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- Welche zwei grundlegenden Bedingungen müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse erfüllen? - Prüfe sowohl die Summe als auch die Vorzeichen der angegebenen Werte.

1. Bei Modell A sind alle Wahrscheinlichkeiten nichtnegativ und ihre Summe ist \(0{,}2+0{,}5+0{,}3=1\). Modell A ist gültig. 2. Bei Modell B ist zwar die Summe \(0{,}4+0{,}7-0{,}1=1\), aber \(P(c)=-0{,}1<0\). Eine Wahrscheinlichkeit darf nicht negativ sein. 3. Daher ist nur Modell A gültig.

Nur Modell A ist gültig.

- Welche Gesamtwahrscheinlichkeit hat der vollständige Ergebnisraum? - Wie kannst du den fehlenden Anteil aus den beiden bekannten Anteilen bestimmen?

1. Da \(A\), \(B\) und \(C\) den Ergebnisraum vollständig und ohne Überschneidung zerlegen, gilt \(P(A)+P(B)+P(C)=1\). 2. Daher ist \(P(C)=1-0{,}25-0{,}35=0{,}40\).

\(P(C)=0{,}40\)

- Welches Axiom legt die Summe aller Elementarwahrscheinlichkeiten fest? - Warum darfst du für \(P(A)\) die Wahrscheinlichkeiten der enthaltenen Einzelergebnisse addieren? - Welche Korrektur braucht \(P(A)+P(B)\), wenn \(A\) und \(B\) sich überschneiden? - Prüfe für c) die drei Axiome getrennt und beziehe sie auf dieses endliche Modell.

1. Nach dem Normierungsaxiom muss die Summe der fünf Elementarwahrscheinlichkeiten \(1\) sein. Das Verhältnis enthält insgesamt \(2+1+4+2+3=12\) Anteile. Daher ist \(P(S_1)=\frac16\), \(P(S_2)=\frac1{12}\), \(P(S_3)=\frac13\), \(P(S_4)=\frac16\) und \(P(S_5)=\frac14\). 2. Da die Elementarereignisse paarweise disjunkt sind, folgt aus der Additivität \(P(A)=\frac16+\frac1{12}+\frac13=\frac7{12}\) und \(P(B)=\frac13+\frac16+\frac14=\frac34\). 3. Es ist \(A\cap B=\{S_3\}\), also \(P(A\cap B)=\frac13\). 4. Mit der allgemeinen Additionsregel als Folge der Axiome gilt \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac7{12}+\frac34-\frac13=1\). 5. Alle fünf Elementarwahrscheinlichkeiten sind nichtnegativ. Ihre Summe ist \(1\), also ist das Normierungsaxiom erfüllt. Für disjunkte Ereignisse entstehen die Ereigniswahrscheinlichkeiten als Summen der zugehörigen Elementarwahrscheinlichkeiten; damit ist auch die Additivität erfüllt.

a) \(P(S_1)=\frac16\), \(P(S_2)=\frac1{12}\), \(P(S_3)=\frac13\), \(P(S_4)=\frac16\), \(P(S_5)=\frac14\) b) \(P(A)=\frac7{12}\), \(P(B)=\frac34\), \(P(A\cap B)=\frac13\), \(P(A\cup B)=1\); verwendet werden Additivität für disjunkte Elementarereignisse und die daraus folgende allgemeine Additionsregel. c) Nichtnegativität, Normierung und Additivität für disjunkte Ereignisse sind erfüllt.

- Was weißt du über die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einem Ergebnisraum? - Kannst du die Beziehung zwischen den beiden unbekannten Ergebnissen mathematisch ausdrücken? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse bekannt sind?

1. Aufstellen der Summenbedingung für die Wahrscheinlichkeiten: \(P(x_1) + P(x_2) + P(x_3) + P(x_4) = 1\). 2. Einsetzen der bekannten Werte und der Relation \(P(x_3) = 3 \cdot P(x_4)\): \(0{,}12 + 0{,}28 + 3 \cdot P(x_4) + P(x_4) = 1\). 3. Zusammenfassen und Lösen nach \(P(x_4)\): \(0{,}40 + 4 \cdot P(x_4) = 1 \Rightarrow 4 \cdot P(x_4) = 0{,}60 \Rightarrow P(x_4) = 0{,}15\). 4. Berechnung von \(P(x_3)\): \(P(x_3) = 3 \cdot 0{,}15 = 0{,}45\). 5. Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(E\): \(P(E) = P(x_1) + P(x_3) = 0{,}12 + 0{,}45 = 0{,}57\).

Die Wahrscheinlichkeiten sind \(P(x_3) = 0{,}45\) und \(P(x_4) = 0{,}15\). Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(E\) beträgt \(P(E) = 0{,}57\).

- Welche Augenzahlen eines fairen Würfels sind Primzahlen? - Welche Voraussetzung macht die Rechnung in a) zu einer Laplace-Wahrscheinlichkeit? - Drücke in b) die fünf gleich großen Wahrscheinlichkeiten durch eine Variable aus. - Welches Axiom bestimmt anschließend den Wert dieser Variablen?

1. Beim fairen Würfel sind die sechs Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Die Primzahlen sind \(2,3,5\). Daher ist \(P(A)=\frac36=0{,}5\). Dies ist eine Laplace-Wahrscheinlichkeit. 2. Sei \(x\) die Wahrscheinlichkeit jeder der Augenzahlen \(1\) bis \(5\). Dann ist \(P(6)=3x\). Nach dem Normierungsaxiom gilt \(5x+3x=1\), also \(x=0{,}125\). 3. Damit ist \(P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=0{,}125\) und \(P(6)=0{,}375\). Alle Werte sind nichtnegativ; zusammen ergeben sie \(1\).

a) \(P(A)=0{,}5\); Laplace-Wahrscheinlichkeit. b) \(P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=0{,}125\), \(P(6)=0{,}375\)

- Was bedeutet es für die Summe der Wahrscheinlichkeiten, wenn Ereignisse eine Zerlegung des gesamten Ergebnisraums bilden? - Wie kannst du die Information über den Zusammenhang zwischen zwei Wahrscheinlichkeiten mathematisch ausdrücken? - Überlege dir, wie groß die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten zweier Ereignisse ist, die sich gegenseitig ausschließen. - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der nur noch eine unbekannte Wahrscheinlichkeit vorkommt?

1. Berechnung von \(P(B)\) über den gegebenen Faktor: \(P(B) = 2 \cdot 0{,}15 = 0{,}3\). 2. Aufstellen der Summenbedingung für eine Zerlegung: \(P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = 1\). 3. Einsetzen der bekannten Werte und der Beziehung \(P(C) = P(D) + 0{,}1\): \(0{,}15 + 0{,}3 + (P(D) + 0{,}1) + P(D) = 1\). 4. Zusammenfassen und Lösen der linearen Gleichung: \(0{,}55 + 2 \cdot P(D) = 1 \Rightarrow 2 \cdot P(D) = 0{,}45 \Rightarrow P(D) = 0{,}225\). 5. Berechnung von \(P(C)\): \(P(C) = 0{,}225 + 0{,}1 = 0{,}325\). 6. Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Vereinigung disjunkter Ereignisse: \(P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) = 0{,}15 + 0{,}3 + 0{,}325 = 0{,}775\). 7. Bestimmung des Schnitts: Da die Ereignisse eine Zerlegung bilden, sind sie paarweise disjunkt, woraus \(P(B \cap D) = 0\) folgt.

a) \(P(B) = 0{,}3\); \(P(C) = 0{,}325\); \(P(D) = 0{,}225\) b) \(P(A \cup B \cup C) = 0{,}775\); \(P(B \cap D) = 0\)

- Überlege dir zuerst, wie viele Zahlen im Bereich von 1 bis 100 die jeweilige Bedingung erfüllen. - Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Zahl durch zwei verschiedene Zahlen gleichzeitig teilbar sein muss? - Erinnere dich an die Formel, die die Wahrscheinlichkeit von „Ereignis A oder Ereignis B“ mit ihren Einzelwahrscheinlichkeiten und ihrer Schnittmenge verknüpft. - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis kennst, wie berechnest du dann die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis gerade nicht eintritt?

1. Berechnung von \(P(A)\): Im Bereich von 1 bis 100 gibt es \(\lfloor 100 : 6 \rfloor = 16\) Vielfache von 6. Somit ist \(P(A) = \frac{16}{100} = 0{,}16\). 2. Berechnung von \(P(B)\): Es gibt \(\lfloor 100 : 8 \rfloor = 12\) Vielfache von 8. Somit ist \(P(B) = \frac{12}{100} = 0{,}12\). 3. Berechnung von \(P(A \cap B)\): Eine Zahl ist durch 6 und 8 teilbar, wenn sie durch das kleinste gemeinsame Vielfache \(\text{kgV}(6, 8) = 24\) teilbar ist. Es gibt \(\lfloor 100 : 24 \rfloor = 4\) solche Zahlen (24, 48, 72, 96). Somit ist \(P(A \cap B) = \frac{4}{100} = 0{,}04\). 4. Anwendung der Summenregel: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}16 + 0{,}12 - 0{,}04 = 0{,}24\). 5. Berechnung des Komplementärereignisses: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl weder durch 6 noch durch 8 teilbar ist, entspricht \(P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0{,}24 = 0{,}76\).

a) \(P(A) = 0{,}16\); \(P(B) = 0{,}12\) b) \(P(A \cap B) = 0{,}04\) c) \(P(A \cup B) = 0{,}24\) d) \(P(\overline{A \cup B}) = 0{,}76\)

- Welche beiden Mengen werden in der vorgegebenen Zerlegung vereinigt? - Sind sie disjunkt? - Welche beiden Axiome liefern Aussagen über \(P(\Omega)\) und über die Wahrscheinlichkeit einer disjunkten Vereinigung?

1. Die Mengen \(\Omega\) und \(\emptyset\) sind disjunkt. 2. Nach der Additivität gilt \(P(\Omega\cup\emptyset)=P(\Omega)+P(\emptyset)\). 3. Da \(\Omega\cup\emptyset=\Omega\) und nach der Normierung \(P(\Omega)=1\) gilt, folgt \(1=1+P(\emptyset)\). 4. Daher ist \(P(\emptyset)=0\).

\(P(\emptyset)=0\)

- Warum darfst du auf die angegebene Zerlegung die Additivität anwenden? - Welche Aussage liefert das Nichtnegativitätsaxiom für \(P(B\setminus A)\)? - Was folgt dann aus \(P(B)=P(A)+P(B\setminus A)\)?

1. Die Mengen \(A\) und \(B\setminus A\) sind disjunkt. 2. Nach der Additivität gilt \(P(B)=P(A)+P(B\setminus A)\). 3. Nach der Nichtnegativität ist \(P(B\setminus A)\ge0\). 4. Daher folgt \(P(B)\ge P(A)\), also \(P(A)\le P(B)\).

\(P(A)\le P(B)\)

- Welche Beziehung besteht zwischen einem Ereignis und seinem Gegenereignis? - Welches Axiom darfst du bei disjunkten Ereignissen anwenden? - Welchen Wert hat \(P(\Omega)\)?

1. Es gilt \(A\cap\overline{A}=\emptyset\) und \(A\cup\overline{A}=\Omega\). 2. Nach der Additivität für disjunkte Ereignisse ist \(P(A\cup\overline{A})=P(A)+P(\overline{A})\). 3. Wegen der Normierung gilt \(P(\Omega)=1\). 4. Damit ist \(1=P(A)+P(\overline{A})\), also \(P(\overline{A})=1-P(A)\).

\(P(\overline{A})=1-P(A)\)

- Welche drei Grundforderungen definieren eine Wahrscheinlichkeitsfunktion? - Ist die Gegenereignisregel selbst eine Grundforderung oder lässt sie sich aus Grundforderungen herleiten? - Nutze für IV die Zerlegung von \(\Omega\) in \(A\) und \(\overline{A}\).

1. I ist das Nichtnegativitätsaxiom. 2. II ist das Normierungsaxiom. 3. III ist das Additivitätsaxiom für disjunkte Ereignisse. 4. IV ist kein zusätzliches Axiom. Da \(A\) und \(\overline{A}\) disjunkt sind und \(A\cup\overline{A}=\Omega\) gilt, folgt aus III und II: \(P(A)+P(\overline{A})=1\). Daher ist \(P(\overline{A})=1-P(A)\).

I, II und III sind Kolmogorow-Axiome. IV ist eine daraus abgeleitete Folgerung.

- Denk daran, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einem Zufallsexperiment immer genau 1 sein muss. - Berechne zuerst, wie viel Wahrscheinlichkeit für die restlichen Ergebnisse übrig bleibt, nachdem du den bekannten Wert abgezogen hast. - Wie kannst du diesen Restbetrag fair auf die Anteile im Verhältnis aufteilen? - Für die Mengenoperationen: Welche Elemente liegen in beiden Mengen, und welche liegen in mindestens einer der beiden Mengen?

1. Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 ergeben muss, beträgt die Summe für die verbleibenden Ergebnisse: \(P(e_2) + P(e_3) + P(e_4) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\). 2. Aufteilung der restlichen \(0{,}8\) gemäß dem Verhältnis \(1 : 2 : 5\). Die Summe der Verhältnisanteile ist \(1 + 2 + 5 = 8\). 3. Wert eines Anteils: \(0{,}8 : 8 = 0{,}1\). 4. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(e_2) = 1 \cdot 0{,}1 = 0{,}1\) \(P(e_3) = 2 \cdot 0{,}1 = 0{,}2\) \(P(e_4) = 5 \cdot 0{,}1 = 0{,}5\) 5. Berechnung der Ereigniswahrscheinlichkeiten: \(P(E) = P(e_1) + P(e_3) = 0{,}2 + 0{,}2 = 0{,}4\) \(P(F) = P(e_2) + P(e_3) = 0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}3\) 6. Schnittmenge \(E \cap F = \{e_3\}\): \(P(E \cap F) = 0{,}2\). 7. Vereinigungsmenge \(E \cup F = \{e_1; e_2; e_3\}\): \(P(E \cup F) = 0{,}2 + 0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}5\).

a) \(P(e_1) = 0{,}2\); \(P(e_2) = 0{,}1\); \(P(e_3) = 0{,}2\); \(P(e_4) = 0{,}5\) b) \(P(E) = 0{,}4\); \(P(F) = 0{,}3\); \(P(E \cap F) = 0{,}2\); \(P(E \cup F) = 0{,}5\)

- Was fordert das Normierungsaxiom für die Summe aller sechs Einzelwahrscheinlichkeiten? - Wie kannst du die fünf gleich großen Wahrscheinlichkeiten und die doppelt so große Wahrscheinlichkeit der \(6\) mit einer Variablen ausdrücken? - Welche Voraussetzung braucht eine Laplace-Wahrscheinlichkeit?

1. Sei \(p\) die Wahrscheinlichkeit für jede der Augenzahlen \(1\) bis \(5\). Für die Augenzahl \(6\) gilt dann die Wahrscheinlichkeit \(2p\). Nach dem Normierungsaxiom ist \(5p+2p=1\). Daher ist \(p=\frac17\) und somit \(P(6)=\frac27\approx0{,}2857\). 2. Eine Laplace-Wahrscheinlichkeit setzt gleich wahrscheinliche Elementarereignisse voraus. Beim gezinkten Würfel ist diese Voraussetzung ausdrücklich verletzt. Die Formel \(P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\) ist daher für die Augenzahlen dieses Würfels nicht anwendbar.

1. \(P(6)=\frac27\approx0{,}2857\) 2. Eine Laplace-Wahrscheinlichkeit ist nicht anwendbar, weil die sechs Elementarereignisse nicht gleich wahrscheinlich sind.

- Nutze die Eigenschaft, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse immer 1 ergibt. - Überlege, welches Ergebnis nicht in Ereignis A enthalten ist. Wie hängen deren Wahrscheinlichkeiten zusammen? - Wie viele Teilmengen hat eine Menge mit drei Elementen? - Ein Ereignis ist eine Teilmenge des Ergebnisraums. Addiere einfach die Wahrscheinlichkeiten der enthaltenen Ergebnisse.

1. Anwendung der Axiome: \(P(\omega_1) + P(\omega_2) + P(\omega_3) = 1\). 2. Bestimmung von \(P(\omega_3)\) über das Komplement von \(A\): \(P(\omega_3) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}55 = 0{,}45\). 3. Bestimmung von \(P(\omega_1)\) über das Komplement von \(B\): \(P(\omega_1) = 1 - P(B) = 1 - 0{,}75 = 0{,}25\). 4. Berechnung von \(P(\omega_2)\): \(P(\omega_2) = 1 - 0{,}25 - 0{,}45 = 0{,}30\). 5. Auflistung aller Teilmengen von \(\Omega\) und Summation der entsprechenden Elementarwahrscheinlichkeiten: \(\emptyset \to 0\) \(\{\omega_1\} \to 0{,}25\) \(\{\omega_2\} \to 0{,}30\) \(\{\omega_3\} \to 0{,}45\) \(\{\omega_1, \omega_2\} \to 0{,}55\) \(\{\omega_1, \omega_3\} \to 0{,}25 + 0{,}45 = 0{,}70\) \(\{\omega_2, \omega_3\} \to 0{,}75\) \(\{\omega_1, \omega_2, \omega_3\} \to 1\)

Die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse sind: \(P(\omega_1) = 0{,}25\); \(P(\omega_2) = 0{,}30\); \(P(\omega_3) = 0{,}45\). Alle möglichen Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten sind: \(P(\emptyset) = 0\) \(P(\{\omega_1\}) = 0{,}25\) \(P(\{\omega_2\}) = 0{,}30\) \(P(\{\omega_3\}) = 0{,}45\) \(P(\{\omega_1, \omega_2\}) = 0{,}55\) \(P(\{\omega_1, \omega_3\}) = 0{,}70\) \(P(\{\omega_2, \omega_3\}) = 0{,}75\) \(P(\Omega) = 1\)

- Überlege dir, welche Werte die Anzahl der Elemente einer Teilmenge \(|A|\) im Vergleich zur Gesamtmenge \(n\) annehmen kann. - Was passiert mit der Anzahl der günstigen Ergebnisse, wenn du das sichere Ereignis \(\Omega\) betrachtest? - Wenn zwei Mengen keine gemeinsamen Elemente haben, wie berechnet man dann die Anzahl der Elemente in ihrer Vereinigung?

1. Nichtnegativität: Da die Mächtigkeit einer Menge \(|A|\) stets eine natürliche Zahl oder Null ist (\(|A| \in \{0, 1, \dots, n\}\)) und die Gesamtzahl der Ergebnisse \(n > 0\) ist, folgt für den Quotienten unmittelbar \(P(A) = \frac{|A|}{n} \ge 0\). 2. Normierung: Setzt man für das Ereignis den gesamten Ergebnisraum ein (\(A = \Omega\)), so gilt \(|A| = n\). Daraus ergibt sich \(P(\Omega) = \frac{n}{n} = 1\). 3. Additivität: Sind \(A\) und \(B\) unvereinbar (\(A \cap B = \emptyset\)), so enthält die Vereinigungsmenge genau die Summe der Elemente der Einzelmengen, also \(|A \cup B| = |A| + |B|\). Einsetzen in die Laplace-Formel liefert \(P(A \cup B) = \frac{|A| + |B|}{n} = \frac{|A|}{n} + \frac{|B|}{n} = P(A) + P(B)\).

Die Laplace-Wahrscheinlichkeit erfüllt die Axiome, da: 1. \(|A| \ge 0 \implies \frac{|A|}{n} \ge 0\). 2. \(|\Omega| = n \implies \frac{n}{n} = 1\). 3. \(|A \cup B| = |A| + |B|\) für disjunkte Mengen direkt zur Summe der Brüche führt.

- Welche Werte kann eine absolute Häufigkeit annehmen? - Wie oft tritt bei \(N\) Durchführungen irgendein Ergebnis aus \(\Omega\) ein? - Was bedeutet „unvereinbar“ für das Zählen derselben Versuchsdurchführung? - Worin unterscheidet sich ein beobachteter Wert aus endlich vielen Versuchen von einem Parameter des Wahrscheinlichkeitsmodells?

1. Die absolute Häufigkeit \(H_N(A)\) ist nichtnegativ. Für \(N>0\) folgt daher \(h_N(A)=\frac{H_N(A)}{N}\ge0\). 2. Bei jeder der \(N\) Durchführungen tritt ein Ergebnis aus \(\Omega\) ein. Daher ist \(H_N(\Omega)=N\) und somit \(h_N(\Omega)=1\). 3. Sind \(A\) und \(B\) unvereinbar, kann kein Versuch gleichzeitig zu beiden Ereignissen zählen. Deshalb ist \(H_N(A\cup B)=H_N(A)+H_N(B)\). Nach Division durch \(N\) folgt \(h_N(A\cup B)=h_N(A)+h_N(B)\). 4. Die Funktion \(h_N\) erfüllt damit für die konkrete Versuchsreihe dieselben formalen Regeln. Ihre Werte stammen jedoch aus endlich vielen Beobachtungen. Im frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff wird die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeit über das langfristige Verhalten relativer Häufigkeiten interpretiert; ein einzelner endlicher Wert \(h_N(A)\) ist daher ein Datenwert beziehungsweise Schätzwert, nicht automatisch die Modellwahrscheinlichkeit selbst.

\(h_N(A)\ge0\), weil \(H_N(A)\ge0\); \(h_N(\Omega)=1\), weil \(H_N(\Omega)=N\); und für unvereinbare \(A,B\) folgt aus \(H_N(A\cup B)=H_N(A)+H_N(B)\) nach Division durch \(N\) die Additivität. Trotzdem ist \(h_N(A)\) zunächst eine beobachtete relative Häufigkeit und nicht automatisch die zugrunde liegende Modellwahrscheinlichkeit.

- Überlege dir, wie man den gesamten Ergebnisraum mithilfe eines Ereignisses und seines Gegenteils ausdrücken kann. - Welches Axiom macht eine Aussage über die Wahrscheinlichkeit des gesamten Ergebnisraums? - Wenn eine Menge in einer anderen enthalten ist, wie kannst du die größere Menge in zwei disjunkte (überschneidungsfreie) Teile zerlegen? - Welches Axiom garantiert, dass Wahrscheinlichkeiten niemals negativ sind?

1. Zerlegung des Ergebnisraums: Da \(A \cup \overline{A} = \Omega\) und \(A \cap \overline{A} = \emptyset\) (disjunkt), folgt aus dem Additivitätsaxiom (Axiom 3): \(P(A \cup \overline{A}) = P(A) + P(\overline{A})\). 2. Anwendung der Normiertheit: Nach Axiom 2 ist \(P(\Omega) = 1\). Durch Gleichsetzen erhält man \(P(A) + P(\overline{A}) = 1\), woraus durch Umformung \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\) folgt. 3. Zerlegung von \(B\): Wenn \(A \subseteq B\), kann \(B\) als Vereinigung der disjunkten Mengen \(A\) und \(B \setminus A\) dargestellt werden: \(B = A \cup (B \setminus A)\). 4. Anwendung von Axiom 3: Es gilt \(P(B) = P(A) + P(B \setminus A)\). 5. Schlussfolgerung: Da nach Axiom 1 (Nichtnegativität) stets \(P(B \setminus A) \ge 0\) gilt, muss \(P(B) \ge P(A)\) sein.

a) \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\) b) \(P(B) = P(A) + P(B \setminus A)\), woraus wegen \(P(B \setminus A) \ge 0\) folgt: \(P(A) \le P(B)\).

- Was besagen die drei Axiome von Kolmogorow über die Summe aller Wahrscheinlichkeiten und über die Vorzeichen einzelner Wahrscheinlichkeiten? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten von Teilmengen mit den Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse zusammen? - Kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, um die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse zu berechnen? - Überprüfe am Ende, ob alle berechneten Werte im erlaubten Bereich liegen.

1. Nach dem Normiertheitsaxiom gilt \(P(\Omega) = P(\{e_1, e_2, e_3\}) = 1\). 2. Da die Elementarereignisse disjunkt sind, gilt nach dem Additivitätsaxiom \(P(\{e_1, e_2\}) + P(\{e_3\}) = P(\Omega)\). 3. Einsetzen der gegebenen Werte ergibt \(0{,}3 + P(\{e_3\}) = 1\), woraus \(P(\{e_3\}) = 0{,}7\) folgt. 4. Analog gilt \(P(\{e_2, e_3\}) = P(\{e_2\}) + P(\{e_3\})\). Einsetzen ergibt \(0{,}6 = P(\{e_2\}) + 0{,}7\), woraus \(P(\{e_2\}) = -0{,}1\) folgt. 5. Aus \(P(\{e_1, e_2\}) = P(\{e_1\}) + P(\{e_2\})\) folgt \(0{,}3 = P(\{e_1\}) - 0{,}1\), also \(P(\{e_1\}) = 0{,}4\). 6. Das Axiom der Nichtnegativität besagt, dass für jedes Ereignis \(A\) gelten muss: \(P(A) \geq 0\). 7. Da \(P(\{e_2\}) = -0{,}1 < 0\), ist dieses Axiom verletzt. Eine solche Wahrscheinlichkeitsverteilung kann daher nicht existieren.

Eine solche Wahrscheinlichkeitsverteilung kann nicht existieren. Die Berechnung der Elementarereignisse ergibt \(P(\{e_1\}) = 0{,}4\), \(P(\{e_2\}) = -0{,}1\) und \(P(\{e_3\}) = 0{,}7\). Da \(P(\{e_2\}) < 0\) ist, wird das Axiom der Nichtnegativität verletzt.

- Was bedeutet es für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten, wenn Ereignisse unvereinbar sind? - Kannst du ein Gleichungssystem mit den drei gesuchten Wahrscheinlichkeiten aufstellen? - Überlege, was passiert, wenn du alle gegebenen Gleichungen addierst. - Wie hängen die Summen von zwei Ereignissen mit der Summe aller drei Ereignisse zusammen?

1. Da die Ereignisse paarweise unvereinbar sind, gilt nach dem Additivitätsaxiom: \(P(G) + P(S) = 0{,}35\), \(P(S) + P(B) = 0{,}85\) und \(P(G) + P(B) = 0{,}80\). 2. Durch Addition der drei Gleichungen erhält man \(2 \cdot (P(G) + P(S) + P(B)) = 0{,}35 + 0{,}85 + 0{,}80 = 2{,}00\). 3. Daraus folgt für die Gesamtwahrscheinlichkeit der drei Sektoren: \(P(G \cup S \cup B) = P(G) + P(S) + P(B) = 1{,}00\). 4. Die Einzelwahrscheinlichkeiten ergeben sich durch Subtraktion der gegebenen Summen von der Gesamtsumme: \(P(B) = 1{,}00 - 0{,}35 = 0{,}65\) \(P(G) = 1{,}00 - 0{,}85 = 0{,}15\) \(P(S) = 1{,}00 - 0{,}80 = 0{,}20\)

\(P(G) = 0{,}15\); \(P(S) = 0{,}20\); \(P(B) = 0{,}65\)

- Übersetze die textlichen Formulierungen (wie „halb so groß“ oder „mindestens eines“) in mathematische Gleichungen. - Nutze die Eigenschaft der Unvereinbarkeit, um die Wahrscheinlichkeit von Vereinigungen als Summen zu schreiben. - Versuche, eine Unbekannte nach der anderen durch Einsetzen zu bestimmen.

1. Aufgrund der paarweisen Unvereinbarkeit gilt: \(P(A) + P(B) + P(C) = 0{,}90\). 2. Aus den weiteren Bedingungen ergeben sich die Gleichungen \(P(A) = 0{,}5 \cdot P(B)\) und \(P(B) + P(C) = 0{,}70\). 3. Setzt man die dritte Gleichung in die erste ein, erhält man \(P(A) + 0{,}70 = 0{,}90\), woraus \(P(A) = 0{,}20\) folgt. 4. Mit der Bedingung \(P(A) = 0{,}5 \cdot P(B)\) ergibt sich \(0{,}20 = 0{,}5 \cdot P(B)\), also \(P(B) = 0{,}40\). 5. Einsetzen in \(P(B) + P(C) = 0{,}70\) liefert \(0{,}40 + P(C) = 0{,}70\), woraus \(P(C) = 0{,}30\) folgt.

\(P(A) = 0{,}20\); \(P(B) = 0{,}40\); \(P(C) = 0{,}30\)

- Was weißt du über den maximalen Wert, den eine Wahrscheinlichkeit annehmen kann? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse, wenn sie sich überschneiden? - Überlege dir, wie die Mengen zueinander liegen müssen, damit die Vereinigung so klein wie möglich wird. - Kann die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten größer als die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung sein?

1. Nach der Additionsregel gilt \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\). Da \(P(A\cup B)\leq1\), folgt \(1{,}1-P(A\cap B)\leq1\) und damit \(P(A\cap B)\geq0{,}1\). Die Schnittwahrscheinlichkeit ist also positiv; daher können \(A\) und \(B\) nicht unvereinbar sein. 2. Der größte mögliche Wert von \(P(A\cup B)\) ist \(1\), entsprechend der kleinsten möglichen Schnittwahrscheinlichkeit \(0{,}1\). Der kleinste Wert der Vereinigung ist \(0{,}7\); er tritt ein, wenn \(B\subseteq A\) und somit \(P(A\cap B)=0{,}4\) gilt. Daher ist \(P(A\cup B)\in[0{,}7;1]\).

1. Die Summe \(P(A) + P(B) = 1{,}1\) übersteigt den maximal zulässigen Wert \(1\) für \(P(A \cup B)\). Da \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \le 1\) gelten muss, folgt \(P(A \cap B) \ge 0{,}1\). Somit sind die Ereignisse nicht unvereinbar. 2. Das Intervall ist \([0{,}7; 1]\).

- Erinnere dich an das Axiom für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von Mengen, die keine gemeinsamen Elemente haben. - Wie kannst du die Fläche von zwei überlappenden Kreisen so aufteilen, dass du nur nicht-überlappende Teile hast? - Welche Beziehung besteht zwischen der Wahrscheinlichkeit einer Teilmenge und der Wahrscheinlichkeit der gesamten Menge?

1. Die Vereinigungsmenge lässt sich als Vereinigung zweier disjunkter Mengen darstellen: \(E_1 \cup E_2 = E_1 \cup (E_2 \setminus E_1)\). Dabei ist \(E_2 \setminus E_1\) die Menge aller Ergebnisse, die in \(E_2\), aber nicht in \(E_1\) liegen. 2. Nach dem Axiom für unvereinbare Ereignisse gilt: \(P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2 \setminus E_1)\). 3. Außerdem gilt die disjunkte Zerlegung \(E_2 = (E_2 \setminus E_1) \mathbin{\dot\cup} (E_1 \cap E_2)\). Mit Additivität und Nichtnegativität folgt \(P(E_2) = P(E_2 \setminus E_1) + P(E_1 \cap E_2) \ge P(E_2 \setminus E_1)\). 4. Durch Ersetzen im Term aus Schritt 2 erhält man die gesuchte Beziehung: \(P(E_1 \cup E_2) \le P(E_1) + P(E_2)\).

Durch die disjunkte Zerlegung \(E_1 \cup E_2 = E_1 \cup (E_2 \cap \overline{E_1})\) folgt mit dem Additivitätsaxiom \(P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2 \cap \overline{E_1})\). Da \(E_2 = (E_2 \cap \overline{E_1}) \mathbin{\dot\cup} (E_1 \cap E_2)\) gilt, folgt aus Additivität und Nichtnegativität \(P(E_2 \cap \overline{E_1}) \le P(E_2)\). Einsetzen ergibt \(P(E_1 \cup E_2) \le P(E_1) + P(E_2)\).

- Welche Eigenschaft müssen die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse in einem Laplace-Experiment erfüllen? - Wenn du weißt, dass eine Menge eine andere zu einem Ganzen ergänzt, wie hängen ihre Wahrscheinlichkeiten zusammen? - Wie verhält sich die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge, wenn zwei Ereignisse keine gemeinsamen Ergebnisse haben? - Versuche, alle unbekannten Wahrscheinlichkeiten durch eine einzige Variable auszudrücken.

1. Nutzung der Axiome von Kolmogorow für die Zerlegung: \(P(E_1) + P(E_2) + P(E_3) = 1\). 2. Einsetzen von \(P(E_1) = 0{,}25\) und der Relation \(P(E_2) = \frac{2}{3} \cdot P(E_3)\) in die Summenformel: \(0{,}25 + \frac{2}{3} \cdot P(E_3) + P(E_3) = 1\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(\frac{5}{3} \cdot P(E_3) = 0{,}75\). 4. Berechnung von \(P(E_3)\): \(P(E_3) = 0{,}75 \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{20} = 0{,}45\). 5. Berechnung von \(P(E_2)\): \(P(E_2) = \frac{2}{3} \cdot 0{,}45 = 0{,}3\). 6. Bewertung bzgl. Laplace: Ein Laplace-Experiment setzt voraus, dass alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind. Da \(P(E_1) = 0{,}25\), \(P(E_2) = 0{,}3\) und \(P(E_3) = 0{,}45\) verschieden sind, ist diese Bedingung nicht erfüllt. 7. Berechnung der Vereinigung disjunkter Ereignisse: \(P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) = 0{,}25 + 0{,}3 = 0{,}55\). 8. Da die Ereignisse eine Zerlegung bilden, gilt für den Schnitt disjunkter Mengen \(P(E_2 \cap E_3) = 0\).

a) \(P(E_2) = 0{,}3\); \(P(E_3) = 0{,}45\) b) Es liegt kein Laplace-Experiment vor, da die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse nicht identisch sind (\(0{,}25 \neq 0{,}3 \neq 0{,}45\)). c) \(P(E_1 \cup E_2) = 0{,}55\); \(P(E_2 \cap E_3) = 0\)

- Entsteht der Zahlenwert durch Gleichwahrscheinlichkeit oder durch beobachtete Daten? - Welche Rolle spielen langfristige relative Häufigkeiten im frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff? - Aussage III beschreibt keine Methode zur Schätzung eines Zahlenwerts, sondern Bedingungen an jede Wahrscheinlichkeitsfunktion.

1. Aussage I verwendet eine Laplace-Wahrscheinlichkeit. Beim fairen Tetraeder sind die vier Seiten gleich wahrscheinlich; die Primzahlen \(2\) und \(3\) liefern daher \(P=\frac24=0{,}5\). 2. Aussage II gehört zum frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff. Der Zahlenwert wird aus langfristig beobachteten relativen Häufigkeiten gewonnen und als Schätzwert für eine Wahrscheinlichkeit verwendet. 3. Aussage III beschreibt den axiomatischen Rahmen. Die Kolmogorow-Axiome legen fest, welche formalen Eigenschaften jede Wahrscheinlichkeitsfunktion erfüllen muss, unabhängig davon, ob konkrete Werte durch Symmetrie, Daten oder eine andere Modellierung motiviert werden.

a) I: Laplace-Wahrscheinlichkeit; II: frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff. b) Die Kolmogorow-Axiome bilden den formalen mathematischen Rahmen, dem jede Wahrscheinlichkeitsfunktion genügen muss, unabhängig von der Herkunft ihrer konkreten Werte.

- Was muss für die Summe aller Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Einzelergebnisse in einem Zufallsexperiment immer gelten? - Stelle eine Gleichung auf, in der du alle Karten und ihre jeweiligen Wahrscheinlichkeiten berücksichtigst. - Welche Karten gehören genau zur Menge der „Bildkarten“? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Laplace-Fall?

1. Anwendung der Normierungsbedingung (Axiom von Kolmogorow): Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten im Ergebnisraum muss 1 ergeben. Es gilt \(4 \cdot p + 4 \cdot (1{,}5 \cdot p) = 1\). Dies vereinfacht sich zu \(4 \cdot p + 6 \cdot p = 10 \cdot p = 1\), woraus \(p = 0{,}1\) folgt. 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit von \(E\): Das Ereignis \(E\) umfasst die Karten Bube, Dame und König. Jede dieser Karten hat nach der Gewichtung die Wahrscheinlichkeit \(1{,}5 \cdot 0{,}1 = 0{,}15\). Somit ist \(P(E) = 3 \cdot 0{,}15 = 0{,}45\). 3. Vergleich mit Laplace: Im Laplace-Modell hat jede der 8 Karten die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{8} = 0{,}125\). Die Wahrscheinlichkeit für die drei Bildkarten beträgt dort \(P_L(E) = \frac{3}{8} = 0{,}375\). Das gewichtete Modell liefert eine um \(0{,}075\) höhere Wahrscheinlichkeit für Bildkarten.

a) \(p = 0{,}1\) b) \(P(E) = 0{,}45\) c) Im Laplace-Modell ist \(P_L(E) = 0{,}375\). Die Wahrscheinlichkeit im gewichteten Modell ist somit höher (\(45\,\%\) gegenüber \(37{,}5\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, welche Zahlen zwischen 1 und 12 die jeweiligen Bedingungen erfüllen. - Bei einem Laplace-Experiment ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses das Verhältnis der Anzahl der günstigen Ergebnisse zur Anzahl der möglichen Ergebnisse. - „Oder“ bedeutet in der Mengenlehre die Vereinigung, also alle Elemente, die in mindestens einer der Mengen enthalten sind. - „Und nicht“ bedeutet, dass du die Schnittmenge mit dem Komplementärereignis bildest.

1. Ergebnismengen bestimmen: \(A = \{2; 3; 5; 7; 11\}\) (5 Elemente) \(B = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\) (6 Elemente) \(C = \{9; 10; 11; 12\}\) (4 Elemente) 2. Laplace-Wahrscheinlichkeiten (\(|\Omega| = 12\)): \(P(A) = \frac{5}{12} \approx 0{,}417\) \(P(B) = \frac{6}{12} = 0{,}5\) \(P(C) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\) 3. Verknüpfte Ereignisse: \(A \cup C = \{2; 3; 5; 7; 9; 10; 11; 12\}\) (8 Elemente), daraus folgt \(P(A \cup C) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667\). \(\bar{C} = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}\). Die Schnittmenge \(B \cap \bar{C}\) enthält alle Teiler von 12, die nicht größer als 8 sind: \(\{1; 2; 3; 4; 6\}\) (5 Elemente). Somit ist \(P(B \cap \bar{C}) = \frac{5}{12} \approx 0{,}417\).

1. \(A = \{2; 3; 5; 7; 11\}\), \(B = \{1; 2; 3; 4; 6; 12\}\), \(C = \{9; 10; 11; 12\}\) 2. \(P(A) = \frac{5}{12}\), \(P(B) = \frac{1}{2}\), \(P(C) = \frac{1}{3}\) 3. \(P(A \cup C) = \frac{2}{3}\), \(P(B \cap \bar{C}) = \frac{5}{12}\)

- Welche allgemeine Additionsregel verknüpft \(P(A\cup B)\) mit der Schnittwahrscheinlichkeit? - Wie groß kann \(P(A\cap B)\) höchstens sein? - Wann überdecken sich die beiden Gruppen maximal und wann gar nicht?

1. Es ist \(P(A)=0{,}45\) und \(P(B)=0{,}35\). Mit \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) ist die Vereinigung am kleinsten, wenn \(B\subseteq A\). Dann ist \(P(A\cup B)=0{,}45\). Sie ist am größten, wenn \(A\cap B=\emptyset\). Dann ist \(P(A\cup B)=0{,}45+0{,}35=0{,}80\). 2. Die untere Grenze bedeutet: Alle Vela-Käufer gehören zugleich zur Lumo-Käufergruppe. Die obere Grenze bedeutet: Niemand gehört zu beiden Käufergruppen.

1. \([0{,}45;0{,}80]\) 2. Untere Grenze: \(B\subseteq A\). Obere Grenze: \(A\cap B=\emptyset\).

- Erinnere dich an die Beziehung zwischen einer Menge und ihrer Vereinigung mit einer anderen Menge. - Welche grundlegende Eigenschaft müssen Ereignisse haben, damit man ihre Wahrscheinlichkeiten einfach addieren darf? - Wie lautet die Formel für \(P(A \cup B)\), wenn die Ereignisse nicht disjunkt sind? - Welches Vorzeichen hat die Wahrscheinlichkeit eines Schnittereignisses immer?

1. Nach der Definition der Vereinigung gilt \(A \subseteq (A \cup B)\). Es gilt die disjunkte Zerlegung \(A \cup B = A \mathbin{\dot\cup} (B \setminus A)\). Nach Additivität und Nichtnegativität ist \(P(A \cup B) = P(A) + P(B \setminus A) \ge P(A)\). 2. Die Gleichheit \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) ist insbesondere dann erfüllt, wenn die Ereignisse \(A\) und \(B\) unvereinbar (disjunkt) sind, also \(A \cap B = \emptyset\). Allgemein genügt dafür \(P(A \cap B)=0\); Disjunktheit ist die passende mengentheoretische Bedingung. 3. Der allgemeine Additionssatz lautet \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). Da Wahrscheinlichkeiten nicht negativ sind (\(P(A \cap B) \ge 0\)), wird von der Summe \(P(A) + P(B)\) entweder Null oder ein positiver Wert subtrahiert, woraus \(P(A \cup B) \le P(A) + P(B)\) folgt.

1. Aus \(A \cup B = A \mathbin{\dot\cup} (B \setminus A)\), der Additivität und \(P(B \setminus A) \ge 0\) folgt \(P(A) \le P(A \cup B)\). 2. Eine ausreichende mengentheoretische Bedingung ist \(A \cap B = \emptyset\) (Disjunktheit); allgemein reicht \(P(A \cap B)=0\). 3. Aus \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) und \(P(A \cap B) \ge 0\) folgt die Behauptung.

- Welche Obergrenze gibt es für die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Ereignisses? - Nutze die allgemeine Summenregel \(P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)\), um Zusammenhänge zwischen den Werten herzustellen. - Überlege dir, wie groß die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten im Vergleich zum maximal möglichen Wert 1 ist. - Das Ereignis „keines von beiden“ ist das Gegenteil von „mindestens eines von beiden“.

1. Prüfung auf Unvereinbarkeit: Wären \(E\) und \(F\) unvereinbar, müsste laut Additionsaxiom \(P(E \cup F) = P(E) + P(F)\) gelten. Hier wäre \(0{,}65 + 0{,}55 = 1{,}20\). Da Wahrscheinlichkeiten maximal 1 betragen können (\(P(E \cup F) \le 1\)), ist dies unmöglich. Die Ereignisse müssen also eine Schnittmenge besitzen. 2. Minimaler Wert für \(P(E \cap F)\): Da \(P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)\) und \(P(E \cup F) \le 1\), folgt \(P(E \cap F) \ge P(E) + P(F) - 1\). Einsetzen ergibt \(0{,}65 + 0{,}55 - 1 = 0{,}20\). 3. Berechnung von \(P(E \cap F)\) bei \(P(E \cup F) = 0{,}85\): Umstellen der Summenregel ergibt \(P(E \cap F) = P(E) + P(F) - P(E \cup F) = 0{,}65 + 0{,}55 - 0{,}85 = 0{,}35\). 4. Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses: Die Wahrscheinlichkeit, dass weder \(E\) noch \(F\) eintritt, ist \(P(\overline{E \cup F}) = 1 - P(E \cup F) = 1 - 0{,}85 = 0{,}15\).

a) Wären sie unvereinbar, wäre \(P(E \cup F) = 1{,}2 > 1\), was den Axiomen widerspricht. b) \(P(E \cap F)_{\min} = 0{,}20\) c) \(P(E \cap F) = 0{,}35\) d) \(P(\text{keines}) = 0{,}15\)

- Achte bei der Teilbarkeit darauf, ob es Zahlen gibt, die in beiden Gruppen vorkommen. - „Weder noch“ lässt sich als Gegenereignis zu „mindestens eine der beiden Bedingungen“ auffassen. - Nutze die Eigenschaft, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einem Zufallsexperiment immer 1 ergeben muss.

1. Für a) sei \(A\) das Ereignis „teilbar durch 4“ (\(\{4, 8, 12, 16, 20\}\), \(|A|=5\)) und \(B\) „teilbar durch 6“ (\(\{6, 12, 18\}\), \(|B|=3\)). Die Schnittmenge ist \(A \cap B = \{12\}\) (\(|A \cap B|=1\)). Nach dem Additionssatz: \(P(A \cup B) = \frac{5 + 3 - 1}{20} = \frac{7}{20} = 0{,}35\). 2. Für b) sei \(C\) „teilbar durch 3“ (\(\{3, 6, 9, 12, 15, 18\}\), \(|C|=6\)) und \(D\) „teilbar durch 5“ (\(\{5, 10, 15, 20\}\), \(|D|=4\)). Die Schnittmenge ist \(C \cap D = \{15\}\) (\(|C \cap D|=1\)). Die Mächtigkeit der Vereinigung ist \(6 + 4 - 1 = 9\). Das gesuchte Ereignis ist das Komplement dazu: \(20 - 9 = 11\) günstige Ergebnisse. \(P = \frac{11}{20} = 0{,}55\). 3. Für c) gilt nach den Axiomen von Kolmogorow: \(\sum P(\omega_i) = 1\). Mit \(P(1) = \dots = P(19) = x\) und \(P(20) = 0{,}1\) folgt: \(19x + 0{,}1 = 1\). Daraus ergibt sich \(19x = 0{,}9\), also \(x = \frac{0{,}9}{19} = \frac{9}{190}\).

a) \(P = \frac{7}{20} = 0{,}35\) b) \(P = \frac{11}{20} = 0{,}55\) c) \(P(1) = \frac{9}{190} \approx 0{,}0474\)

- Wie viele Zahlen zwischen 1 und 100 sind durch 8 teilbar? - Gibt es Zahlen, die sowohl in Ereignis A als auch in Ereignis B vorkommen? - Welche Formel hilft dir, wenn sich zwei Ereignisse überschneiden? - Wann spricht man in der Stochastik von einem Laplace-Experiment?

1. Anzahl der günstigen Ergebnisse für \(A\): Die Vielfachen von \(8\) bis \(100\) sind \(8, 16, \dots, 96\). Da \(100 : 8 = 12{,}5\), gibt es \(|A| = 12\) günstige Ergebnisse. Somit ist \(P(A) = \frac{12}{100} = 0{,}12\). 2. Anzahl der günstigen Ergebnisse für \(B\): Die Vielfachen von \(12\) bis \(100\) sind \(12, 24, \dots, 96\). Da \(100 : 12 \approx 8{,}33\), gibt es \(|B| = 8\) günstige Ergebnisse. Somit ist \(P(B) = \frac{8}{100} = 0{,}08\). 3. Schnittmenge \(A \cap B\): Gesucht sind die Vielfachen des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von \(8\) und \(12\), also von \(24\). Dies sind \(\{24, 48, 72, 96\}\). Es gilt \(|A \cap B| = 4\) und \(P(A \cap B) = \frac{4}{100} = 0{,}04\). 4. Anwendung des Additionssatzes: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}12 + 0{,}08 - 0{,}04 = 0{,}16\). 5. Begründung Laplace: Ein Laplace-Experiment liegt vor, wenn alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Dies ist hier gerechtfertigt, da die Kugeln in Form und Gewicht identisch sind und der Ziehungsprozess rein zufällig erfolgt.

a) \(P(A) = 0{,}12\); \(P(B) = 0{,}08\) b) \(P(A \cup B) = 0{,}16\) c) Die Annahme ist gerechtfertigt, da alle Kugeln identisch sind und somit die gleiche Chance haben, gezogen zu werden (Gleichwahrscheinlichkeit der Elementarereignisse).

- Wann ist eine Zahl gleichzeitig durch zwei verschiedene Zahlen teilbar? - Was bedeutet das Wort „Gegenereignis“ für die logische Beschreibung einer Bedingung? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses und seines Gegenereignisses mathematisch zusammen? - Wie viele Zahlen in deinem Bereich erfüllen die kombinierte Teilbarkeitsregel?

1. Identifikation der Bedingungen für \(E\): Eine Zahl ist genau dann durch \(4\) und \(6\) teilbar, wenn sie ein Vielfaches des kleinsten gemeinsamen Vielfachen \(\operatorname{kgV}(4; 6) = 12\) ist. 2. Bestimmung der Mächtigkeit von \(E\): Die Vielfachen von \(12\) im Bereich von \(1\) bis \(120\) sind \(12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120\). Es gibt somit \(|E| = 10\) günstige Ergebnisse. 3. Berechnung von \(P(E)\): Da es sich um ein Laplace-Experiment mit \(|\Omega| = 120\) handelt, gilt \(P(E) = \frac{10}{120} = \frac{1}{12} \approx 0{,}0833\). 4. Definition des Gegenereignisses \(\overline{E}\): Die gezogene Nummer ist nicht durch \(4\) oder nicht durch \(6\) teilbar (bzw. nicht durch \(12\) teilbar). 5. Berechnung von \(P(\overline{E})\): Über die Komplementärregel ergibt sich \(P(\overline{E}) = 1 - P(E) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12} \approx 0{,}9167\).

Das Gegenereignis \(\overline{E}\) lautet: „Die Zahl ist nicht durch \(12\) teilbar“ (oder: „Die Zahl ist nicht sowohl durch \(4\) als auch durch \(6\) teilbar“). Die Wahrscheinlichkeiten betragen \(P(E) = \frac{1}{12} \approx 0{,}0833\) und \(P(\overline{E}) = \frac{11}{12} \approx 0{,}9167\).

- Erstelle eine Liste aller Zahlen, die die eine oder die andere Bedingung erfüllen. - Achte darauf, ob es Zahlen gibt, die eventuell beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen könnten. - Ist die Zahl \(1\) eine Primzahl? - Wie lautet die Verneinung von „A oder B“?

1. Auflistung der Primzahlen bis \(50\): \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\). Das sind \(15\) Zahlen. 2. Auflistung der Quadratzahlen bis \(50\): \(1, 4, 9, 16, 25, 36, 49\). Das sind \(7\) Zahlen. 3. Prüfung auf Schnittmengen: Da \(1\) keine Primzahl ist und alle anderen Quadratzahlen \(n^2\) für \(n > 1\) zusammengesetzte Zahlen sind, gibt es keine Überschneidungen. 4. Bestimmung der Mächtigkeit von \(E\): \(|E| = 15 + 7 = 22\). 5. Berechnung von \(P(E)\): Bei \(|\Omega| = 50\) ist \(P(E) = \frac{22}{50} = 0{,}44\). 6. Definition von \(\overline{E}\): Die Zahl ist weder eine Primzahl noch eine Quadratzahl. 7. Berechnung von \(P(\overline{E})\): \(P(\overline{E}) = 1 - 0{,}44 = 0{,}56\).

Das Gegenereignis \(\overline{E}\) lautet: „Die Zahl ist weder eine Primzahl noch eine Quadratzahl“. Die Wahrscheinlichkeiten sind \(P(E) = 0{,}44\) und \(P(\overline{E}) = 0{,}56\).

- Überlege zuerst, wie viele Zahlen im Bereich bis 150 jeweils die geforderte Eigenschaft erfüllen. - Wie findet man Zahlen, die gleichzeitig durch zwei verschiedene Werte teilbar sind? - Erinnere dich an den Additionssatz für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse. - Wenn ein Ereignis eintreten soll, ein anderes aber nicht, kannst du das über die Differenz der Mengen betrachten.

1. Berechnung von \(P(E_1)\) und \(P(E_2)\): Da es sich um ein Laplace-Experiment handelt, gilt \(P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|}\). Mit \(|\Omega| = 150\) ergeben sich \(|E_1| = 150 : 6 = 25\) und \(|E_2| = 150 : 10 = 15\). Somit ist \(P(E_1) = \frac{25}{150} = \frac{1}{6}\) und \(P(E_2) = \frac{15}{150} = \frac{1}{10} = 0{,}1\). 2. Bestimmung von \(E_1 \cap E_2\): Eine Zahl ist genau dann durch 6 und 10 teilbar, wenn sie durch das kleinste gemeinsame Vielfache \(\text{kgV}(6, 10) = 30\) teilbar ist. Die Ergebnismenge ist \(E_1 \cap E_2 = \{30; 60; 90; 120; 150\}\). Es gilt \(|E_1 \cap E_2| = 5\), also \(P(E_1 \cap E_2) = \frac{5}{150} = \frac{1}{30}\). 3. Berechnung von \(P(E_1 \cup E_2)\): Nach dem Additionssatz gilt \(P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2) = \frac{25}{150} + \frac{15}{150} - \frac{5}{150} = \frac{35}{150} = \frac{7}{30}\). 4. Wahrscheinlichkeit für \(E_1 \setminus E_2\): Gesucht ist \(P(E_1 \cap \bar{E_2}) = P(E_1) - P(E_1 \cap E_2) = \frac{25}{150} - \frac{5}{150} = \frac{20}{150} = \frac{2}{15}\).

a) \(P(E_1) = \frac{1}{6}\); \(P(E_2) = \frac{1}{10}\) b) \(E_1 \cap E_2 = \{30; 60; 90; 120; 150\}\); \(P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{30}\) c) \(P(E_1 \cup E_2) = \frac{7}{30}\) d) \(P = \frac{2}{15}\)

- Welches Ereignis ist das Gegenereignis zu „weder Sport noch Lesen“? - Welche Additionsregel verknüpft \(P(S\cup L)\), \(P(S)\), \(P(L)\) und \(P(S\cap L)\)? - Wie zerfällt das Ereignis \(L\) in die beiden disjunkten Fälle mit und ohne \(S\)?

1. Aus dem Gegenereignis folgt \(P(S\cup L)=1-P(\overline{S}\cap\overline{L})=1-0{,}38=0{,}62\). 2. Mit dem Additionssatz \(P(S\cup L)=P(S)+P(L)-P(S\cap L)\) erhält man \(P(S\cap L)=0{,}42+0{,}35-0{,}62=0{,}15\). 3. Für Teil b gilt \(P(L\cap\overline{S})=P(L)-P(S\cap L)=0{,}35-0{,}15=0{,}20\).

a) \(P(S\cap L)=0{,}15\) b) \(P(L\cap\overline{S})=0{,}20\)

- Überlege dir zuerst, wie viele Zahlen zwischen 1 und 100 die jeweilige Bedingung erfüllen. - Was bedeutet das Wort „oder“ in der Mengenlehre für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit? - Gibt es Zahlen, die in beiden Mengen gleichzeitig vorkommen? - Wie hängen die Bedingungen „durch 5 teilbar“ und „durch 20 teilbar“ logisch zusammen?

1. Bestimmung der Mächtigkeiten der Ereignisse im Ergebnisraum \(S = \{1, 2, \dots, 100\}\): \(|A| = \lfloor 100 : 5 \rfloor = 20\) \(|B| = \lfloor 100 : 8 \rfloor = 12\) \(|C| = \lfloor 100 : 20 \rfloor = 5\) 2. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten (Laplace-Experiment): \(P(A) = \frac{20}{100} = 0{,}2\) \(P(B) = \frac{12}{100} = 0{,}12\) \(P(C) = \frac{5}{100} = 0{,}05\) 3. Schnittmenge \(A \cap B\): Zahlen, die durch \(\text{kgV}(5, 8) = 40\) teilbar sind: \(\{40, 80\}\). Somit \(|A \cap B| = 2\). 4. Additionssatz für \(P(A \cup B)\): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}2 + 0{,}12 - \frac{2}{100} = 0{,}32 - 0{,}02 = 0{,}3\) 5. Schnittmenge \(A \cap C\): Da jede durch \(20\) teilbare Zahl auch durch \(5\) teilbar ist, gilt \(C \subset A\), also \(A \cap C = C\). \(P(A \cap C) = P(C) = 0{,}05\)

\(P(A) = 0{,}2\); \(P(B) = 0{,}12\); \(P(C) = 0{,}05\); \(P(A \cup B) = 0{,}3\); \(P(A \cap C) = 0{,}05\)

- Wie groß kann der gemeinsame Anteil zweier Gruppen höchstens sein, wenn ihre Einzelanteile feststehen? - Welche Bedingung folgt aus \(P(S\cup M)\le1\) für den kleinstmöglichen Schnitt? - Wie verändert sich \(P(S\cup M)\), wenn der Schnitt größer oder kleiner wird?

1. Für den Schnitt gilt höchstens \(P(S\cap M)\le\min(0{,}75;0{,}65)=0{,}65\). 2. Wegen \(P(S\cup M)\le1\) und \(P(S\cup M)=P(S)+P(M)-P(S\cap M)\) gilt \(P(S\cap M)\ge0{,}75+0{,}65-1=0{,}40\). Damit ist \(0{,}40\le P(S\cap M)\le0{,}65\). 3. Für die Vereinigung gilt \(P(S\cup M)=1{,}40-P(S\cap M)\). Beim größtmöglichen Schnitt erhält man die kleinste Vereinigung \(0{,}75\); beim kleinstmöglichen Schnitt die größte Vereinigung \(1\).

1. \(0{,}40\le P(S\cap M)\le0{,}65\) 2. \(0{,}75\le P(S\cup M)\le1\)

- Wie viele Möglichkeiten gibt es, \(3\) Kugeln aus \(10\) zu wählen? - Welche Auswahlen gehören nicht zum Ereignis „mindestens eine der beiden Kugeln“? - Wann darf man Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen einfach addieren? - Überlege dir, ob es möglich ist, dass beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind.

1. Wahrscheinlichkeit für Kugel \(1\): Die Anzahl der Möglichkeiten, \(3\) aus \(10\) Kugeln zu ziehen, ist \(\binom{10}{3}=120\). Die günstigen Fälle (Kugel \(1\) ist dabei) sind \(\binom{1}{1}\cdot\binom{9}{2}=36\). Damit gilt \(P(\text{Kugel } 1)=\frac{36}{120}=\frac{3}{10}=0{,}3\). 2. Wahrscheinlichkeit für mindestens eine aus \(\{1,2\}\): Berechnung über das Gegenereignis (weder \(1\) noch \(2\) wird gezogen). Die Anzahl der Möglichkeiten, \(3\) Kugeln aus den restlichen \(8\) zu ziehen, ist \(\binom{8}{3}=56\). Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis ist \(\frac{56}{120}=\frac{7}{15}\). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist \(P(\text{mind. eine})=1-\frac{7}{15}=\frac{8}{15}\approx0{,}533\). 3. Analyse des Denkfehlers: Bens Behauptung ist falsch, da \(0{,}533\neq0{,}6\). Der Fehler liegt darin, dass die Ereignisse „Kugel \(1\) wird gezogen“ und „Kugel \(2\) wird gezogen“ nicht unvereinbar (disjunkt) sind. Es ist möglich, dass beide Kugeln gleichzeitig gezogen werden. Die einfache Addition der Wahrscheinlichkeiten (oder die Verdopplung) zählt den Fall, in dem beide Kugeln in der Auswahl enthalten sind, doppelt.

a) \(P=0{,}3\) b) \(P=\frac{8}{15}\approx0{,}533\) c) Die Aussage ist falsch. Der Denkfehler liegt in der Annahme, dass die Ereignisse disjunkt seien; die Schnittmenge (beide Kugeln werden gezogen) wird bei Bens Rechnung fälschlicherweise doppelt gezählt.

- Überlege, warum die 36 geordneten Würfelpaare gleichwahrscheinlich sind. - Notiere für jede relevante Augensumme die Anzahl der zugehörigen Würfelpaare. - Übersetze die Bedingung \(3<S<11\) zuerst in eine Menge möglicher Summen. - Das Gegenereignis enthält genau die Summen, die nicht zum ursprünglichen Ereignis gehören.

1. Wegen Idealität und Unabhängigkeit sind die \(6\cdot6=36\) geordneten Ergebnisse gleichwahrscheinlich. 2. Für \(S\le4\) gibt es \(1+2+3=6\) günstige Ergebnisse, für \(S\ge10\) ebenfalls \(3+2+1=6\). Die Ereignisse sind disjunkt. Daher ist \(P(S\le4\;\text{oder}\;S\ge10)=\frac{12}{36}=\frac13\). 3. Das Ereignis \(E\) entspricht \(S\in\{4,5,6,7,8,9,10\}\). Sein Gegenereignis ist \(\bar E:\;S\in\{2,3,11,12\}\). Dafür gibt es \(1+2+2+1=6\) günstige Ergebnisse, also \(P(\bar E)=\frac6{36}=\frac16\).

a) \(P=\frac13\) b) \(P(\bar E)=\frac16\)

- Versuche, ein Ereignis so darzustellen, dass es aus zwei Teilen besteht: dem Teil, der eine bestimmte Bedingung erfüllt, und dem Teil, der sie nicht erfüllt. - Warum sind die Mengen \(A \cap B\) und \(A \cap \overline{B}\) disjunkt? - Wie kannst du die Wahrscheinlichkeit \(P(A \cap \overline{B})\) mithilfe von \(P(A)\) und \(P(A \cap B)\) ausdrücken? - Nutze eine geschickte Zerlegung von \(A \cup B\), bei der eine der Teilmengen bereits das gesamte Ereignis \(B\) ist.

1. Disjunkte Zerlegung von \(A\): Das Ereignis \(A\) lässt sich als Vereinigung der Teilmengen schreiben, die entweder in \(B\) liegen oder nicht in \(B\) liegen: \(A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})\). Da \((A \cap B) \cap (A \cap \overline{B}) = \emptyset\), sind diese disjunkt. 2. Anwendung von Axiom 3: Es folgt unmittelbar \(P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})\). 3. Disjunkte Zerlegung von \(A \cup B\): Die Menge \(A \cup B\) besteht aus allen Elementen von \(B\) und jenen Elementen von \(A\), die nicht in \(B\) liegen. Es gilt \(A \cup B = (A \cap \overline{B}) \cup B\) mit \((A \cap \overline{B}) \cap B = \emptyset\). 4. Anwendung von Axiom 3: \(P(A \cup B) = P(A \cap \overline{B}) + P(B)\). 5. Substitution: Aus der Gleichung in Schritt 2 folgt \(P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B)\). 6. Finale Herleitung: Einsetzen in die Gleichung aus Schritt 4 ergibt \(P(A \cup B) = P(A) - P(A \cap B) + P(B)\), was der allgemeinen Additionsregel entspricht.

a) \(P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})\) b) \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)

- Welches Einzelereignis begrenzt den gemeinsamen Schnitt nach oben? - Formuliere das Gegenereignis zu \(A\cap B\cap C\) mit den drei Gegenereignissen. - Wie kannst du die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung nach oben abschätzen? - Wann wären die drei Fehlerereignisse so angeordnet, dass diese Abschätzung genau erreicht wird?

1. Für die obere Grenze gilt \(P(A\cap B\cap C)\le\min(P(A),P(B),P(C))=0{,}80\). Diese Grenze ist erreichbar, wenn \(C\subseteq B\subseteq A\) gilt. 2. Die Gegenereignisse haben die Wahrscheinlichkeiten \(P(\overline{A})=0{,}10\), \(P(\overline{B})=0{,}15\) und \(P(\overline{C})=0{,}20\). 3. Mit \(\overline{A\cap B\cap C}=\overline{A}\cup\overline{B}\cup\overline{C}\) und der Vereinigungsabschätzung gilt \(P(\overline{A}\cup\overline{B}\cup\overline{C})\le0{,}10+0{,}15+0{,}20=0{,}45\). Daher ist \(P(A\cap B\cap C)\ge1-0{,}45=0{,}55\). 4. Auch diese untere Grenze ist erreichbar, wenn die drei Fehlerereignisse paarweise unvereinbar sind. Somit liegt die gesuchte Wahrscheinlichkeit genau im Intervall \([0{,}55;0{,}80]\).

\(0{,}55\le P(A\cap B\cap C)\le0{,}80\)