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- Überlege dir, wie du von einem Punkt zum anderen gelangst, indem du nur entlang der bekannten Kanten läufst. - Achte darauf, ob du eine Kante in ihrer vorgegebenen Richtung oder in der Gegenrichtung durchläufst. - In einem Spat sind gegenüberliegende Kanten parallel und gleich lang, sie entsprechen also demselben Vektor.

1. Zur Bestimmung von \(\vec{HB}\) wird ein Weg entlang der Kanten von \(H\) nach \(B\) gewählt: \(\vec{HB} = \vec{HD} + \vec{DA} + \vec{AB}\). 2. Da \(\vec{HD} = -\vec{AE} = -\vec{c}\), \(\vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{b}\) und \(\vec{AB} = \vec{a}\), ergibt sich \(\vec{HB} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}\). 3. Zur Bestimmung von \(\vec{EG}\) wird der Weg über die Fläche \(EFGH\) gewählt: \(\vec{EG} = \vec{EF} + \vec{FG}\). 4. Da \(\vec{EF} = \vec{AB} = \vec{a}\) und \(\vec{FG} = \vec{AD} = \vec{b}\), folgt \(\vec{EG} = \vec{a} + \vec{b}\).

\(\vec{HB} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}\) \(\vec{EG} = \vec{a} + \vec{b}\)

- Kannst du die Rechnung für jede Koordinate (x, y, z) einzeln durchführen? - Worauf musst du beim Subtrahieren eines Vektors mit negativen Einträgen achten? - Erinnerst du dich an die Formel für die Länge eines Vektors im dreidimensionalen Raum?

1. Berechnung der Komponenten durch skalare Multiplikation und anschließende Addition/Subtraktion: \(x = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 3 = 2 - 3 + 3 = 2\) \(y = 2 \cdot 0 - 3 \cdot (-1) + 0 = 0 + 3 + 0 = 3\) \(z = 2 \cdot 4 - 3 \cdot 2 + 4 = 8 - 6 + 4 = 6\) Der Ergebnisvektor lautet \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Betrags: \(|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7\).

\(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\); \(|\vec{v}| = 7\)

- Was bedeuten die eckigen Klammern für die Reihenfolge deiner Rechnung? - Wie gehst du vor, wenn ein Vektor mit einer Zahl multipliziert wird? - Erinnere dich an die Formel für die Länge eines Vektors im Raum. - Musst du zuerst multiplizieren oder zuerst addieren?

1. Zuerst wird die Vektoraddition innerhalb der Klammer durchgeführt: \(\begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 13 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 24 \end{pmatrix}\). 2. Anschließend erfolgt die skalare Multiplikation mit \(0{,}5\): \(\vec{a} = 0{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 12 \end{pmatrix}\). 3. Der Betrag des Vektors wird über die Wurzel der Summe der Quadrate der Koordinaten berechnet: \(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\).

\(\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 12 \end{pmatrix}\); \(|\vec{a}| = 13\)

- Versuche, den Vektor \(\vec{DE}\) mithilfe eines Umwegs über den Punkt \(C\) auszudrücken. - Wie hängen die Vektoren \(\vec{CA}\), \(\vec{CB}\) und \(\vec{AB}\) in einem Dreieck zusammen? - Was bedeutet es für die Lage zweier Strecken, wenn ihre zugehörigen Vektoren Vielfache voneinander sind?

1. Aufstellen einer Vektorkette für den gesuchten Vektor \(\vec{DE}\) über den Punkt \(C\): \(\vec{DE} = \vec{DC} + \vec{CE}\). 2. Umkehrung des Vektors \(\vec{CD}\) zu \(\vec{DC}\): \(\vec{DC} = -\vec{CD} = -\frac{1}{4} \cdot \vec{CA}\). 3. Einsetzen in die Vektorkette: \(\vec{DE} = -\frac{1}{4} \cdot \vec{CA} + \frac{1}{4} \cdot \vec{CB}\). 4. Ausklammern des gemeinsamen Faktors: \(\vec{DE} = \frac{1}{4} \cdot (\vec{CB} - \vec{CA})\). 5. Anwendung der Differenzregel für Vektoren: Da \(\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}\), folgt \(\vec{CB} - \vec{CA} = \vec{AB}\). 6. Finales Ergebnis: \(\vec{DE} = \frac{1}{4} \cdot \vec{AB}\). 7. Geometrische Interpretation: Die Strecke \(\overline{DE}\) ist parallel zur Seite \(\overline{AB}\) und ihre Länge entspricht genau einem Viertel der Länge von \(\overline{AB}\).

Es gilt \(\vec{DE} = \frac{1}{4} \cdot \vec{AB}\). Geometrisch bedeutet dies, dass die Strecke \(\overline{DE}\) parallel zur Seite \(\overline{AB}\) verläuft und ein Viertel so lang ist wie diese.

- Überlege dir für jede Diagonale einen Weg entlang der Kanten des Spats. - Beachte dabei die Orientierung der Vektoren: Wenn du gegen die Richtung eines Pfeils läufst, musst du ein Minuszeichen setzen. - Nutze aus, dass gegenüberliegende Kanten in einem Spat durch denselben Vektor dargestellt werden (z. B. \(\vec{AD} = \vec{BC}\)). - Fasse beim Addieren der vier Ausdrücke die Koeffizienten der Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) jeweils einzeln zusammen.

1. Bestimmung der Vektoren für die Raumdiagonalen durch Vektoraddition im Spat: \(\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CG} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\) \(\vec{BH} = \vec{BA} + \vec{AD} + \vec{DH} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\) \(\vec{CE} = \vec{CB} + \vec{BA} + \vec{AE} = -\vec{b} - \vec{a} + \vec{c}\) \(\vec{DF} = \vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BF} = -\vec{b} + \vec{a} + \vec{c}\) 2. Berechnung der Summe \(\vec{s}\): \(\vec{s} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + (-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + (-\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) + (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})\) \(\vec{s} = (1 - 1 - 1 + 1) \cdot \vec{a} + (1 + 1 - 1 - 1) \cdot \vec{b} + (1 + 1 + 1 + 1) \cdot \vec{c} = 4 \cdot \vec{c}\) 3. Geometrische Interpretation: Die Summe entspricht dem Vierfachen des Kantenvektors \(\vec{AE}\).

a) \(\vec{AG} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\); \(\vec{BH} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\); \(\vec{CE} = -\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}\); \(\vec{DF} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}\) b) \(\vec{s} = 4 \cdot \vec{c}\). Die Summe der Raumdiagonalen entspricht dem Vierfachen des Kantenvektors \(\vec{AE}\).

- Stelle dir die Punkte als Orte auf einer Landkarte vor. Wie kommst du von einem Punkt zum anderen, wenn du nur die bekannten „Straßen“ (Vektoren) benutzen darfst? - Nutze die Dreiecksregel der Vektoraddition: \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). - Überlege dir für jeden gesuchten Vektor eine Kette von bekannten Vektoren, die am Startpunkt beginnt und am Zielpunkt endet. - Achte auf die Richtung der Pfeile. Wenn du einen Vektor in die entgegengesetzte Richtung durchläufst, musst du sein Vorzeichen ändern.

1. Für \(\vec{KM}\) nutzt man die Vektoraddition über den Punkt \(L\): \(\vec{KM} = \vec{KL} + \vec{LM} = \vec{u} + \vec{v}\). 2. Für \(\vec{NM}\) wählt man den Weg über \(K\) und \(L\): \(\vec{NM} = \vec{NK} + \vec{KL} + \vec{LM} = \vec{w} + \vec{u} + \vec{v}\). 3. Den Vektor \(\vec{KO}\) erhält man durch Addition der Vektoren entlang der Kette \(K \to L \to M \to O\): \(\vec{KO} = \vec{KL} + \vec{LM} + \vec{MO} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{x}\). 4. Für \(\vec{LO}\) nutzt man die Punkte \(L, M\) und \(O\): \(\vec{LO} = \vec{LM} + \vec{MO} = \vec{v} + \vec{x}\). 5. Der Vektor \(\vec{NO}\) ergibt sich aus der Summe aller Teilvektoren von \(N\) über \(K, L, M\) nach \(O\): \(\vec{NO} = \vec{NK} + \vec{KL} + \vec{LM} + \vec{MO} = \vec{w} + \vec{u} + \vec{v} + \vec{x}\).

a) \(\vec{KM} = \vec{u} + \vec{v}\) b) \(\vec{NM} = \vec{w} + \vec{u} + \vec{v}\) c) \(\vec{KO} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{x}\) d) \(\vec{LO} = \vec{v} + \vec{x}\) e) \(\vec{NO} = \vec{w} + \vec{u} + \vec{v} + \vec{x}\)

- Beginne damit, die Vektoren der gegenüberliegenden Seiten zu berechnen. - Wann nennt man zwei Vektoren parallel (kollinear)? - Reicht es für ein Parallelogramm aus, wenn die Seiten nur parallel sind, oder müssen sie noch eine weitere Bedingung erfüllen? - Wenn eine Eigenschaft wie „Parallelogramm“ nicht erfüllt ist, kann dann eine speziellere Form wie „Raute“ vorliegen?

1. Bestimmung der Vektoren für ein Paar gegenüberliegender Seiten: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 4-2 \\ 3-2 \\ 5-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Überprüfung auf Parallelität: Es gilt \(\vec{AB} = 2 \cdot \vec{DC}\). Da die Vektoren kollinear sind, sind die Seiten \(AB\) und \(DC\) parallel. Das Viereck ist somit ein Trapez. 3. Überprüfung auf Parallelogramm: Da \(\vec{AB} \neq \vec{DC}\) (die Seiten sind nicht gleich lang), ist das Viereck kein Parallelogramm. 4. Da es kein Parallelogramm ist, kann es auch keine Raute sein.

Das Viereck \(ABCD\) ist ein Trapez, aber kein Parallelogramm und keine Raute.

- Wie berechnet man allgemein den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten, wenn deren Ortsvektoren bekannt sind? - Was bedeutet es für die Lage zweier Punkte im Raum, wenn ihre Ortsvektoren identisch sind? - Erinnere dich an die zeichnerische Darstellung der Addition zweier Vektoren. Welche Figur entsteht dabei? - Welche Rolle spielt der Koordinatenursprung bei der Berechnung von Mittelpunkten?

1. Der Mittelpunkt einer Strecke berechnet sich aus dem arithmetischen Mittel der Ortsvektoren ihrer Endpunkte. Da \(O\) der Ursprung ist (\(\vec{0}\) ist der Nullvektor), gilt für die Diagonale \(\overline{OB}\): \(\vec{m}_1 = \frac{1}{2} \cdot (\vec{0} + \vec{b}) = \frac{1}{2} \cdot \vec{b}\). Für die Diagonale \(\overline{AC}\) ergibt sich entsprechend: \(\vec{m}_2 = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{c})\). 2. Damit sich die Diagonalen halbieren, müssen ihre Mittelpunkte identisch sein (\(M_1 = M_2\)). Es folgt \(\frac{1}{2} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{c})\). Multiplikation mit \(2\) liefert die Bedingung \(\vec{b} = \vec{a} + \vec{c}\). 3. Die Gleichung \(\vec{b} = \vec{a} + \vec{c}\) bedeutet, dass der Punkt \(B\) der Endpunkt des Summenvektors der beiden Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{c}\) ist. Geometrisch entspricht dies der Definition eines Parallelogramms nach der Parallelogrammregel der Vektoraddition. Das Viereck \(OABC\) ist somit ein Parallelogramm.

1. \(\vec{m}_1 = \frac{1}{2} \cdot \vec{b}\) und \(\vec{m}_2 = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{c})\). 2. Die Bedingung lautet \(\vec{b} = \vec{a} + \vec{c}\). 3. Der Punkt \(B\) ergibt sich durch die Vektoraddition von \(\vec{a}\) und \(\vec{c}\). Das Viereck \(OABC\) ist ein Parallelogramm.

- Ein Vektor lässt sich oft einfacher bestimmen, wenn man ihn in eine Summe von Teilvektoren zerlegt. - Wie lässt sich der Vektor zu einem Mittelpunkt ausdrücken, wenn man den Vektor der gesamten Kante kennt? - Identifiziere, welche Kanten im Quader parallel zueinander verlaufen und somit durch denselben Basisvektor beschrieben werden können.

1. Für \(\vec{DF}\) wählt man den Weg \(D \to A \to B \to F\). Es gilt \(\vec{DF} = \vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BF}\). 2. Mit \(\vec{DA} = -\vec{v}\), \(\vec{AB} = \vec{u}\) und \(\vec{BF} = \vec{w}\) folgt \(\vec{DF} = \vec{u} - \vec{v} + \vec{w}\). 3. Für \(\vec{AM}\) wird der Weg \(A \to E \to F \to M\) gewählt. Es gilt \(\vec{AM} = \vec{AE} + \vec{EF} + \vec{FM}\). 4. Da \(M\) die Mitte von \(FG\) ist, gilt \(\vec{FM} = \frac{1}{2} \cdot \vec{FG} = \frac{1}{2} \cdot \vec{AD} = \frac{1}{2} \cdot \vec{v}\). 5. Mit \(\vec{AE} = \vec{w}\) und \(\vec{EF} = \vec{u}\) ergibt sich \(\vec{AM} = \vec{u} + \frac{1}{2} \cdot \vec{v} + \vec{w}\).

\(\vec{DF} = \vec{u} - \vec{v} + \vec{w}\) \(\vec{AM} = \vec{u} + \frac{1}{2} \cdot \vec{v} + \vec{w}\)

- Verfahre schrittweise und multipliziere zuerst die Zahlen vor den Vektoren in jede Zeile hinein. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem letzten Vektor. - Wie hängen die Koordinaten eines Vektors mit seiner Gesamtlänge zusammen?

1. Durchführung der skalaren Multiplikationen für alle drei Terme: \(3 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}\), \(4 \cdot \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 0{,}5 \\ 0{,}75 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Zusammenfassen der Vektoren durch Addition und Subtraktion der entsprechenden Komponenten: \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -3 + 6 - 2 \\ 6 + 0 - 2 \\ 3 + 8 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung der Länge (Betrag) des Vektors: \(|\vec{w}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 8^2} = \sqrt{1 + 16 + 64} = \sqrt{81} = 9\).

\(\vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}\); \(|\vec{w}| = 9\)

- Wie kannst du den Weg zum Punkt \(T\) über den Punkt \(A\) beschreiben? - Erinnere dich daran, wie man einen Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten durch deren Ortsvektoren ausdrückt. - Was bedeutet ein Teilverhältnis von \(1:3\) für die Länge der Teilstrecke im Vergleich zur Gesamtstrecke? - Achte beim Zusammenfassen der Vektoren auf das Distributivgesetz.

1. Nach der Vektoraddition gilt \(\vec{OT} = \vec{OA} + \vec{AT}\). 2. Einsetzen der Bedingung \(\vec{AT} = k \cdot \vec{AB}\) ergibt \(\vec{OT} = \vec{OA} + k \cdot \vec{AB}\). 3. Ersetzen von \(\vec{AB}\) durch \(\vec{OB} - \vec{OA}\) führt zu \(\vec{OT} = \vec{OA} + k \cdot (\vec{OB} - \vec{OA})\). 4. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt \(\vec{OT} = \vec{OA} + k \cdot \vec{OB} - k \cdot \vec{OA} = (1-k) \cdot \vec{OA} + k \cdot \vec{OB}\). 5. Für das Teilverhältnis \(1:3\) gilt \(k = \frac{1}{1+3} = 0{,}25\). 6. Berechnung des Ortsvektors: \(\vec{OT} = 0{,}75 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 0{,}25 \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ -0{,}75 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 1{,}75 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\). 7. Die Koordinaten des Punktes sind \(T(3 \mid 1 \mid 3)\).

a) Beweis durch \(\vec{OT} = \vec{OA} + k \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) = (1-k) \cdot \vec{OA} + k \cdot \vec{OB}\). b) Mit \(k = \frac{1}{4}\) ergibt sich \(T(3 \mid 1 \mid 3)\).

- Wie findet man den Vektor, der genau in der Mitte zwischen zwei anderen Vektoren liegt? - Nutze die Eigenschaft der Vektoraddition, um den Punkt \(S\) ausgehend vom Ursprung über \(A\) zu erreichen. - Welchen Anteil der gesamten Strecke \(AM_a\) macht die Teilstrecke \(AS\) aus, wenn das Verhältnis \(2:1\) ist? - Setze den Ausdruck für den Mittelpunkt in deine Gleichung für den Schwerpunkt ein und fasse zusammen.

1. Da \(M_a\) der Mittelpunkt von \(\overline{BC}\) ist, gilt \(\vec{OM_a} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{OB} + \vec{OC})\). 2. Das Teilverhältnis \(2:1\) auf \(\overline{AM_a}\) bedeutet \(\vec{AS} = \frac{2}{3} \cdot \vec{AM_a}\). 3. Darstellung über Ortsvektoren: \(\vec{OS} = \vec{OA} + \vec{AS} = \vec{OA} + \frac{2}{3} \cdot (\vec{OM_a} - \vec{OA})\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(\vec{OS} = \vec{OA} + \frac{2}{3} \cdot \vec{OM_a} - \frac{2}{3} \cdot \vec{OA} = \frac{1}{3} \cdot \vec{OA} + \frac{2}{3} \cdot \vec{OM_a}\). 5. Einsetzen von \(\vec{OM_a}\): \(\vec{OS} = \frac{1}{3} \cdot \vec{OA} + \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot (\vec{OB} + \vec{OC})\right)\). 6. Finales Zusammenfassen: \(\vec{OS} = \frac{1}{3} \cdot \vec{OA} + \frac{1}{3} \cdot \vec{OB} + \frac{1}{3} \cdot \vec{OC} = \frac{1}{3} \cdot (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})\).

a) \(\vec{OM_a} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{OB} + \vec{OC})\) b) Herleitung über \(\vec{OS} = \vec{OA} + \frac{2}{3} \cdot (\vec{OM_a} - \vec{OA})\) führt zur Zielformel \(\vec{OS} = \frac{1}{3} \cdot (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})\).

- Schau dir die beiden Vektoren genau an – fällt dir eine Gemeinsamkeit auf? - Kannst du die Rechnung vereinfachen, indem du die Zahlen vor den Vektoren zuerst addierst? - Wie berechnet man den Betrag eines Vektors, der negative Koordinaten besitzt? - Gibt es eine Regel, wie man Faktoren vor einem gemeinsamen Ausdruck zusammenfasst?

1. Durch Zusammenfassen der Skalare vor dem identischen Vektor lässt sich die Rechnung vereinfachen: \(\vec{b} = (1{,}4 + 0{,}6) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -14 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -14 \end{pmatrix}\). 2. Die Multiplikation der Koordinaten mit dem Skalar \(2\) ergibt den Vektor \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ -28 \end{pmatrix}\). 3. Zur Bestimmung des Betrags wird die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate gezogen: \(|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 10^2 + (-28)^2} = \sqrt{16 + 100 + 784} = \sqrt{900} = 30\).

\(\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ -28 \end{pmatrix}\); \(|\vec{b}| = 30\)

- Wie lässt sich der Schwerpunkt eines Dreiecks durch die Ortsvektoren seiner Eckpunkte ausdrücken? - Überlege dir, wie man einen Punkt auf einer Strecke vektoriell darstellt, wenn das Teilungsverhältnis bekannt ist. - Wie berechnet man den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten mithilfe von Vektoren? - Zeige die Übereinstimmung der Punkte, indem du beweist, dass ihre Ortsvektoren identisch sind.

1. Der Schwerpunkt \(G\) der Grundfläche hat den Ortsvektor \(\vec{OG} = \frac{1}{3} \cdot (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})\). Da \(S\) die Strecke \(\overline{DG}\) im Verhältnis \(3:1\) teilt, gilt \(\vec{OS} = \vec{OD} + \frac{3}{4} \cdot \vec{DG} = \vec{OD} + \frac{3}{4} \cdot (\vec{OG} - \vec{OD})\). Einsetzen und Vereinfachen ergibt \(\vec{OS} = \frac{1}{4} \cdot (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})\). 2. Die Ortsvektoren der Kantenmittelpunkte sind \(\vec{OM_{AB}} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{OA} + \vec{OB})\) und \(\vec{OM_{CD}} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{OC} + \vec{OD})\). Der Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(\overline{M_{AB}M_{CD}}\) hat den Ortsvektor \(\vec{OM} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{OM_{AB}} + \vec{OM_{CD}}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} \cdot \vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{OB} + \frac{1}{2} \cdot \vec{OC} + \frac{1}{2} \cdot \vec{OD}) = \frac{1}{4} \cdot (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})\). Da \(\vec{OM} = \vec{OS}\) gilt, ist \(S\) der Mittelpunkt dieser Strecke.

1. \(\vec{OS} = \frac{1}{4} \cdot (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})\) 2. Der Nachweis erfolgt durch den Vergleich der berechneten Ortsvektoren von \(S\) und dem Mittelpunkt der Strecke \(\overline{M_{AB}M_{CD}}\), die beide \(\frac{1}{4} \cdot (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})\) ergeben.

- Stell dir vor, du möchtest von \(B\) nach \(C\) gelangen, darfst aber nur die Wege benutzen, die über den Punkt \(A\) führen. - Welchen Vektor musst du „rückwärts“ gehen, um vom Punkt \(B\) zum gemeinsamen Startpunkt \(A\) zu kommen? - In welche Richtung zeigt ein Differenzvektor \(\vec{v} - \vec{u}\)? Schau dir die Reihenfolge der Buchstaben genau an.

1. Berechnung von \(\vec{BC}\): Der Weg von \(B\) nach \(C\) über den Punkt \(A\) entspricht \(\vec{BA} + \vec{AC}\). Da \(\vec{BA} = -\vec{u}\), folgt \(\vec{BC} = -\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} - \vec{u}\). 2. Berechnung von \(\vec{CD}\): Der Weg von \(C\) nach \(D\) über \(A\) ist \(\vec{CA} + \vec{AD}\). Mit \(\vec{CA} = -\vec{v}\) ergibt sich \(\vec{CD} = \vec{w} - \vec{v}\). 3. Berechnung von \(\vec{DB}\): Der Weg von \(D\) nach \(B\) über \(A\) ist \(\vec{DA} + \vec{AB}\). Mit \(\vec{DA} = -\vec{w}\) ergibt sich \(\vec{DB} = \vec{u} - \vec{w}\). 4. Geometrische Deutung: Die Differenz \(\vec{b} - \vec{a}\) entspricht dem Vektor, der an der Spitze von \(\vec{a}\) (Subtrahend) beginnt und an der Spitze von \(\vec{b}\) (Minuend) endet, sofern beide Vektoren denselben Fußpunkt haben.

a) \(\vec{BC} = \vec{v} - \vec{u}\); \(\vec{CD} = \vec{w} - \vec{v}\); \(\vec{DB} = \vec{u} - \vec{w}\) b) Der Differenzvektor \(\vec{d} = \vec{b} - \vec{a}\) ist der Vektor, der die Spitze von \(\vec{a}\) mit der Spitze von \(\vec{b}\) verbindet. Er zeigt also immer zum Minuenden.

- Gibt es verschiedene Wege von \(M\) nach \(N\), die über die Eckpunkte des Vierecks führen? - Was passiert, wenn du zwei verschiedene Vektorketten für denselben Vektor addierst? - Wie kannst du die Tatsache nutzen, dass \(M\) und \(N\) genau in der Mitte der jeweiligen Seiten liegen?

1. Ausdruck von \(\vec{MN}\) durch einen Weg über die Eckpunkte \(A\) und \(D\): \(\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DN}\). 2. Ausdruck von \(\vec{MN}\) durch einen Weg über die Eckpunkte \(B\) und \(C\): \(\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CN}\). 3. Addition der beiden Gleichungen: \(2 \cdot \vec{MN} = (\vec{MA} + \vec{MB}) + \vec{AD} + \vec{BC} + (\vec{DN} + \vec{CN})\). 4. Verwendung der Mittelpunktseigenschaft: Da \(M\) Mittelpunkt von \(AB\) ist, gilt \(\vec{MA} + \vec{MB} = \vec{0}\). Analog gilt für den Mittelpunkt \(N\) der Seite \(CD\), dass \(\vec{DN} + \vec{CN} = \vec{0}\). 5. Es verbleibt \(2 \cdot \vec{MN} = \vec{AD} + \vec{BC}\), was durch Division mit 2 zur gesuchten Formel führt.

Durch Addition der beiden Wege \(\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DN}\) und \(\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CN}\) erhält man \(2 \cdot \vec{MN} = \vec{AD} + \vec{BC} + (\vec{MA} + \vec{MB}) + (\vec{DN} + \vec{CN})\). Da \(M\) und \(N\) Mittelpunkte sind, verschwinden die Terme in Klammern, sodass \(\vec{MN} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{AD} + \vec{BC})\) folgt.

- Stelle dir das Prisma bildlich vor oder skizziere die Punkte: \(A, B, C\) unten und \(D, E, F\) oben. - Nutze aus, dass die Vektoren der parallelen Seitenkanten alle gleich \(\vec{w}\) sind (z. B. \(\vec{AD} = \vec{BE} = \vec{CF} = \vec{w}\)). - Denk daran, dass man einen Vektor zwischen zwei Punkten der Grundfläche wie \(\vec{BC}\) immer durch die aufspannenden Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ausdrücken kann. - Achte beim Addieren der Vektoren genau auf die Vorzeichen, wenn du Vektoren umkehrst.

1. Bestimmung der Diagonalen in Teil a): \(\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE} = \vec{u} + \vec{w}\) \(\vec{BF} = \vec{BC} + \vec{CF} = (\vec{AC} - \vec{AB}) + \vec{CF} = \vec{v} - \vec{u} + \vec{w}\) \(\vec{CD} = \vec{CA} + \vec{AD} = -\vec{v} + \vec{w}\) 2. Summenbildung für Teil b): \(\vec{AE} + \vec{BF} + \vec{CD} = (\vec{u} + \vec{w}) + (\vec{v} - \vec{u} + \vec{w}) + (-\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} - \vec{u}) + (\vec{v} - \vec{v}) + (1 + 1 + 1) \cdot \vec{w} = 3 \cdot \vec{w}\). 3. Bestimmung der restlichen Diagonalen für Teil c): \(\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = -\vec{u} + \vec{w}\) \(\vec{CE} = \vec{CB} + \vec{BE} = (\vec{AB} - \vec{AC}) + \vec{BE} = \vec{u} - \vec{v} + \vec{w}\) \(\vec{AF} = \vec{AC} + \vec{CF} = \vec{v} + \vec{w}\) 4. Summenbildung für Teil c): \(\vec{BD} + \vec{CE} + \vec{AF} = (-\vec{u} + \vec{w}) + (\vec{u} - \vec{v} + \vec{w}) + (\vec{v} + \vec{w}) = 3 \cdot \vec{w}\). Die Summen sind identisch.

a) \(\vec{AE} = \vec{u} + \vec{w}\); \(\vec{BF} = -\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}\); \(\vec{CD} = -\vec{v} + \vec{w}\) b) Nachweis durch Addition: \(\vec{u} + \vec{w} - \vec{u} + \vec{v} + \vec{w} - \vec{v} + \vec{w} = 3 \cdot \vec{w}\) c) Die Summe der anderen Diagonalen \(\vec{BD} + \vec{CE} + \vec{AF}\) ergibt ebenfalls \(3 \cdot \vec{w}\).

- Wie berechnet man den Mittelpunkt einer Strecke zwischen zwei Punkten mit Vektoren? - Erinnere dich an die Definition eines Parallelogramms über seine Seitenvektoren. - Überlege, welche geometrische Bedeutung der Vektor \(\vec{c} - \vec{a}\) für das ursprüngliche Viereck hat. - Was bedeutet es für eine Figur, wenn ein Seitenvektor den Wert Null hat?

1. Die Ortsvektoren der Mittelpunkte sind \(\vec{p} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a}+\vec{b})\) und \(\vec{q} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{b}+\vec{c})\). Der Verbindungsvektor ist \(\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \frac{1}{2} \cdot \vec{b} + \frac{1}{2} \cdot \vec{c} - \frac{1}{2} \cdot \vec{a} - \frac{1}{2} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{c} - \vec{a})\). 2. Analog gilt für die gegenüberliegende Seite \(\vec{s} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a}+\vec{d})\) und \(\vec{r} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{c}+\vec{d})\). Der Vektor \(\vec{SR} = \vec{r} - \vec{s} = \frac{1}{2} \cdot \vec{c} + \frac{1}{2} \cdot \vec{d} - \frac{1}{2} \cdot \vec{a} - \frac{1}{2} \cdot \vec{d} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{c} - \vec{a})\). Da \(\vec{PQ} = \vec{SR}\) gilt, sind die Seiten parallel und gleich lang, das Viereck ist somit ein Parallelogramm. 3. Die Punkte \(P\), \(Q\) und \(S\) liegen stets in mindestens einer gemeinsamen Ebene. Aus \(\vec{SR} = \vec{PQ}\) folgt \(\vec{OR} = \vec{OS} + \vec{PQ}\), also liegt auch \(R\) in dieser Ebene. Sind die maßgeblichen Vektoren linear abhängig, ist die Figur entsprechend entartet, aber weiterhin eben. 4. Wenn \(A = C\), dann ist \(\vec{a} = \vec{c}\) und somit \(\vec{PQ} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} - \vec{a}) = \vec{0}\). Dies bedeutet \(P = Q\) und \(S = R\). Das Viereck entartet damit zu höchstens einer Strecke \(PS\); falls zusätzlich \(P = S\) gilt, entartet es zu einem Punkt.

1. \(\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{b}+\vec{c}) - \frac{1}{2} \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = \frac{1}{2} \cdot (\vec{c}-\vec{a})\). 2. \(\vec{SR} = \vec{r} - \vec{s} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{c}+\vec{d}) - \frac{1}{2} \cdot (\vec{a}+\vec{d}) = \frac{1}{2} \cdot (\vec{c}-\vec{a})\). Da \(\vec{PQ} = \vec{SR}\), ist \(PQRS\) ein Parallelogramm. 3. Die vier Punkte liegen in einer gemeinsamen Ebene; bei linear abhängigen Seitenvektoren ist das Parallelogramm entartet. 4. Das Viereck entartet zu höchstens einer Strecke (\(P=Q\) und \(S=R\)); fallen auch \(P\) und \(S\) zusammen, entsteht ein Punkt.

- Nutze die Beziehung zwischen den Seiten eines Mittelpunktsvierecks und den Diagonalen des umschließenden Vierecks. - Wie berechnet man die Länge (den Betrag) eines Vektors im Raum? - Welche Eigenschaften muss ein Parallelogramm erfüllen, um eine Raute zu sein?

1. Mit den Mittelpunkten \(\vec{e} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a}+\vec{b})\) und \(\vec{f} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{b}+\vec{c})\) folgt \(\vec{EF} = \vec{f} - \vec{e} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}\). Analog gilt für die gegenüberliegende Seite \(\vec{HG} = \vec{g} - \vec{h} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{c}+\vec{d}) - \frac{1}{2} \cdot (\vec{a}+\vec{d}) = \frac{1}{2} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}\). 2. Die Längen der Seiten des Mittelpunktsvierecks entsprechen der Hälfte der Längen der Diagonalen des Vierecks \(ABCD\). Es gilt \(|\vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 0^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\) und \(|\vec{BD}| = \sqrt{0^2 + 6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\). Die Seitenlängen sind somit \(|\vec{EF}| = |\vec{GH}| = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\) und \(|\vec{FG}| = |\vec{HE}| = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\). 3. Der Umfang berechnet sich zu \(U = 5 + 5 + 5 + 5 = 20\). Da alle vier Seiten des Parallelogramms gleich lang sind (\(5\,\text{LE}\)), handelt es sich um eine Raute (Rhombus).

1. \(\vec{EF} = \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}\) und \(\vec{HG} = \frac{1}{2} \cdot \vec{AC}\). 2. Die Seitenlängen betragen jeweils \(5\,\text{LE}\) (Längeneinheiten), da \(|\vec{AC}| = 10\) und \(|\vec{BD}| = 10\). 3. Der Umfang beträgt \(20\,\text{LE}\). Da alle Seiten gleich lang sind, ist das Mittelpunktsviereck eine Raute.

- Nutze die Rechenregeln für Vektoren (Addition und Skalarmultiplikation) analog zu den Regeln der Algebra. - Fasse alle Terme mit \(\vec{a}\) und alle Terme mit \(\vec{b}\) jeweils getrennt zusammen. - Was musst du tun, um \(\vec{x}\) alleine auf einer Seite stehen zu haben? - Vergiss nicht, Brüche am Ende so weit wie möglich zu kürzen.

1. Auflösen aller Klammern mittels Distributivgesetz: \(6 \cdot \vec{x} - 3 \cdot \vec{a} - 2 \cdot \vec{b} - 2 \cdot \vec{x} = 5 \cdot \vec{a} - 5 \cdot \vec{x} + 4 \cdot \vec{b}\) 2. Zusammenfassen gleichartiger Terme auf der linken Seite: \(4 \cdot \vec{x} - 3 \cdot \vec{a} - 2 \cdot \vec{b} = -5 \cdot \vec{x} + 5 \cdot \vec{a} + 4 \cdot \vec{b}\) 3. Alle Terme mit \(\vec{x}\) auf die linke Seite und alle Terme mit \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) auf die rechte Seite bringen: \(9 \cdot \vec{x} = 8 \cdot \vec{a} + 6 \cdot \vec{b}\) 4. Division durch den Skalar \(9\) und Kürzen der Brüche: \(\vec{x} = \frac{8}{9} \cdot \vec{a} + \frac{6}{9} \cdot \vec{b} = \frac{8}{9} \cdot \vec{a} + \frac{2}{3} \cdot \vec{b}\)

\(\vec{x} = \frac{8}{9} \cdot \vec{a} + \frac{2}{3} \cdot \vec{b}\)

- Welche besonderen Eigenschaften haben die Vektoren der gegenüberliegenden Seiten in einem Parallelogramm? - Wie hängen die Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{BA}\) zusammen? - Wo liegt der Schnittpunkt der Diagonalen in einem Parallelogramm in Bezug auf die Eckpunkte? - Suche dir für jeden Vektor einen geschlossenen Weg aus den gegebenen Basisvektoren.

1. Da \(ABCD\) ein Parallelogramm ist, gilt \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}\). 2. In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang, daher ist \(\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{b}\). 3. Den Vektor \(\vec{BS}\) berechnet man über den Umweg \(\vec{BA} + \vec{AS} = -\vec{a} + \vec{s}\). 4. Für \(\vec{CS}\) nutzt man den Weg \(\vec{CB} + \vec{BA} + \vec{AS} = -\vec{b} - \vec{a} + \vec{s}\). 5. Der Diagonalenschnittpunkt \(M\) halbiert die Diagonale \(AC\), also ist \(\vec{AM} = \frac{1}{2} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{b})\). Damit folgt \(\vec{MS} = \vec{MA} + \vec{AS} = -\frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{s} = \vec{s} - \frac{1}{2} \cdot \vec{a} - \frac{1}{2} \cdot \vec{b}\).

a) \(\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}\) b) \(\vec{AD} = \vec{b}\) c) \(\vec{BS} = -\vec{a} + \vec{s}\) d) \(\vec{CS} = -\vec{a} - \vec{b} + \vec{s}\) e) \(\vec{MS} = \vec{s} - \frac{1}{2} \cdot \vec{a} - \frac{1}{2} \cdot \vec{b}\)

- Was weißt du über die Seitenvektoren in einem Parallelogramm? - Wie hängen die Diagonalen eines Vierecks mit der Eigenschaft eines Parallelogramms zusammen? - Wenn eine Strecke im Verhältnis \(2:1\) geteilt wird, in wie viele gleich große Teilstücke wird sie dann insgesamt zerlegt? - Wie kannst du den Ortsvektor eines Punktes auf einer Strecke mithilfe eines Startpunktes und eines Bruchteils des Richtungsvektors ausdrücken?

1. Ein Viereck, dessen Diagonalen einander halbieren, ist ein Parallelogramm. Es muss also gelten: \(\vec{PQ} = \vec{SR}\). 2. Berechnung des Vektors \(\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 6-2 \\ 3-1 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung von \(S\) über \(\vec{s} = \vec{r} - \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}\). Somit ist \(S(1|8|2)\). 4. Das Teilverhältnis \(2:1\) bedeutet, dass der Punkt \(T\) die Strecke \(PR\) in drei gleiche Teile teilt und zwei Teile von \(P\) entfernt liegt: \(\vec{PT} = \frac{2}{3} \cdot \vec{PR}\). 5. Berechnung von \(\vec{PR} = \vec{r} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ -3 \end{pmatrix}\). 6. Berechnung des Ortsvektors \(\vec{t} = \vec{p} + \frac{2}{3} \cdot \vec{PR} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}\). Somit ist \(T(4|7|1)\).

a) \(S(1|8|2)\) b) \(T(4|7|1)\)

- Wie kannst du die Parallelität und das Längenverhältnis zweier Strecken mithilfe von Vektoren ausdrücken? - Achte bei der Trapezbeschriftung \(ABCD\) darauf, welche Vektoren in die gleiche Richtung zeigen müssen. - Wie berechnet man den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten? - Wann liegt ein Punkt \(Z\) genau auf der Strecke zwischen zwei Punkten \(M\) und \(C\)? Welche Bedingung muss für die Vektoren \(\vec{MZ}\) und \(\vec{MC}\) erfüllt sein?

1. Aus der Parallelität und dem Längenverhältnis folgt für das Trapez \(ABCD\), dass \(\vec{DC} = \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}\) gelten muss. 2. Berechnung von \(\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung von \(\vec{DC} = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). 4. Berechnung des Punktes \(D\) über \(\vec{d} = \vec{c} - \vec{DC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ 3 \end{pmatrix}\). Somit ist \(D(1|8|3)\). 5. Berechnung des Mittelpunktes \(M\) von \(AB\): \(\vec{m} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). 6. Prüfung der Lage von \(Z\): Berechne \(\vec{MZ} = \vec{z} - \vec{m} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -0{,}5 \end{pmatrix}\) und \(\vec{MC} = \vec{c} - \vec{m} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix}\). 7. Da \(\vec{MZ} = 0{,}5 \cdot \vec{MC}\) gilt und der Faktor \(0{,}5\) zwischen \(0\) und \(1\) liegt, befindet sich \(Z\) auf der Strecke \(MC\).

a) \(D(1|8|3)\) b) Ja, der Punkt \(Z\) liegt auf der Strecke \(MC\).

- Überlege dir zuerst, welche Bedingungen für die Vektoren der Seiten bei den verschiedenen Vierecksarten gelten müssen. - Wie hängen die Vektoren gegenüberliegender Seiten bei einem Parallelogramm zusammen? - Was musst du über die Längen der Vektoren wissen, um eine Raute nachzuweisen? - Denke an die Hierarchie der Vierecke: Ist jedes Parallelogramm auch ein Trapez?

1. Berechnung der Verbindungsvektoren gegenüberliegender Seiten: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 3-1 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 6-4 \\ 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Da \(\vec{AB} = \vec{DC}\), sind die Seiten \(AB\) und \(DC\) parallel und gleich lang. Somit ist das Viereck ein Parallelogramm und folglich auch ein Trapez. 3. Prüfung auf eine Raute durch Vergleich benachbarter Seitenlängen: \(|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{14}\) und \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 4-5 \\ 6-3 \\ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Die Länge ist \(|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{14}\). 4. Da alle Seiten gleich lang sind (\(|\vec{AB}| = |\vec{BC}|\)), handelt es sich um eine Raute.

Das Viereck \(ABCD\) ist ein Trapez, ein Parallelogramm und eine Raute.

- Wie hängen die Ortsvektoren der Eckpunkte eines Dreiecks mit dem Ortsvektor des Schwerpunkts zusammen? - Erinnere dich an die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke zwischen zwei Punkten. - Was bedeutet ein Teilungsverhältnis von \(2:1\) für die beteiligten Vektoren auf einer Geraden? - Wie kannst du zeigen, dass zwei Vektoren parallel sind und in einem bestimmten Längenverhältnis stehen?

1. Berechnung von \(C\): Aus der Schwerpunktsformel \(\vec{s} = \frac{1}{3} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})\) folgt \(\vec{c} = 3 \cdot \vec{s} - \vec{a} - \vec{b}\). Einsetzen der Werte ergibt \(\vec{c} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 2 + 4 \\ 6 - 5 - 1 \\ 6 + 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(C(5|0|4)\). 2. Mittelpunkt \(M_c\): \(\vec{m_c} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2} \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Teilungsverhältnis prüfen: Berechne die Vektoren \(\vec{CS} = \vec{s} - \vec{c} = \begin{pmatrix} 1-5 \\ 2-0 \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{SM_c} = \vec{m_c} - \vec{s} = \begin{pmatrix} -1-1 \\ 3-2 \\ 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{CS} = 2 \cdot \vec{SM_c}\), womit \(S\) die Strecke \(CM_c\) im Verhältnis \(2:1\) teilt.

a) \(C(5|0|4)\) b) \(\vec{m_c} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) c) Da \(\vec{CS} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{SM_c} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) gilt, ist \(\vec{CS} = 2 \cdot \vec{SM_c}\). Damit teilt \(S\) die Strecke \(CM_c\) im Verhältnis \(2:1\).

- Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei Punkten? - Nutze die Mittelpunktsformel für die Ortsvektoren. - Vergleiche die Komponenten der berechneten Vektoren, um ein Vielfaches zu finden. - Für den allgemeinen Beweis: Ersetze die Ortsvektoren der Mittelpunkte durch die Ausdrücke der Eckpunktvektoren und vereinfache den Term.

1. Seitenvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 7-3 \\ 5-1 \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 9-1 \\ 6-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Mittelpunkte: \(\vec{m_c} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{m_b} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{c}) = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix}\). 3. Vektor \(\vec{M_c M_b} = \vec{m_b} - \vec{m_c} = \begin{pmatrix} 2-5 \\ 5-3 \\ 5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der Seitenvektor \(\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 1-7 \\ 9-5 \\ 6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{BC} = 2 \cdot \vec{M_c M_b}\). 4. Allgemeiner Beweis: \(\vec{M_c M_b} = \vec{m_b} - \vec{m_c} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{c}) - \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2} \cdot \vec{a} + \frac{1}{2} \cdot \vec{c} - \frac{1}{2} \cdot \vec{a} - \frac{1}{2} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}\).

a) \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}\) b) \(M_c(5|3|3)\), \(M_b(2|5|5)\) c) \(\vec{M_c M_b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{M_c M_b} = \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}\). d) Der Beweis erfolgt über \(\vec{M_c M_b} = \vec{m_b} - \vec{m_c} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a}+\vec{c}) - \frac{1}{2} \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = \frac{1}{2} \cdot (\vec{c}-\vec{b}) = \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}\).

- Wie drückt man einen Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten durch deren Ortsvektoren aus? - Versuche, die gegebene Gleichung so umzuformen, dass auf einer Seite nur Terme stehen, die einen Seitenvektor beschreiben. - Überlege, was die Gleichheit der Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{DC}\) für die Parallelität und die Länge der Seiten bedeutet. - Welche Eigenschaft der Diagonalen ist charakteristisch für ein Parallelogramm?

1. Der Vektor \(\vec{AB}\) ist gegeben durch \(\vec{b} - \vec{a}\), der Vektor \(\vec{DC}\) durch \(\vec{c} - \vec{d}\). Aus der Voraussetzung \(\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}\) folgt durch Subtraktion von \(\vec{a}\) und \(\vec{d}\) auf beiden Seiten direkt \(\vec{c} - \vec{d} = \vec{b} - \vec{a}\). Somit gilt \(\vec{DC} = \vec{AB}\). 2. Der Mittelpunkt der Diagonale \(\overline{AC}\) ist \(\vec{m}_{AC} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{c})\). Der Mittelpunkt der Diagonale \(\overline{BD}\) ist \(\vec{m}_{BD} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{b} + \vec{d})\). Gilt \(\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}\), so folgt nach Multiplikation mit \(\frac{1}{2}\) unmittelbar \(\vec{m}_{AC} = \vec{m}_{BD}\). Die Diagonalen haben also denselben Mittelpunkt und halbieren einander. 3. Ein möglicher Lehrsatz lautet: Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn sich seine Diagonalen gegenseitig halbieren. Dies ist äquivalent dazu, dass gegenüberliegende Seitenvektoren (wie \(\vec{AB}\) und \(\vec{DC}\)) identisch sind.

1. Durch Umformen von \(\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}\) zu \(\vec{b} - \vec{a} = \vec{c} - \vec{d}\) folgt \(\vec{AB} = \vec{DC}\). 2. Da \(\frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{c}) = \frac{1}{2} \cdot (\vec{b} + \vec{d})\), sind die Mittelpunkte der Diagonalen identisch. 3. Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn sich seine Diagonalen gegenseitig halbieren.

- Ersetze alle Verbindungsvektoren durch Differenzen von Ortsvektoren bezüglich eines Ursprungs \(O\). - Versuche, die resultierende Formel so umzustrukturieren, dass ein Teil der Summe einen Punkt auf einer Dreiecksseite darstellt. - Achte auf die Summe der Koeffizienten bei Linearkombinationen; wenn sie \(1\) ergibt, liegt der Punkt auf der Verbindungsgeraden. - Das Teilungsverhältnis lässt sich direkt aus den Koeffizienten der Linearkombination ablesen.

1. Die Gleichung wird durch \(\vec{PX} = \vec{OX} - \vec{OP}\) ersetzt: \(3(\vec{OA} - \vec{OP}) + 2(\vec{OB} - \vec{OP}) + (\vec{OC} - \vec{OP}) = \vec{0}\). Zusammenfassen ergibt \(3 \cdot \vec{OA} + 2 \cdot \vec{OB} + \vec{OC} - 6 \cdot \vec{OP} = \vec{0}\). Daraus folgt \(\vec{OP} = \frac{3 \cdot \vec{OA} + 2 \cdot \vec{OB} + \vec{OC}}{6} = \frac{1}{2} \cdot \vec{OA} + \frac{1}{3} \cdot \vec{OB} + \frac{1}{6} \cdot \vec{OC}\). 2. Um die Lage auf \(\overline{AM}\) zu zeigen, wird \(\vec{OP}\) umgeformt zu \(\vec{OP} = \frac{3 \cdot \vec{OA} + 3 \cdot (\frac{2 \cdot \vec{OB} + \vec{OC}}{3})}{6} = \frac{1}{2} \cdot \vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3} \cdot \vec{OB} + \frac{1}{3} \cdot \vec{OC})\). Setze \(\vec{OM} = \frac{2}{3} \cdot \vec{OB} + \frac{1}{3} \cdot \vec{OC}\). Da die Summe der Koeffizienten \(\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1\) ist, liegt \(M\) auf \(\overline{BC}\). \(M\) teilt \(\overline{BC}\) im Verhältnis \(1:2\) (Abstand zu \(B\) ist \(\frac{1}{3}\) der Gesamtlänge). Da \(\vec{OP} = \frac{1}{2} \cdot \vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{OM}\), ist \(P\) der Mittelpunkt von \(\overline{AM}\) und teilt diese somit im Verhältnis \(1:1\).

1. \(\vec{OP} = \frac{1}{2} \cdot \vec{OA} + \frac{1}{3} \cdot \vec{OB} + \frac{1}{6} \cdot \vec{OC}\) 2. \(M\) teilt \(\overline{BC}\) im Verhältnis \(1:2\); \(P\) teilt \(\overline{AM}\) im Verhältnis \(1:1\).