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- Überlege dir zuerst, welches mathematische Zeichen \(\leq,\geq,<,>\) zu den Begriffen „mindestens“ und „höchstens“ passt. - Die Gegenhypothese ist immer das logische Gegenteil der Nullhypothese. - Schau dir die Richtung des Ungleichheitszeichens in der Gegenhypothese an: Zeigt es nach links oder nach rechts? - Welche Stichprobenergebnisse würden genügend statistische Evidenz liefern, um die jeweilige Nullhypothese abzulehnen?

1. Für Teilaufgabe a) wird die Aussage „mindestens \(85\,\%\)“ als \(p \geq 0{,}85\) übersetzt. Daraus folgt die Nullhypothese \(H_0: p \geq 0{,}85\) und die Gegenhypothese \(H_1: p < 0{,}85\). Da die Gegenhypothese Werte kleiner als den Vergleichswert umfasst, handelt es sich um einen linksseitigen Test. 2. Für Teilaufgabe b) wird die Aussage „höchstens \(6\,\%\)“ als \(p \leq 0{,}06\) übersetzt. Daraus folgt die Nullhypothese \(H_0: p \leq 0{,}06\) und die Gegenhypothese \(H_1: p > 0{,}06\). Da die Gegenhypothese Werte größer als den Vergleichswert umfasst, handelt es sich um einen rechtsseitigen Test.

a) \(H_0: p \geq 0{,}85\); \(H_1: p < 0{,}85\); linksseitiger Signifikanztest. b) \(H_0: p \leq 0{,}06\); \(H_1: p > 0{,}06\); rechtsseitiger Signifikanztest.

- Übersetze zuerst „höchstens“ in ein Ungleichheitszeichen. - Welche Richtung hat die Vermutung der Kundengruppe? - Entscheide danach, ob kleine oder große Trefferzahlen gegen \(H_0\) sprechen.

1. Die Nullhypothese enthält die Händlerangabe „höchstens \(10\,\%\)“: \(H_0:p\le0{,}10\). 2. Die Kundengruppe vermutet einen größeren Anteil, also \(H_1:p>0{,}10\). 3. Große Verspätungszahlen sprechen gegen \(H_0\); daher ist der Test rechtsseitig.

A; rechtsseitiger Signifikanztest.

- Wie verschiebt sich eine Binomialverteilung bei festem \(n\), wenn \(p\) größer wird? - Der Ablehnungsbereich enthält bei einem linksseitigen Test kleine Trefferzahlen. - Gesucht ist der ungünstigste Parameterwert innerhalb von \(H_0\), also der mit der größten Ablehnungswahrscheinlichkeit.

1. Bei festem linksseitigem Bereich \(K\) wird \(P_p(X\in K)\) kleiner, wenn \(p\) größer wird, weil sich die Binomialverteilung nach rechts verschiebt. 2. Unter den drei Werten ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit daher bei \(p=0{,}70\) am größten. 3. Für die Begrenzung des Fehlers 1. Art muss deshalb der Randwert \(p_0=0{,}70\) verwendet werden.

Am größten ist \(P_p(X\in K)\) bei \(p=0{,}70\). Deshalb wird der Ablehnungsbereich am Randwert \(p_0=0{,}70\) festgelegt.

- Schau dir an, an welchem Ende der Skala (0 bis \(n\)) die Werte liegen, die zur Ablehnung führen. - Überlege, welche Vermutung der Hersteller schützen möchte und was das Gegenereignis dazu wäre. - Was bedeutet es für die Behauptung, wenn das Testergebnis im Bereich \(K\) liegt?

1. Da der Ablehnungsbereich \(K = \{15; 16; \dots; 80\}\) die größeren Werte der Zufallsgröße umfasst, handelt es sich um einen rechtsseitigen Signifikanztest. 2. Die Nullhypothese lautet \(H_0: p \le 0{,}12\). 3. Die Gegenhypothese lautet \(H_1: p > 0{,}12\). 4. Entscheidungsregel: Wenn in der Stichprobe von \(80\) Kunden mindestens \(15\) Kunden angeben, unzufrieden zu sein, wird die Nullhypothese abgelehnt und die Unzufriedenheit als signifikant höher als behauptet angesehen. Andernfalls wird die Nullhypothese nicht abgelehnt.

Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. Mathematische Notation: \(H_0: p \le 0{,}12\); \(H_1: p > 0{,}12\). Entscheidungsregel: Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Anzahl der unzufriedenen Kunden in der Stichprobe \(15\) oder mehr beträgt.

- Welche Werte der Zufallsgröße würden gegen die Behauptung „mindestens \(75\,\%\)“ sprechen: eher kleine oder eher große Werte? - Die Nullhypothese ist die Referenzhypothese, deren fälschliche Ablehnung durch das Signifikanzniveau kontrolliert wird. - Formuliere die Regel so, dass klar wird, bei welchen Ergebnissen die Daten statistisch gegen die Behauptung des Produzenten sprechen.

1. Der Ablehnungsbereich \(K = \{0; 1; \dots; 81\}\) enthält die kleinsten möglichen Werte, daher liegt ein linksseitiger Signifikanztest vor. 2. Die Nullhypothese wird so formuliert, dass sie die Behauptung des Produzenten stützt: \(H_0: p \ge 0{,}75\). 3. Die Gegenhypothese ist das logische Gegenteil: \(H_1: p < 0{,}75\). 4. Entscheidungsregel: Wenn von den \(120\) untersuchten Samen höchstens \(81\) innerhalb einer Woche keimen, wird die Nullhypothese verworfen und sprechen die Daten auf dem gewählten Niveau für eine Keimrate unter \(75\,\%\). Liegt die Anzahl der gekeimten Samen über \(81\), wird die Nullhypothese nicht verworfen.

Es ist ein linksseitiger Test. Mathematische Notation: \(H_0: p \ge 0{,}75\); \(H_1: p < 0{,}75\). Entscheidungsregel: Bei \(81\) oder weniger gekeimten Samen wird \(H_0\) verworfen; die Daten sprechen dann auf dem gewählten Niveau gegen die Behauptung des Produzenten.

- Welche Aussage soll als Referenzhypothese geschützt werden, während der Tester statistische Evidenz für eine höhere Fehlerquote sucht? - Wandle die Prozentangabe in eine Dezimalzahl um, bevor du sie in die Hypothesen einsetzt. - Überlege, ob extrem kleine oder extrem große Anzahlen von Fehlern in einer Stichprobe die Vermutung des Testers bestätigen würden. - Die Seite des Tests entspricht der Seite, auf der die Werte liegen, die für die Gegenhypothese sprechen.

1. Die Behauptung des Entwicklers stellt die Nullhypothese dar, da sie den Status quo bzw. die zu prüfende Annahme beschreibt. „Nicht mehr als \(2\,\%\)“ entspricht \(p \leq 0{,}02\). Somit gilt \(H_0: p \leq 0{,}02\). 2. Die Vermutung des Testers, dass die Quote höher ist, bildet die Gegenhypothese: \(H_1: p > 0{,}02\). 3. Da die Gegenhypothese auf Werte gerichtet ist, die größer als der Vergleichswert \(0{,}02\) sind, liegt der Ablehnungsbereich von \(H_0\) im rechten Ende der Verteilung. Es handelt sich somit um einen rechtsseitigen Signifikanztest.

a) \(H_0: p \leq 0{,}02\); \(H_1: p > 0{,}02\) b) Es handelt sich um einen rechtsseitigen Signifikanztest, da die Gegenhypothese einen größeren Anteil vermutet (\(p > 0{,}02\)) und somit nur signifikant hohe Abweichungen nach oben zur Ablehnung der Nullhypothese führen.

- Handelt es sich um einen linksseitigen oder einen rechtsseitigen Test? Schau dir dazu die Gegenhypothese an. - In welchem Bereich der Zufallsvariablen erwartest du Werte, die gegen die Nullhypothese sprechen? - Wie muss die Wahrscheinlichkeit für den Ablehnungsbereich im Vergleich zum Signifikanzniveau gewählt werden? - Suche in der Tabelle den größten Wert für \(k\), bei dem die kumulierte Wahrscheinlichkeit noch unter dem Signifikanzniveau liegt.

1. Es liegt ein linksseitiger Signifikanztest vor, da die Gegenhypothese \(H_1: p < 0{,}6\) lautet. 2. Der Ablehnungsbereich \(K\) hat die Form \(\{0; 1; \dots; c\}\). 3. Die Bedingung für den Ablehnungsbereich lautet \(P_{0{,}6}^{80}(X \le c) \le \alpha\), hier also \(P_{0{,}6}^{80}(X \le c) \le 0{,}10\). 4. Aus der Tabelle liest man ab: \(P_{0{,}6}^{80}(X \le 41) \approx 0{,}0699 \le 0{,}10\) und \(P_{0{,}6}^{80}(X \le 42) \approx 0{,}1053 > 0{,}10\). 5. Der größte Wert für \(c\), der die Bedingung erfüllt, ist \(c = 41\). 6. Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{0; 1; \dots; 41\}\).

Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0; 1; \dots; 41\}\).

- Bestimme zuerst, ob der Test linksseitig oder rechtsseitig ist. - Bei einem rechtsseitigen Test suchst du die Werte am oberen Ende der Skala. - Wie hängen die Gegenwahrscheinlichkeit \(P(X \le k)\) und die Überschreitungswahrscheinlichkeit \(P(X \ge k+1)\) zusammen? - Welchen Wert muss die kumulierte Wahrscheinlichkeit mindestens erreichen, damit der Rest (die rechte Seite) höchstens \(5\,\%\) beträgt?

1. Es handelt sich um einen rechtsseitigen Signifikanztest (\(H_1: p > 0{,}3\)). 2. Der Ablehnungsbereich \(K\) hat die Form \(\{c+1; \dots; 50\}\). 3. Die Bedingung für die Ablehnung von \(H_0\) ist \(P_{0{,}3}^{50}(X \ge c+1) \le \alpha\). 4. Dies ist äquivalent zu \(1 - P_{0{,}3}^{50}(X \le c) \le \alpha\) bzw. \(P_{0{,}3}^{50}(X \le c) \ge 1 - \alpha\). 5. Mit \(\alpha = 0{,}05\) ergibt sich \(1 - \alpha = 0{,}95\). Gesucht ist also das kleinste \(c\), für das \(P_{0{,}3}^{50}(X \le c) \ge 0{,}95\) gilt. 6. Aus der Tabelle ergibt sich: \(P_{0{,}3}^{50}(X \le 19) \approx 0{,}9152 < 0{,}95\) und \(P_{0{,}3}^{50}(X \le 20) \approx 0{,}9522 \ge 0{,}95\). 7. Somit ist \(c = 20\), und der Ablehnungsbereich beginnt bei \(c+1 = 21\). 8. Die Entscheidungsregel lautet: Lehne \(H_0\) ab, wenn die Anzahl der defekten Bauteile im Bereich \(\{21; 22; \dots; 50\}\) liegt.

Die Nullhypothese \(H_0\) wird abgelehnt, wenn die Anzahl der defekten Bauteile \(X \ge 21\) ist. Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{21; 22; \dots; 50\}\).

- Welche Art von Test liegt vor: linksseitig oder rechtsseitig? - Wie ist die Zufallsgröße verteilt? - Welche Bedingung muss für den Ablehnungsbereich im Hinblick auf das Signifikanzniveau erfüllt sein? - Wie kannst du die kumulierte Wahrscheinlichkeit nutzen, um den kritischen Wert zu finden?

1. Definition der Zufallsgröße \(X\): Anzahl der keimenden Samen, wobei \(X\) unter \(H_0\) binomialverteilt ist mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}80\). 2. Aufstellen der Testbedingung für den rechtsseitigen Test: Gesucht ist das kleinste \(k\), für das gilt: \(P(X \ge k) \le 0{,}05\). 3. Umformung zur Nutzung der kumulierten Verteilungsfunktion: \(1 - P(X \le k - 1) \le 0{,}05 \iff P(X \le k - 1) \ge 0{,}95\). 4. Bestimmung von \(k\) mithilfe der Tabelle oder des Taschenrechners: \(P(X \le 85) \approx 0{,}9196\) und \(P(X \le 86) \approx 0{,}9531\). 5. Abschluss: Da \(P(X \le 86) \ge 0{,}95\), ist \(k - 1 = 86\), also \(k = 87\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{87; 88; \dots; 100\}\). 6. Entscheidungsregel: Die Nullhypothese wird verworfen, wenn mindestens \(87\) Samen keimen.

Der Ablehnungsbereich ist \(\{87; 88; \dots; 100\}\). Die Entscheidungsregel lautet: Die Nullhypothese \(H_0\) wird verworfen, wenn in der Stichprobe \(87\) oder mehr Samen keimen.

- Welche Vermutung soll durch den Test gestützt werden? Daraus ergibt sich die Gegenhypothese. - Welche Werte der Zufallsgröße sprechen gegen die Behauptung des Herstellers? - Achte darauf, ob du die Wahrscheinlichkeit direkt aus der Tabelle ablesen kannst oder ob du umformen musst. - Wie gehst du vor, wenn ein Wert knapp über oder unter dem Signifikanzniveau liegt?

1. Definition der Zufallsgröße \(X\): Anzahl der Akkus mit voller Kapazität, wobei \(X\) unter der Annahme \(p = 0{,}90\) binomialverteilt ist mit \(n = 200\). 2. Festlegung des Testtyps: Da eine geringere Qualität vermutet wird (\(H_1: p < 0{,}90\)), handelt es sich um einen linksseitigen Test. 3. Aufstellen der Bedingung für den Ablehnungsbereich \(\{0; \dots; k\}\): Gesucht ist das größte \(k\), für das gilt: \(P(X \le k) \le 0{,}02\). 4. Bestimmung von \(k\) durch Tabellenwerte oder den Taschenrechner: \(P(X \le 170) \approx 0{,}0163\) und \(P(X \le 171) \approx 0{,}0271\). 5. Ergebnis: Da \(P(X \le 171)\) das Signifikanzniveau überschreitet, ist \(k = 170\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0; 1; \dots; 170\}\).

Der Ablehnungsbereich für die Nullhypothese \(H_0\) ist \(\{0; 1; \dots; 170\}\).

- Welche Art von Test liegt vor, wenn eine Verringerung eines Wertes nachgewiesen werden soll? - Welche Werte der Zufallsgröße sprechen gegen die Nullhypothese? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich bei einer Binomialverteilung? - Wie muss der kritische Wert gewählt werden, damit das vorgegebene Signifikanzniveau nicht überschritten wird?

1. Bestimmung der Verteilung unter der Annahme der Grenze der Nullhypothese: Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl fehlerhafter Leuchtmittel) ist unter \(H_0\) binomialverteilt mit \(n = 150\) und \(p = 0{,}06\). 2. Festlegung der Testform: Da die Vermutung eine Verringerung des Anteils ist (\(p < 0{,}06\)), liegt ein linksseitiger Signifikanztest vor. Der Ablehnungsbereich ist \(\{0; 1; \dots; k\}\). 3. Berechnung des kritischen Wertes \(k\): Gesucht ist das größte \(k\), für das \(P(X \le k) \le 0{,}05\) gilt. 4. Tabellenwerte oder Berechnung für \(B(150; 0{,}06)\): \(P(X \le 3) \approx 0{,}0186\) \(P(X \le 4) \approx 0{,}0499\) \(P(X \le 5) \approx 0{,}1083\) 5. Da \(P(X \le 4) \le 0{,}05\), aber \(P(X \le 5) > 0{,}05\), muss \(k = 4\) gewählt werden. 6. Ergebnis: Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn höchstens 4 Leuchtmittel in der Stichprobe fehlerhaft sind. Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0; 1; 2; 3; 4\}\).

Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn in der Stichprobe \(4\) oder weniger fehlerhafte Leuchtmittel gefunden werden. Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0; 1; 2; 3; 4\}\).

- Welche Art von Test liegt vor und in welche Richtung zeigt der Ablehnungsbereich? - Wie hängen das Signifikanzniveau und die Wahrscheinlichkeit für den Ablehnungsbereich zusammen? - Welche Werte für die kumulierte Wahrscheinlichkeit musst du in der Tabelle oder im Taschenrechner prüfen? - Erinnere dich daran, dass bei einem rechtsseitigen Test die Gegenwahrscheinlichkeit \(P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)\) hilfreich ist.

1. Aufstellen der Hypothesen: \(H_0: p \leq 0{,}3\) gegen \(H_1: p > 0{,}3\). 2. Festlegen der Teststatistik: Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Treffer und ist unter \(H_0\) im Grenzfall \(p = 0{,}3\) binomialverteilt mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}3\). 3. Bestimmung des Ablehnungsbereichs \(K = \{k+1; \dots; 100\}\): Es muss gelten \(P(X \geq k+1) \leq 0{,}10\), was äquivalent zu \(P(X \leq k) \geq 0{,}90\) ist. 4. Aus der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung oder durch Berechnung ergibt sich: \(P(X \leq 35) \approx 0{,}8839\) und \(P(X \leq 36) \approx 0{,}9201\). 5. Der kleinste Wert, für den die Wahrscheinlichkeit mindestens \(0{,}90\) beträgt, ist \(k = 36\). Somit beginnt der Ablehnungsbereich bei \(k+1 = 37\). 6. Entscheidungsregel: Die Nullhypothese \(H_0\) wird abgelehnt, wenn die Anzahl der Treffer \(37\) oder mehr beträgt (\(X \in \{37; \dots; 100\}\)).

Die Nullhypothese \(H_0\) wird abgelehnt, wenn die Anzahl der Treffer im Bereich \(\{37; 38; \dots; 100\}\) liegt.

- Handelt es sich um einen linksseitigen oder einen rechtsseitigen Test? Schau dir dafür die Gegenhypothese an. - Welche Werte der Zufallsgröße sprechen besonders stark gegen die Nullhypothese? - Denk daran, dass bei einem rechtsseitigen Test die Wahrscheinlichkeit für den Ablehnungsbereich „am rechten Rand“ höchstens dem Signifikanzniveau entsprechen darf. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten \( P(X \ge k) \) und \( P(X \le k-1) \) zusammen?

1. Bestimmung der Verteilung unter \( H_0 \): Die Zufallsgröße \( X \) (Anzahl der Treffer) ist binomialverteilt mit \( n = 150 \) und der Grenzwahrscheinlichkeit \( p = 0{,}4 \), also \( X \sim B(150; 0{,}4) \). 2. Aufstellen der Bedingung für den Ablehnungsbereich: Da \( H_1: p > 0{,}4 \) gilt, handelt es sich um einen rechtsseitigen Test. Der Ablehnungsbereich ist \( \{k, \dots, 150\} \). Es muss gelten: \( P(X \ge k) \le 0{,}10 \), was äquivalent ist zu \( P(X \le k-1) \ge 0{,}90 \). 3. Bestimmung des kritischen Wertes \( k \): Aus der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung oder per Taschenrechner ergibt sich \( P(X \le 67) \approx 0{,}8939 \) und \( P(X \le 68) \approx 0{,}9210 \). Somit ist \( k-1 = 68 \), woraus \( k = 69 \) folgt. 4. Formulierung der Entscheidungsregel: Wenn mehr als 68 Treffer (also mindestens 69 Treffer) erzielt werden, wird die Nullhypothese abgelehnt.

Der Ablehnungsbereich für \( H_0 \) ist \( \{69, 70, \dots, 150\} \). Die Nullhypothese wird verworfen, wenn die Anzahl der Treffer mindestens 69 beträgt.

- Überlege zuerst, ob kleine oder große Werte der Testgröße gegen die Nullhypothese sprechen. - Formuliere die Bedingung für den Ablehnungsbereich mithilfe der kumulierten Wahrscheinlichkeit. - Suche in der Tabelle oder mit dem Taschenrechner den größten Wert, der die Bedingung für das Signifikanzniveau gerade noch erfüllt.

1. Identifikation des Testtyps: Da die Gegenhypothese \( H_1: p < 0{,}25 \) lautet, handelt es sich um einen linksseitigen Signifikanztest. 2. Festlegen der Verteilung: Unter der Annahme von \( H_0 \) ist die Zufallsgröße \( X \) binomialverteilt mit \( X \sim B(100; 0{,}25) \). 3. Bedingung für den Ablehnungsbereich: Gesucht ist der größte Wert \( k \), für den gilt: \( P(X \le k) \le 0{,}05 \). Der Ablehnungsbereich ist dann \( \{0, 1, \dots, k\} \). 4. Ermittlung von \( k \): Durch Nachschlagen in der kumulierten Binomialverteilungstabelle oder Berechnung erhält man \( P(X \le 17) \approx 0{,}0376 \) und \( P(X \le 18) \approx 0{,}0630 \). Da \( 0{,}0630 > 0{,}05 \) ist, ist \( k = 17 \). 5. Ergebnis: Der Ablehnungsbereich umfasst alle Werte von 0 bis einschließlich 17 Treffern.

Der Ablehnungsbereich ist \( \{0, 1, \dots, 17\} \). Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn höchstens 17 Treffer beobachtet werden.

- Welche Werte von \(X\) sprechen eher gegen die Nullhypothese, wenn diese einen Anteil von \(40\,\%\) behauptet, das Ergebnis aber deutlich kleiner ausfällt? - Wie ist der Ablehnungsbereich bei einem linksseitigen Test definiert? - Suche in einer Tabelle der kumulierten Binomialverteilung nach dem größten Wert, der noch nicht über dem Signifikanzniveau liegt. - Erinnere dich daran, dass die tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit genau der berechneten Wahrscheinlichkeit für den Ablehnungsbereich entspricht.

1. Identifikation der Verteilung: Die Zufallsgröße \(X\) ist am Randwert der Nullhypothese binomialverteilt mit \(n = 50\) und \(p = 0{,}4\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Bei einem linksseitigen Test wird \(H_0\) abgelehnt, wenn \(X \le k\). Gesucht ist das größte \(k\), für das \(P(X \le k) \le 0{,}05\) gilt. 3. Auswertung der kumulierten Binomialverteilung: Es gilt \(P(X \le 13) \approx 0{,}0280\) und \(P(X \le 14) \approx 0{,}0540\). 4. Festlegung des kritischen Wertes: Da \(P(X \le 13)\) noch unter dem Signifikanzniveau liegt, \(P(X \le 14)\) jedoch darüber, ist \(k = 13\). Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{0; 1; \dots; 13\}\). 5. Berechnung des Fehlers erster Art: Die Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) in den Ablehnungsbereich fällt, obwohl \(H_0\) wahr ist, beträgt \(P(X \le 13) \approx 0{,}0280\).

Ablehnungsbereich \(K = \{0; 1; \dots; 13\}\); Wahrscheinlichkeit des Fehlers erster Art \(P(X \in K) \approx 2{,}80\,\%\).

- Welche Werte von \(X\) sprechen bei \(H_1:p>0{,}1\) gegen die Nullhypothese? - Wie lässt sich \(P(X\ge k)\) mit einer kumulierten Wahrscheinlichkeit bis \(k-1\) ausdrücken? - Prüfe auch den unmittelbar benachbarten Grenzwert, damit der Ablehnungsbereich maximal ist.

1. Am Randwert \(p_0=0{,}1\) gilt \(X\sim B(120;0{,}1)\). 2. Beim rechtsseitigen Test hat der Ablehnungsbereich die Form \(K=\{k;k+1;\dots;120\}\). Gesucht ist das kleinste \(k\) mit \(P(X\ge k)\le0{,}01\). 3. Es gilt \(P(X\le19)\approx0{,}9842\) und \(P(X\le20)\approx0{,}9921\). Damit ist \(k=21\) und \(K=\{21;22;\dots;120\}\). 4. Die tatsächlich erreichte Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art beträgt \(P_{0{,}1}(X\ge21)=1-P_{0{,}1}(X\le20)\approx0{,}0079\).

\(K=\{21;22;\dots;120\}\); tatsächlich erreichte Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art: etwa \(0{,}79\,\%\).

- Welche Testrichtung folgt aus der Vermutung einer geringeren Keimquote? - An welchem Wert von \(p\) wird der Ablehnungsbereich kalibriert? - Welche benachbarten kumulierten Wahrscheinlichkeiten musst du vergleichen?

1. Die Zufallsgröße \(X\) zählt die keimenden Samen. Am Randwert \(p_0=0{,}75\) gilt \(X\sim B(400;0{,}75)\). 2. Da eine geringere Keimquote vermutet wird, liegt ein linksseitiger Test vor. Gesucht ist der größte Wert \(k\) mit \(P(X\le k)\le0{,}05\). 3. Mit einem geeigneten digitalen Werkzeug erhält man \(P(X\le285)\approx0{,}0486\) und \(P(X\le286)\approx0{,}0610\). 4. Daher ist \(K=\{0;1;\dots;285\}\).

\(K=\{0;1;\dots;285\}\)

- Welche Seite der Verteilung ist bei \(H_1:p>0{,}10\) relevant? - Welcher Randwert aus \(H_0\) ist für die Berechnung maßgeblich? - Vergleiche die berechnete Randwahrscheinlichkeit erst am Ende mit dem Signifikanzniveau.

1. Am Randwert der Nullhypothese gilt \(X\sim B(200;0{,}10)\). 2. Wegen \(H_1:p>0{,}10\) ist die rechte Randwahrscheinlichkeit relevant. 3. Es gilt \(P_{0{,}10}(X\ge26)=1-P_{0{,}10}(X\le25)\approx0{,}10046\). 4. Da \(0{,}10046>0{,}05\), wird \(H_0\) auf dem \(5\,\%\)-Niveau nicht abgelehnt.

\(P_{0{,}10}(X\ge26)\approx0{,}10046=10{,}05\,\%\). Da diese Wahrscheinlichkeit größer als \(5\,\%\) ist, wird \(H_0\) nicht abgelehnt.

- Überlege dir zuerst, welche Werte der Zufallsgröße gegen die Nullhypothese sprechen würden. - Erinnere dich daran, dass bei einem linksseitigen Test der Ablehnungsbereich bei den kleinsten Werten der Zufallsgröße liegt. - Nutze eine Tabelle der kumulierten Binomialverteilung oder einen Taschenrechner, um den größten Wert zu finden, dessen kumulierte Wahrscheinlichkeit noch unter dem Signifikanzniveau liegt. - Was bedeutet der Fehler 1. Art im Kontext der Wahrscheinlichkeitsverteilung unter der Nullhypothese?

1. Aufstellung der Hypothesen: \(H_0: p \ge 0{,}25\) gegen \(H_1: p < 0{,}25\). 2. Festlegung der Testgröße: Die Testgröße \(X\) wird am Randwert \(p_0 = 0{,}25\) mit \(X \sim B(80; 0{,}25)\) kalibriert. 3. Bestimmung des Ablehnungsbereichs \(K = \{0, 1, \dots, k\}\) durch die Bedingung \(P(X \le k) \le 0{,}05\). 4. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeiten: \(P(X \le 13) \approx 0{,}0421\) und \(P(X \le 14) \approx 0{,}0740\). 5. Da \(0{,}0421 \le 0{,}05\) und \(0{,}0740 > 0{,}05\), ist \(k = 13\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0, 1, \dots, 13\}\). 6. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art entspricht der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit, im Ablehnungsbereich zu landen, obwohl \(H_0\) wahr ist: \(P(X \le 13) \approx 0{,}0421\).

Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0, 1, \dots, 13\}\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt \(\alpha_{\text{tatsächlich}} \approx 0{,}0421\) (bzw. \(4{,}21\,\%\)).

- Bei einem rechtsseitigen Test liegen die Werte, die zur Ablehnung führen, im oberen Bereich der Verteilung. - Achte beim Arbeiten mit kumulierten Wahrscheinlichkeiten darauf, wie man die Wahrscheinlichkeit für „mindestens k Treffer“ in „höchstens Treffer“ umschreibt. - Die kritische Grenze \(k\) ist der kleinste Wert, für den die Wahrscheinlichkeit, diesen oder einen größeren Wert zu erhalten, das Signifikanzniveau nicht überschreitet. - Die tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit ist oft etwas kleiner als das vorgegebene Signifikanzniveau.

1. Aufstellung der Hypothesen: \(H_0: p \le 0{,}15\) gegen \(H_1: p > 0{,}15\). 2. Die Testgröße \(X\) wird am Randwert \(p_0 = 0{,}15\) mit \(X \sim B(250; 0{,}15)\) kalibriert. 3. Bestimmung des Ablehnungsbereichs \(K = \{k, k+1, \dots, 250\}\) durch die Bedingung \(P(X \ge k) \le 0{,}025\), was äquivalent ist zu \(1 - P(X \le k-1) \le 0{,}025\) bzw. \(P(X \le k-1) \ge 0{,}975\). 4. Tabellenwerte oder Taschenrechner liefern: \(P(X \le 48) \approx 0{,}9712\) und \(P(X \le 49) \approx 0{,}9804\). 5. Da \(0{,}9804 \ge 0{,}975\), ist \(k-1 = 49\), also \(k = 50\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{50, 51, \dots, 250\}\). 6. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ist \(P(X \ge 50) = 1 - P(X \le 49) \approx 1 - 0{,}9804 = 0{,}0196\).

Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{50, 51, \dots, 250\}\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt \(\alpha_{\text{tatsächlich}} \approx 0{,}0196\) (bzw. \(1{,}96\,\%\)).

- Welche Seite der Verteilung ist für die Gegenhypothese relevant, wenn man eine „mindestens“-Aussage bezweifelt? - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge bei unabhängigen Bernoulli-Versuchen? - Wie groß darf die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis im Ablehnungsbereich höchstens sein? - Nutze ein Tabellenwerk oder die kumulierte Binomialverteilung deines Taschenrechners.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da die Behauptung „mindestens \(45\,\%\)“ angezweifelt wird, handelt es sich um einen linksseitigen Test mit \(H_0: p \geq 0{,}45\) und \(H_1: p < 0{,}45\). 2. Festlegen der Teststatistik: Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Personen, die dem Politiker zustimmen. Unter der Annahme \(p = 0{,}45\) ist \(X\) binomialverteilt mit \(n = 400\). 3. Bestimmung des kritischen Wertes \(k\): Gesucht ist das größte \(k\), für das gilt: \(P(X \leq k) \leq 0{,}10\). 4. Auswertung der Binomialverteilung für \(n = 400\) und \(p = 0{,}45\): Es gilt \(P(X \leq 166) \approx 0{,}0872\) und \(P(X \leq 167) \approx 0{,}1043\). 5. Abschluss: Da \(P(X \leq 166)\) noch unter dem Signifikanzniveau liegt, \(P(X \leq 167)\) jedoch darüber, ist \(k = 166\). Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{0; 1; \dots; 166\}\).

Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0; 1; \dots; 166\}\).

- Formuliere zuerst die Nullhypothese und die Gegenhypothese. - Handelt es sich um einen linksseitigen oder einen rechtsseitigen Test? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten \(P(X \geq k)\) und \(P(X \leq k-1)\) zusammen? - Suche in der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung nach dem Wert, der gerade noch die Bedingung für den Nichtablehnungsbereich erfüllt.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da vermutet wird, dass der Anteil höher als angegeben ist, liegt ein rechtsseitiger Test vor mit \(H_0: p \leq 0{,}10\) und \(H_1: p > 0{,}10\). 2. Festlegen der Teststatistik: Die Zufallsgröße \(X\) zählt die verspäteten Bestellungen. Unter \(p = 0{,}10\) ist \(X\) binomialverteilt mit \(n = 250\). 3. Bestimmung des Ablehnungsbereichs \(K = \{k; k+1; \dots; 250\}\): Es muss gelten \(P(X \geq k) \leq 0{,}05\). Dies ist äquivalent zu \(1 - P(X \leq k-1) \leq 0{,}05\) bzw. \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}95\). 4. Vergleich der kumulierten Wahrscheinlichkeiten für \(n = 250\) und \(p = 0{,}10\): Es ist \(P(X \leq 32) \approx 0{,}9389\) und \(P(X \leq 33) \approx 0{,}9590\). 5. Ermittlung der Grenze: Es folgt \(k-1 = 33\), also \(k = 34\). Die Nullhypothese wird verworfen, wenn mindestens \(34\) Bestellungen verspätet sind.

Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn \(34\) oder mehr Bestellungen verspätet sind (Ablehnungsbereich \(K = \{34; 35; \dots; 250\}\)).

- Formuliere das beobachtete Ergebnis als oberen Randbereich der Binomialverteilung. - Für „mindestens drei“ ist das Gegenereignis \(X\le2\). - Vergleiche die berechnete Randwahrscheinlichkeit erst am Ende mit \(5\,\%\).

1. Am Randwert \(p_0=0{,}01\) gilt \(X\sim B(100;0{,}01)\). 2. Gesucht ist \(P(X\ge3)=1-P(X\le2)\). 3. Es gilt \(P(X\le2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\approx0{,}9206\). 4. Daher ist \(P(X\ge3)\approx0{,}0794=7{,}94\,\%\). 5. Da \(7{,}94\,\%>5\,\%\), wird \(H_0\) nach der vorgegebenen Regel nicht verworfen.

\(P(X\ge3)\approx7{,}94\,\%\). Da dieser Wert größer als \(5\,\%\) ist, wird \(H_0\) nach der vorgegebenen Regel nicht verworfen.

- Formuliere die Nullhypothese als Binomialmodell. - Bei der Vermutung „seltener“ liegt der relevante Rand links. - Vergleiche die kumulierte Randwahrscheinlichkeit erst am Ende mit \(5\,\%\).

1. Am Randwert \(p_0=\frac13\) gilt \(X\sim B\left(30;\frac13\right)\). 2. \(P(X\le4)=\sum_{k=0}^{4}\binom{30}{k}\left(\frac13\right)^k\left(\frac23\right)^{30-k}\approx0{,}01223\). 3. Damit beträgt die Randwahrscheinlichkeit etwa \(1{,}22\,\%\). 4. Da \(1{,}22\,\%<5\,\%\), wird die Nullhypothese nach der vorgegebenen Regel verworfen; die Beobachtung stützt damit die Vermutung eines kleineren \(p\).

1. \(P(X\le4)\approx0{,}01223\approx1{,}22\,\%\) 2. Die Nullhypothese wird nach der vorgegebenen \(5\,\%\)-Regel verworfen.

- Schau dir die Gegenhypothese an, um die Testrichtung zu bestimmen. - Wie lautet die Bedingung für den Fehler 1. Art bei einem gegebenen Signifikanzniveau? - Welche Verteilung nimmst du für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten an? - Denk daran, dass der Ablehnungsbereich die Werte enthält, die extrem unwahrscheinlich sind, wenn die Nullhypothese stimmen würde.

1. Da die Gegenhypothese \(H_1: p > 0{,}3\) lautet, handelt es sich um einen rechtsseitigen Signifikanztest. Der Ablehnungsbereich hat die Form \(\{k; \dots; 60\}\). 2. Unter der Annahme, dass \(H_0\) wahr ist, ist die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl der Erfolge) binomialverteilt mit \(n = 60\) und \(p = 0{,}3\). 3. Gesucht ist der kleinste Wert \(k\), für den gilt: \(P(X \ge k) \le 0{,}05\). Dies ist gleichbedeutend mit \(P(X \le k - 1) \ge 0{,}95\). 4. Durch Tabellen oder einen Taschenrechner ergeben sich für \(B(60; 0{,}3)\) folgende kumulierte Wahrscheinlichkeiten: \(P(X \le 23) \approx 0{,}9368\) und \(P(X \le 24) \approx 0{,}9638\). 5. Somit ist \(k - 1 = 24\), woraus \(k = 25\) folgt. 6. Der Ablehnungsbereich für \(H_0\) ist somit \(\{25; 26; \dots; 60\}\).

Der Ablehnungsbereich ist \(\{25; 26; \dots; 60\}\).

- Welche Testrichtung folgt aus der Gegenhypothese? - An welchem Randwert der Nullhypothese wird gerechnet? - Welche kumulierte Wahrscheinlichkeit darf das Signifikanzniveau gerade noch nicht überschreiten?

1. Wegen \(H_1:p<0{,}25\) liegt ein linksseitiger Signifikanztest vor. Am Randwert \(p_0=0{,}25\) gilt \(X\sim B(45;0{,}25)\). 2. Gesucht ist der größte Wert \(k\) mit \(P(X\le k)\le0{,}10\). 3. Es gilt \(P(X\le7)\approx0{,}0941\) und \(P(X\le8)\approx0{,}1725\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;7\}\). 4. Die Entscheidungsregel lautet: Lehne \(H_0\) bei \(X\in K\) ab; andernfalls lehne \(H_0\) nicht ab.

\(K=\{0;1;\dots;7\}\). Für \(X\le7\) wird \(H_0\) abgelehnt.

- Welche Vermutung möchte der Großhändler stützen? Formuliere daraus die Gegenhypothese. - Bei einem rechtsseitigen Test liegen die Werte, die gegen die Nullhypothese sprechen, im oberen Bereich der Verteilung. - Suche in einer Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung den Wert, ab dem die Wahrscheinlichkeit für „höchstens so viele Treffer“ das Niveau von \(1 - \alpha\) erreicht oder überschreitet. - Überlege dir genau, ob der gesuchte Wert \(k\) selbst noch zum Nichtablehnungsbereich gehört oder bereits zum Ablehnungsbereich.

1. Aufstellen der Hypothesen: Die Nullhypothese lautet \(H_0: p \le 0{,}15\), die Gegenhypothese \(H_1: p > 0{,}15\). Es handelt sich um einen rechtsseitigen Signifikanztest. 2. Festlegen der Testgröße: \(X\) ist die Anzahl der Leuchten mit Farbabweichung, wobei \(X\) unter \(H_0\) (mit \(p = 0{,}15\)) binomialverteilt ist mit \(n = 50\). 3. Bestimmung des Ablehnungsbereichs \(K = \{k; \dots; 50\}\): Es wird das kleinste \(k\) gesucht, für das gilt: \(P(X \ge k) \le 0{,}05\). Dies ist äquivalent zu \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\). 4. Nachschlagen in der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung für \(n = 50\) und \(p = 0{,}15\): - \(P(X \le 11) \approx 0{,}9372\) - \(P(X \le 12) \approx 0{,}9701\) 5. Da \(0{,}9701 \ge 0{,}95\) die erste Überschreitung ist, folgt \(k - 1 = 12\), also \(k = 13\). 6. Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{13; 14; \dots; 50\}\).

Der Ablehnungsbereich für die Nullhypothese ist \(K = \{13; 14; \dots; 50\}\).

- Handelt es sich hier um einen Test auf eine zu kleine oder eine zu große Trefferwahrscheinlichkeit? - Formuliere die Bedingung für den Ablehnungsbereich mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit, um Tabellenwerte nutzen zu können. - Achte darauf, dass die Wahrscheinlichkeit für den gesamten Ablehnungsbereich das Signifikanzniveau nicht überschreiten darf.

1. Aufstellen der Hypothesen für einen rechtsseitigen Test: \(H_0: p \le 0{,}1\) und \(H_1: p > 0{,}1\). 2. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Widerrufe und ist unter \(H_0\) (\(p = 0{,}1\)) binomialverteilt mit \(n = 200\). 3. Gesucht ist die kleinste Zahl \(k\), für die \(P(X \ge k) \le 0{,}01\) gilt. Dies ist äquivalent zu \(1 - P(X \le k-1) \le 0{,}01\) bzw. \(P(X \le k-1) \ge 0{,}99\). 4. Aus der kumulierten Binomialverteilung folgt: \(P(X \le 29) \approx 0{,}9837\) und \(P(X \le 30) \approx 0{,}9905\). 5. Die Bedingung \(P(X \le k-1) \ge 0{,}99\) ist somit für \(k-1 = 30\) erfüllt, woraus \(k = 31\) folgt. 6. Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese ist \(K = \{31, 32, \dots, 200\}\).

Ablehnungsbereich: \(K = \{31, 32, \dots, 200\}\)

- Überlege zuerst, welche Vermutung das Institut statistisch absichern möchte. Diese bildet die Gegenhypothese. - Handelt es sich um einen linksseitigen oder einen rechtsseitigen Test, wenn vermutet wird, dass der tatsächliche Wert kleiner als angegeben ist? - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Nutzer in einer Stichprobe mit festem Umfang? - Suche in der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung nach dem größten Wert, der das Signifikanzniveau gerade noch nicht überschreitet.

1. Aufstellen der Hypothesen für einen linksseitigen Test: \(H_0: p \ge 0{,}4\) und \(H_1: p < 0{,}4\). 2. Festlegen der Testgröße \(X\) als Anzahl der Nutzer in der Stichprobe, wobei \(X\) unter der Annahme der Grenzwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}4\) binomialverteilt ist mit \(n = 200\). 3. Bestimmung des kritischen Wertes \(k\) durch die Bedingung \(P(X \le k) \le 0{,}05\). 4. Vergleich der kumulierten Wahrscheinlichkeiten: \(P(X \le 68) \approx 0{,}0475\) und \(P(X \le 69) \approx 0{,}0639\). 5. Da \(0{,}0475 \le 0{,}05\) und \(0{,}0639 > 0{,}05\), liegt die Grenze bei \(68\). 6. Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese ist somit \(K = \{0; 1; \dots; 68\}\).

Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0; 1; \dots; 68\}\).

- Formuliere die Nullhypothese so, dass sie die Behauptung des Herstellers widerspiegelt. - Wann würdest du am ehesten an der Angabe des Herstellers zweifeln – bei sehr vielen oder bei sehr wenigen defekten Zellen? - Beachte, dass bei einem rechtsseitigen Test die Wahrscheinlichkeit \(P(X \ge k)\) betrachtet wird. Wie kannst du dies mit der kumulierten Verteilungsfunktion \(P(X \le k)\) berechnen? - Achte genau auf das vorgegebene Signifikanzniveau von \(1\,\%\).

1. Definition der Hypothesen für einen rechtsseitigen Test: \(H_0: p \le 0{,}05\) und \(H_1: p > 0{,}05\). 2. Festlegen der binomialverteilten Testgröße \(X\) (Anzahl defekter Zellen) mit \(n = 500\) und \(p = 0{,}05\). 3. Suche nach der kleinsten Zahl \(k\), für die die Wahrscheinlichkeit im rechten Randbereich \(P(X \ge k) \le 0{,}01\) erfüllt ist. Dies ist äquivalent zu \(P(X \le k-1) \ge 0{,}99\). 4. Überprüfung der kumulierten Wahrscheinlichkeiten: \(P(X \le 36) \approx 0{,}9876\) und \(P(X \le 37) \approx 0{,}9923\). 5. Da \(0{,}9923 \ge 0{,}99\), liegt die Grenze des Nichtablehnungsbereichs bei \(37\). 6. Der Ablehnungsbereich beginnt somit bei \(k = 38\). Ab \(38\) defekten Solarzellen wird die Behauptung abgelehnt.

Die Angabe des Herstellers wird ab einer Anzahl von \(38\) defekten Solarzellen abgelehnt.

- Welche Ergebnisse führen bei einem rechtsseitigen Test zur Ablehnung? - Wie verändert sich die Verteilung der Trefferzahl, wenn \(p\) innerhalb der Nullhypothese größer wird? - Wo liegt der größte noch zu \(H_0\) gehörende Wert von \(p\)?

1. Ein Fehler 1. Art kann nur auftreten, wenn die Nullhypothese wahr ist. 2. Bei einem rechtsseitigen Test werden große Trefferzahlen abgelehnt. Innerhalb von \(H_0:p\le0{,}40\) sind solche großen Werte am Rand \(p_0=0{,}40\) am wahrscheinlichsten. 3. Deshalb wird der Ablehnungsbereich am Randwert \(p_0=0{,}40\) kalibriert. Für kleinere Werte wie \(p=0{,}20\) ist die Wahrscheinlichkeit, in den rechten Ablehnungsbereich zu geraten, geringer.

Der Randwert \(p_0=0{,}40\) liefert innerhalb der Nullhypothese die größte Wahrscheinlichkeit für den rechten Ablehnungsbereich. Deshalb wird dort kontrolliert, dass die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art das Signifikanzniveau nicht überschreitet.

- Suche den ausdrücklich mit \(K\) bezeichneten Balkenbereich und lies seine linke Grenze an der x-Achse ab. - Bei einem rechtsseitigen Test reicht der Ablehnungsbereich von dieser Grenze bis zum größten möglichen Trefferwert. - Prüfe anschließend, ob \(11\) zu diesem Bereich gehört.

1. Im Diagramm beginnt der ausdrücklich mit \(K\) gekennzeichnete rechte Balkenbereich bei \(10\). Daher ist \(K=\{10;11;\dots;20\}\). 2. Der beobachtete Wert \(11\) liegt in \(K\). Deshalb wird \(H_0\) abgelehnt.

a) \(K=\{10;11;\dots;20\}\) b) Da \(11\in K\), wird \(H_0\) abgelehnt.

- Frage dich jeweils: Ist \(p\) bekannt oder unbekannt? - Wird eine Wahrscheinlichkeit aus einem Modell berechnet oder wird das Modell selbst anhand von Daten geprüft? - Welche Frage richtet sich auf einen unbekannten Parameter der Grundgesamtheit?

1. Bei I ist \(p=0{,}60\) als Modellparameter bekannt; aus dem Modell wird eine Wahrscheinlichkeit für ein Stichprobenergebnis berechnet. 2. Bei II ist \(p\) unbekannt. Das beobachtete Stichprobenergebnis soll genutzt werden, um eine Aussage über den unbekannten Parameter zu prüfen. Das ist schließende Statistik und führt zu einem einseitigen Signifikanztest.

I ist Wahrscheinlichkeitsrechnung bei bekanntem Modell. II gehört zur schließenden Statistik bzw. zu einem linksseitigen Signifikanztest, weil aus Stichprobendaten auf einen unbekannten Parameter geschlossen werden soll.

- Lies zuerst nur die Grenzen des ausdrücklich mit \(K\) markierten Bereichs ab. - Suche danach die separate Markierung \(x\). - Die Testentscheidung hängt allein davon ab, ob \(x\) im Ablehnungsbereich liegt.

1. Der mit \(K\) markierte Bereich reicht von \(0\) bis \(6\). Der größte Wert in \(K\) ist daher \(6\). 2. Der beobachtete Wert ist mit \(x\) bei \(8\) markiert. 3. Da \(8\notin K\), wird \(H_0\) nicht abgelehnt.

a) Der größte Wert in \(K\) ist \(6\). b) \(x=8\). Da \(8\notin K\), wird \(H_0\) nicht abgelehnt.

- Was ist die ursprüngliche Vermutung, die geprüft werden soll? - Handelt es sich um eine Abweichung nach oben oder nach unten? - Welche Werte der Testgröße würden gegen die Behauptung des Herstellers sprechen? - Wie berechnet man die Grenze, ab der ein Ergebnis als „unwahrscheinlich genug“ gilt?

1. Aufstellen der Hypothesen: Da die Behauptung „höchstens \(4\,\%\)“ widerlegt werden soll, handelt es sich um einen rechtsseitigen Test mit \(H_0: p \le 0{,}04\) und \(H_1: p > 0{,}04\). 2. Festlegen der Testgröße: Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der defekten Displays und ist unter \(H_0\) (Grenzfall \(p = 0{,}04\)) binomialverteilt mit \(n = 400\) und \(p = 0{,}04\). 3. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P(X \ge k) \le 0{,}05\) bzw. \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\) gilt. 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: Es gilt \(P(X \le 22) \approx 0{,}9455\) und \(P(X \le 23) \approx 0{,}9663\). Damit ist \(k-1 = 23\), also \(k = 24\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{24; 25; \dots; 400\}\). 5. Entscheidung: Der beobachtete Wert \(22\) liegt nicht im Ablehnungsbereich \(K\). Die Nullhypothese kann auf dem Signifikanzniveau von \(5\,\%\) nicht abgelehnt werden. Die Behauptung des Herstellers kann somit nicht widerlegt werden.

Nein, der Großhändler kann die Behauptung nicht widerlegen. Der Ablehnungsbereich für den Test beginnt erst bei \(24\) defekten Displays (\(K = \{24; \dots; 400\}\)), der beobachtete Wert von \(22\) liegt außerhalb dieses Bereichs.

- Welche Hypothese muss der Landwirt widerlegen, um seine Vermutung zu stützen? - Suchen wir nach besonders kleinen oder besonders großen Werten in der Stichprobe? - Wie sieht die Verteilung der keimenden Samen aus, wenn die Herstellerangabe genau stimmt? - Wo liegt die kritische Grenze, die den Ablehnungsbereich vom Rest trennt?

1. Aufstellen der Hypothesen: Die Vermutung des Landwirts („geringere Keimrate“) führt zu einem linksseitigen Test mit \(H_0: p \ge 0{,}90\) und \(H_1: p < 0{,}90\). 2. Festlegen der Testgröße: \(X\) ist die Anzahl der keimenden Samen, unter \(H_0\) (Grenzfall \(p = 0{,}90\)) gilt \(X \sim B(80; 0{,}90)\). 3. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist das größte \(k\), für das \(P(X \le k) \le 0{,}05\) gilt. 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: Mit der Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 66) \approx 0{,}0267\) und \(P(X \le 67) \approx 0{,}0538\). Damit ist \(k = 66\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0; 1; \dots; 66\}\). 5. Entscheidung: Der beobachtete Wert \(66\) liegt im Ablehnungsbereich \(K\). Die Nullhypothese wird auf dem \(5\,\%\)-Niveau abgelehnt. Das Ergebnis stützt die Vermutung des Landwirts auf dem \(5\,\%\)-Niveau statistisch.

Hypothesen: \(H_0: p \ge 0{,}90\); \(H_1: p < 0{,}90\). Ablehnungsbereich: \(K = \{0; 1; \dots; 66\}\). Entscheidung: Da \(66 \in K\), wird \(H_0\) abgelehnt. Die Daten sprechen auf dem \(5\,\%\)-Niveau für eine niedrigere Keimrate als angegeben.

- Überlege dir, welche Informationen in der ersten Teilaufgabe als sicher angenommen werden. - Wie gehst du vor, wenn du die Grenze suchst, ab der ein Ergebnis als „zu unwahrscheinlich“ gilt? - Betrachte den Weg der Erkenntnis: Geht man von der Gesamtheit zur Stichprobe oder umgekehrt?

1. Für \(n=100\) und \(p=0{,}90\) gilt \(P(X\leq85)=\sum_{i=0}^{85}\binom{100}{i}0{,}90^i0{,}10^{100-i}\approx0{,}0726\). 2. Gesucht ist der größte Wert \(k\), für den am Rand der Nullhypothese \(P_{p=0{,}90}(X\leq k)\leq0{,}05\) gilt. Es ist \(P(X\leq84)\approx0{,}0399\) und \(P(X\leq85)\approx0{,}0726\). Daher ist der Ablehnungsbereich \(K=\{0;1;\dots;84\}\). 3. In Teil 1 ist das Modell fest vorgegeben und die Wahrscheinlichkeit eines Stichprobenergebnisses wird berechnet. In Teil 2 wird ein unbekannter Parameter anhand eines Stichprobenergebnisses beurteilt.

1. \(P(X\leq85)\approx7{,}26\,\%\). 2. \(K=\{0;1;\dots;84\}\). 3. Wahrscheinlichkeitsrechnung leitet bei bekanntem Modell Wahrscheinlichkeiten für Stichprobenergebnisse ab; beurteilende Statistik nutzt Stichprobendaten zur Prüfung von Aussagen über unbekannte Parameter.

- Welche Verteilung liegt vor, wenn wir eine feste Anzahl unabhängiger Versuche mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit betrachten? - Achte beim Ablehnungsbereich darauf, dass die kumulierte Wahrscheinlichkeit das Signifikanzniveau gerade noch nicht überschreiten darf. - Was ist der Unterschied zwischen dem vorgegebenen Signifikanzniveau und der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art? - Vergleiche das Stichprobenergebnis direkt mit den Grenzen deines Ablehnungsbereichs.

1. Testgröße und Verteilung: Die Testgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Patienten, bei denen die Tablette innerhalb von \(15\) Minuten wirkt. Unter \(H_0\) wird \(X\) als binomialverteilt mit \(n = 200\) und \(p = 0{,}9\) angenommen (\(B_{200; 0{,}9}\)). 2. Ablehnungsbereich: Es liegt ein linksseitiger Test vor. Gesucht ist das größte \(k\), für das \(P(X \leq k) \leq 0{,}01\) gilt. Die Berechnung ergibt \(P(X \leq 169) \approx 0{,}0095\) und \(P(X \leq 170) \approx 0{,}0163\). Damit ist der kritische Wert \(k = 169\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0; 1; \dots; 169\}\). 3. Fehler 1. Art: Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese irrtümlich abzulehnen, ist \(\alpha_{\text{tatsächlich}} = P(X \leq 169) \approx 0{,}0095 = 0{,}95\,\%\). 4. Entscheidung: Das beobachtete Ergebnis \(x = 172\) liegt nicht im Ablehnungsbereich \(\{0; \dots; 169\}\). Daher kann die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau von \(1\,\%\) nicht verworfen werden. Die Behauptung des Herstellers wird nicht verworfen.

a) \(X\): Anzahl der Patienten mit Wirkung; \(X\) ist \(B_{200; 0{,}9}\)-verteilt. b) \(K = \{0; 1; \dots; 169\}\) c) \(P(X \leq 169) \approx 0{,}0095\) (bzw. \(0{,}95\,\%\)) d) Das Ergebnis \(172\) liegt außerhalb des Ablehnungsbereichs. Die Behauptung wird nicht verworfen.

- Überlege zuerst, welche Werte für die Zufallsgröße gegen die Nullhypothese sprechen (eher große oder eher kleine Werte?). - Suche in der kumulierten Binomialverteilungstabelle nach dem kleinsten Wert, für den die Überschreitungswahrscheinlichkeit höchstens \(\alpha\) ist. - Denk daran, dass bei einem rechtsseitigen Test der Ablehnungsbereich am rechten Ende der Verteilung liegt. - Prüfe am Ende einfach, ob dein beobachteter Wert in der Menge der Werte liegt, die zur Ablehnung führen.

1. Für die Kalibrierung des rechtsseitigen Tests wird der Randwert \(p_0 = 0{,}3\) der Nullhypothese verwendet. Dann ist die Zufallsgröße \(X\) binomialverteilt mit \(n = 80\) und \(p_0 = 0{,}3\). Für einen rechtsseitigen Test wird \(H_0\) abgelehnt, wenn \(X\) einen kritischen Wert \(k_{\text{crit}}\) oder mehr erreicht, wobei \(P(X \ge k_{\text{crit}}) \le 0{,}05\) gelten muss. Dies entspricht \(P(X \le k_{\text{crit}} - 1) \ge 0{,}95\). Durch Tabellen oder Taschenrechner ermittelt man: \(P(X \le 29) \approx 0{,}9084\), \(P(X \le 30) \approx 0{,}9413\) und \(P(X \le 31) \approx 0{,}9640\). Somit ist \(k_{\text{crit}} - 1 = 31\), also \(k_{\text{crit}} = 32\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{32; 33; \dots; 80\}\). 2. Da das Stichprobenergebnis \(k = 32\) im Ablehnungsbereich \(K\) liegt, wird die Nullhypothese \(H_0\) auf dem Signifikanzniveau von \(5\,\%\) abgelehnt.

1. Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{32; 33; \dots; 80\}\). 2. Da \(k = 32 \in K\), wird \(H_0\) abgelehnt.

- Welche Werte von \(X\) sprechen für die Vermutung \(p<0{,}75\)? - An welchem Randwert der Nullhypothese wird der Ablehnungsbereich kalibriert? - Welche Bedingung muss der größte Wert im linksseitigen Ablehnungsbereich erfüllen?

1. Für die Kalibrierung wird der Randwert \(p_0 = 0{,}75\) verwendet; damit gilt \(X \sim B(120;0{,}75)\). Bei einem linksseitigen Test hat der Ablehnungsbereich die Form \(K=\{0;1;\dots;k\}\). Gesucht ist der größte Wert \(k\) mit \(P(X\le k)\le0{,}01\). 2. Es gilt \(P(X\le77)\approx0{,}0054\), \(P(X\le78)\approx0{,}0093\) und \(P(X\le79)\approx0{,}0155\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;78\}\). 3. Der beobachtete Wert \(x=78\) liegt in \(K\). Daher wird \(H_0\) abgelehnt.

1. \(K=\{0;1;\dots;78\}\) 2. Da \(x=78\in K\), wird \(H_0\) abgelehnt.

- Welche geringere Zufriedenheit soll statistisch gestützt werden? - Welche kumulierte Wahrscheinlichkeit darf für den größten Wert in \(K\) höchstens \(10\,\%\) betragen? - Unterscheide das nominale Signifikanzniveau von der tatsächlich erreichten Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art. - Vergleiche \(26\) erst nach der Kalibrierung mit \(K\).

1. Es gilt \(H_0:p\ge0{,}6\) gegen \(H_1:p<0{,}6\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}6\) gilt \(X\sim B(50;0{,}6)\). Es ist \(P(X\le25)\approx0{,}0978\) und \(P(X\le26)\approx0{,}1562\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;25\}\). 3. Die tatsächlich erreichte Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art ist \(P_{0{,}6}(X\le25)\approx0{,}0978=9{,}78\,\%\). 4. Fehler 1. Art bedeutet hier, dass die Initiative eine Zufriedenheit unter \(60\,\%\) statistisch stützt, obwohl tatsächlich \(p\ge0{,}6\) gilt. 5. Da \(26\notin K\), wird \(H_0\) nicht abgelehnt.

a) \(H_0:p\ge0{,}6\); \(H_1:p<0{,}6\) b) \(K=\{0;1;\dots;25\}\) c) \(9{,}78\,\%\) d) Eine tatsächlich zutreffende Quote von mindestens \(60\,\%\) wird fälschlich in Zweifel gezogen. e) Da \(26\notin K\), wird \(H_0\) nicht abgelehnt.

- Nutze die objektive Definition des Zielwachstums als Erfolgskriterium. - Eine Erfolgsquote über \(80\,\%\) führt zu einem rechtsseitigen Test. - Verwende für den Ablehnungsbereich den Randwert \(p=0{,}8\). - Ein kleineres Signifikanzniveau verlangt stärkere Evidenz für die Siegelvergabe.

1. Es gilt \(H_0:p\leq0{,}8\) und \(H_1:p>0{,}8\). 2. Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}8}(X\geq k)\leq0{,}05\) gilt. 3. Für \(X\sim B(80;0{,}8)\) gilt \(P(X\leq69)\approx0{,}9435\) und \(P(X\leq70)\approx0{,}9713\). Daher ist \(k=71\), und der Ablehnungsbereich ist \(K=\{71,72,\dots,80\}\). 4. Am Randwert ist \(\alpha=P_{0{,}8}(X\geq71)=1-P_{0{,}8}(X\leq70)\approx0{,}0287\). 5. Bei einem kleineren Signifikanzniveau muss der Ablehnungsbereich kleiner werden; seine Untergrenze steigt. Dadurch sinkt die Wahrscheinlichkeit, das Siegel zu vergeben, obwohl die Erfolgsquote höchstens \(80\,\%\) beträgt.

a) \(H_0:p\leq0{,}8\); \(H_1:p>0{,}8\). b) \(K=\{71,72,\dots,80\}\). c) \(\alpha\approx2{,}87\,\%\). d) Der Ablehnungsbereich wird kleiner und die Untergrenze steigt; das Risiko einer irrtümlichen Siegelvergabe sinkt.

- Was genau möchte die Gärtnerei widerlegen? - Welche Ergebnisse der Stichprobe würden die Vermutung der Gärtnerei stützen? - Welche Verteilung liegt vor, wenn wir die Anzahl der „Erfolge“ in einer festen Anzahl von Versuchen zählen? - Denke daran, dass beim rechtsseitigen Test die Wahrscheinlichkeit für den Ablehnungsbereich am Rand der Verteilung liegt.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da die Gärtnerei vermutet, dass der Anteil höher als angegeben ist, lautet die Gegenhypothese \(H_1: p > 0{,}08\). Die Nullhypothese, die im Test widerlegt werden soll, ist demnach \(H_0: p \leq 0{,}08\). Da große Werte der Testgröße gegen die Nullhypothese sprechen, wird ein rechtsseitiger Signifikanztest durchgeführt. 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Unter der Annahme \(p = 0{,}08\) ist die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl der nicht keimenden Samen) binomialverteilt mit \(n = 150\) und \(p = 0{,}08\). Gesucht ist die kleinste natürliche Zahl \(k\), für die gilt: \(P(X \geq k) \leq 0{,}05\). Dies ist gleichbedeutend mit \(1 - P(X \leq k-1) \leq 0{,}05\) bzw. \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}95\). 3. Berechnung der Werte: Durch Tabellenkalkulation oder Taschenrechner ergibt sich für \(n = 150\) und \(p = 0{,}08\): \(P(X \leq 17) \approx 0{,}9449\) und \(P(X \leq 18) \approx 0{,}9687\). Damit ist \(k-1 = 18\), also \(k = 19\). 4. Ablehnungsbereich und Entscheidungsregel: Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese ist \(K = \{19; 20; \dots; 150\}\). Wenn in der Stichprobe \(19\) oder mehr Samen nicht keimen, wird die Angabe des Herstellers auf dem \(5\,\%\)-Niveau abgelehnt.

a) \(H_0: p \leq 0{,}08\); \(H_1: p > 0{,}08\). Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test, da nur eine Abweichung nach oben (höherer Anteil nicht keimender Samen) nachgewiesen werden soll. b) Ablehnungsbereich: \(K = \{19; 20; \dots; 150\}\). Entscheidungsregel: Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn mindestens \(19\) der untersuchten \(150\) Samenkörner nicht keimen.

- Wer vertritt welche Position? Die Behauptung, die man statistisch „angreifen“ will, ist meist die Nullhypothese. - In welche Richtung weicht der Verdacht von der Behauptung ab? - Was bedeutet ein kleineres Signifikanzniveau für die Sicherheit der Entscheidung? - Muss man bei einem kleineren \(\alpha\) eher mehr oder eher weniger Gegenbeweise finden, um die Nullhypothese abzulehnen?

1. Hypothesen: Da die Organisation vermutet, dass die Erfolgsquote geringer ist, lautet die Gegenhypothese \(H_1: p < 0{,}7\). Die Nullhypothese ist somit \(H_0: p \geq 0{,}7\). Dies ist ein linksseitiger Test. 2. Entscheidungsregel (\(\alpha = 0{,}10\)): Die Testgröße \(X\) ist unter \(H_0\) (\(p = 0{,}7\)) binomialverteilt mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}7\). Gesucht ist das größte \(k\), für das gilt: \(P(X \leq k) \leq 0{,}10\). 3. Berechnung: Mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}7\) ergibt sich \(P(X \leq 62) \approx 0{,}0530\), \(P(X \leq 63) \approx 0{,}0799\) sowie \(P(X \leq 64) \approx 0{,}1161\). Somit ist \(k = 63\). Die Nullhypothese wird bei \(63\) oder weniger Erfolgen abgelehnt. 4. Änderung des Signifikanzniveaus: Wenn das Signifikanzniveau \(\alpha\) verringert wird (von \(0{,}10\) auf \(0{,}05\)), wird die Hürde für die Ablehnung der Nullhypothese höher. Der Ablehnungsbereich muss kleiner werden, damit die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art sinkt. Die kritische Zahl \(k\) wird also kleiner werden.

a) \(H_0: p \geq 0{,}7\); \(H_1: p < 0{,}7\). b) Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0; 1; \dots; 63\}\). Entscheidungsregel: Zeigt das Medikament bei höchstens \(63\) von \(100\) Patienten Wirkung, wird die Behauptung des Herstellers auf dem \(10\,\%\)-Niveau abgelehnt. c) Der Ablehnungsbereich würde kleiner werden (die obere Grenze \(k\) sinkt). Ein kleineres Signifikanzniveau bedeutet, dass man sich seltener irrtümlich gegen \(H_0\) entscheiden möchte, weshalb extremere Ergebnisse in der Stichprobe vorliegen müssen.

- Was ist die Testgröße in diesem Sachzusammenhang? - Wann würdest du an der Aussage des Herstellers zweifeln: bei sehr vielen oder bei sehr wenigen funktionierenden Modulen? - Achte darauf, wie der Ablehnungsbereich bei einem linksseitigen Test definiert ist. - Vergleiche den beobachteten Wert direkt mit der Grenze des Ablehnungsbereichs.

1. Aufstellen der Hypothesen: Die Garantie bildet die Nullhypothese, die Vermutung des Instituts die Gegenhypothese. \(H_0: p \ge 0{,}90\) \(H_1: p < 0{,}90\) 2. Bestimmung der Entscheidungsregel: Es handelt sich um einen linksseitigen Test. Gesucht ist der größte Wert \(k\), für den gilt: \(P(X \le k) \le 0{,}05\) unter der Annahme \(p = 0{,}90\). Unter Verwendung der Binomialverteilung \(B(250; 0{,}90)\) ergibt sich: \(P(X \le 216) \approx 0{,}0410\) \(P(X \le 217) \approx 0{,}0611\) Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{0; 1; \dots; 216\}\). Die Entscheidungsregel lautet: Die Nullhypothese wird verworfen, wenn höchstens \(216\) Module die volle Leistung erbringen. 3. Beurteilung des Stichprobenergebnisses: Der beobachtete Wert \(x = 218\) liegt nicht im Ablehnungsbereich (\(218 > 216\)). Die Nullhypothese wird nicht verworfen. Die Garantie des Herstellers muss auf diesem Signifikanzniveau nicht als widerlegt angesehen werden.

a) \(H_0: p \ge 0{,}90\); \(H_1: p < 0{,}90\) b) Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Anzahl der Module mit voller Leistung \(216\) oder weniger beträgt (Ablehnungsbereich \(\{0; \dots; 216\}\)). c) Da \(218 > 216\), liegt das Ergebnis außerhalb des Ablehnungsbereichs. Die Garantie des Herstellers wird nicht verworfen.

- Überlege zuerst, ob es sich um einen linksseitigen oder einen rechtsseitigen Test handelt, indem du schaust, bei welchen Werten die Nullhypothese abgelehnt wird. - Was genau ist das Ziel der Geschäftsführung? Welches Ereignis soll mit hoher Sicherheit vermieden werden? - Erinnere dich an die Definition des Fehlers 1. Art: Was bedeutet es in diesem Fall, die Nullhypothese fälschlicherweise abzulehnen? - Nutze das Tafelwerk oder die kumulierten Werte der Binomialverteilung für die entsprechenden Parameter.

1. Aufstellen der Testparameter: Es handelt sich um einen rechtsseitigen Signifikanztest mit \(n = 150\), \(p_0 = 0{,}20\) und \(\alpha = 0{,}05\). Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der interessierten Kunden und ist unter \(H_0\) binomialverteilt mit \(B(150; 0{,}20)\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist das kleinste \(k\), für das gilt: \(P(X \geq k) \leq 0{,}05\). Dies ist äquivalent zu \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}95\). 3. Aus der Tabelle der Binomialverteilung oder durch Berechnung ergibt sich für \(n=150\) und \(p=0{,}20\): \(P(X \leq 38) \approx 0{,}9554\) und \(P(X \leq 39) \approx 0{,}9707\). Somit ist bereits \(k-1 = 38\), also \(k = 39\). 4. Entscheidungsregel: Der Ablehnungsbereich ist \(\{39; 40; \dots; 150\}\). Die Reise wird angeboten, wenn sich mindestens \(39\) der befragten Kunden interessiert zeigen. 5. Interpretation des Fehlers 1. Art: Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn \(H_0\) abgelehnt wird, obwohl sie wahr ist. Im Sachkontext bedeutet dies: Es wird fälschlicherweise angenommen, dass das Interesse groß genug ist (\(p > 0{,}20\)), und die Reise wird angeboten, obwohl in Wahrheit höchstens \(20\,\%\) der Kunden interessiert sind. Durch das geringe Signifikanzniveau wird die Wahrscheinlichkeit für diese kostspielige Fehlentscheidung auf höchstens \(5\,\%\) begrenzt.

a) Die Nullhypothese \(H_0\) wird abgelehnt, wenn sich mindestens \(39\) Kunden interessiert zeigen. Der Ablehnungsbereich ist \(\{39; 40; \dots; 150\}\). b) Durch die Wahl von \(H_0: p \leq 0{,}20\) wird der Fehler 1. Art kontrolliert. Dieser besteht darin, die Reise anzubieten (Ablehnung von \(H_0\)), obwohl das tatsächliche Interesse zu gering ist. Da dieses Risiko (Fehlinvestition) als besonders schwerwiegend erachtet wird, begrenzt man dessen Wahrscheinlichkeit durch das Signifikanzniveau \(\alpha\).

- Überlege dir zuerst, ob ein hoher oder ein niedriger Wert der Stichprobe gegen die Behauptung des Herstellers spricht. - Welche Seite der Verteilung musst du also für den Ablehnungsbereich betrachten? - Nutze die kumulierte Binomialverteilung, um den kritischen Wert zu finden, bei dem die Wahrscheinlichkeit gerade noch unter dem Signifikanzniveau liegt. - Vergleiche das Ergebnis der Stichprobe direkt mit den Werten in deinem Ablehnungsbereich.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da der Gärtner eine geringere Rate vermutet, handelt es sich um einen linksseitigen Test mit \(H_0: p \ge 0{,}92\) und \(H_1: p < 0{,}92\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs \(K = \{0; 1; \dots; k\}\): Gesucht ist das größte \(k\), für das \(P(X \le k) \le 0{,}05\) bei \(n = 200\) und \(p = 0{,}92\) gilt. 3. Aus der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung oder per Taschenrechner ergibt sich: \(P(X \le 176) \approx 0{,}0306 \le 0{,}05\) und \(P(X \le 177) \approx 0{,}0507 > 0{,}05\). Somit ist \(k = 176\). Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese ist \(K = \{0; 1; \dots; 176\}\). 4. Vergleich mit der Stichprobe: Der beobachtete Wert \(x = 178\) liegt nicht im Ablehnungsbereich \(K\). 5. Entscheidung: Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt. Die Vermutung des Gärtners, dass die Keimrate geringer als \(92\,\%\) ist, konnte auf dem \(5\,\%\)-Niveau nicht statistisch belegt werden.

a) \(H_0: p \ge 0{,}92\); \(H_1: p < 0{,}92\); Ablehnungsbereich \(K = \{0; 1; \dots; 176\}\). b) Da \(178 > 176\), liegt der Wert nicht im Ablehnungsbereich. Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt; die Vermutung des Gärtners wird statistisch nicht gestützt.

- Welche Abweichung soll durch den Test statistisch gestützt werden? - Wann würde man an der Behauptung des Herstellers zweifeln: bei sehr vielen oder bei sehr wenigen defekten Lampen? - Überlege dir für den Fehler 1. Art, welche Testentscheidung getroffen wird, obwohl die Nullhypothese in Wahrheit gilt.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da die Behauptung \(p \le 0{,}05\) widerlegt werden soll, wird diese als Nullhypothese gewählt: \(H_0: p \le 0{,}05\). Die Gegenhypothese lautet entsprechend \(H_1: p > 0{,}05\). 2. Bestimmung der Testform: Es handelt sich um einen rechtsseitigen Signifikanztest. Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Anzahl der defekten Leuchten in der Stichprobe deutlich über dem erwarteten Wert liegt. Der Ablehnungsbereich liegt somit am rechten Rand der Verteilung. 3. Interpretation des Fehlers 1. Art: Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn die tatsächliche Ausfallrate höchstens \(5\,\%\) beträgt (die Behauptung des Herstellers ist also wahr), die Stichprobe aber zufällig so viele Defekte enthält, dass \(H_0\) abgelehnt wird. Folge: Der Hersteller wird zu Unrecht der Falschaussage bezichtigt, was zu Rufschädigung, Verkaufsverlusten oder unnötigen Rückrufaktionen führen kann.

a) \(H_0: p \le 0{,}05\); \(H_1: p > 0{,}05\) b) Rechtsseitiger Test, da \(H_0\) bei hohen Werten der Testgröße (viele Defekte) abgelehnt wird. c) Fehler 1. Art: Die Leuchten sind eigentlich gut (\(p \le 0{,}05\)), werden aber als schlecht eingestuft. Dies führt zu unberechtigter Kritik am Hersteller.

- Was wäre die Trefferwahrscheinlichkeit, wenn Lukas nur raten würde? - Soll seine Behauptung durch hohe oder durch niedrige Trefferzahlen gestützt werden? - Welche Testentscheidung wird bei einem Ergebnis im Ablehnungsbereich getroffen? - Vergleiche bei jedem Fehlertyp die Testentscheidung mit dem tatsächlichen Parameterzustand.

1. Die Nullhypothese lautet \(H_0:p\le0{,}5\); für die Kalibrierung wird der Randwert \(p_0=0{,}5\) verwendet. Da Lukas behauptet, besser als der Zufall zu sein, lautet die Gegenhypothese \(H_1:p>0{,}5\). 2. \(X\) ist die Anzahl der richtig erkannten Proben. Am Randwert von \(H_0\) ist \(X\) binomialverteilt mit \(n=25\) und \(p=0{,}5\). 3. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P(X\ge k)\le0{,}05\) gilt. Dies entspricht \(P(X\le k-1)\ge0{,}95\). 4. Es gilt \(P(X\le17)\approx0{,}9784\) und \(P(X\le16)\approx0{,}9461\). Somit ist \(k=18\) und \(K=\{18;19;\dots;25\}\). 5. Fehler 1. Art: Man entscheidet fälschlicherweise, dass Lukas die Sorten besser als durch Raten unterscheiden kann, obwohl \(H_0\) wahr ist. 6. Fehler 2. Art: \(H_0\) wird nicht abgelehnt, obwohl Lukas tatsächlich eine Trefferwahrscheinlichkeit \(p>0{,}5\) besitzt.

a) \(H_0:p\le0{,}5\); \(H_1:p>0{,}5\). Der Ablehnungsbereich ist \(K=\{18;19;\dots;25\}\). b) Fehler 1. Art: Lukas wird eine Fähigkeit über Zufallsniveau zugesprochen, obwohl \(H_0\) wahr ist. Fehler 2. Art: Eine tatsächlich vorhandene Trefferwahrscheinlichkeit über \(50\,\%\) wird nicht erkannt, weil \(H_0\) nicht abgelehnt wird.

- Welche Heilungsrate dient als Vergleichswert für die neue Studie? - Handelt es sich um einen linksseitigen oder einen rechtsseitigen Test, wenn eine Steigerung nachgewiesen werden soll? - Was bedeutet es für die Patienten, wenn ein eigentlich besseres Medikament im Test durchfällt? - Was bedeutet es für das Gesundheitssystem, wenn ein Medikament fälschlicherweise als überlegen eingestuft wird?

1. Hypothesenfestlegung: \(H_0: p \le 0{,}7\) (keine Verbesserung), \(H_1: p > 0{,}7\) (Heilungsrate ist höher). 2. Modellierung: Die Anzahl der geheilten Patienten \(X\) wird unter \(H_0\) als binomialverteilt mit \(n = 40\) und \(p = 0{,}7\) angenommen. 3. Kritischer Wert: Gesucht ist der kleinste Wert \(k\), sodass \(P(X \ge k) \le 0{,}10\). Dies ist äquivalent zu \(P(X \le k-1) \ge 0{,}90\). 4. Berechnung: Mit \(n = 40\) und \(p = 0{,}7\) gilt \(P(X \le 31) \approx 0{,}8890\) und \(P(X \le 32) \approx 0{,}9447\). Der kleinste Wert für \(k-1\) ist \(32\), daraus folgt \(k = 33\). Die Entscheidungsregel lautet: Werden mindestens \(33\) Patienten geheilt, wird \(H_0\) abgelehnt; die Daten stützen dann eine höhere Heilungsrate. 5. Fehler 1. Art: Das Medikament wird als besser eingestuft, obwohl die Heilungsrate tatsächlich nicht höher als \(70\,\%\) ist. Folge: Ein unwirksames oder nicht besseres Medikament wird eventuell teuer vermarktet. 6. Fehler 2. Art: Die tatsächliche Verbesserung wird nicht erkannt. Folge: Ein potenziell besseres Medikament wird nicht weiterverfolgt oder zugelassen, Patienten profitieren nicht von der Neuerung.

a) \(H_0: p \le 0{,}7\); \(H_1: p > 0{,}7\). Ablehnungsbereich: \(K = \{33; 34; \dots; 40\}\). Werden mindestens \(33\) Patienten geheilt, wird \(H_0\) abgelehnt; die Daten stützen dann eine Verbesserung. b) Fehler 1. Art: Fälschliche Annahme einer Verbesserung (Risiko: Markteinführung ohne Mehrwert). Fehler 2. Art: Übersehen einer tatsächlichen Verbesserung (Risiko: Verzicht auf Fortschritt in der Behandlung).

- Welche Seite der Verteilung ist für den Zweifel des Verbandes relevant? - Achte darauf, in welche Richtung die Ungleichung für den Ablehnungsbereich zeigen muss. - Was bedeutet es für das Unternehmen, wenn die Studie zu einem negativen Ergebnis kommt, obwohl die ursprüngliche Behauptung stimmt?

1. Hypothesenformulierung: Der Verband möchte zeigen, dass die Quote niedriger ist. Daher ist die Nullhypothese \(H_0: p \ge 0{,}80\) und die Gegenhypothese \(H_1: p < 0{,}80\). Es handelt sich um einen linksseitigen Test. 2. Bestimmung der Testgröße: Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der schmerzfreien Patienten an. Unter der Annahme \(p = 0{,}80\) ist \(X\) binomialverteilt mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}80\). 3. Berechnung der kritischen Zahl: Gesucht ist der größte Wert \(g\), für den gilt \(P(X \le g) \le 0{,}05\). 4. Auswertung der Binomialverteilung: Mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}80\) liefert der Taschenrechner \(P(X \le 72) \approx 0{,}0342\) und \(P(X \le 73) \approx 0{,}0558\). Damit liegt die kritische Zahl bei \(g = 72\). 5. Entscheidungsregel: Falls höchstens \(72\) Patienten schmerzfrei sind, wird die Behauptung des Unternehmens verworfen (Ablehnungsbereich \(K = \{0; 1; \dots; 72\}\)). Ab \(73\) schmerzfreien Patienten wird die Nullhypothese nicht abgelehnt. 6. Interpretation des Risikos: Das Risiko besteht darin, die Behauptung des Unternehmens fälschlicherweise als unwahr zurückzuweisen (Fehler 1. Art). Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt ca. \(3{,}42\,\%\).

a) \(H_0: p \ge 0{,}80\); \(H_1: p < 0{,}80\) b) Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn \(72\) oder weniger Patienten schmerzfrei sind. c) Das Risiko (Fehler 1. Art) besteht darin, dass der Verband dem Unternehmen fälschlicherweise eine zu geringe Wirksamkeit unterstellt, obwohl diese tatsächlich bei \(80\,\%\) liegt. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Irrtum liegt bei ca. \(3{,}42\,\%\).

- Welche Aussage über den aktuellen Anteil soll statistisch gestützt werden? - Welche Seite der Binomialverteilung ist bei einer behaupteten Steigerung relevant? - Vergleiche für Teil d) die Streuung relativer Häufigkeiten bei verschieden großen Stichproben.

1. Da ein Anteil über dem Referenzwert statistisch gestützt werden soll, gilt \(H_0:p\le0{,}25\) und \(H_1:p>0{,}25\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}25\) gilt \(X\sim B(150;0{,}25)\). Gesucht ist das kleinste \(k\) mit \(P(X\ge k)\le0{,}05\). Es gilt \(P(X\le45)\approx0{,}9320\) und \(P(X\le46)\approx0{,}9527\). Daher ist \(K=\{47;48;\dots;150\}\). 3. Die tatsächlich erreichte Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art ist \(P(X\ge47)=1-P(X\le46)\approx0{,}0473\). 4. Bei größerem Stichprobenumfang streut die relative Häufigkeit weniger. Deshalb kann die relative kritische Grenze bei gleichem nominalen Signifikanzniveau näher an \(0{,}25\) liegen.

a) \(H_0:p\le0{,}25\); \(H_1:p>0{,}25\) b) \(K=\{47;48;\dots;150\}\) c) Etwa \(4{,}73\,\%\) d) Die relative kritische Grenze rückt näher an \(0{,}25\).

- Welche Abweichung von der Herstellerangabe möchte der Gärtner statistisch stützen? - An welchem Randwert der Nullhypothese wird der Ablehnungsbereich kalibriert? - Wie erhältst du aus dem kritischen Zählwert den zugehörigen Stichprobenanteil?

1. Da der Gärtner eine geringere Keimrate vermutet, gilt \(H_0:p\ge0{,}9\) und \(H_1:p<0{,}9\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}9\) gilt \(X\sim B(400;0{,}9)\). Gesucht ist der größte Wert \(k\) mit \(P(X\le k)\le0{,}01\). 3. Es gilt \(P(X\le344)\approx0{,}0066\) und \(P(X\le345)\approx0{,}01004>0{,}01\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;344\}\). 4. Der größte noch zur Ablehnung führende Stichprobenanteil ist \(\frac{344}{400}=0{,}86=86\,\%\).

a) \(H_0:p\ge0{,}9\); \(H_1:p<0{,}9\) b) \(K=\{0;1;\dots;344\}\) c) Höchstens \(86\,\%\) gekeimte Samen.

- Welche Richtung hat der Test, wenn ein Anteil unter dem Referenzwert statistisch gestützt werden soll? - Welcher Randwert der Nullhypothese wird für die Binomialverteilung verwendet? - Vergleiche den beobachteten Wert erst nach der Bestimmung von \(K\) mit dem Ablehnungsbereich.

1. Es wird linksseitig getestet: \(H_0:p\ge0{,}485\) gegen \(H_1:p<0{,}485\). 2. Am Randwert gilt \(X\sim B(1200;0{,}485)\). Gesucht ist der größte Wert \(k\) mit \(P(X\le k)\le0{,}05\). 3. Es gilt \(P(X\le553)\approx0{,}04979\) und \(P(X\le554)\approx0{,}05603\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;553\}\). 4. Der beobachtete Wert \(558\) liegt nicht in \(K\). Somit wird \(H_0\) auf dem \(5\,\%\)-Niveau nicht abgelehnt.

\(H_0:p\ge0{,}485\); \(H_1:p<0{,}485\); \(K=\{0;1;\dots;553\}\). Da \(558\notin K\), wird \(H_0\) nicht abgelehnt.

- Welche Abweichung nach unten soll mit dem Test statistisch gestützt werden? - Verwende für die Bestimmung des Ablehnungsbereichs den Randwert \(p_0=0{,}92\). - Suche mit der kumulierten Binomialverteilung den größten Wert, dessen linke Randwahrscheinlichkeit höchstens \(1\,\%\) beträgt. - Vergleiche anschließend den beobachteten Wert \(445\) mit dem Ablehnungsbereich.

1. Es wird \(H_0:p\geq0{,}92\) gegen \(H_1:p<0{,}92\) getestet. 2. Am Randwert \(p_0=0{,}92\) gilt \(X\sim B(500;0{,}92)\). Gesucht ist der größte Wert \(k\) mit \(P(X\leq k)\leq0{,}01\). 3. Die exakte Binomialverteilung liefert \(P(X\leq444)\approx0{,}0072\) und \(P(X\leq445)\approx0{,}0108\). Daher ist \(K=\{0,1,\dots,444\}\). 4. Der beobachtete Wert \(445\) liegt nicht in \(K\). Somit wird \(H_0\) auf dem \(1\,\%\)-Niveau nicht verworfen.

a) Ablehnungsbereich: \(K = \{0; 1; \dots; 444\}\) b) Nein, die Behauptung kann nicht abgelehnt werden, da der Wert \(445\) nicht im Ablehnungsbereich liegt.

- Achte darauf, ob ein links- oder ein rechtsseitiger Test vorliegt. - Welche Werte von \(X\) sprechen eher für die Vermutung des Experten? - Wie hängen die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \leq k)\) und die Überschreitungswahrscheinlichkeit \(P(X \geq k)\) zusammen? - Was bedeutet es für die Entscheidung, wenn ein Wert außerhalb des Ablehnungsbereichs liegt?

1. Hypothesenfestlegung: \(H_0: p \leq 0{,}04\) und \(H_1: p > 0{,}04\). 2. Modellierung: Die Anzahl der beschädigten Sendungen \(X\) ist unter \(H_0\) (Grenzfall \(p = 0{,}04\)) binomialverteilt mit \(n = 500\) und \(p = 0{,}04\). 3. Ablehnungsbereich bestimmen: Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P(X \geq k) \leq 0{,}01\) gilt, was äquivalent zu \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}99\) ist. 4. Berechnung: Mit \(n = 500\) und \(p = 0{,}04\) ergibt sich \(P(X \leq 30) \approx 0{,}9882\) und \(P(X \leq 31) \approx 0{,}9931\). Somit ist \(k-1 = 31\), also \(k = 32\). 5. Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{32; 33; \dots; 500\}\). 6. Bewertung der Beobachtung: Der Wert \(x = 29\) liegt nicht im Ablehnungsbereich \(K\). Die Nullhypothese kann auf dem \(1\,\%\)-Niveau nicht abgelehnt werden; die Vermutung des Experten ist nicht statistisch signifikant belegt.

a) Der Ablehnungsbereich lautet \(K = \{32; 33; \dots; 500\}\). b) Da \(29\) nicht im Ablehnungsbereich liegt, wird die Nullhypothese nicht abgelehnt. Die Schadensquote ist mit der Angabe von \(4\,\%\) verträglich.

- Welche Vermutung soll durch den Test statistisch gestützt werden? - Liegt der relevante Ablehnungsbereich bei kleinen oder großen Anzahlen mängelfreier Urteile? - Vergleiche den beobachteten Wert erst nach der Kalibrierung mit \(K\).

1. Da eine niedrigere Quote mängelfreier Urteile statistisch gestützt werden soll, gilt \(H_0:p\ge0{,}72\) gegen \(H_1:p<0{,}72\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}72\) gilt \(X\sim B(500;0{,}72)\). Gesucht ist der größte Wert \(k\) mit \(P(X\le k)\le0{,}05\). 3. Es gilt \(P(X\le342)\approx0{,}0419\) und \(P(X\le343)\approx0{,}0513\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;342\}\). 4. Der beobachtete Wert \(342\) liegt in \(K\). Daher wird \(H_0\) abgelehnt.

\(H_0:p\ge0{,}72\); \(H_1:p<0{,}72\); \(K=\{0;1;\dots;342\}\). Da \(342\in K\), wird \(H_0\) abgelehnt.

- Welche Abweichung vom Referenzwert soll mit dem Test nachgewiesen werden? - Bei einer vermuteten höheren Quote liegt der Ablehnungsbereich am rechten Rand. - Bestimme die kritische Grenze mit der Binomialverteilung am Randwert \(p_0=0{,}06\). - Vergleiche die beobachteten \(62\) Chargen erst danach mit dem Ablehnungsbereich.

1. Es wird \(H_0:p\leq0{,}06\) gegen \(H_1:p>0{,}06\) geprüft. 2. Am Randwert \(p_0=0{,}06\) wird \(X\sim B(800;0{,}06)\) verwendet. Für einen rechtsseitigen Test wird das kleinste \(k\) mit \(P(X\geq k)\leq0{,}01\) gesucht. 3. Die exakte Binomialverteilung liefert \(P(X\leq63)\approx0{,}9870\) und \(P(X\leq64)\approx0{,}9909\). Somit ist \(K=\{65,66,\dots,800\}\). 4. Der beobachtete Wert \(x=62\) liegt nicht in \(K\). Daher wird \(H_0\) nicht verworfen; eine aktuelle Nachbearbeitungsquote über \(6\,\%\) wird auf dem \(1\,\%\)-Niveau nicht statistisch gestützt.

Hypothesen: \(H_0:p\leq0{,}06\), \(H_1:p>0{,}06\). Ablehnungsbereich: \(K=\{65,66,\dots,800\}\). Da \(62\notin K\), wird \(H_0\) nicht verworfen; eine aktuelle Quote über \(6\,\%\) wird auf diesem Niveau nicht statistisch gestützt.

- Welche Wahrscheinlichkeit hat eine Sechs bei einem fairen Würfel? - Soll eine höhere oder eine niedrigere Wahrscheinlichkeit statistisch gestützt werden? - Welche Randseite der Binomialverteilung ist deshalb relevant? - Bestimme den kritischen Wert mit der exakten kumulierten Binomialverteilung am Randwert \(p_0=\frac16\). - Vergleiche anschließend die beobachteten \(118\) Sechsen mit dem Ablehnungsbereich.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da der Spieler vermutet, dass die 6 häufiger auftritt, liegt ein rechtsseitiger Test vor. Die Nullhypothese lautet \(H_0: p \le \frac{1}{6}\), die Gegenhypothese \(H_1: p > \frac{1}{6}\). 2. Am Randwert \(p_0 = \frac{1}{6}\) gilt \(X \sim B(600; \frac{1}{6})\). 3. Für den rechtsseitigen Test wird der kritische Wert \(k\) gesucht, für den \(P(X \ge k) \le 0{,}05\) gilt. Die exakte Binomialverteilung liefert \(P(X \le 114) \approx 0{,}9419\) und \(P(X \le 115) \approx 0{,}9532\). Daher ist \(k = 116\), und der Ablehnungsbereich lautet \(K = \{116; \dots; 600\}\). 4. Entscheidungsregel: Da der beobachtete Wert \(118\) im Ablehnungsbereich \(K\) liegt, wird die Nullhypothese verworfen. Die Vermutung des Spielers wird auf dem \(5\,\%\)-Niveau statistisch gestützt.

Die Nullhypothese \(H_0: p \le \frac{1}{6}\) wird verworfen, da der beobachtete Wert \(118\) im Ablehnungsbereich \(K = \{116; \dots; 600\}\) liegt. Die Vermutung des Spielers ist somit auf dem \(5\,\%\)-Signifikanzniveau statistisch gestützt.

- Welche Seite der Verteilung ist relevant, wenn eine niedrigere Keimrate vermutet wird? - An welchem Randwert der Nullhypothese wird die linke Randwahrscheinlichkeit berechnet? - Vergleiche anschließend den beobachteten Zählwert mit dem Ablehnungsbereich.

1. Es gilt \(H_0:p\ge0{,}95\) gegen \(H_1:p<0{,}95\). Der Test ist linksseitig. 2. Am Randwert \(p_0=0{,}95\) gilt \(X\sim B(400;0{,}95)\). Gesucht ist der größte Wert \(k\) mit \(P(X\le k)\le0{,}01\). 3. Es gilt \(P(X\le368)\approx0{,}0067\) und \(P(X\le369)\approx0{,}0114\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;368\}\). 4. Der beobachtete Wert \(372\) liegt nicht in \(K\). Daher wird \(H_0\) nicht abgelehnt.

Nein. Der Ablehnungsbereich ist \(K=\{0;1;\dots;368\}\); wegen \(372\notin K\) wird \(H_0\) nicht abgelehnt.

- Welche Aussage möchte der Gärtner statistisch stützen? - Welche Seite der Verteilung ist dafür relevant? - Prüfe den beobachteten Wert erst nach der Bestimmung des maximalen Ablehnungsbereichs.

1. Es gilt \(H_0:p\ge0{,}90\) gegen \(H_1:p<0{,}90\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}90\) gilt \(X\sim B(250;0{,}90)\). Gesucht ist der größte Wert \(k\) mit \(P(X\le k)\le0{,}10\). 3. Es gilt \(P(X\le218)\approx0{,}0886\) und \(P(X\le219)\approx0{,}1247\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;218\}\). 4. Der beobachtete Wert \(218\) liegt in \(K\); daher wird \(H_0\) abgelehnt.

\(H_0:p\ge0{,}90\); \(H_1:p<0{,}90\); \(K=\{0;1;\dots;218\}\). Wegen \(218\in K\) wird \(H_0\) abgelehnt.

- Welche Trefferwahrscheinlichkeit gehört bei einem fairen Würfel zur Zahl 6? - Welche Randwahrscheinlichkeit ist bei der Vermutung einer erhöhten Trefferwahrscheinlichkeit relevant? - Prüfe zwei benachbarte mögliche Grenzwerte, bevor du den beobachteten Wert einordnest.

1. Für einen fairen Würfel beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit \(\frac{1}{6}\). Daher gilt \(H_0:p\le\frac{1}{6}\) und \(H_1:p>\frac{1}{6}\). 2. Am Randwert \(p_0=\frac{1}{6}\) gilt \(X\sim B(1200;\frac{1}{6})\). Gesucht ist das kleinste \(k\) mit \(P(X\ge k)\le0{,}05\). 3. Es gilt \(P(X\ge221)\approx0{,}0576\) und \(P(X\ge222)\approx0{,}0494\). Daher ist \(K=\{222;223;\dots;1200\}\). 4. Wegen \(230\in K\) wird \(H_0\) abgelehnt; der Verdacht wird statistisch gestützt.

a) \(H_0:p\le\frac{1}{6}\); \(H_1:p>\frac{1}{6}\) b) \(K=\{222;223;\dots;1200\}\) c) Ja; \(230\in K\).

- Welche Abweichung von der behaupteten Fehlerquote soll statistisch gestützt werden? - Wie lässt sich eine obere Randwahrscheinlichkeit mit einer kumulierten Binomialwahrscheinlichkeit ausdrücken? - Vergleiche den beobachteten Wert erst am Ende mit \(K\).

1. Es gilt \(H_0:p\le0{,}02\) gegen \(H_1:p>0{,}02\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}02\) gilt \(X\sim B(800;0{,}02)\). Gesucht ist das kleinste \(k\) mit \(P(X\ge k)\le0{,}01\). 3. Es gilt \(P(X\le25)\approx0{,}9877\) und \(P(X\le26)\approx0{,}9931\). Daher ist \(K=\{27;28;\dots;800\}\). 4. Da \(25\notin K\), wird \(H_0\) nicht abgelehnt.

\(K=\{27;28;\dots;800\}\). Da \(25\notin K\), wird \(H_0\) nicht abgelehnt.

- Welche Seite der Verteilung ist für die Vermutung des Testzentrums kritisch? - Formuliere die Nullhypothese so, dass sie die Behauptung des Herstellers direkt widerspiegelt. - Wie hängen der Ablehnungsbereich und das Signifikanzniveau bei einem linksseitigen Test zusammen? - Bedenke den Unterschied zwischen „nicht ablehnen“ und „beweisen“.

1. Aufstellen der Hypothesen: \(H_0: p \geq 0{,}8\) (linksseitiger Test), \(n = 100\), \(\alpha = 0{,}05\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs \(K = \{0; \dots; k\}\): Suche das größte \(k\), für das \(P(X \leq k) \leq 0{,}05\) gilt. 3. Mithilfe der kumulierten Binomialverteilung: \(P(X \leq 72) \approx 0{,}0342 \leq 0{,}05\) und \(P(X \leq 73) \approx 0{,}0558 > 0{,}05\). 4. Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{0; 1; \dots; 72\}\). 5. Zu b): Da \(72 \in K\), wird die Nullhypothese abgelehnt. Die Vermutung des Testzentrums ist auf dem \(5\,\%\)-Niveau statistisch signifikant. 6. Zu c): Da \(75 \notin K\), wird die Nullhypothese nicht abgelehnt. Die Behauptung gilt jedoch nicht als „bewiesen“, da ein Nicht-Ablehnen der Nullhypothese lediglich bedeutet, dass die Daten nicht im Widerspruch zu ihr stehen (kein statistischer Beweis für die Richtigkeit).

a) Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0; 1; \dots; 72\}\). b) Bei \(72\) Treffern wird die Nullhypothese abgelehnt; die Qualität ist signifikant geringer als behauptet. c) Bei \(75\) Treffern wird die Nullhypothese nicht abgelehnt. Die Behauptung ist damit jedoch nicht bewiesen, sondern lediglich nicht widerlegt.

- Handelt es sich um einen linksseitigen oder einen rechtsseitigen Test, wenn eine höhere Rate vermutet wird? - Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit für den rechten Rand mithilfe der kumulierten Verteilungstabelle? - Was bedeutet ein Signifikanzniveau von \(10\,\%\) für die Irrtumswahrscheinlichkeit? - Überlege dir, welche der beiden Hypothesen beim Fehler 1. Art die „Wahrheit“ ist.

1. Aufstellen der Hypothesen: \(H_0: p \leq 0{,}15\) (rechtsseitiger Test), \(H_1: p > 0{,}15\), \(n = 200\), \(\alpha = 0{,}10\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs \(K = \{k; \dots; 200\}\): Suche das kleinste \(k\), für das \(P(X \geq k) \leq 0{,}10\) gilt, was äquivalent zu \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}90\) ist. 3. Mithilfe der kumulierten Binomialverteilung: \(P(X \leq 36) \approx 0{,}8987 < 0{,}90\) und \(P(X \leq 37) \approx 0{,}9280 \geq 0{,}90\). 4. Daraus folgt \(k-1 = 37\), also \(k = 38\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{38; 39; \dots; 200\}\). 5. Entscheidungsregel: Lehne \(H_0\) ab, wenn mindestens \(38\) Patienten Nebenwirkungen zeigen. 6. Zu b): Da \(38 \in K\), wird \(H_0\) abgelehnt. Die Nullhypothese wird bei einem Signifikanzniveau von \(10\,\%\) abgelehnt; die Daten sprechen gegen die Angabe des Unternehmens. 7. Zu c): Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn man die Behauptung des Unternehmens (\(p \leq 0{,}15\)) fälschlicherweise ablehnt, obwohl sie in Wirklichkeit wahr ist.

a) Entscheidungsregel: Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Anzahl der Patienten mit Nebenwirkungen im Bereich \(K = \{38; 39; \dots; 200\}\) liegt. b) Da \(38\) im Ablehnungsbereich liegt, wird die Nullhypothese abgelehnt; die Daten sprechen gegen die Angabe des Unternehmens. c) Ein Fehler 1. Art bedeutet, dass man die Nebenwirkungsrate fälschlicherweise als zu hoch einstuft, obwohl sie tatsächlich bei höchstens \(15\,\%\) liegt.

- Welche Seite der Verteilung ist bei einer vermuteten höheren Schadensquote relevant? - Welche Bedingung muss der kleinste Wert im rechtsseitigen Ablehnungsbereich erfüllen? - Ordne \(23\) erst ein, nachdem du die Grenze bestimmt hast.

1. Es gilt \(H_0:p\le0{,}03\) gegen \(H_1:p>0{,}03\). Am Randwert \(p_0=0{,}03\) gilt \(X\sim B(500;0{,}03)\). 2. Gesucht ist das kleinste \(k\) mit \(P(X\ge k)\le0{,}01\). Es gilt \(P(X\le24)\approx0{,}9899\) und \(P(X\le25)\approx0{,}9945\). 3. Daher ist \(K=\{26;27;\dots;500\}\); bei \(X\ge26\) wird \(H_0\) abgelehnt. 4. Der beobachtete Wert \(23\) liegt nicht in \(K\). Die Vermutung wird auf diesem Niveau nicht statistisch gestützt.

a) \(K=\{26;27;\dots;500\}\); bei \(X\ge26\) wird \(H_0\) abgelehnt. b) Wegen \(23\notin K\) wird \(H_0\) nicht abgelehnt.

- Was ist die ursprüngliche Behauptung, die geprüft werden soll? - In welche Richtung deutet eine Abweichung, wenn man eine höhere Fehlerquote vermutet? - Welche Verteilung nutzt du, um Wahrscheinlichkeiten für eine Anzahl von Erfolgen in einer Stichprobe zu berechnen? - Überlege, ob extrem große oder extrem kleine Werte gegen die Nullhypothese sprechen.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da der Baumarkt eine höhere Fehlerquote vermutet, liegt ein rechtsseitiger Test vor. Die Nullhypothese lautet \(H_0: p \le 0{,}04\), die Gegenhypothese \(H_1: p > 0{,}04\). 2. Bestimmung der Testgröße: Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Lampen und ist unter \(H_0\) binomialverteilt mit \(n = 500\) und \(p = 0{,}04\). 3. Festlegung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist der kleinste Wert \(k\), für den gilt \(P(X \ge k) \le 0{,}05\). Dies entspricht \(1 - P(X \le k-1) \le 0{,}05\) bzw. \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\). 4. Berechnung: Mit der Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 27) \approx 0{,}9511\) und \(P(X \le 26) \approx 0{,}9263\). Damit ist \(k-1 = 27\), also \(k = 28\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{28; 29; \dots; 500\}\). 5. Entscheidung: Der beobachtete Wert \(x = 28\) liegt im Ablehnungsbereich. Somit wird die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau von \(5\,\%\) verworfen. Die Vermutung des Baumarktes wird somit statistisch gestützt.

Nullhypothese \(H_0: p \le 0{,}04\); Ablehnungsbereich \(K = \{28; 29; \dots; 500\}\). Da der Stichprobenwert \(28\) im Ablehnungsbereich liegt, wird die Behauptung des Herstellers verworfen.

- Welche Abweichung von „mindestens \(90\,\%\)“ soll statistisch gestützt werden? - An welchem Randwert der Nullhypothese wird gerechnet? - Prüfe zwei benachbarte kumulierte Wahrscheinlichkeiten an der Grenze.

1. Es gilt \(H_0:p\ge0{,}90\) gegen die Gegenhypothese \(H_1:p<0{,}90\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}90\) gilt \(X\sim B(150;0{,}90)\). Gesucht ist der größte Wert \(k\) mit \(P(X\le k)\le0{,}01\). 3. Es gilt \(P(X\le125)\approx0{,}0076\) und \(P(X\le126)\approx0{,}0143\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;125\}\). 4. Bei höchstens \(125\) zufriedenen Befragten wird \(H_0\) abgelehnt.

\(K=\{0;1;\dots;125\}\). Bei \(X\le125\) wird \(H_0\) abgelehnt.

- Welche Aussage soll der Test statistisch stützen und gehört deshalb in \(H_1\)? - Welche Seite der Verteilung ist bei \(H_1:p>0{,}4\) relevant? - Vergleiche den beobachteten Wert erst nach der Kalibrierung mit dem Ablehnungsbereich.

1. Die zu stützende Aussage bildet die Gegenhypothese: \(H_0:p\le0{,}4\) gegen \(H_1:p>0{,}4\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}4\) gilt \(X\sim B(60;0{,}4)\). Gesucht ist das kleinste \(k\) mit \(P(X\ge k)\le0{,}05\). 3. Es gilt \(P(X\le30)\approx0{,}9555\); der erste zulässige Grenzwert ist \(k=31\). Damit ist \(K=\{31;32;\dots;60\}\). 4. Der beobachtete Wert \(31\) liegt in \(K\). Daher wird \(H_0\) abgelehnt und die Behauptung statistisch gestützt.

\(H_0:p\le0{,}4\); \(H_1:p>0{,}4\); \(K=\{31;32;\dots;60\}\). Da \(31\in K\), wird \(H_0\) abgelehnt.

- Welche Werte würden für eine höhere Schadensquote sprechen? - Wie hängt der Nichtablehnungsbereich mit dem Ablehnungsbereich zusammen? - Welche Zahl liegt unmittelbar vor dem kleinsten Wert in \(K\)?

1. Es gilt \(H_0:p\le0{,}03\) gegen \(H_1:p>0{,}03\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}03\) gilt \(X\sim B(400;0{,}03)\). Gesucht ist das kleinste \(k\) mit \(P(X\ge k)\le0{,}01\). 3. Es gilt \(P(X\le20)\approx0{,}9895\) und \(P(X\le21)\approx0{,}9947\). Daher ist \(K=\{22;23;\dots;400\}\). 4. Der Nichtablehnungsbereich ist \(\{0;1;\dots;21\}\). Somit dürfen höchstens \(21\) beschädigte Pakete auftreten.

a) \(H_0:p\le0{,}03\); \(H_1:p>0{,}03\) b) \(K=\{22;23;\dots;400\}\) c) Höchstens \(21\) beschädigte Pakete.

- Welche Seite des Tests ist bei einer vermuteten erhöhten Rot-Wahrscheinlichkeit relevant? - Prüfe zwei benachbarte mögliche Grenzwerte des Ablehnungsbereichs. - Ordne anschließend \(265\) in die Entscheidungsregel ein.

1. Es gilt \(H_0:p\le\frac{18}{37}\) gegen die Gegenhypothese \(H_1:p>\frac{18}{37}\). 2. Am Randwert gilt \(X\sim B(500;\frac{18}{37})\). Es ist \(P(X\ge262)\approx0{,}0512\) und \(P(X\ge263)\approx0{,}0425\). Daher ist \(K=\{263;264;\dots;500\}\). 3. Da \(265\in K\), wird \(H_0\) abgelehnt. Die Randwahrscheinlichkeit für mindestens \(265\) rote Treffer beträgt ungefähr \(0{,}0286\).

\(K=\{263;264;\dots;500\}\). Da \(265\in K\), wird \(H_0\) abgelehnt; die Beobachtung stützt eine erhöhte Rot-Wahrscheinlichkeit.

- Wann spricht ein Ergebnis für eine Verbesserung? Bei besonders vielen oder besonders wenigen Treffern? - Bei einem rechtsseitigen Test liegt der Ablehnungsbereich am oberen Ende der möglichen Ergebnisse. - Achte beim Berechnen darauf, dass \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\) gilt. - Das Signifikanzniveau gibt an, wie unwahrscheinlich das Ergebnis unter der Annahme der Nullhypothese sein muss.

1. Aufstellen der Hypothesen: Der Spieler behauptet eine Verbesserung, also \(H_0: p \le 0{,}70\) gegen \(H_1: p > 0{,}70\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist der kleinste Wert \(k\), für den bei \(n = 80\) und \(p = 0{,}70\) gilt: \(P(X \ge k) \le 0{,}10\). 3. Berechnung über das Gegenereignis: \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1) \le 0{,}10\) bedeutet \(P(X \le k-1) \ge 0{,}90\). 4. Aus der Binomialtabelle oder dem Taschenrechner folgt: \(P(X \le 60) \approx 0{,}8648\) und \(P(X \le 61) \approx 0{,}9127\). Somit ist \(k-1 = 61\), also \(k = 62\). 5. Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{62, 63, \dots, 80\}\). 6. Da der Spieler 62 Treffer erzielt hat und \(62 \in K\) gilt, wird \(H_0\) abgelehnt. Die Daten stützen auf dem \(10\,\%\)-Niveau die Annahme einer verbesserten Trefferquote.

a) \(H_0: p \le 0{,}70\); \(H_1: p > 0{,}70\) b) Ablehnungsbereich \(K = \{62, 63, \dots, 80\}\) c) Die Behauptung des Spielers wird auf dem \(10\,\%\)-Niveau statistisch gestützt, da das Ergebnis im Ablehnungsbereich liegt.

- Welche Aussage über den aktuellen Anteil soll statistisch gestützt werden? - Welche Seite der Verteilung ist bei \(p>0{,}8\) relevant? - Suche den kleinsten Wert, dessen rechte Randwahrscheinlichkeit höchstens \(5\,\%\) beträgt.

1. Es gilt \(H_0:p\le0{,}8\) gegen \(H_1:p>0{,}8\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}8\) gilt \(X\sim B(400;0{,}8)\). Es ist \(P(X\ge333)\approx0{,}0568\) und \(P(X\ge334)\approx0{,}0433\). Daher ist \(K=\{334;335;\dots;400\}\). 3. Da \(335\in K\), wird \(H_0\) abgelehnt. Die Daten stützen einen Zufriedenheitsanteil über \(80\,\%\).

1. \(H_0:p\le0{,}8\); \(H_1:p>0{,}8\) 2. \(K=\{334;335;\dots;400\}\) 3. \(H_0\) wird abgelehnt, weil \(335\in K\).

- Welche Aussage muss der Test statistisch stützen, damit die Werbung gestützt wird? - Welche Randwahrscheinlichkeit ist bei einem rechtsseitigen Test relevant? - Vergleiche den beobachteten Wert erst nach der Bestimmung von \(K\).

1. Es gilt \(H_0:p\le0{,}4\) gegen \(H_1:p>0{,}4\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}4\) gilt \(X\sim B(250;0{,}4)\). Es ist \(P(X\ge118)\approx0{,}0124\) und \(P(X\ge119)\approx0{,}00884\). Daher ist \(K=\{119;120;\dots;250\}\). 3. Da \(115\notin K\), wird \(H_0\) nicht abgelehnt. Die Werbeaussage wird auf diesem Niveau nicht statistisch gestützt.

1. \(H_0:p\le0{,}4\); \(H_1:p>0{,}4\) 2. \(K=\{119;120;\dots;250\}\). Da \(115\notin K\), wird \(H_0\) nicht abgelehnt.

- Welche Aussage über eine Grundgesamtheit kann eine endliche Stichprobe nicht sicher beweisen? - Welche Wahrscheinlichkeitsbedingung beschreibt „noch im Nichtablehnungsbereich“? - Wie lautet \(P(X=0)\) für eine Binomialverteilung mit unbekanntem Randwert \(p_0\)?

1. Auch bei positiver Defektwahrscheinlichkeit kann eine endliche Stichprobe zufällig keinen Defekt enthalten. 2. \(X=0\) liegt im Nichtablehnungsbereich, wenn \(P_{p_0}(X\le0)>0{,}05\) gilt. 3. Für \(X\sim B(800;p_0)\) ist \(P(X=0)=(1-p_0)^{800}\). Daher gilt \((1-p_0)^{800}>0{,}05\). 4. Daraus folgt \(p_0<1-0{,}05^{\frac{1}{800}}\approx0{,}003738\). Zusammen mit \(p_0\ge0\) gilt \(0\le p_0<0{,}003738\).

a) Eine endliche Stichprobe kann trotz positiver Defektwahrscheinlichkeit zufällig keinen Defekt enthalten. b) \(0\le p_0<1-0{,}05^{\frac{1}{800}}\approx0{,}003738\), also unter etwa \(0{,}3738\,\%\).

- Welche geringere Quote soll statistisch gestützt werden? - Welche Seite der Verteilung ist deshalb relevant? - Vergleiche \(371\) erst nach der Bestimmung des Ablehnungsbereichs.

1. Es gilt \(H_0:p\ge0{,}95\) gegen \(H_1:p<0{,}95\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}95\) gilt \(X\sim B(400;0{,}95)\). Es ist \(P(X\le372)\approx0{,}0480\) und \(P(X\le373)\approx0{,}0726\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;372\}\). 3. Da \(371\in K\), wird \(H_0\) abgelehnt.

a) \(H_0:p\ge0{,}95\); \(H_1:p<0{,}95\) b) \(K=\{0;1;\dots;372\}\) c) \(H_0\) wird abgelehnt, weil \(371\in K\).

- Welche höhere Quote möchte die Patientenvereinigung statistisch stützen? - Welche Seite der Verteilung ist bei diesem Test relevant? - Achte auf den kleinsten ganzzahligen Wert, der zum Ablehnungsbereich gehört.

1. Es gilt \(H_0:p\le0{,}08\) gegen \(H_1:p>0{,}08\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}08\) gilt \(X\sim B(600;0{,}08)\). Es ist \(P(X\le63)\approx0{,}9878\) und \(P(X\le64)\approx0{,}9916\). Daher beginnt der Ablehnungsbereich bei \(65\): \(K=\{65;66;\dots;600\}\). 3. Da \(66\in K\), wird \(H_0\) abgelehnt. Die Daten stützen eine Nebenwirkungsquote über \(8\,\%\); sie beweisen sie nicht logisch.

a) \(H_0:p\le0{,}08\); \(H_1:p>0{,}08\) b) Ab \(65\) Personen; \(K=\{65;66;\dots;600\}\) c) Wegen \(66\in K\) wird \(H_0\) abgelehnt.

- Welche Abweichung vom Referenzwert soll statistisch gestützt werden? - Welche obere Randwahrscheinlichkeit darf höchstens \(5\,\%\) betragen? - Vergleiche den beobachteten Wert erst danach mit \(K\).

1. Es gilt \(H_0:p\le0{,}35\) gegen \(H_1:p>0{,}35\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}35\) gilt \(X\sim B(500;0{,}35)\). Es ist \(P(X\ge193)\approx0{,}05118\) und \(P(X\ge194)\approx0{,}04218\). Daher ist \(K=\{194;195;\dots;500\}\). 3. Da \(196\in K\), wird \(H_0\) abgelehnt.

\(K=\{194;195;\dots;500\}\). Wegen \(196\in K\) wird \(H_0\) abgelehnt.

- Welche Quote soll statistisch als zu hoch erkannt werden? - Welche Ergebnisse liegen deshalb im Ablehnungsbereich? - Für Fehler 1. Art: Welcher wahre Zustand und welche Testentscheidung treten gleichzeitig auf?

1. Es gilt \(H_0:p\le0{,}1\) gegen \(H_1:p>0{,}1\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}1\) gilt \(X\sim B(100;0{,}1)\). Es ist \(P(X\le14)\approx0{,}9274\) und \(P(X\le15)\approx0{,}9601\). Daher ist \(K=\{16;17;\dots;100\}\). 3. Wegen \(18\in K\) wird \(H_0\) abgelehnt. 4. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn \(H_0\) abgelehnt wird, obwohl tatsächlich \(p\le0{,}1\) gilt.

a) \(H_0:p\le0{,}1\); \(H_1:p>0{,}1\) b) \(K=\{16;17;\dots;100\}\) c) \(H_0\) wird abgelehnt. d) Die Herstellerangabe wird fälschlich abgelehnt, obwohl höchstens \(10\,\%\) der Samen nicht keimen.

- Welche Werte sprechen gegen „mindestens \(80\,\%\)“? - Warum kann die tatsächlich erreichte Fehlerwahrscheinlichkeit kleiner als das vorgegebene Signifikanzniveau sein? - Was bedeutet ein kleineres Signifikanzniveau für die Menge der ablehnenden Ergebnisse?

1. Es gilt \(H_0:p\ge0{,}8\) gegen \(H_1:p<0{,}8\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}8\) gilt \(X\sim B(80;0{,}8)\). Es ist \(P(X\le57)\approx0{,}0388\) und \(P(X\le58)\approx0{,}0660\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;57\}\). 3. Die tatsächlich erreichte Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art beträgt etwa \(3{,}88\,\%\). 4. Bei kleinerem Signifikanzniveau muss der linksseitige Ablehnungsbereich kleiner werden; seine obere Grenze sinkt.

a) \(K=\{0;1;\dots;57\}\) b) Etwa \(3{,}88\,\%\) c) Der Ablehnungsbereich wird kleiner; die obere Grenze sinkt.

- Welche Vermutung soll statistisch gestützt werden und gehört in die Gegenhypothese? - Sprechen kleine oder große Werte der Anzahl der Sechsen gegen \(H_0\)? - Vergleiche bei den beiden Fehlertypen jeweils wahren Zustand und Testentscheidung.

1. Es gilt \(H_0:p\ge\frac{1}{6}\) gegen die Gegenhypothese \(H_1:p<\frac{1}{6}\). 2. Am Randwert \(p_0=\frac{1}{6}\) gilt \(X\sim B(600;\frac{1}{6})\). Es ist \(P(X\le84)\approx0{,}0424\) und \(P(X\le85)\approx0{,}0538\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;84\}\). 3. Fehler 1. Art: Ein Würfel, für den \(H_0\) gilt, wird fälschlich als Würfel mit zu seltener Sechs eingestuft. Fehler 2. Art: Eine tatsächlich zu kleine Sechserwahrscheinlichkeit wird nicht erkannt.

\(H_0:p\ge\frac{1}{6}\); \(H_1:p<\frac{1}{6}\); \(K=\{0;1;\dots;84\}\). Fehler 1. Art: \(H_0\) wird trotz wahrer Nullhypothese abgelehnt. Fehler 2. Art: \(H_0\) wird bei tatsächlich kleinerer Sechserwahrscheinlichkeit nicht abgelehnt.

- Achte darauf, welche Seite der Verteilung für die Gegenhypothese relevant ist: Geht es um „mehr als“ oder „weniger als“? - Der Ablehnungsbereich bei einem rechtsseitigen Test liegt bei den hohen Werten der Zufallsgröße. - Wie hängen das Signifikanzniveau und die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \leq k)\) zusammen? - Ein Fehler 1. Art ist die fälschliche Ablehnung der Nullhypothese.

1. Hypothesenfestlegung: Die Behauptung des Unternehmens bildet die Nullhypothese, da die Vermutung des Blogs (höhere Quote) getestet werden soll. \(H_0: p \leq 0{,}05\) und \(H_1: p > 0{,}05\). Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. 2. Berechnung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist der kleinste Wert \(k\), sodass \(P(X \geq k) \leq 0{,}05\) bzw. \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}95\) für \(n = 400\) und \(p = 0{,}05\). 3. Mathematische Werte: Mit \(X \sim B(400; 0{,}05)\) ergibt sich \(P(X \leq 27) \approx 0{,}9520\) und \(P(X \leq 26) \approx 0{,}9274\). Daraus folgt \(k-1 = 27\), also \(k = 28\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{28; 29; \dots; 400\}\). 4. Interpretation Fehler 1. Art: Das Unternehmen wird zu Unrecht beschuldigt, eine zu hohe Fehlerquote zu haben, obwohl die Quote tatsächlich bei maximal \(5\,\%\) liegt. Dies könnte zu einem ungerechtfertigten Imageschaden führen.

1. \(H_0: p \leq 0{,}05\); \(H_1: p > 0{,}05\). 2. Ablehnungsbereich \(K = \{28; 29; \dots; 400\}\). 3. Ein Fehler 1. Art bedeutet, dass man fälschlicherweise davon ausgeht, die Fehlerquote sei höher als \(5\,\%\), was zu Rufschädigung oder unnötigen Nachbesserungen führen kann.

- Welche Aussage soll statistisch gestützt werden und gehört deshalb in \(H_1\)? - Welche Trefferzahlen sprechen gegen \(H_0\)? - Welche falsche Entscheidung gehört jeweils zu Fehler 1. Art und Fehler 2. Art? - Überlege für jede Fehlerart getrennt, welche praktische Folge diese falsche Entscheidung für den Hersteller haben kann.

1. Es gilt \(H_0:p\le0{,}7\) gegen \(H_1:p>0{,}7\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}7\) gilt \(X\sim B(250;0{,}7)\). Der kleinste zulässige Grenzwert ist \(188\), denn \(P(X\ge188)\approx0{,}0404\le0{,}05\), während der unmittelbar kleinere Grenzwert die Bedingung nicht erfüllt. Somit ist \(K=\{188;189;\dots;250\}\). 3. Fehler 1. Art: Eine Erfolgsquote über \(70\,\%\) wird statistisch gestützt, obwohl tatsächlich \(p\le0{,}7\) gilt; der Hersteller könnte dadurch einen unberechtigten Werbevorteil erhalten. Fehler 2. Art: Eine tatsächlich höhere Erfolgsquote wird nicht erkannt; dem Hersteller kann dadurch ein berechtigter Wettbewerbsvorteil entgehen.

(1) \(H_0:p\le0{,}7\); \(H_1:p>0{,}7\) (2) \(K=\{188;189;\dots;250\}\) (3) Fehler 1. Art: Eine nicht belegte Erfolgsquote über \(70\,\%\) wird fälschlich gestützt, z. B. mit unberechtigtem Werbevorteil. Fehler 2. Art: Eine tatsächlich höhere Erfolgsquote wird nicht erkannt, z. B. mit verlorenem Wettbewerbsvorteil.

- Welche Aussage möchte der Investor statistisch stützen? - Welche Trefferzahlen sprechen dafür? - Was bedeutet es für die Bürgerinitiative, wenn eine wahre Nullhypothese abgelehnt wird?

1. Es gilt \(H_0:p\ge0{,}4\) gegen \(H_1:p<0{,}4\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}4\) gilt \(X\sim B(500;0{,}4)\). Es ist \(P(X\le174)\approx0{,}0097\) und \(P(X\le175)\approx0{,}0122\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;174\}\). 3. Ein Fehler 1. Art bedeutet, dass die Behauptung der Bürgerinitiative abgelehnt wird, obwohl tatsächlich mindestens \(40\,\%\) der Anwohner dagegen sind.

(1) \(H_0:p\ge0{,}4\); \(H_1:p<0{,}4\) (2) \(K=\{0;1;\dots;174\}\) (3) Die zutreffende Behauptung der Bürgerinitiative wird fälschlich abgelehnt.

- Welche Abweichung von der Herstellerangabe möchte der Verbraucherschutzverein statistisch stützen? - Welche obere Randwahrscheinlichkeit ist entscheidend? - Ordne \(65\) erst nach Bestimmung von \(K\) ein.

1. Es gilt \(H_0:p\le0{,}1\) gegen \(H_1:p>0{,}1\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}1\) gilt \(X\sim B(500;0{,}1)\). Es ist \(P(X\ge61)\approx0{,}06183\) und \(P(X\ge62)\approx0{,}04647\). Daher ist \(K=\{62;63;\dots;500\}\). 3. Da \(65\in K\), wird \(H_0\) abgelehnt.

\(H_0:p\le0{,}1\); \(H_1:p>0{,}1\); \(K=\{62;63;\dots;500\}\). Wegen \(65\in K\) wird \(H_0\) abgelehnt.

- Welche geringere Zustimmung soll die Zeitung statistisch stützen? - Welche Seite der Verteilung ist relevant? - Vergleiche den beobachteten Wert erst am Ende mit dem Ablehnungsbereich.

1. Es gilt \(H_0:p\ge0{,}7\) gegen \(H_1:p<0{,}7\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}7\) gilt \(X\sim B(400;0{,}7)\). Es ist \(P(X\le257)\approx0{,}0077\) und \(P(X\le258)\approx0{,}0103\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;257\}\). 3. Da \(265\notin K\), wird \(H_0\) nicht abgelehnt.

\(H_0:p\ge0{,}7\); \(H_1:p<0{,}7\); \(K=\{0;1;\dots;257\}\). Wegen \(265\notin K\) wird \(H_0\) nicht abgelehnt.

- Welche Aussage über den aktuellen Marktanteil soll statistisch gestützt werden? - Welche Seite der Verteilung ist relevant? - Welche zusätzliche Information wäre für eine kausale Aussage erforderlich?

1. Es gilt \(H_0:p\le0{,}12\) gegen \(H_1:p>0{,}12\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}12\) gilt \(X\sim B(500;0{,}12)\). Es ist \(P(X\le71)\approx0{,}9405\) und \(P(X\le72)\approx0{,}9544\). Daher ist \(K=\{73;74;\dots;500\}\). 3. Wegen \(75\in K\) wird \(H_0\) abgelehnt; die Daten stützen einen aktuellen Anteil über \(12\,\%\). 4. Aus diesem Signifikanztest allein folgt nicht, dass die Werbekampagne den Anstieg verursacht hat.

\(K=\{73;74;\dots;500\}\). Da \(75\in K\), wird \(H_0\) abgelehnt. Eine ursächliche Wirkung der Werbekampagne folgt daraus nicht.

- Welche geringere Quote soll die Verbraucherschutzorganisation statistisch stützen? - Welche Seite der Verteilung ist relevant? - Prüfe den Grenzwert mit zwei benachbarten kumulierten Wahrscheinlichkeiten.

1. Da eine geringere Quote statistisch gestützt werden soll, gilt \(H_0:p\ge0{,}80\) gegen \(H_1:p<0{,}80\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}80\) gilt \(X\sim B(200;0{,}80)\). Gesucht ist der größte Wert \(k\) mit \(P(X\le k)\le0{,}10\). 3. Es gilt \(P(X\le152)\approx0{,}0944\) und \(P(X\le153)\approx0{,}1262\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;152\}\).

\(H_0:p\ge0{,}80\); \(H_1:p<0{,}80\); \(K=\{0;1;\dots;152\}\).

- Achte bei Teil 1 darauf, ob nach „genau“, „höchstens“ oder „mindestens“ gefragt ist. - Bei einem rechtsseitigen Test suchst du die Werte im oberen Ende der Verteilung. Wie hängen \(P(X \geq k)\) und \(P(X \leq k-1)\) zusammen? - Vergleiche das Beobachtungsergebnis direkt mit deinem berechneten Ablehnungsbereich. - Was bedeutet „Fehler 1. Art“? Werden hier Hypothesen fälschlicherweise abgelehnt oder fälschlicherweise nicht verworfen?

1. Berechnung mit der Formel von Bernoulli für \(n = 400\), \(p = 0{,}01\) und \(k = 4\): \(P(X = 4) = \binom{400}{4} \cdot 0{,}01^4 \cdot 0{,}99^{396} \approx 0{,}1964\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(19{,}6\,\%\). 2. Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P(X \geq k) \leq 0{,}05\) gilt, was äquivalent zu \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}95\) ist. Werte der Binomialverteilung für \(n=400, p=0{,}01\): \(P(X \leq 7) \approx 0{,}9498\) und \(P(X \leq 8) \approx 0{,}9792\). Da \(0{,}9498 < 0{,}95\), ist \(k-1 = 8\), also \(k = 9\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{9; 10; \dots; 400\}\). Die Entscheidungsregel lautet: Lehne \(H_0\) ab, wenn mehr als \(8\) Abstürze auftreten. 3. Da \(8\) Abstürze nicht im Ablehnungsbereich liegen, wird \(H_0\) nicht abgelehnt. Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art für die festgelegte Regel ist am Randwert \(p=0{,}01\): \(P(X\ge9)\approx0{,}02077\), also etwa \(2{,}08\,\%\). Diese Verfahrenswahrscheinlichkeit ist nicht null, nur weil in dieser konkreten Stichprobe nicht abgelehnt wurde.

1. \(P(X = 4) \approx 19{,}6\,\%\). 2. Ablehnungsbereich \(K = \{9; 10; \dots; 400\}\). 3. Die Behauptung wird nicht verworfen, da \(8 < 9\). Die tatsächliche Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit der Testregel beträgt am Randwert etwa \(2{,}08\,\%\); die konkrete Nichtablehnung ist davon zu unterscheiden.

- Welche geringere Quote möchte das Institut statistisch stützen? - Welche Seite der Verteilung ist relevant? - Vergleiche für die Fehlertypen jeweils Wahrheit und Testentscheidung.

1. Es gilt \(H_0:p\ge0{,}7\) gegen \(H_1:p<0{,}7\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}7\) gilt \(X\sim B(100;0{,}7)\). Es ist \(P(X\le61)\approx0{,}0340\) und \(P(X\le62)\approx0{,}0530\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;61\}\). 3. Fehler 1. Art: \(H_0\) wird abgelehnt, obwohl tatsächlich \(p\ge0{,}7\) gilt. Fehler 2. Art: \(H_0\) wird nicht abgelehnt, obwohl tatsächlich \(p<0{,}7\) gilt.

1. \(H_0:p\ge0{,}7\); \(H_1:p<0{,}7\) 2. \(K=\{0;1;\dots;61\}\) 3. Fehler 1. Art: falsche Ablehnung einer wahren Nullhypothese. Fehler 2. Art: Nichtablehnung trotz tatsächlich kleinerem Anteil.

- Überlege, welche Vermutung der Verein überprüfen möchte und ob Abweichungen in beide Richtungen oder nur in eine Richtung relevant sind. - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der zufriedenen Kunden in der Stichprobe? - Wie ist der Fehler 1. Art allgemein definiert und wie lässt sich das auf die Rollen von Bio-Hof und Verein übertragen?

1. Ein einseitiger (linksseitiger) Test ist angemessen, da der Verbraucherschutzverein nur eine Abweichung von der Behauptung in eine Richtung vermutet (nämlich nach unten). Es soll nur geprüft werden, ob der Anteil der zufriedenen Kunden signifikant kleiner als \(80\,\%\) ist. 2. Nullhypothese \(H_0: p \ge 0{,}8\); Gegenhypothese \(H_1: p < 0{,}8\). Testgröße \(X\) ist die Anzahl der sehr zufriedenen Kunden, unter \(H_0\) gilt \(X \sim B(150; 0{,}8)\). Gesucht ist das größte \(k\), für das \(P(X \le k) \le 0{,}05\) gilt. Berechnete Werte: \(P(X \le 111) \approx 0{,}0446\) und \(P(X \le 112) \approx 0{,}0659\). Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{0, 1, \dots, 111\}\). 3. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl sie wahr ist. Im Sachkontext: Man kommt fälschlicherweise zu dem Schluss, dass weniger als \(80\,\%\) der Kunden sehr zufrieden sind, obwohl die Behauptung des Bio-Hofs in Wirklichkeit zutrifft.

1. Es wird nur eine Abweichung nach unten untersucht (Anteil geringer als behauptet). 2. Der Ablehnungsbereich ist \(\{0, 1, \dots, 111\}\). 3. Der Fehler 1. Art bedeutet, dass man die Behauptung des Hofes fälschlicherweise statistisch ablehnt, obwohl mindestens \(80\,\%\) der Kunden sehr zufrieden sind.

- Welche geringere Quote soll statistisch gestützt werden? - Warum ist die tatsächlich erreichte Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art nicht zwingend genau \(5\,\%\)? - Formuliere für Teil 3 den wahren Zustand und die falsche Entscheidung gemeinsam.

1. Es gilt \(H_0:p\ge0{,}6\) gegen \(H_1:p<0{,}6\). Am Randwert \(p_0=0{,}6\) gilt \(X\sim B(100;0{,}6)\). Es ist \(P(X\le51)\approx0{,}0423\) und \(P(X\le52)\approx0{,}0638\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;51\}\). 2. Die tatsächlich erreichte Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art beträgt \(P_{0{,}6}(X\le51)\approx0{,}0423\), also \(4{,}23\,\%\). 3. Der Fehler tritt ein, wenn die Herstellerangabe abgelehnt wird, obwohl tatsächlich mindestens \(60\,\%\) die neue Sorte bevorzugen.

1. \(H_0:p\ge0{,}6\); \(H_1:p<0{,}6\); \(K=\{0;1;\dots;51\}\) 2. Etwa \(4{,}23\,\%\) 3. Eine zutreffende Herstellerangabe wird fälschlich abgelehnt.

- Welche Steigerung soll statistisch gestützt werden? - Welche Seite der Verteilung ist deshalb relevant? - Vergleiche \(92\) erst nach der Bestimmung der kritischen Grenze mit \(K\).

1. Es gilt \(H_0:p\le0{,}15\) gegen \(H_1:p>0{,}15\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}15\) gilt \(X\sim B(500;0{,}15)\). Es ist \(P(X\le93)\approx0{,}9881\) und \(P(X\le94)\approx0{,}9913\). Daher ist \(K=\{95;96;\dots;500\}\). 3. Da \(92\notin K\), wird \(H_0\) nicht abgelehnt.

a) \(H_0:p\le0{,}15\); \(H_1:p>0{,}15\) b) Ab \(95\) Treffern; \(K=\{95;96;\dots;500\}\) c) Nein; \(92\notin K\).

- Bestimme für beide Szenarien separat, ob es sich um einen links- oder rechtsseitigen Test handelt. - Denke daran, dass beim rechtsseitigen Test die Summenwahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet wird. - Welche Werte liegen zwischen den beiden Ablehnungsbereichen?

1. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl defekter Chips. Beide Tests werden am gemeinsamen Randwert \(p_0 = 0{,}08\) kalibriert, also mit \(X \sim B(500; 0{,}08)\). Für Test A gilt \(H_0: p \le 0{,}08\), \(H_1: p > 0{,}08\); für Test B gilt \(H_0: p \ge 0{,}08\), \(H_1: p < 0{,}08\). Test A (rechtsseitig): Gesucht ist das kleinste \(k_A\), sodass \(P(X \ge k_A) \le 0{,}05\) bzw. \(P(X \le k_A - 1) \ge 0{,}95\). Berechnung: \(P(X \le 50) \approx 0{,}9545\) und \(P(X \le 51) \approx 0{,}9674\). Somit ist bereits \(k_A - 1 = 50\), also \(k_A = 51\). Der Ablehnungsbereich für Test A ist \(K_A = \{51; 52; \dots; 500\}\). Test B (linksseitig): Gesucht ist das größte \(k_B\), sodass \(P(X \le k_B) \le 0{,}05\). Berechnung: \(P(X \le 29) \approx 0{,}0372\) und \(P(X \le 30) \approx 0{,}0543\). Somit ist \(k_B = 29\). Der Ablehnungsbereich für Test B ist \(K_B = \{0; 1; \dots; 29\}\). 2. Der Bereich, in dem keine der beiden Nullhypothesen verworfen wird, ist das Komplement der beiden Ablehnungsbereiche. Dies ist der Bereich zwischen den kritischen Werten: \(\{30; 31; \dots; 50\}\).

1. Test A: \(H_0: p \le 0{,}08\), \(H_1: p > 0{,}08\); Ablehnungsbereich: \(K_A = \{51; 52; \dots; 500\}\). Test B: \(H_0: p \ge 0{,}08\), \(H_1: p < 0{,}08\); Ablehnungsbereich: \(K_B = \{0; 1; \dots; 29\}\). 2. Der „Nichtablehnungsbereich“ beider Tests umfasst die Ergebnisse von \(30\) bis \(50\) defekten Chips.

- Welche Parameterwerte gehören zu der Aussage, die mit den Daten statistisch gestützt werden soll? - Was passiert mit der Größe des Ablehnungsbereichs, wenn man die Irrtumswahrscheinlichkeit \(\alpha\) verringert? - Bedeutet das Ausbleiben eines Beweises für eine Theorie automatisch, dass das Gegenteil wahr ist?

1. Um statistische Evidenz für eine Erfolgsrate über \(80\,\%\) zu erhalten, wird \(H_0:p\le0{,}8\) gegen \(H_1:p>0{,}8\) getestet. Wird \(H_0\) abgelehnt, sprechen die Daten für eine Erfolgsrate über dem Referenzwert; daraus folgt noch keine Aussage darüber, wodurch ein Unterschied verursacht wurde. 2. Ein kleineres Signifikanzniveau führt beim üblichen einseitigen Test zu einem kleineren Ablehnungsbereich, sodass extremere Stichprobenergebnisse nötig sind, um \(H_0\) abzulehnen. Gleichzeitig sinkt die maximal zulässige Wahrscheinlichkeit, eine wahre Nullhypothese fälschlich abzulehnen. Das Signifikanzniveau ist jedoch keine nachträgliche Wahrscheinlichkeit dafür, dass die konkrete Schlussfolgerung wahr ist. 3. Aus der Nichtablehnung von \(H_0\) darf man nicht auf die Wahrheit von \(H_0\) schließen. Ein Ergebnis außerhalb des Ablehnungsbereichs bedeutet nur, dass die Daten für eine Ablehnung auf dem gewählten Niveau nicht ausreichen. Tatsächlich könnte \(p>0{,}8\) gelten; dann kann ein Fehler 2. Art auftreten.

a) \(H_0: p \le 0{,}8\) b) Die Aussage ist richtig: Ein kleineres \(\alpha\) erhöht beim üblichen einseitigen Test die Hürde für die Ablehnung von \(H_0\) und senkt gleichzeitig die maximal zulässige Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art; daraus folgt keine nachträgliche Wahrheitswahrscheinlichkeit. c) Nein, da ein Fehler 2. Art vorliegen kann. Das Nicht-Ablehnen von \(H_0\) ist kein Beweis für deren Richtigkeit, sondern nur ein Mangel an Beweisen für \(H_1\).

- Welche Art von Test (linksseitig oder rechtsseitig) führen die Teams jeweils durch? - Wie hängen die Nullhypothesen mit den jeweiligen Vermutungen der Teams zusammen? - Wie bestimmst du die kritischen Werte bei einer binomialverteilten Zufallsgröße? - Wann genau entscheiden sich beide Personen gegen ihre ursprüngliche Annahme?

1. Aufstellung der Hypothesen für Team A: \(H_0: p \le 0{,}60\) gegen \(H_1: p > 0{,}60\). Da es sich um einen rechtsseitigen Test handelt, wird \(H_0\) für große Werte von \(X\) (Anzahl der Erfolge) verworfen. Gesucht ist das kleinste \(k_A\), sodass \(P(X \ge k_A) \le 0{,}05\) unter der Annahme \(p = 0{,}60\). Dies entspricht \(P(X \le k_A - 1) \ge 0{,}95\). Mit der Binomialverteilung (\(n = 100\) und \(p = 0{,}6\)) ergibt sich \(P(X \le 67) \approx 0{,}9385\) und \(P(X \le 68) \approx 0{,}9602\). Somit ist \(k_A - 1 = 68\), also \(k_A = 69\). Der Ablehnungsbereich ist \(K_A = \{69, 70, \dots, 100\}\). 2. Aufstellung der Hypothesen für Team B: \(H_0: p \ge 0{,}80\) gegen \(H_1: p < 0{,}80\). Dies ist ein linksseitiger Test. Gesucht ist das größte \(k_B\), sodass \(P(X \le k_B) \le 0{,}05\) unter der Annahme \(p = 0{,}80\). Mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}8\) ergibt sich \(P(X \le 72) \approx 0{,}0342\) und \(P(X \le 73) \approx 0{,}0558\). Somit ist \(k_B = 72\). Der Ablehnungsbereich ist \(K_B = \{0, 1, \dots, 72\}\). 3. Vergleich der Ablehnungsbereiche: Eine gleichzeitige Ablehnung beider Nullhypothesen erfolgt, wenn das Ergebnis \(X\) im Schnittbereich beider Mengen liegt. \(K_A \cap K_B = \{69, 70, 71, 72\}\). Da dieser Bereich nicht leer ist, kann die beschriebene Situation eintreten.

a) Team A: \(K_A=\{69;70;\dots;100\}\); Team B: \(K_B=\{0;1;\dots;72\}\). b) Für \(X\in\{69;70;71;72\}\) lehnen beide Teams ihre jeweilige Nullhypothese ab.

- Welches Binomialereignis beschreibt \(X=0\)? - Welche Bedingung muss gelten, damit \(0\) nicht zum Ablehnungsbereich gehört? - Löse die entstehende Potenzungleichung nach \(p_0\) auf.

1. Für \(p=0{,}001\) gilt \(P(X=0)=0{,}999^{2500}\approx0{,}08198\), also \(8{,}2\,\%\). 2. Für Teil b muss \(P_{p_0}(X\le0)>0{,}01\) gelten. Somit ist \((1-p_0)^{2500}>0{,}01\). 3. Daraus folgt \(p_0<1-0{,}01^{\frac{1}{2500}}\approx0{,}001840\), also etwa \(0{,}184\,\%\).

a) \(8{,}2\,\%\) b) \(0\le p_0<1-0{,}01^{\frac{1}{2500}}\); Grenzwert ungefähr \(0{,}184\,\%\).

- Welche Randwahrscheinlichkeit muss bei Julias rechtsseitigem Test höchstens \(5\,\%\) betragen? - Welche Randwahrscheinlichkeit ist bei Marcs linksseitigem Test entscheidend? - Überlege, wie sich eine Binomialverteilung verändert, wenn ihr Parameter \(p\) kleiner wird. - Vergleiche anschließend nur die beiden Mengen der kritischen Werte.

1. Für Julia wird am Randwert \(p_0=0{,}25\) gerechnet. Gesucht ist das kleinste \(k_J\) mit \(P(X\geq k_J)\leq0{,}05\). Für \(X\sim B(200;0{,}25)\) gilt \(P(X\leq60)\approx0{,}9546\). Daher ist \(K_J=\{61,62,\dots,200\}\). 2. Für Marc wird bei \(p_M=0{,}40\) am Randwert gerechnet. Gesucht ist der größte Wert \(k_M\) mit \(P(X\leq k_M)\leq0{,}05\). Es gilt \(P(X\leq68)\approx0{,}0475\), also \(K_M=\{0,1,\dots,68\}\). Damit ist \(K_J\cap K_M=\{61,62,\dots,68\}\). 3. Wird \(p_M\) kleiner, verschiebt sich die Binomialverteilung von Marcs Randmodell nach links. Deshalb verschiebt sich auch seine linke kritische Grenze nach links. Sein Ablehnungsbereich reicht dann weniger weit nach rechts; die Überschneidung mit Julias festem Bereich \(K_J\) wird kleiner und kann schließlich verschwinden.

a) \(K_J=\{61,62,\dots,200\}\). b) \(K_M=\{0,1,\dots,68\}\); gemeinsamer Bereich: \(\{61,62,\dots,68\}\). c) Bei kleinerem \(p_M\) wandert Marcs linke kritische Grenze nach links. Der Überschneidungsbereich wird dadurch kleiner und kann schließlich leer werden.