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- Überlege, welche Zahl in der Formel für die Gesamtzahl der Versuche steht. - Welche Zahl gibt an, wie oft das gewünschte Ereignis eintreten soll? - Wo in der Formel findest du die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Treffer? - Wie hängen die Exponenten mit der Gesamtzahl der Versuche zusammen?

Die Parameter werden direkt aus der allgemeinen Formel der Binomialverteilung \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) abgelesen: 1. In Aufgabenteil a) ist die Anzahl der Versuche \(n = 20\), die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}75\) und die Anzahl der Treffer \(k = 11\). 2. In Aufgabenteil b) ist die Anzahl der Versuche \(n = 50\), die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}05\) und die Anzahl der Treffer \(k = 2\). 3. In Aufgabenteil c) ist die Anzahl der Versuche \(n = 9\), die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{4}\) und die Anzahl der Treffer \(k = 5\).

a) \(n = 20\); \(p = 0{,}75\); \(k = 11\) b) \(n = 50\); \(p = 0{,}05\); \(k = 2\) c) \(n = 9\); \(p = \frac{1}{4}\); \(k = 5\)

- Erinnere dich an den Aufbau der Bernoulli-Formel: Trefferzahl, Trefferwahrscheinlichkeit und Gegenwahrscheinlichkeit. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, wenn man die Erfolgswahrscheinlichkeit kennt? - Wenn du insgesamt 16-mal wirfst und 4-mal triffst, wie oft triffst du dann nicht? - Die Summe der beiden Exponenten muss immer der Gesamtzahl der Versuche entsprechen.

1. Aufstellen des Terms: Die Formel für die Binomialverteilung lautet \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\). Einsetzen der gegebenen Werte \(n = 16\), \(p = \frac{1}{3}\) und \(k = 4\) ergibt \(P(X = 4) = \binom{16}{4} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{12}\). 2. Bestimmung des Exponenten: Der Exponent der Gegenwahrscheinlichkeit \((1 - p) = \frac{2}{3}\) ist \(12\). 3. Allgemeine Berechnung: Der Exponent entspricht der Anzahl der Misserfolge und wird allgemein durch die Differenz \(n - k\) berechnet. Hier: \(16 - 4 = 12\).

a) \(P(X = 4) = \binom{16}{4} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{12}\) b) Der Exponent ist \(12\). Er wird allgemein über \(n - k\) berechnet.

- Welche Werte für die Gesamtzahl der Versuche und die Trefferwahrscheinlichkeit sind gegeben? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für die Misserfolge? - Welche Formel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für eine genaue Anzahl an Treffern in einer Kette von Versuchen zu bestimmen? - Überlege, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, die Treffer auf die Versuche zu verteilen.

1. Identifikation der Parameter für die Bernoulli-Kette: Länge \( n = 5 \), Trefferwahrscheinlichkeit \( p = 0{,}6 \), Gegenwahrscheinlichkeit \( q = 1 - p = 0{,}4 \) und Anzahl der Treffer \( k = 3 \). 2. Aufstellen der Bernoulli-Formel: \( P(X = 3) = \binom{5}{3} \cdot 0{,}6^3 \cdot 0{,}4^{5-3} \). 3. Berechnung des Binomialkoeffizienten: \( \binom{5}{3} = 10 \). 4. Berechnung der Potenzen: \( 0{,}6^3 = 0{,}216 \) und \( 0{,}4^2 = 0{,}16 \). 5. Multiplikation der Teilergebnisse: \( 10 \cdot 0{,}216 \cdot 0{,}16 = 0{,}3456 \).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \( 0{,}3456 \) (oder \( 34{,}56\,\% \)).

- Was genau wird hier als „Treffer“ definiert und wie hoch ist die zugehörige Wahrscheinlichkeit? - Wie viele Versuche werden insgesamt durchgeführt? - Hast du die Gegenwahrscheinlichkeit korrekt bestimmt? - Nutze die Formel für genau \( k \) Treffer in \( n \) Versuchen.

1. Bestimmung der Parameter: \( n = 10 \) (Stichprobenumfang), \( p = 0{,}2 \) (Wahrscheinlichkeit für ein fehlerhaftes Bauteil), \( q = 0{,}8 \) (Wahrscheinlichkeit für ein einwandfreies Bauteil) und \( k = 2 \) (gesuchte Anzahl fehlerhafter Bauteile). 2. Anwendung der Bernoulli-Formel: \( P(X = 2) = \binom{10}{2} \cdot 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^8 \). 3. Berechnung des Binomialkoeffizienten: \( \binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45 \). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \( 45 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}16777216 = 1{,}8 \cdot 0{,}16777216 \approx 0{,}3020 \).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \( 0{,}3020 \) (oder \( 30{,}20\,\% \)).

- Überlege, ob sich die Wahrscheinlichkeit bei jedem Schuss ändert oder gleich bleibt. - Welche Werte für die Gesamtzahl der Versuche und die Anzahl der Treffer sind gegeben? - Gibt es eine Formel, mit der man die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl an Erfolgen direkt berechnen kann? - Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Treffer auf die Schüsse zu verteilen?

1. Identifikation der Parameter für die Bernoulli-Kette: Die Trefferwahrscheinlichkeit ist \(p = 0{,}6\), die Anzahl der Versuche beträgt \(n = 4\) und die Anzahl der gewünschten Treffer ist \(k = 2\). 2. Berechnung des Binomialkoeffizienten für die Anzahl der Pfade im Baumdiagramm: \(\binom{4}{2} = 6\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades mit genau zwei Treffern und zwei Fehlwürfen: \(0{,}6^2 \cdot (1 - 0{,}6)^{4 - 2} = 0{,}36 \cdot 0{,}16 = 0{,}0576\). 4. Bestimmung der Gesamtwahrscheinlichkeit durch Multiplikation: \(P(X = 2) = 6 \cdot 0{,}0576 = 0{,}3456\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}3456\) (oder \(34{,}56\,\%\)).

- Kannst du die Situation als ein mehrstufiges Zufallsexperiment mit zwei Ausgängen („keimt“, „keimt nicht“) beschreiben? - Welche Parameter für die Bernoulli-Formel lassen sich aus dem Text ablesen? - Denke an die Struktur eines Baumdiagramms – wie viele Endknoten entsprechen genau fünf Keimungen? - Achte darauf, auch die Wahrscheinlichkeit für die Samen einzubeziehen, die nicht keimen.

1. Festlegen der Parameter der Bernoulli-Kette: Die Erfolgswahrscheinlichkeit pro Samen ist \(p = 0{,}8\), die Gesamtzahl der Samen ist \(n = 7\) und die Anzahl der keimenden Samen soll \(k = 5\) sein. 2. Berechnung der Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten: \(\binom{7}{5} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine spezifische Kombination von 5 Keimungen und 2 Nicht-Keimungen: \(0{,}8^5 \cdot 0{,}2^2 = 0{,}32768 \cdot 0{,}04 = 0{,}0131072\). 4. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit: \(P(X = 5) = 21 \cdot 0{,}0131072 = 0{,}2752512\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}2752512\) (ca. \(27{,}53\,\%\)).

- Überlege dir, welche Werte für \(n\), \(p\) und \(k\) in die Formel der Binomialverteilung eingesetzt werden müssen. - Viele Taschenrechner haben eine spezielle Funktion für die Binomialverteilung (oft als „Binomial-PD“ oder „binompdf“ bezeichnet). - Achte beim Runden genau auf die fünfte Dezimalstelle.

1. Berechnung von \(B_{15; 0{,}2}(3)\): Anwendung der Formel \(P(X=3) = \binom{15}{3} \cdot 0{,}2^3 \cdot 0{,}8^{12}\). Ergebnis: \(\approx 0{,}2501\). 2. Berechnung von \(B_{20; 0{,}45}(10)\): Anwendung der Formel \(P(X=10) = \binom{20}{10} \cdot 0{,}45^{10} \cdot 0{,}55^{10}\). Ergebnis: \(\approx 0{,}1593\). 3. Berechnung von \(B_{50; 0{,}05}(2)\): Anwendung der Formel \(P(X=2) = \binom{50}{2} \cdot 0{,}05^2 \cdot 0{,}95^{48}\). Ergebnis: \(\approx 0{,}2611\).

a) \(B_{15; 0{,}2}(3) \approx 0{,}2501\) b) \(B_{20; 0{,}45}(10) \approx 0{,}1593\) c) \(B_{50; 0{,}05}(2) \approx 0{,}2611\)

- Notiere dir zuerst die Werte für die Gesamtzahl, die Trefferzahl und die Erfolgswahrscheinlichkeit. - Überlege, ob du eine einzelne Wahrscheinlichkeit oder eine summierte Wahrscheinlichkeit berechnen musst. - Suche im Menü deines Taschenrechners nach den Verteilungsfunktionen.

1. Parameter identifizieren: Die Trefferwahrscheinlichkeit ist \(p = 0{,}65\), die Anzahl der Versuche ist \(n = 100\) und die Anzahl der Treffer ist \(k = 60\). 2. Mathematisches Modell: Gesucht ist der Wert der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung \(B_{100; 0{,}65}(60)\) bzw. \(P(X = 60)\). 3. Berechnung mit dem WTR: Mit der Funktion für Binomial-Einzelwahrscheinlichkeiten ergibt sich \(P(X = 60) = \binom{100}{60} \cdot 0{,}65^{60} \cdot 0{,}35^{40}\). 4. Ergebnis: Der Taschenrechner liefert den Wert \(P(X = 60) \approx 0{,}0474\).

\(P(X = 60) \approx 0{,}0474\)

- Handelt es sich hier um eine Kette von unabhängigen Versuchen mit jeweils gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit? - Was ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer einzelnen Frage durch Raten richtig zu liegen? - Welche Formel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für eine exakte Anzahl an Treffern in einer Versuchsreihe zu berechnen?

1. Identifikation des Modells: Bernoulli-Kette der Länge \(n = 15\) mit Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}25\). 2. Anwendung der Formel von Bernoulli für \(k = 5\) Treffer: \(P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\). 3. Berechnung des Binomialkoeffizienten: \(\binom{15}{5} = 3003\). 4. Einsetzen der Werte: \(P(X=5) = 3003 \cdot 0{,}25^5 \cdot 0{,}75^{10}\). 5. Numerische Auswertung: \(P(X=5) \approx 3003 \cdot 0{,}0009766 \cdot 0{,}05631 \approx 0{,}1651\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(16{,}51\,\%\).

- Welche Rolle spielen die Exponenten in der Bernoulli-Formel im Verhältnis zur Gesamtzahl der Versuche? - Wie hängen die Basis der ersten Potenz und die Basis der zweiten Potenz zusammen? - Erinnere dich an den Aufbau des Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) im Kontext der Trefferzahl.

1. Vergleich mit der Bernoulli-Formel \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) zeigt, dass \(k = 6\) ist. 2. Aus dem Exponenten der Gegenwahrscheinlichkeit folgt \(m = n - k = 15 - 6 = 9\). 3. Da \(1 - p = 0{,}75\) ist, ergibt sich die Erfolgswahrscheinlichkeit zu \(p = 1 - 0{,}75 = 0{,}25\). 4. Berechnung des Wertes: \(P(X = 6) = \binom{15}{6} \cdot 0{,}25^6 \cdot 0{,}75^9 = 5005 \cdot 0{,}25^6 \cdot 0{,}75^9 \approx 0{,}0917\).

\(k = 6\), \(p = 0{,}25\), \(m = 9\) \(P(X = 6) \approx 0{,}0917\)

- Die Summe der Exponenten in einem Bernoulli-Term entspricht immer der Gesamtzahl der Versuche \(n\). - Die Zahl unten im Binomialkoeffizienten entspricht der Anzahl der Erfolge \(k\). - Die beiden Wahrscheinlichkeiten in den Klammern müssen sich zu \(1\) ergänzen.

1. Teilaufgabe a): Da die Wahrscheinlichkeit für \(X=3\) gesucht ist, muss \(k=3\) gelten. Damit ist \(\square = 3\) und der Exponent der Erfolgswahrscheinlichkeit \(\triangle = 3\). Der Exponent der Gegenwahrscheinlichkeit ist \(n-k = 10-3=7\), also \(\bigcirc = 7\). 2. Teilaufgabe b): Der untere Wert im Binomialkoeffizienten gibt die Trefferzahl an, also \(\square = 5\). Die Summe der Exponenten ergibt die Gesamtzahl der Versuche \(n = 5 + 7 = 12\). Die Basis der zweiten Potenz ist die Gegenwahrscheinlichkeit \(\triangle = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\). 3. Teilaufgabe c): Die Summe der Exponenten von \(p\) und \((1-p)\) entspricht \(n\). Da die Exponenten \(2\) und \(8\) sind, gilt \(n = 2 + 8 = 10\), also \(\square = 10\).

a) \(\square = 3\), \(\triangle = 3\), \(\bigcirc = 7\) b) \(\square = 5\), \(\triangle = \frac{2}{3}\) (mit \(n = 12\)) c) \(\square = 10\)

- Überlege zuerst, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für einen „Nicht-Treffer“ ist. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 4 Treffer auf die 12 Plätze der Kette zu verteilen? - Achte beim Rechnen mit Brüchen darauf, die Potenzen korrekt anzuwenden. - Vergiss nicht, das Endergebnis wie gefordert zu runden.

1. Festlegen der Parameter: \(n = 12\), \(k = 4\), \(p = 0{,}25\), \(q = 0{,}75\). 2. Berechnung des Binomialkoeffizienten: \(\binom{12}{4} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495\). 3. Aufstellen des Terms nach Bernoulli: \(P(X = 4) = \binom{12}{4} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^8\). 4. Numerische Auswertung: \(495 \cdot 0{,}25^4 \cdot 0{,}75^8 \approx 495 \cdot 0{,}003906 \cdot 0{,}100113 \approx 0{,}193578\). 5. Rundung auf vier Dezimalstellen: \(0{,}1936\).

\(P(X = 4) \approx 0{,}1936\)

- Bestimme zunächst die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer und einen Fehlschuss als Dezimalzahl. - Wie oft wird das Experiment insgesamt durchgeführt? - Nutze die Formel für die Binomialverteilung für eine feste Anzahl an Treffern. - Achte bei sehr kleinen Ergebnissen auf die Anzahl der Nachkommastellen oder die Angabe in Prozent.

Es liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n = 12\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}8\) vor. 1. Für a) berechnet man mit \(k = 10\): \(P(X = 10) = \binom{12}{10} \cdot 0{,}8^{10} \cdot 0{,}2^2 = 66 \cdot 0{,}1073741824 \cdot 0{,}04 \approx 0{,}2835\). 2. Für b) berechnet man mit \(k = 8\): \(P(X = 8) = \binom{12}{8} \cdot 0{,}8^8 \cdot 0{,}2^4 = 495 \cdot 0{,}16777216 \cdot 0{,}0016 \approx 0{,}1329\). 3. Für c) berechnet man mit \(k = 0\): \(P(X = 0) = \binom{12}{0} \cdot 0{,}8^0 \cdot 0{,}2^{12} = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}000000004096 = 4{,}096 \cdot 10^{-9}\). Das entspricht \(0{,}0000004096\,\%\).

a) \(P \approx 28{,}35\,\%\) b) \(P \approx 13{,}29\,\%\) c) \(P = 4{,}096 \cdot 10^{-9}\) (bzw. \(0{,}0000004096\,\%\))

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es gibt, dass genau eines der fünf Bauteile defekt ist. - Hilft dir ein Baumdiagramm oder eine Formel für mehrstufige Zufallsversuche weiter? - Berechne die Wahrscheinlichkeiten für beide Maschinen getrennt und vergleiche sie am Ende.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Maschine A (\(n=5\), \(k=4\), \(p=0{,}9\)): \(P(A=4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}9^4 \cdot 0{,}1^1 = 5 \cdot 0{,}6561 \cdot 0{,}1 = 0{,}32805\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Maschine B (\(n=5\), \(k=4\), \(p=0{,}7\)): \(P(B=4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}7^4 \cdot 0{,}3^1 = 5 \cdot 0{,}2401 \cdot 0{,}3 = 0{,}36015\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(0{,}36015 > 0{,}32805\), ist es bei Maschine B wahrscheinlicher, genau 4 einwandfreie Bauteile zu erhalten.

Es ist bei Maschine B wahrscheinlicher (ca. \(36\,\%\)), dass genau 4 von 5 Bauteilen einwandfrei sind, verglichen mit Maschine A (ca. \(33\,\%\)).

- Bestimme für beide Personen die Anzahl der Versuche und die jeweilige Trefferwahrscheinlichkeit. - Wie viele verschiedene Pfade im Baumdiagramm führen bei Jan zu genau zwei Treffern? - Wie viele Pfade führen bei Lea zu drei Treffern? - Vergleiche die beiden berechneten Dezimalzahlen oder Prozentsätze.

1. Wahrscheinlichkeit für Jan berechnen (genau 2 Treffer bei 3 Versuchen mit \(p=0{,}5\)): \(P(J=2) = \binom{3}{2} \cdot 0{,}5^2 \cdot 0{,}5^1 = 3 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}5 = 0{,}375\). 2. Wahrscheinlichkeit für Lea berechnen (genau 3 Treffer bei 3 Versuchen mit \(p=0{,}75\)): \(P(L=3) = 0{,}75^3 = 0{,}421875\). 3. Vergleich: Da \(0{,}421875 > 0{,}375\), ist das Ereignis von Lea wahrscheinlicher.

Es ist wahrscheinlicher, dass Lea alle drei Schüsse ins Zentrum setzt (\(P \approx 0{,}422\)), als dass Jan genau zwei Treffer erzielt (\(P = 0{,}375\)).

- Bestimme für jede Teilaufgabe die Werte für \(n\), \(p\) und \(k\). - Vergiss nicht, die Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 1 - p\) zu berechnen. - Denke daran, wie man den Binomialkoeffizienten „n über k“ berechnet oder im Taschenrechner findet.

1. Berechnung von \(B_{5; 0{,}4}(3)\): \(\binom{5}{3} \cdot 0{,}4^3 \cdot 0{,}6^2 = 10 \cdot 0{,}064 \cdot 0{,}36 = 0{,}2304\). 2. Berechnung von \(B_{6; 0{,}1}(2)\): \(\binom{6}{2} \cdot 0{,}1^2 \cdot 0{,}9^4 = 15 \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}6561 = 0{,}098415 \approx 0{,}0984\). 3. Berechnung von \(B_{4; 0{,}5}(0)\): \(\binom{4}{0} \cdot 0{,}5^0 \cdot 0{,}5^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}0625 = 0{,}0625\).

a) \(0{,}2304\) b) \(\approx 0{,}0984\) c) \(0{,}0625\)

- Berechne zunächst beide Wahrscheinlichkeiten einzeln mit der Bernoulli-Formel. - Achte darauf, genügend Nachkommastellen mitzuführen, um einen sicheren Vergleich zu ermöglichen. - Was sagt das Ergebnis über die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten aus?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(X = 1\): \(P(X = 1) = \binom{10}{1} \cdot 0{,}2^1 \cdot 0{,}8^9 = 10 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}134217728 = 0{,}268435456\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(X = 2\): \(P(X = 2) = \binom{10}{2} \cdot 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^8 = 45 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}16777216 = 0{,}301989888\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(0{,}301989888 > 0{,}268435456\), ist das Ereignis \(X = 2\) wahrscheinlicher.

Das Ereignis \(X = 2\) ist mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. \(30{,}2\,\%\) wahrscheinlicher als das Ereignis \(X = 1\) mit ca. \(26{,}8\,\%\).

- Welche Bedeutung haben die Hochzahlen in der Formel für die Anzahl der Versuche? - Was verrät dir der Binomialkoeffizient \(\binom{12}{2}\) über die Anzahl der Treffer? - Welches bekannte Zufallsgerät hat eine Erfolgswahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{6}\)? - Überlege, wie oft das Experiment insgesamt durchgeführt wird.

1. Identifikation der Parameter der Bernoulli-Kette: Die Formel hat die Struktur \(\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) mit der Trefferzahl \(k = 2\), der Kettenlänge \(n = 12\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{6}\). 2. Wahl eines passenden Experiments: Ein Standardwürfel wird 12-mal geworfen. Das Erzielen einer bestimmten Augenzahl (z. B. eine „6“) gilt als Treffer (\(p = \frac{1}{6}\)). 3. Formulierung des Ereignisses: Da \(k = 2\) ist, beschreibt die Formel die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Es werden bei 12 Würfen genau zwei Sechsen gewürfelt“.

Zufallsexperiment: Ein fairer Standardwürfel wird 12-mal geworfen. Ereignis \(A\): Es wird genau zweimal eine „6“ gewürfelt.

- Bestimme zuerst die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für eine „6“ bei einem Wurf. - Wie oft wird das Experiment insgesamt durchgeführt? Das ist dein \(n\). - Die gesuchte Anzahl der Treffer entspricht dem Wert \(k\). - Nutze die Bernoulli-Formel oder die entsprechende Verteilungsfunktion deines Taschenrechners.

1. Identifikation der Parameter: \(n = 10\), \(p = \frac{1}{6}\). 2. Zu a): Berechnung von \(P(X=2) = \binom{10}{2} \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^8 \approx 0{,}2907\). 3. Zu b): Berechnung von \(P(X=5) = \binom{10}{5} \cdot (\frac{1}{6})^5 \cdot (\frac{5}{6})^5 \approx 0{,}0130\). 4. Zu c): Berechnung von \(P(X=0) = \binom{10}{0} \cdot (\frac{1}{6})^0 \cdot (\frac{5}{6})^{10} \approx 0{,}1615\).

a) \(P(\text{genau zweimal „6“}) \approx 0{,}2907\) b) \(P(\text{genau fünfmal „6“}) \approx 0{,}0130\) c) \(P(\text{keine „6“}) \approx 0{,}1615\)

- Welche Wahrscheinlichkeit hat eine einzelne Seite bei einem idealen Würfel mit vier Flächen? - Welche Werte für \(n\), \(k\) und \(p\) musst du in die Formel einsetzen? - Wie berechnet man den Binomialkoeffizienten „8 über 2“? - Achte darauf, auch die Wahrscheinlichkeit für die Misserfolge mit der passenden Anzahl zu berücksichtigen.

1. Erfolgswahrscheinlichkeit bestimmen: Da der Würfel vier gleichwahrscheinliche Seiten hat, ist die Wahrscheinlichkeit für eine Drei \(p = \frac{1}{4} = 0{,}25\). Die Gegenwahrscheinlichkeit ist \(q = 1 - p = 0{,}75\). 2. Bernoulli-Formel aufstellen: Für \(n = 8\), \(k = 2\) und \(p = 0{,}25\) lautet der Ansatz \(P(X = 2) = \binom{8}{2} \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^6\). 3. Zwischenergebnisse berechnen: Der Binomialkoeffizient ist \(\binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28\). Die Potenzen ergeben \(0{,}25^2 = 0{,}0625\) und \(0{,}75^6 \approx 0{,}17798\). 4. Endergebnis berechnen: \(P(X = 2) = 28 \cdot 0{,}0625 \cdot 0{,}75^6 \approx 0{,}3115\).

a) \(p = 0{,}25\) b) \(P(X = 2) \approx 0{,}3115\) (bzw. \(31{,}15\,\%\))

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (Rot) bei einer einzelnen Drehung ist. - Was ist der Unterschied zwischen einer fest vorgegebenen Reihenfolge und einer beliebigen Anordnung einer bestimmten Trefferanzahl? - Welche mathematische Struktur hilft dir, die Anzahl der verschiedenen Pfade mit der gleichen Trefferanzahl zu berechnen? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit für „kein Treffer“ direkt durch Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten finden?

1. Wahrscheinlichkeit für die spezifische Sequenz (R, R, nR, nR, nR, nR): Da die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}25\) und die Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 0{,}75\) ist, gilt \(P = 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^4 = \frac{1}{16} \cdot \frac{81}{256} = \frac{81}{4096} \approx 0{,}0198\). 2. Wahrscheinlichkeit für insgesamt genau zwei Treffer: Hier muss die Anzahl der Anordnungen berücksichtigt werden. Anwendung der Bernoulli-Formel: \(P(X=2) = \binom{6}{2} \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^4 = 15 \cdot \frac{81}{4096} = \frac{1215}{4096} \approx 0{,}2966\). 3. Wahrscheinlichkeit für null Treffer: \(P(X=0) = 0{,}75^6 = \frac{729}{4096} \approx 0{,}1780\).

a) \(\frac{81}{4096} \approx 0{,}0198\) b) \(\frac{1215}{4096} \approx 0{,}2966\) c) \(\frac{729}{4096} \approx 0{,}1780\)

- Überlege, wie viele Möglichkeiten es gibt, die „richtigen“ Plätze in der Zehnerkette zu verteilen. - Welches Modell beschreibt eine Serie von unabhängigen Versuchen mit zwei möglichen Ausgängen? - Unterscheide zwischen der Anzahl aller möglichen Wege zum Ziel und der Wahrscheinlichkeit für einen ganz bestimmten, festen Weg. - Achte darauf, wie sich die Wahrscheinlichkeit ändert, wenn die Reihenfolge der Treffer nicht mehr beliebig ist.

1. Für genau drei richtige Antworten werden drei Positionen aus zehn ausgewählt: \(\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120\). 2. Mit \(n=10\), \(k=3\) und \(p=\frac15=0{,}2\) gilt \(P(X=3)=\binom{10}{3}\cdot0{,}2^3\cdot0{,}8^7=120\cdot0{,}008\cdot0{,}2097152=0{,}201326592\). 3. Für die fest vorgegebene Folge aus drei richtigen und anschließend sieben falschen Antworten entfällt der Binomialkoeffizient: \(P=0{,}2^3\cdot0{,}8^7=0{,}0016777216\).

a) Es gibt \(120\) verschiedene Richtig-falsch-Sequenzen. b) \(P(X=3)=0{,}201326592\approx20{,}13\,\%\). c) \(P=0{,}0016777216\approx0{,}17\,\%\).

- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Sektor, wenn alle drei Sektoren gleich groß sind? - Wenn nach zwei verschiedenen Farben (Rot oder Blau) gefragt wird, wie verändert das die Erfolgswahrscheinlichkeit für einen einzelnen Versuch? - Überlege, wie viele Möglichkeiten es gibt, die Treffer auf die 8 Drehungen zu verteilen – welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei? - Achte darauf, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg immer 1 ergeben muss.

1. Modellierung als Bernoulli-Kette mit \(n = 8\) Versuchen. 2. Für Teilaufgabe a) ist der Erfolg „Rot“ mit einer Wahrscheinlichkeit von \(p = \frac{1}{3}\) definiert. Die Gegenwahrscheinlichkeit ist \(q = \frac{2}{3}\). 3. Anwendung der Formel für \(k = 3\): \(P(X = 3) = \binom{8}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5 = 56 \cdot \frac{1}{27} \cdot \frac{32}{243} = \frac{1792}{6561} \approx 0{,}2731\). 4. Für Teilaufgabe b) wird der Erfolg als „Rot oder Blau“ definiert. Da die Sektoren gleich groß sind, ist \(p = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\). Die Gegenwahrscheinlichkeit für „Grün“ ist \(q = \frac{1}{3}\). 5. Anwendung der Formel für \(k = 6\): \(P(Y = 6) = \binom{8}{6} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 28 \cdot \frac{64}{729} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1792}{6561} \approx 0{,}2731\).

a) ca. \(27{,}31\,\%\) b) ca. \(27{,}31\,\%\)

- Achte auf den Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeit für einen Defekt und der Wahrscheinlichkeit für ein intaktes Bauteil. - Überlege, wie sich die Gesamtwahrscheinlichkeit ändert, wenn du einen wahrscheinlichen Wert (\( 0{,}95 \)) durch einen unwahrscheinlichen Wert (\( 0{,}05 \)) in einem Produkt ersetzt. - Wie viele verschiedene Protokolle gibt es, in denen genau ein Chip defekt ist?

1. Intuitive Begründung: Protokoll (3) ist am unwahrscheinlichsten, da ein defekter Chip mit \( p=0{,}05 \) wesentlich seltener vorkommt als ein intakter (\( q=0{,}95 \)). Acht Defekte in Folge sind daher extrem unwahrscheinlich. 2. Berechnung von \( P(1) \): Alle 8 Chips sind intakt. \( P(1) = 0{,}95^8 \approx 0{,}6634 \). 3. Berechnung von \( P(2) \): Ein spezifischer Chip ist defekt, sieben sind intakt. \( P(2) = 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^7 \approx 0{,}05 \cdot 0{,}6983 = 0{,}0349 \). 4. Überprüfung der Aussage: Die Wahrscheinlichkeit für „genau ein Chip defekt“ entspricht der Binomialwahrscheinlichkeit \( P(X=1) \). Hierbei gibt es \( \binom{8}{1} = 8 \) verschiedene Positionen für den defekten Chip. 5. \( P(X=1) = 8 \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^7 = 8 \cdot P(2) \approx 0{,}2793 \). Die Aussage ist falsch, da das Protokoll (2) nur eine von acht Möglichkeiten für genau einen Defekt darstellt.

a) Protokoll (3) ist am unwahrscheinlichsten, da die Wahrscheinlichkeit für einen Defekt mit \( 5\,\% \) sehr klein ist und hier acht Defekte kombiniert werden. b) \( P(1) = 0{,}95^8 \approx 0{,}6634 \); \( P(2) = 0{,}05 \cdot 0{,}95^7 \approx 0{,}0349 \). c) Die Aussage ist falsch. \( P(X=1) = 8 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95^7 \approx 0{,}2793 \). Das ist das Achtfache der Wahrscheinlichkeit von Protokoll (2).

- Überlege dir, ob die Reihenfolge der Ergebnisse für die jeweilige Teilaufgabe eine Rolle spielt. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, zwei Treffer auf vier Versuche zu verteilen? - Welche Formel hilft dir, wenn die Anzahl der Treffer, aber nicht deren genaue Position gesucht ist? - Wenn eine ganz bestimmte Abfolge von Treffern und Nieten verlangt ist, kannst du die Pfadregel verwenden.

1. Identifikation der Parameter der Bernoulli-Kette: Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}8\), Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 1 - 0{,}8 = 0{,}2\), Anzahl der Versuche \(n = 4\). 2. Berechnung für Teilaufgabe a) mit der Formel von Bernoulli für \(k = 2\) Treffer: \(P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}8^2 \cdot 0{,}2^2\). 3. Einsetzen der Werte: \(P(X = 2) = 6 \cdot 0{,}64 \cdot 0{,}04 = 0{,}1536\). 4. Berechnung für Teilaufgabe b) für das spezifische Ereignis \((T; F; F; T)\): Hier ist die Reihenfolge festgelegt. 5. Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P = 0{,}8 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}8^2 \cdot 0{,}2^2 = 0{,}0256\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}1536\) (oder \(15{,}36\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}0256\) (oder \(2{,}56\,\%\)).

- Überlege dir, ob die Reihenfolge der Ergebnisse für die jeweilige Teilaufgabe eine Rolle spielt. - Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, eine bestimmte Anzahl an Treffern in einer Versuchsreihe anzuordnen? - Was unterscheidet eine allgemeine Anzahl an Treffern von einer ganz spezifischen Abfolge von Ergebnissen?

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 15\) und Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}85\) (Keimen). 2. Zu a): Berechnung der Punktwahrscheinlichkeit mit der Bernoulli-Formel für \(k = 13\) Treffer: \(P(X = 13) = \binom{15}{13} \cdot 0{,}85^{13} \cdot 0{,}15^{2}\). Dies ergibt \(105 \cdot 0{,}85^{13} \cdot 0{,}15^{2} \approx 0{,}2856\). 3. Zu b): Da eine feste Reihenfolge vorgegeben ist, wird der Binomialkoeffizient weggelassen. Die Wahrscheinlichkeit entspricht einem Pfad im Baumdiagramm: \(P = 0{,}85^{13} \cdot 0{,}15^{2} \approx 0{,}0027\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(28{,}56\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}27\,\%\).

- Welche Eigenschaften müssen erfüllt sein, damit man von einer Bernoulli-Kette spricht? - Denke an die Wahrscheinlichkeit bei jedem einzelnen Versuch. - Welche Formel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für eine genaue Anzahl an Treffern zu berechnen? - Was bedeutet Unabhängigkeit in diesem Zusammenhang?

1. Identifikation der Merkmale einer Bernoulli-Kette: Es gibt nur zwei Ergebnisse pro Wurf (Treffer oder kein Treffer). Die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}75\) muss für jeden Wurf konstant bleiben, und die einzelnen Würfe müssen voneinander stochastisch unabhängig sein. 2. Bestimmung der Parameter: \(n = 12\), \(k = 9\), \(p = 0{,}75\), \(q = 1 - p = 0{,}25\). 3. Berechnung des Binomialkoeffizienten: \(\binom{12}{9} = \frac{12!}{9! \cdot 3!} = 220\). 4. Anwendung der Bernoulli-Formel: \(P(X = 9) = \binom{12}{9} \cdot 0{,}75^9 \cdot 0{,}25^3\). 5. Numerische Berechnung: \(220 \cdot 0{,}075084686 \cdot 0{,}015625 \approx 0{,}2581\).

Die Serie ist eine Bernoulli-Kette, wenn jeder Wurf nur die Ausgänge „Treffer“ oder „kein Treffer“ hat, die Trefferwahrscheinlichkeit konstant bei \(p = 0{,}75\) bleibt und die Würfe unabhängig voneinander sind. Die Wahrscheinlichkeit für genau 9 Treffer beträgt ca. \(25{,}81\,\%\).

- Überlege dir, ob es nur eine einzige Möglichkeit gibt, zwei Fragen richtig zu beantworten. - Was genau berechnet man, wenn man die Wahrscheinlichkeiten für „richtig“ und „falsch“ einfach nur multipliziert? - Stell dir ein Baumdiagramm vor – wie viele Pfade führen zum gewünschten Ergebnis? - Spielt die Reihenfolge der richtigen Antworten bei der Fragestellung „genau zwei Treffer“ eine Rolle?

1. Modellierung der Situation als Bernoulli-Kette mit den Parametern \(n=6\) und \(p=\frac{1}{3}\). 2. Identifikation des Terms \((\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^4\) als Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades im Baumdiagramm, bei dem genau zwei Erfolge in einer festgelegten Reihenfolge eintreten. 3. Bestimmung der Anzahl aller möglichen Pfade mit genau zwei Treffern mithilfe des Binomialkoeffizienten \(\binom{6}{2} = 15\). 4. Schlussfolgerung: Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit \(P(X=2) = 15 \cdot (\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^4 = \frac{80}{243} \approx 0{,}3292\) ist um den Faktor 15 größer als der angegebene Ansatz.

Der Ansatz ist falsch, da er nur die Wahrscheinlichkeit für eine einzige, spezifische Abfolge von richtigen und falschen Antworten berücksichtigt (z. B. nur die ersten beiden Fragen sind richtig). Da es jedoch \(\binom{6}{2} = 15\) verschiedene Möglichkeiten gibt, zwei richtige Antworten auf die sechs Fragen zu verteilen, muss die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades mit diesem Faktor multipliziert werden.

- Unterscheide genau, ob eine ganz bestimmte Reihenfolge von Ergebnissen gefordert ist oder nur die Gesamtzahl der fehlerhaften Bauteile. - Wenn nur die ersten Ergebnisse einer Kette festgelegt sind, spielen die darauffolgenden Ausgänge für die Berechnung dieser Teilwahrscheinlichkeit keine Rolle. - Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es gibt, eine bestimmte Anzahl an Fehlern in einer Stichprobe zu verteilen.

1. Die Wahrscheinlichkeit für ein fehlerfreies Bauteil beträgt \(0{,}9\), die Wahrscheinlichkeit für ein fehlerhaftes Bauteil \(0{,}1\). Das Ereignis beschreibt die feste Sequenz (fehlerfrei, fehlerfrei, fehlerfrei, fehlerfrei, fehlerfrei, fehlerhaft). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(E_1) = 0{,}9^5 \cdot 0{,}1 = 0{,}059049\). 2. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Bauteile. Damit gilt \(X \sim B_{6; 0{,}1}\). Da es sechs verschiedene Positionen für das eine fehlerhafte Bauteil gibt, ist \(P(X = 1) = \binom{6}{1} \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^5 = 6 \cdot 0{,}059049 = 0{,}354294\). 3. Da nur die ersten drei Bauteile fehlerfrei sein müssen, spielen die restlichen drei Bauteile für dieses Ereignis keine Rolle. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(E_3) = 0{,}9^3 = 0{,}729\).

1. \(P \approx 0{,}0590\) (bzw. \(5{,}90\,\%\)) 2. \(P \approx 0{,}3543\) (bzw. \(35{,}43\,\%\)) 3. \(P = 0{,}729\) (bzw. \(72{,}9\,\%\))

- Was bedeutet es für die Reihenfolge der Ergebnisse, wenn kein Binomialkoeffizient als Vorfaktor vorhanden ist? - Welche Rolle spielen die Exponenten bei den Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg? - Wie hängen ein Ereignis und sein Gegenereignis mit dem Wert 1 zusammen? - Überlege, was der Binomialkoeffizient über die Anzahl der möglichen Pfade im Baumdiagramm aussagt.

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung mit \(n = 8\) und \(p = 0{,}05\) (Erfolg = Defekt). 2. Interpretation von \(0{,}05^2 \cdot 0{,}95^6\): Wahrscheinlichkeit für eine ganz bestimmte Reihenfolge von 2 defekten und 6 intakten Chips, zum Beispiel: „Nur die ersten beiden Chips der Stichprobe sind defekt“. Ergebnis: \(\approx 0{,}0018\). 3. Interpretation von \(\binom{8}{2} \cdot 0{,}05^2 \cdot 0{,}95^6\): Wahrscheinlichkeit für genau 2 defekte Chips in der Stichprobe von 8, wobei die Reihenfolge beliebig ist. Ergebnis: \(\approx 0{,}0515\). 4. Interpretation von \(1 - 0{,}95^8\): Berechnung über das Gegenereignis zu „kein Chip ist defekt“ (\(0{,}95^8\)), also die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „mindestens ein Chip in der Stichprobe ist defekt“. Ergebnis: \(\approx 0{,}3366\).

a) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine ganz bestimmte Sequenz auftritt (z. B. die ersten beiden Chips sind defekt und alle weiteren sind intakt). b) Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe insgesamt genau zwei Chips defekt sind. c) Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe mindestens ein Chip defekt ist.

- Musst du bei einer fest vorgegebenen Reihenfolge der Treffer verschiedene Pfadmöglichkeiten berücksichtigen? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, die Anzahl der Möglichkeiten für eine bestimmte Anzahl an Treffern zu zählen? - Wenn nach „mehr als zwei“ gefragt ist, welche konkreten Trefferzahlen sind dann gemeint? - Wie sieht die allgemeine Formel für die Wahrscheinlichkeit von genau \(k\) Treffern bei einer Bernoulli-Kette aus?

1. Festlegung der Parameter: \(n = 4\), Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}6\) und Fehlwurfwahrscheinlichkeit \(q = 0{,}4\). 2. Für a) wird die Wahrscheinlichkeit einer festen Sequenz (Treffer, Treffer, Fehlwurf, Fehlwurf) berechnet: \(0{,}6 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}4 = 0{,}6^2 \cdot 0{,}4^2 = 0{,}0576\). 3. Für b) wird die Wahrscheinlichkeit für genau \(k = 2\) Treffer mit der Bernoulli-Formel bestimmt: \(\binom{4}{2} \cdot 0{,}6^2 \cdot 0{,}4^2 = 6 \cdot 0{,}0576 = 0{,}3456\). 4. Für c) müssen die Wahrscheinlichkeiten für \(k = 3\) und \(k = 4\) Treffer addiert werden: \(P(X=3) + P(X=4) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}6^3 \cdot 0{,}4^1 + \binom{4}{4} \cdot 0{,}6^4 \cdot 0{,}4^0 = 0{,}3456 + 0{,}1296 = 0{,}4752\).

a) \(0{,}6^2 \cdot 0{,}4^2 = 0{,}0576\) b) \(\binom{4}{2} \cdot 0{,}6^2 \cdot 0{,}4^2 = 0{,}3456\) c) \(\binom{4}{3} \cdot 0{,}6^3 \cdot 0{,}4^1 + \binom{4}{4} \cdot 0{,}6^4 \cdot 0{,}4^0 = 0{,}4752\)

- Stelle beide allgemeinen Punktwahrscheinlichkeiten mit der Bernoulli-Formel auf. - Welche Symmetrieeigenschaft besitzen die Binomialkoeffizienten \(\binom{5}{k}\) und \(\binom{5}{5-k}\)? - Vergleiche anschließend die Potenzfaktoren in beiden Produkten.

1. Berechnung von \(P(X = 4)\) mit der Bernoulli-Formel: \(P(X = 4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}8^4 \cdot 0{,}2 = 5 \cdot 0{,}4096 \cdot 0{,}2 = 0{,}4096\). 2. Berechnung von \(P(Y = 1)\): \(P(Y = 1) = \binom{5}{1} \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8^4 = 5 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}4096 = 0{,}4096\). 3. Allgemein gilt \(P(X = k) = \binom{5}{k} \cdot 0{,}8^k \cdot 0{,}2^{5-k}\). Für den zweiten Schützen ist \(P(Y = 5-k) = \binom{5}{5-k} \cdot 0{,}2^{5-k} \cdot 0{,}8^k\). Wegen \(\binom{5}{5-k} = \binom{5}{k}\) stimmen die beiden Produkte überein. Inhaltlich werden beim zweiten Schützen die Rollen der Wahrscheinlichkeiten \(0{,}8\) und \(0{,}2\) gegenüber dem ersten Schützen vertauscht.

a) \(P(X = 4) = 0{,}4096\) und \(P(Y = 1) = 0{,}4096\). b) Es gilt \(P(X = k) = P(Y = 5-k)\), weil \(\binom{5}{k} = \binom{5}{5-k}\) und in beiden Wahrscheinlichkeiten dieselben Potenzfaktoren \(0{,}8^k\) und \(0{,}2^{5-k}\) auftreten.

- Welche Eigenschaften muss ein Zufallsexperiment haben, damit man es als Bernoulli-Kette bezeichnen darf? - Überlege, was ein „Erfolg“ in diesem speziellen Kontext bedeutet, auch wenn das Ereignis negativ behaftet ist. - Wie hängen die Gesamtzahl der Versuche und die Einzelwahrscheinlichkeit mit der Formel von Bernoulli zusammen?

1. Voraussetzungen für eine Binomialverteilung: Es muss sich um eine Kette von Bernoulli-Experimenten handeln, bei denen die Trefferwahrscheinlichkeit konstant bleibt und die einzelnen Versuche (Sortiervorgänge) voneinander unabhängig sind. 2. Definition der Zufallsgröße \(X\): Anzahl der falsch sortierten Pakete in der Stichprobe. 3. Parameter: \(n = 40\) (Anzahl der untersuchten Pakete in der Stichprobe); \(p = 0{,}05\) (Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelnes Paket falsch sortiert wurde). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(k = 2\): \(P(X = 2) = \binom{40}{2} \cdot 0{,}05^2 \cdot 0{,}95^{38}\). 5. Zwischenschritte: \(\binom{40}{2} = 780\); \(0{,}05^2 = 0{,}0025\); \(0{,}95^{38} \approx 0{,}1420\). 6. Ergebnis: \(P(X = 2) \approx 0{,}2777\).

a) Die Anzahl ist binomialverteilt, wenn die Sortierung jedes Pakets unabhängig von den anderen erfolgt und die Fehlerwahrscheinlichkeit für jedes Paket konstant \(5\,\%\) beträgt. b) \(X\): Anzahl falsch sortierter Pakete; \(n = 40\) ist der Stichprobenumfang; \(p = 0{,}05\) ist die Wahrscheinlichkeit für eine Fehlleitung pro Paket. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(27{,}77\,\%\).

- Welche Eigenschaften kennzeichnen eine Bernoulli-Kette? - Überlege, was sich von Wurf zu Wurf (nicht) ändern darf. - Wie hängen der Erwartungswert und der wahrscheinlichste Wert zusammen? - Gibt es eine Formel oder ein Intervall für den Modus einer Binomialverteilung?

1. Für eine Binomialverteilung müssen folgende Bedingungen erfüllt sein: Es gibt nur zwei mögliche Ergebnisse (Treffer oder Fehlwurf), die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) muss bei jedem der \(n = 45\) Versuche konstant bleiben und die Würfe müssen unabhängig voneinander sein. 2. Die am wahrscheinlichsten eintretende Trefferanzahl \(k\) liegt im Intervall \([np - (1-p); np + p]\). 3. Berechnung der Grenzen: \(45 \cdot 0{,}75 - 0{,}25 = 33{,}5\) und \(45 \cdot 0{,}75 + 0{,}75 = 34{,}5\). 4. Da \(k\) eine ganze Zahl sein muss, folgt \(k = 34\). Alternativ berechnet man \(\lfloor (n+1) \cdot p \rfloor = \lfloor 46 \cdot 0{,}75 \rfloor = \lfloor 34{,}5 \rfloor = 34\).

a) Die Anzahl der Treffer ist binomialverteilt, wenn es nur zwei Ergebnisse gibt (Treffer/Fehlwurf), die Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Wurf konstant \(p = 0{,}75\) bleibt und die Würfe unabhängig voneinander sind. b) Die wahrscheinlichste Trefferanzahl ist \(34\).

- Was ist bei einer einzelnen Ziehung ein „Erfolg“? - Warum bleiben Erfolgswahrscheinlichkeit und Bedingungen bei allen drei Ziehungen gleich? - Auf wie viele Arten kann genau eine der drei Ziehungen ein Erfolg sein?

Die drei Ziehungen bilden eine Bernoulli-Kette mit \(n = 3\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\), wenn „Zahl 2“ als Erfolg festgelegt wird. Für genau einen Erfolg gilt \(P(X=1) = \binom{3}{1} \cdot (0{,}2)^1 \cdot (0{,}8)^2 = 3 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}64 = 0{,}384\).

\(P(X=1) = 0{,}384 = 38{,}4\,\%\)

- Welche festen Werte für die Gesamtzahl und die Wahrscheinlichkeit eines Einzelerfolgs kannst du dem Text entnehmen? - Handelt es sich um eine Kette von Versuchen, bei denen es jeweils nur zwei mögliche Ergebnisse gibt? - Wie berücksichtigst du die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, in welcher Reihenfolge die Ereignisse auftreten können? - Denk an die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Zwiebel mal nicht austreibt.

1. Identifikation der Parameter für die Binomialverteilung: Anzahl der Versuche \(n = 12\), Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}95\) und die Anzahl der Erfolge \(k = 11\). 2. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit: \(q = 1 - p = 0{,}05\). 3. Aufstellen der Formel für die Punktwahrscheinlichkeit: \(P(X = 11) = \binom{12}{11} \cdot 0{,}95^{11} \cdot 0{,}05^1\). 4. Berechnung des Binomialkoeffizienten: \(\binom{12}{11} = 12\). 5. Einsetzen und Ausrechnen: \(12 \cdot 0{,}5688 \cdot 0{,}05 \approx 0{,}3413\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(34{,}13\,\%\) (oder \(0{,}3413\)).

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, bei einer einzelnen Aufgabe falsch zu liegen. - Da die Aufgaben unabhängig voneinander bearbeitet werden, kannst du die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ereignisse multiplizieren. - Wie oft muss das Ereignis „falsch geraten“ hintereinander eintreten?

1. Identifikation der Parameter der Bernoulli-Kette: Die Anzahl der Versuche ist \(n = 15\). 2. Bestimmung der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) für eine richtige Antwort: \(p = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 3. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit \(q\) für eine falsche Antwort: \(q = 1 - p = 0{,}75\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(k = 0\) Treffer unter Verwendung der Formel für die Punktwahrscheinlichkeit der Binomialverteilung: \(P(X = 0) = \binom{15}{0} \cdot 0{,}25^0 \cdot 0{,}75^{15} = 0{,}75^{15}\). 5. Numerisches Ergebnis: \(P(X = 0) \approx 0{,}0134\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(1{,}34\,\%\) (exakt \(0{,}75^{15} \approx 0{,}01336\)).

- Handelt es sich hier um eine Kette von Versuchen mit immer der gleichen Erfolgswahrscheinlichkeit? - Was bedeutet es für die Rechnung, wenn ein Ereignis 20-mal hintereinander eintreten soll? - Überlege, welche Werte für \(n\), \(p\) und \(k\) in die Formel für die Binomialverteilung eingesetzt werden müssen.

1. Festlegung der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der pünktlichen Sendungen mit \(n = 20\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg (pünktliche Zustellung) beträgt \(p = 0{,}95\). 3. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für genau \(k = 20\) Treffer. 4. Anwendung der Bernoulli-Formel: \(P(X = 20) = \binom{20}{20} \cdot 0{,}95^{20} \cdot 0{,}05^0 = 0{,}95^{20}\). 5. Berechnung des Endwerts: \(0{,}95^{20} \approx 0{,}3585\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(35{,}85\,\%\) (exakt \(0{,}95^{20} \approx 0{,}35849\)).

- Wie hoch ist die Chance, bei einer Frage mit vier Möglichkeiten die richtige zu treffen? - Welche Parameter definieren eine Binomialverteilung in diesem Kontext? - Erinnere dich an die Formel von Bernoulli für Punktwahrscheinlichkeiten. - Wie berechnet man im Durchschnitt, wie viele Erfolge bei einer Serie von Versuchen zu erwarten sind?

1. Definition der Zufallsgröße: \(X\) beschreibt die Anzahl der richtig beantworteten Fragen. Da die Fragen unabhängig voneinander durch Raten beantwortet werden, ist \(X\) binomialverteilt mit den Parametern \(n = 10\) (Anzahl der Fragen) und \(p = \frac{1}{4} = 0{,}25\) (Erfolgswahrscheinlichkeit pro Frage). 2. Punktwahrscheinlichkeit berechnen: Gesucht ist \(P(X = 5)\) für genau \(5\) richtige Antworten. \(P(X = 5) = \binom{10}{5} \cdot 0{,}25^5 \cdot 0{,}75^5 = 252 \cdot 0{,}25^5 \cdot 0{,}75^5 \approx 0{,}0584\). 3. Erwartungswert berechnen: Der Erwartungswert \(\mu\) einer binomialverteilten Zufallsgröße berechnet sich durch \(\mu = n \cdot p\). \(E(X) = 10 \cdot 0{,}25 = 2{,}5\).

a) \(X\): Anzahl der richtigen Antworten; \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 10\) und \(p = 0{,}25\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(5{,}84\,\%\) (oder \(0{,}0584\)). c) Der Erwartungswert liegt bei \(2{,}5\) richtigen Antworten.

- Wie berechnet man den Erwartungswert bei einer Binomialverteilung? - Welche Formel nutzt du, um die Wahrscheinlichkeit für eine exakte Trefferzahl zu bestimmen? - Was bedeutet es für die Verteilung, wenn ein Wert als „Maximum“ bezeichnet wird?

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 40 \cdot 0{,}25 = 10\). 2. Da \(\mu = 10\) ganzzahlig ist, sollte nach der Regel \(P(X = 10)\) das Maximum sein. 3. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten mit der Formel \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\): \(P(X = 10) = \binom{40}{10} \cdot 0{,}25^{10} \cdot 0{,}75^{30} \approx 0{,}1444\). \(P(X = 9) = \binom{40}{9} \cdot 0{,}25^9 \cdot 0{,}75^{31} \approx 0{,}1397\). \(P(X = 11) = \binom{40}{11} \cdot 0{,}25^{11} \cdot 0{,}75^{29} \approx 0{,}1312\). 4. Vergleich der Ergebnisse: Es gilt \(0{,}1444 > 0{,}1397 > 0{,}1312\), somit ist \(P(X = 10)\) tatsächlich der größte Wert.

a) \(\mu = 10\) b) \(P(X = 10) \approx 0{,}1444\) c) \(P(X = 9) \approx 0{,}1397\) und \(P(X = 11) \approx 0{,}1312\). Da \(P(X = 10)\) größer als beide benachbarten Werte ist, liegt hier das Maximum der Verteilung vor.

- Welche Informationen aus dem Text entsprechen den Variablen in der Formel für die Binomialverteilung? - Überlege, wie viele Pfade im Baumdiagramm genau zwei Gewinne enthalten. - Was darf sich während der Drehungen des Glücksrads nicht verändern?

1. Identifikation der Parameter für die Bernoulli-Formel: Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}3\), Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 1 - 0{,}3 = 0{,}7\), Anzahl der Versuche \(n = 6\), Anzahl der Treffer \(k = 2\). 2. Aufstellen der Formel für die Punktwahrscheinlichkeit: \(P(X = 2) = \binom{6}{2} \cdot 0{,}3^2 \cdot 0{,}7^{6-2}\). 3. Berechnung des Binomialkoeffizienten: \(\binom{6}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15\). 4. Berechnung der Potenzen: \(0{,}3^2 = 0{,}09\) und \(0{,}7^4 = 0{,}2401\). 5. Multiplikation der Teilergebnisse: \(15 \cdot 0{,}09 \cdot 0{,}2401 = 0{,}324135\). 6. Benennung der Voraussetzungen: Es darf nur zwei mögliche Ergebnisse pro Versuch geben (Treffer/Niete), die Trefferwahrscheinlichkeit muss bei jedem Versuch konstant bleiben und die einzelnen Versuche müssen stochastisch unabhängig voneinander sein.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}324135\) (bzw. ca. \(32{,}41\,\%\)). b) Voraussetzungen: 1. In jeder Stufe gibt es genau zwei mögliche Ergebnisse (Erfolg/Misserfolg). 2. Die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) bleibt über alle Versuche hinweg konstant. 3. Die einzelnen Versuche sind voneinander unabhängig.

- Lies die Wahrscheinlichkeiten für die Farben direkt am Glücksrad ab, indem du die Anzahl der Sektoren einer Farbe durch die Gesamtzahl der Sektoren teilst. - Überlege, wie viele Sektoren es insgesamt gibt und wie viele davon die gesuchte Farbe haben. - Verwende die Formel von Bernoulli für Punktwahrscheinlichkeiten bei einer Binomialverteilung. - Achte auf die Anzahl der Versuche \(n\) und die gesuchte Trefferzahl \(k\).

1. Bestimmung der Trefferwahrscheinlichkeiten pro Drehung anhand der Sektoren des Glücksrads: \(p_{\text{Rot}} = \frac{3}{8} = 0{,}375\) \(p_{\text{Gelb}} = \frac{1}{8} = 0{,}125\) 2. Da die einzelnen Drehungen unabhängig voneinander sind, ist die Anzahl der Treffer jeweils binomialverteilt mit \(n = 10\). 3. Berechnung für genau viermal Rot mit der Bernoulli-Formel: \(P(X = 4) = \binom{10}{4} \cdot 0{,}375^4 \cdot 0{,}625^6 \approx 0{,}2475 = 24{,}75\,\%\) 4. Berechnung für genau zweimal Gelb mit der Bernoulli-Formel: \(P(Y = 2) = \binom{10}{2} \cdot 0{,}125^2 \cdot 0{,}875^8 \approx 0{,}2416 = 24{,}16\,\%\)

a) ca. \(24{,}75\,\%\) b) ca. \(24{,}16\,\%\)

- Überlege zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (Blau) bei einer einzelnen Drehung ist. - Wie viele Drehungen werden insgesamt durchgeführt und wie viele Treffer werden gesucht? - Erinnere dich an die Formel für die Punktwahrscheinlichkeit bei einer Binomialverteilung.

1. Identifikation der Parameter: Da es 5 gleich große Sektoren gibt, beträgt die Wahrscheinlichkeit für Blau bei einer Drehung \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\). Die Anzahl der Versuche ist \(n = 6\) und die gesuchte Anzahl der Treffer ist \(k = 3\). 2. Anwendung der Bernoulli-Formel: \(P(X=3) = \binom{6}{3} \cdot 0{,}2^3 \cdot (1 - 0{,}2)^{6-3}\). 3. Einsetzen der Werte: \(P(X=3) = 20 \cdot 0{,}008 \cdot 0{,}8^3 = 20 \cdot 0{,}008 \cdot 0{,}512\). 4. Ergebnis: \(20 \cdot 0{,}008 = 0{,}16\); \(0{,}16 \cdot 0{,}512 = 0{,}08192\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}08192\) (bzw. \(8{,}192\,\%\)).

- Wie viele Möglichkeiten gibt es für den Buchstabenteil, wenn man die Fälle „ein Buchstabe“ und „zwei Buchstaben“ getrennt betrachtet? - Wie viele dieser Buchstabenkombinationen erfüllen die Bedingung für einen Spezialcode? - Welches Verteilungsmodell eignet sich für eine Stichprobe mit Zurücklegen, bei der es nur zwei Ausgänge (Spezialcode oder kein Spezialcode) gibt? - Welche Formel berechnet die Wahrscheinlichkeit für eine exakte Anzahl an Treffern in einer Bernoulli-Kette?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Codes: Es gibt \(26\) Möglichkeiten für einen einzelnen Buchstaben und \(26^2 = 676\) Möglichkeiten für eine Kombination aus zwei Buchstaben. Da jede dieser \(26 + 676 = 702\) Buchstabenkombinationen mit \(99\) Zahlen kombiniert werden kann, ergibt sich eine Gesamtzahl von \(702 \cdot 99 = 69\,498\). 2. Bestimmung der Anzahl der Spezialcodes: Ein Spezialcode beginnt mit \(\text{A}\). Es gibt \(1\) Möglichkeit für einen einzelnen Buchstaben (\(\text{A}\)) und \(1 \cdot 26 = 26\) Möglichkeiten für zwei Buchstaben, die mit \(\text{A}\) beginnen. Das sind \(1 + 26 = 27\) Buchstabenkombinationen. Multipliziert mit den \(99\) Zahlen ergibt dies \(27 \cdot 99 = 2673\) Spezialcodes. Die Wahrscheinlichkeit ist \(p = \frac{2673}{69498} = \frac{27}{702} = \frac{1}{26}\). 3. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Spezialcodes und ist binomialverteilt mit \(n = 20\) und \(p = \frac{1}{26}\). Gesucht ist \(P(X = 3) = \binom{20}{3} \cdot \left(\frac{1}{26}\right)^3 \cdot \left(\frac{25}{26}\right)^{17}\). Mit \(\binom{20}{3} = 1140\) ergibt sich \(P(X = 3) \approx 0{,}0333\).

1. Es gibt insgesamt \(69\,498\) mögliche Codes. 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(p = \frac{1}{26} \approx 0{,}0385\). 3. Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(3{,}33\,\%\).

- Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, 5 Personen in einer Reihe anzuordnen? - Wenn zwei Personen nebeneinander sitzen sollen, kannst du sie gedanklich zu einer Einheit zusammenfassen. - Wie viele Positionen kann diese Einheit in der Reihe einnehmen und was musst du innerhalb der Einheit beachten? - Welches Verteilungsmodell eignet sich für eine Serie von gleichartigen, unabhängigen Versuchen mit nur zwei möglichen Ausgängen?

1. Urnenmodell: Eine Urne enthält 5 unterscheidbare Kugeln (für jede Person eine). Es wird 5-mal nacheinander ohne Zurücklegen gezogen, wobei die Reihenfolge der Ziehungen der Sitzordnung entspricht. 2. Berechnung von \(p\): Die Gesamtzahl der möglichen Anordnungen beträgt \(5! = 120\). Um die günstigen Fälle zu bestimmen, betrachtet man Anna und Ben als einen Block. Es gibt \(4!\) Möglichkeiten, diesen Block mit den anderen 3 Personen anzuordnen. Da Anna und Ben innerhalb des Blocks in 2 Reihenfolgen sitzen können, ergeben sich \(4! \cdot 2 = 48\) günstige Anordnungen. Somit gilt \(p = \frac{48}{120} = 0{,}4\). 3. Bernoulli-Kette: Für die 10 Abende wird das Modell einer Bernoulli-Kette mit \(n = 10\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}4\) verwendet. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für \(k = 4\) Erfolge. 4. Berechnung: \(P(X = 4) = \binom{10}{4} \cdot 0{,}4^4 \cdot 0{,}6^6 = 210 \cdot 0{,}0256 \cdot 0{,}046656 \approx 0{,}2508\).

a) Urnenmodell: 5 unterscheidbare Kugeln, 5-maliges Ziehen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(p = 0{,}4\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(25{,}08\,\%\) (exakt \(0{,}250822656\)).

- Vergleiche, wie oft in jeder Folge das seltenere Ergebnis „6“ und das häufigere Ergebnis „keine 6“ vorkommt. - Was bedeutet es für die Berechnung, wenn die Reihenfolge der Ergebnisse fest vorgegeben ist? - Unterscheide zwischen einem einzelnen Pfad im Baumdiagramm und einer Trefferzahl, die durch mehrere Pfade erreicht werden kann. - Spielt die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg eine Rolle, wenn man Pfade mit unterschiedlicher Anzahl an Erfolgen vergleicht?

1. Folge B ist wahrscheinlicher: Sie enthält nur drei seltene Sechsen und drei häufigere Ergebnisse „keine 6“, während Folge A sechs seltene Sechsen enthält. 2. Für Folge A gilt \(P(A)=\left(\frac16\right)^6=\frac{1}{46656}\approx0{,}0000214335\). 3. Für Folge B gilt \(P(B)=\left(\frac16\right)^3\left(\frac56\right)^3=\frac{125}{46656}\approx0{,}00267918\). 4. Für insgesamt genau drei Sechsen ist die Reihenfolge beliebig: \(P(X=3)=\binom63\left(\frac16\right)^3\left(\frac56\right)^3\approx0{,}0535837\). 5. \(P(B)\) beschreibt nur eine bestimmte Reihenfolge; \(P(X=3)\) umfasst alle \(\binom63=20\) entsprechenden Reihenfolgen.

a) Folge B ist wahrscheinlicher, weil sie nur drei Sechsen und drei der jeweils wahrscheinlicheren Nicht-Sechsen enthält. b) \(P(A)\approx0{,}0000214\); \(P(B)\approx0{,}00268\). c) \(P(X=3)\approx0{,}0536\). Diese Wahrscheinlichkeit umfasst alle \(20\) Anordnungen mit drei Sechsen, nicht nur Folge B.

- Unterscheide genau, ob eine ganz bestimmte Reihenfolge von normgerechten und nicht normgerechten Schrauben gefordert ist oder ob nur die Gesamtzahl der normgerechten Schrauben zählt. - Überlege dir bei jeder Teilaufgabe, wie viele Erfolge und wie viele Misserfolge eintreten müssen. - Wenn die Positionen der Ereignisse fest vorgegeben sind (wie „nur die dritte“), musst du die Einzelwahrscheinlichkeiten in dieser speziellen Reihenfolge multiplizieren. - Wenn nur die Anzahl der Treffer wichtig ist, hilft dir der Binomialkoeffizient weiter.

1. Festlegen der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}85\) für „entspricht der Norm“ und der Misserfolgswahrscheinlichkeit \(q = 1 - p = 0{,}15\). Die Anzahl der Versuche ist \(n = 6\). 2. Berechnung für a): Da die Position feststeht (S, S, F, S, S, S), ergibt sich die Wahrscheinlichkeit durch Multiplikation: \(P(A) = p^5 \cdot q = 0{,}85^5 \cdot 0{,}15 \approx 0{,}0666\). 3. Berechnung für b): Alle sechs Schrauben müssen der Norm entsprechen: \(P(B) = p^6 = 0{,}85^6 \approx 0{,}3771\). 4. Berechnung für c): Die ersten vier sind Erfolge, die letzten beiden Misserfolge (S, S, S, S, F, F): \(P(C) = p^4 \cdot q^2 = 0{,}85^4 \cdot 0{,}15^2 \approx 0{,}0117\). 5. Berechnung für d): Da die Position der fünf Erfolge beliebig ist, wird die Bernoulli-Formel verwendet: \(P(D) = \binom{6}{5} \cdot p^5 \cdot q^1 = 6 \cdot 0{,}85^5 \cdot 0{,}15 \approx 0{,}3993\).

a) \(P \approx 6{,}66\,\%\) b) \(P \approx 37{,}71\,\%\) c) \(P \approx 1{,}17\,\%\) d) \(P \approx 39{,}93\,\%\)

- Überlege dir zuerst, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Treffer ist. - Wo vermutest du das Maximum bei einer Binomialverteilung im Verhältnis zum Erwartungswert? - Binomialverteilungen sind oft asymmetrisch. Welche Extremwerte an den Rändern der Verteilung (0 oder \(n\)) könnten besonders kleine Wahrscheinlichkeiten haben? - Vergleiche die Wahrscheinlichkeit für „nur falsche Antworten“ mit der Wahrscheinlichkeit für „nur richtige Antworten“.

1. Identifikation der Parameter: \(n = 20\) und \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\). 2. Berechnung des wahrscheinlichsten Wertes (Modus): Der Modus liegt bei \(\lfloor (n+1)p \rfloor = \lfloor 21 \cdot 0{,}2 \rfloor = \lfloor 4{,}2 \rfloor = 4\). Somit ist \(k = 4\) am wahrscheinlichsten. 3. Bestimmung des unwahrscheinlichsten Wertes: Da \(p = 0{,}2 < 0{,}5\), ist die Verteilung rechtsschief. Die minimalen Wahrscheinlichkeiten liegen an den Rändern \(k = 0\) oder \(k = 20\). 4. Vergleich der Randwerte: \(P(X=0) = 0{,}8^{20} \approx 0{,}0115\) und \(P(X=20) = 0{,}2^{20} \approx 1{,}05 \cdot 10^{-14}\). 5. Da \(0{,}2^{20} < 0{,}8^{20}\), ist die Wahrscheinlichkeit für \(k = 20\) am geringsten.

Am wahrscheinlichsten ist \(k = 4\). Am unwahrscheinlichsten ist \(k = 20\).

- In welchem Bereich um den Erwartungswert vermutest du die höchsten Wahrscheinlichkeiten? - Nutze den Tabellenmodus deines Taschenrechners, um viele Werte gleichzeitig zu sehen. - Achte genau auf die Formulierungen „mindestens“ (\(\ge\)) und „kleiner als“ (\(<\)). - Überprüfe die Werte an den Grenzen deines gefundenen Bereichs besonders sorgfältig.

1. Identifikation der Verteilung: \(X \sim B(30; 0{,}6)\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten \(P(X = k) = \binom{30}{k} \cdot 0{,}6^k \cdot 0{,}4^{30-k}\) für verschiedene Werte von \(k\), vorzugsweise im Bereich um den Erwartungswert \(\mu = n \cdot p = 18\). 3. Für Aufgabenteil a): Vergleich der Werte mit der Grenze \(0{,}1\). Es ergibt sich: \(P(X=15) \approx 0{,}0783\), \(P(X=16) \approx 0{,}1101\), \(P(X=17) \approx 0{,}1360\), \(P(X=18) \approx 0{,}1474\), \(P(X=19) \approx 0{,}1396\), \(P(X=20) \approx 0{,}1152\), \(P(X=21) \approx 0{,}0823\). Somit gilt die Bedingung für \(k \in \{16, 17, 18, 19, 20\}\). 4. Für Aufgabenteil b): Vergleich der Werte mit der Grenze \(0{,}05\). An den Rändern des Bereichs aus a) findet man: \(P(X=14) \approx 0{,}0489 < 0{,}05\) und \(P(X=15) > 0{,}05\). Auf der anderen Seite ist \(P(X=22) \approx 0{,}0505 > 0{,}05\) und \(P(X=23) \approx 0{,}0263 < 0{,}05\). Somit gilt die Bedingung für \(k \le 14\) oder \(k \ge 23\).

a) \(k \in \{16, 17, 18, 19, 20\}\) b) \(k \in \{0, 1, \dots, 14\} \cup \{23, 24, \dots, 30\}\)

- Was passiert mit den Termen \(p^k\) und \((1-p)^{n-k}\), wenn beide Wahrscheinlichkeiten gleich groß sind? - Erinnere dich an die Symmetrie-Eigenschaft der Binomialkoeffizienten. - Wie hängen die einzelnen Wahrscheinlichkeiten einer kumulierten Wahrscheinlichkeit am oberen Ende der Verteilung mit denen am unteren Ende zusammen?

1. Für \(p=0{,}5\) gilt \(1-p=0{,}5\). Einsetzen in die Formel ergibt \(B(n; 0{,}5; k) = \binom{n}{k} \cdot 0{,}5^k \cdot 0{,}5^{n-k} = \binom{n}{k} \cdot 0{,}5^n\). 2. Für \(n-k\) ergibt sich analog \(B(n; 0{,}5; n-k) = \binom{n}{n-k} \cdot 0{,}5^{n-k} \cdot 0{,}5^{n-(n-k)} = \binom{n}{n-k} \cdot 0{,}5^n\). 3. Da \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) gilt, folgt \(P(X=k) = P(X=n-k)\). 4. Berechnung für \(n=6\): \(P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) = (\binom{6}{4} + \binom{6}{5} + \binom{6}{6}) \cdot 0{,}5^6 = (15 + 6 + 1) \cdot \frac{1}{64} = \frac{22}{64} = 0{,}34375\). 5. Anwendung der Symmetrie: \(P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\). Wegen \(P(X=0)=P(X=6)\), \(P(X=1)=P(X=5)\) und \(P(X=2)=P(X=4)\) folgt unmittelbar \(P(X \le 2) = P(X \ge 4)\).

a) Nachweis durch Einsetzen: \(B(n; 0{,}5; k) = \binom{n}{k} \cdot 0{,}5^n\) und \(B(n; 0{,}5; n-k) = \binom{n}{n-k} \cdot 0{,}5^n\). Wegen \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) sind die Terme gleich. b) \(P(X \ge 4) = 0{,}34375\). Aufgrund der Symmetrie \(P(X=k) = P(X=6-k)\) gilt \(P(X=4)=P(X=2)\), \(P(X=5)=P(X=1)\) und \(P(X=6)=P(X=0)\), woraus \(P(X \ge 4) = P(X \le 2)\) folgt.

- Überlege zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass eine einzelne LED funktioniert. - Nutze die Wahrscheinlichkeit für einen vollständig funktionstüchtigen Lichtstreifen als Erfolgswahrscheinlichkeit im zweiten Aufgabenteil. - Identifiziere für beide Teile die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Versuche.

1. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der defekten LEDs auf einem Streifen. Es gilt \(n = 20\) und \(p = 0{,}02\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für einen fehlerfreien Streifen ist \(p_S = P(X = 0) = \binom{20}{0} \cdot 0{,}02^0 \cdot 0{,}98^{20} = 0{,}98^{20} \approx 0{,}667608\). 3. Die Zufallsgröße \(Y\) beschreibt die Anzahl der vollständig funktionstüchtigen Streifen in der Lieferung. Sie ist binomialverteilt mit \(n = 15\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p_S = 0{,}98^{20}\). 4. Damit gilt \(P(Y = 12) = \binom{15}{12} \cdot p_S^{12} \cdot (1-p_S)^3 = 455 \cdot (0{,}98^{20})^{12} \cdot (1-0{,}98^{20})^3 \approx 0{,}1310\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(66{,}76\,\%\) (\(P \approx 0{,}6676\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(13{,}10\,\%\) (\(P \approx 0{,}1310\)).

- Überlege dir, welche Verteilung vorliegt, wenn es nur zwei mögliche Ausgänge (keimen oder nicht keimen) gibt. - Wie hängen der Erwartungswert und der wahrscheinlichste Wert einer Verteilung zusammen? - Achte bei der Wahrscheinlichkeit genau auf die Formulierung „mindestens“. Welcher Bereich von Werten ist damit gemeint? - Manchmal ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses zu berechnen, das gerade nicht eintreten soll.

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung: Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}85\) und Stichprobenumfang \(n = 30\). 2. Bestimmung der wahrscheinlichsten Trefferzahl \(k\): Die Bedingung \((n+1) \cdot p - 1 \le k \le (n+1) \cdot p\) liefert mit \(31 \cdot 0{,}85 = 26{,}35\) den Bereich \(25{,}35 \le k \le 26{,}35\). Somit ist \(k = 26\) die wahrscheinlichste Anzahl keimender Samen. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für mindestens \(24\) Erfolge: \(P(X \ge 24) = \sum_{k=24}^{30} \binom{30}{k} \cdot 0{,}85^k \cdot 0{,}15^{30-k}\). 4. Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung (Gegenereignis) ergibt sich: \(P(X \ge 24) = 1 - P(X \le 23) \approx 1 - 0{,}1526 = 0{,}8474\).

a) Die wahrscheinlichste Anzahl keimender Samen ist \(26\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(84{,}74\,\%\).

- Welche Parameter \(n\) und \(p\) sind gegeben? - Nutze die Formel von Bernoulli für Punktwahrscheinlichkeiten. - Der wahrscheinlichste Wert liegt oft sehr nah am Erwartungswert \(\mu = n \cdot p\). - Was passiert mit der Wahrscheinlichkeit, wenn du Werte kurz vor oder kurz nach dem Erwartungswert prüfst?

1. Es liegt eine Binomialverteilung mit \(n = 120\) und \(p = 0{,}92\) vor. 2. Berechnung der Punktwahrscheinlichkeit für \(k = 110\): \(P(X = 110) = \binom{120}{110} \cdot 0{,}92^{110} \cdot 0{,}08^{10} \approx 0{,}1295\). 3. Zur Bestimmung des wahrscheinlichsten Wertes (Modus) wird die Bedingung \((n+1) \cdot p - 1 \le k \le (n+1) \cdot p\) oder das Intervall \([np - (1-p); np + p]\) genutzt. 4. Berechnung: \((120 + 1) \cdot 0{,}92 = 111{,}32\). Da dies keine ganze Zahl ist, ist der Modus \(k = \lfloor 111{,}32 \rfloor = 111\). 5. Alternativ über die Grenzen: \(120 \cdot 0{,}92 - 0{,}08 = 110{,}32\) und \(120 \cdot 0{,}92 + 0{,}92 = 111{,}32\). Die einzige ganze Zahl in diesem Intervall ist \(111\).

a) \(P(X = 110) = \binom{120}{110} \cdot 0{,}92^{110} \cdot 0{,}08^{10} \approx 12{,}95\,\%\) b) Die wahrscheinlichste Anzahl keimender Samen ist \(111\).

- Überlege dir, ob die Reihenfolge der Ergebnisse eine Rolle spielt oder ob nur die Gesamtzahl der Erfolge zählt. - Wie kannst du „mindestens“ in einzelne Fälle zerlegen oder über das Gegenereignis nachdenken? - Was ist der Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl an Erfolgen und einer ganz spezifischen Abfolge von Ergebnissen?

Das Experiment kann als Bernoulli-Kette mit \(n = 12\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}85\) (Keimen) bzw. \(q = 0{,}15\) (Nicht-Keimen) modelliert werden. 1. Für genau 9 Erfolge wird die Formel von Bernoulli verwendet: \(P(X=9) = \binom{12}{9} \cdot 0{,}85^9 \cdot 0{,}15^3\). Mit \(\binom{12}{9} = 220\) ergibt sich \(P(X=9) \approx 0{,}1720\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens 11 Erfolge ist die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten für 11 und 12 Erfolge: \(P(X \ge 11) = P(X=11) + P(X=12) = \binom{12}{11} \cdot 0{,}85^{11} \cdot 0{,}15^1 + \binom{12}{12} \cdot 0{,}85^{12} \cdot 0{,}15^0\). Dies ergibt \(12 \cdot 0{,}85^{11} \cdot 0{,}15 + 0{,}85^{12} \approx 0{,}3012 + 0{,}1422 = 0{,}4434\). 3. Da hier eine spezifische Reihenfolge vorgegeben ist (die ersten drei Samen keimen nicht, danach keimen neun Samen), wird kein Binomialkoeffizient benötigt: \(P(E) = 0{,}15^3 \cdot 0{,}85^9 \approx 0{,}00078\).

(1) ca. \(17{,}20\,\%\) (2) ca. \(44{,}34\,\%\) (3) ca. \(0{,}08\,\%\)

- Identifiziere zuerst die Parameter \(n\) und \(p\) der Binomialverteilung. - Achte bei Formulierungen wie „mehr als“ genau darauf, welche Werte für \(k\) eingeschlossen sind. - Wann musst du Kombinationen (Binomialkoeffizienten) berücksichtigen und wann multiplizierst du einfach nur die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades?

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der defekten LEDs und ist binomialverteilt mit \(n = 15\) und \(p = 0{,}04\). 1. Punktwahrscheinlichkeit für \(k = 1\): \(P(X=1) = \binom{15}{1} \cdot 0{,}04^1 \cdot 0{,}96^{14} = 15 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}96^{14} \approx 0{,}3388\). 2. Gesucht ist \(P(X > 2)\). Über das Gegenereignis gilt \(P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]\). Berechnung der Einzelwerte: \(P(X=0) = 0{,}96^{15} \approx 0{,}5421\); \(P(X=1) \approx 0{,}3388\); \(P(X=2) = \binom{15}{2} \cdot 0{,}04^2 \cdot 0{,}96^{13} = 105 \cdot 0{,}0016 \cdot 0{,}96^{13} \approx 0{,}0988\). Summe der Wahrscheinlichkeiten \(P(X \le 2) \approx 0{,}9797\), daraus folgt \(P(X > 2) \approx 1 - 0{,}9797 = 0{,}0203\). 3. Für dieses spezifische Ereignis (14-mal intakt, dann 1-mal defekt) gilt die Pfadregel: \(P(E) = 0{,}96^{14} \cdot 0{,}04 \approx 0{,}0226\).

(1) ca. \(33{,}88\,\%\) (2) ca. \(2{,}03\,\%\) (3) ca. \(2{,}26\,\%\)

- Überlege, wie man die Wahrscheinlichkeit für eine ganz bestimmte Kette von Ergebnissen berechnet. - Spielt die Reihenfolge bei der Wahrscheinlichkeit für ein *einzelnes* Ergebnis (eine feste Sequenz) eine Rolle? - Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, bei 8 Würfen genau 4-mal Zahl zu erhalten? - Unterscheide zwischen einem „Ergebnis“ (eine feste Folge) und einem „Ereignis“ (eine Menge von Folgen).

1. Da es sich um einen fairen Münzwurf handelt, ist die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}5\) und die Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 1 - p = 0{,}5\). 2. Die Wahrscheinlichkeit einer spezifischen Ergebnisfolge der Länge \(n=8\) berechnet sich in einer Bernoulli-Kette durch \(P(\omega) = p^k \cdot q^{n-k}\). Da \(p = q = 0{,}5\), gilt für jede Folge \(P(\omega) = 0{,}5^8 = \frac{1}{256} \approx 0{,}0039\). Somit haben Folge 1 und Folge 2 dieselbe Wahrscheinlichkeit. 3. Die Intuition ist falsch, da bei einer Bernoulli-Kette die Unabhängigkeit der Einzelversuche gilt. Jede exakt definierte Abfolge von Kopf und Zahl ist bei \(p=0{,}5\) exakt gleich wahrscheinlich, unabhängig davon, wie „geordnet“ sie erscheint. 4. Die Wahrscheinlichkeit für genau 4-mal Zahl berechnet sich mit der Binomialverteilung: \(P(X=4) = \binom{8}{4} \cdot 0{,}5^4 \cdot 0{,}5^4 = 70 \cdot \frac{1}{256} = \frac{70}{256} \approx 0{,}2734\). 5. Das Ereignis „genau 4-mal Zahl“ ist wahrscheinlicher, weil es aus 70 verschiedenen Einzelergebnissen (Sequenzen) besteht, während das Ereignis „8-mal Zahl“ nur aus der einen Sequenz \((Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z)\) besteht.

a) \(P(\text{Folge 1}) = P(\text{Folge 2}) = 0{,}5^8 = \frac{1}{256} \approx 0{,}0039\). b) In einer Bernoulli-Kette mit \(p=0{,}5\) ist jede spezifische Sequenz gleich wahrscheinlich, da die Einzelwahrscheinlichkeiten für \(Z\) und \(K\) identisch sind. Die Intuition verwechselt oft die Wahrscheinlichkeit einer einzelnen Sequenz mit der Wahrscheinlichkeit einer Ergebnisklasse (z. B. „Hälfte/Hälfte“). c) \(P(X=4) = \binom{8}{4} \cdot 0{,}5^8 = \frac{70}{256} \approx 0{,}2734\). Dieses Ereignis ist wahrscheinlicher, da es 70 gleich wahrscheinliche Pfade im Baumdiagramm umfasst, während „8-mal Zahl“ nur einem Pfad entspricht.

- Notiere dir die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer und für einen Fehlschuss. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades im Baumdiagramm? - Überlege, ob sich das Produkt ändert, wenn man die Faktoren vertauscht. - Was gibt der Binomialkoeffizient \(\binom{n}{k}\) in diesem Zusammenhang an?

1. Gegeben ist \(p = 0{,}8\) und \(q = 1 - p = 0{,}2\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(S_1) = 0{,}8^4 = 0{,}4096\). \(P(S_2) = 0{,}8^3 \cdot 0{,}2^1 = 0{,}512 \cdot 0{,}2 = 0{,}1024\). 3. Die Aussage in b) ist korrekt. Jede Sequenz mit genau \(k\) Treffern bei \(n\) Versuchen hat die Wahrscheinlichkeit \(p^k \cdot q^{n-k}\). Für drei Treffer bei vier Würfen gibt es z. B. \((N, T, T, T)\) und \((T, T, N, T)\). Beide haben die Wahrscheinlichkeit \(0{,}2 \cdot 0{,}8^3 = 0{,}8^3 \cdot 0{,}2 = 0{,}1024\). Die Faktoren werden lediglich vertauscht (Kommutativgesetz). 4. Die Wahrscheinlichkeit für genau drei Treffer ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller günstigen Sequenzen. Es gibt \(\binom{4}{3} = 4\) solche Sequenzen. \(P(X=3) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}8^3 \cdot 0{,}2^1 = 4 \cdot 0{,}1024 = 0{,}4096\).

a) \(P(S_1) = 0{,}4096\); \(P(S_2) = 0{,}1024\). b) Die Aussage ist wahr. Jede Sequenz mit \(k\) Treffern enthält im Produkt der Wahrscheinlichkeiten \(k\)-mal den Faktor \(p\) und \((n-k)\)-mal den Faktor \((1-p)\). Wegen des Kommutativgesetzes der Multiplikation ist das Ergebnis immer \(p^k \cdot (1-p)^{n-k}\). Beispiel: \(P(N, T, T, T) = 0{,}2 \cdot 0{,}8^3 = 0{,}1024 = P(T, N, T, T)\). c) \(P(X=3) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}8^3 \cdot 0{,}2^1 = 4 \cdot 0{,}1024 = 0{,}4096\).

- Überlege dir zuerst, ob die einzelnen Drehungen voneinander abhängen. - Welche Werte für die Trefferanzahl sind im Ereignis enthalten? - Erinnerst du dich an eine Formel, mit der man die Wahrscheinlichkeit für eine exakte Anzahl an Treffern in einer Versuchsreihe berechnen kann? - Wie kombiniert man die Wahrscheinlichkeiten von zwei sich gegenseitig ausschließenden Ergebnissen?

1. Identifikation der Parameter der Bernoulli-Kette: Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}25\), Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 1 - p = 0{,}75\) und Anzahl der Versuche \(n = 10\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeit für \(k = 3\) Treffer mit der Bernoulli-Formel: \(P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot 0{,}25^3 \cdot 0{,}75^7 = 120 \cdot 0{,}015625 \cdot 0{,}13348388\ldots \approx 0{,}2503\). 3. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeit für \(k = 4\) Treffer: \(P(X = 4) = \binom{10}{4} \cdot 0{,}25^4 \cdot 0{,}75^6 = 210 \cdot 0{,}00390625 \cdot 0{,}17797851\ldots \approx 0{,}1460\). 4. Addition der beiden Wahrscheinlichkeiten für das Ereignis „3-mal oder 4-mal“: \(P(X = 3) + P(X = 4) \approx 0{,}2503 + 0{,}1460 = 0{,}3963\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(39{,}63\,\%\) (oder als Dezimalbruch ca. \(0{,}3963\)).

- Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Fahrzeuge mit Lackfehlern, wenn jedes Fahrzeug unabhängig mit der gleichen Wahrscheinlichkeit betroffen ist? - Wo liegt bei dieser Verteilung üblicherweise der „Gipfel“ der Wahrscheinlichkeiten? - Berechne den Erwartungswert als Orientierungshilfe. - Vergleiche die Wahrscheinlichkeiten für die ganzzahligen Werte, die dem Erwartungswert am nächsten liegen.

1. Identifikation der Verteilung: Es liegt eine Binomialverteilung mit den Parametern \(n = 30\) und \(p = 0{,}08\) vor. 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 30 \cdot 0{,}08 = 2{,}4\). 3. Bestimmung des wahrscheinlichsten Werts \(k\): Da die Wahrscheinlichkeiten bei einer Binomialverteilung nahe dem Erwartungswert am größten sind, kommen \(k = 2\) oder \(k = 3\) infrage. 4. Überprüfung durch die Bedingung für den Modus: \((n+1) \cdot p = (30+1) \cdot 0{,}08 = 31 \cdot 0{,}08 = 2{,}48\). 5. Da \(2{,}48\) keine ganze Zahl ist, ist der wahrscheinlichste Wert \(k = \lfloor 2{,}48 \rfloor = 2\). 6. Alternativer Vergleich der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X=2) = \binom{30}{2} \cdot 0{,}08^2 \cdot 0{,}92^{28} \approx 0{,}2696\) und \(P(X=3) = \binom{30}{3} \cdot 0{,}08^3 \cdot 0{,}92^{27} \approx 0{,}2188\). Somit ist \(k=2\) das Ergebnis mit der größten Wahrscheinlichkeit.

Die größte Wahrscheinlichkeit liegt bei \(2\) Fahrzeugen mit Lackfehler vor.

- Welche Verteilung beschreibt eine Kette von unabhängigen Versuchen mit nur zwei möglichen Ausgängen? - Notiere dir die Werte für die Trefferwahrscheinlichkeit, die Anzahl der Versuche und die gewünschte Trefferanzahl. - Wie lässt sich das Ereignis „mindestens 4“ in einzelne, genau definierte Trefferzahlen zerlegen? - Welche Formel hilft dir dabei, die Wahrscheinlichkeit für eine exakte Anzahl an Erfolgen zu berechnen?

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der Treffer, wobei \(X\) binomialverteilt ist mit \(n = 5\) und \(p = 0{,}7\). 2. Berechnung von \(P(X = 3)\) mit der Formel von Bernoulli: \(P(X = 3) = \binom{5}{3} \cdot 0{,}7^3 \cdot 0{,}3^2 = 10 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}09 = 0{,}3087\). 3. Berechnung von \(P(X \ge 4)\) als Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5)\). 4. Berechnung der Einzelwerte: \(P(X = 4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}7^4 \cdot 0{,}3^1 = 5 \cdot 0{,}2401 \cdot 0{,}3 = 0{,}36015\). 5. Berechnung: \(P(X = 5) = \binom{5}{5} \cdot 0{,}7^5 \cdot 0{,}3^0 = 1 \cdot 0{,}16807 \cdot 1 = 0{,}16807\). 6. Summation für das Endergebnis: \(P(X \ge 4) = 0{,}36015 + 0{,}16807 = 0{,}52822\).

1. Die Wahrscheinlichkeit für genau 3 Treffer beträgt \(0{,}3087\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens 4 Treffer beträgt \(0{,}52822\).

- Was sind in diesem Zufallsexperiment „Erfolg“ und „Misserfolg“? - Wie oft wird das Experiment insgesamt wiederholt? - Gibt es eine Regel, mit der man die Wahrscheinlichkeit für eine exakte Anzahl an Treffern berechnen kann? - Wie viele verschiedene Pfade im Baumdiagramm führen zu genau sieben Treffern?

1. Festlegen der Parameter: \(n = 10\) (Versuche), \(p = 0{,}7\) (Trefferwahrscheinlichkeit), \(k = 7\) (gewünschte Treffer). 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für einen Fehlwurf: \(q = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\). 3. Anwendung der Formel für die Binomialverteilung: \(P(X = 7) = \binom{10}{7} \cdot 0{,}7^7 \cdot 0{,}3^3\). 4. Berechnung des Binomialkoeffizienten: \(\binom{10}{7} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\). 5. Numerische Berechnung: \(120 \cdot 0{,}0823543 \cdot 0{,}027 \approx 0{,}2668\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(26{,}68\,\%\) (oder \(0{,}2668\)).

- Überlege zuerst, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, zwei Personen auf zwei Plätze zu verteilen. - Wenn viele Personen unabhängig voneinander dasselbe Experiment mit zwei Ausgängen (richtiger/falscher Tipp) durchführen, eignet sich die Binomialverteilung. - Welche Werte für \(n\), \(p\) und \(k\) musst du in die Bernoulli-Formel einsetzen?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten für die ersten beiden Plätze (Variation ohne Zurücklegen): \(10 \cdot 9 = 90\). 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für einen richtigen Tipp: \(p = \frac{1}{90}\). 3. Modellierung als Bernoulli-Kette mit \(n = 60\), \(k = 1\) und \(p = \frac{1}{90}\). 4. Berechnung der Punktwahrscheinlichkeit: \(P(X=1) = \binom{60}{1} \cdot \left(\frac{1}{90}\right)^1 \cdot \left(\frac{89}{90}\right)^{59}\). 5. Ergebnis: \(P(X=1) = 60 \cdot \frac{1}{90} \cdot \left(\frac{89}{90}\right)^{59} \approx 0{,}3449\).

a) \(p = \frac{1}{90} \approx 0{,}0111\) b) \(P(X=1) \approx 0{,}3449\) (ca. \(34{,}5\,\%\))

- Nutze die Formel von Bernoulli für Punktwahrscheinlichkeiten. - „Höchstens eins“ bedeutet, dass entweder gar kein Teil oder genau ein Teil defekt ist. - Was gibt der Binomialkoeffizient allgemein bei der Auswahl von Objekten an?

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 20\), \(p = 0{,}05\). 2. Berechnung für \(k = 2\): \(P(X=2) = \binom{20}{2} \cdot 0{,}05^2 \cdot 0{,}95^{18}\). Mit \(\binom{20}{2} = 190\) ergibt sich \(190 \cdot 0{,}0025 \cdot 0{,}3972 \approx 0{,}1887\). 3. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit für \(k \le 1\): \(P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1)\). 4. \(P(X=0) = 0{,}95^{20} \approx 0{,}3585\); \(P(X=1) = \binom{20}{1} \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^{19} = 20 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}3774 \approx 0{,}3774\). 5. Summe: \(0{,}3585 + 0{,}3774 = 0{,}7359\). 6. Berechnung des Binomialkoeffizienten: \(\binom{20}{2} = \frac{20 \cdot 19}{2 \cdot 1} = 190\). Er gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, 2 defekte Bauteile auf die 20 Plätze in der Entnahmereihenfolge zu verteilen (Anzahl der Pfade im Baumdiagramm).

a) \(P(X=2) \approx 0{,}1887\) b) \(P(X \le 1) \approx 0{,}7359\) c) \(\binom{20}{2} = 190\). Bedeutung: Es gibt 190 verschiedene Kombinationen (Pfade), wie genau 2 defekte Teile in einer Serie von 20 Proben auftreten können.

- Überlege dir zuerst, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg in einer einzelnen 5er-Serie ist. - Kannst du diese Wahrscheinlichkeit dann als neue Grundwahrscheinlichkeit für die 12 Serien verwenden? - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Treffer in einer Serie und welche die Anzahl der erfolgreichen Serien? - Achte darauf, ob nach „genau“, „mindestens“ oder „keinem“ Ereignis gefragt ist.

1. Die Trefferzahl in einer Serie ist binomialverteilt mit \(n = 5\) und \(p = 0{,}8\). Die Wahrscheinlichkeit für eine „besonders erfolgreiche“ Serie beträgt \(p_{S} = P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5)\). Es gilt \(P(X = 4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}8^4 \cdot 0{,}2^1 = 0{,}4096\) und \(P(X = 5) = \binom{5}{5} \cdot 0{,}8^5 \cdot 0{,}2^0 = 0{,}32768\). Somit ist \(p_{S} = 0{,}73728\). 2. Die Anzahl der erfolgreichen Serien unter den \(12\) Versuchen ist binomialverteilt mit \(n = 12\) und \(p_{S} = 0{,}73728\). Die Wahrscheinlichkeit für genau \(8\) Erfolge ist \(P(Y = 8) = \binom{12}{8} \cdot 0{,}73728^8 \cdot (1 - 0{,}73728)^4 \approx 0{,}2059\). 3. Die Wahrscheinlichkeit für null erfolgreiche Serien beträgt \(P(Y = 0) = (1 - 0{,}73728)^{12} \approx 1{,}081 \cdot 10^{-7}\).

1. \(P(\text{Serie erfolgreich}) = 0{,}73728\) 2. \(P(\text{8 von 12}) \approx 0{,}2059\) (oder \(20{,}59\,\%\)) 3. \(P(\text{0 von 12}) \approx 1{,}08 \cdot 10^{-7}\)

- Überlege, welche Bedingungen erfüllt sein müssen, damit man von einer Bernoulli-Kette spricht (Anzahl der Ausgänge, Unabhängigkeit). - Was stellt die Trefferwahrscheinlichkeit in diesem Kontext dar? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für die Binomialverteilung. - Wie berechnet man den Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\)?

1. Begründung der Bernoulli-Kette: Es gibt nur zwei Ausgänge pro Teilversuch (Sonderfigur enthalten oder nicht). Da die Gesamtproduktion sehr groß ist, bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) bei jeder Entnahme nahezu konstant, und die einzelnen Entnahmen sind voneinander unabhängig. 2. Bestimmung der Parameter: Die Anzahl der Versuche ist \(n = 20\). Die Trefferwahrscheinlichkeit für eine Sonderfigur beträgt \(p = \frac{1}{7} \approx 0{,}1429\). 3. Aufstellung des Terms für \(P(X = 3)\): Anwendung der Bernoulli-Formel \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) führt zu \(P(X = 3) = \binom{20}{3} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^3 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{17}\). 4. Berechnung des Werts: Mit \(\binom{20}{3} = 1140\) ergibt sich \(P(X = 3) = 1140 \cdot \frac{1}{343} \cdot \frac{6^{17}}{7^{17}} \approx 0{,}2418\).

a) Es liegen nur zwei mögliche Ergebnisse pro Ei vor (Treffer: Sonderfigur; Misserfolg: keine Sonderfigur). Die Wahrscheinlichkeit bleibt aufgrund der großen Grundgesamtheit konstant und die Versuche sind unabhängig. b) \(n = 20\); \(p = \frac{1}{7}\) c) Term: \(P(X = 3) = \binom{20}{3} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^3 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{17}\); Wahrscheinlichkeit: \(P(X = 3) \approx 0{,}2418\)

- Überlege zuerst, ob der Erwartungswert eine ganze Zahl ist oder nicht. - Achte beim Berechnen des Intervalls genau auf die Grenzen. Welche ganze Zahl passt dazwischen? - Vergleiche den Wert im Intervall mit seinen direkten Nachbarn, um die Eigenschaft als Maximum zu prüfen.

1. Erwartungswert und Gegenwahrscheinlichkeit berechnen: \(\mu = 15 \cdot 0{,}7 = 10{,}5\); \(q = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\). 2. Bestimmung des Intervalls: \([\mu - q; \mu + p] = [10{,}5 - 0{,}3; 10{,}5 + 0{,}7] = [10{,}2; 11{,}2]\). 3. Die einzige ganze Zahl in diesem Bereich ist \(k = 11\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: \(P(X = 11) = \binom{15}{11} \cdot 0{,}7^{11} \cdot 0{,}3^4 \approx 0{,}2186\). \(P(X = 10) = \binom{15}{10} \cdot 0{,}7^{10} \cdot 0{,}3^5 \approx 0{,}2061\). \(P(X = 12) = \binom{15}{12} \cdot 0{,}7^{12} \cdot 0{,}3^3 \approx 0{,}1700\). 5. Fazit: Da \(P(X = 11)\) der größte der berechneten Werte ist, ist \(k = 11\) der wahrscheinlichste Wert.

a) \(\mu = 10{,}5\); \(q = 0{,}3\) b) Intervall: \([10{,}2; 11{,}2]\); ganzzahliger Wert: \(k = 11\) c) \(P(X = 10) \approx 0{,}2061\); \(P(X = 11) \approx 0{,}2186\); \(P(X = 12) \approx 0{,}1700\). Da \(P(X = 11)\) am größten ist, ist \(11\) der wahrscheinlichste Wert.

- Überlege dir zuerst, welche Werte die Parameter \(n\) und \(p\) der Binomialverteilung hier annehmen. - Erinnere dich an die Formel für die Punktwahrscheinlichkeit \(P(X=k)\) bei einer Bernoulli-Kette. - Für den Teil c) ist es oft einfacher, mit dem Gegenereignis zu rechnen. Welche Fälle gehören nicht zu „mindestens zwei“?

1. Modellierung als Bernoulli-Kette mit \(n = 200\) und \(p = \frac{1}{200} = 0{,}005\). 2. Wahrscheinlichkeit für \(k=0\) Erfolge: \(P(X=0) = \binom{200}{0} \cdot 0{,}005^0 \cdot (1 - 0{,}005)^{200} = 0{,}995^{200} \approx 0{,}3669\). Der Wert liegt sehr nah an \(\frac{1}{e} \approx 0{,}3679\). 3. Wahrscheinlichkeit für \(k=1\) Erfolg: \(P(X=1) = \binom{200}{1} \cdot 0{,}005^1 \cdot 0{,}995^{199} = 200 \cdot 0{,}005 \cdot 0{,}995^{199} = 0{,}995^{199} \approx 0{,}3688\). 4. Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Erfolge: \(P(X \ge 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) \approx 1 - 0{,}3669 - 0{,}3688 = 0{,}2643\).

a) \(P(X=0) \approx 0{,}3669\); die Abweichung zu \(\frac{1}{e}\) beträgt etwa \(0{,}001\). b) \(P(X=1) \approx 0{,}3688\). c) \(P(X \ge 2) \approx 0{,}2643\).

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Pollenkorn ist, in ein ganz bestimmtes Feld zu gelangen. - Welches Verteilungsmodell eignet sich, wenn man viele unabhängige Versuche (Pollenkörner) mit einer jeweils sehr kleinen Erfolgswahrscheinlichkeit hat? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Feld und die erwartete Anzahl über alle Felder hinweg zusammen?

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der Pollenkörner in einem Feld. Da jedes der \(n = 120\) Pollenkörner mit der Wahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{100} = 0{,}01\) in das betrachtete Feld fällt, ist \(X\) binomialverteilt mit \(B(120; 0{,}01)\). 2. Berechnung für a): \(P(X = 0) = \binom{120}{0} \cdot 0{,}01^0 \cdot 0{,}99^{120} = 0{,}99^{120} \approx 0{,}2994\). 3. Berechnung für b): \(P(X = 1) = \binom{120}{1} \cdot 0{,}01^1 \cdot 0{,}99^{119} = 120 \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}99^{119} \approx 0{,}3629\). 4. Berechnung für c): \(P(X = 2) = \binom{120}{2} \cdot 0{,}01^2 \cdot 0{,}99^{118} = 7140 \cdot 0{,}0001 \cdot 0{,}99^{118} \approx 0{,}2181\). 5. Erwartungswert für die Anzahl der Felder mit genau einem Pollenkorn: \(E = 100 \cdot P(X = 1) \approx 100 \cdot 0{,}3629 = 36{,}29\).

a) \(P(X=0) \approx 29{,}94\,\%\) b) \(P(X=1) \approx 36{,}29\,\%\) c) \(P(X=2) \approx 21{,}81\,\%\) Es sind etwa \(36{,}3\) Felder mit genau einem Pollenkorn zu erwarten.

- Überlege dir zuerst, ob es sich um ein Experiment mit oder ohne Zurücklegen handelt und welches Verteilungsmodell hier passt. - Was sind die Parameter \(n\) und \(p\) in diesem Zufallsexperiment? - Erinnere dich an die Formel für die Wahrscheinlichkeit bei einer Binomialverteilung. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten für „höchstens zwei“ und „mehr als zwei“ zusammen? - Wie berechnet man den Durchschnittswert bei einer solchen Verteilung?

1. Modellierung als Bernoulli-Kette mit \(n = 25\) Versuchen und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{25} = 0{,}04\). Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt nach \(B(25; 0{,}04)\). 2. Berechnung der Punktwahrscheinlichkeiten: \(P(X = 0) = \binom{25}{0} \cdot 0{,}04^0 \cdot 0{,}96^{25} \approx 0{,}3604\) \(P(X = 1) = \binom{25}{1} \cdot 0{,}04^1 \cdot 0{,}96^{24} = 25 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}96^{24} \approx 0{,}3754\) \(P(X = 2) = \binom{25}{2} \cdot 0{,}04^2 \cdot 0{,}96^{23} = 300 \cdot 0{,}0016 \cdot 0{,}96^{23} \approx 0{,}1877\) 3. Berechnung für „öfter als zweimal“ (\(X > 2\)): \(P(X > 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)) \approx 1 - (0{,}3604 + 0{,}3754 + 0{,}1877) = 1 - 0{,}9235 = 0{,}0765\) 4. Erwartungswert: \(E(X) = n \cdot p = 25 \cdot 0{,}04 = 1\).

a) \(P(X=0) \approx 0{,}3604\); \(P(X=1) \approx 0{,}3754\); \(P(X=2) \approx 0{,}1877\) b) \(P(X>2) \approx 0{,}0765\) c) \(E(X) = 1\)

- Lies die Aufgabe aufmerksam durch und überlege, ob die Kugeln nach dem Ziehen wieder zurückgelegt werden oder nicht. - Wie viele Kugeln gibt es insgesamt in der Urne und wie viele davon haben die gesuchte Eigenschaft? - Welches bekannte stochastische Modell beschreibt ein Experiment mit zwei möglichen Ausgängen (Erfolg/Misserfolg) bei einer festen Anzahl von unabhängigen Versuchen? - Welche Formel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für eine exakte Anzahl von Erfolgen bei einer solchen Versuchsreihe zu bestimmen? - Achte am Ende darauf, das Ergebnis korrekt in Prozent umzurechnen und zu runden.

1. Bestimmung der Erfolgswahrscheinlichkeit: Da sich insgesamt \(10\) Kugeln in der Urne befinden, von denen \(3\) grün sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine grüne Kugel zu ziehen, \(p = \frac{3}{10} = 0{,}3\). 2. Modellierung als Bernoulli-Kette: Das Ziehen mit Zurücklegen kann als Bernoulli-Kette mit der Länge \(n = 6\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}3\) modelliert werden. 3. Anwendung der Formel von Bernoulli für genau \(k = 2\) Erfolge: \(P(X = 2) = \binom{6}{2} \cdot 0{,}3^2 \cdot (1 - 0{,}3)^{6 - 2}\) 4. Berechnung des Werts: \(P(X = 2) = 15 \cdot 0{,}09 \cdot 0{,}7^4 = 15 \cdot 0{,}09 \cdot 0{,}2401 = 0{,}324135\) 5. Umrechnung in Prozent und Rundung: \(0{,}324135 \approx 32{,}4\,\%\)

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ungefähr \(32{,}4\,\%\).

- Überlege zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Farbe bei einer einzelnen Drehung ist. - Da das Rad mehrmals gedreht wird und sich die Wahrscheinlichkeiten nicht ändern, handelt es sich um ein mehrstufiges Zufallsexperiment mit unabhängigen Versuchen (Bernoullikette). - Welche Formel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei \(n\) Versuchen zu berechnen? - Achte darauf, die Prozentwerte korrekt auf zwei Stellen nach dem Komma zu runden.

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten: Die Gesamtzahl der gleich großen Felder ist 6. - Gelb: \(p_{\text{gelb}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) - Blau: \(p_{\text{blau}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) 2. Berechnung für Teilaufgabe a): Es liegt ein Bernoulli-Experiment mit \(n = 6\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{2}\) vor. \(P(X = 4) = \binom{6}{4} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right)^{6 - 4} = 15 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{4} = \frac{15}{64} \approx 23{,}44\,\%\) 3. Berechnung für Teilaufgabe b): Es liegt ein Bernoulli-Experiment mit \(n = 6\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{3}\) vor. \(P(Y = 2) = \binom{6}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(1 - \frac{1}{3}\right)^{6 - 2} = 15 \cdot \frac{1}{9} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 15 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{16}{81} = \frac{80}{243} \approx 32{,}92\,\%\)

a) \(\frac{15}{64} \approx 23{,}44\,\%\) b) \(\frac{80}{243} \approx 32{,}92\,\%\)

- Überlege zuerst, wie viele Sektoren das Glücksrad insgesamt hat und wie viele davon rot sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem einzelnen Dreh Rot zu erhalten? - Da das Rad mehrmals gedreht wird und sich die Wahrscheinlichkeiten nicht ändern, handelt es sich um eine Bernoulli-Kette. Welche Werte haben \(n\) (Anzahl der Versuche) und \(k\) (Anzahl der Treffer)? - Erinnere dich an die Bernoulli-Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei \(n\) Versuchen. - Setze die Werte in die Formel ein und berechne das Ergebnis. Vergiss nicht, am Ende auf drei Nachkommastellen zu runden.

1. Bestimmung der Erfolgswahrscheinlichkeit für einen roten Sektor: Da 4 der 10 gleich großen Sektoren rot sind, gilt \(p = \frac{4}{10} = 0{,}4\). Die Gegenwahrscheinlichkeit ist \(q = 1 - p = 0{,}6\). 2. Da das Glücksrad achtmal gedreht wird und die Drehungen unabhängig voneinander sind, liegt eine Bernoulli-Kette der Länge \(n = 8\) mit \(k = 3\) Treffern vor. 3. Anwendung der Formel von Bernoulli für Punktwahrscheinlichkeiten: \(P(X = 3) = \binom{8}{3} \cdot 0{,}4^3 \cdot 0{,}6^5\) 4. Berechnung des Binomialkoeffizienten und des Terms: \(\binom{8}{3} = 56\) \(P(X = 3) = 56 \cdot 0{,}064 \cdot 0{,}07776 = 0{,}27869184\) 5. Runden auf drei Nachkommastellen ergibt das Endergebnis \(0{,}279\).

\(0{,}279\)

- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe bei einer einzelnen Drehung, indem du die Anzahl der Sektoren zählst. - Überlege, welches Wahrscheinlichkeitsmodell für ein Experiment mit zwei Ausgängen (Treffer oder kein Treffer) und einer festen Anzahl an unabhängigen Versuchen geeignet ist. - Identifiziere für jede Teilaufgabe die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\), die Anzahl der Versuche \(n\) und die gewünschte Trefferanzahl \(k\). - Wende die Formel für die Binomialverteilung an, um die gesuchten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.

Zuerst bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Farben anhand der 8 Sektoren: \(p_{\text{Gelb}} = \frac{4}{8} = 0{,}5\) \(p_{\text{Blau}} = \frac{3}{8} = 0{,}375\) \(p_{\text{Rot}} = \frac{1}{8} = 0{,}125\) Da es sich um eine Bernoulli-Kette handelt, verwenden wir die Formel für die Binomialverteilung \(P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\). 1. Teilaufgabe a): Mit \(n=5\), \(k=2\) und \(p=0{,}375\) ergibt sich: \(P(X=2) = \binom{5}{2} \cdot 0{,}375^2 \cdot (1-0{,}375)^{5-2} = 10 \cdot 0{,}140625 \cdot 0{,}625^3 \approx 0{,}3433\) 2. Teilaufgabe b): Mit \(n=8\), \(k=4\) und \(p=0{,}5\) ergibt sich: \(P(X=4) = \binom{8}{4} \cdot 0{,}5^4 \cdot (1-0{,}5)^{8-4} = 70 \cdot 0{,}5^8 = \frac{70}{256} \approx 0{,}2734\) 3. Teilaufgabe c): Mit \(n=4\), \(k=1\) und \(p=0{,}125\) ergibt sich: \(P(X=1) = \binom{4}{1} \cdot 0{,}125^1 \cdot (1-0{,}125)^{4-1} = 4 \cdot 0{,}125 \cdot 0{,}875^3 \approx 0{,}3350\)

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(34{,}33\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(27{,}34\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(33{,}50\,\%\).

- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit für „Gelb“ und „Lila“ bei einem einzelnen Dreh anhand der Sektoren. - Überlege dir, wie viele verschiedene Reihenfolgen (Pfade) es gibt, um bei drei Drehungen genau zweimal „Gelb“ zu erhalten. Ein Baumdiagramm kann hier helfen. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Reihenfolge (einen Pfad)? - Wenn es mehrere Möglichkeiten für ein Ereignis gibt, wie werden deren Einzelwahrscheinlichkeiten zur Gesamtwahrscheinlichkeit kombiniert?

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten: Das Glücksrad besitzt 8 Sektoren gleicher Größe, wovon 3 gelb und 5 lila sind. Daraus folgen \(P(\text{Gelb}) = \frac{3}{8}\) und \(P(\text{Lila}) = \frac{5}{8}\). 2. Identifikation der günstigen Pfade: Das Ereignis „genau zweimal Gelb“ bei drei Drehungen umfasst die Ergebnisse (Gelb, Gelb, Lila), (Gelb, Lila, Gelb) und (Lila, Gelb, Gelb). Es gibt also genau 3 Pfade. 3. Berechnung der Pfadwahrscheinlichkeiten: Jeder dieser 3 Pfade hat aufgrund der Unabhängigkeit der Drehungen die Wahrscheinlichkeit \(\left( \frac{3}{8} \right)^2 \cdot \frac{5}{8} = \frac{45}{512}\). 4. Analyse der Terme: Term (3) addiert die Wahrscheinlichkeiten dieser drei einzelnen Pfade korrekt auf. Term (4) fasst diese Summe als Produkt zusammen (\(3 \cdot \text{Pfadwahrscheinlichkeit}\)), was ebenfalls korrekt ist. 5. Ausschluss fehlerhafter Terme: Term (1) berechnet lediglich die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Pfad. Term (2) berechnet die Wahrscheinlichkeit für genau einmal Gelb (\(\binom{3}{1} \cdot p^1 \cdot q^2\)).

Die Terme (3) und (4) sind korrekt.

- Überlege dir für jede Drehung einzeln, wie viele der fünf möglichen Ergebnisse dazu führen, dass die aktuelle Summe durch 5 teilbar wird. - Hängt die Anzahl der „verbotenen“ Ergebnisse bei der zweiten Drehung davon ab, was bei der ersten Drehung kam? - Handelt es sich bei der wiederholten Durchführung der Spiele um eine Bernoulli-Kette? Welche Parameter \(n\), \(p\) und \(k\) liegen vor?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Spiel: Bei jeder Drehung ist die Wahrscheinlichkeit für jede Ziffer \(\frac{1}{5}\). Damit \(S_1\) nicht durch 5 teilbar ist, darf \(x_1\) nicht 5 sein (\(P = \frac{4}{5}\)). Für jede weitere Teilsumme \(S_k\) gilt: Ist \(S_{k-1}\) nicht durch 5 teilbar, gibt es unter den fünf möglichen Werten für \(x_k\) genau einen Wert, der die Summe \(S_k\) zu einem Vielfachen von 5 macht. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Teilsumme weiterhin nicht durch 5 teilbar ist, in jedem Schritt \(\frac{4}{5}\). 2. Die Gesamtwahrscheinlichkeit für ein gewonnenes Spiel beträgt \(p = \left(\frac{4}{5}\right)^3 = \frac{64}{125} = 0{,}512\). 3. Für zehn Spiele ist die Anzahl der Gewinne \(K\) binomialverteilt mit \(n = 10\) und \(p = 0{,}512\). 4. Berechnung für \(k = 5\): \(P(K = 5) = \binom{10}{5} \cdot 0{,}512^5 \cdot 0{,}488^5 \approx 0{,}2454\).

a) \(P(\text{Gewinn}) = 0{,}512\) (oder \(\frac{64}{125}\)) b) \(P(K = 5) \approx 0{,}2454\)

- Wann ist eine Wahrscheinlichkeit in einer Reihe größer als ihre Vorgängerin? - Untersuche das Verhältnis zwischen zwei benachbarten Werten der Binomialverteilung. - Was passiert, wenn dieses Verhältnis genau den Wert 1 annimmt? - Wie verhält sich die Formel für den Binomialkoeffizienten, wenn man von \(k-1\) zu \(k\) übergeht?

1. Berechnung des Erwartungswerts oder der Bedingung für das Maximum: Die Wahrscheinlichkeiten \(B(n; p; k)\) steigen an, solange \(\frac{P(X=k)}{P(X=k-1)} = \frac{n-k+1}{k} \cdot \frac{p}{1-p} \geq 1\) gilt. 2. Einsetzen der Werte: \(\frac{14-k+1}{k} \cdot \frac{0{,}4}{0{,}6} = \frac{15-k}{k} \cdot \frac{2}{3} \geq 1\). 3. Lösen der Ungleichung: \(2 \cdot (15 - k) \geq 3k \implies 30 - 2k \geq 3k \implies 30 \geq 5k \implies k \leq 6\). 4. Da für \(k=6\) das Verhältnis exakt \(1\) ist, gilt \(P(X=6) = P(X=5)\). 5. Für \(k < 6\) ist das Verhältnis \(> 1\) (steigend), für \(k > 6\) ist es \(< 1\) (fallend). 6. Die Wahrscheinlichkeit ist somit für \(k = 5\) und \(k = 6\) am größten.

Die Wahrscheinlichkeit ist für \(k = 5\) und \(k = 6\) am größten.

- Handelt es sich hier um eine Kette von unabhängigen Versuchen? - Wie berechnet man den Wert, um den herum die Wahrscheinlichkeiten am höchsten sind? - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeiten, wenn das Produkt aus der Anzahl der Versuche (plus eins) und der Erfolgswahrscheinlichkeit genau eine ganze Zahl ergibt? - Überprüfe die Werte direkt über und unter dem Erwartungswert.

1. Identifikation der Verteilung: Binomialverteilung mit \(n = 15\) und \(p = 0{,}75\). 2. Berechnung des Werts \((n+1) \cdot p\): \((15+1) \cdot 0{,}75 = 16 \cdot 0{,}75 = 12\). 3. Da \((n+1) \cdot p = 12\) eine ganze Zahl ist, gibt es zwei Werte mit der maximalen (und identischen) Wahrscheinlichkeit: \(k_1 = 12\) und \(k_2 = 12 - 1 = 11\). 4. Überprüfung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X=11) = \binom{15}{11} \cdot 0{,}75^{11} \cdot 0{,}25^4 \approx 0{,}2252\) \(P(X=12) = \binom{15}{12} \cdot 0{,}75^{12} \cdot 0{,}25^3 \approx 0{,}2252\) 5. Beide Ergebnisse, \(11\) und \(12\), haben somit die größte Wahrscheinlichkeit.

Die Ergebnisse \(11\) und \(12\) keimende Samen haben beide die größte Wahrscheinlichkeit.

- Setze für die Aufgabenteile die allgemeine Formel der Binomialverteilung mit \(k=0\), \(k=1\) und \(k=2\) an. - Nutze Potenzgesetze, um Brüche mit gleicher Basis zu vereinfachen. - Erinnere dich bei Teil b), wie man den Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{2}\) ausschreibt. - Überlege dir für den Grenzübergang, gegen welche Werte die einzelnen Faktoren des Produkts streben, wenn \(n\) immer größer wird.

1. Nach der Formel der Binomialverteilung gilt \(P(X=0) = (1 - \frac{1}{n})^n\) und \(P(X=1) = n \cdot \frac{1}{n} \cdot (1 - \frac{1}{n})^{n-1} = (1 - \frac{1}{n})^{n-1}\). 2. Der Quotient ist \(\frac{P(X=1)}{P(X=0)} = \frac{(1 - \frac{1}{n})^{n-1}}{(1 - \frac{1}{n})^n} = \frac{1}{1 - \frac{1}{n}} = \frac{1}{\frac{n-1}{n}} = \frac{n}{n-1}\). Daraus folgt \(P(X=1) = \frac{n}{n-1} \cdot P(X=0)\). 3. Für \(k=2\) gilt: \(P(X=2) = \binom{n}{2} \cdot (\frac{1}{n})^2 \cdot (1 - \frac{1}{n})^{n-2} = \frac{n \cdot (n-1)}{2} \cdot \frac{1}{n^2} \cdot (1 - \frac{1}{n})^{n-2} = \frac{n-1}{2 \cdot n} \cdot (1 - \frac{1}{n})^{n-2}\). 4. Für große \(n\) strebt \(\frac{n-1}{2 \cdot n}\) gegen \(\frac{1}{2}\) und \((1 - \frac{1}{n})^{n-2}\) gegen \(\frac{1}{e}\) (da \((1 - \frac{1}{n})^{-2} \to 1\)). Somit gilt \(P(X=2) \approx \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{2 \cdot e}\).

a) Durch Einsetzen in \(P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) erhält man \(P(X=0) = (1-\frac{1}{n})^n\) und \(P(X=1) = (1-\frac{1}{n})^{n-1}\). Division führt auf \(\frac{n}{n-1}\). b) \(P(X=2) = \frac{n-1}{2 \cdot n} \cdot (1-\frac{1}{n})^{n-2}\). Da \(\frac{n-1}{2 \cdot n} \to \frac{1}{2}\) und \((1-\frac{1}{n})^{n-2} \to \frac{1}{e}\), folgt die Näherung \(P(X=2) \approx \frac{1}{2 \cdot e}\).