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- Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen einem Vektor und seinem Gegenvektor. - Wie hängen die Koordinaten eines Vektors mit seiner Länge (seinem Betrag) zusammen? - Für die Vektoraddition addierst du die einzelnen Komponenten der Vektoren.

1. Berechnung von \(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 5-1 \\ 5-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{BA} = -\vec{AB} = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der Beträge: \(|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = 5\) und \(|\vec{BA}| = 5\). 3. Bestimmung von \(\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 1-1 \\ 1-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\). 4. Berechnung der Länge: \(|\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\). 5. Berechnung von \(\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}\). 6. Addition: \(\vec{AB} + \vec{BC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\), was exakt \(\vec{AC}\) entspricht.

a) \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{BA} = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(|\vec{AB}| = 5\), \(|\vec{BA}| = 5\) b) \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\), \(|\vec{AC}| = 5\) c) \(\vec{AB} + \vec{BC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} = \vec{AC}\)

- Überlege dir, welchen festen Wert die dritte Koordinate haben muss, wenn ein Punkt direkt auf der „Grundfläche“ (der \(x_1x_2\)-Ebene) liegt. - Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei Punkten? Erinnere dich an die Regel „Spitze minus Anfang“. - Der Mittelpunkt einer Strecke liegt genau in der Mitte zwischen den jeweiligen Koordinaten der Endpunkte. - Eine Verschiebung „nach oben“ betrifft im räumlichen Koordinatensystem nur eine der drei Koordinatenachsen.

1. In der \(x_1x_2\)-Ebene ist die \(x_3\)-Koordinate für alle Punkte gleich \(0\). Somit ergeben sich die räumlichen Koordinaten \(A(5 | -1 | 0)\) und \(B(2 | 3 | 0)\). 2. In der Ebene gilt \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2-5 \\ 3-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\). Im Raum gilt \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2-5 \\ 3-(-1) \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die ersten beiden Komponenten sind identisch, die dritte Komponente ist \(0\). 3. Der Mittelpunkt \(M\) berechnet sich durch Mittelung der Koordinaten: \(M\left(\frac{5+2}{2} \mid \frac{-1+3}{2} \mid \frac{0+0}{2}\right) = M(3{,}5 | 1 | 0)\). 4. Da der Punkt \(P\) senkrecht über \(M\) in Richtung der \(x_3\)-Achse liegt, ändern sich nur die \(x_3\)-Koordinaten: \(P(3{,}5 | 1 | 0+4) = P(3{,}5 | 1 | 4)\).

1. \(A(5 | -1 | 0)\), \(B(2 | 3 | 0)\) 2. \(\vec{AB}_{\text{Ebene}} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\), \(\vec{AB}_{\text{Raum}} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die räumliche Darstellung ergänzt eine Nullkomponente. 3. \(M(3{,}5 | 1 | 0)\) 4. \(P(3{,}5 | 1 | 4)\)

- Überlege dir, welche Koordinaten vom Zielpunkt und welche vom Startpunkt abgezogen werden müssen. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du die Richtung eines Vektors umkehrst? - Achte besonders auf das Rechnen mit negativen Koordinaten.

1. Berechnung des Vektors \(\vec{AB}\) durch Subtraktion der Koordinaten von \(A\) von denen von \(B\): \(\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 0 - 8 \\ 4 - (-2) \\ -3 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ 6 \\ -8 \end{pmatrix}\) 2. Berechnung des Vektors \(\vec{BA}\) durch Subtraktion der Koordinaten von \(B\) von denen von \(A\): \(\vec{BA} = \vec{OA} - \vec{OB} = \begin{pmatrix} 8 - 0 \\ -2 - 4 \\ 5 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -6 \\ 8 \end{pmatrix}\)

\(\vec{AB} = \begin{pmatrix} -8 \\ 6 \\ -8 \end{pmatrix}\); \(\vec{BA} = \begin{pmatrix} 8 \\ -6 \\ 8 \end{pmatrix}\)

- Überlege dir, welche Vektoren in einem Parallelogramm \(ABCD\) gleich sein müssen. Achte dabei auf die Orientierung der Pfeile. - Wie hängen der Ortsvektor eines Punktes \(D\) und die Vektoren der Seiten zusammen? - Erinnere dich an die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke zwischen zwei Punkten. - Was bedeutet es für die Lage der Mittelpunkte, wenn sich zwei Strecken gegenseitig halbieren?

1. Berechnung des Verbindungsvektors \(\vec{AB}\): \(\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 2-4 \\ 2-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) 2. Bestimmung von \(D\) über die Bedingung \(\vec{DC} = \vec{AB}\) (bzw. \(\vec{OD} = \vec{OC} - \vec{AB}\)): \(\vec{OD} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \implies D(-2|1|1)\) 3. Berechnung des Mittelpunkts \(M_{AC}\) der Diagonale \(AC\): \(\vec{OM_{AC}} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1+2 \\ 4-1 \\ -2+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 1{,}5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}\) 4. Berechnung des Mittelpunkts \(M_{BD}\) der Diagonale \(BD\): \(\vec{OM_{BD}} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 5-2 \\ 2+1 \\ 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 1{,}5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}\) Da \(M_{AC} = M_{BD}\), halbieren sich die Diagonalen im Punkt \(M(1{,}5|1{,}5|1{,}5)\).

a) \(D(-2|1|1)\) b) Der gemeinsame Mittelpunkt beider Diagonalen liegt bei \(M(1{,}5|1{,}5|1{,}5)\).

- Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei Punkten im Raum? - Was bedeutet es für die Geometrie eines Vierecks, wenn gegenüberliegende Vektoren identisch sind? - Welche Eigenschaft müssen die Seitenvektoren erfüllen, damit ein rechter Winkel entsteht? - Reicht die Parallelität der Seiten aus, um ein Rechteck eindeutig zu identifizieren?

1. Berechnung der Vektoren durch Differenzbildung der Punktkoordinaten: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 2-1 \\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 6-3 \\ 5-4 \\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 3-2 \\ 4-1 \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 6-5 \\ 5-2 \\ 2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Da \(\vec{AB} = \vec{DC}\) (und \(\vec{AD} = \vec{BC}\)), sind die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang. Somit ist das Viereck ein Parallelogramm. 3. Prüfung auf ein Rechteck mittels Skalarprodukt benachbarter Seitenvektoren: \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 0 = 3 + 3 + 0 = 6\). Da das Skalarprodukt ungleich Null ist, liegt kein rechter Winkel vor. Das Viereck ist ein Parallelogramm, aber kein Rechteck.

a) \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). b) Es handelt sich um ein Parallelogramm, da die gegenüberliegenden Seitenvektoren gleich sind. Es ist kein Rechteck, da das Skalarprodukt \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 6 \neq 0\) ist.

- Erinnere dich an die Definition einer Raute im Vergleich zu einem allgemeinen Parallelogramm. - Wie bestimmt man die Länge (den Betrag) eines Vektors im dreidimensionalen Koordinatensystem? - Welche Vektoren musst du vergleichen, um zu zeigen, dass alle Seiten gleich lang und parallel sind? - Wie berechnet man den Umfang einer Figur, wenn die Seitenlängen bekannt sind?

1. Berechnung der Vektoren: \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 2-1 \\ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{PS} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ 3-1 \\ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der Längen: \(|\vec{PQ}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3\). \(|\vec{PS}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3\). 3. Nachweis der Rautenform: Zuerst Prüfung auf Parallelogramm: \(\vec{SR} = \begin{pmatrix} 4-2 \\ 4-3 \\ 5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{PQ} = \vec{SR}\), ist es ein Parallelogramm. Da zudem die benachbarten Seiten gleich lang sind (\(|\vec{PQ}| = |\vec{PS}| = 3\)), ist es eine Raute. 4. Umfangsberechnung: Da alle vier Seiten gleich lang sind, gilt \(U = 4 \cdot 3 = 12\).

a) \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(|\vec{PQ}| = 3\); \(\vec{PS} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(|\vec{PS}| = 3\). b) Das Viereck ist ein Parallelogramm (\(\vec{PQ} = \vec{SR} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)) mit gleich langen benachbarten Seiten (\(3 = 3\)), also eine Raute. c) Der Umfang beträgt \(12\) Längeneinheiten.

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es gibt, zwei verschiedene Punkte aus der Menge der Eckpunkte auszuwählen und anzuordnen. - Wann sind zwei Pfeile Repräsentanten desselben Vektors? Achte auf Parallelität, Länge und Orientierung. - Unterscheide bei der Zählung der Vektoren zwischen Kanten der Grund- und Deckfläche, den Seitenkanten und den Diagonalen der Seitenflächen. - Vergiss nicht, dass ein Vektor und sein Gegenvektor (umgekehrte Richtung) als zwei verschiedene Vektoren zählen.

1. Anzahl der Pfeile: Aus 6 Eckpunkten lassen sich \(6 \cdot 5 = 30\) verschiedene geordnete Paare \((P, Q)\) mit \(P \neq Q\) bilden. 2. Repräsentanten von \(\vec{AD}\): In einem geraden Prisma sind die Seitenkanten \(AD\), \(BE\) und \(CF\) parallel und gleich lang. Somit repräsentieren die Pfeile \(\vec{AD}\), \(\vec{BE}\) und \(\vec{CF}\) denselben Vektor. 3. Anzahl der verschiedenen Vektoren: Die 30 Pfeile lassen sich in Äquivalenzklassen (Vektoren) unterteilen: - Seitenkanten: Die Pfeile \(\vec{AD}, \vec{BE}, \vec{CF}\) bilden einen Vektor; ihre Gegenpfeile \(\vec{DA}, \vec{EB}, \vec{FC}\) einen zweiten (2 Vektoren). - Grund- und Deckflächenkanten: Wegen der Parallelität gilt \(\vec{AB} = \vec{DE}\), \(\vec{BC} = \vec{EF}\) und \(\vec{CA} = \vec{FD}\). Zusammen mit den jeweiligen Gegenvektoren ergeben sich \(3 \cdot 2 = 6\) Vektoren. - Flächendiagonalen: Auf den drei rechteckigen Seitenflächen gibt es jeweils zwei Diagonalen (z. B. \(\vec{AE}\) und \(\vec{BD}\) auf \(ABED\)). Da keine dieser Diagonalen zu einer anderen parallel ist, ergeben sich \(3 \cdot 2 = 6\) Richtungen, also \(6 \cdot 2 = 12\) Vektoren inklusive Gegenvektoren. Insgesamt gibt es \(2 + 6 + 12 = 20\) verschiedene Vektoren.

a) 30 Pfeile b) \(\vec{AD}\), \(\vec{BE}\) und \(\vec{CF}\) c) 20 verschiedene Vektoren

- Wie viele Eckpunkte hat eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche insgesamt? - Zwei Pfeile sind nur dann gleich, wenn sie in Länge, Richtung und Orientierung übereinstimmen. Welche Kanten einer Pyramide erfüllen diese Bedingung? - Betrachte die Grundkanten, die Diagonalen der Grundfläche und die Kanten, die zur Spitze führen, getrennt voneinander. - Prüfe systematisch, ob ein Pfeil zu einem anderen parallel sein kann, wenn sie nicht in derselben Ebene liegen.

1. Anzahl der Pfeile: Die Pyramide hat 5 Eckpunkte. Die Anzahl der geordneten Paare \((P, Q)\) mit \(P \neq Q\) beträgt \(5 \cdot 4 = 20\). 2. Identische Vektoren: In der quadratischen Grundfläche sind gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang. Es gilt \(\vec{AB} = \vec{DC}\) und \(\vec{AD} = \vec{BC}\). Ebenso gilt für die Gegenvektoren \(\vec{BA} = \vec{CD}\) und \(\vec{DA} = \vec{CB}\). Alle anderen Pfeile (die vier Mantelkanten zu der Spitze \(S\) sowie die zwei Grundflächendiagonalen) haben jeweils eine einzigartige Richtung oder Länge und bilden daher keine Paare identischer Vektoren. 3. Anzahl der verschiedenen Vektoren: - Von den 8 Pfeilen der Grundkanten entfallen jeweils zwei auf einen Vektor, woraus 4 verschiedene Vektoren resultieren. - Die 4 Pfeile der Grunddiagonalen (\(\vec{AC}, \vec{CA}, \vec{BD}, \vec{DB}\)) sind alle verschieden (4 Vektoren). - Die 8 Pfeile der Mantelkanten (\(\vec{AS}, \vec{SA}, \vec{BS}, \vec{SB}, \vec{CS}, \vec{SC}, \vec{DS}, \vec{SD}\)) sind alle verschieden (8 Vektoren). Insgesamt ergeben sich \(4 + 4 + 8 = 16\) verschiedene Vektoren.

a) 20 Pfeile b) \(\{\vec{AB}, \vec{DC}\}\), \(\{\vec{BA}, \vec{CD}\}\), \(\{\vec{AD}, \vec{BC}\}\) und \(\{\vec{DA}, \vec{CB}\}\) c) 16 verschiedene Vektoren

- Wenn ein Vektor in einer Ebene „flach“ liegt, trägt er nicht zur Höhe bei. Was bedeutet das für seine Komponenten? - Überlege dir, welche Koordinaten null sein müssen, wenn ein Vektor nur nach „oben“ oder „unten“ zeigt. - Die Formel für die Länge eines Vektors im Raum ist eine Erweiterung des Satzes von Pythagoras auf drei Dimensionen. - Vektoren werden komponentenweise addiert.

1. Die Einbettung in die \(x_1x_2\)-Ebene bedeutet, dass die \(x_3\)-Komponente \(0\) ist. Die Länge berechnet sich im Raum über \(\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + 0^2}\), was identisch mit der Länge in der Ebene \(\sqrt{u_1^2 + u_2^2}\) ist. Die Länge bleibt also \(8\). 2. Ein Vektor senkrecht zur \(x_1x_2\)-Ebene verläuft parallel zur \(x_3\)-Achse. Seine \(x_1\)- und \(x_2\)-Komponenten sind \(0\). Bei einer Länge von \(6\) ist eine mögliche Darstellung \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}\) (oder \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix}\)). 3. Der Summenvektor ist \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 3+0 \\ 4+0 \\ 0+12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 12 \end{pmatrix}\). Die Länge berechnet sich nach dem Satz des Pythagoras im Raum: \(|\vec{s}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\).

1. Dritte Koordinate ist \(0\); die Länge bleibt \(8\), da \(x_3 = 0\) den Wert unter der Wurzel nicht verändert. 2. \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}\) (oder \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix}\)) 3. \(|\vec{s}| = 13\)

- Wie berechnest du die Komponenten eines Vektors, wenn die Anfangs- und Endpunkte gegeben sind? - Wann sind zwei Vektoren mathematisch gesehen gleich? - Welche besondere Form hat ein Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten durch denselben Vektor beschrieben werden? - Wenn zwei Verschiebungen identisch sein sollen, müssen ihre Vektoren in allen Komponenten übereinstimmen.

1. Berechnung von \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 1-3 \\ 4-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung von \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 0-(-3) \\ 6-8 \\ 2-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}\). 3. Feststellung: Die Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{DC}\) sind identisch. 4. Da gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel sind (\(\vec{AB} = \vec{DC}\)), handelt es sich bei dem Viereck \(ABCD\) um ein Parallelogramm. 5. Berechnung des Vektors \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0-2 \\ 6-3 \\ 2-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 6. Berechnung von \(S\) über den Ortsvektor: \(\vec{s} = \vec{b} + \vec{AC} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}\) und \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}\). Die Vektoren sind identisch. b) Das Viereck \(ABCD\) ist ein Parallelogramm. c) Der Punkt ist \(S(3|4|7)\).

- Wie hängen ein Punkt, sein Bildpunkt und der zugehörige Verschiebungsvektor zusammen? - Wenn du die Verschiebung rückgängig machen möchtest, welche Rechenoperation musst du anwenden? - Überlege dir, ob sich der Abstand oder die Richtung zwischen zwei Punkten ändert, wenn beide exakt gleich verschoben werden.

1. Berechnung von \(P'\) durch Addition des Verschiebungsvektors zum Ortsvektor von \(P\): \(\vec{p'} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \implies P'(1|5|6)\). 2. Berechnung von \(Q\) durch Subtraktion des Verschiebungsvektors vom Ortsvektor des Bildpunktes \(Q'\): \(\vec{q} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \implies Q(7|-4|1)\). 3. Berechnung des Verbindungsvektors \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 7-3 \\ -4-1 \\ 1-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix}\). 4. Berechnung des Verbindungsvektors \(\vec{P'Q'} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 0-5 \\ 2-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix}\). 5. Vergleich: Die Vektoren \(\vec{PQ}\) und \(\vec{P'Q'}\) sind identisch, da beide Punkte um denselben Vektor verschoben wurden und somit ihre relative Lage zueinander gleich bleibt.

a) \(P'(1|5|6)\) b) \(Q(7|-4|1)\) c) \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{P'Q'} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix}\). Die Vektoren sind identisch.

- Wie berechnet man die Verschiebung von einem Punkt zum anderen im Raum? - Gibt es eine einfache Regel, um von \(\vec{RS}\) direkt auf \(\vec{SR}\) zu schließen? - Schau dir die Vorzeichen der einzelnen Komponenten im Vergleich an.

1. Berechnung von \(\vec{RS}\) (Spitze minus Anfang): \(\vec{RS} = \begin{pmatrix} 2 - (-1{,}5) \\ -4{,}5 - 3 \\ 6 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3{,}5 \\ -7{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}\) 2. Berechnung von \(\vec{SR}\) (Spitze minus Anfang): \(\vec{SR} = \begin{pmatrix} -1{,}5 - 2 \\ 3 - (-4{,}5) \\ 0 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3{,}5 \\ 7{,}5 \\ -6 \end{pmatrix}\) 3. Vergleich der Vektoren: Die Komponenten von \(\vec{SR}\) sind genau die negativen Werte der Komponenten von \(\vec{RS}\). Es gilt \(\vec{SR} = - \vec{RS}\). Geometrisch handelt es sich um Gegenvektoren, die die gleiche Länge und Richtung, aber eine entgegengesetzte Orientierung haben.

a) \(\vec{RS} = \begin{pmatrix} 3{,}5 \\ -7{,}5 \\ 6 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{SR} = \begin{pmatrix} -3{,}5 \\ 7{,}5 \\ -6 \end{pmatrix}\) c) Die Vektoren sind Gegenvektoren zueinander; es gilt \(\vec{SR} = -\vec{RS}\).

- Was muss für die Vektoren gelten, die die gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms beschreiben? - Achte bei der Benennung der Vektoren genau auf die Reihenfolge der Eckpunkte \(PQRS\). Welche Seiten liegen sich gegenüber? - Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie in allen drei Koordinaten übereinstimmen.

1. Aufstellen der Vektoren für zwei gegenüberliegende Seiten, z. B. \(\vec{PQ}\) und \(\vec{SR}\): \(\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \begin{pmatrix} 3-a \\ 5-1 \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-a \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) \(\vec{SR} = \vec{OR} - \vec{OS} = \begin{pmatrix} 5-7 \\ 3-(-1) \\ -1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) 2. Gleichsetzen der Vektoren (\(\vec{PQ} = \vec{SR}\)), da in einem Parallelogramm gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sein müssen: \(\begin{pmatrix} 3-a \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) 3. Lösen der Gleichung für die erste Koordinate: \(3 - a = -2 \implies a = 5\) 4. Überprüfung der restlichen Koordinaten: Die \(y\)- und \(z\)-Komponenten stimmen mit \(4=4\) und \(-2=-2\) bereits überein. Für \(a=5\) ist die Bedingung erfüllt.

Das Viereck \(PQRS\) ist ein Parallelogramm für \(a = 5\).

- Behandle den Parameter \(k\) beim Aufstellen des Vektors wie eine normale Zahl. - Die Formel für den Betrag eines Vektors führt hier auf eine Gleichung, in der \(k\) vorkommt. - Wenn du eine Wurzelgleichung löst, denke daran, dass beim Quadrieren oder beim Ziehen der Wurzel aus einem Quadrat zwei Lösungen entstehen können.

1. Aufstellen des Vektors durch Subtraktion der Ortsvektoren: \(\vec{PQ_k} = \vec{Q_k} - \vec{P} = \begin{pmatrix} k-3 \\ 6-2 \\ 3-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k-3 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Einsetzen von \(k=3\): \(\vec{PQ_3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). Der Betrag ist \(|\vec{PQ_3}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{32} \approx 5{,}66\). 3. Ansatz für die Länge 6: \(\sqrt{(k-3)^2 + 4^2 + 4^2} = 6\). 4. Quadrieren der Gleichung: \((k-3)^2 + 16 + 16 = 36\), also \((k-3)^2 + 32 = 36\). 5. Umformen zu \((k-3)^2 = 4\). 6. Ziehen der Wurzel führt zu zwei Fällen: \(k-3 = 2 \implies k = 5\) und \(k-3 = -2 \implies k = 1\).

a) \(\vec{PQ_k} = \begin{pmatrix} k-3 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\) b) \(|\vec{PQ_3}| = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66\) c) \(k_1 = 1\) und \(k_2 = 5\)