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- Welche Merkmale müssen bei einer Bernoulli-Kette in jeder Stufe gleich bleiben? - Vergleiche die Zweigwahrscheinlichkeiten an den drei Stufen des Baums.

1. Jeder Versuch hat genau zwei relevante Ausgänge: T und N. 2. An jeder Stufe bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit für T gleich \(0{,}4\); die Darstellung zeigt dieselben Zweigwahrscheinlichkeiten in jeder Stufe. 3. Damit liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n=3\) und \(p=0{,}4\) vor.

Ja. Es gilt \(n=3\) und \(p=0{,}4\).

- Welche Bedingung an die Trefferwahrscheinlichkeit muss bei einer Bernoulli-Kette in jedem Versuch erfüllt sein? - Prüfe, ob sich diese Wahrscheinlichkeit durch das Ziehen ohne Zurücklegen verändert.

1. Beim ersten Zug beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit \(\frac{8}{10}\). 2. Ohne Zurücklegen verändert der erste Zug die Urnenzusammensetzung. 3. Nach einer roten Kugel wäre die Trefferwahrscheinlichkeit im zweiten Zug \(\frac79\), nach einer blauen Kugel \(\frac89\). 4. Die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt also nicht konstant. Daher liegt keine Bernoulli-Kette vor.

Nein, die Ziehungen bilden keine Bernoulli-Kette.

- Vergleiche die Erfolgswahrscheinlichkeit an allen Stellen des Baums, an denen der zweite Versuch beginnt. - Reicht es für eine Bernoulli-Kette aus, dass jeder einzelne Versuch nur die Ausgänge \(E\) und \(N\) hat? - Was bedeutet es für die Unabhängigkeit, wenn die zweite Erfolgswahrscheinlichkeit vom ersten Ausgang abhängt?

1. Im ersten Versuch gilt \(P(E)=0{,}4\). 2. Im zweiten Versuch hängt die Erfolgswahrscheinlichkeit vom Ausgang des ersten Versuchs ab: Nach \(E\) beträgt sie \(0{,}4\), nach \(N\) dagegen \(0{,}2\). 3. Damit gibt es keine konstante Erfolgswahrscheinlichkeit für alle Versuche; außerdem zeigt die unterschiedliche bedingte Erfolgswahrscheinlichkeit eine Abhängigkeit vom vorherigen Ausgang. 4. Die beiden Versuche bilden daher keine Bernoulli-Kette.

Nein. Im zweiten Versuch ist die Erfolgswahrscheinlichkeit nach \(E\) gleich \(0{,}4\), nach \(N\) aber \(0{,}2\). Damit sind die Bernoulli-Bedingungen einer konstanten Erfolgswahrscheinlichkeit und der Unabhängigkeit verletzt.

- Welche zwei Ergebnisse sind für jeden einzelnen Wurf relevant? - Welche Annahme brauchst du über die Trefferwahrscheinlichkeit von Wurf zu Wurf? - Welche Beziehung müssen die einzelnen Würfe zueinander haben?

1. Für jeden Wurf werden nur zwei Ergebnisse unterschieden: Treffer und Fehlwurf. 2. Für das Bernoulli-Modell wird angenommen, dass die Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Wurf konstant \(p=0{,}8\) beträgt. 3. Außerdem wird angenommen, dass die Würfe stochastisch unabhängig sind, also das Ergebnis eines Wurfs die Trefferwahrscheinlichkeit der anderen Würfe nicht verändert. 4. Unter diesen Annahmen werden \(12\) gleichartige Bernoulli-Versuche durchgeführt; daher liegt eine Bernoulli-Kette der Länge \(n=12\) vor.

Die Serie kann als Bernoulli-Kette mit \(n=12\) und \(p=0{,}8\) modelliert werden, wenn pro Wurf nur Treffer/Fehlwurf unterschieden werden, die Trefferwahrscheinlichkeit konstant bleibt und die Würfe stochastisch unabhängig sind.

- Ist die Zahl der Teilversuche von Anfang an festgelegt? - Bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit bei jeder Wiederholung gleich? - Sind die Teilversuche stochastisch unabhängig? - Bei einem mehrwertigen Versuch darfst du für die Fragestellung ein Ereignis als „Treffer“ und sein Gegenereignis als „Nichttreffer“ zusammenfassen.

1. a) Ja. Treffer ist „Primzahl“, also \(2\), \(3\) oder \(5\). Daher ist \(p=\frac36=0{,}5\) und \(n=12\). 2. b) Nein. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich die Zusammensetzung der Schachtel und damit die Trefferwahrscheinlichkeit; die Versuche sind nicht unabhängig. 3. c) Nein. Die Zahl der Würfe ist nicht im Voraus festgelegt, sondern hängt davon ab, wann der dritte Treffer erreicht wird. 4. d) Ja. Treffer ist „Gelb“, also \(p=\frac13\), und es gibt fest \(n=20\) Drehungen.

a) Ja; Treffer: Primzahl; \(n=12\); \(p=0{,}5\). b) Nein; beim Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten und die Versuche sind abhängig. c) Nein; die Versuchsanzahl ist nicht im Voraus festgelegt. d) Ja; Treffer: Gelb; \(n=20\); \(p=\frac13\).

- Bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit bei jeder Wiederholung gleich? - Sind die einzelnen Teilversuche stochastisch unabhängig? - Welche Rolle spielt das Zurücklegen bei einer endlichen Grundgesamtheit? - Nutze in b) die ausdrücklich angegebene Modellannahme zur Unabhängigkeit.

1. a) Keine Bernoulli-Kette: Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit nach jedem Zug, und die Ziehungen sind abhängig. 2. b) Bernoulli-Kette: Nach der ausdrücklich gegebenen Modellannahme sind die Fehlerzustände unabhängig; außerdem gilt für jedes Bauteil dieselbe Defektwahrscheinlichkeit \(p=0{,}005\). Somit ist \(n=100\). 3. c) Bernoulli-Kette: Die Würfe sind unabhängig und die Trefferwahrscheinlichkeit ist stets \(p=\frac36=0{,}5\). Damit ist \(n=8\).

a) Keine Bernoulli-Kette. b) Bernoulli-Kette mit \(n=100\) und \(p=0{,}005\). c) Bernoulli-Kette mit \(n=8\) und \(p=0{,}5\).

- Prüfe bei jeder Situation, ob es genau zwei relevante Ausgänge gibt. - Bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit bei allen Wiederholungen gleich? - Können die einzelnen Versuche als unabhängig modelliert werden?

1. Fall a: Es gibt pro Frage zwei relevante Ausgänge (richtig/falsch), die Wahrscheinlichkeit ist bei reinem Raten konstant \(p=\frac{1}{4}=0{,}25\), und die Antworten werden als unabhängig modelliert. Ergebnis: Bernoulli-Kette mit \(n=10\) und \(p=0{,}25\). 2. Fall b: Dies entspricht einem Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Gruppe. Für den Treffer „Mädchen“ ändert sich die Wahrscheinlichkeit nach jeder Auswahl. Ergebnis: keine Bernoulli-Kette. 3. Fall c: Die Drehungen sind unabhängig voneinander und die Wahrscheinlichkeit für Gelb bleibt mit \(p=\frac{1}{3}\) konstant. Ergebnis: Bernoulli-Kette mit \(n=15\) und \(p=\frac{1}{3}\).

a) Bernoulli-Kette mit \(n=10\) und \(p=0{,}25\). b) Keine Bernoulli-Kette, da ohne Zurücklegen gezogen wird und sich die Trefferwahrscheinlichkeit für „Mädchen“ ändert. c) Bernoulli-Kette mit \(n=15\) und \(p=\frac{1}{3}\).

- Bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit von Teilversuch zu Teilversuch konstant? - Unterscheide zwischen exakter Unabhängigkeit und einer Näherung bei sehr kleinem Stichprobenanteil. - Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich die Zusammensetzung einer endlichen Grundgesamtheit.

1. a) Beim gleichzeitigen Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Grundgesamtheit liegt keine Bernoulli-Kette vor; \(X\) ist nicht binomialverteilt. 2. b) Für das Ereignis „Rot“ gibt es Treffer/Nichttreffer, die \(10\) Drehungen sind unabhängig und \(p=\frac13\) ist konstant. Daher gilt \(X\sim B(10,\frac13)\). 3. c) Exakt sind die Ziehungen ohne Zurücklegen abhängig, also ist \(X\) nicht binomialverteilt. Der Stichprobenanteil beträgt jedoch \(\frac{50}{500000}=0{,}0001\). Deshalb ändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit nur sehr wenig. Als Näherung kann eine Zufallsgröße \(Y\sim B(50,0{,}12)\) verwendet werden, sodass \(P(X=k)\approx P(Y=k)\) gilt.

a) Nein; keine Binomialverteilung. b) Ja; \(X\sim B(10,\frac13)\). c) Exakt nein; als sehr gute Näherung kann \(Y\sim B(50,0{,}12)\) verwendet werden.

- Wie viele Ergebnisse sind pro Teilversuch für die Fragestellung relevant? - Bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit bei jeder Wiederholung gleich? - Sind die Teilversuche stochastisch unabhängig?

1. a) Es gibt zwei relevante Ergebnisse, die Trefferwahrscheinlichkeit ist konstant \(p=0{,}8\), und die Schüsse werden als unabhängig modelliert. Daher liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n=12\) und \(p=0{,}8\) vor. 2. b) Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich die Zusammensetzung des Kartenspiels. Die Ass-Wahrscheinlichkeit ist daher nicht konstant und die Ziehungen sind nicht unabhängig. Es liegt keine Bernoulli-Kette vor.

a) Ja; \(n=12\), \(p=0{,}8\). b) Nein; beim Ziehen ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten und die Ziehungen sind abhängig.

- Prüfe, ob das Experiment in genau zwei Kategorien (Erfolg und Misserfolg) unterteilt wird. - Bestimme die Anzahl der Wiederholungen des Experiments. - Berechne die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg in einem einzelnen Schritt. Bleibt diese immer gleich?

1. Teilaufgabe a: Ein Einzelversuch hat zwei relevante Ausgänge: „Primzahl“ (Erfolg) oder „keine Primzahl“ (Misserfolg). Die Primzahlen auf einem Würfel sind 2, 3 und 5. Da der Würfel fair ist, gilt für jeden der 20 unabhängigen Würfe \(p = \frac{3}{6} = 0{,}5\). Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}5\). 2. Teilaufgabe b: Bei diesem Experiment werden die genauen Augenzahlen von 1 bis 10 notiert. Damit gibt es mehr als zwei mögliche Ergebnisse pro Versuch. Eine Bernoulli-Kette erfordert jedoch genau zwei Ergebnisklassen (Treffer/Niete). Daher liegt keine Bernoulli-Kette vor.

a) Ja, es ist eine Bernoulli-Kette mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}5\). b) Nein, es ist keine Bernoulli-Kette (mehr als zwei Ergebnisse werden unterschieden).

- Bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit bei jeder Wiederholung gleich? - Welche Rolle spielt das Zurücklegen für die Unabhängigkeit? - Welche zusätzlichen Modellannahmen sind bei einer sportlichen Trefferquote nötig?

1. a) Durch das Zurücklegen bleibt \(p=\frac8{40}=0{,}2\) konstant und die Züge sind unabhängig. Daher liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n=5\) vor; \(X\) zählt die roten Kugeln. 2. b) Unter der Modellannahme konstanter Trefferwahrscheinlichkeit und unabhängiger Würfe liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n=10\) und \(p=0{,}75\) vor; \(X\) zählt die Treffer. 3. c) Ohne Zurücklegen verändert der erste Zug die Defektwahrscheinlichkeit für den zweiten Zug. Daher liegt keine Bernoulli-Kette vor.

a) Ja; \(n=5\), \(p=0{,}2\), \(X\): Anzahl roter Kugeln. b) Ja, unter den genannten Modellannahmen; \(n=10\), \(p=0{,}75\), \(X\): Anzahl der Treffer. c) Nein; Ziehen ohne Zurücklegen aus der kleinen Grundgesamtheit.

- Wie viele verschiedene Ausgänge darf ein Experiment haben, damit man es einen Bernoulli-Versuch nennt? - Kann man mehrere Ergebnisse zu einer Gruppe (einem Ereignis) zusammenfassen, um die Bedingung zu erfüllen? - Schau dir an, wie viele Kategorien am Ende jeweils unterschieden werden.

1. Ein Bernoulli-Versuch ist dadurch definiert, dass es genau zwei mögliche Ergebnisse gibt, die oft als Erfolg und Misserfolg bezeichnet werden. 2. Zu a): Es liegen sechs verschiedene mögliche Ergebnisse vor (\(1, 2, 3, 4, 5, 6\)). Da dies mehr als zwei sind, ist es kein Bernoulli-Versuch. 3. Zu b): Die Ergebnismenge wird in zwei komplementäre Gruppen unterteilt (Primzahl oder keine Primzahl). Da es nur diese zwei Möglichkeiten gibt, handelt es sich um einen Bernoulli-Versuch. 4. Zu c): Auch hier gibt es nur zwei Möglichkeiten (Augenzahl \(> 4\) oder Augenzahl \(\leq 4\)). Somit liegt ein Bernoulli-Versuch vor.

a) Nein, es ist kein Bernoulli-Versuch. b) Ja, es ist ein Bernoulli-Versuch. c) Ja, es ist ein Bernoulli-Versuch.

- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Instanz den Zugriff nicht erkennt? - Welche Abfolge ist nötig, damit erst die dritte Instanz Alarm auslöst? - Welche Pfadregel gilt, wenn mehrere unabhängige Ergebnisse nacheinander eintreten müssen?

1. Die Wahrscheinlichkeit für „erkannt“ beträgt \(p=0{,}8\), für „nicht erkannt“ \(q=0{,}2\). 2. Für eine Abwehr bereits durch die erste Instanz gilt \(P=0{,}8\). 3. Für eine Abwehr erst durch die dritte Instanz müssen die ersten beiden Instanzen den Zugriff übersehen und die dritte ihn erkennen. Daher gilt \(P=0{,}2\cdot0{,}2\cdot0{,}8=0{,}032\). 4. Für „kein Alarm“ müssen alle drei Instanzen den Zugriff übersehen. Daher gilt \(P=0{,}2^3=0{,}008\).

(1) \(0{,}8\) (2) \(0{,}032\) (3) \(0{,}008\)

- Ein Bernoulli-Versuch entsteht, wenn du die möglichen Zahlen in ein Ereignis und sein Gegenereignis einteilst. - Wie viele der acht gleich großen Sektoren gehören zu deiner ersten Erfolgsmenge? - Wähle für b) eine Erfolgsmenge mit einer anderen Anzahl von Sektoren als in a).

1. Zum Beispiel sei Erfolg \(E_1=\{2,4,6,8\}\), also „gerade Zahl“. Dann ist \(p_1=P(E_1)=\frac48=0{,}5\) und \(1-p_1=0{,}5\). 2. Als andere Erfolgsdefinition eignet sich etwa \(E_2=\{7,8\}\), also „Zahl größer als \(6\)“. Dann ist \(p_2=P(E_2)=\frac28=0{,}25\). 3. Beide Einteilungen erzeugen jeweils genau zwei relevante Ergebnisse, nämlich das gewählte Ereignis und sein Gegenereignis.

a) Zum Beispiel Erfolg „gerade Zahl“: \(p_1=0{,}5\), \(1-p_1=0{,}5\). b) Zum Beispiel Erfolg „Zahl größer als \(6\)“: \(p_2=0{,}25\).

- Wann spricht man von einem Bernoulli-Experiment? Überlege dir, welche Voraussetzungen für die Wahrscheinlichkeit und die Unabhängigkeit gelten müssen. - Welche Werte haben \(n\) (Anzahl der Versuche) und \(p\) (Trefferwahrscheinlichkeit) in dieser Aufgabe? - Erinnerst du dich an die Formel von Bernoulli für Punktwahrscheinlichkeiten? - Was ist das Gegenereignis zu einem Treffer und wie groß ist dessen Wahrscheinlichkeit?

1. Modellierung als Bernoulli-Kette: Es gibt nur zwei relevante Ergebnisse pro Schuss (Treffer im Gold oder kein Treffer). Die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}7\) muss bei jedem Schuss konstant bleiben und die Schüsse müssen voneinander unabhängig sein. 2. Anwendung der Bernoulli-Formel \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) mit \(n = 4\) und \(p = 0{,}7\). 3. Berechnung für \(k = 0\): \(P(X = 0) = \binom{4}{0} \cdot 0{,}7^0 \cdot 0{,}3^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}0081 = 0{,}0081\). 4. Berechnung für \(k = 1\): \(P(X = 1) = \binom{4}{1} \cdot 0{,}7^1 \cdot 0{,}3^3 = 4 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}027 = 0{,}0756\). 5. Berechnung für \(k = 2\): \(P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}7^2 \cdot 0{,}3^2 = 6 \cdot 0{,}49 \cdot 0{,}09 = 0{,}2646\). 6. Berechnung für \(k = 3\): \(P(X = 3) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}7^3 \cdot 0{,}3^1 = 4 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}3 = 0{,}4116\). 7. Berechnung für \(k = 4\): \(P(X = 4) = \binom{4}{4} \cdot 0{,}7^4 \cdot 0{,}3^0 = 1 \cdot 0{,}2401 \cdot 1 = 0{,}2401\).

a) Bedingungen: Nur zwei Ausgänge (Treffer/kein Treffer), konstante Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) und Unabhängigkeit der Schüsse. b) Die Wahrscheinlichkeiten betragen: \(P(X=0) = 0{,}0081\) \(P(X=1) = 0{,}0756\) \(P(X=2) = 0{,}2646\) \(P(X=3) = 0{,}4116\) \(P(X=4) = 0{,}2401\)

- Welche drei Bedingungen brauchst du für eine Bernoulli-Kette? - Ist eine kleine Änderung der Trefferwahrscheinlichkeit dasselbe wie mathematische Unabhängigkeit? - Was geschieht beim Ziehen ohne Zurücklegen mit der Zusammensetzung einer endlichen Grundgesamtheit?

1. Für die laufende Produktion wird angenommen, dass jede geprüfte Flasche nur als defekt oder intakt eingestuft wird, dass für jede Flasche dieselbe Defektwahrscheinlichkeit gilt und dass die Defektzustände der geprüften Flaschen stochastisch unabhängig sind. Unter diesen Modellannahmen liegt eine Bernoulli-Kette vor. 2. Die Kettenlänge ist \(n=100\), die Trefferwahrscheinlichkeit ist \(p=0{,}005\). 3. Beim Ziehen von \(100\) aus nur \(120\) Flaschen ohne Zurücklegen verändert jeder Zug die Zusammensetzung des Kastens. Die Trefferwahrscheinlichkeit ist daher nicht konstant und die Ziehungen sind nicht stochastisch unabhängig. Somit liegt keine Bernoulli-Kette vor.

a) Erforderlich sind zwei relevante Ergebnisse, konstantes \(p\) und stochastische Unabhängigkeit der \(100\) Prüfungen. b) \(n=100\), \(p=0{,}005\). c) Keine Bernoulli-Kette: Beim Ziehen ohne Zurücklegen aus nur \(120\) Flaschen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten und die Ziehungen sind abhängig.

- Vergleiche jeden Term mit der allgemeinen Struktur einer Bernoulli-Punktwahrscheinlichkeit. - Prüfe den Zusammenhang zwischen der Zahl im Binomialkoeffizienten und der Summe der Exponenten. - Die beiden Wahrscheinlichkeiten eines Teilversuchs müssen sich zu \(1\) ergänzen. - Ein passendes Kontextbeispiel braucht neben zwei möglichen Ergebnissen auch unabhängige Wiederholungen mit konstantem \(p\).

1. In a) gilt \(n=10\), \(k=3\) und \(p=0{,}15\). Die Exponenten \(3\) und \(7\) summieren sich zu 10, und \(0{,}15+0{,}85=1\). Ein passendes Experiment sind zehn unabhängige Wiederholungen mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit \(0{,}15\); gesucht ist genau drei Treffer. 2. In b) legt der Binomialkoeffizient \(n=12\) nahe, die Exponenten summieren sich aber nur zu \(4+6=10\). Daher ist der Term keine korrekte Bernoulli-Punktwahrscheinlichkeit für \(n=12\). 3. In c) gilt \(n=10\), \(k=8\) und \(p=0{,}8\). Die Faktoren \(0{,}2^2\) und \(0{,}8^8\) stehen nur in vertauschter Reihenfolge. Ein passendes Experiment sind zehn unabhängige Wiederholungen mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit \(0{,}8\); gesucht sind genau acht Treffer.

a) Ja: \(n=10\), \(p=0{,}15\), \(k=3\); Beispiel: zehn unabhängige Versuche mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit \(0{,}15\), Ereignis „genau drei Treffer“. b) Nein. Für \(n=12\) müssten sich die Exponenten zu 12 summieren. c) Ja: \(n=10\), \(p=0{,}8\), \(k=8\); Beispiel: zehn unabhängige Versuche mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit \(0{,}8\), Ereignis „genau acht Treffer“.

- Bleibt die Defektwahrscheinlichkeit nach einer Entnahme unverändert? - Welche Rolle spielt das Zurücklegen für die Unabhängigkeit der Ziehungen? - Welche Werte haben im Bernoulli-Fall \(n\), \(p\) und der gesuchte Trefferwert?

1. a) Mit Zurücklegen bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit „defekt“ bei jedem Zug konstant \(p=\frac6{40}=0{,}15\); die Ziehungen sind unabhängig. Daher liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n=5\) vor und \(X\sim B(5,0{,}15)\). 2. b) Ohne Zurücklegen verändert jeder Zug die Zusammensetzung des Behälters. Die Trefferwahrscheinlichkeit ist nicht konstant und die Ziehungen sind nicht unabhängig; daher liegt keine Bernoulli-Kette vor. 3. Für a) gilt \(P(X=1)=\binom51(0{,}15)^1(0{,}85)^4\).

a) Bernoulli-Kette mit \(n=5\), \(p=0{,}15\); \(P(X=1)=\binom51(0{,}15)(0{,}85)^4\). b) Keine Bernoulli-Kette.

- Welche Bedingungen definieren eine Bernoulli-Kette? - Können äußere Bedingungen mehrere Schüsse zugleich beeinflussen? - Was bedeutet es für konstantes \(p\) und Unabhängigkeit, wenn die nächste Trefferwahrscheinlichkeit vom vorherigen Ergebnis abhängt?

1. a) Pro Schuss werden nur Treffer und Fehlschuss unterschieden. Die Trefferwahrscheinlichkeit muss bei jedem Schuss gleich \(p=0{,}8\) sein, und die Schüsse müssen stochastisch unabhängig sein. 2. b) Wind, wechselnde körperliche Belastung oder psychologische Effekte können mehrere Schüsse gemeinsam beeinflussen. Dadurch kann sich \(p\) verändern oder das Ergebnis eines Schusses mit späteren Schüssen zusammenhängen. 3. c) Die Trefferwahrscheinlichkeit ist nach einem Fehlschuss nicht mehr konstant und hängt von der Vorgeschichte ab. Damit sind die Konstanz von \(p\) und die Unabhängigkeitsannahme verletzt.

a) Zwei relevante Ergebnisse, konstantes \(p=0{,}8\), stochastische Unabhängigkeit. b) Reale äußere, körperliche oder psychologische Einflüsse können \(p\) verändern oder Abhängigkeiten erzeugen. c) Die Konstanz von \(p\) und die Unabhängigkeitsannahme sind verletzt.

- Prüfe jeweils Konstanz der Trefferwahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit. - Wie groß ist in a) der Stichprobenanteil an der Modellpopulation? - Welche Formulierung in b) spricht unmittelbar gegen konstantes \(p\)?

1. a) Exakt liegt wegen der Auswahl ohne Zurücklegen keine Bernoulli-Kette vor. Der Stichprobenanteil beträgt jedoch nur \(\frac{100}{500000}=0{,}0002\). Daher kann als Näherung eine Zufallsgröße \(Y\sim B(100,0{,}04)\) verwendet werden, sodass \(P(X=k)\approx P(Y=k)\) gilt. 2. b) Eine Bernoulli-Kette ist nicht angemessen, weil wegen der Ermüdung eine konstante Trefferwahrscheinlichkeit über alle \(12\) Schüsse nicht plausibel ist. 3. c) Für „Gelb“ gibt es Treffer/Nichttreffer, die \(20\) Drehungen sind unabhängig und \(p=\frac13\) ist konstant. Daher liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n=20\) vor.

a) Exakt nein; als sehr gute Näherung kann \(Y\sim B(100,0{,}04)\) verwendet werden. b) Nein; eine konstante Trefferwahrscheinlichkeit ist wegen der Ermüdung nicht plausibel. c) Ja; \(n=20\), \(p=\frac13\), Treffer „Gelb“.

- Wie viele Ergebnisse hat ein Bernoulli-Versuch per Definition? - Kannst du die drei Kategorien so in zwei Gruppen aufteilen, dass jede Gruppe als ein einziges Gesamtergebnis zählt? - Denk an das Konzept des Gegenereignisses.

1. Ein Bernoulli-Versuch darf laut Definition nur genau zwei Ergebnisse haben. Da hier zwischen drei Arten unterschieden wird (Hauptgewinn, Kleingewinn, Niete), ist die Bedingung nicht erfüllt. 2. Mögliche Umformungen durch Zusammenfassung von Ergebnissen: Variante 1: Erfolg = „Gewinn“ (Haupt- oder Kleingewinn), Misserfolg = „Niete“. Variante 2: Erfolg = „Hauptgewinn“, Misserfolg = „kein Hauptgewinn“ (Kleingewinn oder Niete). 3. Die Aussage ist korrekt. Jedes Zufallsexperiment mit beliebig vielen Ergebnissen kann zu einem Bernoulli-Versuch reduziert werden, indem man ein bestimmtes Ereignis \(A\) als „Erfolg“ definiert und dessen Gegenereignis \(\bar{A}\) als „Misserfolg“ definiert.

a) Es liegen drei statt zwei Ergebnisse vor. b) Z. B. „Gewinn oder Niete“ oder „Hauptgewinn oder kein Hauptgewinn“. c) Die Aussage ist wahr, da man Ergebnisse stets in ein Ereignis \(E\) und sein Gegenereignis \(\bar{E}\) aufteilen kann.

- Betrachte für a) nacheinander, wie viele neue Zahlen nach jedem bereits verschiedenen Ergebnis noch möglich sind. - Wie hängen die Ereignisse „alle Zahlen verschieden“ und „mindestens eine Wiederholung“ logisch zusammen? - Für c) frage dich, ob „eine bereits aufgetretene Zahl“ bei jedem Wurf dieselbe Trefferwahrscheinlichkeit hat.

1. Wegen Fairness und Unabhängigkeit sind die \(8^5\) geordneten Wurffolgen gleichwahrscheinlich. Für lauter verschiedene Zahlen gibt es \(8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\) Folgen. Daher ist \(P(A)=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}{8^5}=\frac{105}{512}\approx0{,}2051\). 2. \(B\) ist das Gegenereignis zu \(A\). Somit ist \(P(B)=1-\frac{105}{512}=\frac{407}{512}\approx0{,}7949\). 3. Die Behauptung ist falsch. Bei „Erfolg = eine bereits gewürfelte Zahl tritt auf“ hängt die Erfolgswahrscheinlichkeit davon ab, wie viele verschiedene Zahlen zuvor bereits gefallen sind. Sie ist daher nicht bei jedem Wurf konstant \(\frac18\). Eine Bernoulli-Kette mit festem \(p\) beschreibt dieses Kollisionsereignis nicht.

a) \(P(A)=\frac{105}{512}\approx0{,}2051\) b) \(P(B)=\frac{407}{512}\approx0{,}7949\) c) Die Aussage ist falsch, weil die Wahrscheinlichkeit für eine Wiederholung nicht bei jedem Wurf konstant \(\frac18\) ist.

- Ein Bernoulli-Versuch braucht eine klare Einteilung in genau zwei relevante Ergebnisse. - Mehrere ursprüngliche Zustände können zu „Erfolg“ oder „Misserfolg“ zusammengefasst werden. - Bei einer bestimmten Blütenfarbe muss zuerst die Keimung eintreten.

1. Ein Bernoulli-Versuch unterscheidet genau zwei relevante, sich ausschließende Ergebnisse: Erfolg und Misserfolg. Die vier unveränderten Zustände bilden daher zunächst keinen Bernoulli-Versuch. 2. Möglichkeit 1: Erfolg bedeutet „Die Zwiebel keimt“. Dann ist \(p=0{,}9\). 3. Möglichkeit 2: Erfolg bedeutet zum Beispiel „Die Zwiebel blüht rot“. Dann ist \(p=P(\text{keimt})\cdot P(\text{rot}\mid\text{keimt})=0{,}9\cdot0{,}6=0{,}54\).

a) Die vier Zustände sind mehr als die zwei für einen Bernoulli-Versuch relevanten Ausgänge Erfolg und Misserfolg. b) Zum Beispiel: Erfolg „keimt“ mit \(p=0{,}9\); oder Erfolg „blüht rot“ mit \(p=0{,}54\).

- Welche Bedingungen definieren eine Bernoulli-Kette? - Was bewirkt Ziehen ohne Zurücklegen in einer endlichen Grundgesamtheit? - Vergleiche in c) die Stichprobengröße mit der Größe der Kiste.

1. a) Pro Chip gibt es bezüglich des Merkmals „defekt“ zwei relevante Ausgänge. Nach der Modellannahme ist die Trefferwahrscheinlichkeit bei allen \(10\) Prüfungen gleich \(p=0{,}04\), und die Prüfungen werden als unabhängig modelliert. Daher liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n=10\) und \(p=0{,}04\) vor. 2. b) Beim tatsächlichen Ziehen ohne Zurücklegen aus einer endlichen Charge sind die Ziehungen streng genommen abhängig und die Defektwahrscheinlichkeit kann sich nach jedem Zug ändern. Die angenommene Unabhängigkeit und Konstanz von \(p\) sind daher Näherungen. 3. c) Bei \(10\) Entnahmen aus nur \(25\) Chips verändert jeder Zug die Zusammensetzung deutlich. Die Trefferwahrscheinlichkeit hängt vom bisherigen Verlauf ab; deshalb liegt keine Bernoulli-Kette als exaktes Modell vor.

a) Bernoulli-Kette mit \(n=10\) und \(p=0{,}04\). b) Bei Entnahme ohne Zurücklegen sind Unabhängigkeit und konstantes \(p\) nur näherungsweise erfüllt. c) Keine Bernoulli-Kette als exaktes Modell, weil sich bei \(10\) von \(25\) Entnahmen die Zusammensetzung und damit die Trefferwahrscheinlichkeit deutlich verändert.

- Lies aus dem Baumdiagramm ab, welche zwei Ausgänge und welche Wahrscheinlichkeiten auf jeder Stufe auftreten. - Welche Pfade gehören zu \(X=0\) und welche zu \(X=1\)? - Nutze die Pfadmultiplikationsregel für einen Pfad und addiere anschließend die passenden Pfade.

1. Pro Stufe gibt es bezüglich des Merkmals „defekt“ genau zwei relevante Ausgänge \(D\) und \(E\). Die drei Entnahmen werden unabhängig modelliert, und das Baumdiagramm zeigt auf jeder Stufe dieselben Wahrscheinlichkeiten. Daher liegt eine Bernoulli-Kette vor. 2. Aus dem Baumdiagramm liest man \(n=3\) und \(p=0{,}1\) für \(D\) ab. 3. Das Ereignis \(X\le1\) umfasst die Pfade \(EEE\), \(DEE\), \(EDE\) und \(EED\). 4. Es gilt \(P(EEE)=(0{,}9)^3=0{,}729\). Jeder Pfad mit genau einem \(D\) hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}1(0{,}9)^2=0{,}081\); davon gibt es drei. 5. Somit ist \(P(X\le1)=0{,}729+3\cdot0{,}081=0{,}972\).

a) Bernoulli-Kette mit \(n=3\) und \(p=0{,}1\). b) \(P(X\le1)=0{,}972\).