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- Welche Rolle spielen Anfangs- und Endpunkt bei einem Verbindungsvektor? - Arbeite die drei Koordinaten getrennt voneinander ab. - Kontrolliere die Richtung, indem du gedanklich von \(A\) nach \(B\) gehst.

1. Der Verbindungsvektor ergibt sich aus Endpunkt minus Anfangspunkt. 2. Daher ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2-(-1)\\0-2\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix}\).

\(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix}\)

- Ein Repräsentant muss dieselbe gerichtete Verschiebung wie der gegebene Vektor beschreiben. - Bestimme den Verbindungsvektor vom Anfangspunkt \(P\) zum Endpunkt \(Q\). - Vergleiche anschließend die drei Komponenten mit denen von \(\vec{a}\).

1. Der Verbindungsvektor ist \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}3-1\\1-2\\2-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\). 2. Damit gilt \(\vec{PQ}=\vec{a}\). Die gerichtete Strecke von \(P\) nach \(Q\) ist also ein Repräsentant von \(\vec{a}\).

Ja. Es gilt \(\vec{PQ}=\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\).

- Berechne \(\vec{AB}\) wie jeden anderen Verbindungsvektor aus Endpunkt minus Anfangspunkt. - Frage dich in Teil b), ob \(O\) eine Lage oder eine Verschiebung beschreibt. - Kann derselbe Nullvektor auch durch zwei andere identische Punkte dargestellt werden?

1. Da \(A\) und \(B\) derselbe Punkt sind, gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\vec{0}\). 2. Der Nullvektor ist ein Vektor: Er beschreibt eine Verschiebung ohne Änderung und kann an beliebigen Punkten repräsentiert werden. 3. Der Ursprung \(O\) ist dagegen ein bestimmter Punkt des Koordinatensystems. Punkt und Vektor haben daher unterschiedliche Rollen.

a) \(\vec{AB}=\vec{0}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\) b) \(\vec{0}\) ist ein Vektor ohne Verschiebung; \(O\) ist ein bestimmter Punkt.

- Lies für jeden Pfeil Anfangs- und Endpunkt aus dem Koordinatensystem ab. - Vergleiche nicht nur die Länge der Strecken, sondern die Verschiebung in beiden Koordinatenrichtungen. - Was ändert sich an einem Vektor, wenn Anfang und Ende die entgegengesetzte Gesamtverschiebung ergeben?

1. Aus dem Bild liest man \(A(-3\mid-1)\), \(B(-1\mid2)\), \(C(0\mid-2)\), \(D(2\mid1)\), \(E(3\mid2)\) und \(F(1\mid-1)\) ab. 2. Damit ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\) und \(\vec{CD}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\). 3. Dagegen gilt \(\vec{EF}=\begin{pmatrix}-2\\-3\end{pmatrix}=-\vec{AB}\). Er hat dieselbe Länge, aber die entgegengesetzte Richtung.

\(\vec{AB}=\vec{CD}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\). Dagegen ist \(\vec{EF}=\begin{pmatrix}-2\\-3\end{pmatrix}\) der Gegenvektor.

- Überlege dir, welchen festen Wert die dritte Koordinate haben muss, wenn ein Punkt direkt auf der „Grundfläche“ (der \(x_1x_2\)-Ebene) liegt. - Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei Punkten? Erinnere dich an die Regel „Spitze minus Anfang“. - Der Mittelpunkt einer Strecke liegt genau in der Mitte zwischen den jeweiligen Koordinaten der Endpunkte. - Eine Verschiebung „nach oben“ betrifft im räumlichen Koordinatensystem nur eine der drei Koordinatenachsen.

1. In der \(x_1x_2\)-Ebene ist die \(x_3\)-Koordinate für alle Punkte gleich \(0\). Somit ergeben sich die räumlichen Koordinaten \(A(5 | -1 | 0)\) und \(B(2 | 3 | 0)\). 2. In der Ebene gilt \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2-5 \\ 3-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\). Im Raum gilt \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2-5 \\ 3-(-1) \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die ersten beiden Komponenten sind identisch, die dritte Komponente ist \(0\). 3. Der Mittelpunkt \(M\) berechnet sich durch Mittelung der Koordinaten: \(M\left(\frac{5+2}{2} \mid \frac{-1+3}{2} \mid \frac{0+0}{2}\right) = M(3{,}5 | 1 | 0)\). 4. Da der Punkt \(P\) senkrecht über \(M\) in Richtung der \(x_3\)-Achse liegt, ändern sich nur die \(x_3\)-Koordinaten: \(P(3{,}5 | 1 | 0+4) = P(3{,}5 | 1 | 4)\).

1. \(A(5 | -1 | 0)\), \(B(2 | 3 | 0)\) 2. \(\vec{AB}_{\text{Ebene}} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\), \(\vec{AB}_{\text{Raum}} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die räumliche Darstellung ergänzt eine Nullkomponente. 3. \(M(3{,}5 | 1 | 0)\) 4. \(P(3{,}5 | 1 | 4)\)

- Welche Koordinate ist für jeden Vektor innerhalb der \(x_1x_2\)-Ebene gleich \(0\)? - Vergleiche die Längenformeln in zwei und drei Dimensionen, wenn die dritte Komponente \(0\) ist. - In welche beiden Orientierungen kann ein Vektor senkrecht zu einer Ebene zeigen?

1. Ein in der \(x_1x_2\)-Ebene liegender Vektor besitzt die dritte Komponente \(0\). Seine räumliche Länge ist daher \(\sqrt{u_1^2+u_2^2+0^2}\) und stimmt mit seiner ebenen Länge überein. Sie bleibt also \(8\). 2. Ein Vektor senkrecht zur \(x_1x_2\)-Ebene ist parallel zur \(x_3\)-Achse. Seine ersten beiden Komponenten sind deshalb \(0\). Bei Länge \(6\) sind genau \(\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}0\\0\\-6\end{pmatrix}\) möglich.

a) Dritte Komponente: \(0\); die Länge bleibt \(8\). b) \(\vec{v}=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}\) oder \(\vec{v}=\begin{pmatrix}0\\0\\-6\end{pmatrix}\)

- Wie berechnet man die Verschiebung von einem Punkt zum anderen im Raum? - Gibt es eine einfache Regel, um von \(\vec{RS}\) direkt auf \(\vec{SR}\) zu schließen? - Schau dir die Vorzeichen der einzelnen Komponenten im Vergleich an.

1. Für den Verbindungsvektor von \(R\) nach \(S\) gilt Spitze minus Anfang: \(\vec{RS}=\begin{pmatrix}2-(-1{,}5)\\-4{,}5-3\\6-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3{,}5\\-7{,}5\\6\end{pmatrix}\). 2. Für den umgekehrten Verbindungsvektor gilt \(\vec{SR}=\begin{pmatrix}-1{,}5-2\\3-(-4{,}5)\\0-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3{,}5\\7{,}5\\-6\end{pmatrix}\). 3. Es gilt \(\vec{SR}=-\vec{RS}\). Die Vektoren sind Gegenvektoren: Sie haben dieselbe Länge und entgegengesetzte Richtungen.

a) \(\vec{RS}=\begin{pmatrix}3{,}5\\-7{,}5\\6\end{pmatrix}\). b) \(\vec{SR}=\begin{pmatrix}-3{,}5\\7{,}5\\-6\end{pmatrix}\). c) \(\vec{SR}=-\vec{RS}\); die Vektoren haben entgegengesetzte Richtungen.

- Lies zuerst die \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinaten der vier markierten Punkte aus der Abbildung ab; die dritte Koordinate ist laut Text jeweils \(0\). - Vergleiche nicht die Lage der Strecken, sondern die Verschiebung vom Anfangs- zum Endpunkt. - Schreibe jeden Vektor mit drei Komponenten auf.

1. Aus der Abbildung liest man \(A(-3|1|0)\), \(B(0|3|0)\), \(C(1|-2|0)\) und \(D(4|0|0)\) ab. 2. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{CD}=\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}\). 3. Beide Vektoren haben dieselben Komponenten und stellen daher denselben Vektor im Raum dar.

\(\vec{AB}=\vec{CD}=\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}\); ja, beide stellen denselben Vektor dar.

- Lies die \(x_1\)- und \(x_2\)-Koordinaten der drei gegebenen Punkte aus der Abbildung ab; \(x_3=0\) ist vorgegeben. - Bestimme zuerst den Vektor \(\vec{AB}\). - Übertrage genau dieselbe dreidimensionale Verschiebung auf den Punkt \(C\).

1. Aus der Abbildung liest man \(A(-2|-1|0)\), \(B(1|1|0)\) und \(C(0|-2|0)\) ab. 2. Damit ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}\). 3. Derselbe Verschiebungsvektor wird an \(C\) angelegt: \(D=(0+3|-2+2|0)=(3|0|0)\).

\(D(3|0|0)\)

- Beginne bei \(A\) und verfolge die gestrichelte Zerlegung bis \(B\). - Vergleiche die Richtung jeder Teilstrecke mit den drei eingezeichneten positiven Achsenrichtungen. - Die Koeffizienten vor \(\vec{e}_1\), \(\vec{e}_2\) und \(\vec{e}_3\) werden in dieser Reihenfolge zu den Komponenten des Spaltenvektors.

1. Die erste Teilverschiebung ist \(-2\vec{e}_1\). Daher ist die erste Komponente von \(\overrightarrow{AB}\) gleich \(-2\). 2. Die zweite Teilverschiebung ist \(\vec{e}_2\). Daher ist die zweite Komponente gleich \(1\). 3. Die dritte Teilverschiebung ist \(2\vec{e}_3\). Daher ist die dritte Komponente gleich \(2\). 4. Insgesamt gilt \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}\).

\(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}\)

- Die benötigten Informationen über Gleichheit der Längen und Lage der Kanten stehen im Bild, nicht im Aufgabentext. - Gleiche Vektoren brauchen dieselbe Länge und dieselbe Richtung. - Was ändert sich an einem Vektor, wenn Anfangs- und Endpunkt vertauscht werden?

1. Im Bild sind \(AD\), \(BE\) und \(CF\) durch dieselbe Strichmarkierung als gleich lang gekennzeichnet und parallel gezeichnet. 2. Die gerichteten Vektoren \(\vec{AD}\), \(\vec{BE}\) und \(\vec{CF}\) verlaufen jeweils von der unteren zur entsprechend versetzten oberen Ecke und haben daher dieselbe Richtung. 3. Die umgekehrt gerichteten Vektoren \(\vec{DA}\), \(\vec{EB}\) und \(\vec{FC}\) sind die zugehörigen Gegenvektoren.

\(\vec{AD}\), \(\vec{BE}\) und \(\vec{CF}\) sind gleich; \(\vec{DA}\), \(\vec{EB}\) und \(\vec{FC}\) sind ihre Gegenvektoren.

- Welche Form haben die Koordinaten eines Punktes auf der \(x_1\)-Achse? - Drücke den Endpunkt zunächst mithilfe des unbekannten Anfangspunkts und des gegebenen Vektors aus. - Welche Koordinate muss für einen Punkt der \(x_2x_3\)-Ebene null sein?

1. Wegen \(C\) auf der \(x_1\)-Achse hat der Anfangspunkt die Form \(C(c\mid0\mid0)\). 2. Aus \(\vec{CD}=\vec{v}\) folgt \(D(c+2\mid-1\mid3)\). 3. Da \(D\) in der \(x_2x_3\)-Ebene liegt, muss seine erste Koordinate null sein. Somit gilt \(c+2=0\), also \(c=-2\). 4. Daher ist \(C(-2\mid0\mid0)\) und \(D(0\mid-1\mid3)\).

\(C(-2\mid0\mid0)\), \(D(0\mid-1\mid3)\)

- Untersuche zuerst jeweils entsprechende Kanten von Grund- und Deckfläche. - Gleiche Vektoren müssen in Länge, Richtung und Orientierung übereinstimmen. - Behandle danach die drei Seitenkanten und schließlich alle Gegenrichtungen. - Kontrolliere am Ende, ob deine Gruppen zusammen wirklich alle \(18\) gerichteten Kantenpfeile enthalten.

1. Entsprechende Kanten von Grund- und Deckfläche sind parallel, gleich lang und bei gleicher Orientierung gleiche Vektoren. Daher gelten \(\vec{AB}=\vec{DE}\), \(\vec{BC}=\vec{EF}\) und \(\vec{CA}=\vec{FD}\). 2. Für die Gegenrichtungen folgen \(\vec{BA}=\vec{ED}\), \(\vec{CB}=\vec{FE}\) und \(\vec{AC}=\vec{DF}\). 3. Die drei parallelen Seitenkanten besitzen dieselbe Orientierung von der Grund- zur Deckfläche: \(\vec{AD}=\vec{BE}=\vec{CF}\). In Gegenrichtung gilt \(\vec{DA}=\vec{EB}=\vec{FC}\). 4. Damit zerfallen alle \(18\) gerichteten Kantenpfeile in acht Gruppen: sechs Zweiergruppen und zwei Dreiergruppen. 5. Es werden folglich \(8\) verschiedene Vektoren repräsentiert. 6. Beispielsweise haben \(\vec{AD}\) und \(\vec{DA}\) dieselbe Länge, aber entgegengesetzte Orientierung; sie sind Gegenvektoren und nicht derselbe Vektor.

a) \(\{\vec{AB},\vec{DE}\}\), \(\{\vec{BA},\vec{ED}\}\), \(\{\vec{BC},\vec{EF}\}\), \(\{\vec{CB},\vec{FE}\}\), \(\{\vec{CA},\vec{FD}\}\), \(\{\vec{AC},\vec{DF}\}\), \(\{\vec{AD},\vec{BE},\vec{CF}\}\), \(\{\vec{DA},\vec{EB},\vec{FC}\}\) b) \(8\) verschiedene Vektoren c) Zum Beispiel sind \(\vec{AD}\) und \(\vec{DA}\) gleich lang, aber entgegengesetzt orientiert und daher verschiedene Vektoren.

- Beginne mit den gerichteten Grundkanten und nutze die Eigenschaften des Quadrats. - Vergiss bei jeder Gleichheit die Orientierung des Pfeils nicht. - Untersuche die Seitenkanten getrennt von den Grundkanten. - Frage dich bei c), welche Merkmale außer der Länge einen Vektor festlegen.

1. In der quadratischen Grundfläche sind gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang. Bei passender Orientierung gilt daher \(\vec{AB}=\vec{DC}\) und \(\vec{BC}=\vec{AD}\). 2. Für die Gegenrichtungen folgen \(\vec{BA}=\vec{CD}\) und \(\vec{CB}=\vec{DA}\). 3. Damit bilden die acht gerichteten Grundkanten vier Gruppen gleicher Vektoren. 4. Die acht gerichteten Seitenkanten \(\vec{AS},\vec{SA},\vec{BS},\vec{SB},\vec{CS},\vec{SC},\vec{DS},\vec{SD}\) haben trotz teilweise gleicher Länge unterschiedliche Richtungen oder Orientierungen und bilden daher acht weitere, voneinander verschiedene Vektoren. 5. Insgesamt ergeben sich \(4+8=12\) verschiedene Vektoren. 6. Gleiche Länge ist nur eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für gleiche Vektoren; zusätzlich müssen Richtung und Orientierung übereinstimmen.

a) \(\{\vec{AB},\vec{DC}\}\), \(\{\vec{BA},\vec{CD}\}\), \(\{\vec{BC},\vec{AD}\}\), \(\{\vec{CB},\vec{DA}\}\) b) \(12\) verschiedene Vektoren c) Die Seitenkantenvektoren haben unterschiedliche Richtungen. Gleiche Länge allein macht zwei Vektoren nicht gleich.

- Wie berechnest du die Komponenten eines Vektors, wenn die Anfangs- und Endpunkte gegeben sind? - Wann sind zwei Vektoren mathematisch gesehen gleich? - Welche besondere Form hat ein Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten durch denselben Vektor beschrieben werden? - Wenn zwei Verschiebungen identisch sein sollen, müssen ihre Vektoren in allen Komponenten übereinstimmen.

1. Berechnung von \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 1-3 \\ 4-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung von \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 0-(-3) \\ 6-8 \\ 2-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}\). 3. Feststellung: Die Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{DC}\) sind identisch. 4. Da gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel sind (\(\vec{AB} = \vec{DC}\)), handelt es sich bei dem Viereck \(ABCD\) um ein Parallelogramm. 5. Berechnung des Vektors \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0-2 \\ 6-3 \\ 2-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\). 6. Berechnung von \(S\) über den Ortsvektor: \(\vec{s} = \vec{b} + \vec{AC} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}\) und \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix}\). Die Vektoren sind identisch. b) Das Viereck \(ABCD\) ist ein Parallelogramm. c) Der Punkt ist \(S(3|4|7)\).

- Was muss für die Vektoren gelten, die die gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms beschreiben? - Achte bei der Benennung der Vektoren genau auf die Reihenfolge der Eckpunkte \(PQRS\). Welche Seiten liegen sich gegenüber? - Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie in allen drei Koordinaten übereinstimmen.

1. Aufstellen der Vektoren für zwei gegenüberliegende Seiten, z. B. \(\vec{PQ}\) und \(\vec{SR}\): \(\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \begin{pmatrix} 3-a \\ 5-1 \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-a \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) \(\vec{SR} = \vec{OR} - \vec{OS} = \begin{pmatrix} 5-7 \\ 3-(-1) \\ -1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) 2. Gleichsetzen der Vektoren (\(\vec{PQ} = \vec{SR}\)), da in einem Parallelogramm gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sein müssen: \(\begin{pmatrix} 3-a \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) 3. Lösen der Gleichung für die erste Koordinate: \(3 - a = -2 \implies a = 5\) 4. Überprüfung der restlichen Koordinaten: Die \(y\)- und \(z\)-Komponenten stimmen mit \(4=4\) und \(-2=-2\) bereits überein. Für \(a=5\) ist die Bedingung erfüllt.

Das Viereck \(PQRS\) ist ein Parallelogramm für \(a = 5\).