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- Überlege dir ein systematisches Vorgehen beim Auflisten, damit du keine Kombination vergisst. - Spielt die Reihenfolge der Personen innerhalb eines Teams eine Rolle? - Was gibt der Binomialkoeffizient allgemein an? - Wie viele Möglichkeiten hast du, wenn du aus einer Gruppe nur ein einzelnes Mitglied aussuchen darfst?

1. Auflistung aller zweielementigen Teilmengen aus \(\{A, B, C, D\}\): \(\{A, B\}\), \(\{A, C\}\), \(\{A, D\}\), \(\{B, C\}\), \(\{B, D\}\), \(\{C, D\}\). Dies ergibt insgesamt 6 Möglichkeiten. 2. Berechnung des Binomialkoeffizienten: \(\binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6\). Die Ergebnisse stimmen überein, da der Binomialkoeffizient die Anzahl der Möglichkeiten angibt, \(k\) Elemente aus einer Menge von \(n\) Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen. 3. Für die Auswahl von einer Person aus vier gibt es 4 Möglichkeiten. Als Binomialkoeffizient geschrieben: \(\binom{4}{1} = 4\).

a) \(\{A, B\}, \{A, C\}, \{A, D\}, \{B, C\}, \{B, D\}, \{C, D\}\) b) \(\binom{4}{2} = 6\); die Anzahl der Mengen entspricht dem Wert des Binomialkoeffizienten. c) 4 Möglichkeiten; \(\binom{4}{1} = 4\).

- Überlege dir zuerst, ob es wichtig ist, in welcher Reihenfolge die Personen ausgewählt werden. - Kann ein Mitglied mehrfach für denselben Ausschuss gewählt werden? - Welche mathematische Formel hilft dir dabei, eine Teilmenge aus einer größeren Menge auszuwählen?

1. Da die Reihenfolge der Auswahl nicht wichtig ist und keine Person mehrfach gewählt werden kann, handelt es sich um eine Kombination ohne Zurücklegen. 2. Die Anzahl der Möglichkeiten wird mit dem Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) berechnet, wobei \(n = 22\) (Gesamtzahl der Mitglieder) und \(k = 3\) (Größe des Ausschusses) ist. 3. Berechnung: \(\binom{22}{3} = \frac{22 \cdot 21 \cdot 20}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 1540\).

Es gibt \(1540\) verschiedene Möglichkeiten.

- Überlege zuerst, ob die Reihenfolge, in der die Jugendlichen ausgewählt werden, für die Zusammensetzung des Teams eine Rolle spielt. - Handelt es sich um ein Experiment mit oder ohne Zurücklegen? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, die Anzahl der Teilmengen einer bestimmten Größe zu bestimmen?

1. Es handelt sich um ein Auswahlproblem ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, da die 3 Jugendlichen gleichzeitig bzw. als Team ausgewählt werden. 2. Die Anzahl der Möglichkeiten wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) mit \(n = 10\) (Gesamtzahl der Jugendlichen) und \(k = 3\) (Anzahl der auszuwählenden Personen) berechnet. 3. Berechnung: \(\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = 120\). Es gibt somit 120 verschiedene Möglichkeiten, das Team zusammenzustellen.

Es gibt 120 Möglichkeiten.

- Was besagt die Symmetrie bei Binomialkoeffizienten? - Wie kann man den Bruch bei der Berechnung von \(\binom{n}{k}\) durch Kürzen vereinfachen? - Musst du wirklich jeden Wert komplett neu berechnen oder gibt es Paare? - Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es gibt, \(k\) Objekte aus \(n\) auszuwählen im Vergleich dazu, \(n-k\) Objekte (die übrig bleiben) auszuwählen.

1. Für Teil a) wird die Formel direkt angewendet: \(\binom{18}{2} = \frac{18 \cdot 17}{2 \cdot 1} = 9 \cdot 17 = 153\). 2. Für Teil b) nutzt man die Symmetrie \(\binom{18}{16} = \binom{18}{18-16} = \binom{18}{2}\). Das Ergebnis ist somit ebenfalls \(153\). 3. Für Teil c) berechnet man \(\binom{25}{3} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{6} = 25 \cdot 4 \cdot 23 = 100 \cdot 23 = 2\,300\). 4. Für Teil d) folgt aus der Symmetrie \(\binom{25}{22} = \binom{25}{25-22} = \binom{25}{3}\), also ist das Ergebnis \(2\,300\).

a) \(153\) b) \(153\) c) \(2\,300\) d) \(2\,300\)

- Überlege dir zuerst, ob die Reihenfolge der ausgewählten Personen für das Ergebnis wichtig ist. - Spielt es eine Rolle, ob jemand als Erster oder als Dritter für das Trio benannt wird? - Welches mathematische Modell eignet sich für eine Auswahl ohne Beachtung der Reihenfolge?

1. Da die Reihenfolge der Auswahl für das Trio keine Rolle spielt und jede Person nur einmal gewählt werden kann, handelt es sich um eine Kombination ohne Zurücklegen. 2. Die Anzahl der Möglichkeiten wird mit dem Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) berechnet, wobei \(n = 24\) und \(k = 3\) ist. 3. Berechnung: \(\binom{24}{3} = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22}{3 \cdot 2 \cdot 1}\). 4. Das Ergebnis ist \(2\,024\).

Es gibt \(2\,024\) Möglichkeiten.

- Was bedeutet es für die Auswahl, wenn die Reihenfolge der Personen im Team keine Rolle spielt? - Welche Formel hilft dir, wenn du \(k\) Objekte aus \(n\) Objekten ohne Zurücklegen auswählst? - Suche auf deinem Taschenrechner nach einer Taste wie „nCr“.

1. Identifikation der Parameter für Teilaufgabe a): \(n = 9\) (Gesamtanzahl) und \(k = 2\) (Auswahl). 2. Anwendung der Formel für den Binomialkoeffizienten: \(\binom{9}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1}\). 3. Berechnung des Ergebnisses: \(36\). 4. Berechnung für Teilaufgabe b) mit dem Taschenrechner (nCr-Funktion): \(\binom{18}{7} = 31\,824\).

a) Es gibt 36 Möglichkeiten. b) Es gibt \(31\,824\) Möglichkeiten.

- Überlege dir, wie eine Zahl im Pascal’schen Dreieck aus den Zahlen der darüberliegenden Zeile entsteht. - Was fällt dir auf, wenn du die linke Seite einer Zeile mit der rechten Seite vergleichst? - Schau dir die äußersten Zahlen in den ersten Zeilen des Dreiecks an. Gibt es dort ein Muster?

1. Anwendung der Additionsregel: \(\binom{14}{7} = \binom{13}{6} + \binom{13}{7} = 1716 + 1716 = 3432\). 2. Begründung der Symmetrie: Im Pascal’schen Dreieck gilt allgemein \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\). Für \(n=13\) und \(k=6\) ergibt sich \(n-k = 13-6 = 7\), weshalb die Werte identisch sind. 3. Bestimmung der Randwerte: Jede Zeile im Pascal’schen Dreieck beginnt und endet mit der Zahl 1. Somit gilt \(\binom{15}{0} = 1\) und \(\binom{15}{15} = 1\).

a) \(\binom{14}{7} = 3432\) b) Aufgrund der Symmetrie gilt \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\). Da \(13-6=7\) ist, müssen die Werte gleich sein. c) \(\binom{15}{0} = 1\) und \(\binom{15}{15} = 1\)

- Erinnere dich an den Aufbau einer Zeile im Pascal’schen Dreieck. - Wie hängen die Indizes \(k\) zusammen, wenn die Werte der Binomialkoeffizienten gleich sind? - Welche Rechenregel für Binomialkoeffizienten kennst du, um große Werte für \(k\) zu vereinfachen? - Überlege dir, wie viele Faktoren du bei \(\binom{10}{8}\) im Vergleich zu \(\binom{10}{2}\) berechnen müsstest.

1. Identifikation der Binomialkoeffizienten für \(n=7\): Die Werte in der 7. Zeile lauten 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. Die Zahl 35 steht an der 4. und 5. Stelle, was den Koeffizienten \(\binom{7}{3}\) und \(\binom{7}{4}\) entspricht. 2. Anwendung der Symmetrie: Gemäß \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) gilt \(\binom{10}{8} = \binom{10}{10-8} = \binom{10}{2}\). 3. Berechnung: \(\binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45\). Die Symmetrie vereinfacht die Rechnung, da ein kleineres \(k\) zu weniger Multiplikationen im Zähler und Nenner führt.

a) \(\binom{7}{3}\) und \(\binom{7}{4}\) b) \(\binom{10}{8} = 45\). Durch die Symmetrie lässt sich der Wert einfacher über \(\binom{10}{2}\) berechnen.

- Welche Zahl im Pascal’schen Dreieck steht für welche Anzahl an Treffern? Beachte, dass man bei 0 Treffern zu zählen beginnt. - „Mehr als 3“ bedeutet, dass wir die Pfade für 4 und 5 Treffer zusammenzählen müssen. - Die Wahrscheinlichkeit berechnet man, indem man die Anzahl der günstigen Pfade durch die Gesamtzahl aller Pfade teilt.

1. Identifikation des Wertes für genau 3 Treffer: In der Folge \(1, 5, 10, 10, 5, 1\) entspricht der vierte Wert (Index 3) der Anzahl der Pfade mit 3 Treffern. Ergebnis: \(10\). 2. Berechnung der Pfade für mehr als 3 Treffer: Dies umfasst 4 Treffer (fünfter Wert: \(5\)) und 5 Treffer (sechster Wert: \(1\)). Summe: \(5 + 1 = 6\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für genau 1 Treffer: Die Anzahl der Pfade beträgt \(5\) (zweiter Wert). Die Gesamtzahl der Pfade ist \(2^5 = 32\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{5}{32} = 0{,}15625\).

a) Es gibt \(10\) Pfade mit genau 3 Treffern. b) Es gibt \(6\) Pfade mit mehr als 3 Treffern. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{5}{32}\) (oder \(0{,}15625\)).

- Wie viele Möglichkeiten gibt es für den ersten Impuls, wie viele für den zweiten und so weiter? - Wenn die Reihenfolge innerhalb der Auswahl der positiven Impulse keine Rolle spielt, welches mathematische Werkzeug hilft beim Zählen? - „Mindestens sechs“ bedeutet, dass es sechs, sieben oder acht positive Impulse sein können. - Überlege, wie sich die Gesamtzahl der Möglichkeiten zur Anzahl der gewünschten Fälle verhält, wenn alle Sequenzen gleich wahrscheinlich sind.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Sequenzen: Da jeder der 8 Plätze 2 Möglichkeiten besitzt, ergibt sich \(2^8 = 256\). 2. Bestimmung der Anzahl der Sequenzen mit genau drei positiven Impulsen mithilfe des Binomialkoeffizienten: \(\binom{8}{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für mindestens sechs positive Impulse: Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist die Summe der Kombinationen für 6, 7 und 8 positive Impulse. \(\binom{8}{6} + \binom{8}{7} + \binom{8}{8} = 28 + 8 + 1 = 37\). Die Wahrscheinlichkeit bei Gleichverteilung (\(p=0{,}5\)) berechnet sich als \(\frac{37}{256} \approx 0{,}1445\).

a) Es gibt \(256\) mögliche Sequenzen. b) Es gibt \(56\) Sequenzen mit genau drei positiven Impulsen. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{37}{256} \approx 14{,}45\,\%\).

- Kannst du die Symmetrieeigenschaft der Binomialkoeffizienten nutzen, um die Rechnungen zu vereinfachen? - Wie ist der Binomialkoeffizient allgemein definiert? - Welche Bedeutung haben die Zahlen im Binomialkoeffizienten für die Anzahl der Faktoren im Zähler und Nenner? - Kannst du die Terme in Teil f) einzeln ausrechnen und dann addieren?

1. Berechnung der einzelnen Koeffizienten: a) \(\binom{9}{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84\) b) \(\binom{15}{13} = \binom{15}{2} = \frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = 105\) c) \(\binom{25}{2} = \frac{25 \cdot 24}{2 \cdot 1} = 300\) d) \(\binom{50}{48} = \binom{50}{2} = \frac{50 \cdot 49}{2 \cdot 1} = 1225\) e) \(\binom{2000}{1999} = \binom{2000}{1} = 2000\) 2. Überprüfung der Gleichung in Teil f): Linke Seite: \(\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\); \(\binom{10}{4} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210\). Summe: \(120 + 210 = 330\). Rechte Seite: \(\binom{11}{4} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 10 \cdot 3 = 330\). Beide Seiten ergeben \(330\), die Gleichung ist somit verifiziert.

a) \(84\) b) \(105\) c) \(300\) d) \(1225\) e) \(2000\) f) Linke Seite: \(120 + 210 = 330\); Rechte Seite: \(330\). Die Gleichung stimmt.

- Spielt die Reihenfolge, in der die Personen ausgewählt werden, für die Zusammensetzung der Gruppe eine Rolle? - Überlege, ob eine Person mehrfach für dieselbe Gruppe ausgewählt werden kann. - Wenn eine Auswahl aus zwei verschiedenen Untergruppen getroffen wird, wie lassen sich die einzelnen Möglichkeiten kombinieren? - Welches bekannte Modell aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschreibt das Ziehen von Objekten, wenn diese nicht ersetzt werden?

1. Für die Gesamtauswahl von 6 aus 16 Personen ohne Beachtung der Reihenfolge wird der Binomialkoeffizient \(\binom{16}{6}\) berechnet: \(\frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 8008\). 2. Für die getrennte Auswahl nach Geschlecht wird das Produkt der Binomialkoeffizienten gebildet. Auswahl der Frauen: \(\binom{9}{3} = 84\). Auswahl der Männer: \(\binom{7}{3} = 35\). Gesamtzahl: \(84 \cdot 35 = 2940\). 3. Das Urnenmodell entspricht dem „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge“. Die Urne enthält 16 Kugeln, davon sind 9 Kugeln einer Sorte (Frauen) und 7 Kugeln einer anderen Sorte (Männer). Es werden 6 Kugeln auf einmal (oder nacheinander ohne Zurücklegen) gezogen.

a) Es gibt \(8008\) Möglichkeiten. b) Es gibt \(2940\) Möglichkeiten. c) Urnenmodell: Ziehen von \(6\) Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge aus einer Urne mit \(16\) Kugeln (9 einer Sorte, 7 einer anderen).

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es gibt, die IT-Fachkräfte aus ihrer Gruppe auszuwählen. - Wie viele Möglichkeiten gibt es danach für die Auswahl der Marketing-Fachkräfte? - Wenn du für jede Wahl der ersten Gruppe mehrere Möglichkeiten für die zweite Gruppe hast, wie verknüpfst du diese Zahlen? - Spielt die Reihenfolge, in der die Personen für das Team benannt werden, eine Rolle?

1. Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten, 3 Personen aus 12 IT-Fachkräften ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen: \(\binom{12}{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220\). 2. Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten, 2 Personen aus 8 Marketing-Fachkräften ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen: \(\binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28\). 3. Anwendung des Zählprinzips (Multiplikationsregel) für die Kombination beider Teilgruppen: \(220 \cdot 28 = 6160\).

Es gibt \(6160\) Möglichkeiten.

- Überlege dir, was passiert, wenn du eine Gruppe von Personen festlegst. Was passiert automatisch mit dem Rest der Gruppe? - Gibt es eine Formel für den Binomialkoeffizienten, die eine Symmetrie zeigt? - Ist es einfacher, die Kombinationen für eine große oder für eine kleine Untergruppe zu berechnen?

1. Begründung der Symmetrie: Jede Auswahl von \(22\) Personen, die an der Umfrage teilnehmen, legt gleichzeitig eindeutig fest, welche \(3\) Personen nicht teilnehmen. Da es zu jeder Gruppe von Teilnehmenden genau eine korrespondierende Gruppe von Nicht-Teilnehmenden gibt, muss die Anzahl der Möglichkeiten identisch sein. Mathematisch entspricht dies der Eigenschaft der Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\). 2. Berechnung der Möglichkeiten: Die Anzahl wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{25}{22}\) beschrieben. Aufgrund der Symmetrie gilt \(\binom{25}{22} = \binom{25}{3}\). 3. Ausrechnen des Wertes: \(\binom{25}{3} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{13\,800}{6} = 2\,300\).

a) Jede Auswahl von \(22\) Personen bestimmt eindeutig die \(3\) Personen, die nicht ausgewählt werden (Symmetrie des Binomialkoeffizienten: \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)). b) Es gibt \(2\,300\) Möglichkeiten.

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es gibt, eine bestimmte Anzahl an Kugeln aus einer Urne ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge zu ziehen. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, die Anzahl der Teilmengen zu bestimmen? - Wie hängen die Anzahl der Möglichkeiten und die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ereignis zusammen?

1. Berechnung der Kombinationen für Format A mittels Binomialkoeffizient: \(\binom{42}{6} = \frac{42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5\,245\,786\). 2. Berechnung der Kombinationen für Format B: \(\binom{37}{7} = \frac{37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10\,295\,472\). 3. Vergleich der Wahrscheinlichkeiten: Da die Anzahl der möglichen Kombinationen bei Format A (\(5\,245\,786\)) geringer ist als bei Format B (\(10\,295\,472\)), ist die Wahrscheinlichkeit \(p_A = \frac{1}{5\,245\,786}\) größer als \(p_B = \frac{1}{10\,295\,472}\).

In Format A gibt es \(5\,245\,786\) Kombinationen, in Format B gibt es \(10\,295\,472\) Kombinationen. Die Gewinnchance ist in Format A höher, da es dort weniger mögliche Kombinationen gibt.

- Stelle dir vor, du hast 10 leere Plätze in einer Reihe und musst 3 Kreuze für „Erfolg“ verteilen. - Sind die Kreuze, die du setzt, voneinander unterscheidbar? - Kannst du auf einen der 10 Plätze mehr als ein Kreuz setzen? - Überlege, welche bekannte Formel aus der Kombinatorik die Auswahl von \(k\) Elementen aus einer Menge von \(n\) Elementen beschreibt.

1. Zuordnung im Modell: Die \(k = 3\) Erfolge entsprechen den ununterscheidbaren Kugeln. Die \(n = 10\) Positionen (Versuche) in der Bernoulli-Kette entsprechen den unterscheidbaren Fächern. 2. Bedingungen: Da jeder Versuch in der Kette nur einmal ein Erfolg sein kann, ist keine Mehrfachbelegung eines Fachs möglich (Modell ohne Zurücklegen). Die Reihenfolge der Kugeln (Erfolge) spielt keine Rolle, da sie als identisch betrachtet werden; entscheidend ist nur, welche Fächer (Positionen) besetzt sind. 3. Berechnung: Die Anzahl der Möglichkeiten entspricht dem Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k} = \binom{10}{3}\). 4. Ergebnis: \(\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\). Es gibt 120 Pfade mit genau 3 Erfolgen.

a) Die 3 Erfolge sind die Kugeln, die 10 Versuchspositionen sind die Fächer. b) Es ist ein Modell ohne Berücksichtigung der Reihenfolge der Kugeln und ohne Mehrfachbelegung der Fächer. c) \(\binom{10}{3} = 120\)

- Wenn du zwei Kugeln gleichzeitig ziehst, ist die Reihenfolge egal. - Versuche beim Auflisten mit der kleinsten Zahl zu beginnen und dann alle Partner dazu zu finden. - Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Auswählen von zwei Kugeln und dem „Übriglassen“ der restlichen Kugeln? - Kennst du eine Formel, die \(\binom{n}{k}\) und \(\binom{n}{n-k}\) in Verbindung bringt?

1. Systematisches Auflisten der Paare: \(\{1, 2\}, \{1, 3\}, \{1, 4\}, \{1, 5\}, \{2, 3\}, \{2, 4\}, \{2, 5\}, \{3, 4\}, \{3, 5\}, \{4, 5\}\). 2. Zählen der Ergebnisse: Es gibt insgesamt 10 verschiedene Mengen, folglich ist \(\binom{5}{2} = 10\). 3. Anwendung der Symmetrieeigenschaft: Es gilt \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\). Für \(n=5\) und \(k=3\) ergibt sich \(\binom{5}{3} = \binom{5}{5-3} = \binom{5}{2}\). Da \(\binom{5}{2} = 10\) ist, gibt es auch für das Ziehen von drei Kugeln genau 10 Möglichkeiten. Jede Auswahl von drei Kugeln lässt genau zwei Kugeln in der Urne zurück, was der Auswahl der nicht gezogenen Kugeln entspricht.

a) \(\{1, 2\}, \{1, 3\}, \{1, 4\}, \{1, 5\}, \{2, 3\}, \{2, 4\}, \{2, 5\}, \{3, 4\}, \{3, 5\}, \{4, 5\}\) b) \(\binom{5}{2} = 10\) c) Es gibt 10 Möglichkeiten, da \(\binom{5}{3} = \binom{5}{5-3} = \binom{5}{2}\) gilt.

- Spielt die Reihenfolge, in der die zwei Personen für den Ordnungsdienst benannt werden, eine Rolle? - Wenn du zwei Personen auswählst, was passiert automatisch mit dem Rest der Gruppe? - Schau dir die Formel für den Binomialkoeffizienten an und prüfe, ob sich Werte im Nenner vertauschen lassen.

1. Berechnung für a): Da die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielt und niemand doppelt gewählt werden kann, wird der Binomialkoeffizient \(\binom{15}{2}\) berechnet. \(\frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = 15 \cdot 7 = 105\). 2. Berechnung für b): Die Auswahl von 13 Personen aus 15 entspricht \(\binom{15}{13}\). Berechnung: \(\frac{15 \cdot 14 \cdot \dots \cdot 3}{13 \cdot 12 \cdot \dots \cdot 1} = \frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = 105\). 3. Zusammenhang: Jede Auswahl von 2 Personen für den Dienst legt gleichzeitig eindeutig fest, welche 13 Personen keinen Dienst haben. Mathematisch gilt die Symmetrie \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\), hier \(\binom{15}{2} = \binom{15}{15-2} = \binom{15}{13}\).

a) Es gibt \(105\) Möglichkeiten. b) Es gibt ebenfalls \(105\) Möglichkeiten. Die Ergebnisse sind identisch, da die Auswahl von \(k\) Objekten immer die Nicht-Auswahl von \(n-k\) Objekten impliziert; es gilt \(\binom{15}{2} = \binom{15}{13}\).

- Macht es einen Unterschied für den Spieleabend, welches der vier Spiele zuerst aus dem Regal genommen wird? - Handelt es sich um Ziehen mit oder ohne Zurücklegen? - Welches Modell aus der Kombinatorik passt hier am besten?

1. Es wird eine Auswahl von \(4\) Objekten aus einer Menge von \(14\) verschiedenen Objekten getroffen, wobei die Reihenfolge der Auswahl für das Endergebnis irrelevant ist. 2. Dies entspricht dem Urnenmodell „Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge“. 3. Die Anzahl der Möglichkeiten ergibt sich durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{14}{4}\). 4. Durchführung der Rechnung: \(\binom{14}{4} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1001\).

Es gibt \(1001\) verschiedene Kombinationen.

- Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine bestimmte Anzahl an Objekten aus einer Menge auszuwählen, wenn die Reihenfolge egal ist? - Rechne die beiden Werte für a) und b) explizit aus. - Stell dir vor, du hast 8 Sorten vor dir. Wenn du 6 Sorten für deinen Becher aussuchst, was passiert dann mit den restlichen 2 Sorten? - Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Auswählen und dem Übriglassen?

1. Teilaufgabe a): Auswahl von 2 aus 8 Sorten ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Berechnung: \(\binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28\). 2. Teilaufgabe b): Auswahl von 6 aus 8 Sorten ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Berechnung: \(\binom{8}{6} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28\). 3. Teilaufgabe c): Die Anzahl ist gleich, weil jede Auswahl von 2 gewählten Sorten eindeutig festlegt, welche 6 Sorten nicht gewählt werden. Umgekehrt legt jede Auswahl von 6 gewählten Sorten eindeutig fest, welche 2 Sorten nicht gewählt werden. Daher gilt \(\binom{8}{2} = \binom{8}{6}\).

a) 28 Möglichkeiten b) 28 Möglichkeiten c) Die Anzahl ist gleich, weil jede Wahl von 2 Sorten eindeutig zu einer Wahl der 6 nicht gewählten Sorten gehört und jede Wahl von 6 Sorten eindeutig die 2 nicht gewählten Sorten festlegt.

- Kannst du die einzelnen Terme nacheinander berechnen? - Fällt dir eine Besonderheit beim Vergleich der Ergebnisse von a) und b) auf? - Schau dir bei Teil c) die Zahlen unten in der Klammer genau an. Gibt es einen Zusammenhang zur Zahl oben? - Erinnere dich an die Definition und die Eigenschaften von \(\binom{n}{k}\).

1. Berechnung von Teil a): \(\binom{9}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36\) und \(\binom{9}{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84\). Die Summe ist \(36 + 84 = 120\). 2. Berechnung von Teil b): \(\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120\). 3. Untersuchung von Teil c): Da \(11 - 9 = 2\) ist, gilt nach der Symmetrieeigenschaft \(\binom{11}{9} = \binom{11}{2}\). Ein Bruch, bei dem Zähler und Nenner identisch (und ungleich Null) sind, hat den Wert \(1\).

a) \(120\) b) \(120\) c) \(1\)

- Stelle dir vor, die Beilagen liegen alle gleichzeitig auf dem Teller. Macht die Reihenfolge, in der sie daraufgelegt wurden, einen Unterschied? - Wie viele Elemente stehen insgesamt zur Auswahl und wie viele sollen ausgewählt werden? - Welche Formel hilft dir dabei, eine Teilmenge aus einer Gesamtheit zu bestimmen?

1. Es handelt sich um eine Auswahl von \(4\) Elementen aus einer Menge von \(10\) Elementen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. 2. Zur Berechnung wird der Binomialkoeffizient \(\binom{n}{k}\) verwendet, hier mit \(n = 10\) und \(k = 4\). 3. Berechnungsschritt: \(\binom{10}{4} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\). 4. Dies ergibt \(\frac{5\,040}{24} = 210\).

Der Gast hat \(210\) verschiedene Kombinationsmöglichkeiten.

- Wie viele Kugeln bleiben in der Urne liegen, wenn du 3 herausnimmst? - Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Anzahl der gezogenen und der Anzahl der übrig bleibenden Kugeln? - Berechne beide Binomialkoeffizienten und vergleiche die Werte.

1. Berechnung der Kombinationen für 3 aus 7: \(\binom{7}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35\). 2. Berechnung der Kombinationen für 4 aus 7: \(\binom{7}{4} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 35\). 3. Feststellung der Gleichheit: \(35 = 35\). 4. Begründung im Sachzusammenhang: Jedes Mal, wenn man 3 Kugeln aus der Urne zieht (auswählt), bleiben automatisch genau 4 Kugeln in der Urne zurück (die nicht ausgewählten). Daher ist die Anzahl der Wege, 3 Kugeln zu nehmen, identisch mit der Anzahl der Wege, 4 Kugeln liegen zu lassen.

a) Es gibt 35 Kombinationen. b) Die Aussage ist wahr, da \(\binom{7}{3} = 35\) und \(\binom{7}{4} = 35\). Die Auswahl von 3 Kugeln, die entnommen werden, entspricht logisch der Auswahl von 4 Kugeln, die in der Urne verbleiben.

- Wie viele Möglichkeiten gibt es, 11 Spieler aus einem Kader von 15 Spielern auszuwählen? - Ist es für die Auswahl der Gruppe wichtig, wer als Erster oder als Letzter gezogen wird? - Ein kleiner Tipp: Es ist mathematisch dasselbe, 11 Spieler für das Team auszuwählen oder 4 Spieler zu bestimmen, die nicht mitspielen. - Wie viele der möglichen 11er-Gruppen passen exakt auf die vorgegebene Auswahl?

1. Berechnung der Gesamtzahl der möglichen Startaufstellungen (Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge): \(\binom{15}{11}\). 2. Anwendung der Symmetrieeigenschaft des Binomialkoeffizienten zur Vereinfachung: \(\binom{15}{11} = \binom{15}{15-11} = \binom{15}{4}\). 3. Berechnung des Wertes: \(\binom{15}{4} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1365\). 4. Da nur eine spezifische Gruppe von 11 Spielern günstig ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit \(P = \frac{1}{1365}\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{1365}\) (ca. \(0{,}073\,\%\)).

- Wie berechnet man ein Element in einer neuen Zeile aus der vorherigen? - Kannst du die Definition des Binomialkoeffizienten nutzen, um den Wert direkt zu berechnen? - Addiere einfach alle Werte einer Zeile auf und vergleiche das Ergebnis mit der Potenz von 2.

1. Berechnung der nächsten Zeile (\(n=10\)) durch Addition benachbarter Elemente der 9. Zeile: \(1\), \(1+9=10\), \(9+36=45\), \(36+84=120\), \(84+126=210\), \(126+126=252\). Die ersten sechs Zahlen sind 1, 10, 45, 120, 210, 252. 2. Berechnung von \(\binom{10}{4}\): Mit \(\binom{10}{3} = 120\) folgt \(\binom{10}{4} = 120 \cdot \frac{10-3}{4} = 120 \cdot \frac{7}{4} = 30 \cdot 7 = 210\). 3. Summe der 5. Zeile: Die Werte der 5. Zeile sind 1, 5, 10, 10, 5, 1. Die Summe ist \(1+5+10+10+5+1 = 32\). Der Vergleich mit der Formel ergibt \(2^5 = 32\). Die Übereinstimmung ist gezeigt.

a) 1, 10, 45, 120, 210, 252 b) \(\binom{10}{4} = 210\) c) Summe: \(1+5+10+10+5+1 = 32\); Formel: \(2^5 = 32\). Die Werte sind identisch.

- Wie viele Personen bleiben übrig, wenn du 9 ausgewählt hast? - Gibt es einen Unterschied, ob du sagst: „Diese 9 kommen mit“ oder „Diese 3 bleiben hier“? - Überlege dir, ob jede Auswahl der „Mitfahrer“ eine ganz bestimmte Gruppe von „Daheimgebliebenen“ festlegt. - Nutze die Definition des Binomialkoeffizienten für die Berechnung.

1. Berechnung der Möglichkeiten: Die Anzahl wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{12}{9}\) bestimmt. 2. Vereinfachung durch Symmetrie: \(\binom{12}{9} = \binom{12}{12-9} = \binom{12}{3}\). 3. Rechenschritt: \(\binom{12}{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220\). 4. Logische Begründung: Jedes Mal, wenn man eine Gruppe von \(k\) Objekten auswählt, bestimmt man gleichzeitig automatisch eine eindeutige Restgruppe von \(n-k\) Objekten, die nicht ausgewählt werden. Da jede Auswahl von \(k\) Personen genau eine Auswahl von \(n-k\) Personen festlegt (diejenigen, die „übrig bleiben“), muss die Anzahl der Möglichkeiten für beide Vorgänge identisch sein.

a) Es gibt 220 Möglichkeiten. b) Die Anzahl ist gleich, da die Auswahl von 9 Personen, die teilnehmen, gleichzeitig die Auswahl der 3 Personen festlegt, die nicht teilnehmen. Jede Kombination von 9 Teilnehmern entspricht genau einer Kombination von 3 Nicht-Teilnehmern.

- Kannst du die nächste Zeile des Dreiecks bilden, indem du die Zahlen der vorherigen Zeile addierst? - Überlege dir, welche Position in der Zahlenreihe zu welcher Anzahl an richtigen Antworten gehört. - Was bedeutet „mindestens 5“ für die Auswahl der Koeffizienten? - Wie viele Pfade gibt es insgesamt bei 6 Stufen, wenn es pro Stufe 2 Möglichkeiten gibt?

1. Bestimmung der 6. Zeile: Ausgehend von der 5. Zeile (\(1, 5, 10, 10, 5, 1\)) addiert man die Nachbarzahlen: \(1, (1+5), (5+10), (10+10), (10+5), (5+1), 1\). Die Koeffizienten sind \(1, 6, 15, 20, 15, 6, 1\). 2. Pfade für genau 3 richtige Antworten: Dies entspricht dem Koeffizienten für \(k=3\) (der vierte Wert in der Reihe). Ergebnis: \(20\). 3. Wahrscheinlichkeit für mindestens 5 Richtige: „Mindestens 5“ bedeutet 5 oder 6 richtige Antworten. Die Anzahl der Pfade ist \(6 + 1 = 7\). Die Gesamtzahl der möglichen Antwortkombinationen ist \(2^6 = 64\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{7}{64} = 0{,}109375\).

a) Die Koeffizienten lauten \(1, 6, 15, 20, 15, 6, 1\). b) Es gibt \(20\) Möglichkeiten, genau 3 Fragen richtig zu beantworten. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{7}{64}\) (oder \(0{,}109375\)).

- In einem Baumdiagramm einer Bernoulli-Kette entspricht die Anzahl der Pfade mit einer bestimmten Trefferzahl dem Binomialkoeffizienten. - Wenn die ersten Stufen eines Pfades bereits fest vorgegeben sind, reduziert sich die Anzahl der noch frei wählbaren Stufen. - Wie viele Erfolge musst du in den verbleibenden Stufen noch unterbringen, wenn in den fest vorgegebenen Stufen bereits Erfolge enthalten sind? - Nutze die Formel \(\binom{n}{k}\) für die verbleibende Anzahl an Stufen und die noch benötigten Erfolge.

1. Anzahl der Pfade für genau 4 Erfolge: Bei einer 10-stufigen Kette entspricht dies der Auswahl von 4 Positionen für die Erfolge aus insgesamt 10 Positionen. Die Berechnung erfolgt über den Binomialkoeffizienten: \(\binom{10}{4} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210\). 2. Anzahl der Pfade mit fixiertem Anfang: Die ersten drei Stufen sind durch „M – E – M“ festgelegt. Damit ist bereits 1 Erfolg vergeben. 3. Verbleibende Stufen und Erfolge: Es bleiben \(10 - 3 = 7\) Stufen übrig, in denen noch genau \(4 - 1 = 3\) Erfolge verteilt werden müssen. 4. Berechnung für den Restpfad: Die Anzahl der Möglichkeiten hierfür ist \(\binom{7}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35\).

a) \(210\) b) \(35\)

- Überlege, wie man den Binomialkoeffizienten mithilfe von Fakultäten schreiben kann. - Was passiert mathematisch, wenn man einen Bruch durch einen anderen Bruch dividiert? - Schreibe die Fakultäten in Teilaufgabe a) so weit wie möglich aus, um Faktoren zu kürzen. - Untersuche, welche Rolle die Anordnung der ausgewählten Elemente bei den beiden Termen spielt.

1. Berechnung von \( A \): \( \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024 \). 2. Berechnung von \( B \): \( \binom{9}{4} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126 \). 3. Berechnung des Verhältnisses: \( \frac{3024}{126} = 24 \). 4. Allgemeine Begründung: Der Binomialkoeffizient ist definiert als \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \). Setzt man dies in das Verhältnis ein, erhält man \( \frac{n!}{(n-k)!} : \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} = \frac{n! \cdot k! \cdot (n-k)!}{(n-k)! \cdot n!} = k! \). Da \( 4! = 24 \) ist, stimmt dies mit dem Ergebnis aus b) überein.

a) \( A = 3024 \), \( B = 126 \) b) \( \frac{A}{B} = 24 \) c) Durch Einsetzen von \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) in \( \frac{A}{B} \) kürzen sich \( n! \) und \( (n-k)! \), sodass \( k! \) übrig bleibt.

- Stell dir vor, du wählst Spieler für eine Mannschaft aus. Was passiert mit den Spielern, die nicht gewählt werden? - Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Auswählen und dem Übriglassen? - Schau dir die Werte in einer Zeile des Pascal'schen Dreiecks an. Wo liegen die größten Werte? - Wie verhalten sich die Zahlen, wenn du von \(k=0\) beginnst und \(k\) schrittweise erhöhst?

1. Kombinatorische Begründung der Symmetrie: Die Auswahl von \(k\) Objekten aus einer Menge von \(n\) Objekten ist gleichbedeutend damit, festzulegen, welche \(n-k\) Objekte nicht ausgewählt werden. Da jede Auswahl von \(k\) Objekten eindeutig eine Restmenge von \(n-k\) Objekten bestimmt, muss die Anzahl der Möglichkeiten für beide Vorgänge identisch sein. Daraus folgt \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\). 2. Anwendung auf \(\binom{40}{38}\): Aus einer Gruppe von \(40\) Personen \(38\) Personen für ein Team auszuwählen ist dasselbe, wie zu bestimmen, welche \(2\) Personen nicht im Team sind. Da es \(\binom{40}{2}\) Möglichkeiten gibt, \(2\) Personen auszuschließen, gilt die Gleichheit. 3. Maximaler Wert: Die Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) wachsen für festes \(n\) bis zur Mitte an und fallen danach wieder ab. Bei \(n=12\) (gerade Zahl) liegt das Maximum genau in der Mitte bei \(k = \frac{n}{2} = 6\).

a) Jede Auswahl von \(k\) Elementen entspricht eindeutig der Auswahl der \(n-k\) Elemente, die nicht genommen werden. b) \(38\) Objekte aus \(40\) zu wählen ist gleichbedeutend damit, \(2\) Objekte aus \(40\) abzuwählen. c) \(k = 6\). Begründung: Das Maximum der Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) liegt bei geradem \(n\) in der Mitte bei \(k = \frac{n}{2}\).

- Wie viele Objekte werden insgesamt betrachtet und wie viele werden ausgewählt? - Bei Teilaufgabe c): Was bedeutet „mindestens“ für die Anzahl der defekten Widerstände? Welche Fälle musst du untersuchen? - Denke an die Struktur der hypergeometrischen Verteilung, wenn du Gruppen kombinierst. - Welche Eigenschaften hat das Ziehen, wenn die Bauteile nacheinander entnommen und beiseitegelegt werden?

1. Gesamtmöglichkeiten für die Entnahme von 4 aus 25 Widerständen: \(\binom{25}{4} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 12\,650\). 2. Möglichkeiten für genau 2 defekte (aus 5) und damit 2 intakte (aus 20) Widerstände: \(\binom{5}{2} \cdot \binom{20}{2} = 10 \cdot 190 = 1900\). 3. Für „mindestens 3 defekt“ müssen die Fälle „genau 3 defekt“ und „genau 4 defekt“ addiert werden. Fall 3 defekt: \(\binom{5}{3} \cdot \binom{20}{1} = 10 \cdot 20 = 200\). Fall 4 defekt: \(\binom{5}{4} \cdot \binom{20}{0} = 5 \cdot 1 = 5\). Gesamtzahl: \(200 + 5 = 205\). 4. Das Urnenmodell ist das Ziehen von \(k=4\) Kugeln aus \(n=25\) ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Die Kugeln sind in zwei Sorten (defekt/intakt) unterteilt.

a) Es gibt \(12\,650\) Möglichkeiten. b) Es gibt \(1900\) Möglichkeiten. c) Es gibt \(205\) Möglichkeiten. d) Urnenmodell: Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge aus einer Urne mit \(25\) Kugeln (5 schwarz für defekt, 20 weiß für intakt).

- Überlege dir, ob die Reihenfolge der Auswahl eine Rolle spielt oder nicht. - Was passiert mit den Beilagen, die du nicht auswählst? - Wie viele Entscheidungen (ja/nein) müssen für die gesamte Auswahl getroffen werden? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Summe einer Zeile im Pascalschen Dreieck und der Zweierpotenz.

1. Berechnung der Kombinationen für \(k = 4\) aus \(n = 12\) mithilfe des Binomialkoeffizienten: \(\binom{12}{4} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495\). 2. Begründung der Symmetrie: Die Auswahl von \(8\) Beilagen, die auf den Teller kommen, entspricht logisch der Auswahl von \(4\) Beilagen, die nicht gewählt werden. Mathematisch gilt \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\), also \(\binom{12}{8} = \binom{12}{4}\). 3. Berechnung der Gesamtzahl aller Teilmengen einer \(12\)-elementigen Menge: Die Summe der Binomialkoeffizienten \(\sum_{k=0}^{12} \binom{12}{k}\) ergibt \(2^{12} = 4\,096\).

a) Es gibt \(495\) Möglichkeiten. b) Aufgrund der Symmetrie des Binomialkoeffizienten gilt \(\binom{12}{8} = \binom{12}{4}\). Jede Auswahl von \(8\) Objekten bestimmt eindeutig eine Restmenge von \(4\) Objekten. c) Es gibt insgesamt \(2^{12} = 4\,096\) Kombinationsmöglichkeiten.

- Wie viele Möglichkeiten gibt es pro Frage? - „Mindestens 9“ bedeutet, dass entweder 9 oder 10 Fragen richtig sein können. - Welches Modell beschreibt das Ziehen von Positionen ohne Beachtung der Reihenfolge? - Kannst du die Gesamtzahl sowohl über die Einzelmöglichkeiten pro Frage als auch über die Summe aller Trefferzahlen erklären?

1. Bestimmung der Anzahl für \(k = 7\) aus \(n = 10\): \(\binom{10}{7} = \binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\). 2. Urnenmodell: Ziehen von \(7\) Kugeln aus einer Urne mit \(10\) nummerierten Kugeln (die die Fragen repräsentieren) ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Die gezogenen Kugeln entsprechen den richtig beantworteten Fragen. 3. Berechnung für „mindestens \(9\)“: Summe aus genau \(9\) Richtigen und genau \(10\) Richtigen: \(\binom{10}{9} + \binom{10}{10} = 10 + 1 = 11\). 4. Gesamtzahl der Antwortmuster: Jede der \(10\) Fragen hat \(2\) Antwortmöglichkeiten. Nach dem Zählprinzip ergibt sich \(2 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 2 = 2^{10} = 1\,024\). Alternativ über die Summe der Binomialkoeffizienten: \(\sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} = 2^{10}\).

a) Es gibt \(120\) Möglichkeiten. Urnenmodell: Ziehen von \(7\) aus \(10\) Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. b) Es gibt \(11\) Möglichkeiten (\(10\) für genau neun Richtige und \(1\) für alle zehn Richtigen). c) Die Gesamtzahl der Möglichkeiten ist \(\sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} = 2^{10} = 1\,024\).

- Stelle dir die 5 Ziehungen als Plätze in einer Reihe vor. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Plätze für Herr Schmidt und Frau Schmidt auszuwählen? - Da die Lose zurückgelegt werden, bleibt die Gewinnwahrscheinlichkeit in jeder Runde gleich. - Welche Wahrscheinlichkeit haben die Personen, die weder Herr noch Frau Schmidt sind? - Überlege, wie man die Wahrscheinlichkeit für eine ganz bestimmte Reihenfolge (z. B. erst Herr Schmidt, dann Frau Schmidt, dann der Rest) berechnet.

1. Identifikation des Experiments als fünfstufiges Zufallsexperiment mit drei möglichen Ergebnissen pro Stufe (H: Herr Schmidt gewinnt, F: Frau Schmidt gewinnt, S: Jemand anderes gewinnt). 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für ein einzelnes Ereignis: \(P(H) = \frac{1}{20}\), \(P(F) = \frac{1}{20}\) und \(P(S) = \frac{18}{20}\). 3. Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten, die Gewinne in der Ziehungsreihenfolge anzuordnen: \(\binom{5}{2} \cdot \binom{3}{1} = 10 \cdot 3 = 30\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines spezifischen Pfades (z. B. H-H-F-S-S): \((\frac{1}{20})^2 \cdot (\frac{1}{20})^1 \cdot (\frac{18}{20})^2 = \frac{1}{400} \cdot \frac{1}{20} \cdot \frac{324}{400} = \frac{324}{3\,200\,000}\). 5. Multiplikation der Pfadwahrscheinlichkeit mit der Anzahl der Anordnungen: \(30 \cdot \frac{324}{3\,200\,000} = 0{,}0030375\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}0030375\) (oder \(0{,}30375\,\%\)).

- Welche Kombinationen von Äpfeln und Birnen erfüllen die Bedingung, dass mehr Äpfel als Birnen gezogen werden? - Berechne die Anzahl der Möglichkeiten für jede dieser Kombinationen einzeln. - Wie kombinierst du die Ergebnisse der verschiedenen Fälle, um die Gesamtzahl zu erhalten? - Denke daran, dass „gleichzeitig entnommen“ bedeutet, dass die Reihenfolge egal ist.

1. Identifikation der günstigen Fälle für „mehr Äpfel als Birnen“ bei einer Stichprobe von 4 Früchten: (3 Äpfel, 1 Birne) oder (4 Äpfel, 0 Birnen). 2. Berechnung der Möglichkeiten für den Fall (3 Äpfel, 1 Birne): \(\binom{10}{3} \cdot \binom{6}{1} = 120 \cdot 6 = 720\). 3. Berechnung der Möglichkeiten für den Fall (4 Äpfel, 0 Birnen): \(\binom{10}{4} \cdot \binom{6}{0} = 210 \cdot 1 = 210\). 4. Addition der Möglichkeiten beider disjunkter Fälle: \(720 + 210 = 930\).

Die Bedingung „mehr Äpfel als Birnen“ ist bei 4 entnommenen Früchten erfüllt, wenn entweder 3 Äpfel und 1 Birne oder 4 Äpfel und 0 Birnen gewählt werden. Anzahl Wege für 3 Äpfel und 1 Birne: \(\binom{10}{3} \cdot \binom{6}{1} = 120 \cdot 6 = 720\). Anzahl Wege für 4 Äpfel und 0 Birnen: \(\binom{10}{4} \cdot \binom{6}{0} = 210 \cdot 1 = 210\). Gesamtanzahl: \(720 + 210 = 930\).

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeiten für die drei verschiedenen Ergebnisse bei einem einzelnen Wurf sind. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, die zwei Sechsen auf die zehn Würfe zu verteilen? - Wenn die Positionen für die Sechsen feststehen, wie viele Plätze bleiben dann noch für die Einsen übrig? - Kombiniere die Anzahl der Anordnungen mit den Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse in einer Multiplikationskette.

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(p_6 = \frac{1}{6}\), \(p_1 = \frac{1}{6}\) und \(p_{\text{andere}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). 2. Auswahl der Positionen für die „6“: Es gibt \(\binom{10}{2} = 45\) Möglichkeiten. 3. Auswahl der Positionen für die „1“ aus den verbleibenden \(8\) Stellen: Es gibt \(\binom{8}{3} = 56\) Möglichkeiten. Die restlichen \(5\) Stellen sind für die anderen Zahlen festgelegt. 4. Aufstellen des Terms für die Gesamtwahrscheinlichkeit: \(P = \binom{10}{2} \cdot \binom{8}{3} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5\). 5. Berechnung des Ergebnisses: \(45 \cdot 56 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{32}{243} = \frac{280}{6\,561} \approx 0{,}0427\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P = \frac{280}{6\,561} \approx 0{,}0427\) (bzw. \(4{,}27\,\%\)).

- Schau dir die Exponenten im Term an. Welche Anzahl an Paketen gehört zu welcher Wahrscheinlichkeit? - Was berechnet man üblicherweise mit einem Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) im Kontext von Bernoulli-Ketten? - Warum verringert sich die obere Zahl im zweiten Binomialkoeffizienten von \(12\) auf \(4\)?

1. Identifikation des Ereignisses: Aus den Exponenten der Wahrscheinlichkeiten \(0{,}6\), \(0{,}3\) und \(0{,}1\) folgt, dass das Ereignis \(E\) genau \(8\) leichte Pakete, \(3\) Standard-Pakete und \(1\) schweres Paket umfasst. 2. Bedeutung von \(\binom{12}{8}\): Dieser Faktor gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus den \(12\) untersuchten Paketen genau die \(8\) Positionen auszuwählen, an denen ein leichtes Paket auftritt. 3. Bedeutung von \(\binom{4}{3}\): Nachdem \(8\) Plätze für leichte Pakete vergeben sind, bleiben \(4\) Plätze übrig. Dieser Faktor gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus diesen verbleibenden \(4\) Plätzen genau \(3\) für die Standard-Pakete auszuwählen. Der letzte verbleibende Platz ist automatisch für das schwere Paket bestimmt (\(\binom{1}{1} = 1\)).

Das Ereignis \(E\) lautet: „Unter den \(12\) Paketen befinden sich genau \(8\) leichte, \(3\) Standard- und \(1\) schweres Paket“. Der Faktor \(\binom{12}{8}\) wählt die Positionen für die leichten Pakete aus; \(\binom{4}{3}\) wählt aus den restlichen Plätzen die Positionen für die Standard-Pakete aus.

- Überlege dir zuerst, ob die Reihenfolge der Auswahl für die Zusammensetzung des Teams eine Rolle spielt. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, die Anzahl der Teilmengen (Kombinationen) aus einer Grundmenge zu berechnen? - Was ändert sich an der Anzahl der Möglichkeiten, wenn die Personen innerhalb der Gruppe zusätzlich auf verschiedene Posten verteilt werden?

1. Berechnung der Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge: \(\binom{20}{3} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 1140\). Es gibt \(1140\) Möglichkeiten. 2. Da es nur eine Kombination gibt, die genau aus den drei Kurssprechern besteht, ist die Wahrscheinlichkeit \(P = \frac{1}{1140} \approx 0{,}000877\). 3. Berechnung der Variationen unter Berücksichtigung der Reihenfolge (Rollen): \(20 \cdot 19 \cdot 18 = 6840\) oder alternativ \(\binom{20}{3} \cdot 3! = 1140 \cdot 6 = 6840\). Es gibt \(6840\) Möglichkeiten.

a) Es gibt \(1140\) Möglichkeiten. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{1140}\) (ca. \(0{,}088\,\%\)). c) Es gibt \(6840\) Möglichkeiten.

- Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, eine bestimmte Anzahl von Objekten auf Plätze zu verteilen? - Erinnere dich an die Formel für die Wahrscheinlichkeit in einer Bernoulli-Kette. Welche Werte musst du für \(n\), \(k\) und \(p\) einsetzen? - Stell dir bei Teilaufgabe c) zuerst die intakten Bauteile in einer Reihe vor. Wo könnten die defekten Bauteile stehen, damit sie sich nicht berühren? - Wie viele Zwischenräume und Endplätze entstehen, wenn du 5 intakte Bauteile nebeneinander legst?

1. Die Anzahl der Möglichkeiten, \(k=2\) defekte Objekte auf \(n=10\) Positionen zu verteilen, entspricht dem Binomialkoeffizienten \(\binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für genau \(2\) Treffer in einer Bernoulli-Kette der Länge \(10\) mit \(p = 0{,}05\) berechnet sich nach der Bernoulli-Formel: \(P(X=2) = \binom{10}{2} \cdot 0{,}05^2 \cdot 0{,}95^8 = 45 \cdot 0{,}0025 \cdot 0{,}95^8 \approx 0{,}0746\). 3. Um die Anzahl der Sequenzen ohne benachbarte Defekte bei \(3\) defekten (\(D\)) und \(5\) intakten (\(I\)) Bauteilen zu finden, betrachtet man die Lücken zwischen den intakten Bauteilen: \(\_ I \_ I \_ I \_ I \_ I \_\). Es gibt \(6\) mögliche Positionen für die \(3\) defekten Bauteile. Die Anzahl der Möglichkeiten ist \(\binom{6}{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20\).

a) \(45\) b) \(P(X=2) \approx 0{,}0746\) (oder ca. \(7{,}46\,\%\)) c) \(20\)

- Wie viele gelbe Kugeln müssen gezogen werden, wenn die Gesamtzahl der Züge 6 ist und Rot sowie Blau jeweils genau zweimal vorkommen sollen? - Überlege zuerst, wie wahrscheinlich eine ganz bestimmte Reihenfolge ist, zum Beispiel: Rot, Rot, Blau, Blau, Gelb, Gelb. - Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es, um diese sechs Kugeln anzuordnen? - Nutze die Pfadregeln für unabhängige Ereignisse.

1. Festlegung der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Farben: \(P(R) = 0{,}2\), \(P(B) = 0{,}3\) und \(P(G) = 0{,}5\). 2. Da genau zwei rote und genau zwei blaue Kugeln gezogen werden sollen, müssen bei insgesamt 6 Ziehungen auch genau zwei gelbe Kugeln gezogen werden. 3. Berechnung der Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten für die Anordnung (Multinomialkoeffizient): \(\frac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{720}{8} = 90\). Alternativ über Binomialkoeffizienten: \(\binom{6}{2} \cdot \binom{4}{2} \cdot \binom{2}{2} = 15 \cdot 6 \cdot 1 = 90\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine einzelne passende Kombination: \(0{,}2^2 \cdot 0{,}3^2 \cdot 0{,}5^2 = 0{,}04 \cdot 0{,}09 \cdot 0{,}25 = 0{,}0009\). 5. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit: \(90 \cdot 0{,}0009 = 0{,}081\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}081\) (oder \(8{,}1\,\%\)).