\) die Anzahl der Songs, die \(0\)-mal vorkommen. Über die Linearität des Erwartungswerts gilt \(E(Y) = 50 \cdot P(X = 0)\). \(E(Y) = 50 \cdot 0{,}98^{50} \approx 50 \cdot 0{,}36417 \approx 18{,}21\).

a) \(P(X=0) \approx 0{,}3642\) (ca. \(36{,}4\,\%\)) b) \(P(X \ge 2) \approx 0{,}2642\) (ca. \(26{,}4\,\%\)) c) Im Durchschnitt werden ca. \(18{,}2\) Songs kein einziges Mal gespielt.

- Lies die Beschreibung des Spiels genau durch. Wann wird überhaupt Geld ausgezahlt und wie viele Sektoren führen dazu? - Um \(a\) zu finden, überlege, welchen Wert man im Durchschnitt pro Drehung erzielt, wenn man keine Null dreht. - Um \(b\) zu finden, berechne die Wahrscheinlichkeit, in einer einzelnen Drehung keine Null zu erhalten. - Setze für Teilaufgabe b) einfach die entsprechenden Werte für \(n\) in deinen Term ein und berechne das Ergebnis. - Für Teilaufgabe c) kannst du die Gleichung \(E(n) = E(n+1)\) aufstellen und nach \(n\) auflösen.

1. **Bestimmung der Konstanten (Teilaufgabe a)**: Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Dreh keine „0“ zu erhalten, beträgt \(b = \frac{5}{6}\), da 5 der 6 Sektoren ungleich Null sind. Der Erwartungswert für eine einzelne Drehung, unter der Bedingung, dass keine „0“ erzielt wird, ist der Durchschnitt der Werte der anderen Sektoren: \(a = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = \frac{30}{5} = 6\). Somit lautet der Term für den Erwartungswert: \(E(n) = 6n \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^n\). 2. **Berechnung der Erwartungswerte (Teilaufgabe b)**: Für \(n = 3\): \(E(3) = 6 \cdot 3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 18 \cdot \frac{125}{216} = \frac{125}{12} \approx 10{,}42\,\text{€}\). Für \(n = 4\): \(E(4) = 6 \cdot 4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^4 = 24 \cdot \frac{625}{1296} = \frac{625}{54} \approx 11{,}57\,\text{€}\). 3. **Gleichheit zweier aufeinanderfolgender Erwartungswerte (Teilaufgabe c)**: Wir setzen \(E(n) = E(n+1)\) an: \(6n \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^n = 6(n+1) \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{n+1}\). Teilen durch \(6 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^n\) liefert: \(n = (n+1) \cdot \frac{5}{6}\) \(n = \frac{5}{6}n + \frac{5}{6}\) \(\frac{1}{6}n = \frac{5}{6} \implies n = 5\). Da \(n\) ganzzahlig sein muss und die Gleichung eine eindeutige Lösung bei \(n = 5\) besitzt, sind die Erwartungswerte für \(n = 5\) und \(n = 6\) exakt gleich. Kontrolle: \(E(5) = 30 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^5 = \frac{15625}{1296} \approx 12{,}06\,\text{€}\). \(E(6) = 36 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^6 = \frac{15625}{1296} \approx 12{,}06\,\text{€}\).

a) \(a = 6\) und \(b = \frac{5}{6}\) (bzw. ca. \(0{,}833\)) b) \(E(3) \approx 10{,}42\,\text{€}\) und \(E(4) \approx 11{,}57\,\text{€}\) c) Die beiden aufeinanderfolgenden Werte sind \(n = 5\) und \(n = 6\), für die der Erwartungswert jeweils ca. \(12{,}06\,\text{€}\) beträgt.