- Vergleiche, welche beiden Achsen das ebene und das räumliche Koordinatensystem gemeinsam haben. - Welche zusätzliche Richtung kommt im Raum zur \(x_1x_2\)-Ebene hinzu? - Prüfe in b), ob die dritte Komponente eine Verschiebung aus der Ebene heraus beschreibt.

1. Die ersten beiden Komponenten bleiben beim Übergang in den Raum unverändert. Für einen Vektor in der \(x_1x_2\)-Ebene ist die dritte Komponente \(0\). Daher ist \(\vec{u}=\begin{pmatrix}4\\-3\\0\end{pmatrix}\). 2. Bei \(\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\5\\0\end{pmatrix}\) enthält die dritte Komponente keine Verschiebung aus der \(x_1x_2\)-Ebene heraus. In der Ebene wird derselbe Vektor daher als \(\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}\) dargestellt. 3. Ein Raumvektor liegt vollständig in der \(x_1x_2\)-Ebene, wenn seine dritte Komponente \(0\) ist.

a) \(\begin{pmatrix}4\\-3\\0\end{pmatrix}\) b) \(\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}\) c) Die dritte Komponente ist \(0\).

- Stelle dir die gerichtete Strecke von \(A\) nach \(B\) vor. - Bestimme für jede Koordinatenrichtung, wie sich der Wert auf dem Weg von \(A\) nach \(B\) ändert. - Kontrolliere am Ende, ob dein Vektor wirklich von \(A\) nach \(B\) führt.

1. Der Verbindungsvektor ergibt sich aus Endpunkt minus Anfangspunkt. 2. Daher ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2-(-1)\\0-2\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix}\).

\(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix}\)

- Ein Repräsentant muss dieselbe gerichtete Verschiebung wie der gegebene Vektor beschreiben. - Bestimme den Verbindungsvektor vom Anfangspunkt \(P\) zum Endpunkt \(Q\). - Vergleiche anschließend die drei Komponenten mit denen von \(\vec{a}\).

1. Der Verbindungsvektor ist \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}3-1\\1-2\\2-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\). 2. Damit gilt \(\vec{PQ}=\vec{a}\). Die gerichtete Strecke von \(P\) nach \(Q\) ist also ein Repräsentant von \(\vec{a}\).

Ja. Es gilt \(\vec{PQ}=\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\).

- Berechne \(\vec{AB}\) wie jeden anderen Verbindungsvektor aus Endpunkt minus Anfangspunkt. - Frage dich in Teil b), ob \(O\) eine Lage oder eine Verschiebung beschreibt. - Kann derselbe Nullvektor auch durch zwei andere identische Punkte dargestellt werden?

1. Da \(A\) und \(B\) derselbe Punkt sind, gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\vec{0}\). 2. Der Nullvektor ist ein Vektor: Er beschreibt eine Verschiebung ohne Änderung und kann an beliebigen Punkten repräsentiert werden. 3. Der Ursprung \(O\) ist dagegen ein bestimmter Punkt des Koordinatensystems. Punkt und Vektor haben daher unterschiedliche Rollen.

a) \(\vec{AB}=\vec{0}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\) b) \(\vec{0}\) ist ein Vektor ohne Verschiebung; \(O\) ist ein bestimmter Punkt.

- Ordne die drei Komponenten des Vektors den Achsen \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) zu. - Achte besonders auf die negative zweite Komponente. - Kontrolliere am Ende Anfangspunkt, Endpunkt und Pfeilrichtung getrennt.

1. Vom Ursprung aus führen die drei Komponenten von \(\vec{v}\) direkt zu den Koordinaten des Endpunkts. 2. Daher ist \(Q(2\mid-1\mid3)\). 3. Zeichne den gerichteten Pfeil von \(O\) nach \(Q\) und beschrifte den Endpunkt.

Die Zeichnung zeigt einen gerichteten Pfeil von \(O(0\mid0\mid0)\) nach \(Q(2\mid-1\mid3)\), mit Pfeilspitze bei \(Q\).

- Vergleiche bei \(A\) und \(B\) für jede Koordinate, wie sich der Wert vom Anfangspunkt zum Endpunkt ändert. - Übertrage dieselben beiden Änderungen anschließend auf die räumliche Darstellung. - Welche dritte Koordinate haben alle Punkte und Vektoren, die vollständig in der \(x_1x_2\)-Ebene liegen?

1. In der Ebene gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}\). 2. Im Raum gilt \(\vec{A_RB_R}=\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}\). 3. Die ersten beiden Komponenten bleiben gleich. Für die Darstellung in der \(x_1x_2\)-Ebene des Raums wird als dritte Komponente \(0\) ergänzt.

a) \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}\) b) \(\vec{A_RB_R}=\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}\) c) Die ersten beiden Komponenten bleiben gleich; im Raum kommt die dritte Komponente \(0\) hinzu.

- Überlege für jede Koordinatenrichtung getrennt, welche Änderung nötig ist, um von \(R\) nach \(S\) zu gelangen. - Was ändert sich an einem gerichteten Weg, wenn Anfangs- und Endpunkt vertauscht werden? - Vergleiche anschließend die drei Komponenten der beiden Vektoren.

1. Für den Verbindungsvektor von \(R\) nach \(S\) gilt Endpunkt minus Anfangspunkt: \(\vec{RS}=\begin{pmatrix}2-(-1{,}5)\\-4{,}5-3\\6-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3{,}5\\-7{,}5\\6\end{pmatrix}\). 2. Für den umgekehrten Verbindungsvektor gilt \(\vec{SR}=\begin{pmatrix}-1{,}5-2\\3-(-4{,}5)\\0-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3{,}5\\7{,}5\\-6\end{pmatrix}\). 3. Es gilt \(\vec{SR}=-\vec{RS}\). Die Vektoren sind Gegenvektoren: Sie haben dieselbe Länge und entgegengesetzte Richtungen.

a) \(\vec{RS}=\begin{pmatrix}3{,}5\\-7{,}5\\6\end{pmatrix}\) b) \(\vec{SR}=\begin{pmatrix}-3{,}5\\7{,}5\\-6\end{pmatrix}\) c) \(\vec{SR}=-\vec{RS}\); die Vektoren sind Gegenvektoren.

- Lies die Koordinaten der Anfangs- und Endpunkte beider Pfeile ab. - Vergleiche die Verschiebungen in beiden Achsenrichtungen. - Berücksichtige auch die dritte Komponente.

1. Aus der Abbildung liest man \(A(-3\mid1\mid0)\), \(B(0\mid3\mid0)\), \(C(1\mid-2\mid0)\) und \(D(4\mid0\mid0)\) ab. 2. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{CD}=\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}\). 3. Beide Vektoren haben dieselben Komponenten und sind daher gleich.

\(\vec{AB}=\vec{CD}=\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}\); ja, die Vektoren sind gleich.

- Lies aus dem Pfeil ab, wie sich beide Koordinaten von \(A\) nach \(B\) ändern. - Überlege, welche Verschiebung von \(C\) aus zum gesuchten Punkt führt. - Denke an die dritte Koordinate.

1. Aus der Abbildung liest man \(A(-2\mid-1\mid0)\), \(B(1\mid1\mid0)\) und \(C(0\mid-2\mid0)\) ab. 2. Damit ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}\). 3. Derselbe Verschiebungsvektor wird an \(C\) angelegt. Daher ist \(D(3\mid0\mid0)\).

\(D(3\mid0\mid0)\)

- Beginne bei \(A\) und verfolge die gestrichelte Zerlegung bis \(B\). - Vergleiche die Richtung jeder Teilstrecke mit den drei eingezeichneten positiven Achsenrichtungen. - Die Koeffizienten vor \(\vec{e}_1\), \(\vec{e}_2\) und \(\vec{e}_3\) werden in dieser Reihenfolge zu den Komponenten des Spaltenvektors.

1. Die erste Teilverschiebung ist \(-2\vec{e}_1\). Daher ist die erste Komponente von \(\overrightarrow{AB}\) gleich \(-2\). 2. Die zweite Teilverschiebung ist \(\vec{e}_2\). Daher ist die zweite Komponente gleich \(1\). 3. Die dritte Teilverschiebung ist \(2\vec{e}_3\). Daher ist die dritte Komponente gleich \(2\). 4. Insgesamt gilt \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}\).

\(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}\)

- Achte bei jedem Pfeil auf die Richtung von Anfang zu Ende. - Vergleiche für alle drei Pfeile die waagerechte und die senkrechte Verschiebung. - Genügt dieselbe Länge, damit zwei Vektoren gleich sind?

1. Aus dem Bild liest man \(A(-3\mid-1)\), \(B(-1\mid2)\), \(C(0\mid-2)\), \(D(2\mid1)\), \(E(3\mid2)\) und \(F(1\mid-1)\) ab. 2. Damit ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\) und \(\vec{CD}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\). 3. Dagegen gilt \(\vec{EF}=\begin{pmatrix}-2\\-3\end{pmatrix}=-\vec{AB}\). Er hat dieselbe Länge, aber die entgegengesetzte Richtung.

\(\vec{AB}=\vec{CD}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\). Dagegen ist \(\vec{EF}=\begin{pmatrix}-2\\-3\end{pmatrix}\) der Gegenvektor.

- Die benötigten Informationen über Gleichheit der Längen und Lage der Kanten stehen im Bild, nicht im Aufgabentext. - Gleiche Vektoren brauchen dieselbe Länge und dieselbe Richtung. - Was ändert sich an einem Vektor, wenn Anfangs- und Endpunkt vertauscht werden?

1. Im Bild sind \(AD\), \(BE\) und \(CF\) durch dieselbe Strichmarkierung als gleich lang gekennzeichnet und parallel gezeichnet. 2. Die gerichteten Vektoren \(\vec{AD}\), \(\vec{BE}\) und \(\vec{CF}\) verlaufen jeweils von der unteren zur entsprechend versetzten oberen Ecke und haben daher dieselbe Richtung. 3. Die umgekehrt gerichteten Vektoren \(\vec{DA}\), \(\vec{EB}\) und \(\vec{FC}\) sind die zugehörigen Gegenvektoren.

\(\vec{AD}\), \(\vec{BE}\) und \(\vec{CF}\) sind gleich; \(\vec{DA}\), \(\vec{EB}\) und \(\vec{FC}\) sind ihre Gegenvektoren.

- Welche Form haben die Koordinaten eines Punktes auf der \(x_1\)-Achse? - Drücke den Endpunkt zunächst mithilfe des unbekannten Anfangspunkts und des gegebenen Vektors aus. - Welche Koordinate muss für einen Punkt der \(x_2x_3\)-Ebene null sein?

1. Wegen \(C\) auf der \(x_1\)-Achse hat der Anfangspunkt die Form \(C(c\mid0\mid0)\). 2. Aus \(\vec{CD}=\vec{v}\) folgt \(D(c+2\mid-1\mid3)\). 3. Da \(D\) in der \(x_2x_3\)-Ebene liegt, muss seine erste Koordinate null sein. Somit gilt \(c+2=0\), also \(c=-2\). 4. Daher ist \(C(-2\mid0\mid0)\) und \(D(0\mid-1\mid3)\).

\(C(-2\mid0\mid0)\), \(D(0\mid-1\mid3)\)

- Wende auf beide Anfangspunkte dieselbe Änderung in den drei Koordinatenrichtungen an. - Vergleiche nicht die Lage der Pfeile im Koordinatensystem, sondern ihre Verschiebung und Pfeilrichtung. - Kontrolliere für beide Pfeile Anfangspunkt, Endpunkt und Pfeilrichtung.

1. Vom Punkt \(A\) aus führt der Vektor \(\vec{v}\) zum Punkt \(B(2\mid2\mid1)\). 2. Vom Punkt \(C\) aus führt derselbe Vektor zum Punkt \(D(-3\mid5\mid3)\). 3. Zeichne die gerichteten Strecken \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{CD}\). Beide sind gleich lang und gleich gerichtet und stellen daher denselben freien Vektor dar.

Die Zeichnung zeigt \(\overrightarrow{AB}\) mit \(B(2\mid2\mid1)\) und \(\overrightarrow{CD}\) mit \(D(-3\mid5\mid3)\). Beide Pfeile sind gleich lang und gleich gerichtet und stellen \(\vec{v}\) dar.

- Untersuche zuerst jeweils entsprechende Kanten von Grund- und Deckfläche. - Gleiche Vektoren müssen in Länge, Richtung und Orientierung übereinstimmen. - Behandle danach die drei Seitenkanten und schließlich alle Gegenrichtungen. - Kontrolliere am Ende, ob deine Gruppen zusammen wirklich alle \(18\) gerichteten Kantenpfeile enthalten.

1. Entsprechende Kanten von Grund- und Deckfläche sind parallel, gleich lang und bei gleicher Orientierung gleiche Vektoren. Daher gelten \(\vec{AB}=\vec{DE}\), \(\vec{BC}=\vec{EF}\) und \(\vec{CA}=\vec{FD}\). 2. Für die Gegenrichtungen folgen \(\vec{BA}=\vec{ED}\), \(\vec{CB}=\vec{FE}\) und \(\vec{AC}=\vec{DF}\). 3. Die drei parallelen Seitenkanten besitzen dieselbe Orientierung von der Grund- zur Deckfläche: \(\vec{AD}=\vec{BE}=\vec{CF}\). In Gegenrichtung gilt \(\vec{DA}=\vec{EB}=\vec{FC}\). 4. Damit zerfallen alle \(18\) gerichteten Kantenpfeile in acht Gruppen: sechs Zweiergruppen und zwei Dreiergruppen. 5. Es werden folglich \(8\) verschiedene Vektoren repräsentiert. 6. Beispielsweise haben \(\vec{AD}\) und \(\vec{DA}\) dieselbe Länge, aber entgegengesetzte Orientierung; sie sind Gegenvektoren und nicht derselbe Vektor.

a) \(\{\vec{AB},\vec{DE}\}\), \(\{\vec{BA},\vec{ED}\}\), \(\{\vec{BC},\vec{EF}\}\), \(\{\vec{CB},\vec{FE}\}\), \(\{\vec{CA},\vec{FD}\}\), \(\{\vec{AC},\vec{DF}\}\), \(\{\vec{AD},\vec{BE},\vec{CF}\}\), \(\{\vec{DA},\vec{EB},\vec{FC}\}\) b) \(8\) verschiedene Vektoren c) Zum Beispiel sind \(\vec{AD}\) und \(\vec{DA}\) gleich lang, aber entgegengesetzt orientiert und daher verschiedene Vektoren.

- Beginne mit den gerichteten Grundkanten und nutze die Eigenschaften des Quadrats. - Vergiss bei jeder Gleichheit die Orientierung des Pfeils nicht. - Untersuche die Seitenkanten getrennt von den Grundkanten. - Frage dich bei c), welche Merkmale außer der Länge einen Vektor festlegen.

1. In der quadratischen Grundfläche sind gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang. Bei passender Orientierung gilt daher \(\vec{AB}=\vec{DC}\) und \(\vec{BC}=\vec{AD}\). 2. Für die Gegenrichtungen folgen \(\vec{BA}=\vec{CD}\) und \(\vec{CB}=\vec{DA}\). 3. Damit bilden die acht gerichteten Grundkanten vier Gruppen gleicher Vektoren. 4. Die acht gerichteten Seitenkanten \(\vec{AS},\vec{SA},\vec{BS},\vec{SB},\vec{CS},\vec{SC},\vec{DS},\vec{SD}\) haben trotz teilweise gleicher Länge unterschiedliche Richtungen oder Orientierungen und bilden daher acht weitere, voneinander verschiedene Vektoren. 5. Insgesamt ergeben sich \(4+8=12\) verschiedene Vektoren. 6. Gleiche Länge ist nur eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für gleiche Vektoren; zusätzlich müssen Richtung und Orientierung übereinstimmen.

a) \(\{\vec{AB},\vec{DC}\}\), \(\{\vec{BA},\vec{CD}\}\), \(\{\vec{BC},\vec{AD}\}\), \(\{\vec{CB},\vec{DA}\}\) b) \(12\) verschiedene Vektoren c) Die Seitenkantenvektoren haben unterschiedliche Richtungen. Gleiche Länge allein macht zwei Vektoren nicht gleich.

- Bilde jeden Verbindungsvektor als Endpunkt minus Anfangspunkt. - Wann stellen zwei gerichtete Strecken denselben freien Vektor dar? - Übertrage in c) die Verschiebung von \(A\) nach \(C\) auf den Startpunkt \(B\).

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\-2\\5\end{pmatrix}\). 2. Ebenso ist \(\vec{DC}=\begin{pmatrix}3\\-2\\5\end{pmatrix}\). Die beiden Vektoren sind gleich. 3. Damit werden die gegenüberliegenden Seiten \(AB\) und \(DC\) durch denselben Vektor beschrieben. Das Viereck \(ABCD\) ist ein Parallelogramm. 4. Weiter gilt \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}-2\\3\\3\end{pmatrix}\). 5. Wegen \(\vec{BS}=\vec{AC}\) folgt \(S=B+\vec{AC}=(3\mid4\mid7)\).

a) \(\vec{AB}=\vec{DC}=\begin{pmatrix}3\\-2\\5\end{pmatrix}\) b) \(ABCD\) ist ein Parallelogramm. c) \(S(3\mid4\mid7)\)

- Welche gleich orientierten Seitenvektoren liegen sich im Viereck \(PQRS\) gegenüber? - Zwei Vektoren sind genau dann gleich, wenn alle Komponenten übereinstimmen. - In welcher Komponente kommt der Parameter \(a\) vor?

1. Für zwei gleich orientierte gegenüberliegende Seiten gilt \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}3-a\\4\\-2\end{pmatrix}\) und \(\vec{SR}=\begin{pmatrix}-2\\4\\-2\end{pmatrix}\). 2. In einem Parallelogramm müssen diese beiden Vektoren gleich sein. Aus der ersten Komponente folgt \(3-a=-2\). 3. Damit ist \(a=5\). Die zweite und dritte Komponente stimmen bereits überein.

\(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}3-a\\4\\-2\end{pmatrix}\) und \(\vec{SR}=\begin{pmatrix}-2\\4\\-2\end{pmatrix}\). Für ein Parallelogramm gilt \(\vec{PQ}=\vec{SR}\), also \(3-a=-2\) und damit \(a=5\).