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- Welche Koordinate ändert ihr Vorzeichen, wenn man an einer Ebene spiegelt, in der die anderen beiden Achsen liegen? - Was passiert mit den Vorzeichen der Koordinaten bei einer Spiegelung am Punkt \((0|0|0)\)? - Wie berechnet man mathematisch die Mitte zwischen zwei Werten?

1. Bei der Spiegelung an der \(x_2x_3\)-Ebene wird die \(x_1\)-Koordinate invertiert, während \(x_2\) und \(x_3\) gleich bleiben. Für \(A(5 | -4 | 2)\) ergibt sich \(A'(-5 | -4 | 2)\). 2. Bei der Spiegelung am Ursprung werden alle drei Koordinaten invertiert. Für \(B(-1 | 6 | -3)\) ergibt sich \(B'(1 | -6 | 3)\). 3. Die Koordinaten des Mittelpunkts \(M\) berechnen sich durch den Mittelwert der Koordinaten von \(A'\) und \(B'\): \(x_M = \frac{-5 + 1}{2} = -2\), \(y_M = \frac{-4 - 6}{2} = -5\), \(z_M = \frac{2 + 3}{2} = 2{,}5\). Somit ist \(M(-2 | -5 | 2{,}5)\).

1. \(A'(-5 | -4 | 2)\) 2. \(B'(1 | -6 | 3)\) 3. \(M(-2 | -5 | 2{,}5)\)

- Welche Koordinate ändert sich, wenn man einen Punkt an einer Koordinatenebene spiegelt? - Überlege, was mit den Vorzeichen der Koordinaten passiert, wenn ein Punkt durch den Nullpunkt auf die andere Seite „wandert“. - Wenn ein Punkt an einer Achse gespiegelt wird, bleibt eine bestimmte Information über seine Position erhalten. Welche könnte das sein? - Vergleiche die Koordinaten paarweise und achte nur auf die Vorzeichen.

1. Symmetrie zur \(x_2x_3\)-Ebene: Die \(x_2\)- und \(x_3\)-Koordinaten müssen identisch sein, während die \(x_1\)-Koordinate das entgegengesetzte Vorzeichen besitzt. Ein Vergleich der Punkte zeigt, dass dies für \(A(5 | -2 | 4)\) und \(B(-5 | -2 | 4)\) zutrifft. 2. Spiegelung am Ursprung: Hierbei müssen alle drei Koordinaten ihr Vorzeichen umkehren. Für \(D(-5 | 2 | -4)\) ergibt sich durch Vorzeichenumkehr aller Komponenten \((5 | -2 | 4)\), was exakt den Koordinaten von Punkt \(A\) entspricht. 3. Spiegelung an der \(x_2\)-Achse: Bei einer Achsenspiegelung bleibt die Koordinate der entsprechenden Achse (hier \(x_2\)) unverändert, während die anderen beiden Koordinaten (\(x_1\) und \(x_3\)) ihr Vorzeichen ändern. Aus \(A(5 | -2 | 4)\) wird somit \(E(-5 | -2 | -4)\).

a) Die Punkte \(A\) und \(B\) liegen symmetrisch zur \(x_2x_3\)-Ebene. b) Der Punkt \(A\) ist das Bild von \(D\); alle Koordinaten von \(A\) haben das jeweils entgegengesetzte Vorzeichen zu denen von \(D\). c) \(E(-5 | -2 | -4)\)

- Vergleiche die einzelnen Koordinatenwerte der beiden Punkte. Welche sind gleich, welche unterscheiden sich? - Wo liegt der Mittelpunkt der Strecke zwischen den beiden Punkten? - Erinnere dich an die Symmetrieebenen im Koordinatensystem. Welche Ebene liegt genau „zwischen“ den Punkten? - Wie verändern sich die Koordinaten eines Punktes, wenn man ihn an einer der Koordinatenebenen spiegelt?

1. Vergleich der Koordinaten von \(A\) und \(B\): Die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten sind identisch (\(7\) bzw. \(2\)), während die \(z\)-Koordinaten (\(-5\) und \(5\)) zueinander entgegengesetzt sind. 2. Bestimmung des Mittelpunkts: Der Mittelpunkt der Strecke \(AB\) ist \(M(7| 2| 0)\). Dieser Punkt liegt in der \(xy\)-Ebene. 3. Geometrische Beziehung: Die Verbindungsstrecke \(AB\) steht senkrecht auf der \(xy\)-Ebene und wird von dieser im Punkt \(M\) halbiert. Somit liegen die Punkte \(A\) und \(B\) spiegelbildlich zur \(xy\)-Ebene (Gleichung \(z=0\)). 4. Verallgemeinerung für \(P\) und \(Q\): Da nur das Vorzeichen der \(z\)-Koordinate wechselt, sind alle Punktepaare dieser Form symmetrisch bezüglich der \(xy\)-Ebene.

Die Punkte \(A\) und \(B\) liegen spiegelbildlich zur \(xy\)-Ebene (auch Ebene \(z=0\) genannt). Allgemein gilt für alle Punkte \(P(x| y| z)\) und \(Q(x| y| -z)\), dass sie symmetrisch bezüglich der \(xy\)-Ebene liegen.

- Was fällt dir an den \(x\)-Koordinaten der Punkte auf? - Welche Koordinaten müssen null sein, damit ein Punkt auf einer der Koordinatenachsen liegt? - Überlege, welche Ebene durch die Bedingung \(x = 0\) beschrieben wird. - Schau dir an, welche Koordinaten sich entlang der Strecke verändern und welche gleich bleiben.

1. Berechnung des Mittelpunkts durch Mittelwertbildung der Koordinaten: \(M\left(\frac{0+0}{2} \big| \frac{5+(-5)}{2} \big| \frac{2+2}{2}\right) = (0 | 0 | 2)\). 2. Da die \(x\)-Koordinate von \(P\) und \(Q\) null ist, liegen beide Punkte in der \(yz\)-Ebene. Da beim Mittelpunkt \(M\) sowohl die \(x\)- als auch die \(y\)-Koordinate null sind, liegt dieser auf der \(z\)-Achse. 3. Die Strecke \(\overline{PQ}\) verläuft parallel zur \(y\)-Achse, da sich nur die \(y\)-Koordinate ändert, während \(x = 0\) und \(z = 2\) konstant bleiben. Zudem liegt die gesamte Strecke in der \(yz\)-Ebene.

1. \(M(0 | 0 | 2)\) 2. \(P\) und \(Q\) liegen in der \(yz\)-Ebene; \(M\) liegt auf der \(z\)-Achse. 3. Die Strecke \(\overline{PQ}\) liegt in der \(yz\)-Ebene und verläuft parallel zur \(y\)-Achse.

- Welche Koordinaten sind fest vorgegeben und welche können sich verändern? - Überlege dir, ob die Menge der Punkte eine Linie oder eine Fläche darstellt. - Wie verhält sich eine Punktmenge im Raum, wenn eine der Koordinaten immer denselben Wert hat?

1. Analyse der Koordinatenwerte: Die \(y\)-Koordinate ist für alle Punkte fest auf \(5\) gesetzt, während die \(x\)- und \(z\)-Koordinaten unabhängig voneinander alle reellen Werte annehmen können. 2. Bestimmung der geometrischen Form: Da zwei Koordinaten variabel sind, beschreibt die Punktmenge eine Ebene im Raum. 3. Bestimmung der Orientierung: Da die \(y\)-Koordinate konstant ist, verläuft die Ebene parallel zur \(xz\)-Koordinatenebene (auch \(x_1x_3\)-Ebene genannt). 4. Spezifizierung der Lage: Die Ebene hat überall den Abstand \(5\) zur \(xz\)-Ebene und schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \((0|5|0)\).

Es handelt sich um eine Ebene, die parallel zur \(xz\)-Koordinatenebene im Abstand von \(5\) Einheiten verläuft.

- Was passiert mit einer Koordinate, wenn du einen Punkt direkt auf eine der „Wände“ (Ebenen) des Koordinatensystems drückst? - Stell dir vor, welche Koordinate angibt, wie weit ein Punkt von einer bestimmten Ebene entfernt ist. - Überlege, ob ein Abstand negativ sein kann.

1. Bei der orthogonalen Projektion eines Punktes auf eine Koordinatenebene wird die Koordinate, die nicht in der Ebene liegt, auf Null gesetzt. Für die \(x_1x_2\)-Ebene ist dies die \(x_3\)-Koordinate, für die \(x_1x_3\)-Ebene die \(x_2\)-Koordinate und für die \(x_2x_3\)-Ebene die \(x_1\)-Koordinate. 2. Die Bildpunkte lauten somit: \(P_{12}(-4|7|0)\), \(P_{13}(-4|0|12)\) und \(P_{23}(0|7|12)\). 3. Der Abstand eines Punktes zu einer Koordinatenebene entspricht dem Betrag der Koordinate, die senkrecht auf dieser Ebene steht. 4. Abstand zur \(x_1x_2\)-Ebene: \(d_1 = |12| = 12\). 5. Abstand zur \(x_1x_3\)-Ebene: \(d_2 = |7| = 7\). 6. Abstand zur \(x_2x_3\)-Ebene: \(d_3 = |-4| = 4\).

a) \(P_{12}(-4|7|0)\), \(P_{13}(-4|0|12)\), \(P_{23}(0|7|12)\) b) Abstand zur \(x_1x_2\)-Ebene: \(12\); Abstand zur \(x_1x_3\)-Ebene: \(7\); Abstand zur \(x_2x_3\)-Ebene: \(4\)

- Stell dir vor, welche Koordinaten sich frei verändern dürfen und welche fest vorgegeben sind. - Wie viele Richtungen kannst du entlangwandern, wenn nur eine Koordinate fest ist? Entsteht dabei eine Linie oder eine Fläche? - Überlege dir, welche Achsen eine Ebene aufspannen, wenn eine der Koordinaten immer Null ist. - Was bedeutet es für die Lage im Raum, wenn ein Punkt zwei Koordinaten hat, die immer Null sind?

1. Eine Bedingung der Form \(x_i = c\) legt eine Ebene fest, die parallel zur Koordinatenebene der anderen beiden Achsen verläuft. Ist \(c=0\), handelt es sich um die Koordinatenebene selbst. 2. Zwei Bedingungen der Form \(x_i = a\) und \(x_j = b\) legen eine Gerade fest, die parallel zur verbleibenden Koordinatenachse verläuft. Sind beide Konstanten Null, handelt es sich um die Achse selbst. 3. Ergebnisse: a) Ebene parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene im Abstand \(3{,}5\) in positiver \(x_1\)-Richtung. b) Die \(x_1\)-Achse (da alle Punkte die Form \((x_1|0|0)\) haben). c) Gerade parallel zur \(x_3\)-Achse, die durch den Punkt \((-2|5|0)\) verläuft. d) Die \(x_1x_2\)-Ebene.

a) Ebene parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene bei \(x_1 = 3{,}5\). b) Die \(x_1\)-Achse. c) Gerade parallel zur \(x_3\)-Achse durch den Punkt \((-2|5|0)\). d) Die \(x_1x_2\)-Ebene.

- Was passiert mit den Koordinaten, wenn ein Punkt um eine Achse gedreht oder an ihr gespiegelt wird? - Welche Besonderheit hat der Ursprung als Spiegelzentrum im Vergleich zu einer Achse? - Schau dir die Vorzeichen der einzelnen Koordinaten vor und nach der Spiegelung genau an.

1. Spiegelung an der \(x_2\)-Achse: Die \(x_2\)-Koordinate bleibt gleich, während die Vorzeichen von \(x_1\) und \(x_3\) umgekehrt werden. Ergebnisse: \(P'(-2 | 3 | -4)\), \(Q'(1 | 0 | -5)\), \(R'(0 | -2 | -1)\). 2. Spiegelung am Ursprung: Alle drei Koordinaten ändern ihr Vorzeichen. Ergebnisse: \(P''(-2 | -3 | -4)\), \(Q''(1 | 0 | -5)\), \(R''(0 | 2 | -1)\). 3. Vergleich: Die Koordinaten \(x_1\) und \(x_3\) verhalten sich bei beiden Abbildungen identisch (Vorzeichenwechsel). Die Koordinate \(x_2\) bleibt bei der Achsenspiegelung gleich, wechselt aber bei der Punktspiegelung das Vorzeichen.

a) \(P'(-2 | 3 | -4)\), \(Q'(1 | 0 | -5)\), \(R'(0 | -2 | -1)\) b) \(P''(-2 | -3 | -4)\), \(Q''(1 | 0 | -5)\), \(R''(0 | 2 | -1)\) c) \(x_1\) und \(x_3\) ändern in beiden Fällen das Vorzeichen. \(x_2\) bleibt in a) gleich und ändert in b) das Vorzeichen.

- Überlege dir zuerst, wie viele Koordinaten fest vorgegeben sind und wie viele frei wählbar bleiben. - Was bedeutet es für die Lage eines Punktes, wenn eine Koordinate immer Null ist? - Wenn zwei Koordinaten fest sind und eine variabel ist, welche Form entsteht dann im Raum? - Erinnere dich an die Bedeutung von Betragsstrichen bei Gleichungen.

1. Für Teilaufgabe a): Da \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\) fest vorgegeben sind, während \(x_3\) jeden beliebigen Wert annehmen kann, handelt es sich um eine Gerade. Diese verläuft parallel zur \(x_3\)-Achse durch den Punkt \((0|4|0)\) und liegt vollständig in der \(x_2x_3\)-Koordinatenebene. 2. Für Teilaufgabe b): Die Bedingung \(x_1 = 0\) legt fest, dass alle Punkte in der \(x_2x_3\)-Ebene liegen. Die zusätzliche Bedingung \(x_2 = x_3\) beschreibt innerhalb dieser Ebene die Winkelhalbierende zwischen der positiven \(x_2\)- und der positiven \(x_3\)-Achse (sowie der entsprechenden negativen Achsenabschnitte). Es handelt sich somit um eine Gerade durch den Koordinatenursprung. 3. Für Teilaufgabe c): Die Gleichung \(|x_2| = 5\) ist äquivalent zu \(x_2 = 5\) oder \(x_2 = -5\). Da \(x_1\) und \(x_3\) beliebig sind, beschreibt dies zwei Ebenen. Beide Ebenen liegen parallel zur \(x_1x_3\)-Koordinatenebene und haben den Abstand \(5\) von dieser.

a) Gerade parallel zur \(x_3\)-Achse durch den Punkt \((0|4|0)\). b) Winkelhalbierende zwischen der \(x_2\)- und \(x_3\)-Achse in der \(x_2x_3\)-Koordinatenebene (Gerade durch den Ursprung). c) Zwei zueinander parallele Ebenen, die parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene im Abstand von \(5\) Einheiten verlaufen (festgelegt durch \(x_2 = 5\) und \(x_2 = -5\)).

- Stelle dir vor, welche Punkte die Bedingung \(x_1 = x_2 = x_3\) erfüllen könnten, indem du einfache Zahlen einsetzt. - Wie verändert sich die Lage eines Punktes, wenn du nur eine Koordinate variierst? - Betrachte bei Teilaufgabe c) erst die Einschränkung durch \(x_3 = 0\) und zeichne dir die Bedingung für \(x_1\) und \(x_2\) in einem zweidimensionalen System vor.

1. Für Teilaufgabe a): Alle drei Koordinaten müssen identisch sein. Dies beschreibt die Gerade durch den Koordinatenursprung \((0|0|0)\) mit dem Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\), die beispielsweise auch durch den Punkt \((1|1|1)\) verläuft. Sie schließt mit allen drei Koordinatenachsen denselben Winkel ein. 2. Für Teilaufgabe b): Die Koordinaten \(x_1\) und \(x_3\) sind auf feste Werte gesetzt, während \(x_2\) beliebig wählbar ist. Dies definiert eine Gerade, die parallel zur \(x_2\)-Achse verläuft und durch den Punkt \((-1|0|2)\) geht. 3. Für Teilaufgabe c): Die Bedingung \(x_3 = 0\) bedeutet, dass alle Punkte in der \(x_1x_2\)-Ebene liegen. Die Gleichung \(x_1 + x_2 = 4\) beschreibt innerhalb dieser Ebene eine Gerade. Sie schneidet die \(x_1\)-Achse bei \((4|0|0)\) und die \(x_2\)-Achse bei \((0|4|0)\).

a) Die Gerade durch den Koordinatenursprung mit dem Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) (alle Punkte mit drei gleichen Koordinaten). b) Eine Gerade parallel zur \(x_2\)-Achse durch den Punkt \((-1|0|2)\). c) Eine Gerade in der \(x_1x_2\)-Ebene, welche die Achsen bei \((4|0|0)\) und \((0|4|0)\) schneidet.

- Gehe schrittweise vor und überlege dir für jede Ebene, welche Koordinate „senkrecht“ dazu steht und somit ihr Vorzeichen ändert. - Notiere dir die Koordinaten nach jedem Schritt sorgfältig. - Betrachte am Ende die Differenz oder das Verhältnis der Vorzeichen zwischen dem allerersten und dem allerletzten Punkt.

1. Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene: Die \(x_3\)-Koordinate ändert ihr Vorzeichen. Aus \(P(3 | 8 | -4)\) wird \(P_1(3 | 8 | 4)\). 2. Spiegelung an der \(x_1x_3\)-Ebene: Die \(x_2\)-Koordinate ändert ihr Vorzeichen. Aus \(P_1(3 | 8 | 4)\) wird \(P_2(3 | -8 | 4)\). 3. Spiegelung an der \(x_2x_3\)-Ebene: Die \(x_1\)-Koordinate ändert ihr Vorzeichen. Aus \(P_2(3 | -8 | 4)\) wird \(P_3(-3 | -8 | 4)\). 4. Vergleich von \(P(3 | 8 | -4)\) und \(P_3(-3 | -8 | 4)\): Alle drei Koordinaten haben ihr Vorzeichen gewechselt. Dies entspricht einer Spiegelung am Koordinatenursprung.

1. \(P_1(3 | 8 | 4)\) 2. \(P_2(3 | -8 | 4)\) 3. \(P_3(-3 | -8 | 4)\) 4. Spiegelung am Koordinatenursprung.

- Stell dir vor, du klappst einen Punkt über eine der „Wände“ (Ebenen) des Koordinatensystems. Was passiert mit dem Abstand zur Wand? - Führe die beiden Spiegelungen nacheinander durch und notiere dir nach jedem Schritt die neuen Koordinaten. - Vergleiche das Endergebnis \(P''\) direkt mit dem Startpunkt \(P\). Welche Koordinate ist gleich geblieben, welche haben sich verändert? - Gibt es eine Symmetrie-Operation, die genau dieses Muster an Vorzeichenänderungen erzeugt?

1. Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene: Die Koordinaten in der Ebene (\(x_1, x_2\)) bleiben gleich, die Koordinate senkrecht dazu (\(x_3\)) ändert ihr Vorzeichen. Resultat: \(P'(p_1 | p_2 | -p_3)\). 2. Spiegelung an der \(x_1x_3\)-Ebene: Analog bleibt die \(x_2\)-Koordinate nicht erhalten, sondern wechselt das Vorzeichen, während \(x_1\) und \(x_3\) gleich bleiben. Angewandt auf \(P'\) ergibt dies \(P''(p_1 | -p_2 | -p_3)\). 3. Vergleich von \(P(p_1 | p_2 | p_3)\) und \(P''(p_1 | -p_2 | -p_3)\): Die \(x_1\)-Koordinate ist unverändert, während \(x_2\) und \(x_3\) ihre Vorzeichen gewechselt haben. Dies entspricht der Definition einer Spiegelung an der \(x_1\)-Achse. 4. Allgemeine Regel: Bei einer Spiegelung an der \(x_k\)-Achse behält die \(x_k\)-Koordinate ihr Vorzeichen bei, während die beiden anderen Koordinaten mit \(-1\) multipliziert werden.

a) \(P'(p_1 | p_2 | -p_3)\) b) \(P''(p_1 | -p_2 | -p_3)\) c) Es handelt sich um eine Spiegelung an der \(x_1\)-Achse. Regel: Bei einer Spiegelung an einer Koordinatenachse bleibt die Koordinate dieser Achse gleich, während die anderen beiden Koordinaten ihre Vorzeichen ändern.

- Welche Koordinate bleibt unverändert und was bedeutet das für die Höhe der Punkte im Raum? - Betrachte die Projektion der Punkte in die \(xy\)-Ebene. Welchen Bezug haben die Punkte dort zum Ursprung? - Wenn zwei Koordinaten ihr Vorzeichen ändern, eine aber gleich bleibt, handelt es sich um eine Symmetrie zu einer Achse oder einem Punkt? - Stell dir vor, du würdest den einen Punkt um eine der Achsen drehen, um zum anderen zu gelangen.

1. Analyse der Koordinaten von \(C\) und \(D\): Die \(z\)-Koordinaten sind mit \(6\) identisch. Die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten sind jeweils die Gegenzahlen voneinander (\(4\) zu \(-4\) und \(3\) zu \(-3\)). 2. Lagebestimmung: Beide Punkte liegen in der Ebene \(z=6\), die parallel zur \(xy\)-Ebene verläuft. In dieser Ebene liegen sie punktsymmetrisch zum Punkt \((0| 0| 6)\). 3. Identifikation der Symmetrieachse: Der Punkt \((0| 0| 6)\) liegt auf der \(z\)-Achse. Die Verbindungsstrecke \(CD\) wird von der \(z\)-Achse rechtwinklig halbiert. 4. Geometrische Abbildung für \(M\) und \(N\): Die Abbildung entspricht einer Spiegelung an der \(z\)-Achse (Achsensymmetrie zur \(z\)-Achse) oder einer Drehung um \(180^{\circ}\) um die \(z\)-Achse.

a) Die Punkte \(C\) und \(D\) liegen achsensymmetrisch zur \(z\)-Achse. b) Die geometrische Abbildung ist eine Achsenspiegelung an der \(z\)-Achse (oder eine Drehung um \(180^{\circ}\) um die \(z\)-Achse). Die Punkte \(M\) und \(N\) liegen symmetrisch bezüglich der \(z\)-Achse.

- Vergleiche die \(z\)-Koordinaten der beiden Punkte. Was bedeutet ein gemeinsamer \(z\)-Wert für die Ausrichtung im Raum? - Welche geometrische Bedeutung hat es, wenn in einem Punkt zwei Koordinaten den Wert null haben? - Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei Punkten und was sagt dessen \(z\)-Komponente über die Neigung zur \(xy\)-Ebene aus?

1. Berechnung des Mittelpunkts: \(M\left(\frac{3+(-3)}{2} \big| \frac{4+(-4)}{2} \big| \frac{-1+(-1)}{2}\right) = (0 | 0 | -1)\). 2. Da beide Punkte die gleiche \(z\)-Koordinate \(z = -1\) besitzen, ist die \(z\)-Komponente des Richtungsvektors \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}\) gleich \(0\). Dies bedeutet, dass die Strecke in einer Ebene parallel zur \(xy\)-Ebene (Gleichung \(z = 0\)) liegt. 3. Der Mittelpunkt \(M(0 | 0 | -1)\) liegt auf der \(z\)-Achse, da seine \(x\)- und \(y\)-Koordinaten den Wert null haben.

1. \(M(0 | 0 | -1)\) 2. Da \(z_A = z_B = -1\) gilt, ist der Höhenunterschied null, woraus die Parallelität zur \(xy\)-Ebene folgt. 3. Der Mittelpunkt \(M\) liegt auf der \(z\)-Achse.

- Was bedeutet es für die Position im Raum, wenn die \(z\)-Koordinate immer \(2\) ist? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der \(x\)- und der \(y\)-Koordinate? - Setze testweise verschiedene Werte für \(k\) ein (zum Beispiel \(k=0\), \(k=1\), \(k=-1\)) und schaue, wo diese Punkte liegen.

1. Analyse der \(z\)-Koordinate: Da \(z=2\) für alle Punkte konstant ist, liegt die gesamte Punktmenge in einer Ebene parallel zur \(xy\)-Grundebene (in der „Höhe“ \(2\)). 2. Analyse der \(x\)- und \(y\)-Koordinaten: Die Bedingung \(x=k\) und \(y=k\) bedeutet, dass \(x\) und \(y\) für jeden Punkt identisch sind (\(x=y\)). 3. Bestimmung der geometrischen Form: Da nur ein Parameter (\(k\)) frei wählbar ist, handelt es sich um eine Gerade. 4. Bestimmung der Orientierung: Die Punkte bilden die Winkelhalbierende der \(x\)- und \(y\)-Achsenrichtungen innerhalb der Ebene \(z=2\). Die Gerade verläuft unter anderem durch \((0|0|2)\) und \((1|1|2)\).

Die Punkte bilden eine Gerade, die in der Ebene \(z=2\) liegt und dort die Winkelhalbierende des ersten und dritten Quadranten (bezogen auf die \(x\)- und \(y\)-Achsen) darstellt.

- Wenn du die Projektion auf eine Ebene kennst, welche Koordinaten des ursprünglichen Punktes sind dann bereits festgelegt? - Wie hängt der Abstand eines Punktes zur \(x_2x_3\)-Ebene mit seiner \(x_1\)-Koordinate zusammen? - Was bleibt von den Koordinaten eines Punktes übrig, wenn man ihn auf eine Achse projiziert?

1. Da \(Q'(0|5|-3)\) die Projektion auf die \(x_2x_3\)-Ebene ist, müssen die \(x_2\)- und \(x_3\)-Koordinaten von \(Q\) mit denen von \(Q'\) übereinstimmen: \(x_2 = 5\) und \(x_3 = -3\). 2. Der Abstand zur \(x_2x_3\)-Ebene wird durch den Betrag der \(x_1\)-Koordinate bestimmt: \(|x_1| = 8\). Daraus folgen \(x_1 = 8\) oder \(x_1 = -8\). Die Punkte sind \(Q_1(8|5|-3)\) und \(Q_2(-8|5|-3)\). 3. Für Aufgabenteil b) wird \(Q(8|5|-3)\) verwendet. Bei der Projektion auf die \(x_3\)-Achse werden alle Koordinaten außer der \(x_3\)-Koordinate zu Null. 4. Die Projektion auf die \(x_3\)-Achse ergibt somit den Punkt \(Q''(0|0|-3)\).

a) \(Q_1(8|5|-3)\) und \(Q_2(-8|5|-3)\) b) \(Q''(0|0|-3)\)

- Welcher Wert muss Null sein, damit ein Punkt genau auf einer der „Wände“ des Koordinatensystems liegt? - Wenn ein Punkt auf einer Achse liegt, wie viele seiner Koordinaten müssen dann zwingend Null sein? - Überlege bei Parallelität: Welche Koordinate ändert sich nicht, wenn du dich parallel zu einer Ebene oder Achse bewegst? - Nutze die Koordinaten der gegebenen Punkte \(S\) und \(A\) als feste Werte für deine Bedingungen.

1. In einer Koordinatenebene ist die Koordinate der Achse, die nicht am Namen der Ebene beteiligt ist, immer Null. Für die \(x_1x_3\)-Ebene muss also \(x_2 = 0\) gelten. 2. Auf einer Koordinatenachse sind die beiden Koordinaten der anderen Achsen Null. Für die \(x_3\)-Achse bedeutet dies \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 0\). 3. Bei Parallelität zu Koordinatenebenen oder -achsen werden die entsprechenden Koordinaten auf die Werte des gegebenen Punktes fixiert. 4. Ergebnisse: a) \(x_2 = 0\). b) \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 0\). c) \(x_3 = -4\). d) \(x_1 = 3\) und \(x_3 = 1\).

a) \(x_2 = 0\) b) \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 0\) c) \(x_3 = -4\) d) \(x_1 = 3\) und \(x_3 = 1\)

- Welche Koordinate ändert sich, wenn du einen Punkt an einer der Koordinatenebenen spiegelst? - Wie verhält sich der Bildpunkt zu seinem Originalpunkt bezüglich des Spiegelzentrums? - Überlege dir, wie der Vektor vom Originalpunkt zum Spiegelpunkt aussieht und wie du damit zum Bildpunkt gelangst.

1. Bei der Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene bleibt die \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinate unverändert, während die \(x_3\)-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Daraus ergeben sich die Bildpunkte: \(A'(5 | -2 | -1)\), \(B'(0 | 4 | 3)\) und \(C'(-3 | 1 | -2)\). 2. Die Spiegelung an einem Punkt \(S\) erfolgt über die Rechenregel \(\vec{x}'' = 2\vec{s} - \vec{x}\). 3. Für \(A\): \(\vec{a}'' = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-5 \\ 4-(-2) \\ 6-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\). 4. Für \(B\): \(\vec{b}'' = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-0 \\ 4-4 \\ 6-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix}\). 5. Für \(C\): \(\vec{c}'' = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-(-3) \\ 4-1 \\ 6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\).

a) \(A'(5 | -2 | -1)\), \(B'(0 | 4 | 3)\), \(C'(-3 | 1 | -2)\) b) \(A''(-3 | 6 | 5)\), \(B''(2 | 0 | 9)\), \(C''(5 | 3 | 4)\)