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- Überlege, welche Zahl in der Formel für die Gesamtzahl der Versuche steht. - Welche Zahl gibt an, wie oft das gewünschte Ereignis eintreten soll? - Wo in der Formel findest du die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Treffer? - Wie hängen die Exponenten mit der Gesamtzahl der Versuche zusammen?

Die Parameter werden direkt aus der allgemeinen Formel der Binomialverteilung \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) abgelesen: 1. In Aufgabenteil a) ist die Anzahl der Versuche \(n = 20\), die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}75\) und die Anzahl der Treffer \(k = 11\). 2. In Aufgabenteil b) ist die Anzahl der Versuche \(n = 50\), die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}05\) und die Anzahl der Treffer \(k = 2\). 3. In Aufgabenteil c) ist die Anzahl der Versuche \(n = 9\), die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{4}\) und die Anzahl der Treffer \(k = 5\).

a) \(n = 20\); \(p = 0{,}75\); \(k = 11\) b) \(n = 50\); \(p = 0{,}05\); \(k = 2\) c) \(n = 9\); \(p = \frac{1}{4}\); \(k = 5\)

- Erinnere dich an den Aufbau der Bernoulli-Formel: Trefferzahl, Trefferwahrscheinlichkeit und Gegenwahrscheinlichkeit. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, wenn man die Erfolgswahrscheinlichkeit kennt? - Wenn du insgesamt 16-mal wirfst und 4-mal triffst, wie oft triffst du dann nicht? - Die Summe der beiden Exponenten muss immer der Gesamtzahl der Versuche entsprechen.

1. Aufstellen des Terms: Die Formel für die Binomialverteilung lautet \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\). Einsetzen der gegebenen Werte \(n = 16\), \(p = \frac{1}{3}\) und \(k = 4\) ergibt \(P(X = 4) = \binom{16}{4} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{12}\). 2. Bestimmung des Exponenten: Der Exponent der Gegenwahrscheinlichkeit \((1 - p) = \frac{2}{3}\) ist \(12\). 3. Allgemeine Berechnung: Der Exponent entspricht der Anzahl der Misserfolge und wird allgemein durch die Differenz \(n - k\) berechnet. Hier: \(16 - 4 = 12\).

a) \(P(X = 4) = \binom{16}{4} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{12}\) b) Der Exponent ist \(12\). Er wird allgemein über \(n - k\) berechnet.

- Welche vier Größen brauchst du für eine binomiale Punktwahrscheinlichkeit? - „Genau drei Treffer“ bedeutet zugleich eine bestimmte Anzahl von Misserfolgen. - Der Binomialkoeffizient berücksichtigt die möglichen Positionen der Treffer.

1. Es gilt \(n=5\), \(p=0{,}60\), \(1-p=0{,}40\) und \(k=3\). 2. Mit der Bernoulli-Formel ist \(P(X=3)=\binom{5}{3}0{,}6^3 0{,}4^2\). 3. Damit ergibt sich \(P(X=3)=10\cdot0{,}216\cdot0{,}16=0{,}3456\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}3456\), also \(34{,}56\,\%\).

- Was ist hier der Treffer und wie groß ist seine Wahrscheinlichkeit? - Wie viele Versuche werden durchgeführt? - Welche Punktwahrscheinlichkeit ist gesucht?

1. Es gilt \(n=10\), \(p=\frac15\) und \(k=2\). 2. Daher ist \(P(X=2)=\binom{10}{2}\left(\frac15\right)^2\left(\frac45\right)^8\). 3. Mit \(\binom{10}{2}=45\) ist dies bereits ein exakter Wert; eine Dezimalnäherung ist für die Aufgabe nicht erforderlich.

\(P(X=2)=\binom{10}{2}\left(\frac15\right)^2\left(\frac45\right)^8\)

- Welche Parameter beschreiben die Trefferzahl in den vier unabhängigen Schüssen? - Bei genau zwei Treffern treten zugleich genau zwei Fehlschüsse auf. - Wie berücksichtigt der Binomialkoeffizient die möglichen Positionen der Treffer?

1. Es gilt \(X\sim B(4,0{,}60)\). 2. Für genau zwei Treffer ist \(P(X=2)=\binom{4}{2}0{,}6^2 0{,}4^2\). 3. Damit ergibt sich \(P(X=2)=6\cdot0{,}36\cdot0{,}16=0{,}3456\).

\(P(X=2)=0{,}3456=34{,}56\,\%\)

- Welche beiden Ausgänge hat jeder einzelne Samen im Modell? - Welche Parameter \(n\), \(p\) und \(k\) gehören zu „genau fünf keimen“? - Der Binomialkoeffizient zählt die möglichen Positionen der fünf Keimungen.

1. Es gilt \(X\sim B(7,0{,}80)\). 2. Für genau fünf Keimungen ist \(P(X=5)=\binom{7}{5}0{,}8^5 0{,}2^2\). 3. Mit \(\binom{7}{5}=21\) ergibt sich \(P(X=5)=21\cdot0{,}32768\cdot0{,}04=0{,}2752512\).

\(P(X=5)=0{,}2752512\approx27{,}53\,\%\)

- Lies für jede Zufallsgröße die Werte \(n\), \(p\) und \(k\) ab. - Gesucht ist jeweils genau ein Trefferwert, also eine Punktwahrscheinlichkeit. - Runde erst das Endergebnis auf vier Nachkommastellen.

1. \(P(X_1=3)=\binom{15}{3}0{,}2^3 0{,}8^{12}\approx0{,}2501\). 2. \(P(X_2=10)=\binom{20}{10}0{,}45^{10}0{,}55^{10}\approx0{,}1593\). 3. \(P(X_3=2)=\binom{50}{2}0{,}05^2 0{,}95^{48}\approx0{,}2611\).

a) \(P(X_1=3)\approx0{,}2501\) b) \(P(X_2=10)\approx0{,}1593\) c) \(P(X_3=2)\approx0{,}2611\)

- Welche Werte für \(n\), \(p\) und \(k\) gehören zu der gesuchten Punktwahrscheinlichkeit? - Gesucht ist genau ein Trefferwert, keine kumulierte Wahrscheinlichkeit. - Runde erst das Endergebnis auf vier Nachkommastellen.

1. Es gilt \(X\sim B(100,0{,}65)\). 2. Gesucht ist die Punktwahrscheinlichkeit \(P(X=60)=\binom{100}{60}0{,}65^{60}0{,}35^{40}\). 3. Der Taschenrechner liefert \(P(X=60)\approx0{,}0473922\), gerundet also \(0{,}0474\).

\(P(X=60)\approx0{,}0474\)

- Wie groß ist die Trefferwahrscheinlichkeit beim zufälligen Raten? - Welche Punktwahrscheinlichkeit ist gefragt? - Setze \(n\), \(p\) und \(k\) in die Bernoulli-Formel ein.

1. Die Trefferzahl ist binomialverteilt mit \(n=15\) und \(p=0{,}25\). 2. Daher gilt \(P(X=5)=\binom{15}{5}0{,}25^5 0{,}75^{10}\). 3. Mit \(\binom{15}{5}=3003\) erhält man \(P(X=5)\approx0{,}1651\).

\(P(X=5)\approx0{,}1651\)

- Für a) genügt es, die höchste Säule zu finden. - Vergleiche für b) direkt die Säulen bei \(X=1\) und \(X=3\). - Für c) lies die Höhe der Säule bei \(X=2\) an der Wahrscheinlichkeitsachse ab.

1. Die höchste Säule steht bei \(X=2\). Daher ist \(2\) der wahrscheinlichste Wert. 2. Die Säule bei \(X=1\) ist höher als die bei \(X=3\); also gilt \(P(X=1)>P(X=3)\). 3. Die Säule bei \(X=2\) hat die Höhe \(0{,}3456\), also auf zwei Dezimalstellen \(0{,}35\).

a) \(X=2\) b) \(P(X=1)>P(X=3)\) c) \(P(X=2)\approx0{,}35\)

- Welche Rolle spielen die Exponenten in der Bernoulli-Formel im Verhältnis zur Gesamtzahl der Versuche? - Wie hängen die Basis der ersten Potenz und die Basis der zweiten Potenz zusammen? - Erinnere dich an den Aufbau des Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) im Kontext der Trefferzahl.

1. Vergleich mit der Bernoulli-Formel \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) zeigt, dass \(k = 6\) ist. 2. Aus dem Exponenten der Gegenwahrscheinlichkeit folgt \(m = n - k = 15 - 6 = 9\). 3. Da \(1 - p = 0{,}75\) ist, ergibt sich die Erfolgswahrscheinlichkeit zu \(p = 1 - 0{,}75 = 0{,}25\). 4. Berechnung des Wertes: \(P(X = 6) = \binom{15}{6} \cdot 0{,}25^6 \cdot 0{,}75^9 = 5005 \cdot 0{,}25^6 \cdot 0{,}75^9 \approx 0{,}0917\).

\(k = 6\), \(p = 0{,}25\), \(m = 9\) \(P(X = 6) \approx 0{,}0917\)

- Die Summe der Exponenten in einem Bernoulli-Term entspricht der Gesamtzahl der Versuche \(n\). - Die Zahl unten im Binomialkoeffizienten entspricht der Anzahl der Erfolge \(k\). - Die beiden Wahrscheinlichkeiten müssen sich zu \(1\) ergänzen.

1. Teilaufgabe a): Da die Wahrscheinlichkeit für \(X=3\) gesucht ist, muss \(k=3\) gelten. Damit ist \(\square=3\) und der Exponent der Erfolgswahrscheinlichkeit \(\triangle=3\). Der Exponent der Gegenwahrscheinlichkeit ist \(n-k=10-3=7\), also \(\bigcirc=7\). 2. Teilaufgabe b): Der untere Wert im Binomialkoeffizienten gibt die Trefferzahl an, also \(\square=5\). Die Summe der Exponenten ergibt die Gesamtzahl der Versuche \(n=5+7=12\). Die Basis der zweiten Potenz ist die Gegenwahrscheinlichkeit \(\triangle=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\). 3. Teilaufgabe c): Die Summe der Exponenten von \(p\) und \(1-p\) entspricht \(n\). Da die Exponenten \(2\) und \(8\) sind, gilt \(n=10\), also \(\square=10\).

a) \(\square=3\), \(\triangle=3\), \(\bigcirc=7\) b) \(\square=5\), \(\triangle=\frac{2}{3}\) mit \(n=12\) c) \(\square=10\)

- Überlege zuerst, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für einen „Nicht-Treffer“ ist. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 4 Treffer auf die 12 Plätze der Kette zu verteilen? - Achte beim Rechnen mit Brüchen darauf, die Potenzen korrekt anzuwenden. - Vergiss nicht, das Endergebnis wie gefordert zu runden.

1. Festlegen der Parameter: \(n = 12\), \(k = 4\), \(p = 0{,}25\), \(q = 0{,}75\). 2. Berechnung des Binomialkoeffizienten: \(\binom{12}{4} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495\). 3. Aufstellen des Terms nach Bernoulli: \(P(X = 4) = \binom{12}{4} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^8\). 4. Numerische Auswertung: \(495 \cdot 0{,}25^4 \cdot 0{,}75^8 \approx 495 \cdot 0{,}003906 \cdot 0{,}100113 \approx 0{,}193578\). 5. Rundung auf vier Dezimalstellen: \(0{,}1936\).

\(P(X = 4) \approx 0{,}1936\)

- Welche Parameter hat die Trefferzahl \(X\)? - Bei „genau \(k\) Treffer“ ist eine Punktwahrscheinlichkeit gesucht. - Für keinen Treffer müssen alle zwölf Schüsse Fehlschüsse sein.

1. Es gilt \(X\sim B(12,0{,}80)\). Für genau zehn Treffer ist \(P(X=10)=\binom{12}{10}0{,}8^{10}0{,}2^2\approx0{,}2835\). 2. Für genau acht Treffer gilt \(P(X=8)=\binom{12}{8}0{,}8^8 0{,}2^4\approx0{,}1329\). 3. Für keinen Treffer gilt exakt \(P(X=0)=0{,}2^{12}=\left(\frac{1}{5}\right)^{12}=\frac{1}{244140625}\).

a) \(P(X=10)\approx0{,}2835\) b) \(P(X=8)\approx0{,}1329\) c) \(P(X=0)=\left(\frac{1}{5}\right)^{12}=\frac{1}{244140625}\)

- Für beide Maschinen ist dieselbe Punktwahrscheinlichkeit mit unterschiedlichen Trefferwahrscheinlichkeiten gesucht. - Berechne beide Werte vollständig, bevor du vergleichst. - Welche Maschine hat den größeren Wert für „genau vier“?

1. Für Maschine A gilt \(P(X_A=4)=\binom{5}{4}\cdot0{,}9^4\cdot0{,}1=0{,}32805\). 2. Für Maschine B gilt \(P(X_B=4)=\binom{5}{4}\cdot0{,}7^4\cdot0{,}3=0{,}36015\). 3. Da \(0{,}36015>0{,}32805\), ist das Ereignis bei Maschine B wahrscheinlicher.

Maschine B; \(P(X_B=4)=0{,}36015>0{,}32805=P(X_A=4)\).

- Welche Punktwahrscheinlichkeit gehört zu Jans Ereignis? - Leas Ereignis enthält keinen Fehlschuss. - Vergleiche die exakten Dezimalwerte.

1. Für Jan gilt \(P(X_J=2)=\binom{3}{2}\cdot0{,}5^2\cdot0{,}5=0{,}375\). 2. Für Lea gilt \(P(X_L=3)=0{,}75^3=0{,}421875\). 3. Da \(0{,}421875>0{,}375\), ist Leas Ereignis wahrscheinlicher.

Leas drei Zentrumstreffer sind wahrscheinlicher: \(0{,}421875>0{,}375\).

- Bestimme für jede Teilaufgabe die Werte für \(n\), \(p\) und \(k\). - Die Gegenwahrscheinlichkeit ist jeweils \(1-p\). - Prüfe vor dem Einsetzen, ob wirklich eine einzelne Trefferzahl und damit eine Punktwahrscheinlichkeit gefragt ist.

1. \(P(X_1=3)=\binom{5}{3}0{,}4^3 0{,}6^2=10\cdot0{,}064\cdot0{,}36=0{,}2304\). 2. \(P(X_2=2)=\binom{6}{2}0{,}1^2 0{,}9^4=15\cdot0{,}01\cdot0{,}6561=0{,}098415\approx0{,}0984\). 3. \(P(X_3=0)=\binom{4}{0}0{,}5^0 0{,}5^4=0{,}0625\).

a) \(0{,}2304\) b) \(\approx0{,}0984\) c) \(0{,}0625\)

- Berechne beide Punktwahrscheinlichkeiten mit derselben Bernoulli-Formel. - Führe genug Stellen mit, um einen eindeutigen Vergleich zu ermöglichen. - Entscheidend ist der Größenvergleich, nicht eine Prozentdarstellung.

1. Es gilt \(P(X=1)=\binom{10}{1}\left(\frac{1}{5}\right)\left(\frac{4}{5}\right)^9\) und \(P(X=2)=\binom{10}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^2\left(\frac{4}{5}\right)^8\). 2. Für den Vergleich genügt der Quotient: \(\frac{P(X=2)}{P(X=1)}=\frac{\binom{10}{2}}{\binom{10}{1}}\cdot\frac{1/5}{4/5}=\frac{45}{10}\cdot\frac14=\frac98>1\). 3. Daher ist \(X=2\) wahrscheinlicher als \(X=1\).

\(X=2\) ist wahrscheinlicher, denn \(\frac{P(X=2)}{P(X=1)}=\frac98>1\).

- Welche Bedeutung haben die Hochzahlen in der Formel für die Anzahl der Versuche? - Was verrät dir der Binomialkoeffizient \(\binom{12}{2}\) über die Anzahl der Treffer? - Welches bekannte Zufallsgerät hat eine Erfolgswahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{6}\)? - Überlege, wie oft das Experiment insgesamt durchgeführt wird.

1. Identifikation der Parameter der Bernoulli-Kette: Die Formel hat die Struktur \(\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) mit der Trefferzahl \(k = 2\), der Kettenlänge \(n = 12\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{6}\). 2. Wahl eines passenden Experiments: Ein Standardwürfel wird 12-mal geworfen. Das Erzielen einer bestimmten Augenzahl (z. B. eine „6“) gilt als Treffer (\(p = \frac{1}{6}\)). 3. Formulierung des Ereignisses: Da \(k = 2\) ist, beschreibt die Formel die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Es werden bei 12 Würfen genau zwei Sechsen gewürfelt“.

Zufallsexperiment: Ein fairer Standardwürfel wird 12-mal geworfen. Ereignis \(A\): Es wird genau zweimal eine „6“ gewürfelt.

- Bestimme zuerst die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für eine „6“ bei einem Wurf. - Wie oft wird das Experiment insgesamt durchgeführt? Das ist dein \(n\). - Die gesuchte Anzahl der Treffer entspricht dem Wert \(k\). - Nutze die Bernoulli-Formel oder die entsprechende Verteilungsfunktion deines Taschenrechners.

1. Identifikation der Parameter: \(n = 10\), \(p = \frac{1}{6}\). 2. Zu a): Berechnung von \(P(X=2) = \binom{10}{2} \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^8 \approx 0{,}2907\). 3. Zu b): Berechnung von \(P(X=5) = \binom{10}{5} \cdot (\frac{1}{6})^5 \cdot (\frac{5}{6})^5 \approx 0{,}0130\). 4. Zu c): Berechnung von \(P(X=0) = \binom{10}{0} \cdot (\frac{1}{6})^0 \cdot (\frac{5}{6})^{10} \approx 0{,}1615\).

a) \(P(\text{genau zweimal „6“}) \approx 0{,}2907\) b) \(P(\text{genau fünfmal „6“}) \approx 0{,}0130\) c) \(P(\text{keine „6“}) \approx 0{,}1615\)

- Welche Wahrscheinlichkeit besitzt eine einzelne Seite des fairen Tetraeders? - Welche Werte von \(n\), \(k\), \(p\) und \(1-p\) gehören in die Bernoulli-Formel? - Berechne die geforderten Faktoren getrennt, bevor du sie multiplizierst.

1. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist \(p=\frac14\), die Gegenwahrscheinlichkeit \(q=\frac34\). 2. Es gilt \(P(X=2)=\binom82\left(\frac14\right)^2\left(\frac34\right)^6\). 3. Dabei ist \(\binom82=28\), \(\left(\frac14\right)^2=\frac1{16}\) und \(\left(\frac34\right)^6=\frac{729}{4096}\). 4. Somit ist \(P(X=2)=28\cdot\frac1{16}\cdot\frac{729}{4096}=\frac{5103}{16384}\).

a) \(p=\frac14\) b) \(P(X=2)=\frac{5103}{16384}\)

- Vergleiche eine fest vorgegebene Trefferfolge mit dem Ereignis „insgesamt genau zwei Treffer“. - Bei welchem der beiden Ereignisse spielt die Anzahl möglicher Trefferpositionen eine Rolle? - Für „kein Rot“ besteht jede der sechs Drehungen aus demselben Gegenereignis.

1. Für „Rot“ gilt \(p = 0{,}25\), für „nicht Rot“ gilt \(q = 0{,}75\). 2. Für die fest vorgegebene Folge gilt \(P = 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^4 = \frac{81}{4096} \approx 0{,}0198\). 3. Für insgesamt genau zwei Treffer müssen alle möglichen Positionen der beiden roten Ergebnisse berücksichtigt werden: \(P(X=2) = \binom{6}{2}0{,}25^2 \cdot 0{,}75^4 = \frac{1215}{4096} \approx 0{,}2966\). 4. Für keinen Treffer gilt \(P(X=0) = 0{,}75^6 = \frac{729}{4096} \approx 0{,}1780\).

a) \(\frac{81}{4096} \approx 0{,}0198\) b) \(\frac{1215}{4096} \approx 0{,}2966\) c) \(\frac{729}{4096} \approx 0{,}1780\)

- Überlege, wie viele Möglichkeiten es gibt, die „richtigen“ Plätze in der Zehnerkette zu verteilen. - Welches Modell beschreibt eine Serie von unabhängigen Versuchen mit zwei möglichen Ausgängen? - Unterscheide zwischen der Anzahl aller möglichen Wege zum Ziel und der Wahrscheinlichkeit für einen ganz bestimmten, festen Weg. - Achte darauf, wie sich die Wahrscheinlichkeit ändert, wenn die Reihenfolge der Treffer nicht mehr beliebig ist.

1. Für genau drei richtige Antworten werden drei Positionen aus zehn ausgewählt: \(\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120\). 2. Mit \(n=10\), \(k=3\) und \(p=\frac15=0{,}2\) gilt \(P(X=3)=\binom{10}{3}\cdot0{,}2^3\cdot0{,}8^7=120\cdot0{,}008\cdot0{,}2097152=0{,}201326592\). 3. Für die fest vorgegebene Folge aus drei richtigen und anschließend sieben falschen Antworten entfällt der Binomialkoeffizient: \(P=0{,}2^3\cdot0{,}8^7=0{,}0016777216\).

a) Es gibt \(120\) verschiedene Richtig-falsch-Sequenzen. b) \(P(X=3)=0{,}201326592\approx20{,}13\,\%\). c) \(P=0{,}0016777216\approx0{,}17\,\%\).

- Formuliere für jede Teilaufgabe zuerst, welches Ergebnis als „Erfolg“ zählt. - Wie ändert sich die Erfolgswahrscheinlichkeit, wenn zwei der drei gleich großen Sektoren als Erfolg gelten? - Vergleiche anschließend die beiden Binomialterme strukturell.

1. Für Teil a) wird „Rot“ als Erfolg gewählt. Es gilt \(p = \frac{1}{3}\) und damit \(P(X=3) = \binom{8}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^3\left(\frac{2}{3}\right)^5 = \frac{1792}{6561} \approx 0{,}2731\). 2. Für Teil b) wird „Rot oder Blau“ als Erfolg gewählt. Damit ist \(p = \frac{2}{3}\). 3. Es folgt \(P(Y=6) = \binom{8}{6}\left(\frac{2}{3}\right)^6\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1792}{6561} \approx 0{,}2731\).

a) \(\frac{1792}{6561} \approx 27{,}31\,\%\) b) \(\frac{1792}{6561} \approx 27{,}31\,\%\)

- Welche der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten, D oder I, ist kleiner? - Ein festes Protokoll ist ein einzelner Pfad. - Wie viele mögliche Positionen kann der einzige Defekt haben?

1. Protokoll (3) ist am unwahrscheinlichsten, weil bei jedem Schritt der seltenere Ausgang D eintritt. 2. Es gilt \(P(1)=0{,}95^8\approx0{,}6634\) und \(P(2)=0{,}05\cdot0{,}95^7\approx0{,}0349\). 3. Bei genau einem Defekt sind acht Positionen möglich. Daher ist \(P(X=1)=\binom{8}{1}\cdot0{,}05\cdot0{,}95^7\approx0{,}2793\). 4. Somit ist die Behauptung falsch; \(P(X=1)=8P(2)\).

a) Protokoll (3) b) \(P(1)\approx0{,}6634\), \(P(2)\approx0{,}0349\) c) Falsch; \(P(X=1)\approx0{,}2793\) und damit achtmal so groß wie \(P(2)\).

- Überlege dir, ob die Reihenfolge der Ergebnisse für die jeweilige Teilaufgabe eine Rolle spielt. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, zwei Treffer auf vier Versuche zu verteilen? - Welche Formel hilft dir, wenn die Anzahl der Treffer, aber nicht deren genaue Position gesucht ist? - Wenn eine ganz bestimmte Abfolge von Treffern und Nieten verlangt ist, kannst du die Pfadregel verwenden.

1. Identifikation der Parameter der Bernoulli-Kette: Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}8\), Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 1 - 0{,}8 = 0{,}2\), Anzahl der Versuche \(n = 4\). 2. Berechnung für Teilaufgabe a) mit der Formel von Bernoulli für \(k = 2\) Treffer: \(P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}8^2 \cdot 0{,}2^2\). 3. Einsetzen der Werte: \(P(X = 2) = 6 \cdot 0{,}64 \cdot 0{,}04 = 0{,}1536\). 4. Berechnung für Teilaufgabe b) für das spezifische Ereignis \((T; F; F; T)\): Hier ist die Reihenfolge festgelegt. 5. Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P = 0{,}8 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}8^2 \cdot 0{,}2^2 = 0{,}0256\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}1536\) (oder \(15{,}36\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}0256\) (oder \(2{,}56\,\%\)).

- Ist in der jeweiligen Teilaufgabe nur die Trefferzahl oder auch die Reihenfolge festgelegt? - Bei einer Trefferzahl können die Erfolge an verschiedenen Positionen liegen. - Ein vollständig vorgegebenes Muster entspricht genau einem Pfad.

1. Es gilt \(X\sim B(15,0{,}85)\). 2. Daher ist \(P(X=13)=\binom{15}{13}0{,}85^{13}0{,}15^2\approx0{,}2856\). 3. Teil b) beschreibt einen festgelegten Pfad. Seine Wahrscheinlichkeit ist \(0{,}85^{13}0{,}15^2\approx0{,}0027\).

a) \(P(X=13)\approx0{,}2856\) b) \(P\approx0{,}0027\)

- Welche drei Eigenschaften kennzeichnen eine Bernoulli-Kette? - Welche Größen sind hier \(n\), \(p\) und \(k\)? - Erst nach der Modellbegründung wird die Punktwahrscheinlichkeit berechnet.

1. Ein Binomialmodell ist gerechtfertigt, wenn jeder Wurf nur Treffer oder Fehlschuss liefert, die Trefferwahrscheinlichkeit bei allen Würfen gleich bleibt und die Würfe als unabhängig angesehen werden können. 2. Dann gilt \(X\sim B(12,0{,}75)\). 3. Somit ist \(P(X=9)=\binom{12}{9}0{,}75^9 0{,}25^3\approx0{,}2581\).

Unter den genannten Bernoulli-Bedingungen gilt \(P(X=9)\approx0{,}2581\).

- Überlege dir, ob es nur eine einzige Möglichkeit gibt, zwei Fragen richtig zu beantworten. - Was genau berechnet man, wenn man die Wahrscheinlichkeiten für „richtig“ und „falsch“ einfach nur multipliziert? - Stell dir ein Baumdiagramm vor – wie viele Pfade führen zum gewünschten Ergebnis? - Spielt die Reihenfolge der richtigen Antworten bei der Fragestellung „genau zwei Treffer“ eine Rolle?

1. Modellierung der Situation als Bernoulli-Kette mit den Parametern \(n=6\) und \(p=\frac{1}{3}\). 2. Identifikation des Terms \((\frac{1}{3})^2\cdot(\frac{2}{3})^4\) als Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades im Baumdiagramm, bei dem genau zwei Erfolge in einer festgelegten Reihenfolge eintreten. 3. Bestimmung der Anzahl aller möglichen Pfade mit genau zwei Treffern mithilfe des Binomialkoeffizienten \(\binom{6}{2}=15\). 4. Schlussfolgerung: Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit \(P(X=2)=15\cdot(\frac{1}{3})^2\cdot(\frac{2}{3})^4=\frac{80}{243}\approx0{,}3292\) ist um den Faktor \(15\) größer als der angegebene Ansatz.

Der Ansatz ist falsch, da er nur die Wahrscheinlichkeit für eine einzige, spezifische Abfolge von richtigen und falschen Antworten berücksichtigt (z. B. nur die ersten beiden Fragen sind richtig). Da es jedoch \(\binom{6}{2}=15\) verschiedene Möglichkeiten gibt, zwei richtige Antworten auf die sechs Fragen zu verteilen, muss die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades mit diesem Faktor multipliziert werden.

- Unterscheide zwischen einer fest vorgegebenen Reihenfolge und einer beliebigen Position des einzigen Fehlers. - Welche Wahrscheinlichkeit gehört zum Ereignis „fehlerfrei“, welche zum Gegenereignis? - Bei Teil 3 sind nur die ersten drei Ergebnisse festgelegt.

1. Für ein fehlerfreies Bauteil gilt \(0{,}9\), für ein fehlerhaftes Bauteil \(0{,}1\). Für die feste Folge aus fünf fehlerfreien und einem fehlerhaften Bauteil gilt \(P=0{,}9^5\cdot0{,}1=0{,}059049\). 2. Für die Fehlerzahl gilt \(X\sim B(6,0{,}1)\). Daher ist \(P(X=1)=\binom{6}{1}\cdot0{,}1\cdot0{,}9^5=0{,}354294\). 3. Für die ersten drei fehlerfreien Bauteile ist \(P=0{,}9^3=0{,}729\).

1. \(0{,}059049\approx5{,}90\,\%\) 2. \(0{,}354294\approx35{,}43\,\%\) 3. \(0{,}729=72{,}9\,\%\)

- Welche Information liefert das Fehlen oder Vorhandensein eines Binomialkoeffizienten über die Positionen der Defekte? - Lies die Exponenten als Anzahlen von Defekten und intakten Chips. - Bei Teil c) hilft es, zuerst das Ereignis zu benennen, dessen Wahrscheinlichkeit \(0{,}95^8\) ist.

1. Der Term in a) beschreibt eine fest vorgegebene Reihenfolge mit genau zwei defekten und sechs intakten Chips, zum Beispiel zwei Defekte an den ersten beiden Positionen und danach sechs intakte Chips. 2. Der Term in b) beschreibt genau zwei defekte Chips unter den acht, wobei die Positionen beliebig sind. 3. Der Term in c) ist das Gegenereignis zu „kein Chip ist defekt“ und beschreibt damit „mindestens ein Chip ist defekt“.

a) Eine fest vorgegebene Folge mit zwei defekten und sechs intakten Chips. b) Genau zwei der acht Chips sind defekt. c) Mindestens einer der acht Chips ist defekt.

- Entscheide zuerst, ob die Reihenfolge der Treffer festgelegt ist. - Wann müssen mehrere mögliche Trefferpositionen berücksichtigt werden? - Welche konkreten Trefferzahlen gehören zu „größer als zwei“?

1. Für die feste Folge Treffer, Treffer, Fehlwurf, Fehlwurf ist der Term \(0{,}6^2 0{,}4^2\). 2. Für genau zwei Treffer ist der Term \(\binom{4}{2}0{,}6^2 0{,}4^2\). 3. „Mehr als zwei Treffer“ bedeutet drei oder vier Treffer. Daher lautet ein passender Term \(\binom{4}{3}0{,}6^3 0{,}4+0{,}6^4\).

a) \(0{,}6^2 0{,}4^2\). b) \(\binom{4}{2}0{,}6^2 0{,}4^2\). c) \(\binom{4}{3}0{,}6^3 0{,}4+0{,}6^4\).

- Stelle beide Punktwahrscheinlichkeiten mit der Bernoulli-Formel auf. - Welche Beziehung besteht zwischen \(\binom{5}{k}\) und \(\binom{5}{5-k}\)? - Vergleiche danach die Potenzen von \(0{,}8\) und \(0{,}2\).

1. Es gilt \(P(X=4)=\binom{5}{4}\cdot 0{,}8^4\cdot 0{,}2=0{,}4096\). 2. Ebenso ist \(P(Y=1)=\binom{5}{1}\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8^4=0{,}4096\). 3. Allgemein gilt \(P(X=k)=\binom{5}{k}\cdot 0{,}8^k\cdot 0{,}2^{5-k}\). 4. Für den zweiten Schützen ist \(P(Y=5-k)=\binom{5}{5-k}\cdot 0{,}2^{5-k}\cdot 0{,}8^k\). Wegen \(\binom{5}{5-k}=\binom{5}{k}\) sind die beiden Terme gleich.

a) \(P(X=4)=P(Y=1)=0{,}4096\). b) Die Gleichheit folgt aus der Symmetrie \(\binom{5}{k}=\binom{5}{5-k}\) und dem Vertauschen der Faktoren \(0{,}8\) und \(0{,}2\).

- Welche Bedingungen betreffen Unabhängigkeit und konstante Trefferwahrscheinlichkeit? - Lege eindeutig fest, welches Ereignis als Treffer zählt. - Berechne erst nach der Modellbegründung die Punktwahrscheinlichkeit.

1. Ein Binomialmodell setzt voraus, dass die Paket-Ausgänge als unabhängig angesehen werden können und für jedes Paket dieselbe Fehlleitungswahrscheinlichkeit gilt. 2. Sei \(X\) die Anzahl falsch sortierter Pakete unter den \(40\) betrachteten Paketen. Dann ist \(n=40\) und \(p=0{,}05\). 3. Unter den genannten Voraussetzungen gilt \(X\sim B(40,0{,}05)\). 4. Daher ist \(P(X=2)=\binom{40}{2}0{,}05^2 0{,}95^{38}\approx0{,}2777\).

a) Unabhängige Ausgänge und konstante Fehlleitungswahrscheinlichkeit b) \(X\): Zahl falsch sortierter Pakete; \(n=40\), \(p=0{,}05\) c) \(P(X=2)\approx0{,}2777\)

- Welche Bernoulli-Bedingung ist noch nicht durch „konstante Trefferwahrscheinlichkeit“ und zwei mögliche Ausgänge abgedeckt? - Prüfe anschließend den Wert von \((n+1)p\). - Beachte, dass die Trefferzahl ganzzahlig sein muss.

1. Neben den zwei Ausgängen Treffer/Fehlwurf und der konstanten Trefferwahrscheinlichkeit \(p=0{,}75\) müssen die Würfe voneinander unabhängig sein. 2. Dann gilt \(X\sim B(45,0{,}75)\). 3. Für den Modus kann \(\lfloor(n+1)p\rfloor\) verwendet werden, sofern \((n+1)p\) nicht ganzzahlig ist. Es ist \((45+1)\cdot0{,}75=34{,}5\). 4. Daher ist \(34\) die wahrscheinlichste Trefferanzahl.

a) Die \(45\) Würfe müssen voneinander unabhängig sein. b) \(34\) Treffer

- Welche Parameter beschreibt das Keimmodell? - Berechne \((n+1)p\) und prüfe, ob das Ergebnis ganzzahlig ist. - Ein ganzzahliger Wert an dieser Stelle kann zu zwei benachbarten Maximalwerten führen.

1. Es gilt \(X\sim B(15,0{,}75)\). 2. Es ist \((n+1)p=16\cdot0{,}75=12\). 3. Da dieser Wert ganzzahlig ist, besitzt die Binomialverteilung zwei Modi: \(11\) und \(12\). 4. Zur Kontrolle gilt \(P(X=11)=P(X=12)\approx0{,}2252\).

Die Werte \(11\) und \(12\) haben beide die größte Punktwahrscheinlichkeit.

- Was ist bei einer einzelnen Ziehung ein „Erfolg“? - Warum bleiben Erfolgswahrscheinlichkeit und Bedingungen bei allen drei Ziehungen gleich? - Auf wie viele Arten kann genau eine der drei Ziehungen ein Erfolg sein?

Die drei Ziehungen bilden eine Bernoulli-Kette mit \(n = 3\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\), wenn „Zahl 2“ als Erfolg festgelegt wird. Für genau einen Erfolg gilt \(P(X=1) = \binom{3}{1} \cdot (0{,}2)^1 \cdot (0{,}8)^2 = 3 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}64 = 0{,}384\).

\(P(X=1) = 0{,}384 = 38{,}4\,\%\)

- Welche Zufallsgröße zählt hier die Erfolge? - Welche Werte haben \(n\), \(p\) und die gesuchte Trefferzahl? - Für genau eine Trefferzahl benötigst du eine Punktwahrscheinlichkeit.

1. Es gilt \(X\sim B(12,0{,}95)\). 2. Gesucht ist \(P(X=11)=\binom{12}{11}0{,}95^{11}0{,}05\). 3. Damit ist \(P(X=11)\approx0{,}3413\).

\(P(X=11)\approx0{,}3413\)

- Welche Parameter besitzt die Trefferzahl? - Gesucht ist eine einzelne Punktwahrscheinlichkeit. - Der Binomialkoeffizient zählt die möglichen Positionen der sieben Treffer.

1. Es gilt \(X\sim B(10,0{,}70)\). 2. Gesucht ist \(P(X=7)=\binom{10}{7}0{,}7^7 0{,}3^3\). 3. Mit \(\binom{10}{7}=120\) ergibt sich \(P(X=7)\approx0{,}2668\).

\(P(X=7)\approx0{,}2668\)

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, bei einer einzelnen Aufgabe falsch zu liegen. - Da die Aufgaben unabhängig voneinander bearbeitet werden, kannst du die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ereignisse multiplizieren. - Wie oft muss das Ereignis „falsch geraten“ hintereinander eintreten?

1. Identifikation der Parameter der Bernoulli-Kette: Die Anzahl der Versuche ist \(n = 15\). 2. Bestimmung der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) für eine richtige Antwort: \(p = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 3. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit \(q\) für eine falsche Antwort: \(q = 1 - p = 0{,}75\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(k = 0\) Treffer unter Verwendung der Formel für die Punktwahrscheinlichkeit der Binomialverteilung: \(P(X = 0) = \binom{15}{0} \cdot 0{,}25^0 \cdot 0{,}75^{15} = 0{,}75^{15}\). 5. Numerisches Ergebnis: \(P(X = 0) \approx 0{,}0134\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(1{,}34\,\%\) (exakt \(0{,}75^{15} \approx 0{,}01336\)).

- Welches Ereignis muss bei jeder einzelnen Sendung eintreten? - Wie wirkt sich die Unabhängigkeit auf die Wahrscheinlichkeit aus, dass alle Sendungen pünktlich sind? - Für „alle 20“ ist nur ein einziger Trefferwert möglich.

1. Es gilt \(X\sim B(20,0{,}95)\). 2. Gesucht ist \(P(X=20)=0{,}95^{20}\approx0{,}3585\).

\(P(X=20)\approx0{,}3585\)

- Wie groß ist die Trefferwahrscheinlichkeit bei einer einzelnen zufälligen Antwort? - Welche Trefferzahl entspricht „genau die Hälfte“? - Was wird bei einer Punktwahrscheinlichkeit durch den Binomialkoeffizienten gezählt?

1. \(X\) beschreibt die Anzahl der richtig beantworteten Fragen. Für jede Frage beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit \(p=\frac14=0{,}25\), daher gilt \(X\sim B(10,0{,}25)\). 2. Genau die Hälfte von \(10\) bedeutet \(X=5\). Somit ist \(P(X=5)=\binom{10}{5}0{,}25^5 0{,}75^5\approx0{,}0584\). 3. Der Binomialkoeffizient \(\binom{10}{5}=252\) zählt die möglichen Positionen der fünf richtigen Antworten unter den zehn Fragen.

a) \(X\): Anzahl der richtigen Antworten; \(X\sim B(10,0{,}25)\) b) \(P(X=5)\approx0{,}0584\) c) \(\binom{10}{5}=252\) zählt die möglichen Anordnungen der fünf richtigen Antworten auf die zehn Fragepositionen.

- Wann spricht man von einem Bernoulli-Experiment? Überlege dir, welche Voraussetzungen für die Wahrscheinlichkeit und die Unabhängigkeit gelten müssen. - Welche Werte haben \(n\) (Anzahl der Versuche) und \(p\) (Trefferwahrscheinlichkeit) in dieser Aufgabe? - Erinnerst du dich an die Formel von Bernoulli für Punktwahrscheinlichkeiten? - Was ist das Gegenereignis zu einem Treffer und wie groß ist dessen Wahrscheinlichkeit?

1. Modellierung als Bernoulli-Kette: Es gibt nur zwei relevante Ergebnisse pro Schuss (Treffer im Gold oder kein Treffer). Die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}7\) muss bei jedem Schuss konstant bleiben und die Schüsse müssen voneinander unabhängig sein. 2. Anwendung der Bernoulli-Formel \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) mit \(n = 4\) und \(p = 0{,}7\). 3. Berechnung für \(k = 0\): \(P(X = 0) = \binom{4}{0} \cdot 0{,}7^0 \cdot 0{,}3^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}0081 = 0{,}0081\). 4. Berechnung für \(k = 1\): \(P(X = 1) = \binom{4}{1} \cdot 0{,}7^1 \cdot 0{,}3^3 = 4 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}027 = 0{,}0756\). 5. Berechnung für \(k = 2\): \(P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}7^2 \cdot 0{,}3^2 = 6 \cdot 0{,}49 \cdot 0{,}09 = 0{,}2646\). 6. Berechnung für \(k = 3\): \(P(X = 3) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}7^3 \cdot 0{,}3^1 = 4 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}3 = 0{,}4116\). 7. Berechnung für \(k = 4\): \(P(X = 4) = \binom{4}{4} \cdot 0{,}7^4 \cdot 0{,}3^0 = 1 \cdot 0{,}2401 \cdot 1 = 0{,}2401\).

a) Bedingungen: Nur zwei Ausgänge (Treffer/kein Treffer), konstante Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) und Unabhängigkeit der Schüsse. b) Die Wahrscheinlichkeiten betragen: \(P(X=0) = 0{,}0081\) \(P(X=1) = 0{,}0756\) \(P(X=2) = 0{,}2646\) \(P(X=3) = 0{,}4116\) \(P(X=4) = 0{,}2401\)

- Berechne zunächst \((n+1)p\), nicht nur \(np\). - Welche ganze Zahl liefert die angegebene Modusregel? - Die Nachbarwerte dienen nur als Plausibilitätscheck; die globale Modusaussage folgt aus der angegebenen Regel.

1. Es gilt \(X\sim B(40,0{,}25)\) und \(\mu=np=10\). 2. Es ist \((n+1)p=41\cdot0{,}25=10{,}25\). Daher ist \(k=10\) der eindeutige Modalwert. 3. \(P(X=10)=\binom{40}{10}0{,}25^{10}0{,}75^{30}\approx0{,}1444\). 4. Die Nachbarwerte sind \(P(X=9)\approx0{,}1397\) und \(P(X=11)\approx0{,}1312\). Beide liegen unter \(P(X=10)\) und sind damit mit der Modusregel vereinbar.

a) \(\mu=10\) b) Modalwert \(k=10\); \(P(X=10)\approx0{,}1444\) c) \(P(X=9)\approx0{,}1397\), \(P(X=11)\approx0{,}1312\); beide sind kleiner als \(P(X=10)\).

- Ordne „Gewinn“ und „Niete“ den beiden Bernoulli-Ausgängen zu. - Welche Angaben im Text sichern eine konstante Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit? - Für Teil a) wird eine Punktwahrscheinlichkeit benötigt.

1. Es gilt \(X\sim B(6,0{,}3)\). 2. Daher ist \(P(X=2)=\binom{6}{2}0{,}3^2 0{,}7^4=0{,}324135\). 3. Die Bernoulli-Merkmale sind: pro Drehung genau zwei zusammengefasste Ergebnisse, eine konstante Erfolgswahrscheinlichkeit \(p=0{,}3\) und Unabhängigkeit der Drehungen.

a) \(P(X=2)=0{,}324135\approx32{,}41\,\%\) b) Zwei mögliche Ergebnisse, konstante Erfolgswahrscheinlichkeit und unabhängige Versuche.

- Lies aus der Abbildung ab, welcher Anteil der Kugeln grün ist. - Welche Wirkung hat das Zurücklegen auf die Erfolgswahrscheinlichkeit der nächsten Ziehung? - Gesucht ist eine Punktwahrscheinlichkeit für genau zwei grüne Ziehungen.

1. Aus der Abbildung liest man \(10\) Kugeln insgesamt und \(3\) grüne Kugeln ab. Daher ist \(p=\frac{3}{10}=0{,}3\). 2. Durch das Zurücklegen bleiben die Ziehungen unabhängig mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit. Für die Zahl \(X\) grüner Kugeln gilt \(X\sim B(6,0{,}3)\). 3. Somit ist \(P(X=2)=\binom{6}{2}0{,}3^2\cdot0{,}7^4=0{,}324135\). 4. In Prozent und auf eine Nachkommastelle gerundet ergibt das \(32{,}4\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(32{,}4\,\%\).

- Lies die Erfolgswahrscheinlichkeit für jede gefragte Farbe direkt aus der Abbildung ab. - Für jede Teilaufgabe wird dieselbe Zahl von Drehungen verwendet, aber eine andere Erfolgsfarbe. - Beide Teilaufgaben verlangen eine einzelne Binomial-Punktwahrscheinlichkeit.

1. Aus der Abbildung folgt \(p_{\text{gelb}}=\frac{3}{6}=\frac12\) und \(p_{\text{blau}}=\frac{2}{6}=\frac13\). 2. Für die Zahl \(X_{\text{gelb}}\) gelber Treffer gilt \(X_{\text{gelb}}\sim B(6,\frac12)\). Damit ist \(P(X_{\text{gelb}}=4)=\binom{6}{4}\left(\frac12\right)^4\left(\frac12\right)^2=\frac{15}{64}\approx0{,}234375\). 3. Für die Zahl \(X_{\text{blau}}\) blauer Treffer gilt \(X_{\text{blau}}\sim B(6,\frac13)\). Damit ist \(P(X_{\text{blau}}=2)=\binom{6}{2}\left(\frac13\right)^2\left(\frac23\right)^4=\frac{80}{243}\approx0{,}329218\).

a) \(\frac{15}{64}\approx23{,}44\,\%\) b) \(\frac{80}{243}\approx32{,}92\,\%\)

- Welcher Anteil der gleich großen Sektoren ist rot? - Welche Parameter beschreiben die Trefferzahl bei acht unabhängigen Drehungen? - Runde erst das vollständig berechnete Ergebnis.

1. Aus dem Glücksrad liest man vier rote von zehn gleich großen Sektoren ab. Daher ist \(p=\frac{4}{10}=0{,}4\). 2. Für die Anzahl \(X\) der roten Treffer gilt \(X\sim B(8,0{,}4)\). 3. Es ist \(P(X=3)=\binom{8}{3}0{,}4^3\cdot0{,}6^5=0{,}27869184\). 4. Auf drei Nachkommastellen gerundet ergibt sich \(0{,}279\).

\(0{,}279\)

- Bestimme für jede Teilaufgabe den Anteil der passenden Sektoren im Glücksrad. - Welche Trefferzahl und welche Trefferwahrscheinlichkeit gehören jeweils zum gefragten Ereignis? - Runde erst nach der vollständigen Berechnung auf zwei Nachkommastellen in Prozent.

1. Aus dem Glücksrad liest man \(p_{\text{rot}}=\frac{3}{8}=0{,}375\) und \(p_{\text{gelb}}=\frac{1}{8}=0{,}125\) ab. 2. Für die Zahl \(X_{\text{rot}}\) der roten Treffer gilt \(X_{\text{rot}}\sim B(10,0{,}375)\). Daher ist \(P(X_{\text{rot}}=4)=\binom{10}{4}0{,}375^4\cdot0{,}625^6\approx0{,}247528\). 3. Für die Zahl \(X_{\text{gelb}}\) der gelben Treffer gilt \(X_{\text{gelb}}\sim B(10,0{,}125)\). Daher ist \(P(X_{\text{gelb}}=2)=\binom{10}{2}0{,}125^2\cdot0{,}875^8\approx0{,}241600\).

a) \(24{,}75\,\%\) b) \(24{,}16\,\%\)

- Lies für jede gefragte Farbe ihren Anteil an den acht gleich großen Sektoren ab. - Bestimme in jeder Teilaufgabe Versuchszahl, Trefferwahrscheinlichkeit und geforderte Trefferzahl getrennt. - Verwende jeweils eine einzelne Punktwahrscheinlichkeit und runde erst am Ende.

1. Aus der Abbildung liest man \(p_{\text{blau}}=\frac{3}{8}=0{,}375\), \(p_{\text{gelb}}=\frac{4}{8}=0{,}5\) und \(p_{\text{rot}}=\frac{1}{8}=0{,}125\) ab. 2. Für \(X_{\text{blau}}\sim B(5,0{,}375)\) gilt \(P(X_{\text{blau}}=2)=\binom{5}{2}0{,}375^2\cdot0{,}625^3\approx0{,}343323\). 3. Für \(X_{\text{gelb}}\sim B(8,0{,}5)\) gilt \(P(X_{\text{gelb}}=4)=\binom{8}{4}0{,}5^4\cdot0{,}5^4=\frac{70}{256}=0{,}2734375\). 4. Für \(X_{\text{rot}}\sim B(4,0{,}125)\) gilt \(P(X_{\text{rot}}=1)=\binom{4}{1}0{,}125\cdot0{,}875^3\approx0{,}334961\).

a) \(34{,}33\,\%\) b) \(27{,}34\,\%\) c) \(33{,}50\,\%\)

- Welcher Anteil der fünf gleich großen Felder ist blau? - Welche Werte haben \(n\), \(p\) und \(k\) für die gesuchte Punktwahrscheinlichkeit? - Setze diese Größen in die Bernoulli-Formel ein.

1. Aus dem Bild liest man einen blauen von fünf gleich großen Sektoren ab. Daher ist \(p=\frac{1}{5}=0{,}2\). 2. Für \(X\sim B(6,0{,}2)\) gilt \(P(X=3)=\binom{6}{3}0{,}2^3\cdot0{,}8^3\). 3. Damit ist \(P(X=3)=0{,}08192\).

\(P(X=3)=0{,}08192\approx8{,}192\,\%\)

- Welche größte Trefferzahl ist im Diagramm überhaupt möglich? - Welche Symmetrie erkennst du an den Säulenhöhen? - Bei welcher Trefferwahrscheinlichkeit sind Treffer und Nichttreffer gleich wahrscheinlich?

1. Die möglichen Werte reichen von \(0\) bis \(4\), und beide Randwerte haben positive Wahrscheinlichkeit. Daher ist \(n=4\). 2. Die Verteilung ist spiegelbildlich um \(2\): Zu \(k\) und \(4-k\) gehören gleich hohe Säulen. 3. Eine Binomialverteilung ist bei \(p=0{,}5\) symmetrisch; hier ist daher \(p=0{,}5\).

\(n=4\), \(p=0{,}5\)

- Zähle die ein- und zweibuchstabigen Präfixe getrennt. - Welche dieser Präfixe beginnen mit \(\text{A}\)? - Warum ist bei der Auswahl mit Zurücklegen ein Binomialmodell passend?

1. Es gibt \((26+26^2)\cdot99=69\,498\) mögliche Codes. 2. Spezialcodes haben entweder nur \(\text{A}\) oder beginnen bei zwei Buchstaben mit \(\text{A}\). Das sind \((1+26)\cdot99=2673\) Codes. Somit ist \(p=\frac{2673}{69498}=\frac1{26}\). 3. Für \(X\sim B\left(20;\frac1{26}\right)\) gilt \(P(X=3)=\binom{20}{3}\left(\frac1{26}\right)^3\left(\frac{25}{26}\right)^{17}\approx0{,}0333\).

1. \(69\,498\) Codes 2. \(p=\frac1{26}\) 3. \(P(X=3)\approx0{,}0333\)

- Für Teil a) kannst du Anna und Ben gedanklich zu einem Block zusammenfassen. - Vergleiche die Zahl der günstigen Sitzordnungen mit der Zahl aller Sitzordnungen. - Prüfe für Teil b), welche Eigenschaften die zehn Abende zu einer Bernoulli-Kette machen.

1. Für einen Abend kann eine Urne mit fünf unterscheidbaren Kugeln verwendet werden. Es wird fünfmal ohne Zurücklegen gezogen; die Ziehungsreihenfolge entspricht der Sitzordnung. 2. Insgesamt gibt es \(5!=120\) Sitzordnungen. Fasst man Anna und Ben zu einem Block zusammen, gibt es \(4!\cdot2=48\) günstige Sitzordnungen. 3. Daher ist \(p=\frac{48}{120}=0{,}4\). 4. Die zehn Abende sind unabhängig und haben jeweils dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit \(0{,}4\). Somit gilt \(X\sim B(10,0{,}4)\). 5. Gesucht ist \(P(X=4)=\binom{10}{4}0{,}4^4 0{,}6^6=0{,}250822656\).

a) Urnenmodell: fünf unterscheidbare Kugeln, fünfmal Ziehen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge; \(p=0{,}4\). b) \(P(X=4)=0{,}250822656\approx25{,}08\,\%\)

- Vergleiche die Zahl der seltenen Erfolge in beiden festen Folgen. - Eine feste Folge ist genau ein Pfad. - Wie viele Pfade besitzen insgesamt drei Erfolge?

1. Folge B ist wahrscheinlicher, weil sie nur drei der selteneren Sechsen enthält. 2. Es ist \(P(A)=\left(\frac16\right)^6=\frac1{46656}\). 3. Für Folge B gilt \(P(B)=\left(\frac16\right)^3\left(\frac56\right)^3=\frac{125}{46656}\). 4. Für genau drei Sechsen gibt es \(\binom63=20\) mögliche Positionierungen. Daher ist \(P(X=3)=20\cdot\frac{125}{46656}=\frac{625}{11664}\). 5. \(P(B)\) beschreibt nur eine bestimmte Reihenfolge; \(P(X=3)\) umfasst alle zwanzig Reihenfolgen.

a) Folge B b) \(P(A)=\frac1{46656}\), \(P(B)=\frac{125}{46656}\) c) \(P(X=3)=\frac{625}{11664}\); dies umfasst alle \(20\) Anordnungen mit drei Sechsen.

- Unterscheide zwischen einer festgelegten Reihenfolge und einer bloßen Trefferzahl. - Welche Anzahl von Erfolgen und Misserfolgen enthält jede Teilaufgabe? - Wann ist ein Binomialkoeffizient nötig?

1. Mit \(p=0{,}85\) und \(q=0{,}15\) gilt in a) für die feste Folge \(p^5q\approx0{,}0666\). 2. In b) gilt \(p^6\approx0{,}3771\). 3. In c) ist die Folge ebenfalls festgelegt; daher gilt \(p^4q^2\approx0{,}0117\). 4. Bei genau fünf normgerechten Schrauben ist die Position des Misserfolgs frei. Somit ist \(P=\binom65 p^5q\approx0{,}3993\).

a) \(\approx0{,}0666\) b) \(\approx0{,}3771\) c) \(\approx0{,}0117\) d) \(\approx0{,}3993\)

- Überlege dir zuerst, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Treffer ist. - Wo vermutest du das Maximum bei einer Binomialverteilung im Verhältnis zum Erwartungswert? - Binomialverteilungen sind oft asymmetrisch. Welche Extremwerte an den Rändern der Verteilung (0 oder \(n\)) könnten besonders kleine Wahrscheinlichkeiten haben? - Vergleiche die Wahrscheinlichkeit für „nur falsche Antworten“ mit der Wahrscheinlichkeit für „nur richtige Antworten“.

1. Identifikation der Parameter: \(n = 20\) und \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\). 2. Berechnung des wahrscheinlichsten Wertes (Modus): Der Modus liegt bei \(\lfloor (n+1)p \rfloor = \lfloor 21 \cdot 0{,}2 \rfloor = \lfloor 4{,}2 \rfloor = 4\). Somit ist \(k = 4\) am wahrscheinlichsten. 3. Bestimmung des unwahrscheinlichsten Wertes: Da \(p = 0{,}2 < 0{,}5\), ist die Verteilung rechtsschief. Die minimalen Wahrscheinlichkeiten liegen an den Rändern \(k = 0\) oder \(k = 20\). 4. Vergleich der Randwerte: \(P(X=0) = 0{,}8^{20} \approx 0{,}0115\) und \(P(X=20) = 0{,}2^{20} \approx 1{,}05 \cdot 10^{-14}\). 5. Da \(0{,}2^{20} < 0{,}8^{20}\), ist die Wahrscheinlichkeit für \(k = 20\) am geringsten.

Am wahrscheinlichsten ist \(k = 4\). Am unwahrscheinlichsten ist \(k = 20\).

- In welchem Bereich um den Erwartungswert vermutest du die höchsten Punktwahrscheinlichkeiten? - Nutze den Tabellenmodus, damit du benachbarte Werte vergleichen kannst. - Prüfe besonders sorgfältig die Werte direkt an den beiden Übergangsstellen.

1. Es gilt \(P(X=k)=\binom{30}{k}0{,}6^k0{,}4^{30-k}\). Die größten Werte liegen in der Nähe des Erwartungswerts \(\mu=18\). 2. Für Teil a) erhält man unter anderem \(P(X=15)\approx0{,}0783\), \(P(X=16)\approx0{,}1101\), \(P(X=17)\approx0{,}1360\), \(P(X=18)\approx0{,}1474\), \(P(X=19)\approx0{,}1396\), \(P(X=20)\approx0{,}1152\) und \(P(X=21)\approx0{,}0823\). Daher gilt die Bedingung genau für \(k\in\{16,17,18,19,20\}\). 3. Für Teil b) sind an den Übergängen \(P(X=14)\approx0{,}0489<0{,}05\), \(P(X=15)>0{,}05\), \(P(X=22)\approx0{,}0505>0{,}05\) und \(P(X=23)\approx0{,}0263<0{,}05\). 4. Damit gilt \(P(X=k)<0{,}05\) genau für \(k\le14\) oder \(k\ge23\).

a) \(k\in\{16,17,18,19,20\}\) b) \(k\in\{0,1,\dots,14\}\cup\{23,24,\dots,30\}\)

- Was passiert mit den beiden Potenzfaktoren, wenn Treffer- und Gegenwahrscheinlichkeit gleich groß sind? - Welche Symmetrie besitzen die Binomialkoeffizienten? - Welche Werte am oberen Rand spiegeln sich auf welche Werte am unteren Rand?

1. Für \(p=0{,}5\) gilt \(P(X=k)=\binom{n}{k}0{,}5^k0{,}5^{n-k}=\binom{n}{k}0{,}5^n\). 2. Ebenso ist \(P(X=n-k)=\binom{n}{n-k}0{,}5^n\). 3. Wegen \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\) folgt \(P(X=k)=P(X=n-k)\). 4. Für \(n=6\) ist \(P(X\ge4)=\left(\binom64+\binom65+\binom66\right)0{,}5^6=\frac{22}{64}=0{,}34375\). 5. Wegen \(P(X=4)=P(X=2)\), \(P(X=5)=P(X=1)\) und \(P(X=6)=P(X=0)\) gilt auch \(P(X\le2)=0{,}34375\).

a) Für \(p=0{,}5\) gilt \(P(X=k)=\binom{n}{k}0{,}5^n=P(X=n-k)\). b) \(P(X\ge4)=P(X\le2)=0{,}34375\)

- Welche Bedingung müssen alle \(20\) LEDs für einen vollständig funktionierenden Streifen erfüllen? - Verwende diese Streifenwahrscheinlichkeit als Trefferwahrscheinlichkeit im zweiten Modell. - Welche Verteilung beschreibt die Zahl funktionierender Streifen?

1. Für einen Streifen ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle \(20\) LEDs funktionieren, \(p_S=0{,}98^{20}\approx0{,}6676\). 2. Die Funktionsereignisse verschiedener Streifen werden im Modell als unabhängig angenommen. Daher gilt \(Y\sim B(15,p_S)\). 3. Somit ist \(P(Y=12)=\binom{15}{12}p_S^{12}(1-p_S)^3\approx0{,}1310\).

a) \(p_S\approx0{,}6676\) b) \(P(Y=12)\approx0{,}1310\)

- Welche Parameter \(n\) und \(p\) hat das Binomialmodell? - Wo liegt \((n+1)p\) im Verhältnis zu den benachbarten ganzen Zahlen? - Wenn der Modalwert feststeht, welche einzelne Binomial-Punktwahrscheinlichkeit ist in Teil b) zu berechnen?

1. Es gilt \(X\sim B(30,0{,}85)\). 2. Für einen Modalwert gilt \((n+1)p-1\le k\le(n+1)p\). Hier ist \(31\cdot0{,}85=26{,}35\), daher ist \(k=26\) der einzige ganzzahlige Modalwert. 3. Die zugehörige Punktwahrscheinlichkeit ist \(P(X=26)=\binom{30}{26}0{,}85^{26}0{,}15^4\approx0{,}2028\).

a) \(26\) b) \(P(X=26)\approx0{,}2028\)

- Welche Parameter besitzt die binomialverteilte Keimzahl? - Teil a verlangt eine einzelne Punktwahrscheinlichkeit. - Für den Modus liegt der wahrscheinlichste Wert nahe beim Erwartungswert, aber du musst die genaue Binomialregel beachten.

1. Es gilt \(X\sim B(120,0{,}92)\). 2. Für \(k=110\) ist \(P(X=110)=\binom{120}{110}0{,}92^{110}0{,}08^{10}\approx0{,}1295\). 3. Für den Modus betrachtet man \((n+1)p=121\cdot0{,}92=111{,}32\). Da dieser Wert nicht ganzzahlig ist, liegt der eindeutige Modus bei \(k=\lfloor111{,}32\rfloor=111\).

a) \(P(X=110)\approx0{,}1295\) b) Die wahrscheinlichste Anzahl keimender Samen ist \(111\).

- Stelle zuerst die Formeln für die beiden Punktwahrscheinlichkeiten auf. - Welche Beziehung besteht zwischen den beiden Binomialkoeffizienten? - Welche gemeinsamen positiven Faktoren kannst du auf beiden Seiten kürzen? - Was folgt aus dem Vergleich zweier positiver zehnter Potenzen?

1. Die Ungleichung lautet \(\binom{100}{45}p^{45}(1-p)^{55}<\binom{100}{55}p^{55}(1-p)^{45}\). 2. Wegen der Symmetrie der Binomialkoeffizienten ist \(\binom{100}{45}=\binom{100}{55}\). 3. Da \(0<p<1\) gilt, sind alle gemeinsamen Faktoren positiv. Nach Division erhält man \((1-p)^{10}<p^{10}\). 4. Beide Basen sind positiv. Daher folgt \(1-p<p\). 5. Somit ist \(1<2p\) und damit \(p>0{,}5\).

\(0{,}5<p<1\)

- Übersetze den Text „mindestens so groß wie“ in ein mathematisches Vergleichszeichen. - Setze die gegebenen Werte für \(n\) und \(k\) in die Bernoulli-Formel ein. - Vereinfache die Ungleichung, indem du Potenzen von \((1-p)\) kürzt. - Achte am Ende darauf, dass die Lösung im vorgegebenen Bereich für \(p\) liegen muss.

1. Aufstellen der Bedingung: \(P(Y = 0) \ge P(Y = 1)\). 2. Einsetzen in die Formel der Binomialverteilung: \(\binom{3}{0} \cdot p^{0} \cdot (1-p)^{3} \ge \binom{3}{1} \cdot p^{1} \cdot (1-p)^{2}\). 3. Berechnen der Terme: \(1 \cdot 1 \cdot (1-p)^{3} \ge 3 \cdot p \cdot (1-p)^{2}\). 4. Vereinfachen: Da \(p < 1\), ist \((1-p) > 0\). Division durch \((1-p)^2\) liefert \(1-p \ge 3p\). 5. Zusammenfassen und nach \(p\) auflösen: \(1 \ge 4p \iff p \le 0{,}25\). 6. Unter Berücksichtigung des Definitionsbereichs \(p \in ]0; 1[\) ergibt sich das Intervall \(]0; 0{,}25]\).

\(0 < p \le 0{,}25\) (bzw. \(p \in ]0; 0{,}25]\))

- Unterscheide Ereignisse, bei denen nur die Anzahl der Erfolge zählt, von einem Ereignis mit festgelegten Positionen. - Wie viele Erfolgspositionen können bei „genau \(k\)“ auf unterschiedliche Weise gewählt werden? - Warum entfällt dieser Auswahlfaktor im dritten Ereignis?

1. Für die Anzahl \(X\) der keimenden Samen gilt \(X\sim B(12,0{,}85)\). 2. Für genau neun Erfolge gilt \(P(X=9)=\binom{12}{9}0{,}85^9 0{,}15^3\approx0{,}1720\). 3. Für genau elf Erfolge gilt \(P(X=11)=\binom{12}{11}0{,}85^{11}0{,}15\approx0{,}3012\). 4. In (3) ist die Position der drei Misserfolge festgelegt. Daher gibt es nur einen Pfad und \(P(E)=0{,}15^3 0{,}85^9\approx0{,}0007817\).

(1) \(17{,}20\,\%\) (2) \(30{,}12\,\%\) (3) \(0{,}08\,\%\)

- Bei welchen Teilaufgaben zählt nur die Anzahl der Defekte? - Wann muss die Zahl möglicher Defektpositionen durch einen Binomialkoeffizienten berücksichtigt werden? - Was ändert sich, wenn die einzige Defektposition bereits festgelegt ist?

1. Für die Defektzahl \(X\) gilt \(X\sim B(15,0{,}04)\). 2. Für genau einen Defekt ist \(P(X=1)=\binom{15}{1}0{,}04\cdot0{,}96^{14}\approx0{,}3388\). 3. Für genau zwei Defekte ist \(P(X=2)=\binom{15}{2}0{,}04^2 0{,}96^{13}\approx0{,}0988\). 4. In (3) ist die einzige Defektposition festgelegt. Daher wird kein Binomialkoeffizient benötigt und \(P(E)=0{,}96^{14}\cdot0{,}04\approx0{,}0226\).

(1) \(0{,}3388\) (2) \(0{,}0988\) (3) \(0{,}0226\)

- Überlege, wie man die Wahrscheinlichkeit für eine ganz bestimmte Kette von Ergebnissen berechnet. - Spielt die Reihenfolge bei der Wahrscheinlichkeit für ein *einzelnes* Ergebnis (eine feste Sequenz) eine Rolle? - Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, bei 8 Würfen genau 4-mal Zahl zu erhalten? - Unterscheide zwischen einem „Ergebnis“ (eine feste Folge) und einem „Ereignis“ (eine Menge von Folgen).

1. Da es sich um einen fairen Münzwurf handelt, ist die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}5\) und die Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 1 - p = 0{,}5\). 2. Die Wahrscheinlichkeit einer spezifischen Ergebnisfolge der Länge \(n=8\) berechnet sich in einer Bernoulli-Kette durch \(P(\omega) = p^k \cdot q^{n-k}\). Da \(p = q = 0{,}5\), gilt für jede Folge \(P(\omega) = 0{,}5^8 = \frac{1}{256} \approx 0{,}0039\). Somit haben Folge 1 und Folge 2 dieselbe Wahrscheinlichkeit. 3. Die Intuition ist falsch, da bei einer Bernoulli-Kette die Unabhängigkeit der Einzelversuche gilt. Jede exakt definierte Abfolge von Kopf und Zahl ist bei \(p=0{,}5\) exakt gleich wahrscheinlich, unabhängig davon, wie „geordnet“ sie erscheint. 4. Die Wahrscheinlichkeit für genau 4-mal Zahl berechnet sich mit der Binomialverteilung: \(P(X=4) = \binom{8}{4} \cdot 0{,}5^4 \cdot 0{,}5^4 = 70 \cdot \frac{1}{256} = \frac{70}{256} \approx 0{,}2734\). 5. Das Ereignis „genau 4-mal Zahl“ ist wahrscheinlicher, weil es aus 70 verschiedenen Einzelergebnissen (Sequenzen) besteht, während das Ereignis „8-mal Zahl“ nur aus der einen Sequenz \((Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z)\) besteht.

a) \(P(\text{Folge 1}) = P(\text{Folge 2}) = 0{,}5^8 = \frac{1}{256} \approx 0{,}0039\). b) In einer Bernoulli-Kette mit \(p=0{,}5\) ist jede spezifische Sequenz gleich wahrscheinlich, da die Einzelwahrscheinlichkeiten für \(Z\) und \(K\) identisch sind. Die Intuition verwechselt oft die Wahrscheinlichkeit einer einzelnen Sequenz mit der Wahrscheinlichkeit einer Ergebnisklasse (z. B. „Hälfte/Hälfte“). c) \(P(X=4) = \binom{8}{4} \cdot 0{,}5^8 = \frac{70}{256} \approx 0{,}2734\). Dieses Ereignis ist wahrscheinlicher, da es 70 gleich wahrscheinliche Pfade im Baumdiagramm umfasst, während „8-mal Zahl“ nur einem Pfad entspricht.

- Wie berechnet sich die Wahrscheinlichkeit einer fest vorgegebenen Pfadfolge? - Ändert sich ein Produkt, wenn nur die Reihenfolge seiner Faktoren vertauscht wird? - Wie viele Positionen kann der einzige Fehlwurf bei genau drei Treffern einnehmen?

1. Es gilt \(P(S_1)=0{,}8^4=0{,}4096\) und \(P(S_2)=0{,}8^3 0{,}2=0{,}1024\). 2. Jede konkrete Sequenz mit drei Treffern und einem Fehlwurf besitzt das Produkt \(0{,}8^3 0{,}2\), unabhängig von der Reihenfolge der Faktoren. Zum Beispiel sind \(P(N,T,T,T)=P(T,N,T,T)=0{,}1024\). 3. Die Aussage in b) ist daher richtig. 4. Es gibt \(\binom{4}{3}=4\) Sequenzen mit genau drei Treffern. Somit ist \(P(X=3)=4\cdot0{,}8^3 0{,}2=0{,}4096\).

a) \(P(S_1)=0{,}4096\) und \(P(S_2)=0{,}1024\). b) Die Aussage ist richtig; jede konkrete Sequenz mit drei Treffern hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}8^3 0{,}2=0{,}1024\). c) \(P(X=3)=0{,}4096\).

- Welche beiden Trefferzahlen gehören zum gefragten Ereignis? - Berechne die beiden Punktwahrscheinlichkeiten getrennt. - Warum dürfen die beiden Punktwahrscheinlichkeiten addiert werden?

1. Es gilt \(X\sim B(10,0{,}25)\). 2. Für genau drei Gewinne ist \(P(X=3)=\binom{10}{3}0{,}25^3 0{,}75^7\approx0{,}2503\). 3. Für genau vier Gewinne ist \(P(X=4)=\binom{10}{4}0{,}25^4 0{,}75^6\approx0{,}1460\). 4. Die beiden Ereignisse sind disjunkt. Deshalb ist \(P(X=3\text{ oder }X=4)=P(X=3)+P(X=4)\approx0{,}3963\).

\(P(X=3\text{ oder }X=4)\approx0{,}3963\)

- Welche Parameter besitzt die binomialverteilte Defektzahl? - Der Modus liegt nahe beim Erwartungswert, aber die genaue Lage hängt von \((n+1)p\) ab. - Prüfe, ob dieser Wert ganzzahlig ist.

1. Es gilt \(X\sim B(30,0{,}08)\). 2. Zur Bestimmung des Modus berechnet man \((n+1)p=31\cdot0{,}08=2{,}48\). 3. Da dieser Wert nicht ganzzahlig ist, ist der eindeutige Modus \(k=\lfloor2{,}48\rfloor=2\). 4. Zur Kontrolle gilt \(P(X=2)\approx0{,}2696\) und \(P(X=3)\approx0{,}2188\).

Die größte Punktwahrscheinlichkeit liegt bei \(k=2\), also bei \(2\) Fahrzeugen mit Lackfehler.

- Identifiziere Trefferwahrscheinlichkeit und Stichprobenumfang. - Berechne zunächst den Erwartungswert, um zu wissen, um welche Werte herum die Wahrscheinlichkeiten am höchsten sind. - Untersuche die Werte an den Rändern der Verteilung, also sehr kleine und sehr große \(k\). - Nutze die Bernoulli-Formel für die Einzelwahrscheinlichkeiten.

1. Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n=15\) und \(p=0{,}40\). Daher ist \(P(X=6)=\binom{15}{6}0{,}4^6 0{,}6^9\approx0{,}2066\). 2. Für die Randwerte prüft man \(P(X=k)=\binom{15}{k}0{,}4^k 0{,}6^{15-k}\). Es gilt \(P(X=0)\approx0{,}000470\), \(P(X=1)\approx0{,}004702\), aber \(P(X=2)\approx0{,}021942\). 3. Am oberen Rand gilt \(P(X=10)\approx0{,}024486\), \(P(X=11)\approx0{,}007420\), \(P(X=12)\approx0{,}001649\), \(P(X=13)\approx0{,}000254\), \(P(X=14)\approx0{,}000024\) und \(P(X=15)\approx0{,}000001\). 4. Damit liegen genau die Werte \(k\in\{0;1;11;12;13;14;15\}\) unter der Grenze von \(1\,\%\).

1. \(P(X=6)\approx0{,}2066\) 2. \(k\in\{0;1;11;12;13;14;15\}\)

- Welche Parameter besitzt die Trefferzahl in den fünf Würfen? - Teil 1 ist eine Punktwahrscheinlichkeit. - Welche beiden Trefferzahlen gehören zu „mindestens vier“?

1. Es gilt \(X\sim B(5,0{,}70)\) und damit \(P(X=3)=\binom{5}{3}0{,}7^3 0{,}3^2=0{,}3087\). 2. Für mindestens vier Treffer gilt \(P(X\ge4)=P(X=4)+P(X=5)\). 3. Es ist \(P(X=4)=\binom{5}{4}0{,}7^4 0{,}3=0{,}36015\) und \(P(X=5)=0{,}7^5=0{,}16807\). 4. Damit ist \(P(X\ge4)=0{,}52822\).

1. \(P(X=3)=0{,}3087\) 2. \(P(X\ge4)=0{,}52822\)

- Wie viele geordnete Möglichkeiten gibt es für die ersten beiden Plätze? - Im zweiten Teil wird „Tipp vollständig korrekt“ zum Bernoulli-Erfolg. - Welche Werte für \(n\), \(p\) und \(k\) gehören zu genau einem richtigen Tipp?

1. Für die ersten beiden Plätze gibt es \(10\cdot9=90\) geordnete Möglichkeiten. 2. Daher ist die Wahrscheinlichkeit für einen richtigen Tipp \(p=\frac{1}{90}\). 3. Für die Zahl der richtigen Tipps gilt \(X\sim B(60,\frac{1}{90})\). 4. Somit ist \(P(X=1)=\binom{60}{1}\frac{1}{90}\left(\frac{89}{90}\right)^{59}\approx0{,}3448\).

a) \(p=\frac{1}{90}\) b) \(P(X=1)\approx0{,}3448\)

- Wann zählt nur die Anzahl der Defekte, und wann sind ihre Positionen bereits festgelegt? - Welche Wahrscheinlichkeit hat ein einzelner festgelegter Pfad mit zwei Defekten und \(18\) intakten Bauteilen? - Welche Rolle spielt \(\binom{20}{2}\) beim Übergang vom einzelnen Pfad zum Ereignis „genau zwei Defekte“?

1. Es gilt \(X\sim B(20,0{,}05)\). 2. Für genau zwei Defekte ist \(P(X=2)=\binom{20}{2}0{,}05^2 0{,}95^{18}\approx0{,}1887\). 3. Für die in b) festgelegten Defektpositionen gibt es nur einen Pfad: \(P(E)=0{,}05^2 0{,}95^{18}\approx0{,}000993\). 4. Es ist \(\binom{20}{2}=190\). Genau \(190\) verschiedene Positionspaare der zwei Defekte sind möglich, deshalb ist die Wahrscheinlichkeit in a) das \(190\)-Fache der festen Pfadwahrscheinlichkeit aus b).

a) \(P(X=2)\approx0{,}1887\) b) \(P(E)\approx0{,}000993\) c) \(\binom{20}{2}=190\); die Punktwahrscheinlichkeit in a) fasst \(190\) gleich wahrscheinliche feste Defektpfade wie in b) zusammen.

- Welche Trefferwahrscheinlichkeit gilt bei jeder Frage? - Was zählt der Binomialkoeffizient bei genau zwei richtigen Antworten? - Wie wird aus der Anzahl der möglichen Positionsmuster und der Wahrscheinlichkeit eines festen Musters die Punktwahrscheinlichkeit gebildet?

1. Für die Anzahl \(X\) der richtigen Antworten gilt \(X\sim B(10,0{,}25)\). 2. Für genau drei richtige Antworten ist \(P(X=3)=\binom{10}{3}0{,}25^3 0{,}75^7\approx0{,}2503\). 3. Für genau zwei richtige Antworten können zwei der zehn Positionen gewählt werden. Daher gibt es \(\binom{10}{2}=45\) Positionsmuster. 4. Somit ist \(P(X=2)=\binom{10}{2}0{,}25^2 0{,}75^8\approx0{,}2816\).

a) \(P(X=3)\approx0{,}2503\) b) \(\binom{10}{2}=45\) c) \(P(X=2)\approx0{,}2816\)

- Setze die gegebenen Werte in die Bernoulli-Formel ein und vergleiche die Terme. - Welche besondere Eigenschaft hat die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}5\) im Vergleich zur Gegenwahrscheinlichkeit \(1-p\)? - Erinnere dich an die Symmetrie-Eigenschaft des Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\).

1. Berechnung von \(P(X=2)\): Anwendung der Bernoulli-Formel \(P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\). Für \(k=2\) ergibt sich \(\binom{10}{2} \cdot 0{,}5^2 \cdot 0{,}5^8 = 45 \cdot 0{,}5^{10} \approx 0{,}0439\). 2. Berechnung von \(P(X=8)\): Für \(k=8\) ergibt sich \(\binom{10}{8} \cdot 0{,}5^8 \cdot 0{,}5^2 = 45 \cdot 0{,}5^{10} \approx 0{,}0439\). 3. Erläuterung der Identität: Der Binomialkoeffizient ist symmetrisch, es gilt \(\binom{10}{2} = \binom{10}{8} = 45\). Da \(p = 1-p = 0{,}5\) ist, sind auch die Faktoren für die Wahrscheinlichkeiten \(p^k \cdot (1-p)^{n-k} = 0{,}5^{10}\) für beide Fälle identisch. Somit müssen die Gesamtwahrscheinlichkeiten gleich sein.

a) \(P(X = 2) = P(X = 8) = \frac{45}{1024} \approx 0{,}0439\) b) Die Wahrscheinlichkeiten sind gleich, da \(\binom{10}{2} = \binom{10}{8}\) gilt und wegen \(p = 1-p = 0{,}5\) die Terme \(p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) für \(k=2\) und \(k=8\) beide den Wert \(0{,}5^{10}\) annehmen.

- Welche Angaben sichern hier eine Bernoulli-Kette mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit? - Welche Werte von \(X\) gehören zu „mindestens \(8\)“? - Welche Symmetrie besitzt die Verteilung bei \(p=0{,}5\)? - Wie lässt sich damit die Wahrscheinlichkeit rechts von \(5\) bestimmen, ohne alle Einzelwerte zu addieren?

1. Wegen der unabhängigen Zufallsauswahl mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit gilt \(X\sim B(10,0{,}5)\). 2. \(P(X=5)=\binom{10}{5}0{,}5^{10}=\frac{252}{1024}=\frac{63}{256}\). 3. \(P(X\ge8)=\left(\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}\right)0{,}5^{10}=\frac{56}{1024}=\frac{7}{128}\). 4. Wegen \(p=0{,}5\) ist die Verteilung symmetrisch zu \(5\), also gilt \(P(X<5)=P(X>5)\). 5. Daher ist \(P(X>5)=\frac{1-P(X=5)}{2}=\frac{193}{512}\). Da \(\frac{193}{512}>\frac{63}{256}\), ist „mehr als fünf“ wahrscheinlicher.

a) \(P(X=5)=\frac{63}{256}\) b) \(P(X\ge8)=\frac{7}{128}\) c) „Mehr als \(5\)“ ist wahrscheinlicher, denn \(P(X>5)=\frac{193}{512}>\frac{63}{256}=P(X=5)\).

- Bestimme zunächst die Erfolgswahrscheinlichkeit einer einzelnen Fünfer-Serie. - Verwende dieses Serienereignis anschließend als neuen Bernoulli-Erfolg. - Welche Unabhängigkeitsannahme erlaubt den zweiten Binomialschritt?

1. Für eine Serie ist \(p_S=P(X\ge4)=\binom{5}{4}0{,}8^4 0{,}2+0{,}8^5=0{,}73728\). 2. Da die Serien aus disjunkten Gruppen unabhängiger Schüsse bestehen, sind auch die Serienereignisse unabhängig. Für ihre Anzahl \(Y\) gilt \(Y\sim B(12,0{,}73728)\). 3. Daher ist \(P(Y=8)=\binom{12}{8}0{,}73728^8(1-0{,}73728)^4\approx0{,}2059\). 4. Für keine besonders erfolgreiche Serie gilt \(P(Y=0)=(1-0{,}73728)^{12}\approx1{,}081\cdot10^{-7}\).

1. \(P(\text{Serie besonders erfolgreich})=0{,}73728\) 2. \(P(Y=8)\approx0{,}2059\) 3. \(P(Y=0)\approx1{,}081\cdot10^{-7}\)

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg bei einem einzelnen Zug? - Welche Formel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für eine exakte Anzahl an Erfolgen in einer Versuchsreihe zu berechnen? - Achte bei Teilaufgabe b darauf, dass sich die Anzahl der Versuche \(n\) ändert. - Vergleiche die Brüche am besten, indem du sie auf einen gemeinsamen Nenner bringst.

1. Erfolgswahrscheinlichkeit bestimmen: Da eine von drei Kugeln rot ist, gilt \(p = \frac{1}{3}\) und \(q = \frac{2}{3}\). 2. Berechnung von \(P(E_1)\): Mit der Bernoulli-Formel ergibt sich \(P(E_1) = \binom{3}{1} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^1 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{9}\). 3. Berechnung von \(P(E_2)\): Es gilt \(P(E_2) = \binom{3}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^1 = 3 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}\). 4. Vergleich: Da \(\frac{4}{9} = 2 \cdot \frac{2}{9}\), ist \(P(E_1)\) doppelt so groß wie \(P(E_2)\). 5. Berechnung von \(P(E_3)\): Für \(n=6\) und \(k=2\) ergibt sich \(P(E_3) = \binom{6}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 15 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{16}{81} = \frac{5}{3} \cdot \frac{16}{81} = \frac{80}{243}\). 6. Vergleich mit \(P(E_1)\): Es ist \(P(E_1) = \frac{4}{9} = \frac{108}{243}\). Da \(108 \neq 2 \cdot 80 = 160\), ist \(P(E_1)\) nicht doppelt so groß wie \(P(E_3)\). Tatsächlich gilt \(P(E_1) = 1{,}35 \cdot P(E_3)\).

a) \(P(E_1) = \frac{4}{9}\) und \(P(E_2) = \frac{2}{9}\). Es gilt \(\frac{4}{9} = 2 \cdot \frac{2}{9}\). b) Nein, \(P(E_1) = \frac{108}{243}\) und \(P(E_3) = \frac{80}{243}\). Somit ist \(P(E_1)\) nicht doppelt so groß wie \(P(E_3)\).

- Welche drei Merkmale einer Bernoulli-Kette musst du im Modell erkennen? - Was bedeutet die Sonderfigur für Erfolg und Misserfolg? - Teil c verlangt eine einzelne Binomial-Punktwahrscheinlichkeit.

1. Pro Ei gibt es bezüglich des betrachteten Merkmals zwei Ausgänge: Sonderfigur oder keine Sonderfigur. Durch die Modellannahme sind die Versuche näherungsweise unabhängig und die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt konstant. 2. Es gilt \(n=20\) und \(p=\frac{1}{7}\). 3. Für genau drei Sonderfiguren gilt \(P(X=3)=\binom{20}{3}\left(\frac{1}{7}\right)^3\left(\frac{6}{7}\right)^{17}\approx0{,}2418\).

a) Zwei Ausgänge, näherungsweise unabhängige Versuche und konstante Trefferwahrscheinlichkeit. b) \(n=20\) und \(p=\frac{1}{7}\). c) \(P(X=3)=\binom{20}{3}\left(\frac{1}{7}\right)^3\left(\frac{6}{7}\right)^{17}\approx0{,}2418\).

- Bestimme zuerst \(\mu\) und \(q\). - Welche ganze Zahl liegt im angegebenen Intervall? - Unterscheide zwischen einem lokalen Nachbarvergleich und einer Regel, die den globalen Modalwert bestimmt.

1. Es gilt \(\mu=np=15\cdot0{,}70=10{,}5\) und \(q=0{,}30\). 2. Das Intervall ist \([10{,}5-0{,}3;10{,}5+0{,}7]=[10{,}2;11{,}2]\). Die einzige ganze Zahl darin ist \(k=11\); nach der angegebenen Regel ist dies der Modalwert. 3. Es gilt \(P(X=10)\approx0{,}2061\), \(P(X=11)\approx0{,}2186\) und \(P(X=12)\approx0{,}1700\). 4. Der Nachbarvergleich ist mit \(k=11\) vereinbar, liefert für sich allein aber keinen allgemeinen Beweis des globalen Maximums; dafür wurde in b) die Modusregel verwendet.

a) \(\mu=10{,}5\), \(q=0{,}30\) b) \([10{,}2;11{,}2]\); Modalwert \(k=11\) c) \(P(X=10)\approx0{,}2061\), \(P(X=11)\approx0{,}2186\), \(P(X=12)\approx0{,}1700\); der Vergleich bestätigt den Modalwert lokal, die globale Aussage folgt aus der Modusregel.

- Welche Werte haben \(n\) und \(p\)? - Für alle drei Teilaufgaben werden einzelne Punktwahrscheinlichkeiten berechnet. - Vergleiche erst nach dem Runden die Größenordnung der drei Punktwahrscheinlichkeiten.

1. Es gilt \(X\sim B(200,0{,}005)\). 2. \(P(X=0)=0{,}995^{200}\approx0{,}3670\). Die Abweichung von \(\frac{1}{e}\approx0{,}3679\) beträgt gerundet \(0{,}0009\). 3. \(P(X=1)=\binom{200}{1}0{,}005\cdot0{,}995^{199}=0{,}995^{199}\approx0{,}3688\). 4. \(P(X=2)=\binom{200}{2}0{,}005^2 0{,}995^{198}\approx0{,}1844\). 5. Unter den drei berechneten Punktwahrscheinlichkeiten ist \(P(X=1)\) am größten; \(P(X=0)\) liegt nur wenig darunter.

a) \(P(X=0)\approx0{,}3670\); Abweichung zu \(\frac{1}{e}\) etwa \(0{,}0009\) b) \(P(X=1)\approx0{,}3688\) c) \(P(X=2)\approx0{,}1844\); von diesen drei Werten ist \(P(X=1)\) am größten.

- Betrachte zunächst nur ein fest ausgewähltes Feld. - Mit welcher Wahrscheinlichkeit landet ein einzelnes Pollenkorn in diesem Feld? - Für a) bis c) brauchst du drei Punktwahrscheinlichkeiten derselben Binomialverteilung. - Für die erwartete Zahl geeigneter Felder multiplizierst du die Punktwahrscheinlichkeit mit der Zahl der Felder.

1. Für ein festes Feld fällt jedes der \(120\) Pollenkörner mit Wahrscheinlichkeit \(p=\frac{1}{100}=0{,}01\) in dieses Feld. Für die Zahl \(X\) der Pollenkörner im Feld gilt daher \(X\sim B(120,0{,}01)\). 2. \(P(X=0)=0{,}99^{120}\approx0{,}2994\). 3. \(P(X=1)=\binom{120}{1}\cdot0{,}01\cdot0{,}99^{119}\approx0{,}3629\). 4. \(P(X=2)=\binom{120}{2}\cdot0{,}01^2\cdot0{,}99^{118}\approx0{,}2181\). 5. Für die erwartete Anzahl der Felder mit genau einem Pollenkorn wird mit der ungerundeten Wahrscheinlichkeit gerechnet: \(100\cdot P(X=1)\approx36{,}2885\), also etwa \(36{,}3\) Felder.

a) \(29{,}94\,\%\) b) \(36{,}29\,\%\) c) \(21{,}81\,\%\) Erwartet werden etwa \(36{,}3\) Felder mit genau einem Pollenkorn.

- Welche Trefferwahrscheinlichkeit hat die festgelegte Kugel bei einer einzelnen Ziehung? - Jede Teilaufgabe a) und b) verlangt eine einzelne Punktwahrscheinlichkeit derselben Binomialverteilung. - Vergleiche in c) nur die bereits berechneten Werte, statt eine kumulierte Wahrscheinlichkeit zu bilden.

1. Bei jeder Ziehung hat die festgelegte Kugel die Trefferwahrscheinlichkeit \(p=\frac{1}{25}=0{,}04\). Daher gilt \(X\sim B(25,0{,}04)\). 2. \(P(X=0)=0{,}96^{25}\approx0{,}3604\). 3. \(P(X=1)=\binom{25}{1}0{,}04\cdot0{,}96^{24}\approx0{,}3754\). 4. \(P(X=2)=\binom{25}{2}0{,}04^2\cdot0{,}96^{23}\approx0{,}1877\). 5. \(P(X=3)=\binom{25}{3}0{,}04^3\cdot0{,}96^{22}\approx0{,}0600\). 6. Unter den vier berechneten Werten ist \(P(X=1)\approx0{,}3754\) am größten. Daher ist genau eine Ziehung der festgelegten Kugel am wahrscheinlichsten.

a) \(P(X=0)\approx0{,}3604\), \(P(X=1)\approx0{,}3754\), \(P(X=2)\approx0{,}1877\) b) \(P(X=3)\approx0{,}0600\) c) \(X=1\), denn \(P(X=1)\) ist unter den vier berechneten Punktwahrscheinlichkeiten am größten.

- Lies aus dem Bild die Anteile für Gelb und nicht Gelb ab. - Liste die möglichen Positionen des einen Nicht-Gelb-Ergebnisses auf. - Vergleiche eine einzelne Pfadwahrscheinlichkeit mit der Summe aller günstigen Pfade.

1. Aus dem Bild liest man \(P(\text{Gelb})=\frac{3}{8}\) und \(P(\text{nicht Gelb})=\frac{5}{8}\) ab. 2. Genau zweimal Gelb umfasst die drei Folgen Gelb–Gelb–nicht Gelb, Gelb–nicht Gelb–Gelb und nicht Gelb–Gelb–Gelb. 3. Wegen der Unabhängigkeit hat jede dieser Folgen die Wahrscheinlichkeit \(\left(\frac{3}{8}\right)^2\frac{5}{8}\). 4. Term (3) addiert die drei Pfadwahrscheinlichkeiten; Term (4) fasst dieselbe Summe als das Dreifache einer Pfadwahrscheinlichkeit zusammen. 5. Term (1) enthält nur einen Pfad. Term (2) beschreibt stattdessen genau einmal Gelb.

Die Terme (3) und (4) sind korrekt.

- Wo liegt der Schwerpunkt jeder Verteilung ungefähr? - Wie hängt der Erwartungswert einer Binomialverteilung mit \(n\) und \(p\) zusammen? - Was passiert mit der Trefferzahl, wenn Treffer und Nichttreffer vertauscht werden?

1. Bei \(p=0{,}3\) liegt der Erwartungswert bei \(np=3\), bei \(p=0{,}7\) bei \(7\). Daher gehört Diagramm I zu \(p=0{,}3\) und Diagramm II zu \(p=0{,}7\). 2. Die höchsten Säulen liegen entsprechend bei \(k=3\) bzw. \(k=7\). 3. Vertauscht man Treffer und Nichttreffer, wird aus \(p\) die Wahrscheinlichkeit \(1-p\) und aus der Trefferzahl \(k\) die Zahl \(10-k\). 4. Deshalb gilt hier \(P_{0{,}3}(X=k)=P_{0{,}7}(X=10-k)\); die Diagramme sind Spiegelbilder an \(k=5\).

a) Diagramm I: \(p=0{,}3\); Diagramm II: \(p=0{,}7\) b) Diagramm I: \(k=3\); Diagramm II: \(k=7\) c) \(P_{0{,}3}(X=k)=P_{0{,}7}(X=10-k)\)

- Wie viele der fünf möglichen nächsten Ziffern machen eine gegebene Teilsumme zu einem Vielfachen von \(5\)? - Bleibt diese Anzahl bei jeder Stufe gleich? - Im zweiten Teil wird die Gewinnwahrscheinlichkeit eines ganzen Spiels zur Trefferwahrscheinlichkeit einer neuen Bernoulli-Kette.

1. Für \(S_1\) sind vier der fünf Ergebnisse zulässig. Ist eine bisherige Teilsumme nicht durch \(5\) teilbar, gibt es bei der nächsten Drehung genau einen von fünf Werten, der die neue Teilsumme durch \(5\) teilbar macht. 2. Daher ist die Gewinnwahrscheinlichkeit eines Spiels \(p=\left(\frac45\right)^3=\frac{64}{125}=0{,}512\). 3. Für zehn unabhängige Spiele gilt \(K\sim B(10,0{,}512)\). 4. Somit ist \(P(K=5)=\binom{10}{5}0{,}512^5 0{,}488^5\approx0{,}2454\).

a) \(\frac{64}{125}=0{,}512\) b) \(P(K=5)\approx0{,}2454\)

- Wann ist eine Punktwahrscheinlichkeit größer als ihre unmittelbare Vorgängerin? - Untersuche das Verhältnis zwischen zwei benachbarten Punktwahrscheinlichkeiten. - Was bedeutet es für zwei benachbarte Werte, wenn dieses Verhältnis genau \(1\) ist? - Wie vereinfacht sich der Quotient der beiden benachbarten Binomialkoeffizienten?

1. Für \(k\ge1\) gilt \(\frac{P(X=k)}{P(X=k-1)}=\frac{14-k+1}{k}\cdot\frac{0{,}4}{0{,}6}=\frac{15-k}{k}\cdot\frac{2}{3}\). 2. Die Punktwahrscheinlichkeiten steigen, solange dieses Verhältnis mindestens \(1\) ist. 3. Aus \(\frac{15-k}{k}\cdot\frac23\ge1\) folgt \(2(15-k)\ge3k\), also \(30\ge5k\) und damit \(k\le6\). 4. Für \(k=6\) ist das Verhältnis genau \(1\). Deshalb gilt \(P(X=6)=P(X=5)\). 5. Vor diesen Werten steigt die Folge der Punktwahrscheinlichkeiten, danach fällt sie. Daher sind \(k=5\) und \(k=6\) die beiden Modalwerte.

Die Punktwahrscheinlichkeit ist für \(k=5\) und \(k=6\) maximal.

- Setze für die Aufgabenteile die allgemeine Formel der Binomialverteilung mit \(k=0\), \(k=1\) und \(k=2\) an. - Nutze Potenzgesetze, um Brüche mit gleicher Basis zu vereinfachen. - Erinnere dich bei Teil b), wie man den Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{2}\) ausschreibt. - Überlege dir für den Grenzübergang, gegen welche Werte die einzelnen Faktoren des Produkts streben, wenn \(n\) immer größer wird.

1. Nach der Formel der Binomialverteilung gilt \(P(X=0) = (1 - \frac{1}{n})^n\) und \(P(X=1) = n \cdot \frac{1}{n} \cdot (1 - \frac{1}{n})^{n-1} = (1 - \frac{1}{n})^{n-1}\). 2. Der Quotient ist \(\frac{P(X=1)}{P(X=0)} = \frac{(1 - \frac{1}{n})^{n-1}}{(1 - \frac{1}{n})^n} = \frac{1}{1 - \frac{1}{n}} = \frac{1}{\frac{n-1}{n}} = \frac{n}{n-1}\). Daraus folgt \(P(X=1) = \frac{n}{n-1} \cdot P(X=0)\). 3. Für \(k=2\) gilt: \(P(X=2) = \binom{n}{2} \cdot (\frac{1}{n})^2 \cdot (1 - \frac{1}{n})^{n-2} = \frac{n \cdot (n-1)}{2} \cdot \frac{1}{n^2} \cdot (1 - \frac{1}{n})^{n-2} = \frac{n-1}{2 \cdot n} \cdot (1 - \frac{1}{n})^{n-2}\). 4. Für große \(n\) strebt \(\frac{n-1}{2 \cdot n}\) gegen \(\frac{1}{2}\) und \((1 - \frac{1}{n})^{n-2}\) gegen \(\frac{1}{e}\) (da \((1 - \frac{1}{n})^{-2} \to 1\)). Somit gilt \(P(X=2) \approx \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{2 \cdot e}\).

a) Durch Einsetzen in \(P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) erhält man \(P(X=0) = (1-\frac{1}{n})^n\) und \(P(X=1) = (1-\frac{1}{n})^{n-1}\). Division führt auf \(\frac{n}{n-1}\). b) \(P(X=2) = \frac{n-1}{2 \cdot n} \cdot (1-\frac{1}{n})^{n-2}\). Da \(\frac{n-1}{2 \cdot n} \to \frac{1}{2}\) und \((1-\frac{1}{n})^{n-2} \to \frac{1}{e}\), folgt die Näherung \(P(X=2) \approx \frac{1}{2 \cdot e}\).