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- Überlege dir zuerst, welche Entscheidung getroffen wird und welcher reale Zustand dazu im Widerspruch steht. - Welche Rolle spielt das Signifikanzniveau bei der Begrenzung von Risiken? - Kann eine Stichprobe jemals eine Eigenschaft der gesamten Produktion mit \(100\,\%\) Sicherheit belegen? - Unterscheide zwischen einer „bewiesenen Aussage“ und einer „statistisch signifikanten Abweichung“.

1. Definition des Fehlers 1. Art: Ein Fehler 1. Art tritt ein, wenn die Nullhypothese \(H_0\) abgelehnt wird, obwohl sie in Wirklichkeit wahr ist. Im Kontext bedeutet dies, dass der Supermarkt die Lieferung beanstandet (bzw. dem Hersteller eine zu hohe Fehlerquote unterstellt), obwohl tatsächlich höchstens \(1\,\%\) der Eier beschädigt sind. 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit: Die maximale Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art ist durch das Signifikanzniveau \(\alpha\) vorgegeben. Hier gilt \(P(\text{Fehler 1. Art}) \le 0{,}05\). 3. Beurteilung der Sicherheit: Ein Signifikanztest liefert keine absolute Gewissheit, sondern eine Entscheidung auf Basis von Wahrscheinlichkeiten. Da ein Fehler 1. Art mit einer Wahrscheinlichkeit von bis zu \(5\,\%\) möglich ist, kann man nicht von einem „absolut sicheren Beweis“ sprechen. Das Ergebnis ist lediglich „statistisch signifikant“.

a) Ein Fehler 1. Art bedeutet, dass die Behauptung des Herstellers abgelehnt wird, obwohl sie wahr ist (d. h. man glaubt fälschlicherweise an mehr als \(1\,\%\) Ausschuss). Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt höchstens \(5\,\%\). b) Die Aussage ist falsch. Ein Signifikanztest bietet keine absolute Sicherheit, sondern lässt eine Irrtumswahrscheinlichkeit zu. Es besteht ein Restrisiko von bis zu \(5\,\%\), dass die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wurde, obwohl sie wahr ist.

- Überlege dir, welche Informationen in der ersten Teilaufgabe als sicher angenommen werden. - Wie gehst du vor, wenn du die Grenze suchst, ab der ein Ergebnis als „zu unwahrscheinlich“ gilt? - Betrachte den Weg der Erkenntnis: Geht man von der Gesamtheit zur Stichprobe oder umgekehrt?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit mit der Binomialverteilung für \(n = 100\) und \(p = 0{,}90\): \(P(X \le 85) = \sum_{i=0}^{85} \binom{100}{i} \cdot 0{,}90^i \cdot 0{,}10^{100-i} \approx 0{,}0726\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs für den linksseitigen Test: Gesucht ist das größte \(k\), für das \(P(X \le k) \le 0{,}05\) gilt. Mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}90\) ergibt sich: \(P(X \le 84) \approx 0{,}0399\) und \(P(X \le 85) \approx 0{,}0726\). Der Ablehnungsbereich ist somit \(\overline{A} = \{0; 1; \dots; 84\}\). 3. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Teil 1) ist das Modell (die Wahrscheinlichkeit \(p\)) bekannt, und man berechnet die Wahrscheinlichkeit für ein mögliches Stichprobenergebnis (Deduktion). In der beurteilenden Statistik (Teil 2) ist das Modell (der Parameter \(p\)) Gegenstand einer Hypothese, die anhand eines Stichprobenergebnisses auf ihre Plausibilität geprüft wird (Induktion).

1. \(P(X \le 85) \approx 7{,}26\,\%\) 2. Ablehnungsbereich \(\overline{A} = \{0; 1; \dots; 84\}\) 3. Wahrscheinlichkeitsrechnung schließt von der Grundgesamtheit auf die Stichprobe (deduktiv). Beurteilende Statistik nutzt Stichproben, um Aussagen über die Grundgesamtheit zu treffen oder Hypothesen zu prüfen (induktiv).

- Was sagt der Erwartungswert über ein einzelnes Stichprobenergebnis aus? - Warum sind Punktwahrscheinlichkeiten bei großen Stichproben oft ungeeignet für Tests? - Wie hängen Zufallsschwankungen und Signifikanz zusammen? - Welche Rolle spielt die kumulierte Wahrscheinlichkeit bei der Beurteilung eines Rückgangs?

1. Die Aussage ist nicht stichhaltig. Der Erwartungswert \(\mu = n \cdot p = 200 \cdot 0{,}52 = 104\) gibt lediglich den Durchschnittswert an. Da Stichproben Zufallsschwankungen unterliegen, belegt ein Ergebnis unterhalb des Erwartungswerts allein noch keine Veränderung der Grundgesamtheit. 2. Die Aussage ist nicht stichhaltig. In einer Binomialverteilung sind Einzelwahrscheinlichkeiten \(P(X = k)\) bei großem \(n\) fast immer sehr klein. Für eine statistische Entscheidung ist nicht die Punktwahrscheinlichkeit, sondern die kumulierte Wahrscheinlichkeit des betrachteten Bereichs (hier \(P(X \le 98)\)) entscheidend. 3. Die Aussage ist stichhaltig. Mit \(P(X \le 98) \approx 0{,}2181\) liegt das Ergebnis im Bereich üblicher Zufallsschwankungen. Da dieser \(p\)-Wert deutlich über üblichen Signifikanzniveaus (wie \(5\,\%\) oder \(1\,\%\)) liegt, kann die Nullhypothese \(p = 0{,}52\) nicht verworfen werden.

1. Nicht stichhaltig, da Zufallsschwankungen um den Erwartungswert normal sind. 2. Nicht stichhaltig, da Einzelwahrscheinlichkeiten bei großen Stichproben immer klein sind; entscheidend ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit. 3. Stichhaltig, da eine Wahrscheinlichkeit von \(21{,}8\,\%\) für einen Wert von höchstens \(98\) zeigt, dass das Ergebnis nicht signifikant gegen die \(52\,\%\)-Annahme spricht.

- Welche Seite der Verteilung musst du betrachten, wenn du einen Anstieg der Fehlerquote vermutest? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für „mindestens \(k\) Treffer“ mithilfe der kumulierten Verteilungsfunktion? - Wann gilt ein Ergebnis als „signifikant“ im Vergleich zum vorgegebenen \(\alpha\)?

1. Nullhypothese \(H_0: p \le 0{,}05\) (Herstellerangabe stimmt), Gegenhypothese \(H_1: p > 0{,}05\) (Fehlerquote ist höher). 2. Unter der Annahme \(p = 0{,}05\) ist die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl defekter Chips) binomialverteilt mit \(n = 150\). Es ist \(P(X \ge 12) = 1 - P(X \le 11)\). Mit der Formel der Binomialverteilung oder Tabellen ergibt sich \(P(X \le 11) \approx 0{,}9260\). Somit ist \(P(X \ge 12) \approx 1 - 0{,}9260 = 0{,}0740\), also ca. \(7{,}4\,\%\). 3. Da der berechnete \(p\)-Wert von \(0{,}0740\) größer ist als das Signifikanzniveau \(\alpha = 0{,}05\), liegt das Ergebnis noch im Nicht-Ablehnungsbereich der Nullhypothese. Die Abweichung vom Erwartungswert (\(\mu = 7{,}5\)) ist zwar vorhanden, aber statistisch nicht signifikant genug, um die Herstellerangabe zu widerlegen.

1. \(H_0: p \le 0{,}05\); \(H_1: p > 0{,}05\). 2. \(P(X \ge 12) \approx 0{,}0740\). 3. Nein, die Behauptung ist nicht statistisch belegbar, da \(0{,}0740 > 0{,}05\). Die Nullhypothese wird nicht verworfen.

- Was möchte der Hersteller beweisen? Überlege, welche Aussage statistisch abgesichert werden soll. - Erinnere dich daran, dass die Hypothese, die man belegen möchte, meistens als Alternativhypothese gewählt wird. - Was wäre für einen Käufer schlimmer: Ein gutes Produkt fälschlicherweise abzulehnen oder ein schlechtes Produkt fälschlicherweise für gut zu halten? - Ein Fehler 1. Art tritt immer dann auf, wenn die Nullhypothese \(H_0\) fälschlicherweise abgelehnt wird.

1. Für den linksseitigen Test gilt \(H_0: p \geq 0{,}05\) und \(H_1: p < 0{,}05\). Ein Fehler 1. Art bedeutet hier, dass die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird. Man geht also davon aus, dass das neue Verfahren besser ist (\(p < 0{,}05\)), obwohl die Fehlerquote in Wirklichkeit immer noch mindestens \(5\,\%\) beträgt. 2. Für den rechtsseitigen Test gilt \(H_0: p \leq 0{,}05\) und \(H_1: p > 0{,}05\). Ein Fehler 1. Art bedeutet hier, dass man fälschlicherweise annimmt, das neue Verfahren sei schlechter als das alte (\(p > 0{,}05\)), obwohl die Fehlerquote tatsächlich höchstens \(5\,\%\) beträgt. 3. Aus Sicht des Kunden ist der linksseitige Test angemessener. Das Ziel ist es, die Behauptung einer Verbesserung zu belegen. Indem man die Verbesserung in die Alternativhypothese \(H_1\) schreibt, muss der Hersteller signifikante Beweise liefern, um \(H_0\) zu widerlegen. Das Risiko, fälschlicherweise ein mangelhaftes Produkt als „verbessert“ einzustufen (Fehler 1. Art), wird durch das Signifikanzniveau \(\alpha\) kontrolliert.

1. \(H_0: p \geq 0{,}05\), \(H_1: p < 0{,}05\). Fehler 1. Art: Annahme einer Verbesserung, die nicht existiert. 2. \(H_0: p \leq 0{,}05\), \(H_1: p > 0{,}05\). Fehler 1. Art: Annahme einer Verschlechterung, die nicht existiert. 3. Der linksseitige Test (\(H_0: p \geq 0{,}05\)) ist angemessener, da er den Kunden davor schützt, eine fälschliche Werbebehauptung über eine Qualitätsverbesserung ungeprüft zu übernehmen.

- Was ist die Ausgangsbehauptung, die erst einmal als wahr angenommen wird? - Welches Ergebnis der Stichprobe würde die Vermutung der Initiative stützen? - Überlege, für welche Werte von \(X\) die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le k)\) gerade noch unter dem Signifikanzniveau liegt. - Was bedeutet es für die Stadt, wenn die Umfrage ein „falsches“ negatives Ergebnis liefert?

1. Hypothesen festlegen: Da die Initiative eine geringere Zufriedenheit vermutet, ist die Nullhypothese \(H_0: p \ge 0{,}6\) und die Gegenhypothese \(H_1: p < 0{,}6\). 2. Ablehnungsbereich bestimmen: Unter der Annahme von \(H_0\) ist die Anzahl der zufriedenen Personen \(X\) binomialverteilt mit \(n = 50\) und \(p = 0{,}6\). Gesucht ist das größte \(k\), für das \(P(X \le k) \le 0{,}10\) gilt. 3. Werte der Binomialverteilung prüfen: \(P(X \le 25) \approx 0{,}0978\) und \(P(X \le 26) \approx 0{,}1562\). Da \(0{,}0978 \le 0{,}10\) und \(0{,}1562 > 0{,}10\), liegt die Grenze bei \(k = 25\). Der Ablehnungsbereich ist \(A = \{0, 1, \dots, 25\}\). 4. Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art: Diese entspricht \(P(X \le 25) \approx 9{,}78\,\%\). 5. Bedeutung im Sachzusammenhang: Ein Fehler erster Art bedeutet, dass die Initiative fälschlicherweise zu dem Schluss kommt, die Zufriedenheit sei gesunken, obwohl sie in Wahrheit noch bei \(60\,\%\) liegt. Dies könnte zu unnötigen politischen Maßnahmen oder Rechtfertigungsdruck führen. 6. Entscheidung bei \(26\) Personen: Da \(26 \notin A\), kann die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau von \(10\,\%\) nicht abgelehnt werden. Die Vermutung der Initiative ist statistisch nicht bestätigt.

a) \(H_0: p \ge 0{,}6\); \(H_1: p < 0{,}6\) b) Ablehnungsbereich \(A = \{0, 1, \dots, 25\}\) c) \(P(\text{Fehler 1. Art}) \approx 9{,}78\,\%\) d) Die Initiative würde fälschlicherweise behaupten, die Zufriedenheit liege unter \(60\,\%\); aus Sicht der Stadtverwaltung führte dies zu ungerechtfertigter Kritik oder unnötigem Handlungsdruck. e) Da \(26\) nicht im Ablehnungsbereich liegt, kann die Nullhypothese nicht abgelehnt werden.

- Was bedeutet der Fehler 1. Art konkret in dieser Situation? - Was wäre die Konsequenz für das Unternehmen, wenn es fälschlicherweise von einer Verbesserung ausgeht? - Warum ist es bei teuren Neuerungen wichtig, sich gegen Irrtümer abzusichern? - Welche Hypothese muss man als Nullhypothese wählen, wenn man eine Behauptung statistisch „beweisen“ möchte?

1. Einordnung des Fehlers 1. Art: Der Fehler 1. Art (Alpha-Fehler) besteht darin, die Nullhypothese abzulehnen, obwohl sie wahr ist. Hier bedeutet das: Man schließt fälschlicherweise darauf, dass die Nebenwirkungsrate gesunken ist (\(p < 0{,}15\)), obwohl sie in Wahrheit immer noch mindestens \(15\,\%\) beträgt. 2. Kontrolle des Fehlers: Durch das Signifikanzniveau \(\alpha\) wird die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler 1. Art begrenzt. Ein kleines \(\alpha\) stellt sicher, dass die Irrtumswahrscheinlichkeit für die Annahme einer Verbesserung gering bleibt. 3. Wirtschaftliche Begründung: Da das neue Medikament teurer ist, möchte das Unternehmen eine Umstellung der Produktion nur dann vornehmen, wenn ein tatsächlicher therapeutischer Vorteil (geringere Nebenwirkungsrate) statistisch gut abgesichert ist. 4. Schlussfolgerung: Man möchte vermeiden, das teurere Medikament einzuführen, ohne dass es wirklich besser ist. Die gewählte Nullhypothese schützt vor dieser Fehlentscheidung, indem die „Last des Beweises“ bei der Wirksamkeit der Verbesserung liegt.

Durch die Wahl von \(H_0: p \ge 0{,}15\) wird der Fehler 1. Art kontrolliert. Dieser Fehler entspricht der fälschlichen Annahme einer Verbesserung. Da das neue Medikament teurer ist, ist diese Wahl sinnvoll, um zu verhindern, dass man hohe Mehrkosten investiert, ohne dass eine tatsächliche Senkung der Nebenwirkungsrate vorliegt. Man möchte die Innovation nur dann einführen, wenn die Überlegenheit des neuen Präparats statistisch signifikant belegt ist.

- Was möchte die jeweilige Person durch den Test beweisen? - Denke daran, dass das, was man beweisen möchte, meistens als Alternativhypothese \(H_1\) formuliert wird. - Was passiert, wenn die Stichprobe genau auf dem Grenzwert liegt? - Wer trägt das Risiko, wenn die Entscheidung aufgrund des Zufalls in der Stichprobe falsch ausfällt?

1. Der Hersteller möchte die Qualität belegen. Um eine Aussage statistisch zu sichern, muss das Gegenteil als Nullhypothese abgelehnt werden. Daher wählt der Hersteller \(H_0: p \ge 0{,}02\) und \(H_1: p < 0{,}02\) (linksseitiger Test). 2. Der Abnehmer möchte eine zu hohe Fehlerquote beanstanden. Er geht im Zweifel von der Einhaltung der Zusage aus und sucht nach Evidenz für eine Überschreitung. Daher wählt er \(H_0: p \le 0{,}02\) und \(H_1: p > 0{,}02\) (rechtsseitiger Test). 3. Die Nullhypothese ist die Annahme, die nur bei starken Gegenbeweisen (durch das Signifikanzniveau \(\alpha\) begrenzt) verworfen wird. Beim Test des Abnehmers wird die Lieferung nur abgelehnt, wenn die Fehlerquote signifikant über \(2\,\%\) liegt; dies schützt den Hersteller vor irrtümlicher Reklamation. Beim Test des Herstellers wird die Qualität nur zertifiziert, wenn die Fehlerquote signifikant unter \(2\,\%\) liegt; dies schützt den Abnehmer vor mangelhafter Ware.

1. Hersteller: \(H_0: p \ge 0{,}02\); \(H_1: p < 0{,}02\). 2. Abnehmer: \(H_0: p \le 0{,}02\); \(H_1: p > 0{,}02\). 3. Die Nullhypothese wird beibehalten, solange die Stichprobe nicht signifikant gegen sie spricht. Beim Abnehmertest \(H_0: p \le 0{,}02\) begrenzt \(\alpha\) das Risiko, eine konforme Lieferung irrtümlich abzulehnen, und schützt damit den Hersteller. Beim Herstellertest \(H_0: p \ge 0{,}02\) wird die gute Qualität erst nach Ablehnung von \(H_0\) bestätigt; dadurch wird das Risiko des Abnehmers kontrolliert, mangelhafte Ware fälschlicherweise zu zertifizieren.

- Welche Behauptung soll angegriffen werden? - Erinnere dich an die Definition: Fehler 1. Art ist das Ablehnen einer wahren Nullhypothese. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Fehlerarten zusammen, wenn man den Stichprobenumfang nicht verändert? - Überlege, für wen eine falsche öffentliche Anschuldigung schlimmer wäre und wer das Risiko unentdeckter Mängel trägt.

1. Die Organisation möchte beweisen, dass die Quote \(p\) geringer als \(0{,}98\) ist. Daher: \(H_0: p \ge 0{,}98\) und \(H_1: p < 0{,}98\). Es handelt sich um einen linksseitigen Signifikanztest. 2. Fehler 1. Art: Die Organisation kommt zu dem Schluss, dass weniger als \(98\,\%\) der Flaschen korrekt befüllt sind, obwohl die Angabe des Abfüllers in Wahrheit stimmt (fälschliche Beanstandung). Fehler 2. Art: Die Organisation stellt keine signifikante Abweichung fest und behält \(H_0\) bei, obwohl in Wahrheit weniger als \(98\,\%\) der Flaschen korrekt befüllt sind (Mangel bleibt unentdeckt). 3. Ein kleines \(\alpha\) minimiert die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art, also das Risiko des Abfüllers, zu Unrecht öffentlich kritisiert zu werden. Da jedoch bei festem Stichprobenumfang eine Verringerung von \(\alpha\) zwangsläufig die Wahrscheinlichkeit \(\beta\) für den Fehler 2. Art erhöht, steigt damit das Risiko für die Verbraucherschutzorganisation, ein tatsächliches Defizit in der Abfüllung nicht nachweisen zu können.

1. \(H_0: p \ge 0{,}98\); \(H_1: p < 0{,}98\); linksseitiger Signifikanztest. 2. Fehler 1. Art: Behauptung wird fälschlicherweise als falsch eingestuft. Fehler 2. Art: Eine falsche Behauptung wird fälschlicherweise nicht beanstandet. 3. Der Abfüller möchte \(\alpha\) klein halten, um nicht fälschlich beschuldigt zu werden. Dies erhöht jedoch die Wahrscheinlichkeit \(\beta\), dass die Verbraucherschutzorganisation eine tatsächlich zu niedrige Quote nicht erkennt.

- Welche Seite des Tests ist hier relevant, wenn wir die Behauptung „mindestens“ prüfen wollen? - Was passiert mit der Nullhypothese, wenn besonders wenige Samen keimen? - Überlege dir, welche Entscheidung getroffen wird, wenn die Nullhypothese wahr ist, man sie aber ablehnt.

1. Aufstellen der Testparameter: Es handelt sich um einen linksseitigen Signifikanztest mit \(n = 100\), \(p_0 = 0{,}8\) und \(\alpha = 0{,}05\). Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der keimenden Samen und wird unter der Nullhypothese als binomialverteilt gemäß \(B(100; 0{,}8)\) angenommen. 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs \(\mathcal{A} = \{0; 1; \dots; k\}\): Gesucht ist das größte \(k\), für das \(P(X \leq k) \leq 0{,}05\) gilt. 3. Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeiten: \(P(X \leq 72) \approx 0{,}0338\) und \(P(X \leq 73) \approx 0{,}0558\). Somit ist \(k = 72\). Der Ablehnungsbereich ist \(\mathcal{A} = \{0; 1; \dots; 72\}\). 4. Interpretation des Fehlers 1. Art: Ein Fehler 1. Art tritt auf, wenn die Keimquote tatsächlich mindestens \(80\,\%\) beträgt, die Nullhypothese aber fälschlicherweise abgelehnt wird. Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass das Saatgut fälschlicherweise als mangelhaft eingestuft wird, obwohl es der Angabe des Herstellers entspricht.

a) Der Ablehnungsbereich ist \(\mathcal{A} = \{0; 1; \dots; 72\}\). b) Ein Fehler 1. Art bedeutet hier, dass das Saatgut fälschlicherweise reklamiert wird, obwohl die tatsächliche Keimquote mindestens \(80\,\%\) beträgt.

- Überlege zuerst, ob es sich um einen linksseitigen oder einen rechtsseitigen Test handelt, indem du schaust, bei welchen Werten die Nullhypothese abgelehnt wird. - Was genau ist das Ziel der Geschäftsführung? Welches Ereignis soll mit hoher Sicherheit vermieden werden? - Erinnere dich an die Definition des Fehlers 1. Art: Was bedeutet es in diesem Fall, die Nullhypothese fälschlicherweise abzulehnen? - Nutze das Tafelwerk oder die kumulierten Werte der Binomialverteilung für die entsprechenden Parameter.

1. Aufstellen der Testparameter: Es handelt sich um einen rechtsseitigen Signifikanztest mit \(n = 150\), \(p_0 = 0{,}20\) und \(\alpha = 0{,}05\). Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der interessierten Kunden und ist unter \(H_0\) binomialverteilt mit \(B(150; 0{,}20)\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist das kleinste \(k\), für das gilt: \(P(X \geq k) \leq 0{,}05\). Dies ist äquivalent zu \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}95\). 3. Aus der Tabelle der Binomialverteilung oder durch Berechnung ergibt sich für \(n=150\) und \(p=0{,}20\): \(P(X \leq 38) \approx 0{,}9554\) und \(P(X \leq 39) \approx 0{,}9707\). Somit ist bereits \(k-1 = 38\), also \(k = 39\). 4. Entscheidungsregel: Der Ablehnungsbereich ist \(\{39; 40; \dots; 150\}\). Die Reise wird angeboten, wenn sich mindestens \(39\) der befragten Kunden interessiert zeigen. 5. Interpretation des Fehlers 1. Art: Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn \(H_0\) abgelehnt wird, obwohl sie wahr ist. Im Sachkontext bedeutet dies: Es wird fälschlicherweise angenommen, dass das Interesse groß genug ist (\(p > 0{,}20\)), und die Reise wird angeboten, obwohl in Wahrheit höchstens \(20\,\%\) der Kunden interessiert sind. Durch das geringe Signifikanzniveau wird die Wahrscheinlichkeit für diese kostspielige Fehlentscheidung auf höchstens \(5\,\%\) begrenzt.

a) Die Nullhypothese \(H_0\) wird abgelehnt, wenn sich mindestens \(39\) Kunden interessiert zeigen. Der Ablehnungsbereich ist \(\{39; 40; \dots; 150\}\). b) Durch die Wahl von \(H_0: p \leq 0{,}20\) wird der Fehler 1. Art kontrolliert. Dieser besteht darin, die Reise anzubieten (Ablehnung von \(H_0\)), obwohl das tatsächliche Interesse zu gering ist. Da dieses Risiko (Fehlinvestition) als besonders schwerwiegend erachtet wird, begrenzt man dessen Wahrscheinlichkeit durch das Signifikanzniveau \(\alpha\).

- Welche Werte für die Anzahl der Erfolge sprechen gegen die Behauptung des Herstellers? Kleine oder große Werte? - Überlege, was ein Fehler 1. Art für den Hersteller bedeuten würde. Wäre er für ihn „teuer“ oder eher vorteilhaft? - Achte beim Ablesen der Tabellenwerte genau auf die Grenze des Signifikanzniveaus.

1. Analyse des Tests: Es handelt sich um einen linksseitigen Signifikanztest mit \(n = 200\), \(p_0 = 0{,}90\) und \(\alpha = 0{,}10\). Die Zufallsgröße \(X\) zählt die Patienten, bei denen die Tablette wirkt. 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist das größte \(k\), für das gilt: \(P(X \leq k) \leq 0{,}10\) unter der Annahme \(p = 0{,}90\). 3. Berechnung mit der Binomialverteilung \(B(200; 0{,}90)\): Es gilt \(P(X \leq 173) \approx 0{,}0639\) und \(P(X \leq 174) \approx 0{,}1014\). Das größte \(k\), das die Bedingung erfüllt, ist \(k = 173\). 4. Entscheidungsregel: Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn bei höchstens \(173\) Patienten eine Wirkung eintritt. Der Ablehnungsbereich ist \(\{0; 1; \dots; 173\}\). 5. Interpretation: Ein Fehler 1. Art bedeutet hier, dass die Behauptung des Herstellers (\(p \geq 0{,}90\)) abgelehnt wird, obwohl sie eigentlich wahr ist. Dies würde dem Ruf des Herstellers zu Unrecht schaden. Der Hersteller hat daher ein Interesse an dieser \(H_0\), da die Wahrscheinlichkeit für eine irrtümliche Ablehnung seiner Behauptung auf \(\alpha = 10\,\%\) begrenzt wird.

a) Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Tablette bei höchstens \(173\) Patienten wirkt. Der Ablehnungsbereich ist \(\{0; 1; \dots; 173\}\). b) Der Hersteller hat ein Interesse an der Nullhypothese \(H_0: p \geq 0{,}90\). Bei dieser Wahl ist der Fehler 1. Art die fälschliche Behauptung, das Medikament sei schlechter als angegeben. Da die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler durch \(\alpha\) klein gehalten wird, ist der Hersteller vor einer ungerechtfertigten öffentlichen Korrektur seiner Werbeaussage geschützt.

- Wie verändert sich der Bereich der „extremen“ Werte, wenn man mehr Irrtumswahrscheinlichkeit zulässt? - Gibt es in der Statistik absolute Beweise oder arbeiten wir mit Wahrscheinlichkeiten? - Was passiert, wenn man ein Zufallsexperiment wiederholt? Sind die Ergebnisse immer identisch? - Denke an die Definition des Fehlers 2. Art.

1. Analyse von Aussage a): Ein größeres Signifikanzniveau \(\alpha\) führt zu einem mindestens gleich großen oder größeren Ablehnungsbereich \(K\), da die Bedingung \(P(X \in K) \le \alpha\) für \(\alpha = 10\,\%\) leichter zu erfüllen ist als für \(5\,\%\). Wenn ein Wert im Ablehnungsbereich für \(5\,\%\) liegt, liegt er also auch im Ablehnungsbereich für \(10\,\%\). Die Aussage ist wahr. 2. Analyse von Aussage b): Ein Ergebnis im Nicht-Ablehnungsbereich bedeutet nur, dass die Abweichung der Stichprobe von der Erwartung unter der Nullhypothese nicht groß genug ist, um als signifikant zu gelten. Es könnte jedoch ein Fehler 2. Art vorliegen (die Nullhypothese ist falsch, aber die Stichprobe zeigt dies nicht). Ein Beweis für die Richtigkeit von \(H_0\) ist dies nicht. Die Aussage ist falsch. 3. Analyse von Aussage c): Da die Testgröße von einer Zufallsstichprobe abhängt, unterliegt sie Zufallsschwankungen. Eine neue Stichprobe kann zu einem anderen Wert der Testgröße führen, der in einem Fall knapp im Ablehnungsbereich und im anderen Fall knapp außerhalb liegt. Die Aussage ist falsch.

a) Wahr. Der Ablehnungsbereich für \(\alpha = 5\,\%\) ist eine Teilmenge des Ablehnungsbereichs für \(\alpha = 10\,\%\). b) Falsch. Es kann lediglich gesagt werden, dass die Nullhypothese nicht abgelehnt wird (beibehalten wird); ein Fehler 2. Art bleibt möglich. c) Falsch. Aufgrund von Zufallsschwankungen in der Stichprobe kann die Testgröße bei einer Wiederholung andere Werte annehmen und zu einer anderen Entscheidung führen.

- Was bedeutet es für die Nullhypothese, wenn der tatsächliche Wert \( 93\,\% \) beträgt? - Überlege, welche Arten von Fehlentscheidungen es bei einem Signifikanztest gibt. - Garantiert ein Signifikanztest immer ein in der Realität korrektes Ergebnis? - Welche Rolle spielt das Signifikanzniveau \( \alpha \) für das Risiko einer Fehlentscheidung?

1. Feststellung der Realität: Da die wahre Erfolgswahrscheinlichkeit \( p = 0{,}93 \) beträgt, ist die Nullhypothese \( H_0: p \ge 0{,}90 \) in der Realität wahr. 2. Einordnung des Testergebnisses: Die Ablehnung einer wahren Nullhypothese wird in der Statistik als Fehler 1. Art (Alpha-Fehler) bezeichnet. 3. Statistische Interpretation: Ein Signifikanztest ist ein probabilistisches Verfahren. Das Signifikanzniveau \( \alpha = 5\,\% \) gibt die maximale Wahrscheinlichkeit an, mit der ein solcher Fehler 1. Art aufgrund von Zufallsschwankungen in der Stichprobe auftritt. 4. Bewertung: Der Prüfer hat keinen methodischen Fehler gemacht. Sein Testverfahren lässt bewusst eine Irrtumswahrscheinlichkeit zu. Dass die Stichprobe ein Ergebnis im Ablehnungsbereich geliefert hat, ist ein zwar seltener, aber mathematisch vorgesehener Zufallsfall.

Der Prüfer hat recht. Da \( p = 0{,}93 \) über dem behaupteten Wert liegt, ist die Nullhypothese wahr. Dass der Test sie dennoch ablehnt, ist ein sogenannter Fehler 1. Art. Die Wahrscheinlichkeit für ein solches Ergebnis liegt bei höchstens \( 5\,\% \). Der Fehler liegt also nicht in der Durchführung des Tests, sondern ist eine inhärente statistische Unsicherheit, die durch das Signifikanzniveau kontrolliert wird.

- Bedeutet „nicht abgelehnt“ automatisch, dass die Behauptung wahr ist? - Was könnte passieren, wenn die tatsächliche Klickrate nur ganz knapp über dem Grenzwert liegt? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen dem Fehler 1. Art und dem Fehler 2. Art. - Kann man mit einem Signifikanztest die Nullhypothese jemals „beweisen“?

1. Bedeutung der Nicht-Ablehnung: Dass \( H_0 \) nicht abgelehnt wurde, bedeutet lediglich, dass die vorliegenden Daten nicht ausreichen, um \( H_0 \) mit der geforderten Sicherheit zu verwerfen. Es ist kein Beweis für die Richtigkeit von \( H_0 \). 2. Fehler 2. Art: Es besteht das Risiko eines Fehlers 2. Art (Beta-Fehler). Dieser tritt auf, wenn die Nullhypothese beibehalten wird, obwohl sie in der Realität falsch ist (hier: wenn die wahre Klickrate doch über \( 8\,\% \) liegt). 3. Bewertung: Die Klickrate könnte in Wirklichkeit knapp über \( 8\,\% \) liegen (z. B. bei \( 8{,}5\,\% \)), aber die Stichprobe war nicht groß genug oder das Ergebnis durch Zufall zu niedrig, um dies signifikant nachzuweisen. 4. Fazit: Die Aussage, es sei „sichergestellt“ oder „bewiesen“, ist falsch, da das Risiko eines Fehlers 2. Art nicht kontrolliert wurde.

Die Schlussfolgerung ist mathematisch nicht haltbar. Ein Signifikanztest kann die Nullhypothese nie „beweisen“, sondern sie nur verwerfen oder beibehalten. Wenn \( H_0 \) nicht abgelehnt wird, besteht das Risiko eines Fehlers 2. Art: Das Banner könnte eine Klickrate von über \( 8\,\% \) haben, ohne dass dies in dieser spezifischen Stichprobe deutlich genug wurde.

- Überlege dir genau, was die Nullhypothese \(H_0\) jeweils inhaltlich aussagt. - Ein Fehler 2. Art bedeutet, dass man eine tatsächliche Veränderung (die Alternativhypothese) übersieht. - Welche Hypothese muss abgelehnt werden, damit man von einem „statistischen Nachweis“ sprechen kann? - Bedenke die Kosten: Wann ist das Risiko einer Fehlentscheidung finanziell oder sicherheitstechnisch schwerwiegender?

1. Der linksseitige Test prüft, ob die Daten ausreichen, um die Nullhypothese „keine Verbesserung“ (\(p \geq 0{,}12\)) zugunsten der „Verbesserung“ (\(p < 0{,}12\)) abzulehnen. Der rechtsseitige Test würde prüfen, ob das System signifikant schlechter geworden ist (\(p > 0{,}12\)), ausgehend von der Annahme, es sei mindestens so gut wie vorher (\(p \leq 0{,}12\)). 2. Ein Fehler 2. Art beim linksseitigen Test bedeutet, dass man die Nullhypothese \(H_0: p \geq 0{,}12\) beibehält, obwohl das neue System tatsächlich besser ist (\(H_1\) ist wahr). Konsequenz: Man erkennt den Sicherheitsvorteil des neuen Systems nicht und verzichtet fälschlicherweise auf dessen Einführung, wodurch vermeidbare Risiken bestehen bleiben. 3. Es sollte der linksseitige Test mit \(H_0: p \geq 0{,}12\) durchgeführt werden. Da eine Investition nur bei nachgewiesenem Erfolg getätigt werden soll, muss die „Erfolgsmeldung“ (\(p < 0{,}12\)) die Alternativhypothese sein. So wird sichergestellt, dass die Wahrscheinlichkeit, das System fälschlicherweise als wirksam einzustufen (Fehler 1. Art), auf das Signifikanzniveau \(\alpha\) begrenzt ist.

1. Linksseitig: Test auf Verbesserung. Rechtsseitig: Test auf Verschlechterung. 2. Fehler 2. Art: Ein wirksames System wird fälschlicherweise als unwirksam angesehen und nicht eingeführt. 3. Der linksseitige Test (\(H_0: p \geq 0{,}12\)), da hier die zu beweisende Verbesserung in der Alternativhypothese steht und somit die Irrtumswahrscheinlichkeit für eine Fehlentscheidung zugunsten des Systems kontrolliert wird.

- Wann genau würde das Institut das Siegel vergeben – bei besonders hohen oder besonders niedrigen Trefferzahlen? - Erinnere dich daran, dass bei einem rechtsseitigen Test der Ablehnungsbereich am oberen Ende der Skala liegt. - Wie hängen die Größe des Ablehnungsbereichs und das Risiko zusammen, eine falsche Entscheidung zu treffen? - Was passiert mit der „Grenze“, wenn man strengere Anforderungen an die statistische Sicherheit stellt?

1. Hypothesen formulieren: Um eine Steigerung nachzuweisen, wird die Nullhypothese \(H_0: p \le 0{,}8\) (Status quo) gegen die Gegenhypothese \(H_1: p > 0{,}8\) getestet. 2. Ablehnungsbereich bestimmen: \(X\) ist unter \(H_0\) binomialverteilt mit \(n = 80\) und \(p = 0{,}8\). Gesucht ist der Bereich \(\{k, \dots, 80\}\), sodass \(P(X \ge k) \le 0{,}05\). Dies ist gleichbedeutend mit \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\). 3. Berechnung: \(P(X \le 70) \approx 0{,}9713\) und \(P(X \le 69) \approx 0{,}9442\). Somit muss \(k-1 = 70\) sein, also \(k = 71\). Der Ablehnungsbereich ist \(A = \{71, 72, \dots, 80\}\). 4. Fehler erster Art: \(P(X \ge 71) = 1 - P(X \le 70) \approx 1 - 0{,}9713 = 0{,}0287\), also ca. \(2{,}87\,\%\). 5. Auswirkung des Signifikanzniveaus: Ein kleineres \(\alpha\) (z. B. \(1\,\%\)) verkleinert den Ablehnungsbereich, da die Hürde für eine Ablehnung von \(H_0\) höher wird. Für das Institut bedeutet dies eine geringere Wahrscheinlichkeit, das Siegel fälschlicherweise zu vergeben (Fehler 1. Art), wenn die Erfolgsquote in Wahrheit nur \(80\,\%\) beträgt.

a) \(H_0: p \le 0{,}8\); \(H_1: p > 0{,}8\) b) \(A = \{71, 72, \dots, 80\}\) c) \(P(\text{Fehler 1. Art}) \approx 2{,}87\,\%\) d) Der Ablehnungsbereich wird kleiner (die Untergrenze \(k\) steigt). Das Institut verringert damit das Risiko, das Qualitätssiegel irrtümlich zu vergeben, obwohl die Quote nur bei \(80\,\%\) liegt.

- Was ist das „schlimmere“ Szenario für den Stadtrat: Geld auszugeben für etwas, das keiner nutzt, oder eine Chance zu verpassen? - Wann liefert eine Stichprobe ein starkes Indiz dafür, dass das Interesse groß ist? - Vergleiche das Ergebnis der Stichprobe mit dem berechneten kritischen Wert.

1. Begründung der Nullhypothese: Die Wahl von \(H_0: p \leq 0{,}30\) stellt sicher, dass die Einführung des Systems (Ablehnung von \(H_0\)) nur bei einer signifikant hohen Zustimmung erfolgt. Das Risiko einer irrtümlichen Einführung (Fehler 1. Art) wird so auf das Signifikanzniveau von \(5\,\%\) begrenzt. Dies schützt die Stadt vor Fehlinvestitionen bei zu geringem Interesse. 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs für den rechtsseitigen Test: \(n = 250\), \(p_0 = 0{,}3\), \(\alpha = 0{,}05\). Gesucht ist das kleinste \(k\), sodass \(P(X \geq k) \leq 0{,}05\) bzw. \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}95\). 3. Berechnung mit der Binomialverteilung: \(P(X \leq 87) \approx 0{,}9563\) und \(P(X \leq 86) \approx 0{,}9423\). Daraus folgt \(k-1 = 87\), also \(k = 88\). Der Ablehnungsbereich ist \(\mathcal{A} = \{88; 89; \dots; 250\}\). 4. Entscheidung für den konkreten Wert: Der Wert \(x = 85\) liegt nicht im Ablehnungsbereich \(\mathcal{A}\). Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt. Der Stadtrat entscheidet sich gegen die Förderung des Projekts.

a) Durch diese Wahl wird das Risiko einer irrtümlichen Einführung des Systems (Fehler 1. Art) auf maximal \(5\,\%\) kontrolliert. b) Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn mindestens \(88\) Personen in der Stichprobe Interesse zeigen (\(\mathcal{A} = \{88; \dots; 250\}\)). c) Da \(85 < 88\), wird die Nullhypothese nicht abgelehnt. Der Stadtrat führt das System nicht ein.