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- Prüfe zuerst für jede Situation, ob \(H_0\) in Wahrheit gilt. - Vergleiche danach den wahren Zustand mit der Testentscheidung. - Welcher Fehlertyp gehört zur fälschlichen Ablehnung einer wahren Nullhypothese?

1. In a) ist \(H_0\) wahr, wird aber verworfen. Das ist ein Fehler 1. Art. 2. In b) ist \(H_0\) falsch, wird aber nicht verworfen. Das ist ein Fehler 2. Art.

a) Fehler 1. Art. b) Fehler 2. Art.

- Welche Testentscheidung gehört zum Ereignis \(X\in K\)? - Ist \(H_0\) am Randwert \(p_0\) wahr oder falsch? - Welche falsche Entscheidung wird beim konkreten Alternativwert \(p_1\) durch \(X\notin K\) getroffen?

1. Bei \(p_0\) gilt die Nullhypothese. Das Ereignis \(X\in K\) führt zur Ablehnung von \(H_0\). Damit beschreibt A die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art: \(\alpha=P_{p_0}(X\in K)\). 2. Beim konkreten Alternativwert \(p_1\) ist \(H_0\) falsch. Das Ereignis \(X\notin K\) führt dazu, \(H_0\) nicht abzulehnen. Damit beschreibt B die Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art: \(\beta=P_{p_1}(X\notin K)\).

A beschreibt \(\alpha\). B beschreibt \(\beta\).

- Notiere zuerst Ablehnungs- und Nichtablehnungsbereich der vorgegebenen Regel. - Für Fehler 2. Art wird der konkrete Alternativwert \(p_1=0{,}90\) verwendet. - Für die maximale Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art ist der Randwert \(p_0=0{,}75\) entscheidend.

1. Es gilt \(H_0:p\leq0{,}75\) gegen \(H_1:p>0{,}75\). Der Ablehnungsbereich ist \(K=\{22,23,24,25\}\); bei \(X\leq21\) wird \(H_0\) nicht verworfen. 2. Bei \(p_1=0{,}90\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\leq21\). Daher ist \(\beta=P_{0{,}90}(X\leq21)=1-P_{0{,}90}(X\geq22)\approx0{,}2364\). 3. Für den Fehler 1. Art ist innerhalb von \(H_0\) der Randwert \(p_0=0{,}75\) maßgeblich. Daher ist \(\alpha=P_{0{,}75}(X\geq22)\approx0{,}0962\).

a) \(\beta\approx23{,}64\,\%\). b) \(\alpha\approx9{,}62\,\%\).

- Welche Werte führen zur Ablehnung der Nullhypothese? - Welche Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs ist am Randwert von \(H_0\) zu berechnen? - Welcher Bereich entspricht beim konkreten Alternativwert dem Fehler 2. Art?

1. Der Ablehnungsbereich ist \(K=\{0;1;\dots;42\}\). Daher ist \(\alpha=P_{0{,}9}(X\le42)\approx0{,}1221\). 2. Der Nichtablehnungsbereich ist \(X\ge43\). Für \(p_1=0{,}8\) ist \(\beta=P_{0{,}8}(X\ge43)\approx0{,}1904\).

a) \(\alpha\approx12{,}21\,\%\) b) \(\beta\approx19{,}04\,\%\)

- Notiere zuerst Ablehnungs- und Nichtablehnungsbereich. - Für welchen Randwert in \(H_0\) ist die rechtsseitige Ablehnungswahrscheinlichkeit maximal? - Welcher Bereich führt beim konkreten Alternativwert zum Fehler 2. Art?

1. Der Ablehnungsbereich ist \(K=\{50;51;\dots;100\}\), der Nichtablehnungsbereich \(\{0;1;\dots;49\}\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}4\) ist \(\alpha=P(X\ge50)\approx0{,}0271=2{,}71\,\%\). 3. Für \(p_1=0{,}55\) ist \(\beta=P(X\le49)\approx0{,}1346=13{,}46\,\%\).

Fehler 1. Art: \(\alpha\approx2{,}71\,\%\) Fehler 2. Art: \(\beta\approx13{,}46\,\%\)

- Welche Defektzahlen führen zur Ablehnung von \(H_0\)? - Welcher Parameterwert ist für Fehler 1. Art maßgeblich? - Welche Defektzahlen führen beim konkreten Alternativwert zu Fehler 2. Art?

1. Der Ablehnungsbereich ist \(K=\{7;8;\dots;80\}\). Am Randwert gilt \(\alpha=P_{0{,}04}(X\ge7)\approx0{,}0412\). 2. Der Nichtablehnungsbereich ist \(X\le6\). Für \(p_1=0{,}10\) gilt \(\beta=P_{0{,}10}(X\le6)\approx0{,}3005\).

a) \(\alpha\approx4{,}12\,\%\) b) \(\beta\approx30{,}05\,\%\)

- Die Herstellerangabe gehört in die Nullhypothese. - Formuliere den Fehler 1. Art als falschen Schluss nach Ablehnung von \(H_0\). - Formuliere den Fehler 2. Art als nicht erkannte Überschreitung der Quote. - Trenne wirtschaftliche Folgen von Folgen für die Produktsicherheit und Nutzung.

1. Es gilt \(H_0:p\leq0{,}01\) und \(H_1:p>0{,}01\). 2. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn auf eine Fehlalarmquote über \(1\,\%\) geschlossen wird, obwohl die Quote höchstens \(1\,\%\) beträgt. 3. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn \(H_0\) nicht verworfen wird, obwohl die Fehlalarmquote tatsächlich über \(1\,\%\) liegt. 4. Ein Fehler 1. Art kann zu ungerechtfertigter Rufschädigung, zusätzlichen Prüfungen oder Rückrufen führen. Ein Fehler 2. Art kann Verbraucher mit unzuverlässigen Geräten belasten und dazu führen, dass Warnungen weniger ernst genommen werden.

a) \(H_0:p\leq0{,}01\); \(H_1:p>0{,}01\). b) Fehler 1. Art: Eine zulässige Fehlalarmquote wird fälschlicherweise beanstandet. Fehler 2. Art: Eine tatsächlich zu hohe Fehlalarmquote wird nicht erkannt. c) Mögliche Folgen sind ungerechtfertigte Kosten und Rufschäden für den Hersteller beziehungsweise unzuverlässige Warnungen für Verbraucher.

- Welche Ergebnisse gehören zum Ablehnungsbereich? - Welcher Parameterwert gehört zur Berechnung von Fehler 1. Art? - Welcher Bereich führt beim konkreten Alternativwert zu Fehler 2. Art?

1. Der Ablehnungsbereich ist \(K=\{5;6;\dots;100\}\). Am Randwert ist \(\alpha=P_{0{,}02}(X\ge5)\approx0{,}0508\). 2. Für \(p_1=0{,}10\) liegt der Fehler 2. Art bei \(X\le4\). Daher ist \(\beta=P_{0{,}10}(X\le4)\approx0{,}0237\).

\(\alpha\approx5{,}08\,\%\) \(\beta\approx2{,}37\,\%\)

- Ein Fehler 1. Art bedeutet, dass eine wahre Nullhypothese verworfen wird. - Verwende für die maximale Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit den Randwert \(p=0{,}90\). - Ablehnung einer Hypothese bedeutet statistische Evidenz gegen sie, nicht einen logischen Beweis ihrer Falschheit.

1. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn die Herstellerangabe verworfen wird, obwohl mindestens \(90\,\%\) der Akkus die Kapazitätsanforderung erfüllen. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn die Angabe nicht verworfen wird, obwohl der tatsächliche Anteil unter \(90\,\%\) liegt. 2. Die Zufallsgröße \(X\) zählt die Akkus, die die Kapazitätsanforderung erfüllen. Der Ablehnungsbereich ist \(K=\{0,1,\dots,84\}\). Innerhalb von \(H_0\) ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit am Randwert \(p=0{,}90\) am größten. 3. Daher ist \(\alpha=P_{0{,}90}(X\leq84)\approx0{,}0399\). Ein Ergebnis im Ablehnungsbereich liefert statistische Evidenz gegen die Herstellerangabe, widerlegt sie aber nicht logisch mit Sicherheit.

a) Fehler 1. Art: Die Angabe wird verworfen, obwohl sie gilt. Fehler 2. Art: Die Angabe wird nicht verworfen, obwohl tatsächlich weniger als \(90\,\%\) die Anforderung erfüllen. b) \(\alpha\approx3{,}99\,\%\).

- Welche Werte gehören nicht zum Ablehnungsbereich \(K\)? - Bei Fehler 2. Art gilt der konkrete Alternativwert, aber \(H_0\) wird nicht abgelehnt. - Formuliere dieses Ereignis zuerst als Ungleichung für \(X\).

1. Fehler 2. Art tritt beim konkreten Alternativwert ein, wenn \(H_0\) nicht abgelehnt wird. 2. Der Nichtablehnungsbereich ist \(\{0;1;\dots;5\}\). 3. Daher gilt \(\beta=P_{0{,}40}(X\le5)\approx0{,}4032\).

\(\beta=P_{0{,}40}(X\le5)\approx0{,}4032\).

- Welche zwei möglichen Testentscheidungen gibt es bei festem \(p_1\)? - \(\beta\) beschreibt beim konkreten Alternativwert die Wahrscheinlichkeit der falschen Entscheidung. - Nutze die Gegenwahrscheinlichkeit.

1. Bei \(p_1\) ist \(H_0\) falsch. Die Ereignisse „\(H_0\) nicht ablehnen“ und „\(H_0\) ablehnen“ sind Gegenereignisse. 2. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit der korrekten Ablehnung \(1-\beta=1-0{,}18=0{,}82\). 3. Beim konkreten Alternativwert \(p_1=0{,}55\) erkennt die Testregel die Abweichung also mit Wahrscheinlichkeit \(82\,\%\).

\(1-\beta=0{,}82=82\,\%\). Bei \(p_1=0{,}55\) verwirft der Test die falsche Nullhypothese mit Wahrscheinlichkeit \(82\,\%\).

- Notiere vor dem Öffnen der Software, welche Verteilung zur wahren Nullhypothese gehört. - Für Fehler 2. Art brauchst du nicht \(K\), sondern den Bereich, in dem \(H_0\) nicht abgelehnt wird. - Kontrolliere, dass jede Markierung genau zu der falschen Testentscheidung des betreffenden Fehlertyps gehört.

1. Für Fehler 1. Art wird die Verteilung \(B(40;0{,}25)\) verwendet. Markiert wird der Ablehnungsbereich \(16\) bis \(40\). 2. Für Fehler 2. Art wird die Verteilung \(B(40;0{,}40)\) verwendet. Markiert wird der Nichtablehnungsbereich \(0\) bis \(15\). 3. Die Software liefert \(\alpha=P_{0{,}25}(X\ge16)\approx0{,}02624\approx2{,}62\,\%\) und \(\beta=P_{0{,}40}(X\le15)\approx0{,}44022\approx44{,}02\,\%\). 4. \(\alpha\) betrachtet eine falsche Ablehnung am Randwert von \(H_0\); \(\beta\) eine falsche Nichtablehnung beim konkreten Alternativwert. Daher unterscheiden sich sowohl \(p\) als auch der markierte Entscheidungsbereich.

a) Für \(\alpha\): \(B(40;0{,}25)\), markiert \(16\) bis \(40\). Für \(\beta\): \(B(40;0{,}40)\), markiert \(0\) bis \(15\). b) \(\alpha\approx2{,}62\,\%\); \(\beta\approx44{,}02\,\%\). c) \(\alpha\) wird bei wahrer Nullhypothese im Ablehnungsbereich bestimmt, \(\beta\) beim konkreten Alternativwert im Nichtablehnungsbereich.

- Lies zuerst die ausdrücklich dargestellten Parameterwerte und Bereichsgrenzen ab. - Welche Zählwerte sprechen bei \(H_1:p<0{,}70\) gegen \(H_0\)? - Ordne erst danach jedem markierten Bereich den wahren Parameterzustand und die Testentscheidung zu.

1. A gehört zur Verteilung \(B(12;0{,}70)\) und umfasst die Zählwerte \(0\) bis \(5\). B gehört zu \(B(12;0{,}50)\) und umfasst die Zählwerte \(6\) bis \(12\). 2. Wegen \(H_1:p<0{,}70\) sprechen kleine Werte gegen \(H_0\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;5\}\), also der Bereich A. 3. A liegt am Randwert \(p_0=0{,}70\) im Ablehnungsbereich und beschreibt \(\alpha=P_{0{,}70}(X\le5)\). 4. B liegt beim konkreten Alternativwert \(p_1=0{,}50\) im Nichtablehnungsbereich und beschreibt \(\beta=P_{0{,}50}(X\ge6)\).

a) A: \(p=0{,}70\), Zählwerte \(0\) bis \(5\). B: \(p=0{,}50\), Zählwerte \(6\) bis \(12\). b) \(K=\{0;1;\dots;5\}\). c) A beschreibt \(\alpha\); B beschreibt \(\beta\).

- Lies die beiden Funktionswerte direkt am Graphen ab; weitere Testparameter sind nicht gegeben. - Welcher der beiden Parameterwerte ist der Randwert der Nullhypothese? - Beim konkreten Alternativwert ist \(G(p_1)\) die Wahrscheinlichkeit einer richtigen Ablehnung; wie erhältst du daraus \(\beta\)?

1. Aus dem Graphen liest man näherungsweise \(G(0{,}40)\approx0{,}05\) und \(G(0{,}60)\approx0{,}38\) ab. 2. Am Randwert der Nullhypothese ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art. Daher gilt näherungsweise \(\alpha\approx0{,}05\). 3. Beim konkreten Alternativwert ist \(G(0{,}60)\) die Wahrscheinlichkeit einer richtigen Ablehnung. Daher ist \(\beta=1-G(0{,}60)\approx1-0{,}38=0{,}62\).

a) \(G(0{,}40)\approx0{,}05\), \(G(0{,}60)\approx0{,}38\). b) \(\alpha\approx0{,}05\); \(\beta\approx0{,}62\).

- Berechne die ursprünglichen Werte \(\mu_0\) und \(\sigma_0\). - Welche ganzzahligen Werte erfüllen die Bedingung „mehr als eine Standardabweichung unter dem Erwartungswert“? - Welche Binomialverteilung gilt für die abschließende Wahrscheinlichkeit unter der neuen Quote?

1. Für den ursprünglichen Zustand ist \(\mu_0=120\cdot0{,}15=18\) und \(\sigma_0=\sqrt{120\cdot0{,}15\cdot0{,}85}\approx3{,}9115\). 2. Erfolg bedeutet \(X<\mu_0-\sigma_0=14{,}0885\). Da \(X\) ganzzahlig ist, gilt Erfolg bei \(X\le14\). 3. Unter dem tatsächlichen neuen Modell gilt \(X\sim B(120;0{,}08)\). „Nicht erfolgreich“ bedeutet daher \(X>14\). 4. Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X>14)=1-P(X\le14)\approx0{,}056350\).

\(5{,}64\,\%\)

- Welche Bedingungen braucht ein Binomialmodell für die Entscheidungen der Testpersonen? - Welche Aussage soll durch den Test statistisch gestützt werden? - Unter welchem Randwert aus \(H_0\) ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit maximal?

1. Ein Binomialmodell ist angemessen, wenn die Entscheidungen als unabhängig mit derselben Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) modelliert werden können. 2. Es gilt \(H_0:p\le0{,}30\) gegen \(H_1:p>0{,}30\); der Test ist rechtsseitig. 3. Die vorgegebene Regel entspricht \(K=\{32;33;\dots;80\}\). Am Randwert \(p_0=0{,}30\) gilt \(\alpha=P_{0{,}30}(X\ge32)\approx0{,}0360\). 4. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn der Test einen Anteil über \(30\,\%\) statistisch stützt, obwohl tatsächlich \(p\le0{,}30\) gilt.

a) Unabhängige Entscheidungen mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit. b) \(H_0:p\le0{,}30\); \(H_1:p>0{,}30\); rechtsseitig. c) \(\alpha\approx3{,}60\,\%\); eine tatsächlich wahre Nullhypothese wird fälschlich abgelehnt.

- Der Fehler 1. Art wird immer unter der Annahme berechnet, dass die Nullhypothese \(H_0\) stimmt. - Der Fehler 2. Art wird unter einer spezifischen Annahme über die tatsächliche Wahrscheinlichkeit berechnet. - Was passiert mit der Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu erhalten, wenn der Würfel „gegen“ die Sechs manipuliert ist? - Wenn das Signifikanzniveau strenger (kleiner) wird, muss der Ablehnungsbereich kleiner oder größer werden?

1. Der Fehler 1. Art ist \(\alpha=P_{p=1/6}(X\leq16)\approx0{,}0264\approx2{,}64\,\%\). 2. Für \(p=0{,}1\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X>16\) gilt. Daher ist \(\beta=P_{p=0{,}1}(X>16)=1-P_{p=0{,}1}(X\leq16)\approx1-0{,}6694=0{,}3306\). In etwa \(33{,}06\,\%\) der Fälle wird die verringerte Wahrscheinlichkeit für eine Sechs nicht erkannt. 3. Für \(\alpha\leq0{,}01\) wird der größte Wert \(k\) gesucht, für den \(P_{1/6}(X\leq k)\leq0{,}01\) gilt. Es ist \(P(X\leq14)\approx0{,}0075\), aber \(P(X\leq15)\approx0{,}0145\). Daher lautet der neue Ablehnungsbereich \(K_{\text{neu}}=\{0;1;\dots;14\}\).

a) \(\alpha\approx2{,}64\,\%\). b) \(\beta\approx33{,}06\,\%\). Die verringerte Wahrscheinlichkeit für eine Sechs wird nicht erkannt. c) \(K=\{0;1;\dots;14\}\).

- Überlege dir zuerst, welche Werte der Testgröße für die Behauptung des Sommeliers sprechen würden. - Für den Ablehnungsbereich musst du die kumulierte Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung nutzen. - Was passiert, wenn man eine falsche Entscheidung trifft? Unterscheide zwischen den beiden möglichen Fehlentscheidungen. - Der Fehler 2. Art wird immer unter einer konkreten Annahme für die Gegenhypothese berechnet.

1. Da der Sommelier behauptet, besser als durch bloßes Raten (\(p = 0{,}5\)) abzuschneiden, liegt die Gegenhypothese \(H_1: p > 0{,}5\) im Bereich größerer Werte. Daher handelt es sich um einen rechtsseitigen Test. 2. Gesucht ist der kleinste Wert \(k\), für den \(P(X \ge k) \le 0{,}05\) unter der Annahme \(p = 0{,}5\) gilt. Dies entspricht \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\). Aus der Binomialverteilung für \(n = 20\) und \(p = 0{,}5\) ergibt sich: \(P(X \le 13) \approx 0{,}9423\) und \(P(X \le 14) \approx 0{,}9793\). Somit ist \(k-1 = 14\), also \(k = 15\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{15, 16, \dots, 20\}\). 3. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ist das tatsächliche Signifikanzniveau: \(P(X \ge 15) = 1 - P(X \le 14) \approx 1 - 0{,}9793 = 0{,}0207\). 4. Ein Fehler 2. Art bedeutet hier, dass man die Nullhypothese fälschlicherweise nicht verwirft. Im Sachkontext: Die Fähigkeit des Sommeliers wird nicht statistisch nachgewiesen, obwohl seine Trefferwahrscheinlichkeit tatsächlich über \(0{,}5\) liegt. 5. Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn das Ergebnis nicht im Ablehnungsbereich liegt, also \(X \le 14\). Für \(p = 0{,}8\) ergibt sich: \(P_{20; 0{,}8}(X \le 14) \approx 0{,}1958\).

a) Rechtsseitig, da \(H_1: p > 0{,}5\). b) \(K = \{15, 16, \dots, 20\}\). c) \(\alpha_{\text{tatsächlich}} \approx 2{,}07\,\%\). d) Die Fähigkeit des Sommeliers wird fälschlicherweise nicht statistisch nachgewiesen. e) \(\beta \approx 19{,}58\,\%\).

- Beschreibe zuerst die Testentscheidung bei einem Fehler 1. Art und bei einem Fehler 2. Art. - Für \(\alpha\) wird am Randwert \(p_0=0{,}04\) gerechnet. - Für \(\beta\) gilt hier konkret \(p=0{,}12\), und relevant ist der Nichtablehnungsbereich. - Trenne bei der Bewertung die mathematischen Wahrscheinlichkeiten von der Gewichtung der praktischen Folgen.

1. Fehler 1. Art: Die Charge wird abgelehnt (mehr als 7 mangelhafte Tabletten in der Stichprobe), obwohl die tatsächliche Fehlerquote höchstens \(4\,\%\) beträgt (\(H_0\) ist wahr). 2. Fehler 2. Art: Die Charge wird nach der vereinbarten Prüfregel freigegeben (höchstens \(7\) mangelhafte Tabletten), obwohl die tatsächliche Fehlerquote über \(4\,\%\) liegt; \(H_0\) wird also fälschlicherweise nicht verworfen. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (\(\alpha\)): Unter der Annahme \(p = 0{,}04\) ist die Anzahl der mangelhaften Tabletten \(X\) binomialverteilt mit \(B_{100; 0{,}04}\). Gesucht ist \(P(X > 7) = 1 - P(X \le 7)\). Mit \(P(X \le 7) \approx 0{,}9525\) ergibt sich \(\alpha \approx 1 - 0{,}9525 = 0{,}0475\), also ca. \(4{,}75\,\%\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art (\(\beta\)): Unter der Annahme \(p = 0{,}12\) ist \(X\) binomialverteilt mit \(B_{100; 0{,}12}\). Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Charge fälschlicherweise angenommen wird: \(P(X \le 7)\). Mit der Binomialverteilung ergibt sich \(\beta \approx 0{,}0761\), also ca. \(7{,}61\,\%\). 5. In Teil d ist keine eindeutige Rangfolge vorgegeben. Eine Bewertung muss die genannten wirtschaftlichen Folgen gegeneinander abwägen. Entscheidend ist eine schlüssige Begründung, nicht eine bestimmte Wahl.

a) Fehler 1. Art: Die Charge wird nach der Prüfregel abgelehnt, obwohl \(p\leq0{,}04\) gilt. Fehler 2. Art: Die Charge wird nach der Prüfregel freigegeben, obwohl \(p>0{,}04\) gilt. b) \(\alpha=P_{100;0{,}04}(X\geq8)\approx0{,}0475\). c) \(\beta=P_{100;0{,}12}(X\leq7)\approx0{,}0761\). d) Die Bewertung ist argumentabhängig; beide Fehler können mit den genannten Folgen begründet als schwerwiegender eingestuft werden.

- Achte darauf, ob es sich um einen linksseitigen oder rechtsseitigen Test handelt, um den Ablehnungsbereich korrekt zu identifizieren. - Der Fehler 1. Art bezieht sich auf das irrtümliche Ablehnen der Herstellerangabe. - Der Fehler 2. Art tritt auf, wenn ein schlechteres Produkt (hier \(p=0{,}90\)) den Test fälschlicherweise besteht. - Was passiert, wenn ein Alarmsystem nicht zuverlässig ist, man es aber für sicher hält?

1. Definition des Ablehnungsbereichs: Die Nullhypothese \(H_0: p \ge 0{,}95\) wird abgelehnt, wenn die Anzahl der funktionierenden Sensoren \(X\) im Bereich \(\{0, 1, \dots, 184\}\) liegt. 2. Fehler 1. Art (\(\alpha\)): Die Wahrscheinlichkeit, dass \(X \le 184\) unter der Annahme \(p = 0{,}95\). Mit \(n = 200\) und \(p = 0{,}95\) ergibt sich \(P(X \le 184) \approx 0{,}0444\). Das Signifikanzniveau beträgt somit ca. \(4{,}44\,\%\). 3. Fehler 2. Art (\(\beta\)): Die Wahrscheinlichkeit, dass \(X > 184\) unter der Annahme \(p = 0{,}90\). Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Behauptung des Herstellers nicht verworfen wird, obwohl sie falsch ist. Mit \(n = 200\) und \(p = 0{,}90\) ergibt sich \(P(X \ge 185) = 1 - P(X \le 184) \approx 1 - 0{,}8569 = 0{,}1431\), also ca. \(14{,}31\,\%\). 4. Diskussion: Ein Fehler 1. Art schadet dem Ruf des Herstellers zu Unrecht und führt zu unnötigen Nachbesserungen (wirtschaftlicher Schaden). Ein Fehler 2. Art gefährdet die Endnutzer, da ein unsicheres System als sicher eingestuft wird (Sicherheitsrisiko). Im Kontext von Sicherheitssensoren ist der Fehler 2. Art kritischer zu bewerten.

a) \(\alpha = P_{200; 0{,}95}(X \le 184) \approx 0{,}0444\). b) \(\beta = P_{200; 0{,}90}(X \ge 185) \approx 0{,}1431\). c) Der Fehler 1. Art belastet den Hersteller wirtschaftlich; der Fehler 2. Art stellt ein hohes Sicherheitsrisiko für die Nutzer dar.

- Welche Seite der Verteilung entspricht der Gegenhypothese? - Welche Wahrscheinlichkeit gehört zum Ablehnungsbereich, wenn \(H_0\) gilt? - Welche Wahrscheinlichkeit gehört zum Nichtablehnungsbereich beim festen Alternativwert?

1. Wegen \(H_1:p<0{,}15\) ist der Test linksseitig. 2. Am Randwert \(p_0=0{,}15\) gilt für \(K_1\): \(\alpha_1=P(X\le8)\approx0{,}0275\); für \(K_2\): \(\alpha_2=P(X\le11)\approx0{,}1635\). 3. Für \(p_1=0{,}08\) gilt \(\beta_1=P(X>8)\approx0{,}4073\) und \(\beta_2=P(X>11)\approx0{,}1028\). 4. Ein größerer linksseitiger Ablehnungsbereich erhöht hier \(\alpha\) und senkt für den festen Alternativwert \(\beta\).

a) Linksseitig. b) \(\alpha_1\approx0{,}0275\); \(\alpha_2\approx0{,}1635\) c) \(\beta_1\approx0{,}4073\); \(\beta_2\approx0{,}1028\) d) Größerer Ablehnungsbereich: \(\alpha\) steigt, \(\beta\) sinkt.

- Welcher Bereich wird bei jedem kritischen Wert abgelehnt? - Welche der beiden Fehlerwahrscheinlichkeiten wird am Randwert der Nullhypothese berechnet? - Vergleiche erst nach beiden Rechnungen mit der Vorgabe von \(5\,\%\).

1. Am Randwert \(p_0=0{,}4\) gilt für \(g=38\): \(\alpha_1=P(X\ge38)\approx0{,}1053\); für \(g=42\): \(\alpha_2=P(X\ge42)\approx0{,}0158\). 2. Für \(p_1=0{,}55\) gilt \(\beta_1=P(X\le37)\approx0{,}0724\) und \(\beta_2=P(X\le41)\approx0{,}2864\). 3. Nur \(g=42\) erfüllt \(\alpha\le0{,}05\).

a) \(g=38:\ \alpha\approx0{,}1053\); \(g=42:\ \alpha\approx0{,}0158\) b) \(g=38:\ \beta\approx0{,}0724\); \(g=42:\ \beta\approx0{,}2864\) c) \(g=42\)

- Welche Entscheidung wird bei \(X\in K\) getroffen? - Welcher Randwert aus \(H_0\) maximiert die Ablehnungswahrscheinlichkeit? - Welche Werte gehören beim festen Alternativwert zum Nichtablehnungsbereich?

1. Fehler 1. Art: Die Lieferung wird wegen einer vermeintlich zu hohen Kratzerquote beanstandet, obwohl tatsächlich \(p\le0{,}05\) gilt. 2. Am Randwert \(p_0=0{,}05\) ist \(\alpha=P(X\ge8)\approx0{,}0466\). 3. Für \(p_1=0{,}15\) liegt der Fehler 2. Art im Nichtablehnungsbereich \(X\le7\). Daher ist \(\beta=P_{0{,}15}(X\le7)\approx0{,}0727\).

a) Eine wahre Nullhypothese wird fälschlich abgelehnt. b) \(\alpha\approx0{,}0466\) c) \(\beta\approx0{,}0727\)

- Vergleiche für Fehler 2. Art den wahren Zustand mit der Entscheidung, \(H_0\) nicht abzulehnen. - Für Fehler 1. Art wird die Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereichs am Randwert der Nullhypothese betrachtet. - Für \(\beta\) ist der Nichtablehnungsbereich unter dem konkreten Alternativwert maßgeblich.

1. Fehler 2. Art bedeutet: \(H_0\) wird nicht abgelehnt, obwohl tatsächlich \(p>0{,}6\) gilt. 2. Am Randwert \(p_0=0{,}6\) ist \(\alpha=P(X\ge30)\approx0{,}0352=3{,}52\,\%\). 3. Für \(p_1=0{,}8\) ist der Nichtablehnungsbereich \(X\le29\). Daher ist \(\beta=P_{0{,}8}(X\le29)\approx0{,}1608=16{,}08\,\%\).

a) Eine tatsächlich über \(60\,\%\) liegende Heilungsrate wird nicht statistisch erkannt. b) \(3{,}52\,\%\) c) \(16{,}08\,\%\)

- Welche höhere Keimrate soll statistisch gestützt werden? - Welche Wahrscheinlichkeit gehört am Randwert \(p_0\) zum Ablehnungsbereich? - Welche Werte gehören für den konkreten Alternativwert zum Nichtablehnungsbereich?

1. \(X\) zählt die keimenden Samen. Es gilt \(H_0:p\le0{,}7\) gegen \(H_1:p>0{,}7\) und \(K=\{63;64;\dots;80\}\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}7\) ist \(\alpha=P(X\ge63)\approx0{,}0531\). 3. Fehler 2. Art: \(H_0\) wird nicht abgelehnt, obwohl die Keimrate tatsächlich höher ist. Für \(p_1=0{,}85\) ist \(\beta=P(X\le62)\approx0{,}0480\).

a) \(H_0:p\le0{,}7\); \(H_1:p>0{,}7\); \(K=\{63;\dots;80\}\) b) \(\alpha\approx5{,}31\,\%\) c) \(\beta\approx4{,}80\,\%\)

- Was ist der Unterschied zwischen der Nullhypothese und der Vermutung des Arztes? - Das Signifikanzniveau entspricht der maximalen Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art. - Stell dir vor, du bist ein Patient: Welcher Fehler wäre für dich schlimmer – ein Medikament zu nehmen, das schlechter ist als versprochen, oder ein gutes Medikament gar nicht erst zu bekommen? - Benutze für die Berechnung des Fehlers 2. Art die neue, tatsächliche Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}25\).

1. Es handelt sich um einen linksseitigen Test. Am Rand der Nullhypothese gilt \(p_0=0{,}4\), daher ist \(\alpha=P_{p=0{,}4}(X\leq32)\approx0{,}0615\), also etwa \(6{,}15\,\%\). 2. Beim Fehler 1. Art wird fälschlicherweise statistische Evidenz für eine Nebenwirkungsrate unter \(40\,\%\) erhalten, obwohl die wahre Rate mindestens \(40\,\%\) beträgt. Die Verträglichkeit würde damit zu günstig eingeschätzt; dies ist jedoch keine kausale Aussage über den Unterschied zur bisherigen Zusammensetzung. 3. Für \(p=0{,}25\) wird \(H_0\) nicht abgelehnt, wenn \(X>32\). Daher gilt \(\beta=P_{p=0{,}25}(X>32)=1-P_{p=0{,}25}(X\leq32)\approx1-0{,}9554=0{,}0446\), also etwa \(4{,}46\,\%\).

a) \(\alpha\approx6{,}15\,\%\). b) Eine tatsächlich mindestens \(40\,\%\) betragende Nebenwirkungsrate wird fälschlich als niedriger eingestuft. c) \(\beta\approx4{,}46\,\%\).

- Welche Ergebnisse gehören zum Ablehnungsbereich? - Für Fehler 1. Art wird dieser Bereich am Randwert der Nullhypothese betrachtet. - Für Fehler 2. Art wird beim konkreten Alternativwert der Nichtablehnungsbereich betrachtet.

1. Der Ablehnungsbereich ist \(K=\{40;41;\dots;150\}\). Am Randwert \(p_0=0{,}2\) ist \(\alpha=P(X\ge40)\approx0{,}0293=2{,}93\,\%\). 2. Fehler 2. Art: \(H_0\) wird nicht abgelehnt, obwohl die Hautrötungsrate tatsächlich über \(20\,\%\) liegt. Für \(p_1=0{,}30\) entspricht das \(X\le39\). 3. Daher ist \(\beta=P_{0{,}30}(X\le39)\approx0{,}1636=16{,}36\,\%\).

a) \(2{,}93\,\%\) b) Eine tatsächlich erhöhte Hautrötungsrate wird nicht erkannt; für \(p_1=0{,}30\) gilt \(\beta\approx16{,}36\,\%\).

- Welche Entscheidung wird getroffen, wenn jedes mögliche Ergebnis in \(K\) liegt? - Was muss für Fehler 1. Art beziehungsweise Fehler 2. Art jeweils wahr sein? - Prüfe als Gegenextrem auch \(K=\emptyset\).

1. Wenn \(K\) die gesamte Ergebnismenge umfasst, wird \(H_0\) bei jedem möglichen Ergebnis abgelehnt. Daher kann \(H_0\) bei wahrer Gegenhypothese nicht fälschlich nicht abgelehnt werden; \(\beta=0\). 2. Ist \(H_0\) wahr, wird sie dennoch bei jedem Ergebnis abgelehnt. Daher ist die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art \(\alpha=1\). 3. Der extreme Ablehnungsbereich beseitigt Fehler 2. Art nur um den Preis eines sicheren Fehlers 1. Art. Umgekehrt hätte \(K=\emptyset\) zwar \(\alpha=0\), aber \(\beta=1\). Ein brauchbarer Test benötigt daher einen nichttrivialen Kompromiss.

1. Die Aussage zu Fehler 2. Art ist richtig: \(\beta=0\). 2. \(\alpha=1\). 3. Ein Extremwert von \(K\) setzt einen Fehlertyp auf \(0\), macht den anderen aber maximal; deshalb ist ein Kompromiss nötig.

- Überlege dir zuerst, welche Entscheidung getroffen wird und welcher reale Zustand dazu im Widerspruch steht. - Welche Werte der Zufallsgröße führen zur Ablehnung der Nullhypothese? - Verwende für die Berechnung die kumulierte Binomialverteilung. - Beachte beim Fehler 2. Art, dass die Gegenhypothese mit einem konkreten Wert für \(p\) betrachtet werden muss.

1. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn die Sendung fälschlicherweise reklamiert wird, obwohl die Keimrate tatsächlich mindestens \(90\,\%\) beträgt. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn die Sendung angenommen wird, obwohl die tatsächliche Keimrate unter \(90\,\%\) liegt. 2. Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl keimender Körner) ist unter der Annahme \(p = 0{,}9\) binomialverteilt mit \(n = 50\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0, 1, \dots, 41\}\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ist \(P_{0{,}9}(X \le 41) = \sum_{k=0}^{41} \binom{50}{k} \cdot 0{,}9^k \cdot 0{,}1^{50-k} \approx 0{,}0579\). 3. Ein Fehler 2. Art tritt ein, wenn \(H_0\) nicht abgelehnt wird, obwohl \(p = 0{,}8\) gilt. Dies geschieht, wenn \(X \in \{42, 43, \dots, 50\}\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P_{0{,}8}(X \ge 42) = 1 - P_{0{,}8}(X \le 41) = 1 - \sum_{k=0}^{41} \binom{50}{k} \cdot 0{,}8^k \cdot 0{,}2^{50-k} \approx 0{,}3073\).

a) Fehler 1. Art: Irrtümliche Reklamation bei guter Qualität; Fehler 2. Art: Irrtümliche Annahme bei schlechter Qualität. b) \(\alpha \approx 5{,}79\,\%\) c) \(\beta \approx 30{,}73\,\%\)

- Welcher Randwert aus \(H_0\) ist für Fehler 1. Art maßgeblich? - Welcher Bereich entspricht beim konkreten Alternativwert dem Fehler 2. Art? - Welche gemeinsame Einflussgröße könnten Samen aus nur einer Tüte teilen?

1. Am Randwert \(p_0=0{,}75\) gilt \(\alpha=P(X\ge83)\approx0{,}0376\). 2. Für \(p_1=0{,}85\) tritt Fehler 2. Art bei \(X\le82\) ein. Daher ist \(\beta\approx0{,}2367\). 3. Eine einzige Tüte kann besondere Lagerungs- oder Produktionsbedingungen teilen; dadurch können Unabhängigkeit oder Repräsentativität des Modells beeinträchtigt sein.

a) \(\alpha\approx3{,}76\,\%\) b) \(\beta\approx23{,}67\,\%\) c) Die Stichprobe kann wegen gemeinsamer Bedingungen der einen Tüte untypisch bzw. nicht hinreichend unabhängig sein.

- Welche Ergebnisse sprechen für einen gesunkenen Defektanteil? - Welche Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereichs darf am Randwert höchstens \(5\,\%\) betragen? - Welcher Bereich bleibt beim konkreten Alternativwert für Fehler 2. Art übrig?

1. Am Randwert \(p_0=0{,}04\) gilt \(X\sim B(400;0{,}04)\). Es ist \(P(X\le9)\approx0{,}0403\) und \(P(X\le10)\approx0{,}0733\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;9\}\). 2. Für \(p_1=0{,}02\) liegt Fehler 2. Art im Nichtablehnungsbereich \(X\ge10\). Damit ist \(\beta=P(X\ge10)\approx0{,}2821\).

a) \(K=\{0;1;\dots;9\}\) b) \(\beta\approx28{,}21\,\%\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Nullhypothese „irrtümlich“ abgelehnt wird? - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der defekten Teile in einer Stichprobe? - Stelle dir vor, die Ware ist schlechter als behauptet, aber der Test bemerkt es nicht – welcher Fehler ist das? - Überlege dir, wie sich die Größe des Ablehnungsbereichs auf die Trefferwahrscheinlichkeit in diesem Bereich auswirkt.

1. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn \(H_0\) wahr ist, aber verworfen wird. Für die maximale Fehlerwahrscheinlichkeit innerhalb von \(H_0:p\leq0{,}05\) wird am Randwert \(p=0{,}05\) gerechnet. Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n=50\) und \(p=0{,}05\). Die Ablehnung erfolgt für \(X \geq 6\). Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich als \(P(X \geq 6) = 1 - P(X \leq 5)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \leq 5) \approx 0{,}9622\). Damit ist \(\alpha = 1 - 0{,}9622 = 0{,}0378\), also ca. \(3{,}78\,\%\). 2. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn die Nullhypothese nicht verworfen wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist. Im Sachzusammenhang bedeutet dies: Der Test erkennt einen tatsächlichen Defektanteil über \(5\,\%\) nicht als statistisch auffällig. 3. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art verkleinert sich. Da der Ablehnungsbereich \(K = \{k+1, \dots, n\}\) durch die Erhöhung des kritischen Wertes verkleinert wird, sinkt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis in diesen Bereich fällt, wenn \(H_0\) wahr ist.

1. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art beträgt ca. \(3{,}78\,\%\). 2. Der Fehler 2. Art bedeutet hier, dass \(H_0\) nicht verworfen wird, obwohl der tatsächliche Defektanteil über \(5\,\%\) liegt. 3. Die Wahrscheinlichkeit sinkt, da der Ablehnungsbereich kleiner wird.

- Welche Werte für \(X\) führen dazu, dass wir dem Sommelier glauben? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer festen Grundwahrscheinlichkeit? - Bedenke, dass der Fehler 2. Art immer eine spezifische Wahrscheinlichkeit aus der Gegenhypothese benötigt. - Was sagt eine hohe Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art über die Zuverlässigkeit aus, einen Experten auch wirklich zu erkennen?

1. Fehler 1. Art: \(H_0\) wird abgelehnt, obwohl \(p=0{,}5\). Ablehnungsbereich \(X \in \{12, 13, 14, 15\}\). Berechnung über die Binomialverteilung \(B_{15; 0{,}5}\): \(P(X \geq 12) = \binom{15}{12} \cdot 0{,}5^{15} + \binom{15}{13} \cdot 0{,}5^{15} + \binom{15}{14} \cdot 0{,}5^{15} + \binom{15}{15} \cdot 0{,}5^{15} = (455 + 105 + 15 + 1) \cdot 0{,}5^{15} = 576 \cdot \frac{1}{32768} \approx 0{,}0176\). Das Signifikanzniveau beträgt ca. \(1{,}76\,\%\). 2. Fehler 2. Art: \(H_0\) wird nicht verworfen, obwohl \(p=0{,}8\). Nichtablehnungsbereich \(X \in \{0, \dots, 11\}\). Berechnung über \(B_{15; 0{,}8}\): \(\beta = P(X \leq 11) = 1 - P(X \geq 12)\). \(P(X=12) \approx 0{,}2501\), \(P(X=13) \approx 0{,}2309\), \(P(X=14) \approx 0{,}1319\), \(P(X=15) \approx 0{,}0352\). Summe \(P(X \geq 12) \approx 0{,}6482\). Somit \(\beta = 1 - 0{,}6482 = 0{,}3518\), also ca. \(35{,}2\,\%\). 3. Der Test hat ein strenges Signifikanzniveau (wenig „falsches Lob“), aber ein Fehler 2. Art von ca. \(35\,\%\) ist relativ hoch. Das bedeutet, dass mehr als jeder dritte echte Experte durch den Test fallen würde. Für eine sichere Bestätigung ist die Stichprobe eher zu klein oder die Hürde zu hoch.

1. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt ca. \(1{,}76\,\%\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art beträgt ca. \(35{,}2\,\%\). 3. Der Test ist nur bedingt geeignet, da die Gefahr groß ist (\(35{,}2\,\%\)), einen tatsächlichen Experten nicht als solchen zu erkennen.

- Welche Größe wird hier gezählt und wie ist sie verteilt? - Was bedeutet es für die Entscheidung, wenn die Grenze des Ablehnungsbereichs verschoben wird? - Achte darauf, ob der Test links- oder rechtsseitig durchgeführt wird. - Wie hängen die Ereignisse für den Fehler 1. Art und den Fehler 2. Art mit dem Ablehnungsbereich zusammen?

1. Testgröße \(X\): Anzahl der defekten Leuchtmittel in der Stichprobe. Für einen festen Wert von \(p\) gilt \(X \sim B(60; p)\); zur Berechnung des maximalen Fehlers 1. Art wird der Randwert \(p = 0{,}05\) verwendet. 2. Hypothesen: \(H_0: p \le 0{,}05\); \(H_1: p > 0{,}05\). 3. Bereiche: Ablehnungsbereich \(K = \{7, 8, \dots, 60\}\); Nichtablehnungsbereich \(\bar{K} = \{0, 1, \dots, 6\}\). 4. Fehler 1. Art (\(\alpha\)): \(P(X \ge 7) = 1 - P(X \le 6; p=0{,}05) \approx 1 - 0{,}9703 = 0{,}0297\). 5. Fehler 2. Art (\(\beta\)): \(P(X \le 6; p=0{,}15) \approx 0{,}1848\). 6. Neuer Ablehnungsbereich \(K_{neu} = \{6, 7, \dots, 60\}\). 7. Neuer Fehler 1. Art: \(P(X \ge 6) = 1 - P(X \le 5; p=0{,}05) \approx 1 - 0{,}9213 = 0{,}0787\). 8. Neuer Fehler 2. Art: \(P(X \le 5; p=0{,}15) \approx 0{,}0968\). 9. Allgemeiner Zusammenhang: Durch die Vergrößerung des Ablehnungsbereichs steigt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (\(\alpha\)), während die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art (\(\beta\)) sinkt.

a) \(X\): Anzahl defekter Leuchtmittel; \(H_0: p \le 0{,}05\); \(H_1: p > 0{,}05\); \(K = \{7, \dots, 60\}\); \(\bar{K} = \{0, \dots, 6\}\). b) Fehler 1. Art: \(\alpha \approx 2{,}97\,\%\); Fehler 2. Art: \(\beta \approx 18{,}48\,\%\). c) Neuer Fehler 1. Art: \(\alpha_{neu} \approx 7{,}87\,\%\); Neuer Fehler 2. Art: \(\beta_{neu} \approx 9{,}68\,\%\). Vergrößerung des Ablehnungsbereichs führt zu größerem \(\alpha\) und kleinerem \(\beta\).

- Überlege zuerst, ab welcher Anzahl an Erfolgen die Vermutung des Forscherteams statistisch gestützt wird. - Das Signifikanzniveau begrenzt die Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit; wegen der diskreten Verteilung kann der tatsächliche Wert kleiner sein. - Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn die Nullhypothese bei der betrachteten höheren Erfolgswahrscheinlichkeit nicht verworfen wird. - Nutze die kumulierte Binomialverteilung für die Randwahrscheinlichkeiten.

1. Gesucht ist beim rechtsseitigen Test das kleinste \(k\), für das am Randwert \(p_0=0{,}5\) gilt: \(P(X\geq k)\leq0{,}05\). Da \(P(X\leq25)\approx0{,}9597\), ist \(k=26\). Somit ist \(K=\{26,27,\dots,40\}\). 2. Die tatsächliche Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit ist \(\alpha_{\text{tatsächlich}}=P_{0{,}5}(X\geq26)=1-P_{0{,}5}(X\leq25)\approx0{,}0403\). 3. Bei \(p=0{,}75\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(H_0\) nicht verworfen wird, also bei \(X\leq25\). Daher ist \(\beta=P_{0{,}75}(X\leq25)\approx0{,}0544\).

a) \(K=\{26,27,\dots,40\}\). b) \(\alpha_{\text{tatsächlich}}\approx4{,}03\,\%\). c) \(\beta\approx5{,}44\,\%\).

- Überlege dir zuerst, ob es sich um einen linksseitigen, rechtsseitigen oder beidseitigen Test handelt. - Welche Werte für die Anzahl der Treffer sprechen gegen die Nullhypothese? - Bei der Entscheidung über die Ablehnung zählt nicht das Eintreffen eines exakten Wertes, sondern wie extrem das Gesamtergebnis im Vergleich zur Erwartung ist. - Was bedeutet es für die Fehlerwahrscheinlichkeit, wenn man die Grenze des Ablehnungsbereichs verschiebt? - Der Fehler 2. Art tritt auf, wenn man die Nullhypothese nicht verwirft, obwohl sie eigentlich falsch ist.

1. Bestimmung des Ablehnungsbereichs (\(H_0: p \leq 0{,}1\), rechtsseitiger Test): Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}1}^{80}(X \geq k) \leq 0{,}05\) gilt. Dies ist gleichbedeutend mit \(P_{0{,}1}^{80}(X \leq k-1) \geq 0{,}95\). Aus der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung folgt für \(n=80, p=0{,}1\): \(P(X \leq 12) \approx 0{,}9462\) und \(P(X \leq 13) \approx 0{,}9733\). Somit ist \(k-1 = 13\), also \(k = 14\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{14, 15, \dots, 80\}\). 2. Beurteilung des Vorschlags: Die Argumentation ist falsch, da bei einem Signifikanztest nicht die Einzelwahrscheinlichkeit \(P(X=k)\), sondern die Wahrscheinlichkeit des gesamten rechten Randes (die Überschreitungswahrscheinlichkeit \(P(X \geq k)\)) betrachtet werden muss. Würde man bereits bei \(12\) Treffern ablehnen, müsste man konsequenterweise auch bei allen Werten größer als \(12\) ablehnen. Die Irrtumswahrscheinlichkeit wäre dann \(P(X \geq 12) = P(X \geq 13) + P(X=12) \approx 0{,}0538 + 0{,}0466 = 0{,}1004\), also rund \(10\,\%\), was das Signifikanzniveau von \(5\,\%\) deutlich überschreitet. 3. Fehler 1. Art: Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) im Ablehnungsbereich liegt, obwohl \(p=0{,}1\) gilt: \(P_{0{,}1}^{80}(X \geq 14) = 1 - P_{0{,}1}^{80}(X \leq 13) \approx 1 - 0{,}9733 = 0{,}0267\). 4. Fehler 2. Art: Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) im Nichtablehnungsbereich \(\bar{K} = \{0, \dots, 13\}\) liegt, obwohl \(p=0{,}2\) gilt: \(P_{0{,}2}^{80}(X \leq 13) \approx 0{,}2470\).

a) Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{14, 15, \dots, 80\}\). b) Der Vorschlag ist falsch, da für die Testentscheidung die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \geq 12)\) maßgeblich ist. Diese liegt mit ca. \(10{,}04\,\%\) über dem Signifikanzniveau von \(5\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt ca. \(2{,}67\,\%\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei \(p = 0{,}2\) beträgt ca. \(24{,}70\,\%\).

- Welche Stichprobenergebnisse (viele oder wenige zufriedene Nutzer) würden dich dazu bringen, an der Behauptung „mindestens \(80\,\%\)“ zu zweifeln? - Achte darauf, dass bei einem linksseitigen Test der Ablehnungsbereich bei den kleinen Werten liegt. - Formuliere die Fehlerarten immer nach dem Schema: „Die Nullhypothese ist eigentlich wahr/falsch, aber man entscheidet sich für...“ - Für den Fehler 2. Art musst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das Ergebnis im Nichtablehnungsbereich landet, obwohl der neue Wert \(p = 0{,}65\) gilt.

1. Bestimmung des Ablehnungsbereichs (\(H_0: p \geq 0{,}8\), linksseitiger Test): Gesucht ist die größte Zahl \(g\), für die \(P_{0{,}8}^{60}(X \leq g) \leq 0{,}10\) gilt. Aus der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung für \(n=60, p=0{,}8\) ergibt sich: \(P(X \leq 42) \approx 0{,}0427\), \(P(X \leq 43) \approx 0{,}0772\) sowie \(P(X \leq 44) \approx 0{,}1306\). Die größte Zahl, die die Bedingung erfüllt, ist \(g = 43\). Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{0, 1, \dots, 43\}\). 2. Fehler 1. Art: Man lehnt die Behauptung der Plattform ab (weniger als \(80\,\%\) zufrieden), obwohl in Wirklichkeit mindestens \(80\,\%\) der Nutzer zufrieden sind. 3. Fehler 2. Art: Man lehnt die Behauptung der Plattform nicht ab, obwohl in Wirklichkeit weniger als \(80\,\%\) der Nutzer zufrieden sind (hier konkret am Beispiel \(p=0{,}65\)). 4. Berechnung des Fehlers 2. Art für \(p = 0{,}65\): Der Fehler tritt auf, wenn das Ergebnis im Nichtablehnungsbereich \(\bar{K} = \{44, 45, \dots, 60\}\) liegt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist \(P_{0{,}65}^{60}(X \geq 44) = 1 - P_{0{,}65}^{60}(X \leq 43)\). Mit \(P_{0{,}65}^{60}(X \leq 43) \approx 0{,}8899\) ergibt sich \(1 - 0{,}8899 = 0{,}1101\).

a) Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0, 1, \dots, 43\}\). b) Fehler 1. Art: Die Plattform hat recht (\(p \geq 0{,}8\)), aber man weist ihre Behauptung fälschlicherweise zurück. Fehler 2. Art: Die Plattform hat nicht recht (\(p < 0{,}8\)), aber man erkennt dies nicht und verwirft die Nullhypothese nicht. c) Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei \(p = 0{,}65\) beträgt ca. \(11{,}01\,\%\).

- Welche Seite der Verteilung ist bei einer vermuteten höheren Quote relevant? - Welche Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereichs wird am Randwert von \(H_0\) betrachtet? - Welcher Bereich führt beim konkreten Alternativwert zum Fehler 2. Art?

1. Am Randwert \(p_0=0{,}2\) gilt \(X\sim B(50;0{,}2)\). Es ist \(P(X\le14)\approx0{,}9393\) und \(P(X\le15)\approx0{,}9692\). Daher ist \(K=\{16;17;\dots;50\}\). 2. Die tatsächlich erreichte Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art ist \(\alpha=P_{0{,}2}(X\ge16)\approx0{,}0308\). 3. Für \(p_1=0{,}35\) ist der Nichtablehnungsbereich \(X\le15\). Daher ist \(\beta=P_{0{,}35}(X\le15)\approx0{,}2801\).

a) \(K=\{16;17;\dots;50\}\); \(\alpha\approx3{,}08\,\%\) b) \(\beta\approx28{,}01\,\%\)

- Welche hohen Trefferzahlen sprechen für eine Blührate über dem Referenzwert? - Für Fehler 2. Art bleibt der Ablehnungsbereich fest, während der konkrete Alternativwert wechselt. - Wie verändert sich \(\beta\), wenn der Alternativwert weiter vom Randwert der Nullhypothese entfernt liegt?

1. Es gilt \(H_0:p\le0{,}25\) gegen \(H_1:p>0{,}25\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}25\) ist \(P(X\ge15)\approx0{,}0544\) und \(P(X\ge16)\approx0{,}0262\). Daher ist \(K=\{16;17;\dots;40\}\). 3. Der Nichtablehnungsbereich ist \(X\le15\). Für \(p_1=0{,}40\) gilt \(\beta\approx0{,}4402\); für \(p_1=0{,}50\) gilt \(\beta\approx0{,}0769\).

a) \(K=\{16;17;\dots;40\}\) b) Für \(p_1=0{,}40\): \(\beta\approx44{,}02\,\%\); für \(p_1=0{,}50\): \(\beta\approx7{,}69\,\%\).

- Welche Aussage möchte der Abnehmer statistisch stützen? Diese ist die Gegenhypothese. - Der Fehler 1. Art ist das Risiko, die Nullhypothese abzulehnen, obwohl sie wahr ist. - Für den Fehler 2. Art musst du mit der neuen, tatsächlichen Wahrscheinlichkeit rechnen, aber die alten Grenzen des Tests beibehalten. - Überlege dir, wer bei welcher Fehlentscheidung einen finanziellen Schaden erleidet.

1. Hypothesen: \(H_0: p \le 0{,}05\) (Behauptung des Herstellers) gegen \(H_1: p > 0{,}05\) (Vermutung des Abnehmers). 2. Ablehnungsbereich: \(X\) sei die Anzahl defekter LEDs, \(X \sim B(200; 0{,}05)\). Gesucht ist \(k\) mit \(P(X \ge k) \le 0{,}05\), also \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\). Mit \(n=200, p=0{,}05\) liefert die kumulierte Binomialverteilung \(P(X \le 14) \approx 0{,}9219\) und \(P(X \le 15) \approx 0{,}9556\). Also \(k-1 = 15\), woraus \(k = 16\) folgt. Ablehnungsbereich \(K = \{16, 17, \dots, 200\}\). 3. Fehler 1. Art: \(P(X \ge 16) = 1 - P(X \le 15) \approx 1 - 0{,}9556 = 0{,}0444\). Dieser Wert liegt unter dem Signifikanzniveau von \(0{,}05\). 4. Fehler 2. Art: Nun gilt \(p = 0{,}10\). Der Fehler 2. Art tritt auf, wenn das Ergebnis im Nichtablehnungsbereich \(\{0, \dots, 15\}\) liegt. \(P(X \le 15)\) für \(B(200; 0{,}10)\) ergibt \(\sum_{i=0}^{15} \binom{200}{i} \cdot 0{,}1^i \cdot 0{,}9^{200-i} \approx 0{,}1431\). 5. Sicht des Herstellers: Ein kleineres Signifikanzniveau bedeutet, dass die Nullhypothese (die Ware ist gut) seltener fälschlicherweise abgelehnt wird. Dies schützt den Hersteller davor, dass eine eigentlich einwandfreie Produktion aufgrund eines Zufallsergebnisses in der Stichprobe reklamiert wird.

a) \(H_0: p \le 0{,}05\); \(H_1: p > 0{,}05\); Ablehnungsbereich \(K = \{16, \dots, 200\}\) b) \(P(\text{Fehler 1. Art}) \approx 0{,}0444 \le 0{,}05\) c) \(P(\text{Fehler 2. Art}) \approx 0{,}1431\) (bzw. \(14{,}31\,\%\)) d) Ein kleineres \(\alpha\) verringert das Risiko des Herstellers, dass gute Ware fälschlich reklamiert wird (Produzentenrisiko).

- Welche Abweichung von „mindestens \(95\,\%\)“ würde gegen die Herstellerangabe sprechen? - Formuliere die Herstellerangabe als Nullhypothese und die niedrigere Quote als Gegenhypothese. - Der Ablehnungsbereich wird so gewählt, dass seine Wahrscheinlichkeit am Randwert der Nullhypothese das Signifikanzniveau nicht überschreitet. - Für Fehler 2. Art verwendest du den Nichtablehnungsbereich beim konkreten Alternativwert \(p_1=0{,}90\).

1. Aufstellen der Hypothesen: Da die Behauptung „mindestens \( 95\,\% \)“ geprüft werden soll, lautet die Nullhypothese \( H_0: p \ge 0{,}95 \) und die Gegenhypothese \( H_1: p < 0{,}95 \). Da Abweichungen nach unten (kleine Werte von \( X \)) zur Ablehnung von \( H_0 \) führen, handelt es sich um einen linksseitigen Test. 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Unter der Annahme der Trefferwahrscheinlichkeit \( p = 0{,}95 \) wird ein \( k \) gesucht, für das \( P(X \le k) \le 0{,}05 \) gilt. Mit \( n = 250 \) ergibt sich \( P(X \le 231) \approx 0{,}0474 \) und \( P(X \le 232) \approx 0{,}0788 \). Der Ablehnungsbereich ist somit \( K = \{0, 1, \dots, 231\} \). 3. Fehler 1. Art: Die Wahrscheinlichkeit, \( H_0 \) abzulehnen, obwohl \( p = 0{,}95 \) gilt, entspricht dem tatsächlichen Signifikanzniveau: \( P(X \le 231) \approx 4{,}74\,\% \). 4. Fehler 2. Art: Dies ist die Wahrscheinlichkeit, \( H_0 \) nicht abzulehnen, obwohl die tatsächliche Wahrscheinlichkeit \( p = 0{,}90 \) beträgt. Gesucht ist \( P(X > 231) \) für \( p = 0{,}90 \). Es gilt \( P(X > 231) = 1 - P(X \le 231) \approx 1 - 0{,}9192 = 0{,}0808 \). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art beträgt etwa \( 8{,}08\,\% \).

a) \( H_0: p \ge 0{,}95 \); \( H_1: p < 0{,}95 \). Linksseitig, da nur signifikant kleine Werte gegen \( H_0 \) sprechen. b) \( K = \{0, 1, \dots, 231\} \) c) \( P(\text{Fehler 1. Art}) \approx 4{,}74\,\% \) d) \( P(\text{Fehler 2. Art}) \approx 8{,}08\,\% \)

- Welche Bedingungen braucht eine Folge von Ja-Nein-Versuchen für ein Binomialmodell? - Welche Seite der Verteilung ist bei einer vermuteten höheren Nicht-Keimungsrate relevant? - Für Fehler 2. Art wird der Nichtablehnungsbereich beim konkreten Alternativwert betrachtet.

1. Die Keimvorgänge müssen als unabhängig mit konstanter Nicht-Keimungswahrscheinlichkeit modelliert werden können. 2. Es gilt \(H_0:p\le0{,}02\) gegen \(H_1:p>0{,}02\). Am Randwert \(p_0=0{,}02\) ist \(P(X\le11)\approx0{,}8903\) und \(P(X\le12)\approx0{,}9381\). Daher ist \(K=\{13;14;\dots;400\}\). 3. \(\alpha=P_{0{,}02}(X\ge13)\approx0{,}0619=6{,}19\,\%\). 4. Für \(p_1=0{,}05\) gilt \(\beta=P(X\le12)\approx0{,}0355=3{,}55\,\%\).

a) Zum Beispiel: unabhängige Versuche mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit. b) \(H_0:p\le0{,}02\); \(H_1:p>0{,}02\); \(K=\{13;14;\dots;400\}\) c) \(6{,}19\,\%\) d) \(3{,}55\,\%\)

- Welche Ergebnisse sprechen für eine Fehljustierung? - Für Fehler 2. Art wird der Nichtablehnungsbereich beim festen Alternativwert betrachtet. - Wie verändert ein größeres \(n\) die Streuung relativer Häufigkeiten?

1. Am Randwert \(p_0=0{,}04\) ist \(P(X\le7)\approx0{,}9525\). Daher ist \(K=\{8;9;\dots;100\}\). 2. Für \(p_1=0{,}12\) gilt \(\beta=P(X\le7)\approx0{,}0761\). 3. Bei größerem Stichprobenumfang überlappen sich die Verteilungen der relativen Häufigkeit für \(p_0\) und den festen Alternativwert weniger stark; bei weiterhin begrenztem Fehler 1. Art sinkt \(\beta\) typischerweise.

a) \(K=\{8;9;\dots;100\}\) b) \(\beta\approx7{,}61\,\%\) c) \(\beta\) sinkt typischerweise.

- Welche obere Randwahrscheinlichkeit darf höchstens dem Signifikanzniveau entsprechen? - Warum kann die tatsächlich erreichte Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit kleiner als die nominale Vorgabe sein? - Welcher Bereich entspricht beim konkreten Alternativwert dem Fehler 2. Art?

1. Am Randwert \(p_0=0{,}1\) ist \(P(X\le8)\approx0{,}9422\) und \(P(X\le9)\approx0{,}9755\). Daher ist \(K=\{10;11;\dots;50\}\). 2. \(\alpha=P_{0{,}1}(X\ge10)\approx0{,}0245=2{,}45\,\%\). Dieser Wert ist wegen der diskreten Grenzwahl kleiner als das nominale Signifikanzniveau \(5\,\%\). 3. Für \(p_1=0{,}2\) ist \(\beta=P(X\le9)\approx0{,}4437\).

a) \(K=\{10;11;\dots;50\}\) b) \(\alpha\approx2{,}45\,\%<5\,\%\) c) \(\beta\approx44{,}37\,\%\)

- Welche Hypothese beschreibt Ausschussquoten ab dem Referenzwert und welche Ausschussquoten darunter? - Überlege dir, bei welchem Ergebnis der Stichprobe welche Hypothese fälschlicherweise abgelehnt wird. - Erinnere dich an die Formel für die kumulierte Binomialverteilung. - Was passiert, wenn du ein Ergebnis erhältst, das im Ablehnungsbereich von \(H_0\) liegt, obwohl \(H_0\) in Wirklichkeit zutrifft?

1. Fehler 1. Art: \(H_0\) wird abgelehnt, obwohl \(H_0\) wahr ist. Für \(n=40\) und den Randwert \(p_0=0{,}10\) gilt \(\alpha=P_{0{,}10}(X\le1)\approx0{,}0805\). Inhaltlich sprechen die Daten dann fälschlich für eine Ausschussquote unter \(10\,\%\). 2. Fehler 2. Art: Beim konkreten Alternativwert \(p_1=0{,}02\) wird \(H_0\) nicht abgelehnt. Der Nichtablehnungsbereich ist \(X\ge2\). 3. Daher gilt \(\beta=P_{0{,}02}(X\ge2)=1-P_{0{,}02}(X\le1)\). 4. Mit \(P_{0{,}02}(X\le1)\approx0{,}8095\) folgt \(\beta\approx0{,}1905\).

a) \(\alpha \approx 8{,}05\,\%\). Der Fehler 1. Art bedeutet, dass die Daten fälschlicherweise für eine Ausschussquote unter \(10\,\%\) sprechen, obwohl \(H_0\) wahr ist. b) \(\beta \approx 19{,}05\,\%\).

- Was passiert mit dem Ablehnungsbereich, wenn man die Grenze für das „Nicht-Ablehnen“ verschiebt? - Wird es bei Regel 2 schwieriger oder leichter, die Hypothese des Herstellers abzulehnen? - Denke an den Zusammenhang: Wenn ein Fehler seltener wird, erkauft man sich das meist durch eine Erhöhung des anderen Fehlers. - Achte beim Ablesen oder Berechnen der Werte darauf, ob du \(P(X \le k)\) oder \(P(X \ge k)\) benötigst.

1. Zufallsgröße \(X\): Anzahl der geheilten Patienten. Unter \(H_0\) gilt \(X \sim B(100; 0{,}7)\). 2. Signifikanzniveau Regel 1: \(\alpha_1 = P_{0{,}7}(X < 65) = P_{0{,}7}(X \le 64) \approx 0{,}1161\). 3. Signifikanzniveau Regel 2: \(\alpha_2 = P_{0{,}7}(X < 62) = P_{0{,}7}(X \le 61) \approx 0{,}0340\). 4. Fehler 2. Art (\(\beta\)) bei \(p = 0{,}6\): Regel 1: \(\beta_1 = P_{0{,}6}(X \ge 65) = 1 - P_{0{,}6}(X \le 64) \approx 1 - 0{,}8206 = 0{,}1794\). Regel 2: \(\beta_2 = P_{0{,}6}(X \ge 62) = 1 - P_{0{,}6}(X \le 61) \approx 1 - 0{,}6178 = 0{,}3822\). 5. Vergleich: Durch die Senkung der kritischen Zahl von 65 auf 62 verringert sich die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (\(\alpha\) sinkt), aber die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art steigt deutlich an (\(\beta\) wächst).

a) Regel 1: \(\alpha_1 \approx 11{,}61\,\%\); Regel 2: \(\alpha_2 \approx 3{,}40\,\%\). b) Regel 1: \(\beta_1 \approx 17{,}94\,\%\); Regel 2: \(\beta_2 \approx 38{,}22\,\%\). c) Durch die Änderung von Regel 1 zu Regel 2 sinkt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art, während die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art steigt.

- Welche Testentscheidung gehört zu \(X\ge10\)? - Welcher wahre Zustand beschreibt Fehler 1. Art? - Welcher Bereich entspricht beim konkreten Alternativwert Fehler 2. Art?

1. Fehler 1. Art: Die Lieferung wird beanstandet, obwohl tatsächlich \(p\le0{,}05\) gilt. Fehler 2. Art: Eine tatsächlich erhöhte Defektquote wird nicht erkannt. 2. Der Ablehnungsbereich ist \(K=\{10;11;\dots;100\}\). Am Randwert \(p_0=0{,}05\) ist \(\alpha=P(X\ge10)\approx0{,}0282\). 3. Für \(p_1=0{,}12\) ist der Nichtablehnungsbereich \(X\le9\). Daher ist \(\beta\approx0{,}2257\).

a) Fehler 1. Art: falsche Beanstandung trotz höchstens \(5\,\%\) Defektquote. Fehler 2. Art: eine tatsächlich erhöhte Quote wird nicht erkannt. b) \(\alpha\approx2{,}82\,\%\) c) \(\beta\approx22{,}57\,\%\)

- Handelt es sich um einen linksseitigen, rechtsseitigen oder beidseitigen Test? Das bestimmt, in welche Richtung der Ablehnungsbereich liegt. - Der kritische Wert ist die Grenze, ab der das Ergebnis als „signifikant“ gilt. - Für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art brauchst du einen konkreten Alternativwert innerhalb von \(H_1\); hier ist \(p=0{,}75\) vorgegeben. - Achte beim Ablesen aus der Tabelle darauf, ob du \(P(X \leq k)\) oder \(P(X = k)\) betrachtest.

1. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist das kleinste \(k\), für das unter \(H_0\) (\(p = 0{,}6\)) gilt: \(P(X \geq k) \leq 0{,}05\). Dies entspricht \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}95\). 2. Tabellenwerk oder Taschenrechner für \(B(80; 0{,}6)\) liefern: \(P(X \leq 54) \approx 0{,}9325\) und \(P(X \leq 55) \approx 0{,}9583\). 3. Somit ist \(k-1 = 55\), woraus der kritische Wert \(k = 56\) folgt. Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{56, 57, \dots, 80\}\). 4. Fehler 2. Art (\(\beta\)): Wahrscheinlichkeit, im Nichtablehnungsbereich \(\bar{K} = \{0, 1, \dots, 55\}\) zu landen, obwohl \(p = 0{,}75\) gilt. 5. \(\beta = P_{0{,}75}(X \leq 55)\). Mit \(B(80; 0{,}75)\) ergibt sich \(\beta \approx 0{,}1239\).

a) Der kritische Wert ist \(k = 56\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{56, 57, \dots, 80\}\). b) \(\beta \approx 12{,}39\,\%\)

- Übersetze „mehr als \(45\)“ in einen Ablehnungsbereich. - Welcher Randwert von \(H_0\) ist für \(\alpha\) maßgeblich? - Welcher Bereich wird beim konkreten Alternativwert für \(\beta\) benötigt?

1. Der Ablehnungsbereich ist \(K=\{46;47;\dots;100\}\), der Nichtablehnungsbereich \(X\le45\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}40\) ist \(\alpha=P(X\ge46)\approx0{,}1311=13{,}11\,\%\). 3. Für \(p_1=0{,}50\) ist \(\beta=P(X\le45)\approx0{,}1841=18{,}41\,\%\).

\(\alpha\approx13{,}11\,\%\) \(\beta\approx18{,}41\,\%\)

- Welche Testentscheidung tritt bei jedem Fehlertyp auf? - Welcher Bereich wird für \(\alpha\) am Randwert der Nullhypothese betrachtet? - Was verändert sich am Nichtablehnungsbereich, wenn \(K\) kleiner wird?

1. Fehler 1. Art: \(H_0\) wird abgelehnt, obwohl tatsächlich \(p\ge0{,}9\) gilt. Fehler 2. Art: \(H_0\) wird beim konkreten Alternativwert \(p_1=0{,}75\) nicht abgelehnt. 2. Für \(K_1\) gilt \(\alpha=P_{0{,}9}(X\le32)\approx0{,}0419\) und \(\beta=P_{0{,}75}(X\ge33)\approx0{,}1820\). 3. Für \(K_2\) gilt \(\alpha\approx0{,}0051\) und \(\beta=P_{0{,}75}(X\ge31)\approx0{,}4395\). Der kleinere Ablehnungsbereich senkt \(\alpha\) und erhöht \(\beta\).

a) Fehler 1. Art: falsche Ablehnung einer wahren Nullhypothese. Fehler 2. Art: Nichtablehnung beim konkreten Alternativwert. b) \(\alpha\approx4{,}19\,\%\); \(\beta\approx18{,}20\,\%\) c) \(\alpha\approx0{,}51\,\%\); \(\beta\approx43{,}95\,\%\)

- Übersetze beide Entscheidungsregeln jeweils in einen Ablehnungsbereich. - Welche Bereiche brauchst du für Fehler 1. Art und Fehler 2. Art? - Vergleiche anschließend, wie das Verschieben der Grenze beide Fehlerwahrscheinlichkeiten verändert.

1. Fehler 1. Art: Eine zulässige Quote wird fälschlich beanstandet. Fehler 2. Art: Eine tatsächlich erhöhte Quote wird beim konkreten Alternativwert nicht erkannt. 2. Für \(K=\{6;7;\dots;50\}\) gilt \(\alpha=P_{0{,}05}(X\ge6)\approx0{,}0378\) und \(\beta=P_{0{,}15}(X\le5)\approx0{,}2194\). 3. Für \(K=\{8;9;\dots;50\}\) gilt \(\alpha\approx0{,}0032\) und \(\beta\approx0{,}5188\).

a) Fehler 1. Art: falsche Ablehnung einer wahren Nullhypothese. Fehler 2. Art: Nichtablehnung beim konkreten Alternativwert. b) \(\alpha\approx3{,}78\,\%\); \(\beta\approx21{,}94\,\%\) c) \(\alpha\approx0{,}32\,\%\); \(\beta\approx51{,}88\,\%\)

- Da eine niedrigere Keimrate vermutet wird, handelt es sich um einen linksseitigen Test. - Bestimme den größten ganzzahligen Grenzwert, dessen kumulierte Wahrscheinlichkeit am Randwert \(p=0{,}85\) höchstens \(5\,\%\) beträgt. - Für den Fehler 2. Art verwendest du den Nichtablehnungsbereich und \(p=0{,}75\).

1. Für den linksseitigen Test ist die Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit innerhalb von \(H_0\) am Randwert \(p=0{,}85\) am größten. Gesucht ist der größte Wert \(k\), für den \(P_{0{,}85}(X\leq k)\leq0{,}05\) gilt. 2. Für \(X\sim B(100;0{,}85)\) gilt \(P(X\leq78)\approx0{,}0393\) und \(P(X\leq79)\approx0{,}0663\). Daher ist der Ablehnungsbereich \(K=\{0,1,\dots,78\}\). 3. Bei \(p=0{,}75\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(H_0\) nicht verworfen wird, also wenn \(X\geq79\) gilt. Daher ist \(\beta=P_{0{,}75}(X\geq79)=1-P_{0{,}75}(X\leq78)\approx0{,}2114\).

a) \(K=\{0,1,\dots,78\}\). b) \(\beta\approx21{,}14\,\%\).

- Welche hohen Defektzahlen sprechen gegen \(H_0\)? - Welche obere Randwahrscheinlichkeit darf am Randwert höchstens \(10\,\%\) betragen? - Welcher Bereich entspricht beim konkreten Alternativwert dem Fehler 2. Art?

1. Am Randwert \(p_0=0{,}06\) gilt \(X\sim B(200;0{,}06)\). Es ist \(P(X\le15)\approx0{,}8512\) und \(P(X\le16)\approx0{,}9054\). Daher ist \(K=\{17;18;\dots;200\}\). 2. Für \(p_1=0{,}10\) tritt Fehler 2. Art bei \(X\le16\) ein. Daher ist \(\beta=P_{0{,}10}(X\le16)\approx0{,}2075\).

a) \(K=\{17;18;\dots;200\}\) b) \(\beta\approx20{,}75\,\%\)

- Schreibe für jeden kritischen Wert zuerst den Ablehnungs- und den Nichtablehnungsbereich auf. - Berechne \(\alpha\) unter \(p=0{,}6\) und \(\beta\) unter \(p=0{,}8\). - Überlege, wie ein höherer kritischer Wert die Größe des Ablehnungsbereichs verändert. - Unterscheide einen Vergleich mit einem historischen Referenzwert von einem randomisierten Kontrollgruppenvergleich.

1. Für \(k=35\) ist der Ablehnungsbereich \(X\ge35\). Daher ist \(\alpha=P_{0{,}6}(X\ge35)\approx0{,}0955\). Beim konkreten Alternativwert \(p_1=0{,}8\) ist \(\beta=P_{0{,}8}(X\le34)\approx0{,}0308\). 2. Für \(k=37\) ist der Ablehnungsbereich \(X\ge37\). Daher ist \(\alpha=P_{0{,}6}(X\ge37)\approx0{,}0280\). Beim selben Alternativwert gilt \(\beta=P_{0{,}8}(X\le36)\approx0{,}1106\). 3. Durch die Erhöhung von \(k\) wird der Ablehnungsbereich kleiner. Dadurch sinkt \(\alpha\), während \(\beta\) beim betrachteten Alternativwert steigt. 4. Der Test vergleicht die behandelten Samen nur mit dem festen bisherigen Referenzwert. Ohne gleichzeitig untersuchte, zufällig zugewiesene Kontrollgruppe weist er keine kausale Steigerung durch das neue Verfahren nach.

a) \(\alpha\approx9{,}55\,\%\); \(\beta\approx3{,}08\,\%\). b) \(\alpha\approx2{,}80\,\%\); \(\beta\approx11{,}06\,\%\). Der höhere kritische Wert senkt \(\alpha\) und erhöht hier \(\beta\). Der Ein-Stichproben-Vergleich belegt keine kausale Wirkung des Verfahrens.

- Entscheide zuerst, ob der jeweilige Test links- oder rechtsseitig ist. - Verwende für Teil a) die kumulierte Wahrscheinlichkeit unter \(p=0{,}92\). - Fehler 2. Art in Teil b) liegt im Nichtablehnungsbereich aus Teil a), wird aber unter \(p=0{,}80\) berechnet. - Die Nichtablehnung einer Hypothese ist nicht dasselbe wie der sichere Nachweis einer Qualitätsstufe.

1. In Teil a) wird linksseitig getestet. Für \(X\sim B(100;0{,}92)\) gilt \(P(X\leq86)\approx0{,}0282\) und \(P(X\leq87)\approx0{,}0559\). Daher ist der Ablehnungsbereich \(K=\{0,1,\dots,86\}\). Bei höchstens \(86\) fehlerfrei arbeitenden Chips wird \(H_0\) verworfen; ab \(87\) wird \(H_0\) nicht verworfen. 2. Bei \(p=0{,}80\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\geq87\) gilt. Daher ist \(\beta=P_{0{,}80}(X\geq87)=1-P_{0{,}80}(X\leq86)\approx0{,}0469\). 3. In Teil c) wird rechtsseitig getestet. Für \(X\sim B(100;0{,}80)\) gilt \(P(X\geq87)\approx0{,}0469\), während \(P(X\geq86)\approx0{,}0804\). Daher ist der Ablehnungsbereich \(K=\{87,88,\dots,100\}\). Ab \(87\) fehlerfrei arbeitenden Chips wird \(H_0\) verworfen; bei höchstens \(86\) wird \(H_0\) nicht verworfen.

a) \(K=\{0,1,\dots,86\}\). b) \(\beta\approx4{,}69\,\%\). c) \(K=\{87,88,\dots,100\}\).

- Welche hohen Defektzahlen sprechen gegen \(H_0\)? - Prüfe zwei benachbarte Grenzwerte am Randwert \(p_0\). - Welcher Bereich gehört beim konkreten Alternativwert zum Fehler 2. Art?

1. Am Randwert \(p_0=0{,}10\) ist \(P(X\le8)\approx0{,}9421\) und \(P(X\le9)\approx0{,}9755\). Daher ist \(K=\{10;11;\dots;50\}\). 2. Für \(p_1=0{,}30\) tritt Fehler 2. Art bei \(X\le9\) ein. Somit ist \(\beta\approx0{,}0402\).

a) \(k=10\); \(K=\{10;11;\dots;50\}\) b) \(\beta\approx4{,}02\,\%\)

- Formuliere Ablehnungs- und Nichtablehnungsbereich aus der Grenze \(66\). - Verwende für den Fehler 1. Art \(p=0{,}9\). - Verwende für den Fehler 2. Art \(p=0{,}75\) und den Nichtablehnungsbereich. - „Nicht verworfen“ bedeutet nicht, dass eine Behauptung sicher bewiesen ist.

1. Fehler 1. Art tritt ein, wenn \(H_0\) abgelehnt wird, obwohl tatsächlich \(p\ge0{,}9\) gilt. Fehler 2. Art liegt beim konkreten Alternativwert \(p_1=0{,}75\) vor, wenn \(H_0\) nicht abgelehnt wird. 2. Die maximale Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art innerhalb von \(H_0\) liegt am Randwert \(p_0=0{,}9\): \(\alpha=P_{0{,}9}(X\le66)\approx0{,}0267\). 3. Der Nichtablehnungsbereich ist \(X\ge67\). Daher ist \(\beta=P_{0{,}75}(X\ge67)\approx0{,}0421\).

1. Fehler 1. Art: \(H_0\) wird verworfen, obwohl \(p\geq0{,}9\) gilt. Fehler 2. Art bei \(p_1=0{,}75\): \(H_0\) wird nicht verworfen. 2. \(\alpha\approx2{,}67\,\%\); \(\beta\approx4{,}21\,\%\).

- Eine vermutete höhere Unzufriedenheitsquote führt zu einem rechtsseitigen Test. - Bestimme den kleinsten kritischen Wert, dessen obere Randwahrscheinlichkeit unter \(p=0{,}05\) höchstens \(5\,\%\) beträgt. - Berechne den Fehler 2. Art im Nichtablehnungsbereich unter \(p=0{,}12\).

1. Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}05}(X\geq k)\leq0{,}05\) gilt. Gleichwertig ist \(P_{0{,}05}(X\leq k-1)\geq0{,}95\). 2. Für \(X\sim B(120;0{,}05)\) gilt \(P(X\leq9)\approx0{,}9214\) und \(P(X\leq10)\approx0{,}9616\). Daher ist \(k=11\). Bei mindestens \(11\) unzufriedenen Befragten wird \(H_0\) verworfen. 3. Bei \(p=0{,}12\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\leq10\) gilt. Somit ist \(\beta=P_{0{,}12}(X\leq10)\approx0{,}1344\).

1. \(H_0\) wird bei mindestens \(11\) unzufriedenen Befragten verworfen. 2. \(\beta\approx13{,}44\,\%\).

- Welche Abweichung von „mindestens \(90\,\%\)“ soll statistisch gestützt werden? - Welche Seite der Verteilung ist relevant? - Vergleiche bei den Fehlerarten jeweils Wahrheit und Testentscheidung.

1. Es gilt \(H_0:p\ge0{,}9\) gegen \(H_1:p<0{,}9\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}9\) ist \(P(X\le84)\approx0{,}0399\) und \(P(X\le85)\approx0{,}0726\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;84\}\). 3. Fehler 1. Art: Die Produktionsqualität wird beanstandet, obwohl tatsächlich \(p\ge0{,}9\) gilt. Fehler 2. Art: Eine tatsächlich niedrigere Erfolgsquote wird nicht erkannt.

a) \(H_0:p\ge0{,}9\); \(H_1:p<0{,}9\) b) \(K=\{0;1;\dots;84\}\) c) Fehler 1. Art: falsche Beanstandung einer ausreichenden Erfolgsquote. Fehler 2. Art: eine tatsächlich zu niedrige Erfolgsquote wird nicht erkannt.

- Definiere zuerst genau, was als erfolgreiche Behandlung zählt. - Eine vermutete Erfolgsquote über dem Referenzwert führt zu einem rechtsseitigen Test. - Verwende für den kritischen Wert den Randwert \(p=0{,}6\). - Berechne den Fehler 2. Art im Nichtablehnungsbereich unter \(p=0{,}8\).

1. Um eine Erfolgsquote über \(60\,\%\) nachzuweisen, wird \(H_0:p\leq0{,}6\) gegen \(H_1:p>0{,}6\) getestet. 2. Innerhalb von \(H_0\) ist die Wahrscheinlichkeit großer Werte von \(X\) am Randwert \(p=0{,}6\) am größten. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}6}(X\geq k)\leq0{,}05\) gilt. Gleichwertig ist \(P_{0{,}6}(X\leq k-1)\geq0{,}95\). 3. Für \(X\sim B(50;0{,}6)\) gilt \(P(X\leq35)\approx0{,}9460\) und \(P(X\leq36)\approx0{,}9720\). Daher ist \(k=37\), und \(H_0\) wird bei \(X\geq37\) verworfen. 4. Bei \(p=0{,}8\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\leq36\) gilt. Somit ist \(\beta=P_{0{,}8}(X\leq36)\approx0{,}1106\).

a) \(H_0:p\leq0{,}6\); \(H_1:p>0{,}6\). b) \(H_0\) wird bei mindestens \(37\) erfolgreichen Behandlungen verworfen; \(K=\{37,38,\dots,50\}\). c) \(\beta\approx11{,}06\,\%\).

- Eine vermutete höhere Unterfüllungsquote führt zu einem rechtsseitigen Test. - Suche den kleinsten kritischen Wert, dessen obere Randwahrscheinlichkeit am Randwert \(p=0{,}08\) höchstens \(10\,\%\) beträgt. - Berechne den Fehler 2. Art im Nichtablehnungsbereich unter \(p=0{,}15\).

1. Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. Innerhalb von \(H_0\) ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit am Randwert \(p=0{,}08\) am größten. 2. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}08}(X\geq k)\leq0{,}10\) gilt. Gleichwertig ist \(P_{0{,}08}(X\leq k-1)\geq0{,}90\). 3. Für \(X\sim B(150;0{,}08)\) gilt \(P(X\leq15)\approx0{,}8536\) und \(P(X\leq16)\approx0{,}9078\). Daher ist \(k=17\), und der Ablehnungsbereich ist \(K=\{17,18,\dots,150\}\). 4. Bei \(p=0{,}15\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\leq16\) gilt. Somit ist \(\beta=P_{0{,}15}(X\leq16)\approx0{,}0807\).

a) \(H_0\) wird bei mindestens \(17\) unterfüllten Flaschen verworfen. b) \(\beta\approx8{,}07\,\%\).

- Welche Seite des Tests passt zur vermuteten Unterschreitung? - Warum ist die tatsächlich erreichte Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit nicht zwingend genau \(5\,\%\)? - Welcher Bereich führt beim konkreten Alternativwert zu Fehler 2. Art?

1. Am Randwert \(p_0=0{,}80\) ist \(P(X\le72)\approx0{,}0342\) und \(P(X\le73)\approx0{,}0558\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;72\}\). 2. Die tatsächlich erreichte Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art beträgt \(\alpha\approx0{,}0342=3{,}42\,\%\). 3. Für \(p_1=0{,}70\) ist der Nichtablehnungsbereich \(X\ge73\). Daher ist \(\beta\approx0{,}2964\).

a) \(K=\{0;1;\dots;72\}\) b) \(\alpha\approx3{,}42\,\%\) c) \(\beta\approx29{,}64\,\%\)

- Eine vermutete höhere Untergewichtsquote führt zu einem rechtsseitigen Test. - Verwende für den kritischen Wert den Randwert \(p=0{,}10\). - Berechne Fehler 2. Art im Nichtablehnungsbereich unter \(p=0{,}15\). - Die Nichtablehnung bedeutet nicht, dass die Herstellerangabe sicher bewiesen ist.

1. Die Zufallsgröße \(X\) zählt die untergewichtigen Riegel. Für den rechtsseitigen Test ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit innerhalb von \(H_0\) am Randwert \(p=0{,}10\) am größten. 2. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}10}(X\geq k)\leq0{,}10\) gilt. Für \(X\sim B(80;0{,}10)\) gilt \(P(X\leq11)\approx0{,}8996\) und \(P(X\leq12)\approx0{,}9462\). Daher ist \(k=13\), und \(K=\{13,14,\dots,80\}\). 3. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn die Herstellerangabe verworfen wird, obwohl höchstens \(10\,\%\) der Riegel untergewichtig sind. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn sie nicht verworfen wird, obwohl die tatsächliche Quote über \(10\,\%\) liegt. 4. Bei \(p=0{,}15\) ist der Nichtablehnungsbereich \(X\leq12\). Daher ist \(\beta=P_{0{,}15}(X\leq12)\approx0{,}5762\).

a) \(K=\{13,14,\dots,80\}\). b) Fehler 1. Art: Eine zulässige Quote wird fälschlicherweise beanstandet. Fehler 2. Art: Eine tatsächlich zu hohe Quote wird nicht erkannt. c) \(\beta\approx57{,}62\,\%\).

- Welche höhere Defektquote soll statistisch gestützt werden? - Welche Grenzwahrscheinlichkeiten bestimmen den ersten Wert in \(K\)? - Was bedeutet Fehler 1. Art für eine tatsächlich zulässige Lieferung?

1. Es gilt \(H_0:p\le0{,}02\) gegen \(H_1:p>0{,}02\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}02\) ist \(P(X\le14)\approx0{,}9186\) und \(P(X\le15)\approx0{,}9530\). Daher ist \(K=\{16;17;\dots;500\}\). 3. Für \(p_1=0{,}05\) ist \(\beta=P(X\le15)\approx0{,}0199\). 4. Bei Fehler 1. Art wird eine Lieferung beanstandet, obwohl tatsächlich \(p\le0{,}02\) gilt; unnötige Reklamations-, Rücksende- oder Prüfkosten können folgen.

1. \(H_0:p\le0{,}02\); \(H_1:p>0{,}02\) 2. \(K=\{16;17;\dots;500\}\) 3. \(\beta\approx1{,}99\,\%\) 4. Eine zulässige Lieferung wird fälschlich beanstandet; unnötige Kosten können entstehen.

- Schreibe Ablehnungs- und Nichtablehnungsbereich aus dem kritischen Wert \(28\) auf. - Berechne \(\alpha\) unter \(p=0{,}10\) und \(\beta\) unter \(p=0{,}18\). - Überlege, wie sich beide Bereiche verändern, wenn der kritische Wert kleiner wird.

1. Der Ablehnungsbereich ist \(X\geq28\). Unter \(p=0{,}10\) ist die Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit \(\alpha=P_{0{,}10}(X\geq28)=1-P_{0{,}10}(X\leq27)\approx0{,}0434\). 2. Bei \(p=0{,}18\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\leq27\) gilt. Daher ist \(\beta=P_{0{,}18}(X\leq27)\approx0{,}0551\). 3. Um \(\beta\) zu verringern, muss der kritische Wert gesenkt werden. Dann wird der Ablehnungsbereich größer und der Nichtablehnungsbereich kleiner. Dadurch steigt die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art.

1. \(\alpha\approx4{,}34\,\%\). 2. \(\beta\approx5{,}51\,\%\). 3. Der kritische Wert muss gesenkt werden; dadurch steigt \(\alpha\).

- Eine vermutete niedrigere Keimrate führt zu einem linksseitigen Test. - Verwende für den Ablehnungsbereich den Randwert \(p=0{,}90\). - Berechne den Fehler 2. Art im Nichtablehnungsbereich unter \(p=0{,}85\). - Ein kleineres Signifikanzniveau verlangt einen kleineren Ablehnungsbereich.

1. Es handelt sich um einen linksseitigen Test. Innerhalb von \(H_0\) ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit am Randwert \(p_0=0{,}90\) am größten. Gesucht ist der größte Wert \(k\), für den \(P_{0{,}90}(X\le k)\le0{,}10\) gilt. 2. Für \(X\sim B(200;0{,}90)\) gilt \(P(X\le173)\approx0{,}0672\) und \(P(X\le174)\approx0{,}1005\). Daher ist der Ablehnungsbereich \(K=\{0;1;\dots;173\}\). 3. Beim konkreten Alternativwert \(p_1=0{,}85\) tritt Fehler 2. Art ein, wenn \(X\ge174\) gilt. Somit ist \(\beta=P_{0{,}85}(X\ge174)\approx0{,}2480\). 4. Wird das Signifikanzniveau verkleinert, muss der Ablehnungsbereich kleiner werden. Dadurch wird \(H_0\) seltener abgelehnt, sodass die Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art bei einem festen konkreten Alternativwert typischerweise steigt.

1. \(K=\{0,1,\dots,173\}\). 2. \(\beta\approx24{,}80\,\%\). 3. Bei kleinerem Signifikanzniveau steigt hier das Risiko für einen Fehler 2. Art.

- Eine vermutete Zunahme führt zu einem rechtsseitigen Test. - Verwende für den Ablehnungsbereich den Randwert \(p=0{,}005\). - Berechne den Fehler 2. Art im Nichtablehnungsbereich unter \(p=0{,}008\). - Unterscheide den statistischen Nachweis einer Veränderung von einer Erklärung ihrer Ursache.

1. Da eine Erhöhung vermutet wird, gilt \(H_0:p\leq0{,}005\) und \(H_1:p>0{,}005\). 2. Innerhalb von \(H_0\) ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit am Randwert \(p=0{,}005\) am größten. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}005}(X\geq k)\leq0{,}05\) gilt. 3. Für \(X\sim B(4000;0{,}005)\) gilt \(P(X\leq27)\approx0{,}9480\) und \(P(X\leq28)\approx0{,}9660\). Daher ist \(k=29\), und der Ablehnungsbereich ist \(K=\{29,30,\dots,4000\}\). 4. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn auf einen erhöhten Anteil geschlossen wird, obwohl \(p\leq0{,}005\) gilt. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn eine tatsächliche Erhöhung nicht erkannt wird. 5. Bei \(p=0{,}008\) ist der Nichtablehnungsbereich \(X\leq28\). Daher ist \(\beta=P_{0{,}008}(X\leq28)\approx0{,}2732\). 6. Selbst ein statistisch nachgewiesener höherer Anteil zeigt nur eine Veränderung des Anteils. Ohne zusätzliche Studiendaten kann daraus keine bestimmte Ursache, etwa ein Umweltfaktor, abgeleitet werden.

a) \(H_0:p\leq0{,}005\); \(H_1:p>0{,}005\). b) \(K=\{29,30,\dots,4000\}\). c) Fehler 1. Art: Eine Erhöhung wird festgestellt, obwohl keine vorliegt. Fehler 2. Art: Eine tatsächliche Erhöhung wird nicht erkannt. d) \(\beta\approx27{,}32\,\%\). Der Test weist keine Ursache für eine mögliche Erhöhung nach.

- Eine vermutete Abnahme führt zu einem linksseitigen Test. - Verwende für den Ablehnungsbereich den Randwert \(p=0{,}20\). - Berechne den Fehler 2. Art im Nichtablehnungsbereich unter \(p=0{,}12\).

1. Es handelt sich um einen linksseitigen Test. Innerhalb von \(H_0\) ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit am Randwert \(p=0{,}20\) am größten. Gesucht ist der größte Wert \(k\), für den \(P_{0{,}20}(X\leq k)\leq0{,}10\) gilt. 2. Für \(X\sim B(100;0{,}20)\) gilt \(P(X\leq14)\approx0{,}0804\) und \(P(X\leq15)\approx0{,}1285\). Daher wird \(H_0\) bei \(X\leq14\) verworfen; der Nichtablehnungsbereich ist \(X\geq15\). 3. Bei \(p=0{,}12\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\geq15\) gilt. Somit ist \(\beta=P_{0{,}12}(X\geq15)=1-P_{0{,}12}(X\leq14)\approx0{,}2160\).

1. \(H_0\) wird verworfen, wenn höchstens \(14\) der befragten Haushalte mit Holz heizen. 2. \(\beta\approx21{,}60\,\%\).

- Welche geringere Erfolgsquote soll statistisch gestützt werden? - Welche Seite der Verteilung ist für \(K\) relevant? - Welcher Nichtablehnungsbereich führt beim konkreten Alternativwert zu Fehler 2. Art?

1. Es gilt \(H_0:p\ge0{,}95\) gegen \(H_1:p<0{,}95\). Am Randwert ist \(P(X\le90)\approx0{,}0282\) und \(P(X\le91)\approx0{,}0631\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;90\}\). 2. \(\alpha=P_{0{,}95}(X\le90)\approx0{,}0282=2{,}82\,\%\). 3. Für \(p_1=0{,}90\) gilt \(\beta=P(X\ge91)\approx0{,}4513\).

1. \(H_0:p\ge0{,}95\); \(H_1:p<0{,}95\); \(K=\{0;1;\dots;90\}\) 2. \(\alpha\approx2{,}82\,\%\) 3. \(\beta\approx45{,}13\,\%\)

- Welche hohen Defektzahlen sprechen gegen \(H_0\)? - Vergleiche bei den Fehlerarten jeweils wahren Zustand und Testentscheidung. - Welcher Bereich ist beim konkreten Alternativwert für \(\beta\) relevant?

1. Am Randwert \(p_0=0{,}05\) ist \(P(X\le6)\approx0{,}8947\) und \(P(X\le7)\approx0{,}9534\). Daher ist \(K=\{8;9;\dots;80\}\). 2. Fehler 1. Art: Die Lieferung wird fälschlich beanstandet, obwohl \(p\le0{,}05\) gilt. Fehler 2. Art: Eine tatsächlich erhöhte Defektquote wird nicht erkannt. 3. Für \(p_1=0{,}12\) ist \(\beta=P(X\le7)\approx0{,}2416\).

a) \(K=\{8;9;\dots;80\}\) b) Fehler 1. Art: falsche Beanstandung einer zulässigen Quote. Fehler 2. Art: eine erhöhte Quote wird nicht erkannt. c) \(\beta\approx24{,}16\,\%\)

- Schreibe Ablehnungs- und Nichtablehnungsbereich aus der Grenze \(42\) auf. - Berechne \(\alpha\) unter \(p=0{,}8\) und \(\beta\) unter \(p=0{,}65\). - Ein kleinerer Ablehnungsbereich senkt den Fehler 1. Art, vergrößert aber den Nichtablehnungsbereich.

1. Der Ablehnungsbereich ist \(X\le42\). Innerhalb von \(H_0\) ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit am Randwert \(p_0=0{,}8\) am größten. Daher ist \(\alpha=P_{0{,}8}(X\le42)\approx0{,}0427\). 2. Beim konkreten Alternativwert \(p_1=0{,}65\) tritt Fehler 2. Art ein, wenn \(H_0\) nicht abgelehnt wird, also wenn \(X\ge43\) gilt. Somit ist \(\beta=P_{0{,}65}(X\ge43)\approx0{,}1721\). 3. Um \(\alpha\) zu verringern, muss der kritische Wert gesenkt werden, sodass der Ablehnungsbereich kleiner wird. Dadurch vergrößert sich der Nichtablehnungsbereich und \(\beta\) steigt beim betrachteten Alternativwert.

a) \(\alpha\approx4{,}27\,\%\). b) \(\beta\approx17{,}21\,\%\). c) Der kritische Wert muss gesenkt werden; dadurch steigt \(\beta\).

- Welche Abweichung von der angegebenen Mängelquote soll statistisch gestützt werden? - Warum kann die tatsächlich erreichte Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit kleiner als die nominale Obergrenze sein? - Welcher Bereich gehört beim konkreten Alternativwert zu Fehler 2. Art?

1. Es gilt \(H_0:p\le0{,}04\) gegen \(H_1:p>0{,}04\). Am Randwert ist \(P(X\le12)\approx0{,}9401\) und \(P(X\le13)\approx0{,}9688\). Daher ist \(K=\{14;15;\dots;200\}\). 2. \(\alpha=P_{0{,}04}(X\ge14)\approx0{,}0312=3{,}12\,\%\). 3. Für \(p_1=0{,}10\) gilt \(\beta=P(X\le13)\approx0{,}0566\).

1. \(H_0:p\le0{,}04\); \(H_1:p>0{,}04\); \(K=\{14;15;\dots;200\}\) 2. \(\alpha\approx3{,}12\,\%\) 3. \(\beta\approx5{,}66\,\%\)

- Welche Abweichung von der Angabe des Verkehrsunternehmens ist für den linksseitigen Test relevant? - Welcher Bereich entspricht dem Nichtablehnungsbereich? - Verwende in Teil 3 den konkreten Alternativwert \(p_1=0{,}60\).

1. Am Randwert \(p_0=0{,}75\) ist \(P(X\le68)\approx0{,}0693\) und \(P(X\le69)\approx0{,}1038\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;68\}\). 2. Fehler 2. Art bedeutet, dass \(H_0\) nicht abgelehnt wird, obwohl die tatsächliche Zufriedenheitsquote unter \(75\,\%\) liegt. 3. Für \(p_1=0{,}60\) gilt \(\beta=P(X\ge69)\approx0{,}0398\).

1. \(K=\{0;1;\dots;68\}\) 2. Eine tatsächlich niedrigere Zufriedenheitsquote wird nicht erkannt. 3. \(\beta\approx3{,}98\,\%\)

- Welche geringere Quote soll statistisch gestützt werden? - Welcher Randwert ist für den Ablehnungsbereich maßgeblich? - Welcher Bereich führt beim konkreten Alternativwert zu Fehler 2. Art?

1. Es gilt \(H_0:p\ge0{,}35\) gegen \(H_1:p<0{,}35\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}35\) ist \(P(X\le42)\approx0{,}0417\) und \(P(X\le43)\approx0{,}0601\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;42\}\). 3. \(\alpha\approx0{,}0417=4{,}17\,\%\). 4. Für \(p_1=0{,}25\) ist \(\beta=P(X\ge43)\approx0{,}1724\).

a) \(H_0:p\ge0{,}35\); \(H_1:p<0{,}35\) b) \(K=\{0;1;\dots;42\}\) c) \(\alpha\approx4{,}17\,\%\) d) \(\beta\approx17{,}24\,\%\)

- Welche höhere Quote soll statistisch gestützt werden? - Welche obere Randwahrscheinlichkeit bestimmt den Ablehnungsbereich? - Welcher Bereich entspricht beim konkreten Alternativwert dem Fehler 2. Art?

1. Es gilt \(H_0:p\le0{,}12\) gegen \(H_1:p>0{,}12\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}12\) ist \(P(X\le38)\approx0{,}9471\) und \(P(X\le39)\approx0{,}9639\). Daher ist \(K=\{40;41;\dots;250\}\). 3. \(\alpha=P_{0{,}12}(X\ge40)\approx0{,}0361=3{,}61\,\%\). 4. Für \(p_1=0{,}18\) ist \(\beta=P(X\le39)\approx0{,}1834\).

a) \(H_0:p\le0{,}12\); \(H_1:p>0{,}12\) b) \(K=\{40;41;\dots;250\}\) c) \(\alpha\approx3{,}61\,\%\) d) \(\beta\approx18{,}34\,\%\)

- Was bedeutet der Funktionswert \(G(p)\) für die Testentscheidung? - Für welche Werte von \(p\) ist die Nullhypothese wahr? - Wie erhältst du aus der Ablehnungswahrscheinlichkeit beim konkreten Alternativwert die Wahrscheinlichkeit für Nichtablehnung?

1. Für \(H_0:p\ge0{,}4\) ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit im Nullbereich am Randwert \(p_0=0{,}4\) maximal, weil \(G(p)\) hier mit wachsendem \(p\) fällt. Aus dem Graphen liest man \(G(0{,}4)\approx0{,}05\). Daher beträgt die maximale Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art etwa \(5\,\%\). 2. Bei \(p_1=0{,}2\) ist \(H_0\) falsch; möglich ist Fehler 2. Art. Aus dem Graphen ist \(G(0{,}2)\approx0{,}63\). Somit ist \(\beta=1-G(0{,}2)\approx0{,}37\).

a) Etwa \(5\,\%\) bei \(p_0=0{,}4\). b) Fehler 2. Art; \(\beta\approx37\,\%\).

- Lies zuerst die ausdrücklich dargestellten Parameterwerte und die markierten Zählwertbereiche ab. - Vergleiche jeden markierten Bereich mit \(K\) beziehungsweise dem Nichtablehnungsbereich. - Entscheidend für die Fehlerart ist die Kombination aus wahrem Parameterwert und Testentscheidung.

1. Im Diagramm mit \(p=0{,}30\) umfasst A die Zählwerte \(10\) bis \(20\), also den Ablehnungsbereich \(K\). 2. Im Diagramm mit \(p=0{,}50\) umfasst B die Zählwerte \(0\) bis \(9\), also den Nichtablehnungsbereich. 3. Bei \(p_0=0{,}30\) beschreibt A die Ablehnung einer wahren Nullhypothese und damit \(\alpha\). 4. Beim konkreten Alternativwert \(p_1=0{,}50\) beschreibt B die Nichtablehnung einer falschen Nullhypothese und damit \(\beta\).

a) A: \(p=0{,}30\), Zählwerte \(10\) bis \(20\). B: \(p=0{,}50\), Zählwerte \(0\) bis \(9\). b) A beschreibt \(\alpha\); B beschreibt \(\beta\).

- Prüfe im ersten Diagramm getrennt den dargestellten Parameterwert und den markierten Bereich. - Prüfe im zweiten Diagramm, welche Testentscheidung der markierte Bereich auslöst. - Ordne jedem Fehlertyp zuerst „wahrer Parameterzustand“ und „falsche Entscheidung“ zu.

1. Im ersten Diagramm ist der markierte Bereich \(14\) bis \(30\) für Fehler 1. Art richtig, aber der Parameterwert ist falsch: Statt \(p=0{,}35\) muss am Randwert der Nullhypothese \(p_0=0{,}30\) verwendet werden. 2. Im zweiten Diagramm ist \(p=0{,}45\) für den konkreten Alternativwert richtig, aber der markierte Bereich ist falsch: Für Fehler 2. Art muss der Nichtablehnungsbereich \(0\) bis \(13\) markiert werden, nicht \(K\). 3. Die erste Korrektur betrifft den wahren Parameterwert bei Fehler 1. Art; die zweite die falsche Testentscheidung bei Fehler 2. Art.

a) Erstes Diagramm: falscher Parameterwert. Zweites Diagramm: falscher markierter Bereich. b) Fehler 1. Art: \(B(30;0{,}30)\), markiert \(14\) bis \(30\). Fehler 2. Art: \(B(30;0{,}45)\), markiert \(0\) bis \(13\). c) \(\alpha\) betrachtet Ablehnung am Randwert von \(H_0\); \(\beta\) betrachtet Nichtablehnung beim konkreten Alternativwert.

- Berechne zuerst \(\mu_0\) und \(\sigma_0\) für die ursprüngliche Quote. - Welche ganzzahligen Defektzahlen erfüllen die vorgegebene Verbesserungsregel? - Welche Binomialverteilung gilt für die abschließende Wahrscheinlichkeit unter \(p_1\)?

1. Für den ursprünglichen Zustand ist \(\mu_0=250\cdot0{,}08=20\) und \(\sigma_0=\sqrt{250\cdot0{,}08\cdot0{,}92}\approx4{,}2895\). 2. Die Erfolgsgrenze ist \(X\le\mu_0-1{,}5\sigma_0=13{,}5657\). Da \(X\) ganzzahlig ist, wird die Verbesserung bei \(X\le13\) erkannt. 3. Unter dem neuen Modell gilt \(X\sim B(250;0{,}04)\). „Nicht erkannt“ bedeutet \(X>13\). 4. Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X>13)=1-P(X\le13)\approx0{,}131050\).

\(13{,}10\,\%\)

- Welche Behauptung soll geschützt werden? Das ist meist die Nullhypothese. - Achte bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit genau auf die Grenze des Ablehnungsbereichs. - Überlege dir, welche Konsequenzen eine Fehlentscheidung für den Käufer und den Verkäufer hat. - Erinnere dich an die Bedingungen einer Bernoulli-Kette: Konstante Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit.

1. Die Testgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der mangelhaften Zellen in der Stichprobe. Die Nullhypothese lautet \(H_0: p \le 0{,}1\) (Angabe des Herstellers), die Gegenhypothese \(H_1: p > 0{,}1\). 2. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn \(H_0\) abgelehnt wird, obwohl \(p = 0{,}1\) gilt. Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{16, 17, \dots, 100\}\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P_{100; 0{,}1}(X \ge 16) = 1 - P(X \le 15) \approx 1 - 0{,}9601 = 0{,}0399\). 3. Fehler 1. Art: Der Hersteller wird benachteiligt, da seine den Herstellerangaben entsprechende Lieferung fälschlicherweise als mangelhaft eingestuft wird. Fehler 2. Art: Der Abnehmer wird benachteiligt, da er eine Lieferung mit zu vielen Mängeln fälschlicherweise akzeptiert. 4. Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn \(X \le 15\) unter der Bedingung \(p = 0{,}2\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P_{100; 0{,}2}(X \le 15) \approx 0{,}1285\). 5. Mögliche Probleme: Die Trefferwahrscheinlichkeit könnte sich ändern (z. B. durch Serienfehler in der Produktion, wodurch Mängel gehäuft auftreten), oder die Ziehungen sind nicht unabhängig (z. B. wenn Zellen direkt nacheinander vom selben Band genommen werden).

a) \(H_0: p \le 0{,}1\); \(H_1: p > 0{,}1\); \(X\): Anzahl mangelhafter Zellen. b) \(P(\text{Fehler 1. Art}) \approx 3{,}99\,\%\). c) Fehler 1. Art: Hersteller; Fehler 2. Art: Abnehmer. d) \(P(\text{Fehler 2. Art}) \approx 12{,}85\,\%\). e) Mögliche Abhängigkeit der Mängel oder schwankende Produktionsqualität.

- Was bedeutet ein leerer Ablehnungsbereich für jede mögliche Testentscheidung? - Welcher Bereich muss leer sein, damit ein Fehler 2. Art unmöglich wird? - Prüfe in den Extremfällen, was dann mit der jeweils anderen Fehlerwahrscheinlichkeit geschieht.

1. \(\alpha=P_{0{,}1}(X\ge5)\approx0{,}0432\); \(\beta=P_{0{,}3}(X\le4)\approx0{,}2375\). 2. Bei \(K=\emptyset\) wird \(H_0\) nie abgelehnt. Daher ist \(\alpha=0\) und \(\beta=1\). 3. Für \(\beta=0\) muss der Nichtablehnungsbereich leer sein. Daher ist \(K=\{0;1;\dots;20\}\) und \(\alpha=1\).

1. \(\alpha\approx4{,}32\,\%\); \(\beta\approx23{,}75\,\%\) 2. \(\alpha=0\); \(\beta=1\) 3. \(K=\{0;1;\dots;20\}\); \(\alpha=1\)

- Welche geringere Heilungsquote soll statistisch gestützt werden? - Für Fehler 2. Art ist der Nichtablehnungsbereich beim konkreten Alternativwert maßgeblich. - Unterscheide in Teil d) das vorgegebene Signifikanzniveau von der tatsächlich erreichten Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit.

1. Es gilt \(H_0:p\ge0{,}75\) gegen \(H_1:p<0{,}75\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}75\) ist \(P(X\le78)\approx0{,}0093\) und \(P(X\le79)\approx0{,}0155\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;78\}\). 3. Für \(p_1=0{,}60\) ist \(\beta=P(X\ge79)\approx0{,}1123=11{,}23\,\%\). 4. Bei größerem \(n\) lassen sich die Verteilungen für \(p_0\) und \(p_1\) besser trennen; \(\beta\) sinkt typischerweise. Das nominale Signifikanzniveau bleibt \(1\,\%\), doch die ganzzahlige kritische Grenze wird neu gewählt, sodass die tatsächlich erreichte Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art einen anderen Wert unterhalb der Vorgabe annehmen kann.

a) \(H_0:p\ge0{,}75\); \(H_1:p<0{,}75\) b) \(K=\{0;1;\dots;78\}\) c) \(\beta\approx11{,}23\,\%\) d) \(\beta\) sinkt typischerweise; die tatsächlich erreichte Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit kann sich wegen der diskreten Grenzwahl ändern.

- Überlege dir, welche Verteilung hier vorliegt und welche Parameter \(n\) und \(p\) jeweils gegeben sind. - Was bedeutet „mehr als die Hälfte“ bei 40 Samen mathematisch für die Zufallsgröße? - Denke bei der Entscheidungsregel daran, welche Sorte fälschlicherweise angenommen wird und welche Wahrscheinlichkeit daher für die Berechnung von \(k\) relevant ist. - Was passiert mit der Irrtumswahrscheinlichkeit, wenn du die Grenze \(k\) verschiebst? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen einem Signifikanztest und einer einfachen Wahl zwischen zwei Hypothesen.

1. Berechnung für Teilaufgabe a): Sei \(X\) die Anzahl der keimenden Samen. Es gilt \(n = 40\). Für Sorte A (\(p = 0{,}7\)): \(P(X > 20) = 1 - P(X \le 20) \approx 1 - 0{,}0063 = 0{,}9937\) \(P(X < 20) = P(X \le 19) \approx 0{,}0024\) Für Sorte B (\(p = 0{,}3\)): \(P(X > 20) = 1 - P(X \le 20) \approx 1 - 0{,}9976 = 0{,}0024\) \(P(X < 20) = P(X \le 19) \approx 0{,}9937\) 2. Bestimmung von \(k\) für Teilaufgabe b): Gesucht ist das kleinste \(k\), sodass unter der Annahme von Sorte B (\(p = 0{,}3\)) gilt: \(P(X \ge k) \le 0{,}05\). Dies ist äquivalent zu \(1 - P(X \le k-1) \le 0{,}05\) bzw. \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\). Laut Tabelle der Binomialverteilung für \(n = 40, p = 0{,}3\) ist \(P(X \le 16) \approx 0{,}9367\) und \(P(X \le 17) \approx 0{,}9680\). Somit muss \(k-1 = 17\) gelten, woraus \(k = 18\) folgt. 3. Berechnung für Teilaufgabe c): Ein Fehler unter Sorte A tritt auf, wenn \(X < 18\). \(P(X \le 17)\) für \(p = 0{,}7\): \(P(X \le 17) \approx 0{,}000275\). 4. Begründung für Teilaufgabe d): Die Wahl einer Nullhypothese bewirkt im statistischen Test eine Asymmetrie, da die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (\(\alpha\)) kontrolliert und klein gehalten wird, während der Fehler 2. Art (\(\beta\)) meist nicht direkt kontrolliert wird. Da hier beide Sorten „gleichberechtigt“ nebeneinanderstehen und keine Sorte als Standard oder gesicherte Annahme (Status Quo) fungiert, ist die einseitige Festlegung einer Nullhypothese willkürlich und benachteiligt eine der beiden Fehlentscheidungen.

a) Sorte A: \(P(X > 20) \approx 99{,}37\,\%\), \(P(X < 20) \approx 0{,}24\,\%\). Sorte B: \(P(X > 20) \approx 0{,}24\,\%\), \(P(X < 20) \approx 99{,}37\,\%\). b) Der kleinstmögliche Wert ist \(k = 18\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}0275\,\%\). d) Ein Signifikanztest schützt die Nullhypothese einseitig. Da hier beide Fälle symmetrisch sind, ist die Priorisierung einer Sorte als \(H_0\) ohne sachlichen Grund willkürlich.

- Achte darauf, ob es sich um einen links- oder rechtsseitigen Test handelt. Werden kleine oder große Werte kritisch gesehen? - Verwende für die Bestimmung des Ablehnungsbereichs immer den Wert aus der Nullhypothese. - Der Fehler 2. Art berechnet sich immer mit der Wahrscheinlichkeit der tatsächlichen (alternativen) Quote über den Bereich, in dem die Nullhypothese NICHT abgelehnt wird. - Wie wirkt sich eine größere Datenbasis allgemein auf die Genauigkeit eines Tests aus?

1. Entscheidungsregel: \(H_0: p \ge 0{,}80\) gegen \(H_1: p < 0{,}80\). Gesucht ist das größte \(k\), für das \(P(X \le k) \le 0{,}01\) unter \(p = 0{,}80\) gilt. Bei \(n = 250\) liefert die Binomialverteilung \(P(X \le 184) \approx 0{,}0086\) und \(P(X \le 185) \approx 0{,}0127\). Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{0, 1, \dots, 184\}\). Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn höchstens 184 Sendungen pünktlich sind. 2. Fehler 2. Art: Man geht fälschlicherweise davon aus, dass die Pünktlichkeitsrate mindestens \(80\,\%\) beträgt (verwirft \(H_0\) nicht), obwohl sie in Wahrheit geringer ist. 3. Berechnung \(\beta\) für \(n = 250, p = 0{,}75\): Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn \(X\) im Nichtablehnungsbereich \(\bar{K} = \{185, \dots, 250\}\) liegt. \(\beta = P(X \ge 185) = 1 - P(X \le 184)\) für \(B(250; 0{,}75)\). Ergebnis: \(\beta \approx 1 - 0{,}3271 = 0{,}6729\). 4. Erhöhung auf \(n = 500\): Neuer Ablehnungsbereich für \(p = 0{,}80\): \(P(X \le 378) \approx 0{,}0092\) und \(P(X \le 379) \approx 0{,}0123\). Also \(K_{neu} = \{0, \dots, 378\}\). Fehler 2. Art für \(p = 0{,}75\): \(\beta_{neu} = P(X \ge 379) = 1 - P(X \le 378)\) für \(B(500; 0{,}75)\). Ergebnis: \(\beta_{neu} \approx 1 - 0{,}6383 = 0{,}3617\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art sinkt deutlich von ca. \(67{,}3\,\%\) auf ca. \(36{,}2\,\%\).

a) Ablehnungsbereich \(K = \{0, 1, \dots, 184\}\). b) Die Werbeaussage des Lieferdienstes wird nicht verworfen, obwohl die tatsächliche Pünktlichkeitsrate niedriger ist als behauptet. c) \(\beta \approx 67{,}29\,\%\) d) Bei \(n = 500\) sinkt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art auf \(\beta \approx 36{,}17\,\%\).

- Welche Kurve wechselt schneller von kleiner zu großer Ablehnungswahrscheinlichkeit? - Wo liegt der Randwert der Nullhypothese? - Wie hängt \(\beta\) beim konkreten Alternativwert mit \(G(p_1)\) zusammen?

1. \(G_B\) verläuft steiler und gehört zum größeren Stichprobenumfang, weil die Testentscheidung bei größerem \(n\) trennschärfer wird. 2. Am Randwert liest man \(G_A(0{,}3)\approx0{,}05\) und \(G_B(0{,}3)\approx0{,}05\). Beide Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeiten liegen also nahe \(5\,\%\). 3. Bei \(p_1=0{,}45\) ist \(G_A\approx0{,}65\) und \(G_B\approx0{,}90\). Daher ist \(\beta_A\approx0{,}35\) und \(\beta_B\approx0{,}10\). Test B ist besser geeignet.

a) \(G_B\) b) Beide etwa \(5\,\%\) c) Test B; \(\beta_B\approx0{,}10<\beta_A\approx0{,}35\).

- Übersetze jede Risikoanforderung zuerst in eine eigene Ungleichung für \(k\). - Wie verändert sich \(\alpha\), wenn die Untergrenze \(k\) des rechtsseitigen Ablehnungsbereichs steigt? - Wie verändert sich beim festen Alternativwert der Nichtablehnungsbereich und damit \(\beta\), wenn \(k\) steigt? - Es genügt, die beiden benachbarten Grenzwerte zu prüfen, an denen die jeweilige Anforderung gerade kippt.

1. Für Fehler 1. Art ist am Randwert \(p_0=0{,}30\) die Bedingung \(P(X\ge k)\le0{,}05\) maßgeblich. Es gilt \(P(X\ge31)\approx0{,}05875>0{,}05\) und \(P(X\ge32)\approx0{,}03604\le0{,}05\). Daher verlangt die erste Bedingung \(k\ge32\). 2. Für Fehler 2. Art bei \(p_1=0{,}45\) gilt \(\beta=P(X\le k-1)\). Es ist für \(k=32\): \(P(X\le31)\approx0{,}15591\le0{,}20\). Für \(k=33\) gilt bereits \(P(X\le32)\approx0{,}21629>0{,}20\). Da \(\beta\) mit wachsendem \(k\) weiter zunimmt, verlangt die zweite Bedingung \(k\le32\). 3. Beide Bedingungen sind deshalb genau für \(k=32\) erfüllt. Der Ablehnungsbereich ist \(K=\{32;33;\dots;80\}\).

Nur \(k=32\) erfüllt beide Anforderungen. Dann ist \(K=\{32;33;\dots;80\}\), \(\alpha\approx3{,}60\,\%\) und \(\beta\approx15{,}59\,\%\).