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- Überlege dir, wie man die Wahrscheinlichkeit für genau null Treffer mit der Bernoullikette berechnet. - Was ist das Gegenereignis zu „mindestens ein Treffer“? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, eine Unbekannte aus dem Exponenten zu holen? - Denk daran, dass die Anzahl der Versuche immer eine ganze Zahl sein muss.

1. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 1 - p = 0{,}65\). 2. Zu a): Ansatz \(P(X = 0) \le 0{,}15\) führt zu \(0{,}65^n \le 0{,}15\). Anwendung des Logarithmus ergibt \(n \cdot \ln(0{,}65) \le \ln(0{,}15)\). Da \(\ln(0{,}65) < 0\), dreht sich das Relationszeichen: \(n \ge \frac{\ln(0{,}15)}{\ln(0{,}65)} \approx 4{,}40\). Somit ist \(n \ge 5\). 3. Zu b): Ansatz \(P(X \ge 1) \ge 0{,}95\) ist äquivalent zu \(1 - P(X = 0) \ge 0{,}95\), also \(P(X = 0) \le 0{,}05\). 4. Lösen der Ungleichung \(0{,}65^n \le 0{,}05\) mittels Logarithmus: \(n \ge \frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}65)} \approx 6{,}95\). Somit ist \(n \ge 7\).

a) \(n \ge 5\) b) \(n \ge 7\)

- Überlege zuerst, welche Werte für \(n\) und \(p\) in diesem Zufallsexperiment gelten. - Erinnere dich an den Unterschied zwischen einer Punktwahrscheinlichkeit und einer kumulierten Wahrscheinlichkeit. - Wie kannst du die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich (von ... bis ...) mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion ausdrücken? - Nutze die entsprechenden Funktionen deines Taschenrechners für die Binomialverteilung.

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 15\) und \(p = \frac{1}{6}\). 1. Berechnung der Punktwahrscheinlichkeit \(P(X = 3) = B(15; \frac{1}{6}; 3) = \binom{15}{3} \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^{12} \approx 0{,}2363\). 2. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 4) = F(15; \frac{1}{6}; 4) = \sum_{i=0}^{4} B(15; \frac{1}{6}; i) \approx 0{,}9102\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für ein Intervall \(P(2 \le X \le 5) = P(X \le 5) - P(X \le 1) = F(15; \frac{1}{6}; 5) - F(15; \frac{1}{6}; 1) \approx 0{,}9726 - 0{,}2596 = 0{,}7130\).

1. \(P(X = 3) \approx 0{,}2363\) 2. \(P(X \le 4) \approx 0{,}9102\) 3. \(P(2 \le X \le 5) \approx 0{,}7130\)

- Schreibe die Definition von \(F(k)\) und \(F(k-1)\) als Summen von Einzelwahrscheinlichkeiten auf. - Welche einzelnen Ergebnisse \(X=i\) werden bei \(F(k)\) berücksichtigt, die bei \(F(k-1)\) fehlen? - Was bleibt übrig, wenn du von einer Summe bis \(k\) alle Teile abziehst, die bereits in der Summe bis \(k-1\) enthalten sind?

1. Definition der kumulativen Verteilungsfunktion als Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(F(k) = \sum_{i=0}^{k} P(X = i) = P(X=0) + P(X=1) + \dots + P(X=k)\). 2. Entsprechend gilt für den vorherigen Wert: \(F(k-1) = \sum_{i=0}^{k-1} P(X = i) = P(X=0) + P(X=1) + \dots + P(X=k-1)\). 3. Die Differenz \(F(k) - F(k-1)\) entspricht somit der Differenz der beiden Summen: \((P(X=0) + \dots + P(X=k)) - (P(X=0) + \dots + P(X=k-1))\). 4. Alle Summanden bis auf den letzten heben sich gegenseitig auf, sodass lediglich \(P(X = k)\) übrig bleibt. 5. Da \(P(X = k) = B(n; p; k)\) ist, folgt die Behauptung \(F(k) - F(k-1) = B(n; p; k)\).

Die Differenz \(F(k) - F(k-1)\) subtrahiert die Summe der Wahrscheinlichkeiten bis \(k-1\) von der Summe bis \(k\). Übrig bleibt genau die Einzelwahrscheinlichkeit für das Ergebnis \(k\), also \(P(X=k) = B(n; p; k)\).

- Welche Werte nehmen \(n\) und \(p\) in diesem Zufallsexperiment an? - Kannst du das Ereignis „weniger als 175“ auch anders ausdrücken, indem du „höchstens“ verwendest? - Denke daran, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses und seines Gegenereignisses immer 1 ergibt.

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 200\), \(p = 0{,}8\). 2. Berechnung von \(P(E) = P(X = 165) = \binom{200}{165} \cdot 0{,}8^{165} \cdot 0{,}2^{35} \approx 0{,}0495\). 3. Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeit für \(F\): \(P(155 \le X \le 170) = P(X \le 170) - P(X \le 154) \approx 0{,}9717 - 0{,}1651 = 0{,}8066\). 4. Analyse des Terms \(1 - P(X \ge 175)\): Das Gegenereignis zu „mindestens 175“ ist „höchstens 174“. Im Sachzusammenhang bedeutet dies die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 200 Bäumen höchstens 174 (oder weniger als 175) Kiefern sind.

a) \(P(E) \approx 4{,}95\,\%\); \(P(F) \approx 80{,}66\,\%\) b) Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass sich unter den \(200\) untersuchten Bäumen höchstens \(174\) (oder weniger als \(175\)) Kiefern befinden.

- Identifiziere zuerst die Parameter n und p für die Binomialverteilung. - Überlege dir bei „mindestens“-Aufgaben, welche Fälle nicht eintreten dürfen. - Was bedeutet stochastische Unabhängigkeit für die Wahrscheinlichkeit aufeinanderfolgender Ereignisse?

1. Modellierung durch eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit \(n = 50\) und \(p = 0{,}04\). Für (1) Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeit: \(P(X = 2) = \binom{50}{2} \cdot 0{,}04^2 \cdot 0{,}96^{48} \approx 0{,}2762\). 2. Für (2) Nutzung des Gegenereignisses: \(P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3) \approx 1 - 0{,}8609 = 0{,}1391\). 3. Für (3) direkte Bestimmung der kumulierten Wahrscheinlichkeit: \(P(X \le 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) \approx 0{,}1299 + 0{,}2706 + 0{,}2762 + 0{,}1842 = 0{,}8609\). 4. Unter der Annahme eines stabilen Produktionsprozesses sind die Defekte einzelner Bauteile unabhängig voneinander. Die Wahrscheinlichkeit für einen Defekt beim nächsten Bauteil entspricht der Grundwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}04\).

a) (1) \(P(X = 2) \approx 0{,}2762\) (2) \(P(X \ge 4) \approx 0{,}1391\) (3) \(P(X \le 3) \approx 0{,}8609\) b) \(P(\text{defekt}) = 0{,}04\)

- Welche Verteilung liegt hier vor und was sind ihre Kennzahlen? - Kannst du den gesuchten Bereich als Ungleichung für die Zufallsgröße aufschreiben? - Wie nutzt man die kumulative Verteilungsfunktion, um die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich zwischen zwei Werten zu finden? - Welchen Wert musst du abziehen, damit die untere Grenze (12) noch im Ergebnis enthalten ist?

1. Modellierung der Zufallsgröße \(X\) als binomialverteilt mit \(n = 120\) und \(p = 0{,}15\). 2. Aufstellen der gesuchten Wahrscheinlichkeit für das Intervall: \(P(12 \le X \le 24)\). 3. Umformung in kumulative Wahrscheinlichkeiten: \(P(12 \le X \le 24) = P(X \le 24) - P(X \le 11)\). 4. Ermittlung der Tabellenwerte für \(B(120; 0{,}15)\): \(P(X \le 24) \approx 0{,}9516\) und \(P(X \le 11) \approx 0{,}0464\). 5. Berechnung des Ergebnisses: \(0{,}9516 - 0{,}0464 = 0{,}9052\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(90{,}52\,\%\).

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelnes Leuchtmittel intakt ist? - Kannst du die Situation mit einer Formel für wiederholte Zufallsexperimente beschreiben? - Bei „mindestens einem“ Defekt: Ist es einfacher, alle Möglichkeiten direkt zu berechnen oder über das Gegenteil nachzudenken? - Was ist das Gegenteil von „mindestens ein Defekt“?

Das Zufallsexperiment kann als Bernoulli-Kette mit \(n = 8\) und der Fehlerwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}05\) (Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 0{,}95\)) modelliert werden. 1. Alle einwandfrei (0 Defekte): \(P(X=0) = 0{,}95^8 \approx 0{,}6634\). 2. Genau 2 defekt: \(P(X=2) = \binom{8}{2} \cdot 0{,}05^2 \cdot 0{,}95^6 = 28 \cdot 0{,}0025 \cdot 0{,}73509 \approx 0{,}0515\). 3. Mindestens ein defekt: Nutze das Gegenereignis „kein Leuchtmittel ist defekt“. \(P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0{,}95^8 \approx 1 - 0{,}6634 = 0{,}3366\).

a) ca. \(66{,}34\,\%\) b) ca. \(5{,}15\,\%\) c) ca. \(33{,}66\,\%\)

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes fehlerhaftes Bauteil ist. - Was bedeutet „höchstens ein fehlerhaftes Teil“ für die mögliche Anzahl der Fehler? - Kannst du das Problem als eine Kette von unabhängigen Versuchen betrachten? - Welche Formel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für eine genaue Anzahl an Erfolgen in einer solchen Kette zu berechnen?

1. Identifikation der Verteilung: Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 10\) Versuchen und einer Erfolgswahrscheinlichkeit (Teil fehlerhaft) von \(p = 0{,}1\). 2. Bestimmung der gesuchten Wahrscheinlichkeit: Gesucht ist \(P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)\). 3. Berechnung von \(P(X = 0)\): \(P(X = 0) = \binom{10}{0} \cdot 0{,}1^0 \cdot 0{,}9^{10} = 0{,}9^{10} \approx 0{,}3487\). 4. Berechnung von \(P(X = 1)\): \(P(X = 1) = \binom{10}{1} \cdot 0{,}1^1 \cdot 0{,}9^9 = 10 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^9 = 0{,}9^9 \approx 0{,}3874\). 5. Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X \le 1) \approx 0{,}3487 + 0{,}3874 = 0{,}7361\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(73{,}61\,\%\) (exakt \(0{,}7360989291\)).

- Welche Parameter \(n\) und \(p\) kennzeichnen diesen Zufallsversuch? - Erinnere dich an die Formel von Bernoulli für Einzelwahrscheinlichkeiten. - Was bedeutet der Begriff „höchstens“ mathematisch für die Summenbildung? - Kannst du das Gegenereignis nutzen, um die Rechnung bei „mindestens“ zu verkürzen?

1. Es liegt eine Binomialverteilung mit \(n = 6\) und \(p = 0{,}2\) vor. Die Einzelwahrscheinlichkeiten berechnen sich nach \(P(X = k) = \binom{6}{k} \cdot 0{,}2^k \cdot 0{,}8^{6-k}\). 2. Berechnung der Tabellenwerte: \(P(X=0) \approx 0{,}2621\); \(P(X=1) \approx 0{,}3932\); \(P(X=2) \approx 0{,}2458\); \(P(X=3) \approx 0{,}0819\); \(P(X=4) \approx 0{,}0154\); \(P(X=5) \approx 0{,}0015\); \(P(X=6) \approx 0{,}0001\). 3. Berechnung für (1): \(P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0{,}2621 + 0{,}3932 + 0{,}2458 = 0{,}9011\). 4. Berechnung für (2): \(P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0{,}2621 = 0{,}7379\).

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table border="1"> <tr><td>\(k\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td></tr> <tr><td>\(P(X=k)\)</td><td>\(0{,}2621\)</td><td>\(0{,}3932\)</td><td>\(0{,}2458\)</td><td>\(0{,}0819\)</td><td>\(0{,}0154\)</td><td>\(0{,}0015\)</td><td>\(0{,}0001\)</td></tr> </table> b) (1) \(P(X \le 2) \approx 0{,}9011\) (bzw. \(90{,}11\,\%\)); (2) \(P(X \ge 1) \approx 0{,}7379\) (bzw. \(73{,}79\,\%\)).

- Überlege dir, wie du Ereignisse wie „mehr als“ mithilfe des Gegenereignisses „höchstens“ ausdrücken kannst. - Beachte bei Intervallen, welche Werte genau eingeschlossen sind und welche abgezogen werden müssen, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten. - Nutze die kumulierte Verteilungsfunktion \(F(n; p; k) = P(X \le k)\).

1. Berechnung von \(P(X \le 4)\) durch direktes Ablesen aus der Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung oder per CAS: \(P(X \le 4) \approx 0{,}2552\). 2. Bestimmung der Gegenwahrscheinlichkeit für \(P(X > 8)\): \(1 - P(X \le 8) \approx 1 - 0{,}8713 = 0{,}1287\). 3. Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeit \(P(5 \le X \le 10)\) als Differenz zweier kumulierter Wahrscheinlichkeiten: \(P(X \le 10) - P(X \le 4) \approx 0{,}9744 - 0{,}2552 = 0{,}7192\).

a) \(P(X \le 4) \approx 0{,}2552\) b) \(P(X > 8) \approx 0{,}1287\) c) \(P(5 \le X \le 10) \approx 0{,}7192\)

- Wie berechnet man den Erwartungswert bei einer Binomialverteilung? - Welche Formel nutzt du für die Standardabweichung? - Was bedeutet „um höchstens 5 abweichen“ mathematisch für das Intervall? - Wie kannst du die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion \(P(X \le k)\) ausdrücken?

1. Der Erwartungswert berechnet sich durch \(\mu = n \cdot p = 150 \cdot 0{,}4 = 60\). Die Standardabweichung ergibt sich aus \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{150 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6} = \sqrt{36} = 6\). 2. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit \(P(\mu - 5 \le X \le \mu + 5) = P(55 \le X \le 65)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich: \(P(55 \le X \le 65) = P(X \le 65) - P(X \le 54) \approx 0{,}8206 - 0{,}1799 = 0{,}6407\).

1. \(\mu = 60\); \(\sigma = 6\) 2. \(P(55 \le X \le 65) \approx 0{,}6407\) (\(64{,}07\,\%\))

- Welche Wahrscheinlichkeit \(p\) ergibt sich für einen der vier Sektoren? - Was bedeutet „mehr als 12“ für die untere Grenze, wenn du mit der kumulierten Verteilungsfunktion arbeitest? - Wie verhält es sich mit der Grenze bei „weniger als 5“? Welche ganze Zahl ist die größte, die noch dazu gehört? - Kannst du die Intervallwahrscheinlichkeit als Differenz zweier „höchstens“-Wahrscheinlichkeiten ausdrücken?

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 40\) und \(p = 0{,}25\). 1. Berechnung von \(P(X > 12)\) über das Gegenereignis: \(P(X > 12) = 1 - P(X \le 12) \approx 1 - 0{,}8209 = 0{,}1791\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Intervall \([8; 12]\): \(P(8 \le X \le 12) = P(X \le 12) - P(X \le 7) \approx 0{,}8209 - 0{,}1820 = 0{,}6389\). 3. Berechnung von \(P(X < 5)\): Da \(X\) nur ganzzahlige Werte annimmt, entspricht dies \(P(X \le 4) \approx 0{,}0160\).

a) \(P(X > 12) \approx 17{,}91\,\%\) b) \(P(8 \le X \le 12) \approx 63{,}89\,\%\) c) \(P(X < 5) \approx 1{,}60\,\%\)

- Was genau bedeutet es im Kontext der Aufgabe, dass „alle einen Sitzplatz erhalten“? - Bestimme die Parameter \(n\) und \(p\) für die Binomialverteilung. Achte darauf, ob \(p\) das Erscheinen oder das Fernbleiben beschreibt. - Musst du hier eine Einzelwahrscheinlichkeit oder eine Summe von Wahrscheinlichkeiten berechnen? - Gibt es einen direkten Weg über die Tabellen der kumulierten Binomialverteilung oder den Taschenrechner?

1. Definition der Zufallsgröße \(Y\) als die Anzahl der erscheinenden Passagiere. \(Y\) ist binomialverteilt mit \(n = 54\) und der Wahrscheinlichkeit für das Erscheinen \(p = 1 - 0{,}10 = 0{,}90\). 2. Alle Passagiere finden einen Platz, wenn die Anzahl der Erschienenen höchstens der Kapazität von \(50\) Plätzen entspricht. Gesucht ist \(P(Y \le 50)\). 3. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit \(P(Y \le 50) = \sum_{i=0}^{50} B(54; 0{,}90; i)\). 4. Der Wert der kumulierten Verteilungsfunktion \(F(54; 0{,}90; 50)\) beträgt ca. \(0{,}8015\). 5. Somit erhalten mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa \(80{,}15\,\%\) alle anwesenden Passagiere einen Sitzplatz.

Die Wahrscheinlichkeit, dass alle erscheinenden Passagiere einen Sitzplatz erhalten, beträgt ca. \(80{,}15\,\%\).

- Was bedeutet das Wort „oder“ für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten? - Überlege dir, welche Zahlenwerte für \(k\) bei „mindestens vier“ gemeint sind. - Wie hängen die Ereignisse „mindestens vier“ und „höchstens drei“ zusammen? - Wenn du die Gesamtwahrscheinlichkeit aller möglichen Ergebnisse kennst, wie kannst du den Rest berechnen?

1. Berechnung von \(P(A)\): Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten für \(k = 5\) und \(k = 6\): \(0{,}3932 + 0{,}2621 = 0{,}6553\). 2. Berechnung von \(P(B)\): Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten für \(k = 4\), \(k = 5\) und \(k = 6\): \(0{,}2458 + 0{,}3932 + 0{,}2621 = 0{,}9011\). 3. Berechnung von \(P(C)\): Identifikation von Ereignis C als Gegenereignis zu Ereignis B: \(1 - P(B) = 1 - 0{,}9011 = 0{,}0989\).

\(P(A) = 0{,}6553\) \(P(B) = 0{,}9011\) \(P(C) = 0{,}0989\)

- Welche einzelnen Fälle gehören zum Ereignis „höchstens zwei“? - Kannst du eine Verbindung zwischen dem Ereignis „höchstens zwei“ und „mehr als zwei“ finden? - Wie groß ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einem Zufallsexperiment? - Überlege, ob du für das letzte Ereignis alle fehlenden Einzelwerte kennen musst oder ob es einen kürzeren Weg gibt.

1. Berechnung von \(P(E)\): Summe der Wahrscheinlichkeiten für \(k = 0\) und \(k = 1\): \(0{,}3585 + 0{,}3774 = 0{,}7359\). 2. Berechnung von \(P(F)\): Summe der Wahrscheinlichkeiten für \(k = 0\), \(k = 1\) und \(k = 2\): \(0{,}3585 + 0{,}3774 + 0{,}1887 = 0{,}9246\). 3. Berechnung von \(P(G)\): Anwendung der Gegenereignisregel, da \(G\) das Gegenereignis zu \(F\) ist: \(1 - P(F) = 1 - 0{,}9246 = 0{,}0754\).

\(P(E) = 0{,}7359\) \(P(F) = 0{,}9246\) \(P(G) = 0{,}0754\)

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, bei einem einzelnen Versuch keinen Hauptgewinn zu erzielen. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass bei mehreren Versuchen hintereinander ausschließlich Nieten auftreten? - Betrachte das Ereignis „mindestens ein Erfolg“ als Gegenteil zu „gar kein Erfolg“. - Du kannst die passende Anzahl durch Ausprobieren verschiedener Werte für die Versuchsanzahl finden oder eine Ungleichung lösen.

1. Bestimmung der Erfolgswahrscheinlichkeit für einen Hauptgewinn: \(p = \frac{1}{10} = 0{,}1\). Die Wahrscheinlichkeit für eine Niete beträgt \(q = 1 - p = 0{,}9\). 2. Aufstellen der Bedingung für das Ereignis „mindestens ein Hauptgewinn“ bei \(n\) Drehungen: \(P(X \ge 1) \ge 0{,}95\). 3. Nutzung des Gegenereignisses: \(1 - P(X = 0) \ge 0{,}95\), was zu \(0{,}9^n \le 0{,}05\) führt. 4. Lösen der Ungleichung durch Logarithmieren oder systematisches Probieren: \(n \cdot \ln(0{,}9) \le \ln(0{,}05)\). Da \(\ln(0{,}9)\) negativ ist, dreht sich das Relationszeichen: \(n \ge \frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}9)} \approx 28{,}43\). 5. Da \(n\) eine natürliche Zahl sein muss, ist das Ergebnis \(n = 29\).

Das Rad muss mindestens \(29\)-mal gedreht werden.

- Überlege dir, aus welchen Einzelwahrscheinlichkeiten sich das Ereignis zusammensetzt. - Welche Formel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer zu berechnen? - Da man die Gleichung nicht einfach nach \(p\) umstellen kann, ist eine Wertetabelle oder die „Solve“-Funktion deines Taschenrechners hilfreich. - Probiere verschiedene Werte für \(p\) aus und schaue, wie sich die Gesamtwahrscheinlichkeit verändert.

1. Ansatz über die kumulierte Binomialverteilung für \(k=1\): \(P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0{,}15\). 2. Aufstellen der Gleichung mit der Bernoulli-Formel: \(\binom{12}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{12} + \binom{12}{1} \cdot p^1 \cdot (1-p)^{11} = 0{,}15\). 3. Vereinfachung der Gleichung: \((1-p)^{12} + 12 \cdot p \cdot (1-p)^{11} = 0{,}15\). 4. Systematisches Probieren mit Tabellenwerten oder Nutzung einer Lösefunktion des Taschenrechners für \(n=12\). 5. Ergebnisermittlung: Für \(p \approx 0{,}25\) ergibt sich \(P(X \le 1) \approx 0{,}158\), für \(p \approx 0{,}26\) ergibt sich \(P(X \le 1) \approx 0{,}138\). Der Wert \(0{,}25\) liegt näher an \(0{,}15\).

\(p \approx 0{,}25\)

- Überlege dir, wie man die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass ein Ereignis bei mehreren Versuchen nie eintritt. - Welche Formel für die Binomialverteilung hilft dir weiter, wenn die Anzahl der Treffer genau 0 sein soll? - Kannst du die Gleichung durch Ziehen einer Wurzel nach der gesuchten Wahrscheinlichkeit auflösen?

1. Ansatz über die Gegenwahrscheinlichkeit bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n = 8\): Die Wahrscheinlichkeit für null Treffer wird durch \(P(X=0) = (1-p)^8\) beschrieben. 2. Gleichung aufstellen: \((1-p)^8 = 0{,}10\). 3. Nach \(p\) auflösen: \(1-p = \sqrt[8]{0{,}10} \approx 0{,}74989\). 4. Daraus folgt \(p = 1 - 0{,}74989 \approx 0{,}25011\). 5. Gerundet auf zwei Nachkommastellen ergibt sich \(p \approx 0{,}25\).

Die Wahrscheinlichkeit muss etwa \(0{,}25\) (oder \(25\,\%\)) betragen.

- Überlege dir zuerst, durch welche Wahrscheinlichkeitsverteilung die Anzahl der Treffer beschrieben werden kann. - Welche Werte für \(n\) und \(k\) sind in der Aufgabenstellung gegeben? - Wie verändert sich die Gesamtwahrscheinlichkeit, wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) für einen einzelnen Versuch steigt? - Nutze die Tabellenfunktion oder ein Grafikmenü deines Taschenrechners, um verschiedene Werte für \(p\) zu testen.

1. Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl der Treffer) ist binomialverteilt mit \(n = 15\) und der unbekannten Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\). 2. Die Bedingung lautet \(P(X \ge 13) \ge 0{,}75\). 3. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens 13 Treffer setzt sich zusammen aus \(P(X=13) + P(X=14) + P(X=15)\), was der Formel \(\sum_{k=13}^{15} \binom{15}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{15-k}\) entspricht. 4. Durch systematisches Probieren oder die Nutzung der Tabellenfunktion des Taschenrechners für die kumulierte Binomialverteilung sucht man den kleinsten Wert für \(p\), für den \(P(X \ge 13) \approx 0{,}75\) gilt. 5. Die numerische Lösung der Gleichung \(P(X \ge 13) = 0{,}75\) ergibt \(p \approx 0{,}88366\). Gerundet auf drei Nachkommastellen muss die Trefferwahrscheinlichkeit mindestens \(0{,}884\) betragen.

Die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) muss mindestens \(0{,}884\) betragen.

- Überlege dir, welches Ereignis das Gegenteil von „mindestens zwei“ ist. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Erfolge in einer Bernoulli-Kette? - Es hilft oft, die Ungleichung für das Gegenereignis zu betrachten, da diese meist weniger Rechenschritte erfordert. - Wenn du keine direkte Formel zum Auflösen nach \(n\) hast, kannst du Werte für \(n\) in die Wahrscheinlichkeitsformel einsetzen und dich an das Ergebnis herantasten.

1. Identifikation der Zufallsgröße \(X\) als binomialverteilt mit der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}1\) und der unbekannten Anzahl der Versuche \(n\). 2. Aufstellen der Bedingung für die Wahrscheinlichkeit: \(P(X \ge 2) \ge 0{,}80\). 3. Übergang zum Gegenereignis: \(1 - P(X \le 1) \ge 0{,}80\), was gleichbedeutend ist mit \(P(X \le 1) \le 0{,}20\). 4. Einsetzen der Bernoulli-Formel für die kumulierte Wahrscheinlichkeit: \(P(X = 0) + P(X = 1) = \binom{n}{0} \cdot 0{,}1^0 \cdot 0{,}9^n + \binom{n}{1} \cdot 0{,}1^1 \cdot 0{,}9^{n-1} \le 0{,}20\). 5. Vereinfachung des Ausdrucks zu \(0{,}9^n + n \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^{n-1} \le 0{,}20\). 6. Systematisches Probieren oder Nutzen einer Tabelle der Binomialverteilung für verschiedene Werte von \(n\): - Für \(n = 28\): \(P(X \le 1) \approx 0{,}2147 > 0{,}20\) - Für \(n = 29\): \(P(X \le 1) \approx 0{,}1989 \le 0{,}20\) 7. Der kleinste ganzzahlige Wert für \(n\), der die Bedingung erfüllt, ist \(29\).

Es müssen mindestens \(29\) Teile entnommen werden.

- Überlege dir zuerst, welchen Verteilungstyp du für diese Aufgabe verwenden musst. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für „mindestens 8 Treffer“ bei 10 Versuchen? - Du kannst verschiedene Werte für die Erfolgswahrscheinlichkeit in die Formel einsetzen oder eine Wertetabelle mit deinem Taschenrechner erstellen. - Achte darauf, dass die berechnete Gesamtwahrscheinlichkeit den geforderten Schwellenwert nicht unterschreitet.

1. Es handelt sich um ein Bernoulli-Experiment mit \(n = 10\) Versuchen. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Treffer im Goldenen. Gesucht ist die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\), für die gilt: \(P(X \ge 8) \ge 0{,}80\). 2. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \ge 8)\) setzt sich zusammen aus \(P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)\). Unter Verwendung der Binomialverteilung ergibt sich die Bedingung: \(\binom{10}{8} \cdot p^8 \cdot (1-p)^2 + \binom{10}{9} \cdot p^9 \cdot (1-p)^1 + p^{10} \ge 0{,}80\). 3. Durch systematisches Testen von Werten für \(p\) (z. B. mit der Tabellenfunktion des Taschenrechners) ergibt sich: - Für \(p = 0{,}84\): \(P(X \ge 8) \approx 0{,}7935 < 0{,}80\) - Für \(p = 0{,}85\): \(P(X \ge 8) \approx 0{,}8202 \ge 0{,}80\) 4. Die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) muss also mindestens \(0{,}85\) betragen.

\(0{,}85\)

- Welche Zufallsgröße wird hier untersucht und welche Werte kann sie annehmen? - Erinnere dich an die Formel für die kumulierte Binomialverteilung. - Da die Gleichung schwer nach \(p\) aufzulösen ist, ist das Testen von Werten in der Nähe der erwarteten Wahrscheinlichkeit eine gute Strategie. - Nutze die Funktionen deines Taschenrechners für die Binomialverteilung, um die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene \(p\) schnell zu vergleichen.

1. Die Anzahl der einwandfreien Bauteile \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 20\) und der unbekannten Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\). Die Bedingung lautet: \(P(X \ge 18) \ge 0{,}70\). 2. Die kumulierte Wahrscheinlichkeit berechnet sich als \(P(X = 18) + P(X = 19) + P(X = 20)\). Dies entspricht \(\binom{20}{18} \cdot p^{18} \cdot (1-p)^2 + \binom{20}{19} \cdot p^{19} \cdot (1-p)^1 + p^{20}\). 3. Durch systematisches Probieren oder Nutzung der kumulierten Binomialverteilung am Taschenrechner erhält man: - Für \(p = 0{,}90\): \(P(X \ge 18) \approx 0{,}6769 < 0{,}70\) - Für \(p = 0{,}91\): \(P(X \ge 18) \approx 0{,}7334 \ge 0{,}70\) 4. Damit die Bedingung erfüllt ist, muss die Wahrscheinlichkeit für ein einwandfreies Bauteil mindestens \(0{,}91\) betragen.

\(0{,}91\)

- Wie lässt sich das Ereignis „mindestens eine fehlerhafte Tablette“ mithilfe des Gegenereignisses beschreiben? - Welche Formel berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer bestimmten Anzahl von Versuchen kein einziger Treffer erzielt wird? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Wahrscheinlichkeit für null Treffer vorkommt, und löse diese nach der gesuchten Wahrscheinlichkeit auf. - Denke daran, am Ende die Wurzel mit dem passenden Exponenten zu ziehen.

1. Definition der Zufallsgröße: \(X\) ist die Anzahl der fehlerhaften Tabletten in einem Blister mit \(n = 20\). \(X\) ist binomialverteilt mit der unbekannten Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\). 2. Aufstellen der Gleichung für das Gegenereignis: Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Fehler ist \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 0{,}05\). 3. Einsetzen der Formel für \(P(X = 0)\): \(1 - (1 - p)^{20} = 0{,}05\). 4. Umformen der Gleichung: \((1 - p)^{20} = 0{,}95\). 5. Lösen nach \(p\): \(1 - p = \sqrt[20]{0{,}95}\), also \(p = 1 - 0{,}95^{1/20}\). 6. Numerische Berechnung: \(p \approx 1 - 0{,}9974386 \approx 0{,}002561\). 7. Ergebnisrundung: \(p \approx 0{,}0026\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine einzelne Tablette fehlerhaft ist, beträgt etwa \(0{,}0026\) (bzw. \(0{,}26\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, ob die Bedingungen einer Bernoulli-Kette erfüllt sind und welche Verteilung vorliegt. - Bei „genau k“ Ergebnissen hilft die Bernoulli-Formel direkt. - Was bedeutet „höchstens zwei“ für die möglichen Anzahlen von Treffern? - Bei Aufgaben des Typs „mindestens einer mit Wahrscheinlichkeit p“ ist der Blick auf das Gegenereignis „kein einziger“ oft der schnellste Weg. - Um eine Unbekannte im Exponenten zu finden, kann systematisches Probieren oder der Logarithmus helfen.

Die Anzahl der defekten Chips \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}04\). 1. Berechnung für genau einen defekten Chip: \(P(X = 1) = \binom{20}{1} \cdot 0{,}04^1 \cdot 0{,}96^{19} \approx 20 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}4604 \approx 0{,}3683\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(36{,}83\,\%\). 2. Berechnung für höchstens zwei defekte Chips: \(P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\). Es gilt \(P(X=0) = 0{,}96^{20} \approx 0{,}4420\) und \(P(X=2) = \binom{20}{2} \cdot 0{,}04^2 \cdot 0{,}96^{18} \approx 190 \cdot 0{,}0016 \cdot 0{,}4796 \approx 0{,}1458\). Die Summe ergibt \(0{,}4420 + 0{,}3683 + 0{,}1458 = 0{,}9561\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(95{,}61\,\%\). 3. Bestimmung der Mindestanzahl \(n\): Gesucht ist \(n\) mit \(P(X \ge 1) \ge 0{,}99\), also \(1 - 0{,}96^n \ge 0{,}99\). Dies führt zu \(0{,}01 \ge 0{,}96^n\). Logarithmieren ergibt \(n \cdot \ln(0{,}96) \le \ln(0{,}01)\). Da \(\ln(0{,}96)\) negativ ist, dreht sich das Relationszeichen: \(n \ge \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}96)} \approx 112{,}79\). Es müssen also mindestens \(113\) Chips geprüft werden.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(36{,}83\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(95{,}61\,\%\). c) Es müssen mindestens \(113\) Chips geprüft werden.

- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Treffer (Rot) bei einer Drehung. - Für Aufgabenteil b) ist es einfacher, die Fälle zu berechnen, die nicht eintreten sollen, und diese von \(100\,\%\) abzuziehen. - Formuliere bei Aufgabenteil c) das Gegenereignis „keinmal Rot“ und löse die Ungleichung \(1 - 0{,}8^n > 0{,}90\). - Wie verändert sich die Gesamtwahrscheinlichkeit, wenn du die Anzahl der Versuche erhöhst?

Es liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n = 8\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\) vor. 1. Berechnung für genau drei Treffer: \(P(X = 3) = \binom{8}{3} \cdot 0{,}2^3 \cdot 0{,}8^5 = 56 \cdot 0{,}008 \cdot 0{,}32768 \approx 0{,}1468\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(14{,}68\,\%\). 2. Berechnung für mindestens zwei Treffer über das Gegenereignis: \(P(X \ge 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))\). Es ist \(P(X=0) = 0{,}8^8 \approx 0{,}1678\) und \(P(X=1) = 8 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8^7 \approx 0{,}3355\). Somit ist \(P(X \ge 2) \approx 1 - (0{,}1678 + 0{,}3355) = 0{,}4967\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(49{,}67\,\%\). 3. Bestimmung der Anzahl der Drehungen \(n\): \(P(X \ge 1) > 0{,}90 \Rightarrow 1 - 0{,}8^n > 0{,}90 \Rightarrow 0{,}1 > 0{,}8^n\). Durch Logarithmieren oder Probieren erhält man \(n > \frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}8)} \approx 10{,}32\). Das Rad muss somit mindestens \(11\)-mal gedreht werden.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(14{,}68\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(49{,}67\,\%\). c) Das Rad muss mindestens \(11\)-mal gedreht werden.

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Treffer ist. - Für Aufgabenteil b) ist es oft einfacher, die Wahrscheinlichkeit des Gegenteils zu berechnen. - Bei Teil c) kannst du schrittweise die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Anzahlen an richtigen Antworten addieren, bis der gewünschte Wert unterschritten wird.

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 10\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}25\). 1. Berechnung für genau drei Treffer: \(P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot 0{,}25^3 \cdot 0{,}75^7 \approx 0{,}2503\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(25{,}0\,\%\). 2. Berechnung für mindestens einen Treffer über das Gegenereignis: \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}75^{10} \approx 1 - 0{,}0563 = 0{,}9437\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(94{,}4\,\%\). 3. Bestimmung der Bestehensgrenze \(k\), sodass \(P(X \ge k) < 0{,}15\): Durch Summierung der Einzelwahrscheinlichkeiten oder Nutzung einer Tabelle der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich: \(P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3) \approx 1 - (0{,}0563 + 0{,}1877 + 0{,}2816 + 0{,}2503) = 1 - 0{,}7759 = 0{,}2241 > 0{,}15\). \(P(X \ge 5) = P(X \ge 4) - P(X = 4) \approx 0{,}2241 - 0{,}1460 = 0{,}0781 < 0{,}15\). Somit muss man mindestens 5 Antworten richtig haben.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(25{,}0\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(94{,}4\,\%\). c) Der Test sollte ab 5 richtigen Antworten als bestanden gelten.

- Überlege dir bei „mindestens“-Aufgaben, ob es einfacher ist, das Gegenereignis zu berechnen. - Was ist das Gegenereignis zu „mindestens eine Leuchte ist defekt“? - Um eine Unbekannte im Exponenten zu finden, kann der Logarithmus hilfreich sein. - Achte beim Umformen von Ungleichungen darauf, ob sich das Relationszeichen beim Dividieren durch eine negative Zahl umdreht. - Für den Fall „mindestens zwei“ kannst du eine Tabelle deiner Berechnungen oder die Tabellenfunktion deines Taschenrechners nutzen, um den passenden Wert für \(n\) einzugrenzen.

1. Berechnung für \(n = 25\) und \(p = 0{,}04\): Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Defekt berechnet sich über das Gegenereignis zu \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}96^{25} \approx 0{,}6396\). 2. Bestimmung von \(n\) für \(P(X \ge 1) \ge 0{,}90\): Die Ungleichung \(1 - 0{,}96^n \ge 0{,}90\) führt zu \(0{,}96^n \le 0{,}10\). Durch Logarithmieren ergibt sich \(n \cdot \ln(0{,}96) \le \ln(0{,}10)\), woraus \(n \ge \frac{\ln(0{,}10)}{\ln(0{,}96)} \approx 56{,}41\) folgt. Somit sind mindestens \(57\) Leuchten nötig. 3. Bestimmung von \(n\) für \(P(X \ge 2) \ge 0{,}90\): Die Bedingung lautet \(1 - (P(X=0) + P(X=1)) \ge 0{,}90\), also \(1 - (0{,}96^n + n \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}96^{n-1}) \ge 0{,}90\). Durch systematisches Probieren oder Nutzung einer Tabelle der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich für \(n=95\) eine Wahrscheinlichkeit von ca. \(0{,}8978\) und für \(n=96\) eine Wahrscheinlichkeit von ca. \(0{,}9010\). Es müssen also mindestens \(96\) Leuchten getestet werden.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(63{,}96\,\%\). b) Es müssen mindestens \(57\) Leuchten getestet werden. c) Es müssen mindestens \(96\) Leuchten getestet werden.

- Überlege dir, wie du die Anzahl der tatsächlich anreisenden Personen mathematisch beschreiben kannst. - Welches Zufallsexperiment liegt hier vor, wenn jeder Gast unabhängig von den anderen mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit erscheint? - Was bedeutet „mehr als 45 Gäste“ im Hinblick auf die Gegenwahrscheinlichkeit? - Für den zweiten Teil kannst du verschiedene Werte für die Anzahl der angenommenen Reservierungen ausprobieren und die zugehörige Wahrscheinlichkeit berechnen.

1. Identifikation der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der anreisenden Gäste, die binomialverteilt ist mit den Parametern \(n = 52\) und \(p = 0{,}8\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine Überbelegung in Teil a) durch \(P(X > 45) = 1 - P(X \le 45)\). 3. Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 45) \approx 0{,}9177\), woraus folgt: \(P(X > 45) \approx 1 - 0{,}9177 = 0{,}0823\). Die Wahrscheinlichkeit liegt somit bei etwa \(8{,}2\,\%\). 4. Für Teil b) wird die maximale Anzahl an Reservierungen \(n\) gesucht, für die \(P(X > 45) \le 0{,}10\) gilt. 5. Systematisches Testen der Werte für \(n\): Für \(n = 52\) ist \(P(X > 45) \approx 0{,}0823\) (erfüllt). Für \(n = 53\) ergibt sich \(P(X > 45) = 1 - P(X \le 45; n=53, p=0{,}8) \approx 1 - 0{,}8580 = 0{,}1420\) (nicht erfüllt). 6. Das maximale \(n\), welches die Bedingung erfüllt, ist 52.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(8{,}2\,\%\). b) Es dürfen maximal 52 Reservierungen angenommen werden.

- Wie viele Personen dürfen höchstens kommen, damit die vorhandenen Räder ausreichen? - Welche Verteilung eignet sich für „Erscheinen“ oder „Nicht-Erscheinen“? - Was ist das Gegenereignis dazu, dass mindestens eine Person leer ausgeht? - Erhöhe oder verringere die Anzahl der Anmeldungen schrittweise, um den gesuchten Grenzwert zu finden.

1. Modellierung der Anzahl der erscheinenden Personen \(X\) durch eine Binomialverteilung mit \(n = 22\) und \(p = 0{,}75\). 2. Alle Personen erhalten ein Rad, wenn die Anzahl der Erschienenen den Bestand von 18 nicht übersteigt: \(P(X \le 18)\). 3. Berechnung mit der kumulierten Binomialverteilung liefert \(P(X \le 18) \approx 0{,}8376\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt also ca. \(83{,}8\,\%\). 4. In Teil b) wird die Bedingung \(P(X > 18) \le 0{,}05\) gefordert, was äquivalent zu \(P(X \le 18) \ge 0{,}95\) ist. 5. Prüfung der Werte für \(n\): Bei \(n = 20\) ergibt sich \(P(X \le 18) \approx 0{,}9757\) (Bedingung erfüllt). Bei \(n = 21\) ergibt sich \(P(X \le 18) \approx 0{,}9255\) (Bedingung nicht erfüllt). 6. Somit dürfen höchstens 20 Anmeldungen angenommen werden.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(83{,}8\,\%\). b) Es dürfen höchstens 20 Anmeldungen angenommen werden.

- Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der erscheinenden Personen am besten? - Was bedeutet „überbucht“ in Bezug auf die Anzahl der Plätze und die verkauften Tickets? - Probier doch mal systematisch verschiedene Werte für die Anzahl der verkauften Tickets aus. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass genau \(k\) Personen bei \(n\) verkauften Tickets erscheinen?

1. Identifikation der Zufallsgröße \(X\) als die Anzahl der erscheinenden Personen, die binomialverteilt ist mit \(p = 0{,}90\). 2. Bedingung für die Überbuchung: \(P(X > 50) \le 0{,}05\). Da die Anzahl der Plätze 50 beträgt, darf das Ereignis, dass 51 oder mehr Personen erscheinen, nur mit einer Wahrscheinlichkeit von maximal \(5\,\%\) eintreten. 3. Prüfung für \(n = 51\): \(P(X = 51) = 0{,}90^{51} \approx 0{,}0046 \le 0{,}05\). 4. Prüfung für \(n = 52\): \(P(X > 50) = P(X=51) + P(X=52) = \binom{52}{51} \cdot 0{,}90^{51} \cdot 0{,}10^1 + \binom{52}{52} \cdot 0{,}90^{52} \cdot 0{,}10^0 = 52 \cdot 0{,}90^{51} \cdot 0{,}10 + 0{,}90^{52} = (5{,}2 + 0{,}9) \cdot 0{,}90^{51} = 6{,}1 \cdot 0{,}90^{51} \approx 0{,}0283 \le 0{,}05\). 5. Prüfung für \(n = 53\): \(P(X > 50) = P(X=51) + P(X=52) + P(X=53) = \binom{53}{51} \cdot 0{,}90^{51} \cdot 0{,}10^2 + \binom{53}{52} \cdot 0{,}90^{52} \cdot 0{,}10^1 + 0{,}90^{53} \approx 0{,}0898 > 0{,}05\). 6. Da bei \(n = 53\) die Grenze überschritten wird, dürfen höchstens 52 Tickets verkauft werden.

Es dürfen höchstens 52 Tickets verkauft werden.

- Welche Werte haben die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Versuche? - Überlege dir bei „höchstens“, welche Anzahlen an Treffern alle möglich sind. - Kann man die Rechnung bei „mindestens ein Treffer“ durch das Gegenereignis abkürzen? - Wie lautet die Formel für die Wahrscheinlichkeit von genau \(k\) Treffern?

1. Identifikation der Parameter: Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}05\), Stichprobenumfang \(n = 20\). 2. Berechnung von \(P(X = 1)\) mit der Bernoulli-Formel: \(\binom{20}{1} \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^{19} \approx 0{,}3774\). 3. Berechnung von \(P(X \le 2)\) als Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \binom{20}{0} \cdot 0{,}05^0 \cdot 0{,}95^{20} + \binom{20}{1} \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^{19} + \binom{20}{2} \cdot 0{,}05^2 \cdot 0{,}95^{18} \approx 0{,}3585 + 0{,}3774 + 0{,}1887 = 0{,}9246\). 4. Berechnung von \(P(X \ge 1)\) über das Gegenereignis: \(1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}95^{20} \approx 1 - 0{,}3585 = 0{,}6415\).

a) \(P(X = 1) \approx 0{,}3774\) (oder \(37{,}74\,\%\)) b) \(P(X \le 2) \approx 0{,}9246\) (oder \(92{,}46\,\%\)) c) \(P(X \ge 1) \approx 0{,}6415\) (oder \(64{,}15\,\%\))

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen „Erfolg“ (Farbe Rot) bei einer einzelnen Drehung ist. - Welche Verteilung hilft dir, wenn ein Experiment mehrfach unter gleichen Bedingungen durchgeführt wird? - Kannst du ein Ereignis einfacher berechnen, indem du die Wahrscheinlichkeit des Gegenteils von \(1\) abziehst? - Überlege bei Teilaufgabe d), was das Ereignis für die Anzahl der „Rot“-Treffer bedeutet.

Das Experiment ist eine Bernoulli-Kette mit \(n = 10\) Versuchen und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}25\) für die Farbe Rot. 1. Für genau \(2\)-mal Rot: \(P(X = 2) = \binom{10}{2} \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^8 = 45 \cdot 0{,}0625 \cdot 0{,}10011 \dots \approx 0{,}2816\). 2. Für höchstens \(1\)-mal Rot: \(P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0{,}75^{10} + 10 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75^9 \approx 0{,}0563 + 0{,}1877 = 0{,}2440\). 3. Für mindestens \(2\)-mal Rot wird das Gegenereignis zu b) verwendet: \(P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) = 1 - 0{,}2440 = 0{,}7560\). 4. Das Ereignis „mindestens \(9\)-mal nicht Rot“ entspricht bei insgesamt \(10\) Drehungen den Fällen „genau \(0\)-mal Rot“ oder „genau \(1\)-mal Rot“. Dies ist identisch mit Aufgabenteil b): \(P \approx 0{,}2440\).

a) \(P \approx 0{,}2816\) (\(28{,}16\,\%\)) b) \(P \approx 0{,}2440\) (\(24{,}40\,\%\)) c) \(P \approx 0{,}7560\) (\(75{,}60\,\%\)) d) \(P \approx 0{,}2440\) (\(24{,}40\,\%\))

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs bei einem Wurf? Und wie hoch für keine Sechs? - Wenn du „mindestens zwei“ berechnen sollst, ist es oft kürzer, die Fälle \(0\) und \(1\) von der Gesamtwahrscheinlichkeit abzuziehen. - Lies die Formulierung in d) genau: Was ist das Gegenteil von „höchstens fünfmal keine Sechs“?

Es liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n = 6\) und \(p = \frac{1}{6}\) vor. 1. Genau eine Sechs: \(P(X = 1) = \binom{6}{1} \cdot (\frac{1}{6})^1 \cdot (\frac{5}{6})^5 = 6 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{3125}{7776} \approx 0{,}4019\). 2. Keine Sechs: \(P(X = 0) = (\frac{5}{6})^6 = \frac{15625}{46656} \approx 0{,}3349\). 3. Mindestens zwei Sechsen: Nutze das Gegenereignis „höchstens eine Sechs“. \(P(X \ge 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1)) \approx 1 - (0{,}3349 + 0{,}4019) = 0{,}2632\). 4. Höchstens fünfmal keine Sechs: Das Gegenereignis ist „sechsmal keine Sechs“, was identisch mit Aufgabenteil b) ist. \(P = 1 - P(\text{keine Sechs}) \approx 1 - 0{,}3349 = 0{,}6651\).

a) \(P \approx 0{,}4019\) b) \(P \approx 0{,}3349\) c) \(P \approx 0{,}2632\) d) \(P \approx 0{,}6651\)

- Überlege dir bei Teilaufgabe a), ob es einfacher ist, die gewünschten Ergebnisse direkt zu addieren oder über das Gegenteil zu gehen. - Was muss in den ersten drei Versuchen passieren, damit der erste Erfolg erst im vierten Versuch eintritt? - Vergleiche den Term in Teilaufgabe c) mit der allgemeinen Formel für die Bernoullikette. Was bedeuten die einzelnen Zahlen?

1. Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\). Die Anzahl der Versuche ist \(n = 6\). 2. Für a) wird die Gegenwahrscheinlichkeit zu „kein Treffer“ (\(k=0\)) und „genau ein Treffer“ (\(k=1\)) berechnet: \(P(X \ge 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))\). Mit \(P(X=0) = 0{,}8^6 \approx 0{,}2621\) und \(P(X=1) = 6 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8^5 \approx 0{,}3932\) ergibt sich \(P(X \ge 2) = 1 - 0{,}65536 = 0{,}34464\). 3. Für b) muss die Sequenz (Niete, Niete, Niete, Treffer) eintreten, wobei die Ausgänge der letzten beiden Drehungen beliebig sind, solange der erste Treffer an Position 4 steht. Da die Wahrscheinlichkeit für den ersten Treffer an Position 4 gesucht ist, berechnet man \(P = 0{,}8^3 \cdot 0{,}2 = 0{,}1024\). 4. Für c) lassen sich aus der Formel der Binomialverteilung die Werte \(n=6\), \(k=3\) und \(p=0{,}2\) ablesen. Das Ereignis \(A\) lautet: „Bei 6 Drehungen wird genau dreimal ein Treffer erzielt.“

a) \(P(\text{mindestens zwei Treffer}) = 0{,}34464\) (ca. \(34{,}46\,\%\)) b) \(P(\text{erster Treffer bei der 4. Drehung}) = 0{,}1024\) (\(10{,}24\,\%\)) c) \(n = 6\), \(k = 3\), \(p = 0{,}2\). Das Ereignis \(A\) beschreibt, dass bei sechs Drehungen genau drei Treffer erzielt werden.

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bei einer einzelnen Frage ist. - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Treffer bei einer festen Anzahl von Versuchen und gleichbleibender Wahrscheinlichkeit? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten für „mindestens \(k\)“ und „höchstens \(k-1\)“ zusammen? - Für den zweiten Teil hilft es, eine Tabelle der kumulierten Wahrscheinlichkeiten zu nutzen oder die Werte nacheinander zu prüfen.

1. Es handelt sich um ein Bernoulli-Experiment mit \(n = 12\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}25\). 2. Berechnung für Teilaufgabe a): Gesucht ist \(P(X \ge 5) = 1 - P(X \le 4)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 4) \approx 0{,}8424\). Damit ist \(P(X \ge 5) \approx 1 - 0{,}8424 = 0{,}1576\), also etwa \(15{,}8\,\%\). 3. Berechnung für Teilaufgabe b): Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P(X \ge k) < 0{,}10\) gilt, was äquivalent zu \(1 - P(X \le k-1) < 0{,}10\) bzw. \(P(X \le k-1) > 0{,}90\) ist. 4. Prüfung der Werte: Für \(k = 5\) ist \(P(X \ge 5) \approx 0{,}1576 > 0{,}10\). Für \(k = 6\) ist \(P(X \ge 6) = 1 - P(X \le 5) \approx 1 - 0{,}9456 = 0{,}0544 < 0{,}10\). 5. Somit ist der kleinste Wert \(k = 6\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(15{,}8\,\%\). b) Die kleinste Trefferanzahl ist \(k = 6\).

- Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt ein Zufallsexperiment mit zwei Ausgängen und Zurücklegen? - Wie hängen die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Kugeln im Gefäß zusammen? - Kannst du eine Gleichung oder einen Term für „höchstens zwei Treffer“ aufstellen? - Probiere verschiedene Werte für die Anzahl der blauen Kugeln aus und vergleiche das Ergebnis mit dem gegebenen Prozentwert.

1. Sei \(X\) die Anzahl der gezogenen blauen Kugeln. Da mit Zurücklegen gezogen wird, ist \(X\) binomialverteilt mit \(n = 8\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{k}{20}\), wobei \(k\) die Anzahl der blauen Kugeln im Gefäß ist. 2. Die Bedingung lautet \(P(X \le 2) \approx 0{,}6785\). 3. Durch systematisches Testen möglicher Werte für \(k\) (und damit für \(p\)) mithilfe der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich: - Für \(k = 4 \Rightarrow p = 0{,}2\): \(P(X \le 2) = \binom{8}{0} \cdot 0{,}2^0 \cdot 0{,}8^8 + \binom{8}{1} \cdot 0{,}2^1 \cdot 0{,}8^7 + \binom{8}{2} \cdot 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^6 \approx 0{,}1678 + 0{,}3355 + 0{,}2936 = 0{,}7969\). - Für \(k = 5 \Rightarrow p = 0{,}25\): \(P(X \le 2) = \binom{8}{0} \cdot 0{,}25^0 \cdot 0{,}75^8 + \binom{8}{1} \cdot 0{,}25^1 \cdot 0{,}75^7 + \binom{8}{2} \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^6 \approx 0{,}1001 + 0{,}2670 + 0{,}3115 = 0{,}6786\). 4. Der Wert \(k = 5\) liefert die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

Es befinden sich 5 blaue Kugeln im Gefäß.

- Überlege dir, wie man die Wahrscheinlichkeit für „mindestens eins“ am einfachsten berechnen kann. - Wie lautet die Formel für die Wahrscheinlichkeit von null Treffern bei einer Binomialverteilung? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes defektes Teil als Bruch ausdrücken? - Versuche, die Gleichung nach der unbekannten Wahrscheinlichkeit aufzulösen.

1. Sei \(X\) die Anzahl der defekten Bauteile in der Stichprobe. \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 10\) und \(p = \frac{k}{25}\), wobei \(k\) die Anzahl der defekten Teile in der Lieferung ist. 2. Die Wahrscheinlichkeit für „mindestens ein defektes Teil“ wird über das Gegenereignis „kein defektes Teil“ berechnet: \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^{10}\). 3. Laut Aufgabe gilt: \(1 - (1 - p)^{10} \approx 0{,}8926\). 4. Umstellen der Gleichung: \((1 - p)^{10} \approx 1 - 0{,}8926 = 0{,}1074\). 5. Ziehen der 10. Wurzel: \(1 - p \approx \sqrt[10]{0{,}1074} \approx 0{,}8\). 6. Daraus folgt \(p \approx 0{,}2\). 7. Berechnung der Anzahl \(k\): \(k = p \cdot 25 = 0{,}2 \cdot 25 = 5\).

In der Lieferung befinden sich 5 defekte Bauteile.

- Überlege dir, ob nach einem exakten Wert oder einem Bereich von Werten gefragt ist. - Wenn „höchstens“ oder „weniger als“ gefragt ist, handelt es sich um eine Summe von Wahrscheinlichkeiten. - Bei „mindestens“ oder „mehr als“ kann die Gegenwahrscheinlichkeit die Rechnung erheblich vereinfachen. - Für Wahrscheinlichkeiten in einem Bereich zwischen zwei Werten subtrahiere die passende kumulierte Wahrscheinlichkeit vom Gesamtwert des Bereichs.

1. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeit mit der Bernoulli-Formel \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\): Für \(P(X = 6)\) ergibt sich \(\binom{20}{6} \cdot 0{,}3^6 \cdot 0{,}7^{14} \approx 0{,}1916\). 2. Bestimmung der kumulierten Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 4)\): Durch Summation der Einzelwahrscheinlichkeiten für \(k = 0, \dots, 4\) oder Verwendung eines Tabellenwerks/Rechners erhält man \(P(X \le 4) \approx 0{,}2375\). 3. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit für \(P(X > 7)\): Es gilt \(P(X > 7) = 1 - P(X \le 7)\). Mit \(P(X \le 7) \approx 0{,}7723\) folgt \(1 - 0{,}7723 = 0{,}2277\). 4. Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeit \(P(5 \le X \le 9)\): Diese berechnet sich über die Differenz zweier kumulierter Wahrscheinlichkeiten \(P(X \le 9) - P(X \le 4)\). Mit \(P(X \le 9) \approx 0{,}9520\) und \(P(X \le 4) \approx 0{,}2375\) ergibt sich \(0{,}9520 - 0{,}2375 = 0{,}7145\).

a) \(P(X = 6) \approx 0{,}1916\) b) \(P(X \le 4) \approx 0{,}2375\) c) \(P(X > 7) \approx 0{,}2277\) d) \(P(5 \le X \le 9) \approx 0{,}7145\)

- Achte genau auf die Formulierungen wie „mehr als“ oder „weniger als“, um die richtigen Grenzen für \(k\) festzulegen. - Nutze bei Bedarf ein Tabellenwerk für die kumulierte Binomialverteilung, um Zeit zu sparen. - Denke daran, dass \(P(a < X < b)\) dasselbe ist wie \(P(X \le b-1) - P(X \le a)\) bei ganzzahligen Trefferzahlen.

1. Berechnung für genau 3 Treffer: Anwendung der Formel von Bernoulli \(P(X = 3) = \binom{15}{3} \cdot 0{,}2^3 \cdot 0{,}8^{12} \approx 0{,}2501\). 2. Berechnung für höchstens 2 Treffer: Summation der Wahrscheinlichkeiten \(P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)\). Dies entspricht \(P(X \le 2) \approx 0{,}3980\). 3. Berechnung für mindestens 4 Treffer: Verwendung der Gegenwahrscheinlichkeit \(P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3)\). Mit \(P(X \le 3) \approx 0{,}6482\) ergibt sich \(1 - 0{,}6482 = 0{,}3518\). 4. Berechnung für mehr als 1 und weniger als 6 Treffer: Das Ereignis entspricht \(P(2 \le X \le 5)\). Dies berechnet sich durch \(P(X \le 5) - P(X \le 1)\). Mit \(P(X \le 5) \approx 0{,}9389\) und \(P(X \le 1) \approx 0{,}1671\) folgt \(0{,}9389 - 0{,}1671 = 0{,}7718\).

a) \(P(X = 3) \approx 0{,}2501\) b) \(P(X \le 2) \approx 0{,}3980\) c) \(P(X \ge 4) \approx 0{,}3518\) d) \(P(2 \le X \le 5) \approx 0{,}7718\)

- Überlege dir, welche Werte der Index \(i\) in der Summe annimmt. - Was bedeutet es für die Anzahl der Treffer, wenn die Summe bei einem bestimmten Wert beginnt oder endet? - Erinnere dich an Begriffe wie „höchstens“, „mindestens“ oder „zwischen“. - Wie hängen Summen von Einzelwahrscheinlichkeiten mit der kumulierten Verteilungsfunktion zusammen? - Kannst du eine Summe, die nicht bei 0 beginnt, durch eine Differenz von zwei Werten der Verteilungsfunktion ausdrücken?

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 15\) und \(p = 0{,}25\). 1. Term a) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens zwei Aufgaben richtig beantwortet werden (\(P(X \le 2)\)). Berechnung: \(F(15; 0{,}25; 2) \approx 0{,}2361\). 2. Term b) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens vier Aufgaben richtig beantwortet werden (\(P(X \ge 4)\)). Berechnung über das Gegenereignis: \(1 - P(X \le 3) = 1 - F(15; 0{,}25; 3) \approx 1 - 0{,}4613 = 0{,}5387\). 3. Term c) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens drei und höchstens sechs Aufgaben richtig beantwortet werden (\(P(3 \le X \le 6)\)). Berechnung: \(P(X \le 6) - P(X \le 2) = F(15; 0{,}25; 6) - F(15; 0{,}25; 2) \approx 0{,}9434 - 0{,}2361 = 0{,}7073\).

a) Wahrscheinlichkeit für höchstens \(2\) Treffer: \(P(X \le 2) \approx 0{,}2361\) b) Wahrscheinlichkeit für mindestens \(4\) Treffer: \(P(X \ge 4) \approx 0{,}5387\) c) Wahrscheinlichkeit für mindestens \(3\) und höchstens \(6\) Treffer: \(P(3 \le X \le 6) \approx 0{,}7073\)

- Identifiziere zuerst die Parameter \(n\) und \(p\) der Binomialverteilung aus dem Text. - Was stellt die Formel innerhalb der Summe in Aufgabenteil a) dar? - Welches Ereignis wird durch den Ausdruck \(1 - P(\dots)\) beschrieben? - Achte bei Teil c) genau darauf, welche Werte für \(k\) in der Summe enthalten sind und welche abgezogen werden müssen, wenn du ein Tabellenwerk nutzt.

Die Zufallsgröße \(Y\) ist binomialverteilt mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}05\). 1. Term a) entspricht der kumulierten Wahrscheinlichkeit \(P(Y \le 10)\), also der Wahrscheinlichkeit, dass höchstens \(10\) Bauteile fehlerhaft sind. Ergebnis: \(F(100; 0{,}05; 10) \approx 0{,}9885\). 2. Term b) stellt das Gegenereignis zu „höchstens zwei Fehler“ dar, also \(1 - P(Y \le 2) = P(Y \ge 3)\). Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens drei Bauteile fehlerhaft sind. Ergebnis: \(1 - 0{,}1183 = 0{,}8817\). 3. Term c) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der fehlerhaften Bauteile zwischen \(4\) und \(7\) (jeweils einschließlich) liegt (\(P(4 \le Y \le 7)\)). Berechnung: \(P(Y \le 7) - P(Y \le 3) = F(100; 0{,}05; 7) - F(100; 0{,}05; 3) \approx 0{,}8720 - 0{,}2578 = 0{,}6142\).

a) Wahrscheinlichkeit für höchstens \(10\) fehlerhafte Teile: \(P(Y \le 10) \approx 0{,}9885\) b) Wahrscheinlichkeit für mindestens \(3\) fehlerhafte Teile: \(P(Y \ge 3) \approx 0{,}8817\) c) Wahrscheinlichkeit für \(4\) bis \(7\) fehlerhafte Teile: \(P(4 \le Y \le 7) \approx 0{,}6142\)

- Was bedeutet die kumulative Verteilungsfunktion anschaulich für die Summe von Einzelwahrscheinlichkeiten? - Wie kannst du das Ereignis „höchstens \(b\)“ in zwei Teilbereiche zerlegen, von denen einer „höchstens \(a\)“ ist? - Überlege dir, welche Einzelereignisse \(X=i\) in \(F(b)\) enthalten sind, die in \(F(a)\) nicht vorkommen. - Hilft es dir, die Wahrscheinlichkeiten als Balken in einem Histogramm darzustellen?

1. Die kumulative Verteilungsfunktion \(F(k)\) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsgröße \(X\) einen Wert kleiner oder gleich \(k\) annimmt: \(F(k) = P(X \le k)\). 2. Das Ereignis \(\{X \le b\}\) lässt sich als Vereinigung der zwei disjunkten Teilereignisse \(\{X \le a\}\) und \(\{a < X \le b\}\) darstellen, da \(a < b\) gilt. 3. Nach dem Axiom der Additivität für disjunkte Ereignisse gilt: \(P(X \le b) = P(X \le a) + P(a < X \le b)\). 4. Durch Umstellen der Gleichung und Einsetzen der Definition von \(F\) folgt: \(P(a < X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a) = F(b) - F(a)\).

Da das Ereignis \(X \le b\) in die disjunkten Teilereignisse \(X \le a\) und \(a < X \le b\) zerlegt werden kann, gilt \(P(X \le b) = P(X \le a) + P(a < X \le b)\). Daraus folgt durch Subtraktion \(P(a < X \le b) = F(b) - F(a)\).

- Überlege dir genau, welche Werte der Zufallsvariablen im jeweiligen Intervall enthalten sind. - Das Summenzeichen bündelt die Einzelwahrscheinlichkeiten von einem Startwert bis zu einem Endwert. - Beachte bei „größer als“, ob der angegebene Wert selbst noch zur Summe gehört oder nicht. - Bei Intervallen wie \(a \le X \le b\) summiert man alle ganzzahligen Werte von \(a\) bis \(b\). - Für die Berechnung kannst du Tabellenwerke der Binomialverteilung oder die kumulierte Verteilungsfunktion deines Taschenrechners nutzen.

1. Berechnung für \(P(X \le 10)\): Darstellung als \(\sum_{i=0}^{10} \binom{60}{i} \cdot 0{,}2^i \cdot 0{,}8^{60-i}\). Der Wert beträgt ca. \(0{,}3234\). 2. Berechnung für \(P(X > 15)\): Darstellung als \(\sum_{i=16}^{60} \binom{60}{i} \cdot 0{,}2^i \cdot 0{,}8^{60-i}\) oder \(1 - \sum_{i=0}^{15} \binom{60}{i} \cdot 0{,}2^i \cdot 0{,}8^{60-i}\). Der Wert beträgt ca. \(0{,}1306\). 3. Berechnung für \(P(8 \le X \le 14)\): Darstellung als \(\sum_{i=8}^{14} \binom{60}{i} \cdot 0{,}2^i \cdot 0{,}8^{60-i}\). Dies entspricht \(P(X \le 14) - P(X \le 7)\). Der Wert beträgt ca. \(0{,}7265\).

a) \(\sum_{i=0}^{10} \binom{60}{i} \cdot 0{,}2^i \cdot 0{,}8^{60-i} \approx 0{,}3234\) b) \(\sum_{i=16}^{60} \binom{60}{i} \cdot 0{,}2^i \cdot 0{,}8^{60-i} \approx 0{,}1306\) c) \(\sum_{i=8}^{14} \binom{60}{i} \cdot 0{,}2^i \cdot 0{,}8^{60-i} \approx 0{,}7265\)

- Achte auf den Unterschied zwischen „kleiner als“ (\(<\)) und „höchstens“ (\(\le\)). - „Mindestens \(k\)“ bedeutet \(X \ge k\). - Bei einem Bereich wie „von \(a\) bis unter \(b\)“ ist die untere Grenze \(a\) eingeschlossen, die obere Grenze \(b\) jedoch ausgeschlossen. - Die Summe startet immer beim kleinsten möglichen Wert des Ereignisses und endet beim größten. - Zur Kontrolle: Die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten von \(0\) bis \(n\) muss immer \(1\) ergeben.

1. Für \(P(X < 85)\): Da \(X\) nur ganzzahlige Werte annimmt, entspricht dies \(P(X \le 84)\). Term: \(\sum_{i=0}^{84} \binom{150}{i} \cdot 0{,}6^i \cdot 0{,}4^{150-i}\). Ergebnis: \(\approx 0{,}1794\). 2. Für \(P(X \ge 100)\): Term: \(\sum_{i=100}^{150} \binom{150}{i} \cdot 0{,}6^i \cdot 0{,}4^{150-i}\). Über das Gegenereignis berechnet man \(1 - P(X \le 99)\). Ergebnis: \(\approx 0{,}0555\). 3. Für \(P(80 \le X < 110)\): Dies umfasst die Werte von \(80\) bis \(109\). Term: \(\sum_{i=80}^{109} \binom{150}{i} \cdot 0{,}6^i \cdot 0{,}4^{150-i}\). Dies lässt sich berechnen als \(P(X \le 109) - P(X \le 79)\). Ergebnis: \(\approx 0{,}9587\).

a) \(\sum_{i=0}^{84} \binom{150}{i} \cdot 0{,}6^i \cdot 0{,}4^{150-i} \approx 0{,}1794\) b) \(\sum_{i=100}^{150} \binom{150}{i} \cdot 0{,}6^i \cdot 0{,}4^{150-i} \approx 0{,}0555\) c) \(\sum_{i=80}^{109} \binom{150}{i} \cdot 0{,}6^i \cdot 0{,}4^{150-i} \approx 0{,}9587\)

- Kannst du den Betrag in eine Doppelungleichung umschreiben? - Welche ganzzahligen Werte liegen in dem berechneten Bereich? - Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion \(P(X \le k)\) ausdrücken? - Überlege, wie du das Gegenereignis nutzen kannst, um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Bestimmung der Trefferzahlen für \(|X - 20| \le 3\): Die Ungleichung entspricht \(-3 \le X - 20 \le 3\), woraus \(17 \le X \le 23\) folgt. Die Werte sind \(\{17; 18; 19; 20; 21; 22; 23\}\). 2. Berechnung von \(P(|X - 20| \le 3)\): Dies entspricht \(P(17 \le X \le 23) = P(X \le 23) - P(X \le 16) \approx 0{,}8181 - 0{,}1841 = 0{,}6340\). 3. Berechnung von \(P(|X - 20| > 3)\): Über das Gegenereignis gilt \(1 - P(|X - 20| \le 3) \approx 1 - 0{,}6340 = 0{,}3660\). 4. Berechnung von \(P(|X - 18| < 2)\): Die Bedingung \(|X - 18| < 2\) entspricht \(16 < X < 20\), also \(P(17 \le X \le 19) = P(X \le 19) - P(X \le 16) \approx 0{,}4572 - 0{,}1841 = 0{,}2731\).

a) \(X \in \{17; 18; 19; 20; 21; 22; 23\}\) b) (1) \(P(|X - 20| \le 3) \approx 0{,}6340\) (2) \(P(|X - 20| > 3) \approx 0{,}3660\) (3) \(P(|X - 18| < 2) \approx 0{,}2731\)

- Überlege zuerst, ob es sich um ein Experiment mit zwei möglichen Ausgängen handelt, das mehrfach unabhängig wiederholt wird. - Welche Werte haben die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Versuche? - Wie lässt sich das Ereignis „höchstens zwei“ mathematisch als Summe von Einzelereignissen ausdrücken? - Kannst du bei der Frage nach „mindestens drei“ die Arbeit abkürzen, indem du das Gegenteil betrachtest?

1. Festlegen der Parameter der Binomialverteilung: Stichprobenumfang \(n = 20\) und Erfolgswahrscheinlichkeit (Formfehler) \(p = 0{,}04\). 2. Berechnung für Ereignis a): \(P(X=1) = \binom{20}{1} \cdot 0{,}04^1 \cdot 0{,}96^{19} \approx 0{,}3683\). 3. Berechnung für Ereignis b) durch Summation der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\). 4. Bestimmung der Einzelwerte: \(P(X=0) \approx 0{,}4420\); \(P(X=1) \approx 0{,}3683\); \(P(X=2) = \binom{20}{2} \cdot 0{,}04^2 \cdot 0{,}96^{18} \approx 0{,}1458\). 5. Addition der Werte für b): \(P(X \le 2) \approx 0{,}4420 + 0{,}3683 + 0{,}1458 = 0{,}9561\). 6. Berechnung für Ereignis c) über das Gegenereignis: \(P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) \approx 1 - 0{,}9561 = 0{,}0439\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(36{,}83\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(95{,}61\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(4{,}39\,\%\).

- Identifiziere die Trefferwahrscheinlichkeit für einen einzelnen Schuss. - Wie viele Versuche werden insgesamt durchgeführt? - Denke daran, dass „mindestens sieben“ die Fälle sieben und acht einschließt. - Bei „höchstens fünf“ könnte es einfacher sein, die Wahrscheinlichkeiten der Fälle abzuziehen, die nicht eintreten sollen.

1. Festlegen der Parameter: \(n = 8\) und \(p = 0{,}7\). 2. Berechnung für a): \(P(X=6) = \binom{8}{6} \cdot 0{,}7^6 \cdot 0{,}3^2 = 28 \cdot 0{,}117649 \cdot 0{,}09 \approx 0{,}2965\). 3. Berechnung für b): \(P(X \ge 7) = P(X=7) + P(X=8)\). 4. Einzelwerte für b): \(P(X=7) = \binom{8}{7} \cdot 0{,}7^7 \cdot 0{,}3^1 \approx 0{,}1977\); \(P(X=8) = 0{,}7^8 \approx 0{,}0576\). 5. Summe für b): \(P(X \ge 7) \approx 0{,}1977 + 0{,}0576 = 0{,}2553\). 6. Berechnung für c) über das Gegenereignis: \(P(X \le 5) = 1 - P(X \ge 6)\). 7. Da \(P(X \ge 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) \approx 0{,}2965 + 0{,}1977 + 0{,}0576 = 0{,}5518\), folgt: \(P(X \le 5) \approx 1 - 0{,}5518 = 0{,}4482\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(29{,}65\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(25{,}53\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(44{,}82\,\%\).

- Überlege dir bei Summenzeichen, welche Werte für die Zufallsgröße \(X\) eingeschlossen sind. - Achte bei Ausdrücken der Form \(1 - P(...)\) darauf, welches Ereignis das Gegenereignis ist. - Was bedeuten die Parameter \(n\) und \(p\) in der Notation \(P_{p}^{n}\) oder \(B(n; p; i)\)?

1. Teilaufgabe a): Der Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Treffer bei einer Trefferwahrscheinlichkeit von \(p = 0{,}1\) und einer Kettenlänge von \(n = 15\). Die Berechnung erfolgt durch Summation der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \approx 0{,}2059 + 0{,}3432 + 0{,}2669 = 0{,}8159\). 2. Teilaufgabe b): Der Term beschreibt die Gegenwahrscheinlichkeit zu „höchstens ein Treffer“, also die Wahrscheinlichkeit für mindestens 2 Treffer bei \(n = 5\) und \(p = 0{,}4\). Berechnung: \(1 - (P(X=0) + P(X=1)) = 1 - (0{,}07776 + 0{,}2592) = 1 - 0{,}33696 = 0{,}6630\).

a) Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Treffer; \(P \approx 0{,}8159\) b) Wahrscheinlichkeit für mindestens 2 Treffer; \(P \approx 0{,}6630\)

- Beachte bei Ungleichungsketten genau, ob die Randwerte (echt kleiner oder kleiner gleich) dazugehören. - Wie viele Summanden musst du jeweils berechnen, um das Ergebnis zu erhalten? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit als Differenz zweier kumulierter Werte ausdrücken?

1. Teilaufgabe a): Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit an, bei \(n = 8\) Versuchen und einer Erfolgswahrscheinlichkeit von \(p = 0{,}25\) mindestens 3 und höchstens 5 Treffer zu erzielen. Berechnung: \(P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) \approx 0{,}2076 + 0{,}0865 + 0{,}0231 = 0{,}3172\). 2. Teilaufgabe b): Der Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit für eine Trefferzahl \(X\), die mindestens 4, aber echt kleiner als 7 ist (also 4, 5 oder 6 Treffer), bei \(n = 12\) und \(p = 0{,}5\). Berechnung: \(P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) = \frac{495}{4096} + \frac{792}{4096} + \frac{924}{4096} = \frac{2211}{4096} \approx 0{,}5398\).

a) Wahrscheinlichkeit für eine Trefferzahl von 3 bis 5; \(P \approx 0{,}3172\) b) Wahrscheinlichkeit für mindestens 4 und höchstens 6 Treffer; \(P \approx 0{,}5398\)

- Welche Zahlen zwischen 1 und 8 sind Primzahlen? - Unterscheide zwischen Ereignissen, bei denen die Reihenfolge egal ist, und solchen mit fester Sequenz. - Überlege bei „höchstens“ oder „mindestens“, welche Einzelwahrscheinlichkeiten addiert werden müssen. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit einer ganz bestimmten Kette von Ergebnissen?

1. Definition der Erfolgswahrscheinlichkeit für eine Primzahl \(p\): Die Primzahlen im Bereich 1 bis 8 sind 2, 3, 5 und 7. Somit ist \(p = \frac{4}{8} = 0{,}5\). Berechnung mit der Bernoulli-Formel für \(n=10, k=4\): \(P(X=4) = \binom{10}{4} \cdot 0{,}5^4 \cdot 0{,}5^6 = 210 \cdot 0{,}5^{10} \approx 0{,}2051\). 2. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit für \(k \in \{0, 1, 2, 3\}\): \(P(X \le 3) = \sum_{k=0}^{3} \binom{10}{k} \cdot 0{,}5^{10}\). Einzelwerte: \(P(0) \approx 0{,}0010\), \(P(1) \approx 0{,}0098\), \(P(2) \approx 0{,}0439\), \(P(3) \approx 0{,}1172\). Summe: \(P(X \le 3) \approx 0{,}1719\). 3. Erfolgswahrscheinlichkeit für Zahlen größer als 6 (7 und 8): \(p = \frac{2}{8} = 0{,}25\). Berechnung für mindestens 8 Erfolge: \(P(X \ge 8) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)\). \(P(X=8) = \binom{10}{8} \cdot 0{,}25^8 \cdot 0{,}75^2 \approx 0{,}000386\), \(P(X=9) = \binom{10}{9} \cdot 0{,}25^9 \cdot 0{,}75^1 \approx 0{,}000029\), \(P(X=10) = 0{,}25^{10} \approx 0{,}000001\). Summe: \(P(X \ge 8) \approx 0{,}000416\). 4. Da eine exakte Reihenfolge vorgegeben ist, wird keine Kombination berechnet: \(P = p^3 \cdot (1-p)^7 = 0{,}5^3 \cdot 0{,}5^7 = 0{,}5^{10} \approx 0{,}000977\).

1. \(P \approx 0{,}2051\) (bzw. \(20{,}51\,\%\)) 2. \(P \approx 0{,}1719\) (bzw. \(17{,}19\,\%\)) 3. \(P \approx 0{,}0004\) (bzw. \(0{,}04\,\%\)) 4. \(P \approx 0{,}0010\) (bzw. \(0{,}10\,\%\))

- Welche Verteilung liegt vor, wenn es nur zwei mögliche Ausgänge pro Versuch gibt? - Achte genau auf Formulierungen wie „höchstens“, „mindestens“ oder „zwischen“. - Wie hängen „mindestens \(k\)“ und „höchstens \(k-1\)“ zusammen? - Überlege dir bei Intervallen genau, welche Werte für \(X\) eingeschlossen sind.

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 20\) und \(p = 0{,}85\). 2. Berechnung für a): \(P(X = 18) = \binom{20}{18} \cdot 0{,}85^{18} \cdot 0{,}15^2 \approx 0{,}2293\). 3. Berechnung für b): \(P(X \le 16) \approx 0{,}3523\) unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung \(F(20; 0{,}85; 16)\). 4. Berechnung für c): \(P(X \ge 15) = 1 - P(X \le 14) \approx 1 - 0{,}0673 = 0{,}9327\). 5. Berechnung für d): \(P(16 < X < 20) = P(X = 17) + P(X = 18) + P(X = 19) \approx 0{,}2428 + 0{,}2293 + 0{,}1368 = 0{,}6089\).

a) \(P(X = 18) \approx 22{,}93\,\%\) b) \(P(X \le 16) \approx 35{,}23\,\%\) c) \(P(X \ge 15) \approx 93{,}27\,\%\) d) \(P(17 \le X \le 19) \approx 60{,}89\,\%\)

- Was bedeutet „zwischen“, wenn die Grenzen ausgeschlossen sind? - Nutze das Gegenereignis, wenn die direkte Berechnung zu viele Einzelschritte erfordert. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion?

1. Modellierung durch eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit \(n = 50\) und \(p = 0{,}04\). 2. Berechnung für a): \(P(X = 0) = 0{,}96^{50} \approx 0{,}1299\). 3. Berechnung für b): \(P(X > 3) = 1 - P(X \le 3)\). Mit \(P(X \le 3) = \sum_{k=0}^{3} \binom{50}{k} \cdot 0{,}04^k \cdot 0{,}96^{50-k} \approx 0{,}8609\) ergibt sich \(P(X > 3) \approx 1 - 0{,}8609 = 0{,}1391\). 4. Berechnung für c): Das Ereignis \(1 < X < 4\) umfasst die Werte \(X = 2\) und \(X = 3\). \(P(X = 2) \approx 0{,}2762\) und \(P(X = 3) \approx 0{,}1842\). Die Summe ergibt \(P(X \in \{2; 3\}) \approx 0{,}4604\).

a) \(P(X = 0) \approx 12{,}99\,\%\) b) \(P(X > 3) \approx 13{,}91\,\%\) c) \(P(1 < X < 4) = P(X = 2) + P(X = 3) \approx 46{,}04\,\%\)

- Überlege, ob das Ziehen mit oder ohne Zurücklegen modelliert werden sollte, wenn die Grundgesamtheit sehr groß ist. - Ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis direkt zu berechnen oder über das Gegenteil nachzudenken? - Welche Werte kann die Zufallsgröße annehmen, wenn wir von „mindestens zwei“ sprechen?

1. Identifikation der Verteilung: Da die Stichprobe einer Großlieferung entnommen wird, kann die Ziehung als Bernoulli-Kette mit \(n = 15\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}04\) (defekt) modelliert werden. 2. Anwendung des Gegenereignisses: Die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei defekte Teile (\(X \ge 2\)) lässt sich über \(1 - P(X \le 1)\) berechnen. 3. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X=0) = \binom{15}{0} \cdot 0{,}04^0 \cdot 0{,}96^{15} \approx 0{,}5421\) \(P(X=1) = \binom{15}{1} \cdot 0{,}04^1 \cdot 0{,}96^{14} \approx 0{,}3388\) 4. Summation und Subtraktion: \(P(X \le 1) = 0{,}5421 + 0{,}3388 = 0{,}8809\). 5. Endergebnis: \(P(X \ge 2) = 1 - 0{,}8809 = 0{,}1191\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(11{,}91\,\%\).

- In welchem Bereich um den Erwartungswert vermutest du die höchsten Wahrscheinlichkeiten? - Nutze den Tabellenmodus deines Taschenrechners, um viele Werte gleichzeitig zu sehen. - Achte genau auf die Formulierungen „mindestens“ (\(\ge\)) und „kleiner als“ (\(<\)). - Überprüfe die Werte an den Grenzen deines gefundenen Bereichs besonders sorgfältig.

1. Identifikation der Verteilung: \(X \sim B(30; 0{,}6)\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten \(P(X = k) = \binom{30}{k} \cdot 0{,}6^k \cdot 0{,}4^{30-k}\) für verschiedene Werte von \(k\), vorzugsweise im Bereich um den Erwartungswert \(\mu = n \cdot p = 18\). 3. Für Aufgabenteil a): Vergleich der Werte mit der Grenze \(0{,}1\). Es ergibt sich: \(P(X=15) \approx 0{,}0783\), \(P(X=16) \approx 0{,}1101\), \(P(X=17) \approx 0{,}1360\), \(P(X=18) \approx 0{,}1474\), \(P(X=19) \approx 0{,}1396\), \(P(X=20) \approx 0{,}1152\), \(P(X=21) \approx 0{,}0823\). Somit gilt die Bedingung für \(k \in \{16, 17, 18, 19, 20\}\). 4. Für Aufgabenteil b): Vergleich der Werte mit der Grenze \(0{,}05\). An den Rändern des Bereichs aus a) findet man: \(P(X=14) \approx 0{,}0489 < 0{,}05\) und \(P(X=15) > 0{,}05\). Auf der anderen Seite ist \(P(X=22) \approx 0{,}0505 > 0{,}05\) und \(P(X=23) \approx 0{,}0263 < 0{,}05\). Somit gilt die Bedingung für \(k \le 14\) oder \(k \ge 23\).

a) \(k \in \{16, 17, 18, 19, 20\}\) b) \(k \in \{0, 1, \dots, 14\} \cup \{23, 24, \dots, 30\}\)

- Welche Funktion deines Taschenrechners hilft dir dabei, Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X \le k)\) zu berechnen? - Kannst du die Bedingung aus Aufgabenteil b) so umschreiben, dass sie sich auf das Ereignis „höchstens \(k\) Treffer“ bezieht? - Denke daran, dass wir die kleinste ganze Zahl suchen, die die Bedingung gerade noch erfüllt. - Was ist das Gegenereignis zu „mehr als \(k\) Treffer“?

1. Parameter der Verteilung: \(n = 100\), \(p = 0{,}25\). 2. Für a): Suche des kleinsten \(k\), sodass die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \le k)\) mindestens \(0{,}95\) beträgt. Mithilfe der kumulierten Binomialverteilung am Taschenrechner erhält man: \(P(X \le 31) \approx 0{,}9307\) und \(P(X \le 32) \approx 0{,}9554\). Damit ist \(k = 32\). 3. Für b): Umformung der Ungleichung \(P(X > k) \le 0{,}01\) unter Verwendung des Gegenereignisses zu \(1 - P(X \le k) \le 0{,}01\), was äquivalent ist zu \(P(X \le k) \ge 0{,}99\). 4. Suche des kleinsten \(k\), sodass \(P(X \le k) \ge 0{,}99\). Systematisches Testen oder Tabellenwerte liefern: \(P(X \le 34) \approx 0{,}9836\) und \(P(X \le 35) \approx 0{,}9906\). Damit ist \(k = 35\).

a) \(k = 32\) b) \(k = 35\)

- Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Chips in einer Stichprobe? - Was bedeutet „mehr als 3“ mathematisch für die Anzahl der Treffer? - Ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis selbst oder für sein Gegenteil zu berechnen? - Achte darauf, welche Werte der Zufallsgröße zum gesuchten Bereich gehören.

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der fehlerhaften Chips pro Packung. \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}1\). 2. Bestimmung des gesuchten Ereignisses: Eine Packung wird aussortiert, wenn \(X > 3\) gilt, also \(P(X \ge 4)\). 3. Berechnung über das Gegenereignis: \(P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3)\). 4. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)\). 5. Einsetzen in die Formel von Bernoulli oder Entnahme aus dem Tafelwerk: \(P(X=0) \approx 0{,}1216\), \(P(X=1) \approx 0{,}2702\), \(P(X=2) \approx 0{,}2852\), \(P(X=3) \approx 0{,}1901\). 6. Summe bilden: \(P(X \le 3) \approx 0{,}8670\). 7. Ergebnis berechnen: \(P(X \ge 4) = 1 - 0{,}8670 = 0{,}1330\). Dies entspricht \(13{,}3\,\%\).

Es ist damit zu rechnen, dass etwa \(13{,}3\,\%\) der Packungen aussortiert werden.

- Welche Verteilung liegt vor, wenn es nur zwei mögliche Ergebnisse pro Versuch gibt? - Wie unterscheidet sich die Berechnung für einen exakten Wert von der für einen Bereich? - Kannst du den Bereich „zwischen zwei Werten“ als Differenz zweier kumulierter Wahrscheinlichkeiten ausdrücken? - Achte genau auf Formulierungen wie „mindestens“, „höchstens“ oder „weniger als“.

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 200\) und \(p = 0{,}04\). 1. Berechnung für genau \(8\) Flaschen: \(P(X = 8) = B(200; 0{,}04; 8) = \binom{200}{8} \cdot 0{,}04^8 \cdot 0{,}96^{192} \approx 0{,}1425\). 2. Berechnung für höchstens \(10\) Flaschen: \(P(X \le 10) = F(200; 0{,}04; 10) = \sum_{k=0}^{10} P(X = k) \approx 0{,}8200\). 3. Berechnung für das Intervall \([5; 12]\): \(P(5 \le X \le 12) = P(X \le 12) - P(X \le 4) \approx 0{,}9401 - 0{,}0950 = 0{,}8451\).

a) \(P(X = 8) \approx 14{,}25\,\%\) b) \(P(X \le 10) \approx 82{,}00\,\%\) c) \(P(5 \le X \le 12) \approx 84{,}51\,\%\)

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer beim Raten, wenn es vier Optionen gibt? - Was bedeutet „mehr als“ mathematisch für die Intervallgrenzen? - Überlege dir, welches Gegenereignis einfacher zu berechnen ist. - Achte darauf, ob die Randwerte des Bereichs (wie die 10 oder die 5) zum Ereignis dazugehören oder nicht.

Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl der richtigen Antworten) ist binomialverteilt mit \(n = 30\) und \(p = 0{,}25\). 1. Berechnung für mehr als \(10\) Treffer: Das Gegenereignis zu \(X > 10\) ist \(X \le 10\). Es gilt \(P(X > 10) = 1 - P(X \le 10) \approx 1 - 0{,}8943 = 0{,}1057\). 2. Berechnung für mindestens \(5\), aber weniger als \(10\) Treffer: Dies entspricht dem Bereich \(5 \le X \le 9\). Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich durch \(P(5 \le X \le 9) = P(X \le 9) - P(X \le 4) \approx 0{,}8034 - 0{,}0979 = 0{,}7055\).

a) \(P(X > 10) \approx 10{,}57\,\%\) b) \(P(5 \le X < 10) \approx 70{,}55\,\%\)

- Welche Verteilung ist für eine feste Anzahl von Versuchen mit zwei möglichen Ausgängen geeignet? - Wie hängen die Ereignisse „höchstens“ und „mindestens“ mit der kumulierten Verteilungsfunktion zusammen? - Überlege, was passieren müsste, damit die Wahrscheinlichkeit für einen Samen nicht mehr für alle gleich ist. - Was bedeutet Unabhängigkeit im Kontext von biologischen Prozessen wie dem Keimen?

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der keimenden Samen mit \(n = 30\) und \(p = 0{,}85\). Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 22) = \sum_{k=0}^{22} \binom{30}{k} \cdot 0{,}85^k \cdot 0{,}15^{30-k} \approx 0{,}0698\). 2. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit für mindestens \(28\) Treffer: \(P(X \ge 28) = 1 - P(X \le 27) = 1 - \sum_{k=0}^{27} \binom{30}{k} \cdot 0{,}85^k \cdot 0{,}15^{30-k} \approx 0{,}1514\). 3. Die Verwendung der Binomialverteilung setzt voraus, dass die Keimvorgänge der einzelnen Samen stochastisch unabhängig voneinander sind (keine gegenseitige Beeinflussung) und dass die Keimwahrscheinlichkeit \(p\) für jeden Samen konstant bleibt.

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(6{,}98\,\%\). 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(15{,}14\,\%\). 3. Die Samen müssen unabhängig voneinander keimen und die Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}85\) muss für jeden Samen unter gleichen Bedingungen konstant sein.

- Welche Verteilung liegt vor, wenn es nur zwei mögliche Ausgänge gibt und die Versuche unabhängig sind? - Wie hängen die Begriffe „höchstens“, „mehr als“ und „mindestens“ mit der kumulierten Verteilungsfunktion zusammen? - Kannst du ein Ereignis wie „mehr als \(k\)“ so umformulieren, dass du die Tabelle oder die Taschenrechnerfunktion für „höchstens“ nutzen kannst? - Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall durch zwei kumulierte Wahrscheinlichkeiten ausdrücken?

1. Identifikation der Verteilung: Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit den Parametern \(n = 250\) und \(p = 0{,}04\). 2. Berechnung für Teilaufgabe (1): Gesucht ist \(P(X \le 5)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 5) \approx 0{,}0633\). 3. Berechnung für Teilaufgabe (2): Gesucht ist \(P(X > 12)\). Dies wird über das Gegenereignis berechnet: \(1 - P(X \le 12)\). Mit \(P(X \le 12) \approx 0{,}7955\) folgt \(P(X > 12) \approx 1 - 0{,}7955 = 0{,}2045\). 4. Berechnung für Teilaufgabe (3): Gesucht ist \(P(8 \le X \le 15)\). Dies entspricht der Differenz \(P(X \le 15) - P(X \le 7)\). Mit \(P(X \le 15) \approx 0{,}9548\) und \(P(X \le 7) \approx 0{,}2147\) ergibt sich \(0{,}9548 - 0{,}2147 = 0{,}7400\).

(1) \(P(X \le 5) \approx 0{,}0633\) (2) \(P(X > 12) \approx 0{,}2045\) (3) \(P(8 \le X \le 15) \approx 0{,}7400\)

- Achte genau auf die Formulierung: Was ist der Unterschied zwischen „weniger als 10“ und „höchstens 10“? - Welches Gegenereignis gehört zu „mindestens 15“? Denke daran, dass die Zufallsgröße nur ganzzahlige Werte annimmt. - Überlege, ob du für die letzte Teilaufgabe die kumulierte Verteilung oder die einfache Punktwahrscheinlichkeit benötigst.

1. Modellierung: Die Anzahl der Nutzer \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 80\) und \(p = 0{,}15\). 2. Berechnung für Teilaufgabe (1): „Weniger als \(10\)“ entspricht \(P(X \le 9)\). Die kumulierte Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(X \le 9) \approx 0{,}2211\). 3. Berechnung für Teilaufgabe (2): „Mindestens \(15\)“ entspricht \(P(X \ge 15)\). Über das Gegenereignis berechnet man \(1 - P(X \le 14)\). Mit \(P(X \le 14) \approx 0{,}7874\) ergibt sich \(1 - 0{,}7874 = 0{,}2126\). 4. Berechnung für Teilaufgabe (3): Gesucht ist die Einzelwahrscheinlichkeit \(P(X = 12)\). Mithilfe der Formel von Bernoulli oder der entsprechenden Taschenrechnerfunktion ergibt sich \(P(X = 12) = \binom{80}{12} \cdot 0{,}15^{12} \cdot 0{,}85^{68} \approx 0{,}1240\).

(1) \(P(X < 10) = P(X \le 9) \approx 0{,}2211\) (2) \(P(X \ge 15) = 1 - P(X \le 14) \approx 0{,}2126\) (3) \(P(X = 12) \approx 0{,}1240\)

- Überlege zuerst, welche Werte für die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Versuche gegeben sind. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für eine exakte Trefferzahl? - Bei Ereignis B hilft es, zuerst den Prozentwert in eine konkrete Anzahl an Leuchten umzurechnen. - Wenn nach „mehr als“ gefragt wird, ist es oft einfacher, die Wahrscheinlichkeit über das Gegenteil zu bestimmen.

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 80\), \(p = 0{,}025\). 2. Berechnung von \(P(A) = P(X = 2)\) mit der Formel von Bernoulli: \(P(X = 2) = \binom{80}{2} \cdot 0{,}025^2 \cdot 0{,}975^{78} \approx 0{,}2741\). 3. Bestimmung der Anzahl für Ereignis \(B\): \(5\,\%\) von \(80\) ist \(0{,}05 \cdot 80 = 4\). Gesucht ist \(P(X > 4)\). 4. Umformung in das Gegenereignis: \(P(X > 4) = 1 - P(X \le 4)\). 5. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit: \(P(X \le 4) \approx 0{,}9496\). 6. Ergebnis für \(B\): \(1 - 0{,}9496 = 0{,}0504\).

Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis \(A\) beträgt ca. \(27{,}41\,\%\) (\(P(A) \approx 0{,}2741\)). Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis \(B\) beträgt ca. \(5{,}04\,\%\) (\(P(B) \approx 0{,}0504\)).

- Was bedeutet der Begriff „höchstens“ mathematisch für den Bereich der Treffer? - Wie kann man die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich (von ... bis ...) mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion \(P(X \le k)\) ausdrücken? - Denke daran, dass beim Abziehen zweier kumulierter Wahrscheinlichkeiten die untere Grenze des Bereichs noch im Ergebnis enthalten sein muss.

1. Festlegung der Parameter: \(n = 60\), \(p = 0{,}15\). 2. Berechnung von \(P(C) = P(X \le 5)\) durch Summation der Einzelwahrscheinlichkeiten von \(k=0\) bis \(k=5\) oder Verwendung eines Tabellenwerks: \(P(X \le 5) \approx 0{,}0968\). 3. Für Ereignis \(D\) ist die Wahrscheinlichkeit \(P(8 \le X \le 12)\) gesucht. 4. Umformung unter Verwendung kumulierter Wahrscheinlichkeiten: \(P(8 \le X \le 12) = P(X \le 12) - P(X \le 7)\). 5. Ermittlung der Tabellenwerte oder Berechnung der Summen: \(P(X \le 12) \approx 0{,}8938\) und \(P(X \le 7) \approx 0{,}3047\). 6. Berechnung der Differenz: \(0{,}8938 - 0{,}3047 = 0{,}5891\).

Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis \(C\) beträgt ca. \(9{,}68\,\%\) (\(P(C) \approx 0{,}0968\)). Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis \(D\) beträgt ca. \(58{,}91\,\%\) (\(P(D) \approx 0{,}5891\)).

- Welche Verteilung beschreibt Situationen mit zwei möglichen Ausgängen und einer festen Anzahl von Versuchen? - Was bedeutet „mindestens 14“ im Hinblick auf die Anzahl der Treffer? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer Binomialverteilung? - Entspricht eine Wahrscheinlichkeit von weniger als \(100\,\%\) dem Begriff „Sicherheit“ im Alltag oder in der Mathematik?

1. Identifikation der Parameter für die Binomialverteilung: \(n = 15\) und die Trefferwahrscheinlichkeit für das Keimen \(p = 0{,}9\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für mindestens 14 Treffer: \(P(X \ge 14) = P(X = 14) + P(X = 15)\). 3. \(P(X = 14) = \binom{15}{14} \cdot 0{,}9^{14} \cdot 0{,}1^1 \approx 0{,}3432\). 4. \(P(X = 15) = \binom{15}{15} \cdot 0{,}9^{15} \cdot 0{,}1^0 \approx 0{,}2059\). 5. Summe: \(P(X \ge 14) \approx 0{,}3432 + 0{,}2059 = 0{,}5491\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(54{,}9\,\%\). 6. Beurteilung der Aussage in b): Neue Parameter \(n = 11, p = 0{,}9\). Gesucht ist \(P(X \ge 10) = P(X = 10) + P(X = 11)\). 7. \(P(X = 10) = \binom{11}{10} \cdot 0{,}9^{10} \cdot 0{,}1^1 \approx 0{,}3836\). 8. \(P(X = 11) = 0{,}9^{11} \approx 0{,}3138\). 9. \(P(X \ge 10) \approx 0{,}3836 + 0{,}3138 = 0{,}6974\). 10. Die Wahrscheinlichkeit von ca. \(69{,}7\,\%\) ist deutlich zu gering, um von „Sicherheit“ zu sprechen. Die Aussage ist falsch.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(54{,}9\,\%\). b) Die Aussage ist mathematisch nicht haltbar, da die Wahrscheinlichkeit, mindestens 10 Pflanzen aus 11 Samen zu erhalten, nur bei ca. \(69{,}7\,\%\) liegt. Von Sicherheit kann daher keine Rede sein.

- Überlege dir bei a), ob die Reihenfolge der Ergebnisse fest vorgegeben ist oder ob es verschiedene Möglichkeiten gibt. - Erinnere dich bei b) an die kumulierte Binomialverteilung. - Überlege dir bei c), wie viele Gewinne in den verbleibenden Drehungen noch erzielt werden müssen, wenn die ersten vier bereits feststehen. - Betrachte bei d) die beiden Teilserien als unabhängige Ereignisse und berechne deren Wahrscheinlichkeiten einzeln.

1. Berechnung für a): Da eine feste Sequenz \(GGGGNNNNNNNN\) gefordert ist, gilt \(P = 0{,}2^4 \cdot 0{,}8^8 \approx 0{,}00027\). 2. Berechnung für b): Mit \(X \sim B(12; 0{,}2)\) ist \(P(X \le 3) = \sum_{k=0}^{3} \binom{12}{k} \cdot 0{,}2^k \cdot 0{,}8^{12-k} \approx 0{,}7946\). 3. Berechnung für c): Die ersten vier Ergebnisse sind fest (\(0{,}2^4\)). In den restlichen \(8\) Drehungen muss genau ein weiterer Gewinn auftreten. \(P = 0{,}2^4 \cdot \binom{8}{1} \cdot 0{,}2^1 \cdot 0{,}8^7 = 8 \cdot 0{,}2^5 \cdot 0{,}8^7 \approx 0{,}00054\). 4. Berechnung für d): Sei \(Y_1\) die Anzahl der Gewinne in den ersten vier und \(Y_2\) die Anzahl der Gewinne in den letzten vier Drehungen. „Höchstens eine Niete“ bedeutet \(Y_1 \ge 3\), „mindestens zwei Nieten“ bedeutet \(Y_2 \le 2\). Da die Teilserien disjunkt sind, gilt \(P = P(Y_1 \ge 3) \cdot P(Y_2 \le 2)\). Mit \(P(Y_1 \ge 3) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}2^3 \cdot 0{,}8 + \binom{4}{4} \cdot 0{,}2^4 = 0{,}0272\) und \(P(Y_2 \le 2) = 1 - P(Y_2 \ge 3) = 1 - 0{,}0272 = 0{,}9728\). Somit \(P = 0{,}0272 \cdot 0{,}9728 \approx 0{,}0265\).

a) \(P \approx 0{,}00027\) b) \(P \approx 0{,}7946\) c) \(P \approx 0{,}00054\) d) \(P \approx 0{,}0265\)

- Was bedeutet „mindestens 4“ für die möglichen Werte der Zufallsgröße? - Ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeiten für 4, 5, ..., 12 Bauteile zu addieren oder über das Gegenteil nachzudenken? - Welche Eigenschaften muss ein Zufallsexperiment haben, damit man die Binomialverteilung nutzen darf? - Wie verhält sich die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer, wenn man nur wenige Teile aus einer riesigen Menge entnimmt?

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der Bauteile mit Biosiegel. Da die Gesamtzahl der Bauteile groß im Verhältnis zur Stichprobe ist, wird \(X\) als binomialverteilt mit \(n = 12\) und \(p = 0{,}15\) angenommen. 2. Bestimmung der gesuchten Wahrscheinlichkeit \(P(X \ge 4)\) über das Gegenereignis: \(P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3)\). 3. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 3) = \sum_{k=0}^{3} \binom{12}{k} \cdot 0{,}15^k \cdot 0{,}85^{12-k}\). 4. Einsetzen der Werte: \(P(X \le 3) \approx 0{,}1422 + 0{,}3012 + 0{,}2924 + 0{,}1720 = 0{,}9078\). 5. Ergebnis: \(P(X \ge 4) = 1 - 0{,}9078 = 0{,}0922\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(9{,}22\,\%\). 6. Voraussetzung: Die Modellierung als Bernoulli-Kette ist zulässig, wenn die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) bei jeder Entnahme konstant bleibt. Dies ist bei einer sehr großen Grundgesamtheit (Ziehen ohne Zurücklegen) oder beim Ziehen mit Zurücklegen näherungsweise der Fall.

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(9{,}22\,\%\). Die Modellierung durch eine Binomialverteilung ist gerechtfertigt, da die Stichprobengröße klein im Vergleich zur Gesamtmenge ist, wodurch die Trefferwahrscheinlichkeit näherungsweise konstant bleibt.

- Wie viele Personen müssen in einer Gruppe von 15 mindestens „Ja“ sagen, damit man von einer Mehrheit spricht? - Kannst du eine Zufallsgröße definieren und deren Verteilung bestimmen? - Überlege dir, wie du die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich von Werten mit deinem Taschenrechner oder einer Tabelle bestimmen kannst.

1. Festlegung der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 15\) (Anzahl der Personen) und \(p = 0{,}6\) (Erfolgswahrscheinlichkeit für Radnutzung). 2. Definition der „Mehrheit“: Bei 15 Personen liegt eine Mehrheit vor, wenn mindestens 8 Personen das Rad nutzen. Gesucht ist also \(P(X \ge 8)\). 3. Anwendung der kumulierten Binomialverteilung: \(P(X \ge 8) = 1 - P(X \le 7)\). 4. Berechnung oder Tabellenwert für \(P(X \le 7) = \sum_{k=0}^{7} \binom{15}{k} \cdot 0{,}6^k \cdot 0{,}4^{15-k} \approx 0{,}2131\). 5. Berechnung des Endergebnisses: \(P(X \ge 8) = 1 - 0{,}2131 = 0{,}7869\).

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Mehrheit der Personen (also mindestens 8) das Fahrrad nutzt, beträgt ca. \(78{,}69\,\%\).

- Überlege dir zuerst, welche Stufen das Baumdiagramm haben muss. Welche Entscheidung wird zuerst getroffen? - Für die bedingte Wahrscheinlichkeit hilft dir die Formel von Bayes. Was ist die Schnittmenge der Ereignisse? - Achte bei der Binomialverteilung genau auf die Formulierungen wie „weniger als“ oder „mindestens“. - Wie hängen die kumulative Verteilungsfunktion und die Intervallwahrscheinlichkeit zusammen?

1. Baumdiagramm mit den Pfaden für Werk I (\(W_1\)) und Werk II (\(W_2\)) sowie defekt (\(D\)) und fehlerfrei (\(\bar{D}\)) erstellen: \(P(W_1) = 0{,}6\), \(P(W_2) = 0{,}4\), \(P(D|W_1) = 0{,}02\), \(P(D|W_2) = 0{,}04\). 2. Totale Wahrscheinlichkeit für einen fehlerhaften Schuh: \(P(D) = 0{,}6 \cdot 0{,}02 + 0{,}4 \cdot 0{,}04 = 0{,}012 + 0{,}016 = 0{,}028\). 3. Bedingte Wahrscheinlichkeit (Bayes): \(P(W_1|D) = \frac{P(W_1 \cap D)}{P(D)} = \frac{0{,}012}{0{,}028} = \frac{3}{7} \approx 0{,}4286\). 4. Binomialverteilung für Werk II (\(n = 150\), \(p = 0{,}04\)): \(P(E) = P(X = 5) = \binom{150}{5} \cdot 0{,}04^5 \cdot 0{,}96^{145} \approx 0{,}1628\). 5. Wahrscheinlichkeit für Ereignis \(F\): \(P(4 \le X < 10) = P(X \le 9) - P(X \le 3) \approx 0{,}9203 - 0{,}1458 = 0{,}7745\).

a) \(P(D) = 2{,}8\,\%\) b) \(P(W_1|D) = \frac{3}{7} \approx 42{,}86\,\%\) c) \(P(E) \approx 16{,}28\,\%\); \(P(F) \approx 77{,}45\,\%\)

- Was bedeutet „weniger als 50“ für die möglichen Werte von \(X\)? - Überlege, wie man Wahrscheinlichkeiten für Intervalle aus Werten der kumulierten Verteilungsfunktion zusammensetzt. - Welche Bedingungen müssen für ein Bernoulli-Experiment gelten? - Wie hängen die Einzelwahrscheinlichkeiten und die Gesamtzahl der Versuche zusammen?

1. Berechnung von \(P(X = 48)\) mit \(n = 50\) und \(p = 0{,}94\): \(\binom{50}{48} \cdot 0{,}94^{48} \cdot 0{,}06^2 \approx 0{,}2262\). 2. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 45)\): Mit der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung ergibt sich \(\sum_{k=0}^{45} \binom{50}{k} \cdot 0{,}94^k \cdot 0{,}06^{50-k} \approx 0{,}1794\). 3. Berechnung von \(P(46 \le X < 50) = P(46 \le X \le 49)\): Dies entspricht \(P(X \le 49) - P(X \le 45)\). Es gilt \(P(X \le 49) = 1 - P(X = 50) = 1 - 0{,}94^{50} \approx 1 - 0{,}0453 = 0{,}9547\). Somit ist \(0{,}9547 - 0{,}1794 = 0{,}7753\). 4. Modellierungsannahmen: Die Qualität eines Akkumulators muss unabhängig von der Qualität der anderen sein (Unabhängigkeit). Zudem muss die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}94\) für jeden entnommenen Akkumulator konstant bleiben (was bei einer sehr großen Grundgesamtheit bzw. Ziehen mit Zurücklegen näherungsweise gegeben ist).

a) (1) \(P(X = 48) \approx 22{,}62\,\%\) (2) \(P(X \le 45) \approx 17{,}94\,\%\) (3) \(P(46 \le X \le 49) \approx 77{,}53\,\%\) b) Die Ergebnisse für die einzelnen Akkumulatoren müssen unabhängig sein und die Wahrscheinlichkeit \(p\) muss für jeden Akkumulator identisch sein.

- Überlege dir zuerst, welche Parameter für die Binomialverteilung gegeben sind. - Was bedeutet es im mathematischen Sinne, wenn etwas „mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit ausreicht“? - Wann genau bleibt am Ende etwas übrig? Formuliere dieses Ereignis als Ungleichung für die Zufallsgröße. - Nutze für die Berechnungen ein Tabellenwerk oder die entsprechende Funktion deines Taschenrechners für kumulierte Wahrscheinlichkeiten.

1. Es liegt eine Binomialverteilung mit den Parametern \(n = 80\) und \(p = 0{,}2\) vor. 2. Für Teilaufgabe a) wird das kleinste \(k\) gesucht, für das \(P(X \le k) \ge 0{,}95\) gilt. Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich für \(k = 22\) ein Wert von \(P(X \le 22) \approx 0{,}9612\) und für \(k = 21\) ein Wert von \(P(X \le 21) \approx 0{,}9340\). Somit müssen mindestens \(22\) Broschüren bereitgehalten werden. 3. Für Teilaufgabe b) bedeutet „Broschüren übrig“, dass die Anzahl der Interessenten \(X\) kleiner als die Anzahl der bereitgestellten Broschüren (\(18\)) ist. Gesucht ist also \(P(X \le 17)\). 4. Die Berechnung ergibt \(P(X \le 17) = \sum_{i=0}^{17} \binom{80}{i} \cdot 0{,}2^i \cdot 0{,}8^{80-i} \approx 0{,}6708\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt somit etwa \(67{,}08\,\%\).

a) Es müssen mindestens \(22\) Broschüren bereitgehalten werden. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(67{,}08\,\%\).

- Identifiziere die Trefferwahrscheinlichkeit beim Würfeln einer bestimmten Zahl. - Achte bei Teilaufgabe b) genau darauf, ob nach „mehr als“, „mindestens“ oder „höchstens“ gefragt wird. - Erinnere dich daran, wie man Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse der Form „größer als \(k\)“ mit der kumulierten Verteilungsfunktion berechnet.

1. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Gewinner bei \(n = 150\) Versuchen mit der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{6}\). 2. In Teilaufgabe a) wird das kleinste \(k\) gesucht, sodass \(P(X \le k) \ge 0{,}90\). Durch systematisches Probieren oder Nachschlagen in der Verteilungstabelle für \(n = 150\) und \(p = \frac{1}{6}\) findet man: \(P(X \le 30) \approx 0{,}8842\) und \(P(X \le 31) \approx 0{,}9197\). Daher müssen mindestens \(31\) Rabatte eingeplant werden. 3. In Teilaufgabe b) ist nach der Wahrscheinlichkeit für einen Engpass gefragt, also \(P(X > 30)\). 4. Dies berechnet sich über das Gegenereignis: \(P(X > 30) = 1 - P(X \le 30)\). Mit \(P(X \le 30) \approx 0{,}8842\) ergibt sich \(1 - 0{,}8842 = 0{,}1158\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(11{,}58\,\%\).

a) Es müssen mindestens \(31\) Rabatte eingeplant werden. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(11{,}58\,\%\).

- Was bedeutet es für die Anzahl der Personen, die erscheinen, wenn alle einen Platz bekommen? - Überlege dir, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für eine einzelne Person ist, tatsächlich zu erscheinen. - Könnte es einfacher sein, die Wahrscheinlichkeit für die Personen zu berechnen, die nicht erscheinen? - Denke an die Binomialverteilung und wie man Wahrscheinlichkeiten für Bereiche (kumulierte Werte) berechnet.

1. Identifikation der Zufallsgröße: Sei \(X\) die Anzahl der Personen, die zur Premiere erscheinen. Unter der Annahme der Unabhängigkeit ist \(X\) binomialverteilt mit \(n = 50\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}90\) (Erscheinen). 2. Bedingung für den Erfolg: Alle erscheinenden Personen erhalten einen Sitzplatz, wenn \(X \le 45\). 3. Berechnung über das Gegenereignis: \(P(X \le 45) = 1 - P(X > 45) = 1 - P(X \in \{46, 47, 48, 49, 50\})\). 4. Alternativer Weg über die Anzahl der Nicht-Erscheiner \(Y\): \(Y\) ist binomialverteilt mit \(n = 50\) und \(p' = 0{,}10\). Die Bedingung \(X \le 45\) entspricht \(Y \ge 5\). 5. Berechnung: \(P(Y \ge 5) = 1 - P(Y \le 4) = 1 - \sum_{k=0}^{4} \binom{50}{k} \cdot 0{,}1^k \cdot 0{,}9^{50-k}\). 6. Einzelwahrscheinlichkeiten für \(Y\): \(P(Y=0) \approx 0{,}00515\), \(P(Y=1) \approx 0{,}02863\), \(P(Y=2) \approx 0{,}07794\), \(P(Y=3) \approx 0{,}13857\), \(P(Y=4) \approx 0{,}18090\). 7. Summe der Wahrscheinlichkeiten \(P(Y \le 4) \approx 0{,}43119\). 8. Ergebnis: \(P(Y \ge 5) = 1 - 0{,}43119 = 0{,}56881\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(56{,}88\,\%\).

- Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Teile am besten? - Es ist oft einfacher, die Wahrscheinlichkeit über das Ereignis „höchstens ein Teil ist fehlerhaft“ zu berechnen. - Welche Werte für die Gesamtzahl \(n\) führen dazu, dass die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses klein genug wird? - Du kannst eine Tabelle oder die Tabellenfunktion deines Taschenrechners nutzen, um den passenden Wert für \(n\) zu finden.

1. Modellierung der Anzahl der fehlerhaften Bauteile \(X\) als binomialverteilt mit der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}05\). 2. Aufstellen der Bedingung für die gesuchte Anzahl \(n\): \(P(X \ge 2) \ge 0{,}90\). 3. Nutzung des Gegenereignisses: \(1 - P(X \le 1) \ge 0{,}90\), was gleichbedeutend ist mit \(P(X = 0) + P(X = 1) \le 0{,}10\). 4. Einsetzen in die Formel von Bernoulli: \(\binom{n}{0} \cdot 0{,}05^0 \cdot 0{,}95^n + \binom{n}{1} \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^{n-1} \le 0{,}10\). 5. Durch systematisches Probieren oder Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich für \(n = 76\) eine Wahrscheinlichkeit von \(P(X \ge 2) \approx 0{,}8986\) und für \(n = 77\) eine Wahrscheinlichkeit von \(P(X \ge 2) \approx 0{,}9027\). 6. Da die Wahrscheinlichkeit bei \(n = 77\) erstmals den Wert \(0{,}90\) überschreitet, beträgt die Mindestanzahl 77.

Es müssen mindestens \(77\) Bauteile ausgewählt werden.

- Welche Verteilung liegt vor, wenn man Personen mit einer festen Wahrscheinlichkeit auswählt? - Wie lässt sich „mindestens“ mithilfe des Gegenereignisses und der kumulativen Verteilungsfunktion ausdrücken? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall \(P(a \le X \le b)\) mithilfe der kumulativen Verteilungsfunktion? - Achte darauf, welche Werte in der kumulativen Tabelle oder beim Taschenrechnerbefehl eingeschlossen werden müssen.

1. Es liegt eine Binomialverteilung mit \(n = 150\) und \(p = 0{,}35\) vor. 2. Für Teilaufgabe a) ist \(P(X \ge 60) = 1 - P(X \le 59)\) zu berechnen. Unter Verwendung der kumulativen Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 59) \approx 0{,}8840\), woraus \(P(X \ge 60) \approx 1 - 0{,}8840 = 0{,}1160\) folgt. 3. Für Teilaufgabe b) ist \(P(45 \le X \le 60) = P(X \le 60) - P(X \le 44)\) zu bestimmen. 4. Mit \(P(X \le 60) \approx 0{,}9136\) und \(P(X \le 44) \approx 0{,}0841\) ergibt sich die Differenz \(0{,}9136 - 0{,}0841 = 0{,}8295\).

a) \(P(X \ge 60) \approx 11{,}60\,\%\) b) \(P(45 \le X \le 60) \approx 82{,}95\,\%\)

- Was gibt der Erwartungswert langfristig an? - Wie berechnet man die Streuung bei einer binomialverteilten Größe? - Welche ganzen Zahlen liegen tatsächlich in dem berechneten Bereich? - Wie nutzt man die kumulierte Verteilungsfunktion, um die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich zu berechnen?

1. Berechnung des Erwartungswerts: Bei \(n = 500\) und \(p = 0{,}02\) ergibt sich \(\mu = n \cdot p = 500 \cdot 0{,}02 = 10\). Der Erwartungswert gibt an, dass bei einer großen Anzahl solcher Versuchsreihen im Durchschnitt \(10\) falsch-positive Ergebnisse pro \(500\) Tests zu erwarten sind. 2. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{500 \cdot 0{,}02 \cdot 0{,}98} = \sqrt{9{,}8} \approx 3{,}13\). 3. Bestimmung des Intervalls: \([\mu - \sigma; \mu + \sigma] = [10 - 3{,}13; 10 + 3{,}13] = [6{,}87; 13{,}13]\). Da \(X\) nur ganzzahlige Werte annimmt, umfasst das Intervall die Werte \(k \in \{7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P(7 \le X \le 13) = P(X \le 13) - P(X \le 6)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung für \(n = 500\) und \(p = 0{,}02\) ergibt sich \(P(X \le 13) \approx 0{,}8667\) und \(P(X \le 6) \approx 0{,}1276\). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit \(0{,}8667 - 0{,}1276 = 0{,}7391\).

a) \(\mu = 10\); \(\sigma \approx 3{,}13\). Der Erwartungswert gibt die durchschnittlich zu erwartende Anzahl falsch-positiver Ergebnisse an. b) \(P(7 \le X \le 13) \approx 73{,}91\,\%\).

- Bestimme zuerst den Mittelpunkt des Intervalls. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich mithilfe der kumulativen Verteilungsfunktion? - Du kannst verschiedene Abstände vom Mittelpunkt ausprobieren, um die kleinste passende Spanne zu finden. - Achte darauf, dass die Wahrscheinlichkeit an den Intervallgrenzen eingeschlossen ist.

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 80 \cdot 0{,}3 = 24\). 2. Aufstellen der Bedingung für das Intervall: \(P(24 - k \le X \le 24 + k) \ge 0{,}95\). 3. Umformung unter Verwendung der kumulativen Verteilungsfunktion \(F(n; p; x)\): \(F(80; 0{,}3; 24 + k) - F(80; 0{,}3; 24 - k - 1) \ge 0{,}95\). 4. Systematisches Testen von Werten für \(k\) mittels Tabelle oder GTR: - Für \(k = 7\): \(P(17 \le X \le 31) = F(31) - F(16) \approx 0{,}9640 - 0{,}0302 = 0{,}9337 < 0{,}95\). - Für \(k = 8\): \(P(16 \le X \le 32) = F(32) - F(15) \approx 0{,}9789 - 0{,}0161 = 0{,}9628 \ge 0{,}95\). 5. Das kleinste \(k\) ist somit \(8\). Daraus ergibt sich das Intervall \([24 - 8; 24 + 8] = [16; 32]\).

Das Intervall lautet \([16; 32]\).

- Welchen Wert erwartest du im Durchschnitt bei diesen Parametern? - Ein symmetrisches Intervall bedeutet, dass die Grenzen denselben Abstand zum Erwartungswert haben. - Nutze die Tabellenfunktion deines Taschenrechners für die kumulierte Binomialverteilung. - Denke daran, dass beim Subtrahieren der kumulierten Werte der untere Rand des Intervalls korrekt berücksichtigt werden muss.

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 150 \cdot 0{,}2 = 30\). 2. Ansatz für das symmetrische Intervall: \([30 - c; 30 + c]\). Gesucht ist das kleinste \(c \in \mathbb{N}\), sodass \(P(30 - c \le Y \le 30 + c) \ge 0{,}90\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten \(P(30 - c \le Y \le 30 + c) = F(150; 0{,}2; 30 + c) - F(150; 0{,}2; 29 - c)\): - Für \(c = 7\): \(P(23 \le Y \le 37) = F(37) - F(22) \approx 0{,}9341 - 0{,}0590 = 0{,}8751 < 0{,}90\). - Für \(c = 8\): \(P(22 \le Y \le 38) = F(38) - F(21) \approx 0{,}9554 - 0{,}0372 = 0{,}9182 \ge 0{,}90\). 4. Das kleinste \(c\) ist \(8\). 5. Die Intervallgrenzen sind \(k_1 = 30 - 8 = 22\) und \(k_2 = 30 + 8 = 38\).

Der Bereich ist \([22; 38]\).

- Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Ereignisse bei einer festen Stichprobengröße? - Berechne zuerst den Erwartungswert und die Standardabweichung für den alten Zustand. - Bestimme genau, ab welcher Anzahl an Ereignissen die Bedingung für den Erfolg erfüllt ist. - Nutze für die finale Wahrscheinlichkeit die neue Erfolgswahrscheinlichkeit, aber die zuvor ermittelte Grenze. - Denke daran, dass „nicht erfolgreich“ das Gegenereignis zur Erfolgsbedingung ist.

1. Berechnung der Parameter für die ursprüngliche Verteilung (\(n = 120\), \(p_0 = 0{,}15\)): Erwartungswert \(\mu_0 = n \cdot p_0 = 120 \cdot 0{,}15 = 18\) Standardabweichung \(\sigma_0 = \sqrt{n \cdot p_0 \cdot (1 - p_0)} = \sqrt{120 \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}85} = \sqrt{15{,}3} \approx 3{,}9115\) 2. Bestimmung der kritischen Grenze für „Erfolg“: \(X < \mu_0 - \sigma_0 \Rightarrow X < 18 - 3{,}9115 = 14{,}0885\) Da \(X\) ganzzahlig ist, gilt Erfolg bei \(X \le 14\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für „kein Erfolg“ unter der neuen Quote (\(p_1 = 0{,}08\)): Gesucht ist \(P(X > 14)\) für eine \(B(120; 0{,}08)\)-verteilte Zufallsgröße. \(P(X \le 14) = \sum_{k=0}^{14} \binom{120}{k} \cdot 0{,}08^k \cdot 0{,}92^{120-k} \approx 0{,}9436\) \(P(X > 14) = 1 - P(X \le 14) \approx 1 - 0{,}9436 = 0{,}0564\) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(5{,}64\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(5{,}64\,\%\).

- Welche Werte kann die Trefferwahrscheinlichkeit für die verschiedenen Ereignisse annehmen? - Wann ist es einfacher, mit dem Gegenereignis zu rechnen? - Wie viele Primzahlen gibt es zwischen 1 und 12? - Hängt das Ergebnis einer Drehung davon ab, was vorher passiert ist?

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der Treffer bei \(n = 25\) Versuchen. Für (1) ist die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\) (Zahlen 3, 6, 9, 12). Berechnung über das Gegenereignis: \(P(X \ge 5) = 1 - P(X \le 4) \approx 1 - 0{,}0462 = 0{,}9538\). 2. Für (2) ist \(p = \frac{1}{12}\). Berechnung über das Gegenereignis: \(P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)) \approx 1 - 0{,}6533 = 0{,}3467\). 3. Für (3) ist \(p = \frac{5}{12}\) (Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11). Gesucht ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 10) = \sum_{i=0}^{10} \binom{25}{i} \cdot (\frac{5}{12})^i \cdot (\frac{7}{12})^{25-i} \approx 0{,}5180\). 4. Da die einzelnen Drehungen stochastisch unabhängig sind, hat das Ergebnis der vorangegangenen Drehungen keinen Einfluss auf die nächste Drehung. Die Wahrscheinlichkeit für die Zahl 12 bleibt konstant bei \(p = \frac{1}{12} \approx 0{,}0833\).

a) (1) \(P(X \ge 5) \approx 0{,}9538\) (2) \(P(X > 2) \approx 0{,}3467\) (3) \(P(X \le 10) \approx 0{,}5180\) b) \(P(\text{„12“}) = \frac{1}{12} \approx 0{,}0833\)

- Was ist das Gegenereignis zu „mindestens ein Bauteil ist fehlerhaft“? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für genau null Treffer in einer Bernoullikette der Länge \(n\)? - Welche Rechenregel für Logarithmen hilft dir, wenn die Unbekannte im Exponenten steht? - Denke daran, dass die gesuchte Anzahl eine ganze Zahl sein muss.

1. Modellierung der Zufallsgröße \(X\) als binomialverteilt mit \(p = 0{,}04\) und unbekanntem Stichprobenumfang \(n\). 2. Ansatz über die Gegenwahrscheinlichkeit für das Ereignis „mindestens ein Fehler“: \(P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - 0{,}04)^n = 1 - 0{,}96^n\). 3. Aufstellen der Ungleichung gemäß der Aufgabenstellung: \(1 - 0{,}96^n \geq 0{,}95\). 4. Umformen der Ungleichung: \(0{,}96^n \leq 0{,}05\). 5. Anwendung des Logarithmus: \(n \cdot \ln(0{,}96) \leq \ln(0{,}05)\). 6. Auflösen nach \(n\) unter Beachtung des Vorzeichenwechsels beim Teilen durch \(\ln(0{,}96)\) (da negativ): \(n \geq \frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}96)} \approx 73{,}39\). 7. Da \(n\) eine natürliche Zahl sein muss, folgt \(n = 74\).

Es müssen mindestens \(74\) Bauteile entnommen werden.

- Welche Formeln kennst du für den Erwartungswert und die Varianz einer Binomialverteilung? - Welche ganzzahligen Werte liegen tatsächlich in dem berechneten Intervall? - Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich \(P(a \leq X \leq b)\) mithilfe der kumulierten Wahrscheinlichkeiten ausdrücken?

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 100 \cdot 0{,}6 = 60\). 2. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{100 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}4} = \sqrt{24} \approx 4{,}899\). 3. Bestimmung des Intervalls: \([\mu - \sigma; \mu + \sigma] = [60 - 4{,}899; 60 + 4{,}899] = [55{,}101; 64{,}899]\). 4. Da \(X\) nur ganzzahlige Werte annimmt, umfasst das Ereignis die Werte \(k \in \{56, 57, \dots, 64\}\). 5. Berechnung der Wahrscheinlichkeit mittels der kumulativen Verteilungsfunktion \(F(n; p; k)\): \(P(56 \leq X \leq 64) = P(X \leq 64) - P(X \leq 55) = F(100; 0{,}6; 64) - F(100; 0{,}6; 55)\). 6. Einsetzen der Werte aus dem Tabellenwerk oder dem Taschenrechner: \(0{,}8205 - 0{,}1789 = 0{,}6416\).

1. \(\mu = 60\); \(\sigma \approx 4{,}90\) 2. \(P(56 \leq X \leq 64) \approx 64{,}16\,\%\)

- Was bedeutet es für die Anzahl der defekten Chips, wenn eine bestimmte Anzahl einwandfrei ist? - Erinnere dich an die Formel für die Gegenwahrscheinlichkeit bei „mindestens ein Treffer“. - Wie löst man eine Ungleichung nach dem Exponenten \(n\) auf? Achte dabei auf das Vorzeichen beim Teilen durch Logarithmen. - Kannst du die Wahrscheinlichkeit für „höchstens zwei“ als Summe einzelner Wahrscheinlichkeiten ausdrücken?

1. Für \(n = 20\) und \(p = 0{,}08\) gilt für \(E_1\): \(P(X_{20} = 0) = 0{,}92^{20} \approx 0{,}1887\). 2. Für \(E_2\) berechnet man die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X_{20} \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0{,}92^{20} + 20 \cdot 0{,}08^1 \cdot 0{,}92^{19} + \binom{20}{2} \cdot 0{,}08^2 \cdot 0{,}92^{18} \approx 0{,}1887 + 0{,}3282 + 0{,}2711 \approx 0{,}7880\). 3. Das Ereignis \(E_3\) entspricht \(X_{20} \in \{2; 3\}\), da bei 17 oder 18 einwandfreien Chips genau 3 bzw. 2 Chips defekt sind. \(P(X=2) + P(X=3) = \binom{20}{2} \cdot 0{,}08^2 \cdot 0{,}92^{18} + \binom{20}{3} \cdot 0{,}08^3 \cdot 0{,}92^{17} \approx 0{,}2711 + 0{,}1414 = 0{,}4125\). 4. Für Teilaufgabe b) ist der Ansatz \(P(X_n \ge 1) \ge 0{,}99\), was äquivalent zu \(1 - P(X_n = 0) \ge 0{,}99\) bzw. \(0{,}92^n \le 0{,}01\) ist. Durch Logarithmieren erhält man \(n \cdot \ln(0{,}92) \le \ln(0{,}01)\). Wegen \(\ln(0{,}92) < 0\) folgt \(n \ge \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}92)} \approx 55{,}23\). Somit ist der kleinste Wert \(n = 56\).

a) \(P(E_1) \approx 18{,}87\,\%\); \(P(E_2) \approx 78{,}80\,\%\); \(P(E_3) \approx 41{,}25\,\%\) b) \(n = 56\)

- Wie hängen Erwartungswert und Standardabweichung bei einer Binomialverteilung mit \(n\) und \(p\) zusammen? - Welche ganzzahligen Werte für \(Y\) liegen innerhalb des Bereichs um den Erwartungswert? - Wie berechnet man die relative Häufigkeit aus der absoluten Anzahl \(Y\) und dem Stichprobenumfang? - Setze den Wert für \(k\) in die Formel ein und überlege dir, was das Ergebnis für die Sicherheit der Vorhersage bedeutet.

1. Erwartungswert \(\mu = n \cdot p = 500 \cdot 0{,}04 = 20\). Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{20 \cdot 0{,}96} = \sqrt{19{,}2} \approx 4{,}38\). 2. Die Bedingung \(|Y - \mu| \le \sigma\) entspricht dem Intervall \([20 - 4{,}38; 20 + 4{,}38] = [15{,}62; 24{,}38]\). Da \(Y\) nur ganzzahlige Werte annimmt, liegen die möglichen Werte im Bereich \(16 \le Y \le 24\). 3. Die relative Häufigkeit ist definiert als \(h = \frac{Y}{n}\). Die kleinste relative Häufigkeit ist \(h_{\min} = \frac{16}{500} = 0{,}032 = 3{,}2\,\%\) und die größte ist \(h_{\max} = \frac{24}{500} = 0{,}048 = 4{,}8\,\%\). 4. Für \(k = 3\) ergibt sich \(1 - \frac{1}{3^2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \approx 88{,}9\,\%\). Die Ungleichung besagt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der positiven Testergebnisse um weniger als drei Standardabweichungen vom Erwartungswert abweicht (also im Intervall \(]20 - 3\sigma; 20 + 3\sigma[\) liegt), mindestens \(\frac{8}{9}\) beträgt.

a) \(\mu = 20\); \(\sigma \approx 4{,}38\) b) kleinstmögliche relative Häufigkeit: \(3{,}2\,\%\); größtmögliche relative Häufigkeit: \(4{,}8\,\%\) c) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der positiven Ergebnisse im Bereich \(]20 - 3\sigma; 20 + 3\sigma[\) liegt, beträgt mindestens \(\frac{8}{9}\) (ca. \(88{,}9\,\%\)).

- Welchen Wert erwartest du im Durchschnitt bei 50 Behandlungen? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Wert um nicht mehr als 4 von diesem Durchschnitt entfernt ist? - Wie kannst du eine Wahrscheinlichkeit für einen Bereich von Werten berechnen, wenn du nur die kumulierten Werte (also „höchstens \(x\)“) kennst? - Achte darauf, welche Randwerte des Intervalls genau eingeschlossen werden müssen.

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 50 \cdot 0{,}4 = 20\). 2. Bestimmung des gesuchten Intervalls: Eine Abweichung von höchstens \(4\) bedeutet \(20 - 4 \le X \le 20 + 4\), also \(16 \le X \le 24\). 3. Ansatz über die kumulative Binomialverteilung: \(P(16 \le X \le 24) = P(X \le 24) - P(X \le 15)\). 4. Bestimmung der Werte für \(B(50; 0{,}4)\): \(P(X \le 24) \approx 0{,}9022\) und \(P(X \le 15) \approx 0{,}0955\). 5. Berechnung der Differenz: \(0{,}9022 - 0{,}0955 = 0{,}8067\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(80{,}67\,\%\).

- Welche Bedingungen müssen für eine Bernoullikette erfüllt sein? Denke an die Anzahl der möglichen Ergebnisse pro Stufe. - Bleibt die Wahrscheinlichkeit bei jedem Samen gleich? - Welche Formel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für eine exakte Anzahl an Treffern in einer Bernoullikette zu berechnen? - „Höchstens einer“ bedeutet, dass entweder kein Samen oder genau ein Samen keimt. Wie kombiniert man diese Wahrscheinlichkeiten?

1. Begründung der Bernoullikette: Es gibt nur zwei Ausgänge pro Samen (keimt/keimt nicht), die Keimwahrscheinlichkeit ist für jeden Samen mit \(p = 0{,}8\) konstant und die Keimprozesse der einzelnen Samen werden als voneinander unabhängig betrachtet. 2. Berechnung für genau 5 Samen: Mit \(n=6\), \(k=5\) und \(p=0{,}8\) ergibt sich \(P(X=5) = \binom{6}{5} \cdot 0{,}8^5 \cdot 0{,}2^1 = 6 \cdot 0{,}32768 \cdot 0{,}2 = 0{,}393216\). 3. Berechnung für höchstens einen Samen: \(P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1)\). \(P(X=0) = \binom{6}{0} \cdot 0{,}8^0 \cdot 0{,}2^6 = 0{,}000064\). \(P(X=1) = \binom{6}{1} \cdot 0{,}8^1 \cdot 0{,}2^5 = 6 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}00032 = 0{,}001536\). Summe: \(0{,}000064 + 0{,}001536 = 0{,}0016\).

a) Es handelt sich um eine Bernoullikette, da es nur zwei Ergebnisse gibt (Erfolg: Keimen, Misserfolg: kein Keimen), die Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}8\) für jeden Samen gleich bleibt und die Versuche unabhängig voneinander sind. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}393216\) (oder ca. \(39{,}32\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}0016\) (oder \(0{,}16\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, wie groß die Erfolgswahrscheinlichkeit für eine einzelne Frage ist. - Welches Modell für Zufallsexperimente mit zwei Ausgängen und mehreren Wiederholungen kennst du? - Was bedeutet „höchstens“ mathematisch für die Anzahl der Treffer? - Wie kannst du die Wahrscheinlichkeit für „mehr als 2“ berechnen, ohne alle einzelnen Fälle ab 3 mühsam zu addieren?

1. Es liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n = 8\) und \(p = 0{,}25\) vor. 2. Berechnung für a): \(P(X = 2) = \binom{8}{2} \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^6 = 28 \cdot 0{,}0625 \cdot 0{,}1779785 \approx 0{,}3115\). 3. Berechnung für b): \(P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0{,}75^8 + 8 \cdot 0{,}25^1 \cdot 0{,}75^7 \approx 0{,}1001 + 0{,}2670 = 0{,}3671\). 4. Berechnung für c): \(P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) = 1 - (P(X \le 1) + P(X = 2)) \approx 1 - (0{,}3671 + 0{,}3115) = 1 - 0{,}6786 = 0{,}3214\). 5. Vergleich: Da \(0{,}3214 > 0{,}3115\), ist das Ereignis „Mehr als \(2\) richtige Antworten“ wahrscheinlicher.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(31{,}15\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(36{,}71\,\%\). c) Das Ereignis „Mehr als \(2\) richtige Antworten“ (\(P \approx 32{,}14\,\%\)) ist wahrscheinlicher als „Genau \(2\) richtige Antworten“ (\(P \approx 31{,}15\,\%\)).

- Was bedeutet es für die Anzahl der Treffer, wenn ein Ereignis „genau einmal“ eintreten soll? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten für einen Erfolg und einen Misserfolg zusammen? - Bei „mindestens einmal“ ist es oft einfacher, das Gegenteil zu betrachten: Was darf auf keinen Fall passieren? - Ab welcher Wahrscheinlichkeit würdest du ein Ereignis als „fast sicher“ bezeichnen?

1. Identifikation der Parameter der Bernoulli-Kette: \(n = 4\), Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}25\), Misserfolgswahrscheinlichkeit \(q = 0{,}75\). 2. Berechnung für genau einen Treffer: \(P(X=1) = \binom{4}{1} \cdot 0{,}25^1 \cdot 0{,}75^3 = 4 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}421875 = 0{,}421875\). 3. Berechnung für mindestens einen Treffer über das Gegenereignis (kein Treffer): \(P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0{,}75^4\). 4. Numerisches Ergebnis: \(P(X \ge 1) = 1 - 0{,}31640625 = 0{,}68359375\). 5. Bewertung der Aussage: Eine Wahrscheinlichkeit von ca. \(68{,}4\,\%\) ist weit entfernt von „fast sicher“, die Behauptung ist somit falsch.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}421875\) (oder \(42{,}1875\,\%\)). b) Nein, die Wahrscheinlichkeit für mindestens einmal Rot beträgt nur ca. \(68{,}4\,\%\). Das ist nicht „fast sicher“.

- Bestimme zunächst die Wahrscheinlichkeit für eine einzelne Farbe bei einer Drehung. - Was bedeutet „mindestens fünfmal“ für die Anzahl der möglichen Treffer? - Kannst du die Situation als Bernoulli-Kette modellieren? - Achte darauf, die Wahrscheinlichkeiten für die gesuchten Fälle korrekt zu addieren.

1. Da die drei Sektoren gleich groß sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe \(p = \frac{1}{3}\). Die Anzahl der Versuche ist \(n = 6\). Für genau zwei blaue Sektoren (\(k = 2\)) gilt: \(P(X = 2) = \binom{6}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 15 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{16}{81} = \frac{240}{729} \approx 0{,}3292\). 2. Das Ereignis „mindestens fünfmal Rot“ umfasst die Fälle \(k = 5\) und \(k = 6\). Es gilt \(P(X \ge 5) = P(X = 5) + P(X = 6)\). Die Berechnungen ergeben \(P(X = 5) = \binom{6}{5} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^1 = 6 \cdot \frac{1}{243} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{729}\) und \(P(X = 6) = \left(\frac{1}{3}\right)^6 = \frac{1}{729}\). Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist \(\frac{12}{729} + \frac{1}{729} = \frac{13}{729} \approx 0{,}0178\).

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(32{,}92\,\%\) (oder \(\frac{80}{243}\)). 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(1{,}78\,\%\) (oder \(\frac{13}{729}\)).

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer und für einen Fehlwurf ist. - Handelt es sich um ein Experiment, bei dem sich die Wahrscheinlichkeit pro Wurf ändert? - Was bedeutet „höchstens“ oder „mindestens“ für die Anzahl der Treffer? Welche Einzelergebnisse musst du addieren? - Gibt es eine Formel, mit der man die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl an Treffern in einer Kette berechnen kann?

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 6\) und \(p = 0{,}7\). 1. Genau 4 Treffer: \(P(X=4) = \binom{6}{4} \cdot 0{,}7^4 \cdot 0{,}3^2 = 15 \cdot 0{,}2401 \cdot 0{,}09 = 0{,}324135 \approx 32{,}41\,\%\). 2. Kein Treffer: \(P(X=0) = 0{,}3^6 = 0{,}000729 \approx 0{,}07\,\%\). 3. Höchstens ein Treffer: \(P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1) = 0{,}000729 + \binom{6}{1} \cdot 0{,}7^1 \cdot 0{,}3^5 = 0{,}000729 + 6 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}00243 = 0{,}010935 \approx 1{,}09\,\%\). 4. Mindestens 5 Treffer: \(P(X \ge 5) = P(X=5) + P(X=6) = \binom{6}{5} \cdot 0{,}7^5 \cdot 0{,}3^1 + 0{,}7^6 = 6 \cdot 0{,}16807 \cdot 0{,}3 + 0{,}117649 = 0{,}420175 \approx 42{,}02\,\%\).

a) ca. \(32{,}41\,\%\) b) ca. \(0{,}07\,\%\) c) ca. \(1{,}09\,\%\) d) ca. \(42{,}02\,\%\)

- Überlege dir, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bei nur zwei Antwortmöglichkeiten ist. - Welches Modell beschreibt eine Serie von unabhängigen Versuchen mit jeweils zwei Ausgängen? - Was bedeutet „mehr richtig als falsch“ konkret für die Anzahl der Treffer bei insgesamt 6 Fragen? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl an Erfolgen?

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 6\) und \(p = 0{,}5\). 1. Berechnung für genau 3 richtige Antworten: \(P(X=3) = \binom{6}{3} \cdot 0{,}5^3 \cdot 0{,}5^3 = 20 \cdot 0{,}015625 = 0{,}3125\). 2. Berechnung für genau 5 richtige Antworten: \(P(X=5) = \binom{6}{5} \cdot 0{,}5^5 \cdot 0{,}5^1 = 6 \cdot 0{,}015625 = 0{,}09375\). 3. Das Ereignis „mehr richtig als falsch“ entspricht bei 6 Fragen den Ergebnissen 4, 5 oder 6 richtige Antworten. \(P(X=4) = \binom{6}{4} \cdot 0{,}5^4 \cdot 0{,}5^2 = 15 \cdot 0{,}015625 = 0{,}234375\). \(P(X=6) = \binom{6}{6} \cdot 0{,}5^6 \cdot 0{,}5^0 = 1 \cdot 0{,}015625 = 0{,}015625\). Gesamtwahrscheinlichkeit: \(P(X \ge 4) = 0{,}234375 + 0{,}09375 + 0{,}015625 = 0{,}34375\).

(1) \(0{,}3125\) (oder \(31{,}25\,\%\)) (2) \(0{,}09375\) (oder \(9{,}375\,\%\)) (3) \(0{,}34375\) (oder \(34{,}375\,\%\))

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine „6“ bei einem einzelnen Wurf ist. - Welche Formel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl an Treffern in einer Kette von Versuchen zu berechnen? - Was bedeutet „höchstens“ mathematisch für die Anzahl der Treffer? - Kannst du das Ereignis „mindestens drei“ einfacher berechnen, indem du betrachtest, was gerade nicht passieren darf?

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{6}\) und der Kettenlänge \(n = 10\). 1. Berechnung für genau 2 Treffer mit der Bernoulli-Formel: \(P(X=2) = \binom{10}{2} \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^8 = 45 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{390\,625}{1\,679\,616} \approx 0{,}2907\). 2. Berechnung für höchstens einen Treffer als Summe von 0 und 1 Treffer: \(P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1) = (\frac{5}{6})^{10} + 10 \cdot \frac{1}{6} \cdot (\frac{5}{6})^9 \approx 0{,}1615 + 0{,}3230 = 0{,}4845\). 3. Berechnung für mindestens 3 Treffer über das Gegenereignis „höchstens 2 Treffer“: \(P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) = 1 - (P(X \le 1) + P(X=2)) \approx 1 - (0{,}4845 + 0{,}2907) = 1 - 0{,}7752 = 0{,}2248\).

(1) ca. \(0{,}2907\) (oder \(29{,}07\,\%\)) (2) ca. \(0{,}4845\) (oder \(48{,}45\,\%\)) (3) ca. \(0{,}2248\) (oder \(22{,}48\,\%\))

- Überlege dir zuerst, ob die einzelnen Drehungen voneinander abhängen. - Welche Werte für die Trefferanzahl sind im Ereignis enthalten? - Erinnerst du dich an eine Formel, mit der man die Wahrscheinlichkeit für eine exakte Anzahl an Treffern in einer Versuchsreihe berechnen kann? - Wie kombiniert man die Wahrscheinlichkeiten von zwei sich gegenseitig ausschließenden Ergebnissen?

1. Identifikation der Parameter der Bernoulli-Kette: Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}25\), Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 1 - p = 0{,}75\) und Anzahl der Versuche \(n = 10\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeit für \(k = 3\) Treffer mit der Bernoulli-Formel: \(P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot 0{,}25^3 \cdot 0{,}75^7 = 120 \cdot 0{,}015625 \cdot 0{,}13348388... \approx 0{,}2503\). 3. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeit für \(k = 4\) Treffer: \(P(X = 4) = \binom{10}{4} \cdot 0{,}25^4 \cdot 0{,}75^6 = 210 \cdot 0{,}00390625 \cdot 0{,}17797851... \approx 0{,}1460\). 4. Addition der beiden Wahrscheinlichkeiten für das Ereignis „3-mal oder 4-mal“: \(P(X = 3) + P(X = 4) \approx 0{,}2503 + 0{,}1460 = 0{,}3963\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(39{,}63\,\%\) (oder als Dezimalbruch ca. \(0{,}3963\)).

- Was bedeutet es für die Rechnung, wenn nach „keinem“ Treffer gesucht wird? - Welche Parameter \(n\) und \(p\) lassen sich aus dem Text ablesen? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit für jeden der beiden Fälle (0 Fehler, 1 Fehler) einzeln bestimmen? - Denke daran, dass das Ziehen mit Zurücklegen eine Bernoulli-Kette darstellt.

1. Festlegung der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 15\), \(p = 0{,}1\), \(q = 0{,}9\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(0\) Fehler: \(P(X = 0) = \binom{15}{0} \cdot 0{,}1^0 \cdot 0{,}9^{15} = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}9^{15} \approx 0{,}2059\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(1\) Fehler: \(P(X = 1) = \binom{15}{1} \cdot 0{,}1^1 \cdot 0{,}9^{14} = 15 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^{14} \approx 0{,}3432\). 4. Summation der Wahrscheinlichkeiten: \(P(X = 0) + P(X = 1) \approx 0{,}2059 + 0{,}3432 = 0{,}5491\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}5491\) (bzw. \(54{,}91\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, was in diesem Experiment als „Treffer“ definiert werden kann. - Wie hängen die Begriffe „keimen“ und „nicht keimen“ mathematisch zusammen? - Welche Formel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für eine exakte Anzahl an Erfolgen in einer Versuchsreihe zu berechnen? - Kannst du das Ereignis „höchstens 2 keimen nicht“ in eine Bedingung für die Anzahl der keimenden Samen übersetzen?

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}8\) (Samen keimt) und der Länge \(n = 12\). 1. Berechnung für genau \(10\) Treffer: \(P(X = 10) = \binom{12}{10} \cdot 0{,}8^{10} \cdot 0{,}2^2\). Mit \(\binom{12}{10} = 66\) ergibt sich \(P(X = 10) \approx 0{,}2835\). 2. Für Aufgabenteil b) ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass die Anzahl der nicht keimenden Samen \(Y \le 2\) ist. Dies entspricht dem Ereignis, dass mindestens \(10\) Samen keimen (\(X \ge 10\)). 3. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X = 10) \approx 0{,}2835\) \(P(X = 11) = \binom{12}{11} \cdot 0{,}8^{11} \cdot 0{,}2^1 \approx 0{,}2062\) \(P(X = 12) = 0{,}8^{12} \approx 0{,}0687\) 4. Summe der Wahrscheinlichkeiten: \(P(X \ge 10) = 0{,}2835 + 0{,}2062 + 0{,}0687 \approx 0{,}5584\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(28{,}35\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(55{,}84\,\%\).

- Überlege dir zuerst, wie groß die Gewinnchance bei einer einzelnen Drehung ist. - Ist es einfacher, die gesuchten Fälle direkt zu berechnen oder den Umweg über das Gegenteil zu gehen? - Welche Werte für die Anzahl der Gewinne gehören zum Gegenereignis von „mindestens drei“? - Erinnere dich an die Formel für die Wahrscheinlichkeit bei einer Kette von unabhängigen Versuchen.

1. Identifikation der Parameter der Bernoulli-Kette: Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\), Anzahl der Versuche \(n = 10\). Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für \(k \ge 3\). 2. Berechnung über das Gegenereignis: \(P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2))\). 3. Einzelwahrscheinlichkeiten berechnen: \(P(X=0) = \binom{10}{0} \cdot 0{,}2^0 \cdot 0{,}8^{10} \approx 0{,}1074\) \(P(X=1) = \binom{10}{1} \cdot 0{,}2^1 \cdot 0{,}8^9 \approx 0{,}2684\) \(P(X=2) = \binom{10}{2} \cdot 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^8 = 45 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}1678 \approx 0{,}3020\). 4. Summe der Wahrscheinlichkeiten für das Gegenereignis: \(0{,}1074 + 0{,}2684 + 0{,}3020 = 0{,}6778\). 5. Endresultat: \(1 - 0{,}6778 = 0{,}3222\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(32{,}22\,\%\).

- Was bedeutet „höchstens zwei“ für die möglichen Anzahlen der roten Bärchen? - Handelt es sich hier um ein Experiment mit oder ohne Zurücklegen, wenn die Menge sehr groß ist? - Stelle die Formel für die Binomialverteilung auf und setze die gegebenen Werte ein. - Addiere die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen zutreffenden Ergebnisse.

1. Es liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n = 15\) und \(p = 0{,}2\) vor. Gesucht ist \(P(X \le 2)\). 2. Die Wahrscheinlichkeit setzt sich aus der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten für \(k=0\), \(k=1\) und \(k=2\) zusammen: \(P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\). 3. Berechnung der Einzelwerte: \(P(X=0) = \binom{15}{0} \cdot 0{,}2^0 \cdot 0{,}8^{15} \approx 0{,}0352\) \(P(X=1) = \binom{15}{1} \cdot 0{,}2^1 \cdot 0{,}8^{14} \approx 0{,}1319\) \(P(X=2) = \binom{15}{2} \cdot 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^{13} = 105 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}0550 \approx 0{,}2309\). 4. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(0{,}0352 + 0{,}1319 + 0{,}2309 = 0{,}3980\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(39{,}80\,\%\).

- Überlege dir zuerst, wie viele Sätze Sarah mindestens gewinnen muss, um als Gesamtsiegerin festzustehen. - Kannst du das Problem als eine Kette von unabhängigen Versuchen betrachten? - Welche Verteilung hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl an Erfolgen zu berechnen? - Du musst die Wahrscheinlichkeiten für alle Fälle addieren, in denen Sarah das Match gewinnt.

1. Identifikation der Verteilung: Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit der Länge \(n = 7\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}55\). 2. Bestimmung der Zielgröße: Sarah gewinnt das Match, wenn die Anzahl der Erfolge \(X\) den Wert 4, 5, 6 oder 7 annimmt. Gesucht ist \(P(X \ge 4)\). 3. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten mit der Bernoulli-Formel \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\): \(P(X = 4) = \binom{7}{4} \cdot 0{,}55^4 \cdot 0{,}45^3 \approx 0{,}2918\) \(P(X = 5) = \binom{7}{5} \cdot 0{,}55^5 \cdot 0{,}45^2 \approx 0{,}2140\) \(P(X = 6) = \binom{7}{6} \cdot 0{,}55^6 \cdot 0{,}45^1 \approx 0{,}0872\) \(P(X = 7) = \binom{7}{7} \cdot 0{,}55^7 \cdot 0{,}45^0 \approx 0{,}0152\) 4. Summation der Wahrscheinlichkeiten: \(P(X \ge 4) = 0{,}2918 + 0{,}2140 + 0{,}0872 + 0{,}0152 = 0{,}6082\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass Sarah das Match gewinnt, beträgt ca. \(60{,}8\,\%\).

- Wie viele Partien muss Marc genau gewinnen, um „mehr als die Hälfte“ erreicht zu haben? - Handelt es sich hier um unabhängige Wiederholungen mit gleichbleibender Gewinnwahrscheinlichkeit? Was bedeutet das für die Wahl der Formel? - Erstelle eine Liste aller möglichen Anzahlen von Siegen, die Marc zum Gesamtsieger machen würden. - Du kannst entweder die einzelnen Wahrscheinlichkeiten addieren oder mit dem Gegenereignis arbeiten, falls das weniger Rechenaufwand bedeutet.

1. Festlegung der Parameter: Die Anzahl der Versuche ist \(n = 10\), die Erfolgswahrscheinlichkeit für Marc ist \(p = 0{,}4\). 2. Bedingung für den Gesamtsieg: Marc muss mehr als 5 Partien gewinnen, also \(k \in \{6, 7, 8, 9, 10\}\). Gesucht ist \(P(X \ge 6)\). 3. Berechnung der Teilwahrscheinlichkeiten: \(P(X = 6) = \binom{10}{6} \cdot 0{,}4^6 \cdot 0{,}6^4 \approx 0{,}1115\) \(P(X = 7) = \binom{10}{7} \cdot 0{,}4^7 \cdot 0{,}6^3 \approx 0{,}0425\) \(P(X = 8) = \binom{10}{8} \cdot 0{,}4^8 \cdot 0{,}6^2 \approx 0{,}0106\) \(P(X = 9) = \binom{10}{9} \cdot 0{,}4^9 \cdot 0{,}6^1 \approx 0{,}0016\) \(P(X = 10) = \binom{10}{10} \cdot 0{,}4^{10} \cdot 0{,}6^0 \approx 0{,}0001\) 4. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(P(X \ge 6) \approx 0{,}1115 + 0{,}0425 + 0{,}0106 + 0{,}0016 + 0{,}0001 = 0{,}1663\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass Marc Gesamtsieger wird, liegt bei ca. \(16{,}6\,\%\).

- Überlege dir zuerst, ob die Bedingungen für ein Bernoulli-Experiment erfüllt sind. - Welche Werte haben die Parameter für die Anzahl der Versuche und die Trefferwahrscheinlichkeit? - Bei Formulierungen wie „höchstens“ oder „mindestens“ musst du mehrere Einzelwahrscheinlichkeiten addieren. - Kannst du die Wahrscheinlichkeiten direkt berechnen oder ist es einfacher, über das Gegenereignis nachzudenken?

1. Es handelt sich um ein Bernoulli-Experiment mit den Parametern \(n = 15\) und \(p = 0{,}4\). Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Haushalte mit Streaming-Dienst. 2. Berechnung für a): \(P(X = 6) = \binom{15}{6} \cdot 0{,}4^6 \cdot 0{,}6^9 \approx 5005 \cdot 0{,}004096 \cdot 0{,}010078 \approx 0{,}2066\). 3. Berechnung für b): \(P(X \le 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)\). \(P(X = 0) = 0{,}6^{15} \approx 0{,}00047\) \(P(X = 1) = 15 \cdot 0{,}4^1 \cdot 0{,}6^{14} \approx 0{,}00470\) \(P(X = 2) = 105 \cdot 0{,}4^2 \cdot 0{,}6^{13} \approx 0{,}02195\) Summe: \(P(X \le 2) \approx 0{,}0271\). 4. Berechnung für c): \(P(X \ge 13) = P(X = 13) + P(X = 14) + P(X = 15)\). \(P(X = 13) = 105 \cdot 0{,}4^{13} \cdot 0{,}6^2 \approx 0{,}00025\) \(P(X = 14) = 15 \cdot 0{,}4^{14} \cdot 0{,}6^1 \approx 0{,}00002\) \(P(X = 15) = 0{,}4^{15} \approx 0{,}000001\) Summe: \(P(X \ge 13) \approx 0{,}0003\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(20{,}66\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(2{,}71\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}03\,\%\).

- Überlege dir zuerst, ob die Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Wurf gleich bleibt. - Welche Werte für die Anzahl der Treffer sind bei den Formulierungen „mindestens“ oder „weniger als“ jeweils gemeint? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis bestimmen, indem du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse addierst? - Erinnere dich an die Formel für Bernoulli-Ketten zur Berechnung von Einzelwahrscheinlichkeiten.

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 6\) und \(p = 0{,}8\). 1. Berechnung für genau \(5\) Treffer mit der Bernoulli-Formel: \(P(X=5) = \binom{6}{5} \cdot 0{,}8^5 \cdot 0{,}2^1 = 6 \cdot 0{,}32768 \cdot 0{,}2 = 0{,}393216 \approx 39{,}32\,\%\). 2. Berechnung für mindestens \(5\) Treffer als Summe von genau \(5\) und genau \(6\) Treffern: \(P(X \ge 5) = P(X=5) + P(X=6) = 0{,}393216 + 0{,}8^6 = 0{,}393216 + 0{,}262144 = 0{,}65536 \approx 65{,}54\,\%\). 3. Berechnung für weniger als \(2\) Treffer als Summe von \(0\) und \(1\) Treffer: \(P(X < 2) = P(X=0) + P(X=1) = 0{,}2^6 + \binom{6}{1} \cdot 0{,}8^1 \cdot 0{,}2^5 = 0{,}000064 + 6 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}00032 = 0{,}000064 + 0{,}001536 = 0{,}0016 = 0{,}16\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(39{,}32\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(65{,}54\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}16\,\%\).

- Identifiziere die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für ein defektes Bauteil. - Bei „mindestens zwei“ kann es hilfreich sein, über das Gegenteil nachzudenken, um Rechenaufwand zu sparen. - Was bedeutet es für die Anzahl der Treffer \(k\), wenn „kein“ Bauteil defekt ist? - Achte darauf, die Wahrscheinlichkeit für „nicht defekt“ korrekt als \(1-p\) einzusetzen.

Das Zufallsexperiment wird als Bernoulli-Kette mit \(n = 15\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit für einen Defekt \(p = 0{,}04\) modelliert. 1. Berechnung für genau ein defektes Teil: \(P(X=1) = \binom{15}{1} \cdot 0{,}04^1 \cdot 0{,}96^{14} \approx 15 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}5647 \approx 0{,}3388 = 33{,}88\,\%\). 2. Berechnung für mindestens zwei defekte Teile über das Gegenereignis (höchstens ein defektes Teil): \(P(X \ge 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))\). Zuerst \(P(X=0) = 0{,}96^{15} \approx 0{,}5421\). Dann \(P(X \ge 2) \approx 1 - (0{,}5421 + 0{,}3388) = 1 - 0{,}8809 = 0{,}1191 = 11{,}91\,\%\). 3. Berechnung für kein defektes Teil: \(P(X=0) = 0{,}96^{15} \approx 0{,}5421 = 54{,}21\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(33{,}88\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(11{,}91\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(54{,}21\,\%\).

- Überlege zuerst, welche Werte für \(n\) und \(p\) in dieser Situation gelten. - Kannst du die Ereignisse mit der Formel von Bernoulli beschreiben? - Bei „mindestens“ oder „höchstens“ ist es oft einfacher, das Gegenereignis zu betrachten. - Was bedeutet „zwischen \(3\) und \(5\) einschließlich“ für die möglichen Werte der Zufallsgröße?

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 10\) und \(p = 0{,}4\). 1. Berechnung für a): \(P(X = 4) = \binom{10}{4} \cdot 0{,}4^{4} \cdot 0{,}6^{6} = 210 \cdot 0{,}0256 \cdot 0{,}046656 \approx 0{,}2508\). 2. Berechnung für b): \(P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))\). Mit \(P(X=0) = 0{,}6^{10} \approx 0{,}0060\) und \(P(X=1) = 10 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6^{9} \approx 0{,}0403\) ergibt sich \(1 - 0{,}0463 = 0{,}9537\). 3. Berechnung für c): \(P(3 \le X \le 5) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)\). Mit \(P(X=3) = \binom{10}{3} \cdot 0{,}4^{3} \cdot 0{,}6^{7} \approx 0{,}2150\), \(P(X=4) \approx 0{,}2508\) und \(P(X=5) = \binom{10}{5} \cdot 0{,}4^{5} \cdot 0{,}6^{5} \approx 0{,}2007\) folgt die Summe \(0{,}2150 + 0{,}2508 + 0{,}2007 = 0{,}6665\).

a) \(P(X=4) \approx 25{,}08\,\%\) b) \(P(X \ge 2) \approx 95{,}37\,\%\) c) \(P(3 \le X \le 5) \approx 66{,}65\,\%\)

- Identifiziere die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) und die Anzahl der Versuche \(n\). - Achte genau auf Formulierungen wie „mehr als“ oder „höchstens“. Gehört die Zahl selbst dazu? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Trefferzahlen zusammen, wenn man einen Bereich berechnen möchte?

Das Experiment ist binomialverteilt mit \(n = 15\) und \(p = 0{,}05\). 1. Berechnung für a): \(P(X = 1) = \binom{15}{1} \cdot 0{,}05^{1} \cdot 0{,}95^{14} = 15 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}48767 \approx 0{,}3658\). 2. Berechnung für b): \(P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2))\). Mit \(P(X=0) = 0{,}95^{15} \approx 0{,}4633\), \(P(X=1) \approx 0{,}3658\) und \(P(X=2) = \binom{15}{2} \cdot 0{,}05^{2} \cdot 0{,}95^{13} \approx 0{,}1348\) ergibt sich \(1 - (0{,}4633 + 0{,}3658 + 0{,}1348) = 1 - 0{,}9639 = 0{,}0361\). 3. Berechnung für c): \(P(1 \le X \le 3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)\). Mit \(P(X=3) = \binom{15}{3} \cdot 0{,}05^{3} \cdot 0{,}95^{12} \approx 0{,}0307\) ergibt sich die Summe \(0{,}3658 + 0{,}1348 + 0{,}0307 = 0{,}5313\).

a) \(P(X=1) \approx 36{,}58\,\%\) b) \(P(X > 2) \approx 3{,}61\,\%\) c) \(P(1 \le X \le 3) \approx 53{,}13\,\%\)

- Kannst du die Situation als eine Kette von Versuchen beschreiben, bei denen es nur „Gewinn“ oder „kein Gewinn“ gibt? - Welche Werte kann die Anzahl der Gewinne annehmen, wenn sie zwischen 1 und 3 liegen soll? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für eine genau festgelegte Anzahl an Erfolgen? - Was musst du am Ende mit den einzelnen Wahrscheinlichkeiten für 1, 2 und 3 Gewinne tun?

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 10\) Versuche und Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}2\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten für \(k \in \{1, 2, 3\}\) mit der Formel \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\): \(P(X = 1) = \binom{10}{1} \cdot 0{,}2^1 \cdot 0{,}8^9 \approx 0{,}2684\) \(P(X = 2) = \binom{10}{2} \cdot 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^8 \approx 0{,}3020\) \(P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot 0{,}2^3 \cdot 0{,}8^7 \approx 0{,}2013\) 3. Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(1 \le X \le 3) = 0{,}2684 + 0{,}3020 + 0{,}2013 \approx 0{,}7717\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(77{,}17\,\%\).

- Überlege dir zuerst, welche Trefferzahlen genau gemeint sind, wenn von „zwischen 8 und 10 (einschließlich)“ die Rede ist. - Handelt es sich hier um ein mehrstufiges Zufallsexperiment mit immer gleichen Bedingungen? - Wie oft wird das Experiment wiederholt und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Treffer? - Gibt es eine Formel, mit der man die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Trefferanzahl in einer solchen Kette berechnen kann?

1. Festlegen der Parameter: Anzahl der Versuche \(n = 15\), Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}6\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten für \(k = 8, 9, 10\) mittels der Bernoulli-Formel \(P(X = k) = \binom{15}{k} \cdot 0{,}6^k \cdot 0{,}4^{15-k}\): \(P(X = 8) \approx 0{,}1771\) \(P(X = 9) \approx 0{,}1981\) \(P(X = 10) \approx 0{,}1783\) 3. Summierung der Ergebnisse: \(P(8 \le X \le 10) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) \approx 0{,}1771 + 0{,}1981 + 0{,}1783 = 0{,}5535\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(55{,}35\,\%\).

- Überlege dir zuerst, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine einzelne Person tatsächlich erscheint. - Wann genau ist das Kino „überbelegt“? Welche Anzahlen an Personen müssen dafür erscheinen? - Kannst du die Wahrscheinlichkeiten für diese spezifischen Fälle einzeln berechnen und dann kombinieren?

1. Identifikation der Binomialverteilung mit den Parametern \(n = 15\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}9\) (Erscheinen eines Gastes). 2. Bestimmung der gesuchten Wahrscheinlichkeit für Überbelegung: \(P(X > 13) = P(X = 14) + P(X = 15)\). 3. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(X = 14) = \binom{15}{14} \cdot 0{,}9^{14} \cdot 0{,}1^1 \approx 0{,}3432\). 4. Berechnung: \(P(X = 15) = \binom{15}{15} \cdot 0{,}9^{15} \cdot 0{,}1^0 \approx 0{,}2059\). 5. Addition der Ergebnisse: \(0{,}3432 + 0{,}2059 = 0{,}5491\). Die Wahrscheinlichkeit für eine Überbelegung beträgt etwa \(54{,}9\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(54{,}9\,\%\).

- Was ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Reservierung wahrgenommen wird? - In welchen Fällen gibt es ein Problem mit der Anzahl der Tische? - Ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit für das „Gutgehen“ direkt zu berechnen oder erst die Wahrscheinlichkeit für das Scheitern zu bestimmen?

1. Modellierung als Binomialverteilung mit \(n = 12\) Versuchen und einer Erfolgswahrscheinlichkeit von \(p = 0{,}75\) (Reservierung wird wahrgenommen). 2. Die Bedingung „reicht aus“ ist erfüllt, wenn höchstens \(10\) Reservierungen wahrgenommen werden: \(P(X \le 10)\). 3. Berechnung über das Gegenereignis: \(P(X \le 10) = 1 - (P(X = 11) + P(X = 12))\). 4. Berechnung der Einzelwerte: \(P(X = 11) = \binom{12}{11} \cdot 0{,}75^{11} \cdot 0{,}25^1 \approx 0{,}1267\) und \(P(X = 12) = 0{,}75^{12} \approx 0{,}0317\). 5. Subtraktion vom Ganzen: \(1 - (0{,}1267 + 0{,}0317) = 0{,}8416\). Die Wahrscheinlichkeit, dass die Tische ausreichen, liegt bei ca. \(84{,}2\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(84{,}2\,\%\).

- Was sind die Kennzahlen der Binomialverteilung in dieser Aufgabe? - Wie hängen der Erwartungswert und der wahrscheinlichste Wert zusammen? - Welche Formel oder Tabelle hilft dir bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für Bereiche („höchstens“, „mindestens“)? - Beachte, dass „mindestens 16“ das Gegenereignis zu „höchstens 15“ ist.

1. Es handelt sich um eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit den Parametern \(n = 20\) und \(p = 0{,}6\). 2. Der wahrscheinlichste Wert (Modalwert) \(k\) liegt im Intervall \((n+1)p - 1 \le k \le (n+1)p\). Mit \(21 \cdot 0{,}6 = 12{,}6\) ergibt sich \(k = 12\). 3. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist \(P(X \le 8 \text{ oder } X \ge 16) = P(X \le 8) + P(X \ge 16)\). 4. Berechnung der Teilwahrscheinlichkeiten (z. B. mit Tabelle oder Taschenrechner): \(P(X \le 8) \approx 0{,}0565\) und \(P(X \ge 16) = 1 - P(X \le 15) \approx 1 - 0{,}9490 = 0{,}0510\). 5. Addition der Werte: \(0{,}0565 + 0{,}0510 = 0{,}1075\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(10{,}8\,\%\).

a) Am wahrscheinlichsten ist das Ergebnis \(k = 12\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(10{,}75\,\%\).

- Überlege zuerst, welche Werte \(n\) und \(p\) für die Binomialverteilung hier gelten. - Erinnerst du dich an die Bedingung für den Modalwert einer Binomialverteilung? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall, wenn man eine Tabelle für kumulierte Wahrscheinlichkeiten nutzt? - Denke daran, dass „mindestens 8“ bedeutet, dass man alles außer dem Bereich von 0 bis 7 betrachtet.

1. Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl nicht keimender Samen) ist binomialverteilt mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}2\). 2. Bestimmung des Modalwerts: \((n+1)p = 21 \cdot 0{,}2 = 4{,}2\). Somit ist \(k = 4\) der wahrscheinlichste Wert. 3. Berechnung von \(P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0{,}8^{20} + 20 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8^{19} \approx 0{,}0115 + 0{,}0576 = 0{,}0691\). 4. Berechnung von \(P(X \ge 8) = 1 - P(X \le 7) \approx 1 - 0{,}9679 = 0{,}0321\). 5. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(P(X \le 1) + P(X \ge 8) \approx 0{,}0691 + 0{,}0321 = 0{,}1012\). Dies entspricht etwa \(10{,}1\,\%\).

a) Das Ergebnis \(k = 4\) ist am wahrscheinlichsten. b) \(P(X \le 1) + P(X \ge 8) \approx 0{,}0691 + 0{,}0321 = 0{,}1012 \approx 10{,}1\,\%\).

- Überlege dir zuerst, welches Zufallsexperiment hier vorliegt und welche Parameter gegeben sind. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für eine genaue Trefferzahl bei einer Bernoulli-Kette? - Was bedeutet „dieses oder ein noch extremeres Ergebnis nach oben“ für die Trefferzahl \(k\)? - Du kannst eine Tabelle der kumulierten Binomialverteilung nutzen oder die Einzelwahrscheinlichkeiten schrittweise addieren.

1. Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}15\). Die Wahrscheinlichkeit für genau \(3\) Unterstützer berechnet sich mit der Bernoulli-Formel: \(P(X = 3) = \binom{20}{3} \cdot 0{,}15^3 \cdot 0{,}85^{17} \approx 0{,}2428\). 2. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P(X \ge k) \le 0{,}05\) gilt. Es werden die kumulierten Wahrscheinlichkeiten \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\) berechnet: Für \(k = 6\): \(P(X \ge 6) = 1 - P(X \le 5) \approx 1 - 0{,}9327 = 0{,}0673 > 0{,}05\). Für \(k = 7\): \(P(X \ge 7) = 1 - P(X \le 6) \approx 1 - 0{,}9781 = 0{,}0219 \le 0{,}05\). Das Ergebnis ist ab \(7\) Unterstützern überraschend.

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(24{,}28\,\%\). 2. Ab \(7\) Unterstützern wäre das Ergebnis überraschend.

- Überlege dir bei jedem Ereignis, ob es einfacher ist, das Ereignis direkt oder über das Gegenereignis zu berechnen. - Was bedeutet „mindestens eine“ mathematisch für die Anzahl der Erfolge? - Erinnere dich an die Formel von Bernoulli für genau \(k\) Erfolge. - Wie hängen „höchstens \(n-1\)“ und „genau \(n\)“ Erfolge zusammen?

Das Experiment ist binomialverteilt mit \(n = 10\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{8} = 0{,}125\). 1. Das Gegenereignis zu „mindestens eine Acht“ ist „keine Acht“. Berechnung: \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \binom{10}{0} \cdot 0{,}125^0 \cdot 0{,}875^{10} \approx 1 - 0{,}26308 = 0{,}73692\). 2. Für „mehr als zwei Achten“ wird die kumulierte Wahrscheinlichkeit bis \(k = 2\) vom Ganzen abgezogen: \(P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) = 1 - \sum_{i=0}^{2} \binom{10}{i} \cdot 0{,}125^i \cdot 0{,}875^{10-i}\). Mit \(P(X=0) \approx 0{,}26308\), \(P(X=1) \approx 0{,}37582\) und \(P(X=2) \approx 0{,}24160\) ergibt sich \(P(X \le 2) \approx 0{,}88050\), also \(P(X > 2) \approx 0{,}11950\). 3. „Höchstens neun Achten“ ist das Gegenereignis zu „genau zehn Achten“: \(P(X \le 9) = 1 - P(X = 10) = 1 - 0{,}125^{10} \approx 1 - 9{,}31 \cdot 10^{-10} \approx 0{,}999999999\). 4. „Lauter Achten“ bedeutet \(X = 10\): \(P(X = 10) = 0{,}125^{10} \approx 9{,}31 \cdot 10^{-10}\).

(1) \(P(X \ge 1) \approx 0{,}7369\) (2) \(P(X > 2) \approx 0{,}1195\) (3) \(P(X \le 9) \approx 1{,}0000\) (bzw. \(1 - 0{,}125^{10}\)) (4) \(P(X = 10) \approx 9{,}31 \cdot 10^{-10}\)

- Identifiziere zuerst die Parameter \(n\) und \(p\) der Binomialverteilung. - Wenn nach „mehr als“ gefragt wird, musst du oft die kumulierte Wahrscheinlichkeit bis zu einem bestimmten Wert von 1 abziehen. - Achte auf den Unterschied zwischen „weniger als“, „höchstens“, „mehr als“ und „mindestens“. - Kannst du eine Tabelle für die Binomialverteilung oder einen Taschenrechner nutzen?

Es liegt eine Binomialverteilung mit \(n = 12\) und \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\) vor. 1. „Mindestens ein rotes Feld“: \(P(Y \ge 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - 0{,}8^{12} \approx 1 - 0{,}06872 = 0{,}93128\). 2. „Mehr als drei rote Felder“: \(P(Y > 3) = 1 - P(Y \le 3) = 1 - \sum_{i=0}^{3} \binom{12}{i} \cdot 0{,}2^i \cdot 0{,}8^{12-i}\). Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(Y=0) \approx 0{,}06872\), \(P(Y=1) \approx 0{,}20616\), \(P(Y=2) \approx 0{,}28347\), \(P(Y=3) \approx 0{,}23622\). Summe \(P(Y \le 3) \approx 0{,}79457\). Somit \(P(Y > 3) \approx 0{,}20543\). 3. „Höchstens 10 rote Felder“ ist das Gegenereignis zu „11 oder 12 rote Felder“: \(P(Y \le 10) = 1 - (P(Y = 11) + P(Y = 12))\). Mit \(P(Y=11) = 12 \cdot 0{,}2^{11} \cdot 0{,}8^1 \approx 1{,}97 \cdot 10^{-7}\) und \(P(Y=12) = 0{,}2^{12} \approx 4{,}10 \cdot 10^{-9}\) ist die Summe vernachlässigbar klein, \(P(Y \le 10) \approx 0{,}9999998\). 4. „Kein rotes Feld“: \(P(Y = 0) = 0{,}8^{12} \approx 0{,}06872\).

(1) \(P(Y \ge 1) \approx 0{,}9313\) (2) \(P(Y > 3) \approx 0{,}2054\) (3) \(P(Y \le 10) \approx 1{,}0000\) (bzw. \(1 - 2{,}01 \cdot 10^{-7}\)) (4) \(P(Y = 0) \approx 0{,}0687\)

- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit \(p\), eine Frage durch Raten richtig zu beantworten? - Achte genau auf die Formulierungen „mehr als“ und „weniger als“ – welche Zahlen sind jeweils eingeschlossen? - Überlege dir, wie du die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich von Werten durch Addition von Einzelwahrscheinlichkeiten bestimmen kannst. - Gibt es einen Weg, über das Gegenereignis schneller zum Ziel zu kommen?

1. Identifikation der Parameter: \(n = 8\) und \(p = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 2. Teil a): Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeit \(P(X=2) = \binom{8}{2} \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^6 \approx 0{,}3115\). 3. Teil b): Nutzung des Gegenereignisses \(P(X > 2) = 1 - P(X \le 2)\). Mit \(P(X \le 2) \approx 0{,}6785\) ergibt sich \(P(X > 2) \approx 1 - 0{,}6785 = 0{,}3215\). 4. Teil c): Das Ereignis entspricht \(P(1 \le X < 4) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)\). Mit \(P(X=1) \approx 0{,}2670\), \(P(X=2) \approx 0{,}3115\) und \(P(X=3) \approx 0{,}2076\) ergibt sich die Summe \(0{,}7861\).

a) \(P(X=2) \approx 0{,}3115\); b) \(P(X > 2) \approx 0{,}3215\); c) \(P(1 \le X < 4) \approx 0{,}7861\).

- Überlege dir zuerst, welche Parameter für die Binomialverteilung gegeben sind. - Was bedeutet „höchstens“ mathematisch für den Bereich der Zufallsgröße? - Wenn nach „mehr als“ gefragt wird, kann es einfacher sein, das Gegenereignis zu betrachten. - Achte darauf, ob du einen Einzelwert oder eine Summe von Werten berechnen musst.

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der defekten Geräte und ist binomialverteilt mit \(n = 12\) und \(p = 0{,}15\). 1. Berechnung für a): \(P(X = 3) = \binom{12}{3} \cdot 0{,}15^3 \cdot 0{,}85^9 \approx 0{,}1720\). 2. Berechnung für b): \(P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \approx 0{,}7358\). 3. Berechnung für c): \(P(X > 4) = 1 - P(X \le 4)\). Mit \(P(X \le 4) \approx 0{,}9761\) ergibt sich \(1 - 0{,}9761 = 0{,}0239\).

a) \(P(X = 3) \approx 17{,}20\,\%\) b) \(P(X \le 2) \approx 73{,}58\,\%\) c) \(P(X > 4) \approx 2{,}39\,\%\)

- Identifiziere die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Versuche. - Formuliere die sprachlichen Bedingungen wie „weniger als“ oder „mindestens“ in Ungleichungen um. - Nutze für kumulierte Wahrscheinlichkeiten die entsprechenden Tabellen oder die Summenfunktion deines Taschenrechners. - Denke beim Ereignis „mindestens“ an die Struktur des Gegenereignisses.

Die Anzahl der Radfahrer \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 15\) und \(p = 0{,}4\). 1. Berechnung für a): \(P(X = 6) = \binom{15}{6} \cdot 0{,}4^6 \cdot 0{,}6^9 \approx 0{,}2066\). 2. Berechnung für b): „Weniger als \(5\)“ entspricht \(P(X \le 4)\). Durch Summation oder Tabellenwerk ergibt sich \(P(X \le 4) \approx 0{,}2173\). 3. Berechnung für c): „Mindestens \(8\)“ entspricht \(P(X \ge 8) = 1 - P(X \le 7)\). Mit \(P(X \le 7) \approx 0{,}7869\) folgt \(1 - 0{,}7869 = 0{,}2131\).

a) \(P(X = 6) \approx 20{,}66\,\%\) b) \(P(X < 5) \approx 21{,}73\,\%\) c) \(P(X \ge 8) \approx 21{,}31\,\%\)

- Überlege dir, wie man eine Trefferwahrscheinlichkeit von über \(50\,\%\) mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit im Tafelwerk nachschlagen kann. - Was bedeutet es für die Anzahl der „Nicht-Treffer“, wenn eine bestimmte Anzahl an „Treffern“ erzielt wird? - Achte bei Ungleichungen wie „mindestens“ oder „höchstens“ genau darauf, welche Werte für die Gegenwahrscheinlichkeit eingeschlossen werden müssen. - Denk daran, dass die Summe der Treffer und Nicht-Treffer immer der Gesamtzahl \(n\) entsprechen muss.

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Jugendlichen mit Tablet und ist binomialverteilt mit \(n = 50\) und \(p = 0{,}8\). Da im Tafelwerk meist nur Werte für \(p \le 0{,}5\) aufgeführt sind, nutzt man die komplementäre Zufallsgröße \(Y = 50 - X\), die die Anzahl der Jugendlichen ohne Tablet beschreibt. Es gilt \(Y \sim B(50; 0{,}2)\). 1. \(P(X = 42) = P(Y = 50 - 42) = P(Y = 8)\). Aus dem Tafelwerk für die Einzelwahrscheinlichkeit oder als Differenz der kumulativen Werte \(F(50; 0{,}2; 8) - F(50; 0{,}2; 7)\) ergibt sich ca. \(0{,}1169\). 2. \(P(X \ge 38) = P(Y \le 50 - 38) = P(Y \le 12)\). Der kumulative Wert für \(k = 12\) bei \(p = 0{,}2\) ist \(F(50; 0{,}2; 12) \approx 0{,}8139\). 3. \(P(X \le 44) = P(Y \ge 50 - 44) = P(Y \ge 6) = 1 - P(Y \le 5)\). Mit \(F(50; 0{,}2; 5) \approx 0{,}0480\) folgt \(1 - 0{,}0480 = 0{,}9520\).

(1) \(P(X = 42) \approx 0{,}1169\) (2) \(P(X \ge 38) \approx 0{,}8139\) (3) \(P(X \le 44) \approx 0{,}9520\)

- Achte genau auf die Unterscheidung zwischen echten Kleiner-Relationen (\(<\)) und Kleiner-Gleich-Relationen (\(\le\)). - Welche ganzzahligen Werte liegen im Intervall zwischen 22 und 32, wenn diese Grenzen selbst nicht dazugehören? - Denk daran, dass für die Punktwahrscheinlichkeit eine andere Formel oder Tabellenspalte genutzt wird als für die kumulierte Wahrscheinlichkeit.

1. Berechnung der Punktwahrscheinlichkeit \(P(X = 25)\) mit der Bernoulli-Formel oder einem CAS: \(P(X = 25) = \binom{80}{25} \cdot 0{,}35^{25} \cdot 0{,}65^{55} \approx 0{,}0745\). 2. Bestimmung der kumulierten Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 20)\) mittels Tabelle oder CAS: \(P(X \le 20) \approx 0{,}0368\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das offene Intervall \(P(22 < X < 32)\). Da \(X\) diskret ist, entspricht dies \(P(23 \le X \le 31)\). Berechnung über die Differenz der kumulierten Werte: \(P(X \le 31) - P(X \le 22) \approx 0{,}7951 - 0{,}0971 = 0{,}6980\).

a) \(P(X = 25) \approx 0{,}0745\) b) \(P(X \le 20) \approx 0{,}0368\) c) \(P(22 < X < 32) \approx 0{,}6980\)

- Welche Verteilung beschreibt Situationen mit einer festen Anzahl von Versuchen und zwei möglichen Ausgängen? - Achte genau auf Formulierungen wie „höchstens“, „mindestens“ oder „mehr als“. - Wie lässt sich ein Bereich zwischen zwei Werten mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion \(F(n; p; k)\) ausdrücken? - Wann ist es einfacher, mit dem Gegenereignis zu rechnen?

1. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der defekten Teile und ist binomialverteilt mit \(n = 200\) und \(p = 0{,}05\). 2. Berechnung von \(P(X \le 10)\) mit der kumulierten Binomialverteilung: \(F(200; 0{,}05; 10) \approx 0{,}5831\). 3. Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeit \(P(8 \le X \le 12) = P(X \le 12) - P(X \le 7)\): \(F(200; 0{,}05; 12) - F(200; 0{,}05; 7) \approx 0{,}7965 - 0{,}2133 = 0{,}5832\). 4. Berechnung über das Gegenereignis \(P(X > 15) = 1 - P(X \le 15)\): \(1 - F(200; 0{,}05; 15) \approx 1 - 0{,}9556 = 0{,}0444\).

(1) \(P(X \le 10) \approx 0{,}5831\) (2) \(P(8 \le X \le 12) \approx 0{,}5832\) (3) \(P(X > 15) \approx 0{,}0444\)

- Überlege zuerst, wie groß die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) beim Raten ist. - Was bedeutet „weniger als 10“ für die obere Grenze in der kumulierten Verteilungsfunktion? - Denk daran, dass Tabellen oder Taschenrechnerfunktionen oft nur Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X \le k)\) direkt liefern. - Wie gehst du vor, wenn die untere Grenze nicht bei Null liegt?

1. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der richtigen Antworten und ist binomialverteilt mit \(n = 50\) und \(p = 0{,}25\). 2. Berechnung über das Gegenereignis \(P(X \ge 15) = 1 - P(X \le 14)\): \(1 - F(50; 0{,}25; 14) \approx 1 - 0{,}7481 = 0{,}2519\). 3. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für weniger als \(10\) Treffer: \(P(X < 10) = P(X \le 9) = F(50; 0{,}25; 9) \approx 0{,}1637\). 4. Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeit \(P(10 \le X \le 15) = P(X \le 15) - P(X \le 9)\): \(F(50; 0{,}25; 15) - F(50; 0{,}25; 9) \approx 0{,}8369 - 0{,}1637 = 0{,}6732\).

(1) \(P(X \ge 15) \approx 0{,}2519\) (2) \(P(X < 10) \approx 0{,}1637\) (3) \(P(10 \le X \le 15) \approx 0{,}6732\)

- Überlege dir zuerst, wie groß die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) für eine einzelne Frage beim Raten ist. - Achte genau auf Formulierungen wie „mehr als“ oder „höchstens“, um die richtigen Grenzen für die kumulierte Verteilung zu finden. - Das Gegenereignis kann oft helfen, wenn du Wahrscheinlichkeiten für „mehr als“ berechnen musst. - Wenn nach der Anzahl der falschen Antworten gefragt wird, kannst du entweder die Erfolgswahrscheinlichkeit anpassen oder das Ereignis in eine Bedingung für die richtigen Antworten umformulieren.

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 60\) und \(p = 0{,}25\). 1. Für \(P(X = 15)\) wird die Formel von Bernoulli genutzt: \(B(60; 0{,}25; 15) = \binom{60}{15} \cdot 0{,}25^{15} \cdot 0{,}75^{45} \approx 0{,}1182\). 2. Für „mehr als \(12\)“ berechnet man \(P(X > 12) = 1 - P(X \le 12)\). Mit der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(1 - 0{,}2316 \approx 0{,}7684\). 3. Für „mindestens \(10\) und höchstens \(20\)“ berechnet man \(P(10 \le X \le 20) = P(X \le 20) - P(X \le 9)\). Dies ergibt \(0{,}9459 - 0{,}0452 \approx 0{,}9007\). 4. Sei \(Y\) die Anzahl der falschen Antworten mit \(p = 0{,}75\). Gesucht ist \(P(Y < 40) = P(Y \le 39)\). Alternativ über \(X\): Wenn weniger als \(40\) falsch sind, müssen mehr als \(20\) richtig sein (\(X > 20\)). \(P(X > 20) = 1 - P(X \le 20) = 1 - 0{,}9459 \approx 0{,}0541\).

a) (1) \(P(X = 15) \approx 11{,}82\,\%\) (2) \(P(X > 12) \approx 76{,}84\,\%\) (3) \(P(10 \le X \le 20) \approx 90{,}07\,\%\) b) \(P(Y < 40) \approx 5{,}41\,\%\)

- Identifiziere zuerst \(n\) und \(p\) für die gegebene Situation. - Beachte bei Intervallen wie „zwischen 8 und 14 (einschließlich)“, welche Werte genau dazugehören und wie du sie mit der kumulierten Verteilungsfunktion \(P(X \le k)\) ausdrücken kannst. - Überlege bei Teil b), wie ein Haushalt mit Anschluss mit der ursprünglichen Definition (kein Anschluss) zusammenhängt. - Denke daran, dass \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\) gilt.

Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl Haushalte ohne Anschluss) ist binomialverteilt mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}12\). 1. \(P(X \le 10)\): Direktes Ablesen oder Berechnen der kumulierten Wahrscheinlichkeit ergibt \(\approx 0{,}3337\). 2. \(P(X > 15) = 1 - P(X \le 15)\). Mit \(P(X \le 15) \approx 0{,}8586\) folgt \(1 - 0{,}8586 \approx 0{,}1414\). 3. \(P(8 \le X \le 14) = P(X \le 14) - P(X \le 7)\). Mit \(0{,}7840 - 0{,}0761\) ergibt sich \(\approx 0{,}7079\). 4. Sei \(Y\) die Anzahl der Haushalte mit Anschluss (\(p = 0{,}88\)). Gesucht ist \(P(Y \ge 90)\). Dies entspricht dem Ereignis, dass höchstens \(10\) Haushalte keinen Anschluss haben (\(X \le 10\)). \(P(X \le 10) \approx 0{,}3337\).

a) (1) \(P(X \le 10) \approx 33{,}37\,\%\) (2) \(P(X > 15) \approx 14{,}14\,\%\) (3) \(P(8 \le X \le 14) \approx 70{,}79\,\%\) b) (1) \(P(Y \ge 90) \approx 33{,}37\,\%\)

- Überlege zuerst, welche Parameter \(n\) und \(p\) für die Binomialverteilung gegeben sind. - Achte genau auf Formulierungen wie „höchstens“, „mehr als“ oder „zwischen“, um die richtigen Grenzen für die kumulierte Wahrscheinlichkeit zu bestimmen. - Erinnere dich daran, dass bei „mehr als \(k\)“ das Gegenereignis „höchstens \(k\)“ hilfreich ist. - Wenn du einen Bereich von \(a\) bis \(b\) berechnen sollst, ziehe die Wahrscheinlichkeit für den Bereich, den du nicht haben willst, von der Gesamtwahrscheinlichkeit bis zur oberen Grenze ab.

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der keimenden Samen und ist binomialverteilt mit den Parametern \(n = 60\) und \(p = 0{,}75\). 1. Die Wahrscheinlichkeit für höchstens 40 keimende Samen wird durch die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 40)\) berechnet. Unter Verwendung der Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 40) \approx 0{,}0925\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für mehr als 50 keimende Samen ist \(P(X > 50) = 1 - P(X \le 50)\). Mit dem Tabellenwerk oder dem Taschenrechner ergibt sich \(P(X \le 50) \approx 0{,}9548\), woraus folgt \(P(X > 50) = 1 - 0{,}9548 = 0{,}0452\). 3. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens 42 und höchstens 48 Samen wird über die Differenz der kumulierten Wahrscheinlichkeiten berechnet: \(P(42 \le X \le 48) = P(X \le 48) - P(X \le 41)\). Mit \(P(X \le 48) \approx 0{,}8524\) und \(P(X \le 41) \approx 0{,}1486\) ergibt sich \(P(42 \le X \le 48) = 0{,}8524 - 0{,}1486 = 0{,}7038\).

1. \(P(X \le 40) \approx 9{,}25\,\%\) 2. \(P(X > 50) \approx 4{,}52\,\%\) 3. \(P(42 \le X \le 48) \approx 70{,}38\,\%\)

- Identifiziere die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) und die Anzahl der Versuche \(n\). - Unterscheide sorgfältig zwischen der Punktwahrscheinlichkeit \(P(X = k)\) und kumulierten Wahrscheinlichkeiten. - Was bedeutet „weniger als 8“ für den Wert der Zufallsvariablen \(X\)? Welcher ist der größte ganzzahlige Wert, der noch eingeschlossen ist? - Nutze das Gegenereignis, wenn nach „mehr als“ einem bestimmten Wert gefragt wird.

Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der fehlerhaften Chips an und ist binomialverteilt mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}05\). 1. Die Wahrscheinlichkeit für genau 5 Fehler wird mit der Bernoulli-Formel berechnet: \(P(X = 5) = \binom{100}{5} \cdot 0{,}05^5 \cdot 0{,}95^{95} \approx 0{,}1800\). 2. Die Bedingung „mindestens 3, aber weniger als 8“ entspricht dem Bereich \(3 \le X \le 7\). Dies berechnet man durch \(P(X \le 7) - P(X \le 2)\). Mit \(P(X \le 7) \approx 0{,}8720\) und \(P(X \le 2) \approx 0{,}1183\) ergibt sich \(P(3 \le X \le 7) = 0{,}8720 - 0{,}1183 = 0{,}7537\). 3. Die Wahrscheinlichkeit für mehr als 10 Fehler berechnet man über das Gegenereignis: \(P(X > 10) = 1 - P(X \le 10)\). Mit \(P(X \le 10) \approx 0{,}9885\) folgt \(P(X > 10) = 1 - 0{,}9885 = 0{,}0115\).

1. \(P(X = 5) \approx 18{,}00\,\%\) 2. \(P(3 \le X < 8) \approx 75{,}37\,\%\) 3. \(P(X > 10) \approx 1{,}15\,\%\)

- Überlege dir, wie du Ereignisse wie „mindestens“ oder „mehr als“ mithilfe der kumulativen Verteilungsfunktion \(P(X \le k)\) ausdrücken kannst. - Denk an das Gegenereignis, wenn du eine Wahrscheinlichkeit für einen oberen Bereich berechnen möchtest. - Bei einem Intervall hilft es, die Wahrscheinlichkeit bis zur oberen Grenze zu nehmen und den nicht gewünschten Teil unterhalb der unteren Grenze abzuziehen. - Achte genau darauf, ob die Randwerte des Intervalls (z. B. bei \(\le\) oder \(<\)) mit eingeschlossen sind oder nicht.

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 15)\) durch direktes Ablesen aus der Tabelle der kumulativen Binomialverteilung für \(n = 50\) und \(p = 0{,}25\): \(P(X \le 15) \approx 0{,}8369\). 2. Berechnung von \(P(X \ge 10)\) über das Gegenereignis: \(P(X \ge 10) = 1 - P(X \le 9)\). Nachschlagen des Tabellenwerts \(P(X \le 9) \approx 0{,}1637\) ergibt \(1 - 0{,}1637 = 0{,}8363\). 3. Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeit \(P(8 \le X \le 14)\) durch Differenzbildung kumulierter Werte: \(P(X \le 14) - P(X \le 7)\). Mit den Werten \(P(X \le 14) \approx 0{,}7481\) und \(P(X \le 7) \approx 0{,}0453\) folgt \(0{,}7481 - 0{,}0453 = 0{,}7028\).

a) \(P(X \le 15) \approx 0{,}8369\) b) \(P(X \ge 10) \approx 0{,}8363\) c) \(P(8 \le X \le 14) \approx 0{,}7028\)

- Überlege dir, welches Verteilungsmodell bei einer festen Anzahl von Versuchen mit jeweils zwei möglichen Ausgängen (Treffer oder kein Treffer) vorliegt. - Identifiziere die Parameter \(n\) (Anzahl der Versuche) und \(p\) (Erfolgswahrscheinlichkeit) aus dem Text. - Beachte bei Aufgabenteil (3), dass „mehr als“ bedeutet, dass die Werte \(16, 17, \dots, 20\) betrachtet werden müssen. Hier hilft das Gegenereignis.

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Treffer und ist binomialverteilt mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}75\). 1. Berechnung von \(P(X = 20)\) mit der Formel von Bernoulli: \(0{,}75^{20} \approx 0{,}0032\). 2. Berechnung von \(P(X = 15)\) mit der Formel von Bernoulli: \(\binom{20}{15} \cdot 0{,}75^{15} \cdot 0{,}25^5 \approx 0{,}2023\). 3. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit für mehr als \(15\) Treffer: \(P(X > 15) = 1 - P(X \le 15)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(1 - 0{,}5852 = 0{,}4148\).

(1) ca. \(0{,}32\,\%\) (2) ca. \(20{,}23\,\%\) (3) ca. \(41{,}48\,\%\)

- Welche Parameter \(n\) und \(p\) beschreiben diese Stichprobe? Achte darauf, was als „Erfolg“ definiert wird (hier: ein defektes Bauteil). - Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ergebnis \(k\) berechnen? - Was bedeutet „weniger als 4“ für die möglichen Werte der Zufallsgröße? Welche Werte musst du zusammenfassen?

Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der defekten Bauteile an und ist binomialverteilt mit \(n = 80\) und \(p = 0{,}05\). 1. Wahrscheinlichkeit für \(X = 0\): \(P(X = 0) = 0{,}95^{80} \approx 0{,}0165\). 2. Wahrscheinlichkeit für genau \(4\) Defekte: \(P(X = 4) = \binom{80}{4} \cdot 0{,}05^4 \cdot 0{,}95^{76} \approx 0{,}2004\). 3. Wahrscheinlichkeit für weniger als \(4\) Defekte: \(P(X < 4) = P(X \le 3)\). Die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten für \(k=0, 1, 2, 3\) oder der Wert aus der Verteilungstabelle ergibt \(P(X \le 3) \approx 0{,}4284\).

(1) ca. \(1{,}65\,\%\) (2) ca. \(20{,}04\,\%\) (3) ca. \(42{,}84\,\%\)

- Überlege dir zuerst, welche Ergebnisse nicht zum beschriebenen Ereignis gehören. - Achte bei Formulierungen wie „mehr als“ oder „höchstens“ genau darauf, ob die genannte Zahl noch zum Ereignis gehört oder nicht. - Verwende für die Berechnung die kumulierte Binomialverteilung \(P(X \le k)\). - Erinnere dich daran, wie man „mindestens \(k\)“ mithilfe von „höchstens \(k-1\)“ ausdrücken kann.

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 25\) und \(p = 0{,}45\). 1. Das Gegenereignis zu \(E_1\) ist \(\bar{E_1}\): „Höchstens \(10\) Treffer“. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich als \(P(\bar{E_1}) = P(X \le 10) = F(25; 0{,}45; 10)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(\bar{E_1}) \approx 0{,}3843\). 2. Das Gegenereignis zu \(E_2\) ist \(\bar{E_2}\): „Mindestens \(15\) Treffer“. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich über das Komplement der kumulierten Verteilungsfunktion: \(P(\bar{E_2}) = P(X \ge 15) = 1 - P(X \le 14) = 1 - F(25; 0{,}45; 14)\). Mit \(F(25; 0{,}45; 14) \approx 0{,}9040\) folgt \(P(\bar{E_2}) \approx 1 - 0{,}9040 = 0{,}0960\).

(1) \(\bar{E_1}\): Höchstens \(10\) Treffer; \(P(\bar{E_1}) \approx 0{,}3843\) (2) \(\bar{E_2}\): Mindestens \(15\) Treffer; \(P(\bar{E_2}) \approx 0{,}0960\)

- Was genau bedeutet es für die Anzahl der Personen, wenn der Bus „ausreicht“? - Welche Wahrscheinlichkeit hat eine einzelne Person, tatsächlich zu erscheinen? - Welches Verteilungsmodell eignet sich für eine Serie von gleichartigen, unabhängigen Ja/Nein-Entscheidungen? - Musst du Einzelwahrscheinlichkeiten addieren oder eine kumulierte Wahrscheinlichkeit berechnen?

1. Definition der Zufallsgröße \(X\): Die Anzahl der Personen, die tatsächlich zur Abfahrt erscheinen, ist binomialverteilt mit den Parametern \(n = 54\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 1 - 0{,}10 = 0{,}90\). 2. Aufstellen der gesuchten Wahrscheinlichkeit: Gesucht ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 50)\). 3. Berechnung mit der kumulierten Binomialverteilung: \(P(X \le 50) = \sum_{k=0}^{50} \binom{54}{k} \cdot 0{,}90^k \cdot 0{,}10^{54-k} \approx 0{,}8015\). Die Wahrscheinlichkeit, dass alle erscheinenden Personen einen Platz erhalten, beträgt etwa \(80{,}15\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt circa \(80{,}15\,\%\).

- Welche Verteilung liegt vor, wenn es nur zwei mögliche Ergebnisse (defekt/nicht defekt) gibt? - Überlege dir genau, welche Werte der Zufallsgröße bei Formulierungen wie „höchstens“ oder „mindestens“ eingeschlossen sind. - Bei „mindestens“ ist es oft einfacher, die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses von 1 abzuziehen. - Nutze für die Berechnungen die entsprechenden Funktionen deines Taschenrechners für die Binomialverteilung.

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit den Parametern \(n = 150\) und \(p = 0{,}06\). 1. Berechnung von \(P(X = 9)\) mit der Formel von Bernoulli: \(P(X = 9) = \binom{150}{9} \cdot 0{,}06^9 \cdot 0{,}94^{141} \approx 0{,}1359\). 2. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit für höchstens 5 Defekte: \(P(X \le 5) = \sum_{k=0}^{5} \binom{150}{k} \cdot 0{,}06^k \cdot 0{,}94^{150-k} \approx 0{,}1083\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für mindestens 12 Defekte über das Gegenereignis: \(P(X \ge 12) = 1 - P(X \le 11) \approx 1 - 0{,}8091 = 0{,}1909\).

a) \(P(X = 9) \approx 13{,}59\,\%\) b) \(P(X \le 5) \approx 10{,}83\,\%\) c) \(P(X \ge 12) \approx 19{,}09\,\%\)

- Achte auf den Unterschied zwischen „mehr als“ und „mindestens“. - Wie lässt sich ein Ereignis wie „zwischen \(a\) und \(b\)“ mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion \(P(X \le k)\) ausdrücken? - Schreibe dir die Bedingungen für \(X\) zuerst als Ungleichung auf, um keine Werte zu vergessen. - Denk daran, dass bei „weniger als 15“ die Zahl 15 selbst nicht mehr dazugehört.

Die Anzahl der Haushalte mit Solarenergie wird durch eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit \(n = 80\) und \(p = 0{,}25\) beschrieben. 1. Berechnung für mehr als 20 Haushalte: \(P(X > 20) = 1 - P(X \le 20) \approx 1 - 0{,}5597 = 0{,}4403\). 2. Berechnung für weniger als 15 Haushalte: \(P(X < 15) = P(X \le 14) \approx 0{,}0740\). 3. Berechnung für den Bereich von 18 bis 22 Haushalten: \(P(18 \le X \le 22) = P(X \le 22) - P(X \le 17) \approx 0{,}7432 - 0{,}2621 = 0{,}4811\).

a) \(P(X > 20) \approx 44{,}03\,\%\) b) \(P(X < 15) \approx 7{,}40\,\%\) c) \(P(18 \le X \le 22) \approx 48{,}11\,\%\)

- Überlege zuerst, welche Werte für \(n\) und \(p\) in diesem Modell angemessen sind. - Wie hängen die Formulierungen „höchstens“, „mindestens“ und „mehr als“ mit der kumulierten Verteilungsfunktion zusammen? - Kannst du eine Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis einfacher berechnen? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall von Werten mithilfe der kumulierten Verteilung?

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit den Parametern \(n = 85\) und \(p = 0{,}9\) (Wahrscheinlichkeit, dass ein Gast anreist). 1. Gesucht ist \(P(X \le 80)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 80) \approx 0{,}9357\). 2. Dieses Ereignis ist das Gegenereignis zu Teilaufgabe 1: \(P(X > 80) = 1 - P(X \le 80) \approx 1 - 0{,}9357 = 0{,}0643\). 3. Gesucht ist die Einzelwahrscheinlichkeit \(P(X = 80) = \binom{85}{80} \cdot 0{,}9^{80} \cdot 0{,}1^5 \approx 0{,}0717\). 4. Die Wahrscheinlichkeit für das Intervall berechnet sich durch \(P(70 \le X \le 75) = P(X \le 75) - P(X \le 69) \approx 0{,}3434 - 0{,}0096 = 0{,}3338\).

1. \(P(X \le 80) \approx 93{,}57\,\%\) 2. \(P(X > 80) \approx 6{,}43\,\%\) 3. \(P(X = 80) \approx 7{,}17\,\%\) 4. \(P(70 \le X \le 75) \approx 33{,}38\,\%\)

- Welche Verteilung liegt vor, wenn man eine feste Anzahl an Chips prüft und jeder mit der gleichen Wahrscheinlichkeit defekt ist? - Bestimme zuerst den Erwartungswert der Verteilung. - Achte bei Intervallen wie „mindestens 6“ darauf, welchen Wert du bei der Subtraktion der kumulierten Wahrscheinlichkeiten abziehen musst. - Was bedeutet „mehr als 10“ für die untere Grenze des Gegenereignisses?

Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl defekter Chips) ist binomialverteilt mit \(n = 200\) und \(p = 0{,}04\). 1. Kumulierte Wahrscheinlichkeit: \(P(X \le 5) = \sum_{k=0}^{5} B(200; 0{,}04; k) \approx 0{,}1856\). 2. Gegenereignis: \(P(X > 10) = 1 - P(X \le 10) \approx 1 - 0{,}8200 = 0{,}1800\). 3. Intervallwahrscheinlichkeit: \(P(6 \le X \le 12) = P(X \le 12) - P(X \le 5) \approx 0{,}9401 - 0{,}1856 = 0{,}7545\). 4. Der Erwartungswert ist \(\mu = n \cdot p = 200 \cdot 0{,}04 = 8\). Die Einzelwahrscheinlichkeit beträgt \(P(X = 8) = \binom{200}{8} \cdot 0{,}04^8 \cdot 0{,}96^{192} \approx 0{,}1425\).

1. \(P(X \le 5) \approx 18{,}56\,\%\) 2. \(P(X > 10) \approx 18{,}00\,\%\) 3. \(P(6 \le X \le 12) \approx 75{,}45\,\%\) 4. \(P(X = 8) \approx 14{,}25\,\%\)

- Überlege dir zuerst, welche Werte für \(n\) und \(p\) in diesem Zufallsexperiment gelten. - Achte genau auf Formulierungen wie „weniger als“ oder „mindestens“, um die richtigen Grenzen für die kumulierte Wahrscheinlichkeit zu finden. - Bei „mindestens“-Aufgaben hilft oft der Blick auf das Gegenereignis. - Wenn ein Bereich gesucht ist, kannst du die Wahrscheinlichkeit als Differenz zweier kumulierter Werte berechnen.

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 60\) und \(p = 0{,}8\). 2. Berechnung für (1): Verwendung der Bernoulli-Formel \(P(X = 50) = \binom{60}{50} \cdot 0{,}8^{50} \cdot 0{,}2^{10} \approx 0{,}1102\). 3. Berechnung für (2): Summierung der Einzelwahrscheinlichkeiten von \(k = 0\) bis \(k = 44\), also \(P(X < 45) = P(X \le 44) \approx 0{,}1306\). 4. Berechnung für (3): Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit \(P(X \ge 52) = 1 - P(X \le 51) \approx 1 - 0{,}8732 = 0{,}1268\). 5. Berechnung für (4): Differenzbildung der kumulierten Wahrscheinlichkeiten \(P(46 \le X \le 54) = P(X \le 54) - P(X \le 45) \approx 0{,}9880 - 0{,}2066 = 0{,}7814\).

(1) \(P(X = 50) \approx 0{,}1102\) (2) \(P(X < 45) \approx 0{,}1306\) (3) \(P(X \ge 52) \approx 0{,}1268\) (4) \(P(46 \le X \le 54) \approx 0{,}7814\)

- Erstelle dir eine Liste mit den Werten für \(n\), \(p\) und den jeweils gesuchten Bereich für \(k\). - Was bedeutet „mehr als 20“ für die untere Grenze, die du in den Taschenrechner oder die Tabelle eingeben musst? - Erinnere dich daran, dass die kumulierte Verteilungsfunktion \(F(n; p; k)\) immer die Wahrscheinlichkeit von \(0\) bis \(k\) angibt. - Wie kannst du ein Intervall \([a; b]\) durch zwei Ausdrücke der Form \(P(X \le k)\) darstellen?

1. Festlegen der binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) mit \(n = 150\) und \(p = 0{,}12\). 2. Berechnung für (1): Punktwahrscheinlichkeit \(P(X = 18) = \binom{150}{18} \cdot 0{,}12^{18} \cdot 0{,}88^{132} \approx 0{,}0998\). 3. Berechnung für (2): Kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 15) \approx 0{,}2715\). 4. Berechnung für (3): Gegenwahrscheinlichkeit für „mehr als 20“ ist „höchstens 20“, also \(P(X > 20) = 1 - P(X \le 20) \approx 1 - 0{,}7413 = 0{,}2587\). 5. Berechnung für (4): Intervallwahrscheinlichkeit \(P(10 \le X \le 25) = P(X \le 25) - P(X \le 9) \approx 0{,}9655 - 0{,}0112 = 0{,}9543\).

(1) \(P(X = 18) \approx 0{,}0998\) (2) \(P(X \le 15) \approx 0{,}2715\) (3) \(P(X > 20) \approx 0{,}2587\) (4) \(P(10 \le X \le 25) \approx 0{,}9543\)

- Was genau muss passieren, damit der Gärtner „auskommt“? - Definiere eine Zufallsgröße für die Anzahl der Blumen, die tatsächlich blühen. - Welche Werte für die Anzahl der blühenden Blumen sind für den Gärtner akzeptabel? - Kannst du das Problem auch über die Anzahl der Zwiebeln betrachten, die nicht austreiben? - Überlege, wie du die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich von Werten mit der kumulierten Verteilungsfunktion berechnen kannst.

1. Identifikation der Zufallsgröße: Die Anzahl der austreibenden Zwiebeln \(X\) ist binomialverteilt mit den Parametern \(n = 80\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}85\) (bzw. die Anzahl der nicht austreibenden Zwiebeln \(Y\) mit \(p = 0{,}15\)). 2. Aufstellen der Bedingung: Er erreicht das Ziel, wenn mindestens 65 Zwiebeln austreiben, also \(P(X \ge 65)\). 3. Umformung für die kumulierte Binomialverteilung: \(P(X \ge 65) = 1 - P(X \le 64)\). Alternativ über die nicht austreibenden Zwiebeln: Er darf höchstens \(80 - 65 = 15\) Ausfälle haben, also \(P(Y \le 15)\) mit \(n = 80\) und \(p = 0{,}15\). 4. Berechnung des Wertes: \(P(Y \le 15) = \sum_{k=0}^{15} \binom{80}{k} \cdot 0{,}15^k \cdot 0{,}85^{80-k} \approx 0{,}8625\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(86{,}25\,\%\).

- Wie viele Gäste dürfen maximal erscheinen, damit es kein Problem mit der Zimmerbelegung gibt? - Definiere eine Zufallsgröße für die Anzahl der Gäste, die tatsächlich anreisen. - Welche Parameter \(n\) und \(p\) beschreiben diese Situation? - Wenn dein Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X \le k)\) berechnet, wie kannst du „mindestens 5 nicht erscheinende Gäste“ damit ausdrücken?

1. Modellierung: Die Anzahl der erscheinenden Gäste \(X\) wird als binomialverteilt angenommen mit \(n = 50\) und der Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}90\), dass ein Gast erscheint. 2. Bedingung: Alle Gäste erhalten ein Zimmer, wenn die Anzahl der eintreffenden Personen die Kapazität nicht übersteigt, also \(X \le 45\). 3. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit: \(P(X \le 45) = \sum_{k=0}^{45} \binom{50}{k} \cdot 0{,}90^k \cdot 0{,}10^{50-k}\). 4. Alternativer Weg: Sei \(Y\) die Anzahl der Gäste, die nicht erscheinen (\(n = 50, p = 0{,}10\)). Die Bedingung \(X \le 45\) entspricht \(Y \ge 5\). 5. Berechnung über das Gegenereignis: \(P(Y \ge 5) = 1 - P(Y \le 4) \approx 1 - 0{,}4312 = 0{,}5688\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(56{,}88\,\%\).

- Überlege zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit \(p\) ist, dass eine einzelne Person zu einem beliebigen Zeitpunkt eine Kabine belegt. - Welches Modell eignet sich, wenn man \(n\) unabhängige Versuche mit jeweils derselben Erfolgswahrscheinlichkeit hat? - Beachte bei „mehr als“, dass dies das Gegenereignis zu „höchstens“ ist. - Für die Bestimmung der Mindestanzahl kannst du verschiedene Werte für die Anzahl der Kabinen durchtesten, bis die geforderte Sicherheit erreicht ist.

1. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der gleichzeitig benötigten Telefonkabinen. Sie ist binomialverteilt mit \(n = 15\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{15}{60} = 0{,}25\). 2. Für Aufgabenteil a) wird die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 4)\) gesucht. Unter Verwendung der Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 4) \approx 0{,}6865\). 3. Für Aufgabenteil b) wird die Gegenwahrscheinlichkeit \(P(X > 6) = 1 - P(X \le 6)\) berechnet. Mit \(P(X \le 6) \approx 0{,}9434\) folgt \(P(X > 6) \approx 1 - 0{,}9434 = 0{,}0566\). 4. In Aufgabenteil c) wird das kleinste \(k\) gesucht, für das \(P(X \le k) \ge 0{,}95\) gilt. Durch systematisches Testen oder Tabellenwerte ergibt sich \(P(X \le 6) \approx 0{,}9434\) und \(P(X \le 7) \approx 0{,}9827\). Somit müssen mindestens \(7\) Kabinen vorhanden sein.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(68{,}65\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(5{,}66\,\%\). c) Es müssen mindestens \(7\) Telefonkabinen zur Verfügung stehen.

- Wie hoch ist der Anteil der Zeit, in der ein Beschäftigter einen Hubwagen nutzt? Dies entspricht deiner Wahrscheinlichkeit \(p\). - Unterscheide genau zwischen der Wahrscheinlichkeit für einen exakten Wert und der Wahrscheinlichkeit für einen Bereich. - Bei „mehr als \(k\)“ ist es oft einfacher, mit dem Gegenereignis \(1 - P(X \le k)\) zu rechnen. - Nutze für die Suche nach der Anzahl der Geräte eine Tabelle der kumulierten Binomialverteilung oder probiere Werte systematisch aus.

1. Die Anzahl \(X\) der benötigten Hubwagen ist binomialverteilt mit \(n = 20\) und \(p = \frac{6}{60} = 0{,}1\). 2. Für a) berechnet man die Punktwahrscheinlichkeit \(P(X = 2) = \binom{20}{2} \cdot 0{,}1^2 \cdot 0{,}9^{18} \approx 0{,}2852\). 3. Für b) wird die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X > 4) = 1 - P(X \le 4)\) berechnet. Da \(P(X \le 4) = \sum_{i=0}^{4} B(20; 0{,}1; i) \approx 0{,}9568\), folgt \(P(X > 4) \approx 1 - 0{,}9568 = 0{,}0432\). 4. Für c) wird das kleinste \(k\) gesucht, sodass \(P(X \le k) \ge 0{,}99\). Die kumulierten Werte sind \(P(X \le 5) \approx 0{,}9887\) und \(P(X \le 6) \approx 0{,}9976\). Damit sind mindestens \(6\) Hubwagen erforderlich.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(28{,}52\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(4{,}32\,\%\). c) Es müssen mindestens \(6\) Hubwagen bereitstehen.

- Bestimme zunächst die Wahrscheinlichkeit \(p\) für ein einzelnes Fahrzeug bezogen auf den gesamten Zeitraum. - Was bedeutet die Aussage „mehr als die Hälfte“ konkret für die Anzahl der belegten Stationen? - Welche Verteilung eignet sich, um die Anzahl der gleichzeitig belegten Stationen zu modellieren? - Denke daran, dass es oft einfacher ist, die Wahrscheinlichkeit für das Gegenteil auszurechnen und von 1 abzuziehen.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(p\), dass ein Fahrzeug zu einem festen Zeitpunkt lädt: \(p = \frac{20\,\text{min}}{120\,\text{min}} = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667\). 2. Definition der Zufallsgröße: \(X\) ist die Anzahl der gleichzeitig ladenden Fahrzeuge mit \(n = 24\) und \(p = \frac{1}{6}\). Es gilt \(X \sim B(24; \frac{1}{6})\). 3. Bestimmung des gesuchten Werts: „Mehr als die Hälfte“ bedeutet bei 6 Stationen, dass mindestens 4 Stationen belegt sind. Gesucht ist also \(P(X \ge 4)\). 4. Berechnung über das Gegenereignis: \(P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3)\). 5. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit: \(P(X \le 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)\). 6. Numerische Auswertung: \(P(X \le 3) = \sum_{k=0}^{3} \binom{24}{k} \cdot (\frac{1}{6})^k \cdot (\frac{5}{6})^{24-k} \approx 0{,}4155\). 7. Endergebnis: \(P(X \ge 4) = 1 - 0{,}4155 = 0{,}5845\). Die Wahrscheinlichkeit liegt bei ca. \(58{,}45\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(58{,}45\,\%\).

- Überlege zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit \(p\) ist, dass ein einzelner Mitarbeiter genau in diesem Moment die Software nutzt. - Welche Zufallsgröße \(X\) wird hier betrachtet und wie ist sie verteilt? - Was bedeutet es mathematisch, dass mehr Mitarbeiter zugreifen als Lizenzen vorhanden sind? - Nutze ein Tafelwerk oder eine entsprechende Funktion deines Taschenrechners für kumulierte Wahrscheinlichkeiten.

1. Bestimmung der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\): Da ein Mitarbeiter die Software für \(15\) von \(60\) Minuten nutzt, gilt \(p = \frac{15}{60} = 0{,}25\). 2. Festlegung der Parameter der Binomialverteilung: Die Anzahl der Mitarbeiter ist \(n = 50\). Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Mitarbeiter, die gleichzeitig die Software nutzen möchten. Es gilt \(X \sim B(50; 0{,}25)\). 3. Aufstellen der Bedingung: Gesucht ist das kleinste \(k\), für das gilt \(P(X > k) \leq 0{,}02\). Dies ist gleichbedeutend mit \(P(X \leq k) \geq 0{,}98\). 4. Auswertung der kumulierten Binomialverteilung: - Für \(k = 18\): \(P(X \leq 18) \approx 0{,}9713\) - Für \(k = 19\): \(P(X \leq 19) \approx 0{,}9861\) 5. Da \(0{,}9861 \geq 0{,}98\), müssen mindestens \(19\) Lizenzen zur Verfügung stehen.

Es müssen mindestens \(19\) Lizenzen vorhanden sein.

- Überlege zuerst, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Patienten ist, zu einem bestimmten Zeitpunkt im Wartezimmer zu sein. - Welche Zufallsverteilung eignet sich, um die Anzahl der gleichzeitig anwesenden Personen zu beschreiben? - Was bedeutet „mehr als 10“ mathematisch für die Berechnung mit der kumulierten Verteilungsfunktion? - Vergleiche dein berechnetes Ergebnis mit dem vorgegebenen Schwellenwert von \(1\,\%\).

1. Bestimmung der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\): Ein einzelner Patient hält sich \(15\,\text{min}\) von insgesamt \(300\,\text{min}\) in der Praxis auf. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Patient zu einem zufälligen Zeitpunkt anwesend ist, beträgt \(p = \frac{15}{300} = 0{,}05\). 2. Modellierung als Binomialverteilung: Die Anzahl \(X\) der gleichzeitig anwesenden Patienten bei \(n = 80\) Patienten ist \(B_{80; 0{,}05}\)-verteilt. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Überbelegung: Gesucht ist \(P(X > 10) = 1 - P(X \le 10)\). 4. Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 10) \approx 0{,}9979\). 5. Damit ist \(P(X > 10) = 1 - 0{,}9979 = 0{,}0021 = 0{,}21\,\%\). 6. Beurteilung: Da \(0{,}21\,\% < 1\,\%\) ist, reicht die Anzahl der Sitzplätze nach dem vorgegebenen Kriterium aus.

Die Wahrscheinlichkeit für eine Überbelegung beträgt etwa \(0{,}21\,\%\). Da dieser Wert unter der Grenze von \(1\,\%\) liegt, ist die Anzahl der Sitzplätze ausreichend.

- Was bedeutet „mindestens 80“ mathematisch für den Bereich der Werte? - Wie kannst du das Gegenereignis nutzen, um die Wahrscheinlichkeit mit einer Tabelle oder einem Taschenrechner zu berechnen, der nur Werte für \(P(X \le k)\) liefert? - Achte darauf, welchen Wert für \(k\) du beim Gegenereignis einsetzen musst.

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung: \(n = 450\) und \(p = 0{,}15\). 2. Bestimmung der gesuchten Wahrscheinlichkeit: Gesucht ist \(P(X \ge 80)\). 3. Umformung für die kumulative Verteilungsfunktion: \(P(X \ge 80) = 1 - P(X \le 79)\). 4. Berechnung mit der kumulativen Binomialverteilung \(F(n; p; k)\): \(P(X \le 79) \approx 0{,}9410\). 5. Berechnung des Endergebnisses: \(1 - 0{,}9410 = 0{,}0590\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(5{,}90\,\%\).

- Erinnere dich an die Definition der kumulierten Binomialverteilung. - Wie gehst du vor, wenn du die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich von Werten suchst? - Musst du beim Subtrahieren den unteren Rand des Intervalls mit einschließen oder ausschließen? - Nutze ein Tabellenwerk oder deinen Taschenrechner für die kumulierten Werte.

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit \(P(80 \le X \le 110)\) über die kumulierte Binomialverteilung \(F(n; p; k) = P(X \le k)\). 2. Die Intervallwahrscheinlichkeit berechnet sich als Differenz: \(P(80 \le X \le 110) = P(X \le 110) - P(X \le 79)\). 3. Einsetzen der Werte für \(n = 800\) und \(p = 0{,}12\): \(P(X \le 110) \approx 0{,}9405\) und \(P(X \le 79) \approx 0{,}0337\). 4. Berechnung der Differenz: \(0{,}9405 - 0{,}0337 = 0{,}9068\).

\(P(80 \le X \le 110) \approx 0{,}9068\) (\(90{,}68\,\%\))

- Wie berechnet man den Erwartungswert einer Binomialverteilung? - Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich \(P(a \le X \le b)\) mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion \(F(n; p; k)\) ausdrücken? - Überlege genau, welchen Wert du abziehen musst, damit die untere Grenze des Intervalls noch eingeschlossen ist.

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 200 \cdot 0{,}4 = 80\). 2. Bestimmung der Abstände zum Erwartungswert: Die untere Grenze \(72\) liegt \(8\) Einheiten unter \(\mu\), die obere Grenze \(90\) liegt \(10\) Einheiten über \(\mu\). Das Intervall ist somit nicht symmetrisch um \(\mu\). 3. Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeit: \(P(72 \le X \le 90) = P(X \le 90) - P(X \le 71)\). 4. Einsatz der kumulierten Binomialverteilung: \(P(X \le 90) \approx 0{,}9345\) und \(P(X \le 71) \approx 0{,}1094\). 5. Differenzbildung: \(0{,}9345 - 0{,}1094 = 0{,}8251\).

Der Erwartungswert beträgt \(\mu = 80\). Die untere Grenze ist \(8\) Einheiten und die obere Grenze \(10\) Einheiten von \(\mu\) entfernt. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(72 \le X \le 90) \approx 0{,}8251\) (bzw. \(82{,}51\,\%\)).

- Welche Werte aus der Tabelle oder vom Taschenrechner benötigst du, um genau den Bereich von \(122\) bis \(132\) abzudecken? - Denk daran, dass die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \le k)\) immer alle Werte von \(0\) bis \(k\) aufsummiert. - Was passiert, wenn du \(P(X \le 132) - P(X \le 122)\) rechnest? Wäre die \(122\) dann noch im Ergebnis enthalten?

1. Identifikation der Parameter: \(n = 150\), \(p = 0{,}85\). 2. Berechnung des Erwartungswerts zur Einordnung: \(\mu = 150 \cdot 0{,}85 = 127{,}5\). 3. Ansatz für die Intervallwahrscheinlichkeit: \(P(122 \le X \le 132) = P(X \le 132) - P(X \le 121)\). 4. Bestimmung der kumulierten Werte (z. B. mit dem WTR): \(P(X \le 132) \approx 0{,}8757\) und \(P(X \le 121) \approx 0{,}0881\). 5. Berechnung des Endergebnisses mit ungerundeten Zwischenwerten: \(P(122 \le X \le 132) \approx 0{,}7875\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(122 \le X \le 132) \approx 0{,}7875\) (bzw. \(78{,}75\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, welche Werte für \(n\) und \(p\) in dieser Situation gelten. - Achte bei Formulierungen wie „mehr als“ oder „zwischen“ genau darauf, welche Werte noch zur gesuchten Menge gehören. - Erinnere dich daran, wie man Wahrscheinlichkeiten für Intervalle oder „größer als“-Ereignisse mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion berechnet. - Tabellenwerke oder Taschenrechnerfunktionen für die kumulierte Binomialverteilung summieren immer von \(0\) bis zu einem Wert \(k\).

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 400\) und \(p = 0{,}02\). 1. Für Teilaufgabe a) wird die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 5)\) berechnet. Unter Verwendung der Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 5) \approx 0{,}1885\). 2. Für Teilaufgabe b) wird das Gegenereignis zu \(X \le 10\) betrachtet: \(P(X > 10) = 1 - P(X \le 10)\). Mit \(P(X \le 10) \approx 0{,}8179\) folgt \(1 - 0{,}8179 = 0{,}1821\). 3. Für Teilaufgabe c) wird die Wahrscheinlichkeit für das Intervall \([6; 12]\) berechnet: \(P(6 \le X \le 12) = P(X \le 12) - P(X \le 5) \approx 0{,}7497\).

a) \(P(X \le 5) \approx 18{,}85\,\%\) b) \(P(X > 10) \approx 18{,}21\,\%\) c) \(P(6 \le X \le 12) \approx 74{,}97\,\%\)

- Überlege dir zuerst, welche Werte für \(n\) und \(p\) in dieser Situation gelten. - Achte auf Formulierungen wie „höchstens“ oder „mindestens“, um die richtigen Grenzen für die kumulierte Wahrscheinlichkeit zu finden. - Wie kannst du eine „mindestens“-Wahrscheinlichkeit mithilfe des Gegenereignisses berechnen? - Denke daran, dass bei einem Intervall von \(a\) bis \(b\) beide Grenzen eingeschlossen sind.

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 500\) und \(p = 0{,}04\). 1. Berechnung von \(P(X \le 15)\) mithilfe der kumulierten Binomialverteilung: \(P(X \le 15) \approx 0{,}1513\). 2. Berechnung von \(P(X \ge 25)\) über das Gegenereignis: \(P(X \ge 25) = 1 - P(X \le 24) \approx 1 - 0{,}8478 = 0{,}1522\). 3. Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeit \(P(18 \le X \le 22)\): \(P(X \le 22) - P(X \le 17) \approx 0{,}7247 - 0{,}2933 = 0{,}4314\).

a) \(P(X \le 15) \approx 15{,}13\,\%\) b) \(P(X \ge 25) \approx 15{,}22\,\%\) c) \(P(18 \le X \le 22) \approx 43{,}14\,\%\)

- Überlege dir zuerst, was ein „Erfolg“ in diesem Zufallsexperiment ist und wie groß die entsprechende Wahrscheinlichkeit \(p\) ist. - Wie viele Personen müssen erscheinen, damit die Kapazität überschritten wird? - Welche Verteilung ist geeignet, wenn wir viele unabhängige Versuche mit jeweils zwei möglichen Ausgängen haben? - Kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion \(P(X \le k)\) ausdrücken?

1. Modellierung der Zufallsgröße \(X\) als die Anzahl der erscheinenden Dauerkartenbesitzer. Diese ist binomialverteilt mit \(n = 1400\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 1 - 0{,}15 = 0{,}85\). 2. Die Tribüne ist überbelegt, wenn mehr als \(1200\) Personen erscheinen. Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit \(P(X > 1200)\). 3. Berechnung über das Gegenereignis: \(P(X > 1200) = 1 - P(X \le 1200)\). 4. Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung \(F(1400; 0{,}85; 1200)\) ergibt sich: \(1 - 0{,}7831 \approx 0{,}2169\). 5. Die Wahrscheinlichkeit für eine Überbelegung beträgt etwa \(21{,}69\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Tribüne überbelegt ist, beträgt ca. \(21{,}69\,\%\).

- Überlege dir zuerst, welches Zufallsexperiment hier vorliegt und welche Parameter gegeben sind. - Was bedeutet „mindestens 24“ mathematisch für deine Zufallsgröße? - Kannst du das Problem vielleicht einfacher lösen, indem du die Anzahl der Zwiebeln betrachtest, die nicht austreiben? - Nutze für die Berechnung entweder dein Taschenrechner-Menü für Verteilungsfunktionen oder ein Tabellenwerk.

1. Definition der Zufallsgröße: Sei \(X\) die Anzahl der austreibenden Tulpenzwiebeln. \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 30\) und \(p = 0{,}85\). 2. Aufstellen der gesuchten Wahrscheinlichkeit: Gesucht ist \(P(X \ge 24)\). 3. Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit oder Symmetrie: Da Tabellenwerke oft nur Werte für \(p \le 0{,}5\) enthalten, betrachtet man die Anzahl der nicht austreibenden Zwiebeln \(Y\). Hierbei gilt \(n = 30\) und \(p' = 1 - 0{,}85 = 0{,}15\). Die Bedingung \(X \ge 24\) entspricht \(Y \le 30 - 24 = 6\). 4. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit: \(P(Y \le 6) = \sum_{k=0}^{6} B(30; 0{,}15; k) \approx 0{,}8474\). Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zwiebeln ausreichen, beträgt etwa \(84{,}74\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(84{,}74\,\%\).

- Definiere klar, was ein „Treffer“ in deiner Rechnung sein soll – ein funktionierender oder ein defekter Stick? - Wie viele Sticks dürfen höchstens defekt sein, damit der Kunde sein Ziel erreicht? - Achte darauf, den richtigen Wert für die kumulierte Wahrscheinlichkeit aus der Tabelle oder dem Taschenrechner abzulesen.

1. Modellierung: Sei \(X\) die Anzahl der defekten USB-Sticks in einer Packung. \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 50\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}1\) für einen Defekt. 2. Bedingung für Erfolg: Damit mindestens \(42\) Sticks funktionieren, dürfen höchstens \(50 - 42 = 8\) Sticks defekt sein. Gesucht ist also \(P(X \le 8)\). 3. Berechnung mit der kumulierten Binomialverteilung: Unter Verwendung von \(n = 50\), \(p = 0{,}1\) und der Obergrenze \(k = 8\) ergibt sich: \(P(X \le 8) = \sum_{i=0}^{8} \binom{50}{i} \cdot 0{,}1^i \cdot 0{,}9^{50-i} \approx 0{,}9421\). Die Wahrscheinlichkeit, dass die Packung ausreicht, liegt somit bei ca. \(94{,}21\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(94{,}21\,\%\).

- Überlege dir zuerst, welche Werte für \(n\) und \(p\) gegeben sind. - Achte bei Formulierungen wie „mehr als“ oder „weniger als“ darauf, ob der genannte Wert noch zum Ereignis gehört oder nicht. - Erinnere dich daran, wie man Wahrscheinlichkeiten für Intervalle oder Gegenereignisse mit der kumulierten Verteilungsfunktion \(F(n; p; k)\) berechnet. - Was bedeutet es für die Trefferzahl \(X\), wenn sie zwischen zwei Werten liegen soll? Welche ganzzahligen Werte sind dann genau gemeint?

1. Modellierung der Anzahl der Spender mit Blutgruppe 0 negativ durch eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit den Parametern \(n = 200\) und \(p = 0{,}15\). 2. Berechnung von \(P(X \le 25)\) unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung: \(F(200; 0{,}15; 25) \approx 0{,}1876\). 3. Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit für \(P(X > 35) = 1 - P(X \le 35)\): \(1 - F(200; 0{,}15; 35) \approx 1 - 0{,}8613 = 0{,}1387\). 4. Bestimmung der Intervallwahrscheinlichkeit \(P(25 < X < 40) = P(26 \le X \le 39) = P(X \le 39) - P(X \le 25)\): \(F(200; 0{,}15; 39) - F(200; 0{,}15; 25) \approx 0{,}7788\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(18{,}76\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(13{,}87\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(77{,}88\,\%\).

- Identifiziere die Parameter der Binomialverteilung aus dem Text. - Wie lässt sich „weniger als 10“ als Bedingung für eine diskrete Zufallsgröße ausdrücken? - Denke bei „mindestens“ an das Gegenereignis, um die kumulierte Verteilungstabelle oder den Taschenrechner effizient zu nutzen. - Bei einem Intervall von \(a\) bis \(b\) (einschließlich) musst du die Wahrscheinlichkeit bis \(b\) nehmen und alles abziehen, was kleiner als \(a\) ist.

1. Die Anzahl der Bestellungen wird durch eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit \(n = 120\) und \(p = 0{,}12\) beschrieben. 2. Berechnung von \(P(X < 10) = P(X \le 9)\) durch die kumulierte Binomialverteilung: \(F(120; 0{,}12; 9) \approx 0{,}0782\). 3. Berechnung von \(P(X \ge 15) = 1 - P(X \le 14)\) über das Gegenereignis: \(1 - F(120; 0{,}12; 14) \approx 1 - 0{,}5255 = 0{,}4745\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das abgeschlossene Intervall \(P(12 \le X \le 20) = P(X \le 20) - P(X \le 11)\): \(F(120; 0{,}12; 20) - F(120; 0{,}12; 11) \approx 0{,}9542 - 0{,}2139 = 0{,}7403\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(7{,}82\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(47{,}45\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(74{,}03\,\%\).

- Überlege dir, was passiert, wenn du statt der „Erfolge“ (gekeimte Samen) die „Misserfolge“ (nicht gekeimte Samen) zählst. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten \(p\) und \(1-p\) zusammen? - Wenn höchstens 14 Samen keimen, wie viele müssen dann mindestens nicht gekeimt haben? - Wie kannst du eine „mindestens“-Wahrscheinlichkeit mit Hilfe einer Tabelle für „höchstens“-Wahrscheinlichkeiten berechnen?

1. Definition der komplementären Zufallsgröße: Sei \(Y\) die Anzahl der nicht gekeimten Samen. Da \(X\) binomialverteilt ist mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}8\), ist \(Y\) binomialverteilt mit \(n = 20\) und \(p^* = 1 - 0{,}8 = 0{,}2\). 2. Umformung des Ereignisses: Das Ereignis \(X \le 14\) (höchstens 14 Samen keimen) ist gleichbedeutend damit, dass mindestens \(20 - 14 = 6\) Samen nicht keimen. Es gilt also \(P(X \le 14) = P(Y \ge 6)\). 3. Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit für kumulierte Werte: \(P(Y \ge 6) = 1 - P(Y \le 5)\). 4. Berechnung von \(P(Y \le 5)\) für \(B(20; 0{,}2)\): Durch Aufsummieren der Einzelwahrscheinlichkeiten oder Nutzung einer Tabelle ergibt sich \(P(Y \le 5) = \sum_{k=0}^{5} \binom{20}{k} \cdot 0{,}2^k \cdot 0{,}8^{20-k} \approx 0{,}8042\). 5. Finales Ergebnis: \(P(X \le 14) = 1 - 0{,}8042 = 0{,}1958\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(X \le 14) \approx 0{,}1958\) (bzw. \(19{,}58\,\%\)).

- Überlege zuerst, welche Verteilung hier vorliegt und welche Parameter gegeben sind. - Was bedeutet „weniger als 10“ für die obere Grenze der Summe? - Wie kannst du „mehr als“ mithilfe des Gegenereignisses ausdrücken, um eine Tabelle oder die Verteilungsfunktion zu nutzen? - Achte genau darauf, ob der Randwert zum Ereignis gehört oder nicht.

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Rücksendungen und ist binomialverteilt mit \(n = 50\) und \(p = 0{,}3\). 1. Berechnung der Punktwahrscheinlichkeit: \(P(X = 15) = \binom{50}{15} \cdot 0{,}3^{15} \cdot 0{,}7^{35} \approx 0{,}1223\). 2. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit für „weniger als 10“: \(P(X < 10) = P(X \le 9) = \sum_{k=0}^{9} \binom{50}{k} \cdot 0{,}3^k \cdot 0{,}7^{50-k} \approx 0{,}0402\). 3. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit für „mehr als 20“: \(P(X > 20) = 1 - P(X \le 20) \approx 1 - 0{,}9522 = 0{,}0478\).

1. \(P(X = 15) \approx 12{,}23\,\%\) 2. \(P(X < 10) \approx 4{,}02\,\%\) 3. \(P(X > 20) \approx 4{,}78\,\%\)

- Formuliere die Wahrscheinlichkeiten in Teil a) und b) zuerst als mathematische Ungleichungen mit \(P(X...)\). - Nutze für Teil a) die Formel für das Gegenereignis, um die Rechnung zu vereinfachen. - In Teil b) suchst du die kumulierte Wahrscheinlichkeit für \(k=0\) und \(k=1\). Hier hilft oft eine Wertetabelle deines Taschenrechners. - Achte beim Umformen von Ungleichungen darauf, was passiert, wenn du durch eine negative Zahl (wie den Logarithmus einer Zahl kleiner als 1) dividierst.

1. Identifikation der Parameter: \(p = 0{,}12\) (defekt) und \(q = 0{,}88\) (intakt). 2. Zu a): Bedingung \(P(X \ge 1) \ge 0{,}90\) entspricht \(1 - 0{,}88^n \ge 0{,}90\), also \(0{,}88^n \le 0{,}10\). 3. Logarithmieren: \(n \ge \frac{\ln(0{,}10)}{\ln(0{,}88)} \approx 18{,}01\). Daraus folgt \(n \ge 19\). 4. Zu b): Bedingung \(P(X \le 1) < 0{,}10\). Es gilt \(P(X \le 1) = \binom{n}{0} \cdot 0{,}12^0 \cdot 0{,}88^n + \binom{n}{1} \cdot 0{,}12^1 \cdot 0{,}88^{n-1}\). 5. Testen von Werten für \(n\): Für \(n = 30\) ist \(P(X \le 1) \approx 0{,}1102\). Für \(n = 31\) ist \(P(X \le 1) \approx 0{,}0996\). 6. Da \(0{,}0996 < 0{,}10\), ist die Bedingung ab \(n = 31\) erfüllt.

a) \(n \ge 19\) b) \(n \ge 31\)

- Was ist das Gegenereignis zu „mindestens zwei fehlerhafte Leuchtmittel“? - Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis setzt sich aus zwei Einzelfällen zusammen. Welche sind das? - Nutze die Formel von Bernoulli für \(k=0\) und \(k=1\). - Da man diese Gleichung nicht einfach nach \(n\) auflösen kann, ist es hilfreich, eine Wertetabelle mit deinem Taschenrechner zu erstellen oder gezielt Werte zu testen.

1. Festlegen der Parameter der Binomialverteilung: \(p = 0{,}1\) (Erfolg = fehlerhaft) und \(q = 0{,}9\). Gesucht ist das kleinste \(n\), sodass \(P(X \ge 2) \ge 0{,}90\). 2. Übergang zum Gegenereignis: \(1 - P(X \le 1) \ge 0{,}90 \iff P(X = 0) + P(X = 1) \le 0{,}10\). 3. Aufstellen der Formel für die kumulierte Wahrscheinlichkeit: \(0{,}9^n + n \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^{n-1} \le 0{,}10\). 4. Systematisches Probieren mit verschiedenen Werten für \(n\): Für \(n = 37\): \(0{,}9^{37} + 37 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^{36} \approx 0{,}0202 + 0{,}0832 = 0{,}1034 > 0{,}10\). Für \(n = 38\): \(0{,}9^{38} + 38 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^{37} \approx 0{,}0182 + 0{,}0768 = 0{,}0950 \le 0{,}10\). 5. Da bei \(n = 38\) die Wahrscheinlichkeit für höchstens ein fehlerhaftes Leuchtmittel erstmals unter \(10\,\%\) fällt (und damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei über \(90\,\%\) steigt), ist \(n = 38\) die Lösung.

Es müssen mindestens \(38\) Leuchtmittel entnommen werden.

- Wie kannst du eine „mindestens“-Wahrscheinlichkeit in eine „höchstens“-Wahrscheinlichkeit umwandeln? - Welchen Wert muss \(P(X \le 14)\) annehmen, damit \(P(X \ge 15) = 0{,}05\) erfüllt ist? - Nutze die Tabellenfunktion deines Taschenrechners, um den passenden \(p\)-Wert einzugrenzen. - Denke daran, dass bei steigendem \(p\) auch die Wahrscheinlichkeit für viele Treffer zunimmt.

1. Umformung der Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis, um die kumulierte Verteilungsfunktion nutzbar zu machen: \(P(X \ge 15) = 1 - P(X \le 14) = 0{,}05\). 2. Daraus folgt die Bedingung für die kumulierte Wahrscheinlichkeit: \(P(X \le 14) = 0{,}95\). 3. Einsatz eines Taschenrechners (Wertetabelle oder Solver) für die Binomialverteilung mit \(n = 20\) und \(k = 14\). 4. Vergleich der Werte: Bei \(p = 0{,}54\) ist \(P(X \ge 15) \approx 0{,}0456\); bei \(p = 0{,}55\) ist \(P(X \ge 15) \approx 0{,}0553\). 5. Da \(|0{,}05 - 0{,}0456| = 0{,}0044\) kleiner ist als \(|0{,}05 - 0{,}0553| = 0{,}0053\), ist \(0{,}54\) der genauere gerundete Wert.

\(p \approx 0{,}54\)

- Was bedeutet „höchstens ein Treffer“ für die Anzahl der möglichen Erfolge? - Stelle eine Gleichung auf, die die Summe der Wahrscheinlichkeiten für 0 und 1 Treffer nutzt. - Da die Variable \(p\) in einer höheren Potenz vorkommt, kannst du ein numerisches Verfahren oder deinen Taschenrechner nutzen, um den Wert zu bestimmen.

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der Treffer bei \(n=4\) Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\). 2. Bedingung für die kumulierte Wahrscheinlichkeit aufstellen: \(P(X \le 1) = 0{,}65\). 3. Einzelwahrscheinlichkeiten addieren: \(P(X=0) + P(X=1) = \binom{4}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^4 + \binom{4}{1} \cdot p^1 \cdot (1-p)^3 = 0{,}65\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \((1-p)^4 + 4p(1-p)^3 = 0{,}65\). 5. Numerische Lösung (z. B. mit dem GTR oder durch systematisches Probieren): Für \(p \approx 0{,}30\) ergibt sich \(P(X \le 1) \approx 0{,}6517\), für \(p \approx 0{,}31\) ergibt sich \(P(X \le 1) \approx 0{,}6341\). 6. Der Wert \(p \approx 0{,}30\) liegt am nächsten am Zielwert.

Die Trefferquote muss etwa \(0{,}30\) (oder \(30\,\%\)) betragen.

- Was bedeutet es für die Rechnung, wenn „höchstens eine“ Leuchte defekt sein darf? - Stelle eine Ungleichung für die kumulierte Wahrscheinlichkeit auf. - Ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens einen Defekt zu finden, bei einem kleineren oder bei einem größeren \(p\) höher? - Verwende die Funktionen deines Taschenrechners für die Binomialverteilung, um den passenden Grenzwert für \(p\) zu finden.

1. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der defekten Leuchten in einer Stichprobe von \(n = 20\). Sie ist binomialverteilt mit der Defektwahrscheinlichkeit \(p\). 2. Die Bedingung für die Akzeptanz der Stichprobe lautet \(P(X \le 1) \ge 0{,}90\). 3. Die kumulierte Wahrscheinlichkeit berechnet sich als \(P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1) = \binom{20}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{20} + \binom{20}{1} \cdot p^1 \cdot (1-p)^{19}\). 4. Dies vereinfacht sich zu der Gleichung \((1-p)^{20} + 20p \cdot (1-p)^{19} = 0{,}90\). 5. Die Suche nach dem Wert für \(p\) (z. B. über den GTR-Löser oder eine Wertetabelle) liefert \(p \approx 0{,}02691\). Somit darf die Defektwahrscheinlichkeit höchstens \(0{,}027\) betragen, damit die Bedingung erfüllt bleibt.

Die Defektwahrscheinlichkeit \(p\) darf höchstens \(0{,}027\) betragen.

- Welche Parameter der Binomialverteilung sind gegeben und welcher wird gesucht? - Formuliere die Bedingung „mindestens drei“ mithilfe des Gegenereignisses um, um die Anzahl der Terme in der Summe zu verringern. - Nutze für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten \(P(X \le 2)\) die kumulierte Binomialverteilung. - Probiere verschiedene Werte für die Anzahl der Versuche aus, um die Grenze zu finden, an der die Wahrscheinlichkeit den geforderten Wert überschreitet.

1. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der keimenden Samen und ist binomialverteilt mit \(p = 0{,}25\) und unbekanntem \(n\). 2. Die Bedingung lautet \(P(X \ge 3) \ge 0{,}90\). 3. Das Gegenereignis liefert die Ungleichung \(P(X \le 2) \le 0{,}10\). 4. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 2)\) berechnet sich aus \(P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\): \(\binom{n}{0} \cdot 0{,}25^0 \cdot 0{,}75^n + \binom{n}{1} \cdot 0{,}25^1 \cdot 0{,}75^{n-1} + \binom{n}{2} \cdot 0{,}25^2 \cdot 0{,}75^{n-2} \le 0{,}10\). 5. Durch systematisches Testen oder Verwendung eines Taschenrechners (GTR/CAS) bzw. einer Tabelle ergibt sich: - Für \(n = 19\): \(P(X \le 2) \approx 0{,}1113 > 0{,}10\) - Für \(n = 20\): \(P(X \le 2) \approx 0{,}0913 \le 0{,}10\) 6. Somit ist der kleinste Wert \(n = 20\).

Er muss mindestens \(20\) Samenkörner aussäen.

- Wie lautet die Formel für die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \le k)\) bei einer Binomialverteilung? - Kannst du die Gleichung mit den gegebenen Werten für \(n\) und \(k\) aufschreiben? - Da die Gleichung schwierig direkt nach \(p\) aufzulösen ist, probiere verschiedene Werte für \(p\) aus oder nutze eine Wertetabelle deines Taschenrechners. - In welchem Bereich muss \(p\) ungefähr liegen, damit die Wahrscheinlichkeit für wenige Treffer bei \(50\) Versuchen eher klein (hier \(15\,\%\)) ist?

1. Modellierung: Die Anzahl der Flaschen mit Lufteinschlüssen \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 50\) und unbekanntem \(p\). 2. Gegebene Bedingung: \(P(X \le 2) = 0{,}15\). 3. Formel für die kumulierte Wahrscheinlichkeit: \(\sum_{k=0}^{2} \binom{50}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{50-k} = 0{,}15\). 4. Lösungsweg: Da eine algebraische Auflösung nach \(p\) für \(k=2\) komplex ist, wird ein systematisches Probierverfahren (z. B. mit der Tabellenfunktion des Taschenrechners oder GTR/CAS) angewendet. 5. Wertesuche: Für \(p = 0{,}08\): \(P(X \le 2) \approx 0{,}226\) Für \(p = 0{,}09\): \(P(X \le 2) \approx 0{,}158\) Für \(p = 0{,}091\): \(P(X \le 2) \approx 0{,}152\) Für \(p = 0{,}092\): \(P(X \le 2) \approx 0{,}146\) 6. Bestimmung des Zielwerts: Durch genaueres Eingrenzen ergibt sich \(p \approx 0{,}0913\). 7. Ergebnisrundung: Auf drei Nachkommastellen gerundet ergibt sich \(p = 0{,}091\).

Die Wahrscheinlichkeit für einen Lufteinschluss bei einer Flasche beträgt etwa \(0{,}091\) (bzw. \(9{,}1\,\%\)).

- Wie hoch ist die Chance, bei einer Drehung eine Sechs zu erhalten? - Denke bei „mindestens“ an das Gegenereignis „gar kein Mal“. - Untersuche nacheinander die Wahrscheinlichkeiten für „4 oder mehr“, „3 oder mehr“ usw., um die Grenze zu finden.

Das Experiment ist eine Bernoulli-Kette mit \(n = 8\) und \(p = \frac{1}{6}\). 1. Wahrscheinlichkeit für genau zwei Sechsen: \(P(X = 2) = \binom{8}{2} \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^6 \approx 28 \cdot 0{,}02778 \cdot 0{,}3349 \approx 0{,}2605\). Dies entspricht ca. \(26{,}1\,\%\). 2. Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs: \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (\frac{5}{6})^8 \approx 1 - 0{,}2326 = 0{,}7674\). Dies entspricht ca. \(76{,}7\,\%\). 3. Bestimmung der Grenze \(k\) für \(P(X \ge k) < 0{,}05\): Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeiten: \(P(X = 0) \approx 0{,}2326\) \(P(X = 1) \approx 0{,}3721\) \(P(X = 2) \approx 0{,}2605\) \(P(X = 3) \approx 0{,}1042\) Summe \(P(X \le 3) \approx 0{,}2326 + 0{,}3721 + 0{,}2605 + 0{,}1042 = 0{,}9694\). Daraus folgt \(P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3) \approx 1 - 0{,}9694 = 0{,}0306\). Da \(0{,}0306 < 0{,}05\), müssen mindestens 4 Sechsen erzielt werden.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(26{,}1\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(76{,}7\,\%\). c) Es müssen mindestens 4 Sechsen gefordert werden.

- Was ist das Gegenereignis zu „mindestens ein Gewinn“? - Wie verändert sich die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg bei jedem Spiel? Bleibt sie gleich? - Kannst du eine Formel aufstellen, in der die Anzahl der Spiele \(n\) die einzige Unbekannte ist? - Wenn du \(n\) für mehr als einen Erfolg suchst, hilft oft eine Wertetabelle deines Taschenrechners für die kumulierte Binomialverteilung.

1. Berechnung für \(n = 12\) und \(p = 0{,}15\): Über das Gegenereignis ergibt sich \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}85^{12} \approx 0{,}8578\). 2. Bestimmung von \(n\) für \(P(X \ge 1) \ge 0{,}95\): Die Ungleichung \(1 - 0{,}85^n \ge 0{,}95\) liefert \(0{,}85^n \le 0{,}05\). Logarithmieren ergibt \(n \cdot \ln(0{,}85) \le \ln(0{,}05)\), also \(n \ge \frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}85)} \approx 18{,}43\). Es sind mindestens \(19\) Spiele nötig. 3. Bestimmung von \(n\) für \(P(X \ge 3) \ge 0{,}95\): Die Bedingung lautet \(P(X \le 2) \le 0{,}05\). Durch systematisches Testen der kumulierten Wahrscheinlichkeiten \(P(X \le 2) = \sum_{k=0}^{2} \binom{n}{k} \cdot 0{,}15^k \cdot 0{,}85^{n-k}\) findet man: Für \(n=39\) ist \(P(X \ge 3) \approx 0{,}9458\), für \(n=40\) ist \(P(X \ge 3) \approx 0{,}9514\). Somit sind mindestens \(40\) Spiele erforderlich.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(85{,}78\,\%\). b) Man muss mindestens \(19\)-mal spielen. c) Es sind mindestens \(40\) Spiele notwendig.

- Was bedeutet „mehr als“ und „weniger als“ für die möglichen Werte von \(X\)? - Schreibe dir die Menge der Trefferzahlen auf, die für das jeweilige Ereignis günstig sind. - Musst du Einzelwahrscheinlichkeiten addieren oder kannst du eine Tabelle für kumulierte Wahrscheinlichkeiten nutzen? - Achte genau darauf, ob die Randwerte (wie die 5 oder die 9) mitgezählt werden müssen oder nicht.

1. Identifikation der Parameter: \(n = 10\), \(p = 0{,}7\). 2. Berechnung von \(P(X \ge 8)\): Dies entspricht \(P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)\). Einsetzen in die Binomialverteilung: \(\binom{10}{8} \cdot 0{,}7^8 \cdot 0{,}3^2 + \binom{10}{9} \cdot 0{,}7^9 \cdot 0{,}3^1 + \binom{10}{10} \cdot 0{,}7^{10} \cdot 0{,}3^0 \approx 0{,}2335 + 0{,}1211 + 0{,}0282 = 0{,}3828\). 3. Berechnung von \(P(5 < X < 9)\): Die Bedingung „mehr als 5“ und „weniger als 9“ bedeutet \(X \in \{6, 7, 8\}\). Berechnung der Summe: \(P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) = \binom{10}{6} \cdot 0{,}7^6 \cdot 0{,}3^4 + \binom{10}{7} \cdot 0{,}7^7 \cdot 0{,}3^3 + \binom{10}{8} \cdot 0{,}7^8 \cdot 0{,}3^2 \approx 0{,}2001 + 0{,}2668 + 0{,}2335 = 0{,}7004\).

a) \(P(X \ge 8) \approx 0{,}3828\) (oder \(38{,}28\,\%\)) b) \(P(5 < X < 9) \approx 0{,}7004\) (oder \(70{,}04\,\%\))

- Identifiziere die Parameter \(n\) und \(p\) aus dem Text. - Was bedeutet „mindestens zwei“ mathematisch ausgedrückt für die Zufallsgröße? - Kannst du das Gegenereignis nutzen, um die Rechnung zu vereinfachen? - Probiere für den zweiten Teil systematisch Werte für \(k\) aus oder nutze eine Verteilungstabelle.

1. Die Anzahl der defekten Bauteile ist binomialverteilt mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}05\). 2. Berechnung für Teilaufgabe a): Gesucht ist \(P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1)\). Die Einzelwahrscheinlichkeiten sind \(P(X = 0) = 0{,}95^{20} \approx 0{,}3585\) und \(P(X = 1) = 20 \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^{19} \approx 0{,}3774\). Die Summe \(P(X \le 1) \approx 0{,}7359\). Somit ist \(P(X \ge 2) \approx 1 - 0{,}7359 = 0{,}2641\), also ca. \(26{,}4\,\%\). 3. Berechnung für Teilaufgabe b): Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P(X \ge k) < 0{,}01\) gilt. Dies entspricht \(P(X \le k-1) > 0{,}99\). 4. Prüfung der Werte: \(P(X \le 2) \approx 0{,}7359 + 0{,}1887 = 0{,}9246\); \(P(X \le 3) \approx 0{,}9246 + 0{,}0596 = 0{,}9842\); \(P(X \le 4) \approx 0{,}9842 + 0{,}0133 = 0{,}9975\). 5. Da \(P(X \le 4) > 0{,}99\) ist, gilt für \(k-1 = 4\), also \(k = 5\), dass \(P(X \ge 5) = 1 - P(X \le 4) \approx 1 - 0{,}9975 = 0{,}0025 < 0{,}01\). Der kleinste Wert ist \(k = 5\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(26{,}4\,\%\). b) Der kleinste Wert ist \(k = 5\).

- Achte auf Formulierungen wie „mehr als“ – gehört der genannte Wert noch dazu oder nicht? - Wie berechnet man den Erwartungswert und die Standardabweichung bei einer Binomialverteilung? - Wie geht man vor, wenn man die Wahrscheinlichkeit für ein Gegenereignis berechnen möchte? - Notiere dir die Dezimalzahlen für das Intervall und überlege dann, welche ganzen Zahlen der Zufallsgröße in diesen Bereich fallen.

Die Zufallsgröße \(Y\) ist binomialverteilt mit \(n = 80\) und \(p = 0{,}05\). 1. Das Ereignis „mehr als \(6\)“ entspricht \(P(Y > 6) = 1 - P(Y \le 6)\). Mit der kumulierten Verteilungsfunktion ergibt sich \(1 - F(80; 0{,}05; 6) \approx 1 - 0{,}8947 = 0{,}1053\). 2. Erwartungswert \(\mu = n \cdot p = 80 \cdot 0{,}05 = 4\). Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{80 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95} = \sqrt{3{,}8} \approx 1{,}949\). Das Intervall \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\) ist \([4 - 1{,}949; 4 + 1{,}949] = [2{,}051; 5{,}949]\). Da \(Y\) nur ganzzahlige Werte annimmt, liegen genau die Werte \(3\), \(4\) und \(5\) in diesem Intervall. \(P(3 \le Y \le 5) = P(Y \le 5) - P(Y \le 2) \approx 0{,}7892 - 0{,}2306 = 0{,}5586\).

1. \(P(Y > 6) \approx 0{,}1053\) 2. \(P(3 \le Y \le 5) \approx 0{,}5586\)

- Was ist der Erwartungswert dieser Verteilung? - „Um höchstens 2 abweichen“ bedeutet, dass die Differenz zum Erwartungswert zwischen \(-2\) und \(2\) liegt. - Wie hängen die Ereignisse \(|X - 20| < 4\) und \(|X - 20| \ge 4\) zusammen? - Probiere systematisch kleine Werte für \(k\) aus und berechne die zugehörigen Intervallwahrscheinlichkeiten.

1. Erwartungswert berechnen: \(\mu = n \cdot p = 60 \cdot \frac{1}{3} = 20\). 2. Teilaufgabe a): Gesucht ist \(P(|X - 20| \le 2) = P(18 \le X \le 22)\). Berechnung über \(P(X \le 22) - P(X \le 17) \approx 0{,}7556 - 0{,}2495 = 0{,}5061\). 3. Teilaufgabe b): \(P(|X - 20| \ge 4) = 1 - P(|X - 20| < 4) = 1 - P(17 \le X \le 23)\). Berechnung: \(1 - (P(X \le 23) - P(X \le 16)) \approx 1 - (0{,}8315 - 0{,}1692) = 0{,}3377\). 4. Teilaufgabe c): Aus Aufgabenteil a) ist bekannt, dass \(P(|X - 20| \le 2) \approx 0{,}5061\). Für \(k = 1\) ergibt sich \(P(19 \le X \le 21) = P(X \le 21) - P(X \le 18) \approx 0{,}6639 - 0{,}3455 = 0{,}3183\). Da \(0{,}5061 > 0{,}5\), ist \(k = 2\) der kleinste gesuchte Wert.

a) \(P(|X - 20| \le 2) \approx 0{,}5061\) b) \(P(|X - 20| \ge 4) \approx 0{,}3377\) c) \(k = 2\)

- Achte auf den Exponenten und den Binomialkoeffizienten, um die Anzahl der Versuche \(n\) zu bestimmen. - Was bedeutet es für die Reihenfolge der Ergebnisse, wenn kein Binomialkoeffizient im Term steht? - Erinnere dich an die Bedeutung des Summenzeichens im Kontext der kumulierten Binomialverteilung. - Was bewirkt das „1 minus ...“ am Anfang eines Terms?

1. Struktur einer Bernoulli-Kette: \(n=15\) Versuche, Trefferwahrscheinlichkeit \(p=0{,}2\). Der Term berechnet die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(E\): „Es werden genau 4 rote Kugeln gezogen“. 2. Summe von Bernoulli-Wahrscheinlichkeiten: \(n=12\) Versuche, \(p=0{,}4\). Die Summation über \(k=0, 1, 2\) entspricht dem Ereignis \(E\): „Es werden höchstens 2 rote Kugeln gezogen“. 3. Produktform ohne Binomialkoeffizient: Dies beschreibt eine spezifische Reihenfolge. \(n=10\) Versuche (da \(3+7=10\)), \(p=0{,}3\). Ereignis \(E\): „Die ersten drei Kugeln sind rot und die restlichen sieben sind nicht rot“ (oder eine andere fest definierte Sequenz mit 3 Treffern und 7 Nieten). 4. Gegenwahrscheinlichkeit einer kumulierten Verteilung: \(n=20\) Versuche, \(p=0{,}9\). Der abgezogene Teil ist \(P(X \le 13)\). Das Gesamtergebnis entspricht \(P(X \ge 14)\). Ereignis \(E\): „Es werden mindestens 14 rote Kugeln gezogen“.

1. \(n=15, p=0{,}2\); \(E\): Genau 4 Treffer. 2. \(n=12, p=0{,}4\); \(E\): Höchstens 2 Treffer. 3. \(n=10, p=0{,}3\); \(E\): Eine spezifische Sequenz aus 3 Treffern und 7 Nieten (z. B. die ersten drei sind Treffer). 4. \(n=20, p=0{,}9\); \(E\): Mindestens 14 Treffer.

- Wie viele Samen müssen genau keimen, damit ein Tütchen als mangelhaft gilt? - Überlege, ob du die Wahrscheinlichkeit für das Keimen (\(p=0{,}75\)) oder für das Nicht-Keimen (\(q=0{,}25\)) verwendest. - Kannst du die kumulierte Wahrscheinlichkeit direkt berechnen oder über das Gegenereignis gehen? - Achte genau auf die Formulierung „weniger als 8“ – gehört die 8 dazu?

1. Festlegen der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der keimenden Samen pro Tütchen. \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 12\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}75\). 2. Identifikation der Bedingung für eine Reklamation: „weniger als 8“ bedeutet \(X \le 7\). 3. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 7) = \sum_{k=0}^{7} \binom{12}{k} \cdot 0{,}75^k \cdot 0{,}25^{12-k}\). 4. Alternativer Weg über die Anzahl der nicht keimenden Samen \(Y \sim B(12; 0{,}25)\): Die Bedingung \(X \le 7\) entspricht bei \(12\) Samen der Bedingung \(Y \ge 5\). 5. Berechnung von \(P(Y \ge 5) = 1 - P(Y \le 4)\). 6. Ermittlung der Werte für \(P(Y \le 4)\): \(P(Y=0) \approx 0{,}0317\), \(P(Y=1) \approx 0{,}1267\), \(P(Y=2) \approx 0{,}2323\), \(P(Y=3) \approx 0{,}2581\), \(P(Y=4) \approx 0{,}1936\). 7. Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(Y \le 4) \approx 0{,}8424\). 8. Finale Wahrscheinlichkeit: \(P(X \le 7) = 1 - 0{,}8424 = 0{,}1576\).

Die Wahrscheinlichkeit für eine Reklamation beträgt etwa \(0{,}1576\) (bzw. \(15{,}76\,\%\)).

- Achte darauf, ob nach „mehr als“ oder „mindestens“ gefragt wird, um die richtige Grenze für die kumulierte Wahrscheinlichkeit zu finden. - Wie berechnet man den Durchschnittswert bei einer Binomialverteilung? - Überlege, wie sich die Fehlerwahrscheinlichkeit eines Pakets verändert, wenn das Paket davor aufgrund eines Defekts bereits falsch sortiert wurde. - Was ist die Grundvoraussetzung für eine Bernoulli-Kette?

1. Modellierung durch \(X \sim B(50; 0{,}04)\). Gesucht ist \(P(X > 3) = 1 - P(X \le 3)\). Berechnung: \(P(X \le 3) = \binom{50}{0} \cdot 0{,}04^0 \cdot 0{,}96^{50} + \dots + \binom{50}{3} \cdot 0{,}04^3 \cdot 0{,}96^{47} \approx 0{,}8609\). Somit \(P(X > 3) = 1 - 0{,}8609 = 0{,}1391\). 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = n \cdot p = 50 \cdot 0{,}04 = 2\). Berechnung der Punktwahrscheinlichkeit für \(k = 2\): \(P(X = 2) = \binom{50}{2} \cdot 0{,}04^2 \cdot 0{,}96^{48} \approx 0{,}2762\). 3. Wenn Fehler gehäuft auftreten (Clusterbildung durch Blockaden), ist die Unabhängigkeit der Einzelversuche verletzt. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler bei Paket \(i+1\) wäre erhöht, wenn Paket \(i\) fehlerhaft war. Eine Binomialverteilung wäre dann kein exaktes Modell mehr.

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(13{,}91\,\%\). 2. Der Erwartungswert ist \(2\). Die Wahrscheinlichkeit für genau \(2\) Fehler beträgt ca. \(27{,}62\,\%\). 3. Bei mechanischen Blockaden, die mehrere Pakete betreffen, sind die Fehlerereignisse abhängig voneinander. Die Modellierung als Bernoulli-Kette ist dann nicht mehr angemessen.

- Achte darauf, was als „Treffer“ definiert wird (hier: ein Defekt). - Kannst du die kumulierte Wahrscheinlichkeit durch das Addieren von Einzelwahrscheinlichkeiten bestimmen? - Vergleiche für den zweiten Teil die berechneten Einzelwahrscheinlichkeiten direkt miteinander. - Wie wirkt sich die geringe Trefferwahrscheinlichkeit auf die Verteilung aus?

1. Modellierung als binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit \(n = 50\) und \(p = 0{,}05\) (Treffer = Defekt). 2. Berechnung für a): \(P(X \le 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)\). 3. \(P(X=0) = 0{,}95^{50} \approx 0{,}0769\). 4. \(P(X=1) = 50 \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^{49} \approx 0{,}2025\). 5. \(P(X=2) = \binom{50}{2} \cdot 0{,}05^2 \cdot 0{,}95^{48} \approx 0{,}2611\). 6. \(P(X=3) = \binom{50}{3} \cdot 0{,}05^3 \cdot 0{,}95^{47} \approx 0{,}2199\). 7. Summe: \(P(X \le 3) \approx 0{,}0769 + 0{,}2025 + 0{,}2611 + 0{,}2199 = 0{,}7604\). Die Wahrscheinlichkeit liegt bei ca. \(76{,}0\,\%\). 8. Prüfung der Vermutung in b): Vergleich von \(P(X = 5)\) und \(P(X = 0)\). 9. \(P(X = 5) = \binom{50}{5} \cdot 0{,}05^5 \cdot 0{,}95^{45} \approx 0{,}0658\). 10. Vergleich: \(P(X = 5) \approx 0{,}0658\) und \(P(X = 0) \approx 0{,}0769\). 11. Da \(0{,}0658 < 0{,}0769\), ist die Vermutung des Mitarbeiters falsch.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(76{,}0\,\%\). b) Die Vermutung ist falsch, da \(P(X=5) \approx 6{,}58\,\%\) kleiner ist als \(P(X=0) \approx 7{,}69\,\%\).

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei vier Auswahlmöglichkeiten die richtige Antwort zu raten? - Wenn mehr als 15 Antworten falsch sind, wie viele sind dann höchstens richtig? - Wenn die ersten drei Fragen bereits richtig beantwortet wurden, wie viele der restlichen Fragen müssen dann noch richtig sein, um auf insgesamt sechs zu kommen? - Behandle die Bedingungen für die ersten fünf und die letzten fünf Fragen als separate, unabhängige Ereignisse.

1. Modellierung: Die Trefferwahrscheinlichkeit für eine richtige Antwort beträgt \(p = 0{,}25\), für eine falsche \(q = 0{,}75\). 2. Berechnung für a): Feste Sequenz \(R R R R R F F \dots F\). \(P = 0{,}25^5 \cdot 0{,}75^{15} \approx 0{,}000013\). 3. Berechnung für b): Sei \(X\) die Anzahl richtiger Antworten. Mehr als \(15\) falsche Antworten bedeuten weniger als \(5\) richtige Antworten. \(P(X \le 4) = \sum_{k=0}^{4} \binom{20}{k} \cdot 0{,}25^k \cdot 0{,}75^{20-k} \approx 0{,}4148\). 4. Berechnung für c): Die ersten drei sind richtig (\(0{,}25^3\)). In den restlichen \(17\) Fragen müssen genau \(3\) weitere richtig sein. \(P = 0{,}25^3 \cdot \binom{17}{3} \cdot 0{,}25^3 \cdot 0{,}75^{14} = \binom{17}{3} \cdot 0{,}25^6 \cdot 0{,}75^{14} \approx 0{,}00296\). 5. Berechnung für d): Sei \(Y_1\) die Anzahl richtiger Antworten in Fragen 1–5 und \(Y_2\) in Fragen 16–20. \(P(Y_1 \ge 4) = \binom{5}{4} \cdot 0{,}25^4 \cdot 0{,}75 + \binom{5}{5} \cdot 0{,}25^5 \approx 0{,}0156\). \(P(Y_2 \le 1) = \binom{5}{0} \cdot 0{,}75^5 + \binom{5}{1} \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75^4 \approx 0{,}6328\). Da die Blöcke disjunkt sind, gilt \(P = P(Y_1 \ge 4) \cdot P(Y_2 \le 1) \approx 0{,}0156 \cdot 0{,}6328 \approx 0{,}0099\).

a) \(P \approx 0{,}000013\) b) \(P \approx 0{,}4148\) c) \(P \approx 0{,}00296\) d) \(P \approx 0{,}0099\)

- Formuliere die Bedingung „mindestens 10“ mithilfe des Gegenereignisses um, um Tabellen oder Funktionen für die kumulierte Wahrscheinlichkeit nutzen zu können. - Da \(n\) gesucht ist, kannst du mit einem Schätzwert beginnen (etwas größer als 10) und dich dann schrittweise herantasten. - Was passiert mit der Wahrscheinlichkeit, dass bei mindestens 10 Personen die gewünschte Wirkung eintritt, wenn die Gruppe größer wird?

1. Modellierung: Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl der Patienten mit Wirkung) ist binomialverteilt mit \(p = 0{,}85\) und unbekanntem \(n\). Gesucht ist das kleinste \(n\), für das gilt: \(P(X \ge 10) \ge 0{,}90\). 2. Umformung der Bedingung: \(P(X \ge 10) = 1 - P(X \le 9) \ge 0{,}90\), also \(P(X \le 9) \le 0{,}10\). 3. Systematisches Testen von Werten für \(n\): - Für \(n = 12\): \(P(X \le 9) \approx 0{,}2642 > 0{,}10\) - Für \(n = 13\): \(P(X \le 9) \approx 0{,}1180 > 0{,}10\) - Für \(n = 14\): \(P(X \le 9) \approx 0{,}0467 \le 0{,}10\) 4. Da bei \(n = 13\) die Wahrscheinlichkeit noch über \(0{,}10\) liegt und bei \(n = 14\) erstmals darunter fällt, ist \(n = 14\) der gesuchte Wert.

Es müssen mindestens \(n = 14\) Patienten rekrutiert werden.

- Wie viele Personen müssten erscheinen, damit nicht mehr alle einen Sitzplatz haben? - Bestimme zuerst die Parameter \(n\) und \(p\) für die Binomialverteilung. - Musst du hier eine kumulierte Wahrscheinlichkeit berechnen oder reicht die Summe weniger Einzelwerte? - Überlege, ob es einfacher ist, das Problem über die Personen zu lösen, die den Bus nutzen, oder über die, die zu Hause bleiben.

1. Modellierung: Die Anzahl der Fahrgäste \(X\), die den Bus nutzen, ist binomialverteilt mit \(n = 65\) und \(p = 0{,}85\). 2. Ereignis bestimmen: Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als \(60\) Personen erscheinen, also \(P(X > 60)\). 3. Berechnung über die kumulierte Binomialverteilung: \(P(X > 60) = 1 - P(X \le 60) \approx 1 - 0{,}9748 = 0{,}0252\). 4. Alternativer Weg über \(Y \sim B(65; 0{,}15)\) für die Nicht-Nutzer: \(P(X > 60) = P(Y < 5) = P(Y \le 4)\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(2{,}52\,\%\).

- Was ist in diesem Fall ein „Erfolg“ und wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür? - Überlege dir, wie du die Bedingung „mindestens fünf“ mathematisch ausdrücken kannst. - Kannst du das Problem mithilfe des Gegenereignisses „höchstens vier“ vereinfachen? - Probiere systematisch verschiedene Werte für die Gesamtzahl aus, um die Grenze zu finden.

1. Die Anzahl der überlebenden Jungtiere \(X\) wird als binomialverteilt mit \(p = 0{,}15\) angenommen. 2. Die Bedingung lautet \(P(X \ge 5) \ge 0{,}99\). 3. Übergang zum Gegenereignis: \(P(X \le 4) \le 0{,}01\). 4. Untersuchung der kumulierten Wahrscheinlichkeiten \(F(n; 0{,}15; 4) = \sum_{k=0}^{4} \binom{n}{k} \cdot 0{,}15^k \cdot 0{,}85^{n-k}\) für verschiedene Werte von \(n\). 5. Berechnung der Werte: Für \(n = 73\) ergibt sich \(P(X \le 4) \approx 0{,}0105\), was knapp über der Grenze von \(0{,}01\) liegt. Für \(n = 74\) ergibt sich \(P(X \le 4) \approx 0{,}0094\). 6. Somit ist \(P(X \ge 5) = 1 - P(X \le 4) \approx 1 - 0{,}0094 = 0{,}9906 \ge 0{,}99\) für \(n = 74\) erfüllt.

Es müssen mindestens \(74\) Jungtiere ausgesetzt werden.

- Was muss für die ersten elf Chips gelten, damit der zwölfte der erste Treffer ist? - Erinnere dich an die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung bei einer Binomialverteilung. - Welche ganzzahligen Werte liegen innerhalb des berechneten Intervalls \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\)? - Wie kannst du eine Intervallwahrscheinlichkeit in eine Differenz von zwei kumulierten Werten umwandeln?

1. Für Teilaufgabe a) muss der zwölfte Chip fehlerhaft sein (\(p = 0{,}08\)) und die elf vorherigen fehlerfrei (\(1 - p = 0{,}92\)). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = 0{,}92^{11} \cdot 0{,}08 \approx 0{,}0320\). 2. Für Teilaufgabe b) werden Erwartungswert \(\mu = n \cdot p = 400 \cdot 0{,}08 = 32\) und Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{400 \cdot 0{,}08 \cdot 0{,}92} = \sqrt{29{,}44} \approx 5{,}43\) berechnet. 3. Das Intervall \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\) entspricht \([32 - 5{,}43; 32 + 5{,}43] = [26{,}57; 37{,}43]\). Da \(X\) nur ganzzahlige Werte annimmt, ist \(P(27 \le X \le 37)\) gesucht. 4. Berechnung über die kumulative Binomialverteilung: \(P(27 \le X \le 37) = P(X \le 37) - P(X \le 26) \approx 0{,}8447 - 0{,}1549 = 0{,}6898\).

a) \(P \approx 3{,}20\,\%\) b) \(P(27 \le X \le 37) \approx 68{,}98\,\%\)

- Welche Verteilung liegt hier vor, wenn Murmeln unabhängig voneinander Lufteinschlüsse haben? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Wert „höchstens um \(2\sigma\)“ abweicht? - Denke daran: Welche ganzzahligen Werte kann die Anzahl der Murmeln annehmen? - Wie gehst du vor, wenn du die Wahrscheinlichkeit für ein geschlossenes Intervall berechnen willst?

1. Parameter bestimmen: \(n = 300\), \(p = 0{,}1\). 2. Kennzahlen berechnen: \(\mu = 300 \cdot 0{,}1 = 30\). \(\sigma = \sqrt{300 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9} = \sqrt{27} \approx 5{,}196\). 3. Intervallgrenzen bestimmen: Die Abweichung von höchstens \(2\sigma\) entspricht dem Intervall \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\). Berechnung: \(30 - 2 \cdot 5{,}196 = 19{,}608\) und \(30 + 2 \cdot 5{,}196 = 40{,}392\). Das Intervall der ganzzahligen Werte ist somit \([20; 40]\). 4. Wahrscheinlichkeit berechnen: \(P(20 \le Y \le 40) = P(Y \le 40) - P(Y \le 19)\). Mit der kumulierten Binomialverteilung (\(n=300, p=0{,}1\)) folgt: \(P(Y \le 40) \approx 0{,}9746\) und \(P(Y \le 19) \approx 0{,}0171\). Die Differenz ergibt \(0{,}9746 - 0{,}0171 = 0{,}9575\).

a) \(\mu = 30\); \(\sigma \approx 5{,}20\). b) \(P(20 \le Y \le 40) \approx 95{,}75\,\%\).

- Bestimme zuerst die statistischen Kennwerte für die ursprüngliche Fehlerquote. - Formuliere die Bedingung für eine „erkannte Verbesserung“ als mathematische Ungleichung für die Anzahl der Defekte. - Achte darauf, den Schwellenwert korrekt auf eine ganze Zahl abzurunden, da es sich um eine diskrete Anzahl handelt. - Berechne die gesuchte Wahrscheinlichkeit für den Fall, dass die neue Quote bereits gilt, aber das Ergebnis oberhalb der Erfolgsschwelle liegt.

1. Berechnung der Kenngrößen für den alten Zustand (\(n = 250\), \(p_0 = 0{,}08\)): \(\mu_0 = 250 \cdot 0{,}08 = 20\) \(\sigma_0 = \sqrt{250 \cdot 0{,}08 \cdot 0{,}92} = \sqrt{18{,}4} \approx 4{,}2895\) 2. Bestimmung der Entscheidungsgrenze: Anforderung: \(X \le \mu_0 - 1{,}5 \cdot \sigma_0\) \(20 - 1{,}5 \cdot 4{,}2895 = 20 - 6{,}4343 = 13{,}5657\) Eine Verbesserung wird also bei \(X \le 13\) erkannt. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Ausbleiben der Erkennung unter der Bedingung \(p_1 = 0{,}04\): Gesucht ist \(P(X > 13)\) für \(X \sim B(250; 0{,}04)\). \(P(X \le 13) \approx 0{,}8690\) (kumulierte Binomialverteilung) \(P(X > 13) = 1 - P(X \le 13) \approx 1 - 0{,}8690 = 0{,}1310\) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Verbesserung nicht erkannt wird, liegt bei ca. \(13{,}10\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(13{,}10\,\%\).

- Überlege, was passieren muss, damit man von unabhängigen Versuchen mit gleichbleibender Wahrscheinlichkeit sprechen kann. - Wie lautet die Formel von Bernoulli für \(k\) Treffer? - Was ist das Gegenereignis zu „mindestens zwei“? Ist es einfacher, dieses zu berechnen? - Achte darauf, die Wahrscheinlichkeit für \(4\,\%\) korrekt als Dezimalzahl zu schreiben.

1. Voraussetzungen: Jede Flasche wird nur auf das Merkmal „Lufteinschluss vorhanden“ oder „nicht vorhanden“ geprüft. Die Wahrscheinlichkeit für einen Defekt muss für jede entnommene Flasche konstant bei \(p=0{,}04\) liegen (Ziehen mit Zurücklegen oder sehr große Grundgesamtheit), und die Zustände der Flaschen müssen voneinander unabhängig sein. 2. Berechnung für genau eine Flasche: Mit \(n=10\), \(k=1\) und \(p=0{,}04\) gilt \(P(X=1) = \binom{10}{1} \cdot 0{,}04^1 \cdot 0{,}96^9 \approx 10 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}6925 \approx 0{,}2770\). 3. Berechnung für mindestens zwei Flaschen: Über das Gegenereignis \(P(X \ge 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1))\). \(P(X=0) = 0{,}96^{10} \approx 0{,}6648\). \(P(X \ge 2) \approx 1 - (0{,}6648 + 0{,}2770) = 1 - 0{,}9418 = 0{,}0582\).

a) Die Entnahme muss als Ziehen mit Zurücklegen betrachtet werden können (oder die Gesamtzahl der Flaschen ist so groß, dass sich die Wahrscheinlichkeit kaum ändert), es gibt nur zwei Ergebnisse (Defekt/kein Defekt) und die Flaschen sind unabhängig voneinander. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}2770\) (oder \(27{,}70\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}0582\) (oder \(5{,}82\,\%\)).

- Identifiziere zuerst die Trefferwahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Figur. - Denke bei „mindestens zwei“ an das Gegenereignis, um Rechenaufwand zu sparen. - Für den Vergleich in Aufgabenteil c) musst du die Wahrscheinlichkeiten beider beschriebenen Ereignisse einzeln bestimmen.

1. Modellierung als Bernoulli-Kette mit \(n = 12\) und \(p = 0{,}1\). 2. Zu a): \(P(X = 0) = 0{,}9^{12} \approx 0{,}2824\). 3. Zu b): \(P(X \ge 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1))\). Mit \(P(X = 1) = 12 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9^{11} \approx 0{,}3766\) folgt \(P(X \ge 2) \approx 1 - (0{,}2824 + 0{,}3766) = 0{,}3410\). 4. Zu c): \(P(X > 2) = P(X \ge 2) - P(X = 2)\). Mit \(P(X = 2) = \binom{12}{2} \cdot 0{,}1^2 \cdot 0{,}9^{10} = 66 \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}348678 \approx 0{,}2301\). 5. Es ergibt sich \(P(X > 2) \approx 0{,}3410 - 0{,}2301 = 0{,}1109\). 6. Vergleich: \(P(X = 1) \approx 0{,}3766\) ist deutlich größer als \(P(X > 2) \approx 0{,}1109\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(28{,}24\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(34{,}10\,\%\). c) Das Ereignis „Genau eine Figur ist fehlerhaft“ (\(P \approx 37{,}66\,\%\)) ist wahrscheinlicher als „Mehr als zwei Figuren sind fehlerhaft“ (\(P \approx 11{,}09\,\%\)).

- Wie ändert sich die Formel, wenn du eine andere Trefferwahrscheinlichkeit einsetzt? - Was bedeutet „mindestens 3“ für die möglichen Anzahlen an Treffern? - Kannst du die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Trefferzahlen addieren? - Überlege kurz, ob es logisch ist, dass die Wahrscheinlichkeit für eine geringe Trefferzahl sinkt, wenn der Spieler besser wird.

Es liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n = 4\) vor. a) Für \(p = 0{,}7\): 1. \(P(X=2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}7^2 \cdot 0{,}3^2 = 6 \cdot 0{,}49 \cdot 0{,}09 = 0{,}2646\). 2. \(P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4)\). \(P(X=3) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}7^3 \cdot 0{,}3^1 = 4 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}3 = 0{,}4116\). \(P(X=4) = 0{,}7^4 = 0{,}2401\). \(P(X \ge 3) = 0{,}4116 + 0{,}2401 = 0{,}6517\). b) Für \(p = 0{,}75\): 1. \(P(X=2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}75^2 \cdot 0{,}25^2 = 6 \cdot 0{,}5625 \cdot 0{,}0625 = 0{,}2109375\). 2. \(P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4)\). \(P(X=3) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}75^3 \cdot 0{,}25^1 = 4 \cdot 0{,}421875 \cdot 0{,}25 = 0{,}421875\). \(P(X=4) = 0{,}75^4 = 0{,}31640625\). \(P(X \ge 3) = 0{,}421875 + 0{,}31640625 = 0{,}73828125\). Vergleich: Die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer sinkt (von ca. \(26{,}5\,\%\) auf \(21{,}1\,\%\)), während die Wahrscheinlichkeit für mindestens 3 Treffer deutlich steigt (von ca. \(65{,}2\,\%\) auf \(73{,}8\,\%\)).

a) (1) \(0{,}2646\); (2) \(0{,}6517\) b) (1) \(\approx 0{,}2109\); (2) \(\approx 0{,}7383\) Die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Treffer nimmt ab, die für mindestens 3 Treffer nimmt zu.

- Identifiziere die Gesamtzahl der Versuche und die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg (das Keimen). - Wenn nach „mehr als 10“ gefragt ist, welche konkreten Anzahlen an keimenden Samen sind dann gemeint? - Überlege bei Teilaufgabe (3), was es für die Anzahl der *keimenden* Samen bedeutet, wenn höchstens 2 *nicht* keimen. - Kannst du Ergebnisse aus den vorherigen Teilaufgaben kombinieren, um die letzte Frage schneller zu beantworten?

Die Anzahl der keimenden Samen \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 12\) und \(p = 0{,}8\). 1. Genau 10 Samen: \(P(X=10) = \binom{12}{10} \cdot 0{,}8^{10} \cdot 0{,}2^2 = 66 \cdot 0{,}10737... \cdot 0{,}04 \approx 0{,}2835\). 2. Mehr als 10 Samen (also 11 oder 12): \(P(X > 10) = P(X=11) + P(X=12) = 12 \cdot 0{,}8^{11} \cdot 0{,}2^1 + 0{,}8^{12} \approx 0{,}2062 + 0{,}0687 = 0{,}2749\). 3. Höchstens 2 Samen keimen nicht: Dies ist gleichbedeutend mit dem Ereignis, dass mindestens 10 Samen keimen. \(P(X \ge 10) = P(X=10) + P(X=11) + P(X=12) \approx 0{,}2835 + 0{,}2062 + 0{,}0687 = 0{,}5584\).

(1) ca. \(0{,}2835\) (oder \(28{,}35\,\%\)) (2) ca. \(0{,}2749\) (oder \(27{,}49\,\%\)) (3) ca. \(0{,}5584\) (oder \(55{,}84\,\%\))

- Bestimme zuerst, wie viele Möglichkeiten es gibt, mit zwei Würfeln die Summe 11 zu erhalten. - Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für dieses Ergebnis bei einem einzelnen Wurf? - Überlege dir, welche Werte die Zufallsgröße annehmen darf, wenn sie „weniger als 2“ sein soll. - Nutze die Formel für die Bernoulli-Kette für diese spezifischen Werte.

1. Berechnung der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) für einen Wurf: Die Augensumme 11 wird durch die Kombinationen \((5;6)\) und \((6;5)\) erreicht. Bei 36 möglichen Ergebnissen ist \(p = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}\). 2. Identifikation der Parameter der Bernoulli-Kette: Die Anzahl der Wiederholungen ist \(n = 8\). Die Gegenwahrscheinlichkeit ist \(q = 1 - \frac{1}{18} = \frac{17}{18}\). 3. Bestimmung der gesuchten Wahrscheinlichkeit: „Weniger als 2-mal“ bedeutet \(P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)\). 4. Berechnung von \(P(X = 0)\): \(P(X = 0) = \binom{8}{0} \cdot \left(\frac{1}{18}\right)^0 \cdot \left(\frac{17}{18}\right)^8 = \left(\frac{17}{18}\right)^8 \approx 0{,}6333\). 5. Berechnung von \(P(X = 1)\): \(P(X = 1) = \binom{8}{1} \cdot \left(\frac{1}{18}\right)^1 \cdot \left(\frac{17}{18}\right)^7 = 8 \cdot \frac{1}{18} \cdot \left(\frac{17}{18}\right)^7 \approx 0{,}2980\). 6. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(P(X < 2) \approx 0{,}6333 + 0{,}2980 = 0{,}9313\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(93{,}13\,\%\).

- Ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit für „mindestens 3“ direkt zu berechnen oder den Umweg über das Gegenteil zu nehmen? - Was bedeutet es für die Glaubwürdigkeit, wenn ein Ergebnis zwar selten, aber nicht extrem unwahrscheinlich ist? - Vergleiche die berechnete Wahrscheinlichkeit mit einem typischen Grenzwert wie \(5\,\%\).

Das Experiment kann als Bernoulli-Kette mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}01\) modelliert werden. Gesucht ist \(P(X \ge 3)\). 1. Berechnung über das Gegenereignis: \(P(X \ge 3) = 1 - P(X \le 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]\). 2. Einzelwahrscheinlichkeiten berechnen: \(P(X=0) = 0{,}99^{100} \approx 0{,}3660\) \(P(X=1) = 100 \cdot 0{,}01^1 \cdot 0{,}99^{99} \approx 0{,}3697\) \(P(X=2) = \binom{100}{2} \cdot 0{,}01^2 \cdot 0{,}99^{98} = 4950 \cdot 0{,}0001 \cdot 0{,}3735 \approx 0{,}1849\) 3. Summe der Wahrscheinlichkeiten für höchstens 2 Defekte: \(0{,}3660 + 0{,}3697 + 0{,}1849 = 0{,}9206\). 4. Wahrscheinlichkeit für mindestens 3 Defekte: \(1 - 0{,}9206 = 0{,}0794\), also ca. \(7{,}9\,\%\). 5. Beurteilung: Da die Wahrscheinlichkeit mit etwa \(7{,}9\,\%\) nicht extrem gering ist (sie liegt über der üblichen Signifikanzschwelle von \(5\,\%\)), kann man nicht eindeutig davon ausgehen, dass der Hersteller falsche Angaben macht. Das Ergebnis ist zwar überdurchschnittlich, liegt aber noch im Bereich des Zufalls.

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(7{,}9\,\%\). Da dieser Wert über der üblichen kritischen Grenze von \(5\,\%\) liegt, wird die Behauptung des Herstellers durch diesen einzelnen Test nicht sicher widerlegt, auch wenn das Ergebnis skeptisch machen könnte.

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für einen der drei Sektoren bei einem fairen Rad? - Was bedeutet „höchstens 4“ für die möglichen Ergebnisse? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für eine Kette von Ergebnissen bei der Binomialverteilung? - Vergleiche deinen berechneten Prozentwert mit dem vorgegebenen Schwellenwert.

1. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Treffer (Zahl \(3\)) bei \(n = 30\) Versuchen mit der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{3}\). Gesucht ist \(P(X \le 4) = \sum_{k=0}^{4} \binom{30}{k} \cdot (\frac{1}{3})^k \cdot (\frac{2}{3})^{30-k}\). Die Einzelwahrscheinlichkeiten sind: \(P(X=0) \approx 0{,}000005\) \(P(X=1) \approx 0{,}000078\) \(P(X=2) \approx 0{,}000566\) \(P(X=3) \approx 0{,}002641\) \(P(X=4) \approx 0{,}008914\) Die Summe ergibt \(P(X \le 4) \approx 0{,}0122\), also ca. \(1{,}22\,\%\). 2. Da die berechnete Wahrscheinlichkeit von \(1{,}22\,\%\) kleiner ist als die Grenze von \(5\,\%\), ist das Ergebnis signifikant selten. Die Vermutung, dass die \(3\) seltener erscheint (Manipulation), wird somit statistisch gestützt.

1. \(P(X \le 4) \approx 1{,}22\,\%\) 2. Ja, die Vermutung wird gestützt, da \(1{,}22\,\% < 5\,\%\) ist.

- Wenn du Wahrscheinlichkeiten für Intervalle suchst, hilft es oft, diese als Differenz zweier „höchstens“-Wahrscheinlichkeiten darzustellen. - Wie verändert sich die Blickrichtung auf die Treffer, wenn man statt der \(75\,\%\) die restlichen \(25\,\%\) betrachtet? - Achte bei „weniger als“ oder „mehr als“ darauf, ob die genannte Zahl noch zum Ereignis gehört oder nicht. - Wandle die Bedingungen für \(X\) schrittweise in Bedingungen für die komplementäre Größe \(Y\) um.

Sei \(X\) die Anzahl der Smartphone-Bestellungen mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}75\). Zur Nutzung des Tafelwerks wird die Zufallsgröße \(Y = 100 - X\) (Bestellungen nicht per Smartphone) mit \(q = 1 - p = 0{,}25\) betrachtet. 1. \(P(X < 70) = P(X \le 69) = P(Y \ge 100 - 69) = P(Y \ge 31) = 1 - P(Y \le 30)\). Mit dem Tabellenwert \(F(100; 0{,}25; 30) \approx 0{,}8962\) ergibt sich \(1 - 0{,}8962 = 0{,}1038\). 2. \(P(72 \le X \le 80)\) entspricht \(P(100 - 80 \le Y \le 100 - 72) = P(20 \le Y \le 28)\). Dies berechnet man über die Differenz der kumulativen Wahrscheinlichkeiten \(F(100; 0{,}25; 28) - F(100; 0{,}25; 19) \approx 0{,}6929\). 3. \(P(X > 80) = P(X \ge 81) = P(Y \le 100 - 81) = P(Y \le 19)\). Der Tabellenwert \(F(100; 0{,}25; 19)\) liefert ca. \(0{,}0995\).

(1) \(P(X < 70) \approx 0{,}1038\) (2) \(P(72 \le X \le 80) \approx 0{,}6929\) (3) \(P(X > 80) \approx 0{,}0995\)

- Wenn deine Tabelle nur Erfolgswahrscheinlichkeiten bis \(0{,}5\) anzeigt, kannst du die Treffer und Nieten vertauschen. - Beachte bei Aufgaben wie \(a < X < b\), welche ganzen Zahlen tatsächlich im Intervall liegen. - Formuliere die Aufgabenstellung erst in die Form \(P(X \le k)\) um, bevor du in der Tabelle nachschlägst. - Prüfe bei \(P(X > k)\), ob du \(1 - P(X \le k)\) oder \(1 - P(X \le k-1)\) rechnen musst.

1. Bestimmung von \(P(X \le 75)\): Falls die Tabelle nur Werte bis \(p = 0{,}5\) enthält, nutzt man die Symmetrie zur Zufallsgröße \(Y \sim B(100; 0{,}2)\). Es gilt \(P(X \le 75) = P(Y \ge 25) = 1 - P(Y \le 24)\). Mit \(P(Y \le 24) \approx 0{,}8686\) ergibt sich \(1 - 0{,}8686 = 0{,}1314\). 2. Berechnung von \(P(X > 85)\): Über das Gegenereignis gilt \(P(X > 85) = 1 - P(X \le 85)\). Unter Verwendung der Symmetrie ist dies \(P(Y \le 14)\). Mit \(P(Y \le 14) \approx 0{,}0804\) folgt das Ergebnis direkt. 3. Berechnung von \(P(78 < X < 88)\): Dies entspricht \(P(79 \le X \le 87)\). Über die kumulative Verteilung berechnet man \(P(X \le 87) - P(X \le 78)\). Mit den Werten \(P(X \le 87) \approx 0{,}9747\) und \(P(X \le 78) \approx 0{,}3460\) ergibt sich \(0{,}9747 - 0{,}3460 = 0{,}6287\).

a) \(P(X \le 75) \approx 0{,}1314\) b) \(P(X > 85) \approx 0{,}0804\) c) \(P(78 < X < 88) \approx 0{,}6287\)

- Wie lässt sich ein Bereich wie „von \(a\) bis \(b\)“ mithilfe der kumulierten Verteilung \(P(X \le k)\) berechnen? - Denke daran, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis immer \(1\) ergibt. - Was ist das logische Gegenteil einer „Und“-Verknüpfung in einem Intervall?

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 50\) und \(p = 0{,}2\). 1. Das Gegenereignis zu \(E_1\) ist \(\bar{E_1}\): „Weniger als \(12\) Personen stimmen zu“ (bzw. „Höchstens \(11\) Personen“). Es gilt \(P(\bar{E_1}) = P(X \le 11) = F(50; 0{,}2; 11)\). Der Tabellenwert ergibt \(P(\bar{E_1}) \approx 0{,}7107\). 2. Das Ereignis \(E_2\) umfasst die Werte \(6, 7, \dots, 12\). Das Gegenereignis \(\bar{E_2}\) ist: „Höchstens \(5\) oder mindestens \(13\) Personen stimmen zu“. Die Wahrscheinlichkeit von \(\bar{E_2}\) ist \(1 - P(E_2)\). Dabei ist \(P(E_2) = P(6 \le X \le 12) = P(X \le 12) - P(X \le 5) = F(50; 0{,}2; 12) - F(50; 0{,}2; 5)\). Mit den Werten \(0{,}8139\) und \(0{,}0480\) ergibt sich \(P(E_2) = 0{,}8139 - 0{,}0480 = 0{,}7659\). Somit ist \(P(\bar{E_2}) = 1 - 0{,}7659 = 0{,}2341\).

(1) \(\bar{E_1}\): Höchstens \(11\) Personen stimmen zu; \(P(\bar{E_1}) \approx 0{,}7107\) (2) \(\bar{E_2}\): Höchstens \(5\) oder mindestens \(13\) Personen stimmen zu; \(P(\bar{E_2}) \approx 0{,}2341\)

- Was ist die Zufallsgröße in diesem Szenario und welche Werte kann sie annehmen? - Welche Bedingung muss für die gesuchte Anzahl an Plätzen (Kapazitäten) erfüllt sein? - Wie kannst du dich systematisch an den gesuchten Wert herantasten, wenn du den Erwartungswert kennst? - Reicht es aus, den Erwartungswert zu berechnen, oder muss die Streuung berücksichtigt werden?

1. Modellierung: Die Anzahl der Haushalte \(X\), die gleichzeitig online sind, wird als binomialverteilt mit \(n = 150\) und \(p = 0{,}20\) angenommen. 2. Bedingung aufstellen: Gesucht ist das kleinste \(k \in \mathbb{N}\), für das gilt: \(P(X \le k) \ge 0{,}95\). 3. Kennzahlen berechnen: Erwartungswert \(\mu = n \cdot p = 150 \cdot 0{,}2 = 30\); Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{150 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8} = \sqrt{24} \approx 4{,}899\). 4. Bestimmung von \(k\): Durch Tabellenkalkulation oder Probieren mit der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich: \(P(X \le 37) \approx 0{,}9341\) \(P(X \le 38) \approx 0{,}9554\) Somit ist \(k = 38\) der kleinste Wert, der die Bedingung erfüllt.

Es muss für mindestens 38 Haushalte gleichzeitig Kapazität zur Verfügung stehen.

- Bestimme zunächst die Wahrscheinlichkeit \(p\) für die Nutzung eines Geräts durch eine einzelne Person. - Erinnere dich daran, dass „mehr als 10“ das Gegenereignis zu „höchstens 10“ ist. - Für den zweiten Teil musst du systematisch prüfen, ab welchem Wert für die Anzahl der Geräte die gewünschte Sicherheitswahrscheinlichkeit erreicht wird.

1. Bestimmung der Parameter: Die Trefferwahrscheinlichkeit ist \(p = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}\). Die Anzahl der Teilnehmer ist \(n = 40\). Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl der Nutzer) ist \(B(40; \frac{1}{6})\)-verteilt. 2. Lösung zu Teilaufgabe a): Gesucht ist \(P(X > 10) = 1 - P(X \leq 10)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \leq 10) \approx 0{,}9416\). Damit ist \(P(X > 10) = 1 - 0{,}9416 = 0{,}0584\), also etwa \(5{,}84\,\%\). 3. Lösung zu Teilaufgabe b): Gesucht ist das kleinste \(k\), sodass \(P(X > k) \leq 0{,}05\) bzw. \(P(X \leq k) \geq 0{,}95\). - Aus a) ist bekannt: \(P(X \leq 10) \approx 0{,}9416\) (noch zu klein). - Prüfung für \(k = 11\): \(P(X \leq 11) \approx 0{,}9739\). 4. Da \(0{,}9739 \geq 0{,}95\) erfüllt ist, müssen insgesamt \(11\) Geräte vorhanden sein.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(5{,}84\,\%\). b) Es müssen insgesamt \(11\) Rudergeräte zur Verfügung stehen.

- Hier ist die Trefferwahrscheinlichkeit für die Nutzung eines Autos bereits gegeben. - Du suchst die Anzahl der Versuche \(n\), bei der die kumulierte Wahrscheinlichkeit bis zum Wert 20 noch groß genug ist. - Probiere verschiedene Werte für die Anzahl der Mitarbeiter aus oder nutze eine Tabelle deiner Wahl. - Achte darauf, dass die Wahrscheinlichkeit, kein Auto zu bekommen, unter \(5\,\%\) bleiben muss.

1. Identifikation der Parameter: Die Kapazität ist \(k = 20\). Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mitarbeiter ein Auto benötigt, ist \(p = 0{,}1\). 2. Modellierung: Die Anzahl der benötigten Autos \(X\) bei \(n\) Mitarbeitern ist \(B_{n; 0{,}1}\)-verteilt. 3. Bedingung aufstellen: Es muss gelten \(P(X \le 20) \ge 0{,}95\). 4. Systematisches Probieren oder Nutzen von Tabellen/TR: - Für \(n = 143\): \(P(X \le 20) \approx 0{,}9524\) - Für \(n = 144\): \(P(X \le 20) \approx 0{,}9493\) 5. Ergebnis: Der größte Wert für \(n\), der die Bedingung erfüllt, ist \(n = 143\).

Es können höchstens \(143\) Mitarbeiter für das Programm zugelassen werden.

- Überlege dir zuerst, welche Werte von \(X\) nicht im Intervall \([165; 195]\) liegen. - Du kannst entweder die Wahrscheinlichkeiten der beiden äußeren Bereiche addieren oder die Wahrscheinlichkeit des Intervalls vom Ganzen abziehen. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall \(P(a \le X \le b)\) mithilfe der kumulativen Verteilungsfunktion?

1. Gegeben sind \(n = 600\) und \(p = 0{,}3\). Das Intervall ist \([165; 195]\). 2. Das Ereignis „außerhalb des Intervalls“ entspricht \(X < 165\) oder \(X > 195\). 3. Berechnung von \(P(X < 165)\): Dies entspricht \(P(X \le 164) \approx 0{,}0828\). 4. Berechnung von \(P(X > 195)\): Dies entspricht \(1 - P(X \le 195) \approx 1 - 0{,}9156 = 0{,}0844\). 5. Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten für das Gesamtergebnis: \(0{,}0828 + 0{,}0844 = 0{,}1672\). Alternative: \(1 - P(165 \le X \le 195) = 1 - (P(X \le 195) - P(X \le 164)) = 1 - (0{,}9156 - 0{,}0828) = 1 - 0{,}8328 = 0{,}1672\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(16{,}72\,\%\).

- Wie berechnet man den Erwartungswert bei einer Binomialverteilung? - Was bedeutet „Abweichung um höchstens 5“ mathematisch für die Intervallgrenzen? - Denke daran, dass „kleiner als 35“ den Wert 35 selbst nicht mit einschließt. - Nutze für Intervallwahrscheinlichkeiten die Differenz zweier kumulierter Werte.

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}4\). 1. Berechnung für a): Gesucht ist \(P(X < 35) = P(X \le 34)\). Der Wert der kumulierten Verteilungsfunktion an der Stelle \(34\) ist \(P(X \le 34) \approx 0{,}1303\). 2. Berechnung für b): Gesucht ist \(P(X \ge 45) = 1 - P(X \le 44)\). Mit \(P(X \le 44) \approx 0{,}8211\) ergibt sich \(1 - 0{,}8211 = 0{,}1789\). 3. Berechnung für c): Zuerst wird der Erwartungswert berechnet: \(E(X) = n \cdot p = 100 \cdot 0{,}4 = 40\). Die Abweichung um höchstens \(5\) bedeutet das Intervall \([40-5; 40+5] = [35; 45]\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(35 \le X \le 45) = P(X \le 45) - P(X \le 34)\). Mit \(P(X \le 45) \approx 0{,}8689\) und \(P(X \le 34) \approx 0{,}1303\) folgt \(0{,}8689 - 0{,}1303 = 0{,}7386\).

a) \(P(X < 35) \approx 13{,}03\,\%\) b) \(P(X \ge 45) \approx 17{,}89\,\%\) c) \(P(35 \le X \le 45) \approx 73{,}86\,\%\)

- Welchen Rechenaufwand sparst du dir, wenn du eine Tabelle für Summenwahrscheinlichkeiten nutzt? - Übersetze die Grenzen des Intervalls von \(X\) (richtige Antworten) in die entsprechenden Grenzen für \(Y\) (falsche Antworten). Achte dabei darauf, dass die obere Grenze von \(X\) zur unteren Grenze von \(Y\) wird. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich \(a \le Y \le b\), wenn man nur Werte für \(P(Y \le k)\) zur Verfügung hat?

1. Vorteil kumulierter Tabellen: Sie ermöglichen es, Wahrscheinlichkeiten für ganze Bereiche (Intervalle) durch einfache Subtraktion zweier Tabellenwerte zu bestimmen, anstatt zahlreiche Einzelwahrscheinlichkeiten mühsam einzeln zu berechnen und zu addieren. 2. Transformation auf \(Y\): Sei \(Y\) die Anzahl der falsch beantworteten Fragen mit \(Y \sim B(25; 0{,}25)\). Die Bedingung \(15 \le X \le 20\) wird transformiert: Wenn \(X = 15\), ist \(Y = 25 - 15 = 10\). Wenn \(X = 20\), ist \(Y = 25 - 20 = 5\). Somit gilt \(P(15 \le X \le 20) = P(5 \le Y \le 10)\). 3. Intervallberechnung mit kumulierten Werten: \(P(5 \le Y \le 10) = P(Y \le 10) - P(Y \le 4)\). 4. Numerische Werte für \(B(25; 0{,}25)\): \(P(Y \le 10) \approx 0{,}9703\) und \(P(Y \le 4) \approx 0{,}2137\). 5. Berechnung: \(0{,}9703 - 0{,}2137 = 0{,}7566\).

a) Der Vorteil liegt in der Zeitersparnis, da Intervallwahrscheinlichkeiten durch die Differenz zweier Tabellenwerte \(P(X \le b) - P(X \le a-1)\) bestimmt werden können, statt viele Einzelwerte zu summieren. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(15 \le X \le 20) = P(5 \le Y \le 10) \approx 0{,}7566\) (bzw. \(75{,}66\,\%\)).

- Wie berechnet man den Erwartungswert bei einer Binomialverteilung? - Wenn ein Intervall gesucht ist, wie kannst du das als Differenz von zwei „höchstens“-Wahrscheinlichkeiten schreiben? - Was bedeutet eine Abweichung vom Mittelwert mathematisch als Ungleichung oder Intervall? - Denk daran, dass bei der Differenz \(P(X \le b) - P(X \le a)\) der Wert \(a\) so gewählt werden muss, dass die gesuchte untere Grenze noch enthalten bleibt.

Die Anzahl der defekten Chips \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 200\) und \(p = 0{,}05\). 1. Bestimmung der kumulierten Wahrscheinlichkeit bis zum Wert 12: \(P(X \le 12) \approx 0{,}7965\). 2. Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeit: \(P(5 \le X \le 15) = P(X \le 15) - P(X \le 4) \approx 0{,}9556 - 0{,}0264 = 0{,}9292\). 3. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = n \cdot p = 200 \cdot 0{,}05 = 10\). Die Abweichung um höchstens 2 bedeutet \(10 - 2 \le X \le 10 + 2\), also \(P(8 \le X \le 12)\). Berechnung: \(P(8 \le X \le 12) = P(X \le 12) - P(X \le 7) \approx 0{,}7965 - 0{,}2133 = 0{,}5832\).

1. \(P(X \le 12) \approx 79{,}65\,\%\) 2. \(P(5 \le X \le 15) \approx 92{,}92\,\%\) 3. \(P(8 \le X \le 12) \approx 58{,}32\,\%\)