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Das Säulendiagramm zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der binomialverteilten Zufallsgröße \(X\sim B(4,0{,}5)\). Bestimme \(P(1\le X\le3)\) aus dem Diagramm.

Eine ganzzahlige Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt. Schreibe die Intervallwahrscheinlichkeit \(P(3\le X\le5)\) als Differenz zweier kumulierter Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X\le k)\).

Das Säulendiagramm zeigt eine Binomialverteilung. Berechne allein aus den dargestellten Säulen \(P(0<X\le2)\). Gib zuerst an, welche Säulen zum Ereignis gehören, und addiere anschließend ihre Wahrscheinlichkeiten.

Erkläre die Bedeutung der folgenden Terme und bestimme die Wahrscheinlichkeiten. a) Für \(X\sim B(8,0{,}25)\): \(\sum_{i=3}^{5}P(X=i)\) b) Für \(Y\sim B(12,0{,}5)\): \(\sum_{i=4}^{6}P(Y=i)\)

In einem Modell eines Logistikzentrums werden \(15\,\%\) der Pakete wegen unleserlicher Adressen aussortiert. An einem Vormittag werden \(120\) Pakete unabhängig modelliert. Sei \(X\) die Anzahl der aussortierten Pakete. Bestimme \(P(12\le X\le24)\). Gib das Ergebnis als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an.

An einem Glücksrad gewinnt Nora in jedem Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von \(20\,\%\). Die Ergebnisse der einzelnen Drehungen werden als voneinander unabhängig angenommen. Nora dreht das Rad \(10\)-mal hintereinander. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie dabei mindestens einmal, aber höchstens dreimal gewinnt. Gib das Ergebnis als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an.

Für Mateo wird im Modell angenommen, dass er einen Freiwurf unabhängig von den anderen Würfen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(60\,\%\) trifft. Er führt \(15\) Freiwürfe aus. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl seiner Treffer. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Mateo zwischen \(8\) und \(10\) Treffer einschließlich erzielt. Gib das Ergebnis als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an.

Ein Glücksrad hat \(5\) gleich große Sektoren, von denen einer blau markiert ist. Das Rad wird \(6\)-mal nacheinander gedreht; die Ergebnisse der Drehungen werden als voneinander unabhängig angenommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: (1) Das Rad bleibt genau \(2\)-mal auf dem blauen Sektor stehen. (2) Das Rad bleibt höchstens einmal auf dem blauen Sektor stehen. (3) Das Rad bleibt mindestens einmal auf dem blauen Sektor stehen.

In einem Modell für die Produktion von Mikrochips ist jeder Chip unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}05\) fehlerhaft. Es werden \(10\) Chips betrachtet. Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Fälle: (1) Genau ein Chip ist fehlerhaft. (2) Keiner der Chips ist fehlerhaft. (3) Mehr als zwei Chips sind fehlerhaft. Gib die Ergebnisse als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an.

Ein Multiple-Choice-Test umfasst \(8\) Aufgaben mit jeweils \(4\) Antwortmöglichkeiten. Nur eine Antwort pro Aufgabe ist korrekt. Yuna Park wählt bei jeder Aufgabe unabhängig von den anderen Aufgaben rein zufällig eine der vier Antworten aus. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei Antworten richtig sind? Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als sechs Antworten richtig sind. Gib das Ergebnis als exakten Bruch an.

Bühnenkünstler Theo Winter behauptet, die Farbe einer verdeckten Spielkarte (Rot oder Schwarz) vorhersagen zu können. In einem Experiment werden ihm nacheinander \(12\) Karten aus einem gut gemischten Deck gezeigt, wobei jede Karte nach dem Raten wieder zurückgelegt und das Deck neu gemischt wird. Angenommen, Theo besitzt keine hellseherischen Fähigkeiten und rät rein zufällig. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Theo bei diesem Test genau \(9\) Karten richtig benennt. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens \(10\)-mal die richtige Farbe rät.

Ein Online-Shop verschickt Testpakete. In jedem Paket befindet sich mit einer Wahrscheinlichkeit von \(20\,\%\) ein Gutschein für den nächsten Einkauf. Nora Jensen bestellt \(12\) solcher Testpakete. Die Zuteilung der Gutscheine erfolgt für jedes Paket unabhängig. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Fälle: a) Genau drei der Pakete enthalten einen Gutschein. b) Mindestens eines der Pakete enthält einen Gutschein. Gib die Ergebnisse als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an.

Basketballspieler Kenji Mori hat bei Freiwürfen die Trefferwahrscheinlichkeit \(p=0{,}75\). In einem Training führt er eine Serie von \(6\) Freiwürfen aus. Die einzelnen Würfe werden als voneinander unabhängig modelliert. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Kenji genau \(4\) Treffer erzielt. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass er bei dieser Serie mindestens \(5\)-mal trifft. Gib beide Ergebnisse als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an.

Bestimme für eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit \(n=30\) und \(p=0{,}2\) die folgenden Wahrscheinlichkeiten. Runde auf vier Dezimalstellen: a) \(P(X\le4)\) b) \(P(X>8)\) c) \(P(5\le X\le10)\)

Eine Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n=80\) und \(p=0{,}35\). Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten und runde auf vier Dezimalstellen: a) \(P(X\le20)\) b) \(P(22<X<32)\)

Für ein Modell werden \(80\) Studierende betrachtet. Jede Person besitzt unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}025\) eine Dauerkarte für die Heimspiele eines Basketballvereins. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der Personen mit Dauerkarte an. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei Personen eine Dauerkarte besitzen. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens drei Personen eine Dauerkarte besitzen. c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit besitzt mindestens eine Person eine Dauerkarte? Gib die Ergebnisse als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an.

Eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) hat die Parameter \(n=150\) und \(p=0{,}4\). 1. Berechne den Erwartungswert \(\mu\). 2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert von \(X\) um höchstens \(5\) vom Erwartungswert abweicht. Runde auf vier Dezimalstellen.

Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit den Parametern \(n=800\) und \(p=0{,}12\). Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße Werte im Intervall \([80;110]\) annimmt. Runde auf vier Dezimalstellen.

Für ein Produktionsmodell werden \(150\) Bauteile betrachtet. Jedes Bauteil ist unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}85\) einwandfrei. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der einwandfreien Bauteile. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der einwandfreien Bauteile zwischen \(122\) und \(132\), jeweils einschließlich, liegt. Runde auf vier Dezimalstellen.

Ein Glücksrad mit vier gleich großen Sektoren in den Farben Rot, Blau, Grün und Gelb wird \(40\)-mal gedreht. Die Drehungen werden als unabhängig angenommen. Sei \(X\) die Anzahl der Drehungen mit Rot. Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten als Prozentsätze mit zwei Nachkommastellen: a) Rot erscheint mehr als \(12\)-mal. b) Rot erscheint mindestens \(8\)-mal, aber höchstens \(12\)-mal. c) Rot erscheint weniger als \(5\)-mal.

Das Säulendiagramm zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\sim B(8,0{,}5)\). Vergleiche ohne vollständige Neuberechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten die drei Intervallwahrscheinlichkeiten \(P(0\le X\le2)\), \(P(3\le X\le5)\) und \(P(6\le X\le8)\). Ordne sie der Größe nach und begründe deine Entscheidung am Diagramm.

Für eine ganzzahlige Zufallsgröße \(X\) ist \(F(k)=P(X\le k)\). Welches Intervallereignis wird durch den Ausdruck \(F(7)-F(3)\) beschrieben? Begründe die linke Intervallgrenze.

Jamal trifft die Zielscheibe bei jedem Schuss mit Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}7\). Er gibt \(10\) Schüsse ab; die Schüsse werden als unabhängig modelliert. Die Zufallsgröße \(X\) zählt die Treffer. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse: a) mindestens \(8\) Treffer, b) mehr als \(5\), aber weniger als \(9\) Treffer.

Es gilt \(X\sim B(n,p)\) und \(F(k)=P(X\le k)\). Begründe für ganze Zahlen \(a,b\) aus der Wertemenge \(\{0,1,\dots,n\}\) mit \(a<b\), dass \(P(a<X\le b)=F(b)-F(a)\) gilt.

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit den Parametern \(n=80\) und \(p=0{,}25\). a) Gib alle möglichen Werte für \(X\) an, für die \(|X-20|\le3\) erfüllt ist. b) Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten und runde auf vier Dezimalstellen: (1) \(P(|X-20|\le3)\) (2) \(P(|X-20|>3)\) (3) \(P(|X-18|<2)\)

Eine Zufallsgröße \(X\) folgt einer Binomialverteilung mit \(n=60\) und \(p=\frac13\). a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert von \(X\) um höchstens \(2\) von seinem Erwartungswert abweicht. Runde auf vier Dezimalstellen. b) Bestimme \(P(|X-20|\ge4)\) und runde auf vier Dezimalstellen. c) Ermittle das kleinste \(k\in\mathbb N\), für das \(P(|X-20|\le k)>0{,}5\) ist.

Ein Multiple-Choice-Test besteht aus \(30\) Fragen mit jeweils vier Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Elias beantwortet jede Frage unabhängig von den anderen rein zufällig. Sei \(X\) die Anzahl der richtigen Antworten. Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten und runde auf vier Dezimalstellen: a) \(P(X>10)\), b) \(P(5\le X<10)\).

Ein Hersteller von LED-Leuchtmitteln gibt für ein Modell an, dass \(4\,\%\) der produzierten Einheiten kleine Kratzer am Gehäuse aufweisen. Für eine Qualitätsprüfung werden \(250\) Leuchtmittel zufällig ausgewählt; die Defektzustände werden als unabhängig modelliert. Sei \(X\) die Anzahl der Leuchtmittel mit Kratzern. Berechne und runde auf vier Dezimalstellen: 1. \(P(X\le5)\), 2. \(P(X>12)\), 3. \(P(8\le X\le15)\).

Für ein Keimungsmodell beträgt die Keimwahrscheinlichkeit eines Samens \(p=0{,}8\). In einem Topf werden \(20\) Samen unabhängig voneinander betrachtet. Sei \(X\) die Anzahl der keimenden Samen. Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten und gib sie als Prozentsätze mit zwei Nachkommastellen an: a) \(P(15\le X\le18)\), b) \(P(19\le X\le20)\).

Für ein Modell einer Meinungsumfrage wird angenommen, dass jede von \(150\) befragten Personen unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}35\) eine bestimmte politische Partei unterstützt. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Unterstützenden. Berechne und runde auf vier Dezimalstellen: a) \(P(X\ge60)\), b) \(P(45\le X\le60)\).

Für ein Produktionsmodell beträgt die Defektwahrscheinlichkeit eines Mikrochips \(p=0{,}08\). In einer Qualitätskontrolle werden \(400\) Chips unabhängig geprüft. Sei \(X\) die Anzahl der defekten Chips. a) Bestimme die ganzzahligen Werte von \(X\), die innerhalb einer Standardabweichung um den Erwartungswert liegen. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass \(X\) in diesem Intervall liegt, und die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis. Gib beide Wahrscheinlichkeiten als Prozentsätze mit zwei Nachkommastellen an.

Ein Pharmaunternehmen testet ein neues Diagnoseverfahren. Bei gesunden Personen liefert der Test in \(2\,\%\) der Fälle fälschlicherweise ein positives Ergebnis. In einer Versuchsreihe werden \(500\) gesunde Personen getestet. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der falsch-positiven Ergebnisse. Die Einzelversuche werden als voneinander unabhängig angenommen. a) Berechne den Erwartungswert \(\mu\) und die Standardabweichung \(\sigma\) der Zufallsgröße \(X\). Erläutere die Bedeutung des Erwartungswerts im Sachzusammenhang. Runde \(\sigma\) auf zwei Dezimalstellen. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der falsch-positiven Ergebnisse innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegt. Gib die Wahrscheinlichkeit als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an.

In einem Produktionsmodell weisen \(10\,\%\) der Glasmurmeln winzige Lufteinschlüsse auf. Eine Packung enthält \(300\) unabhängig modellierte Murmeln. Sei \(X\) die Anzahl der Murmeln mit Lufteinschlüssen. a) Ermittle den Erwartungswert \(\mu\) und die Standardabweichung \(\sigma\). Runde \(\sigma\) auf zwei Dezimalstellen. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass \(X\) höchstens um zwei Standardabweichungen vom Erwartungswert abweicht. Gib das Ergebnis als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an.

In einem Modell für eine Stadt nutzen \(60\,\%\) der Haushalte einen Glasfaseranschluss. Für eine Stichprobe werden \(100\) Haushalte unabhängig betrachtet. Sei \(X\) die Anzahl der Haushalte mit Glasfaseranschluss. 1. Berechne den Erwartungswert \(\mu\) und die Standardabweichung \(\sigma\). Runde \(\sigma\) auf zwei Dezimalstellen. 2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass \(X\) innerhalb einer Standardabweichung um den Erwartungswert liegt. Gib das Ergebnis als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an.

In einem Modell für eine Medikamentenstudie spricht eine behandelte Person mit Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}4\) positiv auf die Behandlung an. Es werden \(50\) voneinander unabhängig modellierte Behandlungen betrachtet. Sei \(X\) die Anzahl der positiven Behandlungserfolge. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass \(X\) höchstens um \(4\) vom Erwartungswert abweicht. Gib das Ergebnis als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an.

Ein Hersteller von Computerchips gibt an, dass \(5\,\%\) der produzierten Einheiten fehlerhaft sind. Ein Händler prüft eine Lieferung von \(400\) Chips. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Chips in dieser Stichprobe. Die Einzelversuche werden als voneinander unabhängig angenommen. a) Berechne den Erwartungswert \(\mu\) und die Standardabweichung \(\sigma\) der Zufallsgröße \(X\). Runde \(\sigma\) auf zwei Dezimalstellen. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der fehlerhaften Chips im Intervall \([\mu-\sigma;\mu+\sigma]\) liegt. Gib sie als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an.

In einem Modell für eine Kleinstadt unterstützen \(64\,\%\) der Wahlberechtigten eine bestimmte kommunale Initiative. Es werden \(150\) Personen unabhängig modelliert. Sei \(X\) die Anzahl der Unterstützenden. a) Berechne den Erwartungswert \(\mu\) und die Standardabweichung \(\sigma\). Runde \(\sigma\) auf zwei Dezimalstellen. b) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass \(X\) um mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht. Gib das Ergebnis als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an.

Die Bogenschützin Amira trifft das Goldzentrum einer Zielscheibe mit einer Wahrscheinlichkeit von \(p=0{,}4\). Sie gibt insgesamt \(10\) Schüsse ab; die einzelnen Schüsse werden als voneinander unabhängig angenommen. Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten als Prozentsätze mit zwei Nachkommastellen: a) Sie trifft genau \(4\)-mal das Goldzentrum. b) Sie erzielt mindestens \(2\) Treffer im Goldzentrum. c) Die Anzahl der Treffer liegt zwischen \(3\) und \(5\) einschließlich.

In einem Modell für einen Fertigungsprozess sind \(5\,\%\) der produzierten elektronischen Bauteile fehlerhaft. Für eine Stichprobe werden \(15\) Bauteile betrachtet; die Defektzustände werden als voneinander unabhängig angenommen. Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten als Prozentsätze mit zwei Nachkommastellen: a) Genau ein Bauteil ist fehlerhaft. b) Mehr als zwei Bauteile sind fehlerhaft. c) Mindestens eines, aber höchstens drei Bauteile sind fehlerhaft.

In einem Modell nutzen \(60\,\%\) der Pendlerinnen und Pendler einer Stadt das Auto für den Arbeitsweg. Es werden \(20\) Personen zufällig ausgewählt; die Einzelversuche werden als voneinander unabhängig angenommen. Sei \(X\) die Anzahl der ausgewählten Personen, die das Auto nutzen. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens \(8\) oder mindestens \(16\) Personen das Auto nutzen. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Autofahrenden zwischen \(9\) und \(15\) einschließlich liegt. Gib beide Ergebnisse als Prozentsätze mit zwei Nachkommastellen an.

Der Gärtner Mateo betrachtet \(20\) Samen einer Blumensorte. In einem Modell keimt jeder Samen unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(0{,}8\). Sei \(X\) die Anzahl der nicht keimenden Samen. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens ein oder mindestens acht Samen nicht keimen. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwischen \(2\) und \(7\) Samen einschließlich nicht keimen. Gib beide Ergebnisse als Prozentsätze mit zwei Nachkommastellen an.

Noor bearbeitet einen Multiple-Choice-Test mit \(10\) Fragen. Zu jeder Frage gibt es \(4\) Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Sie wählt bei jeder Frage unabhängig und rein zufällig eine Antwort. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau \(3\) Antworten richtig sind. Runde auf vier Nachkommastellen. b) Wie viele verschiedene Möglichkeiten für die Positionen der richtigen Antworten gibt es, wenn genau \(2\) Antworten richtig sind? Bestimme den Wert mit einem Binomialkoeffizienten. c) Berechne anschließend die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau \(2\) Antworten richtig sind. Runde auf vier Nachkommastellen.

Ein Glücksrad mit \(20\) gleich großen Sektoren ist in drei Farben unterteilt: \(10\) Sektoren sind blau, \(6\) Sektoren sind rot und \(4\) Sektoren sind gelb. Das Rad wird \(15\)-mal nacheinander gedreht; die Ergebnisse der Drehungen werden als voneinander unabhängig angenommen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse: a) Es wird genau \(5\)-mal die Farbe Blau erzielt. b) Es wird kein einziges Mal die Farbe Gelb erzielt. c) Die Farbe Rot wird öfter als \(2\)-mal erzielt. Gib die Ergebnisse als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an.

Ein Multiple-Choice-Test besteht aus \(10\) Fragen. Zu jeder Frage gibt es genau zwei Antwortmöglichkeiten, von denen jeweils nur eine korrekt ist. Felix hat sich nicht vorbereitet und wählt bei jeder Frage unabhängig von seinen übrigen Antworten rein zufällig eine der beiden Möglichkeiten. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der richtig beantworteten Fragen. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Felix genau \(5\) Fragen richtig beantwortet. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Felix mindestens \(8\) Fragen richtig beantwortet. c) Ist es wahrscheinlicher, dass Felix genau \(5\) Fragen richtig beantwortet oder dass er mehr als \(5\) Fragen richtig beantwortet? Begründe deine Entscheidung ohne eine vollständige Berechnung aller Einzelwahrscheinlichkeiten.

Für ein Modell von Online-Bestellungen wird angenommen, dass jede von \(100\) Bestellungen unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}75\) über ein Smartphone aufgegeben wird. Sei \(X\) die Anzahl der Smartphone-Bestellungen. Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten und runde auf vier Dezimalstellen: (1) Weniger als \(70\) Bestellungen werden per Smartphone aufgegeben. (2) Die Anzahl der Smartphone-Bestellungen liegt zwischen \(72\) und \(80\) einschließlich. (3) Mehr als \(80\) Bestellungen werden per Smartphone aufgegeben.

Für ein Produktionsmodell wird angenommen, dass jedes von \(200\) elektronischen Bauteilen unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}05\) defekt ist. Sei \(X\) die Anzahl der defekten Bauteile. Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten und runde auf vier Dezimalstellen: (1) Höchstens \(10\) Teile sind defekt. (2) Mindestens \(8\) und höchstens \(12\) Teile sind defekt. (3) Mehr als \(15\) Teile sind defekt.

Ein Test besteht aus \(60\) Multiple-Choice-Fragen mit vier Antwortmöglichkeiten und genau einer richtigen Antwort. Elif rät bei jeder Frage unabhängig. Sei \(X\) die Anzahl der richtigen Antworten. Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten als Prozentsätze mit zwei Nachkommastellen: a) Mehr als \(12\) Antworten sind richtig. b) Mindestens \(10\) und höchstens \(20\) Antworten sind richtig. c) Weniger als \(40\) Antworten sind falsch.

Für ein Modell einer Erhebung wird angenommen, dass jeder von \(100\) Haushalten unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}12\) keinen Festnetzanschluss besitzt. Sei \(X\) die Anzahl der Haushalte ohne Festnetzanschluss. Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten als Prozentsätze mit zwei Nachkommastellen: a) Höchstens \(10\) Haushalte besitzen keinen Festnetzanschluss. b) Mehr als \(15\) Haushalte besitzen keinen Festnetzanschluss. c) Zwischen \(8\) und \(14\) Haushalten einschließlich besitzen keinen Festnetzanschluss. d) Mindestens \(90\) Haushalte besitzen einen Festnetzanschluss.

Der Gärtner Kenji sät \(60\) Samen einer Blumensorte aus. In einem Modell keimt jeder Samen unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}75\). Sei \(X\) die Anzahl der keimenden Samen. Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten als Prozentsätze mit zwei Nachkommastellen: 1. Höchstens \(40\) Samen keimen. 2. Mehr als \(50\) Samen keimen. 3. Mindestens \(42\), aber höchstens \(48\) Samen keimen.

Für ein Qualitätskontrollmodell wird angenommen, dass jeder von \(100\) Mikrochips unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}05\) fehlerhaft ist. Sei \(X\) die Anzahl der fehlerhaften Chips. Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten als Prozentsätze mit zwei Nachkommastellen: 1. Genau \(5\) Chips sind fehlerhaft. 2. Mindestens \(3\), aber weniger als \(8\) Chips sind fehlerhaft. 3. Mehr als \(10\) Chips sind fehlerhaft.

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(X\sim B(100,0{,}8)\). Ermittle die folgenden Wahrscheinlichkeiten und runde auf vier Dezimalstellen: a) \(P(X\le75)\) b) \(P(X>85)\) c) \(P(78<X<88)\)

Für ein Modell einer Meinungsumfrage wird angenommen, dass jede von \(50\) befragten Personen unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}20\) einer bestimmten Aussage zustimmt. Sei \(X\) die Anzahl der zustimmenden Personen. Bestimme das Gegenereignis sowie dessen Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse. Runde auf vier Dezimalstellen: (1) \(E_1\): Mindestens \(12\) Personen stimmen zu. (2) \(E_2\): Mehr als \(5\), aber höchstens \(12\) Personen stimmen zu.

Für ein Modell wird angenommen, dass jeder von \(80\) Haushalten unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}25\) Solarenergie zur Stromerzeugung nutzt. Sei \(X\) die Anzahl dieser Haushalte. Bestimme die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen: a) Mehr als \(20\) Haushalte nutzen Solarenergie. b) Weniger als \(15\) Haushalte nutzen Solarenergie. c) Mindestens \(18\), aber höchstens \(22\) Haushalte nutzen Solarenergie.

Ein Hotel verfügt über \(80\) Zimmer und nimmt für eine bestimmte Nacht \(85\) Reservierungen an. Für ein Modell wird angenommen, dass jede reservierende Person unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}90\) tatsächlich anreist. Sei \(X\) die Anzahl der anreisenden Gäste. Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten als Prozentsätze mit zwei Nachkommastellen: 1. Es reisen höchstens \(80\) Gäste an. 2. Es reisen mehr als \(80\) Gäste an. 3. Es reisen genau \(80\) Gäste an. 4. Es reisen mindestens \(70\), aber höchstens \(75\) Gäste an.

Für ein Qualitätskontrollmodell wird angenommen, dass jeder von \(200\) Computerchips unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}04\) defekt ist. Sei \(X\) die Anzahl der defekten Chips. Bestimme die Wahrscheinlichkeit als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen dafür, dass 1. höchstens \(5\) Chips defekt sind, 2. mehr als \(10\) Chips defekt sind, 3. mindestens \(6\), aber höchstens \(12\) Chips defekt sind, 4. die Anzahl der defekten Chips exakt dem Erwartungswert entspricht.

Für ein Keimungsmodell werden \(60\) Samen betrachtet. Jeder Samen keimt unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}80\). Sei \(X\) die Anzahl der keimenden Samen. Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten und runde auf vier Dezimalstellen: (1) Genau \(50\) Samen keimen. (2) Weniger als \(45\) Samen keimen. (3) Mindestens \(52\) Samen keimen. (4) Die Anzahl der keimenden Samen liegt zwischen \(46\) und \(54\) einschließlich.

Für ein Modell werden \(150\) Personen betrachtet. Jede Person ist unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}12\) linkshändig. Sei \(X\) die Anzahl der linkshändigen Personen. Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten und runde auf vier Dezimalstellen: (1) Genau \(18\) Personen sind linkshändig. (2) Höchstens \(15\) Personen sind linkshändig. (3) Mehr als \(20\) Personen sind linkshändig. (4) Mindestens \(10\) und höchstens \(25\) Personen sind linkshändig.

Für ein Qualitätskontrollmodell werden \(300\) Mikrochips betrachtet. Jeder Chip ist unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}008\) defekt. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der defekten Chips an. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens zwei Chips defekt sind. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als drei Chips defekt sind. c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein, aber höchstens drei Chips defekt sind. Gib alle Ergebnisse als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an.

Für ein Qualitätsprüfungsmodell werden \(600\) Bauteile betrachtet. Jedes Bauteil besteht die Prüfung unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}30\). Sei \(X\) die Anzahl der bestandenen Prüfungen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass \(X\) außerhalb des Intervalls \([165;195]\) liegt. Gib das Ergebnis als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an.

Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit den Parametern \(n=200\) und \(p=0{,}4\). Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Werte von \(X\) im Intervall \([72;90]\) liegen. Bestimme dazu zunächst den Erwartungswert \(\mu\) und gib an, wie weit die Intervallgrenzen von diesem entfernt sind. Runde die Wahrscheinlichkeit auf vier Dezimalstellen.

In einer hypothetischen Medikamentenstudie wird für jede der \(100\) betrachteten Personen unabhängig von den anderen angenommen, dass eine bestimmte Nebenwirkung mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}40\) auftritt. Sei \(X\) die Anzahl der Personen mit dieser Nebenwirkung. Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten als Prozentsätze mit zwei Nachkommastellen: a) \(X<35\) b) \(X\ge45\) c) \(X\) weicht um höchstens \(5\) vom Erwartungswert ab.

Ein Multiple-Choice-Test besteht aus \(25\) Fragen. Tariq beantwortet jede Frage unabhängig mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}75\) richtig. Sei \(X\) die Anzahl der richtig beantworteten Fragen. a) Erkläre kurz den Vorteil kumulierter Wahrscheinlichkeiten bei der Berechnung eines Intervalls wie \(P(15\le X\le20)\). b) Berechne \(P(15\le X\le20)\) und runde auf vier Dezimalstellen.

Für ein Qualitätskontrollmodell werden \(200\) Mikrochips betrachtet. Jeder Chip ist unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}05\) defekt. Sei \(X\) die Anzahl der defekten Chips. Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten als Prozentsätze mit zwei Nachkommastellen: 1. Es sind höchstens \(12\) Chips defekt. 2. Die Anzahl der defekten Chips liegt zwischen \(5\) und \(15\) einschließlich. 3. Die Anzahl der defekten Chips weicht um höchstens \(2\) vom Erwartungswert ab.

Das abgebildete Glücksrad besitzt \(10\) gleich große Sektoren. Es wird \(30\)-mal unabhängig nacheinander gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse und gib das Ergebnis jeweils als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an: a) Der Sektor mit der Beschriftung R erscheint höchstens \(8\)-mal. b) Ein Sektor mit der Beschriftung Bl erscheint mindestens \(12\)-mal, aber höchstens \(18\)-mal.

Für die Zahl \(X\) fehlerhafter Bauteile in einer Stichprobe gilt \(X\sim B(20,0{,}1)\). Aus einer auf vier Dezimalstellen gerundeten Tabelle sind bekannt: \(F(1)\approx0{,}3917\), \(F(2)\approx0{,}6769\) und \(F(4)\approx0{,}9568\). Niko berechnet \(P(2\le X\le4)\) mit \(F(4)-F(2)\). Erkläre genau, welches Ereignis sein Ausdruck tatsächlich beschreibt, und korrigiere die Rechnung. Verwende die angegebenen Tabellenwerte und gib das Ergebnis auf vier Dezimalstellen an.

In einer Produktion von Mikrochips sind erfahrungsgemäß \(5\,\%\) der Teile defekt; die Defektzustände der Chips werden als voneinander unabhängig angenommen. Für eine Qualitätskontrolle werden die Chips in Packungen zu je \(10\) Stück zusammengefasst. Eine Packung wird beanstandet, wenn sie mindestens einen defekten Chip enthält. Qualitätsprüferin Laila Haddad untersucht \(20\) voneinander unabhängig zusammengestellte Packungen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Fälle: 1. Eine zufällig ausgewählte Packung wird beanstandet. 2. Von den \(20\) Packungen werden genau \(5\) beanstandet. 3. Höchstens eine der \(20\) Packungen wird beanstandet. Runde die Ergebnisse in 1. und 2. auf vier Nachkommastellen und das Ergebnis in 3. auf sechs Nachkommastellen.

In einer Urne befinden sich zu \(25\,\%\) rote und zu \(75\,\%\) blaue Kugeln. Es werden \(192\) Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Sei \(X\) die Anzahl der gezogenen roten Kugeln. 1. Berechne den Erwartungswert \(\mu\) und die Standardabweichung \(\sigma\) von \(X\). 2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit der \(2\sigma\)-Umgebung um \(\mu\). 3. Begründe ohne erneute Wahrscheinlichkeitsrechnung, warum die entsprechende \(2\sigma\)-Umgebung für die Anzahl der blauen Kugeln dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzt.