Kostenlose Arbeitsblätter

- Überlege dir ein systematisches Vorgehen beim Auflisten, damit du keine Kombination vergisst. - Spielt die Reihenfolge der Personen innerhalb eines Teams eine Rolle? - Was gibt der Binomialkoeffizient allgemein an? - Wie viele Möglichkeiten hast du, wenn du aus einer Gruppe nur ein einzelnes Mitglied aussuchen darfst?

1. Auflistung aller zweielementigen Teilmengen aus \(\{A, B, C, D\}\): \(\{A, B\}\), \(\{A, C\}\), \(\{A, D\}\), \(\{B, C\}\), \(\{B, D\}\), \(\{C, D\}\). Dies ergibt insgesamt 6 Möglichkeiten. 2. Berechnung des Binomialkoeffizienten: \(\binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6\). Die Ergebnisse stimmen überein, da der Binomialkoeffizient die Anzahl der Möglichkeiten angibt, \(k\) Elemente aus einer Menge von \(n\) Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen. 3. Für die Auswahl von einer Person aus vier gibt es 4 Möglichkeiten. Als Binomialkoeffizient geschrieben: \(\binom{4}{1} = 4\).

a) \(\{A, B\}, \{A, C\}, \{A, D\}, \{B, C\}, \{B, D\}, \{C, D\}\) b) \(\binom{4}{2} = 6\); die Anzahl der Mengen entspricht dem Wert des Binomialkoeffizienten. c) 4 Möglichkeiten; \(\binom{4}{1} = 4\).

- Überlege dir zuerst, ob es wichtig ist, in welcher Reihenfolge die Personen ausgewählt werden. - Kann ein Mitglied mehrfach für denselben Ausschuss gewählt werden? - Welche mathematische Formel hilft dir dabei, eine Teilmenge aus einer größeren Menge auszuwählen?

1. Da die Reihenfolge der Auswahl nicht wichtig ist und keine Person mehrfach gewählt werden kann, handelt es sich um eine Kombination ohne Zurücklegen. 2. Die Anzahl der Möglichkeiten wird mit dem Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) berechnet, wobei \(n = 22\) (Gesamtzahl der Mitglieder) und \(k = 3\) (Größe des Ausschusses) ist. 3. Berechnung: \(\binom{22}{3} = \frac{22 \cdot 21 \cdot 20}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 1540\).

Es gibt \(1540\) verschiedene Möglichkeiten.

- Überlege zuerst, ob die Reihenfolge, in der die Jugendlichen ausgewählt werden, für die Zusammensetzung des Teams eine Rolle spielt. - Handelt es sich um ein Experiment mit oder ohne Zurücklegen? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, die Anzahl der Teilmengen einer bestimmten Größe zu bestimmen?

1. Es handelt sich um ein Auswahlproblem ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, da die 3 Jugendlichen gleichzeitig bzw. als Team ausgewählt werden. 2. Die Anzahl der Möglichkeiten wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) mit \(n = 10\) (Gesamtzahl der Jugendlichen) und \(k = 3\) (Anzahl der auszuwählenden Personen) berechnet. 3. Berechnung: \(\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = 120\). Es gibt somit 120 verschiedene Möglichkeiten, das Team zusammenzustellen.

Es gibt 120 Möglichkeiten.

- Was besagt die Symmetrie bei Binomialkoeffizienten? - Wie kann man den Bruch bei der Berechnung von \(\binom{n}{k}\) durch Kürzen vereinfachen? - Musst du wirklich jeden Wert komplett neu berechnen oder gibt es Paare? - Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es gibt, \(k\) Objekte aus \(n\) auszuwählen im Vergleich dazu, \(n-k\) Objekte (die übrig bleiben) auszuwählen.

1. Für Teil a) wird die Formel direkt angewendet: \(\binom{18}{2} = \frac{18 \cdot 17}{2 \cdot 1} = 9 \cdot 17 = 153\). 2. Für Teil b) nutzt man die Symmetrie \(\binom{18}{16} = \binom{18}{18-16} = \binom{18}{2}\). Das Ergebnis ist somit ebenfalls \(153\). 3. Für Teil c) berechnet man \(\binom{25}{3} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{6} = 25 \cdot 4 \cdot 23 = 100 \cdot 23 = 2\,300\). 4. Für Teil d) folgt aus der Symmetrie \(\binom{25}{22} = \binom{25}{25-22} = \binom{25}{3}\), also ist das Ergebnis \(2\,300\).

a) \(153\) b) \(153\) c) \(2\,300\) d) \(2\,300\)

- Überlege dir zuerst, ob die Reihenfolge der ausgewählten Personen für das Ergebnis wichtig ist. - Spielt es eine Rolle, ob jemand als Erster oder als Dritter für das Trio benannt wird? - Welches mathematische Modell eignet sich für eine Auswahl ohne Beachtung der Reihenfolge?

1. Da die Reihenfolge der Auswahl für das Trio keine Rolle spielt und jede Person nur einmal gewählt werden kann, handelt es sich um eine Kombination ohne Zurücklegen. 2. Die Anzahl der Möglichkeiten wird mit dem Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) berechnet, wobei \(n = 24\) und \(k = 3\) ist. 3. Berechnung: \(\binom{24}{3} = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22}{3 \cdot 2 \cdot 1}\). 4. Das Ergebnis ist \(2\,024\).

Es gibt \(2\,024\) Möglichkeiten.

- Was bedeutet es für die Auswahl, wenn die Reihenfolge der Personen im Team keine Rolle spielt? - Welche Formel hilft dir, wenn du \(k\) Objekte aus \(n\) Objekten ohne Zurücklegen auswählst? - Suche auf deinem Taschenrechner nach einer Taste wie „nCr“.

1. Identifikation der Parameter für Teilaufgabe a): \(n = 9\) (Gesamtanzahl) und \(k = 2\) (Auswahl). 2. Anwendung der Formel für den Binomialkoeffizienten: \(\binom{9}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1}\). 3. Berechnung des Ergebnisses: \(36\). 4. Berechnung für Teilaufgabe b) mit dem Taschenrechner (nCr-Funktion): \(\binom{18}{7} = 31\,824\).

a) Es gibt 36 Möglichkeiten. b) Es gibt \(31\,824\) Möglichkeiten.

- Die Summe der Exponenten in einem Bernoulli-Term entspricht immer der Gesamtzahl der Versuche \(n\). - Die Zahl unten im Binomialkoeffizienten entspricht der Anzahl der Erfolge \(k\). - Die beiden Wahrscheinlichkeiten in den Klammern müssen sich zu \(1\) ergänzen.

1. Teilaufgabe a): Da die Wahrscheinlichkeit für \(X=3\) gesucht ist, muss \(k=3\) gelten. Damit ist \(\square = 3\) und der Exponent der Erfolgswahrscheinlichkeit \(\triangle = 3\). Der Exponent der Gegenwahrscheinlichkeit ist \(n-k = 10-3=7\), also \(\bigcirc = 7\). 2. Teilaufgabe b): Der untere Wert im Binomialkoeffizienten gibt die Trefferzahl an, also \(\square = 5\). Die Summe der Exponenten ergibt die Gesamtzahl der Versuche \(n = 5 + 7 = 12\). Die Basis der zweiten Potenz ist die Gegenwahrscheinlichkeit \(\triangle = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\). 3. Teilaufgabe c): Die Summe der Exponenten von \(p\) und \((1-p)\) entspricht \(n\). Da die Exponenten \(2\) und \(8\) sind, gilt \(n = 2 + 8 = 10\), also \(\square = 10\).

a) \(\square = 3\), \(\triangle = 3\), \(\bigcirc = 7\) b) \(\square = 5\), \(\triangle = \frac{2}{3}\) (mit \(n = 12\)) c) \(\square = 10\)

- Überlege, welche Zahl in der Formel für die Gesamtzahl der Versuche steht. - Welche Zahl gibt an, wie oft das gewünschte Ereignis eintreten soll? - Wo in der Formel findest du die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Treffer? - Wie hängen die Exponenten mit der Gesamtzahl der Versuche zusammen?

Die Parameter werden direkt aus der allgemeinen Formel der Binomialverteilung \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) abgelesen: 1. In Aufgabenteil a) ist die Anzahl der Versuche \(n = 20\), die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}75\) und die Anzahl der Treffer \(k = 11\). 2. In Aufgabenteil b) ist die Anzahl der Versuche \(n = 50\), die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}05\) und die Anzahl der Treffer \(k = 2\). 3. In Aufgabenteil c) ist die Anzahl der Versuche \(n = 9\), die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{4}\) und die Anzahl der Treffer \(k = 5\).

a) \(n = 20\); \(p = 0{,}75\); \(k = 11\) b) \(n = 50\); \(p = 0{,}05\); \(k = 2\) c) \(n = 9\); \(p = \frac{1}{4}\); \(k = 5\)

- Bestimme für jede Teilaufgabe die Werte für \(n\), \(p\) und \(k\). - Vergiss nicht, die Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 1 - p\) zu berechnen. - Denke daran, wie man den Binomialkoeffizienten „n über k“ berechnet oder im Taschenrechner findet.

1. Berechnung von \(B_{5; 0{,}4}(3)\): \(\binom{5}{3} \cdot 0{,}4^3 \cdot 0{,}6^2 = 10 \cdot 0{,}064 \cdot 0{,}36 = 0{,}2304\). 2. Berechnung von \(B_{6; 0{,}1}(2)\): \(\binom{6}{2} \cdot 0{,}1^2 \cdot 0{,}9^4 = 15 \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}6561 = 0{,}098415 \approx 0{,}0984\). 3. Berechnung von \(B_{4; 0{,}5}(0)\): \(\binom{4}{0} \cdot 0{,}5^0 \cdot 0{,}5^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}0625 = 0{,}0625\).

a) \(0{,}2304\) b) \(\approx 0{,}0984\) c) \(0{,}0625\)

- Überlege dir, welche Werte für \(n\), \(p\) und \(k\) in die Formel der Binomialverteilung eingesetzt werden müssen. - Viele Taschenrechner haben eine spezielle Funktion für die Binomialverteilung (oft als „Binomial-PD“ oder „binompdf“ bezeichnet). - Achte beim Runden genau auf die fünfte Dezimalstelle.

1. Berechnung von \(B_{15; 0{,}2}(3)\): Anwendung der Formel \(P(X=3) = \binom{15}{3} \cdot 0{,}2^3 \cdot 0{,}8^{12}\). Ergebnis: \(\approx 0{,}2501\). 2. Berechnung von \(B_{20; 0{,}45}(10)\): Anwendung der Formel \(P(X=10) = \binom{20}{10} \cdot 0{,}45^{10} \cdot 0{,}55^{10}\). Ergebnis: \(\approx 0{,}1593\). 3. Berechnung von \(B_{50; 0{,}05}(2)\): Anwendung der Formel \(P(X=2) = \binom{50}{2} \cdot 0{,}05^2 \cdot 0{,}95^{48}\). Ergebnis: \(\approx 0{,}2611\).

a) \(B_{15; 0{,}2}(3) \approx 0{,}2501\) b) \(B_{20; 0{,}45}(10) \approx 0{,}1593\) c) \(B_{50; 0{,}05}(2) \approx 0{,}2611\)

- Überlege dir, wie eine Zahl im Pascal’schen Dreieck aus den Zahlen der darüberliegenden Zeile entsteht. - Was fällt dir auf, wenn du die linke Seite einer Zeile mit der rechten Seite vergleichst? - Schau dir die äußersten Zahlen in den ersten Zeilen des Dreiecks an. Gibt es dort ein Muster?

1. Anwendung der Additionsregel: \(\binom{14}{7} = \binom{13}{6} + \binom{13}{7} = 1716 + 1716 = 3432\). 2. Begründung der Symmetrie: Im Pascal’schen Dreieck gilt allgemein \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\). Für \(n=13\) und \(k=6\) ergibt sich \(n-k = 13-6 = 7\), weshalb die Werte identisch sind. 3. Bestimmung der Randwerte: Jede Zeile im Pascal’schen Dreieck beginnt und endet mit der Zahl 1. Somit gilt \(\binom{15}{0} = 1\) und \(\binom{15}{15} = 1\).

a) \(\binom{14}{7} = 3432\) b) Aufgrund der Symmetrie gilt \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\). Da \(13-6=7\) ist, müssen die Werte gleich sein. c) \(\binom{15}{0} = 1\) und \(\binom{15}{15} = 1\)

- Erinnere dich an den Aufbau einer Zeile im Pascal’schen Dreieck. - Wie hängen die Indizes \(k\) zusammen, wenn die Werte der Binomialkoeffizienten gleich sind? - Welche Rechenregel für Binomialkoeffizienten kennst du, um große Werte für \(k\) zu vereinfachen? - Überlege dir, wie viele Faktoren du bei \(\binom{10}{8}\) im Vergleich zu \(\binom{10}{2}\) berechnen müsstest.

1. Identifikation der Binomialkoeffizienten für \(n=7\): Die Werte in der 7. Zeile lauten 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. Die Zahl 35 steht an der 4. und 5. Stelle, was den Koeffizienten \(\binom{7}{3}\) und \(\binom{7}{4}\) entspricht. 2. Anwendung der Symmetrie: Gemäß \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) gilt \(\binom{10}{8} = \binom{10}{10-8} = \binom{10}{2}\). 3. Berechnung: \(\binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45\). Die Symmetrie vereinfacht die Rechnung, da ein kleineres \(k\) zu weniger Multiplikationen im Zähler und Nenner führt.

a) \(\binom{7}{3}\) und \(\binom{7}{4}\) b) \(\binom{10}{8} = 45\). Durch die Symmetrie lässt sich der Wert einfacher über \(\binom{10}{2}\) berechnen.

- Welche Zahl im Pascal’schen Dreieck steht für welche Anzahl an Treffern? Beachte, dass man bei 0 Treffern zu zählen beginnt. - „Mehr als 3“ bedeutet, dass wir die Pfade für 4 und 5 Treffer zusammenzählen müssen. - Die Wahrscheinlichkeit berechnet man, indem man die Anzahl der günstigen Pfade durch die Gesamtzahl aller Pfade teilt.

1. Identifikation des Wertes für genau 3 Treffer: In der Folge \(1, 5, 10, 10, 5, 1\) entspricht der vierte Wert (Index 3) der Anzahl der Pfade mit 3 Treffern. Ergebnis: \(10\). 2. Berechnung der Pfade für mehr als 3 Treffer: Dies umfasst 4 Treffer (fünfter Wert: \(5\)) und 5 Treffer (sechster Wert: \(1\)). Summe: \(5 + 1 = 6\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für genau 1 Treffer: Die Anzahl der Pfade beträgt \(5\) (zweiter Wert). Die Gesamtzahl der Pfade ist \(2^5 = 32\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{5}{32} = 0{,}15625\).

a) Es gibt \(10\) Pfade mit genau 3 Treffern. b) Es gibt \(6\) Pfade mit mehr als 3 Treffern. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{5}{32}\) (oder \(0{,}15625\)).

- Überlege dir zuerst, wie viele verschiedene Zeichen insgesamt zur Verfügung stehen. - Macht es für die Anzahl der Möglichkeiten einen Unterschied, ob du ein Zeichen nach der Verwendung wieder benutzen darfst oder nicht? - Wie viele Entscheidungen triffst du nacheinander, wenn du den Code Zeichen für Zeichen aufbaust? - Für die Wahrscheinlichkeit musst du die Anzahl der gewünschten Fälle durch die Gesamtzahl aller möglichen Fälle teilen.

1. Gesamtzahl der verfügbaren Zeichen bestimmen: \(10 \text{ Ziffern} + 8 \text{ Buchstaben} = 18 \text{ Zeichen}\). 2. Anzahl der Codes mit Wiederholung (Variation mit Zurücklegen): \(n^k = 18^5 = 1\,889\,568\). 3. Anzahl der Codes ohne Wiederholung (Variation ohne Zurücklegen): \(n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1) = 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 = 1\,028\,160\). 4. Anzahl der Codes, die nur aus Ziffern bestehen (mit Wiederholung): \(10^5 = 100\,000\). 5. Wahrscheinlichkeit berechnen: \(P = \frac{\text{günstige Ergebnisse}}{\text{mögliche Ergebnisse}} = \frac{100\,000}{1\,889\,568} \approx 0{,}0529\).

a) Es gibt \(1\,889\,568\) mögliche Codes. b) Es gibt \(1\,028\,160\) mögliche Codes. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(5{,}29\,\%\) (exakt \(\frac{100\,000}{1\,889\,568}\)).

- Überlege dir für jeden Teil, ob die Reihenfolge der Ziffern wichtig ist. - Spielt es eine Rolle, ob eine Ziffer nach der Benutzung wieder zur Verfügung steht? - Welches mathematische Modell (Variation oder Kombination) passt zu der jeweiligen Situation?

1. Berechnung für den Fall mit Wiederholung und Beachtung der Reihenfolge: \(n^k = 9^5 = 59\,049\). 2. Berechnung für den Fall ohne Wiederholung mit Beachtung der Reihenfolge: \(9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 15\,120\). 3. Berechnung für den Fall ohne Wiederholung ohne Beachtung der Reihenfolge (Teilmenge): \(\binom{9}{5} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126\).

a) \(59\,049\) Möglichkeiten b) \(15\,120\) Möglichkeiten c) \(126\) Möglichkeiten

- Überlege dir, ob eine Ziffer oder Person mehrfach ausgewählt werden kann. - Spielt es für das Ergebnis eine Rolle, in welcher zeitlichen Abfolge die Auswahl stattfindet? - Stell dir die Gesamtzahl der verfügbaren Objekte als Kugeln in einer Urne vor. - Wie viele Entscheidungen müssen nacheinander getroffen werden?

1. Teilaufgabe a: Urnenmodell mit \(n = 10\) Kugeln und \(k = 4\) Ziehungen mit Zurücklegen unter Berücksichtigung der Reihenfolge. Berechnung: \(10^4 = 10\,000\). 2. Teilaufgabe b: Urnenmodell mit \(n = 10\) Kugeln und \(k = 3\) Ziehungen ohne Zurücklegen unter Berücksichtigung der Reihenfolge. Berechnung: \(10 \cdot 9 \cdot 8 = 720\). 3. Teilaufgabe c: Urnenmodell mit \(n = 12\) Kugeln und \(k = 2\) Ziehungen ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Berechnung: \(\binom{12}{2} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66\).

a) Urnenmodell: \(n=10, k=4\), mit Zurücklegen, mit Reihenfolge; Möglichkeiten: \(10\,000\) b) Urnenmodell: \(n=10, k=3\), ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge; Möglichkeiten: \(720\) c) Urnenmodell: \(n=12, k=2\), ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge; Möglichkeiten: \(66\)

- Wie viele Entscheidungen triffst du nacheinander und wie viele Optionen hast du jeweils? - Wenn jede Ziffer nur einmal vorkommen darf, verringert sich dann die Anzahl der Optionen für die nächste Stelle? - Wie viele konkrete Codes erfüllen die Bedingung, dass alle Ziffern gleich sind? - Teile die Anzahl der für die Bedingung passenden Codes durch die Gesamtzahl aller Codes.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Codes (Variation mit Wiederholung): \(6^4 = 1\,296\). 2. Berechnung der Codes ohne Ziffernwiederholung (Variation ohne Wiederholung): \(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360\). 3. Identifikation der günstigen Ergebnisse für vier identische Ziffern: Es gibt genau 6 solcher Codes (1111, 2222, 3333, 4444, 5555, 6666). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit nach Laplace: \(P = \frac{6}{1\,296} = \frac{1}{216} \approx 0{,}00463\).

a) Es gibt \(1\,296\) mögliche Codes. b) Es gibt \(360\) Codes mit vier unterschiedlichen Ziffern. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{216} \approx 0{,}0046\).

- Wie viele Möglichkeiten gibt es für den ersten Impuls, wie viele für den zweiten und so weiter? - Wenn die Reihenfolge innerhalb der Auswahl der positiven Impulse keine Rolle spielt, welches mathematische Werkzeug hilft beim Zählen? - „Mindestens sechs“ bedeutet, dass es sechs, sieben oder acht positive Impulse sein können. - Überlege, wie sich die Gesamtzahl der Möglichkeiten zur Anzahl der gewünschten Fälle verhält, wenn alle Sequenzen gleich wahrscheinlich sind.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Sequenzen: Da jeder der 8 Plätze 2 Möglichkeiten besitzt, ergibt sich \(2^8 = 256\). 2. Bestimmung der Anzahl der Sequenzen mit genau drei positiven Impulsen mithilfe des Binomialkoeffizienten: \(\binom{8}{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für mindestens sechs positive Impulse: Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist die Summe der Kombinationen für 6, 7 und 8 positive Impulse. \(\binom{8}{6} + \binom{8}{7} + \binom{8}{8} = 28 + 8 + 1 = 37\). Die Wahrscheinlichkeit bei Gleichverteilung (\(p=0{,}5\)) berechnet sich als \(\frac{37}{256} \approx 0{,}1445\).

a) Es gibt \(256\) mögliche Sequenzen. b) Es gibt \(56\) Sequenzen mit genau drei positiven Impulsen. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{37}{256} \approx 14{,}45\,\%\).

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es gibt, eine bestimmte Anzahl an unterschiedlichen Objekten in einer Reihe anzuordnen. - Wenn bestimmte Plätze bereits fest durch eine Person belegt sind, wie viele Personen bleiben dann noch übrig, die du frei verteilen kannst? - In Aufgabenteil c) ist die interne Reihenfolge der ersten drei Personen nicht fest vorgegeben – wie viele Möglichkeiten gibt es, drei Personen untereinander zu tauschen? - Denke daran, dass du bei unabhängigen Teilentscheidungen (Anordnung der ersten Gruppe und Anordnung der restlichen Gruppe) die jeweiligen Möglichkeiten multiplizieren musst.

1. Gesamtzahl der Anordnungen berechnen: Für 8 unterscheidbare Personen gibt es \(8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40\,320\) Möglichkeiten. 2. Anordnungen mit fixierten Plätzen für \(A\) und \(B\): Da die ersten beiden Plätze fest vergeben sind, müssen nur noch die restlichen \(8 - 2 = 6\) Personen auf den verbleibenden 6 Plätzen angeordnet werden. Dies ergibt \(6! = 720\) Möglichkeiten. 3. Anordnungen mit \(A\), \(B\) und \(C\) auf den ersten drei Plätzen: Für die ersten drei Plätze gibt es \(3! = 6\) Möglichkeiten, die Personen \(A\), \(B\) und \(C\) anzuordnen. Die restlichen \(8 - 3 = 5\) Personen können auf den verbleibenden 5 Plätzen in \(5! = 120\) Weisen angeordnet werden. Die Gesamtzahl ergibt sich aus dem Produkt: \(3! \cdot 5! = 6 \cdot 120 = 720\).

a) \(40\,320\) b) \(720\) c) \(720\)

- Wie viele Faktoren stehen in dem Produkt, wenn du \( k \) abzählst? - Schreibe die Definition der Fakultät \( n! \) auf und überlege, welche Faktoren am Ende „abgeschnitten“ werden müssen. - Was bedeutet das Produkt anschaulich, wenn man alle \( n \) Elemente einer Menge nacheinander anordnet? - Erinnere dich an den festgesetzten Wert für die Fakultät von Null.

1. Berechnung für \( n=10, k=3 \): Das Produkt hat \( k=3 \) Faktoren, also \( 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 \). 2. Nachweis der Identität: Schreibt man \( n! \) als \( n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k) \cdot (n-k-1) \cdot \dots \cdot 1 \) und \( (n-k)! \) als \( (n-k) \cdot (n-k-1) \cdot \dots \cdot 1 \), so lassen sich im Bruch \( \frac{n!}{(n-k)!} \) alle Faktoren von \( (n-k) \) bis \( 1 \) kürzen. Es bleibt genau das Produkt \( n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1) \) übrig. 3. Spezialfall \( k=n \): Der Ausdruck wird zu \( \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} \). Da \( 0! = 1 \) definiert ist, ergibt sich \( \frac{n!}{1} = n! \). Dies entspricht dem Produkt aller Zahlen von \( n \) bis \( (n-n+1) = 1 \).

a) \( 720 \) b) Durch Ausschreiben von \( n! \) und Kürzen von \( (n-k)! \) erhält man die Identität. c) Für \( k=n \) ergibt sich \( n! \), da \( 0! = 1 \).

- Kannst du die Symmetrieeigenschaft der Binomialkoeffizienten nutzen, um die Rechnungen zu vereinfachen? - Wie ist der Binomialkoeffizient allgemein definiert? - Welche Bedeutung haben die Zahlen im Binomialkoeffizienten für die Anzahl der Faktoren im Zähler und Nenner? - Kannst du die Terme in Teil f) einzeln ausrechnen und dann addieren?

1. Berechnung der einzelnen Koeffizienten: a) \(\binom{9}{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84\) b) \(\binom{15}{13} = \binom{15}{2} = \frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = 105\) c) \(\binom{25}{2} = \frac{25 \cdot 24}{2 \cdot 1} = 300\) d) \(\binom{50}{48} = \binom{50}{2} = \frac{50 \cdot 49}{2 \cdot 1} = 1225\) e) \(\binom{2000}{1999} = \binom{2000}{1} = 2000\) 2. Überprüfung der Gleichung in Teil f): Linke Seite: \(\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\); \(\binom{10}{4} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210\). Summe: \(120 + 210 = 330\). Rechte Seite: \(\binom{11}{4} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 10 \cdot 3 = 330\). Beide Seiten ergeben \(330\), die Gleichung ist somit verifiziert.

a) \(84\) b) \(105\) c) \(300\) d) \(1225\) e) \(2000\) f) Linke Seite: \(120 + 210 = 330\); Rechte Seite: \(330\). Die Gleichung stimmt.

- Spielt die Reihenfolge, in der die Personen ausgewählt werden, für die Zusammensetzung der Gruppe eine Rolle? - Überlege, ob eine Person mehrfach für dieselbe Gruppe ausgewählt werden kann. - Wenn eine Auswahl aus zwei verschiedenen Untergruppen getroffen wird, wie lassen sich die einzelnen Möglichkeiten kombinieren? - Welches bekannte Modell aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschreibt das Ziehen von Objekten, wenn diese nicht ersetzt werden?

1. Für die Gesamtauswahl von 6 aus 16 Personen ohne Beachtung der Reihenfolge wird der Binomialkoeffizient \(\binom{16}{6}\) berechnet: \(\frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 8008\). 2. Für die getrennte Auswahl nach Geschlecht wird das Produkt der Binomialkoeffizienten gebildet. Auswahl der Frauen: \(\binom{9}{3} = 84\). Auswahl der Männer: \(\binom{7}{3} = 35\). Gesamtzahl: \(84 \cdot 35 = 2940\). 3. Das Urnenmodell entspricht dem „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge“. Die Urne enthält 16 Kugeln, davon sind 9 Kugeln einer Sorte (Frauen) und 7 Kugeln einer anderen Sorte (Männer). Es werden 6 Kugeln auf einmal (oder nacheinander ohne Zurücklegen) gezogen.

a) Es gibt \(8008\) Möglichkeiten. b) Es gibt \(2940\) Möglichkeiten. c) Urnenmodell: Ziehen von \(6\) Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge aus einer Urne mit \(16\) Kugeln (9 einer Sorte, 7 einer anderen).

- Überlege dir, was die Basis und der Exponent im Nenner über die Anzahl der Personen und die Anzahl der verfügbaren Optionen aussagen. - Was bedeutet es für die Auswahl der Zimmer, wenn im Zähler bei jedem Schritt eine Option weniger zur Verfügung steht? - Was bedeutet ein Zähler, der genau der Anzahl der verfügbaren Optionen entspricht? - Stell dir vor, die Personen würden nacheinander wählen.

1. Analyse des Terms für \(P(E_1)\): Der Nenner \(12^5\) entspricht der Gesamtzahl der Möglichkeiten, 5 Personen auf 12 Zimmer zu verteilen. Der Zähler \(12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8\) entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, bei denen jede Person ein anderes Zimmer wählt (Variation ohne Wiederholung). Somit beschreibt \(E_1\) das Ereignis, dass alle fünf Gäste unterschiedliche Themenzimmer wählen. 2. Analyse des Terms für \(P(E_2)\): Der Zähler 12 gibt an, dass es genau 12 günstige Fälle gibt. Dies entspricht der Situation, in der alle Gäste dasselbe Zimmer wählen (alle wählen Zimmer 1, alle wählen Zimmer 2, \(\dots\), oder alle wählen Zimmer 12). Somit beschreibt \(E_2\) das Ereignis, dass alle fünf Gäste dasselbe Themenzimmer wählen.

\(E_1\): Alle fünf Gäste wählen unterschiedliche Themenzimmer. \(E_2\): Alle fünf Gäste wählen dasselbe Themenzimmer.

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es gibt, die IT-Fachkräfte aus ihrer Gruppe auszuwählen. - Wie viele Möglichkeiten gibt es danach für die Auswahl der Marketing-Fachkräfte? - Wenn du für jede Wahl der ersten Gruppe mehrere Möglichkeiten für die zweite Gruppe hast, wie verknüpfst du diese Zahlen? - Spielt die Reihenfolge, in der die Personen für das Team benannt werden, eine Rolle?

1. Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten, 3 Personen aus 12 IT-Fachkräften ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen: \(\binom{12}{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220\). 2. Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten, 2 Personen aus 8 Marketing-Fachkräften ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen: \(\binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28\). 3. Anwendung des Zählprinzips (Multiplikationsregel) für die Kombination beider Teilgruppen: \(220 \cdot 28 = 6160\).

Es gibt \(6160\) Möglichkeiten.

- Überlege, wie viele Möglichkeiten es gibt, die „richtigen“ Plätze in der Zehnerkette zu verteilen. - Welches Modell beschreibt eine Serie von unabhängigen Versuchen mit zwei möglichen Ausgängen? - Unterscheide zwischen der Anzahl aller möglichen Wege zum Ziel und der Wahrscheinlichkeit für einen ganz bestimmten, festen Weg. - Achte darauf, wie sich die Wahrscheinlichkeit ändert, wenn die Reihenfolge der Treffer nicht mehr beliebig ist.

1. Berechnung der Anzahl der Sequenzen für genau 3 Treffer: Da es sich um eine Auswahl von 3 Positionen aus 10 handelt, wird der Binomialkoeffizient \(\binom{10}{3}\) berechnet. \(\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für genau 3 Treffer: Anwendung der Formel für die Punktwahrscheinlichkeit der Binomialverteilung mit \(n = 10\), \(k = 3\) und \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\). \(P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot 0{,}2^3 \cdot 0{,}8^7 = 120 \cdot 0{,}008 \cdot 0{,}209\,715\,2 \approx 0{,}201\,3\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine spezifische Sequenz: Da die Reihenfolge (R, R, R, F, F, F, F, F, F, F) fest vorgegeben ist, entfällt der Kombinationsfaktor. \(P(\text{RRRFFFFFFF}) = 0{,}2^3 \cdot 0{,}8^7 = 0{,}008 \cdot 0{,}209\,715\,2 \approx 0{,}001\,678\).

a) Es gibt 120 verschiedene Antwortsequenzen. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(20{,}13\,\%\) (exakt \(0{,}201\,326\,592\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(0{,}17\,\%\) (exakt \(0{,}001\,677\,721\,6\)).

- Achte auf den Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeit für einen Defekt und der Wahrscheinlichkeit für ein intaktes Bauteil. - Überlege, wie sich die Gesamtwahrscheinlichkeit ändert, wenn du einen wahrscheinlichen Wert (\( 0{,}95 \)) durch einen unwahrscheinlichen Wert (\( 0{,}05 \)) in einem Produkt ersetzt. - Wie viele verschiedene Protokolle gibt es, in denen genau ein Chip defekt ist?

1. Intuitive Begründung: Protokoll (3) ist am unwahrscheinlichsten, da ein defekter Chip mit \( p=0{,}05 \) wesentlich seltener vorkommt als ein intakter (\( q=0{,}95 \)). Acht Defekte in Folge sind daher extrem unwahrscheinlich. 2. Berechnung von \( P(1) \): Alle 8 Chips sind intakt. \( P(1) = 0{,}95^8 \approx 0{,}6634 \). 3. Berechnung von \( P(2) \): Ein spezifischer Chip ist defekt, sieben sind intakt. \( P(2) = 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^7 \approx 0{,}05 \cdot 0{,}6983 = 0{,}0349 \). 4. Überprüfung der Aussage: Die Wahrscheinlichkeit für „genau ein Chip defekt“ entspricht der Binomialwahrscheinlichkeit \( P(X=1) \). Hierbei gibt es \( \binom{8}{1} = 8 \) verschiedene Positionen für den defekten Chip. 5. \( P(X=1) = 8 \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^7 = 8 \cdot P(2) \approx 0{,}2793 \). Die Aussage ist falsch, da das Protokoll (2) nur eine von acht Möglichkeiten für genau einen Defekt darstellt.

a) Protokoll (3) ist am unwahrscheinlichsten, da die Wahrscheinlichkeit für einen Defekt mit \( 5\,\% \) sehr klein ist und hier acht Defekte kombiniert werden. b) \( P(1) = 0{,}95^8 \approx 0{,}6634 \); \( P(2) = 0{,}05 \cdot 0{,}95^7 \approx 0{,}0349 \). c) Die Aussage ist falsch. \( P(X=1) = 8 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95^7 \approx 0{,}2793 \). Das ist das Achtfache der Wahrscheinlichkeit von Protokoll (2).

- Überlege dir, ob die Reihenfolge der Ergebnisse für die jeweilige Teilaufgabe eine Rolle spielt. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, zwei Treffer auf vier Versuche zu verteilen? - Welche Formel hilft dir, wenn die Anzahl der Treffer, aber nicht deren genaue Position gesucht ist? - Wenn eine ganz bestimmte Abfolge von Treffern und Nieten verlangt ist, kannst du die Pfadregel verwenden.

1. Identifikation der Parameter der Bernoulli-Kette: Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}8\), Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 1 - 0{,}8 = 0{,}2\), Anzahl der Versuche \(n = 4\). 2. Berechnung für Teilaufgabe a) mit der Formel von Bernoulli für \(k = 2\) Treffer: \(P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}8^2 \cdot 0{,}2^2\). 3. Einsetzen der Werte: \(P(X = 2) = 6 \cdot 0{,}64 \cdot 0{,}04 = 0{,}1536\). 4. Berechnung für Teilaufgabe b) für das spezifische Ereignis \((T, N, N, T)\): Hier ist die Reihenfolge festgelegt. 5. Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P = 0{,}8 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}8^2 \cdot 0{,}2^2 = 0{,}0256\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}1536\) (oder \(15{,}36\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}0256\) (oder \(2{,}56\,\%\)).

- Was sind die grundlegenden Bedingungen für eine Bernoulli-Kette hinsichtlich der Wahrscheinlichkeit und der Unabhängigkeit? - Überlege dir, wie sich das Entnehmen ohne Zurücklegen auf die Wahrscheinlichkeit beim nächsten Versuch auswirkt. - Wann kann man bei einer sehr großen Anzahl von Objekten (wie in einer Fabrikproduktion) trotz Entnahme von einer konstanten Wahrscheinlichkeit ausgehen? - Sind die Ergebnisse eines Würfelwurfs von den vorherigen Würfen beeinflusst?

1. Fall a: Da die Schrauben ohne Zurücklegen aus einer relativ kleinen Menge entnommen werden, ändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit mit jedem Zug (z. B. von \(\frac{4}{40}\) auf \(\frac{4}{39}\) oder \(\frac{3}{39}\)). Die Versuche sind nicht unabhängig. Ergebnis: Keine Bernoulli-Kette. 2. Fall b: Bei einer laufenden Produktion ist die Grundgesamtheit so groß, dass die Entnahme die Wahrscheinlichkeit für einen Defekt nicht nennenswert beeinflusst. Die Versuche gelten als unabhängig mit konstantem \(p\). Ergebnis: Bernoulli-Kette mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}005\). 3. Fall c: Jeder Wurf ist physikalisch unabhängig von den anderen. Die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl (\(2, 4, 6\)) ist bei jedem Wurf konstant \(p = \frac{3}{6} = 0{,}5\). Ergebnis: Bernoulli-Kette mit \(n = 8\) und \(p = 0{,}5\).

a) Keine Bernoulli-Kette (Wahrscheinlichkeit \(p\) ändert sich beim Ziehen ohne Zurücklegen). b) Bernoulli-Kette mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}005\). c) Bernoulli-Kette mit \(n = 8\) und \(p = 0{,}5\).

- Überlege dir, ob die Reihenfolge der Ergebnisse für die jeweilige Teilaufgabe eine Rolle spielt. - Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, eine bestimmte Anzahl an Treffern in einer Versuchsreihe anzuordnen? - Was unterscheidet eine allgemeine Anzahl an Treffern von einer ganz spezifischen Abfolge von Ergebnissen?

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 15\) und Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}85\) (Keimen). 2. Zu a): Berechnung der Punktwahrscheinlichkeit mit der Bernoulli-Formel für \(k = 13\) Treffer: \(P(X = 13) = \binom{15}{13} \cdot 0{,}85^{13} \cdot 0{,}15^{2}\). Dies ergibt \(105 \cdot 0{,}85^{13} \cdot 0{,}15^{2} \approx 0{,}2856\). 3. Zu b): Da eine feste Reihenfolge vorgegeben ist, wird der Binomialkoeffizient weggelassen. Die Wahrscheinlichkeit entspricht einem Pfad im Baumdiagramm: \(P = 0{,}85^{13} \cdot 0{,}15^{2} \approx 0{,}0027\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(28{,}56\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}27\,\%\).

- Achte auf Formulierungen wie „nur der zweite“ – dies legt fest, was bei allen anderen Versuchen passieren muss. - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Elfmeter NICHT gehalten wird? - Überlege, wie viele Möglichkeiten es gibt, zwei Treffer auf vier Versuche zu verteilen, wenn die Reihenfolge egal ist. - Kannst du die Aufgaben als Pfade in einem Baumdiagramm darstellen?

1. Definition der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}3\) (gehalten) und der Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 0{,}7\) (nicht gehalten) bei \(n = 4\) Versuchen. 2. Zu a): Die Sequenz ist fest vorgegeben (nicht gehalten, gehalten, nicht gehalten, nicht gehalten). Berechnung: \(P(A) = 0{,}7 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 0{,}3 \cdot 0{,}7^3 = 0{,}1029\). 3. Zu b): Alle vier Versuche sind Misserfolge: \(P(B) = 0{,}7^4 = 0{,}2401\). 4. Zu c): Die Sequenz ist fest vorgegeben (gehalten, nicht, nicht, gehalten). Berechnung: \(P(C) = 0{,}3 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}3 = 0{,}3^2 \cdot 0{,}7^2 = 0{,}0441\). 5. Zu d): Es wird die Bernoulli-Formel für genau \(k=2\) Treffer verwendet: \(P(D) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}3^2 \cdot 0{,}7^2 = 6 \cdot 0{,}09 \cdot 0{,}49 = 0{,}2646\).

a) \(P = 10{,}29\,\%\) b) \(P = 24{,}01\,\%\) c) \(P = 4{,}41\,\%\) d) \(P = 26{,}46\,\%\)

- Was ist der Unterschied in der Berechnung, wenn die Position der Treffer vorgegeben ist im Vergleich dazu, wenn sie beliebig sein kann? - „Mindestens drei“ bedeutet, dass sowohl drei als auch vier Treffer zum Ziel führen. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten einer einzelnen Sequenz und der binomialverteilten Anzahl der Treffer zusammen?

1. Es handelt sich um eine feste Ergebnisfolge (Treffer, Treffer, Treffer, kein Goldtreffer). Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich zu \(P(T, T, T, N) = 0{,}8^3 \cdot 0{,}2^1 = 0{,}512 \cdot 0{,}2 = 0{,}1024\). 2. Bei genau drei Treffern in vier Versuchen gibt es \(\binom{4}{3} = 4\) mögliche Pfade im Baumdiagramm, die jeweils die gleiche Wahrscheinlichkeit wie in Aufgabenteil 1 besitzen. \(P(X=3) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}8^3 \cdot 0{,}2^1 = 4 \cdot 0{,}1024 = 0{,}4096\). 3. Das Ereignis „mindestens drei Treffer“ umfasst die Fälle \(X=3\) und \(X=4\). Die Wahrscheinlichkeit für vier Treffer ist \(P(X=4) = 0{,}8^4 = 0{,}4096\). Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist somit \(P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) = 0{,}4096 + 0{,}4096 = 0{,}8192\).

1. \(P = 0{,}1024\) 2. \(P = 0{,}4096\) 3. \(P = 0{,}8192\)

- Was bedeutet der Ausdruck \(1-p\) im Vergleich zur Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\)? - Welche bekannte Formel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für eine exakte Anzahl an Treffern in einer Kette von Versuchen zu berechnen? - Überlege, ob ein Zufallsexperiment ein „Gedächtnis“ hat. Beeinflusst ein vergangener Wurf den nächsten? - Wie viele Entscheidungen triffst du nacheinander und wie viele Optionen hast du jeweils, wenn eine ausgeschlossen ist?

1. Interpretation des Terms: Der Term \((1-p)^5\) beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 5 Fragen keine einzige richtig beantwortet wird (bzw. alle 5 Fragen falsch beantwortet werden), da \(1-p\) die Gegenwahrscheinlichkeit für eine richtige Antwort ist. 2. Aufstellen des Binomialterms: Für genau \(k=4\) Erfolge bei \(n=10\) Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) lautet der Term gemäß der Bernoulli-Formel: \(P(X=4) = \binom{10}{4} \cdot p^4 \cdot (1-p)^6\). 3. Beurteilung der Aussage: Die Aussage ist falsch. Da die Antwortversuche stochastisch unabhängig sind, hat das Ergebnis der ersten 50 Fragen keinen Einfluss auf die Erfolgswahrscheinlichkeit der folgenden Fragen. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bleibt bei jedem Versuch konstant \(p\). Das Gesetz der großen Zahlen besagt lediglich, dass sich die relative Häufigkeit langfristig der Wahrscheinlichkeit annähert, erzwingt aber keinen kurzfristigen Ausgleich. 4. Kombinatorische Bestimmung: Für jede der 4 Fragen gibt es ohne die Möglichkeit A noch 2 verbleibende Möglichkeiten (B oder C). Die Anzahl der möglichen Ergebnisfolgen berechnet sich somit durch \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4 = 16\).

a) Die Wahrscheinlichkeit, dass bei fünf Fragen keine richtig beantwortet wird. b) \(\binom{10}{4} \cdot p^4 \cdot (1-p)^6\) c) Die Aussage ist falsch, da die Versuche unabhängig sind und die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) für die nächsten Fragen unverändert bleibt (Spielerfehlschluss). d) \(16\)

- Überlege dir, wie man die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl an Treffern berechnet. - Was bedeutet ein Treffer für den einen Schützen im Vergleich zu einem Fehlschuss für den anderen Schützen? - Betrachte die Rollen von Erfolg und Misserfolg in der Bernoulli-Formel.

1. Berechnung von \(P(X=4)\) mit der Formel von Bernoulli: \(P(X=4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}8^4 \cdot 0{,}2^1 = 5 \cdot 0{,}4096 \cdot 0{,}2 = 0{,}4096\). 2. Berechnung von \(P(Y=1)\): \(P(Y=1) = \binom{5}{1} \cdot 0{,}2^1 \cdot 0{,}8^4 = 5 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}4096 = 0{,}4096\). 3. Begründung: Das Ereignis „\(k\) Treffer bei einer Trefferquote von \(0{,}8\)“ ist identisch mit dem Ereignis „\(5-k\) Fehlschüsse bei einer Fehlschussquote von \(0{,}2\)“. Da die Trefferwahrscheinlichkeit des zweiten Schützen genau der Fehlschusswahrscheinlichkeit des ersten entspricht, ist die Wahrscheinlichkeit für \(k\) Treffer beim ersten Schützen gleich der Wahrscheinlichkeit für \(5-k\) Treffer beim zweiten Schützen.

a) \(P(X=4) = 0{,}4096\) und \(P(Y=1) = 0{,}4096\). b) Das Erzielen von \(k\) Treffern bei einer Wahrscheinlichkeit von \(0{,}8\) entspricht logisch dem Erzielen von \(5-k\) Fehlschüssen. Da die Wahrscheinlichkeit für einen Fehlschuss beim ersten Schützen \(1 - 0{,}8 = 0{,}2\) beträgt, entspricht dies genau der Trefferwahrscheinlichkeit des zweiten Schützen für \(5-k\) Erfolge.

- Überlege, ob die Wahrscheinlichkeit für einen „Treffer“ bei jedem Teilversuch exakt gleich bleibt. - Spielt es eine Rolle, ob Objekte nach der Auswahl zurückgelegt werden oder nicht? - Achte darauf, ob die Anzahl der Versuche von vornherein feststeht. - Betrachte das Verhältnis zwischen der Größe der Stichprobe und der Gesamtzahl der verfügbaren Objekte.

1. Szenario a): Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Grundgesamtheit (\(N=20\)). Die Trefferwahrscheinlichkeit für eine rote Kugel ändert sich mit jedem entnommenen Bonbon (z. B. von \(\frac{5}{20}\) auf \(\frac{4}{19}\)). Die Bedingung der konstanten Wahrscheinlichkeit ist verletzt; keine Bernoulli-Kette. 2. Szenario b): Es gibt zwei relevante Ergebnisse (Rot / Nicht-Rot). Die Wahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{3}\) bleibt bei jedem der \(n=10\) Versuche gleich, und die Drehungen sind unabhängig voneinander. Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette. 3. Szenario c): Streng genommen liegt Ziehen ohne Zurücklegen vor. Da die Stichprobe (\(n=50\)) jedoch verschwindend klein gegenüber der Grundgesamtheit (\(N=500\,000\)) ist, ändert sich die Wahrscheinlichkeit nur vernachlässigbar gering. Unter der Annahme der Unabhängigkeit der Haushalte kann das Experiment als Bernoulli-Kette modelliert werden (Näherung).

a) Keine Bernoulli-Kette, da sich die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen ohne Zurücklegen (kleine Gesamtzahl) wesentlich ändert. b) Bernoulli-Kette mit \(n=10\) und \(p=\frac{1}{3}\). c) Näherungsweise eine Bernoulli-Kette, da die Grundgesamtheit sehr groß im Vergleich zur Stichprobe ist.

- Welche Eigenschaften kennzeichnen eine Bernoulli-Kette? - Überlege, was sich von Wurf zu Wurf (nicht) ändern darf. - Wie hängen der Erwartungswert und der wahrscheinlichste Wert zusammen? - Gibt es eine Formel oder ein Intervall für den Modus einer Binomialverteilung?

1. Für eine Binomialverteilung müssen folgende Bedingungen erfüllt sein: Es gibt nur zwei mögliche Ergebnisse (Treffer oder Fehlwurf), die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) muss bei jedem der \(n = 45\) Versuche konstant bleiben und die Würfe müssen unabhängig voneinander sein. 2. Die am wahrscheinlichsten eintretende Trefferanzahl \(k\) liegt im Intervall \([np - (1-p); np + p]\). 3. Berechnung der Grenzen: \(45 \cdot 0{,}75 - 0{,}25 = 33{,}5\) und \(45 \cdot 0{,}75 + 0{,}75 = 34{,}5\). 4. Da \(k\) eine ganze Zahl sein muss, folgt \(k = 34\). Alternativ berechnet man \(\lfloor (n+1) \cdot p \rfloor = \lfloor 46 \cdot 0{,}75 \rfloor = \lfloor 34{,}5 \rfloor = 34\).

a) Die Anzahl der Treffer ist binomialverteilt, wenn es nur zwei Ergebnisse gibt (Treffer/Fehlwurf), die Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Wurf konstant \(p = 0{,}75\) bleibt und die Würfe unabhängig voneinander sind. b) Die wahrscheinlichste Trefferanzahl ist \(34\).

- Welchen Kennwert einer Verteilung nutzt man oft, um das Zentrum der Verteilung zu beschreiben? - In welchem Bereich der Verteilung vermutest du die höchsten Säulen im Histogramm? - Wie hängen der Erwartungswert und der Modalwert bei einer Binomialverteilung zusammen?

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 80 \cdot 0{,}45 = 36\). 2. Da der Erwartungswert \(\mu = 36\) eine ganze Zahl ist, liegt das Maximum der Wahrscheinlichkeitsverteilung bei einer Binomialverteilung genau an dieser Stelle. 3. Alternativ über die Bedingung für das Maximum: Das Maximum liegt bei \(k = \lfloor (n+1) \cdot p \rfloor\). Hier ist \((80+1) \cdot 0{,}45 = 81 \cdot 0{,}45 = 36{,}45\). Der ganzzahlige Anteil ist \(36\). 4. Somit ist \(P(X = 36)\) der größte Wert der Verteilung.

Der größte Wert liegt bei \(k = 36\).

- Stelle zuerst die Formeln für die beiden Wahrscheinlichkeiten auf. - Gibt es eine Beziehung zwischen den beiden Binomialkoeffizienten? - Überlege, durch welche gemeinsamen Faktoren du die Ungleichung teilen kannst. - Denk daran, dass die Basis eines Potenzausdrucks hier immer positiv ist.

1. Aufstellen der Ungleichung mit der Formel von Bernoulli: \(\binom{100}{45} \cdot p^{45} \cdot (1-p)^{55} < \binom{100}{55} \cdot p^{55} \cdot (1-p)^{45}\). 2. Nutzen der Symmetrie der Binomialkoeffizienten: Da \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) gilt, ist \(\binom{100}{45} = \binom{100}{55}\). 3. Vereinfachen der Ungleichung durch Division: Da \(p \in ]0; 1[\), sind alle Faktoren positiv. Division durch \(\binom{100}{45} \cdot p^{45} \cdot (1-p)^{45}\) ergibt \((1-p)^{10} < p^{10}\). 4. Da beide Basen im Intervall \(]0; 1[\) liegen, folgt durch Ziehen der 10. Wurzel: \(1-p < p\). 5. Auflösen nach \(p\): \(1 < 2p \iff p > 0{,}5\).

\(0{,}5 < p < 1\) (bzw. \(p \in ]0{,}5; 1[\))

- Wie hängen Erwartungswert, Kettenlänge und Trefferwahrscheinlichkeit zusammen? - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaft der Binomialkoeffizienten im Pascal'schen Dreieck. - Was passiert mit den Termen \(p^k\) und \((1-p)^{n-k}\) in der Formel, wenn \(p\) genau \(0{,}5\) ist? - Überlege, welcher Wert genau in der Mitte zwischen \(0\) und \(n\) liegt.

1. Berechnung von \(n\): Aus \(E(X) = n \cdot p\) folgt \(6 = n \cdot 0{,}5\), also \(n = 12\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: \(P(X = 4) = \binom{12}{4} \cdot 0{,}5^{12} = 495 \cdot 0{,}5^{12} \approx 0{,}1208\). Da \(\binom{12}{8} = \binom{12}{4}\) und die Potenzen von \(0{,}5\) wegen \(p = 1-p\) identisch zusammengefasst werden können, gilt \(P(X = 8) = P(X = 4) \approx 0{,}1208\). 3. Allgemeine Begründung: Für \(p = 0{,}5\) gilt \(1-p = 0{,}5\). Die Formel vereinfacht sich zu \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot 0{,}5^k \cdot 0{,}5^{n-k} = \binom{n}{k} \cdot 0{,}5^n\). Da der Binomialkoeffizient die Eigenschaft \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) besitzt, folgt \(P(X = k) = P(X = n-k)\). Dies entspricht einer Achsensymmetrie des Histogramms bezüglich der Mitte \(k = \frac{n}{2}\).

a) \(n = 12\) b) \(P(X = 4) \approx 0{,}1208\) und \(P(X = 8) \approx 0{,}1208\) c) Durch Einsetzen von \(p = 0{,}5\) in die Bernoulli-Formel ergibt sich \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot 0{,}5^n\). Wegen \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) gilt \(P(X = k) = P(X = n-k)\), was die Achsensymmetrie beweist.

- Überlege dir, wie viele verschiedene Ergebnisse pro Einzelversuch für die Fragestellung relevant sind. - Bleibt die Chance auf einen Erfolg bei jeder Wiederholung genau gleich oder ändert sie sich? - Hat das Ergebnis eines Versuchs einen Einfluss auf die folgenden Versuche?

1. Teilaufgabe a: Es liegen zwei mögliche Ergebnisse vor (Treffer oder kein Treffer). Da die Trefferwahrscheinlichkeit mit \(p = 0{,}8\) als konstant angegeben ist und die Versuche als unabhängig voneinander betrachtet werden können, handelt es sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 12\) und \(p = 0{,}8\). 2. Teilaufgabe b: Da die Karten nicht zurückgelegt werden, ändert sich die Zusammensetzung des Decks nach jedem Zug. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, ein Ass zu ziehen, nicht konstant (beim ersten Zug \(\frac{4}{32}\), beim zweiten Zug je nach Ergebnis \(\frac{3}{31}\) oder \(\frac{4}{31}\)). Es liegt keine Bernoulli-Kette vor.

a) Ja, es ist eine Bernoulli-Kette mit \(n = 12\) und \(p = 0{,}8\). b) Nein, es ist keine Bernoulli-Kette (Wahrscheinlichkeit nicht konstant).

- Macht es einen Unterschied für die Struktur der Gruppe, ob jemand als Erster oder als Dritter gewählt wird? - Wie viele verschiedene Anordnungen gibt es für drei bereits feststehende Personen? - Was ist die Grundformel für die Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Experiment?

1. Im Fall (1) ist die Reihenfolge der Auswahl wichtig, da die Rollen (Leiter, Protokollführer, Materialwart) verschieden sind. Es handelt sich um eine Variation ohne Zurücklegen: \(15 \cdot 14 \cdot 13 = 2730\). 2. Im Fall (2) ist die Reihenfolge unerheblich, da alle Gruppenmitglieder den gleichen Status haben. Die Anzahl der Möglichkeiten wird über den Binomialkoeffizienten berechnet: \(\binom{15}{3} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 455\). 3. Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Gruppe in Fall (2) zu erhalten, ist der Quotient aus der einen günstigen Kombination und der Gesamtzahl der Kombinationen: \(P = \frac{1}{455} \approx 0{,}0022\).

a) (1) \(2730\) Möglichkeiten; (2) \(455\) Möglichkeiten. b) \(P = \frac{1}{455} \approx 0{,}0022\) (oder \(0{,}22\,\%\)).

- Wie viele Früchte sind insgesamt im Korb? - Was bedeutet es für die Auswahl, wenn eine bestimmte Sorte gar nicht vorkommen darf? - Erinnere dich daran, dass \(\binom{n}{1} = n\) ist. - Prüfe bei jedem Term, ob die Summe der unteren Zahlen in den Binomialkoeffizienten im Zähler gleich der Gesamtzahl der gezogenen Früchte ist.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Früchte: \(8 + 6 + 4 = 18\). Die Anzahl der Möglichkeiten, 5 Früchte zu ziehen, ist \(\binom{18}{5}\), was im Nenner aller Terme steht. 2. Zuordnung zu \(A\): Gesucht ist die Kombination aus 2 von 8 Äpfeln, 2 von 6 Birnen und 1 von 4 Bananen. Dies entspricht \(\binom{8}{2} \cdot \binom{6}{2} \cdot \binom{4}{1}\). Da \(\binom{4}{1} = 4\), passen sowohl Term (2) als auch Term (4). 3. Zuordnung zu \(B\): „Keine Birnen“ bedeutet, dass alle 5 Früchte aus den restlichen \(8 + 4 = 12\) Früchten (Äpfel und Bananen) stammen müssen. Die Anzahl der Möglichkeiten ist \(\binom{12}{5}\). Dies entspricht Term (1). 4. Zuordnung zu \(C\): Gesucht ist die Kombination aus 3 von 8 Äpfeln und 2 von 4 Bananen. Da keine Birnen gewählt werden, ist der Faktor \(\binom{6}{0} = 1\) implizit enthalten. Der Zähler lautet \(\binom{8}{3} \cdot \binom{4}{2}\). Dies entspricht Term (3).

Ereignis \(A\) entspricht Term (2) und (4). Ereignis \(B\) entspricht Term (1). Ereignis \(C\) entspricht Term (3).

- Welche Bedingungen müssen für eine Bernoulli-Kette erfüllt sein? - Überlege, ob sich die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg von Versuch zu Versuch ändert. - Spielt es eine Rolle, ob ein entnommenes Objekt wieder zurückgelegt wird oder nicht? - Gibt es äußere Einflüsse, die die Erfolgsaussichten beeinflussen könnten?

1. Teilaufgabe a): Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette. Da die Kugeln mit Zurücklegen gezogen werden, bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{8}{40} = 0{,}2\) konstant und die Züge sind unabhängig. Die Länge ist \(n = 5\) und die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der gezogenen roten Kugeln. 2. Teilaufgabe b): Unter der (idealisierenden) Annahme, dass die Trefferwahrscheinlichkeit konstant bleibt und die Würfe unabhängig sind, kann dies als Bernoulli-Kette modelliert werden. Parameter: \(n = 10\), \(p = 0{,}75\). Die Zufallsgröße \(X\) zählt die Anzahl der Treffer. 3. Teilaufgabe c): Dies ist keine Bernoulli-Kette. Da die Batterien ohne Zurücklegen entnommen werden, ändert sich die Wahrscheinlichkeit für eine defekte Batterie beim zweiten Zug in Abhängigkeit vom Ergebnis des ersten Zuges.

a) Ja: \(n = 5\), \(p = 0{,}2\), \(X\): Anzahl roter Kugeln. b) Ja (unter Annahme der Unabhängigkeit): \(n = 10\), \(p = 0{,}75\), \(X\): Anzahl der Treffer. c) Nein, da Ziehen ohne Zurücklegen (Wahrscheinlichkeit nicht konstant).

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, das eine Gewinnlos auf die Plätze zu verteilen. - Stell dir vor, alle Lose werden nebeneinander ausgelegt. Ist ein Platz wahrscheinlicher für den Gewinn als ein anderer? - Du kannst die Wahrscheinlichkeit für einen späteren Zug auch mit einem Baumdiagramm und der Pfadmultiplikationsregel bestimmen.

1. Für das erste Los gibt es \(100\) gleich wahrscheinliche Möglichkeiten. Da genau ein Los der Hauptgewinn ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit nach Laplace \(P(\text{Hauptgewinn an 1. Stelle}) = \frac{1}{100} = 0{,}01\). 2. Für die zehnte Stelle kann die Wahrscheinlichkeit über die Pfadregel berechnet werden: Die ersten neun Lose dürfen kein Hauptgewinn sein (\(\frac{99}{100} \cdot \frac{98}{99} \cdot \dots \cdot \frac{91}{92}\)) und das zehnte Los muss der Hauptgewinn sein (\(\frac{1}{91}\)). Durch Kürzen der Brüche ergibt sich: \(P(\text{Hauptgewinn an 10. Stelle}) = \frac{1}{100} = 0{,}01\). 3. Da die Lose eine zufällige Permutation (Anordnung) bilden und jede der \(100!\) Anordnungen gleich wahrscheinlich ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Hauptgewinn an einer bestimmten Position \(k\) befindet, für alle \(k \in \{1, \dots, 100\}\) gleich groß.

a) \(P = \frac{1}{100} = 0{,}01\) b) \(P = \frac{1}{100} = 0{,}01\) c) Aufgrund der Symmetrie der zufälligen Anordnung (jede Position ist für das Gewinnlos gleich wahrscheinlich).

- Welche festen Werte für die Gesamtzahl und die Wahrscheinlichkeit eines Einzelerfolgs kannst du dem Text entnehmen? - Handelt es sich um eine Kette von Versuchen, bei denen es jeweils nur zwei mögliche Ergebnisse gibt? - Wie berücksichtigst du die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, in welcher Reihenfolge die Ereignisse auftreten können? - Denk an die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Zwiebel mal nicht austreibt.

1. Identifikation der Parameter für die Binomialverteilung: Anzahl der Versuche \(n = 12\), Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}95\) und die Anzahl der Erfolge \(k = 11\). 2. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit: \(q = 1 - p = 0{,}05\). 3. Aufstellen der Formel für die Punktwahrscheinlichkeit: \(P(X = 11) = \binom{12}{11} \cdot 0{,}95^{11} \cdot 0{,}05^1\). 4. Berechnung des Binomialkoeffizienten: \(\binom{12}{11} = 12\). 5. Einsetzen und Ausrechnen: \(12 \cdot 0{,}5688 \cdot 0{,}05 \approx 0{,}3413\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(34{,}13\,\%\) (oder \(0{,}3413\)).

- Was ist das Gegenereignis dazu, dass eine Instanz den Zugriff erkennt? - Wie müssen die Ergebnisse der ersten beiden Instanzen aussehen, damit erst die dritte Instanz den Zugriff meldet? - Welche Regel wendest du an, wenn mehrere unabhängige Ereignisse nacheinander eintreten müssen?

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Instanz den Zugriff erkennt, beträgt \(p = 0{,}8\). Die Wahrscheinlichkeit, dass sie ihn übersieht, ist \(q = 1 - 0{,}8 = 0{,}2\). 1. Der Alarm wird direkt bei der ersten Prüfung ausgelöst: \(P(X = 1) = p = 0{,}8\). 2. Der Alarm wird erst bei der dritten Prüfung ausgelöst, was bedeutet, dass die ersten beiden Instanzen den Zugriff übersehen haben und die dritte ihn erkennt: \(P(X = 3) = q \cdot q \cdot p = 0{,}2^2 \cdot 0{,}8 = 0{,}032\). 3. Keine der drei Instanzen erkennt den Zugriff: \(P(\text{kein Alarm}) = q \cdot q \cdot q = 0{,}2^3 = 0{,}008\).

(1) \(0{,}8\) (oder \(80\,\%\)) (2) \(0{,}032\) (oder \(3{,}2\,\%\)) (3) \(0{,}008\) (oder \(0{,}8\,\%\))

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, bei einer einzelnen Aufgabe falsch zu liegen. - Da die Aufgaben unabhängig voneinander bearbeitet werden, kannst du die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ereignisse multiplizieren. - Wie oft muss das Ereignis „falsch geraten“ hintereinander eintreten?

1. Identifikation der Parameter der Bernoulli-Kette: Die Anzahl der Versuche ist \(n = 15\). 2. Bestimmung der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) für eine richtige Antwort: \(p = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 3. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit \(q\) für eine falsche Antwort: \(q = 1 - p = 0{,}75\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(k = 0\) Treffer unter Verwendung der Formel für die Punktwahrscheinlichkeit der Binomialverteilung: \(P(X = 0) = \binom{15}{0} \cdot 0{,}25^0 \cdot 0{,}75^{15} = 0{,}75^{15}\). 5. Numerisches Ergebnis: \(P(X = 0) \approx 0{,}0134\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(1{,}34\,\%\) (exakt \(0{,}75^{15} \approx 0{,}01336\)).

- Handelt es sich hier um eine Kette von Versuchen mit immer der gleichen Erfolgswahrscheinlichkeit? - Was bedeutet es für die Rechnung, wenn ein Ereignis 20-mal hintereinander eintreten soll? - Überlege, welche Werte für \(n\), \(p\) und \(k\) in die Formel für die Binomialverteilung eingesetzt werden müssen.

1. Festlegung der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der pünktlichen Sendungen mit \(n = 20\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg (pünktliche Zustellung) beträgt \(p = 0{,}95\). 3. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für genau \(k = 20\) Treffer. 4. Anwendung der Bernoulli-Formel: \(P(X = 20) = \binom{20}{20} \cdot 0{,}95^{20} \cdot 0{,}05^0 = 0{,}95^{20}\). 5. Berechnung des Endwerts: \(0{,}95^{20} \approx 0{,}3585\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(35{,}85\,\%\) (exakt \(0{,}95^{20} \approx 0{,}35849\)).

- Wie hoch ist die Chance, bei einer Frage mit vier Möglichkeiten die richtige zu treffen? - Welche Parameter definieren eine Binomialverteilung in diesem Kontext? - Erinnere dich an die Formel von Bernoulli für Punktwahrscheinlichkeiten. - Wie berechnet man im Durchschnitt, wie viele Erfolge bei einer Serie von Versuchen zu erwarten sind?

1. Definition der Zufallsgröße: \(X\) beschreibt die Anzahl der richtig beantworteten Fragen. Da die Fragen unabhängig voneinander durch Raten beantwortet werden, ist \(X\) binomialverteilt mit den Parametern \(n = 10\) (Anzahl der Fragen) und \(p = \frac{1}{4} = 0{,}25\) (Erfolgswahrscheinlichkeit pro Frage). 2. Punktwahrscheinlichkeit berechnen: Gesucht ist \(P(X = 5)\) für genau \(5\) richtige Antworten. \(P(X = 5) = \binom{10}{5} \cdot 0{,}25^5 \cdot 0{,}75^5 = 252 \cdot 0{,}25^5 \cdot 0{,}75^5 \approx 0{,}0584\). 3. Erwartungswert berechnen: Der Erwartungswert \(\mu\) einer binomialverteilten Zufallsgröße berechnet sich durch \(\mu = n \cdot p\). \(E(X) = 10 \cdot 0{,}25 = 2{,}5\).

a) \(X\): Anzahl der richtigen Antworten; \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 10\) und \(p = 0{,}25\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(5{,}84\,\%\) (oder \(0{,}0584\)). c) Der Erwartungswert liegt bei \(2{,}5\) richtigen Antworten.

- Überlege dir, was passiert, wenn du eine Gruppe von Personen festlegst. Was passiert automatisch mit dem Rest der Gruppe? - Gibt es eine Formel für den Binomialkoeffizienten, die eine Symmetrie zeigt? - Ist es einfacher, die Kombinationen für eine große oder für eine kleine Untergruppe zu berechnen?

1. Begründung der Symmetrie: Jede Auswahl von \(22\) Personen, die an der Umfrage teilnehmen, legt gleichzeitig eindeutig fest, welche \(3\) Personen nicht teilnehmen. Da es zu jeder Gruppe von Teilnehmenden genau eine korrespondierende Gruppe von Nicht-Teilnehmenden gibt, muss die Anzahl der Möglichkeiten identisch sein. Mathematisch entspricht dies der Eigenschaft der Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\). 2. Berechnung der Möglichkeiten: Die Anzahl wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{25}{22}\) beschrieben. Aufgrund der Symmetrie gilt \(\binom{25}{22} = \binom{25}{3}\). 3. Ausrechnen des Wertes: \(\binom{25}{3} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{13\,800}{6} = 2\,300\).

a) Jede Auswahl von \(22\) Personen bestimmt eindeutig die \(3\) Personen, die nicht ausgewählt werden (Symmetrie des Binomialkoeffizienten: \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)). b) Es gibt \(2\,300\) Möglichkeiten.

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es gibt, eine bestimmte Anzahl an Kugeln aus einer Urne ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge zu ziehen. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, die Anzahl der Teilmengen zu bestimmen? - Wie hängen die Anzahl der Möglichkeiten und die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ereignis zusammen?

1. Berechnung der Kombinationen für Format A mittels Binomialkoeffizient: \(\binom{42}{6} = \frac{42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5\,245\,786\). 2. Berechnung der Kombinationen für Format B: \(\binom{37}{7} = \frac{37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10\,295\,472\). 3. Vergleich der Wahrscheinlichkeiten: Da die Anzahl der möglichen Kombinationen bei Format A (\(5\,245\,786\)) geringer ist als bei Format B (\(10\,295\,472\)), ist die Wahrscheinlichkeit \(p_A = \frac{1}{5\,245\,786}\) größer als \(p_B = \frac{1}{10\,295\,472}\).

In Format A gibt es \(5\,245\,786\) Kombinationen, in Format B gibt es \(10\,295\,472\) Kombinationen. Die Gewinnchance ist in Format A höher, da es dort weniger mögliche Kombinationen gibt.

- Überlege, ob sich die Wahrscheinlichkeit für einen Gutschein von Paket zu Paket ändert. - Welche Verteilung ist geeignet, wenn man eine feste Anzahl von unabhängigen Versuchen mit jeweils zwei möglichen Ausgängen hat? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für „genau k Treffer“? - Bei „mindestens eins“ hilft oft der Blick auf das Gegenteil. Was darf nicht passieren?

1. Modellierung als Bernoulli-Kette: Da die Pakete unabhängig voneinander mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}2\) einen Gutschein enthalten, ist die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl der Gutscheine) binomialverteilt mit \(n = 12\) und \(p = 0{,}2\). 2. Berechnung für Teilaufgabe a): \(P(X = 3) = \binom{12}{3} \cdot 0{,}2^3 \cdot 0{,}8^9\). Mit \(\binom{12}{3} = 220\) ergibt dies \(220 \cdot 0{,}008 \cdot 0{,}134217728 \approx 0{,}2362\). 3. Berechnung für Teilaufgabe b): Das Gegenereignis zu „mindestens ein Gutschein“ ist „kein Gutschein“ (\(X = 0\)). Es gilt \(P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \binom{12}{0} \cdot 0{,}2^0 \cdot 0{,}8^{12}\). Mit \(0{,}8^{12} \approx 0{,}0687\) folgt \(P(X \geq 1) = 1 - 0{,}0687 = 0{,}9313\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(23{,}62\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(93{,}13\,\%\).

- Was zeichnet einen Bernoulli-Versuch im Gegensatz zu einem allgemeineren Zufallsexperiment aus? - Wie viele verschiedene Ausgänge darf es geben? - Wie kannst du die Zahlen auf dem Glücksrad in zwei Gruppen aufteilen? - Gibt es nur eine einzige Art, „Erfolg“ zu definieren?

1. Einteilung der acht möglichen Ergebnisse in zwei disjunkte Teilmengen, z. B. Erfolg \(E = \{2, 4, 6, 8\}\) (gerade Zahl) und Misserfolg \(\bar{E} = \{1, 3, 5, 7\}\) (ungerade Zahl). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: Da alle Sektoren gleich groß sind, gilt \(p = P(E) = \frac{4}{8} = 0{,}5\) und \(q = 1 - p = 0{,}5\). 3. Definition einer alternativen Erfolgsmenge, z. B. \(E' = \{7, 8\}\) (Zahl ist größer als 6). 4. Berechnung der neuen Erfolgswahrscheinlichkeit: \(p' = P(E') = \frac{2}{8} = 0{,}25\).

a) Beispielhafte Interpretation: Erfolg ist das Erzielen einer geraden Zahl. Damit ist \(p = 0{,}5\) und \(q = 0{,}5\). b) Beispielhafte weitere Interpretation: Erfolg ist das Erzielen einer Zahl größer als 6, also \(7\) oder \(8\). Dann ist \(p' = \frac{2}{8} = 0{,}25\).

- Wann spricht man von einem Bernoulli-Experiment? Überlege dir, welche Voraussetzungen für die Wahrscheinlichkeit und die Unabhängigkeit gelten müssen. - Welche Werte haben \(n\) (Anzahl der Versuche) und \(p\) (Trefferwahrscheinlichkeit) in dieser Aufgabe? - Erinnerst du dich an die Formel von Bernoulli für Punktwahrscheinlichkeiten? - Was ist das Gegenereignis zu einem Treffer und wie groß ist dessen Wahrscheinlichkeit?

1. Modellierung als Bernoulli-Kette: Es gibt nur zwei relevante Ergebnisse pro Schuss (Treffer im Gold oder kein Treffer). Die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}7\) muss bei jedem Schuss konstant bleiben und die Schüsse müssen voneinander unabhängig sein. 2. Anwendung der Bernoulli-Formel \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) mit \(n = 4\) und \(p = 0{,}7\). 3. Berechnung für \(k = 0\): \(P(X = 0) = \binom{4}{0} \cdot 0{,}7^0 \cdot 0{,}3^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}0081 = 0{,}0081\). 4. Berechnung für \(k = 1\): \(P(X = 1) = \binom{4}{1} \cdot 0{,}7^1 \cdot 0{,}3^3 = 4 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}027 = 0{,}0756\). 5. Berechnung für \(k = 2\): \(P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}7^2 \cdot 0{,}3^2 = 6 \cdot 0{,}49 \cdot 0{,}09 = 0{,}2646\). 6. Berechnung für \(k = 3\): \(P(X = 3) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}7^3 \cdot 0{,}3^1 = 4 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}3 = 0{,}4116\). 7. Berechnung für \(k = 4\): \(P(X = 4) = \binom{4}{4} \cdot 0{,}7^4 \cdot 0{,}3^0 = 1 \cdot 0{,}2401 \cdot 1 = 0{,}2401\).

a) Bedingungen: Nur zwei Ausgänge (Treffer/kein Treffer), konstante Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) und Unabhängigkeit der Schüsse. b) Die Wahrscheinlichkeiten betragen: \(P(X=0) = 0{,}0081\) \(P(X=1) = 0{,}0756\) \(P(X=2) = 0{,}2646\) \(P(X=3) = 0{,}4116\) \(P(X=4) = 0{,}2401\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Ereignis „sicher“ ist? - Hilft dir das Gegenereignis bei der Berechnung von „mindestens ein Erfolg“ weiter? - Sagt der Erwartungswert etwas darüber aus, ob ein Ergebnis auf jeden Fall eintritt? - Berechne für den Vergleich in Teil a die Werte mit ausreichender Genauigkeit oder als Brüche.

1. Parameter festlegen: Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist \(p = 0{,}25\), die Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 0{,}75\). 2. Wahrscheinlichkeit für \(A\): \(P(A) = \binom{4}{1} \cdot 0{,}25^1 \cdot 0{,}75^3 = 4 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}421875 = 0{,}421875\). 3. Wahrscheinlichkeit für \(B\): \(P(B) = \binom{8}{2} \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^6 = 28 \cdot 0{,}0625 \cdot 0{,}1779785 \approx 0{,}3115\). Die Wahrscheinlichkeiten sind nicht gleich groß. 4. Beurteilung der Aussage: Ein Ereignis ist sicher, wenn seine Wahrscheinlichkeit \(1\) beträgt. Der Erwartungswert gibt nur den Durchschnittswert an, garantiert aber keinen Erfolg. 5. Wahrscheinlichkeit für \(C\): Über das Gegenereignis „kein Gewinn“ berechnet man \(P(C) = 1 - P(X=0) = 1 - 0{,}75^4 = 1 - 0{,}31640625 = 0{,}68359375\). Da \(P(C) < 1\), ist es kein sicheres Ereignis.

a) \(P(A) = 0{,}421875\) und \(P(B) \approx 0{,}3115\). Die Wahrscheinlichkeiten sind nicht gleich groß. b) Die Aussage ist falsch. Ein Erwartungswert von 1 bedeutet nicht, dass ein Erfolg garantiert ist. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(C) \approx 0{,}6836\). Da \(P(C) \neq 1\), ist es kein sicheres Ereignis.

- Wie viele Fragen werden insgesamt gestellt? Das ist dein \(n\). - Wie groß ist die Chance, bei einer einzelnen Frage durch bloßes Raten richtig zu liegen? - Welcher Wert für \(k\) entspricht „der Hälfte der Fragen“? - Was passiert in der Bernoulli-Formel, wenn \(k = 0\) ist? Welche Teile des Terms vereinfachen sich zu \(1\)?

1. Identifikation der Parameter: Die Anzahl der Fragen entspricht der Kettenlänge \(n = 10\). Da genau eine von vier Antworten richtig ist, beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 2. Term für genau die Hälfte der Fragen (\(k = 5\)): Unter Verwendung der Binomialverteilung ergibt sich \(P(X = 5) = \binom{10}{5} \cdot 0{,}25^5 \cdot 0{,}75^5\). 3. Berechnung für keine richtige Frage (\(k = 0\)): Der Term lautet \(P(X = 0) = \binom{10}{0} \cdot 0{,}25^0 \cdot 0{,}75^{10} = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}75^{10}\). 4. Numerisches Ergebnis: \(0{,}75^{10} \approx 0{,}0563\).

a) \(n = 10\); \(p = 0{,}25\) b) \(P(X = 5) = \binom{10}{5} \cdot 0{,}25^5 \cdot 0{,}75^5\) c) \(P(X = 0) = 0{,}75^{10} \approx 0{,}0563\)

- Welche Informationen aus dem Text entsprechen den Variablen in der Formel für die Binomialverteilung? - Überlege, wie viele Pfade im Baumdiagramm genau zwei Gewinne enthalten. - Was darf sich während der Drehungen des Glücksrads nicht verändern?

1. Identifikation der Parameter für die Bernoulli-Formel: Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}3\), Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 1 - 0{,}3 = 0{,}7\), Anzahl der Versuche \(n = 6\), Anzahl der Treffer \(k = 2\). 2. Aufstellen der Formel für die Punktwahrscheinlichkeit: \(P(X = 2) = \binom{6}{2} \cdot 0{,}3^2 \cdot 0{,}7^{6-2}\). 3. Berechnung des Binomialkoeffizienten: \(\binom{6}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15\). 4. Berechnung der Potenzen: \(0{,}3^2 = 0{,}09\) und \(0{,}7^4 = 0{,}2401\). 5. Multiplikation der Teilergebnisse: \(15 \cdot 0{,}09 \cdot 0{,}2401 = 0{,}324\,135\). 6. Benennung der Voraussetzungen: Es darf nur zwei mögliche Ergebnisse pro Versuch geben (Treffer/Niete), die Trefferwahrscheinlichkeit muss bei jedem Versuch konstant bleiben und die einzelnen Versuche müssen stochastisch unabhängig voneinander sein.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}324\,135\) (bzw. ca. \(32{,}41\,\%\)). b) Voraussetzungen: 1. In jeder Stufe gibt es genau zwei mögliche Ergebnisse (Erfolg/Misserfolg). 2. Die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) bleibt über alle Versuche hinweg konstant. 3. Die einzelnen Versuche sind voneinander unabhängig.

- Was muss in den Versuchen vor dem 15. Bauteil passieren, damit das 15. das erste defekte ist? - Überlege dir, welche Wahrscheinlichkeiten du für „Defekt“ und „nicht Defekt“ multiplizieren musst. - Bei „mindestens ein“ ist es oft einfacher, das Gegenteil zu berechnen. Was ist das Gegenteil von „mindestens ein defektes Teil“?

1. Damit der erste Erfolg (defektes Bauteil) genau beim \(k = 15\). Versuch eintritt, müssen die ersten 14 Versuche Misserfolge sein und der 15. Versuch ein Erfolg. Mit \(p = 0{,}03\) und \(q = 1 - p = 0{,}97\) ergibt sich: \(P = q^{14} \cdot p = 0{,}97^{14} \cdot 0{,}03 \approx 0{,}0196\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg bei \(n = 50\) Versuchen entspricht dem Gegenereignis zu „kein Erfolg in 50 Versuchen“. Es gilt: \(P(\text{mind. ein Defekt}) = 1 - q^{50} = 1 - 0{,}97^{50} \approx 1 - 0{,}2181 = 0{,}7819\).

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(1{,}96\,\%\). 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(78{,}19\,\%\).

- Stelle dir vor, du hast 10 leere Plätze in einer Reihe und musst 3 Kreuze für „Erfolg“ verteilen. - Sind die Kreuze, die du setzt, voneinander unterscheidbar? - Kannst du auf einen der 10 Plätze mehr als ein Kreuz setzen? - Überlege, welche bekannte Formel aus der Kombinatorik die Auswahl von \(k\) Elementen aus einer Menge von \(n\) Elementen beschreibt.

1. Zuordnung im Modell: Die \(k = 3\) Erfolge entsprechen den ununterscheidbaren Kugeln. Die \(n = 10\) Positionen (Versuche) in der Bernoulli-Kette entsprechen den unterscheidbaren Fächern. 2. Bedingungen: Da jeder Versuch in der Kette nur einmal ein Erfolg sein kann, ist keine Mehrfachbelegung eines Fachs möglich (Modell ohne Zurücklegen). Die Reihenfolge der Kugeln (Erfolge) spielt keine Rolle, da sie als identisch betrachtet werden; entscheidend ist nur, welche Fächer (Positionen) besetzt sind. 3. Berechnung: Die Anzahl der Möglichkeiten entspricht dem Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k} = \binom{10}{3}\). 4. Ergebnis: \(\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\). Es gibt 120 Pfade mit genau 3 Erfolgen.

a) Die 3 Erfolge sind die Kugeln, die 10 Versuchspositionen sind die Fächer. b) Es ist ein Modell ohne Berücksichtigung der Reihenfolge der Kugeln und ohne Mehrfachbelegung der Fächer. c) \(\binom{10}{3} = 120\)

- Wenn du zwei Kugeln gleichzeitig ziehst, ist die Reihenfolge egal. - Versuche beim Auflisten mit der kleinsten Zahl zu beginnen und dann alle Partner dazu zu finden. - Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Auswählen von zwei Kugeln und dem „Übriglassen“ der restlichen Kugeln? - Kennst du eine Formel, die \(\binom{n}{k}\) und \(\binom{n}{n-k}\) in Verbindung bringt?

1. Systematisches Auflisten der Paare: \(\{1, 2\}, \{1, 3\}, \{1, 4\}, \{1, 5\}, \{2, 3\}, \{2, 4\}, \{2, 5\}, \{3, 4\}, \{3, 5\}, \{4, 5\}\). 2. Zählen der Ergebnisse: Es gibt insgesamt 10 verschiedene Mengen, folglich ist \(\binom{5}{2} = 10\). 3. Anwendung der Symmetrieeigenschaft: Es gilt \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\). Für \(n=5\) und \(k=3\) ergibt sich \(\binom{5}{3} = \binom{5}{5-3} = \binom{5}{2}\). Da \(\binom{5}{2} = 10\) ist, gibt es auch für das Ziehen von drei Kugeln genau 10 Möglichkeiten. Jede Auswahl von drei Kugeln lässt genau zwei Kugeln in der Urne zurück, was der Auswahl der nicht gezogenen Kugeln entspricht.

a) \(\{1, 2\}, \{1, 3\}, \{1, 4\}, \{1, 5\}, \{2, 3\}, \{2, 4\}, \{2, 5\}, \{3, 4\}, \{3, 5\}, \{4, 5\}\) b) \(\binom{5}{2} = 10\) c) Es gibt 10 Möglichkeiten, da \(\binom{5}{3} = \binom{5}{5-3} = \binom{5}{2}\) gilt.

- Spielt die Reihenfolge, in der die zwei Personen für den Ordnungsdienst benannt werden, eine Rolle? - Wenn du zwei Personen auswählst, was passiert automatisch mit dem Rest der Gruppe? - Schau dir die Formel für den Binomialkoeffizienten an und prüfe, ob sich Werte im Nenner vertauschen lassen.

1. Berechnung für a): Da die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielt und niemand doppelt gewählt werden kann, wird der Binomialkoeffizient \(\binom{15}{2}\) berechnet. \(\frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = 15 \cdot 7 = 105\). 2. Berechnung für b): Die Auswahl von 13 Personen aus 15 entspricht \(\binom{15}{13}\). Berechnung: \(\frac{15 \cdot 14 \cdot \dots \cdot 3}{13 \cdot 12 \cdot \dots \cdot 1} = \frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = 105\). 3. Zusammenhang: Jede Auswahl von 2 Personen für den Dienst legt gleichzeitig eindeutig fest, welche 13 Personen keinen Dienst haben. Mathematisch gilt die Symmetrie \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\), hier \(\binom{15}{2} = \binom{15}{15-2} = \binom{15}{13}\).

a) Es gibt \(105\) Möglichkeiten. b) Es gibt ebenfalls \(105\) Möglichkeiten. Die Ergebnisse sind identisch, da die Auswahl von \(k\) Objekten immer die Nicht-Auswahl von \(n-k\) Objekten impliziert; es gilt \(\binom{15}{2} = \binom{15}{13}\).

- Macht es einen Unterschied für den Spieleabend, welches der vier Spiele zuerst aus dem Regal genommen wird? - Handelt es sich um Ziehen mit oder ohne Zurücklegen? - Welches Modell aus der Kombinatorik passt hier am besten?

1. Es wird eine Auswahl von \(4\) Objekten aus einer Menge von \(14\) verschiedenen Objekten getroffen, wobei die Reihenfolge der Auswahl für das Endergebnis irrelevant ist. 2. Dies entspricht dem Urnenmodell „Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge“. 3. Die Anzahl der Möglichkeiten ergibt sich durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{14}{4}\). 4. Durchführung der Rechnung: \(\binom{14}{4} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1001\).

Es gibt \(1001\) verschiedene Kombinationen.

- Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine bestimmte Anzahl an Objekten aus einer Menge auszuwählen, wenn die Reihenfolge egal ist? - Rechne die beiden Werte für a) und b) explizit aus. - Stell dir vor, du hast 8 Sorten vor dir. Wenn du 6 Sorten für deinen Becher aussuchst, was passiert dann mit den restlichen 2 Sorten? - Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Auswählen und dem Übriglassen?

1. Teilaufgabe a): Auswahl von 2 aus 8 Sorten ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Berechnung: \(\binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28\). 2. Teilaufgabe b): Auswahl von 6 aus 8 Sorten ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Berechnung: \(\binom{8}{6} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28\). 3. Teilaufgabe c): Die Anzahl ist gleich, da die Auswahl von 2 Sorten, die im Becher landen sollen, logisch gleichbedeutend mit der Auswahl von 6 Sorten ist, die nicht gewählt werden (also im Behälter bleiben). Jede Kombination von 2 gewählten Sorten legt eindeutig eine Kombination von 6 nicht gewählten Sorten fest.

a) 28 Möglichkeiten b) 28 Möglichkeiten c) Die Anzahl ist gleich, weil die Auswahl von 6 Sorten, die man nimmt, gleichzeitig festlegt, welche 2 Sorten man nicht nimmt. Jede Wahl von 6 Sorten entspricht also genau einer Wahl von 2 Sorten.

- Kannst du die einzelnen Terme nacheinander berechnen? - Fällt dir eine Besonderheit beim Vergleich der Ergebnisse von a) und b) auf? - Schau dir bei Teil c) die Zahlen unten in der Klammer genau an. Gibt es einen Zusammenhang zur Zahl oben? - Erinnere dich an die Definition und die Eigenschaften von \(\binom{n}{k}\).

1. Berechnung von Teil a): \(\binom{9}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36\) und \(\binom{9}{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84\). Die Summe ist \(36 + 84 = 120\). 2. Berechnung von Teil b): \(\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120\). 3. Untersuchung von Teil c): Da \(11 - 9 = 2\) ist, gilt nach der Symmetrieeigenschaft \(\binom{11}{9} = \binom{11}{2}\). Ein Bruch, bei dem Zähler und Nenner identisch (und ungleich Null) sind, hat den Wert \(1\).

a) \(120\) b) \(120\) c) \(1\)

- Stelle dir vor, die Beilagen liegen alle gleichzeitig auf dem Teller. Macht die Reihenfolge, in der sie daraufgelegt wurden, einen Unterschied? - Wie viele Elemente stehen insgesamt zur Auswahl und wie viele sollen ausgewählt werden? - Welche Formel hilft dir dabei, eine Teilmenge aus einer Gesamtheit zu bestimmen?

1. Es handelt sich um eine Auswahl von \(4\) Elementen aus einer Menge von \(10\) Elementen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. 2. Zur Berechnung wird der Binomialkoeffizient \(\binom{n}{k}\) verwendet, hier mit \(n = 10\) und \(k = 4\). 3. Berechnungsschritt: \(\binom{10}{4} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\). 4. Dies ergibt \(\frac{5\,040}{24} = 210\).

Der Gast hat \(210\) verschiedene Kombinationsmöglichkeiten.

- Wie viele Kugeln bleiben in der Urne liegen, wenn du 3 herausnimmst? - Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Anzahl der gezogenen und der Anzahl der übrig bleibenden Kugeln? - Berechne beide Binomialkoeffizienten und vergleiche die Werte.

1. Berechnung der Kombinationen für 3 aus 7: \(\binom{7}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35\). 2. Berechnung der Kombinationen für 4 aus 7: \(\binom{7}{4} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 35\). 3. Feststellung der Gleichheit: \(35 = 35\). 4. Begründung im Sachzusammenhang: Jedes Mal, wenn man 3 Kugeln aus der Urne zieht (auswählt), bleiben automatisch genau 4 Kugeln in der Urne zurück (die nicht ausgewählten). Daher ist die Anzahl der Wege, 3 Kugeln zu nehmen, identisch mit der Anzahl der Wege, 4 Kugeln liegen zu lassen.

a) Es gibt 35 Kombinationen. b) Die Aussage ist wahr, da \(\binom{7}{3} = 35\) und \(\binom{7}{4} = 35\). Die Auswahl von 3 Kugeln, die entnommen werden, entspricht logisch der Auswahl von 4 Kugeln, die in der Urne verbleiben.

- Wie viele Möglichkeiten gibt es, 11 Spieler aus einem Kader von 15 Spielern auszuwählen? - Ist es für die Auswahl der Gruppe wichtig, wer als Erster oder als Letzter gezogen wird? - Ein kleiner Tipp: Es ist mathematisch dasselbe, 11 Spieler für das Team auszuwählen oder 4 Spieler zu bestimmen, die nicht mitspielen. - Wie viele der möglichen 11er-Gruppen passen exakt auf die vorgegebene Auswahl?

1. Berechnung der Gesamtzahl der möglichen Startaufstellungen (Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge): \(\binom{15}{11}\). 2. Anwendung der Symmetrieeigenschaft des Binomialkoeffizienten zur Vereinfachung: \(\binom{15}{11} = \binom{15}{15-11} = \binom{15}{4}\). 3. Berechnung des Wertes: \(\binom{15}{4} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1365\). 4. Da nur eine spezifische Gruppe von 11 Spielern günstig ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit \(P = \frac{1}{1365}\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{1365}\) (ca. \(0{,}073\,\%\)).

- Welche Rolle spielen die Exponenten in der Bernoulli-Formel im Verhältnis zur Gesamtzahl der Versuche? - Wie hängen die Basis der ersten Potenz und die Basis der zweiten Potenz zusammen? - Erinnere dich an den Aufbau des Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) im Kontext der Trefferzahl.

1. Vergleich mit der Bernoulli-Formel \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) zeigt, dass \(k = 6\) ist. 2. Aus dem Exponenten der Gegenwahrscheinlichkeit folgt \(m = n - k = 15 - 6 = 9\). 3. Da \(1 - p = 0{,}75\) ist, ergibt sich die Erfolgswahrscheinlichkeit zu \(p = 1 - 0{,}75 = 0{,}25\). 4. Berechnung des Wertes: \(P(X = 6) = \binom{15}{6} \cdot 0{,}25^6 \cdot 0{,}75^9 = 5005 \cdot 0{,}25^6 \cdot 0{,}75^9 \approx 0{,}0917\).

\(k = 6\), \(p = 0{,}25\), \(m = 9\) \(P(X = 6) \approx 0{,}0917\)

- Überlege zuerst, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für einen „Nicht-Treffer“ ist. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 4 Treffer auf die 12 Plätze der Kette zu verteilen? - Achte beim Rechnen mit Brüchen darauf, die Potenzen korrekt anzuwenden. - Vergiss nicht, das Endergebnis wie gefordert zu runden.

1. Festlegen der Parameter: \(n = 12\), \(k = 4\), \(p = 0{,}25\), \(q = 0{,}75\). 2. Berechnung des Binomialkoeffizienten: \(\binom{12}{4} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495\). 3. Aufstellen des Terms nach Bernoulli: \(P(X = 4) = \binom{12}{4} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^8\). 4. Numerische Auswertung: \(495 \cdot 0{,}25^4 \cdot 0{,}75^8 \approx 495 \cdot 0{,}003906 \cdot 0{,}100113 \approx 0{,}193576\). 5. Rundung auf vier Dezimalstellen: \(0{,}1936\).

\(P(X = 4) \approx 0{,}1936\)

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bei einem einzelnen Dreh ist. - Handelt es sich um ein Experiment mit oder ohne Zurücklegen? - Welche Formel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für eine exakte Anzahl an Treffern in einer Kette von Versuchen zu bestimmen? - Was bedeutet „kein Treffer“ für den Wert der Trefferanzahl in der Formel? - Kannst du die Bedingung in Teilaufgabe c) so umformulieren, dass sie sich auf die Anzahl der „Vieren“ bezieht?

Das Zufallsexperiment ist eine Bernoulli-Kette mit der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{4} = 0{,}25\) für die Zahl 4 und der Länge \(n = 6\). 1. Für Teilaufgabe a) wird die Wahrscheinlichkeit für \(k = 2\) Erfolge mit der Bernoulli-Formel berechnet: \(P(X = 2) = \binom{6}{2} \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^4 = 15 \cdot 0{,}0625 \cdot 0{,}31640625 \approx 0{,}2966\). 2. Für Teilaufgabe b) wird die Wahrscheinlichkeit für \(k = 0\) Erfolge berechnet: \(P(X = 0) = \binom{6}{0} \cdot 0{,}25^0 \cdot 0{,}75^6 = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}177978515625 \approx 0{,}1780\). 3. In Teilaufgabe c) entspricht das Ereignis „genau fünfmal nicht die 4“ dem Ereignis „genau einmal die 4“. Mit \(k = 1\) ergibt sich: \(P(X = 1) = \binom{6}{1} \cdot 0{,}25^1 \cdot 0{,}75^5 = 6 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}2373046875 \approx 0{,}3560\).

a) \(P \approx 29{,}66\,\%\) b) \(P \approx 17{,}80\,\%\) c) \(P \approx 35{,}60\,\%\)

- Bestimme zunächst die Wahrscheinlichkeit für einen „Treffer“ und eine „Niete“ als Dezimalzahl. - Wie oft wird das Experiment insgesamt durchgeführt? - Nutze die Formel für die Binomialverteilung für eine feste Anzahl an Erfolgen. - Achte bei sehr kleinen Ergebnissen auf die Anzahl der Nachkommastellen oder die Angabe in Prozent.

Es liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n = 12\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}8\) vor. 1. Für a) berechnet man mit \(k = 10\): \(P(X = 10) = \binom{12}{10} \cdot 0{,}8^{10} \cdot 0{,}2^2 = 66 \cdot 0{,}1073741824 \cdot 0{,}04 \approx 0{,}2835\). 2. Für b) berechnet man mit \(k = 8\): \(P(X = 8) = \binom{12}{8} \cdot 0{,}8^8 \cdot 0{,}2^4 = 495 \cdot 0{,}16777216 \cdot 0{,}0016 \approx 0{,}1329\). 3. Für c) berechnet man mit \(k = 0\): \(P(X = 0) = \binom{12}{0} \cdot 0{,}8^0 \cdot 0{,}2^{12} = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}000000004096 = 4{,}096 \cdot 10^{-9}\). Das entspricht \(0{,}0000004096\,\%\).

a) \(P \approx 28{,}35\,\%\) b) \(P \approx 13{,}29\,\%\) c) \(P = 4{,}096 \cdot 10^{-9}\) (bzw. \(0{,}0000004096\,\%\))

- Erinnere dich an den Aufbau der Bernoulli-Formel: Trefferzahl, Trefferwahrscheinlichkeit und Gegenwahrscheinlichkeit. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, wenn man die Erfolgswahrscheinlichkeit kennt? - Wenn du insgesamt 16-mal wirfst und 4-mal triffst, wie oft triffst du dann nicht? - Die Summe der beiden Exponenten muss immer der Gesamtzahl der Versuche entsprechen.

1. Aufstellen des Terms: Die Formel für die Binomialverteilung lautet \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\). Einsetzen der gegebenen Werte \(n = 16\), \(p = \frac{1}{3}\) und \(k = 4\) ergibt \(P(X = 4) = \binom{16}{4} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{12}\). 2. Bestimmung des Exponenten: Der Exponent der Gegenwahrscheinlichkeit \((1 - p) = \frac{2}{3}\) ist \(12\). 3. Allgemeine Berechnung: Der Exponent entspricht der Anzahl der Misserfolge und wird allgemein durch die Differenz \(n - k\) berechnet. Hier: \(16 - 4 = 12\).

a) \(P(X = 4) = \binom{16}{4} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{12}\) b) Der Exponent ist \(12\). Er wird allgemein über \(n - k\) berechnet.

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es gibt, dass genau eines der fünf Bauteile defekt ist. - Hilft dir ein Baumdiagramm oder eine Formel für mehrstufige Zufallsversuche weiter? - Berechne die Wahrscheinlichkeiten für beide Maschinen getrennt und vergleiche sie am Ende.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Maschine A (\(n=5\), \(k=4\), \(p=0{,}9\)): \(P(A=4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}9^4 \cdot 0{,}1^1 = 5 \cdot 0{,}6561 \cdot 0{,}1 = 0{,}32805\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Maschine B (\(n=5\), \(k=4\), \(p=0{,}7\)): \(P(B=4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}7^4 \cdot 0{,}3^1 = 5 \cdot 0{,}2401 \cdot 0{,}3 = 0{,}36015\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(0{,}36015 > 0{,}32805\), ist es bei Maschine B wahrscheinlicher, genau 4 einwandfreie Bauteile zu erhalten.

Es ist bei Maschine B wahrscheinlicher (ca. \(36\,\%\)), dass genau 4 von 5 Bauteilen einwandfrei sind, verglichen mit Maschine A (ca. \(33\,\%\)).

- Bestimme für beide Personen die Anzahl der Versuche und die jeweilige Trefferwahrscheinlichkeit. - Wie viele verschiedene Pfade im Baumdiagramm führen bei Jan zu genau zwei Treffern? - Wie viele Pfade führen bei Lea zu drei Treffern? - Vergleiche die beiden berechneten Dezimalzahlen oder Prozentsätze.

1. Wahrscheinlichkeit für Jan berechnen (genau 2 Treffer bei 3 Versuchen mit \(p=0{,}5\)): \(P(J=2) = \binom{3}{2} \cdot 0{,}5^2 \cdot 0{,}5^1 = 3 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}5 = 0{,}375\). 2. Wahrscheinlichkeit für Lea berechnen (genau 3 Treffer bei 3 Versuchen mit \(p=0{,}75\)): \(P(L=3) = 0{,}75^3 = 0{,}421875\). 3. Vergleich: Da \(0{,}421875 > 0{,}375\), ist das Ereignis von Lea wahrscheinlicher.

Es ist wahrscheinlicher, dass Lea alle drei Schüsse ins Zentrum setzt (\(P \approx 0{,}422\)), als dass Jan genau zwei Treffer erzielt (\(P = 0{,}375\)).

- Welche Werte für die Gesamtzahl der Versuche und die Trefferwahrscheinlichkeit sind gegeben? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für die Misserfolge? - Welche Formel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für eine genaue Anzahl an Treffern in einer Kette von Versuchen zu bestimmen? - Überlege, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, die Treffer auf die Versuche zu verteilen.

1. Identifikation der Parameter für die Bernoulli-Kette: Länge \( n = 5 \), Trefferwahrscheinlichkeit \( p = 0{,}6 \), Gegenwahrscheinlichkeit \( q = 1 - p = 0{,}4 \) und Anzahl der Treffer \( k = 3 \). 2. Aufstellen der Bernoulli-Formel: \( P(X = 3) = \binom{5}{3} \cdot 0{,}6^3 \cdot 0{,}4^{5-3} \). 3. Berechnung des Binomialkoeffizienten: \( \binom{5}{3} = 10 \). 4. Berechnung der Potenzen: \( 0{,}6^3 = 0{,}216 \) und \( 0{,}4^2 = 0{,}16 \). 5. Multiplikation der Teilergebnisse: \( 10 \cdot 0{,}216 \cdot 0{,}16 = 0{,}3456 \).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \( 0{,}3456 \) (oder \( 34{,}56\,\% \)).

- Was genau wird hier als „Treffer“ definiert und wie hoch ist die zugehörige Wahrscheinlichkeit? - Wie viele Versuche werden insgesamt durchgeführt? - Hast du die Gegenwahrscheinlichkeit korrekt bestimmt? - Nutze die Formel für genau \( k \) Treffer in \( n \) Versuchen.

1. Bestimmung der Parameter: \( n = 10 \) (Stichprobenumfang), \( p = 0{,}2 \) (Wahrscheinlichkeit für ein fehlerhaftes Bauteil), \( q = 0{,}8 \) (Wahrscheinlichkeit für ein einwandfreies Bauteil) und \( k = 2 \) (gesuchte Anzahl fehlerhafter Bauteile). 2. Anwendung der Bernoulli-Formel: \( P(X = 2) = \binom{10}{2} \cdot 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^8 \). 3. Berechnung des Binomialkoeffizienten: \( \binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45 \). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \( 45 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}16777216 = 1{,}8 \cdot 0{,}16777216 \approx 0{,}3020 \).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \( 0{,}3020 \) (oder \( 30{,}20\,\% \)).

- Überlege zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein einzelnes Teil in Ordnung ist. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass bei mehreren unabhängigen Versuchen hintereinander jedes Mal das gleiche Ergebnis eintritt? - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für eine ganze Packung kennst, kannst du diese als neue Basiswahrscheinlichkeit für die nächste Stufe der Aufgabe verwenden. - Für den zweiten Teil hilft dir die Formel für die Binomialverteilung (Bernoulli-Kette).

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine fehlerfreie LED: \(p = 1 - 0{,}04 = 0{,}96\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass in einer Packung mit \(n = 20\) LEDs keine defekt ist: \(P(\text{Packung ok}) = 0{,}96^{20} \approx 0{,}4420\). 3. Definition einer neuen Trefferwahrscheinlichkeit für die Packungen: \(p_{P} \approx 0{,}4420\). 4. Anwendung der Bernoulli-Formel für \(n = 15\) Packungen und \(k = 13\) Treffer: \(P(Y = 13) = \binom{15}{13} \cdot 0{,}4420^{13} \cdot (1 - 0{,}4420)^2\). 5. Berechnung des Ergebnisses: \(105 \cdot 0{,}4420^{13} \cdot 0{,}5580^2 \approx 0{,}0008\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(44{,}20\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}08\,\%\).

- Kannst du das Problem als eine Folge von immer gleichen Versuchen mit zwei Ausgängen beschreiben? - Welche Werte haben die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Versuche? - Überlege, welche Einzelergebnisse zu der Bedingung „höchstens eine“ gehören. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer in einer Kette?

Das Zufallsexperiment kann als Bernoulli-Kette der Länge \(n = 30\) mit der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}05\) (Lampe mit Farbabweichung) modelliert werden. 1. Berechnung für \(P(X = 0)\): Mit der Formel für die Bernoulli-Kette ergibt sich \(P(X = 0) = \binom{30}{0} \cdot 0{,}05^0 \cdot 0{,}95^{30} = 0{,}95^{30} \approx 0{,}2146\). 2. Berechnung für \(P(X \le 1)\): Es gilt \(P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)\). 3. Einzelwert \(P(X = 1) = \binom{30}{1} \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^{29} = 30 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95^{29} \approx 0{,}3389\). 4. Summe bilden: \(P(X \le 1) \approx 0{,}2146 + 0{,}3389 = 0{,}5535\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(21{,}46\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(55{,}35\,\%\).

- Was bedeutet es für die Rechnung, wenn nach „mindestens“ einer bestimmten Anzahl an Treffern gefragt wird? - Welche Kennzahlen \(n\) und \(p\) lassen sich aus dem Text ablesen? - Versuche, die Situation mit einem Baumdiagramm oder der Bernoulli-Formel zu erfassen. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 Treffer auf 5 Schüsse zu verteilen?

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 5\) und \(p = 0{,}85\). 1. Berechnung für \(P(X = 4)\): Unter Verwendung der Bernoulli-Formel ergibt sich \(P(X = 4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}85^4 \cdot 0{,}15^1 = 5 \cdot 0{,}85^4 \cdot 0{,}15 \approx 0{,}3915\). 2. Berechnung für \(P(X \ge 4)\): Das Ereignis umfasst die Fälle \(X = 4\) und \(X = 5\). 3. Einzelwert \(P(X = 5) = \binom{5}{5} \cdot 0{,}85^5 \cdot 0{,}15^0 = 0{,}85^5 \approx 0{,}4437\). 4. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(P(X \ge 4) = 0{,}3915 + 0{,}4437 = 0{,}8352\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(39{,}15\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(83{,}52\,\%\).

- Überlege, ob sich die Wahrscheinlichkeit bei jedem Schuss ändert oder gleich bleibt. - Welche Werte für die Gesamtzahl der Versuche und die Anzahl der Treffer sind gegeben? - Gibt es eine Formel, mit der man die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl an Erfolgen direkt berechnen kann? - Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Treffer auf die Schüsse zu verteilen?

1. Identifikation der Parameter für die Bernoulli-Kette: Die Trefferwahrscheinlichkeit ist \(p = 0{,}6\), die Anzahl der Versuche beträgt \(n = 4\) und die Anzahl der gewünschten Treffer ist \(k = 2\). 2. Berechnung des Binomialkoeffizienten für die Anzahl der Pfade im Baumdiagramm: \(\binom{4}{2} = 6\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades mit genau zwei Treffern und zwei Fehlwürfen: \(0{,}6^2 \cdot (1 - 0{,}6)^{4 - 2} = 0{,}36 \cdot 0{,}16 = 0{,}0576\). 4. Bestimmung der Gesamtwahrscheinlichkeit durch Multiplikation: \(P(X = 2) = 6 \cdot 0{,}0576 = 0{,}3456\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}3456\) (oder \(34{,}56\,\%\)).

- Kannst du die Situation als ein mehrstufiges Zufallsexperiment mit zwei Ausgängen („keimt“, „keimt nicht“) beschreiben? - Welche Parameter für die Bernoulli-Formel lassen sich aus dem Text ablesen? - Denke an die Struktur eines Baumdiagramms – wie viele Endknoten entsprechen genau fünf Keimungen? - Achte darauf, auch die Wahrscheinlichkeit für die Samen einzubeziehen, die nicht keimen.

1. Festlegen der Parameter der Bernoulli-Kette: Die Erfolgswahrscheinlichkeit pro Samen ist \(p = 0{,}8\), die Gesamtzahl der Samen ist \(n = 7\) und die Anzahl der keimenden Samen soll \(k = 5\) sein. 2. Berechnung der Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten: \(\binom{7}{5} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine spezifische Kombination von 5 Keimungen und 2 Nicht-Keimungen: \(0{,}8^5 \cdot 0{,}2^2 = 0{,}32768 \cdot 0{,}04 = 0{,}0131072\). 4. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit: \(P(X = 5) = 21 \cdot 0{,}0131072 = 0{,}2752512\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}2752512\) (ca. \(27{,}53\,\%\)).

- Berechne zunächst beide Wahrscheinlichkeiten einzeln mit der Bernoulli-Formel. - Achte darauf, genügend Nachkommastellen mitzuführen, um einen sicheren Vergleich zu ermöglichen. - Was sagt das Ergebnis über die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten aus?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(k = 1\): \(P(X = 1) = \binom{10}{1} \cdot 0{,}2^1 \cdot 0{,}8^9 = 10 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}134217728 = 0{,}268435456\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(k = 2\): \(P(X = 2) = \binom{10}{2} \cdot 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^8 = 45 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}16777216 = 0{,}301989888\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(0{,}301989888 > 0{,}268435456\), ist das Ergebnis \(k = 2\) wahrscheinlicher.

Das Ereignis \(k = 2\) ist mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. \(30{,}2\,\%\) wahrscheinlicher als das Ereignis \(k = 1\) mit ca. \(26{,}8\,\%\).

- Welche Bedeutung haben die Hochzahlen in der Formel für die Anzahl der Versuche? - Was verrät dir der Binomialkoeffizient \(\binom{12}{2}\) über die Anzahl der Treffer? - Welches bekannte Zufallsgerät hat eine Erfolgswahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{6}\)? - Überlege, wie oft das Experiment insgesamt durchgeführt wird.

1. Identifikation der Parameter der Bernoulli-Kette: Die Formel hat die Struktur \(\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) mit der Trefferzahl \(k = 2\), der Kettenlänge \(n = 12\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{6}\). 2. Wahl eines passenden Experiments: Ein Standardwürfel wird 12-mal geworfen. Das Erzielen einer bestimmten Augenzahl (z. B. eine „6“) gilt als Treffer (\(p = \frac{1}{6}\)). 3. Formulierung des Ereignisses: Da \(k = 2\) ist, beschreibt die Formel die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Es werden bei 12 Würfen genau zwei Sechsen gewürfelt“.

Zufallsexperiment: Ein fairer Standardwürfel wird 12-mal geworfen. Ereignis \(A\): Es wird genau zweimal eine „6“ gewürfelt.

- Wann bleibt die Wahrscheinlichkeit bei einem Experiment über mehrere Stufen hinweg gleich? - Was bedeutet „höchstens einmal“ für die Anzahl der möglichen Treffer? - Unterscheide genau: Sollen nur die ersten Ergebnisse eine Bedingung erfüllen oder muss auch festgelegt sein, was danach passiert? - Welche Zahlen zwischen 1 und 5 sind Primzahlen? - Welche Formel hilft dir, wenn die Reihenfolge der Treffer egal ist, aber die Anzahl feststeht?

1. Überprüfung der Bernoulli-Eigenschaften: Da das Rad nach jedem Drehen in der gleichen Ausgangssituation ist, bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\) konstant und die Versuche sind voneinander unabhängig. Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge \(n = 5\). 2. Wahrscheinlichkeit für höchstens eine 5: \(P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1) = \binom{5}{0} \cdot 0{,}2^0 \cdot 0{,}8^5 + \binom{5}{1} \cdot 0{,}2^1 \cdot 0{,}8^4 = 0{,}32768 + 0{,}4096 = 0{,}73728\). 3. Erste zwei Ergebnisse sind Primzahlen (\(2, 3, 5\)): Die Wahrscheinlichkeit für eine Primzahl ist \(p = \frac{3}{5} = 0{,}6\). Da nur die ersten zwei Stellen festgelegt sind und der Rest beliebig ist, gilt \(P = 0{,}6^2 = 0{,}36\). 4. Nur die ersten zwei sind Primzahlen: Dies entspricht der festen Sequenz (P, P, nP, nP, nP). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = 0{,}6^2 \cdot 0{,}4^3 = 0{,}36 \cdot 0{,}064 = 0{,}02304\). 5. Genau drei ungerade Zahlen (\(1, 3, 5\)): Mit \(n=5\), \(k=3\) und \(p = \frac{3}{5} = 0{,}6\) ergibt sich \(P(X=3) = \binom{5}{3} \cdot 0{,}6^3 \cdot 0{,}4^2 = 10 \cdot 0{,}216 \cdot 0{,}16 = 0{,}3456\).

a) Ja, es ist eine Bernoulli-Kette (\(p=0{,}2\) konstant, Unabhängigkeit). b) \(P \approx 73{,}73\,\%\) c) \(P = 36\,\%\) d) \(P \approx 2{,}30\,\%\) e) \(P = 34{,}56\,\%\)

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine einzelne blaue bzw. grüne Kugel ist. - Bei Teilaufgabe b) hilft es, alle möglichen Ketten aufzuschreiben, die die Bedingung erfüllen. - „Mindestens vier“ bedeutet, dass es entweder vier oder fünf Treffer sein können. - Denk daran, dass „mit Zurücklegen“ bedeutet, dass sich die Wahrscheinlichkeiten nicht ändern.

1. Wahrscheinlichkeit für genau zwei blaue Kugeln: Mit \(n=5\), \(k=2\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{4}{10} = 0{,}4\) für Blau ergibt sich \(P(X=2) = \binom{5}{2} \cdot 0{,}4^2 \cdot 0{,}6^3 = 10 \cdot 0{,}16 \cdot 0{,}216 = 0{,}3456\). 2. Genau zwei blaue Kugeln hintereinander, Rest grün: Es gibt vier mögliche Sequenzen: (B, B, G, G, G), (G, B, B, G, G), (G, G, B, B, G) und (G, G, G, B, B). Jede dieser Sequenzen hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}4^2 \cdot 0{,}6^3 = 0{,}03456\). Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist \(4 \cdot 0{,}03456 = 0{,}13824\). 3. Mindestens vier grüne Kugeln: Die Wahrscheinlichkeit für Grün ist \(p_G = 0{,}6\). Gesucht ist \(P(Y \ge 4) = P(Y=4) + P(Y=5)\) für \(n=5\). \(P(Y=4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}6^4 \cdot 0{,}4^1 = 5 \cdot 0{,}1296 \cdot 0{,}4 = 0{,}2592\). \(P(Y=5) = \binom{5}{5} \cdot 0{,}6^5 \cdot 0{,}4^0 = 1 \cdot 0{,}07776 \cdot 1 = 0{,}07776\). Gesamtwahrscheinlichkeit: \(0{,}2592 + 0{,}07776 = 0{,}33696\).

a) \(P = 34{,}56\,\%\) b) \(P = 13{,}824\,\%\) c) \(P = 33{,}696\,\%\)

- Überlege dir zuerst, ob es sich um eine Bernoulli-Kette handelt. - Welche Werte für \(n\), \(p\) und \(k\) sind jeweils gegeben? - Beachte bei Spieler A, dass „mindestens drei“ mehrere Möglichkeiten umfasst. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei \(n\) Versuchen?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Ereignis 1 (Spieler A, \(n=4, p=0{,}9\)): \(P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4)\) \(P(X=3) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}9^3 \cdot 0{,}1^1 = 4 \cdot 0{,}729 \cdot 0{,}1 = 0{,}2916\) \(P(X=4) = \binom{4}{4} \cdot 0{,}9^4 \cdot 0{,}1^0 = 1 \cdot 0{,}6561 \cdot 1 = 0{,}6561\) \(P(X \ge 3) = 0{,}2916 + 0{,}6561 = 0{,}9477\) 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Ereignis 2 (Spieler B, \(n=6, p=0{,}6\)): \(P(Y=4) = \binom{6}{4} \cdot 0{,}6^4 \cdot 0{,}4^2 = 15 \cdot 0{,}1296 \cdot 0{,}16 = 0{,}31104\) 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(0{,}9477 > 0{,}31104\), ist Ereignis 1 deutlich wahrscheinlicher.

Das Ereignis 1 (Spieler A trifft mindestens dreimal) ist mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. \(94{,}77\,\%\) wahrscheinlicher als Ereignis 2 (Spieler B trifft genau viermal) mit ca. \(31{,}10\,\%\).

- Bestimme für beide Strategien die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) pro Frage. - Wie viele Fragen müssen insgesamt beantwortet werden (\(n\))? - Denke daran, dass „mindestens 3“ bedeutet, dass 3, 4 oder 5 Antworten korrekt sein können. - Verwende die Formel von Bernoulli für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten.

1. Analyse von Strategie A (Bernoulli-Kette mit \(n=5, p=0{,}25\)): Gesucht ist \(P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)\). \(P(X=3) = \binom{5}{3} \cdot 0{,}25^3 \cdot 0{,}75^2 = 10 \cdot \frac{1}{64} \cdot \frac{9}{16} = \frac{90}{1024}\) \(P(X=4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}25^4 \cdot 0{,}75^1 = 5 \cdot \frac{1}{256} \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{1024}\) \(P(X=5) = \binom{5}{5} \cdot 0{,}25^5 \cdot 0{,}75^0 = 1 \cdot \frac{1}{1024} \cdot 1 = \frac{1}{1024}\) \(P(X \ge 3) = \frac{90+15+1}{1024} = \frac{106}{1024} \approx 0{,}1035\) 2. Analyse von Strategie B (Bernoulli-Kette mit \(n=10, p=0{,}5\)): Gesucht ist \(P(Y=5)\). \(P(Y=5) = \binom{10}{5} \cdot 0{,}5^5 \cdot 0{,}5^5 = 252 \cdot 0{,}5^{10} = \frac{252}{1024} \approx 0{,}2461\) 3. Vergleich: Da \(\frac{252}{1024} > \frac{106}{1024}\), ist Strategie B erfolgversprechender.

Strategie B bietet die höhere Erfolgswahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit liegt hier bei ca. \(24{,}61\,\%\), während sie bei Strategie A nur ca. \(10{,}35\,\%\) beträgt.

- Bestimme zuerst die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für eine „6“ bei einem Wurf. - Wie oft wird das Experiment insgesamt durchgeführt? Das ist dein \(n\). - Die gesuchte Anzahl der Treffer entspricht dem Wert \(k\). - Nutze die Bernoulli-Formel oder die entsprechende Verteilungsfunktion deines Taschenrechners.

1. Identifikation der Parameter: \(n = 10\), \(p = \frac{1}{6}\). 2. Zu a): Berechnung von \(P(X=2) = \binom{10}{2} \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^8 \approx 0{,}2907\). 3. Zu b): Berechnung von \(P(X=5) = \binom{10}{5} \cdot (\frac{1}{6})^5 \cdot (\frac{5}{6})^5 \approx 0{,}0130\). 4. Zu c): Berechnung von \(P(X=0) = \binom{10}{0} \cdot (\frac{1}{6})^0 \cdot (\frac{5}{6})^{10} \approx 0{,}1615\).

a) \(P(\text{genau zweimal „6“}) \approx 0{,}2907\) b) \(P(\text{genau fünfmal „6“}) \approx 0{,}0130\) c) \(P(\text{keine „6“}) \approx 0{,}1615\)

- Welche Wahrscheinlichkeit hat eine einzelne Seite bei einem idealen Würfel mit vier Flächen? - Welche Werte für \(n\), \(k\) und \(p\) musst du in die Formel einsetzen? - Wie berechnet man den Binomialkoeffizienten „8 über 2“? - Achte darauf, auch die Wahrscheinlichkeit für die Misserfolge mit der passenden Anzahl zu berücksichtigen.

1. Erfolgswahrscheinlichkeit bestimmen: Da der Würfel vier gleichwahrscheinliche Seiten hat, ist die Wahrscheinlichkeit für eine Drei \(p = \frac{1}{4} = 0{,}25\). Die Gegenwahrscheinlichkeit ist \(q = 1 - p = 0{,}75\). 2. Bernoulli-Formel aufstellen: Für \(n = 8\), \(k = 2\) und \(p = 0{,}25\) lautet der Ansatz \(P(X = 2) = \binom{8}{2} \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^6\). 3. Zwischenergebnisse berechnen: Der Binomialkoeffizient ist \(\binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28\). Die Potenzen ergeben \(0{,}25^2 = 0{,}0625\) und \(0{,}75^6 \approx 0{,}17798\). 4. Endergebnis berechnen: \(P(X = 2) = 28 \cdot 0{,}0625 \cdot 0{,}75^6 \approx 0{,}3115\).

a) \(p = 0{,}25\) b) \(P(X = 2) \approx 0{,}3115\) (bzw. \(31{,}15\,\%\))

- Wie berechnet man ein Element in einer neuen Zeile aus der vorherigen? - Kannst du die Definition des Binomialkoeffizienten nutzen, um den Wert direkt zu berechnen? - Addiere einfach alle Werte einer Zeile auf und vergleiche das Ergebnis mit der Potenz von 2.

1. Berechnung der nächsten Zeile (\(n=10\)) durch Addition benachbarter Elemente der 9. Zeile: \(1\), \(1+9=10\), \(9+36=45\), \(36+84=120\), \(84+126=210\), \(126+126=252\). Die ersten sechs Zahlen sind 1, 10, 45, 120, 210, 252. 2. Berechnung von \(\binom{10}{4}\): Mit \(\binom{10}{3} = 120\) folgt \(\binom{10}{4} = 120 \cdot \frac{10-3}{4} = 120 \cdot \frac{7}{4} = 30 \cdot 7 = 210\). 3. Summe der 5. Zeile: Die Werte der 5. Zeile sind 1, 5, 10, 10, 5, 1. Die Summe ist \(1+5+10+10+5+1 = 32\). Der Vergleich mit der Formel ergibt \(2^5 = 32\). Die Übereinstimmung ist gezeigt.

a) 1, 10, 45, 120, 210, 252 b) \(\binom{10}{4} = 210\) c) Summe: \(1+5+10+10+5+1 = 32\); Formel: \(2^5 = 32\). Die Werte sind identisch.

- Wie viele Personen bleiben übrig, wenn du 9 ausgewählt hast? - Gibt es einen Unterschied, ob du sagst: „Diese 9 kommen mit“ oder „Diese 3 bleiben hier“? - Überlege dir, ob jede Auswahl der „Mitfahrer“ eine ganz bestimmte Gruppe von „Daheimgebliebenen“ festlegt. - Nutze die Definition des Binomialkoeffizienten für die Berechnung.

1. Berechnung der Möglichkeiten: Die Anzahl wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{12}{9}\) bestimmt. 2. Vereinfachung durch Symmetrie: \(\binom{12}{9} = \binom{12}{12-9} = \binom{12}{3}\). 3. Rechenschritt: \(\binom{12}{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220\). 4. Logische Begründung: Jedes Mal, wenn man eine Gruppe von \(k\) Objekten auswählt, bestimmt man gleichzeitig automatisch eine eindeutige Restgruppe von \(n-k\) Objekten, die nicht ausgewählt werden. Da jede Auswahl von \(k\) Personen genau eine Auswahl von \(n-k\) Personen festlegt (diejenigen, die „übrig bleiben“), muss die Anzahl der Möglichkeiten für beide Vorgänge identisch sein.

a) Es gibt 220 Möglichkeiten. b) Die Anzahl ist gleich, da die Auswahl von 9 Personen, die teilnehmen, gleichzeitig die Auswahl der 3 Personen festlegt, die nicht teilnehmen. Jede Kombination von 9 Teilnehmern entspricht genau einer Kombination von 3 Nicht-Teilnehmern.

- Kannst du die nächste Zeile des Dreiecks bilden, indem du die Zahlen der vorherigen Zeile addierst? - Überlege dir, welche Position in der Zahlenreihe zu welcher Anzahl an richtigen Antworten gehört. - Was bedeutet „mindestens 5“ für die Auswahl der Koeffizienten? - Wie viele Pfade gibt es insgesamt bei 6 Stufen, wenn es pro Stufe 2 Möglichkeiten gibt?

1. Bestimmung der 6. Zeile: Ausgehend von der 5. Ze (\(1, 5, 10, 10, 5, 1\)) addiert man die Nachbarzahlen: \(1, (1+5), (5+10), (10+10), (10+5), (5+1), 1\). Die Koeffizienten sind \(1, 6, 15, 20, 15, 6, 1\). 2. Pfade für genau 3 richtige Antworten: Dies entspricht dem Koeffizienten für \(k=3\) (der vierte Wert in der Reihe). Ergebnis: \(20\). 3. Wahrscheinlichkeit für mindestens 5 Richtige: „Mindestens 5“ bedeutet 5 oder 6 richtige Antworten. Die Anzahl der Pfade ist \(6 + 1 = 7\). Die Gesamtzahl der möglichen Antwortkombinationen ist \(2^6 = 64\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{7}{64} = 0{,}109375\).

a) Die Koeffizienten lauten \(1, 6, 15, 20, 15, 6, 1\). b) Es gibt \(20\) Möglichkeiten, genau 3 Fragen richtig zu beantworten. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{7}{64}\) (oder \(0{,}109375\)).

- Stelle für beide Ketten die Formel zur Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit auf. - Was fällt dir auf, wenn du die Struktur der beiden Formeln vergleichst? - Erinnerst du dich an eine Eigenschaft der Binomialkoeffizienten bezüglich der Symmetrie? - Musst du die Werte zwingend bis zum Ende ausrechnen, um die Gleichheit festzustellen?

1. Berechnung für Kette \(X\) mit \(k = 2\): \(P(X = 2) = \binom{10}{2} \cdot 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^8\). 2. Berechnung für Kette \(Y\) mit \(k = 8\): \(P(Y = 8) = \binom{10}{8} \cdot 0{,}8^8 \cdot 0{,}2^2\). 3. Vergleich der Terme: Die Binomialkoeffizienten \(\binom{10}{2}\) und \(\binom{10}{8}\) sind aufgrund der Symmetrie identisch (\(45\)). Die Potenzen \(0{,}2^2\) und \(0{,}8^8\) treten in beiden Produkten auf. 4. Ergebnis: Da alle Faktoren in den Produkten übereinstimmen, sind die Wahrscheinlichkeiten gleich (\(P \approx 0{,}3020\)).

Ja, die Wahrscheinlichkeiten sind identisch, da \(\binom{10}{2} \cdot 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^8 = \binom{10}{8} \cdot 0{,}8^8 \cdot 0{,}2^2 \approx 0{,}3020\).

- Vergleiche den Aufbau der Terme mit der allgemeinen Bernoulli-Formel. - Achte besonders auf den Zusammenhang zwischen der Zahl im Binomialkoeffizienten und den Exponenten. - Prüfe, ob die Summe der Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg genau 1 ergibt. - Überlege dir für die gültigen Formeln eine Situation, in der es nur zwei mögliche Ergebnisse (Treffer/Niete) gibt.

1. Analyse von a): Der Term entspricht der Bernoulli-Formel \(P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) mit \(n = 10\), \(k = 3\) und \(p = 0{,}15\). Da \(3 + 7 = 10\) und \(0{,}15 + 0{,}85 = 1\), ist die Formel korrekt angewendet. Beispiel: Ein Reißnagel landet mit einer Wahrscheinlichkeit von \(15\,\%\) auf dem Kopf. Er wird \(10\)-mal geworfen. Ereignis: Er landet genau \(3\)-mal auf dem Kopf. 2. Analyse von b): Der Binomialkoeffizient gibt \(n = 12\) vor. Die Summe der Exponenten \(4 + 6 = 10\) entspricht jedoch nicht der Gesamtzahl der Versuche \(n\). Daher handelt es sich nicht um eine korrekte Bernoulli-Formel für \(n = 12\). 3. Analyse von c): Der Term entspricht der Bernoulli-Formel mit \(n = 10\), \(k = 8\) und \(p = 0{,}8\). Da \(p^k = 0{,}8^8\) und \((1-p)^{n-k} = 0{,}2^2\) ist, sind lediglich die Faktoren vertauscht, was mathematisch korrekt ist. Beispiel: Ein Basketballspieler trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von \(80\,\%\). Er wirft \(10\)-mal. Ereignis: Er erzielt genau \(8\) Treffer.

a) Ja, Bernoulli-Formel mit \(n = 10\), \(p = 0{,}15\), \(k = 3\). Beispiel: \(10\)-maliges Würfeln einer „6“ bei einem speziellen Würfel mit \(p = 0{,}15\); Ereignis: Genau \(3\) Sechsen. b) Nein, die Summe der Exponenten (\(4+6=10\)) stimmt nicht mit \(n=12\) überein. c) Ja, Bernoulli-Formel mit \(n = 10\), \(p = 0{,}8\), \(k = 8\). Beispiel: Ein Glücksrad mit \(80\,\%\) Gewinnchance wird \(10\)-mal gedreht; Ereignis: Genau \(8\) Gewinne.

- Überlege dir, welche Bedingungen erfüllt sein müssen, damit ein Experiment als Bernoulli-Kette gilt. - Was bedeutet das Ereignis „höchstens eins“ für die möglichen Werte der Zufallsgröße? - Erinnere dich an die Kurzschreibweisen für Binomialkoeffizienten wie \(\binom{n}{0}\) oder \(\binom{n}{1}\). - Setze die Werte für \(k=0\) und \(k=1\) einzeln in die Bernoulli-Formel ein und vereinfache sie.

1. Zu a): Es liegt eine Bernoulli-Kette vor, da es nur zwei Zustände (perfekt / nicht perfekt) gibt und die Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}04\) bei jeder Entnahme als konstant angenommen wird. Bei \(n = 15\) Versuchen und \(k = 2\) Treffern (nicht perfekte Pralinen) lautet die Formel \(P(X=2) = \binom{15}{2} \cdot 0{,}04^2 \cdot (1-0{,}04)^{15-2}\). Dies entspricht exakt dem gegebenen Term, da \(1 - 0{,}04 = 0{,}96\) und \(15 - 2 = 13\). 2. Zu b): Das Ereignis „höchstens eine“ bedeutet \(P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1)\). Für \(k = 0\): \(P(X=0) = \binom{15}{0} \cdot 0{,}04^0 \cdot 0{,}96^{15} = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}96^{15} = 0{,}96^{15}\). Für \(k = 1\): \(P(X=1) = \binom{15}{1} \cdot 0{,}04^1 \cdot 0{,}96^{14} = 15 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}96^{14}\). Die Summe der beiden Teilwahrscheinlichkeiten ergibt genau den behaupteten Term. Die Behauptung ist somit korrekt.

a) Der Ansatz ist korrekt, da er die Bernoulli-Formel mit \(n=15\), \(k=2\) und \(p=0{,}04\) (Erfolg = nicht perfekt) nutzt. b) Die Behauptung ist richtig. Der Term setzt sich aus \(P(X=0) = 0{,}96^{15}\) und \(P(X=1) = 15 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}96^{14}\) zusammen, was genau \(P(X \le 1)\) entspricht.

- Überlege dir zuerst, was die Werte \(0{,}8\) und \(0{,}2\) im Sachkontext bedeuten. - Was gibt der Exponent über die Anzahl der Erfolge oder Misserfolge an? - Erinnere dich an die Bedeutung der Eins minus ein Wahrscheinlichkeitswert. - Welche Rolle spielt der Vorfaktor vor den Potenzen in der Bernoulli-Formel? - Wenn zwei Wahrscheinlichkeiten addiert werden, welches Wort verknüpft dann die möglichen Anzahlen von Treffern?

Das Zufallsexperiment wird als Bernoulli-Kette mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}8\) und der Kettenlänge \(n = 10\) modelliert. 1. Der Term \(0{,}8^{10}\) entspricht \(P(X = 10)\), da die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer zehnmal multipliziert wird. Dies beschreibt das Ereignis „Alle 10 Würfe sind Treffer“. 2. Der Term \(1 - 0{,}2^{10}\) nutzt die Gegenwahrscheinlichkeit. Da \(0{,}2^{10}\) die Wahrscheinlichkeit für \(0\) Treffer ist (alle Würfe daneben), beschreibt \(1 - P(X = 0)\) das Ereignis „Mindestens ein Treffer“. 3. Im Term \(45 \cdot 0{,}8^2 \cdot 0{,}2^8\) ist \(45\) der Binomialkoeffizient \(\binom{10}{2}\). Der Term berechnet \(P(X = 2)\), also das Ereignis „Genau zwei Treffer“. 4. Der Term \(10 \cdot 0{,}8^9 \cdot 0{,}2 + 0{,}8^{10}\) ist die Summe aus \(P(X = 9)\) und \(P(X = 10)\). Dies entspricht dem Ereignis „Mindestens neun Treffer“.

a) Alle \(10\) Würfe sind Treffer. b) Mindestens ein Wurf ist ein Treffer. c) Genau zwei Würfe sind Treffer. d) Mindestens neun Würfe sind Treffer (oder: Genau \(9\) oder \(10\) Treffer).

- Bestimme zunächst die Wahrscheinlichkeit für eine richtige und eine falsche Antwort pro Frage. - Wie viele Fragen werden insgesamt betrachtet? Dies erkennst du an den Exponenten oder der Summe der Exponenten. - Was bedeutet es für das Gesamtergebnis, wenn man die Wahrscheinlichkeit von „Null Treffern“ von \(1\) abzieht? - Analysiere den Aufbau des Terms in Teil d): Was wird hier von der Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\) abgezogen?

Das Raten bei den \(6\) Fragen wird als Bernoulli-Kette mit \(n = 6\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{5}\) (eine von fünf Antworten korrekt) betrachtet. 1. Der Term \((\frac{4}{5})^6\) entspricht \(P(X = 0)\), da \(\frac{4}{5}\) die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort ist. Ereignis: „Keine Frage wird richtig beantwortet“. 2. Der Term \(1 - (\frac{4}{5})^6\) berechnet \(1 - P(X = 0)\). Dies ist die Wahrscheinlichkeit für das komplementäre Ereignis: „Mindestens eine Frage wird richtig beantwortet“. 3. Der Term \(6 \cdot \frac{1}{5} \cdot (\frac{4}{5})^5\) entspricht der Bernoulli-Formel für \(k = 1\) Treffer, wobei \(6 = \binom{6}{1}\). Ereignis: „Genau eine Frage wird richtig beantwortet“. 4. In der Klammer steht die Summe \(P(X = 0) + P(X = 1)\). Der gesamte Term \(1 - (P(X = 0) + P(X = 1))\) berechnet somit die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis zu „höchstens eine richtige Antwort“. Ereignis: „Mindestens zwei Fragen werden richtig beantwortet“.

a) Der Schüler beantwortet keine der sechs Fragen richtig. b) Der Schüler beantwortet mindestens eine Frage richtig. c) Der Schüler beantwortet genau eine der sechs Fragen richtig. d) Der Schüler beantwortet mindestens zwei Fragen richtig.

- Stelle dir die Drehungen als eine Folge von Plätzen vor, die nacheinander besetzt werden. - Überlege in Teilaufgabe b), wie viele Optionen du beim ersten, zweiten und dritten Dreh noch hast, wenn bereits Zahlen „verbraucht“ sind. - Was ändert sich an der Anzahl der Möglichkeiten, wenn die Reihenfolge der Zahlen plötzlich egal ist? - Erinnerst du dich an ein mathematisches Symbol, mit dem man die Auswahl von Teilmengen berechnet?

1. Anzahl der möglichen Ergebnisse pro Drehung: \(n = 20\). Anzahl der Drehungen: \(k = 3\). 2. Gesamtzahl der Folgen mit Wiederholung (geordnete Stichprobe mit Zurücklegen): \(20^3 = 8\,000\). 3. Anzahl der Folgen ohne Wiederholung (geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen): \(20 \cdot 19 \cdot 18 = 6\,840\). 4. Anzahl der ungeordneten Dreiergruppen ohne Wiederholung (Kombination ohne Zurücklegen): \(\binom{20}{3} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 1\,140\).

a) Es sind \(8\,000\) verschiedene Zahlenfolgen möglich. b) In \(6\,840\) Fällen tritt keine Zahl doppelt auf. c) Es können \(1\,140\) verschiedene Dreiergruppen entstehen.

- Unterscheide genau, ob die Personen in der Gruppe verschiedene „Posten“ haben oder alle gleichberechtigt sind. - Frage dich, ob eine Person in derselben Liste mehrfach auftauchen kann. - Wie viele Entscheidungen müssen nacheinander getroffen werden und wie viele Optionen gibt es jeweils?

1. Da die Rollen (Leiter, Protokollant, Präsentator) unterscheidbar sind und Personen nicht mehrfach gewählt werden können, handelt es sich um eine Variation ohne Zurücklegen: \(25 \cdot 24 \cdot 23 = 13\,800\). 2. Da die Gruppe der vier Vertreter nicht nach Rollen sortiert ist, nutzt man den Binomialkoeffizienten (Kombination ohne Zurücklegen): \(\binom{25}{4} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 12\,650\). 3. Da die Namen nacheinander gezogen werden und Wiederholungen möglich sind, handelt es sich um eine Variation mit Zurücklegen: \(25^4 = 390\,625\).

a) \(13\,800\) Möglichkeiten b) \(12\,650\) Möglichkeiten c) \(390\,625\) Möglichkeiten

- Unterscheide genau, ob Objekte nach der Auswahl wieder zur Verfügung stehen oder nicht. - Wenn die Objekte im Ergebnis unterscheidbare Rollen oder Positionen haben, ist die Reihenfolge wichtig. - Bei der Lotterie ist es egal, welche Kugel als erste oder letzte aus der Trommel rollt. - Welche mathematische Operation (Potenz, Fakultät oder Binomialkoeffizient) passt zu welcher Bedingung?

1. Teilaufgabe a: Es handelt sich um ein Urnenmodell mit \(n = 2\) Kugeln ({0, 1}) und \(k = 6\) Ziehungen mit Zurücklegen unter Berücksichtigung der Reihenfolge. Die Anzahl der Möglichkeiten beträgt \(2^6 = 64\). 2. Teilaufgabe b: Dies entspricht einem Urnenmodell mit \(n = 5\) Kugeln und \(k = 3\) Ziehungen ohne Zurücklegen unter Berücksichtigung der Reihenfolge. Die Anzahl der Möglichkeiten beträgt \(5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\). 3. Teilaufgabe c: Dies ist ein Urnenmodell mit \(n = 25\) Kugeln und \(k = 5\) Ziehungen ohne Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Die Anzahl der Möglichkeiten wird durch den Binomialkoeffizienten berechnet: \(\binom{25}{5} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 53\,130\).

a) Urnenmodell: \(n=2, k=6\), mit Zurücklegen, mit Reihenfolge; Möglichkeiten: \(64\) b) Urnenmodell: \(n=5, k=3\), ohne Zurücklegen, mit Reihenfolge; Möglichkeiten: \(60\) c) Urnenmodell: \(n=25, k=5\), ohne Zurücklegen, ohne Reihenfolge; Möglichkeiten: \(53\,130\)

- Überlege bei Teilaufgabe a), wie viele Optionen du für jede Stelle hast, wenn eine bereits genutzte Ziffer nicht mehr verfügbar ist. - Bei Teilaufgabe b) ist nur wichtig, dass eine Ziffer nicht dieselbe ist wie ihr direkter Vorgänger. Die Ziffer davor spielt keine Rolle mehr. - Wie viele Paare von unterschiedlichen Ziffern kannst du aus den sechs verfügbaren bilden? - Wenn du zwei Ziffern festlegst, wie viele Möglichkeiten gibt es dann noch, sie abwechselnd in vier Feldern anzuordnen?

1. Für einen Code ohne Ziffernwiederholung gibt es für die erste Stelle \(6\), für die zweite \(5\), für die dritte \(4\) und für die vierte \(3\) Möglichkeiten: \(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360\). 2. Für einen zulässigen Code (keine zwei benachbarten Ziffern gleich) gibt es für die erste Stelle \(6\) Möglichkeiten. Für jede folgende Stelle gibt es jeweils \(5\) Möglichkeiten (alle außer der direkt vorangegangenen Ziffer): \(6 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 6 \cdot 5^3 = 750\). 3. Ein zulässiger Code aus genau zwei abwechselnden Ziffern wird bestimmt, indem zuerst \(2\) aus \(6\) Ziffern ausgewählt werden (\(\binom{6}{2} = 15\) Möglichkeiten). Für jedes Paar \(\{a, b\}\) gibt es genau zwei solche Codes (\(abab\) und \(baba\)), also insgesamt \(15 \cdot 2 = 30\) Codes. 4. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich als Quotient aus der Anzahl der günstigen und der Anzahl der möglichen zulässigen Ergebnisse: \(P = \frac{30}{750} = \frac{1}{25} = 0{,}04\).

a) \(360\) b) \(750\) c) \(0{,}04\) (oder \(4\,\%\))

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten du für das erste Quadrat hast und wie viele für die folgenden. - Macht es einen Unterschied für die Anzahl der Möglichkeiten, ob du eine bereits verwendete Farbe noch einmal wählen darfst oder nicht? - Bei der Frage nach „mindestens einem“ Ereignis hilft oft der Blick auf das Gegenteil. - Wie hängen die Gesamtzahl der Möglichkeiten und die günstigen Möglichkeiten mit der Wahrscheinlichkeit zusammen?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Farbmuster bei Auswahl mit Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge: \(12^5 = 248\,832\). 2. Berechnung der Muster ohne Farbwiederholung (Variationen ohne Zurücklegen): \(12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 = 95\,040\). 3. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für das Komplementärereignis „keine Farbe doppelt“: \(P(\text{alle verschieden}) = \frac{95\,040}{248\,832} \approx 0{,}3819\). 4. Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis: \(P(\text{mind. eine doppelt}) = 1 - \frac{95\,040}{248\,832} = \frac{153\,792}{248\,832} \approx 0{,}6181\).

a) Es gibt \(248\,832\) mögliche Farbmuster. b) Es gibt \(95\,040\) Muster mit lauter unterschiedlichen Farben. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(0{,}6181\) (oder \(61{,}81\,\%\)).

- Überlege dir, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Wochentag ist, wenn alle Tage gleich wahrscheinlich sind. - Welches Modell aus der Stochastik eignet sich für wiederholte, unabhängige Versuche mit nur zwei möglichen Ausgängen (Erfolg/Misserfolg)? - Bei Formulierungen wie „mindestens einer“ ist es oft einfacher, über das Gegenteil nachzudenken. - Achte bei der letzten Teilaufgabe darauf, wie viele Tage als „Werktag“ zählen und wie sich dadurch die Erfolgswahrscheinlichkeit ändert.

1. Es liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n = 15\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{7}\) für einen bestimmten Wochentag vor. 2. Für Aufgabenteil a) wird die Wahrscheinlichkeit \(P(X = 2)\) mit der Formel von Bernoulli berechnet: \(P(X = 2) = \binom{15}{2} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^2 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{13} \approx 0{,}2892\). 3. Für Aufgabenteil b) wird das Gegenereignis „keine Person wurde an einem Samstag geboren“ betrachtet: \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \binom{15}{0} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^0 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{15} = 1 - \left(\frac{6}{7}\right)^{15} \approx 0{,}9009\). 4. In Aufgabenteil c) ändert sich die Erfolgswahrscheinlichkeit auf \(p = \frac{5}{7}\) für einen Werktag. Gesucht ist \(P(X > 13) = P(X = 14) + P(X = 15)\). 5. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X = 14) = \binom{15}{14} \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^{14} \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^1 \approx 0{,}0386\) und \(P(X = 15) = \binom{15}{15} \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^{15} \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^0 \approx 0{,}0064\). 6. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist \(0{,}0386 + 0{,}0064 \approx 0{,}0450\).

a) \(P(X = 2) \approx 0{,}2892\) (ca. \(28{,}9\,\%\)) b) \(P(X \ge 1) \approx 0{,}9009\) (ca. \(90{,}1\,\%\)) c) \(P(X > 13) \approx 0{,}0450\) (ca. \(4{,}50\,\%\))

- Identifiziere zuerst, welche der Zahlen von 1 bis 10 die jeweilige Bedingung (z. B. Primzahl) erfüllen. - Wie viele Versuche werden insgesamt durchgeführt? Dies entspricht deinem \(n\). - Wenn nach einem Bereich wie „mindestens 1, aber höchstens 2“ gefragt ist, kannst du die Einzelwahrscheinlichkeiten addieren. - Überlege bei der letzten Aufgabe, ob es möglich ist, dass beide Bedingungen gleichzeitig eintreten, oder ob sie sich ausschließen.

1. In Aufgabenteil a) sind die Primzahlen im Bereich 1 bis 10 die Zahlen 2, 3, 5 und 7. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist \(p = \frac{4}{10} = 0{,}4\). Mit \(n = 8\) ergibt sich \(P(X = 3) = \binom{8}{3} \cdot 0{,}4^3 \cdot 0{,}6^5 = 56 \cdot 0{,}064 \cdot 0{,}07776 \approx 0{,}2787\). 2. In Aufgabenteil b) ist die Erfolgswahrscheinlichkeit für die Zahl 10 \(p = 0{,}1\). Gesucht ist \(P(1 \le X \le 2) = P(X = 1) + P(X = 2)\). 3. \(P(X = 1) = \binom{8}{1} \cdot 0{,}1^1 \cdot 0{,}9^7 \approx 0{,}3826\). 4. \(P(X = 2) = \binom{8}{2} \cdot 0{,}1^2 \cdot 0{,}9^6 \approx 0{,}1488\). 5. Die Summe beträgt \(0{,}3826 + 0{,}1488 = 0{,}5314\). 6. In Aufgabenteil c) sind die Ereignisse \(A\): „Alle Zahlen \(< 3\)“ (Zahlen 1, 2; \(p_A = 0{,}2\)) und \(B\): „Alle Zahlen \(> 8\)“ (Zahlen 9, 10; \(p_B = 0{,}2\)) disjunkt. 7. Wahrscheinlichkeit für \(A\): \(0{,}2^8\). Wahrscheinlichkeit für \(B\): \(0{,}2^8\). 8. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(P(A \cup B) = 0{,}2^8 + 0{,}2^8 = 2 \cdot 0{,}2^8 = 0{,}00000512\).

a) \(P(X = 3) \approx 0{,}2787\) b) \(P(1 \le X \le 2) \approx 0{,}5314\) c) \(P \approx 0{,}00000512\) (bzw. \(5{,}12 \cdot 10^{-6}\))

- Wie viele Möglichkeiten gibt es, 2 Plätze aus 20 verfügbaren Plätzen auszuwählen? - Was bedeutet „höchstens ein Fehler“ für die Anzahl der möglichen Fehlerereignisse? - Welche Formel nutzt man, um die Wahrscheinlichkeit für eine genaue Anzahl an Treffern in einer Kette von Versuchen zu berechnen? - Denke an die Merkmale einer Bernoulli-Kette.

1. Berechnung der Anzahl der Blöcke mit genau zwei Einsen: Hier wird die Anzahl der Möglichkeiten gesucht, 2 Positionen aus 20 für die Einsen auszuwählen. Dies entspricht \(\binom{20}{2} = \frac{20 \cdot 19}{2} = 190\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für höchstens einen Fehler (\(X \le 1\)) mithilfe der Binomialverteilung mit \(n=20\) und \(p=0{,}01\): \(P(X=0) = \binom{20}{0} \cdot 0{,}01^0 \cdot 0{,}99^{20} \approx 0{,}8179\) \(P(X=1) = \binom{20}{1} \cdot 0{,}01^1 \cdot 0{,}99^{19} \approx 0{,}1652\) \(P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1) \approx 0{,}9831\). 3. Voraussetzungen für die Binomialverteilung: Es muss ein Bernoulli-Experiment vorliegen. Das bedeutet, es gibt genau zwei mögliche Ausgänge (Fehler/kein Fehler), die Wahrscheinlichkeit \(p\) für einen Fehler muss bei jedem Bit gleich sein und die Fehler müssen unabhängig voneinander auftreten.

a) Es gibt \(190\) solche Blöcke. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}9831\) (bzw. \(98{,}31\,\%\)). c) Die Voraussetzungen sind: nur zwei mögliche Ergebnisse pro Bit (Fehler/kein Fehler), konstante Fehlerwahrscheinlichkeit \(p\) und stochastische Unabhängigkeit der Fehler zwischen den Bits.

- In einem Baumdiagramm einer Bernoulli-Kette entspricht die Anzahl der Pfade mit einer bestimmten Trefferzahl dem Binomialkoeffizienten. - Wenn die ersten Stufen eines Pfades bereits fest vorgegeben sind, reduziert sich die Anzahl der noch frei wählbaren Stufen. - Wie viele Erfolge musst du in den verbleibenden Stufen noch unterbringen, wenn in den fest vorgegebenen Stufen bereits Erfolge enthalten sind? - Nutze die Formel \(\binom{n}{k}\) für die verbleibende Anzahl an Stufen und die noch benötigten Erfolge.

1. Anzahl der Pfade für genau 4 Erfolge: Bei einer 10-stufigen Kette entspricht dies der Auswahl von 4 Positionen für die Erfolge aus insgesamt 10 Positionen. Die Berechnung erfolgt über den Binomialkoeffizienten: \(\binom{10}{4} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210\). 2. Anzahl der Pfade mit fixiertem Anfang: Die ersten drei Stufen sind durch „M – E – M“ festgelegt. Damit ist bereits 1 Erfolg vergeben. 3. Verbleibende Stufen und Erfolge: Es bleiben \(10 - 3 = 7\) Stufen übrig, in denen noch genau \(4 - 1 = 3\) Erfolge verteilt werden müssen. 4. Berechnung für den Restpfad: Die Anzahl der Möglichkeiten hierfür ist \(\binom{7}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35\).

a) \(210\) b) \(35\)

- Überlege, wie man den Binomialkoeffizienten mithilfe von Fakultäten schreiben kann. - Was passiert mathematisch, wenn man einen Bruch durch einen anderen Bruch dividiert? - Schreibe die Fakultäten in Teilaufgabe a) so weit wie möglich aus, um Faktoren zu kürzen. - Untersuche, welche Rolle die Anordnung der ausgewählten Elemente bei den beiden Termen spielt.

1. Berechnung von \( A \): \( \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024 \). 2. Berechnung von \( B \): \( \binom{9}{4} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126 \). 3. Berechnung des Verhältnisses: \( \frac{3024}{126} = 24 \). 4. Allgemeine Begründung: Der Binomialkoeffizient ist definiert als \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \). Setzt man dies in das Verhältnis ein, erhält man \( \frac{n!}{(n-k)!} : \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} = \frac{n! \cdot k! \cdot (n-k)!}{(n-k)! \cdot n!} = k! \). Da \( 4! = 24 \) ist, stimmt dies mit dem Ergebnis aus b) überein.

a) \( A = 3024 \), \( B = 126 \) b) \( \frac{A}{B} = 24 \) c) Durch Einsetzen von \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) in \( \frac{A}{B} \) kürzen sich \( n! \) und \( (n-k)! \), sodass \( k! \) übrig bleibt.

- Wie viele Möglichkeiten gibt es für den Buchstabenteil, wenn man die Fälle „ein Buchstabe“ und „zwei Buchstaben“ getrennt betrachtet? - Wie viele dieser Buchstabenkombinationen erfüllen die Bedingung für einen Spezialcode? - Welches Verteilungsmodell eignet sich für eine Stichprobe mit Zurücklegen, bei der es nur zwei Ausgänge (Spezialcode oder kein Spezialcode) gibt? - Welche Formel berechnet die Wahrscheinlichkeit für eine exakte Anzahl an Treffern in einer Bernoulli-Kette?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Codes: Es gibt \(26\) Möglichkeiten für einen einzelnen Buchstaben und \(26^2 = 676\) Möglichkeiten für eine Kombination aus zwei Buchstaben. Da jede dieser \(26 + 676 = 702\) Buchstabenkombinationen mit \(99\) Zahlen kombiniert werden kann, ergibt sich eine Gesamtzahl von \(702 \cdot 99 = 69\,498\). 2. Bestimmung der Anzahl der Spezialcodes: Ein Spezialcode beginnt mit \(\text{A}\). Es gibt \(1\) Möglichkeit für einen einzelnen Buchstaben (\(\text{A}\)) und \(1 \cdot 26 = 26\) Möglichkeiten für zwei Buchstaben, die mit \(\text{A}\) beginnen. Das sind \(1 + 26 = 27\) Buchstabenkombinationen. Multipliziert mit den \(99\) Zahlen ergibt dies \(27 \cdot 99 = 2\,673\) Spezialcodes. Die Wahrscheinlichkeit ist \(p = \frac{2\,673}{69\,498} = \frac{27}{702} = \frac{1}{26}\). 3. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Spezialcodes und ist binomialverteilt mit \(n = 20\) und \(p = \frac{1}{26}\). Gesucht ist \(P(X = 3) = \binom{20}{3} \cdot \left(\frac{1}{26}\right)^3 \cdot \left(\frac{25}{26}\right)^{17}\). Mit \(\binom{20}{3} = 1\,140\) ergibt sich \(P(X = 3) \approx 0{,}0333\).

1. Es gibt insgesamt \(69\,498\) mögliche Codes. 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(p = \frac{1}{26} \approx 0{,}0385\). 3. Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(3{,}33\,\%\).

- Überlege zuerst, wie viele dreistellige Zahlen es insgesamt gibt und wie viele davon mit einer \(9\) beginnen. - Was bedeutet „mehr als 2“ für die möglichen Werte der Zufallsgröße? - Ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit direkt oder über das Gegenereignis zu berechnen? - Achte darauf, alle benötigten Einzelwahrscheinlichkeiten für das Gegenereignis korrekt mit der Binomialformel zu bestimmen.

1. Gesamtzahl der Signaturen: Es gibt \(5\) Buchstaben und \(1\,000\) Zahlen (von \(000\) bis \(999\)), also \(5 \cdot 1\,000 = 5\,000\) Möglichkeiten. Eine Prioritätssignatur hat eine Nummer von \(900\) bis \(999\). Das sind \(100\) Zahlen pro Buchstabe, also insgesamt \(5 \cdot 100 = 500\) Prioritätssignaturen. Die Wahrscheinlichkeit ist \(p = \frac{500}{5\,000} = 0{,}1\). 2. Die Zufallsgröße \(Y\) ist binomialverteilt mit \(n = 10\) und \(p = 0{,}1\). Gesucht ist \(P(Y > 2) = 1 - P(Y \le 2) = 1 - (P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2))\). Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(Y=0) = \binom{10}{0} \cdot 0{,}1^0 \cdot 0{,}9^{10} \approx 0{,}3487\) \(P(Y=1) = \binom{10}{1} \cdot 0{,}1^1 \cdot 0{,}9^9 \approx 0{,}3874\) \(P(Y=2) = \binom{10}{2} \cdot 0{,}1^2 \cdot 0{,}9^8 = 45 \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}430467 \approx 0{,}1937\) Summe: \(P(Y \le 2) \approx 0{,}3487 + 0{,}3874 + 0{,}1937 = 0{,}9298\) Daraus folgt \(P(Y > 2) = 1 - 0{,}9298 = 0{,}0702\).

1. \(p = \frac{5 \cdot 100}{5 \cdot 1\,000} = 0{,}1\). 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(7{,}02\,\%\).

- Wie viele Möglichkeiten gibt es für jede einzelne Stelle der Folge? - Überlege bei Teil b(1), ob die Werte der restlichen Stellen nach den ersten drei für die Bedingung eine Rolle spielen. - Welches Modell beschreibt eine Serie von Versuchen mit jeweils zwei möglichen Ausgängen? - Wie viele der insgesamt möglichen Folgen erfüllen die Bedingung in b(3)?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Bitfolgen: Da jedes der 8 Bits 2 Zustände annehmen kann, ergibt sich \(2^8 = 256\). 2. Wahrscheinlichkeit für den Beginn mit drei Einsen: Die ersten drei Stellen sind fixiert, die restlichen 5 Stellen sind beliebig. Da \(p = 0{,}5\), ist \(P = 0{,}5^3 = 0{,}125\). 3. Wahrscheinlichkeit für genau zwei Einsen: Anwendung der Bernoulli-Formel mit \(n=8\), \(k=2\) und \(p=0{,}5\). Ergebnis: \(\binom{8}{2} \cdot 0{,}5^8 = 28 \cdot \frac{1}{256} = \frac{7}{64} = 0{,}109375\). 4. Wahrscheinlichkeit für nur Nullen oder nur Einsen: Es gibt zwei günstige Ergebnisse (\(00000000\) und \(11111111\)). Die Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{2}{256} = \frac{1}{128} = 0{,}0078125\).

a) \(256\) b) (1) \(0{,}125\) (oder \(12{,}5\,\%\)); (2) \(0{,}109375\) (oder \(\frac{7}{64}\)); (3) \(0{,}0078125\) (oder \(\frac{1}{128}\))

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (Rot) bei einer einzelnen Drehung ist. - Was ist der Unterschied zwischen einer fest vorgegebenen Reihenfolge und einer beliebigen Anordnung einer bestimmten Trefferanzahl? - Welche mathematische Struktur hilft dir, die Anzahl der verschiedenen Pfade mit der gleichen Trefferanzahl zu berechnen? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit für „kein Treffer“ direkt durch Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten finden?

1. Wahrscheinlichkeit für die spezifische Sequenz (R, R, nR, nR, nR, nR): Da die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}25\) und die Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 0{,}75\) ist, gilt \(P = 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^4 = \frac{1}{16} \cdot \frac{81}{256} = \frac{81}{4096} \approx 0{,}0198\). 2. Wahrscheinlichkeit für insgesamt genau zwei Treffer: Hier muss die Anzahl der Anordnungen berücksichtigt werden. Anwendung der Bernoulli-Formel: \(P(X=2) = \binom{6}{2} \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^4 = 15 \cdot \frac{81}{4096} = \frac{1215}{4096} \approx 0{,}2966\). 3. Wahrscheinlichkeit für null Treffer: \(P(X=0) = 0{,}75^6 = \frac{729}{4096} \approx 0{,}1780\).

a) \(\frac{81}{4096} \approx 0{,}0198\) b) \(\frac{1215}{4096} \approx 0{,}2966\) c) \(\frac{729}{4096} \approx 0{,}1780\)

- Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, 5 Personen in einer Reihe anzuordnen? - Wenn zwei Personen nebeneinander sitzen sollen, kannst du sie gedanklich zu einer Einheit zusammenfassen. - Wie viele Positionen kann diese Einheit in der Reihe einnehmen und was musst du innerhalb der Einheit beachten? - Welches Verteilungsmodell eignet sich für eine Serie von gleichartigen, unabhängigen Versuchen mit nur zwei möglichen Ausgängen?

1. Urnenmodell: Eine Urne enthält 5 unterscheidbare Kugeln (für jede Person eine). Es wird 5-mal nacheinander ohne Zurücklegen gezogen, wobei die Reihenfolge der Ziehungen der Sitzordnung entspricht. 2. Berechnung von \(p\): Die Gesamtzahl der möglichen Anordnungen beträgt \(5! = 120\). Um die günstigen Fälle zu bestimmen, betrachtet man Anna und Ben als einen Block. Es gibt \(4!\) Möglichkeiten, diesen Block mit den anderen 3 Personen anzuordnen. Da Anna und Ben innerhalb des Blocks in 2 Reihenfolgen sitzen können, ergeben sich \(4! \cdot 2 = 48\) günstige Anordnungen. Somit gilt \(p = \frac{48}{120} = 0{,}4\). 3. Bernoulli-Kette: Für die 10 Abende wird das Modell einer Bernoulli-Kette mit \(n = 10\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}4\) verwendet. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für \(k = 4\) Erfolge. 4. Berechnung: \(P(X = 4) = \binom{10}{4} \cdot 0{,}4^4 \cdot 0{,}6^6 = 210 \cdot 0{,}0256 \cdot 0{,}046656 \approx 0{,}2508\).

a) Urnenmodell: 5 unterscheidbare Kugeln, 5-maliges Ziehen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(p = 0{,}4\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(25{,}08\,\%\) (exakt \(0{,}250822656\)).

- Stell dir vor, du wählst Spieler für eine Mannschaft aus. Was passiert mit den Spielern, die nicht gewählt werden? - Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Auswählen und dem Übriglassen? - Schau dir die Werte in einer Zeile des Pascal'schen Dreiecks an. Wo liegen die größten Werte? - Wie verhalten sich die Zahlen, wenn du von \(k=0\) beginnst und \(k\) schrittweise erhöhst?

1. Kombinatorische Begründung der Symmetrie: Die Auswahl von \(k\) Objekten aus einer Menge von \(n\) Objekten ist gleichbedeutend damit, festzulegen, welche \(n-k\) Objekte nicht ausgewählt werden. Da jede Auswahl von \(k\) Objekten eindeutig eine Restmenge von \(n-k\) Objekten bestimmt, muss die Anzahl der Möglichkeiten für beide Vorgänge identisch sein. Daraus folgt \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\). 2. Anwendung auf \(\binom{40}{38}\): Aus einer Gruppe von \(40\) Personen \(38\) Personen für ein Team auszuwählen ist dasselbe, wie zu bestimmen, welche \(2\) Personen nicht im Team sind. Da es \(\binom{40}{2}\) Möglichkeiten gibt, \(2\) Personen auszuschließen, gilt die Gleichheit. 3. Maximaler Wert: Die Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) wachsen für festes \(n\) bis zur Mitte an und fallen danach wieder ab. Bei \(n=12\) (gerade Zahl) liegt das Maximum genau in der Mitte bei \(k = \frac{n}{2} = 6\).

a) Jede Auswahl von \(k\) Elementen entspricht eindeutig der Auswahl der \(n-k\) Elemente, die nicht genommen werden. b) \(38\) Objekte aus \(40\) zu wählen ist gleichbedeutend damit, \(2\) Objekte aus \(40\) abzuwählen. c) \(k = 6\). Begründung: Das Maximum der Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) liegt bei geradem \(n\) in der Mitte bei \(k = \frac{n}{2}\).

- Wie viele Objekte werden insgesamt betrachtet und wie viele werden ausgewählt? - Bei Teilaufgabe c): Was bedeutet „mindestens“ für die Anzahl der defekten Widerstände? Welche Fälle musst du untersuchen? - Denke an die Struktur der hypergeometrischen Verteilung, wenn du Gruppen kombinierst. - Welche Eigenschaften hat das Ziehen, wenn die Bauteile nacheinander entnommen und beiseitegelegt werden?

1. Gesamtmöglichkeiten für die Entnahme von 4 aus 25 Widerständen: \(\binom{25}{4} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 12\,650\). 2. Möglichkeiten für genau 2 defekte (aus 5) und damit 2 intakte (aus 20) Widerstände: \(\binom{5}{2} \cdot \binom{20}{2} = 10 \cdot 190 = 1900\). 3. Für „mindestens 3 defekt“ müssen die Fälle „genau 3 defekt“ und „genau 4 defekt“ addiert werden. Fall 3 defekt: \(\binom{5}{3} \cdot \binom{20}{1} = 10 \cdot 20 = 200\). Fall 4 defekt: \(\binom{5}{4} \cdot \binom{20}{0} = 5 \cdot 1 = 5\). Gesamtzahl: \(200 + 5 = 205\). 4. Das Urnenmodell ist das Ziehen von \(k=4\) Kugeln aus \(n=25\) ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Die Kugeln sind in zwei Sorten (defekt/intakt) unterteilt.

a) Es gibt \(12\,650\) Möglichkeiten. b) Es gibt \(1900\) Möglichkeiten. c) Es gibt \(205\) Möglichkeiten. d) Urnenmodell: Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge aus einer Urne mit \(25\) Kugeln (5 schwarz für defekt, 20 weiß für intakt).

- Überlege dir zuerst, wie viele verschiedene Gruppen insgesamt gebildet werden können. - Spielt die Reihenfolge, in der die Personen gezogen werden, für die Zusammensetzung der Gruppe eine Rolle? - Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine Gruppe nur aus denjenigen Personen zu bilden, die nicht zu der speziellen Auswahl gehören? - Ein Urnenmodell hilft dir, den Zufallsprozess durch Kugeln und Ziehen zu veranschaulichen.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(4\) Personen aus \(22\) ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwählen: \(\binom{22}{4} = 7315\). 2. Für Teilaufgabe a) gibt es genau eine günstige Kombination, da die Gruppe der vier Kapitäne eindeutig festgelegt ist. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(A) = \frac{1}{7315} \approx 0{,}000137\). 3. Für Teilaufgabe b) müssen die \(4\) Personen aus den restlichen \(18\) Spielern (die keine Kapitäne sind) ausgewählt werden. Die Anzahl der günstigen Möglichkeiten ist \(\binom{18}{4} = 3060\). 4. Die Wahrscheinlichkeit für b) berechnet sich zu \(P(B) = \frac{3060}{7315} = \frac{612}{1463} \approx 0{,}4183\). 5. Ein geeignetes Urnenmodell ist das Ziehen von \(4\) Kugeln aus einer Urne mit \(22\) Kugeln (davon \(4\) markiert für die Kapitäne) in einem Zug bzw. ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.

a) \(P \approx 0{,}000137\) (oder \(\frac{1}{7315}\)) b) \(P \approx 0{,}4183\) (oder \(\frac{612}{1463}\)) Urnenmodell: Ziehen von \(4\) Kugeln aus \(22\) ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.

- Was bedeutet „gleichzeitig entnehmen“ für die mathematische Modellierung (mit oder ohne Zurücklegen)? - Teile die Pralinen in zwei Gruppen auf: solche mit Nuss und solche ohne Nuss. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, die gewünschte Anzahl aus jeder dieser beiden Gruppen zu kombinieren? - Stell dir vor, die Pralinen wären nummerierte Kugeln in einer Urne.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(4\) Pralinen aus \(15\) zu ziehen: \(\binom{15}{4} = 1365\). 2. In Teilaufgabe a) sollen \(4\) der \(5\) Nusspralinen und somit \(0\) der \(10\) übrigen Pralinen gezogen werden. Anzahl der günstigen Möglichkeiten: \(\binom{5}{4} \cdot \binom{10}{0} = 5 \cdot 1 = 5\). 3. Wahrscheinlichkeit für a): \(P(A) = \frac{5}{1365} = \frac{1}{273} \approx 0{,}00366\). 4. In Teilaufgabe b) sollen \(0\) Nusspralinen und somit \(4\) der \(10\) nussfreien Pralinen gezogen werden. Anzahl der günstigen Möglichkeiten: \(\binom{10}{4} = 210\). 5. Wahrscheinlichkeit für b): \(P(B) = \frac{210}{1365} = \frac{14}{91} = \frac{2}{13} \approx 0{,}1538\). 6. Urnenmodell: Eine Urne enthält \(15\) Kugeln (\(5\) schwarz für Nuss, \(10\) weiß für nussfrei). Es werden \(4\) Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

a) \(P \approx 0{,}00366\) (oder \(\frac{1}{273}\)) b) \(P \approx 0{,}1538\) (oder \(\frac{2}{13}\)) Urnenmodell: Ziehen von \(4\) Kugeln aus \(15\) (davon \(5\) markiert) ohne Zurücklegen.

- Überlege zuerst, ob die Auswahl mit oder ohne Zurücklegen erfolgt. - Welche Rolle spielt die Reihenfolge bei der Bildung eines Ausschusses? - Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, eine Gruppe dieser Größe aus der Gesamtmenge zu bilden? - Kombiniere die Möglichkeiten für die gewünschte Teilgruppe mit denen für den Rest der Auswahl.

1. Identifikation des Modells: Ziehen ohne Zurücklegen (hypergeometrische Verteilung). 2. Festlegen der Parameter: Gesamtzahl der Mitglieder \(N = 25\), Anzahl der Jugendlichen \(M = 10\), Stichprobenumfang \(n = 5\), gewünschte Anzahl Jugendlicher \(k = 3\). 3. Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten, \(3\) Jugendliche aus \(10\) auszuwählen: \(\binom{10}{3} = 120\). 4. Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten, \(2\) Erwachsene aus \(15\) auszuwählen: \(\binom{15}{2} = 105\). 5. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(5\) Personen aus \(25\) auszuwählen: \(\binom{25}{5} = 53\,130\). 6. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P(X=3) = \frac{120 \cdot 105}{53\,130} = \frac{12\,600}{53\,130} \approx 0{,}2372\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(23{,}72\,\%\) (exakt \(\frac{420}{1771}\)).

- Handelt es sich hier um eine Kette von unabhängigen Versuchen mit jeweils gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit? - Was ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer einzelnen Frage durch Raten richtig zu liegen? - Welche Formel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für eine exakte Anzahl an Treffern in einer Versuchsreihe zu berechnen?

1. Identifikation des Modells: Bernoulli-Kette der Länge \(n = 15\) mit Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}25\). 2. Anwendung der Formel von Bernoulli für \(k = 5\) Treffer: \(P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\). 3. Berechnung des Binomialkoeffizienten: \(\binom{15}{5} = 3003\). 4. Einsetzen der Werte: \(P(X=5) = 3003 \cdot 0{,}25^5 \cdot 0{,}75^{10}\). 5. Numerische Auswertung: \(P(X=5) \approx 3003 \cdot 0{,}0009766 \cdot 0{,}05631 \approx 0{,}1651\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(16{,}51\,\%\).

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten die erste, zweite, dritte und vierte Person nacheinander haben. - Wenn Objekte zusammenbleiben sollen, kannst du sie gedanklich zu einem einzigen großen Objekt bündeln. - Wie viele Zwischenräume entstehen, wenn du die Personen zuerst platzierst? - Kannst du die Aufgabe in Teilprobleme zerlegen: erst die Personen anordnen, dann die leeren Plätze verteilen?

1. Für die erste Teilaufgabe wird die Anzahl der Variationen ohne Zurücklegen berechnet, da 4 unterscheidbare Personen auf 7 Plätze verteilt werden: \(7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840\). 2. In der zweiten Teilaufgabe werden die 3 leeren Stühle als ein einziger Block betrachtet. Zusammen mit den 4 Personen ergeben sich 5 Einheiten, die angeordnet werden können: \(5! = 120\). 3. Für die dritte Teilaufgabe werden zuerst die 4 Personen platziert (\(4! = 24\) Möglichkeiten). Diese erzeugen 5 mögliche Lücken (einschließlich der Ränder), in die jeweils maximal ein leerer Stuhl gestellt werden darf. Die Anzahl der Möglichkeiten, 3 dieser 5 Lücken auszuwählen, beträgt \(\binom{5}{3} = 10\). Die Gesamtzahl ist somit \(24 \cdot 10 = 240\).

a) \(840\) b) \(120\) c) \(240\)

- Überlege dir, ob die Reihenfolge der Auswahl eine Rolle spielt oder nicht. - Was passiert mit den Beilagen, die du nicht auswählst? - Wie viele Entscheidungen (ja/nein) müssen für die gesamte Auswahl getroffen werden? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Summe einer Zeile im Pascalschen Dreieck und der Zweierpotenz.

1. Berechnung der Kombinationen für \(k = 4\) aus \(n = 12\) mithilfe des Binomialkoeffizienten: \(\binom{12}{4} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495\). 2. Begründung der Symmetrie: Die Auswahl von \(8\) Beilagen, die auf den Teller kommen, entspricht logisch der Auswahl von \(4\) Beilagen, die nicht gewählt werden. Mathematisch gilt \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\), also \(\binom{12}{8} = \binom{12}{4}\). 3. Berechnung der Gesamtzahl aller Teilmengen einer \(12\)-elementigen Menge: Die Summe der Binomialkoeffizienten \(\sum_{k=0}^{12} \binom{12}{k}\) ergibt \(2^{12} = 4\,096\).

a) Es gibt \(495\) Möglichkeiten. b) Aufgrund der Symmetrie des Binomialkoeffizienten gilt \(\binom{12}{8} = \binom{12}{4}\). Jede Auswahl von \(8\) Objekten bestimmt eindeutig eine Restmenge von \(4\) Objekten. c) Es gibt insgesamt \(2^{12} = 4\,096\) Kombinationsmöglichkeiten.

- Wie viele Möglichkeiten gibt es pro Frage? - „Mindestens 9“ bedeutet, dass entweder 9 oder 10 Fragen richtig sein können. - Welches Modell beschreibt das Ziehen von Positionen ohne Beachtung der Reihenfolge? - Kannst du die Gesamtzahl sowohl über die Einzelmöglichkeiten pro Frage als auch über die Summe aller Trefferzahlen erklären?

1. Bestimmung der Anzahl für \(k = 7\) aus \(n = 10\): \(\binom{10}{7} = \binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\). 2. Urnenmodell: Ziehen von \(7\) Kugeln aus einer Urne mit \(10\) nummerierten Kugeln (die die Fragen repräsentieren) ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Die gezogenen Kugeln entsprechen den richtig beantworteten Fragen. 3. Berechnung für „mindestens \(9\)“: Summe aus genau \(9\) Richtigen und genau \(10\) Richtigen: \(\binom{10}{9} + \binom{10}{10} = 10 + 1 = 11\). 4. Gesamtzahl der Antwortmuster: Jede der \(10\) Fragen hat \(2\) Antwortmöglichkeiten. Nach dem Zählprinzip ergibt sich \(2 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 2 = 2^{10} = 1\,024\). Alternativ über die Summe der Binomialkoeffizienten: \(\sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} = 2^{10}\).

a) Es gibt \(120\) Möglichkeiten. Urnenmodell: Ziehen von \(7\) aus \(10\) Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. b) Es gibt \(11\) Möglichkeiten (\(10\) für genau neun Richtige und \(1\) für alle zehn Richtigen). c) Die Gesamtzahl der Möglichkeiten ist \(\sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} = 2^{10} = 1\,024\).

- Überlege dir zuerst, welche Werte für \(n\), \(p\) und \(k\) in die Formel für die Binomialverteilung einzusetzen sind. - Bei „mindestens“-Aufgaben ist es oft einfacher, die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse zu berechnen, die gerade nicht eintreten sollen. - Was ist das logische Gegenteil von „mindestens zwei“? - Wie berechnet man den Durchschnittswert (Erwartungswert) bei einer Bernoulli-Kette?

1. Definition der Zufallsgröße \(X\): Anzahl der Rücksendungen bei \(n = 25\) und \(p = 0{,}15\). 2. Berechnung für (1): \(P(X = 3) = \binom{25}{3} \cdot 0{,}15^3 \cdot 0{,}85^{22} \approx 0{,}2174\). 3. Berechnung für (2): \(P(X = 0) = 0{,}85^{25} \approx 0{,}0172\). 4. Berechnung für (3) über das Gegenereignis: \(P(X \ge 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))\). Mit \(P(X=1) = 25 \cdot 0{,}15^1 \cdot 0{,}85^{24} \approx 0{,}0759\) ergibt sich \(P(X \ge 2) \approx 1 - (0{,}0172 + 0{,}0759) = 0{,}9069\). 5. Erwartungswerte für b): Bei \(p = 0{,}15\) ist \(E(X) = 25 \cdot 0{,}15 = 3{,}75\). Bei \(p = 0{,}20\) ist \(E(X) = 25 \cdot 0{,}20 = 5{,}0\). Der Erwartungswert steigt um \(1{,}25\).

a) (1) ca. \(21{,}74\,\%\); (2) ca. \(1{,}72\,\%\); (3) ca. \(90{,}69\,\%\). b) Der Erwartungswert bei einer Quote von \(15\,\%\) liegt bei \(3{,}75\) Rücksendungen; bei einer Quote von \(20\,\%\) steigt er auf \(5\) Rücksendungen an.

- Wie viele Möglichkeiten hat der erste Jugendliche, wie viele der zweite und so weiter, wenn man alle Kombinationen betrachtet? - Wenn alle etwas Verschiedenes wählen sollen, wie viele Optionen bleiben dann für die jeweils nächste Person übrig? - Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass eine Gruppe eine gemeinsame Entscheidung für genau eine der verfügbaren Optionen trifft? - Nutze das Modell des Laplace-Experiments: Anzahl der günstigen Ergebnisse durch Anzahl der möglichen Ergebnisse.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Ergebnisse: Da jeder der 6 Jugendlichen aus 10 Sorten wählen kann, gibt es \(10^6 = 1\,000\,000\) gleich wahrscheinliche Möglichkeiten. 2. Berechnung für Ereignis a (unterschiedliche Sorten): Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist die Anzahl der Variationen von 6 aus 10 ohne Wiederholung: \(10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 151\,200\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(a) = \frac{151\,200}{1\,000\,000} = 0{,}1512\). 3. Berechnung für Ereignis b (gleiche Sorte): Es gibt genau 10 Möglichkeiten, bei denen alle Jugendlichen die gleiche Sorte wählen (eine für jede der 10 Sorten). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(b) = \frac{10}{10^6} = \frac{1}{10^5} = 0{,}00001\).

a) \(P \approx 0{,}1512\) (oder \(\frac{189}{1250}\)) b) \(P = 0{,}00001\) (oder \(10^{-5}\))

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, eine Stichprobe dieser Größe aus der Gesamtmenge zu ziehen. - Wie viele der Sticks sind defekt und wie viele sind einwandfrei? - Für eine bestimmte Anzahl defekter Sticks in der Probe musst du auch die restlichen Plätze mit einwandfreien Sticks auffüllen. - Das Wort „höchstens“ bedeutet, dass du mehrere Fälle addieren musst. - Bei „mindestens eins“ ist es oft einfacher, über das Gegenteil nachzudenken.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(5\) aus \(40\) Sticks auszuwählen: \(\binom{40}{5} = 658\,008\). 2. Für Teilaufgabe a): Anzahl der günstigen Möglichkeiten für genau \(2\) defekte und \(3\) intakte Sticks bestimmen: \(\binom{6}{2} \cdot \binom{34}{3} = 15 \cdot 5984 = 89\,760\). Wahrscheinlichkeit berechnen: \(P(X=2) = \frac{89\,760}{658\,008} \approx 0{,}1364\). 3. Für Teilaufgabe b): Günstige Fälle für \(0\) oder \(1\) defekten Stick summieren: \(\binom{6}{0} \cdot \binom{34}{5} + \binom{6}{1} \cdot \binom{34}{4} = 1 \cdot 278\,256 + 6 \cdot 46\,376 = 556\,512\). Wahrscheinlichkeit berechnen: \(P(X \le 1) = \frac{556\,512}{658\,008} \approx 0{,}8458\). 4. Für Teilaufgabe c): Gegenwahrscheinlichkeit zu „kein Stick defekt“ nutzen: \(P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - \frac{278\,256}{658\,008} \approx 0{,}5771\).

a) \(P \approx 0{,}1364\) (ca. \(13{,}64\,\%\)) b) \(P \approx 0{,}8458\) (ca. \(84{,}58\,\%\)) c) \(P \approx 0{,}5771\) (ca. \(57{,}71\,\%\))

- Handelt es sich hier um Ziehen mit oder ohne Zurücklegen? - Wie viele Personen sprechen kein Spanisch? - Was bedeutet „Mehrheit“ bei einer Gruppengröße von \(6\)? Welche Anzahlen von spanischsprechenden Personen kommen dafür infrage? - Nutze den Binomialkoeffizienten, um die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten für jede Teilgruppe zu bestimmen.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Kombinationen für die Gruppenbildung: \(\binom{24}{6} = 134\,596\). 2. Für Teilaufgabe a): Berechnung der günstigen Fälle für \(3\) Spanischsprechende und \(3\) Nicht-Spanischsprechende: \(\binom{10}{3} \cdot \binom{14}{3} = 120 \cdot 364 = 43\,680\). Wahrscheinlichkeit: \(P(X=3) = \frac{43\,680}{134\,596} \approx 0{,}3245\). 3. Für Teilaufgabe b): Günstige Fälle für \(0\) Spanischsprechende und \(6\) Nicht-Spanischsprechende: \(\binom{10}{0} \cdot \binom{14}{6} = 1 \cdot 3003 = 3003\). Wahrscheinlichkeit: \(P(X=0) = \frac{3003}{134\,596} \approx 0{,}0223\). 4. Für Teilaufgabe c): Summation der günstigen Fälle für \(4\), \(5\) und \(6\) Spanischsprechende: \(\binom{10}{4} \cdot \binom{14}{2} + \binom{10}{5} \cdot \binom{14}{1} + \binom{10}{6} \cdot \binom{14}{0} = 19\,110 + 3528 + 210 = 22\,848\). Wahrscheinlichkeit: \(P(X > 3) = \frac{22\,848}{134\,596} \approx 0{,}1698\).

a) \(P \approx 0{,}3245\) (ca. \(32{,}45\,\%\)) b) \(P \approx 0{,}0223\) (ca. \(2{,}23\,\%\)) c) \(P \approx 0{,}1698\) (ca. \(16{,}98\,\%\))

- Betrachte für den ersten Teil eine Gruppe von Objekten als ein einziges „Super-Objekt“. - Wie viele Positionen kann dieser Block innerhalb der Gesamtreihe einnehmen? - Denke bei der Wahrscheinlichkeit an die Auswahl einer Teilmenge ohne Beachtung der Reihenfolge. - Welche Verteilung beschreibt das Ziehen aus einer endlichen Menge ohne Zurücklegen?

1. Für die Anzahl der Abspielfolgen mit den 4 Songs als Block: Die 4 Songs der Band werden als eine Einheit betrachtet. Zusammen mit den restlichen 8 Songs ergeben sich \(9!\) Anordnungen für diese Einheiten. Innerhalb des Blocks gibt es \(4!\) Möglichkeiten, die Songs anzuordnen. Die Gesamtzahl beträgt \(9! \cdot 4! = 362\,880 \cdot 24 = 8\,709\,120\). 2. Für die Wahrscheinlichkeit in Teilaufgabe b) wird das Modell des Ziehens ohne Zurücklegen (hypergeometrische Verteilung) verwendet. Die Anzahl der Möglichkeiten, 5 Songs aus 12 auszuwählen, beträgt \(\binom{12}{5} = 792\). Die Anzahl der Möglichkeiten, genau 2 von 4 „Logarithmus“-Songs und 3 von 8 restlichen Songs auszuwählen, ist \(\binom{4}{2} \cdot \binom{8}{3} = 6 \cdot 56 = 336\). 3. Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich als Quotient: \(P = \frac{336}{792} = \frac{14}{33} \approx 0{,}4242\).

a) Es gibt \(8\,709\,120\) mögliche Abspielfolgen. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{14}{33} \approx 42{,}4\,\%\).

- Überlege dir zuerst, wie viele Personen insgesamt zur Auswahl stehen und wie viele ausgewählt werden sollen. - Spielt die Reihenfolge, in der die Teammitglieder ausgewählt werden, eine Rolle? - Erinnere dich an das Grundprinzip der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch Anzahl der möglichen Ergebnisse. - Was bedeutet das Pluszeichen zwischen zwei Kombinationsmöglichkeiten im Gegensatz zu einem Malzeichen?

1. Berechnung der Teilmöglichkeiten: Die Anzahl der Wege, 4 Studierende aus 15 auszuwählen, ist \(\binom{15}{4} = 1365\). Die Anzahl der Wege, 2 Berufstätige aus 10 auszuwählen, ist \(\binom{10}{2} = 45\). 2. Gesamtzahl der Möglichkeiten für a): Nach dem Zählprinzip ergibt sich \(1365 \cdot 45 = 61\,425\). 3. Gesamtzahl aller möglichen Teams: \(\binom{25}{6} = 177\,100\). 4. Wahrscheinlichkeit für b): \(P(X=4) = \frac{61\,425}{177\,100} \approx 0{,}3468\). 5. Interpretation für c): \(\binom{15}{6}\) ist die Anzahl der Möglichkeiten, ein Team nur aus Studierenden zu bilden; \(\binom{10}{6}\) ist die Anzahl der Möglichkeiten für ein Team nur aus Berufstätigen. Die Summe gibt somit die Anzahl der Möglichkeiten an, ein „homogenes“ Team zu bilden, das entweder nur aus Studierenden oder nur aus Berufstätigen besteht.

a) Es gibt \(61\,425\) Möglichkeiten. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(34{,}68\,\%\). c) Der Ausdruck gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, ein Team zu bilden, das entweder ausschließlich aus Studierenden oder ausschließlich aus Berufstätigen besteht.

- Stelle dir die 5 Ziehungen als Plätze in einer Reihe vor. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Plätze für Herr Schmidt und Frau Schmidt auszuwählen? - Da die Lose zurückgelegt werden, bleibt die Gewinnwahrscheinlichkeit in jeder Runde gleich. - Welche Wahrscheinlichkeit haben die Personen, die weder Herr noch Frau Schmidt sind? - Überlege, wie man die Wahrscheinlichkeit für eine ganz bestimmte Reihenfolge (z. B. erst Herr Schmidt, dann Frau Schmidt, dann der Rest) berechnet.

1. Identifikation des Experiments als fünfstufiges Zufallsexperiment mit drei möglichen Ergebnissen pro Stufe (H: Herr Schmidt gewinnt, F: Frau Schmidt gewinnt, S: Jemand anderes gewinnt). 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für ein einzelnes Ereignis: \(P(H) = \frac{1}{20}\), \(P(F) = \frac{1}{20}\) und \(P(S) = \frac{18}{20}\). 3. Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten, die Gewinne in der Ziehungsreihenfolge anzuordnen: \(\binom{5}{2} \cdot \binom{3}{1} = 10 \cdot 3 = 30\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines spezifischen Pfades (z. B. H-H-F-S-S): \((\frac{1}{20})^2 \cdot (\frac{1}{20})^1 \cdot (\frac{18}{20})^2 = \frac{1}{400} \cdot \frac{1}{20} \cdot \frac{324}{400} = \frac{324}{3\,200\,000}\). 5. Multiplikation der Pfadwahrscheinlichkeit mit der Anzahl der Anordnungen: \(30 \cdot \frac{324}{3\,200\,000} = 0{,}0030375\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}0030375\) (oder \(0{,}30375\,\%\)).

- Überlege dir, ob sich die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Farbfeld bei jedem neuen Drehen verändert. - Kannst du die Situation als eine Kette von gleichartigen Versuchen mit nur zwei möglichen Ausgängen (Treffer oder kein Treffer) beschreiben? - Beachte bei Teilaufgabe c), welche Ergebnisse zur Bedingung „mindestens 5“ gehören. - Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit für ein kombiniertes Ereignis (z. B. Gold oder Silber) bestimmen?

1. Identifikation der Erfolgswahrscheinlichkeit für Gold: \(p = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\). Anwendung der Bernoulli-Formel für \(n = 6\) und \(k = 2\): \(P(X=2) = \binom{6}{2} \cdot (\frac{1}{4})^2 \cdot (\frac{3}{4})^4 = 15 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{81}{256} = \frac{1215}{4096} \approx 0{,}2966\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für „kein Gold“ (\(k=0\)): \(P(X=0) = (\frac{3}{4})^6 = \frac{729}{4096} \approx 0{,}1780\). 3. Definition der Erfolgswahrscheinlichkeit für Gold oder Silber: \(p = \frac{3+4}{12} = \frac{7}{12}\). Berechnung der Wahrscheinlichkeit für mindestens 5 Erfolge durch Summation: \(P(X \ge 5) = P(X=5) + P(X=6) = \binom{6}{5} \cdot (\frac{7}{12})^5 \cdot \frac{5}{12} + (\frac{7}{12})^6 = \frac{504\,210}{2\,985\,984} + \frac{117\,649}{2\,985\,984} = \frac{621\,859}{2\,985\,984} \approx 0{,}2083\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(29{,}66\,\%\) (\(\frac{1215}{4096}\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(17{,}80\,\%\) (\(\frac{729}{4096}\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(20{,}83\,\%\) (\(\frac{621\,859}{2\,985\,984}\)).

- Achte darauf, ob die Auswahl gleichzeitig (oder ohne Zurücklegen) erfolgt oder ob eine Person mehrfach gewählt werden kann. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, die Anzahl der Möglichkeiten zu zählen, eine Teilmenge aus einer größeren Gruppe zu bilden? - Bei Teilaufgabe c) handelt es sich um ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit für jeden der vier Schritte gleich bleibt.

1. Berechnung der Gesamtmöglichkeiten für die Auswahl von 4 aus 15 Personen ohne Beachtung der Reihenfolge: \(\binom{15}{4} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1365\). 2. Berechnung der günstigen Fälle für genau 2 Frauen und 2 Männer: \(\binom{6}{2} \cdot \binom{9}{2} = 15 \cdot 36 = 540\). Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus dem Quotienten: \(P = \frac{540}{1365} = \frac{36}{91} \approx 0{,}3956\). 3. Modellierung als Bernoulli-Kette mit \(n=4\), \(k=2\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit für eine Frau \(p = \frac{6}{15} = 0{,}4\): \(P(X=2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}4^2 \cdot 0{,}6^2 = 6 \cdot 0{,}16 \cdot 0{,}36 = 0{,}3456\).

a) Es gibt \(1365\) Möglichkeiten. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(39{,}56\,\%\) (\(\frac{36}{91}\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(34{,}56\,\%\).

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, eine Stichprobe dieser Größe aus der Gesamtmenge zu ziehen. - Wie viele Arten gibt es, die gewünschte Anzahl an Objekten aus der jeweiligen Teilgruppe (defekt/intakt) auszuwählen? - Bei „höchstens“ musst du mehrere Fälle addieren. Welche sind das hier? - Das Wort „mindestens“ ist oft ein Signal, dass man mit dem Gegenereignis schneller zum Ziel kommt.

Die Anzahl der Möglichkeiten, \(5\) Akkus aus \(20\) zu ziehen, beträgt \(\binom{20}{5} = 15\,504\). 1. Für genau zwei defekte Akkus müssen \(2\) aus \(4\) defekten und \(3\) aus \(16\) intakten Akkus gewählt werden: \(P(X=2) = \frac{\binom{4}{2} \cdot \binom{16}{3}}{\binom{20}{5}} = \frac{6 \cdot 560}{15\,504} = \frac{3\,360}{15\,504} \approx 0{,}2167\). 2. Für höchstens einen defekten Akku summiert man die Fälle für \(0\) und \(1\) defekten Akku: \(P(X \le 1) = \frac{\binom{4}{0} \cdot \binom{16}{5} + \binom{4}{1} \cdot \binom{16}{4}}{\binom{20}{5}} = \frac{1 \cdot 4\,368 + 4 \cdot 1\,820}{15\,504} = \frac{11\,648}{15\,504} \approx 0{,}7513\). 3. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen defekten Akku berechnet man über das Gegenereignis (kein Akku defekt): \(P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - \frac{\binom{4}{0} \cdot \binom{16}{5}}{\binom{20}{5}} = 1 - \frac{4\,368}{15\,504} = \frac{11\,136}{15\,504} \approx 0{,}7183\).

a) \(P \approx 21{,}67\,\%\) b) \(P \approx 75{,}13\,\%\) c) \(P \approx 71{,}83\,\%\)

- Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, 4 Personen aus 25 auszuwählen, wenn die Reihenfolge egal ist? - Kannst du die Anzahl der günstigen Kombinationen für jede Teilgruppe einzeln bestimmen und dann verknüpfen? - Was bedeutet „ausschließlich Männer“ für die Anzahl der gewählten Frauen? - Überlege bei „mindestens drei“, welche konkreten Anzahlen an Frauen in der vierköpfigen Gruppe möglich sind.

Die Gesamtzahl der Kombinationen für die Gruppenbildung ist \(\binom{25}{4} = 12\,650\). 1. Genau zwei Frauen und zwei Männer: Es werden \(2\) aus \(15\) Frauen und \(2\) aus \(10\) Männern gewählt. \(P(A) = \frac{\binom{15}{2} \cdot \binom{10}{2}}{\binom{25}{4}} = \frac{105 \cdot 45}{12\,650} = \frac{4\,725}{12\,650} \approx 0{,}3735\). 2. Ausschließlich Männer: Es werden \(0\) Frauen und \(4\) Männer gewählt. \(P(B) = \frac{\binom{15}{0} \cdot \binom{10}{4}}{\binom{25}{4}} = \frac{1 \cdot 210}{12\,650} \approx 0{,}0166\). 3. Mindestens drei Frauen: Dies umfasst die Fälle mit genau \(3\) Frauen oder genau \(4\) Frauen. \(P(C) = \frac{\binom{15}{3} \cdot \binom{10}{1} + \binom{15}{4} \cdot \binom{10}{0}}{\binom{25}{4}} = \frac{455 \cdot 10 + 1\,365 \cdot 1}{12\,650} = \frac{4\,550 + 1\,365}{12\,650} = \frac{5\,915}{12\,650} \approx 0{,}4676\).

a) \(P \approx 37{,}35\,\%\) b) \(P \approx 1{,}66\,\%\) c) \(P \approx 46{,}76\,\%\)

- Welche Kombinationen von Äpfeln und Birnen erfüllen die Bedingung, dass mehr Äpfel als Birnen gezogen werden? - Berechne die Anzahl der Möglichkeiten für jede dieser Kombinationen einzeln. - Wie kombinierst du die Ergebnisse der verschiedenen Fälle, um die Gesamtzahl zu erhalten? - Denke daran, dass „gleichzeitig entnommen“ bedeutet, dass die Reihenfolge egal ist.

1. Identifikation der günstigen Fälle für „mehr Äpfel als Birnen“ bei einer Stichprobe von 4 Früchten: (3 Äpfel, 1 Birne) oder (4 Äpfel, 0 Birnen). 2. Berechnung der Möglichkeiten für den Fall (3 Äpfel, 1 Birne): \(\binom{10}{3} \cdot \binom{6}{1} = 120 \cdot 6 = 720\). 3. Berechnung der Möglichkeiten für den Fall (4 Äpfel, 0 Birnen): \(\binom{10}{4} \cdot \binom{6}{0} = 210 \cdot 1 = 210\). 4. Addition der Möglichkeiten beider disjunkter Fälle: \(720 + 210 = 930\).

Die Bedingung „mehr Äpfel als Birnen“ ist bei 4 entnommenen Früchten erfüllt, wenn entweder 3 Äpfel und 1 Birne oder 4 Äpfel und 0 Birnen gewählt werden. Anzahl Wege für 3 Äpfel und 1 Birne: \(\binom{10}{3} \cdot \binom{6}{1} = 120 \cdot 6 = 720\). Anzahl Wege für 4 Äpfel und 0 Birnen: \(\binom{10}{4} \cdot \binom{6}{0} = 210 \cdot 1 = 210\). Gesamtanzahl: \(720 + 210 = 930\).

- Überlege dir zuerst, ob die Ziehungen unabhängig voneinander sind oder ob sich die Zusammensetzung des Inhalts ändert. - Welches Modell (Bernoulli-Kette oder Ziehen ohne Zurücklegen) passt zu welcher Teilaufgabe? - Bei der Frage nach der Mindestanzahl hilft oft der Blick auf das Gegenereignis. - Denk daran, dass sich bei Ungleichungen das Zeichen umkehrt, wenn du durch eine negative Zahl dividierst.

1. Für Teilaufgabe a) liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n = 6\), \(k = 2\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\) vor. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich nach der Formel von Bernoulli: \(P(X = 2) = \binom{6}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 15 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{16}{81} = \frac{80}{243} \approx 0{,}3292\). 2. Für Teilaufgabe b) wird ohne Zurücklegen gezogen (Lotto-Modell). Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich über den Binomialkoeffizienten (hypergeometrische Verteilung): \(P(Y = 2) = \frac{\binom{5}{2} \cdot \binom{10}{4}}{\binom{15}{6}} = \frac{10 \cdot 210}{5\,005} = \frac{2\,100}{5\,005} = \frac{420}{1\,001} \approx 0{,}4196\). 3. Für Teilaufgabe c) wird der Ansatz über das Gegenereignis „kein Gewinnlos“ bei \(n\) Ziehungen gewählt: \(1 - P(\text{kein Gewinn}) > 0{,}95\). Dies führt zur Ungleichung \(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n > 0{,}95\), woraus \(\left(\frac{2}{3}\right)^n < 0{,}05\) folgt. Durch Logarithmieren erhält man \(n \cdot \ln\left(\frac{2}{3}\right) < \ln(0{,}05)\). Da \(\ln\left(\frac{2}{3}\right)\) negativ ist, dreht sich das Relationszeichen um: \(n > \frac{\ln(0{,}05)}{\ln\left(\frac{2}{3}\right)} \approx 7{,}39\). Somit muss man mindestens \(8\)-mal ziehen.

a) \(P(X = 2) = \frac{80}{243} \approx 32{,}92\,\%\) b) \(P(Y = 2) = \frac{420}{1\,001} \approx 41{,}96\,\%\) c) Man muss mindestens \(8\)-mal ziehen.

- Achte auf den Unterschied zwischen „mit einem Griff“ und „mit Zurücklegen“. - Wie hängen die Ereignisse „kein Fehler“ und „mindestens ein Fehler“ zusammen? - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeit des nächsten Zugs, wenn ein bereits geprüftes Teil nicht mehr zur Verfügung steht?

1. Teilaufgabe a): Da die Entnahme mit einem Griff erfolgt (ohne Zurücklegen), nutzt man den Binomialkoeffizienten. Die Wahrscheinlichkeit für \(0\) defekte Geräte bei \(4\) Entnahmen aus \(24\) (davon \(3\) defekt, \(21\) intakt) ist \(P(X = 0) = \frac{\binom{3}{0} \cdot \binom{21}{4}}{\binom{24}{4}} = \frac{1 \cdot 5\,985}{10\,626} \approx 0{,}5632\). 2. Teilaufgabe b): Das Ereignis „mindestens ein Fehler“ ist das Gegenereignis zu „kein Fehler“. Somit gilt \(P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \frac{5\,985}{10\,626} = \frac{4\,641}{10\,626} \approx 0{,}4368\). 3. Teilaufgabe c): Bei Ziehen mit Zurücklegen ist die Wahrscheinlichkeit für ein intaktes Gerät konstant \(p = \frac{21}{24} = 0{,}875\). Für \(4\) Treffer in einer Bernoulli-Kette gilt \(P(Z = 4) = 0{,}875^4 \approx 0{,}5862\). Der Vergleich zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen mit Zurücklegen etwas höher ist (\(0{,}5862 > 0{,}5632\)), da beim Ziehen ohne Zurücklegen die Anzahl der verfügbaren intakten Geräte mit jedem Zug sinkt.

a) \(P(X = 0) \approx 56{,}32\,\%\) b) \(P(X \geq 1) \approx 43{,}68\,\%\) c) Mit Zurücklegen: \(P \approx 58{,}62\,\%\). Die Wahrscheinlichkeit ist beim Ziehen mit Zurücklegen höher, da die Chance auf ein intaktes Gerät nicht durch vorangegangene Züge verringert wird.

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es für die erste, zweite und dritte Karte gibt, wenn sie unterschiedlich sein sollen. - Nutze das Komplementärereignis (Gegenereignis), um die Formel in Aufgabenteil b) herzuleiten. - Stelle für Teil c) eine Ungleichung auf und löse diese nach \( n \) auf. - Denk daran, dass \( n \) eine ganze Zahl sein muss.

1. Berechnung für \( n = 10 \): Die Wahrscheinlichkeit für drei verschiedene Karten ergibt sich aus \( \frac{10}{10} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{10} = \frac{720}{1\,000} = 0{,}72 \). 2. Herleitung der Formel: Die Wahrscheinlichkeit für drei verschiedene Karten ist \( P(\text{verschieden}) = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)}{n^3} = \frac{n^2 - 3n + 2}{n^2} \). Die Gegenwahrscheinlichkeit für mindestens zwei gleiche Karten ist \( 1 - \frac{n^2 - 3n + 2}{n^2} = \frac{n^2 - (n^2 - 3n + 2)}{n^2} = \frac{3n - 2}{n^2} \). 3. Bestimmung von \( n \): Ansatz \( \frac{(n-1)(n-2)}{n^2} > 0{,}98 \). Dies führt auf \( n^2 - 3n + 2 > 0{,}98n^2 \), also \( 0{,}02n^2 - 3n + 2 > 0 \). Die Lösung der quadratischen Gleichung \( 0{,}02n^2 - 3n + 2 = 0 \) liefert \( n \approx 149{,}33 \) (der kleinere Wert \( n \approx 0{,}67 \) ist nicht relevant). Somit muss \( n \ge 150 \) sein.

a) \( P = 0{,}72 \) b) Nachweis über das Gegenereignis „drei verschiedene Karten“: \( 1 - \frac{n(n-1)(n-2)}{n^3} = \frac{3n-2}{n^2} \) c) \( n \ge 150 \)

- Wie viele Wege gibt es, eine bestimmte Anzahl von Ereignissen auf eine feste Anzahl von Plätzen zu verteilen? - Nutze die Bernoulli-Formel für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit bei einer festen Trefferzahl. - Was bedeutet „höchstens“ mathematisch für die möglichen Werte der Zufallsgröße? - Denke daran, dass für die Gesamtwahrscheinlichkeit von „0, 1 oder 2“ die einzelnen Wahrscheinlichkeiten addiert werden müssen.

1. Anzahl der Abfolgen berechnen: Die Anzahl der Möglichkeiten, 4 Positionen für \(S\) in einer Sequenz der Länge 20 zu wählen, entspricht dem Binomialkoeffizienten \(\binom{20}{4}\). \(\binom{20}{4} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 4\,845\). 2. Wahrscheinlichkeit für genau 4 Pakete (\(k=4\)): Mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}15\) ergibt sich nach der Bernoulli-Formel: \(P(X = 4) = \binom{20}{4} \cdot 0{,}15^4 \cdot 0{,}85^{16} = 4\,845 \cdot 0{,}000\,506\,25 \cdot 0{,}074\,252\ldots \approx 0{,}182\,1\). 3. Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei Pakete (\(X \le 2\)): Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten für \(k=0, 1, 2\). \(P(X = 0) = 0{,}85^{20} \approx 0{,}038\,8\) \(P(X = 1) = \binom{20}{1} \cdot 0{,}15^1 \cdot 0{,}85^{19} \approx 0{,}136\,8\) \(P(X = 2) = \binom{20}{2} \cdot 0{,}15^2 \cdot 0{,}85^{18} \approx 0{,}229\,3\) \(P(X \le 2) = 0{,}038\,8 + 0{,}136\,8 + 0{,}229\,3 \approx 0{,}404\,9\).

a) Es gibt \(4\,845\) verschiedene Abfolgen. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(18{,}21\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(40{,}49\,\%\).

- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Sektor, wenn alle drei Sektoren gleich groß sind? - Wenn nach zwei verschiedenen Farben (Rot oder Blau) gefragt wird, wie verändert das die Erfolgswahrscheinlichkeit für einen einzelnen Versuch? - Überlege, wie viele Möglichkeiten es gibt, die Treffer auf die 8 Drehungen zu verteilen – welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei? - Achte darauf, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg immer 1 ergeben muss.

1. Modellierung als Bernoulli-Kette mit \(n = 8\) Versuchen. 2. Für Teilaufgabe a) ist der Erfolg „Rot“ mit einer Wahrscheinlichkeit von \(p = \frac{1}{3}\) definiert. Die Gegenwahrscheinlichkeit ist \(q = \frac{2}{3}\). 3. Anwendung der Formel für \(k = 3\): \(P(X = 3) = \binom{8}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5 = 56 \cdot \frac{1}{27} \cdot \frac{32}{243} = \frac{1792}{6561} \approx 0{,}2731\). 4. Für Teilaufgabe b) wird der Erfolg als „Rot oder Blau“ definiert. Da die Sektoren gleich groß sind, ist \(p = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\). Die Gegenwahrscheinlichkeit für „Grün“ ist \(q = \frac{1}{3}\). 5. Anwendung der Formel für \(k = 6\): \(P(Y = 6) = \binom{8}{6} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 28 \cdot \frac{64}{729} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1792}{6561} \approx 0{,}2731\).

a) ca. \(27{,}31\,\%\) b) ca. \(27{,}31\,\%\)

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es für jedes einzelne Ereignis in der Kette gibt. - Was bedeutet es für die Berechnung, wenn die Reihenfolge der Ergebnisse fest vorgegeben ist? - Unterscheide zwischen einem einzelnen Pfad im Baumdiagramm und einer Trefferzahl, die durch mehrere Pfade erreicht werden kann. - Spielt die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg (\( p \)) eine Rolle, wenn man Pfade mit unterschiedlicher Anzahl an Erfolgen vergleicht?

1. Berechnung von \( P(A) \): Da es sich um eine Bernoulli-Kette mit \( p = \frac{1}{6} \) handelt, gilt nach der ersten Pfadregel für die spezifische Sequenz \( P(A) = \left(\frac{1}{6}\right)^6 = \frac{1}{46\,656} \approx 2{,}14 \cdot 10^{-5} \). 2. Berechnung von \( P(B) \): Die Sequenz enthält drei Erfolge (\( p = \frac{1}{6} \)) und drei Misserfolge (\( q = \frac{5}{6} \)). Die Wahrscheinlichkeit dieser spezifischen Pfadfolge ist \( P(B) = \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{46\,656} \approx 0{,}00268 \). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für genau drei Sechsen: Hier wird die Binomialverteilung genutzt, da die Reihenfolge beliebig ist. \( P(X=3) = \binom{6}{3} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 20 \cdot \frac{125}{46\,656} \approx 0{,}05358 \). 4. Vergleich: \( P(B) \) gibt die Wahrscheinlichkeit für eine ganz bestimmte Anordnung an, während \( P(X=3) \) alle \( \binom{6}{3} = 20 \) möglichen Anordnungen mit drei Erfolgen zusammenfasst. Daher ist \( P(X=3) \) genau 20-mal so groß wie \( P(B) \).

a) Intuitiv erscheint Folge B wahrscheinlicher, da sie eine Mischung aus Ergebnissen darstellt. b) \( P(A) = \left(\frac{1}{6}\right)^6 \approx 0{,}000\,021\,4 \); \( P(B) = \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 \approx 0{,}002\,68 \). c) \( P(X=3) = \binom{6}{3} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 \approx 0{,}0536 \). Der Unterschied liegt darin, dass \( P(B) \) nur einen spezifischen Pfad beschreibt, während \( P(X=3) \) die Summe aller Pfade mit drei Erfolgen ist.

- Notiere dir zuerst die Wahrscheinlichkeiten für die beiden möglichen Ergebnisse einer Drehung. - Unterscheide zwischen der Frage nach einer exakten Anzahl an Erfolgen und der Frage nach einem Erfolg an einer ganz bestimmten Stelle. - Was bedeutet das Wort „ausschließlich“ für die anderen Drehungen in der Sequenz? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für eine Kette von unabhängigen Einzelereignissen?

1. Festlegung der Wahrscheinlichkeiten: Gewinnwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}2\), Wahrscheinlichkeit für eine Niete \(q = 0{,}8\). 2. Lösung zu a) über die Binomialverteilung mit \(n = 5\) und \(k = 2\): \(P(X = 2) = \binom{5}{2} \cdot 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^3\). 3. Berechnung des Binomialkoeffizienten \(\binom{5}{2} = 10\) und der Potenzen: \(P(X = 2) = 10 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}512 = 0{,}2048\). 4. Lösung zu b) für das Ereignis „vier Nieten, dann ein Gewinn“ (N, N, N, N, G). 5. Anwendung der Pfadregel: \(P = 0{,}8^4 \cdot 0{,}2^1 = 0{,}4096 \cdot 0{,}2 = 0{,}08192\).

a) Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Gewinne beträgt \(0{,}2048\). b) Die Wahrscheinlichkeit, dass nur die letzte Drehung ein Gewinn ist, beträgt \(0{,}08192\).

- Denke an die psychologischen oder physischen Faktoren bei Sportarten – sind Versuche dort wirklich immer völlig unabhängig? - Was passiert mit der Zusammensetzung einer Gruppe, wenn man nacheinander Personen herausnimmt? - Betrachte die Struktur eines Multiple-Choice-Tests: Ändert sich die Chance beim Raten von Frage zu Frage? - Wie verhält es sich mit der Wahrscheinlichkeit bei einem mechanischen Gerät wie einem Glücksrad?

1. Fall a: Es gibt genau zwei Ausgänge pro Frage (richtig/falsch), die Wahrscheinlichkeit ist bei reinem Raten für jede Frage konstant \(p = \frac{1}{4} = 0{,}25\) und die Antworten sind unabhängig. Ergebnis: Bernoulli-Kette mit \(n = 10\) und \(p = 0{,}25\). 2. Fall b: Dies entspricht einem Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Gruppe. Die Wahrscheinlichkeit, ein Mädchen oder einen Jungen zu ziehen, ändert sich nach jedem Zug. Ergebnis: Keine Bernoulli-Kette. 3. Fall c: In der Realität sind sportliche Leistungen oft nicht unabhängig (Einfluss von Erfolgserlebnissen, Frust oder Ermüdung). Die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt daher meist nicht exakt konstant. Ergebnis: Streng genommen keine Bernoulli-Kette (auch wenn es in Schulbüchern oft idealisiert so modelliert wird). 4. Fall d: Die Drehungen sind unabhängig voneinander und die Wahrscheinlichkeit für Gelb bleibt mit \(p = \frac{1}{3}\) konstant. Ergebnis: Bernoulli-Kette mit \(n = 15\) und \(p = \frac{1}{3}\).

a) Bernoulli-Kette mit \(n = 10\) und \(p = 0{,}25\). b) Keine Bernoulli-Kette (Ziehen ohne Zurücklegen). c) Keine Bernoulli-Kette im strengen Sinne (mangelnde Unabhängigkeit durch psychologische Faktoren). d) Bernoulli-Kette mit \(n = 15\) und \(p = \frac{1}{3}\).

- Welche Rolle spielt der Binomialkoeffizient in der Bernoulli-Formel? - Überlege, wie viele Pfade im Baumdiagramm zu dem Ereignis „genau ein Fehler“ führen und wie viele zu „der Fehler tritt als erstes auf“. - Notiere dir die Werte für \(n\), \(p\) und \(k\) bevor du rechnest.

1. Festlegen der Parameter: \(n = 25\), Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}02\) (fehlerhaft), Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 0{,}98\). 2. Zu a): Anwendung der Bernoulli-Formel für genau einen Treffer (\(k = 1\)): \(P(X = 1) = \binom{25}{1} \cdot 0{,}02^{1} \cdot 0{,}98^{24}\). Berechnung: \(25 \cdot 0{,}02 \cdot 0{,}98^{24} = 0{,}5 \cdot 0{,}98^{24} \approx 0{,}3079\). 3. Zu b): Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die spezifische Sequenz (Fehler, kein Fehler, \(\dots\), kein Fehler). Dies entspricht der Pfadwahrscheinlichkeit ohne Berücksichtigung von Anordnungen: \(P = 0{,}02^{1} \cdot 0{,}98^{24} \approx 0{,}0123\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(30{,}79\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(1{,}23\,\%\).

- Welche Eigenschaften müssen erfüllt sein, damit man von einer Bernoulli-Kette spricht? - Denke an die Wahrscheinlichkeit bei jedem einzelnen Versuch. - Welche Formel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für eine genaue Anzahl an Treffern zu berechnen? - Was bedeutet Unabhängigkeit in diesem Zusammenhang?

1. Identifikation der Merkmale einer Bernoulli-Kette: Es gibt nur zwei Ergebnisse pro Wurf (Treffer oder kein Treffer). Die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}75\) muss für jeden Wurf konstant bleiben, und die einzelnen Würfe müssen voneinander stochastisch unabhängig sein. 2. Bestimmung der Parameter: \(n = 12\), \(k = 9\), \(p = 0{,}75\), \(q = 1 - p = 0{,}25\). 3. Berechnung des Binomialkoeffizienten: \(\binom{12}{9} = \frac{12!}{9! \cdot 3!} = 220\). 4. Anwendung der Bernoulli-Formel: \(P(X = 9) = \binom{12}{9} \cdot 0{,}75^9 \cdot 0{,}25^3\). 5. Numerische Berechnung: \(220 \cdot 0{,}075084686 \cdot 0{,}015625 \approx 0{,}2581\).

Die Serie ist eine Bernoulli-Kette, wenn jeder Wurf nur die Ausgänge „Treffer“ oder „kein Treffer“ hat, die Trefferwahrscheinlichkeit konstant bei \(p = 0{,}75\) bleibt und die Würfe unabhängig voneinander sind. Die Wahrscheinlichkeit für genau 9 Treffer beträgt ca. \(25{,}81\,\%\).

- Überlege, wie sich die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer verändert, wenn ein Objekt entnommen wird. - Was ist die Voraussetzung für die Unabhängigkeit der einzelnen Versuche? - Welche Rolle spielt die Gesamtzahl der Objekte im Behälter bei den beiden Verfahren?

1. Analyse von Fall a): Da die Bauteile zurückgelegt werden, bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit für „defekt“ bei jedem Zug konstant bei \(p = \frac{6}{40} = 0{,}15\). Die Züge sind unabhängig. Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette. 2. Analyse von Fall b): Ohne Zurücklegen ändert sich die Zusammensetzung des Behälters nach jedem Zug, wodurch die Wahrscheinlichkeit für ein defektes Bauteil variiert. Es liegt keine Bernoulli-Kette vor. 3. Parameter für die Berechnung in Fall a): \(n = 5\), \(k = 1\), \(p = 0{,}15\), \(1-p = 0{,}85\). 4. Berechnung mit der Binomialverteilung: \(P(X = 1) = \binom{5}{1} \cdot 0{,}15^1 \cdot 0{,}85^4\). 5. Zwischenergebnisse: \(\binom{5}{1} = 5\); \(0{,}85^4 = 0{,}52200625\). 6. Endergebnis: \(5 \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}52200625 \approx 0{,}3915\).

a) Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette, da die Wahrscheinlichkeit konstant bleibt. b) Es handelt sich nicht um eine Bernoulli-Kette, da sich die Wahrscheinlichkeiten ändern. Die Wahrscheinlichkeit für genau ein defektes Bauteil (Fall a) beträgt ca. \(39{,}15\,\%\).

- Unterscheide genau, ob eine ganz bestimmte Reihenfolge von normgerechten und nicht normgerechten Schrauben gefordert ist oder ob nur die Gesamtzahl der normgerechten Schrauben zählt. - Überlege dir bei jeder Teilaufgabe, wie viele Erfolge und wie viele Misserfolge eintreten müssen. - Wenn die Positionen der Ereignisse fest vorgegeben sind (wie „nur die dritte“), musst du die Einzelwahrscheinlichkeiten in dieser speziellen Reihenfolge multiplizieren. - Wenn nur die Anzahl der Treffer wichtig ist, hilft dir der Binomialkoeffizient weiter.

1. Festlegen der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}85\) für „entspricht der Norm“ und der Misserfolgswahrscheinlichkeit \(q = 1 - p = 0{,}15\). Die Anzahl der Versuche ist \(n = 6\). 2. Berechnung für a): Da die Position feststeht (S, S, F, S, S, S), ergibt sich die Wahrscheinlichkeit durch Multiplikation: \(P(A) = p^5 \cdot q = 0{,}85^5 \cdot 0{,}15 \approx 0{,}0666\). 3. Berechnung für b): Alle sechs Schrauben müssen der Norm entsprechen: \(P(B) = p^6 = 0{,}85^6 \approx 0{,}3771\). 4. Berechnung für c): Die ersten vier sind Erfolge, die letzten beiden Misserfolge (S, S, S, S, F, F): \(P(C) = p^4 \cdot q^2 = 0{,}85^4 \cdot 0{,}15^2 \approx 0{,}0117\). 5. Berechnung für d): Da die Position der fünf Erfolge beliebig ist, wird die Bernoulli-Formel verwendet: \(P(D) = \binom{6}{5} \cdot p^5 \cdot q^1 = 6 \cdot 0{,}85^5 \cdot 0{,}15 \approx 0{,}3993\).

a) \(P \approx 6{,}66\,\%\) b) \(P \approx 37{,}71\,\%\) c) \(P \approx 1{,}17\,\%\) d) \(P \approx 39{,}93\,\%\)

- Überlege dir, ob es nur eine einzige Möglichkeit gibt, zwei Fragen richtig zu beantworten. - Was genau berechnet man, wenn man die Wahrscheinlichkeiten für „richtig“ und „falsch“ einfach nur multipliziert? - Stell dir ein Baumdiagramm vor – wie viele Pfade führen zum gewünschten Ergebnis? - Spielt die Reihenfolge der richtigen Antworten bei der Fragestellung „genau zwei Treffer“ eine Rolle?

1. Modellierung der Situation als Bernoulli-Kette mit den Parametern \(n=6\) und \(p=\frac{1}{3}\). 2. Identifikation des Terms \((\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^4\) als Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades im Baumdiagramm, bei dem genau zwei Erfolge in einer festgelegten Reihenfolge eintreten. 3. Bestimmung der Anzahl aller möglichen Pfade mit genau zwei Treffern mithilfe des Binomialkoeffizienten \(\binom{6}{2} = 15\). 4. Schlussfolgerung: Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit \(P(X=2) = 15 \cdot (\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^4 = \frac{80}{243} \approx 0{,}3292\) ist um den Faktor 15 größer als der angegebene Ansatz.

Der Ansatz ist falsch, da er nur die Wahrscheinlichkeit für eine einzige, spezifische Abfolge von richtigen und falschen Antworten berücksichtigt (z. B. nur die ersten beiden Fragen sind richtig). Da es jedoch \(\binom{6}{2} = 15\) verschiedene Möglichkeiten gibt, zwei richtige Antworten auf die sechs Fragen zu verteilen, muss die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades mit diesem Faktor multipliziert werden.

- Welche Information fehlt in dem Produkt, um alle möglichen Szenarien abzudecken? - Kann nur die erste gezogene Schraube defekt sein, oder gibt es noch andere Fälle? - Wie viele verschiedene Positionen kann die eine defekte Schraube in einer Reihe von zehn Schrauben einnehmen? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für die Wahrscheinlichkeiten in einer Bernoulli-Kette.

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl defekter Schrauben mit der Binomialverteilung \(B(10; 0{,}05)\). 2. Vergleich des Terms mit der Bernoulli-Formel \(P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) für \(k=1\). 3. Feststellung des Fehlens des Binomialkoeffizienten \(\binom{10}{1} = 10\). 4. Interpretation des Faktors 10 als Anzahl der möglichen Positionen der einen defekten Schraube innerhalb der Stichprobe (1. Schraube, 2. Schraube, \(\dots\), oder 10. Schraube). 5. Berechnung des korrekten Werts: \(P(X=1) = 10 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95^9 \approx 0{,}3151\).

Die Behauptung ist falsch, da der Binomialkoeffizient \(\binom{10}{1} = 10\) fehlt. Der korrekte Term lautet \(10 \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^9\). Der Faktor 10 erklärt sich dadurch, dass die eine defekte Schraube an jeder der 10 Positionen in der Stichprobe auftreten kann (z. B. als erste, zweite oder zehnte gezogene Schraube).

- Unterscheide genau, ob eine ganz bestimmte Reihenfolge von Ergebnissen gefordert ist oder nur die Gesamtzahl der Treffer. - Wenn nur die ersten Ergebnisse einer Kette festgelegt sind, spielen die darauffolgenden Ausgänge für die Berechnung dieser Teil-Wahrscheinlichkeit keine Rolle. - Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es gibt, eine bestimmte Anzahl an Fehlern in einer Stichprobe zu verteilen.

1. Die Wahrscheinlichkeit für ein fehlerfreies Bauteil ist \(p = 0{,}9\), für ein fehlerhaftes \(q = 0{,}1\). Das Ereignis beschreibt die feste Sequenz (gut, gut, gut, gut, gut, schlecht). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(E_1) = 0{,}9^5 \cdot 0{,}1^1 = 0{,}059049\). 2. Hier wird die Anzahl der Treffer (fehlerhafte Teile) in der Kette betrachtet. Da es sechs verschiedene Positionen für das eine fehlerhafte Bauteil gibt, nutzt man die Binomialverteilung: \(P(X=1) = \binom{6}{1} \cdot 0{,}1^1 \cdot 0{,}9^5 = 6 \cdot 0{,}059049 = 0{,}354294\). 3. Da nur die ersten drei Bauteile betrachtet werden und deren Zustand „fehlerfrei“ sein muss, spielen die restlichen drei Bauteile keine Rolle für die Bedingung. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(E_3) = 0{,}9^3 = 0{,}729\).

1. \(P \approx 0{,}0590\) (bzw. \(5{,}90\,\%\)) 2. \(P \approx 0{,}3543\) (bzw. \(35{,}43\,\%\)) 3. \(P = 0{,}729\) (bzw. \(72{,}9\,\%\))

- Was bedeutet es für die Reihenfolge der Ergebnisse, wenn kein Binomialkoeffizient als Vorfaktor vorhanden ist? - Welche Rolle spielen die Exponenten bei den Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg? - Wie hängen ein Ereignis und sein Gegenereignis mit dem Wert 1 zusammen? - Überlege, was der Binomialkoeffizient über die Anzahl der möglichen Pfade im Baumdiagramm aussagt.

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung mit \(n = 8\) und \(p = 0{,}05\) (Erfolg = Defekt). 2. Interpretation von \(0{,}05^2 \cdot 0{,}95^6\): Wahrscheinlichkeit für eine ganz bestimmte Reihenfolge von 2 defekten und 6 intakten Chips, zum Beispiel: „Nur die ersten beiden Chips der Stichprobe sind defekt“. Ergebnis: \(\approx 0{,}0018\). 3. Interpretation von \(\binom{8}{2} \cdot 0{,}05^2 \cdot 0{,}95^6\): Wahrscheinlichkeit für genau 2 defekte Chips in der Stichprobe von 8, wobei die Reihenfolge beliebig ist. Ergebnis: \(\approx 0{,}0515\). 4. Interpretation von \(1 - 0{,}95^8\): Berechnung über das Gegenereignis zu „kein Chip ist defekt“ (\(0{,}95^8\)), also die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „mindestens ein Chip in der Stichprobe ist defekt“. Ergebnis: \(\approx 0{,}3366\).

a) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine ganz bestimmte Sequenz auftritt (z. B. die ersten beiden Chips sind defekt und alle weiteren sind intakt). b) Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe insgesamt genau zwei Chips defekt sind. c) Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe mindestens ein Chip defekt ist.

- Musst du bei einer fest vorgegebenen Reihenfolge der Treffer verschiedene Pfadmöglichkeiten berücksichtigen? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, die Anzahl der Möglichkeiten für eine bestimmte Anzahl an Treffern zu zählen? - Wenn nach „mehr als zwei“ gefragt ist, welche konkreten Trefferzahlen sind dann gemeint? - Wie sieht die allgemeine Formel für die Wahrscheinlichkeit von genau \(k\) Treffern bei einer Bernoulli-Kette aus?

1. Festlegung der Parameter: \(n = 4\), Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}6\) und Fehlwurfwahrscheinlichkeit \(q = 0{,}4\). 2. Für a) wird die Wahrscheinlichkeit einer festen Sequenz (Treffer, Treffer, Fehlwurf, Fehlwurf) berechnet: \(0{,}6 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}4 = 0{,}6^2 \cdot 0{,}4^2 = 0{,}0576\). 3. Für b) wird die Wahrscheinlichkeit für genau \(k = 2\) Treffer mit der Bernoulli-Formel bestimmt: \(\binom{4}{2} \cdot 0{,}6^2 \cdot 0{,}4^2 = 6 \cdot 0{,}0576 = 0{,}3456\). 4. Für c) müssen die Wahrscheinlichkeiten für \(k = 3\) und \(k = 4\) Treffer addiert werden: \(P(X=3) + P(X=4) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}6^3 \cdot 0{,}4^1 + \binom{4}{4} \cdot 0{,}6^4 \cdot 0{,}4^0 = 0{,}3456 + 0{,}1296 = 0{,}4752\).

a) \(0{,}6^2 \cdot 0{,}4^2 = 0{,}0576\) b) \(\binom{4}{2} \cdot 0{,}6^2 \cdot 0{,}4^2 = 0{,}3456\) c) \(\binom{4}{3} \cdot 0{,}6^3 \cdot 0{,}4^1 + \binom{4}{4} \cdot 0{,}6^4 \cdot 0{,}4^0 = 0{,}4752\)

- Wann ist eine Wahrscheinlichkeit in einer Reihe größer als ihre Vorgängerin? - Untersuche das Verhältnis zwischen zwei benachbarten Werten der Binomialverteilung. - Was passiert, wenn dieses Verhältnis genau den Wert 1 annimmt? - Wie verhält sich die Formel für den Binomialkoeffizienten, wenn man von \(k-1\) zu \(k\) übergeht?

1. Berechnung des Erwartungswerts oder der Bedingung für das Maximum: Die Wahrscheinlichkeiten \(B(n; p; k)\) steigen an, solange \(\frac{P(X=k)}{P(X=k-1)} = \frac{n-k+1}{k} \cdot \frac{p}{1-p} \geq 1\) gilt. 2. Einsetzen der Werte: \(\frac{14-k+1}{k} \cdot \frac{0{,}4}{0{,}6} = \frac{15-k}{k} \cdot \frac{2}{3} \geq 1\). 3. Lösen der Ungleichung: \(2 \cdot (15 - k) \geq 3k \implies 30 - 2k \geq 3k \implies 30 \geq 5k \implies k \leq 6\). 4. Da für \(k=6\) das Verhältnis exakt \(1\) ist, gilt \(P(X=6) = P(X=5)\). 5. Für \(k < 6\) ist das Verhältnis \(> 1\) (steigend), für \(k > 6\) ist es \(< 1\) (fallend). 6. Die Wahrscheinlichkeit ist somit für \(k = 5\) und \(k = 6\) am größten.

Die Wahrscheinlichkeit ist für \(k = 5\) und \(k = 6\) am größten.

- Überlege dir zuerst, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Treffer ist. - Wo vermutest du das Maximum bei einer Binomialverteilung im Verhältnis zum Erwartungswert? - Binomialverteilungen sind oft asymmetrisch. Welche Extremwerte an den Rändern der Verteilung (0 oder \(n\)) könnten besonders kleine Wahrscheinlichkeiten haben? - Vergleiche die Wahrscheinlichkeit für „nur falsche Antworten“ mit der Wahrscheinlichkeit für „nur richtige Antworten“.

1. Identifikation der Parameter: \(n = 20\) und \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\). 2. Berechnung des wahrscheinlichsten Wertes (Modus): Der Modus liegt bei \(\lfloor (n+1)p \rfloor = \lfloor 21 \cdot 0{,}2 \rfloor = \lfloor 4{,}2 \rfloor = 4\). Somit ist \(k = 4\) am wahrscheinlichsten. 3. Bestimmung des unwahrscheinlichsten Wertes: Da \(p = 0{,}2 < 0{,}5\), ist die Verteilung rechtsschief. Die minimalen Wahrscheinlichkeiten liegen an den Rändern \(k = 0\) oder \(k = 20\). 4. Vergleich der Randwerte: \(P(X=0) = 0{,}8^{20} \approx 0{,}0115\) und \(P(X=20) = 0{,}2^{20} \approx 1{,}05 \cdot 10^{-14}\). 5. Da \(0{,}2^{20} < 0{,}8^{20}\), ist die Wahrscheinlichkeit für \(k = 20\) am geringsten.

Am wahrscheinlichsten ist \(k = 4\). Am unwahrscheinlichsten ist \(k = 20\).

- Überlege, welches Verteilungsmodell bei gleichbleibender Trefferwahrscheinlichkeit (mit Zurücklegen) anzuwenden ist. - Welches Modell nutzt man, wenn sich die Wahrscheinlichkeiten durch die Entnahme ändern? - Erinnere dich an die Formel für die hypergeometrische Verteilung: „Anzahl der Möglichkeiten für rote Kugeln mal Anzahl der Möglichkeiten für blaue Kugeln geteilt durch Gesamtmöglichkeiten“. - Die relative Abweichung berechnest du, indem du die Differenz der Werte durch den Bezugswert (hier das Ergebnis aus a) teilst. - Wie verändert sich der Anteil einer Farbe in einer Urne nach einer Entnahme, wenn die Urne sehr viele oder nur sehr wenige Kugeln enthält?

1. Berechnung für Ziehen mit Zurücklegen (Binomialverteilung): Da das Verhältnis der Kugeln in beiden Urnen gleich ist (\(p = \frac{8}{12} = \frac{80}{120} = \frac{2}{3}\)), ist die Wahrscheinlichkeit für beide Urnen identisch: \(P(X=2) = \binom{3}{2} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^1 = 3 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{9} \approx 0{,}4444\). 2. Berechnung für Ziehen ohne Zurücklegen (Hypergeometrische Verteilung): Urne \(A\): \(P(Y_A=2) = \frac{\binom{8}{2} \cdot \binom{4}{1}}{\binom{12}{3}} = \frac{28 \cdot 4}{220} = \frac{112}{220} = \frac{28}{55} \approx 0{,}5091\). Urne \(B\): \(P(Y_B=2) = \frac{\binom{80}{2} \cdot \binom{40}{1}}{\binom{120}{3}} = \frac{3160 \cdot 40}{280\,840} = \frac{126\,400}{280\,840} = \frac{3160}{7021} \approx 0{,}4501\). 3. Relative Abweichung \(\frac{|P_{\text{ohne}} - P_{\text{mit}}|}{P_{\text{mit}}}\): Urne \(A\): \(\frac{28/55 - 4/9}{4/9} = \frac{32/495}{4/9} = \frac{8}{55} \approx 14{,}55\,\%\). Urne \(B\): \(\frac{3160/7021 - 4/9}{4/9} = \frac{356/63189}{4/9} = \frac{89}{7021} \approx 1{,}27\,\%\). 4. Interpretation: Bei einer größeren Grundgesamtheit (Urne \(B\)) wirkt sich die Entnahme einer Kugel weniger stark auf die verbleibenden Anteile aus. Daher nähert sich die hypergeometrische Verteilung der Binomialverteilung an, und die relative Abweichung wird kleiner.

a) Urne \(A\) und \(B\): \(P \approx 0{,}4444\) (bzw. \(\frac{4}{9}\)). b) Urne \(A\): \(P \approx 0{,}5091\) (bzw. \(\frac{28}{55}\)); Urne \(B\): \(P \approx 0{,}4501\) (bzw. \(\frac{3160}{7021}\)). c) Urne \(A\): \(\approx 14{,}55\,\%\); Urne \(B\): \(\approx 1{,}27\,\%\). d) Je größer die Grundgesamtheit bei gleichbleibendem Stichprobenumfang ist, desto geringer ist der Unterschied zwischen Ziehen mit und ohne Zurücklegen.

- Was berechnet man mit \(1 - P(A)\)? - Erinnere dich an die Struktur der Bernoulli-Formel für genau \(k\) Treffer. - Denk darüber nach, ob die Produktion einer Praline die Qualität der nächsten physikalisch beeinflusst. - Wenn eine von drei Kategorien wegfällt, wie viele Möglichkeiten bleiben dann pro Praline übrig?

1. Analyse des Terms: Der Term \(p^8\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 8 Pralinen „Exzellent“ sind. Der Term \(1 - p^8\) stellt die Gegenwahrscheinlichkeit dar und beschreibt somit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der 8 Pralinen nicht die Stufe „Exzellent“ erhält. 2. Anwendung der Bernoulli-Formel: Bei \(n=15\) Versuchen und einer Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) für „Exzellent“ ergibt sich für \(k=2\) Erfolge der Term \(P(X=2) = \binom{15}{2} \cdot p^2 \cdot (1-p)^{13}\). 3. Stellungnahme zur Unabhängigkeit: Die Behauptung ist statistisch nicht haltbar. Unter der Annahme, dass die Qualität der Pralinen unabhängig voneinander ist, bleibt die Wahrscheinlichkeit \(p\) für jede weitere Praline gleich. Ein „Nachholen“ niedriger Quoten durch zukünftige überdurchschnittliche Ergebnisse ist bei unabhängigen Ereignissen nicht vorgesehen. 4. Bestimmung der Anzahl der Abfolgen: Es gibt insgesamt 3 Qualitätsstufen. Wenn „Ausschuss“ nicht vorkommen darf, verbleiben 2 Stufen („Exzellent“ und „Gut“). Bei 3 Plätzen in der Packung ergeben sich \(2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8\) mögliche Abfolgen.

a) Die Wahrscheinlichkeit, dass von acht Pralinen mindestens eine nicht als „Exzellent“ eingestuft wird. b) \(\binom{15}{2} \cdot p^2 \cdot (1-p)^{13}\) c) Die Behauptung ist falsch, da die Wahrscheinlichkeit \(p\) aufgrund der Unabhängigkeit der Einzelereignisse konstant bleibt. d) \(8\)

- Was passiert mit den Termen \(p^k\) und \((1-p)^{n-k}\), wenn beide Wahrscheinlichkeiten gleich groß sind? - Erinnere dich an die Symmetrie-Eigenschaft der Binomialkoeffizienten. - Wie hängen die einzelnen Wahrscheinlichkeiten einer kumulierten Wahrscheinlichkeit am oberen Ende der Verteilung mit denen am unteren Ende zusammen?

1. Für \(p=0{,}5\) gilt \(1-p=0{,}5\). Einsetzen in die Formel ergibt \(B(n; 0{,}5; k) = \binom{n}{k} \cdot 0{,}5^k \cdot 0{,}5^{n-k} = \binom{n}{k} \cdot 0{,}5^n\). 2. Für \(n-k\) ergibt sich analog \(B(n; 0{,}5; n-k) = \binom{n}{n-k} \cdot 0{,}5^{n-k} \cdot 0{,}5^{n-(n-k)} = \binom{n}{n-k} \cdot 0{,}5^n\). 3. Da \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) gilt, folgt \(P(X=k) = P(X=n-k)\). 4. Berechnung für \(n=6\): \(P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) = (\binom{6}{4} + \binom{6}{5} + \binom{6}{6}) \cdot 0{,}5^6 = (15 + 6 + 1) \cdot \frac{1}{64} = \frac{22}{64} = 0{,}34375\). 5. Anwendung der Symmetrie: \(P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\). Wegen \(P(X=0)=P(X=6)\), \(P(X=1)=P(X=5)\) und \(P(X=2)=P(X=4)\) folgt unmittelbar \(P(X \le 2) = P(X \ge 4)\).

a) Nachweis durch Einsetzen: \(B(n; 0{,}5; k) = \binom{n}{k} \cdot 0{,}5^n\) und \(B(n; 0{,}5; n-k) = \binom{n}{n-k} \cdot 0{,}5^n\). Wegen \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) sind die Terme gleich. b) \(P(X \ge 4) = 0{,}34375\). Aufgrund der Symmetrie \(P(X=k) = P(X=6-k)\) gilt \(P(X=4)=P(X=2)\), \(P(X=5)=P(X=1)\) und \(P(X=6)=P(X=0)\), woraus \(P(X \ge 4) = P(X \le 2)\) folgt.

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeiten für die drei verschiedenen Ergebnisse bei einem einzelnen Wurf sind. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, die zwei Sechsen auf die zehn Würfe zu verteilen? - Wenn die Positionen für die Sechsen feststehen, wie viele Plätze bleiben dann noch für die Einsen übrig? - Kombiniere die Anzahl der Anordnungen mit den Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse in einer Multiplikationskette.

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(p_6 = \frac{1}{6}\), \(p_1 = \frac{1}{6}\) und \(p_{\text{andere}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). 2. Auswahl der Positionen für die „6“: Es gibt \(\binom{10}{2} = 45\) Möglichkeiten. 3. Auswahl der Positionen für die „1“ aus den verbleibenden \(8\) Stellen: Es gibt \(\binom{8}{3} = 56\) Möglichkeiten. Die restlichen \(5\) Stellen sind für die anderen Zahlen festgelegt. 4. Aufstellen des Terms für die Gesamtwahrscheinlichkeit: \(P = \binom{10}{2} \cdot \binom{8}{3} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5\). 5. Berechnung des Ergebnisses: \(45 \cdot 56 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{32}{243} = \frac{280}{6\,561} \approx 0{,}0427\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P = \frac{280}{6\,561} \approx 0{,}0427\) (bzw. \(4{,}27\,\%\)).

- Schau dir die Exponenten im Term an. Welche Anzahl an Paketen gehört zu welcher Wahrscheinlichkeit? - Was berechnet man üblicherweise mit einem Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) im Kontext von Bernoulli-Ketten? - Warum verringert sich die obere Zahl im zweiten Binomialkoeffizienten von \(12\) auf \(4\)?

1. Identifikation des Ereignisses: Aus den Exponenten der Wahrscheinlichkeiten \(0{,}6\), \(0{,}3\) und \(0{,}1\) folgt, dass das Ereignis \(E\) genau \(8\) leichte Pakete, \(3\) Standard-Pakete und \(1\) schweres Paket umfasst. 2. Bedeutung von \(\binom{12}{8}\): Dieser Faktor gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus den \(12\) untersuchten Paketen genau die \(8\) Positionen auszuwählen, an denen ein leichtes Paket auftritt. 3. Bedeutung von \(\binom{4}{3}\): Nachdem \(8\) Plätze für leichte Pakete vergeben sind, bleiben \(4\) Plätze übrig. Dieser Faktor gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus diesen verbleibenden \(4\) Plätzen genau \(3\) für die Standard-Pakete auszuwählen. Der letzte verbleibende Platz ist automatisch für das schwere Paket bestimmt (\(\binom{1}{1} = 1\)).

Das Ereignis \(E\) lautet: „Unter den \(12\) Paketen befinden sich genau \(8\) leichte, \(3\) Standard- und \(1\) schweres Paket“. Der Faktor \(\binom{12}{8}\) wählt die Positionen für die leichten Pakete aus; \(\binom{4}{3}\) wählt aus den restlichen Plätzen die Positionen für die Standard-Pakete aus.

- Überlege zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes „erfolgreiches“ Objekt ist. - Kannst du das Problem in zwei nacheinander folgende Zufallsexperimente aufteilen? - Identifiziere für beide Teile die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Versuche. - Welches mathematische Modell eignet sich für Treffer-Niete-Experimente mit Zurücklegen?

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der defekten LEDs auf einem Streifen mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}02\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen fehlerfreien Streifen: \(P(X = 0) = \binom{20}{0} \cdot 0{,}02^0 \cdot 0{,}98^{20} = 0{,}98^{20} \approx 0{,}6676\). 3. Definition einer neuen Zufallsgröße \(Y\) als Anzahl der funktionstüchtigen Streifen in der Lieferung mit \(N = 15\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p_S \approx 0{,}6676\). 4. Berechnung der Punktwahrscheinlichkeit für \(k = 12\): \(P(Y = 12) = \binom{15}{12} \cdot 0{,}6676^{12} \cdot (1 - 0{,}6676)^3 \approx 455 \cdot 0{,}00793 \cdot 0{,}03672 \approx 0{,}1310\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(66{,}76\,\%\) (\(P \approx 0{,}6676\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(13{,}10\,\%\) (\(P \approx 0{,}1310\)).

- Welche drei Merkmale definieren eine Bernoulli-Kette? - Denke an äußere Einflüsse wie Wind oder Wetter – betreffen diese jeden Schuss einzeln und völlig isoliert? - Wie verändert sich die Situation für den Sportler im Kopf, wenn etwas schiefgeht? - Was bedeutet „Unabhängigkeit“ mathematisch für die Wahrscheinlichkeit des nächsten Schritts?

1. Zu a): Es müssen genau zwei Ergebnisse pro Schuss vorliegen (Treffer/Fehlschuss). Die Trefferwahrscheinlichkeit \(p=0{,}8\) muss für jeden der 5 Schüsse identisch sein. Zudem müssen die Schüsse stochastisch unabhängig voneinander sein, d. h., das Ergebnis eines Schusses darf die Wahrscheinlichkeit der folgenden Schüsse nicht beeinflussen. 2. Zu b): In der Realität können äußere Faktoren wie böiger Wind mehrere Schüsse gleichzeitig beeinflussen (Abhängigkeit). Zudem wirken psychologische Faktoren: Ein Erfolg kann Sicherheit geben, während ein Fehlschuss den Druck erhöht. Auch physische Ermüdung während der Serie könnte die Wahrscheinlichkeit über die Zeit verändern. 3. Zu c): Durch die Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeit vom vorangegangenen Ergebnis wird die Unabhängigkeit der Versuche verletzt. Eine Bernoulli-Kette erfordert, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg in jedem Schritt konstant bleibt und nicht von der Vorgeschichte abhängt.

a) Zwei Ausgänge (Treffer/Fehlschuss), konstante Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}8\), Unabhängigkeit der Schüsse. b) Äußere Einflüsse (Wind) oder psychologische Faktoren (Druck, Konzentration) können Abhängigkeiten erzeugen oder \(p\) verändern. c) Die Unabhängigkeit der Teilversuche (und damit die Konstanz von \(p\)) wird verletzt, da die Wahrscheinlichkeit vom Ergebnis des vorherigen Schusses abhängt.

- Welche Eigenschaften muss ein Zufallsexperiment haben, damit man es als Bernoulli-Kette bezeichnen darf? - Überlege, was ein „Erfolg“ in diesem speziellen Kontext bedeutet, auch wenn das Ereignis negativ behaftet ist. - Wie hängen die Gesamtzahl der Versuche und die Einzelwahrscheinlichkeit mit der Formel von Bernoulli zusammen?

1. Voraussetzungen für eine Binomialverteilung: Es muss sich um eine Kette von Bernoulli-Experimenten handeln, bei denen die Trefferwahrscheinlichkeit konstant bleibt und die einzelnen Versuche (Sortiervorgänge) voneinander unabhängig sind. 2. Definition der Zufallsgröße \(X\): Anzahl der falsch sortierten Pakete in der Stichprobe. 3. Parameter: \(n = 40\) (Anzahl der untersuchten Pakete in der Stichprobe); \(p = 0{,}05\) (Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelnes Paket falsch sortiert wurde). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(k = 2\): \(P(X = 2) = \binom{40}{2} \cdot 0{,}05^2 \cdot 0{,}95^{38}\). 5. Zwischenschritte: \(\binom{40}{2} = 780\); \(0{,}05^2 = 0{,}0025\); \(0{,}95^{38} \approx 0{,}1420\). 6. Ergebnis: \(P(X = 2) \approx 0{,}2777\).

a) Die Anzahl ist binomialverteilt, wenn die Sortierung jedes Pakets unabhängig von den anderen erfolgt und die Fehlerwahrscheinlichkeit für jedes Paket konstant \(5\,\%\) beträgt. b) \(X\): Anzahl falsch sortierter Pakete; \(n = 40\) ist der Stichprobenumfang; \(p = 0{,}05\) ist die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlleitung pro Paket. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(27{,}77\,\%\).

- Wie berechnet man den Anteil eines Kreissektors an der Gesamtfläche, wenn der Winkel gegeben ist? - Was bedeutet „höchstens eins“ mathematisch für die möglichen Werte der Zufallsgröße? - Erinnere dich an die Formel für die Punktwahrscheinlichkeit \(P(X=k)\).

1. Parameterbestimmung: \(n = 20\) (Anzahl der Drehungen); die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) ergibt sich aus dem Anteil des Winkels am Vollkreis: \(p = \frac{108^\circ}{360^\circ} = 0{,}3\). 2. Bedeutung: \(n\) ist die Länge der Bernoulli-Kette, \(p\) ist die konstante Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses „Blau“ bei einer Drehung. 3. Wahrscheinlichkeit für \(k = 0\): \(P(X = 0) = \binom{20}{0} \cdot 0{,}3^0 \cdot 0{,}7^{20} = 0{,}7^{20} \approx 0{,}000798\). 4. Wahrscheinlichkeit für höchstens einen Treffer \(P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)\). 5. Berechnung \(P(X = 1) = \binom{20}{1} \cdot 0{,}3^1 \cdot 0{,}7^{19} = 20 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7^{19} \approx 0{,}006839\). 6. Summe: \(P(X \le 1) \approx 0{,}000798 + 0{,}006839 = 0{,}007637\).

a) \(n = 20\) (Anzahl der Versuche); \(p = 0{,}3\) (Wahrscheinlichkeit für Blau pro Drehung). b) \(P(X = 0) \approx 0{,}0008\) (oder \(0{,}08\,\%\)). c) \(P(X \le 1) \approx 0{,}0076\) (oder \(0{,}76\,\%\)).

- Überlege dir, ob bei einem Ereignis die Reihenfolge der Treffer festgelegt ist oder ob nur die Gesamtzahl der Treffer zählt. - Erinnere dich an die Struktur der Bernoulli-Formel und wofür der Binomialkoeffizient steht. - „Mindestens“ bedeutet oft, dass du mehrere Fälle addieren musst. - Was bedeutet es für die Rechnung, wenn ein Ereignis als eine ganz bestimmte Abfolge von Treffern und Fehlwürfen beschrieben wird?

1. Zuordnung der Ereignisse: - \(A \to (4)\): Binomialverteilung für \(n=4, p=0{,}75, k=2\). Der Binomialkoeffizient berücksichtigt alle Anordnungen. - \(B \to (1)\): Pfadregel für die Sequenz TTTT: \(0{,}75 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}75 = 0{,}75^4\). - \(C \to (2)\): Die Sequenz ist FFFT, also \(0{,}25 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75\). - \(D \to (3)\): Feste Sequenz FFTT, berechnet als \(0{,}25^2 \cdot 0{,}75^2\). Im Gegensatz zu \(A\) gibt es hier nur eine mögliche Pfadanordnung. - \(E \to (5)\): Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten für \(k=3\) und \(k=4\) Treffer. 2. Berechnung für Ereignis \(E\): \(P(E) = P(X=3) + P(X=4) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}75^3 \cdot 0{,}25^1 + \binom{4}{4} \cdot 0{,}75^4 \cdot 0{,}25^0\) \(P(E) = 4 \cdot 0{,}421875 \cdot 0{,}25 + 1 \cdot 0{,}31640625 = 0{,}421875 + 0{,}31640625 = 0{,}73828125\).

a) Zuordnung: \(A \to (4)\), \(B \to (1)\), \(C \to (2)\), \(D \to (3)\), \(E \to (5)\). b) \(P(E) \approx 0{,}7383\) (bzw. \(73{,}83\,\%\)).

- Wenn eine feste Position für einen Treffer (oder Defekt) verlangt wird, handelt es sich um eine spezifische Pfadwahrscheinlichkeit. - Überlege bei Teil b), welche Werte die Zufallsgröße annehmen darf, wenn von „höchstens eins“ die Rede ist. - Denke bei Teil c) an die Faktoren, die in die Berechnung der Pfadwahrscheinlichkeit einfließen. Ändern sich diese Faktoren oder ihre Anzahl, wenn man die Position des Defekts vertauscht?

1. Wahrscheinlichkeit für den ersten Defekt an 3. Stelle: Die Sequenz muss „gut, gut, defekt“ lauten (unabhängig von den restlichen 7 Bauteilen für dieses spezifische Teilereignis der ersten drei). \(P = 0{,}96 \cdot 0{,}96 \cdot 0{,}04 = 0{,}96^2 \cdot 0{,}04 = 0{,}036864\). 2. Wahrscheinlichkeit für höchstens ein defektes Bauteil (\(n=10, p=0{,}04\)): \(P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1) = \binom{10}{0} \cdot 0{,}96^{10} + \binom{10}{1} \cdot 0{,}04^1 \cdot 0{,}96^9\) \(P(X=0) \approx 0{,}66483\) \(P(X=1) = 10 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}96^9 \approx 0{,}27701\) \(P(X \le 1) \approx 0{,}66483 + 0{,}27701 = 0{,}94184\). 3. Vergleich der Ereignisse: Beide Ereignisse beschreiben einen spezifischen Pfad im Baumdiagramm mit genau einem Defekt (\(D\)) und neun intakten Bauteilen (\(I\)). „Nur das erste defekt“: \(D \cdot I \cdot I \cdot I \cdot I \cdot I \cdot I \cdot I \cdot I \cdot I\) „Nur das letzte defekt“: \(I \cdot I \cdot I \cdot I \cdot I \cdot I \cdot I \cdot I \cdot I \cdot D\) In beiden Fällen lautet das Produkt der Wahrscheinlichkeiten \(0{,}04^1 \cdot 0{,}96^9\). Da die Multiplikation kommutativ ist, ist der Wert identisch.

a) \(P \approx 3{,}69\,\%\) b) \(P \approx 94{,}18\,\%\) c) Beide Ereignisse entsprechen einem Pfad mit den Faktoren \(0{,}04\) (einmal) und \(0{,}96\) (neunmal). Aufgrund des Kommutativgesetzes der Multiplikation führen beide Pfade zum gleichen Ergebnis \(0{,}04 \cdot 0{,}96^9\).

- Überlege dir, welche Verteilung vorliegt, wenn es nur zwei mögliche Ausgänge (keimen oder nicht keimen) gibt. - Wie hängen der Erwartungswert und der wahrscheinlichste Wert einer Verteilung zusammen? - Achte bei der Wahrscheinlichkeit genau auf die Formulierung „mindestens“. Welcher Bereich von Werten ist damit gemeint? - Manchmal ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses zu berechnen, das gerade nicht eintreten soll.

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung: Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}85\) und Stichprobenumfang \(n = 30\). 2. Bestimmung der wahrscheinlichsten Trefferzahl \(k\): Die Bedingung \((n+1) \cdot p - 1 \le k \le (n+1) \cdot p\) liefert mit \(31 \cdot 0{,}85 = 26{,}35\) den Bereich \(25{,}35 \le k \le 26{,}35\). Somit ist \(k = 26\) die wahrscheinlichste Anzahl keimender Samen. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für mindestens \(24\) Erfolge: \(P(X \ge 24) = \sum_{k=24}^{30} \binom{30}{k} \cdot 0{,}85^k \cdot 0{,}15^{30-k}\). 4. Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung (Gegenereignis) ergibt sich: \(P(X \ge 24) = 1 - P(X \le 23) \approx 1 - 0{,}1526 = 0{,}8474\).

a) Die wahrscheinlichste Anzahl keimender Samen ist \(26\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(84{,}74\,\%\).

- Welche Kenngrößen beschreiben die vorliegende Zufallsexperiment-Kette? - Erinnerst du dich an die Formel für die wahrscheinlichste Trefferzahl bei einer Binomialverteilung? - Was bedeutet „mehr als 8“ im Hinblick auf die möglichen Werte der Zufallsgröße? Welche Werte gehören dazu, welche nicht? - Nutze für die kumulierte Wahrscheinlichkeit entweder eine Tabelle oder die entsprechende Funktion deines Taschenrechners.

1. Festlegung der binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) mit \(n = 40\) und \(p = 0{,}15\). 2. Berechnung der wahrscheinlichsten Trefferzahl: Da \((n+1) \cdot p = 41 \cdot 0{,}15 = 6{,}15\) keine ganze Zahl ist, ist die wahrscheinlichste Anzahl \(k = \lfloor 6{,}15 \rfloor = 6\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für mehr als \(8\) Fehler: \(P(X > 8) = 1 - P(X \le 8)\). 4. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit bis \(8\): \(P(X \le 8) = \sum_{k=0}^{8} \binom{40}{k} \cdot 0{,}15^k \cdot 0{,}85^{40-k} \approx 0{,}8646\). 5. Ergebnis für das gesuchte Ereignis: \(1 - 0{,}8646 = 0{,}1354\).

a) Die wahrscheinlichste Anzahl fehlerhafter Flaschen ist \(6\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(13{,}54\,\%\).

- Überlege dir, welche Verteilung vorliegt und welche Parameter gegeben sind. - Wie hängen die Ereignisse „mindestens \(k\)“ und „höchstens \(k-1\)“ zusammen? - Betrachte die einzelnen Summanden im Term einzeln – was bedeuten sie für die Auswahl der Brötchen? - Für den letzten Aufgabenteil: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähltes Brötchen sowohl „nicht ideal“ ist als auch reklamiert wird? - Erinnere dich an die „Mindestens-eins-Regel“ und wie man dabei über das Gegenereignis rechnet.

1. Identifikation der Binomialverteilung mit \(n = 15\) und \(p = 0{,}12\) für die Eigenschaft „nicht ideal“. 2. Berechnung von \(P(A) = P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) = 1 - \sum_{k=0}^{2} \binom{15}{k} \cdot 0{,}12^k \cdot 0{,}88^{15-k}\). Mit \(P(X=0) \approx 0{,}1470\), \(P(X=1) \approx 0{,}3006\) und \(P(X=2) \approx 0{,}2870\) ergibt sich \(P(X \le 2) \approx 0{,}7346\), also \(P(A) \approx 0{,}2654\). 3. Berechnung von \(P(B) = P(X = 2) = \binom{15}{2} \cdot 0{,}12^2 \cdot 0{,}88^{13} \approx 0{,}2870\). 4. Interpretation des Terms: \(0{,}12^{15}\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 15 Brötchen nicht ideal sind. \(0{,}88^{15}\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 15 Brötchen ideal sind. Das Ereignis lautet: „Alle Brötchen haben die gleiche Beschaffenheit (entweder alle ideal oder alle nicht ideal).“ 5. Bestimmung der kombinierten Wahrscheinlichkeit für eine Reklamation pro Brötchen: \(p_{\text{Rek}} = 0{,}12 \cdot 0{,}05 = 0{,}006\). 6. Ansatz für die Mindestanzahl \(n\): \(P(Y \ge 1) > 0{,}90 \Leftrightarrow 1 - (1 - 0{,}006)^n > 0{,}90 \Leftrightarrow 0{,}994^n < 0{,}10\). 7. Lösung der Ungleichung mittels Logarithmus: \(n > \frac{\ln(0{,}10)}{\ln(0{,}994)} \approx 382{,}55\). Somit muss die Tüte mindestens \(383\) Brötchen enthalten.

a) \(P(A) \approx 26{,}54\,\%\); \(P(B) \approx 28{,}70\,\%\) b) Das Ereignis lautet: „Entweder sind alle 15 Brötchen nicht ideal oder alle 15 Brötchen sind ideal.“ c) Es müssten mindestens \(383\) Brötchen enthalten sein.

- Überlege, ob du bei „höchstens \(k\)“ direkt rechnest oder das Gegenereignis nutzt. - Achte bei Ereignis \(D\) darauf, ob du die Wahrscheinlichkeit für das Keimen oder das Nicht-Keimen als Erfolg definierst. - Der Term \(0{,}8^{12}\) beschreibt einen sehr speziellen Fall – welchen? - Kombiniere die Wahrscheinlichkeiten für das Keimen und den anschließenden Befall zu einer Gesamtwahrscheinlichkeit. - Nutze den Logarithmus, um eine Ungleichung der Form \(a^n < b\) nach \(n\) aufzulösen.

1. Modellierung durch Binomialverteilung mit \(n = 12\) und \(p = 0{,}8\) für „Samen keimt“. 2. Berechnung von \(P(C) = P(X \le 10) = 1 - (P(X=11) + P(X=12))\). Mit \(P(X=11) = 12 \cdot 0{,}8^{11} \cdot 0{,}2 \approx 0{,}2062\) und \(P(X=12) = 0{,}8^{12} \approx 0{,}0687\) ergibt sich \(P(C) \approx 1 - (0{,}2062 + 0{,}0687) = 0{,}7251\). 3. Das Ereignis \(D\) „Genau zwei keimen nicht“ entspricht \(P(X=10)\). Rechnung: \(\binom{12}{10} \cdot 0{,}8^{10} \cdot 0{,}2^2 \approx 0{,}2835\). 4. Interpretation des Terms: \(0{,}8^{12}\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 12 Samen keimen. \(1 - 0{,}8^{12}\) ist die Gegenwahrscheinlichkeit. Das Ereignis lautet: „Mindestens ein Samen keimt nicht.“ 5. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit für den Befall eines Samens: \(p_{\text{Befall}} = 0{,}8 \cdot 0{,}02 = 0{,}016\). 6. Ansatz für \(n\): \(P(Z \ge 1) > 0{,}95 \Leftrightarrow 1 - (1 - 0{,}016)^n > 0{,}95 \Leftrightarrow 0{,}984^n < 0{,}05\). 7. Auflösung nach \(n\): \(n > \frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}984)} \approx 185{,}7\). Es müssen mindestens \(186\) Samen ausgesät werden.

a) \(P(C) \approx 72{,}51\,\%\); \(P(D) \approx 28{,}35\,\%\) b) Das Ereignis lautet: „Mindestens einer der 12 Samen keimt nicht.“ c) Es müssen mindestens \(186\) Samen ausgesät werden.

- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine einzelne Frage durch Raten richtig zu beantworten? - Überlege dir, wie du die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „kein einziger Treffer“ ausdrücken kannst. - Die Summe der Wahrscheinlichkeiten von „mindestens ein Treffer“ und „kein Treffer“ ist immer \(1\). - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, eine Unbekannte aus dem Exponenten zu lösen? - Denk daran, dass die Anzahl der Fragen eine ganze Zahl sein muss.

1. Bestimmung der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\) und der Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\). 2. Ansatz über das Gegenereignis „keine Frage richtig“: \(P(X \ge 1) = 1 - 0{,}8^n\). 3. Für Teilaufgabe a): Lösen der Ungleichung \(1 - 0{,}8^n \ge 0{,}8\). Dies führt zu \(0{,}8^n \le 0{,}2\). Durch Logarithmieren ergibt sich \(n \cdot \ln(0{,}8) \le \ln(0{,}2)\). Da \(\ln(0{,}8)\) negativ ist, dreht sich das Relationszeichen um: \(n \ge \frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}8)} \approx 7{,}21\). Somit sind mindestens \(8\) Fragen nötig. 4. Für Teilaufgabe b): Lösen der Ungleichung \(1 - 0{,}8^n \ge 0{,}95\). Dies führt zu \(0{,}8^n \le 0{,}05\). Logarithmieren ergibt \(n \ge \frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}8)} \approx 13{,}43\). Somit sind mindestens \(14\) Fragen nötig.

a) \(8\) Fragen b) \(14\) Fragen

- Was bedeutet „mehr als ein Ei“ mathematisch für die Zufallsgröße? - Überlege dir, welches Gegenereignis leichter zu berechnen ist. - Welche Parameter \(n\) und \(p\) musst du in die Formel für die Binomialverteilung einsetzen? - Bleibt die Wahrscheinlichkeit \(p\) bei einer sehr großen Lieferung näherungsweise konstant?

1. Modellierung der Anzahl der beschädigten Eier \(X\) durch eine Binomialverteilung mit \(n = 20\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\). 2. Die Ablehnungsbedingung lautet \(X > 1\), die Wahrscheinlichkeit hierfür ist \(P(X > 1) = 1 - P(X \le 1) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1))\). 3. Für Teilaufgabe a) mit \(p = 0{,}02\): \(P(X = 0) = \binom{20}{0} \cdot 0{,}02^0 \cdot 0{,}98^{20} \approx 0{,}66761\) \(P(X = 1) = \binom{20}{1} \cdot 0{,}02^1 \cdot 0{,}98^{19} \approx 0{,}27249\) \(P(X \le 1) \approx 0{,}94010\) \(P(X > 1) = 1 - 0{,}94010 = 0{,}05990 \approx 5{,}99\,\%\). 4. Für Teilaufgabe b) mit \(p = 0{,}01\): \(P(X = 0) = 0{,}99^{20} \approx 0{,}81791\) \(P(X = 1) = 20 \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}99^{19} \approx 0{,}16523\) \(P(X \le 1) \approx 0{,}98314\) \(P(X > 1) = 1 - 0{,}98314 = 0{,}01686 \approx 1{,}69\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(5{,}99\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(1{,}69\,\%\).

- Wie berechnet man die Anzahl der Möglichkeiten, eine bestimmte Anzahl an Objekten aus einer Menge auszuwählen? - Was ist der Unterschied im Nenner bei der Wahrscheinlichkeitsberechnung zwischen Ziehen mit und ohne Zurücklegen? - Nutze das Gegenereignis „kein defekter Stick“, um die Rechnung zu vereinfachen. - Die absolute Differenz ist der Betrag der Abweichung zwischen beiden Modellen.

1. Berechnung für „ohne Zurücklegen“ (Hypergeometrische Verteilung): Gesamtzahl \(N = 50\), Anzahl defekt \(M = 3\), Stichprobe \(n = 3\). \(P(\text{mind. 1 defekt}) = 1 - P(\text{0 defekt}) = 1 - \frac{\binom{3}{0} \cdot \binom{47}{3}}{\binom{50}{3}}\). \(\binom{47}{3} = 16\,215\), \(\binom{50}{3} = 19\,600\). \(P(\text{ohne}) = 1 - \frac{16\,215}{19\,600} \approx 1 - 0{,}82730 = 0{,}17270\). 2. Berechnung für „mit Zurücklegen“ (Binomialverteilung): \(n = 3\), \(p = \frac{3}{50} = 0{,}06\). \(P(\text{mit}) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - 0{,}06)^3 = 1 - 0{,}94^3\). \(P(\text{mit}) = 1 - 0{,}83058 = 0{,}16942\). 3. Berechnung der absoluten Differenz: \(|0{,}17270 - 0{,}16942| = 0{,}00328\).

a) Die Wahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen beträgt ca. \(17{,}27\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit mit Zurücklegen beträgt ca. \(16{,}94\,\%\). c) Die absolute Differenz beträgt ca. \(0{,}0033\) (oder \(0{,}33\) Prozentpunkte).

- Welche Bedeutung haben die Basis \(0{,}9\) und die Hochzahlen in der Formel von Bernoulli? - Erinnere dich daran, wie man die Länge der Bernoulli-Kette \(n\) aus dem Binomialkoeffizienten oder den Exponenten abliest. - Was bewirkt das Subtrahieren einer Wahrscheinlichkeit von der Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\)? - Welche Ereignisse werden durch eine Summe von Einzelwahrscheinlichkeiten zusammengefasst?

1. Identifikation der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}9\) (Samen keimt) und der Misserfolgswahrscheinlichkeit \(q = 0{,}1\) (Samen keimt nicht) für eine Bernoulli-Kette. 2. Zu a): Der Faktor \(\binom{20}{18}\) und die Exponenten zeigen eine Bernoulli-Kette der Länge \(n = 20\) mit \(k = 18\) Erfolgen. Ergebnis: Es werden \(20\) Samen gepflanzt; genau \(18\) Samen keimen. 3. Zu b): Die Terme in der Klammer entsprechen \(P(X=0) = 0{,}1^{10}\) und \(P(X=1) = 10 \cdot 0{,}9^1 \cdot 0{,}1^9\) für eine Kette der Länge \(n = 10\). Das Komplement \(1 - (P(X=0) + P(X=1))\) berechnet \(P(X \geq 2)\). Ergebnis: Es werden \(10\) Samen gepflanzt; es keimen mindestens zwei Samen. 4. Zu c): Die Summe beschreibt die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \leq 16)\) für \(n = 20\). Das Komplement \(1 - P(X \leq 16)\) entspricht \(P(X \geq 17)\). Ergebnis: Es werden \(20\) Samen gepflanzt; es keimen mindestens \(17\) Samen.

Mögliche Beschreibungen: a) Experiment: \(20\) Samen werden gepflanzt. Ereignis: Genau \(18\) Samen keimen. b) Experiment: \(10\) Samen werden gepflanzt. Ereignis: Mindestens zwei Samen keimen. c) Experiment: \(20\) Samen werden gepflanzt. Ereignis: Mindestens \(17\) Samen keimen.

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer, wenn man bei vier Möglichkeiten rät? - Überlege dir, wie viele Versuche insgesamt durchgeführt werden. - „Höchstens“ bedeutet, dass alle Werte von null bis zu dieser Zahl möglich sind. - Bei „mindestens“ ist es oft einfacher, die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses von \(1\) abzuziehen.

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der richtigen Antworten. Da bei jeder der \(n = 15\) Aufgaben die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{4} = 0{,}25\) (und somit \(q = 0{,}75\)) beträgt, gilt \(X \sim B(15; 0{,}25)\). 2. Zu a): Gesucht ist \(P(X = 6)\). Anwendung der Bernoulli-Formel \(\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}\) ergibt \(\binom{15}{6} \cdot 0{,}25^6 \cdot 0{,}75^9\). 3. Zu b): Gesucht ist \(P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1)\). Dies führt zu \(\binom{15}{0} \cdot 0{,}25^0 \cdot 0{,}75^{15} + \binom{15}{1} \cdot 0{,}25^1 \cdot 0{,}75^{14}\), vereinfacht \(0{,}75^{15} + 15 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75^{14}\). 4. Zu c): Gesucht ist \(P(X \geq 3)\). Über das Komplementärereignis gilt \(P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - \sum_{k=0}^{2} \binom{15}{k} \cdot 0{,}25^k \cdot 0{,}75^{15-k}\).

a) \(\binom{15}{6} \cdot 0{,}25^6 \cdot 0{,}75^9\) b) \(0{,}75^{15} + 15 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75^{14}\) c) \(1 - \sum_{k=0}^{2} \binom{15}{k} \cdot 0{,}25^k \cdot 0{,}75^{15-k}\) (oder alternativ als Summe von \(k=3\) bis \(15\))

- Überlege dir bei a), welcher Wert für \(k\) genau überschritten werden muss. - Betrachte bei b) die Struktur der einzelnen Summanden: Was bedeutet ein Faktor der Form \(q^k \cdot p\)? - Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit „alle sind gut“ bei einer Stichprobe von 30 Stück mithilfe des Anteils ausdrücken? - Nutze bei c) Wurzeln oder Logarithmen, um nach der gesuchten Wahrscheinlichkeit aufzulösen.

1. Berechnung für a): Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 60\) und \(p = 0{,}05\). Gesucht ist \(P(X > 6)\), da \(10\,\%\) von 60 Chips 6 Chips entsprechen. Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \ge 7) = 1 - P(X \le 6) \approx 1 - 0{,}9703 = 0{,}0297\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(2{,}97\,\%\). 2. Interpretation für b): Der Term beschreibt eine Summe von Wahrscheinlichkeiten für das erste Eintreten eines Defekts an der 1., 2., 3., 4. oder 5. Stelle. Dies entspricht dem Ereignis, dass unter den ersten fünf geprüften Mikrochips mindestens ein defekter Chip gefunden wird (bzw. der erste defekte Chip spätestens an fünfter Stelle erscheint). 3. Berechnung für c): Sei \(p_{gut}\) der Anteil einwandfreier Chips. Die Bedingung lautet \(P(X = 30) \ge 0{,}80\). Da die Chips unabhängig voneinander einwandfrei sein müssen, gilt \(p_{gut}^{30} \ge 0{,}80\). Durch Ziehen der 30. Wurzel ergibt sich \(p_{gut} \ge \sqrt[30]{0{,}80} \approx 0{,}99258\). Der Anteil muss also mindestens \(99{,}3\,\%\) betragen.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(2{,}97\,\%\). b) Das Ereignis lautet: „Unter den ersten fünf geprüften Chips ist mindestens einer defekt“ oder „Der erste defekte Chip wird spätestens bei der fünften Prüfung entdeckt“. c) Der Anteil der einwandfreien Chips muss mindestens \(99{,}3\,\%\) betragen.

- Achte bei a) darauf, ob es sich um eine Einzelwahrscheinlichkeit oder eine kumulierte Wahrscheinlichkeit handelt. - Was bedeutet die Zahl \(0{,}88\) im Kontext der Gewinnwahrscheinlichkeit? - Bei c) hilft der Ansatz über das Gegenereignis „kein seltener Gegenstand“. - Nutze bei der Frage nach „mindestens einem“ das Gegenereignis.

1. Berechnung für a): Die Zufallsgröße \(Y\) ist binomialverteilt mit \(n = 40\) und \(p = 0{,}12\). Gesucht ist \(P(Y \le 3)\). Unter Verwendung der Formel für die kumulierte Binomialverteilung oder eines Tabellenwerks ergibt sich \(P(Y \le 3) = \sum_{k=0}^{3} \binom{40}{k} \cdot 0{,}12^k \cdot 0{,}88^{40-k} \approx 0{,}2768\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(27{,}68\,\%\). 2. Interpretation für b): Der Ausdruck \(0{,}88^{15}\) ist die Wahrscheinlichkeit, bei 15 Versuchen keinen seltenen Gegenstand zu finden. Das Komplement \(1 - 0{,}88^{15}\) beschreibt somit die Wahrscheinlichkeit, in 15 Kisten mindestens einen seltenen Gegenstand zu finden. 3. Berechnung für c): Gesucht ist das kleinste \(n\), für das \(P(Y \ge 1) \ge 0{,}99\) gilt. Dies führt auf die Ungleichung \(1 - 0{,}88^n \ge 0{,}99 \iff 0{,}88^n \le 0{,}01\). Anwendung des Logarithmus ergibt \(n \cdot \ln(0{,}88) \le \ln(0{,}01)\). Da \(\ln(0{,}88)\) negativ ist, dreht sich das Relationszeichen: \(n \ge \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}88)} \approx 36{,}03\). Es müssen also mindestens 37 Kisten geöffnet werden.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(27{,}68\,\%\). b) Das Ereignis lautet: „In 15 Kisten befindet sich mindestens ein seltener Gegenstand“. c) Der Spieler muss mindestens 37 Kisten öffnen.

- Überlege zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine einzelne Figur keinen Mangel hat. - Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von 5 Figuren alle gleichzeitig mangelfrei sind? - Betrachte nun die 20 Sets als eine neue Bernoulli-Kette. Was ist hier ein „Erfolg“? - Welche Werte kann die Zufallsgröße annehmen, wenn nach „höchstens zwei“ gefragt ist?

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, dass eine einzelne Figur mangelfrei ist: \(p_1 = 1 - 0{,}40 = 0{,}60\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(p_S\), dass ein Set aus 5 Figuren ausschließlich mangelfreie Figuren enthält (Bernoulli-Kette mit \(n=5, k=5\)): \(p_S = 0{,}60^5 = 0{,}07776\). 3. Definition der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der „perfekten“ Sets unter den \(n = 20\) gelieferten Sets. \(X\) ist binomialverteilt mit \(B(20; 0{,}07776)\). 4. Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\) unter Verwendung der Formel von Bernoulli: \(P(X=0) = \binom{20}{0} \cdot 0{,}07776^0 \cdot (1-0{,}07776)^{20} \approx 0{,}1981\) \(P(X=1) = \binom{20}{1} \cdot 0{,}07776^1 \cdot (1-0{,}07776)^{19} \approx 0{,}3341\) \(P(X=2) = \binom{20}{2} \cdot 0{,}07776^2 \cdot (1-0{,}07776)^{18} \approx 0{,}2676\) 5. Summation der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X \le 2) \approx 0{,}1981 + 0{,}3341 + 0{,}2676 = 0{,}7998\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(79{,}98\,\%\) (ca. \(0{,}800\)).

- Welche Parameter \(n\) und \(p\) sind gegeben? - Nutze die Formel von Bernoulli für Punktwahrscheinlichkeiten. - Der wahrscheinlichste Wert liegt oft sehr nah am Erwartungswert \(\mu = n \cdot p\). - Was passiert mit der Wahrscheinlichkeit, wenn du Werte kurz vor oder kurz nach dem Erwartungswert prüfst?

1. Es liegt eine Binomialverteilung mit \(n = 120\) und \(p = 0{,}92\) vor. 2. Berechnung der Punktwahrscheinlichkeit für \(k = 110\): \(P(X = 110) = \binom{120}{110} \cdot 0{,}92^{110} \cdot 0{,}08^{10} \approx 0{,}1295\). 3. Zur Bestimmung des wahrscheinlichsten Wertes (Modus) wird die Bedingung \((n+1) \cdot p - 1 \le k \le (n+1) \cdot p\) oder das Intervall \([np - (1-p); np + p]\) genutzt. 4. Berechnung: \((120 + 1) \cdot 0{,}92 = 111{,}32\). Da dies keine ganze Zahl ist, ist der Modus \(k = \lfloor 111{,}32 \rfloor = 111\). 5. Alternativ über die Grenzen: \(120 \cdot 0{,}92 - 0{,}08 = 110{,}32\) und \(120 \cdot 0{,}92 + 0{,}92 = 111{,}32\). Die einzige ganze Zahl in diesem Intervall ist \(111\).

a) \(P(X = 110) = \binom{120}{110} \cdot 0{,}92^{110} \cdot 0{,}08^{10} \approx 12{,}95\,\%\) b) Die wahrscheinlichste Anzahl keimender Samen ist \(111\).

- Was passiert mit der Form der Binomialverteilung, wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit genau \(0{,}5\) beträgt? - Wo liegt die Symmetrieachse der Verteilung? - Berechne den Erwartungswert und schau dir die benachbarten ganzen Zahlen an.

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = 25 \cdot 0{,}5 = 12{,}5\). Da der Erwartungswert genau zwischen zwei ganzen Zahlen liegt, ist die Verteilung dort am höchsten. 2. Untersuchung des Terms \((n+1) \cdot p\): \((25+1) \cdot 0{,}5 = 26 \cdot 0{,}5 = 13\). Wenn dieser Wert eine ganze Zahl ist, gibt es zwei Maxima bei \(k = 13\) und \(k-1 = 12\). 3. Symmetrie: Da \(p = 0{,}5\) ist, ist die Verteilung achsensymmetrisch zu \(\mu = 12{,}5\). Daraus folgt direkt, dass \(P(Y = 12) = P(Y = 13)\) gelten muss.

a) Da \((n+1) \cdot p = 13\) eine ganze Zahl ist, treten zwei gleich große Maxima bei \(k\) und \(k-1\) auf. b) Die Werte sind \(k = 12\) und \(k = 13\). Aufgrund der Symmetrie bei \(p = 0{,}5\) zur Achse \(x = 12{,}5\) sind die Wahrscheinlichkeiten für Werte, die gleich weit vom Zentrum entfernt liegen, identisch.

- Übersetze den Text „mindestens so groß wie“ in ein mathematisches Vergleichszeichen. - Setze die gegebenen Werte für \(n\) und \(k\) in die Bernoulli-Formel ein. - Vereinfache die Ungleichung, indem du Potenzen von \((1-p)\) kürzt. - Achte am Ende darauf, dass die Lösung im vorgegebenen Bereich für \(p\) liegen muss.

1. Aufstellen der Bedingung: \(P(Y = 0) \ge P(Y = 1)\). 2. Einsetzen in die Formel der Binomialverteilung: \(\binom{3}{0} \cdot p^{0} \cdot (1-p)^{3} \ge \binom{3}{1} \cdot p^{1} \cdot (1-p)^{2}\). 3. Berechnen der Terme: \(1 \cdot 1 \cdot (1-p)^{3} \ge 3 \cdot p \cdot (1-p)^{2}\). 4. Vereinfachen: Da \(p < 1\), ist \((1-p) > 0\). Division durch \((1-p)^2\) liefert \(1-p \ge 3p\). 5. Zusammenfassen und nach \(p\) auflösen: \(1 \ge 4p \iff p \le 0{,}25\). 6. Unter Berücksichtigung des Definitionsbereichs \(p \in ]0; 1[\) ergibt sich das Intervall \(]0; 0{,}25]\).

\(0 < p \le 0{,}25\) (bzw. \(p \in ]0; 0{,}25]\))

- Welche Formeln verknüpfen die Parameter \(n\) und \(p\) mit dem Erwartungswert und der Varianz? - Kannst du eine der Gleichungen so umstellen, dass du sie in die andere einsetzen kannst? - Was bedeutet es für die Berechnung, wenn die Anzahl der Erfolge genau dem Erwartungswert entsprechen soll?

1. Aus dem Erwartungswert \(\mu = n \cdot p = 15\) und der Varianz \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) = 12{,}75\) ergibt sich durch Einsetzen: \(15 \cdot (1 - p) = 12{,}75\). 2. Auflösen nach \(p\): \(1 - p = 0{,}85 \implies p = 0{,}15\). 3. Bestimmung von \(n\): \(n \cdot 0{,}15 = 15 \implies n = 100\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(X = 15)\) mit der Bernoulli-Formel: \(P(X = 15) = \binom{100}{15} \cdot 0{,}15^{15} \cdot 0{,}85^{85} \approx 0{,}1111\).

a) \(n = 100\); \(p = 0{,}15\) b) \(P(X = 15) \approx 11{,}11\,\%\)

- Wie hängen Varianz und Standardabweichung zusammen? - Stelle ein Gleichungssystem mit den Parametern \(n\) und \(p\) auf. - Überlege dir, wie die Wahrscheinlichkeit \(p\) mit der Anzahl der Sektoren \(k\) zusammenhängt, wenn nur ein Sektor gewinnt.

1. Die Varianz berechnet sich aus der Standardabweichung: \(\sigma^2 = 2^2 = 4\). 2. Unter Verwendung von \(\mu = n \cdot p = 5\) und \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) = 4\) folgt durch Division oder Einsetzen: \(5 \cdot (1 - p) = 4\). 3. Berechnung von \(p\): \(1 - p = 0{,}8 \implies p = 0{,}2\). 4. Berechnung von \(n\): \(n \cdot 0{,}2 = 5 \implies n = 25\). 5. Da ein Sektor von \(k\) Sektoren ein Gewinn ist, gilt \(p = \frac{1}{k}\). Daraus folgt \(\frac{1}{k} = 0{,}2 \implies k = 5\).

\(n = 25\); \(k = 5\)

- Wie viele mögliche Werte kann die Zufallsgröße \(X\) bei \(n=21\) annehmen? - Wenn eine Verteilung symmetrisch ist und eine gerade Anzahl an Werten hat, was lässt sich über die Summe der unteren und der oberen Hälfte sagen? - Denke an den Unterschied zwischen „kleiner gleich“ (\(\le\)) und „echt kleiner“ (\(<\)). - Nutze die Erkenntnis aus Aufgabenteil a) als Abkürzung für Teil b).

1. Begründung der Symmetrie: Bei \(p = 0{,}5\) ist die Verteilung achsensymmetrisch zu \(k = 10{,}5\), es gilt \(P(X = k) = P(X = 21-k)\). 2. Herleitung der kumulierten Wahrscheinlichkeit: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten von \(k=0\) bis \(k=21\) ist \(1\). Aufgrund der Symmetrie ist die Summe der ersten elf Werte (\(k=0\) bis \(10\)) gleich der Summe der letzten elf Werte (\(k=11\) bis \(21\)). Daraus folgt \(P(X \le 10) = P(X \ge 11)\). Da \(P(X \le 10) + P(X \ge 11) = 1\), muss \(P(X \le 10) = 0{,}5\) sein. 3. Berechnung \(P(X = 10)\): \(P(X = 10) = \binom{21}{10} \cdot 0{,}5^{21} = 352\,716 \cdot 0{,}5^{21} \approx 0{,}1682\). 4. Berechnung \(P(X < 10)\): \(P(X < 10) = P(X \le 10) - P(X = 10) = 0{,}5 - 0{,}1682 = 0{,}3318\).

a) Wegen der Symmetrie bei \(p=0{,}5\) gilt \(P(X \le 10) = P(X \ge 11)\). Da die Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\) beträgt, folgt \(2 \cdot P(X \le 10) = 1\), also \(P(X \le 10) = 0{,}5\). b) \(P(X = 10) \approx 0{,}1682\); \(P(X < 10) \approx 0{,}3318\).

- Prüfe, ob das Experiment in genau zwei Kategorien (Erfolg und Misserfolg) unterteilt wird. - Bestimme die Anzahl der Wiederholungen des Experiments. - Berechne die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg in einem einzelnen Schritt. Bleibt diese immer gleich?

1. Teilaufgabe a: Ein Einzelversuch hat zwei relevante Ausgänge: „Primzahl“ (Erfolg) oder „keine Primzahl“ (Misserfolg). Die Primzahlen auf einem Würfel sind 2, 3 und 5. Da der Würfel fair ist, gilt für jeden der 20 unabhängigen Würfe \(p = \frac{3}{6} = 0{,}5\). Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}5\). 2. Teilaufgabe b: Bei diesem Experiment werden die genauen Augenzahlen von 1 bis 10 notiert. Damit gibt es mehr als zwei mögliche Ergebnisse pro Versuch. Eine Bernoulli-Kette erfordert jedoch genau zwei Ergebnisklassen (Treffer/Niete). Daher liegt keine Bernoulli-Kette vor.

a) Ja, es ist eine Bernoulli-Kette mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}5\). b) Nein, es ist keine Bernoulli-Kette (mehr als zwei Ergebnisse werden unterschieden).

- Überlege dir, ob es für das Ergebnis einen Unterschied macht, in welcher Reihenfolge die Personen gezogen werden. - Kann eine Person mehr als einen Preis gewinnen? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, eine Auswahl von \(k\) Elementen aus \(n\) Elementen zu berechnen, wenn die Reihenfolge egal ist? - Wie ändert sich die Rechnung, wenn jedem gezogenen Element ein spezifischer Platz oder Preis zugeordnet wird?

1. Für Modell (1) spielt die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle, da die Preise identisch sind. Die Anzahl der Möglichkeiten entspricht der Kombination ohne Zurücklegen: \(\binom{20}{4} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 4845\). 2. Für Modell (2) ist die Reihenfolge entscheidend, da die Preise unterschiedlich sind (Variation ohne Zurücklegen). Die Anzahl der Möglichkeiten beträgt: \(20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 = 116\,280\). 3. Die Gewinnwahrscheinlichkeit für Modell (1) berechnet sich als Kehrwert der Möglichkeiten: \(P_1 = \frac{1}{4845} \approx 0{,}000206\). 4. Die Gewinnwahrscheinlichkeit für Modell (2) berechnet sich analog: \(P_2 = \frac{1}{116\,280} \approx 0{,}0000086\).

a) (1) \(4845\) Möglichkeiten; (2) \(116\,280\) Möglichkeiten. b) (1) \(P \approx 0{,}000206\) (oder \(0{,}021\,\%\)); (2) \(P \approx 0{,}0000086\) (oder \(0{,}00086\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, welche Verteilung für das Ziehen mit Zurücklegen und welche für das Ziehen ohne Zurücklegen geeignet ist. - Was bedeutet die Bedingung „mindestens zwei“ für die möglichen Anzahlen der schwarzen Kugeln? - Berechne die Wahrscheinlichkeiten für beide Fälle getrennt und vergleiche die Dezimalwerte.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit mit Zurücklegen (Binomialverteilung): Mit \(n = 3\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{6}{10} = 0{,}6\) ergibt sich \(P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3) = \binom{3}{2} \cdot 0{,}6^2 \cdot 0{,}4^1 + \binom{3}{3} \cdot 0{,}6^3 \cdot 0{,}4^0 = 0{,}432 + 0{,}216 = 0{,}648\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen (Hypergeometrische Verteilung): Die Gesamtzahl der Möglichkeiten ist \(\binom{10}{3} = 120\). Die günstigen Fälle sind \(\binom{6}{2} \cdot \binom{4}{1} = 15 \cdot 4 = 60\) für genau zwei schwarze Kugeln und \(\binom{6}{3} \cdot \binom{4}{0} = 20 \cdot 1 = 20\) für drei schwarze Kugeln. Somit gilt \(P(Y \ge 2) = \frac{60 + 20}{120} = \frac{80}{120} = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667\). 3. Vergleich: Da \(0{,}6667 > 0{,}648\) ist, ist das Ziehen ohne Zurücklegen für den Spieler günstiger.

Es ist günstiger, ohne Zurücklegen zu ziehen. Die Gewinnwahrscheinlichkeit liegt in diesem Fall bei ca. \(66{,}7\,\%\), während sie mit Zurücklegen nur \(64{,}8\,\%\) beträgt.

- Wie groß ist der Anteil der funktionsfähigen Batterien in der Kiste? - Erinnere dich an die Formeln für die Binomialverteilung und die hypergeometrische Verteilung. - Wann darf man das Ziehen ohne Zurücklegen näherungsweise wie ein Ziehen mit Zurücklegen behandeln? Schau dir das Verhältnis von Stichprobe zu Gesamtmenge an.

1. Teilaufgabe a: Modellierung durch Binomialverteilung mit \(n = 4\) und \(p = \frac{45}{50} = 0{,}9\). Es ergibt sich \(P(X=4) = 0{,}9^4 = 0{,}6561\). 2. Teilaufgabe b: Modellierung durch hypergeometrische Verteilung. Es ergibt sich \(P(Y=4) = \frac{\binom{45}{4} \cdot \binom{5}{0}}{\binom{50}{4}} = \frac{148\,995}{230\,300} \approx 0{,}6470\). 3. Teilaufgabe c: Die Differenz der Wahrscheinlichkeiten beträgt \(0{,}6561 - 0{,}6470 = 0{,}0091\). Da die Abweichung weniger als \(1\,\text{Prozentpunkt}\) beträgt und der Stichprobenumfang (\(n=4\)) im Vergleich zur Grundgesamtheit (\(N=50\)) klein ist (Anteil unter \(10\,\%\)), ist die Binomialverteilung eine gute Näherung.

a) \(P(X=4) = 0{,}6561\) b) \(P(Y=4) \approx 0{,}6470\) c) Die Binomialverteilung liefert einen leicht höheren Wert. Die Näherung ist gut, da die Stichprobe klein im Verhältnis zur Gesamtmenge ist.

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, eine Gruppe dieser Größe aus der Gesamtmenge zu bilden. - Spielt die Reihenfolge, in der die Personen ausgewählt werden, eine Rolle für das Ergebnis der Gruppe? - Wenn bestimmte Personen fest in der Auswahl sein sollen, wie viele Plätze in der Gruppe sind dann noch frei und aus wie vielen Personen kann man diese noch wählen? - Welches Standardmodell aus der Stochastik passt auf Situationen, in denen man eine Stichprobe ohne Zurücklegen entnimmt?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(6\) Personen aus \(18\) auszuwählen: \(\binom{18}{6} = 18\,564\). 2. Zu a): Anzahl der Möglichkeiten für nur Mädchen: \(\binom{10}{6} = 210\). Wahrscheinlichkeit \(P(A) = \frac{210}{18\,564} \approx 0{,}0113\). 3. Zu b): Anzahl der Möglichkeiten für \(3\) Mädchen und \(3\) Jungen: \(\binom{10}{3} \cdot \binom{8}{3} = 120 \cdot 56 = 6\,720\). Wahrscheinlichkeit \(P(B) = \frac{6\,720}{18\,564} \approx 0{,}3620\). 4. Zu c): Da zwei Personen feststehen, müssen noch \(4\) weitere aus den restlichen \(16\) Personen ausgewählt werden: \(\binom{16}{4} = 1\,820\). Wahrscheinlichkeit \(P(C) = \frac{1\,820}{18\,564} \approx 0{,}0980\). 5. Zu d): Urnenmodell: In einer Urne befinden sich \(18\) Kugeln (\(10\) einer Farbe, \(8\) einer anderen). Es werden \(6\) Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge gezogen.

a) \(P \approx 1{,}13\,\%\) b) \(P \approx 36{,}20\,\%\) c) \(P \approx 9{,}80\,\%\) d) Ziehen von \(6\) Kugeln aus \(18\) ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.

- Wie viele Personen stehen insgesamt zur Auswahl und wie viele werden gezogen? - Denke bei der Kombination von verschiedenen Gruppen (Sopran/Alt) an das Produkt der Möglichkeiten. - Wenn zwei Personen bereits "gesetzt" sind, reduziert sich sowohl die Anzahl der noch zu wählenden Personen als auch die Anzahl der Personen, die noch im Topf sind. - Welche Parameter (Gesamtzahl, Teilmengen, Stichprobenumfang) sind für das Urnenmodell entscheidend?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Kombinationen: \(\binom{24}{4} = 10\,626\). 2. Zu a): Günstige Fälle (nur Sopran): \(\binom{14}{4} = 1\,001\). Wahrscheinlichkeit \(P(A) = \frac{1\,001}{10\,626} \approx 0{,}0942\). 3. Zu b): Günstige Fälle (\(2\) Sopran, \(2\) Alt): \(\binom{14}{2} \cdot \binom{10}{2} = 91 \cdot 45 = 4\,095\). Wahrscheinlichkeit \(P(B) = \frac{4\,095}{10\,626} \approx 0{,}3854\). 4. Zu c): Zwei Plätze sind durch die Solistinnen belegt, \(2\) weitere werden aus den verbleibenden \(22\) Mitgliedern gewählt: \(\binom{22}{2} = 231\). Wahrscheinlichkeit \(P(C) = \frac{231}{10\,626} \approx 0{,}0217\). 5. Zu d): Urnenmodell: Eine Urne mit \(24\) Kugeln (\(14\) weiß für Sopran, \(10\) schwarz für Alt). Es wird \(4\)-mal ohne Zurücklegen gezogen. Die Reihenfolge ist egal, da es nur um die Zusammensetzung des Quartetts geht.

a) \(P \approx 9{,}42\,\%\) b) \(P \approx 38{,}54\,\%\) c) \(P \approx 2{,}17\,\%\) d) Urne mit \(N=24\) Kugeln, davon \(14\) Typ A und \(10\) Typ B. Stichprobenumfang \(n=4\) ohne Zurücklegen.

- Wie viele Personen müssen noch ausgewählt werden, wenn zwei bereits feststehen? - Überlege, wie man die Anzahl der Möglichkeiten berechnet, zwei Gruppen unabhängig voneinander zu kombinieren. - Was bedeutet es für die Zusammensetzung des Teams, wenn man von allen Möglichkeiten diejenigen abzieht, bei denen nur Jungen ausgewählt werden? - Erinnere dich an das Prinzip des Gegenereignisses.

1. Für Ereignis \(A\) müssen Sophie und Leon fest im Team sein. Aus den verbleibenden \(16\) Personen werden die restlichen \(2\) Teammitglieder ausgewählt. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist \(\binom{16}{2}\). Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(4\) Personen aus \(18\) zu wählen, beträgt \(\binom{18}{4}\). Der Term lautet: \(P(A) = \frac{\binom{16}{2}}{\binom{18}{4}}\). 2. Für Ereignis \(B\) werden \(2\) Mädchen aus \(10\) und \(2\) Jungen aus \(8\) ausgewählt. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist das Produkt \(\binom{10}{2} \cdot \binom{8}{2}\). Der Term lautet: \(P(B) = \frac{\binom{10}{2} \cdot \binom{8}{2}}{\binom{18}{4}}\). 3. Im Term für Aufgabenteil b) steht \(\binom{18}{4}\) für die Gesamtzahl der Möglichkeiten. Der Subtrahend \(\binom{8}{4}\) gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, ein Team ausschließlich aus Jungen zusammenzustellen. Die Differenz im Zähler entspricht somit der Anzahl der Teams mit mindestens einem Mädchen. Das Ereignis lautet: „Dem Team gehört mindestens ein Mädchen an.“

a) \(P(A) = \frac{\binom{16}{2}}{\binom{18}{4}}\); \(P(B) = \frac{\binom{10}{2} \cdot \binom{8}{2}}{\binom{18}{4}}\) b) „Es befindet sich mindestens ein Mädchen im Team.“

- Wenn bestimmte Personen bereits fest im Team sind, wie verändert das die Anzahl der noch zu vergebenden Plätze und die Auswahlmenge? - Welche mathematische Operation verknüpft die Auswahlmöglichkeiten aus zwei verschiedenen Untergruppen? - Was beschreibt der Ausdruck im Zähler, wenn man von der Gesamtzahl alle rein aus Hardware-Experten bestehenden Gruppen abzieht?

1. Für Ereignis \(C\) sind zwei Personen (ein spezieller Hardware- und ein spezieller Software-Experte) gesetzt. Es müssen noch \(3\) weitere Personen aus den restlichen \(13\) Mitarbeitern ausgewählt werden. Dies ergibt \(\binom{13}{3}\) günstige Möglichkeiten bei insgesamt \(\binom{15}{5}\) Kombinationen. Der Term ist \(P(C) = \frac{\binom{13}{3}}{\binom{15}{5}}\). 2. Für Ereignis \(D\) wählt man \(3\) aus \(9\) Hardware-Experten und \(2\) aus \(6\) Software-Experten. Die Anzahl der günstigen Kombinationen ist \(\binom{9}{3} \cdot \binom{6}{2}\). Der Term ist \(P(D) = \frac{\binom{9}{3} \cdot \binom{6}{2}}{\binom{15}{5}}\). 3. Der Term in b) nutzt das Gegenereignis. \(\binom{15}{5}\) ist die Gesamtzahl der Teams. \(\binom{9}{5}\) ist die Anzahl der Teams, die nur aus Hardware-Experten bestehen. Die Subtraktion ergibt die Anzahl der Teams, in denen nicht ausschließlich Hardware-Experten sind, also mindestens ein Software-Experte vertreten ist. Das Ereignis lautet: „Im Team ist mindestens ein Software-Experte.“

a) \(P(C) = \frac{\binom{13}{3}}{\binom{15}{5}}\); \(P(D) = \frac{\binom{9}{3} \cdot \binom{6}{2}}{\binom{15}{5}}\) b) „Das Team enthält mindestens einen Software-Experten.“

- Überlege dir, ob es bei der Auswahl der Personen auf die Reihenfolge ankommt oder nicht. - Unterscheiden sich die Aufgaben der ausgewählten Personen oder sind sie gleichberechtigt? - Welches Modell beschreibt das Ziehen aus einer begrenzten Menge ohne Zurücklegen, wenn die Trefferanzahl gesucht ist? - Achte darauf, wie viele Personen insgesamt zur Verfügung stehen und wie viele davon die gesuchte Eigenschaft besitzen.

1. Für Teilaufgabe a) muss eine Situation beschrieben werden, in der die Reihenfolge der Auswahl entscheidend ist (Variation ohne Zurücklegen), da vier verschiedene Ämter aus 25 Personen besetzt werden: „Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Ämter Vorsitz, Protokoll, Kasse und Moderation unter den 25 Jugendlichen zu verteilen?“ 2. Für Teilaufgabe b) ist die Reihenfolge der Auswahl unerheblich (Kombination ohne Zurücklegen), da lediglich eine Gruppe gebildet wird: „Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, eine sechsköpfige Gruppe aus den 25 Jugendlichen für den Ausflug zu bilden?“ 3. In Teilaufgabe c) liegt ein Ziehen ohne Zurücklegen vor (hypergeometrische Verteilung). Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich zu \(P(X=3) = \frac{\binom{15}{3} \cdot \binom{10}{2}}{\binom{25}{5}}\). 4. Berechnung der Binomialkoeffizienten: \(\binom{15}{3} = 455\), \(\binom{10}{2} = 45\), \(\binom{25}{5} = 53\,130\). 5. Einsetzen und Ausrechnen: \(P(X=3) = \frac{455 \cdot 45}{53\,130} = \frac{20\,475}{53\,130} \approx 0{,}3854\).

a) Mögliche Aufgabenstellung: „Wie viele Möglichkeiten gibt es, die vier unterschiedlichen Ämter (Vorsitz, Protokoll, Kasse, Moderation) unter den 25 Jugendlichen zu verteilen?“ b) Mögliche Aufgabenstellung: „Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, eine Gruppe von sechs Jugendlichen aus den 25 Teilnehmern für den Ausflug auszuwählen?“ c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(38{,}5\,\%\).

- Überlege dir zuerst, wie viele Kugeln insgesamt im Behälter sind und wie viele davon gezogen werden. - Handelt es sich um ein Ziehen mit oder ohne Berücksichtigung der Reihenfolge? - Welches Modell (Lotto-Modell/hypergeometrische Verteilung) passt hier? - Bei „mindestens“ hilft es oft, die einzelnen möglichen Fälle zu addieren. - Achte darauf, dass die Summe der „ausgewählten“ Kugeln in den Binomialkoeffizienten im Zähler immer der Gesamtzahl der gezogenen Kugeln entspricht.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, 4 Kugeln aus 30 zu ziehen: \(\binom{30}{4} = 27\,405\). 2. Für \(E_1\): Auswahl von 2 aus 15 roten, 1 aus 10 grünen und 1 aus 5 blauen Kugeln. Anzahl der günstigen Ergebnisse: \(\binom{15}{2} \cdot \binom{10}{1} \cdot \binom{5}{1} = 105 \cdot 10 \cdot 5 = 5\,250\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(E_1) = \frac{5\,250}{27\,405} \approx 0{,}1916\). 3. Für \(E_2\): Alle 4 Kugeln müssen aus den 15 nicht-roten Kugeln (10 grüne + 5 blaue) gezogen werden. Anzahl der günstigen Ergebnisse: \(\binom{15}{4} = 1\,365\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(E_2) = \frac{1\,365}{27\,405} \approx 0{,}0498\). 4. Für \(E_3\): Das Ereignis umfasst „genau 3 blaue“ und „genau 4 blaue“ Kugeln. Anzahl der günstigen Ergebnisse: \(\binom{5}{3} \cdot \binom{25}{1} + \binom{5}{4} \cdot \binom{25}{0} = 10 \cdot 25 + 5 \cdot 1 = 255\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(E_3) = \frac{255}{27\,405} \approx 0{,}0093\).

\(P(E_1) = \frac{5\,250}{27\,405} \approx 19{,}2\,\%\) \(P(E_2) = \frac{1\,365}{27\,405} \approx 5{,}0\,\%\) \(P(E_3) = \frac{255}{27\,405} \approx 0{,}9\,\%\)

- Überlege dir, ob die Reihenfolge der Ergebnisse eine Rolle spielt oder ob nur die Gesamtzahl der Erfolge zählt. - Wie kannst du „mindestens“ in einzelne Fälle zerlegen oder über das Gegenereignis nachdenken? - Was ist der Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl an Erfolgen und einer ganz spezifischen Abfolge von Ergebnissen?

Das Experiment kann als Bernoulli-Kette mit \(n = 12\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}85\) (Keimen) bzw. \(q = 0{,}15\) (Nicht-Keimen) modelliert werden. 1. Für genau 9 Erfolge wird die Formel von Bernoulli verwendet: \(P(X=9) = \binom{12}{9} \cdot 0{,}85^9 \cdot 0{,}15^3\). Mit \(\binom{12}{9} = 220\) ergibt sich \(P(X=9) \approx 0{,}1720\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens 11 Erfolge ist die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten für 11 und 12 Erfolge: \(P(X \ge 11) = P(X=11) + P(X=12) = \binom{12}{11} \cdot 0{,}85^{11} \cdot 0{,}15^1 + \binom{12}{12} \cdot 0{,}85^{12} \cdot 0{,}15^0\). Dies ergibt \(12 \cdot 0{,}85^{11} \cdot 0{,}15 + 0{,}85^{12} \approx 0{,}3012 + 0{,}1422 = 0{,}4434\). 3. Da hier eine spezifische Reihenfolge vorgegeben ist (die ersten drei Samen keimen nicht, danach keimen neun Samen), wird kein Binomialkoeffizient benötigt: \(P(E) = 0{,}15^3 \cdot 0{,}85^9 \approx 0{,}00078\).

(1) ca. \(17{,}20\,\%\) (2) ca. \(44{,}34\,\%\) (3) ca. \(0{,}08\,\%\)

- Identifiziere zuerst die Parameter \(n\) und \(p\) der Binomialverteilung. - Achte bei Formulierungen wie „mehr als“ genau darauf, welche Werte für \(k\) eingeschlossen sind. - Wann musst du Kombinationen (Binomialkoeffizienten) berücksichtigen und wann multiplizierst du einfach nur die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades?

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der defekten LEDs und ist binomialverteilt mit \(n = 15\) und \(p = 0{,}04\). 1. Punktwahrscheinlichkeit für \(k = 1\): \(P(X=1) = \binom{15}{1} \cdot 0{,}04^1 \cdot 0{,}96^{14} = 15 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}96^{14} \approx 0{,}3388\). 2. Gesucht ist \(P(X > 2)\). Über das Gegenereignis gilt \(P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]\). Berechnung der Einzelwerte: \(P(X=0) = 0{,}96^{15} \approx 0{,}5421\); \(P(X=1) \approx 0{,}3388\); \(P(X=2) = \binom{15}{2} \cdot 0{,}04^2 \cdot 0{,}96^{13} = 105 \cdot 0{,}0016 \cdot 0{,}96^{13} \approx 0{,}0988\). Summe der Wahrscheinlichkeiten \(P(X \le 2) \approx 0{,}9797\), daraus folgt \(P(X > 2) \approx 1 - 0{,}9797 = 0{,}0203\). 3. Für dieses spezifische Ereignis (14-mal intakt, dann 1-mal defekt) gilt die Pfadregel: \(P(E) = 0{,}96^{14} \cdot 0{,}04 \approx 0{,}0226\).

(1) ca. \(33{,}88\,\%\) (2) ca. \(2{,}03\,\%\) (3) ca. \(2{,}26\,\%\)

- Überlege, wie man die Wahrscheinlichkeit für eine ganz bestimmte Kette von Ergebnissen berechnet. - Spielt die Reihenfolge bei der Wahrscheinlichkeit für ein *einzelnes* Ergebnis (eine feste Sequenz) eine Rolle? - Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, bei 8 Würfen genau 4-mal Zahl zu erhalten? - Unterscheide zwischen einem „Ergebnis“ (eine feste Folge) und einem „Ereignis“ (eine Menge von Folgen).

1. Da es sich um einen fairen Münzwurf handelt, ist die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}5\) und die Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 1 - p = 0{,}5\). 2. Die Wahrscheinlichkeit einer spezifischen Ergebnisfolge der Länge \(n=8\) berechnet sich in einer Bernoulli-Kette durch \(P(\omega) = p^k \cdot q^{n-k}\). Da \(p = q = 0{,}5\), gilt für jede Folge \(P(\omega) = 0{,}5^8 = \frac{1}{256} \approx 0{,}0039\). Somit haben Folge 1 und Folge 2 dieselbe Wahrscheinlichkeit. 3. Die Intuition ist falsch, da bei einer Bernoulli-Kette die Unabhängigkeit der Einzelversuche gilt. Jede exakt definierte Abfolge von Kopf und Zahl ist bei \(p=0{,}5\) exakt gleich wahrscheinlich, unabhängig davon, wie „geordnet“ sie erscheint. 4. Die Wahrscheinlichkeit für genau 4-mal Zahl berechnet sich mit der Binomialverteilung: \(P(X=4) = \binom{8}{4} \cdot 0{,}5^4 \cdot 0{,}5^4 = 70 \cdot \frac{1}{256} = \frac{70}{256} \approx 0{,}2734\). 5. Das Ereignis „genau 4-mal Zahl“ ist wahrscheinlicher, weil es aus 70 verschiedenen Einzelergebnissen (Sequenzen) besteht, während das Ereignis „8-mal Zahl“ nur aus der einen Sequenz \((Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z)\) besteht.

a) \(P(\text{Folge 1}) = P(\text{Folge 2}) = 0{,}5^8 = \frac{1}{256} \approx 0{,}0039\). b) In einer Bernoulli-Kette mit \(p=0{,}5\) ist jede spezifische Sequenz gleich wahrscheinlich, da die Einzelwahrscheinlichkeiten für \(Z\) und \(K\) identisch sind. Die Intuition verwechselt oft die Wahrscheinlichkeit einer einzelnen Sequenz mit der Wahrscheinlichkeit einer Ergebnisklasse (z. B. „Hälfte/Hälfte“). c) \(P(X=4) = \binom{8}{4} \cdot 0{,}5^8 = \frac{70}{256} \approx 0{,}2734\). Dieses Ereignis ist wahrscheinlicher, da es 70 gleich wahrscheinliche Pfade im Baumdiagramm umfasst, während „8-mal Zahl“ nur einem Pfad entspricht.

- Notiere dir die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer und für einen Fehlschuss. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades im Baumdiagramm? - Überlege, ob sich das Produkt ändert, wenn man die Faktoren vertauscht. - Was gibt der Binomialkoeffizient \(\binom{n}{k}\) in diesem Zusammenhang an?

1. Gegeben ist \(p = 0{,}8\) und \(q = 1 - p = 0{,}2\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(S_1) = 0{,}8^4 = 0{,}4096\). \(P(S_2) = 0{,}8^3 \cdot 0{,}2^1 = 0{,}512 \cdot 0{,}2 = 0{,}1024\). 3. Die Aussage in b) ist korrekt. Jede Sequenz mit genau \(k\) Treffern bei \(n\) Versuchen hat die Wahrscheinlichkeit \(p^k \cdot q^{n-k}\). Für drei Treffer bei vier Würfen gibt es z. B. \((N, T, T, T)\) und \((T, T, N, T)\). Beide haben die Wahrscheinlichkeit \(0{,}2 \cdot 0{,}8^3 = 0{,}8^3 \cdot 0{,}2 = 0{,}1024\). Die Faktoren werden lediglich vertauscht (Kommutativgesetz). 4. Die Wahrscheinlichkeit für genau drei Treffer ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller günstigen Sequenzen. Es gibt \(\binom{4}{3} = 4\) solche Sequenzen. \(P(X=3) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}8^3 \cdot 0{,}2^1 = 4 \cdot 0{,}1024 = 0{,}4096\).

a) \(P(S_1) = 0{,}4096\); \(P(S_2) = 0{,}1024\). b) Die Aussage ist wahr. Jede Sequenz mit \(k\) Treffern enthält im Produkt der Wahrscheinlichkeiten \(k\)-mal den Faktor \(p\) und \((n-k)\)-mal den Faktor \((1-p)\). Wegen des Kommutativgesetzes der Multiplikation ist das Ergebnis immer \(p^k \cdot (1-p)^{n-k}\). Beispiel: \(P(N, T, T, T) = 0{,}2 \cdot 0{,}8^3 = 0{,}1024 = P(T, N, T, T)\). c) \(P(X=3) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}8^3 \cdot 0{,}2^1 = 4 \cdot 0{,}1024 = 0{,}4096\).

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es insgesamt für einen Code der Länge \(n\) gibt, wenn jede Stelle \(n\) Optionen hat. - Wie viele dieser Möglichkeiten bestehen aus lauter unterschiedlichen Ziffern? - Erstelle einen Term für die Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von \(n\). - Setze nacheinander kleine natürliche Zahlen für \(n\) ein und berechne die zugehörige Wahrscheinlichkeit.

1. Es gibt insgesamt \(n^n\) mögliche Codes der Länge \(n\), bei denen jede Stelle einen von \(n\) Werten annehmen kann. 2. Die Anzahl der Codes, bei denen alle \(n\) Ziffern verschieden sind, entspricht der Anzahl der Permutationen von \(n\) Elementen, also \(n!\). 3. Die Wahrscheinlichkeit für lauter verschiedene Ziffern ist somit \(P(A) = \frac{n!}{n^n}\). 4. Durch systematisches Probieren werden die Werte für \(n\) untersucht: - Für \(n=2\): \(P = \frac{2!}{2^2} = \frac{2}{4} = 0{,}5 = 50\,\%\) - Für \(n=3\): \(P = \frac{3!}{3^3} = \frac{6}{27} \approx 0{,}222 = 22{,}2\,\%\) - Für \(n=4\): \(P = \frac{4!}{4^4} = \frac{24}{256} = 0{,}09375 = 9{,}375\,\%\) 5. Da \(9{,}375\,\% < 10\,\%\), ist der kleinstmögliche Wert \(n = 4\).

\(n = 4\)

- Betrachte das Gegenereignis: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Personen in unterschiedlichen Monaten Geburtstag haben? - Wie viele Möglichkeiten gibt es für die erste, zweite, dritte Person usw., wenn kein Monat doppelt vorkommen darf? - Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt bei 12 Monaten für \(k\) Personen? - Teste schrittweise verschiedene Werte für die Anzahl der Personen \(k\).

1. Das Gegenereignis ist, dass alle \(k\) Jugendlichen in verschiedenen Monaten Geburtstag haben. 2. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Gegenereignis bei \(k\) Personen und 12 Monaten beträgt \(P(\text{verschieden}) = \frac{12}{12} \cdot \frac{11}{12} \cdot \dots \cdot \frac{12-k+1}{12}\). 3. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(1 - P(\text{verschieden}) > 0{,}6\) gilt, also \(P(\text{verschieden}) < 0{,}4\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten durch schrittweises Multiplizieren: - \(k=1\): \(1\) - \(k=2\): \(1 \cdot \frac{11}{12} \approx 0{,}917\) - \(k=3\): \(0{,}917 \cdot \frac{10}{12} \approx 0{,}764\) - \(k=4\): \(0{,}764 \cdot \frac{9}{12} \approx 0{,}573\) - \(k=5\): \(0{,}573 \cdot \frac{8}{12} \approx 0{,}382\) 5. Da \(0{,}382 < 0{,}4\) (bzw. \(1 - 0{,}382 = 0{,}618 > 0{,}6\)), ist die Bedingung erstmals für \(k=5\) erfüllt.

\(k = 5\)

- Was ist das Gegenereignis zu „mindestens ein Erfolg“? - Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit für genau null Erfolge in einer Bernoulli-Kette ausdrücken? - Kannst du die Ungleichung so umstellen, dass die unbekannte Wahrscheinlichkeit allein auf einer Seite steht? - Welche Rechenoperation kehrt eine Potenz mit dem Exponenten 20 um?

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der keimenden Samen, wobei \(X\) binomialverteilt mit \(n = 20\) und unbekanntem \(p\) ist. 2. Ansatz über das Gegenereignis „kein Samen keimt“: \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) \ge 0{,}95\). 3. Einsetzen der Formel für die Punktwahrscheinlichkeit: \(1 - (1 - p)^{20} \ge 0{,}95\). 4. Umformung der Ungleichung nach \(p\): \((1 - p)^{20} \le 0{,}05\). 5. Anwendung der 20. Wurzel: \(1 - p \le \sqrt[20]{0{,}05} \approx 0{,}86089\). 6. Isolieren von \(p\): \(p \ge 1 - 0{,}86089 \approx 0{,}13911\). 7. Angabe des Mindestanteils: \(p \ge 13{,}91\,\%\).

Die Keimwahrscheinlichkeit \(p\) muss mindestens \(13{,}91\,\%\) betragen.

- Überlege dir, wie du die Wahrscheinlichkeit berechnest, dass kein einziger Chip defekt ist. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeit für „kein Defekt“ und „mindestens ein Defekt“ zusammen? - Nutze eine Wurzel oder den Logarithmus, um eine Gleichung der Form \(a^n = b\) nach \(a\) aufzulösen. - Achte genau auf das Relationszeichen („größer als“).

1. Modellierung durch eine Binomialverteilung mit \(n = 50\) und Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) (Chip ist defekt). 2. Aufstellen der Bedingung für das Ereignis „mindestens ein Defekter“: \(P(X \ge 1) > 0{,}90\). 3. Übergang zum Gegenereignis \(P(X = 0)\): \(1 - (1 - p)^{50} > 0{,}90\). 4. Umstellen der Ungleichung: \((1 - p)^{50} < 0{,}10\). 5. Ziehen der 50. Wurzel auf beiden Seiten: \(1 - p < \sqrt[50]{0{,}10} \approx 0{,}95499\). 6. Auflösen nach \(p\): \(p > 1 - 0{,}95499 \approx 0{,}04501\). 7. Wegen der strengen Ungleichung gilt \(p > 1 - \sqrt[50]{0{,}10} \approx 0{,}04501\), also \(p > 4{,}5007\,\%\). Wird der Prozentwert auf zwei Dezimalstellen angegeben, ist \(4{,}51\,\%\) der kleinste passende Wert.

Es gilt \(p > 1 - \sqrt[50]{0{,}10} \approx 4{,}5007\,\%\). Bei Angabe auf zwei Dezimalstellen ist \(4{,}51\,\%\) der kleinste passende Wert.

- Wann kann man ein Ziehen ohne Zurücklegen näherungsweise als Bernoulli-Kette betrachten? - Achte auf Formulierungen, die auf eine Veränderung der Erfolgschancen hindeuten. - Gibt es bei jedem Teilversuch genau zwei relevante Ausgänge (Erfolg/Misserfolg)?

1. Teilaufgabe a): Eine Modellierung als Bernoulli-Kette ist angemessen. Obwohl es sich streng genommen um Ziehen ohne Zurücklegen handelt, ist die Grundgesamtheit (Stadtbevölkerung) so groß im Vergleich zur Stichprobe (\(n=100\)), dass die Trefferwahrscheinlichkeit näherungsweise konstant bei \(p = 0{,}04\) bleibt. \(X\) ist die Anzahl der E-Auto-Besitzer. 2. Teilaufgabe b): Eine Bernoulli-Kette ist nicht angemessen. Die Bedingung einer konstanten Trefferwahrscheinlichkeit ist verletzt, da die Ermüdung die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer systematisch verändert. 3. Teilaufgabe c): Es liegt eine Bernoulli-Kette vor. Die Drehungen sind unabhängig und die Wahrscheinlichkeit für Gelb ist bei jedem Versuch konstant \(p = \frac{1}{3}\). Die Länge der Kette beträgt \(n = 20\). Die Zufallsgröße \(X\) zählt das Auftreten der Farbe Gelb.

a) Ja (als gute Näherung): \(n = 100\), \(p = 0{,}04\), \(X\): Anzahl der E-Auto-Besitzer. b) Nein, da die Trefferwahrscheinlichkeit wegen Ermüdung nicht konstant ist. c) Ja: \(n = 20\), \(p = \frac{1}{3}\), \(X\): Anzahl der gelben Felder.

- Welche Verteilung beschreibt eine Kette von unabhängigen Versuchen mit nur zwei möglichen Ausgängen? - Notiere dir die Werte für die Trefferwahrscheinlichkeit, die Anzahl der Versuche und die gewünschte Trefferanzahl. - Wie lässt sich das Ereignis „mindestens 4“ in einzelne, genau definierte Trefferzahlen zerlegen? - Welche Formel hilft dir dabei, die Wahrscheinlichkeit für eine exakte Anzahl an Erfolgen zu berechnen?

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der Treffer, wobei \(X\) binomialverteilt ist mit \(n = 5\) und \(p = 0{,}7\). 2. Berechnung von \(P(X = 3)\) mit der Formel von Bernoulli: \(P(X = 3) = \binom{5}{3} \cdot 0{,}7^3 \cdot 0{,}3^2 = 10 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}09 = 0{,}3087\). 3. Berechnung von \(P(X \ge 4)\) als Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5)\). 4. Berechnung der Einzelwerte: \(P(X = 4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}7^4 \cdot 0{,}3^1 = 5 \cdot 0{,}2401 \cdot 0{,}3 = 0{,}36015\). 5. Berechnung: \(P(X = 5) = \binom{5}{5} \cdot 0{,}7^5 \cdot 0{,}3^0 = 1 \cdot 0{,}16807 \cdot 1 = 0{,}16807\). 6. Summation für das Endergebnis: \(P(X \ge 4) = 0{,}36015 + 0{,}16807 = 0{,}52822\).

1. Die Wahrscheinlichkeit für genau 3 Treffer beträgt \(0{,}3087\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens 4 Treffer beträgt \(0{,}52822\).

- Welche Werte haben die Trefferwahrscheinlichkeit und die Kettenlänge in diesem Zufallsexperiment? - Überlege dir für den ersten Aufgabenteil, wie viele Pfade im Baumdiagramm genau zwei Treffer enthalten. - Was bedeutet „höchstens einmal“ für die Anzahl der möglichen Treffer? - Kannst du bei „mindestens einmal“ die Rechnung durch das Gegenereignis abkürzen?

1. Modellierung als Bernoulli-Kette mit der Trefferzahl \(X\), der Länge \(n=6\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\). 2. Berechnung für (1): \(P(X=2) = \binom{6}{2} \cdot 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^4 = 15 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}4096 = 0{,}24576\). 3. Berechnung für (2): \(P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1) = \binom{6}{0} \cdot 0{,}8^6 + \binom{6}{1} \cdot 0{,}2^1 \cdot 0{,}8^5 = 0{,}262144 + 0{,}393216 = 0{,}65536\). 4. Berechnung für (3): Nutzung des Gegenereignisses \(P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0{,}8^6 = 1 - 0{,}262144 = 0{,}737856\).

(1) \(0{,}24576\) (oder \(24{,}576\,\%\)) (2) \(0{,}65536\) (oder \(65{,}536\,\%\)) (3) \(0{,}737856\) (oder \(73{,}7856\,\%\))

- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit für einen „Treffer“ (hier: ein fehlerhafter Chip). - Wie lautet die Formel von Bernoulli für genau \(k\) Treffer? - Beachte bei Teil (3), welche Ergebnisse alle zu „mehr als zwei“ gehören und ob das Gegenereignis einfacher zu berechnen ist. - Achte darauf, bei Zwischenschritten nicht zu früh zu runden.

1. Es liegt eine Binomialverteilung mit \(n=10\) und \(p=0{,}05\) vor. 2. Berechnung für (1): \(P(X=1) = \binom{10}{1} \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^9 \approx 10 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}6302 \approx 0{,}3151\). 3. Berechnung für (2): \(P(X=0) = 0{,}95^{10} \approx 0{,}5987\). 4. Berechnung für (3): \(P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2))\). 5. Berechnung von \(P(X=2) = \binom{10}{2} \cdot 0{,}05^2 \cdot 0{,}95^8 \approx 45 \cdot 0{,}0025 \cdot 0{,}6634 \approx 0{,}0746\). 6. Einsetzen: \(P(X > 2) \approx 1 - (0{,}5987 + 0{,}3151 + 0{,}0746) = 1 - 0{,}9884 = 0{,}0116\) (bzw. \(0{,}0115\) bei exakterer Zwischenrechnung).

(1) ca. \(0{,}3151\) (oder \(31{,}51\,\%\)) (2) ca. \(0{,}5987\) (oder \(59{,}87\,\%\)) (3) ca. \(0{,}0115\) (oder \(1{,}15\,\%\))

- Überlege dir zuerst, ob sich die Wahrscheinlichkeit für eine richtige Antwort von Aufgabe zu Aufgabe ändert. - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Treffer bei einer festen Anzahl von Versuchen und konstanter Trefferwahrscheinlichkeit? - Was bedeutet „mehr als sechs“ mathematisch für die möglichen Anzahlen von richtigen Antworten?

Da es sich um ein Zufallsexperiment mit zwei Ausgängen (richtig/falsch) und gleichbleibender Trefferwahrscheinlichkeit handelt, liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n = 8\) und \(p = 0{,}25\) vor. 1. Berechnung für genau drei Treffer mit der Bernoulli-Formel: \(P(X = 3) = \binom{8}{3} \cdot 0{,}25^3 \cdot 0{,}75^5 = 56 \cdot 0{,}015\,625 \cdot 0{,}237\,304\,687\,5 \approx 0{,}2076\). 2. Berechnung für mehr als sechs Treffer (\(X = 7\) oder \(X = 8\)): \(P(X = 7) = \binom{8}{7} \cdot 0{,}25^7 \cdot 0{,}75^1 = 8 \cdot \frac{1}{16\,384} \cdot 0{,}75 = \frac{6}{16\,384} \approx 0{,}000\,366\) \(P(X = 8) = \binom{8}{8} \cdot 0{,}25^8 \cdot 0{,}75^0 = 1 \cdot \frac{1}{65\,536} \cdot 1 \approx 0{,}000\,015\) Summe: \(P(X > 6) = P(X = 7) + P(X = 8) = \frac{24}{65\,536} + \frac{1}{65\,536} = \frac{25}{65\,536} \approx 0{,}000\,381\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(20{,}76\,\%\) (\(P \approx 0{,}2076\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(0{,}038\,\%\) (\(P = \frac{25}{65\,536} \approx 0{,}000\,381\)).

- Handelt es sich hier um Ziehen mit oder ohne Zurücklegen? - Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, eine bestimmte Anzahl an Paketen aus der Kiste auszuwählen? - Überlege, wie viele Möglichkeiten es gibt, die gewünschte Anzahl an Hauptgewinnen und Kleingewinnen getrennt voneinander zu kombinieren.

Es handelt sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen, was mit Binomialkoeffizienten (hypergeometrische Verteilung) berechnet werden kann. Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(4\) aus \(15\) Paketen zu ziehen, ist \(\binom{15}{4} = 1365\). 1. Für das Ereignis „alle 4 sind Hauptgewinne“ müssen \(4\) aus den \(6\) Hauptgewinnen und \(0\) aus den \(9\) Kleingewinnen gezogen werden: \(P = \frac{\binom{6}{4} \cdot \binom{9}{0}}{\binom{15}{4}} = \frac{15 \cdot 1}{1365} = \frac{1}{91} \approx 0{,}011\). 2. Für das Ereignis „genau 2 Hauptgewinne und 2 Kleingewinne“ müssen \(2\) aus \(6\) Hauptgewinnen und \(2\) aus \(9\) Kleingewinnen gezogen werden: \(P = \frac{\binom{6}{2} \cdot \binom{9}{2}}{\binom{15}{4}} = \frac{15 \cdot 36}{1365} = \frac{540}{1365} = \frac{36}{91} \approx 0{,}3956\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{91} \approx 1{,}1\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{36}{91} \approx 39{,}56\,\%\).

- Was sind in diesem Zufallsexperiment „Erfolg“ und „Misserfolg“? - Wie oft wird das Experiment insgesamt wiederholt? - Gibt es eine Regel, mit der man die Wahrscheinlichkeit für eine exakte Anzahl an Treffern berechnen kann? - Wie viele verschiedene Pfade im Baumdiagramm führen zu genau sieben Treffern?

1. Festlegen der Parameter: \(n = 10\) (Versuche), \(p = 0{,}7\) (Trefferwahrscheinlichkeit), \(k = 7\) (gewünschte Treffer). 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für einen Fehlwurf: \(q = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\). 3. Anwendung der Formel für die Binomialverteilung: \(P(X = 7) = \binom{10}{7} \cdot 0{,}7^7 \cdot 0{,}3^3\). 4. Berechnung des Binomialkoeffizienten: \(\binom{10}{7} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\). 5. Numerische Berechnung: \(120 \cdot 0{,}0823543 \cdot 0{,}027 \approx 0{,}2668\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(26{,}68\,\%\) (oder \(0{,}2668\)).

- Überlege dir zuerst, ob die einzelnen Rateversuche voneinander abhängen oder nicht. - Welche Werte für die Gesamtzahl der Versuche und die Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch kannst du dem Text entnehmen? - Für den Fall „genau eine bestimmte Anzahl“ hilft dir eine bekannte Formel für Einzelwahrscheinlichkeiten bei Kettenversuchen. - Wenn nach „mindestens“ gefragt wird, musst du die Wahrscheinlichkeiten für alle zutreffenden Ergebnisse addieren.

1. Identifikation der Verteilung: Da die Versuche unabhängig sind (mit Zurücklegen) und es nur zwei Ausgänge gibt (richtig/falsch), liegt eine Bernoulli-Kette vor. Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl der richtigen Treffer) ist binomialverteilt mit \(n = 12\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}5\). 2. Berechnung für Teilaufgabe a): Gesucht ist die Punktwahrscheinlichkeit \(P(X = 9)\). \(P(X = 9) = \binom{12}{9} \cdot 0{,}5^9 \cdot 0{,}5^3 = 220 \cdot 0{,}5^{12} = \frac{220}{4096} \approx 0{,}0537\). 3. Berechnung für Teilaufgabe b): Gesucht ist die Summenwahrscheinlichkeit \(P(X \ge 10) = P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12)\). \(P(X = 10) = \binom{12}{10} \cdot 0{,}5^{12} = 66 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{66}{4096}\) \(P(X = 11) = \binom{12}{11} \cdot 0{,}5^{12} = 12 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{12}{4096}\) \(P(X = 12) = \binom{12}{12} \cdot 0{,}5^{12} = 1 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{1}{4096}\) \(P(X \ge 10) = \frac{66 + 12 + 1}{4096} = \frac{79}{4096} \approx 0{,}0193\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(5{,}37\,\%\) (oder \(0{,}0537\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(1{,}93\,\%\) (oder \(0{,}0193\)).

- Überlege zuerst, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, zwei Personen auf zwei Plätze zu verteilen. - Wenn viele Personen unabhängig voneinander dasselbe Experiment mit zwei Ausgängen (richtiger/falscher Tipp) durchführen, eignet sich die Binomialverteilung. - Welche Werte für \(n\), \(p\) und \(k\) musst du in die Bernoulli-Formel einsetzen?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten für die ersten beiden Plätze (Variation ohne Zurücklegen): \(10 \cdot 9 = 90\). 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für einen richtigen Tipp: \(p = \frac{1}{90}\). 3. Modellierung als Bernoulli-Kette mit \(n = 60\), \(k = 1\) und \(p = \frac{1}{90}\). 4. Berechnung der Punktwahrscheinlichkeit: \(P(X=1) = \binom{60}{1} \cdot \left(\frac{1}{90}\right)^1 \cdot \left(\frac{89}{90}\right)^{59}\). 5. Ergebnis: \(P(X=1) = 60 \cdot \frac{1}{90} \cdot \left(\frac{89}{90}\right)^{59} \approx 0{,}3449\).

a) \(p = \frac{1}{90} \approx 0{,}0111\) b) \(P(X=1) \approx 0{,}3449\) (ca. \(34{,}5\,\%\))

- Nutze die Formel von Bernoulli für Punktwahrscheinlichkeiten. - „Höchstens eins“ bedeutet, dass entweder gar kein Teil oder genau ein Teil defekt ist. - Was gibt der Binomialkoeffizient allgemein bei der Auswahl von Objekten an?

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 20\), \(p = 0{,}05\). 2. Berechnung für \(k = 2\): \(P(X=2) = \binom{20}{2} \cdot 0{,}05^2 \cdot 0{,}95^{18}\). Mit \(\binom{20}{2} = 190\) ergibt sich \(190 \cdot 0{,}0025 \cdot 0{,}3972 \approx 0{,}1887\). 3. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit für \(k \le 1\): \(P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1)\). 4. \(P(X=0) = 0{,}95^{20} \approx 0{,}3585\); \(P(X=1) = \binom{20}{1} \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^{19} = 20 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}3774 \approx 0{,}3774\). 5. Summe: \(0{,}3585 + 0{,}3774 = 0{,}7359\). 6. Berechnung des Binomialkoeffizienten: \(\binom{20}{2} = \frac{20 \cdot 19}{2 \cdot 1} = 190\). Er gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, 2 defekte Bauteile auf die 20 Plätze in der Entnahmereihenfolge zu verteilen (Anzahl der Pfade im Baumdiagramm).

a) \(P(X=2) \approx 0{,}1887\) b) \(P(X \le 1) \approx 0{,}7359\) c) \(\binom{20}{2} = 190\). Bedeutung: Es gibt 190 verschiedene Kombinationen (Pfade), wie genau 2 defekte Teile in einer Serie von 20 Proben auftreten können.

- Überlege dir zuerst, ob die Reihenfolge der Auswahl für die Zusammensetzung des Teams eine Rolle spielt. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, die Anzahl der Teilmengen (Kombinationen) aus einer Grundmenge zu berechnen? - Was ändert sich an der Anzahl der Möglichkeiten, wenn die Personen innerhalb der Gruppe zusätzlich auf verschiedene Posten verteilt werden?

1. Berechnung der Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge: \(\binom{20}{3} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 1140\). Es gibt \(1140\) Möglichkeiten. 2. Da es nur eine Kombination gibt, die genau aus den drei Kurssprechern besteht, ist die Wahrscheinlichkeit \(P = \frac{1}{1140} \approx 0{,}000877\). 3. Berechnung der Variationen unter Berücksichtigung der Reihenfolge (Rollen): \(20 \cdot 19 \cdot 18 = 6840\) oder alternativ \(\binom{20}{3} \cdot 3! = 1140 \cdot 6 = 6840\). Es gibt \(6840\) Möglichkeiten.

a) Es gibt \(1140\) Möglichkeiten. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{1140}\) (ca. \(0{,}088\,\%\)). c) Es gibt \(6840\) Möglichkeiten.

- Kannst du das Problem als eine Folge von unabhängigen Versuchen mit jeweils zwei möglichen Ausgängen betrachten? - Welche Formel nutzt man, um die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl an Erfolgen in einer solchen Kette zu berechnen? - Was ist das Gegenereignis zu „mindestens ein Treffer“? - Der Binomialkoeffizient \(\binom{n}{k}\) gibt dir direkt die Anzahl der Pfade mit einer bestimmten Trefferanzahl an.

1. Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 10\), \(p = 0{,}25\) und \(k = 3\). Berechnung der Punktwahrscheinlichkeit: \(P(X=3) = \binom{10}{3} \cdot 0{,}25^3 \cdot 0{,}75^7 = 120 \cdot 0{,}015625 \cdot 0{,}133483 \approx 0{,}2503\). 2. Die Anzahl der Pfade mit genau \(2\) Treffern entspricht dem Binomialkoeffizienten \(\binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45\). 3. Berechnung über das Gegenereignis „keine Antwort richtig“: \(P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0{,}75^{10} \approx 1 - 0{,}0563 = 0{,}9437\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(25{,}03\,\%\). b) Es gibt \(45\) verschiedene Möglichkeiten. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(94{,}37\,\%\).

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, eine Stichprobe dieser Größe aus der Gesamtmenge zu ziehen. - Handelt es sich um ein Ziehen mit oder ohne Zurücklegen? - Wie viele Laptops in der Lieferung sind jeweils fehlerfrei und wie viele sind defekt? - Bei Teil b) musst du die Auswahl der defekten und der fehlerfreien Laptops kombinieren.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, 5 Laptops aus 25 auszuwählen: \(\binom{25}{5} = 53\,130\). 2. Für Aufgabenteil a): Anzahl der Möglichkeiten, 5 fehlerfreie Laptops aus den 21 vorhandenen auszuwählen: \(\binom{21}{5} = 20\,349\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{kein Fehler}) = \frac{20\,349}{53\,130} \approx 0{,}3830\). 3. Für Aufgabenteil b): Anzahl der Möglichkeiten, genau 2 defekte Laptops aus 4 (\(\binom{4}{2} = 6\)) und gleichzeitig 3 fehlerfreie Laptops aus 21 (\(\binom{21}{3} = 1\,330\)) zu wählen. 4. Berechnung der günstigen Fälle: \(6 \cdot 1\,330 = 7\,980\). 5. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{genau 2 Fehler}) = \frac{7\,980}{53\,130} \approx 0{,}1502\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(38{,}30\,\%\) (exakt \(\frac{20\,349}{53\,130} = \frac{6\,783}{17\,710}\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(15{,}02\,\%\) (exakt \(\frac{7\,980}{53\,130} = \frac{266}{1\,771}\)).

- Bestimme zuerst die Anzahl aller möglichen 6-Personen-Teams, die man aus 30 Mitgliedern bilden kann. - Für Teil a) betrachte nur die Gruppe der Männer als Auswahlpool für das Team. - Für Teil b) musst du die Auswahlmöglichkeiten für die Frauen und die Männer getrennt berechnen und dann verknüpfen. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, die Anzahl der Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge zu bestimmen?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, 6 Personen aus 30 auszuwählen: \(\binom{30}{6} = 593\,775\). 2. Für Aufgabenteil a): Anzahl der Möglichkeiten, 6 Männer aus 18 auszuwählen: \(\binom{18}{6} = 18\,564\). 3. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich als \(P(\text{nur Männer}) = \frac{18\,564}{593\,775} \approx 0{,}0313\). 4. Für Aufgabenteil b): Anzahl der Möglichkeiten, 3 Frauen aus 12 (\(\binom{12}{3} = 220\)) und 3 Männer aus 18 (\(\binom{18}{3} = 816\)) auszuwählen. 5. Berechnung der günstigen Fälle durch Multiplikation: \(220 \cdot 816 = 179\,520\). 6. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{3 Frauen, 3 Männer}) = \frac{179\,520}{593\,775} \approx 0{,}3023\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(3{,}13\,\%\) (exakt \(\frac{18\,564}{593\,775} = \frac{6\,188}{197\,925}\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(30{,}23\,\%\) (exakt \(\frac{179\,520}{593\,775} = \frac{11\,968}{39\,585}\)).

- Setze die gegebenen Werte in die Bernoulli-Formel ein und vergleiche die Terme. - Welche besondere Eigenschaft hat die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}5\) im Vergleich zur Gegenwahrscheinlichkeit \(1-p\)? - Erinnere dich an die Symmetrie-Eigenschaft des Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\).

1. Berechnung von \(P(X=2)\): Anwendung der Bernoulli-Formel \(P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\). Für \(k=2\) ergibt sich \(\binom{10}{2} \cdot 0{,}5^2 \cdot 0{,}5^8 = 45 \cdot 0{,}5^{10} \approx 0{,}0439\). 2. Berechnung von \(P(X=8)\): Für \(k=8\) ergibt sich \(\binom{10}{8} \cdot 0{,}5^8 \cdot 0{,}5^2 = 45 \cdot 0{,}5^{10} \approx 0{,}0439\). 3. Erläuterung der Identität: Der Binomialkoeffizient ist symmetrisch, es gilt \(\binom{10}{2} = \binom{10}{8} = 45\). Da \(p = 1-p = 0{,}5\) ist, sind auch die Faktoren für die Wahrscheinlichkeiten \(p^k \cdot (1-p)^{n-k} = 0{,}5^{10}\) für beide Fälle identisch. Somit müssen die Gesamtwahrscheinlichkeiten gleich sein.

a) \(P(X = 2) = P(X = 8) = \frac{45}{1024} \approx 0{,}0439\) b) Die Wahrscheinlichkeiten sind gleich, da \(\binom{10}{2} = \binom{10}{8}\) gilt und wegen \(p = 1-p = 0{,}5\) die Terme \(p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) für \(k=2\) und \(k=8\) beide den Wert \(0{,}5^{10}\) annehmen.

- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg in einem einzelnen Versuch. - Wenn nach „mindestens einem“ Erfolg gefragt ist, ist es oft einfacher, über das Gegenteil nachzudenken. - Welches Zufallsexperiment beschreibt eine Folge von gleichartigen, unabhängigen Versuchen mit nur zwei möglichen Ausgängen?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(p\) für einen Hauptgewinn in einer einzelnen Runde: \(p = \frac{1}{\binom{18}{4}}\). 2. Berechnung des Binomialkoeffizienten: \(\binom{18}{4} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3\,060\). Somit ist \(p = \frac{1}{3\,060}\). 3. Modellierung als Bernoulli-Kette mit \(n = 1\,000\) und \(p = \frac{1}{3\,060}\). Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer: \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)\). 4. Anwendung der Formel für die Gegenwahrscheinlichkeit: \(P(X \ge 1) = 1 - (1 - p)^{1\,000} = 1 - \left(\frac{3\,059}{3\,060}\right)^{1\,000}\). 5. Numerische Berechnung: \(1 - (0{,}999\,673\,2\ldots)^{1\,000} \approx 1 - 0{,}72119 \approx 0{,}27881\). 6. Umrechnung in Prozent: \(27{,}88\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(27{,}88\,\%\).

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, eine Gruppe dieser Größe aus der Gesamtzahl der Personen zu bilden. - Bei Teilaufgabe a) kombinierst du die Auswahlmöglichkeiten für die beiden Untergruppen. - Was bedeutet „mindestens 5“ für die möglichen Anzahlen von Männern in der Gruppe? - Schau dir die Zahlen im Bruch bei c) genau an und vergleiche sie mit den Gruppengrößen.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, 6 Personen aus 25 auszuwählen: \(\binom{25}{6} = 177\,100\). 2. Für genau 3 Frauen und 3 Männer: Anzahl der günstigen Ergebnisse ist \(\binom{15}{3} \cdot \binom{10}{3} = 455 \cdot 120 = 54\,600\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(A) = \frac{54\,600}{177\,100} \approx 0{,}3083\). 3. Für mindestens 5 Männer gibt es zwei Fälle: 5 Männer (und 1 Frau) oder 6 Männer (und 0 Frauen). Anzahl für 5 Männer: \(\binom{10}{5} \cdot \binom{15}{1} = 252 \cdot 15 = 3\,780\). Anzahl für 6 Männer: \(\binom{10}{6} \cdot \binom{15}{0} = 210 \cdot 1 = 210\). Gesamtzahl günstiger Ergebnisse: \(3\,780 + 210 = 3\,990\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(B) = \frac{3\,990}{177\,100} \approx 0{,}0225\). 4. Der Term \( \frac{\binom{15}{6}}{\binom{25}{6}} \) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass alle 6 gewählten Mitglieder Frauen sind. Hierbei werden 6 Personen aus der Gruppe der 15 Frauen ausgewählt, bezogen auf alle möglichen 6er-Gruppen aus 25 Personen.

a) \( P \approx 30{,}83\,\% \) b) \( P \approx 2{,}25\,\% \) c) Die Wahrscheinlichkeit, dass das Gremium ausschließlich aus Frauen besteht.

- Stelle dir vor, die erste Gruppe steht bereits fest. Wie viele Personen aus dieser Gruppe können nun in die zweite Gruppe gewählt werden? - Handelt es sich um ein Experiment mit oder ohne Zurücklegen, wenn Personen für eine Gruppe ausgewählt werden? - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Treffer, wenn man aus einer begrenzten Menge ohne Zurücklegen zieht? - Überlege, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, 6 Personen aus 24 auszuwählen.

1. Modellierung als Ziehen ohne Zurücklegen: Die erste Gruppe von \(6\) Jugendlichen wird als „markiert“ betrachtet. Aus der Gesamtheit von \(N = 24\) Jugendlichen werden für die zweite Gruppe \(n = 6\) Personen ausgewählt. Die Anzahl der Übereinstimmungen \(X\) ist hypergeometrisch verteilt mit \(N = 24\), \(M = 6\) (markierte Personen) und \(n = 6\) (Stichprobenumfang). 2. Berechnung für Teilaufgabe a): \(P(X = 2) = \frac{\binom{6}{2} \cdot \binom{18}{4}}{\binom{24}{6}}\). Mit \(\binom{6}{2} = 15\), \(\binom{18}{4} = 3\,060\) und \(\binom{24}{6} = 134\,596\) ergibt sich \(P(X = 2) = \frac{45\,900}{134\,596} \approx 0{,}3410\). 3. Berechnung für Teilaufgabe b): \(P(X = 0) = \frac{\binom{6}{0} \cdot \binom{18}{6}}{\binom{24}{6}}\). Mit \(\binom{6}{0} = 1\) und \(\binom{18}{6} = 18\,564\) ergibt sich \(P(X = 0) = \frac{18\,564}{134\,596} \approx 0{,}1379\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(34{,}10\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(13{,}79\,\%\).

- Überlege dir zuerst, ob es sich um ein Zufallsexperiment mit oder ohne Zurücklegen handelt. - Welche Werte nehmen die Parameter für die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Versuche an? - Für den zweiten Teil musst du die Fälle betrachten, in denen 5 oder 6 Treffer erzielt werden.

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung: Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}75\), Anzahl der Versuche \(n = 6\). 2. Berechnung für genau 4 Treffer mit der Formel von Bernoulli: \(P(X=4) = \binom{6}{4} \cdot 0{,}75^4 \cdot 0{,}25^2 = 15 \cdot 0{,}31640625 \cdot 0{,}0625 \approx 0{,}2966\). 3. Berechnung für mindestens 5 Treffer als Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten für \(k=5\) und \(k=6\): \(P(X=5) = \binom{6}{5} \cdot 0{,}75^5 \cdot 0{,}25^1 = 6 \cdot 0{,}2373046875 \cdot 0{,}25 \approx 0{,}3560\). \(P(X=6) = \binom{6}{6} \cdot 0{,}75^6 \cdot 0{,}25^0 \approx 0{,}1780\). 4. Addition der Ergebnisse: \(P(X \ge 5) = P(X=5) + P(X=6) \approx 0{,}3560 + 0{,}1780 = 0{,}5340\).

a) Die Wahrscheinlichkeit für genau 4 Treffer beträgt ca. \(29{,}66\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit für mindestens 5 Treffer beträgt ca. \(53{,}40\,\%\).

- Da die Gesamtzahl der Eier sehr groß ist, bleibt die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler bei jeder Entnahme praktisch gleich. - Nutze den Binomialkoeffizienten, um die Anzahl der Möglichkeiten für \(k\) Fehler zu bestimmen. - Erinnere dich an die allgemeine Formel für Punktwahrscheinlichkeiten bei der Binomialverteilung.

1. Modellierung als Bernoulli-Kette mit \(n = 5\) und \(p = 0{,}1\), da die Entnahme aus einer sehr großen Menge einer Ziehung mit Zurücklegen entspricht. 2. Anwendung der Formel \(P(X=k) = \binom{5}{k} \cdot 0{,}1^k \cdot 0{,}9^{5-k}\) für alle \(k\): - \(P(X=0) = \binom{5}{0} \cdot 0{,}1^0 \cdot 0{,}9^5 = 0{,}59049\) - \(P(X=1) = \binom{5}{1} \cdot 0{,}1^1 \cdot 0{,}9^4 = 0{,}32805\) - \(P(X=2) = \binom{5}{2} \cdot 0{,}1^2 \cdot 0{,}9^3 = 0{,}0729\) - \(P(X=3) = \binom{5}{3} \cdot 0{,}1^3 \cdot 0{,}9^2 = 0{,}0081\) - \(P(X=4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}1^4 \cdot 0{,}9^1 = 0{,}00045\) - \(P(X=5) = \binom{5}{5} \cdot 0{,}1^5 \cdot 0{,}9^0 = 0{,}00001\)

Die Wahrscheinlichkeiten lauten: \(P(X=0) = 0{,}59049\) \(P(X=1) = 0{,}32805\) \(P(X=2) = 0{,}0729\) \(P(X=3) = 0{,}0081\) \(P(X=4) = 0{,}00045\) \(P(X=5) = 0{,}00001\)

- Stelle dir die Wahrscheinlichkeit als Kette von Brüchen vor, wobei bei jedem Schritt eine Option weniger zur Verfügung steht. - Vergleiche die berechnete Wahrscheinlichkeit mit dem Wert \(0{,}5\). - Was passiert, wenn du öfter drehst, als es überhaupt unterschiedliche Zahlen auf dem Rad gibt?

1. Berechnung für \(k = 12\) und \(n = 4\): Wahrscheinlichkeit für lauter verschiedene Zahlen: \(P(\text{verschieden}) = \frac{12}{12} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{10}{12} \cdot \frac{9}{12} = \frac{1320 \cdot 9}{20\,736} = \frac{11\,880}{20\,736} \approx 0{,}573\). Die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Wiederholung ist das Gegenereignis: \(P(\text{Wiederholung}) = 1 - 0{,}5729 \approx 0{,}427\). Da \(0{,}573 > 0{,}427\), ist es wahrscheinlicher, dass alle Zahlen verschieden sind. 2. Da es nur 12 verschiedene Felder gibt, muss nach dem Schubfachprinzip (Dirichlet-Prinzip) bei 13 Drehungen mindestens ein Feld doppelt auftreten. Die Wahrscheinlichkeit für lauter unterschiedliche Ergebnisse ist daher \(0\).

1. Es ist wahrscheinlicher, dass alle Zahlen verschieden sind (\(P \approx 57{,}3\,\%\) gegenüber \(P \approx 42{,}7\,\%\)). 2. Die Wahrscheinlichkeit ist \(0\), da bei 13 Drehungen und nur 12 Möglichkeiten zwingend eine Wiederholung auftreten muss.

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, eine bestimmte Anzahl an Bauteilen aus der Gesamtmenge auszuwählen. - Wie viele Wege gibt es, genau die gewünschte Anzahl an fehlerhaften und die restlichen intakten Bauteile zu ziehen? - Kannst du ein Gegenereignis nutzen, um die Rechnung bei „mindestens“ zu vereinfachen?

Es handelt sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen, was mit der hypergeometrischen Verteilung modelliert wird. Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(8\) Chips aus \(40\) auszuwählen, beträgt \(\binom{40}{8} = 76\,904\,685\). 1. Für genau \(2\) defekte Chips müssen \(2\) aus den \(6\) defekten und \(6\) aus den \(34\) intakten Chips gewählt werden: \(P(X=2) = \frac{\binom{6}{2} \cdot \binom{34}{6}}{\binom{40}{8}} = \frac{15 \cdot 1\,344\,904}{76\,904\,685} \approx 0{,}2623\). 2. Für keinen defekten Chip werden alle \(8\) Chips aus den \(34\) intakten gewählt: \(P(X=0) = \frac{\binom{6}{0} \cdot \binom{34}{8}}{\binom{40}{8}} = \frac{1 \cdot 18\,156\,204}{76\,904\,685} \approx 0{,}2361\). 3. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen defekten Chip ergibt sich über das Gegenereignis zu keinem defekten Chip: \(P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - \frac{18\,156\,204}{76\,904\,685} \approx 0{,}7639\).

a) ca. \(26{,}23\,\%\) b) ca. \(23{,}61\,\%\) c) ca. \(76{,}39\,\%\)

- Überlege dir, ob sich die Wahrscheinlichkeiten bei jedem Versuch ändern oder gleich bleiben. - Welche Verteilung eignet sich für eine feste Anzahl an unabhängigen Versuchen mit zwei möglichen Ausgängen (Treffer/Nichttreffer)? - Bei „öfter als“ kann es einfacher sein, das Ereignis über das Gegenteil zu berechnen. - Achte darauf, welche Farbe jeweils als „Treffer“ betrachtet wird.

Für jede Teilaufgabe wird die jeweils betrachtete Farbe als Treffer und jede andere Farbe als Nichttreffer definiert. Damit liegt jeweils eine Bernoulli-Kette der Länge \(n = 15\) vor. Die Einzelwahrscheinlichkeiten sind \(p_{\text{blau}} = \frac{10}{20} = 0{,}5\), \(p_{\text{rot}} = \frac{6}{20} = 0{,}3\) und \(p_{\text{gelb}} = \frac{4}{20} = 0{,}2\). 1. Für genau 5-mal Blau: \(P(X = 5) = \binom{15}{5} \cdot 0{,}5^5 \cdot 0{,}5^{10} = 3003 \cdot 0{,}5^{15} \approx 0{,}0916\). 2. Für kein einziges Mal Gelb: \(P(Y = 0) = \binom{15}{0} \cdot 0{,}2^0 \cdot 0{,}8^{15} = 0{,}8^{15} \approx 0{,}0352\). 3. Für Rot öfter als 2-mal: \(P(Z > 2) = 1 - P(Z \le 2) = 1 - [P(Z = 0) + P(Z = 1) + P(Z = 2)]\). Berechnung der Einzelwerte: \(P(Z = 0) = \binom{15}{0} \cdot 0{,}3^0 \cdot 0{,}7^{15} \approx 0{,}0047\); \(P(Z = 1) = \binom{15}{1} \cdot 0{,}3^1 \cdot 0{,}7^{14} \approx 0{,}0305\); \(P(Z = 2) = \binom{15}{2} \cdot 0{,}3^2 \cdot 0{,}7^{13} \approx 0{,}0916\). Summe: \(0{,}0047 + 0{,}0305 + 0{,}0916 = 0{,}1268\). Gegenwahrscheinlichkeit: \(1 - 0{,}1268 = 0{,}8732\).

a) \(P \approx 0{,}0916\) (oder \(9{,}16\,\%\)) b) \(P \approx 0{,}0352\) (oder \(3{,}52\,\%\)) c) \(P \approx 0{,}8732\) (oder \(87{,}32\,\%\))

- Da die Geräte gleichzeitig entnommen werden, spielt die Reihenfolge keine Rolle. Welches mathematische Werkzeug hilft dir beim Zählen von Kombinationen? - Überlege dir für jedes Ereignis, wie viele Möglichkeiten es gibt, die gewünschten Marken zu ziehen und wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt. - Wenn eine Marke gar nicht dabei sein soll, aus welchem Pool von Geräten musst du dann die gesamte Stichprobe ziehen? - Wenn genau eine bestimmte Anzahl einer Marke gesucht ist, musst du auch berücksichtigen, woher die restlichen Geräte der Stichprobe kommen.

Da die Auswahl „mit einem Griff“ erfolgt, handelt es sich um Ziehen ohne Zurücklegen, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt. Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, 5 aus 25 Geräten auszuwählen, ist \(\binom{25}{5} = 53\,130\). 1. Für genau zwei Geräte von Marke A und drei von Marke B: Es müssen 2 aus 12 (Marke A) und 3 aus 8 (Marke B) gewählt werden. Die Anzahl der günstigen Möglichkeiten ist \(\binom{12}{2} \cdot \binom{8}{3} = 66 \cdot 56 = 3696\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{3696}{53\,130} \approx 0{,}0696\). 2. Für kein Gerät von Marke C: Es werden alle 5 Geräte aus den restlichen 20 Geräten (Marken A und B) gewählt. Anzahl der günstigen Möglichkeiten: \(\binom{20}{5} = 15\,504\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{15\,504}{53\,130} \approx 0{,}2918\). 3. Für genau zwei Geräte von Marke C: Es werden 2 aus 5 (Marke C) und die restlichen 3 aus den anderen 20 Geräten gewählt. Anzahl der günstigen Möglichkeiten: \(\binom{5}{2} \cdot \binom{20}{3} = 10 \cdot 1140 = 11\,400\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{11\,400}{53\,130} \approx 0{,}2146\).

a) \(P = \frac{3696}{53\,130} \approx 0{,}0696\) (oder \(6{,}96\,\%\)) b) \(P = \frac{15\,504}{53\,130} \approx 0{,}2918\) (oder \(29{,}18\,\%\)) c) \(P = \frac{11\,400}{53\,130} \approx 0{,}2146\) (oder \(21{,}46\,\%\))

- Überlege, wie wahrscheinlich es ist, dass ein bestimmtes Ergebnis eintritt, wenn alle Ergebnisse als gleichberechtigt angesehen werden. - Nutze das Prinzip der schrittweisen Auswahl: Wie viele Möglichkeiten hat die erste Person, die zweite, die dritte usw., wenn sie sich von den vorherigen unterscheiden müssen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen einem Ereignis und seinem Gegenereignis. - Was passiert mit der Anzahl der möglichen Paare, die man zwischen Personen bilden kann, wenn die Gruppe größer wird?

1. Voraussetzung für die klassische Berechnung ist die Annahme der Gleichverteilung, also dass jede der \(10\,000\) möglichen PINs mit der gleichen Wahrscheinlichkeit von \(p = \frac{1}{10\,000}\) generiert wird. 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle 50 PINs unterschiedlich sind, berechnet sich durch die Anzahl der Möglichkeiten für 50 verschiedene PINs dividiert durch die Gesamtzahl der Möglichkeiten: \(P(\text{alle verschieden}) = \frac{10\,000 \cdot 9999 \cdot 9998 \cdot \dots \cdot 9951}{10\,000^{50}} = \frac{10\,000!}{(10\,000 - 50)! \cdot 10\,000^{50}} \approx 0{,}8845\) 3. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Dopplung ist das Gegenereignis zu „alle verschieden“: \(P(\text{mind. zwei gleich}) = 1 - P(\text{alle verschieden}) \approx 1 - 0{,}8845 = 0{,}1155\) 4. Bei einer Erhöhung der Personenzahl steigt die Anzahl der Möglichkeiten für Übereinstimmungen (Paarbildungen) stark an. Zudem sinkt bei jedem weiteren Mitarbeiter die Wahrscheinlichkeit, dass dessen PIN nicht mit einer der bereits vergebenen PINs übereinstimmt, da mehr „belegte“ Werte im Nenner der Einzelwahrscheinlichkeiten berücksichtigt werden müssten.

a) Jede PIN ist gleich wahrscheinlich (Gleichverteilung). b) \(P(\text{alle verschieden}) \approx 0{,}8845\) c) \(P(\text{mind. zwei gleich}) \approx 0{,}1155\) (bzw. \(11{,}55\,\%\)) d) Mehr Personen führen zu mehr Kombinationsmöglichkeiten für Paare und verringern die Chance auf eine rein unterschiedliche Belegung.

- Was bedeutet es für die Anzahl der Nieten, wenn du genau einen Gewinn erzielst? - Wie ändern sich die Rollen von Treffer- und Gegenwahrscheinlichkeit, wenn man den Fokus von „Gewinn“ auf „Niete“ verschiebt? - Erinnerst du dich an eine Eigenschaft des Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck, die mit Symmetrie zu tun hat?

1. Identifikation der Parameter für \(X\): Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{4} = 0{,}25\), Anzahl der Versuche \(n = 4\). Berechnung der Wahrscheinlichkeiten mit der Bernoulli-Formel \(P(X=k) = \binom{4}{k} \cdot 0{,}25^k \cdot 0{,}75^{4-k}\): \(P(X=0) \approx 0{,}3164\); \(P(X=1) \approx 0{,}4219\); \(P(X=2) \approx 0{,}2109\); \(P(X=3) \approx 0{,}0469\); \(P(X=4) \approx 0{,}0039\). 2. Identifikation der Parameter für \(Y\): Hier gilt „Niete“ als Erfolg, also \(p = \frac{3}{4} = 0{,}75\) und \(n = 4\). Berechnung mit \(P(Y=k) = \binom{4}{k} \cdot 0{,}75^k \cdot 0{,}25^{4-k}\): \(P(Y=0) \approx 0{,}0039\); \(P(Y=1) \approx 0{,}0469\); \(P(Y=2) \approx 0{,}2109\); \(P(Y=3) \approx 0{,}4219\); \(P(Y=4) \approx 0{,}3164\). 3. Vergleich: Die Wahrscheinlichkeitswerte sind identisch, aber in umgekehrter Reihenfolge angeordnet. Es gilt allgemein \(P(X=k) = P(Y=n-k)\), da ein Versuch mit \(k\) Gewinnen zwangsläufig \(n-k\) Nieten zur Folge hat. Mathematisch folgt dies aus der Symmetrie der Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\).

a) \(P(X=0) \approx 0{,}3164\); \(P(X=1) \approx 0{,}4219\); \(P(X=2) \approx 0{,}2109\); \(P(X=3) \approx 0{,}0469\); \(P(X=4) \approx 0{,}0039\). b) \(P(Y=0) \approx 0{,}0039\); \(P(Y=1) \approx 0{,}0469\); \(P(Y=2) \approx 0{,}2109\); \(P(Y=3) \approx 0{,}4219\); \(P(Y=4) \approx 0{,}3164\). c) Die Verteilungen sind gespiegelt. Es gilt \(P(X=k) = P(Y=4-k)\).

- Überlege dir, welche Werte für \(Y\) (Nicht-Keimer) möglich sind, wenn \(X\) (Keimer) den Wert 9 oder 10 annimmt. - Was ist das Gegenereignis zu „ein Samen keimt“ im Kontext dieser Aufgabe? - Kannst du die Bedingung „mindestens 9 von 10“ in Worten so umformulieren, dass sie die Anzahl der Fehlversuche beschreibt?

1. Berechnung für \(X\) (keimend): \(n=10, p=0{,}9\). Gesucht ist \(P(X \ge 9) = P(X=9) + P(X=10)\). \(P(X=9) = \binom{10}{9} \cdot 0{,}9^9 \cdot 0{,}1^1 \approx 0{,}3874\). \(P(X=10) = \binom{10}{10} \cdot 0{,}9^{10} \cdot 0{,}1^0 \approx 0{,}3487\). Summe: \(P(X \ge 9) \approx 0{,}7361\). 2. Berechnung für \(Y\) (nicht keimend): \(n=10, p=0{,}1\). Gesucht ist \(P(Y \le 1) = P(Y=0) + P(Y=1)\). \(P(Y=0) = \binom{10}{0} \cdot 0{,}1^0 \cdot 0{,}9^{10} \approx 0{,}3487\). \(P(Y=1) = \binom{10}{1} \cdot 0{,}1^1 \cdot 0{,}9^9 \approx 0{,}3874\). Summe: \(P(Y \le 1) \approx 0{,}7361\). 3. Begründung: Wenn von 10 Samen mindestens 9 keimen, bedeutet das im Umkehrschluss, dass entweder genau 0 oder genau 1 Samen nicht keimt. Das Ereignis „mindestens 9 keimen“ (\(X \in \{9, 10\}\)) ist logisch äquivalent zum Ereignis „höchstens 1 keimt nicht“ (\(Y \in \{0, 1\}\)). Da beide Zufallsgrößen dasselbe Zufallsexperiment beschreiben, müssen ihre Wahrscheinlichkeiten für diese äquivalenten Ereignisse gleich sein.

a) \(P(X \ge 9) \approx 0{,}7361\) (bzw. \(73{,}61\,\%\)). b) \(P(Y \le 1) \approx 0{,}7361\) (bzw. \(73{,}61\,\%\)). c) Die Ereignisse \(X \ge 9\) und \(Y \le 1\) beschreiben denselben Sachverhalt (0 oder 1 Ausfall bei 10 Versuchen), daher sind die Wahrscheinlichkeiten gleich.

- Erinnere dich an die Definition eines Bernoulli-Versuchs hinsichtlich der Anzahl der Ergebnisse. - Wie kannst du mehrere Ergebnisse sinnvoll zu einer einzigen Gruppe „Erfolg“ zusammenfassen? - Achte bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten auf die Bedingung, dass eine Zwiebel zuerst keimen muss, um eine Farbe zu zeigen.

1. Begründung: Ein Bernoulli-Versuch ist definiert durch genau zwei mögliche, sich ausschließende Ergebnisse (Erfolg und Misserfolg). Die vier genannten Zustände verletzen diese Bedingung. 2. Interpretation 1: Zusammenfassung aller blühenden Farben zu einem Ergebnis „Erfolg: Zwiebel keimt“. Die Wahrscheinlichkeit ist \(p_1 = 1 - 0{,}1 = 0{,}9\). 3. Interpretation 2: Definition eines spezifischen Merkmals als Erfolg, z. B. „Erfolg: Zwiebel blüht rot“. Berechnung über die Pfadregel: \(p_2 = P(\text{keimt}) \cdot P(\text{rot} | \text{keimt}) = 0{,}9 \cdot 0{,}6 = 0{,}54\).

a) Ein Bernoulli-Versuch darf nur genau zwei Ergebnisse haben. Die Aufteilung in vier Zustände entspricht diesem Kriterium nicht. b) Möglichkeit 1: Erfolg ist „Zwiebel keimt“. Dann ist \(p = 0{,}9\). Möglichkeit 2: Erfolg ist „Zwiebel blüht rot“. Dann ist \(p = 0{,}9 \cdot 0{,}6 = 0{,}54\). (Alternativ: Erfolg ist „Zwiebel blüht gelb“ mit \(p = 0{,}9 \cdot 0{,}3 = 0{,}27\)).

- Überlege zuerst, ob es sich um ein Experiment mit zwei möglichen Ausgängen handelt, das mehrfach wiederholt wird. - Welche Werte kann die Anzahl der defekten Chips annehmen? - Notiere dir die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Versuche. - Verwende die Formel von Bernoulli, um die Wahrscheinlichkeit für jeden möglichen Wert der Zufallsgröße einzeln zu berechnen. - Zur Kontrolle: Die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten muss genau 1 ergeben.

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung: Da die Chips unabhängig voneinander mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}12\) defekt sind, ist \(X\) binomialverteilt mit \(n = 4\) und \(p = 0{,}12\). Die Gegenwahrscheinlichkeit ist \(q = 1 - p = 0{,}88\). 2. Berechnung der Punktwahrscheinlichkeiten mit der Formel \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}\) für \(k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\): - \(P(X = 0) = \binom{4}{0} \cdot 0{,}12^0 \cdot 0{,}88^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}59969536 \approx 0{,}6000\) - \(P(X = 1) = \binom{4}{1} \cdot 0{,}12^1 \cdot 0{,}88^3 = 4 \cdot 0{,}12 \cdot 0{,}681472 = 0{,}32710656 \approx 0{,}3271\) - \(P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}12^2 \cdot 0{,}88^2 = 6 \cdot 0{,}0144 \cdot 0{,}7744 = 0{,}06690816 \approx 0{,}0669\) - \(P(X = 3) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}12^3 \cdot 0{,}88^1 = 4 \cdot 0{,}001728 \cdot 0{,}88 = 0{,}00608256 \approx 0{,}0061\) - \(P(X = 4) = \binom{4}{4} \cdot 0{,}12^4 \cdot 0{,}88^0 = 1 \cdot 0{,}00020736 \cdot 1 = 0{,}00020736 \approx 0{,}0002\)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) lautet (gerundet auf vier Nachkommastellen): <table> <tr> <td>\(k\)</td> <td>0</td> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> <td>4</td> </tr> <tr> <td>\(P(X = k)\)</td> <td>\(0{,}6000\)</td> <td>\(0{,}3271\)</td> <td>\(0{,}0669\)</td> <td>\(0{,}0061\)</td> <td>\(0{,}0002\)</td> </tr> </table>

- Was ist in diesem Fall ein „Treffer“ und wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür? - Wie oft wird das Zufallsexperiment durchgeführt? - Erstelle eine Tabelle, in der du jedem möglichen Wert für die Anzahl der Anschlüsse die entsprechende Wahrscheinlichkeit zuordnest. - Denk an den Binomialkoeffizienten, um die Anzahl der Pfade im Baumdiagramm zu berücksichtigen.

1. Festlegung des Modells: Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge \(n = 5\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}28\). Die Wahrscheinlichkeit für keinen Anschluss beträgt \(q = 0{,}72\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten für \(k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\) mittels \(P(Y = k) = \binom{5}{k} \cdot 0{,}28^k \cdot 0{,}72^{5-k}\): - \(P(Y = 0) = 0{,}72^5 \approx 0{,}1935\) - \(P(Y = 1) = 5 \cdot 0{,}28 \cdot 0{,}72^4 \approx 0{,}3762\) - \(P(Y = 2) = 10 \cdot 0{,}28^2 \cdot 0{,}72^3 \approx 0{,}2926\) - \(P(Y = 3) = 10 \cdot 0{,}28^3 \cdot 0{,}72^2 \approx 0{,}1138\) - \(P(Y = 4) = 5 \cdot 0{,}28^4 \cdot 0{,}72 \approx 0{,}0221\) - \(P(Y = 5) = 0{,}28^5 \approx 0{,}0017\)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Y\) ist (Werte gerundet): <table> <tr> <td>\(k\)</td> <td>0</td> <td>1</td> <td>2</td> <td>3</td> <td>4</td> <td>5</td> </tr> <tr> <td>\(P(Y = k)\)</td> <td>\(0{,}1935\)</td> <td>\(0{,}3762\)</td> <td>\(0{,}2926\)</td> <td>\(0{,}1138\)</td> <td>\(0{,}0221\)</td> <td>\(0{,}0017\)</td> </tr> </table>

- Was bedeutet „mindestens 5 Treffer“ für die möglichen Werte der Zufallsgröße? - Erinnere dich an die Formel für die Binomialverteilung für einen exakten Wert. - Bei kumulierten Wahrscheinlichkeiten (wie „mindestens“) musst du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen passenden Ergebnisse addieren. - Stelle sicher, dass du die Gegenwahrscheinlichkeit korrekt bestimmst.

Das Zufallsexperiment kann als Bernoulli-Kette mit \(n = 6\) und \(p = 0{,}7\) modelliert werden. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Treffer. 1. Zu Aufgabenteil a): Gesucht ist \(P(X=4)\). \(P(X=4) = \binom{6}{4} \cdot 0{,}7^4 \cdot 0{,}3^2 = 15 \cdot 0{,}2401 \cdot 0{,}09 = 0{,}324135\). Die Wahrscheinlichkeit für genau 4 Treffer beträgt ca. \(32{,}41\,\%\). 2. Zu Aufgabenteil b): Gesucht ist \(P(X \ge 5) = P(X=5) + P(X=6)\). \(P(X=5) = \binom{6}{5} \cdot 0{,}7^5 \cdot 0{,}3^1 = 6 \cdot 0{,}16807 \cdot 0{,}3 = 0{,}302526\) \(P(X=6) = \binom{6}{6} \cdot 0{,}7^6 \cdot 0{,}3^0 = 1 \cdot 0{,}117649 \cdot 1 = 0{,}117649\) \(P(X \ge 5) = 0{,}302526 + 0{,}117649 = 0{,}420175\). Die Wahrscheinlichkeit für mindestens 5 Treffer beträgt ca. \(42{,}02\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit für genau 4 Treffer beträgt \(0{,}324135\) (ca. \(32{,}41\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit für mindestens 5 Treffer beträgt \(0{,}420175\) (ca. \(42{,}02\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, welcher Verteilungstyp hier vorliegt und welche Parameter \(n\) und \(p\) gegeben sind. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Wert bei einer Bernoulli-Kette? - Was bedeutet „mindestens 8“ für die möglichen Werte von \(X\)? - Nutze bei der letzten Teilaufgabe die Tatsache, dass die Trefferwahrscheinlichkeit genau \(0{,}5\) beträgt. Was sagt das über die Form der Verteilung aus?

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als binomialverteilt mit den Parametern \(n = 10\) und \(p = 0{,}5\). 2. Berechnung der Punktwahrscheinlichkeit für \(k = 5\): \(P(X = 5) = \binom{10}{5} \cdot 0{,}5^{10} = 252 \cdot \frac{1}{1024} \approx 0{,}2461\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(X \ge 8\): \(P(X \ge 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) = (\binom{10}{8} + \binom{10}{9} + \binom{10}{10}) \cdot 0{,}5^{10} = (45 + 10 + 1) \cdot \frac{1}{1024} = \frac{56}{1024} \approx 0{,}0547\). 4. Begründung zur Symmetrie: Da \(p = 0{,}5\), ist die Verteilung symmetrisch zum Erwartungswert \(\mu = 5\). Es gilt \(P(X < 5) = P(X > 5)\). Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten \(1\) ergibt, folgt \(P(X = 5) + 2 \cdot P(X > 5) = 1\). Umgeformt ergibt dies \(P(X > 5) = \frac{1 - P(X = 5)}{2} \approx \frac{1 - 0{,}2461}{2} = 0{,}37695\). Da \(0{,}3770 > 0{,}2461\), ist es wahrscheinlicher, mehr als 5 Fragen richtig zu beantworten.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(24{,}61\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(5{,}47\,\%\). c) Es ist wahrscheinlicher, mehr als 5 Fragen richtig zu beantworten (\(P(X > 5) \approx 37{,}70\,\%\)), als genau 5 Fragen richtig zu beantworten (\(P(X = 5) \approx 24{,}61\,\%\)).

- Welche Formel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Erfolge zu berechnen? - Wie viele Stufen hat der Versuch und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für die Entwicklung von \((a+b)^n\). - Was muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten einer Verteilung immer ergeben?

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 5\), \(p = \frac{1}{3}\) und \(q = 1 - p = \frac{2}{3}\). 2. Berechnung der Punktwahrscheinlichkeiten mit der Formel \(P(X=k) = \binom{5}{k} \cdot (\frac{1}{3})^k \cdot (\frac{2}{3})^{5-k}\): - \(P(X=0) = 1 \cdot (\frac{2}{3})^5 = \frac{32}{243}\) - \(P(X=1) = 5 \cdot \frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3})^4 = \frac{80}{243}\) - \(P(X=2) = 10 \cdot (\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^3 = \frac{80}{243}\) - \(P(X=3) = 10 \cdot (\frac{1}{3})^3 \cdot (\frac{2}{3})^2 = \frac{40}{243}\) - \(P(X=4) = 5 \cdot (\frac{1}{3})^4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{243}\) - \(P(X=5) = 1 \cdot (\frac{1}{3})^5 = \frac{1}{243}\) 3. Zusammenhang mit dem binomischen Lehrsatz: Die Entwicklung von \((p+q)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} p^k q^{n-k}\) liefert genau die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten der Verteilung. Da \(p+q = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1\) gilt, ist \((\frac{1}{3} + \frac{2}{3})^5 = 1^5 = 1\), was der Normierung der Wahrscheinlichkeitsverteilung entspricht.

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: \(P(X=0) = \frac{32}{243}\); \(P(X=1) = \frac{80}{243}\); \(P(X=2) = \frac{80}{243}\); \(P(X=3) = \frac{40}{243}\); \(P(X=4) = \frac{10}{243}\); \(P(X=5) = \frac{1}{243}\). b) Die Wahrscheinlichkeiten \(P(X=k)\) entsprechen genau den einzelnen Summanden in der Entwicklung des Binoms \((\frac{1}{3} + \frac{2}{3})^5\) nach dem binomischen Lehrsatz. Da die Summe der Wahrscheinlichkeiten \(1\) sein muss, entspricht dies der Gleichung \((\frac{1}{3} + \frac{2}{3})^5 = 1^5 = 1\).

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Frage mit 5 Optionen die richtige Antwort zu raten? - Was bedeutet „mindestens zwei“ mathematisch ausgedrückt für die Werte von \(X\)? - Überlege, ob es schneller ist, die gesuchten Wahrscheinlichkeiten zu addieren oder das Gegenereignis zu nutzen. - Welche Zahl in der Bernoulli-Formel gibt die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten (Pfade) an?

1. Bestimmung der Parameter: \(n = 4\), \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\), \(q = 0{,}8\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten \(P(X=k) = \binom{4}{k} \cdot 0{,}2^k \cdot 0{,}8^{4-k}\): - \(P(X=0) = 0{,}8^4 = 0{,}4096\) - \(P(X=1) = 4 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8^3 = 0{,}4096\) - \(P(X=2) = 6 \cdot 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^2 = 0{,}1536\) - \(P(X=3) = 4 \cdot 0{,}2^3 \cdot 0{,}8 = 0{,}0256\) - \(P(X=4) = 0{,}2^4 = 0{,}0016\) 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Treffer: \(P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0{,}1536 + 0{,}0256 + 0{,}0016 = 0{,}1808\) (oder über das Gegenereignis \(1 - (P(X=0) + P(X=1)) = 1 - 0{,}8192 = 0{,}1808\)). 4. Der Binomialkoeffizient für \(k=2\) Erfolge bei \(n=4\) Versuchen ist \(\binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6\).

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table> <tr><td>\(k\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td></tr> <tr><td>\(P(X=k)\)</td><td>\(0{,}4096\)</td><td>\(0{,}4096\)</td><td>\(0{,}1536\)</td><td>\(0{,}0256\)</td><td>\(0{,}0016\)</td></tr> </table> b) \(P(X \ge 2) = 0{,}1808\) c) Der Binomialkoeffizient ist \(\binom{4}{2}\). Sein Wert ist \(6\).

- Überlege dir zuerst, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg in einer einzelnen 5er-Serie ist. - Kannst du diese Wahrscheinlichkeit dann als neue Grundwahrscheinlichkeit für die 12 Serien verwenden? - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Treffer in einer Serie und welche die Anzahl der erfolgreichen Serien? - Achte darauf, ob nach „genau“, „mindestens“ oder „keinem“ Ereignis gefragt ist.

1. Die Trefferzahl in einer Serie ist binomialverteilt mit \(n = 5\) und \(p = 0{,}8\). Die Wahrscheinlichkeit für eine „besonders erfolgreiche“ Serie beträgt \(p_{S} = P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5)\). Es gilt \(P(X = 4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}8^4 \cdot 0{,}2^1 = 0{,}4096\) und \(P(X = 5) = \binom{5}{5} \cdot 0{,}8^5 \cdot 0{,}2^0 = 0{,}32768\). Somit ist \(p_{S} = 0{,}73728\). 2. Die Anzahl der erfolgreichen Serien unter den \(12\) Versuchen ist binomialverteilt mit \(n = 12\) und \(p_{S} = 0{,}73728\). Die Wahrscheinlichkeit für genau \(8\) Erfolge ist \(P(Y = 8) = \binom{12}{8} \cdot 0{,}73728^8 \cdot (1 - 0{,}73728)^4 \approx 0{,}2059\). 3. Die Wahrscheinlichkeit für null erfolgreiche Serien beträgt \(P(Y = 0) = (1 - 0{,}73728)^{12} \approx 1{,}081 \cdot 10^{-7}\).

1. \(P(\text{Serie erfolgreich}) = 0{,}73728\) 2. \(P(\text{8 von 12}) \approx 0{,}2059\) (oder \(20{,}59\,\%\)) 3. \(P(\text{0 von 12}) \approx 1{,}08 \cdot 10^{-7}\)

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg bei einem einzelnen Zug? - Welche Formel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für eine exakte Anzahl an Erfolgen in einer Versuchsreihe zu berechnen? - Achte bei Teilaufgabe b darauf, dass sich die Anzahl der Versuche \(n\) ändert. - Vergleiche die Brüche am besten, indem du sie auf einen gemeinsamen Nenner bringst.

1. Erfolgswahrscheinlichkeit bestimmen: Da eine von drei Kugeln rot ist, gilt \(p = \frac{1}{3}\) und \(q = \frac{2}{3}\). 2. Berechnung von \(P(E_1)\): Mit der Bernoulli-Formel ergibt sich \(P(E_1) = \binom{3}{1} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^1 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{9}\). 3. Berechnung von \(P(E_2)\): Es gilt \(P(E_2) = \binom{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^1 = 3 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}\). 4. Vergleich: Da \(\frac{4}{9} = 2 \cdot \frac{2}{9}\), ist \(P(E_1)\) doppelt so groß wie \(P(E_2)\). 5. Berechnung von \(P(E_3)\): Für \(n=6\) und \(k=2\) ergibt sich \(P(E_3) = \binom{6}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 15 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{16}{81} = \frac{5}{3} \cdot \frac{16}{81} = \frac{80}{243}\). 6. Vergleich mit \(P(E_1)\): Es ist \(P(E_1) = \frac{4}{9} = \frac{108}{243}\). Da \(108 \neq 2 \cdot 80 = 160\), ist \(P(E_1)\) nicht doppelt so groß wie \(P(E_3)\). Tatsächlich gilt \(P(E_1) = 1{,}35 \cdot P(E_3)\).

a) \(P(E_1) = \frac{4}{9}\) und \(P(E_2) = \frac{2}{9}\). Es gilt \(\frac{4}{9} = 2 \cdot \frac{2}{9}\). b) Nein, \(P(E_1) = \frac{108}{243}\) und \(P(E_3) = \frac{80}{243}\). Somit ist \(P(E_1)\) nicht doppelt so groß wie \(P(E_3)\).

- Überlege, welche Bedingungen erfüllt sein müssen, damit man von einer Bernoulli-Kette spricht (Anzahl der Ausgänge, Unabhängigkeit). - Was stellt die Trefferwahrscheinlichkeit in diesem Kontext dar? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für die Binomialverteilung. - Wie berechnet man den Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\)?

1. Begründung der Bernoulli-Kette: Es gibt nur zwei Ausgänge pro Teilversuch (Sonderfigur enthalten oder nicht). Da die Gesamtproduktion sehr groß ist, bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) bei jeder Entnahme nahezu konstant, und die einzelnen Entnahmen sind voneinander unabhängig. 2. Bestimmung der Parameter: Die Anzahl der Versuche ist \(n = 20\). Die Trefferwahrscheinlichkeit für eine Sonderfigur beträgt \(p = \frac{1}{7} \approx 0{,}1429\). 3. Aufstellung des Terms für \(P(X = 3)\): Anwendung der Bernoulli-Formel \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) führt zu \(P(X = 3) = \binom{20}{3} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^3 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{17}\). 4. Berechnung des Werts: Mit \(\binom{20}{3} = 1140\) ergibt sich \(P(X = 3) = 1140 \cdot \frac{1}{343} \cdot \frac{6^{17}}{7^{17}} \approx 0{,}2341\).

a) Es liegen nur zwei mögliche Ergebnisse pro Ei vor (Treffer: Sonderfigur; Niete: keine Sonderfigur). Die Wahrscheinlichkeit bleibt aufgrund der großen Grundgesamtheit konstant und die Versuche sind unabhängig. b) \(n = 20\); \(p = \frac{1}{7}\) c) Term: \(P(X = 3) = \binom{20}{3} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^3 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{17}\); Wahrscheinlichkeit: \(P(X = 3) \approx 0{,}2341\)

- Überlege dir zuerst, welche Werte für \(n\) und \(p\) in der Binomialverteilung einzusetzen sind. - Für „höchstens“ musst du mehrere Einzelwahrscheinlichkeiten addieren. - Bei „mindestens eins“ ist es oft einfacher, das Gegenteil zu berechnen.

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 80\) und \(p = 0{,}025\). 1. Berechnung für genau zwei Personen: \(P(X = 2) = \binom{80}{2} \cdot 0{,}025^2 \cdot 0{,}975^{78} \approx 0{,}2741\). 2. Berechnung für höchstens drei Personen: \(P(X \le 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)\). Die Einzelwahrscheinlichkeiten sind \(P(X=0) \approx 0{,}1319\), \(P(X=1) \approx 0{,}2706\), \(P(X=2) \approx 0{,}2741\) und \(P(X=3) \approx 0{,}1827\). Die Summe ergibt \(P(X \le 3) \approx 0{,}8594\). 3. Berechnung für mindestens eine Person über das Gegenereignis: \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}975^{80} \approx 1 - 0{,}1319 = 0{,}8681\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(27{,}41\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(85{,}94\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(86{,}81\,\%\).

- Identifiziere die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für einen defekten Chip. - Achte bei b) auf den Unterschied zwischen „mehr als drei“ und „mindestens drei“. - Für den Erwartungswert über ein Jahr nutzt du die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabenteil a) als neue Basis.

Es liegt eine Binomialverteilung mit \(n = 300\) und \(p = 0{,}008\) vor. 1. Punktwahrscheinlichkeiten berechnen: \(P(X = 0) = 0{,}992^{300} \approx 0{,}0898\) \(P(X = 1) = 300 \cdot 0{,}008 \cdot 0{,}992^{299} \approx 0{,}2174\) \(P(X = 2) = \binom{300}{2} \cdot 0{,}008^2 \cdot 0{,}992^{298} \approx 0{,}2621\) 2. Wahrscheinlichkeit für mehr als drei Defekte: \(P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) = 1 - (P(0) + P(1) + P(2) + P(3))\). Mit \(P(X = 3) \approx 0{,}2099\) ergibt sich \(P(X \le 3) \approx 0{,}7792\). Somit ist \(P(X > 3) \approx 1 - 0{,}7792 = 0{,}2208\). 3. Erwartete Anzahl der Tage: Die Wahrscheinlichkeit für „kein Defekt“ an einem Tag ist \(p_{Tag} = P(X=0) \approx 0{,}0898\). Der Erwartungswert für \(365\) Tage ist \(E = 365 \cdot P(X=0) \approx 32{,}79\).

a) \(P(X=0) \approx 8{,}98\,\%\); \(P(X=1) \approx 21{,}74\,\%\); \(P(X=2) \approx 26{,}21\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(22{,}08\,\%\). c) Es ist an etwa \(33\) Tagen damit zu rechnen.

- Überlege dir, ob die einzelnen Drehungen voneinander abhängen und welche Verteilung vorliegt. - Für den Teil „mehr als 2-mal“ ist es oft einfacher, über das Gegenereignis nachzudenken. - Betrachte für den zweiten Teil zunächst nur ein einzelnes Feld: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Feld bei 100 Versuchen nie getroffen wird? - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für ein Feld hast, wie kannst du das auf alle 32 Felder hochrechnen?

1. Definition der Zufallsgröße: Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Treffer auf der Zahl \(13\). Da die Drehungen unabhängig sind, ist \(X\) binomialverteilt mit \(n = 100\) und \(p = \frac{1}{32} = 0{,}03125\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: - \(P(X = 0) = \binom{100}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{100} = \left(\frac{31}{32}\right)^{100} \approx 0{,}0418\) - \(P(X = 1) = \binom{100}{1} \cdot p^1 \cdot (1-p)^{99} = 100 \cdot \frac{1}{32} \cdot \left(\frac{31}{32}\right)^{99} \approx 0{,}1348\) - \(P(X = 2) = \binom{100}{2} \cdot p^2 \cdot (1-p)^{98} = 4950 \cdot \left(\frac{1}{32}\right)^2 \cdot \left(\frac{31}{32}\right)^{98} \approx 0{,}2153\) 3. Berechnung für mehr als \(2\)-mal: \(P(X > 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)) \approx 0{,}6081\). 4. Erwartungswert der Anzahl der getroffenen Felder: Sei \(Y_i\) eine Indikatorvariable, die \(1\) ist, wenn Feld \(i\) mindestens einmal getroffen wurde, sonst \(0\). Die Wahrscheinlichkeit, dass ein spezifisches Feld mindestens einmal getroffen wird, ist \(p_{\text{Treffer}} = 1 - \left(\frac{31}{32}\right)^{100} \approx 0{,}9582\). Der Erwartungswert der Summe dieser \(32\) Variablen ist \(E = 32 \cdot p_{\text{Treffer}} \approx 30{,}66\).

a) \(P(0) \approx 4{,}18\,\%\); \(P(1) \approx 13{,}48\,\%\); \(P(2) \approx 21{,}53\,\%\); \(P(>2) \approx 60{,}81\,\%\). b) Im Durchschnitt wird das Rad auf ca. \(30{,}66\) verschiedenen Feldern mindestens einmal stehen geblieben sein.

- Identifiziere die Trefferwahrscheinlichkeit für einen einzelnen Fehler auf einem ganz bestimmten Server. - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Fehler auf diesem Server bei 120 unabhängigen Ereignissen? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für „mindestens einen Fehler“? - Nutze die Linearität des Erwartungswerts: Die Gesamtzahl der betroffenen Server ist die Summe der betroffenen Einzelserver.

1. Modellierung: Die Anzahl der Fehler \(X\) auf einem bestimmten Server ist binomialverteilt mit \(n = 120\) (Anzahl der Fehlerereignisse) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{50} = 0{,}02\) pro Ereignis. 2. Punktwahrscheinlichkeiten berechnen: - \(P(X = 0) = 0{,}98^{120} \approx 0{,}0885\) - \(P(X = 1) = 120 \cdot 0{,}02^1 \cdot 0{,}98^{119} \approx 0{,}2168\) - \(P(X = 2) = \binom{120}{2} \cdot 0{,}02^2 \cdot 0{,}98^{118} \approx 0{,}2633\) 3. Kumulierte Wahrscheinlichkeit: \(P(X > 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)) \approx 0{,}4313\). 4. Erwartungswert für die Anzahl betroffener Server: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Server mindestens einen Fehler hat, ist \(P(\text{mindestens ein Fehler}) = 1 - P(X=0) = 1 - 0{,}98^{120} \approx 0{,}9115\). Da es \(50\) Server gibt, ist der Erwartungswert \(E = 50 \cdot (1 - 0{,}98^{120}) \approx 45{,}57\).

a) \(P(0) \approx 8{,}85\,\%\); \(P(1) \approx 21{,}68\,\%\); \(P(2) \approx 26{,}33\,\%\); \(P(>2) \approx 43{,}13\,\%\). b) Es ist zu erwarten, dass etwa \(45{,}57\) Server von mindestens einem Fehler betroffen sind.

- Überlege dir, wie viele „Versuche“ es insgesamt gibt (jeder Defekt ist ein Versuch). - Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein ganz bestimmter Defekt auf einem ganz bestimmten Chip landet? - Der Erwartungswert für die Anzahl der Chips ergibt sich aus der Gesamtzahl der Chips multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses bei einem Chip. - Was müsste gelten, damit Versuche als unabhängig voneinander angesehen werden können?

1. Modellierung: Die Anzahl der Defekte auf einem spezifischen Chip ist binomialverteilt mit \(n = 50\) (Gesamtzahl der Defekte) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{1\,000} = 0{,}001\) pro Defekt, diesen speziellen Chip zu treffen. 2. Wahrscheinlichkeit für \(0\) Defekte: \(P(X = 0) = \binom{50}{0} \cdot 0{,}001^0 \cdot 0{,}999^{50} = 0{,}999^{50} \approx 0{,}9512\). 3. Wahrscheinlichkeit für genau \(2\) Defekte: \(P(X = 2) = \binom{50}{2} \cdot 0{,}001^2 \cdot 0{,}999^{48} \approx 1\,225 \cdot 0{,}000001 \cdot 0{,}9531 \approx 0{,}001168\). 4. Erwartungswert für die Anzahl der Chips: \(E = N \cdot P(X = 2) = 1\,000 \cdot 0{,}001168 \approx 1{,}17\). Man kann also auf etwa \(1\) bis \(2\) Chips genau zwei Defekte erwarten. 5. Modellannahmen: Unabhängigkeit der Defekte voneinander; jeder Chip ist gleich groß/wahrscheinlich betroffen. Erfolg: Ein Defekt landet auf dem betrachteten Chip. Kettenlänge: Gesamtzahl der Defekte (\(n = 50\)).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(95{,}12\,\%\). b) Man kann auf etwa \(1{,}17\) Chips (also gerundet auf \(1\) Chip) genau zwei Defekte erwarten. c) Annahmen: Unabhängige Platzierung der Defekte, konstante Trefferwahrscheinlichkeit. Ein „Erfolg“ ist das Auftreten eines Defekts auf dem gewählten Chip; die Länge der Bernoulli-Kette ist \(n = 50\).

- Betrachte den Vorgang als eine Kette von unabhängigen Versuchen. - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein ganz bestimmtes Ereignis in einem Versuch nicht eintritt? - Überlege dir, wie oft man dieses Ergebnis bei einer bestimmten Anzahl von Versuchen hintereinander erwarten würde. - Um eine unbekannte Anzahl an Versuchen zu schätzen, kannst du den theoretischen Erwartungswert mit dem beobachteten Wert gleichsetzen. - Logarithmen sind hilfreich, um Gleichungen zu lösen, bei denen die Unbekannte im Exponenten steht.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Teilaufgabe a): Die Wahrscheinlichkeit, in einem Wurf nicht die 20 zu erhalten, beträgt \(p = \frac{19}{20} = 0{,}95\). Bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(15\) ist die Wahrscheinlichkeit für null Treffer \(P(X=0) = 0{,}95^{15} \approx 0{,}4633\). 2. Schätzung der Anzahl der Würfe für Teilaufgabe b): Sei \(X\) die Anzahl der Zahlen, die nach \(n\) Würfen noch nicht erschienen sind. Da jede der 20 Zahlen mit der Wahrscheinlichkeit \(( \frac{19}{20} )^n\) nicht erscheint, ist der Erwartungswert \(E(X) = 20 \cdot ( \frac{19}{20} )^n\). 3. Gleichsetzen des Erwartungswerts mit dem beobachteten Wert: \(20 \cdot 0{,}95^n = 4\). 4. Lösen der Gleichung nach \(n\): \(0{,}95^n = 0{,}2 \implies n = \frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}95)} \approx 31{,}38\). Die geschätzte Anzahl der Würfe beträgt etwa 31.

a) ca. \(46{,}3\,\%\) b) ca. 31 Würfe

- Überlege dir, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine einzelne Rosine in einem ganz bestimmten Brötchen landet. - Welches Verteilungsmodell eignet sich, wenn viele unabhängige Versuche (Rosinen) mit derselben kleinen Erfolgswahrscheinlichkeit durchgeführt werden? - Für den Erwartungswert einer Anzahl von Objekten in einer Gesamtheit multipliziert man die Wahrscheinlichkeit des Merkmals mit der Gesamtzahl der Objekte. - Bei Teilaufgabe c) kannst du die Unbekannte im Exponenten mit Hilfe des Logarithmus isolieren.

Die Verteilung der Rosinen kann als Bernoulli-Kette modelliert werden. Für ein einzelnes Brötchen beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Rosine in diesem Brötchen landet, \(p = \frac{1}{150}\). Bei \(n = 450\) Rosinen ist die Zufallsgröße \(X\), welche die Anzahl der Rosinen in einem Brötchen zählt, binomialverteilt mit \(B\left(450; \frac{1}{150}\right)\). 1. Berechnung von \(P(X = 3)\): \(P(X = 3) = \binom{450}{3} \cdot \left(\frac{1}{150}\right)^3 \cdot \left(\frac{149}{150}\right)^{447} \approx 0{,}2248\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(22{,}48\,\%\). 2. Erwartete Anzahl der Brötchen mit mehr als 4 Rosinen: Zunächst wird \(P(X > 4) = 1 - P(X \le 4)\) berechnet. \(P(X \le 4) = \sum_{k=0}^{4} \binom{450}{k} \cdot \left(\frac{1}{150}\right)^k \cdot \left(\frac{149}{150}\right)^{450-k} \approx 0{,}8158\). Damit ist \(P(X > 4) \approx 1 - 0{,}8158 = 0{,}1842\). Die erwartete Anzahl der Brötchen in der Charge von 150 Stück ist \(E = 150 \cdot P(X > 4) \approx 27{,}63\). Es sind also etwa 28 Brötchen zu erwarten. 3. Bestimmung der Gesamtzahl der Rosinen \(n\): Die Bedingung lautet \(P(X = 0) \le 0{,}05\). \(P(X = 0) = \binom{n}{0} \cdot \left(\frac{1}{150}\right)^0 \cdot \left(\frac{149}{150}\right)^n = \left(\frac{149}{150}\right)^n\). Lösen der Ungleichung \(\left(\frac{149}{150}\right)^n \le 0{,}05\) durch Logarithmieren: \(n \cdot \ln\left(\frac{149}{150}\right) \le \ln(0{,}05) \Rightarrow n \ge \frac{\ln(0{,}05)}{\ln\left(\frac{149}{150}\right)} \approx 447{,}9\). Es müssten mindestens 448 Rosinen verwendet werden.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(22{,}48\,\%\). b) Es sind etwa 28 Brötchen zu erwarten. c) Es müssten mindestens 448 Rosinen verwendet werden.

- Wie hängt die durchschnittliche Anzahl an Fehlern pro Gerät mit der Gesamtzahl der Fehler zusammen? - „Mindestens ein Fehler“ ist das Gegenereignis zu „kein Fehler“. - Verwende den beobachteten relativen Anteil der fehlerfreien Geräte als Wahrscheinlichkeit \(P(X=0)\), um auf die unbekannte Anzahl der Versuche \(n\) zurückzuschließen.

1. Berechnung für durchschnittlich \(1{,}5\) Fehler: Die Gesamtzahl der Fehler ist \(n = 200 \cdot 1{,}5 = 300\). Die Trefferwahrscheinlichkeit für einen Fehler auf einem spezifischen Bildschirm ist \(p = \frac{1}{200}\). \(P(X = 0) = \binom{300}{0} \cdot \left(\frac{1}{200}\right)^0 \cdot \left(\frac{199}{200}\right)^{300} \approx 0{,}2223\). Die Wahrscheinlichkeit für einen fehlerfreien Bildschirm beträgt ca. \(22{,}23\,\%\). Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Fehler ist \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) \approx 0{,}7777\). Voraussichtliche Anzahl betroffener Bildschirme: \(200 \cdot 0{,}7777 \approx 155{,}5\). Es sind etwa 156 Bildschirme betroffen. 2. Schätzung der Gesamtzahl \(n\): Der Anteil der fehlerfreien Bildschirme ist \(\frac{90}{200} = 0{,}45\). Dieser Wert dient als Schätzung für \(P(X = 0)\). Es gilt \(P(X = 0) = \left(\frac{199}{200}\right)^n = 0{,}45\). Lösen nach \(n\): \(n = \frac{\ln(0{,}45)}{\ln(199/200)} \approx 159{,}3\). Die Gesamtzahl der Pixelfehler wird auf ca. 159 geschätzt.

a) Die Wahrscheinlichkeit für einen fehlerfreien Bildschirm beträgt ca. \(22{,}23\,\%\). Es sind etwa 156 Bildschirme mit mindestens einem Fehler zu erwarten. b) Die Gesamtzahl der Pixelfehler wird auf ca. 159 geschätzt.

- Überlege dir zuerst, welche Werte die Parameter \(n\) und \(p\) der Binomialverteilung hier annehmen. - Erinnere dich an die Formel für die Punktwahrscheinlichkeit \(P(X=k)\) bei einer Bernoulli-Kette. - Für den Teil c) ist es oft einfacher, mit dem Gegenereignis zu rechnen. Welche Fälle gehören nicht zu „mindestens zwei“?

1. Modellierung als Bernoulli-Kette mit \(n = 200\) und \(p = \frac{1}{200} = 0{,}005\). 2. Wahrscheinlichkeit für \(k=0\) Erfolge: \(P(X=0) = \binom{200}{0} \cdot 0{,}005^0 \cdot (1 - 0{,}005)^{200} = 0{,}995^{200} \approx 0{,}3669\). Der Wert liegt sehr nah an \(\frac{1}{e} \approx 0{,}3679\). 3. Wahrscheinlichkeit für \(k=1\) Erfolg: \(P(X=1) = \binom{200}{1} \cdot 0{,}005^1 \cdot 0{,}995^{199} = 200 \cdot 0{,}005 \cdot 0{,}995^{199} = 0{,}995^{199} \approx 0{,}3688\). 4. Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Erfolge: \(P(X \ge 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) \approx 1 - 0{,}3669 - 0{,}3688 = 0{,}2643\).

a) \(P(X=0) \approx 0{,}3669\); die Abweichung zu \(\frac{1}{e}\) beträgt etwa \(0{,}001\). b) \(P(X=1) \approx 0{,}3688\). c) \(P(X \ge 2) \approx 0{,}2643\).

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen „Erfolg“ (die Zahl wird gewürfelt) bei einem einzelnen Wurf ist. - Welches Verteilungsmodell eignet sich für eine Kette von Versuchen mit gleichbleibender Wahrscheinlichkeit? - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für eine einzelne Zahl kennst, wie kannst du diese auf die Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse übertragen? - Erinnere dich an die Formel für den Erwartungswert bei der Binomialverteilung oder nutze die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten.

1. Die Anzahl der Treffer für eine bestimmte Zahl folgt einer Binomialverteilung mit \(n = 6\) und \(p = \frac{1}{6}\). Die Wahrscheinlichkeit für null Treffer berechnet sich zu \(P(X = 0) = \binom{6}{0} \cdot (\frac{1}{6})^0 \cdot (\frac{5}{6})^6 = (\frac{5}{6})^6 \approx 0{,}3349\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer beträgt \(P(X = 1) = \binom{6}{1} \cdot (\frac{1}{6})^1 \cdot (\frac{5}{6})^5 = 6 \cdot \frac{1}{6} \cdot (\frac{5}{6})^5 = (\frac{5}{6})^5 \approx 0{,}4019\). 3. Sei \(X_i\) eine Zufallsgröße, die 1 ist, wenn die Augenzahl \(i\) nicht auftritt, und sonst 0. Der Erwartungswert für eine einzelne Zahl ist \(E(X_i) = P(X = 0) \approx 0{,}3349\). Für alle sechs Zahlen ergibt sich aus der Linearität des Erwartungswerts \(E = 6 \cdot 0{,}3349 \approx 2{,}0094\). Da \(\frac{2{,}0094}{6} \approx 0{,}3349 > \frac{1}{3} \approx 0{,}3333\), macht dies mehr als ein Drittel der möglichen Ergebnisse aus.

1. \(P(X = 0) \approx 0{,}3349\) (bzw. \(33{,}49\,\%\)). 2. \(P(X = 1) \approx 0{,}4019\) (bzw. \(40{,}19\,\%\)). 3. Im Durchschnitt treten ca. \(2{,}01\) Zahlen nicht auf. Da \(2{,}01 > 2\) (ein Drittel von 6), ist die Aussage bestätigt.

- Betrachte zunächst nur einen einzigen Tag und überlege, wie die Anzahl der Personen, die an diesem Tag Geburtstag haben, verteilt ist. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis bei einer Binomialverteilung? - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für einen Tag kennst, wie oft tritt dieses Ereignis dann im Schnitt bei 365 Tagen auf? - Denk daran, dass „mehr als eine Person“ das Gegenereignis zu „keine oder genau eine Person“ ist.

1. Modellierung: Für einen festen Tag ist die Anzahl der Personen mit Geburtstag binomialverteilt mit \(n = 500\) und \(p = \frac{1}{365}\). 2. Wahrscheinlichkeit für keinen Geburtstag an einem Tag: \(P(X = 0) = \left(\frac{364}{365}\right)^{500} \approx 0{,}2537\). 3. Erwartungswert für Tage ohne Geburtstag: \(E(\text{Tage ohne Geburtstag}) = 365 \cdot P(X = 0) = 365 \cdot \left(\frac{364}{365}\right)^{500} \approx 92{,}6\). 4. Wahrscheinlichkeit für genau eine Person: \(P(X = 1) = \binom{500}{1} \cdot \frac{1}{365} \cdot \left(\frac{364}{365}\right)^{499} \approx 0{,}3485\). 5. Wahrscheinlichkeit für mehr als eine Person: \(P(X > 1) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) \approx 1 - 0{,}2537 - 0{,}3485 = 0{,}3978\). 6. Erwartungswert für Tage mit mehr als einem Geburtstag: \(E(\text{Tage} > 1) = 365 \cdot P(X > 1) \approx 365 \cdot 0{,}3978 \approx 145{,}2\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(25{,}37\,\%\). b) Es ist zu erwarten, dass an ca. \(92{,}6\) Tagen niemand Geburtstag hat. c) Im Durchschnitt gibt es ca. \(145{,}2\) Tage mit mehr als einem Geburtstagskind.

- Überlege dir zuerst, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis „kein einziger Defekt“ ist. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeit für „mindestens ein Treffer“ und „gar kein Treffer“ zusammen? - Bei der Suche nach einer Anzahl \(n\) in einer Ungleichung mit Potenzen hilft dir das Logarithmieren. - Achte beim Umformen von Ungleichungen darauf, was passiert, wenn du durch eine negative Zahl (wie den Logarithmus einer Zahl kleiner als 1) teilst.

1. Bestimmung der Erfolgswahrscheinlichkeit für einen Defekt: \(p = 0{,}04\). Gegenwahrscheinlichkeit: \(q = 1 - p = 0{,}96\). 2. Berechnung für Teilaufgabe a) mit \(n = 25\): \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}96^{25} \approx 0{,}6396\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(63{,}96\,\%\). 3. Ansatz für Teilaufgabe b): \(P(X \ge 1) > 0{,}90 \Rightarrow 1 - 0{,}96^n > 0{,}90\). 4. Umformung der Ungleichung: \(0{,}96^n < 0{,}10\). 5. Anwendung des Logarithmus: \(n \cdot \ln(0{,}96) < \ln(0{,}10)\). 6. Auflösen nach \(n\) unter Beachtung des Vorzeichens beim Dividieren durch \(\ln(0{,}96)\): \(n > \frac{\ln(0{,}10)}{\ln(0{,}96)} \approx 56{,}41\). 7. Ergebnis: Es müssen mindestens \(57\) Glühbirnen geprüft werden.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(63{,}96\,\%\). b) Es müssen mindestens \(57\) Glühbirnen geprüft werden.

- Überlege dir, wie viele Treffer in der ersten Phase erzielt werden müssen, damit zusammen mit der zweiten Phase genau 8 Treffer entstehen. - Gibt es verschiedene Möglichkeiten, die Gesamtzahl von 8 Treffern auf die beiden Phasen aufzuteilen? - Welches Verteilungsmodell eignet sich für eine Serie von Versuchen mit gleichbleibender Erfolgswahrscheinlichkeit? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten von zwei unabhängigen Ereignissen?

1. Identifikation der Zufallsgrößen: Sei \(X_1\) die Anzahl der Treffer in Phase 1 mit \(X_1 \sim B(6; 0{,}7)\) und \(X_2\) die Anzahl der Treffer in Phase 2 mit \(X_2 \sim B(4; 0{,}5)\). 2. Bestimmung der möglichen Kombinationen für insgesamt \(8\) Treffer: Da \(X_1 \le 6\) und \(X_2 \le 4\), sind die möglichen Paare \((k_1, k_2)\) mit \(k_1 + k_2 = 8\): \((4, 4)\), \((5, 3)\) und \((6, 2)\). 3. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X_1 = 4) = \binom{6}{4} \cdot 0{,}7^4 \cdot 0{,}3^2 = 15 \cdot 0{,}2401 \cdot 0{,}09 = 0{,}324135\) \(P(X_1 = 5) = \binom{6}{5} \cdot 0{,}7^5 \cdot 0{,}3^1 = 6 \cdot 0{,}16807 \cdot 0{,}3 = 0{,}302526\) \(P(X_1 = 6) = \binom{6}{6} \cdot 0{,}7^6 \cdot 0{,}3^0 = 1 \cdot 0{,}117649 = 0{,}117649\) \(P(X_2 = 4) = \binom{4}{4} \cdot 0{,}5^4 \cdot 0{,}5^0 = 0{,}0625\) \(P(X_2 = 3) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}5^3 \cdot 0{,}5^1 = 4 \cdot 0{,}125 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\) \(P(X_2 = 2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}5^2 \cdot 0{,}5^2 = 6 \cdot 0{,}0625 = 0{,}375\) 4. Verknüpfung der Wahrscheinlichkeiten: \(P(X = 8) = P(X_1=4) \cdot P(X_2=4) + P(X_1=5) \cdot P(X_2=3) + P(X_1=6) \cdot P(X_2=2)\) 5. Endergebnis: \(P(X = 8) = 0{,}324135 \cdot 0{,}0625 + 0{,}302526 \cdot 0{,}25 + 0{,}117649 \cdot 0{,}375 \approx 0{,}1400\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Sportler insgesamt genau \(8\) Treffer erzielt, beträgt ca. \(14{,}00\,\%\).

- Wie verhält sich die Wahrscheinlichkeit, wenn man aus einem extrem großen Vorrat zieht? - Erinnere dich an die Bedeutung von „höchstens“ – welche Fälle sind damit gemeint? - Kannst du die Einzelwahrscheinlichkeiten für die gesuchten Trefferzahlen getrennt berechnen?

1. Begründung: Da die Gesamtanzahl der Chips in der Kiste als „sehr groß“ vorausgesetzt wird, ändert die Entnahme einzelner Chips die relative Häufigkeit der defekten Teile so geringfügig, dass die Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}04\) praktisch konstant bleibt. 2. Berechnung für \(k = 1\): \(P(X = 1) = \binom{10}{1} \cdot 0{,}04^1 \cdot 0{,}96^9 = 10 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}96^9 \approx 0{,}2770\). 3. Berechnung für \(k = 0\): \(P(X = 0) = \binom{10}{0} \cdot 0{,}04^0 \cdot 0{,}96^{10} = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}96^{10} \approx 0{,}6648\). 4. Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten für „höchstens eins“: \(P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1) \approx 0{,}6648 + 0{,}2770 = 0{,}9418\).

a) Bei einer sehr großen Grundgesamtheit ändert sich die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen ohne Zurücklegen kaum; sie kann daher als konstant angenommen werden. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(27{,}70\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(94{,}18\,\%\).

- Wie lautet die Formel für die Punktwahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung? - Vergleiche die Struktur der Wahrscheinlichkeitsformel mit den Gliedern in der Summe des binomischen Lehrsatzes. - Was passiert, wenn du für die Variablen im Lehrsatz die entsprechenden Werte aus der Binomialverteilung einsetzt? - Welchen Wert hat die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments immer?

1. Aufstellen der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(S = \sum_{k=0}^n P(X=k) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\). 2. Vergleich der Summe mit der Struktur des binomischen Lehrsatzes: Identifikation von \(a = p\) und \(b = 1-p\). 3. Anwendung des Lehrsatzes führt auf den Ausdruck \((p + (1-p))^n\). 4. Da die Summe der Terme in der Klammer \(p + 1 - p = 1\) ergibt, folgt \(1^n = 1\). Somit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit stets 1.

a) \(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) b) Durch Einsetzen von \(a=p\) und \(b=1-p\) in den binomischen Lehrsatz erhält man \((p + (1-p))^n = 1^n = 1\).

- Welche Rolle spielen die Hochzahlen und der Vorfaktor in der Formel für die Binomialverteilung? - Erinnerst du dich an die Formel \((a+b)^n\)? Was passiert, wenn \(a+b=1\) ist? - Wenn eine Summe fast alle Möglichkeiten abdeckt, außer eine einzige – wie kann man das einfach berechnen? - Was bedeutet es für ein Zufallsexperiment, wenn man die Wahrscheinlichkeiten für absolut alle möglichen Ausgänge addiert?

1. Identifikation der Parameter: Aus der Struktur \(\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\) liest man \(n = 12\) und \(p = 0{,}25\) ab. Der Ausdruck \(T\) stellt die Summe aller Wahrscheinlichkeiten \(P(X=k)\) für \(k=0\) bis \(12\) dar, also die Gesamtwahrscheinlichkeit. 2. Berechnung von \(T\) über den binomischen Lehrsatz: \(T = (0{,}25 + 0{,}75)^{12} = 1^{12} = 1\). 3. Analyse der Teilsumme: Wenn der Index bei \(k=1\) startet, fehlt der Summand für \(k=0\). 4. Der neue Wert ist \(T - P(X=0) = 1 - \binom{12}{0} \cdot 0{,}25^0 \cdot 0{,}75^{12} = 1 - 0{,}75^{12}\).

a) \(n=12\), \(p=0{,}25\). Der Ausdruck \(T\) gibt die Gesamtwahrscheinlichkeit einer \(B(12; 0{,}25)\)-verteilten Zufallsgröße an. b) \(T = 1\) c) Der Wert verringert sich um \(P(X=0)\). Neuer Wert: \(1 - 0{,}75^{12}\) (ca. \(0{,}9683\)).

- Überlege, wie stark sich der Anteil der Abonnenten in der Stadt ändert, wenn man einen einzelnen Haushalt herausnimmt. - Welche Bedingung muss für das Verhältnis von Stichprobe zu Gesamtzahl erfüllt sein, damit man ein vereinfachtes Modell nutzen darf? - Welches Modell kennst du für Versuchsketten mit gleichbleibender Trefferwahrscheinlichkeit?

1. Da die Grundgesamtheit \(N = 25\,000\) sehr groß im Vergleich zum Stichprobenumfang \(n = 50\) ist, ändern sich die relativen Anteile der Merkmalsträger beim Ziehen ohne Zurücklegen nur minimal. Gemäß der Faustregel \(\frac{n}{N} \leq 0{,}05\) (hier \(\frac{50}{25\,000} = 0{,}002\)) ist die Abweichung vernachlässigbar, sodass die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}15\) näherungsweise als konstant betrachtet werden kann. 2. Verwendung der Binomialverteilung \(B(n; p; k)\) mit \(n = 50\), \(p = 0{,}15\) und \(k = 8\). 3. Berechnung: \(P(X = 8) = \binom{50}{8} \cdot 0{,}15^8 \cdot 0{,}85^{42} \approx 0{,}1493\).

a) Da der Stichprobenanteil mit \(\frac{50}{25\,000} = 0{,}002\) weit unter der Grenze von \(5\,\%\) liegt, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten durch das Nicht-Zurücklegen so geringfügig, dass sie als konstant angesehen werden können. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(14{,}93\,\%\).

- Wie berechnet man \(5\,\%\) eines Wertes? - Wenn man die Binomialverteilung nutzt, welche Werte für \(n\) und \(p\) sind hier gegeben? - Was bedeutet „höchstens ein Chip“ für die Anzahl der Treffer \(k\)? - Welche Einzelwahrscheinlichkeiten musst du addieren?

1. Berechnung des maximalen Stichprobenumfangs nach der Faustregel: \(n \leq 0{,}05 \cdot N = 0{,}05 \cdot 1\,200 = 60\). 2. Festlegung der Parameter für die Binomialverteilung: \(n = 30\), \(p = 0{,}03\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(k \leq 1\): \(P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)\). 4. \(P(X = 0) = \binom{30}{0} \cdot 0{,}03^0 \cdot 0{,}97^{30} \approx 0{,}4010\). 5. \(P(X = 1) = \binom{30}{1} \cdot 0{,}03^1 \cdot 0{,}97^{29} \approx 0{,}3721\). 6. Summe: \(P(X \leq 1) \approx 0{,}4010 + 0{,}3721 = 0{,}7731\).

a) Der Stichprobenumfang darf maximal \(n = 60\) betragen. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(77{,}31\,\%\).

- Notiere dir zuerst die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer und für einen Fehlschuss. - Wenn der erste Treffer genau bei einer bestimmten Nummer sein soll, sind alle Schüsse davor festgelegt. - „Mindestens ein Treffer“ bedeutet, dass nicht alle Schüsse daneben gehen dürfen. - Kannst du ein Muster in deinen Rechnungen erkennen, um eine allgemeine Formel aufzustellen?

1. Erster Treffer beim 3. Schuss bedeutet: 1. Schuss kein Treffer, 2. Schuss kein Treffer, 3. Schuss Treffer. Mit \(q = 1 - 0{,}85 = 0{,}15\) folgt: \(P = 0{,}15^2 \cdot 0{,}85 = 0{,}0225 \cdot 0{,}85 = 0{,}019\,125\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer in 6 Versuchen ist \(1 - P(\text{kein Treffer})\). Also \(1 - 0{,}15^6 \approx 1 - 0{,}000\,011\,39 = 0{,}999\,988\,61\). 3. Für den ersten Erfolg im \(k\)-ten Versuch müssen \(k-1\) Misserfolge vorausgehen, gefolgt von einem Erfolg. Der allgemeine Term lautet: \(P(X = k) = (1-p)^{k-1} \cdot p\).

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(1{,}9125\,\%\). 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(99{,}999\,\%\). 3. Der Term lautet \(P(X=k) = 0{,}15^{k-1} \cdot 0{,}85\).

- Was sind in diesem Beispiel die Dinge, die verteilt werden, und was sind die Kategorien, in die sie sortiert werden? - Überlege dir, ob es einen Unterschied macht, in welcher Reihenfolge der Schüler die Früchte in die Tüte legt. - Der Unterschied zwischen den beiden Fragen liegt darin, ob eine Sorte „besetzt“ ist, sobald eine Frucht gewählt wurde, oder ob sie erneut gewählt werden kann. - Kennst du die Formel für Kombinationen mit Wiederholung?

1. Grundstruktur: Die 3 gewählten Früchte sind die Kugeln (ununterscheidbar, da nur die Sorte zählt). Die 5 Obstsorten sind die Fächer (unterscheidbar). 2. Frage 1: Es handelt sich um eine Auswahl ohne Mehrfachbelegung der Fächer (jede Sorte max. einmal). Die Anzahl der Möglichkeiten wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) mit \(n=5\) und \(k=3\) berechnet: \(\binom{5}{3} = 10\). 3. Frage 2: Hier ist eine Mehrfachbelegung der Fächer erlaubt (Kombinationen mit Wiederholung). Die Formel lautet \(\binom{n+k-1}{k}\). 4. Berechnung Frage 2: Mit \(n=5\) und \(k=3\) ergibt sich \(\binom{5+3-1}{3} = \binom{7}{3}\). 5. Ergebnis Frage 2: \(\binom{7}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35\).

Frage 1: Keine Mehrfachbelegung; \(\binom{5}{3} = 10\) Möglichkeiten. Frage 2: Mehrfachbelegung erlaubt; \(\binom{7}{3} = 35\) Möglichkeiten. Im Modell sind die Früchte die Kugeln und die Sorten die Fächer.

- Überlege dir für den ersten Teil, ob die Trefferwahrscheinlichkeit bei jeder Pflanze gleich bleibt. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, genau 11 oder 12 Treffer bei 12 Versuchen zu erzielen? - Unterscheide beim zweiten Teil genau, ob die Auswahl aus einer begrenzten Menge erfolgt, ohne die Pflanzen zurückzustellen. - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeit des nächsten Zuges, wenn bereits ein „Treffer“ aus einer kleinen Gruppe entnommen wurde?

1. Berechnung für Teilaufgabe a): Es liegt eine Binomialverteilung mit \(n = 12\) und \(p = 0{,}85\) vor. Gesucht ist \(P(X > 10) = P(X = 11) + P(X = 12)\). \(P(X = 11) = \binom{12}{11} \cdot 0{,}85^{11} \cdot 0{,}15^1 \approx 0{,}3012\) \(P(X = 12) = 0{,}85^{12} \approx 0{,}1422\) Summe: \(0{,}3012 + 0{,}1422 = 0{,}4434\) 2. Berechnung für Teilaufgabe b): Es liegt eine hypergeometrische Verteilung vor mit \(N = 20\), \(M = 17\), \(n = 5\) und \(k = 5\). \(P(X = 5) = \frac{\binom{17}{5} \cdot \binom{3}{0}}{\binom{20}{5}} = \frac{6188 \cdot 1}{15\,504} \approx 0{,}3991\) 3. Erläuterung für Teilaufgabe c): In a) wird eine sehr große Grundgesamtheit angenommen, wodurch die Wahrscheinlichkeit \(p\) bei der Entnahme näherungsweise konstant bleibt (Ziehen mit Zurücklegen bzw. vernachlässigbare Änderung). In b) ist die Grundgesamtheit mit \(N=20\) klein und die Stichprobe mit \(n=5\) verhältnismäßig groß. Da ohne Zurücklegen gezogen wird, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten bei jedem Zug signifikant, was die Binomialverteilung als Modell ausschließt.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(44{,}34\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(39{,}91\,\%\). c) In a) bleibt die Erfolgswahrscheinlichkeit wegen der großen Grundgesamtheit nahezu konstant (Bernoulli-Kette), während sie sich in b) durch die kleine Grundgesamtheit ohne Zurücklegen deutlich ändert.

- Nutze beim ersten Teil das Gegenereignis, um die Rechnung zu vereinfachen. - Was sind die einzigen Fälle, die nicht zu „mindestens zwei“ gehören? - Überlege dir für den zweiten Teil, wie viele Möglichkeiten es gibt, 3 Bauteile aus den 8 intakten zu ziehen, im Verhältnis zu allen Möglichkeiten, 3 aus 10 zu ziehen. - Welche Eigenschaft muss ein Zufallsexperiment haben, damit man es als Bernoulli-Kette bezeichnen darf?

1. Berechnung für Teilaufgabe a): Binomialverteilung mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}03\). Gesucht ist \(P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)\). \(P(X = 0) = 0{,}97^{20} \approx 0{,}5438\) \(P(X = 1) = \binom{20}{1} \cdot 0{,}03^1 \cdot 0{,}97^{19} \approx 0{,}3364\) \(P(X \ge 2) = 1 - 0{,}5438 - 0{,}3364 = 0{,}1198\) 2. Berechnung für Teilaufgabe b): Hypergeometrische Verteilung mit \(N = 10\), \(M = 2\), \(n = 3\) und \(k = 0\). \(P(X = 0) = \frac{\binom{2}{0} \cdot \binom{8}{3}}{\binom{10}{3}} = \frac{1 \cdot 56}{120} \approx 0{,}4667\) 3. Lösung für Teilaufgabe c): Die Bauteile müssten mit Zurücklegen entnommen werden. Dadurch bliebe die Wahrscheinlichkeit, ein defektes Bauteil zu ziehen, bei jedem der drei Züge konstant bei \(p = \frac{2}{10} = 0{,}2\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(11{,}98\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(46{,}67\,\%\). c) Die Bauteile müssten nach der Entnahme und Prüfung jeweils wieder in die Kiste zurückgelegt werden (Ziehen mit Zurücklegen).

- Überlege dir zuerst, ob es sich um ein Experiment mit oder ohne Zurücklegen handelt und welches Verteilungsmodell hier passt. - Was sind die Parameter \(n\) und \(p\) in diesem Zufallsexperiment? - Erinnere dich an die Formel für die Wahrscheinlichkeit bei einer Binomialverteilung. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten für „höchstens zwei“ und „mehr als zwei“ zusammen? - Wie berechnet man den Durchschnittswert bei einer solchen Verteilung?

1. Modellierung als Bernoulli-Kette mit \(n = 25\) Versuchen und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{25} = 0{,}04\). Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt nach \(B(25; 0{,}04)\). 2. Berechnung der Punktwahrscheinlichkeiten: \(P(X = 0) = \binom{25}{0} \cdot 0{,}04^0 \cdot 0{,}96^{25} \approx 0{,}3604\) \(P(X = 1) = \binom{25}{1} \cdot 0{,}04^1 \cdot 0{,}96^{24} = 25 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}96^{24} \approx 0{,}3754\) \(P(X = 2) = \binom{25}{2} \cdot 0{,}04^2 \cdot 0{,}96^{23} = 300 \cdot 0{,}0016 \cdot 0{,}96^{23} \approx 0{,}1877\) 3. Berechnung für „öfter als zweimal“ (\(X > 2\)): \(P(X > 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)) \approx 1 - (0{,}3604 + 0{,}3754 + 0{,}1877) = 1 - 0{,}9235 = 0{,}0765\) 4. Erwartungswert: \(E(X) = n \cdot p = 25 \cdot 0{,}04 = 1\).

a) \(P(X=0) \approx 0{,}3604\); \(P(X=1) \approx 0{,}3754\); \(P(X=2) \approx 0{,}1877\) b) \(P(X>2) \approx 0{,}0765\) c) \(E(X) = 1\)

- Überlege dir zuerst, ob es sich um ein Ziehen mit oder ohne Zurücklegen handelt. - Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es insgesamt, eine Gruppe dieser Größe zusammenzustellen? - Wie viele dieser Möglichkeiten erfüllen die Bedingung, dass nur Personen einer bestimmten Teilgruppe gewählt werden? - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für einen Kurs kennst, wie kannst du diese auf eine große Anzahl von Kursen hochrechnen?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(4\) Personen aus \(30\) auszuwählen, mit dem Binomialkoeffizienten: \(\binom{30}{4} = 27\,405\). 2. Berechnung der günstigen Möglichkeiten (Auswahl von \(4\) Schülern aus den \(12\) vorhandenen): \(\binom{12}{4} = 495\). 3. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit \(p\) durch Division der günstigen durch die möglichen Fälle: \(p = \frac{495}{27\,405} \approx 0{,}0181\) (bzw. \(1{,}81\,\%\)). 4. Berechnung des Erwartungswerts für \(n = 500\) Durchführungen: \(E = n \cdot p = 500 \cdot \frac{495}{27\,405} \approx 9{,}03\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(1{,}81\,\%\) (exakt \(\frac{11}{609}\)). b) Es ist zu erwarten, dass dies in etwa \(9\) Kursen der Fall ist.

- Wie viele Zahlen stehen insgesamt zur Auswahl und wie viele werden davon gezogen? - Wie viele Zahlen aus dem gesamten Vorrat erfüllen die Bedingung „kleiner oder gleich 15“? - Nutze den Binomialkoeffizienten, um die Anzahl der Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge zu berechnen. - Der Erwartungswert gibt an, wie oft ein Ereignis bei mehrfacher Wiederholung im Durchschnitt eintritt.

1. Berechnung der Anzahl aller möglichen Ziehungen: \(\binom{45}{6} = 8\,145\,060\). 2. Bestimmung der Anzahl der günstigen Ziehungen, bei denen alle Zahlen aus dem Bereich \(1\) bis \(15\) stammen: \(\binom{15}{6} = 5005\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(A)\): \(P(A) = \frac{5005}{8\,145\,060} \approx 0{,}0006145\). 4. Ermittlung des Erwartungswerts für \(n = 5000\) Ziehungen: \(E = 5000 \cdot \frac{5005}{8\,145\,060} \approx 3{,}07\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}0006145\) (oder etwa \(1 : 1627\)). b) Das Ereignis ist in diesem Zeitraum ca. \(3\) Mal zu erwarten.

- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg eines einzelnen Glases. - Wie wahrscheinlich ist es, dass zwölfmal hintereinander ein „gutes“ Glas gezogen wird? - Das Wort „mindestens“ bedeutet, dass du mehrere Fälle betrachten und deren Wahrscheinlichkeiten addieren musst. - Nutze die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabenteil a) als Trefferwahrscheinlichkeit für die Untersuchung der sechs Kartons.

1. Wahrscheinlichkeit für ein einwandfreies Glas: \(p = 1 - 0{,}03 = 0{,}97\). 2. Wahrscheinlichkeit für einen einwandfreien Karton (\(12\) Gläser ohne Fehler): \(P(\text{Karton ok}) = 0{,}97^{12} \approx 0{,}6938\). 3. Für die zweite Stufe sei \(Y\) die Anzahl der einwandfreien Kartons bei \(n = 6\) Versuchen mit \(p_{K} \approx 0{,}6938\). 4. Berechnung von \(P(Y \ge 5) = P(Y = 5) + P(Y = 6)\). 5. Einzelergebnisse: \(P(Y = 5) = \binom{6}{5} \cdot 0{,}6938^{5} \cdot (1 - 0{,}6938)^{1} \approx 0{,}2954\). 6. \(P(Y = 6) = 0{,}6938^{6} \approx 0{,}1116\). 7. Summe: \(0{,}2954 + 0{,}1116 = 0{,}4070\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(69{,}38\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(40{,}70\,\%\).

- Aus wie vielen Einzelergebnissen setzt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit hier zusammen? - Was kannst du aus den Exponenten über die Gesamtzahl der Durchgänge \(n\) ableiten? - Betrachte die Basis der Potenzen, um die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Treffer zu finden. - Wenn mehrere Fälle addiert werden, deutet das oft auf Formulierungen wie „mindestens“ oder „höchstens“ hin.

1. Analyse der Terme: Die Formel besteht aus einer Summe von drei Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung mit \(n = 4\) und \(p = \frac{2}{3}\). 2. Zuordnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: Der erste Term \(\left(\frac{2}{3}\right)^4\) entspricht \(P(X=4)\). Der zweite Term \(4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3\) entspricht \(\binom{4}{3} \cdot p^3 \cdot (1-p)^1\), also \(P(X=3)\). Der dritte Term \(6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2\) entspricht \(\binom{4}{2} \cdot p^2 \cdot (1-p)^2\), also \(P(X=2)\). 3. Zusammenfassung: Die Summe \(P(X=4) + P(X=3) + P(X=2)\) entspricht der Wahrscheinlichkeit \(P(X \ge 2)\). 4. Beispiel-Experiment: In einer Urne liegen 3 Kugeln (z. B. 2 rote, 1 blaue). Es wird 4-mal mit Zurücklegen gezogen. Treffer ist eine rote Kugel (\(p = \frac{2}{3}\)). Ereignis \(B\): Es werden mindestens zwei rote Kugeln gezogen.

Zufallsexperiment: In einer Urne befinden sich zwei rote und eine blaue Kugel. Es wird viermal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Ereignis \(B\): Man erhält mindestens zwei rote Kugeln.

- Bei Teilaufgabe a) ist eine ganz bestimmte Reihenfolge vorgegeben. Musst du hier den Binomialkoeffizienten verwenden? - „Mehr als eins“ bedeutet bei fünf Fragen, dass 2, 3, 4 oder 5 Antworten richtig sein können. Welcher Weg ist hier kürzer? - Überlege dir für Teilaufgabe c), an welchen Positionen das Paar aus richtigen Antworten im Test stehen kann.

1. Die Erfolgswahrscheinlichkeit pro Frage ist \(p = 0{,}25\), die Misserfolgswahrscheinlichkeit \(q = 0{,}75\). Die Anzahl der Fragen ist \(n = 5\). 2. Für a) ist die Wahrscheinlichkeit für die spezifische Sequenz (R, R, F, F, F) gesucht: \(P = 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^3 = 0{,}0625 \cdot 0{,}421875 \approx 0{,}02637\). 3. Für b) nutzt man die Gegenwahrscheinlichkeit zu „keine richtige Antwort“ und „genau eine richtige Antwort“: \(P(X > 1) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))\). Es gilt \(P(X=0) = 0{,}75^5 \approx 0{,}2373\) und \(P(X=1) = 5 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75^4 \approx 0{,}3955\). Somit ist \(P(X > 1) = 1 - 0{,}6328125 = 0{,}3671875\). 4. Für c) müssen genau zwei Treffer erzielt werden, die benachbart sein müssen. Mögliche Sequenzen sind (R, R, F, F, F), (F, R, R, F, F), (F, F, R, R, F) und (F, F, F, R, R). Jede dieser 4 Sequenzen hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}25^2 \cdot 0{,}75^3\). Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist \(4 \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^3 = 4 \cdot 0{,}0263671875 = 0{,}10546875\).

a) \(P \approx 0{,}0264\) (ca. \(2{,}64\,\%\)) b) \(P \approx 0{,}3672\) (ca. \(36{,}72\,\%\)) c) \(P \approx 0{,}1055\) (ca. \(10{,}55\,\%\))

- Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, eine bestimmte Anzahl von Objekten auf Plätze zu verteilen? - Erinnere dich an die Formel für die Wahrscheinlichkeit in einer Bernoulli-Kette. Welche Werte musst du für \(n\), \(k\) und \(p\) einsetzen? - Stell dir bei Teilaufgabe c) zuerst die intakten Bauteile in einer Reihe vor. Wo könnten die defekten Bauteile stehen, damit sie sich nicht berühren? - Wie viele Zwischenräume und Endplätze entstehen, wenn du 5 intakte Bauteile nebeneinander legst?

1. Die Anzahl der Möglichkeiten, \(k=2\) defekte Objekte auf \(n=10\) Positionen zu verteilen, entspricht dem Binomialkoeffizienten \(\binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für genau \(2\) Treffer in einer Bernoulli-Kette der Länge \(10\) mit \(p = 0{,}05\) berechnet sich nach der Bernoulli-Formel: \(P(X=2) = \binom{10}{2} \cdot 0{,}05^2 \cdot 0{,}95^8 = 45 \cdot 0{,}0025 \cdot 0{,}95^8 \approx 0{,}0746\). 3. Um die Anzahl der Sequenzen ohne benachbarte Defekte bei \(3\) defekten (\(D\)) und \(5\) intakten (\(I\)) Bauteilen zu finden, betrachtet man die Lücken zwischen den intakten Bauteilen: \(\_ I \_ I \_ I \_ I \_ I \_\). Es gibt \(6\) mögliche Positionen für die \(3\) defekten Bauteile. Die Anzahl der Möglichkeiten ist \(\binom{6}{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20\).

a) \(45\) b) \(P(X=2) \approx 0{,}0746\) (oder ca. \(7{,}46\,\%\)) c) \(20\)

- Überlege, ob die Auswahl gleichzeitig (ohne Zurücklegen) oder nacheinander mit Zurücklegen erfolgt. - Welche Formel hilft dir, die Anzahl der Möglichkeiten zu bestimmen, eine Teilmenge aus einer Gesamtmenge auszuwählen? - Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit, wenn du die Anzahl der günstigen und der möglichen Kombinationen kennst? - Woran erkennst du, dass für den zweiten Teil der Aufgabe die Binomialverteilung anzuwenden ist?

1. Anzahl der Möglichkeiten: Die Auswahl von 5 aus 20 Personen ohne Beachtung der Reihenfolge wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{20}{5} = 15\,504\) berechnet. 2. Günstige Fälle für genau 3 Personen mit Tablet: Man wählt 3 aus den 12 Personen mit Tablet und 2 aus den 8 Personen ohne Tablet. Anzahl: \(\binom{12}{3} \cdot \binom{8}{2} = 220 \cdot 28 = 6\,160\). 3. Wahrscheinlichkeit (hypergeometrisch): \(P = \frac{6\,160}{15\,504} = \frac{385}{969} \approx 0{,}3973\). 4. Wahrscheinlichkeit bei Ziehen mit Zurücklegen (binomialverteilt): Hier liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n = 10\) und \(p = \frac{12}{20} = 0{,}6\) vor. 5. Berechnung für \(k = 4\): \(P(X = 4) = \binom{10}{4} \cdot 0{,}6^4 \cdot 0{,}4^6 = 210 \cdot 0{,}1296 \cdot 0{,}004096 \approx 0{,}1115\).

a) Es gibt \(15\,504\) Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(39{,}73\,\%\) (\(\frac{385}{969}\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(11{,}15\,\%\) (exakt \(0{,}111476736\)).

- Stell dir vor, die leeren Parkplätze wären Platzhalter, die du zwischen die Autos schiebst. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Autos untereinander zu tauschen? - Bei „mindestens“-Aufgaben hilft oft der Blick auf das Gegenteil. Was ist das Gegenteil von „mindestens zwei leere Plätze nebeneinander“? - Wie viele Stellen gibt es in einer Reihe von 5 Autos, an denen ein leerer Parkplatz sein könnte?

1. Die Gesamtzahl der Möglichkeiten entspricht der Anzahl der Variationen von 5 aus 8 Elementen: \(8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 6\,720\). 2. Die 3 leeren Parkplätze werden als ein zusammenhängender Block betrachtet. Dieser Block wird zusammen mit den 5 unterscheidbaren Autos wie 6 Objekte angeordnet: \(6! = 720\). 3. Zur Lösung wird das Gegenereignis betrachtet: „Keine zwei leeren Parkplätze liegen nebeneinander“. Zuerst werden die 5 Autos angeordnet (\(5! = 120\) Möglichkeiten). Es entstehen 6 mögliche Lücken für die 3 leeren Plätze. Die Anzahl der Wege, diese Lücken zu wählen, ist \(\binom{6}{3} = 20\). Das Gegenereignis hat \(120 \cdot 20 = 2\,400\) Möglichkeiten. Die gesuchte Anzahl ist die Differenz zur Gesamtzahl: \(6\,720 - 2\,400 = 4\,320\).

a) \(6\,720\) b) \(720\) c) \(4\,320\)

- Identifiziere die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für ein einzelnes Teil. - Erinnere dich an die Formel für die Punktwahrscheinlichkeit der Binomialverteilung. - Welches Ereignis ist das Gegenereignis zu „mindestens ein Defekt“? - Überlege dir für Teil c), wie sich die Wahrscheinlichkeit für ein intaktes Teil im zweiten Zug ändert, wenn im ersten Zug bereits ein intaktes Teil entnommen wurde.

1. Modellierung mit Zurücklegen: Binomialverteilung mit \(n = 10\) und \(p = \frac{30}{150} = 0{,}2\). 2. Zu a): \(P(X = 2) = \binom{10}{2} \cdot 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^8 = 45 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}16777216 \approx 0{,}3020\). 3. Zu b): Gegenereignis „kein Teil defekt“: \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}8^{10} \approx 1 - 0{,}1074 = 0{,}8926\). 4. Zu c): Bei der Entnahme ohne Zurücklegen verringert sich nach jedem gezogenen intakten Teil der Anteil der intakten Teile im Behälter stärker als der Anteil der defekten Teile (da anfangs mehr intakte Teile vorhanden sind). Die Wahrscheinlichkeit, nacheinander nur intakte Teile zu ziehen, sinkt daher im Vergleich zum Ziehen mit Zurücklegen. Somit ist \(P(\text{kein defektes Teil})\) ohne Zurücklegen kleiner. (Alternativ: Rechnung mit hypergeometrischer Verteilung zeigt \(\frac{120}{150} \cdot \frac{119}{149} \cdot ... < 0{,}8^{10}\)).

a) ca. \(30{,}20\,\%\) b) ca. \(89{,}26\,\%\) c) Die Wahrscheinlichkeit für „kein defektes Teil“ ist ohne Zurücklegen kleiner als mit Zurücklegen.

- Wie viele feste Positionspaare gibt es, die die Bedingung des Abstands erfüllen? - Vergiss nicht, dass die Personen innerhalb ihrer zugewiesenen Plätze die Plätze tauschen können. - Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es gibt, zwei bestimmte Personen auf drei verfügbare Plätze zu verteilen. - Kannst du den Bruch am Ende durch Kürzen von Fakultäten vereinfachen?

1. Anzahl der Aufstellungen mit genau einer Person zwischen Anna und Bernd: Es gibt 8 mögliche Positionspaare für Anna und Bernd (1 und 3, 2 und 4, ..., 8 und 10). Für jedes Paar gibt es \(2!\) Anordnungen (Anna links oder Bernd links). Die restlichen 8 Personen können auf \(8!\) Arten angeordnet werden. Gesamtzahl: \(8 \cdot 2 \cdot 8! = 16 \cdot 40\,320 = 645\,120\). 2. Wahrscheinlichkeit für die Positionierung am Rand: Gesamtzahl der Aufstellungen ist \(10!\). 3. Günstige Fälle für „beide unter den ersten drei“: Es gibt \(\binom{3}{2} = 3\) Paare von Positionen. Auf jedem Paar können Anna und Bernd auf \(2!\) Arten stehen. Die restlichen 8 Personen verteilen sich auf \(8!\) Arten. Das ergibt \(3 \cdot 2 \cdot 8! = 6 \cdot 8!\) Möglichkeiten. 4. Da die Ereignisse „beide vorne“ und „beide hinten“ disjunkt sind, verdoppelt sich die Anzahl der günstigen Fälle: \(12 \cdot 8!\). 5. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{12 \cdot 8!}{10!} = \frac{12}{10 \cdot 9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15} \approx 0{,}1333\).

a) Es gibt \(645\,120\) mögliche Aufstellungen. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{2}{15} \approx 13{,}3\,\%\).

- Welche Auswahlmöglichkeiten hast du für die erste Sorte von Büchern und welche für die zweite? - „Mindestens sieben“ umfasst mehrere Einzelfälle. Welche sind das bei insgesamt acht Büchern? - Überlege dir für jeden dieser Fälle einzeln, wie viele Möglichkeiten es gibt, und addiere sie am Ende. - Vergiss nicht, durch die Gesamtzahl aller möglichen Achter-Kombinationen zu teilen, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten.

1. Begründung zu a): Es handelt sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge. \(\binom{18}{5}\) gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, 5 Krimis aus dem Vorrat von 18 zu wählen. \(\binom{12}{3}\) gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, 3 historische Romane aus 12 zu wählen. Das Produkt beider Koeffizienten ergibt nach dem Multiplikationsprinzip die Gesamtzahl der Kombinationen für diese spezifische Zusammensetzung. 2. Günstige Ergebnisse für b): „Mindestens sieben“ bedeutet genau 7 oder genau 8 Kriminalromane. - Genau 7: \(\binom{18}{7} \cdot \binom{12}{1} = 31\,824 \cdot 12 = 381\,888\). - Genau 8: \(\binom{18}{8} \cdot \binom{12}{0} = 43\,758 \cdot 1 = 43\,758\). - Summe der günstigen Fälle: \(381\,888 + 43\,758 = 425\,646\). 3. Mögliche Ergebnisse: \(\binom{30}{8} = 5\,852\,925\). 4. Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{mind. 7}) = \frac{425\,646}{5\,852\,925} \approx 0{,}0727\).

a) \(\binom{18}{5}\) wählt 5 aus 18 Krimis, \(\binom{12}{3}\) wählt 3 aus 12 historischen Romanen; das Produkt kombiniert diese beiden Auswahlen. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}0727\) (oder \(7{,}27\,\%\)).

- Wie viele gelbe Kugeln müssen gezogen werden, wenn die Gesamtzahl der Züge 6 ist und Rot sowie Blau jeweils genau zweimal vorkommen sollen? - Überlege zuerst, wie wahrscheinlich eine ganz bestimmte Reihenfolge ist, zum Beispiel: Rot, Rot, Blau, Blau, Gelb, Gelb. - Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es, um diese sechs Kugeln anzuordnen? - Nutze die Pfadregeln für unabhängige Ereignisse.

1. Festlegung der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Farben: \(P(R) = 0{,}2\), \(P(B) = 0{,}3\) und \(P(G) = 0{,}5\). 2. Da genau zwei rote und genau zwei blaue Kugeln gezogen werden sollen, müssen bei insgesamt 6 Ziehungen auch genau zwei gelbe Kugeln gezogen werden. 3. Berechnung der Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten für die Anordnung (Multinomialkoeffizient): \(\frac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{720}{8} = 90\). Alternativ über Binomialkoeffizienten: \(\binom{6}{2} \cdot \binom{4}{2} \cdot \binom{2}{2} = 15 \cdot 6 \cdot 1 = 90\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine einzelne passende Kombination: \(0{,}2^2 \cdot 0{,}3^2 \cdot 0{,}5^2 = 0{,}04 \cdot 0{,}09 \cdot 0{,}25 = 0{,}0009\). 5. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit: \(90 \cdot 0{,}0009 = 0{,}081\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}081\) (oder \(8{,}1\,\%\)).

- Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, wenn bei jedem der vier Aufrufe \(n\) Zahlen möglich sind? - Überlege dir für den Nachweis der Formel, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass jeder neue Aufruf eine Zahl liefert, die bisher noch nicht vorgekommen ist. - Was bedeutet „mindestens zwei gleich“ im Hinblick auf das Ereignis, dass alle Zahlen unterschiedlich sind? - Drücke die Wahrscheinlichkeit, dass viermal die gleiche (beliebige) Zahl erscheint, als Funktion von \(n\) aus und setze diese gleich dem gegebenen Prozentwert.

1. Bei \(n = 6\) und vier Aufrufen gibt es insgesamt \(6^4\) mögliche Ergebnisse. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse für „alle verschieden“ ist \(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360\). Damit ist \(P = \frac{360}{6^4} = \frac{360}{1296} = \frac{5}{18} \approx 0{,}2778\). 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle vier Zahlen unterschiedlich sind, berechnet sich über die Pfadregel zu \(P(\text{diff}) = \frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-2}{n} \cdot \frac{n-3}{n} = \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{n^3}\). Das Ereignis „Mindestens zwei gleich“ ist das Gegenereignis zu „Alle vier verschieden“, woraus folgt: \(P = 1 - \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{n^3}\). 3. Das Ereignis „Alle vier Zahlen gleich“ umfasst \(n\) günstige Fälle: \((1,1,1,1), (2,2,2,2), \dots, (n,n,n,n)\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{n}{n^4} = \frac{1}{n^3}\). Die Gleichung \(\frac{1}{n^3} = 0{,}008\) führt zu \(n^3 = \frac{1}{0{,}008} = 125\). Daraus ergibt sich durch Ziehen der dritten Wurzel \(n = 5\).

a) \(P = \frac{5}{18} \approx 0{,}2778\) b) Nachweis über das Gegenereignis zu „vier unterschiedliche Zahlen“ c) \(n = 5\)

- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Defekt bei einer einzelnen Entnahme in beiden Fällen? - Nutze für die exakte Berechnung den Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\). - Vergleiche die berechneten Wahrscheinlichkeiten: Wie nah liegen sie am Binomialwert? - Überprüfe für die Faustregel das Verhältnis von Stichprobe zu Gesamtmenge.

1. Modellierung mit Zurücklegen (Binomialverteilung): Der Anteil defekter Akkus ist \(p = \frac{5}{50} = \frac{50}{500} = 0{,}1\). Für \(n=4\) und \(k=1\) ergibt sich: \(P(X=1) = \binom{4}{1} \cdot 0{,}1^1 \cdot 0{,}9^3 = 4 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}729 = 0{,}2916\). 2. Exakte Berechnung (Hypergeometrische Verteilung): Lieferung 1 (\(N=50, K=5, n=4, k=1\)): \(P(Y_1=1) = \frac{\binom{5}{1} \cdot \binom{45}{3}}{\binom{50}{4}} = \frac{5 \cdot 14\,190}{230\,300} = \frac{70\,950}{230\,300} \approx 0{,}3081\). Lieferung 2 (\(N=500, K=50, n=4, k=1\)): \(P(Y_2=1) = \frac{\binom{50}{1} \cdot \binom{450}{3}}{\binom{500}{4}} = \frac{50 \cdot 15\,086\,400}{2\,573\,031\,125} = \frac{754\,320\,000}{2\,573\,031\,125} \approx 0{,}2932\). 3. Prüfung der Faustregel (\(n \le 0{,}05 \cdot N\)): Lieferung 1: \(4 \le 0{,}05 \cdot 50 = 2{,}5\) ist falsch. Die Bedingung ist nicht erfüllt. Die Abweichung (\(0{,}3081\) zu \(0{,}2916\)) ist merklich. Lieferung 2: \(4 \le 0{,}05 \cdot 500 = 25\) ist wahr. Die Bedingung ist erfüllt. Die Näherung (\(0{,}2932\) zu \(0{,}2916\)) ist sehr gut.

a) \(P \approx 0{,}2916\). b) Lieferung 1: \(P \approx 0{,}3081\); Lieferung 2: \(P \approx 0{,}2932\). c) Lieferung 1: \(4 > 2{,}5\) (nicht erfüllt); Lieferung 2: \(4 \le 25\) (erfüllt). Die Näherung ist für Lieferung 2 deutlich besser, da die Grundgesamtheit größer ist und die Entnahme das Mischungsverhältnis kaum verändert.

- Was bedeutet „mindestens 11“ im Kontext der Trefferanzahl genau? - Nutze das Ergebnis aus dem ersten Aufgabenteil als neue Wahrscheinlichkeit für den zweiten Teil. - Bei „höchstens zwei“ musst du mehrere Einzelfälle addieren. Welche sind das? - Achte darauf, mit einer ausreichenden Anzahl an Nachkommastellen weiterzurechnen, um Rundungsfehler zu vermeiden.

1. Modellierung der Anzahl keimender Samen pro Tüte durch eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit \(n = 12\) und \(p = 0{,}9\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für „mindestens 11“: \(P(X \ge 11) = P(X = 11) + P(X = 12) = \binom{12}{11} \cdot 0{,}9^{11} \cdot 0{,}1^1 + 0{,}9^{12} \approx 0{,}3766 + 0{,}2824 = 0{,}6590\). 3. Modellierung der Anzahl der „erfolgreichen“ Tüten durch eine Zufallsgröße \(Y\) mit \(N = 5\) und \(p_T \approx 0{,}6590\). 4. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit für \(k \le 2\): \(P(Y \le 2) = P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2)\). 5. Einsetzen in die Formel: \(\binom{5}{0} \cdot 0{,}3410^5 + \binom{5}{1} \cdot 0{,}6590 \cdot 0{,}3410^4 + \binom{5}{2} \cdot 0{,}6590^2 \cdot 0{,}3410^3 \approx 0{,}0046 + 0{,}0442 + 0{,}1722 \approx 0{,}2214\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(65{,}90\,\%\) (\(P \approx 0{,}6590\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(22{,}14\,\%\) (\(P \approx 0{,}2214\)).

- Unterscheide genau zwischen einer festgelegten Reihenfolge und einer beliebigen Anordnung der Treffer. - Nutze bei „mindestens“-Wahrscheinlichkeiten oft das Gegenereignis, um die Rechnung zu verkürzen. - Für die Bestimmung der Anzahl \( n \) eignet sich der Ansatz über das Gegenereignis „kein Treffer“ und die Verwendung von Logarithmen. - Achte bei der Bestimmung der Fehlerquote darauf, dass die Wahrscheinlichkeit für „fehlerfrei“ \( 1-p \) ist.

1. Definiere die Erfolgswahrscheinlichkeit für ein fehlerhaftes Glas: \( p = 0{,}08 \). 2. Ereignis \( A \): Feste Reihenfolge (fehlerfrei, fehlerfrei, fehlerfrei, fehlerfrei, fehlerhaft, fehlerhaft). Berechnung: \( 0{,}92^4 \cdot 0{,}08^2 \approx 0{,}004585 \). 3. Ereignis \( B \): Binomialverteilung mit \( n=6, p=0{,}08 \). \( P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \). \( P(X=0) = 0{,}92^6 \approx 0{,}606355 \) \( P(X=1) = 6 \cdot 0{,}08 \cdot 0{,}92^5 \approx 0{,}316359 \) \( P(X=2) = \binom{6}{2} \cdot 0{,}08^2 \cdot 0{,}92^4 \approx 0{,}068774 \) Summe: \( P(B) \approx 0{,}991488 \). 4. Teilaufgabe b): \( n=50, p=0{,}08 \). \( P(X \ge 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1)) \). \( P(X=0) = 0{,}92^{50} \approx 0{,}015461 \) \( P(X=1) = 50 \cdot 0{,}08 \cdot 0{,}92^{49} \approx 0{,}067251 \) \( P(X \ge 2) \approx 1 - 0{,}082712 = 0{,}917288 \). 5. Teilaufgabe c): Ein Karton ist einwandfrei, wenn alle 3 Gläser fehlerfrei sind. \( p_{karton} = 0{,}92^3 = 0{,}778688 \). 6. Teilaufgabe d): „Mindestens ein“-Problem für Kartons. \( 1 - (1 - 0{,}778688)^n \ge 0{,}95 \). \( 0{,}221312^n \le 0{,}05 \). Logarithmieren: \( n \cdot \ln(0{,}221312) \le \ln(0{,}05) \implies n \ge 1{,}986 \). Es müssen mindestens 2 Kartons untersucht werden. 7. Teilaufgabe e): Gesucht ist \( p \) für \( n=20 \), sodass \( P(X=0) \ge 0{,}90 \). \( (1-p)^{20} \ge 0{,}90 \). \( 1-p \ge 0{,}90^{1/20} \approx 0{,}99475 \). \( p \le 0{,}00525 \). Die Fehlerquote darf höchstens ca. \( 0{,}525\,\% \) betragen.

a) \( P(A) \approx 0{,}46\,\% \); \( P(B) \approx 99{,}15\,\% \) b) \( P(X \ge 2) \approx 91{,}73\,\% \) c) \( P(\text{einwandfrei}) \approx 77{,}87\,\% \) d) Mindestens 2 Kartons. e) Die Fehlerquote darf höchstens \( 0{,}525\,\% \) betragen.

- Überlege dir bei Teilaufgabe c), wie du die Gesamtwahrscheinlichkeit aus den Wahrscheinlichkeiten der beiden unabhängigen Teilstrecken zusammensetzt. - Bei der Suche nach der Mindestanzahl \( n \) hilft das Gegenereignis, bei dem kein einziger Samen keimt. - Wenn nach einer Wahrscheinlichkeit \( p \) gefragt ist, stelle eine Gleichung oder Ungleichung auf, in der \( p \) die Basis einer Potenz ist.

1. Teilaufgabe a): Binomialverteilung mit \( n=5, p=0{,}75 \). \( P(X=4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}75^4 \cdot 0{,}25^1 = 5 \cdot 0{,}31640625 \cdot 0{,}25 \approx 0{,}3955 \). 2. Teilaufgabe b): \( P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5) \). \( P(X=5) = 0{,}75^5 \approx 0{,}2373 \). \( P(X \ge 4) \approx 0{,}3955 + 0{,}2373 = 0{,}6328 \). 3. Teilaufgabe c): Unabhängige Ereignisse. \( P(\text{erste 3 keimen}) = 0{,}75^3 = 0{,}421875 \). Für die restlichen 7: \( Y \sim B(7; 0{,}75) \). \( P(Y \ge 4) = P(Y=4)+P(Y=5)+P(Y=6)+P(Y=7) \). \( P(Y=4) = \binom{7}{4} \cdot 0{,}75^4 \cdot 0{,}25^3 \approx 0{,}1730 \). \( P(Y=5) = \binom{7}{5} \cdot 0{,}75^5 \cdot 0{,}25^2 \approx 0{,}3115 \). \( P(Y=6) = \binom{7}{6} \cdot 0{,}75^6 \cdot 0{,}25^1 \approx 0{,}3115 \). \( P(Y=7) = 0{,}75^7 \approx 0{,}1335 \). \( P(Y \ge 4) \approx 0{,}1730 + 0{,}3115 + 0{,}3115 + 0{,}1335 = 0{,}9295 \). Gesamtwahrscheinlichkeit: \( 0{,}421875 \cdot 0{,}9295 \approx 0{,}3921 \). 4. Teilaufgabe d): „Mindestens ein“-Problem. \( 1 - 0{,}25^n \ge 0{,}99 \implies 0{,}25^n \le 0{,}01 \). \( n \cdot \ln(0{,}25) \le \ln(0{,}01) \implies n \ge 3{,}32 \). Er muss mindestens 4 Samen pflanzen. 5. Teilaufgabe e): Gesucht ist \( p \) für \( n=10 \), sodass \( P(X=10) \ge 0{,}95 \). \( p^{10} \ge 0{,}95 \). \( p \ge 0{,}95^{1/10} \approx 0{,}99488 \). Die Keimrate muss mindestens \( 99{,}488\,\% \) betragen.

a) \( P(X=4) \approx 39{,}55\,\% \) b) \( P(X \ge 4) \approx 63{,}28\,\% \) c) \( P \approx 39{,}21\,\% \) d) Mindestens 4 Samen. e) Die Keimrate muss mindestens \( 99{,}488\,\% \) betragen.

- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg einer einzelnen Serie. Achte dabei auf die Bedingung „mindestens 3“. - Wenn du die Erfolgswahrscheinlichkeit für eine Serie hast, kannst du das Problem als neue Bernoulli-Kette mit 10 Versuchen auffassen. - Was bedeutet „mindestens 9“ für die mögliche Anzahl der erfolgreichen Serien? - Nutze die Formel für die Binomialverteilung für die gesuchten Einzelfälle.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(p_E\), dass eine einzelne Serie erfolgreich ist (mindestens 3 Treffer bei 4 Würfen): \(p_E = P(K=3) + P(K=4) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}7^3 \cdot 0{,}3^1 + \binom{4}{4} \cdot 0{,}7^4 = 4 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}3 + 0{,}2401 = 0{,}4116 + 0{,}2401 = 0{,}6517\). 2. Definition der Zufallsgröße \(Y\) als Anzahl der erfolgreichen Serien bei insgesamt \(n = 10\) Versuchen. \(Y\) ist binomialverteilt mit \(B(10; 0{,}6517)\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für „mindestens 9“: \(P(Y \ge 9) = P(Y=9) + P(Y=10)\). 4. Anwendung der Bernoulli-Formel: \(P(Y=9) = \binom{10}{9} \cdot 0{,}6517^9 \cdot (1-0{,}6517)^1 \approx 0{,}07386\). \(P(Y=10) = \binom{10}{10} \cdot 0{,}6517^{10} \cdot (1-0{,}6517)^0 \approx 0{,}01382\). 5. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(P(Y \ge 9) \approx 0{,}07386 + 0{,}01382 = 0{,}08768\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(8{,}77\,\%\) (ca. \(0{,}0877\)).

- Was bedeutet das kleine Zeichen unter dem \(P\) bei der bedingten Wahrscheinlichkeit für die Grundmenge, auf die wir uns beziehen? - Erstelle bei Bedarf eine Vierfeldertafel, um die absoluten Häufigkeiten aller Merkmalskombinationen zu bestimmen. - Wie viele Personen entsprechen dem Prozentsatz in der Stichprobe? - Überlege, ob sich die Wahrscheinlichkeit bei jeder Auswahl ändert oder ob sie (annähernd) gleich bleibt.

1. Zur Bestimmung von \(P_T(P)\) wird zunächst die Anzahl der Mitglieder benötigt, die Tennis spielen (\(n(T) = 45\)). Die Anzahl der Mitglieder, die sowohl Tennis als auch Padel-Tennis spielen, ist gegeben mit \(n(T \cap P) = 18\). 2. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist \(P_T(P) = \frac{P(T \cap P)}{P(T)} = \frac{18}{45}\). 3. Berechnung: \(P_T(P) = 0{,}4\). Im Sachzusammenhang bedeutet dies: „Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mitglied Padel-Tennis spielt, unter der Voraussetzung, dass es bereits in der Tennisabteilung ist.“ 4. Für Aufgabenteil b) ist die Anzahl der Erfolge gesucht. \(25\,\%\) von 20 Personen entsprechen \(0{,}25 \cdot 20 = 5\) Personen. 5. Da ohne Zurücklegen aus einer endlichen Grundgesamtheit (\(N=120\)) mit einer festen Anzahl an Merkmalsträgern (\(M=45\)) gezogen wird, wird die hypergeometrische Verteilung verwendet: \(P(X=5) = \frac{\binom{45}{5} \cdot \binom{75}{15}}{\binom{120}{20}}\). 6. Die numerische Auswertung ergibt \(P(X=5) \approx 0{,}2035\).

a) Bedeutung: Wahrscheinlichkeit, dass ein Mitglied Padel-Tennis spielt, wenn bekannt ist, dass es Tennis spielt. Wert: \(P_T(P) = 0{,}4\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(20{,}4\,\%\).

- Unterscheide zwischen einer ganz spezifischen Karte und einer Gruppe von Karten (wie allen Assen). - Überlege für Aufgabenteil b), welche Verteilung vorliegt, wenn nicht zurückgelegt wird. - Erinnere dich für c) an die Formel für Bernoulli-Ketten, wenn die Wahrscheinlichkeit bei jedem Zug gleich bleibt.

1. Da jede der \(32\) Karten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit an der fünften Position liegen kann, beträgt die Wahrscheinlichkeit für das spezifische Herz-Ass \(P = \frac{1}{32} = 0{,}03125\). 2. Ziehen ohne Zurücklegen (hypergeometrische Verteilung): Die Anzahl der Möglichkeiten, \(2\) aus \(4\) Assen und \(3\) aus \(28\) Nicht-Assen zu ziehen, wird durch die Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(5\) aus \(32\) Karten zu ziehen, geteilt: \(P(X=2) = \frac{\binom{4}{2} \cdot \binom{28}{3}}{\binom{32}{5}} = \frac{6 \cdot 3276}{201\,376} = \frac{19\,656}{201\,376} \approx 0{,}0976\). 3. Ziehen mit Zurücklegen (Binomialverteilung/Bernoulli-Kette): Die Trefferwahrscheinlichkeit ist \(p = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}\). Bei \(n=5\) Versuchen ist die Wahrscheinlichkeit für \(k=2\) Treffer: \(P(X=2) = \binom{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^2 \cdot \left(\frac{7}{8}\right)^3 = 10 \cdot \frac{1}{64} \cdot \frac{343}{512} = \frac{3430}{32\,768} \approx 0{,}1047\).

a) \(P = \frac{1}{32} = 0{,}03125\) b) \(P = \frac{\binom{4}{2} \cdot \binom{28}{3}}{\binom{32}{5}} \approx 0{,}0976\) c) \(P = \binom{5}{2} \cdot (0{,}125)^2 \cdot (0{,}875)^3 \approx 0{,}1047\)

- Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Zahlen zu wählen, und wie viele für die Farbe? Wie hängen diese zusammen? - Teile das Problem in die Auswahl der richtig getippten und der nicht richtig getippten Zahlen auf. - Wenn die Farbe „falsch“ sein soll, wie viele der verfügbaren Farben kommen dann infrage? - Benutze den Binomialkoeffizienten für die Ziehung ohne Zurücklegen.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Kombinationen für die Zahlen: \(\binom{30}{4} = 27\,405\). Da es 3 Farben gibt, ist die Gesamtzahl der Ergebnisse \(27\,405 \cdot 3 = 82\,215\). 2. Günstige Ergebnisse für 3 Richtige und richtige Farbe: Anzahl der Möglichkeiten für 3 Richtige aus 4 getippten: \(\binom{4}{3} = 4\). Anzahl der Möglichkeiten für die 1 falsche Zahl aus den restlichen 26: \(\binom{26}{1} = 26\). Anzahl der richtigen Farbmöglichkeiten: 1. Gesamt günstige Fälle: \(4 \cdot 26 \cdot 1 = 104\). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{104}{82\,215} \approx 0{,}00127\). 3. Günstige Ergebnisse für 0 Richtige und falsche Farbe: Anzahl der Möglichkeiten für 0 Richtige aus 4 (also 4 aus 26 Falschen): \(\binom{26}{4} = 14\,950\). Anzahl der falschen Farben: 2. Gesamt günstige Fälle: \(14\,950 \cdot 2 = 29\,900\). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{29\,900}{82\,215} \approx 0{,}3637\).

a) \( 82\,215 \) Möglichkeiten b) \( P \approx 0{,}13\,\% \) (oder \( \frac{104}{82\,215} \)) c) \( P \approx 36{,}37\,\% \) (oder \( \frac{29\,900}{82\,215} \))

- Wie viele Gesamtmöglichkeiten gibt es bei 5 Würfen eines achtseitigen Würfels? - Berechne zuerst, wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 unterschiedliche Zahlen aus den 8 vorhandenen auszuwählen und anzuordnen. - Welches einfache Verhältnis besteht zwischen „alle verschieden“ und „mindestens zwei gleich“? - Überlege dir die Definition einer Bernoulli-Kette: Bleibt die Wahrscheinlichkeit für einen „Treffer“ bei jedem Wurf gleich, wenn der Treffer „eine bereits gewürfelte Zahl“ ist?

1. Berechnung von \(P(A)\): Es gibt insgesamt \(8^5\) mögliche Wurfergebnisse. Für das Ereignis „alle verschieden“ gibt es \(8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4\) Möglichkeiten. \(P(A) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{8^5} = \frac{6720}{32\,768} = \frac{105}{512} \approx 0{,}2051\) 2. Das Ereignis \(B\) ist das Gegenereignis zu \(A\). \(P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}2051 = 0{,}7949\) 3. Beurteilung der Schülerbehauptung: Die Aussage ist falsch. Eine Bernoulli-Kette setzt voraus, dass bei jedem Versuch ein fester „Erfolg“ definiert ist (z. B. „Würfeln einer 1“). Hier geht es jedoch darum, ob *irgendeine* Zahl doppelt vorkommt. Der Erfolg im Sinne des Geburtstagsproblems (eine Zahl wird wiederholt) hängt davon ab, welche Zahlen in den vorherigen Würfen bereits gefallen sind. Die Wahrscheinlichkeit für eine Wiederholung ändert sich also von Wurf zu Wurf. Zudem betrachtet die Bernoulli-Formel \(1 - P(X=0) - P(X=1)\) nur die Häufigkeit eines *spezifischen* Ergebnisses, nicht die Kollision beliebiger Ergebnisse.

a) \(P(A) \approx 0{,}2051\) b) \(P(B) \approx 0{,}7949\) c) Die Aussage ist falsch, da es sich nicht um eine Bernoulli-Kette mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit für das Eintreten einer beliebigen Dopplung handelt.

- Erstelle für die erste Teilaufgabe eine Tabelle mit allen möglichen Werten, die die Anzahl der Einsen annehmen kann. - Wie viele Bits müssen 1 sein, damit bei insgesamt 8 Bits mehr Nullen als Einsen vorhanden sind? - Denk daran, dass bei einer Bernoulli-Kette mit \(p=0{,}5\) die Formel durch \(0{,}5^n\) vereinfacht werden kann.

1. Für \(n = 3\) und \(p = 0{,}5\) werden die Einzelwahrscheinlichkeiten berechnet: \(P(X = 0) = \binom{3}{0} \cdot 0{,}5^3 = 0{,}125\) \(P(X = 1) = \binom{3}{1} \cdot 0{,}5^3 = 0{,}375\) \(P(X = 2) = \binom{3}{2} \cdot 0{,}5^3 = 0{,}375\) \(P(X = 3) = \binom{3}{3} \cdot 0{,}5^3 = 0{,}125\) 2. Für \(n = 8\) bedeutet die Bedingung „Anzahl der Nullen \(>\) Anzahl der Einsen“, dass höchstens 3 Einsen vorkommen dürfen (da bei 4 Einsen Gleichstand herrscht). Gesucht ist also \(P(X \le 3)\). 3. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit: \(P(X \le 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)\). 4. Einsetzen der Werte: \(P(X \le 3) = (\binom{8}{0} + \binom{8}{1} + \binom{8}{2} + \binom{8}{3}) \cdot 0{,}5^8 = (1 + 8 + 28 + 56) \cdot \frac{1}{256} = \frac{93}{256} \approx 0{,}3633\).

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung für \(n=3\): <table> <tr><td>\(k\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr> <tr><td>\(P(X=k)\)</td><td>\(0{,}125\)</td><td>\(0{,}375\)</td><td>\(0{,}375\)</td><td>\(0{,}125\)</td></tr> </table> b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{93}{256} \approx 0{,}3633\) (oder \(36{,}33\,\%\)).

- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung fehlerhaft ist, indem du das Gegenereignis „kein Chip ist defekt“ betrachtest. - Nutze diesen Wert als Erfolgswahrscheinlichkeit für die zweite Binomialverteilung der 20 Packungen. - Wie lässt sich „höchstens eine“ mathematisch mit den Punktwahrscheinlichkeiten ausdrücken?

1. Die Anzahl defekter Chips in einer Packung ist \(B(10; 0{,}05)\)-verteilt. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung beanstandet wird, ist \(p_{B} = P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}95^{10} \approx 0{,}40126\). 2. Die Anzahl der beanstandeten Packungen unter \(20\) Stück ist \(B(20; p_{B})\)-verteilt. Die Wahrscheinlichkeit für genau \(5\) Beanstandungen ist \(P(Y = 5) = \binom{20}{5} \cdot p_{B}^5 \cdot (1 - p_{B})^{15} \approx 0{,}0735\). 3. Die Wahrscheinlichkeit für höchstens eine Beanstandung ist \(P(Y \le 1) = P(Y = 0) + P(Y = 1)\). Es gilt \(P(Y = 0) = (1 - p_{B})^{20} \approx 0{,}000\,035\,1\) und \(P(Y = 1) = 20 \cdot p_{B} \cdot (1 - p_{B})^{19} \approx 0{,}000\,469\,8\). Die Summe ergibt \(P(Y \le 1) \approx 0{,}000\,504\,9\).

1. \(p_{B} \approx 0{,}4013\) 2. \(P(Y = 5) \approx 0{,}0735\) 3. \(P(Y \le 1) \approx 0{,}000\,505\)

- Wenn nach „mindestens“ gefragt wird, ist es oft einfacher, mit dem Gegenereignis zu rechnen. - Stell dir vor, du verteilst die 80 Kolonien nacheinander auf die 200 Felder. - Wie berechnet man die Anzahl der erwarteten Felder mit einer bestimmten Eigenschaft? - Welche Rolle spielt die Unabhängigkeit der Platzierung für das Modell?

1. Parameter: \(n = 80\) (Anzahl der Kolonien), \(p = \frac{1}{200} = 0{,}005\) (Wahrscheinlichkeit, dass eine Kolonie in einem bestimmten Feld landet). 2. Mindestens drei Kolonien: \(P(X \ge 3) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2))\). 3. Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X=0) = \binom{80}{0} \cdot 0{,}005^0 \cdot 0{,}995^{80} \approx 0{,}6696\) \(P(X=1) = \binom{80}{1} \cdot 0{,}005^1 \cdot 0{,}995^{79} \approx 0{,}2691\) \(P(X=2) = \binom{80}{2} \cdot 0{,}005^2 \cdot 0{,}995^{78} \approx 0{,}0534\) 4. Summe: \(P(X \ge 3) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)) \approx 0{,}0077\). 5. Erwartete leere Felder: \(E = 200 \cdot P(X=0) \approx 133{,}93\). 6. Begründung: Die Kolonien werden als unabhängige Ereignisse betrachtet, die mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit in jedes Feld fallen können (Bernoulli-Experiment).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}77\,\%\) (genauer \(0{,}0077\)). b) Es sind voraussichtlich etwa \(134\) Testfelder frei von Kolonien. c) Die Binomialverteilung ist geeignet, da die Platzierung jeder Kolonie als unabhängiger Versuch mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit für ein Feld angesehen werden kann.

- Erinnere dich an die Regel für das Gegenereignis, um Wahrscheinlichkeiten für „mindestens einmal“ zu berechnen. - Stelle eine Formel für die Wahrscheinlichkeit auf, dass eine spezifische Karte nach \(n\) Käufen noch fehlt. - Wenn du diese Wahrscheinlichkeit mit der Gesamtzahl der Karten multiplizierst, erhältst du die erwartete Anzahl fehlender Karten. - Nutze den Taschenrechner, um eine exponentielle Gleichung mithilfe von Logarithmen nach der Anzahl der Versuche aufzulösen.

1. Lösung zu a): Die Wahrscheinlichkeit, die Karte Nr. 1 in einer Packung nicht zu finden, ist \(q = \frac{29}{30}\). Bei 40 Käufen ist die Wahrscheinlichkeit, sie keinmal zu erhalten, \(q^{40} = ( \frac{29}{30} )^{40} \approx 0{,}2581\). Die Gegenwahrscheinlichkeit für „mindestens einmal“ ist \(1 - 0{,}2581 = 0{,}7419\). 2. Lösung zu b): Der Erwartungswert für die Anzahl der fehlenden Karten bei \(n\) Käufen berechnet sich durch die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten, dass eine Karte jeweils nicht gezogen wurde: \(E(X) = 30 \cdot ( \frac{29}{30} )^n\). 3. Den Erwartungswert mit der beobachteten Anzahl fehlender Karten gleichsetzen: \(30 \cdot ( \frac{29}{30} )^n = 12\). 4. Umformen der Gleichung: \(( \frac{29}{30} )^n = \frac{12}{30} = 0{,}4\). 5. Anwendung des Logarithmus: \(n = \frac{\ln(0{,}4)}{\ln\left(\frac{29}{30}\right)} \approx 27{,}03\). Die Schätzung für \(n\) liegt bei etwa 27 Packungen.

a) ca. \(74{,}2\,\%\) b) ca. 27 Packungen

- Setze für die Aufgabenteile die allgemeine Formel der Binomialverteilung mit \(k=0\), \(k=1\) und \(k=2\) an. - Nutze Potenzgesetze, um Brüche mit gleicher Basis zu vereinfachen. - Erinnere dich bei Teil b), wie man den Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{2}\) ausschreibt. - Überlege dir für den Grenzübergang, gegen welche Werte die einzelnen Faktoren des Produkts streben, wenn \(n\) immer größer wird.

1. Nach der Formel der Binomialverteilung gilt \(P(X=0) = (1 - \frac{1}{n})^n\) und \(P(X=1) = n \cdot \frac{1}{n} \cdot (1 - \frac{1}{n})^{n-1} = (1 - \frac{1}{n})^{n-1}\). 2. Der Quotient ist \(\frac{P(X=1)}{P(X=0)} = \frac{(1 - \frac{1}{n})^{n-1}}{(1 - \frac{1}{n})^n} = \frac{1}{1 - \frac{1}{n}} = \frac{1}{\frac{n-1}{n}} = \frac{n}{n-1}\). Daraus folgt \(P(X=1) = \frac{n}{n-1} \cdot P(X=0)\). 3. Für \(k=2\) gilt: \(P(X=2) = \binom{n}{2} \cdot (\frac{1}{n})^2 \cdot (1 - \frac{1}{n})^{n-2} = \frac{n(n-1)}{2} \cdot \frac{1}{n^2} \cdot (1 - \frac{1}{n})^{n-2} = \frac{n-1}{2n} \cdot (1 - \frac{1}{n})^{n-2}\). 4. Für große \(n\) strebt \(\frac{n-1}{2n}\) gegen \(\frac{1}{2}\) und \((1 - \frac{1}{n})^{n-2}\) gegen \(\frac{1}{e}\) (da \((1 - \frac{1}{n})^{-2} \to 1\)). Somit gilt \(P(X=2) \approx \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{2e}\).

a) Durch Einsetzen in \(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\) erhält man \(P(X=0) = (1-\frac{1}{n})^n\) und \(P(X=1) = (1-\frac{1}{n})^{n-1}\). Division führt auf \(\frac{n}{n-1}\). b) \(P(X=2) = \frac{n-1}{2n} \cdot (1-\frac{1}{n})^{n-2}\). Da \(\frac{n-1}{2n} \to \frac{1}{2}\) und \((1-\frac{1}{n})^{n-2} \to \frac{1}{e}\), folgt die Näherung \(P(X=2) \approx \frac{1}{2e}\).

- Stelle dir vor, du untersuchst eine feste Zahl, zum Beispiel die 42. Wie wahrscheinlich ist es, dass sie bei 100 Versuchen kein einziges Mal gezogen wird? - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Treffer bei einer festen Zahl? - Der Erwartungswert einer Summe von Indikatorvariablen (hier: „Zahl kommt vor/nicht vor“) ist die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten. - Wie viele Zahlen gibt es insgesamt, für die dieses Ereignis eintreten kann?

1. Modellierung: Die Häufigkeit, mit der eine bestimmte Zahl \(k \in \{1; \dots; 100\}\) auftritt, ist binomialverteilt mit \(n = 100\) und \(p = \frac{1}{100} = 0{,}01\). 2. Wahrscheinlichkeit für das Nicht-Vorkommen einer Zahl: \(P(X = 0) = \binom{100}{0} \cdot 0{,}01^0 \cdot 0{,}99^{100} = 0{,}99^{100} \approx 0{,}3660\). 3. Erwartungswert für die Anzahl der nicht vorkommenden Werte: \(E(\text{nicht vorkommend}) = 100 \cdot P(X = 0) \approx 36{,}60\). 4. Wahrscheinlichkeit für das genau zweifache Vorkommen einer Zahl: \(P(X = 2) = \binom{100}{2} \cdot 0{,}01^2 \cdot 0{,}99^{98} = 4950 \cdot 0{,}0001 \cdot 0{,}99^{98} \approx 0{,}1849\). 5. Erwartungswert für die Anzahl der Werte mit Häufigkeit 2: \(E(\text{Häufigkeit 2}) = 100 \cdot P(X = 2) \approx 18{,}49\).

a) Es werden durchschnittlich ca. \(36{,}6\) Zahlen nicht in der Liste vorkommen. b) Es ist zu erwarten, dass ca. \(18{,}5\) Zahlen genau zweimal in der Liste enthalten sind.

- Was bedeutet „höchstens ein Test“ für die möglichen Anzahlen an Fehlern? - Teile das Problem in die beiden Testtypen auf und überlege, welche Fehlerkombinationen zulässig sind. - Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit für null Fehler in einer Bernoulli-Kette? - Denke daran, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit die Summe der Wahrscheinlichkeiten der sich ausschließenden Szenarien ist.

1. Definition der Zufallsgrößen: \(X_A \sim B(6; 0{,}05)\) für Fehler in Typ A und \(X_B \sim B(4; 0{,}10)\) für Fehler in Typ B. 2. Bestimmung der günstigen Fälle für höchstens einen Fehler (\(X \le 1\)): Fall 1: Null Fehler insgesamt (\(X_A = 0\) und \(X_B = 0\)). Fall 2: Genau ein Fehler bei Typ A und null Fehler bei Typ B (\(X_A = 1\) und \(X_B = 0\)). Fall 3: Null Fehler bei Typ A und genau ein Fehler bei Typ B (\(X_A = 0\) und \(X_B = 1\)). 3. Berechnung der Teilwahrscheinlichkeiten: \(P(X_A = 0) = 0{,}95^6 \approx 0{,}7351\) \(P(X_A = 1) = \binom{6}{1} \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^5 \approx 0{,}2321\) \(P(X_B = 0) = 0{,}90^4 \approx 0{,}6561\) \(P(X_B = 1) = \binom{4}{1} \cdot 0{,}10^1 \cdot 0{,}90^3 = 0{,}2916\) 4. Kombination der Fälle: \(P(X \le 1) = 0{,}7351 \cdot 0{,}6561 + 0{,}2321 \cdot 0{,}6561 + 0{,}7351 \cdot 0{,}2916\) 5. Ergebnis: \(P(X \le 1) \approx 0{,}4823 + 0{,}1523 + 0{,}2144 = 0{,}8490\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass insgesamt höchstens ein Test fehlerhaft ist, beträgt ca. \(84{,}90\,\%\).

- Identifiziere die Trefferwahrscheinlichkeit für einen einzelnen Song bei einer Auswahl. - Für Teilaufgabe b) ist es oft einfacher, die Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis zu berechnen. - Was bedeutet „mindestens zwei“ mathematisch ausgedrückt? - Wenn jeder Song die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, nicht gespielt zu werden, wie lässt sich daraus die Gesamtzahl der „übergangenen“ Songs im Durchschnitt bestimmen?

1. Die Anzahl der Wiedergaben eines bestimmten Songs ist binomialverteilt mit \(n = 50\) und \(p = \frac{1}{50} = 0{,}02\). 2. Wahrscheinlichkeit für keinmal (\(X = 0\)): \(P(X = 0) = (1 - 0{,}02)^{50} = 0{,}98^{50} \approx 0{,}3642\) 3. Wahrscheinlichkeit für mindestens zweimal (\(X \ge 2\)): Gegenereignis ist \(X < 2\), also \(X=0\) oder \(X=1\). \(P(X = 1) = \binom{50}{1} \cdot 0{,}02^1 \cdot 0{,}98^{49} = 1 \cdot 0{,}98^{49} \approx 0{,}3716\) \(P(X \ge 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1)) \approx 1 - (0{,}3642 + 0{,}3716) = 0{,}2642\) 4. Erwartete Anzahl der nicht gespielten Songs: Sei \(Y\) die Anzahl der Songs, die \(0\)-mal vorkommen. Über die Linearität des Erwartungswerts gilt \(E(Y) = 50 \cdot P(X = 0)\). \(E(Y) = 50 \cdot 0{,}98^{50} \approx 50 \cdot 0{,}36417 \approx 18{,}21\).

a) \(P(X=0) \approx 0{,}3642\) (ca. \(36{,}4\,\%\)) b) \(P(X \ge 2) \approx 0{,}2642\) (ca. \(26{,}4\,\%\)) c) Im Durchschnitt werden ca. \(18{,}2\) Songs kein einziges Mal gespielt.