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- Überlege dir ein systematisches Vorgehen beim Auflisten, damit du keine Kombination vergisst. - Spielt die Reihenfolge der Personen innerhalb eines Teams eine Rolle? - Was gibt der Binomialkoeffizient allgemein an? - Wie viele Möglichkeiten hast du, wenn du aus einer Gruppe nur ein einzelnes Mitglied aussuchen darfst?

1. Auflistung aller zweielementigen Teilmengen aus \(\{A, B, C, D\}\): \(\{A, B\}\), \(\{A, C\}\), \(\{A, D\}\), \(\{B, C\}\), \(\{B, D\}\), \(\{C, D\}\). Dies ergibt insgesamt 6 Möglichkeiten. 2. Berechnung des Binomialkoeffizienten: \(\binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6\). Die Ergebnisse stimmen überein, da der Binomialkoeffizient die Anzahl der Möglichkeiten angibt, \(k\) Elemente aus einer Menge von \(n\) Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen. 3. Für die Auswahl von einer Person aus vier gibt es 4 Möglichkeiten. Als Binomialkoeffizient geschrieben: \(\binom{4}{1} = 4\).

a) \(\{A, B\}, \{A, C\}, \{A, D\}, \{B, C\}, \{B, D\}, \{C, D\}\) b) \(\binom{4}{2} = 6\); die Anzahl der Mengen entspricht dem Wert des Binomialkoeffizienten. c) 4 Möglichkeiten; \(\binom{4}{1} = 4\).

- Wie viele Positionen gibt es insgesamt? - Wie viele dieser Positionen sollen als Trefferpositionen ausgewählt werden?

1. Es werden \(2\) Trefferpositionen aus insgesamt \(6\) Versuchspositionen ausgewählt. 2. Daher lautet der passende Binomialkoeffizient \(\binom62\). 3. Die \(6\) steht für die verfügbaren Positionen, die \(2\) für die auszuwählenden Trefferpositionen.

\(\binom62\)

- Bestimme die Anzahl der Versuchsstufen direkt aus dem abgebildeten Baum. - Lies danach die vollständigen Pfade ab, noch ohne eine Formel zu verwenden. - Erst nachdem du gezählt hast: Welche Auswahl von Trefferpositionen beschreibt dieselbe Anzahl kompakt?

1. Der Baum hat drei Stufen; es werden also \(3\) Versuche dargestellt. 2. Die Pfade mit genau zwei \(T\) sind \(TTF\), \(TFT\) und \(FTT\). 3. Es gibt somit \(3\) passende Pfade. 4. Die beiden Trefferpositionen werden aus drei Positionen ausgewählt. Daher ist die Anzahl \(\binom{3}{2}=3\). 5. Die \(3\) steht für die insgesamt verfügbaren Positionen, die \(2\) für die auszuwählenden Trefferpositionen.

a) Drei Versuche; \(TTF\), \(TFT\), \(FTT\) b) \(3\) c) \(\binom{3}{2}=3\); drei verfügbare Positionen, davon zwei ausgewählte Trefferpositionen.

- Spielt die Reihenfolge, in der die zwei Personen für den Ordnungsdienst benannt werden, eine Rolle? - Wenn du zwei Personen auswählst, was passiert automatisch mit dem Rest der Gruppe? - Schau dir die Formel für den Binomialkoeffizienten an und prüfe, ob sich Werte im Nenner vertauschen lassen.

1. Berechnung für a): Da die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielt und niemand doppelt gewählt werden kann, wird der Binomialkoeffizient \(\binom{15}{2}\) berechnet. \(\frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = 15 \cdot 7 = 105\). 2. Berechnung für b): Die Auswahl von 13 Personen aus 15 entspricht \(\binom{15}{13}\). Berechnung: \(\frac{15 \cdot 14 \cdot \dots \cdot 3}{13 \cdot 12 \cdot \dots \cdot 1} = \frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = 105\). 3. Zusammenhang: Jede Auswahl von 2 Personen für den Dienst legt gleichzeitig eindeutig fest, welche 13 Personen keinen Dienst haben. Mathematisch gilt die Symmetrie \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\), hier \(\binom{15}{2} = \binom{15}{15-2} = \binom{15}{13}\).

a) Es gibt \(105\) Möglichkeiten. b) Es gibt ebenfalls \(105\) Möglichkeiten. Die Ergebnisse sind identisch, da die Auswahl von \(k\) Objekten immer die Nicht-Auswahl von \(n-k\) Objekten impliziert; es gilt \(\binom{15}{2} = \binom{15}{13}\).

- Überlege dir zuerst, ob es wichtig ist, in welcher Reihenfolge die Personen ausgewählt werden. - Kann ein Mitglied mehrfach für denselben Ausschuss gewählt werden? - Welche mathematische Formel hilft dir dabei, eine Teilmenge aus einer größeren Menge auszuwählen?

1. Da die Reihenfolge der Auswahl nicht wichtig ist und keine Person mehrfach gewählt werden kann, handelt es sich um eine Kombination ohne Zurücklegen. 2. Die Anzahl der Möglichkeiten wird mit dem Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) berechnet, wobei \(n = 22\) (Gesamtzahl der Mitglieder) und \(k = 3\) (Größe des Ausschusses) ist. 3. Berechnung: \(\binom{22}{3} = \frac{22 \cdot 21 \cdot 20}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 1540\).

Es gibt \(1540\) verschiedene Möglichkeiten.

- Macht es einen Unterschied für den Spieleabend, welches der vier Spiele zuerst aus dem Regal genommen wird? - Handelt es sich um Ziehen mit oder ohne Zurücklegen? - Welches Modell aus der Kombinatorik passt hier am besten?

1. Es wird eine Auswahl von \(4\) Objekten aus einer Menge von \(14\) verschiedenen Objekten getroffen, wobei die Reihenfolge der Auswahl für das Endergebnis irrelevant ist. 2. Dies entspricht dem Urnenmodell „Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge“. 3. Die Anzahl der Möglichkeiten ergibt sich durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{14}{4}\). 4. Durchführung der Rechnung: \(\binom{14}{4} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1001\).

Es gibt \(1001\) verschiedene Kombinationen.

- Was besagt die Symmetrie bei Binomialkoeffizienten? - Wie kann man den Bruch bei der Berechnung von \(\binom{n}{k}\) durch Kürzen vereinfachen? - Musst du wirklich jeden Wert komplett neu berechnen oder gibt es Paare? - Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es gibt, \(k\) Objekte aus \(n\) auszuwählen im Vergleich dazu, \(n-k\) Objekte (die übrig bleiben) auszuwählen.

1. Für Teil a) wird die Formel direkt angewendet: \(\binom{18}{2} = \frac{18 \cdot 17}{2 \cdot 1} = 9 \cdot 17 = 153\). 2. Für Teil b) nutzt man die Symmetrie \(\binom{18}{16} = \binom{18}{18-16} = \binom{18}{2}\). Das Ergebnis ist somit ebenfalls \(153\). 3. Für Teil c) berechnet man \(\binom{25}{3} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{6} = 25 \cdot 4 \cdot 23 = 100 \cdot 23 = 2300\). 4. Für Teil d) folgt aus der Symmetrie \(\binom{25}{22} = \binom{25}{25-22} = \binom{25}{3}\), also ist das Ergebnis \(2300\).

a) \(153\) b) \(153\) c) \(2300\) d) \(2300\)

- Kannst du die einzelnen Terme nacheinander berechnen? - Fällt dir eine Besonderheit beim Vergleich der Ergebnisse von a) und b) auf? - Schau dir bei Teil c) die Zahlen unten in der Klammer genau an. Gibt es einen Zusammenhang zur Zahl oben? - Erinnere dich an die Definition und die Eigenschaften von \(\binom{n}{k}\).

1. Berechnung von Teil a): \(\binom{9}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36\) und \(\binom{9}{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84\). Die Summe ist \(36 + 84 = 120\). 2. Berechnung von Teil b): \(\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120\). 3. Untersuchung von Teil c): Da \(11 - 9 = 2\) ist, gilt nach der Symmetrieeigenschaft \(\binom{11}{9} = \binom{11}{2}\). Ein Bruch, bei dem Zähler und Nenner identisch (und ungleich Null) sind, hat den Wert \(1\).

a) \(120\) b) \(120\) c) \(1\)

- Was bedeutet es für die Auswahl, wenn die Reihenfolge der Personen im Team keine Rolle spielt? - Welche Formel hilft dir, wenn du \(k\) Objekte aus \(n\) Objekten ohne Zurücklegen auswählst? - Suche auf deinem Taschenrechner nach einer Taste wie „nCr“.

1. Identifikation der Parameter für Teilaufgabe a): \(n = 9\) (Gesamtanzahl) und \(k = 2\) (Auswahl). 2. Anwendung der Formel für den Binomialkoeffizienten: \(\binom{9}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1}\). 3. Berechnung des Ergebnisses: \(36\). 4. Berechnung für Teilaufgabe b) mit dem Taschenrechner (nCr-Funktion): \(\binom{18}{7} = 31\,824\).

a) Es gibt 36 Möglichkeiten. b) Es gibt \(31\,824\) Möglichkeiten.

- Vergleiche die beiden Binomialkoeffizienten, die zu den zwei Auswahlgrößen gehören. - Was ist automatisch festgelegt, sobald du weißt, welche \(3\) Kugeln gezogen wurden? - Suche nach einer eindeutigen Zuordnung zwischen den beiden Arten von Auswahlen.

1. Für die Auswahl von \(3\) Kugeln gibt es \(\binom{7}{3}=35\) Möglichkeiten. 2. Für die Auswahl von \(4\) Kugeln gibt es \(\binom{7}{4}=35\) Möglichkeiten. 3. Die Aussage ist wahr. Zu jeder Auswahl von \(3\) gezogenen Kugeln gehört eindeutig die Auswahl der \(4\) nicht gezogenen Kugeln und umgekehrt. Deshalb sind beide Anzahlen gleich.

a) \(35\) Möglichkeiten. b) Die Aussage ist wahr, denn \(\binom{7}{3}=\binom{7}{4}=35\). Jede Auswahl von \(3\) gezogenen Kugeln legt eindeutig die \(4\) nicht gezogenen Kugeln fest.

- Überlege dir, wie eine Zahl im pascalschen Dreieck aus den Zahlen der darüberliegenden Zeile entsteht. - Was fällt dir auf, wenn du die linke Seite einer Zeile mit der rechten Seite vergleichst? - Schau dir die äußersten Zahlen in den ersten Zeilen des Dreiecks an. Gibt es dort ein Muster?

1. Anwendung der Additionsregel: \(\binom{14}{7} = \binom{13}{6} + \binom{13}{7} = 1716 + 1716 = 3432\). 2. Begründung der Symmetrie: Im pascalschen Dreieck gilt allgemein \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\). Für \(n=13\) und \(k=6\) ergibt sich \(n-k = 13-6 = 7\), weshalb die Werte identisch sind. 3. Bestimmung der Randwerte: Jede Zeile im pascalschen Dreieck beginnt und endet mit der Zahl 1. Somit gilt \(\binom{15}{0} = 1\) und \(\binom{15}{15} = 1\).

a) \(\binom{14}{7} = 3432\) b) Aufgrund der Symmetrie gilt \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\). Da \(13-6=7\) ist, müssen die Werte gleich sein. c) \(\binom{15}{0} = 1\) und \(\binom{15}{15} = 1\)

- Erinnere dich an den Aufbau einer Zeile im pascalschen Dreieck. - Wie hängen die Indizes \(k\) zusammen, wenn die Werte der Binomialkoeffizienten gleich sind? - Welche Rechenregel für Binomialkoeffizienten kennst du, um große Werte für \(k\) zu vereinfachen? - Überlege dir, wie viele Faktoren du bei \(\binom{10}{8}\) im Vergleich zu \(\binom{10}{2}\) berechnen müsstest.

1. Identifikation der Binomialkoeffizienten für \(n=7\): Die Werte in der 7. Zeile lauten 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. Die Zahl 35 steht an der 4. und 5. Stelle, was den Koeffizienten \(\binom{7}{3}\) und \(\binom{7}{4}\) entspricht. 2. Anwendung der Symmetrie: Gemäß \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) gilt \(\binom{10}{8} = \binom{10}{10-8} = \binom{10}{2}\). 3. Berechnung: \(\binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45\). Die Symmetrie vereinfacht die Rechnung, da ein kleineres \(k\) zu weniger Multiplikationen im Zähler und Nenner führt.

a) \(\binom{7}{3}\) und \(\binom{7}{4}\) b) \(\binom{10}{8} = 45\). Durch die Symmetrie lässt sich der Wert einfacher über \(\binom{10}{2}\) berechnen.

- Ordne die Einträge der Zeile für \(n=5\) den Trefferzahlen \(0\) bis \(5\) zu. - Welche Trefferzahlen gehören zu „mehr als \(3\)“? - Wie wahrscheinlich ist bei \(P(T)=P(N)=0{,}5\) ein einzelner vollständiger Pfad?

1. a) Für genau drei Treffer liefert \(\binom53=10\) die Anzahl der passenden Pfade. 2. b) Mehr als drei Treffer bedeutet vier oder fünf Treffer. Daher gibt es \(\binom54+\binom55=5+1=6\) Pfade. 3. c) Für genau einen Treffer gibt es \(\binom51=5\) Pfade. Jeder vollständige Pfad hat Wahrscheinlichkeit \((0{,}5)^5=\frac1{32}\). Somit ist \(P(X=1)=\frac5{32}=0{,}15625\).

a) \(10\) Pfade b) \(6\) Pfade c) \(P(X=1)=\frac5{32}=0{,}15625\)

- Wie viele Möglichkeiten gibt es an jeder der acht Positionen? - Für Teil b) kannst du die Positionen der positiven Impulse auswählen, ohne ihre Reihenfolge zusätzlich zu zählen. - Welche Folge hat die Annahme unabhängiger, jeweils gleich wahrscheinlicher Impulse für die Wahrscheinlichkeiten der vollständigen Sequenzen? - „Mindestens sechs“ umfasst drei mögliche Anzahlen positiver Impulse.

1. Jeder der 8 Plätze hat zwei mögliche Zeichen. Daher gibt es insgesamt \(2^8=256\) Signalsequenzen. 2. Für genau drei positive Impulse werden drei der acht Positionen ausgewählt. Die Anzahl beträgt \(\binom{8}{3}=56\). 3. Unter der Annahme unabhängiger Impulse mit \(p=0{,}5\) sind alle \(2^8\) Sequenzen gleich wahrscheinlich. Für mindestens sechs positive Impulse sind \(\binom{8}{6}+\binom{8}{7}+\binom{8}{8}=28+8+1=37\) Sequenzen günstig. Somit gilt \(P=\frac{37}{256}\approx0{,}1445\).

a) \(256\) b) \(56\) c) \(P=\frac{37}{256}\approx0{,}1445\)

- Kannst du die Symmetrieeigenschaft der Binomialkoeffizienten nutzen, um die Rechnungen zu vereinfachen? - Wie ist der Binomialkoeffizient allgemein definiert? - Welche Bedeutung haben die Zahlen im Binomialkoeffizienten für die Anzahl der Faktoren im Zähler und Nenner? - Kannst du die Terme in Teil f) einzeln ausrechnen und dann addieren?

1. Berechnung der einzelnen Koeffizienten: a) \(\binom{9}{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84\) b) \(\binom{15}{13} = \binom{15}{2} = \frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = 105\) c) \(\binom{25}{2} = \frac{25 \cdot 24}{2 \cdot 1} = 300\) d) \(\binom{50}{48} = \binom{50}{2} = \frac{50 \cdot 49}{2 \cdot 1} = 1225\) e) \(\binom{2000}{1999} = \binom{2000}{1} = 2000\) 2. Überprüfung der Gleichung in Teil f): Linke Seite: \(\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\); \(\binom{10}{4} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210\). Summe: \(120 + 210 = 330\). Rechte Seite: \(\binom{11}{4} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 10 \cdot 3 = 330\). Beide Seiten ergeben \(330\), die Gleichung ist somit verifiziert.

a) \(84\) b) \(105\) c) \(300\) d) \(1225\) e) \(2000\) f) Linke Seite: \(120 + 210 = 330\); Rechte Seite: \(330\). Die Gleichung stimmt.

- Spielt die Reihenfolge, in der die Personen ausgewählt werden, für die Zusammensetzung der Gruppe eine Rolle? - Überlege, ob eine Person mehrfach für dieselbe Gruppe ausgewählt werden kann. - Wenn eine Auswahl aus zwei verschiedenen Untergruppen getroffen wird, wie lassen sich die einzelnen Möglichkeiten kombinieren? - Welches bekannte Modell aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschreibt das Ziehen von Objekten, wenn diese nicht ersetzt werden?

1. Für die Gesamtauswahl von 6 aus 16 Personen ohne Beachtung der Reihenfolge wird der Binomialkoeffizient \(\binom{16}{6}\) berechnet: \(\frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 8008\). 2. Für die getrennte Auswahl nach Geschlecht wird das Produkt der Binomialkoeffizienten gebildet. Auswahl der Frauen: \(\binom{9}{3} = 84\). Auswahl der Männer: \(\binom{7}{3} = 35\). Gesamtzahl: \(84 \cdot 35 = 2940\). 3. Das Urnenmodell entspricht dem „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge“. Die Urne enthält 16 Kugeln, davon sind 9 Kugeln einer Sorte (Frauen) und 7 Kugeln einer anderen Sorte (Männer). Es werden 6 Kugeln auf einmal (oder nacheinander ohne Zurücklegen) gezogen.

a) Es gibt \(8008\) Möglichkeiten. b) Es gibt \(2940\) Möglichkeiten. c) Urnenmodell: Ziehen von \(6\) Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge aus einer Urne mit \(16\) Kugeln (9 einer Sorte, 7 einer anderen).

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es gibt, die IT-Fachkräfte aus ihrer Gruppe auszuwählen. - Wie viele Möglichkeiten gibt es danach für die Auswahl der Marketing-Fachkräfte? - Wenn du für jede Wahl der ersten Gruppe mehrere Möglichkeiten für die zweite Gruppe hast, wie verknüpfst du diese Zahlen? - Spielt die Reihenfolge, in der die Personen für das Team benannt werden, eine Rolle?

1. Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten, 3 Personen aus 12 IT-Fachkräften ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen: \(\binom{12}{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220\). 2. Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten, 2 Personen aus 8 Marketing-Fachkräften ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen: \(\binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28\). 3. Anwendung des Zählprinzips (Multiplikationsregel) für die Kombination beider Teilgruppen: \(220 \cdot 28 = 6160\).

Es gibt \(6160\) Möglichkeiten.

- Wie viele Früchte sind insgesamt im Korb? - Was bedeutet es für die Auswahl, wenn eine bestimmte Sorte gar nicht vorkommen darf? - Welche unteren Zahlen müssen die Binomialkoeffizienten für jede geforderte Zusammensetzung besitzen? - Prüfe, ob die Summe der ausgewählten Stückzahlen jeweils fünf ergibt.

1. Insgesamt gibt es \(8+6+4=18\) Früchte. Die Anzahl aller gleich wahrscheinlichen Auswahlen von fünf Früchten ist \(\binom{18}{5}\). 2. Zu \(A\): Zwei von acht Äpfeln, zwei von sechs Birnen und eine von vier Bananen werden gewählt. Daher passt Term (2). 3. Zu \(B\): Ohne Birnen müssen alle fünf Früchte aus den zwölf Äpfeln und Bananen stammen. Daher passt Term (1). 4. Zu \(C\): Drei von acht Äpfeln und zwei von vier Bananen werden gewählt. Daher passt Term (3).

Ereignis \(A\) entspricht Term (2). Ereignis \(B\) entspricht Term (1). Ereignis \(C\) entspricht Term (3).

- Überlege dir, was passiert, wenn du eine Gruppe von Personen festlegst. Was passiert automatisch mit dem Rest der Gruppe? - Gibt es eine Formel für den Binomialkoeffizienten, die eine Symmetrie zeigt? - Ist es einfacher, die Kombinationen für eine große oder für eine kleine Untergruppe zu berechnen?

1. Begründung der Symmetrie: Jede Auswahl von \(22\) Personen, die an der Umfrage teilnehmen, legt gleichzeitig eindeutig fest, welche \(3\) Personen nicht teilnehmen. Da es zu jeder Gruppe von Teilnehmenden genau eine korrespondierende Gruppe von Nicht-Teilnehmenden gibt, muss die Anzahl der Möglichkeiten identisch sein. Mathematisch entspricht dies der Eigenschaft der Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\). 2. Berechnung der Möglichkeiten: Die Anzahl wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{25}{22}\) beschrieben. Aufgrund der Symmetrie gilt \(\binom{25}{22} = \binom{25}{3}\). 3. Ausrechnen des Wertes: \(\binom{25}{3} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{13800}{6} = 2300\).

a) Jede Auswahl von \(22\) Personen bestimmt eindeutig die \(3\) Personen, die nicht ausgewählt werden (Symmetrie des Binomialkoeffizienten: \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)). b) Es gibt \(2300\) Möglichkeiten.

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es gibt, eine bestimmte Anzahl an Kugeln aus einer Urne ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge zu ziehen. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, die Anzahl der Teilmengen zu bestimmen? - Wie hängen die Anzahl der Möglichkeiten und die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ereignis zusammen?

1. Berechnung der Kombinationen für Format A mittels Binomialkoeffizient: \(\binom{42}{6} = \frac{42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5\,245\,786\). 2. Berechnung der Kombinationen für Format B: \(\binom{37}{7} = \frac{37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10\,295\,472\). 3. Vergleich der Wahrscheinlichkeiten: Da die Anzahl der möglichen Kombinationen bei Format A (\(5\,245\,786\)) geringer ist als bei Format B (\(10\,295\,472\)), ist die Wahrscheinlichkeit \(p_A = \frac{1}{5245786}\) größer als \(p_B = \frac{1}{10295472}\).

In Format A gibt es \(5\,245\,786\) Kombinationen, in Format B gibt es \(10\,295\,472\) Kombinationen. Die Gewinnchance ist in Format A höher, da es dort weniger mögliche Kombinationen gibt.

- Stelle dir vor, du hast 10 leere Plätze in einer Reihe und musst 3 Kreuze für „Erfolg“ verteilen. - Sind die Kreuze, die du setzt, voneinander unterscheidbar? - Kannst du auf einen der 10 Plätze mehr als ein Kreuz setzen? - Überlege, welche bekannte Formel aus der Kombinatorik die Auswahl von \(k\) Elementen aus einer Menge von \(n\) Elementen beschreibt.

1. Zuordnung im Modell: Die \(k = 3\) Erfolge entsprechen den ununterscheidbaren Kugeln. Die \(n = 10\) Positionen (Versuche) in der Bernoulli-Kette entsprechen den unterscheidbaren Fächern. 2. Bedingungen: Da jeder Versuch in der Kette nur einmal ein Erfolg sein kann, ist keine Mehrfachbelegung eines Fachs möglich (Modell ohne Mehrfachbelegung). Die Reihenfolge der Kugeln (Erfolge) spielt keine Rolle, da sie als identisch betrachtet werden; entscheidend ist nur, welche Fächer (Positionen) besetzt sind. 3. Berechnung: Die Anzahl der Möglichkeiten entspricht dem Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k} = \binom{10}{3}\). 4. Ergebnis: \(\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\). Es gibt 120 Pfade mit genau 3 Erfolgen.

a) Die 3 Erfolge sind die Kugeln, die 10 Versuchspositionen sind die Fächer. b) Es ist ein Modell ohne Berücksichtigung der Reihenfolge der Kugeln und ohne Mehrfachbelegung der Fächer. c) \(\binom{10}{3} = 120\)

- Welche drei Reihenfolgen enthalten genau zwei Treffer und einen Fehlwurf? - Welche Wahrscheinlichkeit besitzt jede dieser Reihenfolgen? - Welcher Summand in der Entwicklung von \((p+q)^3\) enthält genau zwei Faktoren \(p\) und einen Faktor \(q\)?

1. Für genau zwei Treffer gibt es die drei Pfade \(TTF\), \(TFT\) und \(FTT\). 2. Jeder dieser Pfade hat die Wahrscheinlichkeit \(p^2q=(0{,}8)^2\cdot0{,}2=0{,}128\). 3. Daher ist \(P(X=2)=3\cdot0{,}128=0{,}384\). 4. Es gilt \((p+q)^3=p^3+3p^2q+3pq^2+q^3\). Der Summand \(3p^2q\) beschreibt genau die drei Pfade mit zwei Treffern und einem Fehlwurf.

a) \(P(X=2)=0{,}384\) b) Der passende Summand ist \(3p^2q\).

- Würden dieselben drei Personen in anderer Reihenfolge ein neues Team bilden? - Wie viele Reihenfolgen haben drei fest ausgewählte Personen? - Wie hängt das geordnete Produkt mit dem Binomialkoeffizienten zusammen?

1. Leons Produkt zählt geordnete Dreierfolgen. 2. Ein Team ohne Rollen wird dabei für jede seiner \(3!\) möglichen Reihenfolgen erneut gezählt. 3. Deshalb ist die Anzahl \(\frac{8\cdot7\cdot6}{3!}=\binom83=56\).

Leon zählt jedes Team \(3!=6\)-mal. Richtig ist \(\binom83=56\).

- Überlege dir zuerst, wie viele verschiedene Gruppen von 4 Personen man insgesamt aus den 12 Personen bilden kann. - Spielt die Reihenfolge, in der die Personen gezogen werden, für die Zusammensetzung der Gruppe eine Rolle? - Wie viele dieser möglichen Gruppen entsprechen genau der gesuchten Kombination aus Anna, Ben, Clara und David? - Setze die Anzahl der günstigen Möglichkeiten ins Verhältnis zur Gesamtzahl aller Möglichkeiten.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, 4 Personen aus einer Gruppe von 12 ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen: \(\binom{12}{4} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495\). 2. Bestimmung der Anzahl der günstigen Ergebnisse: Da eine ganz bestimmte Gruppe von 4 Personen gesucht ist, gibt es genau \(1\) günstiges Ergebnis. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P\) als Quotient aus günstigen und möglichen Ergebnissen: \(P = \frac{1}{495}\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{495}\) (ca. \(0{,}2\,\%\)).

- Wie viele Möglichkeiten gibt es, 11 Spieler aus einem Kader von 15 Spielern auszuwählen? - Ist es für die Auswahl der Gruppe wichtig, wer als Erster oder als Letzter gezogen wird? - Ein kleiner Tipp: Es ist mathematisch dasselbe, 11 Spieler für das Team auszuwählen oder 4 Spieler zu bestimmen, die nicht mitspielen. - Wie viele der möglichen 11er-Gruppen passen exakt auf die vorgegebene Auswahl?

1. Berechnung der Gesamtzahl der möglichen Startaufstellungen (Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge): \(\binom{15}{11}\). 2. Anwendung der Symmetrieeigenschaft des Binomialkoeffizienten zur Vereinfachung: \(\binom{15}{11} = \binom{15}{15-11} = \binom{15}{4}\). 3. Berechnung des Wertes: \(\binom{15}{4} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1365\). 4. Da nur eine spezifische Gruppe von 11 Spielern günstig ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit \(P = \frac{1}{1365}\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{1365}\) (ca. \(0{,}073\,\%\)).

- Wie entsteht ein innerer Eintrag des pascalschen Dreiecks aus der vorherigen Zeile? - Welche Beziehung verbindet zwei benachbarte Binomialkoeffizienten derselben Zeile? - Welche Einträge stehen in der Zeile für \(n=5\)?

1. a) Aus benachbarten Einträgen der Zeile für \(n=9\) entstehen \(1\), \(1+9=10\), \(9+36=45\), \(36+84=120\), \(84+126=210\) und \(126+126=252\). 2. b) Aus \(\binom{10}{3}=120\) folgt \(\binom{10}{4}=120\frac{10-3}{4}=120\frac74=210\). 3. c) Die Zeile für \(n=5\) lautet \(1,5,10,10,5,1\). Ihre Summe ist \(32\), und zugleich gilt \(2^5=32\).

a) \(1,10,45,120,210,252\) b) \(\binom{10}{4}=210\) c) \(1+5+10+10+5+1=32=2^5\)

- Welche Personen sind automatisch festgelegt, sobald die Mannschaft vollständig ausgewählt ist? - Kannst du jeder möglichen Mannschaft eindeutig eine Auswahl der nicht teilnehmenden Personen zuordnen? - Wie lässt sich diese Zuordnung mit \(k\) ausgewählten und \(n-k\) nicht ausgewählten Objekten verallgemeinern?

1. Die Anzahl der möglichen Mannschaften ist \(\binom{12}{9}\). 2. Mit der Symmetrie der Binomialkoeffizienten gilt \(\binom{12}{9}=\binom{12}{3}=220\). 3. Jede Auswahl von \(9\) teilnehmenden Personen legt eindeutig die \(3\) Personen fest, die nicht teilnehmen. Umgekehrt bestimmt jede Auswahl von \(3\) nicht teilnehmenden Personen eindeutig die Mannschaft aus den übrigen \(9\). Daher gilt allgemein \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\).

a) \(220\) Möglichkeiten. b) Jede Auswahl der \(9\) Teilnehmenden entspricht eindeutig der Auswahl der \(3\) nicht Teilnehmenden. Deshalb gilt hier \(\binom{12}{9}=\binom{12}{3}\) und allgemein \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\).

- Wie entsteht die nächste Zeile des pascalschen Dreiecks aus Nachbarsummen? - Welcher Binomialkoeffizient zählt die Positionen von genau drei richtigen Antworten? - Welche Trefferzahlen gehören in c) zu „mindestens \(5\)“?

1. a) Die Zeile für \(n=6\) lautet \(1,6,15,20,15,6,1\). 2. b) Die drei richtigen Antworten können an \(\binom63=20\) verschiedenen Positionenmengen liegen. 3. c) Beim unabhängigen zufälligen Raten sind alle \(2^6=64\) Antwortmuster gleich wahrscheinlich. Für mindestens fünf richtige Antworten gibt es \(\binom65+\binom66=6+1=7\) Muster. Daher ist \(P(X\ge5)=\frac7{64}=0{,}109375\).

a) \(1,6,15,20,15,6,1\) b) \(20\) Antwortmuster c) \(P(X\ge5)=\frac7{64}=0{,}109375\)

- In einem Baumdiagramm einer Bernoulli-Kette entspricht die Anzahl der Pfade mit einer bestimmten Trefferzahl dem Binomialkoeffizienten. - Wenn die ersten Stufen eines Pfades bereits fest vorgegeben sind, reduziert sich die Anzahl der noch frei wählbaren Stufen. - Wie viele Erfolge musst du in den verbleibenden Stufen noch unterbringen, wenn in den fest vorgegebenen Stufen bereits Erfolge enthalten sind? - Nutze die Formel \(\binom{n}{k}\) für die verbleibende Anzahl an Stufen und die noch benötigten Erfolge.

1. Anzahl der Pfade für genau 4 Erfolge: Bei einer 10-stufigen Kette entspricht dies der Auswahl von 4 Positionen für die Erfolge aus insgesamt 10 Positionen. Die Berechnung erfolgt über den Binomialkoeffizienten: \(\binom{10}{4} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210\). 2. Anzahl der Pfade mit fixiertem Anfang: Die ersten drei Stufen sind durch „M – E – M“ festgelegt. Damit ist bereits 1 Erfolg vergeben. 3. Verbleibende Stufen und Erfolge: Es bleiben \(10 - 3 = 7\) Stufen übrig, in denen noch genau \(4 - 1 = 3\) Erfolge verteilt werden müssen. 4. Berechnung für den Restpfad: Die Anzahl der Möglichkeiten hierfür ist \(\binom{7}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35\).

a) \(210\) b) \(35\)

- Überlege, wie man den Binomialkoeffizienten mithilfe von Fakultäten schreiben kann. - Was passiert mathematisch, wenn man einen Bruch durch einen anderen Bruch dividiert? - Schreibe die Fakultäten in Teilaufgabe a) so weit wie möglich aus, um Faktoren zu kürzen. - Untersuche, welche Rolle die Anordnung der ausgewählten Elemente bei den beiden Termen spielt.

1. Berechnung von \( A \): \( \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024 \). 2. Berechnung von \( B \): \( \binom{9}{4} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126 \). 3. Berechnung des Verhältnisses: \( \frac{3024}{126} = 24 \). 4. Allgemeine Begründung: Der Binomialkoeffizient ist definiert als \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \). Setzt man dies in das Verhältnis ein, erhält man \( \frac{n!}{(n-k)!} : \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} = \frac{n! \cdot k! \cdot (n-k)!}{(n-k)! \cdot n!} = k! \). Da \( 4! = 24 \) ist, stimmt dies mit dem Ergebnis aus b) überein.

a) \( A = 3024 \), \( B = 126 \) b) \( \frac{A}{B} = 24 \) c) Durch Einsetzen von \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \) in \( \frac{A}{B} \) kürzen sich \( n! \) und \( (n-k)! \), sodass \( k! \) übrig bleibt.

- Stell dir vor, du wählst Spieler für eine Mannschaft aus. Was passiert mit den Spielern, die nicht gewählt werden? - Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Auswählen und dem Übriglassen? - Schau dir die Werte in einer Zeile des pascalschen Dreiecks an. Wo liegen die größten Werte? - Wie verhalten sich die Zahlen, wenn du von \(k=0\) beginnst und \(k\) schrittweise erhöhst?

1. Kombinatorische Begründung der Symmetrie: Die Auswahl von \(k\) Objekten aus einer Menge von \(n\) Objekten ist gleichbedeutend damit, festzulegen, welche \(n-k\) Objekte nicht ausgewählt werden. Da jede Auswahl von \(k\) Objekten eindeutig eine Restmenge von \(n-k\) Objekten bestimmt, muss die Anzahl der Möglichkeiten für beide Vorgänge identisch sein. Daraus folgt \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\). 2. Anwendung auf \(\binom{40}{38}\): Aus einer Gruppe von \(40\) Personen \(38\) Personen für ein Team auszuwählen ist dasselbe, wie zu bestimmen, welche \(2\) Personen nicht im Team sind. Da es \(\binom{40}{2}\) Möglichkeiten gibt, \(2\) Personen auszuschließen, gilt die Gleichheit. 3. Maximaler Wert: Die Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) wachsen für festes \(n\) bis zur Mitte an und fallen danach wieder ab. Bei \(n=12\) (gerade Zahl) liegt das Maximum genau in der Mitte bei \(k = \frac{n}{2} = 6\).

a) Jede Auswahl von \(k\) Elementen entspricht eindeutig der Auswahl der \(n-k\) Elemente, die nicht genommen werden. b) \(38\) Objekte aus \(40\) zu wählen ist gleichbedeutend damit, \(2\) Objekte aus \(40\) abzuwählen. c) \(k = 6\). Begründung: Das Maximum der Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) liegt bei geradem \(n\) in der Mitte bei \(k = \frac{n}{2}\).

- Für a) wählst du vier Objekte aus insgesamt 25 ohne Beachtung der Reihenfolge. - Für b) wählst du getrennt aus der Gruppe der defekten und aus der Gruppe der intakten Widerstände. - Zerlege „mindestens 3 defekt“ in die möglichen exakten Anzahlen und zähle jede Zusammensetzung separat. - Übertrage bei d) die beiden Widerstandsarten auf zwei Kugelsorten und beachte, dass entnommene Widerstände nicht zurückgelegt werden.

1. Insgesamt gibt es \(\binom{25}{4}=12\,650\) Möglichkeiten, vier Widerstände auszuwählen. 2. Für genau zwei defekte und zwei intakte Widerstände gibt es \(\binom52\binom{20}{2}=10\cdot190=1900\) Möglichkeiten. 3. „Mindestens drei defekt“ umfasst genau drei oder genau vier defekte Widerstände. Für genau drei gibt es \(\binom53\binom{20}{1}=10\cdot20=200\) Möglichkeiten, für genau vier \(\binom54\binom{20}{0}=5\). Insgesamt sind es \(200+5=205\) Möglichkeiten. 4. Ein passendes Urnenmodell ist eine Urne mit 5 Kugeln einer Sorte „defekt“ und 20 Kugeln einer Sorte „intakt“. Es werden 4 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen; für die Auswahlzählung spielt die Reihenfolge keine Rolle.

a) \(12\,650\) Möglichkeiten b) \(1900\) Möglichkeiten c) \(205\) Möglichkeiten d) Urne mit 5 „defekten“ und 20 „intakten“ Kugeln; vier Ziehungen ohne Zurücklegen, Reihenfolge für die Auswahl ohne Bedeutung.

- Spielt die Reihenfolge der ausgewählten Beilagen eine Rolle? - Welche Restmenge ist eindeutig festgelegt, sobald acht Beilagen gewählt sind? - Wie viele Ja-Nein-Entscheidungen werden in c) unabhängig für die Auswahlmenge getroffen?

1. a) Die Reihenfolge spielt keine Rolle. Daher gibt es \(\binom{12}{4}=495\) Möglichkeiten. 2. b) Jede Auswahl von acht Beilagen legt eindeutig die vier nicht ausgewählten Beilagen fest. Deshalb gilt \(\binom{12}{8}=\binom{12}{4}=495\). 3. c) Jede der zwölf Beilagen kann entweder gewählt oder nicht gewählt werden. Daher gibt es \(2^{12}=4096\) Zusammenstellungen. Gleichwertig gilt \(\sum_{k=0}^{12}\binom{12}{k}=2^{12}\).

a) \(495\) b) Ebenfalls \(495\), da \(\binom{12}{8}=\binom{12}{4}\). c) \(4096\)

- Wie viele Möglichkeiten gibt es pro Frage? - „Mindestens 9“ bedeutet, dass entweder 9 oder 10 Fragen richtig sein können. - Welches Modell beschreibt das Ziehen von Positionen ohne Beachtung der Reihenfolge? - Kannst du die Gesamtzahl sowohl über die Einzelmöglichkeiten pro Frage als auch über die Summe aller Trefferzahlen erklären?

1. Bestimmung der Anzahl für \(k = 7\) aus \(n = 10\): \(\binom{10}{7} = \binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\). 2. Urnenmodell: Ziehen von \(7\) Kugeln aus einer Urne mit \(10\) nummerierten Kugeln (die die Fragen repräsentieren) ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Die gezogenen Kugeln entsprechen den richtig beantworteten Fragen. 3. Berechnung für „mindestens \(9\)“: Summe aus genau \(9\) Richtigen und genau \(10\) Richtigen: \(\binom{10}{9} + \binom{10}{10} = 10 + 1 = 11\). 4. Gesamtzahl der Antwortmuster: Jede der \(10\) Fragen hat \(2\) Antwortmöglichkeiten. Nach dem Zählprinzip ergibt sich \(2 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 2 = 2^{10} = 1024\). Alternativ über die Summe der Binomialkoeffizienten: \(\sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} = 2^{10}\).

a) Es gibt \(120\) Möglichkeiten. Urnenmodell: Ziehen von \(7\) aus \(10\) Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. b) Es gibt \(11\) Möglichkeiten (\(10\) für genau neun Richtige und \(1\) für alle zehn Richtigen). c) Die Gesamtzahl der Möglichkeiten ist \(\sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} = 2^{10} = 1024\).

- Welche zwei getrennten Auswahlen ergeben zusammen ein Team mit genau vier Studierenden? - Wodurch erhältst du in b) die Gesamtzahl aller gleich wahrscheinlichen Teams? - Welche zwei disjunkten Teamarten werden in c) addiert?

1. a) Für die vier Studierenden gibt es \(\binom{15}{4}\) Möglichkeiten, für die zwei Berufstätigen \(\binom{10}{2}\). Nach dem Produktprinzip gibt es \(\binom{15}{4}\binom{10}{2}=61\,425\) passende Teams. 2. b) Insgesamt gibt es \(\binom{25}{6}=177\,100\) gleich wahrscheinliche Teams. Daher ist \(P(X=4)=\frac{61425}{177100}=\frac{351}{1012}\). 3. c) \(\binom{15}{6}\) zählt Teams ausschließlich aus Studierenden, \(\binom{10}{6}\) Teams ausschließlich aus Berufstätigen. Die Summe zählt beide disjunkten Fälle.

a) \(61\,425\) b) \(P(X=4)=\frac{351}{1012}\) c) Anzahl der Teams, die ausschließlich aus Studierenden oder ausschließlich aus Berufstätigen bestehen.

- Stelle dir die 5 Ziehungen als Plätze in einer Reihe vor. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Plätze für Herr Schmidt und Frau Schmidt auszuwählen? - Da die Lose zurückgelegt werden, bleibt die Gewinnwahrscheinlichkeit in jeder Runde gleich. - Welche Wahrscheinlichkeit haben die Personen, die weder Herr noch Frau Schmidt sind? - Überlege, wie man die Wahrscheinlichkeit für eine ganz bestimmte Reihenfolge (z. B. erst Herr Schmidt, dann Frau Schmidt, dann der Rest) berechnet.

1. Identifikation des Experiments als fünfstufiges Zufallsexperiment mit drei möglichen Ergebnissen pro Stufe (H: Herr Schmidt gewinnt, F: Frau Schmidt gewinnt, S: Jemand anderes gewinnt). 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für ein einzelnes Ereignis: \(P(H) = \frac{1}{20}\), \(P(F) = \frac{1}{20}\) und \(P(S) = \frac{18}{20}\). 3. Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten, die Gewinne in der Ziehungsreihenfolge anzuordnen: \(\binom{5}{2} \cdot \binom{3}{1} = 10 \cdot 3 = 30\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines spezifischen Pfades (z. B. H-H-F-S-S): \((\frac{1}{20})^2 \cdot (\frac{1}{20})^1 \cdot (\frac{18}{20})^2 = \frac{1}{400} \cdot \frac{1}{20} \cdot \frac{324}{400} = \frac{324}{3200000}\). 5. Multiplikation der Pfadwahrscheinlichkeit mit der Anzahl der Anordnungen: \(30 \cdot \frac{324}{3200000} = 0{,}0030375\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}0030375\) (oder \(0{,}30375\,\%\)).

- Wie viele gelbe Ziehungen bleiben übrig, wenn Rot und Blau jeweils genau zweimal vorkommen? - Wähle zuerst die Positionen einer Farbe und danach die Positionen der zweiten Farbe aus den verbleibenden Stellen. - Wie wahrscheinlich ist eine fest vorgegebene passende Farbreihenfolge?

1. Für einen Zug gilt \(P(R)=0{,}2\), \(P(B)=0{,}3\) und \(P(G)=0{,}5\). Wenn genau zwei rote und zwei blaue Kugeln vorkommen, müssen auch genau zwei gelbe Kugeln vorkommen. 2. Die beiden Positionen für Rot können auf \(\binom62\) Arten gewählt werden. Aus den verbleibenden vier Positionen können die beiden Positionen für Blau auf \(\binom42\) Arten gewählt werden; die restlichen beiden Positionen sind Gelb. Damit gibt es \(\binom62\binom42=15\cdot6=90\) passende Anordnungen. 3. Eine festgelegte passende Anordnung hat wegen des Zurücklegens die Wahrscheinlichkeit \((0{,}2)^2(0{,}3)^2(0{,}5)^2=0{,}0009\). 4. Daher ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(90\cdot0{,}0009=0{,}081\).

\(P=0{,}081\)

- Welche Kombinationen von Äpfeln und Birnen erfüllen die Bedingung, dass mehr Äpfel als Birnen gezogen werden? - Berechne die Anzahl der Möglichkeiten für jede dieser Kombinationen einzeln. - Wie kombinierst du die Ergebnisse der verschiedenen Fälle, um die Gesamtzahl zu erhalten? - Denke daran, dass „gleichzeitig entnommen“ bedeutet, dass die Reihenfolge egal ist.

1. Identifikation der günstigen Fälle für „mehr Äpfel als Birnen“ bei einer Stichprobe von 4 Früchten: (3 Äpfel, 1 Birne) oder (4 Äpfel, 0 Birnen). 2. Berechnung der Möglichkeiten für den Fall (3 Äpfel, 1 Birne): \(\binom{10}{3} \cdot \binom{6}{1} = 120 \cdot 6 = 720\). 3. Berechnung der Möglichkeiten für den Fall (4 Äpfel, 0 Birnen): \(\binom{10}{4} \cdot \binom{6}{0} = 210 \cdot 1 = 210\). 4. Addition der Möglichkeiten beider disjunkter Fälle: \(720 + 210 = 930\).

Die Bedingung „mehr Äpfel als Birnen“ ist bei 4 entnommenen Früchten erfüllt, wenn entweder 3 Äpfel und 1 Birne oder 4 Äpfel und 0 Birnen gewählt werden. Anzahl Wege für 3 Äpfel und 1 Birne: \(\binom{10}{3} \cdot \binom{6}{1} = 120 \cdot 6 = 720\). Anzahl Wege für 4 Äpfel und 0 Birnen: \(\binom{10}{4} \cdot \binom{6}{0} = 210 \cdot 1 = 210\). Gesamtanzahl: \(720 + 210 = 930\).

- Bestimme zunächst die drei Einzelwahrscheinlichkeiten für „6“, „1“ und „andere Zahl“. - Wähle zuerst die Positionen der Sechsen und danach aus den verbleibenden Positionen die Stellen der Einsen. - Die übrigen Positionen sind automatisch der dritten Kategorie zugeordnet. - Verbinde die Anzahl der möglichen Anordnungen mit der Wahrscheinlichkeit einer festen Anordnung.

1. Für einen einzelnen Wurf gilt \(P(6)=\frac16\), \(P(1)=\frac16\) und \(P(\text{andere})=\frac46=\frac23\). 2. Die Positionen der zwei Sechsen können auf \(\binom{10}{2}\) Arten gewählt werden. Aus den verbleibenden acht Positionen werden die drei Positionen der Einsen auf \(\binom83\) Arten gewählt; die restlichen fünf Positionen sind dann „andere Zahl“. 3. Wegen der Unabhängigkeit der Würfe ist die Wahrscheinlichkeit einer festgelegten solchen Anordnung \((\frac16)^2(\frac16)^3(\frac23)^5\). 4. Daher ist \(P=\binom{10}{2}\binom83(\frac16)^2(\frac16)^3(\frac23)^5=\frac{280}{6561}\approx0{,}0427\).

\(P=\frac{280}{6561}\approx0{,}0427\), also etwa \(4{,}27\,\%\).

- Ordne die Exponenten den drei Paketkategorien zu. - Überlege, welche Positionen zuerst festgelegt werden und wie viele Positionen danach noch frei sind. - Der letzte verbleibende Platz ist automatisch der dritten Kategorie zugeordnet.

1. Die Exponenten zeigen, dass \(E\) genau 8 leichte, 3 Standard- und 1 schweres Paket beschreibt. 2. \(\binom{12}{8}\) wählt aus den 12 Positionen die acht Stellen für leichte Pakete. 3. Danach bleiben vier Positionen übrig. \(\binom43\) wählt daraus die drei Stellen für Standard-Pakete; die letzte Position ist damit automatisch für das schwere Paket bestimmt. 4. Wegen der unabhängigen Untersuchungen besitzt jede feste Anordnung mit dieser Zusammensetzung die Wahrscheinlichkeit \(0{,}6^8\cdot0{,}3^3\cdot0{,}1\).

\(E\): Unter den 12 Paketen befinden sich genau 8 leichte, 3 Standard- und 1 schweres Paket. \(\binom{12}{8}\) wählt die Positionen der leichten Pakete; \(\binom43\) wählt anschließend aus den vier übrigen Positionen die drei Positionen der Standard-Pakete.

- Wie viele Teamplätze sind noch frei, wenn Sophie und Leon bereits feststehen? - Welches Zählprinzip verknüpft die Auswahl von Mädchen und Jungen zu einem vollständigen Team? - Was bleibt übrig, wenn du von allen Teams diejenigen ohne Mädchen abziehst?

1. Für \(A\) sind Sophie und Leon fest im Team. Die übrigen zwei Plätze werden aus den \(16\) verbleibenden Personen gewählt. Daher ist \(P(A)=\frac{\binom{16}{2}}{\binom{18}{4}}\). 2. Für \(B\) werden zwei der zehn Mädchen und zwei der acht Jungen ausgewählt. Nach dem Produktprinzip ist \(P(B)=\frac{\binom{10}{2}\binom{8}{2}}{\binom{18}{4}}\). 3. In b) zählt \(\binom{18}{4}\) alle Teams und \(\binom{8}{4}\) die Teams ausschließlich aus Jungen. Die Differenz zählt daher Teams mit mindestens einem Mädchen.

a) \(P(A)=\frac{\binom{16}{2}}{\binom{18}{4}}\); \(P(B)=\frac{\binom{10}{2}\binom{8}{2}}{\binom{18}{4}}\) b) „Dem Team gehört mindestens ein Mädchen an.“

- Entscheide in a) und b), ob Rollen beziehungsweise Reihenfolge eine Rolle spielen. - Welche zwei Teilgruppen müssen für \(X=3\) in c) ausgewählt werden? - Vergleiche in c) die günstigen Fünfergruppen mit allen möglichen Fünfergruppen.

1. a) Zum Beispiel: „Wie viele Möglichkeiten gibt es, die vier unterschiedlichen Ämter Vorsitz, Protokoll, Kasse und Moderation unter den \(25\) Jugendlichen zu verteilen?“ Da die Ämter verschieden sind, ist die Zuordnung entscheidend. 2. b) Zum Beispiel: „Wie viele verschiedene sechsköpfige Gruppen können aus den \(25\) Jugendlichen für den Ausflug gebildet werden?“ Hier spielt die Reihenfolge keine Rolle. 3. c) Für drei weibliche und zwei nicht weibliche Jugendliche gibt es \(\binom{15}{3}\binom{10}{2}=20\,475\) günstige Gruppen. Insgesamt gibt es \(\binom{25}{5}=53\,130\) Gruppen. Daher ist \(P(X=3)=\frac{20475}{53130}=\frac{195}{506}\).

a) Zum Beispiel: „Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier unterschiedliche Ämter unter den \(25\) Jugendlichen zu verteilen?“ b) Zum Beispiel: „Wie viele verschiedene sechsköpfige Gruppen können aus den \(25\) Jugendlichen gebildet werden?“ c) \(P(X=3)=\frac{195}{506}\)

- Überlege dir zuerst, ob die Reihenfolge der Auswahl für die Zusammensetzung des Teams eine Rolle spielt. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, die Anzahl der Teilmengen (Kombinationen) aus einer Grundmenge zu berechnen? - Was ändert sich an der Anzahl der Möglichkeiten, wenn die Personen innerhalb der Gruppe zusätzlich auf verschiedene Posten verteilt werden?

1. Berechnung der Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge: \(\binom{20}{3} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 1140\). Es gibt \(1140\) Möglichkeiten. 2. Da es nur eine Kombination gibt, die genau aus den drei Kurssprechern besteht, ist die Wahrscheinlichkeit \(P = \frac{1}{1140} \approx 0{,}000877\). 3. Berechnung der Variationen unter Berücksichtigung der Reihenfolge (Rollen): \(20 \cdot 19 \cdot 18 = 6840\) oder alternativ \(\binom{20}{3} \cdot 3! = 1140 \cdot 6 = 6840\). Es gibt \(6840\) Möglichkeiten.

a) Es gibt \(1140\) Möglichkeiten. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{1140}\) (ca. \(0{,}088\,\%\)). c) Es gibt \(6840\) Möglichkeiten.

- Welche Häufigkeiten von \(a\) und \(b\) muss ein Pfad für das Produkt \(a^2b\) enthalten? - An welcher der drei Positionen kann der einzelne Faktor \(b\) stehen? - Was zählt \(\binom32\) im Zusammenhang mit drei Positionen?

1. Ein Pfad muss genau zweimal \(a\) und einmal \(b\) enthalten. 2. Die passenden Pfadfolgen sind \((a,a,b)\), \((a,b,a)\) und \((b,a,a)\). 3. Es gibt also drei passende Pfade. 4. Der Binomialkoeffizient \(\binom32\) zählt die Möglichkeiten, zwei der drei Positionen für den Faktor \(a\) auszuwählen. Daher ist \(\binom32=3\), genau wie die Zahl der passenden Pfade.

a) \((a,a,b)\), \((a,b,a)\), \((b,a,a)\) b) \(3\) c) \(\binom32=3\) zählt die Wahl der zwei \(a\)-Positionen unter drei Positionen.

- Welche drei Reihenfolgen enthalten genau zweimal \(f\) und einmal \(d\)? - Welche Pfadwahrscheinlichkeit erhältst du jeweils mit der Multiplikationsregel? - Was zählt \(\binom32\) bei drei möglichen Positionen?

1. Die Pfade mit genau zwei funktionsfähigen Bauteilen sind \((f,f,d)\), \((f,d,f)\) und \((d,f,f)\). 2. Jeder dieser Pfade hat die Wahrscheinlichkeit \(p^2q\). 3. Ihre Summe ist \(3p^2q\); der Koeffizient ist also \(3\). 4. In der Zeile für \(n=3\) steht beim Eintrag \(k=2\) der Binomialkoeffizient \(\binom32=3\). Er zählt genau die Möglichkeiten, zwei der drei Positionen für \(f\) auszuwählen.

a) \((f,f,d)\), \((f,d,f)\), \((d,f,f)\); jeweils \(p^2q\) b) \(3p^2q\); Koeffizient \(3\) c) \(\binom32=3\) in der Zeile für \(n=3\) beim Eintrag \(k=2\)

- Ein Pfad ist durch die Positionen der Treffer vollständig festgelegt. - Haben alle Pfade mit gleich vielen Treffern dieselbe Wahrscheinlichkeit? - Trenne beim Verallgemeinern die Anzahl der Pfade von der Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades.

1. Ein Pfad mit genau zwei Treffern wird eindeutig dadurch festgelegt, an welchen zwei der vier Positionen Treffer liegen. Dafür gibt es \(\binom{4}{2}=6\) Möglichkeiten. 2. Jeder dieser Pfade enthält zwei Treffer und zwei Nichttreffer und hat daher die Wahrscheinlichkeit \(p^2(1-p)^2\). 3. Die sechs disjunkten Pfade ergeben zusammen \(P(X=2)=\binom{4}{2}p^2(1-p)^2\). 4. Allgemein gibt es für genau \(k\) Treffer unter \(n\) Versuchen \(\binom{n}{k}\) mögliche Trefferpositionen; jeder zugehörige Pfad hat die Wahrscheinlichkeit \(p^k(1-p)^{n-k}\). 5. Somit gilt \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\).

a) Die zwei Trefferpositionen können auf \(\binom{4}{2}=6\) Arten gewählt werden. b) \(P(X=2)=\binom{4}{2}p^2(1-p)^2\) c) \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\)

- Welche Positionen können die beiden defekten Bauteile in a) einnehmen? - Welche Parameter gehören in b) zum Binomialmodell? - Lege in c) zuerst die intakten Bauteile fest. Welche Lücken bleiben für die Defekte übrig, ohne dass zwei nebeneinander stehen?

1. a) Für zwei defekte Bauteile unter zehn Positionen gibt es \(\binom{10}{2}=45\) Anordnungen. 2. b) Sei \(X\) die Anzahl der defekten Bauteile in der Zehnerstichprobe. Dann gilt \(X\sim B(10,0{,}05)\) und \(P(X=2)=\binom{10}{2}(0{,}05)^2(0{,}95)^8\approx0{,}0746\). 3. c) Zuerst werden die fünf intakten Bauteile angeordnet. Dadurch entstehen sechs Lücken einschließlich der beiden Randplätze. Die drei defekten Bauteile müssen drei verschiedene Lücken belegen. Daher gibt es \(\binom63=20\) Sequenzen.

a) \(45\) b) \(0{,}0746\) c) \(20\)

- Welche Auswahl wird innerhalb jeder der beiden Buchgruppen getroffen? - Warum dürfen die Anzahlen der beiden Teilwahlen multipliziert werden? - Welche beiden exakten Zusammensetzungen gehören zu „mindestens sieben Kriminalromane“?

1. a) Zuerst werden fünf der \(18\) Kriminalromane und drei der \(12\) historischen Romane ausgewählt. Jede Wahl aus der ersten Gruppe kann mit jeder Wahl aus der zweiten Gruppe kombiniert werden. Nach dem Produktprinzip gibt es \(\binom{18}{5}\binom{12}{3}\) solche Auswahlen. 2. b) „Mindestens sieben“ umfasst genau sieben oder genau acht Kriminalromane. Die Zahl günstiger Auswahlen ist \(\binom{18}{7}\binom{12}{1}+\binom{18}{8}\binom{12}{0}=425\,646\). 3. Insgesamt gibt es \(\binom{30}{8}=5\,852\,925\) Auswahlen. Daher ist \(P=\frac{425646}{5852925}=\frac{3638}{50025}\).

a) Nach dem Produktprinzip: \(\binom{18}{5}\binom{12}{3}\). b) \(P=\frac{3638}{50025}\).