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Punkte im dreidimensionalen Koordinatensystem

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Schwierigkeit: 1 – 5

43591912

Ein Quader mit den Kantenlängen \(a=6\), \(b=4\) und \(c=3\) Längeneinheiten (\(\text{LE}\)) ist in einem dreidimensionalen Koordinatensystem platziert. Von der Ecke \(A(2\mid1\mid0)\) aus verläuft die Kante der Länge \(a\) in positive \(x_1\)-Richtung, die Kante der Länge \(b\) in positive \(x_2\)-Richtung und die Kante der Länge \(c\) in positive \(x_3\)-Richtung. Bestimme die Koordinaten der gegenüberliegenden Ecke \(G\).

Denkanstöße

- Stelle dir den Weg von \(A\) zur gegenüberliegenden Ecke entlang der drei Kantenrichtungen vor. - Ordne jeder Kantenlänge die passende positive Koordinatenrichtung zu. - Prüfe anschließend jede Koordinate von \(G\) getrennt.

Lösung

1. Um von \(A(2\mid1\mid0)\) zur gegenüberliegenden Ecke \(G\) zu gelangen, wird in \(x_1\)-Richtung um \(6\), in \(x_2\)-Richtung um \(4\) und in \(x_3\)-Richtung um \(3\) verschoben. 2. Daher gilt \(x_{1,G}=2+6=8\), \(x_{2,G}=1+4=5\) und \(x_{3,G}=0+3=3\). 3. Somit ist \(G(8\mid5\mid3)\).

Antwort

\(G(8\mid5\mid3)\)

55202512

Der Punkt \(P(-2|5|1)\) wird um \(3\) Einheiten parallel zur positiven \(x_3\)-Achse verschoben. Bestimme den Bildpunkt \(Q\) und nenne die Koordinaten, die sich dabei nicht ändern.

Denkanstöße

- Welche Koordinate gehört zur Achse, zu der die Bewegung parallel verläuft? - Verändere nur diese eine Koordinate. - Prüfe anschließend, ob die beiden übrigen Koordinaten mit denen von \(P\) übereinstimmen.

Lösung

1. Bei einer Verschiebung parallel zur \(x_3\)-Achse bleiben \(x_1\) und \(x_2\) unverändert. 2. Die dritte Koordinate wird um \(3\) erhöht: \(1+3=4\). Daher ist \(Q(-2|5|4)\).

Antwort

\(Q(-2|5|4)\); die \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinate bleiben unverändert.

55710412

Der Punkt \(P(2\mid-5\mid1)\) wird an der \(x_1x_3\)-Ebene gespiegelt. Gib die Koordinaten des Bildpunkts \(P'\) an und nenne die Koordinate, deren Vorzeichen sich ändert.

Denkanstöße

- Welche Koordinate ist auf der \(x_1x_3\)-Ebene immer gleich null? - Welche Koordinaten liegen innerhalb der Spiegelebene und bleiben deshalb unverändert? - Vergleiche anschließend die Ausgangskoordinaten mit den Bildkoordinaten.

Lösung

1. In der \(x_1x_3\)-Ebene gilt \(x_2=0\). Bei einer Spiegelung an dieser Ebene bleiben \(x_1\) und \(x_3\) unverändert. 2. Nur die zweite Koordinate wechselt ihr Vorzeichen. Daher ist \(P'(2\mid5\mid1)\).

Antwort

\(P'(2\mid5\mid1)\); das Vorzeichen der zweiten Koordinate \(x_2\) ändert sich.

55710512

Der Punkt \(Q(-3\mid4\mid2)\) wird orthogonal auf die \(x_2x_3\)-Ebene projiziert. Bestimme die Koordinaten des Projektionspunkts \(Q'\).

Denkanstöße

- Welche Koordinate ist für jeden Punkt der \(x_2x_3\)-Ebene gleich null? - Welche beiden Koordinaten werden durch die Projektion nicht verändert? - Übertrage diese Regel auf den gegebenen Punkt.

Lösung

1. Auf der \(x_2x_3\)-Ebene gilt \(x_1=0\). 2. Bei der orthogonalen Projektion auf diese Ebene bleiben die zweite und dritte Koordinate erhalten. 3. Damit ist \(Q'(0\mid4\mid2)\).

Antwort

\(Q'(0\mid4\mid2)\)

42771312

Gegeben sind die Punkte \(A(5 | -4 | 2)\) und \(B(-1 | 6 | -3)\). 1. Bestimme die Koordinaten des Bildpunktes \(A'\), der durch Spiegelung von \(A\) an der \(x_2x_3\)-Ebene entsteht. 2. Bestimme die Koordinaten des Bildpunktes \(B'\), der durch Spiegelung von \(B\) am Koordinatenursprung entsteht. 3. Berechne die Koordinaten des Mittelpunkts \(M\) der Strecke \(A'B'\).

Denkanstöße

- Welche Koordinate ändert ihr Vorzeichen, wenn man an einer Ebene spiegelt, in der die anderen beiden Achsen liegen? - Was passiert mit den Vorzeichen der Koordinaten bei einer Spiegelung am Punkt \((0|0|0)\)? - Wie berechnet man mathematisch die Mitte zwischen zwei Werten?

Lösung

1. Bei der Spiegelung an der \(x_2x_3\)-Ebene wird die \(x_1\)-Koordinate invertiert, während \(x_2\) und \(x_3\) gleich bleiben. Für \(A(5 | -4 | 2)\) ergibt sich \(A'(-5 | -4 | 2)\). 2. Bei der Spiegelung am Ursprung werden alle drei Koordinaten invertiert. Für \(B(-1 | 6 | -3)\) ergibt sich \(B'(1 | -6 | 3)\). 3. Die Koordinaten des Mittelpunkts \(M\) berechnen sich durch den Mittelwert der Koordinaten von \(A'\) und \(B'\): \(x_M = \frac{-5 + 1}{2} = -2\), \(y_M = \frac{-4 - 6}{2} = -5\), \(z_M = \frac{2 + 3}{2} = 2{,}5\). Somit ist \(M(-2 | -5 | 2{,}5)\).

Antwort

1. \(A'(-5 | -4 | 2)\) 2. \(B'(1 | -6 | 3)\) 3. \(M(-2 | -5 | 2{,}5)\)

42771512

Gegeben sind die Punkte \(A(5\mid-2\mid4)\), \(B(-5\mid-2\mid4)\), \(C(5\mid2\mid-4)\) und \(D(-5\mid2\mid-4)\). a) Untersuche, welche Punktpaare bezüglich der \(x_2x_3\)-Ebene spiegelbildlich liegen. Begründe mit den Koordinaten. b) Einer der Punkte \(A\), \(B\) oder \(C\) ist das Bild von \(D\) bei einer Punktspiegelung am Ursprung. Bestimme ihn und erkläre die Koordinatenregel. c) Bestimme die Koordinaten des Punktes \(E\), der durch eine Drehung von \(A\) um \(180^\circ\) um die \(x_2\)-Achse entsteht.

Denkanstöße

- Vergleiche bei Teil a) die Koordinaten aller Punktpaare und achte darauf, welche Koordinate zur genannten Ebene senkrecht steht. - Prüfe bei Teil b), welcher der angebotenen Punkte zu \(D\) bezüglich des Ursprungs symmetrisch liegt. - Überlege bei Teil c), welche Koordinate bei einer Drehung um die \(x_2\)-Achse ihre Lage zur Drehachse nicht verändert.

Lösung

1. Bei einer Spiegelung an der \(x_2x_3\)-Ebene wechselt nur die \(x_1\)-Koordinate das Vorzeichen. Daher sind sowohl \(A(5\mid-2\mid4)\) und \(B(-5\mid-2\mid4)\) als auch \(C(5\mid2\mid-4)\) und \(D(-5\mid2\mid-4)\) spiegelbildlich. 2. Bei einer Punktspiegelung am Ursprung wechseln alle drei Koordinaten das Vorzeichen. Aus \(D(-5\mid2\mid-4)\) wird \((5\mid-2\mid4)=A\). 3. Bei einer Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_2\)-Achse bleibt die \(x_2\)-Koordinate unverändert, während \(x_1\) und \(x_3\) ihr Vorzeichen wechseln. Aus \(A(5\mid-2\mid4)\) wird daher \(E(-5\mid-2\mid-4)\).

Antwort

a) \(A\) und \(B\) sowie \(C\) und \(D\). b) \(A\); alle drei Koordinaten wechseln das Vorzeichen. c) \(E(-5\mid-2\mid-4)\).

42772512

a) Gegeben sind die Punkte \(A(7\mid2\mid-5)\) und \(B(7\mid2\mid5)\). Beschreibe die gegenseitige Lage dieser beiden Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem. b) Verallgemeinere deine Beschreibung für beliebige Punkte der Form \(P(x_1\mid x_2\mid x_3)\) und \(Q(x_1\mid x_2\mid -x_3)\) mit \(x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}\).

Denkanstöße

- Vergleiche die drei Koordinatenwerte der beiden Punkte einzeln. - Bestimme, in welcher Koordinatenebene der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke liegt. - Überlege, welche Koordinate sich bei einer Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene verändert.

Lösung

1. Die \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinaten von \(A\) und \(B\) sind identisch, während die \(x_3\)-Koordinaten entgegengesetzte Vorzeichen besitzen. 2. Der Mittelpunkt der Strecke \(AB\) ist \(M(7\mid2\mid0)\). Dieser Punkt liegt in der \(x_1x_2\)-Ebene. 3. Die Verbindungsstrecke \(AB\) steht senkrecht auf der \(x_1x_2\)-Ebene und wird von ihr im Punkt \(M\) halbiert. Daher liegen \(A\) und \(B\) spiegelbildlich zur \(x_1x_2\)-Ebene mit der Gleichung \(x_3=0\). 4. Allgemein wechseln bei \(P(x_1\mid x_2\mid x_3)\) und \(Q(x_1\mid x_2\mid-x_3)\) nur die Vorzeichen der \(x_3\)-Koordinate. Deshalb sind solche Punktpaare bezüglich der \(x_1x_2\)-Ebene spiegelbildlich.

Antwort

a) Die Punkte \(A\) und \(B\) liegen spiegelbildlich zur \(x_1x_2\)-Ebene. b) Allgemein sind \(P(x_1\mid x_2\mid x_3)\) und \(Q(x_1\mid x_2\mid-x_3)\) bezüglich der \(x_1x_2\)-Ebene spiegelbildlich.

42777912

Gegeben sind die Punkte \(P(0\mid5\mid2)\) und \(Q(0\mid-5\mid2)\). 1. Bestimme die Koordinaten des Mittelpunkts \(M\) der Strecke \(\overline{PQ}\). 2. Beschreibe die besondere Lage der Punkte \(P\) und \(Q\) sowie des Mittelpunkts \(M\) im Koordinatensystem. 3. Welche besondere Lage weist die gesamte Strecke \(\overline{PQ}\) im Raum auf?

Denkanstöße

- Welche Koordinate ist bei beiden gegebenen Punkten null, und welche Koordinatenebene beschreibt das? - Welche zwei Koordinaten müssen null sein, damit ein Punkt auf der \(x_3\)-Achse liegt? - Prüfe für die Strecke, welche Koordinate sich verändert und welche beiden konstant bleiben.

Lösung

1. Der Mittelpunkt ist \(M\left(\frac{0+0}{2}\mid\frac{5+(-5)}{2}\mid\frac{2+2}{2}\right)=(0\mid0\mid2)\). 2. Weil für \(P\) und \(Q\) jeweils \(x_1=0\) gilt, liegen beide Punkte in der \(x_2x_3\)-Ebene. Beim Mittelpunkt \(M\) gilt zusätzlich \(x_2=0\), daher liegt \(M\) auf der \(x_3\)-Achse. 3. Entlang der Strecke ändert sich nur die \(x_2\)-Koordinate; \(x_1=0\) und \(x_3=2\) bleiben konstant. Deshalb verläuft \(\overline{PQ}\) parallel zur \(x_2\)-Achse und vollständig in der \(x_2x_3\)-Ebene.

Antwort

1. \(M(0\mid0\mid2)\) 2. \(P\) und \(Q\) liegen in der \(x_2x_3\)-Ebene; \(M\) liegt auf der \(x_3\)-Achse. 3. \(\overline{PQ}\) liegt in der \(x_2x_3\)-Ebene und verläuft parallel zur \(x_2\)-Achse.

42778012

Betrachte die Punkte \(A(3\mid4\mid-1)\) und \(B(-3\mid-4\mid-1)\). 1. Berechne die Koordinaten des Mittelpunkts \(M\) der Strecke \(\overline{AB}\). 2. Begründe, warum die Strecke \(\overline{AB}\) parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene verläuft. 3. In welcher besonderen Lage befindet sich der Mittelpunkt \(M\) bezüglich des Koordinatensystems?

Denkanstöße

- Vergleiche die \(x_3\)-Koordinaten der beiden Punkte. - Welche Komponente von \(\vec{AB}\) muss null sein, wenn die Strecke parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene verläuft? - Welche beiden Koordinaten sind bei einem Punkt auf der \(x_3\)-Achse null?

Lösung

1. Der Mittelpunkt ist \(M\left(\frac{3+(-3)}{2}\mid\frac{4+(-4)}{2}\mid\frac{-1+(-1)}{2}\right)=(0\mid0\mid-1)\). 2. Beide Punkte besitzen die gleiche \(x_3\)-Koordinate \(-1\). Daher ist die dritte Komponente von \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}-6\\-8\\0\end{pmatrix}\) gleich \(0\). Die Strecke liegt in der Ebene \(x_3=-1\), die parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene mit \(x_3=0\) verläuft. 3. Beim Mittelpunkt \(M(0\mid0\mid-1)\) gilt \(x_1=x_2=0\). Deshalb liegt \(M\) auf der \(x_3\)-Achse.

Antwort

1. \(M(0\mid0\mid-1)\) 2. Wegen \(x_{3,A}=x_{3,B}=-1\) verläuft die Strecke in einer Ebene parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene. 3. \(M\) liegt auf der \(x_3\)-Achse.

42787312

Beschreibe die Lage aller Punkte \(A(x_1\mid5\mid x_3)\) mit \(x_1,x_3\in\mathbb{R}\) im dreidimensionalen Koordinatensystem.

Denkanstöße

- Welche Koordinate ist fest vorgegeben und welche beiden können sich verändern? - Überlege, welche räumliche Punktmenge entsteht, wenn genau eine Koordinate konstant bleibt. - Mit welcher Koordinatenebene hat die gesuchte Ebene dieselben freien Koordinatenrichtungen?

Lösung

1. Die \(x_2\)-Koordinate ist für alle Punkte fest auf \(5\) gesetzt, während \(x_1\) und \(x_3\) unabhängig voneinander alle reellen Werte annehmen können. 2. Weil zwei Koordinaten frei variieren, beschreibt die Punktmenge eine Ebene im Raum. 3. Wegen der konstanten \(x_2\)-Koordinate verläuft diese Ebene parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene. 4. Die Ebene hat den Abstand \(5\) zur \(x_1x_3\)-Ebene und schneidet die \(x_2\)-Achse im Punkt \((0\mid5\mid0)\).

Antwort

Es handelt sich um die Ebene \(x_2=5\). Sie verläuft parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene und hat von ihr den Abstand \(5\).

42787412

Gegeben ist die Menge aller Punkte \(B(k\mid k\mid2)\) mit \(k\in\mathbb{R}\). Beschreibe ihre geometrische Lage im Raum eindeutig.

Denkanstöße

- Welche räumliche Bedingung folgt daraus, dass die dritte Koordinate immer \(2\) ist? - Welche zweite Bedingung drücken die gleichen ersten beiden Koordinaten aus? - Vergleiche zwei verschiedene Parameterwerte und bestimme daraus die gemeinsame Bewegungsrichtung der Punkte.

Lösung

1. Da die dritte Koordinate stets \(2\) ist, liegt die Punktmenge in der Ebene \(x_3=2\). 2. Wegen \(x_1=x_2\) liegt sie zugleich in einer Ebene, die durch die \(x_3\)-Achse verläuft. 3. Der gemeinsame Teil dieser beiden Ebenen ist eine Gerade. Sie verläuft durch \((0\mid0\mid2)\) und besitzt die Richtung \(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\). 4. Damit ist die Gerade parallel zur Winkelhalbierenden \(x_2=x_1\) in der \(x_1x_2\)-Ebene, liegt selbst aber vollständig in der Ebene \(x_3=2\).

Antwort

Die Punkte bilden eine Gerade durch \((0\mid0\mid2)\) mit der Richtung \(\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\). Sie liegt in der Ebene \(x_3=2\) und verläuft parallel zur Winkelhalbierenden \(x_2=x_1\) der \(x_1x_2\)-Ebene.

43026912

Gegeben ist der Punkt \(P(-4|7|12)\) im dreidimensionalen Koordinatensystem. a) Bestimme die Koordinaten der Bildpunkte \(P_{12}\), \(P_{13}\) und \(P_{23}\), die durch orthogonale Projektion von \(P\) auf die \(x_1x_2\)-Ebene, die \(x_1x_3\)-Ebene und die \(x_2x_3\)-Ebene entstehen. b) Berechne den jeweiligen Abstand des Punktes \(P\) zu jeder dieser drei Koordinatenebenen.

Denkanstöße

- Was passiert mit einer Koordinate, wenn du einen Punkt direkt auf eine der „Wände“ (Ebenen) des Koordinatensystems drückst? - Stell dir vor, welche Koordinate angibt, wie weit ein Punkt von einer bestimmten Ebene entfernt ist. - Überlege, ob ein Abstand negativ sein kann.

Lösung

1. Bei der orthogonalen Projektion eines Punktes auf eine Koordinatenebene wird die Koordinate, die nicht in der Ebene liegt, auf Null gesetzt. Für die \(x_1x_2\)-Ebene ist dies die \(x_3\)-Koordinate, für die \(x_1x_3\)-Ebene die \(x_2\)-Koordinate und für die \(x_2x_3\)-Ebene die \(x_1\)-Koordinate. 2. Die Bildpunkte lauten somit: \(P_{12}(-4|7|0)\), \(P_{13}(-4|0|12)\) und \(P_{23}(0|7|12)\). 3. Der Abstand eines Punktes zu einer Koordinatenebene entspricht dem Betrag der Koordinate, die senkrecht auf dieser Ebene steht. 4. Abstand zur \(x_1x_2\)-Ebene: \(d_1 = |12| = 12\). 5. Abstand zur \(x_1x_3\)-Ebene: \(d_2 = |7| = 7\). 6. Abstand zur \(x_2x_3\)-Ebene: \(d_3 = |-4| = 4\).

Antwort

a) \(P_{12}(-4|7|0)\), \(P_{13}(-4|0|12)\), \(P_{23}(0|7|12)\) b) Abstand zur \(x_1x_2\)-Ebene: \(12\); Abstand zur \(x_1x_3\)-Ebene: \(7\); Abstand zur \(x_2x_3\)-Ebene: \(4\)

43027112

Betrachte Punkte \(P(x_1|x_2|x_3)\) im dreidimensionalen Koordinatensystem. Beschreibe die geometrische Form und die Lage der folgenden Punktmengen möglichst genau: a) Alle Punkte, für die gilt: \(x_1 = 3{,}5\). b) Alle Punkte, für die gilt: \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 0\). c) Alle Punkte, für die gilt: \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 5\). d) Alle Punkte, für die gilt: \(x_3 = 0\).

Denkanstöße

- Stell dir vor, welche Koordinaten sich frei verändern dürfen und welche fest vorgegeben sind. - Wie viele Richtungen kannst du entlangwandern, wenn nur eine Koordinate fest ist? Entsteht dabei eine Linie oder eine Fläche? - Überlege dir, welche Achsen eine Ebene aufspannen, wenn eine der Koordinaten immer Null ist. - Was bedeutet es für die Lage im Raum, wenn ein Punkt zwei Koordinaten hat, die immer Null sind?

Lösung

1. Eine Bedingung der Form \(x_i = c\) legt eine Ebene fest, die parallel zur Koordinatenebene der anderen beiden Achsen verläuft. Ist \(c=0\), handelt es sich um die Koordinatenebene selbst. 2. Zwei Bedingungen der Form \(x_i = a\) und \(x_j = b\) legen eine Gerade fest, die parallel zur verbleibenden Koordinatenachse verläuft. Sind beide Konstanten Null, handelt es sich um die Achse selbst. 3. Ergebnisse: a) Ebene parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene im Abstand \(3{,}5\) in positiver \(x_1\)-Richtung. b) Die \(x_1\)-Achse (da alle Punkte die Form \((x_1|0|0)\) haben). c) Gerade parallel zur \(x_3\)-Achse, die durch den Punkt \((-2|5|0)\) verläuft. d) Die \(x_1x_2\)-Ebene.

Antwort

a) Ebene parallel zur \(x_2x_3\)-Ebene bei \(x_1 = 3{,}5\). b) Die \(x_1\)-Achse. c) Gerade parallel zur \(x_3\)-Achse durch den Punkt \((-2|5|0)\). d) Die \(x_1x_2\)-Ebene.

43027212

Bestimme die mathematischen Bedingungen für die Koordinaten \(x_1, x_2\) und \(x_3\), die die Lage der folgenden Punktmengen im Raum beschreiben: a) Alle Punkte, die in der \(x_1x_3\)-Ebene liegen. b) Alle Punkte, die auf der \(x_3\)-Achse liegen. c) Alle Punkte einer Ebene, die parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene verläuft und durch den Punkt \(S(0|0|-4)\) geht. d) Alle Punkte einer Geraden, die parallel zur \(x_2\)-Achse verläuft und den Punkt \(A(3|0|1)\) enthält.

Denkanstöße

- Welcher Wert muss Null sein, damit ein Punkt genau auf einer der „Wände“ des Koordinatensystems liegt? - Wenn ein Punkt auf einer Achse liegt, wie viele seiner Koordinaten müssen dann zwingend Null sein? - Überlege bei Parallelität: Welche Koordinate ändert sich nicht, wenn du dich parallel zu einer Ebene oder Achse bewegst? - Nutze die Koordinaten der gegebenen Punkte \(S\) und \(A\) als feste Werte für deine Bedingungen.

Lösung

1. In einer Koordinatenebene ist die Koordinate der Achse, die nicht am Namen der Ebene beteiligt ist, immer Null. Für die \(x_1x_3\)-Ebene muss also \(x_2 = 0\) gelten. 2. Auf einer Koordinatenachse sind die beiden Koordinaten der anderen Achsen Null. Für die \(x_3\)-Achse bedeutet dies \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 0\). 3. Bei Parallelität zu Koordinatenebenen oder -achsen werden die entsprechenden Koordinaten auf die Werte des gegebenen Punktes fixiert. 4. Ergebnisse: a) \(x_2 = 0\). b) \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 0\). c) \(x_3 = -4\). d) \(x_1 = 3\) und \(x_3 = 1\).

Antwort

a) \(x_2 = 0\) b) \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 0\) c) \(x_3 = -4\) d) \(x_1 = 3\) und \(x_3 = 1\)

43031912

Gegeben sind die Punkte \(A(4 \mid -1 \mid 2)\) und \(S(1 \mid 3 \mid -5)\). a) Bestimme die Koordinaten des Bildpunktes \(A'\), der durch die Spiegelung von \(A\) am Zentrum \(S\) entsteht. b) Der Punkt \(A\) ist der Mittelpunkt der Strecke \(SB\). Berechne die Koordinaten des Punktes \(B\).

Denkanstöße

- Überlege dir, wie der Vektor von einem Punkt zum Spiegelzentrum genutzt werden kann, um zum Bildpunkt zu gelangen. - Wenn ein Punkt die Mitte einer Strecke ist, welche Beziehung besteht dann zwischen den Ortsvektoren der Endpunkte und dem Mittelpunkt? - Du kannst die Punktspiegelung als eine Vektoraddition auffassen: Startpunkt plus zweimal der Verbindungsvektor zum Zentrum.

Lösung

1. Berechnung von \(A'\) durch Punktspiegelung: Der Ortsvektor des Bildpunktes ergibt sich durch \(\vec{a'} = \vec{s} + \vec{AS} = \vec{s} + (\vec{s} - \vec{a}) = 2 \cdot \vec{s} - \vec{a}\). Einsetzen der Werte: \(\vec{a'} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 7 \\ -12 \end{pmatrix}\). Somit ist \(A'(-2 \mid 7 \mid -12)\). 2. Berechnung von \(B\): Da \(A\) der Mittelpunkt von \(SB\) ist, gilt \(\vec{a} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{s} + \vec{b})\). Umstellen nach \(\vec{b}\) liefert \(\vec{b} = 2 \cdot \vec{a} - \vec{s}\). Einsetzen der Werte: \(\vec{b} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -5 \\ 9 \end{pmatrix}\). Somit ist \(B(7 \mid -5 \mid 9)\).

Antwort

a) \(A'(-2 \mid 7 \mid -12)\) b) \(B(7 \mid -5 \mid 9)\)

43032112

Gegeben ist ein Dreieck im Raum mit den Eckpunkten \(A(1|3|0)\), \(B(4|1|2)\) und \(C(2|5|3)\). Dieses Dreieck wird an einem Punkt \(Z(2|2|1)\) gespiegelt. Berechne die Koordinaten der Bildpunkte \(A'\), \(B'\) und \(C'\).

Denkanstöße

- Wie hängen der Punkt, sein Bildpunkt und das Spiegelzentrum zusammen? - Betrachte den Vektor vom Punkt zum Spiegelzentrum. Wo muss der Bildpunkt liegen? - Erinnere dich an die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke.

Lösung

1. Zur Berechnung des Bildpunktes \(X'\) bei einer Spiegelung am Punkt \(Z\) wird die Formel \(\vec{x'} = \vec{z} + \vec{XZ} = \vec{z} + (\vec{z} - \vec{x}) = 2 \cdot \vec{z} - \vec{x}\) verwendet. 2. Berechnung von \(A'\): \(\vec{a'} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der Bildpunkt ist \(A'(3|1|2)\). 3. Berechnung von \(B'\): \(\vec{b'} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). Der Bildpunkt ist \(B'(0|3|0)\). 4. Berechnung von \(C'\): \(\vec{c'} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\). Der Bildpunkt ist \(C'(2|-1|-1)\).

Antwort

Die Bildpunkte sind \(A'(3|1|2)\), \(B'(0|3|0)\) und \(C'(2|-1|-1)\).

43038412

Gegeben ist ein Dreieck mit den Eckpunkten \(P(2\mid3\mid4)\), \(Q(-1\mid0\mid5)\) und \(R(0\mid-2\mid1)\). a) Drehe das Dreieck um \(180^\circ\) um die \(x_2\)-Achse. Gib die Bildpunkte \(P'\), \(Q'\) und \(R'\) an. b) Spiegle das ursprüngliche Dreieck am Koordinatenursprung. Gib die Bildpunkte \(P''\), \(Q''\) und \(R''\) an. c) Vergleiche die Koordinatenregeln beider Abbildungen.

Denkanstöße

- Untersuche für jede Abbildung, welche Koordinate entlang der Drehachse beziehungsweise welche Lage zum Ursprung unverändert bleibt. - Arbeite zunächst mit einem einzigen Eckpunkt und übertrage die gefundene Regel erst danach auf die beiden anderen. - Vergleiche in Teil c) die drei Koordinatenpositionen einzeln, statt die beiden Abbildungen nur als Ganzes zu betrachten.

Lösung

1. Bei einer Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_2\)-Achse bleibt die \(x_2\)-Koordinate unverändert, während \(x_1\) und \(x_3\) ihre Vorzeichen wechseln. Daher gilt \(P'(-2\mid3\mid-4)\), \(Q'(1\mid0\mid-5)\) und \(R'(0\mid-2\mid-1)\). 2. Bei einer Punktspiegelung am Ursprung wechseln alle drei Koordinaten das Vorzeichen. Daher gilt \(P''(-2\mid-3\mid-4)\), \(Q''(1\mid0\mid-5)\) und \(R''(0\mid2\mid-1)\). 3. Die Koordinaten \(x_1\) und \(x_3\) wechseln bei beiden Abbildungen das Vorzeichen. Die Koordinate \(x_2\) bleibt bei der Drehung unverändert, wechselt aber bei der Punktspiegelung das Vorzeichen.

Antwort

a) \(P'(-2\mid3\mid-4)\), \(Q'(1\mid0\mid-5)\), \(R'(0\mid-2\mid-1)\). b) \(P''(-2\mid-3\mid-4)\), \(Q''(1\mid0\mid-5)\), \(R''(0\mid2\mid-1)\). c) \(x_1\) und \(x_3\) wechseln in beiden Fällen das Vorzeichen; \(x_2\) nur bei der Punktspiegelung.

43040512

Der Punkt \(P(4|-3|-1)\) wird zunächst an der \(x_1x_2\)-Ebene und anschließend an der \(x_2x_3\)-Ebene gespiegelt. a) Bestimme den Bildpunkt \(P_1\) nach der ersten Spiegelung. b) Bestimme den Bildpunkt \(P_2\) nach der zweiten Spiegelung. c) Vergleiche \(P_2\) mit \(P\). Welcher \(180^\circ\)-Drehung entspricht die gesamte Abbildung?

Denkanstöße

- Welche Koordinate steht jeweils senkrecht auf der genannten Spiegelebene? - Führe die beiden Spiegelungen nacheinander aus und vergleiche erst danach Ausgangs- und Endpunkt. - Suche in Teil c) nach einer räumlichen Drehung, bei der genau eine Koordinatenachse fest bleibt.

Lösung

1. Bei der Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene wechselt nur die \(x_3\)-Koordinate das Vorzeichen. Daher ist \(P_1(4|-3|1)\). 2. Bei der anschließenden Spiegelung an der \(x_2x_3\)-Ebene wechselt nur die \(x_1\)-Koordinate das Vorzeichen. Daher ist \(P_2(-4|-3|1)\). 3. Gegenüber \(P\) haben \(x_1\) und \(x_3\) ihr Vorzeichen gewechselt, während \(x_2\) unverändert ist. Diese Koordinatenregel entspricht einer Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_2\)-Achse.

Antwort

a) \(P_1(4|-3|1)\) b) \(P_2(-4|-3|1)\) c) Die Gesamtabbildung entspricht einer Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_2\)-Achse.

43040712

Der Punkt \(P(4|-1|3)\) wird zunächst an der \(x_1x_2\)-Ebene gespiegelt. Der Bildpunkt wird anschließend um \(180^\circ\) um die \(x_2\)-Achse gedreht. a) Bestimme den Bildpunkt \(P_1\) nach der Spiegelung. b) Bestimme den Bildpunkt \(P_2\) nach der anschließenden Drehung.

Denkanstöße

- Prüfe bei Teil a), welche Koordinate senkrecht zur Spiegelebene steht. - Bei Teil b) bleibt die Koordinate in Richtung der Drehachse unverändert. - Verfolge die Vorzeichen der beiden übrigen Koordinaten nacheinander.

Lösung

1. Bei der Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene bleiben \(x_1\) und \(x_2\) erhalten, während \(x_3\) das Vorzeichen wechselt. Daher ist \(P_1(4|-1|-3)\). 2. Bei einer Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_2\)-Achse bleibt \(x_2\) unverändert, während \(x_1\) und \(x_3\) ihre Vorzeichen wechseln. 3. Somit ist \(P_2(-4|-1|3)\).

Antwort

a) \(P_1(4|-1|-3)\) b) \(P_2(-4|-1|3)\)

43608412

Ein Prisma mit einer rechtwinkligen dreieckigen Grundfläche ist in einem dreidimensionalen Koordinatensystem positioniert. Die Eckpunkte der Grundfläche in der \(x_1x_2\)-Ebene sind \(A(0\mid0\mid0)\), \(B(8\mid0\mid0)\) und \(C(0\mid6\mid0)\). Die obere Grundfläche liegt \(10\) Längeneinheiten (\(\text{LE}\)) in positiver \(x_3\)-Richtung über der unteren. a) Gib die Koordinaten der oberen Eckpunkte \(D\), \(E\) und \(F\) an, die senkrecht über \(A\), \(B\) und \(C\) liegen. b) Beschreibe die gemeinsame Koordinatenregel, die jeden unteren Eckpunkt auf den zugehörigen oberen Eckpunkt abbildet.

Denkanstöße

- Vergleiche einen unteren Eckpunkt mit dem Punkt, der direkt über ihm liegt. - Welche beiden Koordinaten ändern sich bei einer Bewegung nur in \(x_3\)-Richtung nicht? - Formuliere die beobachtete Veränderung anschließend unabhängig von den konkreten Eckpunkten.

Lösung

1. Beim Übergang von der unteren zur oberen Grundfläche bleiben die \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinaten unverändert; nur die \(x_3\)-Koordinate wird um \(10\) erhöht. 2. Daraus folgen \(D(0\mid0\mid10)\), \(E(8\mid0\mid10)\) und \(F(0\mid6\mid10)\). 3. Allgemein lautet die Koordinatenregel \((x_1\mid x_2\mid x_3)\mapsto(x_1\mid x_2\mid x_3+10)\).

Antwort

a) \(D(0\mid0\mid10)\), \(E(8\mid0\mid10)\), \(F(0\mid6\mid10)\). b) \((x_1\mid x_2\mid x_3)\mapsto(x_1\mid x_2\mid x_3+10)\).

55356112

Die Abbildung zeigt ein räumliches Koordinatensystem als Schrägbild. Die drei gestrichelten Hilfsstrecken führen vom Ursprung schrittweise zum Punkt \(P\). Ihre Beschriftungen geben jeweils die Verschiebung in Richtung eines Einheitsvektors an. Lies daraus die Koordinaten von \(P\) ab und gib den Ortsvektor \(\overrightarrow{OP}\) als Spaltenvektor an.

Abbildung zur Aufgabe 553561

Denkanstöße

- Verfolge die gestrichelten Hilfsstrecken vom Ursprung bis zum Punkt \(P\) in ihrer Reihenfolge. - Ordne jede Beschriftung der zugehörigen Achsenrichtung \(x_1\), \(x_2\) oder \(x_3\) zu. - Achte darauf, dass ein Minuszeichen eine Verschiebung entgegen der positiven Achsenrichtung bedeutet.

Lösung

1. Die erste Hilfsstrecke beschreibt die Verschiebung \(2\vec{e}_1\). Daher ist die erste Koordinate von \(P\) gleich \(2\). 2. Die zweite Hilfsstrecke beschreibt die Verschiebung \(-\vec{e}_2\). Daher ist die zweite Koordinate gleich \(-1\). 3. Die dritte Hilfsstrecke beschreibt die Verschiebung \(3\vec{e}_3\). Daher ist die dritte Koordinate gleich \(3\). 4. Somit ist \(P(2\mid-1\mid3)\) und \(\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\).

Antwort

\(P(2\mid-1\mid3)\), \(\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\)

55710612

Das Schrägbild zeigt einen Quader. Die drei von \(O\) ausgehenden Kanten \(OA\), \(OC\) und \(OD\) verlaufen in positiver \(x_1\)-, \(x_2\)- beziehungsweise \(x_3\)-Richtung. Es gilt \(O(0\mid0\mid0)\), \(A(4\mid0\mid0)\), \(C(0\mid3\mid0)\) und \(D(0\mid0\mid2)\). Bestimme mithilfe des Schrägbilds die Koordinaten des Eckpunkts \(F\).

Abbildung zur Aufgabe 557106

Denkanstöße

- Identifiziere im Bild zuerst, welche Lage der Punkt \(F\) relativ zu \(O\) hat. - Welche drei Kantenverschiebungen führen vom Ursprung zum gegenüberliegenden Eckpunkt? - Jede der drei gegebenen Nachbarecken von \(O\) liefert genau eine Koordinatenrichtung.

Lösung

1. Im Schrägbild ist \(F\) der zu \(O\) gegenüberliegende Eckpunkt des Quaders. 2. Von \(O\) nach \(F\) werden daher die drei Kantenverschiebungen in \(x_1\)-, \(x_2\)- und \(x_3\)-Richtung kombiniert. 3. Somit besitzt \(F\) die Koordinaten \((4\mid3\mid2)\).

Antwort

\(F(4\mid3\mid2)\)

42770912

Beschreibe die geometrische Lage der Punktmengen im dreidimensionalen Koordinatensystem, die durch die folgenden Bedingungen für ihre Koordinaten \(x_1, x_2\) und \(x_3\) definiert sind: a) \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\) b) \(x_1 = 0\) und \(x_2 = x_3\) c) \(|x_2| = 5\)

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, wie viele Koordinaten fest vorgegeben sind und wie viele frei wählbar bleiben. - Was bedeutet es für die Lage eines Punktes, wenn eine Koordinate immer Null ist? - Wenn zwei Koordinaten fest sind und eine variabel ist, welche Form entsteht dann im Raum? - Erinnere dich an die Bedeutung von Betragsstrichen bei Gleichungen.

Lösung

1. Für Teilaufgabe a): Da \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\) fest vorgegeben sind, während \(x_3\) jeden beliebigen Wert annehmen kann, handelt es sich um eine Gerade. Diese verläuft parallel zur \(x_3\)-Achse durch den Punkt \((0|4|0)\) und liegt vollständig in der \(x_2x_3\)-Koordinatenebene. 2. Für Teilaufgabe b): Die Bedingung \(x_1 = 0\) legt fest, dass alle Punkte in der \(x_2x_3\)-Ebene liegen. Die zusätzliche Bedingung \(x_2 = x_3\) beschreibt innerhalb dieser Ebene die Winkelhalbierende zwischen der positiven \(x_2\)- und der positiven \(x_3\)-Achse (sowie der entsprechenden negativen Achsenabschnitte). Es handelt sich somit um eine Gerade durch den Koordinatenursprung. 3. Für Teilaufgabe c): Die Gleichung \(|x_2| = 5\) ist äquivalent zu \(x_2 = 5\) oder \(x_2 = -5\). Da \(x_1\) und \(x_3\) beliebig sind, beschreibt dies zwei Ebenen. Beide Ebenen liegen parallel zur \(x_1x_3\)-Koordinatenebene und haben den Abstand \(5\) von dieser.

Antwort

a) Gerade parallel zur \(x_3\)-Achse durch den Punkt \((0|4|0)\). b) Winkelhalbierende zwischen der \(x_2\)- und \(x_3\)-Achse in der \(x_2x_3\)-Koordinatenebene (Gerade durch den Ursprung). c) Zwei zueinander parallele Ebenen, die parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene im Abstand von \(5\) Einheiten verlaufen (festgelegt durch \(x_2 = 5\) und \(x_2 = -5\)).

42771012

Bestimme die geometrische Bedeutung der folgenden Bedingungen für Punkte \(P(x_1|x_2|x_3)\) im Raum: a) \(x_1 = x_2 = x_3\) b) \(x_1 = -1\) und \(x_3 = 2\) c) \(x_3 = 0\) und \(x_1 + x_2 = 4\)

Denkanstöße

- Stelle dir vor, welche Punkte die Bedingung \(x_1 = x_2 = x_3\) erfüllen könnten, indem du einfache Zahlen einsetzt. - Wie verändert sich die Lage eines Punktes, wenn du nur eine Koordinate variierst? - Betrachte bei Teilaufgabe c) erst die Einschränkung durch \(x_3 = 0\) und zeichne dir die Bedingung für \(x_1\) und \(x_2\) in einem zweidimensionalen System vor.

Lösung

1. Für Teilaufgabe a): Alle drei Koordinaten müssen identisch sein. Dies beschreibt die Gerade durch den Koordinatenursprung \((0|0|0)\) mit dem Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\), die beispielsweise auch durch den Punkt \((1|1|1)\) verläuft. Sie schließt mit allen drei Koordinatenachsen denselben Winkel ein. 2. Für Teilaufgabe b): Die Koordinaten \(x_1\) und \(x_3\) sind auf feste Werte gesetzt, während \(x_2\) beliebig wählbar ist. Dies definiert eine Gerade, die parallel zur \(x_2\)-Achse verläuft und durch den Punkt \((-1|0|2)\) geht. 3. Für Teilaufgabe c): Die Bedingung \(x_3 = 0\) bedeutet, dass alle Punkte in der \(x_1x_2\)-Ebene liegen. Die Gleichung \(x_1 + x_2 = 4\) beschreibt innerhalb dieser Ebene eine Gerade. Sie schneidet die \(x_1\)-Achse bei \((4|0|0)\) und die \(x_2\)-Achse bei \((0|4|0)\).

Antwort

a) Die Gerade durch den Koordinatenursprung mit dem Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) (alle Punkte mit drei gleichen Koordinaten). b) Eine Gerade parallel zur \(x_2\)-Achse durch den Punkt \((-1|0|2)\). c) Eine Gerade in der \(x_1x_2\)-Ebene, welche die Achsen bei \((4|0|0)\) und \((0|4|0)\) schneidet.

42771412

Ein Punkt \(P(3 | 8 | -4)\) wird nacheinander an den drei Koordinatenebenen gespiegelt. 1. Bestimme den Bildpunkt \(P_1\) nach der Spiegelung von \(P\) an der \(x_1x_2\)-Ebene. 2. Der Punkt \(P_1\) wird anschließend an der \(x_1x_3\)-Ebene gespiegelt. Gib den resultierenden Bildpunkt \(P_2\) an. 3. Der Punkt \(P_2\) wird schließlich an der \(x_2x_3\)-Ebene gespiegelt. Bestimme den Endpunkt \(P_3\). 4. Vergleiche die Koordinaten von \(P\) und \(P_3\). Durch welche einzelne Abbildung (Spiegelung an einer Ebene oder am Ursprung) lässt sich der Punkt \(P\) direkt in \(P_3\) überführen?

Denkanstöße

- Gehe schrittweise vor und überlege dir für jede Ebene, welche Koordinate „senkrecht“ dazu steht und somit ihr Vorzeichen ändert. - Notiere dir die Koordinaten nach jedem Schritt sorgfältig. - Betrachte am Ende die Differenz oder das Verhältnis der Vorzeichen zwischen dem allerersten und dem allerletzten Punkt.

Lösung

1. Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene: Die \(x_3\)-Koordinate ändert ihr Vorzeichen. Aus \(P(3 | 8 | -4)\) wird \(P_1(3 | 8 | 4)\). 2. Spiegelung an der \(x_1x_3\)-Ebene: Die \(x_2\)-Koordinate ändert ihr Vorzeichen. Aus \(P_1(3 | 8 | 4)\) wird \(P_2(3 | -8 | 4)\). 3. Spiegelung an der \(x_2x_3\)-Ebene: Die \(x_1\)-Koordinate ändert ihr Vorzeichen. Aus \(P_2(3 | -8 | 4)\) wird \(P_3(-3 | -8 | 4)\). 4. Vergleich von \(P(3 | 8 | -4)\) und \(P_3(-3 | -8 | 4)\): Alle drei Koordinaten haben ihr Vorzeichen gewechselt. Dies entspricht einer Spiegelung am Koordinatenursprung.

Antwort

1. \(P_1(3 | 8 | 4)\) 2. \(P_2(3 | -8 | 4)\) 3. \(P_3(-3 | -8 | 4)\) 4. Spiegelung am Koordinatenursprung.

42771612

Betrachte einen allgemeinen Punkt \(P(p_1\mid p_2\mid p_3)\) im dreidimensionalen Raum. a) Bestimme den Bildpunkt \(P'\), wenn \(P\) an der \(x_1x_2\)-Ebene gespiegelt wird. b) Spiegle \(P'\) anschließend an der \(x_1x_3\)-Ebene und gib den Bildpunkt \(P''\) an. c) Zeige, dass die zusammengesetzte Abbildung von \(P\) auf \(P''\) einer Drehung um \(180^\circ\) um eine Koordinatenachse entspricht. Benenne die Achse und formuliere die Koordinatenregel.

Denkanstöße

- Führe die beiden Ebenenspiegelungen nacheinander aus. - Vergleiche Anfangs- und Endkoordinaten. - In drei Dimensionen entspricht das Vorzeichenmuster mit einer unveränderten Achsenkoordinate einer \(180^\circ\)-Drehung um diese Achse, nicht einer üblichen Achsenspiegelung.

Lösung

1. Bei der Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene bleibt \(p_1\) und \(p_2\) erhalten, während \(p_3\) das Vorzeichen wechselt. Daher ist \(P'(p_1\mid p_2\mid-p_3)\). 2. Bei der anschließenden Spiegelung an der \(x_1x_3\)-Ebene wechselt die \(x_2\)-Koordinate das Vorzeichen. Daher ist \(P''(p_1\mid-p_2\mid-p_3)\). 3. Im Vergleich zu \(P\) bleibt die \(x_1\)-Koordinate unverändert, während \(x_2\) und \(x_3\) ihre Vorzeichen wechseln. Dies ist die Koordinatenregel einer Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_1\)-Achse.

Antwort

a) \(P'(p_1\mid p_2\mid-p_3)\). b) \(P''(p_1\mid-p_2\mid-p_3)\). c) Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_1\)-Achse; Regel: \((p_1,p_2,p_3)\mapsto(p_1,-p_2,-p_3)\).

42772612

a) Gegeben sind die Punkte \(C(4\mid3\mid6)\) und \(D(-4\mid-3\mid6)\). Beschreibe ihre Lage zueinander. b) Betrachte allgemeine Punkte \(M(x_1\mid x_2\mid x_3)\) und \(N(-x_1\mid-x_2\mid x_3)\). Welche geometrische Abbildung führt \(M\) in \(N\) über? Beschreibe die Symmetrie eindeutig.

Denkanstöße

- Prüfe, welche Koordinate unverändert bleibt. - Betrachte die Projektion in die \(x_1x_2\)-Ebene. - Zwei Vorzeichenwechsel bei unveränderter Achsenkoordinate beschreiben eine \(180^\circ\)-Drehung um diese Achse.

Lösung

1. Die \(x_3\)-Koordinaten von \(C\) und \(D\) sind gleich. Die \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinaten besitzen jeweils entgegengesetzte Vorzeichen. 2. Beide Punkte liegen in der Ebene \(x_3=6\). Innerhalb dieser Ebene sind sie punktsymmetrisch zum Punkt \((0\mid0\mid6)\). 3. Im dreidimensionalen Raum führt eine Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_3\)-Achse \((x_1,x_2,x_3)\) auf \((-x_1,-x_2,x_3)\) ab. Daher wird \(C\) auf \(D\) und allgemein \(M\) auf \(N\) abgebildet. 4. Die Bezeichnung „Spiegelung an der \(x_3\)-Achse“ ist im dreidimensionalen Raum nicht die standardmäßige eindeutige Bezeichnung für diese Abbildung; gemeint ist die \(180^\circ\)-Drehung.

Antwort

a) \(C\) und \(D\) liegen in der Ebene \(x_3=6\) punktsymmetrisch zu \((0\mid0\mid6)\). b) Die Abbildung ist eine Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_3\)-Achse: \((x_1,x_2,x_3)\mapsto(-x_1,-x_2,x_3)\).

43027012

Ein Punkt \(Q\) wird orthogonal auf die \(x_2x_3\)-Ebene projiziert. Der dabei entstehende Bildpunkt ist \(Q'(0|5|-3)\). Bekannt ist zudem, dass der ursprüngliche Punkt \(Q\) von der \(x_2x_3\)-Ebene den Abstand \(d = 8\) hat. a) Bestimme die beiden möglichen Koordinatentupel für den Punkt \(Q\). b) Wähle nun denjenigen Punkt \(Q\), dessen \(x_1\)-Koordinate positiv ist. Dieser Punkt wird nun orthogonal auf die \(x_3\)-Achse projiziert. Gib die Koordinaten des resultierenden Punktes \(Q''\) an.

Denkanstöße

- Wenn du die Projektion auf eine Ebene kennst, welche Koordinaten des ursprünglichen Punktes sind dann bereits festgelegt? - Wie hängt der Abstand eines Punktes zur \(x_2x_3\)-Ebene mit seiner \(x_1\)-Koordinate zusammen? - Was bleibt von den Koordinaten eines Punktes übrig, wenn man ihn auf eine Achse projiziert?

Lösung

1. Da \(Q'(0|5|-3)\) die Projektion auf die \(x_2x_3\)-Ebene ist, müssen die \(x_2\)- und \(x_3\)-Koordinaten von \(Q\) mit denen von \(Q'\) übereinstimmen: \(x_2 = 5\) und \(x_3 = -3\). 2. Der Abstand zur \(x_2x_3\)-Ebene wird durch den Betrag der \(x_1\)-Koordinate bestimmt: \(|x_1| = 8\). Daraus folgen \(x_1 = 8\) oder \(x_1 = -8\). Die Punkte sind \(Q_1(8|5|-3)\) und \(Q_2(-8|5|-3)\). 3. Für Aufgabenteil b) wird \(Q(8|5|-3)\) verwendet. Bei der Projektion auf die \(x_3\)-Achse werden alle Koordinaten außer der \(x_3\)-Koordinate zu Null. 4. Die Projektion auf die \(x_3\)-Achse ergibt somit den Punkt \(Q''(0|0|-3)\).

Antwort

a) \(Q_1(8|5|-3)\) und \(Q_2(-8|5|-3)\) b) \(Q''(0|0|-3)\)

43032012

Ein Punkt \(P(2 \mid 0 \mid -3)\) wird nacheinander an zwei verschiedenen Zentren gespiegelt. Zuerst wird \(P\) am Punkt \(Q(1 \mid 4 \mid 2)\) gespiegelt, woraus der Punkt \(P'\) hervorgeht. Danach wird \(P'\) am Punkt \(R(3 \mid -2 \mid 1)\) gespiegelt, was zum Endpunkt \(P''\) führt. a) Berechne die Koordinaten der Punkte \(P'\) und \(P''\). b) Bestimme den Verschiebungsvektor \(\vec{PP''}\) und zeige, dass dieser das Doppelte des Vektors \(\vec{QR}\) ist.

Denkanstöße

- Gehe schrittweise vor und berechne erst das Ergebnis der ersten Spiegelung, bevor du die zweite ausführst. - Erinnere dich an die Formel für den Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten. - Um zu zeigen, dass ein Vektor das Doppelte eines anderen ist, multipliziere alle Komponenten des einen Vektors mit 2.

Lösung

1. Erste Spiegelung (von \(P\) an \(Q\)): \(\vec{p'} = 2 \cdot \vec{q} - \vec{p} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}\). Also \(P'(0 \mid 8 \mid 7)\). 2. Zweite Spiegelung (von \(P'\) an \(R\)): \(\vec{p''} = 2 \cdot \vec{r} - \vec{p'} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -12 \\ -5 \end{pmatrix}\). Also \(P''(6 \mid -12 \mid -5)\). 3. Berechnung des Verschiebungsvektors: \(\vec{PP''} = \vec{p''} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 6 \\ -12 \\ -5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \\ -2 \end{pmatrix}\). 4. Vergleich mit \(\vec{QR}\): \(\vec{QR} = \vec{r} - \vec{q} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ -1 \end{pmatrix}\). Es gilt \(2 \cdot \vec{QR} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \\ -2 \end{pmatrix} = \vec{PP''}\).

Antwort

a) \(P'(0 \mid 8 \mid 7)\) und \(P''(6 \mid -12 \mid -5)\) b) \(\vec{PP''} = \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \\ -2 \end{pmatrix}\); da \(\vec{QR} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ -1 \end{pmatrix}\), folgt \(\vec{PP''} = 2 \cdot \vec{QR}\).

43032212

In einem Koordinatensystem wird ein Punkt \(P(3|-2|4)\) an einem Zentrum \(M\) gespiegelt, wodurch der Bildpunkt \(P'(1|6|0)\) entsteht. 1. Bestimme den Ortsvektor des Spiegelzentrums \(M\). 2. Ein weiterer Punkt \(Q(5|1|2)\) wird ebenfalls an \(M\) gespiegelt. Berechne die Koordinaten seines Bildpunktes \(Q'\). 3. Zeige rechnerisch, dass der Vektor \(\vec{PQ}\) und der Vektor \(\vec{P'Q'}\) zueinander parallel sind.

Denkanstöße

- Welche Rolle spielt das Spiegelzentrum für die Strecke zwischen einem Punkt und seinem Bild? - Wie berechnet man den Mittelpunkt zwischen zwei gegebenen Punkten? - Wann nennt man zwei Vektoren parallel (kollinear)?

Lösung

1. Das Spiegelzentrum \(M\) ist der Mittelpunkt der Strecke \(PP'\). Der Ortsvektor berechnet sich durch \(\vec{m} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{p} + \vec{p'}) = \frac{1}{2} \left( \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Somit ist \(M(2|2|2)\). 2. Der Bildpunkt \(Q'\) ergibt sich aus \(\vec{q'} = 2 \cdot \vec{m} - \vec{q} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Somit ist \(Q'(-1|3|2)\). 3. Berechnung der Verbindungsvektoren: \(\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 1-(-2) \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). \(\vec{P'Q'} = \vec{q'} - \vec{p'} = \begin{pmatrix} -1-1 \\ 3-6 \\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{P'Q'} = -1 \cdot \vec{PQ}\) gilt, sind die Vektoren kollinear und damit parallel.

Antwort

1. Der Ortsvektor ist \(\vec{m} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Der Bildpunkt ist \(Q'(-1|3|2)\). 3. Da \(\vec{P'Q'} = -1 \cdot \vec{PQ}\) gilt, sind die Vektoren parallel.

43038312

Ein Dreieck im Raum ist durch seine Eckpunkte \(A(5 | -2 | 1)\), \(B(0 | 4 | -3)\) und \(C(-3 | 1 | 2)\) gegeben. Bestimme die Koordinaten der Bildpunkte für die folgenden Abbildungen: a) Spiegelung des Dreiecks an der \(x_1x_2\)-Ebene. Bezeichne die Bildpunkte mit \(A'\), \(B'\) und \(C'\). b) Spiegelung des ursprünglichen Dreiecks am Punkt \(S(1 | 2 | 3)\). Bezeichne die Bildpunkte mit \(A''\), \(B''\) und \(C''\).

Denkanstöße

- Welche Koordinate ändert sich, wenn du einen Punkt an einer der Koordinatenebenen spiegelst? - Wie verhält sich der Bildpunkt zu seinem Originalpunkt bezüglich des Spiegelzentrums? - Überlege dir, wie der Vektor vom Originalpunkt zum Spiegelpunkt aussieht und wie du damit zum Bildpunkt gelangst.

Lösung

1. Bei der Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene bleiben die \(x_1\)- und die \(x_2\)-Koordinate unverändert, während die \(x_3\)-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Daraus ergeben sich die Bildpunkte: \(A'(5 | -2 | -1)\), \(B'(0 | 4 | 3)\) und \(C'(-3 | 1 | -2)\). 2. Die Spiegelung an einem Punkt \(S\) erfolgt über die Rechenregel \(\vec{x}'' = 2\vec{s} - \vec{x}\). 3. Für \(A\): \(\vec{a}'' = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-5 \\ 4-(-2) \\ 6-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\). 4. Für \(B\): \(\vec{b}'' = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-0 \\ 4-4 \\ 6-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix}\). 5. Für \(C\): \(\vec{c}'' = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-(-3) \\ 4-1 \\ 6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\).

Antwort

a) \(A'(5 | -2 | -1)\), \(B'(0 | 4 | 3)\), \(C'(-3 | 1 | -2)\) b) \(A''(-3 | 6 | 5)\), \(B''(2 | 0 | 9)\), \(C''(5 | 3 | 4)\)

43040612

In der Optik werden Tripelspiegel (auch Retroreflektoren genannt) genutzt, um Licht exakt in die Einfallsrichtung zurückzuwerfen. Ein solcher Spiegel besteht aus drei zueinander senkrechten Flächen, die wir uns als die drei Koordinatenebenen eines kartesischen Systems vorstellen können. Ein Lichtstrahl mit der Richtung \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\) trifft nacheinander auf die \(x_1x_2\)-Ebene, die \(x_1x_3\)-Ebene und schließlich die \(x_2x_3\)-Ebene. a) Notiere die Richtungsvektoren des Lichtstrahls nach jedem der drei einzelnen Spiegelungsschritte. b) Zeige mithilfe der Skalarmultiplikation, dass der finale Richtungsvektor \(\vec{v}_{\text{final}}\) ein Vielfaches des ursprünglichen Vektors \(\vec{v}\) ist. Bestimme den Skalar \(k\). c) Erkläre, warum dieses mathematische Ergebnis die Funktionsweise eines Katzenauges am Fahrrad beschreibt.

Denkanstöße

- Gehe schrittweise vor und überlege, welche Koordinate bei welcher Ebene „umgeklappt“ wird. - Erinnere dich daran, wie man einen Vektor mit einer Zahl multipliziert. - Was bedeutet es für die Richtung eines Pfeils, wenn man ihn mit \(-1\) multipliziert?

Lösung

1. Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene: \(\vec{v}_1=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\-v_3\end{pmatrix}\). 2. Spiegelung an der \(x_1x_3\)-Ebene: \(\vec{v}_2=\begin{pmatrix}v_1\\-v_2\\-v_3\end{pmatrix}\). 3. Spiegelung an der \(x_2x_3\)-Ebene: \(\vec{v}_{\text{final}}=\begin{pmatrix}-v_1\\-v_2\\-v_3\end{pmatrix}\). 4. Es gilt \(\vec{v}_{\text{final}}=-1\cdot\vec{v}\). Der Skalar ist also \(k=-1\). 5. Der reflektierte Strahl ist damit zum einfallenden Strahl parallel, aber entgegengesetzt gerichtet. Dadurch wird das Licht zur Lichtquelle zurückgeworfen.

Antwort

a) \(\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}_{\text{final}} = \begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{v}_{\text{final}} = -1 \cdot \vec{v}\); der Skalar ist \(k = -1\). c) Das Licht wird exakt in die Gegenrichtung reflektiert (\(k = -1\)), sodass es zur Lichtquelle zurückkehrt.

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Gegeben ist ein beliebiger Richtungsvektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\) im Raum. a) Gib den Vektor \(\vec{v}'\) an, der durch eine Spiegelung von \(\vec{v}\) am Koordinatenursprung entsteht. b) Zeige durch schrittweise Berechnung der Richtungsvektoren, dass man denselben Vektor \(\vec{v}'\) erhält, wenn man \(\vec{v}\) nacheinander an den drei Koordinatenebenen (\(x_1x_2\)-Ebene, \(x_1x_3\)-Ebene und \(x_2x_3\)-Ebene) spiegelt.

Denkanstöße

- Was passiert mit den Vorzeichen der Koordinaten bei einer Punktspiegelung am Nullpunkt? - Notiere dir für jede Koordinatenebene, welche Koordinate „quer“ zur Ebene steht und somit bei einer Spiegelung ihr Vorzeichen wechselt. - Führe die Operationen nacheinander aus und beobachte, wie sich der Vektor nach jedem Schritt verändert.

Lösung

1. Eine Spiegelung am Ursprung (Punktspiegelung) kehrt die Richtung aller Komponenten um. Es gilt \(\vec{v}' = -\vec{v} = \begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\). 2. Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene: Die \(x_3\)-Komponente ändert ihr Vorzeichen. Ergebnis: \(\vec{v}_a = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\). 3. Spiegelung von \(\vec{v}_a\) an der \(x_1x_3\)-Ebene: Die \(x_2\)-Komponente ändert ihr Vorzeichen. Ergebnis: \(\vec{v}_b = \begin{pmatrix} v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\). 4. Spiegelung von \(\vec{v}_b\) an der \(x_2x_3\)-Ebene: Die \(x_1\)-Komponente ändert ihr Vorzeichen. Ergebnis: \(\vec{v}_c = \begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\). 5. Der Vergleich von \(\vec{v}_c\) mit \(\vec{v}'\) zeigt, dass beide Vektoren identisch sind.

Antwort

a) \(\vec{v}' = \begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\) b) Die schrittweise Spiegelung ergibt: 1. Nach \(x_1x_2\)-Ebene: \(\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\) 2. Nach \(x_1x_3\)-Ebene: \(\begin{pmatrix} v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\) 3. Nach \(x_2x_3\)-Ebene: \(\begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\). Dies entspricht exakt \(\vec{v}'\).

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In einer 3D-Geometriesoftware ist der bewegliche Punkt \(A(1\mid-2\mid3)\) angelegt. Ein Bildpunkt \(A'\) soll bei jeder späteren Verschiebung von \(A\) automatisch der orthogonale Projektionspunkt von \(A\) auf die \(x_1x_2\)-Ebene bleiben. Vier Konstruktionsprotokolle werden vorgeschlagen: I. \(A'\) mit den Koordinatenausdrücken \((x_1(A)\mid x_2(A)\mid0)\) definieren. II. Den Punkt \(A'(1\mid-2\mid0)\) direkt über seine Zahlenkoordinaten eingeben. III. Durch \(A\) die zur \(x_1x_2\)-Ebene senkrechte Gerade konstruieren und deren Schnittpunkt mit der Ebene als \(A'\) verwenden. IV. \(A\) an der \(x_1x_2\)-Ebene spiegeln und den Mittelpunkt von \(A\) und seinem Spiegelpunkt als \(A'\) verwenden. a) Welche Protokolle erzeugen einen Projektionspunkt, der bei einer späteren Verschiebung von \(A\) automatisch korrekt mitgeführt wird? Begründe jeweils über die Definition der konstruierten Objekte, nicht nur über die anfänglichen Koordinaten. b) \(A\) wird auf \(A_1(4\mid1\mid-6)\) verschoben. Welche Koordinaten zeigen die automatisch korrekten Konstruktionen dann an? c) Die Projektion soll später statt auf die \(x_1x_2\)-Ebene auf eine beliebige schiefe Ebene \(E\) erfolgen. Welche der Protokolle III und IV lassen sich ohne Herleitung einer neuen Koordinatenformel direkt auf \(E\) übertragen? Begründe.

Denkanstöße

- Unterscheide freie Objekte von Objekten, deren Definition andere Objekte enthält. - Prüfe nicht nur, ob ein Protokoll anfangs den richtigen Punkt liefert, sondern was beim Verschieben von \(A\) geschieht. - Welche geometrische Bedeutung hat der Mittelpunkt eines Punktes und seines Spiegelpunktes an einer Ebene? - Überlege bei c), welche Konstruktionen nur geometrische Beziehungen benutzen und keine spezielle Koordinatenform der Ebene benötigen.

Lösung

1. Protokoll I bleibt dynamisch, weil die Koordinaten von \(A'\) als Ausdrücke von den aktuellen Koordinaten von \(A\) abhängen. 2. Protokoll II erzeugt nur den einmal eingegebenen freien Punkt und besitzt keine Abhängigkeit von \(A\). 3. Protokoll III bleibt dynamisch, weil sowohl die Senkrechte durch \(A\) als auch ihr Schnittpunkt mit der Ebene abhängige geometrische Objekte sind. 4. Protokoll IV bleibt dynamisch: Spiegelpunkt und anschließend gebildeter Mittelpunkt hängen von \(A\) ab. Der Mittelpunkt zwischen einem Punkt und seinem Spiegelpunkt an einer Ebene ist dessen orthogonaler Projektionspunkt. 5. Für \(A_1(4\mid1\mid-6)\) ist der Projektionspunkt auf die \(x_1x_2\)-Ebene \(A_1'(4\mid1\mid0)\). 6. Für eine beliebige Ebene \(E\) lassen sich III und IV direkt geometrisch übertragen: Senkrechte plus Schnittpunkt beziehungsweise Spiegelung plus Mittelpunkt funktionieren ohne koordinatenspezifische Formel.

Antwort

a) I, III und IV sind dynamisch korrekt; II ist nicht an \(A\) gebunden. b) \(A_1'(4\mid1\mid0)\) c) III und IV lassen sich direkt auf eine beliebige Ebene \(E\) übertragen.

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In einer 3D-Geometriesoftware soll ein verschiebbarer Quader konstruiert werden. Der freie Eckpunkt ist zunächst \(A(1\mid-2\mid3)\). Seine drei Kantenvektoren sind \(\vec{u}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{v}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{w}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}\). Im Konstruktionsprotokoll stehen \(B:=A+\vec{u}\), \(D:=A+\vec{v}\), \(C:=B+\vec{v}\), \(E:=A+\vec{w}\), aber die Punkte \(F(5\mid-2\mid5)\), \(G(5\mid1\mid5)\) und \(H(1\mid1\mid5)\) wurden nur einmal numerisch eingegeben. a) Erkläre, warum das Modell beim Verschieben von \(A\) seine Quaderstruktur verliert. b) Gib dynamische Definitionen für \(F\), \(G\) und \(H\) an, die das Modell reparieren. c) Verschiebe \(A\) auf \(A_1(-2\mid1\mid0)\). Bestimme die Koordinaten aller sieben übrigen Eckpunkte im reparierten Modell.

Denkanstöße

- Unterscheide im Protokoll zwischen freien numerischen Punkten und Punkten, deren Definition von \(A\) abhängt. - Welche Deckflächenecke gehört jeweils zur entsprechenden Grundflächenecke? - Eine robuste Konstruktion sollte dieselbe Kantenverschiebung \(\vec{w}\) an allen vier Grundflächenecken verwenden. - Prüfe die reparierten Koordinaten, indem du die drei Kantenverschiebungen des Quaders vergleichst.

Lösung

1. Die Punkte \(B,C,D,E\) sind durch Formeln von \(A\) abhängig. Die nur numerisch eingegebenen Punkte \(F,G,H\) bleiben dagegen beim Verschieben von \(A\) an ihren alten Positionen. 2. Eine dynamische Reparatur ist \(F:=B+\vec{w}\), \(G:=C+\vec{w}\) und \(H:=D+\vec{w}\). Gleichwertig wären \(F:=E+\vec{u}\), \(H:=E+\vec{v}\) und \(G:=E+\vec{u}+\vec{v}\). 3. Für \(A_1(-2\mid1\mid0)\) folgt \(B_1=A_1+\vec{u}=(2\mid1\mid0)\). 4. Weiter sind \(D_1=A_1+\vec{v}=(-2\mid4\mid0)\) und \(C_1=A_1+\vec{u}+\vec{v}=(2\mid4\mid0)\). 5. Mit \(\vec{w}\) erhält man \(E_1=(-2\mid1\mid2)\), \(F_1=(2\mid1\mid2)\), \(G_1=(2\mid4\mid2)\) und \(H_1=(-2\mid4\mid2)\).

Antwort

a) \(F,G,H\) sind freie numerische Punkte und folgen einer Verschiebung von \(A\) nicht. b) Zum Beispiel \(F:=B+\vec{w}\), \(G:=C+\vec{w}\), \(H:=D+\vec{w}\). c) \(B_1(2\mid1\mid0)\), \(C_1(2\mid4\mid0)\), \(D_1(-2\mid4\mid0)\), \(E_1(-2\mid1\mid2)\), \(F_1(2\mid1\mid2)\), \(G_1(2\mid4\mid2)\), \(H_1(-2\mid4\mid2)\)

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