Kostenlose Arbeitsblätter

- Welche Werte für die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Versuche lassen sich aus dem Text entnehmen? - Überlege, welche Kennzahlen für die Lage und die Streuung einer Verteilung üblicherweise berechnet werden. - Wie hängen die gesuchten Größen mit den Parametern der Binomialverteilung zusammen?

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung: Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}08\) und Stichprobenumfang \(n = 150\). 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 150 \cdot 0{,}08 = 12\). 3. Berechnung der Varianz: \(Var(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 150 \cdot 0{,}08 \cdot 0{,}92 = 11{,}04\). 4. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{11{,}04} \approx 3{,}32\).

Der Erwartungswert beträgt \(\mu = 12\). Die Standardabweichung beträgt \(\sigma \approx 3{,}32\).

- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn bei einer einzelnen Drehung. - Wie viele Gewinne würde man intuitiv erwarten, wenn man sehr oft dreht? - Was sagt die Standardabweichung über die zu erwartende Abweichung vom Mittelwert aus?

1. Bestimmung der Parameter: Da ein Feld von zehn gewinnt, ist \(p = \frac{1}{10} = 0{,}1\). Die Anzahl der Versuche ist \(n = 80\). 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 80 \cdot 0{,}1 = 8\). 3. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{80 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9} = \sqrt{7{,}2} \approx 2{,}68\). 4. Interpretation: Der Erwartungswert gibt an, dass man bei einer Serie von \(80\) Drehungen auf lange Sicht (bei sehr häufiger Wiederholung der gesamten Serie) im Durchschnitt mit \(8\) Hauptgewinnen rechnen kann.

Der Erwartungswert ist \(\mu = 8\). Die Standardabweichung ist \(\sigma \approx 2{,}68\). Die Bedeutung: Bei vielen Versuchsreihen von je \(80\) Drehungen werden im Durchschnitt \(8\) Hauptgewinne erzielt.

- Schau dir die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung bei einer Binomialverteilung an. - Überlege, an welcher Stelle der Parameter \(n\) in diesen Formeln steht. - Wie wirkt sich ein Faktor innerhalb einer Quadratwurzel auf das Gesamtergebnis aus? - Was passiert mit einem Produkt, wenn man einen der Faktoren vervielfacht?

1. Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße ist durch \(E(X) = n \cdot p\) gegeben. Wenn \(n\) durch \(25 \cdot n\) ersetzt wird, ergibt sich \(E_{neu} = 25 \cdot n \cdot p = 25 \cdot E(X)\). Der Erwartungswert verfünfundzwanzigfacht sich also. 2. Die Standardabweichung ist definiert als \(\sigma(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\). Setzt man den neuen Wert für \(n\) ein, erhält man \(\sigma_{neu} = \sqrt{25 \cdot n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = 5 \cdot \sigma(X)\). Die Standardabweichung verfünffacht sich somit.

Der Erwartungswert verfünfundzwanzigfacht sich (\(25 \cdot E(X)\)) und die Standardabweichung verfünffacht sich (\(5 \cdot \sigma(X)\)).

- Welche Formel berechnet die Varianz bei einer Binomialverteilung? - Wann wird ein Produkt aus mehreren Zahlen genau null? - Was bedeutet eine Varianz von null für die Verteilung der Werte einer Zufallsgröße? - Überlege dir, was passiert, wenn die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg entweder \(0\,\%\) oder \(100\,\%\) ist.

1. Aufstellen der Formel für die Varianz einer Binomialverteilung: \(V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)\). 2. Setzen der Varianz gleich null: \(n \cdot p \cdot (1 - p) = 0\). 3. Da laut Voraussetzung \(n \geq 1\) (und damit \(n \neq 0\)) gilt, muss das Produkt \(p \cdot (1 - p) = 0\) sein. 4. Anwendung des Satzes vom Nullprodukt liefert die Lösungen \(p = 0\) oder \(1 - p = 0\), woraus \(p = 1\) folgt. 5. Interpretation: Wenn \(p = 0\), tritt nie ein Erfolg ein, also ist \(X\) immer \(0\). Wenn \(p = 1\), tritt bei jedem Versuch ein Erfolg ein, also ist \(X\) immer \(n\). In beiden Fällen gibt es keine Zufälligkeit im Ergebnis.

Die Erfolgswahrscheinlichkeit muss \(p = 0\) oder \(p = 1\) sein. Das bedeutet, dass das Ergebnis des Zufallsexperiments nicht mehr schwankt: Bei \(p = 0\) ist das Ergebnis immer \(0\), bei \(p = 1\) ist das Ergebnis immer \(n\).

- Welche Formel verknüpft die Standardabweichung mit der Trefferwahrscheinlichkeit und der Anzahl der Versuche? - Es ist oft hilfreich, zuerst die Varianz zu betrachten, um die Wurzel in der Formel zu umgehen. - Hast du alle gegebenen Werte korrekt in die Formel eingesetzt? - Wie hängen der Erwartungswert, die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Versuche zusammen?

1. Anwendung der Formel für die Standardabweichung bei Binomialverteilungen: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}\). 2. Quadrieren der Gleichung zur Berechnung der Varianz: \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p)\), also \(3^2 = n \cdot 0{,}25 \cdot (1 - 0{,}25)\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(9 = n \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75 \Rightarrow 9 = n \cdot 0{,}1875\). 4. Auflösen nach \(n\): \(n = 9 : 0{,}1875 = 48\). 5. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 48 \cdot 0{,}25 = 12\).

Die Anzahl der Versuche beträgt \(n = 48\) und der Erwartungswert ist \(\mu = 12\).

- Bestimme zuerst den Durchschnittswert (Erwartungswert), den man auf lange Sicht erwarten würde. - Überlege dir dann, wie stark die einzelnen Werte im Quadrat von diesem Durchschnitt abweichen und gewichte dies mit ihren Wahrscheinlichkeiten. - Wie hängen die Streuung in quadrierten Einheiten und die Streuung in der ursprünglichen Einheit zusammen?

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = 10 \cdot 0{,}4 + 20 \cdot 0{,}3 + 30 \cdot 0{,}2 + 40 \cdot 0{,}1 = 4 + 6 + 6 + 4 = 20\) 2. Berechnung der Varianz: \(V(X) = (10 - 20)^2 \cdot 0{,}4 + (20 - 20)^2 \cdot 0{,}3 + (30 - 20)^2 \cdot 0{,}2 + (40 - 20)^2 \cdot 0{,}1 = 100 \cdot 0{,}4 + 0 \cdot 0{,}3 + 100 \cdot 0{,}2 + 400 \cdot 0{,}1 = 40 + 0 + 20 + 40 = 100\) 3. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma(X) = \sqrt{100} = 10\)

\(\mu = 20\); \(V(X) = 100\); \(\sigma(X) = 10\)

- Überlege dir zuerst, welche Werte die Zufallsgröße annehmen kann und wie groß die Wahrscheinlichkeit für jeden Wert ist. - Wie berechnet man den Durchschnittswert bei einer Gleichverteilung? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Varianz und Standardabweichung. - Du kannst die Varianz entweder über die Abweichungsquadrate oder über den Verschiebungssatz berechnen.

1. Berechnung des Erwartungswerts: Da alle 12 Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind (\(P(X=k) = \frac{1}{12}\)), ergibt sich \(\mu = E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12}{12} = \frac{78}{12} = 6{,}5\). 2. Berechnung der Varianz: \(Var(X) = E(X^2) - \mu^2\). Die Summe der Quadrate ist \(\sum_{k=1}^{12} k^2 = 650\), also \(E(X^2) = \frac{650}{12} \approx 54{,}167\). Damit ist \(Var(X) = \frac{650}{12} - 6{,}5^2 = \frac{325}{6} - 42{,}25 = \frac{143}{12} \approx 11{,}917\). 3. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\frac{143}{12}} \approx 3{,}452\).

Der Erwartungswert beträgt \(\mu = 6{,}5\) und die Standardabweichung ist \(\sigma \approx 3{,}45\).

- Was sagt eine Standardabweichung von null über die Streuung der Werte um den Mittelwert aus? - Wenn alle Werte identisch sind, welcher Wert muss das dann im Vergleich zum Erwartungswert sein? - Überlege dir, ob es möglich ist, dass unterschiedliche Werte vorkommen, wenn die durchschnittliche quadratische Abweichung null ist.

1. Zusammenhang zwischen Standardabweichung und Varianz: Da \(\sigma(X) = 0\), muss auch \(\text{Var}(X) = 0^2 = 0\) gelten. 2. Eigenschaft der Varianz: Eine Varianz von \(0\) impliziert, dass die Zufallsgröße keinen Schwankungen unterliegt und somit nur einen einzigen Wert mit der Wahrscheinlichkeit \(1\) annimmt. 3. Bestimmung des Wertes: Da der Erwartungswert \(E(X) = 5{,}00\) ist, muss dieser einzige mögliche Wert genau \(5{,}00\) sein. Es gilt also \(P(X = 5) = 1\). 4. Schlussfolgerung für Nieten: Da \(P(X = 5) = 1\) ist, müssen alle anderen Werte (insbesondere \(0\,\text{€}\)) die Wahrscheinlichkeit \(0\) haben. Es befinden sich also keine Nieten in der Trommel.

Da \(\sigma(X) = 0\) ist, ist die Zufallsgröße konstant. Mit \(E(X) = 5{,}00\,\text{€}\) folgt, dass jedes Los genau \(5\,\text{€}\) gewinnt (\(P(X=5) = 1\)). Nieten (Gewinn \(0\,\text{€}\)) können daher nicht enthalten sein.

- Wie berechnet man allgemein den Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Varianz, dem Erwartungswert der Quadrate und dem Quadrat des Erwartungswerts? - Wie hängen Varianz und Standardabweichung zusammen?

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(Z) = 5 \cdot p + 0 \cdot (1 - p) = 5 \cdot p\). 2. Berechnung des Erwartungswerts der Quadrate: \(E(Z^2) = 5^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1 - p) = 25 \cdot p\). 3. Berechnung der Varianz: \(V(Z) = E(Z^2) - (E(Z))^2 = 25 \cdot p - (5 \cdot p)^2 = 25 \cdot p - 25 \cdot p^2 = 25 \cdot p \cdot (1 - p)\). 4. Einsetzen von \(p = 0{,}4\) in die Varianzformel: \(V(Z) = 25 \cdot 0{,}4 \cdot (1 - 0{,}4) = 10 \cdot 0{,}6 = 6\). 5. Bestimmung der Standardabweichung: \(\sigma(Z) = \sqrt{V(Z)} = \sqrt{6} \approx 2{,}45\).

a) \(E(Z) = 5 \cdot p\) b) \(V(Z) = 25 \cdot p \cdot (1 - p)\) c) \(\sigma(Z) = \sqrt{6} \approx 2{,}45\)

- Wie hängen Erwartungswert und Varianz bei einer Binomialverteilung mathematisch zusammen? - Setze die gegebenen Werte in die bekannten Formeln ein und löse das Gleichungssystem nach den gesuchten Parametern auf.

Es gelten die Formeln \(\mu = n \cdot p\) und \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p)\). Durch Einsetzen erhält man \(24 = n \cdot p\) und \(16 = 24 \cdot (1 - p)\). Aus der zweiten Gleichung folgt \(1 - p = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}\), also \(p = \frac{1}{3}\). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(24 = n \cdot \frac{1}{3}\), woraus \(n = 72\) folgt.

\(n = 72\); \(p = \frac{1}{3}\)

- Welche Formeln verknüpfen den Erwartungswert und die Standardabweichung mit \(n\) und \(p\)? - Wie lässt sich die Varianz \(\sigma^2\) durch den Erwartungswert \(\mu\) ausdrücken? - Könntest du zuerst die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg, also \(1-p\), berechnen? - Überlege, wie du eine der Unbekannten eliminieren kannst, wenn du beide Formeln kombinierst.

a) Für die Teilaufgabe a) wird die Beziehung \(\sigma^2 = \mu \cdot (1-p)\) genutzt. Durch Einsetzen der Werte ergibt sich \(8 = 10 \cdot (1-p)\). Daraus folgt \(1-p = 0{,}8\) und somit \(p = 0{,}2\). Mit \(\mu = n \cdot p\) erhält man \(10 = n \cdot 0{,}2\), was zu \(n = 50\) führt. b) Für die Teilaufgabe b) wird analog vorgegangen: \(\sigma^2 = 16\). Die Gleichung \(16 = 48 \cdot (1-p)\) führt zu \(1-p = \frac{1}{3}\), also \(p = \frac{2}{3}\). Über \(\mu = n \cdot p\) ergibt sich \(48 = n \cdot \frac{2}{3}\), woraus \(n = 72\) folgt.

a) \(n = 50\); \(p = 0{,}2\) b) \(n = 72\); \(p = \frac{2}{3}\)

- Identifiziere zuerst die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für eine einzelne Frage. - Nutze die bekannten Kurzformeln für Erwartungswert und Varianz bei binomialverteilten Zufallsgrößen. - Überlege dir für die Interpretation, was eine Streuung um den Mittelwert bedeutet. - Schau dir die Struktur der Varianzformel an: Welchen Einfluss hat der Faktor \(n\) auf das Gesamtergebnis?

1. Parameter bestimmen: \(n = 10\), \(p = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 2. Erwartungswert: \(E(X) = n \cdot p = 10 \cdot 0{,}25 = 2{,}5\). 3. Varianz: \(V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 10 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75 = 1{,}875\). 4. Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{1{,}875} \approx 1{,}369\). Interpretation: Die Standardabweichung von etwa \(1{,}37\) beschreibt die typische Abweichung der Anzahl richtiger Antworten vom Erwartungswert \(2{,}5\). 5. Änderung bei \(n = 20\): Da die Varianz proportional zu \(n\) ist (\(V(X) = n \cdot p \cdot q\)), verdoppelt sie sich bei einer Verdopplung von \(n\). Neuer Wert: \(20 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75 = 3{,}75\).

a) \(E(X) = 2{,}5\); \(V(X) = 1{,}875\) b) \(\sigma \approx 1{,}37\). Die typische Abweichung der Anzahl richtiger Antworten vom Erwartungswert beträgt etwa \(1{,}37\). c) Die Varianz verdoppelt sich auf \(3{,}75\), da \(V(X)\) direkt proportional zur Anzahl der Versuche \(n\) ist.

- Welchen Wert erwartest du im Durchschnitt bei drei Versuchen, wenn die Chance jeweils \(50\,\%\) ist? - Erstelle eine kleine Tabelle für die Wahrscheinlichkeiten jedes möglichen Ergebnisses. - Wie weit liegen die einzelnen Werte vom Durchschnitt entfernt? Quadriere diese Abstände. - Vergiss nicht, die quadrierten Abstände mit ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten zu gewichten.

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5\). 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten \(P(X = k) = \binom{3}{k} \cdot 0{,}5^3\): \(P(X = 0) = 0{,}125\), \(P(X = 1) = 0{,}375\), \(P(X = 2) = 0{,}375\), \(P(X = 3) = 0{,}125\). 3. Berechnung der quadrierten Abweichungen \((k - \mu)^2\): Für \(k = 0\) und \(k = 3\): \((0 - 1{,}5)^2 = (3 - 1{,}5)^2 = 2{,}25\). Für \(k = 1\) und \(k = 2\): \((1 - 1{,}5)^2 = (2 - 1{,}5)^2 = 0{,}25\). 4. Summation zur Varianz: \(V(X) = 2{,}25 \cdot 0{,}125 + 0{,}25 \cdot 0{,}375 + 0{,}25 \cdot 0{,}375 + 2{,}25 \cdot 0{,}125 = 0{,}28125 + 0{,}09375 + 0{,}09375 + 0{,}28125 = 0{,}75\).

Die Varianz beträgt \(V(X) = 0{,}75\).

- Überlege zuerst, welche Werte für die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Versuche gegeben sind. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis bei einer binomialverteilten Zufallsgröße? - Erinnere dich an die Formeln für den Mittelwert und das Maß für die Streuung bei solchen Experimenten. - Beachte bei der Suche nach Werten im Intervall, dass die Anzahl der Treffer immer eine ganze Zahl sein muss.

1. Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}05\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für höchstens eine defekte LED berechnet sich als \(P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = \binom{20}{0} \cdot 0{,}05^0 \cdot 0{,}95^{20} + \binom{20}{1} \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^{19}\). 3. Mit \(0{,}95^{20} \approx 0{,}3585\) und \(20 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95^{19} \approx 0{,}3774\) ergibt sich \(P(X \le 1) \approx 0{,}7359\). 4. Der Erwartungswert ist \(\mu = n \cdot p = 20 \cdot 0{,}05 = 1\). 5. Die Standardabweichung ist \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{20 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95} = \sqrt{0{,}95} \approx 0{,}9747\). 6. Das Intervall \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\) ist \([1 - 0{,}9747; 1 + 0{,}9747] = [0{,}0253; 1{,}9747]\). Da \(X\) nur ganzzahlige Werte annimmt, liegt in diesem Bereich nur der Wert \(1\).

a) \(P(X \le 1) \approx 0{,}7359\) (bzw. \(73{,}59\,\%\)) b) \(\mu = 1\); \(\sigma \approx 0{,}9747\) c) Nur der Wert \(1\).

- Überlege zuerst, welche Parameter \(n\) und \(p\) für die Binomialverteilung gegeben sind. - Wie berechnet man Kennzahlen einer Bernoulli-Kette? - Was bedeutet „Abweichung um höchstens eine Standardabweichung“ für den Bereich der möglichen Ergebnisse? - Denke daran, dass die Anzahl der Treffer nur ganze Zahlen sein kann.

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 150 \cdot 0{,}04 = 6\). 2. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{150 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}96} = \sqrt{5{,}76} = 2{,}4\). 3. Bestimmung des Intervalls für eine Abweichung von höchstens \(1\sigma\): \([\mu - \sigma; \mu + \sigma] = [6 - 2{,}4; 6 + 2{,}4] = [3{,}6; 8{,}4]\). 4. Da die Anzahl der Flaschen ganzzahlig sein muss, umfasst das Intervall die Werte \(k \in \{4, 5, 6, 7, 8\}\). 5. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(4 \le X \le 8) = P(X \le 8) - P(X \le 3)\) unter Verwendung der Binomialverteilung mit \(n = 150\) und \(p = 0{,}04\). 6. Einsetzen der Werte aus der kumulierten Binomialverteilungstabelle oder dem Taschenrechner: \(P(X \le 8) \approx 0{,}8515\) und \(P(X \le 3) \approx 0{,}1458\). 7. Ergebnis: \(P(4 \le X \le 8) \approx 0{,}8515 - 0{,}1458 = 0{,}7057\).

a) \(\mu = 6\); \(\sigma = 2{,}4\) b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(70{,}57\,\%\).

- Wie hängen die Standardabweichung und die Anzahl der Versuche mathematisch zusammen? - Wenn das Ergebnis einer Wurzel viermal so groß werden soll, um welchen Faktor muss sich dann die Zahl unter der Wurzel ändern? - Wie ist der Erwartungswert mit der Anzahl der Versuche verknüpft? - Überlege dir die Schritte rückwärts: Von der Änderung der Standardabweichung zur Änderung von \(n\) und dann zur Änderung des Erwartungswerts.

1. Die Standardabweichung ist \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\). Damit \(\sigma\) den vierfachen Wert annimmt, muss unter der Wurzel der Faktor \(16\) stehen, da \(\sqrt{16} = 4\). Da \(p\) konstant bleibt, muss also \(n\) versechzehnfacht worden sein (\(n_{neu} = 16 \cdot n_{alt}\)). 2. Der Erwartungswert ist \(E(X) = n \cdot p\). Da \(n\) mit dem Faktor \(16\) multipliziert wurde und \(p\) gleich bleibt, vergrößert sich auch das Produkt \(n \cdot p\) um den Faktor \(16\).

Der Erwartungswert versechzehnfacht sich.

- Berechne für beide Personen separat den Erwartungswert und vergleiche die Ergebnisse. - Nutze die Formel für die Standardabweichung, um die Streuung der Trefferzahlen zu bestimmen. - Was sagt eine kleinere Standardabweichung über die Verteilung der Ergebnisse aus?

1. Erwartungswert Lukas: \(\mu_L = 80 \cdot 0{,}6 = 48\). 2. Erwartungswert Sarah: \(\mu_S = 64 \cdot 0{,}75 = 48\). Somit gilt \(\mu_L = \mu_S\). 3. Standardabweichung Lukas: \(\sigma_L = \sqrt{80 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}4} = \sqrt{19{,}2} \approx 4{,}38\). 4. Standardabweichung Sarah: \(\sigma_S = \sqrt{64 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}25} = \sqrt{12} \approx 3{,}46\). 5. Vergleich der Streuung: Da \(\sigma_S < \sigma_L\), schwankt das Ergebnis bei Sarah weniger stark um den Erwartungswert.

Beide Schützen haben einen Erwartungswert von \(\mu = 48\) Treffern. Die Standardabweichung bei Lukas beträgt \(\sigma_L \approx 4{,}38\) und bei Sarah \(\sigma_S \approx 3{,}46\). Da \(\sigma_S < \sigma_L\), schwankt die Trefferanzahl bei Sarah weniger stark.

- Was muss für eine Bernoulli-Kette gelten, damit wir die Binomialverteilung nutzen dürfen? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit „mindestens k“, wenn die Tabelle oder der Taschenrechner nur „höchstens k“ anzeigt? - Denk daran, dass die Zufallsgröße nur ganze Zahlen annehmen kann, wenn du den Bereich um den Erwartungswert betrachtest.

1. Begründung: Die Würfe müssen unabhängig voneinander sein und die Trefferwahrscheinlichkeit muss bei jedem Wurf konstant bleiben. Parameter: \(n = 40\), \(p = 0{,}75\). 2. Wahrscheinlichkeit für mindestens \(35\) Treffer: \(P(X \ge 35) = 1 - P(X \le 34)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \ge 35) \approx 1 - 0{,}9567 = 0{,}0433\), also ca. \(4{,}3\,\%\). 3. Erwartungswert: \(\mu = n \cdot p = 40 \cdot 0{,}75 = 30\). Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{40 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}25} = \sqrt{7{,}5} \approx 2{,}7386\). 4. Intervallwahrscheinlichkeit: Das Intervall ist \([30 - 2{,}74; 30 + 2{,}74] = [27{,}26; 32{,}74]\). Da \(X\) nur ganzzahlige Werte annimmt, wird die Wahrscheinlichkeit \(P(28 \le X \le 32)\) berechnet. Dies entspricht \(P(X \le 32) - P(X \le 27) \approx 0{,}8180 - 0{,}1791 = 0{,}6389\), also ca. \(63{,}9\,\%\).

a) Unabhängigkeit der Versuche und konstante Wahrscheinlichkeit; \(n = 40\), \(p = 0{,}75\). b) \(P(X \ge 35) \approx 0{,}0433\) c) \(\mu = 30\); \(\sigma \approx 2{,}74\) d) \(P(28 \le X \le 32) \approx 0{,}6389\)

- Welche Formel verknüpft die Trefferwahrscheinlichkeit, die Gesamtzahl und den Durchschnittswert? - Erinnere dich an die Formel für die Streuung bei einer Binomialverteilung. - Was besagt die Faustregel für die Anwendung der Normalverteilung als Näherung?

1. Gegeben ist \(p = 0{,}05\). Berechnung von \(n\) über \(E(X) = n \cdot p = 20\): \(n = \frac{20}{0{,}05} = 400\). 2. Berechnung der Standardabweichung mit \(n = 400\) und \(p = 0{,}05\): \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{400 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95} = \sqrt{20 \cdot 0{,}95} = \sqrt{19}\). 3. Numerischer Wert der Standardabweichung: \(\sigma \approx 4{,}3589\). 4. Überprüfung der Laplace-Bedingung: Da \(\sigma \approx 4{,}36 > 3\) ist, ist die Bedingung erfüllt.

a) \(n = 400\) b) \(\sigma = \sqrt{19} \approx 4{,}36\) c) Ja, da \(\sigma \approx 4{,}36 > 3\), ist die Laplace-Bedingung erfüllt.

- Kannst du den Erwartungswert berechnen, auch wenn negative Werte vorkommen? - Achte beim Quadrieren der Abweichungen besonders auf die Vorzeichen, falls der Erwartungswert negativ ist. - Welchen Schritt musst du nach der Berechnung der Varianz noch ausführen, um das Maß für die Streuung in der Originaleinheit zu erhalten?

1. Berechnung des Erwartungswerts \(\mu\): \(\mu = (-2) \cdot 0{,}15 + (-1) \cdot 0{,}25 + 0 \cdot 0{,}30 + 1 \cdot 0{,}20 + 2 \cdot 0{,}10 = -0{,}15\). 2. Berechnung der Varianz: \(V(Y) = \sum (y_i - \mu)^2 \cdot P(Y = y_i)\). Damit gilt \(V(Y) = (-1{,}85)^2 \cdot 0{,}15 + (-0{,}85)^2 \cdot 0{,}25 + 0{,}15^2 \cdot 0{,}30 + 1{,}15^2 \cdot 0{,}20 + 2{,}15^2 \cdot 0{,}10\). 3. Die einzelnen Beiträge sind \(0{,}513375\), \(0{,}180625\), \(0{,}00675\), \(0{,}2645\) und \(0{,}46225\). Ihre Summe ist \(V(Y)=1{,}4275\). 4. Die Standardabweichung ist \(\sigma(Y)=\sqrt{1{,}4275}\approx1{,}19478\), also auf zwei Nachkommastellen \(\sigma(Y)\approx1{,}19\).

\(V(Y) = 1{,}4275\); \(\sigma(Y) \approx 1{,}19\)

- Was muss für die Summe aller Wahrscheinlichkeiten einer Zufallsgröße gelten? - Wie gewichtet man die Werte einer Zufallsgröße mit ihren Wahrscheinlichkeiten? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Varianz und Standardabweichung. - Du kannst die Varianz entweder über die Definition oder mit dem Verschiebungssatz berechnen.

1. Berechnung der fehlenden Wahrscheinlichkeit über die Summennormierung: \(P(X = 10) = 1 - (0{,}1 + 0{,}5 + 0{,}1) = 0{,}3\). 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = -10 \cdot 0{,}1 + 0 \cdot 0{,}5 + 10 \cdot 0{,}3 + 20 \cdot 0{,}1 = -1 + 0 + 3 + 2 = 4\). 3. Berechnung der Varianz: \(V(X) = (-10 - 4)^2 \cdot 0{,}1 + (0 - 4)^2 \cdot 0{,}5 + (10 - 4)^2 \cdot 0{,}3 + (20 - 4)^2 \cdot 0{,}1 = 196 \cdot 0{,}1 + 16 \cdot 0{,}5 + 36 \cdot 0{,}3 + 256 \cdot 0{,}1 = 19{,}6 + 8 + 10{,}8 + 25{,}6 = 64\). 4. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{64} = 8\).

a) \(P(X = 10) = 0{,}3\) b) \(E(X) = 4\) c) \(\sigma(X) = 8\)

- Nutze die Formel für den Erwartungswert, um eine Gleichung mit der Unbekannten aufzustellen. - Wenn du den fehlenden Wert gefunden hast, kannst du die Verteilung vervollständigen. - Wie hängen die quadrierten Abweichungen vom Mittelwert mit der Varianz zusammen?

1. Aufstellen der Gleichung für den Erwartungswert: \(2 \cdot 0{,}4 + 5 \cdot 0{,}4 + k \cdot 0{,}2 = 4{,}4\). 2. Lösen der Gleichung nach \(k\): \(0{,}8 + 2{,}0 + 0{,}2 \cdot k = 4{,}4 \Rightarrow 2{,}8 + 0{,}2 \cdot k = 4{,}4 \Rightarrow 0{,}2 \cdot k = 1{,}6 \Rightarrow k = 8\). 3. Berechnung der Varianz (hier mit dem Verschiebungssatz \(E(Y^2) - (E(Y))^2\)): Zuerst \(E(Y^2) = 2^2 \cdot 0{,}4 + 5^2 \cdot 0{,}4 + 8^2 \cdot 0{,}2 = 1{,}6 + 10 + 12{,}8 = 24{,}4\). 4. Einsetzen in die Formel: \(Var(Y) = 24{,}4 - 4{,}4^2 = 24{,}4 - 19{,}36 = 5{,}04\).

a) \(k = 8\) b) \(Var(Y) = 5{,}04\)

- Stelle zunächst alle möglichen Ergebnisse für die Summe der beiden Ziehungen auf. - Nutze ein Baumdiagramm, um die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Summen zu bestimmen. - Achte darauf, dass beim Ziehen „mit Zurücklegen“ die Wahrscheinlichkeiten für die Farben bei beiden Zügen gleich bleiben. - Berechne zuerst den Erwartungswert, um diesen für die Varianz nutzen zu können.

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(S\): Die möglichen Summen sind \(2+2=4\), \(2+5=7\) und \(5+5=10\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(S=4) = \frac{4}{6} \cdot \frac{4}{6} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}\); \(P(S=7) = 2 \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}\); \(P(S=10) = \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}\). 3. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(S) = 4 \cdot \frac{4}{9} + 7 \cdot \frac{4}{9} + 10 \cdot \frac{1}{9} = \frac{16+28+10}{9} = \frac{54}{9} = 6\). 4. Berechnung der Varianz: \(Var(S) = (4-6)^2 \cdot \frac{4}{9} + (7-6)^2 \cdot \frac{4}{9} + (10-6)^2 \cdot \frac{1}{9} = 4 \cdot \frac{4}{9} + 1 \cdot \frac{4}{9} + 16 \cdot \frac{1}{9} = \frac{16+4+16}{9} = \frac{36}{9} = 4\). 5. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma(S) = \sqrt{4} = 2\).

Der Erwartungswert ist \(E(S) = 6\) und die Standardabweichung beträgt \(\sigma(S) = 2\).

- Erstelle zuerst eine Liste aller möglichen Ergebnisse für jede Zufallsgröße. - Überlege dir, mit welcher Wahrscheinlichkeit jedes Wort aus dem Satz gezogen wird. - Nutze die Formeln für den Erwartungswert und die Varianz bei diskreten Zufallsgrößen. - Für die Varianz bietet sich der Verschiebungssatz \(Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2\) an.

1. Bestimmung der Wortlängen \(X\) für die 6 Wörter: Stochastik (10), ist (3), ein (3), Teilgebiet (10), der (3), Mathematik (10). Die Wahrscheinlichkeit für jedes Wort beträgt \(p = \frac{1}{6}\). 2. Berechnung von \(E(X)\): \(E(X) = \frac{1}{6} \cdot (10 + 3 + 3 + 10 + 3 + 10) = \frac{39}{6} = 6{,}5\). 3. Berechnung von \(Var(X)\): \(E(X^2) = \frac{1}{6} \cdot (100 + 9 + 9 + 100 + 9 + 100) = \frac{327}{6} = 54{,}5\). \(Var(X) = 54{,}5 - 6{,}5^2 = 54{,}5 - 42{,}25 = 12{,}25\). 4. Bestimmung der Vokalanzahl \(Y\): Stochastik (3: o, a, i), ist (1: i), ein (2: e, i), Teilgebiet (5: e, i, e, i, e), der (1: e), Mathematik (4: a, e, a, i). 5. Berechnung von \(E(Y)\): \(E(Y) = \frac{1}{6} \cdot (3 + 1 + 2 + 5 + 1 + 4) = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \approx 2{,}67\). 6. Berechnung von \(Var(Y)\): \(E(Y^2) = \frac{1}{6} \cdot (3^2 + 1^2 + 2^2 + 5^2 + 1^2 + 4^2) = \frac{1}{6} \cdot (9 + 1 + 4 + 25 + 1 + 16) = \frac{56}{6} = \frac{28}{3}\). \(Var(Y) = \frac{28}{3} - (\frac{8}{3})^2 = \frac{84}{9} - \frac{64}{9} = \frac{20}{9} \approx 2{,}22\).

\(E(X) = 6{,}5\); \(Var(X) = 12{,}25\) \(E(Y) = \frac{8}{3} \approx 2{,}67\); \(Var(Y) = \frac{20}{9} \approx 2{,}22\)

- Notiere dir für jedes Produkt die zugehörigen Werte für \(X\) und \(Y\). - Da jedes Produkt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gewählt wird, kannst du die Mittelwerte der Merkmale bilden. - Achte bei der Quersumme darauf, nur die Ziffern der Kennnummer zu addieren. - Denke daran, dass die Varianz ein Maß für die Streuung um den Erwartungswert ist.

1. Analyse der Kennnummern für \(n=5\) gleichwahrscheinliche Fälle (\(p = 0{,}2\)): - A10: \(X=2\), \(Y=1+0=1\) - B200: \(X=3\), \(Y=2+0+0=2\) - C30: \(X=2\), \(Y=3+0=3\) - D4000: \(X=4\), \(Y=4+0+0+0=4\) - E50: \(X=2\), \(Y=5+0=5\) 2. Berechnung für \(X\): \(E(X) = 0{,}2 \cdot (2 + 3 + 2 + 4 + 2) = 0{,}2 \cdot 13 = 2{,}6\). \(E(X^2) = 0{,}2 \cdot (2^2 + 3^2 + 2^2 + 4^2 + 2^2) = 0{,}2 \cdot (4 + 9 + 4 + 16 + 4) = 0{,}2 \cdot 37 = 7{,}4\). \(Var(X) = 7{,}4 - 2{,}6^2 = 7{,}4 - 6{,}76 = 0{,}64\). 3. Berechnung für \(Y\): \(E(Y) = 0{,}2 \cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 0{,}2 \cdot 15 = 3\). \(E(Y^2) = 0{,}2 \cdot (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2) = 0{,}2 \cdot (1 + 4 + 9 + 16 + 25) = 0{,}2 \cdot 55 = 11\). \(Var(Y) = 11 - 3^2 = 11 - 9 = 2\).

\(E(X) = 2{,}6\); \(Var(X) = 0{,}64\) \(E(Y) = 3\); \(Var(Y) = 2\)

- Wie berechnet man den Durchschnittswert bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung? - Welche Schritte sind nötig, um von der Varianz zur Standardabweichung zu kommen? - Überlege dir, welche ganzzahligen Werte der Zufallsgröße über dem berechneten Mittelwert liegen. - Was sagt die Standardabweichung über die Streuung der Werte um das Zentrum aus?

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = 0 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}2 + 3 \cdot 0{,}1 = 0 + 0{,}5 + 0{,}4 + 0{,}3 = 1{,}2\). Im Durchschnitt kauft ein Kunde \(1{,}2\) Kaffeestückchen. 2. Berechnung der Varianz: \(Var(X) = (0 - 1{,}2)^2 \cdot 0{,}2 + (1 - 1{,}2)^2 \cdot 0{,}5 + (2 - 1{,}2)^2 \cdot 0{,}2 + (3 - 1{,}2)^2 \cdot 0{,}1 = 1{,}44 \cdot 0{,}2 + 0{,}04 \cdot 0{,}5 + 0{,}64 \cdot 0{,}2 + 3{,}24 \cdot 0{,}1 = 0{,}288 + 0{,}02 + 0{,}128 + 0{,}324 = 0{,}76\). 3. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma(X) = \sqrt{0{,}76} \approx 0{,}8718\). 4. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für \(X > E(X)\): Da \(E(X) = 1{,}2\), gesucht ist \(P(X > 1{,}2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}3\).

a) \(E(X) = 1{,}2\). Ein Kunde kauft im Durchschnitt \(1{,}2\) Kaffeestückchen. b) \(\sigma(X) \approx 0{,}8718\). c) \(P(X > 1{,}2) = 0{,}3\).

- Was weißt du über die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einer Verteilung? - Wenn du den Durchschnittswert für einen Kunden kennst, wie kommst du auf den Gesamtwert für viele Kunden? - Erinnere dich an die Verschiebungsformel für die Varianz: \(Var(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2\).

1. Bestimmung von \(p\): Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten \(1\) ergeben muss, gilt \(p = 1 - (0{,}4 + 0{,}2 + 0{,}1) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\). 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(Y) = 0 \cdot 0{,}3 + 2 \cdot 0{,}4 + 5 \cdot 0{,}2 + 10 \cdot 0{,}1 = 0 + 0{,}8 + 1{,}0 + 1{,}0 = 2{,}8\). Der erwartete Gutscheinwert pro Kunde beträgt \(2{,}80\,\text{€}\). 3. Berechnung der Gesamtkosten: \(500 \cdot 2{,}80\,\text{€} = 1400\,\text{€}\). 4. Berechnung der Varianz: \(E(Y^2) = 0^2 \cdot 0{,}3 + 2^2 \cdot 0{,}4 + 5^2 \cdot 0{,}2 + 10^2 \cdot 0{,}1 = 0 + 1{,}6 + 5{,}0 + 10{,}0 = 16{,}6\,\text{€}^2\). Damit ist \(Var(Y) = 16{,}6\,\text{€}^2 - (2{,}8\,\text{€})^2 = 8{,}76\,\text{€}^2\). 5. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma(Y) = \sqrt{8{,}76\,\text{€}^2} \approx 2{,}96\,\text{€}\).

a) \(p = 0{,}3\). b) \(E(Y) = 2{,}80\,\text{€}\). Die erwarteten Gesamtkosten betragen \(1400\,\text{€}\). c) \(Var(Y) = 8{,}76\,\text{€}^2\); \(\sigma(Y) \approx 2{,}96\,\text{€}\).

- Was muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einer Verteilung immer ergeben? - Wie wird der Erwartungswert aus den Werten und ihren Wahrscheinlichkeiten berechnet? - Kannst du eine der Wahrscheinlichkeiten direkt aus der Gleichung für den Erwartungswert bestimmen, wenn ein Wert der Zufallsgröße Null ist? - Welche Formeln kennst du, um die Varianz zu berechnen?

1. Aufstellen der Gleichung für die Summe der Wahrscheinlichkeiten: \(p_1 + 0{,}3 + p_2 = 1\), woraus \(p_1 + p_2 = 0{,}7\) folgt. 2. Aufstellen der Gleichung für den Erwartungswert: \(0 \cdot p_1 + 4 \cdot 0{,}3 + 10 \cdot p_2 = 5{,}2\). 3. Lösen der Erwartungswertgleichung nach \(p_2\): \(1{,}2 + 10 \cdot p_2 = 5{,}2 \implies 10 \cdot p_2 = 4{,}0 \implies p_2 = 0{,}4\). 4. Bestimmung von \(p_1\): \(p_1 = 0{,}7 - 0{,}4 = 0{,}3\). 5. Berechnung der Varianz mittels der Formel \(Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2\). Zuerst \(E(X^2) = 0^2 \cdot 0{,}3 + 4^2 \cdot 0{,}3 + 10^2 \cdot 0{,}4 = 0 + 4{,}8 + 40 = 44{,}8\). 6. Finales Ergebnis: \(Var(X) = 44{,}8 - 5{,}2^2 = 44{,}8 - 27{,}04 = 17{,}76\).

a) \(P(X = 0) = 0{,}3\) und \(P(X = 10) = 0{,}4\) b) \(Var(X) = 17{,}76\)

- Stelle zwei Gleichungen für die zwei gesuchten Wahrscheinlichkeiten auf. - Welche Information liefert dir die Summe aller Wahrscheinlichkeiten? - Nutze die Definition des Erwartungswerts für die zweite Gleichung. - Wie hängen Varianz und Standardabweichung mathematisch zusammen?

1. Definition der Unbekannten \(p_1 = P(Y = -2)\) und \(p_2 = P(Y = 4)\). 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: (I) \(p_1 + p_2 = 0{,}6\) (da die Gesamtsumme \(1\) sein muss und \(P(Y=0)=0{,}4\) abgezogen wird) und (II) \(-2 \cdot p_1 + 0 \cdot 0{,}4 + 4 \cdot p_2 = -0{,}6\). 3. Lösen des Systems: Aus (II) folgt \(-2 \cdot p_1 + 4 \cdot p_2 = -0{,}6\). Addition von \(2 \cdot \text{(I)}\) liefert \(6 \cdot p_2 = 0{,}6\), also \(p_2 = 0{,}1\). Einsetzen ergibt \(p_1 = 0{,}5\). 4. Berechnung der Varianz \(V(Y) = E(Y^2) - \mu^2\): \(E(Y^2) = (-2)^2 \cdot 0{,}5 + 0^2 \cdot 0{,}4 + 4^2 \cdot 0{,}1 = 2{,}0 + 0 + 1{,}6 = 3{,}6\). 5. \(V(Y) = 3{,}6 - (-0{,}6)^2 = 3{,}6 - 0{,}36 = 3{,}24\). 6. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{3{,}24} = 1{,}8\).

a) \(P(Y = -2) = 0{,}5\) und \(P(Y = 4) = 0{,}1\) b) \(\sigma = 1{,}8\)

- Wie berechnet man den Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße? - Erinnere dich an die Definition der Varianz als gewichtete Summe der Quadrate der Abweichungen vom Erwartungswert. - Wann kann eine Summe von nicht-negativen Werten (wie Quadraten) insgesamt null ergeben? - Was bedeutet es für ein Zufallsexperiment, wenn ein Ergebnis mit der Wahrscheinlichkeit 1 eintritt?

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = 10 \cdot p + 20 \cdot (1 - p) = 20 - 10 \cdot p\). 2. Aufstellen der Varianzformel: \(\text{Var}(X) = p \cdot (10 - (20 - 10 \cdot p))^2 + (1 - p) \cdot (20 - (20 - 10 \cdot p))^2\). 3. Vereinfachung des Terms: \(\text{Var}(X) = p \cdot (10 \cdot p - 10)^2 + (1 - p) \cdot (10 \cdot p)^2 = 100 \cdot p \cdot (1 - p)^2 + 100 \cdot p^2 \cdot (1 - p) = 100 \cdot p \cdot (1 - p)\). 4. Lösen der Gleichung \(\text{Var}(X) = 0\): \(100 \cdot p \cdot (1 - p) = 0\) liefert \(p_1 = 0\) und \(p_2 = 1\). 5. Interpretation: Die Varianz ist genau dann null, wenn die Zufallsgröße einen festen Wert mit der Wahrscheinlichkeit \(1\) annimmt (deterministischer Fall). Entweder ist \(P(X=20) = 1\) (bei \(p=0\)) oder \(P(X=10) = 1\) (bei \(p=1\)).

a) \(\text{Var}(X) = 100 \cdot p \cdot (1 - p)\) b) \(p = 0\) oder \(p = 1\) c) Die Varianz ist null, wenn die Zufallsgröße konstant ist, also nur ein einziger Wert mit Sicherheit eintritt.

- Überlege dir, wie sich das Ziehen einer Wurzel auf Zahlen auswirkt, die zwischen 0 und 1 liegen. - Wann ist das Quadrat einer Zahl kleiner als die Zahl selbst? - Erinnere dich an die Definition der Varianz für diskrete Zufallsgrößen. - Ein einziges Gegenbeispiel reicht aus, um eine allgemeine Behauptung zu widerlegen.

1. Die Aussage über die Wurzelfunktion ist falsch: Für \(x>1\) gilt \(\sqrt{x}<x\), für \(x=1\) gilt \(\sqrt{x}=x\), und für \(0<x<1\) gilt \(\sqrt{x}>x\). 2. Da \(\sigma=\sqrt{V}\), gilt für die Zahlenwerte \(\sigma>V\) genau dann, wenn \(0<V<1\). Bei einer Zufallsgröße mit Einheit besitzt die Varianz jedoch die quadrierte Einheit, während die Standardabweichung die ursprüngliche Einheit besitzt; ein unmittelbarer Größenvergleich ist dann nicht einheitenunabhängig. 3. Für das dimensionslose Beispiel ist \(E(X)=0\cdot0{,}5+1\cdot0{,}5=0{,}5\). Die Varianz ist \(V(X)=(0-0{,}5)^2\cdot0{,}5+(1-0{,}5)^2\cdot0{,}5=0{,}25\). 4. Die Standardabweichung ist \(\sigma(X)=\sqrt{0{,}25}=0{,}5\). Somit gilt zahlenmäßig \(0{,}5>0{,}25\), und die Behauptung ist widerlegt.

a) Die Aussage ist für Zahlenwerte falsch: \(\sigma>V\) gilt genau für \(0<V<1\). Bei Größen mit Einheit haben Varianz und Standardabweichung unterschiedliche Einheiten, sodass ein direkter Vergleich nicht einheitenunabhängig ist. b) \(V(X)=0{,}25\) und \(\sigma(X)=0{,}5\); damit ist zahlenmäßig \(\sigma(X)>V(X)\).

- Was berechnet man, wenn man jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multipliziert und die Ergebnisse addiert? - Überlege dir, was die Differenz zwischen einem Einzelwert und dem Durchschnitt über die Verteilung aussagt. - Wie nennt man die Kennzahl, die die mittlere quadratische Abweichung vom Durchschnitt beschreibt? - Denke bei der Interpretation an Begriffe wie „langfristiger Durchschnitt“ und „Risiko“ oder „Schwankung“.

1. Berechnung von \(S_1\): \(S_1 = (-5) \cdot 0{,}2 + 0 \cdot 0{,}3 + 10 \cdot 0{,}4 + 20 \cdot 0{,}1 = -1 + 0 + 4 + 2 = 5\,\text{Tsd. €}\). 2. Berechnung von \(S_2\): \(S_2 = (-5-5)^2 \cdot 0{,}2 + (0-5)^2 \cdot 0{,}3 + (10-5)^2 \cdot 0{,}4 + (20-5)^2 \cdot 0{,}1 = 100 \cdot 0{,}2 + 25 \cdot 0{,}3 + 25 \cdot 0{,}4 + 225 \cdot 0{,}1 = 20 + 7{,}5 + 10 + 22{,}5 = 60\,(\text{Tsd. €})^2\). 3. Interpretation: \(S_1 = 5\,\text{Tsd. €}\) stellt den Erwartungswert dar, also den durchschnittlichen Gewinn von \(5000\,\text{€}\), den das Unternehmen pro Projekt auf lange Sicht erwartet. \(S_2 = 60\,(\text{Tsd. €})^2\) ist die Varianz, ein Maß für die Streuung der tatsächlichen Gewinne um diesen Erwartungswert, also für das finanzielle Risiko des Projekts.

\(S_1 = 5\,\text{Tsd. €}\); \(S_2 = 60\,(\text{Tsd. €})^2\). \(S_1\) ist der Erwartungswert (durchschnittlicher Gewinn von \(5000\,\text{€}\)). \(S_2\) ist die Varianz (Maß für die Streuung bzw. das Risiko).

- Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die Summe der Produkte aus Werten und Wahrscheinlichkeiten dem gegebenen Durchschnitt entspricht? - Denke daran, dass alle Wahrscheinlichkeiten zusammen \(1\) ergeben müssen, was hier bereits erfüllt ist. - Sobald du den fehlenden Wert gefunden hast, nutze die Formel für die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert. - Achte darauf, im letzten Schritt die Quadrate der Abstände zum Erwartungswert korrekt mit den Wahrscheinlichkeiten zu gewichten.

1. Aufstellen der Gleichung für den Erwartungswert in Euro: \(E(X) = 0 \cdot 0{,}5 + 5 \cdot 0{,}4 + a \cdot 0{,}1 = 4\). 2. Berechnung von \(a\): \(2 + 0{,}1 \cdot a = 4 \Rightarrow 0{,}1 \cdot a = 2 \Rightarrow a = 20\). Der dritte Auszahlungsbetrag beträgt damit \(20\,\text{€}\). 3. Berechnung der Varianz mit \(E(X) = 4\,\text{€}\): \(V(X) = (0 - 4)^2 \cdot 0{,}5 + (5 - 4)^2 \cdot 0{,}4 + (20 - 4)^2 \cdot 0{,}1\). 4. Ausrechnen der Terme: \(V(X) = 16 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 0{,}4 + 256 \cdot 0{,}1 = 34\,\text{€}^2\).

\(a = 20\); die Varianz beträgt \(34\,\text{€}^2\).

- Stelle zuerst einen Term für die Varianz in Abhängigkeit von \(p\) auf. - Überlege dir, warum es ausreicht, das Maximum der Varianz zu suchen, anstatt direkt mit der Standardabweichung zu rechnen. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, den höchsten Punkt einer Funktion zu finden? - In welchem Bereich muss der Wert für eine Wahrscheinlichkeit \(p\) liegen?

1. Aufstellen der Varianzfunktion in Abhängigkeit von \(p\): \(V(p) = 1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1 - p) - p^2 = p - p^2\). 2. Da die Standardabweichung \(\sigma(p) = \sqrt{V(p)}\) für nichtnegative Argumente streng monoton wächst, liegt ihr Maximum an derselben Stelle wie das Maximum der Varianz. 3. Ableiten der Varianzfunktion: \(V'(p) = 1 - 2p\). 4. Bestimmung der Extremstelle durch Nullsetzen der ersten Ableitung: \(1 - 2p = 0 \Rightarrow p = 0{,}5\). 5. Überprüfung der Art des Extremums: Die zweite Ableitung \(V''(p) = -2\) ist negativ, folglich liegt ein lokales Maximum vor. 6. Da die Randwerte \(V(0) = 0\) und \(V(1) = 0\) kleiner sind als \(V(0{,}5) = 0{,}25\), ist \(p = 0{,}5\) die globale Maximalstelle im Intervall \([0; 1]\).

\(p = 0{,}5\)

- Welche grundlegende Eigenschaft müssen alle Wahrscheinlichkeiten einer Verteilung gemeinsam erfüllen? - Wie hängen der Erwartungswert und die Varianz formal mit den Werten der Zufallsgröße und ihren Wahrscheinlichkeiten zusammen? - Kennst du eine Formel für die Varianz, die das Rechnen mit \(E(X^2)\) ermöglicht? - Wie viele Gleichungen benötigst du, um drei unbekannte Wahrscheinlichkeiten eindeutig zu bestimmen?

1. Aufstellen des Gleichungssystems basierend auf den Definitionen: I. Summe der Wahrscheinlichkeiten: \(p_1 + p_2 + p_3 = 1\) II. Erwartungswert: \(2 \cdot p_1 + 4 \cdot p_2 + 6 \cdot p_3 = 4{,}2\) III. Varianz über den Verschiebungssatz \(Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2\): \(E(X^2) = 1{,}16 + 4{,}2^2 = 1{,}16 + 17{,}64 = 18{,}8\) Daraus folgt: \(4 \cdot p_1 + 16 \cdot p_2 + 36 \cdot p_3 = 18{,}8\) 2. Lösen des linearen Gleichungssystems: Aus \(\text{II} - 2 \cdot \text{I}\) folgt: \(2 \cdot p_2 + 4 \cdot p_3 = 2{,}2 \Rightarrow p_2 + 2 \cdot p_3 = 1{,}1\) Aus \(\text{III} - 4 \cdot \text{I}\) folgt: \(12 \cdot p_2 + 32 \cdot p_3 = 14{,}8 \Rightarrow 3 \cdot p_2 + 8 \cdot p_3 = 3{,}7\) Einsetzen von \(p_2 = 1{,}1 - 2 \cdot p_3\) in die zweite Gleichung: \(3 \cdot (1{,}1 - 2 \cdot p_3) + 8 \cdot p_3 = 3{,}7 \Rightarrow 3{,}3 + 2 \cdot p_3 = 3{,}7 \Rightarrow p_3 = 0{,}2\) 3. Berechnung der weiteren Werte: \(p_2 = 1{,}1 - 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}7\) und \(p_1 = 1 - 0{,}7 - 0{,}2 = 0{,}1\).

\(P(X=2) = 0{,}1\); \(P(X=4) = 0{,}7\); \(P(X=6) = 0{,}2\)

- Welche Eigenschaft müssen alle Wahrscheinlichkeiten einer Verteilung in der Summe erfüllen? - Wie hängen Erwartungswert, Varianz und die Quadrate der Zufallswerte zusammen? - Kannst du aus der Symmetrie der Tabelle direkt eine Vereinfachung für die Berechnungen ableiten? - Versuche, ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten aufzustellen.

1. Aufstellen der Summenbedingung für Wahrscheinlichkeiten: \(2 \cdot p + 2 \cdot q + 0{,}2 = 1\), woraus \(p + q = 0{,}4\) bzw. \(q = 0{,}4 - p\) folgt. 2. Berechnung des Erwartungswerts der Quadrate \(E(X^2)\) unter Nutzung der Varianzformel \(\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2\): \(E(X^2) = 2{,}48 + 3^2 = 11{,}48\). 3. Aufstellen der Gleichung für \(E(X^2)\): \(E(X^2) = 1^2 \cdot p + 2^2 \cdot q + 3^2 \cdot 0{,}2 + 4^2 \cdot q + 5^2 \cdot p = 26 \cdot p + 20 \cdot q + 1{,}8\). 4. Einsetzen von \(q = 0{,}4 - p\) in die Gleichung für \(E(X^2)\): \(26 \cdot p + 20 \cdot (0{,}4 - p) + 1{,}8 = 11{,}48\). 5. Vereinfachen und Lösen nach \(p\): \(6 \cdot p + 8 + 1{,}8 = 11{,}48 \implies 6 \cdot p = 1{,}68 \implies p = 0{,}28\). 6. Bestimmung von \(q\): \(q = 0{,}4 - 0{,}28 = 0{,}12\).

\(p = 0{,}28\) und \(q = 0{,}12\)

- Überlege dir, wie viele Gleichungen du benötigst, um drei Unbekannte zu bestimmen. - Verwende die Definitionen für den Erwartungswert und die Varianz, um zwei dieser Gleichungen aufzustellen. - Die dritte Gleichung ergibt sich immer aus der Summe aller Wahrscheinlichkeiten. - Kannst du das Gleichungssystem schrittweise reduzieren, indem du eine Variable eliminierst?

1. Aufstellen der drei Grundgleichungen: I. Summe der Wahrscheinlichkeiten: \(a + b + c = 1\) II. Erwartungswert: \(E(Z) = -2 \cdot a + 0 \cdot b + 2 \cdot c = 0{,}4 \implies c - a = 0{,}2\) III. Varianz: \(\text{Var}(Z) = E(Z^2) - (E(Z))^2 = ((-2)^2 \cdot a + 0^2 \cdot b + 2^2 \cdot c) - 0{,}4^2 = 4 \cdot a + 4 \cdot c - 0{,}16 = 2{,}24\) 2. Lösen von Gleichung III nach \(a + c\): \(4 \cdot a + 4 \cdot c = 2{,}4 \implies a + c = 0{,}6\). 3. Lösen des Systems aus \(c - a = 0{,}2\) und \(c + a = 0{,}6\): Addition ergibt \(2 \cdot c = 0{,}8 \implies c = 0{,}4\); Subtraktion ergibt \(2 \cdot a = 0{,}4 \implies a = 0{,}2\). 4. Einsetzen in Gleichung I zur Bestimmung von \(b\): \(0{,}2 + b + 0{,}4 = 1 \implies b = 0{,}4\).

\(a = 0{,}2\), \(b = 0{,}4\) und \(c = 0{,}4\)

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, zwei Kugeln aus den fünf vorhandenen auszuwählen. - Liste alle Paare auf, die zu einer bestimmten Summe führen, und achte darauf, wie oft jede Zahl in der Urne vorkommt. - Für den Erwartungswert multiplizierst du jeden Wert der Zufallsgröße mit seiner Wahrscheinlichkeit und summierst die Ergebnisse. - Die Varianz misst die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Möglichkeiten: Es gibt \(\binom{5}{2} = 10\) gleichwahrscheinliche Paare von Kugeln. 2. Identifikation der möglichen Summen \(x_i\) und ihrer Häufigkeiten: - \(X = 2\): Kombination \((1,1)\) tritt \(1\)-mal auf. \(P(X = 2) = \frac{1}{10} = 0{,}1\). - \(X = 3\): Kombinationen \((1,2)\) treten \(2\)-mal auf (zwei verschiedene 1er-Kugeln). \(P(X = 3) = \frac{2}{10} = 0{,}2\). - \(X = 4\): Kombinationen \((1,3)\) treten \(2 \cdot 2 = 4\)-mal auf. \(P(X = 4) = \frac{4}{10} = 0{,}4\). - \(X = 5\): Kombinationen \((2,3)\) treten \(1 \cdot 2 = 2\)-mal auf. \(P(X = 5) = \frac{2}{10} = 0{,}2\). - \(X = 6\): Kombination \((3,3)\) tritt \(1\)-mal auf. \(P(X = 6) = \frac{1}{10} = 0{,}1\). 3. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = 2 \cdot 0{,}1 + 3 \cdot 0{,}2 + 4 \cdot 0{,}4 + 5 \cdot 0{,}2 + 6 \cdot 0{,}1 = 0{,}2 + 0{,}6 + 1{,}6 + 1{,}0 + 0{,}6 = 4{,}0\). 4. Berechnung der Varianz: \(V(X) = (2-4)^2 \cdot 0{,}1 + (3-4)^2 \cdot 0{,}2 + (4-4)^2 \cdot 0{,}4 + (5-4)^2 \cdot 0{,}2 + (6-4)^2 \cdot 0{,}1 = 4 \cdot 0{,}1 + 1 \cdot 0{,}2 + 0 + 1 \cdot 0{,}2 + 4 \cdot 0{,}1 = 1{,}2\).

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table border="1"> <tr> <td>\(x_i\)</td> <td>2</td> <td>3</td> <td>4</td> <td>5</td> <td>6</td> </tr> <tr> <td>\(P(X = x_i)\)</td> <td>\(0{,}1\)</td> <td>\(0{,}2\)</td> <td>\(0{,}4\)</td> <td>\(0{,}2\)</td> <td>\(0{,}1\)</td> </tr> </table> b) \(E(X) = 4\); \(V(X) = 1{,}2\)

- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer, wenn eine von vier Antworten richtig ist? - Beachte den Zusammenhang zwischen Varianz und Standardabweichung. - „Mindestens zehn“ bedeutet, dass du das Gegenereignis von „höchstens neun“ betrachten kannst.

a) Die Parameter sind \(n = 30\), \(p_X = 0{,}25\) und \(p_Y = 0{,}75\). Damit gilt \(E(X) = 30 \cdot 0{,}25 = 7{,}5\) und \(E(Y) = 30 \cdot 0{,}75 = 22{,}5\). Weiter ist \(V(X) = V(Y) = 30 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75 = 5{,}625\), also \(\sigma(X) = \sigma(Y) = \sqrt{5{,}625} \approx 2{,}3717\). b) \(P(X \ge 10) = 1 - P(X \le 9) \approx 1 - 0{,}8034 = 0{,}1966\).

a) \(E(X) = 7{,}5\); \(E(Y) = 22{,}5\); \(\sigma(X) = \sigma(Y) \approx 2{,}37\) b) \(P(X \ge 10) \approx 0{,}1966\) (bzw. \(19{,}66\,\%\))

- Stelle die Formel für die Varianz als Funktion von \(p\) auf. Welchen Typ von Funktion erhältst du? - Erinnere dich an die Eigenschaften von Parabeln, um den Scheitelpunkt zu finden. - Berechne zuerst die Dezimalzahlen für die Intervallgrenzen und liste dann alle ganzen Zahlen auf, die dazwischen liegen.

1. Die Varianz ist gegeben durch \(V(p) = 200 \cdot p \cdot (1 - p) = 200 \cdot p - 200 \cdot p^2\). Dies ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Nullstellen bei \(p = 0\) und \(p = 1\). Das Maximum liegt genau in der Mitte bei \(p = 0{,}5\). Die maximale Varianz beträgt \(V(0{,}5) = 200 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 50\). Die Standardabweichung ist \(\sigma = \sqrt{50} \approx 7{,}07\). 2. Für \(p = 0{,}15\) gilt: \(\mu = 200 \cdot 0{,}15 = 30\). Die Varianz ist \(Var(X) = 30 \cdot 0{,}85 = 25{,}5\). Die Standardabweichung ist \(\sigma = \sqrt{25{,}5} \approx 5{,}05\). Das Intervall lautet \([30 - 5{,}05; 30 + 5{,}05] = [24{,}95; 35{,}05]\). Die darin enthaltenen ganzzahligen Werte sind \(k \in \{25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35\}\).

1. \(p = 0{,}5\); \(\sigma \approx 7{,}07\) 2. \(\mu = 30\); \(\sigma \approx 5{,}05\); \(k \in \{25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35\}\)

- Welche Formeln gelten für Erwartungswert und Standardabweichung bei einer Binomialverteilung? - Wie lässt sich eine Betragsungleichung der Form \(|x - a| \le b\) ohne Betragsstriche als Intervall schreiben? - Überlege dir, welche ganzen Zahlen in das berechnete Intervall fallen. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich von Werten mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion?

1. Der Erwartungswert berechnet sich durch \(\mu = n \cdot p = 50 \cdot 0{,}4 = 20\). Die Varianz ist \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p) = 50 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6 = 12\). Damit ergibt sich die Standardabweichung zu \(\sigma = \sqrt{12} \approx 3{,}46\). 2. Die Ungleichung \(|X - 20| \le 3{,}46\) ist äquivalent zu \(20 - 3{,}46 \le X \le 20 + 3{,}46\), also \(16{,}54 \le X \le 23{,}46\). Die ganzzahligen Werte im Intervall sind \(\{17, 18, 19, 20, 21, 22, 23\}\). 3. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich als \(P(17 \le X \le 23) = P(X \le 23) - P(X \le 16)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 23) \approx 0{,}8438\) und \(P(X \le 16) \approx 0{,}1561\). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit \(0{,}8438 - 0{,}1561 = 0{,}6877\).

1. \(\mu = 20\); \(\sigma \approx 3{,}46\) 2. \(k \in \{17, 18, 19, 20, 21, 22, 23\}\) 3. \(P(|X - \mu| \le \sigma) \approx 0{,}6877\)

- Welche Formeln kennst du für den Erwartungswert und die Varianz einer Binomialverteilung? - Kannst du die Bedingung „die Varianz ist \(60\,\%\) des Erwartungswerts“ als mathematische Gleichung schreiben? - Wie hängen Varianz und Standardabweichung zusammen? - Überlege, welche Variable sich direkt aus dem Verhältnis von Varianz zu Erwartungswert berechnen lässt.

1. Aufstellen der Formeln für den Erwartungswert \(E(X) = n \cdot p\) und die Varianz \(V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)\). 2. Einsetzen in die gegebene Bedingung \(V(X) = 0{,}6 \cdot E(X)\) ergibt \(n \cdot p \cdot (1 - p) = 0{,}6 \cdot n \cdot p\). 3. Durch Division beider Seiten durch \(n \cdot p\) (da \(n > 0\) und \(0 < p < 1\)) erhält man \(1 - p = 0{,}6\). Daraus folgt \(p = 0{,}4\). 4. Verwendung der Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{6}\) zur Bestimmung der Varianz: \(V(X) = \sigma^2 = 6\). 5. Einsetzen der Varianz in den Zusammenhang aus der Aufgabenstellung: \(6 = 0{,}6 \cdot E(X) \implies E(X) = 10\). 6. Auflösen der Formel für den Erwartungswert nach \(n\): \(10 = n \cdot 0{,}4 \implies n = 25\).

a) \(p = 0{,}4\) b) \(n = 25\)

- Welche Formeln verknüpfen die Parameter \(n\) und \(p\) mit dem Erwartungswert und der Varianz? - Kannst du eine der Gleichungen so umstellen, dass du sie in die andere einsetzen kannst? - Was bedeutet es für die Berechnung, wenn die Anzahl der Erfolge genau dem Erwartungswert entsprechen soll?

1. Aus dem Erwartungswert \(\mu = n \cdot p = 15\) und der Varianz \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) = 12{,}75\) ergibt sich durch Einsetzen: \(15 \cdot (1 - p) = 12{,}75\). 2. Auflösen nach \(p\): \(1 - p = 0{,}85 \implies p = 0{,}15\). 3. Bestimmung von \(n\): \(n \cdot 0{,}15 = 15 \implies n = 100\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(X = 15)\) mit der Bernoulli-Formel: \(P(X = 15) = \binom{100}{15} \cdot 0{,}15^{15} \cdot 0{,}85^{85} \approx 0{,}1111\).

a) \(n = 100\); \(p = 0{,}15\) b) \(P(X = 15) \approx 11{,}11\,\%\)

- Wie hängen Varianz und Standardabweichung zusammen? - Stelle ein Gleichungssystem mit den Parametern \(n\) und \(p\) auf. - Überlege dir, wie die Wahrscheinlichkeit \(p\) mit der Anzahl der Sektoren \(k\) zusammenhängt, wenn nur ein Sektor gewinnt.

1. Die Varianz berechnet sich aus der Standardabweichung: \(\sigma^2 = 2^2 = 4\). 2. Unter Verwendung von \(\mu = n \cdot p = 5\) und \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) = 4\) folgt durch Division oder Einsetzen: \(5 \cdot (1 - p) = 4\). 3. Berechnung von \(p\): \(1 - p = 0{,}8 \implies p = 0{,}2\). 4. Berechnung von \(n\): \(n \cdot 0{,}2 = 5 \implies n = 25\). 5. Da ein Sektor von \(k\) Sektoren ein Gewinn ist, gilt \(p = \frac{1}{k}\). Daraus folgt \(\frac{1}{k} = 0{,}2 \implies k = 5\).

\(n = 25\); \(k = 5\)

- Welche Formeln verknüpfen \(n\) und \(p\) mit dem Erwartungswert und der Varianz? - Kannst du den Ausdruck für den Erwartungswert in der Formel für die Varianz wiederfinden? - Was bedeutet „proportional“ im mathematischen Sinne für die Form einer Funktionsgleichung? - Überlege, wie sich eine Wurzel auf das Wachstumsverhalten einer Größe auswirkt.

1. Aufstellen des Gleichungssystems mit den Formeln für Erwartungswert und Varianz: \(n \cdot p = 12\) und \(n \cdot p \cdot (1 - p) = 9\). 2. Substitution von \(n \cdot p\) in der Varianzformel: \(12 \cdot (1 - p) = 9\). 3. Lösen nach \(p\): \(1 - p = 0{,}75 \implies p = 0{,}25\). 4. Einsetzen von \(p\) in den Erwartungswert: \(n \cdot 0{,}25 = 12 \implies n = 48\). 5. Analyse der Proportionalität: Da \(p\) konstant ist, ist auch der Faktor \(k = p \cdot (1 - p)\) konstant. Wegen \(0 < p < 1\) gilt \(k > 0\). Somit ist \(V(n) = k \cdot n\) eine lineare Funktion durch den Ursprung, was direkt proportionales Wachstum bedeutet. 6. Verhalten der Standardabweichung: Da \(\sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{k \cdot n} = \sqrt{k} \cdot \sqrt{n}\), wächst die Standardabweichung nicht proportional zu \(n\), sondern proportional zur Wurzel aus \(n\).

a) \(p = 0{,}25\) und \(n = 48\). b) Die Varianz wächst proportional zu \(n\), da \(V(X) = (p \cdot (1-p)) \cdot n\) eine lineare Form \(y = m \cdot x\) mit \(m > 0\) hat. Die Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{p \cdot (1-p)} \cdot \sqrt{n}\) wächst hingegen nur mit der Wurzel des Stichprobenumfangs \(\sqrt{n}\).

- Berechne zuerst den Erwartungswert und die Standardabweichung für die gegebenen Parameter. - Denk daran, dass für das \(2 \cdot \sigma\)-Intervall die doppelte Standardabweichung vom Erwartungswert subtrahiert und addiert wird. - Achte bei der Bestimmung der Trefferzahlen darauf, welche ganzen Zahlen tatsächlich im Intervall liegen.

1. Berechnung der Kenngrößen: \(\mu = 80 \cdot 0{,}2 = 16\) und \(\sigma = \sqrt{80 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8} = \sqrt{12{,}8} \approx 3{,}58\). 2. Bestimmung des \(2 \cdot \sigma\)-Intervalls: \(2 \cdot \sigma \approx 7{,}16\), woraus das Intervall \([16 - 7{,}16; 16 + 7{,}16] = [8{,}84; 23{,}16]\) folgt. Die enthaltenen Trefferzahlen sind \(\{9; 10; \dots; 23\}\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P(9 \le X \le 23) = P(X \le 23) - P(X \le 8) \approx 0{,}9783 - 0{,}0131 = 0{,}9652\).

a) Intervall: \([8{,}84; 23{,}16]\); Trefferzahlen: \(\{9; 10; \dots; 23\}\) b) \(P(9 \le X \le 23) \approx 0{,}9652\)

- Wie hängen Erwartungswert und Standardabweichung bei einer Binomialverteilung mit \(n\) und \(p\) zusammen? - Welche ganzzahligen Werte für \(Y\) liegen innerhalb des Bereichs um den Erwartungswert? - Wie berechnet man die relative Häufigkeit aus der absoluten Anzahl \(Y\) und dem Stichprobenumfang? - Setze den Wert für \(k\) in die Formel ein und überlege dir, was das Ergebnis für die Sicherheit der Vorhersage bedeutet.

1. Erwartungswert \(\mu = n \cdot p = 500 \cdot 0{,}04 = 20\). Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{20 \cdot 0{,}96} = \sqrt{19{,}2} \approx 4{,}38\). 2. Die Bedingung \(|Y - \mu| \le \sigma\) entspricht dem Intervall \([20 - 4{,}38; 20 + 4{,}38] = [15{,}62; 24{,}38]\). Da \(Y\) nur ganzzahlige Werte annimmt, liegen die möglichen Werte im Bereich \(16 \le Y \le 24\). 3. Die relative Häufigkeit ist definiert als \(h = \frac{Y}{n}\). Die kleinste relative Häufigkeit ist \(h_{\min} = \frac{16}{500} = 0{,}032 = 3{,}2\,\%\) und die größte ist \(h_{\max} = \frac{24}{500} = 0{,}048 = 4{,}8\,\%\). 4. Für \(k = 3\) ergibt sich \(1 - \frac{1}{3^2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \approx 88{,}9\,\%\). Die Ungleichung besagt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der positiven Testergebnisse um weniger als drei Standardabweichungen vom Erwartungswert abweicht (also im Intervall \(]20 - 3 \cdot \sigma; 20 + 3 \cdot \sigma[\) liegt), mindestens \(\frac{8}{9}\) beträgt.

a) \(\mu = 20\); \(\sigma \approx 4{,}38\) b) kleinstmögliche relative Häufigkeit: \(3{,}2\,\%\); größtmögliche relative Häufigkeit: \(4{,}8\,\%\) c) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der positiven Ergebnisse im Bereich \(]20 - 3 \cdot \sigma; 20 + 3 \cdot \sigma[\) liegt, beträgt mindestens \(\frac{8}{9}\) (ca. \(88{,}9\,\%\)).

- Was ist der durchschnittlich zu erwartende Wert bei dieser Stichprobengröße? - Wie stark schwanken die Werte normalerweise um diesen Durchschnitt? - Gibt es eine Regel, mit der man einen Bereich festlegen kann, in dem die meisten Ergebnisse liegen? - Überlege, ob der beobachtete Wert noch nah genug am Erwartungswert liegt oder bereits zu weit abweicht.

1. Bestimmung der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 50\) und \(p = 0{,}3\). 2. Erwartungswert: \(\mu = 50 \cdot 0{,}3 = 15\). 3. Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{50 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7} = \sqrt{10{,}5} \approx 3{,}24\). 4. Das \(2 \cdot \sigma\)-Intervall ist \([15 - 2 \cdot 3{,}24; 15 + 2 \cdot 3{,}24] = [8{,}52; 21{,}48]\). 5. Da \(22 > 21{,}48\), liegt der beobachtete Wert außerhalb der \(2 \cdot \sigma\)-Umgebung.

Ja. Nach der \(2 \cdot \sigma\)-Regel ist das Ergebnis außergewöhnlich, weil \(22\) außerhalb des Intervalls \([8{,}52; 21{,}48]\) liegt. Damit ist keine Aussage über statistische Signifikanz im Sinne eines Signifikanztests verbunden.

- Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Radfahrer in einer festen Stichprobe? - Wie berechnet man den Wert, den man im Durchschnitt erwarten würde? - Kennst du eine Kennzahl, die die Streuung um diesen Durchschnittswert beschreibt? - Welcher Bereich deckt üblicherweise die meisten Ergebnisse ab, die noch als „normal“ oder „verträglich“ gelten?

1. Bestimmung der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 100\) und \(p = 0{,}2\). 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 100 \cdot 0{,}2 = 20\). 3. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{100 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8} = \sqrt{16} = 4\). 4. Anwendung der \(2 \cdot \sigma\)-Regel für den Verträglichkeitsbereich: \([\mu - 2 \cdot \sigma; \mu + 2 \cdot \sigma]\). 5. Einsetzen der Werte: \([20 - 2 \cdot 4; 20 + 2 \cdot 4] = [20 - 8; 20 + 8] = [12; 28]\). Ergebnisse zwischen \(12\) und \(28\) Radfahrern (einschließlich) gelten als verträglich.

Die Ergebnisse im Bereich von \(12\) bis \(28\) Radfahrern sind mit dem Anteil in der Gesamtheit verträglich.

- Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge bei unabhängigen Versuchen? - Wie hängen Erwartungswert und Standardabweichung mit den Parametern \(n\) und \(p\) zusammen? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Wert „außerhalb“ eines Bereichs liegt? - Denke daran, dass die Trefferzahl nur ganzzahlig sein kann.

1. Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 60\) und \(p = \frac{1}{6}\). Der Erwartungswert ist \(\mu = 60 \cdot \frac{1}{6} = 10\). Die Standardabweichung ist \(\sigma = \sqrt{60 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}} = \sqrt{\frac{50}{6}} \approx 2{,}89\). 2. Das Intervall ist \([10 - 2 \cdot 2{,}89; 10 + 2 \cdot 2{,}89] = [4{,}22; 15{,}78]\). Innerhalb liegen die ganzzahligen Werte \(5,6,\dots,15\). Außerhalb liegen \(0\) bis \(4\) sowie \(16\) bis \(60\). Bei diesen Ergebnissen würde man nach der vorgegebenen Regel eine Manipulation vermuten; die Regel allein beweist sie nicht.

1. \(\mu = 10\); \(\sigma \approx 2{,}89\) 2. Nach der vorgegebenen Regel würde man bei \(0\) bis \(4\) oder bei \(16\) bis \(60\) Sechsen eine Manipulation vermuten.

- Wie groß muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einer Verteilung sein? - Der Erwartungswert ist der Durchschnittswert bei sehr vielen Wiederholungen. - Für die Standardabweichung musst du zuerst die Varianz berechnen, indem du die quadrierten Abweichungen vom Erwartungswert mit den Wahrscheinlichkeiten multiplizierst.

1. Berechnung von \(P(X = 0)\): Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 sein muss, gilt \(P(X = 0) = 1 - (0{,}05 + 0{,}25) = 1 - 0{,}30 = 0{,}70\). 2. Berechnung des Erwartungswerts \(E(X)\): \(0 \cdot 0{,}70 + 2 \cdot 0{,}25 + 10 \cdot 0{,}05 = 0 + 0{,}50 + 0{,}50 = 1{,}00\). Das Ergebnis ist \(1{,}00\,\text{€}\). 3. Berechnung der Varianz \(Var(X)\): \((0 - 1)^2 \cdot 0{,}70 + (2 - 1)^2 \cdot 0{,}25 + (10 - 1)^2 \cdot 0{,}05 = 1 \cdot 0{,}70 + 1 \cdot 0{,}25 + 81 \cdot 0{,}05 = 0{,}70 + 0{,}25 + 4{,}05 = 5{,}00\). 4. Berechnung der Standardabweichung \(\sigma(X)\): \(\sqrt{Var(X)} = \sqrt{5} \approx 2{,}236\).

a) \(P(X = 0) = 0{,}70\) b) \(E(X) = 1{,}00\,\text{€}\) c) \(\sigma(X) \approx 2{,}24\,\text{€}\)

- Überlege dir zuerst, welche Werte die Zufallsgröße annehmen kann und wie man deren Wahrscheinlichkeiten mit einem Baumdiagramm bestimmt. - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um die quadrierten Klammern in der Varianzformel aufzulösen. - Achte beim Zusammenfassen der Terme in Aufgabenteil c) besonders auf die Vorzeichen und die Potenzen von \(p\).

1. Wahrscheinlichkeitsverteilung: \(P(X=0) = (1-p)^2\), \(P(X=1) = 2 \cdot p \cdot (1-p)\), \(P(X=2) = p^2\). 2. Erwartungswert: \(E(X) = 0 \cdot (1-p)^2 + 1 \cdot 2 \cdot p \cdot (1-p) + 2 \cdot p^2 = 2 \cdot p - 2 \cdot p^2 + 2 \cdot p^2 = 2 \cdot p\). 3. Varianzberechnung: \(V(X) = (0 - 2 \cdot p)^2 \cdot (1-p)^2 + (1 - 2 \cdot p)^2 \cdot 2 \cdot p \cdot (1-p) + (2 - 2 \cdot p)^2 \cdot p^2\) \(V(X) = 4 \cdot p^2 \cdot (1 - 2 \cdot p + p^2) + (1 - 4 \cdot p + 4 \cdot p^2) \cdot (2 \cdot p - 2 \cdot p^2) + 4 \cdot (1 - p)^2 \cdot p^2\) \(V(X) = (4 \cdot p^2 - 8 \cdot p^3 + 4 \cdot p^4) + (2 \cdot p - 2 \cdot p^2 - 8 \cdot p^2 + 8 \cdot p^3 + 8 \cdot p^3 - 8 \cdot p^4) + (4 \cdot p^2 - 8 \cdot p^3 + 4 \cdot p^4)\) 4. Vereinfachung: Nach dem Zusammenfassen aller Terme bleibt \(V(X) = 2 \cdot p - 2 \cdot p^2 = 2 \cdot p \cdot (1-p)\).

a) \(P(X=0) = (1-p)^2\); \(P(X=1) = 2 \cdot p \cdot (1-p)\); \(P(X=2) = p^2\) b) \(E(X) = 2 \cdot p\) c) \(V(X) = 4 \cdot p^2 \cdot (1-p)^2 + (1-2 \cdot p)^2 \cdot 2 \cdot p \cdot (1-p) + 4 \cdot (1-p)^2 \cdot p^2 = 2 \cdot p \cdot (1-p)\)

- Setze die gegebenen Werte in die Formel für die Varianz ein und löse nach der unbekannten Größe auf. - Eine quadratische Gleichung kann mit bekannten Verfahren wie der \(pq\)-Formel gelöst werden. - Überlege dir, wie der Erwartungswert mit \(n\) und \(p\) zusammenhängt. - Bei welchem Wert für \(p\) ist das Produkt \(p \cdot (1-p)\) am größten?

1. Aufstellen der Gleichung für die Varianz: \(250 \cdot p \cdot (1 - p) = 40\). Umformen zu einer quadratischen Gleichung: \(p - p^2 = \frac{40}{250} = 0{,}16\), also \(p^2 - p + 0{,}16 = 0\). Lösen mit der \(pq\)-Formel: \(p_{1,2} = 0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 - 0{,}16} = 0{,}5 \pm \sqrt{0{,}09} = 0{,}5 \pm 0{,}3\). Daraus folgen \(p_1 = 0{,}8\) und \(p_2 = 0{,}2\). 2. Berechnung der Erwartungswerte: Für \(p_1 = 0{,}8\): \(E_1 = 250 \cdot 0{,}8 = 200\). Für \(p_2 = 0{,}2\): \(E_2 = 250 \cdot 0{,}2 = 50\). 3. Bestimmung der maximalen Varianz: Die Varianz \(V(p) = n \cdot p \cdot (1-p)\) einer Binomialverteilung ist bei \(p = 0{,}5\) am größten. Einsetzen von \(p = 0{,}5\) und \(n = 250\): \(V_{\max} = 250 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 250 \cdot 0{,}25 = 62{,}5\).

a) \(p_1 = 0{,}8\) und \(p_2 = 0{,}2\). b) \(E_1 = 200\) und \(E_2 = 50\). c) Die maximale Varianz beträgt \(62{,}5\).

- Was bedeutet \(E(X^2)\) im Vergleich zum normalen Erwartungswert? - Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung für alle Werte von 0 bis 5 auf. - Achte beim Quadrieren des Erwartungswerts auf die richtige Dezimalstelle. - Nutze die Symmetrie der Binomialkoeffizienten bei \(p = 0{,}5\), um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = n \cdot p = 5 \cdot 0{,}5 = 2{,}5\). 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilung \(P(X = k) = \binom{5}{k} \cdot 0{,}5^5\): \(P(0) = \frac{1}{32}\), \(P(1) = \frac{5}{32}\), \(P(2) = \frac{10}{32}\), \(P(3) = \frac{10}{32}\), \(P(4) = \frac{5}{32}\), \(P(5) = \frac{1}{32}\). 3. Berechnung von \(E(X^2) = \sum k^2 \cdot P(X = k)\): \(E(X^2) = (0^2 \cdot 1 + 1^2 \cdot 5 + 2^2 \cdot 10 + 3^2 \cdot 10 + 4^2 \cdot 5 + 5^2 \cdot 1) \cdot \frac{1}{32} = (0 + 5 + 40 + 90 + 80 + 25) \cdot \frac{1}{32} = \frac{240}{32} = 7{,}5\). 4. Anwendung des Verschiebungssatzes: \(V(X) = 7{,}5 - 2{,}5^2 = 7{,}5 - 6{,}25 = 1{,}25\).

Die Varianz beträgt \(V(X) = 1{,}25\).

- Welche Formeln verknüpfen \(n\) und \(p\) mit dem Erwartungswert und der Varianz? - Kannst du den Erwartungswert direkt in die Formel für die Varianz einsetzen, um eine Unbekannte zu eliminieren? - Nutze für den zweiten Teil die Bernoulli-Formel mit den zuvor ermittelten Parametern.

1. Aufstellen des Gleichungssystems: I) \(n \cdot p = 12\) und II) \(n \cdot p \cdot (1 - p) = 7{,}2\). 2. Einsetzen von I in II: \(12 \cdot (1 - p) = 7{,}2\). Daraus folgt \(1 - p = 0{,}6\), also \(p = 0{,}4\). 3. Berechnung von \(n\): Einsetzen von \(p = 0{,}4\) in I ergibt \(n \cdot 0{,}4 = 12\), woraus \(n = 30\) folgt. 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P(X = 12) = \binom{30}{12} \cdot 0{,}4^{12} \cdot 0{,}6^{18} \approx 86\,493\,225 \cdot 1{,}6777 \cdot 10^{-5} \cdot 1{,}0156 \cdot 10^{-4} \approx 0{,}1474\).

a) \(n = 30\) und \(p = 0{,}4\). b) \(P(X = 12) \approx 0{,}1474\).

- Bestimme zunächst die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Treffer (Farbe Rot) bei einer Drehung. - Nutze die Formel von Bernoulli für Punktwahrscheinlichkeiten. - Für die Abweichung musst du erst berechnen, welche Trefferanzahlen außerhalb des Bereichs \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\) liegen. - Addiere die Wahrscheinlichkeiten dieser „extremen“ Ergebnisse oder nutze das Gegenereignis.

1. Es liegt eine Binomialverteilung mit \(n = 12\) und \(p = \frac{1}{3}\) vor. 2. Wahrscheinlichkeit für genau 4 Treffer: \(P(Y = 4) = \binom{12}{4} \cdot (\frac{1}{3})^4 \cdot (\frac{2}{3})^8 = 495 \cdot \frac{1}{81} \cdot \frac{256}{6561} \approx 0{,}2384\). 3. Erwartungswert: \(\mu = 12 \cdot \frac{1}{3} = 4\). Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{12 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} \approx 1{,}633\). 4. Die Abweichung ist mehr als \(\sigma\), wenn \(Y < \mu - \sigma\) oder \(Y > \mu + \sigma\). 5. \(4 - 1{,}633 = 2{,}367\) und \(4 + 1{,}633 = 5{,}633\). Gesucht ist \(P(Y \le 2) + P(Y \ge 6)\). 6. \(P(Y \le 2) = P(0) + P(1) + P(2) \approx 0{,}0077 + 0{,}0462 + 0{,}1272 = 0{,}1811\). 7. \(P(Y \ge 6) = 1 - P(Y \le 5) = 1 - (P(Y \le 2) + P(3) + P(4) + P(5))\). Mit \(P(3) \approx 0{,}2120\), \(P(4) \approx 0{,}2384\), \(P(5) \approx 0{,}1908\) ergibt sich \(P(Y \le 5) \approx 0{,}8223\). 8. \(P(Y \ge 6) \approx 1 - 0{,}8223 = 0{,}1777\). Gesamtwahrscheinlichkeit: \(0{,}1811 + 0{,}1777 = 0{,}3588\).

a) \(P(Y = 4) \approx 0{,}2384\) b) \(\mu = 4\); \(\sigma \approx 1{,}633\) c) \(P(|Y - \mu| > \sigma) \approx 0{,}3588\)

- Berechne zuerst den Erwartungswert und die Standardabweichung für die gegebene Trefferwahrscheinlichkeit und Rundenzahl. - Welche Werte für die Anzahl der Gewinne liegen außerhalb des Bereichs \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\)? - Wie kannst du die Wahrscheinlichkeit für „mehr als“ oder „weniger als“ mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion berechnen? - Beachte, dass „mehr als“ eine strikte Ungleichung bedeutet.

1. Bestimmung der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 80\), \(p = 0{,}25\). 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = 80 \cdot 0{,}25 = 20\). 3. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{80 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75} = \sqrt{15} \approx 3{,}873\). 4. Berechnung der zweifachen Standardabweichung: \(2\sigma = 2 \cdot \sqrt{15} \approx 7{,}746\). 5. Bestimmung des kritischen Bereichs für eine Abweichung von mehr als \(2\sigma\): Gesucht ist \(P(|X - 20| > 7{,}746)\). Dies entspricht \(X < 20 - 7{,}746 = 12{,}254\) oder \(X > 20 + 7{,}746 = 27{,}746\). 6. Da \(X\) ganzzahlig ist, sind dies die Ereignisse \(X \le 12\) oder \(X \ge 28\). 7. Berechnung der Teilwahrscheinlichkeiten für \(n = 80, p = 0{,}25\): \(P(X \le 12) \approx 0{,}0221\) und \(P(X \ge 28) = 1 - P(X \le 27) \approx 1 - 0{,}9705 = 0{,}0295\). 8. Summation der Wahrscheinlichkeiten: \(P \approx 0{,}0221 + 0{,}0295 = 0{,}0516\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(5{,}16\,\%\).

- Nutze die Formeln für Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung. - Untersuche den Wertebereich der Varianzfunktion für den Fall \(n=2\). - Welchen maximalen Wert kann der Ausdruck \(p \cdot (1-p)\) annehmen? - Wie verhält sich die Wurzelfunktion bei Werten, die kleiner als 1 sind?

1. Für \(n=50\) und \(p=0{,}01\) ist \(V=np(1-p)=50\cdot0{,}01\cdot0{,}99=0{,}495\). 2. Die Standardabweichung ist \(\sigma=\sqrt{0{,}495}\approx0{,}7036\). Zahlenmäßig gilt \(0{,}7036>0{,}495\). Dabei ist zu beachten, dass die Varianz in Treffer\(^2\) und die Standardabweichung in Treffern angegeben wird. 3. Für \(n=2\) gilt \(V=2p(1-p)\). Der Ausdruck \(2p(1-p)\) hat für \(p\in(0;1)\) Werte im Intervall \(0<V\leq0{,}5\). 4. Für jeden Zahlenwert \(V\) mit \(0<V<1\) gilt \(\sqrt{V}>V\). Daher ist für alle \(p\in(0;1)\) der Zahlenwert von \(\sigma=\sqrt{V}\) größer als der Zahlenwert von \(V\).

a) \(V=0{,}495\); \(\sigma\approx0{,}7036\). Zahlenmäßig gilt \(\sigma>V\), wobei beide Streuungsmaße unterschiedliche Einheiten haben. b) Für \(n=2\) ist \(0<V=2p(1-p)\leq0{,}5<1\). Daher gilt für alle \(p\in(0;1)\) zahlenmäßig \(\sigma=\sqrt{V}>V\).

- Achte auf Formulierungen wie „mehr als“ – gehört der genannte Wert noch dazu oder nicht? - Wie berechnet man den Erwartungswert und die Standardabweichung bei einer Binomialverteilung? - Wie geht man vor, wenn man die Wahrscheinlichkeit für ein Gegenereignis berechnen möchte? - Notiere dir die Dezimalzahlen für das Intervall und überlege dann, welche ganzen Zahlen der Zufallsgröße in diesen Bereich fallen.

Die Zufallsgröße \(Y\) ist binomialverteilt mit \(n = 80\) und \(p = 0{,}05\). 1. Das Ereignis „mehr als \(6\)“ entspricht \(P(Y > 6) = 1 - P(Y \le 6)\). Mit der kumulierten Verteilungsfunktion ergibt sich \(1 - F(80; 0{,}05; 6) \approx 1 - 0{,}8947 = 0{,}1053\). 2. Erwartungswert \(\mu = n \cdot p = 80 \cdot 0{,}05 = 4\). Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{80 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95} = \sqrt{3{,}8} \approx 1{,}949\). Das Intervall \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\) ist \([4 - 1{,}949; 4 + 1{,}949] = [2{,}051; 5{,}949]\). Da \(Y\) nur ganzzahlige Werte annimmt, liegen genau die Werte \(3\), \(4\) und \(5\) in diesem Intervall. \(P(3 \le Y \le 5) = P(Y \le 5) - P(Y \le 2) \approx 0{,}7892 - 0{,}2306 = 0{,}5586\).

1. \(P(Y > 6) \approx 0{,}1053\) 2. \(P(3 \le Y \le 5) \approx 0{,}5586\)

- Bestimme zunächst die Kennzahlen \(\mu\) und \(\sigma\) für die gegebene Stichprobe. - Achte beim Intervall darauf, dass die Grenzen keine ganzen Zahlen sein müssen, die Zufallsgröße \(X\) aber nur ganze Werte annimmt. - „Außerhalb“ bedeutet, dass der Wert entweder kleiner als die untere Grenze oder größer als die obere Grenze ist. - Berechne die beiden Randwahrscheinlichkeiten mit der kumulierten Binomialverteilung und addiere sie.

1. Es liegt eine Binomialverteilung mit \(n=400\) und \(p=0{,}05\) vor. Es gilt \(\mu=400\cdot0{,}05=20\) und \(\sigma=\sqrt{400\cdot0{,}05\cdot0{,}95}=\sqrt{19}\approx4{,}36\). Das \(2\sigma\)-Intervall lautet näherungsweise \([20-2\cdot4{,}36; 20+2\cdot4{,}36]=[11{,}28;28{,}72]\). 2. Da \(X\) ganzzahlig ist, entspricht „außerhalb“ dem Ereignis \(X\leq11\) oder \(X\geq29\). Mit der kumulierten Binomialverteilung erhält man ungerundet \(P(X\leq11)\approx0{,}019046\) und \(P(X\geq29)\approx0{,}030705\). Daher ist \(P(X\leq11)+P(X\geq29)\approx0{,}049751\approx0{,}0498\). 3. Die Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung von mehr als zwei Standardabweichungen vom Erwartungswert beträgt damit etwa \(5{,}0\,\%\). Entsprechend liegen etwa \(95{,}0\,\%\) der Ergebnisse innerhalb des angegebenen Intervalls.

1. \([11{,}28; 28{,}72]\) 2. \(P(|X - \mu| > 2 \cdot \sigma) \approx 0{,}0498\) 3. Werte außerhalb des \(2 \cdot \sigma\)-Intervalls treten mit etwa \(5{,}0\,\%\) auf; etwa \(95{,}0\,\%\) der Ergebnisse liegen innerhalb des Intervalls.

- Nutze die bekannten Formeln für die Kenngrößen der Binomialverteilung. - Was passiert mit einer Zahl, wenn man sie mit einem Wert zwischen 0 und 1 multipliziert? - Setze die Bedingung aus c) in eine Gleichung um und versuche, die Terme so weit wie möglich zu vereinfachen. - Achte darauf, \(p\) auf eine Seite der Gleichung zu isolieren.

1. In Teilaufgabe a) werden die Standardformeln \(\mu = n \cdot p\) und \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p)\) genutzt. Durch Ersetzen von \(n \cdot p\) durch \(\mu\) in der Varianzformel folgt unmittelbar \(\sigma^2 = \mu \cdot (1 - p)\). 2. Für Teilaufgabe b) wird argumentiert, dass für \(0 < p < 1\) der Faktor \((1 - p)\) ebenfalls zwischen \(0\) und \(1\) liegt. Da \(\sigma^2 = \mu \cdot (1 - p)\) und \((1 - p) < 1\), muss \(\sigma^2 < \mu\) gelten. Durch Ziehen der Quadratwurzel (da beide Seiten positiv sind) folgt \(\sigma < \sqrt{\mu}\). 3. Für Teilaufgabe c) wird der Ansatz \(\sigma = \frac{1}{3} \mu\) gewählt. Quadrieren führt zu \(\sigma^2 = \frac{1}{9} \mu^2\). 4. Gleichsetzen mit dem Ergebnis aus a): \(\mu \cdot (1 - p) = \frac{1}{9} \mu^2\). 5. Division durch \(\mu = n \cdot p\) ergibt \(1 - p = \frac{1}{9} n \cdot p\). 6. Umstellen nach \(p\): \(1 = p + \frac{n}{9} p = p \cdot (1 + \frac{n}{9}) = p \cdot \frac{9 + n}{9}\). Daraus folgt \(p = \frac{9}{n + 9}\).

a) Nachweis durch Einsetzen von \(\mu = n \cdot p\) in \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p)\). b) Da \(0 < 1-p < 1\), ist \(\sigma^2 < \mu\), woraus \(\sigma < \sqrt{\mu}\) folgt. c) \(p = \frac{9}{n + 9}\)

- Erinnere dich an die Definition von Achsensymmetrie bei Funktionen. - Nutze die binomischen Formeln, um die Terme in Aufgabenteil a) zu vereinfachen. - Wann ist eine Wurzelfunktion maximal? Konzentriere dich auf den Ausdruck unter der Wurzel. - Wie findet man die Extremstellen einer quadratischen Funktion oder allgemein mittels Ableitungen?

1. Einsetzen von \(0{,}5 - h\) in die Varianzformel: \(V(0{,}5 - h) = n \cdot (0{,}5 - h) \cdot (1 - (0{,}5 - h)) = n \cdot (0{,}5 - h) \cdot (0{,}5 + h)\). 2. Anwendung der dritten binomischen Formel: \(V(0{,}5 - h) = n \cdot (0{,}25 - h^2)\). 3. Einsetzen von \(0{,}5 + h\) in die Varianzformel: \(V(0{,}5 + h) = n \cdot (0{,}5 + h) \cdot (1 - (0{,}5 + h)) = n \cdot (0{,}5 + h) \cdot (0{,}5 - h) = n \cdot (0{,}25 - h^2)\). 4. Vergleich der Ergebnisse zeigt die Identität, womit die Symmetrie bewiesen ist. 5. Die Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\) ist maximal, wenn der Radikand \(f(p) = n \cdot (p - p^2)\) maximal ist. 6. Ableiten: \(f'(p) = n \cdot (1 - 2 \cdot p)\). Nullsetzen liefert \(1 - 2 \cdot p = 0 \Rightarrow p = 0{,}5\). 7. Die zweite Ableitung ist \(f''(p) = -2 \cdot n < 0\), also liegt ein Maximum vor. 8. Berechnung des Maximalwerts: \(\sigma_{\text{max}} = \sqrt{n \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = \sqrt{0{,}25 \cdot n} = 0{,}5 \cdot \sqrt{n} = \frac{\sqrt{n}}{2}\).

a) Der Nachweis erfolgt über \(V(0{,}5 - h) = n \cdot (0{,}25 - h^2) = V(0{,}5 + h)\). b) Die Standardabweichung ist für \(p = 0{,}5\) maximal. Der maximale Wert beträgt \(\sigma_{\text{max}} = 0{,}5 \cdot \sqrt{n}\).

- Stelle zuerst die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung auf. - Kannst du die Wurzel in der Ungleichung durch eine geeignete Operation entfernen? - Gibt es Terme, die auf beiden Seiten vorkommen und durch die du (unter Beachtung der Vorzeichen) teilen kannst? - Versuche, die Ungleichung schrittweise nach der gesuchten Variablen umzustellen.

1. Aufstellen der Ungleichung gemäß der Aufgabenstellung: \(\sigma < \frac{1}{2} E(X)\) 2. Einsetzen der Formeln für die Binomialverteilung: \(\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} < \frac{1}{2} \cdot n \cdot p\) 3. Quadrieren beider Seiten (zulässig, da beide Seiten positiv sind): \(n \cdot p \cdot (1-p) < \frac{1}{4} \cdot n^2 \cdot p^2\) 4. Division durch den positiven Term \(n \cdot p\): \(1 - p < \frac{1}{4} \cdot n \cdot p\) 5. Umstellen der Ungleichung nach \(p\): \(1 < \frac{1}{4} \cdot n \cdot p + p \Leftrightarrow 1 < p \cdot \left(\frac{n}{4} + 1\right)\) 6. Auflösen nach \(p\): \(p > \frac{1}{\frac{n}{4} + 1} = \frac{4}{n+4}\) 7. Unter Berücksichtigung der Definitionsmenge ergibt sich das Intervall: \(p \in \left] \frac{4}{n+4}; 1 \right[\)

\(p > \frac{4}{n+4}\) bzw. \(p \in \left] \frac{4}{n+4}; 1 \right[\)

- Wie hängen Varianz und Standardabweichung zusammen? - Setze die gegebenen Terme in die Definition der relativen Standardabweichung ein. - Denke daran, den Prozentsatz in eine Dezimalzahl oder einen Bruch umzuwandeln. - Wie kannst du den Term \(\frac{\sqrt{n}}{n}\) vereinfachen, um die Gleichung leichter nach \(n\) aufzulösen?

1. Bestimmung der Standardabweichung: \(\sigma(Z_n) = \sqrt{Var(Z_n)} = \sqrt{2 \cdot n}\). 2. Aufstellen der Formel für die relative Standardabweichung \(v\): \(v = \frac{\sigma(Z_n)}{E(Z_n)} = \frac{\sqrt{2 \cdot n}}{8 \cdot n}\). 3. Umrechnung des Zielwerts: \(1{,}25\,\% = 0{,}0125 = \frac{1}{80}\). 4. Gleichung ansetzen: \(\frac{\sqrt{2 \cdot n}}{8 \cdot n} = \frac{1}{80}\). 5. Vereinfachen des Bruchs: \(\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{n}}{8 \cdot (\sqrt{n})^2} = \frac{\sqrt{2}}{8 \cdot \sqrt{n}}\). 6. Auflösen nach \(n\): \(\frac{\sqrt{2}}{8 \cdot \sqrt{n}} = \frac{1}{80} \implies 8 \cdot \sqrt{n} = 80 \cdot \sqrt{2} \implies \sqrt{n} = 10 \cdot \sqrt{2}\). 7. Quadrieren: \(n = (10 \cdot \sqrt{2})^2 = 100 \cdot 2 = 200\).

\(n = 200\)

- Wie viele Sektoren hat das Glücksrad insgesamt? Bestimme die Wahrscheinlichkeit für jeden der drei möglichen Gewinne bzw. Verluste. - Der Erwartungswert berechnet sich, indem du jeden Wert der Zufallsgröße mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizierst und die Ergebnisse addierst. - Wann bezeichnet man ein Spiel in der Mathematik als „fair“? Welche Bedingung muss der Erwartungswert dafür erfüllen? - Erinnere dich an die Formel für die Varianz: Berechne zunächst den Erwartungswert der quadrierten Werte \(E(X^2)\). Die Standardabweichung ist dann die Quadratwurzel aus der Varianz.

1. Aufstellen der Wahrscheinlichkeitsverteilung: Da das Glücksrad 8 gleich große Sektoren besitzt, sind die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte von \(X\): \(P(X = -2) = \frac{4}{8} = 0{,}5\) \(P(X = 1) = \frac{3}{8} = 0{,}375\) \(P(X = 5) = \frac{1}{8} = 0{,}125\) 2. Berechnung des Erwartungswerts \(E(X)\): \(E(X) = -2 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 0{,}375 + 5 \cdot 0{,}125 = -1 + 0{,}375 + 0{,}625 = 0\,\text{€}\). Da \(E(X) = 0\), handelt es sich um ein faires Spiel. 3. Berechnung der Standardabweichung \(\sigma\): Zuerst wird die Varianz \(\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2\) berechnet: \(E(X^2) = (-2)^2 \cdot 0{,}5 + 1^2 \cdot 0{,}375 + 5^2 \cdot 0{,}125 = 4 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 0{,}375 + 25 \cdot 0{,}125 = 2 + 0{,}375 + 3{,}125 = 5{,}5\). \(\text{Var}(X) = 5{,}5 - 0^2 = 5{,}5\). Die Standardabweichung ist \(\sigma = \sqrt{5{,}5} \approx 2{,}35\,\text{€}\).

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table border="1" style="border-collapse: collapse; text-align: center;"> <tr> <th style="padding: 5px;">\(x_i\) (in \(\text{€}\))</th> <td style="padding: 5px;">\(-2\)</td> <td style="padding: 5px;">\(+1\)</td> <td style="padding: 5px;">\(+5\)</td> </tr> <tr> <th style="padding: 5px;">\(P(X = x_i)\)</th> <td style="padding: 5px;">\(0{,}5\)</td> <td style="padding: 5px;">\(0{,}375\)</td> <td style="padding: 5px;">\(0{,}125\)</td> </tr> </table> b) Erwartungswert: \(E(X) = 0\,\text{€}\). Das Spiel ist fair, da der Erwartungswert genau \(0\) beträgt. c) Standardabweichung: \(\sigma \approx 2{,}35\,\text{€}\)