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- Eine Skalarmultiplikation wirkt auf jede Vektorkomponente. - Achte besonders auf das negative Vorzeichen des Skalars. - Prüfe die Bruchkomponente getrennt.

1. Jede Komponente von \(\vec{v}\) wird mit \(-4\) multipliziert. 2. Daher ist \(\vec{w}=\begin{pmatrix}-4\cdot1\\-4\cdot(-3)\\-4\cdot\frac{3}{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\12\\-3\end{pmatrix}\).

\(\vec{w}=\begin{pmatrix}-4\\12\\-3\end{pmatrix}\)

- Der Faktor wirkt auf jede Komponente des Vektors. - Behalte beim Multiplizieren die Vorzeichen der Komponenten im Blick. - Prüfe, ob der neue Vektor doppelt so lang und gleichgerichtet sein müsste.

1. Bei der Multiplikation eines Vektors mit \(2\) wird jede Komponente mit \(2\) multipliziert. 2. Daher ist \(2\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\-6\\4\end{pmatrix}\).

\(2\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\-6\\4\end{pmatrix}\)

- Ordne die drei Komponenten des Verschiebungsvektors den drei Punktkoordinaten zu. - Addiere komponentenweise. - Kontrolliere dein Ergebnis, indem du den Verbindungsvektor von \(P\) nach \(Q\) bestimmst.

1. Bei einer Verschiebung wird der Verschiebungsvektor zum Ortsvektor des Startpunkts addiert. 2. Es gilt \(Q(4-3|-2+1|1+2)=(1|-1|3)\).

\(Q(1|-1|3)\)

- Lies zuerst aus den Segmentbeschriftungen ab, an welchem Punkt \(\vec{a}\) und an welchem Punkt \(\vec{b}\) endet. - Beschreibe dann einen Weg vom gemeinsamen Anfangspunkt zur Spitze von \(\vec{a}\), der über die Spitze von \(\vec{b}\) führt. - Forme die daraus entstehende Dreiecksregel nach dem Verbindungsvektor der beiden Spitzen um.

1. Aus dem Bild liest man ab: \(\vec{a}=\vec{OQ}\) und \(\vec{b}=\vec{OP}\). 2. Für den Weg von \(O\) über \(P\) nach \(Q\) gilt die Dreiecksregel \(\vec{OP}+\vec{PQ}=\vec{OQ}\). 3. Damit folgt \(\vec{b}+\vec{PQ}=\vec{a}\), also \(\vec{PQ}=\vec{a}-\vec{b}\).

\(\vec{a}-\vec{b}=\vec{PQ}\)

- Bei einem positiven Faktor bleibt die Richtung eines Vektors erhalten. - Wie verändert der Faktor \(2\) die Länge und die Komponenten? - Vergleiche diese Eigenschaften mit den drei eingezeichneten Kandidaten.

1. Aus dem Bild liest man \(A(2\mid1)\), also \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\). 2. Der Vektor \(2\vec{a}\) hat dieselbe Richtung wie \(\vec{a}\) und die doppelte Länge; seine Komponenten sind \(\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\). 3. Der Punkt \(Q\) liegt bei \((4\mid2)\). Daher ist \(\vec{OQ}=2\vec{a}\).

\(\vec{OQ}=2\vec{a}\)

- Bestimme zuerst die Verschiebung von \(P\) nach \(Q\). - Was bewirkt der Faktor \(2\) an jeder Komponente dieses Vektors? - Wie erhältst du aus dem Startpunkt \(Q\) und dem Verschiebungsvektor den Endpunkt \(R\)?

1. Es gilt \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}-1-2\\1-(-3)\\1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}\). 2. Daraus folgt \(\vec{QR}=2\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\8\\0\end{pmatrix}\). 3. Mit \(\vec{r}=\vec{q}+\vec{QR}\) erhält man \(\vec{r}=\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-6\\8\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\9\\1\end{pmatrix}\). Daher ist \(R(-7\mid9\mid1)\).

a) \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}\) b) \(R(-7\mid9\mid1)\)

- Kannst du einen Vektor mit einem Minuszeichen davor als Vektor mit vertauschten Anfangs- und Endpunkten schreiben? - Gibt es eine Regel, wie man Vektoren addiert, wenn der Endpunkt des ersten Vektors der Anfangspunkt des zweiten ist? - Hilft es dir, die Reihenfolge der Summanden zu verändern? - Was passiert, wenn eine Klammer mit einem Minuszeichen davor aufgelöst wird?

1. Teilaufgabe a: Anwendung der Additionsregel für Vektoren (Chasles-Relation). Es gilt \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). Durch Hinzufügen des dritten Vektors ergibt sich \(\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}\). 2. Teilaufgabe b: Umwandlung des negativen Vektors in seinen Gegenvektor: \(-\vec{RQ} = \vec{QR}\). Die Summe lautet dann \(\vec{PQ} + \vec{QR} + \vec{RS}\). Durch schrittweise Addition erhält man \(\vec{PR} + \vec{RS} = \vec{PS}\). 3. Teilaufgabe c: Auflösen der Klammer unter Beachtung des Vorzeichens ergibt \(\vec{XY} - \vec{ZY} - \vec{XZ}\). Ersetzen der negativen Vektoren durch ihre Gegenvektoren liefert \(\vec{XY} + \vec{YZ} + \vec{ZX}\). Die Summe \(\vec{XY} + \vec{YZ}\) ergibt \(\vec{XZ}\). Zusammen mit \(\vec{ZX}\) folgt \(\vec{XZ} + \vec{ZX} = \vec{XX} = \vec{0}\).

a) \(\vec{AD}\) b) \(\vec{PS}\) c) \(\vec{0}\)

- Erinnere dich daran, dass \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\) gilt. - Wie kannst du die Subtraktion eines Vektors als Addition ausdrücken? - Darfst du die Reihenfolge der Vektoren in der Summe vertauschen, um passende Paare zu finden? - Was ist das Ergebnis, wenn der Startpunkt und der Endpunkt eines Vektors identisch sind?

1. Teilaufgabe a: Ersetzen der negativen Vektoren durch Gegenvektoren führt zu \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE}\). Die fortlaufende Addition ergibt \(\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DE} = \vec{AD} + \vec{DE} = \vec{AE}\). 2. Teilaufgabe b: Umformung der Subtraktionen in Additionen der Gegenvektoren ergibt \(\vec{LM} + \vec{MN} + \vec{NL}\). Die ersten beiden Terme ergeben \(\vec{LN}\). Somit erhält man \(\vec{LN} + \vec{NL} = \vec{LL} = \vec{0}\). 3. Teilaufgabe c: Umwandlung des negativen Vektors ergibt \(\vec{XY} + \vec{ZX} + \vec{WZ}\). Durch Umstellen der Summanden (Kommutativgesetz) erhält man \(\vec{ZX} + \vec{XY} + \vec{WZ}\). Die ersten beiden Vektoren ergeben \(\vec{ZY}\). Der Ausdruck lautet nun \(\vec{ZY} + \vec{WZ}\). Erneutes Umstellen ergibt \(\vec{WZ} + \vec{ZY} = \vec{WY}\).

a) \(\vec{AE}\) b) \(\vec{0}\) c) \(\vec{WY}\)

- Beachte die Klammer und berechne zuerst den inneren Vektorausdruck. - Addition und Subtraktion von Vektoren erfolgen komponentenweise. - Kontrolliere besonders die Vorzeichen beim Subtrahieren negativer Komponenten.

1. Zuerst wird die Summe in der Klammer komponentenweise berechnet: \(\begin{pmatrix}4+(-2)\\1+(-7)\\5+10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-6\\15\end{pmatrix}\). 2. Danach wird komponentenweise subtrahiert: \(\vec{v}=\begin{pmatrix}8-2\\-2-(-6)\\3-15\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\4\\-12\end{pmatrix}\).

\(\vec{v}=\begin{pmatrix}6\\4\\-12\end{pmatrix}\)

- Bestimme zuerst die beiden Verbindungsvektoren vom gemeinsamen Anfangspunkt \(A\). - Verwende für jeden Verbindungsvektor „Endpunkt minus Anfangspunkt“. - Addiere anschließend die drei Komponenten getrennt voneinander.

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}6-1\\3-1\\0-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\2\\-1\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}4-1\\3-1\\3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix}\). 2. Daher ist \(\vec{s}=\begin{pmatrix}5+3\\2+2\\-1+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\4\\1\end{pmatrix}\).

\(\vec{s}=\begin{pmatrix}8\\4\\1\end{pmatrix}\)

- Wie hängen die Koordinaten eines Punktes und sein Ortsvektor zusammen? - Was bedeutet es geometrisch, einen Punkt um einen Vektor zu verschieben? - Wie berechnet man das Doppelte eines Vektors? - Kannst du die Verschiebung von \(P\) nach \(R\) auch in einem einzigen Schritt ausdrücken?

1. Berechnung von \(Q\) durch Vektoraddition: \(\vec{OQ} = \vec{OP} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(Q(1 | 4 | 6)\). 2. Berechnung des Verschiebungsvektors für den zweiten Schritt: \(2 \cdot \vec{v} = 2 \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 12 \\ 2 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung von \(R\) durch Addition zum Ortsvektor von \(Q\): \(\vec{OR} = \vec{OQ} + 2 \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ 12 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 16 \\ 8 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(R(-5 | 16 | 8)\).

a) \(Q(1 | 4 | 6)\) b) \(R(-5 | 16 | 8)\)

- Bestimme jeden Betrag aus den drei Komponenten des jeweiligen Vektors. - Addiere für den Summenvektor zuerst die entsprechenden Komponenten. - Überlege geometrisch, wann ein aus zwei Vektoren zusammengesetzter Weg genauso lang ist wie die Summe der beiden Einzellängen.

1. Es gilt \(|\vec{u}|=\sqrt{3^2+4^2+0^2}=5\) und \(|\vec{v}|=\sqrt{0^2+0^2+12^2}=12\). 2. Der Summenvektor ist \(\vec{u}+\vec{v}=\begin{pmatrix}3\\4\\12\end{pmatrix}\), also \(|\vec{u}+\vec{v}|=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=13\). 3. Damit gilt \(13\leq5+12=17\); die Dreiecksungleichung ist erfüllt. 4. \(\vec{u}\) liegt in der \(x_1x_2\)-Ebene, während \(\vec{v}\) in \(x_3\)-Richtung zeigt; die Vektoren sind sogar orthogonal. Gleichheit tritt nur ein, wenn beide Vektoren gleichgerichtet sind. Bei unveränderten Beträgen müssten sie daher parallel und gleichorientiert verlaufen.

a) \(|\vec{u}|=5\), \(|\vec{v}|=12\), \(|\vec{u}+\vec{v}|=13\) b) \(13\leq17\) ist erfüllt. c) Für Gleichheit müssen die Vektoren parallel und gleichorientiert sein.

- Welche Eigenschaft haben gegenüberliegende Seiten in einem Parallelogramm bezüglich ihrer Vektoren? - Achte genau auf die Reihenfolge der Eckpunkte im Namen des Vierecks. - Wie kannst du den fehlenden Punkt mithilfe einer Vektoraddition oder -subtraktion erreichen?

1. Bestimmung des Verbindungsvektors \(\vec{PQ}\) durch Subtraktion der Ortsvektoren: \(\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 7-3 \\ 1-(-2) \\ 4-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. In einem Parallelogramm \(PQRS\) gilt für die gegenüberliegenden Seiten die Vektorgleichheit \(\vec{PQ} = \vec{SR}\). 3. Umstellen der Gleichung nach dem Ortsvektor \(\vec{s}\): \(\vec{s} = \vec{r} - \vec{PQ}\). 4. Einsetzen der Werte: \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 5. Die Koordinaten des Punktes lauten \(S(1 | 3 | 0)\).

\(S(1 | 3 | 0)\)

- Multipliziere zuerst jeden Vektor mit seinem Skalar. - Führe die Skalarmultiplikation komponentenweise aus. - Addiere anschließend die entsprechenden Komponenten der beiden Vektoren.

1. Es gilt \(2{,}5\vec{a}=\begin{pmatrix}10\\-5\\10\end{pmatrix}\) und \(6\vec{b}=\begin{pmatrix}-6\\18\\6\end{pmatrix}\). 2. Durch komponentenweise Addition folgt \(\vec{c}=\begin{pmatrix}10-6\\-5+18\\10+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\13\\16\end{pmatrix}\).

\(\vec{c}=\begin{pmatrix}4\\13\\16\end{pmatrix}\)

- Übertrage in a) den Skalar auf alle drei Komponenten. - In b) stehen zwei Vielfache desselben Vektors. Kannst du zuerst ihre Koeffizienten zusammenfassen? - Kontrolliere bei beiden Teilaufgaben die Vorzeichen jeder Komponente.

1. In a) ergibt die komponentenweise Multiplikation \(\vec{a}=\begin{pmatrix}5\\-10\\10\end{pmatrix}\). 2. In b) kann zunächst zusammengefasst werden: \(\vec{b}=(1{,}8-0{,}8)\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix}\).

a) \(\vec{a}=\begin{pmatrix}5\\-10\\10\end{pmatrix}\) b) \(\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix}\)

- Führe Skalarmultiplikationen vor Additionen aus. - Vereinfache in a) entstehende Wurzelprodukte sorgfältig. - Addiere in b) erst nach der Skalarmultiplikation komponentenweise.

1. In a) wird jede Komponente mit \(\sqrt{3}\) multipliziert: \(\vec{c}=\begin{pmatrix}3\\\sqrt{18}\\-3\sqrt{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\sqrt{2}\\-3\sqrt{3}\end{pmatrix}\). 2. In b) gilt zunächst \(\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4\\2\\-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}\). 3. Durch Addition folgt \(\vec{d}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\2\\9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\\6\end{pmatrix}\).

a) \(\vec{c}=\begin{pmatrix}3\\3\sqrt{2}\\-3\sqrt{3}\end{pmatrix}\) b) \(\vec{d}=\begin{pmatrix}3\\3\\6\end{pmatrix}\)

- Überlege dir, wie du die Dezimalzahl und die ganze Zahl als Brüche schreiben kannst. - Suche nach einem gemeinsamen Nenner für alle Komponenten des Vektors. - Wenn du einen gemeinsamen Nenner gefunden hast, kannst du den Kehrwert dieses Nenners als Skalar vor den Vektor ziehen.

1. Umwandlung aller Koordinaten in Brüche mit einem gemeinsamen Nenner: \(0{,}25 = \frac{1}{4}\) und \(1 = \frac{12}{12}\). 2. Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) der Nenner \(6\) und \(4\), welches \(12\) ist. 3. Erweitern der Brüche auf den Nenner \(12\): \(\frac{5}{6} = \frac{10}{12}\) und \(\frac{1}{4} = \frac{3}{12}\). 4. Ausklammern des Faktors \(\frac{1}{12}\) aus dem Vektor: \(\vec{a} = \frac{1}{12} \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ -3 \\ 12 \end{pmatrix}\).

\(\vec{a} = \frac{1}{12} \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ -3 \\ 12 \end{pmatrix}\)

- Betrachte jede Zeile der Vektoren als eine eigene kleine Gleichung. - Was muss für die Zahl \(k\) gelten, damit die gesamte Vektorgleichung wahr ist? - Vergleiche die Ergebnisse für \(k\), die du aus den einzelnen Zeilen erhältst. - Wenn ein Bruch in der Gleichung steht, versuche ihn durch Multiplikation oder Division aufzulösen.

1. Für Teilaufgabe a) wird komponentenweise ein Gleichungssystem aufgestellt: \(12 = -4k\), \(-18 = 6k\) und \(30 = -10k\). 2. Aus der ersten Gleichung folgt \(k = \frac{12}{-4} = -3\). Die Überprüfung in der zweiten (\(6 \cdot (-3) = -18\)) und dritten Gleichung (\(-10 \cdot (-3) = 30\)) bestätigt die Lösung. Somit existiert \(k = -3\). 3. Für Teilaufgabe b) ergibt die erste Komponente \(\frac{2}{3} = 4k \implies k = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\). 4. Die zweite Komponente liefert \(1 = 6k \implies k = \frac{1}{6}\). 5. Die dritte Komponente ergibt \(\frac{5}{6} = 4k \implies k = \frac{5}{24}\). Da \(\frac{1}{6} \neq \frac{5}{24}\) ist, gibt es kein gemeinsames \(k\), das alle drei Gleichungen gleichzeitig löst.

a) \(k = -3\) b) Es existiert kein solches \(k\), da die berechneten Werte für die einzelnen Komponenten (\(\frac{1}{6}\) und \(\frac{5}{24}\)) nicht übereinstimmen.

- Welche Zeilen der Vektoren enthalten keine Unbekannten? Nutze diese zuerst. - Wie hängen die Komponenten zweier paralleler Vektoren mathematisch zusammen? - Sobald du den Proportionalitätsfaktor gefunden hast, kannst du ihn auf die fehlende Komponente anwenden. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du den fertigen Vektor \(\vec{u}\) noch einmal mit \(\vec{v}\) vergleichst.

1. Zur Bestimmung von \(s\) werden die bekannten Komponenten der Vektoren verglichen. In der zweiten Zeile gilt \(-6 = s \cdot 4\), woraus \(s = \frac{-6}{4} = -1{,}5\) folgt. 2. Zur Sicherheit wird die dritte Zeile geprüft: \(12 = s \cdot (-8) \implies 12 = -1{,}5 \cdot (-8)\). Dies ergibt \(12 = 12\), was eine wahre Aussage ist. Der Skalierungsfaktor ist somit \(s = -1{,}5\). 3. Um \(a\) zu berechnen, wird \(s\) in die Gleichung der ersten Komponente eingesetzt: \(a = s \cdot 2\). 4. Mit \(s = -1{,}5\) ergibt sich \(a = -1{,}5 \cdot 2 = -3\).

1. \(s = -1{,}5\) 2. \(a = -3\)

- Wie erhältst du aus \(\vec{a}\cdot\vec{a}\) die Länge von \(\vec{a}\)? - Überlege, wie sich die Länge eines Vektors bei Multiplikation mit einem Skalar verändert. - Welche zwei Skalare haben denselben Betrag?

1. Mit dem Skalarprodukt gilt \(\vec{a}\cdot\vec{a}=4^2+(-4)^2+7^2=81\). Daher ist \(|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}=9\). 2. Für die Länge eines skalierten Vektors gilt \(|k\vec{a}|=|k|\,|\vec{a}|\). Also muss \(9|k|=27\) gelten. 3. Daraus folgt \(|k|=3\) und damit \(k=3\) oder \(k=-3\).

\(k=3\) oder \(k=-3\)

- Achte darauf, ob auf beiden Seiten einer Gleichung derselbe mathematische Typ steht: Vektor oder Zahl. - Welche Rechengesetze kennst du für Vektoraddition und Skalarmultiplikation? - Was ist die Summe eines Vektors und seines Gegenvektors?

1. a) ist wahr; dies ist das Kommutativgesetz der Vektoraddition. 2. b) ist falsch. Links steht ein Vektor, daher muss auch rechts ein Vektor stehen: \(\vec{a}+\vec{a}=2\vec{a}\). 3. c) ist falsch. Die Summe eines Vektors und seines Gegenvektors ist der Nullvektor: \(\vec{PQ}+\vec{QP}=\vec{0}\). 4. d) ist wahr; dies ist das Distributivgesetz der Skalarmultiplikation.

a) Wahr. b) Falsch; \(\vec{a}+\vec{a}=2\vec{a}\). c) Falsch; \(\vec{PQ}+\vec{QP}=\vec{0}\). d) Wahr.

- Deute Verbindungsvektoren als Differenzen von Ortsvektoren. - Was geschieht bei einer Vektorkette, die zum Ausgangspunkt zurückführt? - Prüfe bei d) neben \(k=0\) auch einen besonderen Vektor als möglichen Faktor.

1. a) ist wahr; ein Verbindungsvektor ist „Endpunkt minus Anfangspunkt“. 2. b) ist wahr; ein Vektor minus sich selbst ergibt den Nullvektor. 3. c) ist wahr; die Vektorsumme beschreibt einen geschlossenen Streckenzug von \(A\) zurück nach \(A\). 4. d) ist falsch. Die Gleichung ist erfüllt, wenn \(k=0\) oder \(\vec{a}=\vec{0}\) gilt.

a) Wahr. b) Wahr. c) Wahr. d) Falsch; richtig ist: \(k\vec{a}=\vec{0}\) für \(k=0\) oder \(\vec{a}=\vec{0}\).

- Bestimme beide Verbindungsvektoren vom selben Ausgangspunkt \(A\). - Wie liefert \(\vec{v}\cdot\vec{v}\) die quadrierte Länge eines Vektors? - Welche Dreieckseigenschaft folgt aus zwei gleich langen Seiten?

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}3\\0\\-4\end{pmatrix}\). 2. Mit dem Skalarprodukt erhält man \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}=3^2+4^2=25\) und \(\vec{AC}\cdot\vec{AC}=3^2+(-4)^2=25\). 3. Daher gilt \(|\vec{AB}|=|\vec{AC}|=5\). 4. Zwei Seiten des Dreiecks, die sich in \(A\) treffen, sind gleich lang. Somit ist \(ABC\) gleichschenklig mit Spitze \(A\).

a) \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}3\\0\\-4\end{pmatrix}\) b) \(|\vec{AB}|=|\vec{AC}|=5\) c) \(ABC\) ist gleichschenklig mit Spitze \(A\).

- Betrachte jede Koordinate des Vektors einzeln. - Wie hängen die entsprechenden Einträge zweier Vektoren zusammen, wenn der eine aus dem anderen durch Multiplikation mit einer Zahl entsteht? - Nutze eine bekannte Koordinate, um den Streckungsfaktor zu berechnen, und wende diesen dann auf die anderen Koordinaten an.

1. Zur Bestimmung von \(r\) wird die Gleichung \(\begin{pmatrix} -9 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) komponentenweise betrachtet: \(-9 = 3r\), \(3 = -r\) und \(-6 = 2r\). Alle drei Gleichungen liefern \(r = -3\). 2. Analog für \(s\): \(1{,}5 = 3s\), \(-0{,}5 = -s\) und \(1 = 2s\). Hier ergibt sich für alle Komponenten \(s = 0{,}5\). 3. Damit \(\vec{d} = k \cdot \vec{a}\) gilt, muss für die \(x_2\)-Komponente gelten: \(4 = k \cdot (-1)\), woraus \(k = -4\) folgt. 4. Einsetzen von \(k\) in die übrigen Komponenten liefert \(x = -4 \cdot 3 = -12\) und \(z = -4 \cdot 2 = -8\).

a) \(r = -3\); \(s = 0{,}5\) b) \(x = -12\); \(z = -8\)

- Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Was passiert grafisch, wenn man die Spitze des ersten Vektors als Startpunkt für den zweiten Vektor nutzt? - Schau dir die Anfangs- und Endbuchstaben der Vektorkette genau an.

1. Berechnung der Vektoren durch Differenz der Koordinaten: \(\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 6-2 \\ 1-(-3) \\ 2-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\). Analog dazu \(\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = \begin{pmatrix} -1-6 \\ 4-1 \\ 8-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\). 2. Addition der Komponenten: \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 4+(-7) \\ 4+3 \\ -3+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung von \(\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} -1-2 \\ 4-(-3) \\ 8-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix}\). Der Vergleich zeigt \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). Geometrisch bedeutet dies, dass die Hintereinanderausführung der Verschiebungen von \(A\) nach \(B\) und von \(B\) nach \(C\) derselben Gesamtverschiebung entspricht, die direkt von \(A\) nach \(C\) führt.

1. \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -7 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\) 2. \(\vec{s} = \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix}\) 3. \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix}\); es gilt \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). Die Summe zweier Vektoren entspricht der direkten Verbindung vom Startpunkt des ersten zum Endpunkt des zweiten Vektors.

- Erinnerst du dich, wie man ein Minuszeichen vor einem Vektor durch Vertauschen der Buchstaben ersetzen kann? - Was bedeutet es für die Verschiebung, wenn eine Vektorkette genau dort endet, wo sie begonnen hat? - Du kannst die Dreiecksregel mehrmals hintereinander anwenden.

1. Anwendung der Dreiecksregel in Schritten: \(\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}\). Dann folgt \(\vec{PR} + \vec{RS} = \vec{PS}\). 2. Umformung des Gegenvektors: \(-\vec{CB} = \vec{BC}\). Einsetzen in die Gleichung: \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). Somit ist \(\vec{x} = \vec{AC}\). 3. Sukzessive Vereinfachung: \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). Damit ergibt sich \(\vec{AC} + \vec{CA}\). Da \(\vec{CA}\) der Gegenvektor zu \(\vec{AC}\) ist, gilt \(\vec{AC} + (-\vec{AC}) = \vec{0}\) (Nullvektor). Geometrisch kehrt man zum Ausgangspunkt \(A\) zurück, die Gesamtverschiebung ist also null.

1. \(\vec{PS}\) 2. \(\vec{x} = \vec{AC}\) 3. \(\vec{0}\) (Nullvektor). Begründung: Da Start- und Endpunkt der Kette identisch sind (\(A\)), findet netto keine Verschiebung statt.

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn du sie mit \(-1\) multiplizierst? - Wie ist die Summe von Werten definiert? - Überlege dir, welche Eigenschaft die Summe eines Vektors und seines Gegenvektors bezüglich des Nullvektors hat.

1. Den Gegenvektor \(-\vec{a}\) erhält man durch Multiplikation des Vektors mit \(-1\). Somit gilt \(-\vec{a} = \begin{pmatrix} -7 \\ 2{,}5 \\ -k \end{pmatrix}\). 2. Die Summe der Komponenten des Gegenvektors wird gleich Null gesetzt: \(-7 + 2{,}5 + (-k) = 0\). 3. Durch Zusammenfassen ergibt sich \(-4{,}5 - k = 0\). 4. Auflösen nach \(k\) liefert \(k = -4{,}5\). 5. Allgemein wird der Gegenvektor bestimmt, indem jede Komponente des ursprünglichen Vektors mit \(-1\) multipliziert wird, also \(-\vec{v} = \begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\).

a) \(-\vec{a} = \begin{pmatrix} -7 \\ 2{,}5 \\ -k \end{pmatrix}\) b) \(k = -4{,}5\) c) Den Gegenvektor erhält man, indem man jede Komponente des Vektors mit \(-1\) multipliziert (bzw. die Vorzeichen aller Komponenten umkehrt).

- Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei Punkten \(A\) und \(B\)? - Was bedeutet das Wort „Gegen“ in Bezug auf die Richtung eines Pfeils im Koordinatensystem? - Erinnerst du dich an die Regel „Spitze minus Anfang“?

1. Berechnung des Verbindungsvektors \(\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 5 - 1 \\ 2 - (-4) \\ -1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix}\). 2. Der Gegenvektor zu \(\vec{v}\) ergibt sich durch Vorzeichenumkehr aller Komponenten: \(-\vec{v} = \begin{pmatrix} -4 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Vektors \(\vec{QP} = \vec{p} - \vec{q} = \begin{pmatrix} 1 - 5 \\ -4 - 2 \\ 3 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}\). 4. Vergleich der Ergebnisse zeigt, dass \(-\vec{PQ} = \vec{QP}\) gilt.

a) \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix}\) b) Der Gegenvektor ist \(\begin{pmatrix} -4 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}\). c) \(\vec{QP} = \begin{pmatrix} 1-5 \\ -4-2 \\ 3-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}\). Dies entspricht dem Gegenvektor aus Teilaufgabe b).

- Wie wirkt sich die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl auf seine Länge und Richtung aus? - Wie hängen die Koordinaten eines Bildpunktes mit dem ursprünglichen Punkt und dem Verschiebungsvektor zusammen? - Kannst du die Verschiebung als Vektoraddition beschreiben?

1. Der Verschiebungsvektor \(\vec{v}\) ergibt sich durch die Skalarmultiplikation des Vektors \(\vec{u}\) mit dem Faktor \(2\), da er dieselbe Richtung hat und doppelt so lang ist: \(\vec{v} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Die Bildpunkte werden berechnet, indem der Verschiebungsvektor zu den Ortsvektoren der ursprünglichen Punkte addiert wird: \(\vec{a}' = \vec{a} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} \implies A'(5 \mid -4 \mid -1)\). \(\vec{b}' = \vec{b} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \implies B'(3 \mid 0 \mid 2)\). \(\vec{c}' = \vec{c} + \vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} \implies C'(0 \mid -2 \mid 5)\).

a) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}\) b) \(A'(5 \mid -4 \mid -1)\), \(B'(3 \mid 0 \mid 2)\), \(C'(0 \mid -2 \mid 5)\)

- Was passiert, wenn du einen Weg von \(A\) nach \(B\), dann nach \(C\) und schließlich zurück nach \(A\) gehst? - Wie hängen die Vektoren \(\vec{XY}\) und \(\vec{YX}\) zusammen? - Kannst du eine Subtraktion \(\vec{a} - \vec{b}\) als Addition \(\vec{a} + (-\vec{b})\) schreiben? - Überlege, welcher Vektor der Gegenvektor zu \(\vec{AB}\) ist.

1. Anwendung der Additionsregel für aufeinanderfolgende Pfeile (Chasles-Relation): \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). 2. Einsetzen dieses Zwischenergebnisses in die ursprüngliche Summe führt zu \(\vec{AC} + \vec{CA}\). 3. Nutzung der Definition des Gegenvektors \(\vec{CA} = -\vec{AC}\). Die Summe ergibt \(\vec{AC} + (-\vec{AC}) = \vec{0}\). 4. Umformung der Differenz \(\vec{AC} - \vec{AB}\) in eine Addition mit dem Gegenvektor \(\vec{BA}\): \(\vec{AC} + \vec{BA}\). 5. Durch Anwendung des Kommutativgesetzes erhält man \(\vec{BA} + \vec{AC}\). Nach der Additionsregel ergibt dies den Verbindungsvektor \(\vec{BC}\).

a) \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{AC} + \vec{CA} = \vec{AC} - \vec{AC} = \vec{0}\) b) \(\vec{x} = \vec{AC} + \vec{BA} = \vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}\)

- Wie hängen der Ortsvektor eines Punktes und seine Koordinaten zusammen? - Was passiert rechnerisch mit den Koordinaten eines Punktes, wenn er verschoben wird? - Wenn du zwei Verschiebungen nacheinander ausführst, wie lässt sich das als eine einzige Verschiebung ausdrücken?

1. Berechnung des Ortsvektors von \(B\) durch Addition: \(\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(B(4 | 3 | 6)\). 2. Berechnung des Ortsvektors von \(C\) durch Addition von \(\vec{w}\) zu \(B\): \(\vec{OC} = \vec{OB} + \vec{w} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 12 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(C(5 | -1 | 12)\). 3. Der Vektor \(\vec{u}\) entspricht der Summe der beiden Verschiebungsvektoren: \(\vec{u} = \vec{v} + \vec{w} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}\).

1. \(B(4 | 3 | 6)\) 2. \(C(5 | -1 | 12)\) 3. \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}\)

- Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Was bedeutet es für die Komponenten eines Vektors, wenn er mit einer Zahl (einem Skalar) multipliziert wird? - Wie findest du die Koordinaten eines Zielpunktes, wenn Startpunkt und Verschiebungsvektor bekannt sind?

1. Der Verschiebungsvektor \(\vec{v}\) entspricht dem Verbindungsvektor \(\vec{PQ}\). Berechnung durch „Spitze minus Anfang“: \(\vec{v} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Ortsvektors von \(R\) unter Verwendung der Skalarmultiplikation: \(\vec{OR} = \vec{OP} + 3 \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 9 \\ -9 \\ 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ -9 \\ 13 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(R(11 | -9 | 13)\).

1. \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}\) 2. \(R(11 | -9 | 13)\)

- Wie hängen Startpunkt, Verschiebungsvektor und Endpunkt zusammen? - Welche Umkehroperation führt vom bekannten Endpunkt zurück zum Startpunkt? - Prüfe bei der zweiten Komponente besonders das Vorzeichen des Verschiebungsvektors.

1. Für die Verschiebung gilt \(\vec{OP}+\vec{v}=\vec{OL}\). 2. Daher ist \(\vec{OP}=\vec{OL}-\vec{v}=\begin{pmatrix}4\\15\\20\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}12\\-8\\5\end{pmatrix}\). 3. Komponentenweise ergibt sich \(x_1=4-12=-8\), \(x_2=15-(-8)=23\) und \(x_3=20-5=15\). 4. Somit lautet der Startpunkt \(P(-8\mid23\mid15)\).

\(P(-8\mid23\mid15)\)

- Stelle dir die Verschiebung als eine gezielte Bewegung von einem Startpunkt zu einem Zielpunkt vor. - Wie berechnet man die Änderung zwischen zwei Positionen in einem Koordinatensystem? - Wenn du weißt, wie weit und in welche Richtung sich ein Punkt bewegt, wie kannst du das auf einen anderen Punkt übertragen? - Was passiert mit der Richtung einer Verschiebung, wenn du den Zielpunkt wieder zum Startpunkt machen möchtest?

1. Berechnung des Verschiebungsvektors \(\vec{v}\) durch die Differenz der Ortsvektoren von \(B\) und \(A\): \(\vec{v} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 1 - 4 \\ 6 - (-2) \\ 0 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 8 \\ -5 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung von \(D\) durch Addition des Verschiebungsvektors zum Ortsvektor von \(C\): \(\vec{OD} = \vec{OC} + \vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 8 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 10 \\ -4 \end{pmatrix}\). Somit ist \(D(-6 | 10 | -4)\). 3. Der Vektor \(\vec{u}\), der \(B\) auf \(A\) abbildet, ist der Gegenvektor zu \(\vec{v}\): \(\vec{u} = \vec{OA} - \vec{OB} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ -2 - 6 \\ 5 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \\ 5 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{u} = -\vec{v}\).

a) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 8 \\ -5 \end{pmatrix}\) b) \(D(-6 | 10 | -4)\) c) \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \\ 5 \end{pmatrix}\); es gilt \(\vec{u} = -\vec{v}\).

- Vergleiche \(A\) mit dem zugehörigen Punkt \(A'\), um die gemeinsame Verschiebung zu bestimmen. - Welche Koordinaten ändern sich beim Übergang von der Grund- zur Deckfläche? - Wende denselben Verschiebungsvektor auf \(B\) und \(C\) an.

1. Der Verschiebungsvektor ist \(\vec{v}=\overrightarrow{AA'}=\begin{pmatrix}0\\0\\8\end{pmatrix}\). 2. Für die Deckpunkte gilt \(\vec{OB'}=\vec{OB}+\vec{v}=\begin{pmatrix}6\\1\\9\end{pmatrix}\) und \(\vec{OC'}=\vec{OC}+\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\4\\9\end{pmatrix}\). 3. Damit sind \(B'(6\mid1\mid9)\) und \(C'(2\mid4\mid9)\).

a) \(\vec{v}=\begin{pmatrix}0\\0\\8\end{pmatrix}\) b) \(B'(6\mid1\mid9)\) und \(C'(2\mid4\mid9)\)

- Wie addiert oder subtrahiert man Vektoren komponentenweise? - Was bedeutet es grafisch oder rechnerisch, einen Vektor mit einer Zahl zu multiplizieren? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du einen Vektor subtrahierst, der negative Komponenten hat. - Kannst du die Rechnung Schritt für Schritt für jede Zeile einzeln durchführen?

1. Komponentenweise Addition und Subtraktion für \(\vec{u}\): \(4 + (-3) - 1 = 0\), \(-2 + 5 - 1 = 2\) und \(7 + 0 - (-2) = 9\). Daraus folgt \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix}\). 2. Skalarmultiplikation von \(\vec{c}\) mit \(3\): \(3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}\). 3. Addition zum Vektor \(\vec{a}\) für \(\vec{v}\): \(3 + 4 = 7\), \(3 + (-2) = 1\) und \(-6 + 7 = 1\). Daraus folgt \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

- Wie verhalten sich Vorzeichen in Vektortermen im Vergleich zu Termen mit Variablen wie \(x\) und \(y\)? - Was stellt der Vektor \(\vec{b} - \vec{a}\) dar, wenn du von einem Punkt zum anderen läufst? - Stell dir vor, du stehst an einem Punkt und gehst einen Schritt vor und dann denselben Schritt wieder zurück. - Ein Minuszeichen vor einem Klammerausdruck kann als Multiplikation mit \(-1\) aufgefasst werden.

1. Auflösen der Klammer unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \(\vec{b} - \vec{b} + \vec{a}\). Da \(\vec{b} - \vec{b} = \vec{0}\) ist, bleibt der Vektor \(\vec{a}\) übrig. 2. Der Differenzvektor \(\vec{b} - \vec{a}\) entspricht dem Verbindungsvektor \(\vec{AB}\), der von Punkt \(A\) zu Punkt \(B\) führt. Zieht man diesen Weg vom Ortsvektor des Zielpunktes \(B\) ab, gelangt man zurück zum Ausgangspunkt \(A\). 3. Der Ausdruck \(-(\vec{a} - \vec{b})\) ist der Gegenvektor zur Differenz \(\vec{a} - \vec{b}\). Da \(\vec{a} - \vec{b}\) der Vektor von \(B\) nach \(A\) ist (\(\vec{BA}\)), muss sein Gegenvektor der Vektor von \(A\) nach \(B\) sein, welcher gerade durch \(\vec{b} - \vec{a}\) definiert ist. Alternativ: \(-(\vec{a} - \vec{b}) = -1 \cdot \vec{a} - (-1) \cdot \vec{b} = -\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}\).

1. \(\vec{a}\) 2. Subtrahiert man den Verbindungsvektor \(\vec{AB}\) vom Ortsvektor des Punktes \(B\), erhält man den Ortsvektor des Punktes \(A\). 3. Da \(\vec{a} - \vec{b} = \vec{BA}\) ist, entspricht \(-(\vec{a} - \vec{b})\) dem Gegenvektor \(\vec{AB}\), welcher als \(\vec{b} - \vec{a}\) berechnet wird.

- Wie gehst du bei Termen mit Klammern normalerweise vor? - Was musst du beachten, wenn du zwei Vektoren voneinander subtrahierst? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minus vor einer negativen Zahl steht. - Kannst du die Rechnung für jede Zeile (Komponente) einzeln durchführen?

1. Berechnung des Ausdrucks in der Klammer (komponentenweise Subtraktion): \(\begin{pmatrix} 8 - (-5) \\ -4 - 2 \\ 7 - 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 \\ -6 \\ -4 \end{pmatrix}\) 2. Addition des ersten Vektors zum Zwischenergebnis: \(\begin{pmatrix} -12 + 13 \\ 5 + (-6) \\ -3 + (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -7 \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -7 \end{pmatrix}\)

- Berechne zuerst die beiden Klammern getrennt. - Achte bei den Dezimalzahlen besonders auf die Vorzeichen. - Behandle erste, zweite und dritte Komponente jeweils als eigene Rechnung.

1. Die erste Klammer ergibt \(\begin{pmatrix}5{,}0\\-4{,}3\\-3{,}7\end{pmatrix}\). 2. Die zweite Klammer ergibt \(\begin{pmatrix}3{,}4\\-4{,}3\\-3{,}7\end{pmatrix}\). 3. Die Differenz ist \(\begin{pmatrix}5{,}0-3{,}4\\-4{,}3-(-4{,}3)\\-3{,}7-(-3{,}7)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}6\\0\\0\end{pmatrix}\).

\(\begin{pmatrix}1{,}6\\0\\0\end{pmatrix}\)

- Überlege dir, wie der Vektor von einem Punkt zum Spiegelzentrum genutzt werden kann, um zum Bildpunkt zu gelangen. - Wenn ein Punkt die Mitte einer Strecke ist, welche Beziehung besteht dann zwischen den Ortsvektoren der Endpunkte und dem Mittelpunkt? - Du kannst die Punktspiegelung als eine Vektoraddition auffassen: Startpunkt plus zweimal der Verbindungsvektor zum Zentrum.

1. Berechnung von \(A'\) durch Punktspiegelung: Der Ortsvektor des Bildpunktes ergibt sich durch \(\vec{a'} = \vec{s} + \vec{AS} = \vec{s} + (\vec{s} - \vec{a}) = 2 \cdot \vec{s} - \vec{a}\). Einsetzen der Werte: \(\vec{a'} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 7 \\ -12 \end{pmatrix}\). Somit ist \(A'(-2 \mid 7 \mid -12)\). 2. Berechnung von \(B\): Da \(A\) der Mittelpunkt von \(SB\) ist, gilt \(\vec{a} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{s} + \vec{b})\). Umstellen nach \(\vec{b}\) liefert \(\vec{b} = 2 \cdot \vec{a} - \vec{s}\). Einsetzen der Werte: \(\vec{b} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -5 \\ 9 \end{pmatrix}\). Somit ist \(B(7 \mid -5 \mid 9)\).

a) \(A'(-2 \mid 7 \mid -12)\) b) \(B(7 \mid -5 \mid 9)\)

- Wie hängen der Punkt, sein Bildpunkt und das Spiegelzentrum zusammen? - Betrachte den Vektor vom Punkt zum Spiegelzentrum. Wo muss der Bildpunkt liegen? - Erinnere dich an die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke.

1. Zur Berechnung des Bildpunktes \(X'\) bei einer Spiegelung am Punkt \(Z\) wird die Formel \(\vec{x'} = \vec{z} + \vec{XZ} = \vec{z} + (\vec{z} - \vec{x}) = 2 \cdot \vec{z} - \vec{x}\) verwendet. 2. Berechnung von \(A'\): \(\vec{a'} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der Bildpunkt ist \(A'(3|1|2)\). 3. Berechnung von \(B'\): \(\vec{b'} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). Der Bildpunkt ist \(B'(0|3|0)\). 4. Berechnung von \(C'\): \(\vec{c'} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\). Der Bildpunkt ist \(C'(2|-1|-1)\).

Die Bildpunkte sind \(A'(3|1|2)\), \(B'(0|3|0)\) und \(C'(2|-1|-1)\).

- Beginne damit, die Vektoren der gegenüberliegenden Seiten zu berechnen. - Wann nennt man zwei Vektoren parallel (kollinear)? - Reicht es für ein Parallelogramm aus, wenn die Seiten nur parallel sind, oder müssen sie noch eine weitere Bedingung erfüllen? - Wenn eine Eigenschaft wie „Parallelogramm“ nicht erfüllt ist, kann dann eine speziellere Form wie „Raute“ vorliegen?

1. Bestimmung der Vektoren für ein Paar gegenüberliegender Seiten: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 4-2 \\ 3-2 \\ 5-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Überprüfung auf Parallelität: Es gilt \(\vec{AB} = 2 \cdot \vec{DC}\). Da die Vektoren kollinear sind, sind die Seiten \(AB\) und \(DC\) parallel. Das Viereck ist somit ein Trapez. 3. Überprüfung auf Parallelogramm: Da \(\vec{AB} \neq \vec{DC}\) (die Seiten sind nicht gleich lang), ist das Viereck kein Parallelogramm. 4. Da es kein Parallelogramm ist, kann es auch keine Raute sein.

Das Viereck \(ABCD\) ist ein Trapez, aber kein Parallelogramm und keine Raute.

- Welche Koordinate steht jeweils senkrecht auf der genannten Spiegelebene? - Führe die beiden Spiegelungen nacheinander aus und vergleiche erst danach Ausgangs- und Endpunkt. - Suche in Teil c) nach einer räumlichen Drehung, bei der genau eine Koordinatenachse fest bleibt.

1. Bei der Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene wechselt nur die \(x_3\)-Koordinate das Vorzeichen. Daher ist \(P_1(4|-3|1)\). 2. Bei der anschließenden Spiegelung an der \(x_2x_3\)-Ebene wechselt nur die \(x_1\)-Koordinate das Vorzeichen. Daher ist \(P_2(-4|-3|1)\). 3. Gegenüber \(P\) haben \(x_1\) und \(x_3\) ihr Vorzeichen gewechselt, während \(x_2\) unverändert ist. Diese Koordinatenregel entspricht einer Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_2\)-Achse.

a) \(P_1(4|-3|1)\) b) \(P_2(-4|-3|1)\) c) Die Gesamtabbildung entspricht einer Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_2\)-Achse.

- Prüfe bei Teil a), welche Koordinate senkrecht zur Spiegelebene steht. - Bei Teil b) bleibt die Koordinate in Richtung der Drehachse unverändert. - Verfolge die Vorzeichen der beiden übrigen Koordinaten nacheinander.

1. Bei der Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene bleiben \(x_1\) und \(x_2\) erhalten, während \(x_3\) das Vorzeichen wechselt. Daher ist \(P_1(4|-1|-3)\). 2. Bei einer Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_2\)-Achse bleibt \(x_2\) unverändert, während \(x_1\) und \(x_3\) ihre Vorzeichen wechseln. 3. Somit ist \(P_2(-4|-1|3)\).

a) \(P_1(4|-1|-3)\) b) \(P_2(-4|-1|3)\)

- Wie multipliziert man einen Vektor mit einer Zahl? - Kannst du die Vektorgleichung wie eine normale Gleichung nach der Unbekannten umstellen? - Achte beim Subtrahieren besonders auf die Vorzeichen, wenn eine Komponente negativ ist.

1. Berechnung von \(5 \cdot \vec{a}\) und \(2 \cdot \vec{b}\): \(5 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ -15 \\ 5 \end{pmatrix}\) und \(2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\). Subtraktion der Ergebnisse: \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 10 - 8 \\ -15 - 2 \\ 5 - (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -17 \\ 9 \end{pmatrix}\). 2. Umstellen der Gleichung nach \(\vec{x}\): \(2 \cdot \vec{x} = \vec{c} - \vec{a} - \vec{b}\). Berechnung von \(\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 + 4 \\ -3 + 1 \\ 1 + (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\). Subtraktion der Summe \(\vec{a} + \vec{b}\) von \(\vec{c}\): \(2 \cdot \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\). Division durch 2: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} -2{,}5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -17 \\ 9 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{x} = \begin{pmatrix} -2{,}5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\)

- Wie erhältst du aus \(\vec{u}\cdot\vec{u}\) die Länge von \(\vec{u}\)? - Berechne für den ersten Weg zunächst die Komponenten von \(\vec{v}\). - Welche Größe des Skalars bestimmt die Längenänderung bei einer Skalarmultiplikation?

1. Es gilt \(\vec{u}\cdot\vec{u}=3^2+(-4)^2+12^2=169\). Daher ist \(|\vec{u}|=\sqrt{169}=13\). 2. Zunächst ist \(\vec{v}=\begin{pmatrix}-6\\8\\-24\end{pmatrix}\). Damit gilt \(\vec{v}\cdot\vec{v}=36+64+576=676\) und folglich \(|\vec{v}|=26\). 3. Alternativ gilt \(|\vec{v}|=|-2|\,|\vec{u}|=2\cdot13=26\). 4. Für die Länge ist der Betrag des Skalars entscheidend. Das Minuszeichen kehrt nur die Orientierung um.

a) \(|\vec{u}|=13\) b) Beide Wege ergeben \(|\vec{v}|=26\). c) Das Minuszeichen ändert die Orientierung, nicht den Längenfaktor \(|-2|=2\).

- Bestimme zunächst die quadrierte Länge mit \(\vec{a}\cdot\vec{a}\). - Wie hängt \(|r\vec{a}|\) von \(|r|\) und \(|\vec{a}|\) ab? - Welche zwei reellen Zahlen besitzen den Betrag \(4\)?

1. Es gilt \(\vec{a}\cdot\vec{a}=4^2+0^2+(-3)^2=25\). Daher ist \(|\vec{a}|=5\). 2. Aus \(|\vec{b}|=|r|\,|\vec{a}|\) folgt \(20=5|r|\), also \(|r|=4\). 3. Damit gilt \(r=4\) oder \(r=-4\). 4. Für \(r=4\) zeigt \(\vec{b}\) in dieselbe Richtung wie \(\vec{a}\); für \(r=-4\) in die entgegengesetzte Richtung. In beiden Fällen ist \(\vec{b}\) viermal so lang.

a) \(|\vec{a}|=5\) b) \(r=4\) oder \(r=-4\) c) Gleiche beziehungsweise entgegengesetzte Richtung; in beiden Fällen vierfache Länge.

- Wie erhältst du die Länge von \(\vec{v}\) aus \(\vec{v}\cdot\vec{v}\)? - Durch welchen positiven Faktor musst du \(\vec{v}\) teilen, damit die Länge \(1\) wird? - Die Bedingung „dieselbe Richtung“ entscheidet zwischen den beiden möglichen Einheitsvektoren auf derselben Geraden.

1. Es gilt \(\vec{v}\cdot\vec{v}=(-4)^2+7^2+4^2=81\). Daher ist \(|\vec{v}|=9\). 2. Weil \(\vec{u}\) die Länge \(1\) und dieselbe Richtung wie \(\vec{v}\) haben soll, ist \(\vec{u}=\frac{1}{9}\vec{v}=\begin{pmatrix}-\frac{4}{9}\\\frac{7}{9}\\\frac{4}{9}\end{pmatrix}\). 3. Damit lautet die eindeutige Darstellung mit \(k>0\): \(\vec{v}=9\vec{u}\).

\(k=9\), \(\vec{u}=\begin{pmatrix}-\frac{4}{9}\\\frac{7}{9}\\\frac{4}{9}\end{pmatrix}\), also \(\vec{v}=9\vec{u}\).

- Verfolge einen Weg aus zwei aufeinanderfolgenden Verschiebungen, der bei \(O\) beginnt. - Nutze Beschriftung und Richtung der gestrichelten Strecke, um zu erkennen, welcher Vektor an \(A\) angesetzt wurde. - Vergleiche den Endpunkt dieses Verschiebungswegs mit dem Endpunkt des direkten Vektors von \(O\).

1. Von \(O\) nach \(A\) wird zuerst um \(\vec{a}\) verschoben. Die gestrichelte Strecke von \(A\) nach \(C\) stellt anschließend denselben Vektor \(\vec{b}\) dar wie \(\overrightarrow{OB}\). 2. Damit führt der Weg \(O\to A\to C\) insgesamt die Verschiebung \(\vec{a}+\vec{b}\) aus. 3. Der direkte Verbindungsvektor vom gemeinsamen Anfangspunkt \(O\) zum Endpunkt \(C\) ist deshalb \(\overrightarrow{OC}\). 4. Somit gilt \(\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{OC}\).

\(\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{OC}\)

- Lies zuerst die Verschiebung von \(A\) nach \(B\) aus dem Koordinatensystem ab. - Was bewirkt das Minuszeichen am Skalarfaktor für die Richtung, und was bewirkt der Betrag \(2\) für die Länge? - Setze den skalierten Vektor anschließend am Punkt \(C\) an.

1. Aus dem Bild liest man \(A(-2\mid-1)\) und \(B(0\mid0)\). Daher ist \(\vec{v}=\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\). 2. Durch die Multiplikation mit \(-2\) kehrt sich die Richtung um und die Länge verdoppelt sich: \(-2\vec{v}=\begin{pmatrix}-4\\-2\end{pmatrix}\). 3. Der Startpunkt ist \(C(3\mid2)\). Somit ist \(D=C+(-2\vec{v})=(-1\mid0)\).

\(D(-1\mid0)\)

- Welche Eigenschaft haben die Seitenvektoren in einem Parallelogramm? - Achte auf die Reihenfolge der Eckpunkte \(A, B, C, D\). Welche Vektoren müssen gleich sein? - Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Wie findet man einen Endpunkt, wenn der Startpunkt und der Verschiebungsvektor bekannt sind?

1. In einem Parallelogramm \(ABCD\) gilt für die gegenüberliegenden Seitenvektoren \(\vec{AB} = \vec{DC}\) oder \(\vec{AD} = \vec{BC}\). 2. Berechnung des Vektors \(\vec{BC}\): \(\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = \begin{pmatrix} -2 - 4 \\ 8 - 2 \\ 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung des Ortsvektors von \(D\) durch Addition von \(\vec{BC}\) zum Ortsvektor von \(A\): \(\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{BC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix}\). 4. Alternativer Weg über \(\vec{AB}\): \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}\). Dann ist \(\vec{OD} = \vec{OC} - \vec{AB} = \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix}\).

\(D(-5 | 11 | -4)\)

- Stelle dir vor, wie sich die Länge der Diagonale in einem von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramm verändert, wenn du den Winkel zwischen den Vektoren variierst. - Was passiert mit der Gesamtlänge, wenn du zwei Wege direkt hintereinander in genau dieselbe Richtung gehst? - Erinnere dich an die Eigenschaft von Dreiecksseiten: Kann eine Seite länger sein als die beiden anderen zusammen?

1. Der maximale Wert der Summe \(|\vec{a} + \vec{b}|\) ist die Summe der Einzelbeträge: \(7 + 4 = 11\). Der minimale Wert ergibt sich, wenn die Vektoren entgegengesetzt gerichtet sind: \(|7 - 4| = 3\). Der Bereich ist somit \([3; 11]\). 2. Der maximale Wert von \(11\) wird erreicht, wenn die Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) kollinear und gleichgerichtet sind (d. h. sie zeigen in dieselbe Richtung). 3. Geometrisch betrachtet bilden die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{a} + \vec{b}\) ein (evtl. entartetes) Dreieck. Da in jedem Dreieck die Länge einer Seite höchstens so groß wie die Summe der Längen der anderen beiden Seiten ist, gilt \(|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|\). Mit den gegebenen Werten folgt \(|\vec{a} + \vec{b}| \leq 7 + 4 = 11\).

1. Minimum: \(3\); Maximum: \(11\) 2. Die Vektoren müssen gleichgerichtet sein. 3. Gemäß der Dreiecksungleichung ist die Seite \(|\vec{a} + \vec{b}|\) im Vektordreieck höchstens so lang wie die Summe der Seitenlängen \(|\vec{a}|\) und \(|\vec{b}|\).

- Nutze für a) eine Gleichheit gegenüberliegender Seitenvektoren des Parallelogramms. - Wie lässt sich die quadrierte Länge eines Vektors mit dem Skalarprodukt ausdrücken? - Welche zusätzliche Seitenlängen-Eigenschaft macht aus einem Parallelogramm eine Raute?

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}\). 2. Im Parallelogramm gilt \(\vec{DC}=\vec{AB}\). Daher ist \(\vec{OC}=\vec{OD}+\vec{AB}=\begin{pmatrix}1\\6\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\6\\5\end{pmatrix}\), also \(C(4\mid6\mid5)\). 3. Außerdem ist \(\vec{AD}=\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}\). Mit dem Skalarprodukt folgt \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}=3^2+0^2+4^2=25\) und \(\vec{AD}\cdot\vec{AD}=0^2+5^2+0^2=25\). 4. Damit gilt \(|\vec{AB}|=|\vec{AD}|=5\). Ein Parallelogramm mit zwei gleich langen benachbarten Seiten ist eine Raute.

a) \(C(4\mid6\mid5)\) b) \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}=\vec{AD}\cdot\vec{AD}=25\), also \(|\vec{AB}|=|\vec{AD}|=5\); daher ist \(ABCD\) eine Raute.

- Wie berechnet man die Komponenten eines Vektors zwischen zwei gegebenen Punkten? - Erinnere dich an die Regel „Spitze minus Anfang“. - Bei der Addition von Vektoren werden die entsprechenden Koordinaten addiert. - Kannst du die Aufgabe c) vereinfachen, indem du dir den Weg der Vektoren anschaust?

1. Berechnung der benötigten Verbindungsvektoren nach der Regel „Spitze minus Anfang“: \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 0-4 \\ 5-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix}\), \(\vec{RS} = \begin{pmatrix} 0-(-2) \\ -3-1 \\ 1-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix}\), \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} -2-1 \\ 1-4 \\ 4-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}\), \(\vec{QS} = \begin{pmatrix} 0-3 \\ -3-0 \\ 1-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ -4 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung von \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 4 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung von \(\vec{v} = 2\cdot\begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 16 \end{pmatrix}\). 4. Vereinfachung von \(\vec{w}\) durch Vektoraddition: \(\vec{PS} + \vec{SR} + \vec{RQ} = \vec{PR} + \vec{RQ} = \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 4 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 16 \end{pmatrix}\) c) \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix}\)

- Was passiert, wenn man eine Kette von Vektoren addiert, die wieder am Startpunkt endet? - Um einen unbekannten Punkt zu finden, kannst du die Gleichung nach seinem Ortsvektor umstellen. - Wie hängen der Ortsvektor eines Punktes und der Verbindungsvektor zweier Punkte zusammen?

1. Zu Teil a): Die Vektoren bilden einen geschlossenen Weg von \(A\) über \(B\) und \(C\) zurück nach \(A\). Daher muss die Summe der Nullvektor \(\vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) sein. Rechnerisch: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{CA} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix}\). Addition: \(\begin{pmatrix} 3-6+3 \\ 3+2-5 \\ -3+2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Zu Teil b): Berechnung von \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - 2\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6-6 \\ 2-6 \\ 2+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung des Ortsvektors von \(D\): \(\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{AD} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -12 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 \\ -5 \\ 11 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\); Die Summe ist der Nullvektor, da der Streckenzug geschlossen ist. b) \(D(-10 | -5 | 11)\)

- Achte beim Auflösen von Klammern besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor der Klammer steht. - Du kannst Vektoren wie Variablen in der Algebra behandeln, solange du nur Addition, Subtraktion und die Multiplikation mit einer Zahl betrachtest. - Es hilft oft, zuerst alle Klammern von innen nach außen aufzulösen und dann die Koeffizienten gleicher Vektoren zu addieren.

1. Teilaufgabe a): Auflösen der Klammern ergibt \(3 \cdot \vec{x} - 6 \cdot \vec{y} + 4 \cdot \vec{y} - 4 \cdot \vec{z} - 2 \cdot \vec{x} + 4 \cdot \vec{z}\). Zusammenfassen der Koeffizienten führt zu \((3-2) \cdot \vec{x} + (-6+4) \cdot \vec{y} + (-4+4) \cdot \vec{z} = \vec{x} - 2 \cdot \vec{y}\). 2. Teilaufgabe b): Multiplikation mit den Skalaren liefert \(2 \cdot \vec{a} - 3 \cdot \vec{b} - \vec{a} + 5 \cdot \vec{b} + 3 \cdot \vec{a}\). Ordnen nach Vektoren ergibt \((2-1+3) \cdot \vec{a} + (-3+5) \cdot \vec{b} = 4 \cdot \vec{a} + 2 \cdot \vec{b}\). 3. Teilaufgabe c): Zuerst Vereinfachen der inneren eckigen Klammer: \(2 \cdot \vec{u} + 6 \cdot \vec{v} - 4 \cdot \vec{v} + 4 \cdot \vec{u} = 6 \cdot \vec{u} + 2 \cdot \vec{v}\). Subtraktion vom äußeren Term: \(5 \cdot \vec{u} - (6 \cdot \vec{u} + 2 \cdot \vec{v}) = -\vec{u} - 2 \cdot \vec{v}\).

a) \(\vec{x} - 2 \cdot \vec{y}\) b) \(4 \cdot \vec{a} + 2 \cdot \vec{b}\) c) \(-\vec{u} - 2 \cdot \vec{v}\)

- Denke daran, dass ein Minus vor einer Klammer alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umkehrt. - Multipliziere den Skalar vor der Klammer mit jedem einzelnen Vektor innerhalb der Klammer. - Wenn das Ergebnis einer Vektorsumme den Koeffizienten Null hat, fällt dieser Vektor im Endergebnis weg.

1. Teilaufgabe a): Auflösen der Vorzeichen und Klammern ergibt \(-\vec{r} + \vec{s} + 2 \cdot \vec{r} + 2 \cdot \vec{s} - 3 \cdot \vec{s} + 3 \cdot \vec{r}\). Gruppieren der Terme ergibt \((-1+2+3) \cdot \vec{r} + (1+2-3) \cdot \vec{s} = 4 \cdot \vec{r} + 0 \cdot \vec{s} = 4 \cdot \vec{r}\). 2. Teilaufgabe b): Ausmultiplizieren beider Klammern liefert \(6 \cdot \vec{a} - 2 \cdot \vec{b} + 8 \cdot \vec{c} - 5 \cdot \vec{a} - 2 \cdot \vec{b} + 5 \cdot \vec{c}\). Zusammenfassen der jeweiligen Vektorkomponenten führt zu \((6-5) \cdot \vec{a} + (-2-2) \cdot \vec{b} + (8+5) \cdot \vec{c} = \vec{a} - 4 \cdot \vec{b} + 13 \cdot \vec{c}\).

a) \(4 \cdot \vec{r}\) b) \(\vec{a} - 4 \cdot \vec{b} + 13 \cdot \vec{c}\)

- Wie hängt die quadrierte Vektorlänge mit dem Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst zusammen? - Setze die Definition von \(\vec{u}\) in \(\vec{u}\cdot\vec{u}\) ein. - Welche Wirkung hat ein positiver Skalar auf die Richtung eines Vektors?

1. Es gilt \(\vec{u}\cdot\vec{u}=\frac{1}{|\vec{v}|^2}(\vec{v}\cdot\vec{v})\). 2. Wegen \(|\vec{v}|^2=\vec{v}\cdot\vec{v}\) folgt \(\vec{u}\cdot\vec{u}=1\) und damit \(|\vec{u}|=1\). 3. Der Faktor \(\frac{1}{|\vec{v}|}\) ist positiv. Daher hat \(\vec{u}\) dieselbe Richtung wie \(\vec{v}\) und die Länge \(1\). Somit ist \(\vec{u}\) der Einheitsvektor in Richtung von \(\vec{v}\).

a) \(\vec{u}\cdot\vec{u}=1\), also \(|\vec{u}|=1\). b) \(\vec{u}\) ist der Einheitsvektor in Richtung von \(\vec{v}\).

- Überlege zuerst, welche Länge der angegebene Richtungsvektor hat. - Wie kannst du den Richtungsvektor so anpassen, dass seine Länge genau der Geschwindigkeit pro Stunde entspricht? - Achte auf die Einheiten: Die Geschwindigkeit ist in km/h gegeben, die gesuchte Zeit jedoch in Minuten. - Wie setzt sich die neue Position aus dem Startpunkt und dem zurückgelegten Weg zusammen?

1. Berechnung des Betrags des Richtungsvektors: \(|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = 5\). 2. Bestimmung des Geschwindigkeitsvektors durch Skalierung auf den Betrag \(120\): \(\vec{v}_{\text{h}} = \frac{120}{5} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 72 \\ 96 \\ 0 \end{pmatrix}\) (in \(\frac{\text{km}}{\text{h}}\)). 3. Umrechnung der Zeit: \(6\,\text{min} = 0{,}1\,\text{h}\). 4. Berechnung der neuen Position: \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 10 \\ 20 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} + 0{,}1 \cdot \begin{pmatrix} 72 \\ 96 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 + 7{,}2 \\ 20 + 9{,}6 \\ 0{,}5 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17{,}2 \\ 29{,}6 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}\).

Der Hubschrauber befindet sich an der Position \((17{,}2 | 29{,}6 | 0{,}5)\).

- Bestimme zunächst, welche Strecke die Drohne in einer Sekunde in Richtung des Vektors zurücklegt. - Wie lang ist der Verschiebungsvektor nach der gesamten Flugzeit? - Denke daran, dass die neue Position die Summe aus dem Startpunkt und der gesamten Verschiebung ist. - Welcher Teil des Ergebnisvektors gibt dir Auskunft über die vertikale Position?

1. Berechnung des Betrags des Richtungsvektors: \(|\vec{r}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\). 2. Aufstellen des Geschwindigkeitsvektors \(\vec{v}\) durch Normierung von \(\vec{r}\) und Multiplikation mit der Geschwindigkeit: \(\vec{v} = \frac{5}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{10}{3} \\ \frac{5}{3} \\ \frac{10}{3} \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Verschiebungsvektors für \(t = 15\,\text{s}\): \(\vec{s} = 15 \cdot \begin{pmatrix} \frac{10}{3} \\ \frac{5}{3} \\ \frac{10}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50 \\ 25 \\ 50 \end{pmatrix}\). 4. Bestimmung der neuen Position: \(\vec{p} = \vec{OA} + \vec{s} = \begin{pmatrix} 12 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 50 \\ 25 \\ 50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 62 \\ 33 \\ 52 \end{pmatrix}\). 5. Die Höhe entspricht der \(x_3\)-Koordinate: \(52\,\text{m}\).

Die Drohne befindet sich nach \(15\) Sekunden am Punkt \((62 | 33 | 52)\). Die erreichte Höhe beträgt \(52\,\text{m}\).

- Wie kannst du einen Vektor zwischen zwei Mittelpunkten als Summe anderer Vektoren schreiben? - Erinnere dich an die Definition eines Mittelpunkts mithilfe von Skalarmultiplikation. - Welche Eigenschaft müssen zwei gegenüberliegende Seitenvektoren in einem Parallelogramm erfüllen? - Kannst du eine Diagonale des äußeren Vierecks nutzen, um die inneren Vektoren zu vergleichen?

1. Ausdruck der Vektoren der Seiten des inneren Vierecks durch die Eckpunkte des äußeren Vierecks: \(\vec{PQ} = \vec{PB} + \vec{BQ}\). 2. Verwendung der Mittelpunkteigenschaft: \(\vec{PQ} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{BC})\). 3. Anwendung der Vektoraddition im Dreieck \(ABC\): \(\vec{PQ} = \frac{1}{2}\vec{AC}\). 4. Analoge Rechnung für die gegenüberliegende Seite \(\vec{SR}\): \(\vec{SR} = \vec{SD} + \vec{DR} = \frac{1}{2}\vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{DC} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{DC})\). 5. Anwendung der Vektoraddition im Dreieck \(ADC\): \(\vec{SR} = \frac{1}{2}\vec{AC}\). 6. Schlussfolgerung: Da \(\vec{PQ} = \vec{SR}\) gilt, sind die Seiten \(PQ\) und \(SR\) parallel und gleich lang, woraus folgt, dass \(PQRS\) ein Parallelogramm ist.

Durch die Vektoraddition ergibt sich \(\vec{PQ} = \frac{1}{2}\vec{AC}\) und \(\vec{SR} = \frac{1}{2}\vec{AC}\). Da die gegenüberliegenden Seitenvektoren \(\vec{PQ}\) und \(\vec{SR}\) identisch sind, ist das Viereck \(PQRS\) ein Parallelogramm.

- Wie werden Eigengeschwindigkeit und Strömungsgeschwindigkeit zur Geschwindigkeit über Grund kombiniert? - Welche Vektorkomponente entscheidet darüber, wie schnell das gegenüberliegende Ufer erreicht wird? - Welche Komponente der resultierenden Geschwindigkeit muss für eine Überquerung ohne Abtrieb null sein? - Welche Bedingung muss die Länge der gesuchten Eigengeschwindigkeit weiterhin erfüllen?

1. Die Geschwindigkeiten addieren sich zu \(\vec{v}_r=\vec{v}_s+\vec{v}_w=\begin{pmatrix}0{,}6\\1{,}0\\0\end{pmatrix}\,\text{m/s}\). Der Betrag ist \(|\vec{v}_r|=\sqrt{1{,}36}\,\text{m/s}\approx1{,}17\,\text{m/s}\). 2. Für die Überquerung ist die zweite Komponente maßgeblich. Daher gilt \(t=\frac{100\,\text{m}}{1{,}0\,\text{m/s}}=100\,\text{s}\). In dieser Zeit beträgt der Abtrieb \(0{,}6\,\text{m/s}\cdot100\,\text{s}=60\,\text{m}\). 3. Für eine resultierende Bewegung senkrecht zum Ufer muss die erste Komponente verschwinden. Deshalb muss die erste Komponente von \(\vec{v}_h\) gleich \(-0{,}6\,\text{m/s}\) sein. 4. Aus \(|\vec{v}_h|=1{,}0\,\text{m/s}\) folgt für die positive zweite Komponente \((-0{,}6)^2+v_{h,2}^2=1\), also \(v_{h,2}=0{,}8\). Damit ist \(\vec{v}_h=\begin{pmatrix}-0{,}6\\0{,}8\\0\end{pmatrix}\,\text{m/s}\).

a) \(\vec{v}_r=\begin{pmatrix}0{,}6\\1{,}0\\0\end{pmatrix}\,\text{m/s}\), \(|\vec{v}_r|\approx1{,}17\,\text{m/s}\) b) \(t=100\,\text{s}\), Abtrieb \(60\,\text{m}\) c) \(\vec{v}_h=\begin{pmatrix}-0{,}6\\0{,}8\\0\end{pmatrix}\,\text{m/s}\)

- Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Welche Rechenregeln gelten für die komponentenweise Addition und Subtraktion von Vektoren? - Was passiert mit den Komponenten eines Vektors, wenn er mit einer Zahl multipliziert wird? - Kannst du die Vektorkette in Teilaufgabe c) vereinfachen, ohne sofort mit den Koordinaten zu rechnen?

1. Berechnung der benötigten Verbindungsvektoren durch Subtraktion der Ortsvektoren: \(\vec{KL} = \begin{pmatrix} 1-4 \\ 5-(-2) \\ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{MN} = \begin{pmatrix} 3-(-2) \\ 3-0 \\ -4-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ -10 \end{pmatrix}\), \(\vec{LM} = \begin{pmatrix} -2-1 \\ 0-5 \\ 6-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(\vec{KN} = \begin{pmatrix} 3-4 \\ 3-(-2) \\ -4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -5 \end{pmatrix}\). 2. Addition für Teilaufgabe a): \(\vec{KL} + \vec{MN} = \begin{pmatrix} -3+5 \\ 7+3 \\ 2-10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \\ -8 \end{pmatrix}\). 3. Skalarmultiplikation und Subtraktion für Teilaufgabe b): \(3\cdot \vec{LM} - \vec{KN} = \begin{pmatrix} -9 \\ -15 \\ 9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ -20 \\ 14 \end{pmatrix}\). 4. Summenbildung für Teilaufgabe c): \(\vec{KL} + \vec{LM} + \vec{MN} = \vec{KM} + \vec{MN} = \vec{KN} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -5 \end{pmatrix}\).

a) \(\begin{pmatrix} 2 \\ 10 \\ -8 \end{pmatrix}\) b) \(\begin{pmatrix} -8 \\ -20 \\ 14 \end{pmatrix}\) c) \(\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -5 \end{pmatrix}\)

- Bestimme zuerst die Verbindungsvektoren, die in den beiden Bedingungen vorkommen. - Wie erhältst du aus einem bekannten Anfangspunkt und einem Verbindungsvektor den Endpunkt? - Behandle die beiden Bedingungen unabhängig voneinander und kontrolliere jeweils den resultierenden Verbindungsvektor.

1. Zunächst werden die benötigten Verbindungsvektoren bestimmt: \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\-4\\-2\end{pmatrix}\) und \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}-5\\6\\5\end{pmatrix}\). 2. Zu a): Aus \(\vec{CD}=\vec{AB}\) folgt \(\vec{OD}=\vec{OC}+\vec{AB}=\begin{pmatrix}0\\4\\6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\-4\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\4\end{pmatrix}\). Also ist \(D(4\mid0\mid4)\). 3. Zu b): \(\vec{AD}=2\cdot\begin{pmatrix}4\\-4\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5\\6\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\-14\\-9\end{pmatrix}\). 4. Damit ist \(\vec{OD}=\vec{OA}+\vec{AD}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}13\\-14\\-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14\\-12\\-6\end{pmatrix}\). Also ist \(D(14\mid-12\mid-6)\).

a) \(D(4\mid0\mid4)\) b) \(D(14\mid-12\mid-6)\)

- Was passiert mit einer Koordinate, die Null ist, wenn man den Vektor mit einer Zahl multipliziert? - Ein Vektor ist nur dann ein Vielfaches eines anderen, wenn für alle drei Koordinatengleichungen derselbe Faktor \(k\) existiert. - Um eine allgemeine mathematische Behauptung zu widerlegen, reicht ein einziges passendes Gegenbeispiel aus.

1. Für \(\vec{v} = k \cdot \vec{u}\) müsste gelten: \(10 = 5k \Rightarrow k = 2\) und \(-4 = -2k \Rightarrow k = 2\). Jedoch fordert die zweite Komponente \(2 = k \cdot 0\), was für keine reelle Zahl \(k\) lösbar ist. Somit ist \(\vec{v}\) kein Vielfaches von \(\vec{u}\). 2. Für \(\vec{p} = k \cdot \vec{q}\) betrachte die dritte Komponente: \(15 = 5k \Rightarrow k = 3\). Damit folgt \(m = 3 \cdot (-2) = -6\) und \(n = 3 \cdot 4 = 12\). 3. Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel sind die Vektoren \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Beide haben nur positive Komponenten, aber das Verhältnis der Komponenten ist nicht konstant (\(1:3 \neq 2:2\)), weshalb kein gemeinsamer Faktor \(k\) existiert.

a) Widerspruch in der zweiten Komponente: \(2 = k \cdot 0\) ist nicht lösbar. b) \(m = -6\); \(n = 12\) c) Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\).

- Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Wenn du weißt, wie ein Punkt verschoben wird, wie kommst du dann vom Ergebnis zurück zum Startpunkt? - Was passiert mathematisch mit jeder einzelnen Koordinate eines Punktes bei einer Verschiebung?

1. Der Verschiebungsvektor \(\vec{v}\) entspricht dem Verbindungsvektor von \(P\) nach \(Q\): \(\vec{v} = \vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 0-2 \\ 8-5 \\ 1-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Für den Bildpunkt \(R'\) gilt: \(\vec{r}' = \vec{r} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}\). Somit ist \(R'(2 \mid 4 \mid 6)\). 3. Um den ursprünglichen Punkt \(S\) zu finden, muss der Verschiebungsvektor vom Bildpunkt abgezogen werden (Umkehrung): \(\vec{s} = \vec{s}' - \vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 10 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}\). Somit ist \(S(0 \mid 7 \mid 1)\). 4. Die allgemeine Abbildungsvorschrift lautet: \(\vec{x}' = \vec{x} + \vec{v} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 - 2 \\ x_2 + 3 \\ x_3 + 4 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) b) \(R'(2 \mid 4 \mid 6)\) c) \(S(0 \mid 7 \mid 1)\) d) \(\vec{x}' = \begin{pmatrix} x_1 - 2 \\ x_2 + 3 \\ x_3 + 4 \end{pmatrix}\)

- Kannst du die zwei nacheinander ausgeführten Verschiebungen zu einer einzigen Verschiebung zusammenfassen? - Was musst du tun, um von einem bekannten Endzustand wieder zum Anfangszustand zu gelangen? - Stelle eine Gleichung auf, die den Zusammenhang zwischen dem gesuchten Punkt, den Verschiebungen und dem Ergebnis beschreibt. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Verschiebungen testweise auf deinen gefundenen Punkt anwendest.

1. Berechnung des Gesamtverschiebungsvektors durch Addition der Einzelvektoren: \(\vec{s} = \vec{u} + \vec{w} = \begin{pmatrix} -2 + 4 \\ 3 + 0 \\ 1 + (-5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}\). 2. Ansatz zur Bestimmung des Ausgangspunktes: \(\vec{a} = \vec{e} - \vec{s}\). 3. Einsetzen der Werte: \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}\). 4. Berechnen der Komponenten: \(a_1 = 1 - 2 = -1\), \(a_2 = 7 - 3 = 4\), \(a_3 = -2 - (-4) = 2\). 5. Resultierender Punkt \(A(-1 | 4 | 2)\).

\(A(-1 | 4 | 2)\)

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Vektors, wenn das Ziel der Ursprung ist? - Wenn du das Ergebnis einer Verschiebung kennst, wie findest du dann heraus, wo die Bewegung gestartet ist? - Stelle dir zwei Schritte vor, nach denen du wieder genau dort stehst, wo du angefangen hast. Was sagt das über die beiden Schritte aus?

1. Der Vektor \(\vec{a}\) berechnet sich aus \(\vec{0} - \vec{p}\): \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 0 - 2{,}5 \\ 0 - (-5) \\ 0 - 7{,}2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2{,}5 \\ 5 \\ -7{,}2 \end{pmatrix}\). 2. Um den Ausgangspunkt \(M\) zu finden, muss die Verschiebung rückgängig gemacht werden: \(\vec{OM} = \vec{OM'} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 4{,}2 - 1{,}5 \\ 1{,}1 - (-2{,}4) \\ -3{,}5 - 0{,}8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2{,}7 \\ 3{,}5 \\ -4{,}3 \end{pmatrix}\). Die Koordinaten sind \(M(2{,}7 | 3{,}5 | -4{,}3)\). 3. Damit die Kombination der Verschiebungen keine Netto-Veränderung bewirkt, muss ihre Summe der Nullvektor sein: \(\vec{v}_1 + \vec{v}_2 = \vec{0}\). Daraus folgt \(\vec{v}_2 = -\vec{v}_1\).

a) \(\vec{a} = \begin{pmatrix} -2{,}5 \\ 5 \\ -7{,}2 \end{pmatrix}\) b) \(M(2{,}7 | 3{,}5 | -4{,}3)\) c) \(\vec{v}_2 = -\vec{v}_1\) (oder \(\vec{v}_1 + \vec{v}_2 = \vec{0}\))

- Erinnere dich daran, wie die Subtraktion von Vektoren über den Gegenvektor definiert ist. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du den Gegenvektor einer Summe bildest? - Überlege, was das doppelte Bilden eines Gegenvektors bewirkt. - Versuche, die Klammer von innen nach außen aufzulösen.

1. Die Subtraktion in der Klammer wird als Addition des Gegenvektors geschrieben: \(\vec{b} - \vec{c} = \vec{b} + (-\vec{c})\). 2. Die äußere Subtraktion wird ebenfalls umgeformt: \(\vec{a} - (\vec{b} + (-\vec{c})) = \vec{a} + (-(\vec{b} + (-\vec{c})))\). 3. Der Gegenvektor einer Summe entspricht der Summe der Gegenvektoren: \(-(\vec{b} + (-\vec{c})) = (-\vec{b}) + (- (-\vec{c}))\). 4. Da der Gegenvektor eines Gegenvektors wieder der ursprüngliche Vektor ist (\(-(-\vec{c}) = \vec{c}\)), vereinfacht sich der Ausdruck zu \(\vec{a} + (-\vec{b}) + \vec{c}\). 5. Die Addition des Gegenvektors \((-\vec{b})\) wird wieder als Subtraktion geschrieben: \(\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}\).

Die Gleichung wird begründet, indem \(\vec{a} - (\vec{b} - \vec{c})\) zu \(\vec{a} + (-(\vec{b} + (-\vec{c})))\) umgeformt wird. Durch Anwendung der Regel für den Gegenvektor einer Summe \(-(\vec{u} + \vec{v}) = -\vec{u} - \vec{v}\) und der Eigenschaft \(-(-\vec{c}) = \vec{c}\) ergibt sich \(\vec{a} + (-\vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}\).

- Kannst du die Vektoren auf der linken Seite so zerlegen, dass der Punkt \(M\) vorkommt? - Was weißt du über die Vektoren von einem Mittelpunkt zu den Endpunkten der Strecke? - Versuche, die Vektoren \(\vec{MB}\) und \(\vec{MC}\) zueinander in Beziehung zu setzen.

1. Darstellung der Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) unter Einbeziehung des Punktes \(M\): \(\vec{AB} = \vec{AM} + \vec{MB}\) und \(\vec{AC} = \vec{AM} + \vec{MC}\). 2. Addition der beiden Ausdrücke führt zu \(\vec{AB} + \vec{AC} = 2 \cdot \vec{AM} + \vec{MB} + \vec{MC}\). 3. Da \(M\) die Strecke \(BC\) halbiert, sind die Vektoren \(\vec{MB}\) und \(\vec{MC}\) entgegengesetzt gleich: \(\vec{MB} = -\vec{MC}\), woraus \(\vec{MB} + \vec{MC} = \vec{0}\) folgt. 4. Einsetzen liefert die Behauptung \(\vec{AB} + \vec{AC} = 2 \cdot \vec{AM}\).

Durch die Zerlegung \(\vec{AB} = \vec{AM} + \vec{MB}\) und \(\vec{AC} = \vec{AM} + \vec{MC}\) ergibt die Summe \(\vec{AB} + \vec{AC} = 2 \cdot \vec{AM} + (\vec{MB} + \vec{MC})\). Da \(M\) der Mittelpunkt von \(BC\) ist, gilt \(\vec{MB} + \vec{MC} = \vec{0}\), woraus direkt \(\vec{AB} + \vec{AC} = 2 \cdot \vec{AM}\) folgt.

- Wie hängen Startpunkt, Verschiebung und Endpunkt in einer Gleichung zusammen? - Wenn du weißt, wo du angekommen bist und wie du dich bewegt hast, wie findest du dann heraus, wo du gestartet bist? - Addiere zuerst die beiden Einzelbewegungen zu einer Gesamtbewegung.

1. Die Gesamtverschiebung \(\vec{w}\) ergibt sich aus der Summe der Teilverschiebungen: \(\vec{w} = \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 10+3 \\ -5+8 \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Der Zusammenhang zwischen Startpunkt \(P\), Verschiebung \(\vec{w}\) und Endpunkt \(Q\) lautet: \(\vec{p} + \vec{w} = \vec{q}\). 3. Um den Startpunkt zu finden, subtrahiert man den Verschiebungsvektor vom Endpunkt: \(\vec{p} = \vec{q} - \vec{w} = \begin{pmatrix} 18 \\ 12 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 13 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 7 \end{pmatrix}\).

1. \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 13 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\) 2. \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 7 \end{pmatrix}\)

- Ein Prisma entsteht, wenn alle Punkte einer Grundfläche um denselben Vektor verschoben werden. - Welcher Grundpunkt zu \(S\) gehört, bestimmt den jeweiligen Verschiebungsvektor. - Welche Komponenten müsste ein Vektor haben, der senkrecht auf der \(x_1x_2\)-Ebene steht?

1. Im Fall a) ist \(\vec{v}_1=\overrightarrow{PS}=\begin{pmatrix}2\\2\\5\end{pmatrix}\). Damit folgen \(Q'(7\mid3\mid5)\) und \(R'(3\mid6\mid5)\). 2. Im Fall b) ist \(\vec{v}_2=\overrightarrow{QS}=\begin{pmatrix}-2\\2\\5\end{pmatrix}\). Damit folgen \(P'(-1\mid3\mid5)\) und \(R'(-1\mid6\mid5)\). 3. Die Grundfläche liegt in der \(x_1x_2\)-Ebene mit \(x_3=0\). Ein gerades Prisma hätte einen Verschiebungsvektor ohne \(x_1\)- und \(x_2\)-Anteil. Beide Verschiebungsvektoren besitzen jedoch von null verschiedene erste und zweite Komponenten, also stehen die Seitenkanten nicht senkrecht auf der Grundfläche.

a) \(\vec{v}_1=\begin{pmatrix}2\\2\\5\end{pmatrix}\); Deckpunkte: \(S(3\mid3\mid5)\), \(Q'(7\mid3\mid5)\), \(R'(3\mid6\mid5)\) b) \(\vec{v}_2=\begin{pmatrix}-2\\2\\5\end{pmatrix}\); Deckpunkte: \(P'(-1\mid3\mid5)\), \(S(3\mid3\mid5)\), \(R'(-1\mid6\mid5)\) c) In beiden Fällen besitzt der Verschiebungsvektor Anteile in \(x_1\)- und \(x_2\)-Richtung und steht deshalb nicht senkrecht auf der \(x_1x_2\)-Grundfläche. Das Prisma ist schief.

- Wie hängen ein Punkt, sein Bildpunkt und der zugehörige Verschiebungsvektor zusammen? - Wenn du die Verschiebung rückgängig machen möchtest, welche Rechenoperation musst du anwenden? - Überlege dir, ob sich der Abstand oder die Richtung zwischen zwei Punkten ändert, wenn beide exakt gleich verschoben werden.

1. Berechnung von \(P'\) durch Addition des Verschiebungsvektors zum Ortsvektor von \(P\): \(\vec{p'} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \implies P'(1|5|6)\). 2. Berechnung von \(Q\) durch Subtraktion des Verschiebungsvektors vom Ortsvektor des Bildpunktes \(Q'\): \(\vec{q} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \implies Q(7|-4|1)\). 3. Berechnung des Verbindungsvektors \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 7-3 \\ -4-1 \\ 1-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix}\). 4. Berechnung des Verbindungsvektors \(\vec{P'Q'} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 0-5 \\ 2-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix}\). 5. Vergleich: Die Vektoren \(\vec{PQ}\) und \(\vec{P'Q'}\) sind identisch, da beide Punkte um denselben Vektor verschoben wurden und somit ihre relative Lage zueinander gleich bleibt.

a) \(P'(1|5|6)\) b) \(Q(7|-4|1)\) c) \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{P'Q'} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix}\). Die Vektoren sind identisch.

- Überlege dir, welche Vektoren in einem Parallelogramm \(ABCD\) gleich sein müssen. Achte dabei auf die Orientierung der Pfeile. - Wie hängen der Ortsvektor eines Punktes \(D\) und die Vektoren der Seiten zusammen? - Erinnere dich an die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke zwischen zwei Punkten. - Was bedeutet es für die Lage der Mittelpunkte, wenn sich zwei Strecken gegenseitig halbieren?

1. Berechnung des Verbindungsvektors \(\vec{AB}\): \(\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 2-4 \\ 2-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) 2. Bestimmung von \(D\) über die Bedingung \(\vec{DC} = \vec{AB}\) (bzw. \(\vec{OD} = \vec{OC} - \vec{AB}\)): \(\vec{OD} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \implies D(-2|1|1)\) 3. Berechnung des Mittelpunkts \(M_{AC}\) der Diagonale \(AC\): \(\vec{OM_{AC}} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1+2 \\ 4-1 \\ -2+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 1{,}5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}\) 4. Berechnung des Mittelpunkts \(M_{BD}\) der Diagonale \(BD\): \(\vec{OM_{BD}} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 5-2 \\ 2+1 \\ 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 1{,}5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}\) Da \(M_{AC} = M_{BD}\), halbieren sich die Diagonalen im Punkt \(M(1{,}5|1{,}5|1{,}5)\).

a) \(D(-2|1|1)\) b) Der gemeinsame Mittelpunkt beider Diagonalen liegt bei \(M(1{,}5|1{,}5|1{,}5)\).

- Wie sind Vektoren in Koordinatenschreibweise definiert? - Was passiert in den einzelnen Zeilen (Komponenten), wenn du einen Vektor mit einer Zahl multiplizierst? - Erinnerst du dich an die Rechenregeln für Klammern bei normalen Zahlen? Diese gelten auch innerhalb der Vektorkomponenten. - Was bedeutet ein Minuszeichen vor einem Vektor für dessen Pfeil im Koordinatensystem?

1. Definition der Vektoren in Komponenten: \(\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\). Linke Seite: Berechnung der Summe \(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1+v_1 \\ u_2+v_2 \\ u_3+v_3 \end{pmatrix}\), Multiplikation mit \(r\) und anschließende Negation ergibt \(\begin{pmatrix} -r(u_1+v_1) \\ -r(u_2+v_2) \\ -r(u_3+v_3) \end{pmatrix}\). Anwendung des Distributivgesetzes für reelle Zahlen in jeder Komponente: \(\begin{pmatrix} -ru_1 - rv_1 \\ -ru_2 - rv_2 \\ -ru_3 - rv_3 \end{pmatrix}\). Rechte Seite: Multiplikation der Vektoren mit \(-r\) ergibt \(\begin{pmatrix} -ru_1 \\ -ru_2 \\ -ru_3 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} -rv_1 \\ -rv_2 \\ -rv_3 \end{pmatrix}\). Die Addition dieser Vektoren führt zum gleichen Ergebnis wie die linke Seite. 2. Das negative Vorzeichen bildet die Gegenvektoren zu den bereits skalierten Vektoren \(r \cdot \vec{u}\) und \(r \cdot \vec{v}\). Es kehrt also die Orientierung dieser beiden Summanden um, wodurch auch der gesamte Summenvektor seine Richtung umkehrt.

1. Durch komponentenweises Ausmultiplizieren unter Nutzung des Distributivgesetzes für reelle Zahlen \( -r(u_i + v_i) = -ru_i - rv_i \) wird die Gleichheit gezeigt. 2. Das negative Vorzeichen kehrt die Orientierung der bereits mit \(r\) skalierten Vektoren um; es entstehen die Gegenvektoren zu \(r \cdot \vec{u}\) und \(r \cdot \vec{v}\).

- Gehe schrittweise vor und berechne erst das Ergebnis der ersten Spiegelung, bevor du die zweite ausführst. - Erinnere dich an die Formel für den Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten. - Um zu zeigen, dass ein Vektor das Doppelte eines anderen ist, multipliziere alle Komponenten des einen Vektors mit 2.

1. Erste Spiegelung (von \(P\) an \(Q\)): \(\vec{p'} = 2 \cdot \vec{q} - \vec{p} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}\). Also \(P'(0 \mid 8 \mid 7)\). 2. Zweite Spiegelung (von \(P'\) an \(R\)): \(\vec{p''} = 2 \cdot \vec{r} - \vec{p'} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -12 \\ -5 \end{pmatrix}\). Also \(P''(6 \mid -12 \mid -5)\). 3. Berechnung des Verschiebungsvektors: \(\vec{PP''} = \vec{p''} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 6 \\ -12 \\ -5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \\ -2 \end{pmatrix}\). 4. Vergleich mit \(\vec{QR}\): \(\vec{QR} = \vec{r} - \vec{q} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ -1 \end{pmatrix}\). Es gilt \(2 \cdot \vec{QR} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \\ -2 \end{pmatrix} = \vec{PP''}\).

a) \(P'(0 \mid 8 \mid 7)\) und \(P''(6 \mid -12 \mid -5)\) b) \(\vec{PP''} = \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \\ -2 \end{pmatrix}\); da \(\vec{QR} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ -1 \end{pmatrix}\), folgt \(\vec{PP''} = 2 \cdot \vec{QR}\).

- Welche Rolle spielt das Spiegelzentrum für die Strecke zwischen einem Punkt und seinem Bild? - Wie berechnet man den Mittelpunkt zwischen zwei gegebenen Punkten? - Wann nennt man zwei Vektoren parallel (kollinear)?

1. Das Spiegelzentrum \(M\) ist der Mittelpunkt der Strecke \(PP'\). Der Ortsvektor berechnet sich durch \(\vec{m} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{p} + \vec{p'}) = \frac{1}{2} \left( \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Somit ist \(M(2|2|2)\). 2. Der Bildpunkt \(Q'\) ergibt sich aus \(\vec{q'} = 2 \cdot \vec{m} - \vec{q} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Somit ist \(Q'(-1|3|2)\). 3. Berechnung der Verbindungsvektoren: \(\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 1-(-2) \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). \(\vec{P'Q'} = \vec{q'} - \vec{p'} = \begin{pmatrix} -1-1 \\ 3-6 \\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{P'Q'} = -1 \cdot \vec{PQ}\) gilt, sind die Vektoren kollinear und damit parallel.

1. Der Ortsvektor ist \(\vec{m} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Der Bildpunkt ist \(Q'(-1|3|2)\). 3. Da \(\vec{P'Q'} = -1 \cdot \vec{PQ}\) gilt, sind die Vektoren parallel.

- Behandle den Vektor \(\vec{x}\) wie eine Unbekannte in einer gewöhnlichen algebraischen Gleichung. - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor der Klammer steht. - Versuche zuerst, alle Terme mit \(\vec{x}\) auf eine Seite der Gleichung zu bringen. - Du kannst die Terme Schritt für Schritt vereinfachen, bevor du den Vektor isolierst.

1. Auflösen der Klammern unter Anwendung des Distributivgesetzes: \(2 \cdot \vec{x} - \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} + 3 \cdot \vec{x}\) 2. Zusammenfassen der konstanten Vektoren auf der rechten Seite: \(2 \cdot \vec{x} - \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} = 3 \cdot \vec{x} + \begin{pmatrix} 10 \\ -6 \\ -8 \end{pmatrix}\) 3. Isolieren von \(\vec{x}\) durch Subtraktion von \(2 \cdot \vec{x}\) und Subtraktion des konstanten Vektors: \(\vec{x} = - \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 \\ -6 \\ -8 \end{pmatrix}\) 4. Komponenteweise Berechnung des Ergebnisvektors: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} -8 - 10 \\ 2 - (-6) \\ -6 - (-8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -18 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}\)

\(\vec{x} = \begin{pmatrix} -18 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}\)

- Gehe schrittweise vor und überlege, welche Koordinate bei welcher Ebene „umgeklappt“ wird. - Erinnere dich daran, wie man einen Vektor mit einer Zahl multipliziert. - Was bedeutet es für die Richtung eines Pfeils, wenn man ihn mit \(-1\) multipliziert?

1. Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene: \(\vec{v}_1=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\-v_3\end{pmatrix}\). 2. Spiegelung an der \(x_1x_3\)-Ebene: \(\vec{v}_2=\begin{pmatrix}v_1\\-v_2\\-v_3\end{pmatrix}\). 3. Spiegelung an der \(x_2x_3\)-Ebene: \(\vec{v}_{\text{final}}=\begin{pmatrix}-v_1\\-v_2\\-v_3\end{pmatrix}\). 4. Es gilt \(\vec{v}_{\text{final}}=-1\cdot\vec{v}\). Der Skalar ist also \(k=-1\). 5. Der reflektierte Strahl ist damit zum einfallenden Strahl parallel, aber entgegengesetzt gerichtet. Dadurch wird das Licht zur Lichtquelle zurückgeworfen.

a) \(\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}_{\text{final}} = \begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{v}_{\text{final}} = -1 \cdot \vec{v}\); der Skalar ist \(k = -1\). c) Das Licht wird exakt in die Gegenrichtung reflektiert (\(k = -1\)), sodass es zur Lichtquelle zurückkehrt.

- Was passiert mit den Vorzeichen der Koordinaten bei einer Punktspiegelung am Nullpunkt? - Notiere dir für jede Koordinatenebene, welche Koordinate „quer“ zur Ebene steht und somit bei einer Spiegelung ihr Vorzeichen wechselt. - Führe die Operationen nacheinander aus und beobachte, wie sich der Vektor nach jedem Schritt verändert.

1. Eine Spiegelung am Ursprung (Punktspiegelung) kehrt die Richtung aller Komponenten um. Es gilt \(\vec{v}' = -\vec{v} = \begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\). 2. Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene: Die \(x_3\)-Komponente ändert ihr Vorzeichen. Ergebnis: \(\vec{v}_a = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\). 3. Spiegelung von \(\vec{v}_a\) an der \(x_1x_3\)-Ebene: Die \(x_2\)-Komponente ändert ihr Vorzeichen. Ergebnis: \(\vec{v}_b = \begin{pmatrix} v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\). 4. Spiegelung von \(\vec{v}_b\) an der \(x_2x_3\)-Ebene: Die \(x_1\)-Komponente ändert ihr Vorzeichen. Ergebnis: \(\vec{v}_c = \begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\). 5. Der Vergleich von \(\vec{v}_c\) mit \(\vec{v}'\) zeigt, dass beide Vektoren identisch sind.

a) \(\vec{v}' = \begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\) b) Die schrittweise Spiegelung ergibt: 1. Nach \(x_1x_2\)-Ebene: \(\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\) 2. Nach \(x_1x_3\)-Ebene: \(\begin{pmatrix} v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\) 3. Nach \(x_2x_3\)-Ebene: \(\begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\). Dies entspricht exakt \(\vec{v}'\).

- Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei Punkten? - Denk an die Regel „Spitze minus Anfang“. - Was ist der Unterschied zwischen einem Punkt und seinem Ortsvektor? - Du kannst die Vektorsumme Schritt für Schritt für jede Koordinate einzeln berechnen.

1. Berechnung der Verbindungsvektoren (Spitze minus Anfang): \(\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \begin{pmatrix} -1 - 4 \\ 3 - 1 \\ 2 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\). \(\vec{QR} = \vec{OR} - \vec{OQ} = \begin{pmatrix} 0 - (-1) \\ -2 - 3 \\ 5 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Linearkombination für \(\vec{w}\): \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 + 2 \\ 2 - 10 \\ 5 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -8 \\ 11 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung von \(\vec{PR}\) und des Ortsvektors \(\vec{OS}\): \(\vec{PR} = \vec{OR} - \vec{OP} = \begin{pmatrix} 0 - 4 \\ -2 - 1 \\ 5 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix}\). \(\vec{OS} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 5 - 4 \\ 1 + 2 - 3 \\ -3 + 5 + 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(S(-5 | 0 | 10)\).

a) \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\), \(\vec{QR} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -3 \\ -8 \\ 11 \end{pmatrix}\) c) \(S(-5 | 0 | 10)\)

- Sammle in der Gesamtsumme getrennt die Koeffizienten von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\). - Prüfe, ob der unbekannte Vektor nach dem Zusammenfassen überhaupt noch in der Gesamtverschiebung vorkommt. - Welche Information über einen unbekannten Summanden kann eine Summe enthalten, wenn sein Gesamtkoeffizient verschwindet? - Welche Rechengesetze entscheiden, ob Vertauschen oder anders Klammern die Summe verändert?

1. Die Gesamtverschiebung ist \((2\vec{a}-\vec{b})+(-\vec{a}+2\vec{b})+(\vec{a}-\vec{b})\). 2. Die Koeffizienten von \(\vec{a}\) ergeben \(2-1+1=2\), die Koeffizienten von \(\vec{b}\) ergeben \(-1+2-1=0\). Daher ist die Gesamtverschiebung \(2\vec{a}\). 3. Somit gilt \(2\vec{a}=\begin{pmatrix}4\\-2\\6\end{pmatrix}\). 4. Der Vektor \(\vec{b}\) fällt aus der Gesamtsumme vollständig heraus. Daher führen alle möglichen Werte von \(\vec{b}\) zur gleichen Start-End-Verschiebung; \(\vec{b}\) ist daraus nicht rekonstruierbar. 5. Wegen Kommutativität und Assoziativität der Vektoraddition ändert auch eine andere Reihenfolge der drei Befehle die Summe nicht. Die Reihenfolge ist daher ebenfalls nicht rekonstruierbar.

a) \(\begin{pmatrix}4\\-2\\6\end{pmatrix}\) b) Weder \(\vec{b}\) noch die Reihenfolge sind aus Start- und Endposition rekonstruierbar. \(\vec{b}\) hat in der Gesamtsumme den Koeffizienten \(0\); außerdem ist die Vektoraddition kommutativ und assoziativ.

- Führe jede Operation zunächst genau zweimal mit den Symbolen \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) aus. - Vereinfache erst danach mit den Rechengesetzen für Addition und Skalarmultiplikation. - Suche in der Anzahl \(2026\) nach Zweierblöcken, statt die Operation einzeln zu wiederholen. - Berechne in c) den vertauschten Fall vollständig; verlasse dich nicht nur auf eine verbale Vermutung.

1. Nach einer Anwendung von \(R\) liegt das Paar \((\vec{u}+\vec{v},\vec{u}-\vec{v})\) vor. 2. Eine zweite Anwendung liefert \(((\vec{u}+\vec{v})+(\vec{u}-\vec{v}),(\vec{u}+\vec{v})-(\vec{u}-\vec{v}))=(2\vec{u},2\vec{v})\). 3. Je zwei Anwendungen verdoppeln damit beide Ausgangsvektoren. Da \(2026=2\cdot1013\), gilt \(\vec{u}_{2026}=2^{1013}\vec{u}_0\) und \(\vec{v}_{2026}=2^{1013}\vec{v}_0\). 4. Somit ist \(\vec{u}_{2026}=2^{1013}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_{2026}=2^{1013}\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}\). 5. Für \(S\) liegt nach einer Anwendung \((\vec{u}-\vec{v},\vec{u}+\vec{v})\) vor. Eine zweite Anwendung ergibt \(((\vec{u}-\vec{v})-(\vec{u}+\vec{v}),(\vec{u}-\vec{v})+(\vec{u}+\vec{v}))=(-2\vec{v},2\vec{u})\). 6. Im Unterschied zu \(R^2\) werden die Rollen der beiden Ausgangsvektoren also vertauscht, und beim ersten Eintrag tritt zusätzlich ein Minuszeichen auf. Die Reihenfolge von Summe und Differenz ist daher wesentlich.

a) \(R(R(\vec{u},\vec{v}))=(2\vec{u},2\vec{v})\) b) \(\vec{u}_{2026}=2^{1013}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\), \(\vec{v}_{2026}=2^{1013}\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}\) c) \(S(S(\vec{u},\vec{v}))=(-2\vec{v},2\vec{u})\); im Vergleich zu a) sind die Rollen der Ausgangsvektoren vertauscht und der erste Eintrag hat zusätzlich das entgegengesetzte Vorzeichen.