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- Was sind die grundlegenden Bedingungen für eine Bernoulli-Kette hinsichtlich der Wahrscheinlichkeit und der Unabhängigkeit? - Überlege dir, wie sich das Entnehmen ohne Zurücklegen auf die Wahrscheinlichkeit beim nächsten Versuch auswirkt. - Wann kann man bei einer sehr großen Anzahl von Objekten (wie in einer Fabrikproduktion) trotz Entnahme von einer konstanten Wahrscheinlichkeit ausgehen? - Sind die Ergebnisse eines Würfelwurfs von den vorherigen Würfen beeinflusst?

1. Fall a: Da die Schrauben ohne Zurücklegen aus einer relativ kleinen Menge entnommen werden, ändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit mit jedem Zug (z. B. von \(\frac{4}{40}\) auf \(\frac{4}{39}\) oder \(\frac{3}{39}\)). Die Versuche sind nicht unabhängig. Ergebnis: Keine Bernoulli-Kette. 2. Fall b: Bei einer laufenden Produktion ist die Grundgesamtheit so groß, dass die Entnahme die Wahrscheinlichkeit für einen Defekt nicht nennenswert beeinflusst. Die Versuche gelten als unabhängig mit konstantem \(p\). Ergebnis: Bernoulli-Kette mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}005\). 3. Fall c: Jeder Wurf ist physikalisch unabhängig von den anderen. Die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl (\(2, 4, 6\)) ist bei jedem Wurf konstant \(p = \frac{3}{6} = 0{,}5\). Ergebnis: Bernoulli-Kette mit \(n = 8\) und \(p = 0{,}5\).

a) Keine Bernoulli-Kette (Wahrscheinlichkeit \(p\) ändert sich beim Ziehen ohne Zurücklegen). b) Bernoulli-Kette mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}005\). c) Bernoulli-Kette mit \(n = 8\) und \(p = 0{,}5\).

- Prüfe bei jeder Situation, ob es genau zwei relevante Ausgänge gibt. - Bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit bei allen Wiederholungen gleich? - Können die einzelnen Versuche als unabhängig modelliert werden?

1. Fall a: Es gibt pro Frage zwei relevante Ausgänge (richtig/falsch), die Wahrscheinlichkeit ist bei reinem Raten konstant \(p = \frac{1}{4} = 0{,}25\), und die Antworten werden als unabhängig modelliert. Ergebnis: Bernoulli-Kette mit \(n = 10\) und \(p = 0{,}25\). 2. Fall b: Dies entspricht einem Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Gruppe. Für den Treffer „Mädchen“ ändert sich die Wahrscheinlichkeit nach jeder Auswahl. Ergebnis: keine Bernoulli-Kette. 3. Fall c: Die Drehungen sind unabhängig voneinander und die Wahrscheinlichkeit für Gelb bleibt mit \(p = \frac{1}{3}\) konstant. Ergebnis: Bernoulli-Kette mit \(n = 15\) und \(p = \frac{1}{3}\).

a) Bernoulli-Kette mit \(n = 10\) und \(p = 0{,}25\). b) Keine Bernoulli-Kette, da ohne Zurücklegen gezogen wird und sich die Trefferwahrscheinlichkeit für „Mädchen“ ändert. c) Bernoulli-Kette mit \(n = 15\) und \(p = \frac{1}{3}\).

- Überlege, ob die Wahrscheinlichkeit für einen „Treffer“ bei jedem Teilversuch exakt gleich bleibt. - Spielt es eine Rolle, ob Objekte nach der Auswahl zurückgelegt werden oder nicht? - Achte darauf, ob die Anzahl der Versuche von vornherein feststeht. - Betrachte das Verhältnis zwischen der Größe der Stichprobe und der Gesamtzahl der verfügbaren Objekte.

1. Szenario a): Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Grundgesamtheit (\(N=20\)). Die Trefferwahrscheinlichkeit für eine rote Kugel ändert sich mit jedem entnommenen Bonbon (z. B. von \(\frac{5}{20}\) auf \(\frac{4}{19}\)). Die Bedingung der konstanten Wahrscheinlichkeit ist verletzt; keine Bernoulli-Kette. 2. Szenario b): Es gibt zwei relevante Ergebnisse (Rot / Nicht-Rot). Die Wahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{3}\) bleibt bei jedem der \(n=10\) Versuche gleich, und die Drehungen sind unabhängig voneinander. Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette. 3. Szenario c): Streng genommen liegt Ziehen ohne Zurücklegen vor. Da die Stichprobe (\(n=50\)) jedoch verschwindend klein gegenüber der Grundgesamtheit (\(N=500\,000\)) ist, ändert sich die Wahrscheinlichkeit nur vernachlässigbar gering. Unter der Annahme der Unabhängigkeit der Haushalte kann das Experiment als Bernoulli-Kette modelliert werden (Näherung).

a) Keine Bernoulli-Kette, da sich die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen ohne Zurücklegen (kleine Gesamtzahl) wesentlich ändert. b) Bernoulli-Kette mit \(n=10\) und \(p=\frac{1}{3}\). c) Näherungsweise eine Bernoulli-Kette, da die Grundgesamtheit sehr groß im Vergleich zur Stichprobe ist.

- Überlege dir, wie viele verschiedene Ergebnisse pro Einzelversuch für die Fragestellung relevant sind. - Bleibt die Chance auf einen Erfolg bei jeder Wiederholung genau gleich oder ändert sie sich? - Hat das Ergebnis eines Versuchs einen Einfluss auf die folgenden Versuche?

1. Teilaufgabe a: Es liegen zwei mögliche Ergebnisse vor (Treffer oder kein Treffer). Da die Trefferwahrscheinlichkeit mit \(p = 0{,}8\) als konstant angegeben ist und die Versuche als unabhängig voneinander betrachtet werden können, handelt es sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 12\) und \(p = 0{,}8\). 2. Teilaufgabe b: Da die Karten nicht zurückgelegt werden, ändert sich die Zusammensetzung des Decks nach jedem Zug. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, ein Ass zu ziehen, nicht konstant (beim ersten Zug \(\frac{4}{32}\), beim zweiten Zug je nach Ergebnis \(\frac{3}{31}\) oder \(\frac{4}{31}\)). Es liegt keine Bernoulli-Kette vor.

a) Ja, es ist eine Bernoulli-Kette mit \(n = 12\) und \(p = 0{,}8\). b) Nein, es ist keine Bernoulli-Kette (Wahrscheinlichkeit nicht konstant).

- Welche Bedingungen müssen für eine Bernoulli-Kette erfüllt sein? - Überlege, ob sich die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg von Versuch zu Versuch ändert. - Spielt es eine Rolle, ob ein entnommenes Objekt wieder zurückgelegt wird oder nicht? - Gibt es äußere Einflüsse, die die Erfolgsaussichten beeinflussen könnten?

1. Teilaufgabe a): Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette. Da die Kugeln mit Zurücklegen gezogen werden, bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{8}{40} = 0{,}2\) konstant und die Züge sind unabhängig. Die Länge ist \(n = 5\) und die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der gezogenen roten Kugeln. 2. Teilaufgabe b): Unter der (idealisierenden) Annahme, dass die Trefferwahrscheinlichkeit konstant bleibt und die Würfe unabhängig sind, kann dies als Bernoulli-Kette modelliert werden. Parameter: \(n = 10\), \(p = 0{,}75\). Die Zufallsgröße \(X\) zählt die Anzahl der Treffer. 3. Teilaufgabe c): Dies ist keine Bernoulli-Kette. Da die Batterien ohne Zurücklegen entnommen werden, ändert sich die Wahrscheinlichkeit für eine defekte Batterie beim zweiten Zug in Abhängigkeit vom Ergebnis des ersten Zuges.

a) Ja: \(n = 5\), \(p = 0{,}2\), \(X\): Anzahl roter Kugeln. b) Ja (unter Annahme der Unabhängigkeit): \(n = 10\), \(p = 0{,}75\), \(X\): Anzahl der Treffer. c) Nein, da Ziehen ohne Zurücklegen (Wahrscheinlichkeit nicht konstant).

- Was ist das Gegenereignis dazu, dass eine Instanz den Zugriff erkennt? - Wie müssen die Ergebnisse der ersten beiden Instanzen aussehen, damit erst die dritte Instanz den Zugriff meldet? - Welche Regel wendest du an, wenn mehrere unabhängige Ereignisse nacheinander eintreten müssen?

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Instanz den Zugriff erkennt, beträgt \(p = 0{,}8\). Die Wahrscheinlichkeit, dass sie ihn übersieht, ist \(q = 1 - 0{,}8 = 0{,}2\). 1. Der Alarm wird direkt bei der ersten Prüfung ausgelöst: \(P(\text{Abwehr durch erste Instanz}) = p = 0{,}8\). 2. Der Alarm wird erst bei der dritten Prüfung ausgelöst, wenn die ersten beiden Instanzen den Zugriff übersehen und die dritte ihn erkennt: \(P(\text{erst durch dritte Instanz}) = q \cdot q \cdot p = 0{,}2^2 \cdot 0{,}8 = 0{,}032\). 3. Keine der drei Instanzen erkennt den Zugriff: \(P(\text{kein Alarm}) = q \cdot q \cdot q = 0{,}2^3 = 0{,}008\).

(1) \(0{,}8\) (oder \(80\,\%\)) (2) \(0{,}032\) (oder \(3{,}2\,\%\)) (3) \(0{,}008\) (oder \(0{,}8\,\%\))

- Was zeichnet einen Bernoulli-Versuch im Gegensatz zu einem allgemeineren Zufallsexperiment aus? - Wie viele verschiedene Ausgänge darf es geben? - Wie kannst du die Zahlen auf dem Glücksrad in zwei Gruppen aufteilen? - Gibt es nur eine einzige Art, „Erfolg“ zu definieren?

1. Einteilung der acht möglichen Ergebnisse in zwei disjunkte Teilmengen, z. B. Erfolg \(E = \{2, 4, 6, 8\}\) (gerade Zahl) und Misserfolg \(\bar{E} = \{1, 3, 5, 7\}\) (ungerade Zahl). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: Da alle Sektoren gleich groß sind, gilt \(p = P(E) = \frac{4}{8} = 0{,}5\) und \(q = 1 - p = 0{,}5\). 3. Definition einer alternativen Erfolgsmenge, z. B. \(E' = \{7, 8\}\) (Zahl ist größer als 6). 4. Berechnung der neuen Erfolgswahrscheinlichkeit: \(p' = P(E') = \frac{2}{8} = 0{,}25\).

a) Beispielhafte Interpretation: Erfolg ist das Erzielen einer geraden Zahl. Damit ist \(p = 0{,}5\) und \(q = 0{,}5\). b) Beispielhafte weitere Interpretation: Erfolg ist das Erzielen einer Zahl größer als 6, also \(7\) oder \(8\). Dann ist \(p' = \frac{2}{8} = 0{,}25\).

- Wann spricht man von einem Bernoulli-Experiment? Überlege dir, welche Voraussetzungen für die Wahrscheinlichkeit und die Unabhängigkeit gelten müssen. - Welche Werte haben \(n\) (Anzahl der Versuche) und \(p\) (Trefferwahrscheinlichkeit) in dieser Aufgabe? - Erinnerst du dich an die Formel von Bernoulli für Punktwahrscheinlichkeiten? - Was ist das Gegenereignis zu einem Treffer und wie groß ist dessen Wahrscheinlichkeit?

1. Modellierung als Bernoulli-Kette: Es gibt nur zwei relevante Ergebnisse pro Schuss (Treffer im Gold oder kein Treffer). Die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}7\) muss bei jedem Schuss konstant bleiben und die Schüsse müssen voneinander unabhängig sein. 2. Anwendung der Bernoulli-Formel \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) mit \(n = 4\) und \(p = 0{,}7\). 3. Berechnung für \(k = 0\): \(P(X = 0) = \binom{4}{0} \cdot 0{,}7^0 \cdot 0{,}3^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}0081 = 0{,}0081\). 4. Berechnung für \(k = 1\): \(P(X = 1) = \binom{4}{1} \cdot 0{,}7^1 \cdot 0{,}3^3 = 4 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}027 = 0{,}0756\). 5. Berechnung für \(k = 2\): \(P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}7^2 \cdot 0{,}3^2 = 6 \cdot 0{,}49 \cdot 0{,}09 = 0{,}2646\). 6. Berechnung für \(k = 3\): \(P(X = 3) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}7^3 \cdot 0{,}3^1 = 4 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}3 = 0{,}4116\). 7. Berechnung für \(k = 4\): \(P(X = 4) = \binom{4}{4} \cdot 0{,}7^4 \cdot 0{,}3^0 = 1 \cdot 0{,}2401 \cdot 1 = 0{,}2401\).

a) Bedingungen: Nur zwei Ausgänge (Treffer/kein Treffer), konstante Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) und Unabhängigkeit der Schüsse. b) Die Wahrscheinlichkeiten betragen: \(P(X=0) = 0{,}0081\) \(P(X=1) = 0{,}0756\) \(P(X=2) = 0{,}2646\) \(P(X=3) = 0{,}4116\) \(P(X=4) = 0{,}2401\)

- Vergleiche den Aufbau der Terme mit der allgemeinen Bernoulli-Formel. - Achte besonders auf den Zusammenhang zwischen der Zahl im Binomialkoeffizienten und den Exponenten. - Prüfe, ob die Summe der Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg genau 1 ergibt. - Überlege dir für die gültigen Formeln eine Situation, in der es nur zwei mögliche Ergebnisse (Treffer/Niete) gibt.

1. Analyse von a): Der Term entspricht der Bernoulli-Formel \(P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) mit \(n = 10\), \(k = 3\) und \(p = 0{,}15\). Da \(3 + 7 = 10\) und \(0{,}15 + 0{,}85 = 1\), ist die Formel korrekt angewendet. Beispiel: Ein Reißnagel landet mit einer Wahrscheinlichkeit von \(15\,\%\) auf dem Kopf. Er wird \(10\)-mal geworfen. Ereignis: Er landet genau \(3\)-mal auf dem Kopf. 2. Analyse von b): Der Binomialkoeffizient gibt \(n = 12\) vor. Die Summe der Exponenten \(4 + 6 = 10\) entspricht jedoch nicht der Gesamtzahl der Versuche \(n\). Daher handelt es sich nicht um eine korrekte Bernoulli-Formel für \(n = 12\). 3. Analyse von c): Der Term entspricht der Bernoulli-Formel mit \(n = 10\), \(k = 8\) und \(p = 0{,}8\). Da \(p^k = 0{,}8^8\) und \((1-p)^{n-k} = 0{,}2^2\) ist, sind lediglich die Faktoren vertauscht, was mathematisch korrekt ist. Beispiel: Ein Basketballspieler trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von \(80\,\%\). Er wirft \(10\)-mal. Ereignis: Er erzielt genau \(8\) Treffer.

a) Ja, Bernoulli-Formel mit \(n = 10\), \(p = 0{,}15\), \(k = 3\). Beispiel: \(10\)-maliges Würfeln einer „6“ bei einem speziellen Würfel mit \(p = 0{,}15\); Ereignis: Genau \(3\) Sechsen. b) Nein, die Summe der Exponenten (\(4+6=10\)) stimmt nicht mit \(n=12\) überein. c) Ja, Bernoulli-Formel mit \(n = 10\), \(p = 0{,}8\), \(k = 8\). Beispiel: Ein Glücksrad mit \(80\,\%\) Gewinnchance wird \(10\)-mal gedreht; Ereignis: Genau \(8\) Gewinne.

- Überlege, wie sich die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer verändert, wenn ein Objekt entnommen wird. - Was ist die Voraussetzung für die Unabhängigkeit der einzelnen Versuche? - Welche Rolle spielt die Gesamtzahl der Objekte im Behälter bei den beiden Verfahren?

1. Analyse von Fall a): Da die Bauteile zurückgelegt werden, bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit für „defekt“ bei jedem Zug konstant bei \(p = \frac{6}{40} = 0{,}15\). Die Züge sind unabhängig. Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette. 2. Analyse von Fall b): Ohne Zurücklegen ändert sich die Zusammensetzung des Behälters nach jedem Zug, wodurch die Wahrscheinlichkeit für ein defektes Bauteil variiert. Es liegt keine Bernoulli-Kette vor. 3. Parameter für die Berechnung in Fall a): \(n = 5\), \(k = 1\), \(p = 0{,}15\), \(1-p = 0{,}85\). 4. Berechnung mit der Binomialverteilung: \(P(X = 1) = \binom{5}{1} \cdot 0{,}15^1 \cdot 0{,}85^4\). 5. Zwischenergebnisse: \(\binom{5}{1} = 5\); \(0{,}85^4 = 0{,}52200625\). 6. Endergebnis: \(5 \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}52200625 \approx 0{,}3915\).

a) Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette, da die Wahrscheinlichkeit konstant bleibt. b) Es handelt sich nicht um eine Bernoulli-Kette, da sich die Wahrscheinlichkeiten ändern. Die Wahrscheinlichkeit für genau ein defektes Bauteil (Fall a) beträgt ca. \(39{,}15\,\%\).

- Welche drei Merkmale definieren eine Bernoulli-Kette? - Denke an äußere Einflüsse wie Wind oder Wetter – betreffen diese jeden Schuss einzeln und völlig isoliert? - Wie verändert sich die Situation für den Sportler im Kopf, wenn etwas schiefgeht? - Was bedeutet „Unabhängigkeit“ mathematisch für die Wahrscheinlichkeit des nächsten Schritts?

1. Zu a): Es müssen genau zwei Ergebnisse pro Schuss vorliegen (Treffer/Fehlschuss). Die Trefferwahrscheinlichkeit \(p=0{,}8\) muss für jeden der 5 Schüsse identisch sein. Zudem müssen die Schüsse stochastisch unabhängig voneinander sein, d. h., das Ergebnis eines Schusses darf die Wahrscheinlichkeit der folgenden Schüsse nicht beeinflussen. 2. Zu b): In der Realität können äußere Faktoren wie böiger Wind mehrere Schüsse gleichzeitig beeinflussen (Abhängigkeit). Zudem wirken psychologische Faktoren: Ein Erfolg kann Sicherheit geben, während ein Fehlschuss den Druck erhöht. Auch physische Ermüdung während der Serie könnte die Wahrscheinlichkeit über die Zeit verändern. 3. Zu c): Durch die Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeit vom vorangegangenen Ergebnis wird die Unabhängigkeit der Versuche verletzt. Eine Bernoulli-Kette erfordert, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg in jedem Schritt konstant bleibt und nicht von der Vorgeschichte abhängt.

a) Zwei Ausgänge (Treffer/Fehlschuss), konstante Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}8\), Unabhängigkeit der Schüsse. b) Äußere Einflüsse (Wind) oder psychologische Faktoren (Druck, Konzentration) können Abhängigkeiten erzeugen oder \(p\) verändern. c) Die Unabhängigkeit der Teilversuche (und damit die Konstanz von \(p\)) wird verletzt, da die Wahrscheinlichkeit vom Ergebnis des vorherigen Schusses abhängt.

- Prüfe, ob das Experiment in genau zwei Kategorien (Erfolg und Misserfolg) unterteilt wird. - Bestimme die Anzahl der Wiederholungen des Experiments. - Berechne die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg in einem einzelnen Schritt. Bleibt diese immer gleich?

1. Teilaufgabe a: Ein Einzelversuch hat zwei relevante Ausgänge: „Primzahl“ (Erfolg) oder „keine Primzahl“ (Misserfolg). Die Primzahlen auf einem Würfel sind 2, 3 und 5. Da der Würfel fair ist, gilt für jeden der 20 unabhängigen Würfe \(p = \frac{3}{6} = 0{,}5\). Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}5\). 2. Teilaufgabe b: Bei diesem Experiment werden die genauen Augenzahlen von 1 bis 10 notiert. Damit gibt es mehr als zwei mögliche Ergebnisse pro Versuch. Eine Bernoulli-Kette erfordert jedoch genau zwei Ergebnisklassen (Treffer/Niete). Daher liegt keine Bernoulli-Kette vor.

a) Ja, es ist eine Bernoulli-Kette mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}5\). b) Nein, es ist keine Bernoulli-Kette (mehr als zwei Ergebnisse werden unterschieden).

- Wann kann man ein Ziehen ohne Zurücklegen näherungsweise als Bernoulli-Kette betrachten? - Achte auf Formulierungen, die auf eine Veränderung der Erfolgschancen hindeuten. - Gibt es bei jedem Teilversuch genau zwei relevante Ausgänge (Erfolg/Misserfolg)?

1. Teilaufgabe a): Eine Modellierung als Bernoulli-Kette ist angemessen. Obwohl es sich streng genommen um Ziehen ohne Zurücklegen handelt, ist die Grundgesamtheit (Stadtbevölkerung) so groß im Vergleich zur Stichprobe (\(n=100\)), dass die Trefferwahrscheinlichkeit näherungsweise konstant bei \(p = 0{,}04\) bleibt. \(X\) ist die Anzahl der E-Auto-Besitzer. 2. Teilaufgabe b): Eine Bernoulli-Kette ist nicht angemessen. Die Bedingung einer konstanten Trefferwahrscheinlichkeit ist verletzt, da die Ermüdung die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer systematisch verändert. 3. Teilaufgabe c): Es liegt eine Bernoulli-Kette vor. Die Drehungen sind unabhängig und die Wahrscheinlichkeit für Gelb ist bei jedem Versuch konstant \(p = \frac{1}{3}\). Die Länge der Kette beträgt \(n = 20\). Die Zufallsgröße \(X\) zählt das Auftreten der Farbe Gelb.

a) Ja (als gute Näherung): \(n = 100\), \(p = 0{,}04\), \(X\): Anzahl der E-Auto-Besitzer. b) Nein, da die Trefferwahrscheinlichkeit wegen Ermüdung nicht konstant ist. c) Ja: \(n = 20\), \(p = \frac{1}{3}\), \(X\): Anzahl der gelben Felder.

- Erinnere dich an die Definition eines Bernoulli-Versuchs hinsichtlich der Anzahl der Ergebnisse. - Wie kannst du mehrere Ergebnisse sinnvoll zu einer einzigen Gruppe „Erfolg“ zusammenfassen? - Achte bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten auf die Bedingung, dass eine Zwiebel zuerst keimen muss, um eine Farbe zu zeigen.

1. Begründung: Ein Bernoulli-Versuch ist definiert durch genau zwei mögliche, sich ausschließende Ergebnisse (Erfolg und Misserfolg). Die vier genannten Zustände verletzen diese Bedingung. 2. Interpretation 1: Zusammenfassung aller blühenden Farben zu einem Ergebnis „Erfolg: Zwiebel keimt“. Die Wahrscheinlichkeit ist \(p_1 = 1 - 0{,}1 = 0{,}9\). 3. Interpretation 2: Definition eines spezifischen Merkmals als Erfolg, z. B. „Erfolg: Zwiebel blüht rot“. Berechnung über die Pfadregel: \(p_2 = P(\text{keimt}) \cdot P(\text{rot} | \text{keimt}) = 0{,}9 \cdot 0{,}6 = 0{,}54\).

a) Ein Bernoulli-Versuch darf nur genau zwei Ergebnisse haben. Die Aufteilung in vier Zustände entspricht diesem Kriterium nicht. b) Möglichkeit 1: Erfolg ist „Zwiebel keimt“. Dann ist \(p = 0{,}9\). Möglichkeit 2: Erfolg ist „Zwiebel blüht rot“. Dann ist \(p = 0{,}9 \cdot 0{,}6 = 0{,}54\). (Alternativ: Erfolg ist „Zwiebel blüht gelb“ mit \(p = 0{,}9 \cdot 0{,}3 = 0{,}27\)).

- Wie verhält sich die Wahrscheinlichkeit, wenn man aus einem extrem großen Vorrat zieht? - Erinnere dich an die Bedeutung von „höchstens“ – welche Fälle sind damit gemeint? - Kannst du die Einzelwahrscheinlichkeiten für die gesuchten Trefferzahlen getrennt berechnen?

1. Begründung: Da die Gesamtanzahl der Chips in der Kiste als „sehr groß“ vorausgesetzt wird, ändert die Entnahme einzelner Chips die relative Häufigkeit der defekten Teile so geringfügig, dass die Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}04\) praktisch konstant bleibt. 2. Berechnung für \(k = 1\): \(P(X = 1) = \binom{10}{1} \cdot 0{,}04^1 \cdot 0{,}96^9 = 10 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}96^9 \approx 0{,}2770\). 3. Berechnung für \(k = 0\): \(P(X = 0) = \binom{10}{0} \cdot 0{,}04^0 \cdot 0{,}96^{10} = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}96^{10} \approx 0{,}6648\). 4. Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten für „höchstens eins“: \(P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1) \approx 0{,}6648 + 0{,}2770 = 0{,}9418\).

a) Bei einer sehr großen Grundgesamtheit ändert sich die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen ohne Zurücklegen kaum; sie kann daher als konstant angenommen werden. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(27{,}70\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(94{,}18\,\%\).

- Wie viele Gesamtmöglichkeiten gibt es bei 5 Würfen eines achtseitigen Würfels? - Berechne zuerst, wie viele Möglichkeiten es gibt, 5 unterschiedliche Zahlen aus den 8 vorhandenen auszuwählen und anzuordnen. - Welches einfache Verhältnis besteht zwischen „alle verschieden“ und „mindestens zwei gleich“? - Überlege dir die Definition einer Bernoulli-Kette: Bleibt die Wahrscheinlichkeit für einen „Treffer“ bei jedem Wurf gleich, wenn der Treffer „eine bereits gewürfelte Zahl“ ist?

1. Berechnung von \(P(A)\): Es gibt insgesamt \(8^5\) mögliche Wurfergebnisse. Für das Ereignis „alle verschieden“ gibt es \(8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4\) Möglichkeiten. \(P(A) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{8^5} = \frac{6720}{32\,768} = \frac{105}{512} \approx 0{,}2051\) 2. Das Ereignis \(B\) ist das Gegenereignis zu \(A\). \(P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}2051 = 0{,}7949\) 3. Beurteilung der Schülerbehauptung: Die Aussage ist falsch. Eine Bernoulli-Kette setzt voraus, dass bei jedem Versuch ein fester „Erfolg“ definiert ist (z. B. „Würfeln einer 1“). Hier geht es jedoch darum, ob *irgendeine* Zahl doppelt vorkommt. Der Erfolg im Sinne des Geburtstagsproblems (eine Zahl wird wiederholt) hängt davon ab, welche Zahlen in den vorherigen Würfen bereits gefallen sind. Die Wahrscheinlichkeit für eine Wiederholung ändert sich also von Wurf zu Wurf. Zudem betrachtet die Bernoulli-Formel \(1 - P(X=0) - P(X=1)\) nur die Häufigkeit eines *spezifischen* Ergebnisses, nicht die Kollision beliebiger Ergebnisse.

a) \(P(A) \approx 0{,}2051\) b) \(P(B) \approx 0{,}7949\) c) Die Aussage ist falsch, da es sich nicht um eine Bernoulli-Kette mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit für das Eintreten einer beliebigen Dopplung handelt.