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- Überlege dir, welchen festen Wert die dritte Koordinate haben muss, wenn ein Punkt direkt auf der „Grundfläche“ (der \(x_1x_2\)-Ebene) liegt. - Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei Punkten? Erinnere dich an die Regel „Spitze minus Anfang“. - Der Mittelpunkt einer Strecke liegt genau in der Mitte zwischen den jeweiligen Koordinaten der Endpunkte. - Eine Verschiebung „nach oben“ betrifft im räumlichen Koordinatensystem nur eine der drei Koordinatenachsen.

1. In der \(x_1x_2\)-Ebene ist die \(x_3\)-Koordinate für alle Punkte gleich \(0\). Somit ergeben sich die räumlichen Koordinaten \(A(5 | -1 | 0)\) und \(B(2 | 3 | 0)\). 2. In der Ebene gilt \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2-5 \\ 3-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\). Im Raum gilt \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2-5 \\ 3-(-1) \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die ersten beiden Komponenten sind identisch, die dritte Komponente ist \(0\). 3. Der Mittelpunkt \(M\) berechnet sich durch Mittelung der Koordinaten: \(M\left(\frac{5+2}{2} \mid \frac{-1+3}{2} \mid \frac{0+0}{2}\right) = M(3{,}5 | 1 | 0)\). 4. Da der Punkt \(P\) senkrecht über \(M\) in Richtung der \(x_3\)-Achse liegt, ändern sich nur die \(x_3\)-Koordinaten: \(P(3{,}5 | 1 | 0+4) = P(3{,}5 | 1 | 4)\).

1. \(A(5 | -1 | 0)\), \(B(2 | 3 | 0)\) 2. \(\vec{AB}_{\text{Ebene}} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\), \(\vec{AB}_{\text{Raum}} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die räumliche Darstellung ergänzt eine Nullkomponente. 3. \(M(3{,}5 | 1 | 0)\) 4. \(P(3{,}5 | 1 | 4)\)

- Wie berechnet man die Verschiebung von einem Punkt zum anderen im Raum? - Gibt es eine einfache Regel, um von \(\vec{RS}\) direkt auf \(\vec{SR}\) zu schließen? - Schau dir die Vorzeichen der einzelnen Komponenten im Vergleich an.

1. Für den Verbindungsvektor von \(R\) nach \(S\) gilt Spitze minus Anfang: \(\vec{RS}=\begin{pmatrix}2-(-1{,}5)\\-4{,}5-3\\6-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3{,}5\\-7{,}5\\6\end{pmatrix}\). 2. Für den umgekehrten Verbindungsvektor gilt \(\vec{SR}=\begin{pmatrix}-1{,}5-2\\3-(-4{,}5)\\0-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3{,}5\\7{,}5\\-6\end{pmatrix}\). 3. Es gilt \(\vec{SR}=-\vec{RS}\). Die Vektoren sind Gegenvektoren: Sie haben dieselbe Länge und entgegengesetzte Richtungen.

a) \(\vec{RS}=\begin{pmatrix}3{,}5\\-7{,}5\\6\end{pmatrix}\). b) \(\vec{SR}=\begin{pmatrix}-3{,}5\\7{,}5\\-6\end{pmatrix}\). c) \(\vec{SR}=-\vec{RS}\); die Vektoren haben entgegengesetzte Richtungen.

- Wie berechnest du die Komponenten eines Vektors, wenn die Anfangs- und Endpunkte gegeben sind? - Wann sind zwei Vektoren mathematisch gesehen gleich? - Welche besondere Form hat ein Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten durch denselben Vektor beschrieben werden? - Wenn zwei Verschiebungen identisch sein sollen, müssen ihre Vektoren in allen Komponenten übereinstimmen.

1. Berechnung von \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 1-3 \\ 4-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung von \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 0-(-3) \\ 6-8 \\ 2-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}\). 3. Feststellung: Die Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{DC}\) sind identisch. 4. Da gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel sind (\(\vec{AB} = \vec{DC}\)), handelt es sich bei dem Viereck \(ABCD\) um ein Parallelogramm. 5. Berechnung des Vektors \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0-2 \\ 6-3 \\ 2-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 6. Berechnung von \(S\) über den Ortsvektor: \(\vec{s} = \vec{b} + \vec{AC} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}\) und \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}\). Die Vektoren sind identisch. b) Das Viereck \(ABCD\) ist ein Parallelogramm. c) Der Punkt ist \(S(3|4|7)\).

- Was muss für die Vektoren gelten, die die gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms beschreiben? - Achte bei der Benennung der Vektoren genau auf die Reihenfolge der Eckpunkte \(PQRS\). Welche Seiten liegen sich gegenüber? - Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie in allen drei Koordinaten übereinstimmen.

1. Aufstellen der Vektoren für zwei gegenüberliegende Seiten, z. B. \(\vec{PQ}\) und \(\vec{SR}\): \(\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \begin{pmatrix} 3-a \\ 5-1 \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-a \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) \(\vec{SR} = \vec{OR} - \vec{OS} = \begin{pmatrix} 5-7 \\ 3-(-1) \\ -1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) 2. Gleichsetzen der Vektoren (\(\vec{PQ} = \vec{SR}\)), da in einem Parallelogramm gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sein müssen: \(\begin{pmatrix} 3-a \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) 3. Lösen der Gleichung für die erste Koordinate: \(3 - a = -2 \implies a = 5\) 4. Überprüfung der restlichen Koordinaten: Die \(y\)- und \(z\)-Komponenten stimmen mit \(4=4\) und \(-2=-2\) bereits überein. Für \(a=5\) ist die Bedingung erfüllt.

Das Viereck \(PQRS\) ist ein Parallelogramm für \(a = 5\).

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es gibt, zwei verschiedene Punkte aus der Menge der Eckpunkte auszuwählen und anzuordnen. - Wann sind zwei Pfeile Repräsentanten desselben Vektors? Achte auf Parallelität, Länge und Orientierung. - Unterscheide bei der Zählung der Vektoren zwischen Kanten der Grund- und Deckfläche, den Seitenkanten und den Diagonalen der Seitenflächen. - Vergiss nicht, dass ein Vektor und sein Gegenvektor (umgekehrte Richtung) als zwei verschiedene Vektoren zählen.

1. Anzahl der Pfeile: Aus 6 Eckpunkten lassen sich \(6 \cdot 5 = 30\) verschiedene geordnete Paare \((P, Q)\) mit \(P \neq Q\) bilden. 2. Repräsentanten von \(\vec{AD}\): In einem geraden Prisma sind die Seitenkanten \(AD\), \(BE\) und \(CF\) parallel und gleich lang. Somit repräsentieren die Pfeile \(\vec{AD}\), \(\vec{BE}\) und \(\vec{CF}\) denselben Vektor. 3. Anzahl der verschiedenen Vektoren: Die 30 Pfeile lassen sich in Äquivalenzklassen (Vektoren) unterteilen: - Seitenkanten: Die Pfeile \(\vec{AD}, \vec{BE}, \vec{CF}\) bilden einen Vektor; ihre Gegenpfeile \(\vec{DA}, \vec{EB}, \vec{FC}\) einen zweiten (2 Vektoren). - Grund- und Deckflächenkanten: Wegen der Parallelität gilt \(\vec{AB} = \vec{DE}\), \(\vec{BC} = \vec{EF}\) und \(\vec{CA} = \vec{FD}\). Zusammen mit den jeweiligen Gegenvektoren ergeben sich \(3 \cdot 2 = 6\) Vektoren. - Flächendiagonalen: Auf den drei rechteckigen Seitenflächen gibt es jeweils zwei Diagonalen (z. B. \(\vec{AE}\) und \(\vec{BD}\) auf \(ABED\)). Da keine dieser Diagonalen zu einer anderen parallel ist, ergeben sich \(3 \cdot 2 = 6\) Richtungen, also \(6 \cdot 2 = 12\) Vektoren inklusive Gegenvektoren. Insgesamt gibt es \(2 + 6 + 12 = 20\) verschiedene Vektoren.

a) 30 Pfeile b) \(\vec{AD}\), \(\vec{BE}\) und \(\vec{CF}\) c) 20 verschiedene Vektoren

- Wie viele Eckpunkte hat eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche insgesamt? - Zwei Pfeile sind nur dann gleich, wenn sie in Länge, Richtung und Orientierung übereinstimmen. Welche Kanten einer Pyramide erfüllen diese Bedingung? - Betrachte die Grundkanten, die Diagonalen der Grundfläche und die Kanten, die zur Spitze führen, getrennt voneinander. - Prüfe systematisch, ob ein Pfeil zu einem anderen parallel sein kann, wenn sie nicht in derselben Ebene liegen.

1. Anzahl der Pfeile: Die Pyramide hat 5 Eckpunkte. Die Anzahl der geordneten Paare \((P, Q)\) mit \(P \neq Q\) beträgt \(5 \cdot 4 = 20\). 2. Identische Vektoren: In der quadratischen Grundfläche sind gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang. Es gilt \(\vec{AB} = \vec{DC}\) und \(\vec{AD} = \vec{BC}\). Ebenso gilt für die Gegenvektoren \(\vec{BA} = \vec{CD}\) und \(\vec{DA} = \vec{CB}\). Alle anderen Pfeile (die vier Mantelkanten zu der Spitze \(S\) sowie die zwei Grundflächendiagonalen) haben jeweils eine einzigartige Richtung oder Länge und bilden daher keine Paare identischer Vektoren. 3. Anzahl der verschiedenen Vektoren: - Von den 8 Pfeilen der Grundkanten entfallen jeweils zwei auf einen Vektor, woraus 4 verschiedene Vektoren resultieren. - Die 4 Pfeile der Grunddiagonalen (\(\vec{AC}, \vec{CA}, \vec{BD}, \vec{DB}\)) sind alle verschieden (4 Vektoren). - Die 8 Pfeile der Mantelkanten (\(\vec{AS}, \vec{SA}, \vec{BS}, \vec{SB}, \vec{CS}, \vec{SC}, \vec{DS}, \vec{SD}\)) sind alle verschieden (8 Vektoren). Insgesamt ergeben sich \(4 + 4 + 8 = 16\) verschiedene Vektoren.

a) 20 Pfeile b) \(\{\vec{AB}, \vec{DC}\}\), \(\{\vec{BA}, \vec{CD}\}\), \(\{\vec{AD}, \vec{BC}\}\) und \(\{\vec{DA}, \vec{CB}\}\) c) 16 verschiedene Vektoren