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- Notiere dir zuerst die Werte für die Gesamtzahl, die Trefferzahl und die Erfolgswahrscheinlichkeit. - Überlege, ob du eine einzelne Wahrscheinlichkeit oder eine summierte Wahrscheinlichkeit berechnen musst. - Suche im Menü deines Taschenrechners nach Verteilungsfunktionen (Distribution).

1. Parameter identifizieren: Die Trefferwahrscheinlichkeit ist \(p = 0{,}65\), die Anzahl der Versuche ist \(n = 100\) und die Anzahl der Treffer ist \(k = 60\). 2. Mathematisches Modell: Gesucht ist der Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung \(B_{100; 0{,}65}(60)\) bzw. \(P(X = 60)\). 3. Berechnung mit dem WTR: Unter Verwendung der entsprechenden Funktion für die Binomial-Einzelwahrscheinlichkeit (oft als „Binomial-PD“ oder „dbinom“ bezeichnet) ergibt sich \(P(X = 60) = \binom{100}{60} \cdot 0{,}65^{60} \cdot 0{,}35^{40}\). 4. Ergebnis: Der Taschenrechner liefert den Wert \(P(X = 60) \approx 0{,}0474\).

\(P(X = 60) \approx 0{,}0474\)

- Welche Werte für die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Versuche lassen sich aus dem Text entnehmen? - Überlege, welche Kennzahlen für die Lage und die Streuung einer Verteilung üblicherweise berechnet werden. - Wie hängen die gesuchten Größen mit den Parametern der Binomialverteilung zusammen?

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung: Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}08\) und Stichprobenumfang \(n = 150\). 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 150 \cdot 0{,}08 = 12\). 3. Berechnung der Varianz: \(Var(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 150 \cdot 0{,}08 \cdot 0{,}92 = 11{,}04\). 4. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{11{,}04} \approx 3{,}32\).

Der Erwartungswert beträgt \(\mu = 12\). Die Standardabweichung beträgt \(\sigma \approx 3{,}32\).

- Schau dir die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung bei einer Binomialverteilung an. - Überlege, an welcher Stelle der Parameter \(n\) in diesen Formeln steht. - Wie wirkt sich ein Faktor innerhalb einer Quadratwurzel auf das Gesamtergebnis aus? - Was passiert mit einem Produkt, wenn man einen der Faktoren vervielfacht?

1. Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße ist durch \(E(X) = n \cdot p\) gegeben. Wenn \(n\) durch \(25 \cdot n\) ersetzt wird, ergibt sich \(E_{neu} = 25 \cdot n \cdot p = 25 \cdot E(X)\). Der Erwartungswert verfünfundzwanzigfacht sich also. 2. Die Standardabweichung ist definiert als \(\sigma(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\). Setzt man den neuen Wert für \(n\) ein, erhält man \(\sigma_{neu} = \sqrt{25 \cdot n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = 5 \cdot \sigma(X)\). Die Standardabweichung verfünffacht sich somit.

Der Erwartungswert verfünfundzwanzigfacht sich (\(25 \cdot E(X)\)) und die Standardabweichung verfünffacht sich (\(5 \cdot \sigma(X)\)).

- Welche Formel berechnet die Varianz bei einer Binomialverteilung? - Wann wird ein Produkt aus mehreren Zahlen genau null? - Was bedeutet eine Varianz von null für die Verteilung der Werte einer Zufallsgröße? - Überlege dir, was passiert, wenn die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg entweder \(0\,\%\) oder \(100\,\%\) ist.

1. Aufstellen der Formel für die Varianz einer Binomialverteilung: \(V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)\). 2. Setzen der Varianz gleich null: \(n \cdot p \cdot (1 - p) = 0\). 3. Da laut Voraussetzung \(n \geq 1\) (und damit \(n \neq 0\)) gilt, muss das Produkt \(p \cdot (1 - p) = 0\) sein. 4. Anwendung des Satzes vom Nullprodukt liefert die Lösungen \(p = 0\) oder \(1 - p = 0\), woraus \(p = 1\) folgt. 5. Interpretation: Wenn \(p = 0\), tritt nie ein Erfolg ein, also ist \(X\) immer \(0\). Wenn \(p = 1\), tritt bei jedem Versuch ein Erfolg ein, also ist \(X\) immer \(n\). In beiden Fällen gibt es keine Zufälligkeit im Ergebnis.

Die Erfolgswahrscheinlichkeit muss \(p = 0\) oder \(p = 1\) sein. Das bedeutet, dass das Ergebnis des Zufallsexperiments nicht mehr schwankt: Bei \(p = 0\) ist das Ergebnis immer \(0\), bei \(p = 1\) ist das Ergebnis immer \(n\).

- Welche Formel verknüpft die Standardabweichung mit der Trefferwahrscheinlichkeit und der Anzahl der Versuche? - Es ist oft hilfreich, zuerst die Varianz zu betrachten, um die Wurzel in der Formel zu umgehen. - Hast du alle gegebenen Werte korrekt in die Formel eingesetzt? - Wie hängen der Erwartungswert, die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Versuche zusammen?

1. Anwendung der Formel für die Standardabweichung bei Binomialverteilungen: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}\). 2. Quadrieren der Gleichung zur Berechnung der Varianz: \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p)\), also \(3^2 = n \cdot 0{,}25 \cdot (1 - 0{,}25)\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(9 = n \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75 \Rightarrow 9 = n \cdot 0{,}1875\). 4. Auflösen nach \(n\): \(n = 9 : 0{,}1875 = 48\). 5. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 48 \cdot 0{,}25 = 12\).

Die Anzahl der Versuche beträgt \(n = 48\) und der Erwartungswert ist \(\mu = 12\).

- Überlege zuerst, welche Werte für die Anzahl der Versuche und die Erfolgswahrscheinlichkeit gegeben sind. - Welche Formeln verknüpfen diese Parameter mit dem Durchschnittsergebnis und der Streuung? - Achte darauf, den Prozentsatz in eine Dezimalzahl umzuwandeln.

1. Bestimmung der Parameter der Binomialverteilung: Stichprobenumfang \(n = 150\) und Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}04\). 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 150 \cdot 0{,}04 = 6\). 3. Berechnung der Varianz: \(V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 6 \cdot 0{,}96 = 5{,}76\). 4. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{5{,}76} = 2{,}4\).

Der Erwartungswert beträgt \(\mu = 6\) und die Standardabweichung beträgt \(\sigma = 2{,}4\).

- Bestimme zuerst den Durchschnittswert (Erwartungswert), den man auf lange Sicht erwarten würde. - Überlege dir dann, wie stark die einzelnen Werte im Quadrat von diesem Durchschnitt abweichen und gewichte dies mit ihren Wahrscheinlichkeiten. - Wie hängen die Streuung in quadrierten Einheiten und die Streuung in der ursprünglichen Einheit zusammen?

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = 10 \cdot 0{,}4 + 20 \cdot 0{,}3 + 30 \cdot 0{,}2 + 40 \cdot 0{,}1 = 4 + 6 + 6 + 4 = 20\) 2. Berechnung der Varianz: \(V(X) = (10 - 20)^2 \cdot 0{,}4 + (20 - 20)^2 \cdot 0{,}3 + (30 - 20)^2 \cdot 0{,}2 + (40 - 20)^2 \cdot 0{,}1 = 100 \cdot 0{,}4 + 0 \cdot 0{,}3 + 100 \cdot 0{,}2 + 400 \cdot 0{,}1 = 40 + 0 + 20 + 40 = 100\) 3. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma(X) = \sqrt{100} = 10\)

\(\mu = 20\); \(V(X) = 100\); \(\sigma(X) = 10\)

- Überlege dir zuerst, welche Werte die Zufallsgröße annehmen kann und wie groß die Wahrscheinlichkeit für jeden Wert ist. - Wie berechnet man den Durchschnittswert bei einer Gleichverteilung? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Varianz und Standardabweichung. - Du kannst die Varianz entweder über die Abweichungsquadrate oder über den Verschiebungssatz berechnen.

1. Berechnung des Erwartungswerts: Da alle 12 Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind (\(P(X=k) = \frac{1}{12}\)), ergibt sich \(\mu = E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12}{12} = \frac{78}{12} = 6{,}5\). 2. Berechnung der Varianz: \(Var(X) = E(X^2) - \mu^2\). Die Summe der Quadrate ist \(\sum_{k=1}^{12} k^2 = 650\), also \(E(X^2) = \frac{650}{12} \approx 54{,}167\). Damit ist \(Var(X) = \frac{650}{12} - 6{,}5^2 = \frac{325}{6} - 42{,}25 = \frac{143}{12} \approx 11{,}917\). 3. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\frac{143}{12}} \approx 3{,}452\).

Der Erwartungswert beträgt \(\mu = 6{,}5\) und die Standardabweichung ist \(\sigma \approx 3{,}45\).

- Was sagt eine Standardabweichung von null über die Streuung der Werte um den Mittelwert aus? - Wenn alle Werte identisch sind, welcher Wert muss das dann im Vergleich zum Erwartungswert sein? - Überlege dir, ob es möglich ist, dass unterschiedliche Werte vorkommen, wenn die durchschnittliche quadratische Abweichung null ist.

1. Zusammenhang zwischen Standardabweichung und Varianz: Da \(\sigma(X) = 0\), muss auch \(\text{Var}(X) = 0^2 = 0\) gelten. 2. Eigenschaft der Varianz: Eine Varianz von \(0\) impliziert, dass die Zufallsgröße keinen Schwankungen unterliegt und somit nur einen einzigen Wert mit der Wahrscheinlichkeit \(1\) annimmt. 3. Bestimmung des Wertes: Da der Erwartungswert \(E(X) = 5{,}00\) ist, muss dieser einzige mögliche Wert genau \(5{,}00\) sein. Es gilt also \(P(X = 5) = 1\). 4. Schlussfolgerung für Nieten: Da \(P(X = 5) = 1\) ist, müssen alle anderen Werte (insbesondere \(0\,\text{€}\)) die Wahrscheinlichkeit \(0\) haben. Es befinden sich also keine Nieten in der Trommel.

Da \(\sigma(X) = 0\) ist, ist die Zufallsgröße konstant. Mit \(E(X) = 5{,}00\,\text{€}\) folgt, dass jedes Los genau \(5\,\text{€}\) gewinnt (\(P(X=5) = 1\)). Nieten (Gewinn \(0\,\text{€}\)) können daher nicht enthalten sein.

- Wie berechnet man allgemein den Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Varianz, dem Erwartungswert der Quadrate und dem Quadrat des Erwartungswerts? - Wie hängen Varianz und Standardabweichung zusammen?

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(Z) = 5 \cdot p + 0 \cdot (1 - p) = 5p\). 2. Berechnung des Erwartungswerts der Quadrate: \(E(Z^2) = 5^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1 - p) = 25p\). 3. Berechnung der Varianz: \(V(Z) = E(Z^2) - (E(Z))^2 = 25p - (5p)^2 = 25p - 25p^2 = 25p(1 - p)\). 4. Einsetzen von \(p = 0{,}4\) in die Varianzformel: \(V(Z) = 25 \cdot 0{,}4 \cdot (1 - 0{,}4) = 10 \cdot 0{,}6 = 6\). 5. Bestimmung der Standardabweichung: \(\sigma(Z) = \sqrt{V(Z)} = \sqrt{6} \approx 2{,}45\).

a) \(E(Z) = 5p\) b) \(V(Z) = 25p(1 - p)\) c) \(\sigma(Z) = \sqrt{6} \approx 2{,}45\)

- Welche Formeln verknüpfen den Erwartungswert und die Standardabweichung mit \(n\) und \(p\)? - Wie lässt sich die Varianz \(\sigma^2\) durch den Erwartungswert \(\mu\) ausdrücken? - Könntest du zuerst die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg, also \(1-p\), berechnen? - Überlege, wie du eine der Unbekannten eliminieren kannst, wenn du beide Formeln kombinierst.

1. Für die Teilaufgabe a) wird die Beziehung \(\sigma^2 = \mu \cdot (1-p)\) genutzt. Durch Einsetzen der Werte ergibt sich \(8 = 10 \cdot (1-p)\). Daraus folgt \(1-p = 0{,}8\) und somit \(p = 0{,}2\). Mit \(\mu = n \cdot p\) erhält man \(10 = n \cdot 0{,}2\), was zu \(n = 50\) führt. 2. Für die Teilaufgabe b) wird analog vorgegangen: \(\sigma^2 = 16\). Die Gleichung \(16 = 48 \cdot (1-p)\) führt zu \(1-p = \frac{1}{3}\), also \(p = \frac{2}{3}\). Über \(\mu = n \cdot p\) ergibt sich \(48 = n \cdot \frac{2}{3}\), woraus \(n = 72\) folgt.

a) \(n = 50\); \(p = 0{,}2\) b) \(n = 72\); \(p = \frac{2}{3}\)

- Welche Formel verknüpft die Standardabweichung mit dem Stichprobenumfang und der Trefferwahrscheinlichkeit? - Setze alle bekannten Werte in die Formel ein und stelle die Gleichung nach der gesuchten Größe um. - Denk daran, dass du eine Wurzel auflösen musst, um an den Wert unter der Wurzel zu gelangen.

1. Ansatz mit der Formel für die Standardabweichung der Binomialverteilung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\). 2. Einsetzen der gegebenen Werte: \(12 = \sqrt{n \cdot 0{,}2 \cdot (1 - 0{,}2)}\). 3. Vereinfachung des Radikanden: \(12 = \sqrt{n \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8} = \sqrt{n \cdot 0{,}16}\). 4. Quadrieren der Gleichung zur Auflösung der Wurzel: \(144 = n \cdot 0{,}16\). 5. Isolieren von \(n\): \(n = \frac{144}{0{,}16} = 900\).

Der Stichprobenumfang muss \(n = 900\) betragen.

- Identifiziere zuerst die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für eine einzelne Frage. - Nutze die bekannten Kurzformeln für Erwartungswert und Varianz bei binomialverteilten Zufallsgrößen. - Überlege dir für die Interpretation, was eine Streuung um den Mittelwert bedeutet. - Schau dir die Struktur der Varianzformel an: Welchen Einfluss hat der Faktor \(n\) auf das Gesamtergebnis?

1. Parameter bestimmen: \(n = 10\), \(p = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 2. Erwartungswert: \(E(X) = n \cdot p = 10 \cdot 0{,}25 = 2{,}5\). 3. Varianz: \(V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 10 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75 = 1{,}875\). 4. Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{1{,}875} \approx 1{,}369\). Interpretation: Die Standardabweichung von etwa \(1{,}37\) beschreibt die typische Abweichung der Anzahl richtiger Antworten vom Erwartungswert \(2{,}5\). 5. Änderung bei \(n = 20\): Da die Varianz proportional zu \(n\) ist (\(V(X) = n \cdot p \cdot q\)), verdoppelt sie sich bei einer Verdopplung von \(n\). Neuer Wert: \(20 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75 = 3{,}75\).

a) \(E(X) = 2{,}5\); \(V(X) = 1{,}875\) b) \(\sigma \approx 1{,}37\). Die typische Abweichung der Anzahl richtiger Antworten vom Erwartungswert beträgt etwa \(1{,}37\). c) Die Varianz verdoppelt sich auf \(3{,}75\), da \(V(X)\) direkt proportional zur Anzahl der Versuche \(n\) ist.

- Welchen Wert erwartest du im Durchschnitt bei drei Versuchen, wenn die Chance jeweils \(50\,\%\) ist? - Erstelle eine kleine Tabelle für die Wahrscheinlichkeiten jedes möglichen Ergebnisses. - Wie weit liegen die einzelnen Werte vom Durchschnitt entfernt? Quadriere diese Abstände. - Vergiss nicht, die quadrierten Abstände mit ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten zu gewichten.

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5\). 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten \(P(X = k) = \binom{3}{k} \cdot 0{,}5^3\): \(P(X = 0) = 0{,}125\), \(P(X = 1) = 0{,}375\), \(P(X = 2) = 0{,}375\), \(P(X = 3) = 0{,}125\). 3. Berechnung der quadrierten Abweichungen \((k - \mu)^2\): Für \(k = 0\) und \(k = 3\): \((0 - 1{,}5)^2 = (3 - 1{,}5)^2 = 2{,}25\). Für \(k = 1\) und \(k = 2\): \((1 - 1{,}5)^2 = (2 - 1{,}5)^2 = 0{,}25\). 4. Summation zur Varianz: \(V(X) = 2{,}25 \cdot 0{,}125 + 0{,}25 \cdot 0{,}375 + 0{,}25 \cdot 0{,}375 + 2{,}25 \cdot 0{,}125 = 0{,}281\,25 + 0{,}093\,75 + 0{,}093\,75 + 0{,}281\,25 = 0{,}75\).

Die Varianz beträgt \(V(X) = 0{,}75\).

- Was gibt die Standardabweichung über die Form einer Verteilung an? - Wie hängen Erwartungswert und Standardabweichung bei einer Binomialverteilung von den Parametern \(n\) und \(p\) ab? - Vergleiche die numerischen Werte der Standardabweichungen, um eine Aussage über die Konzentration der Werte zu treffen.

1. Berechnung der Erwartungswerte: \(\mu_X = n_1 \cdot p_1 = 100 \cdot 0{,}4 = 40\) und \(\mu_Y = n_2 \cdot p_2 = 160 \cdot 0{,}25 = 40\). Beide Zufallsgrößen haben denselben Erwartungswert. 2. Berechnung der Standardabweichungen: Für \(X\) ergibt sich \(\sigma_X = \sqrt{n_1 \cdot p_1 \cdot (1 - p_1)} = \sqrt{100 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6} = \sqrt{24} \approx 4{,}90\). Für \(Y\) ergibt sich \(\sigma_Y = \sqrt{160 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75} = \sqrt{40 \cdot 0{,}75} = \sqrt{30} \approx 5{,}48\). 3. Vergleich der Streuung: Da \(\sigma_X < \sigma_Y\) gilt, weist die Zufallsgröße \(X\) eine geringere Streuung auf. Somit ist die Verteilung von \(X\) stärker um den Erwartungswert konzentriert bzw. „schmaler“ als die von \(Y\).

a) \(\mu_X = 40\), \(\mu_Y = 40\); \(\sigma_X \approx 4{,}90\), \(\sigma_Y \approx 5{,}48\). b) Die Verteilung von \(X\) ist stärker um den Erwartungswert konzentriert, da die Standardabweichung \(\sigma_X \approx 4{,}90\) kleiner ist als \(\sigma_Y \approx 5{,}48\).

- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn bei einer einzelnen Drehung. - Wie viele Gewinne würde man intuitiv erwarten, wenn man sehr oft dreht? - Was sagt die Standardabweichung über die zu erwartende Abweichung vom Mittelwert aus?

1. Bestimmung der Parameter: Da ein Feld von zehn gewinnt, ist \(p = \frac{1}{10} = 0{,}1\). Die Anzahl der Versuche ist \(n = 80\). 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 80 \cdot 0{,}1 = 8\). 3. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{80 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9} = \sqrt{7{,}2} \approx 2{,}68\). 4. Interpretation: Der Erwartungswert gibt an, dass man bei einer Serie von \(80\) Drehungen auf lange Sicht (bei sehr häufiger Wiederholung der gesamten Serie) im Durchschnitt mit \(8\) Hauptgewinnen rechnen kann.

Der Erwartungswert ist \(\mu = 8\). Die Standardabweichung ist \(\sigma \approx 2{,}68\). Die Bedeutung: Bei vielen Versuchsreihen von je \(80\) Drehungen werden im Durchschnitt \(8\) Hauptgewinne erzielt.

- Überlege zuerst, welche Werte für die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Versuche gegeben sind. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis bei einer binomialverteilten Zufallsgröße? - Erinnere dich an die Formeln für den Mittelwert und das Maß für die Streuung bei solchen Experimenten. - Beachte bei der Suche nach Werten im Intervall, dass die Anzahl der Treffer immer eine ganze Zahl sein muss.

1. Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}05\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für höchstens eine defekte LED berechnet sich als \(P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = \binom{20}{0} \cdot 0{,}05^0 \cdot 0{,}95^{20} + \binom{20}{1} \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^{19}\). 3. Mit \(0{,}95^{20} \approx 0{,}3585\) und \(20 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95^{19} \approx 0{,}3774\) ergibt sich \(P(X \le 1) \approx 0{,}7359\). 4. Der Erwartungswert ist \(\mu = n \cdot p = 20 \cdot 0{,}05 = 1\). 5. Die Standardabweichung ist \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{20 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95} = \sqrt{0{,}95} \approx 0{,}9747\). 6. Das Intervall \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\) ist \([1 - 0{,}9747; 1 + 0{,}9747] = [0{,}0253; 1{,}9747]\). Da \(X\) nur ganzzahlige Werte annimmt, liegt in diesem Bereich nur der Wert \(1\).

a) \(P(X \le 1) \approx 0{,}7359\) (bzw. \(73{,}59\,\%\)) b) \(\mu = 1\); \(\sigma \approx 0{,}9747\) c) Nur der Wert \(1\).

- Überlege zuerst, welche Parameter \(n\) und \(p\) für die Binomialverteilung gegeben sind. - Wie berechnet man Kennzahlen einer Bernoulli-Kette? - Was bedeutet „Abweichung um höchstens eine Standardabweichung“ für den Bereich der möglichen Ergebnisse? - Denke daran, dass die Anzahl der Treffer nur ganze Zahlen sein kann.

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 150 \cdot 0{,}04 = 6\). 2. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{150 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}96} = \sqrt{5{,}76} = 2{,}4\). 3. Bestimmung des Intervalls für eine Abweichung von höchstens \(1\sigma\): \([\mu - \sigma; \mu + \sigma] = [6 - 2{,}4; 6 + 2{,}4] = [3{,}6; 8{,}4]\). 4. Da die Anzahl der Flaschen ganzzahlig sein muss, umfasst das Intervall die Werte \(k \in \{4, 5, 6, 7, 8\}\). 5. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(4 \le X \le 8) = P(X \le 8) - P(X \le 3)\) unter Verwendung der Binomialverteilung mit \(n = 150\) und \(p = 0{,}04\). 6. Einsetzen der Werte aus der kumulierten Binomialverteilungstabelle oder dem Taschenrechner: \(P(X \le 8) \approx 0{,}8515\) und \(P(X \le 3) \approx 0{,}1458\). 7. Ergebnis: \(P(4 \le X \le 8) \approx 0{,}8515 - 0{,}1458 = 0{,}7057\).

a) \(\mu = 6\); \(\sigma = 2{,}4\) b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(70{,}57\,\%\).

- Wie hängen die Standardabweichung und die Anzahl der Versuche mathematisch zusammen? - Wenn das Ergebnis einer Wurzel viermal so groß werden soll, um welchen Faktor muss sich dann die Zahl unter der Wurzel ändern? - Wie ist der Erwartungswert mit der Anzahl der Versuche verknüpft? - Überlege dir die Schritte rückwärts: Von der Änderung der Standardabweichung zur Änderung von \(n\) und dann zur Änderung des Erwartungswerts.

1. Die Standardabweichung ist \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\). Damit \(\sigma\) den vierfachen Wert annimmt, muss unter der Wurzel der Faktor \(16\) stehen, da \(\sqrt{16} = 4\). Da \(p\) konstant bleibt, muss also \(n\) versechzehnfacht worden sein (\(n_{neu} = 16 \cdot n_{alt}\)). 2. Der Erwartungswert ist \(E(X) = n \cdot p\). Da \(n\) mit dem Faktor \(16\) multipliziert wurde und \(p\) gleich bleibt, vergrößert sich auch das Produkt \(n \cdot p\) um den Faktor \(16\).

Der Erwartungswert versechzehnfacht sich.

- Überlege zuerst, welche Verteilung hier vorliegt und welche Parameter gegeben sind. - Wie berechnet man den Mittelwert und die Streuung bei dieser Verteilung? - Das gesuchte Ereignis beschreibt einen Bereich um den Erwartungswert. Welche ganzen Zahlen liegen in diesem Bereich? - Nutze für die Wahrscheinlichkeit eines Bereichs die kumulierte Verteilungsfunktion deines Taschenrechners.

1. Berechnung der Kennwerte der Binomialverteilung mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}08\): \(\mu = n \cdot p = 100 \cdot 0{,}08 = 8\) \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{100 \cdot 0{,}08 \cdot 0{,}92} = \sqrt{7{,}36} \approx 2{,}713\) 2. Bestimmung des Intervalls \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\): \(8 - 2{,}713 = 5{,}287\) und \(8 + 2{,}713 = 10{,}713\) Da \(X\) nur ganzzahlige Werte annimmt, wird die Wahrscheinlichkeit für \(6 \le X \le 10\) gesucht. Berechnung über die kumulierte Binomialverteilung: \(P(6 \le X \le 10) = P(X \le 10) - P(X \le 5) \approx 0{,}8243 - 0{,}1799 \approx 0{,}6445\)

1. \(\mu = 8\); \(\sigma \approx 2{,}71\) 2. \(P(6 \le X \le 10) \approx 64{,}45\,\%\)

- Wie hängen Standardabweichung, \(n\) und \(p\) mathematisch zusammen? - Welche Werte für \(p\) sorgen dafür, dass die Formel für die Standardabweichung null ergibt? - Wie berechnet man den Erwartungswert \(\mu\) aus \(n\) und \(p\)? - Kombiniere deine Erkenntnisse über \(p\) mit der Formel für den Erwartungswert.

1. Die Standardabweichung einer Binomialverteilung ist \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}\). 2. Aus \(\sigma = 0\) folgt durch Quadrieren die Gleichung für die Varianz: \(n \cdot p \cdot (1 - p) = 0\). 3. Da \(n > 0\) vorgegeben ist, muss der Ausdruck \(p \cdot (1 - p) = 0\) sein, was zu \(p = 0\) oder \(p = 1\) führt. 4. Der Erwartungswert einer Binomialverteilung ist definiert als \(\mu = n \cdot p\). 5. Einsetzen der gefundenen Werte für \(p\): - Für \(p = 0\) ergibt sich \(\mu = n \cdot 0 = 0\). - Für \(p = 1\) ergibt sich \(\mu = n \cdot 1 = n\). 6. Damit ist gezeigt, dass \(\mu \in \{0; n\}\) gelten muss.

Aus \(\sigma = 0\) folgt bei \(n > 0\), dass entweder \(p = 0\) oder \(p = 1\) sein muss. Eingesetzt in die Formel für den Erwartungswert \(\mu = n \cdot p\) ergibt dies \(\mu = n \cdot 0 = 0\) oder \(\mu = n \cdot 1 = n\).

- Wie hängen Varianz und Standardabweichung zusammen? - Setze die bekannten Werte in die Formel für die Varianz ein und versuche, die Gleichung nach der unbekannten Wahrscheinlichkeit umzustellen. - Erkennst du eine mathematische Struktur, für die du eine Lösungsformel kennst? - Warum gibt es hier zwei verschiedene Lösungen für die Wahrscheinlichkeit? - Vergiss nicht, für jeden gefundenen Wert von \(p\) den entsprechenden Erwartungswert zu berechnen.

1. Aufstellen der Gleichung für die Varianz: \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p)\). Einsetzen der Werte ergibt \(4{,}8^2 = 100 \cdot p \cdot (1 - p)\). 2. Berechnen der Varianz: \(23{,}04 = 100 \cdot (p - p^2)\). 3. Umformen in eine quadratische Gleichung: \(0{,}2304 = p - p^2 \Rightarrow p^2 - p + 0{,}2304 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(p_{1,2} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{2})^2 - 0{,}2304} = 0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 - 0{,}2304} = 0{,}5 \pm \sqrt{0{,}0196}\). 5. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten: \(p_1 = 0{,}5 + 0{,}14 = 0{,}64\) und \(p_2 = 0{,}5 - 0{,}14 = 0{,}36\). 6. Berechnung der Erwartungswerte: \(\mu_1 = 100 \cdot 0{,}64 = 64\) und \(\mu_2 = 100 \cdot 0{,}36 = 36\).

Die möglichen Werte für die Trefferwahrscheinlichkeit sind \(p_1 = 0{,}64\) und \(p_2 = 0{,}36\). Die zugehörigen Erwartungswerte sind \(\mu_1 = 64\) und \(\mu_2 = 36\).

- Berechne für beide Personen separat den Erwartungswert und vergleiche die Ergebnisse. - Nutze die Formel für die Standardabweichung, um die Streuung der Trefferzahlen zu bestimmen. - Was sagt eine kleinere Standardabweichung über die Verteilung der Ergebnisse aus?

1. Erwartungswert Lukas: \(\mu_L = 80 \cdot 0{,}6 = 48\). 2. Erwartungswert Sarah: \(\mu_S = 64 \cdot 0{,}75 = 48\). Somit gilt \(\mu_L = \mu_S\). 3. Standardabweichung Lukas: \(\sigma_L = \sqrt{80 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}4} = \sqrt{19{,}2} \approx 4{,}38\). 4. Standardabweichung Sarah: \(\sigma_S = \sqrt{64 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}25} = \sqrt{12} \approx 3{,}46\). 5. Vergleich der Streuung: Da \(\sigma_S < \sigma_L\), schwankt das Ergebnis bei Sarah weniger stark um den Erwartungswert.

Beide Schützen haben einen Erwartungswert von \(\mu = 48\) Treffern. Die Standardabweichung bei Lukas beträgt \(\sigma_L \approx 4{,}38\) und bei Sarah \(\sigma_S \approx 3{,}46\). Da \(\sigma_S < \sigma_L\), schwankt die Trefferanzahl bei Sarah weniger stark.

- Was muss für eine Bernoulli-Kette gelten, damit wir die Binomialverteilung nutzen dürfen? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit „mindestens k“, wenn die Tabelle oder der Taschenrechner nur „höchstens k“ anzeigt? - Denk daran, dass die Zufallsgröße nur ganze Zahlen annehmen kann, wenn du den Bereich um den Erwartungswert betrachtest.

1. Begründung: Die Würfe müssen unabhängig voneinander sein und die Trefferwahrscheinlichkeit muss bei jedem Wurf konstant bleiben. Parameter: \(n = 40\), \(p = 0{,}75\). 2. Wahrscheinlichkeit für mindestens \(35\) Treffer: \(P(X \ge 35) = 1 - P(X \le 34)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \ge 35) \approx 1 - 0{,}9567 = 0{,}0433\), also ca. \(4{,}3\,\%\). 3. Erwartungswert: \(\mu = n \cdot p = 40 \cdot 0{,}75 = 30\). Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{40 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}25} = \sqrt{7{,}5} \approx 2{,}7386\). 4. Intervallwahrscheinlichkeit: Das Intervall ist \([30 - 2{,}74; 30 + 2{,}74] = [27{,}26; 32{,}74]\). Da \(X\) nur ganzzahlige Werte annimmt, wird die Wahrscheinlichkeit \(P(28 \le X \le 32)\) berechnet. Dies entspricht \(P(X \le 32) - P(X \le 27) \approx 0{,}8180 - 0{,}1791 = 0{,}6389\), also ca. \(63{,}9\,\%\).

a) Unabhängigkeit der Versuche und konstante Wahrscheinlichkeit; \(n = 40\), \(p = 0{,}75\). b) \(P(X \ge 35) \approx 0{,}0433\) c) \(\mu = 30\); \(\sigma \approx 2{,}74\) d) \(P(28 \le X \le 32) \approx 0{,}6389\)

- Wie hängen der Erwartungswert und die Varianz bei einer Binomialverteilung mathematisch zusammen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der nur noch die Unbekannte \(p\) vorkommt? - Was ist die Definition der Standardabweichung im Verhältnis zur Varianz?

1. Verwendung der Formeln für den Erwartungswert \(E(X) = n \cdot p\) und die Varianz \(V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)\). 2. Einsetzen des Erwartungswerts in die Varianzformel: \(180 \cdot (1 - p) = 36\). 3. Auflösen nach \(1 - p\): \(1 - p = \frac{36}{180} = 0{,}2\). 4. Berechnung von \(p\): \(p = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\). 5. Bestimmung von \(n\) über den Erwartungswert: \(n \cdot 0{,}8 = 180 \implies n = \frac{180}{0{,}8} = 225\). 6. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{36} = 6\).

Die Erfolgswahrscheinlichkeit beträgt \(p = 0{,}8\), der Stichprobenumfang ist \(n = 225\) und die Standardabweichung beträgt \(\sigma = 6\).

- Welche Formel verknüpft die Trefferwahrscheinlichkeit, die Gesamtzahl und den Durchschnittswert? - Erinnere dich an die Formel für die Streuung bei einer Binomialverteilung. - Was besagt die Faustregel für die Anwendung der Normalverteilung als Näherung?

1. Gegeben ist \(p = 0{,}05\). Berechnung von \(n\) über \(E(X) = n \cdot p = 20\): \(n = \frac{20}{0{,}05} = 400\). 2. Berechnung der Standardabweichung mit \(n = 400\) und \(p = 0{,}05\): \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{400 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95} = \sqrt{20 \cdot 0{,}95} = \sqrt{19}\). 3. Numerischer Wert der Standardabweichung: \(\sigma \approx 4{,}3589\). 4. Überprüfung der Laplace-Bedingung: Da \(\sigma \approx 4{,}36 > 3\) ist, ist die Bedingung erfüllt.

a) \(n = 400\) b) \(\sigma = \sqrt{19} \approx 4{,}36\) c) Ja, da \(\sigma \approx 4{,}36 > 3\), ist die Laplace-Bedingung erfüllt.

- Kannst du den Erwartungswert berechnen, auch wenn negative Werte vorkommen? - Achte beim Quadrieren der Abweichungen besonders auf die Vorzeichen, falls der Erwartungswert negativ ist. - Welchen Schritt musst du nach der Berechnung der Varianz noch ausführen, um das Maß für die Streuung in der Originaleinheit zu erhalten?

1. Berechnung des Erwartungswerts \(\mu\): \(\mu = (-2) \cdot 0{,}15 + (-1) \cdot 0{,}25 + 0 \cdot 0{,}30 + 1 \cdot 0{,}20 + 2 \cdot 0{,}10 = -0{,}30 - 0{,}25 + 0 + 0{,}20 + 0{,}20 = -0{,}15\) 2. Berechnung der Varianz \(V(Y)\): \(V(Y) = \sum (y_i - \mu)^2 \cdot P(Y = y_i) = (-2 - (-0{,}15))^2 \cdot 0{,}15 + (-1 - (-0{,}15))^2 \cdot 0{,}25 + (0 - (-0{,}15))^2 \cdot 0{,}30 + (1 - (-0{,}15))^2 \cdot 0{,}20 + (2 - (-0{,}15))^2 \cdot 0{,}10 = (-1{,}85)^2 \cdot 0{,}15 + (-0{,}85)^2 \cdot 0{,}25 + 0{,}15^2 \cdot 0{,}30 + 1{,}15^2 \cdot 0{,}20 + 2{,}15^2 \cdot 0{,}10 = 0{,}513\,375 + 0{,}180\,625 + 0{,}006\,75 + 0{,}2645 + 0{,}462\,25 = 1{,}4275\) 3. Berechnung der Standardabweichung \(\sigma(Y)\): \(\sigma(Y) = \sqrt{1{,}4275} \approx 1{,}194\,78\ldots\)

\(V(Y) = 1{,}4275\); \(\sigma(Y) \approx 1{,}19\)

- Was muss für die Summe aller Wahrscheinlichkeiten einer Zufallsgröße gelten? - Wie gewichtet man die Werte einer Zufallsgröße mit ihren Wahrscheinlichkeiten? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Varianz und Standardabweichung. - Du kannst die Varianz entweder über die Definition oder mit dem Verschiebungssatz berechnen.

1. Berechnung der fehlenden Wahrscheinlichkeit über die Summennormierung: \(P(X = 10) = 1 - (0{,}1 + 0{,}5 + 0{,}1) = 0{,}3\). 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = -10 \cdot 0{,}1 + 0 \cdot 0{,}5 + 10 \cdot 0{,}3 + 20 \cdot 0{,}1 = -1 + 0 + 3 + 2 = 4\). 3. Berechnung der Varianz: \(V(X) = (-10 - 4)^2 \cdot 0{,}1 + (0 - 4)^2 \cdot 0{,}5 + (10 - 4)^2 \cdot 0{,}3 + (20 - 4)^2 \cdot 0{,}1 = 196 \cdot 0{,}1 + 16 \cdot 0{,}5 + 36 \cdot 0{,}3 + 256 \cdot 0{,}1 = 19{,}6 + 8 + 10{,}8 + 25{,}6 = 64\). 4. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{64} = 8\).

a) \(P(X = 10) = 0{,}3\) b) \(E(X) = 4\) c) \(\sigma(X) = 8\)

- Stelle zunächst alle möglichen Ergebnisse für die Summe der beiden Ziehungen auf. - Nutze ein Baumdiagramm, um die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Summen zu bestimmen. - Achte darauf, dass beim Ziehen „mit Zurücklegen“ die Wahrscheinlichkeiten für die Farben bei beiden Zügen gleich bleiben. - Berechne zuerst den Erwartungswert, um diesen für die Varianz nutzen zu können.

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(S\): Die möglichen Summen sind \(2+2=4\), \(2+5=7\) und \(5+5=10\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(S=4) = \frac{4}{6} \cdot \frac{4}{6} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}\); \(P(S=7) = 2 \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}\); \(P(S=10) = \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}\). 3. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(S) = 4 \cdot \frac{4}{9} + 7 \cdot \frac{4}{9} + 10 \cdot \frac{1}{9} = \frac{16+28+10}{9} = \frac{54}{9} = 6\). 4. Berechnung der Varianz: \(Var(S) = (4-6)^2 \cdot \frac{4}{9} + (7-6)^2 \cdot \frac{4}{9} + (10-6)^2 \cdot \frac{1}{9} = 4 \cdot \frac{4}{9} + 1 \cdot \frac{4}{9} + 16 \cdot \frac{1}{9} = \frac{16+4+16}{9} = \frac{36}{9} = 4\). 5. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma(S) = \sqrt{4} = 2\).

Der Erwartungswert ist \(E(S) = 6\) und die Standardabweichung beträgt \(\sigma(S) = 2\).

- Erstelle zuerst eine Liste aller möglichen Ergebnisse für jede Zufallsgröße. - Überlege dir, mit welcher Wahrscheinlichkeit jedes Wort aus dem Satz gezogen wird. - Nutze die Formeln für den Erwartungswert und die Varianz bei diskreten Zufallsgrößen. - Für die Varianz bietet sich der Verschiebungssatz \(Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2\) an.

1. Bestimmung der Wortlängen \(X\) für die 6 Wörter: Stochastik (10), ist (3), ein (3), Teilgebiet (10), der (3), Mathematik (10). Die Wahrscheinlichkeit für jedes Wort beträgt \(p = \frac{1}{6}\). 2. Berechnung von \(E(X)\): \(E(X) = \frac{1}{6} \cdot (10 + 3 + 3 + 10 + 3 + 10) = \frac{39}{6} = 6{,}5\). 3. Berechnung von \(Var(X)\): \(E(X^2) = \frac{1}{6} \cdot (100 + 9 + 9 + 100 + 9 + 100) = \frac{327}{6} = 54{,}5\). \(Var(X) = 54{,}5 - 6{,}5^2 = 54{,}5 - 42{,}25 = 12{,}25\). 4. Bestimmung der Vokalanzahl \(Y\): Stochastik (3: o, a, i), ist (1: i), ein (2: e, i), Teilgebiet (5: e, i, e, i, e), der (1: e), Mathematik (4: a, e, a, i). 5. Berechnung von \(E(Y)\): \(E(Y) = \frac{1}{6} \cdot (3 + 1 + 2 + 5 + 1 + 4) = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \approx 2{,}67\). 6. Berechnung von \(Var(Y)\): \(E(Y^2) = \frac{1}{6} \cdot (3^2 + 1^2 + 2^2 + 5^2 + 1^2 + 4^2) = \frac{1}{6} \cdot (9 + 1 + 4 + 25 + 1 + 16) = \frac{56}{6} = \frac{28}{3}\). \(Var(Y) = \frac{28}{3} - (\frac{8}{3})^2 = \frac{84}{9} - \frac{64}{9} = \frac{20}{9} \approx 2{,}22\).

\(E(X) = 6{,}5\); \(Var(X) = 12{,}25\) \(E(Y) = \frac{8}{3} \approx 2{,}67\); \(Var(Y) = \frac{20}{9} \approx 2{,}22\)

- Notiere dir für jedes Produkt die zugehörigen Werte für \(X\) und \(Y\). - Da jedes Produkt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gewählt wird, kannst du die Mittelwerte der Merkmale bilden. - Achte bei der Quersumme darauf, nur die Ziffern der Kennnummer zu addieren. - Denke daran, dass die Varianz ein Maß für die Streuung um den Erwartungswert ist.

1. Analyse der Kennnummern für \(n=5\) gleichwahrscheinliche Fälle (\(p = 0{,}2\)): - A10: \(X=2\), \(Y=1+0=1\) - B200: \(X=3\), \(Y=2+0+0=2\) - C30: \(X=2\), \(Y=3+0=3\) - D4000: \(X=4\), \(Y=4+0+0+0=4\) - E50: \(X=2\), \(Y=5+0=5\) 2. Berechnung für \(X\): \(E(X) = 0{,}2 \cdot (2 + 3 + 2 + 4 + 2) = 0{,}2 \cdot 13 = 2{,}6\). \(E(X^2) = 0{,}2 \cdot (2^2 + 3^2 + 2^2 + 4^2 + 2^2) = 0{,}2 \cdot (4 + 9 + 4 + 16 + 4) = 0{,}2 \cdot 37 = 7{,}4\). \(Var(X) = 7{,}4 - 2{,}6^2 = 7{,}4 - 6{,}76 = 0{,}64\). 3. Berechnung für \(Y\): \(E(Y) = 0{,}2 \cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 0{,}2 \cdot 15 = 3\). \(E(Y^2) = 0{,}2 \cdot (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2) = 0{,}2 \cdot (1 + 4 + 9 + 16 + 25) = 0{,}2 \cdot 55 = 11\). \(Var(Y) = 11 - 3^2 = 11 - 9 = 2\).

\(E(X) = 2{,}6\); \(Var(X) = 0{,}64\) \(E(Y) = 3\); \(Var(Y) = 2\)

- Wie berechnet man den Durchschnittswert bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung? - Welche Schritte sind nötig, um von der Varianz zur Standardabweichung zu kommen? - Überlege dir, welche ganzzahligen Werte der Zufallsgröße über dem berechneten Mittelwert liegen. - Was sagt die Standardabweichung über die Streuung der Werte um das Zentrum aus?

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = 0 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}2 + 3 \cdot 0{,}1 = 0 + 0{,}5 + 0{,}4 + 0{,}3 = 1{,}2\). Im Durchschnitt kauft ein Kunde \(1{,}2\) Kaffeestückchen. 2. Berechnung der Varianz: \(Var(X) = (0 - 1{,}2)^2 \cdot 0{,}2 + (1 - 1{,}2)^2 \cdot 0{,}5 + (2 - 1{,}2)^2 \cdot 0{,}2 + (3 - 1{,}2)^2 \cdot 0{,}1 = 1{,}44 \cdot 0{,}2 + 0{,}04 \cdot 0{,}5 + 0{,}64 \cdot 0{,}2 + 3{,}24 \cdot 0{,}1 = 0{,}288 + 0{,}02 + 0{,}128 + 0{,}324 = 0{,}76\). 3. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma(X) = \sqrt{0{,}76} \approx 0{,}8718\). 4. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für \(X > E(X)\): Da \(E(X) = 1{,}2\), gesucht ist \(P(X > 1{,}2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}3\).

a) \(E(X) = 1{,}2\). Ein Kunde kauft im Durchschnitt \(1{,}2\) Kaffeestückchen. b) \(\sigma(X) \approx 0{,}8718\). c) \(P(X > 1{,}2) = 0{,}3\).

- Was muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einer Verteilung immer ergeben? - Wie wird der Erwartungswert aus den Werten und ihren Wahrscheinlichkeiten berechnet? - Kannst du eine der Wahrscheinlichkeiten direkt aus der Gleichung für den Erwartungswert bestimmen, wenn ein Wert der Zufallsgröße Null ist? - Welche Formeln kennst du, um die Varianz zu berechnen?

1. Aufstellen der Gleichung für die Summe der Wahrscheinlichkeiten: \(p_1 + 0{,}3 + p_2 = 1\), woraus \(p_1 + p_2 = 0{,}7\) folgt. 2. Aufstellen der Gleichung für den Erwartungswert: \(0 \cdot p_1 + 4 \cdot 0{,}3 + 10 \cdot p_2 = 5{,}2\). 3. Lösen der Erwartungswertgleichung nach \(p_2\): \(1{,}2 + 10 \cdot p_2 = 5{,}2 \implies 10 \cdot p_2 = 4{,}0 \implies p_2 = 0{,}4\). 4. Bestimmung von \(p_1\): \(p_1 = 0{,}7 - 0{,}4 = 0{,}3\). 5. Berechnung der Varianz mittels der Formel \(Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2\). Zuerst \(E(X^2) = 0^2 \cdot 0{,}3 + 4^2 \cdot 0{,}3 + 10^2 \cdot 0{,}4 = 0 + 4{,}8 + 40 = 44{,}8\). 6. Finales Ergebnis: \(Var(X) = 44{,}8 - 5{,}2^2 = 44{,}8 - 27{,}04 = 17{,}76\).

a) \(P(X = 0) = 0{,}3\) und \(P(X = 10) = 0{,}4\) b) \(Var(X) = 17{,}76\)

- Wie berechnet man den Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße? - Erinnere dich an die Definition der Varianz als gewichtete Summe der Quadrate der Abweichungen vom Erwartungswert. - Wann kann eine Summe von nicht-negativen Werten (wie Quadraten) insgesamt null ergeben? - Was bedeutet es für ein Zufallsexperiment, wenn ein Ergebnis mit der Wahrscheinlichkeit 1 eintritt?

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = 10 \cdot p + 20 \cdot (1 - p) = 20 - 10p\). 2. Aufstellen der Varianzformel: \(\text{Var}(X) = p \cdot (10 - (20 - 10p))^2 + (1 - p) \cdot (20 - (20 - 10p))^2\). 3. Vereinfachung des Terms: \(\text{Var}(X) = p \cdot (10p - 10)^2 + (1 - p) \cdot (10p)^2 = 100p(1 - p)^2 + 100p^2(1 - p) = 100p(1 - p)\). 4. Lösen der Gleichung \(\text{Var}(X) = 0\): \(100p(1 - p) = 0\) liefert \(p_1 = 0\) und \(p_2 = 1\). 5. Interpretation: Die Varianz ist genau dann null, wenn die Zufallsgröße einen festen Wert mit der Wahrscheinlichkeit \(1\) annimmt (deterministischer Fall). Entweder ist \(P(X=20) = 1\) (bei \(p=0\)) oder \(P(X=10) = 1\) (bei \(p=1\)).

a) \(\text{Var}(X) = 100p(1 - p)\) b) \(p = 0\) oder \(p = 1\) c) Die Varianz ist null, wenn die Zufallsgröße konstant ist, also nur ein einziger Wert mit Sicherheit eintritt.

- Überlege dir, wie sich das Ziehen einer Wurzel auf Zahlen auswirkt, die zwischen 0 und 1 liegen. - Wann ist das Quadrat einer Zahl kleiner als die Zahl selbst? - Erinnere dich an die Definition der Varianz für diskrete Zufallsgrößen. - Ein einziges Gegenbeispiel reicht aus, um eine allgemeine Behauptung zu widerlegen.

1. Analyse der Wurzelfunktion: Die Aussage, dass die Wurzel eine Zahl stets verkleinert, ist nur für Werte größer als 1 korrekt. Für \(x > 1\) gilt \(\sqrt{x} < x\), für \(x = 1\) gilt \(\sqrt{x} = x\) und für \(0 < x < 1\) gilt \(\sqrt{x} > x\). 2. Bedingung für \(\sigma > V\): Da \(\sigma = \sqrt{V}\), gilt \(\sigma > V\) genau dann, wenn \(\sqrt{V} > V\). Dies ist für alle Varianzen im Intervall \(0 < V < 1\) erfüllt. 3. Berechnung für das Beispiel: Der Erwartungswert ist \(E(X) = 0 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 0{,}5 = 0{,}5\). Die Varianz berechnet sich zu \(V(X) = (0 - 0{,}5)^2 \cdot 0{,}5 + (1 - 0{,}5)^2 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 \cdot 0{,}5 + 0{,}25 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\). 4. Vergleich: Die Standardabweichung ist \(\sigma = \sqrt{0{,}25} = 0{,}5\). Da \(0{,}5 > 0{,}25\), ist die ursprüngliche Behauptung widerlegt.

a) Die Aussage ist falsch. Die Standardabweichung \(\sigma\) ist größer als die Varianz \(V\), wenn \(0 < V < 1\) gilt. b) Für das Beispiel gilt \(V = 0{,}25\) und \(\sigma = 0{,}5\). Wegen \(0{,}5 > 0{,}25\) ist die Aussage widerlegt.

- Was berechnet man, wenn man jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multipliziert und die Ergebnisse addiert? - Überlege dir, was die Differenz zwischen einem Einzelwert und dem Durchschnitt über die Verteilung aussagt. - Wie nennt man die Kennzahl, die die mittlere quadratische Abweichung vom Durchschnitt beschreibt? - Denke bei der Interpretation an Begriffe wie „langfristiger Durchschnitt“ und „Risiko“ oder „Schwankung“.

1. Berechnung von \(S_1\): \(S_1 = (-5) \cdot 0{,}2 + 0 \cdot 0{,}3 + 10 \cdot 0{,}4 + 20 \cdot 0{,}1 = -1 + 0 + 4 + 2 = 5\,\text{Tsd. €}\). 2. Berechnung von \(S_2\): \(S_2 = (-5-5)^2 \cdot 0{,}2 + (0-5)^2 \cdot 0{,}3 + (10-5)^2 \cdot 0{,}4 + (20-5)^2 \cdot 0{,}1 = 100 \cdot 0{,}2 + 25 \cdot 0{,}3 + 25 \cdot 0{,}4 + 225 \cdot 0{,}1 = 20 + 7{,}5 + 10 + 22{,}5 = 60\,(\text{Tsd. €})^2\). 3. Interpretation: \(S_1 = 5\,\text{Tsd. €}\) stellt den Erwartungswert dar, also den durchschnittlichen Gewinn von \(5\,000\,\text{€}\), den das Unternehmen pro Projekt auf lange Sicht erwartet. \(S_2 = 60\,(\text{Tsd. €})^2\) ist die Varianz, ein Maß für die Streuung der tatsächlichen Gewinne um diesen Erwartungswert, also für das finanzielle Risiko des Projekts.

\(S_1 = 5\,\text{Tsd. €}\); \(S_2 = 60\,(\text{Tsd. €})^2\). \(S_1\) ist der Erwartungswert (durchschnittlicher Gewinn von \(5\,000\,\text{€}\)). \(S_2\) ist die Varianz (Maß für die Streuung bzw. das Risiko).

- Stelle zuerst einen Term für die Varianz in Abhängigkeit von \(p\) auf. - Überlege dir, warum es ausreicht, das Maximum der Varianz zu suchen, anstatt direkt mit der Standardabweichung zu rechnen. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, den höchsten Punkt einer Funktion zu finden? - In welchem Bereich muss der Wert für eine Wahrscheinlichkeit \(p\) liegen?

1. Aufstellen der Varianzfunktion in Abhängigkeit von \(p\): \(V(p) = 1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1 - p) - p^2 = p - p^2\). 2. Da die Standardabweichung \(\sigma(p) = \sqrt{V(p)}\) eine streng monoton wachsende Funktion für positive Argumente ist, liegt ihr Maximum an derselben Stelle wie das Maximum der Varianz. 3. Ableiten der Varianzfunktion nach \(p\): \(V'(p) = 1 - 2p\). 4. Bestimmung der Extremstelle durch Nullsetzen der ersten Ableitung: \(1 - 2p = 0 \Rightarrow p = 0{,}5\). 5. Überprüfung der Art des Extremums: Die zweite Ableitung \(V''(p) = -2\) ist negativ, folglich liegt ein lokales Maximum vor. 6. Da die Randwerte \(V(0) = 0\) und \(V(1) = 0\) kleiner sind als \(V(0{,}5) = 0{,}25\), ist \(p = 0{,}5\) das globale Maximum im Intervall \([0; 1]\).

\(p = 0{,}5\)

- Welche grundlegende Eigenschaft müssen alle Wahrscheinlichkeiten einer Verteilung gemeinsam erfüllen? - Wie hängen der Erwartungswert und die Varianz formal mit den Werten der Zufallsgröße und ihren Wahrscheinlichkeiten zusammen? - Kennst du eine Formel für die Varianz, die das Rechnen mit \(E(X^2)\) ermöglicht? - Wie viele Gleichungen benötigst du, um drei unbekannte Wahrscheinlichkeiten eindeutig zu bestimmen?

1. Aufstellen des Gleichungssystems basierend auf den Definitionen: I. Summe der Wahrscheinlichkeiten: \(p_1 + p_2 + p_3 = 1\) II. Erwartungswert: \(2p_1 + 4p_2 + 6p_3 = 4{,}2\) III. Varianz über den Verschiebungssatz \(Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2\): \(E(X^2) = 1{,}16 + 4{,}2^2 = 1{,}16 + 17{,}64 = 18{,}8\) Daraus folgt: \(4p_1 + 16p_2 + 36p_3 = 18{,}8\) 2. Lösen des linearen Gleichungssystems: Aus II - 2 \(\cdot\) I folgt: \(2p_2 + 4p_3 = 2{,}2 \Rightarrow p_2 + 2p_3 = 1{,}1\) Aus III - 4 \(\cdot\) I folgt: \(12p_2 + 32p_3 = 14{,}8 \Rightarrow 3p_2 + 8p_3 = 3{,}7\) Einsetzen von \(p_2 = 1{,}1 - 2p_3\) in die zweite Gleichung: \(3(1{,}1 - 2p_3) + 8p_3 = 3{,}7 \Rightarrow 3{,}3 + 2p_3 = 3{,}7 \Rightarrow p_3 = 0{,}2\) 3. Berechnung der weiteren Werte: \(p_2 = 1{,}1 - 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}7\) und \(p_1 = 1 - 0{,}7 - 0{,}2 = 0{,}1\).

\(P(X=2) = 0{,}1\); \(P(X=4) = 0{,}7\); \(P(X=6) = 0{,}2\)

- Stelle zuerst alle Bedingungen auf, die die Wahrscheinlichkeiten erfüllen müssen. - Nutze den Verschiebungssatz für die Varianz, um eine lineare Gleichung für die quadrierten Werte zu erhalten. - Welches Verfahren eignet sich am besten, um ein System mit drei Unbekannten zu lösen? - Überprüfe am Ende, ob deine Wahrscheinlichkeiten alle zwischen 0 und 1 liegen und sich zu 1 addieren.

1. Aufstellen des Systems aus drei linearen Gleichungen: (1) \(p_1 + p_2 + p_3 = 1\) (2) \(-2p_1 + 1p_2 + 3p_3 = 0{,}9\) (3) \(E(Y^2) = Var(Y) + (E(Y))^2 = 3{,}09 + 0{,}81 = 3{,}9\), also \(4p_1 + 1p_2 + 9p_3 = 3{,}9\) 2. Subtraktion von Gleichungen zur Elimination von \(p_2\): (2) - (1): \(-3p_1 + 2p_3 = -0{,}1\) (3) - (2): \(6p_1 + 6p_3 = 3{,}0 \Rightarrow p_1 + p_3 = 0{,}5\) 3. Lösen des reduzierten Systems: Aus \(p_3 = 0{,}5 - p_1\) folgt in der ersten Differenz: \(-3p_1 + 2(0{,}5 - p_1) = -0{,}1 \Rightarrow -3p_1 + 1 - 2p_1 = -0{,}1 \Rightarrow -5p_1 = -1{,}1 \Rightarrow p_1 = 0{,}22\) Daraus ergibt sich \(p_3 = 0{,}5 - 0{,}22 = 0{,}28\) und über (1) schließlich \(p_2 = 1 - 0{,}22 - 0{,}28 = 0{,}5\).

\(p_1 = 0{,}22\); \(p_2 = 0{,}5\); \(p_3 = 0{,}28\)

- Welche Eigenschaft müssen alle Wahrscheinlichkeiten einer Verteilung in der Summe erfüllen? - Wie hängen Erwartungswert, Varianz und die Quadrate der Zufallswerte zusammen? - Kannst du aus der Symmetrie der Tabelle direkt eine Vereinfachung für die Berechnungen ableiten? - Versuche, ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten aufzustellen.

1. Aufstellen der Summenbedingung für Wahrscheinlichkeiten: \(2p + 2q + 0{,}2 = 1\), woraus \(p + q = 0{,}4\) bzw. \(q = 0{,}4 - p\) folgt. 2. Berechnung des Erwartungswerts der Quadrate \(E(X^2)\) unter Nutzung der Varianzformel \(\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2\): \(E(X^2) = 2{,}48 + 3^2 = 11{,}48\). 3. Aufstellen der Gleichung für \(E(X^2)\): \(E(X^2) = 1^2 \cdot p + 2^2 \cdot q + 3^2 \cdot 0{,}2 + 4^2 \cdot q + 5^2 \cdot p = 26p + 20q + 1{,}8\). 4. Einsetzen von \(q = 0{,}4 - p\) in die Gleichung für \(E(X^2)\): \(26p + 20(0{,}4 - p) + 1{,}8 = 11{,}48\). 5. Vereinfachen und Lösen nach \(p\): \(6p + 8 + 1{,}8 = 11{,}48 \implies 6p = 1{,}68 \implies p = 0{,}28\). 6. Bestimmung von \(q\): \(q = 0{,}4 - 0{,}28 = 0{,}12\).

\(p = 0{,}28\) und \(q = 0{,}12\)

- Überlege dir, wie viele Gleichungen du benötigst, um drei Unbekannte zu bestimmen. - Verwende die Definitionen für den Erwartungswert und die Varianz, um zwei dieser Gleichungen aufzustellen. - Die dritte Gleichung ergibt sich immer aus der Summe aller Wahrscheinlichkeiten. - Kannst du das Gleichungssystem schrittweise reduzieren, indem du eine Variable eliminierst?

1. Aufstellen der drei Grundgleichungen: I. Summe der Wahrscheinlichkeiten: \(a + b + c = 1\) II. Erwartungswert: \(E(Z) = -2a + 0b + 2c = 0{,}4 \implies c - a = 0{,}2\) III. Varianz: \(\text{Var}(Z) = E(Z^2) - (E(Z))^2 = ((-2)^2 a + 0^2 b + 2^2 c) - 0{,}4^2 = 4a + 4c - 0{,}16 = 2{,}24\) 2. Lösen von Gleichung III nach \(a + c\): \(4a + 4c = 2{,}4 \implies a + c = 0{,}6\). 3. Lösen des Systems aus \(c - a = 0{,}2\) und \(c + a = 0{,}6\): Addition ergibt \(2c = 0{,}8 \implies c = 0{,}4\); Subtraktion ergibt \(2a = 0{,}4 \implies a = 0{,}2\). 4. Einsetzen in Gleichung I zur Bestimmung von \(b\): \(0{,}2 + b + 0{,}4 = 1 \implies b = 0{,}4\).

\(a = 0{,}2\), \(b = 0{,}4\) und \(c = 0{,}4\)

- Was weißt du über die Summe aller Wahrscheinlichkeiten einer Zufallsgröße? - Wie wird der Durchschnittswert gewichtet berechnet? - Die Varianz misst die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert. - In welcher Beziehung stehen Varianz und Standardabweichung zueinander?

1. Berechnung der fehlenden Wahrscheinlichkeit über die Summenbedingung \(\sum P(X = x_i) = 1\): \(1 - (0{,}15 + 0{,}35 + 0{,}4) = 0{,}1\). 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = -3 \cdot 0{,}15 + 0 \cdot 0{,}35 + 2 \cdot 0{,}4 + 4 \cdot 0{,}1 = -0{,}45 + 0 + 0{,}8 + 0{,}4 = 0{,}75\). 3. Berechnung der Varianz: \(Var(X) = (-3 - 0{,}75)^2 \cdot 0{,}15 + (0 - 0{,}75)^2 \cdot 0{,}35 + (2 - 0{,}75)^2 \cdot 0{,}4 + (4 - 0{,}75)^2 \cdot 0{,}1\). 4. Zwischenergebnisse der Varianz: \(2{,}109375 + 0{,}196875 + 0{,}625 + 1{,}05625 = 3{,}9875\). 5. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma(X) = \sqrt{3{,}9875} \approx 1{,}997\).

a) \(P(X = 4) = 0{,}1\); \(E(X) = 0{,}75\) b) \(Var(X) = 3{,}9875\); \(\sigma(X) \approx 1{,}997\)

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, zwei Kugeln aus den fünf vorhandenen auszuwählen. - Liste alle Paare auf, die zu einer bestimmten Summe führen, und achte darauf, wie oft jede Zahl in der Urne vorkommt. - Für den Erwartungswert multiplizierst du jeden Wert der Zufallsgröße mit seiner Wahrscheinlichkeit und summierst die Ergebnisse. - Die Varianz misst die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Möglichkeiten: Es gibt \(\binom{5}{2} = 10\) gleichwahrscheinliche Paare von Kugeln. 2. Identifikation der möglichen Summen \(x_i\) und ihrer Häufigkeiten: - \(X = 2\): Kombination \((1,1)\) tritt \(1\)-mal auf. \(P(X = 2) = \frac{1}{10} = 0{,}1\). - \(X = 3\): Kombinationen \((1,2)\) treten \(2\)-mal auf (zwei verschiedene 1er-Kugeln). \(P(X = 3) = \frac{2}{10} = 0{,}2\). - \(X = 4\): Kombinationen \((1,3)\) treten \(2 \cdot 2 = 4\)-mal auf. \(P(X = 4) = \frac{4}{10} = 0{,}4\). - \(X = 5\): Kombinationen \((2,3)\) treten \(1 \cdot 2 = 2\)-mal auf. \(P(X = 5) = \frac{2}{10} = 0{,}2\). - \(X = 6\): Kombination \((3,3)\) tritt \(1\)-mal auf. \(P(X = 6) = \frac{1}{10} = 0{,}1\). 3. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = 2 \cdot 0{,}1 + 3 \cdot 0{,}2 + 4 \cdot 0{,}4 + 5 \cdot 0{,}2 + 6 \cdot 0{,}1 = 0{,}2 + 0{,}6 + 1{,}6 + 1{,}0 + 0{,}6 = 4{,}0\). 4. Berechnung der Varianz: \(V(X) = (2-4)^2 \cdot 0{,}1 + (3-4)^2 \cdot 0{,}2 + (4-4)^2 \cdot 0{,}4 + (5-4)^2 \cdot 0{,}2 + (6-4)^2 \cdot 0{,}1 = 4 \cdot 0{,}1 + 1 \cdot 0{,}2 + 0 + 1 \cdot 0{,}2 + 4 \cdot 0{,}1 = 1{,}2\).

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table border="1"> <tr> <td>\(x_i\)</td> <td>2</td> <td>3</td> <td>4</td> <td>5</td> <td>6</td> </tr> <tr> <td>\(P(X = x_i)\)</td> <td>\(0{,}1\)</td> <td>\(0{,}2\)</td> <td>\(0{,}4\)</td> <td>\(0{,}2\)</td> <td>\(0{,}1\)</td> </tr> </table> b) \(E(X) = 4\); \(V(X) = 1{,}2\)

- Überlege dir zuerst, welche Werte \(n\) und \(p\) für die beiden Zufallsgrößen haben. - Was fällt dir beim Vergleich der Formeln für die Varianz von \(X\) und \(Y\) auf? - Für den Aufgabenteil b) musst du die Wahrscheinlichkeiten für mehrere Ergebnisse addieren oder ein Tabellenwerk/den Taschenrechner nutzen.

1. Identifikation der Parameter für die Binomialverteilung: \(n = 60\), Trefferwahrscheinlichkeit für \(Y\) ist \(p_Y = 0{,}15\), für \(X\) ist \(p_X = 0{,}85\). 2. Berechnung der Erwartungswerte: \(E(X) = n \cdot p_X = 60 \cdot 0{,}85 = 51\) und \(E(Y) = n \cdot p_Y = 60 \cdot 0{,}15 = 9\). 3. Berechnung der Varianzen: Da \(Var(X) = n \cdot p \cdot (1-p)\), gilt für beide Zufallsgrößen \(Var(X) = Var(Y) = 60 \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}85 = 7{,}65\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(Y \le 5)\) unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung: \(P(Y \le 5) = \sum_{k=0}^{5} \binom{60}{k} \cdot 0{,}15^k \cdot 0{,}85^{60-k} \approx 0{,}1014\).

a) \(E(X) = 51\); \(E(Y) = 9\); \(Var(X) = Var(Y) = 7{,}65\) b) \(P(Y \le 5) \approx 0{,}1014\) (bzw. \(10{,}14\,\%\))

- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer, wenn eine von vier Antworten richtig ist? - Beachte den Zusammenhang zwischen Varianz und Standardabweichung. - „Mindestens zehn“ bedeutet, dass du das Gegenereignis von „höchstens neun“ betrachten kannst.

1. Bestimmung der Parameter: \(n = 30\). Wahrscheinlichkeit für eine richtige Antwort \(p_X = 0{,}25\), für eine falsche Antwort \(p_Y = 0{,}75\). 2. Berechnung der Erwartungswerte: \(E(X) = 30 \cdot 0{,}25 = 7{,}5\) und \(E(Y) = 30 \cdot 0{,}75 = 22{,}5\). 3. Berechnung der Varianzen und Standardabweichungen: \(Var(X) = Var(Y) = 30 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75 = 5{,}625\). Daraus folgt \(\sigma(X) = \sigma(Y) = \sqrt{5{,}625} \approx 2{,}3717\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für mindestens zehn Treffer: \(P(X \ge 10) = 1 - P(X \le 9)\). 5. Berechnung über die kumulierte Binomialverteilung: \(P(X \ge 10) \approx 1 - 0{,}8034 = 0{,}1966\).

a) \(E(X) = 7{,}5\); \(E(Y) = 22{,}5\); \(\sigma(X) = \sigma(Y) \approx 2{,}37\) b) \(P(X \ge 10) \approx 0{,}1966\) (bzw. \(19{,}66\,\%\))

- Wie hängen Erwartungswert und Varianz bei einer Binomialverteilung mathematisch zusammen? - Setze die gegebenen Werte in die bekannten Formeln ein und löse das entstandene Gleichungssystem nach den gesuchten Parametern auf. - Überlege, in welchem Bereich um den Erwartungswert die Wahrscheinlichkeiten einer Binomialverteilung typischerweise am größten sind.

1. Es gelten die Formeln \(\mu = n \cdot p\) und \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p)\). Durch Einsetzen erhält man das Gleichungssystem \(24 = n \cdot p\) und \(16 = 24 \cdot (1 - p)\). Aus der zweiten Gleichung folgt \(1 - p = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}\), also \(p = \frac{1}{3}\). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(24 = n \cdot \frac{1}{3}\), woraus \(n = 72\) folgt. 2. Der wahrscheinlichste Wert \(k\) liegt bei einer Binomialverteilung im Intervall \([(n+1)p - 1; (n+1)p]\). Mit \(n = 72\) und \(p = \frac{1}{3}\) ergibt sich \((72 + 1) \cdot \frac{1}{3} = \frac{73}{3} \approx 24{,}33\). Da \(k\) ganzzahlig sein muss, ist der Wert mit der maximalen Wahrscheinlichkeit \(k = 24\). (Alternativ: Da \(p < 0{,}5\) und \(\mu = 24\) ganzzahlig ist, ist \(k = \mu = 24\) der gesuchte Wert).

1. \(n = 72\); \(p = \frac{1}{3}\) 2. \(k = 24\)

- Stelle die Formel für die Varianz als Funktion von \(p\) auf. Welchen Typ von Funktion erhältst du? - Erinnere dich an die Eigenschaften von Parabeln, um den Scheitelpunkt zu finden. - Berechne zuerst die Dezimalzahlen für die Intervallgrenzen und liste dann alle ganzen Zahlen auf, die dazwischen liegen.

1. Die Varianz ist gegeben durch \(V(p) = 200 \cdot p \cdot (1 - p) = 200p - 200p^2\). Dies ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Nullstellen bei \(p = 0\) und \(p = 1\). Das Maximum liegt genau in der Mitte bei \(p = 0{,}5\). Die maximale Varianz beträgt \(V(0{,}5) = 200 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 50\). Die Standardabweichung ist \(\sigma = \sqrt{50} \approx 7{,}07\). 2. Für \(p = 0{,}15\) gilt: \(\mu = 200 \cdot 0{,}15 = 30\). Die Varianz ist \(Var(X) = 30 \cdot 0{,}85 = 25{,}5\). Die Standardabweichung ist \(\sigma = \sqrt{25{,}5} \approx 5{,}05\). Das Intervall lautet \([30 - 5{,}05; 30 + 5{,}05] = [24{,}95; 35{,}05]\). Die darin enthaltenen ganzzahligen Werte sind \(k \in \{25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35\}\).

1. \(p = 0{,}5\); \(\sigma \approx 7{,}07\) 2. \(\mu = 30\); \(\sigma \approx 5{,}05\); \(k \in \{25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35\}\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Standardabweichung und der Varianz. - Gibt es eine Gleichung, in der nur noch die Unbekannte \(p\) vorkommt, wenn du \(\mu\) und \(\sigma^2\) einsetzt? - Wie hängen die Trefferwahrscheinlichkeit und die Nietenwahrscheinlichkeit zusammen? - Sobald du \(p\) kennst, wie kommst du dann auf die Kettenlänge \(n\)?

1. Zuerst wird die Varianz berechnet: \(\sigma^2 = (5\sqrt{6})^2 = 25 \cdot 6 = 150\). 2. Unter Verwendung der Formel \(\sigma^2 = \mu \cdot (1-p)\) wird \(p\) bestimmt: \(150 = 250 \cdot (1-p)\). Dies ergibt \(1-p = 0{,}6\), woraus \(p = 0{,}4\) folgt. 3. Abschließend wird \(n\) über die Formel für den Erwartungswert \(\mu = n \cdot p\) berechnet: \(250 = n \cdot 0{,}4\). Daraus ergibt sich \(n = 625\).

\(n = 625\); \(p = 0{,}4\)

- Wie berechnet man Kennzahlen einer Binomialverteilung aus den Parametern \(n\) und \(p\)? - Welche ganzen Zahlen liegen zwischen den berechneten Grenzen? - Wie nutzt man die kumulierte Verteilungsfunktion \(F(n; p; k)\), um die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich von Werten zu berechnen? - Denke daran, dass bei \(P(a \le X \le b)\) die untere Grenze \(a\) noch zum Intervall gehört.

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 100 \cdot 0{,}3 = 30\). 2. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{100 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7} = \sqrt{21} \approx 4{,}583\). 3. Bestimmung des Intervalls: \([\mu - \sigma; \mu + \sigma] = [30 - 4{,}583; 30 + 4{,}583] = [25{,}417; 34{,}583]\). Die enthaltenen ganzzahligen Werte sind \(\{26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34\}\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung: \(P(26 \le X \le 34) = P(X \le 34) - P(X \le 25) \approx 0{,}8439 - 0{,}1631 = 0{,}6808\).

a) \(\mu = 30\); \(\sigma \approx 4{,}58\). b) Die Werte sind \(\{26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34\}\). c) \(P(26 \le X \le 34) \approx 0{,}6808\).

- Wie hängen die Varianz und die Standardabweichung mathematisch zusammen? - Schau dir die Formel für die Varianz einer Binomialverteilung an – was passiert mit dem Ergebnis, wenn du nur den Wert für \(n\) veränderst? - Wenn du weißt, wie sich die Varianz ändert, wie wirkt sich das Ziehen der Wurzel auf diesen Änderungsfaktor aus?

1. Zusammenhang zwischen Varianz \(V\) und Stichprobenumfang \(n\) bei konstanter Trefferwahrscheinlichkeit \(p\): \(V = n \cdot p \cdot (1-p)\). Da \(p\) konstant bleibt, ist die Varianz proportional zu \(n\). 2. Berechnung des Faktors für \(n\): Da \(V_{\text{neu}} = 16 \cdot V_{\text{alt}}\), folgt \(n_{\text{neu}} \cdot p \cdot (1-p) = 16 \cdot n_{\text{alt}} \cdot p \cdot (1-p)\), woraus \(n_{\text{neu}} = 16 \cdot n_{\text{alt}}\) resultiert. Der Stichprobenumfang wurde also versechzehnfacht. 3. Zusammenhang zwischen Standardabweichung \(\sigma\) und Varianz \(V\): \(\sigma = \sqrt{V}\). 4. Berechnung der neuen Standardabweichung: \(\sigma_{\text{neu}} = \sqrt{V_{\text{neu}}} = \sqrt{16 \cdot V_{\text{alt}}} = 4 \cdot \sqrt{V_{\text{alt}}} = 4 \cdot \sigma_{\text{alt}}\). Die Standardabweichung hat sich vervierfacht.

Der Stichprobenumfang \(n\) wurde um den Faktor \(16\) vergrößert. Die Standardabweichung \(\sigma(X)\) hat sich vervierfacht (Faktor \(4\)).

- Welche Formeln gelten für Erwartungswert und Standardabweichung bei einer Binomialverteilung? - Wie lässt sich eine Betragsungleichung der Form \(|x - a| \le b\) ohne Betragsstriche als Intervall schreiben? - Überlege dir, welche ganzen Zahlen in das berechnete Intervall fallen. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich von Werten mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion?

1. Der Erwartungswert berechnet sich durch \(\mu = n \cdot p = 50 \cdot 0{,}4 = 20\). Die Varianz ist \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p) = 50 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 12\). Damit ergibt sich die Standardabweichung zu \(\sigma = \sqrt{12} \approx 3{,}46\). 2. Die Ungleichung \(|X - 20| \le 3{,}46\) ist äquivalent zu \(20 - 3{,}46 \le X \le 20 + 3{,}46\), also \(16{,}54 \le X \le 23{,}46\). Die ganzzahligen Werte im Intervall sind \(\{17, 18, 19, 20, 21, 22, 23\}\). 3. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich als \(P(17 \le X \le 23) = P(X \le 23) - P(X \le 16)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 23) \approx 0{,}8438\) und \(P(X \le 16) \approx 0{,}1561\). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit \(0{,}8438 - 0{,}1561 = 0{,}6877\).

1. \(\mu = 20\); \(\sigma \approx 3{,}46\) 2. \(k \in \{17, 18, 19, 20, 21, 22, 23\}\) 3. \(P(|X - \mu| \le \sigma) \approx 0{,}6877\)

- Welche Formeln kennst du für den Erwartungswert und die Varianz einer Binomialverteilung? - Kannst du die Bedingung „die Varianz ist \(60\,\%\) des Erwartungswerts“ als mathematische Gleichung schreiben? - Wie hängen Varianz und Standardabweichung zusammen? - Überlege, welche Variable sich direkt aus dem Verhältnis von Varianz zu Erwartungswert berechnen lässt.

1. Aufstellen der Formeln für den Erwartungswert \(E(X) = n \cdot p\) und die Varianz \(V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)\). 2. Einsetzen in die gegebene Bedingung \(V(X) = 0{,}6 \cdot E(X)\) ergibt \(n \cdot p \cdot (1 - p) = 0{,}6 \cdot n \cdot p\). 3. Durch Division beider Seiten durch \(n \cdot p\) (da \(n > 0\) und \(0 < p < 1\)) erhält man \(1 - p = 0{,}6\). Daraus folgt \(p = 0{,}4\). 4. Verwendung der Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{6}\) zur Bestimmung der Varianz: \(V(X) = \sigma^2 = 6\). 5. Einsetzen der Varianz in den Zusammenhang aus der Aufgabenstellung: \(6 = 0{,}6 \cdot E(X) \implies E(X) = 10\). 6. Auflösen der Formel für den Erwartungswert nach \(n\): \(10 = n \cdot 0{,}4 \implies n = 25\).

a) \(p = 0{,}4\) b) \(n = 25\)

- Welche Formeln verknüpfen \(n\) und \(p\) mit dem Erwartungswert und der Varianz? - Kannst du den Ausdruck für den Erwartungswert in der Formel für die Varianz wiederfinden? - Was bedeutet „proportional“ im mathematischen Sinne für die Form einer Funktionsgleichung? - Überlege, wie sich eine Wurzel auf das Wachstumsverhalten einer Größe auswirkt.

1. Aufstellen des Gleichungssystems mit den Formeln für Erwartungswert und Varianz: \(n \cdot p = 12\) und \(n \cdot p \cdot (1 - p) = 9\). 2. Substitution von \(n \cdot p\) in der Varianzformel: \(12 \cdot (1 - p) = 9\). 3. Lösen nach \(p\): \(1 - p = 0{,}75 \implies p = 0{,}25\). 4. Einsetzen von \(p\) in den Erwartungswert: \(n \cdot 0{,}25 = 12 \implies n = 48\). 5. Analyse der Proportionalität: Da \(p\) konstant ist, ist auch der Faktor \(k = p \cdot (1 - p)\) konstant. Wegen \(0 < p < 1\) gilt \(k > 0\). Somit ist \(V(n) = k \cdot n\) eine lineare Funktion durch den Ursprung, was direkt proportionales Wachstum bedeutet. 6. Verhalten der Standardabweichung: Da \(\sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{k \cdot n} = \sqrt{k} \cdot \sqrt{n}\), wächst die Standardabweichung nicht proportional zu \(n\), sondern proportional zur Wurzel aus \(n\).

a) \(p = 0{,}25\) und \(n = 48\). b) Die Varianz wächst proportional zu \(n\), da \(V(X) = (p(1-p)) \cdot n\) eine lineare Form \(y = m \cdot x\) mit \(m > 0\) hat. Die Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{p(1-p)} \cdot \sqrt{n}\) wächst hingegen nur mit der Wurzel des Stichprobenumfangs \(\sqrt{n}\).

- Welche Zusammenhänge bestehen zwischen den Parametern \(n\) und \(p\) und den statistischen Kenngrößen? - Wie hängen die Varianz und die Standardabweichung zusammen? - Kannst du den Wert des Erwartungswerts direkt in der Formel für die Varianz verwenden? - Überlege dir, wie du aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten nacheinander die Werte bestimmen kannst.

1. Aufstellen des Gleichungssystems mit den Formeln für Erwartungswert und Standardabweichung: \(n \cdot p = 12\) und \(\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = 2\) 2. Quadrieren der zweiten Gleichung zur Bestimmung der Varianz: \(V(X) = \sigma^2 = 2^2 = 4\) 3. Substitution des Erwartungswerts \(n \cdot p = 12\) in die Varianzformel \(V(X) = (n \cdot p) \cdot (1-p)\): \(12 \cdot (1-p) = 4\) 4. Lösen nach \(p\): \(1-p = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \Rightarrow p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) 5. Einsetzen von \(p\) in die Gleichung für den Erwartungswert: \(n \cdot \frac{2}{3} = 12\) 6. Berechnung von \(n\): \(n = 12 \cdot \frac{3}{2} = 18\)

\(n = 18\) und \(p = \frac{2}{3}\)

- Welche zwei grundlegenden Eigenschaften müssen alle Wahrscheinlichkeiten einer Verteilung erfüllen? - Wie berechnet man den Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße? - Erinnere dich an die Definition oder die Formel des Verschiebungssatzes für die Varianz. - Kannst du aus dem gegebenen Erwartungswert direkt eine der unbekannten Wahrscheinlichkeiten bestimmen?

1. Aufstellen der Gleichung für den Erwartungswert: \(E(X) = 0 \cdot p_0 + 2 \cdot p_2 + 5 \cdot 0{,}1 + 10 \cdot 0{,}05 = 2{,}5\). 2. Vereinfachen der Gleichung: \(2 \cdot p_2 + 0{,}5 + 0{,}5 = 2{,}5 \implies 2 \cdot p_2 + 1 = 2{,}5 \implies 2 \cdot p_2 = 1{,}5 \implies p_2 = 0{,}75\). 3. Nutzen der Summeneigenschaft der Wahrscheinlichkeiten: \(p_0 + p_2 + 0{,}1 + 0{,}05 = 1\). 4. Einsetzen von \(p_2\): \(p_0 + 0{,}75 + 0{,}1 + 0{,}05 = 1 \implies p_0 + 0{,}9 = 1 \implies p_0 = 0{,}1\). 5. Berechnung der Varianz: \(Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2\). 6. Berechnung von \(E(X^2)\): \(0^2 \cdot 0{,}1 + 2^2 \cdot 0{,}75 + 5^2 \cdot 0{,}1 + 10^2 \cdot 0{,}05 = 0 + 3 + 2{,}5 + 5 = 10{,}5\). 7. Finale Berechnung: \(Var(X) = 10{,}5 - 2{,}5^2 = 10{,}5 - 6{,}25 = 4{,}25\).

a) \(p_2 = 0{,}75\) und \(p_0 = 0{,}1\) b) \(Var(X) = 4{,}25\)

- Wie hängen Erwartungswert und Standardabweichung mit den Parametern \(n\) und \(p\) zusammen? - Welche ganzen Zahlen liegen zwischen den berechneten Grenzen des Intervalls? - Wie nutzt man die kumulierte Verteilungsfunktion, um die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich von Werten zu berechnen?

1. Berechnung von Erwartungswert und Standardabweichung: \(\mu = n \cdot p = 60 \cdot \frac{1}{3} = 20\) und \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{60 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{40}{3}} \approx 3{,}65\). 2. Bestimmung des Intervalls: \([20 - 3{,}65; 20 + 3{,}65] = [16{,}35; 23{,}65]\). Die darin enthaltenen ganzzahligen Werte für \(X\) sind \(\{17; 18; 19; 20; 21; 22; 23\}\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(17 \le X \le 23)\) mittels der kumulierten Binomialverteilung: \(P(X \le 23) - P(X \le 16) \approx 0{,}8255 - 0{,}1632 = 0{,}6623\).

a) \(\mu = 20\); \(\sigma \approx 3{,}65\) b) Die ganzzahligen Werte sind \(\{17; 18; 19; 20; 21; 22; 23\}\). c) \(P(17 \le X \le 23) \approx 0{,}6623\)

- Berechne zuerst den Erwartungswert und die Standardabweichung für die gegebenen Parameter. - Denk daran, dass für das \(2\sigma\)-Intervall die doppelte Standardabweichung vom Erwartungswert subtrahiert und addiert wird. - Achte bei der Bestimmung der Trefferzahlen darauf, welche ganzen Zahlen tatsächlich im Intervall liegen.

1. Berechnung der Kenngrößen: \(\mu = 80 \cdot 0{,}2 = 16\) und \(\sigma = \sqrt{80 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8} = \sqrt{12{,}8} pprox 3{,}58\). 2. Bestimmung des \(2\sigma\)-Intervalls: \(2\sigma pprox 7{,}16\), woraus das Intervall \([16 - 7{,}16; 16 + 7{,}16] = [8{,}84; 23{,}16]\) folgt. Die enthaltenen Trefferzahlen sind \(\{9; 10; \dots; 23\}\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(9 \le X \le 23)\): \(F(23) - F(8) pprox 0{,}9829 - 0{,}0177 = 0{,}9652\).

a) Intervall: \([8{,}84; 23{,}16]\); Trefferzahlen: \(\{9; 10; \dots; 23\}\) b) \(P(9 \le X \le 23) pprox 0{,}9652\)

- Was bedeuten die Parameter \(n\) und \(p\) in diesem Sachzusammenhang? - Welche Formeln verknüpfen diese Parameter mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung? - Wie findest du heraus, welche ganzen Zahlen in das berechnete Intervall fallen? - Welche Funktion deines Taschenrechners hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich von Werten zu berechnen?

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 400 \cdot 0{,}05 = 20\). 2. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{400 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95} = \sqrt{19} \approx 4{,}3589\). 3. Bestimmung des Intervalls: \([\mu - \sigma; \mu + \sigma] = [20 - 4{,}3589; 20 + 4{,}3589] = [15{,}6411; 24{,}3589]\). 4. Identifikation der ganzzahligen Werte für \(X\): \(k \in \{16, 17, \dots, 24\}\). 5. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(16 \le X \le 24)\) mittels der kumulierten Binomialverteilung: \(F(24; 400, 0{,}05) - F(15; 400, 0{,}05) \approx 0{,}8501 - 0{,}1513 = 0{,}6988\).

a) \(\mu = 20\); \(\sigma \approx 4{,}36\) b) \(P(16 \le X \le 24) \approx 69{,}88\,\%\)

- Was ist der durchschnittlich zu erwartende Wert bei dieser Stichprobengröße? - Wie stark schwanken die Werte normalerweise um diesen Durchschnitt? - Gibt es eine Regel, mit der man einen Bereich festlegen kann, in dem die meisten Ergebnisse liegen? - Überlege, ob der beobachtete Wert noch nah genug am Erwartungswert liegt oder bereits zu weit abweicht.

1. Bestimmung der Parameter der Binomialverteilung: Stichprobenumfang \(n = 50\) und Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}3\). 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 50 \cdot 0{,}3 = 15\). 3. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{50 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7} = \sqrt{10{,}5} \approx 3{,}24\). 4. Bestimmung des \(2\sigma\)-Intervalls: \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma] = [15 - 2 \cdot 3{,}24; 15 + 2 \cdot 3{,}24] = [15 - 6{,}48; 15 + 6{,}48] = [8{,}52; 21{,}48]\). 5. Vergleich des beobachteten Wertes \(k = 22\) mit dem Intervall: Da \(22 > 21{,}48\), liegt der Wert außerhalb der \(2\sigma\)-Umgebung.

Ja, es ist als außergewöhnlich anzusehen. Da der Wert \(22\) außerhalb des \(2\sigma\)-Intervalls \([8{,}52; 21{,}48]\) liegt, gilt das Ergebnis nach der \(2\sigma\)-Regel als signifikante Abweichung vom Erwartungswert.

- Wie viele Samen sollten bei dieser Keimrate im Durchschnitt aufgehen? - Berechne die Standardabweichung, um die übliche Streuung zu bestimmen. - Erstelle ein Intervall um den Erwartungswert, das zwei Standardabweichungen nach unten und oben reicht. - Prüfe, ob die Anzahl der gekeimten Samen in dieses Intervall fällt.

1. Identifikation der Kenngrößen: \(n = 100\) und \(p = 0{,}9\). 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = 100 \cdot 0{,}9 = 90\). 3. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{100 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}1} = \sqrt{9} = 3\). 4. Berechnung des \(2\sigma\)-Bereichs: \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma] = [90 - 2 \cdot 3; 90 + 2 \cdot 3] = [84; 96]\). 5. Abgleich mit dem beobachteten Ergebnis: Der Wert \(k = 85\) liegt innerhalb des Intervalls \([84; 96]\).

Ja, das Ergebnis gilt noch als normal. Da \(85\) innerhalb des \(2\sigma\)-Intervalls von \(84\) bis \(96\) liegt, entspricht dies der erwarteten statistischen Schwankung.

- Wie viele Treffer würdest du bei dieser Trefferquote im Durchschnitt erwarten? - Berechne die Kennzahlen für die Lage und die Streuung der Verteilung. - Überlege dir ein Kriterium, ab wann eine Abweichung vom Durchschnitt als „groß“ angesehen wird. - Prüfe, ob der beobachtete Wert noch in einem typischen Bereich um den Mittelwert liegt.

1. Modellierung der Trefferanzahl durch eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit den Parametern \(n = 20\) und \(p = 0{,}75\). 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 20 \cdot 0{,}75 = 15\). 3. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{20 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}25} = \sqrt{3{,}75} \approx 1{,}94\). 4. Bestimmung der Grenzen der \(2\sigma\)-Umgebung: \(\mu - 2\sigma \approx 15 - 3{,}88 = 11{,}12\) und \(\mu + 2\sigma \approx 15 + 3{,}88 = 18{,}88\). 5. Vergleich des beobachteten Wertes \(k = 10\) mit dem Intervall \([11{,}12; 18{,}88]\). Da \(10\) kleiner als \(11{,}12\) ist, liegt der Wert außerhalb der \(2\sigma\)-Umgebung. 6. Das Ergebnis ist somit als außergewöhnlich bzw. ungewöhnlich einzustufen.

Ja, das Ergebnis ist ungewöhnlich. Der Erwartungswert liegt bei \(15\) Treffern und die Standardabweichung beträgt etwa \(1{,}94\). Da der beobachtete Wert von \(10\) Treffern außerhalb der \(2\sigma\)-Umgebung \([11{,}12; 18{,}88]\) liegt, weicht er signifikant vom Erwartungswert ab.

- Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Radfahrer in einer festen Stichprobe? - Wie berechnet man den Wert, den man im Durchschnitt erwarten würde? - Kennst du eine Kennzahl, die die Streuung um diesen Durchschnittswert beschreibt? - Welcher Bereich deckt üblicherweise die meisten Ergebnisse ab, die noch als „normal“ oder „verträglich“ gelten?

1. Bestimmung der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 100\) und \(p = 0{,}2\). 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 100 \cdot 0{,}2 = 20\). 3. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{100 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8} = \sqrt{16} = 4\). 4. Anwendung der \(2\sigma\)-Regel für den Verträglichkeitsbereich: \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\). 5. Einsetzen der Werte: \([20 - 2 \cdot 4; 20 + 2 \cdot 4] = [20 - 8; 20 + 8] = [12; 28]\). Ergebnisse zwischen \(12\) und \(28\) Radfahrern (einschließlich) gelten als verträglich.

Die Ergebnisse im Bereich von \(12\) bis \(28\) Radfahrern sind mit dem Anteil in der Gesamtheit verträglich.

- Überlege zuerst, welche Werte für \(n\) und \(p\) gegeben sind. - Erinnere dich an die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung bei einer Binomialverteilung. - Wenn du ein Intervall mit Dezimalzahlen erhältst, welche ganzen Zahlen liegen dann tatsächlich in diesem Bereich? - Beachte, dass die Anzahl der keimenden Samen nur eine ganze Zahl sein kann.

1. Identifikation der Parameter: \(n = 80\) und \(p = 0{,}9\). 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = 80 \cdot 0{,}9 = 72\). 3. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{80 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}1} = \sqrt{7{,}2} \approx 2{,}68\). 4. Berechnung der Intervallgrenzen: \(\mu - 2\sigma \approx 72 - 2 \cdot 2{,}68 = 72 - 5{,}36 = 66{,}64\) und \(\mu + 2\sigma \approx 72 + 5{,}36 = 77{,}36\). 5. Das Intervall lautet somit \([66{,}64; 77{,}36]\). 6. Ermittlung der ganzzahligen Werte innerhalb des Intervalls: Die Werte reichen von \(67\) bis \(77\).

a) \(\mu = 72\); \(\sigma \approx 2{,}68\) b) Das Intervall ist \([66{,}64; 77{,}36]\). Verträglich sind alle ganzzahligen Ergebnisse von \(67\) bis \(77\) keimenden Samen.

- Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge bei unabhängigen Versuchen? - Wie hängen Erwartungswert und Standardabweichung mit den Parametern \(n\) und \(p\) zusammen? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Wert „außerhalb“ eines Bereichs liegt? - Denke daran, dass man nur ganze Zahlen würfeln kann.

1. Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 60\) und \(p = \frac{1}{6}\). Der Erwartungswert berechnet sich durch \(\mu = n \cdot p = 60 \cdot \frac{1}{6} = 10\). Die Varianz ist \(V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 60 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{50}{6} \approx 8{,}33\). Die Standardabweichung ist \(\sigma = \sqrt{\frac{50}{6}} \approx 2{,}89\). 2. Das Intervall berechnet sich zu \([10 - 2 \cdot 2{,}89; 10 + 2 \cdot 2{,}89] = [10 - 5{,}78; 10 + 5{,}78] = [4{,}22; 15{,}78]\). Die ganzzahligen Werte innerhalb dieses Bereichs sind \(5, 6, \dots, 15\). Ergebnisse außerhalb dieses Bereichs führen zur Vermutung einer Manipulation. Dies ist der Fall, wenn die \(6\) entweder höchstens \(4\)-mal oder mindestens \(16\)-mal geworfen wird.

1. \(\mu = 10\); \(\sigma \approx 2{,}89\) 2. Der Würfel gilt als manipuliert bei \(0\) bis \(4\) Sechsen oder bei \(16\) bis \(60\) Sechsen.

- Überlege dir zuerst, welche Werte die Zufallsgröße annehmen kann und wie man deren Wahrscheinlichkeiten mit einem Baumdiagramm bestimmt. - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um die quadrierten Klammern in der Varianzformel aufzulösen. - Achte beim Zusammenfassen der Terme in Aufgabenteil c) besonders auf die Vorzeichen und die Potenzen von \(p\).

1. Wahrscheinlichkeitsverteilung: \(P(X=0) = (1-p)^2\), \(P(X=1) = 2 \cdot p \cdot (1-p)\), \(P(X=2) = p^2\). 2. Erwartungswert: \(E(X) = 0 \cdot (1-p)^2 + 1 \cdot 2p(1-p) + 2 \cdot p^2 = 2p - 2p^2 + 2p^2 = 2p\). 3. Varianzberechnung: \(V(X) = (0 - 2p)^2 \cdot (1-p)^2 + (1 - 2p)^2 \cdot 2p(1-p) + (2 - 2p)^2 \cdot p^2\) \(V(X) = 4p^2(1 - 2p + p^2) + (1 - 4p + 4p^2)(2p - 2p^2) + 4(1 - p)^2 p^2\) \(V(X) = (4p^2 - 8p^3 + 4p^4) + (2p - 2p^2 - 8p^2 + 8p^3 + 8p^3 - 8p^4) + (4p^2 - 8p^3 + 4p^4)\) 4. Vereinfachung: Nach dem Zusammenfassen aller Terme bleibt \(V(X) = 2p - 2p^2 = 2p(1-p)\).

a) \(P(X=0) = (1-p)^2\); \(P(X=1) = 2p(1-p)\); \(P(X=2) = p^2\) b) \(E(X) = 2p\) c) \(V(X) = 4p^2(1-p)^2 + (1-2p)^2 \cdot 2p(1-p) + 4(1-p)^2 p^2 = 2p(1-p)\)

- Erinnere dich an die Formeln für die Varianz und die Standardabweichung bei der Binomialverteilung. - Was passiert mathematisch mit dem Produkt \(p \cdot (1-p)\), wenn man \(p\) durch \(1-p\) ersetzt? - Um eine Funktion mit einer Wurzel zu maximieren, reicht es oft aus, den Ausdruck unter der Wurzel zu untersuchen. - Denke an die notwendige Bedingung für Extremstellen aus der Analysis.

1. Berechnung der Standardabweichung für \(n = 80\): Für \(p = 0{,}2\): \(\sigma = \sqrt{80 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8} = \sqrt{12{,}8} \approx 3{,}578\). Für \(p = 0{,}8\): \(\sigma = \sqrt{80 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2} = \sqrt{12{,}8} \approx 3{,}578\). Die Ergebnisse sind identisch. 2. Allgemeiner Nachweis für die Varianz: \(V(1-p) = n \cdot (1-p) \cdot (1-(1-p)) = n \cdot (1-p) \cdot p = n \cdot p \cdot (1-p) = V(p)\). 3. Maximierung der Standardabweichung \(\sigma(p) = \sqrt{n \cdot (p - p^2)}\): Da die Wurzelfunktion für positive Argumente streng monoton wachsend ist, genügt es, das Maximum des Radikanden \(f(p) = p - p^2\) zu finden. Ableitung bilden: \(f'(p) = 1 - 2p\). Nullstelle der Ableitung: \(1 - 2p = 0 \implies p = 0{,}5\). Überprüfung der zweiten Ableitung: \(f''(p) = -2 < 0\), somit liegt ein lokales Maximum vor. Da \(f(0) = 0\) und \(f(1) = 0\) an den Rändern liegen, ist \(p = 0{,}5\) das globale Maximum.

a) \(\sigma \approx 3{,}578\) für beide Werte. b) Durch Einsetzen von \(1-p\) in die Formel \(V = n \cdot p \cdot (1-p)\) ergibt sich derselbe Ausdruck. c) Die Standardabweichung ist für \(p = 0{,}5\) am größten.

- Setze die gegebenen Werte in die Formel für die Varianz ein und löse nach der unbekannten Größe auf. - Eine quadratische Gleichung kann mit bekannten Verfahren wie der \(pq\)-Formel gelöst werden. - Überlege dir, wie der Erwartungswert mit \(n\) und \(p\) zusammenhängt. - Bei welchem Wert für \(p\) ist das Produkt \(p \cdot (1-p)\) am größten?

1. Aufstellen der Gleichung für die Varianz: \(250 \cdot p \cdot (1 - p) = 40\). Umformen zu einer quadratischen Gleichung: \(p - p^2 = \frac{40}{250} = 0{,}16\), also \(p^2 - p + 0{,}16 = 0\). Lösen mit der \(pq\)-Formel: \(p_{1,2} = 0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 - 0{,}16} = 0{,}5 \pm \sqrt{0{,}09} = 0{,}5 \pm 0{,}3\). Daraus folgen \(p_1 = 0{,}8\) und \(p_2 = 0{,}2\). 2. Berechnung der Erwartungswerte: Für \(p_1 = 0{,}8\): \(E_1 = 250 \cdot 0{,}8 = 200\). Für \(p_2 = 0{,}2\): \(E_2 = 250 \cdot 0{,}2 = 50\). 3. Bestimmung der maximalen Varianz: Die Varianz \(V(p) = n \cdot p \cdot (1-p)\) einer Binomialverteilung ist bei \(p = 0{,}5\) am größten. Einsetzen von \(p = 0{,}5\) und \(n = 250\): \(V_{max} = 250 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 250 \cdot 0{,}25 = 62{,}5\).

a) \(p_1 = 0{,}8\) und \(p_2 = 0{,}2\). b) \(E_1 = 200\) und \(E_2 = 50\). c) Die maximale Varianz beträgt \(62{,}5\).

- Was bedeutet \(E(X^2)\) im Vergleich zum normalen Erwartungswert? - Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung für alle Werte von 0 bis 5 auf. - Achte beim Quadrieren des Erwartungswerts auf die richtige Dezimalstelle. - Nutze die Symmetrie der Binomialkoeffizienten bei \(p = 0{,}5\), um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = n \cdot p = 5 \cdot 0{,}5 = 2{,}5\). 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilung \(P(X = k) = \binom{5}{k} \cdot 0{,}5^5\): \(P(0) = \frac{1}{32}\), \(P(1) = \frac{5}{32}\), \(P(2) = \frac{10}{32}\), \(P(3) = \frac{10}{32}\), \(P(4) = \frac{5}{32}\), \(P(5) = \frac{1}{32}\). 3. Berechnung von \(E(X^2) = \sum k^2 \cdot P(X = k)\): \(E(X^2) = (0^2 \cdot 1 + 1^2 \cdot 5 + 2^2 \cdot 10 + 3^2 \cdot 10 + 4^2 \cdot 5 + 5^2 \cdot 1) \cdot \frac{1}{32} = (0 + 5 + 40 + 90 + 80 + 25) \cdot \frac{1}{32} = \frac{240}{32} = 7{,}5\). 4. Anwendung des Verschiebungssatzes: \(V(X) = 7{,}5 - 2{,}5^2 = 7{,}5 - 6{,}25 = 1{,}25\).

Die Varianz beträgt \(V(X) = 1{,}25\).

- Welche Formeln verknüpfen \(n\) und \(p\) mit dem Erwartungswert und der Varianz? - Kannst du den Erwartungswert direkt in die Formel für die Varianz einsetzen, um eine Unbekannte zu eliminieren? - Nutze für den zweiten Teil die Bernoulli-Formel mit den zuvor ermittelten Parametern.

1. Aufstellen des Gleichungssystems: I) \(n \cdot p = 12\) und II) \(n \cdot p \cdot (1 - p) = 7{,}2\). 2. Einsetzen von I in II: \(12 \cdot (1 - p) = 7{,}2\). Daraus folgt \(1 - p = 0{,}6\), also \(p = 0{,}4\). 3. Berechnung von \(n\): Einsetzen von \(p = 0{,}4\) in I ergibt \(n \cdot 0{,}4 = 12\), woraus \(n = 30\) folgt. 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P(X = 12) = \binom{30}{12} \cdot 0{,}4^{12} \cdot 0{,}6^{18} \approx 86\,493\,225 \cdot 1{,}6777 \cdot 10^{-5} \cdot 1{,}0156 \cdot 10^{-4} \approx 0{,}1474\).

a) \(n = 30\) und \(p = 0{,}4\). b) \(P(X = 12) \approx 0{,}1474\).

- Bestimme zunächst die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Treffer (Farbe Rot) bei einer Drehung. - Nutze die Formel von Bernoulli für Punktwahrscheinlichkeiten. - Für die Abweichung musst du erst berechnen, welche Trefferanzahlen außerhalb des Bereichs \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\) liegen. - Addiere die Wahrscheinlichkeiten dieser „extremen“ Ergebnisse oder nutze das Gegenereignis.

1. Es liegt eine Binomialverteilung mit \(n = 12\) und \(p = \frac{1}{3}\) vor. 2. Wahrscheinlichkeit für genau 4 Treffer: \(P(Y = 4) = \binom{12}{4} \cdot (\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{2}{3})^8 = 495 \cdot \frac{1}{81} \cdot \frac{256}{6561} \approx 0{,}2384\). 3. Erwartungswert: \(\mu = 12 \cdot \frac{1}{3} = 4\). Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{12 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} \approx 1{,}633\). 4. Die Abweichung ist mehr als \(\sigma\), wenn \(Y < \mu - \sigma\) oder \(Y > \mu + \sigma\). 5. \(4 - 1{,}633 = 2{,}367\) und \(4 + 1{,}633 = 5{,}633\). Gesucht ist \(P(Y \le 2) + P(Y \ge 6)\). 6. \(P(Y \le 2) = P(0) + P(1) + P(2) \approx 0{,}0077 + 0{,}0462 + 0{,}1272 = 0{,}1811\). 7. \(P(Y \ge 6) = 1 - P(Y \le 5) = 1 - (P(Y \le 2) + P(3) + P(4) + P(5))\). Mit \(P(3) \approx 0{,}2120\), \(P(4) \approx 0{,}2384\), \(P(5) \approx 0{,}1908\) ergibt sich \(P(Y \le 5) \approx 0{,}8223\). 8. \(P(Y \ge 6) \approx 1 - 0{,}8223 = 0{,}1777\). Gesamtwahrscheinlichkeit: \(0{,}1811 + 0{,}1777 = 0{,}3588\).

a) \(P(Y = 4) \approx 0{,}2384\) b) \(\mu = 4\); \(\sigma \approx 1{,}633\) c) \(P(|Y - \mu| > \sigma) \approx 0{,}3588\)

- Berechne zuerst den Erwartungswert und die Standardabweichung für die gegebene Trefferwahrscheinlichkeit und Rundenzahl. - Welche Werte für die Anzahl der Gewinne liegen außerhalb des Bereichs \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\)? - Wie kannst du die Wahrscheinlichkeit für „mehr als“ oder „weniger als“ mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion berechnen? - Beachte, dass „mehr als“ eine strikte Ungleichung bedeutet.

1. Bestimmung der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 80\), \(p = 0{,}25\). 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = 80 \cdot 0{,}25 = 20\). 3. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{80 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75} = \sqrt{15} \approx 3{,}873\). 4. Berechnung der zweifachen Standardabweichung: \(2\sigma = 2 \cdot \sqrt{15} \approx 7{,}746\). 5. Bestimmung des kritischen Bereichs für eine Abweichung von mehr als \(2\sigma\): Gesucht ist \(P(|X - 20| > 7{,}746)\). Dies entspricht \(X < 20 - 7{,}746 = 12{,}254\) oder \(X > 20 + 7{,}746 = 27{,}746\). 6. Da \(X\) ganzzahlig ist, sind dies die Ereignisse \(X \le 12\) oder \(X \ge 28\). 7. Berechnung der Teilwahrscheinlichkeiten für \(n = 80, p = 0{,}25\): \(P(X \le 12) \approx 0{,}0221\) und \(P(X \ge 28) = 1 - P(X \le 27) \approx 1 - 0{,}9705 = 0{,}0295\). 8. Summation der Wahrscheinlichkeiten: \(P \approx 0{,}0221 + 0{,}0295 = 0{,}0516\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(5{,}16\,\%\).

- Bestimme zunächst den Erwartungswert und die Standardabweichung für die gegebene Stichprobe. - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Wert „außerhalb“ eines Bereichs liegt? - Es ist oft einfacher, zuerst die Wahrscheinlichkeit für den Bereich „innerhalb“ zu berechnen. - Achte darauf, welche ganzen Zahlen gerade noch im Intervall liegen und welche bereits außerhalb sind.

1. Berechnung der Kennwerte für \(n = 150\) und \(p = 0{,}75\): \(\mu = 150 \cdot 0{,}75 = 112{,}5\) \(\sigma = \sqrt{150 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}25} = \sqrt{28{,}125} \approx 5{,}3033\) 2. Bestimmung des \(2\sigma\)-Intervalls \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\): \(112{,}5 - 2 \cdot 5{,}3033 = 101{,}8934\) \(112{,}5 + 2 \cdot 5{,}3033 = 123{,}1066\) Das Intervall der ganzzahligen Werte innerhalb der Grenzen ist \(\{102, 103, \dots, 123\}\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis: \(P(102 \le Y \le 123) = P(Y \le 123) - P(Y \le 101) \approx 0{,}9837 - 0{,}0212 = 0{,}9625\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis außerhalb des Intervalls: \(P(\text{außerhalb}) = 1 - 0{,}9625 = 0{,}0375\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(3{,}75\,\%\).

- Welche Kenngrößen benötigst du, um die Lage und Streuung der Verteilung zu beschreiben? - Beachte, dass die Zufallsgröße nur ganze Zahlen annehmen kann, wenn du das Intervall untersuchst. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich von Werten mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion?

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 200 \cdot 0{,}05 = 10\). 2. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{200 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95} = \sqrt{9{,}5} \approx 3{,}08\). 3. Bestimmung der Intervallgrenzen: \([10 - 3{,}08; 10 + 3{,}08] = [6{,}92; 13{,}08]\). Da \(X\) nur ganzzahlige Werte annimmt, ist nach der Wahrscheinlichkeit für \(7 \le X \le 13\) gesucht. 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit mittels kumulierter Binomialverteilung: \(P(7 \le X \le 13) = P(X \le 13) - P(X \le 6) \approx 0{,}8701 - 0{,}1237 = 0{,}7464\).

a) \(\mu = 10\); \(\sigma \approx 3{,}08\). b) \(P(6{,}92 \le X \le 13{,}08) = P(7 \le X \le 13) \approx 0{,}7464\) (bzw. \(74{,}64\,\%\)).

- Wie hängen Erwartungswert, Standardabweichung und die Parameter \(n\) und \(p\) zusammen? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Wert „um mehr als \(\sigma\)“ von \(\mu\) abweicht? - Überlege dir, welche ganzen Zahlen innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Mittelwert liegen und berechne dann das Gegenereignis.

1. Parameter der Binomialverteilung: \(n = 100\), \(p = 0{,}1\). 2. Wahrscheinlichkeit für höchstens \(5\) Fehler: \(P(X \le 5) = \sum_{k=0}^{5} \binom{100}{k} \cdot 0{,}1^k \cdot 0{,}9^{100-k} \approx 0{,}0576\), also ca. \(5{,}8\,\%\). 3. Kennzahlen: \(\mu = 100 \cdot 0{,}1 = 10\). \(\sigma = \sqrt{100 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9} = \sqrt{9} = 3\). 4. Abweichung um mehr als \(\sigma\): Gesucht ist \(P(|X - \mu| > \sigma)\). Dies ist das Gegenereignis zu \(P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma)\). Das Intervall ist \([10 - 3; 10 + 3] = [7; 13]\). Die Wahrscheinlichkeit innerhalb des Intervalls ist \(P(7 \le X \le 13) = P(X \le 13) - P(X \le 6) \approx 0{,}8761 - 0{,}1172 \approx 0{,}7590\). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung außerhalb dieses Bereichs ist \(1 - 0{,}7590 = 0{,}2410\), also ca. \(24{,}1\,\%\).

a) \(P(X \le 5) \approx 0{,}0576\) b) \(\mu = 10\); \(\sigma = 3\) c) \(P(X < 7 \text{ oder } X > 13) \approx 0{,}2410\)

- Nutze die Formel für den Erwartungswert, um eine Gleichung mit der Unbekannten aufzustellen. - Wenn du den fehlenden Wert gefunden hast, kannst du die Verteilung vervollständigen. - Wie hängen die quadrierten Abweichungen vom Mittelwert mit der Varianz zusammen?

1. Aufstellen der Gleichung für den Erwartungswert: \(2 \cdot 0{,}4 + 5 \cdot 0{,}4 + k \cdot 0{,}2 = 4{,}4\). 2. Lösen der Gleichung nach \(k\): \(0{,}8 + 2{,}0 + 0{,}2k = 4{,}4 \Rightarrow 2{,}8 + 0{,}2k = 4{,}4 \Rightarrow 0{,}2k = 1{,}6 \Rightarrow k = 8\). 3. Berechnung der Varianz (hier mit dem Verschiebungssatz \(E(Y^2) - (E(Y))^2\)): Zuerst \(E(Y^2) = 2^2 \cdot 0{,}4 + 5^2 \cdot 0{,}4 + 8^2 \cdot 0{,}2 = 1{,}6 + 10 + 12{,}8 = 24{,}4\). 4. Einsetzen in die Formel: \(Var(Y) = 24{,}4 - 4{,}4^2 = 24{,}4 - 19{,}36 = 5{,}04\).

a) \(k = 8\) b) \(Var(Y) = 5{,}04\)

- Was weißt du über die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einer Verteilung? - Wenn du den Durchschnittswert für einen Kunden kennst, wie kommst du auf den Gesamtwert für viele Kunden? - Erinnere dich an die Verschiebungsformel für die Varianz: \(Var(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2\).

1. Bestimmung von \(p\): Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten \(1\) ergeben muss, gilt \(p = 1 - (0{,}4 + 0{,}2 + 0{,}1) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\). 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(Y) = 0 \cdot 0{,}3 + 2 \cdot 0{,}4 + 5 \cdot 0{,}2 + 10 \cdot 0{,}1 = 0 + 0{,}8 + 1{,}0 + 1{,}0 = 2{,}8\). Der erwartete Gutscheinwert pro Kunde beträgt \(2{,}80\,\text{€}\). 3. Berechnung der Gesamtkosten: \(500 \cdot 2{,}80\,\text{€} = 1\,400\,\text{€}\). 4. Berechnung der Varianz: \(E(Y^2) = 0^2 \cdot 0{,}3 + 2^2 \cdot 0{,}4 + 5^2 \cdot 0{,}2 + 10^2 \cdot 0{,}1 = 0 + 1{,}6 + 5{,}0 + 10{,}0 = 16{,}6\). Damit ist \(Var(Y) = 16{,}6 - 2{,}8^2 = 16{,}6 - 7{,}84 = 8{,}76\). 5. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma(Y) = \sqrt{8{,}76} \approx 2{,}9597\).

a) \(p = 0{,}3\). b) \(E(Y) = 2{,}80\,\text{€}\). Die erwarteten Gesamtkosten betragen \(1\,400\,\text{€}\). c) \(Var(Y) = 8{,}76\); \(\sigma(Y) \approx 2{,}96\,\text{€}\).

- Stelle zwei Gleichungen für die zwei gesuchten Wahrscheinlichkeiten auf. - Welche Information liefert dir die Summe aller Wahrscheinlichkeiten? - Nutze die Definition des Erwartungswerts für die zweite Gleichung. - Wie hängen Varianz und Standardabweichung mathematisch zusammen?

1. Definition der Unbekannten \(p_1 = P(Y = -2)\) und \(p_2 = P(Y = 4)\). 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: (I) \(p_1 + p_2 = 0{,}6\) (da die Gesamtsumme \(1\) sein muss und \(P(Y=0)=0{,}4\) abgezogen wird) und (II) \(-2 \cdot p_1 + 0 \cdot 0{,}4 + 4 \cdot p_2 = -0{,}6\). 3. Lösen des Systems: Aus (II) folgt \(-2p_1 + 4p_2 = -0{,}6\). Addition von \(2 \cdot \text{(I)}\) liefert \(6p_2 = 0{,}6\), also \(p_2 = 0{,}1\). Einsetzen ergibt \(p_1 = 0{,}5\). 4. Berechnung der Varianz \(V(Y) = E(Y^2) - \mu^2\): \(E(Y^2) = (-2)^2 \cdot 0{,}5 + 0^2 \cdot 0{,}4 + 4^2 \cdot 0{,}1 = 2{,}0 + 0 + 1{,}6 = 3{,}6\). 5. \(V(Y) = 3{,}6 - (-0{,}6)^2 = 3{,}6 - 0{,}36 = 3{,}24\). 6. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{3{,}24} = 1{,}8\).

a) \(P(Y = -2) = 0{,}5\) und \(P(Y = 4) = 0{,}1\) b) \(\sigma = 1{,}8\)

- Nutze die Formeln für Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung. - Untersuche den Wertebereich der Varianzfunktion für den Fall \(n=2\). - Welchen maximalen Wert kann der Ausdruck \(p(1-p)\) annehmen? - Wie verhält sich die Wurzelfunktion bei Werten, die kleiner als 1 sind?

1. Berechnung zu Teil a: Die Varianz einer Binomialverteilung ist \(V = n \cdot p \cdot (1 - p)\). Für \(n = 50\) und \(p = 0{,}01\) ergibt sich \(V = 50 \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}99 = 0{,}5 \cdot 0{,}99 = 0{,}495\). 2. Standardabweichung berechnen: \(\sigma = \sqrt{0{,}495} \approx 0{,}7036\). Da \(0{,}7036 > 0{,}495\), ist \(\sigma > V\). 3. Analyse zu Teil b: Für \(n = 2\) lautet die Varianz \(V = 2 \cdot p \cdot (1 - p)\). Da die Funktion \(f(p) = 2p - 2p^2\) ihr Maximum bei \(p = 0{,}5\) hat, beträgt die maximale Varianz \(V_{max} = 2 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}5\). 4. Schlussfolgerung: Für alle \(p \in (0; 1)\) liegt die Varianz \(V\) somit im Bereich \(0 < V \le 0{,}5\). Da für alle \(V\) im Intervall \((0; 1)\) die Beziehung \(\sqrt{V} > V\) gilt, ist \(\sigma\) stets größer als \(V\).

a) \(V = 0{,}495\); \(\sigma \approx 0{,}7036\). Es gilt \(\sigma > V\). b) Da für \(n = 2\) die Varianz \(V = 2p(1-p)\) stets im Intervall \((0; 0{,}5]\) liegt und für Werte \(0 < V < 1\) immer \(\sqrt{V} > V\) gilt, folgt \(\sigma > V\).

- Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die Summe der Produkte aus Werten und Wahrscheinlichkeiten dem gegebenen Durchschnitt entspricht? - Denke daran, dass alle Wahrscheinlichkeiten zusammen \(1\) ergeben müssen, was hier bereits erfüllt ist. - Sobald du den fehlenden Wert gefunden hast, nutze die Formel für die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert. - Achte darauf, im letzten Schritt die Quadrate der Abstände zum Erwartungswert korrekt mit den Wahrscheinlichkeiten zu gewichten.

1. Aufstellen der Gleichung für den Erwartungswert: \(E(X) = 0 \cdot 0{,}5 + 5 \cdot 0{,}4 + a \cdot 0{,}1 = 4\). 2. Berechnung von \(a\): \(2 + 0{,}1a = 4 \Rightarrow 0{,}1a = 2 \Rightarrow a = 20\). Der dritte Auszahlungsbetrag muss \(20\,\text{€}\) sein. 3. Berechnung der Varianz \(V(X)\) mit \(E(X) = 4\) und \(a = 20\): \(V(X) = (0-4)^2 \cdot 0{,}5 + (5-4)^2 \cdot 0{,}4 + (20-4)^2 \cdot 0{,}1\). 4. Ausrechnen der Terme: \(V(X) = 16 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 0{,}4 + 256 \cdot 0{,}1 = 8 + 0{,}4 + 25{,}6 = 34\).

\(a = 20\); die Varianz beträgt \(34\).

- Nutze die Formel für den Erwartungswert als Ansatz für eine lineare Gleichung. - Setze den gefundenen Wert \(k\) in die Tabelle ein, um die weiteren Kennzahlen zu bestimmen. - Denk daran, dass für die Varianz die Abweichungen vom Erwartungswert quadriert werden müssen.

1. Aufstellen der Gleichung für den Erwartungswert: \(1 \cdot 0{,}2 + 4 \cdot 0{,}4 + k \cdot 0{,}3 + 10 \cdot 0{,}1 = 4{,}6\). 2. Vereinfachen der Gleichung: \(0{,}2 + 1{,}6 + 0{,}3k + 1 = 4{,}6 \implies 2{,}8 + 0{,}3k = 4{,}6\). 3. Lösen nach \(k\): \(0{,}3k = 1{,}8 \implies k = 6\). 4. Berechnung der Varianz mit \(\mu = 4{,}6\): \(Var(X) = (1-4{,}6)^2 \cdot 0{,}2 + (4-4{,}6)^2 \cdot 0{,}4 + (6-4{,}6)^2 \cdot 0{,}3 + (10-4{,}6)^2 \cdot 0{,}1\). 5. Zwischenschritte der Varianz: \(2{,}592 + 0{,}144 + 0{,}588 + 2{,}916 = 6{,}24\). 6. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma(X) = \sqrt{6{,}24} \approx 2{,}498\).

a) \(k = 6\) b) \(\sigma(X) \approx 2{,}498\)

- Was bedeutet die Bezeichnung \(2\sigma\)-Umgebung für die Grenzen des Intervalls? - Wenn nach der Wahrscheinlichkeit „außerhalb“ gefragt ist, kannst du entweder die Randbereiche direkt addieren oder das Gegenereignis zum Bereich „innerhalb“ nutzen. - Achte genau darauf, welche ganzzahligen Werte gerade noch im Intervall liegen und welche bereits außerhalb sind.

1. Erwartungswert: \(\mu = 150 \cdot 0{,}2 = 30\). 2. Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{150 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8} = \sqrt{24} \approx 4{,}899\). 3. \(2\sigma\)-Intervall: \(2\sigma \approx 9{,}798\). Das Intervall ist \([30 - 9{,}798; 30 + 9{,}798] = [20{,}202; 39{,}798]\). 4. Menge der Werte: Da \(Y\) nur ganzzahlig ist, umfasst die Menge alle natürlichen Zahlen von \(21\) bis \(39\). 5. Wahrscheinlichkeit außerhalb: \(P(Y < 20{,}202 \text{ oder } Y > 39{,}798) = P(Y \le 20) + P(Y \ge 40)\). 6. Berechnung: \(P(Y \le 20) \approx 0{,}0180\); \(P(Y \ge 40) = 1 - P(Y \le 39) \approx 1 - 0{,}9746 = 0{,}0254\). 7. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(0{,}0180 + 0{,}0254 = 0{,}0434\).

a) Das Intervall lautet \([20{,}202; 39{,}798]\) (gerundet). b) Die Menge der Werte ist \(\{21, 22, \dots, 39\}\). c) \(P(Y \le 20 \text{ oder } Y \ge 40) \approx 0{,}0434\).

- Bestimme zunächst die Kennzahlen \(\mu\) und \(\sigma\) für die gegebene Stichprobe. - Achte beim Intervall darauf, dass die Grenzen keine ganzen Zahlen sein müssen, die Zufallsgröße \(X\) aber nur ganze Werte annimmt. - „Außerhalb“ bedeutet, dass der Wert entweder kleiner als die untere Grenze oder größer als die obere Grenze ist. - Erinnere dich an die Bedeutung der \(\sigma\)-Regeln für die Glockenform der Verteilung.

1. Es liegt eine Binomialverteilung mit \(n = 400\) und \(p = 0{,}05\) vor. Es gilt \(\mu = 400 \cdot 0{,}05 = 20\) und \(\sigma = \sqrt{400 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95} = \sqrt{19} \approx 4{,}36\). Das \(2\sigma\)-Intervall lautet \([20 - 2 \cdot 4{,}36; 20 + 2 \cdot 4{,}36] = [11{,}28; 28{,}72]\). 2. Gesucht ist \(P(X < 11{,}28) + P(X > 28{,}72)\), was für ganzzahlige \(X\) der Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 11) + (1 - P(X \le 28))\) entspricht. Mit der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(0{,}0197 + (1 - 0{,}9718) = 0{,}0197 + 0{,}0282 = 0{,}0479\). 3. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der defekten Teile mehr als zwei Standardabweichungen vom Erwartungswert abweicht, ist mit ca. \(4{,}8\,\%\) sehr gering. Dies bedeutet, dass die Werte von \(X\) mit einer hohen Sicherheit (ca. \(95{,}2\,\%\)) im \(2\sigma\)-Intervall um den Mittelwert liegen.

1. \([11{,}28; 28{,}72]\) 2. \(P(|X - \mu| > 2\sigma) \approx 0{,}0479\) 3. Werte außerhalb des \(2\sigma\)-Intervalls treten selten auf (ca. \(4{,}8\,\%\)), da der Großteil der Wahrscheinlichkeitsmasse nahe beim Erwartungswert konzentriert ist.

- Nutze die bekannten Formeln für die Kenngrößen der Binomialverteilung. - Was passiert mit einer Zahl, wenn man sie mit einem Wert zwischen 0 und 1 multipliziert? - Setze die Bedingung aus c) in eine Gleichung um und versuche, die Terme so weit wie möglich zu vereinfachen. - Achte darauf, \(p\) auf eine Seite der Gleichung zu isolieren.

1. In Teilaufgabe a) werden die Standardformeln \(\mu = n \cdot p\) und \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p)\) genutzt. Durch Ersetzen von \(n \cdot p\) durch \(\mu\) in der Varianzformel folgt unmittelbar \(\sigma^2 = \mu \cdot (1 - p)\). 2. Für Teilaufgabe b) wird argumentiert, dass für \(0 < p < 1\) der Faktor \((1 - p)\) ebenfalls zwischen \(0\) und \(1\) liegt. Da \(\sigma^2 = \mu \cdot (1 - p)\) und \((1 - p) < 1\), muss \(\sigma^2 < \mu\) gelten. Durch Ziehen der Quadratwurzel (da beide Seiten positiv sind) folgt \(\sigma < \sqrt{\mu}\). 3. Für Teilaufgabe c) wird der Ansatz \(\sigma = \frac{1}{3} \mu\) gewählt. Quadrieren führt zu \(\sigma^2 = \frac{1}{9} \mu^2\). 4. Gleichsetzen mit dem Ergebnis aus a): \(\mu \cdot (1 - p) = \frac{1}{9} \mu^2\). 5. Division durch \(\mu = n \cdot p\) ergibt \(1 - p = \frac{1}{9} n \cdot p\). 6. Umstellen nach \(p\): \(1 = p + \frac{n}{9} p = p \cdot (1 + \frac{n}{9}) = p \cdot \frac{9 + n}{9}\). Daraus folgt \(p = \frac{9}{n + 9}\).

a) Nachweis durch Einsetzen von \(\mu = n \cdot p\) in \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p)\). b) Da \(0 < 1-p < 1\), ist \(\sigma^2 < \mu\), woraus \(\sigma < \sqrt{\mu}\) folgt. c) \(p = \frac{9}{n + 9}\)

- Erinnere dich an die Definition von Achsensymmetrie bei Funktionen. - Nutze die binomischen Formeln, um die Terme in Aufgabenteil a) zu vereinfachen. - Wann ist eine Wurzelfunktion maximal? Konzentriere dich auf den Ausdruck unter der Wurzel. - Wie findet man die Extremstellen einer quadratischen Funktion oder allgemein mittels Ableitungen?

1. Einsetzen von \(0{,}5 - h\) in die Varianzformel: \(V(0{,}5 - h) = n \cdot (0{,}5 - h) \cdot (1 - (0{,}5 - h)) = n \cdot (0{,}5 - h) \cdot (0{,}5 + h)\). 2. Anwendung der dritten binomischen Formel: \(V(0{,}5 - h) = n \cdot (0{,}25 - h^2)\). 3. Einsetzen von \(0{,}5 + h\) in die Varianzformel: \(V(0{,}5 + h) = n \cdot (0{,}5 + h) \cdot (1 - (0{,}5 + h)) = n \cdot (0{,}5 + h) \cdot (0{,}5 - h) = n \cdot (0{,}25 - h^2)\). 4. Vergleich der Ergebnisse zeigt die Identität, womit die Symmetrie bewiesen ist. 5. Bestimmung des Maximums: Die Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\) ist maximal, wenn der Radikand \(f(p) = n(p - p^2)\) maximal ist. 6. Ableitung bilden: \(f'(p) = n(1 - 2p)\). Nullstelle setzen: \(1 - 2p = 0 \implies p = 0{,}5\). 7. Überprüfung der Art des Extremums: \(f''(p) = -2n < 0\), also liegt ein Maximum vor. 8. Berechnung des Maximalwerts: \(\sigma_{\text{max}} = \sqrt{n \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = \sqrt{0{,}25n} = 0{,}5\sqrt{n}\) bzw. \(\frac{\sqrt{n}}{2}\).

a) Der Nachweis erfolgt über \(V(0{,}5 - h) = n(0{,}25 - h^2) = V(0{,}5 + h)\). b) Die Standardabweichung ist für \(p = 0{,}5\) maximal. Der maximale Wert beträgt \(\sigma_{\text{max}} = 0{,}5\sqrt{n}\).

- Stelle zuerst die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung auf. - Kannst du die Wurzel in der Ungleichung durch eine geeignete Operation entfernen? - Gibt es Terme, die auf beiden Seiten vorkommen und durch die du (unter Beachtung der Vorzeichen) teilen kannst? - Versuche, die Ungleichung schrittweise nach der gesuchten Variablen umzustellen.

1. Aufstellen der Ungleichung gemäß der Aufgabenstellung: \(\sigma < \frac{1}{2} E(X)\) 2. Einsetzen der Formeln für die Binomialverteilung: \(\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} < \frac{1}{2} \cdot n \cdot p\) 3. Quadrieren beider Seiten (zulässig, da beide Seiten positiv sind): \(n \cdot p \cdot (1-p) < \frac{1}{4} \cdot n^2 \cdot p^2\) 4. Division durch den positiven Term \(n \cdot p\): \(1 - p < \frac{1}{4} \cdot n \cdot p\) 5. Umstellen der Ungleichung nach \(p\): \(1 < \frac{1}{4} \cdot n \cdot p + p \Leftrightarrow 1 < p \cdot \left(\frac{n}{4} + 1\right)\) 6. Auflösen nach \(p\): \(p > \frac{1}{\frac{n}{4} + 1} = \frac{4}{n+4}\) 7. Unter Berücksichtigung der Definitionsmenge ergibt sich das Intervall: \(p \in \left] \frac{4}{n+4}; 1 \right[\)

\(p > \frac{4}{n+4}\) bzw. \(p \in \left] \frac{4}{n+4}; 1 \right[\)

- Wie hängen Varianz und Standardabweichung zusammen? - Setze die gegebenen Terme in die Definition der relativen Standardabweichung ein. - Denke daran, den Prozentsatz in eine Dezimalzahl oder einen Bruch umzuwandeln. - Wie kannst du den Term \(\frac{\sqrt{n}}{n}\) vereinfachen, um die Gleichung leichter nach \(n\) aufzulösen?

1. Bestimmung der Standardabweichung: \(\sigma(Z_n) = \sqrt{Var(Z_n)} = \sqrt{2n}\). 2. Aufstellen der Formel für die relative Standardabweichung \(v\): \(v = \frac{\sigma(Z_n)}{E(Z_n)} = \frac{\sqrt{2n}}{8n}\). 3. Umrechnung des Zielwerts: \(1{,}25\,\% = 0{,}0125 = \frac{1}{80}\). 4. Gleichung ansetzen: \(\frac{\sqrt{2n}}{8n} = \frac{1}{80}\). 5. Vereinfachen des Bruchs: \(\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{n}}{8 \cdot (\sqrt{n})^2} = \frac{\sqrt{2}}{8\sqrt{n}}\). 6. Auflösen nach \(n\): \(\frac{\sqrt{2}}{8\sqrt{n}} = \frac{1}{80} \implies 8\sqrt{n} = 80\sqrt{2} \implies \sqrt{n} = 10\sqrt{2}\). 7. Quadrieren: \(n = (10\sqrt{2})^2 = 100 \cdot 2 = 200\).

\(n = 200\)

- Wie hängen Erwartungswert und Standardabweichung mit der Trefferquote und der Stichprobengröße zusammen? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Wert „mehr als eine Standardabweichung“ von \(\mu\) entfernt ist? - Könnte es einfacher sein, zuerst die Wahrscheinlichkeit für das Gegenteil zu berechnen? - Achte darauf, welche ganzen Zahlen noch „innerhalb“ und welche schon „außerhalb“ des Bereichs liegen.

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 150 \cdot 0{,}64 = 96\). 2. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{150 \cdot 0{,}64 \cdot 0{,}36} = \sqrt{34{,}56} \approx 5{,}8788\). 3. Bestimmung des Intervalls für eine Abweichung von höchstens einer Standardabweichung: \([\mu - \sigma; \mu + \sigma] = [96 - 5{,}8788; 96 + 5{,}8788] = [90{,}1212; 101{,}8788]\). Dies entspricht den ganzzahligen Werten \(91, 92, \dots, 101\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis (höchstens eine Standardabweichung Abweichung): \(P(91 \le X \le 101) = F(101; 150, 0{,}64) - F(90; 150, 0{,}64) \approx 0{,}8225 - 0{,}1688 = 0{,}6537\). 5. Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit (Abweichung mehr als \(\sigma\)): \(P(X < 90{,}12 \text{ oder } X > 101{,}88) = 1 - P(91 \le X \le 101) \approx 1 - 0{,}6537 = 0{,}3463\).

a) \(\mu = 96\); \(\sigma \approx 5{,}88\) b) \(P(X \le 90 \text{ oder } X \ge 102) \approx 34{,}63\,\%\)

- Bestimme zuerst, wie viele defekte LEDs man bei dieser Stichprobengröße im Schnitt erwarten würde. - Nutze die Formel für die Standardabweichung bei einer Binomialverteilung. - Ein Ergebnis gilt oft als ungewöhnlich, wenn es mehr als zwei Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt ist. - Vergleiche die tatsächliche Anzahl der Defekte mit der berechneten Obergrenze des „normalen“ Bereichs.

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 50\) und \(p = 0{,}1\). 2. Berechnung des Erwartungswerts für die Anzahl defekter LEDs: \(\mu = n \cdot p = 50 \cdot 0{,}1 = 5\). 3. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{50 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9} = \sqrt{4{,}5} \approx 2{,}12\). 4. Berechnung der oberen Grenze der \(2\sigma\)-Umgebung: \(\mu + 2\sigma \approx 5 + 2 \cdot 2{,}12 = 9{,}24\). 5. Abgleich mit der Beobachtung: Der gemessene Wert \(k = 11\) ist größer als die obere Grenze von \(9{,}24\). 6. Da der Wert außerhalb der \(2\sigma\)-Umgebung liegt, gilt die Anzahl von \(11\) defekten LEDs als ungewöhnlich hoch.

Ja, die Anzahl ist ungewöhnlich hoch. Bei einem Erwartungswert von \(\mu = 5\) und einer Standardabweichung von \(\sigma \approx 2{,}12\) reicht die \(2\sigma\)-Umgebung nur bis etwa \(9{,}24\). Der Wert \(11\) liegt deutlich darüber.

- Wie groß muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einer Verteilung sein? - Der Erwartungswert ist der Durchschnittswert bei sehr vielen Wiederholungen. - Für die Standardabweichung musst du zuerst die Varianz berechnen, indem du die quadrierten Abweichungen vom Erwartungswert mit den Wahrscheinlichkeiten multiplizierst. - Achte darauf, ob nach der Auszahlung oder nach dem tatsächlichen Gewinn (Auszahlung minus Einsatz) gefragt wird. Hier ist \(X\) als Auszahlung definiert.

1. Berechnung von \(P(X = 0)\): Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 sein muss, gilt \(P(X = 0) = 1 - (0{,}05 + 0{,}25) = 1 - 0{,}30 = 0{,}70\). 2. Berechnung des Erwartungswerts \(E(X)\): \(0 \cdot 0{,}70 + 2 \cdot 0{,}25 + 10 \cdot 0{,}05 = 0 + 0{,}50 + 0{,}50 = 1{,}00\). Das Ergebnis ist \(1{,}00\,\text{€}\). 3. Berechnung der Varianz \(Var(X)\): \((0 - 1)^2 \cdot 0{,}70 + (2 - 1)^2 \cdot 0{,}25 + (10 - 1)^2 \cdot 0{,}05 = 1 \cdot 0{,}70 + 1 \cdot 0{,}25 + 81 \cdot 0{,}05 = 0{,}70 + 0{,}25 + 4{,}05 = 5{,}00\). 4. Berechnung der Standardabweichung \(\sigma(X)\): \(\sqrt{Var(X)} = \sqrt{5} \approx 2{,}236\).

a) \(P(X = 0) = 0{,}70\) b) \(E(X) = 1{,}00\,\text{€}\) c) \(\sigma(X) \approx 2{,}24\,\text{€}\)