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- Kannst du einen Vektor mit einem Minuszeichen davor als Vektor mit vertauschten Anfangs- und Endpunkten schreiben? - Gibt es eine Regel, wie man Vektoren addiert, wenn der Endpunkt des ersten Vektors der Anfangspunkt des zweiten ist? - Hilft es dir, die Reihenfolge der Summanden zu verändern? - Was passiert, wenn eine Klammer mit einem Minuszeichen davor aufgelöst wird?

1. Teilaufgabe a: Anwendung der Additionsregel für Vektoren (Chasles-Relation). Es gilt \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). Durch Hinzufügen des dritten Vektors ergibt sich \(\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}\). 2. Teilaufgabe b: Umwandlung des negativen Vektors in seinen Gegenvektor: \(-\vec{RQ} = \vec{QR}\). Die Summe lautet dann \(\vec{PQ} + \vec{QR} + \vec{RS}\). Durch schrittweise Addition erhält man \(\vec{PR} + \vec{RS} = \vec{PS}\). 3. Teilaufgabe c: Auflösen der Klammer unter Beachtung des Vorzeichens ergibt \(\vec{XY} - \vec{ZY} - \vec{XZ}\). Ersetzen der negativen Vektoren durch ihre Gegenvektoren liefert \(\vec{XY} + \vec{YZ} + \vec{ZX}\). Die Summe \(\vec{XY} + \vec{YZ}\) ergibt \(\vec{XZ}\). Zusammen mit \(\vec{ZX}\) folgt \(\vec{XZ} + \vec{ZX} = \vec{XX} = \vec{0}\).

a) \(\vec{AD}\) b) \(\vec{PS}\) c) \(\vec{0}\)

- Beachte die Vorrangregeln für Klammern. - Vektoren werden komponentenweise addiert oder subtrahiert. - Wie berechnet man den Abstand eines Punktes vom Ursprung oder die Länge eines Pfeils im Raum? - Achte besonders auf die Vorzeichen bei der Subtraktion negativer Zahlen.

1. Zuerst wird die Summe innerhalb der eckigen Klammern komponentenweise berechnet: \(\begin{pmatrix} 4 + (-2) \\ 1 + (-7) \\ 5 + 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 15 \end{pmatrix}\). 2. Dieser Vektor wird anschließend vom ersten Vektor subtrahiert, um \(\vec{v}\) zu erhalten: \(\begin{pmatrix} 8 - 2 \\ -2 - (-6) \\ 3 - 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ -12 \end{pmatrix}\). 3. Der Betrag von \(\vec{v}\) ergibt sich über die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Komponenten: \(|\vec{v}| = \sqrt{6^2 + 4^2 + (-12)^2} = \sqrt{36 + 16 + 144} = \sqrt{196} = 14\).

\(\vec{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ -12 \end{pmatrix}\), \(|\vec{v}| = 14\)

- Wie hängen die Koordinaten eines Punktes und sein Ortsvektor zusammen? - Was bedeutet es geometrisch, einen Punkt um einen Vektor zu verschieben? - Wie berechnet man das Doppelte eines Vektors? - Kannst du die Verschiebung von \(P\) nach \(R\) auch in einem einzigen Schritt ausdrücken?

1. Berechnung von \(Q\) durch Vektoraddition: \(\vec{OQ} = \vec{OP} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(Q(1 | 4 | 6)\). 2. Berechnung des Verschiebungsvektors für den zweiten Schritt: \(2 \cdot \vec{v} = 2 \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 12 \\ 2 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung von \(R\) durch Addition zum Ortsvektor von \(Q\): \(\vec{OR} = \vec{OQ} + 2 \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ 12 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 16 \\ 8 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(R(-5 | 16 | 8)\).

a) \(Q(1 | 4 | 6)\) b) \(R(-5 | 16 | 8)\)

- Nutze die Formel für den Betrag eines Vektors im Raum: \(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\). - Addiere zuerst die Komponenten der Vektoren, um den Summenvektor zu erhalten. - Wann liegen drei Punkte auf einer Geraden, sodass der Weg über den Zwischenpunkt genauso lang ist wie der direkte Weg?

a) Berechnung der Beträge: \(|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5\). \(|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 12^2} = 12\). Summenvektor: \(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 12 \end{pmatrix}\). \(|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\). b) Einsetzen in die Ungleichung: \(13 \leq 5 + 12\), also \(13 \leq 17\). Die Aussage ist wahr. c) Gleichheit tritt nur ein, wenn die Vektoren gleichgerichtet sind. Hier sind \(\vec{u}\) (in der \(xy\)-Ebene) und \(\vec{v}\) (in \(z\)-Richtung) sogar orthogonal zueinander. Damit Gleichheit gilt, müsste \(\vec{v}\) ein Vielfaches von \(\vec{u}\) mit positivem Skalar sein, also in dieselbe Richtung wie \(\vec{u}\) zeigen.

a) \(|\vec{u}| = 5\); \(|\vec{v}| = 12\); \(|\vec{u} + \vec{v}| = 13\) b) \(13 \leq 17\) ist erfüllt. c) Die Vektoren sind nicht gleichgerichtet. Für Gleichheit müssten sie parallel und gleichorientiert sein.

- Welche Eigenschaft haben gegenüberliegende Seiten in einem Parallelogramm bezüglich ihrer Vektoren? - Achte genau auf die Reihenfolge der Eckpunkte im Namen des Vierecks. - Wie kannst du den fehlenden Punkt mithilfe einer Vektoraddition oder -subtraktion erreichen?

1. Bestimmung des Verbindungsvektors \(\vec{PQ}\) durch Subtraktion der Ortsvektoren: \(\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 7-3 \\ 1-(-2) \\ 4-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. In einem Parallelogramm \(PQRS\) gilt für die gegenüberliegenden Seiten die Vektorgleichheit \(\vec{PQ} = \vec{SR}\). 3. Umstellen der Gleichung nach dem Ortsvektor \(\vec{s}\): \(\vec{s} = \vec{r} - \vec{PQ}\). 4. Einsetzen der Werte: \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 5. Die Koordinaten des Punktes lauten \(S(1 | 3 | 0)\).

\(S(1 | 3 | 0)\)

- Wie berechnet man die Komponenten eines Vektors zwischen zwei gegebenen Punkten? - Erinnere dich an die Regel „Spitze minus Anfang“. - Bei der Addition von Vektoren werden die entsprechenden Koordinaten addiert. - Kannst du die Aufgabe c) vereinfachen, indem du dir den Weg der Vektoren anschaust?

1. Berechnung der benötigten Verbindungsvektoren nach der Regel „Spitze minus Anfang“: \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 0-4 \\ 5-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix}\), \(\vec{RS} = \begin{pmatrix} 0-(-2) \\ -3-1 \\ 1-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix}\), \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} -2-1 \\ 1-4 \\ 4-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}\), \(\vec{QS} = \begin{pmatrix} 0-3 \\ -3-0 \\ 1-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ -4 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung von \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 4 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung von \(\vec{v} = 2\cdot\begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 16 \end{pmatrix}\). 4. Vereinfachung von \(\vec{w}\) durch Vektoraddition: \(\vec{PS} + \vec{SR} + \vec{RQ} = \vec{PR} + \vec{RQ} = \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 4 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 16 \end{pmatrix}\) c) \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix}\)

- Was passiert mit den einzelnen Koordinaten eines Vektors bei der Multiplikation mit einer Zahl? - Wie hängen die Koordinaten eines Vektors mit seiner Gesamtlänge zusammen? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du die Komponenten des Vektors quadrierst.

1. Multiplikation jeder Komponente des Vektors mit dem Skalar \(-4\): \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -4 \cdot 1 \\ -4 \cdot (-3) \\ -4 \cdot \frac{3}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 12 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Betrags von \(\vec{w}\) als Quadratwurzel der Summe der Komponentenquadrate: \(|\vec{w}| = \sqrt{(-4)^2 + 12^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 144 + 9} = \sqrt{169} = 13\).

\(\vec{w} = \begin{pmatrix} -4 \\ 12 \\ -3 \end{pmatrix}\); \(|\vec{w}| = 13\)

- Wie multipliziert man eine Zahl mit einem Vektor? - Kannst du den Ausdruck in Teilaufgabe b) vereinfachen, bevor du die Koordinaten berechnest? - Welche Formel hilft dir, die Länge eines Vektors aus seinen Koordinaten zu bestimmen?

1. Berechnung der Koordinaten durch komponentenweise Multiplikation mit dem Skalar: a) \( 2{,}5 \cdot 2 = 5 \); \( 2{,}5 \cdot (-4) = -10 \); \( 2{,}5 \cdot 4 = 10 \). Resultat: \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ -10 \\ 10 \end{pmatrix} \). b) Anwendung des Distributivgesetzes \( k \cdot \vec{v} - m \cdot \vec{v} = (k-m) \cdot \vec{v} \): \( (1{,}8 - 0{,}8) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \). 2. Berechnung der Beträge mit der Formel \( |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} \): a) \( |\vec{a}| = \sqrt{5^2 + (-10)^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100 + 100} = \sqrt{225} = 15 \). b) \( |\vec{b}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{0 + 16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \).

a) \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ -10 \\ 10 \end{pmatrix} \); \( |\vec{a}| = 15 \) b) \( \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \); \( |\vec{b}| = 5 \)

- Überlege dir, wie du die Dezimalzahl und die ganze Zahl als Brüche schreiben kannst. - Suche nach einem gemeinsamen Nenner für alle Komponenten des Vektors. - Wenn du einen gemeinsamen Nenner gefunden hast, kannst du den Kehrwert dieses Nenners als Skalar vor den Vektor ziehen.

1. Umwandlung aller Koordinaten in Brüche mit einem gemeinsamen Nenner: \(0{,}25 = \frac{1}{4}\) und \(1 = \frac{12}{12}\). 2. Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) der Nenner \(6\) und \(4\), welches \(12\) ist. 3. Erweitern der Brüche auf den Nenner \(12\): \(\frac{5}{6} = \frac{10}{12}\) und \(\frac{1}{4} = \frac{3}{12}\). 4. Ausklammern des Faktors \(\frac{1}{12}\) aus dem Vektor: \(\vec{a} = \frac{1}{12} \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ -3 \\ 12 \end{pmatrix}\).

\(\vec{a} = \frac{1}{12} \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ -3 \\ 12 \end{pmatrix}\)

- Betrachte jede Zeile der Vektoren als eine eigene kleine Gleichung. - Was muss für die Zahl \(k\) gelten, damit die gesamte Vektorgleichung wahr ist? - Vergleiche die Ergebnisse für \(k\), die du aus den einzelnen Zeilen erhältst. - Wenn ein Bruch in der Gleichung steht, versuche ihn durch Multiplikation oder Division aufzulösen.

1. Für Teilaufgabe a) wird komponentenweise ein Gleichungssystem aufgestellt: \(12 = -4k\), \(-18 = 6k\) und \(30 = -10k\). 2. Aus der ersten Gleichung folgt \(k = \frac{12}{-4} = -3\). Die Überprüfung in der zweiten (\(6 \cdot (-3) = -18\)) und dritten Gleichung (\(-10 \cdot (-3) = 30\)) bestätigt die Lösung. Somit existiert \(k = -3\). 3. Für Teilaufgabe b) ergibt die erste Komponente \(\frac{2}{3} = 4k \implies k = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\). 4. Die zweite Komponente liefert \(1 = 6k \implies k = \frac{1}{6}\). 5. Die dritte Komponente ergibt \(\frac{5}{6} = 4k \implies k = \frac{5}{24}\). Da \(\frac{1}{6} \neq \frac{5}{24}\) ist, gibt es kein gemeinsames \(k\), das alle drei Gleichungen gleichzeitig löst.

a) \(k = -3\) b) Es existiert kein solches \(k\), da die berechneten Werte für die einzelnen Komponenten (\(\frac{1}{6}\) und \(\frac{5}{24}\)) nicht übereinstimmen.

- Wie berechnet man die Länge (den Betrag) eines Vektors im Raum? - Gibt es eine Regel, wie sich die Länge eines Vektors ändert, wenn man ihn mit einer Zahl multipliziert? - Bedenke, dass die Länge eines Vektors immer positiv ist, der Skalar \(k\) aber auch negativ sein könnte. - Wie viele Lösungen erwartest du, wenn die Richtung des Vektors umgekehrt werden darf?

1. Berechnung des Betrags von \(\vec{a}\): \(|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 16 + 49} = \sqrt{81} = 9\). 2. Anwendung der Eigenschaft \(|k \cdot \vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|\): Es muss gelten \(|k| \cdot 9 = 27\). 3. Auflösen der Gleichung nach dem Betrag von \(k\): \(|k| = \frac{27}{9} = 3\). 4. Bestimmung der Werte für \(k\): Aus \(|k| = 3\) ergeben sich die Lösungen \(k = 3\) und \(k = -3\).

\(k = 3\) oder \(k = -3\)

- Achte genau auf den Unterschied zwischen einem Vektor (mit Pfeil) und einem Skalar (einer einfachen Zahl). - Überlege dir, welcher Datentyp (Vektor oder Zahl) bei einer Rechenoperation herauskommen muss. - Erinnere dich an die Rechengesetze für Vektoren wie Kommutativ- und Distributivgesetz. - Was bedeutet das Betragszeichen bei einer Multiplikation mit einer negativen Zahl?

1. Aussage a) ist wahr (Kommutativgesetz der Vektoraddition). 2. Aussage b) ist falsch; die Summe zweier identischer Vektoren ist ein Vektor, kein Skalar: \(\vec{a} + \vec{a} = 2\vec{a}\). 3. Aussage c) ist falsch; die Summe eines Vektors und seines Gegenvektors ergibt den Nullvektor \(\vec{0}\), nicht die Zahl Null: \(\vec{PQ} + \vec{QP} = \vec{0}\). 4. Aussage d) ist wahr (Distributivgesetz für Skalare und Vektoren). 5. Aussage e) ist wahr; nach der Eigenschaft \(|k \cdot \vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|\) gilt \(|-5| \cdot |\vec{v}| = 5 \cdot |\vec{v}|\).

a) Wahr. b) Falsch; Korrektur: \(\vec{a} + \vec{a} = 2\vec{a}\). c) Falsch; Korrektur: \(\vec{PQ} + \vec{QP} = \vec{0}\). d) Wahr. e) Wahr.

- Überlege zuerst, welche Länge der angegebene Richtungsvektor hat. - Wie kannst du den Richtungsvektor so anpassen, dass seine Länge genau der Geschwindigkeit pro Stunde entspricht? - Achte auf die Einheiten: Die Geschwindigkeit ist in km/h gegeben, die gesuchte Zeit jedoch in Minuten. - Wie setzt sich die neue Position aus dem Startpunkt und dem zurückgelegten Weg zusammen?

1. Berechnung des Betrags des Richtungsvektors: \(|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = 5\). 2. Bestimmung des Geschwindigkeitsvektors durch Skalierung auf den Betrag \(120\): \(\vec{v}_{\text{h}} = \frac{120}{5} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 72 \\ 96 \\ 0 \end{pmatrix}\) (in \(\frac{\text{km}}{\text{h}}\)). 3. Umrechnung der Zeit: \(6\,\text{min} = 0{,}1\,\text{h}\). 4. Berechnung der neuen Position: \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 10 \\ 20 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} + 0{,}1 \cdot \begin{pmatrix} 72 \\ 96 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 + 7{,}2 \\ 20 + 9{,}6 \\ 0{,}5 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17{,}2 \\ 29{,}6 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}\).

Der Hubschrauber befindet sich an der Position \((17{,}2 | 29{,}6 | 0{,}5)\).

- Versuche, den Vektor \(\vec{DE}\) mithilfe eines Umwegs über den Punkt \(C\) auszudrücken. - Wie hängen die Vektoren \(\vec{CA}\), \(\vec{CB}\) und \(\vec{AB}\) in einem Dreieck zusammen? - Was bedeutet es für die Lage zweier Strecken, wenn ihre zugehörigen Vektoren Vielfache voneinander sind?

1. Aufstellen einer Vektorkette für den gesuchten Vektor \(\vec{DE}\) über den Punkt \(C\): \(\vec{DE} = \vec{DC} + \vec{CE}\). 2. Umkehrung des Vektors \(\vec{CD}\) zu \(\vec{DC}\): \(\vec{DC} = -\vec{CD} = -\frac{1}{4}\vec{CA}\). 3. Einsetzen in die Vektorkette: \(\vec{DE} = -\frac{1}{4}\vec{CA} + \frac{1}{4}\vec{CB}\). 4. Ausklammern des gemeinsamen Faktors: \(\vec{DE} = \frac{1}{4}(\vec{CB} - \vec{CA})\). 5. Anwendung der Differenzregel für Vektoren: Da \(\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}\), folgt \(\vec{CB} - \vec{CA} = \vec{AB}\). 6. Finales Ergebnis: \(\vec{DE} = \frac{1}{4}\vec{AB}\). 7. Geometrische Interpretation: Die Strecke \(\overline{DE}\) ist parallel zur Seite \(\overline{AB}\) und ihre Länge entspricht genau einem Viertel der Länge von \(\overline{AB}\).

Es gilt \(\vec{DE} = \frac{1}{4}\vec{AB}\). Geometrisch bedeutet dies, dass die Strecke \(\overline{DE}\) parallel zur Seite \(\overline{AB}\) verläuft und ein Viertel so lang ist wie diese.

- Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Welche Rechenregeln gelten für die komponentenweise Addition und Subtraktion von Vektoren? - Was passiert mit den Komponenten eines Vektors, wenn er mit einer Zahl multipliziert wird? - Kannst du die Vektorkette in Teilaufgabe c) vereinfachen, ohne sofort mit den Koordinaten zu rechnen?

1. Berechnung der benötigten Verbindungsvektoren durch Subtraktion der Ortsvektoren: \(\vec{KL} = \begin{pmatrix} 1-4 \\ 5-(-2) \\ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{MN} = \begin{pmatrix} 3-(-2) \\ 3-0 \\ -4-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ -10 \end{pmatrix}\), \(\vec{LM} = \begin{pmatrix} -2-1 \\ 0-5 \\ 6-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(\vec{KN} = \begin{pmatrix} 3-4 \\ 3-(-2) \\ -4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -5 \end{pmatrix}\). 2. Addition für Teilaufgabe a): \(\vec{KL} + \vec{MN} = \begin{pmatrix} -3+5 \\ 7+3 \\ 2-10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \\ -8 \end{pmatrix}\). 3. Skalarmultiplikation und Subtraktion für Teilaufgabe b): \(3\cdot \vec{LM} - \vec{KN} = \begin{pmatrix} -9 \\ -15 \\ 9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ -20 \\ 14 \end{pmatrix}\). 4. Summenbildung für Teilaufgabe c): \(\vec{KL} + \vec{LM} + \vec{MN} = \vec{KM} + \vec{MN} = \vec{KN} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -5 \end{pmatrix}\).

a) \(\begin{pmatrix} 2 \\ 10 \\ -8 \end{pmatrix}\) b) \(\begin{pmatrix} -8 \\ -20 \\ 14 \end{pmatrix}\) c) \(\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -5 \end{pmatrix}\)

- Betrachte jede Koordinate des Vektors einzeln. - Wie hängen die entsprechenden Einträge zweier Vektoren zusammen, wenn der eine aus dem anderen durch Multiplikation mit einer Zahl entsteht? - Nutze eine bekannte Koordinate, um den Streckungsfaktor zu berechnen, und wende diesen dann auf die anderen Koordinaten an.

1. Zur Bestimmung von \(r\) wird die Gleichung \(\begin{pmatrix} -9 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) komponentenweise betrachtet: \(-9 = 3r\), \(3 = -r\) und \(-6 = 2r\). Alle drei Gleichungen liefern \(r = -3\). 2. Analog für \(s\): \(1{,}5 = 3s\), \(-0{,}5 = -s\) und \(1 = 2s\). Hier ergibt sich für alle Komponenten \(s = 0{,}5\). 3. Damit \(\vec{d} = k \cdot \vec{a}\) gilt, muss für die \(x_2\)-Komponente gelten: \(4 = k \cdot (-1)\), woraus \(k = -4\) folgt. 4. Einsetzen von \(k\) in die übrigen Komponenten liefert \(x = -4 \cdot 3 = -12\) und \(z = -4 \cdot 2 = -8\).

a) \(r = -3\); \(s = 0{,}5\) b) \(x = -12\); \(z = -8\)

- Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Was passiert grafisch, wenn man die Spitze des ersten Vektors als Startpunkt für den zweiten Vektor nutzt? - Schau dir die Anfangs- und Endbuchstaben der Vektorkette genau an.

1. Berechnung der Vektoren durch Differenz der Koordinaten: \(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 6-2 \\ 1-(-3) \\ 2-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\). Analog dazu \(\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = \begin{pmatrix} -1-6 \\ 4-1 \\ 8-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\). 2. Addition der Komponenten: \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 4+(-7) \\ 4+3 \\ -3+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung von \(\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = \begin{pmatrix} -1-2 \\ 4-(-3) \\ 8-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix}\). Der Vergleich zeigt \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). Geometrisch bedeutet dies, dass die Hintereinanderausführung der Verschiebungen von \(A\) nach \(B\) und von \(B\) nach \(C\) derselben Gesamtverschiebung entspricht, die direkt von \(A\) nach \(C\) führt.

1. \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -7 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\) 2. \(\vec{s} = \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix}\) 3. \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix}\); es gilt \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). Die Summe zweier Vektoren entspricht der direkten Verbindung vom Startpunkt des ersten zum Endpunkt des zweiten Vektors.

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn du sie mit \(-1\) multiplizierst? - Wie ist die Summe von Werten definiert? - Überlege dir, welche Eigenschaft die Summe eines Vektors und seines Gegenvektors bezüglich des Nullvektors hat.

1. Den Gegenvektor \(-\vec{a}\) erhält man durch Multiplikation des Vektors mit \(-1\). Somit gilt \(-\vec{a} = \begin{pmatrix} -7 \\ 2{,}5 \\ -k \end{pmatrix}\). 2. Die Summe der Komponenten des Gegenvektors wird gleich Null gesetzt: \(-7 + 2{,}5 + (-k) = 0\). 3. Durch Zusammenfassen ergibt sich \(-4{,}5 - k = 0\). 4. Auflösen nach \(k\) liefert \(k = -4{,}5\). 5. Allgemein wird der Gegenvektor bestimmt, indem jede Komponente des ursprünglichen Vektors mit \(-1\) multipliziert wird, also \(-\vec{v} = \begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\).

a) \(-\vec{a} = \begin{pmatrix} -7 \\ 2{,}5 \\ -k \end{pmatrix}\) b) \(k = -4{,}5\) c) Den Gegenvektor erhält man, indem man jede Komponente des Vektors mit \(-1\) multipliziert (bzw. die Vorzeichen aller Komponenten umkehrt).

- Wie wirkt sich die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl auf seine Länge und Richtung aus? - Wie hängen die Koordinaten eines Bildpunktes mit dem ursprünglichen Punkt und dem Verschiebungsvektor zusammen? - Kannst du die Verschiebung als Vektoraddition beschreiben?

1. Der Verschiebungsvektor \(\vec{v}\) ergibt sich durch die Skalarmultiplikation des Vektors \(\vec{u}\) mit dem Faktor \(2\), da er dieselbe Richtung hat und doppelt so lang ist: \(\vec{v} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Die Bildpunkte werden berechnet, indem der Verschiebungsvektor zu den Ortsvektoren der ursprünglichen Punkte addiert wird: \(\vec{a}' = \vec{a} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} \implies A'(5 \mid -4 \mid -1)\). \(\vec{b}' = \vec{b} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \implies B'(3 \mid 0 \mid 2)\). \(\vec{c}' = \vec{c} + \vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} \implies C'(0 \mid -2 \mid 5)\).

a) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}\) b) \(A'(5 \mid -4 \mid -1)\), \(B'(3 \mid 0 \mid 2)\), \(C'(0 \mid -2 \mid 5)\)

- Was passiert, wenn du einen Weg von \(A\) nach \(B\), dann nach \(C\) und schließlich zurück nach \(A\) gehst? - Wie hängen die Vektoren \(\vec{XY}\) und \(\vec{YX}\) zusammen? - Kannst du eine Subtraktion \(\vec{a} - \vec{b}\) als Addition \(\vec{a} + (-\vec{b})\) schreiben? - Überlege, welcher Vektor der Gegenvektor zu \(\vec{AB}\) ist.

1. Anwendung der Additionsregel für aufeinanderfolgende Pfeile (Chasles-Relation): \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). 2. Einsetzen dieses Zwischenergebnisses in die ursprüngliche Summe führt zu \(\vec{AC} + \vec{CA}\). 3. Nutzung der Definition des Gegenvektors \(\vec{CA} = -\vec{AC}\). Die Summe ergibt \(\vec{AC} + (-\vec{AC}) = \vec{0}\). 4. Umformung der Differenz \(\vec{AC} - \vec{AB}\) in eine Addition mit dem Gegenvektor \(\vec{BA}\): \(\vec{AC} + \vec{BA}\). 5. Durch Anwendung des Kommutativgesetzes erhält man \(\vec{BA} + \vec{AC}\). Nach der Additionsregel ergibt dies den Verbindungsvektor \(\vec{BC}\).

a) \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{AC} + \vec{CA} = \vec{AC} - \vec{AC} = \vec{0}\) b) \(\vec{x} = \vec{AC} + \vec{BA} = \vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}\)

- Wie hängen der Ortsvektor eines Punktes und seine Koordinaten zusammen? - Was passiert rechnerisch mit den Koordinaten eines Punktes, wenn er verschoben wird? - Wenn du zwei Verschiebungen nacheinander ausführst, wie lässt sich das als eine einzige Verschiebung ausdrücken?

1. Berechnung des Ortsvektors von \(B\) durch Addition: \(\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(B(4 | 3 | 6)\). 2. Berechnung des Ortsvektors von \(C\) durch Addition von \(\vec{w}\) zu \(B\): \(\vec{OC} = \vec{OB} + \vec{w} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 12 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(C(5 | -1 | 12)\). 3. Der Vektor \(\vec{u}\) entspricht der Summe der beiden Verschiebungsvektoren: \(\vec{u} = \vec{v} + \vec{w} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}\).

1. \(B(4 | 3 | 6)\) 2. \(C(5 | -1 | 12)\) 3. \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}\)

- Wie hängen der Startpunkt, die Verschiebung und der Endpunkt mathematisch zusammen? - Wenn du weißt, wie man vom Start zum Ziel kommt, wie kommst du dann den Weg zurück? - Überlege dir, welche Rechenoperation die Umkehrung einer Verschiebung ist. - Achte beim Rechnen besonders auf die Vorzeichen der Koordinaten.

1. Aufstellen der Vektorgleichung für die Verschiebung: \(\vec{p} + \vec{v} = \vec{l}\). 2. Umstellen der Gleichung nach dem Ortsvektor des Startpunktes: \(\vec{p} = \vec{l} - \vec{v}\). 3. Einsetzen der gegebenen Koordinaten und Komponenten: \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ 15 \\ 20 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ -8 \\ 5 \end{pmatrix}\). 4. Komponentenweise Subtraktion durchführen: \(x = 4 - 12 = -8\), \(y = 15 - (-8) = 23\), \(z = 20 - 5 = 15\). 5. Angabe des Punktes \(P(-8 | 23 | 15)\).

\(P(-8 | 23 | 15)\)

- Stelle dir die Verschiebung als eine gezielte Bewegung von einem Startpunkt zu einem Zielpunkt vor. - Wie berechnet man die Änderung zwischen zwei Positionen in einem Koordinatensystem? - Wenn du weißt, wie weit und in welche Richtung sich ein Punkt bewegt, wie kannst du das auf einen anderen Punkt übertragen? - Was passiert mit der Richtung einer Verschiebung, wenn du den Zielpunkt wieder zum Startpunkt machen möchtest?

1. Berechnung des Verschiebungsvektors \(\vec{v}\) durch die Differenz der Ortsvektoren von \(B\) und \(A\): \(\vec{v} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 1 - 4 \\ 6 - (-2) \\ 0 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 8 \\ -5 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung von \(D\) durch Addition des Verschiebungsvektors zum Ortsvektor von \(C\): \(\vec{OD} = \vec{OC} + \vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 8 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 10 \\ -4 \end{pmatrix}\). Somit ist \(D(-6 | 10 | -4)\). 3. Der Vektor \(\vec{u}\), der \(B\) auf \(A\) abbildet, ist der Gegenvektor zu \(\vec{v}\): \(\vec{u} = \vec{OA} - \vec{OB} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ -2 - 6 \\ 5 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \\ 5 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{u} = -\vec{v}\).

a) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 8 \\ -5 \end{pmatrix}\) b) \(D(-6 | 10 | -4)\) c) \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \\ 5 \end{pmatrix}\); es gilt \(\vec{u} = -\vec{v}\).

- Was passiert, wenn du an einem Punkt startest, einen Weg abläufst und wieder am selben Punkt ankommst? - Wie hängen die Vektoren \(\vec{AC}\) und \(\vec{CA}\) zusammen? - Nutze die Dreiecksregel für die Addition von Vektoren. - Isoliere den gesuchten Vektor in der Gleichung durch Äquivalenzumformungen.

1. Nach der Definition der Vektoraddition (Dreiecksregel) gilt \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). Der Vektor \(\vec{CA}\) ist der Gegenvektor zu \(\vec{AC}\), also gilt \(\vec{CA} = -\vec{AC}\). Setzt man dies in die Summe ein, erhält man \(\vec{AC} + (-\vec{AC})\). Da die Summe eines Vektors und seines Gegenvektors den Nullvektor ergibt, folgt \(\vec{AC} - \vec{AC} = \vec{0}\). 2. Aus \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}\) folgt durch Subtraktion von \(\vec{AB}\) und \(\vec{CA}\) auf beiden Seiten: \(\vec{BC} = -\vec{CA} - \vec{AB}\). Da \(-\vec{CA} = \vec{AC}\) ist, ergibt sich \(\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}\). Dies entspricht der Regel „Spitze minus Anfang“ zur Berechnung eines Verbindungsvektors aus den Ortsvektoren (oder Vektoren mit gemeinsamem Startpunkt \(A\)).

1. \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{AC} + (-\vec{AC}) = \vec{0}\). 2. \(\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}\). Dies verdeutlicht die Regel, dass ein Vektor als Differenz der Vektoren von einem gemeinsamen Bezugspunkt (hier \(A\)) zu den Endpunkten (Spitze minus Anfang) berechnet werden kann.

- Kannst du die Vektoren auf der linken Seite so zerlegen, dass der Punkt \(M\) vorkommt? - Was weißt du über die Vektoren von einem Mittelpunkt zu den Endpunkten der Strecke? - Versuche, die Vektoren \(\vec{MB}\) und \(\vec{MC}\) zueinander in Beziehung zu setzen.

1. Darstellung der Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) unter Einbeziehung des Punktes \(M\): \(\vec{AB} = \vec{AM} + \vec{MB}\) und \(\vec{AC} = \vec{AM} + \vec{MC}\). 2. Addition der beiden Ausdrücke führt zu \(\vec{AB} + \vec{AC} = 2 \cdot \vec{AM} + \vec{MB} + \vec{MC}\). 3. Da \(M\) die Strecke \(BC\) halbiert, sind die Vektoren \(\vec{MB}\) und \(\vec{MC}\) entgegengesetzt gleich: \(\vec{MB} = -\vec{MC}\), woraus \(\vec{MB} + \vec{MC} = \vec{0}\) folgt. 4. Einsetzen liefert die Behauptung \(\vec{AB} + \vec{AC} = 2 \cdot \vec{AM}\).

Durch die Zerlegung \(\vec{AB} = \vec{AM} + \vec{MB}\) und \(\vec{AC} = \vec{AM} + \vec{MC}\) ergibt die Summe \(\vec{AB} + \vec{AC} = 2 \cdot \vec{AM} + (\vec{MB} + \vec{MC})\). Da \(M\) der Mittelpunkt von \(BC\) ist, gilt \(\vec{MB} + \vec{MC} = \vec{0}\), woraus direkt \(\vec{AB} + \vec{AC} = 2 \cdot \vec{AM}\) folgt.

- Überlege dir, wie man die Koordinaten eines Punktes verändert, wenn er um einen Vektor verschoben wird. - Was passiert mathematisch mit den Vektoren, wenn zwei Verschiebungen direkt nacheinander ausgeführt werden? - Du kannst die Aufgabe schrittweise lösen oder versuchen, eine Abkürzung für den direkten Weg zu finden.

1. Berechnung des kombinierten Verschiebungsvektors durch Addition der Einzelvektoren: \(\vec{w} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} -2+6 \\ 4+(-1) \\ 5+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung des Ortsvektors von \(P''\) durch Addition des kombinierten Vektors zum Ortsvektor von \(P\): \(\vec{p}'' = \vec{p} + \vec{w} = \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix}\). Alternativ kann zuerst \(P'\) berechnet werden (\(\vec{p}' = \vec{p} + \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix}\)) und anschließend \(\vec{p}'' = \vec{p}' + \vec{v}_2\), was zum identischen Ergebnis führt.

a) \(\vec{p}'' = \begin{pmatrix} 11 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix}\)

- Überlege dir, wie du von einem Punkt der Grundfläche zum entsprechenden Punkt der Deckfläche gelangst. - Was bedeutet es für den Verschiebungsvektor, wenn das Prisma „gerade“ ist und die Grundfläche in einer Ebene parallel zur \(xy\)-Ebene liegt? - Wie hängen die Koordinaten der Deckpunkte mit denen der Grundpunkte zusammen?

1. Berechnung des Verschiebungsvektors durch die Differenz der Koordinaten von \(A'\) und \(A\): \(\vec{v} = \overrightarrow{AA'} = \begin{pmatrix} 2-2 \\ 1-1 \\ 9-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der restlichen Eckpunkte der Deckfläche durch Addition des Verschiebungsvektors zu den Grundpunkten: \(B' = B + \vec{v} = (6|1|1) + (0|0|8) = (6|1|9)\) und \(C' = C + \vec{v} = (2|4|1) + (0|0|8) = (2|4|9)\). 3. Bestimmung der Länge der Seitenkanten über den Betrag des Verschiebungsvektors: \(|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 8^2} = 8\).

a) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}\) b) \(B'(6|1|9)\) und \(C'(2|4|9)\) c) Die Länge der Seitenkanten beträgt \(8\) Längeneinheiten.

- Wie addiert oder subtrahiert man Vektoren komponentenweise? - Was bedeutet es grafisch oder rechnerisch, einen Vektor mit einer Zahl zu multiplizieren? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du einen Vektor subtrahierst, der negative Komponenten hat. - Kannst du die Rechnung Schritt für Schritt für jede Zeile einzeln durchführen?

1. Komponentenweise Addition und Subtraktion für \(\vec{u}\): \(4 + (-3) - 1 = 0\), \(-2 + 5 - 1 = 2\) und \(7 + 0 - (-2) = 9\). Daraus folgt \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix}\). 2. Skalarmultiplikation von \(\vec{c}\) mit \(3\): \(3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}\). 3. Addition zum Vektor \(\vec{a}\) für \(\vec{v}\): \(3 + 4 = 7\), \(3 + (-2) = 1\) und \(-6 + 7 = 1\). Daraus folgt \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

- Wie verhalten sich Vorzeichen in Vektortermen im Vergleich zu Termen mit Variablen wie \(x\) und \(y\)? - Was stellt der Vektor \(\vec{b} - \vec{a}\) dar, wenn du von einem Punkt zum anderen läufst? - Stell dir vor, du stehst an einem Punkt und gehst einen Schritt vor und dann denselben Schritt wieder zurück. - Ein Minuszeichen vor einem Klammerausdruck kann als Multiplikation mit \(-1\) aufgefasst werden.

1. Auflösen der Klammer unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \(\vec{b} - \vec{b} + \vec{a}\). Da \(\vec{b} - \vec{b} = \vec{0}\) ist, bleibt der Vektor \(\vec{a}\) übrig. 2. Der Differenzvektor \(\vec{b} - \vec{a}\) entspricht dem Verbindungsvektor \(\vec{AB}\), der von Punkt \(A\) zu Punkt \(B\) führt. Zieht man diesen Weg vom Ortsvektor des Zielpunktes \(B\) ab, gelangt man zurück zum Ausgangspunkt \(A\). 3. Der Ausdruck \(-(\vec{a} - \vec{b})\) ist der Gegenvektor zur Differenz \(\vec{a} - \vec{b}\). Da \(\vec{a} - \vec{b}\) der Vektor von \(B\) nach \(A\) ist (\(\vec{BA}\)), muss sein Gegenvektor der Vektor von \(A\) nach \(B\) sein, welcher gerade durch \(\vec{b} - \vec{a}\) definiert ist. Alternativ: \(-(\vec{a} - \vec{b}) = -1 \cdot \vec{a} - (-1) \cdot \vec{b} = -\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}\).

1. \(\vec{a}\) 2. Subtrahiert man den Verbindungsvektor \(\vec{AB}\) vom Ortsvektor des Punktes \(B\), erhält man den Ortsvektor des Punktes \(A\). 3. Da \(\vec{a} - \vec{b} = \vec{BA}\) ist, entspricht \(-(\vec{a} - \vec{b})\) dem Gegenvektor \(\vec{AB}\), welcher als \(\vec{b} - \vec{a}\) berechnet wird.

- Wie gehst du bei Termen mit Klammern normalerweise vor? - Was musst du beachten, wenn du zwei Vektoren voneinander subtrahierst? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minus vor einer negativen Zahl steht. - Kannst du die Rechnung für jede Zeile (Komponente) einzeln durchführen?

1. Berechnung des Ausdrucks in der Klammer (komponentenweise Subtraktion): \(\begin{pmatrix} 8 - (-5) \\ -4 - 2 \\ 7 - 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 \\ -6 \\ -4 \end{pmatrix}\) 2. Addition des ersten Vektors zum Zwischenergebnis: \(\begin{pmatrix} -12 + 13 \\ 5 + (-6) \\ -3 + (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -7 \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -7 \end{pmatrix}\)

- Überlege dir, wie der Vektor von einem Punkt zum Spiegelzentrum genutzt werden kann, um zum Bildpunkt zu gelangen. - Wenn ein Punkt die Mitte einer Strecke ist, welche Beziehung besteht dann zwischen den Ortsvektoren der Endpunkte und dem Mittelpunkt? - Du kannst die Punktspiegelung als eine Vektoraddition auffassen: Startpunkt plus zweimal der Verbindungsvektor zum Zentrum.

1. Berechnung von \(A'\) durch Punktspiegelung: Der Ortsvektor des Bildpunktes ergibt sich durch \(\vec{a'} = \vec{s} + \vec{AS} = \vec{s} + (\vec{s} - \vec{a}) = 2\vec{s} - \vec{a}\). Einsetzen der Werte: \(\vec{a'} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 7 \\ -12 \end{pmatrix}\). Somit ist \(A'(-2 \mid 7 \mid -12)\). 2. Berechnung von \(B\): Da \(A\) der Mittelpunkt von \(SB\) ist, gilt \(\vec{a} = \frac{1}{2}(\vec{s} + \vec{b})\). Umstellen nach \(\vec{b}\) liefert \(\vec{b} = 2\vec{a} - \vec{s}\). Einsetzen der Werte: \(\vec{b} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -5 \\ 9 \end{pmatrix}\). Somit ist \(B(7 \mid -5 \mid 9)\).

a) \(A'(-2 \mid 7 \mid -12)\) b) \(B(7 \mid -5 \mid 9)\)

- Wie hängen der Punkt, sein Bildpunkt und das Spiegelzentrum zusammen? - Betrachte den Vektor vom Punkt zum Spiegelzentrum. Wo muss der Bildpunkt liegen? - Erinnere dich an die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke.

1. Zur Berechnung des Bildpunktes \(X'\) bei einer Spiegelung am Punkt \(Z\) wird die Formel \(\vec{x'} = \vec{z} + \vec{XZ} = \vec{z} + (\vec{z} - \vec{x}) = 2\vec{z} - \vec{x}\) verwendet. 2. Berechnung von \(A'\): \(\vec{a'} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der Bildpunkt ist \(A'(3|1|2)\). 3. Berechnung von \(B'\): \(\vec{b'} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). Der Bildpunkt ist \(B'(0|3|0)\). 4. Berechnung von \(C'\): \(\vec{c'} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\). Der Bildpunkt ist \(C'(2|-1|-1)\).

Die Bildpunkte sind \(A''(3|1|2)\), \(B''(0|3|0)\) und \(C''(2|-1|-1)\).

- Überlege dir für jede Diagonale einen Weg entlang der Kanten des Spats. - Beachte dabei die Orientierung der Vektoren: Wenn du gegen die Richtung eines Pfeils läufst, musst du ein Minuszeichen setzen. - Nutze aus, dass gegenüberliegende Kanten in einem Spat durch denselben Vektor dargestellt werden (z. B. \(\vec{AD} = \vec{BC}\)). - Fasse beim Addieren der vier Ausdrücke die Koeffizienten der Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) jeweils einzeln zusammen.

1. Bestimmung der Vektoren für die Raumdiagonalen durch Vektoraddition im Spat: \(\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CG} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\) \(\vec{BH} = \vec{BA} + \vec{AD} + \vec{DH} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\) \(\vec{CE} = \vec{CB} + \vec{BA} + \vec{AE} = -\vec{b} - \vec{a} + \vec{c}\) \(\vec{DF} = \vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BF} = -\vec{b} + \vec{a} + \vec{c}\) 2. Berechnung der Summe \(\vec{s}\): \(\vec{s} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + (-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + (-\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) + (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})\) \(\vec{s} = (1 - 1 - 1 + 1)\vec{a} + (1 + 1 - 1 - 1)\vec{b} + (1 + 1 + 1 + 1)\vec{c} = 4\vec{c}\) 3. Geometrische Interpretation: Die Summe entspricht dem Vierfachen des Kantenvektors \(\vec{AE}\).

a) \(\vec{AG} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\); \(\vec{BH} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\); \(\vec{CE} = -\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}\); \(\vec{DF} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}\) b) \(\vec{s} = 4\vec{c}\). Die Summe der Raumdiagonalen entspricht dem Vierfachen des Kantenvektors \(\vec{AE}\).

- Überlege dir, wie der Vektor von \(P\) zu \(M\) mit dem Vektor von \(M\) zu \(Q\) zusammenhängt. - Wie kannst du die Formel für den Mittelpunkt so umformen, dass du einen der Endpunkte berechnen kannst? - Was passiert, wenn du den Weg von \(P\) nach \(M\) einfach noch einmal von \(M\) aus gehst?

1. Aufstellen der Vektorgleichung für den Mittelpunkt: \(\vec{OM} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{OP} + \vec{OQ})\). 2. Umstellen der Gleichung nach dem gesuchten Ortsvektor \(\vec{OQ}\): \(\vec{OQ} = 2 \cdot \vec{OM} - \vec{OP}\). 3. Einsetzen der gegebenen Koordinaten: \(\vec{OQ} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}\). 4. Berechnen der Komponenten: \(x = 10 - 2 = 8\), \(y = 2 - (-3) = 5\), \(z = 4 - 5 = -1\). 5. Alternativer Weg über den Verbindungsvektor: \(\vec{PM} = \vec{OM} - \vec{OP} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\). Da \(M\) die Mitte ist, gilt \(\vec{OQ} = \vec{OM} + \vec{PM} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}\).

\(Q(8 \mid 5 \mid -1)\)

- Stelle dir die Punkte als Orte auf einer Landkarte vor. Wie kommst du von einem Punkt zum anderen, wenn du nur die bekannten „Straßen“ (Vektoren) benutzen darfst? - Nutze die Dreiecksregel der Vektoraddition: \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). - Überlege dir für jeden gesuchten Vektor eine Kette von bekannten Vektoren, die am Startpunkt beginnt und am Zielpunkt endet. - Achte auf die Richtung der Pfeile. Wenn du einen Vektor in die entgegengesetzte Richtung durchläufst, musst du sein Vorzeichen ändern.

1. Für \(\vec{KM}\) nutzt man die Vektoraddition über den Punkt \(L\): \(\vec{KM} = \vec{KL} + \vec{LM} = \vec{u} + \vec{v}\). 2. Für \(\vec{NM}\) wählt man den Weg über \(K\) und \(L\): \(\vec{NM} = \vec{NK} + \vec{KL} + \vec{LM} = \vec{w} + \vec{u} + \vec{v}\). 3. Den Vektor \(\vec{KO}\) erhält man durch Addition der Vektoren entlang der Kette \(K \to L \to M \to O\): \(\vec{KO} = \vec{KL} + \vec{LM} + \vec{MO} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{x}\). 4. Für \(\vec{LO}\) nutzt man die Punkte \(L, M\) und \(O\): \(\vec{LO} = \vec{LM} + \vec{MO} = \vec{v} + \vec{x}\). 5. Der Vektor \(\vec{NO}\) ergibt sich aus der Summe aller Teilvektoren von \(N\) über \(K, L, M\) nach \(O\): \(\vec{NO} = \vec{NK} + \vec{KL} + \vec{LM} + \vec{MO} = \vec{w} + \vec{u} + \vec{v} + \vec{x}\).

a) \(\vec{KM} = \vec{u} + \vec{v}\) b) \(\vec{NM} = \vec{w} + \vec{u} + \vec{v}\) c) \(\vec{KO} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{x}\) d) \(\vec{LO} = \vec{v} + \vec{x}\) e) \(\vec{NO} = \vec{w} + \vec{u} + \vec{v} + \vec{x}\)

- Wie berechnet man allgemein den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten, wenn deren Ortsvektoren bekannt sind? - Was bedeutet es für die Lage zweier Punkte im Raum, wenn ihre Ortsvektoren identisch sind? - Erinnere dich an die zeichnerische Darstellung der Addition zweier Vektoren. Welche Figur entsteht dabei? - Welche Rolle spielt der Koordinatenursprung bei der Berechnung von Mittelpunkten?

1. Der Mittelpunkt einer Strecke berechnet sich aus dem arithmetischen Mittel der Ortsvektoren ihrer Endpunkte. Da \(O\) der Ursprung ist (\(\vec{0}\) ist der Nullvektor), gilt für die Diagonale \(\overline{OB}\): \(\vec{m}_1 = \frac{1}{2}(\vec{0} + \vec{b}) = \frac{1}{2}\vec{b}\). Für die Diagonale \(\overline{AC}\) ergibt sich entsprechend: \(\vec{m}_2 = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c})\). 2. Damit sich die Diagonalen halbieren, müssen ihre Mittelpunkte identisch sein (\(M_1 = M_2\)). Es folgt \(\frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c})\). Multiplikation mit \(2\) liefert die Bedingung \(\vec{b} = \vec{a} + \vec{c}\). 3. Die Gleichung \(\vec{b} = \vec{a} + \vec{c}\) bedeutet, dass der Punkt \(B\) der Endpunkt des Summenvektors der beiden Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{c}\) ist. Geometrisch entspricht dies der Definition eines Parallelogramms nach der Parallelogrammregel der Vektoraddition. Das Viereck \(OABC\) ist somit ein Parallelogramm.

1. \(\vec{m}_1 = \frac{1}{2}\vec{b}\) und \(\vec{m}_2 = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c})\). 2. Die Bedingung lautet \(\vec{b} = \vec{a} + \vec{c}\). 3. Der Punkt \(B\) ergibt sich durch die Vektoraddition von \(\vec{a}\) und \(\vec{c}\). Das Viereck \(OABC\) ist ein Parallelogramm.

- Überlege dir, welche Koordinate senkrecht auf der jeweiligen Spiegelfläche steht. - Was passiert mit der Bewegungskomponente, die genau gegen die Wand gerichtet ist? - Stell dir die Spiegelung im Zweidimensionalen vor, zum Beispiel an der \(x\)-Achse, um ein Gefühl für die Vorzeichenänderung zu bekommen.

1. Bei einer Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene kehrt sich das Vorzeichen der \(x_3\)-Komponente um, während die \(x_1\)- und \(x_2\)-Komponenten gleich bleiben. Somit ist \(\vec{r}_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Bei einer Spiegelung an der \(x_2x_3\)-Ebene kehrt sich das Vorzeichen der \(x_1\)-Komponente um. Ausgehend von \(\vec{r}_1\) ergibt sich \(\vec{r}_2 = \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Im Vergleich zu \(\vec{r}\) haben die \(x_1\)- und die \(x_3\)-Komponente ihr Vorzeichen geändert. Die \(x_2\)-Komponente blieb unverändert. Geometrisch entspricht dies einer Spiegelung an der \(x_2\)-Achse (bzw. einer Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_2\)-Achse).

a) \(\vec{r}_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{r}_2 = \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\) c) Die \(x_1\)- und \(x_3\)-Komponenten haben das Vorzeichen gewechselt. Dies entspricht einer Spiegelung an der \(x_2\)-Achse.

- Stell dir vor, welche Koordinate sich ändern muss, damit ein Pfeil „nach unten“ statt „nach oben“ zeigt, wenn die Ebene wie ein Boden wirkt. - Überlege, welche Komponenten eines Vektors sich ändern, wenn er an einer Geraden gespiegelt wird. Welche Komponente liegt direkt auf der Geraden? - Es hilft oft, sich die Situation an einem einfachen Beispiel im Raum oder in einer Skizze vorzustellen.

1. Bei einer Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene bleibt die Ausrichtung in \(x_1\)- und \(x_2\)-Richtung erhalten, während die Komponente in \(x_3\)-Richtung ihr Vorzeichen umkehrt. Für \(\vec{r} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\) ergibt sich somit \(\vec{r}_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Bei einer Spiegelung an der \(x_2\)-Achse im Raum bleiben die Koordinaten in Richtung dieser Achse unverändert, während die Koordinaten senkrecht dazu (hier \(x_1\) und \(x_3\)) ihre Vorzeichen umkehren. 3. Anwendung auf \(\vec{r}_1\): Die \(x_1\)-Komponente \(4\) wird zu \(-4\), die \(x_2\)-Komponente \(-1\) bleibt gleich, und die \(x_3\)-Komponente \(-3\) wird zu \(3\). Daraus folgt \(\vec{r}_2 = \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{r}_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{r}_2 = \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\)

- Wie multipliziert man einen Vektor mit einer Zahl? - Kannst du die Vektorgleichung wie eine normale Gleichung nach der Unbekannten umstellen? - Achte beim Subtrahieren besonders auf die Vorzeichen, wenn eine Komponente negativ ist.

1. Berechnung von \(5\vec{a}\) und \(2\vec{b}\): \(5 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ -15 \\ 5 \end{pmatrix}\) und \(2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\). Subtraktion der Ergebnisse: \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 10 - 8 \\ -15 - 2 \\ 5 - (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -17 \\ 9 \end{pmatrix}\). 2. Umstellen der Gleichung nach \(\vec{x}\): \(2\vec{x} = \vec{c} - \vec{a} - \vec{b}\). Berechnung von \(\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 + 4 \\ -3 + 1 \\ 1 + (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\). Subtraktion der Summe \(\vec{a} + \vec{b}\) von \(\vec{c}\): \(2\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\). Division durch 2: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} -2{,}5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -17 \\ 9 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{x} = \begin{pmatrix} -2{,}5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\)

- Erinnere dich daran, dass \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\) gilt. - Wie kannst du die Subtraktion eines Vektors als Addition ausdrücken? - Darfst du die Reihenfolge der Vektoren in der Summe vertauschen, um passende Paare zu finden? - Was ist das Ergebnis, wenn der Startpunkt und der Endpunkt eines Vektors identisch sind?

1. Teilaufgabe a: Ersetzen der negativen Vektoren durch Gegenvektoren führt zu \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE}\). Die fortlaufende Addition ergibt \(\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DE} = \vec{AD} + \vec{DE} = \vec{AE}\). 2. Teilaufgabe b: Umformung der Subtraktionen in Additionen der Gegenvektoren ergibt \(\vec{LM} + \vec{MN} + \vec{NL}\). Die ersten beiden Terme ergeben \(\vec{LN}\). Somit erhält man \(\vec{LN} + \vec{NL} = \vec{LL} = \vec{0}\). 3. Teilaufgabe c: Umwandlung des negativen Vektors ergibt \(\vec{XY} + \vec{ZX} + \vec{WZ}\). Durch Umstellen der Summanden (Kommutativgesetz) erhält man \(\vec{ZX} + \vec{XY} + \vec{WZ}\). Die ersten beiden Vektoren ergeben \(\vec{ZY}\). Der Ausdruck lautet nun \(\vec{ZY} + \vec{WZ}\). Erneutes Umstellen ergibt \(\vec{WZ} + \vec{ZY} = \vec{WY}\).

a) \(\vec{AE}\) b) \(\vec{0}\) c) \(\vec{WY}\)

- Wie findet man den Vektor, der von einem Punkt zu einem anderen führt? - Erinnere dich an die komponentenweise Addition von Vektoren. - Welche Formel hilft dir, die Länge eines Vektors aus seinen Koordinaten zu bestimmen?

1. Bestimmung der Verbindungsvektoren nach der Regel „Spitze minus Anfang“: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 6-1 \\ 3-1 \\ 0-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 3-1 \\ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Addition der beiden Vektoren zum Summenvektor \(\vec{s}\): \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 5+3 \\ 2+2 \\ -1+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung der Länge (des Betrags) von \(\vec{s}\): \(|\vec{s}| = \sqrt{8^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{64 + 16 + 1} = \sqrt{81} = 9\).

\(\vec{s} = \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\), Länge \(|\vec{s}| = 9\)

- Welche Eigenschaft haben die Seitenvektoren in einem Parallelogramm? - Achte auf die Reihenfolge der Eckpunkte \(A, B, C, D\). Welche Vektoren müssen gleich sein? - Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Wie findet man einen Endpunkt, wenn der Startpunkt und der Verschiebungsvektor bekannt sind?

1. In einem Parallelogramm \(ABCD\) gilt für die gegenüberliegenden Seitenvektoren \(\vec{AB} = \vec{DC}\) oder \(\vec{AD} = \vec{BC}\). 2. Berechnung des Vektors \(\vec{BC}\): \(\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = \begin{pmatrix} -2 - 4 \\ 8 - 2 \\ 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung des Ortsvektors von \(D\) durch Addition von \(\vec{BC}\) zum Ortsvektor von \(A\): \(\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{BC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix}\). 4. Alternativer Weg über \(\vec{AB}\): \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}\). Dann ist \(\vec{OD} = \vec{OC} - \vec{AB} = \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix}\).

\(D(-5 | 11 | -4)\)

- Stelle dir vor, wie sich die Länge der Diagonale in einem von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramm verändert, wenn du den Winkel zwischen den Vektoren variierst. - Was passiert mit der Gesamtlänge, wenn du zwei Wege direkt hintereinander in genau dieselbe Richtung gehst? - Erinnere dich an die Eigenschaft von Dreiecksseiten: Kann eine Seite länger sein als die beiden anderen zusammen?

1. Der maximale Wert der Summe \(|\vec{a} + \vec{b}|\) ist die Summe der Einzelbeträge: \(7 + 4 = 11\). Der minimale Wert ergibt sich, wenn die Vektoren entgegengesetzt gerichtet sind: \(|7 - 4| = 3\). Der Bereich ist somit \([3; 11]\). 2. Der maximale Wert von \(11\) wird erreicht, wenn die Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) kollinear und gleichgerichtet sind (d. h. sie zeigen in dieselbe Richtung). 3. Geometrisch betrachtet bilden die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{a} + \vec{b}\) ein (evtl. entartetes) Dreieck. Da in jedem Dreieck die Länge einer Seite höchstens so groß wie die Summe der Längen der anderen beiden Seiten ist, gilt \(|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|\). Mit den gegebenen Werten folgt \(|\vec{a} + \vec{b}| \leq 7 + 4 = 11\).

1. Minimum: \(3\); Maximum: \(11\) 2. Die Vektoren müssen gleichgerichtet sein. 3. Gemäß der Dreiecksungleichung ist die Seite \(|\vec{a} + \vec{b}|\) im Vektordreieck höchstens so lang wie die Summe der Seitenlängen \(|\vec{a}|\) und \(|\vec{b}|\).

- Wie hängen die Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{DC}\) in einem Parallelogramm zusammen? - Welche zusätzliche Eigenschaft muss ein Parallelogramm erfüllen, um eine Raute zu sein? - Denk an die Formel für den Betrag eines Vektors, um Längen zu vergleichen.

a) 1. Berechnung des Richtungsvektors \(\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Da im Parallelogramm \(\vec{AB} = \vec{DC}\) gilt, berechnet man den Ortsvektor von \(C\) durch \(\vec{c} = \vec{d} + \vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\). Somit ist \(C(4 | 6 | 5)\). b) 1. Berechnung der Länge der Seite \(AB\): \(|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\). 2. Berechnung des Vektors \(\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung der Länge der Seite \(AD\): \(|\vec{AD}| = \sqrt{0^2 + 5^2 + 0^2} = 5\). 4. Da das Parallelogramm zwei gleich lange, benachbarte Seiten besitzt (\(|\vec{AB}| = |\vec{AD}|\)), handelt es sich um eine Raute.

a) \(C(4 | 6 | 5)\) b) Das Parallelogramm ist eine Raute, da die benachbarten Seiten \(AB\) und \(AD\) mit jeweils \(5\,\text{LE}\) (Längeneinheiten) gleich lang sind.

- Was passiert, wenn man eine Kette von Vektoren addiert, die wieder am Startpunkt endet? - Um einen unbekannten Punkt zu finden, kannst du die Gleichung nach seinem Ortsvektor umstellen. - Wie hängen der Ortsvektor eines Punktes und der Verbindungsvektor zweier Punkte zusammen?

1. Zu Teil a): Die Vektoren bilden einen geschlossenen Weg von \(A\) über \(B\) und \(C\) zurück nach \(A\). Daher muss die Summe der Nullvektor \(\vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) sein. Rechnerisch: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{CA} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix}\). Addition: \(\begin{pmatrix} 3-6+3 \\ 3+2-5 \\ -3+2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Zu Teil b): Berechnung von \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - 2\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6-6 \\ 2-6 \\ 2+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung des Ortsvektors von \(D\): \(\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{AD} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -12 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 \\ -5 \\ 11 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\); Die Summe ist der Nullvektor, da der Streckenzug geschlossen ist. b) \(D(-10 | -5 | 11)\)

- Wie gehst du vor, wenn du einen Vektor mit einer Zahl multiplizierst? - Was musst du beim Addieren von zwei Vektoren komponentenweise beachten? - Erinnere dich an die Vorgehensweise, um die Länge eines Vektors aus seinen drei Koordinaten zu bestimmen.

1. Skalarmultiplikation der Vektoren: \(2{,}5 \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} 10 \\ -5 \\ 10 \end{pmatrix}\) und \(6 \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} -6 \\ 18 \\ 6 \end{pmatrix}\). 2. Addition der skalierten Vektoren zur Bestimmung von \(\vec{c}\): \(\vec{c} = \begin{pmatrix} 10 - 6 \\ -5 + 18 \\ 10 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 13 \\ 16 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Betrags über die Summe der Quadrate der Komponenten: \(|\vec{c}| = \sqrt{4^2 + 13^2 + 16^2} = \sqrt{16 + 169 + 256} = \sqrt{441} = 21\).

\(\vec{c} = \begin{pmatrix} 4 \\ 13 \\ 16 \end{pmatrix}\); \(|\vec{c}| = 21\)

- Achte bei Wurzeltermen auf die Rechenregeln für Quadratwurzeln. - Führe bei zusammengesetzten Ausdrücken die Punktrechnung (Skalarmultiplikation) vor der Strichrechnung (Addition) aus. - Wie berechnet man das Quadrat einer Wurzel oder eines Produkts mit einer Wurzel?

1. Bestimmung der Vektorkoordinaten: a) Multiplikation des Skalars mit den Komponenten: \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \); \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \); \( \sqrt{3} \cdot (-3) = -3\sqrt{3} \). Somit ist \( \vec{c} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3\sqrt{2} \\ -3\sqrt{3} \end{pmatrix} \). b) Zuerst Skalarmultiplikation, dann komponentenweise Addition: \( \begin{pmatrix} 0{,}5 \cdot 4 \\ 0{,}5 \cdot 2 \\ 0{,}5 \cdot (-6) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \). 2. Berechnung der Beträge: a) \( |\vec{c}| = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{2})^2 + (-3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 18 + 27} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \). b) \( |\vec{d}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 9 + 36} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \).

a) \( \vec{c} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3\sqrt{2} \\ -3\sqrt{3} \end{pmatrix} \); \( |\vec{c}| = 3\sqrt{6} \) b) \( \vec{d} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \); \( |\vec{d}| = 3\sqrt{6} \)

- Welche Zeilen der Vektoren enthalten keine Unbekannten? Nutze diese zuerst. - Wie hängen die Komponenten zweier paralleler Vektoren mathematisch zusammen? - Sobald du den Proportionalitätsfaktor gefunden hast, kannst du ihn auf die fehlende Komponente anwenden. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du den fertigen Vektor \(\vec{u}\) noch einmal mit \(\vec{v}\) vergleichst.

1. Zur Bestimmung von \(s\) werden die bekannten Komponenten der Vektoren verglichen. In der zweiten Zeile gilt \(-6 = s \cdot 4\), woraus \(s = \frac{-6}{4} = -1{,}5\) folgt. 2. Zur Sicherheit wird die dritte Zeile geprüft: \(12 = s \cdot (-8) \implies 12 = -1{,}5 \cdot (-8)\). Dies ergibt \(12 = 12\), was eine wahre Aussage ist. Der Skalierungsfaktor ist somit \(s = -1{,}5\). 3. Um \(a\) zu berechnen, wird \(s\) in die Gleichung der ersten Komponente eingesetzt: \(a = s \cdot 2\). 4. Mit \(s = -1{,}5\) ergibt sich \(a = -1{,}5 \cdot 2 = -3\).

1. \(s = -1{,}5\) 2. \(a = -3\)

- Achte beim Auflösen von Klammern besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor der Klammer steht. - Du kannst Vektoren wie Variablen in der Algebra behandeln, solange du nur Addition, Subtraktion und die Multiplikation mit einer Zahl betrachtest. - Es hilft oft, zuerst alle Klammern von innen nach außen aufzulösen und dann die Koeffizienten gleicher Vektoren zu addieren.

1. Teilaufgabe a): Auflösen der Klammern ergibt \(3 \cdot \vec{x} - 6 \cdot \vec{y} + 4 \cdot \vec{y} - 4 \cdot \vec{z} - 2 \cdot \vec{x} + 4 \cdot \vec{z}\). Zusammenfassen der Koeffizienten führt zu \((3-2) \cdot \vec{x} + (-6+4) \cdot \vec{y} + (-4+4) \cdot \vec{z} = \vec{x} - 2 \cdot \vec{y}\). 2. Teilaufgabe b): Multiplikation mit den Skalaren liefert \(2 \cdot \vec{a} - 3 \cdot \vec{b} - \vec{a} + 5 \cdot \vec{b} + 3 \cdot \vec{a}\). Ordnen nach Vektoren ergibt \((2-1+3) \cdot \vec{a} + (-3+5) \cdot \vec{b} = 4 \cdot \vec{a} + 2 \cdot \vec{b}\). 3. Teilaufgabe c): Zuerst Vereinfachen der inneren eckigen Klammer: \(2 \cdot \vec{u} + 6 \cdot \vec{v} - 4 \cdot \vec{v} + 4 \cdot \vec{u} = 6 \cdot \vec{u} + 2 \cdot \vec{v}\). Subtraktion vom äußeren Term: \(5 \cdot \vec{u} - (6 \cdot \vec{u} + 2 \cdot \vec{v}) = -\vec{u} - 2 \cdot \vec{v}\).

a) \(\vec{x} - 2 \cdot \vec{y}\) b) \(4 \cdot \vec{a} + 2 \cdot \vec{b}\) c) \(-\vec{u} - 2 \cdot \vec{v}\)

- Denke daran, dass ein Minus vor einer Klammer alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umkehrt. - Multipliziere den Skalar vor der Klammer mit jedem einzelnen Vektor innerhalb der Klammer. - Wenn das Ergebnis einer Vektorsumme den Koeffizienten Null hat, fällt dieser Vektor im Endergebnis weg.

1. Teilaufgabe a): Auflösen der Vorzeichen und Klammern ergibt \(-\vec{r} + \vec{s} + 2 \cdot \vec{r} + 2 \cdot \vec{s} - 3 \cdot \vec{s} + 3 \cdot \vec{r}\). Gruppieren der Terme ergibt \((-1+2+3) \cdot \vec{r} + (1+2-3) \cdot \vec{s} = 4 \cdot \vec{r} + 0 \cdot \vec{s} = 4 \cdot \vec{r}\). 2. Teilaufgabe b): Ausmultiplizieren beider Klammern liefert \(6 \cdot \vec{a} - 2 \cdot \vec{b} + 8 \cdot \vec{c} - 5 \cdot \vec{a} - 2 \cdot \vec{b} + 5 \cdot \vec{c}\). Zusammenfassen der jeweiligen Vektorkomponenten führt zu \((6-5) \cdot \vec{a} + (-2-2) \cdot \vec{b} + (8+5) \cdot \vec{c} = \vec{a} - 4 \cdot \vec{b} + 13 \cdot \vec{c}\).

a) \(4 \cdot \vec{r}\) b) \(\vec{a} - 4 \cdot \vec{b} + 13 \cdot \vec{c}\)

- Was passiert mit der Länge eines Vektors, wenn du ihn mit einem positiven Skalar multiplizierst? - Erinnere dich daran, dass der Betrag eines Vektors eine Zahl ist. Was ist der Betrag dieser Zahl selbst? - Welchen speziellen Namen haben Vektoren, deren Länge genau \(1\) beträgt? - Beeinflusst das Vorzeichen des Skalars die Länge oder die Orientierung des Vektors?

1. Um die Länge von \(\vec{u}\) zu bestimmen, wird der Betrag \(\left| \frac{1}{|\vec{v}|} \cdot \vec{v} \right|\) betrachtet. Setzt man \(r = \frac{1}{|\vec{v}|}\), so ergibt sich nach der Regel \(|r \cdot \vec{v}| = |r| \cdot |\vec{v}|\) der Ausdruck \(\left| \frac{1}{|\vec{v}|} \right| \cdot |\vec{v}|\). Da die Länge \(|\vec{v}|\) eines Vektors (ungleich dem Nullvektor) stets eine positive reelle Zahl ist, gilt \(\left| \frac{1}{|\vec{v}|} \right| = \frac{1}{|\vec{v}|}\). Somit folgt \(|\vec{u}| = \frac{1}{|\vec{v}|} \cdot |\vec{v}| = 1\). 2. Der Vektor \(\vec{u}\) hat dieselbe Richtung wie \(\vec{v}\) (da der Skalar positiv ist) und besitzt die Länge \(1\). Er wird daher als Einheitsvektor von \(\vec{v}\) bezeichnet.

1. \(|\vec{u}| = \left| \frac{1}{|\vec{v}|} \right| \cdot |\vec{v}| = \frac{1}{|\vec{v}|} \cdot |\vec{v}| = 1\). 2. Der Vektor \(\vec{u}\) ist der Einheitsvektor in Richtung von \(\vec{v}\).

- Überlege dir bei geometrischen Additionen wie \(\vec{AB} + \vec{BC}\), wo du startest und wo du ankommst. - Gibt es bei einem Produkt, das Null ergibt, immer nur eine einzige Möglichkeit für die Faktoren? - Stell dir ein Dreieck vor: Ist der direkte Weg von einem Punkt zum anderen immer so lang wie der Umweg über einen dritten Punkt? - Was passiert, wenn einer der beteiligten Vektoren der Nullvektor ist?

1. Aussage a) ist wahr; ein Verbindungsvektor berechnet sich aus der Differenz der Ortsvektoren (Spitze minus Anfang). 2. Aussage b) ist wahr; die Subtraktion eines Vektors von sich selbst ergibt den Nullvektor \(\vec{0}\). 3. Aussage c) ist wahr; die Summe beschreibt einen geschlossenen Streckenzug, der wieder am Ausgangspunkt \(A\) landet: \(\vec{AA} = \vec{0}\). 4. Aussage d) ist falsch; die Gleichung ist auch dann erfüllt, wenn \(\vec{a} = \vec{0}\) ist (Satz vom Nullprodukt). 5. Aussage e) ist falsch; dies ist die Dreiecksungleichung \(\leq\). Gleichheit gilt nur, wenn die Vektoren kollinear sind und dieselbe Orientierung haben. Im Allgemeinen ist die Summe der Längen größer als die Länge der Summe.

a) Wahr. b) Wahr. c) Wahr. d) Falsch; Korrektur: Die Gleichung ist erfüllt, wenn \(k = 0\) oder \(\vec{a} = \vec{0}\) ist. e) Falsch; Korrektur: Es gilt allgemein die Dreiecksungleichung \(|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|\).

- Bestimme zunächst, welche Strecke die Drohne in einer Sekunde in Richtung des Vektors zurücklegt. - Wie lang ist der Verschiebungsvektor nach der gesamten Flugzeit? - Denke daran, dass die neue Position die Summe aus dem Startpunkt und der gesamten Verschiebung ist. - Welcher Teil des Ergebnisvektors gibt dir Auskunft über die vertikale Position?

1. Berechnung des Betrags des Richtungsvektors: \(|\vec{r}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\). 2. Aufstellen des Geschwindigkeitsvektors \(\vec{v}\) durch Normierung von \(\vec{r}\) und Multiplikation mit der Geschwindigkeit: \(\vec{v} = \frac{5}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{10}{3} \\ \frac{5}{3} \\ \frac{10}{3} \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Verschiebungsvektors für \(t = 15\,\text{s}\): \(\vec{s} = 15 \cdot \begin{pmatrix} \frac{10}{3} \\ \frac{5}{3} \\ \frac{10}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50 \\ 25 \\ 50 \end{pmatrix}\). 4. Bestimmung der neuen Position: \(\vec{p} = \vec{OA} + \vec{s} = \begin{pmatrix} 12 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 50 \\ 25 \\ 50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 62 \\ 33 \\ 52 \end{pmatrix}\). 5. Die Höhe entspricht der \(x_3\)-Koordinate: \(52\,\text{m}\).

Die Drohne befindet sich nach \(15\) Sekunden am Punkt \((62 | 33 | 52)\). Die erreichte Höhe beträgt \(52\,\text{m}\).

- Wie kannst du den Weg zum Punkt \(T\) über den Punkt \(A\) beschreiben? - Erinnere dich daran, wie man einen Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten durch deren Ortsvektoren ausdrückt. - Was bedeutet ein Teilverhältnis von \(1:3\) für die Länge der Teilstrecke im Vergleich zur Gesamtstrecke? - Achte beim Zusammenfassen der Vektoren auf das Distributivgesetz.

1. Nach der Vektoraddition gilt \(\vec{OT} = \vec{OA} + \vec{AT}\). 2. Einsetzen der Bedingung \(\vec{AT} = k \cdot \vec{AB}\) ergibt \(\vec{OT} = \vec{OA} + k \cdot \vec{AB}\). 3. Ersetzen von \(\vec{AB}\) durch \(\vec{OB} - \vec{OA}\) führt zu \(\vec{OT} = \vec{OA} + k \cdot (\vec{OB} - \vec{OA})\). 4. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt \(\vec{OT} = \vec{OA} + k \cdot \vec{OB} - k \cdot \vec{OA} = (1-k)\vec{OA} + k\vec{OB}\). 5. Für das Teilverhältnis \(1:3\) gilt \(k = \frac{1}{1+3} = 0{,}25\). 6. Berechnung des Ortsvektors: \(\vec{OT} = 0{,}75 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 0{,}25 \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ -0{,}75 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 1{,}75 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\). 7. Die Koordinaten des Punktes sind \(T(3 \mid 1 \mid 3)\).

a) Beweis durch \(\vec{OT} = \vec{OA} + k(\vec{OB} - \vec{OA}) = (1-k)\vec{OA} + k\vec{OB}\). b) Mit \(k = \frac{1}{4}\) ergibt sich \(T(3 \mid 1 \mid 3)\).

- Wie findet man den Vektor, der genau in der Mitte zwischen zwei anderen Vektoren liegt? - Nutze die Eigenschaft der Vektoraddition, um den Punkt \(S\) ausgehend vom Ursprung über \(A\) zu erreichen. - Welchen Anteil der gesamten Strecke \(AM_a\) macht die Teilstrecke \(AS\) aus, wenn das Verhältnis \(2:1\) ist? - Setze den Ausdruck für den Mittelpunkt in deine Gleichung für den Schwerpunkt ein und fasse zusammen.

1. Da \(M_a\) der Mittelpunkt von \(\overline{BC}\) ist, gilt \(\vec{OM_a} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC})\). 2. Das Teilverhältnis \(2:1\) auf \(\overline{AM_a}\) bedeutet \(\vec{AS} = \frac{2}{3} \vec{AM_a}\). 3. Darstellung über Ortsvektoren: \(\vec{OS} = \vec{OA} + \vec{AS} = \vec{OA} + \frac{2}{3}(\vec{OM_a} - \vec{OA})\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(\vec{OS} = \vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OM_a} - \frac{2}{3}\vec{OA} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OM_a}\). 5. Einsetzen von \(\vec{OM_a}\): \(\vec{OS} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC})\right)\). 6. Finales Zusammenfassen: \(\vec{OS} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB} + \frac{1}{3}\vec{OC} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})\).

a) \(\vec{OM_a} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC})\) b) Herleitung über \(\vec{OS} = \vec{OA} + \frac{2}{3}(\vec{OM_a} - \vec{OA})\) führt zur Zielformel \(\vec{OS} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})\).

- Wie kannst du einen Vektor zwischen zwei Mittelpunkten als Summe anderer Vektoren schreiben? - Erinnere dich an die Definition eines Mittelpunkts mithilfe von Skalarmultiplikation. - Welche Eigenschaft müssen zwei gegenüberliegende Seitenvektoren in einem Parallelogramm erfüllen? - Kannst du eine Diagonale des äußeren Vierecks nutzen, um die inneren Vektoren zu vergleichen?

1. Ausdruck der Vektoren der Seiten des inneren Vierecks durch die Eckpunkte des äußeren Vierecks: \(\vec{PQ} = \vec{PB} + \vec{BQ}\). 2. Verwendung der Mittelpunkteigenschaft: \(\vec{PQ} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{BC})\). 3. Anwendung der Vektoraddition im Dreieck \(ABC\): \(\vec{PQ} = \frac{1}{2}\vec{AC}\). 4. Analoge Rechnung für die gegenüberliegende Seite \(\vec{SR}\): \(\vec{SR} = \vec{SD} + \vec{DR} = \frac{1}{2}\vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{DC} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{DC})\). 5. Anwendung der Vektoraddition im Dreieck \(ADC\): \(\vec{SR} = \frac{1}{2}\vec{AC}\). 6. Schlussfolgerung: Da \(\vec{PQ} = \vec{SR}\) gilt, sind die Seiten \(PQ\) und \(SR\) parallel und gleich lang, woraus folgt, dass \(PQRS\) ein Parallelogramm ist.

Durch die Vektoraddition ergibt sich \(\vec{PQ} = \frac{1}{2}\vec{AC}\) und \(\vec{SR} = \frac{1}{2}\vec{AC}\). Da die gegenüberliegenden Seitenvektoren \(\vec{PQ}\) und \(\vec{SR}\) identisch sind, ist das Viereck \(PQRS\) ein Parallelogramm.

- Wie lässt sich der Schwerpunkt eines Dreiecks durch die Ortsvektoren seiner Eckpunkte ausdrücken? - Überlege dir, wie man einen Punkt auf einer Strecke vektoriell darstellt, wenn das Teilungsverhältnis bekannt ist. - Wie berechnet man den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten mithilfe von Vektoren? - Zeige die Übereinstimmung der Punkte, indem du beweist, dass ihre Ortsvektoren identisch sind.

1. Der Schwerpunkt \(G\) der Grundfläche hat den Ortsvektor \(\vec{OG} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})\). Da \(S\) die Strecke \(\overline{DG}\) im Verhältnis \(3:1\) teilt, gilt \(\vec{OS} = \vec{OD} + \frac{3}{4}\vec{DG} = \vec{OD} + \frac{3}{4}(\vec{OG} - \vec{OD})\). Einsetzen und Vereinfachen ergibt \(\vec{OS} = \frac{1}{4}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})\). 2. Die Ortsvektoren der Kantenmittelpunkte sind \(\vec{OM_{AB}} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})\) und \(\vec{OM_{CD}} = \frac{1}{2}(\vec{OC} + \vec{OD})\). Der Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(\overline{M_{AB}M_{CD}}\) hat den Ortsvektor \(\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OM_{AB}} + \vec{OM_{CD}}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB} + \frac{1}{2}\vec{OC} + \frac{1}{2}\vec{OD}) = \frac{1}{4}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})\). Da \(\vec{OM} = \vec{OS}\) gilt, ist \(S\) der Mittelpunkt dieser Strecke.

1. \(\vec{OS} = \frac{1}{4}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})\) 2. Der Nachweis erfolgt durch den Vergleich der berechneten Ortsvektoren von \(S\) und dem Mittelpunkt der Strecke \(\overline{M_{AB}M_{CD}}\), die beide \(\frac{1}{4}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})\) ergeben.

- Wie hängen der Ortsvektor eines Endpunktes, der Startpunkt und der Verbindungsvektor zusammen? - Kannst du die Gleichung für den gesuchten Punkt \(D\) so umstellen, dass der Ortsvektor \(\vec{d}\) isoliert ist? - Berechne zuerst die Vektoren auf der rechten Seite der Gleichung, bevor du den Punkt \(D\) bestimmst.

1. Bestimmung der Basisvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ -2-2 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 0-5 \\ 4-(-2) \\ 6-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\). 2. Lösung für Teilaufgabe a): Aus \(\vec{d} - \vec{c} = \vec{AB}\) folgt \(\vec{d} = \vec{c} + \vec{AB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\). Somit ist \(D(4|0|4)\). 3. Lösung für Teilaufgabe b): Zuerst Berechnung des Ergebnisvektors \(\vec{AD} = 2\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -8 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 \\ -14 \\ -9 \end{pmatrix}\). 4. Berechnung des Ortsvektors von \(D\): \(\vec{d} = \vec{a} + \vec{AD} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 13 \\ -14 \\ -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \\ -12 \\ -6 \end{pmatrix}\). Somit ist \(D(14|-12|-6)\).

a) \(D(4|0|4)\) b) \(D(14|-12|-6)\)

- Erinnerst du dich, wie man ein Minuszeichen vor einem Vektor durch Vertauschen der Buchstaben ersetzen kann? - Was bedeutet es für die Verschiebung, wenn eine Vektorkette genau dort endet, wo sie begonnen hat? - Du kannst die Dreiecksregel mehrmals hintereinander anwenden.

1. Anwendung der Dreiecksregel in Schritten: \(\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}\). Dann folgt \(\vec{PR} + \vec{RS} = \vec{PS}\). 2. Umformung des Gegenvektors: \(-\vec{CB} = \vec{BC}\). Einsetzen in die Gleichung: \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). Somit ist \(\vec{x} = \vec{AC}\). 3. Sukzessive Vereinfachung: \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). Damit ergibt sich \(\vec{AC} + \vec{CA}\). Da \(\vec{CA}\) der Gegenvektor zu \(\vec{AC}\) ist, gilt \(\vec{AC} + (-\vec{AC}) = \vec{0}\) (Nullvektor). Geometrisch kehrt man zum Ausgangspunkt \(A\) zurück, die Gesamtverschiebung ist also null.

1. \(\vec{PS}\) 2. \(\vec{x} = \vec{AC}\) 3. \(\vec{0}\) (Nullvektor). Begründung: Da Start- und Endpunkt der Kette identisch sind (\(A\)), findet netto keine Verschiebung statt.

- Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei Punkten \(A\) und \(B\)? - Was bedeutet das Wort „Gegen“ in Bezug auf die Richtung eines Pfeils im Koordinatensystem? - Erinnerst du dich an die Regel „Spitze minus Anfang“?

1. Berechnung des Verbindungsvektors \(\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 5 - 1 \\ 2 - (-4) \\ -1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix}\). 2. Der Gegenvektor zu \(\vec{v}\) ergibt sich durch Vorzeichenumkehr aller Komponenten: \(-\vec{v} = \begin{pmatrix} -4 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Vektors \(\vec{QP} = \vec{p} - \vec{q} = \begin{pmatrix} 1 - 5 \\ -4 - 2 \\ 3 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}\). 4. Vergleich der Ergebnisse zeigt, dass \(-\vec{PQ} = \vec{QP}\) gilt.

a) \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix}\) b) Der Gegenvektor ist \(\begin{pmatrix} -4 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}\). c) \(\vec{QP} = \begin{pmatrix} 1-5 \\ -4-2 \\ 3-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}\). Dies entspricht dem Gegenvektor aus Teilaufgabe b).

- Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Wenn du weißt, wie ein Punkt verschoben wird, wie kommst du dann vom Ergebnis zurück zum Startpunkt? - Was passiert mathematisch mit jeder einzelnen Koordinate eines Punktes bei einer Verschiebung?

1. Der Verschiebungsvektor \(\vec{v}\) entspricht dem Verbindungsvektor von \(P\) nach \(Q\): \(\vec{v} = \vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 0-2 \\ 8-5 \\ 1-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Für den Bildpunkt \(R'\) gilt: \(\vec{r}' = \vec{r} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}\). Somit ist \(R'(2 \mid 4 \mid 6)\). 3. Um den ursprünglichen Punkt \(S\) zu finden, muss der Verschiebungsvektor vom Bildpunkt abgezogen werden (Umkehrung): \(\vec{s} = \vec{s}' - \vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 10 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}\). Somit ist \(S(0 \mid 7 \mid 1)\). 4. Die allgemeine Abbildungsvorschrift lautet: \(\vec{x}' = \vec{x} + \vec{v} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 - 2 \\ x_2 + 3 \\ x_3 + 4 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) b) \(R'(2 \mid 4 \mid 6)\) c) \(S(0 \mid 7 \mid 1)\) d) \(\vec{x}' = \begin{pmatrix} x_1 - 2 \\ x_2 + 3 \\ x_3 + 4 \end{pmatrix}\)

- Stell dir vor, du möchtest von \(B\) nach \(C\) gelangen, darfst aber nur die Wege benutzen, die über den Punkt \(A\) führen. - Welchen Vektor musst du „rückwärts“ gehen, um vom Punkt \(B\) zum gemeinsamen Startpunkt \(A\) zu kommen? - In welche Richtung zeigt ein Differenzvektor \(\vec{v} - \vec{u}\)? Schau dir die Reihenfolge der Buchstaben genau an.

1. Berechnung von \(\vec{BC}\): Der Weg von \(B\) nach \(C\) über den Punkt \(A\) entspricht \(\vec{BA} + \vec{AC}\). Da \(\vec{BA} = -\vec{u}\), folgt \(\vec{BC} = -\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} - \vec{u}\). 2. Berechnung von \(\vec{CD}\): Der Weg von \(C\) nach \(D\) über \(A\) ist \(\vec{CA} + \vec{AD}\). Mit \(\vec{CA} = -\vec{v}\) ergibt sich \(\vec{CD} = \vec{w} - \vec{v}\). 3. Berechnung von \(\vec{DB}\): Der Weg von \(D\) nach \(B\) über \(A\) ist \(\vec{DA} + \vec{AB}\). Mit \(\vec{DA} = -\vec{w}\) ergibt sich \(\vec{DB} = \vec{u} - \vec{w}\). 4. Geometrische Deutung: Die Differenz \(\vec{b} - \vec{a}\) entspricht dem Vektor, der an der Spitze von \(\vec{a}\) (Subtrahend) beginnt und an der Spitze von \(\vec{b}\) (Minuend) endet, sofern beide Vektoren denselben Fußpunkt haben.

a) \(\vec{BC} = \vec{v} - \vec{u}\); \(\vec{CD} = \vec{w} - \vec{v}\); \(\vec{DB} = \vec{u} - \vec{w}\) b) Der Differenzvektor \(\vec{d} = \vec{b} - \vec{a}\) ist der Vektor, der die Spitze von \(\vec{a}\) mit der Spitze von \(\vec{b}\) verbindet. Er zeigt also immer zum Minuenden.

- Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Was bedeutet es für die Komponenten eines Vektors, wenn er mit einer Zahl (einem Skalar) multipliziert wird? - Wie findest du die Koordinaten eines Zielpunktes, wenn Startpunkt und Verschiebungsvektor bekannt sind?

1. Der Verschiebungsvektor \(\vec{v}\) entspricht dem Verbindungsvektor \(\vec{PQ}\). Berechnung durch „Spitze minus Anfang“: \(\vec{v} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Ortsvektors von \(R\) unter Verwendung der Skalarmultiplikation: \(\vec{OR} = \vec{OP} + 3 \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 9 \\ -9 \\ 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ -9 \\ 13 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(R(11 | -9 | 13)\).

1. \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}\) 2. \(R(11 | -9 | 13)\)

- Kannst du die zwei nacheinander ausgeführten Verschiebungen zu einer einzigen Verschiebung zusammenfassen? - Was musst du tun, um von einem bekannten Endzustand wieder zum Anfangszustand zu gelangen? - Stelle eine Gleichung auf, die den Zusammenhang zwischen dem gesuchten Punkt, den Verschiebungen und dem Ergebnis beschreibt. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Verschiebungen testweise auf deinen gefundenen Punkt anwendest.

1. Berechnung des Gesamtverschiebungsvektors durch Addition der Einzelvektoren: \(\vec{s} = \vec{u} + \vec{w} = \begin{pmatrix} -2 + 4 \\ 3 + 0 \\ 1 + (-5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}\). 2. Ansatz zur Bestimmung des Ausgangspunktes: \(\vec{a} = \vec{e} - \vec{s}\). 3. Einsetzen der Werte: \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}\). 4. Berechnen der Komponenten: \(a_1 = 1 - 2 = -1\), \(a_2 = 7 - 3 = 4\), \(a_3 = -2 - (-4) = 2\). 5. Resultierender Punkt \(A(-1 | 4 | 2)\).

\(A(-1 | 4 | 2)\)

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Vektors, wenn das Ziel der Ursprung ist? - Wenn du das Ergebnis einer Verschiebung kennst, wie findest du dann heraus, wo die Bewegung gestartet ist? - Stelle dir zwei Schritte vor, nach denen du wieder genau dort stehst, wo du angefangen hast. Was sagt das über die beiden Schritte aus?

1. Der Vektor \(\vec{a}\) berechnet sich aus \(\vec{0} - \vec{p}\): \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 0 - 2{,}5 \\ 0 - (-5) \\ 0 - 7{,}2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2{,}5 \\ 5 \\ -7{,}2 \end{pmatrix}\). 2. Um den Ausgangspunkt \(M\) zu finden, muss die Verschiebung rückgängig gemacht werden: \(\vec{OM} = \vec{OM'} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 4{,}2 - 1{,}5 \\ 1{,}1 - (-2{,}4) \\ -3{,}5 - 0{,}8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2{,}7 \\ 3{,}5 \\ -4{,}3 \end{pmatrix}\). Die Koordinaten sind \(M(2{,}7 | 3{,}5 | -4{,}3)\). 3. Damit die Kombination der Verschiebungen keine Netto-Veränderung bewirkt, muss ihre Summe der Nullvektor sein: \(\vec{v}_1 + \vec{v}_2 = \vec{0}\). Daraus folgt \(\vec{v}_2 = -\vec{v}_1\).

a) \(\vec{a} = \begin{pmatrix} -2{,}5 \\ 5 \\ -7{,}2 \end{pmatrix}\) b) \(M(2{,}7 | 3{,}5 | -4{,}3)\) c) \(\vec{v}_2 = -\vec{v}_1\) (oder \(\vec{v}_1 + \vec{v}_2 = \vec{0}\))

- Erinnere dich daran, wie die Subtraktion von Vektoren über den Gegenvektor definiert ist. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du den Gegenvektor einer Summe bildest? - Überlege, was das doppelte Bilden eines Gegenvektors bewirkt. - Versuche, die Klammer von innen nach außen aufzulösen.

1. Die Subtraktion in der Klammer wird als Addition des Gegenvektors geschrieben: \(\vec{b} - \vec{c} = \vec{b} + (-\vec{c})\). 2. Die äußere Subtraktion wird ebenfalls umgeformt: \(\vec{a} - (\vec{b} + (-\vec{c})) = \vec{a} + (-(\vec{b} + (-\vec{c})))\). 3. Der Gegenvektor einer Summe entspricht der Summe der Gegenvektoren: \(-(\vec{b} + (-\vec{c})) = (-\vec{b}) + (- (-\vec{c}))\). 4. Da der Gegenvektor eines Gegenvektors wieder der ursprüngliche Vektor ist (\(-(-\vec{c}) = \vec{c}\)), vereinfacht sich der Ausdruck zu \(\vec{a} + (-\vec{b}) + \vec{c}\). 5. Die Addition des Gegenvektors \((-\vec{b})\) wird wieder als Subtraktion geschrieben: \(\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}\).

Die Gleichung wird begründet, indem \(\vec{a} - (\vec{b} - \vec{c})\) zu \(\vec{a} + (-(\vec{b} + (-\vec{c})))\) umgeformt wird. Durch Anwendung der Regel für den Gegenvektor einer Summe \(-(\vec{u} + \vec{v}) = -\vec{u} - \vec{v}\) und der Eigenschaft \(-(-\vec{c}) = \vec{c}\) ergibt sich \(\vec{a} + (-\vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}\).

- Gibt es verschiedene Wege von \(M\) nach \(N\), die über die Eckpunkte des Vierecks führen? - Was passiert, wenn du zwei verschiedene Vektorketten für denselben Vektor addierst? - Wie kannst du die Tatsache nutzen, dass \(M\) und \(N\) genau in der Mitte der jeweiligen Seiten liegen?

1. Ausdruck von \(\vec{MN}\) durch einen Weg über die Eckpunkte \(A\) und \(D\): \(\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DN}\). 2. Ausdruck von \(\vec{MN}\) durch einen Weg über die Eckpunkte \(B\) und \(C\): \(\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CN}\). 3. Addition der beiden Gleichungen: \(2 \cdot \vec{MN} = (\vec{MA} + \vec{MB}) + \vec{AD} + \vec{BC} + (\vec{DN} + \vec{CN})\). 4. Verwendung der Mittelpunktseigenschaft: Da \(M\) Mittelpunkt von \(AB\) ist, gilt \(\vec{MA} + \vec{MB} = \vec{0}\). Analog gilt für den Mittelpunkt \(N\) der Seite \(CD\), dass \(\vec{DN} + \vec{CN} = \vec{0}\). 5. Es verbleibt \(2 \cdot \vec{MN} = \vec{AD} + \vec{BC}\), was durch Division mit 2 zur gesuchten Formel führt.

Durch Addition der beiden Wege \(\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DN}\) und \(\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CN}\) erhält man \(2 \cdot \vec{MN} = \vec{AD} + \vec{BC} + (\vec{MA} + \vec{MB}) + (\vec{DN} + \vec{CN})\). Da \(M\) und \(N\) Mittelpunkte sind, verschwinden die Terme in Klammern, sodass \(\vec{MN} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{AD} + \vec{BC})\) folgt.

- Wie hängen Startpunkt, Verschiebung und Endpunkt in einer Gleichung zusammen? - Wenn du weißt, wo du angekommen bist und wie du dich bewegt hast, wie findest du dann heraus, wo du gestartet bist? - Addiere zuerst die beiden Einzelbewegungen zu einer Gesamtbewegung.

1. Die Gesamtverschiebung \(\vec{w}\) ergibt sich aus der Summe der Teilverschiebungen: \(\vec{w} = \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 10+3 \\ -5+8 \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Der Zusammenhang zwischen Startpunkt \(P\), Verschiebung \(\vec{w}\) und Endpunkt \(Q\) lautet: \(\vec{p} + \vec{w} = \vec{q}\). 3. Um den Startpunkt zu finden, subtrahiert man den Verschiebungsvektor vom Endpunkt: \(\vec{p} = \vec{q} - \vec{w} = \begin{pmatrix} 18 \\ 12 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 13 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 7 \end{pmatrix}\).

1. \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 13 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\) 2. \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 7 \end{pmatrix}\)

- Ein Prisma entsteht, wenn man alle Punkte einer Grundfläche um denselben Vektor verschiebt. - Welcher Punkt der Grundfläche gehört zu welchem Punkt der Deckfläche? Das bestimmt den Vektor. - Wann genau steht ein Vektor senkrecht auf der \(xy\)-Ebene?

1. Fall a): Berechnung des Verschiebungsvektors \(\vec{v}_1 = \overrightarrow{PS} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 3-1 \\ 5-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\). Die weiteren Eckpunkte ergeben sich durch Addition: \(Q' = Q + \vec{v}_1 = (5+2|1+2|0+5) = (7|3|5)\) und \(R' = R + \vec{v}_1 = (1+2|4+2|0+5) = (3|6|5)\). 2. Fall b): Berechnung des Verschiebungsvektors \(\vec{v}_2 = \overrightarrow{QS} = \begin{pmatrix} 3-5 \\ 3-1 \\ 5-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\). Die weiteren Eckpunkte sind \(P' = P + \vec{v}_2 = (1-2|1+2|0+5) = (-1|3|5)\) und \(R' = R + \vec{v}_2 = (1-2|4+2|0+5) = (-1|6|5)\). 3. Begründung: Die Grundfläche liegt in der \(xy\)-Ebene (\(z=0\)). Ein Prisma ist nur dann gerade, wenn der Verschiebungsvektor senkrecht auf der Grundfläche steht, also die Form \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ z \end{pmatrix}\) hat. Da in beiden Fällen die \(x\)- und \(y\)-Komponenten der Verschiebungsvektoren nicht Null sind, stehen die Seitenkanten nicht senkrecht auf der Grundfläche.

a) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\); Deckpunkte: \(S(3|3|5)\), \(Q'(7|3|5)\), \(R'(3|6|5)\) b) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\); Deckpunkte: \(P'(-1|3|5)\), \(S(3|3|5)\), \(R'(-1|6|5)\) c) Da die Verschiebungsvektoren Anteile in \(x\)- und \(y\)-Richtung haben, stehen sie nicht senkrecht auf der Grundfläche (die in der \(xy\)-Ebene liegt). Somit ist das Prisma schief.

- Skizziere die Lage der Punkte \(A, B, C, D\) in einem Parallelogramm. Welche Vektoren müssen gleich sein? - Wie hängen die Punkte \(C\) und \(D\) mit dem Vektor \(\vec{AB}\) zusammen? - Erinnere dich an die Regel „Spitze minus Anfang“ zur Berechnung von Verbindungsvektoren. - Wie kommst du vom Ursprung zum Punkt \(D\), wenn du den Weg über die anderen Punkte nimmst?

1. Berechnung des Verbindungsvektors \(\vec{AB}\) durch \(\vec{OB} - \vec{OA}\): \(\begin{pmatrix} 5-2 \\ 7-3 \\ 2-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. In einem Parallelogramm gilt für die gegenüberliegenden Seiten \(\vec{AB} = \vec{DC}\). 3. Berechnung des Ortsvektors \(\vec{OD}\) durch \(\vec{OC} - \vec{AB}\): \(\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\). 4. Die Koordinaten von \(D\) sind somit \((-4|0|3)\). Alternativer Weg: \(\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{BC}\). \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -1-5 \\ 4-7 \\ 6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}\). \(\vec{OD} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\).

\(D(-4|0|3)\)

- Wie sind Vektoren in Koordinatenschreibweise definiert? - Was passiert in den einzelnen Zeilen (Komponenten), wenn du einen Vektor mit einer Zahl multiplizierst? - Erinnerst du dich an die Rechenregeln für Klammern bei normalen Zahlen? Diese gelten auch innerhalb der Vektorkomponenten. - Was bedeutet ein Minuszeichen vor einem Vektor für dessen Pfeil im Koordinatensystem?

1. Definition der Vektoren in Komponenten: \(\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\). Linke Seite: Berechnung der Summe \(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1+v_1 \\ u_2+v_2 \\ u_3+v_3 \end{pmatrix}\), Multiplikation mit \(r\) und anschließende Negation ergibt \(\begin{pmatrix} -r(u_1+v_1) \\ -r(u_2+v_2) \\ -r(u_3+v_3) \end{pmatrix}\). Anwendung des Distributivgesetzes für reelle Zahlen in jeder Komponente: \(\begin{pmatrix} -ru_1 - rv_1 \\ -ru_2 - rv_2 \\ -ru_3 - rv_3 \end{pmatrix}\). Rechte Seite: Multiplikation der Vektoren mit \(-r\) ergibt \(\begin{pmatrix} -ru_1 \\ -ru_2 \\ -ru_3 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} -rv_1 \\ -rv_2 \\ -rv_3 \end{pmatrix}\). Die Addition dieser Vektoren führt zum gleichen Ergebnis wie die linke Seite. 2. Das negative Vorzeichen bildet die Gegenvektoren zu den bereits skalierten Vektoren \(r\vec{u}\) und \(r\vec{v}\). Es kehrt also die Orientierung dieser beiden Summanden um, wodurch auch der gesamte Summenvektor seine Richtung umkehrt.

1. Durch komponentenweises Ausmultiplizieren unter Nutzung des Distributivgesetzes für reelle Zahlen \( -r(u_i + v_i) = -ru_i - rv_i \) wird die Gleichheit gezeigt. 2. Das negative Vorzeichen kehrt die Orientierung der bereits mit \(r\) skalierten Vektoren um; es entstehen die Gegenvektoren zu \(r\vec{u}\) und \(r\vec{v}\).

- Berechne zuerst die Inhalte der beiden Klammerpaare separat. - Achte beim Subtrahieren und Addieren der Dezimalzahlen genau auf die Stellenwerte und Vorzeichen. - Was passiert in der letzten Rechnung, wenn zwei identische Werte voneinander abgezogen werden? - Du kannst jede der drei Komponenten (x, y, z) als eine eigene kleine Rechnung betrachten.

1. Berechnung der ersten Klammer (Subtraktion): \(\begin{pmatrix} 4{,}2 - (-0{,}8) \\ -1{,}8 - 2{,}5 \\ 0 - 3{,}7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5{,}0 \\ -4{,}3 \\ -3{,}7 \end{pmatrix}\) 2. Berechnung der zweiten Klammer (Addition): \(\begin{pmatrix} 5{,}5 + (-2{,}1) \\ -6 + 1{,}7 \\ 1{,}2 + (-4{,}9) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3{,}4 \\ -4{,}3 \\ -3{,}7 \end{pmatrix}\) 3. Subtraktion der beiden Zwischenergebnisse: \(\begin{pmatrix} 5{,}0 - 3{,}4 \\ -4{,}3 - (-4{,}3) \\ -3{,}7 - (-3{,}7) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 1{,}6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)

- Gehe schrittweise vor und berechne erst das Ergebnis der ersten Spiegelung, bevor du die zweite ausführst. - Erinnere dich an die Formel für den Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten. - Um zu zeigen, dass ein Vektor das Doppelte eines anderen ist, multipliziere alle Komponenten des einen Vektors mit 2.

1. Erste Spiegelung (von \(P\) an \(Q\)): \(\vec{p'} = 2\vec{q} - \vec{p} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}\). Also \(P'(0 \mid 8 \mid 7)\). 2. Zweite Spiegelung (von \(P'\) an \(R\)): \(\vec{p''} = 2\vec{r} - \vec{p'} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -12 \\ -5 \end{pmatrix}\). Also \(P''(6 \mid -12 \mid -5)\). 3. Berechnung des Verschiebungsvektors: \(\vec{PP''} = \vec{p''} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 6 \\ -12 \\ -5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \\ -2 \end{pmatrix}\). 4. Vergleich mit \(\vec{QR}\): \(\vec{QR} = \vec{r} - \vec{q} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ -1 \end{pmatrix}\). Es gilt \(2 \cdot \vec{QR} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \\ -2 \end{pmatrix} = \vec{PP''}\).

a) \(P'(0 \mid 8 \mid 7)\) und \(P''(6 \mid -12 \mid -5)\) b) \(\vec{PP''} = \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \\ -2 \end{pmatrix}\); da \(\vec{QR} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ -1 \end{pmatrix}\), folgt \(\vec{PP''} = 2 \cdot \vec{QR}\).

- Welche Rolle spielt das Spiegelzentrum für die Strecke zwischen einem Punkt und seinem Bild? - Wie berechnet man den Mittelpunkt zwischen zwei gegebenen Punkten? - Wann nennt man zwei Vektoren parallel (kollinear)?

1. Das Spiegelzentrum \(M\) ist der Mittelpunkt der Strecke \(PP'\). Der Ortsvektor berechnet sich durch \(\vec{m} = \frac{1}{2}(\vec{p} + \vec{p'}) = \frac{1}{2} \left( \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Somit ist \(M(2|2|2)\). 2. Der Bildpunkt \(Q'\) ergibt sich aus \(\vec{q'} = 2\vec{m} - \vec{q} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Somit ist \(Q'(-1|3|2)\). 3. Berechnung der Verbindungsvektoren: \(\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 1-(-2) \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). \(\vec{P'Q'} = \vec{q'} - \vec{p'} = \begin{pmatrix} -1-1 \\ 3-6 \\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{P'Q'} = -1 \cdot \vec{PQ}\) gilt, sind die Vektoren kollinear und damit parallel.

1. Der Ortsvektor ist \(\vec{m} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Der Bildpunkt ist \(Q'(-1|3|2)\). 3. Da \(\vec{P'Q'} = -1 \cdot \vec{PQ}\) gilt, sind die Vektoren parallel.

- Stelle dir das Prisma bildlich vor oder skizziere die Punkte: \(A, B, C\) unten und \(D, E, F\) oben. - Nutze aus, dass die Vektoren der parallelen Seitenkanten alle gleich \(\vec{w}\) sind (z. B. \(\vec{AD} = \vec{BE} = \vec{CF} = \vec{w}\)). - Denk daran, dass man einen Vektor zwischen zwei Punkten der Grundfläche wie \(\vec{BC}\) immer durch die aufspannenden Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ausdrücken kann. - Achte beim Addieren der Vektoren genau auf die Vorzeichen, wenn du Vektoren umkehrst.

1. Bestimmung der Diagonalen in Teil a): \(\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE} = \vec{u} + \vec{w}\) \(\vec{BF} = \vec{BC} + \vec{CF} = (\vec{AC} - \vec{AB}) + \vec{CF} = \vec{v} - \vec{u} + \vec{w}\) \(\vec{CD} = \vec{CA} + \vec{AD} = -\vec{v} + \vec{w}\) 2. Summenbildung für Teil b): \(\vec{AE} + \vec{BF} + \vec{CD} = (\vec{u} + \vec{w}) + (\vec{v} - \vec{u} + \vec{w}) + (-\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} - \vec{u}) + (\vec{v} - \vec{v}) + (1 + 1 + 1)\vec{w} = 3\vec{w}\). 3. Bestimmung der restlichen Diagonalen für Teil c): \(\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = -\vec{u} + \vec{w}\) \(\vec{CE} = \vec{CB} + \vec{BE} = (\vec{AB} - \vec{AC}) + \vec{BE} = \vec{u} - \vec{v} + \vec{w}\) \(\vec{AF} = \vec{AC} + \vec{CF} = \vec{v} + \vec{w}\) 4. Summenbildung für Teil c): \(\vec{BD} + \vec{CE} + \vec{AF} = (-\vec{u} + \vec{w}) + (\vec{u} - \vec{v} + \vec{w}) + (\vec{v} + \vec{w}) = 3\vec{w}\). Die Summen sind identisch.

a) \(\vec{AE} = \vec{u} + \vec{w}\); \(\vec{BF} = -\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}\); \(\vec{CD} = -\vec{v} + \vec{w}\) b) Nachweis durch Addition: \(\vec{u} + \vec{w} - \vec{u} + \vec{v} + \vec{w} - \vec{v} + \vec{w} = 3\vec{w}\) c) Die Summe der anderen Diagonalen \(\vec{BD} + \vec{CE} + \vec{AF}\) ergibt ebenfalls \(3\vec{w}\).

- Welche besondere Eigenschaft haben die Diagonalen in einem Parallelogramm bezüglich ihres Schnittpunktes? - Muss man beide Diagonalen kennen, um ihren gemeinsamen Punkt zu finden? - Erinnere dich an die Definition des Mittelpunktes einer Strecke im Raum.

1. Nutzung der geometrischen Eigenschaft: In einem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig. Der Schnittpunkt \(S\) ist somit der Mittelpunkt der Strecke \(AC\). 2. Anwendung der Mittelpunktsformel für \(A\) und \(C\): \(\vec{OS} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{OA} + \vec{OC})\). 3. Einsetzen der Koordinaten: \(\vec{OS} = \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 4. Zu Aufgabenteil b): Da sich beide Diagonalen im selben Punkt schneiden und dieser Punkt genau in der Mitte jeder Diagonale liegt, reicht die Information über eine der beiden Diagonalen (hier \(AC\)) aus, um den Punkt eindeutig festzulegen.

a) \(S(4 \mid 2 \mid 2)\) b) In einem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen. Der Schnittpunkt \(S\) ist daher der Mittelpunkt der Strecke \(AC\). Da \(A\) und \(C\) gegeben sind, ist \(S\) bereits eindeutig bestimmt, unabhängig von der Lage der Punkte \(B\) und \(D\).

- Wie berechnet man den Mittelpunkt einer Strecke zwischen zwei Punkten mit Vektoren? - Erinnere dich an die Definition eines Parallelogramms über seine Seitenvektoren. - Überlege, welche geometrische Bedeutung der Vektor \(\vec{c} - \vec{a}\) für das ursprüngliche Viereck hat. - Was bedeutet es für eine Figur, wenn ein Seitenvektor den Wert Null hat?

1. Die Ortsvektoren der Mittelpunkte sind \(\vec{p} = \frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})\) und \(\vec{q} = \frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})\). Der Verbindungsvektor ist \(\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{2}(\vec{c} - \vec{a})\). 2. Analog gilt für die gegenüberliegende Seite \(\vec{s} = \frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{d})\) und \(\vec{r} = \frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d})\). Der Vektor \(\vec{SR} = \vec{r} - \vec{s} = \frac{1}{2}\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{d} - \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{d} = \frac{1}{2}(\vec{c} - \vec{a})\). Da \(\vec{PQ} = \vec{SR}\) gilt, sind die Seiten parallel und gleich lang, das Viereck ist somit ein Parallelogramm. 3. Die Punkte \(P\), \(Q\) und \(S\) liegen stets in mindestens einer gemeinsamen Ebene. Aus \(\vec{SR} = \vec{PQ}\) folgt \(R = S + \vec{PQ}\), also liegt auch \(R\) in dieser Ebene. Sind die maßgeblichen Vektoren linear abhängig, ist die Figur entsprechend entartet, aber weiterhin eben. 4. Wenn \(A = C\), dann ist \(\vec{a} = \vec{c}\) und somit \(\vec{PQ} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{a}) = \vec{0}\). Dies bedeutet \(P = Q\) und \(S = R\). Das Viereck entartet damit zu höchstens einer Strecke \(PS\); falls zusätzlich \(P = S\) gilt, entartet es zu einem Punkt.

1. \(\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c}) - \frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}) = \frac{1}{2}(\vec{c}-\vec{a})\). 2. \(\vec{SR} = \vec{r} - \vec{s} = \frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d}) - \frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{d}) = \frac{1}{2}(\vec{c}-\vec{a})\). Da \(\vec{PQ} = \vec{SR}\), ist \(PQRS\) ein Parallelogramm. 3. Die vier Punkte liegen in einer gemeinsamen Ebene; bei linear abhängigen Seitenvektoren ist das Parallelogramm entartet. 4. Das Viereck entartet zu höchstens einer Strecke (\(P=Q\) und \(S=R\)); fallen auch \(P\) und \(S\) zusammen, entsteht ein Punkt.

- Nutze die Beziehung zwischen den Seiten eines Mittelpunktsvierecks und den Diagonalen des umschließenden Vierecks. - Wie berechnet man die Länge (den Betrag) eines Vektors im Raum? - Welche Eigenschaften muss ein Parallelogramm erfüllen, um eine Raute zu sein?

1. Mit den Mittelpunkten \(\vec{e} = \frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})\) und \(\vec{f} = \frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})\) folgt \(\vec{EF} = \vec{f} - \vec{e} = \frac{1}{2}(\vec{c} - \vec{a}) = \frac{1}{2}\vec{AC}\). Analog gilt für die gegenüberliegende Seite \(\vec{HG} = \vec{g} - \vec{h} = \frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d}) - \frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{d}) = \frac{1}{2}(\vec{c} - \vec{a}) = \frac{1}{2}\vec{AC}\). 2. Die Längen der Seiten des Mittelpunktsvierecks entsprechen der Hälfte der Längen der Diagonalen des Vierecks \(ABCD\). Es gilt \(|\vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 0^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\) und \(|\vec{BD}| = \sqrt{0^2 + 10^2 + 0^2} = 10\). Die Seitenlängen sind somit \(|\vec{EF}| = |\vec{GH}| = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\) und \(|\vec{FG}| = |\vec{HE}| = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\). 3. Der Umfang berechnet sich zu \(U = 5 + 5 + 5 + 5 = 20\). Da alle vier Seiten des Parallelogramms gleich lang sind (\(5\,\text{LE}\)), handelt es sich um eine Raute (Rhombus).

1. \(\vec{EF} = \frac{1}{2}\vec{AC}\) und \(\vec{HG} = \frac{1}{2}\vec{AC}\). 2. Die Seitenlängen betragen jeweils \(5\,\text{LE}\) (Längeneinheiten), da \(|\vec{AC}| = 10\) und \(|\vec{BD}| = 10\). 3. Der Umfang beträgt \(20\,\text{LE}\). Da alle Seiten gleich lang sind, ist das Mittelpunktsviereck eine Raute.

- Behandle den Vektor \(\vec{x}\) wie eine Unbekannte in einer gewöhnlichen algebraischen Gleichung. - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor der Klammer steht. - Versuche zuerst, alle Terme mit \(\vec{x}\) auf eine Seite der Gleichung zu bringen. - Du kannst die Terme Schritt für Schritt vereinfachen, bevor du den Vektor isolierst.

1. Auflösen der Klammern unter Anwendung des Distributivgesetzes: \(2\vec{x} - \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} + 3\vec{x}\) 2. Zusammenfassen der konstanten Vektoren auf der rechten Seite: \(2\vec{x} - \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} = 3\vec{x} + \begin{pmatrix} 10 \\ -6 \\ -8 \end{pmatrix}\) 3. Isolieren von \(\vec{x}\) durch Subtraktion von \(2\vec{x}\) und Subtraktion des konstanten Vektors: \(\vec{x} = - \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 \\ -6 \\ -8 \end{pmatrix}\) 4. Komponenteweise Berechnung des Ergebnisvektors: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} -8 - 10 \\ 2 - (-6) \\ -6 - (-8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -18 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}\)

\(\vec{x} = \begin{pmatrix} -18 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}\)

- Nutze die Rechenregeln für Vektoren (Addition und Skalarmultiplikation) analog zu den Regeln der Algebra. - Fasse alle Terme mit \(\vec{a}\) und alle Terme mit \(\vec{b}\) jeweils getrennt zusammen. - Was musst du tun, um \(\vec{x}\) alleine auf einer Seite stehen zu haben? - Vergiss nicht, Brüche am Ende so weit wie möglich zu kürzen.

1. Auflösen aller Klammern mittels Distributivgesetz: \(6\vec{x} - 3\vec{a} - 2\vec{b} - 2\vec{x} = 5\vec{a} - 5\vec{x} + 4\vec{b}\) 2. Zusammenfassen gleichartiger Terme auf der linken Seite: \(4\vec{x} - 3\vec{a} - 2\vec{b} = -5\vec{x} + 5\vec{a} + 4\vec{b}\) 3. Alle Terme mit \(\vec{x}\) auf die linke Seite und alle Terme mit \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) auf die rechte Seite bringen: \(9\vec{x} = 8\vec{a} + 6\vec{b}\) 4. Division durch den Skalar \(9\) und Kürzen der Brüche: \(\vec{x} = \frac{8}{9}\vec{a} + \frac{6}{9}\vec{b} = \frac{8}{9}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}\)

\(\vec{x} = \frac{8}{9}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}\)

- Welche besonderen Eigenschaften haben die Vektoren der gegenüberliegenden Seiten in einem Parallelogramm? - Wie hängen die Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{BA}\) zusammen? - Wo liegt der Schnittpunkt der Diagonalen in einem Parallelogramm in Bezug auf die Eckpunkte? - Suche dir für jeden Vektor einen geschlossenen Weg aus den gegebenen Basisvektoren.

1. Da \(ABCD\) ein Parallelogramm ist, gilt \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}\). 2. In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang, daher ist \(\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{b}\). 3. Den Vektor \(\vec{BS}\) berechnet man über den Umweg \(\vec{BA} + \vec{AS} = -\vec{a} + \vec{s}\). 4. Für \(\vec{CS}\) nutzt man den Weg \(\vec{CB} + \vec{BA} + \vec{AS} = -\vec{b} - \vec{a} + \vec{s}\). 5. Der Diagonalenschnittpunkt \(M\) halbiert die Diagonale \(AC\), also ist \(\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})\). Damit folgt \(\vec{MS} = \vec{MA} + \vec{AS} = -\frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{s} = \vec{s} - \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}\).

a) \(\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}\) b) \(\vec{AD} = \vec{b}\) c) \(\vec{BS} = -\vec{a} + \vec{s}\) d) \(\vec{CS} = -\vec{a} - \vec{b} + \vec{s}\) e) \(\vec{MS} = \vec{s} - \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}\)

- Was weißt du über die Seitenvektoren in einem Parallelogramm? - Wie hängen die Diagonalen eines Vierecks mit der Eigenschaft eines Parallelogramms zusammen? - Wenn eine Strecke im Verhältnis \(2:1\) geteilt wird, in wie viele gleich große Teilstücke wird sie dann insgesamt zerlegt? - Wie kannst du den Ortsvektor eines Punktes auf einer Strecke mithilfe eines Startpunktes und eines Bruchteils des Richtungsvektors ausdrücken?

1. Ein Viereck, dessen Diagonalen einander halbieren, ist ein Parallelogramm. Es muss also gelten: \(\vec{PQ} = \vec{SR}\). 2. Berechnung des Vektors \(\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 6-2 \\ 3-1 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung von \(S\) über \(\vec{s} = \vec{r} - \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}\). Somit ist \(S(1|8|2)\). 4. Das Teilverhältnis \(2:1\) bedeutet, dass der Punkt \(T\) die Strecke \(PR\) in drei gleiche Teile teilt und zwei Teile von \(P\) entfernt liegt: \(\vec{PT} = \frac{2}{3} \vec{PR}\). 5. Berechnung von \(\vec{PR} = \vec{r} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ -3 \end{pmatrix}\). 6. Berechnung des Ortsvektors \(\vec{t} = \vec{p} + \frac{2}{3} \vec{PR} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}\). Somit ist \(T(4|7|1)\).

a) \(S(1|8|2)\) b) \(T(4|7|1)\)

- Wie kannst du die Parallelität und das Längenverhältnis zweier Strecken mithilfe von Vektoren ausdrücken? - Achte bei der Trapezbeschriftung \(ABCD\) darauf, welche Vektoren in die gleiche Richtung zeigen müssen. - Wie berechnet man den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten? - Wann liegt ein Punkt \(Z\) genau auf der Strecke zwischen zwei Punkten \(M\) und \(C\)? Welche Bedingung muss für die Vektoren \(\vec{MZ}\) und \(\vec{MC}\) erfüllt sein?

1. Aus der Parallelität und dem Längenverhältnis folgt für das Trapez \(ABCD\), dass \(\vec{DC} = \frac{1}{2} \vec{AB}\) gelten muss. 2. Berechnung von \(\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung von \(\vec{DC} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). 4. Berechnung des Punktes \(D\) über \(\vec{d} = \vec{c} - \vec{DC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ 3 \end{pmatrix}\). Somit ist \(D(1|8|3)\). 5. Berechnung des Mittelpunktes \(M\) von \(AB\): \(\vec{m} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). 6. Prüfung der Lage von \(Z\): Berechne \(\vec{MZ} = \vec{z} - \vec{m} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -0{,}5 \end{pmatrix}\) und \(\vec{MC} = \vec{c} - \vec{m} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix}\). 7. Da \(\vec{MZ} = 0{,}5 \cdot \vec{MC}\) gilt und der Faktor \(0{,}5\) zwischen \(0\) und \(1\) liegt, befindet sich \(Z\) auf der Strecke \(MC\).

a) \(D(1|8|3)\) b) Ja, der Punkt \(Z\) liegt auf der Strecke \(MC\).

- Wie hängen die Ortsvektoren der Eckpunkte eines Dreiecks mit dem Ortsvektor des Schwerpunkts zusammen? - Erinnere dich an die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke zwischen zwei Punkten. - Was bedeutet ein Teilungsverhältnis von \(2:1\) für die beteiligten Vektoren auf einer Geraden? - Wie kannst du zeigen, dass zwei Vektoren parallel sind und in einem bestimmten Längenverhältnis stehen?

1. Berechnung von \(C\): Aus der Schwerpunktsformel \(\vec{s} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})\) folgt \(\vec{c} = 3\vec{s} - \vec{a} - \vec{b}\). Einsetzen der Werte ergibt \(\vec{c} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 2 + 4 \\ 6 - 5 - 1 \\ 6 + 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(C(5|0|4)\). 2. Mittelpunkt \(M_c\): \(\vec{m_c} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2} \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Teilungsverhältnis prüfen: Berechne die Vektoren \(\vec{CS} = \vec{s} - \vec{c} = \begin{pmatrix} 1-5 \\ 2-0 \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{SM_c} = \vec{m_c} - \vec{s} = \begin{pmatrix} -1-1 \\ 3-2 \\ 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{CS} = 2 \cdot \vec{SM_c}\), womit \(S\) die Strecke \(CM_c\) im Verhältnis \(2:1\) teilt.

a) \(C(5|0|4)\) b) \(\vec{m_c} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) c) Da \(\vec{CS} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{SM_c} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) gilt, ist \(\vec{CS} = 2 \cdot \vec{SM_c}\). Damit teilt \(S\) die Strecke \(CM_c\) im Verhältnis \(2:1\).

- Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei Punkten? - Nutze die Mittelpunktsformel für die Ortsvektoren. - Vergleiche die Komponenten der berechneten Vektoren, um ein Vielfaches zu finden. - Für den allgemeinen Beweis: Ersetze die Ortsvektoren der Mittelpunkte durch die Ausdrücke der Eckpunktvektoren und vereinfache den Term.

1. Seitenvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 7-3 \\ 5-1 \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 9-1 \\ 6-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Mittelpunkte: \(\vec{m_c} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{m_b} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c}) = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix}\). 3. Vektor \(\vec{M_c M_b} = \vec{m_b} - \vec{m_c} = \begin{pmatrix} 2-5 \\ 5-3 \\ 5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der Seitenvektor \(\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 1-7 \\ 9-5 \\ 6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{BC} = 2 \cdot \vec{M_c M_b}\). 4. Allgemeiner Beweis: \(\vec{M_c M_b} = \vec{m_b} - \vec{m_c} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c}) - \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{2}(\vec{c} - \vec{b}) = \frac{1}{2}\vec{BC}\).

a) \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}\) b) \(M_c(5|3|3)\), \(M_b(2|5|5)\) c) \(\vec{M_c M_b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{M_c M_b} = \frac{1}{2} \vec{BC}\). d) Der Beweis erfolgt über \(\vec{M_c M_b} = \vec{m_b} - \vec{m_c} = \frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{c}) - \frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}) = \frac{1}{2}(\vec{c}-\vec{b}) = \frac{1}{2}\vec{BC}\).

- Wie drückt man einen Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten durch deren Ortsvektoren aus? - Versuche, die gegebene Gleichung so umzuformen, dass auf einer Seite nur Terme stehen, die einen Seitenvektor beschreiben. - Überlege, was die Gleichheit der Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{DC}\) für die Parallelität und die Länge der Seiten bedeutet. - Welche Eigenschaft der Diagonalen ist charakteristisch für ein Parallelogramm?

1. Der Vektor \(\vec{AB}\) ist gegeben durch \(\vec{b} - \vec{a}\), der Vektor \(\vec{DC}\) durch \(\vec{c} - \vec{d}\). Aus der Voraussetzung \(\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}\) folgt durch Subtraktion von \(\vec{a}\) und \(\vec{d}\) auf beiden Seiten direkt \(\vec{c} - \vec{d} = \vec{b} - \vec{a}\). Somit gilt \(\vec{DC} = \vec{AB}\). 2. Der Mittelpunkt der Diagonale \(\overline{AC}\) ist \(\vec{m}_{AC} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c})\). Der Mittelpunkt der Diagonale \(\overline{BD}\) ist \(\vec{m}_{BD} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{d})\). Gilt \(\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}\), so folgt nach Multiplikation mit \(\frac{1}{2}\) unmittelbar \(\vec{m}_{AC} = \vec{m}_{BD}\). Die Diagonalen haben also denselben Mittelpunkt und halbieren einander. 3. Ein möglicher Lehrsatz lautet: Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn sich seine Diagonalen gegenseitig halbieren. Dies ist äquivalent dazu, dass gegenüberliegende Seitenvektoren (wie \(\vec{AB}\) und \(\vec{DC}\)) identisch sind.

1. Durch Umformen von \(\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}\) zu \(\vec{b} - \vec{a} = \vec{c} - \vec{d}\) folgt \(\vec{AB} = \vec{DC}\). 2. Da \(\frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{d})\), sind die Mittelpunkte der Diagonalen identisch. 3. Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn sich seine Diagonalen gegenseitig halbieren.

- Gehe schrittweise vor und überlege, welche Koordinate bei welcher Ebene „umgeklappt“ wird. - Erinnere dich daran, wie man einen Vektor mit einer Zahl multipliziert. - Was bedeutet es für die Richtung eines Pfeils, wenn man ihn mit \(-1\) multipliziert?

1. Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene: \(\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\). 2. Spiegelung an der \(x_1x_3\)-Ebene: \(\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\). 3. Spiegelung an der \(x_2x_3\)-Ebene: \(\vec{v}_{\text{final}} = \begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\). 4. Es gilt \(\vec{v}_{\text{final}} = \begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix} = -1 \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = -1 \cdot \vec{v}\). Der Skalar ist \(k = -1\). 5. Da \(k = -1\) ist, verläuft der reflektierte Strahl parallel zum einfallenden Strahl, zeigt aber genau in die entgegengesetzte Richtung (antiparallel). Dadurch wird das Licht einer Lichtquelle (z. B. Autoscheinwerfer) direkt zur Quelle zurückgeworfen.

a) \(\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}_{\text{final}} = \begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{v}_{\text{final}} = -1 \cdot \vec{v}\); der Skalar ist \(k = -1\). c) Das Licht wird exakt in die Gegenrichtung reflektiert (\(k = -1\)), sodass es zur Lichtquelle zurückkehrt.

- Was passiert mit den Vorzeichen der Koordinaten bei einer Punktspiegelung am Nullpunkt? - Notiere dir für jede Koordinatenebene, welche Koordinate „quer“ zur Ebene steht und somit bei einer Spiegelung ihr Vorzeichen wechselt. - Führe die Operationen nacheinander aus und beobachte, wie sich der Vektor nach jedem Schritt verändert.

1. Eine Spiegelung am Ursprung (Punktspiegelung) kehrt die Richtung aller Komponenten um. Es gilt \(\vec{v}' = -\vec{v} = \begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\). 2. Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene: Die \(x_3\)-Komponente ändert ihr Vorzeichen. Ergebnis: \(\vec{v}_a = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\). 3. Spiegelung von \(\vec{v}_a\) an der \(x_1x_3\)-Ebene: Die \(x_2\)-Komponente ändert ihr Vorzeichen. Ergebnis: \(\vec{v}_b = \begin{pmatrix} v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\). 4. Spiegelung von \(\vec{v}_b\) an der \(x_2x_3\)-Ebene: Die \(x_1\)-Komponente ändert ihr Vorzeichen. Ergebnis: \(\vec{v}_c = \begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\). 5. Der Vergleich von \(\vec{v}_c\) mit \(\vec{v}'\) zeigt, dass beide Vektoren identisch sind.

a) \(\vec{v}' = \begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\) b) Die schrittweise Spiegelung ergibt: 1. Nach \(x_1x_2\)-Ebene: \(\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\) 2. Nach \(x_1x_3\)-Ebene: \(\begin{pmatrix} v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\) 3. Nach \(x_2x_3\)-Ebene: \(\begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\). Dies entspricht exakt \(\vec{v}'\).

- Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei Punkten? - Denk an die Regel „Spitze minus Anfang“. - Was ist der Unterschied zwischen einem Punkt und seinem Ortsvektor? - Du kannst die Vektorsumme Schritt für Schritt für jede Koordinate einzeln berechnen.

1. Berechnung der Verbindungsvektoren (Spitze minus Anfang): \(\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \begin{pmatrix} -1 - 4 \\ 3 - 1 \\ 2 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\). \(\vec{QR} = \vec{OR} - \vec{OQ} = \begin{pmatrix} 0 - (-1) \\ -2 - 3 \\ 5 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Linearkombination für \(\vec{w}\): \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 + 2 \\ 2 - 10 \\ 5 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -8 \\ 11 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung von \(\vec{PR}\) und des Ortsvektors \(\vec{OS}\): \(\vec{PR} = \vec{OR} - \vec{OP} = \begin{pmatrix} 0 - 4 \\ -2 - 1 \\ 5 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix}\). \(\vec{OS} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 5 - 4 \\ 1 + 2 - 3 \\ -3 + 5 + 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(S(-5 | 0 | 10)\).

a) \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\), \(\vec{QR} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -3 \\ -8 \\ 11 \end{pmatrix}\) c) \(S(-5 | 0 | 10)\)

- Ersetze alle Verbindungsvektoren durch Differenzen von Ortsvektoren bezüglich eines Ursprungs \(O\). - Versuche, die resultierende Formel so umzustrukturieren, dass ein Teil der Summe einen Punkt auf einer Dreiecksseite darstellt. - Achte auf die Summe der Koeffizienten bei Linearkombinationen; wenn sie \(1\) ergibt, liegt der Punkt auf der Verbindungsgeraden. - Das Teilungsverhältnis lässt sich direkt aus den Koeffizienten der Linearkombination ablesen.

1. Die Gleichung wird durch \(\vec{PX} = \vec{OX} - \vec{OP}\) ersetzt: \(3(\vec{OA} - \vec{OP}) + 2(\vec{OB} - \vec{OP}) + (\vec{OC} - \vec{OP}) = \vec{0}\). Zusammenfassen ergibt \(3\vec{OA} + 2\vec{OB} + \vec{OC} - 6\vec{OP} = \vec{0}\). Daraus folgt \(\vec{OP} = \frac{3\vec{OA} + 2\vec{OB} + \vec{OC}}{6} = \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB} + \frac{1}{6}\vec{OC}\). 2. Um die Lage auf \(\overline{AM}\) zu zeigen, wird \(\vec{OP}\) umgeformt zu \(\vec{OP} = \frac{3\vec{OA} + 3 \cdot (\frac{2\vec{OB} + \vec{OC}}{3})}{6} = \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}(\frac{2}{3}\vec{OB} + \frac{1}{3}\vec{OC})\). Setze \(\vec{OM} = \frac{2}{3}\vec{OB} + \frac{1}{3}\vec{OC}\). Da die Summe der Koeffizienten \(\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1\) ist, liegt \(M\) auf \(\overline{BC}\). \(M\) teilt \(\overline{BC}\) im Verhältnis \(1:2\) (Abstand zu \(B\) ist \(\frac{1}{3}\) der Gesamtlänge). Da \(\vec{OP} = \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OM}\), ist \(P\) der Mittelpunkt von \(\overline{AM}\) und teilt diese somit im Verhältnis \(1:1\).

1. \(\vec{OP} = \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB} + \frac{1}{6}\vec{OC}\) 2. \(M\) teilt \(\overline{BC}\) im Verhältnis \(1:2\); \(P\) teilt \(\overline{AM}\) im Verhältnis \(1:1\).

- Was passiert mit einer Koordinate, die Null ist, wenn man den Vektor mit einer Zahl multipliziert? - Ein Vektor ist nur dann ein Vielfaches eines anderen, wenn für alle drei Koordinatengleichungen derselbe Faktor \(k\) existiert. - Um eine allgemeine mathematische Behauptung zu widerlegen, reicht ein einziges passendes Gegenbeispiel aus.

1. Für \(\vec{v} = k \cdot \vec{u}\) müsste gelten: \(10 = 5k \Rightarrow k = 2\) und \(-4 = -2k \Rightarrow k = 2\). Jedoch fordert die zweite Komponente \(2 = k \cdot 0\), was für keine reelle Zahl \(k\) lösbar ist. Somit ist \(\vec{v}\) kein Vielfaches von \(\vec{u}\). 2. Für \(\vec{p} = k \cdot \vec{q}\) betrachte die dritte Komponente: \(15 = 5k \Rightarrow k = 3\). Damit folgt \(m = 3 \cdot (-2) = -6\) und \(n = 3 \cdot 4 = 12\). 3. Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel sind die Vektoren \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Beide haben nur positive Komponenten, aber das Verhältnis der Komponenten ist nicht konstant (\(1:3 \neq 2:2\)), weshalb kein gemeinsamer Faktor \(k\) existiert.

a) Widerspruch in der zweiten Komponente: \(2 = k \cdot 0\) ist nicht lösbar. b) \(m = -6\); \(n = 12\) c) Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\).