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- Überlege dir, wie sich der Ablehnungsbereich verschiebt, wenn man strengere Anforderungen an die Beweislast stellt. - Denk an das Histogramm einer Binomialverteilung – kannst du jede beliebige Fläche unter den Balken exakt treffen? - Was passiert mit der Genauigkeit einer Schätzung, wenn man mehr Daten sammelt?

1. Aussage a) ist falsch. Ein kleineres \(\alpha\) führt zu einem kleineren Ablehnungsbereich. Dadurch wird es schwieriger, die Nullhypothese abzulehnen. Dies erhöht die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese beizubehalten, obwohl sie falsch ist (Fehler zweiter Art \(\beta\)). Es besteht typischerweise ein Zielkonflikt: \(\alpha\) runter \(\implies \beta\) rauf. 2. Aussage b) ist wahr. Da die Binomialverteilung diskret ist, springen die kumulierten Wahrscheinlichkeiten in Stufen. Man sucht das größte \(k\) (oder kleinste \(k\)), sodass die Irrtumswahrscheinlichkeit noch unterhalb von \(\alpha\) liegt. Meistens wird dieser Wert \(\alpha\) nicht genau getroffen, sondern unterschritten. 3. Aussage c) ist wahr. Eine größere Stichprobe liefert mehr Informationen und führt zu einer schmaleren Verteilung der Testgröße. Dadurch kann der Ablehnungsbereich so angepasst werden, dass die Trennschärfe des Tests steigt, wodurch \(\beta\) sinkt, während das Risiko \(\alpha\) kontrolliert bleibt (oder sogar ebenfalls sinkt, falls gewünscht).

a) Falsch. Eine Senkung von \(\alpha\) vergrößert im Allgemeinen den Fehler zweiter Art \(\beta\). b) Wahr. Aufgrund der Sprungstellen der diskreten Binomialverteilung wird \(\alpha\) meist nur unterschritten, aber nicht exakt erreicht. c) Wahr. Ein größerer Stichprobenumfang verbessert die Testgüte und ermöglicht die gleichzeitige Reduktion beider Fehlerrisiken.

- Überlege dir, welche Aussage als „Status Quo“ oder zu schützende Behauptung gilt. - Was passiert, wenn du eine richtige Behauptung irrtümlich ablehnst? - Was passiert, wenn du eine falsche Behauptung irrtümlich akzeptierst? - Denke an die wirtschaftlichen Folgen für die Firma und die Alltagserfahrungen der Nutzer.

1. Aufstellen der Hypothesen: Die Nullhypothese repräsentiert die Behauptung des Herstellers, also \(H_0: p \le 0{,}01\). Die Alternativhypothese des Skeptikers lautet \(H_1: p > 0{,}01\). 2. Beschreibung des Fehlers 1. Art: Man schließt fälschlicherweise auf eine zu hohe Fehlalarmquote (\(H_1\)), obwohl die tatsächliche Wahrscheinlichkeit höchstens \(1\,\%\) beträgt (\(H_0\) ist wahr). 3. Beschreibung des Fehlers 2. Art: Man erkennt eine erhöhte Fehlalarmquote nicht (\(H_0\) wird beibehalten), obwohl die tatsächliche Wahrscheinlichkeit in Wirklichkeit über \(1\,\%\) liegt (\(H_1\) ist wahr). 4. Konsequenzen: Ein Fehler 1. Art führt zu einer ungerechtfertigten Rufschädigung des Herstellers und eventuellen Kosten für unnötige Prüfverfahren. Ein Fehler 2. Art belastet die Verbraucher mit unzuverlässigen Geräten, was zu Frustration durch Fehlalarme oder im Extremfall zum Ignorieren echter Alarme führen kann.

a) \(H_0: p \le 0{,}01\); \(H_1: p > 0{,}01\) b) Fehler 1. Art: Die Fehlalarmquote wird als zu hoch eingestuft, obwohl sie innerhalb der Herstellerangabe liegt. Fehler 2. Art: Eine tatsächlich zu hohe Fehlalarmquote wird nicht entdeckt. c) Fehler 1. Art: Rufschädigung für den Hersteller. Fehler 2. Art: Unzuverlässige Geräte für den Verbraucher.

- Ein Fehler 1. Art passiert immer dann, wenn die Nullhypothese wahr ist, aber abgelehnt wird. - Überlege dir genau, was die Nullhypothese im Sinne des Herstellers bedeutet. - Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit musst du den ungünstigsten Fall der Nullhypothese betrachten (den Randwert). - Welche Werte für die Anzahl der funktionierenden Akkus führen dazu, dass man die Behauptung des Herstellers ablehnt?

1. Interpretation der Fehlerarten: Ein Fehler 1. Art (\(\alpha\)-Fehler) liegt vor, wenn man fälschlicherweise davon ausgeht, dass weniger als \(90\,\%\) der Akkus die Kapazität halten, obwohl die Herstellerangabe eigentlich korrekt ist (Irrtum zuungunsten des Herstellers). Ein Fehler 2. Art (\(\beta\)-Fehler) liegt vor, wenn man die Angabe des Herstellers akzeptiert, obwohl in Wirklichkeit weniger als \(90\,\%\) der Akkus die Kapazität besitzen (Irrtum zuungunsten der Kunden). 2. Berechnung des Fehlers 1. Art: Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Akkus mit ausreichender Kapazität. Es gilt \(X \sim B(100; 0{,}90)\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0, 1, \dots, 84\}\). Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art ist \(P(X \le 84)\) unter der Annahme \(p = 0{,}90\). Mithilfe der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 84) \approx 0{,}0399\).

a) Fehler 1. Art: Die Angabe wird als falsch eingestuft, obwohl sie wahr ist. Fehler 2. Art: Die Angabe wird nicht beanstandet, obwohl sie falsch ist. b) \(\alpha = P_{0{,}90}(X \le 84) \approx 0{,}0399\) (bzw. \(3{,}99\,\%\))

- Unterscheide bei Wahrscheinlichkeiten zwischen einer festen Reihenfolge und einer beliebigen Anordnung. - Überlege dir genau, welche Hypothese beim Fehler 1. Art und welche beim Fehler 2. Art als wahr angenommen wird. - Der Fehler 1. Art bezieht sich auf das fälschliche Ablehnen der Nullhypothese. - Bei der Suche nach einem Mindestumfang hilft oft das Gegenereignis „kein Treffer“. - Denk daran, dass sich bei Ungleichungen das Relationszeichen umkehrt, wenn du durch den Logarithmus einer Zahl kleiner als 1 dividierst.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für Aufgabenteil a: (1) Die Wahrscheinlichkeit für die spezifische Sequenz (defekt, defekt, 198-mal intakt) bei \(p = 0{,}05\) ist \(P = 0{,}05^2 \cdot 0{,}95^{198} \approx 9{,}71 \cdot 10^{-8}\). (2) Mit der Binomialverteilung \(B(200; 0{,}05; 8)\) ergibt sich \(P(X=8) = \binom{200}{8} \cdot 0{,}05^8 \cdot 0{,}95^{192} \approx 0{,}1137\). 2. Analyse des Signifikanztests für Aufgabenteil b: (1) Der Fehler 1. Art ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(X \ge 15\) unter der Bedingung \(p = 0{,}05\). \(P(X \ge 15) = 1 - P(X \le 14) \approx 1 - 0{,}9219 = 0{,}0781\). (2) Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn \(X \le 14\) unter der Bedingung \(p = 0{,}10\). \(P(X \le 14) \approx 0{,}0929\). 3. Bestimmung des Stichprobenumfangs für Aufgabenteil c: Gesucht ist das kleinste \(n\) mit \(P(X \ge 1) \ge 0{,}99\), also \(1 - 0{,}95^n \ge 0{,}99\). Dies führt zu \(0{,}95^n \le 0{,}01\). Logarithmieren ergibt \(n \cdot \ln(0{,}95) \le \ln(0{,}01)\), woraus \(n \ge \frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}95)} \approx 89{,}78\) folgt. Somit müssen mindestens \(90\) Chips geprüft werden.

a) (1) \(\approx 9{,}71 \cdot 10^{-8}\); (2) \(\approx 11{,}37\,\%\) b) (1) \(\approx 7{,}81\,\%\); (2) \(\approx 9{,}29\,\%\) c) Mindestens \(90\) Chips.

- Überlege dir zuerst, welches Ereignis als Erfolg gezählt wird und wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür laut Hersteller ist. - Die Nullhypothese ist meistens die Behauptung, die man im Zweifel beibehalten möchte. - Der Ablehnungsbereich enthält alle Werte der Testgröße, die gegen die Nullhypothese sprechen. - Erinnere dich daran, wie man die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich von Werten bei der Binomialverteilung mit dem Gegenereignis berechnet.

1. Definition der Testgröße \(X\): Anzahl der vorzeitig ausgefallenen LEDs in der Stichprobe (\(n = 500\)). 2. Aufstellen der Hypothesen: Die Nullhypothese lautet \(H_0: p \le 0{,}02\), die Gegenhypothese \(H_1: p > 0{,}02\). 3. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Da die Behauptung bei mehr als \(15\) Ausfällen abgelehnt wird, ist der Ablehnungsbereich \(K = \{16, 17, \dots, 500\}\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art: Unter der Annahme \(p = 0{,}02\) ist \(X\) binomialverteilt mit \(B(500; 0{,}02)\). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist \(P(X \ge 16) = 1 - P(X \le 15)\). 5. Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 15) \approx 0{,}9530\). 6. Die Wahrscheinlichkeit für die irrtümliche Ablehnung beträgt somit \(1 - 0{,}9530 = 0{,}0470\), also ca. \(4{,}70\,\%\).

a) \(X\): Anzahl der defekten LEDs; \(H_0: p \le 0{,}02\); \(H_1: p > 0{,}02\) b) \(K = \{16, 17, \dots, 500\}\) c) \(P(X \ge 16) \approx 0{,}0470 = 4{,}70\,\%\)

- Welche Eigenschaften müssen für eine Bernoullikette erfüllt sein? - In welche Richtung weist der Ablehnungsbereich, wenn die Gegenhypothese einen „größeren“ Anteil vermutet? - Der Fehler 1. Art tritt ein, wenn man die Nullhypothese ablehnt, obwohl sie wahr ist. - Überlege, ob die Gruppe vor dem Fitnessstudio den typischen Durchschnittsbürger widerspiegelt.

1. Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl der Personen, die die neue Sorte wählen) ist binomialverteilt, wenn die Versuche unabhängig voneinander sind (die Entscheidung einer Person beeinflusst nicht die der anderen) und die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für jede Person konstant bleibt. 2. Hypothesen: \(H_0: p \le 0{,}3\) gegen \(H_1: p > 0{,}3\). Ablehnungsbereich: \(K = \{32; 33; \dots; 80\}\). Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test, da große Werte von \(X\) gegen die Nullhypothese sprechen. 3. Fehler 1. Art: \(\alpha = P_{p=0{,}3}(X \ge 32) = 1 - P_{p=0{,}3}(X \le 31)\). Unter Verwendung der Binomialverteilung mit \(n = 80\) und \(p = 0{,}3\) ergibt sich \(P(X \le 31) \approx 0{,}9640\), also \(\alpha \approx 1 - 0{,}9640 = 0{,}0360 \approx 3{,}60\,\%\). Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass man fälschlicherweise davon ausgeht, die Limonade sei beliebter als \(30\,\%\), obwohl sie es in Wahrheit nicht ist. 4. Die Stichprobe ist vermutlich nicht repräsentativ, da Besucher eines Fitnessstudios eine spezifische Zielgruppe (gesundheitsbewusst, sportlich) darstellen, deren Geschmacksvorlieben von der Gesamtbevölkerung abweichen können.

a) Unabhängigkeit der Einzelentscheidungen und konstante Trefferwahrscheinlichkeit. b) \(H_0: p \le 0{,}3\); \(H_1: p > 0{,}3\); \(K = \{32; \dots; 80\}\); rechtsseitiger Test. c) \(\alpha = P(X \ge 32) \approx 3{,}60\,\%\). d) Nicht repräsentativ aufgrund von Selektionseffekten (spezielle Zielgruppe).

- Überlege dir zuerst, welche Werte der Testgröße für die Behauptung des Sommeliers sprechen würden. - Für den Ablehnungsbereich musst du die kumulierte Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung nutzen. - Was passiert, wenn man eine falsche Entscheidung trifft? Unterscheide zwischen den beiden möglichen Fehlentscheidungen. - Der Fehler 2. Art wird immer unter einer konkreten Annahme für die Gegenhypothese berechnet.

1. Da der Sommelier behauptet, besser als durch bloßes Raten (\(p = 0{,}5\)) abzuschneiden, liegt die Gegenhypothese \(H_1: p > 0{,}5\) im Bereich größerer Werte. Daher handelt es sich um einen rechtsseitigen Test. 2. Gesucht ist der kleinste Wert \(k\), für den \(P(X \ge k) \le 0{,}05\) unter der Annahme \(p = 0{,}5\) gilt. Dies entspricht \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\). Aus der Binomialverteilung für \(n = 20\) und \(p = 0{,}5\) ergibt sich: \(P(X \le 13) \approx 0{,}9423\) und \(P(X \le 14) \approx 0{,}9793\). Somit ist \(k-1 = 14\), also \(k = 15\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{15, 16, \dots, 20\}\). 3. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ist das tatsächliche Signifikanzniveau: \(P(X \ge 15) = 1 - P(X \le 14) \approx 1 - 0{,}9793 = 0{,}0207\). 4. Ein Fehler 2. Art bedeutet hier, dass man die Nullhypothese fälschlicherweise beibehält. Im Sachkontext: Die Fähigkeit des Sommeliers wird nicht statistisch nachgewiesen, obwohl seine Trefferwahrscheinlichkeit tatsächlich über \(0{,}5\) liegt. 5. Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn das Ergebnis nicht im Ablehnungsbereich liegt, also \(X \le 14\). Für \(p = 0{,}8\) ergibt sich: \(P_{20; 0{,}8}(X \le 14) \approx 0{,}1958\).

a) Rechtsseitig, da \(H_1: p > 0{,}5\). b) \(K = \{15, 16, \dots, 20\}\). c) \(\alpha_{\text{tatsächlich}} \approx 2{,}07\,\%\). d) Die Fähigkeit des Sommeliers wird fälschlicherweise nicht statistisch nachgewiesen. e) \(\beta \approx 19{,}58\,\%\).

- Überlege dir zuerst, was die Nullhypothese \(H_0\) in Worten bedeutet und wann sie fälschlicherweise abgelehnt oder beibehalten wird. - Erinnere dich daran, dass der Fehler 1. Art immer unter der Annahme berechnet wird, dass die Nullhypothese gerade noch wahr ist (Grenzfall). - Für den Fehler 2. Art musst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das Ergebnis im Nicht-Ablehnungsbereich liegt, obwohl ein alternativer Wert für \(p\) gilt. - Wäge bei der Beurteilung die wirtschaftlichen Kosten gegen Sicherheitsrisiken ab.

1. Fehler 1. Art: Die Charge wird abgelehnt (mehr als 7 mangelhafte Tabletten in der Stichprobe), obwohl die tatsächliche Fehlerquote höchstens \(4\,\%\) beträgt (\(H_0\) ist wahr). 2. Fehler 2. Art: Die Charge wird angenommen (höchstens 7 mangelhafte Tabletten), obwohl die tatsächliche Fehlerquote über \(4\,\%\) liegt (\(H_0\) ist falsch). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (\(\alpha\)): Unter der Annahme \(p = 0{,}04\) ist die Anzahl der mangelhaften Tabletten \(X\) binomialverteilt mit \(B_{100; 0{,}04}\). Gesucht ist \(P(X > 7) = 1 - P(X \le 7)\). Mit \(P(X \le 7) \approx 0{,}9525\) ergibt sich \(\alpha \approx 1 - 0{,}9525 = 0{,}0475\), also ca. \(4{,}75\,\%\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art (\(\beta\)): Unter der Annahme \(p = 0{,}12\) ist \(X\) binomialverteilt mit \(B_{100; 0{,}12}\). Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Charge fälschlicherweise angenommen wird: \(P(X \le 7)\). Mit der Binomialverteilung ergibt sich \(\beta \approx 0{,}0761\), also ca. \(7{,}61\,\%\). 5. Beurteilung: Der Fehler 2. Art ist schwerwiegender, da mangelhafte Tabletten die Gesundheit der Patienten gefährden und zu massiven Reputationsschäden sowie rechtlichen Konsequenzen führen können, während der Fehler 1. Art „nur“ finanzielle Verluste durch unnötige Entsorgung bedeutet.

a) Fehler 1. Art: Charge wird abgelehnt, obwohl sie gut ist (\(p \le 0{,}04\)). Fehler 2. Art: Charge wird angenommen, obwohl sie schlecht ist (\(p > 0{,}04\)). b) \(\alpha = P_{100; 0{,}04}(X \ge 8) \approx 0{,}0475\). c) \(\beta = P_{100; 0{,}12}(X \le 7) \approx 0{,}0761\). d) Der Fehler 2. Art ist aufgrund der Gesundheitsrisiken und Reputationsschäden schwerwiegender.

- Überlege dir, in welche Richtung die Abweichung von der Nullhypothese zeigt, um die Testart zu bestimmen. - Der Fehler 1. Art tritt ein, wenn die Nullhypothese gilt, aber das Ergebnis im Ablehnungsbereich landet. - Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn die Alternative gilt, aber das Ergebnis im Annahmebereich landet. - Vergleiche die berechneten Werte: Wenn ein Fehler kleiner wird, was passiert dann mit dem anderen?

1. Es handelt sich um einen linksseitigen Test, da die Alternative \(H_1: p < 0{,}15\) Werte kleiner als der hypothetische Wert \(p_0\) betrachtet und der Ablehnungsbereich links im Histogramm der Binomialverteilung liegt. 2. Fehler 1. Art \(\alpha = P(X \in A | p=0{,}15)\): Für \(k = 8\): \(\alpha_1 = P_{100; 0{,}15}(X \le 8) \approx 0{,}0275\). Für \(k = 11\): \(\alpha_2 = P_{100; 0{,}15}(X \le 11) \approx 0{,}1635\). 3. Fehler 2. Art \(\beta = P(X \notin A | p=0{,}08)\): Für \(k = 8\): \(\beta_1 = P_{100; 0{,}08}(X > 8) = 1 - P_{100; 0{,}08}(X \le 8) \approx 1 - 0{,}5927 = 0{,}4073\). Für \(k = 11\): \(\beta_2 = P_{100; 0{,}08}(X > 11) = 1 - P_{100; 0{,}08}(X \le 11) \approx 1 - 0{,}8972 = 0{,}1028\). 4. Mit steigendem kritischen Wert \(k\) vergrößert sich der Ablehnungsbereich. Dadurch steigt die Wahrscheinlichkeit \(\alpha\) für den Fehler 1. Art (fälschliches Ablehnen von \(H_0\)), während die Wahrscheinlichkeit \(\beta\) für den Fehler 2. Art (fälschliches Beibehalten von \(H_0\)) sinkt.

a) Linksseitiger Test, da \(H_1: p < 0{,}15\). b) Für \(k=8\): \(\alpha \approx 0{,}0275\); für \(k=11\): \(\alpha \approx 0{,}1635\). c) Für \(k=8\): \(\beta \approx 0{,}4073\); für \(k=11\): \(\beta \approx 0{,}1028\). d) Ein größerer Ablehnungsbereich führt zu einem größeren \(\alpha\) und einem kleineren \(\beta\).

- Wann wird eine Entscheidung getroffen, die im Widerspruch zur Realität steht? - Überlege dir, welche Werte der Zufallsvariablen dazu führen, dass man die ursprüngliche Behauptung verwirft. - Der Fehler zweiter Art bezieht sich immer auf die Annahme, dass eine alternative Wahrscheinlichkeit vorliegt. - Welche Werte liegen außerhalb des Ablehnungsbereichs?

1. Ein Fehler erster Art tritt auf, wenn die Nullhypothese \(H_0: p \le 0{,}05\) abgelehnt wird, obwohl sie wahr ist. Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass die Lieferung fälschlicherweise als mangelhaft eingestuft wird (mehr als \(5\,\%\) Kratzer vermutet), obwohl die tatsächliche Quote der Module mit Kratzern höchstens \(5\,\%\) beträgt. 2. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art entspricht \(P(X \in K)\) unter der Annahme \(p = 0{,}05\). Berechnung: \(P(X \ge 8) = 1 - P(X \le 7)\). Mit \(n = 80\) und \(p = 0{,}05\) ergibt sich \(P(X \le 7) \approx 0{,}9534\). Somit ist \(\alpha = 1 - 0{,}9534 = 0{,}0466\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(4{,}66\,\%\). 3. Der Fehler zweiter Art tritt auf, wenn \(H_0\) nicht abgelehnt wird, obwohl die tatsächliche Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}15\) beträgt. Das Ereignis „Nicht-Ablehnen“ entspricht der Zufallsgröße \(X \le 7\). Berechnung für \(p = 0{,}15\): \(P(X \le 7) \approx 0{,}0727\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art beträgt somit ca. \(7{,}27\,\%\).

a) Es wird fälschlicherweise angenommen, dass zu viele Module Kratzer aufweisen, und die Lieferung wird als mangelhaft eingestuft, obwohl die Kratzerquote höchstens \(5\,\%\) beträgt. b) \(\alpha = P_{0{,}05}(X \ge 8) \approx 0{,}0466\) c) \(\beta = P_{0{,}15}(X \le 7) \approx 0{,}0727\)

- Was wäre für die Patienten schlimmer: Ein Medikament zu Unrecht für besser zu halten oder eine echte Verbesserung zu übersehen? - Das Signifikanzniveau ist die maximale Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese fälschlicherweise abzulehnen. - Nutze für die Berechnungen die kumulierte Binomialverteilung. - Achte darauf, welche Wahrscheinlichkeit \(p\) für welchen Fehlertyp verwendet werden muss.

1. Ein Fehler zweiter Art bedeutet, dass die Nullhypothese \(H_0\) nicht abgelehnt wird, obwohl das Medikament in Wahrheit besser ist (Heilungsrate \(> 60\,\%\)). Im Sachzusammenhang wird ein wirksameres Medikament fälschlicherweise nicht als Fortschritt erkannt. 2. Das Signifikanzniveau ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art: \(P(X \ge 30)\) unter \(p = 0{,}6\). Berechnung: \(P(X \ge 30) = 1 - P(X \le 29)\). Mit \(n = 40\) und \(p = 0{,}6\) ergibt sich \(P(X \le 29) \approx 0{,}9648\). Das Signifikanzniveau ist \(\alpha = 1 - 0{,}9648 = 0{,}0352\), also ca. \(3{,}52\,\%\). 3. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Verbesserung nicht erkannt wird, ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art \(\beta = P(X \le 29)\) unter der Bedingung \(p = 0{,}8\). Mit \(n = 40\) und \(p = 0{,}8\) ergibt sich \(\beta \approx 0{,}1608\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(16{,}08\,\%\).

a) Ein Fehler zweiter Art liegt vor, wenn das Medikament fälschlicherweise als nicht besser eingestuft wird, obwohl seine Heilungsrate tatsächlich höher als \(60\,\%\) ist. b) \(\alpha = P_{0{,}6}(X \ge 30) \approx 0{,}0352\) c) \(\beta = P_{0{,}8}(X \le 29) \approx 0{,}1608\)

- Welches Ereignis führt dazu, dass wir die Behauptung des Produzenten ablehnen? - Überlege dir, welche der beiden Hypothesen im Falle eines Fehlers 1. Art fälschlicherweise abgelehnt wird. - Für den Fehler 2. Art musst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das Testergebnis im Nicht-Ablehnungsbereich landet, obwohl die Alternative wahr ist. - Achte beim Ablesen oder Berechnen der Binomialverteilung genau auf die Parameter \(n\) und \(p\).

1. Definition der Testgröße \(X\): Anzahl der keimenden Samen (binomialverteilt). Hypothesen: \(H_0: p \le 0{,}7\) gegen \(H_1: p > 0{,}7\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{63, 64, \dots, 80\}\). 2. Berechnung des Fehlers 1. Art: \(\alpha = P_{p=0{,}7}(X \ge 63) = 1 - P_{p=0{,}7}(X \le 62)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(\alpha \approx 0{,}0531\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(5{,}31\,\%\). 3. Beschreibung Fehler 2. Art: Man geht fälschlicherweise davon aus, dass die Keimrate höchstens \(70\,\%\) beträgt, obwohl sie in Wahrheit bei \(85\,\%\) liegt. Die Sorte wird also nicht als robuster erkannt. 4. Berechnung des Fehlers 2. Art: \(\beta = P_{p=0{,}85}(X \le 62)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung mit \(n=80\) und \(p=0{,}85\) ergibt sich \(\beta \approx 0{,}0480\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(4{,}80\,\%\).

a) \(X\): Anzahl keimender Samen; \(H_0: p \le 0{,}7\); \(H_1: p > 0{,}7\); \(K = \{63, \dots, 80\}\). b) \(\alpha \approx 5{,}31\,\%\). c) Die Sorte wird fälschlicherweise nicht als robuster eingestuft. \(\beta \approx 4{,}80\,\%\).

- Was ist der Unterschied zwischen der Nullhypothese und der Vermutung des Arztes? - Das Signifikanzniveau entspricht der maximalen Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art. - Stell dir vor, du bist ein Patient: Welcher Fehler wäre für dich schlimmer – ein Medikament zu nehmen, das schlechter ist als versprochen, oder ein gutes Medikament gar nicht erst zu bekommen? - Benutze für die Berechnung des Fehlers 2. Art die neue, tatsächliche Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}25\).

1. Bestimmung des Signifikanzniveaus: Es handelt sich um einen linksseitigen Test mit \(n=100\) und \(p_0=0{,}4\). Die Nullhypothese wird bei \(X \le 32\) abgelehnt. \(\alpha = P_{p=0{,}4}(X \le 32)\). Aus der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung folgt \(\alpha \approx 0{,}0615\). Das Signifikanzniveau liegt bei ca. \(6{,}15\,\%\). 2. Fehler 1. Art: Die Nullhypothese (Rate \(\ge 40\,\%\)) wird abgelehnt, obwohl sie wahr ist. Man glaubt also fälschlicherweise, das Medikament sei verträglicher. Folge: Patienten erhalten ein Medikament mit der Erwartung weniger Nebenwirkungen, die jedoch tatsächlich häufiger auftreten. 3. Fehler 2. Art: Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt, obwohl die tatsächliche Rate \(p=0{,}25\) beträgt. \(\beta = P_{p=0{,}25}(X > 32) = 1 - P_{p=0{,}25}(X \le 32)\). 4. Berechnung: Mit \(n=100\) und \(p=0{,}25\) ergibt sich \(P_{p=0{,}25}(X \le 32) \approx 0{,}9554\). Somit ist \(\beta \approx 1 - 0{,}9554 = 0{,}0446\). Das Risiko beträgt ca. \(4{,}46\,\%\).

a) \(\alpha \approx 6{,}15\,\%\). b) Man hält das Medikament fälschlicherweise für verträglicher. Patienten könnten unerwartet häufig Nebenwirkungen erleiden. c) \(\beta \approx 4{,}46\,\%\).

- Überlege dir zuerst, für welche Werte von \(X\) die Nullhypothese abgelehnt wird. - Was bedeutet es allgemein, wenn man einen Fehler 1. Art begeht? Welche Hypothese ist dann wahr und welche Entscheidung wird getroffen? - Für den Fehler 2. Art musst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das Ergebnis im Nicht-Ablehnungsbereich liegt, obwohl die alternative Wahrscheinlichkeit gilt.

1. Identifikation der Parameter: Stichprobenumfang \(n = 150\), Trefferwahrscheinlichkeit unter der Nullhypothese \(p_0 = 0{,}2\), Ablehnungsbereich \(A = \{40, 41, \dots, 150\}\). 2. Berechnung des Fehlers 1. Art: \(\alpha = P_{0{,}2}(X \ge 40) = 1 - P_{0{,}2}(X \le 39)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(\alpha \approx 1 - 0{,}9707 = 0{,}0293\). Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art beträgt ca. \(2{,}93\,\%\). 3. Beschreibung des Fehlers 2. Art: Man geht fälschlicherweise davon aus, dass die Salbe bei höchstens \(20\,\%\) der Patienten Hautrötungen verursacht, obwohl die tatsächliche Rate höher liegt (z. B. bei \(30\,\%\)). Die Behauptung des Unternehmens wird also fälschlicherweise nicht abgelehnt. 4. Berechnung des Fehlers 2. Art für \(p = 0{,}3\): \(\beta = P_{0{,}3}(X \le 39)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(\beta \approx 0{,}1636\). Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art beträgt ca. \(16{,}36\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art beträgt ca. \(2{,}93\,\%\). b) Ein Fehler 2. Art bedeutet hier, dass die Salbe als verträglich eingestuft wird (höchstens \(20\,\%\) Rötungen), obwohl sie in Wirklichkeit bei mehr Patienten (hier \(30\,\%\)) Rötungen verursacht. Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt ca. \(16{,}36\,\%\).

- Was bedeutet es für die Entscheidung, wenn jedes mögliche Ergebnis im Ablehnungsbereich liegt? - Wie sind die Fehler 1. und 2. Art mathematisch definiert? - Überlege, wie sich die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art verändert, wenn man den Ablehnungsbereich immer weiter vergrößert. - Kann ein Test sinnvoll sein, wenn das Ergebnis der Stichprobe gar keinen Einfluss auf die Entscheidung hat?

1. Die Aussage bezüglich des Fehlers 2. Art ist korrekt. Der Fehler 2. Art (\(\beta\)) tritt ein, wenn \(H_0\) fälschlicherweise nicht abgelehnt wird. Wenn der Ablehnungsbereich \(K\) die gesamte Ergebnismenge \(S\) umfasst, wird \(H_0\) bei jedem Stichprobenergebnis abgelehnt. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, \(H_0\) nicht abzulehnen, gleich null: \(\beta = P(X \notin K | H_1 \text{ wahr}) = P(X \in \emptyset) = 0\). 2. Der Fehler 1. Art (\(\alpha\)) tritt ein, wenn \(H_0\) abgelehnt wird, obwohl sie wahr ist. Da \(H_0\) bei jedem Ergebnis abgelehnt wird (\(K = S\)), ist die Wahrscheinlichkeit dafür maximal: \(\alpha = P(X \in K | H_0 \text{ wahr}) = P(X \in S) = 1\). Der Fehler tritt also sicher ein. 3. Bei festem Stichprobenumfang \(n\) führt die Verkleinerung des einen Fehlers zwangsläufig zur Vergrößerung des anderen. Würde man einen Fehler auf Null setzen (z. B. durch \(K = \emptyset\) oder \(K = S\)), wäre der jeweils andere Fehler maximal (\(100\,\%\)), wodurch der Test seine Aussagekraft verliert, da die Entscheidung unabhängig von den Daten der Stichprobe getroffen würde.

1. Die Aussage ist korrekt, da bei \(K = S\) die Nullhypothese immer abgelehnt wird und somit nie fälschlicherweise beibehalten werden kann (\(\beta = 0\)). 2. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ist \(\alpha = 1\), da \(H_0\) in jedem Fall abgelehnt wird, auch wenn sie wahr ist. 3. Da sich \(\alpha\) und \(\beta\) gegenläufig verhalten, würde die Minimierung eines Fehlers auf Null den anderen Fehler auf \(1\) maximieren. Ein sinnvoller Test muss beide Risiken gegeneinander abwägen.

- Nutze die Binomialverteilung zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten. - Was bedeutet \(K = \emptyset\) für die Entscheidung über die Nullhypothese? - Bedenke, dass der Fehler 2. Art die Wahrscheinlichkeit ist, im Nichtablehnungsbereich zu landen, obwohl die Alternativhypothese wahr ist. - Wann ist die Wahrscheinlichkeit, ein Ergebnis außerhalb einer Menge zu erhalten, gleich Null?

1. Fehler 1. Art: \(\alpha = P(X \ge 5 | p = 0{,}1) = 1 - P(X \le 4 | p = 0{,}1) \approx 1 - 0{,}9568 = 0{,}0432\). Fehler 2. Art: \(\beta = P(X \le 4 | p = 0{,}3) \approx 0{,}2375\). 2. Wenn \(K = \emptyset\), wird \(H_0\) niemals abgelehnt. \(\alpha = P(X \in \emptyset) = 0\). \(\beta = P(X \notin \emptyset | p = 0{,}3) = P(X \in \{0, \dots, 20\} | p = 0{,}3) = 1\). Interpretation: Wenn man \(H_0\) nie ablehnt, erkennt man eine tatsächliche Abweichung (gezinktes Rad mit \(p=0{,}3\)) mit Sicherheit nicht. 3. Damit \(\beta = 0\) gilt, muss der Nichtablehnungsbereich \(\bar{K}\) die leere Menge sein. Somit muss der Ablehnungsbereich alle möglichen Ergebnisse umfassen: \(K = \{0, 1, \dots, 20\}\). In diesem Fall ist \(\alpha = P(X \in \{0, \dots, 20\} | p = 0{,}1) = 1\).

1. \(\alpha \approx 0{,}0432\) (bzw. \(4{,}32\,\%\)); \(\beta \approx 0{,}2375\) (bzw. \(23{,}75\,\%\)). 2. \(\alpha = 0\); \(\beta = 1\). Das bedeutet, dass ein gezinktes Rad niemals als solches erkannt wird, da man sich immer für \(H_0\) entscheidet. 3. \(K = \{0, 1, \dots, 20\}\); der Fehler 1. Art beträgt dann \(\alpha = 1\).

- Überlege dir zuerst, welche Entscheidung getroffen wird und welcher reale Zustand dazu im Widerspruch steht. - Welche Werte der Zufallsgröße führen zur Ablehnung der Nullhypothese? - Verwende für die Berechnung die kumulierte Binomialverteilung. - Beachte beim Fehler 2. Art, dass die Gegenhypothese mit einem konkreten Wert für \(p\) betrachtet werden muss.

1. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn die Sendung fälschlicherweise reklamiert wird, obwohl die Keimrate tatsächlich mindestens \(90\,\%\) beträgt. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn die Sendung angenommen wird, obwohl die tatsächliche Keimrate unter \(90\,\%\) liegt. 2. Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl keimender Körner) ist unter der Annahme \(p = 0{,}9\) binomialverteilt mit \(n = 50\). Der Ablehnungsbereich ist \(A = \{0, 1, \dots, 41\}\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ist \(P_{0{,}9}(X \le 41) = \sum_{k=0}^{41} \binom{50}{k} \cdot 0{,}9^k \cdot 0{,}1^{50-k} \approx 0{,}0579\). 3. Ein Fehler 2. Art tritt ein, wenn \(H_0\) nicht abgelehnt wird, obwohl \(p = 0{,}8\) gilt. Dies geschieht, wenn \(X \in \{42, 43, \dots, 50\}\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P_{0{,}8}(X \ge 42) = 1 - P_{0{,}8}(X \le 41) = 1 - \sum_{k=0}^{41} \binom{50}{k} \cdot 0{,}8^k \cdot 0{,}2^{50-k} \approx 0{,}3073\).

a) Fehler 1. Art: Irrtümliche Reklamation bei guter Qualität; Fehler 2. Art: Irrtümliche Annahme bei schlechter Qualität. b) \(\alpha \approx 5{,}79\,\%\) c) \(\beta \approx 30{,}73\,\%\)

- Erinnere dich an die Definition des Signifikanzniveaus: Welche Bedingung wird vorausgesetzt? - Stell dir die Verteilungen unter der Null- und Gegenhypothese vor. Was passiert mit den Flächeninhalten unter den Kurven, wenn man die Grenze verschiebt? - Welchen Einfluss hat die Stichprobengröße auf die Genauigkeit einer Schätzung? - Unterscheide klar zwischen der Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis und der „Wahrscheinlichkeit“, dass eine feste Behauptung stimmt.

1. Die Aussage ist falsch. Das Signifikanzniveau \(\alpha\) ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(\text{Ablehnung } H_0 | H_0 \text{ ist wahr})\). Es macht keine Aussage über die Wahrscheinlichkeit der Hypothese selbst (die Hypothese ist entweder wahr oder falsch, nicht zufällig). 2. Die Aussage ist wahr. Ein kleinerer Ablehnungsbereich bedeutet, dass seltener abgelehnt wird. Dadurch sinkt das Risiko, eine wahre Nullhypothese fälschlich abzulehnen (\(\alpha\)). Gleichzeitig steigt jedoch die Wahrscheinlichkeit, im Annahmebereich zu landen, obwohl die Alternative wahr ist (\(\beta\)). 3. Die Aussage ist wahr. Ein größerer Stichprobenumfang führt zu einer schmaleren Verteilung der Teststatistik (geringere Standardabweichung des Anteilswertes). Dadurch lassen sich die Verteilungen unter \(H_0\) und \(H_1\) besser trennen, was eine gleichzeitige Reduktion beider Fehlertypen ermöglicht.

1. Falsch; \(\alpha\) ist die Wahrscheinlichkeit für die Ablehnung unter der Bedingung, dass \(H_0\) wahr ist. 2. Wahr; es besteht ein direkter Zielkonflikt zwischen beiden Fehlern bei konstantem \(n\). 3. Wahr; mehr Information (größeres \(n\)) erlaubt eine präzisere Trennung der Hypothesen.

- Welche Verteilung liegt vor, wenn man eine feste Anzahl von Versuchen mit zwei möglichen Ausgängen hat? - Was bedeutet der Fehler erster Art im Sachzusammenhang? Wann wird die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt? - Was bedeutet der Fehler zweiter Art? Wann wird die Gegenhypothese fälschlicherweise nicht erkannt? - Überlege, ob die Samen in einer Tüte wirklich als unabhängige Stichprobe für die gesamte Produktion gelten können.

1. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der keimenden Samen und ist unter \(H_0\) binomialverteilt mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}75\). 2. Der Fehler erster Art tritt auf, wenn \(H_0\) abgelehnt wird, obwohl \(p \leq 0{,}75\) gilt. Die maximale Wahrscheinlichkeit hierfür ergibt sich bei \(p = 0{,}75\). 3. Berechnung: \(P_{0{,}75}(X \geq 83) = 1 - P_{0{,}75}(X \leq 82) \approx 0{,}0376\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art beträgt ca. \(3{,}76\,\%\). 4. Der Fehler zweiter Art tritt auf, wenn \(H_0\) nicht abgelehnt wird, obwohl \(p = 0{,}85\) gilt. Dies ist der Fall, wenn \(X \leq 82\). 5. Berechnung: \(P_{0{,}85}(X \leq 82) \approx 0{,}2367\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art beträgt ca. \(23{,}67\,\%\). 6. Die Entnahme aus nur einer Tüte verletzt die Unabhängigkeit oder Repräsentativität der Stichprobe, da Produktions- oder Lagerungsbedingungen nur dieser einen Tüte (z. B. Feuchtigkeit) das Ergebnis verfälschen könnten.

a) \(\alpha \approx 3{,}76\,\%\) b) \(\beta \approx 23{,}67\,\%\) c) Die Stichprobe ist möglicherweise nicht repräsentativ für die gesamte Produktion, da alle Samen denselben (eventuell untypischen) Bedingungen in dieser einen Tüte ausgesetzt waren.

- Wann spricht ein Ergebnis in der Stichprobe für die Vermutung, dass der Anteil gesunken ist? - Nutze die Tabellen der Binomialverteilung oder die entsprechende Funktion deines Taschenrechners. - Achte beim Fehler zweiter Art darauf, welches Ereignis eintritt, wenn man die Nullhypothese fälschlicherweise beibehält.

1. Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl defekter Schrauben) ist binomialverteilt mit \(n = 400\) und \(p = 0{,}04\). 2. Gesucht ist die größte Zahl \(k\), für die gilt: \(P_{0{,}04}(X \leq k) \leq 0{,}05\). 3. Mithilfe der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich: \(P_{0{,}04}(X \leq 9) \approx 0{,}0403\) und \(P_{0{,}04}(X \leq 10) \approx 0{,}0733\). 4. Somit ist \(k = 9\). Der Ablehnungsbereich ist \(A = \{0, 1, \dots, 9\}\). 5. Der Fehler zweiter Art tritt auf, wenn bei einer tatsächlichen Trefferquote von \(p = 0{,}02\) das Ergebnis nicht im Ablehnungsbereich liegt, also wenn \(X \geq 10\). 6. Berechnung: \(P_{0{,}02}(X \geq 10) = 1 - P_{0{,}02}(X \leq 9) \approx 0{,}2821\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art beträgt ca. \(28{,}21\,\%\).

a) Ablehnungsbereich: \(\{0, 1, \dots, 9\}\) b) \(\beta \approx 28{,}21\,\%\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Nullhypothese „irrtümlich“ abgelehnt wird? - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der defekten Teile in einer Stichprobe? - Stelle dir vor, die Ware ist schlechter als behauptet, aber der Test bemerkt es nicht – welcher Fehler ist das? - Überlege dir, wie sich die Größe des Ablehnungsbereichs auf die Trefferwahrscheinlichkeit in diesem Bereich auswirkt.

1. Der Fehler 1. Art tritt auf, wenn \(H_0\) wahr ist (\(p=0{,}05\)), aber abgelehnt wird. Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n=50\) und \(p=0{,}05\). Die Ablehnung erfolgt für \(X \geq 6\). Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich als \(P(X \geq 6) = 1 - P(X \leq 5)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \leq 5) \approx 0{,}9622\). Damit ist \(\alpha = 1 - 0{,}9622 = 0{,}0378\), also ca. \(3{,}78\,\%\). 2. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn die Nullhypothese beibehalten wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist. Im Sachzusammenhang bedeutet dies: Der Kunde akzeptiert die Lieferung bzw. die Behauptung des Herstellers, obwohl der tatsächliche Anteil defekter Bauteile über \(5\,\%\) liegt. 3. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art verkleinert sich. Da der Ablehnungsbereich \(K = \{k+1, \dots, n\}\) durch die Erhöhung des kritischen Wertes verkleinert wird, sinkt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis in diesen Bereich fällt, wenn \(H_0\) wahr ist.

1. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art beträgt ca. \(3{,}78\,\%\). 2. Der Fehler 2. Art bedeutet hier, dass die Qualität der Produktion als ausreichend (\(\leq 5\,\%\) Defekte) eingestuft wird, obwohl sie in der Realität schlechter ist. 3. Die Wahrscheinlichkeit sinkt, da der Ablehnungsbereich kleiner wird.

- Welche Größe wird hier gezählt und wie ist sie verteilt? - Was bedeutet es für die Entscheidung, wenn die Grenze des Ablehnungsbereichs verschoben wird? - Achte darauf, ob der Test links- oder rechtsseitig durchgeführt wird. - Wie hängen die Ereignisse für den Fehler 1. Art und den Fehler 2. Art mit dem Ablehnungsbereich zusammen?

1. Testgröße \(X\): Anzahl der defekten Leuchtmittel in der Stichprobe. Für einen festen Wert von \(p\) gilt \(X \sim B(60; p)\); zur Berechnung des maximalen Fehlers 1. Art wird der Randwert \(p = 0{,}05\) verwendet. 2. Hypothesen: \(H_0: p \le 0{,}05\); \(H_1: p > 0{,}05\). 3. Bereiche: Ablehnungsbereich \(K = \{7, 8, \dots, 60\}\); Nichtablehnungsbereich \(\bar{K} = \{0, 1, \dots, 6\}\). 4. Fehler 1. Art (\(\alpha\)): \(P(X \ge 7) = 1 - P(X \le 6; p=0{,}05) \approx 1 - 0{,}9703 = 0{,}0297\). 5. Fehler 2. Art (\(\beta\)): \(P(X \le 6; p=0{,}15) \approx 0{,}1848\). 6. Neuer Ablehnungsbereich \(K_{neu} = \{6, 7, \dots, 60\}\). 7. Neuer Fehler 1. Art: \(P(X \ge 6) = 1 - P(X \le 5; p=0{,}05) \approx 1 - 0{,}9213 = 0{,}0787\). 8. Neuer Fehler 2. Art: \(P(X \le 5; p=0{,}15) \approx 0{,}0968\). 9. Allgemeiner Zusammenhang: Durch die Vergrößerung des Ablehnungsbereichs steigt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (\(\alpha\)), während die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art (\(\beta\)) sinkt.

a) \(X\): Anzahl defekter Leuchtmittel; \(H_0: p \le 0{,}05\); \(H_1: p > 0{,}05\); \(K = \{7, \dots, 60\}\); \(\bar{K} = \{0, \dots, 6\}\). b) Fehler 1. Art: \(\alpha \approx 2{,}97\,\%\); Fehler 2. Art: \(\beta \approx 18{,}48\,\%\). c) Neuer Fehler 1. Art: \(\alpha_{neu} \approx 7{,}87\,\%\); Neuer Fehler 2. Art: \(\beta_{neu} \approx 9{,}68\,\%\). Vergrößerung des Ablehnungsbereichs führt zu größerem \(\alpha\) und kleinerem \(\beta\).

- Überlege zuerst, ab welcher Anzahl an Erfolgen die Vermutung des Forscherteams gestützt wird. - Erinnere dich daran, dass das Signifikanzniveau die maximal zulässige Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art angibt. - Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn man die Nullhypothese fälschlicherweise beibehält. - Nutze für die Berechnungen die kumulierte Binomialverteilung.

1. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist der kleinste Wert \(k\), für den bei \(n = 40\) und \(p = 0{,}5\) gilt: \(P(X \ge k) \le 0{,}05\). Dies ist gleichbedeutend mit \(P(X \le k - 1) \ge 0{,}95\). Durch Tabellen oder Taschenrechner ergibt sich für \(k - 1 = 25\) die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 25) \approx 0{,}9597\). Somit ist \(k = 26\). Der Ablehnungsbereich ist \(\overline{A} = \{26; 27; \dots; 40\}\). 2. Fehler 1. Art: Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Testgröße im Ablehnungsbereich landet, obwohl \(H_0\) wahr ist. \(\alpha_{\text{tats}} = P_{0{,}5}(X \ge 26) = 1 - P_{0{,}5}(X \le 25) \approx 1 - 0{,}9597 = 0{,}0403\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(4{,}03\,\%\). 3. Fehler 2. Art: Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Testgröße im Annahmebereich \(A = \{0; 1; \dots; 25\}\) landet, obwohl die tatsächliche Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}75\) beträgt. \(\beta = P_{0{,}75}(X \le 25) \approx 0{,}0544\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(5{,}44\,\%\).

a) Der Ablehnungsbereich ist \(\overline{A} = \{26; 27; \dots; 40\}\). b) Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt ca. \(4{,}03\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art beträgt ca. \(5{,}44\,\%\).

- Formuliere die Entscheidungsregel in der Form: „Lehne die Nullhypothese ab, wenn...“ - Welche Werte der Zufallsgröße gehören zum Annahmebereich der Nullhypothese? - Überlege dir den Zusammenhang zwischen der Größe des Ablehnungsbereichs und den beiden Fehlertypen. - Der Fehler 2. Art bezieht sich immer auf eine konkrete alternative Wahrscheinlichkeit.

1. Entscheidungsregel: Gesucht ist die kritische Zahl \(k\), sodass \(P_{0{,}1}(X \ge k) \le 0{,}05\). Mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}1\) liefert der Taschenrechner für \(P(X \le k - 1) \ge 0{,}95\) den Wert \(k - 1 = 15\) (da \(P(X \le 15) \approx 0{,}9601\) und \(P(X \le 14) \approx 0{,}9274\)). Die Entscheidungsregel lautet: Lehne \(H_0\) ab, wenn mindestens 16 Samen nicht keimen. 2. Fehler 2. Art: Der Annahmebereich ist \(A = \{0; 1; \dots; 15\}\). Die Wahrscheinlichkeit, bei \(p = 0{,}2\) in diesem Bereich zu landen, ist \(\beta = P_{0{,}2}(X \le 15) \approx 0{,}1285\). Das Risiko beträgt ca. \(12{,}85\,\%\). 3. Einfluss des Signifikanzniveaus: Wenn \(\alpha\) vergrößert wird, wird der Ablehnungsbereich größer und der Annahmebereich kleiner. Dadurch sinkt die Wahrscheinlichkeit, ein Ergebnis im Annahmebereich zu erhalten, wenn die tatsächliche Quote höher ist. Das Risiko für den Fehler 2. Art nimmt also ab.

a) Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn 16 oder mehr Samen nicht keimen. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(12{,}85\,\%\). c) Das Risiko für den Fehler 2. Art würde sinken, da der Ablehnungsbereich größer wird.

- Überlege dir zuerst, ob es sich um einen linksseitigen, rechtsseitigen oder beidseitigen Test handelt. - Welche Werte für die Anzahl der Treffer sprechen gegen die Nullhypothese? - Bei der Entscheidung über die Ablehnung zählt nicht das Eintreffen eines exakten Wertes, sondern wie extrem das Gesamtergebnis im Vergleich zur Erwartung ist. - Was bedeutet es für die Fehlerwahrscheinlichkeit, wenn man die Grenze des Ablehnungsbereichs verschiebt? - Der Fehler 2. Art tritt auf, wenn man die Nullhypothese beibehält, obwohl sie eigentlich falsch ist.

1. Bestimmung des Ablehnungsbereichs (\(H_0: p \leq 0{,}1\), rechtsseitiger Test): Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}1}^{80}(X \geq k) \leq 0{,}05\) gilt. Dies ist gleichbedeutend mit \(P_{0{,}1}^{80}(X \leq k-1) \geq 0{,}95\). Aus der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung folgt für \(n=80, p=0{,}1\): \(P(X \leq 12) \approx 0{,}9462\) und \(P(X \leq 13) \approx 0{,}9733\). Somit ist \(k-1 = 13\), also \(k = 14\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{14, 15, \dots, 80\}\). 2. Beurteilung des Vorschlags: Die Argumentation ist falsch, da bei einem Signifikanztest nicht die Einzelwahrscheinlichkeit \(P(X=k)\), sondern die Wahrscheinlichkeit des gesamten rechten Randes (die Überschreitungswahrscheinlichkeit \(P(X \geq k)\)) betrachtet werden muss. Würde man bereits bei \(12\) Treffern ablehnen, müsste man konsequenterweise auch bei allen Werten größer als \(12\) ablehnen. Die Irrtumswahrscheinlichkeit wäre dann \(P(X \geq 12) = P(X \geq 13) + P(X=12) \approx 0{,}0538 + 0{,}0466 = 0{,}1004\), also rund \(10\,\%\), was das Signifikanzniveau von \(5\,\%\) deutlich überschreitet. 3. Fehler 1. Art: Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) im Ablehnungsbereich liegt, obwohl \(p=0{,}1\) gilt: \(P_{0{,}1}^{80}(X \geq 14) = 1 - P_{0{,}1}^{80}(X \leq 13) \approx 1 - 0{,}9733 = 0{,}0267\). 4. Fehler 2. Art: Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) im Nicht-Ablehnungsbereich \(\bar{K} = \{0, \dots, 13\}\) liegt, obwohl \(p=0{,}2\) gilt: \(P_{0{,}2}^{80}(X \leq 13) \approx 0{,}2470\).

a) Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{14, 15, \dots, 80\}\). b) Der Vorschlag ist falsch, da für die Testentscheidung die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \geq 12)\) maßgeblich ist. Diese liegt mit ca. \(10{,}04\,\%\) über dem Signifikanzniveau von \(5\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt ca. \(2{,}67\,\%\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei \(p = 0{,}2\) beträgt ca. \(24{,}70\,\%\).

- Welche Stichprobenergebnisse (viele oder wenige zufriedene Nutzer) würden dich dazu bringen, an der Behauptung „mindestens \(80\,\%\)“ zu zweifeln? - Achte darauf, dass bei einem linksseitigen Test der Ablehnungsbereich bei den kleinen Werten liegt. - Formuliere die Fehlerarten immer nach dem Schema: „Die Nullhypothese ist eigentlich wahr/falsch, aber man entscheidet sich für...“ - Für den Fehler 2. Art musst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das Ergebnis im Annahmebereich landet, obwohl der neue Wert \(p = 0{,}65\) gilt.

1. Bestimmung des Ablehnungsbereichs (\(H_0: p \geq 0{,}8\), linksseitiger Test): Gesucht ist die größte Zahl \(g\), für die \(P_{0{,}8}^{60}(X \leq g) \leq 0{,}10\) gilt. Aus der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung für \(n=60, p=0{,}8\) ergibt sich: \(P(X \leq 42) \approx 0{,}0427\), \(P(X \leq 43) \approx 0{,}0772\) sowie \(P(X \leq 44) \approx 0{,}1306\). Die größte Zahl, die die Bedingung erfüllt, ist \(g = 43\). Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{0, 1, \dots, 43\}\). 2. Fehler 1. Art: Man lehnt die Behauptung der Plattform ab (weniger als \(80\,\%\) zufrieden), obwohl in Wirklichkeit mindestens \(80\,\%\) der Nutzer zufrieden sind. 3. Fehler 2. Art: Man lehnt die Behauptung der Plattform nicht ab, obwohl in Wirklichkeit weniger als \(80\,\%\) der Nutzer zufrieden sind (hier konkret am Beispiel \(p=0{,}65\)). 4. Berechnung des Fehlers 2. Art für \(p = 0{,}65\): Der Fehler tritt auf, wenn das Ergebnis im Nicht-Ablehnungsbereich \(\bar{K} = \{44, 45, \dots, 60\}\) liegt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist \(P_{0{,}65}^{60}(X \geq 44) = 1 - P_{0{,}65}^{60}(X \leq 43)\). Mit \(P_{0{,}65}^{60}(X \leq 43) \approx 0{,}8899\) ergibt sich \(1 - 0{,}8899 = 0{,}1101\).

a) Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0, 1, \dots, 43\}\). b) Fehler 1. Art: Die Plattform hat recht (\(p \geq 0{,}8\)), aber man weist ihre Behauptung fälschlicherweise zurück. Fehler 2. Art: Die Plattform hat nicht recht (\(p < 0{,}8\)), aber man erkennt dies nicht und behält die Nullhypothese bei. c) Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei \(p = 0{,}65\) beträgt ca. \(11{,}01\,\%\).

- Welche Art von Test liegt vor: linksseitig, rechtsseitig oder beidseitig? - Was bedeutet der Fehler erster Art im Sachkontext? - Wie ist der Ablehnungsbereich definiert, wenn das Signifikanzniveau vorgegeben ist? - Wann tritt ein Fehler zweiter Art auf und welche Wahrscheinlichkeit wird dafür zur Berechnung genutzt?

1. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist das kleinste \( k \), für das bei \( X \sim B_{50; 0{,}2} \) gilt: \( P(X \ge k) \le 0{,}05 \). Dies ist äquivalent zu \( 1 - P(X \le k-1) \le 0{,}05 \) bzw. \( P(X \le k-1) \ge 0{,}95 \). Aus der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich für \( n=50, p=0{,}2 \): \( P(X \le 14) \approx 0{,}9393 \) und \( P(X \le 15) \approx 0{,}9692 \). Somit ist \( k-1 = 15 \), also \( k = 16 \). Der Ablehnungsbereich ist \( A = \{16, 17, \dots, 50\} \). 2. Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art: Die exakte Wahrscheinlichkeit ist \( P_{p=0{,}2}(X \ge 16) = \sum_{i=16}^{50} \binom{50}{i} \cdot 0{,}2^i \cdot 0{,}8^{50-i} \); numerisch gilt \( P_{p=0{,}2}(X \ge 16) \approx 0{,}0308 \). 3. Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art: Der Nicht-Ablehnungsbereich ist \( \bar{A} = \{0, 1, \dots, 15\} \). Für die tatsächliche Wahrscheinlichkeit \( p = 0{,}35 \) berechnet man \( \beta = P_{p=0{,}35}(X \le 15) \). Unter Verwendung der Binomialverteilung \( B_{50; 0{,}35} \) ergibt sich \( \beta \approx 0{,}2801 \).

a) Der Ablehnungsbereich ist \( A = \{16, 17, \dots, 50\} \). Die exakte Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art ist \(\sum_{i=16}^{50} \binom{50}{i} \cdot 0{,}2^i \cdot 0{,}8^{50-i}\); numerisch beträgt sie ca. \(3{,}08\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art beträgt ca. \( 28{,}01\,\% \).

- Überlege dir, welche Trefferquote zu erwarten wäre, wenn die Expertin nur raten würde. - Bei einem rechtsseitigen Test suchst du die Werte im oberen Bereich der Verteilung, die so unwahrscheinlich sind, dass sie gegen den Zufall sprechen. - Vergleiche die Anzahl der richtigen Treffer mit der Grenze des Ablehnungsbereichs. - Der Fehler erster Art tritt ein, wenn man sich fälschlicherweise für die Gegenhypothese entscheidet, obwohl die Nullhypothese wahr ist.

1. Festlegung der Hypothesen: Die Nullhypothese entspricht dem zufälligen Raten, also \( H_0: p = 0{,}5 \). Die Gegenhypothese besagt, dass die Expertin überzufällig häufig richtig liegt, also \( H_1: p > 0{,}5 \). 2. Bestimmung des kritischen Bereichs: Für einen rechtsseitigen Test wird das kleinste \( k \) gesucht, für das \( P_{0{,}5}(X \geq k) \leq 0{,}05 \) gilt. Bei \( n = 25 \) ergibt sich \( P(X \geq 17) = 1 - P(X \leq 16) \approx 1 - 0{,}9461 = 0{,}0539 \) und \( P(X \geq 18) = 1 - P(X \leq 17) \approx 1 - 0{,}9784 = 0{,}0216 \). Damit ist der kritische Bereich \( K = \{18; 19; \dots; 25\} \). 3. Statistische Entscheidung: Da der beobachtete Wert \( 17 \) nicht im kritischen Bereich \( K \) liegt, wird die Nullhypothese nicht abgelehnt. Die Fähigkeit der Expertin ist statistisch nicht signifikant nachgewiesen. 4. Berechnung des Fehlers erster Art: Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art ist die Wahrscheinlichkeit, bei geltender Nullhypothese ein Ergebnis im kritischen Bereich zu erzielen: \( P_{0{,}5}(X \geq 18) \approx 0{,}0216 \).

a) \( H_0: p = 0{,}5 \); \( H_1: p > 0{,}5 \); Kritischer Bereich \( K = \{18; 19; \dots; 25\} \). b) Die Behauptung kann nicht belegt werden, da \( 17 \notin K \). c) \( \alpha_{\text{tats}} \approx 0{,}0216 \) (bzw. \( 2{,}16\,\% \)).

- Überlege dir, bei welchen Ergebnissen der Stichprobe die Behauptung des Herstellers unglaubwürdig erscheint. - Die Nullhypothese enthält meistens das Gleichheitszeichen und entspricht der Annahme, die man im Zweifelsfall beibehalten möchte. - Der Ablehnungsbereich wird immer so gewählt, dass seine Gesamtwahrscheinlichkeit unter der Nullhypothese das Signifikanzniveau nicht überschreitet. - Der Fehler 2. Art tritt auf, wenn das Testergebnis im Annahmebereich liegt, obwohl die Gegenhypothese mit einem spezifischen Wert wahr ist.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da die Behauptung „mindestens \( 95\,\% \)“ geprüft werden soll, lautet die Nullhypothese \( H_0: p \ge 0{,}95 \) und die Gegenhypothese \( H_1: p < 0{,}95 \). Da Abweichungen nach unten (kleine Werte von \( X \)) zur Ablehnung von \( H_0 \) führen, handelt es sich um einen linksseitigen Test. 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Unter der Annahme der Trefferwahrscheinlichkeit \( p = 0{,}95 \) wird ein \( k \) gesucht, für das \( P(X \le k) \le 0{,}05 \) gilt. Mit \( n = 250 \) ergibt sich \( P(X \le 231) \approx 0{,}0474 \) und \( P(X \le 232) \approx 0{,}0788 \). Der Ablehnungsbereich ist somit \( K = \{0, 1, \dots, 231\} \). 3. Fehler 1. Art: Die Wahrscheinlichkeit, \( H_0 \) abzulehnen, obwohl \( p = 0{,}95 \) gilt, entspricht dem tatsächlichen Signifikanzniveau: \( P(X \le 231) \approx 4{,}74\,\% \). 4. Fehler 2. Art: Dies ist die Wahrscheinlichkeit, \( H_0 \) nicht abzulehnen, obwohl die tatsächliche Wahrscheinlichkeit \( p = 0{,}90 \) beträgt. Gesucht ist \( P(X > 231) \) für \( p = 0{,}90 \). Es gilt \( P(X > 231) = 1 - P(X \le 231) \approx 1 - 0{,}9192 = 0{,}0808 \). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art beträgt etwa \( 8{,}08\,\% \).

a) \( H_0: p \ge 0{,}95 \); \( H_1: p < 0{,}95 \). Linksseitig, da nur signifikant kleine Werte gegen \( H_0 \) sprechen. b) \( K = \{0, 1, \dots, 231\} \) c) \( P(\text{Fehler 1. Art}) \approx 4{,}74\,\% \) d) \( P(\text{Fehler 2. Art}) \approx 8{,}08\,\% \)

- Welche Verteilung liegt bei einer Stichprobe mit einer festen Trefferwahrscheinlichkeit vor? - Erinnere dich daran, dass das Signifikanzniveau eine Obergrenze für das Risiko darstellt, eine wahre Nullhypothese abzulehnen. - Was bedeutet ein Fehler zweiter Art inhaltlich? Man behält die Nullhypothese bei, obwohl in Wirklichkeit die Alternative gilt. - Welche Werte von \(X\) führen dazu, dass wir uns für die Alternative entscheiden?

1. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Unter der Annahme \(p = 0{,}1\) ist die Anzahl der fehlerhaften Leuchten \(X\) binomialverteilt mit \(B(50; 0{,}1)\). Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P(X \ge k) \le 0{,}05\) bzw. \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\) gilt. Aus der Tabelle oder dem Taschenrechner ergibt sich \(P(X \le 8) \approx 0{,}9422\) und \(P(X \le 9) \approx 0{,}9755\). Somit ist \(k-1 = 9\), also \(k = 10\). Der Ablehnungsbereich ist \(\mathcal{A} = \{10; 11; \dots; 50\}\). 2. Fehler erster Art: Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit, \(H_0\) fälschlicherweise abzulehnen, ist \(P(X \ge 10) = 1 - P(X \le 9) \approx 1 - 0{,}9755 = 0{,}0245\), also ca. \(2{,}45\,\%\). Dieser Wert ist kleiner als \(\alpha = 5\,\%\), da aufgrund der Diskretion der Binomialverteilung das Signifikanzniveau meist nicht exakt ausgeschöpft werden kann. 3. Fehler zweiter Art: Bei einer tatsächlichen Trefferquote von \(p = 0{,}2\) wird \(H_0\) nicht abgelehnt, wenn \(X\) im Nicht-Ablehnungsbereich \(\overline{\mathcal{A}} = \{0; 1; \dots; 9\}\) liegt. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist \(P(X \le 9)\) für \(B(50; 0{,}2)\). Die Berechnung ergibt \(P(X \le 9) \approx 0{,}4437\), also ca. \(44{,}37\,\%\).

a) Der Ablehnungsbereich ist \(\mathcal{A} = \{10; 11; \dots; 50\}\). b) Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art beträgt \(P(X \ge 10) \approx 0{,}0245\). Sie ist kleiner als das vorgegebene Signifikanzniveau \(\alpha = 0{,}05\). c) Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art beträgt \(\beta = P(X \le 9) \approx 0{,}4437\) bei \(p = 0{,}2\).

- Welche Hypothese wird als Nullhypothese \(H_0\) (der bisherige Zustand) und welche als Gegenhypothese \(H_1\) (die Neuerung) betrachtet? - Überlege dir, bei welchem Ergebnis der Stichprobe welche Hypothese fälschlicherweise abgelehnt wird. - Erinnere dich an die Formel für die kumulierte Binomialverteilung. - Was passiert, wenn du ein Ergebnis erhältst, das im Ablehnungsbereich von \(H_0\) liegt, obwohl \(H_0\) in Wirklichkeit zutrifft?

1. Fehler 1. Art (\(\alpha\)): Ablehnung von \(H_0\), obwohl \(H_0\) wahr ist. Berechnung über die Binomialverteilung mit \(n = 40\) und \(p = 0{,}10\): \(P_{0{,}10}(X \le 1) = \binom{40}{0} \cdot 0{,}1^0 \cdot 0{,}9^{40} + \binom{40}{1} \cdot 0{,}1^1 \cdot 0{,}9^{39} \approx 0{,}0148 + 0{,}0657 = 0{,}0805\). Bedeutung: Man geht fälschlicherweise von einer Verbesserung aus, obwohl die Fehlerquote noch bei \(10\,\%\) liegt. 2. Fehler 2. Art (\(\beta\)): Beibehalten von \(H_0\), obwohl \(H_1\) wahr ist. Berechnung mit \(n = 40\) und \(p = 0{,}02\): \(P_{0{,}02}(X \ge 2) = 1 - P_{0{,}02}(X \le 1)\). 3. Berechnung: \(P_{0{,}02}(X \le 1) = \binom{40}{0} \cdot 0{,}02^0 \cdot 0{,}98^{40} + \binom{40}{1} \cdot 0{,}02^1 \cdot 0{,}98^{39} \approx 0{,}4457 + 0{,}3638 = 0{,}8095\). 4. Daraus folgt \(\beta = 1 - 0{,}8095 = 0{,}1905\).

a) \(\alpha \approx 8{,}05\,\%\). Der Fehler 1. Art bedeutet, dass die Produktion als verbessert eingestuft wird, obwohl sie es nicht ist. b) \(\beta \approx 19{,}05\,\%\).

- Überlege dir zuerst genau, welche Werte von \(X\) zur Ablehnung der Behauptung führen und welche zur Annahme. - Was bedeutet es im Sachkontext, wenn man die Behauptung fälschlicherweise ablehnt? - Für den Fehler 2. Art musst du davon ausgehen, dass die neue (schlechtere) Wahrscheinlichkeit gilt, aber das Ergebnis trotzdem im Annahmebereich der ursprünglichen Hypothese landet. - Nutze für die Berechnungen die kumulierte Binomialverteilung.

1. Definition der Zufallsgröße: \(X\) ist die Anzahl der Akkumulatoren mit über \(1\,000\) Ladezyklen. Unter der Nullhypothese ist \(X\) binomialverteilt mit \(n = 50\) und \(p = 0{,}9\). 2. Fehler 1. Art (\(\alpha\)): Ablehnung von \(H_0\), obwohl sie wahr ist. Der Ablehnungsbereich ist \(A = \{0; 1; \dots; 42\}\). 3. Berechnung von \(\alpha = P_{0{,}9}(X \le 42) = \sum_{k=0}^{42} \binom{50}{k} \cdot 0{,}9^k \cdot 0{,}1^{50-k} \approx 0{,}1221\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt ca. \(12{,}21\,\%\). 4. Fehler 2. Art (\(\beta\)): Nicht-Ablehnung von \(H_0\), obwohl die Alternative \(p = 0{,}8\) wahr ist. Der Annahmebereich ist \(\bar{A} = \{43; 44; \dots; 50\}\). 5. Berechnung von \(\beta = P_{0{,}8}(X \ge 43) = 1 - P_{0{,}8}(X \le 42) = 1 - \sum_{k=0}^{42} \binom{50}{k} \cdot 0{,}8^k \cdot 0{,}2^{50-k} \approx 1 - 0{,}8096 = 0{,}1904\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art beträgt ca. \(19{,}04\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt ca. \(12{,}21\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art beträgt ca. \(19{,}04\,\%\).

- Was bedeuten die Begriffe „Fehler 1. Art“ und „Fehler 2. Art“ im Bezug auf die Nullhypothese? - Welche Werte von \(X\) führen dazu, dass man die Behauptung des Herstellers ablehnt? - Welche Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) musst du jeweils verwenden, um die beiden Fehlerarten zu berechnen? - Denk daran, wie man Wahrscheinlichkeiten für Bereiche wie „mindestens“ oder „höchstens“ mit der kumulierten Binomialverteilung berechnet.

1. Bestimmung des Ablehnungsbereichs \(K\) und des Annahmebereichs \(\bar{K}\) der Nullhypothese: Da \(H_0\) für \(X \ge 25\) angenommen wird, ist der Annahmebereich \(\bar{K} = \{25, 26, \dots, 40\}\) und der Ablehnungsbereich \(K = \{0, 1, \dots, 24\}\). 2. Berechnung des Fehlers 1. Art (\(\alpha\)): Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) im Ablehnungsbereich liegt, obwohl \(p = 0{,}7\) gilt: \(\alpha = P_{0{,}7}(X \le 24) = \sum_{k=0}^{24} \binom{40}{k} \cdot 0{,}7^k \cdot 0{,}3^{40-k} \approx 0{,}1151\). 3. Berechnung des Fehlers 2. Art (\(\beta\)): Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) im Annahmebereich liegt, obwohl \(p = 0{,}5\) gilt: \(\beta = P_{0{,}5}(X \ge 25) = 1 - P_{0{,}5}(X \le 24) = 1 - \sum_{k=0}^{24} \binom{40}{k} \cdot 0{,}5^k \cdot 0{,}5^{40-k} \approx 1 - 0{,}9231 = 0{,}0769\).

Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt ca. \(11{,}51\,\%\) (\(\alpha \approx 0{,}1151\)). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art beträgt ca. \(7{,}69\,\%\) (\(\beta \approx 0{,}0769\)).

- Notiere dir zuerst genau, bei welchen Ergebnissen die Nullhypothese abgelehnt wird. - Überlege dir, welche Hypothese bei welchem Fehler als „wahr“ angenommen wird. - Wie kannst du eine „mindestens“-Wahrscheinlichkeit mit der Verteilungsfunktion deines Taschenrechners bestimmen? - Achte darauf, bei der Berechnung des Fehlers 2. Art die Erfolgswahrscheinlichkeit der Alternative zu nutzen.

1. Festlegung der Bereiche: Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{50, 51, \dots, 100\}\), der Annahmebereich ist \(\bar{K} = \{0, 1, \dots, 49\}\). 2. Berechnung des Fehlers 1. Art (\(\alpha\)): Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(X \ge 50\) unter der Annahme \(p = 0{,}4\). Berechnung über das Gegenereignis: \(\alpha = P_{0{,}4}(X \ge 50) = 1 - P_{0{,}4}(X \le 49) \approx 1 - 0{,}9729 = 0{,}0271\). 3. Berechnung des Fehlers 2. Art (\(\beta\)): Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(X \le 49\) unter der Annahme \(p = 0{,}55\). Berechnung mittels der kumulierten Binomialverteilung: \(\beta = P_{0{,}55}(X \le 49) \approx 0{,}1346\).

Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt ca. \(2{,}71\,\%\) (\(\alpha \approx 0{,}0271\)). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art beträgt ca. \(13{,}46\,\%\) (\(\beta \approx 0{,}1346\)).

- Wann wird die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt? - Überlege dir, welche Werte der Zufallsgröße dazu führen, dass man sich gegen die Behauptung des Herstellers entscheidet. - Welches Ereignis tritt ein, wenn man eine falsche Behauptung irrtümlich für wahr hält? - Achte darauf, für jede Teilaufgabe den richtigen Wert für die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) zu verwenden.

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der defekten Lampen, wobei \(X\) binomialverteilt ist mit \(n = 80\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs der Nullhypothese: \(K = \{7, 8, \dots, 80\}\). 3. Berechnung des Fehlers 1. Art für \(p = 0{,}04\): \(\alpha = P(X \ge 7) = 1 - P(X \le 6)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(0{,}0412\). Das Produzentenrisiko beträgt somit ca. \(4{,}1\,\%\). 4. Berechnung des Fehlers 2. Art für \(p = 0{,}10\): \(\beta = P(X \le 6)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung mit \(p = 0{,}10\) ergibt sich \(\beta \approx 0{,}3005\). Das Konsumentenrisiko beträgt somit ca. \(30{,}1\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art beträgt ca. \(0{,}0412\) (bzw. \(4{,}1\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art beträgt ca. \(0{,}3005\) (bzw. \(30{,}1\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, welche Entscheidung getroffen wird, wenn die Nullhypothese wahr ist, man sie aber fälschlicherweise ablehnt. - Was passiert umgekehrt, wenn die Nullhypothese falsch ist, man sie aber beibehält? - Nutze für die Berechnungen die kumulierte Binomialverteilung. Achte dabei genau darauf, welche Werte von \(k\) zum Ablehnungsbereich gehören. - Erinnere dich an den Zusammenhang \(P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)\).

1. Fehler 1. Art: Die Lieferung wird abgelehnt, obwohl höchstens \(5\,\%\) der Module defekt sind (irrtümliche Ablehnung einer guten Lieferung). 2. Fehler 2. Art: Die Lieferung wird angenommen, obwohl mehr als \(5\,\%\) (hier konkret \(12\,\%\)) der Module defekt sind (irrtümliche Annahme einer schlechten Lieferung). 3. Berechnung Fehler 1. Art (\(\alpha\)): Unter der Annahme \(p = 0{,}05\) ist die Anzahl der defekten Module \(X\) binomialverteilt mit \(B(100; 0{,}05)\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{10, 11, \dots, 100\}\). \(\alpha = P(X \geq 10) = 1 - P(X \leq 9) \approx 1 - 0{,}9718 = 0{,}0282\). 4. Berechnung Fehler 2. Art (\(\beta\)): Unter der Annahme \(p = 0{,}12\) ist \(X\) binomialverteilt mit \(B(100; 0{,}12)\). Der Nicht-Ablehnungsbereich ist \(\bar{K} = \{0, 1, \dots, 9\}\). \(\beta = P(X \leq 9) \approx 0{,}2257\).

a) Fehler 1. Art: Ablehnung einer guten Lieferung (\(p \leq 0{,}05\)). Fehler 2. Art: Annahme einer schlechten Lieferung (\(p > 0{,}05\)). b) \(\alpha \approx 2{,}82\,\%\) c) \(\beta \approx 22{,}57\,\%\)

- Was bedeutet es in diesem Zusammenhang, einen Fehler 1. Art zu begehen? - Welche Verteilung liegt vor, wenn wir eine feste Anzahl von Bauteilen auf ein Merkmal prüfen? - Wie hängen der Ablehnungsbereich und die Fehlerwahrscheinlichkeiten zusammen? - Überlege dir, welche Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) du für die Berechnung von \(\beta\) verwenden musst.

1. Definition der Zufallsgröße: \(X\) beschreibt die Anzahl der defekten Teile in der Stichprobe. Unter der Nullhypothese \(H_0\) ist \(X\) binomialverteilt mit \(n = 60\) und \(p_0 = 0{,}05\). 2. Berechnung des Fehlers 1. Art (\(\alpha\)): Gemäß Entscheidungsregel wird \(H_0\) abgelehnt, wenn \(X \ge 6\). \(\alpha = P(X \ge 6) = 1 - P(X \le 5) \approx 1 - 0{,}9213 = 0{,}0787\). 3. Definition der Zufallsgröße unter der Alternativhypothese \(H_1: p = 0{,}15\): \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 60\) und \(p_1 = 0{,}15\). 4. Berechnung des Fehlers 2. Art (\(\beta\)): Ein Fehler 2. Art tritt auf, wenn \(H_0\) nicht abgelehnt wird, obwohl \(H_1\) wahr ist, also wenn \(X \le 5\). \(\beta = P(X \le 5) = \sum_{k=0}^{5} \binom{60}{k} \cdot 0{,}15^k \cdot 0{,}85^{60-k} \approx 0{,}0968\).

Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt \(\alpha \approx 0{,}0787\) (bzw. \(7{,}87\,\%\)). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art beträgt \(\beta \approx 0{,}0968\) (bzw. \(9{,}68\,\%\)).

- Welche Werte von \(X\) führen dazu, dass man sich fälschlicherweise gegen die Nullhypothese entscheidet? - Achte genau auf die Formulierung „mehr als 16“. Welcher kleinste ganzzahlige Wert gehört somit zum Ablehnungsbereich? - Kannst du die Wahrscheinlichkeiten mithilfe einer Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung bestimmen?

1. Modellierung: Die Anzahl der geheilten Probanden \(X\) ist binomialverteilt. Unter \(H_0\) gilt \(X \sim B(30; 0{,}4)\), unter \(H_1\) gilt \(X \sim B(30; 0{,}7)\). 2. Fehler 1. Art (\(\alpha\)): Ablehnung von \(H_0\), obwohl \(p = 0{,}4\) gilt. Der Ablehnungsbereich ist \(X > 16\), also \(X \ge 17\). \(\alpha = P_{0{,}4}(X \ge 17) = 1 - P_{0{,}4}(X \le 16) \approx 1 - 0{,}9519 = 0{,}0481\). 3. Fehler 2. Art (\(\beta\)): Annahme von \(H_0\), obwohl \(p = 0{,}7\) gilt. Dies geschieht, wenn \(X \le 16\). \(\beta = P_{0{,}7}(X \le 16) \approx 0{,}0401\).

Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ist \(\alpha \approx 0{,}0481\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art ist \(\beta \approx 0{,}0401\).

- Welche Werte für die Anzahl der keimenden Samen führen zur Ablehnung der Herstellerangabe? - Was bedeutet es für die Entscheidung, wenn die tatsächliche Keimquote niedriger ist als behauptet? - Wie berechnet man die Gegenwahrscheinlichkeit bei einer Binomialverteilung? - Überlege dir genau, welche Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) du für welchen Fehler verwenden musst.

1. Identifikation der Verteilungen: Die Anzahl der keimenden Samen \(X\) ist unter der Nullhypothese \(B(50; 0{,}8)\)-verteilt und unter der Gegenhypothese \(B(50; 0{,}7)\)-verteilt. 2. Fehler 1. Art (\(\alpha\)): Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(H_0\) abgelehnt wird, obwohl \(p = 0{,}8\) wahr ist. Der Ablehnungsbereich ist \(X \le 36\). Berechnung: \(\alpha = P_{0{,}8}(X \le 36) \approx 0{,}1106\). 3. Fehler 2. Art (\(\beta\)): Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(H_0\) beibehalten wird, obwohl \(p = 0{,}7\) wahr ist. Der Annahmebereich ist \(X \ge 37\). Berechnung: \(\beta = P_{0{,}7}(X \ge 37) = 1 - P_{0{,}7}(X \le 36) \approx 1 - 0{,}6721 = 0{,}3279\).

\(\alpha \approx 0{,}1106\) (bzw. \(11{,}06\,\%\)) \(\beta \approx 0{,}3279\) (bzw. \(32{,}79\,\%\))

- Überlege dir zuerst genau, welche Entscheidung getroffen wird, wenn die Nullhypothese wahr ist, und welche, wenn sie falsch ist. - Was bedeutet es für die Fehlerwahrscheinlichkeit, wenn du die Grenze für eine Ablehnung strenger oder lockerer wählst? - Nutze für die Berechnungen die kumulierte Binomialverteilung.

1. Beschreibung der Fehler: Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn die Keimrate tatsächlich \(90\,\%\) beträgt, man sie aber aufgrund des Testergebnisses fälschlicherweise als zu niedrig ablehnt. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn die Keimrate in Wahrheit nur \(75\,\%\) beträgt, man aber aufgrund des Testergebnisses die Hypothese \(p = 0{,}9\) fälschlicherweise beibehält. 2. Berechnung für \(X \le 32\): \(\alpha = P_{p=0{,}9}(X \le 32) = \sum_{k=0}^{32} \binom{40}{k} \cdot 0{,}9^k \cdot 0{,}1^{40-k} \approx 0{,}0419\). \(\beta = P_{p=0{,}75}(X \ge 33) = 1 - P_{p=0{,}75}(X \le 32) \approx 0{,}1820\). 3. Berechnung für \(X \le 30\): \(\alpha = P_{p=0{,}9}(X \le 30) \approx 0{,}0051\). \(\beta = 1 - P_{p=0{,}75}(X \le 30) \approx 0{,}4395\). Durch die Verkleinerung des Verwerfungsbereichs sinkt das Risiko für einen Fehler 1. Art deutlich, während das Risiko für einen Fehler 2. Art stark ansteigt.

a) Fehler 1. Art: Man verwirft die Keimrate von \(90\,\%\), obwohl sie stimmt. Fehler 2. Art: Man verwirft die Keimrate von \(90\,\%\) nicht, obwohl sie tatsächlich nur \(75\,\%\) beträgt. b) \(\alpha \approx 4{,}19\,\%\) und \(\beta \approx 18{,}20\,\%\). c) \(\alpha \approx 0{,}51\,\%\) und \(\beta \approx 43{,}95\,\%\).

- Achte darauf, ob nach „mehr als“ oder „mindestens“ gefragt wird, um die richtige Grenze für die Summe zu finden. - Welcher Fehler ist für den Käufer der Leuchten wohl problematischer, und welcher für den Verkäufer? - Wie verhalten sich die beiden Fehlerwahrscheinlichkeiten zueinander, wenn man die Grenze verschiebt?

1. Bedeutung der Fehler: Ein Fehler 1. Art bedeutet, dass eine Charge mit \(5\,\%\) Ausschuss fälschlicherweise beanstandet wird (Produzentenrisiko). Ein Fehler 2. Art bedeutet, dass eine schlechte Charge (Ausschuss \(15\,\%\)) fälschlicherweise als gut akzeptiert wird (Konsumentenrisiko). 2. Berechnung für \(X > 5\): \(\alpha = P_{p=0{,}05}(X \ge 6) = 1 - P_{p=0{,}05}(X \le 5) \approx 1 - 0{,}9622 = 0{,}0378\). \(\beta = P_{p=0{,}15}(X \le 5) \approx 0{,}2194\). 3. Berechnung für \(X > 7\): \(\alpha = P_{p=0{,}05}(X \ge 8) = 1 - P_{p=0{,}05}(X \le 7) \approx 1 - 0{,}9968 = 0{,}0032\). \(\beta = P_{p=0{,}15}(X \le 7) \approx 0{,}5188\).

a) Fehler 1. Art: Eine gute Charge wird fälschlich abgelehnt. Fehler 2. Art: Eine schlechte Charge wird fälschlich akzeptiert. b) \(\alpha \approx 3{,}78\,\%\) und \(\beta \approx 21{,}94\,\%\). c) \(\alpha \approx 0{,}32\,\%\) und \(\beta \approx 51{,}88\,\%\).

- Welches Ereignis beschreibt den Fehler 1. Art in Worten? - Wie berechnest du die Gegenwahrscheinlichkeit bei einer Binomialverteilung? - Welche Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) musst du für den Fehler 2. Art verwenden? - Was bedeutet der Ablehnungsbereich für die Entscheidung über die Hypothese?

1. Definition der Zufallsgröße \(X\): Anzahl der defekten Bauteile, wobei \(X\) binomialverteilt ist mit \(n = 100\). 2. Fehler 1. Art (\(\alpha\)): Die Nullhypothese \(H_0: p = 0{,}02\) wird fälschlicherweise abgelehnt. Dies geschieht, wenn \(X \ge 5\), obwohl \(p = 0{,}02\) gilt: \(\alpha = P_{0{,}02}(X \ge 5) = 1 - P_{0{,}02}(X \le 4) \approx 1 - 0{,}9492 = 0{,}0508\). 3. Fehler 2. Art (\(\beta\)): Die Nullhypothese \(H_0\) wird fälschlicherweise beibehalten, obwohl die Alternative \(H_1: p = 0{,}10\) wahr ist. Dies geschieht, wenn \(X \le 4\), obwohl \(p = 0{,}10\) gilt: \(\beta = P_{0{,}10}(X \le 4) \approx 0{,}0237\).

Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art beträgt ca. \(5{,}08\,\%\). Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art beträgt ca. \(2{,}37\,\%\).

- Überlege dir zuerst, welche Aussage als Nullhypothese \(H_0\) und welche als Alternativhypothese \(H_1\) fungiert. - Was bedeutet es für den Hersteller oder den Konkurrenten, wenn man eine Fehlentscheidung trifft? - Verwende für die Berechnungen die kumulierte Binomialverteilung. - Achte beim Fehler 2. Art darauf, welches Ereignis genau zur Beibehaltung der Herstellerangabe führt.

1. Der Fehler 1. Art tritt auf, wenn die Keimrate tatsächlich \(90\,\%\) beträgt (\(H_0\)), man sich aber aufgrund von höchstens \(66\) gekeimten Samen für die Behauptung des Konkurrenten entscheidet. Der Fehler 2. Art tritt auf, wenn die Keimrate tatsächlich nur \(75\,\%\) beträgt (\(H_1\)), man aber aufgrund von mehr als \(66\) gekeimten Samen bei der Angabe des Herstellers bleibt. 2. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der gekeimten Samen. Fehler 1. Art: \(\alpha = P_{p=0{,}9}(X \le 66)\). Mit der Binomialverteilung \(B(80; 0{,}9)\) ergibt sich \(\alpha = \sum_{i=0}^{66} \binom{80}{i} \cdot 0{,}9^i \cdot 0{,}1^{80-i} \approx 0{,}0267\). Fehler 2. Art: \(\beta = P_{p=0{,}75}(X > 66) = 1 - P_{p=0{,}75}(X \le 66)\). Mit der Binomialverteilung \(B(80; 0{,}75)\) ergibt sich \(P_{p=0{,}75}(X \le 66) \approx 0{,}9579\), woraus folgt \(\beta \approx 1 - 0{,}9579 = 0{,}0421\).

1. Fehler 1. Art: Die Keimrate ist \(90\,\%\), es wird aber fälschlicherweise die Konkurrenzaussage (\(75\,\%\)) angenommen. Fehler 2. Art: Die Keimrate ist \(75\,\%\), es wird aber fälschlicherweise die Herstellerangabe (\(90\,\%\)) beibehalten. 2. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt ca. \(2{,}67\,\%\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art beträgt ca. \(4{,}21\,\%\).

- Welches Ereignis möchte der Verbraucherschutzverein beweisen? Das sollte in der Alternativhypothese stehen. - Überlege, ob extrem große oder extrem kleine Werte der Stichprobe gegen die Nullhypothese sprechen. - Was bedeutet es im Sachzusammenhang, wenn man die Nullhypothese fälschlicherweise beibehält? - Welche Erfolgswahrscheinlichkeit musst du für die Berechnung des Fehlers 2. Art verwenden?

1. Aufstellen der Hypothesen: Da der Verein eine höhere Fehlerquote vermutet, ist die Nullhypothese die Behauptung des Herstellers: \(H_0: p \le 0{,}05\) und die Alternativhypothese \(H_1: p > 0{,}05\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Es liegt ein rechtsseitiger Test vor. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P(X \ge k) \le 0{,}05\) unter der Annahme \(p = 0{,}05\) gilt. Dies ist äquivalent zu \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\). Mit \(n = 200\) und \(p = 0{,}05\) ergibt sich aus der Binomialverteilungstabelle \(P(X \le 15) \approx 0{,}9558\). Somit ist \(k-1 = 15\), also \(k = 16\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{16, 17, \dots, 200\}\). 3. Berechnung des Fehlers 2. Art: Der Fehler 2. Art (\(\beta\)-Fehler) tritt auf, wenn \(H_0\) nicht abgelehnt wird, obwohl \(p = 0{,}10\) gilt. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 15)\) für \(B(200; 0{,}10)\). Unter Verwendung der Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 15) \approx 0{,}1431\).

a) \(H_0: p \le 0{,}05\); \(H_1: p > 0{,}05\) b) \(K = \{16, 17, \dots, 200\}\) c) \(\beta = P_{0{,}10}(X \le 15) \approx 0{,}1431\) (bzw. \(14{,}31\,\%\))

- Welche Vermutung möchte der Prüfingenieur statistisch absichern? - In welche Richtung (links oder rechts) zeigt die Abweichung, die gegen die Behauptung spricht? - Überlege dir, welche Entscheidung getroffen wird und ob diese im jeweiligen Fall der Realität entspricht.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da der Ingenieur die Behauptung \(p \geq 0{,}9\) widerlegen möchte, wählt er die Nullhypothese \(H_0: p \geq 0{,}9\) und die Alternativhypothese \(H_1: p < 0{,}9\) (linksseitiger Test). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist der größte Wert \(k\), für den bei einer Binomialverteilung mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}9\) gilt: \(P(X \leq k) \leq 0{,}05\). Aus der Tabelle oder dem Taschenrechner ergibt sich \(P(X \leq 84) \approx 0{,}0399\) und \(P(X \leq 85) \approx 0{,}0726\). Somit liegt der Ablehnungsbereich bei \(K = \{0; 1; \dots; 84\}\). 3. Fehler 1. Art: Man entscheidet sich gegen die Behauptung des Herstellers (die Qualität ist angeblich schlechter), obwohl diese in Wirklichkeit wahr ist (mindestens \(90\,\%\) sind einwandfrei). 4. Fehler 2. Art: Man behält die Nullhypothese bei und akzeptiert die Lieferung als gut, obwohl die tatsächliche Quote der einwandfreien Zellen unter \(90\,\%\) liegt.

a) \(H_0: p \geq 0{,}9\); \(H_1: p < 0{,}9\) b) Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0; 1; \dots; 84\}\). c) Fehler 1. Art: Die Lieferung wird fälschlicherweise als mangelhaft eingestuft, obwohl mindestens \(90\,\%\) der Zellen einwandfrei sind. Fehler 2. Art: Eine mangelhafte Lieferung (weniger als \(90\,\%\) einwandfrei) wird fälschlicherweise nicht beanstandet.

- Was möchte der Großabnehmer beweisen? Die Gegenbehauptung ist oft die Alternativhypothese. - Überlege dir, ob große oder kleine Werte der Stichprobe gegen die Behauptung des Herstellers sprechen. - Der Fehler 1. Art tritt ein, wenn man sich fälschlicherweise gegen die Nullhypothese entscheidet. - Der Fehler 2. Art ist das „Übersehen“ einer Abweichung von der Norm.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da der Großabnehmer die Behauptung \(p \leq 0{,}05\) widerlegen möchte, lautet die Nullhypothese \(H_0: p \leq 0{,}05\) und die Alternativhypothese \(H_1: p > 0{,}05\). Es handelt sich um einen rechtsseitigen Signifikanztest. 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Unter der Annahme der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}05\) wird die Zufallsvariable \(X\) (Anzahl der defekten Leuchtmittel) als binomialverteilt mit \(n = 200\) angenommen. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P(X \geq k) \leq 0{,}05\) gilt, was äquivalent zu \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}95\) ist. 3. Berechnung mit der Binomialverteilung: Für \(n = 200\) und \(p = 0{,}05\) ergibt sich \(P(X \leq 15) \approx 0{,}9553\) und \(P(X \leq 14) \approx 0{,}9219\). Somit ist \(k-1 = 15\), woraus \(k = 16\) folgt. Der Ablehnungsbereich ist \(V = \{16; 17; \dots; 200\}\). 4. Fehler 1. Art: Die Nullhypothese wird abgelehnt, obwohl sie wahr ist. Im Sachkontext: Der Großabnehmer glaubt fälschlicherweise, dass mehr als \(5\,\%\) der Leuchtmittel die versprochene Dauer nicht erreichen, obwohl die Qualität des Herstellers eigentlich den Anforderungen entspricht. 5. Fehler 2. Art: Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt, obwohl sie falsch ist. Im Sachkontext: Der Großabnehmer akzeptiert die Behauptung des Herstellers, obwohl in Wirklichkeit mehr als \(5\,\%\) der Leuchtmittel eine zu geringe Betriebsdauer haben.

a) \(H_0: p \leq 0{,}05\); \(H_1: p > 0{,}05\) b) Ablehnungsbereich \(V = \{16; 17; \dots; 200\}\). Die Behauptung wird abgelehnt, wenn mindestens \(16\) Leuchtmittel eine zu geringe Betriebsdauer haben. c) Fehler 1. Art: Ein einwandfreies Los wird fälschlicherweise beanstandet (Risiko für den Produzenten). Fehler 2. Art: Ein mangelhaftes Los wird fälschlicherweise akzeptiert (Risiko für den Abnehmer).

- Welche Seite des Tests ist hier relevant? Achte auf die Formulierung „mindestens“. - Überlege dir, wie die Zufallsgröße verteilt ist und welche Parameter sie hat. - Wann wird die Nullhypothese abgelehnt und wann wird sie beibehalten? - Was bedeutet ein Fehler 2. Art in diesem konkreten Sachzusammenhang? - Wie verändert sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn wir von einem anderen Parameter \(p\) ausgehen?

1. Aufstellen der Hypothesen: \(H_0: p \geq 0{,}80\) und \(H_1: p < 0{,}80\). Testgröße \(X\) ist die Anzahl der keimenden Samen, wobei unter \(H_0\) gilt: \(X \sim B(100; 0{,}80)\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs \(K = \{0; \dots; k\}\) durch \(P(X \leq k) \leq 0{,}05\). Aus der Binomialverteilungstabelle oder durch Berechnung ergibt sich \(P(X \leq 72) \approx 0{,}0342\) und \(P(X \leq 73) \approx 0{,}0558\). Somit ist \(k = 72\). Die Entscheidungsregel lautet: Lehne \(H_0\) ab, wenn höchstens \(72\) Samen keimen. 3. Der Fehler 1. Art tritt ein, wenn \(H_0\) fälschlicherweise abgelehnt wird. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\alpha_{\text{tatsächlich}} = P(X \leq 72) \approx 0{,}0342 = 3{,}42\,\%\). 4. Der Fehler 2. Art (\(\beta\)-Fehler) tritt ein, wenn \(H_0\) fälschlicherweise nicht abgelehnt wird, obwohl \(p = 0{,}70\) gilt. Es wird berechnet: \(P(X > 72) = 1 - P(X \leq 72)\) für \(X \sim B(100; 0{,}70)\). Mit \(P(X \leq 72) \approx 0{,}7036\) folgt \(\beta = 1 - 0{,}7036 = 0{,}2964 \approx 29{,}64\,\%\).

a) Ablehnungsbereich \(K = \{0; 1; \dots; 72\}\). \(H_0\) wird abgelehnt, wenn \(72\) oder weniger Samen keimen. b) \(P(\text{Fehler 1. Art}) \approx 3{,}42\,\%\) c) \(P(\text{Fehler 2. Art}) \approx 29{,}64\,\%\)

- Überlege zuerst, welche Seite der Verteilung für den Abnehmer kritisch ist: Wann wird er die Behauptung des Herstellers anzweifeln? - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der defekten LEDs in einer Stichprobe? - Beachte beim Ablehnungsbereich, dass die Wahrscheinlichkeit im Ablehnungsbereich höchstens so groß wie das Signifikanzniveau sein darf. - Der Fehler 2. Art bezieht sich immer auf eine spezifische Gegenhypothese.

1. Nullhypothese \(H_0: p \le 0{,}02\), Alternativhypothese \(H_1: p > 0{,}02\). 2. Unter der Annahme \(p = 0{,}02\) ist \(X\) binomialverteilt mit \(n = 500\). Gesucht ist die kleinste Zahl \(k\), für die \(P(X \ge k) \le 0{,}05\) gilt, was äquivalent zu \(P(X \le k-1) > 0{,}95\) ist. Mit den Werten der Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 15) \approx 0{,}9530\) und \(P(X \le 14) \approx 0{,}9186\). Somit ist \(k-1 = 15\), also \(k = 16\). Der Ablehnungsbereich ist \(\{16; 17; \dots; 500\}\). 3. Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn \(H_0\) nicht abgelehnt wird, obwohl \(p = 0{,}05\) gilt. Es ist \(P_{0{,}05}(X \le 15)\) zu berechnen. Mit \(n = 500\) und \(p = 0{,}05\) ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von ca. \(0{,}0199\). 4. Ein Fehler 1. Art bedeutet, dass die Lieferung fälschlicherweise als mangelhaft eingestuft wird, obwohl die Fehlerquote höchstens \(2\,\%\) beträgt. Dies führt zu unberechtigten Reklamationen, Kosten für Rücksendungen oder Imageverlust für den Hersteller sowie unnötigem Prüfaufwand für den Abnehmer.

1. \(H_0: p \le 0{,}02\); \(H_1: p > 0{,}02\) 2. Ablehnungsbereich \(K = \{16; 17; \dots; 500\}\) 3. \(\beta \approx 0{,}0199\) (\(1{,}99\,\%\)) 4. Der Hersteller wird zu Unrecht beschuldigt, mangelhafte Ware geliefert zu haben (falsch-positiver Alarm).

- Welche Behauptung soll durch den Test widerlegt werden? Das ist meistens die Nullhypothese. - Überlege, ob kleine oder große Werte der Testgröße gegen die Behauptung des Herstellers sprechen. - Der Fehler 1. Art passiert, wenn man eine richtige Behauptung ablehnt. - Der Fehler 2. Art passiert, wenn man eine falsche Behauptung nicht erkennt.

1. Da das Institut eine geringere Beliebtheit vermutet, lauten die Hypothesen für einen linksseitigen Test: \(H_0: p \ge 0{,}7\) und \(H_1: p < 0{,}7\). 2. Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl der Personen, die die Sorte mögen) ist unter \(H_0\) binomialverteilt mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}7\). Gesucht ist das größte \(k\), für das \(P(X \le k) \le 0{,}05\) gilt. Aus der Tabelle der Binomialverteilung oder per Taschenrechner ergibt sich: \(P(X \le 61) \approx 0{,}0340\) und \(P(X \le 62) \approx 0{,}0522\). Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{0, 1, \dots, 61\}\). 3. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn mindestens \(70\,\%\) der Kunden die Sorte mögen (\(H_0\) wahr), die Umfrage aber fälschlicherweise ein Ergebnis im Ablehnungsbereich liefert und man daher von einer geringeren Beliebtheit ausgeht. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn tatsächlich weniger als \(70\,\%\) der Kunden die Sorte mögen (\(H_0\) falsch), das Umfrageergebnis aber nicht im Ablehnungsbereich liegt und man daher fälschlicherweise an der Behauptung des Herstellers festhält.

1. \(H_0: p \ge 0{,}7\); \(H_1: p < 0{,}7\) 2. \(K = \{0, 1, \dots, 61\}\) 3. Fehler 1. Art: \(H_0\) wird abgelehnt, obwohl sie wahr ist. Fehler 2. Art: \(H_0\) wird beibehalten, obwohl sie falsch ist.

- Überlege zuerst, welche Vermutung die Forschungshypothese (Alternativhypothese) darstellt. - Der Ablehnungsbereich bei einem rechtsseitigen Test umfasst die ungewöhnlich hohen Werte. - Erinnere dich daran, dass der Fehler 2. Art nur unter einer konkreten Alternativwahrscheinlichkeit berechnet werden kann. - Nutze für den Fehler 2. Art die Wahrscheinlichkeit, dass die Testgröße im Nicht-Ablehnungsbereich landet.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da eine Zunahme vermutet wird, handelt es sich um einen rechtsseitigen Test mit \(H_0: p \leq 0{,}005\) und \(H_1: p > 0{,}005\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist das kleinste \(k\), für das unter der Annahme \(p = 0{,}005\) gilt: \(P(X \geq k) \leq 0{,}05\). Dies ist äquivalent zu \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}95\). 3. Aus der Binomialverteilungstabelle für \(n = 4\,000\) und \(p = 0{,}005\) ergibt sich: \(P(X \leq 27) \approx 0{,}9480\) und \(P(X \leq 28) \approx 0{,}9660\). Somit ist \(k-1 = 28\), also \(k = 29\). Der Ablehnungsbereich ist \(\{29, 30, \dots, 4\,000\}\). 4. Fehlerbeschreibung: Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn man fälschlicherweise eine Zunahme der Zwillingsrate feststellt, obwohl diese weiterhin bei \(0{,}5\,\%\) liegt. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn eine tatsächliche Erhöhung der Rate (z. B. auf \(0{,}8\,\%\)) durch den Test nicht erkannt wird. 5. Berechnung des Fehlers 2. Art: Die Wahrscheinlichkeit \(\beta\) für den Fehler 2. Art bei \(p_1 = 0{,}008\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis nicht im Ablehnungsbereich liegt: \(\beta = P_{4000; 0{,}008}(X \leq 28)\). 6. Berechnung: \(\beta \approx 0{,}2732\).

a) \(H_0: p \leq 0{,}005\); \(H_1: p > 0{,}005\) b) Ablehnungsbereich: \(\{29, 30, \dots, 4\,000\}\) c) Fehler 1. Art: Man schließt fälschlicherweise auf eine erhöhte Rate. Fehler 2. Art: Man erkennt eine tatsächliche Erhöhung der Rate nicht. d) \(\beta \approx 27{,}32\,\%\)

- Überlege, welche Vermutung der Verein überprüfen möchte und ob Abweichungen in beide Richtungen oder nur in eine Richtung relevant sind. - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der zufriedenen Kunden in der Stichprobe? - Wie ist der Fehler 1. Art allgemein definiert und wie lässt sich das auf die Rollen von Bio-Hof und Verein übertragen?

1. Ein einseitiger (linksseitiger) Test ist angemessen, da der Verbraucherschutzverein nur eine Abweichung von der Behauptung in eine Richtung vermutet (nämlich nach unten). Es soll nur geprüft werden, ob der Anteil der zufriedenen Kunden signifikant kleiner als \(80\,\%\) ist. 2. Nullhypothese \(H_0: p \ge 0{,}8\); Gegenhypothese \(H_1: p < 0{,}8\). Testgröße \(X\) ist die Anzahl der sehr zufriedenen Kunden, unter \(H_0\) gilt \(X \sim B(150; 0{,}8)\). Gesucht ist das größte \(k\), für das \(P(X \le k) \le 0{,}05\) gilt. Berechnete Werte: \(P(X \le 111) \approx 0{,}0446\) und \(P(X \le 112) \approx 0{,}0659\). Der Ablehnungsbereich ist somit \(\mathcal{A} = \{0, 1, \dots, 111\}\). 3. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird, obwohl sie wahr ist. Im Sachkontext: Man kommt fälschlicherweise zu dem Schluss, dass weniger als \(80\,\%\) der Kunden sehr zufrieden sind, obwohl die Behauptung des Bio-Hofs in Wirklichkeit zutrifft.

1. Es wird nur eine Abweichung nach unten untersucht (Anteil geringer als behauptet). 2. Der Ablehnungsbereich ist \(\{0, 1, \dots, 111\}\). 3. Der Fehler 1. Art bedeutet, dass man die Behauptung des Hofes fälschlicherweise als widerlegt ansieht, obwohl mindestens \(80\,\%\) der Kunden sehr zufrieden sind.

- Welche Seite des Tests ist relevant, wenn eine Vermutung „geringer als“ lautet? - Wie ist der Fehler 1. Art im Hinblick auf die Nullhypothese definiert? - Denk daran, dass bei diskreten Verteilungen das vorgegebene Signifikanzniveau oft nicht exakt erreicht wird.

1. Es liegt ein linksseitiger Signifikanztest vor. Die Nullhypothese lautet \(H_0: p \ge 0{,}6\), die Alternativhypothese \(H_1: p < 0{,}6\). Die Testgröße \(X\) (Anzahl der Personen, die die neue Sorte bevorzugen) ist unter der Annahme \(p = 0{,}6\) binomialverteilt mit \(n = 100\). Gesucht ist der größte Wert \(k\), für den gilt: \(P(X \le k) \le 0{,}05\). Durch Nachschlagen in der Tabelle oder Berechnung ergibt sich für \(k = 51\): \(P(X \le 51) \approx 0{,}0423\) und für \(k = 52\): \(P(X \le 52) \approx 0{,}0606\). Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{0, 1, \dots, 51\}\). Die Entscheidungsregel lautet: Übersteigt die Anzahl der Befürworter den Wert \(51\) nicht, wird die Behauptung des Herstellers abgelehnt. 2. Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (das tatsächliche Signifikanzniveau) entspricht \(P_{p=0{,}6}(X \le 51) \approx 0{,}0423\), also ca. \(4{,}23\,\%\). 3. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn das Institut die Behauptung des Herstellers fälschlicherweise ablehnt, obwohl in Wahrheit mindestens \(60\,\%\) der Konsumenten die neue Sorte bevorzugen.

1. \(H_0: p \ge 0{,}6\); \(H_1: p < 0{,}6\). Ablehnungsbereich \(K = \{0, 1, \dots, 51\}\). 2. \(P(\text{Fehler 1. Art}) \approx 4{,}23\,\%\). 3. Die Behauptung des Herstellers wird irrtümlich als falsch zurückgewiesen.

- Welche Vermutung des Abnehmers soll durch den Test gestützt werden? Das hilft dir bei der Wahl der Gegenhypothese. - Überlege dir, wie die Wahrscheinlichkeiten für die Fehler 1. und 2. Art definiert sind: Geht es um das Ablehnen oder das Beibehalten der Nullhypothese? - Der Ablehnungsbereich liegt bei diesem einseitigen Test am rechten Rand der Verteilung. - Für die Berechnung des Fehlers 2. Art musst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das Ergebnis im Nicht-Ablehnungsbereich liegt, unter der Bedingung, dass ein neuer Wert für \(p\) gilt.

1. Aufstellen der Nullhypothese \(H_0: p \leq 0{,}05\) und der Gegenhypothese \(H_1: p > 0{,}05\). Die Teststatistik \(X\) ist unter \(H_0\) binomialverteilt mit \(n = 80\) und \(p = 0{,}05\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs \(\{k, \dots, 80\}\): Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P(X \geq k) \leq 0{,}05\) gilt, was äquivalent zu \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}95\) ist. Durch Tabellen oder Berechnung ergibt sich \(P(X \leq 7) \approx 0{,}9547\) und \(P(X \leq 8) \approx 0{,}9827\). Da \(P(X \geq 8) = 1 - P(X \leq 7) \approx 0{,}0453 \leq 0{,}05\), ist der Ablehnungsbereich \(\{8, \dots, 80\}\). 3. Definition der Fehler: Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn die Nullhypothese abgelehnt wird (der Abnehmer geht von einer hohen Fehlerquote aus), obwohl sie wahr ist (höchstens \(5\,\%\) defekt). Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn die Nullhypothese beibehalten wird (der Abnehmer glaubt dem Hersteller), obwohl sie falsch ist (Fehlerquote liegt über \(5\,\%\)). 4. Berechnung des Fehlers 2. Art für \(p = 0{,}12\): \(\beta = P_{p=0{,}12}(X \leq 7)\). Unter der Annahme \(B(80; 0{,}12)\) ergibt sich \(\beta \approx 0{,}2415\).

a) Der Ablehnungsbereich ist \(\{8, \dots, 80\}\). b) Fehler 1. Art: Die Module werden als zu fehlerhaft eingestuft, obwohl sie die Vorgabe (\(\leq 5\,\%\)) erfüllen. Fehler 2. Art: Die Module werden als gut akzeptiert, obwohl die Fehlerquote tatsächlich über \(5\,\%\) liegt. c) Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art beträgt etwa \(24{,}15\,\%\).

- Überlege zuerst, welche Seite des Tests untersucht werden muss: Möchte man belegen, dass ein Wert überschritten wird? - Die Nullhypothese ist immer die Annahme, die man im Zweifelsfall beibehalten möchte oder die den Status quo beschreibt. - Der Ablehnungsbereich wird so festgelegt, dass die Irrtumswahrscheinlichkeit unter dem vorgegebenen Niveau liegt. - Erinnere dich daran, was die Begriffe Fehler 1. Art (fälschliches Ablehnen) und Fehler 2. Art (fälschliches Beibehalten) bedeuten.

1. Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. Die Nullhypothese lautet \(H_0: p \le 0{,}04\), die Alternativhypothese \(H_1: p > 0{,}04\). Unter der Annahme der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}04\) ist die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl mangelhafter Flaschen) binomialverteilt mit \(n = 200\). Gesucht ist die kleinste natürliche Zahl \(k\), für die \(P(X \ge k) \le 0{,}05\) bzw. \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\) gilt. Mit \(n = 200\) und \(p = 0{,}04\) ergibt sich laut Tabelle oder Taschenrechner \(P(X \le 12) \approx 0{,}9401\) und \(P(X \le 13) \approx 0{,}9688\). Somit ist \(k-1 = 13\), also \(k = 14\). Der Ablehnungsbereich ist \(A = \{14; 15; \dots; 200\}\). 2. Der Fehler 1. Art tritt ein, wenn \(X\) im Ablehnungsbereich liegt, obwohl \(p = 0{,}04\) gilt. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P_{0{,}04}(X \ge 14) = 1 - P_{0{,}04}(X \le 13) \approx 1 - 0{,}9688 = 0{,}0312\). 3. Ein Fehler 2. Art tritt ein, wenn \(X\) nicht im Ablehnungsbereich liegt, obwohl die tatsächliche Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}10\) beträgt. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P_{0{,}10}(X \le 13) \approx 0{,}0566\).

1. \(H_0: p \le 0{,}04\); \(H_1: p > 0{,}04\); Ablehnungsbereich \(A = \{14; 15; \dots; 200\}\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art beträgt ca. \(3{,}12\,\%\). 3. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art beträgt ca. \(5{,}66\,\%\).

- Welche Vermutung soll durch den Test gestützt werden? Diese bildet meist die Alternativhypothese. - Überlege, ob kleine oder große Werte der Testgröße gegen die Behauptung des Streaming-Dienstes sprechen. - Wie hängen der Ablehnungsbereich und die beiden Fehlerarten zusammen? - Denke daran, dass der Fehler 2. Art immer für eine spezifische Wahrscheinlichkeit aus der Alternativhypothese berechnet wird.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da das Institut vermutet, dass der Anteil geringer ist, wird ein linksseitiger Test durchgeführt. Die Nullhypothese lautet \(H_0: p \ge 0{,}35\), die Alternativhypothese \(H_1: p < 0{,}35\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Unter der Annahme der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}35\) und dem Stichprobenumfang \(n = 150\) wird die größte Zahl \(k\) gesucht, für die \(P(X \le k) \le 0{,}05\) gilt. Aus der Tabelle der Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 42) \approx 0{,}0417\) und \(P(X \le 43) \approx 0{,}0636\). Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{0; 1; \dots; 42\}\). 3. Fehler 1. Art: Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird, obwohl \(p = 0{,}35\) gilt. Dies entspricht dem tatsächlichen Signifikanzniveau \(P(X \le 42) \approx 0{,}0417\) bzw. \(4{,}17\,\%\). 4. Fehler 2. Art: Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese beibehalten wird (\(X > 42\)), obwohl die tatsächliche Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}25\) beträgt. \(\beta = P(X \ge 43) = 1 - P(X \le 42) \approx 1 - 0{,}8276 = 0{,}1724\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(17{,}24\,\%\).

a) \(H_0: p \ge 0{,}35\); \(H_1: p < 0{,}35\) b) Ablehnungsbereich \(K = \{0; 1; \dots; 42\}\) c) \(P(\text{Fehler 1. Art}) \approx 4{,}17\,\%\) d) \(P(\text{Fehler 2. Art}) \approx 17{,}24\,\%\)

- Nutze für den ersten Teil die Standardisierung der Normalverteilung. - Überlege dir beim Fehler 1. Art: Was ist die Nullhypothese und wann wird sie fälschlicherweise abgelehnt? - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der „Treffer“ in einer Stichprobe mit fester Größe \(n\)? - Achte darauf, ob nach „nicht beanstandet“ oder „beanstandet“ gefragt ist.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine kurze Brenndauer: \(P(X < 19\,000) = \Phi\left(\frac{19\,000 - 20\,000}{800}\right) = \Phi(-1{,}25) = 1 - \Phi(1{,}25) \approx 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056\). Die Wahrscheinlichkeit für eine Brenndauer unter \(19\,000\,\text{h}\) beträgt ca. \(10{,}56\,\%\). 2. Fehlerarten im Sachzusammenhang: Fehler 1. Art: Die Lieferung wird beanstandet (mehr als 10 Module mit zu kurzer Brenndauer), obwohl der wahre Anteil der Module mit kurzer Brenndauer höchstens \(8\,\%\) beträgt (die Lieferung ist eigentlich gut). Fehler 2. Art: Die Lieferung wird nicht beanstandet (höchstens 10 Module mit zu kurzer Brenndauer), obwohl der wahre Anteil der Module mit kurzer Brenndauer über \(8\,\%\) liegt (die Lieferung ist eigentlich schlecht). 3. Wahrscheinlichkeit für „keine Beanstandung“: Gegeben ist \(n = 100\) und die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p \approx 0{,}1056\) (aus Aufgabenteil a). Die Zufallsgröße \(Y\) (Anzahl der Module mit Brenndauer \(< 19\,000\,\text{h}\)) ist binomialverteilt: \(Y \sim B(100; 0{,}1056)\). Gesucht ist \(P(Y \le 10) = \sum_{k=0}^{10} \binom{100}{k} \cdot 0{,}1056^k \cdot (1 - 0{,}1056)^{100-k}\). Unter Verwendung eines Taschenrechners oder der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(Y \le 10) \approx 0{,}509\). Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lieferung nicht beanstandet wird, beträgt ca. \(50{,}9\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(10{,}56\,\%\). b) (1) Fehler 1. Art: Eine gute Lieferung (\(p \le 0{,}08\)) wird fälschlich beanstandet. Fehler 2. Art: Eine schlechte Lieferung (\(p > 0{,}08\)) wird fälschlich nicht beanstandet. (2) Die Wahrscheinlichkeit für keine Beanstandung beträgt ca. \(50{,}9\,\%\).

- Der Fehler 1. Art wird immer unter der Annahme berechnet, dass die Nullhypothese \(H_0\) stimmt. - Der Fehler 2. Art wird unter einer spezifischen Annahme über die tatsächliche Wahrscheinlichkeit berechnet. - Was passiert mit der Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu erhalten, wenn der Würfel "gegen" die Sechs manipuliert ist? - Wenn das Signifikanzniveau strenger (kleiner) wird, muss der Ablehnungsbereich kleiner oder größer werden?

1. Fehler 1. Art: \(\alpha = P_{p=1/6}(X \le 16)\). Mit \(n = 150\) und \(p = \frac{1}{6}\) ergibt sich \(\alpha \approx 0{,}0264 \approx 2{,}64\,\%\). 2. Fehler 2. Art: \(\beta = P_{p=0{,}1}(X > 16) = 1 - P_{p=0{,}1}(X \le 16)\). Mit \(n = 150\) und \(p = 0{,}1\) ergibt sich \(P(X \le 16) \approx 0{,}6694\), also \(\beta \approx 1 - 0{,}6694 = 0{,}3306 \approx 33{,}06\,\%\). Das bedeutet, die Manipulation wird in ca. \(33\,\%\) der Fälle nicht entdeckt, obwohl sie vorliegt. 3. Für \(\alpha \le 0{,}01\) sucht man den größten Wert \(k\), sodass \(P_{1/6}(X \le k) \le 0{,}01\). Durch systematisches Probieren oder Tabellenwerte: \(P(X \le 14) \approx 0{,}0075\) und \(P(X \le 15) \approx 0{,}0145\). Der neue Ablehnungsbereich wäre somit \(K_{neu} = \{0; 1; \dots; 14\}\).

a) \(\alpha \approx 2{,}64\,\%\). b) \(\beta \approx 33{,}06\,\%\). Die Manipulation wird nicht erkannt. c) \(K = \{0; 1; \dots; 14\}\).

- Welche Behauptung soll geschützt werden? Das ist meist die Nullhypothese. - Achte bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit genau auf die Grenze des Ablehnungsbereichs. - Überlege dir, welche Konsequenzen eine Fehlentscheidung für den Käufer und den Verkäufer hat. - Erinnere dich an die Bedingungen einer Bernoulli-Kette: Konstante Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit.

1. Die Testgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der mangelhaften Zellen in der Stichprobe. Die Nullhypothese lautet \(H_0: p \le 0{,}1\) (Angabe des Herstellers), die Gegenhypothese \(H_1: p > 0{,}1\). 2. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn \(H_0\) abgelehnt wird, obwohl \(p = 0{,}1\) gilt. Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{16, 17, \dots, 100\}\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P_{100; 0{,}1}(X \ge 16) = 1 - P(X \le 15) \approx 1 - 0{,}9601 = 0{,}0399\). 3. Fehler 1. Art: Der Hersteller wird benachteiligt, da seine den Herstellerangaben entsprechende Lieferung fälschlicherweise als mangelhaft eingestuft wird. Fehler 2. Art: Der Abnehmer wird benachteiligt, da er eine Lieferung mit zu vielen Mängeln fälschlicherweise akzeptiert. 4. Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn \(X \le 15\) unter der Bedingung \(p = 0{,}2\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P_{100; 0{,}2}(X \le 15) \approx 0{,}1285\). 5. Mögliche Probleme: Die Trefferwahrscheinlichkeit könnte sich ändern (z. B. durch Serienfehler in der Produktion, wodurch Mängel gehäuft auftreten), oder die Ziehungen sind nicht unabhängig (z. B. wenn Zellen direkt nacheinander vom selben Band genommen werden).

a) \(H_0: p \le 0{,}1\); \(H_1: p > 0{,}1\); \(X\): Anzahl mangelhafter Zellen. b) \(P(\text{Fehler 1. Art}) \approx 3{,}99\,\%\). c) Fehler 1. Art: Hersteller; Fehler 2. Art: Abnehmer. d) \(P(\text{Fehler 2. Art}) \approx 12{,}85\,\%\). e) Mögliche Abhängigkeit der Mängel oder schwankende Produktionsqualität.

- Achte darauf, ob es sich um einen linksseitigen oder rechtsseitigen Test handelt, um den Ablehnungsbereich korrekt zu identifizieren. - Der Fehler 1. Art bezieht sich auf das irrtümliche Ablehnen der Herstellerangabe. - Der Fehler 2. Art tritt auf, wenn ein schlechteres Produkt (hier \(p=0{,}90\)) den Test fälschlicherweise besteht. - Was passiert, wenn ein Alarmsystem nicht zuverlässig ist, man es aber für sicher hält?

1. Definition des Ablehnungsbereichs: Die Nullhypothese \(H_0: p \ge 0{,}95\) wird abgelehnt, wenn die Anzahl der funktionierenden Sensoren \(X\) im Bereich \(\{0, 1, \dots, 184\}\) liegt. 2. Fehler 1. Art (\(\alpha\)): Die Wahrscheinlichkeit, dass \(X \le 184\) unter der Annahme \(p = 0{,}95\). Mit \(n = 200\) und \(p = 0{,}95\) ergibt sich \(P(X \le 184) \approx 0{,}0444\). Das Signifikanzniveau beträgt somit ca. \(4{,}44\,\%\). 3. Fehler 2. Art (\(\beta\)): Die Wahrscheinlichkeit, dass \(X > 184\) unter der Annahme \(p = 0{,}90\). Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Behauptung des Herstellers nicht verworfen wird, obwohl sie falsch ist. Mit \(n = 200\) und \(p = 0{,}90\) ergibt sich \(P(X \ge 185) = 1 - P(X \le 184) \approx 1 - 0{,}8569 = 0{,}1431\), also ca. \(14{,}31\,\%\). 4. Diskussion: Ein Fehler 1. Art schadet dem Ruf des Herstellers zu Unrecht und führt zu unnötigen Nachbesserungen (wirtschaftlicher Schaden). Ein Fehler 2. Art gefährdet die Endnutzer, da ein unsicheres System als sicher eingestuft wird (Sicherheitsrisiko). Im Kontext von Sicherheitssensoren ist der Fehler 2. Art kritischer zu bewerten.

a) \(\alpha = P_{200; 0{,}95}(X \le 184) \approx 0{,}0444\). b) \(\beta = P_{200; 0{,}90}(X \ge 185) \approx 0{,}1431\). c) Der Fehler 1. Art belastet den Hersteller wirtschaftlich; der Fehler 2. Art stellt ein hohes Sicherheitsrisiko für die Nutzer dar.

- Achte beim rechtsseitigen Test darauf, wie man die Wahrscheinlichkeit „mindestens \(g\)“ mit der kumulierten Verteilungsfunktion berechnet. - Was bedeutet „irrtümlich zurückweisen“ im Kontext der Fehlerarten? - Vergleiche deine Ergebnisse für \(\alpha\) mit der Grenze von \(0{,}05\).

1. Berechnung von \(\alpha = P_{80; 0{,}4}(X \ge g) = 1 - P_{80; 0{,}4}(X \le g-1)\): Für \(g = 38\): \(\alpha_1 = 1 - P_{80; 0{,}4}(X \le 37) \approx 1 - 0{,}8947 = 0{,}1053\). Für \(g = 42\): \(\alpha_2 = 1 - P_{80; 0{,}4}(X \le 41) \approx 1 - 0{,}9842 = 0{,}0158\). 2. Berechnung von \(\beta = P_{80; 0{,}55}(X \le g-1)\): Für \(g = 38\): \(\beta_1 = P_{80; 0{,}55}(X \le 37) \approx 0{,}0724\). Für \(g = 42\): \(\beta_2 = P_{80; 0{,}55}(X \le 41) \approx 0{,}2864\). 3. Beurteilung: Die Bedingung lautet \(\alpha \le 0{,}05\). Da \(\alpha_1 \approx 10{,}53\,\%\) und \(\alpha_2 \approx 1{,}58\,\%\) ist, erfüllt nur die Entscheidungsregel mit \(g = 42\) die Vorgabe eines Signifikanzniveaus von \(5\,\%\).

a) Für \(g = 38\): \(\alpha \approx 0{,}1053\); für \(g = 42\): \(\alpha \approx 0{,}0158\). b) Für \(g = 38\): \(\beta \approx 0{,}0724\); für \(g = 42\): \(\beta \approx 0{,}2864\). c) Die Regel mit \(g = 42\) ist besser geeignet, da nur hier \(\alpha \le 0{,}05\) gilt.

- Achte darauf, ob es sich um einen linksseitigen oder rechtsseitigen Test handelt, um den Ablehnungsbereich korrekt zu bestimmen. - Das Signifikanzniveau gibt die Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art an. - Der Fehler 2. Art bezieht sich immer auf den Annahmebereich der Nullhypothese unter einer neuen Wahrscheinlichkeit.

1. Aufstellen des Tests: Linksseitiger Test mit \(n = 60\), \(p_0 = 0{,}8\) und \(\alpha = 0{,}05\). Der Ablehnungsbereich hat die Form \(A = \{0, 1, \dots, k\}\). 2. Bestimmung von \(k\): Gesucht ist das größte \(k\), für das \(P_{0{,}8}(X \le k) \le 0{,}05\) gilt. Durch Tabellen oder Taschenrechner ermittelt man \(P_{0{,}8}(X \le 41) \approx 0{,}0221\) und \(P_{0{,}8}(X \le 42) \approx 0{,}0427\), während \(P_{0{,}8}(X \le 43) \approx 0{,}0772\). Somit ist \(k = 42\). Die Entscheidungsregel lautet: Lehne \(H_0\) ab, wenn höchstens \(42\) Personen zufrieden sind. 3. Tatsächlicher Fehler 1. Art: \(\alpha_{\text{tats}} = P_{0{,}8}(X \le 42) \approx 0{,}0427\). 4. Fehler 1. Art im Kontext: Die Stadtverwaltung kommt zu dem Schluss, dass weniger als \(80\,\%\) der Bürger zufrieden sind, obwohl die Zufriedenheit in Wirklichkeit bei mindestens \(80\,\%\) liegt. 5. Fehler 2. Art für \(p = 0{,}65\): Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt, wenn \(X > 42\). \(\beta = P_{0{,}65}(X \ge 43) = 1 - P_{0{,}65}(X \le 42) \approx 1 - 0{,}8279 = 0{,}1721\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(17{,}21\,\%\).

a) Die Entscheidungsregel lautet: Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Anzahl der zufriedenen Bürger höchstens \(42\) beträgt. Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ist \(4{,}27\,\%\). b) Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn man fälschlicherweise davon ausgeht, dass die Zufriedenheit unter \(80\,\%\) liegt, obwohl sie tatsächlich mindestens \(80\,\%\) beträgt. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art bei \(p = 0{,}65\) beträgt ca. \(17{,}21\,\%\).

- Welche Werte für \(X\) führen dazu, dass wir dem Sommelier glauben? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer festen Grundwahrscheinlichkeit? - Bedenke, dass der Fehler 2. Art immer eine spezifische Wahrscheinlichkeit aus der Gegenhypothese benötigt. - Was sagt eine hohe Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art über die Zuverlässigkeit aus, einen Experten auch wirklich zu erkennen?

1. Fehler 1. Art: \(H_0\) wird abgelehnt, obwohl \(p=0{,}5\). Ablehnungsbereich \(X \in \{12, 13, 14, 15\}\). Berechnung über die Binomialverteilung \(B_{15; 0{,}5}\): \(P(X \geq 12) = \binom{15}{12} \cdot 0{,}5^{15} + \binom{15}{13} \cdot 0{,}5^{15} + \binom{15}{14} \cdot 0{,}5^{15} + \binom{15}{15} \cdot 0{,}5^{15} = (455 + 105 + 15 + 1) \cdot 0{,}5^{15} = 576 \cdot \frac{1}{32\,768} \approx 0{,}0176\). Das Signifikanzniveau beträgt ca. \(1{,}76\,\%\). 2. Fehler 2. Art: \(H_0\) wird beibehalten, obwohl \(p=0{,}8\). Annahmebereich \(X \in \{0, \dots, 11\}\). Berechnung über \(B_{15; 0{,}8}\): \(\beta = P(X \leq 11) = 1 - P(X \geq 12)\). \(P(X=12) \approx 0{,}2501\), \(P(X=13) \approx 0{,}2309\), \(P(X=14) \approx 0{,}1319\), \(P(X=15) \approx 0{,}0352\). Summe \(P(X \geq 12) \approx 0{,}6482\). Somit \(\beta = 1 - 0{,}6482 = 0{,}3518\), also ca. \(35{,}2\,\%\). 3. Der Test hat ein strenges Signifikanzniveau (wenig „falsches Lob“), aber ein Fehler 2. Art von ca. \(35\,\%\) ist relativ hoch. Das bedeutet, dass mehr als jeder dritte echte Experte durch den Test fallen würde. Für eine sichere Bestätigung ist die Stichprobe eher zu klein oder die Hürde zu hoch.

1. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt ca. \(1{,}76\,\%\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art beträgt ca. \(35{,}2\,\%\). 3. Der Test ist nur bedingt geeignet, da die Gefahr groß ist (\(35{,}2\,\%\)), einen tatsächlichen Experten nicht als solchen zu erkennen.

- Wann ist die Behauptung „mindestens \(75\,\%\)“ gefährdet? Das hilft dir bei der Wahl der Hypothesen. - Für den Ablehnungsbereich suchst du die Grenze, bis zu der die kumulierte Wahrscheinlichkeit unter \(H_0\) das Signifikanzniveau gerade noch nicht überschreitet. - Überlege beim Fehler 2. Art genau, in welchem Bereich die Nullhypothese fälschlicherweise beibehalten wird. - Was passiert mit der Standardabweichung der Binomialverteilung, wenn man den Stichprobenumfang vergrößert?

1. Hypothesen: \(H_0: p \ge 0{,}75\) (Annahme des Herstellers); \(H_1: p < 0{,}75\) (Zweifel an der Quote). 2. Testgröße \(X\): Anzahl der geheilten Personen (\(X \sim B(120; 0{,}75)\)). 3. Ablehnungsbereich bestimmen: Suche maximales \(k\), sodass \(P(X \le k; p=0{,}75) \le 0{,}01\). 4. Aus Tabellenwerk oder Taschenrechner: \(P(X \le 78) \approx 0{,}0093\) und \(P(X \le 79) \approx 0{,}0169\). 5. Ergebnis Ablehnungsbereich: \(K = \{0, 1, \dots, 78\}\). 6. Fehler 2. Art (\(\beta\)): \(P(X \ge 79; p=0{,}60) = 1 - P(X \le 78; p=0{,}60) \approx 1 - 0{,}8877 = 0{,}1123\). 7. Einfluss Stichprobenumfang: Bei größerem \(n\) bleibt das vorgegebene Signifikanzniveau und damit die Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art gleich. Zugleich sinkt für die feste alternative Heilungsquote von \(60\,\%\) in der Regel die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, da die Testkraft steigt.

a) \(H_0: p \ge 0{,}75\); \(H_1: p < 0{,}75\). b) Ablehnungsbereich \(K = \{0, 1, \dots, 78\}\). c) Fehler 2. Art: \(\beta \approx 11{,}23\,\%\). d) Bei größerem Stichprobenumfang bleibt die Obergrenze für den Fehler 1. Art durch das konstante Signifikanzniveau gleich; die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art sinkt in der Regel.

- Bestimme zuerst, ab wie vielen blühenden Pflanzen man von einer signifikanten Verbesserung sprechen kann. - Der Fehler zweiter Art bedeutet, dass die Verbesserung nicht erkannt wird, obwohl sie vorhanden ist. - Für die Berechnung des Fehlers zweiter Art musst du die neue Wahrscheinlichkeit \( p \) verwenden, aber den alten Annahmebereich beibehalten. - Wie ändert sich die Fehlerwahrscheinlichkeit, wenn das Düngemittel noch effektiver ist?

1. Hypothesen und Testart: Es liegt ein rechtsseitiger Test mit \( H_0: p \leq 0{,}25 \) und \( H_1: p > 0{,}25 \) vor. 2. Ermittlung des kritischen Bereichs: Gesucht ist \( k \), sodass \( P_{0{,}25}(X \geq k) \leq 0{,}05 \). Bei \( n = 40 \) liefert die Binomialverteilung \( P(X \geq 15) \approx 0{,}0544 \) und \( P(X \geq 16) \approx 0{,}0262 \). Der kritische Bereich ist \( K = \{16; 17; \dots; 40\} \). 3. Definition des Nicht-Ablehnungsbereichs: Die Nullhypothese wird beibehalten, wenn das Ergebnis im Bereich \( \bar{K} = \{0; 1; \dots; 15\} \) liegt. 4. Fehler zweiter Art für \( p = 0{,}4 \): Die Wahrscheinlichkeit, dass trotz einer tatsächlichen Rate von \( 0{,}4 \) die Nullhypothese nicht abgelehnt wird, ist \( \beta = P_{0{,}4}(X \leq 15) \approx 0{,}4402 \). 5. Fehler zweiter Art für \( p = 0{,}5 \): Analog ergibt sich für eine tatsächliche Rate von \( 0{,}5 \) die Wahrscheinlichkeit \( \beta = P_{0{,}5}(X \leq 15) \approx 0{,}0769 \).

a) Kritischer Bereich \( K = \{16; 17; \dots; 40\} \). b) Für \( p = 0{,}4 \): \( \beta \approx 0{,}4402 \) (bzw. \( 44{,}02\,\% \)). Für \( p = 0{,}5 \): \( \beta \approx 0{,}0769 \) (bzw. \( 7{,}69\,\% \)).

- Erinnere dich an die Merkmale eines Bernoulli-Experiments. - Bei einem rechtsseitigen Test liegen die extremen Werte, die zur Ablehnung führen, im oberen Bereich der Verteilung. - Beachte den Zusammenhang zwischen \( P(X \ge k) \) und der kumulierten Verteilungsfunktion \( P(X \le k-1) \). - Der Fehler 2. Art kann nur berechnet werden, wenn ein konkreter Alternativwert für \( p \) gegeben ist.

1. Voraussetzung: Die Keimung der einzelnen Samen muss voneinander unabhängig sein und die Wahrscheinlichkeit für das Nicht-Keimen muss für jeden Samen konstant sein (Bernoulli-Kette). 2. Hypothesen und Ablehnungsbereich: Die Nullhypothese lautet \( H_0: p \le 0{,}02 \), die Gegenhypothese \( H_1: p > 0{,}02 \). Gesucht ist das kleinste \( k \), sodass \( P(X \ge k) \le 0{,}10 \) unter der Annahme \( p = 0{,}02 \). Dies ist äquivalent zu \( P(X \le k-1) \ge 0{,}90 \). Für \( n = 400 \) liefert die Tabelle/der Rechner: \( P(X \le 11) \approx 0{,}8911 \) und \( P(X \le 12) \approx 0{,}9381 \). Somit ist \( k-1 = 12 \), also \( k = 13 \). Der Ablehnungsbereich ist \( K = \{13, 14, \dots, 400\} \). 3. Fehler 1. Art: \( P(X \ge 13) = 1 - P(X \le 12) \approx 1 - 0{,}9381 = 0{,}0619 \). Das Risiko beträgt ca. \( 6{,}19\,\% \). 4. Fehler 2. Art: Die Wahrscheinlichkeit, dass \( X \) im Annahmebereich \( \{0, \dots, 12\} \) liegt, falls \( p = 0{,}05 \) gilt: \( P(X \le 12) \) für \( B(400; 0{,}05) \). Die Berechnung ergibt \( P(X \le 12) \approx 0{,}0355 \). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \( 3{,}55\,\% \).

a) Unabhängigkeit der Keimvorgänge (Bernoulli-Bedingung). b) \( H_0: p \le 0{,}02 \); \( H_1: p > 0{,}02 \); \( K = \{13, 14, \dots, 400\} \) c) \( P(\text{Fehler 1. Art}) \approx 6{,}19\,\% \) d) \( P(\text{Fehler 2. Art}) \approx 3{,}55\,\% \)

- Welche Vermutung soll durch den Test gestützt werden? Diese landet meist in der Alternativhypothese. - Überlege dir, ob ein großer oder ein kleiner Wert der Testgröße gegen die Nullhypothese spricht. - Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn man sich für die Nullhypothese entscheidet, obwohl sie falsch ist. In welchem Bereich landen dann die Stichprobenwerte? - Bei der Mehrfachdurchführung kannst du das Problem als ein neues Bernoulli-Experiment betrachten, bei dem ein „Erfolg“ ein signifikantes Testergebnis ist.

1. Aufstellen der Hypothesen: \(H_0: p \le 0{,}05\) und \(H_1: p > 0{,}05\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P(X \ge k) \le 0{,}05\) unter der Annahme \(p = 0{,}05\) gilt. Dies entspricht \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\). Aus der Binomialverteilung mit \(n=500\) und \(p=0{,}05\) folgt \(P(X \le 33) \approx 0{,}9546\). Somit ist \(k-1 = 33\), also \(k = 34\). Der Ablehnungsbereich ist \(A = \{34, 35, \dots, 500\}\). 3. Fehler 2. Art: Die Wahrscheinlichkeit \(\beta\), \(H_0\) nicht abzulehnen, obwohl \(p = 0{,}08\) gilt, ist \(P(X \le 33)\) für \(B(500; 0{,}08)\). Ergebnis: \(\beta \approx 0{,}1410\). 4. Mehrfachtestung: Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art pro Test ist \(\alpha_{\text{real}} = P(X \ge 34) = 1 - 0{,}9546 = 0{,}0454\). Die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein signifikantes Ergebnis bei 50 Tests ist \(1 - (1 - 0{,}0454)^{50} \approx 1 - 0{,}0979 = 0{,}9021\). 5. Bewertung: Das Vorgehen ist problematisches multiples Testen (sogenanntes P-Hacking). Bei ausreichend vielen Wiederholungen wird ein signifikantes Ergebnis rein zufällig fast sicher, selbst wenn die Nullhypothese wahr ist. Dies führt zu wissenschaftlich wertlosen oder irreführenden Aussagen.

a) \(H_0: p \le 0{,}05\); \(H_1: p > 0{,}05\) b) \(A = \{34, 35, \dots, 500\}\) c) \(\beta \approx 14{,}10\,\%\) d) \(P \approx 90{,}21\,\%\) e) Die Strategie ist ohne Korrektur für multiples Testen methodisch unzulässig, da sie das Signifikanzniveau untergräbt und mit hoher Wahrscheinlichkeit zu falsch positiven Ergebnissen führt.

- Achte darauf, ob es sich um einen links- oder rechtsseitigen Test handelt. Werden kleine oder große Werte kritisch gesehen? - Verwende für die Bestimmung des Ablehnungsbereichs immer den Wert aus der Nullhypothese. - Der Fehler 2. Art berechnet sich immer mit der Wahrscheinlichkeit der tatsächlichen (alternativen) Quote über den Bereich, in dem die Nullhypothese NICHT abgelehnt wird. - Wie wirkt sich eine größere Datenbasis allgemein auf die Genauigkeit eines Tests aus?

1. Entscheidungsregel: \(H_0: p \ge 0{,}80\) gegen \(H_1: p < 0{,}80\). Gesucht ist das größte \(k\), für das \(P(X \le k) \le 0{,}01\) unter \(p = 0{,}80\) gilt. Bei \(n = 250\) liefert die Binomialverteilung \(P(X \le 184) \approx 0{,}0086\) und \(P(X \le 185) \approx 0{,}0127\). Der Ablehnungsbereich ist somit \(A = \{0, 1, \dots, 184\}\). Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn höchstens 184 Sendungen pünktlich sind. 2. Fehler 2. Art: Man geht fälschlicherweise davon aus, dass die Pünktlichkeitsrate mindestens \(80\,\%\) beträgt (behält \(H_0\) bei), obwohl sie in Wahrheit geringer ist. 3. Berechnung \(\beta\) für \(n = 250, p = 0{,}75\): Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn \(X\) im Nicht-Ablehnungsbereich \(\bar{A} = \{185, \dots, 250\}\) liegt. \(\beta = P(X \ge 185) = 1 - P(X \le 184)\) für \(B(250; 0{,}75)\). Ergebnis: \(\beta \approx 1 - 0{,}3271 = 0{,}6729\). 4. Erhöhung auf \(n = 500\): Neuer Ablehnungsbereich für \(p = 0{,}80\): \(P(X \le 378) \approx 0{,}0092\) und \(P(X \le 379) \approx 0{,}0123\). Also \(A_{neu} = \{0, \dots, 378\}\). Fehler 2. Art für \(p = 0{,}75\): \(\beta_{neu} = P(X \ge 379) = 1 - P(X \le 378)\) für \(B(500; 0{,}75)\). Ergebnis: \(\beta_{neu} \approx 1 - 0{,}6383 = 0{,}3617\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art sinkt deutlich von ca. \(67{,}3\,\%\) auf ca. \(36{,}2\,\%\).

a) Ablehnungsbereich \(A = \{0, 1, \dots, 184\}\). b) Die Werbeaussage des Lieferdienstes wird nicht verworfen, obwohl die tatsächliche Pünktlichkeitsrate niedriger ist als behauptet. c) \(\beta \approx 67{,}29\,\%\) d) Bei \(n = 500\) sinkt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art auf \(\beta \approx 36{,}17\,\%\).

- Identifiziere zuerst, welches Ereignis zum Fehler 2. Art führt: Die neue Rate stimmt, aber das Testergebnis ist zu niedrig. - Für den Fehler 1. Art: Die alte Rate stimmt noch, aber das Testergebnis ist zufällig so hoch, dass man an die neue Rate glaubt. - Nutze die Gegenwahrscheinlichkeit, um Berechnungen mit vielen Summanden zu verkürzen. - Achte darauf, welche Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) du für welchen Fehler einsetzen musst.

1. Hypothesen: \(H_0: p = 0{,}75\) und \(H_1: p = 0{,}90\). Entscheidungsregel: \(X \ge 22 \implies H_1\); \(X \le 21 \implies H_0\). 2. Fehler 2. Art (\(\beta\)): \(H_1\) ist wahr, aber das Ergebnis fällt in den Annahmebereich von \(H_0\). Berechnung für \(n = 25, p = 0{,}90\): \(P_{0{,}90}(X \le 21)\). 3. \(\beta = \sum_{k=0}^{21} \binom{25}{k} \cdot 0{,}9^k \cdot 0{,}1^{25-k} = 1 - P_{0{,}90}(X \ge 22) = 1 - (P(X=22) + P(X=23) + P(X=24) + P(X=25))\). 4. Einzelwahrscheinlichkeiten für \(p=0{,}9\): \(P(X=22) \approx 0{,}2265\); \(P(X=23) \approx 0{,}2659\); \(P(X=24) \approx 0{,}1994\); \(P(X=25) \approx 0{,}0718\). Summe \(\approx 0{,}7636\). Damit ist \(\beta = 1 - 0{,}7636 = 0{,}2364\). 5. Fehler 1. Art (\(\alpha\)): \(H_0\) ist wahr, aber das Ergebnis fällt in den Ablehnungsbereich von \(H_0\) (Annahmebereich von \(H_1\)). Berechnung für \(n = 25, p = 0{,}75\): \(P_{0{,}75}(X \ge 22)\). 6. Einzelwahrscheinlichkeiten für \(p=0{,}75\): \(P(X=22) \approx 0{,}0641\); \(P(X=23) \approx 0{,}0251\); \(P(X=24) \approx 0{,}0063\); \(P(X=25) \approx 0{,}0008\). Summe \(\alpha \approx 0{,}0962\).

a) \(\beta \approx 23{,}64\,\%\) b) \(\alpha \approx 9{,}62\,\%\)

- Was passiert mit dem Ablehnungsbereich, wenn man die Grenze für das „Nicht-Ablehnen“ verschiebt? - Wird es bei Regel 2 schwieriger oder leichter, die Hypothese des Herstellers abzulehnen? - Denke an den Zusammenhang: Wenn ein Fehler seltener wird, erkauft man sich das meist durch eine Erhöhung des anderen Fehlers. - Achte beim Ablesen oder Berechnen der Werte darauf, ob du \(P(X \le k)\) oder \(P(X \ge k)\) benötigst.

1. Zufallsgröße \(X\): Anzahl der geheilten Patienten. Unter \(H_0\) gilt \(X \sim B(100; 0{,}7)\). 2. Signifikanzniveau Regel 1: \(\alpha_1 = P_{0{,}7}(X < 65) = P_{0{,}7}(X \le 64) \approx 0{,}1161\). 3. Signifikanzniveau Regel 2: \(\alpha_2 = P_{0{,}7}(X < 62) = P_{0{,}7}(X \le 61) \approx 0{,}0340\). 4. Fehler 2. Art (\(\beta\)) bei \(p = 0{,}6\): Regel 1: \(\beta_1 = P_{0{,}6}(X \ge 65) = 1 - P_{0{,}6}(X \le 64) \approx 1 - 0{,}8206 = 0{,}1794\). Regel 2: \(\beta_2 = P_{0{,}6}(X \ge 62) = 1 - P_{0{,}6}(X \le 61) \approx 1 - 0{,}6178 = 0{,}3822\). 5. Vergleich: Durch die Senkung der kritischen Zahl von 65 auf 62 verringert sich die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (\(\alpha\) sinkt), aber die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art steigt deutlich an (\(\beta\) wächst).

a) Regel 1: \(\alpha_1 \approx 11{,}61\,\%\); Regel 2: \(\alpha_2 \approx 3{,}40\,\%\). b) Regel 1: \(\beta_1 \approx 17{,}94\,\%\); Regel 2: \(\beta_2 \approx 38{,}22\,\%\). c) Durch die Änderung von Regel 1 zu Regel 2 sinkt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art, während die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art steigt.

- Handelt es sich um einen linksseitigen, rechtsseitigen oder beidseitigen Test? Das bestimmt, in welche Richtung der Ablehnungsbereich liegt. - Der kritische Wert ist die Grenze, ab der das Ergebnis als „signifikant“ gilt. - Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art wird immer unter einer konkreten Gegenhypothese (hier \(p = 0{,}75\)) berechnet. - Achte beim Ablesen aus der Tabelle darauf, ob du \(P(X \leq k)\) oder \(P(X = k)\) betrachtest.

1. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist das kleinste \(k\), für das unter \(H_0\) (\(p = 0{,}6\)) gilt: \(P(X \geq k) \leq 0{,}05\). Dies entspricht \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}95\). 2. Tabellenwerk oder Taschenrechner für \(B(80; 0{,}6)\) liefern: \(P(X \leq 54) \approx 0{,}9352\) und \(P(X \leq 55) \approx 0{,}9583\). 3. Somit ist \(k-1 = 55\), woraus der kritische Wert \(k = 56\) folgt. Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{56, 57, \dots, 80\}\). 4. Fehler 2. Art (\(\beta\)): Wahrscheinlichkeit, im Nicht-Ablehnungsbereich \(\bar{K} = \{0, 1, \dots, 55\}\) zu landen, obwohl \(p = 0{,}75\) gilt. 5. \(\beta = P_{0{,}75}(X \leq 55)\). Mit \(B(80; 0{,}75)\) ergibt sich \(\beta \approx 0{,}1239\).

a) Der kritische Wert ist \(k = 56\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{56, 57, \dots, 80\}\). b) \(\beta \approx 12{,}39\,\%\)

- Bestimme zuerst, ab welcher absoluten Anzahl von Personen die Nullhypothese verworfen wird. - Der Fehler 1. Art bezieht sich immer auf die Situation, in der die Nullhypothese eigentlich stimmt. - Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn man sich für die Nullhypothese entscheidet, obwohl die Alternative wahr ist. - Nutze für die Berechnung von Werten wie \(P(X \ge k)\) die Gegenwahrscheinlichkeit.

1. Festlegen der Parameter: Stichprobenumfang \(n = 100\), Nullhypothese \(p_0 = 0{,}4\), Gegenhypothese \(p_1 = 0{,}5\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Mehr als \(45\,\%\) von \(100\) bedeutet \(X > 45\), also \(X \in \{46, 47, \dots, 100\}\). 3. Berechnung von \(\alpha\): Wahrscheinlichkeit für den Ablehnungsbereich unter der Annahme \(p_0 = 0{,}4\). \(\alpha = P_{0{,}4}(X \ge 46) = 1 - P_{0{,}4}(X \le 45) \approx 1 - 0{,}8689 = 0{,}1311\). 4. Berechnung von \(\beta\): Wahrscheinlichkeit für den Annahmebereich (\(X \le 45\)) unter der Annahme \(p_1 = 0{,}5\). \(\beta = P_{0{,}5}(X \le 45) \approx 0{,}1841\).

\(\alpha \approx 0{,}1311\) (bzw. \(13{,}11\,\%\)) \(\beta \approx 0{,}1841\) (bzw. \(18{,}41\,\%\))

- Bestimme zuerst, ob es sich um einen linksseitigen, rechtsseitigen oder beidseitigen Test handelt. - Der Ablehnungsbereich muss so gewählt werden, dass die Wahrscheinlichkeit, unter der Nullhypothese darin zu landen, höchstens \(\alpha\) beträgt. - Für den Fehler 2. Art musst du berechnen, wie wahrscheinlich das Ergebnis im Annahmebereich ist, wenn die alternative Quote gilt. - Nutze für die Bestimmung von \(k\) eine Tabelle oder die entsprechende Funktion deines Taschenrechners.

1. Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl defekter Chips) ist unter \(H_0\) binomialverteilt mit \(n = 200\) und \(p_0 = 0{,}05\). Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. 2. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das gilt: \(P_{0{,}05}(X \ge k) \le 0{,}05\). Dies entspricht \(1 - P_{0{,}05}(X \le k-1) \le 0{,}05\) bzw. \(P_{0{,}05}(X \le k-1) \ge 0{,}95\). 3. Aus der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung für \(n=200, p=0{,}05\) ergibt sich: \(P(X \le 14) \approx 0{,}9218\) und \(P(X \le 15) \approx 0{,}9556\). 4. Also muss \(k-1 = 15\) sein, woraus \(k = 16\) folgt. Der Ablehnungsbereich ist \(\mathcal{A} = \{16, 17, \dots, 200\}\). 5. Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn \(X\) im Annahmebereich \(\{0, 1, \dots, 15\}\) liegt, obwohl \(p = 0{,}10\) gilt: \(\beta = P_{0{,}10}(X \le 15)\). 6. Berechnung mit der Binomialverteilung für \(n=200, p=0{,}10\): \(\beta \approx 0{,}1431 \approx 14{,}31\,\%\).

a) Der Ablehnungsbereich lautet \(\mathcal{A} = \{16, 17, \dots, 200\}\). b) Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art beträgt \(\beta \approx 14{,}31\,\%\).

- Überlege dir zuerst für jeden Fall, bei welchen Werten von \(X\) die Nullhypothese abgelehnt wird. - Erinnere dich daran, dass der Fehler 2. Art immer auf der Basis der Alternativhypothese berechnet wird. - Wie verändert sich die Größe des Ablehnungsbereichs, wenn \(k\) größer wird? - Welche Auswirkung hat ein strengeres Kriterium für die Ablehnung auf die Gefahr, eine richtige Hypothese abzulehnen?

1. Modellierung: Die Anzahl gekeimter Samen \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 50\). 2. Fall a) \(k = 35\): Fehler 1. Art: \(\alpha = P_{0{,}6}(X \ge 35) = 1 - P_{0{,}6}(X \le 34) \approx 1 - 0{,}9045 = 0{,}0955\). Fehler 2. Art: \(\beta = P_{0{,}8}(X \le 34) \approx 0{,}0308\). 3. Fall b) \(k = 37\): Fehler 1. Art: \(\alpha = P_{0{,}6}(X \ge 37) = 1 - P_{0{,}6}(X \le 36) \approx 1 - 0{,}9720 = 0{,}0280\). Fehler 2. Art: \(\beta = P_{0{,}8}(X \le 36) \approx 0{,}1106\). 4. Vergleich: Durch die Erhöhung des kritischen Wertes \(k\) von 35 auf 37 sinkt die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art, während die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ansteigt. Der Ablehnungsbereich wird kleiner, was es schwieriger macht, \(H_0\) abzulehnen.

a) Für \(k = 35\): \(\alpha \approx 9{,}55\,\%\) und \(\beta \approx 3{,}08\,\%\). b) Für \(k = 37\): \(\alpha \approx 2{,}80\,\%\) und \(\beta \approx 11{,}06\,\%\). Durch die Erhöhung von \(k\) sinkt das Risiko für einen Fehler 1. Art (\(\alpha\)), aber das Risiko für einen Fehler 2. Art (\(\beta\)) steigt an.

- Erinnere dich daran, dass das Signifikanzniveau die maximal zulässige Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art angibt. - Suche in der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung für \(n=50\) und \(p=0{,}1\) den ersten Wert, der die Bedingung erfüllt. - Der Annahmebereich ist das Komplement des Ablehnungsbereichs. - Was genau wird berechnet, wenn man wissen will, ob eine Lieferung fälschlicherweise akzeptiert wurde?

1. Modellierung: \(X\) ist die Anzahl defekter Bauteile, \(n=50\). Unter \(H_0\) gilt \(p_0=0{,}1\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{50; 0{,}1}(X \ge k) \le 0{,}05\) gilt. Dies ist gleichbedeutend mit \(1 - P_{50; 0{,}1}(X \le k-1) \le 0{,}05\) bzw. \(P_{50; 0{,}1}(X \le k-1) \ge 0{,}95\). 3. Tabellenwerte prüfen: Für \(k-1=9\) ist \(P(X \le 9) \approx 0{,}9755\). Für \(k-1=8\) ist \(P(X \le 8) \approx 0{,}9421\). Also muss \(k-1 = 9\) sein, woraus \(k = 10\) folgt. Der Ablehnungsbereich ist \(\{10, 11, \dots, 50\}\). 4. Fehler 2. Art berechnen: Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn \(X\) im Annahmebereich \(\{0, 1, \dots, 9\}\) liegt, obwohl \(p_1 = 0{,}3\) wahr ist. \(\beta = P_{50; 0{,}3}(X \le 9) \approx 0{,}0402\).

a) Der kritische Wert liegt bei \(k = 10\) (Ablehnung ab 10 defekten Teilen). b) Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art beträgt ca. \(4{,}02\,\%\).

- Formuliere zuerst die Nullhypothese. Werden hier eher zu viele oder zu wenige unzufriedene Nutzer zur Ablehnung der Behauptung führen? - Das Signifikanzniveau gibt die maximale Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art an. - Der Fehler 2. Art berechnet sich immer unter der Annahme einer konkreten Alternative für die Wahrscheinlichkeit. - Wie hängen der Ablehnungsbereich von \(H_0\) und der Annahmebereich von \(H_0\) zusammen?

1. Nullhypothese \(H_0: p \le 0{,}05\); Alternativhypothese \(H_1: p > 0{,}05\). Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. Gesucht ist die kleinste Zahl \(k\), für die gilt: \(P_{p=0{,}05}(X \ge k) \le 0{,}05\), was äquivalent zu \(P_{p=0{,}05}(X \le k-1) \ge 0{,}95\) ist. In der Tabelle der Binomialverteilung für \(n=120\) und \(p=0{,}05\) findet man: \(P(X \le 10) \approx 0{,}9616\). Daraus folgt \(k-1 = 10\), also \(k = 11\). Entscheidungsregel: Wenn \(11\) oder mehr Nutzer unzufrieden sind, wird die Behauptung des Unternehmens abgelehnt. 2. Der Fehler 2. Art (\(\beta\)) tritt auf, wenn \(H_1\) wahr ist (\(p=0{,}12\)), man sich aber für \(H_0\) entscheidet (also \(X \le 10\)). \(\beta = P_{p=0{,}12}(X \le 10) = \sum_{i=0}^{10} \binom{120}{i} \cdot 0{,}12^i \cdot 0{,}88^{120-i} \approx 0{,}1344\).

1. Die Behauptung des Unternehmens wird abgelehnt, wenn in der Stichprobe mindestens \(11\) Nutzer unzufrieden sind. 2. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art beträgt ca. \(13{,}44\,\%\).

- Was ist die Zielsetzung der Untersuchung? Soll eine Verbesserung nachgewiesen werden? - Wann wird die Nullhypothese zugunsten der neuen Methode verworfen? - Wie ist der Fehler 2. Art definiert, wenn die tatsächliche Wahrscheinlichkeit von der in der Nullhypothese angenommenen abweicht?

1. Hypothesenfestlegung: Um die Wirksamkeit zu belegen, wird die gegenteilige Annahme als Nullhypothese gewählt: \(H_0: p \leq 0{,}6\) und \(H_1: p > 0{,}6\). 2. Entscheidungsregel: Gesucht ist der kleinste Wert \(k\), für den \(P(X \geq k) \leq 0{,}05\) unter der Annahme \(p = 0{,}6\) gilt. Dies entspricht \(1 - P(X \leq k-1) \leq 0{,}05\) bzw. \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}95\). Mit \(n = 50\) und \(p = 0{,}6\) ergibt sich \(P(X \leq 35) \approx 0{,}9460\) und \(P(X \leq 36) \approx 0{,}9741\). Also ist \(k-1 = 36\) und damit \(k = 37\). Die Entscheidungsregel lautet: Lehne \(H_0\) ab, wenn \(X \geq 37\). 3. Fehler 2. Art: Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn \(H_0\) nicht abgelehnt wird, obwohl \(H_1\) wahr ist. Bei einer tatsächlichen Erfolgsquote von \(p = 0{,}8\) berechnet sich die Wahrscheinlichkeit für den Nicht-Ablehnungsbereich \(X \leq 36\) zu \(\beta = P(X \leq 36)\) mit \(n = 50\) und \(p = 0{,}8\). Dies ergibt \(\beta \approx 0{,}1106\).

a) \(H_0: p \leq 0{,}6\); \(H_1: p > 0{,}6\) b) Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn mindestens \(37\) Proben erfolgreich sind (\(X \in \{37; \dots; 50\}\)). c) Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art beträgt etwa \(11{,}06\,\%\).

- Bestimme zuerst, ab welchem Wert die Abweichung so groß ist, dass die Nullhypothese nicht mehr haltbar ist. - Nutze für den Ablehnungsbereich das gegebene Signifikanzniveau. - Beim Fehler 2. Art musst du mit der neuen, tatsächlichen Wahrscheinlichkeit rechnen, aber die alte Entscheidungsregel beibehalten. - Überlege genau, welche Werte der Zufallsvariable zum Annahmebereich gehören.

1. Festlegen des Tests: Es liegt ein rechtsseitiger Test vor mit \(n = 150\), \(p_0 = 0{,}08\) und \(\alpha = 0{,}10\). 2. Bestimmung des kritischen Wertes \(k\): Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P(X \geq k) \leq 0{,}10\) gilt, also \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}90\). Bei \(n = 150\) und \(p = 0{,}08\) liefert die Binomialverteilung \(P(X \leq 16) \approx 0{,}9078\) und \(P(X \leq 15) \approx 0{,}8536\). Damit ist \(k-1 = 16\), also \(k = 17\). Der Ablehnungsbereich ist \(V = \{17; 18; \dots; 150\}\). 3. Berechnung des Fehlers 2. Art (\(\beta\)-Fehler): Ein Fehler 2. Art tritt auf, wenn das Ergebnis der Stichprobe im Annahmebereich \(\bar{V} = \{0; 1; \dots; 16\}\) liegt, obwohl die tatsächliche Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}15\) ist. 4. Berechnung: \(\beta = P_{150; 0{,}15}(X \leq 16)\). Unter Verwendung der Binomialverteilung für diese Parameter ergibt sich \(\beta \approx 0{,}0807\).

a) Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn mehr als \(16\) Flaschen unterfüllt sind (\(X \geq 17\)). b) Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art beträgt etwa \(8{,}1\,\%\) (genauer \(0{,}0807\)).

- Überlege genau, welche Werte der Zufallsgröße gegen die Behauptung des Betriebs sprechen. - Erinnere dich daran, dass bei einem rechtsseitigen Test der Ablehnungsbereich am oberen Ende der Skala liegt. - Wie hängen das Signifikanzniveau und die kumulierte Wahrscheinlichkeit zusammen, wenn man den kritischen Wert sucht? - Mache dir klar, welche Entscheidung getroffen wird, wenn der Test nicht signifikant ist.

1. Hypothesen: \(H_0: p \leq 0{,}10\) und \(H_1: p > 0{,}10\). Testgröße \(X\) ist die Anzahl der untergewichtigen Riegel mit \(X \sim B(80; 0{,}10)\) unter der Grenze von \(H_0\). 2. Rechtsseitiger Test: Suche kleinstes \(k\), sodass \(P(X \geq k) \leq 0{,}10\), was äquivalent zu \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}90\) ist. Aus Tabellenwerten folgt \(P(X \leq 11) \approx 0{,}8996\) und \(P(X \leq 12) \approx 0{,}9462\). Somit ist \(k-1 = 12\), also \(k = 13\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{13; 14; \dots; 80\}\). 3. Fehler 1. Art: Dem Betrieb wird fälschlicherweise eine zu hohe Fehlerquote unterstellt, obwohl seine Behauptung wahr ist. Fehler 2. Art: Die zu hohe Fehlerquote des Betriebs wird nicht entdeckt, und seine Behauptung wird fälschlicherweise nicht beanstandet. 4. Berechnung des Fehlers 2. Art für \(p = 0{,}15\): \(P(X < 13) = P(X \leq 12)\) für \(X \sim B(80; 0{,}15)\). Mit der Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \leq 12) \approx 0{,}5762\).

a) Ablehnungsbereich \(K = \{13; 14; \dots; 80\}\). b) Fehler 1. Art: Der Betrieb wird zu Unrecht kritisiert (Behauptung ist wahr, wird aber abgelehnt). Fehler 2. Art: Die zu hohe Fehlerquote bleibt unentdeckt (Behauptung ist falsch, wird aber beibehalten). c) Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler 2. Art beträgt ca. \(57{,}62\,\%\).

- Das Signifikanzniveau ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis im Ablehnungsbereich landet, obwohl die Nullhypothese stimmt. - Der Fehler 2. Art ist die Wahrscheinlichkeit, dass man im Annahmebereich landet, obwohl die Alternativhypothese mit einem bestimmten Wert gilt. - Überlege dir den Zusammenhang zwischen den beiden Fehlerarten: Wenn man strenger prüft, entdeckt man mehr Fehler (kleinerer \(\beta\)-Fehler), aber wie oft klagt man dann Unschuldige an?

1. Der Fehler 1. Art (Signifikanzniveau \(\alpha\)) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese \(p = 0{,}10\) abgelehnt wird, obwohl sie wahr ist. Der Ablehnungsbereich ist \(X \ge 28\). Mit \(n = 200\) und \(p = 0{,}10\) berechnet man \(P_{0{,}10}(X \ge 28) = 1 - P_{0{,}10}(X \le 27) \approx 1 - 0{,}9566 = 0{,}0434\). Das Signifikanzniveau beträgt also ca. \(4{,}34\,\%\). 2. Der Fehler 2. Art (\(\beta\)) tritt auf, wenn \(H_0\) beibehalten wird (\(X < 28\)), obwohl \(p = 0{,}18\) wahr ist. Man berechnet \(P_{0{,}18}(X \le 27)\) mit \(n = 200\). Dies ergibt ca. \(0{,}0551\). 3. Um den Fehler 2. Art zu verringern, muss der Annahmebereich von \(H_0\) verkleinert werden. Der kritische Wert \(k\) müsste also gesenkt werden (z. B. auf \(27\) oder \(26\)), damit die Gegenhypothese schneller angenommen wird. Da dadurch der Ablehnungsbereich größer wird, steigt zwangsläufig die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art an, da man nun bereits bei weniger beobachteten Nebenwirkungen die Nullhypothese ablehnt.

1. \(\alpha \approx 4{,}34\,\%\) 2. \(\beta \approx 5{,}51\,\%\) 3. Der kritische Wert \(k\) müsste verringert werden. Dadurch steigt der Fehler 1. Art (\(\alpha\)), da der Ablehnungsbereich größer wird.

- Bestimme zuerst die Verteilung unter der Annahme, dass die Herstellerangabe genau stimmt. - Der Fehler 2. Art berechnet sich immer unter einer konkreten alternativen Wahrscheinlichkeit. - Überlege dir, wie sich der Ablehnungsbereich verschiebt, wenn du strengere Anforderungen an die Irrtumswahrscheinlichkeit stellst. - Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Größe des Ablehnungsbereichs und der Wahrscheinlichkeit, im Annahmebereich zu landen?

1. \(X\) ist die Anzahl der keimenden Samen, \(X \sim B(200; 0{,}9)\). Für einen linksseitigen Test wird \(k\) gesucht, sodass \(P(X \le k) \le 0{,}10\). Es gilt \(P(X \le 173) \approx 0{,}0672\) und \(P(X \le 174) \approx 0{,}1014\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0, 1, \dots, 173\}\). Die Entscheidungsregel lautet: Falls höchstens \(173\) Samen keimen, wird \(H_0\) abgelehnt. 2. Der Fehler 2. Art tritt auf, wenn \(H_0\) nicht abgelehnt wird, obwohl \(p = 0{,}85\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(\beta = P_{p=0{,}85}(X > 173) = 1 - P_{p=0{,}85}(X \le 173)\). Mit \(n = 200\) und \(p = 0{,}85\) ergibt sich \(P(X \le 173) \approx 0{,}7520\), also \(\beta \approx 1 - 0{,}7520 = 0{,}2480\). 3. Wenn \(\alpha\) verkleinert wird, verkleinert sich der Ablehnungsbereich (der kritische Wert \(k\) sinkt). Dadurch wird es schwieriger, die Nullhypothese abzulehnen. Dies führt dazu, dass die Wahrscheinlichkeit, eine falsche Nullhypothese fälschlicherweise beizubehalten (Fehler 2. Art), zunimmt.

1. Ablehnungsbereich \(K = \{0, 1, \dots, 173\}\). 2. \(\beta \approx 24{,}80\,\%\) 3. Das Risiko für einen Fehler 2. Art nimmt zu, da der Ablehnungsbereich kleiner wird.

- Bei einem linksseitigen Test liegen die kritischen Werte im unteren Bereich der Verteilung. - Achte darauf, dass beim Signifikanztest die Wahrscheinlichkeit für den Ablehnungsbereich das Niveau \(\alpha\) nicht überschreiten darf. - Der Fehler 2. Art bedeutet hier: Der Test liefert ein Ergebnis im Annahmebereich, obwohl die Keimrate tatsächlich schlechter ist.

1. Hypothesenfestlegung: \(H_0: p \geq 0{,}9\) gegen \(H_1: p < 0{,}9\). Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der keimenden Samen und ist unter \(H_0\) \(B(200; 0{,}9)\)-verteilt. 2. Bestimmung der kritischen Zahl: Gesucht ist das größte \(k\), sodass \(P(X \leq k) \leq 0{,}10\). 3. Werte der Binomialverteilung: \(P(X \leq 173) \approx 0{,}0672\) und \(P(X \leq 174) \approx 0{,}1005\). Da die Wahrscheinlichkeit den Wert \(0{,}10\) nicht überschreiten darf, ist die kritische Zahl \(k = 173\). 4. Entscheidungsregel: Falls höchstens \(173\) Samen keimen, wird die Nullhypothese abgelehnt. Andernfalls wird sie beibehalten. 5. Berechnung des Fehlers 2. Art: Gesucht ist \(\beta = P(X > 173)\) unter der Bedingung \(p = 0{,}85\). 6. Rechnung: \(\beta = 1 - P_{200; 0{,}85}(X \leq 173) \approx 1 - 0{,}7520 = 0{,}2480\).

a) Ablehnungsbereich: \(X \leq 173\). Die Nullhypothese wird verworfen, wenn \(173\) oder weniger Samen keimen. b) \(\beta \approx 24{,}80\,\%\)

- Die Entscheidungsregel legt fest, ab welchem Ergebnis in der Stichprobe die Vermutung der Gemeinde als statistisch gesichert gilt. - Beachte, dass der Fehler 2. Art das Eintreten eines Ergebnisses im Nicht-Ablehnungsbereich unter einer neuen, alternativen Wahrscheinlichkeit beschreibt. - Nutze für die Berechnung des Fehlers 2. Art die Gegenwahrscheinlichkeit, um die kumulierte Binomialverteilung effizient einzusetzen.

1. Die Testgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Holzheizungen in der Stichprobe (\(n=100\)). Unter der Annahme der Grenze von \(H_0\) (\(p=0{,}2\)) ist \(X\) binomialverteilt mit \(B(100; 0{,}2)\). Gesucht ist der kritische Wert \(k\), sodass \(P(X \le k) \le 0{,}10\). Es gilt \(P(X \le 14) \approx 0{,}0804\) und \(P(X \le 15) \approx 0{,}1285\). Die Entscheidungsregel lautet: Lehne \(H_0\) ab, wenn höchstens \(14\) Haushalte in der Stichprobe mit Holz heizen. Der Nicht-Ablehnungsbereich ist \(\bar{\mathcal{A}} = \{15, 16, \dots, 100\}\). 2. Ein Fehler 2. Art tritt auf, wenn \(H_0\) nicht abgelehnt wird, obwohl die tatsächliche Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}12\) ist. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist \(\beta = P_{0{,}12}(X \ge 15) = 1 - P_{0{,}12}(X \le 14)\). Mit der Binomialverteilung für \(p=0{,}12\) ergibt sich \(P_{0{,}12}(X \le 14) \approx 0{,}7840\). Damit ist \(\beta = 1 - 0{,}7840 = 0{,}2160\). Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art beträgt etwa \(21{,}6\,\%\).

1. Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn in der Stichprobe \(14\) oder weniger Haushalte mit Holz heizen. 2. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art beträgt ca. \(21{,}6\,\%\).

- Bei einem linksseitigen Test liegt der Ablehnungsbereich bei kleinen Werten der Testgröße. - Beachte, dass das tatsächliche Signifikanzniveau aufgrund der Diskretion der Binomialverteilung oft kleiner als das vorgegebene Niveau \(\alpha\) ist. - Der Fehler 2. Art berechnet sich als Wahrscheinlichkeit des Annahmebereichs unter der Bedingung einer alternativen Wahrscheinlichkeit \(p\).

1. Da die Behauptung des Herstellers (\(p \geq 0{,}95\)) geschützt werden soll, lauten die Hypothesen \(H_0: p \geq 0{,}95\) und \(H_1: p < 0{,}95\) (linksseitiger Test). Die Testgröße \(X\) ist die Anzahl der Module mit voller Leistung. Gesucht ist der größte Wert \(k\), für den \(P_{0{,}95}(X \leq k) \leq 0{,}05\) gilt. Aus der Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \leq 90) \approx 0{,}0282\) und \(P(X \leq 91) \approx 0{,}0631\). Die Entscheidungsregel lautet: Lehne \(H_0\) ab, wenn \(X \leq 90\). 2. Der Fehler 1. Art ist die Wahrscheinlichkeit, \(H_0\) abzulehnen, obwohl \(p = 0{,}95\) gilt. Dies entspricht \(P_{0{,}95}(X \leq 90) \approx 0{,}0282\) bzw. \(2{,}82\,\%\). 3. Der gesuchte Fehler ist der Fehler 2. Art (\(\beta\)-Fehler). Er tritt ein, wenn \(X\) im Nicht-Ablehnungsbereich liegt, also \(X \geq 91\), obwohl \(p = 0{,}9\) gilt. Berechnung: \(\beta = P_{0{,}9}(X \geq 91) = 1 - P_{0{,}9}(X \leq 90) \approx 1 - 0{,}5487 = 0{,}4513\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(45{,}13\,\%\).

1. \(H_0: p \geq 0{,}95\); \(H_1: p < 0{,}95\); Ablehnungsbereich: \(X \in \{0, \dots, 90\}\). 2. \(\alpha_{\text{tatsächlich}} \approx 0{,}0282\). 3. Fehler 2. Art; \(\beta \approx 0{,}4513\).

- Wann genau wird die Nullhypothese in diesem Beispiel abgelehnt? - Erinnere dich daran, dass die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art meist am Rand des durch \(H_0\) beschriebenen Bereichs berechnet wird. - Der Fehler 2. Art ist die Wahrscheinlichkeit, dass man fälschlicherweise im Bereich landet, in dem \(H_0\) nicht abgelehnt wird. - Überlege dir den Zusammenhang zwischen den beiden Fehlerarten: Wenn man vorsichtiger beim Ablehnen wird, was passiert dann mit der Erkennung von falschen Behauptungen?

1. Berechnung des Fehlers 1. Art: Der Fehler 1. Art tritt auf, wenn \(H_0\) abgelehnt wird, obwohl \(p = 0{,}8\) (Extremfall der Nullhypothese). Dies entspricht \(P_{p=0{,}8}(X \leq 42)\) bei \(n = 60\). Mit der Binomialverteilung ergibt sich \(\alpha \approx 0{,}0427\). 2. Berechnung des Fehlers 2. Art: Der Fehler 2. Art tritt auf, wenn \(H_0\) nicht abgelehnt wird, obwohl die tatsächliche Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}65\) ist. Der Nicht-Ablehnungsbereich ist \(\{43, \dots, 60\}\). Zu berechnen ist \(P_{p=0{,}65}(X \geq 43) = 1 - P_{p=0{,}65}(X \leq 42)\). Mit der Binomialverteilung ergibt sich \(\beta \approx 0{,}1721\). 3. Analyse der Entscheidungsregel: Um das Risiko eines Fehlers 1. Art (\(\alpha\)) zu verringern, muss der Ablehnungsbereich verkleinert werden. Der kritische Wert (hier 42) müsste also gesenkt werden (z. B. Ablehnung bei \(X \leq 40\)). Dies führt jedoch zwangsläufig dazu, dass der Nicht-Ablehnungsbereich größer wird, wodurch die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art (\(\beta\)) ansteigt.

a) Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art beträgt etwa \(4{,}27\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art beträgt etwa \(17{,}21\,\%\). c) Der kritische Wert müsste gesenkt werden (z. B. auf 41 oder 40). Dadurch sinkt das Risiko für einen Fehler 1. Art, aber das Risiko für einen Fehler 2. Art steigt an.

- Bestimme zuerst, ob es sich um einen linksseitigen oder rechtsseitigen Test handelt, indem du schaust, welche Abweichung von der Behauptung kritisch ist. - Verwende für die Berechnung des Fehlers 2. Art die Gegenwahrscheinlichkeit zum Ablehnungsbereich unter der neuen Wahrscheinlichkeit. - Stelle dir die Situation bildlich vor: Wann wird fälschlicherweise geglaubt, dass alles in Ordnung ist?

1. Dies ist ein linksseitiger Test mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}75\). Gesucht ist der Annahmebereich und der Ablehnungsbereich \(A = \{0; 1; \dots; k\}\), sodass \(P(X \le k) \le 0{,}10\). Mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}75\) liefert die Binomialverteilung \(P(X \le 67) \approx 0{,}0446\) und \(P(X \le 68) \approx 0{,}0693\) sowie \(P(X \le 69) \approx 0{,}1038\). Der kritische Wert ist somit \(k = 68\). Die Entscheidungsregel lautet: Lehne \(H_0\) ab, wenn höchstens \(68\) Personen zufrieden sind. 2. Ein Fehler 2. Art bedeutet hier, dass die Nullhypothese beibehalten wird (man geht weiterhin von mindestens \(75\,\%\) Zufriedenheit aus), obwohl die tatsächliche Zufriedenheitsquote geringer ist. Das Verkehrsunternehmen wird also nicht zu Verbesserungen gedrängt, obwohl die Fahrgäste unzufriedener sind als behauptet. 3. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis im Annahmebereich \(\bar{A} = \{69; 70; \dots; 100\}\) liegt, falls \(p = 0{,}60\). Es gilt \(P_{0{,}60}(X \ge 69) = 1 - P_{0{,}60}(X \le 68) \approx 0{,}0398\).

1. Ablehnungsbereich \(A = \{0; 1; \dots; 68\}\). \(H_0\) wird abgelehnt, wenn \(68\) oder weniger Personen zufrieden sind. 2. Man hält an der Behauptung von \(75\,\%\) Zufriedenheit fest, obwohl diese in Wirklichkeit niedriger ist. 3. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art beträgt ca. \(3{,}98\,\%\).

- Wann würdest du die Behauptung des Herstellers anzweifeln – bei vielen oder bei wenigen defekten Akkus? - Die Entscheidungsregel gibt an, ab welchem Ergebnis die Nullhypothese verworfen wird. - Der Fehler 1. Art bezieht sich immer auf die Grenze des Bereichs, der durch die Nullhypothese abgedeckt wird. - Überlege für den Fehler 2. Art genau, welche Ergebnisse zur Beibehaltung der Nullhypothese führen.

1. Hypothesen: Da eine höhere Quote vermutet wird, liegt ein rechtsseitiger Test vor. \(H_0: p \le 0{,}12\); \(H_1: p > 0{,}12\). 2. Entscheidungsregel: Gesucht ist der kleinste Wert \(k\), für den \(P(X \ge k) \le 0{,}05\) gilt (bzw. \(1 - P(X \le k-1) \le 0{,}05\)). Für \(n = 250\) und \(p = 0{,}12\) liefert die Tabelle \(P(X \le 38) \approx 0{,}9476\) (also \(P(X \ge 39) \approx 0{,}0524\)) und \(P(X \le 39) \approx 0{,}9639\) (also \(P(X \ge 40) \approx 0{,}0361\)). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{40; 41; \dots; 250\}\). Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn mindestens \(40\) Akkus defekt sind. 3. Fehler 1. Art: Die Wahrscheinlichkeit, dass bei \(p = 0{,}12\) mindestens \(40\) Defekte auftreten, beträgt \(P(X \ge 40) \approx 0{,}0361\) bzw. \(3{,}61\,\%\). 4. Fehler 2. Art: Die Wahrscheinlichkeit, dass bei \(p = 0{,}18\) die Nullhypothese beibehalten wird (\(X \le 39\)), beträgt \(\beta = P(X \le 39) \approx 0{,}1834\). Dies entspricht einer Wahrscheinlichkeit von ca. \(18{,}34\,\%\).

a) \(H_0: p \le 0{,}12\); \(H_1: p > 0{,}12\) b) Ablehnung von \(H_0\), wenn die Anzahl der defekten Akkus \(X \ge 40\) ist. c) \(P(\text{Fehler 1. Art}) \approx 3{,}61\,\%\) d) \(P(\text{Fehler 2. Art}) \approx 18{,}34\,\%\)