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- Überlege dir, wie du von einem Punkt zum anderen gelangst, indem du nur entlang der bekannten Kanten läufst. - Achte darauf, ob du eine Kante in ihrer vorgegebenen Richtung oder in der Gegenrichtung durchläufst. - In einem Spat sind gegenüberliegende Kanten parallel und gleich lang, sie entsprechen also demselben Vektor.

1. Zur Bestimmung von \(\vec{HB}\) wird ein Weg entlang der Kanten von \(H\) nach \(B\) gewählt: \(\vec{HB} = \vec{HD} + \vec{DA} + \vec{AB}\). 2. Da \(\vec{HD} = -\vec{AE} = -\vec{c}\), \(\vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{b}\) und \(\vec{AB} = \vec{a}\), ergibt sich \(\vec{HB} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}\). 3. Zur Bestimmung von \(\vec{EG}\) wird der Weg über die Fläche \(EFGH\) gewählt: \(\vec{EG} = \vec{EF} + \vec{FG}\). 4. Da \(\vec{EF} = \vec{AB} = \vec{a}\) und \(\vec{FG} = \vec{AD} = \vec{b}\), folgt \(\vec{EG} = \vec{a} + \vec{b}\).

\(\vec{HB} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}\) \(\vec{EG} = \vec{a} + \vec{b}\)

- Kannst du die Rechnung für jede Koordinate (x, y, z) einzeln durchführen? - Worauf musst du beim Subtrahieren eines Vektors mit negativen Einträgen achten? - Erinnerst du dich an die Formel für die Länge eines Vektors im dreidimensionalen Raum?

1. Berechnung der Komponenten durch skalare Multiplikation und anschließende Addition/Subtraktion: \(x = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 3 = 2 - 3 + 3 = 2\) \(y = 2 \cdot 0 - 3 \cdot (-1) + 0 = 0 + 3 + 0 = 3\) \(z = 2 \cdot 4 - 3 \cdot 2 + 4 = 8 - 6 + 4 = 6\) Der Ergebnisvektor lautet \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Betrags: \(|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7\).

\(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}\); \(|\vec{v}| = 7\)

- Was bedeuten die eckigen Klammern für die Reihenfolge deiner Rechnung? - Wie gehst du vor, wenn ein Vektor mit einer Zahl multipliziert wird? - Erinnere dich an die Formel für die Länge eines Vektors im Raum. - Musst du zuerst multiplizieren oder zuerst addieren?

1. Zuerst wird die Vektoraddition innerhalb der Klammer durchgeführt: \(\begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 13 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 24 \end{pmatrix}\). 2. Anschließend erfolgt die skalare Multiplikation mit \(0{,}5\): \(\vec{a} = 0{,}5 \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 12 \end{pmatrix}\). 3. Der Betrag des Vektors wird über die Wurzel der Summe der Quadrate der Koordinaten berechnet: \(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\).

\(\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 12 \end{pmatrix}\); \(|\vec{a}| = 13\)

- Ein Vektor lässt sich oft einfacher bestimmen, wenn man ihn in eine Summe von Teilvektoren zerlegt. - Wie lässt sich der Vektor zu einem Mittelpunkt ausdrücken, wenn man den Vektor der gesamten Kante kennt? - Identifiziere, welche Kanten im Quader parallel zueinander verlaufen und somit durch denselben Basisvektor beschrieben werden können.

1. Für \(\vec{DF}\) wählt man den Weg \(D \to A \to B \to F\). Es gilt \(\vec{DF} = \vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BF}\). 2. Mit \(\vec{DA} = -\vec{v}\), \(\vec{AB} = \vec{u}\) und \(\vec{BF} = \vec{w}\) folgt \(\vec{DF} = \vec{u} - \vec{v} + \vec{w}\). 3. Für \(\vec{AM}\) wird der Weg \(A \to E \to F \to M\) gewählt. Es gilt \(\vec{AM} = \vec{AE} + \vec{EF} + \vec{FM}\). 4. Da \(M\) die Mitte von \(FG\) ist, gilt \(\vec{FM} = \frac{1}{2} \vec{FG} = \frac{1}{2} \vec{AD} = \frac{1}{2} \vec{v}\). 5. Mit \(\vec{AE} = \vec{w}\) und \(\vec{EF} = \vec{u}\) ergibt sich \(\vec{AM} = \vec{u} + \frac{1}{2}\vec{v} + \vec{w}\).

\(\vec{DF} = \vec{u} - \vec{v} + \vec{w}\) \(\vec{AM} = \vec{u} + \frac{1}{2}\vec{v} + \vec{w}\)

- Verfahre schrittweise und multipliziere zuerst die Zahlen vor den Vektoren in jede Zeile hinein. - Achte besonders auf das Minuszeichen vor dem letzten Vektor. - Wie hängen die Koordinaten eines Vektors mit seiner Gesamtlänge zusammen?

1. Durchführung der skalaren Multiplikationen für alle drei Terme: \(3 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}\), \(4 \cdot \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 0{,}5 \\ 0{,}75 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Zusammenfassen der Vektoren durch Addition und Subtraktion der entsprechenden Komponenten: \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -3 + 6 - 2 \\ 6 + 0 - 2 \\ 3 + 8 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung der Länge (Betrag) des Vektors: \(|\vec{w}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 8^2} = \sqrt{1 + 16 + 64} = \sqrt{81} = 9\).

\(\vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}\); \(|\vec{w}| = 9\)

- Schau dir die beiden Vektoren genau an – fällt dir eine Gemeinsamkeit auf? - Kannst du die Rechnung vereinfachen, indem du die Zahlen vor den Vektoren zuerst addierst? - Wie berechnet man den Betrag eines Vektors, der negative Koordinaten besitzt? - Gibt es eine Regel, wie man Faktoren vor einem gemeinsamen Ausdruck zusammenfasst?

1. Durch Zusammenfassen der Skalare vor dem identischen Vektor lässt sich die Rechnung vereinfachen: \(\vec{b} = (1{,}4 + 0{,}6) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -14 \end{pmatrix} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -14 \end{pmatrix}\). 2. Die Multiplikation der Koordinaten mit dem Skalar \(2\) ergibt den Vektor \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ -28 \end{pmatrix}\). 3. Zur Bestimmung des Betrags wird die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate gezogen: \(|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 10^2 + (-28)^2} = \sqrt{16 + 100 + 784} = \sqrt{900} = 30\).

\(\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ -28 \end{pmatrix}\); \(|\vec{b}| = 30\)