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- Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei Punkten? - Denk an die Formel für die Länge eines Vektors im Raum. - Wie hängen der Ortsvektor eines Zielpunktes, der Startpunkt und der Verschiebungsvektor zusammen? - Was bedeutet die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl für seine Komponenten?

1. Berechnung des Verbindungsvektors durch Subtraktion der Ortsvektoren: \(\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} -1 - 2 \\ 1 - (-3) \\ 1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Betrags von \(\vec{PQ}\) mithilfe der Wurzel aus der Summe der Quadrate der Komponenten: \(|\vec{PQ}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5\). 3. Bestimmung des Vektors \(\vec{QR}\) durch Multiplikation von \(\vec{PQ}\) mit dem Skalar \(2\): \(\vec{QR} = 2 \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix}\). 4. Berechnung des Ortsvektors von \(R\) durch Addition: \(\vec{r} = \vec{q} + \vec{QR} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 9 \\ 1 \end{pmatrix}\). Somit ist \(R(-7|9|1)\).

a) \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(|\vec{PQ}| = 5\) b) \(R(-7|9|1)\)

- Kannst du einen Vektor mit einem Minuszeichen davor als Vektor mit vertauschten Anfangs- und Endpunkten schreiben? - Gibt es eine Regel, wie man Vektoren addiert, wenn der Endpunkt des ersten Vektors der Anfangspunkt des zweiten ist? - Hilft es dir, die Reihenfolge der Summanden zu verändern? - Was passiert, wenn eine Klammer mit einem Minuszeichen davor aufgelöst wird?

1. Teilaufgabe a: Anwendung der Additionsregel für Vektoren (Chasles-Relation). Es gilt \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). Durch Hinzufügen des dritten Vektors ergibt sich \(\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}\). 2. Teilaufgabe b: Umwandlung des negativen Vektors in seinen Gegenvektor: \(-\vec{RQ} = \vec{QR}\). Die Summe lautet dann \(\vec{PQ} + \vec{QR} + \vec{RS}\). Durch schrittweise Addition erhält man \(\vec{PR} + \vec{RS} = \vec{PS}\). 3. Teilaufgabe c: Auflösen der Klammer unter Beachtung des Vorzeichens ergibt \(\vec{XY} - \vec{ZY} - \vec{XZ}\). Ersetzen der negativen Vektoren durch ihre Gegenvektoren liefert \(\vec{XY} + \vec{YZ} + \vec{ZX}\). Die Summe \(\vec{XY} + \vec{YZ}\) ergibt \(\vec{XZ}\). Zusammen mit \(\vec{ZX}\) folgt \(\vec{XZ} + \vec{ZX} = \vec{XX} = \vec{0}\).

a) \(\vec{AD}\) b) \(\vec{PS}\) c) \(\vec{0}\)

- Beachte die Vorrangregeln für Klammern. - Vektoren werden komponentenweise addiert oder subtrahiert. - Wie berechnet man den Abstand eines Punktes vom Ursprung oder die Länge eines Pfeils im Raum? - Achte besonders auf die Vorzeichen bei der Subtraktion negativer Zahlen.

1. Zuerst wird die Summe innerhalb der eckigen Klammern komponentenweise berechnet: \(\begin{pmatrix} 4 + (-2) \\ 1 + (-7) \\ 5 + 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 15 \end{pmatrix}\). 2. Dieser Vektor wird anschließend vom ersten Vektor subtrahiert, um \(\vec{v}\) zu erhalten: \(\begin{pmatrix} 8 - 2 \\ -2 - (-6) \\ 3 - 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ -12 \end{pmatrix}\). 3. Der Betrag von \(\vec{v}\) ergibt sich über die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Komponenten: \(|\vec{v}| = \sqrt{6^2 + 4^2 + (-12)^2} = \sqrt{36 + 16 + 144} = \sqrt{196} = 14\).

\(\vec{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ -12 \end{pmatrix}\), \(|\vec{v}| = 14\)

- Wie hängen die Koordinaten eines Punktes und sein Ortsvektor zusammen? - Was bedeutet es geometrisch, einen Punkt um einen Vektor zu verschieben? - Wie berechnet man das Doppelte eines Vektors? - Kannst du die Verschiebung von \(P\) nach \(R\) auch in einem einzigen Schritt ausdrücken?

1. Berechnung von \(Q\) durch Vektoraddition: \(\vec{OQ} = \vec{OP} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(Q(1 | 4 | 6)\). 2. Berechnung des Verschiebungsvektors für den zweiten Schritt: \(2 \cdot \vec{v} = 2 \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 12 \\ 2 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung von \(R\) durch Addition zum Ortsvektor von \(Q\): \(\vec{OR} = \vec{OQ} + 2 \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ 12 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 16 \\ 8 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(R(-5 | 16 | 8)\).

a) \(Q(1 | 4 | 6)\) b) \(R(-5 | 16 | 8)\)

- Nutze die Formel für den Betrag eines Vektors im Raum: \(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\). - Addiere zuerst die Komponenten der Vektoren, um den Summenvektor zu erhalten. - Wann liegen drei Punkte auf einer Geraden, sodass der Weg über den Zwischenpunkt genauso lang ist wie der direkte Weg?

a) Berechnung der Beträge: \(|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5\). \(|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 12^2} = 12\). Summenvektor: \(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 12 \end{pmatrix}\). \(|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\). b) Einsetzen in die Ungleichung: \(13 \leq 5 + 12\), also \(13 \leq 17\). Die Aussage ist wahr. c) Gleichheit tritt nur ein, wenn die Vektoren gleichgerichtet sind. Hier sind \(\vec{u}\) (in der \(xy\)-Ebene) und \(\vec{v}\) (in \(z\)-Richtung) sogar orthogonal zueinander. Damit Gleichheit gilt, müsste \(\vec{v}\) ein Vielfaches von \(\vec{u}\) mit positivem Skalar sein, also in dieselbe Richtung wie \(\vec{u}\) zeigen.

a) \(|\vec{u}| = 5\); \(|\vec{v}| = 12\); \(|\vec{u} + \vec{v}| = 13\) b) \(13 \leq 17\) ist erfüllt. c) Die Vektoren sind nicht gleichgerichtet. Für Gleichheit müssten sie parallel und gleichorientiert sein.

- Welche Eigenschaft haben gegenüberliegende Seiten in einem Parallelogramm bezüglich ihrer Vektoren? - Achte genau auf die Reihenfolge der Eckpunkte im Namen des Vierecks. - Wie kannst du den fehlenden Punkt mithilfe einer Vektoraddition oder -subtraktion erreichen?

1. Bestimmung des Verbindungsvektors \(\vec{PQ}\) durch Subtraktion der Ortsvektoren: \(\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 7-3 \\ 1-(-2) \\ 4-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. In einem Parallelogramm \(PQRS\) gilt für die gegenüberliegenden Seiten die Vektorgleichheit \(\vec{PQ} = \vec{SR}\). 3. Umstellen der Gleichung nach dem Ortsvektor \(\vec{s}\): \(\vec{s} = \vec{r} - \vec{PQ}\). 4. Einsetzen der Werte: \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 5. Die Koordinaten des Punktes lauten \(S(1 | 3 | 0)\).

\(S(1 | 3 | 0)\)

- Wie berechnet man die Komponenten eines Vektors zwischen zwei gegebenen Punkten? - Erinnere dich an die Regel „Spitze minus Anfang“. - Bei der Addition von Vektoren werden die entsprechenden Koordinaten addiert. - Kannst du die Aufgabe c) vereinfachen, indem du dir den Weg der Vektoren anschaust?

1. Berechnung der benötigten Verbindungsvektoren nach der Regel „Spitze minus Anfang“: \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 0-4 \\ 5-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix}\), \(\vec{RS} = \begin{pmatrix} 0-(-2) \\ -3-1 \\ 1-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix}\), \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} -2-1 \\ 1-4 \\ 4-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}\), \(\vec{QS} = \begin{pmatrix} 0-3 \\ -3-0 \\ 1-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ -4 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung von \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 4 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung von \(\vec{v} = 2\cdot\begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 16 \end{pmatrix}\). 4. Vereinfachung von \(\vec{w}\) durch Vektoraddition: \(\vec{PS} + \vec{SR} + \vec{RQ} = \vec{PR} + \vec{RQ} = \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 4 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 16 \end{pmatrix}\) c) \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix}\)

- Was passiert mit den einzelnen Koordinaten eines Vektors bei der Multiplikation mit einer Zahl? - Wie hängen die Koordinaten eines Vektors mit seiner Gesamtlänge zusammen? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du die Komponenten des Vektors quadrierst.

1. Multiplikation jeder Komponente des Vektors mit dem Skalar \(-4\): \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -4 \cdot 1 \\ -4 \cdot (-3) \\ -4 \cdot \frac{3}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 12 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Betrags von \(\vec{w}\) als Quadratwurzel der Summe der Komponentenquadrate: \(|\vec{w}| = \sqrt{(-4)^2 + 12^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 144 + 9} = \sqrt{169} = 13\).

\(\vec{w} = \begin{pmatrix} -4 \\ 12 \\ -3 \end{pmatrix}\); \(|\vec{w}| = 13\)

- Wie multipliziert man eine Zahl mit einem Vektor? - Kannst du den Ausdruck in Teilaufgabe b) vereinfachen, bevor du die Koordinaten berechnest? - Welche Formel hilft dir, die Länge eines Vektors aus seinen Koordinaten zu bestimmen?

1. Berechnung der Koordinaten durch komponentenweise Multiplikation mit dem Skalar: a) \( 2{,}5 \cdot 2 = 5 \); \( 2{,}5 \cdot (-4) = -10 \); \( 2{,}5 \cdot 4 = 10 \). Resultat: \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ -10 \\ 10 \end{pmatrix} \). b) Anwendung des Distributivgesetzes \( k \cdot \vec{v} - m \cdot \vec{v} = (k-m) \cdot \vec{v} \): \( (1{,}8 - 0{,}8) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \). 2. Berechnung der Beträge mit der Formel \( |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} \): a) \( |\vec{a}| = \sqrt{5^2 + (-10)^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100 + 100} = \sqrt{225} = 15 \). b) \( |\vec{b}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{0 + 16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \).

a) \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 5 \\ -10 \\ 10 \end{pmatrix} \); \( |\vec{a}| = 15 \) b) \( \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \); \( |\vec{b}| = 5 \)

- Überlege dir, wie du die Dezimalzahl und die ganze Zahl als Brüche schreiben kannst. - Suche nach einem gemeinsamen Nenner für alle Komponenten des Vektors. - Wenn du einen gemeinsamen Nenner gefunden hast, kannst du den Kehrwert dieses Nenners als Skalar vor den Vektor ziehen.

1. Umwandlung aller Koordinaten in Brüche mit einem gemeinsamen Nenner: \(0{,}25 = \frac{1}{4}\) und \(1 = \frac{12}{12}\). 2. Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) der Nenner \(6\) und \(4\), welches \(12\) ist. 3. Erweitern der Brüche auf den Nenner \(12\): \(\frac{5}{6} = \frac{10}{12}\) und \(\frac{1}{4} = \frac{3}{12}\). 4. Ausklammern des Faktors \(\frac{1}{12}\) aus dem Vektor: \(\vec{a} = \frac{1}{12} \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ -3 \\ 12 \end{pmatrix}\).

\(\vec{a} = \frac{1}{12} \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ -3 \\ 12 \end{pmatrix}\)

- Betrachte jede Zeile der Vektoren als eine eigene kleine Gleichung. - Was muss für die Zahl \(k\) gelten, damit die gesamte Vektorgleichung wahr ist? - Vergleiche die Ergebnisse für \(k\), die du aus den einzelnen Zeilen erhältst. - Wenn ein Bruch in der Gleichung steht, versuche ihn durch Multiplikation oder Division aufzulösen.

1. Für Teilaufgabe a) wird komponentenweise ein Gleichungssystem aufgestellt: \(12 = -4k\), \(-18 = 6k\) und \(30 = -10k\). 2. Aus der ersten Gleichung folgt \(k = \frac{12}{-4} = -3\). Die Überprüfung in der zweiten (\(6 \cdot (-3) = -18\)) und dritten Gleichung (\(-10 \cdot (-3) = 30\)) bestätigt die Lösung. Somit existiert \(k = -3\). 3. Für Teilaufgabe b) ergibt die erste Komponente \(\frac{2}{3} = 4k \implies k = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\). 4. Die zweite Komponente liefert \(1 = 6k \implies k = \frac{1}{6}\). 5. Die dritte Komponente ergibt \(\frac{5}{6} = 4k \implies k = \frac{5}{24}\). Da \(\frac{1}{6} \neq \frac{5}{24}\) ist, gibt es kein gemeinsames \(k\), das alle drei Gleichungen gleichzeitig löst.

a) \(k = -3\) b) Es existiert kein solches \(k\), da die berechneten Werte für die einzelnen Komponenten (\(\frac{1}{6}\) und \(\frac{5}{24}\)) nicht übereinstimmen.

- Wie berechnet man die Länge (den Betrag) eines Vektors im Raum? - Gibt es eine Regel, wie sich die Länge eines Vektors ändert, wenn man ihn mit einer Zahl multipliziert? - Bedenke, dass die Länge eines Vektors immer positiv ist, der Skalar \(k\) aber auch negativ sein könnte. - Wie viele Lösungen erwartest du, wenn die Richtung des Vektors umgekehrt werden darf?

1. Berechnung des Betrags von \(\vec{a}\): \(|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 16 + 49} = \sqrt{81} = 9\). 2. Anwendung der Eigenschaft \(|k \cdot \vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|\): Es muss gelten \(|k| \cdot 9 = 27\). 3. Auflösen der Gleichung nach dem Betrag von \(k\): \(|k| = \frac{27}{9} = 3\). 4. Bestimmung der Werte für \(k\): Aus \(|k| = 3\) ergeben sich die Lösungen \(k = 3\) und \(k = -3\).

\(k = 3\) oder \(k = -3\)

- Achte genau auf den Unterschied zwischen einem Vektor (mit Pfeil) und einem Skalar (einer einfachen Zahl). - Überlege dir, welcher Datentyp (Vektor oder Zahl) bei einer Rechenoperation herauskommen muss. - Erinnere dich an die Rechengesetze für Vektoren wie Kommutativ- und Distributivgesetz. - Was bedeutet das Betragszeichen bei einer Multiplikation mit einer negativen Zahl?

1. Aussage a) ist wahr (Kommutativgesetz der Vektoraddition). 2. Aussage b) ist falsch; die Summe zweier identischer Vektoren ist ein Vektor, kein Skalar: \(\vec{a} + \vec{a} = 2 \cdot \vec{a}\). 3. Aussage c) ist falsch; die Summe eines Vektors und seines Gegenvektors ergibt den Nullvektor \(\vec{0}\), nicht die Zahl Null: \(\vec{PQ} + \vec{QP} = \vec{0}\). 4. Aussage d) ist wahr (Distributivgesetz für Skalare und Vektoren). 5. Aussage e) ist wahr; nach der Eigenschaft \(|k \cdot \vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|\) gilt \(|-5| \cdot |\vec{v}| = 5 \cdot |\vec{v}|\).

a) Wahr. b) Falsch; Korrektur: \(\vec{a} + \vec{a} = 2 \cdot \vec{a}\). c) Falsch; Korrektur: \(\vec{PQ} + \vec{QP} = \vec{0}\). d) Wahr. e) Wahr.

- Überlege zuerst, welche Länge der angegebene Richtungsvektor hat. - Wie kannst du den Richtungsvektor so anpassen, dass seine Länge genau der Geschwindigkeit pro Stunde entspricht? - Achte auf die Einheiten: Die Geschwindigkeit ist in km/h gegeben, die gesuchte Zeit jedoch in Minuten. - Wie setzt sich die neue Position aus dem Startpunkt und dem zurückgelegten Weg zusammen?

1. Berechnung des Betrags des Richtungsvektors: \(|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = 5\). 2. Bestimmung des Geschwindigkeitsvektors durch Skalierung auf den Betrag \(120\): \(\vec{v}_{\text{h}} = \frac{120}{5} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 72 \\ 96 \\ 0 \end{pmatrix}\) (in \(\frac{\text{km}}{\text{h}}\)). 3. Umrechnung der Zeit: \(6\,\text{min} = 0{,}1\,\text{h}\). 4. Berechnung der neuen Position: \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 10 \\ 20 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} + 0{,}1 \cdot \begin{pmatrix} 72 \\ 96 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 + 7{,}2 \\ 20 + 9{,}6 \\ 0{,}5 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17{,}2 \\ 29{,}6 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}\).

Der Hubschrauber befindet sich an der Position \((17{,}2 | 29{,}6 | 0{,}5)\).

- Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen einem Vektor und seinem Gegenvektor. - Wie hängen die Koordinaten eines Vektors mit seiner Länge (seinem Betrag) zusammen? - Für die Vektoraddition addierst du die einzelnen Komponenten der Vektoren.

1. Berechnung von \(\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 5-1 \\ 5-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{BA} = -\vec{AB} = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der Beträge: \(|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = 5\) und \(|\vec{BA}| = 5\). 3. Bestimmung von \(\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 1-1 \\ 1-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\). 4. Berechnung der Länge: \(|\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\). 5. Berechnung von \(\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}\). 6. Addition: \(\vec{AB} + \vec{BC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\), was exakt \(\vec{AC}\) entspricht.

a) \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{BA} = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(|\vec{AB}| = 5\), \(|\vec{BA}| = 5\) b) \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\), \(|\vec{AC}| = 5\) c) \(\vec{AB} + \vec{BC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} = \vec{AC}\)

- Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Welche Rechenregeln gelten für die komponentenweise Addition und Subtraktion von Vektoren? - Was passiert mit den Komponenten eines Vektors, wenn er mit einer Zahl multipliziert wird? - Kannst du die Vektorkette in Teilaufgabe c) vereinfachen, ohne sofort mit den Koordinaten zu rechnen?

1. Berechnung der benötigten Verbindungsvektoren durch Subtraktion der Ortsvektoren: \(\vec{KL} = \begin{pmatrix} 1-4 \\ 5-(-2) \\ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{MN} = \begin{pmatrix} 3-(-2) \\ 3-0 \\ -4-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ -10 \end{pmatrix}\), \(\vec{LM} = \begin{pmatrix} -2-1 \\ 0-5 \\ 6-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(\vec{KN} = \begin{pmatrix} 3-4 \\ 3-(-2) \\ -4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -5 \end{pmatrix}\). 2. Addition für Teilaufgabe a): \(\vec{KL} + \vec{MN} = \begin{pmatrix} -3+5 \\ 7+3 \\ 2-10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 10 \\ -8 \end{pmatrix}\). 3. Skalarmultiplikation und Subtraktion für Teilaufgabe b): \(3\cdot \vec{LM} - \vec{KN} = \begin{pmatrix} -9 \\ -15 \\ 9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 \\ -20 \\ 14 \end{pmatrix}\). 4. Summenbildung für Teilaufgabe c): \(\vec{KL} + \vec{LM} + \vec{MN} = \vec{KM} + \vec{MN} = \vec{KN} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -5 \end{pmatrix}\).

a) \(\begin{pmatrix} 2 \\ 10 \\ -8 \end{pmatrix}\) b) \(\begin{pmatrix} -8 \\ -20 \\ 14 \end{pmatrix}\) c) \(\begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -5 \end{pmatrix}\)

- Betrachte jede Koordinate des Vektors einzeln. - Wie hängen die entsprechenden Einträge zweier Vektoren zusammen, wenn der eine aus dem anderen durch Multiplikation mit einer Zahl entsteht? - Nutze eine bekannte Koordinate, um den Streckungsfaktor zu berechnen, und wende diesen dann auf die anderen Koordinaten an.

1. Zur Bestimmung von \(r\) wird die Gleichung \(\begin{pmatrix} -9 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) komponentenweise betrachtet: \(-9 = 3r\), \(3 = -r\) und \(-6 = 2r\). Alle drei Gleichungen liefern \(r = -3\). 2. Analog für \(s\): \(1{,}5 = 3s\), \(-0{,}5 = -s\) und \(1 = 2s\). Hier ergibt sich für alle Komponenten \(s = 0{,}5\). 3. Damit \(\vec{d} = k \cdot \vec{a}\) gilt, muss für die \(x_2\)-Komponente gelten: \(4 = k \cdot (-1)\), woraus \(k = -4\) folgt. 4. Einsetzen von \(k\) in die übrigen Komponenten liefert \(x = -4 \cdot 3 = -12\) und \(z = -4 \cdot 2 = -8\).

a) \(r = -3\); \(s = 0{,}5\) b) \(x = -12\); \(z = -8\)

- Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Was passiert grafisch, wenn man die Spitze des ersten Vektors als Startpunkt für den zweiten Vektor nutzt? - Schau dir die Anfangs- und Endbuchstaben der Vektorkette genau an.

1. Berechnung der Vektoren durch Differenz der Koordinaten: \(\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 6-2 \\ 1-(-3) \\ 2-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\). Analog dazu \(\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = \begin{pmatrix} -1-6 \\ 4-1 \\ 8-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\). 2. Addition der Komponenten: \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 4+(-7) \\ 4+3 \\ -3+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung von \(\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} -1-2 \\ 4-(-3) \\ 8-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix}\). Der Vergleich zeigt \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). Geometrisch bedeutet dies, dass die Hintereinanderausführung der Verschiebungen von \(A\) nach \(B\) und von \(B\) nach \(C\) derselben Gesamtverschiebung entspricht, die direkt von \(A\) nach \(C\) führt.

1. \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -7 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\) 2. \(\vec{s} = \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix}\) 3. \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \\ 3 \end{pmatrix}\); es gilt \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). Die Summe zweier Vektoren entspricht der direkten Verbindung vom Startpunkt des ersten zum Endpunkt des zweiten Vektors.

- Was passiert mit dem Vorzeichen einer Zahl, wenn du sie mit \(-1\) multiplizierst? - Wie ist die Summe von Werten definiert? - Überlege dir, welche Eigenschaft die Summe eines Vektors und seines Gegenvektors bezüglich des Nullvektors hat.

1. Den Gegenvektor \(-\vec{a}\) erhält man durch Multiplikation des Vektors mit \(-1\). Somit gilt \(-\vec{a} = \begin{pmatrix} -7 \\ 2{,}5 \\ -k \end{pmatrix}\). 2. Die Summe der Komponenten des Gegenvektors wird gleich Null gesetzt: \(-7 + 2{,}5 + (-k) = 0\). 3. Durch Zusammenfassen ergibt sich \(-4{,}5 - k = 0\). 4. Auflösen nach \(k\) liefert \(k = -4{,}5\). 5. Allgemein wird der Gegenvektor bestimmt, indem jede Komponente des ursprünglichen Vektors mit \(-1\) multipliziert wird, also \(-\vec{v} = \begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\).

a) \(-\vec{a} = \begin{pmatrix} -7 \\ 2{,}5 \\ -k \end{pmatrix}\) b) \(k = -4{,}5\) c) Den Gegenvektor erhält man, indem man jede Komponente des Vektors mit \(-1\) multipliziert (bzw. die Vorzeichen aller Komponenten umkehrt).

- Wie wirkt sich die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl auf seine Länge und Richtung aus? - Wie hängen die Koordinaten eines Bildpunktes mit dem ursprünglichen Punkt und dem Verschiebungsvektor zusammen? - Kannst du die Verschiebung als Vektoraddition beschreiben?

1. Der Verschiebungsvektor \(\vec{v}\) ergibt sich durch die Skalarmultiplikation des Vektors \(\vec{u}\) mit dem Faktor \(2\), da er dieselbe Richtung hat und doppelt so lang ist: \(\vec{v} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Die Bildpunkte werden berechnet, indem der Verschiebungsvektor zu den Ortsvektoren der ursprünglichen Punkte addiert wird: \(\vec{a}' = \vec{a} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} \implies A'(5 \mid -4 \mid -1)\). \(\vec{b}' = \vec{b} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \implies B'(3 \mid 0 \mid 2)\). \(\vec{c}' = \vec{c} + \vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} \implies C'(0 \mid -2 \mid 5)\).

a) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}\) b) \(A'(5 \mid -4 \mid -1)\), \(B'(3 \mid 0 \mid 2)\), \(C'(0 \mid -2 \mid 5)\)

- Was passiert, wenn du einen Weg von \(A\) nach \(B\), dann nach \(C\) und schließlich zurück nach \(A\) gehst? - Wie hängen die Vektoren \(\vec{XY}\) und \(\vec{YX}\) zusammen? - Kannst du eine Subtraktion \(\vec{a} - \vec{b}\) als Addition \(\vec{a} + (-\vec{b})\) schreiben? - Überlege, welcher Vektor der Gegenvektor zu \(\vec{AB}\) ist.

1. Anwendung der Additionsregel für aufeinanderfolgende Pfeile (Chasles-Relation): \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). 2. Einsetzen dieses Zwischenergebnisses in die ursprüngliche Summe führt zu \(\vec{AC} + \vec{CA}\). 3. Nutzung der Definition des Gegenvektors \(\vec{CA} = -\vec{AC}\). Die Summe ergibt \(\vec{AC} + (-\vec{AC}) = \vec{0}\). 4. Umformung der Differenz \(\vec{AC} - \vec{AB}\) in eine Addition mit dem Gegenvektor \(\vec{BA}\): \(\vec{AC} + \vec{BA}\). 5. Durch Anwendung des Kommutativgesetzes erhält man \(\vec{BA} + \vec{AC}\). Nach der Additionsregel ergibt dies den Verbindungsvektor \(\vec{BC}\).

a) \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{AC} + \vec{CA} = \vec{AC} - \vec{AC} = \vec{0}\) b) \(\vec{x} = \vec{AC} + \vec{BA} = \vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}\)

- Wie hängen der Ortsvektor eines Punktes und seine Koordinaten zusammen? - Was passiert rechnerisch mit den Koordinaten eines Punktes, wenn er verschoben wird? - Wenn du zwei Verschiebungen nacheinander ausführst, wie lässt sich das als eine einzige Verschiebung ausdrücken?

1. Berechnung des Ortsvektors von \(B\) durch Addition: \(\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(B(4 | 3 | 6)\). 2. Berechnung des Ortsvektors von \(C\) durch Addition von \(\vec{w}\) zu \(B\): \(\vec{OC} = \vec{OB} + \vec{w} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 12 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(C(5 | -1 | 12)\). 3. Der Vektor \(\vec{u}\) entspricht der Summe der beiden Verschiebungsvektoren: \(\vec{u} = \vec{v} + \vec{w} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}\).

1. \(B(4 | 3 | 6)\) 2. \(C(5 | -1 | 12)\) 3. \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}\)

- Wie hängen der Startpunkt, die Verschiebung und der Endpunkt mathematisch zusammen? - Wenn du weißt, wie man vom Start zum Ziel kommt, wie kommst du dann den Weg zurück? - Überlege dir, welche Rechenoperation die Umkehrung einer Verschiebung ist. - Achte beim Rechnen besonders auf die Vorzeichen der Koordinaten.

1. Aufstellen der Vektorgleichung für die Verschiebung: \(\vec{p} + \vec{v} = \vec{l}\). 2. Umstellen der Gleichung nach dem Ortsvektor des Startpunktes: \(\vec{p} = \vec{l} - \vec{v}\). 3. Einsetzen der gegebenen Koordinaten und Komponenten: \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ 15 \\ 20 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ -8 \\ 5 \end{pmatrix}\). 4. Komponentenweise Subtraktion durchführen: \(x = 4 - 12 = -8\), \(y = 15 - (-8) = 23\), \(z = 20 - 5 = 15\). 5. Angabe des Punktes \(P(-8 | 23 | 15)\).

\(P(-8 | 23 | 15)\)

- Stelle dir die Verschiebung als eine gezielte Bewegung von einem Startpunkt zu einem Zielpunkt vor. - Wie berechnet man die Änderung zwischen zwei Positionen in einem Koordinatensystem? - Wenn du weißt, wie weit und in welche Richtung sich ein Punkt bewegt, wie kannst du das auf einen anderen Punkt übertragen? - Was passiert mit der Richtung einer Verschiebung, wenn du den Zielpunkt wieder zum Startpunkt machen möchtest?

1. Berechnung des Verschiebungsvektors \(\vec{v}\) durch die Differenz der Ortsvektoren von \(B\) und \(A\): \(\vec{v} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 1 - 4 \\ 6 - (-2) \\ 0 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 8 \\ -5 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung von \(D\) durch Addition des Verschiebungsvektors zum Ortsvektor von \(C\): \(\vec{OD} = \vec{OC} + \vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 8 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 10 \\ -4 \end{pmatrix}\). Somit ist \(D(-6 | 10 | -4)\). 3. Der Vektor \(\vec{u}\), der \(B\) auf \(A\) abbildet, ist der Gegenvektor zu \(\vec{v}\): \(\vec{u} = \vec{OA} - \vec{OB} = \begin{pmatrix} 4 - 1 \\ -2 - 6 \\ 5 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \\ 5 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{u} = -\vec{v}\).

a) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 8 \\ -5 \end{pmatrix}\) b) \(D(-6 | 10 | -4)\) c) \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \\ 5 \end{pmatrix}\); es gilt \(\vec{u} = -\vec{v}\).

- Kannst du die Vektoren auf der linken Seite so zerlegen, dass der Punkt \(M\) vorkommt? - Was weißt du über die Vektoren von einem Mittelpunkt zu den Endpunkten der Strecke? - Versuche, die Vektoren \(\vec{MB}\) und \(\vec{MC}\) zueinander in Beziehung zu setzen.

1. Darstellung der Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) unter Einbeziehung des Punktes \(M\): \(\vec{AB} = \vec{AM} + \vec{MB}\) und \(\vec{AC} = \vec{AM} + \vec{MC}\). 2. Addition der beiden Ausdrücke führt zu \(\vec{AB} + \vec{AC} = 2 \cdot \vec{AM} + \vec{MB} + \vec{MC}\). 3. Da \(M\) die Strecke \(BC\) halbiert, sind die Vektoren \(\vec{MB}\) und \(\vec{MC}\) entgegengesetzt gleich: \(\vec{MB} = -\vec{MC}\), woraus \(\vec{MB} + \vec{MC} = \vec{0}\) folgt. 4. Einsetzen liefert die Behauptung \(\vec{AB} + \vec{AC} = 2 \cdot \vec{AM}\).

Durch die Zerlegung \(\vec{AB} = \vec{AM} + \vec{MB}\) und \(\vec{AC} = \vec{AM} + \vec{MC}\) ergibt die Summe \(\vec{AB} + \vec{AC} = 2 \cdot \vec{AM} + (\vec{MB} + \vec{MC})\). Da \(M\) der Mittelpunkt von \(BC\) ist, gilt \(\vec{MB} + \vec{MC} = \vec{0}\), woraus direkt \(\vec{AB} + \vec{AC} = 2 \cdot \vec{AM}\) folgt.

- Überlege dir, wie du von einem Punkt der Grundfläche zum entsprechenden Punkt der Deckfläche gelangst. - Was bedeutet es für den Verschiebungsvektor, wenn das Prisma „gerade“ ist und die Grundfläche in einer Ebene parallel zur \(xy\)-Ebene liegt? - Wie hängen die Koordinaten der Deckpunkte mit denen der Grundpunkte zusammen?

1. Berechnung des Verschiebungsvektors durch die Differenz der Koordinaten von \(A'\) und \(A\): \(\vec{v} = \overrightarrow{AA'} = \begin{pmatrix} 2-2 \\ 1-1 \\ 9-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der restlichen Eckpunkte der Deckfläche durch Addition des Verschiebungsvektors zu den Grundpunkten: \(\vec{OB'} = \vec{OB} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 9 \end{pmatrix}\), also \(B'(6|1|9)\) und \(\vec{OC'} = \vec{OC} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 9 \end{pmatrix}\), also \(C'(2|4|9)\). 3. Bestimmung der Länge der Seitenkanten über den Betrag des Verschiebungsvektors: \(|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 8^2} = 8\).

a) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}\) b) \(B'(6|1|9)\) und \(C'(2|4|9)\) c) Die Länge der Seitenkanten beträgt \(8\) Längeneinheiten.

- Wie addiert oder subtrahiert man Vektoren komponentenweise? - Was bedeutet es grafisch oder rechnerisch, einen Vektor mit einer Zahl zu multiplizieren? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du einen Vektor subtrahierst, der negative Komponenten hat. - Kannst du die Rechnung Schritt für Schritt für jede Zeile einzeln durchführen?

1. Komponentenweise Addition und Subtraktion für \(\vec{u}\): \(4 + (-3) - 1 = 0\), \(-2 + 5 - 1 = 2\) und \(7 + 0 - (-2) = 9\). Daraus folgt \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix}\). 2. Skalarmultiplikation von \(\vec{c}\) mit \(3\): \(3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}\). 3. Addition zum Vektor \(\vec{a}\) für \(\vec{v}\): \(3 + 4 = 7\), \(3 + (-2) = 1\) und \(-6 + 7 = 1\). Daraus folgt \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

- Überlege dir, welche Vektoren in einem Parallelogramm \(ABCD\) gleich sein müssen. Achte dabei auf die Orientierung der Pfeile. - Wie hängen der Ortsvektor eines Punktes \(D\) und die Vektoren der Seiten zusammen? - Erinnere dich an die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke zwischen zwei Punkten. - Was bedeutet es für die Lage der Mittelpunkte, wenn sich zwei Strecken gegenseitig halbieren?

1. Berechnung des Verbindungsvektors \(\vec{AB}\): \(\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 2-4 \\ 2-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) 2. Bestimmung von \(D\) über die Bedingung \(\vec{DC} = \vec{AB}\) (bzw. \(\vec{OD} = \vec{OC} - \vec{AB}\)): \(\vec{OD} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \implies D(-2|1|1)\) 3. Berechnung des Mittelpunkts \(M_{AC}\) der Diagonale \(AC\): \(\vec{OM_{AC}} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1+2 \\ 4-1 \\ -2+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 1{,}5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}\) 4. Berechnung des Mittelpunkts \(M_{BD}\) der Diagonale \(BD\): \(\vec{OM_{BD}} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 5-2 \\ 2+1 \\ 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 1{,}5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}\) Da \(M_{AC} = M_{BD}\), halbieren sich die Diagonalen im Punkt \(M(1{,}5|1{,}5|1{,}5)\).

a) \(D(-2|1|1)\) b) Der gemeinsame Mittelpunkt beider Diagonalen liegt bei \(M(1{,}5|1{,}5|1{,}5)\).

- Wie verhalten sich Vorzeichen in Vektortermen im Vergleich zu Termen mit Variablen wie \(x\) und \(y\)? - Was stellt der Vektor \(\vec{b} - \vec{a}\) dar, wenn du von einem Punkt zum anderen läufst? - Stell dir vor, du stehst an einem Punkt und gehst einen Schritt vor und dann denselben Schritt wieder zurück. - Ein Minuszeichen vor einem Klammerausdruck kann als Multiplikation mit \(-1\) aufgefasst werden.

1. Auflösen der Klammer unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \(\vec{b} - \vec{b} + \vec{a}\). Da \(\vec{b} - \vec{b} = \vec{0}\) ist, bleibt der Vektor \(\vec{a}\) übrig. 2. Der Differenzvektor \(\vec{b} - \vec{a}\) entspricht dem Verbindungsvektor \(\vec{AB}\), der von Punkt \(A\) zu Punkt \(B\) führt. Zieht man diesen Weg vom Ortsvektor des Zielpunktes \(B\) ab, gelangt man zurück zum Ausgangspunkt \(A\). 3. Der Ausdruck \(-(\vec{a} - \vec{b})\) ist der Gegenvektor zur Differenz \(\vec{a} - \vec{b}\). Da \(\vec{a} - \vec{b}\) der Vektor von \(B\) nach \(A\) ist (\(\vec{BA}\)), muss sein Gegenvektor der Vektor von \(A\) nach \(B\) sein, welcher gerade durch \(\vec{b} - \vec{a}\) definiert ist. Alternativ: \(-(\vec{a} - \vec{b}) = -1 \cdot \vec{a} - (-1) \cdot \vec{b} = -\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}\).

1. \(\vec{a}\) 2. Subtrahiert man den Verbindungsvektor \(\vec{AB}\) vom Ortsvektor des Punktes \(B\), erhält man den Ortsvektor des Punktes \(A\). 3. Da \(\vec{a} - \vec{b} = \vec{BA}\) ist, entspricht \(-(\vec{a} - \vec{b})\) dem Gegenvektor \(\vec{AB}\), welcher als \(\vec{b} - \vec{a}\) berechnet wird.

- Wie gehst du bei Termen mit Klammern normalerweise vor? - Was musst du beachten, wenn du zwei Vektoren voneinander subtrahierst? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minus vor einer negativen Zahl steht. - Kannst du die Rechnung für jede Zeile (Komponente) einzeln durchführen?

1. Berechnung des Ausdrucks in der Klammer (komponentenweise Subtraktion): \(\begin{pmatrix} 8 - (-5) \\ -4 - 2 \\ 7 - 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 \\ -6 \\ -4 \end{pmatrix}\) 2. Addition des ersten Vektors zum Zwischenergebnis: \(\begin{pmatrix} -12 + 13 \\ 5 + (-6) \\ -3 + (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -7 \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -7 \end{pmatrix}\)

- Überlege dir, wie der Vektor von einem Punkt zum Spiegelzentrum genutzt werden kann, um zum Bildpunkt zu gelangen. - Wenn ein Punkt die Mitte einer Strecke ist, welche Beziehung besteht dann zwischen den Ortsvektoren der Endpunkte und dem Mittelpunkt? - Du kannst die Punktspiegelung als eine Vektoraddition auffassen: Startpunkt plus zweimal der Verbindungsvektor zum Zentrum.

1. Berechnung von \(A'\) durch Punktspiegelung: Der Ortsvektor des Bildpunktes ergibt sich durch \(\vec{a'} = \vec{s} + \vec{AS} = \vec{s} + (\vec{s} - \vec{a}) = 2 \cdot \vec{s} - \vec{a}\). Einsetzen der Werte: \(\vec{a'} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 7 \\ -12 \end{pmatrix}\). Somit ist \(A'(-2 \mid 7 \mid -12)\). 2. Berechnung von \(B\): Da \(A\) der Mittelpunkt von \(SB\) ist, gilt \(\vec{a} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{s} + \vec{b})\). Umstellen nach \(\vec{b}\) liefert \(\vec{b} = 2 \cdot \vec{a} - \vec{s}\). Einsetzen der Werte: \(\vec{b} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -5 \\ 9 \end{pmatrix}\). Somit ist \(B(7 \mid -5 \mid 9)\).

a) \(A'(-2 \mid 7 \mid -12)\) b) \(B(7 \mid -5 \mid 9)\)

- Wie hängen der Punkt, sein Bildpunkt und das Spiegelzentrum zusammen? - Betrachte den Vektor vom Punkt zum Spiegelzentrum. Wo muss der Bildpunkt liegen? - Erinnere dich an die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke.

1. Zur Berechnung des Bildpunktes \(X'\) bei einer Spiegelung am Punkt \(Z\) wird die Formel \(\vec{x'} = \vec{z} + \vec{XZ} = \vec{z} + (\vec{z} - \vec{x}) = 2 \cdot \vec{z} - \vec{x}\) verwendet. 2. Berechnung von \(A'\): \(\vec{a'} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der Bildpunkt ist \(A'(3|1|2)\). 3. Berechnung von \(B'\): \(\vec{b'} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). Der Bildpunkt ist \(B'(0|3|0)\). 4. Berechnung von \(C'\): \(\vec{c'} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\). Der Bildpunkt ist \(C'(2|-1|-1)\).

Die Bildpunkte sind \(A'(3|1|2)\), \(B'(0|3|0)\) und \(C'(2|-1|-1)\).

- Überlege dir, wie der Vektor von \(P\) zu \(M\) mit dem Vektor von \(M\) zu \(Q\) zusammenhängt. - Wie kannst du die Formel für den Mittelpunkt so umformen, dass du einen der Endpunkte berechnen kannst? - Was passiert, wenn du den Weg von \(P\) nach \(M\) einfach noch einmal von \(M\) aus gehst?

1. Aufstellen der Vektorgleichung für den Mittelpunkt: \(\vec{OM} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{OP} + \vec{OQ})\). 2. Umstellen der Gleichung nach dem gesuchten Ortsvektor \(\vec{OQ}\): \(\vec{OQ} = 2 \cdot \vec{OM} - \vec{OP}\). 3. Einsetzen der gegebenen Koordinaten: \(\vec{OQ} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}\). 4. Berechnen der Komponenten: \(x = 10 - 2 = 8\), \(y = 2 - (-3) = 5\), \(z = 4 - 5 = -1\). 5. Alternativer Weg über den Verbindungsvektor: \(\vec{PM} = \vec{OM} - \vec{OP} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\). Da \(M\) die Mitte ist, gilt \(\vec{OQ} = \vec{OM} + \vec{PM} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}\).

\(Q(8 \mid 5 \mid -1)\)

- Überlege dir, welche Koordinate senkrecht auf der jeweiligen Spiegelfläche steht. - Was passiert mit der Bewegungskomponente, die genau gegen die Wand gerichtet ist? - Stell dir die Spiegelung im Zweidimensionalen vor, zum Beispiel an der \(x\)-Achse, um ein Gefühl für die Vorzeichenänderung zu bekommen.

1. Bei einer Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene kehrt sich das Vorzeichen der \(x_3\)-Komponente um, während die \(x_1\)- und \(x_2\)-Komponenten gleich bleiben. Somit ist \(\vec{r}_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Bei einer Spiegelung an der \(x_2x_3\)-Ebene kehrt sich das Vorzeichen der \(x_1\)-Komponente um. Ausgehend von \(\vec{r}_1\) ergibt sich \(\vec{r}_2 = \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Im Vergleich zu \(\vec{r}\) haben die \(x_1\)- und die \(x_3\)-Komponente ihr Vorzeichen geändert. Die \(x_2\)-Komponente blieb unverändert. Geometrisch entspricht dies einer Spiegelung an der \(x_2\)-Achse (bzw. einer Drehung um \(180^\circ\) um die \(x_2\)-Achse).

a) \(\vec{r}_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{r}_2 = \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\) c) Die \(x_1\)- und \(x_3\)-Komponenten haben das Vorzeichen gewechselt. Dies entspricht einer Spiegelung an der \(x_2\)-Achse.

- Stell dir vor, welche Koordinate sich ändern muss, damit ein Pfeil „nach unten“ statt „nach oben“ zeigt, wenn die Ebene wie ein Boden wirkt. - Überlege, welche Komponenten eines Vektors sich ändern, wenn er an einer Geraden gespiegelt wird. Welche Komponente liegt direkt auf der Geraden? - Es hilft oft, sich die Situation an einem einfachen Beispiel im Raum oder in einer Skizze vorzustellen.

1. Bei einer Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene bleibt die Ausrichtung in \(x_1\)- und \(x_2\)-Richtung erhalten, während die Komponente in \(x_3\)-Richtung ihr Vorzeichen umkehrt. Für \(\vec{r} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\) ergibt sich somit \(\vec{r}_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Bei einer Spiegelung an der \(x_2\)-Achse im Raum bleiben die Koordinaten in Richtung dieser Achse unverändert, während die Koordinaten senkrecht dazu (hier \(x_1\) und \(x_3\)) ihre Vorzeichen umkehren. 3. Anwendung auf \(\vec{r}_1\): Die \(x_1\)-Komponente \(4\) wird zu \(-4\), die \(x_2\)-Komponente \(-1\) bleibt gleich, und die \(x_3\)-Komponente \(-3\) wird zu \(3\). Daraus folgt \(\vec{r}_2 = \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{r}_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{r}_2 = \begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\)

- Wie multipliziert man einen Vektor mit einer Zahl? - Kannst du die Vektorgleichung wie eine normale Gleichung nach der Unbekannten umstellen? - Achte beim Subtrahieren besonders auf die Vorzeichen, wenn eine Komponente negativ ist.

1. Berechnung von \(5 \cdot \vec{a}\) und \(2 \cdot \vec{b}\): \(5 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ -15 \\ 5 \end{pmatrix}\) und \(2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\). Subtraktion der Ergebnisse: \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 10 - 8 \\ -15 - 2 \\ 5 - (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -17 \\ 9 \end{pmatrix}\). 2. Umstellen der Gleichung nach \(\vec{x}\): \(2 \cdot \vec{x} = \vec{c} - \vec{a} - \vec{b}\). Berechnung von \(\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 + 4 \\ -3 + 1 \\ 1 + (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\). Subtraktion der Summe \(\vec{a} + \vec{b}\) von \(\vec{c}\): \(2 \cdot \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\). Division durch 2: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} -2{,}5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -17 \\ 9 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{x} = \begin{pmatrix} -2{,}5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\)

- Erinnere dich daran, dass \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\) gilt. - Wie kannst du die Subtraktion eines Vektors als Addition ausdrücken? - Darfst du die Reihenfolge der Vektoren in der Summe vertauschen, um passende Paare zu finden? - Was ist das Ergebnis, wenn der Startpunkt und der Endpunkt eines Vektors identisch sind?

1. Teilaufgabe a: Ersetzen der negativen Vektoren durch Gegenvektoren führt zu \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE}\). Die fortlaufende Addition ergibt \(\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DE} = \vec{AD} + \vec{DE} = \vec{AE}\). 2. Teilaufgabe b: Umformung der Subtraktionen in Additionen der Gegenvektoren ergibt \(\vec{LM} + \vec{MN} + \vec{NL}\). Die ersten beiden Terme ergeben \(\vec{LN}\). Somit erhält man \(\vec{LN} + \vec{NL} = \vec{LL} = \vec{0}\). 3. Teilaufgabe c: Umwandlung des negativen Vektors ergibt \(\vec{XY} + \vec{ZX} + \vec{WZ}\). Durch Umstellen der Summanden (Kommutativgesetz) erhält man \(\vec{ZX} + \vec{XY} + \vec{WZ}\). Die ersten beiden Vektoren ergeben \(\vec{ZY}\). Der Ausdruck lautet nun \(\vec{ZY} + \vec{WZ}\). Erneutes Umstellen ergibt \(\vec{WZ} + \vec{ZY} = \vec{WY}\).

a) \(\vec{AE}\) b) \(\vec{0}\) c) \(\vec{WY}\)

- Wie findet man den Vektor, der von einem Punkt zu einem anderen führt? - Erinnere dich an die komponentenweise Addition von Vektoren. - Welche Formel hilft dir, die Länge eines Vektors aus seinen Koordinaten zu bestimmen?

1. Bestimmung der Verbindungsvektoren nach der Regel „Spitze minus Anfang“: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 6-1 \\ 3-1 \\ 0-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 3-1 \\ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Addition der beiden Vektoren zum Summenvektor \(\vec{s}\): \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 5+3 \\ 2+2 \\ -1+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung der Länge (des Betrags) von \(\vec{s}\): \(|\vec{s}| = \sqrt{8^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{64 + 16 + 1} = \sqrt{81} = 9\).

\(\vec{s} = \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\), Länge \(|\vec{s}| = 9\)

- Welche Eigenschaft haben die Seitenvektoren in einem Parallelogramm? - Achte auf die Reihenfolge der Eckpunkte \(A, B, C, D\). Welche Vektoren müssen gleich sein? - Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Wie findet man einen Endpunkt, wenn der Startpunkt und der Verschiebungsvektor bekannt sind?

1. In einem Parallelogramm \(ABCD\) gilt für die gegenüberliegenden Seitenvektoren \(\vec{AB} = \vec{DC}\) oder \(\vec{AD} = \vec{BC}\). 2. Berechnung des Vektors \(\vec{BC}\): \(\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = \begin{pmatrix} -2 - 4 \\ 8 - 2 \\ 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung des Ortsvektors von \(D\) durch Addition von \(\vec{BC}\) zum Ortsvektor von \(A\): \(\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{BC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix}\). 4. Alternativer Weg über \(\vec{AB}\): \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}\). Dann ist \(\vec{OD} = \vec{OC} - \vec{AB} = \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix}\).

\(D(-5 | 11 | -4)\)

- Stelle dir vor, wie sich die Länge der Diagonale in einem von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramm verändert, wenn du den Winkel zwischen den Vektoren variierst. - Was passiert mit der Gesamtlänge, wenn du zwei Wege direkt hintereinander in genau dieselbe Richtung gehst? - Erinnere dich an die Eigenschaft von Dreiecksseiten: Kann eine Seite länger sein als die beiden anderen zusammen?

1. Der maximale Wert der Summe \(|\vec{a} + \vec{b}|\) ist die Summe der Einzelbeträge: \(7 + 4 = 11\). Der minimale Wert ergibt sich, wenn die Vektoren entgegengesetzt gerichtet sind: \(|7 - 4| = 3\). Der Bereich ist somit \([3; 11]\). 2. Der maximale Wert von \(11\) wird erreicht, wenn die Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) kollinear und gleichgerichtet sind (d. h. sie zeigen in dieselbe Richtung). 3. Geometrisch betrachtet bilden die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{a} + \vec{b}\) ein (evtl. entartetes) Dreieck. Da in jedem Dreieck die Länge einer Seite höchstens so groß wie die Summe der Längen der anderen beiden Seiten ist, gilt \(|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|\). Mit den gegebenen Werten folgt \(|\vec{a} + \vec{b}| \leq 7 + 4 = 11\).

1. Minimum: \(3\); Maximum: \(11\) 2. Die Vektoren müssen gleichgerichtet sein. 3. Gemäß der Dreiecksungleichung ist die Seite \(|\vec{a} + \vec{b}|\) im Vektordreieck höchstens so lang wie die Summe der Seitenlängen \(|\vec{a}|\) und \(|\vec{b}|\).

- Wie hängen die Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{DC}\) in einem Parallelogramm zusammen? - Welche zusätzliche Eigenschaft muss ein Parallelogramm erfüllen, um eine Raute zu sein? - Denk an die Formel für den Betrag eines Vektors, um Längen zu vergleichen.

a) 1. Berechnung des Richtungsvektors \(\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Da im Parallelogramm \(\vec{AB} = \vec{DC}\) gilt, berechnet man den Ortsvektor von \(C\) durch \(\vec{c} = \vec{d} + \vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\). Somit ist \(C(4 | 6 | 5)\). b) 1. Berechnung der Länge der Seite \(AB\): \(|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\). 2. Berechnung des Vektors \(\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung der Länge der Seite \(AD\): \(|\vec{AD}| = \sqrt{0^2 + 5^2 + 0^2} = 5\). 4. Da das Parallelogramm zwei gleich lange, benachbarte Seiten besitzt (\(|\vec{AB}| = |\vec{AD}|\)), handelt es sich um eine Raute.

a) \(C(4 | 6 | 5)\) b) Das Parallelogramm ist eine Raute, da die benachbarten Seiten \(AB\) und \(AD\) mit jeweils \(5\,\text{LE}\) (Längeneinheiten) gleich lang sind.

- Was passiert, wenn man eine Kette von Vektoren addiert, die wieder am Startpunkt endet? - Um einen unbekannten Punkt zu finden, kannst du die Gleichung nach seinem Ortsvektor umstellen. - Wie hängen der Ortsvektor eines Punktes und der Verbindungsvektor zweier Punkte zusammen?

1. Zu Teil a): Die Vektoren bilden einen geschlossenen Weg von \(A\) über \(B\) und \(C\) zurück nach \(A\). Daher muss die Summe der Nullvektor \(\vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) sein. Rechnerisch: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{CA} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \\ 1 \end{pmatrix}\). Addition: \(\begin{pmatrix} 3-6+3 \\ 3+2-5 \\ -3+2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Zu Teil b): Berechnung von \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - 2\cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6-6 \\ 2-6 \\ 2+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung des Ortsvektors von \(D\): \(\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{AD} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -12 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 \\ -5 \\ 11 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\); Die Summe ist der Nullvektor, da der Streckenzug geschlossen ist. b) \(D(-10 | -5 | 11)\)

- Wie gehst du vor, wenn du einen Vektor mit einer Zahl multiplizierst? - Was musst du beim Addieren von zwei Vektoren komponentenweise beachten? - Erinnere dich an die Vorgehensweise, um die Länge eines Vektors aus seinen drei Koordinaten zu bestimmen.

1. Skalarmultiplikation der Vektoren: \(2{,}5 \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} 10 \\ -5 \\ 10 \end{pmatrix}\) und \(6 \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} -6 \\ 18 \\ 6 \end{pmatrix}\). 2. Addition der skalierten Vektoren zur Bestimmung von \(\vec{c}\): \(\vec{c} = \begin{pmatrix} 10 - 6 \\ -5 + 18 \\ 10 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 13 \\ 16 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Betrags über die Summe der Quadrate der Komponenten: \(|\vec{c}| = \sqrt{4^2 + 13^2 + 16^2} = \sqrt{16 + 169 + 256} = \sqrt{441} = 21\).

\(\vec{c} = \begin{pmatrix} 4 \\ 13 \\ 16 \end{pmatrix}\); \(|\vec{c}| = 21\)

- Achte bei Wurzeltermen auf die Rechenregeln für Quadratwurzeln. - Führe bei zusammengesetzten Ausdrücken die Punktrechnung (Skalarmultiplikation) vor der Strichrechnung (Addition) aus. - Wie berechnet man das Quadrat einer Wurzel oder eines Produkts mit einer Wurzel?

1. Bestimmung der Vektorkoordinaten: a) Multiplikation des Skalars mit den Komponenten: \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \); \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \); \( \sqrt{3} \cdot (-3) = -3\sqrt{3} \). Somit ist \( \vec{c} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3\sqrt{2} \\ -3\sqrt{3} \end{pmatrix} \). b) Zuerst Skalarmultiplikation, dann komponentenweise Addition: \( \begin{pmatrix} 0{,}5 \cdot 4 \\ 0{,}5 \cdot 2 \\ 0{,}5 \cdot (-6) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \). 2. Berechnung der Beträge: a) \( |\vec{c}| = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{2})^2 + (-3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 18 + 27} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \). b) \( |\vec{d}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 9 + 36} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \).

a) \( \vec{c} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3\sqrt{2} \\ -3\sqrt{3} \end{pmatrix} \); \( |\vec{c}| = 3\sqrt{6} \) b) \( \vec{d} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \); \( |\vec{d}| = 3\sqrt{6} \)

- Welche Zeilen der Vektoren enthalten keine Unbekannten? Nutze diese zuerst. - Wie hängen die Komponenten zweier paralleler Vektoren mathematisch zusammen? - Sobald du den Proportionalitätsfaktor gefunden hast, kannst du ihn auf die fehlende Komponente anwenden. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du den fertigen Vektor \(\vec{u}\) noch einmal mit \(\vec{v}\) vergleichst.

1. Zur Bestimmung von \(s\) werden die bekannten Komponenten der Vektoren verglichen. In der zweiten Zeile gilt \(-6 = s \cdot 4\), woraus \(s = \frac{-6}{4} = -1{,}5\) folgt. 2. Zur Sicherheit wird die dritte Zeile geprüft: \(12 = s \cdot (-8) \implies 12 = -1{,}5 \cdot (-8)\). Dies ergibt \(12 = 12\), was eine wahre Aussage ist. Der Skalierungsfaktor ist somit \(s = -1{,}5\). 3. Um \(a\) zu berechnen, wird \(s\) in die Gleichung der ersten Komponente eingesetzt: \(a = s \cdot 2\). 4. Mit \(s = -1{,}5\) ergibt sich \(a = -1{,}5 \cdot 2 = -3\).

1. \(s = -1{,}5\) 2. \(a = -3\)

- Achte beim Auflösen von Klammern besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor der Klammer steht. - Du kannst Vektoren wie Variablen in der Algebra behandeln, solange du nur Addition, Subtraktion und die Multiplikation mit einer Zahl betrachtest. - Es hilft oft, zuerst alle Klammern von innen nach außen aufzulösen und dann die Koeffizienten gleicher Vektoren zu addieren.

1. Teilaufgabe a): Auflösen der Klammern ergibt \(3 \cdot \vec{x} - 6 \cdot \vec{y} + 4 \cdot \vec{y} - 4 \cdot \vec{z} - 2 \cdot \vec{x} + 4 \cdot \vec{z}\). Zusammenfassen der Koeffizienten führt zu \((3-2) \cdot \vec{x} + (-6+4) \cdot \vec{y} + (-4+4) \cdot \vec{z} = \vec{x} - 2 \cdot \vec{y}\). 2. Teilaufgabe b): Multiplikation mit den Skalaren liefert \(2 \cdot \vec{a} - 3 \cdot \vec{b} - \vec{a} + 5 \cdot \vec{b} + 3 \cdot \vec{a}\). Ordnen nach Vektoren ergibt \((2-1+3) \cdot \vec{a} + (-3+5) \cdot \vec{b} = 4 \cdot \vec{a} + 2 \cdot \vec{b}\). 3. Teilaufgabe c): Zuerst Vereinfachen der inneren eckigen Klammer: \(2 \cdot \vec{u} + 6 \cdot \vec{v} - 4 \cdot \vec{v} + 4 \cdot \vec{u} = 6 \cdot \vec{u} + 2 \cdot \vec{v}\). Subtraktion vom äußeren Term: \(5 \cdot \vec{u} - (6 \cdot \vec{u} + 2 \cdot \vec{v}) = -\vec{u} - 2 \cdot \vec{v}\).

a) \(\vec{x} - 2 \cdot \vec{y}\) b) \(4 \cdot \vec{a} + 2 \cdot \vec{b}\) c) \(-\vec{u} - 2 \cdot \vec{v}\)

- Denke daran, dass ein Minus vor einer Klammer alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umkehrt. - Multipliziere den Skalar vor der Klammer mit jedem einzelnen Vektor innerhalb der Klammer. - Wenn das Ergebnis einer Vektorsumme den Koeffizienten Null hat, fällt dieser Vektor im Endergebnis weg.

1. Teilaufgabe a): Auflösen der Vorzeichen und Klammern ergibt \(-\vec{r} + \vec{s} + 2 \cdot \vec{r} + 2 \cdot \vec{s} - 3 \cdot \vec{s} + 3 \cdot \vec{r}\). Gruppieren der Terme ergibt \((-1+2+3) \cdot \vec{r} + (1+2-3) \cdot \vec{s} = 4 \cdot \vec{r} + 0 \cdot \vec{s} = 4 \cdot \vec{r}\). 2. Teilaufgabe b): Ausmultiplizieren beider Klammern liefert \(6 \cdot \vec{a} - 2 \cdot \vec{b} + 8 \cdot \vec{c} - 5 \cdot \vec{a} - 2 \cdot \vec{b} + 5 \cdot \vec{c}\). Zusammenfassen der jeweiligen Vektorkomponenten führt zu \((6-5) \cdot \vec{a} + (-2-2) \cdot \vec{b} + (8+5) \cdot \vec{c} = \vec{a} - 4 \cdot \vec{b} + 13 \cdot \vec{c}\).

a) \(4 \cdot \vec{r}\) b) \(\vec{a} - 4 \cdot \vec{b} + 13 \cdot \vec{c}\)

- Was passiert mit der Länge eines Vektors, wenn du ihn mit einem positiven Skalar multiplizierst? - Erinnere dich daran, dass der Betrag eines Vektors eine Zahl ist. Was ist der Betrag dieser Zahl selbst? - Welchen speziellen Namen haben Vektoren, deren Länge genau \(1\) beträgt? - Beeinflusst das Vorzeichen des Skalars die Länge oder die Orientierung des Vektors?

1. Um die Länge von \(\vec{u}\) zu bestimmen, wird der Betrag \(\left| \frac{1}{|\vec{v}|} \cdot \vec{v} \right|\) betrachtet. Setzt man \(r = \frac{1}{|\vec{v}|}\), so ergibt sich nach der Regel \(|r \cdot \vec{v}| = |r| \cdot |\vec{v}|\) der Ausdruck \(\left| \frac{1}{|\vec{v}|} \right| \cdot |\vec{v}|\). Da die Länge \(|\vec{v}|\) eines Vektors (ungleich dem Nullvektor) stets eine positive reelle Zahl ist, gilt \(\left| \frac{1}{|\vec{v}|} \right| = \frac{1}{|\vec{v}|}\). Somit folgt \(|\vec{u}| = \frac{1}{|\vec{v}|} \cdot |\vec{v}| = 1\). 2. Der Vektor \(\vec{u}\) hat dieselbe Richtung wie \(\vec{v}\) (da der Skalar positiv ist) und besitzt die Länge \(1\). Er wird daher als Einheitsvektor von \(\vec{v}\) bezeichnet.

1. \(|\vec{u}| = \left| \frac{1}{|\vec{v}|} \right| \cdot |\vec{v}| = \frac{1}{|\vec{v}|} \cdot |\vec{v}| = 1\). 2. Der Vektor \(\vec{u}\) ist der Einheitsvektor in Richtung von \(\vec{v}\).

- Überlege dir bei geometrischen Additionen wie \(\vec{AB} + \vec{BC}\), wo du startest und wo du ankommst. - Gibt es bei einem Produkt, das Null ergibt, immer nur eine einzige Möglichkeit für die Faktoren? - Stell dir ein Dreieck vor: Ist der direkte Weg von einem Punkt zum anderen immer so lang wie der Umweg über einen dritten Punkt? - Was passiert, wenn einer der beteiligten Vektoren der Nullvektor ist?

1. Aussage a) ist wahr; ein Verbindungsvektor berechnet sich aus der Differenz der Ortsvektoren (Spitze minus Anfang). 2. Aussage b) ist wahr; die Subtraktion eines Vektors von sich selbst ergibt den Nullvektor \(\vec{0}\). 3. Aussage c) ist wahr; die Summe beschreibt einen geschlossenen Streckenzug, der wieder am Ausgangspunkt \(A\) landet: \(\vec{AA} = \vec{0}\). 4. Aussage d) ist falsch; die Gleichung ist auch dann erfüllt, wenn \(\vec{a} = \vec{0}\) ist (Satz vom Nullprodukt). 5. Aussage e) ist falsch; dies ist die Dreiecksungleichung \(\leq\). Gleichheit gilt nur, wenn die Vektoren kollinear sind und dieselbe Orientierung haben. Im Allgemeinen ist die Summe der Längen größer als die Länge der Summe.

a) Wahr. b) Wahr. c) Wahr. d) Falsch; Korrektur: Die Gleichung ist erfüllt, wenn \(k = 0\) oder \(\vec{a} = \vec{0}\) ist. e) Falsch; Korrektur: Es gilt allgemein die Dreiecksungleichung \(|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|\).

- Bestimme zunächst, welche Strecke die Drohne in einer Sekunde in Richtung des Vektors zurücklegt. - Wie lang ist der Verschiebungsvektor nach der gesamten Flugzeit? - Denke daran, dass die neue Position die Summe aus dem Startpunkt und der gesamten Verschiebung ist. - Welcher Teil des Ergebnisvektors gibt dir Auskunft über die vertikale Position?

1. Berechnung des Betrags des Richtungsvektors: \(|\vec{r}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\). 2. Aufstellen des Geschwindigkeitsvektors \(\vec{v}\) durch Normierung von \(\vec{r}\) und Multiplikation mit der Geschwindigkeit: \(\vec{v} = \frac{5}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{10}{3} \\ \frac{5}{3} \\ \frac{10}{3} \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Verschiebungsvektors für \(t = 15\,\text{s}\): \(\vec{s} = 15 \cdot \begin{pmatrix} \frac{10}{3} \\ \frac{5}{3} \\ \frac{10}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50 \\ 25 \\ 50 \end{pmatrix}\). 4. Bestimmung der neuen Position: \(\vec{p} = \vec{OA} + \vec{s} = \begin{pmatrix} 12 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 50 \\ 25 \\ 50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 62 \\ 33 \\ 52 \end{pmatrix}\). 5. Die Höhe entspricht der \(x_3\)-Koordinate: \(52\,\text{m}\).

Die Drohne befindet sich nach \(15\) Sekunden am Punkt \((62 | 33 | 52)\). Die erreichte Höhe beträgt \(52\,\text{m}\).

- Wie kannst du einen Vektor zwischen zwei Mittelpunkten als Summe anderer Vektoren schreiben? - Erinnere dich an die Definition eines Mittelpunkts mithilfe von Skalarmultiplikation. - Welche Eigenschaft müssen zwei gegenüberliegende Seitenvektoren in einem Parallelogramm erfüllen? - Kannst du eine Diagonale des äußeren Vierecks nutzen, um die inneren Vektoren zu vergleichen?

1. Ausdruck der Vektoren der Seiten des inneren Vierecks durch die Eckpunkte des äußeren Vierecks: \(\vec{PQ} = \vec{PB} + \vec{BQ}\). 2. Verwendung der Mittelpunkteigenschaft: \(\vec{PQ} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{BC})\). 3. Anwendung der Vektoraddition im Dreieck \(ABC\): \(\vec{PQ} = \frac{1}{2}\vec{AC}\). 4. Analoge Rechnung für die gegenüberliegende Seite \(\vec{SR}\): \(\vec{SR} = \vec{SD} + \vec{DR} = \frac{1}{2}\vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{DC} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{DC})\). 5. Anwendung der Vektoraddition im Dreieck \(ADC\): \(\vec{SR} = \frac{1}{2}\vec{AC}\). 6. Schlussfolgerung: Da \(\vec{PQ} = \vec{SR}\) gilt, sind die Seiten \(PQ\) und \(SR\) parallel und gleich lang, woraus folgt, dass \(PQRS\) ein Parallelogramm ist.

Durch die Vektoraddition ergibt sich \(\vec{PQ} = \frac{1}{2}\vec{AC}\) und \(\vec{SR} = \frac{1}{2}\vec{AC}\). Da die gegenüberliegenden Seitenvektoren \(\vec{PQ}\) und \(\vec{SR}\) identisch sind, ist das Viereck \(PQRS\) ein Parallelogramm.

- Wie hängen der Ortsvektor eines Endpunktes, der Startpunkt und der Verbindungsvektor zusammen? - Kannst du die Gleichung für den gesuchten Punkt \(D\) so umstellen, dass der Ortsvektor \(\vec{d}\) isoliert ist? - Berechne zuerst die Vektoren auf der rechten Seite der Gleichung, bevor du den Punkt \(D\) bestimmst.

1. Bestimmung der Basisvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ -2-2 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 0-5 \\ 4-(-2) \\ 6-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\). 2. Lösung für Teilaufgabe a): Aus \(\vec{d} - \vec{c} = \vec{AB}\) folgt \(\vec{d} = \vec{c} + \vec{AB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\). Somit ist \(D(4|0|4)\). 3. Lösung für Teilaufgabe b): Zuerst Berechnung des Ergebnisvektors \(\vec{AD} = 2\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -8 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -5 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 \\ -14 \\ -9 \end{pmatrix}\). 4. Berechnung des Ortsvektors von \(D\): \(\vec{d} = \vec{a} + \vec{AD} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 13 \\ -14 \\ -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \\ -12 \\ -6 \end{pmatrix}\). Somit ist \(D(14|-12|-6)\).

a) \(D(4|0|4)\) b) \(D(14|-12|-6)\)

- Was passiert mit einer Koordinate, die Null ist, wenn man den Vektor mit einer Zahl multipliziert? - Ein Vektor ist nur dann ein Vielfaches eines anderen, wenn für alle drei Koordinatengleichungen derselbe Faktor \(k\) existiert. - Um eine allgemeine mathematische Behauptung zu widerlegen, reicht ein einziges passendes Gegenbeispiel aus.

1. Für \(\vec{v} = k \cdot \vec{u}\) müsste gelten: \(10 = 5k \Rightarrow k = 2\) und \(-4 = -2k \Rightarrow k = 2\). Jedoch fordert die zweite Komponente \(2 = k \cdot 0\), was für keine reelle Zahl \(k\) lösbar ist. Somit ist \(\vec{v}\) kein Vielfaches von \(\vec{u}\). 2. Für \(\vec{p} = k \cdot \vec{q}\) betrachte die dritte Komponente: \(15 = 5k \Rightarrow k = 3\). Damit folgt \(m = 3 \cdot (-2) = -6\) und \(n = 3 \cdot 4 = 12\). 3. Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel sind die Vektoren \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Beide haben nur positive Komponenten, aber das Verhältnis der Komponenten ist nicht konstant (\(1:3 \neq 2:2\)), weshalb kein gemeinsamer Faktor \(k\) existiert.

a) Widerspruch in der zweiten Komponente: \(2 = k \cdot 0\) ist nicht lösbar. b) \(m = -6\); \(n = 12\) c) Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\).

- Erinnerst du dich, wie man ein Minuszeichen vor einem Vektor durch Vertauschen der Buchstaben ersetzen kann? - Was bedeutet es für die Verschiebung, wenn eine Vektorkette genau dort endet, wo sie begonnen hat? - Du kannst die Dreiecksregel mehrmals hintereinander anwenden.

1. Anwendung der Dreiecksregel in Schritten: \(\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}\). Dann folgt \(\vec{PR} + \vec{RS} = \vec{PS}\). 2. Umformung des Gegenvektors: \(-\vec{CB} = \vec{BC}\). Einsetzen in die Gleichung: \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). Somit ist \(\vec{x} = \vec{AC}\). 3. Sukzessive Vereinfachung: \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). Damit ergibt sich \(\vec{AC} + \vec{CA}\). Da \(\vec{CA}\) der Gegenvektor zu \(\vec{AC}\) ist, gilt \(\vec{AC} + (-\vec{AC}) = \vec{0}\) (Nullvektor). Geometrisch kehrt man zum Ausgangspunkt \(A\) zurück, die Gesamtverschiebung ist also null.

1. \(\vec{PS}\) 2. \(\vec{x} = \vec{AC}\) 3. \(\vec{0}\) (Nullvektor). Begründung: Da Start- und Endpunkt der Kette identisch sind (\(A\)), findet netto keine Verschiebung statt.

- Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei Punkten \(A\) und \(B\)? - Was bedeutet das Wort „Gegen“ in Bezug auf die Richtung eines Pfeils im Koordinatensystem? - Erinnerst du dich an die Regel „Spitze minus Anfang“?

1. Berechnung des Verbindungsvektors \(\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 5 - 1 \\ 2 - (-4) \\ -1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix}\). 2. Der Gegenvektor zu \(\vec{v}\) ergibt sich durch Vorzeichenumkehr aller Komponenten: \(-\vec{v} = \begin{pmatrix} -4 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Vektors \(\vec{QP} = \vec{p} - \vec{q} = \begin{pmatrix} 1 - 5 \\ -4 - 2 \\ 3 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}\). 4. Vergleich der Ergebnisse zeigt, dass \(-\vec{PQ} = \vec{QP}\) gilt.

a) \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ -4 \end{pmatrix}\) b) Der Gegenvektor ist \(\begin{pmatrix} -4 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}\). c) \(\vec{QP} = \begin{pmatrix} 1-5 \\ -4-2 \\ 3-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -6 \\ 4 \end{pmatrix}\). Dies entspricht dem Gegenvektor aus Teilaufgabe b).

- Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Wenn du weißt, wie ein Punkt verschoben wird, wie kommst du dann vom Ergebnis zurück zum Startpunkt? - Was passiert mathematisch mit jeder einzelnen Koordinate eines Punktes bei einer Verschiebung?

1. Der Verschiebungsvektor \(\vec{v}\) entspricht dem Verbindungsvektor von \(P\) nach \(Q\): \(\vec{v} = \vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 0-2 \\ 8-5 \\ 1-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Für den Bildpunkt \(R'\) gilt: \(\vec{r}' = \vec{r} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}\). Somit ist \(R'(2 \mid 4 \mid 6)\). 3. Um den ursprünglichen Punkt \(S\) zu finden, muss der Verschiebungsvektor vom Bildpunkt abgezogen werden (Umkehrung): \(\vec{s} = \vec{s}' - \vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 10 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}\). Somit ist \(S(0 \mid 7 \mid 1)\). 4. Die allgemeine Abbildungsvorschrift lautet: \(\vec{x}' = \vec{x} + \vec{v} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 - 2 \\ x_2 + 3 \\ x_3 + 4 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) b) \(R'(2 \mid 4 \mid 6)\) c) \(S(0 \mid 7 \mid 1)\) d) \(\vec{x}' = \begin{pmatrix} x_1 - 2 \\ x_2 + 3 \\ x_3 + 4 \end{pmatrix}\)

- Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Was bedeutet es für die Komponenten eines Vektors, wenn er mit einer Zahl (einem Skalar) multipliziert wird? - Wie findest du die Koordinaten eines Zielpunktes, wenn Startpunkt und Verschiebungsvektor bekannt sind?

1. Der Verschiebungsvektor \(\vec{v}\) entspricht dem Verbindungsvektor \(\vec{PQ}\). Berechnung durch „Spitze minus Anfang“: \(\vec{v} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Ortsvektors von \(R\) unter Verwendung der Skalarmultiplikation: \(\vec{OR} = \vec{OP} + 3 \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 9 \\ -9 \\ 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ -9 \\ 13 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(R(11 | -9 | 13)\).

1. \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}\) 2. \(R(11 | -9 | 13)\)

- Kannst du die zwei nacheinander ausgeführten Verschiebungen zu einer einzigen Verschiebung zusammenfassen? - Was musst du tun, um von einem bekannten Endzustand wieder zum Anfangszustand zu gelangen? - Stelle eine Gleichung auf, die den Zusammenhang zwischen dem gesuchten Punkt, den Verschiebungen und dem Ergebnis beschreibt. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Verschiebungen testweise auf deinen gefundenen Punkt anwendest.

1. Berechnung des Gesamtverschiebungsvektors durch Addition der Einzelvektoren: \(\vec{s} = \vec{u} + \vec{w} = \begin{pmatrix} -2 + 4 \\ 3 + 0 \\ 1 + (-5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}\). 2. Ansatz zur Bestimmung des Ausgangspunktes: \(\vec{a} = \vec{e} - \vec{s}\). 3. Einsetzen der Werte: \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}\). 4. Berechnen der Komponenten: \(a_1 = 1 - 2 = -1\), \(a_2 = 7 - 3 = 4\), \(a_3 = -2 - (-4) = 2\). 5. Resultierender Punkt \(A(-1 | 4 | 2)\).

\(A(-1 | 4 | 2)\)

- Was bedeutet es für die Koordinaten eines Vektors, wenn das Ziel der Ursprung ist? - Wenn du das Ergebnis einer Verschiebung kennst, wie findest du dann heraus, wo die Bewegung gestartet ist? - Stelle dir zwei Schritte vor, nach denen du wieder genau dort stehst, wo du angefangen hast. Was sagt das über die beiden Schritte aus?

1. Der Vektor \(\vec{a}\) berechnet sich aus \(\vec{0} - \vec{p}\): \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 0 - 2{,}5 \\ 0 - (-5) \\ 0 - 7{,}2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2{,}5 \\ 5 \\ -7{,}2 \end{pmatrix}\). 2. Um den Ausgangspunkt \(M\) zu finden, muss die Verschiebung rückgängig gemacht werden: \(\vec{OM} = \vec{OM'} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 4{,}2 - 1{,}5 \\ 1{,}1 - (-2{,}4) \\ -3{,}5 - 0{,}8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2{,}7 \\ 3{,}5 \\ -4{,}3 \end{pmatrix}\). Die Koordinaten sind \(M(2{,}7 | 3{,}5 | -4{,}3)\). 3. Damit die Kombination der Verschiebungen keine Netto-Veränderung bewirkt, muss ihre Summe der Nullvektor sein: \(\vec{v}_1 + \vec{v}_2 = \vec{0}\). Daraus folgt \(\vec{v}_2 = -\vec{v}_1\).

a) \(\vec{a} = \begin{pmatrix} -2{,}5 \\ 5 \\ -7{,}2 \end{pmatrix}\) b) \(M(2{,}7 | 3{,}5 | -4{,}3)\) c) \(\vec{v}_2 = -\vec{v}_1\) (oder \(\vec{v}_1 + \vec{v}_2 = \vec{0}\))

- Erinnere dich daran, wie die Subtraktion von Vektoren über den Gegenvektor definiert ist. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du den Gegenvektor einer Summe bildest? - Überlege, was das doppelte Bilden eines Gegenvektors bewirkt. - Versuche, die Klammer von innen nach außen aufzulösen.

1. Die Subtraktion in der Klammer wird als Addition des Gegenvektors geschrieben: \(\vec{b} - \vec{c} = \vec{b} + (-\vec{c})\). 2. Die äußere Subtraktion wird ebenfalls umgeformt: \(\vec{a} - (\vec{b} + (-\vec{c})) = \vec{a} + (-(\vec{b} + (-\vec{c})))\). 3. Der Gegenvektor einer Summe entspricht der Summe der Gegenvektoren: \(-(\vec{b} + (-\vec{c})) = (-\vec{b}) + (- (-\vec{c}))\). 4. Da der Gegenvektor eines Gegenvektors wieder der ursprüngliche Vektor ist (\(-(-\vec{c}) = \vec{c}\)), vereinfacht sich der Ausdruck zu \(\vec{a} + (-\vec{b}) + \vec{c}\). 5. Die Addition des Gegenvektors \((-\vec{b})\) wird wieder als Subtraktion geschrieben: \(\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}\).

Die Gleichung wird begründet, indem \(\vec{a} - (\vec{b} - \vec{c})\) zu \(\vec{a} + (-(\vec{b} + (-\vec{c})))\) umgeformt wird. Durch Anwendung der Regel für den Gegenvektor einer Summe \(-(\vec{u} + \vec{v}) = -\vec{u} - \vec{v}\) und der Eigenschaft \(-(-\vec{c}) = \vec{c}\) ergibt sich \(\vec{a} + (-\vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}\).

- Wie hängen Startpunkt, Verschiebung und Endpunkt in einer Gleichung zusammen? - Wenn du weißt, wo du angekommen bist und wie du dich bewegt hast, wie findest du dann heraus, wo du gestartet bist? - Addiere zuerst die beiden Einzelbewegungen zu einer Gesamtbewegung.

1. Die Gesamtverschiebung \(\vec{w}\) ergibt sich aus der Summe der Teilverschiebungen: \(\vec{w} = \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 10+3 \\ -5+8 \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Der Zusammenhang zwischen Startpunkt \(P\), Verschiebung \(\vec{w}\) und Endpunkt \(Q\) lautet: \(\vec{p} + \vec{w} = \vec{q}\). 3. Um den Startpunkt zu finden, subtrahiert man den Verschiebungsvektor vom Endpunkt: \(\vec{p} = \vec{q} - \vec{w} = \begin{pmatrix} 18 \\ 12 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 13 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 7 \end{pmatrix}\).

1. \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 13 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\) 2. \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 7 \end{pmatrix}\)

- Ein Prisma entsteht, wenn man alle Punkte einer Grundfläche um denselben Vektor verschiebt. - Welcher Punkt der Grundfläche gehört zu welchem Punkt der Deckfläche? Das bestimmt den Vektor. - Wann genau steht ein Vektor senkrecht auf der \(xy\)-Ebene?

1. Fall a): Berechnung des Verschiebungsvektors \(\vec{v}_1 = \overrightarrow{PS} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 3-1 \\ 5-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\). Die weiteren Eckpunkte ergeben sich durch Addition: \(\vec{OQ'} = \vec{OQ} + \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 5+2 \\ 1+2 \\ 0+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}\), also \(Q'(7|3|5)\) und \(\vec{OR'} = \vec{OR} + \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 1+2 \\ 4+2 \\ 0+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\), also \(R'(3|6|5)\). 2. Fall b): Berechnung des Verschiebungsvektors \(\vec{v}_2 = \overrightarrow{QS} = \begin{pmatrix} 3-5 \\ 3-1 \\ 5-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\). Die weiteren Eckpunkte sind \(\vec{OP'} = \vec{OP} + \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 1-2 \\ 1+2 \\ 0+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}\), also \(P'(-1|3|5)\) und \(\vec{OR'} = \vec{OR} + \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 1-2 \\ 4+2 \\ 0+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix}\), also \(R'(-1|6|5)\). 3. Begründung: Die Grundfläche liegt in der \(xy\)-Ebene (\(z=0\)). Ein Prisma ist nur dann gerade, wenn der Verschiebungsvektor senkrecht auf der Grundfläche steht, also die Form \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ z \end{pmatrix}\) hat. Da in beiden Fällen die \(x\)- und \(y\)-Komponenten der Verschiebungsvektoren nicht Null sind, stehen die Seitenkanten nicht senkrecht auf der Grundfläche.

a) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\); Deckpunkte: \(S(3|3|5)\), \(Q'(7|3|5)\), \(R'(3|6|5)\) b) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\); Deckpunkte: \(P'(-1|3|5)\), \(S(3|3|5)\), \(R'(-1|6|5)\) c) Da die Verschiebungsvektoren Anteile in \(x\)- und \(y\)-Richtung haben, stehen sie nicht senkrecht auf der Grundfläche (die in der \(xy\)-Ebene liegt). Somit ist das Prisma schief.

- Wie hängen ein Punkt, sein Bildpunkt und der zugehörige Verschiebungsvektor zusammen? - Wenn du die Verschiebung rückgängig machen möchtest, welche Rechenoperation musst du anwenden? - Überlege dir, ob sich der Abstand oder die Richtung zwischen zwei Punkten ändert, wenn beide exakt gleich verschoben werden.

1. Berechnung von \(P'\) durch Addition des Verschiebungsvektors zum Ortsvektor von \(P\): \(\vec{p'} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \implies P'(1|5|6)\). 2. Berechnung von \(Q\) durch Subtraktion des Verschiebungsvektors vom Ortsvektor des Bildpunktes \(Q'\): \(\vec{q} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \implies Q(7|-4|1)\). 3. Berechnung des Verbindungsvektors \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 7-3 \\ -4-1 \\ 1-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix}\). 4. Berechnung des Verbindungsvektors \(\vec{P'Q'} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 0-5 \\ 2-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix}\). 5. Vergleich: Die Vektoren \(\vec{PQ}\) und \(\vec{P'Q'}\) sind identisch, da beide Punkte um denselben Vektor verschoben wurden und somit ihre relative Lage zueinander gleich bleibt.

a) \(P'(1|5|6)\) b) \(Q(7|-4|1)\) c) \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{P'Q'} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix}\). Die Vektoren sind identisch.

- Wie sind Vektoren in Koordinatenschreibweise definiert? - Was passiert in den einzelnen Zeilen (Komponenten), wenn du einen Vektor mit einer Zahl multiplizierst? - Erinnerst du dich an die Rechenregeln für Klammern bei normalen Zahlen? Diese gelten auch innerhalb der Vektorkomponenten. - Was bedeutet ein Minuszeichen vor einem Vektor für dessen Pfeil im Koordinatensystem?

1. Definition der Vektoren in Komponenten: \(\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\). Linke Seite: Berechnung der Summe \(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1+v_1 \\ u_2+v_2 \\ u_3+v_3 \end{pmatrix}\), Multiplikation mit \(r\) und anschließende Negation ergibt \(\begin{pmatrix} -r(u_1+v_1) \\ -r(u_2+v_2) \\ -r(u_3+v_3) \end{pmatrix}\). Anwendung des Distributivgesetzes für reelle Zahlen in jeder Komponente: \(\begin{pmatrix} -ru_1 - rv_1 \\ -ru_2 - rv_2 \\ -ru_3 - rv_3 \end{pmatrix}\). Rechte Seite: Multiplikation der Vektoren mit \(-r\) ergibt \(\begin{pmatrix} -ru_1 \\ -ru_2 \\ -ru_3 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} -rv_1 \\ -rv_2 \\ -rv_3 \end{pmatrix}\). Die Addition dieser Vektoren führt zum gleichen Ergebnis wie die linke Seite. 2. Das negative Vorzeichen bildet die Gegenvektoren zu den bereits skalierten Vektoren \(r \cdot \vec{u}\) und \(r \cdot \vec{v}\). Es kehrt also die Orientierung dieser beiden Summanden um, wodurch auch der gesamte Summenvektor seine Richtung umkehrt.

1. Durch komponentenweises Ausmultiplizieren unter Nutzung des Distributivgesetzes für reelle Zahlen \( -r(u_i + v_i) = -ru_i - rv_i \) wird die Gleichheit gezeigt. 2. Das negative Vorzeichen kehrt die Orientierung der bereits mit \(r\) skalierten Vektoren um; es entstehen die Gegenvektoren zu \(r \cdot \vec{u}\) und \(r \cdot \vec{v}\).

- Berechne zuerst die Inhalte der beiden Klammerpaare separat. - Achte beim Subtrahieren und Addieren der Dezimalzahlen genau auf die Stellenwerte und Vorzeichen. - Was passiert in der letzten Rechnung, wenn zwei identische Werte voneinander abgezogen werden? - Du kannst jede der drei Komponenten (x, y, z) als eine eigene kleine Rechnung betrachten.

1. Berechnung der ersten Klammer (Subtraktion): \(\begin{pmatrix} 4{,}2 - (-0{,}8) \\ -1{,}8 - 2{,}5 \\ 0 - 3{,}7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5{,}0 \\ -4{,}3 \\ -3{,}7 \end{pmatrix}\) 2. Berechnung der zweiten Klammer (Addition): \(\begin{pmatrix} 5{,}5 + (-2{,}1) \\ -6 + 1{,}7 \\ 1{,}2 + (-4{,}9) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3{,}4 \\ -4{,}3 \\ -3{,}7 \end{pmatrix}\) 3. Subtraktion der beiden Zwischenergebnisse: \(\begin{pmatrix} 5{,}0 - 3{,}4 \\ -4{,}3 - (-4{,}3) \\ -3{,}7 - (-3{,}7) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 1{,}6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)

- Gehe schrittweise vor und berechne erst das Ergebnis der ersten Spiegelung, bevor du die zweite ausführst. - Erinnere dich an die Formel für den Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten. - Um zu zeigen, dass ein Vektor das Doppelte eines anderen ist, multipliziere alle Komponenten des einen Vektors mit 2.

1. Erste Spiegelung (von \(P\) an \(Q\)): \(\vec{p'} = 2 \cdot \vec{q} - \vec{p} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}\). Also \(P'(0 \mid 8 \mid 7)\). 2. Zweite Spiegelung (von \(P'\) an \(R\)): \(\vec{p''} = 2 \cdot \vec{r} - \vec{p'} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -12 \\ -5 \end{pmatrix}\). Also \(P''(6 \mid -12 \mid -5)\). 3. Berechnung des Verschiebungsvektors: \(\vec{PP''} = \vec{p''} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 6 \\ -12 \\ -5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \\ -2 \end{pmatrix}\). 4. Vergleich mit \(\vec{QR}\): \(\vec{QR} = \vec{r} - \vec{q} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ -1 \end{pmatrix}\). Es gilt \(2 \cdot \vec{QR} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \\ -2 \end{pmatrix} = \vec{PP''}\).

a) \(P'(0 \mid 8 \mid 7)\) und \(P''(6 \mid -12 \mid -5)\) b) \(\vec{PP''} = \begin{pmatrix} 4 \\ -12 \\ -2 \end{pmatrix}\); da \(\vec{QR} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ -1 \end{pmatrix}\), folgt \(\vec{PP''} = 2 \cdot \vec{QR}\).

- Welche Rolle spielt das Spiegelzentrum für die Strecke zwischen einem Punkt und seinem Bild? - Wie berechnet man den Mittelpunkt zwischen zwei gegebenen Punkten? - Wann nennt man zwei Vektoren parallel (kollinear)?

1. Das Spiegelzentrum \(M\) ist der Mittelpunkt der Strecke \(PP'\). Der Ortsvektor berechnet sich durch \(\vec{m} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{p} + \vec{p'}) = \frac{1}{2} \left( \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Somit ist \(M(2|2|2)\). 2. Der Bildpunkt \(Q'\) ergibt sich aus \(\vec{q'} = 2 \cdot \vec{m} - \vec{q} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Somit ist \(Q'(-1|3|2)\). 3. Berechnung der Verbindungsvektoren: \(\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 1-(-2) \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). \(\vec{P'Q'} = \vec{q'} - \vec{p'} = \begin{pmatrix} -1-1 \\ 3-6 \\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{P'Q'} = -1 \cdot \vec{PQ}\) gilt, sind die Vektoren kollinear und damit parallel.

1. Der Ortsvektor ist \(\vec{m} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Der Bildpunkt ist \(Q'(-1|3|2)\). 3. Da \(\vec{P'Q'} = -1 \cdot \vec{PQ}\) gilt, sind die Vektoren parallel.

- Welche besondere Eigenschaft haben die Diagonalen in einem Parallelogramm bezüglich ihres Schnittpunktes? - Muss man beide Diagonalen kennen, um ihren gemeinsamen Punkt zu finden? - Erinnere dich an die Definition des Mittelpunktes einer Strecke im Raum.

1. Nutzung der geometrischen Eigenschaft: In einem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig. Der Schnittpunkt \(S\) ist somit der Mittelpunkt der Strecke \(AC\). 2. Anwendung der Mittelpunktsformel für \(A\) und \(C\): \(\vec{OS} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{OA} + \vec{OC})\). 3. Einsetzen der Koordinaten: \(\vec{OS} = \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 4. Zu Aufgabenteil b): Da sich beide Diagonalen im selben Punkt schneiden und dieser Punkt genau in der Mitte jeder Diagonale liegt, reicht die Information über eine der beiden Diagonalen (hier \(AC\)) aus, um den Punkt eindeutig festzulegen.

a) \(S(4 \mid 2 \mid 2)\) b) In einem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen. Der Schnittpunkt \(S\) ist daher der Mittelpunkt der Strecke \(AC\). Da \(A\) und \(C\) gegeben sind, ist \(S\) bereits eindeutig bestimmt, unabhängig von der Lage der Punkte \(B\) und \(D\).

- Behandle den Vektor \(\vec{x}\) wie eine Unbekannte in einer gewöhnlichen algebraischen Gleichung. - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor der Klammer steht. - Versuche zuerst, alle Terme mit \(\vec{x}\) auf eine Seite der Gleichung zu bringen. - Du kannst die Terme Schritt für Schritt vereinfachen, bevor du den Vektor isolierst.

1. Auflösen der Klammern unter Anwendung des Distributivgesetzes: \(2 \cdot \vec{x} - \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} + 3 \cdot \vec{x}\) 2. Zusammenfassen der konstanten Vektoren auf der rechten Seite: \(2 \cdot \vec{x} - \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} = 3 \cdot \vec{x} + \begin{pmatrix} 10 \\ -6 \\ -8 \end{pmatrix}\) 3. Isolieren von \(\vec{x}\) durch Subtraktion von \(2 \cdot \vec{x}\) und Subtraktion des konstanten Vektors: \(\vec{x} = - \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 \\ -6 \\ -8 \end{pmatrix}\) 4. Komponenteweise Berechnung des Ergebnisvektors: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} -8 - 10 \\ 2 - (-6) \\ -6 - (-8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -18 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}\)

\(\vec{x} = \begin{pmatrix} -18 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}\)

- Gehe schrittweise vor und überlege, welche Koordinate bei welcher Ebene „umgeklappt“ wird. - Erinnere dich daran, wie man einen Vektor mit einer Zahl multipliziert. - Was bedeutet es für die Richtung eines Pfeils, wenn man ihn mit \(-1\) multipliziert?

1. Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene: \(\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\). 2. Spiegelung an der \(x_1x_3\)-Ebene: \(\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\). 3. Spiegelung an der \(x_2x_3\)-Ebene: \(\vec{v}_{\text{final}} = \begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\). 4. Es gilt \(\vec{v}_{\text{final}} = \begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix} = -1 \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = -1 \cdot \vec{v}\). Der Skalar ist \(k = -1\). 5. Da \(k = -1\) ist, verläuft der reflektierte Strahl parallel zum einfallenden Strahl, zeigt aber genau in die entgegengesetzte Richtung (antiparallel). Dadurch wird das Licht einer Lichtquelle (z. B. Autoscheinwerfer) direkt zur Quelle zurückgeworfen.

a) \(\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\), \(\vec{v}_{\text{final}} = \begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{v}_{\text{final}} = -1 \cdot \vec{v}\); der Skalar ist \(k = -1\). c) Das Licht wird exakt in die Gegenrichtung reflektiert (\(k = -1\)), sodass es zur Lichtquelle zurückkehrt.

- Was passiert mit den Vorzeichen der Koordinaten bei einer Punktspiegelung am Nullpunkt? - Notiere dir für jede Koordinatenebene, welche Koordinate „quer“ zur Ebene steht und somit bei einer Spiegelung ihr Vorzeichen wechselt. - Führe die Operationen nacheinander aus und beobachte, wie sich der Vektor nach jedem Schritt verändert.

1. Eine Spiegelung am Ursprung (Punktspiegelung) kehrt die Richtung aller Komponenten um. Es gilt \(\vec{v}' = -\vec{v} = \begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\). 2. Spiegelung an der \(x_1x_2\)-Ebene: Die \(x_3\)-Komponente ändert ihr Vorzeichen. Ergebnis: \(\vec{v}_a = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\). 3. Spiegelung von \(\vec{v}_a\) an der \(x_1x_3\)-Ebene: Die \(x_2\)-Komponente ändert ihr Vorzeichen. Ergebnis: \(\vec{v}_b = \begin{pmatrix} v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\). 4. Spiegelung von \(\vec{v}_b\) an der \(x_2x_3\)-Ebene: Die \(x_1\)-Komponente ändert ihr Vorzeichen. Ergebnis: \(\vec{v}_c = \begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\). 5. Der Vergleich von \(\vec{v}_c\) mit \(\vec{v}'\) zeigt, dass beide Vektoren identisch sind.

a) \(\vec{v}' = \begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\) b) Die schrittweise Spiegelung ergibt: 1. Nach \(x_1x_2\)-Ebene: \(\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\) 2. Nach \(x_1x_3\)-Ebene: \(\begin{pmatrix} v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\) 3. Nach \(x_2x_3\)-Ebene: \(\begin{pmatrix} -v_1 \\ -v_2 \\ -v_3 \end{pmatrix}\). Dies entspricht exakt \(\vec{v}'\).

- Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei Punkten? - Denk an die Regel „Spitze minus Anfang“. - Was ist der Unterschied zwischen einem Punkt und seinem Ortsvektor? - Du kannst die Vektorsumme Schritt für Schritt für jede Koordinate einzeln berechnen.

1. Berechnung der Verbindungsvektoren (Spitze minus Anfang): \(\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \begin{pmatrix} -1 - 4 \\ 3 - 1 \\ 2 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\). \(\vec{QR} = \vec{OR} - \vec{OQ} = \begin{pmatrix} 0 - (-1) \\ -2 - 3 \\ 5 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Linearkombination für \(\vec{w}\): \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 + 2 \\ 2 - 10 \\ 5 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -8 \\ 11 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung von \(\vec{PR}\) und des Ortsvektors \(\vec{OS}\): \(\vec{PR} = \vec{OR} - \vec{OP} = \begin{pmatrix} 0 - 4 \\ -2 - 1 \\ 5 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix}\). \(\vec{OS} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 5 - 4 \\ 1 + 2 - 3 \\ -3 + 5 + 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(S(-5 | 0 | 10)\).

a) \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}\), \(\vec{QR} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -3 \\ -8 \\ 11 \end{pmatrix}\) c) \(S(-5 | 0 | 10)\)