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- Überlege dir zuerst, welches mathematische Zeichen (\(\leq, \geq, <, >\)) zu den Begriffen „mindestens“ und „höchstens“ passt. - Die Gegenhypothese ist immer das logische Gegenteil der Nullhypothese. - Schau dir die Richtung des Ungleichheitszeichens in der Gegenhypothese an: Zeigt es nach links (\(<\)) oder nach rechts (\(>\))? - Welche Stichprobenergebnisse würden dazu führen, dass du die ursprüngliche Behauptung nicht mehr glaubst?

1. Für Teilaufgabe a) wird die Aussage „mindestens \(85\,\%\)“ als \(p \geq 0{,}85\) übersetzt. Daraus folgt die Nullhypothese \(H_0: p \geq 0{,}85\) und die Gegenhypothese \(H_1: p < 0{,}85\). Da die Gegenhypothese Werte kleiner als den Vergleichswert umfasst, handelt es sich um einen linksseitigen Test. 2. Für Teilaufgabe b) wird die Aussage „höchstens \(6\,\%\)“ als \(p \leq 0{,}06\) übersetzt. Daraus folgt die Nullhypothese \(H_0: p \leq 0{,}06\) und die Gegenhypothese \(H_1: p > 0{,}06\). Da die Gegenhypothese Werte größer als den Vergleichswert umfasst, handelt es sich um einen rechtsseitigen Test.

a) \(H_0: p \geq 0{,}85\); \(H_1: p < 0{,}85\); linksseitiger Signifikanztest. b) \(H_0: p \leq 0{,}06\); \(H_1: p > 0{,}06\); rechtsseitiger Signifikanztest.

- Schau dir an, an welchem Ende der Skala (0 bis \(n\)) die Werte liegen, die zur Ablehnung führen. - Überlege, welche Vermutung der Hersteller schützen möchte und was das Gegenereignis dazu wäre. - Was bedeutet es für die Behauptung, wenn das Testergebnis im Bereich \(K\) liegt?

1. Da der Ablehnungsbereich \(K = \{15; 16; \dots; 80\}\) die größeren Werte der Zufallsgröße umfasst, handelt es sich um einen rechtsseitigen Signifikanztest. 2. Die Nullhypothese lautet \(H_0: p \le 0{,}12\). 3. Die Gegenhypothese lautet \(H_1: p > 0{,}12\). 4. Entscheidungsregel: Wenn in der Stichprobe von \(80\) Kunden mindestens \(15\) Kunden angeben, unzufrieden zu sein, wird die Nullhypothese abgelehnt und die Unzufriedenheit als signifikant höher als behauptet angesehen. Andernfalls wird die Nullhypothese nicht abgelehnt.

Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. Mathematische Notation: \(H_0: p \le 0{,}12\); \(H_1: p > 0{,}12\). Entscheidungsregel: Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Anzahl der unzufriedenen Kunden in der Stichprobe \(15\) oder mehr beträgt.

- Welche Werte der Zufallsgröße würden gegen die Behauptung „mindestens \(75\,\%\)“ sprechen: eher kleine oder eher große Werte? - Die Nullhypothese enthält meist das Gleichheitszeichen oder drückt den Zustand aus, den man ohne Beweis erst einmal glaubt. - Formuliere die Regel so, dass klar wird, bei welchen Ergebnissen die Behauptung des Produzenten als widerlegt gilt.

1. Der Ablehnungsbereich \(K = \{0; 1; \dots; 81\}\) enthält die kleinsten möglichen Werte, daher liegt ein linksseitiger Signifikanztest vor. 2. Die Nullhypothese wird so formuliert, dass sie die Behauptung des Produzenten stützt: \(H_0: p \ge 0{,}75\). 3. Die Gegenhypothese ist das logische Gegenteil: \(H_1: p < 0{,}75\). 4. Entscheidungsregel: Wenn von den \(120\) untersuchten Samen höchstens \(81\) innerhalb einer Woche keimen, wird die Nullhypothese verworfen und man geht davon aus, dass die Keimrate geringer als \(75\,\%\) ist. Liegt die Anzahl der gekeimten Samen über \(81\), wird die Nullhypothese beibehalten.

Es ist ein linksseitiger Test. Mathematische Notation: \(H_0: p \ge 0{,}75\); \(H_1: p < 0{,}75\). Entscheidungsregel: Die Behauptung des Produzenten wird abgelehnt, wenn in der Stichprobe \(81\) oder weniger Samen keimen.

- Was ist die ursprüngliche Vermutung, die geprüft werden soll? - Handelt es sich um eine Abweichung nach oben oder nach unten? - Welche Werte der Testgröße würden gegen die Behauptung des Herstellers sprechen? - Wie berechnet man die Grenze, ab der ein Ergebnis als „unwahrscheinlich genug“ gilt?

1. Aufstellen der Hypothesen: Da die Behauptung „höchstens \(4\,\%\)“ widerlegt werden soll, handelt es sich um einen rechtsseitigen Test mit \(H_0: p \le 0{,}04\) und \(H_1: p > 0{,}04\). 2. Festlegen der Testgröße: Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der defekten Displays und ist unter \(H_0\) (Grenzfall \(p = 0{,}04\)) binomialverteilt mit \(n = 400\) und \(p = 0{,}04\). 3. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P(X \ge k) \le 0{,}05\) bzw. \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\) gilt. 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: Es gilt \(P(X \le 22) \approx 0{,}9455\) und \(P(X \le 23) \approx 0{,}9663\). Damit ist \(k-1 = 23\), also \(k = 24\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{24; 25; \dots; 400\}\). 5. Entscheidung: Der beobachtete Wert \(22\) liegt nicht im Ablehnungsbereich \(K\). Die Nullhypothese kann auf dem Signifikanzniveau von \(5\,\%\) nicht abgelehnt werden. Die Behauptung des Herstellers kann somit nicht widerlegt werden.

Nein, der Großhändler kann die Behauptung nicht widerlegen. Der Ablehnungsbereich für den Test beginnt erst bei \(24\) defekten Displays (\(K = \{24; \dots; 400\}\)), der beobachtete Wert von \(22\) liegt außerhalb dieses Bereichs.

- Welche Hypothese muss der Landwirt widerlegen, um seine Vermutung zu stützen? - Suchen wir nach besonders kleinen oder besonders großen Werten in der Stichprobe? - Wie sieht die Verteilung der keimenden Samen aus, wenn die Herstellerangabe genau stimmt? - Wo liegt die kritische Grenze, die den Ablehnungsbereich vom Rest trennt?

1. Aufstellen der Hypothesen: Die Vermutung des Landwirts („geringere Keimrate“) führt zu einem linksseitigen Test mit \(H_0: p \ge 0{,}90\) und \(H_1: p < 0{,}90\). 2. Festlegen der Testgröße: \(X\) ist die Anzahl der keimenden Samen, unter \(H_0\) (Grenzfall \(p = 0{,}90\)) gilt \(X \sim B(80; 0{,}90)\). 3. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist das größte \(k\), für das \(P(X \le k) \le 0{,}05\) gilt. 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: Mit der Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 66) \approx 0{,}0267\) und \(P(X \le 67) \approx 0{,}0538\). Damit ist \(k = 66\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0; 1; \dots; 66\}\). 5. Entscheidung: Der beobachtete Wert \(66\) liegt im Ablehnungsbereich \(K\). Die Nullhypothese wird auf dem \(5\,\%\)-Niveau abgelehnt. Das Ergebnis stützt die Vermutung des Landwirts auf dem \(5\,\%\)-Niveau statistisch.

Hypothesen: \(H_0: p \ge 0{,}90\); \(H_1: p < 0{,}90\). Ablehnungsbereich: \(K = \{0; 1; \dots; 66\}\). Entscheidung: Da \(66 \in K\), wird \(H_0\) abgelehnt. Die Daten sprechen auf dem \(5\,\%\)-Niveau für eine niedrigere Keimrate als angegeben.

- Welche der beiden Aussagen (die des Entwicklers oder die des Testers) ist die „konservative“ Annahme, die man erst einmal beibehalten würde? - Wandle die Prozentangabe in eine Dezimalzahl um, bevor du sie in die Hypothesen einsetzt. - Überlege, ob extrem kleine oder extrem große Anzahlen von Fehlern in einer Stichprobe die Vermutung des Testers bestätigen würden. - Die Seite des Tests entspricht der Seite, auf der die Werte liegen, die für die Gegenhypothese sprechen.

1. Die Behauptung des Entwicklers stellt die Nullhypothese dar, da sie den Status quo bzw. die zu prüfende Annahme beschreibt. „Nicht mehr als \(2\,\%\)“ entspricht \(p \leq 0{,}02\). Somit gilt \(H_0: p \leq 0{,}02\). 2. Die Vermutung des Testers, dass die Quote höher ist, bildet die Gegenhypothese: \(H_1: p > 0{,}02\). 3. Da die Gegenhypothese auf Werte gerichtet ist, die größer als der Vergleichswert \(0{,}02\) sind, liegt der Ablehnungsbereich von \(H_0\) im rechten Ende der Verteilung. Es handelt sich somit um einen rechtsseitigen Signifikanztest.

a) \(H_0: p \leq 0{,}02\); \(H_1: p > 0{,}02\) b) Es handelt sich um einen rechtsseitigen Signifikanztest, da die Gegenhypothese einen größeren Anteil vermutet (\(p > 0{,}02\)) und somit nur signifikant hohe Abweichungen nach oben zur Ablehnung der Nullhypothese führen.

- Handelt es sich um einen linksseitigen oder einen rechtsseitigen Test? Schau dir dazu die Gegenhypothese an. - In welchem Bereich der Zufallsvariablen erwartest du Werte, die gegen die Nullhypothese sprechen? - Wie muss die Wahrscheinlichkeit für den Ablehnungsbereich im Vergleich zum Signifikanzniveau gewählt werden? - Suche in der Tabelle den größten Wert für \(k\), bei dem die kumulierte Wahrscheinlichkeit noch unter dem Signifikanzniveau liegt.

1. Es liegt ein linksseitiger Signifikanztest vor, da die Gegenhypothese \(H_1: p < 0{,}6\) lautet. 2. Der Ablehnungsbereich \(K\) hat die Form \(\{0; 1; \dots; c\}\). 3. Die Bedingung für den Ablehnungsbereich lautet \(P_{0{,}6}^{80}(X \le c) \le \alpha\), hier also \(P_{0{,}6}^{80}(X \le c) \le 0{,}10\). 4. Aus der Tabelle liest man ab: \(P_{0{,}6}^{80}(X \le 41) \approx 0{,}0699 \le 0{,}10\) und \(P_{0{,}6}^{80}(X \le 42) \approx 0{,}1053 > 0{,}10\). 5. Der größte Wert für \(c\), der die Bedingung erfüllt, ist \(c = 41\). 6. Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{0; 1; \dots; 41\}\).

Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0; 1; \dots; 41\}\).

- Bestimme zuerst, ob der Test linksseitig oder rechtsseitig ist. - Bei einem rechtsseitigen Test suchst du die Werte am oberen Ende der Skala. - Wie hängen die Gegenwahrscheinlichkeit \(P(X \le k)\) und die Überschreitungswahrscheinlichkeit \(P(X \ge k+1)\) zusammen? - Welchen Wert muss die kumulierte Wahrscheinlichkeit mindestens erreichen, damit der Rest (die rechte Seite) höchstens \(5\,\%\) beträgt?

1. Es handelt sich um einen rechtsseitigen Signifikanztest (\(H_1: p > 0{,}3\)). 2. Der Ablehnungsbereich \(K\) hat die Form \(\{c+1; \dots; 50\}\). 3. Die Bedingung für die Ablehnung von \(H_0\) ist \(P_{0{,}3}^{50}(X \ge c+1) \le \alpha\). 4. Dies ist äquivalent zu \(1 - P_{0{,}3}^{50}(X \le c) \le \alpha\) bzw. \(P_{0{,}3}^{50}(X \le c) \ge 1 - \alpha\). 5. Mit \(\alpha = 0{,}05\) ergibt sich \(1 - \alpha = 0{,}95\). Gesucht ist also das kleinste \(c\), für das \(P_{0{,}3}^{50}(X \le c) \ge 0{,}95\) gilt. 6. Aus der Tabelle ergibt sich: \(P_{0{,}3}^{50}(X \le 19) \approx 0{,}9152 < 0{,}95\) und \(P_{0{,}3}^{50}(X \le 20) \approx 0{,}9522 \ge 0{,}95\). 7. Somit ist \(c = 20\), und der Ablehnungsbereich beginnt bei \(c+1 = 21\). 8. Die Entscheidungsregel lautet: Lehne \(H_0\) ab, wenn die Anzahl der defekten Bauteile im Bereich \(\{21; 22; \dots; 50\}\) liegt.

Die Nullhypothese \(H_0\) wird abgelehnt, wenn die Anzahl der defekten Bauteile \(X \ge 21\) ist. Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{21; 22; \dots; 50\}\).

- Überlege zuerst, welche Werte für die Zufallsgröße gegen die Nullhypothese sprechen (eher große oder eher kleine Werte?). - Suche in der kumulierten Binomialverteilungstabelle nach dem kleinsten Wert, für den die Überschreitungswahrscheinlichkeit höchstens \(\alpha\) ist. - Denk daran, dass bei einem rechtsseitigen Test der Ablehnungsbereich am rechten Ende der Verteilung liegt. - Prüfe am Ende einfach, ob dein beobachteter Wert in der Menge der Werte liegt, die zur Ablehnung führen.

1. Unter der Annahme, dass \(H_0\) wahr ist, ist die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl der Erfolge) binomialverteilt mit \(n = 80\) und \(p = 0{,}3\). Für einen rechtsseitigen Test wird \(H_0\) abgelehnt, wenn \(X\) einen kritischen Wert \(k_{\text{crit}}\) oder mehr erreicht, wobei \(P(X \ge k_{\text{crit}}) \le 0{,}05\) gelten muss. Dies entspricht \(P(X \le k_{\text{crit}} - 1) \ge 0{,}95\). Durch Tabellen oder Taschenrechner ermittelt man: \(P(X \le 29) \approx 0{,}9084\), \(P(X \le 30) \approx 0{,}9413\) und \(P(X \le 31) \approx 0{,}9640\). Somit ist \(k_{\text{crit}} - 1 = 31\), also \(k_{\text{crit}} = 32\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{32; 33; \dots; 80\}\). 2. Da das Stichprobenergebnis \(k = 32\) im Ablehnungsbereich \(K\) liegt, wird die Nullhypothese \(H_0\) auf dem Signifikanzniveau von \(5\,\%\) abgelehnt.

1. Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{32; 33; \dots; 80\}\). 2. Da \(k = 32 \in K\), wird \(H_0\) abgelehnt.

- Welche Werte von \(X\) stützen die Vermutung, dass die tatsächliche Wahrscheinlichkeit kleiner als \(0{,}75\) ist? - Beachte, dass bei einem linksseitigen Test die Irrtumswahrscheinlichkeit direkt über die kumulierte Wahrscheinlichkeitsfunktion bis zu einer Grenze \(k\) bestimmt wird. - Vergleiche das Signifikanzniveau mit den Werten aus der Verteilungstabelle, um die Grenze zu finden. - Stelle sicher, dass du die Grenze so wählst, dass das Signifikanzniveau nicht überschritten wird.

1. Die Zufallsgröße \(X\) ist unter \(H_0\) binomialverteilt mit \(B(120; 0{,}75)\). Bei einem linksseitigen Test liegt der Ablehnungsbereich bei den kleinen Werten: \(K = \{0; 1; \dots; k_{\text{links}}\}\). Es muss gelten: \(P(X \le k_{\text{links}}) \le 0{,}01\). Die Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeiten ergibt: \(P(X \le 77) \approx 0{,}0054\), \(P(X \le 78) \approx 0{,}0093\) und \(P(X \le 79) \approx 0{,}0155\). Damit ist der größte Wert für \(k_{\text{links}}\), der die Bedingung erfüllt, die Zahl \(78\). Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{0; 1; \dots; 78\}\). 2. Das Stichprobenergebnis \(k = 78\) liegt im Ablehnungsbereich \(K\). Daher wird die Nullhypothese \(H_0\) abgelehnt.

1. Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0; 1; \dots; 78\}\). 2. Da \(k = 78 \in K\), wird \(H_0\) abgelehnt.

- Was genau möchte die Gärtnerei widerlegen? - Welche Ergebnisse der Stichprobe würden die Vermutung der Gärtnerei stützen? - Welche Verteilung liegt vor, wenn wir die Anzahl der „Erfolge“ in einer festen Anzahl von Versuchen zählen? - Denke daran, dass beim rechtsseitigen Test die Wahrscheinlichkeit für den Ablehnungsbereich am Rand der Verteilung liegt.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da die Gärtnerei vermutet, dass der Anteil höher als angegeben ist, lautet die Gegenhypothese \(H_1: p > 0{,}08\). Die Nullhypothese, die im Test widerlegt werden soll, ist demnach \(H_0: p \leq 0{,}08\). Da große Werte der Testgröße gegen die Nullhypothese sprechen, wird ein rechtsseitiger Signifikanztest durchgeführt. 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Unter der Annahme \(p = 0{,}08\) ist die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl der nicht keimenden Samen) binomialverteilt mit \(n = 150\) und \(p = 0{,}08\). Gesucht ist die kleinste natürliche Zahl \(k\), für die gilt: \(P(X \geq k) \leq 0{,}05\). Dies ist gleichbedeutend mit \(1 - P(X \leq k-1) \leq 0{,}05\) bzw. \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}95\). 3. Berechnung der Werte: Durch Tabellenkalkulation oder Taschenrechner ergibt sich für \(n = 150\) und \(p = 0{,}08\): \(P(X \leq 17) \approx 0{,}9449\) und \(P(X \leq 18) \approx 0{,}9687\). Damit ist \(k-1 = 18\), also \(k = 19\). 4. Ablehnungsbereich und Entscheidungsregel: Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese ist \(K = \{19; 20; \dots; 150\}\). Wenn in der Stichprobe \(19\) oder mehr Samen nicht keimen, wird die Angabe des Herstellers auf dem \(5\,\%\)-Niveau abgelehnt.

a) \(H_0: p \leq 0{,}08\); \(H_1: p > 0{,}08\). Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test, da nur eine Abweichung nach oben (höherer Anteil nicht keimender Samen) nachgewiesen werden soll. b) Ablehnungsbereich: \(K = \{19; 20; \dots; 150\}\). Entscheidungsregel: Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn mindestens \(19\) der untersuchten \(150\) Samenkörner nicht keimen.

- Welche Art von Test liegt vor: linksseitig oder rechtsseitig? - Wie ist die Zufallsgröße verteilt? - Welche Bedingung muss für den Ablehnungsbereich im Hinblick auf das Signifikanzniveau erfüllt sein? - Wie kannst du die kumulierte Wahrscheinlichkeit nutzen, um den kritischen Wert zu finden?

1. Definition der Zufallsgröße \(X\): Anzahl der keimenden Samen, wobei \(X\) unter \(H_0\) binomialverteilt ist mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}80\). 2. Aufstellen der Testbedingung für den rechtsseitigen Test: Gesucht ist das kleinste \(k\), für das gilt: \(P(X \ge k) \le 0{,}05\). 3. Umformung zur Nutzung der kumulierten Verteilungsfunktion: \(1 - P(X \le k - 1) \le 0{,}05 \iff P(X \le k - 1) \ge 0{,}95\). 4. Bestimmung von \(k\) mithilfe der Tabelle oder des Taschenrechners: \(P(X \le 85) \approx 0{,}9196\) und \(P(X \le 86) \approx 0{,}9531\). 5. Abschluss: Da \(P(X \le 86) \ge 0{,}95\), ist \(k - 1 = 86\), also \(k = 87\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{87; 88; \dots; 100\}\). 6. Entscheidungsregel: Die Nullhypothese wird verworfen, wenn mindestens \(87\) Samen keimen.

Der Ablehnungsbereich ist \(\{87; 88; \dots; 100\}\). Die Entscheidungsregel lautet: Die Nullhypothese \(H_0\) wird verworfen, wenn in der Stichprobe \(87\) oder mehr Samen keimen.

- Welche Vermutung soll durch den Test gestützt werden? Daraus ergibt sich die Gegenhypothese. - Welche Werte der Zufallsgröße sprechen gegen die Behauptung des Herstellers? - Achte darauf, ob du die Wahrscheinlichkeit direkt aus der Tabelle ablesen kannst oder ob du umformen musst. - Wie gehst du vor, wenn ein Wert knapp über oder unter dem Signifikanzniveau liegt?

1. Definition der Zufallsgröße \(X\): Anzahl der Akkus mit voller Kapazität, wobei \(X\) unter der Annahme \(p = 0{,}90\) binomialverteilt ist mit \(n = 200\). 2. Festlegung des Testtyps: Da eine geringere Qualität vermutet wird (\(H_1: p < 0{,}90\)), handelt es sich um einen linksseitigen Test. 3. Aufstellen der Bedingung für den Ablehnungsbereich \(\{0; \dots; k\}\): Gesucht ist das größte \(k\), für das gilt: \(P(X \le k) \le 0{,}02\). 4. Bestimmung von \(k\) durch Tabellenwerte oder den Taschenrechner: \(P(X \le 170) \approx 0{,}0163\) und \(P(X \le 171) \approx 0{,}0271\). 5. Ergebnis: Da \(P(X \le 171)\) das Signifikanzniveau überschreitet, ist \(k = 170\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0; 1; \dots; 170\}\).

Der Ablehnungsbereich für die Nullhypothese \(H_0\) ist \(\{0; 1; \dots; 170\}\).

- Welche Art von Test liegt vor, wenn eine Verringerung eines Wertes nachgewiesen werden soll? - Welche Werte der Zufallsgröße sprechen gegen die Nullhypothese? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich bei einer Binomialverteilung? - Wie muss der kritische Wert gewählt werden, damit das vorgegebene Signifikanzniveau nicht überschritten wird?

1. Bestimmung der Verteilung unter der Annahme der Grenze der Nullhypothese: Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl fehlerhafter Leuchtmittel) ist unter \(H_0\) binomialverteilt mit \(n = 150\) und \(p = 0{,}06\). 2. Festlegung der Testform: Da die Vermutung eine Verringerung des Anteils ist (\(p < 0{,}06\)), liegt ein linksseitiger Signifikanztest vor. Der Ablehnungsbereich ist \(\{0; 1; \dots; k\}\). 3. Berechnung des kritischen Wertes \(k\): Gesucht ist das größte \(k\), für das \(P(X \le k) \le 0{,}05\) gilt. 4. Tabellenwerte oder Berechnung für \(B(150; 0{,}06)\): \(P(X \le 3) \approx 0{,}0186\) \(P(X \le 4) \approx 0{,}0499\) \(P(X \le 5) \approx 0{,}1083\) 5. Da \(P(X \le 4) \le 0{,}05\), aber \(P(X \le 5) > 0{,}05\), muss \(k = 4\) gewählt werden. 6. Ergebnis: Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn höchstens 4 Leuchtmittel in der Stichprobe fehlerhaft sind. Der Ablehnungsbereich ist \(A = \{0; 1; 2; 3; 4\}\).

Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn in der Stichprobe \(4\) oder weniger fehlerhafte Leuchtmittel gefunden werden. Der Ablehnungsbereich ist \(A = \{0; 1; 2; 3; 4\}\).

- Welche Art von Test liegt vor und in welche Richtung zeigt der Ablehnungsbereich? - Wie hängen das Signifikanzniveau und die Wahrscheinlichkeit für den Ablehnungsbereich zusammen? - Welche Werte für die kumulierte Wahrscheinlichkeit musst du in der Tabelle oder im Taschenrechner prüfen? - Erinnere dich daran, dass bei einem rechtsseitigen Test die Gegenwahrscheinlichkeit \(P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)\) hilfreich ist.

1. Aufstellen der Hypothesen: \(H_0: p \leq 0{,}3\) gegen \(H_1: p > 0{,}3\). 2. Festlegen der Teststatistik: Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Treffer und ist unter \(H_0\) im Grenzfall \(p = 0{,}3\) binomialverteilt mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}3\). 3. Bestimmung des Ablehnungsbereichs \(K = \{k+1; \dots; 100\}\): Es muss gelten \(P(X \geq k+1) \leq 0{,}10\), was äquivalent zu \(P(X \leq k) \geq 0{,}90\) ist. 4. Aus der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung oder durch Berechnung ergibt sich: \(P(X \leq 35) \approx 0{,}8839\) und \(P(X \leq 36) \approx 0{,}9201\). 5. Der kleinste Wert, für den die Wahrscheinlichkeit mindestens \(0{,}90\) beträgt, ist \(k = 36\). Somit beginnt der Ablehnungsbereich bei \(k+1 = 37\). 6. Entscheidungsregel: Die Nullhypothese \(H_0\) wird abgelehnt, wenn die Anzahl der Treffer \(37\) oder mehr beträgt (\(X \in \{37; \dots; 100\}\)).

Die Nullhypothese \(H_0\) wird abgelehnt, wenn die Anzahl der Treffer im Bereich \(\{37; 38; \dots; 100\}\) liegt.

- Überlege dir zuerst, ob ein hoher oder ein niedriger Wert der Stichprobe gegen die Behauptung des Herstellers spricht. - Welche Seite der Verteilung musst du also für den Ablehnungsbereich betrachten? - Nutze die kumulierte Binomialverteilung, um den kritischen Wert zu finden, bei dem die Wahrscheinlichkeit gerade noch unter dem Signifikanzniveau liegt. - Vergleiche das Ergebnis der Stichprobe direkt mit den Werten in deinem Ablehnungsbereich.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da der Gärtner eine geringere Rate vermutet, handelt es sich um einen linksseitigen Test mit \(H_0: p \ge 0{,}92\) und \(H_1: p < 0{,}92\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs \(K = \{0; 1; \dots; k\}\): Gesucht ist das größte \(k\), für das \(P(X \le k) \le 0{,}05\) bei \(n = 200\) und \(p = 0{,}92\) gilt. 3. Aus der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung oder per Taschenrechner ergibt sich: \(P(X \le 176) \approx 0{,}0306 \le 0{,}05\) und \(P(X \le 177) \approx 0{,}0507 > 0{,}05\). Somit ist \(k = 176\). Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese ist \(K = \{0; 1; \dots; 176\}\). 4. Vergleich mit der Stichprobe: Der beobachtete Wert \(x = 178\) liegt nicht im Ablehnungsbereich \(K\). 5. Entscheidung: Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt. Die Vermutung des Gärtners, dass die Keimrate geringer als \(92\,\%\) ist, konnte auf dem \(5\,\%\)-Niveau nicht statistisch belegt werden.

a) \(H_0: p \ge 0{,}92\); \(H_1: p < 0{,}92\); Ablehnungsbereich \(K = \{0; 1; \dots; 176\}\). b) Da \(178 > 176\), liegt der Wert nicht im Ablehnungsbereich. Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt; die Vermutung des Gärtners wird statistisch nicht gestützt.

- Worauf liegt der Fokus der Untersuchung – was soll bewiesen werden? - Wann würde man an der Behauptung des Herstellers zweifeln: bei sehr vielen oder bei sehr wenigen defekten Lampen? - Überlege dir, welche der beiden Hypothesen im Falle eines Fehlers 1. Art fälschlicherweise für wahr gehalten wird.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da die Behauptung \(p \le 0{,}05\) widerlegt werden soll, wird diese als Nullhypothese gewählt: \(H_0: p \le 0{,}05\). Die Gegenhypothese lautet entsprechend \(H_1: p > 0{,}05\). 2. Bestimmung der Testform: Es handelt sich um einen rechtsseitigen Signifikanztest. Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Anzahl der defekten Leuchten in der Stichprobe deutlich über dem erwarteten Wert liegt. Der Ablehnungsbereich liegt somit am rechten Rand der Verteilung. 3. Interpretation des Fehlers 1. Art: Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn die tatsächliche Ausfallrate höchstens \(5\,\%\) beträgt (die Behauptung des Herstellers ist also wahr), die Stichprobe aber zufällig so viele Defekte enthält, dass \(H_0\) abgelehnt wird. Folge: Der Hersteller wird zu Unrecht der Falschaussage bezichtigt, was zu Rufschädigung, Verkaufsverlusten oder unnötigen Rückrufaktionen führen kann.

a) \(H_0: p \le 0{,}05\); \(H_1: p > 0{,}05\) b) Rechtsseitiger Test, da \(H_0\) bei hohen Werten der Testgröße (viele Defekte) abgelehnt wird. c) Fehler 1. Art: Die Leuchten sind eigentlich gut (\(p \le 0{,}05\)), werden aber als schlecht eingestuft. Dies führt zu unberechtigter Kritik am Hersteller.

- Handelt es sich um einen linksseitigen oder einen rechtsseitigen Test? Schau dir dafür die Gegenhypothese an. - Welche Werte der Zufallsgröße sprechen besonders stark gegen die Nullhypothese? - Denk daran, dass bei einem rechtsseitigen Test die Wahrscheinlichkeit für den Ablehnungsbereich „am rechten Rand“ höchstens dem Signifikanzniveau entsprechen darf. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten \( P(X \ge k) \) und \( P(X \le k-1) \) zusammen?

1. Bestimmung der Verteilung unter \( H_0 \): Die Zufallsgröße \( X \) (Anzahl der Treffer) ist binomialverteilt mit \( n = 150 \) und der Grenzwahrscheinlichkeit \( p = 0{,}4 \), also \( X \sim B(150; 0{,}4) \). 2. Aufstellen der Bedingung für den Ablehnungsbereich: Da \( H_1: p > 0{,}4 \) gilt, handelt es sich um einen rechtsseitigen Test. Der Ablehnungsbereich ist \( \{k, \dots, 150\} \). Es muss gelten: \( P(X \ge k) \le 0{,}10 \), was äquivalent ist zu \( P(X \le k-1) \ge 0{,}90 \). 3. Bestimmung des kritischen Wertes \( k \): Aus der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung oder per Taschenrechner ergibt sich \( P(X \le 67) \approx 0{,}8939 \) und \( P(X \le 68) \approx 0{,}9210 \). Somit ist \( k-1 = 68 \), woraus \( k = 69 \) folgt. 4. Formulierung der Entscheidungsregel: Wenn mehr als 68 Treffer (also mindestens 69 Treffer) erzielt werden, wird die Nullhypothese abgelehnt.

Der Ablehnungsbereich für \( H_0 \) ist \( \{69, 70, \dots, 150\} \). Die Nullhypothese wird verworfen, wenn die Anzahl der Treffer mindestens 69 beträgt.

- Überlege zuerst, ob kleine oder große Werte der Testgröße gegen die Nullhypothese sprechen. - Formuliere die Bedingung für den Ablehnungsbereich mithilfe der kumulierten Wahrscheinlichkeit. - Suche in der Tabelle oder mit dem Taschenrechner den größten Wert, der die Bedingung für das Signifikanzniveau gerade noch erfüllt.

1. Identifikation des Testtyps: Da die Gegenhypothese \( H_1: p < 0{,}25 \) lautet, handelt es sich um einen linksseitigen Signifikanztest. 2. Festlegen der Verteilung: Unter der Annahme von \( H_0 \) ist die Zufallsgröße \( X \) binomialverteilt mit \( X \sim B(100; 0{,}25) \). 3. Bedingung für den Ablehnungsbereich: Gesucht ist der größte Wert \( k \), für den gilt: \( P(X \le k) \le 0{,}05 \). Der Ablehnungsbereich ist dann \( \{0, 1, \dots, k\} \). 4. Ermittlung von \( k \): Durch Nachschlagen in der kumulierten Binomialverteilungstabelle oder Berechnung erhält man \( P(X \le 17) \approx 0{,}0376 \) und \( P(X \le 18) \approx 0{,}0630 \). Da \( 0{,}0630 > 0{,}05 \) ist, ist \( k = 17 \). 5. Ergebnis: Der Ablehnungsbereich umfasst alle Werte von 0 bis einschließlich 17 Treffern.

Der Ablehnungsbereich ist \( \{0, 1, \dots, 17\} \). Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn höchstens 17 Treffer beobachtet werden.

- Welche Werte von \(X\) sprechen eher gegen die Nullhypothese, wenn diese einen Anteil von \(40\,\%\) behauptet, das Ergebnis aber deutlich kleiner ausfällt? - Wie ist der Ablehnungsbereich bei einem linksseitigen Test definiert? - Suche in einer Tabelle der kumulierten Binomialverteilung nach dem größten Wert, der noch nicht über dem Signifikanzniveau liegt. - Erinnere dich daran, dass die tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit genau der berechneten Wahrscheinlichkeit für den Ablehnungsbereich entspricht.

1. Identifikation der Verteilung: Die Zufallsgröße \(X\) ist unter der Nullhypothese binomialverteilt mit \(n = 50\) und \(p = 0{,}4\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Bei einem linksseitigen Test wird \(H_0\) abgelehnt, wenn \(X \le k\). Gesucht ist das größte \(k\), für das \(P(X \le k) \le 0{,}05\) gilt. 3. Auswertung der kumulierten Binomialverteilung: Es gilt \(P(X \le 13) \approx 0{,}0280\) und \(P(X \le 14) \approx 0{,}0540\). 4. Festlegung des kritischen Wertes: Da \(P(X \le 13)\) noch unter dem Signifikanzniveau liegt, \(P(X \le 14)\) jedoch darüber, ist \(k = 13\). Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{0; 1; \dots; 13\}\). 5. Berechnung des Fehlers erster Art: Die Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) in den Ablehnungsbereich fällt, obwohl \(H_0\) wahr ist, beträgt \(P(X \le 13) \approx 0{,}0280\).

Ablehnungsbereich \(K = \{0; 1; \dots; 13\}\); Wahrscheinlichkeit des Fehlers erster Art \(P(X \in K) \approx 2{,}80\,\%\).

- Überlege dir zuerst, ob große oder kleine Werte von \(X\) zur Ablehnung der Nullhypothese führen sollten. - Wie kannst du die Bedingung \(P(X \ge k) \le \alpha\) so umformen, dass du eine Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung (bis \(k\)) nutzen kannst? - Achte darauf, dass beim Umstellen der Ungleichung das Relationszeichen korrekt bleibt. - Der kritische Bereich beginnt bei dem ersten Wert, für den die Überschreitungswahrscheinlichkeit höchstens das Signifikanzniveau erreicht.

1. Festlegung der Verteilung: Die Zufallsgröße \(X\) folgt unter \(H_0\) einer Binomialverteilung mit \(n = 120\) und \(p = 0{,}1\). 2. Ansatz für den rechtsseitigen Test: Der kritische Bereich hat die Form \(K = \{k; k+1; \dots; 120\}\). Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P(X \ge k) \le 0{,}01\) gilt. 3. Umformung für die Tabellennutzung: Die Bedingung ist äquivalent zu \(1 - P(X \le k-1) \le 0{,}01\) bzw. \(P(X \le k-1) \ge 0{,}99\). 4. Bestimmung der kumulierten Wahrscheinlichkeiten: Aus der Tabelle oder dem Taschenrechner ergibt sich \(P(X \le 19) \approx 0{,}9842\) und \(P(X \le 20) \approx 0{,}9921\). 5. Bestimmung des kritischen Wertes: Der Wert \(0{,}99\) wird bei \(k-1 = 20\) erstmals überschritten, also ist \(k = 21\). Der kritische Bereich ist \(K = \{21; 22; \dots; 120\}\). 6. Berechnung der Irrtumswahrscheinlichkeit: \(P(X \ge 21) = 1 - P(X \le 20) \approx 1 - 0{,}9921 = 0{,}0079\).

Kritischer Bereich \(K = \{21; 22; \dots; 120\}\); Wahrscheinlichkeit des Fehlers erster Art \(P(X \in K) \approx 0{,}79\,\%\).

- Was wäre die Trefferwahrscheinlichkeit, wenn die Person einfach nur raten würde? - Soll die Behauptung, dass jemand „besonders gut“ ist, durch hohe oder durch niedrige Trefferzahlen belegt werden? - Überlege dir, welche Entscheidung getroffen wird, wenn das Ergebnis im Ablehnungsbereich liegt, und was das in der Realität bedeuten könnte. - Ein Fehler passiert immer dann, wenn die Testentscheidung nicht mit der tatsächlichen Fähigkeit übereinstimmt.

1. Aufstellen der Hypothesen: Die Nullhypothese \(H_0\) geht davon aus, dass Lukas nur rät (\(p = 0{,}5\)). Da er behauptet, besser als der Zufall zu sein, lautet die Gegenhypothese \(H_1: p > 0{,}5\). 2. Bestimmung der Testgröße: \(X\) ist die Anzahl der richtig erkannten Proben. Unter \(H_0\) ist \(X\) binomialverteilt mit \(n = 25\) und \(p = 0{,}5\). 3. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P(X \ge k) \le 0{,}05\) gilt. Dies entspricht \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\). 4. Berechnung: Aus der Tabelle der Binomialverteilung oder per Taschenrechner ergibt sich \(P(X \le 17) \approx 0{,}9784\) und \(P(X \le 16) \approx 0{,}9461\). Somit ist \(k-1 = 17\), also \(k = 18\). Der Ablehnungsbereich ist \(\mathcal{A} = \{18; 19; \dots; 25\}\). 5. Fehler 1. Art: Man entscheidet fälschlicherweise, dass Lukas die Sorten am Geschmack erkennen kann, obwohl er in Wirklichkeit nur geraten und zufällig oft richtig gelegen hat. 6. Fehler 2. Art: Man entscheidet fälschlicherweise, dass Lukas nur rät, obwohl er die Sorten tatsächlich am Geschmack unterscheiden kann.

a) \(H_0: p = 0{,}5\); \(H_1: p > 0{,}5\). Der Ablehnungsbereich ist \(\mathcal{A} = \{18; 19; \dots; 25\}\). b) Fehler 1. Art: Lukas wird die Fähigkeit zugesprochen, obwohl er nur rät. Fehler 2. Art: Lukas wird die Fähigkeit abgesprochen, obwohl er sie besitzt.

- Welche Vermutung soll durch den Test statistisch abgesichert werden? Diese gehört meist in die Alternativhypothese. - Erinnere dich daran, ob bei einer behaupteten Steigerung eher kleine oder große Werte gegen die Nullhypothese sprechen. - Die Zufallsgröße zählt die Anzahl der Treffer in der Stichprobe. - Wie hängen der Stichprobenumfang und die Genauigkeit einer Schätzung zusammen?

1. Aufstellen der Hypothesen: Da die Steigerung belegt werden soll, lautet die Nullhypothese \(H_0: p \le 0{,}25\) und die Alternativhypothese \(H_1: p > 0{,}25\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Unter der Annahme der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}25\) ist die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl der Bahnnutzer) binomialverteilt mit \(n = 150\). Gesucht ist der kleinste Wert \(k\), für den gilt: \(P(X \ge k) \le 0{,}05\). Dies entspricht \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\). Laut Tabelle oder Taschenrechner gilt \(P(X \le 46) \approx 0{,}9527\) und \(P(X \le 47) \approx 0{,}9679\). Somit ist bereits \(k-1 = 46\), also \(k = 47\). Der Ablehnungsbereich ist \(\{47, 48, \dots, 150\}\). 3. Berechnung des Fehlers 1. Art: Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit ist \(P(X \ge 47) = 1 - P(X \le 46) \approx 1 - 0{,}9527 = 0{,}0473\). 4. Auswirkungen der Stichprobenvergrößerung: Bei einer Vervierfachung des Stichprobenumfangs verringert sich die Standardabweichung der relativen Häufigkeit (sie halbiert sich). Dadurch rückt die kritische Grenze des Ablehnungsbereichs als relativer Anteil näher an den Nullhypothesenwert \(0{,}25\) heran; der Test wird präziser und trennschärfer.

a) \(H_0: p \le 0{,}25\); \(H_1: p > 0{,}25\) b) Ablehnungsbereich \(K = \{47, 48, \dots, 150\}\) c) \(P(\text{Fehler 1. Art}) \approx 0{,}0473\) (bzw. \(4{,}73\,\%\)) d) Die relative kritische Grenze rückt näher an \(0{,}25\); die Varianz der relativen Häufigkeit sinkt, wodurch der Test trennschärfer wird.

- Welche Art von Test liegt vor: linksseitig, rechtsseitig oder beidseitig? - Was ist die Zufallsvariable und wie ist sie verteilt? - Welche Werte der Zufallsvariable sprechen gegen die Behauptung des Herstellers? - Bis zu welcher Zahl ist die Wahrscheinlichkeit, ein so extremes Ergebnis zu erhalten, noch kleiner oder gleich dem Signifikanzniveau?

1. Definition der Zufallsgröße \( X \): Anzahl der keimenden Samen in der Stichprobe. 2. Unter der Nullhypothese \( H_0: p \ge 0{,}75 \) wird für die Berechnung des Ablehnungsbereichs der Grenzfall \( p = 0{,}75 \) betrachtet, sodass \( X \) binomialverteilt ist mit \( X \sim B(400; 0{,}75) \). 3. Da die Vermutung auf eine geringere Keimquote hindeutet, handelt es sich um einen linksseitigen Signifikanztest. Gesucht ist die größte Zahl \( k \), für die gilt: \( P(X \le k) \le 0{,}05 \). 4. Bestimmung der kumulierten Wahrscheinlichkeiten (z. B. mittels Tabelle oder GTR): \( P(X \le 285) \approx 0{,}0486 \) \( P(X \le 286) \approx 0{,}0610 \) 5. Da \( 0{,}0486 \le 0{,}05 \) und \( 0{,}0610 > 0{,}05 \), liegt die kritische Grenze bei \( k = 285 \). 6. Der Ablehnungsbereich ist somit \( A = \{0, 1, \dots, 285\} \).

Der Ablehnungsbereich für die Nullhypothese ist \( A = \{0, 1, \dots, 285\} \).

- Überlege dir zuerst, welche Werte der Zufallsgröße gegen die Nullhypothese sprechen würden. - Erinnere dich daran, dass bei einem linksseitigen Test der Ablehnungsbereich bei den kleinsten Werten der Zufallsgröße liegt. - Nutze eine Tabelle der kumulierten Binomialverteilung oder einen Taschenrechner, um den größten Wert zu finden, dessen kumulierte Wahrscheinlichkeit noch unter dem Signifikanzniveau liegt. - Was bedeutet der Fehler 1. Art im Kontext der Wahrscheinlichkeitsverteilung unter der Nullhypothese?

1. Aufstellung der Hypothesen: \(H_0: p = 0{,}25\) gegen \(H_1: p < 0{,}25\). 2. Festlegung der Testgröße: \(X\) ist unter \(H_0\) binomialverteilt mit \(n = 80\) und \(p = 0{,}25\). 3. Bestimmung des Ablehnungsbereichs \(A = \{0, 1, \dots, k\}\) durch die Bedingung \(P(X \le k) \le 0{,}05\). 4. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeiten: \(P(X \le 13) \approx 0{,}0421\) und \(P(X \le 14) \approx 0{,}0740\). 5. Da \(0{,}0421 \le 0{,}05\) und \(0{,}0740 > 0{,}05\), ist \(k = 13\). Der Ablehnungsbereich ist \(A = \{0, 1, \dots, 13\}\). 6. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art entspricht der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit, im Ablehnungsbereich zu landen, obwohl \(H_0\) wahr ist: \(P(X \le 13) \approx 0{,}0421\).

Der Ablehnungsbereich ist \(A = \{0, 1, \dots, 13\}\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt \(\alpha' \approx 0{,}0421\) (bzw. \(4{,}21\,\%\)).

- Bei einem rechtsseitigen Test liegen die Werte, die zur Ablehnung führen, im oberen Bereich der Verteilung. - Achte beim Arbeiten mit kumulierten Wahrscheinlichkeiten darauf, wie man die Wahrscheinlichkeit für „mindestens k Treffer“ in „höchstens Treffer“ umschreibt. - Die kritische Grenze \(k\) ist der kleinste Wert, für den die Wahrscheinlichkeit, diesen oder einen größeren Wert zu erhalten, das Signifikanzniveau nicht überschreitet. - Die tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit ist oft etwas kleiner als das vorgegebene Signifikanzniveau.

1. Aufstellung der Hypothesen: \(H_0: p = 0{,}15\) gegen \(H_1: p > 0{,}15\). 2. Die Testgröße \(X\) ist unter \(H_0\) binomialverteilt mit \(n = 250\) und \(p = 0{,}15\). 3. Bestimmung des Ablehnungsbereichs \(A = \{k, k+1, \dots, 250\}\) durch die Bedingung \(P(X \ge k) \le 0{,}025\), was äquivalent ist zu \(1 - P(X \le k-1) \le 0{,}025\) bzw. \(P(X \le k-1) \ge 0{,}975\). 4. Tabellenwerte oder Taschenrechner liefern: \(P(X \le 48) \approx 0{,}9712\) und \(P(X \le 49) \approx 0{,}9804\). 5. Da \(0{,}9804 \ge 0{,}975\), ist \(k-1 = 49\), also \(k = 50\). Der Ablehnungsbereich ist \(A = \{50, 51, \dots, 250\}\). 6. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ist \(P(X \ge 50) = 1 - P(X \le 49) \approx 1 - 0{,}9804 = 0{,}0196\).

Der Ablehnungsbereich ist \(A = \{50, 51, \dots, 250\}\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt \(\alpha' \approx 0{,}0196\) (bzw. \(1{,}96\,\%\)).

- Welche Seite der Verteilung ist für die Gegenhypothese relevant, wenn man eine „mindestens“-Aussage bezweifelt? - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge bei unabhängigen Bernoulli-Versuchen? - Wie groß darf die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis im Ablehnungsbereich höchstens sein? - Nutze ein Tabellenwerk oder die kumulierte Binomialverteilung deines Taschenrechners.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da die Behauptung „mindestens \(45\,\%\)“ angezweifelt wird, handelt es sich um einen linksseitigen Test mit \(H_0: p \geq 0{,}45\) und \(H_1: p < 0{,}45\). 2. Festlegen der Teststatistik: Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Personen, die dem Politiker zustimmen. Unter der Annahme \(p = 0{,}45\) ist \(X\) binomialverteilt mit \(n = 400\). 3. Bestimmung des kritischen Wertes \(k\): Gesucht ist das größte \(k\), für das gilt: \(P(X \leq k) \leq 0{,}10\). 4. Auswertung der Binomialverteilung für \(n = 400\) und \(p = 0{,}45\): Es gilt \(P(X \leq 166) \approx 0{,}0872\) und \(P(X \leq 167) \approx 0{,}1043\). 5. Abschluss: Da \(P(X \leq 166)\) noch unter dem Signifikanzniveau liegt, \(P(X \leq 167)\) jedoch darüber, ist \(k = 166\). Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{0; 1; \dots; 166\}\).

Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0; 1; \dots; 166\}\).

- Formuliere zuerst die Nullhypothese und die Gegenhypothese. - Handelt es sich um einen linksseitigen oder einen rechtsseitigen Test? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten \(P(X \geq k)\) und \(P(X \leq k-1)\) zusammen? - Suche in der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung nach dem Wert, der gerade noch die Bedingung für den Nichtablehnungsbereich erfüllt.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da vermutet wird, dass der Anteil höher als angegeben ist, liegt ein rechtsseitiger Test vor mit \(H_0: p \leq 0{,}10\) und \(H_1: p > 0{,}10\). 2. Festlegen der Teststatistik: Die Zufallsgröße \(X\) zählt die verspäteten Bestellungen. Unter \(p = 0{,}10\) ist \(X\) binomialverteilt mit \(n = 250\). 3. Bestimmung des Ablehnungsbereichs \(K = \{k; k+1; \dots; 250\}\): Es muss gelten \(P(X \geq k) \leq 0{,}05\). Dies ist äquivalent zu \(1 - P(X \leq k-1) \leq 0{,}05\) bzw. \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}95\). 4. Vergleich der kumulierten Wahrscheinlichkeiten für \(n = 250\) und \(p = 0{,}10\): Es ist \(P(X \leq 32) \approx 0{,}9389\) und \(P(X \leq 33) \approx 0{,}9590\). 5. Ermittlung der Grenze: Es folgt \(k-1 = 33\), also \(k = 34\). Die Nullhypothese wird verworfen, wenn mindestens \(34\) Bestellungen verspätet sind.

Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn \(34\) oder mehr Bestellungen verspätet sind (Ablehnungsbereich \(K = \{34; 35; \dots; 250\}\)).

- Welche Art von Test (linksseitig oder rechtsseitig) führen die Teams jeweils durch? - Wie hängen die Nullhypothesen mit den jeweiligen Vermutungen der Teams zusammen? - Wie bestimmst du die kritischen Werte bei einer binomialverteilten Zufallsgröße? - Wann genau entscheiden sich beide Personen gegen ihre ursprüngliche Annahme?

1. Aufstellung der Hypothesen für Team A: \(H_0: p \le 0{,}60\) gegen \(H_1: p > 0{,}60\). Da es sich um einen rechtsseitigen Test handelt, wird \(H_0\) für große Werte von \(X\) (Anzahl der Erfolge) verworfen. Gesucht ist das kleinste \(k_A\), sodass \(P(X \ge k_A) \le 0{,}05\) unter der Annahme \(p = 0{,}60\). Dies entspricht \(P(X \le k_A - 1) \ge 0{,}95\). Mit der Binomialverteilung (\(n = 100\) und \(p = 0{,}6\)) ergibt sich \(P(X \le 67) \approx 0{,}9385\) und \(P(X \le 68) \approx 0{,}9602\). Somit ist \(k_A - 1 = 68\), also \(k_A = 69\). Der Ablehnungsbereich ist \(K_A = \{69, 70, \dots, 100\}\). 2. Aufstellung der Hypothesen für Team B: \(H_0: p \ge 0{,}80\) gegen \(H_1: p < 0{,}80\). Dies ist ein linksseitiger Test. Gesucht ist das größte \(k_B\), sodass \(P(X \le k_B) \le 0{,}05\) unter der Annahme \(p = 0{,}80\). Mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}8\) ergibt sich \(P(X \le 72) \approx 0{,}0342\) und \(P(X \le 73) \approx 0{,}0558\). Somit ist \(k_B = 72\). Der Ablehnungsbereich ist \(K_B = \{0, 1, \dots, 72\}\). 3. Vergleich der Ablehnungsbereiche: Eine gleichzeitige Ablehnung beider Nullhypothesen erfolgt, wenn das Ergebnis \(X\) im Schnittbereich beider Mengen liegt. \(K_A \cap K_B = \{69, 70, 71, 72\}\). Da dieser Bereich nicht leer ist, kann die beschriebene Situation eintreten.

a) Team A: \(K_A = \{69, 70, \dots, 100\}\); Team B: \(K_B = \{0, 1, \dots, 72\}\). b) Für \(X \in \{69, 70, 71, 72\}\) verwerfen beide Teams ihre Nullhypothese.

- Schau dir die Gegenhypothese an, um die Testrichtung zu bestimmen. - Wie lautet die Bedingung für den Fehler 1. Art bei einem gegebenen Signifikanzniveau? - Welche Verteilung nimmst du für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten an? - Denk daran, dass der Ablehnungsbereich die Werte enthält, die extrem unwahrscheinlich sind, wenn die Nullhypothese stimmen würde.

1. Da die Gegenhypothese \(H_1: p > 0{,}3\) lautet, handelt es sich um einen rechtsseitigen Signifikanztest. Der Ablehnungsbereich hat die Form \(\{k; \dots; 60\}\). 2. Unter der Annahme, dass \(H_0\) wahr ist, ist die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl der Erfolge) binomialverteilt mit \(n = 60\) und \(p = 0{,}3\). 3. Gesucht ist der kleinste Wert \(k\), für den gilt: \(P(X \ge k) \le 0{,}05\). Dies ist gleichbedeutend mit \(P(X \le k - 1) \ge 0{,}95\). 4. Durch Tabellen oder einen Taschenrechner ergeben sich für \(B(60; 0{,}3)\) folgende kumulierte Wahrscheinlichkeiten: \(P(X \le 23) \approx 0{,}9368\) und \(P(X \le 24) \approx 0{,}9638\). 5. Somit ist \(k - 1 = 24\), woraus \(k = 25\) folgt. 6. Der Ablehnungsbereich für \(H_0\) ist somit \(\{25; 26; \dots; 60\}\).

Der Ablehnungsbereich ist \(\{25; 26; \dots; 60\}\).

- Schau dir die Gegenhypothese an, um die Testrichtung zu bestimmen. - In welchem Bereich der Zufallsgröße würdest du \(H_0\) eher ablehnen, wenn \(p\) kleiner ist als unter der Nullhypothese? - Suche in einer Tabelle der Binomialverteilung nach dem passenden kumulierten Wert, der gerade noch unter dem Signifikanzniveau liegt.

1. Da die Gegenhypothese \(H_1: p < 0{,}25\) lautet, liegt ein linksseitiger Signifikanztest vor. Der Ablehnungsbereich hat die Form \(\{0; \dots; k\}\). 2. Die Zufallsgröße \(X\) ist unter \(H_0\) binomialverteilt mit \(n = 45\) und \(p = 0{,}25\). 3. Gesucht ist der größte Wert \(k\), für den die Bedingung \(P(X \le k) \le 0{,}10\) erfüllt ist. 4. Die kumulierten Wahrscheinlichkeiten für \(B(45; 0{,}25)\) ergeben: \(P(X \le 6) \approx 0{,}0446\), \(P(X \le 7) \approx 0{,}0941\) und \(P(X \le 8) \approx 0{,}1725\). 5. Der größte Wert, der die Bedingung \(P(X \le k) \le 0{,}10\) noch erfüllt, ist \(k = 7\). 6. Die Entscheidungsregel lautet: Lehne \(H_0\) ab, wenn die Anzahl der Erfolge im Bereich \(\{0; 1; \dots; 7\}\) liegt; andernfalls lehne \(H_0\) nicht ab.

Die Nullhypothese \(H_0\) wird abgelehnt, wenn die Anzahl der Erfolge im Bereich \(\{0; 1; \dots; 7\}\) liegt.

- Überlege dir zuerst, welches Ereignis die Nullhypothese beschreiben soll und in welche Richtung die Abweichung untersucht wird. - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Mädchengeburten bei einer festen Trefferwahrscheinlichkeit? - Prüfe, ob du die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern darfst. - Wie berechnet man die Grenze des Ablehnungsbereichs bei einem vorgegebenen Signifikanzniveau? - Vergleiche am Ende den beobachteten Wert mit deinem berechneten Bereich.

1. Aufstellen der Hypothesen: Die Nullhypothese lautet \(H_0: p = 0{,}485\) (die Wahrscheinlichkeit entspricht dem Durchschnitt), die Alternativhypothese \(H_1: p < 0{,}485\) (die Wahrscheinlichkeit ist gesunken). 2. Bestimmung der Kenngrößen unter \(H_0\): Der Erwartungswert ist \(\mu = n \cdot p = 1200 \cdot 0{,}485 = 582\). Die Standardabweichung beträgt \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{1200 \cdot 0{,}485 \cdot 0{,}515} \approx 17{,}31\). Da \(\sigma > 3\) ist, kann die Normalverteilung als Näherung verwendet werden. 3. Bestimmung des kritischen Wertes \(k\): Für einen linksseitigen Test zum Niveau \(\alpha = 0{,}05\) wird der \(z\)-Wert \(z \approx -1{,}645\) verwendet. Es gilt \(k = \mu - 1{,}645 \cdot \sigma = 582 - 1{,}645 \cdot 17{,}31 \approx 553{,}53\). 4. Festlegung des Ablehnungsbereichs: Da die Zufallsvariable nur ganzzahlige Werte annimmt, ist der Ablehnungsbereich \(K = \{0; 1; \dots; 553\}\). 5. Entscheidung: Die beobachtete Anzahl von \(558\) Mädchen liegt nicht im Ablehnungsbereich \(K\). Somit wird die Nullhypothese nicht verworfen; die Abweichung ist auf dem \(5\,\%\)-Niveau nicht signifikant.

Hypothesen: \(H_0: p = 0{,}485\); \(H_1: p < 0{,}485\) Ablehnungsbereich: \(K = \{0; 1; \dots; 553\}\) Entscheidung: Die Nullhypothese wird nicht verworfen, da \(558 \notin K\). Das Ergebnis ist nicht signifikant.

- Welche Vermutung soll durch den Test gestützt werden? Daraus ergibt sich die Alternativhypothese. - Handelt es sich um einen linksseitigen oder einen rechtsseitigen Test? - Überlege, ab welcher Anzahl an „mängelfreien“ Urteilen man davon sprechen kann, dass ein Prüfer außergewöhnlich wenig Plaketten verteilt. - Prüfe, ob die Bedingungen für die Anwendung der Normalverteilung als Näherung für die Binomialverteilung gegeben sind.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da geprüft werden soll, ob der Prüfer strenger ist (also weniger Plaketten vergibt), lautet die Nullhypothese \(H_0: p \ge 0{,}72\) und die Alternativhypothese \(H_1: p < 0{,}72\). 2. Bestimmung der Kenngrößen der Binomialverteilung unter \(H_0\): \(n = 500\) und \(p = 0{,}72\). Daraus ergibt sich der Erwartungswert \(\mu = n \cdot p = 500 \cdot 0{,}72 = 360\) und die Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{500 \cdot 0{,}72 \cdot 0{,}28} = \sqrt{100{,}8} \approx 10{,}04\). Da \(\sigma^2 > 9\), ist die Laplace-Bedingung erfüllt. 3. Bestimmung des kritischen Wertes \(k\) für den linksseitigen Test bei \(\alpha = 0{,}05\): Die exakte Binomialverteilung liefert \(P(X \le 342) \approx 0{,}0419\) und \(P(X \le 343) \approx 0{,}0513\). Somit ist \(k = 342\), und der Ablehnungsbereich lautet \(\{0; 1; \dots; 342\}\). 4. Entscheidung: Der beobachtete Wert \(x = 342\) liegt im Ablehnungsbereich \(\{0; \dots; 342\}\). Die Nullhypothese wird verworfen; die Abweichung ist auf dem \(5\,\%\)-Niveau signifikant. Unter der genannten zufälligen, vergleichbaren Zuteilung sprechen die Daten auf diesem Niveau für eine niedrigere Quote mängelfreier Urteile dieses Prüfers.

Die Nullhypothese lautet \(H_0: p \ge 0{,}72\), die Alternativhypothese \(H_1: p < 0{,}72\). Der Ablehnungsbereich auf dem Signifikanzniveau \(\alpha = 5\,\%\) ist \(\{0; 1; \dots; 342\}\). Da der Prüfer nur \(342\) Plaketten vergeben hat, liegt das Ergebnis im Ablehnungsbereich. Unter der zufälligen Zuteilung sprechen die Daten auf diesem Niveau dafür, dass seine Quote mängelfreier Urteile niedriger ist.

- Welche Vermutung möchte der Großhändler stützen? Formuliere daraus die Gegenhypothese. - Bei einem rechtsseitigen Test liegen die Werte, die gegen die Nullhypothese sprechen, im oberen Bereich der Verteilung. - Suche in einer Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung den Wert, ab dem die Wahrscheinlichkeit für „höchstens so viele Treffer“ das Niveau von \(1 - \alpha\) erreicht oder überschreitet. - Überlege dir genau, ob der gesuchte Wert \(k\) selbst noch zum Annahmebereich gehört oder bereits zum Ablehnungsbereich.

1. Aufstellen der Hypothesen: Die Nullhypothese lautet \(H_0: p \le 0{,}15\), die Gegenhypothese \(H_1: p > 0{,}15\). Es handelt sich um einen rechtsseitigen Signifikanztest. 2. Festlegen der Testgröße: \(X\) ist die Anzahl der Leuchten mit Farbabweichung, wobei \(X\) unter \(H_0\) (mit \(p = 0{,}15\)) binomialverteilt ist mit \(n = 50\). 3. Bestimmung des Ablehnungsbereichs \(K = \{k; \dots; 50\}\): Es wird das kleinste \(k\) gesucht, für das gilt: \(P(X \ge k) \le 0{,}05\). Dies ist äquivalent zu \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\). 4. Nachschlagen in der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung für \(n = 50\) und \(p = 0{,}15\): - \(P(X \le 11) \approx 0{,}9372\) - \(P(X \le 12) \approx 0{,}9701\) 5. Da \(0{,}9701 \ge 0{,}95\) die erste Überschreitung ist, folgt \(k - 1 = 12\), also \(k = 13\). 6. Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{13; 14; \dots; 50\}\).

Der Ablehnungsbereich für die Nullhypothese ist \(K = \{13; 14; \dots; 50\}\).

- Was ist die Standardwahrscheinlichkeit für eine 6 bei einem fairen Würfel? - Möchte der Spieler beweisen, dass die Wahrscheinlichkeit kleiner oder größer als dieser Standardwert ist? - Überlege, ob du einen einseitigen oder zweiseitigen Test benötigst. - Wie berechnet man den Erwartungswert und die Standardabweichung bei einer Binomialverteilung? - Welche Zahl aus der Tabelle der Normalverteilung passt zum Signifikanzniveau von \(5\,\%\) bei einem einseitigen Test?

1. Aufstellen der Hypothesen: Da der Spieler vermutet, dass die 6 häufiger auftritt, liegt ein rechtsseitiger Test vor. Die Nullhypothese lautet \(H_0: p \le \frac{1}{6}\), die Gegenhypothese \(H_1: p > \frac{1}{6}\). 2. Bestimmung der Kenngrößen unter der Annahme \(p = \frac{1}{6}\): Der Erwartungswert ist \(\mu = n \cdot p = 600 \cdot \frac{1}{6} = 100\). Die Standardabweichung berechnet sich zu \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{600 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}} = \sqrt{\frac{500}{6}} \approx 9{,}13\). 3. Für den rechtsseitigen Test wird der kritische Wert \(k\) gesucht, für den \(P(X \ge k) \le 0{,}05\) gilt. Die exakte Binomialverteilung liefert \(P(X \le 114) \approx 0{,}9419\) und \(P(X \le 115) \approx 0{,}9532\). Daher ist \(k = 116\), und der Ablehnungsbereich lautet \(K = \{116; \dots; 600\}\). 4. Entscheidungsregel: Da der beobachtete Wert \(118\) im Ablehnungsbereich \(K\) liegt, wird die Nullhypothese verworfen. Die Vermutung des Spielers wird auf dem \(5\,\%\)-Niveau statistisch gestützt.

Die Nullhypothese \(H_0: p \le \frac{1}{6}\) wird verworfen, da der beobachtete Wert \(118\) im Ablehnungsbereich \(K = \{116; \dots; 600\}\) liegt. Die Vermutung des Spielers ist somit auf dem \(5\,\%\)-Signifikanzniveau statistisch gestützt.

- Welche Aussage soll durch den Test überprüft werden? Betrachte dies als Alternativhypothese. - Überlege, ob hohe oder niedrige Werte der Stichprobe gegen die Behauptung des Herstellers sprechen. - Nutze die kumulierte Binomialverteilung, um die Grenze zu finden, ab der ein Ergebnis als „unwahrscheinlich“ gilt. - Vergleiche am Ende, ob dein beobachteter Wert in den berechneten Bereich fällt.

1. Aufstellen der Hypothesen: Die Nullhypothese ist die Behauptung des Herstellers, also \(H_0: p \leq 0{,}03\). Die Alternativhypothese entspricht der Vermutung des Vereins, also \(H_1: p > 0{,}03\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das unter der Annahme \(p = 0{,}03\) gilt: \(P(X \geq k) \leq 0{,}05\). Dies ist äquivalent zu \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}95\). 3. Berechnung mit der Binomialverteilung \(B(400; 0{,}03)\): Es ergibt sich \(P(X \leq 17) \approx 0{,}9399\) und \(P(X \leq 18) \approx 0{,}9649\). Somit ist \(k-1 = 18\), woraus \(k = 19\) folgt. Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{19; 20; \dots; 400\}\). 4. Bewertung des Stichprobenergebnisses: Der beobachtete Wert \(x = 19\) liegt im Ablehnungsbereich \(K\). Daher wird die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau von \(5\,\%\) abgelehnt. Die Vermutung des Vereins wird statistisch gestützt.

a) \(H_0: p \leq 0{,}03\); \(H_1: p > 0{,}03\) b) \(K = \{19; 20; \dots; 400\}\) c) Da der Wert \(19\) im Ablehnungsbereich liegt, wird \(H_0\) abgelehnt. Die Vermutung des Vereins ist auf dem \(5\,\%\)-Niveau signifikant.

- Was ist die Annahme, die der Gärtner erschüttern möchte? - Welche Ergebnisse würden die Vermutung stützen, dass die Keimrate zu niedrig ist? - Achte darauf, dass beim linksseitigen Test die Wahrscheinlichkeit „höchstens k“ direkt mit dem Signifikanzniveau verglichen wird. - Prüfe genau, ob der beobachtete Wert noch innerhalb oder schon außerhalb der kritischen Grenze liegt.

1. Hypothesenbildung: Die Nullhypothese stützt das Versprechen des Produzenten, also \(H_0: p \geq 0{,}90\). Die Alternativhypothese des Gärtners lautet \(H_1: p < 0{,}90\). 2. Festlegung des Ablehnungsbereichs: Bei einem linksseitigen Test suchen wir den größten Wert \(k\), für den gilt: \(P(X \leq k) \leq 0{,}10\) unter der Annahme \(p = 0{,}90\). 3. Berechnung mit \(B(250; 0{,}90)\): Aus der Tabelle oder dem Taschenrechner erhält man \(P(X \leq 218) \approx 0{,}0886\) und \(P(X \leq 219) \approx 0{,}1247\). Der kritische Wert ist somit \(k = 218\). Der Ablehnungsbereich lautet \(K = \{0; 1; \dots; 218\}\). 4. Schlussfolgerung: Der beobachtete Wert \(x = 218\) liegt gerade noch im Ablehnungsbereich \(K\). Somit wird die Nullhypothese auf dem \(10\,\%\)-Niveau abgelehnt. Die Daten stützen die Vermutung des Gärtners statistisch.

Hypothesen: \(H_0: p \geq 0{,}90\); \(H_1: p < 0{,}90\) Ablehnungsbereich: \(K = \{0; 1; \dots; 218\}\) Schlussfolgerung: Da \(218 \in K\), wird \(H_0\) abgelehnt. Die Vermutung des Gärtners wird auf dem \(10\,\%\)-Niveau statistisch gestützt.

- Handelt es sich hier um einen Test auf eine zu kleine oder eine zu große Trefferwahrscheinlichkeit? - Formuliere die Bedingung für den Ablehnungsbereich mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit, um Tabellenwerte nutzen zu können. - Achte darauf, dass die Wahrscheinlichkeit für den gesamten Ablehnungsbereich das Signifikanzniveau nicht überschreiten darf.

1. Aufstellen der Hypothesen für einen rechtsseitigen Test: \(H_0: p \le 0{,}1\) und \(H_1: p > 0{,}1\). 2. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Widerrufe und ist unter \(H_0\) (\(p = 0{,}1\)) binomialverteilt mit \(n = 200\). 3. Gesucht ist die kleinste Zahl \(k\), für die \(P(X \ge k) \le 0{,}01\) gilt. Dies ist äquivalent zu \(1 - P(X \le k-1) \le 0{,}01\) bzw. \(P(X \le k-1) \ge 0{,}99\). 4. Aus der kumulierten Binomialverteilung folgt: \(P(X \le 29) \approx 0{,}9837\) und \(P(X \le 30) \approx 0{,}9905\). 5. Die Bedingung \(P(X \le k-1) \ge 0{,}99\) ist somit für \(k-1 = 30\) erfüllt, woraus \(k = 31\) folgt. 6. Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese ist \(A = \{31, 32, \dots, 200\}\).

Ablehnungsbereich: \(A = \{31, 32, \dots, 200\}\)

- Überlege dir zuerst, welches Ergebnis für die Nullhypothese spricht (der Würfel ist fair) und bei welchen Ergebnissen du an der Fairness zweifeln würdest. - Welche Wahrscheinlichkeit für die Zahl 6 erwartest du bei einem fairen Würfel? - Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung für die gegebene Trefferanzahl. - Benutze eine Tabelle der Binomialverteilung oder die Normalverteilung als Näherung, um die Grenze des Ablehnungsbereichs zu finden. - Liegt der Wert 230 in dem Bereich, in dem die Nullhypothese abgelehnt wird?

1. Aufstellen der Hypothesen: Die Nullhypothese beschreibt den Zustand eines fairen Würfels, also \(H_0: p \le \frac{1}{6}\). Die Gegenhypothese entspricht dem Verdacht, dass die 6 zu oft erscheint: \(H_1: p > \frac{1}{6}\). 2. Kennzahlen der Binomialverteilung: Bei \(n = 1200\) Versuchen und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{6}\) ergibt sich der Erwartungswert \(\mu = n \cdot p = 1200 \cdot \frac{1}{6} = 200\). Die Standardabweichung beträgt \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{1200 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}} = \sqrt{166{,}67} \approx 12{,}91\). Da \(\sigma^2 > 9\), ist die Laplace-Bedingung erfüllt. 3. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P(X \ge k) \le 0{,}05\) gilt. Unter Verwendung der Binomialverteilung (oder der Normalverteilung als Näherung mit \(k \approx \mu + 1{,}64 \cdot \sigma + 0{,}5\)) ergibt sich der kritische Wert \(k = 222\). Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{222; 223; \dots; 1200\}\). 4. Testentscheidung: Der beobachtete Wert \(x = 230\) liegt im Ablehnungsbereich (\(230 \ge 222\)). Daher wird die Nullhypothese abgelehnt. Der Verdacht, dass der Würfel die 6 bevorzugt, ist auf einem Signifikanzniveau von \(5\,\%\) statistisch begründet.

a) \(H_0: p \le \frac{1}{6}\); \(H_1: p > \frac{1}{6}\) b) Ablehnungsbereich \(K = \{222; 223; \dots; 1200\}\) c) Die Nullhypothese wird abgelehnt; der Verdacht ist statistisch begründet.

- Welche Seite der Verteilung ist für die Vermutung des Testzentrums kritisch? - Formuliere die Nullhypothese so, dass sie die Behauptung des Herstellers direkt widerspiegelt. - Wie hängen der Ablehnungsbereich und das Signifikanzniveau bei einem linksseitigen Test zusammen? - Bedenke den Unterschied zwischen „nicht ablehnen“ und „beweisen“.

1. Aufstellen der Hypothesen: \(H_0: p \geq 0{,}8\) (linksseitiger Test), \(n = 100\), \(\alpha = 0{,}05\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs \(K = \{0; \dots; k\}\): Suche das größte \(k\), für das \(P(X \leq k) \leq 0{,}05\) gilt. 3. Mithilfe der kumulierten Binomialverteilung: \(P(X \leq 72) \approx 0{,}0342 \leq 0{,}05\) und \(P(X \leq 73) \approx 0{,}0558 > 0{,}05\). 4. Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{0; 1; \dots; 72\}\). 5. Zu b): Da \(72 \in K\), wird die Nullhypothese abgelehnt. Die Vermutung des Testzentrums ist auf dem \(5\,\%\)-Niveau statistisch signifikant. 6. Zu c): Da \(75 \notin K\), wird die Nullhypothese nicht abgelehnt. Die Behauptung gilt jedoch nicht als „bewiesen“, da ein Nicht-Ablehnen der Nullhypothese lediglich bedeutet, dass die Daten nicht im Widerspruch zu ihr stehen (kein statistischer Beweis für die Richtigkeit).

a) Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0; 1; \dots; 72\}\). b) Bei \(72\) Treffern wird die Nullhypothese abgelehnt; die Qualität ist signifikant geringer als behauptet. c) Bei \(75\) Treffern wird die Nullhypothese nicht abgelehnt. Die Behauptung ist damit jedoch nicht bewiesen, sondern lediglich nicht widerlegt.

- Überlege zuerst, welche Vermutung das Institut statistisch absichern möchte. Diese bildet die Gegenhypothese. - Handelt es sich um einen linksseitigen oder einen rechtsseitigen Test, wenn vermutet wird, dass der tatsächliche Wert kleiner als angegeben ist? - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Nutzer in einer Stichprobe mit festem Umfang? - Suche in der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung nach dem größten Wert, der das Signifikanzniveau gerade noch nicht überschreitet.

1. Aufstellen der Hypothesen für einen linksseitigen Test: \(H_0: p \ge 0{,}4\) und \(H_1: p < 0{,}4\). 2. Festlegen der Testgröße \(X\) als Anzahl der Nutzer in der Stichprobe, wobei \(X\) unter der Annahme der Grenzwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}4\) binomialverteilt ist mit \(n = 200\). 3. Bestimmung des kritischen Wertes \(k\) durch die Bedingung \(P(X \le k) \le 0{,}05\). 4. Vergleich der kumulierten Wahrscheinlichkeiten: \(P(X \le 68) \approx 0{,}0475\) und \(P(X \le 69) \approx 0{,}0639\). 5. Da \(0{,}0475 \le 0{,}05\) und \(0{,}0639 > 0{,}05\), liegt die Grenze bei \(68\). 6. Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese ist somit \(K = \{0; 1; \dots; 68\}\).

Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0; 1; \dots; 68\}\).

- Formuliere die Nullhypothese so, dass sie die Behauptung des Herstellers widerspiegelt. - Wann würdest du am ehesten an der Angabe des Herstellers zweifeln – bei sehr vielen oder bei sehr wenigen defekten Zellen? - Beachte, dass bei einem rechtsseitigen Test die Wahrscheinlichkeit \(P(X \ge k)\) betrachtet wird. Wie kannst du dies mit der kumulierten Verteilungsfunktion \(P(X \le k)\) berechnen? - Achte genau auf das vorgegebene Signifikanzniveau von \(1\,\%\).

1. Definition der Hypothesen für einen rechtsseitigen Test: \(H_0: p \le 0{,}05\) und \(H_1: p > 0{,}05\). 2. Festlegen der binomialverteilten Testgröße \(X\) (Anzahl defekter Zellen) mit \(n = 500\) und \(p = 0{,}05\). 3. Suche nach der kleinsten Zahl \(k\), für die die Wahrscheinlichkeit im rechten Randbereich \(P(X \ge k) \le 0{,}01\) erfüllt ist. Dies ist äquivalent zu \(P(X \le k-1) \ge 0{,}99\). 4. Überprüfung der kumulierten Wahrscheinlichkeiten: \(P(X \le 36) \approx 0{,}9876\) und \(P(X \le 37) \approx 0{,}9923\). 5. Da \(0{,}9923 \ge 0{,}99\), liegt die Grenze des Annahmebereichs bei \(37\). 6. Der Ablehnungsbereich beginnt somit bei \(k = 38\). Ab \(38\) defekten Solarzellen wird die Behauptung abgelehnt.

Die Angabe des Herstellers wird ab einer Anzahl von \(38\) defekten Solarzellen abgelehnt.

- Welche Vermutung soll statistisch gestützt werden? Diese gehört meist in die Alternativhypothese. - Überlege, bei welchen Ergebnissen (eher klein oder eher groß) die Behauptung des Herstellers unglaubwürdig erscheint. - Nutze eine Tabelle der Binomialverteilung oder einen Taschenrechner, um die kumulierten Wahrscheinlichkeiten am Rand des Bereichs zu prüfen. - Achte darauf, dass die Irrtumswahrscheinlichkeit das vorgegebene Signifikanzniveau nicht überschreiten darf.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da die Vermutung gegen die Behauptung „mindestens \(85\,\%\)“ gerichtet ist, lautet die Nullhypothese \(H_0: p \geq 0{,}85\) und die Alternativhypothese \(H_1: p < 0{,}85\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist der größte Wert \(k\), für den bei einer Binomialverteilung mit \(n = 200\) und \(p = 0{,}85\) gilt: \(P(X \leq k) \leq 0{,}05\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: \(P(X \leq 161) \approx 0{,}0498\) und \(P(X \leq 162) \approx 0{,}0720\). Daher ist der kritische Wert \(k = 161\). Der Ablehnungsbereich ist somit \(A = \{0, 1, \dots, 161\}\). 4. Testentscheidung: Das Stichprobenergebnis \(x = 161\) liegt im Ablehnungsbereich \(A\). Die Nullhypothese wird verworfen; die Daten sprechen auf dem gewählten Signifikanzniveau gegen die Behauptung des Unternehmens.

a) \(H_0: p \geq 0{,}85\); \(H_1: p < 0{,}85\) b) Der Ablehnungsbereich ist \(A = \{0, 1, \dots, 161\}\). c) Da \(161 \in A\), wird die Nullhypothese verworfen. Die Daten sprechen auf dem \(5\,\%\)-Niveau gegen die Behauptung des Unternehmens.

- Was ist die Ausgangsbehauptung, die erst einmal als wahr angenommen wird? - Handelt es sich um einen linksseitigen oder einen rechtsseitigen Test? Schau dir die Richtung der Vermutung an. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für „mindestens \(k\) Treffer“ mit der kumulierten Binomialverteilung? - Vergleiche das Stichprobenergebnis direkt mit deiner zuvor aufgestellten Entscheidungsregel.

1. Hypothesenfestlegung: Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test mit \(H_0: p \leq 0{,}03\) und \(H_1: p > 0{,}03\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist der kleinste Wert \(k\), für den bei \(n = 500\) und \(p = 0{,}03\) gilt: \(P(X \geq k) \leq 0{,}01\). Dies ist äquivalent zu \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}99\). 3. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeiten: \(P(X \leq 24) \approx 0{,}9899\) und \(P(X \leq 25) \approx 0{,}9945\). 4. Ableitungen: Da \(P(X \leq 25) \geq 0{,}99\) erfüllt ist, ist \(k-1 = 25\), also \(k = 26\). Die Entscheidungsregel lautet: Die Nullhypothese wird verworfen, wenn \(26\) oder mehr Pakete beschädigt sind (Ablehnungsbereich \(A = \{26, \dots, 500\}\)). 5. Prüfung: Der Wert \(23\) liegt nicht im Ablehnungsbereich (\(23 < 26\)). Die Vermutung des Verbandes kann auf dem \(1\,\%\)-Niveau nicht bestätigt werden.

a) Entscheidungsregel: Wenn die Anzahl der beschädigten Pakete \(X \geq 26\) ist, wird die Behauptung verworfen (Ablehnungsbereich \(A = \{26, \dots, 500\}\)). b) Da \(23 < 26\), liegt das Ergebnis im Nichtablehnungsbereich. Die Vermutung des Verbandes kann statistisch nicht belegt werden.

- Was ist die ursprüngliche Behauptung, die geprüft werden soll? - In welche Richtung deutet eine Abweichung, wenn man eine höhere Fehlerquote vermutet? - Welche Verteilung nutzt du, um Wahrscheinlichkeiten für eine Anzahl von Erfolgen in einer Stichprobe zu berechnen? - Überlege, ob extrem große oder extrem kleine Werte gegen die Nullhypothese sprechen.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da der Baumarkt eine höhere Fehlerquote vermutet, liegt ein rechtsseitiger Test vor. Die Nullhypothese lautet \(H_0: p \le 0{,}04\), die Gegenhypothese \(H_1: p > 0{,}04\). 2. Bestimmung der Testgröße: Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Lampen und ist unter \(H_0\) binomialverteilt mit \(n = 500\) und \(p = 0{,}04\). 3. Festlegung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist der kleinste Wert \(k\), für den gilt \(P(X \ge k) \le 0{,}05\). Dies entspricht \(1 - P(X \le k-1) \le 0{,}05\) bzw. \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\). 4. Berechnung: Mit der Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 27) \approx 0{,}9511\) und \(P(X \le 26) \approx 0{,}9263\). Damit ist \(k-1 = 27\), also \(k = 28\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{28; 29; \dots; 500\}\). 5. Entscheidung: Der beobachtete Wert \(x = 28\) liegt im Ablehnungsbereich. Somit wird die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau von \(5\,\%\) verworfen. Die Vermutung des Baumarktes wird somit statistisch gestützt.

Nullhypothese \(H_0: p \le 0{,}04\); Ablehnungsbereich \(K = \{28; 29; \dots; 500\}\). Da der Stichprobenwert \(28\) im Ablehnungsbereich liegt, wird die Behauptung des Herstellers verworfen.

- Identifiziere, welche Seite der Verteilung für die Ablehnung relevant ist, wenn man eine „mindestens“-Aussage widerlegen will. - Notiere dir die Parameter \(n\), \(p\) und \(\alpha\) vor der Rechnung. - Suche in der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung den größten Wert für \(k\), bei dem die Wahrscheinlichkeit noch gerade unter oder genau bei \(\alpha\) liegt. - Denke daran, dass der Ablehnungsbereich hier die Werte von \(0\) bis zum kritischen Wert umfasst.

1. Aufstellen der Hypothesen: Die zu prüfende Behauptung ist \(p \ge 0{,}90\). Da der Verein diese widerlegen möchte, wählt er als Nullhypothese \(H_0: p \ge 0{,}90\) und als Alternativhypothese \(H_1: p < 0{,}90\). 2. Bestimmung der Verteilung: Es liegt eine Binomialverteilung mit \(n = 150\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = 0{,}90\) (Grenzfall) vor. 3. Festlegen des Ablehnungsbereichs: Es handelt sich um einen linksseitigen Test. Gesucht ist die größte Zahl \(k\), für die gilt: \(P(X \le k) \le 0{,}01\). 4. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeiten: Bei \(n = 150\) und \(p = 0{,}90\) gilt \(P(X \le 125) \approx 0{,}0076\) und \(P(X \le 126) \approx 0{,}0143\). 5. Der kritische Wert ist somit \(k = 125\). 6. Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0, 1, \dots, 125\}\). 7. Entscheidungsregel: Die Werbeaussage wird auf dem \(1\,\%\)-Niveau verworfen, wenn höchstens \(125\) Nutzer angeben, mit dem Update zufrieden zu sein.

Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0, 1, \dots, 125\}\). Entscheidungsregel: Wenn höchstens \(125\) der befragten Nutzer zufrieden sind, wird die Nullhypothese \(H_0: p \ge 0{,}90\) auf einem Signifikanzniveau von \(1\,\%\) verworfen.

- Welche Vermutung soll durch den Test belegt werden? Überlege, ob dies die Null- oder die Alternativhypothese sein sollte. - Handelt es sich um einen linksseitigen oder einen rechtsseitigen Test? - Ab welchem Wert ist ein Ergebnis so unwahrscheinlich, dass man nicht mehr an die ursprüngliche Annahme glaubt? - Nutze eine Tabelle oder deinen Taschenrechner für die kumulierte Binomialverteilung.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da die Behauptung (\(p > 0{,}4\)) gestützt werden soll, wird sie als Alternativhypothese gewählt. Somit gilt \(H_0: p \le 0{,}4\) und \(H_1: p > 0{,}4\) (rechtsseitiger Test). 2. Bestimmung der Testgröße und Verteilung: Die Testgröße \(X\) ist die Anzahl der Kunden mit Mehrwegtasche. Unter der Annahme der Nullhypothese mit der Grenzwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}4\) ist \(X\) binomialverteilt mit \(n = 60\). 3. Ermittlung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P(X \ge k) \le 0{,}05\) gilt. Dies ist äquivalent zu \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\). Aus der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung folgt \(P(X \le 30) \approx 0{,}9555\). Damit ist \(k-1 = 30\), also \(k = 31\). Der Ablehnungsbereich ist \(A = \{31, 32, \dots, 60\}\). 4. Testentscheidung: Der beobachtete Wert \(k_{obs} = 31\) liegt im Ablehnungsbereich. Die Nullhypothese wird auf dem Signifikanzniveau von \(5\,\%\) abgelehnt. Die Stichprobe stützt somit die Behauptung des Filialleiters.

Ja, die Beobachtung stützt die Behauptung des Filialleiters auf einem Signifikanzniveau von \(5\,\%\), da der beobachtete Wert \(31\) im Ablehnungsbereich \(A = \{31, \dots, 60\}\) der Nullhypothese liegt.

- Welche Seite des Tests ist relevant, wenn vermutet wird, dass Rot häufiger als erwartet auftritt? - Berechne mit der kumulierten Binomialverteilung den kleinsten Wert \(k\), für den \(P(X \ge k) \le 0{,}05\) gilt. - Vergleiche anschließend den beobachteten Wert mit dem Ablehnungsbereich. - Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, unter der Nullhypothese mindestens \(265\) rote Treffer zu beobachten.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da vermutet wird, dass Rot häufiger auftritt, liegt ein rechtsseitiger Signifikanztest vor. Die Nullhypothese lautet \(H_0: p \le \frac{18}{37}\) und die Alternativhypothese \(H_1: p > \frac{18}{37}\). 2. Unter der Randhypothese \(p_0=\frac{18}{37}\) gilt \(X \sim B\left(500;\frac{18}{37}\right)\). 3. Bestimmung des Ablehnungsbereichs mit der exakten Binomialverteilung: \(P_{p_0}(X \ge 262) \approx 0{,}0512 > 0{,}05\), aber \(P_{p_0}(X \ge 263) \approx 0{,}0425 \le 0{,}05\). Daher lautet der Ablehnungsbereich \(K=\{263;264;\dots;500\}\). 4. Entscheidung: Der beobachtete Wert \(X=265\) liegt im Ablehnungsbereich. Der einseitige p-Wert beträgt \(P_{p_0}(X \ge 265) \approx 0{,}0286\). Da dieser Wert kleiner als \(0{,}05\) ist, wird die Nullhypothese verworfen. Die Beobachtung stützt die Vermutung statistisch.

Ja. Der exakte Ablehnungsbereich ist \(K=\{263;264;\dots;500\}\). Da \(X=265\) darin liegt und der einseitige p-Wert ungefähr \(0{,}0286\) beträgt, wird die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau von \(5\,\%\) verworfen.

- Welche Vermutung möchte der Gärtner belegen? Das hilft dir bei der Wahl der Gegenhypothese. - Bei einem linksseitigen Test suchen wir die Werte am unteren Ende der Skala, deren Gesamtwahrscheinlichkeit gerade noch unter dem Signifikanzniveau liegt. - Überlege, ob ein kleinerer oder ein größerer Wert für die Keimung gegen die Behauptung des Herstellers spricht. - Nutze ein Tabellenwerk oder einen Taschenrechner für die kumulierte Binomialverteilung.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da der Gärtner eine geringere Quote vermutet, liegt ein linksseitiger Test vor. \(H_0: p \ge 0{,}90\) und \(H_1: p < 0{,}90\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist der größte Wert \(k\), für den bei \(n = 200\) und \(p = 0{,}90\) gilt: \(P(X \le k) \le 0{,}05\). 3. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeiten: Mit der Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 172) \approx 0{,}0434\) und \(P(X \le 173) \approx 0{,}0663\). 4. Der Ablehnungsbereich ist somit \(\mathcal{A} = \{0, 1, \dots, 172\}\). 5. Entscheidung: Da der beobachtete Wert \(x = 172\) im Ablehnungsbereich liegt, wird die Nullhypothese abgelehnt. Die Vermutung des Gärtners ist auf dem \(5\,\%\)-Niveau statistisch gestützt.

a) \(H_0: p \ge 0{,}90\); \(H_1: p < 0{,}90\) b) Ablehnungsbereich \(\mathcal{A} = \{0, 1, \dots, 172\}\) c) Ja, da \(172 \in \mathcal{A}\), wird die Angabe des Herstellers abgelehnt.

- Wann spricht ein Ergebnis für eine Verbesserung? Bei besonders vielen oder besonders wenigen Treffern? - Bei einem rechtsseitigen Test liegt der Ablehnungsbereich am oberen Ende der möglichen Ergebnisse. - Achte beim Berechnen darauf, dass \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)\) gilt. - Das Signifikanzniveau gibt an, wie unwahrscheinlich das Ergebnis unter der Annahme der Nullhypothese sein muss.

1. Aufstellen der Hypothesen: Der Spieler behauptet eine Verbesserung, also \(H_0: p \le 0{,}70\) gegen \(H_1: p > 0{,}70\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist der kleinste Wert \(k\), für den bei \(n = 80\) und \(p = 0{,}70\) gilt: \(P(X \ge k) \le 0{,}10\). 3. Berechnung über das Gegenereignis: \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1) \le 0{,}10\) bedeutet \(P(X \le k-1) \ge 0{,}90\). 4. Aus der Binomialtabelle oder dem Taschenrechner folgt: \(P(X \le 60) \approx 0{,}8648\) und \(P(X \le 61) \approx 0{,}9127\). Somit ist \(k-1 = 61\), also \(k = 62\). 5. Der Ablehnungsbereich ist \(\mathcal{A} = \{62, 63, \dots, 80\}\). 6. Da der Spieler 62 Treffer erzielt hat und \(62 \in \mathcal{A}\) gilt, wird \(H_0\) abgelehnt. Die Daten stützen auf dem \(10\,\%\)-Niveau die Annahme einer verbesserten Trefferquote.

a) \(H_0: p \le 0{,}70\); \(H_1: p > 0{,}70\) b) Ablehnungsbereich \(\mathcal{A} = \{62, 63, \dots, 80\}\) c) Die Behauptung des Spielers wird auf dem \(10\,\%\)-Niveau statistisch gestützt, da das Ergebnis im Ablehnungsbereich liegt.

- Welche Vermutung soll durch den Test belegt werden? Diese bildet meist die Alternativhypothese. - Handelt es sich um einen linksseitigen oder einen rechtsseitigen Test? Achte auf Formulierungen wie „mehr als“. - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der zufriedenen Nutzer in der Stichprobe? - Wie berechnest du die Grenze, ab der ein Ergebnis als „signifikant“ gilt? - Vergleiche das Stichprobenergebnis mit dem berechneten Ablehnungsbereich.

1. Aufstellung der Hypothesen für einen rechtsseitigen Test: Die Nullhypothese lautet \(H_0: p \leq 0{,}8\), die Alternativhypothese (Behauptung) ist \(H_1: p > 0{,}8\). 2. Berechnung der Kennzahlen unter Annahme der Nullhypothese (\(p = 0{,}8\)): Erwartungswert \(\mu = n \cdot p = 400 \cdot 0{,}8 = 320\); Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{400 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2} = 8\). 3. Bestimmung der Grenze des Ablehnungsbereichs: Für \(\alpha = 0{,}05\) ergibt sich der z-Wert \(z \approx 1{,}645\). Mit Stetigkeitskorrektur gilt \(k - 0{,}5 \ge \mu + 1{,}645 \cdot \sigma = 320 + 1{,}645 \cdot 8 = 333{,}16\). Damit ist der kleinste ganzzahlige kritische Wert \(k = 334\), und der Ablehnungsbereich lautet \(K = \{334; \dots; 400\}\). 4. Testentscheidung: Da der beobachtete Wert \(X = 335\) im Ablehnungsbereich \(K\) liegt, wird die Nullhypothese verworfen. Die Behauptung des Unternehmens, dass mehr als \(80\,\%\) der Nutzer zufrieden sind, wird auf dem \(5\,\%\)-Niveau statistisch gestützt.

Die Behauptung des Unternehmens kann auf einem Signifikanzniveau von \(5\,\%\) statistisch gestützt werden. Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese \(H_0: p \leq 0{,}8\) beginnt bei \(334\) zufriedenen Nutzern. Da \(335\) Nutzer zufrieden sind, wird die Nullhypothese verworfen.

- Welche Hypothese möchtest du widerlegen, um die Werbeaussage zu stützen? - Prüfe, ob die Bedingungen für die Näherung durch die Normalverteilung erfüllt sind. - Welchen z-Wert benötigst du für ein Signifikanzniveau von \(1\,\%\)? - Liegt das beobachtete Ergebnis weit genug über dem Erwartungswert, um als außergewöhnlich zu gelten?

1. Festlegung der Hypothesen: Da die Werbeaussage „über \(40\,\%\)“ lautet, wird ein rechtsseitiger Test durchgeführt. \(H_0: p \leq 0{,}4\) und \(H_1: p > 0{,}4\). 2. Berechnung der Parameter für \(n = 250\) und \(p = 0{,}4\): Erwartungswert \(\mu = 250 \cdot 0{,}4 = 100\); Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{250 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6} = \sqrt{60} \approx 7{,}75\). 3. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Für ein Signifikanzniveau von \(\alpha = 0{,}01\) wird der z-Wert \(z \approx 2{,}33\) verwendet. Mit Stetigkeitskorrektur gilt \(k - 0{,}5 \ge 100 + 2{,}33 \cdot 7{,}75 \approx 118{,}06\). Damit ist der kleinste ganzzahlige kritische Wert \(k = 119\), und der Ablehnungsbereich lautet \(K = \{119; \dots; 250\}\). 4. Entscheidung: Der Stichprobenwert \(115\) liegt nicht im Ablehnungsbereich \(K\). Die Nullhypothese kann nicht verworfen werden. Die Werbeaussage des Herstellers ist auf dem \(1\,\%\)-Niveau nicht statistisch gesichert.

Die Werbeaussage des Herstellers kann auf einem Signifikanzniveau von \(1\,\%\) nicht statistisch gesichert werden. Der Ablehnungsbereich für die Nullhypothese \(H_0: p \leq 0{,}4\) umfasst die Werte von \(119\) bis \(250\). Da nur \(115\) Samen gekeimt sind, reicht dieses Ergebnis nicht aus, um die Nullhypothese zu verwerfen.

- Welches Ereignis würde die Behauptung des Herstellers infrage stellen? - Muss der Ablehnungsbereich am linken oder am rechten Rand der Verteilung liegen? - Überlege, für welche Werte von \(X\) die Wahrscheinlichkeit, dass sie unter der Annahme der Nullhypothese auftreten, sehr klein (kleiner als \(\alpha\)) ist. - Vergleiche den beobachteten Wert direkt mit den Grenzen deines berechneten Bereichs.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da der Großhändler vermutet, dass der Anteil \(p\) kleiner als \(0{,}95\) ist, lautet die Alternativhypothese \(H_1: p < 0{,}95\). Die zu prüfende Nullhypothese ist demnach \(H_0: p \ge 0{,}95\). 2. Festlegen der Teststatistik: Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der „XL“-Eier in der Stichprobe und ist unter \(H_0\) (mit \(p = 0{,}95\)) binomialverteilt mit \(n = 400\) und \(p = 0{,}95\). 3. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist der größte Wert \(k\), für den \(P(X \le k) \le 0{,}05\) gilt. Unter Verwendung der Binomialverteilung ergibt sich: \(P(X \le 372) \approx 0{,}0480\) und \(P(X \le 373) \approx 0{,}0726\). Somit liegt der kritische Wert bei \(372\). Der Ablehnungsbereich ist \(A = \{0, 1, \dots, 372\}\). 4. Entscheidung: Der Stichprobenwert \(x = 371\) liegt im Ablehnungsbereich \(A\). Daher wird die Nullhypothese verworfen und die Vermutung des Großhändlers, dass der Anteil der „XL“-Eier signifikant unter \(95\,\%\) liegt, wird auf dem \(5\,\%\)-Niveau gestützt.

a) \(H_0: p \ge 0{,}95\); \(H_1: p < 0{,}95\) b) Ablehnungsbereich \(A = \{0, 1, \dots, 372\}\) c) Da \(371 \in A\), wird die Nullhypothese abgelehnt. Die Vermutung des Großhändlers wird auf dem \(5\,\%\)-Niveau statistisch gestützt.

- Welche Vermutung soll durch den Test gestützt werden? Das hilft dir bei der Wahl der Alternativhypothese. - Überlege, ob ein kleinerer oder ein größerer Wert als der erwartete Wert gegen die Behauptung des Unternehmens spricht. - Verwende die exakte kumulierte Binomialverteilung für die Grenze. - Wie berechnest du die Grenze des Ablehnungsbereichs bei einem vorgegebenen Signifikanzniveau?

1. Aufstellen der Hypothesen: Die Nullhypothese lautet \(H_0: p \ge 0{,}8\), die Alternativhypothese \(H_1: p < 0{,}8\). 3. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist der größte kritische Wert \(k\), für den \(P(X \le k) \le 0{,}05\) gilt. Die exakte Binomialverteilung liefert \(P(X \le 188) \approx 0{,}0370\) und \(P(X \le 189) \approx 0{,}0510\). Daher ist \(k = 188\), und der Ablehnungsbereich lautet \(\{0, 1, \dots, 188\}\). 4. Testentscheidung: Die beobachtete Anzahl der Erfolge \(k_{beob} = 188\) liegt im Ablehnungsbereich \(\{0, \dots, 188\}\). 5. Ergebnis: Die Nullhypothese \(H_0\) wird auf dem Niveau \(\alpha = 0{,}05\) abgelehnt. Die Vermutung des Labors, dass die Erfolgsquote signifikant niedriger als \(80\,\%\) ist, wird statistisch gestützt.

Hypothesen: \(H_0: p \ge 0{,}8\); \(H_1: p < 0{,}8\). Ablehnungsbereich: \(\{0, 1, \dots, 188\}\). Entscheidung: Da \(188\) im Ablehnungsbereich liegt, wird \(H_0\) abgelehnt. Die Daten sprechen auf dem \(5\,\%\)-Niveau für eine niedrigere Erfolgsquote als behauptet.

- Formuliere zuerst die Nullhypothese so, dass sie das Gegenteil dessen ist, was du statistisch stützen möchtest. - Handelt es sich um einen linksseitigen oder einen rechtsseitigen Test? Achte auf die Richtung der Abweichung. - Nutze die Kenngrößen Erwartungswert und Standardabweichung, um den kritischen Wert zu ermitteln. - Vergleiche am Ende dein Stichprobenergebnis mit dem berechneten Ablehnungsbereich.

1. Hypothesenfestlegung: \(H_0: p \le 0{,}35\) und \(H_1: p > 0{,}35\). 2. Die zufällige Auswahl ermöglicht die Übertragung auf die Haushalte der Stadt. Parameter: Unter der Annahme \(p = 0{,}35\) ist \(\mu = 500 \cdot 0{,}35 = 175\) und \(\sigma = \sqrt{500 \cdot 0{,}35 \cdot 0{,}65} = \sqrt{113{,}75} \approx 10{,}665\). Die Laplace-Bedingung (\(\sigma^2 \approx 113{,}8 > 9\)) ist erfüllt. 3. Exakter kritischer Wert: Die exakte Binomialverteilung liefert \(P(X\ge194)\approx0{,}04218\) und \(P(X\ge193)\approx0{,}05118\). Daher beginnt der Ablehnungsbereich bei \(194\). 4. Testentscheidung: Der beobachtete Wert \(k_{beob} = 196\) liegt im Ablehnungsbereich \(\{194, \dots, 500\}\). 5. Fazit: Die Nullhypothese wird auf dem \(5\,\%\)-Niveau abgelehnt. Die Vermutung, dass der Anteil in der Stadt höher als \(35\,\%\) ist, wird durch die Daten auf dem \(5\,\%\)-Niveau gestützt.

Hypothesen: \(H_0: p \le 0{,}35\); \(H_1: p > 0{,}35\). Ablehnungsbereich: \(\{194, 195, \dots, 500\}\). Entscheidung: Da \(196 \ge 194\), wird \(H_0\) abgelehnt. Der Anteil der Bio-Käufer wird durch die Daten als höher als \(35\,\%\).

- Welche Seite der Verteilung ist kritisch für die Vermutung des Gärtners? - Welche Wahrscheinlichkeit darf das Eintreten des Ablehnungsbereichs unter der Nullhypothese maximal haben? - Überlege dir genau, was die Nullhypothese im Kern aussagt und wann diese fälschlicherweise abgelehnt werden könnte.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da vermutet wird, dass die Quote höher als \(10\,\%\) ist, handelt es sich um einen rechtsseitigen Test. Die Nullhypothese lautet \(H_0: p \leq 0{,}1\), die Alternativhypothese \(H_1: p > 0{,}1\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist der kleinste Wert \(k\), für den unter der Annahme \(p = 0{,}1\) gilt: \(P(X \geq k) \leq 0{,}05\). Dies ist äquivalent zu \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}95\). 3. Aus der Tabelle der Binomialverteilung für \(n = 100\) und \(p = 0{,}1\) entnimmt man: \(P(X \leq 14) \approx 0{,}9274\) und \(P(X \leq 15) \approx 0{,}9601\). Somit ist \(k-1 = 15\), woraus \(k = 16\) folgt. Der Ablehnungsbereich ist \(V = \{16, 17, \dots, 100\}\). 4. Testentscheidung: Das Ergebnis \(18\) liegt im Ablehnungsbereich \(V\). Daher wird die Nullhypothese verworfen. Die Daten liefern auf dem gewählten Niveau Evidenz gegen die Angabe des Herstellers. 5. Fehler 1. Art: Man verwirft die Nullhypothese, obwohl sie wahr ist. Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass der Gärtner fälschlicherweise davon ausgeht, dass mehr als \(10\,\%\) der Samen nicht keimen, obwohl die tatsächliche Quote höchstens \(10\,\%\) beträgt.

a) \(H_0: p \leq 0{,}1\); \(H_1: p > 0{,}1\) b) Ablehnungsbereich \(V = \{16, 17, \dots, 100\}\) c) Die Nullhypothese wird abgelehnt, da \(18 \in V\). d) Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn man die Behauptung des Herstellers fälschlicherweise ablehnt, obwohl tatsächlich höchstens \(10\,\%\) der Samen nicht keimen.

- Welche Vermutung soll durch den Test gestützt werden? Diese bildet meist die Gegenhypothese. - Überlege, ob kleine oder große Werte der Zufallsgröße gegen die Behauptung des Herstellers sprechen. - Die Irrtumswahrscheinlichkeit für das Ablehnen einer wahren Nullhypothese darf höchstens \(5\,\%\) betragen. - Was passiert im schlimmsten Fall für den Hersteller, wenn der Test ein falsches Ergebnis liefert?

1. Definition der Zufallsgröße \(X\): Anzahl der gewürfelten Sechsen bei \(n = 600\) Versuchen. Unter der behaupteten Sechserwahrscheinlichkeit ist \(X\) binomialverteilt mit \(p = \frac{1}{6}\). 2. Aufstellen der Hypothesen: Da vermutet wird, dass die Sechs zu selten auftritt, handelt es sich um einen linksseitigen Test. \(H_0: p \geq \frac{1}{6}\) und \(H_1: p < \frac{1}{6}\). 3. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist das größte \(k\), für das \(P(X \leq k) \leq 0{,}05\) unter der Annahme \(p = \frac{1}{6}\) gilt. 4. Berechnung: Mit \(\mu = 600 \cdot \frac{1}{6} = 100\) und \(\sigma = \sqrt{600 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}} \approx 9{,}13\) ergibt die kumulierte Binomialverteilung \(P(X \leq 84) \approx 0{,}0424\) und \(P(X \leq 85) \approx 0{,}0538\). Somit ist \(k = 84\). 5. Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Sechsen in den Bereich \(\{0; 1; \dots; 84\}\), wird die Nullhypothese abgelehnt und die Vermutung des Großhändlers gestützt. Ab \(85\) Sechsen wird \(H_0\) beibehalten. 6. Fehleranalyse: Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn ein Würfel mit \(P(6)=\frac16\) fälschlicherweise als Würfel mit zu kleiner Sechserwahrscheinlichkeit (zu wenig Sechsen) eingestuft wird. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn ein Würfel mit tatsächlich kleinerer Sechserwahrscheinlichkeit (mit \(p < \frac{1}{6}\)) im Test nicht als solcher erkannt wird.

Hypothesen: \(H_0: p \geq \frac{1}{6}\); \(H_1: p < \frac{1}{6}\). Entscheidungsregel: Lehne \(H_0\) ab, wenn die Anzahl der Sechsen im Bereich \(\{0, 1, \dots, 84\}\) liegt. Fehler 1. Art: Ein Würfel mit \(P(6)=\frac16\) wird fälschlich als Würfel mit zu seltener Sechs eingestuft. Fehler 2. Art: Ein Würfel mit tatsächlich zu seltener Sechs wird im Test fälschlicherweise nicht als unfair erkannt.

- Achte darauf, welche Seite der Verteilung für die Gegenhypothese relevant ist: Geht es um „mehr als“ oder „weniger als“? - Der Ablehnungsbereich bei einem rechtsseitigen Test liegt bei den hohen Werten der Zufallsgröße. - Wie hängen das Signifikanzniveau und die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \leq k)\) zusammen? - Ein Fehler 1. Art ist die fälschliche Ablehnung der Nullhypothese.

1. Hypothesenfestlegung: Die Behauptung des Unternehmens bildet die Nullhypothese, da die Vermutung des Blogs (höhere Quote) getestet werden soll. \(H_0: p \leq 0{,}05\) und \(H_1: p > 0{,}05\). Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. 2. Berechnung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist der kleinste Wert \(k\), sodass \(P(X \geq k) \leq 0{,}05\) bzw. \(P(X \leq k-1) > 0{,}95\) für \(n = 400\) und \(p = 0{,}05\). 3. Mathematische Werte: Mit \(X \sim B(400; 0{,}05)\) ergibt sich \(P(X \leq 27) \approx 0{,}9520\) und \(P(X \leq 26) \approx 0{,}9274\). Daraus folgt \(k-1 = 27\), also \(k = 28\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{28; 29; \dots; 400\}\). 4. Interpretation Fehler 1. Art: Das Unternehmen wird zu Unrecht beschuldigt, eine zu hohe Fehlerquote zu haben, obwohl die Quote tatsächlich bei maximal \(5\,\%\) liegt. Dies könnte zu einem ungerechtfertigten Imageschaden führen.

1. \(H_0: p \leq 0{,}05\); \(H_1: p > 0{,}05\). 2. Ablehnungsbereich \(K = \{28, 29, \dots, 400\}\). 3. Ein Fehler 1. Art bedeutet, dass man fälschlicherweise davon ausgeht, die Fehlerquote sei höher als \(5\,\%\), was zu Rufschädigung oder unnötigen Nachbesserungen führen kann.

- Welche Vermutung soll durch den Test eigentlich gestützt werden? Das ist meist die Alternativhypothese. - Überlege, ob hohe oder niedrige Trefferzahlen gegen die Nullhypothese sprechen. - Stell dir vor, du wärst der Hersteller: Was wäre schlimmer – wenn dein gutes Produkt schlecht gemacht wird oder wenn dein schlechtes Produkt fälschlicherweise gelobt wird? - Wie ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art durch das Signifikanzniveau begrenzt?

1. Da das Testlabor die Behauptung prüfen möchte, wird die Skepsis als Nullhypothese formuliert: \(H_0: p \le 0{,}7\) (die Erfolgsquote ist höchstens \(70\,\%\)). Die Alternativhypothese lautet \(H_1: p > 0{,}7\). 2. Es handelt sich um einen rechtsseitigen Signifikanztest bei \(n = 250\) und \(p = 0{,}7\). Gesucht ist der kleinste Wert \(k\), für den \(P(X \ge k) \le 0{,}05\) gilt. Unter Verwendung der Binomialverteilung (oder der Normalverteilung als Näherung mit \(\mu = 175\) und \(\sigma \approx 7{,}25\)) ergibt sich: \(P(X \le 187) \approx 0{,}9596\), woraus \(P(X \ge 188) \approx 0{,}0404 \le 0{,}05\) folgt. Der Ablehnungsbereich ist somit \(V = \{188, 189, \dots, 250\}\). 3. Ein Fehler 1. Art bedeutet, dass das Labor fälschlicherweise zum Schluss kommt, das Mittel wirke bei mehr als \(70\,\%\) der Pflanzen, obwohl dies in Wahrheit nicht stimmt. Der Hersteller profitiert fälschlicherweise von einer unberechtigten Werbebehauptung. Ein Fehler 2. Art bedeutet, dass die tatsächliche Wirksamkeit von über \(70\,\%\) nicht erkannt wird. Dem Hersteller entgeht ein rechtmäßiger Wettbewerbsvorteil, da seine wahre Behauptung nicht bestätigt wird.

(1) \(H_0: p \le 0{,}7\); \(H_1: p > 0{,}7\) (2) Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese ist \(V = \{188, 189, \dots, 250\}\). (3) Fehler 1. Art: Die Wirksamkeit wird fälschlicherweise als über \(70\,\%\) eingestuft (unverdienter Werbevorteil). Fehler 2. Art: Eine tatsächlich vorhandene Wirksamkeit von über \(70\,\%\) wird nicht erkannt (Verlust eines Wettbewerbsvorteils).

- Welche Aussage möchte der Investor statistisch stützen? Diese bildet die Alternativhypothese. - Wann würde der Investor sich bestätigt fühlen – bei sehr vielen oder bei sehr wenigen Gegnern in der Stichprobe? - Denke bei der Entscheidungsregel daran, genau anzugeben, ab welchem Wert die Behauptung als widerlegt gilt. - Was passiert, wenn man eine wahre Behauptung fälschlicherweise als falsch darstellt?

1. Der Investor möchte die Behauptung widerlegen, also setzt er diese als Nullhypothese: \(H_0: p \ge 0{,}4\). Die Alternativhypothese lautet \(H_1: p < 0{,}4\). 2. Es liegt ein linksseitiger Signifikanztest vor mit \(n = 500\) und \(p = 0{,}4\). Gesucht ist das größte \(k\), für das \(P(X \le k) \le 0{,}01\) gilt. Mit der Binomialverteilung ergibt sich: \(P(X \le 174) \approx 0{,}0097 \le 0{,}01\) und \(P(X \le 175) \approx 0{,}0122 > 0{,}01\). Die Entscheidungsregel lautet: Wenn höchstens \(174\) Anwohner gegen das Zentrum stimmen, wird die Nullhypothese abgelehnt. Der Ablehnungsbereich ist \(V = \{0, 1, \dots, 174\}\). 3. Ein Fehler 1. Art bedeutet, dass die Behauptung der Bürgerinitiative (mindestens \(40\,\%\) Ablehnung) abgelehnt wird, obwohl sie wahr ist. Die Bürgerinitiative verliert dadurch an Glaubwürdigkeit und politischem Einfluss, obwohl sie im Recht war.

(1) \(H_0: p \ge 0{,}4\); \(H_1: p < 0{,}4\) (2) Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn sich in der Stichprobe \(174\) oder weniger Gegner des Einkaufszentrums befinden (\(V = \{0, 1, \dots, 174\}\)). (3) Fehler 1. Art: Die korrekte Behauptung der Bürgerinitiative wird fälschlicherweise als falsch zurückgewiesen (Glaubwürdigkeitsverlust).

- Überlege zuerst, welche Seite des Tests für den Verdacht (höherer Anteil als behauptet) relevant ist. - Erinnere dich daran, wie man den Erwartungswert und die Standardabweichung bei einer Binomialverteilung berechnet. - Nutze für die Bestimmung der Grenze des Ablehnungsbereichs entweder eine Tabelle der Binomialverteilung oder die Näherung durch die Normalverteilung. - Prüfe am Ende, ob das beobachtete Ergebnis in den Bereich fällt, der die ursprüngliche Behauptung unwahrscheinlich macht.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da vermutet wird, dass der Anteil höher als angegeben ist, lautet die Nullhypothese \(H_0: p \le 0{,}1\) und die Gegenhypothese \(H_1: p > 0{,}1\). 2. Bestimmung der Parameter: Stichprobenumfang \(n = 500\), Trefferwahrscheinlichkeit unter \(H_0\) ist \(p = 0{,}1\), Signifikanzniveau \(\alpha = 0{,}05\). 3. Berechnung der Kennzahlen: Der Erwartungswert ist \(\mu = n \cdot p = 500 \cdot 0{,}1 = 50\). Die Standardabweichung beträgt \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{500 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9} = \sqrt{45} \approx 6{,}71\). 4. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist die kleinste ganze Zahl \(k\), für die \(P(X \ge k) \le 0{,}05\) gilt. Die exakte Binomialverteilung liefert \(P(X\ge62)\approx0{,}04647\) und \(P(X\ge61)\approx0{,}06183\). Somit ist \(k=62\), und der Ablehnungsbereich lautet \(K = \{62, \dots, 500\}\). 5. Testentscheidung: Der beobachtete Wert \(k_{obs} = 65\) liegt im Ablehnungsbereich (\(65 \ge 62\)). Daher wird die Nullhypothese abgelehnt. Der Verdacht des Verbraucherschutzvereins ist auf dem \(5\,\%\)-Niveau statistisch gestützt.

Hypothesen: \(H_0: p \le 0{,}1\); \(H_1: p > 0{,}1\) Kennwerte: \(\mu = 50\); \(\sigma \approx 6{,}71\) Ablehnungsbereich: \(K = \{62, \dots, 500\}\) Ergebnis: Da \(65 \in K\), wird die Nullhypothese abgelehnt. Die Fehlerquote ist signifikant höher als behauptet.

- Formuliere die Hypothesen so, dass die Behauptung, die widerlegt werden soll, die Nullhypothese ist. - Welcher Bereich der Ergebnisse spricht gegen die Behauptung „mindestens \(70\,\%\)“? Das hilft dir bei der Wahl des Testtyps. - Bestimme die Grenze mit kumulierten Werten der exakten Binomialverteilung. - Vergleiche den Stichprobenwert direkt mit den Grenzen deines Ablehnungsbereichs.

1. Aufstellen der Hypothesen: Die Zeitung vermutet eine geringere Zustimmung, daher ist die Nullhypothese \(H_0: p \ge 0{,}7\) und die Gegenhypothese \(H_1: p < 0{,}7\). 2. Bestimmung der Parameter: Stichprobenumfang \(n = 400\), Wahrscheinlichkeit unter \(H_0\) ist \(p = 0{,}7\), Signifikanzniveau \(\alpha = 0{,}01\). 3. Berechnung der Kennzahlen: Der Erwartungswert ist \(\mu = n \cdot p = 400 \cdot 0{,}7 = 280\). Die Standardabweichung beträgt \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{400 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}3} = \sqrt{84} \approx 9{,}17\). 4. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist die größte ganze Zahl \(k\), für die \(P(X \le k) \le 0{,}01\) gilt. Die exakte Binomialverteilung liefert \(P(X \le 257) \approx 0{,}0077\) und \(P(X \le 258) \approx 0{,}0103\). Daher ist \(k = 257\), und der Ablehnungsbereich lautet \(K = \{0, \dots, 257\}\). 5. Testentscheidung: Der beobachtete Wert \(k_{obs} = 265\) liegt nicht im Ablehnungsbereich (\(265 > 257\)). Daher wird die Nullhypothese nicht abgelehnt. Die Vermutung der Zeitung wird auf dem \(1\,\%\)-Niveau nicht statistisch gestützt.

Hypothesen: \(H_0: p \ge 0{,}7\); \(H_1: p < 0{,}7\) Ablehnungsbereich: \(K = \{0, \dots, 257\}\) Fazit: Da \(265 \notin K\), wird die Nullhypothese nicht abgelehnt. Die Zustimmung ist statistisch gesehen nicht signifikant niedriger als \(70\,\%\).

- Was ist die Nullhypothese in diesem Fall? Beachte, dass wir zeigen wollen, dass sich etwas verbessert hat. - Warum ist hier ein rechtsseitiger Test angemessen? - Wie hängen das Signifikanzniveau und die kumulierte Wahrscheinlichkeit beim Bestimmen des Ablehnungsbereichs zusammen? - Vergleiche den beobachteten Wert mit deiner berechneten kritischen Grenze.

1. Aufstellung der Hypothesen: \(H_0: p \le 0{,}12\) (Anteil ist gleich geblieben oder gesunken) und \(H_1: p > 0{,}12\) (Anteil ist gestiegen). 2. Bestimmung der Kenngrößen: \(n = 500\), \(p = 0{,}12\), Erwartungswert \(\mu = 500 \cdot 0{,}12 = 60\), Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{500 \cdot 0{,}12 \cdot 0{,}88} = \sqrt{52{,}8} \approx 7{,}27\). 3. Bestimmung des Ablehnungsbereichs \(K = \{k; \dots; 500\}\) durch \(P(X \ge k) \le 0{,}05\), was äquivalent zu \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\) ist. 4. Mithilfe der Binomialverteilung: \(P(X \le 71) \approx 0{,}9405\) und \(P(X \le 72) \approx 0{,}9544\). Somit ist \(k-1 = 72\), also \(k = 73\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{73; \dots; 500\}\). 5. Vergleich mit der Stichprobe: Das Ergebnis \(X = 75\) liegt im Ablehnungsbereich (\(75 \in K\)). 6. Ergebnis: Die Nullhypothese wird verworfen. Die Daten stützen auf dem \(5\,\%\)-Niveau einen Anstieg des Marktanteils. Eine ursächliche Wirkung der Werbekampagne lässt sich mit diesem Test allein nicht nachweisen.

Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese umfasst die Werte \(73\) bis \(500\). Da \(75\) Befragte Kunden sind, wird die Nullhypothese verworfen; die Daten stützen einen Anstieg des Marktanteils. Ob die Werbekampagne diesen Anstieg verursacht hat, lässt sich daraus allein nicht schließen.

- Welche Behauptung stellt der Anbieter auf und was genau ist die Gegenposition der Verbraucherschützer? - Handelt es sich um einen linksseitigen oder einen rechtsseitigen Test? - Achte darauf, dass das Signifikanzniveau hier \(10\,\%\) beträgt. - Der Ablehnungsbereich umfasst die Werte, die extrem unwahrscheinlich sind, wenn die Behauptung des Anbieters wahr wäre.

1. Definition der Zufallsgröße \(X\): Anzahl der zufällig ausgewählten Nutzer, die im standardisierten Abschlusstest B1 erreichen (\(n = 200\)). 2. Aufstellen der Hypothesen: Da vermutet wird, dass die tatsächliche Quote geringer ist als behauptet, wird ein linksseitiger Test durchgeführt. Die Nullhypothese ist \(H_0: p \ge 0{,}80\), die Alternativhypothese ist \(H_1: p < 0{,}80\). 3. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist der größte Wert \(k\), für den gilt \(P(X \le k) \le 0{,}10\) unter der Annahme \(p = 0{,}80\). 4. Berechnung mit der Binomialverteilung \(B(200; 0{,}80)\): Es ergibt sich \(P(X \le 152) \approx 0{,}0944\) und \(P(X \le 153) \approx 0{,}1262\). 5. Ergebnis: Der kritische Wert ist \(152\). Der Ablehnungsbereich für \(H_0\) ist somit \(K = \{0; 1; \dots; 152\}\).

Hypothesen: \(H_0: p \ge 0{,}80\); \(H_1: p < 0{,}80\) Ablehnungsbereich: \(K = \{0; 1; \dots; 152\}\)

- Welche Behauptung soll durch den Test widerlegt werden? Das ist meistens die Nullhypothese. - Überlege, ob kleine oder große Werte der Testgröße gegen die Behauptung des Herstellers sprechen. - Der Fehler 1. Art passiert, wenn man eine richtige Behauptung ablehnt. - Der Fehler 2. Art passiert, wenn man eine falsche Behauptung nicht erkennt.

1. Da das Institut eine geringere Beliebtheit vermutet, lauten die Hypothesen für einen linksseitigen Test: \(H_0: p \ge 0{,}7\) und \(H_1: p < 0{,}7\). 2. Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl der Personen, die die Sorte mögen) ist unter \(H_0\) binomialverteilt mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}7\). Gesucht ist das größte \(k\), für das \(P(X \le k) \le 0{,}05\) gilt. Aus der Tabelle der Binomialverteilung oder per Taschenrechner ergibt sich: \(P(X \le 61) \approx 0{,}0340\) und \(P(X \le 62) \approx 0{,}0530\). Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{0, 1, \dots, 61\}\). 3. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn mindestens \(70\,\%\) der Kunden die Sorte mögen (\(H_0\) wahr), die Umfrage aber fälschlicherweise ein Ergebnis im Ablehnungsbereich liefert und man daher von einer geringeren Beliebtheit ausgeht. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn tatsächlich weniger als \(70\,\%\) der Kunden die Sorte mögen (\(H_0\) falsch), das Umfrageergebnis aber nicht im Ablehnungsbereich liegt und man \(H_0\) fälschlicherweise nicht ablehnt.

1. \(H_0: p \ge 0{,}7\); \(H_1: p < 0{,}7\) 2. \(K = \{0, 1, \dots, 61\}\) 3. Fehler 1. Art: \(H_0\) wird abgelehnt, obwohl sie wahr ist. Fehler 2. Art: \(H_0\) wird nicht abgelehnt, obwohl sie falsch ist.

- Überlege, welche Vermutung der Verein überprüfen möchte und ob Abweichungen in beide Richtungen oder nur in eine Richtung relevant sind. - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der zufriedenen Kunden in der Stichprobe? - Wie ist der Fehler 1. Art allgemein definiert und wie lässt sich das auf die Rollen von Bio-Hof und Verein übertragen?

1. Ein einseitiger (linksseitiger) Test ist angemessen, da der Verbraucherschutzverein nur eine Abweichung von der Behauptung in eine Richtung vermutet (nämlich nach unten). Es soll nur geprüft werden, ob der Anteil der zufriedenen Kunden signifikant kleiner als \(80\,\%\) ist. 2. Nullhypothese \(H_0: p \ge 0{,}8\); Gegenhypothese \(H_1: p < 0{,}8\). Testgröße \(X\) ist die Anzahl der sehr zufriedenen Kunden, unter \(H_0\) gilt \(X \sim B(150; 0{,}8)\). Gesucht ist das größte \(k\), für das \(P(X \le k) \le 0{,}05\) gilt. Berechnete Werte: \(P(X \le 111) \approx 0{,}0446\) und \(P(X \le 112) \approx 0{,}0659\). Der Ablehnungsbereich ist somit \(\mathcal{A} = \{0, 1, \dots, 111\}\). 3. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl sie wahr ist. Im Sachkontext: Man kommt fälschlicherweise zu dem Schluss, dass weniger als \(80\,\%\) der Kunden sehr zufrieden sind, obwohl die Behauptung des Bio-Hofs in Wirklichkeit zutrifft.

1. Es wird nur eine Abweichung nach unten untersucht (Anteil geringer als behauptet). 2. Der Ablehnungsbereich ist \(\{0, 1, \dots, 111\}\). 3. Der Fehler 1. Art bedeutet, dass man die Behauptung des Hofes fälschlicherweise statistisch ablehnt, obwohl mindestens \(80\,\%\) der Kunden sehr zufrieden sind.

- Welche Seite des Tests ist relevant, wenn eine Vermutung „geringer als“ lautet? - Wie ist der Fehler 1. Art im Hinblick auf die Nullhypothese definiert? - Denk daran, dass bei diskreten Verteilungen das vorgegebene Signifikanzniveau oft nicht exakt erreicht wird.

1. Es liegt ein linksseitiger Signifikanztest vor. Die Nullhypothese lautet \(H_0: p \ge 0{,}6\), die Alternativhypothese \(H_1: p < 0{,}6\). Die Testgröße \(X\) (Anzahl der Personen, die die neue Sorte bevorzugen) ist unter der Annahme \(p = 0{,}6\) binomialverteilt mit \(n = 100\). Gesucht ist der größte Wert \(k\), für den gilt: \(P(X \le k) \le 0{,}05\). Durch Nachschlagen in der Tabelle oder Berechnung ergibt sich für \(k = 51\): \(P(X \le 51) \approx 0{,}0423\) und für \(k = 52\): \(P(X \le 52) \approx 0{,}0638\). Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{0, 1, \dots, 51\}\). Die Entscheidungsregel lautet: Übersteigt die Anzahl der Befürworter den Wert \(51\) nicht, wird die Behauptung des Herstellers abgelehnt. 2. Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (das tatsächliche Signifikanzniveau) entspricht \(P_{p=0{,}6}(X \le 51) \approx 0{,}0423\), also ca. \(4{,}23\,\%\). 3. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn das Institut die Behauptung des Herstellers fälschlicherweise ablehnt, obwohl in Wahrheit mindestens \(60\,\%\) der Konsumenten die neue Sorte bevorzugen.

1. \(H_0: p \ge 0{,}6\); \(H_1: p < 0{,}6\). Ablehnungsbereich \(K = \{0, 1, \dots, 51\}\). 2. \(P(\text{Fehler 1. Art}) \approx 4{,}23\,\%\). 3. Die Behauptung des Herstellers wird irrtümlich als falsch zurückgewiesen.

- Welche Verteilung liegt vor, wenn wir eine feste Anzahl unabhängiger Versuche mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit betrachten? - Achte beim Ablehnungsbereich darauf, dass die kumulierte Wahrscheinlichkeit das Signifikanzniveau gerade noch nicht überschreiten darf. - Was ist der Unterschied zwischen dem vorgegebenen Signifikanzniveau und der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art? - Vergleiche das Stichprobenergebnis direkt mit den Grenzen deines Ablehnungsbereichs.

1. Testgröße und Verteilung: Die Testgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Patienten, bei denen die Tablette innerhalb von \(15\) Minuten wirkt. Unter \(H_0\) wird \(X\) als binomialverteilt mit \(n = 200\) und \(p = 0{,}9\) angenommen (\(B_{200; 0{,}9}\)). 2. Ablehnungsbereich: Es liegt ein linksseitiger Test vor. Gesucht ist das größte \(k\), für das \(P(X \leq k) \leq 0{,}01\) gilt. Die Berechnung ergibt \(P(X \leq 169) \approx 0{,}0095\) und \(P(X \leq 170) \approx 0{,}0163\). Damit ist der kritische Wert \(k = 169\). Der Ablehnungsbereich ist \(\mathcal{A} = \{0; 1; \dots; 169\}\). 3. Fehler 1. Art: Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese irrtümlich abzulehnen, ist \(\alpha_{\text{tatsächlich}} = P(X \leq 169) \approx 0{,}0095 = 0{,}95\,\%\). 4. Entscheidung: Das beobachtete Ergebnis \(x = 172\) liegt nicht im Ablehnungsbereich \(\{0; \dots; 169\}\). Daher kann die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau von \(1\,\%\) nicht verworfen werden. Die Behauptung des Herstellers wird nicht verworfen.

a) \(X\): Anzahl der Patienten mit Wirkung; \(X\) ist \(B_{200; 0{,}9}\)-verteilt. b) \(\mathcal{A} = \{0; 1; \dots; 169\}\) c) \(P(X \leq 169) \approx 0{,}0095\) (bzw. \(0{,}95\,\%\)) d) Das Ergebnis \(172\) liegt außerhalb des Ablehnungsbereichs. Die Behauptung wird nicht verworfen.

- Wer vertritt welche Position? Die Behauptung, die man statistisch „angreifen“ will, ist meist die Nullhypothese. - In welche Richtung weicht der Verdacht von der Behauptung ab? - Was bedeutet ein kleineres Signifikanzniveau für die Sicherheit der Entscheidung? - Muss man bei einem kleineren \(\alpha\) eher mehr oder eher weniger Gegenbeweise finden, um die Nullhypothese abzulehnen?

1. Hypothesen: Da die Organisation vermutet, dass die Erfolgsquote geringer ist, lautet die Gegenhypothese \(H_1: p < 0{,}7\). Die Nullhypothese ist somit \(H_0: p \geq 0{,}7\). Dies ist ein linksseitiger Test. 2. Entscheidungsregel (\(\alpha = 0{,}10\)): Die Testgröße \(X\) ist unter \(H_0\) (\(p = 0{,}7\)) binomialverteilt mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}7\). Gesucht ist das größte \(k\), für das gilt: \(P(X \leq k) \leq 0{,}10\). 3. Berechnung: Mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}7\) ergibt sich \(P(X \leq 62) \approx 0{,}0530\), \(P(X \leq 63) \approx 0{,}0799\) sowie \(P(X \leq 64) \approx 0{,}1161\). Somit ist \(k = 63\). Die Nullhypothese wird bei \(63\) oder weniger Erfolgen abgelehnt. 4. Änderung des Signifikanzniveaus: Wenn das Signifikanzniveau \(\alpha\) verringert wird (von \(0{,}10\) auf \(0{,}05\)), wird die Hürde für die Ablehnung der Nullhypothese höher. Der Ablehnungsbereich muss kleiner werden, damit die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art sinkt. Die kritische Zahl \(k\) wird also kleiner werden.

a) \(H_0: p \geq 0{,}7\); \(H_1: p < 0{,}7\). b) Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0; 1; \dots; 63\}\). Entscheidungsregel: Zeigt das Medikament bei höchstens \(63\) von \(100\) Patienten Wirkung, wird die Behauptung des Herstellers auf dem \(10\,\%\)-Niveau abgelehnt. c) Der Ablehnungsbereich würde kleiner werden (die obere Grenze \(k\) sinkt). Ein kleineres Signifikanzniveau bedeutet, dass man sich seltener irrtümlich gegen \(H_0\) entscheiden möchte, weshalb extremere Ergebnisse in der Stichprobe vorliegen müssen.

- Was ist die Testgröße in diesem Sachzusammenhang? - Wann würdest du an der Aussage des Herstellers zweifeln: bei sehr vielen oder bei sehr wenigen funktionierenden Modulen? - Achte darauf, wie der Ablehnungsbereich bei einem linksseitigen Test definiert ist. - Vergleiche den beobachteten Wert direkt mit der Grenze des Ablehnungsbereichs.

1. Aufstellen der Hypothesen: Die Garantie bildet die Nullhypothese, die Vermutung des Instituts die Gegenhypothese. \(H_0: p \ge 0{,}90\) \(H_1: p < 0{,}90\) 2. Bestimmung der Entscheidungsregel: Es handelt sich um einen linksseitigen Test. Gesucht ist der größte Wert \(k\), für den gilt: \(P(X \le k) \le 0{,}05\) unter der Annahme \(p = 0{,}90\). Unter Verwendung der Binomialverteilung \(B(250; 0{,}90)\) ergibt sich: \(P(X \le 216) \approx 0{,}0410\) \(P(X \le 217) \approx 0{,}0611\) Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{0; 1; \dots; 216\}\). Die Entscheidungsregel lautet: Die Nullhypothese wird verworfen, wenn höchstens \(216\) Module die volle Leistung erbringen. 3. Beurteilung des Stichprobenergebnisses: Der beobachtete Wert \(x = 218\) liegt nicht im Ablehnungsbereich (\(218 > 216\)). Die Nullhypothese wird nicht verworfen. Die Garantie des Herstellers muss auf diesem Signifikanzniveau nicht als widerlegt angesehen werden.

a) \(H_0: p \ge 0{,}90\); \(H_1: p < 0{,}90\) b) Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Anzahl der Module mit voller Leistung \(216\) oder weniger beträgt (Ablehnungsbereich \(\{0; \dots; 216\}\)). c) Da \(218 > 216\), liegt das Ergebnis im Annahmebereich. Die Garantie des Herstellers wird nicht verworfen.

- Bestimme für beide Szenarien separat, ob es sich um einen links- oder rechtsseitigen Test handelt. - Denke daran, dass beim rechtsseitigen Test die Summenwahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet wird. - Welche Werte liegen zwischen den beiden Ablehnungsbereichen?

1. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl defekter Chips und ist unter \(H_0\) binomialverteilt mit \(n = 500\) und \(p = 0{,}08\). Test A (rechtsseitig): Gesucht ist das kleinste \(k_A\), sodass \(P(X \ge k_A) \le 0{,}05\) bzw. \(P(X \le k_A - 1) \ge 0{,}95\). Berechnung: \(P(X \le 50) \approx 0{,}9545\) und \(P(X \le 51) \approx 0{,}9674\). Somit ist bereits \(k_A - 1 = 50\), also \(k_A = 51\). Der Ablehnungsbereich für Test A ist \(K_A = \{51; 52; \dots; 500\}\). Test B (linksseitig): Gesucht ist das größte \(k_B\), sodass \(P(X \le k_B) \le 0{,}05\). Berechnung: \(P(X \le 29) \approx 0{,}0372\) und \(P(X \le 30) \approx 0{,}0543\). Somit ist \(k_B = 29\). Der Ablehnungsbereich für Test B ist \(K_B = \{0; 1; \dots; 29\}\). 2. Der Bereich, in dem keine der beiden Nullhypothesen verworfen wird, ist das Komplement der beiden Ablehnungsbereiche. Dies ist der Bereich zwischen den kritischen Werten: \(\{30; 31; \dots; 50\}\).

1. Ablehnungsbereich Test A: \(K_A = \{51; 52; \dots; 500\}\); Ablehnungsbereich Test B: \(K_B = \{0; 1; \dots; 29\}\). 2. Der „Nichtablehnungsbereich“ beider Tests umfasst die Ergebnisse von \(30\) bis \(50\) defekten Chips.

- Welchen Zustand möchte man normalerweise als „gesichert“ ansehen, bevor man ein neues Produkt bewirbt? - Was passiert mit der Größe des Ablehnungsbereichs, wenn man die Irrtumswahrscheinlichkeit \(\alpha\) verringert? - Bedeutet das Ausbleiben eines Beweises für eine Theorie automatisch, dass das Gegenteil wahr ist?

1. Wahl der Nullhypothese: Um eine Steigerung auf über \(80\,\%\) nachzuweisen, muss die gegenteilige Annahme als Nullhypothese dienen: \(H_0: p \le 0{,}8\). Nur bei Ablehnung dieser Hypothese gilt die Wirksamkeit (\(p > 0{,}8\)) als statistisch belegt. 2. Beurteilung der Aussage: Die Aussage ist in dieser präzisierten Form korrekt. Ein kleineres Signifikanzniveau \(\alpha\) verkleinert den Ablehnungsbereich, sodass extremere Stichprobenergebnisse nötig sind, um \(H_0\) abzulehnen. Dies erschwert den Nachweis. Gleichzeitig sinkt das Risiko, die Wirksamkeit fälschlicherweise zu bescheinigen (Fehler 1. Art), dies senkt die maximal zulässige Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art. Es ist jedoch keine Wahrscheinlichkeit dafür, dass die konkrete Schlussfolgerung wahr ist. 3. Schlussfolgerung aus Nicht-Ablehnung: Nein, man darf dies nicht zwingend schließen. Dass das Ergebnis nicht im Ablehnungsbereich liegt, bedeutet nur, dass die vorliegenden Daten nicht ausreichen, um \(H_0\) mit dem gewählten Niveau zu verwerfen. Es könnte dennoch eine Wirksamkeit vorliegen, die in dieser Stichprobe nicht deutlich genug zutage trat (Fehler 2. Art bzw. \(\beta\)-Fehler). Ein Nicht-Signifikanz-Ergebnis ist kein Beweis für die Richtigkeit der Nullhypothese.

a) \(H_0: p \le 0{,}8\) b) Die präzisierte Aussage ist richtig, da ein kleineres \(\alpha\) die Hürde für die Ablehnung der Nullhypothese erhöht und gleichzeitig die maximale Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art senkt; daraus folgt keine nachträgliche Wahrheitswahrscheinlichkeit. c) Nein, da ein Fehler 2. Art vorliegen kann. Das Nicht-Ablehnen von \(H_0\) ist kein Beweis für deren Richtigkeit, sondern nur ein Mangel an Beweisen für \(H_1\).

- Welche Heilungsrate dient als Vergleichswert für die neue Studie? - Handelt es sich um einen linksseitigen oder einen rechtsseitigen Test, wenn eine Steigerung nachgewiesen werden soll? - Was bedeutet es für die Patienten, wenn ein eigentlich besseres Medikament im Test durchfällt? - Was bedeutet es für das Gesundheitssystem, wenn ein Medikament fälschlicherweise als überlegen eingestuft wird?

1. Hypothesenfestlegung: \(H_0: p \le 0{,}7\) (keine Verbesserung), \(H_1: p > 0{,}7\) (Heilungsrate ist höher). 2. Modellierung: Die Anzahl der geheilten Patienten \(X\) wird unter \(H_0\) als binomialverteilt mit \(n = 40\) und \(p = 0{,}7\) angenommen. 3. Kritischer Wert: Gesucht ist der kleinste Wert \(k\), sodass \(P(X \ge k) \le 0{,}10\). Dies ist äquivalent zu \(P(X \le k-1) \ge 0{,}90\). 4. Berechnung: Mit \(n = 40\) und \(p = 0{,}7\) gilt \(P(X \le 31) \approx 0{,}8890\) und \(P(X \le 32) \approx 0{,}9447\). Der kleinste Wert für \(k-1\) ist \(32\), daraus folgt \(k = 33\). Die Entscheidungsregel lautet: Werden mindestens \(33\) Patienten geheilt, wird \(H_0\) abgelehnt; die Daten stützen dann eine höhere Heilungsrate. 5. Fehler 1. Art: Das Medikament wird als besser eingestuft, obwohl die Heilungsrate tatsächlich nicht höher als \(70\,\%\) ist. Folge: Ein unwirksames oder nicht besseres Medikament wird eventuell teuer vermarktet. 6. Fehler 2. Art: Die tatsächliche Verbesserung wird nicht erkannt. Folge: Ein potenziell besseres Medikament wird nicht weiterverfolgt oder zugelassen, Patienten profitieren nicht von der Neuerung.

a) \(H_0: p \le 0{,}7\); \(H_1: p > 0{,}7\). Ablehnungsbereich: \(\mathcal{A} = \{33; 34; \dots; 40\}\). Werden mindestens \(33\) Patienten geheilt, wird \(H_0\) abgelehnt; die Daten stützen dann eine Verbesserung. b) Fehler 1. Art: Fälschliche Annahme einer Verbesserung (Risiko: Markteinführung ohne Mehrwert). Fehler 2. Art: Übersehen einer tatsächlichen Verbesserung (Risiko: Verzicht auf Fortschritt in der Behandlung).

- Welche Seite der Verteilung ist für den Zweifel des Verbandes relevant? - Achte darauf, in welche Richtung die Ungleichung für den Ablehnungsbereich zeigen muss. - Was bedeutet es für das Unternehmen, wenn die Studie zu einem negativen Ergebnis kommt, obwohl die ursprüngliche Behauptung stimmt?

1. Hypothesenformulierung: Der Verband möchte zeigen, dass die Quote niedriger ist. Daher ist die Nullhypothese \(H_0: p \ge 0{,}80\) und die Gegenhypothese \(H_1: p < 0{,}80\). Es handelt sich um einen linksseitigen Test. 2. Bestimmung der Testgröße: Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der schmerzfreien Patienten an. Unter der Annahme \(p = 0{,}80\) ist \(X\) binomialverteilt mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}80\). 3. Berechnung der kritischen Zahl: Gesucht ist der größte Wert \(g\), für den gilt \(P(X \le g) \le 0{,}05\). 4. Auswertung der Binomialverteilung: Mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}80\) liefert der Taschenrechner \(P(X \le 72) \approx 0{,}0342\) und \(P(X \le 73) \approx 0{,}0558\). Damit liegt die kritische Zahl bei \(g = 72\). 5. Entscheidungsregel: Falls höchstens \(72\) Patienten schmerzfrei sind, wird die Behauptung des Unternehmens verworfen (Ablehnungsbereich \(K = \{0; 1; \dots; 72\}\)). Ab \(73\) schmerzfreien Patienten wird die Nullhypothese nicht abgelehnt. 6. Interpretation des Risikos: Das Risiko besteht darin, die Behauptung des Unternehmens fälschlicherweise als unwahr zurückzuweisen (Fehler 1. Art). Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt ca. \(3{,}42\,\%\).

a) \(H_0: p \ge 0{,}80\); \(H_1: p < 0{,}80\) b) Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn \(72\) oder weniger Patienten schmerzfrei sind. c) Das Risiko (Fehler 1. Art) besteht darin, dass der Verband dem Unternehmen fälschlicherweise eine zu geringe Wirksamkeit unterstellt, obwohl diese tatsächlich bei \(80\,\%\) liegt. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Irrtum liegt bei ca. \(3{,}42\,\%\).

- Welche Werte der Stichprobe würden die Vermutung des Analysten stützen? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für „mindestens 26“ Treffer bei einer Binomialverteilung? - Wann wird eine Nullhypothese bei einem vorgegebenen Signifikanzniveau abgelehnt? - Vergleiche die Wahrscheinlichkeit des beobachteten Ereignisses (oder eines extremeren Ereignisses) mit dem Signifikanzniveau.

1. Definition der Zufallsgröße \( X \): Anzahl der Deinstallationen in der Stichprobe. Unter \( H_0 \) gilt \( X \sim B(200; 0{,}10) \). 2. Es handelt sich um einen rechtsseitigen Signifikanztest, da die Vermutung auf eine höhere Rate (\( p > 0{,}10 \)) abzielt. 3. Berechnung des p-Werts für das beobachtete Ergebnis \( k = 26 \): Es muss die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass bei einer Rate von \( 10\,\% \) mindestens \( 26 \) Deinstallationen auftreten: \( P(X \ge 26) = 1 - P(X \le 25) \). 4. Bestimmung der kumulierten Wahrscheinlichkeit: \( P(X \le 25) \approx 0{,}8995 \). 5. Berechnung: \( P(X \ge 26) \approx 1 - 0{,}8995 = 0{,}1005 \). 6. Vergleich mit dem Signifikanzniveau \( \alpha = 0{,}05 \): Da \( 0{,}1005 > 0{,}05 \), liegt der Wert \( 26 \) nicht im Ablehnungsbereich. Die Nullhypothese kann somit nicht verworfen werden.

Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Deinstallationsrate von \( 10\,\% \) zufällig mindestens \( 26 \) Deinstallationen in einer Stichprobe von \( 200 \) zu finden, beträgt etwa \( 10{,}05\,\% \). Da dieser Wert größer als das Signifikanzniveau von \( 5\,\% \) ist, reicht das Ergebnis nicht aus, um die Nullhypothese zu verwerfen.

- Überlege genau, welche Abweichung (nach oben oder unten) für die Vermutung des Gärtners relevant ist. - Das Signifikanzniveau gibt an, wie klein die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art höchstens sein darf. - Bei großen Stichprobenumfängen kannst du zur Orientierung die Normalverteilung als Näherung nutzen, solltest aber mit der Binomialverteilung exakt prüfen. - Der Anteil wird berechnet, indem man den kritischen Wert durch den Stichprobenumfang teilt.

1. Hypothesenbildung: Da der Gärtner eine geringere Rate vermutet, lautet die Nullhypothese \(H_0: p \ge 0{,}9\) und die Gegenhypothese \(H_1: p < 0{,}9\). 2. Modellierung: Die Zufallsgröße \(X\) zählt die gekeimten Samen und ist unter \(H_0\) (Grenzfall) binomialverteilt mit \(n = 400\) und \(p = 0{,}9\). 3. Ablehnungskriterium: Gesucht ist der größte Wert \(k\), für den \(P(X \le k) \le 0{,}01\) gilt. 4. Berechnung der Kenngrößen: Erwartungswert \(\mu = 400 \cdot 0{,}9 = 360\), Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{400 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}1} = 6\). 5. Bestimmung des kritischen Wertes: Tabellenwerte der Binomialverteilung liefern \(P(X \le 344) \approx 0{,}0066\) und \(P(X \le 345) \approx 0{,}01004 > 0{,}01\). Somit ist \(k = 344\). 6. Ablehnungsbereich: Der Ablehnungsbereich ist \(L = \{0, 1, \dots, 344\}\). 7. Berechnung des Anteils: Der maximale Anteil ist \(\frac{344}{400} = 0{,}86\), was \(86\,\%\) entspricht.

a) \(H_0: p \ge 0{,}9\); \(H_1: p < 0{,}9\). b) Der Ablehnungsbereich ist \(L = \{0, 1, \dots, 344\}\). c) Die Behauptung muss abgelehnt werden, wenn der Anteil der gekeimten Samen \(86\,\%\) oder weniger beträgt.

- Was ist die Annahme des Herstellers, die wir als Nullhypothese testen? - Ist ein linksseitiger oder ein rechtsseitiger Test angemessen, wenn eine zu geringe Rate vermutet wird? - Welche Tabellenwerte oder \(z\)-Werte benötigst du für ein Signifikanzniveau von \(1\,\%\)? - Achte beim Runden der Grenze des Ablehnungsbereichs genau darauf, welche Werte noch zur Ablehnung führen.

1. Hypothesenfestlegung: Da die Vermutung eine geringere Keimrate ist, erfolgt ein linksseitiger Test mit \(H_0: p \ge 0{,}92\) gegen \(H_1: p < 0{,}92\). 2. Berechnung der Parameter: \(\mu = 500 \cdot 0{,}92 = 460\). \(\sigma = \sqrt{500 \cdot 0{,}92 \cdot 0{,}08} = \sqrt{36{,}8} \approx 6{,}066\). Da \(\sigma > 3\), ist die Laplace-Bedingung erfüllt. 3. Kritischer Wert für \(\alpha = 0{,}01\): Die exakte Binomialverteilung liefert \(P(X \le 444) \approx 0{,}0072\) und \(P(X \le 445) \approx 0{,}0108\). Daher ist der kritische Wert \(k = 444\). 4. Ablehnungsbereich: \(K = \{0; 1; \dots; 444\}\). 5. Testentscheidung: Der beobachtete Wert \(445\) liegt nicht im Ablehnungsbereich \(K\). 6. Fazit: Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt. Der Großhändler kann die Behauptung des Herstellers auf dem \(1\,\%\)-Niveau nicht ablehnen.

a) Ablehnungsbereich: \(K = \{0; 1; \dots; 444\}\) b) Nein, die Behauptung kann nicht abgelehnt werden, da der Wert \(445\) nicht im Ablehnungsbereich liegt.

- Achte darauf, ob ein links- oder ein rechtsseitiger Test vorliegt. - Welche Werte von \(X\) sprechen eher für die Vermutung des Experten? - Wie hängen die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \leq k)\) und die Überschreitungswahrscheinlichkeit \(P(X \geq k)\) zusammen? - Was bedeutet es für die Entscheidung, wenn ein Wert außerhalb des Ablehnungsbereichs liegt?

1. Hypothesenfestlegung: \(H_0: p \leq 0{,}04\) und \(H_1: p > 0{,}04\). 2. Modellierung: Die Anzahl der beschädigten Sendungen \(X\) ist unter \(H_0\) (Grenzfall \(p = 0{,}04\)) binomialverteilt mit \(n = 500\) und \(p = 0{,}04\). 3. Ablehnungsbereich bestimmen: Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P(X \geq k) \leq 0{,}01\) gilt, was äquivalent zu \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}99\) ist. 4. Berechnung: Mit \(n = 500\) und \(p = 0{,}04\) ergibt sich \(P(X \leq 30) \approx 0{,}9882\) und \(P(X \leq 31) \approx 0{,}9931\). Somit ist \(k-1 = 31\), also \(k = 32\). 5. Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{32; 33; \dots; 500\}\). 6. Bewertung der Beobachtung: Der Wert \(x = 29\) liegt nicht im Ablehnungsbereich \(K\). Die Nullhypothese kann auf dem \(1\,\%\)-Niveau nicht abgelehnt werden; die Vermutung des Experten ist nicht statistisch signifikant belegt.

a) Der Ablehnungsbereich lautet \(K = \{32; 33; \dots; 500\}\). b) Da \(29\) nicht im Ablehnungsbereich liegt, wird die Nullhypothese nicht abgelehnt. Die Schadensquote ist mit der Angabe von \(4\,\%\) verträglich.

- Was ist der „Status Quo“, den wir beibehalten, solange kein Gegenbeweis vorliegt? Das ist deine Nullhypothese. - Wann deutet ein Ergebnis auf eine Verschlechterung (höhere Fehlerquote) hin? Bestimme danach die Testrichtung. - Nutze den passenden z-Wert für das Signifikanzniveau von \(1\,\%\). - Vergleiche den beobachteten Wert mit der Grenze des Ablehnungsbereichs.

1. Hypothesen festlegen: Es soll geprüft werden, ob die Fehlerquote gestiegen ist. Daher ist die Nullhypothese \(H_0: p \le 0{,}06\) und die Alternativhypothese \(H_1: p > 0{,}06\). 2. Kenngrößen berechnen: Mit \(n = 800\) und \(p = 0{,}06\) ergibt sich \(\mu = n \cdot p = 800 \cdot 0{,}06 = 48\). Die Standardabweichung beträgt \(\sigma = \sqrt{800 \cdot 0{,}06 \cdot 0{,}94} = \sqrt{45{,}12} \approx 6{,}717\). Die Laplace-Bedingung (\(\sigma^2 > 9\)) ist erfüllt. 3. Ablehnungsbereich bestimmen: Für den rechtsseitigen Test liefert die exakte Binomialverteilung \(P(X \le 63) \approx 0{,}9870\) und \(P(X \le 64) \approx 0{,}9909\). Daher beginnt der Ablehnungsbereich bei \(65\): \(\{65; 66; \dots; 800\}\). 4. Testentscheidung: Der beobachtete Wert \(x = 62\) liegt nicht im Ablehnungsbereich \(\{65; \dots; 800\}\). Die Nullhypothese \(H_0\) wird nicht abgelehnt. Die Erhöhung der Fehlerquote ist auf dem \(1\,\%\)-Niveau statistisch nicht signifikant.

Hypothesen: \(H_0: p \le 0{,}06\) und \(H_1: p > 0{,}06\). Ablehnungsbereich bei \(\alpha = 1\,\%\): \(\{65; 66; \dots; 800\}\). Da \(62 < 65\), liegt der Wert nicht im Ablehnungsbereich. Die Vermutung, dass die Fehlerquote gestiegen ist, wird auf diesem Signifikanzniveau nicht statistisch gestützt.

- Welche Seite der Verteilung musst du untersuchen, wenn du eine „niedrigere“ Rate vermutest? - Notiere dir die Werte für \(n\), \(p\) und \(\alpha\). - Denk daran, dass bei einem linksseitigen Test der Ablehnungsbereich die Werte von 0 bis zu einer bestimmten Grenze umfasst. - Wie lautet der z-Wert für ein Signifikanzniveau von \(1\,\%\) bei einem einseitigen Test?

1. Aufstellen der Hypothesen: Da vermutet wird, dass die Keimrate niedriger ist, wird ein linksseitiger Test durchgeführt. \(H_0: p \ge 0{,}95\) gegen \(H_1: p < 0{,}95\). 2. Berechnung der Kenngrößen: Unter der Annahme \(p = 0{,}95\) ergibt sich \(\mu = 400 \cdot 0{,}95 = 380\) und \(\sigma = \sqrt{400 \cdot 0{,}95 \cdot 0{,}05} = \sqrt{19} \approx 4{,}36\). 3. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Die exakte Binomialverteilung liefert \(P(X \le 368) \approx 0{,}0067\) und \(P(X \le 369) \approx 0{,}0114\). Daher ist der kritische Wert \(k = 368\), und der Ablehnungsbereich lautet \(K = \{0; \dots; 368\}\). 4. Entscheidung: Der beobachtete Wert \(372\) liegt nicht im Ablehnungsbereich \(K\), da \(372 > 368\). Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt. Das Ergebnis ist auf dem \(1\,\%\)-Niveau nicht signifikant genug, um die Herstellerangabe zu widerlegen.

Nein, das Ergebnis reicht nicht aus. Da der Stichprobenwert \(372\) außerhalb des Ablehnungsbereichs \(K = \{0; \dots; 368\}\) liegt, kann die Angabe des Herstellers auf einem Signifikanzniveau von \(1\,\%\) nicht abgelehnt werden.

- Was ist die Behauptung, die wir vorerst als wahr annehmen (Nullhypothese)? - Da der Experte eine *höhere* Quote vermutet, handelt es sich um einen rechtsseitigen Test. - Berechne, wie viele defekte Chips man im Durchschnitt bei 800 Stück erwarten würde. - Suche den Wert, ab dem die Wahrscheinlichkeit für eine so hohe oder noch höhere Trefferzahl unter \(1\,\%\) sinkt. - Vergleiche die beobachteten 25 Defekte mit diesem kritischen Wert.

1. Hypothesenfestlegung: Nullhypothese \(H_0: p \le 0{,}02\) (Herstellerangabe), Gegenhypothese \(H_1: p > 0{,}02\) (Vermutung des Experten). 2. Kenngrößen: Stichprobenumfang \(n = 800\). Unter der Annahme \(p = 0{,}02\) ist der Erwartungswert \(\mu = 800 \cdot 0{,}02 = 16\). Die Standardabweichung ist \(\sigma = \sqrt{800 \cdot 0{,}02 \cdot 0{,}98} = \sqrt{15{,}68} \approx 3{,}96\). 3. Ablehnungsbereich bestimmen: Gesucht ist der Bereich \(K = \{k; \dots; 800\}\), sodass die Irrtumswahrscheinlichkeit \(P(X \ge k) \le 0{,}01\) ist. Dies entspricht \(P(X \le k-1) \ge 0{,}99\). Mithilfe der kumulierten Binomialverteilung findet man \(P(X \le 25) \approx 0{,}9877\) und \(P(X \le 26) \approx 0{,}9931\). Damit ist \(k-1 = 26\), also \(k = 27\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{27; 28; \dots; 800\}\). 4. Entscheidung: Die Anzahl der defekten Chips \(x = 25\) liegt nicht im Ablehnungsbereich (\(25 < 27\)). Die Nullhypothese kann auf dem \(1\,\%\)-Niveau nicht abgelehnt werden. Die Daten liefern keinen ausreichenden Beleg dafür, dass die Fehlerquote höher als \(2\,\%\) ist.

Hypothesen: \(H_0: p \le 0{,}02\), \(H_1: p > 0{,}02\). Ablehnungsbereich: \(K = \{27; 28; \dots; 800\}\). Entscheidung: Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt, da \(25 \notin K\).

- Handelt es sich um einen linksseitigen oder einen rechtsseitigen Test, wenn eine höhere Rate vermutet wird? - Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit für den rechten Rand mithilfe der kumulierten Verteilungstabelle? - Was bedeutet ein Signifikanzniveau von \(10\,\%\) für die Irrtumswahrscheinlichkeit? - Überlege dir, welche der beiden Hypothesen beim Fehler 1. Art die „Wahrheit“ ist.

1. Aufstellen der Hypothesen: \(H_0: p \leq 0{,}15\) (rechtsseitiger Test), \(H_1: p > 0{,}15\), \(n = 200\), \(\alpha = 0{,}10\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs \(K = \{k; \dots; 200\}\): Suche das kleinste \(k\), für das \(P(X \geq k) \leq 0{,}10\) gilt, was äquivalent zu \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}90\) ist. 3. Mithilfe der kumulierten Binomialverteilung: \(P(X \leq 36) \approx 0{,}8987 < 0{,}90\) und \(P(X \leq 37) \approx 0{,}9280 \geq 0{,}90\). 4. Daraus folgt \(k-1 = 37\), also \(k = 38\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{38; 39; \dots; 200\}\). 5. Entscheidungsregel: Lehne \(H_0\) ab, wenn mindestens \(38\) Patienten Nebenwirkungen zeigen. 6. Zu b): Da \(38 \in K\), wird \(H_0\) abgelehnt. Die Nullhypothese wird bei einem Signifikanzniveau von \(10\,\%\) abgelehnt; die Daten sprechen gegen die Angabe des Unternehmens. 7. Zu c): Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn man die Behauptung des Unternehmens (\(p \leq 0{,}15\)) fälschlicherweise ablehnt, obwohl sie in Wirklichkeit wahr ist.

a) Entscheidungsregel: Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Anzahl der Patienten mit Nebenwirkungen im Bereich \(K = \{38; 39; \dots; 200\}\) liegt. b) Da \(38\) im Ablehnungsbereich liegt, wird die Nullhypothese abgelehnt; die Daten sprechen gegen die Angabe des Unternehmens. c) Ein Fehler 1. Art bedeutet, dass man die Nebenwirkungsrate fälschlicherweise als zu hoch einstuft, obwohl sie tatsächlich bei höchstens \(15\,\%\) liegt.

- Welche Seite der Verteilung (sehr viele oder sehr wenige beschädigte Pakete) würde gegen die Behauptung des Händlers sprechen? - Überlege dir, wie du die Bedingung \(P(X \ge k) \le \alpha\) mit der kumulierten Binomialverteilung berechnen kannst. - Was ist der Unterschied zwischen dem Ablehnungsbereich und dem Bereich, in dem die Hypothese beibehalten wird?

1. Aufstellen der Hypothesen: Der Experte vermutet einen höheren Anteil als \(3\,\%\). Daher gilt \(H_0: p \le 0{,}03\) und \(H_1: p > 0{,}03\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das bei \(n = 400\) und \(p = 0{,}03\) gilt: \(P(X \ge k) \le 0{,}01\). Dies ist gleichbedeutend mit \(P(X \le k-1) \ge 0{,}99\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: \(P(X \le 20) \approx 0{,}9895\) und \(P(X \le 21) \approx 0{,}9947\). 4. Entscheidungsregel: Da \(P(X \le 21) \ge 0{,}99\), ist \(k-1 = 21\), also \(k = 22\). Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn \(22\) oder mehr Pakete beschädigt sind (\(X \ge 22\)). 5. Nicht-Ablehnung: Die Behauptung wird nicht verworfen, wenn das Ergebnis im Annahmebereich \(\bar{\mathcal{A}} = \{0, 1, \dots, 21\}\) liegt. Dies ist bei höchstens \(21\) beschädigten Paketen der Fall.

a) \(H_0: p \le 0{,}03\); \(H_1: p > 0{,}03\) b) Wenn die Anzahl der beschädigten Pakete \(X \ge 22\) ist, wird die Nullhypothese auf dem \(1\,\%\)-Niveau abgelehnt. c) Er darf höchstens \(21\) beschädigte Pakete finden.

- Warum könnte eine Stichprobe ein falsches Bild der Wirklichkeit vermitteln? - Wann genau liegt ein Ergebnis im Annahmebereich eines Signifikanztests? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, bei \(n\) Versuchen genau \(0\) Treffer zu erzielen? - Denke an die Umkehroperation zum Exponenten, um die Ungleichung nach \(p\) aufzulösen.

1. Begründung: Da nur eine Stichprobe gezogen wurde, besteht immer ein Restrisiko, dass defekte Teile in der Grundgesamtheit existieren, aber zufällig nicht ausgewählt wurden (Stichprobenfehler). 2. Einseitiger Test: Die Nullhypothese \(H_0: p = p_0\) wird bei einem Ergebnis von \(X=0\) dann nicht abgelehnt, wenn dieser Wert im Annahmebereich liegt, also die Bedingung \(P(X \le 0) > \alpha\) erfüllt ist. 3. Berechnung: Unter der Annahme der Binomialverteilung gilt \(P(X=0) = (1-p)^{800}\). Es muss also gelten: \((1-p)^{800} > 0{,}05\). 4. Auflösen nach \(p\): \(1-p > 0{,}05^{\frac{1}{800}} \approx 0{,}99626\), woraus folgt \(p < 1 - 0{,}99626 \approx 0{,}00373766\). 5. Ergebnis: Das Ergebnis \(X=0\) ist für alle Fehlerwahrscheinlichkeiten \(0 \le p < 0{,}00373766\), also \(0 \le p < 0{,}373766\,\%\), mit der Nullhypothese verträglich.

a) Aufgrund des Zufallsprinzips bei Stichproben können defekte Stücke in der Grundgesamtheit vorhanden sein, ohne in einer begrenzten Auswahl aufzutauchen. b) Das Ergebnis liegt im Annahmebereich für \(0 \le p < 0{,}373766\,\%\) (bzw. \(0 \le p < 0{,}00373766\)).

- Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Personen mit Nebenwirkungen in der Stichprobe? - Wie wirkt sich ein niedrigeres Signifikanzniveau auf die Sicherheit der Aussage aus? - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeit \(p\), wenn ein Ereignis mit \(0\) Treffern gerade noch „wahrscheinlich genug“ ist, um die Nullhypothese nicht abzulehnen?

1. Berechnung Teil a: Bei \(n = 2500\) und \(p = 0{,}001\) ist \(P(X=0) = (1-0{,}001)^{2500} = 0{,}999^{2500} \approx 0{,}08197\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(8{,}2\,\%\). 2. Ansatz Teil b: Damit \(X=0\) im Annahmebereich liegt, muss \(P(X \le 0) > \alpha\) gelten, also \((1-p)^{2500} > 0{,}01\). 3. Grenzwert bestimmen: \((1-p)^{2500} = 0{,}01 \Rightarrow 1-p = 0{,}01^{\frac{1}{2500}} \approx 0{,}99816\). 4. Grenzwert berechnen: \(p = 1 - 0{,}99816 \approx 0{,}00184\). 5. Ergebnis: Der Grenzwert liegt bei ca. \(0{,}184\,\%\). Im Annahmebereich liegt \(X=0\) für \(0 \le p < 0{,}00184\), also näherungsweise für \(p < 0{,}184\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(8{,}2\,\%\). b) Der Grenzwert für die Wahrscheinlichkeit \(p\) beträgt ca. \(0{,}184\,\%\). Im Annahmebereich liegt \(X=0\) näherungsweise für \(0 \le p < 0{,}184\,\%\).

- Was ist die „sichere“ Behauptung, die erst einmal als wahr angenommen wird? - Bei einem rechtsseitigen Test suchst du nach außergewöhnlich großen Werten in der Stichprobe. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten \(P(X \ge k)\) und \(P(X \le k-1)\) zusammen? - Achte genau auf den Unterschied zwischen „kleiner als“ und „höchstens“, wenn du die Grenzen bestimmst.

1. Hypothesenformulierung: Die Patientenvereinigung möchte eine höhere Quote nachweisen, daher ist die Alternativhypothese \(H_1: p > 0{,}08\). Die Nullhypothese lautet \(H_0: p \le 0{,}08\). 2. Testmodell: Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl der Personen mit Müdigkeit) ist binomialverteilt mit \(n = 600\) und \(p = 0{,}08\). Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. 3. Kritischer Wert: Gesucht ist das kleinste \(k\), sodass \(P(X \ge k) \le 0{,}01\). Dies ist gleichbedeutend mit \(P(X \le k-1) \ge 0{,}99\). Durch Berechnung oder Tabellen ergibt sich: \(P(X \le 63) \approx 0{,}9878\) und \(P(X \le 64) \approx 0{,}9916\). Somit ist \(k-1 = 64\), woraus \(k = 65\) folgt. 4. Ablehnungsbereich: Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese ist \(A = \{65, 66, \dots, 600\}\). 5. Bewertung: Da der beobachtete Wert \(66\) im Ablehnungsbereich \(A\) liegt (\(66 \ge 65\)), wird die Nullhypothese auf dem \(1\,\%\)-Niveau abgelehnt. Die Quote der Nebenwirkung ist signifikant höher als vom Unternehmen behauptet. 6. Die Ablehnung ist statistische Evidenz gegen die Behauptung; sie ist kein logischer Beweis ihrer Falschheit.

a) \(H_0: p \le 0{,}08\); \(H_1: p > 0{,}08\) b) Ab \(65\) Personen gilt die Behauptung abgelehnt. c) Da \(66 \ge 65\), wird die Behauptung des Unternehmens auf dem \(1\,\%\)-Niveau abgelehnt.

- Welche Werte der Zufallsgröße sprechen gegen die Behauptung des Herstellers? - Beachte, dass die Binomialverteilung eine diskrete Verteilung ist und man das vorgegebene \(\alpha\) meist nicht exakt trifft. - Was bedeutet ein kleineres Signifikanzniveau für die "Strenge" des Tests?

1. Hypothesen: Da eine geringere Zufriedenheit vermutet wird, liegt ein linksseitiger Test vor. \(H_0: p \geq 0{,}8\) und \(H_1: p < 0{,}8\). 2. Ablehnungsbereich bestimmen: Gesucht ist das größte \(k\), für das unter \(p = 0{,}8\) gilt: \(P(X \leq k) \leq 0{,}05\). 3. Werte der Binomialverteilung für \(n = 80\) und \(p = 0{,}8\): \(P(X \leq 57) \approx 0{,}0388\) und \(P(X \leq 58) \approx 0{,}0660\). Damit ist \(k = 57\). Der Ablehnungsbereich ist \(V = \{0, 1, \dots, 57\}\). 4. Tatsächliches Signifikanzniveau am Randwert \(p=0{,}8\): Die Wahrscheinlichkeit, im Ablehnungsbereich zu landen, wenn \(p = 0{,}8\) gilt, ist \(P(X \leq 57) \approx 0{,}0388\). Das tatsächliche Signifikanzniveau beträgt also circa \(3{,}88\,\%\). 5. Veränderung bei \(\alpha = 0{,}01\): Wenn das Signifikanzniveau gesenkt wird, muss die Beweislast gegen die Nullhypothese stärker sein. Der Ablehnungsbereich wird kleiner, da man seltener bereit ist, die Nullhypothese irrtümlich abzulehnen. Die kritische Zahl \(k\) würde sinken.

a) Ablehnungsbereich \(V = \{0, 1, \dots, 57\}\) b) Am Randwert \(p=0{,}8\) beträgt das tatsächliche Signifikanzniveau beträgt \(P(X \leq 57) \approx 3{,}88\,\%\). c) Der Ablehnungsbereich würde kleiner werden, da die Anforderungen für eine Ablehnung der Nullhypothese steigen (die kritische Zahl \(k\) sinkt).

- Achte bei Teil 1 darauf, ob nach „genau“, „höchstens“ oder „mindestens“ gefragt ist. - Bei einem rechtsseitigen Test suchst du die Werte im oberen Ende der Verteilung. Wie hängen \(P(X \geq k)\) und \(P(X \leq k-1)\) zusammen? - Vergleiche das Beobachtungsergebnis direkt mit deinem berechneten Ablehnungsbereich. - Was bedeutet „Fehler 1. Art“? Werden hier Hypothesen fälschlicherweise abgelehnt oder fälschlicherweise beibehalten?

1. Berechnung mit der Formel von Bernoulli für \(n = 400\), \(p = 0{,}01\) und \(k = 4\): \(P(X = 4) = \binom{400}{4} \cdot 0{,}01^4 \cdot 0{,}99^{396} \approx 0{,}1964\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(19{,}6\,\%\). 2. Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P(X \geq k) \leq 0{,}05\) gilt, was äquivalent zu \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}95\) ist. Werte der Binomialverteilung für \(n=400, p=0{,}01\): \(P(X \leq 7) \approx 0{,}9498\) und \(P(X \leq 8) \approx 0{,}9792\). Da \(0{,}9498 < 0{,}95\), ist \(k-1 = 8\), also \(k = 9\). Der Ablehnungsbereich ist \(\mathcal{A} = \{9; 10; \dots; 400\}\). Die Entscheidungsregel lautet: Lehne \(H_0\) ab, wenn mehr als \(8\) Abstürze auftreten. 3. Da \(8\) Abstürze nicht im Ablehnungsbereich liegen, wird \(H_0\) nicht abgelehnt. Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art für die festgelegte Regel ist am Randwert \(p=0{,}01\): \(P(X\ge9)\approx0{,}02077\), also etwa \(2{,}08\,\%\). Diese Verfahrenswahrscheinlichkeit ist nicht null, nur weil in dieser konkreten Stichprobe nicht abgelehnt wurde.

1. \(P(X = 4) \approx 19{,}6\,\%\). 2. Ablehnungsbereich \(\mathcal{A} = \{9; 10; \dots; 400\}\). 3. Die Behauptung wird nicht verworfen, da \(8 < 9\). Die tatsächliche Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit der Testregel beträgt am Randwert etwa \(2{,}08\,\%\); die konkrete Nichtablehnung ist davon zu unterscheiden.

- Achte darauf, in welche Richtung die Abweichung vermutet wird, um die Seite des Tests festzulegen. - Bei einem Signifikanzniveau von \(1\,\%\) darf die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis im Ablehnungsbereich höchstens \(0{,}01\) betragen. - Denk daran, dass bei einem rechtsseitigen Test der Ablehnungsbereich „oben“ liegt. - Wie hängen der berechnete kritische Wert und die tatsächliche Beobachtung zusammen?

1. Hypothesenfestlegung: Die Nullhypothese beschreibt den Zustand ohne Verbesserung, also \(H_0: p \leq 0{,}15\). Die Alternativhypothese (Vermutung der Steigerung) ist \(H_1: p > 0{,}15\). 2. Berechnung des kritischen Wertes: Bei einem rechtsseitigen Test liegt der Ablehnungsbereich bei hohen Werten. Gesucht ist das kleinste \(k\), sodass \(P(X \geq k) \leq 0{,}01\) unter der Annahme \(p = 0{,}15\). Dies entspricht \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}99\). Bei \(n = 500\) und \(p = 0{,}15\) liefert die Binomialverteilung für \(k-1 = 93\) den Wert \(P(X \leq 93) \approx 0{,}9881\) und für \(k-1 = 94\) den Wert \(P(X \leq 94) \approx 0{,}9913\). Somit ist \(k-1 = 94\), woraus \(k = 95\) folgt. 3. Bestimmung der Mindestanzahl: Ab mindestens \(95\) Pendlern ist die Steigerung signifikant. Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{95; 96; \dots; 500\}\). 4. Entscheidung: Da der beobachtete Wert \(92\) nicht im Ablehnungsbereich \(K\) liegt (\(92 < 95\)), reicht das Ergebnis nicht aus, um die Vermutung auf einem Signifikanzniveau von \(1\,\%\) statistisch zu stützen. Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt.

a) \(H_0: p \leq 0{,}15\); \(H_1: p > 0{,}15\) b) Es müssten mindestens \(95\) Pendler die öffentlichen Verkehrsmittel nutzen. c) Nein, das Ergebnis reicht nicht aus, da \(92 < 95\) ist und somit nicht im Ablehnungsbereich liegt.

- Wie verändert sich die Lage der Binomialverteilung, wenn der Parameter \(p\) kleiner wird? - Was bedeutet es grafisch für die Ablehnungsbereiche, wenn die Glockenkurve nach links wandert? - Nutze die Normalverteilung als Näherung, um den Wert von \(p\) zu finden, bei dem die kritische Grenze einen bestimmten Wert unterschreitet. - Denk an die Stetigkeitskorrektur (\(\pm 0{,}5\)), wenn du von der diskreten zur stetigen Verteilung übergehst.

1. Ablehnungsbereich für Julia: \(H_0: p = 0{,}25\), rechtsseitiger Test mit \(n=200, \alpha=0{,}05\). Unter \(H_0\) ist \(\mu = 50\) und \(\sigma \approx 6{,}12\). Gesucht ist \(k_J\) mit \(P(X \ge k_J) \le 0{,}05\). Mit der Binomialverteilung gilt \(P(X \le 60) \approx 0{,}9546\), also ist \(k_J = 61\). Ablehnungsbereich \(K_J = \{61, \dots, 200\}\). 2. Ablehnungsbereich für Marc (\(p_M = 0{,}40\)): linksseitiger Test mit \(n=200, \alpha=0{,}05\). Unter \(H_0\) ist \(\mu = 80\) und \(\sigma \approx 6{,}93\). Gesucht ist \(k_M\) mit \(P(X \le k_M) \le 0{,}05\). Es gilt \(P(X \le 68) \approx 0{,}0475\), also \(k_M = 68\). Ablehnungsbereich \(K_M = \{0, \dots, 68\}\). Der Überlappungsbereich ist \(K_J \cap K_M = \{61, \dots, 68\}\). 3. Änderung bei kleinerem \(p_M\): Wenn \(p_M\) sinkt, verschiebt sich die Verteilung von Marcs Nullhypothese nach links. Damit wandert auch die kritische Grenze \(k_M\) nach links, wodurch der Überlappungsbereich kleiner wird. 4. Bedingung für einen leeren Überlappungsbereich: Es muss \(k_M < 61\) gelten, also \(k_M \le 60\). Der Grenzfall ist \(P(X \le 61 \mid p_M) = 0{,}05\), denn für \(P(X \le 61 \mid p_M) > 0{,}05\) gehört \(61\) nicht mehr zu Marcs Ablehnungsbereich. Mit der Normalverteilung und Stetigkeitskorrektur gilt näherungsweise \(\Phi\left(\frac{61{,}5 - 200 \cdot p_M}{\sqrt{200 \cdot p_M \cdot (1-p_M)}}\right) = 0{,}05\). Mit \(z = -1{,}645\) führt dies auf \(p_M \approx 0{,}363\). Für \(p_M < 0{,}363\) gibt es näherungsweise keine gemeinsame Ablehnung mehr.

a) \(K_J = \{61, 62, \dots, 200\}\). b) Marcs Ablehnungsbereich: \(K_M = \{0, 1, \dots, 68\}\). Gemeinsamer Bereich: \(\{61, 62, \dots, 68\}\). c) Wenn \(p_M\) sinkt, verkleinert sich der Überlappungsbereich. Unterhalb von etwa \(p_M \approx 0{,}363\) (also etwa \(36{,}3\,\%\)) gibt es näherungsweise keine gemeinsame Ablehnung mehr.