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- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bei einer einzelnen Frage ist. - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Treffer bei einer festen Anzahl von Versuchen und gleichbleibender Wahrscheinlichkeit? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten für „mindestens \(k\)“ und „höchstens \(k-1\)“ zusammen? - Für den zweiten Teil hilft es, eine Tabelle der kumulierten Wahrscheinlichkeiten zu nutzen oder die Werte nacheinander zu prüfen.

1. Es handelt sich um ein Bernoulli-Experiment mit \(n = 12\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}25\). 2. Berechnung für Teilaufgabe a): Gesucht ist \(P(X \ge 5) = 1 - P(X \le 4)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 4) \approx 0{,}8424\). Damit ist \(P(X \ge 5) \approx 1 - 0{,}8424 = 0{,}1576\), also etwa \(15{,}8\,\%\). 3. Berechnung für Teilaufgabe b): Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P(X \ge k) < 0{,}10\) gilt, was äquivalent zu \(1 - P(X \le k-1) < 0{,}10\) bzw. \(P(X \le k-1) > 0{,}90\) ist. 4. Prüfung der Werte: Für \(k = 5\) ist \(P(X \ge 5) \approx 0{,}1576 > 0{,}10\). Für \(k = 6\) ist \(P(X \ge 6) = 1 - P(X \le 5) \approx 1 - 0{,}9456 = 0{,}0544 < 0{,}10\). 5. Somit ist der kleinste Wert \(k = 6\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(15{,}8\,\%\). b) Die kleinste Trefferanzahl ist \(k = 6\).

- Welche Funktion deines Taschenrechners hilft dir dabei, Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X \le k)\) zu berechnen? - Kannst du die Bedingung aus Aufgabenteil b) so umschreiben, dass sie sich auf das Ereignis „höchstens \(k\) Treffer“ bezieht? - Denke daran, dass wir die kleinste ganze Zahl suchen, die die Bedingung gerade noch erfüllt. - Was ist das Gegenereignis zu „mehr als \(k\) Treffer“?

1. Parameter der Verteilung: \(n = 100\), \(p = 0{,}25\). 2. Für a): Suche des kleinsten \(k\), sodass die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \le k)\) mindestens \(0{,}95\) beträgt. Mithilfe der kumulierten Binomialverteilung am Taschenrechner erhält man: \(P(X \le 31) \approx 0{,}9307\) und \(P(X \le 32) \approx 0{,}9554\). Damit ist \(k = 32\). 3. Für b): Umformung der Ungleichung \(P(X > k) \le 0{,}01\) unter Verwendung des Gegenereignisses zu \(1 - P(X \le k) \le 0{,}01\), was äquivalent ist zu \(P(X \le k) \ge 0{,}99\). 4. Suche des kleinsten \(k\), sodass \(P(X \le k) \ge 0{,}99\). Systematisches Testen oder Tabellenwerte liefern: \(P(X \le 34) \approx 0{,}9836\) und \(P(X \le 35) \approx 0{,}9906\). Damit ist \(k = 35\).

a) \(k = 32\) b) \(k = 35\)

- Überlege dir zuerst, welche Parameter für die Binomialverteilung gegeben sind. - Was bedeutet es im mathematischen Sinne, wenn etwas „mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit ausreicht“? - Wann genau bleibt am Ende etwas übrig? Formuliere dieses Ereignis als Ungleichung für die Zufallsgröße. - Nutze für die Berechnungen ein Tabellenwerk oder die entsprechende Funktion deines Taschenrechners für kumulierte Wahrscheinlichkeiten.

1. Es liegt eine Binomialverteilung mit den Parametern \(n = 80\) und \(p = 0{,}2\) vor. 2. Für Teilaufgabe a) wird das kleinste \(k\) gesucht, für das \(P(X \le k) \ge 0{,}95\) gilt. Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich für \(k = 22\) ein Wert von \(P(X \le 22) \approx 0{,}9612\) und für \(k = 21\) ein Wert von \(P(X \le 21) \approx 0{,}9340\). Somit müssen mindestens \(22\) Broschüren bereitgehalten werden. 3. Für Teilaufgabe b) bedeutet „Broschüren übrig“, dass die Anzahl der Interessenten \(X\) kleiner als die Anzahl der bereitgestellten Broschüren (\(18\)) ist. Gesucht ist also \(P(X \le 17)\). 4. Die Berechnung ergibt \(P(X \le 17) = \sum_{i=0}^{17} \binom{80}{i} \cdot 0{,}2^i \cdot 0{,}8^{80-i} \approx 0{,}6708\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt somit etwa \(67{,}08\,\%\).

a) Es müssen mindestens \(22\) Broschüren bereitgehalten werden. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(67{,}08\,\%\).

- Identifiziere die Trefferwahrscheinlichkeit beim Würfeln einer bestimmten Zahl. - Achte bei Teilaufgabe b) genau darauf, ob nach „mehr als“, „mindestens“ oder „höchstens“ gefragt wird. - Erinnere dich daran, wie man Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse der Form „größer als \(k\)“ mit der kumulierten Verteilungsfunktion berechnet.

1. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Gewinner bei \(n = 150\) Versuchen mit der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{6}\). 2. In Teilaufgabe a) wird das kleinste \(k\) gesucht, sodass \(P(X \le k) \ge 0{,}90\). Durch systematisches Probieren oder Nachschlagen in der Verteilungstabelle für \(n = 150\) und \(p = \frac{1}{6}\) findet man: \(P(X \le 30) \approx 0{,}8842\) und \(P(X \le 31) \approx 0{,}9197\). Daher müssen mindestens \(31\) Rabatte eingeplant werden. 3. In Teilaufgabe b) ist nach der Wahrscheinlichkeit für einen Engpass gefragt, also \(P(X > 30)\). 4. Dies berechnet sich über das Gegenereignis: \(P(X > 30) = 1 - P(X \le 30)\). Mit \(P(X \le 30) \approx 0{,}8842\) ergibt sich \(1 - 0{,}8842 = 0{,}1158\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(11{,}58\,\%\).

a) Es müssen mindestens \(31\) Rabatte eingeplant werden. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(11{,}58\,\%\).

- Bestimme zuerst den Mittelpunkt des Intervalls. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion? - Probiere die Abstände vom Mittelpunkt systematisch aus. - Verwende für Differenzen möglichst ungerundete kumulierte Werte.

1. Der Erwartungswert ist \(\mu = 80 \cdot 0{,}3 = 24\). 2. Gesucht ist das kleinste \(k \in \mathbb{N}_0\) mit \(P(24-k \le X \le 24+k) \ge 0{,}95\). 3. Für \(k=7\) ergibt die direkte Berechnung mit ungerundeten kumulierten Werten \(P(17 \le X \le 31) \approx 0{,}9337 < 0{,}95\). 4. Für \(k=8\) ergibt sich \(P(16 \le X \le 32) \approx 0{,}9628 \ge 0{,}95\). 5. Damit ist \(k=8\) minimal und das gesuchte Intervall lautet \([16;32]\).

Das Intervall lautet \([16;32]\).

- Welchen Wert erwartest du im Durchschnitt bei diesen Parametern? - Ein symmetrisches Intervall bedeutet, dass die Grenzen denselben Abstand zum Erwartungswert haben. - Nutze die Tabellenfunktion deines Taschenrechners für die kumulierte Binomialverteilung. - Denke daran, dass beim Subtrahieren der kumulierten Werte der untere Rand des Intervalls korrekt berücksichtigt werden muss.

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 150 \cdot 0{,}2 = 30\). 2. Ansatz für das symmetrische Intervall: \([30 - c; 30 + c]\). Gesucht ist das kleinste \(c \in \mathbb{N}\), sodass \(P(30 - c \le Y \le 30 + c) \ge 0{,}90\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten \(P(30 - c \le Y \le 30 + c) = F(150; 0{,}2; 30 + c) - F(150; 0{,}2; 29 - c)\): - Für \(c = 7\): \(P(23 \le Y \le 37) = F(37) - F(22) \approx 0{,}9341 - 0{,}0590 = 0{,}8751 < 0{,}90\). - Für \(c = 8\): \(P(22 \le Y \le 38) = F(38) - F(21) \approx 0{,}9554 - 0{,}0372 = 0{,}9182 \ge 0{,}90\). 4. Das kleinste \(c\) ist \(8\). 5. Die Intervallgrenzen sind \(k_1 = 30 - 8 = 22\) und \(k_2 = 30 + 8 = 38\).

Der Bereich ist \([22; 38]\).

- Was ist das Gegenereignis zu „mindestens ein Erfolg“? - Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit für genau null Erfolge in einer Bernoulli-Kette ausdrücken? - Kannst du die Ungleichung so umstellen, dass die unbekannte Wahrscheinlichkeit allein auf einer Seite steht? - Welche Rechenoperation kehrt eine Potenz mit dem Exponenten 20 um?

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der keimenden Samen, wobei \(X\) binomialverteilt mit \(n = 20\) und unbekanntem \(p\) ist. 2. Ansatz über das Gegenereignis „kein Samen keimt“: \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) \ge 0{,}95\). 3. Einsetzen der Formel für die Punktwahrscheinlichkeit: \(1 - (1 - p)^{20} \ge 0{,}95\). 4. Umformung der Ungleichung nach \(p\): \((1 - p)^{20} \le 0{,}05\). 5. Anwendung der 20. Wurzel: \(1 - p \le \sqrt[20]{0{,}05} \approx 0{,}86089\). 6. Isolieren von \(p\): \(p \ge 1 - 0{,}86089 \approx 0{,}13911\). 7. Angabe des Mindestanteils: \(p \ge 13{,}91\,\%\).

Die Keimwahrscheinlichkeit \(p\) muss mindestens \(13{,}91\,\%\) betragen.

- Überlege dir, wie du die Wahrscheinlichkeit berechnest, dass kein einziger Chip defekt ist. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeit für „kein Defekt“ und „mindestens ein Defekt“ zusammen? - Nutze eine Wurzel oder den Logarithmus, um nach \(p\) aufzulösen. - Achte genau auf das Relationszeichen „mindestens“.

1. Modellierung durch eine Binomialverteilung mit \(n=50\) und Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\). 2. Die Bedingung lautet \(P(X \ge 1) \ge 0{,}90\). 3. Mit dem Gegenereignis ergibt sich \(1-(1-p)^{50} \ge 0{,}90\). 4. Also gilt \((1-p)^{50} \le 0{,}10\). 5. Daraus folgt \(1-p \le \sqrt[50]{0{,}10}\) und somit \(p \ge 1-\sqrt[50]{0{,}10}\). 6. Numerisch ist \(p \ge 0{,}045007\ldots\), also \(p \ge 4{,}5007\ldots\,\%\).

\(p \ge 1-\sqrt[50]{0{,}10} \approx 4{,}5007\,\%\).

- Überlege dir zuerst, welches Zufallsexperiment hier vorliegt und welche Parameter gegeben sind. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für eine genaue Trefferzahl bei einer Bernoulli-Kette? - Was bedeutet „dieses oder ein noch extremeres Ergebnis nach oben“ für die Trefferzahl \(k\)? - Du kannst eine Tabelle der kumulierten Binomialverteilung nutzen oder die Einzelwahrscheinlichkeiten schrittweise addieren.

1. Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}15\). Die Wahrscheinlichkeit für genau \(3\) Unterstützer berechnet sich mit der Bernoulli-Formel: \(P(X = 3) = \binom{20}{3} \cdot 0{,}15^3 \cdot 0{,}85^{17} \approx 0{,}2428\). 2. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P(X \ge k) \le 0{,}05\) gilt. Es werden die kumulierten Wahrscheinlichkeiten \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\) berechnet: Für \(k = 6\): \(P(X \ge 6) = 1 - P(X \le 5) \approx 1 - 0{,}9327 = 0{,}0673 > 0{,}05\). Für \(k = 7\): \(P(X \ge 7) = 1 - P(X \le 6) \approx 1 - 0{,}9781 = 0{,}0219 \le 0{,}05\). Das Ergebnis ist ab \(7\) Unterstützern überraschend.

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(24{,}28\,\%\). 2. Ab \(7\) Unterstützern wäre das Ergebnis überraschend.

- Überlege zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit \(p\) ist, dass eine einzelne Person zu einem beliebigen Zeitpunkt eine Kabine belegt. - Welches Modell eignet sich, wenn man \(n\) unabhängige Versuche mit jeweils derselben Erfolgswahrscheinlichkeit hat? - Beachte bei „mehr als“, dass dies das Gegenereignis zu „höchstens“ ist. - Für die Bestimmung der Mindestanzahl kannst du verschiedene Werte für die Anzahl der Kabinen durchtesten, bis die geforderte Sicherheit erreicht ist.

1. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der gleichzeitig benötigten Telefonkabinen. Sie ist binomialverteilt mit \(n = 15\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{15}{60} = 0{,}25\). 2. Für Aufgabenteil a) wird die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 4)\) gesucht. Unter Verwendung der Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 4) \approx 0{,}6865\). 3. Für Aufgabenteil b) wird die Gegenwahrscheinlichkeit \(P(X > 6) = 1 - P(X \le 6)\) berechnet. Mit \(P(X \le 6) \approx 0{,}9434\) folgt \(P(X > 6) \approx 1 - 0{,}9434 = 0{,}0566\). 4. In Aufgabenteil c) wird das kleinste \(k\) gesucht, für das \(P(X \le k) \ge 0{,}95\) gilt. Durch systematisches Testen oder Tabellenwerte ergibt sich \(P(X \le 6) \approx 0{,}9434\) und \(P(X \le 7) \approx 0{,}9827\). Somit müssen mindestens \(7\) Kabinen vorhanden sein.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(68{,}65\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(5{,}66\,\%\). c) Es müssen mindestens \(7\) Telefonkabinen zur Verfügung stehen.

- Wie hoch ist der Anteil der Zeit, in der ein Beschäftigter einen Hubwagen nutzt? Dies entspricht deiner Wahrscheinlichkeit \(p\). - Unterscheide genau zwischen der Wahrscheinlichkeit für einen exakten Wert und der Wahrscheinlichkeit für einen Bereich. - Bei „mehr als \(k\)“ ist es oft einfacher, mit dem Gegenereignis \(1 - P(X \le k)\) zu rechnen. - Nutze für die Suche nach der Anzahl der Geräte eine Tabelle der kumulierten Binomialverteilung oder probiere Werte systematisch aus.

1. Die Anzahl \(X\) der benötigten Hubwagen ist binomialverteilt mit \(n = 20\) und \(p = \frac{6}{60} = 0{,}1\). 2. Für a) berechnet man die Punktwahrscheinlichkeit \(P(X = 2) = \binom{20}{2} \cdot 0{,}1^2 \cdot 0{,}9^{18} \approx 0{,}2852\). 3. Für b) wird die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X > 4) = 1 - P(X \le 4)\) berechnet. Da \(P(X \le 4) = \sum_{i=0}^{4} B(20; 0{,}1; i) \approx 0{,}9568\), folgt \(P(X > 4) \approx 1 - 0{,}9568 = 0{,}0432\). 4. Für c) wird das kleinste \(k\) gesucht, sodass \(P(X \le k) \ge 0{,}99\). Die kumulierten Werte sind \(P(X \le 5) \approx 0{,}9887\) und \(P(X \le 6) \approx 0{,}9976\). Damit sind mindestens \(6\) Hubwagen erforderlich.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(28{,}52\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(4{,}32\,\%\). c) Es müssen mindestens \(6\) Hubwagen bereitstehen.

- Überlege zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit \(p\) ist, dass ein einzelner Mitarbeiter genau in diesem Moment die Software nutzt. - Welche Zufallsgröße \(X\) wird hier betrachtet und wie ist sie verteilt? - Was bedeutet es mathematisch, dass mehr Mitarbeiter zugreifen als Lizenzen vorhanden sind? - Nutze ein Tafelwerk oder eine entsprechende Funktion deines Taschenrechners für kumulierte Wahrscheinlichkeiten.

1. Bestimmung der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\): Da ein Mitarbeiter die Software für \(15\) von \(60\) Minuten nutzt, gilt \(p = \frac{15}{60} = 0{,}25\). 2. Festlegung der Parameter der Binomialverteilung: Die Anzahl der Mitarbeiter ist \(n = 50\). Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Mitarbeiter, die gleichzeitig die Software nutzen möchten. Es gilt \(X \sim B(50; 0{,}25)\). 3. Aufstellen der Bedingung: Gesucht ist das kleinste \(k\), für das gilt \(P(X > k) \leq 0{,}02\). Dies ist gleichbedeutend mit \(P(X \leq k) \geq 0{,}98\). 4. Auswertung der kumulierten Binomialverteilung: - Für \(k = 18\): \(P(X \leq 18) \approx 0{,}9713\) - Für \(k = 19\): \(P(X \leq 19) \approx 0{,}9861\) 5. Da \(0{,}9861 \geq 0{,}98\), müssen mindestens \(19\) Lizenzen zur Verfügung stehen.

Es müssen mindestens \(19\) Lizenzen vorhanden sein.

- Überlege dir zuerst, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis „kein einziger Defekt“ ist. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeit für „mindestens ein Treffer“ und „gar kein Treffer“ zusammen? - Bei der Suche nach einer Anzahl \(n\) in einer Ungleichung mit Potenzen hilft dir das Logarithmieren. - Achte beim Umformen von Ungleichungen darauf, was passiert, wenn du durch eine negative Zahl (wie den Logarithmus einer Zahl kleiner als 1) teilst.

1. Bestimmung der Erfolgswahrscheinlichkeit für einen Defekt: \(p = 0{,}04\). Gegenwahrscheinlichkeit: \(q = 1 - p = 0{,}96\). 2. Berechnung für Teilaufgabe a) mit \(n = 25\): \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}96^{25} \approx 0{,}6396\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(63{,}96\,\%\). 3. Ansatz für Teilaufgabe b): \(P(X \ge 1) > 0{,}90 \Rightarrow 1 - 0{,}96^n > 0{,}90\). 4. Umformung der Ungleichung: \(0{,}96^n < 0{,}10\). 5. Anwendung des Logarithmus: \(n \cdot \ln(0{,}96) < \ln(0{,}10)\). 6. Auflösen nach \(n\) unter Beachtung des Vorzeichens beim Dividieren durch \(\ln(0{,}96)\): \(n > \frac{\ln(0{,}10)}{\ln(0{,}96)} \approx 56{,}41\). 7. Ergebnis: Es müssen mindestens \(57\) Glühbirnen geprüft werden.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(63{,}96\,\%\). b) Es müssen mindestens \(57\) Glühbirnen geprüft werden.

- Formuliere die Wahrscheinlichkeit für mindestens 8 Treffer als Summe der Fälle 8, 9 und 10. - Die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(p\) steht in mehreren Potenzen; bestimme den Grenzwert numerisch. - Runde erst den ermittelten Grenzwert und nicht schon die getesteten Werte.

1. Für \(X \sim B(10;p)\) lautet die Bedingung \(P(X \ge 8) \ge 0{,}80\). 2. Es gilt \(P(X \ge 8)=\binom{10}{8}p^8(1-p)^2+\binom{10}{9}p^9(1-p)+p^{10}\). 3. Die linke Seite wächst mit \(p\). Die numerische Bestimmung des Grenzwerts aus \(P(X \ge 8)=0{,}80\) ergibt \(p \approx 0{,}842\). 4. Auf zwei Nachkommastellen gerundet ist der Schwellenwert \(0{,}84\). Der gerundete Wert ist als gerundete Angabe des exakten Grenzwerts zu verstehen; bei Verwendung nur von Hundertsteln wäre \(0{,}85\) der kleinste Wert, der die Bedingung tatsächlich erfüllt.

Der Schwellenwert beträgt gerundet \(p \approx 0{,}84\).

- Formuliere die Wahrscheinlichkeit für mindestens 18 einwandfreie Bauteile als Summe der Fälle 18, 19 und 20. - Bestimme den Grenzwert numerisch, da sich die Gleichung nicht elementar nach \(p\) auflösen lässt. - Runde erst den ermittelten Grenzwert und nicht schon die getesteten Werte.

1. Für \(X \sim B(20;p)\) lautet die Bedingung \(P(X \ge 18) \ge 0{,}70\). 2. Es gilt \(P(X \ge 18)=\binom{20}{18}p^{18}(1-p)^2+\binom{20}{19}p^{19}(1-p)+p^{20}\). 3. Die linke Seite wächst mit \(p\). Die numerische Bestimmung des Grenzwerts aus \(P(X \ge 18)=0{,}70\) ergibt \(p \approx 0{,}904\). 4. Auf zwei Nachkommastellen gerundet ist der Schwellenwert \(0{,}90\). Der gerundete Wert ist als gerundete Angabe des exakten Grenzwerts zu verstehen; bei Verwendung nur von Hundertsteln wäre \(0{,}91\) der kleinste Wert, der die Bedingung tatsächlich erfüllt.

Der Schwellenwert beträgt gerundet \(p \approx 0{,}90\).

- Identifiziere die Parameter \(n\) und \(p\) aus dem Text. - Was bedeutet „mindestens zwei“ mathematisch ausgedrückt für die Zufallsgröße? - Kannst du das Gegenereignis nutzen, um die Rechnung zu vereinfachen? - Probiere für den zweiten Teil systematisch Werte für \(k\) aus oder nutze eine Verteilungstabelle.

1. Die Anzahl der defekten Bauteile ist binomialverteilt mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}05\). 2. Berechnung für Teilaufgabe a): Gesucht ist \(P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1)\). Die Einzelwahrscheinlichkeiten sind \(P(X = 0) = 0{,}95^{20} \approx 0{,}3585\) und \(P(X = 1) = 20 \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^{19} \approx 0{,}3774\). Die Summe \(P(X \le 1) \approx 0{,}7359\). Somit ist \(P(X \ge 2) \approx 1 - 0{,}7359 = 0{,}2641\), also ca. \(26{,}4\,\%\). 3. Berechnung für Teilaufgabe b): Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P(X \ge k) < 0{,}01\) gilt. Dies entspricht \(P(X \le k-1) > 0{,}99\). 4. Prüfung der Werte: \(P(X \le 2) \approx 0{,}7359 + 0{,}1887 = 0{,}9246\); \(P(X \le 3) \approx 0{,}9246 + 0{,}0596 = 0{,}9842\); \(P(X \le 4) \approx 0{,}9842 + 0{,}0133 = 0{,}9975\). 5. Da \(P(X \le 4) > 0{,}99\) ist, gilt für \(k-1 = 4\), also \(k = 5\), dass \(P(X \ge 5) = 1 - P(X \le 4) \approx 1 - 0{,}9975 = 0{,}0025 < 0{,}01\). Der kleinste Wert ist \(k = 5\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(26{,}4\,\%\). b) Der kleinste Wert ist \(k = 5\).

- Formuliere die Bedingung „mindestens 10“ mithilfe des Gegenereignisses um, um Tabellen oder Funktionen für die kumulierte Wahrscheinlichkeit nutzen zu können. - Da \(n\) gesucht ist, kannst du mit einem Schätzwert beginnen (etwas größer als 10) und dich dann schrittweise herantasten. - Was passiert mit der Wahrscheinlichkeit, dass bei mindestens 10 Personen die gewünschte Wirkung eintritt, wenn die Gruppe größer wird?

1. Modellierung: Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl der Patienten mit Wirkung) ist binomialverteilt mit \(p = 0{,}85\) und unbekanntem \(n\). Gesucht ist das kleinste \(n\), für das gilt: \(P(X \ge 10) \ge 0{,}90\). 2. Umformung der Bedingung: \(P(X \ge 10) = 1 - P(X \le 9) \ge 0{,}90\), also \(P(X \le 9) \le 0{,}10\). 3. Systematisches Testen von Werten für \(n\): - Für \(n = 12\): \(P(X \le 9) \approx 0{,}2642 > 0{,}10\) - Für \(n = 13\): \(P(X \le 9) \approx 0{,}1180 > 0{,}10\) - Für \(n = 14\): \(P(X \le 9) \approx 0{,}0467 \le 0{,}10\) 4. Da bei \(n = 13\) die Wahrscheinlichkeit noch über \(0{,}10\) liegt und bei \(n = 14\) erstmals darunter fällt, ist \(n = 14\) der gesuchte Wert.

Es müssen mindestens \(n = 14\) Patienten rekrutiert werden.

- Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Teile am besten? - Es ist oft einfacher, die Wahrscheinlichkeit über das Ereignis „höchstens ein Teil ist fehlerhaft“ zu berechnen. - Welche Werte für die Gesamtzahl \(n\) führen dazu, dass die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses klein genug wird? - Du kannst eine Tabelle oder die Tabellenfunktion deines Taschenrechners nutzen, um den passenden Wert für \(n\) zu finden.

1. Modellierung der Anzahl der fehlerhaften Bauteile \(X\) als binomialverteilt mit der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}05\). 2. Aufstellen der Bedingung für die gesuchte Anzahl \(n\): \(P(X \ge 2) \ge 0{,}90\). 3. Nutzung des Gegenereignisses: \(1 - P(X \le 1) \ge 0{,}90\), was gleichbedeutend ist mit \(P(X = 0) + P(X = 1) \le 0{,}10\). 4. Einsetzen in die Formel von Bernoulli: \(\binom{n}{0} \cdot 0{,}05^0 \cdot 0{,}95^n + \binom{n}{1} \cdot 0{,}05^1 \cdot 0{,}95^{n-1} \le 0{,}10\). 5. Durch systematisches Probieren oder Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich für \(n = 76\) eine Wahrscheinlichkeit von \(P(X \ge 2) \approx 0{,}8986\) und für \(n = 77\) eine Wahrscheinlichkeit von \(P(X \ge 2) \approx 0{,}9027\). 6. Da die Wahrscheinlichkeit bei \(n = 77\) erstmals den Wert \(0{,}90\) überschreitet, beträgt die Mindestanzahl 77.

Es müssen mindestens \(77\) Bauteile ausgewählt werden.

- Was ist in diesem Fall ein „Erfolg“ und wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür? - Überlege dir, wie du die Bedingung „mindestens fünf“ mathematisch ausdrücken kannst. - Kannst du das Problem mithilfe des Gegenereignisses „höchstens vier“ vereinfachen? - Probiere systematisch verschiedene Werte für die Gesamtzahl aus, um die Grenze zu finden.

1. Die Anzahl der überlebenden Jungtiere \(X\) wird als binomialverteilt mit \(p = 0{,}15\) angenommen. 2. Die Bedingung lautet \(P(X \ge 5) \ge 0{,}99\). 3. Übergang zum Gegenereignis: \(P(X \le 4) \le 0{,}01\). 4. Untersuchung der kumulierten Wahrscheinlichkeiten \(F(n; 0{,}15; 4) = \sum_{k=0}^{4} \binom{n}{k} \cdot 0{,}15^k \cdot 0{,}85^{n-k}\) für verschiedene Werte von \(n\). 5. Berechnung der Werte: Für \(n = 73\) ergibt sich \(P(X \le 4) \approx 0{,}0105\), was knapp über der Grenze von \(0{,}01\) liegt. Für \(n = 74\) ergibt sich \(P(X \le 4) \approx 0{,}0094\). 6. Somit ist \(P(X \ge 5) = 1 - P(X \le 4) \approx 1 - 0{,}0094 = 0{,}9906 \ge 0{,}99\) für \(n = 74\) erfüllt.

Es müssen mindestens \(74\) Jungtiere ausgesetzt werden.

- Wie berechnet man den Erwartungswert bei einer Binomialverteilung? - Um ein Intervall mit einer bestimmten Gesamtwahrscheinlichkeit zu finden, ist es hilfreich, die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse aufzusummieren. - Beginne beim Erwartungswert und nimm schrittweise benachbarte Werte hinzu, bis die gewünschte Prozentmarke überschritten wird. - Denke daran, dass die Anzahl der Erfolge nur ganze Zahlen sein können.

1. Identifikation der Parameter: \(n = 20\), \(p = 0{,}1\). 2. Berechnung des Erwartungswertes: \(E(X) = 20 \cdot 0{,}1 = 2\). 3. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten \(P(X = k)\) um den Erwartungswert herum: \(P(X = 0) \approx 0{,}1216\) \(P(X = 1) \approx 0{,}2702\) \(P(X = 2) \approx 0{,}2852\) \(P(X = 3) \approx 0{,}1901\) \(P(X = 4) \approx 0{,}0898\) \(P(X = 5) \approx 0{,}0319\) 4. Prüfung von Intervallen um \(\mu = 2\): Für \([0; 4]\): \(P(0 \le X \le 4) = 0{,}1216 + 0{,}2702 + 0{,}2852 + 0{,}1901 + 0{,}0898 = 0{,}9569\). Für \([0; 3]\): \(P(0 \le X \le 3) = 0{,}8671\) (unter \(90\,\%\)). Für \([1; 4]\): \(P(1 \le X \le 4) = 0{,}8353\) (unter \(90\,\%\)). Das kürzeste Intervall ist somit \([0; 4]\).

a) Der Erwartungswert beträgt \(2\). b) Das Intervall lautet \([0; 4]\). Die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen \(0\) und \(4\) Bauteile defekt sind, beträgt ca. \(95{,}7\,\%\).

- Was ist die Zufallsgröße in diesem Szenario und welche Werte kann sie annehmen? - Welche Bedingung muss für die gesuchte Anzahl an Plätzen (Kapazitäten) erfüllt sein? - Wie kannst du dich systematisch an den gesuchten Wert herantasten, wenn du den Erwartungswert kennst? - Reicht es aus, den Erwartungswert zu berechnen, oder muss die Streuung berücksichtigt werden?

1. Modellierung: Die Anzahl der Haushalte \(X\), die gleichzeitig online sind, wird als binomialverteilt mit \(n = 150\) und \(p = 0{,}20\) angenommen. 2. Bedingung aufstellen: Gesucht ist das kleinste \(k \in \mathbb{N}\), für das gilt: \(P(X \le k) \ge 0{,}95\). 3. Kennzahlen berechnen: Erwartungswert \(\mu = n \cdot p = 150 \cdot 0{,}2 = 30\); Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{150 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8} = \sqrt{24} \approx 4{,}899\). 4. Bestimmung von \(k\): Durch Tabellenkalkulation oder Probieren mit der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich: \(P(X \le 37) \approx 0{,}9341\) \(P(X \le 38) \approx 0{,}9554\) Somit ist \(k = 38\) der kleinste Wert, der die Bedingung erfüllt.

Es muss für mindestens 38 Haushalte gleichzeitig Kapazität zur Verfügung stehen.

- Bestimme zunächst die Wahrscheinlichkeit \(p\) für die Nutzung eines Geräts durch eine einzelne Person. - Erinnere dich daran, dass „mehr als 10“ das Gegenereignis zu „höchstens 10“ ist. - Für den zweiten Teil musst du systematisch prüfen, ab welchem Wert für die Anzahl der Geräte die gewünschte Sicherheitswahrscheinlichkeit erreicht wird.

1. Bestimmung der Parameter: Die Trefferwahrscheinlichkeit ist \(p = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}\). Die Anzahl der Teilnehmer ist \(n = 40\). Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl der Nutzer) ist \(B(40; \frac{1}{6})\)-verteilt. 2. Lösung zu Teilaufgabe a): Gesucht ist \(P(X > 10) = 1 - P(X \leq 10)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \leq 10) \approx 0{,}9416\). Damit ist \(P(X > 10) = 1 - 0{,}9416 = 0{,}0584\), also etwa \(5{,}84\,\%\). 3. Lösung zu Teilaufgabe b): Gesucht ist das kleinste \(k\), sodass \(P(X > k) \leq 0{,}05\) bzw. \(P(X \leq k) \geq 0{,}95\). - Aus a) ist bekannt: \(P(X \leq 10) \approx 0{,}9416\) (noch zu klein). - Prüfung für \(k = 11\): \(P(X \leq 11) \approx 0{,}9739\). 4. Da \(0{,}9739 \geq 0{,}95\) erfüllt ist, müssen insgesamt \(11\) Geräte vorhanden sein.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(5{,}84\,\%\). b) Es müssen insgesamt \(11\) Rudergeräte zur Verfügung stehen.