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- Überlege dir zuerst, welche Entscheidung getroffen wird und welcher reale Zustand dazu im Widerspruch steht. - Welche Rolle spielt das Signifikanzniveau bei der Begrenzung von Risiken? - Kann eine Stichprobe jemals eine Eigenschaft der gesamten Produktion mit \(100\,\%\) Sicherheit belegen? - Unterscheide zwischen einer „bewiesenen Aussage“ und einer „statistisch signifikanten Abweichung“.

1. Definition des Fehlers 1. Art: Ein Fehler 1. Art tritt ein, wenn die Nullhypothese \(H_0\) abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit wahr ist. Im Kontext bedeutet dies, dass der Supermarkt die Lieferung beanstandet (bzw. dem Hersteller eine zu hohe Fehlerquote unterstellt), obwohl tatsächlich höchstens \(1\,\%\) der Eier beschädigt sind. 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit: Die maximale Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art ist durch das Signifikanzniveau \(\alpha\) vorgegeben. Hier gilt \(P(\text{Fehler 1. Art}) \le 0{,}05\). 3. Beurteilung der Sicherheit: Ein Signifikanztest liefert keine absolute Gewissheit, sondern eine Entscheidung auf Basis von Wahrscheinlichkeiten. Da ein Fehler 1. Art mit einer Wahrscheinlichkeit von bis zu \(5\,\%\) möglich ist, kann man nicht von einem „absolut sicheren Beweis“ sprechen. Das Ergebnis ist lediglich „statistisch signifikant“.

a) Ein Fehler 1. Art bedeutet, dass die Behauptung des Herstellers abgelehnt wird, obwohl sie wahr ist (d. h. man glaubt fälschlicherweise an mehr als \(1\,\%\) Ausschuss). Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt höchstens \(5\,\%\). b) Die Aussage ist falsch. Ein Signifikanztest bietet keine absolute Sicherheit, sondern lässt eine Irrtumswahrscheinlichkeit zu. Es besteht ein Restrisiko von bis zu \(5\,\%\), dass die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wurde, obwohl sie wahr ist.

- Überlege dir, wie sich der Ablehnungsbereich verschiebt, wenn man strengere Anforderungen an die Beweislast stellt. - Denk an das Histogramm einer Binomialverteilung – kannst du jede beliebige Fläche unter den Balken exakt treffen? - Was passiert mit der Genauigkeit einer Schätzung, wenn man mehr Daten sammelt?

1. Aussage a) ist falsch. Ein kleineres \(\alpha\) führt zu einem kleineren Ablehnungsbereich. Dadurch wird es schwieriger, die Nullhypothese abzulehnen. Dies erhöht die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese beizubehalten, obwohl sie falsch ist (Fehler zweiter Art \(\beta\)). Es besteht typischerweise ein Zielkonflikt: \(\alpha\) runter \(\implies \beta\) rauf. 2. Aussage b) ist wahr. Da die Binomialverteilung diskret ist, springen die kumulierten Wahrscheinlichkeiten in Stufen. Man sucht das größte \(k\) (oder kleinste \(k\)), sodass die Irrtumswahrscheinlichkeit noch unterhalb von \(\alpha\) liegt. Meistens wird dieser Wert \(\alpha\) nicht genau getroffen, sondern unterschritten. 3. Aussage c) ist in dieser pauschalen Form falsch. Bei fest vorgegebenem Signifikanzniveau bleibt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art durch \(\alpha\) begrenzt; ein größerer Stichprobenumfang senkt sie nicht automatisch. Für eine festgelegte Alternative verringert ein größeres \(n\) typischerweise die Wahrscheinlichkeit \(\beta\) des Fehlers 2. Art und erhöht damit die Teststärke. Wegen der diskreten Wahl des Ablehnungsbereichs kann sich die tatsächlich erreichte Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art zwar verändern, eine gleichzeitige Minimierung beider Fehler folgt daraus aber nicht allgemein.

a) Falsch. Eine Senkung von \(\alpha\) vergrößert im Allgemeinen den Fehler zweiter Art \(\beta\). b) Wahr. Aufgrund der Sprungstellen der diskreten Binomialverteilung wird \(\alpha\) meist nur unterschritten, aber nicht exakt erreicht. c) Falsch in dieser pauschalen Form. Bei festem Signifikanzniveau senkt ein größeres \(n\) typischerweise den Fehler 2. Art und erhöht die Teststärke; eine automatische gleichzeitige Minimierung beider Fehler ist daraus nicht ableitbar.

- Die Herstellerangabe gehört in die Nullhypothese. - Formuliere den Fehler 1. Art als falschen Schluss nach Ablehnung von \(H_0\). - Formuliere den Fehler 2. Art als nicht erkannte Überschreitung der Quote. - Trenne wirtschaftliche Folgen von Folgen für die Produktsicherheit und Nutzung.

1. Es gilt \(H_0:p\leq0{,}01\) und \(H_1:p>0{,}01\). 2. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn auf eine Fehlalarmquote über \(1\,\%\) geschlossen wird, obwohl die Quote höchstens \(1\,\%\) beträgt. 3. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn \(H_0\) nicht verworfen wird, obwohl die Fehlalarmquote tatsächlich über \(1\,\%\) liegt. 4. Ein Fehler 1. Art kann zu ungerechtfertigter Rufschädigung, zusätzlichen Prüfungen oder Rückrufen führen. Ein Fehler 2. Art kann Verbraucher mit unzuverlässigen Geräten belasten und dazu führen, dass Warnungen weniger ernst genommen werden.

a) \(H_0:p\leq0{,}01\); \(H_1:p>0{,}01\). b) Fehler 1. Art: Eine zulässige Fehlalarmquote wird fälschlicherweise beanstandet. Fehler 2. Art: Eine tatsächlich zu hohe Fehlalarmquote wird nicht erkannt. c) Mögliche Folgen sind ungerechtfertigte Kosten und Rufschäden für den Hersteller beziehungsweise unzuverlässige Warnungen für Verbraucher.

- Überlege dir, welche Informationen in der ersten Teilaufgabe als sicher angenommen werden. - Wie gehst du vor, wenn du die Grenze suchst, ab der ein Ergebnis als „zu unwahrscheinlich“ gilt? - Betrachte den Weg der Erkenntnis: Geht man von der Gesamtheit zur Stichprobe oder umgekehrt?

1. Für \(n=100\) und \(p=0{,}90\) gilt \(P(X\leq85)=\sum_{i=0}^{85}\binom{100}{i}0{,}90^i0{,}10^{100-i}\approx0{,}0726\). 2. Gesucht ist der größte Wert \(k\), für den am Rand der Nullhypothese \(P_{p=0{,}90}(X\leq k)\leq0{,}05\) gilt. Es ist \(P(X\leq84)\approx0{,}0399\) und \(P(X\leq85)\approx0{,}0726\). Daher ist der Ablehnungsbereich \(K=\{0;1;\dots;84\}\). 3. In Teil 1 ist das Modell fest vorgegeben und die Wahrscheinlichkeit eines Stichprobenergebnisses wird berechnet. In Teil 2 wird ein unbekannter Parameter anhand eines Stichprobenergebnisses beurteilt.

1. \(P(X\leq85)\approx7{,}26\,\%\). 2. \(K=\{0;1;\dots;84\}\). 3. Wahrscheinlichkeitsrechnung leitet bei bekanntem Modell Wahrscheinlichkeiten für Stichprobenergebnisse ab; beurteilende Statistik nutzt Stichprobendaten zur Prüfung von Aussagen über unbekannte Parameter.

- Was sagt der Erwartungswert über ein einzelnes Stichprobenergebnis aus? - Warum sind Punktwahrscheinlichkeiten bei großen Stichproben oft ungeeignet für Tests? - Wie hängen Zufallsschwankungen und Signifikanz zusammen? - Welche Rolle spielt die kumulierte Wahrscheinlichkeit bei der Beurteilung eines Rückgangs?

1. Die Aussage ist nicht stichhaltig. Der Erwartungswert \(\mu = n \cdot p = 200 \cdot 0{,}52 = 104\) gibt lediglich den Durchschnittswert an. Da Stichproben Zufallsschwankungen unterliegen, belegt ein Ergebnis unterhalb des Erwartungswerts allein noch keine Veränderung der Grundgesamtheit. 2. Die Aussage ist nicht stichhaltig. In einer Binomialverteilung sind Einzelwahrscheinlichkeiten \(P(X = k)\) bei großem \(n\) fast immer sehr klein. Für eine statistische Entscheidung ist nicht die Punktwahrscheinlichkeit, sondern die kumulierte Wahrscheinlichkeit des betrachteten Bereichs (hier \(P(X \le 98)\)) entscheidend. 3. Die Aussage ist stichhaltig. Mit \(P(X \le 98) \approx 0{,}2181\) liegt das Ergebnis im Bereich üblicher Zufallsschwankungen. Da dieser \(p\)-Wert deutlich über üblichen Signifikanzniveaus (wie \(5\,\%\) oder \(1\,\%\)) liegt, kann die Nullhypothese \(p = 0{,}52\) nicht verworfen werden.

1. Nicht stichhaltig, da Zufallsschwankungen um den Erwartungswert normal sind. 2. Nicht stichhaltig, da Einzelwahrscheinlichkeiten bei großen Stichproben immer klein sind; entscheidend ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit. 3. Stichhaltig, da eine Wahrscheinlichkeit von \(21{,}8\,\%\) für einen Wert von höchstens \(98\) zeigt, dass das Ergebnis nicht signifikant gegen die \(52\,\%\)-Annahme spricht.

- Welche Seite der Verteilung musst du betrachten, wenn du einen Anstieg der Fehlerquote vermutest? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für „mindestens \(k\) Treffer“ mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion? - Wann gilt ein Ergebnis als „signifikant“ im Vergleich zum vorgegebenen \(\alpha\)?

1. Nullhypothese \(H_0: p \le 0{,}05\) (Herstellerangabe stimmt), Gegenhypothese \(H_1: p > 0{,}05\) (Fehlerquote ist höher). 2. Unter der Annahme \(p = 0{,}05\) ist die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl defekter Chips) binomialverteilt mit \(n = 150\). Es ist \(P(X \ge 12) = 1 - P(X \le 11)\). Mit der Formel der Binomialverteilung oder Tabellen ergibt sich \(P(X \le 11) \approx 0{,}9260\). Somit ist \(P(X \ge 12) \approx 1 - 0{,}9260 = 0{,}0740\), also ca. \(7{,}4\,\%\). 3. Da der berechnete \(p\)-Wert von \(0{,}0740\) größer ist als das Signifikanzniveau \(\alpha = 0{,}05\), liegt das Ergebnis noch im Nichtablehnungsbereich der Nullhypothese. Die Abweichung vom Erwartungswert (\(\mu = 7{,}5\)) ist zwar vorhanden, aber statistisch nicht signifikant genug, um die Herstellerangabe zu widerlegen.

1. \(H_0: p \le 0{,}05\); \(H_1: p > 0{,}05\). 2. \(P(X \ge 12) \approx 0{,}0740\). 3. Nein, die Behauptung ist nicht statistisch belegbar, da \(0{,}0740 > 0{,}05\). Die Nullhypothese wird nicht verworfen.

- Was bedeutet es für die Entscheidung, wenn jedes mögliche Ergebnis im Ablehnungsbereich liegt? - Wie sind die Fehler 1. und 2. Art mathematisch definiert? - Überlege, wie sich die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art verändert, wenn man den Ablehnungsbereich immer weiter vergrößert. - Kann ein Test sinnvoll sein, wenn das Ergebnis der Stichprobe gar keinen Einfluss auf die Entscheidung hat?

1. Die Aussage bezüglich des Fehlers 2. Art ist korrekt. Der Fehler 2. Art (\(\beta\)) tritt ein, wenn \(H_0\) fälschlicherweise nicht abgelehnt wird. Wenn der Ablehnungsbereich \(K\) die gesamte Ergebnismenge \(S\) umfasst, wird \(H_0\) bei jedem Stichprobenergebnis abgelehnt. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, \(H_0\) nicht abzulehnen, gleich null: \(\beta = P(X \notin K | H_1 \text{ wahr}) = P(X \in \emptyset) = 0\). 2. Der Fehler 1. Art (\(\alpha\)) tritt ein, wenn \(H_0\) abgelehnt wird, obwohl sie wahr ist. Da \(H_0\) bei jedem Ergebnis abgelehnt wird (\(K = S\)), ist die Wahrscheinlichkeit dafür maximal: \(\alpha = P(X \in K | H_0 \text{ wahr}) = P(X \in S) = 1\). Der Fehler tritt also sicher ein. 3. Bei festem Stichprobenumfang \(n\) führt die Verkleinerung des einen Fehlers zwangsläufig zur Vergrößerung des anderen. Würde man einen Fehler auf Null setzen (z. B. durch \(K = \emptyset\) oder \(K = S\)), wäre der jeweils andere Fehler maximal (\(100\,\%\)), wodurch der Test seine Aussagekraft verliert, da die Entscheidung unabhängig von den Daten der Stichprobe getroffen würde.

1. Die Aussage ist korrekt, da bei \(K = S\) die Nullhypothese immer abgelehnt wird und somit nie fälschlicherweise beibehalten werden kann (\(\beta = 0\)). 2. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ist \(\alpha = 1\), da \(H_0\) in jedem Fall abgelehnt wird, auch wenn sie wahr ist. 3. Da sich \(\alpha\) und \(\beta\) gegenläufig verhalten, würde die Minimierung eines Fehlers auf Null den anderen Fehler auf \(1\) maximieren. Ein sinnvoller Test muss beide Risiken gegeneinander abwägen.

- Erinnere dich an die Definition des Signifikanzniveaus: Welche Bedingung wird vorausgesetzt? - Stell dir die Verteilungen unter der Null- und Gegenhypothese vor. Was passiert mit den Flächeninhalten unter den Kurven, wenn man die Grenze verschiebt? - Welchen Einfluss hat die Stichprobengröße auf die Genauigkeit einer Schätzung? - Unterscheide klar zwischen der Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis und der „Wahrscheinlichkeit“, dass eine feste Behauptung stimmt.

1. Die Aussage ist falsch. Das Signifikanzniveau \(\alpha\) ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(\text{Ablehnung } H_0 | H_0 \text{ ist wahr})\). Es macht keine Aussage über die Wahrscheinlichkeit der Hypothese selbst (die Hypothese ist entweder wahr oder falsch, nicht zufällig). 2. Die Aussage ist wahr. Ein kleinerer Ablehnungsbereich bedeutet, dass seltener abgelehnt wird. Dadurch sinkt das Risiko, eine wahre Nullhypothese fälschlich abzulehnen (\(\alpha\)). Gleichzeitig steigt jedoch die Wahrscheinlichkeit, im Annahmebereich zu landen, obwohl die Alternative wahr ist (\(\beta\)). 3. Die Aussage ist wahr. Ein größerer Stichprobenumfang führt zu einer schmaleren Verteilung der Teststatistik (geringere Standardabweichung des Anteilswertes). Dadurch lassen sich die Verteilungen unter \(H_0\) und \(H_1\) besser trennen, was eine gleichzeitige Reduktion beider Fehlertypen ermöglicht.

1. Falsch; \(\alpha\) ist die Wahrscheinlichkeit für die Ablehnung unter der Bedingung, dass \(H_0\) wahr ist. 2. Wahr; es besteht ein direkter Zielkonflikt zwischen beiden Fehlern bei konstantem \(n\). 3. Wahr; mehr Information (größeres \(n\)) erlaubt eine präzisere Trennung der Hypothesen.

- Die Aussage, die statistisch gestützt werden soll, gehört in die Gegenhypothese. - Formuliere den Fehler 1. Art jeweils als falschen Schluss nach Ablehnung von \(H_0\). - Unterscheide den Nachweis einer niedrigeren aktuellen Quote von der Erklärung, wodurch diese Quote entstanden ist.

1. Für den linksseitigen Test gilt \(H_0:p\geq0{,}05\) und \(H_1:p<0{,}05\). Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn auf eine Defektquote unter \(5\,\%\) geschlossen wird, obwohl sie tatsächlich mindestens \(5\,\%\) beträgt. 2. Für den rechtsseitigen Test gilt \(H_0:p\leq0{,}05\) und \(H_1:p>0{,}05\). Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn auf eine Defektquote über \(5\,\%\) geschlossen wird, obwohl sie tatsächlich höchstens \(5\,\%\) beträgt. 3. Für die Werbeaussage ist der linksseitige Test angemessen, weil die behauptete niedrigere Defektquote in der Gegenhypothese steht und statistische Evidenz erfordert. Der Test vergleicht die neue Produktion jedoch nur mit einem historischen Wert. Ohne gleichzeitig produzierte, vergleichbare Kontrollgruppe können andere Unterschiede zwischen Zeiträumen oder Produktionsbedingungen nicht ausgeschlossen werden; eine kausale Wirkung des Verfahrens ist daher nicht nachgewiesen.

1. \(H_0:p\geq0{,}05\); \(H_1:p<0{,}05\). Fehler 1. Art: Eine Defektquote unter \(5\,\%\) wird behauptet, obwohl sie nicht vorliegt. 2. \(H_0:p\leq0{,}05\); \(H_1:p>0{,}05\). Fehler 1. Art: Eine zu hohe Defektquote wird behauptet, obwohl die Quote höchstens \(5\,\%\) beträgt. 3. Der linksseitige Test ist für die Werbeaussage angemessen. Er belegt allein jedoch keine kausale Wirkung des neuen Verfahrens.

- Prüfe, ob kleine oder große Werte von \(p\) die gewünschte Veränderung darstellen. - Ein Fehler 2. Art bedeutet, dass eine wahre Gegenhypothese nicht erkannt wird. - Unterscheide einen historischen Vorher-Nachher-Vergleich von einem Design, das Kausalität stützen kann.

1. Der linksseitige Test prüft \(H_0:p\geq0{,}12\) gegen \(H_1:p<0{,}12\) und sucht Evidenz für eine niedrigere aktuelle Quote. Der rechtsseitige Test prüft \(H_0:p\leq0{,}12\) gegen \(H_1:p>0{,}12\) und sucht Evidenz für eine höhere aktuelle Quote. 2. Ein Fehler 2. Art beim linksseitigen Test liegt vor, wenn \(H_0\) nicht verworfen wird, obwohl die aktuelle Quote tatsächlich unter \(12\,\%\) liegt. Die Stadt könnte dadurch auf eine Investition verzichten, obwohl die aktuelle Situation günstiger ist als der Referenzwert. 3. Der linksseitige Test ist geeignet, weil die gewünschte niedrigere Quote in der Gegenhypothese steht. Der Test vergleicht jedoch nur aktuelle Daten mit einem historischen Wert. Andere Veränderungen im Verkehrsaufkommen, in der Straßengestaltung oder im Verhalten können die Quote ebenfalls beeinflussen; ohne geeignete gleichzeitige Vergleichsbedingungen lässt sich die Senkung nicht kausal dem System zuschreiben.

1. Linksseitig: Test auf eine niedrigere aktuelle Quote. Rechtsseitig: Test auf eine höhere aktuelle Quote. 2. Fehler 2. Art: Eine tatsächlich niedrigere Quote wird nicht erkannt. 3. Der linksseitige Test ist passend. Er liefert gegebenenfalls Evidenz für eine niedrigere aktuelle Quote, beweist aber nicht, dass das Assistenzsystem deren Ursache ist.

- Was ist die Ausgangsbehauptung, die erst einmal als wahr angenommen wird? - Welches Ergebnis der Stichprobe würde die Vermutung der Initiative stützen? - Überlege, für welche Werte von \(X\) die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le k)\) gerade noch unter dem Signifikanzniveau liegt. - Was bedeutet es für die Stadt, wenn die Umfrage ein „falsches“ negatives Ergebnis liefert?

1. Hypothesen festlegen: Da die Initiative eine geringere Zufriedenheit vermutet, ist die Nullhypothese \(H_0: p \ge 0{,}6\) und die Gegenhypothese \(H_1: p < 0{,}6\). 2. Ablehnungsbereich bestimmen: Unter der Annahme von \(H_0\) ist die Anzahl der zufriedenen Personen \(X\) binomialverteilt mit \(n = 50\) und \(p = 0{,}6\). Gesucht ist das größte \(k\), für das \(P(X \le k) \le 0{,}10\) gilt. 3. Werte der Binomialverteilung prüfen: \(P(X \le 25) \approx 0{,}0978\) und \(P(X \le 26) \approx 0{,}1562\). Da \(0{,}0978 \le 0{,}10\) und \(0{,}1562 > 0{,}10\), liegt die Grenze bei \(k = 25\). Der Ablehnungsbereich ist \(A = \{0; 1; \dots; 25\}\). 4. Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art: Diese entspricht \(P(X \le 25) \approx 9{,}78\,\%\). 5. Bedeutung im Sachzusammenhang: Ein Fehler erster Art bedeutet, dass die Initiative fälschlicherweise zu dem Schluss kommt, die Zufriedenheit sei gesunken, obwohl sie in Wahrheit noch bei \(60\,\%\) liegt. Dies könnte zu unnötigen politischen Maßnahmen oder Rechtfertigungsdruck führen. 6. Entscheidung bei \(26\) Personen: Da \(26 \notin A\), kann die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau von \(10\,\%\) nicht abgelehnt werden. Die Vermutung der Initiative ist statistisch nicht gestützt.

a) \(H_0: p \ge 0{,}6\); \(H_1: p < 0{,}6\) b) Ablehnungsbereich \(A = \{0; 1; \dots; 25\}\) c) \(P(\text{Fehler 1. Art}) \approx 9{,}78\,\%\) d) Die Initiative würde fälschlicherweise behaupten, die Zufriedenheit liege unter \(60\,\%\); aus Sicht der Stadtverwaltung führte dies zu ungerechtfertigter Kritik oder unnötigem Handlungsdruck. e) Da \(26\) nicht im Ablehnungsbereich liegt, kann die Nullhypothese nicht abgelehnt werden.

- Nutze die objektive Definition des Zielwachstums als Erfolgskriterium. - Eine Erfolgsquote über \(80\,\%\) führt zu einem rechtsseitigen Test. - Verwende für den Ablehnungsbereich den Randwert \(p=0{,}8\). - Ein kleineres Signifikanzniveau verlangt stärkere Evidenz für die Siegelvergabe.

1. Es gilt \(H_0:p\leq0{,}8\) und \(H_1:p>0{,}8\). 2. Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}8}(X\geq k)\leq0{,}05\) gilt. 3. Für \(X\sim B(80;0{,}8)\) gilt \(P(X\leq69)\approx0{,}9435\) und \(P(X\leq70)\approx0{,}9713\). Daher ist \(k=71\), und der Ablehnungsbereich ist \(A=\{71,72,\dots,80\}\). 4. Am Randwert ist \(\alpha=P_{0{,}8}(X\geq71)=1-P_{0{,}8}(X\leq70)\approx0{,}0287\). 5. Bei einem kleineren Signifikanzniveau muss der Ablehnungsbereich kleiner werden; seine Untergrenze steigt. Dadurch sinkt die Wahrscheinlichkeit, das Siegel zu vergeben, obwohl die Erfolgsquote höchstens \(80\,\%\) beträgt.

a) \(H_0:p\leq0{,}8\); \(H_1:p>0{,}8\). b) \(A=\{71,72,\dots,80\}\). c) \(\alpha\approx2{,}87\,\%\). d) Der Ablehnungsbereich wird kleiner und die Untergrenze steigt; das Risiko einer irrtümlichen Siegelvergabe sinkt.

- Formuliere, welcher Schluss nach einer Ablehnung von \(H_0\) gezogen wird. - Das Signifikanzniveau kontrolliert die Wahrscheinlichkeit einer fälschlichen Ablehnung von \(H_0\). - Berücksichtige die Kosten einer falschen positiven Verbesserungsentscheidung. - Unterscheide einen Vergleich mit einem festen Referenzwert von einem randomisierten direkten Behandlungsvergleich.

1. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn \(H_0\) verworfen wird, obwohl \(p\geq0{,}15\) gilt. Dann wird fälschlicherweise auf eine Nebenwirkungsrate unter \(15\,\%\) geschlossen. 2. Das Signifikanzniveau \(\alpha\) begrenzt die Wahrscheinlichkeit dieses Fehlers. Ein kleines \(\alpha\) verlangt starke Evidenz, bevor eine niedrigere Nebenwirkungsrate angenommen wird. 3. Da das neue Präparat teurer ist, schützt diese Testausrichtung vor einer Umstellung aufgrund einer nur scheinbaren Verbesserung. 4. Der Test vergleicht die neue Behandlung jedoch nur mit einem festen Referenzwert. Ohne gleichzeitig behandelte, zufällig zugewiesene Kontrollgruppe können Unterschiede in Patientengruppen oder Bedingungen nicht ausgeschlossen werden; eine kausale Überlegenheit gegenüber der Standardbehandlung ist daher nicht nachgewiesen.

Kontrolliert wird der Fehler 1. Art: der falsche Schluss, dass die Nebenwirkungsrate unter \(15\,\%\) liegt. Ein kleines \(\alpha\) schützt vor einer teuren Umstellung ohne ausreichende Evidenz. Der Ein-Stichproben-Test belegt jedoch ohne randomisierte Kontrollgruppe keine kausale Überlegenheit gegenüber der Standardbehandlung.

- Welche Aussage soll der jeweilige Test statistisch stützen? - Denke daran, dass die Aussage, die man statistisch stützen möchte, meistens als Alternativhypothese \(H_1\) formuliert wird. - Was passiert, wenn die Stichprobe genau auf dem Grenzwert liegt? - Wer trägt das Risiko, wenn die Entscheidung aufgrund des Zufalls in der Stichprobe falsch ausfällt?

1. Der Hersteller möchte die Einhaltung seiner Qualitätszusage statistisch stützen. Dazu muss das Gegenteil als Nullhypothese abgelehnt werden. Daher wählt der Hersteller \(H_0: p \ge 0{,}02\) und \(H_1: p < 0{,}02\) (linksseitiger Test). 2. Der Abnehmer möchte eine zu hohe Fehlerquote beanstanden. Er geht im Zweifel von der Einhaltung der Zusage aus und sucht nach Evidenz für eine Überschreitung. Daher wählt er \(H_0: p \le 0{,}02\) und \(H_1: p > 0{,}02\) (rechtsseitiger Test). 3. Die Nullhypothese ist die Annahme, die nur bei starken Gegenbeweisen (durch das Signifikanzniveau \(\alpha\) begrenzt) verworfen wird. Beim Test des Abnehmers wird die Lieferung nur abgelehnt, wenn die Fehlerquote signifikant über \(2\,\%\) liegt; dies schützt den Hersteller vor irrtümlicher Reklamation. Beim Test des Herstellers wird die Qualität nur zertifiziert, wenn die Fehlerquote signifikant unter \(2\,\%\) liegt; dies schützt den Abnehmer vor mangelhafter Ware.

1. Hersteller: \(H_0: p \ge 0{,}02\); \(H_1: p < 0{,}02\). 2. Abnehmer: \(H_0: p \le 0{,}02\); \(H_1: p > 0{,}02\). 3. Die Nullhypothese wird beibehalten, solange die Stichprobe nicht signifikant gegen sie spricht. Beim Abnehmertest \(H_0: p \le 0{,}02\) begrenzt \(\alpha\) das Risiko, eine konforme Lieferung irrtümlich abzulehnen, und schützt damit den Hersteller. Beim Herstellertest \(H_0: p \ge 0{,}02\) wird die gute Qualität erst nach Ablehnung von \(H_0\) statistisch gestützt; dadurch wird das Risiko des Abnehmers kontrolliert, mangelhafte Ware fälschlicherweise zu zertifizieren.

- Welche Behauptung soll angegriffen werden? - Erinnere dich an die Definition: Fehler 1. Art ist das Ablehnen einer wahren Nullhypothese. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Fehlerarten zusammen, wenn man den Stichprobenumfang nicht verändert? - Überlege, für wen eine falsche öffentliche Anschuldigung schlimmer wäre und wer das Risiko unentdeckter Mängel trägt.

1. Die Organisation möchte statistisch stützen, dass die Quote \(p\) geringer als \(0{,}98\) ist. Daher: \(H_0: p \ge 0{,}98\) und \(H_1: p < 0{,}98\). Es handelt sich um einen linksseitigen Signifikanztest. 2. Fehler 1. Art: Die Organisation kommt zu dem Schluss, dass weniger als \(98\,\%\) der Flaschen korrekt befüllt sind, obwohl die Angabe des Abfüllers in Wahrheit stimmt (fälschliche Beanstandung). Fehler 2. Art: Die Organisation stellt keine signifikante Abweichung fest und behält \(H_0\) bei, obwohl in Wahrheit weniger als \(98\,\%\) der Flaschen korrekt befüllt sind (Mangel bleibt unentdeckt). 3. Ein kleines \(\alpha\) minimiert die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art, also das Risiko des Abfüllers, zu Unrecht öffentlich kritisiert zu werden. Da jedoch bei festem Stichprobenumfang eine Verringerung von \(\alpha\) zwangsläufig die Wahrscheinlichkeit \(\beta\) für den Fehler 2. Art erhöht, steigt damit das Risiko für die Verbraucherschutzorganisation, ein tatsächliches Defizit in der Abfüllung nicht nachweisen zu können.

1. \(H_0: p \ge 0{,}98\); \(H_1: p < 0{,}98\); linksseitiger Signifikanztest. 2. Fehler 1. Art: Behauptung wird fälschlicherweise als falsch eingestuft. Fehler 2. Art: Eine falsche Behauptung wird fälschlicherweise nicht beanstandet. 3. Der Abfüller möchte \(\alpha\) klein halten, um nicht fälschlich beschuldigt zu werden. Dies erhöht jedoch die Wahrscheinlichkeit \(\beta\), dass die Verbraucherschutzorganisation eine tatsächlich zu niedrige Quote nicht erkennt.

- Unterscheide die in der Befragung gemessene Absicht von tatsächlichem Verhalten. - Eine vermutete Quote über \(30\,\%\) führt zu einem rechtsseitigen Test. - Vergleiche die beobachtete Zahl mit dem kritischen Wert. - Für Wirtschaftlichkeit sind weitere Nachfrage- und Kostendaten erforderlich.

1. Mit \(H_0:p\leq0{,}30\) wird eine Förderung aufgrund einer scheinbar hohen erklärten Nutzungsabsicht erst bei ausreichender statistischer Evidenz vorgenommen. Das Risiko einer solchen Fehlentscheidung wird durch \(\alpha\) begrenzt. 2. Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}30}(X\geq k)\leq0{,}05\) gilt. 3. Für \(X\sim B(250;0{,}30)\) gilt \(P(X\leq86)\approx0{,}9423\) und \(P(X\leq87)\approx0{,}9563\). Daher ist \(k=88\), und der Ablehnungsbereich ist \(A=\{88,89,\dots,250\}\). 4. Da \(85<88\), wird \(H_0\) nicht verworfen. Die Befragung liefert keine ausreichende Evidenz für eine erklärte Nutzungsabsicht über \(30\,\%\). 5. Eine geäußerte Absicht kann von der späteren Nutzung abweichen. Außerdem hängen Kosten, Nutzungsfrequenz, Preisgestaltung und Betriebsausgaben von weiteren Daten ab. Der Test allein belegt daher keine wirtschaftliche Tragfähigkeit.

a) Die Wahl begrenzt das Risiko, aufgrund einer Stichprobe fälschlicherweise auf eine erklärte Nutzungsabsicht über \(30\,\%\) zu schließen. b) \(A=\{88,89,\dots,250\}\). c) Bei \(X=85\) wird \(H_0\) nicht verworfen. d) Erklärte Nutzungsabsicht ist weder tatsächliche Nutzung noch ein vollständiger Wirtschaftlichkeitsnachweis.

- Überlege zuerst, ob es sich um einen linksseitigen oder einen rechtsseitigen Test handelt, indem du schaust, bei welchen Werten die Nullhypothese abgelehnt wird. - Was genau ist das Ziel der Geschäftsführung? Welches Ereignis soll mit hoher Sicherheit vermieden werden? - Erinnere dich an die Definition des Fehlers 1. Art: Was bedeutet es in diesem Fall, die Nullhypothese fälschlicherweise abzulehnen? - Nutze das Tafelwerk oder die kumulierten Werte der Binomialverteilung für die entsprechenden Parameter.

1. Aufstellen der Testparameter: Es handelt sich um einen rechtsseitigen Signifikanztest mit \(n = 150\), \(p_0 = 0{,}20\) und \(\alpha = 0{,}05\). Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der interessierten Kunden und ist unter \(H_0\) binomialverteilt mit \(B(150; 0{,}20)\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist das kleinste \(k\), für das gilt: \(P(X \geq k) \leq 0{,}05\). Dies ist äquivalent zu \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}95\). 3. Aus der Tabelle der Binomialverteilung oder durch Berechnung ergibt sich für \(n=150\) und \(p=0{,}20\): \(P(X \leq 38) \approx 0{,}9554\) und \(P(X \leq 39) \approx 0{,}9707\). Somit ist bereits \(k-1 = 38\), also \(k = 39\). 4. Entscheidungsregel: Der Ablehnungsbereich ist \(\{39; 40; \dots; 150\}\). Die Reise wird angeboten, wenn sich mindestens \(39\) der befragten Kunden interessiert zeigen. 5. Interpretation des Fehlers 1. Art: Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn \(H_0\) abgelehnt wird, obwohl sie wahr ist. Im Sachkontext bedeutet dies: Es wird fälschlicherweise angenommen, dass das Interesse groß genug ist (\(p > 0{,}20\)), und die Reise wird angeboten, obwohl in Wahrheit höchstens \(20\,\%\) der Kunden interessiert sind. Durch das geringe Signifikanzniveau wird die Wahrscheinlichkeit für diese kostspielige Fehlentscheidung auf höchstens \(5\,\%\) begrenzt.

a) Die Nullhypothese \(H_0\) wird abgelehnt, wenn sich mindestens \(39\) Kunden interessiert zeigen. Der Ablehnungsbereich ist \(\{39; 40; \dots; 150\}\). b) Durch die Wahl von \(H_0: p \leq 0{,}20\) wird der Fehler 1. Art kontrolliert. Dieser besteht darin, die Reise anzubieten (Ablehnung von \(H_0\)), obwohl das tatsächliche Interesse zu gering ist. Da dieses Risiko (Fehlinvestition) als besonders schwerwiegend erachtet wird, begrenzt man dessen Wahrscheinlichkeit durch das Signifikanzniveau \(\alpha\).

- Wie verändert sich der Bereich der „extremen“ Werte, wenn man mehr Irrtumswahrscheinlichkeit zulässt? - Gibt es in der Statistik absolute Beweise oder arbeiten wir mit Wahrscheinlichkeiten? - Was passiert, wenn man ein Zufallsexperiment wiederholt? Sind die Ergebnisse immer identisch? - Denke an die Definition des Fehlers 2. Art.

1. Analyse von Aussage a): Ein größeres Signifikanzniveau \(\alpha\) führt zu einem mindestens gleich großen oder größeren Ablehnungsbereich \(K\), da die Bedingung \(P(X \in K) \le \alpha\) für \(\alpha = 10\,\%\) leichter zu erfüllen ist als für \(5\,\%\). Wenn ein Wert im Ablehnungsbereich für \(5\,\%\) liegt, liegt er also auch im Ablehnungsbereich für \(10\,\%\). Die Aussage ist wahr. 2. Analyse von Aussage b): Ein Ergebnis im Nichtablehnungsbereich bedeutet nur, dass die Abweichung der Stichprobe von der Erwartung unter der Nullhypothese nicht groß genug ist, um als signifikant zu gelten. Es könnte jedoch ein Fehler 2. Art vorliegen (die Nullhypothese ist falsch, aber die Stichprobe zeigt dies nicht). Ein Beweis für die Richtigkeit von \(H_0\) ist dies nicht. Die Aussage ist falsch. 3. Analyse von Aussage c): Da die Testgröße von einer Zufallsstichprobe abhängt, unterliegt sie Zufallsschwankungen. Eine neue Stichprobe kann zu einem anderen Wert der Testgröße führen, der in einem Fall knapp im Ablehnungsbereich und im anderen Fall knapp außerhalb liegt. Die Aussage ist falsch.

a) Wahr. Der Ablehnungsbereich für \(\alpha = 5\,\%\) ist eine Teilmenge des Ablehnungsbereichs für \(\alpha = 10\,\%\). b) Falsch. Es kann lediglich gesagt werden, dass die Nullhypothese nicht abgelehnt wird; ein Fehler 2. Art bleibt möglich. c) Falsch. Aufgrund von Zufallsschwankungen in der Stichprobe kann die Testgröße bei einer Wiederholung andere Werte annehmen und zu einer anderen Entscheidung führen.

- Was bedeutet es für die Nullhypothese, wenn der tatsächliche Wert \( 93\,\% \) beträgt? - Überlege, welche Arten von Fehlentscheidungen es bei einem Signifikanztest gibt. - Garantiert ein Signifikanztest immer ein in der Realität korrektes Ergebnis? - Welche Rolle spielt das Signifikanzniveau \( \alpha \) für das Risiko einer Fehlentscheidung?

1. Feststellung der Realität: Da die wahre Erfolgswahrscheinlichkeit \( p = 0{,}93 \) beträgt, ist die Nullhypothese \( H_0: p \ge 0{,}90 \) in der Realität wahr. 2. Einordnung des Testergebnisses: Die Ablehnung einer wahren Nullhypothese wird in der Statistik als Fehler 1. Art (Alpha-Fehler) bezeichnet. 3. Statistische Interpretation: Ein Signifikanztest ist ein probabilistisches Verfahren. Das Signifikanzniveau \( \alpha = 5\,\% \) gibt die maximale Wahrscheinlichkeit an, mit der ein solcher Fehler 1. Art aufgrund von Zufallsschwankungen in der Stichprobe auftritt. 4. Bewertung: Der Prüfer hat keinen methodischen Fehler gemacht. Sein Testverfahren lässt bewusst eine Irrtumswahrscheinlichkeit zu. Dass die Stichprobe ein Ergebnis im Ablehnungsbereich geliefert hat, ist ein zwar seltener, aber mathematisch vorgesehener Zufallsfall.

Der Prüfer hat recht. Da \( p = 0{,}93 \) über dem behaupteten Wert liegt, ist die Nullhypothese wahr. Dass der Test sie dennoch ablehnt, ist ein sogenannter Fehler 1. Art. Die Wahrscheinlichkeit für ein solches Ergebnis liegt bei höchstens \( 5\,\% \). Der Fehler liegt also nicht in der Durchführung des Tests, sondern ist eine inhärente statistische Unsicherheit, die durch das Signifikanzniveau kontrolliert wird.

- Bedeutet „nicht abgelehnt“ automatisch, dass die Behauptung wahr ist? - Was könnte passieren, wenn die tatsächliche Klickrate nur ganz knapp über dem Grenzwert liegt? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen dem Fehler 1. Art und dem Fehler 2. Art. - Kann man mit einem Signifikanztest die Nullhypothese jemals „beweisen“?

1. Bedeutung der Nicht-Ablehnung: Dass \( H_0 \) nicht abgelehnt wurde, bedeutet lediglich, dass die vorliegenden Daten nicht ausreichen, um \( H_0 \) mit der geforderten Sicherheit zu verwerfen. Es ist kein Beweis für die Richtigkeit von \( H_0 \). 2. Fehler 2. Art: Es besteht das Risiko eines Fehlers 2. Art (Beta-Fehler). Dieser tritt auf, wenn die Nullhypothese beibehalten wird, obwohl sie in der Realität falsch ist (hier: wenn die wahre Klickrate doch über \( 8\,\% \) liegt). 3. Bewertung: Die Klickrate könnte in Wirklichkeit knapp über \( 8\,\% \) liegen (z. B. bei \( 8{,}5\,\% \)), aber die Stichprobe war nicht groß genug oder das Ergebnis durch Zufall zu niedrig, um dies signifikant nachzuweisen. 4. Fazit: Die Aussage, es sei „sichergestellt“ oder „bewiesen“, ist falsch, da das Risiko eines Fehlers 2. Art nicht kontrolliert wurde.

Die Schlussfolgerung ist mathematisch nicht haltbar. Ein Signifikanztest kann die Nullhypothese nie „beweisen“, sondern sie nur verwerfen oder beibehalten. Wenn \( H_0 \) nicht abgelehnt wird, besteht das Risiko eines Fehlers 2. Art: Das Banner könnte eine Klickrate von über \( 8\,\% \) haben, ohne dass dies in dieser spezifischen Stichprobe deutlich genug wurde.

- Welchen Zustand möchte man normalerweise als „gesichert“ ansehen, bevor man ein neues Produkt bewirbt? - Was passiert mit der Größe des Ablehnungsbereichs, wenn man die Irrtumswahrscheinlichkeit \(\alpha\) verringert? - Bedeutet das Ausbleiben eines Beweises für eine Theorie automatisch, dass das Gegenteil wahr ist?

1. Wahl der Nullhypothese: Um eine Steigerung auf über \(80\,\%\) nachzuweisen, muss die gegenteilige Annahme als Nullhypothese dienen: \(H_0: p \le 0{,}8\). Nur bei Ablehnung dieser Hypothese gilt die Wirksamkeit (\(p > 0{,}8\)) als statistisch belegt. 2. Beurteilung der Aussage: Die Aussage ist in dieser präzisierten Form korrekt. Ein kleineres Signifikanzniveau \(\alpha\) verkleinert den Ablehnungsbereich, sodass extremere Stichprobenergebnisse nötig sind, um \(H_0\) abzulehnen. Dies erschwert den Nachweis. Gleichzeitig sinkt das Risiko, die Wirksamkeit fälschlicherweise zu bescheinigen (Fehler 1. Art), dies senkt die maximal zulässige Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art. Es ist jedoch keine Wahrscheinlichkeit dafür, dass die konkrete Schlussfolgerung wahr ist. 3. Schlussfolgerung aus Nicht-Ablehnung: Nein, man darf dies nicht zwingend schließen. Dass das Ergebnis nicht im Ablehnungsbereich liegt, bedeutet nur, dass die vorliegenden Daten nicht ausreichen, um \(H_0\) mit dem gewählten Niveau zu verwerfen. Es könnte dennoch eine Wirksamkeit vorliegen, die in dieser Stichprobe nicht deutlich genug zutage trat (Fehler 2. Art bzw. \(\beta\)-Fehler). Ein Nicht-Signifikanz-Ergebnis ist kein Beweis für die Richtigkeit der Nullhypothese.

a) \(H_0: p \le 0{,}8\) b) Die präzisierte Aussage ist richtig, da ein kleineres \(\alpha\) die Hürde für die Ablehnung der Nullhypothese erhöht und gleichzeitig die maximale Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art senkt; daraus folgt keine nachträgliche Wahrheitswahrscheinlichkeit. c) Nein, da ein Fehler 2. Art vorliegen kann. Das Nicht-Ablehnen von \(H_0\) ist kein Beweis für deren Richtigkeit, sondern nur ein Mangel an Beweisen für \(H_1\).

- Wie verändert sich die Form der Kurve, wenn man mehr Daten sammelt? Wird die Entscheidung „sicherer“ oder „unsicherer“? - Wo genau auf der x-Achse musst du schauen, um das Signifikanzniveau zu finden? Denke an den Rand der Nullhypothese. - Der Fehler 2. Art bedeutet, dass man eine wirksame Therapie übersieht. Wie drückt sich das in der Wahrscheinlichkeit aus, die Nullhypothese *nicht* abzulehnen? - Vergleiche die Funktionswerte der beiden Graphen an der Stelle \(p = 0{,}45\).

1. Zuordnung des Stichprobenumfangs: Der Graph \(f_B\) verläuft steiler als \(f_A\). Da mit steigendem Stichprobenumfang \(n\) die Trennschärfe eines Tests zunimmt (der Übergang von niedriger zu hoher Ablehnwahrscheinlichkeit wird schärfer), gehört \(f_B\) zum größeren Stichprobenumfang (\(n_B > n_A\)). 2. Bestimmung des Signifikanzniveaus: Das Signifikanzniveau \(\alpha\) entspricht der maximalen Ablehnwahrscheinlichkeit unter der Bedingung, dass \(H_0\) wahr ist (hier für \(p = 0{,}3\)). Aus dem Graphen liest man ab: \(f_A(0{,}3) \approx 0{,}05\) und \(f_B(0{,}3) \approx 0{,}05\). Das Signifikanzniveau beträgt also für beide Tests etwa \(5\,\%\). 3. Vergleich der Testgüte bei \(p = 0{,}45\): Ein Test ist besser geeignet, wenn er eine tatsächlich vorhandene Wirkung mit höherer Wahrscheinlichkeit erkennt, also den Fehler 2. Art (\(\beta\)) minimiert. Für \(p = 0{,}45\) ist die Ablehnwahrscheinlichkeit bei Test B deutlich höher (\(f_B(0{,}45) \approx 0{,}90\)) als bei Test A (\(f_A(0{,}45) \approx 0{,}65\)). Da \(\beta = 1 - f(p)\) gilt, ist \(\beta_B \approx 0{,}10\) wesentlich kleiner als \(\beta_A \approx 0{,}35\). Test B ist somit besser geeignet.

a) Graph \(f_B\) gehört zum größeren Stichprobenumfang, da die Kurve steiler verläuft. b) Das Signifikanzniveau \(\alpha\) beträgt für beide Tests etwa \(0{,}05\) (bzw. \(5\,\%\)). c) Test B ist besser geeignet, da die Ablehnwahrscheinlichkeit bei \(p = 0{,}45\) höher ist (\(f_B(0{,}45) \approx 0{,}90\)) und somit der Fehler 2. Art kleiner ist (\(\beta_B \approx 0{,}10 < \beta_A \approx 0{,}35\)).