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- Welche Koordinate ändert ihr Vorzeichen, wenn man an einer Ebene spiegelt, in der die anderen beiden Achsen liegen? - Was passiert mit den Vorzeichen der Koordinaten bei einer Spiegelung am Punkt \((0|0|0)\)? - Wie berechnet man mathematisch die Mitte zwischen zwei Werten?

1. Bei der Spiegelung an der \(x_2x_3\)-Ebene wird die \(x_1\)-Koordinate invertiert, während \(x_2\) und \(x_3\) gleich bleiben. Für \(A(5 | -4 | 2)\) ergibt sich \(A'(-5 | -4 | 2)\). 2. Bei der Spiegelung am Ursprung werden alle drei Koordinaten invertiert. Für \(B(-1 | 6 | -3)\) ergibt sich \(B'(1 | -6 | 3)\). 3. Die Koordinaten des Mittelpunkts \(M\) berechnen sich durch den Mittelwert der Koordinaten von \(A'\) und \(B'\): \(x_M = \frac{-5 + 1}{2} = -2\), \(y_M = \frac{-4 - 6}{2} = -5\), \(z_M = \frac{2 + 3}{2} = 2{,}5\). Somit ist \(M(-2 | -5 | 2{,}5)\).

1. \(A'(-5 | -4 | 2)\) 2. \(B'(1 | -6 | 3)\) 3. \(M(-2 | -5 | 2{,}5)\)

- Bei einer Ebenenspiegelung wechselt nur die Koordinate senkrecht zur Ebene das Vorzeichen. - Bei einer Punktspiegelung am Ursprung wechseln alle Vorzeichen. - Bei einer \(180^\circ\)-Drehung um eine Koordinatenachse bleibt die Achsenkoordinate gleich; die beiden anderen wechseln das Vorzeichen.

1. Bei einer Spiegelung an der \(x_2x_3\)-Ebene wechseln nur die \(x_1\)-Koordinaten das Vorzeichen. Daher sind \(A(5\mid-2\mid4)\) und \(B(-5\mid-2\mid4)\) spiegelbildlich. 2. Bei einer Punktspiegelung am Ursprung wechseln alle drei Koordinaten das Vorzeichen. Aus \(D(-5\mid2\mid-4)\) wird \((5\mid-2\mid4)=A\). 3. Bei einer Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_2\)-Achse bleibt die \(x_2\)-Koordinate unverändert, während \(x_1\) und \(x_3\) ihr Vorzeichen wechseln. Aus \(A(5\mid-2\mid4)\) wird daher \(E(-5\mid-2\mid-4)\).

a) \(A\) und \(B\). b) \(A\); alle drei Koordinaten wechseln das Vorzeichen. c) \(E(-5\mid-2\mid-4)\).

- Vergleiche die einzelnen Koordinatenwerte der beiden Punkte. Welche sind gleich, welche unterscheiden sich? - Wo liegt der Mittelpunkt der Strecke zwischen den beiden Punkten? - Erinnere dich an die Symmetrieebenen im Koordinatensystem. Welche Ebene liegt genau „zwischen“ den Punkten? - Wie verändern sich die Koordinaten eines Punktes, wenn man ihn an einer der Koordinatenebenen spiegelt?

1. Vergleich der Koordinaten von \(A\) und \(B\): Die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten sind identisch (\(7\) bzw. \(2\)), während die \(z\)-Koordinaten (\(-5\) und \(5\)) zueinander entgegengesetzt sind. 2. Bestimmung des Mittelpunkts: Der Mittelpunkt der Strecke \(AB\) ist \(M(7| 2| 0)\). Dieser Punkt liegt in der \(xy\)-Ebene. 3. Geometrische Beziehung: Die Verbindungsstrecke \(AB\) steht senkrecht auf der \(xy\)-Ebene und wird von dieser im Punkt \(M\) halbiert. Somit liegen die Punkte \(A\) und \(B\) spiegelbildlich zur \(xy\)-Ebene (Gleichung \(z=0\)). 4. Verallgemeinerung für \(P\) und \(Q\): Da nur das Vorzeichen der \(z\)-Koordinate wechselt, sind alle Punktepaare dieser Form symmetrisch bezüglich der \(xy\)-Ebene.

Die Punkte \(A\) und \(B\) liegen spiegelbildlich zur \(xy\)-Ebene (auch Ebene \(z=0\) genannt). Allgemein gilt für alle Punkte \(P(x| y| z)\) und \(Q(x| y| -z)\), dass sie symmetrisch bezüglich der \(xy\)-Ebene liegen.

- Was fällt dir an den \(x\)-Koordinaten der Punkte auf? - Welche Koordinaten müssen null sein, damit ein Punkt auf einer der Koordinatenachsen liegt? - Überlege, welche Ebene durch die Bedingung \(x = 0\) beschrieben wird. - Schau dir an, welche Koordinaten sich entlang der Strecke verändern und welche gleich bleiben.

1. Berechnung des Mittelpunkts durch Mittelwertbildung der Koordinaten: \(M\left(\frac{0+0}{2} \big| \frac{5+(-5)}{2} \big| \frac{2+2}{2}\right) = (0 | 0 | 2)\). 2. Da die \(x\)-Koordinate von \(P\) und \(Q\) null ist, liegen beide Punkte in der \(yz\)-Ebene. Da beim Mittelpunkt \(M\) sowohl die \(x\)- als auch die \(y\)-Koordinate null sind, liegt dieser auf der \(z\)-Achse. 3. Die Strecke \(\overline{PQ}\) verläuft parallel zur \(y\)-Achse, da sich nur die \(y\)-Koordinate ändert, während \(x = 0\) und \(z = 2\) konstant bleiben. Zudem liegt die gesamte Strecke in der \(yz\)-Ebene.

1. \(M(0 | 0 | 2)\) 2. \(P\) und \(Q\) liegen in der \(yz\)-Ebene; \(M\) liegt auf der \(z\)-Achse. 3. Die Strecke \(\overline{PQ}\) liegt in der \(yz\)-Ebene und verläuft parallel zur \(y\)-Achse.

- Welche Koordinaten sind fest vorgegeben und welche können sich verändern? - Überlege dir, ob die Menge der Punkte eine Linie oder eine Fläche darstellt. - Wie verhält sich eine Punktmenge im Raum, wenn eine der Koordinaten immer denselben Wert hat?

1. Analyse der Koordinatenwerte: Die \(y\)-Koordinate ist für alle Punkte fest auf \(5\) gesetzt, während die \(x\)- und \(z\)-Koordinaten unabhängig voneinander alle reellen Werte annehmen können. 2. Bestimmung der geometrischen Form: Da zwei Koordinaten variabel sind, beschreibt die Punktmenge eine Ebene im Raum. 3. Bestimmung der Orientierung: Da die \(y\)-Koordinate konstant ist, verläuft die Ebene parallel zur \(xz\)-Koordinatenebene (auch \(x_1x_3\)-Ebene genannt). 4. Spezifizierung der Lage: Die Ebene hat überall den Abstand \(5\) zur \(xz\)-Ebene und schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \((0|5|0)\).

Es handelt sich um eine Ebene, die parallel zur \(xz\)-Koordinatenebene im Abstand von \(5\) Einheiten verläuft.

- Die konstante dritte Koordinate legt eine Ebene fest. - Die Bedingung \(x=y\) beschreibt eine zweite Ebene. - Der Schnitt zweier nicht paralleler Ebenen ist eine Gerade. - Unterscheide „parallel zur Winkelhalbierenden“ von „Winkelhalbierende der Achsen“.

1. Da die dritte Koordinate stets \(2\) ist, liegt die Punktmenge in der Ebene \(z=2\). 2. Wegen \(x=y\) liegt sie zugleich in der vertikalen Ebene \(x=y\). 3. Der Schnitt dieser beiden Ebenen ist eine Gerade. Sie verläuft durch \((0\mid0\mid2)\) und besitzt den Richtungsvektor \(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\). 4. Die Gerade ist parallel zur Winkelhalbierenden \(y=x\) in der \(xy\)-Ebene. Sie selbst ist jedoch keine Winkelhalbierende der \(x\)- und \(y\)-Achse, da diese Achsen in der Ebene \(z=0\) liegen.

Die Punkte bilden die Gerade \(\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\), \(k\in\mathbb{R}\). Sie ist der Schnitt der Ebenen \(z=2\) und \(x=y\) und verläuft parallel zur Geraden \(y=x\) in der \(xy\)-Ebene.

- Was passiert mit einer Koordinate, wenn du einen Punkt direkt auf eine der „Wände“ (Ebenen) des Koordinatensystems drückst? - Stell dir vor, welche Koordinate angibt, wie weit ein Punkt von einer bestimmten Ebene entfernt ist. - Überlege, ob ein Abstand negativ sein kann.

1. Bei der orthogonalen Projektion eines Punktes auf eine Koordinatenebene wird die Koordinate, die nicht in der Ebene liegt, auf Null gesetzt. Für die \(x_1x_2\)-Ebene ist dies die \(x_3\)-Koordinate, für die \(x_1x_3\)-Ebene die \(x_2\)-Koordinate und für die \(x_2x_3\)-Ebene die \(x_1\)-Koordinate. 2. Die Bildpunkte lauten somit: \(P_{12}(-4|7|0)\), \(P_{13}(-4|0|12)\) und \(P_{23}(0|7|12)\). 3. Der Abstand eines Punktes zu einer Koordinatenebene entspricht dem Betrag der Koordinate, die senkrecht auf dieser Ebene steht. 4. Abstand zur \(x_1x_2\)-Ebene: \(d_1 = |12| = 12\). 5. Abstand zur \(x_1x_3\)-Ebene: \(d_2 = |7| = 7\). 6. Abstand zur \(x_2x_3\)-Ebene: \(d_3 = |-4| = 4\).

a) \(P_{12}(-4|7|0)\), \(P_{13}(-4|0|12)\), \(P_{23}(0|7|12)\) b) Abstand zur \(x_1x_2\)-Ebene: \(12\); Abstand zur \(x_1x_3\)-Ebene: \(7\); Abstand zur \(x_2x_3\)-Ebene: \(4\)

- Stell dir vor, welche Koordinaten sich frei verändern dürfen und welche fest vorgegeben sind. - Wie viele Richtungen kannst du entlangwandern, wenn nur eine Koordinate fest ist? Entsteht dabei eine Linie oder eine Fläche? - Überlege dir, welche Achsen eine Ebene aufspannen, wenn eine der Koordinaten immer Null ist. - Was bedeutet es für die Lage im Raum, wenn ein Punkt zwei Koordinaten hat, die immer Null sind?

1. Eine Bedingung der Form \(x_i = c\) legt eine Ebene fest, die parallel zur Koordinatenebene der anderen beiden Achsen verläuft. Ist \(c=0\), handelt es sich um die Koordinatenebene selbst. 2. Zwei Bedingungen der Form \(x_i = a\) und \(x_j = b\) legen eine Gerade fest, die parallel zur verbleibenden Koordinatenachse verläuft. Sind beide Konstanten Null, handelt es sich um die Achse selbst. 3. Ergebnisse: a) Ebene parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene im Abstand \(3{,}5\) in positiver \(x_1\)-Richtung. b) Die \(x_1\)-Achse (da alle Punkte die Form \((x_1|0|0)\) haben). c) Gerade parallel zur \(x_3\)-Achse, die durch den Punkt \((-2|5|0)\) verläuft. d) Die \(x_1x_2\)-Ebene.

a) Ebene parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene bei \(x_1 = 3{,}5\). b) Die \(x_1\)-Achse. c) Gerade parallel zur \(x_3\)-Achse durch den Punkt \((-2|5|0)\). d) Die \(x_1x_2\)-Ebene.

- Bei einer \(180^\circ\)-Drehung um die \(x_2\)-Achse bleibt die \(x_2\)-Koordinate gleich. - Bei einer Punktspiegelung am Ursprung wechseln alle drei Vorzeichen. - Vergleiche die Regeln koordinatenweise.

1. Bei einer Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_2\)-Achse bleibt die \(x_2\)-Koordinate unverändert, während \(x_1\) und \(x_3\) ihre Vorzeichen wechseln. Daher gilt \(P'(-2\mid3\mid-4)\), \(Q'(1\mid0\mid-5)\) und \(R'(0\mid-2\mid-1)\). 2. Bei einer Punktspiegelung am Ursprung wechseln alle drei Koordinaten das Vorzeichen. Daher gilt \(P''(-2\mid-3\mid-4)\), \(Q''(1\mid0\mid-5)\) und \(R''(0\mid2\mid-1)\). 3. Die Koordinaten \(x_1\) und \(x_3\) wechseln bei beiden Abbildungen das Vorzeichen. Die Koordinate \(x_2\) bleibt bei der Drehung unverändert, wechselt aber bei der Punktspiegelung das Vorzeichen.

a) \(P'(-2\mid3\mid-4)\), \(Q'(1\mid0\mid-5)\), \(R'(0\mid-2\mid-1)\). b) \(P''(-2\mid-3\mid-4)\), \(Q''(1\mid0\mid-5)\), \(R''(0\mid2\mid-1)\). c) \(x_1\) und \(x_3\) wechseln in beiden Fällen das Vorzeichen; \(x_2\) nur bei der Punktspiegelung.

- Stelle dir vor, wie du vom Punkt \(A\) entlang der Kanten des Quaders zum Punkt \(G\) läufst. - Addiere die Längen der Kanten zu den entsprechenden Koordinaten des Startpunkts. - Achte darauf, welche Kante in welche Achsenrichtung verläuft.

1. Identifikation der Verschiebungen: Um von Punkt \(A(2|1|0)\) zur gegenüberliegenden Ecke \(G\) zu gelangen, geht man in \(x_1\)-Richtung um \(a = 6\), in \(x_2\)-Richtung um \(b = 4\) und in \(x_3\)-Richtung um \(c = 3\). 2. Berechnung der Koordinaten von \(G\): \(x_{1,G} = 2 + 6 = 8\) \(x_{2,G} = 1 + 4 = 5\) \(x_{3,G} = 0 + 3 = 3\) 3. Ergebnis: Der Punkt \(G\) hat die Koordinaten \((8|5|3)\).

Die Koordinaten der Ecke \(G\) lauten \((8|5|3)\).

- Wie verändern sich die Koordinaten eines Punktes, wenn man ihn senkrecht nach oben verschiebt? - Für die Entfernung zwischen zwei Punkten im Raum kannst du den Betrag des Verbindungsvektors berechnen. - Überlege dir, welche Fläche als Grundfläche dient und wie man deren Inhalt berechnet.

1. Bestimmung der Koordinaten: Da das Prisma die Höhe \(10\) in \(x_3\)-Richtung hat, addiert man \(10\) zur dritten Koordinate der Grundpunkte: \(D(0|0|10)\), \(E(8|0|10)\), \(F(0|6|10)\). 2. Berechnung der Länge der Strecke \(BF\): Der Vektor \(\vec{BF}\) ist \(\vec{F} - \vec{B} = \begin{pmatrix} 0-8 \\ 6-0 \\ 10-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}\). Die Länge beträgt \(|\vec{BF}| = \sqrt{(-8)^2 + 6^2 + 10^2} = \sqrt{64 + 36 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14{,}14\,\text{LE}\). 3. Volumen des Prismas: Die Grundfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen \(8\) und \(6\). \(G = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24\,\text{FE}\) (Flächeneinheiten). Das Volumen ist \(V = G \cdot h = 24 \cdot 10 = 240\,\text{VE}\) (Volumeneinheiten).

a) Die Koordinaten sind \(D(0|0|10)\), \(E(8|0|10)\) und \(F(0|6|10)\). b) Die Länge der Strecke \(BF\) beträgt exakt \(10\sqrt{2}\,\text{LE}\) und näherungsweise \(14{,}14\,\text{LE}\). c) Das Volumen des Prismas beträgt \(240\,\text{VE}\).

- Überlege dir zuerst, wie viele Koordinaten fest vorgegeben sind und wie viele frei wählbar bleiben. - Was bedeutet es für die Lage eines Punktes, wenn eine Koordinate immer Null ist? - Wenn zwei Koordinaten fest sind und eine variabel ist, welche Form entsteht dann im Raum? - Erinnere dich an die Bedeutung von Betragsstrichen bei Gleichungen.

1. Für Teilaufgabe a): Da \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\) fest vorgegeben sind, während \(x_3\) jeden beliebigen Wert annehmen kann, handelt es sich um eine Gerade. Diese verläuft parallel zur \(x_3\)-Achse durch den Punkt \((0|4|0)\) und liegt vollständig in der \(x_2x_3\)-Koordinatenebene. 2. Für Teilaufgabe b): Die Bedingung \(x_1 = 0\) legt fest, dass alle Punkte in der \(x_2x_3\)-Ebene liegen. Die zusätzliche Bedingung \(x_2 = x_3\) beschreibt innerhalb dieser Ebene die Winkelhalbierende zwischen der positiven \(x_2\)- und der positiven \(x_3\)-Achse (sowie der entsprechenden negativen Achsenabschnitte). Es handelt sich somit um eine Gerade durch den Koordinatenursprung. 3. Für Teilaufgabe c): Die Gleichung \(|x_2| = 5\) ist äquivalent zu \(x_2 = 5\) oder \(x_2 = -5\). Da \(x_1\) und \(x_3\) beliebig sind, beschreibt dies zwei Ebenen. Beide Ebenen liegen parallel zur \(x_1x_3\)-Koordinatenebene und haben den Abstand \(5\) von dieser.

a) Gerade parallel zur \(x_3\)-Achse durch den Punkt \((0|4|0)\). b) Winkelhalbierende zwischen der \(x_2\)- und \(x_3\)-Achse in der \(x_2x_3\)-Koordinatenebene (Gerade durch den Ursprung). c) Zwei zueinander parallele Ebenen, die parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene im Abstand von \(5\) Einheiten verlaufen (festgelegt durch \(x_2 = 5\) und \(x_2 = -5\)).

- Stelle dir vor, welche Punkte die Bedingung \(x_1 = x_2 = x_3\) erfüllen könnten, indem du einfache Zahlen einsetzt. - Wie verändert sich die Lage eines Punktes, wenn du nur eine Koordinate variierst? - Betrachte bei Teilaufgabe c) erst die Einschränkung durch \(x_3 = 0\) und zeichne dir die Bedingung für \(x_1\) und \(x_2\) in einem zweidimensionalen System vor.

1. Für Teilaufgabe a): Alle drei Koordinaten müssen identisch sein. Dies beschreibt die Gerade durch den Koordinatenursprung \((0|0|0)\) mit dem Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\), die beispielsweise auch durch den Punkt \((1|1|1)\) verläuft. Sie schließt mit allen drei Koordinatenachsen denselben Winkel ein. 2. Für Teilaufgabe b): Die Koordinaten \(x_1\) und \(x_3\) sind auf feste Werte gesetzt, während \(x_2\) beliebig wählbar ist. Dies definiert eine Gerade, die parallel zur \(x_2\)-Achse verläuft und durch den Punkt \((-1|0|2)\) geht. 3. Für Teilaufgabe c): Die Bedingung \(x_3 = 0\) bedeutet, dass alle Punkte in der \(x_1x_2\)-Ebene liegen. Die Gleichung \(x_1 + x_2 = 4\) beschreibt innerhalb dieser Ebene eine Gerade. Sie schneidet die \(x_1\)-Achse bei \((4|0|0)\) und die \(x_2\)-Achse bei \((0|4|0)\).

a) Die Gerade durch den Koordinatenursprung mit dem Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) (alle Punkte mit drei gleichen Koordinaten). b) Eine Gerade parallel zur \(x_2\)-Achse durch den Punkt \((-1|0|2)\). c) Eine Gerade in der \(x_1x_2\)-Ebene, welche die Achsen bei \((4|0|0)\) und \((0|4|0)\) schneidet.

- Gehe schrittweise vor und überlege dir für jede Ebene, welche Koordinate „senkrecht“ dazu steht und somit ihr Vorzeichen ändert. - Notiere dir die Koordinaten nach jedem Schritt sorgfältig. - Betrachte am Ende die Differenz oder das Verhältnis der Vorzeichen zwischen dem allerersten und dem allerletzten Punkt.

1. Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene: Die \(x_3\)-Koordinate ändert ihr Vorzeichen. Aus \(P(3 | 8 | -4)\) wird \(P_1(3 | 8 | 4)\). 2. Spiegelung an der \(x_1x_3\)-Ebene: Die \(x_2\)-Koordinate ändert ihr Vorzeichen. Aus \(P_1(3 | 8 | 4)\) wird \(P_2(3 | -8 | 4)\). 3. Spiegelung an der \(x_2x_3\)-Ebene: Die \(x_1\)-Koordinate ändert ihr Vorzeichen. Aus \(P_2(3 | -8 | 4)\) wird \(P_3(-3 | -8 | 4)\). 4. Vergleich von \(P(3 | 8 | -4)\) und \(P_3(-3 | -8 | 4)\): Alle drei Koordinaten haben ihr Vorzeichen gewechselt. Dies entspricht einer Spiegelung am Koordinatenursprung.

1. \(P_1(3 | 8 | 4)\) 2. \(P_2(3 | -8 | 4)\) 3. \(P_3(-3 | -8 | 4)\) 4. Spiegelung am Koordinatenursprung.

- Führe die beiden Ebenenspiegelungen nacheinander aus. - Vergleiche Anfangs- und Endkoordinaten. - In drei Dimensionen entspricht das Vorzeichenmuster mit einer unveränderten Achsenkoordinate einer \(180^\circ\)-Drehung um diese Achse, nicht einer üblichen Achsenspiegelung.

1. Bei der Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene bleibt \(p_1\) und \(p_2\) erhalten, während \(p_3\) das Vorzeichen wechselt. Daher ist \(P'(p_1\mid p_2\mid-p_3)\). 2. Bei der anschließenden Spiegelung an der \(x_1x_3\)-Ebene wechselt die \(x_2\)-Koordinate das Vorzeichen. Daher ist \(P''(p_1\mid-p_2\mid-p_3)\). 3. Im Vergleich zu \(P\) bleibt die \(x_1\)-Koordinate unverändert, während \(x_2\) und \(x_3\) ihre Vorzeichen wechseln. Dies ist die Koordinatenregel einer Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_1\)-Achse.

a) \(P'(p_1\mid p_2\mid-p_3)\). b) \(P''(p_1\mid-p_2\mid-p_3)\). c) Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_1\)-Achse; Regel: \((p_1,p_2,p_3)\mapsto(p_1,-p_2,-p_3)\).

- Prüfe, welche Koordinate unverändert bleibt. - Betrachte die Projektion in die \(xy\)-Ebene. - Zwei Vorzeichenwechsel bei unveränderter Achsenkoordinate beschreiben eine \(180^\circ\)-Drehung um diese Achse.

1. Die \(z\)-Koordinaten von \(C\) und \(D\) sind gleich. Die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten besitzen jeweils entgegengesetzte Vorzeichen. 2. Beide Punkte liegen in der Ebene \(z=6\). Innerhalb dieser Ebene sind sie punktsymmetrisch zum Punkt \((0\mid0\mid6)\). 3. Im dreidimensionalen Raum führt eine Drehung um \(180^\circ\) um die \(z\)-Achse \((x,y,z)\) auf \((-x,-y,z)\) ab. Daher wird \(C\) auf \(D\) und allgemein \(M\) auf \(N\) abgebildet. 4. Die Bezeichnung „Spiegelung an der \(z\)-Achse“ ist im dreidimensionalen Raum nicht die standardmäßige eindeutige Bezeichnung für diese Abbildung; gemeint ist die \(180^\circ\)-Drehung.

a) \(C\) und \(D\) liegen in der Ebene \(z=6\) punktsymmetrisch zu \((0\mid0\mid6)\). b) Die Abbildung ist eine Drehung um \(180^\circ\) um die \(z\)-Achse: \((x,y,z)\mapsto(-x,-y,z)\).

- Vergleiche die \(z\)-Koordinaten der beiden Punkte. Was bedeutet ein gemeinsamer \(z\)-Wert für die Ausrichtung im Raum? - Welche geometrische Bedeutung hat es, wenn in einem Punkt zwei Koordinaten den Wert null haben? - Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei Punkten und was sagt dessen \(z\)-Komponente über die Neigung zur \(xy\)-Ebene aus?

1. Berechnung des Mittelpunkts: \(M\left(\frac{3+(-3)}{2} \big| \frac{4+(-4)}{2} \big| \frac{-1+(-1)}{2}\right) = (0 | 0 | -1)\). 2. Da beide Punkte die gleiche \(z\)-Koordinate \(z = -1\) besitzen, ist die \(z\)-Komponente des Richtungsvektors \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}\) gleich \(0\). Dies bedeutet, dass die Strecke in der Ebene \(z = -1\) liegt; diese Ebene verläuft parallel zur \(xy\)-Ebene \(z = 0\). 3. Der Mittelpunkt \(M(0 | 0 | -1)\) liegt auf der \(z\)-Achse, da seine \(x\)- und \(y\)-Koordinaten den Wert null haben.

1. \(M(0 | 0 | -1)\) 2. Da \(z_A = z_B = -1\) gilt, ist der Höhenunterschied null, woraus die Parallelität zur \(xy\)-Ebene folgt. 3. Der Mittelpunkt \(M\) liegt auf der \(z\)-Achse.

- Wenn du die Projektion auf eine Ebene kennst, welche Koordinaten des ursprünglichen Punktes sind dann bereits festgelegt? - Wie hängt der Abstand eines Punktes zur \(x_2x_3\)-Ebene mit seiner \(x_1\)-Koordinate zusammen? - Was bleibt von den Koordinaten eines Punktes übrig, wenn man ihn auf eine Achse projiziert?

1. Da \(Q'(0|5|-3)\) die Projektion auf die \(x_2x_3\)-Ebene ist, müssen die \(x_2\)- und \(x_3\)-Koordinaten von \(Q\) mit denen von \(Q'\) übereinstimmen: \(x_2 = 5\) und \(x_3 = -3\). 2. Der Abstand zur \(x_2x_3\)-Ebene wird durch den Betrag der \(x_1\)-Koordinate bestimmt: \(|x_1| = 8\). Daraus folgen \(x_1 = 8\) oder \(x_1 = -8\). Die Punkte sind \(Q_1(8|5|-3)\) und \(Q_2(-8|5|-3)\). 3. Für Aufgabenteil b) wird \(Q(8|5|-3)\) verwendet. Bei der Projektion auf die \(x_3\)-Achse werden alle Koordinaten außer der \(x_3\)-Koordinate zu Null. 4. Die Projektion auf die \(x_3\)-Achse ergibt somit den Punkt \(Q''(0|0|-3)\).

a) \(Q_1(8|5|-3)\) und \(Q_2(-8|5|-3)\) b) \(Q''(0|0|-3)\)

- Welcher Wert muss Null sein, damit ein Punkt genau auf einer der „Wände“ des Koordinatensystems liegt? - Wenn ein Punkt auf einer Achse liegt, wie viele seiner Koordinaten müssen dann zwingend Null sein? - Überlege bei Parallelität: Welche Koordinate ändert sich nicht, wenn du dich parallel zu einer Ebene oder Achse bewegst? - Nutze die Koordinaten der gegebenen Punkte \(S\) und \(A\) als feste Werte für deine Bedingungen.

1. In einer Koordinatenebene ist die Koordinate der Achse, die nicht am Namen der Ebene beteiligt ist, immer Null. Für die \(x_1x_3\)-Ebene muss also \(x_2 = 0\) gelten. 2. Auf einer Koordinatenachse sind die beiden Koordinaten der anderen Achsen Null. Für die \(x_3\)-Achse bedeutet dies \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 0\). 3. Bei Parallelität zu Koordinatenebenen oder -achsen werden die entsprechenden Koordinaten auf die Werte des gegebenen Punktes fixiert. 4. Ergebnisse: a) \(x_2 = 0\). b) \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 0\). c) \(x_3 = -4\). d) \(x_1 = 3\) und \(x_3 = 1\).

a) \(x_2 = 0\) b) \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 0\) c) \(x_3 = -4\) d) \(x_1 = 3\) und \(x_3 = 1\)

- Welche Koordinate ändert sich, wenn du einen Punkt an einer der Koordinatenebenen spiegelst? - Wie verhält sich der Bildpunkt zu seinem Originalpunkt bezüglich des Spiegelzentrums? - Überlege dir, wie der Vektor vom Originalpunkt zum Spiegelpunkt aussieht und wie du damit zum Bildpunkt gelangst.

1. Bei der Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene bleiben die \(x_1\)- und die \(x_2\)-Koordinate unverändert, während die \(x_3\)-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Daraus ergeben sich die Bildpunkte: \(A'(5 | -2 | -1)\), \(B'(0 | 4 | 3)\) und \(C'(-3 | 1 | -2)\). 2. Die Spiegelung an einem Punkt \(S\) erfolgt über die Rechenregel \(\vec{x}'' = 2\vec{s} - \vec{x}\). 3. Für \(A\): \(\vec{a}'' = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-5 \\ 4-(-2) \\ 6-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\). 4. Für \(B\): \(\vec{b}'' = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-0 \\ 4-4 \\ 6-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix}\). 5. Für \(C\): \(\vec{c}'' = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-(-3) \\ 4-1 \\ 6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\).

a) \(A'(5 | -2 | -1)\), \(B'(0 | 4 | 3)\), \(C'(-3 | 1 | -2)\) b) \(A''(-3 | 6 | 5)\), \(B''(2 | 0 | 9)\), \(C''(5 | 3 | 4)\)