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- Welche Verteilung liegt hier vor und was sind ihre Kennzahlen? - Kannst du den gesuchten Bereich als Ungleichung für die Zufallsgröße aufschreiben? - Wie nutzt man die kumulative Verteilungsfunktion, um die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich zwischen zwei Werten zu finden? - Welchen Wert musst du abziehen, damit die untere Grenze (12) noch im Ergebnis enthalten ist?

1. Modellierung der Zufallsgröße \(X\) als binomialverteilt mit \(n = 120\) und \(p = 0{,}15\). 2. Aufstellen der gesuchten Wahrscheinlichkeit für das Intervall: \(P(12 \le X \le 24)\). 3. Umformung in kumulative Wahrscheinlichkeiten: \(P(12 \le X \le 24) = P(X \le 24) - P(X \le 11)\). 4. Ermittlung der Tabellenwerte für \(B(120; 0{,}15)\): \(P(X \le 24) \approx 0{,}9472\) und \(P(X \le 11) \approx 0{,}0420\). 5. Berechnung des Ergebnisses: \(0{,}9472 - 0{,}0420 = 0{,}9052\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(90{,}52\,\%\).

- Überlege, ob sich die Wahrscheinlichkeit für einen Gutschein von Paket zu Paket ändert. - Welche Verteilung ist geeignet, wenn man eine feste Anzahl von unabhängigen Versuchen mit jeweils zwei möglichen Ausgängen hat? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für „genau k Treffer“? - Bei „mindestens eins“ hilft oft der Blick auf das Gegenteil. Was darf nicht passieren?

1. Modellierung als Bernoulli-Kette: Da die Pakete unabhängig voneinander mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}2\) einen Gutschein enthalten, ist die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl der Gutscheine) binomialverteilt mit \(n = 12\) und \(p = 0{,}2\). 2. Berechnung für Teilaufgabe a): \(P(X = 3) = \binom{12}{3} \cdot 0{,}2^3 \cdot 0{,}8^9\). Mit \(\binom{12}{3} = 220\) ergibt dies \(220 \cdot 0{,}008 \cdot 0{,}134217728 \approx 0{,}2362\). 3. Berechnung für Teilaufgabe b): Das Gegenereignis zu „mindestens ein Gutschein“ ist „kein Gutschein“ (\(X = 0\)). Es gilt \(P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \binom{12}{0} \cdot 0{,}2^0 \cdot 0{,}8^{12}\). Mit \(0{,}8^{12} \approx 0{,}0687\) folgt \(P(X \geq 1) = 1 - 0{,}0687 = 0{,}9313\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(23{,}62\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(93{,}13\,\%\).

- Überlege dir, wie du Ereignisse wie „mehr als“ mithilfe des Gegenereignisses „höchstens“ ausdrücken kannst. - Beachte bei Intervallen, welche Werte genau eingeschlossen sind und welche abgezogen werden müssen, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten. - Nutze die kumulierte Verteilungsfunktion \(F(n; p; k) = P(X \le k)\).

a) Berechnung von \(P(X \le 4)\) durch direktes Ablesen aus der Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung oder per CAS: \(P(X \le 4) \approx 0{,}2552\). b) Bestimmung der Gegenwahrscheinlichkeit für \(P(X > 8)\): \(1 - P(X \le 8) \approx 1 - 0{,}8713 = 0{,}1287\). c) Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeit \(P(5 \le X \le 10)\) als Differenz zweier kumulierter Wahrscheinlichkeiten: \(P(X \le 10) - P(X \le 4) \approx 0{,}9744 - 0{,}2552 = 0{,}7192\).

a) \(P(X \le 4) \approx 0{,}2552\) b) \(P(X > 8) \approx 0{,}1287\) c) \(P(5 \le X \le 10) \approx 0{,}7192\)

- Achte genau auf die Unterscheidung zwischen echten Kleiner-Relationen (\(<\)) und Kleiner-Gleich-Relationen (\(\le\)). - Welche ganzzahligen Werte liegen im Intervall zwischen 22 und 32, wenn diese Grenzen selbst nicht dazugehören? - Wie drückst du ein Intervall mithilfe zweier kumulierter Wahrscheinlichkeiten aus?

a) Bestimmung der kumulierten Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 20)\) mittels Tabelle oder CAS: \(P(X \le 20) \approx 0{,}0368\). b) Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das offene Intervall \(P(22 < X < 32)\). Da \(X\) diskret ist, entspricht dies \(P(23 \le X \le 31)\). Berechnung über die Differenz der kumulierten Werte: \(P(X \le 31) - P(X \le 22) \approx 0{,}7951 - 0{,}0971 = 0{,}6980\).

a) \(P(X \le 20) \approx 0{,}0368\) b) \(P(22 < X < 32) \approx 0{,}6980\)

- Wie berechnet man den Erwartungswert bei einer Binomialverteilung? - Welche Formel nutzt du für die Standardabweichung? - Was bedeutet „um höchstens 5 abweichen“ mathematisch für das Intervall? - Wie kannst du die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion \(P(X \le k)\) ausdrücken?

1. Der Erwartungswert berechnet sich durch \(\mu = n \cdot p = 150 \cdot 0{,}4 = 60\). Die Standardabweichung ergibt sich aus \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{150 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6} = \sqrt{36} = 6\). 2. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit \(P(\mu - 5 \le X \le \mu + 5) = P(55 \le X \le 65)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich: \(P(55 \le X \le 65) = P(X \le 65) - P(X \le 54) \approx 0{,}8206 - 0{,}1799 = 0{,}6407\).

1. \(\mu = 60\); \(\sigma = 6\) 2. \(P(55 \le X \le 65) \approx 0{,}6407\) (\(64{,}07\,\%\))

- Welche Wahrscheinlichkeit \(p\) ergibt sich für einen der vier Sektoren? - Was bedeutet „mehr als 12“ für die untere Grenze, wenn du mit der kumulierten Verteilungsfunktion arbeitest? - Wie verhält es sich mit der Grenze bei „weniger als 5“? Welche ganze Zahl ist die größte, die noch dazu gehört? - Kannst du die Intervallwahrscheinlichkeit als Differenz zweier „höchstens“-Wahrscheinlichkeiten ausdrücken?

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 40\) und \(p = 0{,}25\). a) Berechnung von \(P(X > 12)\) über das Gegenereignis: \(P(X > 12) = 1 - P(X \le 12) \approx 1 - 0{,}8209 = 0{,}1791\). b) Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Intervall \([8; 12]\): \(P(8 \le X \le 12) = P(X \le 12) - P(X \le 7) \approx 0{,}8209 - 0{,}1820 = 0{,}6389\). c) Berechnung von \(P(X < 5)\): Da \(X\) nur ganzzahlige Werte annimmt, entspricht dies \(P(X \le 4) \approx 0{,}0160\).

a) \(P(X > 12) \approx 17{,}91\,\%\) b) \(P(8 \le X \le 12) \approx 63{,}89\,\%\) c) \(P(X < 5) \approx 1{,}60\,\%\)

- Was bedeutet die kumulative Verteilungsfunktion anschaulich für die Summe von Einzelwahrscheinlichkeiten? - Wie kannst du das Ereignis „höchstens \(b\)“ in zwei Teilbereiche zerlegen, von denen einer „höchstens \(a\)“ ist? - Überlege dir, welche Einzelereignisse \(X=i\) in \(F(b)\) enthalten sind, die in \(F(a)\) nicht vorkommen. - Hilft es dir, die Wahrscheinlichkeiten als Balken in einem Histogramm darzustellen?

1. Die kumulative Verteilungsfunktion \(F(k)\) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsgröße \(X\) einen Wert kleiner oder gleich \(k\) annimmt: \(F(k) = P(X \le k)\). 2. Das Ereignis \(\{X \le b\}\) lässt sich als Vereinigung der zwei disjunkten Teilereignisse \(\{X \le a\}\) und \(\{a < X \le b\}\) darstellen, da \(a < b\) gilt. 3. Nach dem Axiom der Additivität für disjunkte Ereignisse gilt: \(P(X \le b) = P(X \le a) + P(a < X \le b)\). 4. Durch Umstellen der Gleichung und Einsetzen der Definition von \(F\) folgt: \(P(a < X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a) = F(b) - F(a)\).

Da das Ereignis \(X \le b\) in die disjunkten Teilereignisse \(X \le a\) und \(a < X \le b\) zerlegt werden kann, gilt \(P(X \le b) = P(X \le a) + P(a < X \le b)\). Daraus folgt durch Subtraktion \(P(a < X \le b) = F(b) - F(a)\).

- Kannst du den Betrag in eine Doppelungleichung umschreiben? - Welche ganzzahligen Werte liegen in dem berechneten Bereich? - Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion \(P(X \le k)\) ausdrücken? - Überlege, wie du das Gegenereignis nutzen kannst, um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Bestimmung der Trefferzahlen für \(|X - 20| \le 3\): Die Ungleichung entspricht \(-3 \le X - 20 \le 3\), woraus \(17 \le X \le 23\) folgt. Die Werte sind \(\{17; 18; 19; 20; 21; 22; 23\}\). 2. Berechnung von \(P(|X - 20| \le 3)\): Dies entspricht \(P(17 \le X \le 23) = P(X \le 23) - P(X \le 16) \approx 0{,}8181 - 0{,}1841 = 0{,}6340\). 3. Berechnung von \(P(|X - 20| > 3)\): Über das Gegenereignis gilt \(1 - P(|X - 20| \le 3) \approx 1 - 0{,}6340 = 0{,}3660\). 4. Berechnung von \(P(|X - 18| < 2)\): Die Bedingung \(|X - 18| < 2\) entspricht \(16 < X < 20\), also \(P(17 \le X \le 19) = P(X \le 19) - P(X \le 16) \approx 0{,}4572 - 0{,}1841 = 0{,}2731\).

a) \(X \in \{17; 18; 19; 20; 21; 22; 23\}\) b) (1) \(P(|X - 20| \le 3) \approx 0{,}6340\) (2) \(P(|X - 20| > 3) \approx 0{,}3660\) (3) \(P(|X - 18| < 2) \approx 0{,}2731\)

- Beachte bei Ungleichungsketten genau, ob die Randwerte (echt kleiner oder kleiner gleich) dazugehören. - Wie viele Summanden musst du jeweils berechnen, um das Ergebnis zu erhalten? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit als Differenz zweier kumulierter Werte ausdrücken?

1. Der Term in a) gibt die Wahrscheinlichkeit an, bei \(n = 8\) und \(p = 0{,}25\) mindestens drei und höchstens fünf Treffer zu erzielen. Es gilt \(P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) \approx 0{,}2076 + 0{,}0865 + 0{,}0231 = 0{,}3172\). 2. Der Term in b) beschreibt bei \(n = 12\) und \(p = 0{,}5\) die Wahrscheinlichkeit für vier, fünf oder sechs Treffer. Es gilt \(P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) = \frac{495}{4096} + \frac{792}{4096} + \frac{924}{4096} = \frac{2211}{4096} \approx 0{,}5398\).

a) Wahrscheinlichkeit für eine Trefferzahl von 3 bis 5; \(P \approx 0{,}3172\) b) Wahrscheinlichkeit für mindestens 4 und höchstens 6 Treffer; \(P \approx 0{,}5398\)

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer beim Raten, wenn es vier Optionen gibt? - Was bedeutet „mehr als“ mathematisch für die Intervallgrenzen? - Überlege dir, welches Gegenereignis einfacher zu berechnen ist. - Achte darauf, ob die Randwerte des Bereichs (wie die 10 oder die 5) zum Ereignis dazugehören oder nicht.

Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl der richtigen Antworten) ist binomialverteilt mit \(n = 30\) und \(p = 0{,}25\). 1. Berechnung für mehr als \(10\) Treffer: Das Gegenereignis zu \(X > 10\) ist \(X \le 10\). Es gilt \(P(X > 10) = 1 - P(X \le 10) \approx 1 - 0{,}8943 = 0{,}1057\). 2. Berechnung für mindestens \(5\), aber weniger als \(10\) Treffer: Dies entspricht dem Bereich \(5 \le X \le 9\). Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich durch \(P(5 \le X \le 9) = P(X \le 9) - P(X \le 4) \approx 0{,}8034 - 0{,}0979 = 0{,}7055\).

a) \(P(X > 10) \approx 10{,}57\,\%\) b) \(P(5 \le X < 10) \approx 70{,}55\,\%\)

- Welche Verteilung liegt vor, wenn es nur zwei mögliche Ausgänge gibt und die Versuche unabhängig sind? - Wie hängen die Begriffe „höchstens“, „mehr als“ und „mindestens“ mit der kumulierten Verteilungsfunktion zusammen? - Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall durch zwei kumulierte Wahrscheinlichkeiten ausdrücken? - Verwende für die endgültige Differenz möglichst ungerundete Zwischenwerte.

1. Es gilt \(X \sim B(250;0{,}04)\). 2. \(P(X \le 5) \approx 0{,}0633\). 3. \(P(X>12)=1-P(X \le 12) \approx 1-0{,}7955=0{,}2045\). 4. \(P(8 \le X \le 15)=P(X \le 15)-P(X \le 7)\). Die direkte Berechnung mit ungerundeten kumulierten Werten ergibt \(P(8 \le X \le 15) \approx 0{,}7400\).

(1) \(P(X \le 5) \approx 0{,}0633\) (2) \(P(X>12) \approx 0{,}2045\) (3) \(P(8 \le X \le 15) \approx 0{,}7400\)

- Identifiziere die Trefferwahrscheinlichkeit aus dem Text. - Wie berechnet man den Mittelwert bei einer binomialverteilten Größe? - Überlege dir bei „mindestens“, welche Fälle genau eintreten können. - Nutze für die Einzelwahrscheinlichkeiten die Binomialverteilung.

1. Die Keimwahrscheinlichkeit ist \(p=0{,}8\). 2. Für \(n=450\) ist der Erwartungswert \(E(X)=np=450\cdot0{,}8=360\). 3. Für genau \(18\) keimende Samen unter \(20\) gilt \(P(X=18)=\binom{20}{18}0{,}8^{18}0{,}2^2\approx0{,}136909\), also etwa \(13{,}69\,\%\). 4. Für mindestens \(19\) keimende Samen gilt \(P(X\geq19)=P(X=19)+P(X=20)\). Mit ungerundeten Werten erhält man \(0{,}0576460752+0{,}0115292150=0{,}0691752903\), also etwa \(6{,}92\,\%\).

a) Im Durchschnitt sind \(360\) Keimlinge zu erwarten. b) \(P(X=18)\approx13{,}69\,\%\). c) \(P(X\geq19)\approx6{,}92\,\%\).

- Welche Verteilung liegt vor, wenn man Personen mit einer festen Wahrscheinlichkeit auswählt? - Wie lässt sich „mindestens“ mithilfe des Gegenereignisses und der kumulativen Verteilungsfunktion ausdrücken? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall \(P(a \le X \le b)\) mithilfe der kumulativen Verteilungsfunktion? - Achte darauf, welche Werte in der kumulativen Tabelle oder beim Taschenrechnerbefehl eingeschlossen werden müssen.

1. Es liegt eine Binomialverteilung mit \(n = 150\) und \(p = 0{,}35\) vor. 2. Für Teilaufgabe a) ist \(P(X \ge 60) = 1 - P(X \le 59)\) zu berechnen. Unter Verwendung der kumulativen Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 59) \approx 0{,}8840\), woraus \(P(X \ge 60) \approx 1 - 0{,}8840 = 0{,}1160\) folgt. 3. Für Teilaufgabe b) ist \(P(45 \le X \le 60) = P(X \le 60) - P(X \le 44)\) zu bestimmen. 4. Mit \(P(X \le 60) \approx 0{,}9136\) und \(P(X \le 44) \approx 0{,}0841\) ergibt sich die Differenz \(0{,}9136 - 0{,}0841 = 0{,}8295\).

a) \(P(X \ge 60) \approx 11{,}60\,\%\) b) \(P(45 \le X \le 60) \approx 82{,}95\,\%\)

- Was gibt der Erwartungswert langfristig an? - Wie berechnet man die Streuung bei einer binomialverteilten Größe? - Welche ganzen Zahlen liegen tatsächlich in dem berechneten Bereich? - Wie nutzt man die kumulierte Verteilungsfunktion, um die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich zu berechnen?

1. Berechnung des Erwartungswerts: Bei \(n = 500\) und \(p = 0{,}02\) ergibt sich \(\mu = n \cdot p = 500 \cdot 0{,}02 = 10\). Der Erwartungswert gibt an, dass bei einer großen Anzahl solcher Versuchsreihen im Durchschnitt \(10\) falsch-positive Ergebnisse pro \(500\) Tests zu erwarten sind. 2. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{500 \cdot 0{,}02 \cdot 0{,}98} = \sqrt{9{,}8} \approx 3{,}13\). 3. Bestimmung des Intervalls: \([\mu - \sigma; \mu + \sigma] = [10 - 3{,}13; 10 + 3{,}13] = [6{,}87; 13{,}13]\). Da \(X\) nur ganzzahlige Werte annimmt, umfasst das Intervall die Werte \(k \in \{7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P(7 \le X \le 13) = P(X \le 13) - P(X \le 6)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung für \(n = 500\) und \(p = 0{,}02\) ergibt sich \(P(X \le 13) \approx 0{,}8667\) und \(P(X \le 6) \approx 0{,}1276\). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit \(0{,}8667 - 0{,}1276 = 0{,}7391\).

a) \(\mu = 10\); \(\sigma \approx 3{,}13\). Der Erwartungswert gibt die durchschnittlich zu erwartende Anzahl falsch-positiver Ergebnisse an. b) \(P(7 \le X \le 13) \approx 73{,}91\,\%\).

- Welche Formeln kennst du für den Erwartungswert und die Varianz einer Binomialverteilung? - Welche ganzzahligen Werte liegen tatsächlich in dem berechneten Intervall? - Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich \(P(a \leq X \leq b)\) mithilfe der kumulierten Wahrscheinlichkeiten ausdrücken?

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 100 \cdot 0{,}6 = 60\). 2. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{100 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}4} = \sqrt{24} \approx 4{,}899\). 3. Bestimmung des Intervalls: \([\mu - \sigma; \mu + \sigma] = [60 - 4{,}899; 60 + 4{,}899] = [55{,}101; 64{,}899]\). 4. Da \(X\) nur ganzzahlige Werte annimmt, umfasst das Ereignis die Werte \(k \in \{56, 57, \dots, 64\}\). 5. Berechnung der Wahrscheinlichkeit mittels der kumulativen Verteilungsfunktion \(F(n; p; k)\): \(P(56 \leq X \leq 64) = P(X \leq 64) - P(X \leq 55) = F(100; 0{,}6; 64) - F(100; 0{,}6; 55)\). 6. Einsetzen der Werte aus dem Tabellenwerk oder dem Taschenrechner: \(0{,}8205 - 0{,}1789 = 0{,}6416\).

1. \(\mu = 60\); \(\sigma \approx 4{,}90\) 2. \(P(56 \leq X \leq 64) \approx 64{,}16\,\%\)

- Welchen Wert erwartest du im Durchschnitt bei 50 Behandlungen? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Wert um nicht mehr als 4 von diesem Durchschnitt entfernt ist? - Wie kannst du eine Wahrscheinlichkeit für einen Bereich von Werten berechnen, wenn du nur die kumulierten Werte (also „höchstens \(x\)“) kennst? - Achte darauf, welche Randwerte des Intervalls genau eingeschlossen werden müssen.

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 50 \cdot 0{,}4 = 20\). 2. Bestimmung des gesuchten Intervalls: Eine Abweichung von höchstens \(4\) bedeutet \(20 - 4 \le X \le 20 + 4\), also \(16 \le X \le 24\). 3. Ansatz über die kumulative Binomialverteilung: \(P(16 \le X \le 24) = P(X \le 24) - P(X \le 15)\). 4. Bestimmung der Werte für \(B(50; 0{,}4)\): \(P(X \le 24) \approx 0{,}9022\) und \(P(X \le 15) \approx 0{,}0955\). 5. Berechnung der Differenz: \(0{,}9022 - 0{,}0955 = 0{,}8067\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(80{,}67\,\%\).

- Was bedeuten die Parameter \(n\) und \(p\) in diesem Sachzusammenhang? - Welche Formeln verknüpfen diese Parameter mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung? - Wie findest du heraus, welche ganzen Zahlen in das berechnete Intervall fallen? - Welche Funktion deines Taschenrechners hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich von Werten zu berechnen?

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 400 \cdot 0{,}05 = 20\). 2. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{400 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95} = \sqrt{19} \approx 4{,}3589\). 3. Das Intervall lautet \([15{,}6411; 24{,}3589]\). Da \(X\) nur ganzzahlige Werte annimmt, ist das Ereignis \(16 \le X \le 24\). 4. Mit der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(16 \le X \le 24) = P(X \le 24) - P(X \le 15) \approx 0{,}6990\).

a) \(\mu = 20\); \(\sigma \approx 4{,}36\) b) \(P(16 \le X \le 24) \approx 69{,}90\,\%\)

- Wie hängen Erwartungswert und Standardabweichung mit der Trefferquote und der Stichprobengröße zusammen? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Wert „mehr als eine Standardabweichung“ von \(\mu\) entfernt ist? - Könnte es einfacher sein, zuerst die Wahrscheinlichkeit für das Gegenteil zu berechnen? - Achte darauf, welche ganzen Zahlen noch „innerhalb“ und welche schon „außerhalb“ des Bereichs liegen.

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = 150 \cdot 0{,}64 = 96\). 2. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{150 \cdot 0{,}64 \cdot 0{,}36} = \sqrt{34{,}56} \approx 5{,}8788\). 3. Die Werte innerhalb einer Standardabweichung sind die ganzen Zahlen von \(91\) bis \(101\). 4. Für das Gegenereignis gilt \(P(91 \le X \le 101) \approx 0{,}6505\). 5. Daher beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 90 \text{ oder } X \ge 102) = 1 - 0{,}6505 \approx 0{,}3495\).

a) \(\mu = 96\); \(\sigma \approx 5{,}88\) b) \(P(X \le 90 \text{ oder } X \ge 102) \approx 34{,}95\,\%\)

- Überlege zuerst, welche Werte für \(n\) und \(p\) in dieser Situation gelten. - Kannst du die Ereignisse mit der Formel von Bernoulli beschreiben? - Bei „mindestens“ oder „höchstens“ ist es oft einfacher, das Gegenereignis zu betrachten. - Was bedeutet „zwischen \(3\) und \(5\) einschließlich“ für die möglichen Werte der Zufallsgröße?

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 10\) und \(p = 0{,}4\). 1. \(P(X = 4) = \binom{10}{4} \cdot 0{,}4^{4} \cdot 0{,}6^{6} \approx 0{,}2508\). 2. \(P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)] \approx 0{,}9536\). 3. \(P(3 \le X \le 5) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) \approx 0{,}2150 + 0{,}2508 + 0{,}2007 = 0{,}6665\).

a) \(P(X=4) \approx 25{,}08\,\%\) b) \(P(X \ge 2) \approx 95{,}36\,\%\) c) \(P(3 \le X \le 5) \approx 66{,}65\,\%\)

- Identifiziere die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) und die Anzahl der Versuche \(n\). - Achte genau auf Formulierungen wie „mehr als“ oder „höchstens“. Gehört die Zahl selbst dazu? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Trefferzahlen zusammen, wenn man einen Bereich berechnen möchte?

Das Experiment ist binomialverteilt mit \(n = 15\) und \(p = 0{,}05\). 1. \(P(X = 1) = \binom{15}{1} \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95^{14} \approx 0{,}3658\). 2. \(P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) \approx 0{,}0362\). 3. \(P(1 \le X \le 3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) \approx 0{,}3658 + 0{,}1348 + 0{,}0307 = 0{,}5312\).

a) \(P(X=1) \approx 36{,}58\,\%\) b) \(P(X > 2) \approx 3{,}62\,\%\) c) \(P(1 \le X \le 3) \approx 53{,}12\,\%\)

- Kannst du die Situation als eine Kette von Versuchen beschreiben, bei denen es nur „Gewinn“ oder „kein Gewinn“ gibt? - Welche Werte kann die Anzahl der Gewinne annehmen, wenn sie zwischen 1 und 3 liegen soll? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für eine genau festgelegte Anzahl an Erfolgen? - Was musst du am Ende mit den einzelnen Wahrscheinlichkeiten für 1, 2 und 3 Gewinne tun?

1. Es gilt \(X \sim B(10; 0{,}2)\). 2. Gesucht ist \(P(1 \le X \le 3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)\). 3. \(P(X=1) \approx 0{,}2684\), \(P(X=2) \approx 0{,}3020\) und \(P(X=3) \approx 0{,}2013\). 4. Somit gilt \(P(1 \le X \le 3) \approx 0{,}7718\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(77{,}18\,\%\).

- Überlege dir zuerst, welche Trefferzahlen genau gemeint sind, wenn von „zwischen 8 und 10 (einschließlich)“ die Rede ist. - Handelt es sich hier um ein mehrstufiges Zufallsexperiment mit immer gleichen Bedingungen? - Wie oft wird das Experiment wiederholt und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Treffer? - Gibt es eine Formel, mit der man die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Trefferanzahl in einer solchen Kette berechnen kann?

1. Festlegen der Parameter: \(n = 15\), \(p = 0{,}6\). 2. \(P(8 \le X \le 10) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)\). 3. \(P(X=8) \approx 0{,}1771\), \(P(X=9) \approx 0{,}2066\) und \(P(X=10) \approx 0{,}1859\). 4. Daher gilt \(P(8 \le X \le 10) \approx 0{,}1771 + 0{,}2066 + 0{,}1859 = 0{,}5696\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(56{,}96\,\%\).

- Was sind die Kennzahlen der Binomialverteilung in dieser Aufgabe? - Wie hängen der Erwartungswert und der wahrscheinlichste Wert zusammen? - Welche Formel oder Tabelle hilft dir bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für Bereiche („höchstens“, „mindestens“)? - Beachte, dass „mindestens 16“ das Gegenereignis zu „höchstens 15“ ist.

1. Es handelt sich um eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit den Parametern \(n = 20\) und \(p = 0{,}6\). 2. Der wahrscheinlichste Wert (Modalwert) \(k\) liegt im Intervall \((n+1)p - 1 \le k \le (n+1)p\). Mit \(21 \cdot 0{,}6 = 12{,}6\) ergibt sich \(k = 12\). 3. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist \(P(X \le 8 \text{ oder } X \ge 16) = P(X \le 8) + P(X \ge 16)\). 4. Berechnung der Teilwahrscheinlichkeiten (z. B. mit Tabelle oder Taschenrechner): \(P(X \le 8) \approx 0{,}0565\) und \(P(X \ge 16) = 1 - P(X \le 15) \approx 1 - 0{,}9490 = 0{,}0510\). 5. Addition der Werte: \(0{,}0565 + 0{,}0510 = 0{,}1075\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(10{,}8\,\%\).

a) Am wahrscheinlichsten ist das Ergebnis \(k = 12\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(10{,}75\,\%\).

- Überlege zuerst, welche Werte \(n\) und \(p\) für die Binomialverteilung hier gelten. - Erinnerst du dich an die Bedingung für den Modalwert einer Binomialverteilung? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall, wenn man eine Tabelle für kumulierte Wahrscheinlichkeiten nutzt? - Denke daran, dass „mindestens 8“ bedeutet, dass man alles außer dem Bereich von 0 bis 7 betrachtet.

1. Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}2\). 2. Da \((n+1)p = 21 \cdot 0{,}2 = 4{,}2\) gilt, ist \(k = 4\) der wahrscheinlichste Wert. 3. \(P(X \le 1) = 0{,}8^{20} + 20 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8^{19} \approx 0{,}0692\). 4. \(P(X \ge 8) = 1 - P(X \le 7) \approx 0{,}0321\). 5. Insgesamt gilt \(P(X \le 1) + P(X \ge 8) \approx 0{,}0692 + 0{,}0321 = 0{,}1013\), also etwa \(10{,}1\,\%\).

a) Das Ergebnis \(k = 4\) ist am wahrscheinlichsten. b) \(P(X \le 1) + P(X \ge 8) \approx 0{,}1013 \approx 10{,}1\,\%\).

- Welche Werte haben die Trefferwahrscheinlichkeit und die Kettenlänge in diesem Zufallsexperiment? - Überlege dir für den ersten Aufgabenteil, wie viele Pfade im Baumdiagramm genau zwei Treffer enthalten. - Was bedeutet „höchstens einmal“ für die Anzahl der möglichen Treffer? - Kannst du bei „mindestens einmal“ die Rechnung durch das Gegenereignis abkürzen?

1. Modellierung als Bernoulli-Kette mit der Trefferzahl \(X\), der Länge \(n=6\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\). 2. Berechnung für (1): \(P(X=2) = \binom{6}{2} \cdot 0{,}2^2 \cdot 0{,}8^4 = 15 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}4096 = 0{,}24576\). 3. Berechnung für (2): \(P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1) = \binom{6}{0} \cdot 0{,}8^6 + \binom{6}{1} \cdot 0{,}2^1 \cdot 0{,}8^5 = 0{,}262144 + 0{,}393216 = 0{,}65536\). 4. Berechnung für (3): Nutzung des Gegenereignisses \(P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0{,}8^6 = 1 - 0{,}262144 = 0{,}737856\).

(1) \(0{,}24576\) (oder \(24{,}576\,\%\)) (2) \(0{,}65536\) (oder \(65{,}536\,\%\)) (3) \(0{,}737856\) (oder \(73{,}7856\,\%\))

- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit für einen „Treffer“ (hier: ein fehlerhafter Chip). - Wie lautet die Formel von Bernoulli für genau \(k\) Treffer? - Beachte bei Teil (3), welche Ergebnisse alle zu „mehr als zwei“ gehören und ob das Gegenereignis einfacher zu berechnen ist. - Achte darauf, bei Zwischenschritten nicht zu früh zu runden.

1. Es liegt eine Binomialverteilung mit \(n=10\) und \(p=0{,}05\) vor. 2. Berechnung für (1): \(P(X=1) = \binom{10}{1} \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^9 \approx 10 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}6302 \approx 0{,}3151\). 3. Berechnung für (2): \(P(X=0) = 0{,}95^{10} \approx 0{,}5987\). 4. Berechnung für (3): \(P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2))\). 5. Berechnung von \(P(X=2) = \binom{10}{2} \cdot 0{,}05^2 \cdot 0{,}95^8 \approx 45 \cdot 0{,}0025 \cdot 0{,}6634 \approx 0{,}0746\). 6. Mit den gerundeten Zwischenwerten ergibt sich \(1 - (0{,}5987 + 0{,}3151 + 0{,}0746) = 1 - 0{,}9884 = 0{,}0116\). Die direkte Berechnung mit ungerundeten Werten liefert \(P(X > 2) \approx 0{,}0115\).

(1) ca. \(0{,}3151\) (oder \(31{,}51\,\%\)) (2) ca. \(0{,}5987\) (oder \(59{,}87\,\%\)) (3) ca. \(0{,}0115\) (oder \(1{,}15\,\%\))

- Überlege dir zuerst, ob sich die Wahrscheinlichkeit für eine richtige Antwort von Aufgabe zu Aufgabe ändert. - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Treffer bei einer festen Anzahl von Versuchen und konstanter Trefferwahrscheinlichkeit? - Was bedeutet „mehr als sechs“ mathematisch für die möglichen Anzahlen von richtigen Antworten?

Da es sich um ein Zufallsexperiment mit zwei Ausgängen (richtig/falsch) und gleichbleibender Trefferwahrscheinlichkeit handelt, liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n = 8\) und \(p = 0{,}25\) vor. 1. Berechnung für genau drei Treffer mit der Bernoulli-Formel: \(P(X = 3) = \binom{8}{3} \cdot 0{,}25^3 \cdot 0{,}75^5 = 56 \cdot 0{,}015625 \cdot 0{,}2373046875 \approx 0{,}2076\). 2. Berechnung für mehr als sechs Treffer (\(X = 7\) oder \(X = 8\)): \(P(X = 7) = \binom{8}{7} \cdot 0{,}25^7 \cdot 0{,}75^1 = 8 \cdot \frac{1}{16384} \cdot 0{,}75 = \frac{6}{16384} \approx 0{,}000366\) \(P(X = 8) = \binom{8}{8} \cdot 0{,}25^8 \cdot 0{,}75^0 = 1 \cdot \frac{1}{65536} \cdot 1 \approx 0{,}000015\) Summe: \(P(X > 6) = P(X = 7) + P(X = 8) = \frac{24}{65536} + \frac{1}{65536} = \frac{25}{65536} \approx 0{,}000381\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(20{,}76\,\%\) (\(P \approx 0{,}2076\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(0{,}038\,\%\) (\(P = \frac{25}{65536} \approx 0{,}000381\)).

- Überlege dir zuerst, ob die einzelnen Rateversuche voneinander abhängen oder nicht. - Welche Werte für die Gesamtzahl der Versuche und die Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch kannst du dem Text entnehmen? - Für den Fall „genau eine bestimmte Anzahl“ hilft dir eine bekannte Formel für Einzelwahrscheinlichkeiten bei Kettenversuchen. - Wenn nach „mindestens“ gefragt wird, musst du die Wahrscheinlichkeiten für alle zutreffenden Ergebnisse addieren.

1. Identifikation der Verteilung: Da die Versuche unabhängig sind (mit Zurücklegen) und es nur zwei Ausgänge gibt (richtig/falsch), liegt eine Bernoulli-Kette vor. Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl der richtigen Treffer) ist binomialverteilt mit \(n = 12\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}5\). 2. Berechnung für Teilaufgabe a): Gesucht ist die Punktwahrscheinlichkeit \(P(X = 9)\). \(P(X = 9) = \binom{12}{9} \cdot 0{,}5^9 \cdot 0{,}5^3 = 220 \cdot 0{,}5^{12} = \frac{220}{4096} \approx 0{,}0537\). 3. Berechnung für Teilaufgabe b): Gesucht ist die Summenwahrscheinlichkeit \(P(X \ge 10) = P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12)\). \(P(X = 10) = \binom{12}{10} \cdot 0{,}5^{12} = 66 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{66}{4096}\) \(P(X = 11) = \binom{12}{11} \cdot 0{,}5^{12} = 12 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{12}{4096}\) \(P(X = 12) = \binom{12}{12} \cdot 0{,}5^{12} = 1 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{1}{4096}\) \(P(X \ge 10) = \frac{66 + 12 + 1}{4096} = \frac{79}{4096} \approx 0{,}0193\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(5{,}37\,\%\) (oder \(0{,}0537\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(1{,}93\,\%\) (oder \(0{,}0193\)).

- Kannst du das Problem als eine Folge von unabhängigen Versuchen mit jeweils zwei möglichen Ausgängen betrachten? - Welche Formel nutzt man, um die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl an Erfolgen in einer solchen Kette zu berechnen? - Was ist das Gegenereignis zu „mindestens ein Treffer“? - Der Binomialkoeffizient \(\binom{n}{k}\) gibt dir direkt die Anzahl der Pfade mit einer bestimmten Trefferanzahl an.

1. Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 10\), \(p = 0{,}25\) und \(k = 3\). Berechnung der Punktwahrscheinlichkeit: \(P(X=3) = \binom{10}{3} \cdot 0{,}25^3 \cdot 0{,}75^7 = 120 \cdot 0{,}015625 \cdot 0{,}133483 \approx 0{,}2503\). 2. Die Anzahl der Pfade mit genau \(2\) Treffern entspricht dem Binomialkoeffizienten \(\binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45\). 3. Berechnung über das Gegenereignis „keine Antwort richtig“: \(P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0{,}75^{10} \approx 1 - 0{,}0563 = 0{,}9437\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(25{,}03\,\%\). b) Es gibt \(45\) verschiedene Möglichkeiten. c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(94{,}37\,\%\).

- Identifiziere zuerst die feste Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der unabhängigen Würfe. - Welche Werte nehmen die Parameter für die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Versuche an? - Für den zweiten Teil musst du die Fälle betrachten, in denen 5 oder 6 Treffer erzielt werden.

1. Identifikation der Parameter der Binomialverteilung: Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}75\), Anzahl der Versuche \(n = 6\). 2. Berechnung für genau 4 Treffer mit der Formel von Bernoulli: \(P(X=4) = \binom{6}{4} \cdot 0{,}75^4 \cdot 0{,}25^2 = 15 \cdot 0{,}31640625 \cdot 0{,}0625 \approx 0{,}2966\). 3. Berechnung für mindestens 5 Treffer als Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten für \(k=5\) und \(k=6\): \(P(X=5) = \binom{6}{5} \cdot 0{,}75^5 \cdot 0{,}25^1 = 6 \cdot 0{,}2373046875 \cdot 0{,}25 \approx 0{,}3560\). \(P(X=6) = \binom{6}{6} \cdot 0{,}75^6 \cdot 0{,}25^0 \approx 0{,}1780\). 4. Addition der Ergebnisse: \(P(X \ge 5) = P(X=5) + P(X=6) \approx 0{,}3560 + 0{,}1780 = 0{,}5340\).

a) Die Wahrscheinlichkeit für genau 4 Treffer beträgt ca. \(29{,}66\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit für mindestens 5 Treffer beträgt ca. \(53{,}40\,\%\).

- Überlege dir, ob sich die Wahrscheinlichkeiten bei jedem Versuch ändern oder gleich bleiben. - Welche Verteilung eignet sich für eine feste Anzahl an unabhängigen Versuchen mit zwei möglichen Ausgängen (Treffer/Nichttreffer)? - Bei „öfter als“ kann es einfacher sein, das Ereignis über das Gegenteil zu berechnen. - Achte darauf, welche Farbe jeweils als „Treffer“ betrachtet wird.

Für jede Teilaufgabe wird die jeweils betrachtete Farbe als Treffer und jede andere Farbe als Nichttreffer definiert. Damit liegt jeweils eine Bernoulli-Kette der Länge \(n = 15\) vor. Die Einzelwahrscheinlichkeiten sind \(p_{\text{blau}} = \frac{10}{20} = 0{,}5\), \(p_{\text{rot}} = \frac{6}{20} = 0{,}3\) und \(p_{\text{gelb}} = \frac{4}{20} = 0{,}2\). 1. Für genau 5-mal Blau: \(P(X = 5) = \binom{15}{5} \cdot 0{,}5^5 \cdot 0{,}5^{10} = 3003 \cdot 0{,}5^{15} \approx 0{,}0916\). 2. Für kein einziges Mal Gelb: \(P(Y = 0) = \binom{15}{0} \cdot 0{,}2^0 \cdot 0{,}8^{15} = 0{,}8^{15} \approx 0{,}0352\). 3. Für Rot öfter als 2-mal: \(P(Z > 2) = 1 - P(Z \le 2) = 1 - [P(Z = 0) + P(Z = 1) + P(Z = 2)]\). Berechnung der Einzelwerte: \(P(Z = 0) = \binom{15}{0} \cdot 0{,}3^0 \cdot 0{,}7^{15} \approx 0{,}0047\); \(P(Z = 1) = \binom{15}{1} \cdot 0{,}3^1 \cdot 0{,}7^{14} \approx 0{,}0305\); \(P(Z = 2) = \binom{15}{2} \cdot 0{,}3^2 \cdot 0{,}7^{13} \approx 0{,}0916\). Summe: \(0{,}0047 + 0{,}0305 + 0{,}0916 = 0{,}1268\). Gegenwahrscheinlichkeit: \(1 - 0{,}1268 = 0{,}8732\).

a) \(P \approx 0{,}0916\) (oder \(9{,}16\,\%\)) b) \(P \approx 0{,}0352\) (oder \(3{,}52\,\%\)) c) \(P \approx 0{,}8732\) (oder \(87{,}32\,\%\))

- Überlege dir zuerst, welcher Verteilungstyp hier vorliegt und welche Parameter \(n\) und \(p\) gegeben sind. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Wert bei einer Bernoulli-Kette? - Was bedeutet „mindestens 8“ für die möglichen Werte von \(X\)? - Nutze bei der letzten Teilaufgabe die Tatsache, dass die Trefferwahrscheinlichkeit genau \(0{,}5\) beträgt. Was sagt das über die Form der Verteilung aus?

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als binomialverteilt mit den Parametern \(n = 10\) und \(p = 0{,}5\). 2. Berechnung der Punktwahrscheinlichkeit für \(k = 5\): \(P(X = 5) = \binom{10}{5} \cdot 0{,}5^{10} = 252 \cdot \frac{1}{1024} \approx 0{,}2461\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für \(X \ge 8\): \(P(X \ge 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) = (\binom{10}{8} + \binom{10}{9} + \binom{10}{10}) \cdot 0{,}5^{10} = (45 + 10 + 1) \cdot \frac{1}{1024} = \frac{56}{1024} \approx 0{,}0547\). 4. Begründung zur Symmetrie: Da \(p = 0{,}5\), ist die Verteilung symmetrisch zum Erwartungswert \(\mu = 5\). Es gilt \(P(X < 5) = P(X > 5)\). Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten \(1\) ergibt, folgt \(P(X = 5) + 2 \cdot P(X > 5) = 1\). Umgeformt ergibt dies \(P(X > 5) = \frac{1 - P(X = 5)}{2} \approx \frac{1 - 0{,}2461}{2} = 0{,}37695\). Da \(0{,}3770 > 0{,}2461\), ist es wahrscheinlicher, mehr als 5 Fragen richtig zu beantworten.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(24{,}61\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(5{,}47\,\%\). c) Es ist wahrscheinlicher, mehr als 5 Fragen richtig zu beantworten (\(P(X > 5) \approx 37{,}70\,\%\)), als genau 5 Fragen richtig zu beantworten (\(P(X = 5) \approx 24{,}61\,\%\)).

- Welche Verteilung beschreibt Situationen mit einer festen Anzahl von Versuchen und zwei möglichen Ausgängen? - Achte genau auf Formulierungen wie „höchstens“, „mindestens“ oder „mehr als“. - Wie lässt sich ein Bereich zwischen zwei Werten mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion \(F(n; p; k)\) ausdrücken? - Wann ist es einfacher, mit dem Gegenereignis zu rechnen?

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der defekten Teile und ist binomialverteilt mit \(n = 200\) und \(p = 0{,}05\). (1) Berechnung von \(P(X \le 10)\) mit der kumulierten Binomialverteilung: \(F(200; 0{,}05; 10) \approx 0{,}5831\). (2) Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeit \(P(8 \le X \le 12) = P(X \le 12) - P(X \le 7)\): \(F(200; 0{,}05; 12) - F(200; 0{,}05; 7) \approx 0{,}7965 - 0{,}2133 = 0{,}5832\). (3) Berechnung über das Gegenereignis \(P(X > 15) = 1 - P(X \le 15)\): \(1 - F(200; 0{,}05; 15) \approx 1 - 0{,}9556 = 0{,}0444\).

(1) \(P(X \le 10) \approx 0{,}5831\) (2) \(P(8 \le X \le 12) \approx 0{,}5832\) (3) \(P(X > 15) \approx 0{,}0444\)

- Überlege zuerst, wie groß die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) beim Raten ist. - Was bedeutet „weniger als 10“ für die obere Grenze in der kumulierten Verteilungsfunktion? - Denk daran, dass Tabellen oder Taschenrechnerfunktionen oft nur Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X \le k)\) direkt liefern. - Wie gehst du vor, wenn die untere Grenze nicht bei Null liegt?

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der richtigen Antworten und ist binomialverteilt mit \(n = 50\) und \(p = 0{,}25\). (1) Berechnung über das Gegenereignis \(P(X \ge 15) = 1 - P(X \le 14)\): \(1 - F(50; 0{,}25; 14) \approx 1 - 0{,}7481 = 0{,}2519\). (2) Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für weniger als \(10\) Treffer: \(P(X < 10) = P(X \le 9) = F(50; 0{,}25; 9) \approx 0{,}1637\). (3) Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeit \(P(10 \le X \le 15) = P(X \le 15) - P(X \le 9)\): \(F(50; 0{,}25; 15) - F(50; 0{,}25; 9) \approx 0{,}8369 - 0{,}1637 = 0{,}6732\).

(1) \(P(X \ge 15) \approx 0{,}2519\) (2) \(P(X < 10) \approx 0{,}1637\) (3) \(P(10 \le X \le 15) \approx 0{,}6732\)

- Überlege dir zuerst, wie groß die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) für eine einzelne Frage beim Raten ist. - Achte genau auf Formulierungen wie „mehr als“, „mindestens“ oder „höchstens“, um die richtigen Grenzen für die kumulierte Verteilung zu finden. - Das Gegenereignis kann oft helfen, wenn du Wahrscheinlichkeiten für „mehr als“ berechnen musst. - Wenn nach der Anzahl der falschen Antworten gefragt wird, kannst du entweder die Erfolgswahrscheinlichkeit anpassen oder das Ereignis in eine Bedingung für die richtigen Antworten umformulieren.

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 60\) und \(p = 0{,}25\). a) Für „mehr als \(12\)“ berechnet man \(P(X > 12) = 1 - P(X \le 12)\). Mit der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(1 - 0{,}2316 \approx 0{,}7684\). b) Für „mindestens \(10\) und höchstens \(20\)“ berechnet man \(P(10 \le X \le 20) = P(X \le 20) - P(X \le 9)\). Dies ergibt \(0{,}9459 - 0{,}0452 \approx 0{,}9007\). c) Sei \(Y\) die Anzahl der falschen Antworten mit \(p = 0{,}75\). Gesucht ist \(P(Y < 40) = P(Y \le 39)\). Alternativ über \(X\): Wenn weniger als \(40\) Antworten falsch sind, müssen mehr als \(20\) Antworten richtig sein. Daher gilt \(P(X > 20) = 1 - P(X \le 20) = 1 - 0{,}9459 \approx 0{,}0541\).

a) \(P(X > 12) \approx 76{,}84\,\%\) b) \(P(10 \le X \le 20) \approx 90{,}07\,\%\) c) \(P(Y < 40) \approx 5{,}41\,\%\)

- Identifiziere zuerst \(n\) und \(p\) für die gegebene Situation. - Beachte bei Intervallen wie „zwischen 8 und 14 (einschließlich)“, welche Werte genau dazugehören und wie du sie mit der kumulierten Verteilungsfunktion \(P(X \le k)\) ausdrücken kannst. - Überlege bei Teil b), wie ein Haushalt mit Anschluss mit der ursprünglichen Definition (kein Anschluss) zusammenhängt. - Denke daran, dass \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\) gilt.

Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl Haushalte ohne Anschluss) ist binomialverteilt mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}12\). a) (1) \(P(X \le 10)\): Direktes Ablesen oder Berechnen der kumulierten Wahrscheinlichkeit ergibt \(\approx 0{,}3337\). a) (2) \(P(X > 15) = 1 - P(X \le 15)\). Mit \(P(X \le 15) \approx 0{,}8586\) folgt \(1 - 0{,}8586 \approx 0{,}1414\). a) (3) \(P(8 \le X \le 14) = P(X \le 14) - P(X \le 7)\). Mit \(0{,}7840 - 0{,}0761\) ergibt sich \(\approx 0{,}7079\). b) (1) Sei \(Y\) die Anzahl der Haushalte mit Anschluss (\(p = 0{,}88\)). Gesucht ist \(P(Y \ge 90)\). Dies entspricht dem Ereignis, dass höchstens \(10\) Haushalte keinen Anschluss haben (\(X \le 10\)). \(P(X \le 10) \approx 0{,}3337\).

a) (1) \(P(X \le 10) \approx 33{,}37\,\%\) (2) \(P(X > 15) \approx 14{,}14\,\%\) (3) \(P(8 \le X \le 14) \approx 70{,}79\,\%\) b) (1) \(P(Y \ge 90) \approx 33{,}37\,\%\)

- Überlege zuerst, welche Parameter \(n\) und \(p\) für die Binomialverteilung gegeben sind. - Achte genau auf Formulierungen wie „höchstens“, „mehr als“ oder „zwischen“, um die richtigen Grenzen für die kumulierte Wahrscheinlichkeit zu bestimmen. - Erinnere dich daran, dass bei „mehr als \(k\)“ das Gegenereignis „höchstens \(k\)“ hilfreich ist. - Wenn du einen Bereich von \(a\) bis \(b\) berechnen sollst, ziehe die Wahrscheinlichkeit für den Bereich, den du nicht haben willst, von der Gesamtwahrscheinlichkeit bis zur oberen Grenze ab.

Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der keimenden Samen und ist binomialverteilt mit den Parametern \(n = 60\) und \(p = 0{,}75\). 1. Die Wahrscheinlichkeit für höchstens 40 keimende Samen wird durch die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 40)\) berechnet. Unter Verwendung der Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 40) \approx 0{,}0925\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für mehr als 50 keimende Samen ist \(P(X > 50) = 1 - P(X \le 50)\). Mit dem Tabellenwerk oder dem Taschenrechner ergibt sich \(P(X \le 50) \approx 0{,}9548\), woraus folgt \(P(X > 50) = 1 - 0{,}9548 = 0{,}0452\). 3. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens 42 und höchstens 48 Samen wird über die Differenz der kumulierten Wahrscheinlichkeiten berechnet: \(P(42 \le X \le 48) = P(X \le 48) - P(X \le 41)\). Mit \(P(X \le 48) \approx 0{,}8524\) und \(P(X \le 41) \approx 0{,}1486\) ergibt sich \(P(42 \le X \le 48) = 0{,}8524 - 0{,}1486 = 0{,}7038\).

1. \(P(X \le 40) \approx 9{,}25\,\%\) 2. \(P(X > 50) \approx 4{,}52\,\%\) 3. \(P(42 \le X \le 48) \approx 70{,}38\,\%\)

- Identifiziere die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) und die Anzahl der Versuche \(n\). - Unterscheide sorgfältig zwischen der Punktwahrscheinlichkeit \(P(X = k)\) und kumulierten Wahrscheinlichkeiten. - Was bedeutet „weniger als 8“ für den Wert der Zufallsvariablen \(X\)? Welcher ist der größte ganzzahlige Wert, der noch eingeschlossen ist? - Nutze das Gegenereignis, wenn nach „mehr als“ einem bestimmten Wert gefragt wird.

Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der fehlerhaften Chips an und ist binomialverteilt mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}05\). 1. Die Wahrscheinlichkeit für genau 5 Fehler wird mit der Bernoulli-Formel berechnet: \(P(X = 5) = \binom{100}{5} \cdot 0{,}05^5 \cdot 0{,}95^{95} \approx 0{,}1800\). 2. Die Bedingung „mindestens 3, aber weniger als 8“ entspricht dem Bereich \(3 \le X \le 7\). Dies berechnet man durch \(P(X \le 7) - P(X \le 2)\). Mit \(P(X \le 7) \approx 0{,}8720\) und \(P(X \le 2) \approx 0{,}1183\) ergibt sich \(P(3 \le X \le 7) = 0{,}8720 - 0{,}1183 = 0{,}7537\). 3. Die Wahrscheinlichkeit für mehr als 10 Fehler berechnet man über das Gegenereignis: \(P(X > 10) = 1 - P(X \le 10)\). Mit \(P(X \le 10) \approx 0{,}9885\) folgt \(P(X > 10) = 1 - 0{,}9885 = 0{,}0115\).

1. \(P(X = 5) \approx 18{,}00\,\%\) 2. \(P(3 \le X < 8) \approx 75{,}37\,\%\) 3. \(P(X > 10) \approx 1{,}15\,\%\)

- Überlege dir, wie du Ereignisse wie „mindestens“ oder „mehr als“ mithilfe der kumulativen Verteilungsfunktion \(P(X \le k)\) ausdrücken kannst. - Denk an das Gegenereignis, wenn du eine Wahrscheinlichkeit für einen oberen Bereich berechnen möchtest. - Bei einem Intervall hilft es, die Wahrscheinlichkeit bis zur oberen Grenze zu nehmen und den nicht gewünschten Teil unterhalb der unteren Grenze abzuziehen. - Achte genau darauf, ob die Randwerte des Intervalls (z. B. bei \(\le\) oder \(<\)) mit eingeschlossen sind oder nicht.

a) Bestimmung der Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 15)\) durch direktes Ablesen aus der Tabelle der kumulativen Binomialverteilung für \(n = 50\) und \(p = 0{,}25\): \(P(X \le 15) \approx 0{,}8369\). b) Berechnung von \(P(X \ge 10)\) über das Gegenereignis: \(P(X \ge 10) = 1 - P(X \le 9)\). Nachschlagen des Tabellenwerts \(P(X \le 9) \approx 0{,}1637\) ergibt \(1 - 0{,}1637 = 0{,}8363\). c) Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeit \(P(8 \le X \le 14)\) durch Differenzbildung kumulierter Werte: \(P(X \le 14) - P(X \le 7)\). Mit den Werten \(P(X \le 14) \approx 0{,}7481\) und \(P(X \le 7) \approx 0{,}0453\) folgt \(0{,}7481 - 0{,}0453 = 0{,}7028\).

a) \(P(X \le 15) \approx 0{,}8369\) b) \(P(X \ge 10) \approx 0{,}8363\) c) \(P(8 \le X \le 14) \approx 0{,}7028\)

- Achte auf den Unterschied zwischen „mehr als“ und „mindestens“. - Wie lässt sich ein Ereignis wie „zwischen \(a\) und \(b\)“ mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion \(P(X \le k)\) ausdrücken? - Schreibe dir die Bedingungen für \(X\) zuerst als Ungleichung auf, um keine Werte zu vergessen. - Denk daran, dass bei „weniger als 15“ die Zahl 15 selbst nicht mehr dazugehört.

Die Anzahl der Haushalte mit Solarenergie wird durch \(X \sim B(80; 0{,}25)\) beschrieben. a) \(P(X > 20) = 1 - P(X \le 20) \approx 1 - 0{,}5597 = 0{,}4403\). b) \(P(X < 15) = P(X \le 14) \approx 0{,}0740\). c) \(P(18 \le X \le 22) = P(X \le 22) - P(X \le 17) \approx 0{,}7447 - 0{,}2636 = 0{,}4811\).

a) \(P(X > 20) \approx 44{,}03\,\%\) b) \(P(X < 15) \approx 7{,}40\,\%\) c) \(P(18 \le X \le 22) \approx 48{,}11\,\%\)

- Überlege zuerst, welche Werte für \(n\) und \(p\) in diesem Modell angemessen sind. - Wie hängen die Formulierungen „höchstens“, „mindestens“ und „mehr als“ mit der kumulierten Verteilungsfunktion zusammen? - Kannst du eine Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis einfacher berechnen? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall von Werten mithilfe der kumulierten Verteilung?

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit den Parametern \(n = 85\) und \(p = 0{,}9\) (Wahrscheinlichkeit, dass ein Gast anreist). 1. Gesucht ist \(P(X \le 80)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 80) \approx 0{,}9357\). 2. Dieses Ereignis ist das Gegenereignis zu Teilaufgabe 1: \(P(X > 80) = 1 - P(X \le 80) \approx 1 - 0{,}9357 = 0{,}0643\). 3. Gesucht ist die Einzelwahrscheinlichkeit \(P(X = 80) = \binom{85}{80} \cdot 0{,}9^{80} \cdot 0{,}1^5 \approx 0{,}0717\). 4. Die Wahrscheinlichkeit für das Intervall berechnet sich durch \(P(70 \le X \le 75) = P(X \le 75) - P(X \le 69) \approx 0{,}3434 - 0{,}0096 = 0{,}3338\).

1. \(P(X \le 80) \approx 93{,}57\,\%\) 2. \(P(X > 80) \approx 6{,}43\,\%\) 3. \(P(X = 80) \approx 7{,}17\,\%\) 4. \(P(70 \le X \le 75) \approx 33{,}38\,\%\)

- Welche Verteilung liegt vor, wenn man eine feste Anzahl an Chips prüft und jeder mit der gleichen Wahrscheinlichkeit defekt ist? - Bestimme zuerst den Erwartungswert der Verteilung. - Achte bei Intervallen wie „mindestens 6“ darauf, welchen Wert du bei der Subtraktion der kumulierten Wahrscheinlichkeiten abziehen musst. - Was bedeutet „mehr als 10“ für die untere Grenze des Gegenereignisses?

Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl defekter Chips) ist binomialverteilt mit \(n = 200\) und \(p = 0{,}04\). 1. Kumulierte Wahrscheinlichkeit: \(P(X \le 5) = \sum_{k=0}^{5} B(200; 0{,}04; k) \approx 0{,}1856\). 2. Gegenereignis: \(P(X > 10) = 1 - P(X \le 10) \approx 1 - 0{,}8200 = 0{,}1800\). 3. Intervallwahrscheinlichkeit: \(P(6 \le X \le 12) = P(X \le 12) - P(X \le 5) \approx 0{,}9401 - 0{,}1856 = 0{,}7545\). 4. Der Erwartungswert ist \(\mu = n \cdot p = 200 \cdot 0{,}04 = 8\). Die Einzelwahrscheinlichkeit beträgt \(P(X = 8) = \binom{200}{8} \cdot 0{,}04^8 \cdot 0{,}96^{192} \approx 0{,}1425\).

1. \(P(X \le 5) \approx 18{,}56\,\%\) 2. \(P(X > 10) \approx 18{,}00\,\%\) 3. \(P(6 \le X \le 12) \approx 75{,}45\,\%\) 4. \(P(X = 8) \approx 14{,}25\,\%\)

- Überlege dir zuerst, welche Werte für \(n\) und \(p\) in diesem Zufallsexperiment gelten. - Achte genau auf Formulierungen wie „weniger als“ oder „mindestens“, um die richtigen Grenzen für die kumulierte Wahrscheinlichkeit zu finden. - Bei „mindestens“-Aufgaben hilft oft der Blick auf das Gegenereignis. - Wenn ein Bereich gesucht ist, kannst du die Wahrscheinlichkeit als Differenz zweier kumulierter Werte berechnen.

Es gilt \(X \sim B(60; 0{,}8)\). (1) \(P(X = 50) = \binom{60}{50} \cdot 0{,}8^{50} \cdot 0{,}2^{10} \approx 0{,}1102\). (2) \(P(X < 45) = P(X \le 44) \approx 0{,}1306\). (3) \(P(X \ge 52) = 1 - P(X \le 51) \approx 0{,}1268\). (4) \(P(46 \le X \le 54) = P(X \le 54) - P(X \le 45) \approx 0{,}9879 - 0{,}2065 = 0{,}7814\).

(1) \(P(X = 50) \approx 0{,}1102\) (2) \(P(X < 45) \approx 0{,}1306\) (3) \(P(X \ge 52) \approx 0{,}1268\) (4) \(P(46 \le X \le 54) \approx 0{,}7814\)

- Erstelle dir eine Liste mit den Werten für \(n\), \(p\) und den jeweils gesuchten Bereich für \(k\). - Was bedeutet „mehr als 20“ für die untere Grenze, die du in den Taschenrechner oder die Tabelle eingeben musst? - Erinnere dich daran, dass die kumulierte Verteilungsfunktion \(F(n; p; k)\) immer die Wahrscheinlichkeit von \(0\) bis \(k\) angibt. - Wie kannst du ein Intervall \([a; b]\) durch zwei Ausdrücke der Form \(P(X \le k)\) darstellen?

Es gilt \(X \sim B(150; 0{,}12)\). (1) \(P(X = 18) \approx 0{,}0998\). (2) \(P(X \le 15) \approx 0{,}2715\). (3) \(P(X > 20) = 1 - P(X \le 20) \approx 1 - 0{,}7413 = 0{,}2587\). (4) \(P(10 \le X \le 25) = P(X \le 25) - P(X \le 9) \approx 0{,}9654 - 0{,}0111 = 0{,}9543\).

(1) \(P(X = 18) \approx 0{,}0998\) (2) \(P(X \le 15) \approx 0{,}2715\) (3) \(P(X > 20) \approx 0{,}2587\) (4) \(P(10 \le X \le 25) \approx 0{,}9543\)

- Überlege dir zuerst, welche Werte für \(n\) und \(p\) in der Binomialverteilung einzusetzen sind. - Für „höchstens“ musst du mehrere Einzelwahrscheinlichkeiten addieren. - Bei „mindestens eins“ ist es oft einfacher, das Gegenteil zu berechnen.

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 80\) und \(p = 0{,}025\). a) Berechnung für genau zwei Personen: \(P(X = 2) = \binom{80}{2} \cdot 0{,}025^2 \cdot 0{,}975^{78} \approx 0{,}2741\). b) Berechnung für höchstens drei Personen: \(P(X \le 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)\). Die Einzelwahrscheinlichkeiten sind \(P(X=0) \approx 0{,}1319\), \(P(X=1) \approx 0{,}2706\), \(P(X=2) \approx 0{,}2741\) und \(P(X=3) \approx 0{,}1827\). Die Summe ergibt \(P(X \le 3) \approx 0{,}8594\). c) Berechnung für mindestens eine Person über das Gegenereignis: \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}975^{80} \approx 1 - 0{,}1319 = 0{,}8681\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(27{,}41\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(85{,}94\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(86{,}81\,\%\).

- Identifiziere die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für einen defekten Chip. - Achte bei b) auf den Unterschied zwischen „mehr als drei“ und „mindestens drei“. - Für den Erwartungswert über ein Jahr nutzt du die Wahrscheinlichkeit aus Aufgabenteil a) als neue Basis.

Es liegt eine Binomialverteilung mit \(n = 300\) und \(p = 0{,}008\) vor. a) Punktwahrscheinlichkeiten berechnen: \(P(X = 0) = 0{,}992^{300} \approx 0{,}0898\) \(P(X = 1) = 300 \cdot 0{,}008 \cdot 0{,}992^{299} \approx 0{,}2174\) \(P(X = 2) = \binom{300}{2} \cdot 0{,}008^2 \cdot 0{,}992^{298} \approx 0{,}2621\) b) Wahrscheinlichkeit für mehr als drei Defekte: \(P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) = 1 - (P(0) + P(1) + P(2) + P(3))\). Mit \(P(X = 3) \approx 0{,}2099\) ergibt sich \(P(X \le 3) \approx 0{,}7792\). Somit ist \(P(X > 3) \approx 1 - 0{,}7792 = 0{,}2208\). c) Erwartete Anzahl der Tage: Die Wahrscheinlichkeit für „kein Defekt“ an einem Tag ist \(p_{Tag} = P(X=0) \approx 0{,}0898\). Der Erwartungswert für \(365\) Tage ist \(E = 365 \cdot P(X=0) \approx 32{,}79\).

a) \(P(X=0) \approx 8{,}98\,\%\); \(P(X=1) \approx 21{,}74\,\%\); \(P(X=2) \approx 26{,}21\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(22{,}08\,\%\). c) Es ist an etwa \(33\) Tagen damit zu rechnen.

- Erinnere dich an die Definition der kumulierten Binomialverteilung. - Wie gehst du vor, wenn du die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich von Werten suchst? - Musst du beim Subtrahieren den unteren Rand des Intervalls mit einschließen oder ausschließen? - Nutze ein Tabellenwerk oder deinen Taschenrechner für die kumulierten Werte.

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit \(P(80 \le X \le 110)\) über die kumulierte Binomialverteilung \(F(n; p; k) = P(X \le k)\). 2. Die Intervallwahrscheinlichkeit berechnet sich als Differenz: \(P(80 \le X \le 110) = P(X \le 110) - P(X \le 79)\). 3. Einsetzen der Werte für \(n = 800\) und \(p = 0{,}12\): \(P(X \le 110) \approx 0{,}9405\) und \(P(X \le 79) \approx 0{,}0337\). 4. Berechnung der Differenz: \(0{,}9405 - 0{,}0337 = 0{,}9068\).

\(P(80 \le X \le 110) \approx 0{,}9068\) (\(90{,}68\,\%\))

- Wie berechnet man den Erwartungswert einer Binomialverteilung? - Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich \(P(a \le X \le b)\) mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion \(F(n; p; k)\) ausdrücken? - Überlege genau, welchen Wert du abziehen musst, damit die untere Grenze des Intervalls noch eingeschlossen ist.

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 200 \cdot 0{,}4 = 80\). 2. Bestimmung der Abstände zum Erwartungswert: Die untere Grenze \(72\) liegt \(8\) Einheiten unter \(\mu\), die obere Grenze \(90\) liegt \(10\) Einheiten über \(\mu\). Das Intervall ist somit nicht symmetrisch um \(\mu\). 3. Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeit: \(P(72 \le X \le 90) = P(X \le 90) - P(X \le 71)\). 4. Einsatz der kumulierten Binomialverteilung: \(P(X \le 90) \approx 0{,}9345\) und \(P(X \le 71) \approx 0{,}1094\). 5. Differenzbildung: \(0{,}9345 - 0{,}1094 = 0{,}8251\).

Der Erwartungswert beträgt \(\mu = 80\). Die untere Grenze ist \(8\) Einheiten und die obere Grenze \(10\) Einheiten von \(\mu\) entfernt. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(72 \le X \le 90) \approx 0{,}8251\) (bzw. \(82{,}51\,\%\)).

- Welche Werte aus der Tabelle oder vom Taschenrechner benötigst du, um genau den Bereich von \(122\) bis \(132\) abzudecken? - Denk daran, dass die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \le k)\) immer alle Werte von \(0\) bis \(k\) aufsummiert. - Was passiert, wenn du \(P(X \le 132) - P(X \le 122)\) rechnest? Wäre die \(122\) dann noch im Ergebnis enthalten?

1. Identifikation der Parameter: \(n = 150\), \(p = 0{,}85\). 2. Berechnung des Erwartungswerts zur Einordnung: \(\mu = 150 \cdot 0{,}85 = 127{,}5\). 3. Ansatz für die Intervallwahrscheinlichkeit: \(P(122 \le X \le 132) = P(X \le 132) - P(X \le 121)\). 4. Bestimmung der kumulierten Werte (z. B. mit dem WTR): \(P(X \le 132) \approx 0{,}8757\) und \(P(X \le 121) \approx 0{,}0881\). 5. Berechnung des Endergebnisses mit ungerundeten Zwischenwerten: \(P(122 \le X \le 132) \approx 0{,}7875\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(122 \le X \le 132) \approx 0{,}7875\) (bzw. \(78{,}75\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, welche Werte für \(n\) und \(p\) in dieser Situation gelten. - Achte bei Formulierungen wie „mehr als“ oder „zwischen“ genau darauf, welche Werte noch zur gesuchten Menge gehören. - Erinnere dich daran, wie man Wahrscheinlichkeiten für Intervalle oder „größer als“-Ereignisse mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion berechnet. - Tabellenwerke oder Taschenrechnerfunktionen für die kumulierte Binomialverteilung summieren immer von \(0\) bis zu einem Wert \(k\).

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 400\) und \(p = 0{,}02\). a) Für Teilaufgabe a) wird die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 5)\) berechnet. Unter Verwendung der Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 5) \approx 0{,}1885\). b) Für Teilaufgabe b) wird das Gegenereignis zu \(X \le 10\) betrachtet: \(P(X > 10) = 1 - P(X \le 10)\). Mit \(P(X \le 10) \approx 0{,}8179\) folgt \(1 - 0{,}8179 = 0{,}1821\). c) Für Teilaufgabe c) wird die Wahrscheinlichkeit für das Intervall \([6; 12]\) berechnet: \(P(6 \le X \le 12) = P(X \le 12) - P(X \le 5) \approx 0{,}7497\).

a) \(P(X \le 5) \approx 18{,}85\,\%\) b) \(P(X > 10) \approx 18{,}21\,\%\) c) \(P(6 \le X \le 12) \approx 74{,}97\,\%\)

- Überlege dir zuerst, welche Werte für \(n\) und \(p\) in dieser Situation gelten. - Achte auf Formulierungen wie „höchstens“ oder „mindestens“, um die richtigen Grenzen für die kumulierte Wahrscheinlichkeit zu finden. - Wie kannst du eine „mindestens“-Wahrscheinlichkeit mithilfe des Gegenereignisses berechnen? - Denke daran, dass bei einem Intervall von \(a\) bis \(b\) beide Grenzen eingeschlossen sind.

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 500\) und \(p = 0{,}04\). a) \(P(X \le 15) \approx 0{,}1513\). b) \(P(X \ge 25) = 1 - P(X \le 24) \approx 1 - 0{,}8478 = 0{,}1522\). c) \(P(18 \le X \le 22) = P(X \le 22) - P(X \le 17) \approx 0{,}7238 - 0{,}2924 = 0{,}4314\).

a) \(P(X \le 15) \approx 15{,}13\,\%\) b) \(P(X \ge 25) \approx 15{,}22\,\%\) c) \(P(18 \le X \le 22) \approx 43{,}14\,\%\)

- Überlege dir zuerst, welche Werte für \(n\) und \(p\) gegeben sind. - Achte bei Formulierungen wie „mehr als“ oder „weniger als“ darauf, ob der genannte Wert noch zum Ereignis gehört oder nicht. - Erinnere dich daran, wie man Wahrscheinlichkeiten für Intervalle oder Gegenereignisse mit der kumulierten Verteilungsfunktion \(F(n; p; k)\) berechnet. - Was bedeutet es für die Trefferzahl \(X\), wenn sie zwischen zwei Werten liegen soll? Welche ganzzahligen Werte sind dann genau gemeint?

Modellierung der Anzahl der Spender mit Blutgruppe 0 negativ durch eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit den Parametern \(n = 200\) und \(p = 0{,}15\). a) Berechnung von \(P(X \le 25)\) unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung: \(F(200; 0{,}15; 25) \approx 0{,}1876\). b) Anwendung der Gegenwahrscheinlichkeit für \(P(X > 35) = 1 - P(X \le 35)\): \(1 - F(200; 0{,}15; 35) \approx 1 - 0{,}8613 = 0{,}1387\). c) Bestimmung der Intervallwahrscheinlichkeit \(P(25 < X < 40) = P(26 \le X \le 39) = P(X \le 39) - P(X \le 25)\): \(F(200; 0{,}15; 39) - F(200; 0{,}15; 25) \approx 0{,}7788\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(18{,}76\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(13{,}87\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(77{,}88\,\%\).

- Identifiziere die Parameter der Binomialverteilung aus dem Text. - Wie lässt sich „weniger als 10“ als Bedingung für eine diskrete Zufallsgröße ausdrücken? - Denke bei „mindestens“ an das Gegenereignis, um die kumulierte Verteilungstabelle oder den Taschenrechner effizient zu nutzen. - Bei einem Intervall von \(a\) bis \(b\) (einschließlich) musst du die Wahrscheinlichkeit bis \(b\) nehmen und alles abziehen, was kleiner als \(a\) ist.

Die Anzahl der Bestellungen wird durch \(X \sim B(120; 0{,}12)\) beschrieben. a) \(P(X < 10) = P(X \le 9) \approx 0{,}0782\). b) \(P(X \ge 15) = 1 - P(X \le 14) \approx 1 - 0{,}5255 = 0{,}4745\). c) \(P(12 \le X \le 20) = P(X \le 20) - P(X \le 11) \approx 0{,}9513 - 0{,}2110 = 0{,}7403\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(7{,}82\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(47{,}45\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(74{,}03\,\%\).

- Bestimme zunächst die Trefferwahrscheinlichkeit für jede der Farben anhand der Sektoren des Glücksrads. - Bei Formulierungen wie „höchstens“ oder „mindestens ... aber höchstens“ handelt es sich um kumulierte Wahrscheinlichkeiten. - Nutze die kumulierte Binomialverteilung für die Berechnung. - Denke daran, dass für ein Intervall die Wahrscheinlichkeit als Differenz zweier kumulierter Werte dargestellt werden kann: \(P(a \le X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a-1)\).

1. Bestimmung der Trefferwahrscheinlichkeiten pro Drehung anhand der Sektoren des Glücksrads: \(p_{\text{Rot}} = \frac{3}{10} = 0{,}3\) \(p_{\text{Blau}} = \frac{5}{10} = 0{,}5\) 2. Da die einzelnen Drehungen unabhängig voneinander sind, ist die Anzahl der Treffer jeweils binomialverteilt mit \(n = 30\). 3. Berechnung für höchstens 8-mal Rot (kumulierte Binomialwahrscheinlichkeit): \(P(R \le 8) = \sum_{k=0}^{8} \binom{30}{k} \cdot 0{,}3^k \cdot 0{,}7^{30-k} \approx 0{,}4315 = 43{,}15\,\%\) 4. Berechnung für mindestens 12-mal und höchstens 18-mal Blau: \(P(12 \le B \le 18) = P(B \le 18) - P(B \le 11) = \sum_{k=12}^{18} \binom{30}{k} \cdot 0{,}5^k \cdot 0{,}5^{30-k} \approx 0{,}7995 = 79{,}95\,\%\)

a) ca. \(43{,}15\,\%\) b) ca. \(79{,}95\,\%\)

- Was bedeutet „mehr als“ und „weniger als“ für die möglichen Werte von \(X\)? - Schreibe dir die Menge der Trefferzahlen auf, die für das jeweilige Ereignis günstig sind. - Musst du Einzelwahrscheinlichkeiten addieren oder kannst du eine Tabelle für kumulierte Wahrscheinlichkeiten nutzen? - Achte genau darauf, ob die Randwerte (wie die 5 oder die 9) mitgezählt werden müssen oder nicht.

1. Identifikation der Parameter: \(n = 10\), \(p = 0{,}7\). 2. Berechnung von \(P(X \ge 8)\): Dies entspricht \(P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)\). Einsetzen in die Binomialverteilung: \(\binom{10}{8} \cdot 0{,}7^8 \cdot 0{,}3^2 + \binom{10}{9} \cdot 0{,}7^9 \cdot 0{,}3^1 + \binom{10}{10} \cdot 0{,}7^{10} \cdot 0{,}3^0 \approx 0{,}2335 + 0{,}1211 + 0{,}0282 = 0{,}3828\). 3. Berechnung von \(P(5 < X < 9)\): Die Bedingung „mehr als 5“ und „weniger als 9“ bedeutet \(X \in \{6, 7, 8\}\). Berechnung der Summe: \(P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) = \binom{10}{6} \cdot 0{,}7^6 \cdot 0{,}3^4 + \binom{10}{7} \cdot 0{,}7^7 \cdot 0{,}3^3 + \binom{10}{8} \cdot 0{,}7^8 \cdot 0{,}3^2 \approx 0{,}2001 + 0{,}2668 + 0{,}2335 = 0{,}7004\).

a) \(P(X \ge 8) \approx 0{,}3828\) (oder \(38{,}28\,\%\)) b) \(P(5 < X < 9) \approx 0{,}7004\) (oder \(70{,}04\,\%\))

- Was ist der Erwartungswert dieser Verteilung? - „Um höchstens 2 abweichen“ bedeutet, dass die Differenz zum Erwartungswert zwischen \(-2\) und \(2\) liegt. - Wie hängen die Ereignisse \(|X - 20| < 4\) und \(|X - 20| \ge 4\) zusammen? - Probiere systematisch kleine Werte für \(k\) aus und berechne die zugehörigen Intervallwahrscheinlichkeiten.

1. Erwartungswert berechnen: \(\mu = n \cdot p = 60 \cdot \frac{1}{3} = 20\). 2. Teilaufgabe a): Gesucht ist \(P(|X - 20| \le 2) = P(18 \le X \le 22)\). Berechnung über \(P(X \le 22) - P(X \le 17) \approx 0{,}7556 - 0{,}2495 = 0{,}5061\). 3. Teilaufgabe b): \(P(|X - 20| \ge 4) = 1 - P(|X - 20| < 4) = 1 - P(17 \le X \le 23)\). Berechnung: \(1 - (P(X \le 23) - P(X \le 16)) \approx 1 - (0{,}8315 - 0{,}1692) = 0{,}3377\). 4. Teilaufgabe c): Aus Aufgabenteil a) ist bekannt, dass \(P(|X - 20| \le 2) \approx 0{,}5061\). Für \(k = 1\) ergibt sich \(P(19 \le X \le 21) = P(X \le 21) - P(X \le 18) \approx 0{,}6639 - 0{,}3455 = 0{,}3183\). Da \(0{,}5061 > 0{,}5\), ist \(k = 2\) der kleinste gesuchte Wert.

a) \(P(|X - 20| \le 2) \approx 0{,}5061\) b) \(P(|X - 20| \ge 4) \approx 0{,}3377\) c) \(k = 2\)

- Was muss für die ersten elf Chips gelten, damit der zwölfte der erste Treffer ist? - Erinnere dich an die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung bei einer Binomialverteilung. - Welche ganzzahligen Werte liegen innerhalb des berechneten Intervalls \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\)? - Wie kannst du eine Intervallwahrscheinlichkeit in eine Differenz von zwei kumulierten Werten umwandeln?

1. Für Teilaufgabe a) muss der zwölfte Chip fehlerhaft sein (\(p = 0{,}08\)) und die elf vorherigen fehlerfrei (\(1 - p = 0{,}92\)). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = 0{,}92^{11} \cdot 0{,}08 \approx 0{,}0320\). 2. Für Teilaufgabe b) werden Erwartungswert \(\mu = n \cdot p = 400 \cdot 0{,}08 = 32\) und Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{400 \cdot 0{,}08 \cdot 0{,}92} = \sqrt{29{,}44} \approx 5{,}43\) berechnet. 3. Das Intervall \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\) entspricht \([32 - 5{,}43; 32 + 5{,}43] = [26{,}57; 37{,}43]\). Da \(X\) nur ganzzahlige Werte annimmt, ist \(P(27 \le X \le 37)\) gesucht. 4. Berechnung über die kumulative Binomialverteilung: \(P(27 \le X \le 37) = P(X \le 37) - P(X \le 26) \approx 0{,}8447 - 0{,}1549 = 0{,}6898\).

a) \(P \approx 3{,}20\,\%\) b) \(P(27 \le X \le 37) \approx 68{,}98\,\%\)

- Welche Verteilung liegt hier vor, wenn Murmeln unabhängig voneinander Lufteinschlüsse haben? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Wert „höchstens um \(2 \cdot \sigma\)“ abweicht? - Denke daran: Welche ganzzahligen Werte kann die Anzahl der Murmeln annehmen? - Wie gehst du vor, wenn du die Wahrscheinlichkeit für ein geschlossenes Intervall berechnen willst?

1. Parameter bestimmen: \(n = 300\), \(p = 0{,}1\). 2. Kennzahlen berechnen: \(\mu = 300 \cdot 0{,}1 = 30\). \(\sigma = \sqrt{300 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9} = \sqrt{27} \approx 5{,}196\). 3. Intervallgrenzen bestimmen: Die Abweichung von höchstens \(2 \cdot \sigma\) entspricht dem Intervall \([\mu - 2 \cdot \sigma; \mu + 2 \cdot \sigma]\). Berechnung: \(30 - 2 \cdot 5{,}196 = 19{,}608\) und \(30 + 2 \cdot 5{,}196 = 40{,}392\). Das Intervall der ganzzahligen Werte ist somit \([20; 40]\). 4. Wahrscheinlichkeit berechnen: \(P(20 \le Y \le 40) = P(Y \le 40) - P(Y \le 19)\). Mit der kumulierten Binomialverteilung (\(n=300, p=0{,}1\)) folgt: \(P(Y \le 40) \approx 0{,}9746\) und \(P(Y \le 19) \approx 0{,}0171\). Die Differenz ergibt \(0{,}9746 - 0{,}0171 = 0{,}9575\).

a) \(\mu = 30\); \(\sigma \approx 5{,}20\). b) \(P(20 \le Y \le 40) \approx 95{,}75\,\%\).

- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung fehlerhaft ist, indem du das Gegenereignis „kein Chip ist defekt“ betrachtest. - Nutze diesen Wert als Erfolgswahrscheinlichkeit für die zweite Binomialverteilung der 20 Packungen. - Wie lässt sich „höchstens eine“ mathematisch mit den Punktwahrscheinlichkeiten ausdrücken?

1. Die Anzahl defekter Chips in einer Packung ist \(B(10; 0{,}05)\)-verteilt. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung beanstandet wird, ist \(p_{B} = P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}95^{10} \approx 0{,}40126\). 2. Die Anzahl der beanstandeten Packungen unter \(20\) Stück ist \(B(20; p_{B})\)-verteilt. Die Wahrscheinlichkeit für genau \(5\) Beanstandungen ist \(P(Y = 5) = \binom{20}{5} \cdot p_{B}^5 \cdot (1 - p_{B})^{15} \approx 0{,}0735\). 3. Die Wahrscheinlichkeit für höchstens eine Beanstandung ist \(P(Y \le 1) = P(Y = 0) + P(Y = 1)\). Es gilt \(P(Y = 0) = (1 - p_{B})^{20} \approx 0{,}0000351\) und \(P(Y = 1) = 20 \cdot p_{B} \cdot (1 - p_{B})^{19} \approx 0{,}0004698\). Die Summe ergibt \(P(Y \le 1) \approx 0{,}0005049\).

1. \(p_{B} \approx 0{,}4013\) 2. \(P(Y = 5) \approx 0{,}0735\) 3. \(P(Y \le 1) \approx 0{,}000505\)

- Wenn du Wahrscheinlichkeiten für Intervalle suchst, hilft es oft, diese als Differenz zweier „höchstens“-Wahrscheinlichkeiten darzustellen. - Wie verändert sich die Blickrichtung auf die Treffer, wenn man statt der \(75\,\%\) die restlichen \(25\,\%\) betrachtet? - Achte bei „weniger als“ oder „mehr als“ darauf, ob die genannte Zahl noch zum Ereignis gehört oder nicht. - Wandle die Bedingungen für \(X\) schrittweise in Bedingungen für die komplementäre Größe \(Y\) um.

Sei \(X\) die Anzahl der Smartphone-Bestellungen mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}75\). Zur Nutzung des Tafelwerks wird die Zufallsgröße \(Y = 100 - X\) (Bestellungen nicht per Smartphone) mit \(q = 1 - p = 0{,}25\) betrachtet. 1. \(P(X < 70) = P(X \le 69) = P(Y \ge 100 - 69) = P(Y \ge 31) = 1 - P(Y \le 30)\). Mit dem Tabellenwert \(F(100; 0{,}25; 30) \approx 0{,}8962\) ergibt sich \(1 - 0{,}8962 = 0{,}1038\). 2. \(P(72 \le X \le 80)\) entspricht \(P(100 - 80 \le Y \le 100 - 72) = P(20 \le Y \le 28)\). Dies berechnet man über die Differenz der kumulativen Wahrscheinlichkeiten \(F(100; 0{,}25; 28) - F(100; 0{,}25; 19) \approx 0{,}6929\). 3. \(P(X > 80) = P(X \ge 81) = P(Y \le 100 - 81) = P(Y \le 19)\). Der Tabellenwert \(F(100; 0{,}25; 19)\) liefert ca. \(0{,}0995\).

(1) \(P(X < 70) \approx 0{,}1038\) (2) \(P(72 \le X \le 80) \approx 0{,}6929\) (3) \(P(X > 80) \approx 0{,}0995\)

- Wenn deine Tabelle nur Erfolgswahrscheinlichkeiten bis \(0{,}5\) anzeigt, kannst du die Treffer und Nieten vertauschen. - Beachte bei Aufgaben wie \(a < X < b\), welche ganzen Zahlen tatsächlich im Intervall liegen. - Formuliere die Aufgabenstellung erst in die Form \(P(X \le k)\) um, bevor du in der Tabelle nachschlägst. - Prüfe bei \(P(X > k)\), ob du \(1 - P(X \le k)\) oder \(1 - P(X \le k-1)\) rechnen musst.

a) Bestimmung von \(P(X \le 75)\): Falls die Tabelle nur Werte bis \(p = 0{,}5\) enthält, nutzt man die Symmetrie zur Zufallsgröße \(Y \sim B(100; 0{,}2)\). Es gilt \(P(X \le 75) = P(Y \ge 25) = 1 - P(Y \le 24)\). Mit \(P(Y \le 24) \approx 0{,}8686\) ergibt sich \(1 - 0{,}8686 = 0{,}1314\). b) Berechnung von \(P(X > 85)\): Über das Gegenereignis gilt \(P(X > 85) = 1 - P(X \le 85)\). Unter Verwendung der Symmetrie ist dies \(P(Y \le 14)\). Mit \(P(Y \le 14) \approx 0{,}0804\) folgt das Ergebnis direkt. c) Berechnung von \(P(78 < X < 88)\): Dies entspricht \(P(79 \le X \le 87)\). Über die kumulative Verteilung berechnet man \(P(X \le 87) - P(X \le 78)\). Mit den Werten \(P(X \le 87) \approx 0{,}9747\) und \(P(X \le 78) \approx 0{,}3460\) ergibt sich \(0{,}9747 - 0{,}3460 = 0{,}6287\).

a) \(P(X \le 75) \approx 0{,}1314\) b) \(P(X > 85) \approx 0{,}0804\) c) \(P(78 < X < 88) \approx 0{,}6287\)

- Wie lässt sich ein Bereich wie „von \(a\) bis \(b\)“ mithilfe der kumulierten Verteilung \(P(X \le k)\) berechnen? - Denke daran, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignis und Gegenereignis immer \(1\) ergibt. - Was ist das logische Gegenteil einer „Und“-Verknüpfung in einem Intervall?

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 50\) und \(p = 0{,}2\). 1. Das Gegenereignis zu \(E_1\) ist \(\bar{E}_1\): „Weniger als \(12\) Personen stimmen zu“ (bzw. „Höchstens \(11\) Personen“). Es gilt \(P(\bar{E}_1) = P(X \le 11) = F(50; 0{,}2; 11)\). Der Tabellenwert ergibt \(P(\bar{E}_1) \approx 0{,}7107\). 2. Das Ereignis \(E_2\) umfasst die Werte \(6, 7, \dots, 12\). Das Gegenereignis \(\bar{E}_2\) ist: „Höchstens \(5\) oder mindestens \(13\) Personen stimmen zu“. Die Wahrscheinlichkeit von \(\bar{E}_2\) ist \(1 - P(E_2)\). Dabei ist \(P(E_2) = P(6 \le X \le 12) = P(X \le 12) - P(X \le 5) = F(50; 0{,}2; 12) - F(50; 0{,}2; 5)\). Mit den Werten \(0{,}8139\) und \(0{,}0480\) ergibt sich \(P(E_2) = 0{,}8139 - 0{,}0480 = 0{,}7659\). Somit ist \(P(\bar{E}_2) = 1 - 0{,}7659 = 0{,}2341\).

(1) \(\bar{E}_1\): Höchstens \(11\) Personen stimmen zu; \(P(\bar{E}_1) \approx 0{,}7107\) (2) \(\bar{E}_2\): Höchstens \(5\) oder mindestens \(13\) Personen stimmen zu; \(P(\bar{E}_2) \approx 0{,}2341\)

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Einschluss in einem bestimmten Sektor landet? - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für „mehr als zwei“ berechnen sollst, ist es oft einfacher, das Gegenereignis zu betrachten. - Wie berechnet man den Erwartungswert für die Anzahl der Sektoren, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen?

1. Modellierung: Die Anzahl \(X\) der Einschlüsse pro Sektor ist binomialverteilt mit \(n = 60\) (Gesamtzahl der Einschlüsse) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{80} = 0{,}0125\) für einen spezifischen Sektor. 2. Zu a): Gesucht ist \(P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2))\). 3. \(P(X=0) = 0{,}9875^{60} \approx 0{,}4701\) 4. \(P(X=1) = 60 \cdot 0{,}0125 \cdot 0{,}9875^{59} \approx 0{,}3571\) 5. \(P(X=2) = \binom{60}{2} \cdot 0{,}0125^2 \cdot 0{,}9875^{58} \approx 0{,}1333\) 6. \(P(X > 2) \approx 1 - (0{,}4701 + 0{,}3571 + 0{,}1333) \approx 0{,}0395\). 7. Zu b): Erwartete Anzahl leerer Sektoren: \(E = 80 \cdot P(X=0) \approx 80 \cdot 0{,}4701 \approx 37{,}61\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(3{,}95\,\%\). b) Es sind im Durchschnitt etwa \(37{,}6\) Sektoren frei von Einschlüssen.

- Überlege dir zuerst, welche Werte von \(X\) nicht im Intervall \([165; 195]\) liegen. - Du kannst entweder die Wahrscheinlichkeiten der beiden äußeren Bereiche addieren oder die Wahrscheinlichkeit des Intervalls vom Ganzen abziehen. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall \(P(a \le X \le b)\) mithilfe der kumulativen Verteilungsfunktion?

1. Gegeben sind \(n = 600\) und \(p = 0{,}3\). Das Intervall ist \([165; 195]\). 2. Das Ereignis „außerhalb des Intervalls“ entspricht \(X < 165\) oder \(X > 195\). 3. Berechnung von \(P(X < 165)\): Dies entspricht \(P(X \le 164) \approx 0{,}0828\). 4. Berechnung von \(P(X > 195)\): Dies entspricht \(1 - P(X \le 195) \approx 1 - 0{,}9156 = 0{,}0844\). 5. Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten für das Gesamtergebnis: \(0{,}0828 + 0{,}0844 = 0{,}1672\). Alternative: \(1 - P(165 \le X \le 195) = 1 - (P(X \le 195) - P(X \le 164)) = 1 - (0{,}9156 - 0{,}0828) = 1 - 0{,}8328 = 0{,}1672\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(16{,}72\,\%\).

- Wie berechnet man den Erwartungswert bei einer Binomialverteilung? - Was bedeutet „Abweichung um höchstens 5“ mathematisch für die Intervallgrenzen? - Denke daran, dass „kleiner als 35“ den Wert 35 selbst nicht mit einschließt. - Nutze für Intervallwahrscheinlichkeiten die Differenz zweier kumulierter Werte.

Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}4\). a) Berechnung für a): Gesucht ist \(P(X < 35) = P(X \le 34)\). Der Wert der kumulierten Verteilungsfunktion an der Stelle \(34\) ist \(P(X \le 34) \approx 0{,}1303\). b) Berechnung für b): Gesucht ist \(P(X \ge 45) = 1 - P(X \le 44)\). Mit \(P(X \le 44) \approx 0{,}8211\) ergibt sich \(1 - 0{,}8211 = 0{,}1789\). c) Berechnung für c): Zuerst wird der Erwartungswert berechnet: \(E(X) = n \cdot p = 100 \cdot 0{,}4 = 40\). Die Abweichung um höchstens \(5\) bedeutet das Intervall \([40-5; 40+5] = [35; 45]\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(35 \le X \le 45) = P(X \le 45) - P(X \le 34)\). Mit \(P(X \le 45) \approx 0{,}8689\) und \(P(X \le 34) \approx 0{,}1303\) folgt \(0{,}8689 - 0{,}1303 = 0{,}7386\).

a) \(P(X < 35) \approx 13{,}03\,\%\) b) \(P(X \ge 45) \approx 17{,}89\,\%\) c) \(P(35 \le X \le 45) \approx 73{,}86\,\%\)

- Welchen Rechenaufwand sparst du dir, wenn du eine Tabelle für Summenwahrscheinlichkeiten nutzt? - Übersetze die Grenzen des Intervalls von \(X\) (richtige Antworten) in die entsprechenden Grenzen für \(Y\) (falsche Antworten). Achte dabei darauf, dass die obere Grenze von \(X\) zur unteren Grenze von \(Y\) wird. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich \(a \le Y \le b\), wenn man nur Werte für \(P(Y \le k)\) zur Verfügung hat?

a) Kumulierte Tabellen ermöglichen es, Wahrscheinlichkeiten für ganze Intervalle durch die Differenz zweier Tabellenwerte zu bestimmen, statt zahlreiche Einzelwahrscheinlichkeiten zu addieren. b) Sei \(Y\) die Anzahl der falsch beantworteten Fragen mit \(Y \sim B(25; 0{,}25)\). Aus \(15 \le X \le 20\) folgt \(5 \le Y \le 10\). Daher gilt \(P(15 \le X \le 20) = P(5 \le Y \le 10) = P(Y \le 10) - P(Y \le 4)\). Mit \(P(Y \le 10) \approx 0{,}9703\) und \(P(Y \le 4) \approx 0{,}2137\) erhält man \(0{,}9703 - 0{,}2137 = 0{,}7566\).

a) Der Vorteil liegt in der Zeitersparnis, da Intervallwahrscheinlichkeiten durch die Differenz zweier Tabellenwerte \(P(X \le b) - P(X \le a-1)\) bestimmt werden können, statt viele Einzelwerte zu summieren. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(15 \le X \le 20) = P(5 \le Y \le 10) \approx 0{,}7566\) (bzw. \(75{,}66\,\%\)).

- Wie berechnet man den Erwartungswert bei einer Binomialverteilung? - Wenn ein Intervall gesucht ist, wie kannst du das als Differenz von zwei „höchstens“-Wahrscheinlichkeiten schreiben? - Was bedeutet eine Abweichung vom Mittelwert mathematisch als Ungleichung oder Intervall? - Denk daran, dass bei der Differenz \(P(X \le b) - P(X \le a)\) der Wert \(a\) so gewählt werden muss, dass die gesuchte untere Grenze noch enthalten bleibt.

Die Anzahl der defekten Chips \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 200\) und \(p = 0{,}05\). 1. Bestimmung der kumulierten Wahrscheinlichkeit bis zum Wert 12: \(P(X \le 12) \approx 0{,}7965\). 2. Berechnung der Intervallwahrscheinlichkeit: \(P(5 \le X \le 15) = P(X \le 15) - P(X \le 4) \approx 0{,}9556 - 0{,}0264 = 0{,}9292\). 3. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = n \cdot p = 200 \cdot 0{,}05 = 10\). Die Abweichung um höchstens 2 bedeutet \(10 - 2 \le X \le 10 + 2\), also \(P(8 \le X \le 12)\). Berechnung: \(P(8 \le X \le 12) = P(X \le 12) - P(X \le 7) \approx 0{,}7965 - 0{,}2133 = 0{,}5832\).

1. \(P(X \le 12) \approx 79{,}65\,\%\) 2. \(P(5 \le X \le 15) \approx 92{,}92\,\%\) 3. \(P(8 \le X \le 12) \approx 58{,}32\,\%\)