Eine Stadtbibliothek untersucht den aktuellen Anteil \(p\) der Bevölkerung, der eine Sonntagsöffnung unterstützt. In einer Zufallsstichprobe von \(300\) Personen unterstützen genau \(165\) die Sonntagsöffnung. Die Antworten werden als unabhängig mit einer konstanten Unterstützungswahrscheinlichkeit \(p\) modelliert.
Vor der Erhebung wurden zwei verschiedene einseitige Tests festgelegt:
Test A: \(H_{0,A}:p\ge0{,}60\) gegen \(H_{1,A}:p<0{,}60\) mit \(K_A=\{0;1;\dots;165\}\). Am Randwert beträgt die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art etwa \(4{,}43\,\%\).
Test B: \(H_{0,B}:p\le0{,}50\) gegen \(H_{1,B}:p>0{,}50\) mit \(K_B=\{165;166;\dots;300\}\). Am Randwert beträgt die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art etwa \(4{,}70\,\%\).
Ein Ausschussmitglied sagt: „Dass derselbe Wert \(165\) in beiden Ablehnungsbereichen liegt, ist ein Widerspruch. Die beiden Tests können nicht gleichzeitig korrekt sein.“
Eine Zeitung schreibt dagegen: „Beide Nullhypothesen wurden auf dem \(5\,\%\)-Niveau abgelehnt. Damit ist mit mindestens \(95\,\%\) Wahrscheinlichkeit bewiesen, dass \(0{,}50<p<0{,}60\) gilt.“
a) Triff für beide Tests die Testentscheidung und erkläre, warum die beiden Entscheidungen einander nicht widersprechen.
b) Formuliere die stärkste gemeinsame statistische Aussage, die durch die beiden vorab festgelegten Tests gestützt wird.
c) Beurteile die Wahrscheinlichkeitsaussage der Zeitung.
d) Erkläre, warum auch \(4{,}43\,\%+4{,}70\,\%\) nicht als Wahrscheinlichkeit dafür interpretiert werden darf, dass die gemeinsame Aussage aus b) falsch ist.
Denkanstöße
- Vergleiche den beobachteten Wert getrennt mit \(K_A\) und \(K_B\); Ablehnungsbereiche verschiedener Tests dürfen sich überschneiden.
- Übersetze jede Ablehnung zuerst in die zugehörige Gegenhypothese, bevor du beide Aussagen zusammenführst.
- Frage bei jeder Prozentangabe, unter welcher Voraussetzung sie berechnet wurde und welches Zufallsereignis sie beschreibt.
- Unterscheide statistische Evidenz für einen Parameterbereich von einer Wahrscheinlichkeit dafür, dass der unbekannte Parameter in diesem Bereich liegt.
Lösung
1. Der beobachtete Wert \(165\) liegt sowohl in \(K_A\) als auch in \(K_B\). Daher werden \(H_{0,A}\) und \(H_{0,B}\) abgelehnt.
2. Die beiden Gegenhypothesen widersprechen sich nicht: Test A liefert statistische Evidenz für \(p<0{,}60\), Test B für \(p>0{,}50\). Beide Richtungen können gleichzeitig gelten.
3. Gemeinsam stützen die beiden Tests daher die Aussage, dass \(p\) zwischen \(0{,}50\) und \(0{,}60\) liegt. Das ist eine Schlussfolgerung aus zwei Testentscheidungen, kein Beweis und keine Wahrscheinlichkeitsaussage über den unbekannten Parameter.
4. Die Werte \(4{,}43\,\%\) und \(4{,}70\,\%\) sind bedingte Wahrscheinlichkeiten für Fehler 1. Art bei zwei verschiedenen Randwerten und zwei verschiedenen Nullhypothesen. Keiner der Werte ist die nachträgliche Wahrscheinlichkeit, dass eine Hypothese oder eine Parameterbehauptung falsch ist.
5. Deshalb bedeutet die Ablehnung beider Nullhypothesen insbesondere nicht, dass \(P(0{,}50<p<0{,}60)\ge0{,}95\) gilt. Ebenso ist die Summe der beiden Fehlerwahrscheinlichkeiten keine Wahrscheinlichkeit dafür, dass die gemeinsame Interpretation falsch ist.
Antwort
a) Beide Nullhypothesen werden abgelehnt, weil \(165\in K_A\) und \(165\in K_B\). Das ist kein Widerspruch: Die Gegenhypothesen \(p<0{,}60\) und \(p>0{,}50\) können gleichzeitig gelten.
b) Die Daten liefern in den beiden vorab festgelegten Tests statistische Evidenz für \(p<0{,}60\) und zugleich für \(p>0{,}50\), also für einen Wert zwischen \(0{,}50\) und \(0{,}60\). Das ist kein Beweis.
c) Die Aussage „mit mindestens \(95\,\%\) Wahrscheinlichkeit“ ist unzulässig. Das Signifikanzniveau ist keine nachträgliche Wahrscheinlichkeit für den unbekannten Parameter oder für die Wahrheit einer Hypothese.
d) Auch die Summe \(4{,}43\,\%+4{,}70\,\%\) hat diese Bedeutung nicht. Die beiden Werte sind bedingte Fehlerwahrscheinlichkeiten verschiedener Tests unter verschiedenen Randwerten.
