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- Überlege dir zuerst, welche unterschiedlichen Farbkombinationen bei zwei Ziehungen möglich sind, wenn die Reihenfolge egal ist. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis, das auf mehreren Pfaden im Baumdiagramm erreicht werden kann? - Was ist die Grundvoraussetzung dafür, dass man ein Zufallsexperiment als Laplace-Experiment bezeichnet? - Vergleiche die berechneten Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse miteinander.

1. Definition der Ergebnismenge: Da die Reihenfolge keine Rolle spielt und mit Zurücklegen gezogen wird, ergibt sich \(S = \{(b;b), (b;r), (r;r)\}\) (oder textlich: zwei blaue, eine blaue und eine rote, zwei rote Kugeln). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten unter Verwendung der Pfadregeln: \(P(\{(b;b)\}) = \frac{7}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{49}{100} = 0{,}49\) \(P(\{(b;r)\}) = \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{10} + \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{42}{100} = 0{,}42\) \(P(\{(r;r)\}) = \frac{3}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{9}{100} = 0{,}09\) 3. Prüfung der Laplace-Bedingung: Ein Laplace-Experiment setzt voraus, dass alle Elementarereignisse der Ergebnismenge die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. 4. Da \(0{,}49 \neq 0{,}42 \neq 0{,}09\) gilt, sind die Ergebnisse nicht gleichwahrscheinlich, weshalb kein Laplace-Experiment vorliegt.

a) \(S = \{(b;b), (b;r), (r;r)\}\) b) \(P(\{(b;b)\}) = 0{,}49\); \(P(\{(b;r)\}) = 0{,}42\); \(P(\{(r;r)\}) = 0{,}09\) c) Da die Elementarereignisse unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten aufweisen (\(0{,}49 \neq 0{,}42 \neq 0{,}09\)), ist die Laplace-Bedingung der Gleichwahrscheinlichkeit nicht erfüllt.

- Überlege, ob man das Ergebnis der Behandlung allein durch logisches Abzählen von Möglichkeiten bestimmen kann. - Was bedeutet „Gleichwahrscheinlichkeit“ und ist sie hier gegeben? - Erinnere dich daran, was passiert, wenn man ein Experiment immer und immer wieder wiederholt.

1. Dieser Angabe liegt der empirische (frequentistische) Wahrscheinlichkeitsbegriff zugrunde. Die Wahrscheinlichkeit wird hierbei als Grenzwert der relativen Häufigkeiten aus einer großen Anzahl von Beobachtungen (klinischen Studien) geschätzt, da keine theoretischen Symmetrieeigenschaften vorliegen. 2. Das Laplace-Modell setzt voraus, dass alle Elementarereignisse (hier: „Heilung“ und „keine Heilung“) gleichwahrscheinlich sind. Da es bei einer medizinischen Behandlung keinen Grund für eine solche Symmetrie gibt und die Heilungschance von biologischen Faktoren abhängt, ist der Ansatz \(p = 0{,}5\) nicht gerechtfertigt. 3. Nach dem Gesetz der großen Zahlen stabilisiert sich die relative Häufigkeit \(h_n\) eines Ereignisses mit wachsendem Stichprobenumfang \(n\) um einen festen Wert. In diesem Fall nähert sich der Anteil der geheilten Patienten bei sehr vielen Probanden der theoretischen Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}75\) an.

1. Empirischer/statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff, da der Wert auf Beobachtungsdaten basiert. 2. Laplace ist ungeeignet, da „Heilung“ und „keine Heilung“ nicht a priori als gleichwahrscheinlich angenommen werden können. 3. Die relative Häufigkeit der Heilungen nähert sich bei steigender Probandenzahl \(n\) der Wahrscheinlichkeit \(0{,}75\) an (Gesetz der großen Zahlen).

- Notiere dir zuerst alle Primzahlen bis 20. Denke daran, dass die 1 keine Primzahl ist. - Welche Zahlen erfüllen die Bedingung „größer als 15“? - Gibt es Zahlen, die in beiden Gruppen vorkommen? Zähle diese nicht doppelt. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit bei einem Würfel, bei dem jede Seite gleich wahrscheinlich ist?

1. Bestimmung der Ergebnismenge: \(\Omega = \{1; 2; 3; \dots; 20\}\) mit \(|\Omega| = 20\). 2. Identifikation der Primzahlen im Bereich 1 bis 20: \(M_1 = \{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19\}\), also \(|M_1| = 8\). 3. Identifikation der Zahlen größer als 15: \(M_2 = \{16; 17; 18; 19; 20\}\), also \(|M_2| = 5\). 4. Bestimmung der Schnittmenge (Primzahlen, die größer als 15 sind): \(M_1 \cap M_2 = \{17; 19\}\), also \(|M_1 \cap M_2| = 2\). 5. Berechnung der Anzahl der günstigen Ergebnisse: \(|A| = 8 + 5 - 2 = 11\). 6. Berechnung der Wahrscheinlichkeit nach Laplace: \(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{11}{20} = 0{,}55\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(A) = \frac{11}{20} = 0{,}55 = 55\,\%\).

- Wie berechnet man den Anteil eines Ergebnisses an der Gesamtzahl der Versuche? - Welchen Wert aus der Tabelle solltest du wählen, um die stabilste Schätzung für die Wahrscheinlichkeit zu erhalten? - Wenn du weißt, wie oft ein Ereignis im Schnitt bei 100 Würfen vorkommt, wie berechnest du es dann für eine größere Anzahl?

1. Berechnung der relativen Häufigkeiten für \(n = 800\): \(h(A) = \frac{336}{800} = 0{,}42\) \(h(B) = \frac{288}{800} = 0{,}36\) \(h(C) = \frac{176}{800} = 0{,}22\) 2. Hochrechnung auf \(2400\) Versuche durch Multiplikation der relativen Häufigkeiten mit der neuen Gesamtzahl: Lage \(A\): \(0{,}42 \cdot 2400 = 1008\) Lage \(B\): \(0{,}36 \cdot 2400 = 864\) Lage \(C\): \(0{,}22 \cdot 2400 = 528\)

a) Die relativen Häufigkeiten nach 800 Versuchen betragen für Lage \(A\) \(0{,}42\), für Lage \(B\) \(0{,}36\) und für Lage \(C\) \(0{,}22\). b) Bei \(2400\) Würfen ist zu erwarten, dass Lage \(A\) \(1008\)-mal, Lage \(B\) \(864\)-mal und Lage \(C\) \(528\)-mal auftritt.

- Überlege dir zuerst, wie viele Karten insgesamt in dem verkleinerten Spiel sind und wie viele davon die gewünschte Eigenschaft haben. - Wie berechnet man den Anteil eines Ergebnisses an der Gesamtzahl der Versuche? - Was passiert mit der relativen Häufigkeit, wenn man ein Experiment sehr oft wiederholt? - Ist eine kleine Abweichung bei Zufallsexperimenten normal oder deutet sie sofort auf ein unfaires Spiel hin?

1. Bestimmung der Laplace-Wahrscheinlichkeit: Der Ergebnisraum umfasst \(|\Omega| = 16\) Karten. Da es zwei Asse (Herz Ass, Karo Ass) gibt, gilt \(P(A) = \frac{2}{16} = 0{,}125\). 2. Berechnung der relativen Häufigkeit: Mit \(n = 400\) und \(k = 48\) ergibt sich \(h_n(A) = \frac{48}{400} = 0{,}12\). Der Vergleich zeigt eine geringe Abweichung von \(0{,}005\) zum theoretischen Wert. 3. Beurteilung: Nach dem Gesetz der großen Zahlen stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten bei wachsender Versuchsanzahl um die theoretische Wahrscheinlichkeit. Da die beobachtete Häufigkeit (\(12\,\%\)) sehr nah an der theoretischen Wahrscheinlichkeit (\(12{,}5\,\%\)) liegt, spricht das Ergebnis nicht gegen die Annahme eines Laplace-Experiments; die Abweichung liegt im Bereich üblicher Zufallsschwankungen.

a) \(P(A) = 0{,}125\) b) \(h_{400}(A) = 0{,}12\). Die relative Häufigkeit ist geringfügig kleiner als die Laplace-Wahrscheinlichkeit. c) Das Ergebnis spricht nicht gegen das Laplace-Modell, da die Abweichung aufgrund des Gesetzes der großen Zahlen bei 400 Versuchen im erwartbaren Rahmen liegt.

- Erinnere dich daran, welche Zahlen als Primzahlen definiert sind. Ist die \(1\) eine Primzahl? - Überlege dir, wie viele Ergebnisse nicht zum Ereignis gehören, wenn du die Gesamtzahl und die günstigen Ergebnisse kennst. - Wie viele Teile hat das Ganze, wenn zwei Sorten in einem bestimmten Verhältnis gemischt sind?

1. Die Primzahlen zwischen \(1\) und \(8\) sind \(2, 3, 5, 7\). Es gibt also \(4\) günstige Ergebnisse. Da es insgesamt \(8\) Seiten gibt, verbleiben \(8 - 4 = 4\) ungünstige Ergebnisse. Die Chancen stehen \(4\) zu \(4\), was gekürzt \(1\) zu \(1\) entspricht. 2. Bei einer Wahrscheinlichkeit von \(P(B) = \frac{k}{n}\) gibt es \(k\) günstige Fälle bei insgesamt \(n\) Fällen. Die Anzahl der ungünstigen Fälle ist demnach \(n - k\). Die Chancen stehen somit \(k\) zu \((n - k)\). 3. Das Verhältnis \(5 : 3\) bedeutet, dass auf \(5\) rote Kugeln \(3\) blaue Kugeln kommen. Die Gesamtzahl der Kugeln entspricht einem Vielfachen von \(5 + 3 = 8\). Die Wahrscheinlichkeit für eine blaue Kugel ist \(P(\text{blau}) = \frac{3}{8} = 0{,}375\).

a) \(1\) zu \(1\) b) \(k\) zu \((n - k)\) c) \(P(\text{blau}) = \frac{3}{8} = 0{,}375\)

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf oder Zahl bei einer fairen Münze? - Berechne, wie viele Kugeln aus der 10er-Urne man braucht, um denselben Anteil wie in der kleineren Urne zu erhalten. - Was bedeutet „Laplace-Experiment“ für die Wahrscheinlichkeit jeder einzelnen Kugel? - Gibt es nur eine richtige Möglichkeit, die Zahlen den Farben zuzuordnen?

1. Eine faire Münze hat zwei Ergebnisse mit den Wahrscheinlichkeiten \(P(\text{Kopf}) = 0{,}5\) und \(P(\text{Zahl}) = 0{,}5\). Da die Urne \(10\) Kugeln enthält, müssen für jedes Ereignis genau \(10 \cdot 0{,}5 = 5\) Kugeln ausgewählt werden. Eine mögliche Gruppierung ist \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) für Kopf und \(B = \{6, 7, 8, 9, 10\}\) für Zahl. 2. Im Experiment \(E_2\) beträgt die Wahrscheinlichkeit für Rot \(P(\text{rot}) = \frac{3}{5} = \frac{6}{10}\) und für Blau \(P(\text{blau}) = \frac{2}{5} = \frac{4}{10}\). Um dies mit \(E_1\) zu simulieren, ordnet man sechs Zahlen der Farbe Rot und vier Zahlen der Farbe Blau zu. Eine mögliche Zuordnung ist: Kugeln \(1\) bis \(6\) entsprechen „rot“, Kugeln \(7\) bis \(10\) entsprechen „blau“.

a) Man teilt die Zahlen in zwei Fünfergruppen auf, z. B. \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) und \(\{6, 7, 8, 9, 10\}\). b) Man nutzt die Anteile \(\frac{6}{10}\) für Rot und \(\frac{4}{10}\) für Blau. Zuordnung: Zahlen \(1\) bis \(6\) für Rot, Zahlen \(7\) bis \(10\) für Blau.

- Überlege dir für den ersten Teil, wie viele verschiedene Gruppen man insgesamt bilden kann und wie viele davon Lukas enthalten. - Was weißt du über die Auswahlwahrscheinlichkeit an verschiedenen Positionen bei einer fairen Ziehung? - Macht es für die Auswahlwahrscheinlichkeit einen Unterschied, ob man als Erster oder als Letzter eine Kugel zieht?

1. Berechnung über die Kombinatorik: Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(4\) Personen aus \(25\) auszuwählen, beträgt \(\binom{25}{4} = 12\,650\). Die Anzahl der günstigen Fälle, in denen Lukas dabei ist, entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, die restlichen \(3\) Plätze aus den verbleibenden \(24\) Personen zu besetzen: \(\binom{24}{3} = 2\,024\). Die Wahrscheinlichkeit ist somit \(P = \frac{2\,024}{12\,650} = \frac{4}{25} = 0{,}16\). 2. Symmetriebegründung: Da das Auswahlverfahren fair ist, hat jede der \(25\) Personen die gleiche Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{25}\), an einer bestimmten Stelle der Ziehung (z. B. als Erstes, Zweites etc.) ausgewählt zu werden. Da insgesamt \(4\) Personen ausgewählt werden und eine Person nicht an zwei Stellen gleichzeitig stehen kann (disjunkte Positionen), addieren sich die Einzelwahrscheinlichkeiten für die vier verfügbaren Plätze zu \(4 \cdot \frac{1}{25} = \frac{4}{25}\).

a) \(P = \frac{4}{25} = 0{,}16\) b) Jede Person hat für jeden der \(4\) Plätze die gleiche Ziehungswahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{25}\). Da die Plätze disjunkt sind, ist die Gesamtwahrscheinlichkeit die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(4 \cdot \frac{1}{25} = \frac{4}{25}\).

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, das eine Gewinnlos auf die Plätze zu verteilen. - Stell dir vor, alle Lose werden nebeneinander ausgelegt. Ist ein Platz wahrscheinlicher für den Gewinn als ein anderer? - Du kannst die Wahrscheinlichkeit für einen späteren Zug auch mit einem Baumdiagramm und der Pfadmultiplikationsregel bestimmen.

1. Für das erste Los gibt es \(100\) gleich wahrscheinliche Möglichkeiten. Da genau ein Los der Hauptgewinn ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit nach Laplace \(P(\text{Hauptgewinn an 1. Stelle}) = \frac{1}{100} = 0{,}01\). 2. Für die zehnte Stelle kann die Wahrscheinlichkeit über die Pfadregel berechnet werden: Die ersten neun Lose dürfen kein Hauptgewinn sein (\(\frac{99}{100} \cdot \frac{98}{99} \cdot \dots \cdot \frac{91}{92}\)) und das zehnte Los muss der Hauptgewinn sein (\(\frac{1}{91}\)). Durch Kürzen der Brüche ergibt sich: \(P(\text{Hauptgewinn an 10. Stelle}) = \frac{1}{100} = 0{,}01\). 3. Da die Lose eine zufällige Permutation (Anordnung) bilden und jede der \(100!\) Anordnungen gleich wahrscheinlich ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Hauptgewinn an einer bestimmten Position \(k\) befindet, für alle \(k \in \{1, \dots, 100\}\) gleich groß.

a) \(P = \frac{1}{100} = 0{,}01\) b) \(P = \frac{1}{100} = 0{,}01\) c) Aufgrund der Symmetrie der zufälligen Anordnung (jede Position ist für das Gewinnlos gleich wahrscheinlich).

- Überlege dir zuerst, wie viele Karten insgesamt im Spiel sind. - Wie viele Karten gehören jeweils zu einer Farbe oder zu einem bestimmten Wert? - Was ist die Grundvoraussetzung, damit man ein Zufallsexperiment als Laplace-Experiment bezeichnen darf? - Unterscheide zwischen der Anzahl der möglichen Ergebnisse in deiner Menge und der Anzahl der günstigen Karten für dieses Ergebnis im echten Kartendeck.

1. Identifikation der Ergebnismenge \(S_1 = \{\text{Kreuz}, \text{Pik}, \text{Herz}, \text{Karo}\}\). Da jede der 4 Farben 8-mal vorkommt, ergibt sich für jedes Ergebnis \(P = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 2. Identifikation der Ergebnismenge \(S_2 = \{7, 8, 9, 10, \text{Bube}, \text{Dame}, \text{König}, \text{Ass}\}\). Da jeder der 8 Werte 4-mal vorkommt (einmal pro Farbe), ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis \(P = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} = 0{,}125\). 3. Begründung für Laplace: In \(S_1\) haben alle 4 Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit (\(0{,}25\)). In \(S_2\) haben alle 8 Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit (\(0{,}125\)). Da innerhalb des jeweiligen Modells alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind, liegt ein Laplace-Versuch vor. 4. Berechnung für \(S_3\): Es gibt \(3 \cdot 4 = 12\) Bildkarten und \(32 - 12 = 20\) Karten, die keine Bilder sind. Daraus folgen \(P(\text{Bild}) = \frac{12}{32} = 0{,}375\) und \(P(\text{kein Bild}) = \frac{20}{32} = 0{,}625\). Da \(0{,}375 \neq 0{,}625\), sind die Ergebnisse nicht gleichwahrscheinlich; es ist kein Laplace-Versuch.

a) \(S_1 = \{\text{Kreuz}, \text{Pik}, \text{Herz}, \text{Karo}\}\); alle \(P = 0{,}25\). b) \(S_2 = \{7, 8, 9, 10, \text{Bube}, \text{Dame}, \text{König}, \text{Ass}\}\); alle \(P = 0{,}125\). c) Laplace-Versuche, da innerhalb von \(S_1\) bzw. \(S_2\) alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. d) Kein Laplace-Versuch, da \(P(\text{Bild}) = 0{,}375\) und \(P(\text{kein Bild}) = 0{,}625\) verschieden sind.

- Bestimme zuerst die Gesamtzahl aller Teile im Behälter. - Überlege dir für jedes Ereignis, wie viele Teile die genannte Eigenschaft erfüllen. - Was bedeutet das Wort „oder“ für die Anzahl der günstigen Ergebnisse? - Kannst du ein Ereignis einfacher über sein Gegenereignis berechnen?

1. Es gibt insgesamt \(120\) Teile. 2. Für a) sind \(40 + 20 = 60\) Teile günstig. Daher gilt \(P(A) = \frac{60}{120} = 0{,}5\). 3. Für b) sind die \(15\) Edelstahlschrauben und die \(10\) Spezialbolzen günstig, also insgesamt \(25\) Teile. Daher gilt \(P(B) = \frac{25}{120} = \frac{5}{24} \approx 0{,}2083\). 4. Für c) sind \(120 - 50 = 70\) Teile günstig. Daher gilt \(P(C) = \frac{70}{120} = \frac{7}{12} \approx 0{,}5833\).

a) \(P = 0{,}5\) b) \(P = \frac{5}{24} \approx 0{,}2083\) c) \(P = \frac{7}{12} \approx 0{,}5833\)

- Wie viele Felder gibt es insgesamt und was wissen wir über ihre Größe? - Zähle für jede Teilaufgabe genau die Anzahl der Felder ab, die die Bedingung erfüllen. - Achte bei Teilaufgabe b) darauf, alle Felder zu zählen, die die Farbe Gold haben, unabhängig von ihrer Beschriftung. - Was ist die Voraussetzung dafür, dass man die Formel „Anzahl der günstigen durch Anzahl der möglichen Ergebnisse“ nutzen darf?

1. Festlegung des Ergebnisraums: Da alle Felder gleich groß sind, beträgt die Gesamtzahl der gleich wahrscheinlichen Elementarereignisse \(|\Omega| = 24\). 2. Lösung zu a): Die Anzahl der Gewinnfelder ist \(10 + 2 + 8 = 20\). Damit gilt \(P(\text{Gewinn}) = \frac{20}{24} = \frac{5}{6} \approx 0{,}8333\). 3. Lösung zu b): Die Anzahl der goldfarbenen Felder ist \(2\) (Hauptgewinn) \(+ 4\) (Kleingewinn) \(= 6\). Damit gilt \(P(\text{gold}) = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 4. Lösung zu c): Die Anzahl der Felder, die weder Niete (\(4\)) noch Hauptgewinn (\(2\)) sind, beträgt \(24 - 4 - 2 = 18\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} = 0{,}75\). 5. Lösung zu d): Der Laplace-Ansatz ist zulässig, weil alle Elementarereignisse (das Stehenbleiben auf einem der \(24\) Felder) aufgrund der gleichen Größe der Felder und der Symmetrie des Rades als gleich wahrscheinlich angenommen werden können.

a) \(P = \frac{5}{6} \approx 0{,}8333\) b) \(P = 0{,}25\) c) \(P = 0{,}75\) d) Der Laplace-Ansatz ist zulässig, da alle \(24\) Felder gleich groß sind und somit die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit besitzen.

- Wie viele verschiedene Ergebnisse sind insgesamt möglich, wenn das Rad zweimal gedreht wird? - Wann ist das Produkt zweier Zahlen ungerade? Überlege dir, welche Eigenschaft die beiden einzelnen Zahlen dafür haben müssen. - Die relative Häufigkeit berechnest du, indem du die Anzahl der Treffer durch die Gesamtzahl der Versuche teilst. - Was besagt das Gesetz der großen Zahlen über den Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und theoretischer Wahrscheinlichkeit?

1. Die Gesamtzahl der Ergebnisse beträgt \(10 \cdot 10 = 100\). Günstige Paare für die Summe \(10\): \((1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (5,5), (6,4), (7,3), (8,2), (9,1)\). Es gibt \(9\) günstige Ergebnisse. Die Laplace-Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{9}{100} = 0{,}09 = 9\,\%\). 2. Ein Produkt zweier Ganzzahlen ist genau dann ungerade, wenn beide Faktoren ungerade sind. Die ungeraden Ziffern im Bereich \(0\) bis \(9\) sind \(\{1, 3, 5, 7, 9\}\) (insgesamt \(5\) Stück). Die Anzahl der günstigen Paare ist \(5 \cdot 5 = 25\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{25}{100} = 0{,}25 = 25\,\%\). 3. Die relative Häufigkeit beträgt \(h = \frac{924}{10\,000} = 0{,}0924 = 9{,}24\,\%\). Der Vergleich zeigt, dass die relative Häufigkeit nahe an der theoretischen Wahrscheinlichkeit von \(9\,\%\) liegt. Die Abweichung beträgt \(0{,}24\) Prozentpunkte, was bei einer Stichprobengröße von \(10\,000\) im Rahmen der üblichen statistischen Schwankungen zu erwarten ist (Gesetz der großen Zahlen).

1. \(P = 0{,}09\) 2. \(P = 0{,}25\) 3. \(h = 0{,}0924\); die relative Häufigkeit liegt sehr nah an der theoretischen Wahrscheinlichkeit (\(0{,}0924 \approx 0{,}09\)).

- Wie viele Ergebnisse sind insgesamt möglich, wenn man dreimal mit einem 12-seitigen Würfel wirft? - Was ist der Unterschied zwischen einer relativen Häufigkeit und einer Wahrscheinlichkeit? - Was passiert mit der relativen Häufigkeit, wenn man ein Zufallsexperiment immer häufiger wiederholt?

1. Theoretische Wahrscheinlichkeit für \(n=3\): Das Gegenereignis ist, dass drei verschiedene Zahlen gewürfelt werden. \(P(\text{verschieden}) = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{12^3} = \frac{1320}{1728} \approx 0{,}7639\). Die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Dublette ist \(P(E) = 1 - 0{,}7639 = 0{,}2361\). 2. Empirische Werte: Die relative Häufigkeit ist \(h = \frac{241}{1000} = 0{,}241\). Die absolute Abweichung beträgt \(|0{,}241 - 0{,}2361| = 0{,}0049\). 3. Zusammenhang: Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses mit zunehmender Anzahl an Versuchen stabilisiert und dem theoretischen Wert (der Wahrscheinlichkeit) annähert. Bei \(1\,000\) Durchgängen ist die Annäherung bereits so gut, dass die Abweichung gering ist (hier weniger als \(0{,}5\,\text{Prozentpunkte}\)).

a) Die theoretische Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(23{,}61\,\%\). b) Die relative Häufigkeit ist \(0{,}241\) (\(24{,}1\,\%\)). Die absolute Abweichung zum theoretischen Wert beträgt \(0{,}0049\). c) Nach dem Gesetz der großen Zahlen nähert sich die relative Häufigkeit bei steigender Anzahl der Versuche der theoretischen Wahrscheinlichkeit an.

- Wie viele Möglichkeiten hat der erste Jugendliche, wie viele der zweite und so weiter, wenn man alle Kombinationen betrachtet? - Wenn alle etwas Verschiedenes wählen sollen, wie viele Optionen bleiben dann für die jeweils nächste Person übrig? - Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass eine Gruppe eine gemeinsame Entscheidung für genau eine der verfügbaren Optionen trifft? - Nutze das Modell des Laplace-Experiments: Anzahl der günstigen Ergebnisse durch Anzahl der möglichen Ergebnisse.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Ergebnisse: Da jeder der 6 Jugendlichen aus 10 Sorten wählen kann, gibt es \(10^6 = 1\,000\,000\) gleich wahrscheinliche Möglichkeiten. 2. Berechnung für Ereignis a (unterschiedliche Sorten): Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist die Anzahl der Variationen von 6 aus 10 ohne Wiederholung: \(10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 151\,200\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(a) = \frac{151\,200}{1\,000\,000} = 0{,}1512\). 3. Berechnung für Ereignis b (gleiche Sorte): Es gibt genau 10 Möglichkeiten, bei denen alle Jugendlichen die gleiche Sorte wählen (eine für jede der 10 Sorten). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(b) = \frac{10}{10^6} = \frac{1}{10^5} = 0{,}00001\).

a) \(P = 0{,}1512\) (oder \(\frac{189}{1250}\)) b) \(P = 0{,}00001\) (oder \(10^{-5}\))

- Betrachte für den ersten Teil eine Gruppe von Objekten als ein einziges „Super-Objekt“. - Wie viele Positionen kann dieser Block innerhalb der Gesamtreihe einnehmen? - Denke bei der Wahrscheinlichkeit an die Auswahl einer Teilmenge ohne Beachtung der Reihenfolge. - Welche Verteilung beschreibt das Ziehen aus einer endlichen Menge ohne Zurücklegen?

1. Für die Anzahl der Abspielfolgen mit den 4 Songs als Block: Die 4 Songs der Band werden als eine Einheit betrachtet. Zusammen mit den restlichen 8 Songs ergeben sich \(9!\) Anordnungen für diese Einheiten. Innerhalb des Blocks gibt es \(4!\) Möglichkeiten, die Songs anzuordnen. Die Gesamtzahl beträgt \(9! \cdot 4! = 362\,880 \cdot 24 = 8\,709\,120\). 2. Für die Wahrscheinlichkeit in Teilaufgabe b) wird das Modell des Ziehens ohne Zurücklegen (hypergeometrische Verteilung) verwendet. Die Anzahl der Möglichkeiten, 5 Songs aus 12 auszuwählen, beträgt \(\binom{12}{5} = 792\). Die Anzahl der Möglichkeiten, genau 2 von 4 „Logarithmus“-Songs und 3 von 8 restlichen Songs auszuwählen, ist \(\binom{4}{2} \cdot \binom{8}{3} = 6 \cdot 56 = 336\). 3. Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich als Quotient: \(P = \frac{336}{792} = \frac{14}{33} \approx 0{,}4242\).

a) Es gibt \(8\,709\,120\) mögliche Abspielfolgen. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{14}{33} \approx 42{,}4\,\%\).

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, eine Stichprobe dieser Größe aus der Gesamtmenge zu ziehen. - Wie viele Arten gibt es, die gewünschte Anzahl an Objekten aus der jeweiligen Teilgruppe (defekt/intakt) auszuwählen? - Bei „höchstens“ musst du mehrere Fälle addieren. Welche sind das hier? - Das Wort „mindestens“ ist oft ein Signal, dass man mit dem Gegenereignis schneller zum Ziel kommt.

Die Anzahl der Möglichkeiten, \(5\) Akkus aus \(20\) zu ziehen, beträgt \(\binom{20}{5} = 15\,504\). 1. Für genau zwei defekte Akkus müssen \(2\) aus \(4\) defekten und \(3\) aus \(16\) intakten Akkus gewählt werden: \(P(X=2) = \frac{\binom{4}{2} \cdot \binom{16}{3}}{\binom{20}{5}} = \frac{6 \cdot 560}{15\,504} = \frac{3\,360}{15\,504} \approx 0{,}2167\). 2. Für höchstens einen defekten Akku summiert man die Fälle für \(0\) und \(1\) defekten Akku: \(P(X \le 1) = \frac{\binom{4}{0} \cdot \binom{16}{5} + \binom{4}{1} \cdot \binom{16}{4}}{\binom{20}{5}} = \frac{1 \cdot 4\,368 + 4 \cdot 1\,820}{15\,504} = \frac{11\,648}{15\,504} \approx 0{,}7513\). 3. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen defekten Akku berechnet man über das Gegenereignis (kein Akku defekt): \(P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - \frac{\binom{4}{0} \cdot \binom{16}{5}}{\binom{20}{5}} = 1 - \frac{4\,368}{15\,504} = \frac{11\,136}{15\,504} \approx 0{,}7183\).

a) \(P \approx 21{,}67\,\%\) b) \(P \approx 75{,}13\,\%\) c) \(P \approx 71{,}83\,\%\)

- Wann darf man davon ausgehen, dass alle Ergebnisse eines Zufallsexperiments die gleiche Chance haben? - Wie berechnet man den Anteil eines Ergebnisses an der Gesamtzahl der Versuche? - Was passiert mit den Ergebnissen, wenn man ein Experiment sehr oft wiederholt? - Gibt es einen Unterschied zwischen einem idealen Modell und einer experimentellen Beobachtung?

1. Lukas verwendet den Laplace-Ansatz (klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff). Dieser setzt voraus, dass alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind. Da der Würfel als „unfair“ oder „gezinkt“ beschrieben wurde, ist diese Symmetrieannahme verletzt, und der Ansatz liefert kein korrektes Modell für die Realität. 2. Sarah berechnet die relative Häufigkeit: \(h_n(6) = \frac{52}{200} = 0{,}26\). Ihr Vorgehen stützt sich auf das empirische Gesetz der großen Zahlen, welches besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses mit zunehmender Anzahl an Versuchen stabilisiert und gegen die wahre Wahrscheinlichkeit konvergiert. 3. Um die Genauigkeit zu erhöhen, müsste die Anzahl der Versuche \(n\) deutlich gesteigert werden (z. B. auf \(n = 1000\) oder mehr). Je größer die Stichprobe, desto geringer ist die zu erwartende Abweichung der relativen Häufigkeit von der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit.

1. Lukas nutzt den Laplace-Ansatz; dieser scheitert hier an der fehlenden Symmetrie (gezinkter Würfel). 2. Sarah nutzt die relative Häufigkeit \(\frac{52}{200} = 0{,}26\) (\(26\,\%\)); das Prinzip ist das empirische Gesetz der großen Zahlen. 3. Eine genauere Bestimmung ist durch eine Erhöhung der Wurfanzahl (Versuchswiederholungen) möglich.

- Was ist die Grundvoraussetzung für ein Laplace-Experiment? - Wie berechnet man eine relative Häufigkeit aus absoluten Zahlen? - Was passiert mit der Schwankung der Ergebnisse, wenn man ein Experiment immer öfter wiederholt?

1. Der Laplace-Ansatz setzt voraus, dass alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind. Aufgrund der physikalischen Asymmetrie der Reißzwecke gibt es keinen Grund zu der Annahme, dass beide Lagen gleich wahrscheinlich sind. 2. Gemäß dem frequentistischen Ansatz wird die Wahrscheinlichkeit durch die relative Häufigkeit geschätzt: \(P(\text{„Spitze oben“}) \approx \frac{k}{n} = \frac{320}{500} = 0{,}64\). 3. Bei unabhängigen Wiederholungen unter gleichen Bedingungen stabilisiert sich die relative Häufigkeit nach dem Gesetz der großen Zahlen mit wachsender Versuchszahl um die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeit \(p\). Frequentistisch wird \(p\) als langfristiger Häufigkeitswert interpretiert.

a) Der Laplace-Ansatz ist ungeeignet, da keine Symmetrie vorliegt und die Ergebnisse nicht als gleich wahrscheinlich angenommen werden können. b) \(P(\text{„Spitze oben“}) \approx 0{,}64\). c) Bei unabhängigen Wiederholungen unter gleichen Bedingungen nähert sich die relative Häufigkeit mit wachsender Versuchszahl der zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeit \(p\) an.

- Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es insgesamt, 8 Objekte in einer Reihe anzuordnen? - Wie viele dieser Anordnungen erfüllen die Bedingung, dass sie sortiert sind? - Welche Annahme triffst du über die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Anordnungen?

1. Berechnung der Gesamtzahl der möglichen Anordnungen (Permutationen) von 8 unterscheidbaren Büchern: \(8! = 40\,320\). 2. Bestimmung der Anzahl der günstigen Ergebnisse: Es gibt genau 2 Möglichkeiten, die Bücher nach ihrer Seitenzahl zu sortieren (einmal aufsteigend, einmal absteigend). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit als Quotient aus günstigen und möglichen Ergebnissen: \(P = \frac{2}{40\,320} = \frac{1}{20\,160} \approx 0{,}0000496\). 4. Identifikation des Wahrscheinlichkeitsbegriffs: Da alle Anordnungen als gleichwahrscheinlich vorausgesetzt werden, handelt es sich um den Laplace-Wahrscheinlichkeitsbegriff.

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P = \frac{1}{20\,160}\). Es liegt der Laplace-Wahrscheinlichkeitsbegriff zugrunde.

- Überlege dir für den ersten Teil, wie viele Anordnungen mit einem festen Anfangsbuchstaben möglich sind. - Was bedeutet es für die Berechnung, wenn man davon ausgeht, dass alle Ergebnisse „gleichwahrscheinlich“ sind? - Wie unterscheidet sich ein theoretisch berechneter Wert von einem Wert, der durch ein Experiment gewonnen wurde?

1. Teil a: Gesamtzahl der Permutationen berechnen: \(4! = 24\). Anzahl der günstigen Fälle (A fix an Position 1, Rest beliebig): \(3! = 6\). Wahrscheinlichkeit berechnen: \(P(A \text{ an 1. Stelle}) = \frac{6}{24} = 0{,}25\). Dies entspricht dem Laplace-Wahrscheinlichkeitsbegriff (theoretische Herleitung durch Symmetrie). 2. Teil b: Relative Häufigkeit berechnen: \(h = \frac{2\,540}{10\,000} = 0{,}254\). Dies entspricht dem empirischen (oder statistischen) Wahrscheinlichkeitsbegriff, der auf Beobachtungsdaten basiert.

a) \(P = 0{,}25\); Laplace-Wahrscheinlichkeitsbegriff. b) \(h = 0{,}254\); empirischer (statistischer) Wahrscheinlichkeitsbegriff.

- Wie viele Personen stehen insgesamt zur Auswahl und wie viele werden gezogen? - Denke bei der Kombination von verschiedenen Gruppen (Sopran/Alt) an das Produkt der Möglichkeiten. - Wenn zwei Personen bereits "gesetzt" sind, reduziert sich sowohl die Anzahl der noch zu wählenden Personen als auch die Anzahl der Personen, die noch im Topf sind. - Welche Parameter (Gesamtzahl, Teilmengen, Stichprobenumfang) sind für das Urnenmodell entscheidend?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Kombinationen: \(\binom{24}{4} = 10\,626\). 2. Zu a): Günstige Fälle (nur Sopran): \(\binom{14}{4} = 1\,001\). Wahrscheinlichkeit \(P(A) = \frac{1\,001}{10\,626} \approx 0{,}0942\). 3. Zu b): Günstige Fälle (\(2\) Sopran, \(2\) Alt): \(\binom{14}{2} \cdot \binom{10}{2} = 91 \cdot 45 = 4\,095\). Wahrscheinlichkeit \(P(B) = \frac{4\,095}{10\,626} \approx 0{,}3854\). 4. Zu c): Zwei Plätze sind durch die Solistinnen belegt, \(2\) weitere werden aus den verbleibenden \(22\) Mitgliedern gewählt: \(\binom{22}{2} = 231\). Wahrscheinlichkeit \(P(C) = \frac{231}{10\,626} \approx 0{,}0217\). 5. Zu d): Urnenmodell: Eine Urne mit \(24\) Kugeln (\(14\) weiß für Sopran, \(10\) schwarz für Alt). Es wird \(4\)-mal ohne Zurücklegen gezogen. Die Reihenfolge ist egal, da es nur um die Zusammensetzung des Quartetts geht.

a) \(P \approx 9{,}42\,\%\) b) \(P \approx 38{,}54\,\%\) c) \(P \approx 2{,}17\,\%\) d) Urne mit \(N=24\) Kugeln, davon \(14\) Typ A und \(10\) Typ B. Stichprobenumfang \(n=4\) ohne Zurücklegen.

- Wenn bestimmte Personen bereits fest im Team sind, wie verändert das die Anzahl der noch zu vergebenden Plätze und die Auswahlmenge? - Welche mathematische Operation verknüpft die Auswahlmöglichkeiten aus zwei verschiedenen Untergruppen? - Was beschreibt der Ausdruck im Zähler, wenn man von der Gesamtzahl alle rein aus Hardware-Experten bestehenden Gruppen abzieht?

1. Für Ereignis \(C\) sind zwei Personen (ein spezieller Hardware- und ein spezieller Software-Experte) gesetzt. Es müssen noch \(3\) weitere Personen aus den restlichen \(13\) Mitarbeitern ausgewählt werden. Dies ergibt \(\binom{13}{3}\) günstige Möglichkeiten bei insgesamt \(\binom{15}{5}\) Kombinationen. Der Term ist \(P(C) = \frac{\binom{13}{3}}{\binom{15}{5}}\). 2. Für Ereignis \(D\) wählt man \(3\) aus \(9\) Hardware-Experten und \(2\) aus \(6\) Software-Experten. Die Anzahl der günstigen Kombinationen ist \(\binom{9}{3} \cdot \binom{6}{2}\). Der Term ist \(P(D) = \frac{\binom{9}{3} \cdot \binom{6}{2}}{\binom{15}{5}}\). 3. Der Term in b) nutzt das Gegenereignis. \(\binom{15}{5}\) ist die Gesamtzahl der Teams. \(\binom{9}{5}\) ist die Anzahl der Teams, die nur aus Hardware-Experten bestehen. Die Subtraktion ergibt die Anzahl der Teams, in denen nicht ausschließlich Hardware-Experten sind, also mindestens ein Software-Experte vertreten ist. Das Ereignis lautet: „Im Team ist mindestens ein Software-Experte.“

a) \(P(C) = \frac{\binom{13}{3}}{\binom{15}{5}}\); \(P(D) = \frac{\binom{9}{3} \cdot \binom{6}{2}}{\binom{15}{5}}\) b) „Das Team enthält mindestens einen Software-Experten.“

- Wann sind alle Ergebnisse eines Versuchs gleich wahrscheinlich? - Wie viele Karten gibt es insgesamt von einer Farbe? - Wie viele Bildkarten gibt es in jeder der vier Farben? - Hast du beachtet, dass manche Karten sowohl eine bestimmte Farbe haben als auch Bildkarten sind?

1. Begründung für Laplace-Modell: Da das Spiel gut gemischt wird und jede unterscheidbare Karte nach demselben Zufallsverfahren gezogen wird, ist die Wahrscheinlichkeit für jede der 52 Karten gleich groß (Symmetrieprinzip). 2. Bestimmung der Gesamtzahl der Ergebnisse: \(|\Omega| = 52\). 3. Anzahl der Pik-Karten: \(n_1 = 13\). 4. Anzahl der Bildkarten (Bube, Dame, König): \(n_2 = 4 \cdot 3 = 12\). 5. Anzahl der Karten, die beide Kriterien erfüllen (Pik-Bilder): \(n_{1 \cap 2} = 3\). 6. Berechnung der günstigen Ergebnisse nach dem Inklusions-Exklusions-Prinzip: \(|E| = 13 + 12 - 3 = 22\). 7. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P(E) = \frac{22}{52} = \frac{11}{26} \approx 0{,}4231\).

a) Es handelt sich um ein Laplace-Experiment, da durch das Mischen jede Karte mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen wird. b) \(P(E) = \frac{11}{26} \approx 42{,}3\,\%\).

- Überlege, welche physikalischen Voraussetzungen erfüllt sein müssen, damit man von gleichen Wahrscheinlichkeiten ausgehen kann. - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der relativen Häufigkeit bei vielen Versuchen und der Wahrscheinlichkeit? - Wie nutzt man eine Wahrscheinlichkeit, um die zu erwartende Anzahl von Treffern in einer großen Stichprobe zu berechnen?

1. Das Laplace-Modell setzt voraus, dass alle Elementarereignisse aufgrund von Symmetrie gleich wahrscheinlich sind. Da eine Reißzwecke keine physikalische Symmetrie aufweist, die beide Lagen gleichberechtigt erscheinen lässt, ist das Modell ungeeignet. 2. Schätzung der Wahrscheinlichkeit über die relative Häufigkeit nach \(1000\) Versuchen: \(P(L) \approx \frac{628}{1000} = 0{,}628\). 3. Schätzung der absoluten Häufigkeit für \(n = 5000\) unter Verwendung der relativen Häufigkeit von \(S\): \(h(S) = \frac{372}{1000} = 0{,}372\) Erwartete Anzahl: \(0{,}372 \cdot 5000 = 1860\).

a) Das Laplace-Modell ist ungeeignet, da die Reißzwecke asymmetrisch ist und somit kein Grund zu der Annahme besteht, dass beide Lagen gleich wahrscheinlich sind. b) \(P(L) \approx 0{,}628\) c) Das Ereignis „Spitze nach oben“ wird voraussichtlich \(1860\)-mal eintreten.

- Worauf musst du achten, wenn du einen Haushalt aus einer Grundgesamtheit auswählst, damit die Auswahl fair modelliert ist? - Was unterscheidet einen beobachteten Stichprobenanteil von einer Größe im theoretischen Modell? - Was besagt das Gesetz der großen Zahlen über viele Wiederholungen desselben Zufallsversuchs?

1. Als Zufallsversuch wird ein Haushalt zufällig aus der Grundgesamtheit der Metropolregion ausgewählt. Das Auswahlverfahren muss so modelliert sein, dass jeder Haushalt die gleiche Auswahlwahrscheinlichkeit besitzt. Dann kann der in der Studie beobachtete Anteil von \(0{,}18\) als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit verwendet werden, dass ein zufällig ausgewählter Haushalt kein Auto besitzt. 2. Die relative Häufigkeit \(0{,}18\) ist ein konkret beobachteter Stichprobenwert. Die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) ist dagegen ein Parameter des mathematischen Modells. Bei wiederholten unabhängigen Zufallsauswahlen unter gleichbleibenden Bedingungen stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten nach dem Gesetz der großen Zahlen mit wachsender Versuchszahl um \(P(E)\). Aus einer einzelnen Studie folgt daher nicht, dass der beobachtete Wert exakt mit der Modellwahrscheinlichkeit übereinstimmt.

a) Ein Haushalt muss zufällig aus der Grundgesamtheit ausgewählt werden, wobei alle Haushalte die gleiche Auswahlwahrscheinlichkeit haben. Der beobachtete Anteil \(0{,}18\) dient dann als Schätzwert für die Modellwahrscheinlichkeit. b) Die relative Häufigkeit ist ein beobachteter Stichprobenwert. Die Wahrscheinlichkeit ist ein Parameter des Modells, um den sich relative Häufigkeiten bei vielen unabhängigen Wiederholungen stabilisieren.

- Wie berechnet man den Anteil eines Ergebnisses an der Gesamtzahl der Versuche? - Wann darf man davon ausgehen, dass alle Möglichkeiten bei einem Experiment gleich wahrscheinlich sind? - Passt die Beobachtung aus dem Versuch zu der theoretischen Erwartung von einem Drittel?

1. Die relative Häufigkeit beträgt \(h = \frac{124}{500} = 0{,}248\). Dieser Wert kann als Schätzer für die Wahrscheinlichkeit \(p\) dienen, da sich relative Häufigkeiten nach dem Gesetz der großen Zahlen bei wachsendem Stichprobenumfang typischerweise um die wahre Wahrscheinlichkeit stabilisieren. 2. Die Laplace-Annahme \(P(\text{rot}) = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\) setzt voraus, dass alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind, was meist durch physikalische Symmetrie oder die Information über eine gleiche Anzahl an Objekten begründet wird. Das empirische Ergebnis \(0{,}248\) weicht deutlich von \(0{,}333\) ab. Da nichts über die tatsächliche Anzahl der Kugeln im Behälter bekannt ist, ist die Laplace-Annahme hier nicht gerechtfertigt; das empirische Ergebnis deutet eher auf eine ungleiche Verteilung der Farben hin.

a) \(h = 0{,}248\). Dieser Wert ist ein naheliegender Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit; seine Genauigkeit lässt sich ohne weitere Unsicherheitsanalyse nicht exakt beurteilen. b) Die Aussage ist falsch, da das Laplace-Prinzip nur bei nachgewiesener Gleichwahrscheinlichkeit (z. B. gleiche Anzahl an Kugeln jeder Farbe) gilt. Das empirische Ergebnis spricht gegen diese Annahme, da \(0{,}248\) deutlich kleiner als \(\frac{1}{3}\) ist.

- Was bedeutet „Laplace-Experiment“ für die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Ergebnisses? - Überlege dir zuerst, welche Zahlen zwischen 1 und 8 Primzahlen sind und welche Quadratzahlen sind. - Wie berechnet man die relative Häufigkeit aus der Anzahl der Treffer und der Gesamtzahl der Versuche? - Denk daran, wie sich Zufallsergebnisse verhalten, wenn man ein Experiment sehr oft wiederholt.

1. Der Ergebnisraum ist \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\) mit \(|\Omega| = 8\). Die Primzahlen in \(\Omega\) sind \(\{2, 3, 5, 7\}\) und die Quadratzahlen sind \(\{1, 4\}\). Die Ergebnismenge für das Ereignis \(A\) ist somit \(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 7\}\). Da \(|A| = 6\), gilt nach der Laplace-Regel \(P(A) = \frac{6}{8} = 0{,}75\). 2. Die empirische Wahrscheinlichkeit entspricht der relativen Häufigkeit \(h(A) = \frac{185}{250}\). Durch Rechnung ergibt sich \(h(A) = 0{,}74\). Der Vergleich zeigt eine geringe Abweichung von \(0{,}01\) zum theoretischen Laplace-Wert. 3. Das Laplace-Modell ist ein theoretisches Konstrukt, das auf Symmetrieannahmen basiert. Die relative Häufigkeit ist ein empirischer Wert aus Beobachtungen. Gemäß dem Gesetz der großen Zahlen stabilisiert sich die relative Häufigkeit bei zunehmender Anzahl der Versuche um den theoretischen Wahrscheinlichkeitswert.

1. \(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 7\}\); \(P(A) = 0{,}75\) 2. \(h(A) = 0{,}74\). Die relative Häufigkeit liegt sehr nah am theoretischen Wert. 3. Die relative Häufigkeit nähert sich nach dem Gesetz der großen Zahlen mit steigender Versuchsanzahl der theoretischen Wahrscheinlichkeit an.

- Überlege dir zuerst, wie viele Personen insgesamt befragt wurden und wie viele davon die genannten Kriterien erfüllen. - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeit eines Einzelnen, wenn alle Ergebnisse „gleich wahrscheinlich“ sind? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen einer beobachteten Häufigkeit in einer Stichprobe und einem theoretischen Modellwert. - Wie verändert sich die Verlässlichkeit einer Beobachtung, wenn man immer mehr Daten sammelt?

1. Bestimmung der Gesamtzahl \(N = 1000\). 2. Berechnung der relativen Häufigkeit für Bahnfahrer: \(h(B) = \frac{180 + 320}{1000} = \frac{500}{1000} = 0{,}5\). 3. Berechnung der relativen Häufigkeit für die Schnittmenge (Pendler und Bahn): \(h(P \cap B) = \frac{180}{1000} = 0{,}18\). 4. Berechnung der bedingten relativen Häufigkeit (Bahn unter Pendler): \(h_P(B) = \frac{180}{420 + 180} = \frac{180}{600} = 0{,}3\). 5. Interpretation als Laplace-Wahrscheinlichkeit: Dies ist möglich, wenn das Zufallsexperiment darin besteht, eine Person so auszuwählen, dass jede der \(1000\) Personen die exakt gleiche Wahrscheinlichkeit (\(p = \frac{1}{1000}\)) hat, gezogen zu werden. 6. Gesetz der großen Zahlen: Die relative Häufigkeit \(h_n(E)\) stabilisiert sich bei einer sehr großen Anzahl an Versuchen (bzw. einer sehr großen Stichprobe) um einen festen Wert, der als die theoretische Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) des Ereignisses interpretiert werden kann.

a) (1) \(0{,}5\); (2) \(0{,}18\); (3) \(0{,}3\) b) Die Interpretation als Laplace-Wahrscheinlichkeit ist zulässig, wenn jede befragte Person mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ausgewählt wird (Modell der herkömmlichen Zufallsauswahl). c) Nach dem Gesetz der großen Zahlen nähert sich die relative Häufigkeit bei steigendem Stichprobenumfang der theoretischen Wahrscheinlichkeit an.

- Was bedeutet das Verhältnis „\(a\) zu \(b\)“ für die Gesamtzahl der möglichen Ausgänge? - Wie hängen die Anzahl der günstigen Ergebnisse und die Anzahl der ungünstigen Ergebnisse mit der Gesamtwahrscheinlichkeit zusammen? - Achte bei Aufgabenteil c) genau auf die Formulierung „gegen einen Gewinn“. - Kannst du eine Dezimalzahl in einen gekürzten Bruch umwandeln, um das Verhältnis leichter zu finden?

1. Bei Chancen von \(3\) zu \(5\) kommen auf \(3\) Gewinne insgesamt \(5\) Verluste. Die Gesamtzahl der Fälle ist \(3 + 5 = 8\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(G) = \frac{3}{8} = 0{,}375\). 2. Die Wahrscheinlichkeit \(P(E) = 0{,}375 = \frac{375}{1\,000} = \frac{3}{8}\). Das bedeutet, bei \(8\) Versuchen gibt es \(3\) Erfolge und \(8 - 3 = 5\) Misserfolge. Die Chancen stehen somit \(3\) zu \(5\). 3. „Chancen gegen einen Gewinn“ von \(9\) zu \(1\) bedeutet \(9\) Verluste auf \(1\) Gewinn. Die Gesamtzahl der Fälle ist \(10\). Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist \(P(G) = \frac{1}{10} = 0{,}1\). 4. Bei Chancen von \(x\) zu \(y\) entfallen \(x\) günstige Ausgänge auf \(y\) ungünstige Ausgänge. Die Gesamtzahl der gleichwahrscheinlichen Ausgänge ist \(x + y\). Daraus ergibt sich die Wahrscheinlichkeit \(P(G) = \frac{x}{x + y}\).

a) \(P(G) = \frac{3}{8} = 0{,}375\) b) \(3\) zu \(5\) c) \(P(G) = \frac{1}{10} = 0{,}1\) d) \(P(G) = \frac{x}{x + y}\)

- Wie hängen die absolute Häufigkeit, die Gesamtzahl der Versuche und die relative Häufigkeit zusammen? - Erinnere dich an die Formel für den Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße. - Was kennzeichnet ein Laplace-Experiment hinsichtlich der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse? - Überlege, wie du den Durchschnitt der möglichen Augenzahlen bei gleicher Wahrscheinlichkeit berechnest.

1. Berechnung der relativen Häufigkeiten als Schätzwerte für die Wahrscheinlichkeiten \(P(X=i) = \frac{H_n(i)}{n}\) mit \(n = 1000\): \(P(X=1) \approx 0{,}21\); \(P(X=2) \approx 0{,}29\); \(P(X=3) \approx 0{,}24\); \(P(X=4) \approx 0{,}26\). 2. Berechnung des empirischen Erwartungswerts: \(E(X) = 1 \cdot 0{,}21 + 2 \cdot 0{,}29 + 3 \cdot 0{,}24 + 4 \cdot 0{,}26 = 0{,}21 + 0{,}58 + 0{,}72 + 1{,}04 = 2{,}55\). 3. Der theoretische Erwartungswert eines idealen Tetraeders (Laplace-Experiment) beträgt \(E_{Laplace}(X) = \frac{1+2+3+4}{4} = 2{,}5\). Der empirische Wert liegt um \(0{,}05\) höher als der theoretische Wert.

1. \(P(X=1) \approx 0{,}21\); \(P(X=2) \approx 0{,}29\); \(P(X=3) \approx 0{,}24\); \(P(X=4) \approx 0{,}26\) 2. \(E(X) = 2{,}55\) 3. \(E_{Laplace}(X) = 2{,}5\); der Schätzwert ist geringfügig größer.

- Was bedeutet „mindestens ein Fehler“ mathematisch für die Werte von \(X\)? - Du kannst die Wahrscheinlichkeit für „mindestens einen Fehler“ entweder durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten oder über das Gegenereignis finden. - Berechne zuerst, wie viele Fehler man im Durchschnitt pro einzelner Platine erwartet. - Wie skaliert man den Erwartungswert einer einzelnen Platine auf eine größere Menge?

1. Berechnung der relativen Häufigkeiten bei \(n = 4000\): \(P(X=0) \approx \frac{3600}{4000} = 0{,}90\) \(P(X=1) \approx \frac{320}{4000} = 0{,}08\) \(P(X=2) \approx \frac{80}{4000} = 0{,}02\) 2. Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Fehler: \(P(X \ge 1) = P(X=1) + P(X=2) = 0{,}08 + 0{,}02 = 0{,}10\) (oder über das Gegenereignis \(1 - P(X=0) = 0{,}10\)). 3. Erwartungswert der Fehler pro Platine: \(E(X) = 0 \cdot 0{,}90 + 1 \cdot 0{,}08 + 2 \cdot 0{,}02 = 0{,}12\). Gesamtzahl der Fehler bei \(500\) Platinen: \(500 \cdot E(X) = 500 \cdot 0{,}12 = 60\).

1. \(P(X=0) \approx 0{,}90\); \(P(X=1) \approx 0{,}08\); \(P(X=2) \approx 0{,}02\) 2. \(P(X \ge 1) \approx 0{,}10\) 3. Es sind insgesamt \(60\) Fehler zu erwarten.

- Überlege dir, wie viele gleich wahrscheinliche Ergebnisse der Würfel hat und wie viele davon eintreten müssen, um die Zielwahrscheinlichkeit zu erreichen. - Kannst du die Wahrscheinlichkeit \(0{,}4\) als Bruch mit dem Nenner \(6\) schreiben? - Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es insgesamt, wenn man einen Würfel zweimal nacheinander wirft? - Erstelle eine Liste oder eine Tabelle für alle möglichen Paare beim zweifachen Wurf, um die Anzahl der günstigen Ergebnisse zu bestimmen.

1. Da ein fairer Würfel sechs gleich wahrscheinliche Ergebnisse hat (\(P(\omega) = \frac{1}{6}\)), entspricht die Wahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{3}\) genau \(\frac{2}{6}\). Man ordnet daher zwei beliebige Augenzahlen (z. B. \(1\) und \(2\)) dem Erfolg zu. 2. Bei einem Laplace-Würfel muss jede Wahrscheinlichkeit ein Vielfaches von \(\frac{1}{6}\) sein. Die Gleichung \(\frac{k}{6} = 0{,}4 = \frac{2}{5}\) führt zu \(5k = 12\). Da \(k = 2{,}4\) keine ganze Zahl ist, kann keine Teilmenge der Ergebnisse die geforderte Wahrscheinlichkeit exakt abbilden. 3. Beim zweimaligen Werfen gibt es \(6 \cdot 6 = 36\) gleich wahrscheinliche Elementarereignisse. Wegen \(0{,}25 \cdot 36 = 9\) muss man eine Menge von genau \(9\) Paaren als „Erfolg“ definieren. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn bei beiden Würfen jeweils nur die Augenzahlen \(1\), \(2\) oder \(3\) auftreten (\(3 \cdot 3 = 9\) Kombinationen).

a) Man definiert zwei Augenzahlen (z. B. \(1\) und \(2\)) als Erfolg. b) Da \(0{,}4 = \frac{2}{5}\) und \(\frac{k}{6} = \frac{2}{5}\) keine ganzzahlige Lösung für \(k\) besitzt, ist eine exakte Simulation unmöglich. c) Man wirft zweimal (\(36\) Möglichkeiten) und definiert \(9\) dieser Ergebnisse als Erfolg, zum Beispiel wenn beide Augenzahlen kleiner oder gleich \(3\) sind.

- Stell dir vor, du betrachtest die 6 Deckel nacheinander. Wie groß ist jeweils die Wahrscheinlichkeit, ein noch nicht aufgetretenes Motiv zu erhalten? - Nutze das Gegenereignis, um die Rechnung für „mindestens zwei“ zu vereinfachen. - Was besagt das Gesetz der großen Zahlen über relative Häufigkeiten bei vielen Wiederholungen?

1. Die Gesamtzahl der geordneten Möglichkeiten bei 6 Deckeln und 25 Motiven ist \(25^6\). Die Anzahl der Möglichkeiten ohne Wiederholung ist \(25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20\). 2. \(P(\text{keine Doppelten}) = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20}{25^6} = \frac{127\,512\,000}{244\,140\,625} \approx 0{,}5223\). 3. Das Ereignis „mindestens zwei gleiche“ ist das Gegenereignis zu „keine doppelten“. Daher gilt \(P(\text{mindestens zwei gleiche}) = 1 - 0{,}5223 = 0{,}4777\). 4. Simulationen liefern relative Häufigkeiten, die zufälligen Schwankungen unterliegen. Bei 1000 Durchläufen ist deshalb im Allgemeinen eine Abweichung vom theoretischen Wert zu erwarten.

a) \(P \approx 52{,}23\,\%\) b) \(P \approx 47{,}77\,\%\) c) Die relative Häufigkeit einer Simulation schwankt zufällig um die theoretische Wahrscheinlichkeit und stimmt daher meist nicht exakt mit ihr überein.

- Wie lässt sich eine Liste so mischen, dass jede Permutation gleich wahrscheinlich ist? - Erinnere dich an die Definition der relativen Häufigkeit: Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch die Gesamtzahl der Versuche. - Was besagt das Gesetz der großen Zahlen, und was garantiert es nicht für eine einzelne endliche Simulation?

1. In jedem Durchlauf wird eine zufällige Permutation der Zahlen von 1 bis 100 erzeugt. Anschließend wird geprüft, ob es mindestens eine Position \(i\) gibt, an der der Wert \(i\) steht. Das Ergebnis „mindestens ein Fixpunkt“ wird gezählt. Dieser Ablauf wird vielfach wiederholt. 2. Die relative Häufigkeit beträgt \(h_n(A) = \frac{3\,162}{5\,000} = 0{,}6324\). 3. Der Schätzwert \(0{,}6324\) liegt in dieser Simulation sehr nahe am theoretischen Wert \(0{,}6321\); die Abweichung beträgt \(0{,}0003\). Das Gesetz der großen Zahlen erklärt die Stabilisierung relativer Häufigkeiten bei vielen Wiederholungen, garantiert aber nicht, dass jede Simulation mit \(5\,000\) Durchläufen eine ähnlich kleine Abweichung liefert.

a) Erzeuge wiederholt zufällige Permutationen der Zahlen von 1 bis 100 und prüfe jeweils, ob mindestens ein Wert an seiner eigenen Position steht. b) Die relative Häufigkeit beträgt \(0{,}6324\). c) Der Schätzwert liegt in dieser Simulation sehr nahe am theoretischen Wert; daraus folgt jedoch keine Genauigkeitsgarantie für jede Simulation mit demselben Umfang.

- Stelle dir die Ergebnismenge als Tabelle oder Gitter vor. - Überlege bei Teilaufgabe b), ob es einfacher ist, das Gegenereignis zu betrachten oder den Additionssatz zu nutzen. - Welche Zahlen zwischen 1 und 12 lassen sich als \(2^k\) schreiben? - Prüfe beim Produkt genau, welche Primfaktoren in den Augenzahlen enthalten sein dürfen.

1. Der Ergebnisraum \(\Omega\) hat eine Mächtigkeit von \(|\Omega| = 8 \cdot 12 = 96\). 2. Für Ereignis a) (Summe 10) gibt es die günstigen Paare \((O, D)\): \((2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (7, 3), (8, 2)\) und \((1, 9)\). Da alle zweiten Komponenten im Bereich 1 bis 12 liegen, gibt es 8 günstige Ergebnisse. \(P(A) = \frac{8}{96} = \frac{1}{12}\). 3. Für Ereignis b) nutzt man den Additionssatz: \(P(O=7 \cup D=7) = P(O=7) + P(D=7) - P(O=7 \cap D=7) = \frac{1}{8} + \frac{1}{12} - \frac{1}{96} = \frac{12 + 8 - 1}{96} = \frac{19}{96}\). 4. Für Ereignis c) müssen beide Augenzahlen selbst Zweierpotenzen sein, da Primfaktoren außer 2 nicht vorkommen dürfen. Mögliche Werte für \(O\) sind \(\{1, 2, 4, 8\}\) (4 Werte) und für \(D\) ebenfalls \(\{1, 2, 4, 8\}\) (4 Werte). Die Anzahl der Kombinationen ist \(4 \cdot 4 = 16\). \(P(C) = \frac{16}{96} = \frac{1}{6}\).

a) \(P = \frac{1}{12} \approx 0{,}0833\) b) \(P = \frac{19}{96} \approx 0{,}1979\) c) \(P = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667\)

- Überlege dir, wie viele mögliche Ergebnisse es insgesamt beim Wurf von zwei achtseitigen Würfeln gibt. - Ist es einfacher, die günstigen Ergebnisse direkt zu zählen oder über das Ereignis „keiner der Würfel erfüllt die Bedingung“ zu gehen? - Welche Zahlen zwischen 1 und 8 sind Primzahlen? Denke daran, dass die 1 per Definition keine Primzahl ist. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten der Einzelwürfe mit dem Gesamtergebnis zusammen, wenn die Würfel sich nicht gegenseitig beeinflussen?

1. Für einen einzelnen Würfel ist die Ergebnismenge \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\). Da die Würfe unabhängig sind, berechnet sich die Wahrscheinlichkeit für „mindestens einer“ über das Gegenereignis: \(P(E) = 1 - q^2\), wobei \(q\) die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein einzelner Würfel die jeweilige Bedingung nicht erfüllt. 2. Zu (1): Die Wahrscheinlichkeit für eine 8 ist \(p = \frac{1}{8}\). Die Wahrscheinlichkeit, dass keine 8 erscheint, ist \(q = \frac{7}{8}\). Somit gilt \(P(\text{mind. eine 8}) = 1 - (\frac{7}{8})^2 = 1 - \frac{49}{64} = \frac{15}{64}\). 3. Zu (2): Die Primzahlen im Bereich 1 bis 8 sind \(\{2, 3, 5, 7\}\), also \(p = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\). Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis ist ebenfalls \(\frac{1}{2}\). Somit gilt \(P(\text{mind. eine Primzahl}) = 1 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4}\). 4. Zu (3): Die Augenzahlen kleiner als 3 sind \(\{1, 2\}\), also \(p = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\). Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis ist \(q = \frac{3}{4}\). Somit gilt \(P(\text{mind. eine } < 3) = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}\).

(1) \(P = \frac{15}{64} \approx 0{,}2344\) (2) \(P = \frac{3}{4} = 0{,}75\) (3) \(P = \frac{7}{16} = 0{,}4375\)

- Welche Zahlen von 1 bis 10 erfüllen mindestens eine der beiden Bedingungen? - Achte darauf, Zahlen, die beide Bedingungen erfüllen, nicht doppelt zu zählen. - Wie berechnet man das Verhältnis von beobachteten Treffern zur Gesamtzahl der Versuche? - Berücksichtige bei der Beurteilung, dass Zufallsexperimente immer natürlichen Schwankungen unterliegen.

1. Grundmenge \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\) mit \(|S| = 10\). 2. Teilmenge der Primzahlen \(A = \{2, 3, 5, 7\}\) und Teilmenge der ungeraden Zahlen \(B = \{1, 3, 5, 7, 9\}\). 3. Bestimmung der Vereinigungsmenge \(E = A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 9\}\). Es gilt \(|E| = 6\). 4. Theoretische Wahrscheinlichkeit: \(P(E) = \frac{|E|}{|S|} = \frac{6}{10} = 0{,}6\). 5. Relative Häufigkeit: \(h_{200}(E) = \frac{132}{200} = 0{,}66\). 6. Vergleich und Beurteilung: Die Abweichung beträgt \(0{,}06\) bzw. \(6\,\text{Prozentpunkte}\). Bei \(200\) Versuchen liegen solche Schwankungen im üblichen Bereich des Zufalls (Gesetz der großen Zahlen). Die Annahme eines idealen Glücksrads muss daher nicht zwingend verworfen werden, auch wenn die empirische Häufigkeit leicht über dem Erwartungswert liegt.

a) \(P(E) = 0{,}6\) b) \(h_{200}(E) = 0{,}66\). Die relative Häufigkeit ist um \(0{,}06\) höher als die theoretische Wahrscheinlichkeit. c) Die Abweichung ist geringfügig und kann durch Zufallsschwankungen erklärt werden; das Laplace-Modell bleibt plausibel.

- Welche Zahlen zwischen 1 und 20 sind Primzahlen? Beachte, dass die 1 keine Primzahl ist. - Die relative Häufigkeit berechnet sich aus der Anzahl der Treffer geteilt durch die Gesamtzahl der Versuche. - Überlege bei Teilaufgabe c), ob es Zahlen gibt, die beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen. - Wenn zwei Ereignisse keine gemeinsamen Ergebnisse haben, nennt man sie disjunkt.

1. Die Primzahlen bis 20 sind \(\{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19\}\). Es gibt 8 Primzahlen bei 20 möglichen Ergebnissen, also \(P(L) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0{,}4\). 2. Die relative Häufigkeit ist \(h(L) = \frac{195}{500} = 0{,}39\). Die absolute Differenz beträgt \(|0{,}4 - 0{,}39| = 0{,}01\). 3. Sei \(K\) das Ereignis „durch 4 teilbar“, also \(K = \{4; 8; 12; 16; 20\}\) mit \(|K| = 5\). Da keine Primzahl durch 4 teilbar ist, gilt \(L \cap K = \emptyset\). Für disjunkte Ereignisse gilt daher \(P(M) = P(L \cup K) = P(L) + P(K) = \frac{8}{20} + \frac{5}{20} = \frac{13}{20} = 0{,}65\).

a) \(P(L) = 0{,}4\) b) \(h(L) = 0{,}39\); absolute Differenz: \(0{,}01\) c) \(P(M) = 0{,}65\). Die Ereignisse „Primzahl“ und „durch 4 teilbar“ sind disjunkt, daher werden ihre Wahrscheinlichkeiten addiert.

- Überlege dir zuerst, wie viele mögliche Ergebnisse es insgesamt beim dreimaligen Werfen eines achtseitigen Würfels gibt. - Bei „kleiner als“ Aufgaben kann es helfen, alle Kombinationen systematisch aufzuschreiben, deren Summe den Bedingungen entspricht. - Das Wort „mindestens“ ist oft ein Signal, das Gegenereignis zu betrachten. Wie sieht das Gegenteil von „mindestens einmal die 8“ aus? - Wenn alle Zahlen verschieden sein sollen, wie viele Möglichkeiten hast du dann noch für den zweiten und dritten Wurf, nachdem die erste Zahl feststeht?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Ergebnisse: \(8^3 = 512\). Bestimmung der günstigen Ergebnisse für die Augensumme \(S < 6\): Für \(S=3\) gibt es \((1,1,1)\) (1 Möglichkeit). Für \(S=4\) gibt es \((1,1,2), (1,2,1), (2,1,1)\) (3 Möglichkeiten). Für \(S=5\) gibt es \((1,1,3), (1,3,1), (3,1,1), (1,2,2), (2,1,2), (2,2,1)\) (6 Möglichkeiten). Gesamtzahl günstiger Ergebnisse: \(1 + 3 + 6 = 10\). Wahrscheinlichkeit: \(P(S < 6) = \frac{10}{512} = \frac{5}{256} \approx 0{,}0195\). 2. Verwendung des Gegenereignisses „Die 8 tritt keinmal auf“. Wahrscheinlichkeit für keine 8 pro Wurf: \(\frac{7}{8}\). Wahrscheinlichkeit für keine 8 bei drei Würfen: \((\frac{7}{8})^3 = \frac{343}{512}\). Wahrscheinlichkeit für mindestens eine 8: \(1 - \frac{343}{512} = \frac{169}{512} \approx 0{,}3301\). 3. Berechnung der günstigen Fälle für unterschiedliche Zahlen: Für den ersten Wurf gibt es 8 Möglichkeiten, für den zweiten 7 und für den dritten 6. Anzahl günstiger Ergebnisse: \(8 \cdot 7 \cdot 6 = 336\). Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{verschieden}) = \frac{336}{512} = \frac{21}{32} = 0{,}65625\).

1. \(P(S < 6) = \frac{5}{256} \approx 1{,}95\,\%\) 2. \(P(\text{mind. eine 8}) = \frac{169}{512} \approx 33{,}01\,\%\) 3. \(P(\text{alle verschieden}) = \frac{21}{32} = 65{,}625\,\%\)

- Wie viele mögliche Zahlenpaare gibt es insgesamt bei zwei Würfen? - Notiere dir systematisch alle Paare, die die jeweilige Bedingung erfüllen. - Wann darf man die Formel „Anzahl günstige durch Anzahl mögliche Ergebnisse“ anwenden? - Überlege, ob jede Summe auf gleich viele Arten zustande kommen kann.

1. Ein zweifacher Würfelwurf hat \(6 \cdot 6 = 36\) gleichwahrscheinliche Elementarereignisse. - Für \(E_1\) (Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11) ergeben sich folgende Paare: (1,1), (1,2), (2,1), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (5,6), (6,5). Das sind 15 günstige Ergebnisse. \(P(E_1) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \approx 0{,}4167\). - Für \(E_2\) (Produkt durch 4 teilbar) sind günstig: (1,4), (2,2), (2,4), (2,6), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,4), (6,2), (6,4), (6,6). Das sind 15 günstige Ergebnisse. \(P(E_2) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \approx 0{,}4167\). 2. Die Aussage ist falsch. Ein Laplace-Experiment setzt voraus, dass alle betrachteten Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. Während die 36 Paare von Augenzahlen (z. B. (1,2) und (3,3)) gleichwahrscheinlich sind, gilt dies nicht für die daraus resultierenden Summen. So gibt es für die Summe 7 sechs günstige Paare, für die Summe 2 jedoch nur eines. Die Summen sind daher keine Laplace-Ereignisse bezüglich der Ergebnismenge \(\{2, 3, \dots, 12\}\).

1. \(P(E_1) = \frac{5}{12}\); \(P(E_2) = \frac{5}{12}\) 2. Die Aussage ist falsch, da die verschiedenen Augensummen nicht gleichwahrscheinlich sind (die 36 Elementarereignisse des Wurfs hingegen schon).

- Erstelle eine Tabelle oder eine Liste, um die günstigen Paare für die Differenz zu finden. - Bei „mindestens“-Aufgaben ist es oft einfacher, das Gegenteil zu berechnen. - Was bedeutet „relative Häufigkeit“ im Vergleich zur theoretischen Wahrscheinlichkeit? - Bedenke, dass bei Zufallsexperimenten die beobachteten Werte selten exakt die theoretischen Werte treffen.

1. Die Gesamtzahl der gleichwahrscheinlichen Ergebnisse beträgt \(8 \cdot 8 = 64\). Günstige Ergebnisse für eine Differenz von 2 sind: (1,3), (2,4), (3,5), (4,6), (5,7), (6,8) sowie die umgekehrten Paare (3,1), (4,2), (5,3), (6,4), (7,5), (8,6). Dies sind 12 Paare. \(P(\text{Diff}=2) = \frac{12}{64} = \frac{3}{16} = 0{,}1875\). 2. Das Gegenereignis ist „keine 7 und keine 8“, also beide Zahlen aus \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Dafür gibt es \(6 \cdot 6 = 36\) Möglichkeiten. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse für das Ereignis selbst ist \(64 - 36 = 28\). \(P(\text{mind. eine 7 oder 8}) = \frac{28}{64} = \frac{7}{16} = 0{,}4375\). 3. Die relative Häufigkeit beträgt \(h = \frac{4120}{10\,000} = 0{,}412\). Der theoretische Wert liegt bei \(0{,}4375\). Die Abweichung beträgt \(0{,}4375 - 0{,}412 = 0{,}0255\), also \(2{,}55\) Prozentpunkte. Für \(10\,000\) Versuche ist diese Abweichung auffällig groß; die Simulation oder das zugrunde gelegte Modell sollte überprüft werden.

1. \(P = \frac{3}{16} = 0{,}1875\) 2. \(P = \frac{7}{16} = 0{,}4375\) 3. Relative Häufigkeit: \(0{,}412\). Die Abweichung zum theoretischen Wert (\(0{,}4375\)) ist für \(10\,000\) Versuche auffällig groß; Simulation und Modell sollten überprüft werden.

- Bestimme zuerst die Anzahl aller möglichen 6-Personen-Teams, die man aus 30 Mitgliedern bilden kann. - Für Teil a) betrachte nur die Gruppe der Männer als Auswahlpool für das Team. - Für Teil b) musst du die Auswahlmöglichkeiten für die Frauen und die Männer getrennt berechnen und dann verknüpfen. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, die Anzahl der Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge zu bestimmen?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, 6 Personen aus 30 auszuwählen: \(\binom{30}{6} = 593\,775\). 2. Für Aufgabenteil a): Anzahl der Möglichkeiten, 6 Männer aus 18 auszuwählen: \(\binom{18}{6} = 18\,564\). 3. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich als \(P(\text{nur Männer}) = \frac{18\,564}{593\,775} \approx 0{,}0313\). 4. Für Aufgabenteil b): Anzahl der Möglichkeiten, 3 Frauen aus 12 (\(\binom{12}{3} = 220\)) und 3 Männer aus 18 (\(\binom{18}{3} = 816\)) auszuwählen. 5. Berechnung der günstigen Fälle durch Multiplikation: \(220 \cdot 816 = 179\,520\). 6. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{3 Frauen, 3 Männer}) = \frac{179\,520}{593\,775} \approx 0{,}3023\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(3{,}13\,\%\) (exakt \(\frac{18\,564}{593\,775} = \frac{6\,188}{197\,925}\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(30{,}23\,\%\) (exakt \(\frac{179\,520}{593\,775} = \frac{11\,968}{39\,585}\)).

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, eine Gruppe dieser Größe aus der Gesamtzahl der Personen zu bilden. - Bei Teilaufgabe a) kombinierst du die Auswahlmöglichkeiten für die beiden Untergruppen. - Was bedeutet „mindestens 5“ für die möglichen Anzahlen von Männern in der Gruppe? - Schau dir die Zahlen im Bruch bei c) genau an und vergleiche sie mit den Gruppengrößen.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, 6 Personen aus 25 auszuwählen: \(\binom{25}{6} = 177\,100\). 2. Für genau 3 Frauen und 3 Männer: Anzahl der günstigen Ergebnisse ist \(\binom{15}{3} \cdot \binom{10}{3} = 455 \cdot 120 = 54\,600\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(A) = \frac{54\,600}{177\,100} \approx 0{,}3083\). 3. Für mindestens 5 Männer gibt es zwei Fälle: 5 Männer (und 1 Frau) oder 6 Männer (und 0 Frauen). Anzahl für 5 Männer: \(\binom{10}{5} \cdot \binom{15}{1} = 252 \cdot 15 = 3\,780\). Anzahl für 6 Männer: \(\binom{10}{6} \cdot \binom{15}{0} = 210 \cdot 1 = 210\). Gesamtzahl günstiger Ergebnisse: \(3\,780 + 210 = 3\,990\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(B) = \frac{3\,990}{177\,100} \approx 0{,}0225\). 4. Der Term \( \frac{\binom{15}{6}}{\binom{25}{6}} \) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass alle 6 gewählten Mitglieder Frauen sind. Hierbei werden 6 Personen aus der Gruppe der 15 Frauen ausgewählt, bezogen auf alle möglichen 6er-Gruppen aus 25 Personen.

a) \( P \approx 30{,}83\,\% \) b) \( P \approx 2{,}25\,\% \) c) Die Wahrscheinlichkeit, dass das Gremium ausschließlich aus Frauen besteht.

- Stelle dir vor, die erste Gruppe steht bereits fest. Wie viele Personen aus dieser Gruppe können nun in die zweite Gruppe gewählt werden? - Handelt es sich um ein Experiment mit oder ohne Zurücklegen, wenn Personen für eine Gruppe ausgewählt werden? - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Treffer, wenn man aus einer begrenzten Menge ohne Zurücklegen zieht? - Überlege, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, 6 Personen aus 24 auszuwählen.

1. Modellierung als Ziehen ohne Zurücklegen: Die erste Gruppe von \(6\) Jugendlichen wird als „markiert“ betrachtet. Aus der Gesamtheit von \(N = 24\) Jugendlichen werden für die zweite Gruppe \(n = 6\) Personen ausgewählt. Die Anzahl der Übereinstimmungen \(X\) ist hypergeometrisch verteilt mit \(N = 24\), \(M = 6\) (markierte Personen) und \(n = 6\) (Stichprobenumfang). 2. Berechnung für Teilaufgabe a): \(P(X = 2) = \frac{\binom{6}{2} \cdot \binom{18}{4}}{\binom{24}{6}}\). Mit \(\binom{6}{2} = 15\), \(\binom{18}{4} = 3\,060\) und \(\binom{24}{6} = 134\,596\) ergibt sich \(P(X = 2) = \frac{45\,900}{134\,596} \approx 0{,}3410\). 3. Berechnung für Teilaufgabe b): \(P(X = 0) = \frac{\binom{6}{0} \cdot \binom{18}{6}}{\binom{24}{6}}\). Mit \(\binom{6}{0} = 1\) und \(\binom{18}{6} = 18\,564\) ergibt sich \(P(X = 0) = \frac{18\,564}{134\,596} \approx 0{,}1379\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(34{,}10\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(13{,}79\,\%\).

- Stelle dir die Wahrscheinlichkeit als Kette von Brüchen vor, wobei bei jedem Schritt eine Option weniger zur Verfügung steht. - Vergleiche die berechnete Wahrscheinlichkeit mit dem Wert \(0{,}5\). - Was passiert, wenn du öfter drehst, als es überhaupt unterschiedliche Zahlen auf dem Rad gibt?

1. Berechnung für \(k = 12\) und \(n = 4\): Wahrscheinlichkeit für lauter verschiedene Zahlen: \(P(\text{verschieden}) = \frac{12}{12} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{10}{12} \cdot \frac{9}{12} = \frac{1320 \cdot 9}{20\,736} = \frac{11\,880}{20\,736} \approx 0{,}573\). Die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Wiederholung ist das Gegenereignis: \(P(\text{Wiederholung}) = 1 - 0{,}5729 \approx 0{,}427\). Da \(0{,}573 > 0{,}427\), ist es wahrscheinlicher, dass alle Zahlen verschieden sind. 2. Da es nur 12 verschiedene Felder gibt, muss nach dem Schubfachprinzip (Dirichlet-Prinzip) bei 13 Drehungen mindestens ein Feld doppelt auftreten. Die Wahrscheinlichkeit für lauter unterschiedliche Ergebnisse ist daher \(0\).

1. Es ist wahrscheinlicher, dass alle Zahlen verschieden sind (\(P \approx 57{,}3\,\%\) gegenüber \(P \approx 42{,}7\,\%\)). 2. Die Wahrscheinlichkeit ist \(0\), da bei 13 Drehungen und nur 12 Möglichkeiten zwingend eine Wiederholung auftreten muss.

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, eine bestimmte Anzahl an Bauteilen aus der Gesamtmenge auszuwählen. - Wie viele Wege gibt es, genau die gewünschte Anzahl an fehlerhaften und die restlichen intakten Bauteile zu ziehen? - Kannst du ein Gegenereignis nutzen, um die Rechnung bei „mindestens“ zu vereinfachen?

Es handelt sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen, was mit der hypergeometrischen Verteilung modelliert wird. Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(8\) Chips aus \(40\) auszuwählen, beträgt \(\binom{40}{8} = 76\,904\,685\). 1. Für genau \(2\) defekte Chips müssen \(2\) aus den \(6\) defekten und \(6\) aus den \(34\) intakten Chips gewählt werden: \(P(X=2) = \frac{\binom{6}{2} \cdot \binom{34}{6}}{\binom{40}{8}} = \frac{15 \cdot 1\,344\,904}{76\,904\,685} \approx 0{,}2623\). 2. Für keinen defekten Chip werden alle \(8\) Chips aus den \(34\) intakten gewählt: \(P(X=0) = \frac{\binom{6}{0} \cdot \binom{34}{8}}{\binom{40}{8}} = \frac{1 \cdot 18\,156\,204}{76\,904\,685} \approx 0{,}2361\). 3. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen defekten Chip ergibt sich über das Gegenereignis zu keinem defekten Chip: \(P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - \frac{18\,156\,204}{76\,904\,685} \approx 0{,}7639\).

a) ca. \(26{,}23\,\%\) b) ca. \(23{,}61\,\%\) c) ca. \(76{,}39\,\%\)

- Da die Geräte gleichzeitig entnommen werden, spielt die Reihenfolge keine Rolle. Welches mathematische Werkzeug hilft dir beim Zählen von Kombinationen? - Überlege dir für jedes Ereignis, wie viele Möglichkeiten es gibt, die gewünschten Marken zu ziehen und wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt. - Wenn eine Marke gar nicht dabei sein soll, aus welchem Pool von Geräten musst du dann die gesamte Stichprobe ziehen? - Wenn genau eine bestimmte Anzahl einer Marke gesucht ist, musst du auch berücksichtigen, woher die restlichen Geräte der Stichprobe kommen.

Da die Auswahl „mit einem Griff“ erfolgt, handelt es sich um Ziehen ohne Zurücklegen, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt. Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, 5 aus 25 Geräten auszuwählen, ist \(\binom{25}{5} = 53\,130\). 1. Für genau zwei Geräte von Marke A und drei von Marke B: Es müssen 2 aus 12 (Marke A) und 3 aus 8 (Marke B) gewählt werden. Die Anzahl der günstigen Möglichkeiten ist \(\binom{12}{2} \cdot \binom{8}{3} = 66 \cdot 56 = 3696\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{3696}{53\,130} \approx 0{,}0696\). 2. Für kein Gerät von Marke C: Es werden alle 5 Geräte aus den restlichen 20 Geräten (Marken A und B) gewählt. Anzahl der günstigen Möglichkeiten: \(\binom{20}{5} = 15\,504\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{15\,504}{53\,130} \approx 0{,}2918\). 3. Für genau zwei Geräte von Marke C: Es werden 2 aus 5 (Marke C) und die restlichen 3 aus den anderen 20 Geräten gewählt. Anzahl der günstigen Möglichkeiten: \(\binom{5}{2} \cdot \binom{20}{3} = 10 \cdot 1140 = 11\,400\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{11\,400}{53\,130} \approx 0{,}2146\).

a) \(P = \frac{3696}{53\,130} \approx 0{,}0696\) (oder \(6{,}96\,\%\)) b) \(P = \frac{15\,504}{53\,130} \approx 0{,}2918\) (oder \(29{,}18\,\%\)) c) \(P = \frac{11\,400}{53\,130} \approx 0{,}2146\) (oder \(21{,}46\,\%\))

- Ein Tetraederwürfel hat 4 gleichberechtigte Flächen. Wie viele Kombinationen gibt es bei zwei Würfen? - Erstelle am besten eine kleine Tabelle oder ein Baumdiagramm, um alle Paare und deren Summen übersichtlich darzustellen. - Erinnere dich an die Axiome von Kolmogorow: Welche Bedingungen betreffen Nichtnegativität und Normierung, und wie lässt sich die Additivität für disjunkte Ereignisse aus den Einzelwahrscheinlichkeiten begründen? - Warum ist es einfacher zu rechnen, wenn jedes Element in der Menge die gleiche Chance hat?

1. Aufstellen von \(S_A = \{(1,1), (1,2), \dots, (4,4)\}\). Die Mächtigkeit beträgt \(|S_A| = 4^2 = 16\). Da der Würfel ideal ist und die Würfe unabhängig sind, ist jedes Paar gleichwahrscheinlich (\(P = \frac{1}{16}\)), was die Laplace-Annahme rechtfertigt. 2. Bestimmung von \(S_B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\). Durch Abzählen der günstigen Paare aus \(S_A\) ergeben sich: \(P(2) = \frac{1}{16}\); \(P(3) = \frac{2}{16}\); \(P(4) = \frac{3}{16}\); \(P(5) = \frac{4}{16}\); \(P(6) = \frac{3}{16}\); \(P(7) = \frac{2}{16}\); \(P(8) = \frac{1}{16}\). 3. Prüfung der Axiome: Alle \(P(i) \ge 0\) sind erfüllt. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist \(\frac{1+2+3+4+3+2+1}{16} = \frac{16}{16} = 1\). Definiert man für jedes Ereignis \(E \subseteq S_B\) die Wahrscheinlichkeit als Summe der zugehörigen Einzelwahrscheinlichkeiten, so gilt für disjunkte Ereignisse \(E\) und \(F\) außerdem \(P(E \cup F)=P(E)+P(F)\). Damit sind Nichtnegativität, Normiertheit und Additivität erfüllt. 4. Vorteil: Eine Laplace-Ergebnismenge erlaubt die einfache Berechnung von Wahrscheinlichkeiten komplexerer Ereignisse durch bloßes Abzählen („Anzahl günstiger durch Anzahl möglicher Ergebnisse“), während in nicht-Laplace-Räumen wie \(S_B\) die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Elemente erst mühsam hergeleitet werden müssen.

a) \(S_A = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), \dots, (4,4)\}\); \(|S_A| = 16\). Laplace, da alle Paare bei einem idealen Würfel gleichwahrscheinlich sind. b) \(S_B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\) mit \(P(2)=\frac{1}{16}\), \(P(3)=\frac{2}{16}\), \(P(4)=\frac{3}{16}\), \(P(5)=\frac{4}{16}\), \(P(6)=\frac{3}{16}\), \(P(7)=\frac{2}{16}\), \(P(8)=\frac{1}{16}\). c) Ja. Die Einzelwahrscheinlichkeiten sind nichtnegativ und summieren sich zu \(1\); Ereigniswahrscheinlichkeiten werden als Summen der Einzelwahrscheinlichkeiten definiert und sind für disjunkte Ereignisse additiv. d) In Laplace-Räumen können Wahrscheinlichkeiten durch einfaches Abzählen bestimmt werden.

- Welche zwei Voraussetzungen brauchst du, damit sich die Wahrscheinlichkeiten der aufeinanderfolgenden Vergaben multiplizieren lassen? - Nutze das Prinzip der schrittweisen Auswahl: Wie viele PINs stehen für die erste, zweite und dritte Person noch zur Verfügung, wenn alle verschieden sein sollen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen einem Ereignis und seinem Gegenereignis. - Was passiert mit der Anzahl möglicher Personenpaare, wenn die Gruppe größer wird?

1. Für die klassische Berechnung muss angenommen werden, dass jede der \(10\,000\) möglichen PINs bei jeder Vergabe gleich wahrscheinlich ist und dass die PINs der verschiedenen Mitarbeiter unabhängig voneinander erzeugt werden. 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle 50 PINs unterschiedlich sind, lautet \(P(\text{alle verschieden}) = \frac{10\,000 \cdot 9\,999 \cdot 9\,998 \cdot \dots \cdot 9\,951}{10\,000^{50}} = \frac{10\,000!}{9\,950! \cdot 10\,000^{50}} \approx 0{,}8845\). 3. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Dopplung ist das Gegenereignis: \(P(\text{mindestens zwei gleich}) = 1 - P(\text{alle verschieden}) \approx 1 - 0{,}8845 = 0{,}1155\). 4. Bei einer größeren Personenzahl gibt es mehr mögliche Personenpaare. Außerdem muss jede weitere PIN von einer wachsenden Zahl bereits vergebener PINs verschieden sein. Daher nimmt die Wahrscheinlichkeit mindestens einer Übereinstimmung zu.

a) Jede PIN muss bei jeder Vergabe gleich wahrscheinlich sein; außerdem müssen die Vergaben unabhängig voneinander erfolgen. b) \(P(\text{alle verschieden}) \approx 0{,}8845\) c) \(P(\text{mindestens zwei gleich}) \approx 0{,}1155\) beziehungsweise \(11{,}55\,\%\) d) Mit mehr Personen entstehen mehr mögliche Paare und damit mehr Möglichkeiten für eine Übereinstimmung.

- Schreibe die Gäste als Positionen 1, 2, 3 und 4 auf und notiere die Getränke ebenfalls als Zahlen. - Es ist oft einfacher, die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „niemand liegt richtig“ zu berechnen und diese von 1 abzuziehen. - Was passiert, wenn fast alle Gegenstände bereits korrekt zugeordnet sind? - Beachte den Unterschied zwischen einer kleinen Stichprobe und einer sehr großen Anzahl an Versuchen.

1. Die Gesamtzahl der Permutationen beträgt \(4! = 24\). 2. Fälle mit mindestens zwei richtigen Zuordnungen: - Genau 2 richtig: \((1;2;4;3)\), \((1;4;3;2)\), \((1;3;2;4)\), \((4;2;3;1)\), \((3;2;1;4)\), \((2;1;3;4)\) - Genau 4 richtig: \((1;2;3;4)\) Genau 3 richtige Zuordnungen sind unmöglich. Insgesamt gibt es 7 Fälle. 3. Für „mindestens einer richtig“ wird das Gegenereignis „keiner richtig“ betrachtet. Es gibt 9 fixpunktfreie Permutationen. Daher gilt \(P(\text{keiner richtig}) = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}\) und \(P(\text{mindestens einer richtig}) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8} = 0{,}625\). 4. Wenn drei Gäste das richtige Getränk haben, bleibt für den vierten Gast genau das von ihm bestellte Getränk übrig. Daher sind dann zwangsläufig alle vier Zuordnungen richtig. 5. Die relative Häufigkeit beträgt \(h = \frac{15}{20} = 0{,}75\). Der theoretische Wert ist \(0{,}625\). Bei nur \(20\) Durchführungen ist eine solche Abweichung mit Zufallsschwankungen vereinbar.

a) Es gibt 7 Fälle: \((1;2;4;3)\), \((1;4;3;2)\), \((1;3;2;4)\), \((4;2;3;1)\), \((3;2;1;4)\), \((2;1;3;4)\) und \((1;2;3;4)\). b) \(P(\text{mindestens einer richtig}) = \frac{5}{8} = 0{,}625\) c) Drei richtige Zuordnungen erzwingen auch die vierte richtige Zuordnung. d) \(h = 0{,}75\). Die Abweichung vom theoretischen Wert \(0{,}625\) widerspricht bei nur \(20\) Durchführungen nicht dem Modell.

- Überlege dir, wie viele Personen insgesamt in der Gruppe sind. - Hilft es dir, die Informationen in einer Tabelle (Vierfeldertafel) zu ordnen? - Achte darauf, ob nach einer kombinierten Eigenschaft (z. B. „männlich UND MINT“) oder einer einfachen Eigenschaft gefragt ist. - Wie hängen die Gesamtzahl der Frauen und die Anzahl der Frauen in MINT-Fächern zusammen?

1. Berechnung der Anzahl der Nicht-MINT-Studierenden: \(24\,500 - 8\,330 = 16\,170\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{kein MINT}) = \frac{16\,170}{24\,500} = 0{,}66\). 2. Berechnung der Anzahl der männlichen MINT-Studierenden: Von den \(8\,330\) MINT-Studierenden sind \(2\,499\) weiblich, also sind \(8\,330 - 2\,499 = 5\,831\) männlich. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{männlich} \cap \text{MINT}) = \frac{5\,831}{24\,500} \approx 0{,}238\). 3. Berechnung der Anzahl der weiblichen Nicht-MINT-Studierenden: Von insgesamt \(12\,740\) Frauen studieren \(2\,499\) ein MINT-Fach. Somit studieren \(12\,740 - 2\,499 = 10\,241\) Frauen kein MINT-Fach. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{weiblich} \cap \text{kein MINT}) = \frac{10\,241}{24\,500} \approx 0{,}418\).

1. \(P \approx 0{,}66\) (oder \(\frac{16\,170}{24\,500}\)) 2. \(P \approx 0{,}238\) (oder \(\frac{5\,831}{24\,500}\)) 3. \(P \approx 0{,}418\) (oder \(\frac{10\,241}{24\,500}\))

- Kannst du aus dem Prozentsatz die absolute Anzahl der beschädigten Pakete berechnen? - Was ist die Grundgesamtheit, auf die sich die Wahrscheinlichkeit bezieht? - Versuche, alle Teilmengen der Pakete (Inland/Ausland, beschädigt/unbeschädigt) einzeln zu bestimmen. - Überlege, wie du die Anzahl der beschädigten Pakete auf Inland und Ausland aufteilen kannst.

1. Anzahl Auslandspakete: \(15\,000 - 10\,800 = 4\,200\). Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{Ausland}) = \frac{4\,200}{15\,000} = 0{,}28\). 2. Gesamtzahl beschädigter Pakete: \(0{,}05 \cdot 15\,000 = 750\). Anzahl beschädigter Inlandspakete: \(750 - 126 = 624\). Wahrscheinlichkeit: \(P(\text{Inland} \cap \text{beschädigt}) = \frac{624}{15\,000} = 0{,}0416\). 3. Anzahl unbeschädigter Inlandspakete: Gesamtzahl Inland (\(10\,800\)) minus beschädigte Inland (\(624\)) ergibt \(10\,176\). Wahrscheinlichkeit bezogen auf die Gesamtmenge: \(P(\text{Inland} \cap \text{unbeschädigt}) = \frac{10\,176}{15\,000} = 0{,}6784\).

1. \(P = 0{,}28\) 2. \(P = 0{,}0416\) 3. \(P = 0{,}6784\)

- Betrachte das Gegenereignis, dass alle Personen unterschiedliche Geburtsmonate haben. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses über sein Gegenereignis? - Überlege schrittweise, wie viele noch nicht belegte Monate für jede weitere Person verfügbar sind. - Wann gilt ein Spiel mit gleich hohen Gewinnen und Verlusten als fair?

1. Für \(n=4\) ist das Gegenereignis, dass alle 4 Personen in unterschiedlichen Monaten Geburtstag haben. Daher gilt \(P(\text{alle verschieden}) = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{12^4} = \frac{990}{1728} \approx 0{,}5729\). Somit ist \(P(\text{mindestens eine Übereinstimmung}) = 1 - 0{,}5729 = 0{,}4271\). 2. Für \(n=4\) liegt die Wahrscheinlichkeit unter \(0{,}5\). Für \(n=5\) gilt \(P(\text{alle verschieden}) = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{12^5} \approx 0{,}3819\), also \(P(\text{mindestens eine Übereinstimmung}) \approx 0{,}6181\). Damit ist \(n=5\) die kleinste Personenzahl. 3. Bei 5 Personen beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit des Gegenübers ungefähr \(0{,}6181\), deine Gewinnwahrscheinlichkeit ungefähr \(0{,}3819\). Dein Erwartungswert ist \(E = -5 \cdot 0{,}6181 + 5 \cdot 0{,}3819 = -1{,}181\,\text{€}\). Das Spiel ist daher für dich nicht fair.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ungefähr \(42{,}71\,\%\). b) Die kleinste Personenzahl ist \(n=5\). c) Das Spiel ist unfair; dein Erwartungswert beträgt ungefähr \(-1{,}18\,\text{€}\) pro Spiel.

- Wie berechnet man den Anteil eines Ergebnisses an der Gesamtzahl der Versuche? - Was bedeutet die Laplace-Annahme für die Wahrscheinlichkeit jeder einzelnen Seite eines Würfels? - Was besagt das Gesetz der großen Zahlen über den Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und theoretischer Wahrscheinlichkeit bei vielen Versuchen? - Welches Gegenereignis ist hilfreich, wenn nach „mindestens einem“ Erfolg gefragt wird?

1. Berechnung der relativen Häufigkeit: \(h_n(6) = \frac{246}{1\,200} = 0{,}205\). 2. Vergleich mit der Laplace-Wahrscheinlichkeit: Bei einem idealen Würfel gilt \(P(6) = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667\). Die beobachtete Häufigkeit \(0{,}205\) liegt deutlich über dem theoretischen Wert. 3. Beurteilung: Nach dem Gesetz der großen Zahlen stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten bei steigender Versuchsanzahl um die wahre Wahrscheinlichkeit. Da bei \(1\,200\) Versuchen eine Abweichung von fast \(4\) Prozentpunkten vorliegt, ist die Laplace-Annahme (idealer Würfel) hier als unplausibel abzulehnen; der Würfel scheint gezinkt zu sein. 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für „mindestens eine 6“ bei \(n=3\) mit \(p = 0{,}205\): Nutzung des Komplementärereignisses „keine 6“. \(P(\text{mindestens eine 6}) = 1 - P(\text{keine 6})^3 = 1 - (1 - 0{,}205)^3 = 1 - 0{,}795^3 = 1 - 0{,}502444875 = 0{,}497555125\).

a) Relative Häufigkeit: \(0{,}205\); Laplace-Wahrscheinlichkeit: \(\approx 0{,}1667\). b) Die Laplace-Annahme ist vermutlich nicht gerechtfertigt, da die Abweichung bei \(1\,200\) Würfen zu groß ist. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(49{,}76\,\%\) (exakt \(0{,}497555125\)).

- Überlege dir für den ersten Teil, welche kleinsten und größten Werte bei der Summenbildung möglich sind und ob alle Summen gleich oft vorkommen. - Für eine Simulation eines 12-seitigen Würfels muss jedes der 12 Ergebnisse die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{12}\) besitzen. - Kannst du ein mehrstufiges Experiment entwerfen, bei dem das Produkt der Möglichkeiten der einzelnen Stufen genau 12 ergibt? - Überlege, wie du einen 6-seitigen Würfel so einsetzen kannst, dass er nur 2 oder 3 gleichwahrscheinliche Ergebnisse liefert.

1. Die Summe eines Tetraeders (\(1\) bis \(4\)) und eines Hexaeders (\(1\) bis \(6\)) ist nicht geeignet. Die kleinstmögliche Summe ist \(1 + 1 = 2\), die größtmögliche \(4 + 6 = 10\). Es werden also nur 9 verschiedene Werte statt 12 erzeugt. Zudem sind die Summen nicht gleichwahrscheinlich (z. B. gibt es für die Summe 5 vier Kombinationen, für die Summe 2 nur eine). 2. Erste Möglichkeit: Man wirft eine Münze und einen Hexaeder. Zeigt die Münze Kopf, nimmt man die Augenzahl des Hexaeders (\(1\) bis \(6\)). Zeigt die Münze Zahl, addiert man \(6\) zur Augenzahl des Hexaeders (\(7\) bis \(12\)). Da beide Münzseiten (\(p=0{,}5\)) und alle Würfelseiten (\(p=1/6\)) gleichwahrscheinlich sind, hat jedes Ergebnis die Wahrscheinlichkeit \(0{,}5 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}\). Zweite Möglichkeit: Man nutzt einen Tetraeder und einen Hexaeder. Den Hexaeder nutzt man als „3-seitigen Würfel“, indem man die Ergebnisse zusammenfasst (1 und 2 \(\rightarrow 1\); 3 und 4 \(\rightarrow 2\); 5 und 6 \(\rightarrow 3\)). Das Ergebnis berechnet man als \(3 \cdot (\text{Ergebnis Tetraeder} - 1) + \text{Ergebnis Hexaeder-Ersatz}\). Dies ergibt \(4 \cdot 3 = 12\) gleichwahrscheinliche Kombinationen für die Werte 1 bis 12.

1. Nein, da nur die Summen 2 bis 10 möglich sind (9 Werte) und diese nicht gleichwahrscheinlich verteilt sind. 2. Möglichkeit A: Münze (\(K \rightarrow 0\); \(Z \rightarrow 6\)) plus Hexaeder (\(1 \dots 6\)). Möglichkeit B: Tetraeder (\(1 \dots 4\)) kombiniert mit einem auf 3 Ergebnisse reduzierten Hexaeder (z. B. \(1,2 \rightarrow 1\); \(3,4 \rightarrow 2\); \(5,6 \rightarrow 3\)).

- Erinnere dich an die Formel für Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. - Wie kannst du mit einem 6-seitigen Würfel und einer Münze insgesamt 12 gleichwahrscheinliche Ergebnisse erzeugen? - Was bedeutet „ohne Zurücklegen“ für die Durchführung einer Simulation, wenn du nacheinander Zahlen generierst? - Überlege dir eine Regel für den Fall, dass dein Zufallsgerät eine Zahl liefert, die du in derselben Ziehung schon einmal erhalten hast.

1. Die Anzahl der Kombinationen wird über den Binomialkoeffizienten berechnet: \(\binom{12}{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220\). Es gibt also 220 verschiedene Möglichkeiten für das Ergebnis der Ziehung. 2. Um eine Ziehung „3 aus 12“ zu simulieren, muss man nacheinander drei verschiedene Zahlen aus dem Bereich 1 bis 12 generieren. Zuerst konstruiert man einen Zufallsgenerator für die Zahlen 1 bis 12: Man wirft die Münze (Kopf bedeutet „Basis 0“, Zahl bedeutet „Basis 6“) und addiert das Ergebnis eines Hexaeder-Wurfs (1 bis 6). Damit erhält man eine Zahl von 1 bis 12 mit \(p = \frac{1}{12}\). Für die Simulation der Lotterie führt man dieses Verfahren dreimal durch. Da es eine Ziehung ohne Zurücklegen ist, muss eine bereits gezogene Zahl bei erneutem Auftreten verworfen und der Schritt wiederholt werden, bis drei unterschiedliche Zahlen feststehen.

1. Es gibt \(\binom{12}{3} = 220\) verschiedene Gewinnkombinationen. 2. Man erzeugt Zahlen von 1 bis 12, indem man eine Münze (z. B. Kopf \(\rightarrow 0\), Zahl \(\rightarrow 6\)) mit einem Würfelwurf kombiniert. Dies wiederholt man so lange, bis man drei unterschiedliche Zahlen aus dem Bereich 1 bis 12 erhalten hat (Zahlen, die doppelt auftreten, werden ignoriert).

- Liste alle Quadratzahlen und alle Vielfachen von 30 bis 200 auf, um zu prüfen, ob es Überschneidungen gibt. - Erinnere dich daran, dass die relative Häufigkeit das Verhältnis von beobachteten Treffern zur Gesamtzahl der Versuche ist. - Der Erwartungswert gibt an, wie oft ein Ereignis bei einer bestimmten Anzahl an Versuchen rein rechnerisch eintreten sollte.

a) Es gibt \(\lfloor \sqrt{200} \rfloor = 14\) Quadratzahlen im Bereich (von \(1^2=1\) bis \(14^2=196\)). Die Vielfachen von 30 sind \(\{30, 60, 90, 120, 150, 180\}\), also 6 Zahlen. Da keine der genannten Quadratzahlen ein Vielfaches von 30 ist (die Schnittmenge ist leer), sind die Ereignisse disjunkt. Es gilt \(P(A) = \frac{14 + 6}{200} = \frac{20}{200} = 0{,}1\). b) Die relative Häufigkeit ist \(h(A) = \frac{42}{500} = 0{,}084\). Der theoretische Erwartungswert bei 500 Versuchen beträgt \(E = 500 \cdot 0{,}1 = 50\). Die absolute Differenz zwischen der beobachteten Anzahl und dem Erwartungswert beträgt \(|50 - 42| = 8\). Die Abweichung der relativen Häufigkeit von der Wahrscheinlichkeit beträgt \(|0{,}1 - 0{,}084| = 0{,}016\).

a) \(P(A) = 0{,}1\) (oder \(10\,\%\)). b) Relative Häufigkeit \(h(A) = 0{,}084\); die absolute Differenz zum Erwartungswert (\(50\)) beträgt \(8\).

- Handelt es sich hier um ein Ziehen mit oder ohne Zurücklegen? - Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, eine dreiköpfige Gruppe aus 20 Personen zu bilden? - Überlege für den ersten Teil, wie viele Möglichkeiten es gibt, die 3 Personen nur aus dem Pool der 10 Frauen zu wählen. - Für den zweiten Teil hilft das Zählprinzip: Wie viele Kombinationen entstehen, wenn du jeweils eine Person aus den drei disjunkten Mengen kombinierst?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Kombinationen bei der Auswahl von \(3\) aus \(20\) Personen: \(\binom{20}{3} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{6} = 1140\). Anzahl der Möglichkeiten, \(3\) Frauen aus \(10\) auszuwählen: \(\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 120\). Wahrscheinlichkeit \(P(\text{nur Frauen}) = \frac{120}{1140} = \frac{2}{19} \approx 0{,}1053\). 2. Anzahl der Möglichkeiten, genau eine Person aus jeder Gruppe zu wählen: \(10 \cdot 7 \cdot 3 = 210\). Wahrscheinlichkeit \(P(\text{eine pro Gruppe}) = \frac{210}{1140} = \frac{7}{38} \approx 0{,}1842\).

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{2}{19} \approx 10{,}5\,\%\). 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{7}{38} \approx 18{,}4\,\%\).

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es gibt, die Zahlen eines Tripels (z. B. 1, 2 und 6) auf drei Würfel zu verteilen. - Macht es einen Unterschied für die Anzahl der Anordnungen, ob alle Zahlen im Tripel verschieden sind oder ob Zahlen doppelt vorkommen? - Ein Laplace-Experiment setzt voraus, dass alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Welche Ergebnisse beim Würfeln mit drei Würfeln sind das?

1. Auflistung der Zerlegungen (ungeordnete Zahlentripel): Für die Summe 9: \((1;2;6)\), \((1;3;5)\), \((1;4;4)\), \((2;2;5)\), \((2;3;4)\), \((3;3;3)\). Es gibt 6 Zerlegungen. Für die Summe 10: \((1;3;6)\), \((1;4;5)\), \((2;2;6)\), \((2;3;5)\), \((2;4;4)\), \((3;3;4)\). Es gibt 6 Zerlegungen. 2. Berechnung der Permutationen und Wahrscheinlichkeiten: Die Gesamtzahl der Ergebnisse im Laplace-Raum beträgt \(6^3 = 216\). Für Summe 9: - Tripel mit 3 verschiedenen Zahlen (\((1;2;6), (1;3;5), (2;3;4)\)): jeweils \(3! = 6\) Anordnungen. - Tripel mit 2 gleichen Zahlen (\((1;4;4), (2;2;5)\)): jeweils \(\frac{3!}{2!} = 3\) Anordnungen. - Tripel mit 3 gleichen Zahlen (\((3;3;3)\)): \(1\) Anordnung. Günstige Ergebnisse: \(3 \cdot 6 + 2 \cdot 3 + 1 = 18 + 6 + 1 = 25\). Somit \(P(X = 9) = \frac{25}{216} \approx 0{,}1157\). Für Summe 10: - Tripel mit 3 verschiedenen Zahlen (\((1;3;6), (1;4;5), (2;3;5)\)): jeweils \(6\) Anordnungen. - Tripel mit 2 gleichen Zahlen (\((2;2;6), (2;4;4), (3;3;4)\)): jeweils \(3\) Anordnungen. Günstige Ergebnisse: \(3 \cdot 6 + 3 \cdot 3 = 18 + 9 = 27\). Somit \(P(X = 10) = \frac{27}{216} = 0{,}125\). 3. Der Denkfehler liegt darin, dass die ungeordneten Zerlegungen im Laplace-Modell nicht gleichwahrscheinlich sind. Da die Würfel als unterscheidbar betrachtet werden müssen, besitzen Zahlentripel aus verschiedenen Zahlen mehr Realisierungsmöglichkeiten (Permutationen) als solche mit gleichen Augenzahlen.

1. Beide Summen besitzen jeweils 6 ungeordnete Zerlegungen. 2. \(P(X = 9) = \frac{25}{216} \approx 0{,}1157\) und \(P(X = 10) = \frac{27}{216} = 0{,}125\). 3. Die Zerlegungen sind nicht gleichwahrscheinlich, da sie je nach Zusammensetzung (verschiedene Zahlen vs. gleiche Zahlen) unterschiedlich viele Permutationen im Laplace-Raum repräsentieren.

- Zähle zuerst genau, wie viele Zeichen die Kette insgesamt hat und wie oft jedes Zeichen vorkommt. - Bei \(n\) Zeichen entstehen genau \(n-1\) benachbarte Paare. - Welche Rolle spielt die Unabhängigkeit bei der Berechnung der Paarwahrscheinlichkeiten? - Vergleiche die gezählten Werte mit dem berechneten Erwartungswert.

1. In der Folge treten \(9\)-mal der Buchstabe \(A\) und \(11\)-mal der Buchstabe \(B\) auf. Die relativen Häufigkeiten sind \(h(A) = \frac{9}{20} = 0{,}45\) und \(h(B) = \frac{11}{20} = 0{,}55\). 2. Bei einer Kette von 20 Zeichen ergeben sich 19 benachbarte Paare. Die Auszählung ergibt \(H(AA) = 2\), \(H(AB) = 7\), \(H(BA) = 6\) und \(H(BB) = 4\). Damit gilt \(h(AA) = \frac{2}{19} \approx 0{,}105\), \(h(AB) = \frac{7}{19} \approx 0{,}368\), \(h(BA) = \frac{6}{19} \approx 0{,}316\) und \(h(BB) = \frac{4}{19} \approx 0{,}211\). 3. Wegen der Unabhängigkeit und der Einzelwahrscheinlichkeiten \(0{,}5\) hat jedes Paar die Wahrscheinlichkeit \(0{,}25\). Die erwartete absolute Häufigkeit je Paar beträgt daher \(19 \cdot 0{,}25 = 4{,}75\). In der vorliegenden Folge treten die Wechselpaare \(AB\) und \(BA\) häufiger und \(AA\) seltener als dieser Erwartungswert auf.

1. \(h(A) = 0{,}45\); \(h(B) = 0{,}55\) 2. \(H(AA) = 2\), \(H(AB) = 7\), \(H(BA) = 6\), \(H(BB) = 4\). Die relativen Häufigkeiten betragen ungefähr \(10{,}5\,\%\), \(36{,}8\,\%\), \(31{,}6\,\%\) und \(21{,}1\,\%\). 3. Erwartete absolute Häufigkeit je Paar: \(4{,}75\).

- Wie viele Paare kannst du in einer Kette von 24 Buchstaben bilden? - Berechne, wie oft man jedes der vier Paare im Durchschnitt erwarten würde, wenn der Wurf wirklich zufällig wäre. - Schau dir das Muster der Folge genau an – fällt dir eine Regelmäßigkeit auf, die bei echtem Zufall eher selten ist? - Unterscheide zwischen der Häufigkeit einzelner Ergebnisse und der Häufigkeit von Mustern (Paaren).

1. In der Folge tritt \(12\)-mal \(K\) und \(12\)-mal \(Z\) auf. Die relativen Häufigkeiten sind \(h(K) = \frac{12}{24} = 0{,}5\) und \(h(Z) = \frac{12}{24} = 0{,}5\). 2. Es gibt \(23\) Paare. Die Auszählung ergibt: \(H(KZ) = 12\), \(H(ZK) = 11\), \(H(KK) = 0\) und \(H(ZZ) = 0\). 3. Für eine echte Zufallsfolge (Laplace-Münze mit \(p=0{,}5\)) ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Paar \(0{,}25\). Der Erwartungswert für die Anzahl der Paare \(KK\) (bzw. \(ZZ\)) beträgt \(E = 23 \cdot 0{,}25 = 5{,}75\). Da in der vorliegenden Folge diese Paare überhaupt nicht vorkommen (Häufigkeit 0), ist die Folge als Ergebnis eines echten Zufallsversuchs extrem unwahrscheinlich. Sie wirkt „zu regelmäßig“ abwechselnd, was ein typisches Muster für vom Menschen ausgedachte „Zufallsfolgen“ ist.

1. \(h(K) = 0{,}5\); \(h(Z) = 0{,}5\) 2. \(H(KZ) = 12\); \(H(ZK) = 11\); \(H(KK) = 0\); \(H(ZZ) = 0\) 3. Die Folge ist für ein echtes Zufallsexperiment äußerst untypisch. Während die Einzelwahrscheinlichkeiten perfekt verteilt sind, fehlen gleiche aufeinanderfolgende Ergebnisse (\(KK\) oder \(ZZ\)) vollständig. Der Erwartungswert für \(KK\) und \(ZZ\) läge bei jeweils \(5{,}75\). Das Fehlen dieser Paare deutet auf ein bewusstes Abwechseln hin.

- Überlege dir zuerst, ob es sich um ein Ziehen mit oder ohne Zurücklegen handelt. - Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es insgesamt, eine Gruppe dieser Größe zusammenzustellen? - Wie viele dieser Möglichkeiten erfüllen die Bedingung, dass nur Personen einer bestimmten Teilgruppe gewählt werden? - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für einen Kurs kennst, wie kannst du diese auf eine große Anzahl von Kursen hochrechnen?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(4\) Personen aus \(30\) auszuwählen, mit dem Binomialkoeffizienten: \(\binom{30}{4} = 27\,405\). 2. Berechnung der günstigen Möglichkeiten (Auswahl von \(4\) Schülern aus den \(12\) vorhandenen): \(\binom{12}{4} = 495\). 3. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit \(p\) durch Division der günstigen durch die möglichen Fälle: \(p = \frac{495}{27\,405} \approx 0{,}0181\) (bzw. \(1{,}81\,\%\)). 4. Berechnung des Erwartungswerts für \(n = 500\) Durchführungen: \(E = n \cdot p = 500 \cdot \frac{495}{27\,405} \approx 9{,}03\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(1{,}81\,\%\) (exakt \(\frac{11}{609}\)). b) Es ist zu erwarten, dass dies in etwa \(9\) Kursen der Fall ist.

- Wie viele Zahlen stehen insgesamt zur Auswahl und wie viele werden davon gezogen? - Wie viele Zahlen aus dem gesamten Vorrat erfüllen die Bedingung „kleiner oder gleich 15“? - Nutze den Binomialkoeffizienten, um die Anzahl der Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge zu berechnen. - Der Erwartungswert gibt an, wie oft ein Ereignis bei mehrfacher Wiederholung im Durchschnitt eintritt.

1. Berechnung der Anzahl aller möglichen Ziehungen: \(\binom{45}{6} = 8\,145\,060\). 2. Bestimmung der Anzahl der günstigen Ziehungen, bei denen alle Zahlen aus dem Bereich \(1\) bis \(15\) stammen: \(\binom{15}{6} = 5005\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(A)\): \(P(A) = \frac{5005}{8\,145\,060} \approx 0{,}0006145\). 4. Ermittlung des Erwartungswerts für \(n = 5000\) Ziehungen: \(E = 5000 \cdot \frac{5005}{8\,145\,060} \approx 3{,}07\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}0006145\) (oder etwa \(1 : 1627\)). b) Das Ereignis ist in diesem Zeitraum ca. \(3\) Mal zu erwarten.

- Wie viele feste Positionspaare gibt es, die die Bedingung des Abstands erfüllen? - Vergiss nicht, dass die Personen innerhalb ihrer zugewiesenen Plätze die Plätze tauschen können. - Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es gibt, zwei bestimmte Personen auf drei verfügbare Plätze zu verteilen. - Kannst du den Bruch am Ende durch Kürzen von Fakultäten vereinfachen?

1. Anzahl der Aufstellungen mit genau einer Person zwischen Anna und Bernd: Es gibt 8 mögliche Positionspaare für Anna und Bernd (1 und 3, 2 und 4, ..., 8 und 10). Für jedes Paar gibt es \(2!\) Anordnungen (Anna links oder Bernd links). Die restlichen 8 Personen können auf \(8!\) Arten angeordnet werden. Gesamtzahl: \(8 \cdot 2 \cdot 8! = 16 \cdot 40\,320 = 645\,120\). 2. Wahrscheinlichkeit für die Positionierung am Rand: Gesamtzahl der Aufstellungen ist \(10!\). 3. Günstige Fälle für „beide unter den ersten drei“: Es gibt \(\binom{3}{2} = 3\) Paare von Positionen. Auf jedem Paar können Anna und Bernd auf \(2!\) Arten stehen. Die restlichen 8 Personen verteilen sich auf \(8!\) Arten. Das ergibt \(3 \cdot 2 \cdot 8! = 6 \cdot 8!\) Möglichkeiten. 4. Da die Ereignisse „beide vorne“ und „beide hinten“ disjunkt sind, verdoppelt sich die Anzahl der günstigen Fälle: \(12 \cdot 8!\). 5. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{12 \cdot 8!}{10!} = \frac{12}{10 \cdot 9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15} \approx 0{,}1333\).

a) Es gibt \(645\,120\) mögliche Aufstellungen. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{2}{15} \approx 13{,}3\,\%\).

- Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, wenn bei jedem der vier Aufrufe \(n\) Zahlen möglich sind? - Überlege dir für den Nachweis der Formel, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass jeder neue Aufruf eine Zahl liefert, die bisher noch nicht vorgekommen ist. - Was bedeutet „mindestens zwei gleich“ im Hinblick auf das Ereignis, dass alle Zahlen unterschiedlich sind? - Drücke die Wahrscheinlichkeit, dass viermal die gleiche beliebige Zahl erscheint, als Funktion von \(n\) aus und setze diese gleich dem gegebenen Prozentwert.

1. Bei \(n = 6\) und vier Aufrufen gibt es insgesamt \(6^4\) mögliche Ergebnisse. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse für „alle verschieden“ ist \(6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360\). Damit ist \(P = \frac{360}{6^4} = \frac{360}{1296} = \frac{5}{18} \approx 0{,}2778\). 2. Für \(n \ge 4\) berechnet sich die Wahrscheinlichkeit, dass alle vier Zahlen unterschiedlich sind, über die Pfadregel zu \(P(\text{verschieden}) = \frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-2}{n} \cdot \frac{n-3}{n} = \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{n^3}\). Das Ereignis „Mindestens zwei gleich“ ist das Gegenereignis zu „Alle vier verschieden“. Daher gilt \(P = 1 - \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{n^3}\). 3. Das Ereignis „Alle vier Zahlen gleich“ umfasst \(n\) günstige Fälle: \((1,1,1,1), (2,2,2,2), \dots, (n,n,n,n)\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{n}{n^4} = \frac{1}{n^3}\). Die Gleichung \(\frac{1}{n^3} = 0{,}008\) führt zu \(n^3 = \frac{1}{0{,}008} = 125\). Daraus ergibt sich \(n = 5\).

a) \(P = \frac{5}{18} \approx 0{,}2778\) b) Nachweis über das Gegenereignis zu „vier unterschiedliche Zahlen“ für \(n \ge 4\) c) \(n = 5\)

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es für die erste, zweite und dritte Karte gibt, wenn sie unterschiedlich sein sollen. - Nutze das Gegenereignis, um die Formel in Aufgabenteil b) herzuleiten. - Stelle für Teil c) eine Ungleichung auf und löse diese nach \(n\) auf. - Denk daran, dass \(n\) eine natürliche Zahl sein muss.

1. Berechnung für \(n = 10\): Die Wahrscheinlichkeit für drei verschiedene Karten ergibt sich aus \(\frac{10}{10} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{10} = \frac{720}{1\,000} = 0{,}72\). 2. Für \(n \ge 3\) ist die Wahrscheinlichkeit für drei verschiedene Karten \(P(\text{verschieden}) = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)}{n^3} = \frac{n^2 - 3n + 2}{n^2}\). Die Gegenwahrscheinlichkeit für mindestens zwei gleiche Karten ist \(1 - \frac{n^2 - 3n + 2}{n^2} = \frac{3n - 2}{n^2}\). 3. Ansatz: \(\frac{(n-1)(n-2)}{n^2} > 0{,}98\). Dies führt auf \(n^2 - 3n + 2 > 0{,}98n^2\), also \(0{,}02n^2 - 3n + 2 > 0\). Die zugehörige quadratische Gleichung hat näherungsweise die Lösungen \(n \approx 0{,}67\) und \(n \approx 149{,}33\). Für natürliche Zahlen mit \(n \ge 3\) ist die Ungleichung daher ab \(n = 150\) erfüllt.

a) \(P = 0{,}72\) b) \(1 - \frac{n(n-1)(n-2)}{n^3} = \frac{3n-2}{n^2}\) für \(n \ge 3\) c) \(n \ge 150\)

- Notiere zuerst, mit welcher Wahrscheinlichkeit jede der Zahlen \(1, 2\) und \(3\) bei einem einzelnen Wurf auftritt. - Überlege dir bei Paaren mit unterschiedlichen Zahlen, wie viele Möglichkeiten es im Baumdiagramm gibt, dieses Ergebnis zu erzielen. - Prüfe am Ende, ob die Summe aller berechneten Wahrscheinlichkeiten \(1\) ergibt. - Erinnere dich daran, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit ein Zufallsexperiment als Laplace-Experiment bezeichnet wird.

1. Die möglichen Augenzahlen pro Wurf sind \(1, 2\) und \(3\). Die Ergebnismenge der ungeordneten Paare ist \(\Omega = \{(1;1), (1;2), (1;3), (2;2), (2;3), (3;3)\}\). 2. Die Einzelwahrscheinlichkeiten sind \(P(1) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\), \(P(2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) und \(P(3) = \frac{1}{6}\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für die ungeordneten Paare (mit \(i \neq j\) gilt \(P(\{(i;j)\}) = 2 \cdot P(i) \cdot P(j)\)): \(P(\{(1;1)\}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = \frac{9}{36}\) \(P(\{(1;2)\}) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} = \frac{12}{36}\) \(P(\{(1;3)\}) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6} = \frac{6}{36}\) \(P(\{(2;2)\}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} = \frac{4}{36}\) \(P(\{(2;3)\}) = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{9} = \frac{4}{36}\) \(P(\{(3;3)\}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\) 4. Da die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse in \(\Omega\) voneinander abweichen (z. B. \(P(\{(1;2)\}) = \frac{12}{36}\) gegenüber \(P(\{(3;3)\}) = \frac{1}{36}\)), sind die Ergebnisse nicht gleichwahrscheinlich, was der Definition eines Laplace-Experiments widerspricht.

a) \(\Omega = \{(1;1), (1;2), (1;3), (2;2), (2;3), (3;3)\}\) b) \(P(\{(1;1)\}) = \frac{1}{4}\); \(P(\{(1;2)\}) = \frac{1}{3}\); \(P(\{(1;3)\}) = \frac{1}{6}\); \(P(\{(2;2)\}) = \frac{1}{9}\); \(P(\{(2;3)\}) = \frac{1}{9}\); \(P(\{(3;3)\}) = \frac{1}{36}\) c) In einem Laplace-Experiment müssten alle sechs Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{6}\) besitzen. Da die berechneten Wahrscheinlichkeiten jedoch variieren (zwischen \(\frac{1}{36}\) und \(\frac{12}{36}\)), liegt kein Laplace-Experiment vor.

- Achte darauf, ob nach einer Wahrscheinlichkeit für die gesamte Menge oder für eine Teilgruppe gefragt wird. - Überlege, ob die Zahlen in der Tabelle eine beobachtete Realität beschreiben oder eine unumstößliche theoretische Regel. - Was muss für zwei Ereignisse gelten, damit man ihre Wahrscheinlichkeiten einfach addieren darf, um die Wahrscheinlichkeit für „das eine oder das andere“ zu erhalten?

1. Berechnung der Gesamtzahl der defekten Teile: \(n(D) = 200 + 300 = 500\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit bei zufälliger Auswahl aus \(N = 5000\): \(P(D) = \frac{500}{5000} = 0{,}1\). Dies entspricht dem Laplace-Begriff, da jedes Teil als gleich wahrscheinlich für die Auswahl betrachtet wird. 3. Beurteilung der Aussage: Der Wert \(0{,}1\) aus \(200 : 2000\) ist die relative Häufigkeit defekter Teile in der untersuchten Stichprobe aus Werk A. Die theoretische Defektwahrscheinlichkeit für künftig produzierte Teile ist ein unbekannter Parameter des Produktionsprozesses und wird durch diese relative Häufigkeit lediglich geschätzt; die Behauptung einer exakten Gleichheit ist daher nicht gerechtfertigt. 4. Anwendung des Additionssatzes: Die Ereignisse \(W_A \cap D\) („defektes Teil aus Werk A“) und \(W_B \cap D\) („defektes Teil aus Werk B“) sind unvereinbar. 5. Berechnung: \(P((W_A \cap D) \cup (W_B \cap D)) = P(W_A \cap D) + P(W_B \cap D) = \frac{200}{5000} + \frac{300}{5000} = 0{,}04 + 0{,}06 = 0{,}1\).

a) \(P(D) = 0{,}1\); Laplace-Wahrscheinlichkeit. b) Die beobachtete relative Häufigkeit in Werk A beträgt \(0{,}1\), erlaubt aber keine Aussage, dass die theoretische Defektwahrscheinlichkeit für künftig produzierte Teile exakt \(0{,}1\) ist. c) Beispiel: „Das Teil ist defekt und stammt aus Werk A oder es ist defekt und stammt aus Werk B.“ Die Teilereignisse sind disjunkt, daher gilt \(P((W_A \cap D) \cup (W_B \cap D)) = 0{,}04 + 0{,}06 = 0{,}1\).

- Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Zahlen zu wählen, und wie viele für die Farbe? Wie hängen diese zusammen? - Teile das Problem in die Auswahl der richtig getippten und der nicht richtig getippten Zahlen auf. - Wenn die Farbe „falsch“ sein soll, wie viele der verfügbaren Farben kommen dann infrage? - Benutze den Binomialkoeffizienten für die Ziehung ohne Zurücklegen.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Kombinationen für die Zahlen: \(\binom{30}{4} = 27\,405\). Da es 3 Farben gibt, ist die Gesamtzahl der Ergebnisse \(27\,405 \cdot 3 = 82\,215\). 2. Günstige Ergebnisse für 3 Richtige und richtige Farbe: Anzahl der Möglichkeiten für 3 Richtige aus 4 getippten: \(\binom{4}{3} = 4\). Anzahl der Möglichkeiten für die 1 falsche Zahl aus den restlichen 26: \(\binom{26}{1} = 26\). Anzahl der richtigen Farbmöglichkeiten: 1. Gesamt günstige Fälle: \(4 \cdot 26 \cdot 1 = 104\). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{104}{82\,215} \approx 0{,}00127\). 3. Günstige Ergebnisse für 0 Richtige und falsche Farbe: Anzahl der Möglichkeiten für 0 Richtige aus 4 (also 4 aus 26 Falschen): \(\binom{26}{4} = 14\,950\). Anzahl der falschen Farben: 2. Gesamt günstige Fälle: \(14\,950 \cdot 2 = 29\,900\). Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{29\,900}{82\,215} \approx 0{,}3637\).

a) \( 82\,215 \) Möglichkeiten b) \( P \approx 0{,}13\,\% \) (oder \( \frac{104}{82\,215} \)) c) \( P \approx 36{,}37\,\% \) (oder \( \frac{29\,900}{82\,215} \))

- Überlege dir zuerst, wie viele Kombinationsmöglichkeiten es insgesamt gibt, wenn man zwei 12-seitige Würfel wirft. - Für die Summe oder Differenz kann es hilfreich sein, die Möglichkeiten systematisch aufzulisten, zum Beispiel indem du mit der kleinstmöglichen Zahl auf dem ersten Würfel beginnst. - Denk daran, dass bei einem Produkt als Quadratzahl auch Kombinationen wie \(1 \cdot 4\) oder \(2 \cdot 8\) zählen. - Erinnere dich daran, welche Zahlen im Bereich von \(2\) bis \(24\) Primzahlen sind.

1. Die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse bei zwei 12-seitigen Würfeln beträgt \(12 \cdot 12 = 144\). Für die Summe \(15\) gibt es die Paare \((3, 12), (4, 11), (5, 10), (6, 9), (7, 8), (8, 7), (9, 6), (10, 5), (11, 4), (12, 3)\). Dies sind \(10\) günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{10}{144} = \frac{5}{72} \approx 0{,}0694\). 2. Günstige Paare \((x, y)\) mit \(x \cdot y = n^2\): \((1,1), (1,4), (1,9), (2,2), (2,8), (3,3), (3,12), (4,1), (4,4), (4,9), (5,5), (6,6), (7,7), (8,2), (8,8), (9,1), (9,4), (9,9), (10,10), (11,11), (12,3), (12,12)\). Es gibt \(22\) günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{22}{144} = \frac{11}{72} \approx 0{,}1528\). 3. Günstige Ergebnisse für eine Differenz von mindestens \(10\): \((1, 11), (1, 12), (2, 12), (11, 1), (12, 1), (12, 2)\). Dies sind \(6\) günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{6}{144} = \frac{1}{24} \approx 0{,}0417\). 4. Mögliche Primzahlen als Summe im Bereich \(2\) bis \(24\) sind \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\). Anzahl der Kombinationen: Summe 2 (1), Summe 3 (2), Summe 5 (4), Summe 7 (6), Summe 11 (10), Summe 13 (12), Summe 17 (8), Summe 19 (6), Summe 23 (2). Gesamtzahl günstiger Ergebnisse: \(1+2+4+6+10+12+8+6+2 = 51\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{51}{144} = \frac{17}{48} \approx 0{,}3542\).

1. \(P \approx 0{,}0694\) (oder \(\frac{5}{72}\)) 2. \(P \approx 0{,}1528\) (oder \(\frac{11}{72}\)) 3. \(P \approx 0{,}0417\) (oder \(\frac{1}{24}\)) 4. \(P \approx 0{,}3542\) (oder \(\frac{17}{48}\))

- Wie berechnet man die Anzahl der Möglichkeiten, eine Teilmenge aus einer größeren Menge auszuwählen? - Erinnere dich an die Definition der relativen Häufigkeit im Vergleich zur Laplace-Wahrscheinlichkeit. - Was passiert mit der Abweichung zwischen Theorie und Empirie, wenn man ein Experiment sehr oft wiederholt?

1. Die Gesamtzahl der Kombinationen ist \(\binom{49}{6} = 13\,983\,816\). Die Anzahl der günstigen Ergebnisse für genau drei Richtige ist \(\binom{6}{3} \cdot \binom{43}{3} = 20 \cdot 12\,341 = 246\,820\). Die theoretische Wahrscheinlichkeit ist \(P \approx 0{,}0176504\). 2. Die relative Häufigkeit beträgt \(h = \frac{17\,612}{1\,000\,000} = 0{,}017612\). Die absolute Differenz beträgt \(|0{,}0176504 - 0{,}017612| \approx 0{,}0000384\). 3. Gemäß dem Gesetz der großen Zahlen nähert sich die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses mit zunehmender Anzahl an Versuchen der theoretischen Wahrscheinlichkeit an. Die geringe Differenz bei einer Million Versuchen bestätigt diese Stabilisierung.

1. \(P(\text{3 Richtige}) \approx 1{,}765\,\%\) 2. Relative Häufigkeit: \(1{,}7612\,\%\); Absolute Differenz: \(\approx 0{,}00384\,\text{Prozentpunkte}\) 3. Die relative Häufigkeit stabilisiert sich mit wachsendem Stichprobenumfang um den theoretischen Wert (Gesetz der großen Zahlen).