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- Überlege dir zuerst, welche unterschiedlichen Farbkombinationen bei zwei Ziehungen möglich sind, wenn die Reihenfolge egal ist. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis, das auf mehreren Pfaden im Baumdiagramm erreicht werden kann? - Was ist die Grundvoraussetzung dafür, dass man ein Zufallsexperiment als Laplace-Experiment bezeichnet? - Vergleiche die berechneten Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse miteinander.

1. Definition der Ergebnismenge: Da die Reihenfolge keine Rolle spielt und mit Zurücklegen gezogen wird, ergibt sich \(S = \{(b;b), (b;r), (r;r)\}\) (oder textlich: zwei blaue, eine blaue und eine rote, zwei rote Kugeln). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten unter Verwendung der Pfadregeln: \(P(\{(b;b)\}) = \frac{7}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{49}{100} = 0{,}49\) \(P(\{(b;r)\}) = \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{10} + \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{42}{100} = 0{,}42\) \(P(\{(r;r)\}) = \frac{3}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{9}{100} = 0{,}09\) 3. Prüfung der Laplace-Bedingung: Ein Laplace-Experiment setzt voraus, dass alle Elementarereignisse der Ergebnismenge die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. 4. Da \(0{,}49 \neq 0{,}42 \neq 0{,}09\) gilt, sind die Ergebnisse nicht gleichwahrscheinlich, weshalb kein Laplace-Experiment vorliegt.

a) \(S = \{(b;b), (b;r), (r;r)\}\) b) \(P(\{(b;b)\}) = 0{,}49\); \(P(\{(b;r)\}) = 0{,}42\); \(P(\{(r;r)\}) = 0{,}09\) c) Da die Elementarereignisse unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten aufweisen (\(0{,}49 \neq 0{,}42 \neq 0{,}09\)), ist die Laplace-Bedingung der Gleichwahrscheinlichkeit nicht erfüllt.

- Wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, bevor ein Experiment stattfindet, oder erst danach? - Spielen physikalische Symmetrien eine Rolle? - Handelt es sich um ein einmaliges Ereignis oder um einen wiederholbaren Vorgang? - Worauf stützt sich die Person bei ihrer Angabe: auf Abzählen, auf Messen oder auf eine Meinung?

1. Aussage A wird der klassischen Wahrscheinlichkeit (Laplace) zugeordnet. Die Begründung liegt in der Annahme von Symmetrie und gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen (gleich große Felder), wodurch die Wahrscheinlichkeit als Quotient aus günstigen und möglichen Ergebnissen berechnet wird: \(P = \frac{1}{20} = 0{,}05\). 2. Aussage B entspricht der statistischen Wahrscheinlichkeit (empirischer Begriff). Hier wird die relative Häufigkeit \(\frac{142}{500} = 0{,}284\) aus einer langen Versuchsreihe als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit verwendet (Gesetz der großen Zahlen). Da der Legostein keine physikalische Symmetrie wie ein idealer Würfel aufweist, ist ein theoretischer Ansatz vorab nicht möglich. 3. Aussage C ist eine subjektive Wahrscheinlichkeit. Sie basiert nicht auf Symmetrieüberlegungen oder exakten Versuchsreihen, sondern auf einer persönlichen Einschätzung, Intuition oder Erfahrungswerten in einer Situation, die nicht exakt reproduzierbar ist.

A: Klassische Wahrscheinlichkeit (Laplace), da alle Felder gleich wahrscheinlich sind. B: Statistische Wahrscheinlichkeit (Empirisch), da die Wahrscheinlichkeit aus der relativen Häufigkeit einer Versuchsreihe abgeleitet wird. C: Subjektive Wahrscheinlichkeit, da es sich um eine persönliche Einschätzung eines Experten oder einer Einzelperson handelt.

- Überlege, ob das Experiment beliebig oft unter gleichen Bedingungen wiederholt werden kann. - Spielt die Symmetrie des Objekts eine Rolle für die Berechnung? - Hängt die Angabe von einer persönlichen Einschätzung oder von harten Daten aus der Vergangenheit ab? - Gibt es eine theoretische Überlegung, die alle Ergebnisse als gleichberechtigt ansieht?

1. Empirische/frequentistische Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit basiert auf der beobachteten relativen Häufigkeit eines Ereignisses in einer großen Anzahl von Versuchen (hier \(20\,000\) Probanden). 2. Subjektive Wahrscheinlichkeit: Die Einschätzung beruht auf persönlichem Wissen, Erfahrungen oder Überzeugungen bezüglich eines einmaligen Ereignisses, das nicht unter identischen Bedingungen beliebig oft wiederholbar ist. 3. Laplace-Wahrscheinlichkeit: Es liegt ein Zufallsexperiment mit einer endlichen Anzahl von Ergebnissen vor, bei dem aus Symmetriegründen (fairer Würfel) angenommen wird, dass alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind (\(P = \frac{1}{6}\)).

1. Empirische/frequentistische Wahrscheinlichkeit (Basis: relative Häufigkeit aus Testreihe). 2. Subjektive Wahrscheinlichkeit (Basis: persönliche Einschätzung eines Einzelfalls). 3. Laplace-Wahrscheinlichkeit (Basis: theoretische Symmetrieüberlegung bei einem fairen Zufallsgerät).

- Stelle dir vor, die Gesamtwahrscheinlichkeit von 1 wird in eine bestimmte Anzahl gleicher Teile zerlegt. - Wie viele dieser Teile entfallen auf jedes Ergebnis, wenn du das gegebene Verhältnis betrachtest? - Überlege dir, welche Ergebnisse gleichzeitig in beiden Ereignissen vorkommen. - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung, wenn alle möglichen Ergebnisse abgedeckt sind?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Anteile aus dem Verhältnis \(2 : 1 : 4 : 2 : 3\): \(2 + 1 + 4 + 2 + 3 = 12\). 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten durch Division der Anteile durch die Gesamtzahl: \(P(S_1) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\) \(P(S_2) = \frac{1}{12}\) \(P(S_3) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\) \(P(S_4) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\) \(P(S_5) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\) 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse durch Summation der Elementarereignisse: \(P(A) = P(S_1) + P(S_2) + P(S_3) = \frac{2+1+4}{12} = \frac{7}{12}\) \(P(B) = P(S_3) + P(S_4) + P(S_5) = \frac{4+2+3}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}\) 4. Schnittmenge \(A \cap B = \{S_3\}\): \(P(A \cap B) = P(S_3) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\). 5. Vereinigungsmenge \(A \cup B = \{S_1; S_2; S_3; S_4; S_5\}\): \(P(A \cup B) = \frac{2+1+4+2+3}{12} = 1\).

a) \(P(S_1) = \frac{1}{6}\), \(P(S_2) = \frac{1}{12}\), \(P(S_3) = \frac{1}{3}\), \(P(S_4) = \frac{1}{6}\), \(P(S_5) = \frac{1}{4}\) b) \(P(A) = \frac{7}{12}\), \(P(B) = \frac{3}{4}\), \(P(A \cap B) = \frac{1}{3}\), \(P(A \cup B) = 1\)

- Was weißt du über die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einem Ergebnisraum? - Kannst du die Beziehung zwischen den beiden unbekannten Ergebnissen mathematisch ausdrücken? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse bekannt sind?

1. Aufstellen der Summenbedingung für die Wahrscheinlichkeiten: \(P(x_1) + P(x_2) + P(x_3) + P(x_4) = 1\). 2. Einsetzen der bekannten Werte und der Relation \(P(x_3) = 3 \cdot P(x_4)\): \(0{,}12 + 0{,}28 + 3 \cdot P(x_4) + P(x_4) = 1\). 3. Zusammenfassen und Lösen nach \(P(x_4)\): \(0{,}40 + 4 \cdot P(x_4) = 1 \Rightarrow 4 \cdot P(x_4) = 0{,}60 \Rightarrow P(x_4) = 0{,}15\). 4. Berechnung von \(P(x_3)\): \(P(x_3) = 3 \cdot 0{,}15 = 0{,}45\). 5. Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(E\): \(P(E) = P(x_1) + P(x_3) = 0{,}12 + 0{,}45 = 0{,}57\).

Die Wahrscheinlichkeiten sind \(P(x_3) = 0{,}45\) und \(P(x_4) = 0{,}15\). Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(E\) beträgt \(P(E) = 0{,}57\).

- Überlege, ob die Wahrscheinlichkeit durch logisches Abzählen gleich möglicher Fälle bestimmt wurde. - Prüfe, ob der Wert auf Beobachtungen oder Messreihen aus der Vergangenheit beruht. - Frage dich, ob es sich um eine grundlegende mathematische Regel oder Definition handelt, die für alle Wahrscheinlichkeiten gelten muss.

1. Zu a): Laplace-Begriff. Begründung: Es wird von einem „fairen“ Würfel ausgegangen, bei dem alle acht Seiten (Elementarereignisse) aufgrund der Symmetrie als gleich wahrscheinlich angenommen werden. Die Primzahlen im Bereich 1 bis 8 sind 2, 3, 5 und 7, woraus sich \(P = \frac{4}{8} = 0{,}5\) ergibt. 2. Zu b): Empirischer Wahrscheinlichkeitsbegriff. Begründung: Der Wert basiert auf der Auswertung statistischer Daten (relative Häufigkeit) über einen längeren Zeitraum. 3. Zu c): Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff. Begründung: Es handelt sich um eine formale Festlegung (Nichtnegativitäts- und Normierungsaxiom nach Kolmogorow), die die mathematische Struktur von Wahrscheinlichkeitsmaßen definiert. 4. Zu d): Empirischer Wahrscheinlichkeitsbegriff. Begründung: Die Wahrscheinlichkeit wird aus der relativen Häufigkeit ähnlicher Wetterlagen in der Vergangenheit abgeleitet.

a) Laplace-Begriff (Symmetrie/Gleichwahrscheinlichkeit der Seiten). b) Empirischer Begriff (statistische Daten/relative Häufigkeit). c) Axiomatischer Begriff (formale Definition/Axiome). d) Empirischer Begriff (Beobachtungsdaten aus der Vergangenheit).

- Überlege, ob die Wahrscheinlichkeit durch Abzählen gleich möglicher Fälle bestimmt wurde. - Prüfe, ob der Wert auf Daten aus der Vergangenheit oder Beobachtungen beruht. - Frage dich, ob die Zahl eine persönliche Meinung oder eine fachliche Einschätzung für ein spezielles Ereignis darstellt. - Gibt es eine physikalische Symmetrie, die alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich macht?

1. Teilaufgabe a): Empirischer Wahrscheinlichkeitsbegriff. Die Angabe basiert auf der statistischen Auswertung einer sehr großen Anzahl von Beobachtungen (Geburtenregistern) und nicht auf einer theoretischen Symmetrieüberlegung. 2. Teilaufgabe b): Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff (Laplace). Da die Felder gleich groß sind, wird von der Symmetrie des Zufallsgeräts ausgegangen. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich theoretisch aus dem Quotienten der günstigen Ergebnisse (Primzahlen \(2, 3, 5, 7\)) und der Gesamtzahl der Ergebnisse (\(10\)), also \(\frac{4}{10} = 0{,}4\). 3. Teilaufgabe c): Subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff. Es handelt sich um eine persönliche Einschätzung oder Erwartung eines Experten für ein einmaliges Ereignis, die nicht durch Symmetrie oder eine lange Versuchsreihe exakt belegt werden kann. 4. Teilaufgabe d): Empirischer Wahrscheinlichkeitsbegriff. Der Wert resultiert aus der Auswertung vergangener Daten (relative Häufigkeit von Unfällen in der Statistik) und dient als Schätzwert für die Zukunft.

a) Empirisch (statistische Daten); b) Klassisch/Laplace (Symmetrie des Glücksrads); c) Subjektiv (persönliche Einschätzung); d) Empirisch (Unfallstatistik).

- Überlege dir, welche Werte die Anzahl der Elemente einer Teilmenge \(|A|\) im Vergleich zur Gesamtmenge \(n\) annehmen kann. - Was passiert mit der Anzahl der günstigen Ergebnisse, wenn du das sichere Ereignis \(\Omega\) betrachtest? - Wenn zwei Mengen keine gemeinsamen Elemente haben, wie berechnet man dann die Anzahl der Elemente in ihrer Vereinigung?

1. Nichtnegativität: Da die Mächtigkeit einer Menge \(|A|\) stets eine natürliche Zahl oder Null ist (\(|A| \in \{0, 1, \dots, n\}\)) und die Gesamtzahl der Ergebnisse \(n > 0\) ist, folgt für den Quotienten unmittelbar \(P(A) = \frac{|A|}{n} \ge 0\). 2. Normierung: Setzt man für das Ereignis den gesamten Ergebnisraum ein (\(A = \Omega\)), so gilt \(|A| = n\). Daraus ergibt sich \(P(\Omega) = \frac{n}{n} = 1\). 3. Additivität: Sind \(A\) und \(B\) unvereinbar (\(A \cap B = \emptyset\)), so enthält die Vereinigungsmenge genau die Summe der Elemente der Einzelmengen, also \(|A \cup B| = |A| + |B|\). Einsetzen in die Laplace-Formel liefert \(P(A \cup B) = \frac{|A| + |B|}{n} = \frac{|A|}{n} + \frac{|B|}{n} = P(A) + P(B)\).

Die Laplace-Wahrscheinlichkeit erfüllt die Axiome, da: 1. \(|A| \ge 0 \implies \frac{|A|}{n} \ge 0\). 2. \(|\Omega| = n \implies \frac{n}{n} = 1\). 3. \(|A \cup B| = |A| + |B|\) für disjunkte Mengen direkt zur Summe der Brüche führt.

- Wann darf man davon ausgehen, dass alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben? - Erinnere dich an die Definition von Primzahlen, um die Menge \(A\) zu bestimmen. - Wenn eine Wahrscheinlichkeit ein Vielfaches einer anderen ist, kannst du eine Variable (z. B. \(x\)) verwenden, um die Beziehungen auszudrücken. - Welches Axiom hilft dir dabei, den Wert der Variablen \(x\) eindeutig zu berechnen?

a) Es wird die Laplace-Definition verwendet, da bei einem fairen Würfel alle Ergebnisse als gleich wahrscheinlich angenommen werden (Symmetrieprinzip). Die Primzahlen im Wurf sind \(\{2, 3, 5\}\). Es gilt \(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{3}{6} = 0{,}5\). b) Sei \(x\) die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis \(k \in \{1, 2, 3, 4, 5\}\). Dann gilt \(P(\{1\}) = P(\{2\}) = P(\{3\}) = P(\{4\}) = P(\{5\}) = x\) und \(P(\{6\}) = 3x\). Nach dem Normiertheitsaxiom muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse \(1\) ergeben: \(x + x + x + x + x + 3x = 1\). Dies führt zu \(8x = 1\), also \(x = 0{,}125\). Daraus ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten: \(P(\{1\}) = P(\{2\}) = P(\{3\}) = P(\{4\}) = P(\{5\}) = 0{,}125\) und \(P(\{6\}) = 3 \cdot 0{,}125 = 0{,}375\). Das Axiom der Nichtnegativität ist erfüllt, da alle Werte größer als null sind.

a) Laplace-Definition; \(P(A) = 0{,}5\). b) Die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse lauten: \(P(\{1\}) = P(\{2\}) = P(\{3\}) = P(\{4\}) = P(\{5\}) = 0{,}125\) und \(P(\{6\}) = 0{,}375\).

- Was bedeutet es für die Summe der Wahrscheinlichkeiten, wenn Ereignisse eine Zerlegung des gesamten Ergebnisraums bilden? - Wie kannst du die Information über den Zusammenhang zwischen zwei Wahrscheinlichkeiten mathematisch ausdrücken? - Überlege dir, wie groß die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten zweier Ereignisse ist, die sich gegenseitig ausschließen. - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der nur noch eine unbekannte Wahrscheinlichkeit vorkommt?

1. Berechnung von \(P(B)\) über den gegebenen Faktor: \(P(B) = 2 \cdot 0{,}15 = 0{,}3\). 2. Aufstellen der Summenbedingung für eine Zerlegung: \(P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = 1\). 3. Einsetzen der bekannten Werte und der Beziehung \(P(C) = P(D) + 0{,}1\): \(0{,}15 + 0{,}3 + (P(D) + 0{,}1) + P(D) = 1\). 4. Zusammenfassen und Lösen der linearen Gleichung: \(0{,}55 + 2 \cdot P(D) = 1 \Rightarrow 2 \cdot P(D) = 0{,}45 \Rightarrow P(D) = 0{,}225\). 5. Berechnung von \(P(C)\): \(P(C) = 0{,}225 + 0{,}1 = 0{,}325\). 6. Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Vereinigung disjunkter Ereignisse: \(P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) = 0{,}15 + 0{,}3 + 0{,}325 = 0{,}775\). 7. Bestimmung des Schnitts: Da die Ereignisse eine Zerlegung bilden, sind sie paarweise disjunkt, woraus \(P(B \cap D) = 0\) folgt.

a) \(P(B) = 0{,}3\); \(P(C) = 0{,}325\); \(P(D) = 0{,}225\) b) \(P(A \cup B \cup C) = 0{,}775\); \(P(B \cap D) = 0\)

- Was weißt du über die Schnittmenge und die Vereinigungsmenge von \(A\) und seinem Gegenereignis \(\bar{A}\)? - Welches Axiom verknüpft die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung mit den Einzelwahrscheinlichkeiten, wenn die Mengen keine gemeinsamen Elemente haben? - Welchen festen Wert hat die Wahrscheinlichkeit des gesamten Ergebnisraums \(\Omega\) gemäß den Axiomen?

1. Feststellen der mengentheoretischen Beziehungen: Das Ereignis \(A\) und sein Gegenereignis \(\bar{A}\) sind unvereinbar (\(A \cap \bar{A} = \emptyset\)) und ihre Vereinigung ergibt den gesamten Ergebnisraum (\(A \cup \bar{A} = \Omega\)). 2. Anwendung von Axiom 3 (Additivität): Da \(A\) und \(\bar{A}\) unvereinbar sind, gilt \(P(A \cup \bar{A}) = P(A) + P(\bar{A})\). 3. Anwendung von Axiom 2 (Normiertheit): Für den Ergebnisraum \(\Omega\), also das sichere Ereignis, gilt \(P(\Omega) = 1\). 4. Verknüpfung der Ergebnisse: Da \(A \cup \bar{A} = \Omega\), folgt \(P(A \cup \bar{A}) = P(\Omega) = 1\). 5. Abschluss der Herleitung: Durch Gleichsetzen erhält man \(P(A) + P(\bar{A}) = 1\), was umgeformt \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\) ergibt.

Die Herleitung erfolgt durch die Kombination von Axiom 3 (Additivität für die unvereinbaren Mengen \(A\) und \(\bar{A}\)) und Axiom 2 (Normiertheit von \(\Omega\)): Da \(A \cup \bar{A} = \Omega\) und \(A \cap \bar{A} = \emptyset\), gilt \(P(A) + P(\bar{A}) = P(\Omega) = 1\), woraus \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\) folgt.

- Überlege, ob man das Ergebnis der Behandlung allein durch logisches Abzählen von Möglichkeiten bestimmen kann. - Was bedeutet „Gleichwahrscheinlichkeit“ und ist sie hier gegeben? - Erinnere dich daran, was passiert, wenn man ein Experiment immer und immer wieder wiederholt.

1. Dieser Angabe liegt der empirische (frequentistische) Wahrscheinlichkeitsbegriff zugrunde. Die Wahrscheinlichkeit wird hierbei als Grenzwert der relativen Häufigkeiten aus einer großen Anzahl von Beobachtungen (klinischen Studien) geschätzt, da keine theoretischen Symmetrieeigenschaften vorliegen. 2. Das Laplace-Modell setzt voraus, dass alle Elementarereignisse (hier: „Heilung“ und „keine Heilung“) gleichwahrscheinlich sind. Da es bei einer medizinischen Behandlung keinen Grund für eine solche Symmetrie gibt und die Heilungschance von biologischen Faktoren abhängt, ist der Ansatz \(p = 0{,}5\) nicht gerechtfertigt. 3. Nach dem Gesetz der großen Zahlen stabilisiert sich die relative Häufigkeit \(h_n\) eines Ereignisses mit wachsendem Stichprobenumfang \(n\) um einen festen Wert. In diesem Fall nähert sich der Anteil der geheilten Patienten bei sehr vielen Probanden der theoretischen Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}75\) an.

1. Empirischer/statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff, da der Wert auf Beobachtungsdaten basiert. 2. Laplace ist ungeeignet, da „Heilung“ und „keine Heilung“ nicht a priori als gleichwahrscheinlich angenommen werden können. 3. Die relative Häufigkeit der Heilungen nähert sich bei steigender Probandenzahl \(n\) der Wahrscheinlichkeit \(0{,}75\) an (Gesetz der großen Zahlen).

- Notiere dir zuerst alle Primzahlen bis 20. Denke daran, dass die 1 keine Primzahl ist. - Welche Zahlen erfüllen die Bedingung „größer als 15“? - Gibt es Zahlen, die in beiden Gruppen vorkommen? Zähle diese nicht doppelt. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit bei einem Würfel, bei dem jede Seite gleich wahrscheinlich ist?

1. Bestimmung der Ergebnismenge: \(\Omega = \{1; 2; 3; \dots; 20\}\) mit \(|\Omega| = 20\). 2. Identifikation der Primzahlen im Bereich 1 bis 20: \(M_1 = \{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19\}\), also \(|M_1| = 8\). 3. Identifikation der Zahlen größer als 15: \(M_2 = \{16; 17; 18; 19; 20\}\), also \(|M_2| = 5\). 4. Bestimmung der Schnittmenge (Primzahlen, die größer als 15 sind): \(M_1 \cap M_2 = \{17; 19\}\), also \(|M_1 \cap M_2| = 2\). 5. Berechnung der Anzahl der günstigen Ergebnisse: \(|A| = 8 + 5 - 2 = 11\). 6. Berechnung der Wahrscheinlichkeit nach Laplace: \(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{11}{20} = 0{,}55\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(A) = \frac{11}{20} = 0{,}55 = 55\,\%\).

- Worauf musst du achten, wenn du jemanden aus einer Gruppe auswählst, damit das Ergebnis fair ist? - Was passiert mit dem Anteil eines Ergebnisses, wenn man eine Umfrage immer und immer wieder mit mehr Leuten durchführt? - Ist ein gemessener Wert aus der Vergangenheit dasselbe wie eine Vorhersage für die Zukunft?

1. Der Zufallsversuch besteht im „blinden“ bzw. zufälligen Auswählen eines einzelnen Haushalts aus der gesamten Grundgesamtheit der untersuchten Metropolregion, wobei jeder Haushalt die exakt gleiche Einschlusswahrscheinlichkeit besitzen muss (einfache Zufallsstichprobe). 2. Die relative Häufigkeit \(h_n(E) = 0{,}18\) ist ein Ergebnis einer konkreten Beobachtung an \(n\) Haushalten. Gemäß dem Gesetz der großen Zahlen stabilisieren sich diese relativen Häufigkeiten bei sehr großen Stichprobenumfängen um einen festen Wert. Dieser Grenzwert bzw. Idealwert wird als theoretische Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) im mathematischen Modell festgesetzt. Während die relative Häufigkeit a posteriori (nach der Beobachtung) feststeht, ist die Wahrscheinlichkeit eine a priori (vorab) getroffene Modellannahme für zukünftige Versuche.

a) Es muss eine echte Zufallsauswahl (Stichprobe) aus der Grundgesamtheit getroffen werden, bei der jeder Haushalt die gleiche Chance hat, ausgewählt zu werden. b) Die relative Häufigkeit ist ein beobachteter Wert einer Stichprobe, während die Wahrscheinlichkeit der theoretische Grenzwert ist, dem sich die relative Häufigkeit bei unendlich vielen Versuchen annähert (Gesetz der großen Zahlen).

- Überlege dir, wie man den Anteil eines Ganzen berechnet, wenn die Wahrscheinlichkeit als Dezimalzahl gegeben ist. - Welche mathematische Operation verknüpft die Gesamtzahl der Versuche mit der Wahrscheinlichkeit eines Einzelereignisses? - Die gesuchte Anzahl entspricht dem theoretischen Mittelwert bei häufiger Durchführung.

Die erwartete Anzahl der Sensoren mit Ungenauigkeiten (Erwartungswert) in einer Bernoulli-Kette berechnet sich durch die Formel \(E = n \cdot p\). 1. Für \(n = 1\,200\) und \(p = 0{,}025\) ergibt sich \(1\,200 \cdot 0{,}025 = 30\). Es sind \(30\) Sensoren zu erwarten. 2. Für \(n = 15\,000\) und \(p = 0{,}008\) ergibt sich \(15\,000 \cdot 0{,}008 = 120\). Es sind \(120\) Sensoren zu erwarten. 3. Für \(n = 450\) und \(p = 0{,}12\) ergibt sich \(450 \cdot 0{,}12 = 54\). Es sind \(54\) Sensoren zu erwarten.

1. \(30\) Sensoren 2. \(120\) Sensoren 3. \(54\) Sensoren

- Überlege dir zuerst, wie viele Karten insgesamt in dem verkleinerten Spiel sind und wie viele davon die gewünschte Eigenschaft haben. - Wie berechnet man den Anteil eines Ergebnisses an der Gesamtzahl der Versuche? - Was passiert mit der relativen Häufigkeit, wenn man ein Experiment sehr oft wiederholt? - Ist eine kleine Abweichung bei Zufallsexperimenten normal oder deutet sie sofort auf ein unfaires Spiel hin?

1. Bestimmung der Laplace-Wahrscheinlichkeit: Der Ergebnisraum umfasst \(|\Omega| = 16\) Karten. Da es zwei Asse (Herz Ass, Karo Ass) gibt, gilt \(P(A) = \frac{2}{16} = 0{,}125\). 2. Berechnung der relativen Häufigkeit: Mit \(n = 400\) und \(k = 48\) ergibt sich \(h_n(A) = \frac{48}{400} = 0{,}12\). Der Vergleich zeigt eine geringe Abweichung von \(0{,}005\) zum theoretischen Wert. 3. Beurteilung: Nach dem Gesetz der großen Zahlen stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten bei wachsender Versuchsanzahl um die theoretische Wahrscheinlichkeit. Da die beobachtete Häufigkeit (\(12\,\%\)) sehr nah am Erwartungswert (\(12{,}5\,\%\)) liegt, spricht das Ergebnis nicht gegen die Annahme eines Laplace-Experiments; die Abweichung liegt im Bereich üblicher Zufallsschwankungen.

a) \(P(A) = 0{,}125\) b) \(h_{400}(A) = 0{,}12\). Die relative Häufigkeit ist geringfügig kleiner als die Laplace-Wahrscheinlichkeit. c) Das Ergebnis spricht nicht gegen das Laplace-Modell, da die Abweichung aufgrund des Gesetzes der großen Zahlen bei 400 Versuchen im erwartbaren Rahmen liegt.

- Erinnere dich daran, welche Zahlen als Primzahlen definiert sind. Ist die \(1\) eine Primzahl? - Überlege dir, wie viele Ergebnisse nicht zum Ereignis gehören, wenn du die Gesamtzahl und die günstigen Ergebnisse kennst. - Wie viele Teile hat das Ganze, wenn zwei Sorten in einem bestimmten Verhältnis gemischt sind?

1. Die Primzahlen zwischen \(1\) und \(8\) sind \(2, 3, 5, 7\). Es gibt also \(4\) günstige Ergebnisse. Da es insgesamt \(8\) Seiten gibt, verbleiben \(8 - 4 = 4\) ungünstige Ergebnisse. Die Chancen stehen \(4\) zu \(4\), was gekürzt \(1\) zu \(1\) entspricht. 2. Bei einer Wahrscheinlichkeit von \(P(B) = \frac{k}{n}\) gibt es \(k\) günstige Fälle bei insgesamt \(n\) Fällen. Die Anzahl der ungünstigen Fälle ist demnach \(n - k\). Die Chancen stehen somit \(k\) zu \((n - k)\). 3. Das Verhältnis \(5 : 3\) bedeutet, dass auf \(5\) rote Kugeln \(3\) blaue Kugeln kommen. Die Gesamtzahl der Kugeln entspricht einem Vielfachen von \(5 + 3 = 8\). Die Wahrscheinlichkeit für eine blaue Kugel ist \(P(\text{blau}) = \frac{3}{8} = 0{,}375\).

a) \(1\) zu \(1\) b) \(k\) zu \((n - k)\) c) \(P(\text{blau}) = \frac{3}{8} = 0{,}375\)

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf oder Zahl bei einer fairen Münze? - Berechne, wie viele Kugeln aus der 10er-Urne man braucht, um denselben Anteil wie in der kleineren Urne zu erhalten. - Was bedeutet „Laplace-Experiment“ für die Wahrscheinlichkeit jeder einzelnen Kugel? - Gibt es nur eine richtige Möglichkeit, die Zahlen den Farben zuzuordnen?

1. Eine faire Münze hat zwei Ergebnisse mit den Wahrscheinlichkeiten \(P(\text{Kopf}) = 0{,}5\) und \(P(\text{Zahl}) = 0{,}5\). Da die Urne \(10\) Kugeln enthält, müssen für jedes Ereignis genau \(10 \cdot 0{,}5 = 5\) Kugeln ausgewählt werden. Eine mögliche Gruppierung ist \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) für Kopf und \(B = \{6, 7, 8, 9, 10\}\) für Zahl. 2. Im Experiment \(E_2\) beträgt die Wahrscheinlichkeit für Rot \(P(\text{rot}) = \frac{3}{5} = \frac{6}{10}\) und für Blau \(P(\text{blau}) = \frac{2}{5} = \frac{4}{10}\). Um dies mit \(E_1\) zu simulieren, ordnet man sechs Zahlen der Farbe Rot und vier Zahlen der Farbe Blau zu. Eine mögliche Zuordnung ist: Kugeln \(1\) bis \(6\) entsprechen „rot“, Kugeln \(7\) bis \(10\) entsprechen „blau“.

a) Man teilt die Zahlen in zwei Fünfergruppen auf, z. B. \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) und \(\{6, 7, 8, 9, 10\}\). b) Man nutzt die Anteile \(\frac{6}{10}\) für Rot und \(\frac{4}{10}\) für Blau. Zuordnung: Zahlen \(1\) bis \(6\) für Rot, Zahlen \(7\) bis \(10\) für Blau.

- Erinnere dich an die Beziehung zwischen einer Menge und ihrer Vereinigung mit einer anderen Menge. - Welche grundlegende Eigenschaft müssen Ereignisse haben, damit man ihre Wahrscheinlichkeiten einfach addieren darf? - Wie lautet die Formel für \(P(A \cup B)\), wenn die Ereignisse nicht disjunkt sind? - Welches Vorzeichen hat die Wahrscheinlichkeit eines Schnittereignisses immer?

1. Nach der Definition der Vereinigung gilt \(A \subseteq (A \cup B)\). Es gilt die disjunkte Zerlegung \(A \cup B = A \mathbin{\dot\cup} (B \setminus A)\). Nach Additivität und Nichtnegativität ist \(P(A \cup B) = P(A) + P(B \setminus A) \ge P(A)\). 2. Die Gleichheit \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) gilt nach dem Axiom der Additivität genau dann, wenn die Ereignisse \(A\) und \(B\) unvereinbar (disjunkt) sind, also \(A \cap B = \emptyset\). 3. Der allgemeine Additionssatz lautet \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). Da Wahrscheinlichkeiten nicht negativ sind (\(P(A \cap B) \ge 0\)), wird von der Summe \(P(A) + P(B)\) entweder Null oder ein positiver Wert subtrahiert, woraus \(P(A \cup B) \le P(A) + P(B)\) folgt.

1. Aus \(A \cup B = A \mathbin{\dot\cup} (B \setminus A)\), der Additivität und \(P(B \setminus A) \ge 0\) folgt \(P(A) \le P(A \cup B)\). 2. Die Bedingung ist \(A \cap B = \emptyset\) (Disjunktheit). 3. Aus \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) und \(P(A \cap B) \ge 0\) folgt die Behauptung.

- Überlege dir zuerst, wie viele Zahlen im Bereich von 1 bis 100 die jeweilige Bedingung erfüllen. - Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zahl durch zwei verschiedene Zahlen gleichzeitig teilbar sein muss? - Erinnere dich an die Formel, die die Wahrscheinlichkeit von „Ereignis A oder Ereignis B“ mit ihren Einzelwahrscheinlichkeiten und ihrer Schnittmenge verknüpft. - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis kennst, wie berechnest du dann die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis gerade nicht eintritt?

1. Berechnung von \(P(A)\): Im Bereich von 1 bis 100 gibt es \(\lfloor 100 : 6 \rfloor = 16\) Vielfache von 6. Somit ist \(P(A) = \frac{16}{100} = 0{,}16\). 2. Berechnung von \(P(B)\): Es gibt \(\lfloor 100 : 8 \rfloor = 12\) Vielfache von 8. Somit ist \(P(B) = \frac{12}{100} = 0{,}12\). 3. Berechnung von \(P(A \cap B)\): Eine Zahl ist durch 6 und 8 teilbar, wenn sie durch das kleinste gemeinsame Vielfache \(\text{kgV}(6, 8) = 24\) teilbar ist. Es gibt \(\lfloor 100 : 24 \rfloor = 4\) solche Zahlen (24, 48, 72, 96). Somit ist \(P(A \cap B) = \frac{4}{100} = 0{,}04\). 4. Anwendung der Summenregel: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}16 + 0{,}12 - 0{,}04 = 0{,}24\). 5. Berechnung des Komplementärereignisses: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl weder durch 6 noch durch 8 teilbar ist, entspricht \(P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0{,}24 = 0{,}76\).

a) \(P(A) = 0{,}16\); \(P(B) = 0{,}12\) b) \(P(A \cap B) = 0{,}04\) c) \(P(A \cup B) = 0{,}24\) d) \(P(\overline{A \cup B}) = 0{,}76\)

- Überlege dir, welche Werte für \(X\) im ursprünglichen Ereignis enthalten sind. Das Gegenereignis umfasst dann genau alle anderen möglichen Werte im Bereich von \(0\) bis \(25\). - Beachte den Unterschied zwischen „weniger als“ und „höchstens“ sowie zwischen „mehr als“ und „mindestens“. - Was bleibt übrig, wenn ein bestimmtes Intervall aus der Menge aller möglichen Ergebnisse entfernt wird?

1. Für \(E_1\) (\(X \le 22\)) ist das Gegenereignis \(\bar{E}_1\): Es werden mehr als \(22\) rote Kugeln gezogen. Formal: \(X > 22\) bzw. \(X \ge 23\). 2. Für \(E_2\) (\(6 \le X \le 14\)) ist das Gegenereignis \(\bar{E}_2\): Es werden weniger als \(6\) oder mehr als \(14\) rote Kugeln gezogen. Formal: \(X < 6 \lor X > 14\) bzw. \(X \le 5 \lor X \ge 15\). 3. Für \(E_3\) (\(X \ge 1\)) ist das Gegenereignis \(\bar{E}_3\): Es wird keine rote Kugel gezogen. Formal: \(X = 0\).

a) \(\bar{E}_1\): Es werden mehr als \(22\) rote Kugeln gezogen (\(X > 22\) bzw. \(X \in \{23, 24, 25\}\)). b) \(\bar{E}_2\): Es werden weniger als \(6\) oder mehr als \(14\) rote Kugeln gezogen (\(X < 6 \lor X > 14\)). c) \(\bar{E}_3\): Es wird keine rote Kugel gezogen (\(X = 0\)).

- Welche Zahlen zwischen 1 und 12 sind Primzahlen? Denke daran, dass die 1 per Definition keine Primzahl ist. - Wie berechnet man den Anteil eines Ereignisses an der Gesamtzahl der Versuche? - Was besagt das Gesetz der großen Zahlen über die Genauigkeit von Vorhersagen?

1. Identifikation der Primzahlen im Raum \(S = \{1, 2, \dots, 12\}\): Primzahlen sind \(\{2, 3, 5, 7, 11\}\). Es gibt somit \(5\) günstige Ergebnisse. 2. Berechnung der Laplace-Wahrscheinlichkeit: \(P(E) = \frac{5}{12} \approx 0{,}4167\). 3. Berechnung der relativen Häufigkeit aus den empirischen Daten: \(h(E) = \frac{234}{600} = 0{,}39\). 4. Vergleich: Die relative Häufigkeit (\(0{,}39\)) weicht um etwa \(0{,}0267\) von der theoretischen Wahrscheinlichkeit (\(\approx 0{,}4167\)) ab. 5. Theoretischer Zusammenhang: Nach dem Gesetz der großen Zahlen stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten bei zunehmender Anzahl an Versuchen um den Wert der theoretischen Wahrscheinlichkeit.

a) \(P(E) = \frac{5}{12} \approx 0{,}4167\); b) \(h(E) = 0{,}39\); c) Gemäß dem Gesetz der großen Zahlen nähert sich die relative Häufigkeit mit steigender Versuchsanzahl der theoretischen Wahrscheinlichkeit an.

- Überlege dir für den ersten Teil, wie viele verschiedene Gruppen man insgesamt bilden kann und wie viele davon Lukas enthalten. - Was weißt du über die Auswahlwahrscheinlichkeit an verschiedenen Positionen bei einer fairen Ziehung? - Macht es für die Auswahlwahrscheinlichkeit einen Unterschied, ob man als Erster oder als Letzter eine Kugel zieht?

1. Berechnung über die Kombinatorik: Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(4\) Personen aus \(25\) auszuwählen, beträgt \(\binom{25}{4} = 12\,650\). Die Anzahl der günstigen Fälle, in denen Lukas dabei ist, entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, die restlichen \(3\) Plätze aus den verbleibenden \(24\) Personen zu besetzen: \(\binom{24}{3} = 2\,024\). Die Wahrscheinlichkeit ist somit \(P = \frac{2\,024}{12\,650} = \frac{4}{25} = 0{,}16\). 2. Symmetriebegründung: Da das Auswahlverfahren fair ist, hat jede der \(25\) Personen die gleiche Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{25}\), an einer bestimmten Stelle der Ziehung (z. B. als Erstes, Zweites etc.) ausgewählt zu werden. Da insgesamt \(4\) Personen ausgewählt werden und eine Person nicht an zwei Stellen gleichzeitig stehen kann (disjunkte Positionen), addieren sich die Einzelwahrscheinlichkeiten für die vier verfügbaren Plätze zu \(4 \cdot \frac{1}{25} = \frac{4}{25}\).

a) \(P = \frac{4}{25} = 0{,}16\) b) Jede Person hat für jeden der \(4\) Plätze die gleiche Ziehungswahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{25}\). Da die Plätze disjunkt sind, ist die Gesamtwahrscheinlichkeit die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(4 \cdot \frac{1}{25} = \frac{4}{25}\).

- Überlege dir zuerst, wie viele Karten insgesamt im Spiel sind. - Wie viele Karten gehören jeweils zu einer Farbe oder zu einem bestimmten Wert? - Was ist die Grundvoraussetzung, damit man ein Zufallsexperiment als Laplace-Experiment bezeichnen darf? - Unterscheide zwischen der Anzahl der möglichen Ergebnisse in deiner Menge und der Anzahl der günstigen Karten für dieses Ergebnis im echten Kartendeck.

1. Identifikation der Ergebnismenge \(S_1 = \{\text{Kreuz}, \text{Pik}, \text{Herz}, \text{Karo}\}\). Da jede der 4 Farben 8-mal vorkommt, ergibt sich für jedes Ergebnis \(P = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 2. Identifikation der Ergebnismenge \(S_2 = \{7, 8, 9, 10, \text{Bube}, \text{Dame}, \text{König}, \text{Ass}\}\). Da jeder der 8 Werte 4-mal vorkommt (einmal pro Farbe), ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis \(P = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} = 0{,}125\). 3. Begründung für Laplace: In \(S_1\) haben alle 4 Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit (\(0{,}25\)). In \(S_2\) haben alle 8 Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit (\(0{,}125\)). Da innerhalb des jeweiligen Modells alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind, liegt ein Laplace-Versuch vor. 4. Berechnung für \(S_3\): Es gibt \(3 \cdot 4 = 12\) Bildkarten und \(32 - 12 = 20\) Karten, die keine Bilder sind. Daraus folgen \(P(\text{Bild}) = \frac{12}{32} = 0{,}375\) und \(P(\text{kein Bild}) = \frac{20}{32} = 0{,}625\). Da \(0{,}375 \neq 0{,}625\), sind die Ergebnisse nicht gleichwahrscheinlich; es ist kein Laplace-Versuch.

a) \(S_1 = \{\text{Kreuz}, \text{Pik}, \text{Herz}, \text{Karo}\}\); alle \(P = 0{,}25\). b) \(S_2 = \{7, 8, 9, 10, \text{Bube}, \text{Dame}, \text{König}, \text{Ass}\}\); alle \(P = 0{,}125\). c) Laplace-Versuche, da innerhalb von \(S_1\) bzw. \(S_2\) alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. d) Kein Laplace-Versuch, da \(P(\text{Bild}) = 0{,}375\) und \(P(\text{kein Bild}) = 0{,}625\) verschieden sind.

- Bestimme zuerst die Gesamtzahl aller Teile im Behälter. - Überlege dir für jedes Ereignis, wie viele Teile die genannte Eigenschaft erfüllen. - Was bedeutet das Wort „oder“ für die Anzahl der günstigen Ergebnisse? - Kannst du ein Ereignis einfacher über sein Gegenereignis berechnen?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Ergebnisse: \(|\Omega| = 120\). 2. Berechnung für a): Anzahl der Muttern und Unterlegscheiben ist \(40 + 20 = 60\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(A) = \frac{60}{120} = 0{,}5\). 3. Berechnung für b): Anzahl der Edelstahlteile setzt sich aus \(15\) Schrauben und \(10\) Spezialbolzen zusammen, also \(25\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(B) = \frac{25}{120} = \frac{5}{24} \approx 0{,}2083\). 4. Berechnung für c): Anzahl der Teile, die keine Schrauben sind, ist \(120 - 50 = 70\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(C) = \frac{70}{120} = \frac{7}{12} \approx 0{,}5833\). 5. Berechnung für d): Anzahl der Spezialbolzen (\(10\)) plus Edelstahl-Schrauben (\(15\)) ergibt \(25\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(D) = \frac{25}{120} = \frac{5}{24} \approx 0{,}2083\).

a) \(P = 0{,}5\) b) \(P = \frac{5}{24} \approx 0{,}2083\) c) \(P = \frac{7}{12} \approx 0{,}5833\) d) \(P = \frac{5}{24} \approx 0{,}2083\)

- Wie viele verschiedene Ergebnisse sind insgesamt möglich, wenn das Rad zweimal gedreht wird? - Wann ist das Produkt zweier Zahlen ungerade? Überlege dir, welche Eigenschaft die beiden einzelnen Zahlen dafür haben müssen. - Die relative Häufigkeit berechnest du, indem du die Anzahl der Treffer durch die Gesamtzahl der Versuche teilst. - Was besagt das Gesetz der großen Zahlen über den Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und theoretischer Wahrscheinlichkeit?

1. Die Gesamtzahl der Ergebnisse beträgt \(10 \cdot 10 = 100\). Günstige Paare für die Summe \(10\): \((1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (5,5), (6,4), (7,3), (8,2), (9,1)\). Es gibt \(9\) günstige Ergebnisse. Die Laplace-Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{9}{100} = 0{,}09 = 9\,\%\). 2. Ein Produkt zweier Ganzzahlen ist genau dann ungerade, wenn beide Faktoren ungerade sind. Die ungeraden Ziffern im Bereich \(0\) bis \(9\) sind \(\{1, 3, 5, 7, 9\}\) (insgesamt \(5\) Stück). Die Anzahl der günstigen Paare ist \(5 \cdot 5 = 25\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{25}{100} = 0{,}25 = 25\,\%\). 3. Die relative Häufigkeit beträgt \(h = \frac{924}{10\,000} = 0{,}0924 = 9{,}24\,\%\). Der Vergleich zeigt, dass die relative Häufigkeit nahe an der theoretischen Wahrscheinlichkeit von \(9\,\%\) liegt. Die Abweichung beträgt \(0{,}24\) Prozentpunkte, was bei einer Stichprobengröße von \(10\,000\) im Rahmen der üblichen statistischen Schwankungen zu erwarten ist (Gesetz der großen Zahlen).

1. \(P = 0{,}09\) 2. \(P = 0{,}25\) 3. \(h = 0{,}0924\); die relative Häufigkeit liegt sehr nah an der theoretischen Wahrscheinlichkeit (\(0{,}0924 \approx 0{,}09\)).

- Wie viele Ergebnisse sind insgesamt möglich, wenn man dreimal mit einem 12-seitigen Würfel wirft? - Was ist der Unterschied zwischen einer relativen Häufigkeit und einer Wahrscheinlichkeit? - Was passiert mit der relativen Häufigkeit, wenn man ein Zufallsexperiment immer häufiger wiederholt?

1. Theoretische Wahrscheinlichkeit für \(n=3\): Das Gegenereignis ist, dass drei verschiedene Zahlen gewürfelt werden. \(P(\text{verschieden}) = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{12^3} = \frac{1320}{1728} \approx 0{,}7639\). Die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Dublette ist \(P(E) = 1 - 0{,}7639 = 0{,}2361\). 2. Empirische Werte: Die relative Häufigkeit ist \(h = \frac{241}{1000} = 0{,}241\). Die absolute Abweichung beträgt \(|0{,}241 - 0{,}2361| = 0{,}0049\). 3. Zusammenhang: Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses mit zunehmender Anzahl an Versuchen stabilisiert und dem theoretischen Wert (der Wahrscheinlichkeit) annähert. Bei \(1\,000\) Durchgängen ist die Annäherung bereits so gut, dass die Abweichung gering ist (hier weniger als \(0{,}5\,\text{Prozentpunkte}\)).

a) Die theoretische Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(23{,}61\,\%\). b) Die relative Häufigkeit ist \(0{,}241\) (\(24{,}1\,\%\)). Die absolute Abweichung zum theoretischen Wert beträgt \(0{,}0049\). c) Nach dem Gesetz der großen Zahlen nähert sich die relative Häufigkeit bei steigender Anzahl der Versuche der theoretischen Wahrscheinlichkeit an.

- Überlege dir, wie groß der Anteil der Unkrautsamen ist, der nach der ersten Phase noch übrig bleibt. - Kannst du das Problem mithilfe eines Baumdiagramms visualisieren? - Was ist das Gegenereignis dazu, dass ein Unkrautsamen entfernt wird? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit längs eines Pfades in einem Baumdiagramm?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für das Nicht-Erkennen in den einzelnen Phasen: Phase 1: \(1 - 0{,}75 = 0{,}25\) Phase 2: \(1 - 0{,}60 = 0{,}40\) Phase 3: \(1 - 0{,}40 = 0{,}60\) 2. Anwendung der Pfadregel für das Ereignis, dass ein Samen alle Phasen durchläuft: \(P(\text{nicht entfernt}) = 0{,}25 \cdot 0{,}40 \cdot 0{,}60 = 0{,}06\) 3. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass ein Samen in mindestens einer Phase entfernt wird: \(P(\text{entfernt}) = 1 - P(\text{nicht entfernt}) = 1 - 0{,}06 = 0{,}94\)

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Unkrautsamen nicht entfernt wird, beträgt \(6\,\%\). Die Wahrscheinlichkeit, dass er erfolgreich aussortiert wird, liegt bei \(94\,\%\).

- Überlege dir zuerst, wie du die Zeilen- und Spaltensummen nutzt, um die leeren Felder in der Tabelle zu berechnen. - Die Wahrscheinlichkeiten an der ersten Stufe des Baumdiagramms entsprechen den Randwahrscheinlichkeiten aus der Tabelle (die Gesamtsummen der Merkmale). - Die Wahrscheinlichkeiten an der zweiten Stufe sind bedingte Wahrscheinlichkeiten. Sie beziehen sich immer auf die Teilmenge, die durch den ersten Ast festgelegt wurde. - Achte darauf, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten an jedem Verzweigungspunkt immer 1 ergeben muss.

1. Berechnung der fehlenden Tabellenwerte durch Differenzbildung und Summation: - \(n(A \cap S) = 1200 - 900 = 300\) - \(n(B \cap R) = 1300 - 900 = 400\) - \(n(B) = 2000 - 1200 = 800\) - \(n(B \cap S) = 800 - 400 = 400\) - \(n(S) = 300 + 400 = 700\) (oder \(2000 - 1300\)) 2. Baumdiagramm nach Altersgruppe (Stufe 1: \(A, B\); Stufe 2: \(R, S\)): - \(P(A) = \frac{1200}{2000} = 0{,}6\); \(P(B) = \frac{800}{2000} = 0{,}4\) - Bedingte Wahrscheinlichkeiten: \(P_A(R) = \frac{900}{1200} = 0{,}75\); \(P_A(S) = \frac{300}{1200} = 0{,}25\); \(P_B(R) = \frac{400}{800} = 0{,}5\); \(P_B(S) = \frac{400}{800} = 0{,}5\) 3. Baumdiagramm nach Nutzung (Stufe 1: \(R, S\); Stufe 2: \(A, B\)): - \(P(R) = \frac{1300}{2000} = 0{,}65\); \(P(S) = \frac{700}{2000} = 0{,}35\) - Bedingte Wahrscheinlichkeiten: \(P_R(A) = \frac{900}{1300} = \frac{9}{13}\); \(P_R(B) = \frac{400}{1300} = \frac{4}{13}\); \(P_S(A) = \frac{300}{700} = \frac{3}{7}\); \(P_S(B) = \frac{400}{700} = \frac{4}{7}\)

1. Fehlende Werte: \(n(A \cap S) = 300\), \(n(B \cap R) = 400\), \(n(B \cap S) = 400\), \(n(B) = 800\), \(n(S) = 700\). 2. Baum 1 (Altersgruppe): \(P(A) = 0{,}6\); \(P(B) = 0{,}4\); \(P_A(R) = 0{,}75\); \(P_A(S) = 0{,}25\); \(P_B(R) = 0{,}5\); \(P_B(S) = 0{,}5\). 3. Baum 2 (Nutzung): \(P(R) = 0{,}65\); \(P(S) = 0{,}35\); \(P_R(A) = \frac{9}{13}\); \(P_R(B) = \frac{4}{13}\); \(P_S(A) = \frac{3}{7}\); \(P_S(B) = \frac{4}{7}\).

- Überlege zuerst, wie viele Zahlen im Bereich bis 120 jeweils durch die genannten Werte teilbar sind. - Beachte, dass manche Zahlen in beiden Gruppen vorkommen könnten – wie findet man diese? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten für „mindestens eine der beiden Bedingungen“ und „keine der beiden Bedingungen“ zusammen?

1. Sei \(E_1\) das Ereignis „Zahl ist durch 6 teilbar“ und \(E_2\) das Ereignis „Zahl ist durch 8 teilbar“. In der Menge \(\{1, \dots, 120\}\) gibt es \(|E_1| = 120 : 6 = 20\) Vielfache von 6 und \(|E_2| = 120 : 8 = 15\) Vielfache von 8. Das Ereignis \(E_1 \cap E_2\) entspricht den Vielfachen des kleinsten gemeinsamen Vielfachen \(\text{kgV}(6, 8) = 24\). Es gibt \(|E_1 \cap E_2| = 120 : 24 = 5\) solcher Zahlen. Nach dem Additionssatz gilt \(P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2) = \frac{20}{120} + \frac{15}{120} - \frac{5}{120} = \frac{30}{120} = 0{,}25\). 2. Das Ereignis „weder durch 6 noch durch 8 teilbar“ ist das Gegenereignis zu \(E_1 \cup E_2\). Es gilt \(P(\overline{E_1 \cup E_2}) = 1 - P(E_1 \cup E_2) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75\).

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}25\) (oder \(25\,\%\)). 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}75\) (oder \(75\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, wie viele Ergebnismöglichkeiten es bei zwei Würfeln insgesamt gibt. - Kannst du die möglichen Ergebnisse in einer Tabelle \(6 \times 6\) übersichtlich darstellen? - Was bedeutet das Intervall \([4; 6]\) für die möglichen Summenwerte? - Welche ungeraden Zahlen kommen als Summe überhaupt infrage, wenn sie größer als 8 sein sollen?

1. Es gibt insgesamt \(6 \cdot 6 = 36\) gleich wahrscheinliche Ergebnisse (Laplace-Experiment). 2. Für Teilaufgabe a) werden die günstigen Ergebnisse für \(X \in \{4, 5, 6\}\) bestimmt: Für \(X=4\) gibt es \(3\) Paare, für \(X=5\) gibt es \(4\) Paare und für \(X=6\) gibt es \(5\) Paare. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist \(3 + 4 + 5 = 12\). Damit gilt \(P(4 \le X \le 6) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}\). 3. Für Teilaufgabe b) sind die ungeraden Summen größer als \(8\) die Werte \(9\) und \(11\). Für \(X=9\) gibt es \(4\) günstige Paare \((3,6), (4,5), (5,4), (6,3)\) und für \(X=11\) gibt es \(2\) günstige Paare \((5,6), (6,5)\). Die Gesamtzahl der günstigen Ergebnisse ist \(4 + 2 = 6\). Damit gilt \(P(X \in \{9, 11\}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).

a) \(P(4 \le X \le 6) = \frac{1}{3}\) b) \(P(X \in \{9, 11\}) = \frac{1}{6}\)

- Stell dir vor, die Würfel hätten unterschiedliche Farben. Wie viele verschiedene Zuordnungen zu den Farben führen zum Ergebnis „1, 2 und 3“? - Wie viele Möglichkeiten gibt es, drei gleiche Zahlen (wie bei \(E_3\)) auf die drei Würfel zu verteilen? - Vergleiche die Anzahl der günstigen Elementarergebnisse für \(E_1\) und \(E_3\). Was fällt dir im Verhältnis auf?

1. Bestimmung der günstigen Ergebnisse: - Für \(E_1\) (Zahlen 1, 2, 3): Da alle Zahlen verschieden sind, gibt es \(3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) Möglichkeiten (Permutationen), diese auf die farbigen Würfel zu verteilen. - Für \(E_2\) (Zahlen 1, 1, 4): Da zwei Zahlen identisch sind, gibt es \(\frac{3!}{2!} = 3\) Möglichkeiten (der 4er kann auf dem roten, grünen oder blauen Würfel liegen). - Für \(E_3\) (Zahlen 2, 2, 2): Es gibt nur \(1\) Möglichkeit (alle Würfel zeigen die 2). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: Die Gesamtzahl der Elementarergebnisse ist \(|\Omega| = 6^3 = 216\). - \(P(E_1) = \frac{6}{216} = \frac{1}{36} \approx 0{,}0278\) - \(P(E_2) = \frac{3}{216} = \frac{1}{72} \approx 0{,}0139\) - \(P(E_3) = \frac{1}{216} \approx 0{,}0046\) 3. Beurteilung: Die Vermutung des Schülers ist unbegründet. Da \(P(E_1) = 6 \cdot P(E_3)\) gilt, ist es theoretisch zu erwarten, dass \(E_1\) in einer großen Versuchsreihe etwa sechsmal so häufig auftritt wie \(E_3\). Der Fehler liegt in der Annahme, dass ungeordnete Zahlentripel im Laplace-Modell gleichwahrscheinlich sind.

1. Anzahl günstiger Ergebnisse: \(|E_1| = 6\), \(|E_2| = 3\), \(|E_3| = 1\). 2. Wahrscheinlichkeiten: \(P(E_1) = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}\), \(P(E_2) = \frac{3}{216} = \frac{1}{72}\), \(P(E_3) = \frac{1}{216}\). 3. Die Beobachtung entspricht der Theorie, da \(E_1\) genau sechsmal so viele Elementarergebnisse umfasst wie \(E_3\). Seine Vermutung ist falsch.

- Welche kleinsten und größten Summen kannst du mit zwei Würfeln von 1 bis 4 erzielen? - Erstelle eine Tabelle mit allen möglichen geordneten Zahlenpaaren der beiden Würfel, um zu sehen, wie oft jede Summe vorkommt. - Erinnere dich an die Definition eines Laplace-Experiments: Wann genau darf man die Formel „Anzahl der günstigen durch Anzahl der möglichen Ergebnisse“ verwenden? - Wie müsste man die Ergebnisse definieren, damit jedes einzelne die exakt gleiche Chance hat, einzutreten?

1. Bestimmung der möglichen Summen: Die kleinstmögliche Summe ist \(1+1=2\), die größtmögliche \(4+4=8\). Somit ist \(\Omega_1 = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten in \(\Omega_1\): Die Gesamtzahl der gleichwahrscheinlichen Elementarergebnisse (geordnete Paare) beträgt \(4 \cdot 4 = 16\). \(P(X=2) = P(\{(1;1)\}) = \frac{1}{16}\) \(P(X=5) = P(\{(1;4), (2;3), (3;2), (4;1)\}) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}\) 3. Schlussfolgerung: Da \(P(X=2) = \frac{1}{16}\) und \(P(X=5) = \frac{4}{16}\) unterschiedlich sind (\(\frac{1}{16} \neq \frac{4}{16}\)), liegen keine gleichwahrscheinlichen Ergebnisse in \(\Omega_1\) vor. 4. Alternative Ergebnismenge: Wählt man die Menge aller geordneten Paare \(\Omega_2 = \{(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (2;1), \dots, (4;4)\}\), so hat jedes der 16 Ergebnisse die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{16}\). Dies ist ein Laplace-Experiment.

a) \(\Omega_1 = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\) b) Zum Beispiel ist \(P(X=2) = \frac{1}{16}\) und \(P(X=5) = \frac{4}{16}\). Da \(\frac{1}{16} \neq \frac{4}{16}\), ist es kein Laplace-Experiment. c) \(\Omega_2 = \{(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (2;1), (2;2), (2;3), (2;4), (3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (4;1), (4;2), (4;3), (4;4)\}\) (Menge der geordneten Paare).

- Überlege dir, welche Farbkombinationen möglich sind, wenn es egal ist, welche Kugel zuerst gezogen wurde. - Nutze die Pfadregeln für ein zweistufiges Zufallsexperiment mit Zurücklegen. - Beachte, dass ein ungeordnetes Ergebnis wie „eine grüne und eine gelbe Kugel“ durch verschiedene Reihenfolgen im Baumdiagramm zustande kommen kann. - Was ist die Definition eines Laplace-Experiments?

1. Da die Reihenfolge nicht beachtet wird, besteht die Ergebnismenge aus den ungeordneten Paaren der Farben: \(\Omega = \{(g;g), (g;y), (y;y)\}\). 2. Die Grundwahrscheinlichkeiten für eine einzelne Kugel sind \(P(g) = \frac{3}{5} = 0{,}6\) und \(P(y) = \frac{2}{5} = 0{,}4\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für die kombinierten Ereignisse unter Berücksichtigung des Zurücklegens und der Ungeordnetheit: \(P(\{(g;g)\}) = 0{,}6 \cdot 0{,}6 = 0{,}36\) \(P(\{(g;y)\}) = 2 \cdot (0{,}6 \cdot 0{,}4) = 0{,}48\) (da die Pfade \(gy\) und \(yg\) zum selben Ergebnis führen) \(P(\{(y;y)\}) = 0{,}4 \cdot 0{,}4 = 0{,}16\) 4. Ein Laplace-Experiment liegt nur vor, wenn alle Elementarereignisse der Ergebnismenge gleich wahrscheinlich sind. Da \(0{,}36 \neq 0{,}48 \neq 0{,}16\), ist die Bedingung für ein Laplace-Experiment nicht erfüllt.

a) \(\Omega = \{(g;g), (g;y), (y;y)\}\) b) \(P(\{(g;g)\}) = 0{,}36\); \(P(\{(g;y)\}) = 0{,}48\); \(P(\{(y;y)\}) = 0{,}16\) c) Es liegt kein Laplace-Experiment vor, da die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse in \(\Omega\) nicht identisch sind (\(0{,}36 \neq 0{,}48 \neq 0{,}16\)).

- Wie berechnet man den Durchschnittswert aus einer Häufigkeitstabelle? - Welche Formel verknüpft die Parameter einer Binomialverteilung mit ihrem Erwartungswert? - Wie lautet die Formel von Bernoulli für einen spezifischen Wert \(k\)? - Überlege, wie man die relative Häufigkeit eines Ereignisses aus der Anzahl der Beobachtungen bestimmt.

1. Berechnung des arithmetischen Mittels: \(\bar{k} = \frac{0 \cdot 4 + 1 \cdot 21 + 2 \cdot 50 + 3 \cdot 48 + 4 \cdot 22 + 5 \cdot 5}{150} = \frac{378}{150} = 2{,}52\). 2. Schätzung von \(p\): Da für eine binomialverteilte Zufallsgröße \(\mu = n \cdot p\) gilt, folgt mit \(n = 5\) und \(\mu \approx \bar{k}\): \(5 \cdot p = 2{,}52 \Rightarrow p = 0{,}504\). 3. Theoretische Wahrscheinlichkeit für \(k = 2\): \(P(X = 2) = \binom{5}{2} \cdot 0{,}504^2 \cdot (1 - 0{,}504)^3 \approx 10 \cdot 0{,}2540 \cdot 0{,}1220 \approx 0{,}3098\). Die empirische relative Häufigkeit beträgt \(h(2) = \frac{50}{150} = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333\). Der empirische Wert liegt somit etwa \(2{,}35\) Prozentpunkte über dem theoretischen Modellwert.

1. \(\bar{k} = 2{,}52\) 2. \(p = 0{,}504\) 3. Theoretisch: \(P(X = 2) \approx 0{,}3098\); Empirisch: \(h(2) \approx 0{,}3333\).

- Wann darf man davon ausgehen, dass alle Ergebnisse eines Zufallsexperiments die gleiche Chance haben? - Wie berechnet man den Anteil eines Ergebnisses an der Gesamtzahl der Versuche? - Was passiert mit den Ergebnissen, wenn man ein Experiment sehr oft wiederholt? - Gibt es einen Unterschied zwischen einem idealen Modell und einer experimentellen Beobachtung?

1. Lukas verwendet den Laplace-Ansatz (klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff). Dieser setzt voraus, dass alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind. Da der Würfel als „unfair“ oder „gezinkt“ beschrieben wurde, ist diese Symmetrieannahme verletzt, und der Ansatz liefert kein korrektes Modell für die Realität. 2. Sarah berechnet die relative Häufigkeit: \(h_n(6) = \frac{52}{200} = 0{,}26\). Ihr Vorgehen stützt sich auf das empirische Gesetz der großen Zahlen, welches besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses mit zunehmender Anzahl an Versuchen stabilisiert und gegen die wahre Wahrscheinlichkeit konvergiert. 3. Um die Genauigkeit zu erhöhen, müsste die Anzahl der Versuche \(n\) deutlich gesteigert werden (z. B. auf \(n = 1000\) oder mehr). Je größer die Stichprobe, desto geringer ist die zu erwartende Abweichung der relativen Häufigkeit von der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit.

1. Lukas nutzt den Laplace-Ansatz; dieser scheitert hier an der fehlenden Symmetrie (gezinkter Würfel). 2. Sarah nutzt die relative Häufigkeit \(\frac{52}{200} = 0{,}26\) (\(26\,\%\)); das Prinzip ist das empirische Gesetz der großen Zahlen. 3. Eine genauere Bestimmung ist durch eine Erhöhung der Wurfanzahl (Versuchswiederholungen) möglich.

- Was ist die Grundvoraussetzung für ein Laplace-Experiment? - Wie berechnet man eine relative Häufigkeit aus absoluten Zahlen? - Was passiert mit der Schwankung der Ergebnisse, wenn man ein Experiment immer öfter wiederholt?

1. Der Laplace-Ansatz setzt voraus, dass alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind. Aufgrund der physikalischen Asymmetrie der Reißzwecke gibt es keinen Grund zu der Annahme, dass beide Lagen gleich wahrscheinlich sind. 2. Gemäß dem frequentistischen Ansatz wird die Wahrscheinlichkeit durch die relative Häufigkeit geschätzt: \(P(\text{„Spitze oben“}) \approx \frac{k}{n} = \frac{320}{500} = 0{,}64\). 3. Nach dem Gesetz der großen Zahlen stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten bei wachsender Anzahl von Versuchen (\(n \to \infty\)) um einen festen Wert. Dieser Grenzwert wird im frequentistischen Sinne als die wahre Wahrscheinlichkeit \(P\) des Ereignisses definiert.

a) Der Laplace-Ansatz ist ungeeignet, da keine Symmetrie vorliegt und die Ergebnisse nicht als gleich wahrscheinlich angenommen werden können. b) \(P(\text{„Spitze oben“}) = 0{,}64\). c) Die Wahrscheinlichkeit wird als der Grenzwert definiert, gegen den die relative Häufigkeit bei unendlich vielen Versuchen konvergiert (Gesetz der großen Zahlen).

- Denk daran, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einem Zufallsexperiment immer genau 1 sein muss. - Berechne zuerst, wie viel Wahrscheinlichkeit für die restlichen Ergebnisse übrig bleibt, nachdem du den bekannten Wert abgezogen hast. - Wie kannst du diesen Restbetrag fair auf die Anteile im Verhältnis aufteilen? - Für die Mengenoperationen: Welche Elemente liegen in beiden Mengen, und welche liegen in mindestens einer der beiden Mengen?

1. Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 ergeben muss, beträgt die Summe für die verbleibenden Ergebnisse: \(P(e_2) + P(e_3) + P(e_4) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\). 2. Aufteilung der restlichen \(0{,}8\) gemäß dem Verhältnis \(1 : 2 : 5\). Die Summe der Verhältnisanteile ist \(1 + 2 + 5 = 8\). 3. Wert eines Anteils: \(0{,}8 : 8 = 0{,}1\). 4. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(e_2) = 1 \cdot 0{,}1 = 0{,}1\) \(P(e_3) = 2 \cdot 0{,}1 = 0{,}2\) \(P(e_4) = 5 \cdot 0{,}1 = 0{,}5\) 5. Berechnung der Ereigniswahrscheinlichkeiten: \(P(E) = P(e_1) + P(e_3) = 0{,}2 + 0{,}2 = 0{,}4\) \(P(F) = P(e_2) + P(e_3) = 0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}3\) 6. Schnittmenge \(E \cap F = \{e_3\}\): \(P(E \cap F) = 0{,}2\). 7. Vereinigungsmenge \(E \cup F = \{e_1; e_2; e_3\}\): \(P(E \cup F) = 0{,}2 + 0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}5\).

a) \(P(e_1) = 0{,}2\); \(P(e_2) = 0{,}1\); \(P(e_3) = 0{,}2\); \(P(e_4) = 0{,}5\) b) \(P(E) = 0{,}4\); \(P(F) = 0{,}3\); \(P(E \cap F) = 0{,}2\); \(P(E \cup F) = 0{,}5\)

- Wie berechnet man den Anteil einer Teilmenge an der Gesamtmenge? - Welcher Begriff bezieht sich auf Ergebnisse aus durchgeführten Experimenten? - Welche Verteilung eignet sich für eine Kette von Versuchen mit zwei möglichen Ausgängen? - Überlege, ob die Wahrscheinlichkeit hier aus Symmetrie, Erfahrung oder mathematischen Regeln folgt.

1. Berechnung der relativen Häufigkeit: \(h = \frac{15}{500} = 0{,}03\). Da die Wahrscheinlichkeit auf Basis von Beobachtungsdaten geschätzt wird, handelt es sich um den empirischen (oder statistischen) Wahrscheinlichkeitsbegriff. 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für genau einen Defekt bei \(n = 20\) und \(p = 0{,}02\) mittels Binomialverteilung: \(P(X=1) = \binom{20}{1} \cdot 0{,}02^1 \cdot 0{,}98^{19} = 20 \cdot 0{,}02 \cdot 0{,}98^{19} \approx 0{,}2725\). Da hier mit einem mathematischen Modell und fest definierten Wahrscheinlichkeiten gearbeitet wird, liegt der axiomatische Wahrscheinlichkeitsbegriff (nach Kolmogorow) zugrunde.

1. Die relative Häufigkeit beträgt \(0{,}03\) (oder \(3\,\%\)). Es handelt sich um den empirischen Wahrscheinlichkeitsbegriff. 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}2725\) (oder \(27{,}25\,\%\)). Es handelt sich um den axiomatischen Wahrscheinlichkeitsbegriff.

- Was weißt du über die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einem Zufallsexperiment? - Stelle eine Gleichung auf, in der die unbekannte Wahrscheinlichkeit \(p\) vorkommt. - Was ist die Grundvoraussetzung, um die Laplace-Formel verwenden zu dürfen? - Unterscheide zwischen idealen Zufallsgeräten und manipulierten Objekten.

1. Sei \(p\) die Wahrscheinlichkeit für eine der Augenzahlen \(1\) bis \(5\). Dann gilt für die Augenzahl \(6\) die Wahrscheinlichkeit \(2p\). Nach dem Normierungsaxiom muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten \(1\) ergeben: \(5 \cdot p + 2p = 1 \Rightarrow 7p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{7}\). Die Wahrscheinlichkeit für eine „6“ ist somit \(P(6) = 2 \cdot \frac{1}{7} = \frac{2}{7} \approx 0{,}2857\). 2. Der Laplace-Begriff setzt voraus, dass alle Elementarereignisse des Ergebnisraums gleich wahrscheinlich sind (Symmetrieprinzip). Da der Würfel gezinkt ist, sind die Elementarereignisse nicht gleichwahrscheinlich, wodurch die Laplace-Formel \(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\) nicht anwendbar ist.

1. Die Wahrscheinlichkeit für eine „6“ beträgt \(\frac{2}{7} \approx 0{,}2857\). 2. Der Laplace-Begriff ist nicht anwendbar, da die Bedingung der Gleichwahrscheinlichkeit aller Elementarereignisse aufgrund der Manipulation des Würfels nicht erfüllt ist.

- Nutze die Eigenschaft, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse immer 1 ergibt. - Überlege, welches Ergebnis nicht in Ereignis A enthalten ist. Wie hängen deren Wahrscheinlichkeiten zusammen? - Wie viele Teilmengen hat eine Menge mit drei Elementen? - Ein Ereignis ist eine Teilmenge des Ergebnisraums. Addiere einfach die Wahrscheinlichkeiten der enthaltenen Ergebnisse.

1. Anwendung der Axiome: \(P(\omega_1) + P(\omega_2) + P(\omega_3) = 1\). 2. Bestimmung von \(P(\omega_3)\) über das Komplement von \(A\): \(P(\omega_3) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}55 = 0{,}45\). 3. Bestimmung von \(P(\omega_1)\) über das Komplement von \(B\): \(P(\omega_1) = 1 - P(B) = 1 - 0{,}75 = 0{,}25\). 4. Berechnung von \(P(\omega_2)\): \(P(\omega_2) = 1 - 0{,}25 - 0{,}45 = 0{,}30\). 5. Auflistung aller Teilmengen von \(\Omega\) und Summation der entsprechenden Elementarwahrscheinlichkeiten: \(\emptyset \to 0\) \(\{\omega_1\} \to 0{,}25\) \(\{\omega_2\} \to 0{,}30\) \(\{\omega_3\} \to 0{,}45\) \(\{\omega_1, \omega_2\} \to 0{,}55\) \(\{\omega_1, \omega_3\} \to 0{,}25 + 0{,}45 = 0{,}70\) \(\{\omega_2, \omega_3\} \to 0{,}75\) \(\{\omega_1, \omega_2, \omega_3\} \to 1\)

Die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse sind: \(P(\omega_1) = 0{,}25\); \(P(\omega_2) = 0{,}30\); \(P(\omega_3) = 0{,}45\). Alle möglichen Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten sind: \(P(\emptyset) = 0\) \(P(\{\omega_1\}) = 0{,}25\) \(P(\{\omega_2\}) = 0{,}30\) \(P(\{\omega_3\}) = 0{,}45\) \(P(\{\omega_1, \omega_2\}) = 0{,}55\) \(P(\{\omega_1, \omega_3\}) = 0{,}70\) \(P(\{\omega_2, \omega_3\}) = 0{,}75\) \(P(\Omega) = 1\)

- Was ist die Grundvoraussetzung dafür, dass man die Formel „Anzahl der günstigen durch Anzahl der möglichen Fälle“ anwenden darf? - Wie hängen die relative Häufigkeit und die empirische Wahrscheinlichkeit zusammen? - Welche formalen Regeln müssen für die Summe aller möglichen Ergebnisse in einem Zufallsexperiment immer gelten?

1. Zu a): Der Laplace-Begriff setzt voraus, dass alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind (Symmetrie-Prinzip). Da eine Reißzwecke physikalisch nicht symmetrisch gebaut ist, gibt es keinen theoretischen Grund anzunehmen, dass Kopf und Seite gleich oft auftreten. 2. Zu b): Nach dem empirischen Begriff entspricht die Wahrscheinlichkeit der relativen Häufigkeit bei einer großen Versuchsanzahl. Berechnung: \(P(K) = \frac{185}{500} = 0{,}37\). 3. Zu c): Nach den Axiomen von Kolmogorow müssen die Wahrscheinlichkeiten nicht-negativ sein (\(P(K) \ge 0\) und \(P(S) \ge 0\)) und ihre Summe muss genau 1 ergeben (\(P(K) + P(S) = 1\)), da es sich um ein vollständiges System von Ereignissen handelt.

a) Ungeeignet, da keine physikalische Symmetrie vorliegt (keine Gleichwahrscheinlichkeit). b) \(P(K) = 0{,}37\) (entspricht der relativen Häufigkeit \(\frac{185}{500}\)). c) \(P(K), P(S) \ge 0\) und \(P(K) + P(S) = 1\).

- Was bedeutet „Laplace“, wenn alle Kugeln die gleiche Chance haben, gezogen zu werden? - Unterscheide zwischen einer theoretischen Überlegung und einem tatsächlich durchgeführten Experiment. - Wie nennt man eine Wahrscheinlichkeit, die nur auf einer persönlichen Meinung beruht? - Denk an den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Versuche und der Stabilität von Ergebnissen.

1. Teilaufgabe a): Anwendung der Laplace-Formel \(P(A) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}\). Mit \(4\) roten und insgesamt \(10\) Kugeln ergibt sich \(P(\text{rot}) = \frac{4}{10} = 0{,}4\) bzw. \(40\,\%\). 2. Teilaufgabe b): Es handelt sich um den subjektiven Wahrscheinlichkeitsbegriff, da die Angabe auf einem persönlichen Gefühl bzw. einer individuellen Einschätzung basiert und der objektiven Symmetrie widerspricht. 3. Teilaufgabe c): Die relative Häufigkeit berechnet sich als \(h_n(A) = \frac{\text{Anzahl der Treffer}}{\text{Gesamtzahl der Versuche}}\), also \(\frac{18}{50} = 0{,}36\) bzw. \(36\,\%\). Dies ist dem empirischen Wahrscheinlichkeitsbegriff zuzuordnen. 4. Teilaufgabe d): Der Laplace-Wert ist ein theoretischer Idealwert. Die relative Häufigkeit ist das Ergebnis eines Zufallsexperiments und unterliegt Zufallsschwankungen. Gemäß dem Gesetz der großen Zahlen nähert sich die relative Häufigkeit dem theoretischen Wert erst bei einer sehr hohen Anzahl von Versuchen an.

a) \(P(\text{rot}) = 0{,}4\); b) Subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff; c) \(h_{50}(\text{rot}) = 0{,}36\), empirischer Wahrscheinlichkeitsbegriff; d) Der Unterschied liegt in den Zufallsschwankungen bei begrenzter Versuchsanzahl (Gesetz der großen Zahlen).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen absoluter Häufigkeit \(H_N\) und relativer Häufigkeit \(h_N\). - Warum kann eine absolute oder relative Häufigkeit niemals negativ sein? - Wie oft tritt ein Ergebnis aus \(\Omega\) insgesamt ein, wenn man ein Experiment \(N\)-mal durchführt? - Was bedeutet „unvereinbar“ für das Zählen von Ergebnissen in einer Versuchsreihe? Kann ein Versuch gleichzeitig zu zwei unvereinbaren Ereignissen zählen?

1. Nichtnegativitätsaxiom: Die absolute Häufigkeit \(H_N(A)\) ist eine nichtnegative Anzahl. Für \(N>0\) folgt daher \(h_N(A) = \frac{H_N(A)}{N} \ge 0\). 2. Normierungsaxiom: Bei \(N\) Durchführungen eines Zufallsexperiments tritt bei jedem einzelnen Versuch ein Ergebnis aus dem Ergebnisraum \(\Omega\) ein. Somit entspricht die absolute Häufigkeit des sicheren Ereignisses der Gesamtzahl der Versuche, \(H_N(\Omega) = N\). Für die relative Häufigkeit folgt \(h_N(\Omega) = \frac{H_N(\Omega)}{N} = \frac{N}{N} = 1\). 3. Additivitätsaxiom: Wenn \(A\) und \(B\) unvereinbar sind, kann kein Versuchsergebnis gleichzeitig in \(A\) und in \(B\) liegen. Die Anzahl der Versuche, bei denen \(A\) oder \(B\) eintritt, ist daher die Summe der jeweiligen absoluten Häufigkeiten: \(H_N(A \cup B) = H_N(A) + H_N(B)\). 4. Durch Division der Gleichung durch \(N\) erhält man \(\frac{H_N(A \cup B)}{N} = \frac{H_N(A)}{N} + \frac{H_N(B)}{N}\). Damit gilt \(h_N(A \cup B) = h_N(A) + h_N(B)\).

Die relative Häufigkeit erfüllt die drei Axiome: \(h_N(A) \ge 0\), weil \(H_N(A)\) eine nichtnegative Anzahl ist; \(H_N(\Omega)=N\) führt zu \(h_N(\Omega)=1\); und für unvereinbare Ereignisse gilt \(H_N(A \cup B)=H_N(A)+H_N(B)\), woraus nach Division durch \(N\) die Additivität folgt.

- Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es insgesamt, 8 Objekte in einer Reihe anzuordnen? - Wie viele dieser Anordnungen erfüllen die Bedingung, dass sie sortiert sind? - Welche Annahme triffst du über die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Anordnungen?

1. Berechnung der Gesamtzahl der möglichen Anordnungen (Permutationen) von 8 unterscheidbaren Büchern: \(8! = 40\,320\). 2. Bestimmung der Anzahl der günstigen Ergebnisse: Es gibt genau 2 Möglichkeiten, die Bücher nach ihrer Seitenzahl zu sortieren (einmal aufsteigend, einmal absteigend). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit als Quotient aus günstigen und möglichen Ergebnissen: \(P = \frac{2}{40\,320} = \frac{1}{20\,160} \approx 0{,}0000496\). 4. Identifikation des Wahrscheinlichkeitsbegriffs: Da alle Anordnungen als gleichwahrscheinlich vorausgesetzt werden, handelt es sich um den Laplace-Wahrscheinlichkeitsbegriff.

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P = \frac{1}{20\,160}\). Es liegt der Laplace-Wahrscheinlichkeitsbegriff zugrunde.

- Überlege dir für den ersten Teil, wie viele Anordnungen mit einem festen Anfangsbuchstaben möglich sind. - Was bedeutet es für die Berechnung, wenn man davon ausgeht, dass alle Ergebnisse „gleichwahrscheinlich“ sind? - Wie unterscheidet sich ein theoretisch berechneter Wert von einem Wert, der durch ein Experiment gewonnen wurde?

1. Teil a: Gesamtzahl der Permutationen berechnen: \(4! = 24\). Anzahl der günstigen Fälle (A fix an Position 1, Rest beliebig): \(3! = 6\). Wahrscheinlichkeit berechnen: \(P(A \text{ an 1. Stelle}) = \frac{6}{24} = 0{,}25\). Dies entspricht dem Laplace-Wahrscheinlichkeitsbegriff (theoretische Herleitung durch Symmetrie). 2. Teil b: Relative Häufigkeit berechnen: \(h = \frac{2\,540}{10\,000} = 0{,}254\). Dies entspricht dem empirischen (oder statistischen) Wahrscheinlichkeitsbegriff, der auf Beobachtungsdaten basiert.

a) \(P = 0{,}25\); Laplace-Wahrscheinlichkeitsbegriff. b) \(h = 0{,}254\); empirischer (statistischer) Wahrscheinlichkeitsbegriff.

- Überlege dir, wie man den gesamten Ergebnisraum mithilfe eines Ereignisses und seines Gegenteils ausdrücken kann. - Welches Axiom macht eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit des gesamten Ergebnisraums? - Wenn eine Menge in einer anderen enthalten ist, wie kannst du die größere Menge in zwei disjunkte (überschneidungsfreie) Teile zerlegen? - Welches Axiom garantiert, dass Wahrscheinlichkeiten niemals negativ sind?

1. Zerlegung des Ergebnisraums: Da \(A \cup \overline{A} = \Omega\) und \(A \cap \overline{A} = \emptyset\) (disjunkt), folgt aus dem Additivitätsaxiom (Axiom 3): \(P(A \cup \overline{A}) = P(A) + P(\overline{A})\). 2. Anwendung der Normiertheit: Nach Axiom 2 ist \(P(\Omega) = 1\). Durch Gleichsetzen erhält man \(P(A) + P(\overline{A}) = 1\), woraus durch Umformung \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\) folgt. 3. Zerlegung von \(B\): Wenn \(A \subseteq B\), kann \(B\) als Vereinigung der disjunkten Mengen \(A\) und \(B \setminus A\) dargestellt werden: \(B = A \cup (B \setminus A)\). 4. Anwendung von Axiom 3: Es gilt \(P(B) = P(A) + P(B \setminus A)\). 5. Schlussfolgerung: Da nach Axiom 1 (Nichtnegativität) stets \(P(B \setminus A) \ge 0\) gilt, muss \(P(B) \ge P(A)\) sein.

a) \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\) b) \(P(B) = P(A) + P(B \setminus A)\), woraus wegen \(P(B \setminus A) \ge 0\) folgt: \(P(A) \le P(B)\).

- Was besagen die drei Axiome von Kolmogorow über die Summe aller Wahrscheinlichkeiten und über die Vorzeichen einzelner Wahrscheinlichkeiten? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten von Teilmengen mit den Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse zusammen? - Kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, um die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse zu berechnen? - Überprüfe am Ende, ob alle berechneten Werte im erlaubten Bereich liegen.

1. Nach dem Normiertheitsaxiom gilt \(P(\Omega) = P(\{e_1, e_2, e_3\}) = 1\). 2. Da die Elementarereignisse disjunkt sind, gilt nach dem Additivitätsaxiom \(P(\{e_1, e_2\}) + P(\{e_3\}) = P(\Omega)\). 3. Einsetzen der gegebenen Werte ergibt \(0{,}3 + P(\{e_3\}) = 1\), woraus \(P(\{e_3\}) = 0{,}7\) folgt. 4. Analog gilt \(P(\{e_2, e_3\}) = P(\{e_2\}) + P(\{e_3\})\). Einsetzen ergibt \(0{,}6 = P(\{e_2\}) + 0{,}7\), woraus \(P(\{e_2\}) = -0{,}1\) folgt. 5. Das Axiom der Nichtnegativität besagt, dass für jedes Ereignis \(A\) gelten muss: \(P(A) \geq 0\). 6. Da \(P(\{e_2\}) = -0{,}1 < 0\), ist dieses Axiom verletzt. Eine solche Wahrscheinlichkeitsverteilung kann daher nicht existieren.

Eine solche Wahrscheinlichkeitsverteilung kann nicht existieren. Die Berechnung der Elementarereignisse ergibt \(P(\{e_1\}) = 0{,}4\), \(P(\{e_2\}) = -0{,}1\) und \(P(\{e_3\}) = 0{,}7\). Da \(P(\{e_2\}) < 0\) ist, wird das Axiom der Nichtnegativität verletzt.

- Was bedeutet es für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten, wenn Ereignisse unvereinbar sind? - Kannst du ein Gleichungssystem mit den drei gesuchten Wahrscheinlichkeiten aufstellen? - Überlege, was passiert, wenn du alle gegebenen Gleichungen addierst. - Wie hängen die Summen von zwei Ereignissen mit der Summe aller drei Ereignisse zusammen?

1. Da die Ereignisse paarweise unvereinbar sind, gilt nach dem Additivitätsaxiom: \(P(G) + P(S) = 0{,}35\), \(P(S) + P(B) = 0{,}85\) und \(P(G) + P(B) = 0{,}80\). 2. Durch Addition der drei Gleichungen erhält man \(2 \cdot (P(G) + P(S) + P(B)) = 0{,}35 + 0{,}85 + 0{,}80 = 2{,}00\). 3. Daraus folgt für die Gesamtwahrscheinlichkeit der drei Sektoren: \(P(G \cup S \cup B) = P(G) + P(S) + P(B) = 1{,}00\). 4. Die Einzelwahrscheinlichkeiten ergeben sich durch Subtraktion der gegebenen Summen von der Gesamtsumme: \(P(B) = 1{,}00 - 0{,}35 = 0{,}65\) \(P(G) = 1{,}00 - 0{,}85 = 0{,}15\) \(P(S) = 1{,}00 - 0{,}80 = 0{,}20\)

\(P(G) = 0{,}15\); \(P(S) = 0{,}20\); \(P(B) = 0{,}65\)

- Übersetze die textlichen Formulierungen (wie „halb so groß“ oder „mindestens eines“) in mathematische Gleichungen. - Nutze die Eigenschaft der Unvereinbarkeit, um die Wahrscheinlichkeit von Vereinigungen als Summen zu schreiben. - Versuche, eine Unbekannte nach der anderen durch Einsetzen zu bestimmen.

1. Aufgrund der paarweisen Unvereinbarkeit gilt: \(P(A) + P(B) + P(C) = 0{,}90\). 2. Aus den weiteren Bedingungen ergeben sich die Gleichungen \(P(A) = 0{,}5 \cdot P(B)\) und \(P(B) + P(C) = 0{,}70\). 3. Setzt man die dritte Gleichung in die erste ein, erhält man \(P(A) + 0{,}70 = 0{,}90\), woraus \(P(A) = 0{,}20\) folgt. 4. Mit der Bedingung \(P(A) = 0{,}5 \cdot P(B)\) ergibt sich \(0{,}20 = 0{,}5 \cdot P(B)\), also \(P(B) = 0{,}40\). 5. Einsetzen in \(P(B) + P(C) = 0{,}70\) liefert \(0{,}40 + P(C) = 0{,}70\), woraus \(P(C) = 0{,}30\) folgt.

\(P(A) = 0{,}20\); \(P(B) = 0{,}40\); \(P(C) = 0{,}30\)

- Was weißt du über den maximalen Wert, den eine Wahrscheinlichkeit annehmen kann? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse, wenn sie sich überschneiden? - Überlege dir, wie die Mengen zueinander liegen müssen, damit die Vereinigung so klein wie möglich wird. - Kann die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten größer als die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung sein?

1. Wären \(A\) und \(B\) unvereinbar, müsste für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) gelten. Hier ergibt sich \(0{,}7 + 0{,}4 = 1{,}1\). Da Wahrscheinlichkeiten jedoch maximal den Wert \(1\) annehmen können (\(P(A \cup B) \le 1\)), ist dies ein Widerspruch. Folglich muss die Schnittmenge \(A \cap B\) nicht leer sein, also \(P(A \cap B) > 0\). 2. Der maximale Wert für \(P(A \cup B)\) ist durch das Axiom \(P(E) \le 1\) begrenzt, also \(1\). Der minimale Wert tritt ein, wenn eines der Ereignisse eine Teilmenge des anderen ist. Da \(P(A) = 0{,}7 > 0{,}4 = P(B)\), ist der kleinstmögliche Wert für die Vereinigung \(P(A) = 0{,}7\) (wenn \(B \subset A\)). Das gesuchte Intervall ist somit \([0{,}7; 1]\).

1. Die Summe \(P(A) + P(B) = 1{,}1\) übersteigt den maximal zulässigen Wert \(1\) für \(P(A \cup B)\). Da \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \le 1\) gelten muss, folgt \(P(A \cap B) \ge 0{,}1\). Somit sind die Ereignisse nicht unvereinbar. 2. Das Intervall ist \([0{,}7; 1]\).

- Welche Eigenschaft müssen die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse in einem Laplace-Experiment erfüllen? - Wenn du weißt, dass eine Menge eine andere zu einem Ganzen ergänzt, wie hängen ihre Wahrscheinlichkeiten zusammen? - Wie verhält sich die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge, wenn zwei Ereignisse keine gemeinsamen Ergebnisse haben? - Versuche, alle unbekannten Wahrscheinlichkeiten durch eine einzige Variable auszudrücken.

1. Nutzung der Axiome von Kolmogorow für die Zerlegung: \(P(E_1) + P(E_2) + P(E_3) = 1\). 2. Einsetzen von \(P(E_1) = 0{,}25\) und der Relation \(P(E_2) = \frac{2}{3} \cdot P(E_3)\) in die Summenformel: \(0{,}25 + \frac{2}{3} \cdot P(E_3) + P(E_3) = 1\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(\frac{5}{3} \cdot P(E_3) = 0{,}75\). 4. Berechnung von \(P(E_3)\): \(P(E_3) = 0{,}75 \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{20} = 0{,}45\). 5. Berechnung von \(P(E_2)\): \(P(E_2) = \frac{2}{3} \cdot 0{,}45 = 0{,}3\). 6. Bewertung bzgl. Laplace: Ein Laplace-Experiment setzt voraus, dass alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind. Da \(P(E_1) = 0{,}25\), \(P(E_2) = 0{,}3\) und \(P(E_3) = 0{,}45\) verschieden sind, ist diese Bedingung nicht erfüllt. 7. Berechnung der Vereinigung disjunkter Ereignisse: \(P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) = 0{,}25 + 0{,}3 = 0{,}55\). 8. Da die Ereignisse eine Zerlegung bilden, gilt für den Schnitt disjunkter Mengen \(P(E_2 \cap E_3) = 0\).

a) \(P(E_2) = 0{,}3\); \(P(E_3) = 0{,}45\) b) Es liegt kein Laplace-Experiment vor, da die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse nicht identisch sind (\(0{,}25 \neq 0{,}3 \neq 0{,}45\)). c) \(P(E_1 \cup E_2) = 0{,}55\); \(P(E_2 \cap E_3) = 0\)

- Unterscheide zwischen der Art und Weise, wie man einen Wert berechnet, und den Regeln, die für diesen Wert gelten müssen. - Welche Aussage beschreibt eine mathematische Spielregel und welche beschreibt eine Beobachtung oder eine Symmetrie? - Kann man bei einer Maschine die Defektwahrscheinlichkeit vorhersagen, ohne sie jemals laufen zu lassen?

a) Aussage I basiert auf dem Laplace-Begriff, da ein „fairer“ Würfel symmetrisch ist und alle vier Seitenflächen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{4}\) auftreten. Die Primzahlen sind \(\{2; 3\}\), also \(2\) von \(4\) Ergebnissen (\(\frac{2}{4} = 0{,}5\)). Aussage II basiert auf dem empirischen Begriff, da die Fehlerquote einer Maschine durch statistische Erfassung der Ausschussrate in der Vergangenheit ermittelt wird. b) Der axiomatische Begriff nach Kolmogorow (Aussage III) stellt den formalen, mathematischen Rahmen dar. Er definiert die Regeln, denen jede Wahrscheinlichkeit gehorchen muss (Nichtnegativität, Normiertheit, Additivität), unabhängig davon, wie der konkrete Zahlenwert (ob durch Symmetrieüberlegungen wie in I oder Datenanalyse wie in II) zustande gekommen ist. Er dient somit als theoretisches Fundament, das alle Interpretationen vereint.

a) I: Laplace-Wahrscheinlichkeit (wegen Symmetrie/Fairness); II: Empirische Wahrscheinlichkeit (basiert auf Produktionsdaten). b) Die Axiome von Kolmogorow bilden das mathematische Fundament. Sie legen die formalen Eigenschaften fest, die sowohl für Laplace-Wahrscheinlichkeiten als auch für empirisch ermittelte Werte gelten müssen, ohne deren Herkunft vorzuschreiben.

- Wann sind alle Ergebnisse eines Versuchs gleich wahrscheinlich? - Wie viele Karten gibt es insgesamt von einer Farbe? - Wie viele Bildkarten gibt es in jeder der vier Farben? - Hast du beachtet, dass manche Karten sowohl eine bestimmte Farbe haben als auch Bildkarten sind?

1. Begründung für Laplace-Modell: Da das Spiel gut gemischt wird und jede unterscheidbare Karte nach demselben Zufallsverfahren gezogen wird, ist die Wahrscheinlichkeit für jede der 52 Karten gleich groß (Symmetrieprinzip). 2. Bestimmung der Gesamtzahl der Ergebnisse: \(|\Omega| = 52\). 3. Anzahl der Pik-Karten: \(n_1 = 13\). 4. Anzahl der Bildkarten (Bube, Dame, König): \(n_2 = 4 \cdot 3 = 12\). 5. Anzahl der Karten, die beide Kriterien erfüllen (Pik-Bilder): \(n_{1 \cap 2} = 3\). 6. Berechnung der günstigen Ergebnisse nach dem Inklusions-Exklusions-Prinzip: \(|E| = 13 + 12 - 3 = 22\). 7. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P(E) = \frac{22}{52} = \frac{11}{26} \approx 0{,}4231\).

a) Es handelt sich um ein Laplace-Experiment, da durch das Mischen jede Karte mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen wird. b) \(P(E) = \frac{11}{26} \approx 42{,}3\,\%\).

- Wie berechnet man den Anteil eines Ergebnisses an der Gesamtzahl der Versuche? - Welchen Wert aus der Tabelle solltest du wählen, um die stabilste Schätzung für die Wahrscheinlichkeit zu erhalten? - Wenn du weißt, wie oft ein Ereignis im Schnitt bei 100 Würfen vorkommt, wie berechnest du es dann für eine größere Anzahl?

1. Berechnung der relativen Häufigkeiten für \(n = 800\): \(h(A) = \frac{336}{800} = 0{,}42\) \(h(B) = \frac{288}{800} = 0{,}36\) \(h(C) = \frac{176}{800} = 0{,}22\) 2. Hochrechnung auf \(2400\) Versuche durch Multiplikation der relativen Häufigkeiten mit der neuen Gesamtzahl: Lage \(A\): \(0{,}42 \cdot 2400 = 1008\) Lage \(B\): \(0{,}36 \cdot 2400 = 864\) Lage \(C\): \(0{,}22 \cdot 2400 = 528\)

a) Die relativen Häufigkeiten nach 800 Versuchen betragen für Lage \(A\) \(0{,}42\), für Lage \(B\) \(0{,}36\) und für Lage \(C\) \(0{,}22\). b) Bei \(2400\) Würfen ist zu erwarten, dass Lage \(A\) \(1008\)-mal, Lage \(B\) \(864\)-mal und Lage \(C\) \(528\)-mal auftritt.

- Überlege, welche physikalischen Voraussetzungen erfüllt sein müssen, damit man von gleichen Wahrscheinlichkeiten ausgehen kann. - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der relativen Häufigkeit bei vielen Versuchen und der Wahrscheinlichkeit? - Wie nutzt man eine Wahrscheinlichkeit, um die zu erwartende Anzahl von Treffern in einer großen Stichprobe zu berechnen?

1. Das Laplace-Modell setzt voraus, dass alle Elementarereignisse aufgrund von Symmetrie gleich wahrscheinlich sind. Da eine Reißzwecke keine physikalische Symmetrie aufweist, die beide Lagen gleichberechtigt erscheinen lässt, ist das Modell ungeeignet. 2. Schätzung der Wahrscheinlichkeit über die relative Häufigkeit nach \(1000\) Versuchen: \(P(L) \approx \frac{628}{1000} = 0{,}628\). 3. Schätzung der absoluten Häufigkeit für \(n = 5000\) unter Verwendung der relativen Häufigkeit von \(S\): \(h(S) = \frac{372}{1000} = 0{,}372\) Erwartete Anzahl: \(0{,}372 \cdot 5000 = 1860\).

a) Das Laplace-Modell ist ungeeignet, da die Reißzwecke asymmetrisch ist und somit kein Grund zu der Annahme besteht, dass beide Lagen gleich wahrscheinlich sind. b) \(P(L) \approx 0{,}628\) c) Das Ereignis „Spitze nach oben“ wird voraussichtlich \(1860\)-mal eintreten.

- Unterscheide zwischen theoretischer Wahrscheinlichkeit und tatsächlichem Ausgang eines Experiments. - Überlege, ob ein Zufallsgerät wie ein Glücksrad wissen kann, was vorher passiert ist. - Was passiert mit der relativen Häufigkeit, wenn man ein Experiment immer und immer wieder wiederholt? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für eine genaue Trefferzahl bei einer Kette von Versuchen?

1. Aussage (1) ist falsch. Die Wahrscheinlichkeit \( P(R) = 0{,}25 \) bedeutet nicht, dass in einer kleinen Stichprobe das Ergebnis exakt gemäß der Wahrscheinlichkeit eintreten muss. Die Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer bei \( n=4 \) beträgt \( \binom{4}{1} \cdot 0{,}25^1 \cdot 0{,}75^3 \approx 42{,}2\,\% \). 2. Aussage (2) ist falsch. Die einzelnen Drehungen des Glücksrads sind stochastisch unabhängig. Das Rad hat kein „Gedächtnis“, daher bleibt die Wahrscheinlichkeit bei jeder Drehung konstant bei \( 0{,}25 \). 3. Aussage (3) ist richtig. Dies entspricht dem Gesetz der großen Zahlen, welches besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses bei wachsender Versuchsanzahl stabilisiert und der theoretischen Wahrscheinlichkeit annähert. 4. Aussage (4) ist richtig. Bei einer Binomialverteilung mit \( n=40 \) und \( p=0{,}25 \) liegt das Maximum der Wahrscheinlichkeitsfunktion (der Modalwert) beim Erwartungswert \( \mu = n \cdot p = 40 \cdot 0{,}25 = 10 \). Ein Vergleich der Terme zeigt: \( \frac{P(X=11)}{P(X=10)} = \frac{40-10}{10+1} \cdot \frac{0{,}25}{0{,}75} = \frac{30}{11} \cdot \frac{1}{3} = \frac{10}{11} < 1 \), woraus \( P(X=10) > P(X=11) \) folgt.

(1) Falsch (2) Falsch (3) Richtig (4) Richtig

- Erinnere dich an die Formel für den Erwartungswert bei einer Binomialverteilung. - Was bedeutet stochastische Unabhängigkeit für die Berechnung von „Und“-Ereignissen? - Können seltene Ereignisse in einer kleinen Stichprobe rein zufällig auftreten? - Wann bezeichnen wir ein Spiel oder eine Wette als „fair“?

1. Aussage (1) ist richtig. Bei einer binomialverteilten Zufallsgröße mit \( n=100 \) und \( p=0{,}05 \) ist der Erwartungswert \( E(X) = n \cdot p = 100 \cdot 0{,}05 = 5 \). 2. Aussage (2) ist richtig. Die Wahrscheinlichkeit für einen intakten Chip ist \( 1 - 0{,}05 = 0{,}95 \). Aufgrund der Unabhängigkeit der Defekte (Bernoulli-Versuch) ist die Wahrscheinlichkeit für 20 intakte Chips \( 0{,}95^{20} \). 3. Aussage (3) ist falsch. Zufallsschwankungen sind normal. Die Wahrscheinlichkeit, bei \( n=20 \) und \( p=0{,}05 \) genau 3 Defekte zu finden, ist mit \( \binom{20}{3} \cdot 0{,}05^3 \cdot 0{,}95^{17} \approx 5{,}96\,\% \) zwar klein, aber keineswegs unmöglich und somit kein Widerspruch zur Grundwahrscheinlichkeit. 4. Aussage (4) ist richtig. Eine Wette ist fair, wenn der erwartete Gewinn Null ist. Sei \( x \) der Einsatz des Gegners. Dann gilt: \( 0{,}05 \cdot x - 0{,}95 \cdot 1\,\text{€} = 0 \). Auflösen nach \( x \) ergibt \( 0{,}05x = 0{,}95 \), also \( x = 19\,\text{€} \). Das Einsatzverhältnis muss dem Kehrwert des Wahrscheinlichkeitsverhältnisses \( \frac{0{,}95}{0{,}05} = 19 \) entsprechen.

(1) Richtig (2) Richtig (3) Falsch (4) Richtig

- Wie berechnet man den Anteil eines Ergebnisses an der Gesamtzahl der Versuche? - Wann darf man davon ausgehen, dass alle Möglichkeiten bei einem Experiment gleich wahrscheinlich sind? - Passt die Beobachtung aus dem Versuch zu der theoretischen Erwartung von einem Drittel?

1. Die relative Häufigkeit beträgt \(h = \frac{124}{500} = 0{,}248\). Dieser Wert kann als Schätzer für die Wahrscheinlichkeit \(p\) dienen, da sich relative Häufigkeiten nach dem Gesetz der großen Zahlen bei wachsendem Stichprobenumfang typischerweise um die wahre Wahrscheinlichkeit stabilisieren. 2. Die Laplace-Annahme \(P(\text{rot}) = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\) setzt voraus, dass alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind, was meist durch physikalische Symmetrie oder die Information über eine gleiche Anzahl an Objekten begründet wird. Das empirische Ergebnis \(0{,}248\) weicht deutlich von \(0{,}333\) ab. Da nichts über die tatsächliche Anzahl der Kugeln im Behälter bekannt ist, ist die Laplace-Annahme hier nicht gerechtfertigt; das empirische Ergebnis deutet eher auf eine ungleiche Verteilung der Farben hin.

a) \(h = 0{,}248\). Dieser Wert ist ein naheliegender Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit; seine Genauigkeit lässt sich ohne weitere Unsicherheitsanalyse nicht exakt beurteilen. b) Die Aussage ist falsch, da das Laplace-Prinzip nur bei nachgewiesener Gleichwahrscheinlichkeit (z. B. gleiche Anzahl an Kugeln jeder Farbe) gilt. Das empirische Ergebnis spricht gegen diese Annahme, da \(0{,}248\) deutlich kleiner als \(\frac{1}{3}\) ist.

- In Aufgabenteil a) suchst du den klassischen Erwartungswert einer binomialverteilten Größe. - In Aufgabenteil b) musst du die Formel für den Erwartungswert nach der Anzahl der Versuche umstellen. - Erinnere dich für Teil c) daran, wie die relative Häufigkeit aus der Anzahl der Treffer und der Gesamtzahl der Versuche gebildet wird. - Was sagt das Gesetz der großen Zahlen über das Verhältnis von relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit aus?

1. Berechnung des Erwartungswerts für \(n = 800\): \(E = 800 \cdot 0{,}05 = 40\). Der Hauptgewinn ist theoretisch \(40\)-mal zu erwarten. 2. Bestimmung der Gesamtzahl \(n\) bei gegebenem Erwartungswert \(E = 35\): Aus \(35 = n \cdot 0{,}05\) folgt \(n = \frac{35}{0{,}05} = 700\). Das Rad wurde \(700\)-mal gedreht. 3. Berechnung der relativen Häufigkeit \(h\): \(h = \frac{112}{2\,000} = 0{,}056\). Vergleich mit der Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}05\): Die relative Häufigkeit liegt um \(0{,}006\) (bzw. \(0{,}6\,\text{Prozentpunkte}\)) über der theoretischen Wahrscheinlichkeit.

a) \(40\)-mal b) \(700\)-mal c) Relative Häufigkeit: \(0{,}056\) (oder \(5{,}6\,\%\)). Sie weicht um \(0{,}006\) (oder \(0{,}6\,\text{Prozentpunkte}\)) nach oben von der theoretischen Wahrscheinlichkeit (\(0{,}05\)) ab.

- Was muss für die Summe aller Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Einzelergebnisse in einem Zufallsexperiment immer gelten? - Stelle eine Gleichung auf, in der du alle Karten und ihre jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berücksichtigst. - Welche Karten gehören genau zur Menge der „Bildkarten“? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Laplace-Fall?

1. Anwendung der Normierungsbedingung (Axiom von Kolmogorow): Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten im Ergebnisraum muss 1 ergeben. Es gilt \(4 \cdot p + 4 \cdot (1{,}5 \cdot p) = 1\). Dies vereinfacht sich zu \(4p + 6p = 10p = 1\), woraus \(p = 0{,}1\) folgt. 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit von \(E\): Das Ereignis \(E\) umfasst die Karten Bube, Dame und König. Jede dieser Karten hat nach der Gewichtung die Wahrscheinlichkeit \(1{,}5 \cdot 0{,}1 = 0{,}15\). Somit ist \(P(E) = 3 \cdot 0{,}15 = 0{,}45\). 3. Vergleich mit Laplace: Im Laplace-Modell hat jede der 8 Karten die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{8} = 0{,}125\). Die Wahrscheinlichkeit für die drei Bildkarten beträgt dort \(P_L(E) = \frac{3}{8} = 0{,}375\). Das gewichtete Modell liefert eine um \(0{,}075\) höhere Wahrscheinlichkeit für Bildkarten.

a) \(p = 0{,}1\) b) \(P(E) = 0{,}45\) c) Im Laplace-Modell ist \(P_L(E) = 0{,}375\). Die Wahrscheinlichkeit im gewichteten Modell ist somit höher (\(45\,\%\) gegenüber \(37{,}5\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, welche Zahlen zwischen 1 und 12 die jeweiligen Bedingungen erfüllen. - Bei einem Laplace-Experiment ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses das Verhältnis der Anzahl der günstigen Ergebnisse zur Anzahl der möglichen Ergebnisse. - „Oder“ bedeutet in der Mengenlehre die Vereinigung, also alle Elemente, die in mindestens einer der Mengen enthalten sind. - „Und nicht“ bedeutet, dass du die Schnittmenge mit dem Komplementärereignis bildest.

1. Ergebnismengen bestimmen: \(A = \{2; 3; 5; 7; 11\}\) (5 Elemente) \(B = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\) (6 Elemente) \(C = \{9; 10; 11; 12\}\) (4 Elemente) 2. Laplace-Wahrscheinlichkeiten (\(|\Omega| = 12\)): \(P(A) = \frac{5}{12} \approx 0{,}417\) \(P(B) = \frac{6}{12} = 0{,}5\) \(P(C) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\) 3. Verknüpfte Ereignisse: \(A \cup C = \{2; 3; 5; 7; 9; 10; 11; 12\}\) (8 Elemente), daraus folgt \(P(A \cup C) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667\). \(\bar{C} = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}\). Die Schnittmenge \(B \cap \bar{C}\) enthält alle Teiler von 12, die nicht größer als 8 sind: \(\{1; 2; 3; 4; 6\}\) (5 Elemente). Somit ist \(P(B \cap \bar{C}) = \frac{5}{12} \approx 0{,}417\).

1. \(A = \{2; 3; 5; 7; 11\}\), \(B = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\), \(C = \{9; 10; 11; 12\}\) 2. \(P(A) = \frac{5}{12}\), \(P(B) = \frac{1}{2}\), \(P(C) = \frac{1}{3}\) 3. \(P(A \cup C) = \frac{2}{3}\), \(P(B \cap \bar{C}) = \frac{5}{12}\)

- Welche Zahlen zwischen 1 und 10 lassen sich als \(n \cdot n\) schreiben? - Die relative Häufigkeit berechnet man aus der Anzahl der Treffer geteilt durch die Gesamtzahl der Versuche. - Was besagt das Normierungsaxiom über die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse? - Wenn mehrere Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, kannst du ihre Wahrscheinlichkeiten hier einfach addieren.

1. Mögliche Ergebnisse \(\Omega = \{1; 2; \dots; 10\}\), also \(|\Omega| = 10\). Günstige Ergebnisse für \(E\): \(\{1; 4; 9\}\). \(P(E) = \frac{3}{10} = 0{,}3\). 2. Relative Häufigkeit \(h_{500}(10) = \frac{65}{500} = \frac{13}{100} = 0{,}13\). Die Laplace-Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(10) = \frac{1}{10} = 0{,}1\). Vergleich: Die relative Häufigkeit (\(0{,}13\)) liegt über der theoretischen Wahrscheinlichkeit (\(0{,}1\)). 3. Nach den Axiomen von Kolmogorow muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 ergeben: \(9 \cdot q + 0{,}2 = 1 \Rightarrow 9q = 0{,}8 \Rightarrow q = \frac{0{,}8}{9} = \frac{8}{90} = \frac{4}{45} \approx 0{,}089\). Ungerade Zahlen sind \(\{1; 3; 5; 7; 9\}\) (5 Stück). Da jede dieser Zahlen die Wahrscheinlichkeit \(q\) besitzt: \(P(\text{ungerade}) = 5 \cdot q = 5 \cdot \frac{4}{45} = \frac{4}{9} \approx 0{,}444\).

1. \(P(E) = 0{,}3\) 2. \(h = 0{,}13\); dieser Wert ist höher als die Laplace-Wahrscheinlichkeit \(0{,}1\). 3. \(q = \frac{4}{45}\); \(P(\text{ungerade}) = \frac{4}{9}\)

- Was bedeutet „Laplace-Experiment“ für die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Ergebnisses? - Überlege dir zuerst, welche Zahlen zwischen 1 und 8 Primzahlen sind und welche Quadratzahlen sind. - Wie berechnet man die relative Häufigkeit aus der Anzahl der Treffer und der Gesamtzahl der Versuche? - Denk daran, wie sich Zufallsergebnisse verhalten, wenn man ein Experiment sehr oft wiederholt.

1. Der Ergebnisraum ist \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\) mit \(|\Omega| = 8\). Die Primzahlen in \(\Omega\) sind \(\{2, 3, 5, 7\}\) und die Quadratzahlen sind \(\{1, 4\}\). Die Ergebnismenge für das Ereignis \(A\) ist somit \(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 7\}\). Da \(|A| = 6\), gilt nach der Laplace-Regel \(P(A) = \frac{6}{8} = 0{,}75\). 2. Die empirische Wahrscheinlichkeit entspricht der relativen Häufigkeit \(h(A) = \frac{185}{250}\). Durch Rechnung ergibt sich \(h(A) = 0{,}74\). Der Vergleich zeigt eine geringe Abweichung von \(0{,}01\) zum theoretischen Laplace-Wert. 3. Das Laplace-Modell ist ein theoretisches Konstrukt, das auf Symmetrieannahmen basiert. Die relative Häufigkeit ist ein empirischer Wert aus Beobachtungen. Gemäß dem Gesetz der großen Zahlen stabilisiert sich die relative Häufigkeit bei zunehmender Anzahl der Versuche um den theoretischen Wahrscheinlichkeitswert.

1. \(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 7\}\); \(P(A) = 0{,}75\) 2. \(h(A) = 0{,}74\). Die relative Häufigkeit liegt sehr nah am theoretischen Wert. 3. Die relative Häufigkeit nähert sich nach dem Gesetz der großen Zahlen mit steigender Versuchsanzahl der theoretischen Wahrscheinlichkeit an.

- Welche Eigenschaft müssen alle Wahrscheinlichkeiten eines Ergebnisraums in der Summe erfüllen? - Wie unterscheidet sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei einem Laplace-Experiment von einer allgemeineren Verteilung? - Vergleiche die beobachtete Häufigkeit eines einzelnen Ergebnisses mit den theoretischen Werten der Modelle.

1. Nach den Axiomen von Kolmogorow muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 ergeben: \(P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1\). Einsetzen ergibt \(3 \cdot 0{,}1 + 3 \cdot x = 1\), woraus \(0{,}3 + 3x = 1\) folgt. Somit ist \(3x = 0{,}7\) und \(x = \frac{7}{30} \approx 0{,}233\). 2. Ereignis \(E = \{4, 5, 6\}\). Im Modell 1: \(P_1(E) = P(4) + P(5) + P(6) = \frac{7}{30} + 0{,}1 + \frac{7}{30} = \frac{14}{30} + \frac{3}{30} = \frac{17}{30} \approx 0{,}567\). Im Laplace-Modell: \(P_L(E) = \frac{3}{6} = 0{,}5\). 3. Die relative Häufigkeit für das Ergebnis „6“ beträgt \(h(6) = \frac{140}{600} = \frac{14}{60} = \frac{7}{30} \approx 0{,}233\). Im Modell 1 ist \(P(6) = \frac{7}{30}\), im Laplace-Modell ist \(P(6) = \frac{1}{6} \approx 0{,}167\). Da die relative Häufigkeit exakt dem Wert von Modell 1 entspricht, beschreibt dieses Modell die Realität hier besser.

1. \(x = \frac{7}{30} \approx 0{,}233\) 2. Modell 1: \(P_1(E) = \frac{17}{30} \approx 0{,}567\); Laplace: \(P_L(E) = 0{,}5\) 3. Modell 1 beschreibt die Realität besser, da \(P(6) = \frac{7}{30}\) exakt der relativen Häufigkeit \(h(6) = \frac{140}{600}\) entspricht.

- Überlege dir zuerst, wie viele Personen insgesamt befragt wurden und wie viele davon die genannten Kriterien erfüllen. - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeit eines Einzelnen, wenn alle Ergebnisse „gleich wahrscheinlich“ sind? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen einer beobachteten Häufigkeit in einer Stichprobe und einem theoretischen Modellwert. - Wie verändert sich die Verlässlichkeit einer Beobachtung, wenn man immer mehr Daten sammelt?

1. Bestimmung der Gesamtzahl \(N = 1000\). 2. Berechnung der relativen Häufigkeit für Bahnfahrer: \(h(B) = \frac{180 + 320}{1000} = \frac{500}{1000} = 0{,}5\). 3. Berechnung der relativen Häufigkeit für die Schnittmenge (Pendler und Bahn): \(h(P \cap B) = \frac{180}{1000} = 0{,}18\). 4. Berechnung der bedingten relativen Häufigkeit (Bahn unter Pendler): \(h_P(B) = \frac{180}{420 + 180} = \frac{180}{600} = 0{,}3\). 5. Interpretation als Laplace-Wahrscheinlichkeit: Dies ist möglich, wenn das Zufallsexperiment darin besteht, eine Person so auszuwählen, dass jede der \(1000\) Personen die exakt gleiche Wahrscheinlichkeit (\(p = \frac{1}{1000}\)) hat, gezogen zu werden. 6. Gesetz der großen Zahlen: Die relative Häufigkeit \(h_n(E)\) stabilisiert sich bei einer sehr großen Anzahl an Versuchen (bzw. einer sehr großen Stichprobe) um einen festen Wert, der als die theoretische Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) des Ereignisses interpretiert werden kann.

a) (1) \(0{,}5\); (2) \(0{,}18\); (3) \(0{,}3\) b) Die Interpretation als Laplace-Wahrscheinlichkeit ist zulässig, wenn jede befragte Person mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ausgewählt wird (Modell der herkömmlichen Zufallsauswahl). c) Nach dem Gesetz der großen Zahlen nähert sich die relative Häufigkeit bei steigendem Stichprobenumfang der theoretischen Wahrscheinlichkeit an.

- Was bedeutet das Verhältnis „\(a\) zu \(b\)“ für die Gesamtzahl der möglichen Ausgänge? - Wie hängen die Anzahl der günstigen Ergebnisse und die Anzahl der ungünstigen Ergebnisse mit der Gesamtwahrscheinlichkeit zusammen? - Achte bei Aufgabenteil c) genau auf die Formulierung „gegen einen Gewinn“. - Kannst du eine Dezimalzahl in einen gekürzten Bruch umwandeln, um das Verhältnis leichter zu finden?

1. Bei Chancen von \(3\) zu \(5\) kommen auf \(3\) Gewinne insgesamt \(5\) Verluste. Die Gesamtzahl der Fälle ist \(3 + 5 = 8\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(G) = \frac{3}{8} = 0{,}375\). 2. Die Wahrscheinlichkeit \(P(E) = 0{,}375 = \frac{375}{1\,000} = \frac{3}{8}\). Das bedeutet, bei \(8\) Versuchen gibt es \(3\) Erfolge und \(8 - 3 = 5\) Misserfolge. Die Chancen stehen somit \(3\) zu \(5\). 3. „Chancen gegen einen Gewinn“ von \(9\) zu \(1\) bedeutet \(9\) Verluste auf \(1\) Gewinn. Die Gesamtzahl der Fälle ist \(10\). Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist \(P(G) = \frac{1}{10} = 0{,}1\). 4. Bei Chancen von \(x\) zu \(y\) entfallen \(x\) günstige Ausgänge auf \(y\) ungünstige Ausgänge. Die Gesamtzahl der gleichwahrscheinlichen Ausgänge ist \(x + y\). Daraus ergibt sich die Wahrscheinlichkeit \(P(G) = \frac{x}{x + y}\).

a) \(P(G) = \frac{3}{8} = 0{,}375\) b) \(3\) zu \(5\) c) \(P(G) = \frac{1}{10} = 0{,}1\) d) \(P(G) = \frac{x}{x + y}\)

- Wie hängen die absolute Häufigkeit, die Gesamtzahl der Versuche und die relative Häufigkeit zusammen? - Erinnere dich an die Formel für den Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße. - Was kennzeichnet ein Laplace-Experiment hinsichtlich der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse? - Überlege, wie du den Durchschnitt der möglichen Augenzahlen bei gleicher Wahrscheinlichkeit berechnest.

1. Berechnung der relativen Häufigkeiten als Schätzwerte für die Wahrscheinlichkeiten \(P(X=i) = \frac{H_n(i)}{n}\) mit \(n = 1000\): \(P(X=1) \approx 0{,}21\); \(P(X=2) \approx 0{,}29\); \(P(X=3) \approx 0{,}24\); \(P(X=4) \approx 0{,}26\). 2. Berechnung des empirischen Erwartungswerts: \(E(X) = 1 \cdot 0{,}21 + 2 \cdot 0{,}29 + 3 \cdot 0{,}24 + 4 \cdot 0{,}26 = 0{,}21 + 0{,}58 + 0{,}72 + 1{,}04 = 2{,}55\). 3. Der theoretische Erwartungswert eines idealen Tetraeders (Laplace-Experiment) beträgt \(E_{Laplace}(X) = \frac{1+2+3+4}{4} = 2{,}5\). Der empirische Wert liegt um \(0{,}05\) höher als der theoretische Wert.

1. \(P(X=1) \approx 0{,}21\); \(P(X=2) \approx 0{,}29\); \(P(X=3) \approx 0{,}24\); \(P(X=4) \approx 0{,}26\) 2. \(E(X) = 2{,}55\) 3. \(E_{Laplace}(X) = 2{,}5\); der Schätzwert ist geringfügig größer.

- Was bedeutet „mindestens ein Fehler“ mathematisch für die Werte von \(X\)? - Du kannst die Wahrscheinlichkeit für „mindestens einen Fehler“ entweder durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten oder über das Gegenereignis finden. - Berechne zuerst, wie viele Fehler man im Durchschnitt pro einzelner Platine erwartet. - Wie skaliert man den Erwartungswert einer einzelnen Platine auf eine größere Menge?

1. Berechnung der relativen Häufigkeiten bei \(n = 4000\): \(P(X=0) \approx \frac{3600}{4000} = 0{,}90\) \(P(X=1) \approx \frac{320}{4000} = 0{,}08\) \(P(X=2) \approx \frac{80}{4000} = 0{,}02\) 2. Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Fehler: \(P(X \ge 1) = P(X=1) + P(X=2) = 0{,}08 + 0{,}02 = 0{,}10\) (oder über das Gegenereignis \(1 - P(X=0) = 0{,}10\)). 3. Erwartungswert der Fehler pro Platine: \(E(X) = 0 \cdot 0{,}90 + 1 \cdot 0{,}08 + 2 \cdot 0{,}02 = 0{,}12\). Gesamtzahl der Fehler bei \(500\) Platinen: \(500 \cdot E(X) = 500 \cdot 0{,}12 = 60\).

1. \(P(X=0) \approx 0{,}90\); \(P(X=1) \approx 0{,}08\); \(P(X=2) \approx 0{,}02\) 2. \(P(X \ge 1) \approx 0{,}10\) 3. Es sind insgesamt \(60\) Fehler zu erwarten.

- Überlege dir, wie man den Anteil der Personen berechnet, die von einer bestimmten Altersgruppe ausgehend eine höhere Altersgruppe erreichen. - Was bedeutet es für die Berechnung, wenn wir bereits wissen, dass eine Person ein bestimmtes Alter erreicht hat? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen theoretisch hergeleiteten Modellen (wie beim Würfeln) und Modellen, die auf Beobachtungen beruhen. - Welche Informationen liefert uns die Tabelle über die Grundgesamtheit?

1. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten für Teilaufgabe a) mit der Formel \(P(70|40) = \frac{\text{Überlebende mit 70}}{\text{Überlebende mit 40}}\): - Für 1960: \(P_{1960}(70|40) = \frac{52\,100}{92\,400} \approx 0{,}5639\) - Für 2020: \(P_{2020}(70|40) = \frac{84\,500}{98\,800} \approx 0{,}8553\) 2. Berechnung für Teilaufgabe b) mit der Formel \(P(85|40) = \frac{\text{Überlebende mit 85}}{\text{Überlebende mit 40}}\): - Für 1960: \(P_{1960}(85|40) = \frac{12\,300}{92\,400} \approx 0{,}1331\) - Für 2020: \(P_{2020}(85|40) = \frac{42\,600}{98\,800} \approx 0{,}4312\) 3. Begründung für Teilaufgabe c): Es handelt sich um empirische Wahrscheinlichkeiten, da sie auf der Auswertung statistischer Daten (relativen Häufigkeiten) basieren. Eine Laplace-Wahrscheinlichkeit würde voraussetzen, dass alle Elementarereignisse (hier: Sterbealter) gleich wahrscheinlich sind, was biologisch und statistisch nicht der Fall ist.

a) \(1960 \approx 0{,}5639\) (\(56{,}39\,\%\)); \(2020 \approx 0{,}8553\) (\(85{,}53\,\%\)) b) \(1960 \approx 0{,}1331\) (\(13{,}31\,\%\)); \(2020 \approx 0{,}4312\) (\(43{,}12\,\%\)) c) Es sind empirische Wahrscheinlichkeiten, da sie auf beobachteten relativen Häufigkeiten basieren und nicht auf der Annahme gleichwahrscheinlicher Elementarereignisse (Laplace).

- Konzentriere dich bei bedingten Wahrscheinlichkeiten nur auf die Gruppe von Geräten, die die Bedingung (z. B. „funktioniert noch nach 12 Monaten“) erfüllt. - Wie berechnet man die Anzahl der Geräte, die in einem bestimmten Zeitraum kaputtgegangen sind? - Überlege, was die Voraussetzung für ein Laplace-Experiment ist und ob diese hier bei der Lebensdauer von Technik erfüllt sein kann.

1. Zu a): Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(\text{funktioniert bei 36} | \text{funktioniert bei 12})\). Berechnung: \(\frac{25\,000}{48\,500} \approx 0{,}5155\). 2. Zu b): Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für einen Ausfall im Intervall \([24; 36]\), gegeben das Gerät funktioniert bei \(24\). Anzahl der Ausfälle zwischen 24 und 36 Monaten: \(42\,000 - 25\,000 = 17\,000\). Berechnung: \(P(\text{Ausfall } 24 \to 36 | \text{funktioniert bei 24}) = \frac{17\,000}{42\,000} \approx 0{,}4048\). 3. Zu c): Ein Laplace-Modell setzt voraus, dass alle möglichen Ergebnisse (z. B. „Ausfall in Monat 1, 2, 3, …“) gleich wahrscheinlich sind. Die Daten zeigen jedoch, dass die Ausfallhäufigkeit mit der Zeit stark variiert (Verschleiß), weshalb die Elementarereignisse nicht gleichwahrscheinlich sind.

a) \(\approx 0{,}5155\) (\(51{,}55\,\%\)) b) \(\approx 0{,}4048\) (\(40{,}48\,\%\)) c) Da die Ausfallwahrscheinlichkeit zeitabhängig ist (Verschleiß), sind die Ergebnisse „Ausfall zum Zeitpunkt \(t\)“ nicht gleichwahrscheinlich, was die Bedingung für ein Laplace-Modell verletzt.

- Überlege dir, wie viele gleich wahrscheinliche Ergebnisse der Würfel hat und wie viele davon eintreten müssen, um die Zielwahrscheinlichkeit zu erreichen. - Kannst du die Wahrscheinlichkeit \(0{,}4\) als Bruch mit dem Nenner \(6\) schreiben? - Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es insgesamt, wenn man einen Würfel zweimal nacheinander wirft? - Erstelle eine Liste oder eine Tabelle für alle möglichen Paare beim zweifachen Wurf, um die Anzahl der günstigen Ergebnisse zu bestimmen.

1. Da ein fairer Würfel sechs gleich wahrscheinliche Ergebnisse hat (\(P(\omega) = \frac{1}{6}\)), entspricht die Wahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{3}\) genau \(\frac{2}{6}\). Man ordnet daher zwei beliebige Augenzahlen (z. B. \(1\) und \(2\)) dem Erfolg zu. 2. Bei einem Laplace-Würfel muss jede Wahrscheinlichkeit ein Vielfaches von \(\frac{1}{6}\) sein. Die Gleichung \(\frac{k}{6} = 0{,}4 = \frac{2}{5}\) führt zu \(5k = 12\). Da \(k = 2{,}4\) keine ganze Zahl ist, kann keine Teilmenge der Ergebnisse die geforderte Wahrscheinlichkeit exakt abbilden. 3. Beim zweimaligen Werfen gibt es \(6 \cdot 6 = 36\) gleich wahrscheinliche Elementarereignisse. Wegen \(0{,}25 \cdot 36 = 9\) muss man eine Menge von genau \(9\) Paaren als „Erfolg“ definieren. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn bei beiden Würfen jeweils nur die Augenzahlen \(1\), \(2\) oder \(3\) auftreten (\(3 \cdot 3 = 9\) Kombinationen).

a) Man definiert zwei Augenzahlen (z. B. \(1\) und \(2\)) als Erfolg. b) Da \(0{,}4 = \frac{2}{5}\) und \(\frac{k}{6} = \frac{2}{5}\) keine ganzzahlige Lösung für \(k\) besitzt, ist eine exakte Simulation unmöglich. c) Man wirft zweimal (\(36\) Möglichkeiten) und definiert \(9\) dieser Ergebnisse als Erfolg, zum Beispiel wenn beide Augenzahlen kleiner oder gleich \(3\) sind.

- Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, 4 Figuren aus 12 zu ziehen, wenn Wiederholungen möglich sind? - Überlege dir für den Fall, dass alle verschieden sein sollen, wie viele Optionen für die erste, zweite, dritte und vierte Packung jeweils noch übrig bleiben. - Welcher Zusammenhang besteht zwischen „alle verschieden“ und „mindestens zwei gleich“? - Überlege, ob die Wahrscheinlichkeit bei einer Simulation berechnet oder beobachtet wird.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für lauter verschiedene Figuren (Laplace): Es gibt insgesamt \(12^4 = 20\,736\) gleich wahrscheinliche geordnete Folgen von Figuren. Die Anzahl der günstigen Möglichkeiten, bei denen alle Figuren verschieden sind, beträgt \(12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 = 11\,880\). 2. Ergebnis für a): \(P(\text{alle verschieden}) = \frac{11\,880}{20\,736} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{12^4} \approx 0{,}5729\). 3. Berechnung für b) über das Gegenereignis: \(P(\text{mind. eine Dublette}) = 1 - P(\text{alle verschieden}) = 1 - 0{,}5729 = 0{,}4271\). 4. Antwort zu c): Der Laplace-Begriff basiert auf theoretischen Überlegungen zur Gleichwahrscheinlichkeit aller Elementarereignisse im Modell. Der empirische Begriff stützt sich auf die relative Häufigkeit eines Ereignisses bei einer großen Zahl von Versuchen (Gesetz der großen Zahlen), die durch eine Simulation (z. B. mit Zufallszahlen) erzeugt werden.

a) \(P \approx 57{,}29\,\%\) b) \(P \approx 42{,}71\,\%\) c) Der Laplace-Ansatz berechnet die Wahrscheinlichkeit theoretisch aus dem Verhältnis günstiger zu möglichen Ergebnissen. Der empirische Ansatz schätzt die Wahrscheinlichkeit durch die relative Häufigkeit in einer Versuchsreihe oder Simulation.

- Stell dir vor, du ziehst nacheinander 6 Deckel. Wie groß ist jeweils die Chance, ein noch nicht gezogenes Motiv zu erwischen? - Nutze das Gegenereignis, um die Rechnung für „mindestens zwei“ zu vereinfachen. - Was besagt das Gesetz der großen Zahlen über das Verhältnis von relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit?

1. Berechnung für a): Die Gesamtzahl der geordneten Möglichkeiten bei 6 Deckeln und 25 Motiven ist \(25^6\). Die Anzahl der Möglichkeiten ohne Wiederholung ist \(25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20\). 2. Berechnung: \(P(\text{keine Doppelten}) = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20}{25^6} = \frac{127\,512\,000}{244\,140\,625} \approx 0{,}5223\). 3. Berechnung für b): Das Ereignis „mindestens zwei gleiche“ ist das Gegenereignis zu „keine doppelten“. \(P(\text{mind. zwei gleiche}) = 1 - 0{,}5223 = 0{,}4777\). 4. Erklärung zu c): Simulationen liefern relative Häufigkeiten, die zufälligen Schwankungen unterliegen. Erst für eine unendlich große Anzahl an Versuchen nähert sich die relative Häufigkeit nach dem Gesetz der großen Zahlen der theoretischen Wahrscheinlichkeit an. Bei 1000 Versuchen ist eine statistische Abweichung zu erwarten.

a) \(P \approx 52{,}23\,\%\) b) \(P \approx 47{,}77\,\%\) c) Aufgrund von Zufallsschwankungen weicht die relative Häufigkeit einer Stichprobe (Simulation) meist vom theoretischen Wert ab; eine exakte Übereinstimmung ist bei nur 1000 Versuchen unwahrscheinlich.

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 Objekte in eine Reihe zu bringen. - Du kannst die Personen mit den Zahlen 1, 2, 3 und 4 nummerieren. Ein „Treffer“ ist dann eine Verteilung, bei der z. B. die 1 an der ersten Stelle steht. - Erstelle eine Liste aller Kombinationen, bei denen keine Zahl an ihrem ursprünglichen Platz steht. - Nutze die Regel für Gegenereignisse, um die Rechnung in Teilaufgabe c) zu vereinfachen.

1. Die Anzahl der möglichen Verteilungen (Permutationen) von 4 Mänteln auf 4 Personen beträgt \(4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\). 2. Sei \(1, 2, 3, 4\) die richtige Zuordnung. Die Fälle ohne Übereinstimmung (Derangements) sind: \((2, 1, 4, 3)\), \((2, 3, 4, 1)\), \((2, 4, 1, 3)\), \((3, 1, 4, 2)\), \((3, 4, 1, 2)\), \((3, 4, 2, 1)\), \((4, 1, 2, 3)\), \((4, 3, 1, 2)\), \((4, 3, 2, 1)\). Das sind insgesamt 9 Fälle. 3. Die Wahrscheinlichkeit, dass niemand seinen eigenen Mantel erhält, ist \(P(\text{kein Treffer}) = \frac{9}{24} = \frac{3}{8} = 0{,}375\). 4. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer ist das Gegenereignis zu „kein Treffer“: \(P(\text{mind. ein Treffer}) = 1 - 0{,}375 = 0{,}625\).

a) Es gibt 24 Möglichkeiten. b) Es gibt 9 solcher Fälle; die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}375\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}625\).

- Wie könnte man Zufallszahlen nutzen, um eine zufällige Reihenfolge zu erzeugen? - Erinnere dich an die Definition der relativen Häufigkeit: Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch die Gesamtzahl der Versuche. - Was besagt das Gesetz der großen Zahlen über den Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und theoretischer Wahrscheinlichkeit?

1. Simulation: In einer Tabellenkalkulation kann man in einer Zeile 100 Zufallszahlen erzeugen und deren Rangfolge bestimmen (oder eine Liste von 1 bis 100 zufällig sortieren). Dann wird geprüft, ob für mindestens ein \(i \in \{1, \dots, 100\}\) der Wert an Stelle \(i\) gleich \(i\) ist. Dieser Vorgang wird vielfach wiederholt. 2. Berechnung der relativen Häufigkeit: \(h_n(A) = \frac{3\,162}{5\,000} = 0{,}6324\). 3. Vergleich und Beurteilung: Der Schätzwert \(0{,}6324\) liegt sehr nah am theoretischen Wert von ca. \(0{,}6321\) (Abweichung nur \(0{,}0003\)). Nach dem Gesetz der großen Zahlen stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten bei steigender Versuchsanzahl um die theoretische Wahrscheinlichkeit. Der beobachtete Schätzwert liegt in dieser Versuchsreihe sehr nahe am theoretischen Wert; daraus folgt jedoch keine allgemeine Genauigkeitsgarantie für jede Simulation mit \(5\,000\) Durchläufen.

a) Erzeugung von Zufallspermutationen und Abgleich der Positionen mit den Werten. b) Die relative Häufigkeit beträgt \(0{,}6324\). c) Der Schätzwert ist sehr präzise, da die Abweichung zum theoretischen Wert minimal ist, was der Erwartung bei einer großen Anzahl an Versuchen entspricht.

- Überlege dir, wie sich die Größe der Schnittmenge auf die Vereinigungsmenge auswirkt. - Wann ist die Fläche, die zwei Kreise in einem Venn-Diagramm abdecken, am kleinsten und wann am größten? - Denk an die allgemeine Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten. - Was bedeutet es für die Personengruppen, wenn die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung genau der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten entspricht?

1. Die Wahrscheinlichkeiten sind \(P(A) = 0{,}45\) und \(P(B) = 0{,}35\). Nach der Formel \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) hängen die Schranken vom Schnittereignis ab. Die untere Schranke ergibt sich, wenn ein Ereignis Teilmenge des anderen ist: \(P(A \cup B) \ge \max(P(A), P(B)) = 0{,}45\). Die obere Schranke ergibt sich für disjunkte Ereignisse: \(P(A \cup B) \le P(A) + P(B) = 0{,}45 + 0{,}35 = 0{,}80\). Das Intervall ist \([0{,}45; 0{,}80]\). 2. Die untere Grenze \(0{,}45\) wird erreicht, wenn alle Käufer von Produkt B auch Produkt A kaufen (\(B \subset A\)). Die obere Grenze \(0{,}80\) wird erreicht, wenn niemand beide Produkte gleichzeitig kauft (\(A \cap B = \emptyset\)), die Käufergruppen also vollkommen getrennt sind.

1. Das Intervall ist \([0{,}45; 0{,}80]\). 2. Untere Grenze (\(0{,}45\)): Alle Käufer von B kaufen auch A (\(B \subseteq A\)). Obere Grenze (\(0{,}80\)): Niemand kauft beide Produkte (\(A \cap B = \emptyset\)).

- Welche Obergrenze gibt es für die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Ereignisses? - Nutze die allgemeine Summenregel \(P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)\), um Zusammenhänge zwischen den Werten herzustellen. - Überlege dir, wie groß die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten im Vergleich zum maximal möglichen Wert 1 ist. - Das Ereignis „keines von beiden“ ist das Gegenteil von „mindestens eines von beiden“.

1. Prüfung auf Unvereinbarkeit: Wären \(E\) und \(F\) unvereinbar, müsste laut Additionsaxiom \(P(E \cup F) = P(E) + P(F)\) gelten. Hier wäre \(0{,}65 + 0{,}55 = 1{,}20\). Da Wahrscheinlichkeiten maximal 1 betragen können (\(P(E \cup F) \le 1\)), ist dies unmöglich. Die Ereignisse müssen also eine Schnittmenge besitzen. 2. Minimaler Wert für \(P(E \cap F)\): Da \(P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)\) und \(P(E \cup F) \le 1\), folgt \(P(E \cap F) \ge P(E) + P(F) - 1\). Einsetzen ergibt \(0{,}65 + 0{,}55 - 1 = 0{,}20\). 3. Berechnung von \(P(E \cap F)\) bei \(P(E \cup F) = 0{,}85\): Umstellen der Summenregel ergibt \(P(E \cap F) = P(E) + P(F) - P(E \cup F) = 0{,}65 + 0{,}55 - 0{,}85 = 0{,}35\). 4. Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses: Die Wahrscheinlichkeit, dass weder \(E\) noch \(F\) eintritt, ist \(P(\overline{E \cup F}) = 1 - P(E \cup F) = 1 - 0{,}85 = 0{,}15\).

a) Wären sie unvereinbar, wäre \(P(E \cup F) = 1{,}2 > 1\), was den Axiomen widerspricht. b) \(P(E \cap F)_{\min} = 0{,}20\) c) \(P(E \cap F) = 0{,}35\) d) \(P(\text{keines}) = 0{,}15\)

- Stelle dir die Ergebnismenge als Tabelle oder Gitter vor. - Überlege bei Teilaufgabe b), ob es einfacher ist, das Gegenereignis zu betrachten oder den Additionssatz zu nutzen. - Welche Zahlen zwischen 1 und 12 lassen sich als \(2^k\) schreiben? - Prüfe beim Produkt genau, welche Primfaktoren in den Augenzahlen enthalten sein dürfen.

1. Der Ergebnisraum \(\Omega\) hat eine Mächtigkeit von \(|\Omega| = 8 \cdot 12 = 96\). 2. Für Ereignis a) (Summe 10) gibt es die günstigen Paare \((O, D)\): \((2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (7, 3), (8, 2)\) und \((1, 9)\). Da alle zweiten Komponenten im Bereich 1 bis 12 liegen, gibt es 8 günstige Ergebnisse. \(P(A) = \frac{8}{96} = \frac{1}{12}\). 3. Für Ereignis b) nutzt man den Additionssatz: \(P(O=7 \cup D=7) = P(O=7) + P(D=7) - P(O=7 \cap D=7) = \frac{1}{8} + \frac{1}{12} - \frac{1}{96} = \frac{12 + 8 - 1}{96} = \frac{19}{96}\). 4. Für Ereignis c) müssen beide Augenzahlen selbst Zweierpotenzen sein, da Primfaktoren außer 2 nicht vorkommen dürfen. Mögliche Werte für \(O\) sind \(\{1, 2, 4, 8\}\) (4 Werte) und für \(D\) ebenfalls \(\{1, 2, 4, 8\}\) (4 Werte). Die Anzahl der Kombinationen ist \(4 \cdot 4 = 16\). \(P(C) = \frac{16}{96} = \frac{1}{6}\).

a) \(P = \frac{1}{12} \approx 0{,}0833\) b) \(P = \frac{19}{96} \approx 0{,}1979\) c) \(P = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667\)

- Achte bei der Teilbarkeit darauf, ob es Zahlen gibt, die in beiden Gruppen vorkommen. - „Weder noch“ lässt sich als Gegenereignis zu „mindestens eine der beiden Bedingungen“ auffassen. - Nutze die Eigenschaft, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einem Zufallsexperiment immer 1 ergeben muss.

1. Für a) sei \(A\) das Ereignis „teilbar durch 4“ (\(\{4, 8, 12, 16, 20\}\), \(|A|=5\)) und \(B\) „teilbar durch 6“ (\(\{6, 12, 18\}\), \(|B|=3\)). Die Schnittmenge ist \(A \cap B = \{12\}\) (\(|A \cap B|=1\)). Nach dem Additionssatz: \(P(A \cup B) = \frac{5 + 3 - 1}{20} = \frac{7}{20} = 0{,}35\). 2. Für b) sei \(C\) „teilbar durch 3“ (\(\{3, 6, 9, 12, 15, 18\}\), \(|C|=6\)) und \(D\) „teilbar durch 5“ (\(\{5, 10, 15, 20\}\), \(|D|=4\)). Die Schnittmenge ist \(C \cap D = \{15\}\) (\(|C \cap D|=1\)). Die Mächtigkeit der Vereinigung ist \(6 + 4 - 1 = 9\). Das gesuchte Ereignis ist das Komplement dazu: \(20 - 9 = 11\) günstige Ergebnisse. \(P = \frac{11}{20} = 0{,}55\). 3. Für c) gilt nach den Axiomen von Kolmogorow: \(\sum P(\omega_i) = 1\). Mit \(P(1) = \dots = P(19) = x\) und \(P(20) = 0{,}1\) folgt: \(19x + 0{,}1 = 1\). Daraus ergibt sich \(19x = 0{,}9\), also \(x = \frac{0{,}9}{19} = \frac{9}{190}\).

a) \(P = \frac{7}{20} = 0{,}35\) b) \(P = \frac{11}{20} = 0{,}55\) c) \(P(1) = \frac{9}{190} \approx 0{,}0474\)

- Überlege dir, wie viele mögliche Ergebnisse es insgesamt beim Wurf von zwei achtseitigen Würfeln gibt. - Ist es einfacher, die günstigen Ergebnisse direkt zu zählen oder über das Ereignis „keiner der Würfel erfüllt die Bedingung“ zu gehen? - Welche Zahlen zwischen 1 und 8 sind Primzahlen? Denke daran, dass die 1 per Definition keine Primzahl ist. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten der Einzelwürfe mit dem Gesamtergebnis zusammen, wenn die Würfel sich nicht gegenseitig beeinflussen?

1. Für einen einzelnen Würfel ist die Ergebnismenge \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\). Da die Würfe unabhängig sind, berechnet sich die Wahrscheinlichkeit für „mindestens einer“ über das Gegenereignis: \(P(E) = 1 - q^2\), wobei \(q\) die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein einzelner Würfel die jeweilige Bedingung nicht erfüllt. 2. Zu (1): Die Wahrscheinlichkeit für eine 8 ist \(p = \frac{1}{8}\). Die Wahrscheinlichkeit, dass keine 8 erscheint, ist \(q = \frac{7}{8}\). Somit gilt \(P(\text{mind. eine 8}) = 1 - (\frac{7}{8})^2 = 1 - \frac{49}{64} = \frac{15}{64}\). 3. Zu (2): Die Primzahlen im Bereich 1 bis 8 sind \(\{2, 3, 5, 7\}\), also \(p = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\). Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis ist ebenfalls \(\frac{1}{2}\). Somit gilt \(P(\text{mind. eine Primzahl}) = 1 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4}\). 4. Zu (3): Die Augenzahlen kleiner als 3 sind \(\{1, 2\}\), also \(p = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\). Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis ist \(q = \frac{3}{4}\). Somit gilt \(P(\text{mind. eine } < 3) = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}\).

(1) \(P = \frac{15}{64} \approx 0{,}2344\) (2) \(P = \frac{3}{4} = 0{,}75\) (3) \(P = \frac{7}{16} = 0{,}4375\)

- Bestimme zuerst, wie viele der Zahlen von 1 bis 10 durch 3 teilbar sind. - Da das Rad zweimal gedreht wird, kannst du die Pfadregeln im Baumdiagramm oder die Formel für die Binomialverteilung nutzen. - Was bedeutet „die erste oder die zweite Zahl (oder beide)“ für den Wert der Zufallsgröße \(X\)? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit für „mindestens einen Treffer“ einfach aus deiner Tabelle in Teil a) ablesen oder berechnen?

1. Die Zahlen im Bereich 1 bis 10, die durch 3 teilbar sind, sind \(\{3, 6, 9\}\). Damit ist die Trefferwahrscheinlichkeit bei einem Dreh \(p = \frac{3}{10} = 0{,}3\) und die Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 0{,}7\). 2. Da es sich um \(n=2\) unabhängige Versuche handelt, ist \(X\) binomialverteilt mit \(B(2; 0{,}3)\). 3. Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen: \(P(X=0) = 0{,}7^2 = 0{,}49\) \(P(X=1) = 2 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 0{,}42\) \(P(X=2) = 0{,}3^2 = 0{,}09\) 4. Zu b): Das Ereignis entspricht \(P(X \ge 1)\). Berechnung: \(P(X=1) + P(X=2) = 0{,}42 + 0{,}09 = 0{,}51\) (oder über das Gegenereignis \(1 - 0{,}49 = 0{,}51\)). 5. Zu c): Die Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer ist \(P(X=1) = 0{,}42\). Da \(0{,}51 > 0{,}42\), ist das Ereignis aus b) wahrscheinlicher.

a) <table> <tr><td>\(k\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td></tr> <tr><td>\(P(X=k)\)</td><td>\(0{,}49\)</td><td>\(0{,}42\)</td><td>\(0{,}09\)</td></tr> </table> b) \(P(X \ge 1) = 0{,}51\) c) Das Ereignis „mindestens eine Zahl durch 3 teilbar“ (\(0{,}51\)) ist wahrscheinlicher als „genau eine Zahl durch 3 teilbar“ (\(0{,}42\)).

- Wie viele Zahlen zwischen 1 und 100 sind durch 8 teilbar? - Gibt es Zahlen, die sowohl in Ereignis A als auch in Ereignis B vorkommen? - Welche Formel hilft dir, wenn sich zwei Ereignisse überschneiden? - Wann spricht man in der Stochastik von einem Laplace-Experiment?

1. Anzahl der günstigen Ergebnisse für \(A\): Die Vielfachen von \(8\) bis \(100\) sind \(8, 16, \dots, 96\). Da \(100 : 8 = 12{,}5\), gibt es \(|A| = 12\) günstige Ergebnisse. Somit ist \(P(A) = \frac{12}{100} = 0{,}12\). 2. Anzahl der günstigen Ergebnisse für \(B\): Die Vielfachen von \(12\) bis \(100\) sind \(12, 24, \dots, 96\). Da \(100 : 12 \approx 8{,}33\), gibt es \(|B| = 8\) günstige Ergebnisse. Somit ist \(P(B) = \frac{8}{100} = 0{,}08\). 3. Schnittmenge \(A \cap B\): Gesucht sind die Vielfachen des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von \(8\) und \(12\), also von \(24\). Dies sind \(\{24, 48, 72, 96\}\). Es gilt \(|A \cap B| = 4\) und \(P(A \cap B) = \frac{4}{100} = 0{,}04\). 4. Anwendung des Additionssatzes: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}12 + 0{,}08 - 0{,}04 = 0{,}16\). 5. Begründung Laplace: Ein Laplace-Experiment liegt vor, wenn alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Dies ist hier gerechtfertigt, da die Kugeln in Form und Gewicht identisch sind und der Ziehungsprozess rein zufällig erfolgt.

a) \(P(A) = 0{,}12\); \(P(B) = 0{,}08\) b) \(P(A \cup B) = 0{,}16\) c) Die Annahme ist gerechtfertigt, da alle Kugeln identisch sind und somit die gleiche Chance haben, gezogen zu werden (Gleichwahrscheinlichkeit der Elementarereignisse).

- Welche Zahlen von 1 bis 10 erfüllen mindestens eine der beiden Bedingungen? - Achte darauf, Zahlen, die beide Bedingungen erfüllen, nicht doppelt zu zählen. - Wie berechnet man das Verhältnis von beobachteten Treffern zur Gesamtzahl der Versuche? - Berücksichtige bei der Beurteilung, dass Zufallsexperimente immer natürlichen Schwankungen unterliegen.

1. Grundmenge \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\) mit \(|S| = 10\). 2. Teilmenge der Primzahlen \(A = \{2, 3, 5, 7\}\) und Teilmenge der ungeraden Zahlen \(B = \{1, 3, 5, 7, 9\}\). 3. Bestimmung der Vereinigungsmenge \(E = A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 9\}\). Es gilt \(|E| = 6\). 4. Theoretische Wahrscheinlichkeit: \(P(E) = \frac{|E|}{|S|} = \frac{6}{10} = 0{,}6\). 5. Relative Häufigkeit: \(h_{200}(E) = \frac{132}{200} = 0{,}66\). 6. Vergleich und Beurteilung: Die Abweichung beträgt \(0{,}06\) bzw. \(6\,\text{Prozentpunkte}\). Bei \(200\) Versuchen liegen solche Schwankungen im üblichen Bereich des Zufalls (Gesetz der großen Zahlen). Die Annahme eines idealen Glücksrads muss daher nicht zwingend verworfen werden, auch wenn die empirische Häufigkeit leicht über dem Erwartungswert liegt.

a) \(P(E) = 0{,}6\) b) \(h_{200}(E) = 0{,}66\). Die relative Häufigkeit ist um \(0{,}06\) höher als die theoretische Wahrscheinlichkeit. c) Die Abweichung ist geringfügig und kann durch Zufallsschwankungen erklärt werden; das Laplace-Modell bleibt plausibel.

- Überlege dir, welche Anzahlen an defekten Chips möglich sind (von \(0\) bis \(100\)). - Wenn ein Ereignis einen bestimmten Bereich abdeckt, welche Zahlen liegen dann außerhalb dieses Bereichs? - Wie drückst du die Verneinung von „kein“ oder „alle“ im Kontext von Zufallsexperimenten aus?

1. Das Ereignis \(E_1\) umfasst die Werte \(X \in \{4, 5, \dots, 100\}\). Das Gegenereignis \(\bar{E}_1\) umfasst somit die Werte \(\{0, 1, 2, 3\}\). Text: Höchstens \(3\) Chips sind defekt. 2. Das Ereignis \(E_2\) umfasst die Werte \(X \in \{10, 11, \dots, 20\}\). Das Gegenereignis \(\bar{E}_2\) umfasst alle Werte kleiner als \(10\) oder größer als \(20\). Text: Weniger als \(10\) oder mehr als \(20\) Chips sind defekt. 3. Das Ereignis \(E_3\) entspricht \(X = 0\). Das Gegenereignis \(\bar{E}_3\) umfasst alle Werte von \(1\) bis \(100\). Text: Mindestens ein Chip ist defekt.

a) \(\bar{E}_1\): Höchstens \(3\) Chips sind defekt. b) \(\bar{E}_2\): Weniger als \(10\) oder mehr als \(20\) Chips sind defekt. c) \(\bar{E}_3\): Mindestens ein Chip ist defekt.

- Wann ist eine Zahl gleichzeitig durch zwei verschiedene Zahlen teilbar? - Was bedeutet das Wort „Gegenereignis“ für die logische Beschreibung einer Bedingung? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses und seines Gegenereignisses mathematisch zusammen? - Wie viele Zahlen in deinem Bereich erfüllen die kombinierte Teilbarkeitsregel?

1. Identifikation der Bedingungen für \(E\): Eine Zahl ist genau dann durch \(4\) und \(6\) teilbar, wenn sie ein Vielfaches des kleinsten gemeinsamen Vielfachen \(\operatorname{kgV}(4; 6) = 12\) ist. 2. Bestimmung der Mächtigkeit von \(E\): Die Vielfachen von \(12\) im Bereich von \(1\) bis \(120\) sind \(12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120\). Es gibt somit \(|E| = 10\) günstige Ergebnisse. 3. Berechnung von \(P(E)\): Da es sich um ein Laplace-Experiment mit \(|\Omega| = 120\) handelt, gilt \(P(E) = \frac{10}{120} = \frac{1}{12} \approx 0{,}0833\). 4. Definition des Gegenereignisses \(\overline{E}\): Die gezogene Nummer ist nicht durch \(4\) oder nicht durch \(6\) teilbar (bzw. nicht durch \(12\) teilbar). 5. Berechnung von \(P(\overline{E})\): Über die Komplementärregel ergibt sich \(P(\overline{E}) = 1 - P(E) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12} \approx 0{,}9167\).

Das Gegenereignis \(\overline{E}\) lautet: „Die Zahl ist nicht durch \(12\) teilbar“ (oder: „Die Zahl ist nicht sowohl durch \(4\) als auch durch \(6\) teilbar“). Die Wahrscheinlichkeiten betragen \(P(E) = \frac{1}{12} \approx 0{,}0833\) und \(P(\overline{E}) = \frac{11}{12} \approx 0{,}9167\).

- Erstelle eine Liste aller Zahlen, die die eine oder die andere Bedingung erfüllen. - Achte darauf, ob es Zahlen gibt, die eventuell beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen könnten. - Ist die Zahl \(1\) eine Primzahl? - Wie lautet die Verneinung von „A oder B“?

1. Auflistung der Primzahlen bis \(50\): \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\). Das sind \(15\) Zahlen. 2. Auflistung der Quadratzahlen bis \(50\): \(1, 4, 9, 16, 25, 36, 49\). Das sind \(7\) Zahlen. 3. Prüfung auf Schnittmengen: Da \(1\) keine Primzahl ist und alle anderen Quadratzahlen \(n^2\) für \(n > 1\) zusammengesetzte Zahlen sind, gibt es keine Überschneidungen. 4. Bestimmung der Mächtigkeit von \(E\): \(|E| = 15 + 7 = 22\). 5. Berechnung von \(P(E)\): Bei \(|\Omega| = 50\) ist \(P(E) = \frac{22}{50} = 0{,}44\). 6. Definition von \(\overline{E}\): Die Zahl ist weder eine Primzahl noch eine Quadratzahl. 7. Berechnung von \(P(\overline{E})\): \(P(\overline{E}) = 1 - 0{,}44 = 0{,}56\).

Das Gegenereignis \(\overline{E}\) lautet: „Die Zahl ist weder eine Primzahl noch eine Quadratzahl“. Die Wahrscheinlichkeiten sind \(P(E) = 0{,}44\) und \(P(\overline{E}) = 0{,}56\).

- Überlege zuerst, wie viele Zahlen im Bereich bis 150 jeweils die geforderte Eigenschaft erfüllen. - Wie findet man Zahlen, die gleichzeitig durch zwei verschiedene Werte teilbar sind? - Erinnere dich an den Additionssatz für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse. - Wenn ein Ereignis eintreten soll, ein anderes aber nicht, kannst du das über die Differenz der Mengen betrachten.

1. Berechnung von \(P(E_1)\) und \(P(E_2)\): Da es sich um ein Laplace-Experiment handelt, gilt \(P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|}\). Mit \(|\Omega| = 150\) ergeben sich \(|E_1| = 150 : 6 = 25\) und \(|E_2| = 150 : 10 = 15\). Somit ist \(P(E_1) = \frac{25}{150} = \frac{1}{6}\) und \(P(E_2) = \frac{15}{150} = \frac{1}{10} = 0{,}1\). 2. Bestimmung von \(E_1 \cap E_2\): Eine Zahl ist genau dann durch 6 und 10 teilbar, wenn sie durch das kleinste gemeinsame Vielfache \(\text{kgV}(6, 10) = 30\) teilbar ist. Die Ergebnismenge ist \(E_1 \cap E_2 = \{30; 60; 90; 120; 150\}\). Es gilt \(|E_1 \cap E_2| = 5\), also \(P(E_1 \cap E_2) = \frac{5}{150} = \frac{1}{30}\). 3. Berechnung von \(P(E_1 \cup E_2)\): Nach dem Additionssatz gilt \(P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2) = \frac{25}{150} + \frac{15}{150} - \frac{5}{150} = \frac{35}{150} = \frac{7}{30}\). 4. Wahrscheinlichkeit für \(E_1 \setminus E_2\): Gesucht ist \(P(E_1 \cap \bar{E_2}) = P(E_1) - P(E_1 \cap E_2) = \frac{25}{150} - \frac{5}{150} = \frac{20}{150} = \frac{2}{15}\).

a) \(P(E_1) = \frac{1}{6}\); \(P(E_2) = \frac{1}{10}\) b) \(E_1 \cap E_2 = \{30; 60; 90; 120; 150\}\); \(P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{30}\) c) \(P(E_1 \cup E_2) = \frac{7}{30}\) d) \(P = \frac{2}{15}\)

- Welche Zahlen zwischen 1 und 20 sind Primzahlen? Beachte, dass die 1 keine Primzahl ist. - Die relative Häufigkeit berechnet sich aus der Anzahl der Treffer geteilt durch die Gesamtzahl der Versuche. - Überlege bei Teilaufgabe c), ob es Zahlen gibt, die beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen. - Wenn zwei Ereignisse keine gemeinsamen Ergebnisse haben, nennt man sie disjunkt.

1. Theoretische Wahrscheinlichkeit \(P(L)\): Die Primzahlen bis 20 sind \(\{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19\}\). Es gibt 8 Primzahlen bei 20 möglichen Ergebnissen, also \(P(L) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0{,}4\). 2. Relative Häufigkeit und Vergleich: Die relative Häufigkeit ist \(h(L) = \frac{195}{500} = 0{,}39\). Die absolute Differenz beträgt \(|0{,}4 - 0{,}39| = 0{,}01\). Dies veranschaulicht das Gesetz der großen Zahlen. 3. Wahrscheinlichkeit von \(M\): Sei \(K\) das Ereignis „durch 4 teilbar“, also \(K = \{4; 8; 12; 16; 20\}\) mit \(|K| = 5\). Da keine Primzahl durch 4 teilbar ist, gilt \(L \cap K = \emptyset\) (disjunkte Ereignisse). Nach dem Axiom für disjunkte Ereignisse gilt \(P(M) = P(L \cup K) = P(L) + P(K) = \frac{8}{20} + \frac{5}{20} = \frac{13}{20} = 0{,}65\).

a) \(P(L) = 0{,}4\) b) \(h(L) = 0{,}39\); Differenz: \(0{,}01\) c) \(P(M) = 0{,}65\). Da die Mengen der Primzahlen und der durch 4 teilbaren Zahlen disjunkt sind, entspricht die Wahrscheinlichkeit der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten.

- Überlege dir zuerst, wie viele mögliche Ergebnisse es insgesamt beim dreimaligen Werfen eines achtseitigen Würfels gibt. - Bei „kleiner als“ Aufgaben kann es helfen, alle Kombinationen systematisch aufzuschreiben, deren Summe den Bedingungen entspricht. - Das Wort „mindestens“ ist oft ein Signal, das Gegenereignis zu betrachten. Wie sieht das Gegenteil von „mindestens einmal die 8“ aus? - Wenn alle Zahlen verschieden sein sollen, wie viele Möglichkeiten hast du dann noch für den zweiten und dritten Wurf, nachdem die erste Zahl feststeht?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Ergebnisse: \(8^3 = 512\). Bestimmung der günstigen Ergebnisse für die Augensumme \(S < 6\): Für \(S=3\) gibt es \((1,1,1)\) (1 Möglichkeit). Für \(S=4\) gibt es \((1,1,2), (1,2,1), (2,1,1)\) (3 Möglichkeiten). Für \(S=5\) gibt es \((1,1,3), (1,3,1), (3,1,1), (1,2,2), (2,1,2), (2,2,1)\) (6 Möglichkeiten). Gesamtzahl günstiger Ergebnisse: \(1 + 3 + 6 = 10\). Wahrscheinlichkeit: \(P(S < 6) = \frac{10}{512} = \frac{5}{256} \approx 0{,}0195\). 2. Verwendung des Gegenereignisses „Die 8 tritt keinmal auf“. Wahrscheinlichkeit für keine 8 pro Wurf: \(\frac{7}{8}\). Wahrscheinlichkeit für keine 8 bei drei Würfen: \((\frac{7}{8})^3 = \frac{343}{512}\). Wahrscheinlichkeit für mindestens eine 8: \(1 - \frac{343}{512} = \frac{169}{512} \approx 0{,}3301\). 3. Berechnung der günstigen Fälle für unterschiedliche Zahlen: Für den ersten Wurf gibt es 8 Möglichkeiten, für den zweiten 7 und für den dritten 6. Anzahl günstiger Ergebnisse: \(8 \cdot 7 \cdot 6 = 336\). Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{verschieden}) = \frac{336}{512} = \frac{21}{32} = 0{,}65625\).

1. \(P(S < 6) = \frac{5}{256} \approx 1{,}95\,\%\) 2. \(P(\text{mind. eine 8}) = \frac{169}{512} \approx 33{,}01\,\%\) 3. \(P(\text{alle verschieden}) = \frac{21}{32} = 65{,}625\,\%\)

- Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es bei drei Ziehungen aus fünf Kugeln mit Zurücklegen? - Um eine Summe von mindestens 13 zu erreichen, müssen die gezogenen Zahlen recht groß sein. Welche Kombinationen von 1 bis 5 ergeben in der Summe 13, 14 oder 15? - Denke bei der zweiten Teilaufgabe an die Struktur einer Bernoulli-Kette. Was ist hier ein „Erfolg“ und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür in jedem einzelnen Zug?

1. Gesamtzahl der Ergebnisse: \(5^3 = 125\). Günstige Ergebnisse für Summe \(S \ge 13\): \(S=15\): \((5,5,5)\) (1 Weg). \(S=14\): \((5,5,4), (5,4,5), (4,5,5)\) (3 Wege). \(S=13\): \((5,5,3), (5,3,5), (3,5,5)\) sowie \((5,4,4), (4,5,4), (4,4,5)\) (insgesamt 6 Wege). Gesamtzahl günstiger Ergebnisse: \(1 + 3 + 6 = 10\). Wahrscheinlichkeit: \(P(S \ge 13) = \frac{10}{125} = \frac{2}{25} = 0{,}08\). 2. Es handelt sich um ein Bernoulli-Experiment mit \(n=3\) und Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\) für die Zahl 2. Gesucht ist \(P(X=1)\). Formel von Bernoulli: \(P(X=1) = \binom{3}{1} \cdot (0{,}2)^1 \cdot (0{,}8)^2 = 3 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}64 = 0{,}384\).

1. \(P(\text{Summe} \ge 13) = 0{,}08 = 8\,\%\) 2. \(P(\text{Zahl 2 genau einmal}) = 0{,}384 = 38{,}4\,\%\)

- Wie viele mögliche Zahlenpaare gibt es insgesamt bei zwei Würfen? - Notiere dir systematisch alle Paare, die die jeweilige Bedingung erfüllen. - Wann darf man die Formel „Anzahl günstige durch Anzahl mögliche Ergebnisse“ anwenden? - Überlege, ob jede Summe auf gleich viele Arten zustande kommen kann.

1. Ein zweifacher Würfelwurf hat \(6 \cdot 6 = 36\) gleichwahrscheinliche Elementarereignisse. - Für \(E_1\) (Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11) ergeben sich folgende Paare: (1,1), (1,2), (2,1), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (5,6), (6,5). Das sind 15 günstige Ergebnisse. \(P(E_1) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \approx 0{,}4167\). - Für \(E_2\) (Produkt durch 4 teilbar) sind günstig: (1,4), (2,2), (2,4), (2,6), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,4), (6,2), (6,4), (6,6). Das sind 15 günstige Ergebnisse. \(P(E_2) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \approx 0{,}4167\). 2. Die Aussage ist falsch. Ein Laplace-Experiment setzt voraus, dass alle betrachteten Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. Während die 36 Paare von Augenzahlen (z. B. (1,2) und (3,3)) gleichwahrscheinlich sind, gilt dies nicht für die daraus resultierenden Summen. So gibt es für die Summe 7 sechs günstige Paare, für die Summe 2 jedoch nur eines. Die Summen sind daher keine Laplace-Ereignisse bezüglich der Ergebnismenge \(\{2, 3, \dots, 12\}\).

1. \(P(E_1) = \frac{5}{12}\); \(P(E_2) = \frac{5}{12}\) 2. Die Aussage ist falsch, da die verschiedenen Augensummen nicht gleichwahrscheinlich sind (die 36 Elementarereignisse des Wurfs hingegen schon).

- Erstelle eine Tabelle oder eine Liste, um die günstigen Paare für die Differenz zu finden. - Bei „mindestens“-Aufgaben ist es oft einfacher, das Gegenteil zu berechnen. - Was bedeutet „relative Häufigkeit“ im Vergleich zur theoretischen Wahrscheinlichkeit? - Bedenke, dass bei Zufallsexperimenten die beobachteten Werte selten exakt die theoretischen Werte treffen.

1. Die Gesamtzahl der gleichwahrscheinlichen Ergebnisse beträgt \(8 \cdot 8 = 64\). Günstige Ergebnisse für eine Differenz von 2 sind: (1,3), (2,4), (3,5), (4,6), (5,7), (6,8) sowie die umgekehrten Paare (3,1), (4,2), (5,3), (6,4), (7,5), (8,6). Dies sind 12 Paare. \(P(\text{Diff}=2) = \frac{12}{64} = \frac{3}{16} = 0{,}1875\). 2. Das Gegenereignis ist „keine 7 und keine 8“, also beide Zahlen aus \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Dafür gibt es \(6 \cdot 6 = 36\) Möglichkeiten. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse für das Ereignis selbst ist \(64 - 36 = 28\). \(P(\text{mind. eine 7 oder 8}) = \frac{28}{64} = \frac{7}{16} = 0{,}4375\). 3. Die relative Häufigkeit beträgt \(h = \frac{4120}{10\,000} = 0{,}412\). Der theoretische Wert liegt bei \(0{,}4375\). Die Abweichung beträgt \(0{,}4375 - 0{,}412 = 0{,}0255\), also \(2{,}55\) Prozentpunkte. Für \(10\,000\) Versuche ist diese Abweichung auffällig groß; die Simulation oder das zugrunde gelegte Modell sollte überprüft werden.

1. \(P = \frac{3}{16} = 0{,}1875\) 2. \(P = \frac{7}{16} = 0{,}4375\) 3. Relative Häufigkeit: \(0{,}412\). Die Abweichung zum theoretischen Wert (\(0{,}4375\)) ist für \(10\,000\) Versuche auffällig groß; Simulation und Modell sollten überprüft werden.

- Was sagt dir die Information über die Personen, die „keiner der beiden Tätigkeiten“ nachgehen, über die Vereinigung der beiden Ereignisse? - Kennst du eine Formel, die die Wahrscheinlichkeiten der Einzelereignisse, ihrer Vereinigung und ihrer Schnittmenge miteinander verknüpft? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten „Liest Bücher“ und „Liest Bücher und treibt Sport“ mit „Liest Bücher, aber treibt keinen Sport“ zusammen? - Vielleicht hilft es dir, die Anteile in einem Venn-Diagramm oder einer Vierfeldertafel darzustellen.

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von mindestens einem der beiden Ereignisse über das Gegenereignis: \(P(S \cup L) = 1 - P(\overline{S} \cap \overline{L}) = 1 - 0{,}38 = 0{,}62\). 2. Anwendung des Additionssatzes für Wahrscheinlichkeiten: \(P(S \cup L) = P(S) + P(L) - P(S \cap L)\). 3. Umstellen nach der gesuchten Schnittmenge für Aufgabenteil a): \(P(S \cap L) = P(S) + P(L) - P(S \cup L) = 0{,}42 + 0{,}35 - 0{,}62 = 0{,}15\). 4. Berechnung der Differenzmenge für Aufgabenteil b): \(P(L \cap \overline{S}) = P(L) - P(S \cap L) = 0{,}35 - 0{,}15 = 0{,}20\).

a) \(P(S \cap L) = 0{,}15\) (oder \(15\,\%\)) b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}20\) (oder \(20\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, wie viele Zahlen zwischen 1 und 100 die jeweilige Bedingung erfüllen. - Was bedeutet das Wort „oder“ in der Mengenlehre für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit? - Gibt es Zahlen, die in beiden Mengen gleichzeitig vorkommen? - Wie hängen die Bedingungen „durch 5 teilbar“ und „durch 20 teilbar“ logisch zusammen?

1. Bestimmung der Mächtigkeiten der Ereignisse im Ergebnisraum \(S = \{1, 2, \dots, 100\}\): \(|A| = \lfloor 100 : 5 \rfloor = 20\) \(|B| = \lfloor 100 : 8 \rfloor = 12\) \(|C| = \lfloor 100 : 20 \rfloor = 5\) 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten (Laplace-Experiment): \(P(A) = \frac{20}{100} = 0{,}2\) \(P(B) = \frac{12}{100} = 0{,}12\) \(P(C) = \frac{5}{100} = 0{,}05\) 3. Schnittmenge \(A \cap B\): Zahlen, die durch \(\text{kgV}(5, 8) = 40\) teilbar sind: \(\{40, 80\}\). Somit \(|A \cap B| = 2\). 4. Additionssatz für \(P(A \cup B)\): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}2 + 0{,}12 - \frac{2}{100} = 0{,}32 - 0{,}02 = 0{,}3\) 5. Schnittmenge \(A \cap C\): Da jede durch \(20\) teilbare Zahl auch durch \(5\) teilbar ist, gilt \(C \subset A\), also \(A \cap C = C\). \(P(A \cap C) = P(C) = 0{,}05\)

\(P(A) = 0{,}2\); \(P(B) = 0{,}12\); \(P(C) = 0{,}05\); \(P(A \cup B) = 0{,}3\); \(P(A \cap C) = 0{,}05\)

- Überlege dir, wie die beiden Gruppen im Extremfall zueinander liegen könnten: Könnte eine Gruppe komplett in der anderen enthalten sein? - Was ist der kleinstmögliche gemeinsame Bereich, wenn die Gruppen so weit wie möglich „auseinandergeschoben“ werden? - Bedenke, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit aller Möglichkeiten niemals \(100\,\%\) überschreiten darf. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten für „A oder B“ und „A und B“ mathematisch zusammen?

1. Definition der Ereignisse: \(S\) für Streaming-Dienst mit \(P(S) = 0{,}75\) und \(M\) für Musik-App mit \(P(M) = 0{,}65\). 2. Für die Schnittmenge \(P(S \cap M)\) gilt: Die maximale Wahrscheinlichkeit tritt ein, wenn das kleinere Ereignis eine Teilmenge des größeren ist, also \(P(S \cap M)_{\text{max}} = \min(0{,}75; 0{,}65) = 0{,}65\). Die minimale Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Bedingung \(P(S \cup M) \le 1\), woraus folgt \(P(S \cap M) \ge P(S) + P(M) - 1\). Somit ist \(P(S \cap M)_{\text{min}} = 0{,}75 + 0{,}65 - 1 = 0{,}40\). 3. Für die Vereinigungsmenge \(P(S \cup M)\) gilt die Formel \(P(S \cup M) = P(S) + P(M) - P(S \cap M)\). Die minimale Wahrscheinlichkeit für die Vereinigung tritt beim maximalen Schnitt auf: \(0{,}75 + 0{,}65 - 0{,}65 = 0{,}75\). Die maximale Wahrscheinlichkeit für die Vereinigung tritt beim minimalen Schnitt auf: \(0{,}75 + 0{,}65 - 0{,}40 = 1{,}00\).

(1) Die Wahrscheinlichkeit für beide Dienste ist mindestens \(40\,\%\) und höchstens \(65\,\%\). (2) Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Dienst ist mindestens \(75\,\%\) und höchstens \(100\,\%\).

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es für jede Stelle gibt und ob sich diese Anzahl während des Vorgangs ändert. - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeit, wenn eine Kugel aus der Urne entfernt wird? - Vergleiche die Wahrscheinlichkeiten für eine Kombination mit gleichen Ziffern und eine mit verschiedenen Ziffern in beiden Modellen.

1. Bei Verfahren A (Ziehen mit Zurücklegen/unabhängige Stufen) ist die Wahrscheinlichkeit für jede Ziffer konstant \(P(z) = \frac{1}{10}\). Damit gilt \(P_A(7777) = (\frac{1}{10})^4 = 0{,}0001\). Bei Verfahren B (Ziehen ohne Zurücklegen) verringert sich die Anzahl der verfügbaren Kugeln einer Ziffer: \(P_B(7777) = \frac{4}{40} \cdot \frac{3}{39} \cdot \frac{2}{38} \cdot \frac{1}{37} = \frac{24}{2\,193\,360} \approx 0{,}0000109\). 2. Bei Verfahren A bleibt die Wahrscheinlichkeit gleich: \(P_A(1234) = (\frac{1}{10})^4 = 0{,}0001\). Bei Verfahren B sind für jede der vier verschiedenen Ziffern anfangs \(4\) Kugeln vorhanden: \(P_B(1234) = \frac{4}{40} \cdot \frac{4}{39} \cdot \frac{4}{38} \cdot \frac{4}{37} = \frac{256}{2\,193\,360} \approx 0{,}0001167\). 3. Verfahren A beschreibt ein Experiment mit unabhängigen Stufen (Ziehen mit Zurücklegen), bei dem das Ergebnis einer Stelle keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeiten der nächsten Stelle hat. Verfahren B ist ein Ziehen ohne Zurücklegen; hier besteht eine stochastische Abhängigkeit, da entnommene Ziffern die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die folgenden Züge verändern. Dies führt dazu, dass bei Verfahren B Kombinationen mit unterschiedlichen Ziffern wahrscheinlicher sind als solche mit identischen Ziffern, während bei Verfahren A alle Kombinationen gleichwahrscheinlich sind.

1. \(P_A(7777) = 0{,}0001\); \(P_B(7777) \approx 0{,}0000109\) 2. \(P_A(1234) = 0{,}0001\); \(P_B(1234) \approx 0{,}0001167\) 3. In Verfahren B sind die Stufen stochastisch abhängig (Ziehen ohne Zurücklegen), während sie in Verfahren A unabhängig sind (entspricht Ziehen mit Zurücklegen). Dadurch sind die Wahrscheinlichkeiten für einzelne Kombinationen in B nicht mehr alle gleich.

- Denke an den Unterschied zwischen der Pfadregel bei einem Baumdiagramm mit und ohne Zurücklegen. - Wie ist stochastische Unabhängigkeit mathematisch definiert? Prüfe, ob \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\) gilt. - Wann ändert sich die Zusammensetzung einer Grundgesamtheit durch eine Entnahme kaum noch?

1. Modell 1 (mit Zurücklegen): Die Wahrscheinlichkeit für ein defektes Teil ist \(p = \frac{10}{500} = 0{,}02\). Da die Züge unabhängig sind, gilt \(P(\text{beide defekt}) = 0{,}02 \cdot 0{,}02 = 0{,}0004\). 2. Modell 2 (ohne Zurücklegen): \(P(\text{beide defekt}) = \frac{10}{500} \cdot \frac{9}{499} = \frac{90}{249\,500} \approx 0{,}0003607\). 3. In Modell 2 gilt \(P(E_1) = \frac{10}{500} = 0{,}02\). Die totale Wahrscheinlichkeit für \(E_2\) ist \(P(E_2) = P(E_2|E_1)P(E_1) + P(E_2|\bar{E_1})P(\bar{E_1}) = \frac{9}{499} \cdot \frac{10}{500} + \frac{10}{499} \cdot \frac{490}{500} = \frac{4990}{249\,500} = 0{,}02\). Da jedoch \(P(E_1 \cap E_2) = \frac{90}{249\,500} \approx 0{,}00036\) ungleich \(P(E_1) \cdot P(E_2) = 0{,}0004\) ist, sind die Ereignisse stochastisch abhängig. 4. Da der Stichprobenumfang (\(n=2\)) sehr klein im Verhältnis zur Grundgesamtheit (\(N=500\)) ist, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen ohne Zurücklegen nur minimal. Modell 1 ist daher eine gute Näherung für Modell 2, auch wenn die exakten Werte leicht differieren.

1. \(P \approx 0{,}0004\) 2. \(P \approx 0{,}000361\) 3. Die Ereignisse sind stochastisch abhängig, da \(P(E_1 \cap E_2) \neq P(E_1) \cdot P(E_2)\). 4. Ja, Modell 1 ist eine brauchbare Näherung, da die Grundgesamtheit im Vergleich zur Stichprobe sehr groß ist.

- Stelle dir den Ablauf als mehrstufiges Zufallsexperiment vor. - Ein Baumdiagramm kann dir helfen, die verschiedenen Pfade und deren Wahrscheinlichkeiten zu visualisieren. - Achte darauf, wann Ereignisse nacheinander eintreten müssen (Multiplikationsregel) und wann es verschiedene Wege zum Ziel gibt (Additionsregel). - Was bedeutet „genau einer der beiden Tests“ für die Pfade im Baumdiagramm? - Überlege für die letzte Teilaufgabe, welche der vorherigen Ergebnisse kombiniert werden müssen.

Die Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis bei einem Defekt beträgt \(p = 0{,}92\), für ein negatives Ergebnis \(q = 1 - 0{,}92 = 0{,}08\). Die Wahrscheinlichkeit der manuellen Erkennung ist \(p_m = 0{,}96\). 1. Sofortiger Ausschuss tritt ein, wenn beide Tests positiv sind: \(P(\text{pos, pos}) = 0{,}92 \cdot 0{,}92 = 0{,}8464\). 2. Keine Erkennung durch beide Tests bedeutet zwei negative Ergebnisse: \(P(\text{neg, neg}) = 0{,}08 \cdot 0{,}08 = 0{,}0064\). 3. Eine Nachprüfung erfolgt bei genau einem positiven Ergebnis: \(P(\text{pos, neg}) + P(\text{neg, pos}) = 2 \cdot 0{,}92 \cdot 0{,}08 = 0{,}1472\). 4. Entdeckung in der Nachprüfung setzt voraus, dass diese stattfindet und dort positiv verläuft: \(0{,}1472 \cdot 0{,}96 = 0{,}141312\). 5. Die Gesamtwahrscheinlichkeit der Erkennung ist die Summe aus sofortigem Ausschuss und Entdeckung in der Nachprüfung: \(0{,}8464 + 0{,}141312 = 0{,}987712\).

(1) \(0{,}8464\) (oder \(84{,}64\,\%\)) (2) \(0{,}0064\) (oder \(0{,}64\,\%\)) (3) \(0{,}1472\) (oder \(14{,}72\,\%\)) (4) \(0{,}141312\) (oder ca. \(14{,}13\,\%\)) (5) \(0{,}987712\) (oder ca. \(98{,}77\,\%\))

- Notiere dir zuerst die Wahrscheinlichkeiten für „Sensor reagiert“ und „Sensor reagiert nicht“. - Skizziere die möglichen Verläufe in einem Baumdiagramm. Die erste Stufe sind die beiden Sensoren, die zweite Stufe (falls nötig) die Videoüberprüfung. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass genau ein Sensor reagiert? Berücksichtige beide Kombinationen. - Für die Gesamtwahrscheinlichkeit musst du alle Pfade addieren, die zu einer erfolgreichen Erkennung führen.

Sei \(p = 0{,}88\) die Wahrscheinlichkeit einer Sensordetektion und \(p_v = 0{,}95\) die der Videoerkennung. 1. Hauptalarm bei zwei Detektionen: \(P(A) = 0{,}88^2 = 0{,}7744\). 2. Keine Reaktion bei zwei Nicht-Detektionen: \(P(B) = (1 - 0{,}88)^2 = 0{,}12^2 = 0{,}0144\). 3. Videoüberprüfung bei genau einer Detektion: \(P(C) = 2 \cdot 0{,}88 \cdot 0{,}12 = 0{,}2112\). 4. Erkennung nur via Video: \(P(D) = P(C) \cdot p_v = 0{,}2112 \cdot 0{,}95 = 0{,}20064\). 5. Gesamterkennungswahrscheinlichkeit: \(P(A) + P(D) = 0{,}7744 + 0{,}20064 = 0{,}97504\). Alternativ über das Gegenereignis (keine Reaktion oder Videoüberprüfung schlägt fehl): \(1 - (0{,}0144 + 0{,}2112 \cdot 0{,}05) = 0{,}97504\).

(1) \(0{,}7744\) (oder \(77{,}44\,\%\)) (2) \(0{,}0144\) (oder \(1{,}44\,\%\)) (3) \(0{,}2112\) (oder \(21{,}12\,\%\)) (4) \(0{,}20064\) (oder ca. \(20{,}06\,\%\)) (5) \(0{,}97504\) (oder ca. \(97{,}50\,\%\))

- Ein Tetraederwürfel hat 4 gleichberechtigte Flächen. Wie viele Kombinationen gibt es bei zwei Würfen? - Erstelle am besten eine kleine Tabelle oder ein Baumdiagramm, um alle Paare und deren Summen übersichtlich darzustellen. - Erinnere dich an die Axiome von Kolmogorow: Welche Bedingungen betreffen Nichtnegativität und Normierung, und wie lässt sich die Additivität für disjunkte Ereignisse aus den Einzelwahrscheinlichkeiten begründen? - Warum ist es einfacher zu rechnen, wenn jedes Element in der Menge die gleiche Chance hat?

1. Aufstellen von \(S_A = \{(1,1), (1,2), \dots, (4,4)\}\). Die Mächtigkeit beträgt \(|S_A| = 4^2 = 16\). Da der Würfel ideal ist und die Würfe unabhängig sind, ist jedes Paar gleichwahrscheinlich (\(P = \frac{1}{16}\)), was die Laplace-Annahme rechtfertigt. 2. Bestimmung von \(S_B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\). Durch Abzählen der günstigen Paare aus \(S_A\) ergeben sich: \(P(2) = \frac{1}{16}\); \(P(3) = \frac{2}{16}\); \(P(4) = \frac{3}{16}\); \(P(5) = \frac{4}{16}\); \(P(6) = \frac{3}{16}\); \(P(7) = \frac{2}{16}\); \(P(8) = \frac{1}{16}\). 3. Prüfung der Axiome: Alle \(P(i) \ge 0\) sind erfüllt. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist \(\frac{1+2+3+4+3+2+1}{16} = \frac{16}{16} = 1\). Definiert man für jedes Ereignis \(E \subseteq S_B\) die Wahrscheinlichkeit als Summe der zugehörigen Einzelwahrscheinlichkeiten, so gilt für disjunkte Ereignisse \(E\) und \(F\) außerdem \(P(E \cup F)=P(E)+P(F)\). Damit sind Nichtnegativität, Normiertheit und Additivität erfüllt. 4. Vorteil: Eine Laplace-Ergebnismenge erlaubt die einfache Berechnung von Wahrscheinlichkeiten komplexerer Ereignisse durch bloßes Abzählen („Anzahl günstiger durch Anzahl möglicher Ergebnisse“), während in nicht-Laplace-Räumen wie \(S_B\) die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Elemente erst mühsam hergeleitet werden müssen.

a) \(S_A = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), \dots, (4,4)\}\); \(|S_A| = 16\). Laplace, da alle Paare bei einem idealen Würfel gleichwahrscheinlich sind. b) \(S_B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\) mit \(P(2)=\frac{1}{16}\), \(P(3)=\frac{2}{16}\), \(P(4)=\frac{3}{16}\), \(P(5)=\frac{4}{16}\), \(P(6)=\frac{3}{16}\), \(P(7)=\frac{2}{16}\), \(P(8)=\frac{1}{16}\). c) Ja. Die Einzelwahrscheinlichkeiten sind nichtnegativ und summieren sich zu \(1\); Ereigniswahrscheinlichkeiten werden als Summen der Einzelwahrscheinlichkeiten definiert und sind für disjunkte Ereignisse additiv. d) In Laplace-Räumen können Wahrscheinlichkeiten durch einfaches Abzählen bestimmt werden.

- Wie viele Felder gibt es insgesamt und was wissen wir über ihre Größe? - Zähle für jede Teilaufgabe genau die Anzahl der Felder ab, die die Bedingung erfüllen. - Achte bei Teilaufgabe b) darauf, alle Felder zu zählen, die die Farbe Gold haben, unabhängig von ihrer Beschriftung. - Was ist die Voraussetzung dafür, dass man die Formel „Anzahl der günstigen durch Anzahl der möglichen Ergebnisse“ nutzen darf?

1. Festlegung des Ergebnisraums: Da alle Felder gleich groß sind, beträgt die Gesamtzahl der gleich wahrscheinlichen Elementarereignisse \(|\Omega| = 24\). 2. Lösung zu a): Die Anzahl der Gewinnfelder ist \(10 + 2 + 8 = 20\). Damit gilt \(P(\text{Gewinn}) = \frac{20}{24} = \frac{5}{6} \approx 0{,}8333\). 3. Lösung zu b): Die Anzahl der goldfarbenen Felder ist \(2\) (Hauptgewinn) \(+ 4\) (Kleingewinn) \(= 6\). Damit gilt \(P(\text{gold}) = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 4. Lösung zu c): Die Anzahl der Felder, die weder Niete (\(4\)) noch Hauptgewinn (\(2\)) sind, beträgt \(24 - 4 - 2 = 18\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} = 0{,}75\). 5. Lösung zu d): Der Laplace-Ansatz ist zulässig, weil alle Elementarereignisse (das Stehenbleiben auf einem der \(24\) Felder) aufgrund der gleichen Größe der Felder und der Symmetrie des Rades als gleich wahrscheinlich angenommen werden können.

a) \(P = \frac{5}{6} \approx 0{,}8333\) b) \(P = 0{,}25\) c) \(P = 0{,}75\) d) Der Laplace-Ansatz ist zulässig, da alle \(24\) Felder gleich groß sind und somit die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit besitzen.

- Überlege dir zuerst, wie viele Kombinationsmöglichkeiten es insgesamt gibt, wenn man zwei 12-seitige Würfel wirft. - Für die Summe oder Differenz kann es hilfreich sein, die Möglichkeiten systematisch aufzulisten, zum Beispiel indem du mit der kleinstmöglichen Zahl auf dem ersten Würfel beginnst. - Denk daran, dass bei einem Produkt als Quadratzahl auch Kombinationen wie \(1 \cdot 4\) oder \(2 \cdot 8\) zählen. - Erinnere dich daran, welche Zahlen im Bereich von \(2\) bis \(24\) Primzahlen sind.

1. Die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse bei zwei 12-seitigen Würfeln beträgt \(12 \cdot 12 = 144\). Für die Summe \(15\) gibt es die Paare \((3, 12), (4, 11), (5, 10), (6, 9), (7, 8), (8, 7), (9, 6), (10, 5), (11, 4), (12, 3)\). Dies sind \(10\) günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{10}{144} = \frac{5}{72} \approx 0{,}0694\). 2. Günstige Paare \((x, y)\) mit \(x \cdot y = n^2\): \((1,1), (1,4), (1,9), (2,2), (2,8), (3,3), (3,12), (4,1), (4,4), (4,9), (5,5), (6,6), (7,7), (8,2), (8,8), (9,1), (9,4), (9,9), (10,10), (11,11), (12,3), (12,12)\). Es gibt \(22\) günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{22}{144} = \frac{11}{72} \approx 0{,}1528\). 3. Günstige Ergebnisse für eine Differenz von mindestens \(10\): \((1, 11), (1, 12), (2, 12), (11, 1), (12, 1), (12, 2)\). Dies sind \(6\) günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{6}{144} = \frac{1}{24} \approx 0{,}0417\). 4. Mögliche Primzahlen als Summe im Bereich \(2\) bis \(24\) sind \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\). Anzahl der Kombinationen: Summe 2 (1), Summe 3 (2), Summe 5 (4), Summe 7 (6), Summe 11 (10), Summe 13 (12), Summe 17 (8), Summe 19 (6), Summe 23 (2). Gesamtzahl günstiger Ergebnisse: \(1+2+4+6+10+12+8+6+2 = 51\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{51}{144} = \frac{17}{48} \approx 0{,}3542\).

1. \(P \approx 0{,}0694\) (oder \(\frac{5}{72}\)) 2. \(P \approx 0{,}1528\) (oder \(\frac{11}{72}\)) 3. \(P \approx 0{,}0417\) (oder \(\frac{1}{24}\)) 4. \(P \approx 0{,}3542\) (oder \(\frac{17}{48}\))

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, die Gegenstände zu verteilen. - Für das Ereignis, dass niemand seinen eigenen Gegenstand bekommt, hilft es, alle Fälle auszuschließen, in denen mindestens eine Person richtig liegt. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, zwei Personen auszuwählen, die ihren Rechner behalten? Was muss dann mit den restlichen drei Rechnern passieren? - Erinnere dich an das Gesetz der großen Zahlen, wenn du den Simulationswert beurteilst.

1. Gesamtzahl der Permutationen bei \(n=5\) Rechnern berechnen: \(5! = 120\). 2. Anzahl der Derangements (Fixpunktfreie Permutationen) für \(n=5\) bestimmen: \(D_5 = 5! \cdot \left(\frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!}\right) = 120 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120}\right) = 60 - 20 + 5 - 1 = 44\). 3. Wahrscheinlichkeit für Ereignis \(A\) berechnen: \(P(A) = \frac{44}{120} = \frac{11}{30} \approx 0{,}3667\). 4. Anzahl der Möglichkeiten für genau zwei Fixpunkte berechnen: Zuerst Auswahl der 2 Personen aus 5: \(\binom{5}{2} = 10\). Dann Anzahl der Derangements für die restlichen 3 Personen: \(D_3 = 3! \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}\right) = 3 - 1 = 2\). Gesamtzahl günstiger Fälle: \(10 \cdot 2 = 20\). 5. Wahrscheinlichkeit für Ereignis \(B\) berechnen: \(P(B) = \frac{20}{120} = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667\). 6. Relative Häufigkeit berechnen: \(h(A) = \frac{3641}{10\,000} = 0{,}3641\). 7. Vergleich: Die Abweichung zwischen \(h(A) = 0{,}3641\) und \(P(A) \approx 0{,}3667\) beträgt etwa \(0{,}0026\) (\(0{,}26\) Prozentpunkte). Gemäß dem Gesetz der großen Zahlen ist dies ein sehr guter Schätzwert.

a) \(P(A) = \frac{11}{30} \approx 0{,}3667\) b) \(P(B) = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667\) c) \(h(A) = 0{,}3641\). Die Simulation liefert einen sehr genauen Schätzwert, da die relative Häufigkeit nur geringfügig (um ca. \(0{,}26\) Prozentpunkte) vom theoretischen Wert abweicht.

- Schreibe die Gäste als Positionen 1, 2, 3, 4 auf und notiere die Getränke als Zahlen. Ein „richtiger“ Platz bedeutet, dass die Zahl an ihrer eigenen Stelle steht. - Es ist oft einfacher, die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „niemand liegt richtig“ zu berechnen und diese von 1 abzuziehen. - Überlege dir, was passiert, wenn du fast alle Gegenstände bereits korrekt zugeordnet hast. Bleibt für den letzten Gegenstand überhaupt eine falsche Wahl? - Beachte den Unterschied zwischen einer kleinen Stichprobe und einer sehr großen Anzahl an Versuchen.

1. Gesamtzahl der Permutationen für \(n=4\) berechnen: \(4! = 24\). 2. Fälle für mindestens zwei Fixpunkte (Gäste 1, 2, 3, 4): - Genau 2 richtig: \(\((1;2;4;3), (1;4;3;2), (1;3;2;4), (4;2;3;1), (3;2;1;4), (2;1;3;4)\)\) (6 Fälle). - Genau 4 richtig: \(\((1;2;3;4)\)\) (1 Fall). (Genau 3 richtig ist unmöglich). Gesamt: 7 Fälle. 3. Wahrscheinlichkeit für „mindestens einer richtig“ über das Gegenereignis „keiner richtig“ (Derangements für \(n=4\)): \(D_4 = 4! \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24}\right) = 12 - 4 + 1 = 9\). \(P(\text{keiner richtig}) = \frac{9}{24} = \frac{3}{8} = 0{,}375\). \(P(\text{mind. einer richtig}) = 1 - 0{,}375 = 0{,}625\). 4. Logische Begründung für 3 Fixpunkte: Wenn drei von vier Gästen das richtige Getränk haben, bleibt nur noch ein Getränk und ein Gast übrig. Da dieses letzte Getränk das einzige ist, das noch nicht verteilt wurde, muss es zwangsläufig zum vierten Gast gehören, der es bestellt hat. Somit sind dann automatisch alle vier richtig. 5. Empirische Analyse: Relative Häufigkeit \(h = \frac{15}{20} = 0{,}75\). Der theoretische Wert ist \(0{,}625\). Bei einer kleinen Stichprobe von nur \(n=20\) sind solche Abweichungen durch Zufallsschwankungen üblich; es liegt kein statistischer Widerspruch vor.

a) Es gibt 7 Fälle: (1,2,4,3), (1,4,3,2), (1,3,2,4), (4,2,3,1), (3,2,1,4), (2,1,3,4) sowie (1,2,3,4). b) \(P(\text{mind. einer}) = 0{,}625\) (oder \(\frac{5}{8}\)). c) Wenn drei Gäste das richtige Getränk haben, muss auch der vierte Gast zwangsläufig das richtige (einzig verbleibende) Getränk haben. d) Die relative Häufigkeit beträgt \(0{,}75\). Dies weicht von der theoretischen Wahrscheinlichkeit \(0{,}625\) ab, ist aber aufgrund der geringen Probenzahl (\(n=20\)) im Rahmen der üblichen Zufallsschwankungen.

- Überlege dir, wie viele Personen insgesamt in der Gruppe sind. - Hilft es dir, die Informationen in einer Tabelle (Vierfeldertafel) zu ordnen? - Achte darauf, ob nach einer kombinierten Eigenschaft (z. B. „männlich UND MINT“) oder einer einfachen Eigenschaft gefragt ist. - Wie hängen die Gesamtzahl der Frauen und die Anzahl der Frauen in MINT-Fächern zusammen?

1. Berechnung der Anzahl der Nicht-MINT-Studierenden: \(24\,500 - 8\,330 = 16\,170\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{kein MINT}) = \frac{16\,170}{24\,500} = 0{,}66\). 2. Berechnung der Anzahl der männlichen MINT-Studierenden: Von den \(8\,330\) MINT-Studierenden sind \(2\,499\) weiblich, also sind \(8\,330 - 2\,499 = 5\,831\) männlich. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{männlich} \cap \text{MINT}) = \frac{5\,831}{24\,500} \approx 0{,}238\). 3. Berechnung der Anzahl der weiblichen Nicht-MINT-Studierenden: Von insgesamt \(12\,740\) Frauen studieren \(2\,499\) ein MINT-Fach. Somit studieren \(12\,740 - 2\,499 = 10\,241\) Frauen kein MINT-Fach. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{weiblich} \cap \text{kein MINT}) = \frac{10\,241}{24\,500} \approx 0{,}418\).

1. \(P \approx 0{,}66\) (oder \(\frac{16\,170}{24\,500}\)) 2. \(P \approx 0{,}238\) (oder \(\frac{5\,831}{24\,500}\)) 3. \(P \approx 0{,}418\) (oder \(\frac{10\,241}{24\,500}\))

- Betrachte das Ereignis, dass niemand den gleichen Monat hat. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses über sein Gegenereignis? - Überlege dir Schritt für Schritt, wie viele Möglichkeiten die erste, zweite, dritte Person usw. hat, wenn sie einen noch nicht belegten Monat wählen soll. - Wann gilt ein Spiel mit festem Einsatz und Gewinn als fair?

1. Berechnung für \(n=4\): Das Gegenereignis ist, dass alle 4 Personen in unterschiedlichen Monaten Geburtstag haben. Die Anzahl der Möglichkeiten für unterschiedliche Monate beträgt \(12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9\). Die Gesamtzahl der Möglichkeiten ist \(12^4\). \(P(\text{alle verschieden}) = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{12^4} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{12^3} = \frac{990}{1728} \approx 0{,}5729\). Die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Übereinstimmung ist \(P(E) = 1 - 0{,}5729 = 0{,}4271\), also ca. \(42{,}7\,\%\). 2. Bestimmung von \(n\) für \(P > 0{,}5\): Für \(n=4\) ist \(P(E) \approx 0{,}4271\) (siehe oben). Für \(n=5\) gilt: \(P(\text{alle verschieden}) = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{12^5} \approx 0{,}3819\). Daraus folgt \(P(E) = 1 - 0{,}3819 = 0{,}6181\). Da \(0{,}6181 > 0{,}5\), ist \(n=5\) die kleinste Personenzahl. 3. Beurteilung des Spiels: Bei 5 Personen beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit für das Gegenüber \(P \approx 0{,}6181\) und für dich \(1 - P \approx 0{,}3819\). Da die Wahrscheinlichkeiten bei gleichem Einsatz nicht \(0{,}5\) betragen, ist das Spiel unfair. Dein Erwartungswert pro Spiel beträgt \(E = -5 \cdot 0{,}6181 + 5 \cdot 0{,}3819 = -3{,}0905 + 1{,}9095 = -1{,}181\,\text{€}\). Du würdest auf lange Sicht also Geld verlieren.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(42{,}71\,\%\). b) Ab einer Gruppengröße von \(n=5\) Personen ist die Wahrscheinlichkeit größer als \(50\,\%\). c) Das Spiel ist unfair, da die Wahrscheinlichkeit für eine Übereinstimmung bei 5 Personen ca. \(61{,}81\,\%\) beträgt. Der Erwartungswert für dich ist negativ (ca. \(-1{,}18\,\text{€}\) pro Spiel).

- Was muss passieren, damit ein Angriff „unbemerkt“ bleibt? - Nutze die Eigenschaft von Gegenereignissen, um die Wahrscheinlichkeit für „mindestens einen“ Treffer zu berechnen. - Stelle für den dritten Aufgabenteil eine Ungleichung auf, die die neue Gesamtwahrscheinlichkeit beschreibt.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Nicht-Erkennen (Durchschlüpfen) pro System: System 1: \(P(\bar{E}_1) = 0{,}1\) System 2: \(P(\bar{E}_2) = 0{,}15\) System 3: \(P(\bar{E}_3) = 0{,}3\) 2. Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Systeme versagen: \(P(\text{unbemerkt}) = 0{,}1 \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}3 = 0{,}0045\) 3. Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Entdeckung (Gegenereignis): \(P(\text{entdeckt}) = 1 - 0{,}0045 = 0{,}9955\) 4. Berechnung der benötigten Rate \(p_4\) für das vierte System: Die neue Durchlasswahrscheinlichkeit muss kleiner als \(1 - 0{,}999 = 0{,}001\) sein. \(0{,}0045 \cdot (1 - p_4) < 0{,}001\) \(1 - p_4 < \frac{0{,}001}{0{,}0045} \approx 0{,}2222\) \(p_4 > \frac{7}{9} \approx 0{,}7778\) Die Erkennungsrate muss also größer als \(\frac{7}{9}\) sein. Bei Angabe auf eine Dezimalstelle ist \(77{,}8\,\%\) die kleinste zulässige Rate.

a) Die Wahrscheinlichkeit für einen unbemerkten Durchgang beträgt \(0{,}45\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit für eine Entdeckung beträgt \(99{,}55\,\%\). c) Das vierte System muss eine Erkennungsrate von mehr als \(\frac{7}{9} \approx 77{,}78\,\%\) aufweisen; auf eine Dezimalstelle ist \(77{,}8\,\%\) die kleinste zulässige Rate.

- Beginne damit, alle im Text genannten Zahlen in die entsprechenden Felder der Vierfeldertafel einzutragen (Zellen oder Summen). - Nutze die Eigenschaft, dass sich die Einzelzellen zu den Randsummen addieren müssen, um die restlichen Felder zu füllen. - Überlege dir bei der bedingten Wahrscheinlichkeit genau, welche Gruppe die Grundgesamtheit bildet (die „Bedingung“). - Für das Baumdiagramm teilst du die Häufigkeit eines Ereignisses durch die Summe der zugehörigen Stufe.

1. Erstellung der Vierfeldertafel durch Verrechnung der absoluten Häufigkeiten: - \(n(M_1) = 2500\), daraus folgt \(n(M_2) = 4000 - 2500 = 1500\). - \(n(D) = 110\), daraus folgt \(n(E) = 4000 - 110 = 3890\). - \(n(M_1 \cap D) = 50\), daraus folgt \(n(M_1 \cap E) = 2500 - 50 = 2450\). - \(n(M_2 \cap D) = 110 - 50 = 60\), daraus folgt \(n(M_2 \cap E) = 1500 - 60 = 1440\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für das Baumdiagramm (Stufe 1: \(M_1, M_2\); Stufe 2: \(D, E\)): - \(P(M_1) = \frac{2500}{4000} = 0{,}625\); \(P(M_2) = \frac{1500}{4000} = 0{,}375\) - Bedingte Wahrscheinlichkeiten: \(P_{M_1}(D) = \frac{50}{2500} = 0{,}02\); \(P_{M_1}(E) = 0{,}98\); \(P_{M_2}(D) = \frac{60}{1500} = 0{,}04\); \(P_{M_2}(E) = 0{,}96\) 3. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P_D(M_1)\): - \(P_D(M_1) = \frac{n(M_1 \cap D)}{n(D)} = \frac{50}{110} = \frac{5}{11} \approx 0{,}4545\)

1. Tabelle: \(M_1 \cap D = 50\), \(M_1 \cap E = 2450\), \(M_2 \cap D = 60\), \(M_2 \cap E = 1440\); Summen: \(M_1 = 2500\), \(M_2 = 1500\), \(D = 110\), \(E = 3890\), Gesamt = \(4000\). 2. Baumdiagramm: \(P(M_1) = 0{,}625\), \(P(M_2) = 0{,}375\); \(P_{M_1}(D) = 0{,}02\), \(P_{M_1}(E) = 0{,}98\); \(P_{M_2}(D) = 0{,}04\), \(P_{M_2}(E) = 0{,}96\). 3. Wahrscheinlichkeit: \(P_D(M_1) = \frac{5}{11} \approx 0{,}455\) (oder \(45{,}5\,\%\)).

- Wie berechnet man den Anteil eines Ergebnisses an der Gesamtzahl der Versuche? - Was bedeutet die Laplace-Annahme für die Wahrscheinlichkeit jeder einzelnen Seite eines Würfels? - Was besagt das Gesetz der großen Zahlen über den Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und theoretischer Wahrscheinlichkeit bei vielen Versuchen? - Welches Gegenereignis ist hilfreich, wenn nach „mindestens einem“ Erfolg gefragt wird?

1. Berechnung der relativen Häufigkeit: \(h_n(6) = \frac{246}{1\,200} = 0{,}205\). 2. Vergleich mit der Laplace-Wahrscheinlichkeit: Bei einem idealen Würfel gilt \(P(6) = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667\). Die beobachtete Häufigkeit \(0{,}205\) liegt deutlich über dem theoretischen Wert. 3. Beurteilung: Nach dem Gesetz der großen Zahlen stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten bei steigender Versuchsanzahl um die wahre Wahrscheinlichkeit. Da bei \(1\,200\) Versuchen eine Abweichung von fast \(4\) Prozentpunkten vorliegt, ist die Laplace-Annahme (idealer Würfel) hier als unplausibel abzulehnen; der Würfel scheint gezinkt zu sein. 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für „mindestens eine 6“ bei \(n=3\) mit \(p = 0{,}205\): Nutzung des Komplementärereignisses „keine 6“. \(P(\text{mindestens eine 6}) = 1 - P(\text{keine 6})^3 = 1 - (1 - 0{,}205)^3 = 1 - 0{,}795^3 = 1 - 0{,}502444875 = 0{,}497555125\).

a) Relative Häufigkeit: \(0{,}205\); Laplace-Wahrscheinlichkeit: \(\approx 0{,}1667\). b) Die Laplace-Annahme ist vermutlich nicht gerechtfertigt, da die Abweichung bei \(1\,200\) Würfen zu groß ist. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(49{,}76\,\%\) (exakt \(0{,}497555125\)).

- Welche Wahrscheinlichkeiten sind in Meldung A direkt gegeben und welche sind bedingt? - Wie kannst du aus den bedingten Wahrscheinlichkeiten in Meldung A die totale Wahrscheinlichkeit für die Altersgruppe berechnen? - Welche Formel hilft dir dabei, die Bedingung umzukehren, um die Aussagen in Meldung B zu prüfen? - Es ist hilfreich, ein Baumdiagramm zu skizzieren und die Pfadregeln anzuwenden.

1. Definition der Ereignisse: \(T\): Nutzer verwendet TechX, \(J\): Nutzer ist unter 30 Jahre alt; \(\bar{J}\) bedeutet entsprechend „30 Jahre oder älter“. 2. Gegebene Werte aus Meldung A: \(P(T) = 0{,}35\), \(P(J|T) = 0{,}70\), \(P(J|\bar{T}) = 0{,}40\). 3. Berechnung des Anteils der unter 30-Jährigen (\(P(J)\)) mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit: \(P(J) = P(J|T) \cdot P(T) + P(J|\bar{T}) \cdot P(\bar{T}) = 0{,}70 \cdot 0{,}35 + 0{,}40 \cdot 0{,}65 = 0{,}245 + 0{,}26 = 0{,}505\). Dies entspricht den \(50{,}5\,\%\) aus Meldung B. 4. Berechnung des Marktanteils unter Jüngeren (\(P(T|J)\)) mit der Bayes-Formel: \(P(T|J) = \frac{P(J|T) \cdot P(T)}{P(J)} = \frac{0{,}245}{0{,}505} \approx 0{,}4851\). Dies entspricht den \(48{,}5\,\%\) aus Meldung B. 5. Berechnung des Marktanteils bei den 30-Jährigen und Älteren (\(P(T|\bar{J})\)): \(P(T|\bar{J}) = \frac{P(\bar{J}|T) \cdot P(T)}{P(\bar{J})} = \frac{(1 - 0{,}70) \cdot 0{,}35}{1 - 0{,}505} = \frac{0{,}105}{0{,}495} \approx 0{,}2121\). Dies entspricht den \(21{,}2\,\%\) aus Meldung B. 6. Ergebnis: Da alle berechneten Werte mit den Angaben in Meldung B übereinstimmen, sind die Meldungen konsistent.

Ja, die Meldungen sind konsistent. Aus den Daten von Meldung A (\(P(T)=0{,}35\); \(P(J|T)=0{,}70\); \(P(J|\bar{T})=0{,}40\)) lassen sich die Werte für Meldung B exakt berechnen: Der Anteil der unter 30-Jährigen beträgt \(P(J) = 50{,}5\,\%\), der Anteil von TechX unter den Jüngeren liegt bei \(P(T|J) \approx 48{,}5\,\%\) und bei den 30-Jährigen und Älteren bei \(P(T|\bar{J}) \approx 21{,}2\,\%\).

- Notiere dir zuerst alle gegebenen Anteile als Wahrscheinlichkeiten. Achte darauf, was die Bedingung ist. - Um die Wahrscheinlichkeit für ein E-Auto unter der Bedingung „Großstadt“ zu finden, benötigst du zuerst den Gesamtanteil der Großstadtbewohner. - Nutze ein Baumdiagramm oder eine Vierfeldertafel, um die Schnittwahrscheinlichkeiten zu bestimmen. - Vergleiche am Ende die beiden gesuchten bedingten Wahrscheinlichkeiten durch Division.

1. Gegebene Wahrscheinlichkeiten: \(P(E) = 0{,}15\), \(P(G|E) = 0{,}80\), \(P(G|\bar{E}) = 0{,}55\). 2. Berechnung der totalen Wahrscheinlichkeit für den Wohnort Großstadt: \(P(G) = P(G|E) \cdot P(E) + P(G|\bar{E}) \cdot P(\bar{E}) = 0{,}80 \cdot 0{,}15 + 0{,}55 \cdot 0{,}85 = 0{,}12 + 0{,}4675 = 0{,}5875\). 3. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P(E|G)\): \(P(E|G) = \frac{P(G \cap E)}{P(G)} = \frac{0{,}12}{0{,}5875} \approx 0{,}2043\) (ca. \(20{,}4\,\%\)). 4. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P(E|\bar{G})\): \(P(E|\bar{G}) = \frac{P(\bar{G} \cap E)}{P(\bar{G})} = \frac{P(\bar{G}|E) \cdot P(E)}{1 - P(G)} = \frac{0{,}20 \cdot 0{,}15}{0{,}4125} = \frac{0{,}03}{0{,}4125} \approx 0{,}0727\) (ca. \(7{,}3\,\%\)). 5. Vergleich der Wahrscheinlichkeiten: \(\frac{P(E|G)}{P(E|\bar{G})} = \frac{0{,}2043}{0{,}0727} \approx 2{,}81\). 6. Da \(2{,}81 > 2\), ist die Behauptung des Forschers korrekt.

Die Behauptung ist wahr. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Großstadtbewohner ein Elektroauto besitzt, beträgt \(P(E|G) \approx 20{,}4\,\%\). Die Wahrscheinlichkeit für einen Bewohner außerhalb der Großstadt beträgt \(P(E|\bar{G}) \approx 7{,}3\,\%\). Da \(20{,}4\,\%\) mehr als das Doppelte von \(7{,}3\,\%\) ist (Faktor ca. \(2{,}8\)), ist die Aussage korrekt.

- Überlege dir für den ersten Teil, welche kleinsten und größten Werte bei der Summenbildung möglich sind und ob alle Summen gleich oft vorkommen. - Für eine Simulation eines 12-seitigen Würfels muss jedes der 12 Ergebnisse die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{12}\) besitzen. - Kannst du ein mehrstufiges Experiment entwerfen, bei dem das Produkt der Möglichkeiten der einzelnen Stufen genau 12 ergibt? - Überlege, wie du einen 6-seitigen Würfel so einsetzen kannst, dass er nur 2 oder 3 gleichwahrscheinliche Ergebnisse liefert.

1. Die Summe eines Tetraeders (\(1\) bis \(4\)) und eines Hexaeders (\(1\) bis \(6\)) ist nicht geeignet. Die kleinstmögliche Summe ist \(1 + 1 = 2\), die größtmögliche \(4 + 6 = 10\). Es werden also nur 9 verschiedene Werte statt 12 erzeugt. Zudem sind die Summen nicht gleichwahrscheinlich (z. B. gibt es für die Summe 5 vier Kombinationen, für die Summe 2 nur eine). 2. Erste Möglichkeit: Man wirft eine Münze und einen Hexaeder. Zeigt die Münze Kopf, nimmt man die Augenzahl des Hexaeders (\(1\) bis \(6\)). Zeigt die Münze Zahl, addiert man \(6\) zur Augenzahl des Hexaeders (\(7\) bis \(12\)). Da beide Münzseiten (\(p=0{,}5\)) und alle Würfelseiten (\(p=1/6\)) gleichwahrscheinlich sind, hat jedes Ergebnis die Wahrscheinlichkeit \(0{,}5 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}\). Zweite Möglichkeit: Man nutzt einen Tetraeder und einen Hexaeder. Den Hexaeder nutzt man als „3-seitigen Würfel“, indem man die Ergebnisse zusammenfasst (1 und 2 \(\rightarrow 1\); 3 und 4 \(\rightarrow 2\); 5 und 6 \(\rightarrow 3\)). Das Ergebnis berechnet man als \(3 \cdot (\text{Ergebnis Tetraeder} - 1) + \text{Ergebnis Hexaeder-Ersatz}\). Dies ergibt \(4 \cdot 3 = 12\) gleichwahrscheinliche Kombinationen für die Werte 1 bis 12.

1. Nein, da nur die Summen 2 bis 10 möglich sind (9 Werte) und diese nicht gleichwahrscheinlich verteilt sind. 2. Möglichkeit A: Münze (\(K \rightarrow 0\); \(Z \rightarrow 6\)) plus Hexaeder (\(1 \dots 6\)). Möglichkeit B: Tetraeder (\(1 \dots 4\)) kombiniert mit einem auf 3 Ergebnisse reduzierten Hexaeder (z. B. \(1,2 \rightarrow 1\); \(3,4 \rightarrow 2\); \(5,6 \rightarrow 3\)).

- Erinnere dich an die Formel für Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. - Wie kannst du mit einem 6-seitigen Würfel und einer Münze insgesamt 12 gleichwahrscheinliche Ergebnisse erzeugen? - Was bedeutet „ohne Zurücklegen“ für die Durchführung einer Simulation, wenn du nacheinander Zahlen generierst? - Überlege dir eine Regel für den Fall, dass dein Zufallsgerät eine Zahl liefert, die du in derselben Ziehung schon einmal erhalten hast.

1. Die Anzahl der Kombinationen wird über den Binomialkoeffizienten berechnet: \(\binom{12}{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220\). Es gibt also 220 verschiedene Möglichkeiten für das Ergebnis der Ziehung. 2. Um eine Ziehung „3 aus 12“ zu simulieren, muss man nacheinander drei verschiedene Zahlen aus dem Bereich 1 bis 12 generieren. Zuerst konstruiert man einen Zufallsgenerator für die Zahlen 1 bis 12: Man wirft die Münze (Kopf bedeutet „Basis 0“, Zahl bedeutet „Basis 6“) und addiert das Ergebnis eines Hexaeder-Wurfs (1 bis 6). Damit erhält man eine Zahl von 1 bis 12 mit \(p = \frac{1}{12}\). Für die Simulation der Lotterie führt man dieses Verfahren dreimal durch. Da es eine Ziehung ohne Zurücklegen ist, muss eine bereits gezogene Zahl bei erneutem Auftreten verworfen und der Schritt wiederholt werden, bis drei unterschiedliche Zahlen feststehen.

1. Es gibt \(\binom{12}{3} = 220\) verschiedene Gewinnkombinationen. 2. Man erzeugt Zahlen von 1 bis 12, indem man eine Münze (z. B. Kopf \(\rightarrow 0\), Zahl \(\rightarrow 6\)) mit einem Würfelwurf kombiniert. Dies wiederholt man so lange, bis man drei unterschiedliche Zahlen aus dem Bereich 1 bis 12 erhalten hat (Zahlen, die doppelt auftreten, werden ignoriert).

- Liste alle Quadratzahlen und alle Vielfachen von 30 bis 200 auf, um zu prüfen, ob es Überschneidungen gibt. - Erinnere dich daran, dass die relative Häufigkeit das Verhältnis von beobachteten Treffern zur Gesamtzahl der Versuche ist. - Der Erwartungswert gibt an, wie oft ein Ereignis bei einer bestimmten Anzahl an Versuchen rein rechnerisch eintreten sollte.

a) Es gibt \(\lfloor \sqrt{200} \rfloor = 14\) Quadratzahlen im Bereich (von \(1^2=1\) bis \(14^2=196\)). Die Vielfachen von 30 sind \(\{30, 60, 90, 120, 150, 180\}\), also 6 Zahlen. Da keine der genannten Quadratzahlen ein Vielfaches von 30 ist (die Schnittmenge ist leer), sind die Ereignisse disjunkt. Es gilt \(P(A) = \frac{14 + 6}{200} = \frac{20}{200} = 0{,}1\). b) Die relative Häufigkeit ist \(h(A) = \frac{42}{500} = 0{,}084\). Der theoretische Erwartungswert bei 500 Versuchen beträgt \(E = 500 \cdot 0{,}1 = 50\). Die absolute Differenz zwischen der beobachteten Anzahl und dem Erwartungswert beträgt \(|50 - 42| = 8\). Die Abweichung der relativen Häufigkeit von der Wahrscheinlichkeit beträgt \(|0{,}1 - 0{,}084| = 0{,}016\).

a) \(P(A) = 0{,}1\) (oder \(10\,\%\)). b) Relative Häufigkeit \(h(A) = 0{,}084\); die absolute Differenz zum Erwartungswert (\(50\)) beträgt \(8\).

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, 3 Pralinen aus der Menge auszuwählen. - Macht es einen Unterschied, ob du die Reihenfolge beachtest oder nicht? Wähle einen Ansatz und bleibe konsequent dabei. - Für den Fall „alle gleich“ musst du die Möglichkeiten für jede Sorte einzeln betrachten und addieren. - Bei „alle verschieden“ muss aus jeder der drei Kategorien genau eine Praline gewählt werden.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(3\) Pralinen aus \(18\) zu ziehen: \(\binom{18}{3} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 816\). Berechnung der günstigen Möglichkeiten für gleiche Füllungen: Marzipan: \(\binom{8}{3} = 56\); Nougat: \(\binom{6}{3} = 20\); Karamell: \(\binom{4}{3} = 4\). Summe der günstigen Möglichkeiten: \(56 + 20 + 4 = 80\). Wahrscheinlichkeit \(P(\text{gleich}) = \frac{80}{816} = \frac{10}{102} = \frac{5}{51} \approx 0{,}0980\). 2. Berechnung der günstigen Möglichkeiten für drei verschiedene Füllungen: Da aus jeder Sorte genau eine Praline gewählt werden muss, ergibt sich: \(8 \cdot 6 \cdot 4 = 192\). Wahrscheinlichkeit \(P(\text{verschieden}) = \frac{192}{816} = \frac{4}{17} \approx 0{,}2353\).

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{5}{51} \approx 9{,}8\,\%\). 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{4}{17} \approx 23{,}5\,\%\).

- Handelt es sich hier um ein Ziehen mit oder ohne Zurücklegen? - Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, eine dreiköpfige Gruppe aus 20 Personen zu bilden? - Überlege für den ersten Teil, wie viele Möglichkeiten es gibt, die 3 Personen nur aus dem Pool der 10 Frauen zu wählen. - Für den zweiten Teil hilft das Zählprinzip: Wie viele Kombinationen entstehen, wenn du jeweils eine Person aus den drei disjunkten Mengen kombinierst?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Kombinationen bei der Auswahl von \(3\) aus \(20\) Personen: \(\binom{20}{3} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{6} = 1140\). Anzahl der Möglichkeiten, \(3\) Frauen aus \(10\) auszuwählen: \(\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 120\). Wahrscheinlichkeit \(P(\text{nur Frauen}) = \frac{120}{1140} = \frac{2}{19} \approx 0{,}1053\). 2. Anzahl der Möglichkeiten, genau eine Person aus jeder Gruppe zu wählen: \(10 \cdot 7 \cdot 3 = 210\). Wahrscheinlichkeit \(P(\text{eine pro Gruppe}) = \frac{210}{1140} = \frac{7}{38} \approx 0{,}1842\).

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{2}{19} \approx 10{,}5\,\%\). 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{7}{38} \approx 18{,}4\,\%\).

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, eine bestimmte Anzahl an Kugeln aus der Gesamtmenge zu ziehen. - Welches mathematische Modell beschreibt das Ziehen ohne Zurücklegen, wenn die Reihenfolge egal ist? - Teile die Menge der Kugeln gedanklich in „Treffer“ (deine Zahlen) und „Nieten“ (die restlichen Zahlen) auf. - Was bedeutet „mindestens“ für die Anzahl der Treffer? Welche Fälle musst du kombinieren?

1. Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(4\) Zahlen aus \(25\) auszuwählen, berechnet sich über den Binomialkoeffizienten \(\binom{25}{4} = 12\,650\). Die Wahrscheinlichkeit für genau vier Richtige ist \(P(X=4) = \frac{\binom{4}{4} \cdot \binom{21}{0}}{12\,650} = \frac{1}{12\,650} \approx 0{,}000079\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Richtige wird mit der hypergeometrischen Verteilung berechnet: \(P(X=2) = \frac{\binom{4}{2} \cdot \binom{21}{2}}{12\,650} = \frac{6 \cdot 210}{12\,650} = \frac{1\,260}{12\,650} \approx 0{,}0996\). 3. Für mindestens drei Richtige addiert man die Wahrscheinlichkeiten für genau drei und genau vier Richtige: \(P(X=3) = \frac{\binom{4}{3} \cdot \binom{21}{1}}{12\,650} = \frac{4 \cdot 21}{12\,650} = \frac{84}{12\,650}\). Somit gilt \(P(X \geq 3) = \frac{84 + 1}{12\,650} = \frac{85}{12\,650} \approx 0{,}00672\).

1. \(P(\text{4 Richtige}) = \frac{1}{12\,650} \approx 0{,}0079\,\%\) 2. \(P(\text{2 Richtige}) = \frac{1\,260}{12\,650} \approx 9{,}96\,\%\) 3. \(P(\text{mind. 3 Richtige}) = \frac{85}{12\,650} \approx 0{,}67\,\%\)

- Überlege, wie du den Anteil der gewerblichen Elektroautos aus den gegebenen Prozentangaben berechnen kannst. - Denke daran, dass sich die Summen in der Vierfeldertafel immer zu 1 (oder \(100\,\%\)) ergänzen müssen. - Was bedeutet es für die Struktur eines Baumdiagramms, wenn eine Bedingung („unter den Elektrofahrzeugen“) vorgegeben ist? - Welche Information steht an den Ästen der zweiten Stufe eines Baumdiagramms?

1. Berechnung der Schnittmengenwahrscheinlichkeit: \(P(G \cap E) = P(G) \cdot P(E|G) = 0{,}60 \cdot 0{,}25 = 0{,}15\). Daraus ergeben sich die weiteren Werte der Vierfeldertafel durch Differenzbildung und Ergänzung zur Gesamtsumme \(1\): \(P(G \cap \bar{E}) = P(G) - P(G \cap E) = 0{,}60 - 0{,}15 = 0{,}45\) \(P(\bar{G} \cap E) = P(E) - P(G \cap E) = 0{,}20 - 0{,}15 = 0{,}05\) \(P(\bar{G} \cap \bar{E}) = P(\bar{G}) - P(\bar{G} \cap E) = (1 - 0{,}60) - 0{,}05 = 0{,}35\) Vierfeldertafel: <table> <tr><td></td><td>\(E\)</td><td>\(\bar{E}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(G\)</td><td>\(0{,}15\)</td><td>\(0{,}45\)</td><td>\(0{,}60\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{G}\)</td><td>\(0{,}05\)</td><td>\(0{,}35\)</td><td>\(0{,}40\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(0{,}20\)</td><td>\(0{,}80\)</td><td>\(1{,}00\)</td></tr> </table> 2. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P(E|\bar{G}) = \frac{P(E \cap \bar{G})}{P(\bar{G})} = \frac{0{,}05}{0{,}40} = 0{,}125\). Dies entspricht \(12{,}5\,\%\). 3. Das Baumdiagramm, das mit dem Merkmal \(E\) beginnt, ist besser geeignet. Die gesuchte Größe ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(G|E)\). Diese kann in einem Baumdiagramm, in dem auf der ersten Stufe nach dem Antriebstyp (\(E\) und \(\bar{E}\)) verzweigt wird, direkt an der entsprechenden Pfadabzweigung der zweiten Stufe abgelesen werden.

1. Die Tafel enthält die Werte: \(P(G \cap E) = 0{,}15\), \(P(G \cap \bar{E}) = 0{,}45\), \(P(\bar{G} \cap E) = 0{,}05\), \(P(\bar{G} \cap \bar{E}) = 0{,}35\). 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(12{,}5\,\%\). 3. Das Baumdiagramm mit dem Startmerkmal \(E\) ist geeignet, da \(P(G|E)\) dort ein direkter Parameter der zweiten Stufe ist.

- Beginne damit, die bedingten Wahrscheinlichkeiten aus dem Text in Schnittmengenwahrscheinlichkeiten für die inneren Felder der Tabelle umzurechnen. - Achte darauf, worauf sich die Prozentangaben beziehen – auf die Gesamtheit oder auf eine Teilgruppe? - Für die letzte Teilaufgabe musst du das Vorwissen über die schlechte Schlafqualität als Bedingung nutzen.

1. Gegeben sind \(P(S) = 0{,}40\), \(P(P|S) = 0{,}70\) und \(P(P|\bar{S}) = 0{,}20\). Berechnung der Schnittmengen: \(P(S \cap P) = P(S) \cdot P(P|S) = 0{,}40 \cdot 0{,}70 = 0{,}28\) \(P(\bar{S} \cap P) = P(\bar{S}) \cdot P(P|\bar{S}) = 0{,}60 \cdot 0{,}20 = 0{,}12\) Vervollständigung der Vierfeldertafel: \(P(S \cap \bar{P}) = P(S) - P(S \cap P) = 0{,}40 - 0{,}28 = 0{,}12\) \(P(\bar{S} \cap \bar{P}) = P(\bar{S}) - P(\bar{S} \cap P) = 0{,}60 - 0{,}12 = 0{,}48\) <table> <tr><td></td><td>\(P\)</td><td>\(\bar{P}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(S\)</td><td>\(0{,}28\)</td><td>\(0{,}12\)</td><td>\(0{,}40\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{S}\)</td><td>\(0{,}12\)</td><td>\(0{,}48\)</td><td>\(0{,}60\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(0{,}40\)</td><td>\(0{,}60\)</td><td>\(1{,}00\)</td></tr> </table> 2. Die totale Wahrscheinlichkeit für schlechte Schlafqualität ist die Summe der Spalte \(P\): \(P(P) = 0{,}28 + 0{,}12 = 0{,}40\). Dies entspricht \(40\,\%\). 3. Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(S|P)\). \(P(S|P) = \frac{P(S \cap P)}{P(P)} = \frac{0{,}28}{0{,}40} = 0{,}7\). Dies entspricht \(70\,\%\).

1. Die inneren Werte der Tabelle sind \(0{,}28\), \(0{,}12\) (für \(S\)) und \(0{,}12\), \(0{,}48\) (für \(\bar{S}\)). 2. Insgesamt leiden \(40\,\%\) der Studierenden unter schlechter Schlafqualität. 3. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(70\,\%\).

- Wie lässt sich eine Wahrscheinlichkeit aus einer Häufigkeitstabelle schätzen? - Welche Personen bilden die Grundgesamtheit für die jeweilige Fragestellung? - Denk an die Pfadregeln, wenn zwei unabhängige Ereignisse gleichzeitig eintreten sollen. - Was bedeutet es für die Anzahl der Personen, wenn jemand in einem bestimmten Zeitraum verstirbt?

1. Die Wahrscheinlichkeit wird als relativer Anteil der Überlebenden berechnet: \(P = \frac{l_{65}}{l_{25}} = \frac{80\,455}{98\,412} \approx 0{,}8175\). 2. Zunächst wird die Wahrscheinlichkeit für eine Person berechnet, von \(45\) auf \(65\) Jahre zu kommen: \(p = \frac{l_{65}}{l_{45}} = \frac{80\,455}{95\,120} \approx 0{,}8458\). Da beide Personen unabhängig voneinander überleben sollen, gilt \(P = p^2 = \left(\frac{80\,455}{95\,120}\right)^2 \approx 0{,}7154\). 3. Das Ereignis tritt ein, wenn die Person das Alter \(45\) erreicht, aber das Alter \(65\) nicht mehr erreicht. Die Anzahl dieser Personen ist \(l_{45} - l_{65} = 95\,120 - 80\,455 = 14\,665\). Bezogen auf die \(25\)-Jährigen ergibt sich \(P = \frac{l_{45} - l_{65}}{l_{25}} = \frac{14\,665}{98\,412} \approx 0{,}1490\).

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(81{,}75\,\%\). 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(71{,}54\,\%\). 3. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(14{,}90\,\%\).

- Überlege zuerst, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, eine bestimmte Anzahl an Objekten aus der Gesamtmenge auszuwählen. - Unterscheide zwischen der Anzahl der „Treffer“ (Gutscheine) und der Anzahl der „Nieten“. - Da die Tüten gleichzeitig (oder ohne Zurücklegen) entnommen werden, ist die hypergeometrische Verteilung ein geeignetes Modell. - Überprüfe am Ende, ob die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten \(1\) ergibt.

1. Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(3\) Tüten aus \(15\) zu wählen, beträgt \(\binom{15}{3} = 455\). Die Anzahl der Möglichkeiten, \(3\) Tüten ohne Gutschein aus den \(9\) vorhandenen zu wählen, ist \(\binom{9}{3} = 84\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt somit \(P(X=0) = \frac{84}{455} \approx 0{,}1846\). 2. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der Gutscheine \(k\) folgt der hypergeometrischen Verteilung \(P(X=k) = \frac{\binom{6}{k} \cdot \binom{9}{3-k}}{\binom{15}{3}}\): - Für \(k=0\): \(P(X=0) = \frac{1 \cdot 84}{455} = \frac{84}{455} \approx 0{,}1846\) - Für \(k=1\): \(P(X=1) = \frac{6 \cdot 36}{455} = \frac{216}{455} \approx 0{,}4747\) - Für \(k=2\): \(P(X=2) = \frac{15 \cdot 9}{455} = \frac{135}{455} \approx 0{,}2967\) - Für \(k=3\): \(P(X=3) = \frac{20 \cdot 1}{455} = \frac{20}{455} \approx 0{,}0440\)

1. \(P(X=0) = \frac{84}{455} \approx 18{,}46\,\%\) 2. \(P(X=0) \approx 18{,}46\,\%\); \(P(X=1) \approx 47{,}47\,\%\); \(P(X=2) \approx 29{,}67\,\%\); \(P(X=3) \approx 4{,}40\,\%\)

- Überlege dir zuerst, wie viele Ergebnismöglichkeiten es insgesamt für die drei Würfe gibt. - Bei einer streng monotonen Folge ist die Reihenfolge der Zahlen fest vorgegeben, sobald du die drei Zahlen ausgewählt hast. - Wie viele verschiedene Werte kann die Zufallsgröße \(X\) annehmen? Überlege, welche Fälle eintreten können (alle gleich, zwei gleich, alle verschieden). - Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in deiner Verteilungstabelle muss 1 ergeben. Das ist eine gute Kontrolle.

1. Die Gesamtzahl der Ergebnisse bei drei Würfen beträgt \(12^3 = 1728\). Für drei verschiedene Zahlen gibt es \(12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320\) Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{verschieden}) = \frac{1320}{1728} = \frac{55}{72} \approx 0{,}7639\). 2. Eine streng monoton steigende Folge erfordert die Auswahl von 3 verschiedenen Zahlen aus 12, für die es genau eine Anordnung gibt. Anzahl der Möglichkeiten: \(\binom{12}{3} = 220\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{steigend}) = \frac{220}{1728} = \frac{55}{432} \approx 0{,}1273\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für \(X \in \{1, 2, 3\}\): - \(P(X=1)\): Alle Zahlen gleich. Es gibt 12 Möglichkeiten (1,1,1 bis 12,12,12). \(P(X=1) = \frac{12}{1728} = \frac{1}{144} \approx 0{,}0069\). - \(P(X=2)\): Genau zwei Zahlen gleich. Auswahl der doppelt vorkommenden Zahl (12), Auswahl der Position der einfachen Zahl (3), Auswahl der verschiedenen Zahl (11). \(12 \cdot 3 \cdot 11 = 396\) Möglichkeiten. \(P(X=2) = \frac{396}{1728} = \frac{11}{48} \approx 0{,}2292\). - \(P(X=3)\): Alle drei verschieden (siehe Schritt 1). \(P(X=3) = \frac{1320}{1728} = \frac{55}{72} \approx 0{,}7639\). Die Tabelle ordnet jedem Wert \(x_i\) seine Wahrscheinlichkeit \(P(X=x_i)\) zu.

1. \(P \approx 0{,}7639\) oder \(\frac{55}{72}\) 2. \(P \approx 0{,}1273\) oder \(\frac{55}{432}\) 3. Wahrscheinlichkeitsverteilung: | \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | \(P(X=x_i)\) | \(\frac{1}{144}\) | \(\frac{11}{48}\) | \(\frac{55}{72}\) |

- Notiere dir für die Summe alle möglichen Zahlentripel und achte dabei auf die unterschiedlichen Reihenfolgen. - Bei einer streng monotonen Folge dürfen keine Zahlen doppelt vorkommen. - Wenn die größte Zahl einen bestimmten Wert nicht überschreiten darf, was bedeutet das für jede einzelne Ziehung? - Denke daran, dass das Ziehen mit Zurücklegen erfolgt – das beeinflusst die Anzahl der Möglichkeiten pro Zug.

1. Gesamtzahl der Ergebnisse: \(10^3 = 1000\). Günstige geordnete Zahlentripel für die Summe 5: \((1,1,3), (1,3,1), (3,1,1)\) und \((1,2,2), (2,1,2), (2,2,1)\). Das sind 6 Möglichkeiten. \(P(\text{Summe } 5) = \frac{6}{1000} = 0{,}006\). 2. Für eine streng monoton fallende Folge müssen 3 verschiedene Zahlen aus 10 gewählt werden. Es gibt \(\binom{10}{3} = 120\) Möglichkeiten, diese auszuwählen, und jeweils nur eine fallende Anordnung. \(P(\text{fallend}) = \frac{120}{1000} = 0{,}12\). 3. Wenn die größte Zahl höchstens 4 sein darf, muss jede der drei Ziehungen eine Zahl aus der Menge \(\{1, 2, 3, 4\}\) liefern. Dafür gibt es pro Ziehung 4 Möglichkeiten. Gesamtanzahl günstiger Fälle: \(4^3 = 64\). \(P(\text{größte gezogene Zahl} \le 4) = \frac{64}{1000} = 0{,}064\).

1. \(P = 0{,}006\) 2. \(P = 0{,}12\) 3. \(P = 0{,}064\)

- Überlege dir zuerst, welche Informationen im Text als Anteile an einer Teilgruppe (bedingte Wahrscheinlichkeiten) gegeben sind. - Ein Baumdiagramm kann helfen, die Pfadwahrscheinlichkeiten für die Kombinationen der Merkmale übersichtlich darzustellen. - Für die erste Teilfrage musst du die Richtung der Bedingung umkehren. Welches Werkzeug der Stochastik hilft dabei? - Achte genau darauf, welche Gruppe bei der jeweiligen Frage als bekannt vorausgesetzt wird (die Bedingung).

1. Definition der Ereignisse: \(M\) (Master), \(B\) (Bachelor), \(L\) (tägliche Bibliotheksnutzung). Gegeben sind \(P(M) = 0{,}42\), \(P(B) = 0{,}58\), \(P(L|M) = 0{,}15\) und \(P(L|B) = 0{,}25\). 2. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeiten für die Nicht-Nutzung: \(P(\bar{L}|M) = 1 - 0{,}15 = 0{,}85\) und \(P(\bar{L}|B) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75\). 3. Berechnung der totalen Wahrscheinlichkeit für keine tägliche Nutzung: \(P(\bar{L}) = P(\bar{L}|M) \cdot P(M) + P(\bar{L}|B) \cdot P(B) = 0{,}85 \cdot 0{,}42 + 0{,}75 \cdot 0{,}58 = 0{,}357 + 0{,}435 = 0{,}792\). 4. Anwendung des Satzes von Bayes für die erste Teilfrage: \(P(B|\bar{L}) = \frac{P(\bar{L}|B) \cdot P(B)}{P(\bar{L})} = \frac{0{,}435}{0{,}792} \approx 0{,}5492\). 5. Die zweite Teilfrage entspricht der direkt berechneten bedingten Wahrscheinlichkeit \(P(\bar{L}|B) = 0{,}75\).

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(54{,}92\,\%\). 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(75\,\%\).

- Welche Wahrscheinlichkeiten sind direkt im Text gegeben? Notiere sie in der Form \(P(A|B)\). - Was ist der Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeit „Außendienst und kein Wagen“ und der Wahrscheinlichkeit „Außendienst, wenn bekannt ist, dass kein Wagen genutzt wird“? - Kannst du eine Vierfeldertafel oder ein Baumdiagramm erstellen, um die absoluten Anteile an der Gesamtbelegschaft zu berechnen? - Für die zweite Frage musst du lediglich das Komplement einer im Text genannten Eigenschaft innerhalb einer bestimmten Gruppe finden.

1. Festlegung der Ereignisse: \(A\) (Außendienst), \(I\) (Innendienst), \(W\) (Firmenwagen). Gegeben sind \(P(A) = 0{,}35\), \(P(I) = 0{,}65\), \(P(W|A) = 0{,}80\) und \(P(W|I) = 0{,}10\). 2. Bestimmung der bedingten Wahrscheinlichkeiten für die Nicht-Nutzung: \(P(\bar{W}|A) = 1 - 0{,}80 = 0{,}20\) und \(P(\bar{W}|I) = 1 - 0{,}10 = 0{,}90\). 3. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit für die Nicht-Nutzung eines Firmenwagens: \(P(\bar{W}) = P(\bar{W}|A) \cdot P(A) + P(\bar{W}|I) \cdot P(I) = 0{,}20 \cdot 0{,}35 + 0{,}90 \cdot 0{,}65 = 0{,}07 + 0{,}585 = 0{,}655\). 4. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit für die erste Teilfrage (Bayes): \(P(A|\bar{W}) = \frac{P(\bar{W} \cap A)}{P(\bar{W})} = \frac{0{,}07}{0{,}655} \approx 0{,}1069\). 5. Die Wahrscheinlichkeit für die zweite Teilfrage ist die bereits ermittelte bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(\bar{W}|A) = 0{,}20\).

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(10{,}69\,\%\). 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(20\,\%\).

- Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis zusammen? - Kannst du die Bedingung „größer als 3 und kleiner als 11“ mathematisch als Ungleichungskette formulieren? - Es hilft oft, die Anzahl der Möglichkeiten für jede Augensumme von 2 bis 12 kurz zu notieren. - Achte bei „höchstens“ und „mindestens“ darauf, ob die genannten Zahlen selbst noch dazugehören.

1. Die Ergebnismenge umfasst \(|\Omega| = 36\) Ergebnisse. 2. Teilaufgabe a): Das Ereignis tritt ein, wenn \(S \in \{2, 3, 4, 10, 11, 12\}\). Die Anzahl der günstigen Ergebnisse für \(S \le 4\) ist \(1 + 2 + 3 = 6\). Die Anzahl für \(S \ge 10\) ist ebenfalls \(3 + 2 + 1 = 6\). Da die Mengen disjunkt sind, ist die Gesamtzahl der günstigen Fälle \(6 + 6 = 12\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(S \le 4 \lor S \ge 10) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}\). 3. Teilaufgabe b): Das Ereignis \(E\) ist definiert durch \(3 < S < 11\), also \(S \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\). Das Gegenereignis \(\bar{E}\) umfasst alle Summen, die nicht in \(E\) liegen, also \(S \in \{2, 3, 11, 12\}\). Die Anzahl der günstigen Ergebnisse für \(\bar{E}\) ist \(1 (S=2) + 2 (S=3) + 2 (S=11) + 1 (S=12) = 6\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(\bar{E}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).

a) \(P = \frac{1}{3}\) b) \(P(\bar{E}) = \frac{1}{6}\)

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es gibt, die Zahlen eines Tripels (z. B. 1, 2 und 6) auf drei Würfel zu verteilen. - Macht es einen Unterschied für die Anzahl der Anordnungen, ob alle Zahlen im Tripel verschieden sind oder ob Zahlen doppelt vorkommen? - Ein Laplace-Experiment setzt voraus, dass alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Welche Ergebnisse beim Würfeln mit drei Würfeln sind das?

1. Auflistung der Zerlegungen (ungeordnete Zahlentripel): Für die Summe 9: \((1;2;6)\), \((1;3;5)\), \((1;4;4)\), \((2;2;5)\), \((2;3;4)\), \((3;3;3)\). Es gibt 6 Zerlegungen. Für die Summe 10: \((1;3;6)\), \((1;4;5)\), \((2;2;6)\), \((2;3;5)\), \((2;4;4)\), \((3;3;4)\). Es gibt 6 Zerlegungen. 2. Berechnung der Permutationen und Wahrscheinlichkeiten: Die Gesamtzahl der Ergebnisse im Laplace-Raum beträgt \(6^3 = 216\). Für Summe 9: - Tripel mit 3 verschiedenen Zahlen (\((1;2;6), (1;3;5), (2;3;4)\)): jeweils \(3! = 6\) Anordnungen. - Tripel mit 2 gleichen Zahlen (\((1;4;4), (2;2;5)\)): jeweils \(\frac{3!}{2!} = 3\) Anordnungen. - Tripel mit 3 gleichen Zahlen (\((3;3;3)\)): \(1\) Anordnung. Günstige Ergebnisse: \(3 \cdot 6 + 2 \cdot 3 + 1 = 18 + 6 + 1 = 25\). Somit \(P(X = 9) = \frac{25}{216} \approx 0{,}1157\). Für Summe 10: - Tripel mit 3 verschiedenen Zahlen (\((1;3;6), (1;4;5), (2;3;5)\)): jeweils \(6\) Anordnungen. - Tripel mit 2 gleichen Zahlen (\((2;2;6), (2;4;4), (3;3;4)\)): jeweils \(3\) Anordnungen. Günstige Ergebnisse: \(3 \cdot 6 + 3 \cdot 3 = 18 + 9 = 27\). Somit \(P(X = 10) = \frac{27}{216} = 0{,}125\). 3. Der Denkfehler liegt darin, dass die ungeordneten Zerlegungen im Laplace-Modell nicht gleichwahrscheinlich sind. Da die Würfel als unterscheidbar betrachtet werden müssen, besitzen Zahlentripel aus verschiedenen Zahlen mehr Realisierungsmöglichkeiten (Permutationen) als solche mit gleichen Augenzahlen.

1. Beide Summen besitzen jeweils 6 ungeordnete Zerlegungen. 2. \(P(X = 9) = \frac{25}{216} \approx 0{,}1157\) und \(P(X = 10) = \frac{27}{216} = 0{,}125\). 3. Die Zerlegungen sind nicht gleichwahrscheinlich, da sie je nach Zusammensetzung (verschiedene Zahlen vs. gleiche Zahlen) unterschiedlich viele Permutationen im Laplace-Raum repräsentieren.

- Stelle dir vor, wie sich deine Überzeugung nach jeder Information ändert. - Verwende die Wahrscheinlichkeit aus dem vorherigen Schritt als neuen Ausgangspunkt für die nächste Berechnung. - Überlege dir, wie das Verhältnis der roten Kugeln in den beiden Urnen die Wahrscheinlichkeit beeinflusst. - Der Satz von Bayes hilft dir, die Wahrscheinlichkeit einer Ursache (Urne) zu bestimmen, wenn die Wirkung (gezogene Kugel) bekannt ist.

1. Definition der Hypothesen und Wahrscheinlichkeiten: Hypothese \(H_A\) (Urne \(A\)) und \(H_B\) (Urne \(B\)) mit den Startwahrscheinlichkeiten \(P(H_A) = P(H_B) = 0{,}5\). In Urne \(A\) gilt \(P(r|H_A) = 0{,}3\) und \(P(b|H_A) = 0{,}7\). In Urne \(B\) gilt \(P(r|H_B) = 0{,}7\) und \(P(b|H_B) = 0{,}3\). 2. Erste Ziehung (rot): Die neue Wahrscheinlichkeit für \(H_B\) berechnet sich nach dem Satz von Bayes: \(P(H_B|r) = \frac{0{,}5 \cdot 0{,}7}{0{,}5 \cdot 0{,}7 + 0{,}5 \cdot 0{,}3} = \frac{0{,}35}{0{,}5} = 0{,}7\). Damit ist \(P(H_A|r) = 0{,}3\). 3. Zweite Ziehung (rot): Die Wahrscheinlichkeit aus Schritt 2 dient als neue A-priori-Wahrscheinlichkeit. \(P(H_B|rr) = \frac{0{,}7 \cdot 0{,}7}{0{,}7 \cdot 0{,}7 + 0{,}3 \cdot 0{,}3} = \frac{0{,}49}{0{,}49 + 0{,}09} = \frac{49}{58} \approx 0{,}8448\). Entsprechend ist \(P(H_A|rr) = \frac{9}{58} \approx 0{,}1552\). 4. Dritte Ziehung (blau): \(P(H_B|rrb) = \frac{\frac{49}{58} \cdot 0{,}3}{\frac{49}{58} \cdot 0{,}3 + \frac{9}{58} \cdot 0{,}7} = \frac{14{,}7}{14{,}7 + 6{,}3} = \frac{14{,}7}{21{,}0} = 0{,}7\). 5. Vergleich: Da \(P(H_B|rrb) = 0{,}7 > 0{,}3 = P(H_A|rrb)\), ist Urne \(B\) wahrscheinlicher.

Nach der 1. Ziehung (rot): \(70\,\%\) Nach der 2. Ziehung (rot): ca. \(84{,}48\,\%\) (exakt \(\frac{49}{58}\)) Nach der 3. Ziehung (blau): \(70\,\%\) Nach der dritten Ziehung ist Urne \(B\) wahrscheinlicher.

- Zähle zuerst genau, wie viele Zeichen die Kette insgesamt hat und wie oft jedes Zeichen vorkommt. - Bedenke, dass bei \(n\) Zeichen genau \(n-1\) Paare entstehen, da jedes Zeichen (außer dem letzten) der Start eines Paares ist. - Was bedeutet „gleichwahrscheinlich“ für die theoretische Erwartung bei Paaren wie \(AA, AB, BA, BB\)? - Vergleiche die gezählten Werte direkt mit dem berechneten Erwartungswert.

1. In der Folge treten \(9\)-mal der Buchstabe \(A\) und \(11\)-mal der Buchstabe \(B\) auf. Die relativen Häufigkeiten sind \(h(A) = \frac{9}{20} = 0{,}45\) und \(h(B) = \frac{11}{20} = 0{,}55\). 2. Bei einer Kette von 20 Zeichen ergeben sich \(19\) benachbarte Paare. Die Auszählung ergibt: \(H(AA) = 2\), \(H(AB) = 7\), \(H(BA) = 6\) und \(H(BB) = 4\). Die relativen Häufigkeiten der Paare sind \(h(AA) = \frac{2}{19} \approx 0{,}105\), \(h(AB) = \frac{7}{19} \approx 0{,}368\), \(h(BA) = \frac{6}{19} \approx 0{,}316\) und \(h(BB) = \frac{4}{19} \approx 0{,}211\). 3. Der theoretische Erwartungswert für die absolute Häufigkeit jedes Paares liegt bei \(19 \cdot 0{,}25 = 4{,}75\). Im Vergleich dazu treten die Wechselpaare \(AB\) und \(BA\) häufiger auf als erwartet, während das Paar \(AA\) deutlich seltener vorkommt.

1. \(h(A) = 0{,}45\); \(h(B) = 0{,}55\) 2. Absolute Häufigkeiten (von 19 Paaren): \(H(AA) = 2\); \(H(AB) = 7\); \(H(BA) = 6\); \(H(BB) = 4\). Relative Häufigkeiten: \(h(AA) \approx 10{,}5\,\%\); \(h(AB) \approx 36{,}8\,\%\); \(h(BA) \approx 31{,}6\,\%\); \(h(BB) \approx 21{,}1\,\%\). 3. Erwarteter Wert je Paar: \(4{,}75\). Die Paare \(AB\) und \(BA\) sind überrepräsentiert, \(AA\) ist unterrepräsentiert.

- Wie viele Paare kannst du in einer Kette von 24 Buchstaben bilden? - Berechne, wie oft man jedes der vier Paare im Durchschnitt erwarten würde, wenn der Wurf wirklich zufällig wäre. - Schau dir das Muster der Folge genau an – fällt dir eine Regelmäßigkeit auf, die bei echtem Zufall eher selten ist? - Unterscheide zwischen der Häufigkeit einzelner Ergebnisse und der Häufigkeit von Mustern (Paaren).

1. In der Folge tritt \(12\)-mal \(K\) und \(12\)-mal \(Z\) auf. Die relativen Häufigkeiten sind \(h(K) = \frac{12}{24} = 0{,}5\) und \(h(Z) = \frac{12}{24} = 0{,}5\). 2. Es gibt \(23\) Paare. Die Auszählung ergibt: \(H(KZ) = 12\), \(H(ZK) = 11\), \(H(KK) = 0\) und \(H(ZZ) = 0\). 3. Für eine echte Zufallsfolge (Laplace-Münze mit \(p=0{,}5\)) ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Paar \(0{,}25\). Der Erwartungswert für die Anzahl der Paare \(KK\) (bzw. \(ZZ\)) beträgt \(E = 23 \cdot 0{,}25 = 5{,}75\). Da in der vorliegenden Folge diese Paare überhaupt nicht vorkommen (Häufigkeit 0), ist die Folge als Ergebnis eines echten Zufallsversuchs extrem unwahrscheinlich. Sie wirkt „zu regelmäßig“ abwechselnd, was ein typisches Muster für vom Menschen ausgedachte „Zufallsfolgen“ ist.

1. \(h(K) = 0{,}5\); \(h(Z) = 0{,}5\) 2. \(H(KZ) = 12\); \(H(ZK) = 11\); \(H(KK) = 0\); \(H(ZZ) = 0\) 3. Die Folge ist für ein echtes Zufallsexperiment äußerst untypisch. Während die Einzelwahrscheinlichkeiten perfekt verteilt sind, fehlen gleiche aufeinanderfolgende Ergebnisse (\(KK\) oder \(ZZ\)) vollständig. Der Erwartungswert für \(KK\) und \(ZZ\) läge bei jeweils \(5{,}75\). Das Fehlen dieser Paare deutet auf ein bewusstes Abwechseln hin.

- Notiere zuerst, mit welcher Wahrscheinlichkeit jede der Zahlen \(1, 2\) und \(3\) bei einem einzelnen Wurf auftritt. - Überlege dir bei Paaren mit unterschiedlichen Zahlen, wie viele Möglichkeiten es im Baumdiagramm gibt, dieses Ergebnis zu erzielen. - Prüfe am Ende, ob die Summe aller berechneten Wahrscheinlichkeiten \(1\) ergibt. - Erinnere dich daran, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit ein Zufallsexperiment als Laplace-Experiment bezeichnet wird.

1. Die möglichen Augenzahlen pro Wurf sind \(1, 2\) und \(3\). Die Ergebnismenge der ungeordneten Paare ist \(\Omega = \{(1;1), (1;2), (1;3), (2;2), (2;3), (3;3)\}\). 2. Die Einzelwahrscheinlichkeiten sind \(P(1) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\), \(P(2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) und \(P(3) = \frac{1}{6}\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für die ungeordneten Paare (mit \(i \neq j\) gilt \(P(\{(i;j)\}) = 2 \cdot P(i) \cdot P(j)\)): \(P(\{(1;1)\}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = \frac{9}{36}\) \(P(\{(1;2)\}) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} = \frac{12}{36}\) \(P(\{(1;3)\}) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6} = \frac{6}{36}\) \(P(\{(2;2)\}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} = \frac{4}{36}\) \(P(\{(2;3)\}) = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{9} = \frac{4}{36}\) \(P(\{(3;3)\}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\) 4. Da die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse in \(\Omega\) voneinander abweichen (z. B. \(P(\{(1;2)\}) = \frac{12}{36}\) gegenüber \(P(\{(3;3)\}) = \frac{1}{36}\)), sind die Ergebnisse nicht gleichwahrscheinlich, was der Definition eines Laplace-Experiments widerspricht.

a) \(\Omega = \{(1;1), (1;2), (1;3), (2;2), (2;3), (3;3)\}\) b) \(P(\{(1;1)\}) = \frac{1}{4}\); \(P(\{(1;2)\}) = \frac{1}{3}\); \(P(\{(1;3)\}) = \frac{1}{6}\); \(P(\{(2;2)\}) = \frac{1}{9}\); \(P(\{(2;3)\}) = \frac{1}{9}\); \(P(\{(3;3)\}) = \frac{1}{36}\) c) In einem Laplace-Experiment müssten alle sechs Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{6}\) besitzen. Da die berechneten Wahrscheinlichkeiten jedoch variieren (zwischen \(\frac{1}{36}\) und \(\frac{12}{36}\)), liegt kein Laplace-Experiment vor.

- Achte darauf, ob du die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Bauteil oder die durchschnittliche Anzahl pro Gruppe berechnest. - Was ist das Gegenereignis zu „mindestens ein Defekt“? - Wie bestimmt man die relative Häufigkeit einer kombinierten Merkmalsausprägung (z. B. \(k \ge 1\))?

1. Gesamtzahl der defekten Bauteile: \(0 \cdot 130 + 1 \cdot 55 + 2 \cdot 12 + 3 \cdot 3 = 88\). Gesamtzahl der geprüften Bauteile: \(200 \cdot 3 = 600\). Schätzwert für \(p\): \(p = \frac{88}{600} \approx 0{,}1467\). (Alternativ über den Mittelwert pro Gruppe: \(\bar{k} = \frac{88}{200} = 0{,}44\); \(3p = 0{,}44 \Rightarrow p \approx 0{,}1467\)). 2. Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Defekt: \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^3 \approx 1 - (1 - 0{,}1467)^3 \approx 1 - 0{,}8533^3 \approx 1 - 0{,}6213 = 0{,}3787\). 3. Empirische relative Häufigkeit: \(h(k \ge 1) = \frac{55 + 12 + 3}{200} = \frac{70}{200} = 0{,}35\). Das Modell liefert mit ca. \(37{,}87\,\%\) eine etwas höhere Wahrscheinlichkeit als die beobachteten \(35\,\%\).

1. \(p \approx 0{,}1467\) 2. \(P(X \ge 1) \approx 0{,}3787\) 3. Theoretisch: \(37{,}87\,\%\); Empirisch: \(35\,\%\).

- Versuche, ein Ereignis so darzustellen, dass es aus zwei Teilen besteht: dem Teil, der eine bestimmte Bedingung erfüllt, und dem Teil, der sie nicht erfüllt. - Warum sind die Mengen \(A \cap B\) und \(A \cap \overline{B}\) disjunkt? - Wie kannst du die Wahrscheinlichkeit \(P(A \cap \overline{B})\) mithilfe von \(P(A)\) und \(P(A \cap B)\) ausdrücken? - Nutze eine geschickte Zerlegung von \(A \cup B\), bei der eine der Teilmengen bereits das gesamte Ereignis \(B\) ist.

1. Disjunkte Zerlegung von \(A\): Das Ereignis \(A\) lässt sich als Vereinigung der Teilmengen schreiben, die entweder in \(B\) liegen oder nicht in \(B\) liegen: \(A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})\). Da \((A \cap B) \cap (A \cap \overline{B}) = \emptyset\), sind diese disjunkt. 2. Anwendung von Axiom 3: Es folgt unmittelbar \(P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})\). 3. Disjunkte Zerlegung von \(A \cup B\): Die Menge \(A \cup B\) besteht aus allen Elementen von \(B\) und jenen Elementen von \(A\), die nicht in \(B\) liegen. Es gilt \(A \cup B = (A \cap \overline{B}) \cup B\) mit \((A \cap \overline{B}) \cap B = \emptyset\). 4. Anwendung von Axiom 3: \(P(A \cup B) = P(A \cap \overline{B}) + P(B)\). 5. Substitution: Aus der Gleichung in Schritt 2 folgt \(P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B)\). 6. Finale Herleitung: Einsetzen in die Gleichung aus Schritt 4 ergibt \(P(A \cup B) = P(A) - P(A \cap B) + P(B)\), was der allgemeinen Additionsregel entspricht.

a) \(P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})\) b) \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)

- Erinnere dich an das Axiom für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von Mengen, die keine gemeinsamen Elemente haben. - Wie kannst du die Fläche von zwei überlappenden Kreisen so aufteilen, dass du nur nicht-überlappende Teile hast? - Welche Beziehung besteht zwischen der Wahrscheinlichkeit einer Teilmenge und der Wahrscheinlichkeit der gesamten Menge?

1. Die Vereinigungsmenge lässt sich als Vereinigung zweier disjunkter Mengen darstellen: \(E_1 \cup E_2 = E_1 \cup (E_2 \setminus E_1)\). Dabei ist \(E_2 \setminus E_1\) die Menge aller Ergebnisse, die in \(E_2\), aber nicht in \(E_1\) liegen. 2. Nach dem Axiom für unvereinbare Ereignisse gilt: \(P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2 \setminus E_1)\). 3. Außerdem gilt die disjunkte Zerlegung \(E_2 = (E_2 \setminus E_1) \mathbin{\dot\cup} (E_1 \cap E_2)\). Mit Additivität und Nichtnegativität folgt \(P(E_2) = P(E_2 \setminus E_1) + P(E_1 \cap E_2) \ge P(E_2 \setminus E_1)\). 4. Durch Ersetzen im Term aus Schritt 2 erhält man die gesuchte Beziehung: \(P(E_1 \cup E_2) \le P(E_1) + P(E_2)\).

Durch die disjunkte Zerlegung \(E_1 \cup E_2 = E_1 \cup (E_2 \cap \overline{E_1})\) folgt mit dem Additivitätsaxiom \(P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2 \cap \overline{E_1})\). Da \(E_2 = (E_2 \cap \overline{E_1}) \mathbin{\dot\cup} (E_1 \cap E_2)\) gilt, folgt aus Additivität und Nichtnegativität \(P(E_2 \cap \overline{E_1}) \le P(E_2)\). Einsetzen ergibt \(P(E_1 \cup E_2) \le P(E_1) + P(E_2)\).

- Versuche, die Menge \(A \cup B\) so darzustellen, dass sie aus zwei Teilen besteht, die sich nicht überlappen (disjunkt sind). - Wie kannst du die Menge \(B\) mithilfe der Schnittmenge \(A \cap B\) in zwei disjunkte Teile zerlegen? - Nutze das Additivitätsaxiom für diese Zerlegungen und versuche, einen gemeinsamen Term zu finden, den du ersetzen kannst.

1. Zerlegung von \(A \cup B\) in unvereinbare Teilmengen: Es gilt \(A \cup B = A \cup (B \setminus A)\), wobei \(A \cap (B \setminus A) = \emptyset\). 2. Anwendung von Axiom 3 (Additivität): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B \setminus A)\). 3. Zerlegung von \(B\) in unvereinbare Teilmengen: Es gilt \(B = (B \cap A) \cup (B \setminus A)\), wobei \((B \cap A) \cap (B \setminus A) = \emptyset\). 4. Anwendung von Axiom 3 auf \(B\): \(P(B) = P(B \cap A) + P(B \setminus A)\). 5. Umstellen nach der Differenzmenge: \(P(B \setminus A) = P(B) - P(A \cap B)\) (da \(B \cap A = A \cap B\)). 6. Substitution: Einsetzen des Ausdrucks für \(P(B \setminus A)\) in die Gleichung aus Schritt 2 liefert \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\).

Durch die disjunkte Zerlegung \(A \cup B = A \cup (B \setminus A)\) folgt aus Axiom 3: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B \setminus A)\). Da sich \(B\) ebenfalls disjunkt als \(B = (B \cap A) \cup (B \setminus A)\) darstellen lässt, gilt \(P(B) = P(A \cap B) + P(B \setminus A)\). Durch Auflösen nach \(P(B \setminus A)\) und Einsetzen in die erste Gleichung erhält man \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\).

- Achte darauf, ob nach einer Wahrscheinlichkeit für die gesamte Menge oder für eine Teilgruppe gefragt wird. - Überlege, ob die Zahlen in der Tabelle eine beobachtete Realität beschreiben oder eine unumstößliche theoretische Regel. - Was muss für zwei Ereignisse gelten, damit man ihre Wahrscheinlichkeiten einfach addieren darf, um die Wahrscheinlichkeit für „das eine oder das andere“ zu erhalten?

1. Berechnung der Gesamtzahl der defekten Teile: \(n(D) = 200 + 300 = 500\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit bei zufälliger Auswahl aus \(N = 5000\): \(P(D) = \frac{500}{5000} = 0{,}1\). Dies entspricht dem Laplace-Begriff, da jedes Teil als gleich wahrscheinlich für die Auswahl betrachtet wird. 3. Beurteilung der Aussage: Der Wert \(0{,}1\) (aus \(200 : 2000\)) ist die relative Häufigkeit innerhalb der untersuchten Stichprobe (empirischer Begriff). In einem theoretischen Modell ist die Wahrscheinlichkeit ein fester Parameter des Produktionsprozesses, der durch die relative Häufigkeit lediglich geschätzt wird. Die exakte Gleichheit ist im Modell meist eine Idealisierung. 4. Anwendung des Additionssatzes: Wähle die Ereignisse \(W_A\) (Teil aus Werk A) und \(W_B\) (Teil aus Werk B). Da ein Teil nicht aus beiden Werken gleichzeitig stammen kann, sind sie unvereinbar (\(W_A \cap W_B = \emptyset\)). 5. Berechnung: \(P(W_A \cup W_B) = P(W_A) + P(W_B) = \frac{2000}{5000} + \frac{3000}{5000} = 0{,}4 + 0{,}6 = 1\). Das Ereignis „Das Teil stammt aus Werk A oder Werk B“ umfasst hier die gesamte Grundmenge.

a) \(P(D) = 0{,}1\); Laplace-Wahrscheinlichkeit. b) Die Aussage verwechselt die relative Häufigkeit in der Stichprobe (\(0{,}1\)) mit einer theoretischen Wahrscheinlichkeit des Prozesses; letztere ist oft nur näherungsweise durch Erstere bestimmbar. c) Beispiel: Ereignis „Teil kommt aus Werk A oder Werk B“. Da die Mengen disjunkt sind, gilt \(P(W_A \cup W_B) = P(W_A) + P(W_B) = 0{,}4 + 0{,}6 = 1\).

- Notiere dir zuerst alle gegebenen Informationen als mathematische Wahrscheinlichkeiten. Achte besonders auf Formulierungen wie „unter den Bauteilen mit Mangel 1“. - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung beider Ereignisse, wenn \(90\,\%\) der Teile fehlerfrei sind? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Auftreten beider Mängel aus den Angaben berechnen? - Eine Vierfeldertafel könnte dir helfen, die Zusammenhänge zwischen den Mängeln übersichtlich darzustellen.

1. Identifikation der gegebenen Wahrscheinlichkeiten: \(P(M_1) = 0{,}08\), \(P(M_2 | M_1) = 0{,}25\) und \(P(\overline{M_1} \cap \overline{M_2}) = 0{,}90\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Auftreten beider Mängel: \(P(M_1 \cap M_2) = P(M_1) \cdot P(M_2 | M_1) = 0{,}08 \cdot 0{,}25 = 0{,}02\). 3. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Mangel vorliegt: \(P(M_1 \cup M_2) = 1 - P(\overline{M_1} \cap \overline{M_2}) = 1 - 0{,}90 = 0{,}10\). 4. Nutzung der Zerlegung der Vereinigungsmenge: \(P(M_1 \cup M_2) = P(M_1) + P(M_2 \cap \overline{M_1})\). 5. Berechnung des gesuchten Anteils (nur Mangel \(M_2\)): \(P(M_2 \cap \overline{M_1}) = P(M_1 \cup M_2) - P(M_1) = 0{,}10 - 0{,}08 = 0{,}02\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}02\) (oder \(2\,\%\)).

- Welches der drei Kriterien schränkt die maximale Anzahl an perfekten Bauteilen am stärksten ein? - Stell dir vor, die Fehler bei den verschiedenen Kriterien treten bei völlig unterschiedlichen Bauteilen auf. Wie viele Bauteile blieben dann noch übrig, die gar keinen Fehler haben? - Wie viel „Platz“ lassen die Gegenwahrscheinlichkeiten (die Wahrscheinlichkeiten für einen Defekt) insgesamt im Bereich bis \(100\,\%\)?

1. Gegeben sind die Wahrscheinlichkeiten \(P(A) = 0{,}90\), \(P(B) = 0{,}85\) und \(P(C) = 0{,}80\). 2. Die maximale Wahrscheinlichkeit für die Schnittmenge \(P(A \cap B \cap C)\) ist durch die kleinste Einzelwahrscheinlichkeit begrenzt, da alle drei Ereignisse gleichzeitig eintreten müssen: \(P(A \cap B \cap C)_{\text{max}} = \min(0{,}90; 0{,}85; 0{,}80) = 0{,}80\). 3. Die minimale Wahrscheinlichkeit für den Schnitt von drei Ereignissen lässt sich über die Bonferroni-Ungleichung bestimmen: \(P(A \cap B \cap C) \ge P(A) + P(B) + P(C) - 2\). Einsetzen der Werte ergibt \(0{,}90 + 0{,}85 + 0{,}80 - 2 = 2{,}55 - 2 = 0{,}55\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Kriterien erfüllt sind, beträgt mindestens \(55\,\%\) und höchstens \(80\,\%\).

- Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 Kugeln aus 10 zu wählen? - Bei „mindestens“-Aufgaben ist es oft einfacher, das Gegenteil zu berechnen. - Wann darf man Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen einfach addieren? - Überlege dir, ob es möglich ist, dass beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind.

1. Wahrscheinlichkeit für Kugel \(1\): Die Anzahl der Möglichkeiten, \(3\) aus \(10\) Kugeln zu ziehen, ist \(\binom{10}{3} = 120\). Die günstigen Fälle (Kugel \(1\) ist dabei) sind \(\binom{1}{1} \cdot \binom{9}{2} = 36\). Damit gilt \(P(\text{Kugel } 1) = \frac{36}{120} = \frac{3}{10} = 0{,}3\). 2. Wahrscheinlichkeit für mindestens eine aus \(\{1,2\}\): Berechnung über das Gegenereignis (weder \(1\) noch \(2\) wird gezogen). Die Anzahl der Möglichkeiten, \(3\) Kugeln aus den restlichen \(8\) zu ziehen, ist \(\binom{8}{3} = 56\). Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis ist \(\frac{56}{120} = \frac{7}{15}\). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{mind. eine}) = 1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15} \approx 0{,}533\). 3. Analyse des Denkfehlers: Die Behauptung des Schülers ist falsch, da \(0{,}533 \neq 0{,}6\). Der Fehler liegt darin, dass die Ereignisse „Kugel \(1\) wird gezogen“ und „Kugel \(2\) wird gezogen“ nicht unvereinbar (disjunkt) sind. Es ist möglich, dass beide Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Die einfache Addition der Wahrscheinlichkeiten (oder die Verdopplung) zählt den Fall, in dem beide Kugeln in der Auswahl enthalten sind, doppelt.

a) \(P = 0{,}3\) b) \(P = \frac{8}{15} \approx 0{,}533\) c) Die Aussage ist falsch. Der Denkfehler liegt in der Annahme, dass die Ereignisse disjunkt seien; die Schnittmenge (beide Kugeln werden gezogen) wird bei der Rechnung des Schülers fälschlicherweise doppelt gezählt.

- Kannst du aus dem Prozentsatz die absolute Anzahl der beschädigten Pakete berechnen? - Was ist die Grundgesamtheit, auf die sich die Wahrscheinlichkeit bezieht? - Versuche, alle Teilmengen der Pakete (Inland/Ausland, beschädigt/unbeschädigt) einzeln zu bestimmen. - Überlege, wie du die Anzahl der beschädigten Pakete auf Inland und Ausland aufteilen kannst.

1. Anzahl Auslandspakete: \(15\,000 - 10\,800 = 4\,200\). Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{Ausland}) = \frac{4\,200}{15\,000} = 0{,}28\). 2. Gesamtzahl beschädigter Pakete: \(0{,}05 \cdot 15\,000 = 750\). Anzahl beschädigter Inlandspakete: \(750 - 126 = 624\). Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{Inland} \cap \text{beschädigt}) = \frac{624}{15\,000} = 0{,}0416\). 3. Anzahl unbeschädigter Inlandspakete: Gesamtzahl Inland (\(10\,800\)) minus beschädigte Inland (\(624\)) ergibt \(10\,176\). Wahrscheinlichkeit bezogen auf die Gesamtmenge: \(P(\text{Inland} \cap \text{unbeschädigt}) = \frac{10\,176}{15\,000} = 0{,}6784\).

1. \(P = 0{,}28\) 2. \(P = 0{,}0416\) 3. \(P = 0{,}6784\)

- Zeichne zuerst die Äste für den Gesundheitszustand und danach die Äste für das Testergebnis. - Wie berechnet man die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ergebnisses, das auf verschiedenen Pfaden im Baumdiagramm vorkommt? - Welche Formel hilft dir, wenn du eine Wahrscheinlichkeit „unter der Bedingung, dass...“ suchst? - Überlege, ob man bei einer Krankheit davon ausgehen kann, dass „krank“ und „gesund“ gleich wahrscheinlich sind wie die Seiten einer Münze.

1. Definition der Ereignisse: \(K\): krank, \(G\): gesund, \(T+\): Test positiv, \(T-\): Test negativ. Gegeben: \(P(K) = 0{,}02\), \(P(G) = 0{,}98\), \(P(T+|K) = 0{,}98\), \(P(T-|G) = 0{,}95\) (daraus folgt \(P(T+|G) = 0{,}05\)). 2. Berechnung der totalen Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis (1. Pfadregel und Summenregel): \(P(T+) = P(K) \cdot P(T+|K) + P(G) \cdot P(T+|G) = 0{,}02 \cdot 0{,}98 + 0{,}98 \cdot 0{,}05 = 0{,}0196 + 0{,}049 = 0{,}0686\). 3. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit (Satz von Bayes): \(P(K|T+) = \frac{P(K \cap T+)}{P(T+)} = \frac{0{,}0196}{0{,}0686} \approx 0{,}2857\). 4. Begriffliche Einordnung: Der Laplace-Begriff setzt voraus, dass alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind (Symmetrie). Hier basiert die Wahrscheinlichkeit jedoch auf dem empirischen Wahrscheinlichkeitsbegriff (Häufigkeitsinterpretation), da die Grundwahrscheinlichkeiten (\(2\,\%\) Infektionsrate) aus statistischen Beobachtungen der Realität gewonnen wurden und keine Symmetrie vorliegt.

a) Die Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis beträgt \(6{,}86\,\%\) (\(0{,}0686\)). b) Die Wahrscheinlichkeit, tatsächlich krank zu sein, beträgt ca. \(28{,}57\,\%\). c) Der Laplace-Begriff beruht auf Symmetrie und Gleichwahrscheinlichkeit, während hier empirische Daten (relative Häufigkeiten) die Grundlage bilden.

- Wie berechnet man die Anzahl der Möglichkeiten, eine Teilmenge aus einer größeren Menge auszuwählen? - Erinnere dich an die Definition der relativen Häufigkeit im Vergleich zur Laplace-Wahrscheinlichkeit. - Was passiert mit der Abweichung zwischen Theorie und Empirie, wenn man ein Experiment sehr oft wiederholt?

1. Die Gesamtzahl der Kombinationen ist \(\binom{49}{6} = 13\,983\,816\). Die Anzahl der günstigen Ergebnisse für genau drei Richtige ist \(\binom{6}{3} \cdot \binom{43}{3} = 20 \cdot 12\,341 = 246\,820\). Die theoretische Wahrscheinlichkeit ist \(P \approx 0{,}0176504\). 2. Die relative Häufigkeit beträgt \(h = \frac{17\,612}{1\,000\,000} = 0{,}017612\). Die absolute Differenz beträgt \(|0{,}0176504 - 0{,}017612| \approx 0{,}0000384\). 3. Gemäß dem Gesetz der großen Zahlen nähert sich die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses mit zunehmender Anzahl an Versuchen der theoretischen Wahrscheinlichkeit an. Die geringe Differenz bei einer Million Versuchen bestätigt diese Stabilisierung.

1. \(P(\text{3 Richtige}) \approx 1{,}765\,\%\) 2. Relative Häufigkeit: \(1{,}7612\,\%\); Absolute Differenz: \(\approx 0{,}00384\,\text{Prozentpunkte}\) 3. Die relative Häufigkeit stabilisiert sich mit wachsendem Stichprobenumfang um den theoretischen Wert (Gesetz der großen Zahlen).

- Was ist der Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeit, ein Alter zu erreichen, und der Wahrscheinlichkeit, ein Alter zu erreichen, wenn man bereits ein gewisses Alter hat? - Welches Verteilungsmodell eignet sich für eine feste Anzahl von Versuchen mit zwei möglichen Ausgängen? - Achte darauf, welche Werte aus der Tabelle du für die bedingte Wahrscheinlichkeit ins Verhältnis setzen musst.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit als Quotient der Überlebenden: \(p = \frac{l_{60}}{l_{30}} = \frac{85\,356}{97\,827} \approx 0{,}8725\). 2. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist \(P(S_{75} | S_{60}) = \frac{l_{75}}{l_{60}} = \frac{52\,140}{85\,356} \approx 0{,}6108\). Ein Vergleich zeigt: \(0{,}6108 < 0{,}8725\). Die Wahrscheinlichkeit, die nächsten \(15\) Jahre zu überleben, ist für einen \(60\)-Jährigen deutlich geringer als die Wahrscheinlichkeit für einen \(30\)-Jährigen, die nächsten \(30\) Jahre zu überleben. 3. Dies ist ein Bernoulli-Experiment mit \(n=5\), \(k=3\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p \approx 0{,}8725\). Anwendung der Binomialverteilung: \(P(X=3) = \binom{5}{3} \cdot 0{,}8725^3 \cdot (1-0{,}8725)^2 = 10 \cdot 0{,}6642 \cdot 0{,}0163 \approx 0{,}1080\).

1. \(p \approx 0{,}8725\) (bzw. \(87{,}25\,\%\)). 2. Die bedingte Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}6108\) (bzw. \(61{,}08\,\%\)). Dieser Wert ist kleiner als \(p\). 3. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}1080\) (bzw. \(10{,}80\,\%\)).

- Überlege für den ersten Teil, wie sich die Anzahl der verfügbaren Kugeln nach jedem Zug verändert. - Nutze für den zweiten Teil die Pfadregeln oder die Formel für die Binomialverteilung, da die Wahrscheinlichkeit hier konstant bleibt. - Denke beim Vergleich daran, wie die „Abhängigkeit“ der Ereignisse die Wahrscheinlichkeiten im weiteren Verlauf beeinflusst. - Was passiert mit dem Anteil der weißen Kugeln in der Urne, nachdem bereits eine weiße Kugel entnommen wurde?

1. Ohne Zurücklegen (hypergeometrische Verteilung): Die Gesamtzahl der Stichproben ist \(\binom{20}{3} = 1140\). Die Anzahl der günstigen Ergebnisse (2 weiße aus 10, 1 schwarze aus 10) ist \(\binom{10}{2} \cdot \binom{10}{1} = 45 \cdot 10 = 450\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P_{ohne} = \frac{450}{1140} = \frac{15}{38} \approx 0{,}3947\). 2. Mit Zurücklegen (Binomialverteilung): Die Trefferwahrscheinlichkeit ist \(p = \frac{10}{20} = 0{,}5\). Bei \(n=3\) Versuchen ist \(P_{mit}(X=2) = \binom{3}{2} \cdot 0{,}5^2 \cdot 0{,}5^1 = 3 \cdot 0{,}125 = 0{,}375\). 3. Vergleich: \(P_{ohne} \approx 0{,}3947 > P_{mit} = 0{,}375\). Der Unterschied entsteht, weil beim Ziehen ohne Zurücklegen die Entnahme einer weißen Kugel die Wahrscheinlichkeit verringert, erneut eine weiße zu ziehen (Abhängigkeit der Züge). Im Modell mit Zurücklegen bleiben die Wahrscheinlichkeiten konstant (Unabhängigkeit). Da die Grundgesamtheit (\(20\)) relativ klein im Verhältnis zur Stichprobe (\(3\)) ist, weichen die Modelle merklich voneinander ab.

1. \(P \approx 39{,}47\,\%\) 2. \(P = 37{,}5\,\%\) 3. Die Wahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen ist höher, da sich die Zusammensetzung der Urne ändert. Bei kleinen Gesamtmengen weichen die Ergebnisse der hypergeometrischen Verteilung und der Binomialverteilung voneinander ab.

- Was passiert mit deiner Vermutung, wenn ein Ergebnis eintritt, das für eine der Münzen sehr unwahrscheinlich ist? - Kannst du eine Tabelle anlegen, um die Wahrscheinlichkeiten nach jedem Wurf zu aktualisieren? - Wie stark gewichtet ein Kopf-Wurf die Meinung in Richtung der gezinkten Münze im Vergleich zu einem Zahl-Wurf?

1. Initialisierung: Hypothese \(F\) (fair) mit \(P(K|F) = 0{,}5\), \(P(Z|F) = 0{,}5\). Hypothese \(G\) (gezinkt) mit \(P(K|G) = 0{,}8\), \(P(Z|G) = 0{,}2\). Startwerte: \(P(F) = 0{,}5\), \(P(G) = 0{,}5\). 2. Erster Wurf (Kopf): \(P(G|K) = \frac{0{,}5 \cdot 0{,}8}{0{,}5 \cdot 0{,}8 + 0{,}5 \cdot 0{,}5} = \frac{0{,}4}{0{,}65} = \frac{8}{13} \approx 0{,}6154\). 3. Zweiter Wurf (Kopf): \(P(G|KK) = \frac{\frac{8}{13} \cdot 0{,}8}{\frac{8}{13} \cdot 0{,}8 + \frac{5}{13} \cdot 0{,}5} = \frac{6{,}4}{6{,}4 + 2{,}5} = \frac{6{,}4}{8{,}9} = \frac{64}{89} \approx 0{,}7191\). 4. Dritter Wurf (Zahl): \(P(G|KKZ) = \frac{\frac{64}{89} \cdot 0{,}2}{\frac{64}{89} \cdot 0{,}2 + \frac{25}{89} \cdot 0{,}5} = \frac{12{,}8}{12{,}8 + 12{,}5} = \frac{12{,}8}{25{,}3} = \frac{128}{253} \approx 0{,}5059\). 5. Analyse der Änderung: Durch die Beobachtung „Zahl“, die bei einer fairen Münze deutlich wahrscheinlicher ist als bei der gezinkten, sinkt die Wahrscheinlichkeit für die Hypothese „gezinkt“ wieder stark ab (von ca. \(71{,}9\,\%\) auf ca. \(50{,}6\,\%\)), sodass beide Hypothesen nun fast wieder als gleich wahrscheinlich gelten.

Wahrscheinlichkeit für „gezinkt“: Nach dem 1. Wurf: ca. \(61{,}54\,\%\) (\(\frac{8}{13}\)) Nach dem 2. Wurf: ca. \(71{,}91\,\%\) (\(\frac{64}{89}\)) Nach dem 3. Wurf: ca. \(50{,}59\,\%\) (\(\frac{128}{253}\)) Durch den dritten Wurf (Zahl) sinkt die Wahrscheinlichkeit für die gezinkte Münze deutlich, da dieses Ergebnis bei der gezinkten Münze viel seltener zu erwarten ist als bei einer fairen Münze.