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Stellen Sie aus rund 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Grenzen von Binomialintervallen bestimmen

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55217212
Für die binomialverteilte Zufallsgröße \(X\sim B(10,0{,}3)\) sind folgende kumulierte Wahrscheinlichkeiten gegeben: <table><tr><th>\(k\)</th><th>\(P(X\le k)\)</th></tr><tr><td>\(4\)</td><td>\(0{,}8497\)</td></tr><tr><td>\(5\)</td><td>\(0{,}9527\)</td></tr><tr><td>\(6\)</td><td>\(0{,}9894\)</td></tr></table> Bestimme die kleinste der angegebenen ganzen Zahlen \(k\), für die \(P(X\le k)\ge0{,}95\) gilt.

Denkanstöße

- Vergleiche die kumulierten Werte der Reihe nach mit \(0{,}95\). - Gesucht ist der erste Wert, der die Grenze erreicht oder überschreitet.

Lösung

1. Für \(k=4\) gilt \(P(X\le4)=0{,}8497<0{,}95\). 2. Für \(k=5\) gilt \(P(X\le5)=0{,}9527\ge0{,}95\). 3. Daher ist \(k=5\) die kleinste angegebene Zahl, die die Bedingung erfüllt.

Antwort

\(k=5\)
55217312
Das Säulendiagramm zeigt für die binomialverteilte Zufallsgröße \(X\sim B(5,0{,}4)\) die oberen Randwahrscheinlichkeiten \(P(X\ge k)\) für \(k=2,3,4\). Bestimme die größte der dargestellten ganzen Zahlen \(k\), für die \(P(X\ge k)\ge0{,}30\) gilt.
Abbildung zur Aufgabe 552173

Denkanstöße

- Vergleiche die Säulenhöhen mit der Grenze \(0{,}30\). - Gesucht ist der größte dargestellte Wert, der die Grenze noch erreicht.

Lösung

1. Die Säule bei \(k=3\) liegt noch über \(0{,}30\). 2. Die Säule bei \(k=4\) liegt bereits unter \(0{,}30\). 3. Daher ist \(k=3\) die größte dargestellte ganze Zahl, die die Bedingung erfüllt.

Antwort

\(k=3\)
55227212
In einem Paketzentrum werden jeweils \(12\) Pakete unter denselben Bedingungen bearbeitet. Für jedes Paket beträgt die Wahrscheinlichkeit einer Fehlleitung \(0{,}1\); die Bearbeitung eines Pakets beeinflusst die anderen nicht. \(X\) bezeichnet die Zahl der fehlgeleiteten Pakete. a) Begründe, warum \(X\) binomial modelliert werden kann, und gib \(n\) und \(p\) an. b) Ein Servicewert \(m\) soll so klein wie möglich sein, dass in mindestens \(95\,\%\) der 12er-Gruppen höchstens \(m\) Fehlleitungen auftreten. Verwende die Tabelle und bestimme \(m\). Die Tabellenwerte sind auf vier Dezimalstellen gerundet. <table><tr><th>\(k\)</th><th>\(0\)</th><th>\(1\)</th><th>\(2\)</th><th>\(3\)</th><th>\(4\)</th></tr><tr><td>\(F(k)=P(X\le k)\)</td><td>\(0{,}2824\)</td><td>\(0{,}6590\)</td><td>\(0{,}8891\)</td><td>\(0{,}9744\)</td><td>\(0{,}9957\)</td></tr></table>

Denkanstöße

- Prüfe die Merkmale einer Bernoulli-Kette am beschriebenen Ablauf. - Übersetze „höchstens \(m\)“ in eine Aussage mit \(F(m)\). - Suche den ersten Tabellenwert, der mindestens \(0{,}95\) beträgt.

Lösung

1. Es gibt \(12\) gleichartige unabhängige Versuche mit den zwei Ausgängen „fehlgeleitet“ und „nicht fehlgeleitet“ sowie der konstanten Fehlleitungswahrscheinlichkeit \(0{,}1\). Daher gilt \(X\sim B(12,0{,}1)\). 2. Gesucht ist der kleinste Wert \(m\) mit \(F(m)\ge0{,}95\). 3. Es gilt \(F(2)\approx0{,}8891<0{,}95\), aber \(F(3)\approx0{,}9744\ge0{,}95\). 4. Daher ist \(m=3\).

Antwort

a) \(X\sim B(12,0{,}1)\) b) \(m=3\)
55709512
Das Säulendiagramm zeigt die Punktwahrscheinlichkeiten einer Binomialverteilung. Bestimme die kleinste ganze Zahl \(k\), für die \(P(X\le k)\ge0{,}8\) gilt. Berechne dazu aus den Säulen ausdrücklich \(P(X\le2)\) und \(P(X\le3)\).
Abbildung zur Aufgabe 557095

Denkanstöße

- Das Diagramm zeigt Punktwahrscheinlichkeiten, nicht bereits kumulierte Werte. - Addiere die Säulen von \(0\) an bis zur jeweils geprüften Grenze. - Für die Minimalität musst du zeigen, dass die vorherige Grenze noch nicht genügt.

Lösung

1. Aus dem Diagramm ergibt sich \(P(X\le2)=\frac{1}{16}+\frac{4}{16}+\frac{6}{16}=\frac{11}{16}=0{,}6875\). Dieser Wert liegt unter \(0{,}8\). 2. Mit der nächsten Säule folgt \(P(X\le3)=\frac{11}{16}+\frac{4}{16}=\frac{15}{16}=0{,}9375\). Dieser Wert liegt mindestens bei \(0{,}8\). 3. Daher ist \(k=3\) die kleinste ganze Zahl mit der geforderten kumulierten Wahrscheinlichkeit.

Antwort

\(P(X\le2)=\frac{11}{16}=0{,}6875\), \(P(X\le3)=\frac{15}{16}=0{,}9375\); daher \(k=3\).
55709612
Für \(X\sim B(10,0{,}3)\) sind folgende oberen Randwahrscheinlichkeiten gegeben: <table><tr><th>\(k\)</th><th>\(P(X\ge k)\)</th></tr><tr><td>\(5\)</td><td>\(0{,}1503\)</td></tr><tr><td>\(6\)</td><td>\(0{,}0473\)</td></tr><tr><td>\(7\)</td><td>\(0{,}0106\)</td></tr></table> Bestimme die kleinste der angegebenen ganzen Zahlen \(k\), für die \(P(X\ge k)\le0{,}05\) gilt. Erkläre, warum \(k=5\) noch nicht genügt.

Denkanstöße

- Vergleiche die angegebenen Randwahrscheinlichkeiten direkt mit \(0{,}05\). - Achte darauf, dass die kleinste passende Grenze gesucht ist. - Prüfe ausdrücklich den direkt vorherigen Wert.

Lösung

1. Bei \(k=5\) gilt \(P(X\ge5)\approx0{,}1503>0{,}05\); die Grenze wird also noch nicht eingehalten. 2. Bei \(k=6\) gilt \(P(X\ge6)\approx0{,}0473\le0{,}05\). 3. Daher ist \(k=6\) die kleinste angegebene passende Grenze.

Antwort

\(k=6\)
42354312
Ein Vokabeltest besteht aus \(10\) Aufgaben. Bei jeder Aufgabe gibt es vier Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Sophie kreuzt bei allen Aufgaben unabhängig voneinander rein zufällig eine Antwort an. Sei \(X\) die Anzahl der richtigen Antworten. Ab wie vielen richtigen Antworten soll der Test als bestanden gelten, wenn die Wahrscheinlichkeit, allein durch Raten zu bestehen, kleiner als \(15\,\%\) sein soll? Bestimme die kleinste passende Bestehensgrenze \(k\).

Denkanstöße

- Welche Trefferwahrscheinlichkeit gilt beim zufälligen Raten? - Wie verändert sich die Bestehenswahrscheinlichkeit, wenn die geforderte Trefferzahl steigt? - Welche zwei benachbarten Grenzwerte musst du vergleichen, um die Minimalität zu zeigen?

Lösung

1. Es gilt \(X\sim B(10,0{,}25)\). Gesucht ist das kleinste \(k\) mit \(P(X\ge k)<0{,}15\). 2. \(P(X\ge4)\approx0{,}2241>0{,}15\). 3. \(P(X\ge5)\approx0{,}0781<0{,}15\). 4. Daher ist \(k=5\) die kleinste passende Bestehensgrenze.

Antwort

\(k=5\)
42361512
Ein Multiple-Choice-Test besteht aus \(12\) Fragen. Zu jeder Frage gibt es vier Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Mira kreuzt bei jeder Frage unabhängig von den anderen rein zufällig eine Antwort an. Sei \(X\) die Anzahl der richtigen Antworten. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt Mira mindestens \(5\) Treffer? Gib das Ergebnis als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an. b) Ab welcher Trefferanzahl \(k\) ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens \(k\) Treffer allein durch Raten zu erzielen, kleiner als \(10\,\%\)? Bestimme den kleinsten ganzzahligen Wert.

Denkanstöße

- Welche Trefferwahrscheinlichkeit hat eine zufällig beantwortete Frage? - Wie lässt sich „mindestens \(k\)“ mit \(F\) ausdrücken? - Welche benachbarten Grenzwerte zeigen, dass dein \(k\) wirklich minimal ist?

Lösung

1. Es gilt \(X\sim B(12,0{,}25)\). 2. \(P(X\ge5)=1-F(4)\approx15{,}76\,\%\). 3. Für b) wird das kleinste \(k\) mit \(P(X\ge k)<0{,}10\) gesucht. 4. \(P(X\ge5)\approx0{,}1576>0{,}10\) und \(P(X\ge6)=1-F(5)\approx0{,}0544<0{,}10\). 5. Daher ist \(k=6\).

Antwort

a) \(15{,}76\,\%\) b) \(k=6\)
42361612
Für ein Qualitätskontrollmodell werden \(20\) Bauteile betrachtet. Jedes Bauteil ist unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}05\) defekt. Sei \(X\) die Anzahl der defekten Bauteile. a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens \(2\) defekte Bauteile auftreten? Gib das Ergebnis als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an. b) Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens \(k\) defekte Bauteile auftreten, soll unter \(1\,\%\) liegen. Bestimme den kleinsten ganzzahligen Wert für \(k\).

Denkanstöße

- Welche Werte haben \(n\) und \(p\)? - Wie lässt sich „mindestens“ über \(F\) ausdrücken? - Welche zwei benachbarten Grenzwerte zeigen die Minimalität?

Lösung

1. Es gilt \(X\sim B(20,0{,}05)\). 2. \(P(X\ge2)=1-F(1)\approx26{,}42\,\%\). 3. Für b) wird das kleinste \(k\) mit \(P(X\ge k)<0{,}01\) gesucht. 4. \(P(X\ge4)=1-F(3)\approx0{,}0159>0{,}01\), aber \(P(X\ge5)=1-F(4)\approx0{,}0026<0{,}01\). 5. Daher ist \(k=5\).

Antwort

a) \(26{,}42\,\%\) b) \(k=5\)
42706012
Eine Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(X\sim B(100,0{,}25)\). Ermittle mit einem geeigneten digitalen Hilfsmittel: a) die kleinste natürliche Zahl \(k\), für die \(P(X\le k)\ge0{,}95\) gilt, b) die kleinste natürliche Zahl \(k\), für die \(P(X>k)\le0{,}01\) gilt.

Denkanstöße

- Welche kumulierte Wahrscheinlichkeit musst du in a) mit \(0{,}95\) vergleichen? - Wie lässt sich die Bedingung aus b) mit \(F(k)\) formulieren? - Prüfe jeweils auch den direkt kleineren Grenzwert.

Lösung

1. Für a) wird das kleinste \(k\) mit \(F(k)\ge0{,}95\) gesucht. Es gilt \(F(31)\approx0{,}9307\) und \(F(32)\approx0{,}9554\). Daher ist \(k=32\). 2. Für b) ist \(P(X>k)\le0{,}01\) gleichbedeutend mit \(F(k)\ge0{,}99\). 3. Es gilt \(F(34)\approx0{,}9836\) und \(F(35)\approx0{,}9906\). Daher ist \(k=35\).

Antwort

a) \(k=32\) b) \(k=35\)
42709712
An einem Informationsstand eines Reiseveranstalters interessieren sich in einem Modell \(20\,\%\) der Passanten für eine Fernreise. Während einer Stunde bleiben \(80\) Passanten am Stand stehen; die Einzelentscheidungen werden als unabhängig angenommen. Sei \(X\) die Anzahl der Interessierten. a) Wie viele Informationsbroschüren müssen mindestens bereitgehalten werden, damit sie mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(95\,\%\) für alle Interessierten ausreichen? b) Der Veranstalter hat \(18\) Broschüren ausgelegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass am Ende der Stunde noch Broschüren übrig sind. Gib das Ergebnis als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Werte haben \(n\) und \(p\)? - Welche kumulierte Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass eine bestimmte Anzahl Broschüren ausreicht? - Wann bleibt bei \(18\) Broschüren mindestens eine übrig?

Lösung

1. Es gilt \(X\sim B(80,0{,}2)\). 2. Für a) wird das kleinste \(k\) mit \(F(k)\ge0{,}95\) gesucht. Es gilt \(F(21)\approx0{,}9340\) und \(F(22)\approx0{,}9612\). Daher werden mindestens \(22\) Broschüren benötigt. 3. Bei \(18\) Broschüren bleiben welche übrig, wenn höchstens \(17\) Interessierte auftreten. 4. Daher gilt \(P(X\le17)=F(17)\approx67{,}08\,\%\).

Antwort

a) Mindestens \(22\) Broschüren. b) \(67{,}08\,\%\)
42709812
Ein Baumarkt führt eine Werbeaktion durch, bei der jede Kundin und jeder Kunde beim Bezahlen einen fairen Würfel werfen darf. Bei einer „6“ gibt es einen Sofortrabatt. An einem Vormittag wird der Würfel \(150\)-mal unabhängig geworfen. Sei \(X\) die Anzahl der Gewinnwürfe. a) Bestimme die Anzahl der Rabatte, die der Baumarkt mindestens einplanen muss, damit sie mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(90\,\%\) für alle Gewinnwürfe ausreichen. b) Der Filialleiter hat \(30\) Rabattgutscheine vorbereitet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr Gewinnwürfe auftreten als Gutscheine vorhanden sind? Gib das Ergebnis als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Trefferwahrscheinlichkeit hat die „6“ bei einem fairen Würfel? - Welche kumulierte Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass eine bestimmte Anzahl Rabatte ausreicht? - Wie lässt sich der Engpass in b) als Gegenereignis formulieren?

Lösung

1. Es gilt \(X\sim B\left(150,\frac16\right)\). 2. Für a) wird das kleinste \(k\) mit \(F(k)\ge0{,}90\) gesucht. Es gilt \(F(30)\approx0{,}8842\) und \(F(31)\approx0{,}9197\). Daher werden mindestens \(31\) Rabatte benötigt. 3. Für b) gilt \(P(X>30)=1-F(30)\approx11{,}58\,\%\).

Antwort

a) Mindestens \(31\) Rabatte. b) \(11{,}58\,\%\)
42714912
Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit den Parametern \(n=80\) und \(p=0{,}3\). Bestimme das kleinste zum Erwartungswert symmetrische Intervall \([\mu-k;\mu+k]\), in dem die Werte der Zufallsgröße mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(95\,\%\) liegen.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst den Mittelpunkt des Intervalls. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich mithilfe kumulierter Werte? - Probiere die Abstände vom Mittelpunkt systematisch aus. - Verwende für Differenzen möglichst ungerundete kumulierte Werte.

Lösung

1. Der Erwartungswert ist \(\mu=80\cdot0{,}3=24\). 2. Gesucht ist das kleinste \(k\in\mathbb N_0\) mit \(P(24-k\le X\le24+k)\ge0{,}95\). 3. Mit der kumulativen Binomialfunktion und ungerundeten Rechnerwerten ergibt sich für \(k=7\): \(P(17\le X\le31)=F(31)-F(16)\approx0{,}9337<0{,}95\). 4. Für \(k=8\) ergibt sich \(P(16\le X\le32)=F(32)-F(15)\approx0{,}9628\ge0{,}95\). 5. Damit ist \(k=8\) minimal und das gesuchte Intervall lautet \([16;32]\).

Antwort

\([16;32]\)
42788412
Für ein Qualitätskontrollmodell werden \(50\) Mikrochips betrachtet. Jeder Chip ist unabhängig von den anderen mit derselben noch unbekannten Wahrscheinlichkeit \(p\) defekt. Sei \(X\) die Anzahl der defekten Chips. Wie groß muss \(p\) mindestens sein, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens einen defekten Chip zu finden, mindestens \(90\,\%\) beträgt?

Denkanstöße

- Welches Gegenereignis gehört zu „mindestens ein defekter Chip“? - Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit für keinen einzigen Defekt ausdrücken? - Welche Umkehroperation brauchst du, um nach \(p\) aufzulösen?

Lösung

1. Es gilt \(X\sim B(50,p)\) und die Bedingung lautet \(P(X\ge1)\ge0{,}90\). 2. Mit dem Gegenereignis folgt \(1-(1-p)^{50}\ge0{,}90\). 3. Also gilt \((1-p)^{50}\le0{,}10\). 4. Daraus folgt \(p\ge1-\sqrt[50]{0{,}10}\approx0{,}045007\).

Antwort

\(p\ge1-\sqrt[50]{0{,}10}\approx4{,}5007\,\%\)
42877312
In einem Modell wird angenommen, dass jede von \(20\) unabhängig betrachteten Personen ein bestimmtes Projekt mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}15\) unterstützt. Sei \(X\) die Anzahl der Unterstützenden. Ein Ergebnis wird hier als „überraschend nach oben“ bezeichnet, wenn die Wahrscheinlichkeit für mindestens so viele Unterstützende höchstens \(5\,\%\) beträgt. Ab welcher Anzahl \(k\) ist ein Ergebnis in diesem ausdrücklich definierten Sinn überraschend?

Denkanstöße

- Wie lässt sich die Definition als Bedingung an \(P(X\ge k)\) schreiben? - Welche kumulierten Wahrscheinlichkeiten brauchst du für obere Randwahrscheinlichkeiten? - Welche zwei benachbarten Werte zeigen die gesuchte erste Grenze?

Lösung

1. Es gilt \(X\sim B(20,0{,}15)\). Gesucht ist das kleinste \(k\) mit \(P(X\ge k)\le0{,}05\). 2. \(P(X\ge6)=1-F(5)\approx0{,}0673>0{,}05\). 3. \(P(X\ge7)=1-F(6)\approx0{,}0219\le0{,}05\). 4. Daher ist \(k=7\) die gesuchte Grenze.

Antwort

\(k=7\)
43103212
In einem Modell für ein Neubaugebiet nutzen von \(150\) Haushalten jeweils unabhängig \(20\,\%\) gleichzeitig einen Internetdienst mit voller Bandbreite. Sei \(X\) die Anzahl der gleichzeitig aktiven Haushalte. Für wie viele Haushalte muss mindestens gleichzeitig Kapazität bereitstehen, damit der Bedarf mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(95\,\%\) gedeckt ist?

Denkanstöße

- Welche Zufallsgröße beschreibt den gleichzeitigen Bedarf? - Welche kumulierte Wahrscheinlichkeit muss mindestens \(0{,}95\) erreichen? - Welche benachbarten Kapazitätswerte zeigen die Minimalität?

Lösung

1. Es gilt \(X\sim B(150,0{,}2)\). 2. Gesucht ist das kleinste \(k\) mit \(P(X\le k)=F(k)\ge0{,}95\). 3. Es gilt \(F(37)\approx0{,}9341<0{,}95\) und \(F(38)\approx0{,}9554\ge0{,}95\). 4. Daher ist \(k=38\) minimal.

Antwort

Es muss für mindestens \(38\) Haushalte gleichzeitig Kapazität bereitstehen.
43109912
In einem Co-Working-Space sind \(15\) Mitglieder gleichzeitig anwesend. Jedes Mitglied nutzt für Telefonate insgesamt \(15\) Minuten pro Stunde eine schallisolierte Telefonkabine. Für das Modell wird angenommen, dass die Nutzungszeiten voneinander unabhängig und jeweils gleichmäßig über die Stunde verteilt sind. Sei \(X\) die Anzahl der gleichzeitig benötigten Kabinen. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass zu einem zufällig gewählten Zeitpunkt höchstens \(4\) Telefonkabinen gleichzeitig benötigt werden. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als \(6\) Kabinen gleichzeitig benötigt werden. c) Wie viele Telefonkabinen müssen mindestens vorhanden sein, damit sie mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(95\,\%\) ausreichen? Gib Wahrscheinlichkeiten als Prozentsätze mit zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Wie wird aus \(15\) Minuten Nutzung pro Stunde eine Wahrscheinlichkeit für einen zufälligen Zeitpunkt? - Wie lassen sich „höchstens“ und „mehr als“ mit \(F\) ausdrücken? - Welche benachbarten Kapazitätswerte zeigen die Minimalität in c)?

Lösung

1. Für ein Mitglied beträgt die Nutzungswahrscheinlichkeit zu einem zufälligen Zeitpunkt \(p=\frac{15}{60}=0{,}25\). Daher gilt \(X\sim B(15,0{,}25)\). 2. \(P(X\le4)=F(4)\approx68{,}65\,\%\). 3. \(P(X>6)=1-F(6)\approx5{,}66\,\%\). 4. Für c) wird das kleinste \(k\) mit \(F(k)\ge0{,}95\) gesucht. Es gilt \(F(6)\approx0{,}9434\) und \(F(7)\approx0{,}9827\). 5. Daher werden mindestens \(7\) Kabinen benötigt.

Antwort

a) \(68{,}65\,\%\) b) \(5{,}66\,\%\) c) Mindestens \(7\) Telefonkabinen.
43110012
In einer Logistikhalle arbeiten \(20\) Beschäftigte an ihren Packstationen. Jeder von ihnen benötigt für den Abtransport der Paletten durchschnittlich \(6\) Minuten pro Stunde einen speziellen Elektro-Hubwagen. Es wird angenommen, dass die Nutzungszeiten der Beschäftigten voneinander unabhängig und gleichmäßig über die Stunde verteilt sind. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass zu einem zufälligen Zeitpunkt genau \(2\) Hubwagen gleichzeitig benötigt werden. Gib das Ergebnis als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als \(4\) Hubwagen gleichzeitig benötigt werden. Gib das Ergebnis ebenfalls als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an. c) Wie viele Hubwagen müssen in der Halle bereitstehen, damit der Bedarf mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(99\,\%\) gedeckt ist?

Denkanstöße

- Wie hoch ist der Anteil der Zeit, in der ein Beschäftigter einen Hubwagen nutzt? - Unterscheide genau zwischen einer Punktwahrscheinlichkeit und einer Wahrscheinlichkeit für einen Bereich. - Bei „mehr als \(k\)“ ist das Gegenereignis oft hilfreich. - Für c) suchst du den ersten kumulierten Wert, der die vorgegebene Sicherheit erreicht.

Lösung

1. Die Anzahl \(X\) der benötigten Hubwagen ist binomialverteilt mit \(n=20\) und \(p=\frac{6}{60}=0{,}1\). 2. \(P(X=2)=\binom{20}{2}0{,}1^2 0{,}9^{18}\approx28{,}52\,\%\). 3. Mit der kumulativen Binomialfunktion gilt \(P(X>4)=1-F(4)\approx4{,}32\,\%\). 4. Für c) wird das kleinste \(k\) mit \(F(k)\ge0{,}99\) gesucht. Die kumulative Binomialfunktion liefert \(F(5)\approx0{,}9887\) und \(F(6)\approx0{,}9976\). 5. Damit sind mindestens \(6\) Hubwagen erforderlich.

Antwort

a) \(28{,}52\,\%\) b) \(4{,}32\,\%\) c) Mindestens \(6\) Hubwagen.
43110312
In einem Bürokomplex teilen sich \(50\) Beschäftigte einen Pool von Lizenzen für eine spezialisierte Software. Jede Person benötigt die Software im Durchschnitt für \(15\) Minuten pro Stunde. Die Zugriffszeiten werden als voneinander unabhängig und gleichmäßig über die Stunde verteilt modelliert. Sei \(X\) die Anzahl der gleichzeitig zugreifenden Personen. Wie viele Lizenzen müssen mindestens vorhanden sein, damit die Wahrscheinlichkeit, dass nicht für alle gleichzeitig zugreifenden Personen eine freie Lizenz verfügbar ist, höchstens \(2\,\%\) beträgt?

Denkanstöße

- Wie groß ist die Nutzungswahrscheinlichkeit für eine einzelne Person zu einem zufälligen Zeitpunkt? - Wie lässt sich die Überlastungswahrscheinlichkeit mit \(F(k)\) ausdrücken? - Welche zwei benachbarten Kapazitätswerte zeigen die Minimalität?

Lösung

1. Für einen zufälligen Zeitpunkt gilt \(p=\frac{15}{60}=0{,}25\), also \(X\sim B(50,0{,}25)\). 2. Gesucht ist das kleinste \(k\) mit \(P(X>k)\le0{,}02\), also \(F(k)\ge0{,}98\). 3. Es gilt \(F(18)\approx0{,}9713\) und \(F(19)\approx0{,}9861\). 4. Daher müssen mindestens \(19\) Lizenzen vorhanden sein.

Antwort

Mindestens \(19\) Lizenzen.
43114912
Für ein Modell der Endkontrolle wird angenommen, dass jede Glühbirne unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}04\) einen kleinen Schönheitsfehler aufweist. Sei \(X\) die Anzahl der Glühbirnen mit Schönheitsfehler. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Karton mit \(25\) Glühbirnen mindestens eine einen Schönheitsfehler hat. Gib das Ergebnis als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an. b) Wie viele Glühbirnen müssen mindestens geprüft werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als \(90\,\%\) mindestens eine Glühbirne mit Schönheitsfehler gefunden wird?

Denkanstöße

- Welches Gegenereignis gehört zu „mindestens eine“? - Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit für keinen einzigen Schönheitsfehler ausdrücken? - Welche Operation hilft, wenn die unbekannte Anzahl im Exponenten steht?

Lösung

1. Für a) gilt \(X\sim B(25,0{,}04)\). Daher ist \(P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}96^{25}\approx63{,}96\,\%\). 2. Für b) wird die Gesamtzahl \(n\) gesucht. Die Bedingung lautet \(1-0{,}96^n>0{,}90\), also \(0{,}96^n<0{,}10\). 3. Es folgt \(n>\frac{\ln(0{,}10)}{\ln(0{,}96)}\approx56{,}41\). 4. Daher müssen mindestens \(57\) Glühbirnen geprüft werden.

Antwort

a) \(63{,}96\,\%\) b) Mindestens \(57\) Glühbirnen.
55709712
Für \(X\sim B(20,0{,}3)\) sollen zwei einseitige Grenzen bestimmt werden. Verwende ein geeignetes digitales Hilfsmittel. a) Bestimme die kleinste ganze Zahl \(b\), für die \(P(X\le b)\ge0{,}95\) gilt. b) Bestimme die größte ganze Zahl \(a\), für die \(P(X\ge a)\ge0{,}95\) gilt. c) Berechne anschließend \(P(a\le X\le b)\) auf vier Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Prüfe für a) benachbarte kumulierte Werte um die \(0{,}95\)-Grenze. - Formuliere für b) die obere Randwahrscheinlichkeit sorgfältig; jetzt wird die größte noch zulässige Untergrenze gesucht. - Setze die gefundenen Grenzen erst in c) zu einem Intervall zusammen.

Lösung

1. Für die obere Grenze gilt \(F(8)\approx0{,}8867<0{,}95\) und \(F(9)\approx0{,}9520\ge0{,}95\). Daher ist \(b=9\). 2. Für die untere Grenze gilt \(P(X\ge3)\approx0{,}9645\ge0{,}95\), aber \(P(X\ge4)\approx0{,}8929<0{,}95\). Daher ist \(a=3\). 3. Somit ist \(P(3\le X\le9)=F(9)-F(2)\approx0{,}9166\).

Antwort

a) \(b=9\) b) \(a=3\) c) \(P(3\le X\le9)\approx0{,}9166\)
42353012
Für ein Qualitätskontrollmodell werden \(20\) elektronische Bauteile betrachtet. Jedes Bauteil ist unabhängig von den anderen mit derselben Wahrscheinlichkeit \(p\) einwandfrei. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens \(18\) einwandfreie Bauteile soll mindestens \(70\,\%\) betragen. Wie groß muss \(p\) mindestens sein? Gib die kleinste Wahrscheinlichkeit in Hundertstelschritten an, die die Bedingung tatsächlich erfüllt.

Denkanstöße

- Formuliere die Mindestanforderung als Wahrscheinlichkeit für die Anzahl \(X\) der einwandfreien Bauteile. - Wie verändert sich diese Wahrscheinlichkeit, wenn \(p\) größer wird? - Prüfe den gefundenen Hundertstelwert und den direkt darunterliegenden Wert.

Lösung

1. Sei \(X\) die Anzahl der einwandfreien Bauteile. Dann gilt \(X\sim B(20,p)\) und die Bedingung lautet \(P(X\ge18)\ge0{,}70\). 2. Die Grenzgleichung \(P(X\ge18)=0{,}70\) hat numerisch die Lösung \(p\approx0{,}904057\). 3. Für \(p=0{,}90\) gilt \(P(X\ge18)\approx0{,}6769\); dieser Wert genügt noch nicht. 4. Für \(p=0{,}91\) gilt \(P(X\ge18)\approx0{,}7334\). Somit ist \(0{,}91\) der kleinste zulässige Hundertstelwert.

Antwort

\(p=0{,}91\)
42709612
Für ein hypothetisches Wirkungsmodell wird angenommen, dass bei jeder betrachteten Person unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}85\) eine gewünschte Wirkung eintritt. Eine Gruppe von \(n\) Personen soll so groß gewählt werden, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(90\,\%\) bei mindestens \(10\) Personen die Wirkung eintritt. Bestimme die minimale Anzahl \(n\).

Denkanstöße

- Übersetze „mindestens \(10\) Wirkungen“ in eine Bedingung an \(X\). - Welches Gegenereignis ist für die kumulierte Binomialfunktion günstiger? - Welche zwei benachbarten Gruppengrößen zeigen die Minimalität?

Lösung

1. Sei \(X\) die Anzahl der Personen mit Wirkung. Dann gilt \(X\sim B(n,0{,}85)\). Gesucht ist das kleinste \(n\) mit \(P(X\ge10)\ge0{,}90\). 2. Äquivalent ist \(P(X\le9)\le0{,}10\). 3. Für \(n=13\) gilt \(P(X\le9)\approx0{,}1180>0{,}10\). 4. Für \(n=14\) gilt \(P(X\le9)\approx0{,}0467\le0{,}10\). 5. Damit ist \(n=14\) minimal.

Antwort

\(n=14\)
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Für ein Qualitätskontrollmodell wird angenommen, dass jedes geprüfte elektronische Bauteil unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(5\,\%\) einen Lötfehler aufweist. Für eine Stichprobe von \(n\) Bauteilen beschreibt \(X\) die Anzahl der Bauteile mit Lötfehler, also \(X\sim B(n,0{,}05)\). Bestimme die Mindestanzahl \(n\) an Bauteilen, die geprüft werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(90\,\%\) mindestens \(2\) Bauteile mit Lötfehler entdeckt werden.

Denkanstöße

- Formuliere die Forderung als Bedingung an eine Binomialwahrscheinlichkeit mit variablem \(n\). - Welches Gegenereignis zu „mindestens \(2\)“ enthält besonders wenige mögliche Trefferzahlen? - Wie kannst du nach einem gefundenen Kandidaten nachweisen, dass wirklich die kleinste mögliche Stichprobengröße vorliegt?

Lösung

1. Gesucht ist das kleinste \(n\) mit \(P(X\ge2)\ge0{,}90\). 2. Mit dem Gegenereignis ist dies gleichbedeutend mit \(P(X\le1)\le0{,}10\). 3. Für \(n=76\) gilt \(P(X\ge2)\approx0{,}8986<0{,}90\). 4. Für \(n=77\) gilt \(P(X\ge2)\approx0{,}9027\ge0{,}90\). 5. Damit ist \(n=77\) die Mindestanzahl.

Antwort

\(n=77\)
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Für ein Modell eines Naturschutzprojekts wird angenommen, dass jedes ausgesetzte Jungtier unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}15\) das erste Jahr in Freiheit überlebt. Wie viele Jungtiere müssen mindestens ausgesetzt werden, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens \(5\) von ihnen das erste Jahr überleben, mindestens \(99\,\%\) beträgt?

Denkanstöße

- Welche Zufallsgröße zählt hier die „Erfolge“? - Wie lässt sich „mindestens \(5\)“ durch ein Gegenereignis ausdrücken? - Welche zwei benachbarten Gesamtzahlen zeigen die Minimalität?

Lösung

1. Sei \(X\) die Anzahl der überlebenden Jungtiere. Dann gilt \(X\sim B(n,0{,}15)\). 2. Gesucht ist das kleinste \(n\) mit \(P(X\ge5)\ge0{,}99\), also \(P(X\le4)\le0{,}01\). 3. Für \(n=73\) gilt \(P(X\le4)\approx0{,}0105>0{,}01\). 4. Für \(n=74\) gilt \(P(X\le4)\approx0{,}0094\le0{,}01\). 5. Daher ist \(n=74\) minimal.

Antwort

\(n=74\)
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Für ein Qualitätskontrollmodell werden \(20\) elektronische Bauteile betrachtet. Jedes Bauteil ist unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}10\) defekt. Sei \(X\) die Anzahl der defekten Bauteile. a) Bestimme den Erwartungswert von \(X\). b) Gib ein möglichst kurzes, den Erwartungswert enthaltendes Intervall ganzzahliger Werte an, in dem \(X\) mit einer Wahrscheinlichkeit von über \(90\,\%\) liegt.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst den Erwartungswert. - Welche kurzen ganzzahligen Intervalle enthalten diesen Wert? - Wie kannst du zeigen, dass kein noch kürzeres Intervall die \(90\,\%\)-Grenze überschreitet?

Lösung

1. Es gilt \(X\sim B(20,0{,}1)\) und \(E(X)=2\). 2. Für Intervalle mit höchstens vier aufeinanderfolgenden ganzzahligen Werten, die \(2\) enthalten, genügen als längste Kandidaten \([0;3]\), \([1;4]\) und \([2;5]\). 3. Es gilt \(P(0\le X\le3)\approx0{,}8670\), \(P(1\le X\le4)\approx0{,}8352\) und \(P(2\le X\le5)\approx0{,}5970\). Keines überschreitet \(90\,\%\). 4. Für \([0;4]\) gilt \(P(0\le X\le4)=F(4)\approx0{,}9568>0{,}90\). 5. Damit ist \([0;4]\) ein kürzestes den Erwartungswert enthaltendes Intervall mit der geforderten Wahrscheinlichkeit.

Antwort

a) \(E(X)=2\) b) \([0;4]\)

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