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- Was bedeutet es für die Rechnung, wenn nach „mindestens“ einer bestimmten Anzahl an Treffern gefragt wird? - Welche Kennzahlen \(n\) und \(p\) lassen sich aus dem Text ablesen? - Versuche, die Situation mit einem Baumdiagramm oder der Bernoulli-Formel zu erfassen. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 Treffer auf 5 Schüsse zu verteilen?

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 5\) und \(p = 0{,}85\). 1. Berechnung für \(P(X = 4)\): Unter Verwendung der Bernoulli-Formel ergibt sich \(P(X = 4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}85^4 \cdot 0{,}15^1 = 5 \cdot 0{,}85^4 \cdot 0{,}15 \approx 0{,}3915\). 2. Berechnung für \(P(X \ge 4)\): Das Ereignis umfasst die Fälle \(X = 4\) und \(X = 5\). 3. Einzelwert \(P(X = 5) = \binom{5}{5} \cdot 0{,}85^5 \cdot 0{,}15^0 = 0{,}85^5 \approx 0{,}4437\). 4. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(P(X \ge 4) = 0{,}3915 + 0{,}4437 = 0{,}8352\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(39{,}15\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(83{,}52\,\%\).

- Was bedeutet das Wort „oder“ für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten? - Überlege dir, welche Zahlenwerte für \(k\) bei „mindestens vier“ gemeint sind. - Wie hängen die Ereignisse „mindestens vier“ und „höchstens drei“ zusammen? - Wenn du die Gesamtwahrscheinlichkeit aller möglichen Ergebnisse kennst, wie kannst du den Rest berechnen?

1. Berechnung von \(P(A)\): Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten für \(k = 5\) und \(k = 6\): \(0{,}3932 + 0{,}2621 = 0{,}6553\). 2. Berechnung von \(P(B)\): Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten für \(k = 4\), \(k = 5\) und \(k = 6\): \(0{,}2458 + 0{,}3932 + 0{,}2621 = 0{,}9011\). 3. Berechnung von \(P(C)\): Identifikation von Ereignis C als Gegenereignis zu Ereignis B: \(1 - P(B) = 1 - 0{,}9011 = 0{,}0989\).

\(P(A) = 0{,}6553\) \(P(B) = 0{,}9011\) \(P(C) = 0{,}0989\)

- Überlege zuerst, welche Werte für \(n\) und \(p\) in diesem Zufallsexperiment gelten. - Erinnere dich an den Unterschied zwischen einer Punktwahrscheinlichkeit und einer kumulierten Wahrscheinlichkeit. - Wie kannst du die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich (von ... bis ...) mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion ausdrücken? - Nutze die entsprechenden Funktionen deines Taschenrechners für die Binomialverteilung.

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 15\) und \(p = \frac{1}{6}\). 1. Berechnung der Punktwahrscheinlichkeit \(P(X = 3) = B(15; \frac{1}{6}; 3) = \binom{15}{3} \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^{12} \approx 0{,}2363\). 2. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 4) = F(15; \frac{1}{6}; 4) = \sum_{i=0}^{4} B(15; \frac{1}{6}; i) \approx 0{,}9102\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für ein Intervall \(P(2 \le X \le 5) = P(X \le 5) - P(X \le 1) = F(15; \frac{1}{6}; 5) - F(15; \frac{1}{6}; 1) \approx 0{,}9726 - 0{,}2596 = 0{,}7130\).

1. \(P(X = 3) \approx 0{,}2363\) 2. \(P(X \le 4) \approx 0{,}9102\) 3. \(P(2 \le X \le 5) \approx 0{,}7130\)

- Schreibe die Definition von \(F(k)\) und \(F(k-1)\) als Summen von Einzelwahrscheinlichkeiten auf. - Welche einzelnen Ergebnisse \(X=i\) werden bei \(F(k)\) berücksichtigt, die bei \(F(k-1)\) fehlen? - Was bleibt übrig, wenn du von einer Summe bis \(k\) alle Teile abziehst, die bereits in der Summe bis \(k-1\) enthalten sind?

1. Definition der kumulativen Verteilungsfunktion als Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(F(k) = \sum_{i=0}^{k} P(X = i) = P(X=0) + P(X=1) + \dots + P(X=k)\). 2. Entsprechend gilt für den vorherigen Wert: \(F(k-1) = \sum_{i=0}^{k-1} P(X = i) = P(X=0) + P(X=1) + \dots + P(X=k-1)\). 3. Die Differenz \(F(k) - F(k-1)\) entspricht somit der Differenz der beiden Summen: \((P(X=0) + \dots + P(X=k)) - (P(X=0) + \dots + P(X=k-1))\). 4. Alle Summanden bis auf den letzten heben sich gegenseitig auf, sodass lediglich \(P(X = k)\) übrig bleibt. 5. Da \(P(X = k) = B(n; p; k)\) ist, folgt die Behauptung \(F(k) - F(k-1) = B(n; p; k)\).

Die Differenz \(F(k) - F(k-1)\) subtrahiert die Summe der Wahrscheinlichkeiten bis \(k-1\) von der Summe bis \(k\). Übrig bleibt genau die Einzelwahrscheinlichkeit für das Ergebnis \(k\), also \(P(X=k) = B(n; p; k)\).

- Wie viele Samen müssen genau keimen, damit ein Tütchen als mangelhaft gilt? - Überlege, ob du die Wahrscheinlichkeit für das Keimen (\(p=0{,}75\)) oder für das Nicht-Keimen (\(q=0{,}25\)) verwendest. - Kannst du die kumulierte Wahrscheinlichkeit direkt berechnen oder über das Gegenereignis gehen? - Achte genau auf die Formulierung „weniger als 8“ – gehört die 8 dazu?

1. Festlegen der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der keimenden Samen pro Tütchen. \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 12\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}75\). 2. Identifikation der Bedingung für eine Reklamation: „weniger als 8“ bedeutet \(X \le 7\). 3. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 7) = \sum_{k=0}^{7} \binom{12}{k} \cdot 0{,}75^k \cdot 0{,}25^{12-k}\). 4. Alternativer Weg über die Anzahl der nicht keimenden Samen \(Y \sim B(12; 0{,}25)\): Die Bedingung \(X \le 7\) entspricht bei \(12\) Samen der Bedingung \(Y \ge 5\). 5. Berechnung von \(P(Y \ge 5) = 1 - P(Y \le 4)\). 6. Ermittlung der Werte für \(P(Y \le 4)\): \(P(Y=0) \approx 0{,}0317\), \(P(Y=1) \approx 0{,}1267\), \(P(Y=2) \approx 0{,}2323\), \(P(Y=3) \approx 0{,}2581\), \(P(Y=4) \approx 0{,}1936\). 7. Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(Y \le 4) \approx 0{,}8424\). 8. Finale Wahrscheinlichkeit: \(P(X \le 7) = 1 - 0{,}8424 = 0{,}1576\).

Die Wahrscheinlichkeit für eine Reklamation beträgt etwa \(0{,}1576\) (bzw. \(15{,}76\,\%\)).

- Welche Werte nehmen \(n\) und \(p\) in diesem Zufallsexperiment an? - Kannst du das Ereignis „weniger als 175“ auch anders ausdrücken, indem du „höchstens“ verwendest? - Denke daran, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses und seines Gegenereignisses immer 1 ergibt.

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 200\), \(p = 0{,}8\). 2. Berechnung von \(P(E) = P(X = 165) = \binom{200}{165} \cdot 0{,}8^{165} \cdot 0{,}2^{35} \approx 0{,}0495\). 3. Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeit für \(F\): \(P(155 \le X \le 170) = P(X \le 170) - P(X \le 154) \approx 0{,}9717 - 0{,}1651 = 0{,}8066\). 4. Analyse des Terms \(1 - P(X \ge 175)\): Das Gegenereignis zu „mindestens 175“ ist „höchstens 174“. Im Sachzusammenhang bedeutet dies die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 200 Bäumen höchstens 174 (oder weniger als 175) Kiefern sind.

a) \(P(E) \approx 4{,}95\,\%\); \(P(F) \approx 80{,}66\,\%\) b) Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass sich unter den \(200\) untersuchten Bäumen höchstens \(174\) (oder weniger als \(175\)) Kiefern befinden.

- Überlege dir zuerst, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ereignis ist. - Welchen Kennwert einer Verteilung nutzt man, um den langfristigen Durchschnitt zu beschreiben? - Für die Wahrscheinlichkeit bei einer festen Anzahl von Versuchen hilft die Formel von Bernoulli. - „Höchstens“ bedeutet, dass du mehrere Einzelergebnisse zusammenzählen musst.

1. Bestimmung der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\): Da jede 20. Diode einen Fehler hat, gilt \(p = \frac{1}{20} = 0{,}05\). 2. Berechnung des Erwartungswerts für \(n = 1400\): \(E(X) = n \cdot p = 1400 \cdot 0{,}05 = 70\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für genau einen Fehler bei \(n = 25\): \(P(X = 1) = \binom{25}{1} \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95^{24} \approx 0{,}3650\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei Fehler bei \(n = 25\): \(P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\) \(\approx 0{,}2774 + 0{,}3650 + 0{,}2305 = 0{,}8729\).

a) Der Erwartungswert beträgt \(70\) Dioden. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(36{,}50\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(87{,}29\,\%\).

- Identifiziere zuerst die Parameter n und p für die Binomialverteilung. - Überlege dir bei „mindestens“-Aufgaben, welche Fälle nicht eintreten dürfen. - Was bedeutet stochastische Unabhängigkeit für die Wahrscheinlichkeit aufeinanderfolgender Ereignisse?

1. Modellierung durch eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit \(n = 50\) und \(p = 0{,}04\). Für (1) Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeit: \(P(X = 2) = \binom{50}{2} \cdot 0{,}04^2 \cdot 0{,}96^{48} \approx 0{,}2762\). 2. Für (2) Nutzung des Gegenereignisses: \(P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3) \approx 1 - 0{,}8609 = 0{,}1391\). 3. Für (3) direkte Bestimmung der kumulierten Wahrscheinlichkeit: \(P(X \le 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) \approx 0{,}1299 + 0{,}2706 + 0{,}2762 + 0{,}1842 = 0{,}8609\). 4. Unter der Annahme eines stabilen Produktionsprozesses sind die Defekte einzelner Bauteile unabhängig voneinander. Die Wahrscheinlichkeit für einen Defekt beim nächsten Bauteil entspricht der Grundwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}04\).

a) (1) \(P(X = 2) \approx 0{,}2762\) (2) \(P(X \ge 4) \approx 0{,}1391\) (3) \(P(X \le 3) \approx 0{,}8609\) b) \(P(\text{defekt}) = 0{,}04\)

- Überlege, was passieren muss, damit man von unabhängigen Versuchen mit gleichbleibender Wahrscheinlichkeit sprechen kann. - Wie lautet die Formel von Bernoulli für \(k\) Treffer? - Was ist das Gegenereignis zu „mindestens zwei“? Ist es einfacher, dieses zu berechnen? - Achte darauf, die Wahrscheinlichkeit für \(4\,\%\) korrekt als Dezimalzahl zu schreiben.

1. Voraussetzungen: Jede Flasche wird nur auf das Merkmal „Lufteinschluss vorhanden“ oder „nicht vorhanden“ geprüft. Die Wahrscheinlichkeit für einen Defekt muss für jede entnommene Flasche konstant bei \(p=0{,}04\) liegen (Ziehen mit Zurücklegen oder sehr große Grundgesamtheit), und die Zustände der Flaschen müssen voneinander unabhängig sein. 2. Berechnung für genau eine Flasche: Mit \(n=10\), \(k=1\) und \(p=0{,}04\) gilt \(P(X=1) = \binom{10}{1} \cdot 0{,}04^1 \cdot 0{,}96^9 \approx 10 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}6925 \approx 0{,}2770\). 3. Berechnung für mindestens zwei Flaschen: Über das Gegenereignis \(P(X \ge 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))\). \(P(X=0) = 0{,}96^{10} \approx 0{,}6648\). \(P(X \ge 2) \approx 1 - (0{,}6648 + 0{,}2770) = 1 - 0{,}9418 = 0{,}0582\).

a) Die Entnahme muss als Ziehen mit Zurücklegen betrachtet werden können (oder die Gesamtzahl der Flaschen ist so groß, dass sich die Wahrscheinlichkeit kaum ändert), es gibt nur zwei Ergebnisse (Defekt/kein Defekt) und die Flaschen sind unabhängig voneinander. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}2770\) (oder \(27{,}70\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}0582\) (oder \(5{,}82\,\%\)).

- Was bedeutet es für die Anzahl der Treffer, wenn ein Ereignis „genau einmal“ eintreten soll? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten für einen Erfolg und einen Misserfolg zusammen? - Bei „mindestens einmal“ ist es oft einfacher, das Gegenereignis zu betrachten. - Vergleiche dein Ergebnis mit der in der Behauptung genannten Grenze von \(90\,\%\).

1. Identifikation der Parameter der Bernoulli-Kette: \(n = 4\), Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}25\), Misserfolgswahrscheinlichkeit \(q = 0{,}75\). 2. Berechnung für genau einen Treffer: \(P(X=1) = \binom{4}{1} \cdot 0{,}25^1 \cdot 0{,}75^3 = 4 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}421875 = 0{,}421875\). 3. Berechnung für mindestens einen Treffer über das Gegenereignis: \(P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0{,}75^4\). 4. Numerisches Ergebnis: \(P(X \ge 1) = 1 - 0{,}31640625 = 0{,}68359375\). 5. Bewertung der Aussage: \(68{,}36\,\% < 90\,\%\). Die Behauptung ist daher falsch.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}421875\) (oder \(42{,}1875\,\%\)). b) Nein. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einmal Rot beträgt nur ca. \(68{,}36\,\%\) und liegt damit nicht über \(90\,\%\).

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelnes Leuchtmittel intakt ist? - Kannst du die Situation mit einer Formel für wiederholte Zufallsexperimente beschreiben? - Bei „mindestens einem“ Defekt: Ist es einfacher, alle Möglichkeiten direkt zu berechnen oder über das Gegenteil nachzudenken? - Was ist das Gegenteil von „mindestens ein Defekt“?

Das Zufallsexperiment kann als Bernoulli-Kette mit \(n = 8\) und der Fehlerwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}05\) (Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 0{,}95\)) modelliert werden. 1. Alle einwandfrei (0 Defekte): \(P(X=0) = 0{,}95^8 \approx 0{,}6634\). 2. Genau 2 defekt: \(P(X=2) = \binom{8}{2} \cdot 0{,}05^2 \cdot 0{,}95^6 = 28 \cdot 0{,}0025 \cdot 0{,}73509 \approx 0{,}0515\). 3. Mindestens ein defekt: Nutze das Gegenereignis „kein Leuchtmittel ist defekt“. \(P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0{,}95^8 \approx 1 - 0{,}6634 = 0{,}3366\).

a) ca. \(66{,}34\,\%\) b) ca. \(5{,}15\,\%\) c) ca. \(33{,}66\,\%\)

- Kannst du das Problem als eine Folge von immer gleichen Versuchen mit zwei Ausgängen beschreiben? - Welche Werte haben die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Versuche? - Überlege, welche Einzelergebnisse zu der Bedingung „höchstens eine“ gehören. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer in einer Kette?

Das Zufallsexperiment kann als Bernoulli-Kette der Länge \(n = 30\) mit der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}05\) (Lampe mit Farbabweichung) modelliert werden. 1. Berechnung für \(P(X = 0)\): Mit der Formel für die Bernoulli-Kette ergibt sich \(P(X = 0) = \binom{30}{0} \cdot 0{,}05^0 \cdot 0{,}95^{30} = 0{,}95^{30} \approx 0{,}2146\). 2. Berechnung für \(P(X \le 1)\): Es gilt \(P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)\). 3. Einzelwert \(P(X = 1) = \binom{30}{1} \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^{29} = 30 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95^{29} \approx 0{,}3389\). 4. Summe bilden: \(P(X \le 1) \approx 0{,}2146 + 0{,}3389 = 0{,}5535\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(21{,}46\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(55{,}35\,\%\).

- Überlege dir zuerst, ob es sich um eine Bernoulli-Kette handelt. - Welche Werte für \(n\), \(p\) und \(k\) sind jeweils gegeben? - Beachte bei Spieler A, dass „mindestens drei“ mehrere Möglichkeiten umfasst. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei \(n\) Versuchen?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Ereignis 1 (Spieler A, \(n=4, p=0{,}9\)): \(P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4)\) \(P(X=3) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}9^3 \cdot 0{,}1^1 = 4 \cdot 0{,}729 \cdot 0{,}1 = 0{,}2916\) \(P(X=4) = \binom{4}{4} \cdot 0{,}9^4 \cdot 0{,}1^0 = 1 \cdot 0{,}6561 \cdot 1 = 0{,}6561\) \(P(X \ge 3) = 0{,}2916 + 0{,}6561 = 0{,}9477\) 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Ereignis 2 (Spieler B, \(n=6, p=0{,}6\)): \(P(Y=4) = \binom{6}{4} \cdot 0{,}6^4 \cdot 0{,}4^2 = 15 \cdot 0{,}1296 \cdot 0{,}16 = 0{,}31104\) 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(0{,}9477 > 0{,}31104\), ist Ereignis 1 deutlich wahrscheinlicher.

Das Ereignis 1 (Spieler A trifft mindestens dreimal) ist mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. \(94{,}77\,\%\) wahrscheinlicher als Ereignis 2 (Spieler B trifft genau viermal) mit ca. \(31{,}10\,\%\).

- Wie lässt sich das Ereignis „mindestens eine fehlerhafte Tablette“ mithilfe des Gegenereignisses beschreiben? - Welche Formel berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer bestimmten Anzahl von Versuchen kein einziger Treffer erzielt wird? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Wahrscheinlichkeit für null Treffer vorkommt, und löse diese nach der gesuchten Wahrscheinlichkeit auf. - Denke daran, am Ende die Wurzel mit dem passenden Exponenten zu ziehen.

1. Definition der Zufallsgröße: \(X\) ist die Anzahl der fehlerhaften Tabletten in einem Blister mit \(n = 20\). \(X\) ist binomialverteilt mit der unbekannten Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\). 2. Aufstellen der Gleichung für das Gegenereignis: Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Fehler ist \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 0{,}05\). 3. Einsetzen der Formel für \(P(X = 0)\): \(1 - (1 - p)^{20} = 0{,}05\). 4. Umformen der Gleichung: \((1 - p)^{20} = 0{,}95\). 5. Lösen nach \(p\): \(1 - p = \sqrt[20]{0{,}95}\), also \(p = 1 - 0{,}95^{1/20}\). 6. Numerische Berechnung: \(p \approx 1 - 0{,}9974386 \approx 0{,}002561\). 7. Ergebnisrundung: \(p \approx 0{,}0026\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine einzelne Tablette fehlerhaft ist, beträgt etwa \(0{,}0026\) (bzw. \(0{,}26\,\%\)).

- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Treffer (Rot) bei einer Drehung. - Für Aufgabenteil b) ist es einfacher, die Fälle zu berechnen, die nicht eintreten sollen, und diese von \(100\,\%\) abzuziehen. - Formuliere bei Aufgabenteil c) das Gegenereignis „keinmal Rot“ und löse die Ungleichung \(1 - 0{,}8^n > 0{,}90\). - Wie verändert sich die Gesamtwahrscheinlichkeit, wenn du die Anzahl der Versuche erhöhst?

Es liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n = 8\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\) vor. 1. Berechnung für genau drei Treffer: \(P(X = 3) = \binom{8}{3} \cdot 0{,}2^3 \cdot 0{,}8^5 = 56 \cdot 0{,}008 \cdot 0{,}32768 \approx 0{,}1468\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(14{,}68\,\%\). 2. Berechnung für mindestens zwei Treffer über das Gegenereignis: \(P(X \ge 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))\). Es ist \(P(X=0) = 0{,}8^8 \approx 0{,}1678\) und \(P(X=1) = 8 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8^7 \approx 0{,}3355\). Somit ist \(P(X \ge 2) \approx 1 - (0{,}1678 + 0{,}3355) = 0{,}4967\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(49{,}67\,\%\). 3. Bestimmung der Anzahl der Drehungen \(n\): \(P(X \ge 1) > 0{,}90 \Rightarrow 1 - 0{,}8^n > 0{,}90 \Rightarrow 0{,}1 > 0{,}8^n\). Durch Logarithmieren oder Probieren erhält man \(n > \frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}8)} \approx 10{,}32\). Das Rad muss somit mindestens \(11\)-mal gedreht werden.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(14{,}68\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(49{,}67\,\%\). c) Das Rad muss mindestens \(11\)-mal gedreht werden.

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Treffer ist. - Für Aufgabenteil b) ist es oft einfacher, die Wahrscheinlichkeit des Gegenteils zu berechnen. - Bei Teil c) kannst du schrittweise die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Anzahlen an richtigen Antworten addieren, bis der gewünschte Wert unterschritten wird.

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 10\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}25\). 1. Berechnung für genau drei Treffer: \(P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot 0{,}25^3 \cdot 0{,}75^7 \approx 0{,}2503\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(25{,}0\,\%\). 2. Berechnung für mindestens einen Treffer über das Gegenereignis: \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}75^{10} \approx 1 - 0{,}0563 = 0{,}9437\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(94{,}4\,\%\). 3. Bestimmung der Bestehensgrenze \(k\), sodass \(P(X \ge k) < 0{,}15\): Durch Summierung der Einzelwahrscheinlichkeiten oder Nutzung einer Tabelle der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich: \(P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3) \approx 1 - (0{,}0563 + 0{,}1877 + 0{,}2816 + 0{,}2503) = 1 - 0{,}7759 = 0{,}2241 > 0{,}15\). \(P(X \ge 5) = P(X \ge 4) - P(X = 4) \approx 0{,}2241 - 0{,}1460 = 0{,}0781 < 0{,}15\). Somit muss man mindestens 5 Antworten richtig haben.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(25{,}0\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(94{,}4\,\%\). c) Der Test sollte ab 5 richtigen Antworten als bestanden gelten.

- Überlege dir, wie du die Anzahl der tatsächlich anreisenden Personen mathematisch beschreiben kannst. - Welches Zufallsexperiment liegt hier vor, wenn jeder Gast unabhängig von den anderen mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit erscheint? - Was bedeutet „mehr als 45 Gäste“ im Hinblick auf die Gegenwahrscheinlichkeit? - Für den zweiten Teil kannst du verschiedene Werte für die Anzahl der angenommenen Reservierungen ausprobieren und die zugehörige Wahrscheinlichkeit berechnen.

1. Identifikation der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der anreisenden Gäste, die binomialverteilt ist mit den Parametern \(n = 52\) und \(p = 0{,}8\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine Überbelegung in Teil a) durch \(P(X > 45) = 1 - P(X \le 45)\). 3. Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 45) \approx 0{,}9177\), woraus folgt: \(P(X > 45) \approx 1 - 0{,}9177 = 0{,}0823\). Die Wahrscheinlichkeit liegt somit bei etwa \(8{,}2\,\%\). 4. Für Teil b) wird die maximale Anzahl an Reservierungen \(n\) gesucht, für die \(P(X > 45) \le 0{,}10\) gilt. 5. Systematisches Testen der Werte für \(n\): Für \(n = 52\) ist \(P(X > 45) \approx 0{,}0823\) (erfüllt). Für \(n = 53\) ergibt sich \(P(X > 45) = 1 - P(X \le 45; n=53, p=0{,}8) \approx 1 - 0{,}8580 = 0{,}1420\) (nicht erfüllt). 6. Das maximale \(n\), welches die Bedingung erfüllt, ist 52.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(8{,}2\,\%\). b) Es dürfen maximal 52 Reservierungen angenommen werden.

- Welche Werte haben die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Versuche? - Überlege dir bei „höchstens“, welche Anzahlen an Treffern alle möglich sind. - Kann man die Rechnung bei „mindestens ein Treffer“ durch das Gegenereignis abkürzen? - Wie lautet die Formel für die Wahrscheinlichkeit von genau \(k\) Treffern?

1. Es gilt \(n=20\) und \(p=0{,}05\). 2. Für genau ein fehlerhaftes Teil ist \(P(X=1)=\binom{20}{1}0{,}05\cdot0{,}95^{19}\approx0{,}3774\). 3. Für höchstens zwei fehlerhafte Teile gilt \(P(X\leq2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\). Mit ungerundeten Einzelwerten erhält man \(0{,}3584859224+0{,}3773536025+0{,}1886768013=0{,}9245163262\), also \(P(X\leq2)\approx0{,}9245\). 4. Für mindestens ein fehlerhaftes Teil wird das Gegenereignis verwendet: \(P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-0{,}95^{20}\approx0{,}6415\).

a) \(P(X=1)\approx0{,}3774\) beziehungsweise \(37{,}74\,\%\). b) \(P(X\leq2)\approx0{,}9245\) beziehungsweise \(92{,}45\,\%\). c) \(P(X\geq1)\approx0{,}6415\) beziehungsweise \(64{,}15\,\%\).

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen „Erfolg“ (Farbe Rot) bei einer einzelnen Drehung ist. - Welche Verteilung hilft dir, wenn ein Experiment mehrfach unter gleichen Bedingungen durchgeführt wird? - Kannst du ein Ereignis einfacher berechnen, indem du die Wahrscheinlichkeit des Gegenteils von \(1\) abziehst? - Überlege bei Teilaufgabe d), was das Ereignis für die Anzahl der „Rot“-Treffer bedeutet.

Das Experiment ist eine Bernoulli-Kette mit \(n = 10\) Versuchen und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}25\) für die Farbe Rot. 1. Für genau \(2\)-mal Rot: \(P(X = 2) = \binom{10}{2} \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^8 = 45 \cdot 0{,}0625 \cdot 0{,}10011 \dots \approx 0{,}2816\). 2. Für höchstens \(1\)-mal Rot: \(P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0{,}75^{10} + 10 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75^9 \approx 0{,}0563 + 0{,}1877 = 0{,}2440\). 3. Für mindestens \(2\)-mal Rot wird das Gegenereignis zu b) verwendet: \(P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) = 1 - 0{,}2440 = 0{,}7560\). 4. Das Ereignis „mindestens \(9\)-mal nicht Rot“ entspricht bei insgesamt \(10\) Drehungen den Fällen „genau \(0\)-mal Rot“ oder „genau \(1\)-mal Rot“. Dies ist identisch mit Aufgabenteil b): \(P \approx 0{,}2440\).

a) \(P \approx 0{,}2816\) (\(28{,}16\,\%\)) b) \(P \approx 0{,}2440\) (\(24{,}40\,\%\)) c) \(P \approx 0{,}7560\) (\(75{,}60\,\%\)) d) \(P \approx 0{,}2440\) (\(24{,}40\,\%\))

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs bei einem Wurf? Und wie hoch für keine Sechs? - Wenn du „mindestens zwei“ berechnen sollst, ist es oft kürzer, die Fälle \(0\) und \(1\) von der Gesamtwahrscheinlichkeit abzuziehen. - Lies die Formulierung in d) genau: Was ist das Gegenteil von „höchstens fünfmal keine Sechs“?

Es liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n = 6\) und \(p = \frac{1}{6}\) vor. 1. Genau eine Sechs: \(P(X = 1) = \binom{6}{1} \cdot (\frac{1}{6})^1 \cdot (\frac{5}{6})^5 = 6 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{3125}{7776} \approx 0{,}4019\). 2. Keine Sechs: \(P(X = 0) = (\frac{5}{6})^6 = \frac{15625}{46656} \approx 0{,}3349\). 3. Mindestens zwei Sechsen: Nutze das Gegenereignis „höchstens eine Sechs“. \(P(X \ge 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1)) \approx 1 - (0{,}3349 + 0{,}4019) = 0{,}2632\). 4. Höchstens fünfmal keine Sechs: Das Gegenereignis ist „sechsmal keine Sechs“, was identisch mit Aufgabenteil b) ist. \(P = 1 - P(\text{keine Sechs}) \approx 1 - 0{,}3349 = 0{,}6651\).

a) \(P \approx 0{,}4019\) b) \(P \approx 0{,}3349\) c) \(P \approx 0{,}2632\) d) \(P \approx 0{,}6651\)

- Überlege dir bei Teilaufgabe a), ob es einfacher ist, die gewünschten Ergebnisse direkt zu addieren oder über das Gegenteil zu gehen. - Was muss in den ersten drei Versuchen passieren, damit der erste Erfolg erst im vierten Versuch eintritt? - Vergleiche den Term in Teilaufgabe c) mit der allgemeinen Formel für die Bernoulli-Kette. Was bedeuten die einzelnen Zahlen?

1. Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\). Die Anzahl der Versuche ist \(n = 6\). 2. Für a) wird die Gegenwahrscheinlichkeit zu „kein Treffer“ (\(k=0\)) und „genau ein Treffer“ (\(k=1\)) berechnet: \(P(X \ge 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))\). Mit \(P(X=0) = 0{,}8^6 \approx 0{,}2621\) und \(P(X=1) = 6 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8^5 \approx 0{,}3932\) ergibt sich \(P(X \ge 2) = 1 - 0{,}65536 = 0{,}34464\). 3. Für b) muss die Sequenz (Niete, Niete, Niete, Treffer) eintreten, wobei die Ausgänge der letzten beiden Drehungen beliebig sind, solange der erste Treffer an Position 4 steht. Da die Wahrscheinlichkeit für den ersten Treffer an Position 4 gesucht ist, berechnet man \(P = 0{,}8^3 \cdot 0{,}2 = 0{,}1024\). 4. Für c) lassen sich aus der Formel der Binomialverteilung die Werte \(n=6\), \(k=3\) und \(p=0{,}2\) ablesen. Das Ereignis \(A\) lautet: „Bei 6 Drehungen wird genau dreimal ein Treffer erzielt.“

a) \(P(\text{mindestens zwei Treffer}) = 0{,}34464\) (ca. \(34{,}46\,\%\)) b) \(P(\text{erster Treffer bei der 4. Drehung}) = 0{,}1024\) (\(10{,}24\,\%\)) c) \(n = 6\), \(k = 3\), \(p = 0{,}2\). Das Ereignis \(A\) beschreibt, dass bei sechs Drehungen genau drei Treffer erzielt werden.

- Überlege dir, welche Bedingungen erfüllt sein müssen, damit ein Experiment als Bernoulli-Kette gilt. - Was bedeutet das Ereignis „höchstens eins“ für die möglichen Werte der Zufallsgröße? - Erinnere dich an die Kurzschreibweisen für Binomialkoeffizienten wie \(\binom{n}{0}\) oder \(\binom{n}{1}\). - Setze die Werte für \(k=0\) und \(k=1\) einzeln in die Bernoulli-Formel ein und vereinfache sie.

1. Zu a): Es liegt eine Bernoulli-Kette vor, da es nur zwei Zustände (perfekt / nicht perfekt) gibt und die Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}04\) bei jeder Entnahme als konstant angenommen wird. Bei \(n = 15\) Versuchen und \(k = 2\) Treffern (nicht perfekte Pralinen) lautet die Formel \(P(X=2) = \binom{15}{2} \cdot 0{,}04^2 \cdot (1-0{,}04)^{15-2}\). Dies entspricht exakt dem gegebenen Term, da \(1 - 0{,}04 = 0{,}96\) und \(15 - 2 = 13\). 2. Zu b): Das Ereignis „höchstens eine“ bedeutet \(P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1)\). Für \(k = 0\): \(P(X=0) = \binom{15}{0} \cdot 0{,}04^0 \cdot 0{,}96^{15} = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}96^{15} = 0{,}96^{15}\). Für \(k = 1\): \(P(X=1) = \binom{15}{1} \cdot 0{,}04^1 \cdot 0{,}96^{14} = 15 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}96^{14}\). Die Summe der beiden Teilwahrscheinlichkeiten ergibt genau den behaupteten Term. Die Behauptung ist somit korrekt.

a) Der Ansatz ist korrekt, da er die Bernoulli-Formel mit \(n=15\), \(k=2\) und \(p=0{,}04\) (Erfolg = nicht perfekt) nutzt. b) Die Behauptung ist richtig. Der Term setzt sich aus \(P(X=0) = 0{,}96^{15}\) und \(P(X=1) = 15 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}96^{14}\) zusammen, was genau \(P(X \le 1)\) entspricht.

- Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt ein Zufallsexperiment mit zwei Ausgängen und Zurücklegen? - Wie hängen die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Kugeln im Gefäß zusammen? - Kannst du eine Gleichung oder einen Term für „höchstens zwei Treffer“ aufstellen? - Probiere verschiedene Werte für die Anzahl der blauen Kugeln aus und vergleiche das Ergebnis mit dem gegebenen Prozentwert.

1. Sei \(X\) die Anzahl der gezogenen blauen Kugeln. Da mit Zurücklegen gezogen wird, ist \(X\) binomialverteilt mit \(n = 8\) und \(p = \frac{k}{20}\), wobei \(k\) die Anzahl der blauen Kugeln ist. 2. Die Bedingung lautet \(P(X \le 2) \approx 0{,}6785\). 3. Systematisches Testen möglicher Werte ergibt: - Für \(k = 4\), also \(p = 0{,}2\), ist \(P(X \le 2) \approx 0{,}7969\). - Für \(k = 5\), also \(p = 0{,}25\), ist \(P(X \le 2) \approx 0{,}6785\). 4. Somit liefert \(k = 5\) die angegebene Wahrscheinlichkeit.

Es befinden sich 5 blaue Kugeln im Gefäß.

- Überlege dir, wie man die Wahrscheinlichkeit für „mindestens eins“ am einfachsten berechnen kann. - Wie lautet die Formel für die Wahrscheinlichkeit von null Treffern bei einer Binomialverteilung? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes defektes Teil als Bruch ausdrücken? - Versuche, die Gleichung nach der unbekannten Wahrscheinlichkeit aufzulösen.

1. Sei \(X\) die Anzahl der defekten Bauteile in der Stichprobe. \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 10\) und \(p = \frac{k}{25}\), wobei \(k\) die Anzahl der defekten Teile in der Lieferung ist. 2. Die Wahrscheinlichkeit für „mindestens ein defektes Teil“ wird über das Gegenereignis „kein defektes Teil“ berechnet: \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^{10}\). 3. Laut Aufgabe gilt: \(1 - (1 - p)^{10} \approx 0{,}8926\). 4. Umstellen der Gleichung: \((1 - p)^{10} \approx 1 - 0{,}8926 = 0{,}1074\). 5. Ziehen der 10. Wurzel: \(1 - p \approx \sqrt[10]{0{,}1074} \approx 0{,}8\). 6. Daraus folgt \(p \approx 0{,}2\). 7. Berechnung der Anzahl \(k\): \(k = p \cdot 25 = 0{,}2 \cdot 25 = 5\).

In der Lieferung befinden sich 5 defekte Bauteile.

- Überlege dir, ob nach einem exakten Wert oder einem Bereich von Werten gefragt ist. - Wenn „höchstens“ oder „weniger als“ gefragt ist, handelt es sich um eine Summe von Wahrscheinlichkeiten. - Bei „mindestens“ oder „mehr als“ kann die Gegenwahrscheinlichkeit die Rechnung erheblich vereinfachen. - Für Wahrscheinlichkeiten in einem Bereich zwischen zwei Werten subtrahiere die passende kumulierte Wahrscheinlichkeit vom Gesamtwert des Bereichs.

1. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeit mit der Bernoulli-Formel \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\): Für \(P(X = 6)\) ergibt sich \(\binom{20}{6} \cdot 0{,}3^6 \cdot 0{,}7^{14} \approx 0{,}1916\). 2. Bestimmung der kumulierten Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 4)\): Durch Summation der Einzelwahrscheinlichkeiten für \(k = 0, \dots, 4\) oder Verwendung eines Tabellenwerks/Rechners erhält man \(P(X \le 4) \approx 0{,}2375\). 3. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit für \(P(X > 7)\): Es gilt \(P(X > 7) = 1 - P(X \le 7)\). Mit \(P(X \le 7) \approx 0{,}7723\) folgt \(1 - 0{,}7723 = 0{,}2277\). 4. Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeit \(P(5 \le X \le 9)\): Diese berechnet sich über die Differenz zweier kumulierter Wahrscheinlichkeiten \(P(X \le 9) - P(X \le 4)\). Mit \(P(X \le 9) \approx 0{,}9520\) und \(P(X \le 4) \approx 0{,}2375\) ergibt sich \(0{,}9520 - 0{,}2375 = 0{,}7145\).

a) \(P(X = 6) \approx 0{,}1916\) b) \(P(X \le 4) \approx 0{,}2375\) c) \(P(X > 7) \approx 0{,}2277\) d) \(P(5 \le X \le 9) \approx 0{,}7145\)

- Bestimme zunächst die Wahrscheinlichkeit für eine richtige und eine falsche Antwort pro Frage. - Wie viele Fragen werden insgesamt betrachtet? Dies erkennst du an den Exponenten oder der Summe der Exponenten. - Was bedeutet es für das Gesamtergebnis, wenn man die Wahrscheinlichkeit von „Null Treffern“ von \(1\) abzieht? - Analysiere den Aufbau des Terms in Teil d): Was wird hier von der Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\) abgezogen?

Das Raten bei den \(6\) Fragen wird als Bernoulli-Kette mit \(n = 6\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{5}\) (eine von fünf Antworten korrekt) betrachtet. 1. Der Term \((\frac{4}{5})^6\) entspricht \(P(X = 0)\), da \(\frac{4}{5}\) die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort ist. Ereignis: „Keine Frage wird richtig beantwortet“. 2. Der Term \(1 - (\frac{4}{5})^6\) berechnet \(1 - P(X = 0)\). Dies ist die Wahrscheinlichkeit für das komplementäre Ereignis: „Mindestens eine Frage wird richtig beantwortet“. 3. Der Term \(6 \cdot \frac{1}{5} \cdot (\frac{4}{5})^5\) entspricht der Bernoulli-Formel für \(k = 1\) Treffer, wobei \(6 = \binom{6}{1}\). Ereignis: „Genau eine Frage wird richtig beantwortet“. 4. In der Klammer steht die Summe \(P(X = 0) + P(X = 1)\). Der gesamte Term \(1 - (P(X = 0) + P(X = 1))\) berechnet somit die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis zu „höchstens eine richtige Antwort“. Ereignis: „Mindestens zwei Fragen werden richtig beantwortet“.

a) Der Schüler beantwortet keine der sechs Fragen richtig. b) Der Schüler beantwortet mindestens eine Frage richtig. c) Der Schüler beantwortet genau eine der sechs Fragen richtig. d) Der Schüler beantwortet mindestens zwei Fragen richtig.

- Überlege dir, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Wochentag ist, wenn alle Tage gleich wahrscheinlich sind. - Welches Modell aus der Stochastik eignet sich für wiederholte, unabhängige Versuche mit nur zwei möglichen Ausgängen (Erfolg/Misserfolg)? - Bei Formulierungen wie „mindestens einer“ ist es oft einfacher, über das Gegenteil nachzudenken. - Achte bei der letzten Teilaufgabe darauf, wie viele Tage als „Werktag“ zählen und wie sich dadurch die Erfolgswahrscheinlichkeit ändert.

1. Es liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n = 15\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{7}\) für einen bestimmten Wochentag vor. 2. Für a) gilt \(P(X = 2) = \binom{15}{2} \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^2 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{13} \approx 0{,}2889\). 3. Für b) wird das Gegenereignis „keine Person wurde an einem Samstag geboren“ betrachtet: \(P(X \ge 1) = 1 - \left(\frac{6}{7}\right)^{15} \approx 0{,}9010\). 4. In c) beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit für Montag bis Freitag \(p = \frac{5}{7}\). Gesucht ist \(P(X > 13) = P(X = 14) + P(X = 15)\). 5. Es gilt \(P(X = 14) \approx 0{,}0386\) und \(P(X = 15) \approx 0{,}0064\). 6. Somit ist \(P(X > 13) \approx 0{,}0450\).

a) \(P(X = 2) \approx 0{,}2889\) (ca. \(28{,}9\,\%\)) b) \(P(X \ge 1) \approx 0{,}9010\) (ca. \(90{,}1\,\%\)) c) \(P(X > 13) \approx 0{,}0450\) (ca. \(4{,}50\,\%\))

- Wie viele Möglichkeiten gibt es, 2 Plätze aus 20 verfügbaren Plätzen auszuwählen? - Was bedeutet „höchstens ein Fehler“ für die Anzahl der möglichen Fehlerereignisse? - Welche Formel nutzt man, um die Wahrscheinlichkeit für eine genaue Anzahl an Treffern in einer Kette von Versuchen zu berechnen? - Denke an die Merkmale einer Bernoulli-Kette.

1. Berechnung der Anzahl der Blöcke mit genau zwei Einsen: Hier wird die Anzahl der Möglichkeiten gesucht, 2 Positionen aus 20 für die Einsen auszuwählen. Dies entspricht \(\binom{20}{2} = \frac{20 \cdot 19}{2} = 190\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für höchstens einen Fehler (\(X \le 1\)) mithilfe der Binomialverteilung mit \(n=20\) und \(p=0{,}01\): \(P(X=0) = \binom{20}{0} \cdot 0{,}01^0 \cdot 0{,}99^{20} \approx 0{,}8179\) \(P(X=1) = \binom{20}{1} \cdot 0{,}01^1 \cdot 0{,}99^{19} \approx 0{,}1652\) \(P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1) \approx 0{,}9831\). 3. Voraussetzungen für die Binomialverteilung: Es muss ein Bernoulli-Experiment vorliegen. Das bedeutet, es gibt genau zwei mögliche Ausgänge (Fehler/kein Fehler), die Wahrscheinlichkeit \(p\) für einen Fehler muss bei jedem Bit gleich sein und die Fehler müssen unabhängig voneinander auftreten.

a) Es gibt \(190\) solche Blöcke. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}9831\) (bzw. \(98{,}31\,\%\)). c) Die Voraussetzungen sind: nur zwei mögliche Ergebnisse pro Bit (Fehler/kein Fehler), konstante Fehlerwahrscheinlichkeit \(p\) und stochastische Unabhängigkeit der Fehler zwischen den Bits.

- Überlege zuerst, wie viele dreistellige Zahlen es insgesamt gibt und wie viele davon mit einer \(9\) beginnen. - Was bedeutet „mehr als 2“ für die möglichen Werte der Zufallsgröße? - Ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit direkt oder über das Gegenereignis zu berechnen? - Achte darauf, alle benötigten Einzelwahrscheinlichkeiten für das Gegenereignis korrekt mit der Binomialformel zu bestimmen.

1. Gesamtzahl der Signaturen: Es gibt \(5\) Buchstaben und \(1000\) Zahlen (von \(000\) bis \(999\)), also \(5 \cdot 1000 = 5000\) Möglichkeiten. Eine Prioritätssignatur hat eine Nummer von \(900\) bis \(999\). Das sind \(100\) Zahlen pro Buchstabe, also insgesamt \(5 \cdot 100 = 500\) Prioritätssignaturen. Die Wahrscheinlichkeit ist \(p = \frac{500}{5000} = 0{,}1\). 2. Die Zufallsgröße \(Y\) ist binomialverteilt mit \(n = 10\) und \(p = 0{,}1\). Gesucht ist \(P(Y > 2) = 1 - P(Y \le 2) = 1 - (P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2))\). Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(Y=0) = \binom{10}{0} \cdot 0{,}1^0 \cdot 0{,}9^{10} \approx 0{,}3487\) \(P(Y=1) = \binom{10}{1} \cdot 0{,}1^1 \cdot 0{,}9^9 \approx 0{,}3874\) \(P(Y=2) = \binom{10}{2} \cdot 0{,}1^2 \cdot 0{,}9^8 = 45 \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}430467 \approx 0{,}1937\) Summe: \(P(Y \le 2) \approx 0{,}3487 + 0{,}3874 + 0{,}1937 = 0{,}9298\) Daraus folgt \(P(Y > 2) = 1 - 0{,}9298 = 0{,}0702\).

1. \(p = \frac{5 \cdot 100}{5 \cdot 1000} = 0{,}1\). 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(7{,}02\,\%\).

- Überlege dir zuerst, welche Werte für \(n\), \(p\) und \(k\) in die Formel für die Binomialverteilung einzusetzen sind. - Bei „mindestens“-Aufgaben ist es oft einfacher, die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse zu berechnen, die gerade nicht eintreten sollen. - Was ist das logische Gegenteil von „mindestens zwei“? - Wie berechnet man den Durchschnittswert (Erwartungswert) bei einer Bernoulli-Kette?

1. Definition der Zufallsgröße \(X\): Anzahl der Rücksendungen bei \(n = 25\) und \(p = 0{,}15\). 2. Berechnung für (1): \(P(X = 3) = \binom{25}{3} \cdot 0{,}15^3 \cdot 0{,}85^{22} \approx 0{,}2174\). 3. Berechnung für (2): \(P(X = 0) = 0{,}85^{25} \approx 0{,}0172\). 4. Berechnung für (3) über das Gegenereignis: \(P(X \ge 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))\). Mit \(P(X=1) = 25 \cdot 0{,}15^1 \cdot 0{,}85^{24} \approx 0{,}0759\) ergibt sich \(P(X \ge 2) \approx 1 - (0{,}0172 + 0{,}0759) = 0{,}9069\). 5. Erwartungswerte für b): Bei \(p = 0{,}15\) ist \(E(X) = 25 \cdot 0{,}15 = 3{,}75\). Bei \(p = 0{,}20\) ist \(E(X) = 25 \cdot 0{,}20 = 5{,}0\). Der Erwartungswert steigt um \(1{,}25\).

a) (1) ca. \(21{,}74\,\%\); (2) ca. \(1{,}72\,\%\); (3) ca. \(90{,}69\,\%\). b) Der Erwartungswert bei einer Quote von \(15\,\%\) liegt bei \(3{,}75\) Rücksendungen; bei einer Quote von \(20\,\%\) steigt er auf \(5\) Rücksendungen an.

- Wie viele Wege gibt es, eine bestimmte Anzahl von Ereignissen auf eine feste Anzahl von Plätzen zu verteilen? - Nutze die Bernoulli-Formel für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit bei einer festen Trefferzahl. - Was bedeutet „höchstens“ mathematisch für die möglichen Werte der Zufallsgröße? - Denke daran, dass für die Gesamtwahrscheinlichkeit von „0, 1 oder 2“ die einzelnen Wahrscheinlichkeiten addiert werden müssen.

1. Die Anzahl der Abfolgen entspricht dem Binomialkoeffizienten \(\binom{20}{4}\): \(\binom{20}{4} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 4845\). 2. Für genau \(4\) Pakete gilt: \(P(X = 4) = \binom{20}{4} \cdot 0{,}15^4 \cdot 0{,}85^{16} = 4845 \cdot 0{,}00050625 \cdot 0{,}074252\ldots \approx 0{,}1821\). 3. Für höchstens zwei Pakete werden die Einzelwahrscheinlichkeiten addiert: \(P(X = 0) = 0{,}85^{20} \approx 0{,}0388\) \(P(X = 1) = \binom{20}{1} \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}85^{19} \approx 0{,}1368\) \(P(X = 2) = \binom{20}{2} \cdot 0{,}15^2 \cdot 0{,}85^{18} \approx 0{,}2293\) \(P(X \le 2) \approx 0{,}0388 + 0{,}1368 + 0{,}2293 = 0{,}4049\).

a) Es gibt \(4845\) verschiedene Abfolgen. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(18{,}21\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(40{,}49\,\%\).

- Identifiziere zuerst die Parameter \(n\) und \(p\) der Binomialverteilung aus dem Text. - Was stellt die Formel innerhalb der Summe in Aufgabenteil a) dar? - Welches Ereignis wird durch den Ausdruck \(1 - P(\dots)\) beschrieben? - Achte bei Teil c) genau darauf, welche Werte für \(k\) in der Summe enthalten sind und welche abgezogen werden müssen, wenn du ein Tabellenwerk nutzt.

Die Zufallsgröße \(Y\) ist binomialverteilt mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}05\). a) Term a) entspricht der kumulierten Wahrscheinlichkeit \(P(Y \le 10)\), also der Wahrscheinlichkeit, dass höchstens \(10\) Bauteile fehlerhaft sind. Ergebnis: \(F(100; 0{,}05; 10) \approx 0{,}9885\). b) Term b) stellt das Gegenereignis zu „höchstens zwei Fehler“ dar, also \(1 - P(Y \le 2) = P(Y \ge 3)\). Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens drei Bauteile fehlerhaft sind. Ergebnis: \(1 - 0{,}1183 = 0{,}8817\). c) Term c) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der fehlerhaften Bauteile zwischen \(4\) und \(7\) (jeweils einschließlich) liegt (\(P(4 \le Y \le 7)\)). Berechnung: \(P(Y \le 7) - P(Y \le 3) = F(100; 0{,}05; 7) - F(100; 0{,}05; 3) \approx 0{,}8720 - 0{,}2578 = 0{,}6142\).

a) Wahrscheinlichkeit für höchstens \(10\) fehlerhafte Teile: \(P(Y \le 10) \approx 0{,}9885\) b) Wahrscheinlichkeit für mindestens \(3\) fehlerhafte Teile: \(P(Y \ge 3) \approx 0{,}8817\) c) Wahrscheinlichkeit für \(4\) bis \(7\) fehlerhafte Teile: \(P(4 \le Y \le 7) \approx 0{,}6142\)

- Achte auf den Unterschied zwischen „kleiner als“ (\(<\)) und „höchstens“ (\(\le\)). - „Mindestens \(k\)“ bedeutet \(X \ge k\). - Bei einem Bereich wie „von \(a\) bis unter \(b\)“ ist die untere Grenze \(a\) eingeschlossen, die obere Grenze \(b\) jedoch ausgeschlossen. - Die Summe startet immer beim kleinsten möglichen Wert des Ereignisses und endet beim größten. - Zur Kontrolle: Die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten von \(0\) bis \(n\) muss immer \(1\) ergeben.

a) Für \(P(X < 85)\): Da \(X\) nur ganzzahlige Werte annimmt, entspricht dies \(P(X \le 84)\). Term: \(\sum_{i=0}^{84} \binom{150}{i} \cdot 0{,}6^i \cdot 0{,}4^{150-i}\). Ergebnis: \(\approx 0{,}1794\). b) Für \(P(X \ge 100)\): Term: \(\sum_{i=100}^{150} \binom{150}{i} \cdot 0{,}6^i \cdot 0{,}4^{150-i}\). Über das Gegenereignis berechnet man \(1 - P(X \le 99)\). Ergebnis: \(\approx 0{,}0555\). c) Für \(P(80 \le X < 110)\): Dies umfasst die Werte von \(80\) bis \(109\). Term: \(\sum_{i=80}^{109} \binom{150}{i} \cdot 0{,}6^i \cdot 0{,}4^{150-i}\). Dies lässt sich berechnen als \(P(X \le 109) - P(X \le 79)\). Ergebnis: \(\approx 0{,}9587\).

a) \(\sum_{i=0}^{84} \binom{150}{i} \cdot 0{,}6^i \cdot 0{,}4^{150-i} \approx 0{,}1794\) b) \(\sum_{i=100}^{150} \binom{150}{i} \cdot 0{,}6^i \cdot 0{,}4^{150-i} \approx 0{,}0555\) c) \(\sum_{i=80}^{109} \binom{150}{i} \cdot 0{,}6^i \cdot 0{,}4^{150-i} \approx 0{,}9587\)

- Identifiziere die Trefferwahrscheinlichkeit für einen einzelnen Schuss. - Wie viele Versuche werden insgesamt durchgeführt? - Denke daran, dass „mindestens sieben“ die Fälle sieben und acht einschließt. - Bei „höchstens fünf“ könnte es einfacher sein, die Wahrscheinlichkeiten der Fälle abzuziehen, die nicht eintreten sollen.

1. Festlegen der Parameter: \(n = 8\) und \(p = 0{,}7\). 2. Berechnung für a): \(P(X=6) = \binom{8}{6} \cdot 0{,}7^6 \cdot 0{,}3^2 = 28 \cdot 0{,}117649 \cdot 0{,}09 \approx 0{,}2965\). 3. Berechnung für b): \(P(X \ge 7) = P(X=7) + P(X=8)\). 4. Einzelwerte für b): \(P(X=7) = \binom{8}{7} \cdot 0{,}7^7 \cdot 0{,}3^1 \approx 0{,}1977\); \(P(X=8) = 0{,}7^8 \approx 0{,}0576\). 5. Summe für b): \(P(X \ge 7) \approx 0{,}1977 + 0{,}0576 = 0{,}2553\). 6. Berechnung für c) über das Gegenereignis: \(P(X \le 5) = 1 - P(X \ge 6)\). 7. Da \(P(X \ge 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) \approx 0{,}2965 + 0{,}1977 + 0{,}0576 = 0{,}5518\), folgt: \(P(X \le 5) \approx 1 - 0{,}5518 = 0{,}4482\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(29{,}65\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(25{,}53\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(44{,}82\,\%\).

- Überlege dir beim Summenzeichen, welche Werte für die Zufallsgröße eingeschlossen sind. - Achte bei Ausdrücken der Form \(1 - P(\dots)\) darauf, welches Ereignis das Gegenereignis ist. - Was bedeuten die Parameter \(n\), \(p\) und \(k\) in der Notation \(B(n; p; k)\)?

1. Der Term in a) beschreibt die Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei Treffer bei \(n = 15\) und \(p = 0{,}1\): \(P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \approx 0{,}8159\). 2. Der Term in b) ist das Gegenereignis zu „höchstens ein Treffer“ und beschreibt daher mindestens zwei Treffer bei \(n = 5\) und \(p = 0{,}4\): \(1 - (0{,}07776 + 0{,}2592) = 0{,}66304 \approx 0{,}6630\).

a) Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Treffer; \(P \approx 0{,}8159\) b) Wahrscheinlichkeit für mindestens 2 Treffer; \(P \approx 0{,}6630\)

- Welche Zahlen zwischen 1 und 8 sind Primzahlen? - Unterscheide zwischen Ereignissen, bei denen die Reihenfolge egal ist, und solchen mit fester Sequenz. - Überlege bei „höchstens“ oder „mindestens“, welche Einzelwahrscheinlichkeiten addiert werden müssen. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit einer ganz bestimmten Kette von Ergebnissen?

1. Definition der Erfolgswahrscheinlichkeit für eine Primzahl \(p\): Die Primzahlen im Bereich 1 bis 8 sind 2, 3, 5 und 7. Somit ist \(p = \frac{4}{8} = 0{,}5\). Berechnung mit der Bernoulli-Formel für \(n=10, k=4\): \(P(X=4) = \binom{10}{4} \cdot 0{,}5^4 \cdot 0{,}5^6 = 210 \cdot 0{,}5^{10} \approx 0{,}2051\). 2. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit für \(k \in \{0, 1, 2, 3\}\): \(P(X \le 3) = \sum_{k=0}^{3} \binom{10}{k} \cdot 0{,}5^{10}\). Einzelwerte: \(P(0) \approx 0{,}0010\), \(P(1) \approx 0{,}0098\), \(P(2) \approx 0{,}0439\), \(P(3) \approx 0{,}1172\). Summe: \(P(X \le 3) \approx 0{,}1719\). 3. Erfolgswahrscheinlichkeit für Zahlen größer als 6 (7 und 8): \(p = \frac{2}{8} = 0{,}25\). Berechnung für mindestens 8 Erfolge: \(P(X \ge 8) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)\). \(P(X=8) = \binom{10}{8} \cdot 0{,}25^8 \cdot 0{,}75^2 \approx 0{,}000386\), \(P(X=9) = \binom{10}{9} \cdot 0{,}25^9 \cdot 0{,}75^1 \approx 0{,}000029\), \(P(X=10) = 0{,}25^{10} \approx 0{,}000001\). Summe: \(P(X \ge 8) \approx 0{,}000416\). 4. Da eine exakte Reihenfolge vorgegeben ist, wird keine Kombination berechnet: \(P = p^3 \cdot (1-p)^7 = 0{,}5^3 \cdot 0{,}5^7 = 0{,}5^{10} \approx 0{,}000977\).

1. \(P \approx 0{,}2051\) (bzw. \(20{,}51\,\%\)) 2. \(P \approx 0{,}1719\) (bzw. \(17{,}19\,\%\)) 3. \(P \approx 0{,}0004\) (bzw. \(0{,}04\,\%\)) 4. \(P \approx 0{,}0010\) (bzw. \(0{,}10\,\%\))

- Welche Verteilung liegt vor, wenn es nur zwei mögliche Ausgänge pro Versuch gibt? - Achte genau auf Formulierungen wie „höchstens“, „mindestens“ oder „zwischen“. - Wie hängen „mindestens \(k\)“ und „höchstens \(k-1\)“ zusammen? - Überlege dir bei Intervallen genau, welche Werte für \(X\) eingeschlossen sind.

1. Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}85\). 2. Für a) gilt \(P(X = 18) = \binom{20}{18} \cdot 0{,}85^{18} \cdot 0{,}15^2 \approx 0{,}2293\). 3. Für b) gilt \(P(X \le 16) \approx 0{,}3523\). 4. Für c) gilt \(P(X \ge 15) = 1 - P(X \le 14) \approx 1 - 0{,}0673 = 0{,}9327\). 5. Für d) gilt \(P(16 < X < 20) = P(X = 17) + P(X = 18) + P(X = 19) \approx 0{,}2428 + 0{,}2293 + 0{,}1368 = 0{,}6090\).

a) \(P(X = 18) \approx 22{,}93\,\%\) b) \(P(X \le 16) \approx 35{,}23\,\%\) c) \(P(X \ge 15) \approx 93{,}27\,\%\) d) \(P(17 \le X \le 19) \approx 60{,}90\,\%\)

- Überlege, ob das Ziehen mit oder ohne Zurücklegen modelliert werden sollte, wenn die Grundgesamtheit sehr groß ist. - Ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis direkt zu berechnen oder über das Gegenteil nachzudenken? - Welche Werte kann die Zufallsgröße annehmen, wenn wir von „mindestens zwei“ sprechen?

1. Identifikation der Verteilung: Da die Stichprobe einer Großlieferung entnommen wird, kann die Ziehung als Bernoulli-Kette mit \(n = 15\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}04\) (defekt) modelliert werden. 2. Anwendung des Gegenereignisses: Die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei defekte Teile (\(X \ge 2\)) lässt sich über \(1 - P(X \le 1)\) berechnen. 3. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X=0) = \binom{15}{0} \cdot 0{,}04^0 \cdot 0{,}96^{15} \approx 0{,}5421\) \(P(X=1) = \binom{15}{1} \cdot 0{,}04^1 \cdot 0{,}96^{14} \approx 0{,}3388\) 4. Summation und Subtraktion: \(P(X \le 1) = 0{,}5421 + 0{,}3388 = 0{,}8809\). 5. Endergebnis: \(P(X \ge 2) = 1 - 0{,}8809 = 0{,}1191\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(11{,}91\,\%\).

- Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Chips in einer Stichprobe? - Was bedeutet „mehr als 3“ mathematisch für die Anzahl der Treffer? - Ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis selbst oder für sein Gegenteil zu berechnen? - Achte darauf, welche Werte der Zufallsgröße zum gesuchten Bereich gehören.

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der fehlerhaften Chips pro Packung. \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}1\). 2. Bestimmung des gesuchten Ereignisses: Eine Packung wird aussortiert, wenn \(X > 3\) gilt, also \(P(X \ge 4)\). 3. Berechnung über das Gegenereignis: \(P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3)\). 4. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)\). 5. Einsetzen in die Formel von Bernoulli oder Entnahme aus dem Tafelwerk: \(P(X=0) \approx 0{,}1216\), \(P(X=1) \approx 0{,}2702\), \(P(X=2) \approx 0{,}2852\), \(P(X=3) \approx 0{,}1901\). 6. Summe bilden: \(P(X \le 3) \approx 0{,}8670\). 7. Ergebnis berechnen: \(P(X \ge 4) = 1 - 0{,}8670 = 0{,}1330\). Dies entspricht \(13{,}3\,\%\).

Es ist damit zu rechnen, dass etwa \(13{,}3\,\%\) der Packungen aussortiert werden.

- Welche Verteilung liegt vor, wenn es nur zwei mögliche Ergebnisse pro Versuch gibt? - Wie unterscheidet sich die Berechnung für einen exakten Wert von der für einen Bereich? - Kannst du den Bereich „zwischen zwei Werten“ als Differenz zweier kumulierter Wahrscheinlichkeiten ausdrücken? - Achte genau auf Formulierungen wie „mindestens“, „höchstens“ oder „weniger als“.

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 200\) und \(p = 0{,}04\). 1. Berechnung für genau \(8\) Flaschen: \(P(X = 8) = B(200; 0{,}04; 8) = \binom{200}{8} \cdot 0{,}04^8 \cdot 0{,}96^{192} \approx 0{,}1425\). 2. Berechnung für höchstens \(10\) Flaschen: \(P(X \le 10) = F(200; 0{,}04; 10) = \sum_{k=0}^{10} P(X = k) \approx 0{,}8200\). 3. Berechnung für das Intervall \([5; 12]\): \(P(5 \le X \le 12) = P(X \le 12) - P(X \le 4) \approx 0{,}9401 - 0{,}0950 = 0{,}8451\).

a) \(P(X = 8) \approx 14{,}25\,\%\) b) \(P(X \le 10) \approx 82{,}00\,\%\) c) \(P(5 \le X \le 12) \approx 84{,}51\,\%\)

- Welche Verteilung ist für eine feste Anzahl von Versuchen mit zwei möglichen Ausgängen geeignet? - Wie hängen die Ereignisse „höchstens“ und „mindestens“ mit der kumulierten Verteilungsfunktion zusammen? - Überlege, was passieren müsste, damit die Wahrscheinlichkeit für einen Samen nicht mehr für alle gleich ist. - Was bedeutet Unabhängigkeit im Kontext von biologischen Prozessen wie dem Keimen?

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der keimenden Samen mit \(n = 30\) und \(p = 0{,}85\). Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 22) = \sum_{k=0}^{22} \binom{30}{k} \cdot 0{,}85^k \cdot 0{,}15^{30-k} \approx 0{,}0698\). 2. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit für mindestens \(28\) Treffer: \(P(X \ge 28) = 1 - P(X \le 27) = 1 - \sum_{k=0}^{27} \binom{30}{k} \cdot 0{,}85^k \cdot 0{,}15^{30-k} \approx 0{,}1514\). 3. Die Verwendung der Binomialverteilung setzt voraus, dass die Keimvorgänge der einzelnen Samen stochastisch unabhängig voneinander sind (keine gegenseitige Beeinflussung) und dass die Keimwahrscheinlichkeit \(p\) für jeden Samen konstant bleibt.

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(6{,}98\,\%\). 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(15{,}14\,\%\). 3. Die Samen müssen unabhängig voneinander keimen und die Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}85\) muss für jeden Samen unter gleichen Bedingungen konstant sein.

- Achte genau auf die Formulierung: Was ist der Unterschied zwischen „weniger als 10“ und „höchstens 10“? - Welches Gegenereignis gehört zu „mindestens 15“? Denke daran, dass die Zufallsgröße nur ganzzahlige Werte annimmt. - Überlege, ob du für die letzte Teilaufgabe die kumulierte Verteilung oder die einfache Punktwahrscheinlichkeit benötigst.

1. Modellierung: Die Anzahl der Nutzer \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 80\) und \(p = 0{,}15\). 2. Berechnung für Teilaufgabe (1): „Weniger als \(10\)“ entspricht \(P(X \le 9)\). Die kumulierte Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(X \le 9) \approx 0{,}2211\). 3. Berechnung für Teilaufgabe (2): „Mindestens \(15\)“ entspricht \(P(X \ge 15)\). Über das Gegenereignis berechnet man \(1 - P(X \le 14)\). Mit \(P(X \le 14) \approx 0{,}7874\) ergibt sich \(1 - 0{,}7874 = 0{,}2126\). 4. Berechnung für Teilaufgabe (3): Gesucht ist die Einzelwahrscheinlichkeit \(P(X = 12)\). Mithilfe der Formel von Bernoulli oder der entsprechenden Taschenrechnerfunktion ergibt sich \(P(X = 12) = \binom{80}{12} \cdot 0{,}15^{12} \cdot 0{,}85^{68} \approx 0{,}1240\).

(1) \(P(X < 10) = P(X \le 9) \approx 0{,}2211\) (2) \(P(X \ge 15) = 1 - P(X \le 14) \approx 0{,}2126\) (3) \(P(X = 12) \approx 0{,}1240\)

- Überlege zuerst, welche Werte für die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Versuche gegeben sind. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für eine exakte Trefferzahl? - Bei Ereignis B hilft es, zuerst den Prozentwert in eine konkrete Anzahl an Leuchten umzurechnen. - Wenn nach „mehr als“ gefragt wird, ist es oft einfacher, die Wahrscheinlichkeit über das Gegenteil zu bestimmen.

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 80\), \(p = 0{,}025\). 2. Berechnung von \(P(A) = P(X = 2)\) mit der Formel von Bernoulli: \(P(X = 2) = \binom{80}{2} \cdot 0{,}025^2 \cdot 0{,}975^{78} \approx 0{,}2741\). 3. Bestimmung der Anzahl für Ereignis \(B\): \(5\,\%\) von \(80\) ist \(0{,}05 \cdot 80 = 4\). Gesucht ist \(P(X > 4)\). 4. Umformung in das Gegenereignis: \(P(X > 4) = 1 - P(X \le 4)\). 5. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit: \(P(X \le 4) \approx 0{,}9496\). 6. Ergebnis für \(B\): \(1 - 0{,}9496 = 0{,}0504\).

Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis \(A\) beträgt ca. \(27{,}41\,\%\) (\(P(A) \approx 0{,}2741\)). Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis \(B\) beträgt ca. \(5{,}04\,\%\) (\(P(B) \approx 0{,}0504\)).

- Was bedeutet der Begriff „höchstens“ mathematisch für den Bereich der Treffer? - Wie kann man die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich (von ... bis ...) mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion \(P(X \le k)\) ausdrücken? - Denke daran, dass beim Abziehen zweier kumulierter Wahrscheinlichkeiten die untere Grenze des Bereichs noch im Ergebnis enthalten sein muss.

1. Festlegung der Parameter: \(n = 60\), \(p = 0{,}15\). 2. Berechnung von \(P(C) = P(X \le 5)\) durch Summation der Einzelwahrscheinlichkeiten von \(k=0\) bis \(k=5\) oder Verwendung eines Tabellenwerks: \(P(X \le 5) \approx 0{,}0968\). 3. Für Ereignis \(D\) ist die Wahrscheinlichkeit \(P(8 \le X \le 12)\) gesucht. 4. Umformung unter Verwendung kumulierter Wahrscheinlichkeiten: \(P(8 \le X \le 12) = P(X \le 12) - P(X \le 7)\). 5. Ermittlung der Tabellenwerte oder Berechnung der Summen: \(P(X \le 12) \approx 0{,}8938\) und \(P(X \le 7) \approx 0{,}3047\). 6. Berechnung der Differenz: \(0{,}8938 - 0{,}3047 = 0{,}5891\).

Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis \(C\) beträgt ca. \(9{,}68\,\%\) (\(P(C) \approx 0{,}0968\)). Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis \(D\) beträgt ca. \(58{,}91\,\%\) (\(P(D) \approx 0{,}5891\)).

- Welche Verteilung beschreibt Situationen mit zwei möglichen Ausgängen und einer festen Anzahl von Versuchen? - Was bedeutet „mindestens 14“ im Hinblick auf die Anzahl der Treffer? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer Binomialverteilung? - Entspricht eine Wahrscheinlichkeit von weniger als \(100\,\%\) dem Begriff „Sicherheit“ im Alltag oder in der Mathematik?

1. Identifikation der Parameter für die Binomialverteilung: \(n = 15\) und die Trefferwahrscheinlichkeit für das Keimen \(p = 0{,}9\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für mindestens 14 Treffer: \(P(X \ge 14) = P(X = 14) + P(X = 15)\). 3. \(P(X = 14) = \binom{15}{14} \cdot 0{,}9^{14} \cdot 0{,}1^1 \approx 0{,}3432\). 4. \(P(X = 15) = \binom{15}{15} \cdot 0{,}9^{15} \cdot 0{,}1^0 \approx 0{,}2059\). 5. Summe: \(P(X \ge 14) \approx 0{,}3432 + 0{,}2059 = 0{,}5491\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(54{,}9\,\%\). 6. Beurteilung der Aussage in b): Neue Parameter \(n = 11, p = 0{,}9\). Gesucht ist \(P(X \ge 10) = P(X = 10) + P(X = 11)\). 7. \(P(X = 10) = \binom{11}{10} \cdot 0{,}9^{10} \cdot 0{,}1^1 \approx 0{,}3836\). 8. \(P(X = 11) = 0{,}9^{11} \approx 0{,}3138\). 9. \(P(X \ge 10) \approx 0{,}3836 + 0{,}3138 = 0{,}6974\). 10. Die Wahrscheinlichkeit von ca. \(69{,}7\,\%\) ist deutlich zu gering, um von „Sicherheit“ zu sprechen. Die Aussage ist falsch.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(54{,}9\,\%\). b) Die Aussage ist mathematisch nicht haltbar, da die Wahrscheinlichkeit, mindestens 10 Pflanzen aus 11 Samen zu erhalten, nur bei ca. \(69{,}7\,\%\) liegt. Von Sicherheit kann daher keine Rede sein.

- Was bedeutet „mindestens 4“ für die möglichen Werte der Zufallsgröße? - Ist es einfacher, über das Gegenereignis zu rechnen? - Welche Eigenschaften muss ein Zufallsexperiment für ein Binomialmodell haben? - Wie verhält sich die Trefferwahrscheinlichkeit, wenn nur wenige Teile aus einer sehr großen Menge entnommen werden?

1. Die Zufallsgröße \(X\) zählt die Bauteile mit Qualitätssiegel. Da die Stichprobe klein im Verhältnis zur sehr großen Grundgesamtheit ist, wird \(X\) näherungsweise als binomialverteilt mit \(n=12\) und \(p=0{,}15\) modelliert. 2. \(P(X \ge 4)=1-P(X \le 3)\). 3. \(P(X \le 3)=\sum_{k=0}^{3}\binom{12}{k} \cdot 0{,}15^k \cdot 0{,}85^{12-k} \approx 0{,}9078\). 4. Somit gilt \(P(X \ge 4) \approx 1-0{,}9078=0{,}0922\). 5. Die Näherung setzt voraus, dass sich die Trefferwahrscheinlichkeit durch die Entnahmen praktisch nicht ändert; dies ist bei einer im Verhältnis zur Grundgesamtheit kleinen Stichprobe erfüllt.

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(9{,}22\,\%\). Die Binomialverteilung ist als Näherung gerechtfertigt, wenn die Stichprobe klein gegenüber der Grundgesamtheit ist und die Trefferwahrscheinlichkeit daher praktisch konstant bleibt.

- Wie viele Personen müssen in einer Gruppe von 15 mindestens „Ja“ sagen, damit man von einer Mehrheit spricht? - Kannst du eine Zufallsgröße definieren und deren Verteilung bestimmen? - Überlege dir, wie du die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich von Werten mit deinem Taschenrechner oder einer Tabelle bestimmen kannst.

1. Festlegung der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 15\) (Anzahl der Personen) und \(p = 0{,}6\) (Erfolgswahrscheinlichkeit für Radnutzung). 2. Definition der „Mehrheit“: Bei 15 Personen liegt eine Mehrheit vor, wenn mindestens 8 Personen das Rad nutzen. Gesucht ist also \(P(X \ge 8)\). 3. Anwendung der kumulierten Binomialverteilung: \(P(X \ge 8) = 1 - P(X \le 7)\). 4. Berechnung oder Tabellenwert für \(P(X \le 7) = \sum_{k=0}^{7} \binom{15}{k} \cdot 0{,}6^k \cdot 0{,}4^{15-k} \approx 0{,}2131\). 5. Berechnung des Endergebnisses: \(P(X \ge 8) = 1 - 0{,}2131 = 0{,}7869\).

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Mehrheit der Personen (also mindestens 8) das Fahrrad nutzt, beträgt ca. \(78{,}69\,\%\).

- Wie berechnet man den Anteil eines Kreissektors an der Gesamtfläche, wenn der Winkel gegeben ist? - Was bedeutet „höchstens eins“ mathematisch für die möglichen Werte der Zufallsgröße? - Erinnere dich an die Formel für die Punktwahrscheinlichkeit \(P(X=k)\).

1. Parameterbestimmung: \(n = 20\) (Anzahl der Drehungen); die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) ergibt sich aus dem Anteil des Winkels am Vollkreis: \(p = \frac{108^\circ}{360^\circ} = 0{,}3\). 2. Bedeutung: \(n\) ist die Länge der Bernoulli-Kette, \(p\) ist die konstante Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses „Blau“ bei einer Drehung. 3. Wahrscheinlichkeit für \(k = 0\): \(P(X = 0) = \binom{20}{0} \cdot 0{,}3^0 \cdot 0{,}7^{20} = 0{,}7^{20} \approx 0{,}000798\). 4. Wahrscheinlichkeit für höchstens einen Treffer \(P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)\). 5. Berechnung \(P(X = 1) = \binom{20}{1} \cdot 0{,}3^1 \cdot 0{,}7^{19} = 20 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7^{19} \approx 0{,}006839\). 6. Summe: \(P(X \le 1) \approx 0{,}000798 + 0{,}006839 = 0{,}007637\).

a) \(n = 20\) (Anzahl der Versuche); \(p = 0{,}3\) (Wahrscheinlichkeit für Blau pro Drehung). b) \(P(X = 0) \approx 0{,}0008\) (oder \(0{,}08\,\%\)). c) \(P(X \le 1) \approx 0{,}0076\) (oder \(0{,}76\,\%\)).

- Überlege dir, ob bei einem Ereignis die Reihenfolge der Treffer festgelegt ist oder ob nur die Gesamtzahl der Treffer zählt. - Erinnere dich an die Struktur der Bernoulli-Formel und wofür der Binomialkoeffizient steht. - „Mindestens“ bedeutet oft, dass du mehrere Fälle addieren musst. - Was bedeutet es für die Rechnung, wenn ein Ereignis als eine ganz bestimmte Abfolge von Treffern und Fehlwürfen beschrieben wird?

1. Zuordnung der Ereignisse: - \(A \to (4)\): Binomialverteilung für \(n=4, p=0{,}75, k=2\). Der Binomialkoeffizient berücksichtigt alle Anordnungen. - \(B \to (1)\): Pfadregel für die Sequenz TTTT: \(0{,}75 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}75 = 0{,}75^4\). - \(C \to (2)\): Die Sequenz ist FFFT, also \(0{,}25 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75\). - \(D \to (3)\): Feste Sequenz FFTT, berechnet als \(0{,}25^2 \cdot 0{,}75^2\). Im Gegensatz zu \(A\) gibt es hier nur eine mögliche Pfadanordnung. - \(E \to (5)\): Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten für \(k=3\) und \(k=4\) Treffer. 2. Berechnung für Ereignis \(E\): \(P(E) = P(X=3) + P(X=4) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}75^3 \cdot 0{,}25^1 + \binom{4}{4} \cdot 0{,}75^4 \cdot 0{,}25^0\) \(P(E) = 4 \cdot 0{,}421875 \cdot 0{,}25 + 1 \cdot 0{,}31640625 = 0{,}421875 + 0{,}31640625 = 0{,}73828125\).

a) Zuordnung: \(A \to (4)\), \(B \to (1)\), \(C \to (2)\), \(D \to (3)\), \(E \to (5)\). b) \(P(E) \approx 0{,}7383\) (bzw. \(73{,}83\,\%\)).

- Wenn eine feste Position für einen Treffer (oder Defekt) verlangt wird, handelt es sich um eine spezifische Pfadwahrscheinlichkeit. - Überlege bei Teil b), welche Werte die Zufallsgröße annehmen darf, wenn von „höchstens eins“ die Rede ist. - Denke bei Teil c) an die Faktoren, die in die Berechnung der Pfadwahrscheinlichkeit einfließen. Ändern sich diese Faktoren oder ihre Anzahl, wenn man die Position des Defekts vertauscht?

1. Wahrscheinlichkeit für den ersten Defekt an 3. Stelle: Die Sequenz muss „gut, gut, defekt“ lauten (unabhängig von den restlichen 7 Bauteilen für dieses spezifische Teilereignis der ersten drei). \(P = 0{,}96 \cdot 0{,}96 \cdot 0{,}04 = 0{,}96^2 \cdot 0{,}04 = 0{,}036864\). 2. Wahrscheinlichkeit für höchstens ein defektes Bauteil (\(n=10, p=0{,}04\)): \(P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1) = \binom{10}{0} \cdot 0{,}96^{10} + \binom{10}{1} \cdot 0{,}04^1 \cdot 0{,}96^9\) \(P(X=0) \approx 0{,}66483\) \(P(X=1) = 10 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}96^9 \approx 0{,}27701\) \(P(X \le 1) \approx 0{,}66483 + 0{,}27701 = 0{,}94184\). 3. Vergleich der Ereignisse: Beide Ereignisse beschreiben einen spezifischen Pfad im Baumdiagramm mit genau einem Defekt (\(D\)) und neun intakten Bauteilen (\(I\)). „Nur das erste defekt“: \(D \cdot I \cdot I \cdot I \cdot I \cdot I \cdot I \cdot I \cdot I \cdot I\) „Nur das letzte defekt“: \(I \cdot I \cdot I \cdot I \cdot I \cdot I \cdot I \cdot I \cdot I \cdot D\) In beiden Fällen lautet das Produkt der Wahrscheinlichkeiten \(0{,}04^1 \cdot 0{,}96^9\). Da die Multiplikation kommutativ ist, ist der Wert identisch.

a) \(P \approx 3{,}69\,\%\) b) \(P \approx 94{,}18\,\%\) c) Beide Ereignisse entsprechen einem Pfad mit den Faktoren \(0{,}04\) (einmal) und \(0{,}96\) (neunmal). Aufgrund des Kommutativgesetzes der Multiplikation führen beide Pfade zum gleichen Ergebnis \(0{,}04 \cdot 0{,}96^9\).

- Was bedeutet „weniger als 50“ für die möglichen Werte von \(X\)? - Überlege, wie man Wahrscheinlichkeiten für Intervalle aus Werten der kumulierten Verteilungsfunktion zusammensetzt. - Welche Bedingungen müssen für ein Bernoulli-Experiment gelten? - Wie hängen die Einzelwahrscheinlichkeiten und die Gesamtzahl der Versuche zusammen?

1. Berechnung von \(P(X = 48)\) mit \(n = 50\) und \(p = 0{,}94\): \(\binom{50}{48} \cdot 0{,}94^{48} \cdot 0{,}06^2 \approx 0{,}2262\). 2. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 45)\): Mit der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung ergibt sich \(\sum_{k=0}^{45} \binom{50}{k} \cdot 0{,}94^k \cdot 0{,}06^{50-k} \approx 0{,}1794\). 3. Berechnung von \(P(46 \le X < 50) = P(46 \le X \le 49)\): Dies entspricht \(P(X \le 49) - P(X \le 45)\). Es gilt \(P(X \le 49) = 1 - P(X = 50) = 1 - 0{,}94^{50} \approx 1 - 0{,}0453 = 0{,}9547\). Somit ist \(0{,}9547 - 0{,}1794 = 0{,}7753\). 4. Modellierungsannahmen: Die Qualität eines Akkumulators muss unabhängig von der Qualität der anderen sein (Unabhängigkeit). Zudem muss die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}94\) für jeden entnommenen Akkumulator konstant bleiben (was bei einer sehr großen Grundgesamtheit bzw. Ziehen mit Zurücklegen näherungsweise gegeben ist).

a) (1) \(P(X = 48) \approx 22{,}62\,\%\) (2) \(P(X \le 45) \approx 17{,}94\,\%\) (3) \(P(46 \le X \le 49) \approx 77{,}53\,\%\) b) Die Ergebnisse für die einzelnen Akkumulatoren müssen unabhängig sein und die Wahrscheinlichkeit \(p\) muss für jeden Akkumulator identisch sein.

- Was bedeutet es für die Anzahl der Personen, die erscheinen, wenn alle einen Platz bekommen? - Überlege dir, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für eine einzelne Person ist, tatsächlich zu erscheinen. - Könnte es einfacher sein, die Wahrscheinlichkeit für die Personen zu berechnen, die nicht erscheinen? - Denke an die Binomialverteilung und wie man Wahrscheinlichkeiten für Bereiche (kumulierte Werte) berechnet.

1. Identifikation der Zufallsgröße: Sei \(X\) die Anzahl der Personen, die zur Premiere erscheinen. Unter der Annahme der Unabhängigkeit ist \(X\) binomialverteilt mit \(n = 50\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}90\) (Erscheinen). 2. Bedingung für den Erfolg: Alle erscheinenden Personen erhalten einen Sitzplatz, wenn \(X \le 45\). 3. Berechnung über das Gegenereignis: \(P(X \le 45) = 1 - P(X > 45) = 1 - P(X \in \{46, 47, 48, 49, 50\})\). 4. Alternativer Weg über die Anzahl der Nicht-Erscheiner \(Y\): \(Y\) ist binomialverteilt mit \(n = 50\) und \(p' = 0{,}10\). Die Bedingung \(X \le 45\) entspricht \(Y \ge 5\). 5. Berechnung: \(P(Y \ge 5) = 1 - P(Y \le 4) = 1 - \sum_{k=0}^{4} \binom{50}{k} \cdot 0{,}1^k \cdot 0{,}9^{50-k}\). 6. Einzelwahrscheinlichkeiten für \(Y\): \(P(Y=0) \approx 0{,}00515\), \(P(Y=1) \approx 0{,}02863\), \(P(Y=2) \approx 0{,}07794\), \(P(Y=3) \approx 0{,}13857\), \(P(Y=4) \approx 0{,}18090\). 7. Summe der Wahrscheinlichkeiten \(P(Y \le 4) \approx 0{,}43119\). 8. Ergebnis: \(P(Y \ge 5) = 1 - 0{,}43119 = 0{,}56881\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(56{,}88\,\%\).

- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine einzelne Frage durch Raten richtig zu beantworten? - Überlege dir, wie du die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „kein einziger Treffer“ ausdrücken kannst. - Die Summe der Wahrscheinlichkeiten von „mindestens ein Treffer“ und „kein Treffer“ ist immer \(1\). - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, eine Unbekannte aus dem Exponenten zu lösen? - Denk daran, dass die Anzahl der Fragen eine ganze Zahl sein muss.

1. Bestimmung der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\) und der Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\). 2. Ansatz über das Gegenereignis „keine Frage richtig“: \(P(X \ge 1) = 1 - 0{,}8^n\). 3. Für Teilaufgabe a): Lösen der Ungleichung \(1 - 0{,}8^n \ge 0{,}8\). Dies führt zu \(0{,}8^n \le 0{,}2\). Durch Logarithmieren ergibt sich \(n \cdot \ln(0{,}8) \le \ln(0{,}2)\). Da \(\ln(0{,}8)\) negativ ist, dreht sich das Relationszeichen um: \(n \ge \frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}8)} \approx 7{,}21\). Somit sind mindestens \(8\) Fragen nötig. 4. Für Teilaufgabe b): Lösen der Ungleichung \(1 - 0{,}8^n \ge 0{,}95\). Dies führt zu \(0{,}8^n \le 0{,}05\). Logarithmieren ergibt \(n \ge \frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}8)} \approx 13{,}43\). Somit sind mindestens \(14\) Fragen nötig.

a) \(8\) Fragen b) \(14\) Fragen

- Was bedeutet „mehr als ein Ei“ mathematisch für die Zufallsgröße? - Überlege dir, welches Gegenereignis leichter zu berechnen ist. - Welche Parameter \(n\) und \(p\) musst du in die Formel für die Binomialverteilung einsetzen? - Bleibt die Wahrscheinlichkeit \(p\) bei einer sehr großen Lieferung näherungsweise konstant?

1. Modellierung der Anzahl der beschädigten Eier \(X\) durch eine Binomialverteilung mit \(n = 20\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\). 2. Die Ablehnungsbedingung lautet \(X > 1\), die Wahrscheinlichkeit hierfür ist \(P(X > 1) = 1 - P(X \le 1) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1))\). 3. Für Teilaufgabe a) mit \(p = 0{,}02\): \(P(X = 0) = \binom{20}{0} \cdot 0{,}02^0 \cdot 0{,}98^{20} \approx 0{,}66761\) \(P(X = 1) = \binom{20}{1} \cdot 0{,}02^1 \cdot 0{,}98^{19} \approx 0{,}27249\) \(P(X \le 1) \approx 0{,}94010\) \(P(X > 1) = 1 - 0{,}94010 = 0{,}05990 \approx 5{,}99\,\%\). 4. Für Teilaufgabe b) mit \(p = 0{,}01\): \(P(X = 0) = 0{,}99^{20} \approx 0{,}81791\) \(P(X = 1) = 20 \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}99^{19} \approx 0{,}16523\) \(P(X \le 1) \approx 0{,}98314\) \(P(X > 1) = 1 - 0{,}98314 = 0{,}01686 \approx 1{,}69\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(5{,}99\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(1{,}69\,\%\).

- Welche Bedeutung haben die Basis \(0{,}9\) und die Exponenten in der Bernoulli-Formel? - Erinnere dich daran, wie man die Länge der Bernoulli-Kette \(n\) aus dem Binomialkoeffizienten oder den Exponenten abliest. - Was bewirkt das Subtrahieren einer Wahrscheinlichkeit von der Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\)? - Welche Ereignisse werden durch eine Summe von Einzelwahrscheinlichkeiten zusammengefasst?

1. Identifikation der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}9\) (Samen keimt) und der Misserfolgswahrscheinlichkeit \(q = 0{,}1\) (Samen keimt nicht) für eine Bernoulli-Kette. 2. Zu a): Der Faktor \(\binom{20}{18}\) und die Exponenten zeigen eine Bernoulli-Kette der Länge \(n = 20\) mit \(k = 18\) Erfolgen. Ergebnis: Es werden \(20\) Samen gepflanzt; genau \(18\) Samen keimen. 3. Zu b): Die Terme in der Klammer entsprechen \(P(X=0) = 0{,}1^{10}\) und \(P(X=1) = 10 \cdot 0{,}9^1 \cdot 0{,}1^9\) für eine Kette der Länge \(n = 10\). Das Komplement \(1 - (P(X=0) + P(X=1))\) berechnet \(P(X \geq 2)\). Ergebnis: Es werden \(10\) Samen gepflanzt; es keimen mindestens zwei Samen. 4. Zu c): Die Summe beschreibt die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \leq 16)\) für \(n = 20\). Das Komplement \(1 - P(X \leq 16)\) entspricht \(P(X \geq 17)\). Ergebnis: Es werden \(20\) Samen gepflanzt; es keimen mindestens \(17\) Samen.

Mögliche Beschreibungen: a) Experiment: \(20\) Samen werden gepflanzt. Ereignis: Genau \(18\) Samen keimen. b) Experiment: \(10\) Samen werden gepflanzt. Ereignis: Mindestens zwei Samen keimen. c) Experiment: \(20\) Samen werden gepflanzt. Ereignis: Mindestens \(17\) Samen keimen.

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer, wenn man bei vier Möglichkeiten rät? - Überlege dir, wie viele Versuche insgesamt durchgeführt werden. - „Höchstens“ bedeutet, dass alle Werte von null bis zu dieser Zahl möglich sind. - Bei „mindestens“ ist es oft einfacher, die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses von \(1\) abzuziehen.

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der richtigen Antworten. Da bei jeder der \(n = 15\) Aufgaben die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{4} = 0{,}25\) (und somit \(q = 0{,}75\)) beträgt, gilt \(X \sim B(15; 0{,}25)\). 2. Zu a): Gesucht ist \(P(X = 6)\). Anwendung der Bernoulli-Formel \(\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}\) ergibt \(\binom{15}{6} \cdot 0{,}25^6 \cdot 0{,}75^9\). 3. Zu b): Gesucht ist \(P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1)\). Dies führt zu \(\binom{15}{0} \cdot 0{,}25^0 \cdot 0{,}75^{15} + \binom{15}{1} \cdot 0{,}25^1 \cdot 0{,}75^{14}\), vereinfacht \(0{,}75^{15} + 15 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75^{14}\). 4. Zu c): Gesucht ist \(P(X \geq 3)\). Über das Komplementärereignis gilt \(P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - \sum_{k=0}^{2} \binom{15}{k} \cdot 0{,}25^k \cdot 0{,}75^{15-k}\).

a) \(\binom{15}{6} \cdot 0{,}25^6 \cdot 0{,}75^9\) b) \(0{,}75^{15} + 15 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75^{14}\) c) \(1 - \sum_{k=0}^{2} \binom{15}{k} \cdot 0{,}25^k \cdot 0{,}75^{15-k}\) (oder alternativ als Summe von \(k=3\) bis \(15\))

- Überlege dir bei a), welcher Wert für \(k\) genau überschritten werden muss. - Betrachte bei b) die Struktur der einzelnen Summanden: Was bedeutet ein Faktor der Form \(q^k \cdot p\)? - Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit „alle sind gut“ bei einer Stichprobe von 30 Stück mithilfe des Anteils ausdrücken? - Nutze bei c) Wurzeln oder Logarithmen, um nach der gesuchten Wahrscheinlichkeit aufzulösen.

1. Berechnung für a): Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 60\) und \(p = 0{,}05\). Gesucht ist \(P(X > 6)\), da \(10\,\%\) von 60 Chips 6 Chips entsprechen. Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \ge 7) = 1 - P(X \le 6) \approx 1 - 0{,}9703 = 0{,}0297\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(2{,}97\,\%\). 2. Interpretation für b): Der Term beschreibt eine Summe von Wahrscheinlichkeiten für das erste Eintreten eines Defekts an der 1., 2., 3., 4. oder 5. Stelle. Dies entspricht dem Ereignis, dass unter den ersten fünf geprüften Mikrochips mindestens ein defekter Chip gefunden wird (bzw. der erste defekte Chip spätestens an fünfter Stelle erscheint). 3. Berechnung für c): Sei \(p_{gut}\) der Anteil einwandfreier Chips. Die Bedingung lautet \(P(X = 30) \ge 0{,}80\). Da die Chips unabhängig voneinander einwandfrei sein müssen, gilt \(p_{gut}^{30} \ge 0{,}80\). Durch Ziehen der 30. Wurzel ergibt sich \(p_{gut} \ge \sqrt[30]{0{,}80} \approx 0{,}99258\). Der Anteil muss also mindestens \(99{,}3\,\%\) betragen.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(2{,}97\,\%\). b) Das Ereignis lautet: „Unter den ersten fünf geprüften Chips ist mindestens einer defekt“ oder „Der erste defekte Chip wird spätestens bei der fünften Prüfung entdeckt“. c) Der Anteil der einwandfreien Chips muss mindestens \(99{,}3\,\%\) betragen.

- Achte bei a) darauf, ob es sich um eine Einzelwahrscheinlichkeit oder eine kumulierte Wahrscheinlichkeit handelt. - Was bedeutet die Zahl \(0{,}88\) im Kontext der Gewinnwahrscheinlichkeit? - Bei c) hilft der Ansatz über das Gegenereignis „kein seltener Gegenstand“. - Nutze bei der Frage nach „mindestens einem“ das Gegenereignis.

1. Berechnung für a): Die Zufallsgröße \(Y\) ist binomialverteilt mit \(n = 40\) und \(p = 0{,}12\). Gesucht ist \(P(Y \le 3)\). Unter Verwendung der Formel für die kumulierte Binomialverteilung oder eines Tabellenwerks ergibt sich \(P(Y \le 3) = \sum_{k=0}^{3} \binom{40}{k} \cdot 0{,}12^k \cdot 0{,}88^{40-k} \approx 0{,}2768\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(27{,}68\,\%\). 2. Interpretation für b): Der Ausdruck \(0{,}88^{15}\) ist die Wahrscheinlichkeit, bei 15 Versuchen keinen seltenen Gegenstand zu finden. Das Komplement \(1 - 0{,}88^{15}\) beschreibt somit die Wahrscheinlichkeit, in 15 Kisten mindestens einen seltenen Gegenstand zu finden. 3. Berechnung für c): Gesucht ist das kleinste \(n\), für das \(P(Y \ge 1) \ge 0{,}99\) gilt. Dies führt auf die Ungleichung \(1 - 0{,}88^n \ge 0{,}99 \iff 0{,}88^n \le 0{,}01\). Anwendung des Logarithmus ergibt \(n \cdot \ln(0{,}88) \le \ln(0{,}01)\). Da \(\ln(0{,}88)\) negativ ist, dreht sich das Relationszeichen: \(n \ge \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}88)} \approx 36{,}03\). Es müssen also mindestens 37 Kisten geöffnet werden.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(27{,}68\,\%\). b) Das Ereignis lautet: „In 15 Kisten befindet sich mindestens ein seltener Gegenstand“. c) Der Spieler muss mindestens 37 Kisten öffnen.

- Überlege zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine einzelne Figur keinen Mangel hat. - Welche Voraussetzung brauchst du, um die Wahrscheinlichkeiten für fünf mangelfreie Figuren zu multiplizieren? - Betrachte nun die 20 Sets als eine neue Bernoulli-Kette. Was ist hier ein „Erfolg“? - Welche Werte kann die Zufallsgröße annehmen, wenn nach „höchstens zwei“ gefragt ist?

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine einzelne Figur mangelfrei ist, beträgt \(p_1 = 1-0{,}40 = 0{,}60\). 2. Wegen der angenommenen Unabhängigkeit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Set aus fünf Figuren ausschließlich mangelfreie Figuren enthält, \(p_S = 0{,}60^5 = 0{,}07776\). 3. Die Zufallsgröße \(X\), welche die Anzahl der vollständig mangelfreien Sets unter 20 Sets zählt, ist binomialverteilt mit \(n=20\) und \(p=0{,}07776\). 4. Gesucht ist \(P(X \le 2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\). \(P(X=0) \approx 0{,}1981\), \(P(X=1) \approx 0{,}3341\), \(P(X=2) \approx 0{,}2676\). 5. Damit gilt \(P(X \le 2) \approx 0{,}7997\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(79{,}97\,\%\).

- Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Ereignisse bei einer festen Stichprobengröße? - Berechne zuerst den Erwartungswert und die Standardabweichung für den alten Zustand. - Bestimme genau, ab welcher Anzahl an Ereignissen die Bedingung für den Erfolg erfüllt ist. - Nutze für die finale Wahrscheinlichkeit die neue Erfolgswahrscheinlichkeit, aber die zuvor ermittelte Grenze. - Denke daran, dass „nicht erfolgreich“ das Gegenereignis zur Erfolgsbedingung ist.

1. Berechnung der Parameter für die ursprüngliche Verteilung (\(n = 120\), \(p_0 = 0{,}15\)): Erwartungswert \(\mu_0 = n \cdot p_0 = 120 \cdot 0{,}15 = 18\) Standardabweichung \(\sigma_0 = \sqrt{n \cdot p_0 \cdot (1 - p_0)} = \sqrt{120 \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}85} = \sqrt{15{,}3} \approx 3{,}9115\) 2. Bestimmung der kritischen Grenze für „Erfolg“: \(X < \mu_0 - \sigma_0 \Rightarrow X < 18 - 3{,}9115 = 14{,}0885\) Da \(X\) ganzzahlig ist, gilt Erfolg bei \(X \le 14\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für „kein Erfolg“ unter der neuen Quote (\(p_1 = 0{,}08\)): Gesucht ist \(P(X > 14)\) für eine \(B(120; 0{,}08)\)-verteilte Zufallsgröße. \(P(X \le 14) = \sum_{k=0}^{14} \binom{120}{k} \cdot 0{,}08^k \cdot 0{,}92^{120-k} \approx 0{,}9436\) \(P(X > 14) = 1 - P(X \le 14) \approx 1 - 0{,}9436 = 0{,}0564\) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(5{,}64\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(5{,}64\,\%\).

- Wie viele mögliche Werte kann die Zufallsgröße \(X\) bei \(n=21\) annehmen? - Wenn eine Verteilung symmetrisch ist und eine gerade Anzahl an Werten hat, was lässt sich über die Summe der unteren und der oberen Hälfte sagen? - Denke an den Unterschied zwischen „kleiner gleich“ (\(\le\)) und „echt kleiner“ (\(<\)). - Nutze die Erkenntnis aus Aufgabenteil a) als Abkürzung für Teil b).

1. Begründung der Symmetrie: Bei \(p = 0{,}5\) ist die Verteilung achsensymmetrisch zu \(k = 10{,}5\), es gilt \(P(X = k) = P(X = 21-k)\). 2. Herleitung der kumulierten Wahrscheinlichkeit: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten von \(k=0\) bis \(k=21\) ist \(1\). Aufgrund der Symmetrie ist die Summe der ersten elf Werte (\(k=0\) bis \(10\)) gleich der Summe der letzten elf Werte (\(k=11\) bis \(21\)). Daraus folgt \(P(X \le 10) = P(X \ge 11)\). Da \(P(X \le 10) + P(X \ge 11) = 1\), muss \(P(X \le 10) = 0{,}5\) sein. 3. Berechnung \(P(X = 10)\): \(P(X = 10) = \binom{21}{10} \cdot 0{,}5^{21} = 352\,716 \cdot 0{,}5^{21} \approx 0{,}1682\). 4. Berechnung \(P(X < 10)\): \(P(X < 10) = P(X \le 10) - P(X = 10) = 0{,}5 - 0{,}1682 = 0{,}3318\).

a) Wegen der Symmetrie bei \(p=0{,}5\) gilt \(P(X \le 10) = P(X \ge 11)\). Da die Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\) beträgt, folgt \(2 \cdot P(X \le 10) = 1\), also \(P(X \le 10) = 0{,}5\). b) \(P(X = 10) \approx 0{,}1682\); \(P(X < 10) \approx 0{,}3318\).

- Welche Werte kann die Trefferwahrscheinlichkeit für die verschiedenen Ereignisse annehmen? - Wann ist es einfacher, mit dem Gegenereignis zu rechnen? - Wie viele Primzahlen gibt es zwischen 1 und 12? - Hängt das Ergebnis einer Drehung davon ab, was vorher passiert ist?

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der Treffer bei \(n = 25\) Versuchen. Für (1) ist die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\) (Zahlen 3, 6, 9, 12). Berechnung über das Gegenereignis: \(P(X \ge 5) = 1 - P(X \le 4) \approx 1 - 0{,}0462 = 0{,}9538\). 2. Für (2) ist \(p = \frac{1}{12}\). Berechnung über das Gegenereignis: \(P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)) \approx 1 - 0{,}6533 = 0{,}3467\). 3. Für (3) ist \(p = \frac{5}{12}\) (Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11). Gesucht ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 10) = \sum_{i=0}^{10} \binom{25}{i} \cdot (\frac{5}{12})^i \cdot (\frac{7}{12})^{25-i} \approx 0{,}5180\). 4. Da die einzelnen Drehungen stochastisch unabhängig sind, hat das Ergebnis der vorangegangenen Drehungen keinen Einfluss auf die nächste Drehung. Die Wahrscheinlichkeit für die Zahl 12 bleibt konstant bei \(p = \frac{1}{12} \approx 0{,}0833\).

a) (1) \(P(X \ge 5) \approx 0{,}9538\) (2) \(P(X > 2) \approx 0{,}3467\) (3) \(P(X \le 10) \approx 0{,}5180\) b) \(P(\text{„12“}) = \frac{1}{12} \approx 0{,}0833\)

- Was ist das Gegenereignis zu „mindestens ein Bauteil ist fehlerhaft“? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für genau null Treffer in einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\)? - Welche Rechenregel für Logarithmen hilft dir, wenn die Unbekannte im Exponenten steht? - Denke daran, dass die gesuchte Anzahl eine ganze Zahl sein muss.

1. Modellierung der Zufallsgröße \(X\) als binomialverteilt mit \(p = 0{,}04\) und unbekanntem Stichprobenumfang \(n\). 2. Ansatz über die Gegenwahrscheinlichkeit für das Ereignis „mindestens ein Fehler“: \(P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - 0{,}04)^n = 1 - 0{,}96^n\). 3. Aufstellen der Ungleichung gemäß der Aufgabenstellung: \(1 - 0{,}96^n \geq 0{,}95\). 4. Umformen der Ungleichung: \(0{,}96^n \leq 0{,}05\). 5. Anwendung des Logarithmus: \(n \cdot \ln(0{,}96) \leq \ln(0{,}05)\). 6. Auflösen nach \(n\) unter Beachtung des Vorzeichenwechsels beim Teilen durch \(\ln(0{,}96)\) (da negativ): \(n \geq \frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}96)} \approx 73{,}39\). 7. Da \(n\) eine natürliche Zahl sein muss, folgt \(n = 74\).

Es müssen mindestens \(74\) Bauteile entnommen werden.

- Was bedeutet es für die Anzahl der defekten Chips, wenn eine bestimmte Anzahl einwandfrei ist? - Erinnere dich an die Formel für die Gegenwahrscheinlichkeit bei „mindestens ein Treffer“. - Wie löst man eine Ungleichung nach dem Exponenten \(n\) auf? Achte dabei auf das Vorzeichen beim Teilen durch Logarithmen. - Kannst du die Wahrscheinlichkeit für „höchstens zwei“ als Summe einzelner Wahrscheinlichkeiten ausdrücken?

1. Für \(n = 20\) und \(p = 0{,}08\) gilt für \(E_1\): \(P(X_{20} = 0) = 0{,}92^{20} \approx 0{,}1887\). 2. Für \(E_2\) berechnet man die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X_{20} \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0{,}92^{20} + 20 \cdot 0{,}08^1 \cdot 0{,}92^{19} + \binom{20}{2} \cdot 0{,}08^2 \cdot 0{,}92^{18} \approx 0{,}1887 + 0{,}3282 + 0{,}2711 \approx 0{,}7880\). 3. Das Ereignis \(E_3\) entspricht \(X_{20} \in \{2; 3\}\), da bei 17 oder 18 einwandfreien Chips genau 3 bzw. 2 Chips defekt sind. \(P(X=2) + P(X=3) = \binom{20}{2} \cdot 0{,}08^2 \cdot 0{,}92^{18} + \binom{20}{3} \cdot 0{,}08^3 \cdot 0{,}92^{17} \approx 0{,}2711 + 0{,}1414 = 0{,}4125\). 4. Für Teilaufgabe b) ist der Ansatz \(P(X_n \ge 1) \ge 0{,}99\), was äquivalent zu \(1 - P(X_n = 0) \ge 0{,}99\) bzw. \(0{,}92^n \le 0{,}01\) ist. Durch Logarithmieren erhält man \(n \cdot \ln(0{,}92) \le \ln(0{,}01)\). Wegen \(\ln(0{,}92) < 0\) folgt \(n \ge \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}92)} \approx 55{,}23\). Somit ist der kleinste Wert \(n = 56\).

a) \(P(E_1) \approx 18{,}87\,\%\); \(P(E_2) \approx 78{,}80\,\%\); \(P(E_3) \approx 41{,}25\,\%\) b) \(n = 56\)

- Welche Bedingungen müssen für eine Bernoulli-Kette erfüllt sein? Denke an die Anzahl der möglichen Ergebnisse pro Stufe. - Bleibt die Wahrscheinlichkeit bei jedem Samen gleich? - Welche Formel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für eine exakte Anzahl an Treffern in einer Bernoulli-Kette zu berechnen? - „Höchstens einer“ bedeutet, dass entweder kein Samen oder genau ein Samen keimt. Wie kombiniert man diese Wahrscheinlichkeiten?

1. Begründung der Bernoulli-Kette: Es gibt nur zwei Ausgänge pro Samen (keimt/keimt nicht), die Keimwahrscheinlichkeit ist für jeden Samen mit \(p = 0{,}8\) konstant und die Keimprozesse der einzelnen Samen werden als voneinander unabhängig betrachtet. 2. Berechnung für genau 5 Samen: Mit \(n=6\), \(k=5\) und \(p=0{,}8\) ergibt sich \(P(X=5) = \binom{6}{5} \cdot 0{,}8^5 \cdot 0{,}2^1 = 6 \cdot 0{,}32768 \cdot 0{,}2 = 0{,}393216\). 3. Berechnung für höchstens einen Samen: \(P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1)\). \(P(X=0) = \binom{6}{0} \cdot 0{,}8^0 \cdot 0{,}2^6 = 0{,}000064\). \(P(X=1) = \binom{6}{1} \cdot 0{,}8^1 \cdot 0{,}2^5 = 6 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}00032 = 0{,}001536\). Summe: \(0{,}000064 + 0{,}001536 = 0{,}0016\).

a) Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette, da es nur zwei Ergebnisse gibt (Erfolg: Keimen, Misserfolg: kein Keimen), die Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}8\) für jeden Samen gleich bleibt und die Versuche unabhängig voneinander sind. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}393216\) (oder ca. \(39{,}32\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}0016\) (oder \(0{,}16\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, wie groß die Erfolgswahrscheinlichkeit für eine einzelne Frage ist. - Welches Modell für Zufallsexperimente mit zwei Ausgängen und mehreren Wiederholungen kennst du? - Was bedeutet „höchstens“ mathematisch für die Anzahl der Treffer? - Wie kannst du die Wahrscheinlichkeit für „mehr als 2“ berechnen, ohne alle einzelnen Fälle ab 3 mühsam zu addieren?

1. Es liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n = 8\) und \(p = 0{,}25\) vor. 2. Berechnung für a): \(P(X = 2) = \binom{8}{2} \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^6 = 28 \cdot 0{,}0625 \cdot 0{,}1779785 \approx 0{,}3115\). 3. Berechnung für b): \(P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0{,}75^8 + 8 \cdot 0{,}25^1 \cdot 0{,}75^7 \approx 0{,}1001 + 0{,}2670 = 0{,}3671\). 4. Berechnung für c): \(P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) = 1 - (P(X \le 1) + P(X = 2)) \approx 1 - (0{,}3671 + 0{,}3115) = 1 - 0{,}6786 = 0{,}3214\). 5. Vergleich: Da \(0{,}3214 > 0{,}3115\), ist das Ereignis „Mehr als \(2\) richtige Antworten“ wahrscheinlicher.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(31{,}15\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(36{,}71\,\%\). c) Das Ereignis „Mehr als \(2\) richtige Antworten“ (\(P \approx 32{,}14\,\%\)) ist wahrscheinlicher als „Genau \(2\) richtige Antworten“ (\(P \approx 31{,}15\,\%\)).

- Identifiziere zuerst die Trefferwahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Figur. - Denke bei „mindestens zwei“ an das Gegenereignis, um Rechenaufwand zu sparen. - Für den Vergleich in Aufgabenteil c) musst du die Wahrscheinlichkeiten beider beschriebenen Ereignisse einzeln bestimmen.

1. Modellierung als Bernoulli-Kette mit \(n = 12\) und \(p = 0{,}1\). 2. Zu a): \(P(X = 0) = 0{,}9^{12} \approx 0{,}2824\). 3. Zu b): \(P(X \ge 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1))\). Mit \(P(X = 1) = 12 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^{11} \approx 0{,}3766\) folgt \(P(X \ge 2) \approx 1 - (0{,}2824 + 0{,}3766) = 0{,}3410\). 4. Zu c): \(P(X > 2) = P(X \ge 2) - P(X = 2)\). Mit \(P(X = 2) = \binom{12}{2} \cdot 0{,}1^2 \cdot 0{,}9^{10} = 66 \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}348678 \approx 0{,}2301\). 5. Es ergibt sich \(P(X > 2) \approx 0{,}3410 - 0{,}2301 = 0{,}1109\). 6. Vergleich: \(P(X = 1) \approx 0{,}3766\) ist deutlich größer als \(P(X > 2) \approx 0{,}1109\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(28{,}24\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(34{,}10\,\%\). c) Das Ereignis „Genau eine Figur ist fehlerhaft“ (\(P \approx 37{,}66\,\%\)) ist wahrscheinlicher als „Mehr als zwei Figuren sind fehlerhaft“ (\(P \approx 11{,}09\,\%\)).

- Bestimme zunächst die Wahrscheinlichkeit für eine einzelne Farbe bei einer Drehung. - Was bedeutet „mindestens fünfmal“ für die Anzahl der möglichen Treffer? - Kannst du die Situation als Bernoulli-Kette modellieren? - Achte darauf, die Wahrscheinlichkeiten für die gesuchten Fälle korrekt zu addieren.

1. Da die drei Sektoren gleich groß sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe \(p = \frac{1}{3}\). Die Anzahl der Versuche ist \(n = 6\). Für genau zwei blaue Sektoren (\(k = 2\)) gilt: \(P(X = 2) = \binom{6}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 15 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{16}{81} = \frac{240}{729} \approx 0{,}3292\). 2. Das Ereignis „mindestens fünfmal Rot“ umfasst die Fälle \(k = 5\) und \(k = 6\). Es gilt \(P(X \ge 5) = P(X = 5) + P(X = 6)\). Die Berechnungen ergeben \(P(X = 5) = \binom{6}{5} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^1 = 6 \cdot \frac{1}{243} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{729}\) und \(P(X = 6) = \left(\frac{1}{3}\right)^6 = \frac{1}{729}\). Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist \(\frac{12}{729} + \frac{1}{729} = \frac{13}{729} \approx 0{,}0178\).

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(32{,}92\,\%\) (oder \(\frac{80}{243}\)). 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(1{,}78\,\%\) (oder \(\frac{13}{729}\)).

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer und für einen Fehlwurf ist. - Handelt es sich um ein Experiment, bei dem sich die Wahrscheinlichkeit pro Wurf ändert? - Was bedeutet „höchstens“ oder „mindestens“ für die Anzahl der Treffer? Welche Einzelergebnisse musst du addieren? - Gibt es eine Formel, mit der man die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl an Treffern in einer Kette berechnen kann?

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 6\) und \(p = 0{,}7\). 1. Genau 4 Treffer: \(P(X=4) = \binom{6}{4} \cdot 0{,}7^4 \cdot 0{,}3^2 = 15 \cdot 0{,}2401 \cdot 0{,}09 = 0{,}324135 \approx 32{,}41\,\%\). 2. Kein Treffer: \(P(X=0) = 0{,}3^6 = 0{,}000729 \approx 0{,}07\,\%\). 3. Höchstens ein Treffer: \(P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1) = 0{,}000729 + \binom{6}{1} \cdot 0{,}7^1 \cdot 0{,}3^5 = 0{,}000729 + 6 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}00243 = 0{,}010935 \approx 1{,}09\,\%\). 4. Mindestens 5 Treffer: \(P(X \ge 5) = P(X=5) + P(X=6) = \binom{6}{5} \cdot 0{,}7^5 \cdot 0{,}3^1 + 0{,}7^6 = 6 \cdot 0{,}16807 \cdot 0{,}3 + 0{,}117649 = 0{,}420175 \approx 42{,}02\,\%\).

a) ca. \(32{,}41\,\%\) b) ca. \(0{,}07\,\%\) c) ca. \(1{,}09\,\%\) d) ca. \(42{,}02\,\%\)

- Überlege dir, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bei nur zwei Antwortmöglichkeiten ist. - Welches Modell beschreibt eine Serie von unabhängigen Versuchen mit jeweils zwei Ausgängen? - Was bedeutet „mehr richtig als falsch“ konkret für die Anzahl der Treffer bei insgesamt 6 Fragen? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl an Erfolgen?

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 6\) und \(p = 0{,}5\). 1. Berechnung für genau 3 richtige Antworten: \(P(X=3) = \binom{6}{3} \cdot 0{,}5^3 \cdot 0{,}5^3 = 20 \cdot 0{,}015625 = 0{,}3125\). 2. Berechnung für genau 5 richtige Antworten: \(P(X=5) = \binom{6}{5} \cdot 0{,}5^5 \cdot 0{,}5^1 = 6 \cdot 0{,}015625 = 0{,}09375\). 3. Das Ereignis „mehr richtig als falsch“ entspricht bei 6 Fragen den Ergebnissen 4, 5 oder 6 richtige Antworten. \(P(X=4) = \binom{6}{4} \cdot 0{,}5^4 \cdot 0{,}5^2 = 15 \cdot 0{,}015625 = 0{,}234375\). \(P(X=6) = \binom{6}{6} \cdot 0{,}5^6 \cdot 0{,}5^0 = 1 \cdot 0{,}015625 = 0{,}015625\). Gesamtwahrscheinlichkeit: \(P(X \ge 4) = 0{,}234375 + 0{,}09375 + 0{,}015625 = 0{,}34375\).

(1) \(0{,}3125\) (oder \(31{,}25\,\%\)) (2) \(0{,}09375\) (oder \(9{,}375\,\%\)) (3) \(0{,}34375\) (oder \(34{,}375\,\%\))

- Wie ändert sich die Formel, wenn du eine andere Trefferwahrscheinlichkeit einsetzt? - Was bedeutet „mindestens 3“ für die möglichen Anzahlen an Treffern? - Kannst du die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Trefferzahlen addieren? - Überlege kurz, ob es logisch ist, dass die Wahrscheinlichkeit für eine geringe Trefferzahl sinkt, wenn der Spieler besser wird.

Es liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n = 4\) vor. a) Für \(p = 0{,}7\): 1. \(P(X=2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}7^2 \cdot 0{,}3^2 = 6 \cdot 0{,}49 \cdot 0{,}09 = 0{,}2646\). 2. \(P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4)\). \(P(X=3) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}7^3 \cdot 0{,}3^1 = 4 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}3 = 0{,}4116\). \(P(X=4) = 0{,}7^4 = 0{,}2401\). \(P(X \ge 3) = 0{,}4116 + 0{,}2401 = 0{,}6517\). b) Für \(p = 0{,}75\): 1. \(P(X=2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}75^2 \cdot 0{,}25^2 = 6 \cdot 0{,}5625 \cdot 0{,}0625 = 0{,}2109375\). 2. \(P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4)\). \(P(X=3) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}75^3 \cdot 0{,}25^1 = 4 \cdot 0{,}421875 \cdot 0{,}25 = 0{,}421875\). \(P(X=4) = 0{,}75^4 = 0{,}31640625\). \(P(X \ge 3) = 0{,}421875 + 0{,}31640625 = 0{,}73828125\). Vergleich: Die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer sinkt (von ca. \(26{,}5\,\%\) auf \(21{,}1\,\%\)), während die Wahrscheinlichkeit für mindestens 3 Treffer deutlich steigt (von ca. \(65{,}2\,\%\) auf \(73{,}8\,\%\)).

a) (1) \(0{,}2646\); (2) \(0{,}6517\) b) (1) \(\approx 0{,}2109\); (2) \(\approx 0{,}7383\) Die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer nimmt ab, die für mindestens 3 Treffer nimmt zu.

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine „6“ bei einem einzelnen Wurf ist. - Welche Formel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl an Treffern in einer Kette von Versuchen zu berechnen? - Was bedeutet „höchstens“ mathematisch für die Anzahl der Treffer? - Kannst du das Ereignis „mindestens drei“ einfacher berechnen, indem du betrachtest, was gerade nicht passieren darf?

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{6}\) und der Kettenlänge \(n = 10\). 1. Berechnung für genau 2 Treffer mit der Bernoulli-Formel: \(P(X=2) = \binom{10}{2} \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^8 = 45 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{390625}{1679616} \approx 0{,}2907\). 2. Berechnung für höchstens einen Treffer als Summe von 0 und 1 Treffer: \(P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1) = (\frac{5}{6})^{10} + 10 \cdot \frac{1}{6} \cdot (\frac{5}{6})^9 \approx 0{,}1615 + 0{,}3230 = 0{,}4845\). 3. Berechnung für mindestens 3 Treffer über das Gegenereignis „höchstens 2 Treffer“: \(P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) = 1 - (P(X \le 1) + P(X=2)) \approx 1 - (0{,}4845 + 0{,}2907) = 1 - 0{,}7752 = 0{,}2248\).

(1) ca. \(0{,}2907\) (oder \(29{,}07\,\%\)) (2) ca. \(0{,}4845\) (oder \(48{,}45\,\%\)) (3) ca. \(0{,}2248\) (oder \(22{,}48\,\%\))

- Identifiziere die Gesamtzahl der Versuche und die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg (das Keimen). - Wenn nach „mehr als 10“ gefragt ist, welche konkreten Anzahlen an keimenden Samen sind dann gemeint? - Überlege bei Teilaufgabe (3), was es für die Anzahl der *keimenden* Samen bedeutet, wenn höchstens 2 *nicht* keimen. - Kannst du Ergebnisse aus den vorherigen Teilaufgaben kombinieren, um die letzte Frage schneller zu beantworten?

Die Anzahl der keimenden Samen \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 12\) und \(p = 0{,}8\). 1. Genau 10 Samen: \(P(X=10) = \binom{12}{10} \cdot 0{,}8^{10} \cdot 0{,}2^2 = 66 \cdot 0{,}1073741824 \cdot 0{,}04 \approx 0{,}2835\). 2. Mehr als 10 Samen (also 11 oder 12): \(P(X > 10) = P(X=11) + P(X=12) = 12 \cdot 0{,}8^{11} \cdot 0{,}2 + 0{,}8^{12} \approx 0{,}2062 + 0{,}0687 = 0{,}2749\). 3. Höchstens 2 Samen keimen nicht: Dies ist gleichbedeutend mit dem Ereignis, dass mindestens 10 Samen keimen. \(P(X \ge 10) = P(X=10) + P(X=11) + P(X=12) \approx 0{,}2835 + 0{,}2062 + 0{,}0687 = 0{,}5584\).

(1) ca. \(0{,}2835\) (oder \(28{,}35\,\%\)) (2) ca. \(0{,}2749\) (oder \(27{,}49\,\%\)) (3) ca. \(0{,}5584\) (oder \(55{,}84\,\%\))

- Was bedeutet es für die Rechnung, wenn nach „keinem“ Treffer gesucht wird? - Welche Parameter \(n\) und \(p\) lassen sich aus dem Text ablesen? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit für jeden der beiden Fälle (0 Fehler, 1 Fehler) einzeln bestimmen? - Denke daran, dass das Ziehen mit Zurücklegen eine Bernoulli-Kette darstellt.

1. Festlegung der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 15\), \(p = 0{,}1\), \(q = 0{,}9\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(0\) Fehler: \(P(X = 0) = \binom{15}{0} \cdot 0{,}1^0 \cdot 0{,}9^{15} = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}9^{15} \approx 0{,}2059\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(1\) Fehler: \(P(X = 1) = \binom{15}{1} \cdot 0{,}1^1 \cdot 0{,}9^{14} = 15 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^{14} \approx 0{,}3432\). 4. Summation der Wahrscheinlichkeiten: \(P(X = 0) + P(X = 1) \approx 0{,}2059 + 0{,}3432 = 0{,}5491\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}5491\) (bzw. \(54{,}91\,\%\)).

- Bestimme zuerst, wie viele Möglichkeiten es gibt, mit zwei Würfeln die Summe 11 zu erhalten. - Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Ergebnis bei einem einzelnen Wurf? - Überlege dir, welche Werte die Zufallsgröße annehmen darf, wenn sie „weniger als 2“ sein soll. - Nutze die Formel für die Bernoulli-Kette für diese spezifischen Werte.

1. Berechnung der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) für einen Wurf: Die Augensumme 11 wird durch die Kombinationen \((5;6)\) und \((6;5)\) erreicht. Bei 36 möglichen Ergebnissen ist \(p = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}\). 2. Identifikation der Parameter der Bernoulli-Kette: Die Anzahl der Wiederholungen ist \(n = 8\). Die Gegenwahrscheinlichkeit ist \(q = \frac{17}{18}\). 3. „Weniger als 2-mal“ bedeutet \(P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)\). 4. \(P(X = 0) = \left(\frac{17}{18}\right)^8 \approx 0{,}6330\). 5. \(P(X = 1) = \binom{8}{1} \cdot \frac{1}{18} \cdot \left(\frac{17}{18}\right)^7 \approx 0{,}2979\). 6. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(P(X < 2) \approx 0{,}6330 + 0{,}2979 = 0{,}9309\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(93{,}09\,\%\).

- Überlege dir zuerst, wie groß die Gewinnchance bei einer einzelnen Drehung ist. - Ist es einfacher, die gesuchten Fälle direkt zu berechnen oder den Umweg über das Gegenteil zu gehen? - Welche Werte für die Anzahl der Gewinne gehören zum Gegenereignis von „mindestens drei“? - Erinnere dich an die Formel für die Wahrscheinlichkeit bei einer Kette von unabhängigen Versuchen.

1. Identifikation der Parameter der Bernoulli-Kette: Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\), Anzahl der Versuche \(n = 10\). Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für \(k \ge 3\). 2. Berechnung über das Gegenereignis: \(P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2))\). 3. Einzelwahrscheinlichkeiten berechnen: \(P(X=0) = \binom{10}{0} \cdot 0{,}2^0 \cdot 0{,}8^{10} \approx 0{,}1074\) \(P(X=1) = \binom{10}{1} \cdot 0{,}2^1 \cdot 0{,}8^9 \approx 0{,}2684\) \(P(X=2) = \binom{10}{2} \cdot 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^8 = 45 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}1678 \approx 0{,}3020\). 4. Summe der Wahrscheinlichkeiten für das Gegenereignis: \(0{,}1074 + 0{,}2684 + 0{,}3020 = 0{,}6778\). 5. Endresultat: \(1 - 0{,}6778 = 0{,}3222\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(32{,}22\,\%\).

- Was bedeutet „höchstens zwei“ für die möglichen Anzahlen der roten Bärchen? - Handelt es sich hier um ein Experiment mit oder ohne Zurücklegen, wenn die Menge sehr groß ist? - Stelle die Formel für die Binomialverteilung auf und setze die gegebenen Werte ein. - Addiere die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen zutreffenden Ergebnisse.

1. Es liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n = 15\) und \(p = 0{,}2\) vor. Gesucht ist \(P(X \le 2)\). 2. Die Wahrscheinlichkeit setzt sich aus der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten für \(k=0\), \(k=1\) und \(k=2\) zusammen: \(P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\). 3. Berechnung der Einzelwerte: \(P(X=0) = \binom{15}{0} \cdot 0{,}2^0 \cdot 0{,}8^{15} \approx 0{,}0352\) \(P(X=1) = \binom{15}{1} \cdot 0{,}2^1 \cdot 0{,}8^{14} \approx 0{,}1319\) \(P(X=2) = \binom{15}{2} \cdot 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^{13} = 105 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}0550 \approx 0{,}2309\). 4. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(0{,}0352 + 0{,}1319 + 0{,}2309 = 0{,}3980\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(39{,}80\,\%\).

- Überlege dir zuerst, wie viele Sätze Sarah mindestens gewinnen muss, um als Gesamtsiegerin festzustehen. - Kannst du das Problem als eine Kette von unabhängigen Versuchen betrachten? - Welche Verteilung hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl an Erfolgen zu berechnen? - Du musst die Wahrscheinlichkeiten für alle Fälle addieren, in denen Sarah das Match gewinnt.

1. Identifikation der Verteilung: Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit der Länge \(n = 7\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}55\). 2. Bestimmung der Zielgröße: Sarah gewinnt das Match, wenn die Anzahl der Erfolge \(X\) den Wert 4, 5, 6 oder 7 annimmt. Gesucht ist \(P(X \ge 4)\). 3. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten mit der Bernoulli-Formel \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\): \(P(X = 4) = \binom{7}{4} \cdot 0{,}55^4 \cdot 0{,}45^3 \approx 0{,}2918\) \(P(X = 5) = \binom{7}{5} \cdot 0{,}55^5 \cdot 0{,}45^2 \approx 0{,}2140\) \(P(X = 6) = \binom{7}{6} \cdot 0{,}55^6 \cdot 0{,}45^1 \approx 0{,}0872\) \(P(X = 7) = \binom{7}{7} \cdot 0{,}55^7 \cdot 0{,}45^0 \approx 0{,}0152\) 4. Summation der Wahrscheinlichkeiten: \(P(X \ge 4) = 0{,}2918 + 0{,}2140 + 0{,}0872 + 0{,}0152 = 0{,}6082\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass Sarah das Match gewinnt, beträgt ca. \(60{,}8\,\%\).

- Wie viele Partien muss Marc genau gewinnen, um „mehr als die Hälfte“ erreicht zu haben? - Handelt es sich hier um unabhängige Wiederholungen mit gleichbleibender Gewinnwahrscheinlichkeit? Was bedeutet das für die Wahl der Formel? - Erstelle eine Liste aller möglichen Anzahlen von Siegen, die Marc zum Gesamtsieger machen würden. - Du kannst entweder die einzelnen Wahrscheinlichkeiten addieren oder mit dem Gegenereignis arbeiten, falls das weniger Rechenaufwand bedeutet.

1. Festlegung der Parameter: Die Anzahl der Versuche ist \(n = 10\), die Erfolgswahrscheinlichkeit für Marc ist \(p = 0{,}4\). 2. Bedingung für den Gesamtsieg: Marc muss mehr als 5 Partien gewinnen, also \(k \in \{6, 7, 8, 9, 10\}\). Gesucht ist \(P(X \ge 6)\). 3. Berechnung der Teilwahrscheinlichkeiten: \(P(X = 6) = \binom{10}{6} \cdot 0{,}4^6 \cdot 0{,}6^4 \approx 0{,}1115\) \(P(X = 7) = \binom{10}{7} \cdot 0{,}4^7 \cdot 0{,}6^3 \approx 0{,}0425\) \(P(X = 8) = \binom{10}{8} \cdot 0{,}4^8 \cdot 0{,}6^2 \approx 0{,}0106\) \(P(X = 9) = \binom{10}{9} \cdot 0{,}4^9 \cdot 0{,}6^1 \approx 0{,}0016\) \(P(X = 10) = \binom{10}{10} \cdot 0{,}4^{10} \cdot 0{,}6^0 \approx 0{,}0001\) 4. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(P(X \ge 6) \approx 0{,}1115 + 0{,}0425 + 0{,}0106 + 0{,}0016 + 0{,}0001 = 0{,}1663\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass Marc Gesamtsieger wird, liegt bei ca. \(16{,}6\,\%\).

- Überlege dir zuerst, ob die Bedingungen für ein Bernoulli-Experiment erfüllt sind. - Welche Werte haben die Parameter für die Anzahl der Versuche und die Trefferwahrscheinlichkeit? - Bei Formulierungen wie „höchstens“ oder „mindestens“ musst du mehrere Einzelwahrscheinlichkeiten addieren. - Kannst du die Wahrscheinlichkeiten direkt berechnen oder ist es einfacher, über das Gegenereignis nachzudenken?

1. Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit den Parametern \(n = 15\) und \(p = 0{,}4\). Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Haushalte mit Streaming-Dienst. 2. Berechnung für a): \(P(X = 6) = \binom{15}{6} \cdot 0{,}4^6 \cdot 0{,}6^9 \approx 5005 \cdot 0{,}004096 \cdot 0{,}010078 \approx 0{,}2066\). 3. Berechnung für b): \(P(X \le 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)\). \(P(X = 0) = 0{,}6^{15} \approx 0{,}00047\) \(P(X = 1) = 15 \cdot 0{,}4^1 \cdot 0{,}6^{14} \approx 0{,}00470\) \(P(X = 2) = 105 \cdot 0{,}4^2 \cdot 0{,}6^{13} \approx 0{,}02195\) Summe: \(P(X \le 2) \approx 0{,}0271\). 4. Berechnung für c): \(P(X \ge 13) = P(X = 13) + P(X = 14) + P(X = 15)\). \(P(X = 13) = 105 \cdot 0{,}4^{13} \cdot 0{,}6^2 \approx 0{,}00025\) \(P(X = 14) = 15 \cdot 0{,}4^{14} \cdot 0{,}6^1 \approx 0{,}00002\) \(P(X = 15) = 0{,}4^{15} \approx 0{,}000001\) Summe: \(P(X \ge 13) \approx 0{,}0003\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(20{,}66\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(2{,}71\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}03\,\%\).

- Identifiziere die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für ein defektes Bauteil. - Bei „mindestens zwei“ kann es hilfreich sein, über das Gegenteil nachzudenken, um Rechenaufwand zu sparen. - Was bedeutet es für die Anzahl der Treffer \(k\), wenn „kein“ Bauteil defekt ist? - Achte darauf, die Wahrscheinlichkeit für „nicht defekt“ korrekt als \(1-p\) einzusetzen.

Das Zufallsexperiment wird als Bernoulli-Kette mit \(n = 15\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit für einen Defekt \(p = 0{,}04\) modelliert. 1. Berechnung für genau ein defektes Teil: \(P(X=1) = \binom{15}{1} \cdot 0{,}04^1 \cdot 0{,}96^{14} \approx 15 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}5647 \approx 0{,}3388 = 33{,}88\,\%\). 2. Berechnung für mindestens zwei defekte Teile über das Gegenereignis (höchstens ein defektes Teil): \(P(X \ge 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))\). Zuerst \(P(X=0) = 0{,}96^{15} \approx 0{,}5421\). Dann \(P(X \ge 2) \approx 1 - (0{,}5421 + 0{,}3388) = 1 - 0{,}8809 = 0{,}1191 = 11{,}91\,\%\). 3. Berechnung für kein defektes Teil: \(P(X=0) = 0{,}96^{15} \approx 0{,}5421 = 54{,}21\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(33{,}88\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(11{,}91\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(54{,}21\,\%\).

- Überlege dir zuerst, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine einzelne Person tatsächlich erscheint. - Wann genau ist das Kino „überbelegt“? Welche Anzahlen an Personen müssen dafür erscheinen? - Kannst du die Wahrscheinlichkeiten für diese spezifischen Fälle einzeln berechnen und dann kombinieren?

1. Identifikation der Binomialverteilung mit den Parametern \(n = 15\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}9\) (Erscheinen eines Gastes). 2. Bestimmung der gesuchten Wahrscheinlichkeit für Überbelegung: \(P(X > 13) = P(X = 14) + P(X = 15)\). 3. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X = 14) = \binom{15}{14} \cdot 0{,}9^{14} \cdot 0{,}1^1 \approx 0{,}3432\). 4. Berechnung: \(P(X = 15) = \binom{15}{15} \cdot 0{,}9^{15} \cdot 0{,}1^0 \approx 0{,}2059\). 5. Addition der Ergebnisse: \(0{,}3432 + 0{,}2059 = 0{,}5491\). Die Wahrscheinlichkeit für eine Überbelegung beträgt etwa \(54{,}9\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(54{,}9\,\%\).

- Was ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Reservierung wahrgenommen wird? - In welchen Fällen gibt es ein Problem mit der Anzahl der Tische? - Ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit für das „Gutgehen“ direkt zu berechnen oder erst die Wahrscheinlichkeit für das Scheitern zu bestimmen?

1. Modellierung als Binomialverteilung mit \(n = 12\) Versuchen und einer Erfolgswahrscheinlichkeit von \(p = 0{,}75\) (Reservierung wird wahrgenommen). 2. Die Bedingung „reicht aus“ ist erfüllt, wenn höchstens \(10\) Reservierungen wahrgenommen werden: \(P(X \le 10)\). 3. Berechnung über das Gegenereignis: \(P(X \le 10) = 1 - (P(X = 11) + P(X = 12))\). 4. Berechnung der Einzelwerte: \(P(X = 11) = \binom{12}{11} \cdot 0{,}75^{11} \cdot 0{,}25^1 \approx 0{,}1267\) und \(P(X = 12) = 0{,}75^{12} \approx 0{,}0317\). 5. Subtraktion vom Ganzen: \(1 - (0{,}1267 + 0{,}0317) = 0{,}8416\). Die Wahrscheinlichkeit, dass die Tische ausreichen, liegt bei ca. \(84{,}2\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(84{,}2\,\%\).

- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg in einem einzelnen Versuch. - Wenn nach „mindestens einem“ Erfolg gefragt ist, ist es oft einfacher, über das Gegenteil nachzudenken. - Welches Zufallsexperiment beschreibt eine Folge von gleichartigen, unabhängigen Versuchen mit nur zwei möglichen Ausgängen?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(p\) für einen Hauptgewinn in einer einzelnen Runde: \(p = \frac{1}{\binom{18}{4}}\). 2. Berechnung des Binomialkoeffizienten: \(\binom{18}{4} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3060\). Somit ist \(p = \frac{1}{3060}\). 3. Modellierung als Bernoulli-Kette mit \(n = 1000\) und \(p = \frac{1}{3060}\). Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer: \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)\). 4. Anwendung der Formel für die Gegenwahrscheinlichkeit: \(P(X \ge 1) = 1 - (1 - p)^{1000} = 1 - \left(\frac{3059}{3060}\right)^{1000}\). 5. Numerische Berechnung: \(1 - (0{,}9996732\ldots)^{1000} \approx 1 - 0{,}72119 \approx 0{,}27881\). 6. Umrechnung in Prozent: \(27{,}88\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(27{,}88\,\%\).

- Überlege dir, welche Werte für \(Y\) (Nicht-Keimer) möglich sind, wenn \(X\) (Keimer) den Wert 9 oder 10 annimmt. - Was ist das Gegenereignis zu „ein Samen keimt“ im Kontext dieser Aufgabe? - Kannst du die Bedingung „mindestens 9 von 10“ in Worten so umformulieren, dass sie die Anzahl der Fehlversuche beschreibt?

1. Berechnung für \(X\) (keimend): \(n=10, p=0{,}9\). Gesucht ist \(P(X \ge 9) = P(X=9) + P(X=10)\). \(P(X=9) = \binom{10}{9} \cdot 0{,}9^9 \cdot 0{,}1^1 \approx 0{,}3874\). \(P(X=10) = \binom{10}{10} \cdot 0{,}9^{10} \cdot 0{,}1^0 \approx 0{,}3487\). Summe: \(P(X \ge 9) \approx 0{,}7361\). 2. Berechnung für \(Y\) (nicht keimend): \(n=10, p=0{,}1\). Gesucht ist \(P(Y \le 1) = P(Y=0) + P(Y=1)\). \(P(Y=0) = \binom{10}{0} \cdot 0{,}1^0 \cdot 0{,}9^{10} \approx 0{,}3487\). \(P(Y=1) = \binom{10}{1} \cdot 0{,}1^1 \cdot 0{,}9^9 \approx 0{,}3874\). Summe: \(P(Y \le 1) \approx 0{,}7361\). 3. Begründung: Wenn von 10 Samen mindestens 9 keimen, bedeutet das im Umkehrschluss, dass entweder genau 0 oder genau 1 Samen nicht keimt. Das Ereignis „mindestens 9 keimen“ (\(X \in \{9, 10\}\)) ist logisch äquivalent zum Ereignis „höchstens 1 keimt nicht“ (\(Y \in \{0, 1\}\)). Da beide Zufallsgrößen dasselbe Zufallsexperiment beschreiben, müssen ihre Wahrscheinlichkeiten für diese äquivalenten Ereignisse gleich sein.

a) \(P(X \ge 9) \approx 0{,}7361\) (bzw. \(73{,}61\,\%\)). b) \(P(Y \le 1) \approx 0{,}7361\) (bzw. \(73{,}61\,\%\)). c) Die Ereignisse \(X \ge 9\) und \(Y \le 1\) beschreiben denselben Sachverhalt (0 oder 1 Ausfall bei 10 Versuchen), daher sind die Wahrscheinlichkeiten gleich.

- Überlege dir bei jedem Ereignis, ob es einfacher ist, das Ereignis direkt oder über das Gegenereignis zu berechnen. - Was bedeutet „mindestens eine“ mathematisch für die Anzahl der Erfolge? - Erinnere dich an die Formel von Bernoulli für genau \(k\) Erfolge. - Wie hängen „höchstens \(n-1\)“ und „genau \(n\)“ Erfolge zusammen?

Das Experiment ist binomialverteilt mit \(n = 10\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{8} = 0{,}125\). 1. Das Gegenereignis zu „mindestens eine Acht“ ist „keine Acht“. Berechnung: \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \binom{10}{0} \cdot 0{,}125^0 \cdot 0{,}875^{10} \approx 1 - 0{,}26308 = 0{,}73692\). 2. Für „mehr als zwei Achten“ wird die kumulierte Wahrscheinlichkeit bis \(k = 2\) vom Ganzen abgezogen: \(P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) = 1 - \sum_{i=0}^{2} \binom{10}{i} \cdot 0{,}125^i \cdot 0{,}875^{10-i}\). Mit \(P(X=0) \approx 0{,}26308\), \(P(X=1) \approx 0{,}37582\) und \(P(X=2) \approx 0{,}24160\) ergibt sich \(P(X \le 2) \approx 0{,}88050\), also \(P(X > 2) \approx 0{,}11950\). 3. „Höchstens neun Achten“ ist das Gegenereignis zu „genau zehn Achten“: \(P(X \le 9) = 1 - P(X = 10) = 1 - 0{,}125^{10} \approx 1 - 9{,}31 \cdot 10^{-10} \approx 0{,}999999999\). 4. „Lauter Achten“ bedeutet \(X = 10\): \(P(X = 10) = 0{,}125^{10} \approx 9{,}31 \cdot 10^{-10}\).

(1) \(P(X \ge 1) \approx 0{,}7369\) (2) \(P(X > 2) \approx 0{,}1195\) (3) \(P(X \le 9) \approx 1{,}0000\) (bzw. \(1 - 0{,}125^{10}\)) (4) \(P(X = 10) \approx 9{,}31 \cdot 10^{-10}\)

- Identifiziere zuerst die Parameter \(n\) und \(p\) der Binomialverteilung. - Wenn nach „mehr als“ gefragt wird, musst du oft die kumulierte Wahrscheinlichkeit bis zu einem bestimmten Wert von 1 abziehen. - Achte auf den Unterschied zwischen „weniger als“, „höchstens“, „mehr als“ und „mindestens“. - Kannst du eine Tabelle für die Binomialverteilung oder einen Taschenrechner nutzen?

Es liegt eine Binomialverteilung mit \(n = 12\) und \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\) vor. 1. „Mindestens ein rotes Feld“: \(P(Y \ge 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - 0{,}8^{12} \approx 1 - 0{,}06872 = 0{,}93128\). 2. „Mehr als drei rote Felder“: \(P(Y > 3) = 1 - P(Y \le 3) = 1 - \sum_{i=0}^{3} \binom{12}{i} \cdot 0{,}2^i \cdot 0{,}8^{12-i}\). Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(Y=0) \approx 0{,}06872\), \(P(Y=1) \approx 0{,}20616\), \(P(Y=2) \approx 0{,}28347\), \(P(Y=3) \approx 0{,}23622\). Summe \(P(Y \le 3) \approx 0{,}79457\). Somit \(P(Y > 3) \approx 0{,}20543\). 3. „Höchstens 10 rote Felder“ ist das Gegenereignis zu „11 oder 12 rote Felder“: \(P(Y \le 10) = 1 - (P(Y = 11) + P(Y = 12))\). Mit \(P(Y=11) = 12 \cdot 0{,}2^{11} \cdot 0{,}8^1 \approx 1{,}97 \cdot 10^{-7}\) und \(P(Y=12) = 0{,}2^{12} \approx 4{,}10 \cdot 10^{-9}\) ist die Summe vernachlässigbar klein, \(P(Y \le 10) \approx 0{,}9999998\). 4. „Kein rotes Feld“: \(P(Y = 0) = 0{,}8^{12} \approx 0{,}06872\).

(1) \(P(Y \ge 1) \approx 0{,}9313\) (2) \(P(Y > 3) \approx 0{,}2054\) (3) \(P(Y \le 10) \approx 1{,}0000\) (bzw. \(1 - 2{,}01 \cdot 10^{-7}\)) (4) \(P(Y = 0) \approx 0{,}0687\)

- Erstelle für die erste Teilaufgabe eine Tabelle mit allen möglichen Werten, die die Anzahl der Einsen annehmen kann. - Wie viele Bits müssen 1 sein, damit bei insgesamt 8 Bits mehr Nullen als Einsen vorhanden sind? - Denk daran, dass bei einer Bernoulli-Kette mit \(p=0{,}5\) die Formel durch \(0{,}5^n\) vereinfacht werden kann.

1. Für \(n = 3\) und \(p = 0{,}5\) werden die Einzelwahrscheinlichkeiten berechnet: \(P(X = 0) = \binom{3}{0} \cdot 0{,}5^3 = 0{,}125\) \(P(X = 1) = \binom{3}{1} \cdot 0{,}5^3 = 0{,}375\) \(P(X = 2) = \binom{3}{2} \cdot 0{,}5^3 = 0{,}375\) \(P(X = 3) = \binom{3}{3} \cdot 0{,}5^3 = 0{,}125\) 2. Für \(n = 8\) bedeutet die Bedingung „Anzahl der Nullen \(>\) Anzahl der Einsen“, dass höchstens 3 Einsen vorkommen dürfen (da bei 4 Einsen Gleichstand herrscht). Gesucht ist also \(P(X \le 3)\). 3. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit: \(P(X \le 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)\). 4. Einsetzen der Werte: \(P(X \le 3) = (\binom{8}{0} + \binom{8}{1} + \binom{8}{2} + \binom{8}{3}) \cdot 0{,}5^8 = (1 + 8 + 28 + 56) \cdot \frac{1}{256} = \frac{93}{256} \approx 0{,}3633\).

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung für \(n=3\): <table> <tr><td>\(k\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr> <tr><td>\(P(X=k)\)</td><td>\(0{,}125\)</td><td>\(0{,}375\)</td><td>\(0{,}375\)</td><td>\(0{,}125\)</td></tr> </table> b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{93}{256} \approx 0{,}3633\) (oder \(36{,}33\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, welche Parameter für die Binomialverteilung gegeben sind. - Was bedeutet „höchstens“ mathematisch für den Bereich der Zufallsgröße? - Wenn nach „mehr als“ gefragt wird, kann es einfacher sein, das Gegenereignis zu betrachten. - Achte darauf, ob du einen Einzelwert oder eine Summe von Werten berechnen musst.

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der defekten Geräte und ist binomialverteilt mit \(n = 12\) und \(p = 0{,}15\). 1. Berechnung für a): \(P(X = 3) = \binom{12}{3} \cdot 0{,}15^3 \cdot 0{,}85^9 \approx 0{,}1720\). 2. Berechnung für b): \(P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \approx 0{,}7358\). 3. Berechnung für c): \(P(X > 4) = 1 - P(X \le 4)\). Mit \(P(X \le 4) \approx 0{,}9761\) ergibt sich \(1 - 0{,}9761 = 0{,}0239\).

a) \(P(X = 3) \approx 17{,}20\,\%\) b) \(P(X \le 2) \approx 73{,}58\,\%\) c) \(P(X > 4) \approx 2{,}39\,\%\)

- Identifiziere die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Versuche. - Formuliere die sprachlichen Bedingungen wie „weniger als“ oder „mindestens“ in Ungleichungen um. - Nutze für kumulierte Wahrscheinlichkeiten die entsprechenden Tabellen oder die Summenfunktion deines Taschenrechners. - Denke beim Ereignis „mindestens“ an die Struktur des Gegenereignisses.

Die Anzahl der Radfahrer \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 15\) und \(p = 0{,}4\). 1. Berechnung für a): \(P(X = 6) = \binom{15}{6} \cdot 0{,}4^6 \cdot 0{,}6^9 \approx 0{,}2066\). 2. Berechnung für b): „Weniger als \(5\)“ entspricht \(P(X \le 4)\). Durch Summation oder Tabellenwerk ergibt sich \(P(X \le 4) \approx 0{,}2173\). 3. Berechnung für c): „Mindestens \(8\)“ entspricht \(P(X \ge 8) = 1 - P(X \le 7)\). Mit \(P(X \le 7) \approx 0{,}7869\) folgt \(1 - 0{,}7869 = 0{,}2131\).

a) \(P(X = 6) \approx 20{,}66\,\%\) b) \(P(X < 5) \approx 21{,}73\,\%\) c) \(P(X \ge 8) \approx 21{,}31\,\%\)

- Überlege dir, wie man eine Trefferwahrscheinlichkeit von über \(50\,\%\) mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit im Tafelwerk nachschlagen kann. - Was bedeutet es für die Anzahl der „Nicht-Treffer“, wenn eine bestimmte Anzahl an „Treffern“ erzielt wird? - Achte bei Ungleichungen wie „mindestens“ oder „höchstens“ genau darauf, welche Werte für die Gegenwahrscheinlichkeit eingeschlossen werden müssen. - Denk daran, dass die Summe der Treffer und Nicht-Treffer immer der Gesamtzahl \(n\) entsprechen muss.

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Jugendlichen mit Tablet und ist binomialverteilt mit \(n = 50\) und \(p = 0{,}8\). Da im Tafelwerk meist nur Werte für \(p \le 0{,}5\) aufgeführt sind, nutzt man die komplementäre Zufallsgröße \(Y = 50 - X\), die die Anzahl der Jugendlichen ohne Tablet beschreibt. Es gilt \(Y \sim B(50; 0{,}2)\). 1. \(P(X = 42) = P(Y = 50 - 42) = P(Y = 8)\). Aus dem Tafelwerk für die Einzelwahrscheinlichkeit oder als Differenz der kumulativen Werte \(F(50; 0{,}2; 8) - F(50; 0{,}2; 7)\) ergibt sich ca. \(0{,}1169\). 2. \(P(X \ge 38) = P(Y \le 50 - 38) = P(Y \le 12)\). Der kumulative Wert für \(k = 12\) bei \(p = 0{,}2\) ist \(F(50; 0{,}2; 12) \approx 0{,}8139\). 3. \(P(X \le 44) = P(Y \ge 50 - 44) = P(Y \ge 6) = 1 - P(Y \le 5)\). Mit \(F(50; 0{,}2; 5) \approx 0{,}0480\) folgt \(1 - 0{,}0480 = 0{,}9520\).

(1) \(P(X = 42) \approx 0{,}1169\) (2) \(P(X \ge 38) \approx 0{,}8139\) (3) \(P(X \le 44) \approx 0{,}9520\)

- Überlege dir, welches Verteilungsmodell bei einer festen Anzahl von Versuchen mit jeweils zwei möglichen Ausgängen (Treffer oder kein Treffer) vorliegt. - Identifiziere die Parameter \(n\) (Anzahl der Versuche) und \(p\) (Erfolgswahrscheinlichkeit) aus dem Text. - Beachte bei Aufgabenteil (3), dass „mehr als“ bedeutet, dass die Werte \(16, 17, \dots, 20\) betrachtet werden müssen. Hier hilft das Gegenereignis.

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Treffer und ist binomialverteilt mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}75\). 1. Berechnung von \(P(X = 20)\) mit der Formel von Bernoulli: \(0{,}75^{20} \approx 0{,}0032\). 2. Berechnung von \(P(X = 15)\) mit der Formel von Bernoulli: \(\binom{20}{15} \cdot 0{,}75^{15} \cdot 0{,}25^5 \approx 0{,}2023\). 3. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit für mehr als \(15\) Treffer: \(P(X > 15) = 1 - P(X \le 15)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(1 - 0{,}5852 = 0{,}4148\).

(1) ca. \(0{,}32\,\%\) (2) ca. \(20{,}23\,\%\) (3) ca. \(41{,}48\,\%\)

- Welche Parameter \(n\) und \(p\) beschreiben diese Stichprobe? Achte darauf, was als „Erfolg“ definiert wird (hier: ein defektes Bauteil). - Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ergebnis \(k\) berechnen? - Was bedeutet „weniger als 4“ für die möglichen Werte der Zufallsgröße? Welche Werte musst du zusammenfassen?

Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der defekten Bauteile an und ist binomialverteilt mit \(n = 80\) und \(p = 0{,}05\). 1. Wahrscheinlichkeit für \(X = 0\): \(P(X = 0) = 0{,}95^{80} \approx 0{,}0165\). 2. Wahrscheinlichkeit für genau \(4\) Defekte: \(P(X = 4) = \binom{80}{4} \cdot 0{,}05^4 \cdot 0{,}95^{76} \approx 0{,}2004\). 3. Wahrscheinlichkeit für weniger als \(4\) Defekte: \(P(X < 4) = P(X \le 3)\). Die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten für \(k=0, 1, 2, 3\) oder der Wert aus der Verteilungstabelle ergibt \(P(X \le 3) \approx 0{,}4284\).

(1) ca. \(1{,}65\,\%\) (2) ca. \(20{,}04\,\%\) (3) ca. \(42{,}84\,\%\)

- Überlege dir zuerst, welche Ergebnisse nicht zum beschriebenen Ereignis gehören. - Achte bei Formulierungen wie „mehr als“ oder „höchstens“ genau darauf, ob die genannte Zahl noch zum Ereignis gehört oder nicht. - Verwende für die Berechnung die kumulierte Binomialverteilung \(P(X \le k)\). - Erinnere dich daran, wie man „mindestens \(k\)“ mithilfe von „höchstens \(k-1\)“ ausdrücken kann.

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 25\) und \(p = 0{,}45\). 1. Das Gegenereignis zu \(E_1\) ist \(\bar{E}_1\): „Höchstens \(10\) Treffer“. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich als \(P(\bar{E}_1) = P(X \le 10) = F(25; 0{,}45; 10)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(\bar{E}_1) \approx 0{,}3843\). 2. Das Gegenereignis zu \(E_2\) ist \(\bar{E}_2\): „Mindestens \(15\) Treffer“. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich über das Komplement der kumulierten Verteilungsfunktion: \(P(\bar{E}_2) = P(X \ge 15) = 1 - P(X \le 14) = 1 - F(25; 0{,}45; 14)\). Mit \(F(25; 0{,}45; 14) \approx 0{,}9040\) folgt \(P(\bar{E}_2) \approx 1 - 0{,}9040 = 0{,}0960\).

(1) \(\bar{E}_1\): Höchstens \(10\) Treffer; \(P(\bar{E}_1) \approx 0{,}3843\) (2) \(\bar{E}_2\): Mindestens \(15\) Treffer; \(P(\bar{E}_2) \approx 0{,}0960\)

- Was genau bedeutet es für die Anzahl der Personen, wenn der Bus „ausreicht“? - Welche Wahrscheinlichkeit hat eine einzelne Person, tatsächlich zu erscheinen? - Welches Verteilungsmodell eignet sich für eine Serie von gleichartigen, unabhängigen Ja/Nein-Entscheidungen? - Musst du Einzelwahrscheinlichkeiten addieren oder eine kumulierte Wahrscheinlichkeit berechnen?

1. Definition der Zufallsgröße \(X\): Die Anzahl der Personen, die tatsächlich zur Abfahrt erscheinen, ist binomialverteilt mit den Parametern \(n = 54\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 1 - 0{,}10 = 0{,}90\). 2. Aufstellen der gesuchten Wahrscheinlichkeit: Gesucht ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 50)\). 3. Berechnung mit der kumulierten Binomialverteilung: \(P(X \le 50) = \sum_{k=0}^{50} \binom{54}{k} \cdot 0{,}90^k \cdot 0{,}10^{54-k} \approx 0{,}8015\). Die Wahrscheinlichkeit, dass alle erscheinenden Personen einen Platz erhalten, beträgt etwa \(80{,}15\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt circa \(80{,}15\,\%\).

- Welche Verteilung liegt vor, wenn es nur zwei mögliche Ergebnisse (defekt/nicht defekt) gibt? - Überlege dir genau, welche Werte der Zufallsgröße bei Formulierungen wie „höchstens“ oder „mindestens“ eingeschlossen sind. - Bei „mindestens“ ist es oft einfacher, die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses von 1 abzuziehen. - Nutze für die Berechnungen die entsprechenden Funktionen deines Taschenrechners für die Binomialverteilung.

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit den Parametern \(n = 150\) und \(p = 0{,}06\). 1. Berechnung von \(P(X = 9)\) mit der Formel von Bernoulli: \(P(X = 9) = \binom{150}{9} \cdot 0{,}06^9 \cdot 0{,}94^{141} \approx 0{,}1359\). 2. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit für höchstens 5 Defekte: \(P(X \le 5) = \sum_{k=0}^{5} \binom{150}{k} \cdot 0{,}06^k \cdot 0{,}94^{150-k} \approx 0{,}1083\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für mindestens 12 Defekte über das Gegenereignis: \(P(X \ge 12) = 1 - P(X \le 11) \approx 1 - 0{,}8091 = 0{,}1909\).

a) \(P(X = 9) \approx 13{,}59\,\%\) b) \(P(X \le 5) \approx 10{,}83\,\%\) c) \(P(X \ge 12) \approx 19{,}09\,\%\)

- Was genau muss passieren, damit der Gärtner „auskommt“? - Definiere eine Zufallsgröße für die Anzahl der Blumen, die tatsächlich blühen. - Welche Werte für die Anzahl der blühenden Blumen sind für den Gärtner akzeptabel? - Kannst du das Problem auch über die Anzahl der Zwiebeln betrachten, die nicht austreiben? - Überlege, wie du die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich von Werten mit der kumulierten Verteilungsfunktion berechnen kannst.

1. Identifikation der Zufallsgröße: Die Anzahl der austreibenden Zwiebeln \(X\) ist binomialverteilt mit den Parametern \(n = 80\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}85\) (bzw. die Anzahl der nicht austreibenden Zwiebeln \(Y\) mit \(p = 0{,}15\)). 2. Aufstellen der Bedingung: Er erreicht das Ziel, wenn mindestens 65 Zwiebeln austreiben, also \(P(X \ge 65)\). 3. Umformung für die kumulierte Binomialverteilung: \(P(X \ge 65) = 1 - P(X \le 64)\). Alternativ über die nicht austreibenden Zwiebeln: Er darf höchstens \(80 - 65 = 15\) Ausfälle haben, also \(P(Y \le 15)\) mit \(n = 80\) und \(p = 0{,}15\). 4. Berechnung des Wertes: \(P(Y \le 15) = \sum_{k=0}^{15} \binom{80}{k} \cdot 0{,}15^k \cdot 0{,}85^{80-k} \approx 0{,}8625\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(86{,}25\,\%\).

- Bestimme zunächst die Wahrscheinlichkeit \(p\) für ein einzelnes Fahrzeug bezogen auf den gesamten Zeitraum. - Was bedeutet die Aussage „mehr als die Hälfte“ konkret für die Anzahl der belegten Stationen? - Welche Verteilung eignet sich, um die Anzahl der gleichzeitig belegten Stationen zu modellieren? - Denke daran, dass es oft einfacher ist, die Wahrscheinlichkeit für das Gegenteil auszurechnen und von 1 abzuziehen.

1. Für ein einzelnes Fahrzeug beträgt die Wahrscheinlichkeit, zum betrachteten Zeitpunkt eine Ladestation zu benötigen, \(p = \frac{1}{6}\). 2. Die Zufallsgröße \(X\) zählt die Fahrzeuge, die zu diesem Zeitpunkt laden wollen. Es gilt \(X \sim B(24; \frac{1}{6})\). 3. Mehr als die Hälfte von 6 Stationen bedeutet mindestens 4 benötigte Stationen. Gesucht ist \(P(X \ge 4)\). 4. \(P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3)\). 5. \(P(X \le 3) = \sum_{k=0}^{3} \binom{24}{k} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^k \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{24-k} \approx 0{,}4155\). 6. Somit gilt \(P(X \ge 4) \approx 0{,}5845\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(58{,}45\,\%\).

- Überlege zuerst, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Patienten ist, zu einem bestimmten Zeitpunkt im Wartezimmer zu sein. - Welche Zufallsverteilung eignet sich, um die Anzahl der gleichzeitig anwesenden Personen zu beschreiben? - Was bedeutet „mehr als 10“ mathematisch für die Berechnung mit der kumulierten Verteilungsfunktion? - Vergleiche dein berechnetes Ergebnis mit dem vorgegebenen Schwellenwert von \(1\,\%\).

1. Für jeden Patienten beträgt die Wahrscheinlichkeit, zum betrachteten Zeitpunkt im Wartezimmer zu sein, \(p = 0{,}05\). 2. Die Anzahl \(X\) der gleichzeitig anwesenden Patienten ist binomialverteilt mit \(n = 80\) und \(p = 0{,}05\). 3. Gesucht ist \(P(X > 10) = 1 - P(X \le 10)\). 4. Es gilt \(P(X \le 10) \approx 0{,}9979\). 5. Damit ist \(P(X > 10) \approx 0{,}0021 = 0{,}21\,\%\). 6. Da \(0{,}21\,\% < 1\,\%\) gilt, reicht die Anzahl der Sitzplätze nach dem vorgegebenen Kriterium aus.

Die Wahrscheinlichkeit für eine Überbelegung beträgt etwa \(0{,}21\,\%\). Da dieser Wert unter der Grenze von \(1\,\%\) liegt, ist die Anzahl der Sitzplätze ausreichend.

- Was bedeutet „mindestens 80“ mathematisch für den Bereich der Werte? - Wie kannst du das Gegenereignis nutzen, um die Wahrscheinlichkeit mit einer Tabelle oder einem Taschenrechner zu berechnen, der nur Werte für \(P(X \le k)\) liefert? - Achte darauf, welchen Wert für \(k\) du beim Gegenereignis einsetzen musst.

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 450\) und \(p = 0{,}15\). 2. Bestimmung der gesuchten Wahrscheinlichkeit: Gesucht ist \(P(X \ge 80)\). 3. Umformung für die kumulative Verteilungsfunktion: \(P(X \ge 80) = 1 - P(X \le 79)\). 4. Berechnung mit der kumulativen Binomialverteilung \(F(n; p; k)\): \(P(X \le 79) \approx 0{,}9410\). 5. Berechnung des Endergebnisses: \(1 - 0{,}9410 = 0{,}0590\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(5{,}90\,\%\).

- Überlege dir zuerst, was ein „Erfolg“ in diesem Zufallsexperiment ist und wie groß die entsprechende Wahrscheinlichkeit \(p\) ist. - Wie viele Personen müssen erscheinen, damit die Kapazität überschritten wird? - Welche Verteilung ist geeignet, wenn wir viele unabhängige Versuche mit jeweils zwei möglichen Ausgängen haben? - Kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion \(P(X \le k)\) ausdrücken?

1. Modellierung der Zufallsgröße \(X\) als die Anzahl der erscheinenden Dauerkartenbesitzer. Diese ist binomialverteilt mit \(n = 1400\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 1 - 0{,}15 = 0{,}85\). 2. Die Tribüne ist überbelegt, wenn mehr als \(1200\) Personen erscheinen. Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit \(P(X > 1200)\). 3. Berechnung über das Gegenereignis: \(P(X > 1200) = 1 - P(X \le 1200)\). 4. Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung \(F(1400; 0{,}85; 1200)\) ergibt sich: \(1 - 0{,}7831 \approx 0{,}2169\). 5. Die Wahrscheinlichkeit für eine Überbelegung beträgt etwa \(21{,}69\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Tribüne überbelegt ist, beträgt ca. \(21{,}69\,\%\).

- Definiere klar, was ein „Treffer“ in deiner Rechnung sein soll – ein funktionierender oder ein defekter Stick? - Wie viele Sticks dürfen höchstens defekt sein, damit der Kunde sein Ziel erreicht? - Achte darauf, den richtigen Wert für die kumulierte Wahrscheinlichkeit aus der Tabelle oder dem Taschenrechner abzulesen.

1. Modellierung: Sei \(X\) die Anzahl der defekten USB-Sticks in einer Packung. \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 50\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}1\) für einen Defekt. 2. Bedingung für Erfolg: Damit mindestens \(42\) Sticks funktionieren, dürfen höchstens \(50 - 42 = 8\) Sticks defekt sein. Gesucht ist also \(P(X \le 8)\). 3. Berechnung mit der kumulierten Binomialverteilung: Unter Verwendung von \(n = 50\), \(p = 0{,}1\) und der Obergrenze \(k = 8\) ergibt sich: \(P(X \le 8) = \sum_{i=0}^{8} \binom{50}{i} \cdot 0{,}1^i \cdot 0{,}9^{50-i} \approx 0{,}9421\). Die Wahrscheinlichkeit, dass die Packung ausreicht, liegt somit bei ca. \(94{,}21\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(94{,}21\,\%\).

- Überlege dir, was passiert, wenn du statt der „Erfolge“ (gekeimte Samen) die „Misserfolge“ (nicht gekeimte Samen) zählst. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten \(p\) und \(1-p\) zusammen? - Wenn höchstens 14 Samen keimen, wie viele müssen dann mindestens nicht gekeimt haben? - Wie kannst du eine „mindestens“-Wahrscheinlichkeit mit Hilfe einer Tabelle für „höchstens“-Wahrscheinlichkeiten berechnen?

1. Definition der komplementären Zufallsgröße: Sei \(Y\) die Anzahl der nicht gekeimten Samen. Da \(X\) binomialverteilt ist mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}8\), ist \(Y\) binomialverteilt mit \(n = 20\) und \(p^* = 1 - 0{,}8 = 0{,}2\). 2. Umformung des Ereignisses: Das Ereignis \(X \le 14\) (höchstens 14 Samen keimen) ist gleichbedeutend damit, dass mindestens \(20 - 14 = 6\) Samen nicht keimen. Es gilt also \(P(X \le 14) = P(Y \ge 6)\). 3. Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit für kumulierte Werte: \(P(Y \ge 6) = 1 - P(Y \le 5)\). 4. Berechnung von \(P(Y \le 5)\) für \(B(20; 0{,}2)\): Durch Aufsummieren der Einzelwahrscheinlichkeiten oder Nutzung einer Tabelle ergibt sich \(P(Y \le 5) = \sum_{k=0}^{5} \binom{20}{k} \cdot 0{,}2^k \cdot 0{,}8^{20-k} \approx 0{,}8042\). 5. Finales Ergebnis: \(P(X \le 14) = 1 - 0{,}8042 = 0{,}1958\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(X \le 14) \approx 0{,}1958\) (bzw. \(19{,}58\,\%\)).

- Überlege zuerst, welche Verteilung hier vorliegt und welche Parameter gegeben sind. - Was bedeutet „weniger als 10“ für die obere Grenze der Summe? - Wie kannst du „mehr als“ mithilfe des Gegenereignisses ausdrücken, um eine Tabelle oder die Verteilungsfunktion zu nutzen? - Achte genau darauf, ob der Randwert zum Ereignis gehört oder nicht.

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Rücksendungen und ist binomialverteilt mit \(n = 50\) und \(p = 0{,}3\). 1. Berechnung der Punktwahrscheinlichkeit: \(P(X = 15) = \binom{50}{15} \cdot 0{,}3^{15} \cdot 0{,}7^{35} \approx 0{,}1223\). 2. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit für „weniger als 10“: \(P(X < 10) = P(X \le 9) = \sum_{k=0}^{9} \binom{50}{k} \cdot 0{,}3^k \cdot 0{,}7^{50-k} \approx 0{,}0402\). 3. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit für „mehr als 20“: \(P(X > 20) = 1 - P(X \le 20) \approx 1 - 0{,}9522 = 0{,}0478\).

1. \(P(X = 15) \approx 12{,}23\,\%\) 2. \(P(X < 10) \approx 4{,}02\,\%\) 3. \(P(X > 20) \approx 4{,}78\,\%\)

- Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein Zufallsexperiment als Bernoulli-Kette beschrieben werden kann? - Wie viele Sektoren hat das Rad insgesamt und wie viele davon sind grün? Bestimme daraus die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer. - Welche Formel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für eine genaue Anzahl an Treffern bei einer Binomialverteilung zu berechnen? - Was bedeutet „höchstens einmal“ mathematisch ausgedrückt? Welche einzelnen Wahrscheinlichkeiten musst du dafür addieren?

1. Begründung und Parameter (Teilaufgabe a): - Das Drehen des Glücksrads ist ein Bernoulli-Experiment, da es bei jedem Dreh nur zwei relevante Ausgänge gibt: „Grün“ (Treffer) oder „Nicht Grün“ (Niete). - Die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) bleibt bei jedem der \(n\) Versuche konstant, da die Drehungen voneinander unabhängig sind. - Aus dem Bild ergibt sich: Es gibt 1 grünes Feld von insgesamt 5 gleich großen Sektoren, also \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\). - Die Anzahl der Versuche ist \(n = 6\). - Somit ist \(X\) binomialverteilt mit den Parametern \(n = 6\) und \(p = 0{,}2\). 2. Berechnung für genau zwei Treffer (Teilaufgabe b): Gesucht ist \(P(X = 2)\). Mit der Formel von Bernoulli gilt: \(P(X = 2) = \binom{6}{2} \cdot 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^4 = 15 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}4096 = 0{,}24576\) (oder \(24{,}576\,\%\)). 3. Berechnung für höchstens einen Treffer (Teilaufgabe c): Gesucht ist \(P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)\). \(P(X = 0) = \binom{6}{0} \cdot 0{,}2^0 \cdot 0{,}8^6 = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}262144 = 0{,}262144\) \(P(X = 1) = \binom{6}{1} \cdot 0{,}2^1 \cdot 0{,}8^5 = 6 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}32768 = 0{,}393216\) \(P(X \le 1) = 0{,}262144 + 0{,}393216 = 0{,}65536\) (oder \(65{,}536\,\%\)).

a) Da die Drehungen unabhängig voneinander sind und sich die Trefferwahrscheinlichkeit nicht ändert, handelt es sich um eine Bernoulli-Kette. Die Parameter sind \(n = 6\) und \(p = 0{,}2\) (da 1 von 5 Feldern grün ist). b) \(P(X = 2) = 0{,}24576\) (oder \(24{,}576\,\%\)) c) \(P(X \le 1) = 0{,}65536\) (oder \(65{,}536\,\%\))

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Farbe bei einer Drehung ist. - Wie oft wird das Glücksrad gedreht? Welcher Verteilungstyp beschreibt die Anzahl der Treffer bei wiederholten, unabhängigen Versuchen? - Bei Aufgabenteil a) soll das Ereignis höchstens dreimal eintreffen. Welche Trefferzahlen sind damit gemeint? - Bei Aufgabenteil b) ist es oft einfacher, die Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis zu berechnen. Was ist das Gegenereignis von „mindestens zweimal“?

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten: Die Wahrscheinlichkeit für einen grünen Sektor ist \(p_G = \frac{3}{6} = 0{,}5\) und für einen roten Sektor \(p_R = \frac{1}{6}\). 2. Teilaufgabe a): Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der grünen Sektoren bei \(n = 8\) Drehungen und ist binomialverteilt mit \(p = 0{,}5\). Gesucht ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit für höchstens drei Erfolge: \(P(X \le 3) = \sum_{k=0}^{3} \binom{8}{k} \cdot 0{,}5^8 = \frac{1}{256} \cdot (1 + 8 + 28 + 56) = \frac{93}{256} \approx 36{,}33\,\%\). 3. Teilaufgabe b): Die Zufallsgröße \(Y\) beschreibt die Anzahl der roten Sektoren bei \(n = 8\) Drehungen und ist binomialverteilt mit \(p = \frac{1}{6}\). Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Erfolge, berechnet über das Gegenereignis: \(P(Y \ge 2) = 1 - P(Y \le 1) = 1 - (P(Y = 0) + P(Y = 1))\) \(P(Y \le 1) = \binom{8}{0} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^8 + \binom{8}{1} \cdot \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^7 = \frac{1015625}{1679616}\) \(P(Y \ge 2) = 1 - \frac{1015625}{1679616} = \frac{663991}{1679616} \approx 39{,}53\,\%\).

a) \(P(X \le 3) = \frac{93}{256} \approx 36{,}33\,\%\) b) \(P(Y \ge 2) = \frac{663991}{1679616} \approx 39{,}53\,\%\)

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe bei einem einzelnen Dreh ist. - Da das Rad mehrfach gedreht wird und die Wahrscheinlichkeiten gleich bleiben, kannst du das Modell der Binomialverteilung nutzen. - Achte auf Signalwörter wie „höchstens“ oder „mindestens“. - Bei „höchstens“ summierst du die Wahrscheinlichkeiten von null bis zu dem genannten Wert auf. - Wenn die direkte Berechnung für „mindestens“ sehr aufwendig erscheint, versuche es mit dem Gegenereignis.

1. Identifikation des Zufallsexperiments: Da die Wahrscheinlichkeiten bei jedem Dreh gleich bleiben und die Ergebnisse der Drehungen unabhängig voneinander sind, kann das Experiment als Bernoulli-Kette der Länge \(n = 12\) modelliert werden. 2. Teilaufgabe a): Die Erfolgswahrscheinlichkeit für „Blau“ beträgt \(p = \frac{5}{10} = 0{,}5\). Gesucht ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 4)\): \(P(X \le 4) = \sum_{k=0}^{4} \binom{12}{k} \cdot 0{,}5^k \cdot 0{,}5^{12-k} \approx 0{,}1938\) Die Wahrscheinlichkeit beträgt somit etwa \(19{,}38\,\%\). 3. Teilaufgabe b): Die Erfolgswahrscheinlichkeit für „Rot“ beträgt \(p = \frac{2}{10} = 0{,}2\). Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit \(P(X \ge 2)\). Diese lässt sich effizient über das Gegenereignis \(P(X \le 1)\) berechnen: \(P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]\) \(P(X \ge 2) = 1 - [\binom{12}{0} \cdot 0{,}2^0 \cdot 0{,}8^{12} + \binom{12}{1} \cdot 0{,}2^1 \cdot 0{,}8^{11}]\) \(P(X \ge 2) \approx 1 - 0{,}2749 = 0{,}7251\) Die Wahrscheinlichkeit beträgt somit etwa \(72{,}51\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(19{,}38\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(72{,}51\,\%\).

- Bestimme zunächst die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis „Gelb“ bei einer einzelnen Drehung anhand der Felderanzahl. - Überlege, welche Wahrscheinlichkeitsverteilung die Anzahl der Treffer bei einer festen Anzahl unabhängiger Versuche beschreibt. - Erinnere dich daran, wie man die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich von Werten (hier „höchstens 10“) berechnet. - Nutze für die Berechnung die Funktion für die kumulierte Verteilung auf deinem Taschenrechner.

1. Identifikation der Parameter: Die Anzahl der Versuche beträgt \(n = 50\). Da zwei von sechs gleich großen Feldern gelb sind, ist die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). 2. Festlegung der Zufallsgröße: Sei \(X\) die Anzahl der gelben Felder bei \(50\) Drehungen. \(X\) ist binomialverteilt mit den Parametern \(n = 50\) und \(p = \frac{1}{3}\). 3. Bestimmung der gesuchten Wahrscheinlichkeit: Gesucht ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit für höchstens \(10\) Treffer, also \(P(X \le 10)\). 4. Berechnung: Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung (z. B. mit einem Taschenrechner oder einer Tabelle) ergibt sich \(P(X \le 10) = \sum_{k=0}^{10} \binom{50}{k} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^k \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{50-k} \approx 0{,}02844\). 5. Endergebnis: Auf drei Nachkommastellen gerundet beträgt die Wahrscheinlichkeit \(0{,}028\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt circa \(0{,}028\).

- Welche Wahrscheinlichkeit gehört zu welcher Farbe auf dem Glücksrad? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Bernoulli-Kette: \(P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\). - Was bedeutet es mathematisch, wenn Terme von 1 abgezogen werden? - Was bewirkt ein Summenzeichen bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung?

1. Identifikation der Parameter: Die Erfolgswahrscheinlichkeit für ein lila Feld ist \(p = \frac{3}{10} = 0{,}3\). Die Gegenwahrscheinlichkeit (orange) ist \(q = 0{,}7\). Die Anzahl der Versuche ist \(n = 8\). 2. Analyse von Term 1: Dies entspricht der Formel von Bernoulli für \(k = 2\). Ereignis: „Es werden genau 2 lila Felder erzielt.“ 3. Analyse von Term 2: Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass 8-mal hintereinander orange erscheint. Ereignis: „Es wird kein lila Feld erzielt“ oder „Es werden nur orangefarbene Felder erzielt.“ 4. Analyse von Term 3: Hier wird das Gegenereignis zu Term 2 berechnet. Ereignis: „Es wird mindestens ein lila Feld erzielt.“ 5. Analyse von Term 4: Dies ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten für 0, 1 oder 2 lila Felder. Ereignis: „Es werden höchstens 2 lila Felder erzielt.“

1) Genau 2-mal Lila. 2) Kein einziges Mal Lila (nur Orange). 3) Mindestens einmal Lila. 4) Höchstens 2-mal Lila.

- Bestimme zunächst die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe bei einer einzelnen Drehung anhand der Anzahl der Sektoren. - Identifiziere für Teil a) die Kenngrößen der Binomialverteilung: Anzahl der Versuche \(n\), Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) und die gesuchte Trefferzahl \(k\). - Denke daran, dass „höchstens 10“ alle Ergebnisse von 0 bis 10 einschließt. - Vergleiche in Teil b) die Struktur des Terms mit der allgemeinen Formel für kumulierte Binomialwahrscheinlichkeiten \(P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i}\).

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für eine einzelne Drehung: Da das Rad in 8 gleich große Felder unterteilt ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jedes Feld \(\frac{1}{8} = 0{,}125\). Damit ergeben sich \(P(\text{Grün}) = \frac{3}{8} = 0{,}375\), \(P(\text{Rot}) = \frac{2}{8} = 0{,}25\), \(P(\text{Blau}) = \frac{2}{8} = 0{,}25\) und \(P(\text{Gelb}) = \frac{1}{8} = 0{,}125\). 2. Berechnung für Ereignis A: Es liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n = 50\) Drehungen, einer Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}375\) und der Trefferzahl \(k = 20\) vor. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(A) = \binom{50}{20} \cdot 0{,}375^{20} \cdot (1 - 0{,}375)^{30} \approx 0{,}1072\). 3. Berechnung für Ereignis B: Für \(n = 50\) und \(p = 0{,}25\) wird die kumulierte Wahrscheinlichkeit für \(k \le 10\) berechnet: \(P(B) = P(X \le 10) = \sum_{k=0}^{10} \binom{50}{k} \cdot 0{,}25^k \cdot 0{,}75^{50-k} \approx 0{,}2622\). 4. Interpretation des Terms in Teil b): Der Binomialkoeffizient \(\binom{60}{k}\) zeigt \(n = 60\) Drehungen an. Die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}125\) entspricht der Farbe Gelb. Die Summe von \(k = 0\) bis \(8\) beschreibt die kumulierte Wahrscheinlichkeit für höchstens 8 Treffer. Das Ereignis lautet: „Bei 60 Drehungen erscheint die Farbe Gelb höchstens 8-mal.“

a) \(P(A) \approx 10{,}72\,\%\); \(P(B) \approx 26{,}22\,\%\) b) Das Ereignis beschreibt, dass bei 60 Drehungen des Glücksrads die Farbe Gelb höchstens 8-mal erzielt wird.

- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein einzelnes Glas einwandfrei ist. - Wie wahrscheinlich ist es, dass alle zwölf Gläser eines Kartons einwandfrei sind? - Das Wort „mindestens“ bedeutet, dass du mehrere Fälle betrachten und deren Wahrscheinlichkeiten addieren musst. - Nutze die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabenteil a) als Trefferwahrscheinlichkeit für die Untersuchung der sechs Kartons.

1. Wahrscheinlichkeit für ein einwandfreies Glas: \(p = 1 - 0{,}03 = 0{,}97\). 2. Wahrscheinlichkeit für einen einwandfreien Karton (\(12\) Gläser ohne Fehler): \(P(\text{Karton ok}) = 0{,}97^{12} \approx 0{,}6938\). 3. Für die zweite Stufe sei \(Y\) die Anzahl der einwandfreien Kartons bei \(n = 6\) Versuchen mit \(p_{K} \approx 0{,}6938\). 4. Berechnung von \(P(Y \ge 5) = P(Y = 5) + P(Y = 6)\). 5. Einzelergebnisse: \(P(Y = 5) = \binom{6}{5} \cdot 0{,}6938^{5} \cdot (1 - 0{,}6938)^{1} \approx 0{,}2954\). 6. \(P(Y = 6) = 0{,}6938^{6} \approx 0{,}1116\). 7. Summe: \(0{,}2954 + 0{,}1116 = 0{,}4070\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(69{,}38\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(40{,}70\,\%\).

- Aus wie vielen Einzelergebnissen setzt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit hier zusammen? - Was kannst du aus den Exponenten über die Gesamtzahl der Durchgänge \(n\) ableiten? - Betrachte die Basis der Potenzen, um die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Treffer zu finden. - Wenn mehrere Fälle addiert werden, deutet das oft auf Formulierungen wie „mindestens“ oder „höchstens“ hin.

1. Analyse der Terme: Die Formel besteht aus einer Summe von drei Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung mit \(n = 4\) und \(p = \frac{2}{3}\). 2. Zuordnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: Der erste Term \(\left(\frac{2}{3}\right)^4\) entspricht \(P(X=4)\). Der zweite Term \(4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3\) entspricht \(\binom{4}{3} \cdot p^3 \cdot (1-p)^1\), also \(P(X=3)\). Der dritte Term \(6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2\) entspricht \(\binom{4}{2} \cdot p^2 \cdot (1-p)^2\), also \(P(X=2)\). 3. Zusammenfassung: Die Summe \(P(X=4) + P(X=3) + P(X=2)\) entspricht der Wahrscheinlichkeit \(P(X \ge 2)\). 4. Beispiel-Experiment: In einer Urne liegen 3 Kugeln (z. B. 2 rote, 1 blaue). Es wird 4-mal mit Zurücklegen gezogen. Treffer ist eine rote Kugel (\(p = \frac{2}{3}\)). Ereignis \(B\): Es werden mindestens zwei rote Kugeln gezogen.

Zufallsexperiment: In einer Urne befinden sich zwei rote und eine blaue Kugel. Es wird viermal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Ereignis \(B\): Man erhält mindestens zwei rote Kugeln.

- Formuliere die Wahrscheinlichkeiten in Teil a) und b) zuerst als mathematische Ungleichungen mit \(P(X...)\). - Nutze für Teil a) die Formel für das Gegenereignis, um die Rechnung zu vereinfachen. - In Teil b) suchst du die kumulierte Wahrscheinlichkeit für \(k=0\) und \(k=1\). Hier hilft oft eine Wertetabelle deines Taschenrechners. - Achte beim Umformen von Ungleichungen darauf, was passiert, wenn du durch eine negative Zahl (wie den Logarithmus einer Zahl kleiner als 1) dividierst.

1. Identifikation der Parameter: \(p = 0{,}12\) (defekt) und \(q = 0{,}88\) (intakt). 2. Zu a): Die Bedingung \(P(X \ge 1) \ge 0{,}90\) entspricht \(1 - 0{,}88^n \ge 0{,}90\), also \(0{,}88^n \le 0{,}10\). 3. Logarithmieren: \(n \ge \frac{\ln(0{,}10)}{\ln(0{,}88)} \approx 18{,}01\). Daraus folgt \(n \ge 19\). 4. Zu b): Die Bedingung lautet \(P(X \le 1) < 0{,}10\). Es gilt \(P(X \le 1) = \binom{n}{0} \cdot 0{,}12^0 \cdot 0{,}88^n + \binom{n}{1} \cdot 0{,}12^1 \cdot 0{,}88^{n-1}\). 5. Testen der benachbarten Werte: Für \(n = 30\) ist \(P(X \le 1) \approx 0{,}1100\). Für \(n = 31\) ist \(P(X \le 1) \approx 0{,}0994\). 6. Da die Bedingung für \(n = 30\) noch nicht und für \(n = 31\) erstmals erfüllt ist, gilt mindestens \(n = 31\).

a) \(n \ge 19\) b) \(n \ge 31\)

- Überlege dir, aus welchen Einzelwahrscheinlichkeiten sich das Ereignis zusammensetzt. - Welche Formel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer zu berechnen? - Da man die Gleichung nicht einfach nach \(p\) umstellen kann, ist eine Wertetabelle oder die „Solve“-Funktion deines Taschenrechners hilfreich. - Probiere verschiedene Werte für \(p\) aus und schaue, wie sich die Gesamtwahrscheinlichkeit verändert.

1. Ansatz über die kumulierte Binomialverteilung: \(P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0{,}15\). 2. Aufstellen der Gleichung mit der Bernoulli-Formel: \(\binom{12}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{12} + \binom{12}{1} \cdot p^1 \cdot (1-p)^{11} = 0{,}15\). 3. Vereinfachung: \((1-p)^{12} + 12 \cdot p \cdot (1-p)^{11} = 0{,}15\). 4. Die Gleichung wird numerisch, beispielsweise mit einer Wertetabelle oder einer Lösefunktion, gelöst. 5. Es ergibt sich \(p \approx 0{,}25461\). Gerundet auf zwei Nachkommastellen ist \(p \approx 0{,}25\).

\(p \approx 0{,}25\)

- Wie kannst du eine „mindestens“-Wahrscheinlichkeit in eine „höchstens“-Wahrscheinlichkeit umwandeln? - Welchen Wert muss \(P(X \le 14)\) annehmen, damit \(P(X \ge 15) = 0{,}05\) erfüllt ist? - Nutze die Tabellenfunktion deines Taschenrechners, um den passenden \(p\)-Wert einzugrenzen. - Denke daran, dass bei steigendem \(p\) auch die Wahrscheinlichkeit für viele Treffer zunimmt.

1. Umformung über das Gegenereignis: \(P(X \ge 15) = 1 - P(X \le 14) = 0{,}05\). 2. Daraus folgt \(P(X \le 14) = 0{,}95\). 3. Die Gleichung wird für \(n = 20\) numerisch nach \(p\) gelöst, beispielsweise mit einer Wertetabelle oder einer Lösefunktion des Taschenrechners. 4. Die Lösung lautet \(p \approx 0{,}54442\). Zur Kontrolle gilt \(P(X \ge 15) \approx 0{,}04608\) für \(p = 0{,}54\) und \(P(X \ge 15) \approx 0{,}05533\) für \(p = 0{,}55\). 5. Auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt sich \(p \approx 0{,}54\).

\(p \approx 0{,}54\)

- Was bedeutet „höchstens ein Treffer“ für die Anzahl der möglichen Erfolge? - Stelle eine Gleichung auf, die die Summe der Wahrscheinlichkeiten für 0 und 1 Treffer nutzt. - Da die Variable \(p\) in einer höheren Potenz vorkommt, kannst du ein numerisches Verfahren oder deinen Taschenrechner nutzen, um den Wert zu bestimmen.

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der Treffer bei \(n=4\) Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\). 2. Bedingung für die kumulierte Wahrscheinlichkeit aufstellen: \(P(X \le 1) = 0{,}65\). 3. Einzelwahrscheinlichkeiten addieren: \(P(X=0) + P(X=1) = \binom{4}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^4 + \binom{4}{1} \cdot p^1 \cdot (1-p)^3 = 0{,}65\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \((1-p)^4 + 4p(1-p)^3 = 0{,}65\). 5. Numerisches Lösen der Gleichung im Intervall \([0;1]\), zum Beispiel mit dem GTR, ergibt \(p \approx 0{,}30096\). 6. Auf zwei Nachkommastellen gerundet gilt \(p \approx 0{,}30\).

Die Trefferquote muss etwa \(0{,}30\) (oder \(30\,\%\)) betragen.

- Überlege dir zuerst, durch welche Wahrscheinlichkeitsverteilung die Anzahl der Treffer beschrieben werden kann. - Welche Werte für \(n\) und \(k\) sind in der Aufgabenstellung gegeben? - Wie verändert sich die Gesamtwahrscheinlichkeit, wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) für einen einzelnen Versuch steigt? - Nutze die Tabellenfunktion oder ein Grafikmenü deines Taschenrechners, um verschiedene Werte für \(p\) zu testen.

1. Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl der Treffer) ist binomialverteilt mit \(n = 15\) und der unbekannten Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\). 2. Die Bedingung lautet \(P(X \ge 13) \ge 0{,}75\). 3. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens 13 Treffer setzt sich zusammen aus \(P(X=13) + P(X=14) + P(X=15)\), was der Formel \(\sum_{k=13}^{15} \binom{15}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{15-k}\) entspricht. 4. Durch systematisches Probieren oder die Nutzung der Tabellenfunktion des Taschenrechners für die kumulierte Binomialverteilung sucht man den kleinsten Wert für \(p\), für den \(P(X \ge 13) \approx 0{,}75\) gilt. 5. Die numerische Lösung der Gleichung \(P(X \ge 13) = 0{,}75\) ergibt \(p \approx 0{,}88366\). Gerundet auf drei Nachkommastellen muss die Trefferwahrscheinlichkeit mindestens \(0{,}884\) betragen.

Die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) muss mindestens \(0{,}884\) betragen.

- Was bedeutet es für die Rechnung, wenn „höchstens eine“ Leuchte defekt sein darf? - Stelle eine Ungleichung für die kumulierte Wahrscheinlichkeit auf. - Ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens einen Defekt zu finden, bei einem kleineren oder bei einem größeren \(p\) höher? - Verwende die Funktionen deines Taschenrechners für die Binomialverteilung, um den passenden Grenzwert für \(p\) zu finden.

1. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der defekten Leuchten in einer Stichprobe von \(n = 20\). Sie ist binomialverteilt mit der Defektwahrscheinlichkeit \(p\). 2. Am gesuchten Grenzwert gilt \(P(X \le 1) = 0{,}90\). 3. Damit erhält man die Gleichung \(P(X \le 1) = (1-p)^{20} + 20 \cdot p \cdot (1-p)^{19} = 0{,}90\). 4. Die numerische Lösung lautet \(p_* \approx 0{,}026914\). 5. Für \(p \le p_*\) beträgt die Akzeptanzwahrscheinlichkeit mindestens \(90\,\%\). Der Grenzwert ist auf drei Nachkommastellen gerundet \(p_* \approx 0{,}027\).

Der Grenzwert beträgt \(p_* \approx 0{,}026914\), gerundet also \(0{,}027\). Für die geforderte Akzeptanzwahrscheinlichkeit muss \(p \le p_*\) gelten.

- Welche Parameter der Binomialverteilung sind gegeben und welcher wird gesucht? - Formuliere die Bedingung „mindestens drei“ mithilfe des Gegenereignisses um, um die Anzahl der Terme in der Summe zu verringern. - Nutze für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten \(P(X \le 2)\) die kumulierte Binomialverteilung. - Probiere verschiedene Werte für die Anzahl der Versuche aus, um die Grenze zu finden, an der die Wahrscheinlichkeit den geforderten Wert überschreitet.

1. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der keimenden Samen und ist binomialverteilt mit \(p = 0{,}25\) und unbekanntem \(n\). 2. Die Bedingung lautet \(P(X \ge 3) \ge 0{,}90\). 3. Das Gegenereignis liefert die Ungleichung \(P(X \le 2) \le 0{,}10\). 4. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 2)\) berechnet sich aus \(P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\): \(\binom{n}{0} \cdot 0{,}25^0 \cdot 0{,}75^n + \binom{n}{1} \cdot 0{,}25^1 \cdot 0{,}75^{n-1} + \binom{n}{2} \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^{n-2} \le 0{,}10\). 5. Durch systematisches Testen oder Verwendung eines Taschenrechners (GTR/CAS) bzw. einer Tabelle ergibt sich: - Für \(n = 19\): \(P(X \le 2) \approx 0{,}1113 > 0{,}10\) - Für \(n = 20\): \(P(X \le 2) \approx 0{,}0913 \le 0{,}10\) 6. Somit ist der kleinste Wert \(n = 20\).

Er muss mindestens \(20\) Samenkörner aussäen.

- Wie lautet die Formel für die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \le k)\) bei einer Binomialverteilung? - Kannst du die Gleichung mit den gegebenen Werten für \(n\) und \(k\) aufschreiben? - Da die Gleichung schwierig direkt nach \(p\) aufzulösen ist, probiere verschiedene Werte für \(p\) aus oder nutze eine Wertetabelle deines Taschenrechners. - In welchem Bereich muss \(p\) ungefähr liegen, damit die Wahrscheinlichkeit für wenige Treffer bei \(50\) Versuchen eher klein (hier \(15\,\%\)) ist?

1. Modellierung: Die Anzahl der Flaschen mit Lufteinschlüssen \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 50\) und unbekanntem \(p\). 2. Gegebene Bedingung: \(P(X \le 2) = 0{,}15\). 3. Damit gilt \(\sum_{k=0}^{2} \binom{50}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{50-k} = 0{,}15\). 4. Die Gleichung wird numerisch gelöst, beispielsweise mit einer Wertetabelle oder einer Lösefunktion. 5. Zur Eingrenzung gilt: Für \(p = 0{,}091\) ist \(P(X \le 2) \approx 0{,}1550\), für \(p = 0{,}092\) ist \(P(X \le 2) \approx 0{,}1495\). 6. Die numerische Lösung lautet \(p \approx 0{,}091916\). 7. Auf drei Nachkommastellen gerundet ergibt sich \(p \approx 0{,}092\).

Die Wahrscheinlichkeit für einen Lufteinschluss bei einer Flasche beträgt etwa \(0{,}092\) (bzw. \(9{,}2\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, ob die Bedingungen einer Bernoulli-Kette erfüllt sind und welche Verteilung vorliegt. - Bei „genau k“ Ergebnissen hilft die Bernoulli-Formel direkt. - Was bedeutet „höchstens zwei“ für die möglichen Anzahlen von Treffern? - Bei Aufgaben des Typs „mindestens einer mit Wahrscheinlichkeit p“ ist der Blick auf das Gegenereignis „kein einziger“ oft der schnellste Weg. - Um eine Unbekannte im Exponenten zu finden, kann systematisches Probieren oder der Logarithmus helfen.

Die Anzahl der defekten Chips \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}04\). 1. Genau ein defekter Chip: \(P(X = 1) = \binom{20}{1} \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}96^{19} \approx 0{,}3683\). 2. Höchstens zwei defekte Chips: \(P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\). Dabei gilt \(P(X=0) = 0{,}96^{20} \approx 0{,}4420\) und \(P(X=2) = \binom{20}{2} \cdot 0{,}04^2 \cdot 0{,}96^{18} \approx 0{,}1458\). Somit ist \(P(X \le 2) \approx 0{,}9561\). 3. Für mindestens einen defekten Chip wird \(1 - 0{,}96^n \ge 0{,}99\) gefordert. Dies ist äquivalent zu \(0{,}96^n \le 0{,}01\). Daher gilt \(n \ge \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}96)} \approx 112{,}81\). Es müssen also mindestens \(113\) Chips geprüft werden.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(36{,}83\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(95{,}61\,\%\). c) Es müssen mindestens \(113\) Chips geprüft werden.

- Überlege dir bei „mindestens“-Aufgaben, ob es einfacher ist, das Gegenereignis zu berechnen. - Was ist das Gegenereignis zu „mindestens eine Leuchte ist defekt“? - Um eine Unbekannte im Exponenten zu finden, kann der Logarithmus hilfreich sein. - Achte beim Umformen von Ungleichungen darauf, ob sich das Relationszeichen beim Dividieren durch eine negative Zahl umdreht. - Für den Fall „mindestens zwei“ kannst du eine Tabelle deiner Berechnungen oder die Tabellenfunktion deines Taschenrechners nutzen, um den passenden Wert für \(n\) einzugrenzen.

1. Für \(n = 25\) und \(p = 0{,}04\) gilt \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}96^{25} \approx 0{,}6396\). 2. Für \(P(X \ge 1) \ge 0{,}90\) muss \(0{,}96^n \le 0{,}10\) gelten. Durch Logarithmieren erhält man \(n \ge \frac{\ln(0{,}10)}{\ln(0{,}96)} \approx 56{,}41\). Somit sind mindestens \(57\) Leuchten nötig. 3. Für \(P(X \ge 2) \ge 0{,}90\) gilt \(P(X \le 1) \le 0{,}10\), also \(0{,}96^n + n \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}96^{n-1} \le 0{,}10\). Durch systematisches Probieren oder mit der kumulierten Binomialverteilung erhält man für \(n = 95\) die Wahrscheinlichkeit \(P(X \ge 2) \approx 0{,}8974\) und für \(n = 96\) den Wert \(P(X \ge 2) \approx 0{,}9007\). Daher sind mindestens \(96\) Leuchten nötig.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(63{,}96\,\%\). b) Es müssen mindestens \(57\) Leuchten getestet werden. c) Es müssen mindestens \(96\) Leuchten getestet werden.

- Achte auf den Exponenten und den Binomialkoeffizienten, um die Anzahl der Versuche \(n\) zu bestimmen. - Was bedeutet es für die Reihenfolge der Ergebnisse, wenn kein Binomialkoeffizient im Term steht? - Erinnere dich an die Bedeutung des Summenzeichens im Kontext der kumulierten Binomialverteilung. - Was bewirkt das „1 minus ...“ am Anfang eines Terms?

1. Struktur einer Bernoulli-Kette: \(n=15\) Versuche, Trefferwahrscheinlichkeit \(p=0{,}2\). Der Term berechnet die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(E\): „Es werden genau 4 rote Kugeln gezogen“. 2. Summe von Bernoulli-Wahrscheinlichkeiten: \(n=12\) Versuche, \(p=0{,}4\). Die Summation über \(k=0, 1, 2\) entspricht dem Ereignis \(E\): „Es werden höchstens 2 rote Kugeln gezogen“. 3. Produktform ohne Binomialkoeffizient: Dies beschreibt eine spezifische Reihenfolge. \(n=10\) Versuche (da \(3+7=10\)), \(p=0{,}3\). Ereignis \(E\): „Die ersten drei Kugeln sind rot und die restlichen sieben sind nicht rot“ (oder eine andere fest definierte Sequenz mit 3 Treffern und 7 nicht roten Kugeln). 4. Gegenwahrscheinlichkeit einer kumulierten Verteilung: \(n=20\) Versuche, \(p=0{,}9\). Der abgezogene Teil ist \(P(X \le 13)\). Das Gesamtergebnis entspricht \(P(X \ge 14)\). Ereignis \(E\): „Es werden mindestens 14 rote Kugeln gezogen“.

1. \(n=15, p=0{,}2\); \(E\): Genau 4 Treffer. 2. \(n=12, p=0{,}4\); \(E\): Höchstens 2 Treffer. 3. \(n=10, p=0{,}3\); \(E\): Eine spezifische Sequenz aus 3 Treffern und 7 nicht roten Kugeln (z. B. die ersten drei sind Treffer). 4. \(n=20, p=0{,}9\); \(E\): Mindestens 14 Treffer.

- Was bedeutet „mindestens 11“ im Kontext der Trefferanzahl genau? - Nutze das Ergebnis aus dem ersten Aufgabenteil mit ausreichender Genauigkeit als neue Erfolgswahrscheinlichkeit für den zweiten Teil. - Bei „höchstens zwei“ musst du mehrere Einzelfälle addieren. Welche sind das? - Runde erst das Endergebnis auf die geforderte Genauigkeit.

1. Die Anzahl keimender Samen pro Tüte wird durch eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit \(n = 12\) und \(p = 0{,}9\) modelliert. 2. Für „mindestens 11“ gilt \(P(X \geq 11) = P(X = 11) + P(X = 12) = \binom{12}{11} \cdot 0{,}9^{11} \cdot 0{,}1 + 0{,}9^{12} \approx 0{,}3766 + 0{,}2824 = 0{,}6590\). Mit ausreichender Genauigkeit ist \(p_T = P(X \geq 11) \approx 0{,}659002\). 3. Die Zufallsgröße \(Y\) beschreibt die Anzahl der Tüten mit mindestens 11 keimenden Samen. Sie ist binomialverteilt mit \(n = 5\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p_T\). 4. Für „höchstens zwei“ gilt \(P(Y \leq 2) = P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2)\). 5. Einsetzen liefert \(P(Y \leq 2) = \binom{5}{0} \cdot (1-p_T)^5 + \binom{5}{1} \cdot p_T \cdot (1-p_T)^4 + \binom{5}{2} \cdot p_T^2 \cdot (1-p_T)^3 \approx 0{,}00461 + 0{,}04455 + 0{,}17220 = 0{,}22136 \approx 0{,}2214\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(65{,}90\,\%\) (\(P \approx 0{,}6590\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(22{,}14\,\%\) (\(P \approx 0{,}2214\)).

- Achte darauf, ob nach „mehr als“ oder „mindestens“ gefragt wird, um die richtige Grenze für die kumulierte Wahrscheinlichkeit zu finden. - Wie berechnet man den Durchschnittswert bei einer Binomialverteilung? - Überlege, wie sich die Fehlerwahrscheinlichkeit eines Pakets verändert, wenn das Paket davor aufgrund eines Defekts bereits falsch sortiert wurde. - Was ist die Grundvoraussetzung für eine Bernoulli-Kette?

1. Modellierung durch \(X \sim B(50; 0{,}04)\). Gesucht ist \(P(X > 3) = 1 - P(X \le 3)\). Berechnung: \(P(X \le 3) = \binom{50}{0} \cdot 0{,}04^0 \cdot 0{,}96^{50} + \dots + \binom{50}{3} \cdot 0{,}04^3 \cdot 0{,}96^{47} \approx 0{,}8609\). Somit \(P(X > 3) = 1 - 0{,}8609 = 0{,}1391\). 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = n \cdot p = 50 \cdot 0{,}04 = 2\). Berechnung der Punktwahrscheinlichkeit für \(k = 2\): \(P(X = 2) = \binom{50}{2} \cdot 0{,}04^2 \cdot 0{,}96^{48} \approx 0{,}2762\). 3. Wenn Fehler gehäuft auftreten (Clusterbildung durch Blockaden), ist die Unabhängigkeit der Einzelversuche verletzt. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler bei Paket \(i+1\) wäre erhöht, wenn Paket \(i\) fehlerhaft war. Eine Binomialverteilung wäre dann kein exaktes Modell mehr.

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(13{,}91\,\%\). 2. Der Erwartungswert ist \(2\). Die Wahrscheinlichkeit für genau \(2\) Fehler beträgt ca. \(27{,}62\,\%\). 3. Bei mechanischen Blockaden, die mehrere Pakete betreffen, sind die Fehlerereignisse abhängig voneinander. Die Modellierung als Bernoulli-Kette ist dann nicht mehr angemessen.

- Achte darauf, was als „Treffer“ definiert wird (hier: ein Defekt). - Kannst du die kumulierte Wahrscheinlichkeit durch das Addieren von Einzelwahrscheinlichkeiten bestimmen? - Vergleiche für den zweiten Teil die berechneten Einzelwahrscheinlichkeiten direkt miteinander. - Wie wirkt sich die geringe Trefferwahrscheinlichkeit auf die Verteilung aus?

1. Modellierung als binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit \(n = 50\) und \(p = 0{,}05\) (Treffer = Defekt). 2. Berechnung für a): \(P(X \le 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)\). 3. \(P(X=0) = 0{,}95^{50} \approx 0{,}0769\). 4. \(P(X=1) = 50 \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^{49} \approx 0{,}2025\). 5. \(P(X=2) = \binom{50}{2} \cdot 0{,}05^2 \cdot 0{,}95^{48} \approx 0{,}2611\). 6. \(P(X=3) = \binom{50}{3} \cdot 0{,}05^3 \cdot 0{,}95^{47} \approx 0{,}2199\). 7. Summe: \(P(X \le 3) \approx 0{,}0769 + 0{,}2025 + 0{,}2611 + 0{,}2199 = 0{,}7604\). Die Wahrscheinlichkeit liegt bei ca. \(76{,}0\,\%\). 8. Prüfung der Vermutung in b): Vergleich von \(P(X = 5)\) und \(P(X = 0)\). 9. \(P(X = 5) = \binom{50}{5} \cdot 0{,}05^5 \cdot 0{,}95^{45} \approx 0{,}0658\). 10. Vergleich: \(P(X = 5) \approx 0{,}0658\) und \(P(X = 0) \approx 0{,}0769\). 11. Da \(0{,}0658 < 0{,}0769\), ist die Vermutung des Mitarbeiters falsch.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(76{,}0\,\%\). b) Die Vermutung ist falsch, da \(P(X=5) \approx 6{,}58\,\%\) kleiner ist als \(P(X=0) \approx 7{,}69\,\%\).

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei vier Auswahlmöglichkeiten die richtige Antwort zu raten? - Wenn mehr als 15 Antworten falsch sind, wie viele sind dann höchstens richtig? - Wenn die ersten drei Fragen bereits richtig beantwortet wurden, wie viele der restlichen Fragen müssen dann noch richtig sein, um auf insgesamt sechs zu kommen? - Behandle die Bedingungen für die ersten fünf und die letzten fünf Fragen als separate, unabhängige Ereignisse.

1. Modellierung: Die Trefferwahrscheinlichkeit für eine richtige Antwort beträgt \(p = 0{,}25\), für eine falsche \(q = 0{,}75\). 2. Berechnung für a): Feste Sequenz \(R R R R R F F \dots F\). \(P = 0{,}25^5 \cdot 0{,}75^{15} \approx 0{,}000013\). 3. Berechnung für b): Sei \(X\) die Anzahl richtiger Antworten. Mehr als \(15\) falsche Antworten bedeuten weniger als \(5\) richtige Antworten. \(P(X \le 4) = \sum_{k=0}^{4} \binom{20}{k} \cdot 0{,}25^k \cdot 0{,}75^{20-k} \approx 0{,}4148\). 4. Berechnung für c): Die ersten drei sind richtig (\(0{,}25^3\)). In den restlichen \(17\) Fragen müssen genau \(3\) weitere richtig sein. \(P = 0{,}25^3 \cdot \binom{17}{3} \cdot 0{,}25^3 \cdot 0{,}75^{14} = \binom{17}{3} \cdot 0{,}25^6 \cdot 0{,}75^{14} \approx 0{,}00296\). 5. Berechnung für d): Sei \(Y_1\) die Anzahl richtiger Antworten in Fragen 1–5 und \(Y_2\) in Fragen 16–20. \(P(Y_1 \ge 4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}25^4 \cdot 0{,}75 + \binom{5}{5} \cdot 0{,}25^5 \approx 0{,}0156\). \(P(Y_2 \le 1) = \binom{5}{0} \cdot 0{,}75^5 + \binom{5}{1} \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75^4 \approx 0{,}6328\). Da die Blöcke disjunkt sind, gilt \(P = P(Y_1 \ge 4) \cdot P(Y_2 \le 1) \approx 0{,}0156 \cdot 0{,}6328 \approx 0{,}0099\).

a) \(P \approx 0{,}000013\) b) \(P \approx 0{,}4148\) c) \(P \approx 0{,}00296\) d) \(P \approx 0{,}0099\)

- Überlege, ob du bei „höchstens \(k\)“ direkt rechnest oder das Gegenereignis nutzt. - Achte bei Ereignis \(D\) darauf, ob du die Wahrscheinlichkeit für das Keimen oder das Nicht-Keimen als Erfolg definierst. - Der Term \(0{,}8^{12}\) beschreibt einen sehr speziellen Fall – welchen? - Kombiniere die Wahrscheinlichkeiten für das Keimen und den anschließenden Befall zu einer Gesamtwahrscheinlichkeit. - Nutze den Logarithmus, um eine Ungleichung der Form \(a^n < b\) nach \(n\) aufzulösen.

1. Modellierung durch Binomialverteilung mit \(n = 12\) und \(p = 0{,}8\) für „Samen keimt“. 2. Berechnung von \(P(C) = P(X \le 10) = 1 - (P(X=11) + P(X=12))\). Mit \(P(X=11) = 12 \cdot 0{,}8^{11} \cdot 0{,}2 \approx 0{,}2062\) und \(P(X=12) = 0{,}8^{12} \approx 0{,}0687\) ergibt sich \(P(C) \approx 1 - (0{,}2062 + 0{,}0687) = 0{,}7251\). 3. Das Ereignis \(D\) „Genau zwei keimen nicht“ entspricht \(P(X=10)\). Rechnung: \(\binom{12}{10} \cdot 0{,}8^{10} \cdot 0{,}2^2 \approx 0{,}2835\). 4. Interpretation des Terms: \(0{,}8^{12}\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 12 Samen keimen. \(1 - 0{,}8^{12}\) ist die Gegenwahrscheinlichkeit. Das Ereignis lautet: „Mindestens ein Samen keimt nicht.“ 5. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit für den Befall eines Samens: \(p_{\text{Befall}} = 0{,}8 \cdot 0{,}02 = 0{,}016\). 6. Ansatz für \(n\): \(P(Z \ge 1) > 0{,}95 \Leftrightarrow 1 - (1 - 0{,}016)^n > 0{,}95 \Leftrightarrow 0{,}984^n < 0{,}05\). 7. Auflösung nach \(n\): \(n > \frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}984)} \approx 185{,}7\). Es müssen mindestens \(186\) Samen ausgesät werden.

a) \(P(C) \approx 72{,}51\,\%\); \(P(D) \approx 28{,}35\,\%\) b) Das Ereignis lautet: „Mindestens einer der 12 Samen keimt nicht.“ c) Es müssen mindestens \(186\) Samen ausgesät werden.

- Unterscheide genau zwischen einer festgelegten Reihenfolge und einer beliebigen Anordnung der Treffer. - Nutze bei „mindestens“-Wahrscheinlichkeiten oft das Gegenereignis, um die Rechnung zu verkürzen. - Für die Bestimmung der Anzahl \( n \) eignet sich der Ansatz über das Gegenereignis „kein Treffer“ und die Verwendung von Logarithmen. - Achte bei der Bestimmung der Fehlerquote darauf, dass die Wahrscheinlichkeit für „fehlerfrei“ \( 1-p \) ist.

1. Definiere die Erfolgswahrscheinlichkeit für ein fehlerhaftes Glas: \( p = 0{,}08 \). 2. Ereignis \( A \): Feste Reihenfolge (fehlerfrei, fehlerfrei, fehlerfrei, fehlerfrei, fehlerhaft, fehlerhaft). Berechnung: \( 0{,}92^4 \cdot 0{,}08^2 \approx 0{,}004585 \). 3. Ereignis \( B \): Binomialverteilung mit \( n=6, p=0{,}08 \). \( P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \). \( P(X=0) = 0{,}92^6 \approx 0{,}606355 \) \( P(X=1) = 6 \cdot 0{,}08 \cdot 0{,}92^5 \approx 0{,}316359 \) \( P(X=2) = \binom{6}{2} \cdot 0{,}08^2 \cdot 0{,}92^4 \approx 0{,}068774 \) Summe: \( P(B) \approx 0{,}991488 \). 4. Teilaufgabe b): \( n=50, p=0{,}08 \). \( P(X \ge 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1)) \). \( P(X=0) = 0{,}92^{50} \approx 0{,}015461 \) \( P(X=1) = 50 \cdot 0{,}08 \cdot 0{,}92^{49} \approx 0{,}067251 \) \( P(X \ge 2) \approx 1 - 0{,}082712 = 0{,}917288 \). 5. Teilaufgabe c): Ein Karton ist einwandfrei, wenn alle 3 Gläser fehlerfrei sind. \( p_{karton} = 0{,}92^3 = 0{,}778688 \). 6. Teilaufgabe d): „Mindestens ein“-Problem für Kartons. \( 1 - (1 - 0{,}778688)^n \ge 0{,}95 \). \( 0{,}221312^n \le 0{,}05 \). Logarithmieren: \( n \cdot \ln(0{,}221312) \le \ln(0{,}05) \implies n \ge 1{,}986 \). Es müssen mindestens 2 Kartons untersucht werden. 7. Teilaufgabe e): Gesucht ist \( p \) für \( n=20 \), sodass \( P(X=0) \ge 0{,}90 \). \( (1-p)^{20} \ge 0{,}90 \). \( 1-p \ge 0{,}90^{1/20} \approx 0{,}99475 \). \( p \le 0{,}00525 \). Die Fehlerquote darf höchstens ca. \( 0{,}525\,\% \) betragen.

a) \( P(A) \approx 0{,}46\,\% \); \( P(B) \approx 99{,}15\,\% \) b) \( P(X \ge 2) \approx 91{,}73\,\% \) c) \( P(\text{einwandfrei}) \approx 77{,}87\,\% \) d) Mindestens 2 Kartons. e) Die Fehlerquote darf höchstens \( 0{,}525\,\% \) betragen.

- Überlege dir bei Teilaufgabe c), wie du die Gesamtwahrscheinlichkeit aus den Wahrscheinlichkeiten der beiden unabhängigen Teilstrecken zusammensetzt. - Bei der Suche nach der Mindestanzahl \( n \) hilft das Gegenereignis, bei dem kein einziger Samen keimt. - Wenn nach einer Wahrscheinlichkeit \( p \) gefragt ist, stelle eine Gleichung oder Ungleichung auf, in der \( p \) die Basis einer Potenz ist.

1. Teilaufgabe a): Binomialverteilung mit \( n=5, p=0{,}75 \). \( P(X=4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}75^4 \cdot 0{,}25^1 = 5 \cdot 0{,}31640625 \cdot 0{,}25 \approx 0{,}3955 \). 2. Teilaufgabe b): \( P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5) \). \( P(X=5) = 0{,}75^5 \approx 0{,}2373 \). \( P(X \ge 4) \approx 0{,}3955 + 0{,}2373 = 0{,}6328 \). 3. Teilaufgabe c): Unabhängige Ereignisse. \( P(\text{erste 3 keimen}) = 0{,}75^3 = 0{,}421875 \). Für die restlichen 7: \( Y \sim B(7; 0{,}75) \). \( P(Y \ge 4) = P(Y=4)+P(Y=5)+P(Y=6)+P(Y=7) \). \( P(Y=4) = \binom{7}{4} \cdot 0{,}75^4 \cdot 0{,}25^3 \approx 0{,}1730 \). \( P(Y=5) = \binom{7}{5} \cdot 0{,}75^5 \cdot 0{,}25^2 \approx 0{,}3115 \). \( P(Y=6) = \binom{7}{6} \cdot 0{,}75^6 \cdot 0{,}25^1 \approx 0{,}3115 \). \( P(Y=7) = 0{,}75^7 \approx 0{,}1335 \). \( P(Y \ge 4) \approx 0{,}1730 + 0{,}3115 + 0{,}3115 + 0{,}1335 = 0{,}9295 \). Gesamtwahrscheinlichkeit: \( 0{,}421875 \cdot 0{,}9295 \approx 0{,}3921 \). 4. Teilaufgabe d): „Mindestens ein“-Problem. \( 1 - 0{,}25^n \ge 0{,}99 \implies 0{,}25^n \le 0{,}01 \). \( n \cdot \ln(0{,}25) \le \ln(0{,}01) \implies n \ge 3{,}32 \). Er muss mindestens 4 Samen pflanzen. 5. Teilaufgabe e): Gesucht ist \( p \) für \( n=10 \), sodass \( P(X=10) \ge 0{,}95 \). \( p^{10} \ge 0{,}95 \). \( p \ge 0{,}95^{1/10} \approx 0{,}99488 \). Die Keimrate muss mindestens \( 99{,}488\,\% \) betragen.

a) \( P(X=4) \approx 39{,}55\,\% \) b) \( P(X \ge 4) \approx 63{,}28\,\% \) c) \( P \approx 39{,}21\,\% \) d) Mindestens 4 Samen. e) Die Keimrate muss mindestens \( 99{,}488\,\% \) betragen.

- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg einer einzelnen Serie. Achte dabei auf die Bedingung „mindestens 3“. - Wenn du die Erfolgswahrscheinlichkeit für eine Serie hast, kannst du das Problem als neue Bernoulli-Kette mit 10 Versuchen auffassen. - Was bedeutet „mindestens 9“ für die mögliche Anzahl der erfolgreichen Serien? - Nutze die Formel für die Binomialverteilung für die gesuchten Einzelfälle.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(p_E\), dass eine einzelne Serie erfolgreich ist (mindestens 3 Treffer bei 4 Würfen): \(p_E = P(K=3) + P(K=4) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}7^3 \cdot 0{,}3^1 + \binom{4}{4} \cdot 0{,}7^4 = 4 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}3 + 0{,}2401 = 0{,}4116 + 0{,}2401 = 0{,}6517\). 2. Definition der Zufallsgröße \(Y\) als Anzahl der erfolgreichen Serien bei insgesamt \(n = 10\) Versuchen. \(Y\) ist binomialverteilt mit \(B(10; 0{,}6517)\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für „mindestens 9“: \(P(Y \ge 9) = P(Y=9) + P(Y=10)\). 4. Anwendung der Bernoulli-Formel: \(P(Y=9) = \binom{10}{9} \cdot 0{,}6517^9 \cdot (1-0{,}6517)^1 \approx 0{,}07386\). \(P(Y=10) = \binom{10}{10} \cdot 0{,}6517^{10} \cdot (1-0{,}6517)^0 \approx 0{,}01382\). 5. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(P(Y \ge 9) \approx 0{,}07386 + 0{,}01382 = 0{,}08768\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(8{,}77\,\%\) (ca. \(0{,}0877\)).

- Bestimme zuerst die statistischen Kennwerte für die ursprüngliche Fehlerquote. - Formuliere die Bedingung für eine „erkannte Verbesserung“ als mathematische Ungleichung für die Anzahl der Defekte. - Achte darauf, den Schwellenwert korrekt auf eine ganze Zahl abzurunden, da es sich um eine diskrete Anzahl handelt. - Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit für den Fall, dass die neue Quote bereits gilt, aber das Ergebnis oberhalb der Erfolgsschwelle liegt.

1. Berechnung der Kenngrößen für den alten Zustand (\(n = 250\), \(p_0 = 0{,}08\)): \(\mu_0 = 250 \cdot 0{,}08 = 20\) \(\sigma_0 = \sqrt{250 \cdot 0{,}08 \cdot 0{,}92} = \sqrt{18{,}4} \approx 4{,}2895\) 2. Bestimmung der Entscheidungsgrenze: Anforderung: \(X \le \mu_0 - 1{,}5 \cdot \sigma_0\) \(20 - 1{,}5 \cdot 4{,}2895 = 20 - 6{,}4343 = 13{,}5657\) Eine Verbesserung wird also bei \(X \le 13\) erkannt. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Ausbleiben der Erkennung unter der Bedingung \(p_1 = 0{,}04\): Gesucht ist \(P(X > 13)\) für \(X \sim B(250; 0{,}04)\). \(P(X \le 13) \approx 0{,}8690\) (kumulierte Binomialverteilung) \(P(X > 13) = 1 - P(X \le 13) \approx 1 - 0{,}8690 = 0{,}1310\) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Verbesserung nicht erkannt wird, liegt bei ca. \(13{,}10\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(13{,}10\,\%\).

- Ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit für „mindestens 3“ direkt zu berechnen oder das Gegenereignis zu verwenden? - Welche Fälle gehören zum Gegenereignis? - Vergleiche die berechnete Wahrscheinlichkeit mit der vorgegebenen Grenze von \(5\,\%\).

Das Experiment kann als Bernoulli-Kette mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}01\) modelliert werden. Gesucht ist \(P(X \ge 3)\). 1. \(P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]\). 2. \(P(X=0) = 0{,}99^{100} \approx 0{,}3660\), \(P(X=1) = 100 \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}99^{99} \approx 0{,}3697\) und \(P(X=2) = \binom{100}{2} \cdot 0{,}01^2 \cdot 0{,}99^{98} \approx 0{,}1849\). 3. Damit ist \(P(X \le 2) \approx 0{,}9206\). 4. Also gilt \(P(X \ge 3) \approx 1 - 0{,}9206 = 0{,}0794\), also etwa \(7{,}94\,\%\). 5. Da \(7{,}94\,\% > 5\,\%\) gilt, wird die Behauptung nach dem vorgegebenen Kriterium nicht verworfen.

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(7{,}94\,\%\). Da sie über der vorgegebenen Grenze von \(5\,\%\) liegt, wird die Behauptung des Herstellers nicht verworfen.

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für einen der drei Sektoren bei einem fairen Rad? - Was bedeutet „höchstens 4“ für die möglichen Ergebnisse? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für eine Kette von Ergebnissen bei der Binomialverteilung? - Vergleiche deinen berechneten Prozentwert mit dem vorgegebenen Schwellenwert.

1. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Treffer bei \(n = 30\) Versuchen mit \(p = \frac{1}{3}\). Gesucht ist \(P(X \le 4)\). Die Einzelwahrscheinlichkeiten sind: \(P(X=0) \approx 0{,}000005\) \(P(X=1) \approx 0{,}000078\) \(P(X=2) \approx 0{,}000567\) \(P(X=3) \approx 0{,}002647\) \(P(X=4) \approx 0{,}008932\) Die Summe ergibt \(P(X \le 4) \approx 0{,}0122\), also ca. \(1{,}22\,\%\). 2. Da \(1{,}22\,\% < 5\,\%\) gilt, ist die Beobachtung nach dem vorgegebenen Kriterium signifikant selten und stützt die Vermutung, dass die Zahl 3 seltener erscheint.

1. \(P(X \le 4) \approx 1{,}22\,\%\) 2. Ja, die Vermutung wird gestützt, da \(1{,}22\,\% < 5\,\%\) ist.

- Hier ist die Trefferwahrscheinlichkeit für die Nutzung eines Autos bereits gegeben. - Du suchst die Anzahl der Versuche \(n\), bei der die kumulierte Wahrscheinlichkeit bis zum Wert 20 noch groß genug ist. - Probiere verschiedene Werte für die Anzahl der Mitarbeiter aus oder nutze eine Tabelle deiner Wahl. - Achte darauf, dass die Wahrscheinlichkeit, kein Auto zu bekommen, unter \(5\,\%\) bleiben muss.

1. Identifikation der Parameter: Die Kapazität ist \(k = 20\). Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mitarbeiter ein Auto benötigt, ist \(p = 0{,}1\). 2. Modellierung: Die Anzahl der benötigten Autos \(X\) bei \(n\) Mitarbeitern erfüllt \(X \sim B(n; 0{,}1)\). 3. Bedingung aufstellen: Es muss gelten \(P(X \le 20) \ge 0{,}95\). 4. Systematisches Probieren oder Nutzen von Tabellen/TR: - Für \(n = 143\): \(P(X \le 20) \approx 0{,}9524\) - Für \(n = 144\): \(P(X \le 20) \approx 0{,}9493\) 5. Ergebnis: Der größte Wert für \(n\), der die Bedingung erfüllt, ist \(n = 143\).

Es können höchstens \(143\) Mitarbeiter für das Programm zugelassen werden.

- Überlege dir, warum dieses Experiment als Bernoulli-Kette mit \(n = 5\) beschrieben werden kann. - Was ist die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Ereignis „blau“ bei einem einzelnen Dreh? - Welche Werte kann die Zufallsgröße \(X\) annehmen, wenn wir nach „höchstens einmal“ fragen? - Welche Werte kann \(X\) annehmen, wenn wir nach „mindestens dreimal“ fragen? - Nutze die Formel von Bernoulli, um die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Trefferzahlen zu berechnen und addiere sie passend.

1. Modellierung als Bernoulli-Kette: Da das Glücksrad fünf gleich große Sektoren besitzt und zwei davon blau sind, ist die Wahrscheinlichkeit für „blau“ bei einem einzelnen Dreh \(p = \frac{2}{5} = 0{,}4\). Die Gegenwahrscheinlichkeit für „nicht blau“ (gelb) ist \(q = 1 - p = 0{,}6\). Die Anzahl der Versuche ist \(n = 5\). Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit den Parametern \(n = 5\) und \(p = 0{,}4\). 2. Berechnung für Teilaufgabe a): Gesucht ist \(P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)\). Mithilfe der Formel von Bernoulli berechnet man die Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X = 0) = \binom{5}{0} \cdot 0{,}4^0 \cdot 0{,}6^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}07776 = 0{,}07776\) \(P(X = 1) = \binom{5}{1} \cdot 0{,}4^1 \cdot 0{,}6^4 = 5 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}1296 = 0{,}2592\) Daraus ergibt sich: \(P(X \le 1) = 0{,}07776 + 0{,}2592 = 0{,}33696\) (bzw. \(33{,}696\,\%\)). 3. Berechnung für Teilaufgabe b): Gesucht ist \(P(X \ge 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)\). Die Einzelwahrscheinlichkeiten lauten: \(P(X = 3) = \binom{5}{3} \cdot 0{,}4^3 \cdot 0{,}6^2 = 10 \cdot 0{,}064 \cdot 0{,}36 = 0{,}2304\) \(P(X = 4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}4^4 \cdot 0{,}6^1 = 5 \cdot 0{,}0256 \cdot 0{,}6 = 0{,}0768\) \(P(X = 5) = \binom{5}{5} \cdot 0{,}4^5 \cdot 0{,}6^0 = 1 \cdot 0{,}01024 \cdot 1 = 0{,}01024\) Daraus ergibt sich: \(P(X \ge 3) = 0{,}2304 + 0{,}0768 + 0{,}01024 = 0{,}31744\) (bzw. \(31{,}744\,\%\)).

a) \(0{,}33696\) (oder \(33{,}696\,\%\)) b) \(0{,}31744\) (oder \(31{,}744\,\%\))

- Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein Zufallsexperiment als Bernoulli-Kette bezeichnet werden kann? - Für die kumulative Wahrscheinlichkeit musst du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Trefferzahlen addieren. - Überlege dir für den letzten Teil alle möglichen Abfolgen der Farben, die die Bedingung erfüllen, und berechne deren Wahrscheinlichkeiten mit der Pfadregel.

1. Begründung und Parameter: Die einzelnen Drehungen sind unabhängig voneinander, und die Wahrscheinlichkeit für ein rotes Feld bleibt bei jedem Versuch konstant (\(p = \frac{2}{8} = 0{,}25\)). Damit ist \(X\) binomialverteilt mit den Parametern \(n = 10\) und \(p = 0{,}25\). 2. Kumulative Wahrscheinlichkeit: \(P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\). - \(P(X=0) = \binom{10}{0} \cdot 0{,}25^0 \cdot 0{,}75^{10} \approx 0{,}0563\) - \(P(X=1) = \binom{10}{1} \cdot 0{,}25^1 \cdot 0{,}75^9 \approx 0{,}1877\) - \(P(X=2) = \binom{10}{2} \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^8 \approx 0{,}2816\) - Summe: \(0{,}0563 + 0{,}1877 + 0{,}2816 = 0{,}5256\). 3. Teilaufgabe c) (Blau mit \(p_B = \frac{2}{8} = 0{,}25\)): Gesucht sind Pfade mit genau zwei blauen Feldern, die benachbart sind, bei 4 Drehungen. Die günstigen Pfade sind: BBNN, NBBN, NNBB (wobei N für „nicht Blau“ steht). 4. Berechnung der Pfadwahrscheinlichkeiten: Jeder dieser 3 Pfade hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}25^2 \cdot 0{,}75^2 = 0{,}0625 \cdot 0{,}5625 = 0{,}03515625\). 5. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(3 \cdot 0{,}03515625 = 0{,}10546875\).

a) \(X\) ist binomialverteilt, da die Versuche unabhängig sind und die Trefferwahrscheinlichkeit konstant bleibt. Parameter: \(n = 10\); \(p = 0{,}25\). b) \(P(X \le 2) \approx 0{,}5256\) (bzw. \(52{,}56\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}10546875\) (ca. \(10{,}55\,\%\)).