Kostenlose Arbeitsblätter

- Entsteht der Wert aus gleich wahrscheinlichen Ergebnissen oder aus Beobachtungen? - Welche Größe wird aus \(9\) Treffern bei \(60\) Würfen berechnet?

1. In a) sind die sechs Würfelergebnisse gleich wahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit \(\frac16\) ist daher eine Laplace-Wahrscheinlichkeit. 2. In b) beruht der Wert auf beobachteten Daten. Die relative Häufigkeit ist \(\frac{9}{60}=0{,}15\). Wird eine solche langfristige relative Häufigkeit als Zugang zu einer Wahrscheinlichkeit verwendet, entspricht dies dem frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff.

a) Laplace-Wahrscheinlichkeit b) Beobachtete relative Häufigkeit \(0{,}15\); frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff

- Welche Wahrscheinlichkeit folgt aus vier gleich großen Sektoren mit genau einem Stern? - Welche relative Häufigkeit ergibt sich aus \(12\) Sternen bei \(40\) Drehungen?

1. Wegen der vier gleich großen Sektoren beträgt die Laplace-Wahrscheinlichkeit für den Stern \(\frac14=0{,}25\). 2. In der Versuchsserie ist die relative Häufigkeit \(\frac{12}{40}=0{,}30\). 3. Im Diagramm liegt Säule \(1\) bei \(0{,}25\) und Säule \(2\) bei \(0{,}30\). Daher zeigt Säule \(1\) die Laplace-Wahrscheinlichkeit und Säule \(2\) die beobachtete relative Häufigkeit.

Säule \(1\): Laplace-Wahrscheinlichkeit. Säule \(2\): beobachtete relative Häufigkeit.

- Überlege dir zuerst, welche unterschiedlichen Farbkombinationen bei zwei Ziehungen möglich sind, wenn die Reihenfolge egal ist. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis, das auf mehreren Pfaden im Baumdiagramm erreicht werden kann? - Was ist die Grundvoraussetzung dafür, dass man ein Zufallsexperiment als Laplace-Experiment bezeichnet? - Vergleiche die berechneten Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse miteinander.

1. Definition der Ergebnismenge: Da die Reihenfolge keine Rolle spielt und mit Zurücklegen gezogen wird, ergibt sich \(S = \{(b;b), (b;r), (r;r)\}\) (oder textlich: zwei blaue, eine blaue und eine rote, zwei rote Kugeln). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten unter Verwendung der Pfadregeln: \(P(\{(b;b)\}) = \frac{7}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{49}{100} = 0{,}49\) \(P(\{(b;r)\}) = \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{10} + \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{42}{100} = 0{,}42\) \(P(\{(r;r)\}) = \frac{3}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{9}{100} = 0{,}09\) 3. Prüfung der Laplace-Bedingung: Ein Laplace-Experiment setzt voraus, dass alle Elementarereignisse der Ergebnismenge die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. 4. Da \(0{,}49 \neq 0{,}42 \neq 0{,}09\) gilt, sind die Ergebnisse nicht gleichwahrscheinlich, weshalb kein Laplace-Experiment vorliegt.

a) \(S = \{(b;b), (b;r), (r;r)\}\) b) \(P(\{(b;b)\}) = 0{,}49\); \(P(\{(b;r)\}) = 0{,}42\); \(P(\{(r;r)\}) = 0{,}09\) c) Da die Elementarereignisse unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten aufweisen (\(0{,}49 \neq 0{,}42 \neq 0{,}09\)), ist die Laplace-Bedingung der Gleichwahrscheinlichkeit nicht erfüllt.

- Wie viele Anordnungen von \(8\) unterscheidbaren Objekten gibt es insgesamt? - Wie viele dieser Anordnungen erfüllen die Sortierbedingung? - Welche Annahme über die möglichen Anordnungen erlaubt das Verhältnis „günstig durch möglich“?

1. Für \(8\) unterscheidbare Bücher gibt es \(8!=40\,320\) mögliche Anordnungen. 2. Genau zwei Anordnungen sind nach der Seitenzahl sortiert: eine aufsteigend und eine absteigend. 3. Da alle Anordnungen als gleich wahrscheinlich vorausgesetzt werden, ist \(P=\frac{2}{40320}=\frac{1}{20160}\approx0{,}0000496\). 4. Der Berechnung liegt eine Laplace-Wahrscheinlichkeit zugrunde.

\(P=\frac{1}{20160}\). Der Berechnung liegt eine Laplace-Wahrscheinlichkeit zugrunde.

- Wie viele Anordnungen gibt es insgesamt und wie viele beginnen mit \(A\)? - Welche Rolle spielt in a) die Gleichwahrscheinlichkeit aller Permutationen? - Wie unterscheidet sich ein theoretisch berechneter Wert von einer beobachteten relativen Häufigkeit?

1. Insgesamt gibt es \(4!=24\) gleich wahrscheinliche Permutationen. Mit \(A\) an erster Stelle gibt es \(3!=6\) Anordnungen. Daher ist \(P(A\text{ an erster Stelle})=\frac{6}{24}=0{,}25\). Dies ist eine Laplace-Wahrscheinlichkeit. 2. Die relative Häufigkeit beträgt \(h=\frac{2540}{10000}=0{,}254\). Wird eine solche langfristige relative Häufigkeit als Schätzwert für eine Wahrscheinlichkeit verwendet, liegt der frequentistische Wahrscheinlichkeitsbegriff zugrunde.

a) \(P=0{,}25\); Laplace-Wahrscheinlichkeit. b) \(h=0{,}254\); frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff.

- Entsteht der angegebene Wert durch Beobachtung oder durch Abzählen gleich wahrscheinlicher Fälle? - Welche Symmetriebedingung benötigt eine Laplace-Wahrscheinlichkeit? - Das Gesetz der großen Zahlen bezieht sich auf viele Wiederholungen unter gleichbleibenden Bedingungen.

1. Der Wert stammt aus beobachteten Daten und wird als Schätzwert für eine Wahrscheinlichkeit verwendet. Daher liegt der frequentistische Wahrscheinlichkeitsbegriff zugrunde. 2. Eine Laplace-Wahrscheinlichkeit würde eine theoretisch begründete Gleichwahrscheinlichkeit geeigneter Elementarereignisse voraussetzen. Eine solche Symmetrie liefert der Behandlungskontext nicht. 3. In einem Modell unabhängiger, gleichartiger Versuche mit fester Wahrscheinlichkeit \(p\) stabilisiert sich die relative Häufigkeit bei wachsendem \(n\) typischerweise in der Nähe von \(p\). Das entspricht dem Gesetz der großen Zahlen.

1. Frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff. 2. Keine Laplace-Wahrscheinlichkeit, weil keine begründete Gleichwahrscheinlichkeit der Ausgänge vorliegt. 3. Unter den genannten Modellannahmen stabilisiert sich die relative Häufigkeit bei wachsendem \(n\) um den Wert \(p\).

- Wann sind alle Ergebnisse eines Versuchs gleich wahrscheinlich? - Wie viele Karten gibt es insgesamt von einer Farbe? - Wie viele Bildkarten gibt es in jeder der vier Farben? - Hast du beachtet, dass manche Karten sowohl eine bestimmte Farbe haben als auch Bildkarten sind?

1. Begründung für Laplace-Modell: Da das Spiel gut gemischt wird und jede unterscheidbare Karte nach demselben Zufallsverfahren gezogen wird, ist die Wahrscheinlichkeit für jede der 52 Karten gleich groß (Symmetrieprinzip). 2. Bestimmung der Gesamtzahl der Ergebnisse: \(|\Omega| = 52\). 3. Anzahl der Pik-Karten: \(n_1 = 13\). 4. Anzahl der Bildkarten (Bube, Dame, König): \(n_2 = 4 \cdot 3 = 12\). 5. Anzahl der Karten, die beide Kriterien erfüllen (Pik-Bilder): \(n_{1 \cap 2} = 3\). 6. Berechnung der günstigen Ergebnisse nach dem Inklusions-Exklusions-Prinzip: \(|E| = 13 + 12 - 3 = 22\). 7. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P(E) = \frac{22}{52} = \frac{11}{26} \approx 0{,}4231\).

a) Es handelt sich um ein Laplace-Experiment, da durch das Mischen jede Karte mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen wird. b) \(P(E) = \frac{11}{26} \approx 42{,}3\,\%\).

- Notiere dir zuerst alle Primzahlen bis 20. Denke daran, dass die 1 keine Primzahl ist. - Welche Zahlen erfüllen die Bedingung „größer als 15“? - Gibt es Zahlen, die in beiden Gruppen vorkommen? Zähle diese nicht doppelt. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit bei einem Würfel, bei dem jede Seite gleich wahrscheinlich ist?

1. Bestimmung der Ergebnismenge: \(\Omega = \{1; 2; 3; \dots; 20\}\) mit \(|\Omega| = 20\). 2. Identifikation der Primzahlen im Bereich 1 bis 20: \(M_1 = \{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19\}\), also \(|M_1| = 8\). 3. Identifikation der Zahlen größer als 15: \(M_2 = \{16; 17; 18; 19; 20\}\), also \(|M_2| = 5\). 4. Bestimmung der Schnittmenge (Primzahlen, die größer als 15 sind): \(M_1 \cap M_2 = \{17; 19\}\), also \(|M_1 \cap M_2| = 2\). 5. Berechnung der Anzahl der günstigen Ergebnisse: \(|A| = 8 + 5 - 2 = 11\). 6. Berechnung der Wahrscheinlichkeit nach Laplace: \(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{11}{20} = 0{,}55\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(A) = \frac{11}{20} = 0{,}55 = 55\,\%\).

- Wie berechnet man den Anteil eines Ergebnisses an der Gesamtzahl der Versuche? - Welchen Wert aus der Tabelle solltest du wählen, um die stabilste Schätzung für die Wahrscheinlichkeit zu erhalten? - Wenn du weißt, wie oft ein Ereignis im Schnitt bei 100 Würfen vorkommt, wie berechnest du es dann für eine größere Anzahl?

1. Berechnung der relativen Häufigkeiten für \(n = 800\): \(h(A) = \frac{336}{800} = 0{,}42\) \(h(B) = \frac{288}{800} = 0{,}36\) \(h(C) = \frac{176}{800} = 0{,}22\) 2. Hochrechnung auf \(2400\) Versuche durch Multiplikation der relativen Häufigkeiten mit der neuen Gesamtzahl: Lage \(A\): \(0{,}42 \cdot 2400 = 1008\) Lage \(B\): \(0{,}36 \cdot 2400 = 864\) Lage \(C\): \(0{,}22 \cdot 2400 = 528\)

a) Die relativen Häufigkeiten nach 800 Versuchen betragen für Lage \(A\) \(0{,}42\), für Lage \(B\) \(0{,}36\) und für Lage \(C\) \(0{,}22\). b) Bei \(2400\) Würfen ist zu erwarten, dass Lage \(A\) \(1008\)-mal, Lage \(B\) \(864\)-mal und Lage \(C\) \(528\)-mal auftritt.

- Wie viele der \(16\) Karten sind Asse? - Wie unterscheidet sich eine beobachtete relative Häufigkeit von einer theoretischen Modellwahrscheinlichkeit? - Liefert das Gesetz der großen Zahlen für eine einzelne endliche Stichprobe einen festen Grenzwert für „normal“ oder „auffällig“?

1. Im Stapel liegen zwei Asse unter \(16\) gleich wahrscheinlichen Karten. Daher gilt \(P(A)=\frac{2}{16}=0{,}125\). 2. Die relative Häufigkeit beträgt \(h_{400}(A)=\frac{48}{400}=0{,}12\). Sie weicht um \(0{,}005\) von der Modellwahrscheinlichkeit ab. 3. Relative Häufigkeiten können bei einer endlichen Versuchszahl von der Modellwahrscheinlichkeit abweichen. Das Gesetz der großen Zahlen beschreibt eine Stabilisierung bei wachsender Versuchszahl, liefert aber für diese einzelne endliche Stichprobe keinen Entscheidungsgrenzwert. Aus dem bloßen Vergleich \(0{,}12\) mit \(0{,}125\) lässt sich daher weder eine Bestätigung noch eine Widerlegung des Laplace-Modells ableiten.

a) \(P(A)=0{,}125\) b) \(h_{400}(A)=0{,}12\); die absolute Abweichung beträgt \(0{,}005\). c) Der Vergleich zeigt nur eine kleine beobachtete Abweichung. Ohne ein zusätzliches Beurteilungskriterium lässt sich daraus kein eindeutiges Urteil über das Modell ableiten.

- Wie viele der zehn gleich wahrscheinlichen Ergebnisse entsprechen einer Wahrscheinlichkeit von \(\frac12\)? - Übertrage die Farbanteile \(\frac35\) und \(\frac25\) auf Zehntel. - Es gibt mehrere gleichwertige Zuordnungen.

1. Für eine faire Münze benötigt jedes der beiden Ereignisse fünf der zehn gleich wahrscheinlichen Zahlen. Beispielsweise kann \(\{1,2,3,4,5\}\) für Kopf und \(\{6,7,8,9,10\}\) für Zahl stehen. 2. In \(E_2\) ist \(P(\text{Rot})=\frac35=\frac6{10}\) und \(P(\text{Blau})=\frac25=\frac4{10}\). 3. Daher können in \(E_1\) sechs Zahlen Rot und vier Zahlen Blau zugeordnet werden, etwa \(1\) bis \(6\) für Rot und \(7\) bis \(10\) für Blau.

a) Zwei beliebige Fünfergruppen, z. B. \(1\)–\(5\) und \(6\)–\(10\). b) Sechs Zahlen für Rot und vier für Blau, z. B. \(1\)–\(6\) bzw. \(7\)–\(10\).

- Überlege dir zuerst, wie viele Zahlen im Bereich von 1 bis 100 die jeweilige Bedingung erfüllen. - Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zahl durch zwei verschiedene Zahlen gleichzeitig teilbar sein muss? - Erinnere dich an die Formel, die die Wahrscheinlichkeit von „Ereignis A oder Ereignis B“ mit ihren Einzelwahrscheinlichkeiten und ihrer Schnittmenge verknüpft. - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis kennst, wie berechnest du dann die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis gerade nicht eintritt?

1. Berechnung von \(P(A)\): Im Bereich von 1 bis 100 gibt es \(\lfloor 100 : 6 \rfloor = 16\) Vielfache von 6. Somit ist \(P(A) = \frac{16}{100} = 0{,}16\). 2. Berechnung von \(P(B)\): Es gibt \(\lfloor 100 : 8 \rfloor = 12\) Vielfache von 8. Somit ist \(P(B) = \frac{12}{100} = 0{,}12\). 3. Berechnung von \(P(A \cap B)\): Eine Zahl ist durch 6 und 8 teilbar, wenn sie durch das kleinste gemeinsame Vielfache \(\text{kgV}(6, 8) = 24\) teilbar ist. Es gibt \(\lfloor 100 : 24 \rfloor = 4\) solche Zahlen (24, 48, 72, 96). Somit ist \(P(A \cap B) = \frac{4}{100} = 0{,}04\). 4. Anwendung der Summenregel: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}16 + 0{,}12 - 0{,}04 = 0{,}24\). 5. Berechnung des Komplementärereignisses: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl weder durch 6 noch durch 8 teilbar ist, entspricht \(P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0{,}24 = 0{,}76\).

a) \(P(A) = 0{,}16\); \(P(B) = 0{,}12\) b) \(P(A \cap B) = 0{,}04\) c) \(P(A \cup B) = 0{,}24\) d) \(P(\overline{A \cup B}) = 0{,}76\)

- Überlege dir für den ersten Teil, wie viele verschiedene Gruppen man insgesamt bilden kann und wie viele davon Lukas enthalten. - Was weißt du über die Auswahlwahrscheinlichkeit an verschiedenen Positionen bei einer fairen Ziehung? - Macht es für die Auswahlwahrscheinlichkeit einen Unterschied, ob man als Erster oder als Letzter eine Kugel zieht?

1. Berechnung über die Kombinatorik: Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(4\) Personen aus \(25\) auszuwählen, beträgt \(\binom{25}{4} = 12\,650\). Die Anzahl der günstigen Fälle, in denen Lukas dabei ist, entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, die restlichen \(3\) Plätze aus den verbleibenden \(24\) Personen zu besetzen: \(\binom{24}{3} = 2024\). Die Wahrscheinlichkeit ist somit \(P = \frac{2024}{12650} = \frac{4}{25} = 0{,}16\). 2. Symmetriebegründung: Da das Auswahlverfahren fair ist, hat jede der \(25\) Personen die gleiche Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{25}\), an einer bestimmten Stelle der Ziehung (z. B. als Erstes, Zweites etc.) ausgewählt zu werden. Da insgesamt \(4\) Personen ausgewählt werden und eine Person nicht an zwei Stellen gleichzeitig stehen kann (disjunkte Positionen), addieren sich die Einzelwahrscheinlichkeiten für die vier verfügbaren Plätze zu \(4 \cdot \frac{1}{25} = \frac{4}{25}\).

a) \(P = \frac{4}{25} = 0{,}16\) b) Jede Person hat für jeden der \(4\) Plätze die gleiche Ziehungswahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{25}\). Da die Plätze disjunkt sind, ist die Gesamtwahrscheinlichkeit die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(4 \cdot \frac{1}{25} = \frac{4}{25}\).

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, das eine Gewinnlos auf die Plätze zu verteilen. - Stell dir vor, alle Lose werden nebeneinander ausgelegt. Ist ein Platz wahrscheinlicher für den Gewinn als ein anderer? - Du kannst die Wahrscheinlichkeit für einen späteren Zug auch mit einem Baumdiagramm und der Pfadmultiplikationsregel bestimmen.

1. Für das erste Los gibt es \(100\) gleich wahrscheinliche Möglichkeiten. Da genau ein Los der Hauptgewinn ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit nach Laplace \(P(\text{Hauptgewinn an 1. Stelle}) = \frac{1}{100} = 0{,}01\). 2. Für die zehnte Stelle kann die Wahrscheinlichkeit über die Pfadregel berechnet werden: Die ersten neun Lose dürfen kein Hauptgewinn sein (\(\frac{99}{100} \cdot \frac{98}{99} \cdot \dots \cdot \frac{91}{92}\)) und das zehnte Los muss der Hauptgewinn sein (\(\frac{1}{91}\)). Durch Kürzen der Brüche ergibt sich: \(P(\text{Hauptgewinn an 10. Stelle}) = \frac{1}{100} = 0{,}01\). 3. Da die Lose eine zufällige Permutation (Anordnung) bilden und jede der \(100!\) Anordnungen gleich wahrscheinlich ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Hauptgewinn an einer bestimmten Position \(k\) befindet, für alle \(k \in \{1, \dots, 100\}\) gleich groß.

a) \(P = \frac{1}{100} = 0{,}01\) b) \(P = \frac{1}{100} = 0{,}01\) c) Aufgrund der Symmetrie der zufälligen Anordnung (jede Position ist für das Gewinnlos gleich wahrscheinlich).

- Wie oft kommt jede Farbe und wie oft jeder Kartenwert im Deck vor? - Welche Bedingung müssen alle Elementarereignisse eines Laplace-Experiments erfüllen? - Wie viele der \(32\) Karten sind Bildkarten? - Reicht eine Ergebnismenge mit zwei Elementen allein aus, damit beide Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind?

1. Es ist \(S_1=\{\text{Kreuz},\text{Pik},\text{Herz},\text{Karo}\}\). Jede Farbe kommt achtmal vor, also hat jedes Ergebnis die Wahrscheinlichkeit \(\frac{8}{32}=0{,}25\). 2. Es ist \(S_2=\{7,8,9,10,\text{Bube},\text{Dame},\text{König},\text{Ass}\}\). Jeder Wert kommt viermal vor, also hat jedes Ergebnis die Wahrscheinlichkeit \(\frac{4}{32}=0{,}125\). 3. In \(S_1\) beziehungsweise \(S_2\) sind jeweils alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich. Daher liegt in beiden Fällen ein Laplace-Experiment vor. 4. Für \(S_3\) gibt es \(12\) Bildkarten und \(20\) Karten ohne Bild. Daher ist \(P(\text{Bild})=\frac{12}{32}=0{,}375\) und \(P(\text{kein Bild})=\frac{20}{32}=0{,}625\). Die beiden Ergebnisse sind nicht gleich wahrscheinlich; bezogen auf \(S_3\) liegt kein Laplace-Experiment vor.

a) \(S_1=\{\text{Kreuz},\text{Pik},\text{Herz},\text{Karo}\}\); jeweils \(P=0{,}25\). b) \(S_2=\{7,8,9,10,\text{Bube},\text{Dame},\text{König},\text{Ass}\}\); jeweils \(P=0{,}125\). c) Beide sind Laplace-Modelle, weil innerhalb der jeweiligen Ergebnismenge alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. d) Kein Laplace-Modell, da \(P(\text{Bild})=0{,}375\) und \(P(\text{kein Bild})=0{,}625\) verschieden sind.

- Bestimme zuerst die Gesamtzahl aller Teile im Behälter. - Überlege dir für jedes Ereignis, wie viele Teile die genannte Eigenschaft erfüllen. - Was bedeutet das Wort „oder“ für die Anzahl der günstigen Ergebnisse? - Kannst du ein Ereignis einfacher über sein Gegenereignis berechnen?

1. Es gibt insgesamt \(120\) Teile. 2. Für a) sind \(40 + 20 = 60\) Teile günstig. Daher gilt \(P(A) = \frac{60}{120} = 0{,}5\). 3. Für b) sind die \(15\) Edelstahlschrauben und die \(10\) Spezialbolzen günstig, also insgesamt \(25\) Teile. Daher gilt \(P(B) = \frac{25}{120} = \frac{5}{24} \approx 0{,}2083\). 4. Für c) sind \(120 - 50 = 70\) Teile günstig. Daher gilt \(P(C) = \frac{70}{120} = \frac{7}{12} \approx 0{,}5833\).

a) \(P = 0{,}5\) b) \(P = \frac{5}{24} \approx 0{,}2083\) c) \(P = \frac{7}{12} \approx 0{,}5833\)

- Wie viele Felder gibt es insgesamt und was wissen wir über ihre Größe? - Zähle für jede Teilaufgabe genau die Anzahl der Felder ab, die die Bedingung erfüllen. - Achte bei Teilaufgabe b) darauf, alle Felder zu zählen, die die Farbe Gold haben, unabhängig von ihrer Beschriftung. - Was ist die Voraussetzung dafür, dass man die Formel „Anzahl der günstigen durch Anzahl der möglichen Ergebnisse“ nutzen darf?

1. Festlegung des Ergebnisraums: Da alle Felder gleich groß sind, beträgt die Gesamtzahl der gleich wahrscheinlichen Elementarereignisse \(|\Omega| = 24\). 2. Lösung zu a): Die Anzahl der Gewinnfelder ist \(10 + 2 + 8 = 20\). Damit gilt \(P(\text{Gewinn}) = \frac{20}{24} = \frac{5}{6} \approx 0{,}8333\). 3. Lösung zu b): Die Anzahl der goldfarbenen Felder ist \(2\) (Hauptgewinn) \(+ 4\) (Kleingewinn) \(= 6\). Damit gilt \(P(\text{gold}) = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 4. Lösung zu c): Die Anzahl der Felder, die weder Niete (\(4\)) noch Hauptgewinn (\(2\)) sind, beträgt \(24 - 4 - 2 = 18\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} = 0{,}75\). 5. Lösung zu d): Der Laplace-Ansatz ist zulässig, weil alle Elementarereignisse (das Stehenbleiben auf einem der \(24\) Felder) aufgrund der gleichen Größe der Felder und der Symmetrie des Rades als gleich wahrscheinlich angenommen werden können.

a) \(P = \frac{5}{6} \approx 0{,}8333\) b) \(P = 0{,}25\) c) \(P = 0{,}75\) d) Der Laplace-Ansatz ist zulässig, da alle \(24\) Felder gleich groß sind und somit die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit besitzen.

- Wie viele geordnete Zahlenpaare sind bei zwei Drehungen insgesamt möglich? - Welche Eigenschaft müssen beide Ziffern haben, damit ihr Produkt ungerade ist? - Trenne in Teil 3 die rechnerische Abweichung von der Frage, nach welchem Kriterium eine Abweichung beurteilt werden soll.

1. Es gibt \(10 \cdot 10=100\) gleich wahrscheinliche geordnete Ergebnisse. Für die Summe \(10\) sind \((1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1)\) günstig. Daher gilt \(P=\frac{9}{100}=0{,}09\). 2. Ein Produkt ist genau dann ungerade, wenn beide Ziffern ungerade sind. Dafür gibt es jeweils \(5\) Möglichkeiten, also \(25\) günstige Paare. Somit gilt \(P=\frac{25}{100}=0{,}25\). 3. Die relative Häufigkeit beträgt \(h=\frac{924}{10000}=0{,}0924\). Die absolute Abweichung ist \(|0{,}0924-0{,}09|=0{,}0024\), also \(0{,}24\) Prozentpunkte. Der Zahlenvergleich zeigt eine kleine Abweichung, liefert aber ohne ein vorgegebenes statistisches Beurteilungskriterium keine eindeutige Entscheidung darüber, ob diese Abweichung als auffällig gelten soll.

1. \(P=0{,}09\) 2. \(P=0{,}25\) 3. \(h=0{,}0924\); absolute Abweichung: \(0{,}0024\) bzw. \(0{,}24\) Prozentpunkte. Ohne zusätzliches Beurteilungskriterium folgt daraus kein eindeutiges Modellurteil.

- Betrachte für a) zunächst das Gegenereignis „alle drei Ergebnisse sind verschieden“. - Vergleiche in b) die beobachtete relative Häufigkeit direkt mit dem exakten Wert aus a). - Formuliere in c) eine langfristige Aussage und keine Garantie für eine einzelne endliche Simulation.

1. Das Gegenereignis ist, dass drei verschiedene Zahlen gewürfelt werden. Daher ist \(P(\text{alle verschieden})=\frac{12\cdot11\cdot10}{12^3}=\frac{55}{72}\) und somit \(P(\text{mindestens eine Wiederholung})=\frac{17}{72}\). 2. Die relative Häufigkeit ist \(h=\frac{241}{1000}=0{,}241\). Die absolute Abweichung beträgt \(\left|\frac{241}{1000}-\frac{17}{72}\right|=\frac{11}{2250}\approx0{,}00489\). 3. Das Gesetz der großen Zahlen beschreibt, dass sich relative Häufigkeiten bei wachsender Zahl unabhängiger Wiederholungen unter gleichen Bedingungen typischerweise in der Nähe der zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeit stabilisieren. Eine einzelne endliche Simulation muss den theoretischen Wert nicht treffen.

a) \(\frac{17}{72}\) b) \(h=0{,}241\); absolute Abweichung \(\frac{11}{2250}\approx0{,}00489\) c) Bei vielen Wiederholungen stabilisiert sich die relative Häufigkeit typischerweise in der Nähe der theoretischen Wahrscheinlichkeit; eine einzelne Simulation darf davon abweichen.

- Überlege dir zuerst, wie viele Kombinationsmöglichkeiten es insgesamt gibt, wenn man zwei Würfel wirft. - Kannst du eine Tabelle erstellen, in der alle möglichen Summen der beiden Würfel eingetragen sind? - Achte genau auf Formulierungen wie „höchstens“, „mindestens“ oder „weniger als“. - Für die Primzahlen: Welche Zahlen zwischen 2 und 12 sind Primzahlen? - Zähle für jedes Ereignis einzeln ab, wie viele der 36 Felder in deiner Tabelle die Bedingung erfüllen.

1. Der Ergebnisraum des zweifachen Würfelns umfasst \(6 \cdot 6 = 36\) gleichwahrscheinliche Elementarereignisse. 2. Für Teilaufgabe a) wird das Ereignis durch \(4 \le X < 7\) bzw. \(4 \le X \le 6\) beschrieben. Die günstigen Summen sind \(4\) (3 Möglichkeiten: \((1; 3)\), \((2; 2)\), \((3; 1)\)), \(5\) (4 Möglichkeiten: \((1; 4)\), \((2; 3)\), \((3; 2)\), \((4; 1)\)) und \(6\) (5 Möglichkeiten: \((1; 5)\), \((2; 4)\), \((3; 3)\), \((4; 2)\), \((5; 1)\)). Die Anzahl der günstigen Fälle ist \(3 + 4 + 5 = 12\). Damit gilt \(P(4 \le X < 7) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}\). 3. Für Teilaufgabe b) wird das Ereignis durch „\(X \in \{2, 3, 5, 7, 11\}\)“ beschrieben. Die Anzahlen der Möglichkeiten für die einzelnen Summen lauten: \(X=2\) (1), \(X=3\) (2), \(X=5\) (4), \(X=7\) (6), \(X=11\) (2). Die Summe der günstigen Fälle beträgt \(1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(X \in \{2, 3, 5, 7, 11\}) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}\). 4. Für Teilaufgabe c) lautet die Beschreibung \(X \le 3 \lor X > 10\). Günstige Summen sind \(2\) (1), \(3\) (2), \(11\) (2) und \(12\) (1). Die Anzahl der günstigen Fälle ist \(1 + 2 + 2 + 1 = 6\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(X \le 3 \lor X > 10) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).

a) \(P(4 \le X < 7) = \frac{1}{3}\) b) \(P(X \in \{2, 3, 5, 7, 11\}) = \frac{5}{12}\) c) \(P(X \le 3 \lor X > 10) = \frac{1}{6}\)

- Wie viele Möglichkeiten hat der erste Jugendliche, wie viele der zweite und so weiter, wenn man alle Kombinationen betrachtet? - Wenn alle etwas Verschiedenes wählen sollen, wie viele Optionen bleiben dann für die jeweils nächste Person übrig? - Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass eine Gruppe eine gemeinsame Entscheidung für genau eine der verfügbaren Optionen trifft? - Nutze das Modell des Laplace-Experiments: Anzahl der günstigen Ergebnisse durch Anzahl der möglichen Ergebnisse.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Ergebnisse: Da jeder der 6 Jugendlichen aus 10 Sorten wählen kann, gibt es \(10^6 = 1\,000\,000\) gleich wahrscheinliche Möglichkeiten. 2. Berechnung für Ereignis a (unterschiedliche Sorten): Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist die Anzahl der Variationen von 6 aus 10 ohne Wiederholung: \(10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 151\,200\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(a) = \frac{151200}{1000000} = 0{,}1512\). 3. Berechnung für Ereignis b (gleiche Sorte): Es gibt genau 10 Möglichkeiten, bei denen alle Jugendlichen die gleiche Sorte wählen (eine für jede der 10 Sorten). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(b) = \frac{10}{10^6} = \frac{1}{10^5} = 0{,}00001\).

a) \(P = 0{,}1512\) (oder \(\frac{189}{1250}\)) b) \(P = 0{,}00001\) (oder \(10^{-5}\))

- Betrachte für a) die vier zusammenhängenden Songs vorübergehend als einen Block. - Wie viele Einheiten werden dann insgesamt angeordnet, und wie viele Reihenfolgen gibt es innerhalb des Blocks? - Zähle für b) gleich wahrscheinliche Fünferauswahlen ohne Zurücklegen. - Wie viele dieser Auswahlen enthalten genau zwei der vier Bandsongs?

1. Für a) werden die \(4\) Songs der Band als ein Block betrachtet. Zusammen mit den restlichen \(8\) Songs gibt es \(9!\) Anordnungen der neun Einheiten. Innerhalb des Blocks gibt es \(4!\) Reihenfolgen. Insgesamt sind das \(9!\cdot4!=8\,709\,120\) Abspielfolgen. 2. Für b) wird ohne Zurücklegen aus den \(12\) verschiedenen Songs ausgewählt. Insgesamt gibt es \(\binom{12}{5}=792\) mögliche Fünferauswahlen. Genau \(2\) der \(4\) „Logarithmus“-Songs und \(3\) der übrigen \(8\) Songs können auf \(\binom{4}{2}\binom{8}{3}=336\) Arten ausgewählt werden. 3. Daher ist \(P=\frac{336}{792}=\frac{14}{33}\approx0{,}4242\).

a) Es gibt \(8\,709\,120\) mögliche Abspielfolgen. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{14}{33}\approx42{,}4\,\%\).

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, eine Stichprobe dieser Größe aus der Gesamtmenge zu ziehen. - Wie viele Arten gibt es, die gewünschte Anzahl an Objekten aus den Gruppen „defekt“ und „intakt“ auszuwählen? - Bei „höchstens“ musst du mehrere Fälle addieren. Welche sind das hier? - Das Wort „mindestens“ ist oft ein Signal, dass das Gegenereignis kürzer ist.

1. Bezeichne mit \(X\) die Zahl der defekten Akkus in der Stichprobe. Insgesamt gibt es \(\binom{20}{5}=15\,504\) mögliche Stichproben. Für genau zwei defekte Akkus gilt \(P(X=2)=\frac{\binom{4}{2}\binom{16}{3}}{\binom{20}{5}}=\frac{3360}{15504}=\frac{70}{323}\). 2. Für höchstens einen defekten Akku werden die Fälle \(X=0\) und \(X=1\) addiert: \(P(X\le1)=\frac{\binom{4}{0}\binom{16}{5}+\binom{4}{1}\binom{16}{4}}{\binom{20}{5}}=\frac{11648}{15504}=\frac{728}{969}\). 3. Für mindestens einen defekten Akku wird das Gegenereignis verwendet: \(P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-\frac{\binom{16}{5}}{\binom{20}{5}}=\frac{11136}{15504}=\frac{232}{323}\).

a) \(\frac{70}{323}\) b) \(\frac{728}{969}\) c) \(\frac{232}{323}\)

- Bestimme zuerst die Einzelwahrscheinlichkeiten der Zahlen \(1\), \(2\) und \(3\). - Bei zwei verschiedenen Zahlen gibt es zwei geordnete Wege zur selben ungeordneten Kategorie. - Ein Laplace-Modell verlangt gleich wahrscheinliche Elementarereignisse.

1. Die möglichen Kategorien sind \((1;1)\), \((1;2)\), \((1;3)\), \((2;2)\), \((2;3)\) und \((3;3)\). 2. Für einen Wurf gilt \(P(1)=\frac12\), \(P(2)=\frac13\), \(P(3)=\frac16\). 3. Wegen der Unabhängigkeit ist für gleiche Zahlen die Wahrscheinlichkeit das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten; bei zwei verschiedenen Zahlen werden die beiden Reihenfolgen addiert. 4. Damit ergeben sich \(\frac14,\frac13,\frac16,\frac19,\frac19,\frac1{36}\) in der oben genannten Reihenfolge. 5. Die sechs Paar-Kategorien sind nicht gleich wahrscheinlich. Daher liegt auf dieser Ergebnismenge kein Laplace-Modell vor.

a) \((1;1),(1;2),(1;3),(2;2),(2;3),(3;3)\) b) \(\frac14,\frac13,\frac16,\frac19,\frac19,\frac1{36}\) in derselben Reihenfolge c) Kein Laplace-Modell, da die Elementarereignisse unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten besitzen.

- Welche Voraussetzung braucht eine Laplace-Wahrscheinlichkeit? - Wie entsteht aus \(52\) Treffern bei \(200\) Versuchen eine relative Häufigkeit? - Was sagt eine größere Zahl unabhängiger Wiederholungen über die Stabilität einer relativen Häufigkeit aus?

1. Lukas verwendet eine Laplace-Wahrscheinlichkeit. Diese setzt gleich wahrscheinliche Elementarereignisse voraus. Bei einem als gezinkt beschriebenen Würfel ist diese Symmetrieannahme nicht begründet. 2. Die relative Häufigkeit der \(6\) ist \(\frac{52}{200}=0{,}26\). Wenn eine solche langfristige relative Häufigkeit als Schätzwert für eine Wahrscheinlichkeit verwendet wird, liegt der frequentistische Wahrscheinlichkeitsbegriff zugrunde. 3. Sarah kann die Zahl der Würfe unter möglichst gleichen Bedingungen deutlich erhöhen. Nach dem Gesetz der großen Zahlen stabilisiert sich die relative Häufigkeit bei vielen unabhängigen Wiederholungen um die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeit. Eine endliche Versuchsreihe liefert dennoch nur eine Schätzung und bestimmt den exakten Wert nicht sicher.

1. Lukas verwendet eine Laplace-Wahrscheinlichkeit; die dafür nötige Gleichwahrscheinlichkeit der Würfelseiten ist beim gezinkten Würfel nicht begründet. 2. Relative Häufigkeit: \(0{,}26=26\,\%\); frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff. 3. Durch deutlich mehr Würfe unter gleichen Bedingungen kann die Schätzung verbessert werden; der exakte Wert wird durch eine endliche Versuchsreihe nicht sicher bestimmt.

- Was ist die Grundvoraussetzung für ein Laplace-Experiment? - Wie berechnet man eine relative Häufigkeit aus absoluten Zahlen? - Was passiert mit der Schwankung der Ergebnisse, wenn man ein Experiment immer öfter wiederholt?

1. Der Laplace-Ansatz setzt voraus, dass alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind. Aufgrund der physikalischen Asymmetrie der Reißzwecke gibt es keinen Grund zu der Annahme, dass beide Lagen gleich wahrscheinlich sind. 2. Gemäß dem frequentistischen Ansatz wird die Wahrscheinlichkeit durch die relative Häufigkeit geschätzt: \(P(\text{„Spitze oben“}) \approx \frac{k}{n} = \frac{320}{500} = 0{,}64\). 3. Bei unabhängigen Wiederholungen unter gleichen Bedingungen stabilisiert sich die relative Häufigkeit nach dem Gesetz der großen Zahlen mit wachsender Versuchszahl um die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeit \(p\). Frequentistisch wird \(p\) als langfristiger Häufigkeitswert interpretiert.

a) Der Laplace-Ansatz ist ungeeignet, da keine Symmetrie vorliegt und die Ergebnisse nicht als gleich wahrscheinlich angenommen werden können. b) \(P(\text{„Spitze oben“}) \approx 0{,}64\). c) Bei unabhängigen Wiederholungen unter gleichen Bedingungen nähert sich die relative Häufigkeit mit wachsender Versuchszahl der zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeit \(p\) an.

- Wie viele Vierergruppen können aus \(24\) Personen insgesamt gebildet werden? - Zähle für b) die Auswahlmöglichkeiten aus den beiden Stimmgruppen getrennt. - Welche zwei Personen sind in c) bereits festgelegt? - Welche zusätzliche Kennzeichnung braucht ein Urnenmodell, damit es nicht nur die Stimmgruppe, sondern auch die beiden Solistinnen abbilden kann?

1. Insgesamt gibt es \(\binom{24}{4}=10\,626\) mögliche Quartette. 2. Für a) sind \(\binom{14}{4}=1001\) Quartette günstig. Daher ist \(P=\frac{1001}{10626}=\frac{13}{138}\). 3. Für b) gibt es \(\binom{14}{2}\binom{10}{2}=4095\) günstige Quartette. Daher ist \(P=\frac{4095}{10626}=\frac{195}{506}\). 4. Für c) sind die beiden Solistinnen fest gewählt; die übrigen zwei Personen werden aus den verbleibenden \(22\) gewählt. Daher ist \(P=\frac{\binom{22}{2}}{\binom{24}{4}}=\frac{1}{46}\). 5. Ein passendes Urnenmodell enthält \(24\) unterscheidbare Kugeln, je eine pro Chormitglied. \(14\) Kugeln tragen die Kennzeichnung Sopran, \(10\) die Kennzeichnung Alt; die beiden Solistinnen-Kugeln sind zusätzlich eindeutig markiert. Es werden vier Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Damit lassen sich sowohl die Stimmgruppen als auch die beiden bestimmten Solistinnen unterscheiden.

a) \(\frac{13}{138}\) b) \(\frac{195}{506}\) c) \(\frac{1}{46}\) d) Urne mit \(24\) unterscheidbaren Kugeln: \(14\) für Sopran, \(10\) für Alt; die beiden Solistinnen-Kugeln sind zusätzlich markiert. Vier Ziehungen ohne Zurücklegen.

- Wenn bestimmte Personen bereits fest im Team sind, wie verändert das die Anzahl der noch zu vergebenden Plätze und die Auswahlmenge? - Welche mathematische Operation verknüpft die Auswahlmöglichkeiten aus zwei verschiedenen Untergruppen? - Was beschreibt der Ausdruck im Zähler, wenn man von der Gesamtzahl alle rein aus Hardware-Experten bestehenden Gruppen abzieht?

1. Für Ereignis \(C\) sind zwei Personen (ein spezieller Hardware- und ein spezieller Software-Experte) gesetzt. Es müssen noch \(3\) weitere Personen aus den restlichen \(13\) Mitarbeitern ausgewählt werden. Dies ergibt \(\binom{13}{3}\) günstige Möglichkeiten bei insgesamt \(\binom{15}{5}\) Kombinationen. Der Term ist \(P(C) = \frac{\binom{13}{3}}{\binom{15}{5}}\). 2. Für Ereignis \(D\) wählt man \(3\) aus \(9\) Hardware-Experten und \(2\) aus \(6\) Software-Experten. Die Anzahl der günstigen Kombinationen ist \(\binom{9}{3} \cdot \binom{6}{2}\). Der Term ist \(P(D) = \frac{\binom{9}{3} \cdot \binom{6}{2}}{\binom{15}{5}}\). 3. Der Term in b) nutzt das Gegenereignis. \(\binom{15}{5}\) ist die Gesamtzahl der Teams. \(\binom{9}{5}\) ist die Anzahl der Teams, die nur aus Hardware-Experten bestehen. Die Subtraktion ergibt die Anzahl der Teams, in denen nicht ausschließlich Hardware-Experten sind, also mindestens ein Software-Experte vertreten ist. Das Ereignis lautet: „Im Team ist mindestens ein Software-Experte.“

a) \(P(C) = \frac{\binom{13}{3}}{\binom{15}{5}}\); \(P(D) = \frac{\binom{9}{3} \cdot \binom{6}{2}}{\binom{15}{5}}\) b) „Das Team enthält mindestens einen Software-Experten.“

- Überlege, welche physikalischen Voraussetzungen erfüllt sein müssen, damit man von gleichen Wahrscheinlichkeiten ausgehen kann. - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der relativen Häufigkeit bei vielen Versuchen und der Wahrscheinlichkeit? - Wie nutzt man eine Wahrscheinlichkeit, um die zu erwartende Anzahl von Treffern in einer großen Stichprobe zu berechnen?

1. Das Laplace-Modell setzt voraus, dass alle Elementarereignisse aufgrund von Symmetrie gleich wahrscheinlich sind. Da eine Reißzwecke keine physikalische Symmetrie aufweist, die beide Lagen gleichberechtigt erscheinen lässt, ist das Modell ungeeignet. 2. Schätzung der Wahrscheinlichkeit über die relative Häufigkeit nach \(1000\) Versuchen: \(P(L) \approx \frac{628}{1000} = 0{,}628\). 3. Schätzung der absoluten Häufigkeit für \(n = 5000\) unter Verwendung der relativen Häufigkeit von \(S\): \(h(S) = \frac{372}{1000} = 0{,}372\) Erwartete Anzahl: \(0{,}372 \cdot 5000 = 1860\).

a) Das Laplace-Modell ist ungeeignet, da die Reißzwecke asymmetrisch ist und somit kein Grund zu der Annahme besteht, dass beide Lagen gleich wahrscheinlich sind. b) \(P(L) \approx 0{,}628\) c) Das Ereignis „Spitze nach oben“ wird voraussichtlich \(1860\)-mal eintreten.

- Welche Grundgesamtheit soll durch die untersuchten Haushalte beschrieben werden? - Was unterscheidet einen beobachteten Anteil von einem Parameter eines Wahrscheinlichkeitsmodells? - Welche Aussage macht das Gesetz der großen Zahlen über viele Wiederholungen?

1. Als Zufallsversuch wird ein Haushalt zufällig aus einer festgelegten Grundgesamtheit ausgewählt. Das Auswahlverfahren muss so modelliert sein, dass die untersuchte Gruppe die Grundgesamtheit angemessen repräsentiert. Dann kann die beobachtete relative Häufigkeit \(0{,}18\) als Schätzwert für die Modellwahrscheinlichkeit verwendet werden. 2. Die relative Häufigkeit \(0{,}18\) ist ein konkret beobachteter Datenwert. Die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) ist dagegen ein Parameter des mathematischen Modells. Bei vielen Wiederholungen unter gleichbleibenden Bedingungen stabilisieren sich relative Häufigkeiten nach dem Gesetz der großen Zahlen um die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeit; ein einzelner Datenwert muss nicht exakt mit ihr übereinstimmen.

a) Es braucht eine klar festgelegte Grundgesamtheit und ein geeignetes zufälliges Auswahlmodell; dann kann \(0{,}18\) als empirischer Schätzwert für die Modellwahrscheinlichkeit dienen. b) \(0{,}18\) ist eine beobachtete relative Häufigkeit, die Modellwahrscheinlichkeit dagegen ein zugrunde gelegter Parameter.

- Wie berechnet man den Anteil eines Ergebnisses an der Gesamtzahl der Versuche? - Wann darf man davon ausgehen, dass alle Möglichkeiten bei einem Experiment gleich wahrscheinlich sind? - Passt die Beobachtung aus dem Versuch zu der theoretischen Erwartung von einem Drittel?

1. Die relative Häufigkeit beträgt \(h=\frac{124}{500}=0{,}248\). Dieser Wert kann als Schätzer für die Wahrscheinlichkeit \(p\) dienen, da sich relative Häufigkeiten nach dem Gesetz der großen Zahlen bei wachsendem Stichprobenumfang typischerweise um die wahre Wahrscheinlichkeit stabilisieren. 2. Die Laplace-Annahme \(P(\text{rot})=\frac{1}{3}\approx0{,}333\) setzt voraus, dass alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind, was meist durch physikalische Symmetrie oder die Information über eine gleiche Anzahl an Objekten begründet wird. Das empirische Ergebnis \(0{,}248\) weicht deutlich von \(0{,}333\) ab. Da nichts über die tatsächliche Anzahl der Kugeln im Behälter bekannt ist, ist die Laplace-Annahme hier nicht gerechtfertigt; das empirische Ergebnis deutet eher auf eine ungleiche Verteilung der Farben hin.

a) \(h=0{,}248\). Dieser Wert ist ein naheliegender Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit; seine Genauigkeit lässt sich ohne weitere Unsicherheitsanalyse nicht exakt beurteilen. b) Die Aussage ist falsch, da das Laplace-Prinzip nur bei nachgewiesener Gleichwahrscheinlichkeit (z. B. gleiche Anzahl an Kugeln jeder Farbe) gilt. Das empirische Ergebnis spricht gegen diese Annahme, da \(0{,}248\) deutlich kleiner als \(\frac{1}{3}\) ist.

- Überlege dir zuerst, welche Zahlen zwischen 1 und 12 die jeweiligen Bedingungen erfüllen. - Bei einem Laplace-Experiment ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses das Verhältnis der Anzahl der günstigen Ergebnisse zur Anzahl der möglichen Ergebnisse. - „Oder“ bedeutet in der Mengenlehre die Vereinigung, also alle Elemente, die in mindestens einer der Mengen enthalten sind. - „Und nicht“ bedeutet, dass du die Schnittmenge mit dem Komplementärereignis bildest.

1. Ergebnismengen bestimmen: \(A = \{2; 3; 5; 7; 11\}\) (5 Elemente) \(B = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\) (6 Elemente) \(C = \{9; 10; 11; 12\}\) (4 Elemente) 2. Laplace-Wahrscheinlichkeiten (\(|\Omega| = 12\)): \(P(A) = \frac{5}{12} \approx 0{,}417\) \(P(B) = \frac{6}{12} = 0{,}5\) \(P(C) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\) 3. Verknüpfte Ereignisse: \(A \cup C = \{2; 3; 5; 7; 9; 10; 11; 12\}\) (8 Elemente), daraus folgt \(P(A \cup C) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667\). \(\bar{C} = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}\). Die Schnittmenge \(B \cap \bar{C}\) enthält alle Teiler von 12, die nicht größer als 8 sind: \(\{1; 2; 3; 4; 6\}\) (5 Elemente). Somit ist \(P(B \cap \bar{C}) = \frac{5}{12} \approx 0{,}417\).

1. \(A = \{2; 3; 5; 7; 11\}\), \(B = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\), \(C = \{9; 10; 11; 12\}\) 2. \(P(A) = \frac{5}{12}\), \(P(B) = \frac{1}{2}\), \(P(C) = \frac{1}{3}\) 3. \(P(A \cup C) = \frac{2}{3}\), \(P(B \cap \bar{C}) = \frac{5}{12}\)

- Welche Zahlen von \(1\) bis \(8\) gehören zum Ereignis \(A\)? - Wie entsteht die Laplace-Wahrscheinlichkeit aus gleich wahrscheinlichen Ergebnissen? - Was unterscheidet einen beobachteten Anteil von einer Modellwahrscheinlichkeit? - Welche Aussage macht das Gesetz der großen Zahlen für viele Wiederholungen unter gleichen Bedingungen?

1. Die Ergebnismenge ist \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\). Die Primzahlen sind \(\{2,3,5,7\}\), die Quadratzahlen \(\{1,4\}\). Daher ist \(A=\{1,2,3,4,5,7\}\) und wegen der Gleichwahrscheinlichkeit der acht Ergebnisse \(P(A)=\frac68=0{,}75\). 2. Die relative Häufigkeit beträgt \(h_{250}(A)=\frac{185}{250}=0{,}74\). Sie weicht um \(0{,}01\) von der Modellwahrscheinlichkeit \(0{,}75\) ab. 3. Die Laplace-Wahrscheinlichkeit \(0{,}75\) stammt aus dem theoretischen Modell. Die relative Häufigkeit \(0{,}74\) ist ein beobachteter Datenwert. Im frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff werden langfristige relative Häufigkeiten als Zugang zu Wahrscheinlichkeiten verwendet; nach dem Gesetz der großen Zahlen stabilisieren sie sich bei vielen unabhängigen Wiederholungen unter gleichen Bedingungen um die zugrunde liegende Modellwahrscheinlichkeit.

1. \(A=\{1,2,3,4,5,7\}\); \(P(A)=0{,}75\) 2. \(h_{250}(A)=0{,}74\); absolute Abweichung zur Modellwahrscheinlichkeit: \(0{,}01\) 3. \(0{,}75\) ist die Laplace-Modellwahrscheinlichkeit, \(0{,}74\) eine beobachtete relative Häufigkeit; der frequentistische Wahrscheinlichkeitsbegriff verbindet Wahrscheinlichkeiten mit dem langfristigen Verhalten solcher Häufigkeiten.

- Nutze für relative Häufigkeiten jeweils die passende Bezugsmenge im Nenner. - Bei einer bedingten relativen Häufigkeit ändert sich die Grundmenge. - Ein Laplace-Auswahlmodell verlangt gleich wahrscheinliche Elementarereignisse.

1. \(h(B)=\frac{180+320}{1000}=0{,}5\). 2. \(h(P\cap B)=\frac{180}{1000}=0{,}18\). 3. \(h_P(B)=\frac{180}{600}=0{,}3\). 4. Als Laplace-Wahrscheinlichkeiten eines Auswahl-Experiments können diese Werte interpretiert werden, wenn eine Person gleichwahrscheinlich aus den \(1000\) Datensätzen ausgewählt wird. 5. Bei unabhängigen, gleichartig verteilten Wiederholungen stabilisiert sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses bei wachsender Versuchszahl typischerweise in der Nähe seiner theoretischen Wahrscheinlichkeit.

a) (1) \(0{,}5\); (2) \(0{,}18\); (3) \(0{,}3\) b) Wenn jede der \(1000\) Personen bei der Auswahl gleich wahrscheinlich ist. c) Unter den genannten Wiederholungsbedingungen nähert sich die relative Häufigkeit bei wachsendem Umfang der theoretischen Wahrscheinlichkeit an.

- Achte darauf, ob nach einer Wahrscheinlichkeit für die vorhandene Gesamtmenge oder für künftig produzierte Teile gefragt wird. - Was unterscheidet eine beobachtete relative Häufigkeit von einem Parameter eines Wahrscheinlichkeitsmodells? - Wann darfst du Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse für eine Oder-Verknüpfung direkt addieren?

1. Insgesamt sind \(200+300=500\) der \(5000\) erfassten Bauteile defekt. Bei gleich wahrscheinlicher Auswahl eines der \(5000\) Bauteile gilt daher \(P(D)=\frac{500}{5000}=0{,}1\). Für dieses Auswahl-Experiment wird eine Laplace-Wahrscheinlichkeit verwendet. 2. Der Wert \(\frac{200}{2000}=0{,}1\) ist die beobachtete relative Häufigkeit defekter Teile in Werk A. Die Defektwahrscheinlichkeit für künftig produzierte Teile ist dagegen ein Modellparameter des Produktionsprozesses und wird durch diese Häufigkeit nur geschätzt. Die Behauptung einer exakten Gleichheit ist daher nicht gerechtfertigt. 3. Die Ereignisse \(W_A\cap D\) und \(W_B\cap D\) sind unvereinbar. Daher ist \(P((W_A\cap D)\cup(W_B\cap D))=\frac{200}{5000}+\frac{300}{5000}=0{,}1\).

a) \(P(D)=0{,}1\); Laplace-Wahrscheinlichkeit für die gleich wahrscheinliche Auswahl eines der \(5000\) Bauteile. b) Die beobachtete relative Häufigkeit in Werk A beträgt \(0{,}1\), erlaubt aber nicht die Aussage, dass die zukünftige Modellwahrscheinlichkeit exakt \(0{,}1\) ist. c) Beispiel: „Das Teil ist defekt und stammt aus Werk A oder es ist defekt und stammt aus Werk B.“ Dann gilt \(P=0{,}04+0{,}06=0{,}1\).

- Wie hängen die absolute Häufigkeit, die Gesamtzahl der Versuche und die relative Häufigkeit zusammen? - Erinnere dich an die Formel für den Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße. - Was kennzeichnet ein Laplace-Experiment hinsichtlich der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse? - Überlege, wie du den Durchschnitt der möglichen Augenzahlen bei gleicher Wahrscheinlichkeit berechnest.

1. Berechnung der relativen Häufigkeiten als Schätzwerte für die Wahrscheinlichkeiten \(P(X=i) = \frac{H_n(i)}{n}\) mit \(n = 1000\): \(P(X=1) \approx 0{,}21\); \(P(X=2) \approx 0{,}29\); \(P(X=3) \approx 0{,}24\); \(P(X=4) \approx 0{,}26\). 2. Berechnung des empirischen Erwartungswerts: \(E(X) = 1 \cdot 0{,}21 + 2 \cdot 0{,}29 + 3 \cdot 0{,}24 + 4 \cdot 0{,}26 = 0{,}21 + 0{,}58 + 0{,}72 + 1{,}04 = 2{,}55\). 3. Der theoretische Erwartungswert eines idealen Tetraeders (Laplace-Experiment) beträgt \(E_{\text{Laplace}}(X) = \frac{1+2+3+4}{4} = 2{,}5\). Der empirische Wert liegt um \(0{,}05\) höher als der theoretische Wert.

1. \(P(X=1) \approx 0{,}21\); \(P(X=2) \approx 0{,}29\); \(P(X=3) \approx 0{,}24\); \(P(X=4) \approx 0{,}26\) 2. \(E(X) = 2{,}55\) 3. \(E_{\text{Laplace}}(X) = 2{,}5\); der Schätzwert ist geringfügig größer.

- Was bedeutet „mindestens ein Fehler“ mathematisch für die Werte von \(X\)? - Du kannst die Wahrscheinlichkeit für „mindestens einen Fehler“ entweder durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten oder über das Gegenereignis finden. - Berechne zuerst, wie viele Fehler man im Durchschnitt pro einzelner Platine erwartet. - Wie skaliert man den Erwartungswert einer einzelnen Platine auf eine größere Menge?

1. Berechnung der relativen Häufigkeiten bei \(n = 4000\): \(P(X=0) \approx \frac{3600}{4000} = 0{,}90\) \(P(X=1) \approx \frac{320}{4000} = 0{,}08\) \(P(X=2) \approx \frac{80}{4000} = 0{,}02\) 2. Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Fehler: \(P(X \ge 1) = P(X=1) + P(X=2) = 0{,}08 + 0{,}02 = 0{,}10\) (oder über das Gegenereignis \(1 - P(X=0) = 0{,}10\)). 3. Erwartungswert der Fehler pro Platine: \(E(X) = 0 \cdot 0{,}90 + 1 \cdot 0{,}08 + 2 \cdot 0{,}02 = 0{,}12\). Gesamtzahl der Fehler bei \(500\) Platinen: \(500 \cdot E(X) = 500 \cdot 0{,}12 = 60\).

1. \(P(X=0) \approx 0{,}90\); \(P(X=1) \approx 0{,}08\); \(P(X=2) \approx 0{,}02\) 2. \(P(X \ge 1) \approx 0{,}10\) 3. Es sind insgesamt \(60\) Fehler zu erwarten.

- Welche Wahrscheinlichkeiten können Teilmengen der sechs gleich wahrscheinlichen Würfelergebnisse haben? - Bei zwei unabhängigen Würfen gibt es \(6\cdot6\) gleich wahrscheinliche Paare. - Wie viele dieser \(36\) Paare entsprechen \(25\,\%\)?

1. Ein Wurf besitzt sechs gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Für \(\frac13=\frac26\) können beispielsweise die Augenzahlen \(1\) und \(2\) als Erfolg definiert werden. 2. Bei einem Wurf hat jedes Ereignis die Form \(\frac{k}{6}\) mit ganzzahligem \(k\). Aus \(\frac{k}{6}=0{,}4=\frac25\) ergäbe sich \(k=2{,}4\); das ist unmöglich. 3. Zwei unabhängige Würfe besitzen \(36\) gleich wahrscheinliche geordnete Paare. Für \(0{,}25\) werden neun günstige Paare benötigt. Beispielsweise kann „beide Augenzahlen liegen in \(\{1,2,3\}\)“ als Erfolg definiert werden; das umfasst \(3\cdot3=9\) Paare.

a) Zum Beispiel Erfolg bei \(1\) oder \(2\). b) Unmöglich, weil \(0{,}4\) kein ganzzahliges Vielfaches von \(\frac16\) ist. c) Zum Beispiel Erfolg, wenn beide Würfe höchstens \(3\) zeigen.

- Betrachte die sechs Deckel nacheinander: Wie viele Motive stehen jeweils noch zur Verfügung, wenn bisher keines doppelt vorkam? - Für „mindestens zwei gleiche“ ist das Gegenereignis einfacher. - Was unterscheidet eine theoretische Wahrscheinlichkeit von einer relativen Häufigkeit aus endlich vielen Simulationen?

1. Für sechs Deckel gibt es \(25^6\) gleich wahrscheinliche geordnete Motivfolgen. Ohne Wiederholung sind \(25\cdot24\cdot23\cdot22\cdot21\cdot20\) Folgen möglich. 2. Daher ist \(P(\text{keine Doppelten})=\frac{25\cdot24\cdot23\cdot22\cdot21\cdot20}{25^6}=\frac{1020096}{1953125}\). 3. Das Ereignis „mindestens zwei gleiche“ ist das Gegenereignis. Deshalb ist \(P(\text{mindestens zwei gleiche})=1-\frac{1020096}{1953125}=\frac{933029}{1953125}\). 4. Simulationen liefern relative Häufigkeiten, die bei einer endlichen Zahl von Durchläufen zufällig schwanken. Deshalb ist im Allgemeinen keine exakte Übereinstimmung mit der theoretischen Wahrscheinlichkeit zu erwarten.

a) \(\frac{1020096}{1953125}\) b) \(\frac{933029}{1953125}\) c) Eine Simulation liefert eine zufällig schwankende relative Häufigkeit und daher meist nicht exakt den theoretischen Wert.

- Wie lässt sich eine Liste so mischen, dass jede Permutation gleich wahrscheinlich ist? - Erinnere dich an die Definition der relativen Häufigkeit: Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch die Gesamtzahl der Versuche. - Was besagt das Gesetz der großen Zahlen, und was garantiert es nicht für eine einzelne endliche Simulation?

1. In jedem Durchlauf wird eine zufällige Permutation der Zahlen von 1 bis 100 erzeugt. Anschließend wird geprüft, ob es mindestens eine Position \(i\) gibt, an der der Wert \(i\) steht. Das Ergebnis „mindestens ein Fixpunkt“ wird gezählt. Dieser Ablauf wird vielfach wiederholt. 2. Die relative Häufigkeit beträgt \(h_n(A) = \frac{3162}{5000} = 0{,}6324\). 3. Der Schätzwert \(0{,}6324\) liegt in dieser Simulation sehr nahe am theoretischen Wert \(0{,}6321\); die Abweichung beträgt \(0{,}0003\). Das Gesetz der großen Zahlen erklärt die Stabilisierung relativer Häufigkeiten bei vielen Wiederholungen, garantiert aber nicht, dass jede Simulation mit \(5000\) Durchläufen eine ähnlich kleine Abweichung liefert.

a) Erzeuge wiederholt zufällige Permutationen der Zahlen von 1 bis 100 und prüfe jeweils, ob mindestens ein Wert an seiner eigenen Position steht. b) Die relative Häufigkeit beträgt \(0{,}6324\). c) Der Schätzwert liegt in dieser Simulation sehr nahe am theoretischen Wert; daraus folgt jedoch keine Genauigkeitsgarantie für jede Simulation mit demselben Umfang.

- Stelle dir die \(96\) gleich wahrscheinlichen Zahlenpaare als Gitter vor. - Bei b) überschneiden sich die Ereignisse „Oktaeder zeigt 7“ und „Dodekaeder zeigt 7“. - Welche positiven Zahlen bis \(12\) besitzen ausschließlich den Primfaktor \(2\)?

1. Es gibt \(8\cdot12=96\) gleich wahrscheinliche geordnete Paare. 2. Für die Summe \(10\) sind acht Paare günstig: \((1;9),(2;8),\dots,(8;2)\). Daher ist \(P=\frac{8}{96}=\frac1{12}\). 3. Für mindestens eine \(7\) gilt \(P=\frac18+\frac1{12}-\frac1{96}=\frac{19}{96}\). 4. Ein Produkt ist genau dann eine Zweierpotenz, wenn beide Faktoren aus \(\{1,2,4,8\}\) stammen. Es gibt \(4\cdot4=16\) günstige Paare, also \(P=\frac{16}{96}=\frac16\).

a) \(\frac1{12}\approx0{,}0833\) b) \(\frac{19}{96}\approx0{,}1979\) c) \(\frac16\approx0{,}1667\)

- Bestimme für einen Würfel jeweils die Trefferwahrscheinlichkeit. - Das Gegenereignis zu „mindestens einer“ lautet „keiner“. - Wegen der Unabhängigkeit kannst du die beiden Gegenwahrscheinlichkeiten multiplizieren.

1. Für „mindestens einer“ wird jeweils das Gegenereignis „keiner“ verwendet. 2. Für eine \(8\) ist \(p=\frac18\). Daher ist \(P=1-\left(\frac78\right)^2=\frac{15}{64}\). 3. Primzahlen zwischen \(1\) und \(8\) sind \(2,3,5,7\), also \(p=\frac12\). Daher ist \(P=1-\left(\frac12\right)^2=\frac34\). 4. Für Zahlen kleiner als \(3\) ist \(p=\frac{2}{8}=\frac14\). Daher ist \(P=1-\left(\frac34\right)^2=\frac7{16}\).

(1) \(\frac{15}{64}\approx0{,}2344\) (2) \(\frac34=0{,}75\) (3) \(\frac7{16}=0{,}4375\)

- Wie viele Zahlen zwischen 1 und 100 sind durch 8 teilbar? - Gibt es Zahlen, die sowohl in Ereignis A als auch in Ereignis B vorkommen? - Welche Formel hilft dir, wenn sich zwei Ereignisse überschneiden? - Wann spricht man in der Stochastik von einem Laplace-Experiment?

1. Anzahl der günstigen Ergebnisse für \(A\): Die Vielfachen von \(8\) bis \(100\) sind \(8, 16, \dots, 96\). Da \(100 : 8 = 12{,}5\), gibt es \(|A| = 12\) günstige Ergebnisse. Somit ist \(P(A) = \frac{12}{100} = 0{,}12\). 2. Anzahl der günstigen Ergebnisse für \(B\): Die Vielfachen von \(12\) bis \(100\) sind \(12, 24, \dots, 96\). Da \(100 : 12 \approx 8{,}33\), gibt es \(|B| = 8\) günstige Ergebnisse. Somit ist \(P(B) = \frac{8}{100} = 0{,}08\). 3. Schnittmenge \(A \cap B\): Gesucht sind die Vielfachen des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von \(8\) und \(12\), also von \(24\). Dies sind \(\{24, 48, 72, 96\}\). Es gilt \(|A \cap B| = 4\) und \(P(A \cap B) = \frac{4}{100} = 0{,}04\). 4. Anwendung des Additionssatzes: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}12 + 0{,}08 - 0{,}04 = 0{,}16\). 5. Begründung Laplace: Ein Laplace-Experiment liegt vor, wenn alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Dies ist hier gerechtfertigt, da die Kugeln in Form und Gewicht identisch sind und der Ziehungsprozess rein zufällig erfolgt.

a) \(P(A) = 0{,}12\); \(P(B) = 0{,}08\) b) \(P(A \cup B) = 0{,}16\) c) Die Annahme ist gerechtfertigt, da alle Kugeln identisch sind und somit die gleiche Chance haben, gezogen zu werden (Gleichwahrscheinlichkeit der Elementarereignisse).

- Welche Zahlen erfüllen mindestens eine der beiden Bedingungen? - Wie berechnest du die relative Häufigkeit und ihre absolute Abweichung von der Modellwahrscheinlichkeit? - Liefert das Gesetz der großen Zahlen für eine einzelne endliche Versuchsreihe einen festen Grenzwert für ein Modellurteil?

1. Die Primzahlen sind \(\{2,3,5,7\}\), die ungeraden Zahlen \(\{1,3,5,7,9\}\). Ihre Vereinigung ist \(E=\{1,2,3,5,7,9\}\). 2. Daher gilt \(P(E)=\frac{6}{10}=0{,}6\). 3. Die relative Häufigkeit beträgt \(h_{200}(E)=\frac{132}{200}=0{,}66\). Die absolute Abweichung ist \(|0{,}66-0{,}60|=0{,}06\), also \(6\) Prozentpunkte. 4. Relative Häufigkeiten schwanken bei endlichen Versuchsreihen um die Modellwahrscheinlichkeit. Das Gesetz der großen Zahlen liefert für diese einzelne Stichprobe jedoch keinen festen Grenzwert, ab dem eine Abweichung als unvereinbar mit dem Modell gilt. Ohne ein zusätzliches Beurteilungskriterium lässt sich daher allein aus \(0{,}66\) gegenüber \(0{,}60\) kein eindeutiges Modellurteil ableiten.

a) \(P(E)=0{,}6\) b) \(h_{200}(E)=0{,}66\); absolute Abweichung: \(0{,}06\) bzw. \(6\) Prozentpunkte. c) Die Abweichung kann beschrieben werden, erlaubt ohne zusätzliches Beurteilungskriterium aber kein eindeutiges Urteil über das Idealmodell.

- Wann ist eine Zahl gleichzeitig durch zwei verschiedene Zahlen teilbar? - Was bedeutet das Wort „Gegenereignis“ für die logische Beschreibung einer Bedingung? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses und seines Gegenereignisses mathematisch zusammen? - Wie viele Zahlen in deinem Bereich erfüllen die kombinierte Teilbarkeitsregel?

1. Identifikation der Bedingungen für \(E\): Eine Zahl ist genau dann durch \(4\) und \(6\) teilbar, wenn sie ein Vielfaches des kleinsten gemeinsamen Vielfachen \(\operatorname{kgV}(4; 6) = 12\) ist. 2. Bestimmung der Mächtigkeit von \(E\): Die Vielfachen von \(12\) im Bereich von \(1\) bis \(120\) sind \(12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120\). Es gibt somit \(|E| = 10\) günstige Ergebnisse. 3. Berechnung von \(P(E)\): Da es sich um ein Laplace-Experiment mit \(|\Omega| = 120\) handelt, gilt \(P(E) = \frac{10}{120} = \frac{1}{12} \approx 0{,}0833\). 4. Definition des Gegenereignisses \(\overline{E}\): Die gezogene Nummer ist nicht durch \(4\) oder nicht durch \(6\) teilbar (bzw. nicht durch \(12\) teilbar). 5. Berechnung von \(P(\overline{E})\): Über die Komplementärregel ergibt sich \(P(\overline{E}) = 1 - P(E) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12} \approx 0{,}9167\).

Das Gegenereignis \(\overline{E}\) lautet: „Die Zahl ist nicht durch \(12\) teilbar“ (oder: „Die Zahl ist nicht sowohl durch \(4\) als auch durch \(6\) teilbar“). Die Wahrscheinlichkeiten betragen \(P(E) = \frac{1}{12} \approx 0{,}0833\) und \(P(\overline{E}) = \frac{11}{12} \approx 0{,}9167\).

- Erstelle eine Liste aller Zahlen, die die eine oder die andere Bedingung erfüllen. - Achte darauf, ob es Zahlen gibt, die eventuell beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen könnten. - Ist die Zahl \(1\) eine Primzahl? - Wie lautet die Verneinung von „A oder B“?

1. Auflistung der Primzahlen bis \(50\): \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\). Das sind \(15\) Zahlen. 2. Auflistung der Quadratzahlen bis \(50\): \(1, 4, 9, 16, 25, 36, 49\). Das sind \(7\) Zahlen. 3. Prüfung auf Schnittmengen: Da \(1\) keine Primzahl ist und alle anderen Quadratzahlen \(n^2\) für \(n > 1\) zusammengesetzte Zahlen sind, gibt es keine Überschneidungen. 4. Bestimmung der Mächtigkeit von \(E\): \(|E| = 15 + 7 = 22\). 5. Berechnung von \(P(E)\): Bei \(|\Omega| = 50\) ist \(P(E) = \frac{22}{50} = 0{,}44\). 6. Definition von \(\overline{E}\): Die Zahl ist weder eine Primzahl noch eine Quadratzahl. 7. Berechnung von \(P(\overline{E})\): \(P(\overline{E}) = 1 - 0{,}44 = 0{,}56\).

Das Gegenereignis \(\overline{E}\) lautet: „Die Zahl ist weder eine Primzahl noch eine Quadratzahl“. Die Wahrscheinlichkeiten sind \(P(E) = 0{,}44\) und \(P(\overline{E}) = 0{,}56\).

- Überlege zuerst, wie viele Zahlen im Bereich bis 150 jeweils die geforderte Eigenschaft erfüllen. - Wie findet man Zahlen, die gleichzeitig durch zwei verschiedene Werte teilbar sind? - Erinnere dich an den Additionssatz für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse. - Wenn ein Ereignis eintreten soll, ein anderes aber nicht, kannst du das über die Differenz der Mengen betrachten.

1. Berechnung von \(P(E_1)\) und \(P(E_2)\): Da es sich um ein Laplace-Experiment handelt, gilt \(P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|}\). Mit \(|\Omega| = 150\) ergeben sich \(|E_1| = 150 : 6 = 25\) und \(|E_2| = 150 : 10 = 15\). Somit ist \(P(E_1) = \frac{25}{150} = \frac{1}{6}\) und \(P(E_2) = \frac{15}{150} = \frac{1}{10} = 0{,}1\). 2. Bestimmung von \(E_1 \cap E_2\): Eine Zahl ist genau dann durch 6 und 10 teilbar, wenn sie durch das kleinste gemeinsame Vielfache \(\text{kgV}(6, 10) = 30\) teilbar ist. Die Ergebnismenge ist \(E_1 \cap E_2 = \{30; 60; 90; 120; 150\}\). Es gilt \(|E_1 \cap E_2| = 5\), also \(P(E_1 \cap E_2) = \frac{5}{150} = \frac{1}{30}\). 3. Berechnung von \(P(E_1 \cup E_2)\): Nach dem Additionssatz gilt \(P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2) = \frac{25}{150} + \frac{15}{150} - \frac{5}{150} = \frac{35}{150} = \frac{7}{30}\). 4. Wahrscheinlichkeit für \(E_1 \setminus E_2\): Gesucht ist \(P(E_1 \cap \bar{E_2}) = P(E_1) - P(E_1 \cap E_2) = \frac{25}{150} - \frac{5}{150} = \frac{20}{150} = \frac{2}{15}\).

a) \(P(E_1) = \frac{1}{6}\); \(P(E_2) = \frac{1}{10}\) b) \(E_1 \cap E_2 = \{30; 60; 90; 120; 150\}\); \(P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{30}\) c) \(P(E_1 \cup E_2) = \frac{7}{30}\) d) \(P = \frac{2}{15}\)

- Welche Zahlen zwischen 1 und 20 sind Primzahlen? Beachte, dass die 1 keine Primzahl ist. - Die relative Häufigkeit berechnet sich aus der Anzahl der Treffer geteilt durch die Gesamtzahl der Versuche. - Überlege bei Teilaufgabe c), ob es Zahlen gibt, die beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen. - Wenn zwei Ereignisse keine gemeinsamen Ergebnisse haben, nennt man sie disjunkt.

1. Die Primzahlen bis 20 sind \(\{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19\}\). Es gibt 8 Primzahlen bei 20 möglichen Ergebnissen, also \(P(L) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0{,}4\). 2. Die relative Häufigkeit ist \(h(L) = \frac{195}{500} = 0{,}39\). Die absolute Differenz beträgt \(|0{,}4 - 0{,}39| = 0{,}01\). 3. Sei \(K\) das Ereignis „durch 4 teilbar“, also \(K = \{4; 8; 12; 16; 20\}\) mit \(|K| = 5\). Da keine Primzahl durch 4 teilbar ist, gilt \(L \cap K = \emptyset\). Für disjunkte Ereignisse gilt daher \(P(M) = P(L \cup K) = P(L) + P(K) = \frac{8}{20} + \frac{5}{20} = \frac{13}{20} = 0{,}65\).

a) \(P(L) = 0{,}4\) b) \(h(L) = 0{,}39\); absolute Differenz: \(0{,}01\) c) \(P(M) = 0{,}65\). Die Ereignisse „Primzahl“ und „durch 4 teilbar“ sind disjunkt, daher werden ihre Wahrscheinlichkeiten addiert.

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Folgen gibt es bei drei Würfen? - Für die kleine Augensumme kannst du die wenigen günstigen Folgen systematisch zählen. - Für „mindestens eine 8“ ist das Gegenereignis kurz.

1. Es gibt \(8^3=512\) gleich wahrscheinliche geordnete Ergebnisse. Für Summen kleiner als \(6\) gibt es \(1+3+6=10\) günstige Folgen. Daher ist \(P=\frac{10}{512}=\frac5{256}\approx0{,}0195\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für keine \(8\) beträgt \(\left(\frac78\right)^3\). Somit ist \(P(\text{mindestens eine 8})=1-\frac{343}{512}=\frac{169}{512}\approx0{,}3301\). 3. Für drei verschiedene Zahlen gibt es \(8\cdot7\cdot6=336\) Folgen. Daher ist \(P=\frac{336}{512}=\frac{21}{32}=0{,}65625\).

1. \(\frac5{256}\approx1{,}95\,\%\) 2. \(\frac{169}{512}\approx33{,}01\,\%\) 3. \(\frac{21}{32}=65{,}625\,\%\)

- Arbeite mit den geordneten Zahlenpaaren als Elementarereignissen. - Zähle für beide Ereignisse die günstigen Paare systematisch. - Prüfe für die Aussage, ob jede Summe gleich viele Paare besitzt.

1. Die \(36\) geordneten Zahlenpaare sind gleich wahrscheinlich. 2. Für \(E_1\) sind \(15\) Paare günstig, also \(P(E_1)=\frac{15}{36}=\frac5{12}\). 3. Für \(E_2\) sind \(11\) Paare mit mindestens einer \(4\) sowie die vier weiteren Paare aus \(\{2,6\}\times\{2,6\}\) günstig. Damit sind insgesamt \(15\) Paare günstig und \(P(E_2)=\frac5{12}\). 4. Die Behauptung ist falsch. Die \(36\) Zahlenpaare sind gleich wahrscheinlich, die daraus gebildeten Summen aber nicht: Die Summe \(2\) hat nur einen günstigen Pfad, die Summe \(7\) sechs.

1. \(P(E_1)=\frac5{12}\); \(P(E_2)=\frac5{12}\) 2. Falsch; die Augensummen sind nicht gleich wahrscheinlich.

- Zähle für Teil 1 die geordneten Zahlenpaare mit Differenzbetrag \(2\). - Welches Gegenereignis vereinfacht Teil 2? - Vergleiche in Teil 3 zunächst nur die beiden Zahlenwerte und trenne diese Rechnung von einem statistischen Urteil.

1. Von \(64\) gleich wahrscheinlichen Zahlenpaaren haben \(12\) den Differenzbetrag \(2\). Daher gilt \(P=\frac{12}{64}=\frac{3}{16}=0{,}1875\). 2. Das Gegenereignis lautet: Beide Zahlen liegen in \(\{1,2,3,4,5,6\}\). Daher gilt \(P=1-\frac{36}{64}=\frac{7}{16}=0{,}4375\). 3. Die relative Häufigkeit beträgt \(h=\frac{4120}{10000}=0{,}412\). Die absolute Abweichung ist \(|0{,}412-0{,}4375|=0{,}0255\), also \(2{,}55\) Prozentpunkte. Ob eine Abweichung dieser Größe als Hinweis auf einen Fehler oder als noch zulässige Zufallsschwankung gelten soll, erfordert ein festgelegtes statistisches Beurteilungskriterium; der bloße Vergleich liefert dieses Kriterium nicht.

1. \(\frac{3}{16}=0{,}1875\) 2. \(\frac{7}{16}=0{,}4375\) 3. \(h=0{,}412\); absolute Abweichung: \(0{,}0255\) bzw. \(2{,}55\) Prozentpunkte. Ohne zusätzliches Kriterium folgt daraus kein eindeutiges Modellurteil.

- Überlege dir zuerst, wie viele Zahlen zwischen 1 und 100 die jeweilige Bedingung erfüllen. - Was bedeutet das Wort „oder“ in der Mengenlehre für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit? - Gibt es Zahlen, die in beiden Mengen gleichzeitig vorkommen? - Wie hängen die Bedingungen „durch 5 teilbar“ und „durch 20 teilbar“ logisch zusammen?

1. Bestimmung der Mächtigkeiten der Ereignisse im Ergebnisraum \(S = \{1, 2, \dots, 100\}\): \(|A| = \lfloor 100 : 5 \rfloor = 20\) \(|B| = \lfloor 100 : 8 \rfloor = 12\) \(|C| = \lfloor 100 : 20 \rfloor = 5\) 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten (Laplace-Experiment): \(P(A) = \frac{20}{100} = 0{,}2\) \(P(B) = \frac{12}{100} = 0{,}12\) \(P(C) = \frac{5}{100} = 0{,}05\) 3. Schnittmenge \(A \cap B\): Zahlen, die durch \(\text{kgV}(5, 8) = 40\) teilbar sind: \(\{40, 80\}\). Somit \(|A \cap B| = 2\). 4. Additionssatz für \(P(A \cup B)\): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}2 + 0{,}12 - \frac{2}{100} = 0{,}32 - 0{,}02 = 0{,}3\) 5. Schnittmenge \(A \cap C\): Da jede durch \(20\) teilbare Zahl auch durch \(5\) teilbar ist, gilt \(C \subset A\), also \(A \cap C = C\). \(P(A \cap C) = P(C) = 0{,}05\)

\(P(A) = 0{,}2\); \(P(B) = 0{,}12\); \(P(C) = 0{,}05\); \(P(A \cup B) = 0{,}3\); \(P(A \cap C) = 0{,}05\)

- Bestimme zuerst die Anzahl aller möglichen 6-Personen-Teams, die man aus 30 Mitgliedern bilden kann. - Für Teil a) betrachte nur die Gruppe der Männer als Auswahlpool für das Team. - Für Teil b) musst du die Auswahlmöglichkeiten für die Frauen und die Männer getrennt berechnen und dann verknüpfen. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, die Anzahl der Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge zu bestimmen?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, 6 Personen aus 30 auszuwählen: \(\binom{30}{6} = 593\,775\). 2. Für Aufgabenteil a): Anzahl der Möglichkeiten, 6 Männer aus 18 auszuwählen: \(\binom{18}{6} = 18\,564\). 3. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich als \(P(\text{nur Männer}) = \frac{18564}{593775} \approx 0{,}0313\). 4. Für Aufgabenteil b): Anzahl der Möglichkeiten, 3 Frauen aus 12 (\(\binom{12}{3} = 220\)) und 3 Männer aus 18 (\(\binom{18}{3} = 816\)) auszuwählen. 5. Berechnung der günstigen Fälle durch Multiplikation: \(220 \cdot 816 = 179\,520\). 6. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{3 Frauen, 3 Männer}) = \frac{179520}{593775} \approx 0{,}3023\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(3{,}13\,\%\) (exakt \(\frac{18564}{593775} = \frac{6188}{197925}\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(30{,}23\,\%\) (exakt \(\frac{179520}{593775} = \frac{11968}{39585}\)).

- Wie viele verschiedene 6er-Gruppen können insgesamt gewählt werden? - Bei a) kombinierst du die Auswahlmöglichkeiten aus zwei Teilgruppen. - Welche Männerzahlen sind bei „mindestens 5“ tatsächlich möglich? - Welche Auswahl beschreibt der Zähler in c)?

1. Insgesamt gibt es \(\binom{25}{6}=177\,100\) mögliche Gremien. 2. Für genau drei Frauen und drei Männer gibt es \(\binom{15}{3}\binom{10}{3}=54\,600\) günstige Gremien. Daher gilt \(P(A)=\frac{54600}{177100}=\frac{78}{253}\). 3. Für mindestens fünf Männer sind die Fälle mit fünf und mit sechs Männern möglich. Es gibt \(\binom{10}{5}\binom{15}{1}+\binom{10}{6}\binom{15}{0}=3990\) günstige Gremien. Daher gilt \(P(B)=\frac{3990}{177100}=\frac{57}{2530}\). 4. Der Term \(\frac{\binom{15}{6}}{\binom{25}{6}}\) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass alle sechs ausgewählten Mitglieder Frauen sind.

a) \(\frac{78}{253}\) b) \(\frac{57}{2530}\) c) Die Wahrscheinlichkeit, dass das Gremium ausschließlich aus Frauen besteht.

- Zähle Zahlenkombinationen und Farbmöglichkeiten zunächst getrennt. - Für genau drei richtige Zahlen wählst du drei aus den vier Tippzahlen und eine aus den übrigen \(26\) Zahlen. - Für eine falsche Farbe stehen zwei der drei Farben zur Verfügung.

1. Für die Zahlen gibt es \(\binom{30}{4}=27405\) Möglichkeiten. Mit drei gleich wahrscheinlichen Farben ergeben sich \(27405\cdot 3=82215\) gleich wahrscheinliche Gesamtergebnisse. 2. Für genau drei richtige Zahlen gibt es \(\binom{4}{3}\binom{26}{1}=104\) Zahlenkombinationen. Für die Farbe gibt es genau eine richtige Möglichkeit. Daher ist \(P=\frac{104}{82215}\approx0{,}001265\). 3. Für keine richtige Zahl gibt es \(\binom{26}{4}=14950\) Zahlenkombinationen und zwei falsche Farben. Daher ist \(P=\frac{29900}{82215}\approx0{,}3637\).

a) \(82215\) Ergebnisse b) \(\frac{104}{82215}\approx0{,}1265\,\%\) c) \(\frac{29900}{82215}\approx36{,}37\,\%\)

- Stelle dir vor, die erste Gruppe steht bereits fest und ihre sechs Mitglieder sind markiert. - Wie viele markierte und wie viele unmarkierte Personen müssen für a) in die zweite Gruppe gelangen? - Welche Auswahl beschreibt b), wenn niemand aus der ersten Gruppe erneut gewählt wird?

1. Betrachte die erste Gruppe als fest markierte Menge von sechs Personen. Für die zweite Gruppe werden sechs Personen aus den \(24\) Jugendlichen ohne Zurücklegen ausgewählt. 2. Für genau zwei Überschneidungen müssen \(2\) Personen aus der markierten Sechsergruppe und \(4\) aus den übrigen \(18\) gewählt werden. Daher ist \(P=\frac{\binom{6}{2}\binom{18}{4}}{\binom{24}{6}}=\frac{11475}{33649}\). 3. Für keine Überschneidung werden alle \(6\) Personen der zweiten Gruppe aus den übrigen \(18\) gewählt. Daher ist \(P=\frac{\binom{18}{6}}{\binom{24}{6}}=\frac{663}{4807}\).

a) \(\frac{11475}{33649}\) b) \(\frac{663}{4807}\)

- Wie verändert sich die Zahl der noch möglichen neuen Ergebnisse nach jeder weiteren Drehung? - Das Ereignis „mindestens eine Wiederholung“ ist das Gegenereignis zu „alle verschieden“. - Was muss passieren, wenn häufiger gedreht wird, als es verschiedene Felder gibt?

1. Für vier verschiedene Ergebnisse gilt \(P(\text{verschieden})=\frac{12}{12}\cdot\frac{11}{12}\cdot\frac{10}{12}\cdot\frac{9}{12}=\frac{55}{96}\). 2. Das Gegenereignis ist mindestens eine Wiederholung. Daher gilt \(P(\text{Wiederholung})=1-\frac{55}{96}=\frac{41}{96}\). Weil \(\frac{55}{96}>\frac{41}{96}\), sind vier verschiedene Zahlen wahrscheinlicher. 3. Bei \(13\) Drehungen auf nur \(12\) Feldern muss nach dem Schubfachprinzip mindestens eine Zahl wiederholt auftreten. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit für lauter verschiedene Ergebnisse \(0\).

1. Alle Zahlen verschieden: \(\frac{55}{96}\); mindestens eine Wiederholung: \(\frac{41}{96}\). Damit sind lauter verschiedene Ergebnisse wahrscheinlicher. 2. \(0\)

- Wie viele Achtfach-Stichproben sind insgesamt möglich? - Für genau zwei Defekte musst du aus der defekten und der intakten Teilmenge passend auswählen. - Bei „mindestens ein“ ist das Gegenereignis „kein defekter Chip“ besonders kurz.

1. Bezeichne mit \(X\) die Zahl der defekten Chips in der Stichprobe. Insgesamt gibt es \(\binom{40}{8}\) gleich wahrscheinliche Stichproben. 2. Für genau zwei defekte Chips gilt \(P(X=2)=\frac{\binom{6}{2}\binom{34}{6}}{\binom{40}{8}}\). 3. Für keinen defekten Chip gilt \(P(X=0)=\frac{\binom{34}{8}}{\binom{40}{8}}\). 4. Für mindestens einen defekten Chip wird das Gegenereignis verwendet: \(P(X\ge1)=1-\frac{\binom{34}{8}}{\binom{40}{8}}\).

a) \(\frac{\binom{6}{2}\binom{34}{6}}{\binom{40}{8}}\) b) \(\frac{\binom{34}{8}}{\binom{40}{8}}\) c) \(1-\frac{\binom{34}{8}}{\binom{40}{8}}\)

- Welche Gesamtzahl gleich wahrscheinlicher Fünferauswahlen gibt es? - Zähle bei a) die Auswahlmöglichkeiten aus den beiden gewünschten Herstellergruppen getrennt. - Aus welchem Pool müssen bei b) alle fünf Geräte stammen? - Welche zwei Teilentscheidungen gehören bei c) zusammen?

1. Da die Auswahl mit einem Griff erfolgt, spielt die Reihenfolge keine Rolle. Insgesamt gibt es \(\binom{25}{5}=53\,130\) mögliche Fünferauswahlen. 2. Für a) gibt es \(\binom{12}{2}\binom{8}{3}=3696\) günstige Auswahlen. Daher ist \(P=\frac{3696}{53130}\approx0{,}0696\). 3. Für b) werden alle fünf Geräte aus den \(20\) Geräten von Nordbyte und Solara gewählt. Daher ist \(P=\frac{\binom{20}{5}}{\binom{25}{5}}=\frac{15504}{53130}\approx0{,}2918\). 4. Für c) werden \(2\) der \(5\) Vektor-Geräte und \(3\) der übrigen \(20\) Geräte gewählt. Daher ist \(P=\frac{\binom{5}{2}\binom{20}{3}}{\binom{25}{5}}=\frac{11400}{53130}\approx0{,}2146\).

a) \(P\approx0{,}0696=6{,}96\,\%\) b) \(P\approx0{,}2918=29{,}18\,\%\) c) \(P\approx0{,}2146=21{,}46\,\%\)

- Wie viele geordnete Paare können bei zwei Würfen entstehen? - Welche zusätzliche Eigenschaft neben der Idealität sorgt dafür, dass alle geordneten Paare gleichwahrscheinlich sind? - Vergleiche bei der Summenvariable, wie viele Paare aus \(S_A\) zu jedem möglichen Summenwert gehören. - Prüfe für die Wahrscheinlichkeitsverteilung insbesondere Nichtnegativität, Gesamtsumme und Additivität bei disjunkten Ereignissen.

1. Es gilt \(S_A = \{(1,1), (1,2), \dots, (4,4)\}\) mit \(|S_A| = 4^2 = 16\). Da der Würfel ideal ist und die beiden Würfe unabhängig sind, ist jedes geordnete Paar gleichwahrscheinlich mit \(P = \frac{1}{16}\). Daher liegt auf \(S_A\) ein Laplace-Modell vor. 2. Es gilt \(S_B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\). Durch Abzählen der zugehörigen Paare aus \(S_A\) erhält man \(P(2)=\frac{1}{16}\), \(P(3)=\frac{2}{16}\), \(P(4)=\frac{3}{16}\), \(P(5)=\frac{4}{16}\), \(P(6)=\frac{3}{16}\), \(P(7)=\frac{2}{16}\) und \(P(8)=\frac{1}{16}\). 3. Alle Einzelwahrscheinlichkeiten sind nichtnegativ und ihre Summe ist \(\frac{1+2+3+4+3+2+1}{16}=1\). Definiert man Ereigniswahrscheinlichkeiten als Summen der zugehörigen Einzelwahrscheinlichkeiten, gilt für disjunkte Ereignisse außerdem Additivität. Damit sind die Kolmogorow-Axiome erfüllt. 4. In der feineren Laplace-Ergebnismenge \(S_A\) lassen sich Wahrscheinlichkeiten durch Abzählen gleichwahrscheinlicher Elementarereignisse bestimmen. Für die zusammengefasste Ergebnismenge \(S_B\) müssen die unterschiedlichen Einzelwahrscheinlichkeiten dagegen erst aus \(S_A\) hergeleitet werden.

a) \(S_A = \{(1,1), (1,2), \dots, (4,4)\}\) und \(|S_A|=16\); wegen Idealität und Unabhängigkeit sind alle Paare gleichwahrscheinlich. b) \(S_B=\{2,3,4,5,6,7,8\}\) mit Wahrscheinlichkeiten \(\frac{1}{16},\frac{2}{16},\frac{3}{16},\frac{4}{16},\frac{3}{16},\frac{2}{16},\frac{1}{16}\). c) Ja. Nichtnegativität, Normierung und Additivität für disjunkte Ereignisse sind erfüllt. d) In einer Laplace-Ergebnismenge können Wahrscheinlichkeiten durch Abzählen gleichwahrscheinlicher Elementarereignisse bestimmt werden.

- Welche Annahmen erlauben es, die Wahrscheinlichkeiten aufeinanderfolgender PIN-Vergaben zu multiplizieren? - Wie viele neue PINs stehen nach jeder bereits vergebenen unterschiedlichen PIN noch zur Verfügung? - Welches Gegenereignis gehört zu „mindestens zwei gleiche PINs“? - Was passiert mit der Zahl möglicher Personenpaare, wenn die Gruppe größer wird?

1. Es wird angenommen, dass jede der \(10\,000\) PINs bei jeder Vergabe gleich wahrscheinlich ist und die Vergaben voneinander unabhängig sind. 2. Für lauter verschiedene PINs gilt \(P(\text{alle verschieden})=\frac{10000\cdot9999\cdot9998\cdots9951}{10000^{50}}=\frac{10000!}{9950!\cdot10000^{50}}\). 3. Mindestens eine Dopplung ist das Gegenereignis. Daher gilt \(P(\text{mindestens zwei gleich})=1-\frac{10000!}{9950!\cdot10000^{50}}\). 4. Mit mehr Mitarbeitern gibt es mehr mögliche Personenpaare und bei jeder zusätzlichen Vergabe mehr bereits verwendete PINs, mit denen eine Kollision auftreten kann. Deshalb steigt die Kollisionswahrscheinlichkeit.

a) Alle \(10\,000\) PINs sind bei jeder Vergabe gleich wahrscheinlich; die Vergaben sind unabhängig. b) \(\frac{10000!}{9950!\cdot10000^{50}}\) c) \(1-\frac{10000!}{9950!\cdot10000^{50}}\) d) Mit mehr Personen gibt es mehr mögliche Paare und damit mehr Möglichkeiten für eine Übereinstimmung.

- Ordne die vier Getränke den vier Gästeplätzen systematisch als Permutationen zu. - Welches Gegenereignis macht die Berechnung von „mindestens ein Gast richtig“ einfacher? - Was muss mit der vierten Zuordnung geschehen, wenn bereits drei Zuordnungen richtig sind? - Trenne in d) die berechnete Abweichung von einem statistischen Urteil über das Modell.

1. Insgesamt gibt es \(4!=24\) gleich wahrscheinliche Permutationen. 2. Genau zwei richtige Zuordnungen haben die sechs Permutationen \((1;2;4;3)\), \((1;4;3;2)\), \((1;3;2;4)\), \((4;2;3;1)\), \((3;2;1;4)\) und \((2;1;3;4)\). Hinzu kommt \((1;2;3;4)\) mit vier richtigen Zuordnungen. Damit gibt es sieben Fälle mit mindestens zwei richtigen Zuordnungen. 3. Für „mindestens einer richtig“ wird das Gegenereignis „keiner richtig“ betrachtet. Es gibt \(9\) fixpunktfreie Permutationen. Daher ist \(P(\text{mindestens einer richtig})=1-\frac{9}{24}=\frac58=0{,}625\). 4. Wenn drei Gäste ihr richtiges Getränk erhalten, bleibt für den vierten Gast zwangsläufig ebenfalls sein eigenes Getränk übrig. Genau drei richtige Zuordnungen sind daher unmöglich. 5. Die relative Häufigkeit beträgt \(h=\frac{15}{20}=0{,}75\). Die absolute Abweichung vom theoretischen Wert ist \(\left|0{,}75-0{,}625\right|=0{,}125\), also \(12{,}5\) Prozentpunkte. Der Zahlenvergleich allein legt nicht fest, ab welcher Abweichung das Modell als unvereinbar gelten soll; dafür wäre ein zusätzliches Beurteilungskriterium nötig.

a) \((1;2;4;3)\), \((1;4;3;2)\), \((1;3;2;4)\), \((4;2;3;1)\), \((3;2;1;4)\), \((2;1;3;4)\), \((1;2;3;4)\) b) \(P(\text{mindestens einer richtig})=\frac58=0{,}625\) c) Drei richtige Zuordnungen erzwingen auch die vierte richtige Zuordnung. d) \(h=0{,}75\); absolute Abweichung: \(0{,}125\) bzw. \(12{,}5\) Prozentpunkte. Ohne zusätzliches Beurteilungskriterium folgt daraus kein eindeutiges Modellurteil.

- Welche Gesamtzahl dient bei der zufälligen Auswahl als Nenner? - Ordne die Angaben gegebenenfalls in einer Vierfeldertafel. - Welche Differenz liefert die Zahl der männlichen MINT-Studierenden? - Welche Differenz liefert die Zahl der weiblichen Nicht-MINT-Studierenden?

1. Die Zahl der Nicht-MINT-Studierenden ist \(24\,500-8330=16\,170\). Daher ist \(P(\text{kein MINT})=\frac{16170}{24500}=0{,}66\). 2. Unter den \(8330\) MINT-Studierenden sind \(8330-2499=5831\) Männer. Daher ist \(P(\text{männlich}\cap\text{MINT})=\frac{5831}{24500}\approx0{,}238\). 3. Von den \(12\,740\) Frauen studieren \(2499\) ein MINT-Fach. Daher studieren \(12\,740-2499=10\,241\) Frauen kein MINT-Fach und \(P(\text{weiblich}\cap\text{kein MINT})=\frac{10241}{24500}\approx0{,}418\).

1. \(P=0{,}66\) 2. \(P\approx0{,}238\) 3. \(P\approx0{,}418\)

- Bestimme zunächst die absolute Zahl der Auslandspakete. - Übersetze den gegebenen Prozentsatz in eine absolute Zahl beschädigter Pakete. - Ordne die Pakete gedanklich in die vier Gruppen Inland/Ausland und beschädigt/unbeschädigt ein. - Beziehe jede gesuchte Wahrscheinlichkeit auf die Gesamtzahl von \(15\,000\) Paketen.

1. Die Zahl der Auslandspakete ist \(15\,000-10\,800=4200\). Daher ist \(P(\text{Ausland})=\frac{4200}{15000}=0{,}28\). 2. Insgesamt sind \(0{,}05\cdot15\,000=750\) Pakete beschädigt. Davon entfallen \(750-126=624\) auf den Inlandsversand. Somit ist \(P(\text{Inland}\cap\text{beschädigt})=\frac{624}{15000}=0{,}0416\). 3. Unbeschädigte Inlandspakete: \(10\,800-624=10\,176\). Daher ist \(P(\text{Inland}\cap\text{unbeschädigt})=\frac{10176}{15000}=0{,}6784\).

1. \(P=0{,}28\) 2. \(P=0{,}0416\) 3. \(P=0{,}6784\)

- Betrachte das Gegenereignis, dass alle Personen unterschiedliche Geburtsmonate haben. - Prüfe für b) die kleinsten Gruppengrößen um die Schwelle von \(50\,\%\). - Welche Rolle spielt in der Rechnung die Annahme, dass jeder Monat dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzt? - Was passiert mit der Gleichwahrscheinlichkeit der Monatsfolgen, wenn diese Annahme entfällt?

1. Für vier Personen ist das Gegenereignis, dass alle Geburtsmonate verschieden sind. Daher ist \(P(\text{alle verschieden})=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{12^4}=\frac{55}{96}\) und somit \(P(\text{mindestens eine Übereinstimmung})=\frac{41}{96}\). 2. Für \(n=4\) ist \(\frac{41}{96}<\frac12\). Für \(n=5\) ist \(P(\text{alle verschieden})=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{12^5}=\frac{55}{144}\), also \(P(\text{mindestens eine Übereinstimmung})=\frac{89}{144}>\frac12\). Damit ist \(n=5\) minimal. 3. Die Rechnungen setzen voraus, dass jeder Monat dieselbe Wahrscheinlichkeit \(\frac1{12}\) besitzt und die Personen unabhängig voneinander betrachtet werden. Sind die Monate in einer realen Population unterschiedlich häufig, sind die \(12^n\) Monatsfolgen nicht mehr gleich wahrscheinlich. Dann ist das verwendete Laplace-Zählen nicht unverändert anwendbar.

a) \(\frac{41}{96}\) b) \(n=5\) c) Die Rechnung setzt gleich wahrscheinliche Geburtsmonate voraus. Bei ungleichen Monatswahrscheinlichkeiten sind die Monatsfolgen nicht gleich wahrscheinlich, sodass das Laplace-Modell aus a) und b) nicht unverändert passt.

- Vergleiche in a) den beobachteten Anteil mit der Wahrscheinlichkeit einer einzelnen Seite eines idealen Würfels. - Trenne in b) die Größe der Abweichung von der Frage, nach welchem Kriterium sie beurteilt werden soll. - Welches Gegenereignis vereinfacht in c) „mindestens einmal“?

1. Die relative Häufigkeit ist \(h(6)=\frac{246}{1200}=\frac{41}{200}\). Unter der Laplace-Annahme gilt \(P(6)=\frac16\); die beobachtete relative Häufigkeit ist größer. 2. Die absolute Abweichung beträgt \(\left|\frac{41}{200}-\frac16\right|=\frac{23}{600}\). Das Gesetz der großen Zahlen beschreibt langfristige Stabilisierung, legt für eine einzelne endliche Versuchsreihe aber keine Entscheidungsgrenze fest. Ohne zusätzliches Kriterium folgt daraus deshalb kein eindeutiges Urteil über die Fairness. 3. Für \(p=\frac{41}{200}\) und unabhängige Würfe gilt exakt \(P(\text{mindestens eine 6})=1-\left(\frac{159}{200}\right)^3\).

a) \(h(6)=\frac{41}{200}\); Laplace-Modell: \(P(6)=\frac16\) b) Absolute Abweichung: \(\frac{23}{600}\); ohne zusätzliches Beurteilungskriterium folgt daraus kein eindeutiges Urteil über die Fairness. c) \(1-\left(\frac{159}{200}\right)^3\)

- Prüfe bei der Summenidee zuerst, welche Werte überhaupt erreichbar sind. - Für eine exakte Simulation müssen alle \(12\) Zielwerte dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen. - Suche nach unabhängigen Stufen, deren Anzahlen gleich wahrscheinlicher Ergebnisse sich zu \(12\) multiplizieren. - Ein sechsseitiger Würfel kann durch Zusammenfassen gleich großer Gruppen auch zwei oder drei gleich wahrscheinliche Ergebnisse liefern.

1. Die Summe eines Tetraeders mit Werten \(1\) bis \(4\) und eines Standardwürfels mit Werten \(1\) bis \(6\) ist nicht geeignet. Die kleinste Summe ist \(2\), die größte \(10\); es entstehen nur neun verschiedene Summen. Außerdem sind diese Summen nicht gleich wahrscheinlich, weil unterschiedlich viele der \(4\cdot6=24\) gleich wahrscheinlichen geordneten Paare zu ihnen führen. 2. Möglichkeit A: Wirf unabhängig eine Münze und einen Standardwürfel. Bei Kopf wird die Augenzahl \(1\) bis \(6\) übernommen, bei Zahl wird \(6\) addiert. Jedes Ergebnis von \(1\) bis \(12\) hat dann die Wahrscheinlichkeit \(\frac12\cdot\frac16=\frac1{12}\). 3. Möglichkeit B: Wirf unabhängig einen Tetraeder und einen Standardwürfel. Fasse den Standardwürfel zu drei gleich wahrscheinlichen Klassen zusammen: \(\{1,2\}\mapsto1\), \(\{3,4\}\mapsto2\), \(\{5,6\}\mapsto3\). Mit \(3(T-1)+H\), wobei \(T\in\{1,2,3,4\}\) und \(H\in\{1,2,3\}\), entstehen \(12\) gleich wahrscheinliche Werte von \(1\) bis \(12\).

1. Nein. Es entstehen nur die Summen \(2\) bis \(10\), und diese sind nicht gleich wahrscheinlich. 2. Zum Beispiel: unabhängige Münze plus Standardwürfel für zwei Blöcke zu je sechs Zahlen; oder unabhängiger Tetraeder plus ein zu drei gleich wahrscheinlichen Klassen zusammengefasster Standardwürfel.

- Für Teil 1 ist eine Auswahl ohne Reihenfolge zu zählen. - Überlege, wie Münze und Würfel gemeinsam 12 gleichwahrscheinliche Ergebnisse erzeugen können. - Bei einer Ziehung ohne Zurücklegen darf innerhalb derselben simulierten Ziehung keine Zahl doppelt vorkommen. - Formuliere eine Regel dafür, was bei einer Wiederholung einer bereits erzeugten Zahl geschieht.

1. Da drei Zahlen aus zwölf ohne Beachtung der Reihenfolge ausgewählt werden, gibt es \(\binom{12}{3}=220\) mögliche Gewinnkombinationen. 2. Für eine gleichverteilte Zahl von 1 bis 12 wirft man unabhängig eine Münze und einen Standardwürfel. Bei Kopf übernimmt man die Augenzahl \(1\) bis \(6\), bei Zahl addiert man \(6\). So hat jede Zahl von 1 bis 12 die Wahrscheinlichkeit \(\frac12\cdot\frac16=\frac1{12}\). Dieses Verfahren wird unabhängig wiederholt. Tritt eine Zahl auf, die in derselben simulierten Ziehung bereits erzeugt wurde, wird sie verworfen und erneut erzeugt. Man setzt fort, bis drei verschiedene Zahlen vorliegen. Durch dieses Zurückweisen wiederholter Werte wird eine Ziehung ohne Zurücklegen simuliert.

1. Es gibt \(\binom{12}{3}=220\) verschiedene Gewinnkombinationen. 2. Erzeuge mit unabhängiger Münze und unabhängigem Würfel gleichverteilte Zahlen von 1 bis 12 und wiederhole das Verfahren unabhängig, bis drei verschiedene Zahlen vorliegen; bereits erzeugte Zahlen werden bei Wiederholung verworfen.

- Liste die Quadratzahlen und die Vielfachen von \(30\) bis \(200\) auf und prüfe eine mögliche Überschneidung. - Wie berechnest du die relative Häufigkeit aus \(42\) Treffern und \(500\) Durchgängen? - Vergleiche den beobachteten Anteil ausdrücklich mit \(P(A)\). - Welche Trefferzahl ergibt sich rechnerisch aus \(500\cdot P(A)\)?

1. Es gibt \(14\) Quadratzahlen von \(1^2\) bis \(14^2=196\). Die Vielfachen von \(30\) bis \(200\) sind \(30,60,90,120,150,180\), also sechs Zahlen. Keine dieser sechs Zahlen ist eine Quadratzahl. Daher ist \(P(A)=\frac{14+6}{200}=0{,}1\). 2. Die relative Häufigkeit beträgt \(h(A)=\frac{42}{500}=0{,}084\). Sie liegt um \(0{,}016\) unter der theoretischen Wahrscheinlichkeit \(0{,}1\). 3. Bei \(500\) unabhängigen Wiederholungen mit Modellwahrscheinlichkeit \(0{,}1\) werden rechnerisch \(500\cdot0{,}1=50\) Treffer erwartet. Beobachtet wurden \(42\), also \(8\) weniger als dieser Erwartungswert.

a) \(P(A)=0{,}1\) b) \(h(A)=0{,}084\); damit ist \(h(A)<P(A)\) und die Differenz beträgt \(0{,}016\). Beobachtet wurden \(42\) statt rechnerisch erwarteter \(50\) Treffer, also \(8\) weniger.

- Handelt es sich hier um ein Ziehen mit oder ohne Zurücklegen? - Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, eine dreiköpfige Gruppe aus 20 Personen zu bilden? - Überlege für den ersten Teil, wie viele Möglichkeiten es gibt, die 3 Personen nur aus dem Pool der 10 Frauen zu wählen. - Für den zweiten Teil hilft das Zählprinzip: Wie viele Kombinationen entstehen, wenn du jeweils eine Person aus den drei disjunkten Mengen kombinierst?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Kombinationen bei der Auswahl von \(3\) aus \(20\) Personen: \(\binom{20}{3} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{6} = 1140\). Anzahl der Möglichkeiten, \(3\) Frauen aus \(10\) auszuwählen: \(\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 120\). Wahrscheinlichkeit \(P(\text{nur Frauen}) = \frac{120}{1140} = \frac{2}{19} \approx 0{,}1053\). 2. Anzahl der Möglichkeiten, genau eine Person aus jeder Gruppe zu wählen: \(10 \cdot 7 \cdot 3 = 210\). Wahrscheinlichkeit \(P(\text{eine pro Gruppe}) = \frac{210}{1140} = \frac{7}{38} \approx 0{,}1842\).

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{2}{19} \approx 10{,}5\,\%\). 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{7}{38} \approx 18{,}4\,\%\).

- Wie viele Ziehungen enthalten genau drei der sechs getippten Zahlen und drei andere Zahlen? - Vergleiche die simulierte relative Häufigkeit direkt mit der theoretischen Wahrscheinlichkeit. - Das Gesetz der großen Zahlen ist eine langfristige Aussage, keine Garantie für einen einzelnen Simulationslauf.

1. Insgesamt gibt es \(\binom{49}{6}=13\,983\,816\) Ziehungen. Für genau drei Richtige sind \(\binom{6}{3}\binom{43}{3}=246\,820\) Ziehungen günstig. Daher gilt \(P=\frac{246820}{13983816}\approx1{,}7650\,\%\). 2. Die relative Häufigkeit ist \(h=\frac{17612}{1000000}=1{,}7612\,\%\). Die absolute Differenz beträgt etwa \(0{,}00384\) Prozentpunkte. 3. Die beobachtete relative Häufigkeit liegt nahe am theoretischen Wert und ist damit mit der langfristigen Stabilisierung aus dem Gesetz der großen Zahlen vereinbar. Eine einzelne Simulation bestätigt das Gesetz jedoch nicht.

1. \(1{,}7650\,\%\) 2. Relative Häufigkeit: \(1{,}7612\,\%\); absolute Differenz: \(0{,}00384\) Prozentpunkte 3. Die Simulation ist mit der langfristigen Stabilisierung relativer Häufigkeiten vereinbar, bestätigt sie aber nicht durch einen einzelnen Lauf.

- Überlege, warum die 36 geordneten Würfelpaare gleichwahrscheinlich sind. - Notiere für jede relevante Augensumme die Anzahl der zugehörigen Würfelpaare. - Übersetze die Bedingung \(3<S<11\) zuerst in eine Menge möglicher Summen. - Das Gegenereignis enthält genau die Summen, die nicht zum ursprünglichen Ereignis gehören.

1. Wegen Idealität und Unabhängigkeit sind die \(6\cdot6=36\) geordneten Ergebnisse gleichwahrscheinlich. 2. Für \(S\le4\) gibt es \(1+2+3=6\) günstige Ergebnisse, für \(S\ge10\) ebenfalls \(3+2+1=6\). Die Ereignisse sind disjunkt. Daher ist \(P(S\le4\;\text{oder}\;S\ge10)=\frac{12}{36}=\frac13\). 3. Das Ereignis \(E\) entspricht \(S\in\{4,5,6,7,8,9,10\}\). Sein Gegenereignis ist \(\bar E:\;S\in\{2,3,11,12\}\). Dafür gibt es \(1+2+2+1=6\) günstige Ergebnisse, also \(P(\bar E)=\frac6{36}=\frac16\).

a) \(P=\frac13\) b) \(P(\bar E)=\frac16\)

- Wie viele Anordnungen besitzt ein Tripel aus drei verschiedenen Zahlen? - Wie ändert sich diese Zahl, wenn zwei oder drei Augenzahlen gleich sind? - Welche Ergebnisse bilden im eigentlichen Laplace-Modell die gleich wahrscheinlichen Elementarereignisse?

1. Für die Summe \(9\) gibt es die ungeordneten Tripel \((1;2;6)\), \((1;3;5)\), \((1;4;4)\), \((2;2;5)\), \((2;3;4)\), \((3;3;3)\). Für die Summe \(10\) gibt es \((1;3;6)\), \((1;4;5)\), \((2;2;6)\), \((2;3;5)\), \((2;4;4)\), \((3;3;4)\). Es sind jeweils sechs ungeordnete Zerlegungen. 2. Insgesamt gibt es \(216\) gleich wahrscheinliche geordnete Tripel. Für Summe \(9\) liefern drei Tripel mit drei verschiedenen Zahlen jeweils \(6\) Anordnungen, zwei Tripel mit zwei gleichen Zahlen jeweils \(3\) Anordnungen und \((3;3;3)\) eine Anordnung. Daher ist \(P(X=9)=\frac{3\cdot6+2\cdot3+1}{216}=\frac{25}{216}\approx0{,}1157\). 3. Für Summe \(10\) liefern drei Tripel mit drei verschiedenen Zahlen jeweils \(6\) Anordnungen und drei Tripel mit zwei gleichen Zahlen jeweils \(3\) Anordnungen. Daher ist \(P(X=10)=\frac{3\cdot6+3\cdot3}{216}=\frac{27}{216}=0{,}125\). 4. Die ungeordneten Zerlegungen repräsentieren unterschiedlich viele geordnete Würfelergebnisse. Deshalb sind sie selbst nicht gleich wahrscheinlich und dürfen nicht einfach gleich gewichtet werden.

1. Beide Summen besitzen jeweils sechs ungeordnete Zerlegungen. 2. \(P(X=9)=\frac{25}{216}\approx0{,}1157\); \(P(X=10)=\frac{27}{216}=0{,}125\) 3. Die ungeordneten Zerlegungen sind nicht gleich wahrscheinlich, weil sie unterschiedlich viele geordnete Würfelergebnisse repräsentieren.

- Was bedeutet die Intervallschreibweise \([5; 8]\) für die möglichen Werte von \(S\)? - Bei Teilaufgabe b) müssen zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein. Welche Summen erfüllen beide? - Manchmal ist es einfacher, die Fälle zu zählen, die NICHT eintreten sollen, und das Ergebnis von 1 abzuziehen. - Erinnere dich daran, dass die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Summe \(k\) beim zweifachen Würfeln zunimmt, bis sie bei der Summe 7 ihr Maximum erreicht, und danach wieder abnimmt.

1. Die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse beim Wurf zweier Würfel ist \(n = 36\). 2. Ereignis a): \(5 \le S \le 8\). Die günstigen Augensummen sind \(5\), \(6\), \(7\) und \(8\). Die Anzahlen der Möglichkeiten für diese Summen lauten: \(S=5\) (4), \(S=6\) (5), \(S=7\) (6), \(S=8\) (5). Gesamtzahl günstiger Fälle: \(4 + 5 + 6 + 5 = 20\). Wahrscheinlichkeit: \(P(5 \le S \le 8) = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}\). 3. Ereignis b): \(S \in \{9, 11\}\). Die ungeraden Summen größer als \(8\) sind \(9\) und \(11\). Möglichkeiten für \(S=9\): \((3; 6)\), \((4; 5)\), \((5; 4)\), \((6; 3)\) (also 4). Möglichkeiten für \(S=11\): \((5; 6)\), \((6; 5)\) (also 2). Gesamtzahl: \(4 + 2 = 6\). Wahrscheinlichkeit: \(P(S > 8 \land S \text{ ungerade}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\). 4. Ereignis c): \(S \neq 7 \land S \neq 11\). Am einfachsten rechnet man über das Gegenereignis \(S \in \{7, 11\}\). Für die Summe \(7\) gibt es 6 Möglichkeiten, für die Summe \(11\) gibt es 2. Zusammen sind das 8 Möglichkeiten. Es gilt \(P(S \in \{7, 11\}) = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}\). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist \(1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}\).

a) \(P(5 \le S \le 8) = \frac{5}{9}\) b) \(P(S > 8 \land S \text{ ungerade}) = \frac{1}{6}\) c) \(P(S \notin \{7, 11\}) = \frac{7}{9}\)

- Zähle zuerst, wie oft jedes einzelne Zeichen vorkommt. - Bei \(n\) Zeichen entstehen \(n-1\) benachbarte Paare. - Welche Paarwahrscheinlichkeit folgt aus Unabhängigkeit und den Einzelwahrscheinlichkeiten \(0{,}5\)? - Vergleiche die vier beobachteten Paarzahlen mit demselben Erwartungswert.

1. In der Folge treten \(9\)-mal \(A\) und \(11\)-mal \(B\) auf. Daher gilt \(h(A)=\frac{9}{20}\) und \(h(B)=\frac{11}{20}\). 2. Bei 20 Zeichen gibt es 19 benachbarte Paare. Die Auszählung ergibt \(H(AA)=2\), \(H(AB)=7\), \(H(BA)=6\) und \(H(BB)=4\). Die relativen Häufigkeiten sind entsprechend \(\frac{2}{19}\), \(\frac{7}{19}\), \(\frac{6}{19}\) und \(\frac{4}{19}\). 3. Jedes Paar hat im Modell die Wahrscheinlichkeit \(0{,}25\). Die erwartete absolute Häufigkeit je Paar beträgt daher \(19\cdot0{,}25=4{,}75\). In der vorliegenden Folge liegen \(AB\) und \(BA\) über, \(AA\) und \(BB\) unter diesem Erwartungswert.

1. \(h(A)=\frac{9}{20}\), \(h(B)=\frac{11}{20}\) 2. \(H(AA)=2\), \(H(AB)=7\), \(H(BA)=6\), \(H(BB)=4\); relative Häufigkeiten: \(\frac{2}{19}\), \(\frac{7}{19}\), \(\frac{6}{19}\), \(\frac{4}{19}\) 3. Erwartete absolute Häufigkeit je Paar: \(4{,}75\); \(AB\) und \(BA\) liegen darüber, \(AA\) und \(BB\) darunter.

- Betrachte für die Paarhäufigkeiten jeweils zwei benachbarte Würfe und achte darauf, wie viele Startpositionen möglich sind. - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Zweierpaares bei zwei unabhängigen fairen Münzwürfen? - Welche vollständig abwechselnden Folgen der geforderten Länge sind überhaupt möglich? - Unterscheide zwischen einem Erwartungswert für eine Zählgröße und der Wahrscheinlichkeit eines konkret beobachteten Musters.

1. In der Folge treten \(12\)-mal \(K\) und \(12\)-mal \(Z\) auf. Daher gilt \(h(K)=\frac{12}{24}=0{,}5\) und \(h(Z)=\frac{12}{24}=0{,}5\). 2. Bei \(24\) Zeichen gibt es \(23\) benachbarte Paare. Es gilt \(H(KZ)=12\), \(H(ZK)=11\), \(H(KK)=0\) und \(H(ZZ)=0\). 3. Für jeden Startplatz eines Paares gilt bei unabhängigen fairen Würfen \(P(KK)=P(ZZ)=0{,}25\). Daher beträgt der Erwartungswert für die Anzahl der Paare \(KK\) ebenso wie für \(ZZ\) jeweils \(23\cdot0{,}25=5{,}75\). Eine vollständig abwechselnde Folge kann nur mit \(K\) oder mit \(Z\) beginnen; von den \(2^{24}\) gleich wahrscheinlichen Folgen sind daher genau \(2\) vollständig abwechselnd. Somit gilt \(P(\text{vollständig abwechselnd})=\frac{2}{2^{24}}=\frac{1}{2^{23}}\approx0{,}0000001192\). Die notierte Folge ist unter dem Modell unabhängiger fairer Münzwürfe also möglich, aber äußerst selten; diese Aussage folgt hier aus der direkt berechneten Wahrscheinlichkeit des beobachteten Strukturmerkmals und nicht allein aus dem Erwartungswert der Paarzahlen.

1. \(h(K)=0{,}5\); \(h(Z)=0{,}5\) 2. \(H(KZ)=12\); \(H(ZK)=11\); \(H(KK)=0\); \(H(ZZ)=0\) 3. Für \(KK\) und \(ZZ\) beträgt der Erwartungswert jeweils \(5{,}75\). Die Wahrscheinlichkeit einer vollständig abwechselnden Folge der Länge \(24\) ist \(\frac{1}{2^{23}}\approx0{,}0000001192\). Die Folge ist damit unter dem Modell möglich, aber äußerst selten.

- Überlege dir zuerst, ob es sich um ein Ziehen mit oder ohne Zurücklegen handelt. - Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es insgesamt, eine Gruppe dieser Größe zusammenzustellen? - Wie viele dieser Möglichkeiten erfüllen die Bedingung, dass nur Personen einer bestimmten Teilgruppe gewählt werden? - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für einen Kurs kennst, wie kannst du diese auf eine große Anzahl von Kursen hochrechnen?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(4\) Personen aus \(30\) auszuwählen, mit dem Binomialkoeffizienten: \(\binom{30}{4} = 27\,405\). 2. Berechnung der günstigen Möglichkeiten (Auswahl von \(4\) Schülern aus den \(12\) vorhandenen): \(\binom{12}{4} = 495\). 3. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit \(p\) durch Division der günstigen durch die möglichen Fälle: \(p = \frac{495}{27405} \approx 0{,}0181\) (bzw. \(1{,}81\,\%\)). 4. Berechnung des Erwartungswerts für \(n = 500\) Durchführungen: \(E = n \cdot p = 500 \cdot \frac{495}{27405} \approx 9{,}03\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(1{,}81\,\%\) (exakt \(\frac{11}{609}\)). b) Es ist zu erwarten, dass dies in etwa \(9\) Kursen der Fall ist.

- Wie viele 6er-Auswahlen gibt es insgesamt? - Wie viele günstige 6er-Auswahlen liegen vollständig unter den ersten \(15\) Zahlen? - Für b) wird die Einzelwahrscheinlichkeit mit der Zahl der Ziehungen multipliziert.

1. Insgesamt gibt es \(\binom{45}{6}\) mögliche Ziehungen. Günstig sind \(\binom{15}{6}\) Ziehungen. 2. Daher gilt \(P(A)=\frac{\binom{15}{6}}{\binom{45}{6}}=\frac{13}{21156}\). 3. Für \(5000\) Ziehungen beträgt die erwartete Anzahl \(5000\cdot\frac{13}{21156}=\frac{16250}{5289}\). Das sind etwas mehr als drei Ereignisse im langjährigen Durchschnitt.

a) \(\frac{13}{21156}\) b) Erwartete Anzahl: \(\frac{16250}{5289}\), also etwas mehr als \(3\)

- Wie viele feste Positionspaare gibt es, die die Bedingung des Abstands erfüllen? - Vergiss nicht, dass die Personen innerhalb ihrer zugewiesenen Plätze die Plätze tauschen können. - Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es gibt, zwei bestimmte Personen auf drei verfügbare Plätze zu verteilen. - Kannst du den Bruch am Ende durch Kürzen von Fakultäten vereinfachen?

1. Anzahl der Aufstellungen mit genau einer Person zwischen Anna und Bernd: Es gibt 8 mögliche Positionspaare für Anna und Bernd (1 und 3, 2 und 4, ..., 8 und 10). Für jedes Paar gibt es \(2!\) Anordnungen (Anna links oder Bernd links). Die restlichen 8 Personen können auf \(8!\) Arten angeordnet werden. Gesamtzahl: \(8 \cdot 2 \cdot 8! = 16 \cdot 40\,320 = 645\,120\). 2. Wahrscheinlichkeit für die Positionierung am Rand: Gesamtzahl der Aufstellungen ist \(10!\). 3. Günstige Fälle für „beide unter den ersten drei“: Es gibt \(\binom{3}{2} = 3\) Paare von Positionen. Auf jedem Paar können Anna und Bernd auf \(2!\) Arten stehen. Die restlichen 8 Personen verteilen sich auf \(8!\) Arten. Das ergibt \(3 \cdot 2 \cdot 8! = 6 \cdot 8!\) Möglichkeiten. 4. Da die Ereignisse „beide vorne“ und „beide hinten“ disjunkt sind, verdoppelt sich die Anzahl der günstigen Fälle: \(12 \cdot 8!\). 5. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{12 \cdot 8!}{10!} = \frac{12}{10 \cdot 9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15} \approx 0{,}1333\).

a) Es gibt \(645\,120\) mögliche Aufstellungen. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{2}{15} \approx 13{,}3\,\%\).

- Wie viele gleich wahrscheinliche Folgen gibt es bei vier unabhängigen Aufrufen? - Für „alle verschieden“ wird die Auswahlmöglichkeit bei jedem weiteren Aufruf kleiner. - Für „alle vier gleich“ kannst du günstige und mögliche Folgen direkt zählen.

1. Für \(n=6\) gibt es \(6^4\) gleich wahrscheinliche Folgen. Für vier verschiedene Zahlen gibt es \(6\cdot5\cdot4\cdot3\) Folgen. Daher ist \(P=\frac{360}{1296}=\frac{5}{18}\approx0{,}2778\). 2. Allgemein ist \(P(\text{alle verschieden})=1\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n}\cdot\frac{n-3}{n}=\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{n^3}\). 3. „Mindestens zwei gleich“ ist das Gegenereignis, also ergibt sich der angegebene Term. 4. Für vier gleiche Zahlen gibt es \(n\) günstige Folgen unter \(n^4\) Folgen. Daher ist \(P=\frac{1}{n^3}\). 5. Aus \(\frac{1}{n^3}=0{,}008\) folgt \(n^3=125\), also \(n=5\).

a) \(\frac{5}{18}\approx0{,}2778\) b) Nachweis über das Gegenereignis „alle vier verschieden“. c) \(n=5\)

- Wie verändert sich die Zahl zulässiger Karten beim zweiten und dritten Paket, wenn alle drei verschieden sein sollen? - Nutze für b) das Gegenereignis. - Formuliere für c) die geforderte Wahrscheinlichkeit als Ungleichung in \(n\). - Prüfe am Ende die kleinste natürliche Zahl oberhalb der algebraischen Grenze.

1. Für \(n=10\) ist die Wahrscheinlichkeit für drei verschiedene Karten \(\frac{10}{10}\cdot\frac{9}{10}\cdot\frac{8}{10}=0{,}72\). 2. Für \(n\ge3\) ist \(P(\text{drei verschiedene Karten})=\frac{n(n-1)(n-2)}{n^3}=\frac{(n-1)(n-2)}{n^2}\). Das Gegenereignis hat daher die Wahrscheinlichkeit \(1-\frac{(n-1)(n-2)}{n^2}=\frac{3n-2}{n^2}\). 3. Für c) gilt \(\frac{(n-1)(n-2)}{n^2}>0{,}98\). Dies ist äquivalent zu \(0{,}02n^2-3n+2>0\). Die zugehörige quadratische Gleichung hat näherungsweise die Lösungen \(n\approx0{,}67\) und \(n\approx149{,}33\). Für natürliche Zahlen mit \(n\ge3\) ist die Ungleichung daher ab \(n=150\) erfüllt.

a) \(P=0{,}72\) b) \(1-\frac{(n-1)(n-2)}{n^2}=\frac{3n-2}{n^2}\) für \(n\ge3\) c) \(n\ge150\)

- Bestimme zuerst die Anzahl der gleichwahrscheinlichen geordneten Paare. - Organisiere die günstigen Paare für jede Teilaufgabe systematisch, statt nur einzelne Beispiele zu suchen. - Bei Produktbedingungen kann eine Zerlegung der Zahlen nach ihren Primfaktoren helfen. - Für Summenbedingungen kann eine Tabelle der möglichen Summen hilfreich sein.

1. Wegen Idealität und Unabhängigkeit sind die \(12\cdot12=144\) geordneten Paare gleichwahrscheinlich. Für die Summe \(15\) gibt es 10 günstige Paare. Daher ist \(P=\frac{10}{144}=\frac{5}{72}\approx0{,}0694\). 2. Für ein quadratisches Produkt gibt es 22 günstige geordnete Paare. Daher ist \(P=\frac{22}{144}=\frac{11}{72}\approx0{,}1528\). 3. Eine Differenz von mindestens \(10\) liefern die sechs Paare \((1,11),(1,12),(2,12),(11,1),(12,1),(12,2)\). Somit ist \(P=\frac{6}{144}=\frac{1}{24}\approx0{,}0417\). 4. Als Primzahlsummen kommen \(2,3,5,7,11,13,17,19,23\) vor. Die zugehörigen Anzahlen geordneter Paare sind \(1,2,4,6,10,12,8,6,2\), insgesamt also 51. Daher ist \(P=\frac{51}{144}=\frac{17}{48}\approx0{,}3542\).

1. \(P=\frac{5}{72}\approx0{,}0694\) 2. \(P=\frac{11}{72}\approx0{,}1528\) 3. \(P=\frac{1}{24}\approx0{,}0417\) 4. \(P=\frac{17}{48}\approx0{,}3542\)