Kostenlose Arbeitsblätter

- Überlege, ob sich die Zusammensetzung der Urne nach dem ersten Zug verändert. - Wovon hängt die Trefferwahrscheinlichkeit beim zweiten Zug ab?

1. In der Urne liegen \(4\) rote und \(6\) blaue Kugeln. Beim ersten Zug ist die Trefferwahrscheinlichkeit \(\frac{4}{10}\). 2. Bei Verfahren A wird die gezogene Kugel zurückgelegt. Vor dem zweiten Zug liegt wieder dieselbe Zusammensetzung vor, also bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit \(\frac{4}{10}\). 3. Bei Verfahren B verändert der erste Zug die Zusammensetzung der Urne. Die Trefferwahrscheinlichkeit im zweiten Zug hängt dann vom ersten Ergebnis ab. 4. Daher bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit nur bei Verfahren A gleich.

Verfahren A (mit Zurücklegen).

- Prüfe, ob sich die Zusammensetzung der Schachtel nach dem ersten Zug verändert. - Vergleiche die Trefferwahrscheinlichkeit im zweiten Zug nach zwei verschiedenen möglichen ersten Ergebnissen.

1. Beim ersten Zug gilt \(P(A)=\frac{5}{10}=\frac12\). 2. Wurde zuerst A gezogen, ist die Trefferwahrscheinlichkeit im zweiten Zug \(\frac49\). 3. Wurde zuerst B gezogen, ist die Trefferwahrscheinlichkeit im zweiten Zug \(\frac59\). 4. Die Wahrscheinlichkeit im zweiten Zug hängt also vom Ergebnis des ersten Zuges ab. Die Ziehungen sind nicht unabhängig.

Nein, die Ziehungen sind bezüglich „A“ nicht unabhängig.

- Berechne bei A und B zuerst den jeweiligen Zahlenwert. - Frage anschließend, ob die Begründung auf Gleichwahrscheinlichkeit, beobachteten Wiederholungen, einer Einschätzung oder einer formalen Modellfestlegung beruht. - Bei D musst du die angegebenen Einzelwahrscheinlichkeiten tatsächlich prüfen.

1. Bei A sind die Primzahlen \(2,3,5,7\) günstig. Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{4}{8}=0{,}5\). Die Begründung verwendet die Laplace-Wahrscheinlichkeit. 2. Bei B beträgt die relative Häufigkeit \(\frac{37}{200}=0{,}185\). Wird sie als Schätzwert verwendet, entspricht dies dem frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff. 3. C ist eine subjektive Wahrscheinlichkeitsangabe, weil der Wert auf einer fachlichen Einschätzung für einen noch nicht beobachteten Einzelfall beruht. 4. Bei D sind alle Einzelwahrscheinlichkeiten nichtnegativ und \(0{,}2+0{,}5+0{,}3=1\). Die Wahrscheinlichkeit wird hier als formal zulässiges Modell festgelegt; dies entspricht dem axiomatischen Wahrscheinlichkeitsbegriff.

A: \(0{,}5\), Laplace-Wahrscheinlichkeit B: \(0{,}185\), frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff C: subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff D: nichtnegative Werte mit Summe \(1\), axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff

- Welche Zahl folgt allein aus dem idealisierten Aufbau des Glücksrads? - Welche Zahl folgt allein aus der beobachteten Versuchsreihe? - Vergleiche anschließend nicht nur die Zahlen, sondern vor allem die Art ihrer Begründung.

1. Im idealisierten Modell sind die zehn Sektoren gleich wahrscheinlich. Daher ergibt sich für A \(P(\text{Rot})=\frac{3}{10}=0{,}3\). 2. Aus der Versuchsreihe ergibt sich für B die relative Häufigkeit \(\frac{68}{200}=0{,}34\). 3. A verwendet die Laplace-Wahrscheinlichkeit, weil gleich wahrscheinliche Elementarereignisse abgezählt werden. 4. B verwendet den frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff, weil eine beobachtete relative Häufigkeit als Schätzwert dient. 5. C verwendet den subjektiven Wahrscheinlichkeitsbegriff, weil der Zahlenwert auf einer fachlichen persönlichen Einschätzung der konkreten Situation beruht. 6. Die drei Werte stammen aus unterschiedlichen Informationsquellen beziehungsweise Modellannahmen. Eine endliche relative Häufigkeit muss nicht exakt mit der Modellwahrscheinlichkeit übereinstimmen; eine subjektive Einschätzung kann zusätzlich andere Informationen berücksichtigen.

a) A: \(0{,}3\); B: \(0{,}34\) b) A: Laplace-Wahrscheinlichkeit; B: frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff; C: subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff c) Die Werte beruhen auf unterschiedlichen Begründungsweisen und Informationsquellen; ihre Verschiedenheit ist daher nicht bereits ein logischer Widerspruch.

- Berechne zuerst die Anteile aus den beobachteten Häufigkeiten. - Prüfe beim vorgeschlagenen Modell Nichtnegativität und Gesamtsumme. - Welche zusätzliche Eigenschaft der Elementarereignisse kennzeichnet ein Laplace-Modell?

1. Die relativen Häufigkeiten sind \(0{,}18\), \(0{,}31\) und \(0{,}51\). Werden sie als Schätzwerte verwendet, entspricht dies dem frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff. 2. Die Modellwerte sind alle nichtnegativ und ihre Summe ist \(0{,}2+0{,}3+0{,}5=1\). Damit bilden sie eine zulässige Wahrscheinlichkeitsverteilung; die Festlegung steht im axiomatischen Wahrscheinlichkeitsbegriff. 3. Ein Laplace-Modell erfordert gleich wahrscheinliche Elementarereignisse. Drei mögliche Ergebnisse allein reichen dafür nicht aus; hier sind die Modellwahrscheinlichkeiten sogar ausdrücklich verschieden. 4. Für \(E=\{C\}\) beträgt der datengestützte Schätzwert \(0{,}51\), die Modellwahrscheinlichkeit dagegen \(0{,}5\). Die absolute Abweichung beträgt \(0{,}01\).

a) \(0{,}18\), \(0{,}31\), \(0{,}51\); frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff b) Die Modellwerte sind nichtnegativ und summieren sich zu \(1\); axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff c) Nein. Für ein Laplace-Modell müssten A, B und C gleich wahrscheinlich sein. d) Schätzwert \(0{,}51\), Modellwahrscheinlichkeit \(0{,}5\), absolute Abweichung \(0{,}01\)

- Welche Zahl folgt unmittelbar aus den beobachteten Fahrten? - Welche zusätzliche Information betrifft gerade den morgigen Einzelfall? - Prüfe für einen Laplace-Ansatz, ob gleich wahrscheinliche Elementarereignisse überhaupt angegeben sind.

1. Aus den vergangenen Fahrten ergibt sich die relative Häufigkeit \(\frac{80}{1000}=0{,}08\). Wird sie als Schätzwert verwendet, entspricht dies dem frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff. 2. Ravis Wert \(0{,}20\) ist eine subjektive Wahrscheinlichkeitsangabe: Er berücksichtigt die besondere morgige Verkehrslage zusätzlich zu den bisherigen Daten. 3. Die beiden Werte müssen daher nicht übereinstimmen. Sie beziehen unterschiedliche Informationen in die Begründung ein. 4. Eine Laplace-Wahrscheinlichkeit lässt sich nicht bestimmen, weil keine endliche Menge gleich wahrscheinlicher Elementarereignisse angegeben ist, deren günstige Fälle abgezählt werden könnten.

a) \(0{,}08\); frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff b) subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff; der Wert berücksichtigt zusätzliche Informationen zur besonderen morgigen Situation c) Nein; eine geeignete Menge gleich wahrscheinlicher Elementarereignisse ist nicht gegeben.

- Wie berechnest du eine relative Häufigkeit? - Vergleiche Beobachtungswert und Modellwert, ohne sie gleichzusetzen. - Was bedeutet „langfristige Stabilisierung“ für eine einzelne endliche Versuchsserie gerade nicht?

1. Die relative Häufigkeit ist \(\frac{116}{200}=0{,}58\). 2. Sie liegt um \(0{,}08\) über der Modellwahrscheinlichkeit \(0{,}5\). 3. Relative Häufigkeiten schwanken bei endlichen Stichproben zufällig. Ein einzelner beobachteter Wert ist deshalb nicht identisch mit der Modellwahrscheinlichkeit und beweist für sich allein weder Fairness noch Unfairness.

a) \(0{,}58\) b) Abweichung \(0{,}08\) c) Eine endliche relative Häufigkeit kann zufällig von der Modellwahrscheinlichkeit abweichen; sie beweist das Modell allein weder noch widerlegt sie es.

- Welche Eigenschaft der Elementarereignisse ist für ein Laplace-Modell entscheidend? - Wie viele günstige Ergebnisse gibt es in Modell L? - Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im gewichteten Modell W?

1. In Modell L sind alle vier Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Zwei von vier Ergebnissen liegen in \(E\), also gilt \(P_L(E)=\frac24=\frac12\). 2. In Modell W gilt \(P_W(E)=0{,}3+0{,}4=0{,}7\). 3. Modell L setzt die Gleichwahrscheinlichkeit aller vier Elementarereignisse voraus. 4. Modell W verlangt diese Gleichwahrscheinlichkeit nicht; die vorgegebenen Einzelwahrscheinlichkeiten sind unterschiedlich und werden für das Ereignis addiert.

a) Modell L: \(\frac12\); Modell W: \(0{,}7\) b) Modell L benötigt gleich wahrscheinliche Elementarereignisse; Modell W verwendet ausdrücklich ungleiche Einzelwahrscheinlichkeiten.

- Bestimme für beide Strategien die Trefferwahrscheinlichkeit pro Frage. - Welche Trefferzahlen gehören bei Strategie A zu „mindestens \(3\)“? - Welche Punktwahrscheinlichkeit wird bei Strategie B benötigt? - Vergleiche die beiden resultierenden Erfolgswahrscheinlichkeiten.

1. Für Strategie A gilt \(X\sim B(5,0{,}25)\). Daher ist \(P(X\ge3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=\frac{106}{1024}\). 2. Für Strategie B gilt \(Y\sim B(10,0{,}5)\). Daher ist \(P(Y=5)=\binom{10}{5}0{,}5^{10}=\frac{252}{1024}\). 3. Da \(\frac{252}{1024}>\frac{106}{1024}\), bietet Strategie B die höhere Erfolgswahrscheinlichkeit.

Strategie B bietet die höhere Erfolgswahrscheinlichkeit, denn \(\frac{252}{1024}>\frac{106}{1024}\).

- Achte darauf, ob die Auswahl gleichzeitig (oder ohne Zurücklegen) erfolgt oder ob eine Person mehrfach gewählt werden kann. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, die Anzahl der Möglichkeiten zu zählen, eine Teilmenge aus einer größeren Gruppe zu bilden? - Bei Teilaufgabe c) handelt es sich um ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit für jeden der vier Schritte gleich bleibt.

1. Berechnung der Gesamtmöglichkeiten für die Auswahl von 4 aus 15 Personen ohne Beachtung der Reihenfolge: \(\binom{15}{4} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1365\). 2. Berechnung der günstigen Fälle für genau 2 Frauen und 2 Männer: \(\binom{6}{2} \cdot \binom{9}{2} = 15 \cdot 36 = 540\). Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus dem Quotienten: \(P = \frac{540}{1365} = \frac{36}{91} \approx 0{,}3956\). 3. Modellierung als Bernoulli-Kette mit \(n=4\), \(k=2\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit für eine Frau \(p = \frac{6}{15} = 0{,}4\): \(P(X=2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}4^2 \cdot 0{,}6^2 = 6 \cdot 0{,}16 \cdot 0{,}36 = 0{,}3456\).

a) Es gibt \(1365\) Möglichkeiten. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(39{,}56\,\%\) (\(\frac{36}{91}\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(34{,}56\,\%\).

- Achte auf den Unterschied zwischen „mit einem Griff“ und „mit Zurücklegen“. - Wie hängen die Ereignisse „kein Fehler“ und „mindestens ein Fehler“ zusammen? - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeit des nächsten Zugs, wenn ein bereits geprüftes Teil nicht mehr zur Verfügung steht?

1. Ohne Zurücklegen gilt für kein fehlerhaftes Gerät \(P(X=0)=\frac{\binom{3}{0}\binom{21}{4}}{\binom{24}{4}}=\frac{285}{506}\). 2. Das Ereignis „mindestens ein Fehler“ ist das Gegenereignis. Daher ist \(P(X\ge1)=1-\frac{285}{506}=\frac{221}{506}\). 3. Mit Zurücklegen bleibt die Wahrscheinlichkeit für ein intaktes Gerät konstant \(\frac{21}{24}=\frac{7}{8}\). Damit ist die Wahrscheinlichkeit für vier intakte Geräte \(\left(\frac{7}{8}\right)^4=\frac{2401}{4096}\). 4. Es gilt \(\frac{2401}{4096}>\frac{285}{506}\). Die Wahrscheinlichkeit für vier intakte Geräte ist also beim Ziehen mit Zurücklegen größer.

a) \(\frac{285}{506}\) b) \(\frac{221}{506}\) c) Mit Zurücklegen: \(\frac{2401}{4096}\); dieser Wert ist größer als \(\frac{285}{506}\).

- Wie berechnet man die Anzahl der Möglichkeiten, eine bestimmte Anzahl an Objekten aus einer Menge auszuwählen? - Was ist der Unterschied im Nenner bei der Wahrscheinlichkeitsberechnung zwischen Ziehen mit und ohne Zurücklegen? - Nutze das Gegenereignis „kein defekter Stick“, um die Rechnung zu vereinfachen. - Die absolute Differenz ist der Betrag der Abweichung zwischen beiden Modellen.

1. Ohne Zurücklegen gilt \(P(\text{mindestens 1 defekt})=1-\frac{\binom{47}{3}}{\binom{50}{3}}=\frac{677}{3920}\approx0{,}172704\), also \(17{,}27\,\%\). 2. Im Bernoulli-Modell ist \(p=\frac{3}{50}=0{,}06\). Daher ist \(P(\text{mindestens 1 defekt})=1-0{,}94^3=0{,}169416\), also \(16{,}94\,\%\). 3. Die absolute Differenz beträgt \(\frac{677}{3920}-0{,}169416\approx0{,}00328808\). Das sind etwa \(0{,}33\) Prozentpunkte.

a) \(17{,}27\,\%\) b) \(16{,}94\,\%\) c) \(0{,}33\) Prozentpunkte

- Wie berechnet man einen Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle? - Welche Beziehung besteht zwischen \(E(X)\), \(n\) und \(p\) bei einer Binomialverteilung? - Welche Punktwahrscheinlichkeit brauchst du für genau zwei gekeimte Samen? - Wie erhältst du die beobachtete relative Häufigkeit aus der Tabelle?

1. \(\bar{k}=\frac{0\cdot4+1\cdot21+2\cdot50+3\cdot48+4\cdot22+5\cdot5}{150}=\frac{378}{150}=2{,}52\). 2. Für \(X\sim B(5,p)\) gilt \(E(X)=5p\). Aus \(5p=2{,}52\) folgt \(p=0{,}504\). 3. \(P(X=2)=\binom{5}{2}0{,}504^2\cdot0{,}496^3\approx0{,}309960\), also gerundet \(0{,}3100\). 4. Die beobachtete relative Häufigkeit für genau zwei gekeimte Samen beträgt \(\frac{50}{150}=\frac13\approx0{,}3333\). 5. Die beobachtete relative Häufigkeit liegt damit um etwa \(0{,}0234\), also \(2{,}34\) Prozentpunkte, über dem Modellwert.

1. \(\bar{k}=2{,}52\) 2. \(p=0{,}504\) 3. Modell: \(0{,}3100\); beobachtete relative Häufigkeit: \(0{,}3333\). Der beobachtete Wert ist größer.

- Wie viele defekte Bauteile wurden insgesamt beobachtet? - Was ist das Gegenereignis zu „mindestens ein Defekt“? - Welche Tabellenzeilen gehören zur beobachteten Bedingung \(X\ge1\)?

1. Insgesamt wurden \(88\) defekte Bauteile unter \(600\) Bauteilen beobachtet. Daher ist \(p=\frac{88}{600}=\frac{11}{75}\). 2. \(P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-\left(\frac{64}{75}\right)^3=\frac{159731}{421875}\approx0{,}378622\), also \(37{,}86\,\%\). 3. Die beobachtete relative Häufigkeit beträgt \(\frac{55+12+3}{200}=\frac{70}{200}=0{,}35=35\,\%\). Der Modellwert liegt damit um etwa \(2{,}86\) Prozentpunkte höher.

1. \(p=\frac{11}{75}\) 2. \(37{,}86\,\%\) 3. Modell: \(37{,}86\,\%\); beobachtete relative Häufigkeit: \(35\,\%\). Der Modellwert ist höher.

- Welche Größe erhältst du, wenn du die beobachteten Defekte durch die Zahl der untersuchten Bauteile teilst? - Welche Angaben rechtfertigen in Teil 2 eine Binomialverteilung? - Unterscheide zwischen der Herkunft eines Wahrscheinlichkeitswerts und den formalen Regeln, die jedes Wahrscheinlichkeitsmodell erfüllen muss.

1. Die relative Häufigkeit beträgt \(\frac{15}{500}=0{,}03\). Wird sie als Schätzwert für eine Wahrscheinlichkeit verwendet, liegt der frequentistische Wahrscheinlichkeitsbegriff zugrunde. 2. Für die Defektzahl \(X\) gilt \(X\sim B(20,0{,}02)\). Daher ist \(P(X=1)=\binom{20}{1}0{,}02\cdot0{,}98^{19}\approx0{,}2725\). 3. Ein festgelegter Zahlenwert für \(p\) sagt nicht, ob er etwa aus Daten, Symmetrieüberlegungen oder einer Modellannahme stammt. Unabhängig von seiner Herkunft muss das daraus gebildete Wahrscheinlichkeitsmodell die Axiome erfüllen, insbesondere Nichtnegativität, Normierung und Additivität für disjunkte Ereignisse.

1. \(0{,}03=3\,\%\); frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff. 2. \(P(X=1)\approx0{,}2725\) 3. Aus dem festen Wert \(p=0{,}02\) lässt sich seine Begründungsart nicht bestimmen. Das Modell selbst muss jedoch die Wahrscheinlichkeitsaxiome erfüllen.

- Welche Voraussetzung braucht eine Laplace-Wahrscheinlichkeit? - Wie wird aus \(185\) Treffern bei \(500\) Versuchen eine relative Häufigkeit? - Welche Axiome bzw. Folgerungen gelten für zwei disjunkte Ereignisse, die zusammen sicher eintreten?

1. Für eine Laplace-Wahrscheinlichkeit müssten die betrachteten Elementarereignisse als gleich wahrscheinlich begründet sein. Die Form der Reißzwecke liefert dafür keine Symmetriebegründung. 2. Die relative Häufigkeit ist \(h_{500}(K)=\frac{185}{500}=0{,}37\). Im frequentistischen Zugang dient dieser Wert als Schätzwert für \(P(K)\). 3. Für ein zulässiges Modell müssen \(P(K)\ge0\) und \(P(S)\ge0\) gelten. Da \(K\) und \(S\) sich ausschließen und zusammen den gesamten Ergebnisraum bilden, gilt außerdem \(P(K)+P(S)=1\).

a) Eine Laplace-Wahrscheinlichkeit ist ohne Begründung gleicher Wahrscheinlichkeiten nicht anwendbar. b) \(h_{500}(K)=0{,}37\); frequentistischer Schätzwert \(P(K)\approx0{,}37\). c) \(P(K),P(S)\ge0\) und \(P(K)+P(S)=1\).

- Welche Voraussetzung des Laplace-Modells ist bei den Kugeln gegeben? - Woran erkennst du eine subjektive Einschätzung? - Wie berechnest du die relative Häufigkeit aus \(18\) Treffern bei \(50\) Versuchen? - Muss eine endliche relative Häufigkeit exakt der Modellwahrscheinlichkeit entsprechen?

1. Da die zehn Kugeln als gleich wahrscheinlich gezogen modelliert werden, ist \(P(\text{rot})=\frac{4}{10}=0{,}4\). 2. Die Aussage von Mara verwendet den subjektiven Wahrscheinlichkeitsbegriff, weil sie eine persönliche Einschätzung ausdrückt. 3. Die relative Häufigkeit beträgt \(h_{50}(\text{rot})=\frac{18}{50}=0{,}36\). Wird sie als Schätzwert für eine Wahrscheinlichkeit verwendet, entspricht dies dem frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff. 4. Der Laplace-Wert \(0{,}4\) ist die Modellwahrscheinlichkeit. Relative Häufigkeiten in einer endlichen Versuchsreihe unterliegen Zufallsschwankungen und müssen daher nicht exakt mit diesem Wert übereinstimmen. Bei zunehmender Versuchszahl können sie sich um den Modellwert stabilisieren.

a) \(P(\text{rot})=0{,}4\) b) Subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff. c) \(h_{50}(\text{rot})=0{,}36\); frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff. d) Endliche Versuchsreihen unterliegen Zufallsschwankungen; relative Häufigkeit und Modellwahrscheinlichkeit müssen daher nicht identisch sein.

- Welches Modell passt beim Ziehen mit Zurücklegen? - Welche Anzahlen schwarzer Kugeln führen bei drei Ziehungen zum Gewinn? - Wie kannst du beim Ziehen ohne Zurücklegen die günstigen Dreiergruppen zählen? - Vergleiche die beiden Wahrscheinlichkeiten erst am Ende.

1. Mit Zurücklegen gilt für die Zahl \(X\) der schwarzen Kugeln \(X\sim B(3,0{,}6)\). Damit ist \(P(X\ge2)=\binom{3}{2}0{,}6^2\cdot0{,}4+0{,}6^3=0{,}648\). 2. Ohne Zurücklegen gibt es \(\binom{10}{3}=120\) gleich wahrscheinliche Dreierauswahlen. Für mindestens zwei schwarze Kugeln sind \(\binom{6}{2}\binom{4}{1}+\binom{6}{3}=80\) günstig. Daher beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit \(\frac{80}{120}=\frac23\). 3. Wegen \(\frac23>0{,}648\) ist das Ziehen ohne Zurücklegen für Noah günstiger.

Ohne Zurücklegen ist es günstiger: \(\frac23>0{,}648\).

- Welche Trefferwahrscheinlichkeit gilt beim Ziehen mit Zurücklegen? - Wie kannst du beim Ziehen ohne Zurücklegen günstige und mögliche Viererauswahlen zählen? - Vergleiche die beiden Wahrscheinlichkeiten als absolute Differenz und anschließend mit dem vorgegebenen Grenzwert.

1. Mit Zurücklegen ist die Wahrscheinlichkeit für eine funktionsfähige Batterie \(p=\frac{45}{50}=0{,}9\). Daher gilt \(P(X=4)=0{,}9^4=0{,}6561\). 2. Ohne Zurücklegen gilt \(P(Y=4)=\frac{\binom{45}{4}}{\binom{50}{4}}=\frac{4257}{6580}\). 3. Die absolute Abweichung beträgt \(\left|0{,}6561-\frac{4257}{6580}\right|\cdot100\approx0{,}91\) Prozentpunkte. 4. Da \(0{,}91<1\) gilt, ist die Binomialverteilung nach dem vorgegebenen Kriterium für dieses Ereignis eine brauchbare Näherung.

a) \(0{,}6561\) b) \(\frac{4257}{6580}\) c) Die Abweichung beträgt ungefähr \(0{,}91\) Prozentpunkte. Nach dem vorgegebenen Kriterium ist die Binomialverteilung hier eine brauchbare Näherung.

- Vergleiche zuerst, ob sich die Zusammensetzung nach dem ersten Versuch verändert. - Welche Trefferwahrscheinlichkeit gilt in Modell A bei jeder Drehung? - Wie viele Karten bleiben in Modell B nach einem blauen ersten Zug übrig? - Nutze die Ergebnisse aus b), um die Unabhängigkeit der beiden Modelle zu vergleichen.

1. In Modell A gilt für die Zahl \(X\) der roten Treffer \(X\sim B(2,0{,}25)\). Daher ist \(P(X=1)=\binom{2}{1}0{,}25\cdot0{,}75=0{,}375\). 2. In Modell B gibt es \(\binom{4}{2}=6\) gleich wahrscheinliche Zweierauswahlen. Genau eine rote Karte enthalten \(\binom{1}{1}\binom{3}{1}=3\) davon. Die Wahrscheinlichkeit beträgt daher \(\frac{3}{6}=0{,}5\). 3. Nach einem blauen Ergebnis bleibt in Modell A wegen der Unabhängigkeit die Rotwahrscheinlichkeit \(0{,}25\). 4. In Modell B liegen nach einer blauen Karte noch eine rote und zwei blaue Karten im Beutel. Die Rotwahrscheinlichkeit im zweiten Zug ist daher \(\frac13\). 5. Die Aussage über eine unveränderte Rotwahrscheinlichkeit trifft nur auf Modell A zu.

a) Modell A: \(0{,}375\); Modell B: \(0{,}5\) b) Modell A: \(0{,}25\); Modell B: \(\frac13\) c) Die Rotwahrscheinlichkeit bleibt nur in Modell A unverändert, weil dort die Versuche unabhängig sind.

- Welche Modellannahmen machen die Defektzahl in Modell A binomialverteilt? - Wie kannst du in Modell B günstige Stichproben mit null bzw. drei Defekten kombinatorisch zählen? - Verändert die erste Auswahl in Modell B die Zusammensetzung für die zweite Auswahl? - Welche beiden Bedingungen unterscheiden die Modelle damit strukturell?

1. In Modell A gilt für die Zahl \(X\) der defekten Chips \(X\sim B(20,0{,}05)\). Daher ist \(P(X=0)=0{,}95^{20}\approx0{,}358486\). 2. In Modell B ist die Wahrscheinlichkeit für keinen Defekt \(\frac{\binom{95}{20}}{\binom{100}{20}}\approx0{,}319309\). 3. In Modell A ist \(P(X=3)=\binom{20}{3}0{,}05^3\cdot0{,}95^{17}\approx0{,}059582\). 4. In Modell B gibt es für genau drei Defekte \(\binom{5}{3}\binom{95}{17}\) günstige Stichproben unter insgesamt \(\binom{100}{20}\) möglichen. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{\binom{5}{3}\binom{95}{17}}{\binom{100}{20}}\approx0{,}047849\). 5. Modell A hat unabhängige Versuche mit konstanter Defektwahrscheinlichkeit \(0{,}05\) und ist daher eine Bernoulli-Kette. In Modell B verändert jede Entnahme ohne Zurücklegen die Zusammensetzung der verbleibenden Lieferung; die Ziehungen sind daher nicht unabhängig und die Defektwahrscheinlichkeit bleibt nicht konstant.

a) Modell A: \(\approx0{,}3585\); Modell B: \(\approx0{,}3193\) b) Modell A: \(\approx0{,}0596\); Modell B: \(\approx0{,}0478\) c) Nur Modell A ist eine Bernoulli-Kette; in Modell B ändern sich durch das Ziehen ohne Zurücklegen die folgenden Wahrscheinlichkeiten.

- Welche Zahlen zwischen 1 und 10 lassen sich als \(n \cdot n\) schreiben? - Die relative Häufigkeit berechnet man aus der Anzahl der Treffer geteilt durch die Gesamtzahl der Versuche. - Was besagt das Normierungsaxiom über die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse? - Wenn mehrere Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, kannst du ihre Wahrscheinlichkeiten hier einfach addieren.

1. Mögliche Ergebnisse \(\Omega = \{1; 2; \dots; 10\}\), also \(|\Omega| = 10\). Günstige Ergebnisse für \(E\): \(\{1; 4; 9\}\). \(P(E) = \frac{3}{10} = 0{,}3\). 2. Relative Häufigkeit \(h_{500}(10) = \frac{65}{500} = \frac{13}{100} = 0{,}13\). Die Laplace-Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(10) = \frac{1}{10} = 0{,}1\). Vergleich: Die relative Häufigkeit (\(0{,}13\)) liegt über der theoretischen Wahrscheinlichkeit (\(0{,}1\)). 3. Nach den Axiomen von Kolmogorow muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 ergeben: \(9 \cdot q + 0{,}2 = 1 \Rightarrow 9q = 0{,}8 \Rightarrow q = \frac{0{,}8}{9} = \frac{8}{90} = \frac{4}{45} \approx 0{,}089\). Ungerade Zahlen sind \(\{1; 3; 5; 7; 9\}\) (5 Stück). Da jede dieser Zahlen die Wahrscheinlichkeit \(q\) besitzt: \(P(\text{ungerade}) = 5 \cdot q = 5 \cdot \frac{4}{45} = \frac{4}{9} \approx 0{,}444\).

1. \(P(E) = 0{,}3\) 2. \(h = 0{,}13\); dieser Wert ist höher als die Laplace-Wahrscheinlichkeit \(0{,}1\). 3. \(q = \frac{4}{45}\); \(P(\text{ungerade}) = \frac{4}{9}\)

- Welche Eigenschaft müssen alle Wahrscheinlichkeiten eines Ergebnisraums in der Summe erfüllen? - Wie unterscheidet sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei einem Laplace-Experiment von einer allgemeineren Verteilung? - Vergleiche die beobachtete Häufigkeit eines einzelnen Ergebnisses mit den theoretischen Werten der Modelle.

1. Nach den Axiomen von Kolmogorow muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 ergeben: \(P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1\). Einsetzen ergibt \(3 \cdot 0{,}1 + 3 \cdot x = 1\), woraus \(0{,}3 + 3x = 1\) folgt. Somit ist \(3x = 0{,}7\) und \(x = \frac{7}{30} \approx 0{,}233\). 2. Ereignis \(E = \{4, 5, 6\}\). Im Modell 1: \(P_1(E) = P(4) + P(5) + P(6) = \frac{7}{30} + 0{,}1 + \frac{7}{30} = \frac{14}{30} + \frac{3}{30} = \frac{17}{30} \approx 0{,}567\). Im Laplace-Modell: \(P_L(E) = \frac{3}{6} = 0{,}5\). 3. Die relative Häufigkeit für das Ergebnis „6“ beträgt \(h(6) = \frac{140}{600} = \frac{14}{60} = \frac{7}{30} \approx 0{,}233\). Im Modell 1 ist \(P(6) = \frac{7}{30}\), im Laplace-Modell ist \(P(6) = \frac{1}{6} \approx 0{,}167\). Damit passt Modell 1 hinsichtlich des Ergebnisses „6“ besser zu dieser Beobachtung. Aus nur einer Einzelhäufigkeit folgt jedoch noch keine vollständige Bestätigung des gesamten Modells.

1. \(x = \frac{7}{30} \approx 0{,}233\) 2. Modell 1: \(P_1(E) = \frac{17}{30} \approx 0{,}567\); Laplace: \(P_L(E) = 0{,}5\) 3. Hinsichtlich des Ergebnisses „6“ passt Modell 1 besser zur Beobachtung, da \(P(6) = \frac{7}{30}\) der relativen Häufigkeit \(h(6) = \frac{140}{600}\) entspricht. Dies allein bestätigt noch nicht das vollständige Modell.

- Überlege, ob sich die Wahrscheinlichkeit einer Ziffer nach jeder erzeugten Stelle verändert. - Vergleiche eine Kombination mit vier gleichen Ziffern mit einer Kombination aus vier verschiedenen Ziffern. - Woran erkennst du stochastische Unabhängigkeit in einem mehrstufigen Experiment?

1. Bei Verfahren A gilt \(P_A(7777)=\left(\frac{1}{10}\right)^4=0{,}0001\). Bei Verfahren B ist \(P_B(7777)=\frac{4}{40}\cdot\frac{3}{39}\cdot\frac{2}{38}\cdot\frac{1}{37}=\frac{1}{91390}\). 2. Bei Verfahren A gilt wieder \(P_A(1234)=0{,}0001\). Bei Verfahren B ist \(P_B(1234)=\frac{4}{40}\cdot\frac{4}{39}\cdot\frac{4}{38}\cdot\frac{4}{37}=\frac{16}{137085}\). 3. Verfahren A hat unabhängige Stufen: Eine erzeugte Ziffer verändert die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Stellen nicht. Bei Verfahren B wird ohne Zurücklegen gezogen; dadurch ändern sich die verfügbaren Kugeln und damit die Wahrscheinlichkeiten. Die Stufen sind stochastisch abhängig.

1. \(P_A(7777)=0{,}0001\), \(P_B(7777)=\frac{1}{91390}\) 2. \(P_A(1234)=0{,}0001\), \(P_B(1234)=\frac{16}{137085}\) 3. Verfahren A hat unabhängige Stufen; Verfahren B nicht, weil ohne Zurücklegen gezogen wird.

- Vergleiche beim zweiten Zug die Situation mit und ohne Zurücklegen. - Welche Gleichung kennzeichnet stochastische Unabhängigkeit? - Beziehe die relative Abweichung auf die als exakt bezeichnete Wahrscheinlichkeit. - Welche zusätzliche Festlegung brauchst du für ein eindeutiges Qualitätsurteil?

1. Mit Zurücklegen gilt \(P_1=\frac{10}{500}\cdot\frac{10}{500}=0{,}0004\). 2. Ohne Zurücklegen gilt \(P_2=\frac{10}{500}\cdot\frac{9}{499}=\frac{9}{24950}\). 3. Es ist \(P(E_1)=P(E_2)=0{,}02\), aber \(P(E_1\cap E_2)=\frac{9}{24950}\ne0{,}02\cdot0{,}02\). Daher sind \(E_1\) und \(E_2\) in Modell 2 abhängig. 4. Die absolute Abweichung beträgt \(\left|0{,}0004-\frac{9}{24950}\right|=\frac{49}{1247500}\). Bezogen auf den exakten Wert \(P_2\) ist die relative Abweichung \(\frac{49}{450}\approx10{,}89\,\%\). Ob dies als „brauchbar“ gilt, hängt von einem festgelegten Fehlermaß oder Grenzwert ab.

1. \(P_1=0{,}0004\) 2. \(P_2=\frac{9}{24950}\) 3. Die Ereignisse sind in Modell 2 stochastisch abhängig. 4. Absolute Abweichung: \(\frac{49}{1247500}\); relative Abweichung: ungefähr \(10{,}89\,\%\). Ohne Gütekriterium ist „brauchbare Näherung“ nicht eindeutig zu beurteilen.

- Unterscheide zwischen einer ganz bestimmten Karte und einer Gruppe von Karten wie allen Assen. - Wie kannst du in b) günstige Fünferauswahlen mit genau zwei Assen kombinatorisch zählen? - Welche zwei Bedingungen ändern sich in c) durch das Zurücklegen?

1. Da jede der \(32\) Karten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit an der fünften Position liegen kann, beträgt die Wahrscheinlichkeit für das spezifische Herz-Ass \(P=\frac{1}{32}=0{,}03125\). 2. Ohne Zurücklegen gibt es \(\binom{32}{5}\) gleich wahrscheinliche Fünferauswahlen. Für genau zwei Asse gibt es \(\binom{4}{2}\binom{28}{3}\) günstige Auswahlen. Daher ist \(P=\frac{\binom{4}{2}\binom{28}{3}}{\binom{32}{5}}=\frac{19656}{201376}\approx0{,}0976\). 3. Mit Zurücklegen sind die fünf Züge unabhängig und die Asswahrscheinlichkeit bleibt \(p=\frac{4}{32}=\frac18\). Für die Anzahl \(X\) der Asse gilt \(X\sim B(5,\frac18)\). Daher ist \(P(X=2)=\binom{5}{2}\left(\frac18\right)^2\left(\frac78\right)^3=\frac{3430}{32768}\approx0{,}1047\).

a) \(P=\frac{1}{32}=0{,}03125\) b) \(P=\frac{\binom{4}{2}\binom{28}{3}}{\binom{32}{5}}\approx0{,}0976\) c) \(P(X=2)=\binom{5}{2}\left(\frac18\right)^2\left(\frac78\right)^3\approx0{,}1047\)

- Welche Dreierauswahlen sind beim Ziehen ohne Zurücklegen gleich wahrscheinlich? - Welche Bedingungen machen das Ziehen mit Zurücklegen zu einer Bernoulli-Kette? - Vergleiche die beiden exakten Wahrscheinlichkeiten und die Modellannahmen zur Unabhängigkeit.

1. Ohne Zurücklegen gibt es \(\binom{20}{3}=1140\) gleich wahrscheinliche Dreierauswahlen. Günstig sind \(\binom{10}{2}\binom{10}{1}=450\). Damit ist \(P_{\text{ohne}}=\frac{450}{1140}=\frac{15}{38}\). 2. Mit Zurücklegen sind die Züge unabhängig und die Wahrscheinlichkeit für Weiß ist stets \(0{,}5\). Für die Zahl \(X\) der weißen Kugeln gilt \(X\sim B(3,0{,}5)\). Daher ist \(P(X=2)=\binom{3}{2}0{,}5^3=\frac38\). 3. Es gilt \(\frac{15}{38}>\frac38\). Beim Ziehen ohne Zurücklegen sind die Züge abhängig; nach jeder Entnahme ändert sich die Zusammensetzung. Beim Ziehen mit Zurücklegen bleiben die Züge unabhängig und die Trefferwahrscheinlichkeit konstant.

1. \(\frac{15}{38}\) 2. \(\frac38\) 3. Ohne Zurücklegen ist die Wahrscheinlichkeit etwas größer; die Züge sind dort abhängig, mit Zurücklegen unabhängig.

- Der Erwartungswert einer Summe ist die Summe der Einzel-Erwartungswerte. - Zähle bei b) die geordneten Paare mit Summe \(7\). - Vergleiche bei c) die Zahl günstiger Paare mit der jeweils unterschiedlichen Gesamtzahl.

1. In Experiment 1 ist \(E(S)=3{,}5+3{,}5=7\). In Experiment 2 ist \(E(S)=2+5=7\). 2. Experiment 1 besitzt \(36\) gleich wahrscheinliche Paare; sechs ergeben die Summe \(7\). Daher ist \(P(S=7)=\frac16\). 3. Experiment 2 besitzt \(27\) gleich wahrscheinliche Paare; drei ergeben die Summe \(7\). Daher ist \(P(S=7)=\frac19\). 4. Für \(S\le4\) gibt es in Experiment 1 sechs günstige von \(36\) Paaren, also \(\frac16\). In Experiment 2 gibt es sechs günstige von \(27\) Paaren, also \(\frac29\).

a) Beide Erwartungswerte sind \(7\). b) Experiment 1: \(\frac16\); Experiment 2: \(\frac19\). Experiment 1 ist größer. c) Experiment 1: \(\frac16\); Experiment 2: \(\frac29\). Experiment 2 ist größer.

- Bestimme zuerst den Anteil der Abonnements in der Grundgesamtheit. - Vergleiche \(n/N\) mit der in der Aufgabe vorgegebenen Grenze. - Verwende anschließend diesen Anteil als Trefferwahrscheinlichkeit im Binomialmodell.

1. Der Anteil der Merkmalsträger ist \(p=\frac{3750}{25000}=0{,}15\). 2. Der Stichprobenanteil beträgt \(\frac{50}{25000}=0{,}002=0{,}2\,\%\) und liegt unter der vorgegebenen \(5\,\%\)-Grenze. Die Änderung des Anteils durch einzelne Ziehungen ist daher in diesem Näherungsmodell gering. 3. Für die Zahl \(X\) der ausgewählten Haushalte mit Abonnement gilt näherungsweise \(X\sim B(50,0{,}15)\). Daher ist \(P(X=8)=\binom{50}{8}0{,}15^8\cdot0{,}85^{42}\approx0{,}1493\).

a) \(0{,}2\,\%\le5\,\%\); die vorgegebene Näherungsbedingung ist erfüllt. b) \(P(X=8)\approx0{,}1493\)

- Setze \(N=1200\) in die vorgegebene Näherungsbedingung ein. - Berechne den Defektanteil aus den absoluten Stückzahlen. - „Höchstens ein“ umfasst die Trefferzahlen \(0\) und \(1\).

1. Die vorgegebene Bedingung ergibt \(n\le0{,}05\cdot1200=60\). Der maximale Stichprobenumfang ist \(60\). 2. Der Defektanteil ist \(p=\frac{36}{1200}=0{,}03\). 3. Für die Zahl \(X\) der defekten Chips in der Stichprobe gilt näherungsweise \(X\sim B(30,0{,}03)\). 4. Daher ist \(P(X\le1)=0{,}97^{30}+30\cdot0{,}03\cdot0{,}97^{29}\approx0{,}7731\).

a) \(n_{\max}=60\) b) \(P(X\le1)\approx0{,}7731\)

- Welche Angaben in a) erfüllen die Bedingungen einer Bernoulli-Kette? - Wie kannst du „mehr als 10“ bei \(12\) Versuchen in einzelne Trefferzahlen zerlegen? - Welche Modelländerung entsteht in b), wenn ein ausgewählter Setzling nicht zurückgelegt wird?

1. In a) gilt für die Zahl \(X\) der Setzlinge mit langer Blütezeit \(X\sim B(12,0{,}85)\). Gesucht ist \(P(X>10)=P(X=11)+P(X=12)\approx0{,}4435\), also ungefähr \(44{,}35\,\%\). 2. In b) wird ohne Zurücklegen aus einer endlichen Menge gewählt. Daher gilt \(P=\frac{\binom{17}{5}}{\binom{20}{5}}\approx0{,}3991\), also ungefähr \(39{,}91\,\%\). 3. In a) sind unabhängige Versuche mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit Teil des Modells. In b) ändern sich beim Ziehen ohne Zurücklegen die Wahrscheinlichkeiten von Zug zu Zug, sodass keine Bernoulli-Kette vorliegt.

a) ungefähr \(44{,}35\,\%\) b) ungefähr \(39{,}91\,\%\) c) In a) gelten Unabhängigkeit und konstantes \(p\); in b) ändern sich die Wahrscheinlichkeiten durch das Ziehen ohne Zurücklegen.

- Beide Modelle haben dieselbe Versuchszahl, aber unterschiedliche Trefferwahrscheinlichkeiten. - Berechne für jedes Modell dieselbe Punktwahrscheinlichkeit für genau \(17\) Treffer. - Vergleiche nur diese beiden Werte; eine allgemeine Testentscheidung ist nicht gefragt.

1. Für Modell A gilt für die Zahl \(X_A\) der keimenden Samen \(X_A\sim B(20,0{,}95)\). Daher ist \(P(X_A=17)=\binom{20}{17}0{,}95^{17}\cdot0{,}05^3\approx0{,}0596\). 2. Für Modell B gilt entsprechend \(X_B\sim B(20,0{,}80)\). Daher ist \(P(X_B=17)=\binom{20}{17}0{,}80^{17}\cdot0{,}20^3\approx0{,}2054\). 3. Da \(0{,}2054>0{,}0596\), ist das konkrete Ergebnis \(17\) unter Modell B wahrscheinlicher. Diese Aussage vergleicht nur die beiden vorgegebenen Punktwahrscheinlichkeiten und ist kein Signifikanztest.

a) Modell A: \(0{,}0596\); Modell B: \(0{,}2054\) b) Genau \(17\) Keimungen sind unter Modell B wahrscheinlicher.

- Vergleiche genau, ob ohne oder mit Zurücklegen ausgewählt wird. - Wie viele günstige Gruppen entstehen in a), wenn genau \(3\) Personen mit Tablet enthalten sein sollen? - Warum bleiben bei b) Trefferwahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit von Auswahl zu Auswahl erhalten?

1. Für die Auswahl von \(5\) aus \(20\) Personen ohne Beachtung der Reihenfolge gibt es \(\binom{20}{5}=15\,504\) mögliche Gruppen. 2. Für genau \(3\) Personen mit Tablet werden \(3\) aus den \(12\) Personen mit Tablet und \(2\) aus den \(8\) Personen ohne Tablet gewählt. Es gibt \(\binom{12}{3}\cdot\binom{8}{2}=6160\) günstige Gruppen. 3. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit daher \(\frac{6160}{15504}=\frac{385}{969}\approx0{,}3973\). 4. Beim Ziehen mit Zurücklegen bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit \(p=\frac{12}{20}=0{,}6\) konstant, und die Ziehungen sind unabhängig. Für die Trefferzahl \(X\) gilt damit \(X\sim B(10,0{,}6)\). 5. \(P(X=4)=\binom{10}{4}\cdot0{,}6^4\cdot0{,}4^6\approx0{,}111477\).

a) Es gibt \(15\,504\) mögliche Gruppen; die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{385}{969}\approx39{,}73\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(11{,}15\,\%\).

- Welche Trefferwahrscheinlichkeit gilt beim Ziehen mit Zurücklegen in jedem Zug? - Welches Gegenereignis gehört zu „mindestens ein Defekt“? - Wie verändert sich beim Ziehen ohne Zurücklegen der Anteil intakter Teile, nachdem bereits ein intaktes Teil gezogen wurde?

1. Beim Ziehen mit Zurücklegen gilt für die Defektzahl \(X\sim B(10,0{,}2)\). 2. \(P(X=2)=\binom{10}{2}0{,}2^2\cdot0{,}8^8\approx0{,}301990\), also \(30{,}20\,\%\). 3. \(P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}8^{10}\approx0{,}892626\), also \(89{,}26\,\%\). 4. Ohne Zurücklegen ist die Wahrscheinlichkeit für zehn intakte Teile \(\frac{120}{150}\cdot\frac{119}{149}\cdot\dots\cdot\frac{111}{141}\). Nach jedem gezogenen intakten Teil sinkt der Anteil intakter Teile, daher ist dieses Produkt kleiner als \(0{,}8^{10}\). 5. Somit ist die Wahrscheinlichkeit für „kein defektes Teil“ ohne Zurücklegen kleiner als mit Zurücklegen.

a) \(30{,}20\,\%\) b) \(89{,}26\,\%\) c) Die Wahrscheinlichkeit für „kein defektes Teil“ ist ohne Zurücklegen kleiner als mit Zurücklegen.

- Vergleiche genau, ob mit oder ohne Zurücklegen gezogen wird. - Wie kannst du bei b) günstige Gruppen mit genau zwei Gewinnlosen zählen? - Für c) ist das Gegenereignis „kein Gewinnlos“ besonders hilfreich. - Beachte beim Logarithmieren, dass \(\ln(2/3)\) negativ ist.

1. Beim Ziehen mit Zurücklegen bleibt die Gewinnwahrscheinlichkeit \(p=\frac{5}{15}=\frac13\) konstant, und die Ziehungen sind unabhängig. Für die Zahl \(X\) der Gewinnlose gilt \(X\sim B\left(6,\frac13\right)\). 2. \(P(X=2)=\binom{6}{2}\left(\frac13\right)^2\left(\frac23\right)^4=\frac{80}{243}\approx0{,}3292\). 3. Bei der Entnahme mit einem Griff wird ohne Zurücklegen ausgewählt. Für genau zwei Gewinnlose gibt es \(\binom{5}{2}\binom{10}{4}\) günstige und \(\binom{15}{6}\) mögliche Gruppen. Daher ist die Wahrscheinlichkeit \(\frac{\binom{5}{2}\binom{10}{4}}{\binom{15}{6}}=\frac{420}{1001}\approx0{,}4196\). 4. Für c) ist das Gegenereignis „kein Gewinnlos“. Gefordert ist \(1-\left(\frac23\right)^n>0{,}95\), also \(\left(\frac23\right)^n<0{,}05\). 5. Daraus folgt \(n>\frac{\ln(0{,}05)}{\ln(2/3)}\approx7{,}39\). Somit muss mindestens \(8\)-mal gezogen werden.

a) \(P(X=2)=\frac{80}{243}\approx32{,}92\,\%\) b) \(\frac{420}{1001}\approx41{,}96\,\%\) c) Mindestens \(8\) Ziehungen.

- Welche Trefferwahrscheinlichkeit gilt beim Ziehen mit Zurücklegen in beiden Urnen? - Wie zählst du bei b) die Gruppen mit genau zwei roten und einer blauen Kugel? - Verwende in c) genau den angegebenen Mit-Zurücklegen-Wert als Bezugswert. - Wie stark verändert eine einzelne Entnahme den Rotanteil in der kleinen bzw. großen Urne?

1. Mit Zurücklegen ist der Rotanteil in beiden Urnen \(p=\frac23\). Für die Zahl \(X\) der roten Kugeln gilt daher \(X\sim B\left(3,\frac23\right)\), und \(P(X=2)=\binom{3}{2}\left(\frac23\right)^2\frac13=\frac49\approx0{,}4444\). 2. Ohne Zurücklegen ergibt sich für Urne \(A\): \(P_A=\frac{\binom{8}{2}\binom{4}{1}}{\binom{12}{3}}=\frac{28}{55}\approx0{,}5091\). 3. Ohne Zurücklegen ergibt sich für Urne \(B\): \(P_B=\frac{\binom{80}{2}\binom{40}{1}}{\binom{120}{3}}=\frac{3160}{7021}\approx0{,}4501\). 4. Für Urne \(A\) ist die relative Abweichung \(\frac{|28/55-4/9|}{4/9}=\frac{8}{55}\approx14{,}55\,\%\). 5. Für Urne \(B\) ist die relative Abweichung \(\frac{|3160/7021-4/9|}{4/9}=\frac{89}{7021}\approx1{,}27\,\%\). 6. Bei der größeren Grundgesamtheit verändert jede einzelne Entnahme die Farbanteile wesentlich weniger. Deshalb liegt das Modell ohne Zurücklegen bei Urne \(B\) näher am Modell mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit.

a) Beide Urnen: \(\frac49\approx44{,}44\,\%\) b) Urne \(A\): \(\frac{28}{55}\approx50{,}91\,\%\); Urne \(B\): \(\frac{3160}{7021}\approx45{,}01\,\%\) c) Urne \(A\): etwa \(14{,}55\,\%\); Urne \(B\): etwa \(1{,}27\,\%\) d) Bei gleicher Stichprobengröße ist der Unterschied bei der größeren Grundgesamtheit kleiner.

- Vergleiche zuerst den Defektanteil beider Lieferungen. - Beim Ziehen ohne Zurücklegen zählen Kombinationen mit genau einem Defekt. - Setze in der vorgegebenen Faustregel jeweils \(n=4\) und die passende Grundgesamtheit \(N\) ein. - Vergleiche anschließend die beiden exakten Werte mit dem gemeinsamen Binomialwert.

1. In beiden Lieferungen beträgt der Defektanteil \(p=0{,}1\). Im Vergleichsmodell gilt daher \(X\sim B(4,0{,}1)\) und \(P(X=1)=\binom{4}{1}0{,}1\cdot0{,}9^3=\frac{729}{2500}=0{,}2916\). 2. Für Lieferung 1 ist die exakte Wahrscheinlichkeit beim Ziehen ohne Zurücklegen \(\frac{\binom{5}{1}\binom{45}{3}}{\binom{50}{4}}=\frac{1419}{4606}\approx0{,}3081\). 3. Für Lieferung 2 ist die exakte Wahrscheinlichkeit beim Ziehen ohne Zurücklegen \(\frac{\binom{50}{1}\binom{450}{3}}{\binom{500}{4}}=\frac{862080}{2940607}\approx0{,}2932\). 4. Für Lieferung 1 ist \(4\le0{,}05\cdot50=2{,}5\) falsch; für Lieferung 2 ist \(4\le0{,}05\cdot500=25\) wahr. 5. Die Wahrscheinlichkeit der großen Lieferung liegt deutlich näher am Binomialwert \(0{,}2916\), passend zur vorgegebenen Faustregel.

a) \(\frac{729}{2500}=0{,}2916\) b) Lieferung 1: \(\frac{1419}{4606}\approx0{,}3081\); Lieferung 2: \(\frac{862080}{2940607}\approx0{,}2932\) c) Die Faustregel ist nur für Lieferung 2 erfüllt; dort liegt die exakte Wahrscheinlichkeit auch deutlich näher am Binomialwert.

- Welche Modellannahmen gelten ausdrücklich nur für die Rechnungen in 1 und 2? - Wie berechnest du „mehr als 3“ günstig über ein Gegenereignis? - Welche Auswirkung hätte eine Blockade auf die Fehlerwahrscheinlichkeit direkt nach einem bereits falsch sortierten Paket?

1. Unter der Modellannahme gilt \(X\sim B(50,0{,}04)\). Gesucht ist \(P(X>3)=1-P(X\le3)\). Die kumulierte Binomialfunktion liefert \(P(X\le3)\approx0{,}860869\), also \(P(X>3)\approx0{,}139131\). 2. Der Erwartungswert ist \(E(X)=50\cdot0{,}04=2\). Damit ist \(P(X=E(X))=P(X=2)=\binom{50}{2}0{,}04^2\cdot0{,}96^{48}\approx0{,}276233\). 3. Mechanische Blockaden können mehrere aufeinanderfolgende Fehler auslösen. Dann hängt die Fehlerwahrscheinlichkeit eines Pakets vom Zustand bei benachbarten Paketen ab; die Unabhängigkeitsannahme ist verletzt und die Binomialverteilung kein exaktes Modell.

1. \(13{,}91\,\%\) 2. Erwartungswert \(2\); Wahrscheinlichkeit \(27{,}62\,\%\) 3. Bei Fehlerclustern durch Blockaden ist die Unabhängigkeitsannahme nicht plausibel; das Binomialmodell ist dann nicht exakt.

- Für die Summe \(12\) gibt es nur das Paar \((6;6)\). - Bei der Summe \(7\) kannst du die konstante Wahrscheinlichkeit des fairen Würfels ausklammern. - Berechne den Erwartungswert des gezinkten Würfels aus seinen sechs möglichen Werten.

1. Set A: \(P(S=12)=\frac16\cdot\frac16=\frac1{36}\). Set B: \(P(S=12)=\frac16\cdot0{,}5=\frac1{12}\). 2. Für Set B gilt \(P(S=7)=\sum_{i=1}^{6}\frac16 P(Y=7-i)=\frac16\sum_{j=1}^{6}P(Y=j)=\frac16\). Dies entspricht Set A. 3. Für den gezinkten Würfel ist \(E(Y)=0{,}1(1+2+3+4+5)+0{,}5\cdot6=4{,}5\). 4. Daher ist \(E(S_B)=3{,}5+4{,}5=8\). Für Set A ist \(E(S_A)=7\); Set B liegt um \(1\) höher.

a) Set A: \(\frac1{36}\); Set B: \(\frac1{12}\) b) In beiden Sets \(P(S=7)=\frac16\). c) \(E(S_B)=8\), also um \(1\) größer als bei Set A.

- Trenne die Testserie mit \(50\) Würfen von der geplanten Serie mit \(10\) Würfen. - Welche Annahmen müssen innerhalb jeder Serie gelten, damit ein Binomialmodell passt? - Vergleiche in b) dieselbe Punktwahrscheinlichkeit für \(38\) Treffer unter beiden Werten von \(p\). - Vergleiche die Modelle für die nächsten zehn Würfe über Schwellenwahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Streuung.

1. Für ein Binomialmodell müssen die Würfe als gleichartige Versuche mit den Ausgängen Treffer/Nichttreffer betrachtet werden; die Trefferwahrscheinlichkeit muss innerhalb der jeweiligen Serie konstant sein, und die Würfe müssen näherungsweise unabhängig sein. Müdigkeit, Lernfortschritt oder Drucksituationen können diese Annahmen verletzen. 2. Für die Testserie gilt unter Modell A \(Y\sim B(50,0{,}7)\). Daher ist \(P(Y=38)=\binom{50}{38}0{,}7^{38}\cdot0{,}3^{12}\approx0{,}0838\). Unter Modell B gilt \(Y\sim B(50,0{,}8)\) und \(P(Y=38)=\binom{50}{38}0{,}8^{38}\cdot0{,}2^{12}\approx0{,}1033\). 3. Da \(0{,}1033>0{,}0838\), macht Modell B genau dieses Beobachtungsergebnis wahrscheinlicher. Das ist ein Vergleich der beiden vorgegebenen Punktwahrscheinlichkeiten, kein Beweis für den wahren Parameter und kein Signifikanztest. 4. Für die nächsten zehn Würfe gilt unter Modell A \(X\sim B(10,0{,}7)\). Daher ist \(P(X\ge8)=\sum_{k=8}^{10}\binom{10}{k}0{,}7^k\cdot0{,}3^{10-k}\approx0{,}3828\). 5. Unter Modell B gilt \(X\sim B(10,0{,}8)\). Daher ist \(P(X\ge8)=\sum_{k=8}^{10}\binom{10}{k}0{,}8^k\cdot0{,}2^{10-k}\approx0{,}6778\). 6. Modell A hat \(E(X)=7\) und \(\sigma=\sqrt{2{,}1}\approx1{,}45\); Modell B hat \(E(X)=8\) und \(\sigma=\sqrt{1{,}6}\approx1{,}26\). 7. Modell B sagt im Mittel einen Treffer mehr voraus und bewertet mindestens acht Treffer deutlich wahrscheinlicher. Gleichzeitig ist die Streuung etwas kleiner. Für eine Planung, bei der acht Treffer eine wichtige Schwelle sind, führen die Modelle daher zu deutlich verschiedenen Erwartungen.

a) Konstante Trefferwahrscheinlichkeit und näherungsweise unabhängige, gleichartige Würfe; z. B. Müdigkeit kann das Modell einschränken. b) Modell A: \(P(Y=38)\approx0{,}0838\); Modell B: \(P(Y=38)\approx0{,}1033\). Das konkrete Beobachtungsergebnis ist unter Modell B wahrscheinlicher. c) Modell A: \(0{,}3828\); Modell B: \(0{,}6778\) d) Modell A: \(E(X)=7\), \(\sigma\approx1{,}45\); Modell B: \(E(X)=8\), \(\sigma\approx1{,}26\) e) Modell B prognostiziert mehr Treffer und eine deutlich größere Chance auf mindestens acht Treffer bei etwas kleinerer Streuung.

- Welche Modellannahme wird durch „ohne Zurücklegen“ verletzt? - Für das exakte Modell kannst du günstige und mögliche Fünferauswahlen zählen. - Vergleiche die beiden Wahrscheinlichkeiten in Prozentpunkten, nicht relativ. - Entscheide erst nach dem quantitativen Vergleich über die Näherung.

1. Da tatsächlich ohne Zurücklegen aus einer endlichen Lieferung gezogen wird, beschreibt Modell A die Situation exakt. 2. Für Modell A gilt \(P(\text{kein Defekt})=\frac{\binom{90}{5}}{\binom{100}{5}}\approx0{,}58375\). 3. Für Modell B gilt \(P(\text{kein Defekt})=0{,}9^5\approx0{,}59049\). 4. Die absolute Abweichung beträgt \(0{,}59049-0{,}58375\approx0{,}00674\), also etwa \(0{,}67\) Prozentpunkte. 5. Damit überschreitet Modell B die vorgegebene Toleranz von \(0{,}5\) Prozentpunkten und wird nach diesem Kriterium nicht akzeptiert.

a) Modell A ist exakt. b) Modell A: \(\approx0{,}58375\); Modell B: \(\approx0{,}59049\). c) Nein. Die Abweichung beträgt etwa \(0{,}67\) Prozentpunkte.