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- Identifiziere in der Abbildung Anfangs- und Endpunkt des gestrichelten Vektors. - Zerlege diesen Weg in zwei aufeinanderfolgende Seitenwege des Parallelogramms. - Welche gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms repräsentieren denselben Verschiebungsvektor?

1. Aus der Abbildung erkennt man, dass der gestrichelte Vektor von \(A\) nach \(C\) führt. 2. Ein Weg von \(A\) nach \(C\) verläuft zunächst entlang \(\vec{AB}=\vec{a}\) und anschließend entlang \(\vec{BC}=\vec{b}\). 3. Daher gilt \(\vec{AC}=\vec{a}+\vec{b}\).

\(\vec{AC}=\vec{a}+\vec{b}\)

- Der Mittelpunkt liegt genau zur Hälfte zwischen den beiden Punkten. - Addiere zunächst die beiden Ortsvektoren komponentenweise. - Welche Skalierung bringt die Summe anschließend auf den Mittelpunkt?

1. Der Mittelpunkt entsteht durch den Mittelwert der beiden Ortsvektoren. 2. Daher ist \(\vec{m}=\frac{1}{2}(\vec{p}+\vec{q})=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}8\\-2\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-1\\3\end{pmatrix}\).

\(\vec{m}=\begin{pmatrix}4\\-1\\3\end{pmatrix}\)

- Überlege dir, wie du von einem Punkt zum anderen gelangst, indem du nur entlang der bekannten Kanten läufst. - Achte darauf, ob du eine Kante in ihrer vorgegebenen Richtung oder in der Gegenrichtung durchläufst. - In einem Spat sind gegenüberliegende Kanten parallel und gleich lang, sie entsprechen also demselben Vektor.

1. Zur Bestimmung von \(\vec{HB}\) wird ein Weg entlang der Kanten von \(H\) nach \(B\) gewählt: \(\vec{HB} = \vec{HD} + \vec{DA} + \vec{AB}\). 2. Da \(\vec{HD} = -\vec{AE} = -\vec{c}\), \(\vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{b}\) und \(\vec{AB} = \vec{a}\), ergibt sich \(\vec{HB} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}\). 3. Zur Bestimmung von \(\vec{EG}\) wird der Weg über die Fläche \(EFGH\) gewählt: \(\vec{EG} = \vec{EF} + \vec{FG}\). 4. Da \(\vec{EF} = \vec{AB} = \vec{a}\) und \(\vec{FG} = \vec{AD} = \vec{b}\), folgt \(\vec{EG} = \vec{a} + \vec{b}\).

\(\vec{HB} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}\) \(\vec{EG} = \vec{a} + \vec{b}\)

- Berechne die drei Komponenten der Linearkombination getrennt. - Achte beim zweiten Vektor auf das Minuszeichen vor dem Faktor \(3\). - Kontrolliere am Ende, ob jede Ausgangskomponente berücksichtigt wurde.

1. Für die erste Komponente gilt \(v_1=2\cdot1-3\cdot1+3=2\). 2. Für die zweite Komponente gilt \(v_2=2\cdot0-3\cdot(-1)+0=3\). 3. Für die dritte Komponente gilt \(v_3=2\cdot4-3\cdot2+4=6\). 4. Damit ist \(\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}\).

\(\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}\)

- Führe zuerst alle Skalarmultiplikationen aus. - Achte auf das Minuszeichen vor dem letzten Vektor. - Fasse anschließend die drei Komponenten jeweils getrennt zusammen.

1. Die drei skalierten Vektoren sind \(\begin{pmatrix}-3\\6\\3\end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix}6\\0\\8\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}\). 2. Daher ist \(\vec{w}=\begin{pmatrix}-3+6-2\\6+0-2\\3+8-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\8\end{pmatrix}\).

\(\vec{w}=\begin{pmatrix}1\\4\\8\end{pmatrix}\)

- Beachte die Klammer: Welche Operation muss zuerst ausgeführt werden? - Addiere die beiden Vektoren komponentenweise. - Multipliziere danach jede Komponente des Summenvektors mit \(0{,}5\).

1. Zuerst wird die Summe in der Klammer gebildet: \(\begin{pmatrix}1\\-5\\12\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5\\13\\12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\8\\24\end{pmatrix}\). 2. Anschließend wird mit \(0{,}5\) multipliziert: \(\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\4\\12\end{pmatrix}\).

\(\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\4\\12\end{pmatrix}\)

- Vergleiche die beiden Vektoren in den Summanden. - Kannst du bei einem gemeinsamen Vektorfaktor zunächst die beiden Skalare zusammenfassen? - Multipliziere den gemeinsamen Vektor erst nach diesem Zusammenfassen.

1. Beide Summanden sind Vielfache desselben Vektors. Daher kann man die Skalare zusammenfassen: \(\vec{b}=(1{,}4+0{,}6)\begin{pmatrix}2\\5\\-14\end{pmatrix}\). 2. Somit ist \(\vec{b}=2\begin{pmatrix}2\\5\\-14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\10\\-28\end{pmatrix}\).

\(\vec{b}=\begin{pmatrix}4\\10\\-28\end{pmatrix}\)

- Stelle dir die Punkte als Orte auf einer Landkarte vor. Wie kommst du von einem Punkt zum anderen, wenn du nur die bekannten „Straßen“ (Vektoren) benutzen darfst? - Nutze die Dreiecksregel der Vektoraddition: \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). - Überlege dir für jeden gesuchten Vektor eine Kette von bekannten Vektoren, die am Startpunkt beginnt und am Zielpunkt endet. - Achte auf die Richtung der Pfeile. Wenn du einen Vektor in die entgegengesetzte Richtung durchläufst, musst du sein Vorzeichen ändern.

1. Für \(\vec{KM}\) nutzt man die Vektoraddition über den Punkt \(L\): \(\vec{KM} = \vec{KL} + \vec{LM} = \vec{u} + \vec{v}\). 2. Für \(\vec{NM}\) wählt man den Weg über \(K\) und \(L\): \(\vec{NM} = \vec{NK} + \vec{KL} + \vec{LM} = \vec{w} + \vec{u} + \vec{v}\). 3. Den Vektor \(\vec{KO}\) erhält man durch Addition der Vektoren entlang der Kette \(K \to L \to M \to O\): \(\vec{KO} = \vec{KL} + \vec{LM} + \vec{MO} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{x}\). 4. Für \(\vec{LO}\) nutzt man die Punkte \(L, M\) und \(O\): \(\vec{LO} = \vec{LM} + \vec{MO} = \vec{v} + \vec{x}\). 5. Der Vektor \(\vec{NO}\) ergibt sich aus der Summe aller Teilvektoren von \(N\) über \(K, L, M\) nach \(O\): \(\vec{NO} = \vec{NK} + \vec{KL} + \vec{LM} + \vec{MO} = \vec{w} + \vec{u} + \vec{v} + \vec{x}\).

a) \(\vec{KM} = \vec{u} + \vec{v}\) b) \(\vec{NM} = \vec{w} + \vec{u} + \vec{v}\) c) \(\vec{KO} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{x}\) d) \(\vec{LO} = \vec{v} + \vec{x}\) e) \(\vec{NO} = \vec{w} + \vec{u} + \vec{v} + \vec{x}\)

- Beginne damit, die Vektoren der gegenüberliegenden Seiten zu berechnen. - Wann nennt man zwei Vektoren parallel (kollinear)? - Reicht es für ein Parallelogramm aus, wenn die Seiten nur parallel sind, oder müssen sie noch eine weitere Bedingung erfüllen? - Wenn eine Eigenschaft wie „Parallelogramm“ nicht erfüllt ist, kann dann eine speziellere Form wie „Raute“ vorliegen?

1. Bestimmung der Vektoren für ein Paar gegenüberliegender Seiten: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 4-2 \\ 3-2 \\ 5-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Überprüfung auf Parallelität: Es gilt \(\vec{AB} = 2 \cdot \vec{DC}\). Da die Vektoren kollinear sind, sind die Seiten \(AB\) und \(DC\) parallel. Das Viereck ist somit ein Trapez. 3. Überprüfung auf Parallelogramm: Da \(\vec{AB} \neq \vec{DC}\) (die Seiten sind nicht gleich lang), ist das Viereck kein Parallelogramm. 4. Da es kein Parallelogramm ist, kann es auch keine Raute sein.

Das Viereck \(ABCD\) ist ein Trapez, aber kein Parallelogramm und keine Raute.

- Wie berechnet man allgemein den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten, wenn deren Ortsvektoren bekannt sind? - Was bedeutet es für die Lage zweier Punkte im Raum, wenn ihre Ortsvektoren identisch sind? - Erinnere dich an die zeichnerische Darstellung der Addition zweier Vektoren. Welche Figur entsteht dabei? - Welche Rolle spielt der Koordinatenursprung bei der Berechnung von Mittelpunkten?

1. Der Mittelpunkt einer Strecke berechnet sich aus dem arithmetischen Mittel der Ortsvektoren ihrer Endpunkte. Da \(O\) der Ursprung ist (\(\vec{0}\) ist der Nullvektor), gilt für die Diagonale \(\overline{OB}\): \(\vec{m}_1 = \frac{1}{2} \cdot (\vec{0} + \vec{b}) = \frac{1}{2} \cdot \vec{b}\). Für die Diagonale \(\overline{AC}\) ergibt sich entsprechend: \(\vec{m}_2 = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{c})\). 2. Damit sich die Diagonalen halbieren, müssen ihre Mittelpunkte identisch sein (\(M_1 = M_2\)). Es folgt \(\frac{1}{2} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{c})\). Multiplikation mit \(2\) liefert die Bedingung \(\vec{b} = \vec{a} + \vec{c}\). 3. Die Gleichung \(\vec{b} = \vec{a} + \vec{c}\) bedeutet, dass der Punkt \(B\) der Endpunkt des Summenvektors der beiden Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{c}\) ist. Geometrisch entspricht dies der Definition eines Parallelogramms nach der Parallelogrammregel der Vektoraddition. Das Viereck \(OABC\) ist somit ein Parallelogramm.

1. \(\vec{m}_1 = \frac{1}{2} \cdot \vec{b}\) und \(\vec{m}_2 = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{c})\). 2. Die Bedingung lautet \(\vec{b} = \vec{a} + \vec{c}\). 3. Der Punkt \(B\) ergibt sich durch die Vektoraddition von \(\vec{a}\) und \(\vec{c}\). Das Viereck \(OABC\) ist ein Parallelogramm.

- Schreibe die Linearkombination zunächst komponentenweise aus. - Welche Komponenten liefern besonders direkt einen der beiden Koeffizienten? - Prüfe die gefundenen Koeffizienten anschließend auch in der noch nicht verwendeten Komponente.

1. Komponentenweise lautet die Gleichung \(\begin{pmatrix}s\\2t\\s-t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}\). 2. Aus der ersten Komponente folgt \(s=3\), aus der zweiten \(t=2\). 3. Die dritte Komponente liefert zur Kontrolle \(s-t=3-2=1\) und stimmt mit \(\vec{c}\) überein.

\(s=3\), \(t=2\)

- Zerlege den Weg von \(O\) nach \(P\) zunächst über den Punkt \(C\). - Wie oft kommt die Richtung von \(\vec{a}\) auf dem Weg von \(O\) nach \(C\) vor? - Vergleiche Richtung und Länge von \(\vec{CP}\) mit \(\vec{b}\).

1. Die Strecke von \(O\) über \(A\) nach \(C\) besteht aus zwei gleich langen, gleichgerichteten Abschnitten in Richtung von \(\vec{a}\). Daher ist \(\vec{OC}=2\vec{a}\). 2. Die Strecke von \(C\) nach \(P\) ist gleich lang wie \(OB\), aber entgegengesetzt gerichtet. Somit ist \(\vec{CP}=-\vec{b}\). 3. Mit der Dreiecksregel folgt \(\vec{OP}=\vec{OC}+\vec{CP}=2\vec{a}-\vec{b}\).

\(\vec{OP}=2\vec{a}-\vec{b}\)

- Zerlege den gesuchten Vektor jeweils in einen Weg entlang bekannter Quaderkanten. - Welche Quaderkanten sind parallel und gleich orientiert? - Wie lässt sich der Vektor von \(F\) zum Mittelpunkt \(M\) der Kante \(FG\) ausdrücken?

1. Für \(\vec{DF}\) kann der Weg \(D\to A\to B\to F\) verwendet werden: \(\vec{DF}=\vec{DA}+\vec{AB}+\vec{BF}\). 2. Mit \(\vec{DA}=-\vec{v}\), \(\vec{AB}=\vec{u}\) und \(\vec{BF}=\vec{w}\) folgt \(\vec{DF}=\vec{u}-\vec{v}+\vec{w}\). 3. Für \(\vec{AM}\) kann der Weg \(A\to E\to F\to M\) verwendet werden. 4. Da \(M\) Mittelpunkt von \(FG\) ist, gilt \(\vec{FM}=\frac{1}{2}\vec{FG}=\frac{1}{2}\vec{v}\). Außerdem sind \(\vec{AE}=\vec{w}\) und \(\vec{EF}=\vec{u}\). 5. Daher ist \(\vec{AM}=\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}+\vec{w}\).

\(\vec{DF}=\vec{u}-\vec{v}+\vec{w}\) \(\vec{AM}=\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}+\vec{w}\)

- Wie kannst du den Weg zum Punkt \(T\) über den Punkt \(A\) beschreiben? - Erinnere dich daran, wie man einen Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten durch deren Ortsvektoren ausdrückt. - Was bedeutet ein Teilverhältnis von \(1:3\) für die Länge der Teilstrecke im Vergleich zur Gesamtstrecke? - Achte beim Zusammenfassen der Vektoren auf das Distributivgesetz.

1. Nach der Vektoraddition gilt \(\vec{OT} = \vec{OA} + \vec{AT}\). 2. Einsetzen der Bedingung \(\vec{AT} = k \cdot \vec{AB}\) ergibt \(\vec{OT} = \vec{OA} + k \cdot \vec{AB}\). 3. Ersetzen von \(\vec{AB}\) durch \(\vec{OB} - \vec{OA}\) führt zu \(\vec{OT} = \vec{OA} + k \cdot (\vec{OB} - \vec{OA})\). 4. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt \(\vec{OT} = \vec{OA} + k \cdot \vec{OB} - k \cdot \vec{OA} = (1-k) \cdot \vec{OA} + k \cdot \vec{OB}\). 5. Für das Teilverhältnis \(1:3\) gilt \(k = \frac{1}{1+3} = 0{,}25\). 6. Berechnung des Ortsvektors: \(\vec{OT} = 0{,}75 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + 0{,}25 \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ -0{,}75 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1{,}5 \\ 1{,}75 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\). 7. Die Koordinaten des Punktes sind \(T(3 \mid 1 \mid 3)\).

a) Beweis durch \(\vec{OT} = \vec{OA} + k \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) = (1-k) \cdot \vec{OA} + k \cdot \vec{OB}\). b) Mit \(k = \frac{1}{4}\) ergibt sich \(T(3 \mid 1 \mid 3)\).

- Wie findet man den Vektor, der genau in der Mitte zwischen zwei anderen Vektoren liegt? - Nutze die Eigenschaft der Vektoraddition, um den Punkt \(S\) ausgehend vom Ursprung über \(A\) zu erreichen. - Welchen Anteil der gesamten Strecke \(AM_a\) macht die Teilstrecke \(AS\) aus, wenn das Verhältnis \(2:1\) ist? - Setze den Ausdruck für den Mittelpunkt in deine Gleichung für den Schwerpunkt ein und fasse zusammen.

1. Da \(M_a\) der Mittelpunkt von \(\overline{BC}\) ist, gilt \(\vec{OM_a} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{OB} + \vec{OC})\). 2. Das Teilverhältnis \(2:1\) auf \(\overline{AM_a}\) bedeutet \(\vec{AS} = \frac{2}{3} \cdot \vec{AM_a}\). 3. Darstellung über Ortsvektoren: \(\vec{OS} = \vec{OA} + \vec{AS} = \vec{OA} + \frac{2}{3} \cdot (\vec{OM_a} - \vec{OA})\). 4. Vereinfachen der Gleichung: \(\vec{OS} = \vec{OA} + \frac{2}{3} \cdot \vec{OM_a} - \frac{2}{3} \cdot \vec{OA} = \frac{1}{3} \cdot \vec{OA} + \frac{2}{3} \cdot \vec{OM_a}\). 5. Einsetzen von \(\vec{OM_a}\): \(\vec{OS} = \frac{1}{3} \cdot \vec{OA} + \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot (\vec{OB} + \vec{OC})\right)\). 6. Finales Zusammenfassen: \(\vec{OS} = \frac{1}{3} \cdot \vec{OA} + \frac{1}{3} \cdot \vec{OB} + \frac{1}{3} \cdot \vec{OC} = \frac{1}{3} \cdot (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})\).

a) \(\vec{OM_a} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{OB} + \vec{OC})\) b) Herleitung über \(\vec{OS} = \vec{OA} + \frac{2}{3} \cdot (\vec{OM_a} - \vec{OA})\) führt zur Zielformel \(\vec{OS} = \frac{1}{3} \cdot (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})\).

- Versuche, den Vektor \(\vec{DE}\) mithilfe eines Umwegs über den Punkt \(C\) auszudrücken. - Wie hängen die Vektoren \(\vec{CA}\), \(\vec{CB}\) und \(\vec{AB}\) in einem Dreieck zusammen? - Was bedeutet es für die Lage zweier Strecken, wenn ihre zugehörigen Vektoren Vielfache voneinander sind?

1. Aufstellen einer Vektorkette für den gesuchten Vektor \(\vec{DE}\) über den Punkt \(C\): \(\vec{DE} = \vec{DC} + \vec{CE}\). 2. Umkehrung des Vektors \(\vec{CD}\) zu \(\vec{DC}\): \(\vec{DC} = -\vec{CD} = -\frac{1}{4} \cdot \vec{CA}\). 3. Einsetzen in die Vektorkette: \(\vec{DE} = -\frac{1}{4} \cdot \vec{CA} + \frac{1}{4} \cdot \vec{CB}\). 4. Ausklammern des gemeinsamen Faktors: \(\vec{DE} = \frac{1}{4} \cdot (\vec{CB} - \vec{CA})\). 5. Anwendung der Differenzregel für Vektoren: Da \(\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}\), folgt \(\vec{CB} - \vec{CA} = \vec{AB}\). 6. Finales Ergebnis: \(\vec{DE} = \frac{1}{4} \cdot \vec{AB}\). 7. Geometrische Interpretation: Die Strecke \(\overline{DE}\) ist parallel zur Seite \(\overline{AB}\) und ihre Länge entspricht genau einem Viertel der Länge von \(\overline{AB}\).

Es gilt \(\vec{DE} = \frac{1}{4} \cdot \vec{AB}\). Geometrisch bedeutet dies, dass die Strecke \(\overline{DE}\) parallel zur Seite \(\overline{AB}\) verläuft und ein Viertel so lang ist wie diese.

- Wie lässt sich der Schwerpunkt eines Dreiecks durch die Ortsvektoren seiner Eckpunkte ausdrücken? - Überlege dir, wie man einen Punkt auf einer Strecke vektoriell darstellt, wenn das Teilungsverhältnis bekannt ist. - Wie berechnet man den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten mithilfe von Vektoren? - Zeige die Übereinstimmung der Punkte, indem du beweist, dass ihre Ortsvektoren identisch sind.

1. Der Schwerpunkt \(G\) der Grundfläche hat den Ortsvektor \(\vec{OG} = \frac{1}{3} \cdot (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})\). Da \(S\) die Strecke \(\overline{DG}\) im Verhältnis \(3:1\) teilt, gilt \(\vec{OS} = \vec{OD} + \frac{3}{4} \cdot \vec{DG} = \vec{OD} + \frac{3}{4} \cdot (\vec{OG} - \vec{OD})\). Einsetzen und Vereinfachen ergibt \(\vec{OS} = \frac{1}{4} \cdot (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})\). 2. Die Ortsvektoren der Kantenmittelpunkte sind \(\vec{OM_{AB}} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{OA} + \vec{OB})\) und \(\vec{OM_{CD}} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{OC} + \vec{OD})\). Der Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(\overline{M_{AB}M_{CD}}\) hat den Ortsvektor \(\vec{OM} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{OM_{AB}} + \vec{OM_{CD}}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} \cdot \vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{OB} + \frac{1}{2} \cdot \vec{OC} + \frac{1}{2} \cdot \vec{OD}) = \frac{1}{4} \cdot (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})\). Da \(\vec{OM} = \vec{OS}\) gilt, ist \(S\) der Mittelpunkt dieser Strecke.

1. \(\vec{OS} = \frac{1}{4} \cdot (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})\) 2. Der Nachweis erfolgt durch den Vergleich der berechneten Ortsvektoren von \(S\) und dem Mittelpunkt der Strecke \(\overline{M_{AB}M_{CD}}\), die beide \(\frac{1}{4} \cdot (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})\) ergeben.

- Stell dir vor, du möchtest von \(B\) nach \(C\) gelangen, darfst aber nur die Wege benutzen, die über den Punkt \(A\) führen. - Welchen Vektor musst du „rückwärts“ gehen, um vom Punkt \(B\) zum gemeinsamen Startpunkt \(A\) zu kommen? - In welche Richtung zeigt ein Differenzvektor \(\vec{v} - \vec{u}\)? Schau dir die Reihenfolge der Buchstaben genau an.

1. Berechnung von \(\vec{BC}\): Der Weg von \(B\) nach \(C\) über den Punkt \(A\) entspricht \(\vec{BA} + \vec{AC}\). Da \(\vec{BA} = -\vec{u}\), folgt \(\vec{BC} = -\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} - \vec{u}\). 2. Berechnung von \(\vec{CD}\): Der Weg von \(C\) nach \(D\) über \(A\) ist \(\vec{CA} + \vec{AD}\). Mit \(\vec{CA} = -\vec{v}\) ergibt sich \(\vec{CD} = \vec{w} - \vec{v}\). 3. Berechnung von \(\vec{DB}\): Der Weg von \(D\) nach \(B\) über \(A\) ist \(\vec{DA} + \vec{AB}\). Mit \(\vec{DA} = -\vec{w}\) ergibt sich \(\vec{DB} = \vec{u} - \vec{w}\). 4. Geometrische Deutung: Die Differenz \(\vec{b} - \vec{a}\) entspricht dem Vektor, der an der Spitze von \(\vec{a}\) (Subtrahend) beginnt und an der Spitze von \(\vec{b}\) (Minuend) endet, sofern beide Vektoren denselben Fußpunkt haben.

a) \(\vec{BC} = \vec{v} - \vec{u}\); \(\vec{CD} = \vec{w} - \vec{v}\); \(\vec{DB} = \vec{u} - \vec{w}\) b) Der Differenzvektor \(\vec{d} = \vec{b} - \vec{a}\) ist der Vektor, der die Spitze von \(\vec{a}\) mit der Spitze von \(\vec{b}\) verbindet. Er zeigt also immer zum Minuenden.

- Gibt es verschiedene Wege von \(M\) nach \(N\), die über die Eckpunkte des Vierecks führen? - Was passiert, wenn du zwei verschiedene Vektorketten für denselben Vektor addierst? - Wie kannst du die Tatsache nutzen, dass \(M\) und \(N\) genau in der Mitte der jeweiligen Seiten liegen?

1. Ausdruck von \(\vec{MN}\) durch einen Weg über die Eckpunkte \(A\) und \(D\): \(\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DN}\). 2. Ausdruck von \(\vec{MN}\) durch einen Weg über die Eckpunkte \(B\) und \(C\): \(\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CN}\). 3. Addition der beiden Gleichungen: \(2 \cdot \vec{MN} = (\vec{MA} + \vec{MB}) + \vec{AD} + \vec{BC} + (\vec{DN} + \vec{CN})\). 4. Verwendung der Mittelpunktseigenschaft: Da \(M\) Mittelpunkt von \(AB\) ist, gilt \(\vec{MA} + \vec{MB} = \vec{0}\). Analog gilt für den Mittelpunkt \(N\) der Seite \(CD\), dass \(\vec{DN} + \vec{CN} = \vec{0}\). 5. Es verbleibt \(2 \cdot \vec{MN} = \vec{AD} + \vec{BC}\), was durch Division mit 2 zur gesuchten Formel führt.

Durch Addition der beiden Wege \(\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DN}\) und \(\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CN}\) erhält man \(2 \cdot \vec{MN} = \vec{AD} + \vec{BC} + (\vec{MA} + \vec{MB}) + (\vec{DN} + \vec{CN})\). Da \(M\) und \(N\) Mittelpunkte sind, verschwinden die Terme in Klammern, sodass \(\vec{MN} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{AD} + \vec{BC})\) folgt.

- Überlege dir für jede Diagonale einen Weg entlang der Kanten des Spats. - Beachte dabei die Orientierung der Vektoren: Wenn du gegen die Richtung eines Pfeils läufst, musst du ein Minuszeichen setzen. - Nutze aus, dass gegenüberliegende Kanten in einem Spat durch denselben Vektor dargestellt werden (z. B. \(\vec{AD} = \vec{BC}\)). - Fasse beim Addieren der vier Ausdrücke die Koeffizienten der Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) jeweils einzeln zusammen.

1. Bestimmung der Vektoren für die Raumdiagonalen durch Vektoraddition im Spat: \(\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CG} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\) \(\vec{BH} = \vec{BA} + \vec{AD} + \vec{DH} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\) \(\vec{CE} = \vec{CB} + \vec{BA} + \vec{AE} = -\vec{b} - \vec{a} + \vec{c}\) \(\vec{DF} = \vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BF} = -\vec{b} + \vec{a} + \vec{c}\) 2. Berechnung der Summe \(\vec{s}\): \(\vec{s} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + (-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + (-\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}) + (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})\) \(\vec{s} = (1 - 1 - 1 + 1) \cdot \vec{a} + (1 + 1 - 1 - 1) \cdot \vec{b} + (1 + 1 + 1 + 1) \cdot \vec{c} = 4 \cdot \vec{c}\) 3. Geometrische Interpretation: Die Summe entspricht dem Vierfachen des Kantenvektors \(\vec{AE}\).

a) \(\vec{AG} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\); \(\vec{BH} = -\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\); \(\vec{CE} = -\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}\); \(\vec{DF} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}\) b) \(\vec{s} = 4 \cdot \vec{c}\). Die Summe der Raumdiagonalen entspricht dem Vierfachen des Kantenvektors \(\vec{AE}\).

- Stelle dir das Prisma bildlich vor oder skizziere die Punkte: \(A, B, C\) unten und \(D, E, F\) oben. - Nutze aus, dass die Vektoren der parallelen Seitenkanten alle gleich \(\vec{w}\) sind (z. B. \(\vec{AD} = \vec{BE} = \vec{CF} = \vec{w}\)). - Denk daran, dass man einen Vektor zwischen zwei Punkten der Grundfläche wie \(\vec{BC}\) immer durch die aufspannenden Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) ausdrücken kann. - Achte beim Addieren der Vektoren genau auf die Vorzeichen, wenn du Vektoren umkehrst.

1. Bestimmung der Diagonalen in Teil a): \(\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE} = \vec{u} + \vec{w}\) \(\vec{BF} = \vec{BC} + \vec{CF} = (\vec{AC} - \vec{AB}) + \vec{CF} = \vec{v} - \vec{u} + \vec{w}\) \(\vec{CD} = \vec{CA} + \vec{AD} = -\vec{v} + \vec{w}\) 2. Summenbildung für Teil b): \(\vec{AE} + \vec{BF} + \vec{CD} = (\vec{u} + \vec{w}) + (\vec{v} - \vec{u} + \vec{w}) + (-\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} - \vec{u}) + (\vec{v} - \vec{v}) + (1 + 1 + 1) \cdot \vec{w} = 3 \cdot \vec{w}\). 3. Bestimmung der restlichen Diagonalen für Teil c): \(\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = -\vec{u} + \vec{w}\) \(\vec{CE} = \vec{CB} + \vec{BE} = (\vec{AB} - \vec{AC}) + \vec{BE} = \vec{u} - \vec{v} + \vec{w}\) \(\vec{AF} = \vec{AC} + \vec{CF} = \vec{v} + \vec{w}\) 4. Summenbildung für Teil c): \(\vec{BD} + \vec{CE} + \vec{AF} = (-\vec{u} + \vec{w}) + (\vec{u} - \vec{v} + \vec{w}) + (\vec{v} + \vec{w}) = 3 \cdot \vec{w}\). Die Summen sind identisch.

a) \(\vec{AE} = \vec{u} + \vec{w}\); \(\vec{BF} = -\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}\); \(\vec{CD} = -\vec{v} + \vec{w}\) b) Nachweis durch Addition: \(\vec{u} + \vec{w} - \vec{u} + \vec{v} + \vec{w} - \vec{v} + \vec{w} = 3 \cdot \vec{w}\) c) Die Summe der anderen Diagonalen \(\vec{BD} + \vec{CE} + \vec{AF}\) ergibt ebenfalls \(3 \cdot \vec{w}\).

- Schreibe die Ortsvektoren zweier benachbarter Seitenmittelpunkte aus und bilde ihre Differenz. - Wie erhältst du die Länge einer Diagonale aus ihrem Skalarprodukt mit sich selbst? - Welche Seitenlängen-Eigenschaft kennzeichnet eine Raute unter den Parallelogrammen?

1. Mit \(\vec{e}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})\) und \(\vec{f}=\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})\) folgt \(\vec{EF}=\vec{f}-\vec{e}=\frac{1}{2}(\vec{c}-\vec{a})=\frac{1}{2}\vec{AC}\). Analog ergibt sich \(\vec{FG}=\frac{1}{2}\vec{BD}\). 2. Es gilt \(\vec{AC}\cdot\vec{AC}=6^2+8^2=100\) und \(\vec{BD}\cdot\vec{BD}=6^2+8^2=100\). Also sind beide Diagonalen \(10\) Längeneinheiten lang. 3. Deshalb haben alle vier Seiten des Mittelpunktsvierecks die Länge \(5\) Längeneinheiten. 4. Der Umfang ist \(20\) Längeneinheiten. Da das Mittelpunktsviereck ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten ist, ist es eine Raute.

a) \(\vec{EF}=\frac{1}{2}\vec{AC}\), \(\vec{FG}=\frac{1}{2}\vec{BD}\) b) Alle vier Seiten sind \(5\) Längeneinheiten lang. c) Umfang: \(20\) Längeneinheiten; \(EFGH\) ist eine Raute.

- Nutze die Rechenregeln für Vektoren (Addition und Skalarmultiplikation) analog zu den Regeln der Algebra. - Fasse alle Terme mit \(\vec{a}\) und alle Terme mit \(\vec{b}\) jeweils getrennt zusammen. - Was musst du tun, um \(\vec{x}\) alleine auf einer Seite stehen zu haben? - Vergiss nicht, Brüche am Ende so weit wie möglich zu kürzen.

1. Auflösen aller Klammern mittels Distributivgesetz: \(6 \cdot \vec{x} - 3 \cdot \vec{a} - 2 \cdot \vec{b} - 2 \cdot \vec{x} = 5 \cdot \vec{a} - 5 \cdot \vec{x} + 4 \cdot \vec{b}\) 2. Zusammenfassen gleichartiger Terme auf der linken Seite: \(4 \cdot \vec{x} - 3 \cdot \vec{a} - 2 \cdot \vec{b} = -5 \cdot \vec{x} + 5 \cdot \vec{a} + 4 \cdot \vec{b}\) 3. Alle Terme mit \(\vec{x}\) auf die linke Seite und alle Terme mit \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) auf die rechte Seite bringen: \(9 \cdot \vec{x} = 8 \cdot \vec{a} + 6 \cdot \vec{b}\) 4. Division durch den Skalar \(9\) und Kürzen der Brüche: \(\vec{x} = \frac{8}{9} \cdot \vec{a} + \frac{6}{9} \cdot \vec{b} = \frac{8}{9} \cdot \vec{a} + \frac{2}{3} \cdot \vec{b}\)

\(\vec{x} = \frac{8}{9} \cdot \vec{a} + \frac{2}{3} \cdot \vec{b}\)

- Welche Beziehungen gelten zwischen gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms? - Zerlege jeden gesuchten Vektor in einen Weg aus den drei gegebenen Vektoren und ihren Gegenvektoren. - Wo liegt der Schnittpunkt der Diagonalen eines Parallelogramms? - Für \(\vec{MS}\) hilft es, zuerst \(\vec{AM}\) auszudrücken.

1. Da \(ABCD\) ein Parallelogramm ist, gilt \(\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{a}+\vec{b}\). 2. Für die gegenüberliegenden Seiten gilt \(\vec{AD}=\vec{BC}=\vec{b}\). 3. Mit dem Weg \(B\to A\to S\) folgt \(\vec{BS}=-\vec{a}+\vec{s}\). 4. Mit dem Weg \(C\to B\to A\to S\) folgt \(\vec{CS}=-\vec{b}-\vec{a}+\vec{s}\). 5. Der Diagonalenschnittpunkt \(M\) halbiert \(AC\). Daher ist \(\vec{AM}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})\) und somit \(\vec{MS}=\vec{s}-\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}\).

a) \(\vec{AC}=\vec{a}+\vec{b}\) b) \(\vec{AD}=\vec{b}\) c) \(\vec{BS}=-\vec{a}+\vec{s}\) d) \(\vec{CS}=-\vec{a}-\vec{b}+\vec{s}\) e) \(\vec{MS}=\vec{s}-\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}\)

- Was weißt du über die Seitenvektoren in einem Parallelogramm? - Wie hängen die Diagonalen eines Vierecks mit der Eigenschaft eines Parallelogramms zusammen? - Wenn eine Strecke im Verhältnis \(2:1\) geteilt wird, in wie viele gleich große Teilstücke wird sie dann insgesamt zerlegt? - Wie kannst du den Ortsvektor eines Punktes auf einer Strecke mithilfe eines Startpunktes und eines Bruchteils des Richtungsvektors ausdrücken?

1. Ein Viereck, dessen Diagonalen einander halbieren, ist ein Parallelogramm. Es muss also gelten: \(\vec{PQ} = \vec{SR}\). 2. Berechnung des Vektors \(\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 6-2 \\ 3-1 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung von \(S\) über \(\vec{s} = \vec{r} - \vec{PQ} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}\). Somit ist \(S(1|8|2)\). 4. Das Teilverhältnis \(2:1\) bedeutet, dass der Punkt \(T\) die Strecke \(PR\) in drei gleiche Teile teilt und zwei Teile von \(P\) entfernt liegt: \(\vec{PT} = \frac{2}{3} \cdot \vec{PR}\). 5. Berechnung von \(\vec{PR} = \vec{r} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ -3 \end{pmatrix}\). 6. Berechnung des Ortsvektors \(\vec{t} = \vec{p} + \frac{2}{3} \cdot \vec{PR} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}\). Somit ist \(T(4|7|1)\).

a) \(S(1|8|2)\) b) \(T(4|7|1)\)

- Wie kannst du die Parallelität und das Längenverhältnis zweier Strecken mithilfe von Vektoren ausdrücken? - Achte bei der Trapezbeschriftung \(ABCD\) darauf, welche Vektoren in die gleiche Richtung zeigen müssen. - Wie berechnet man den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten? - Wann liegt ein Punkt \(Z\) genau auf der Strecke zwischen zwei Punkten \(M\) und \(C\)? Welche Bedingung muss für die Vektoren \(\vec{MZ}\) und \(\vec{MC}\) erfüllt sein?

1. Aus der Parallelität und dem Längenverhältnis folgt für das Trapez \(ABCD\), dass \(\vec{DC} = \frac{1}{2} \cdot \vec{AB}\) gelten muss. 2. Berechnung von \(\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung von \(\vec{DC} = \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). 4. Berechnung des Punktes \(D\) über \(\vec{d} = \vec{c} - \vec{DC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ 3 \end{pmatrix}\). Somit ist \(D(1|8|3)\). 5. Berechnung des Mittelpunktes \(M\) von \(AB\): \(\vec{m} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). 6. Prüfung der Lage von \(Z\): Berechne \(\vec{MZ} = \vec{z} - \vec{m} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -0{,}5 \end{pmatrix}\) und \(\vec{MC} = \vec{c} - \vec{m} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix}\). 7. Da \(\vec{MZ} = 0{,}5 \cdot \vec{MC}\) gilt und der Faktor \(0{,}5\) zwischen \(0\) und \(1\) liegt, befindet sich \(Z\) auf der Strecke \(MC\).

a) \(D(1|8|3)\) b) Ja, der Punkt \(Z\) liegt auf der Strecke \(MC\).

- Vergleiche zuerst geeignete gegenüberliegende Seitenvektoren. - Für die Raute reicht bei einem bereits nachgewiesenen Parallelogramm der Vergleich zweier benachbarter Seitenlängen. - Wie kannst du zwei quadrierte Seitenlängen direkt mit Skalarprodukten vergleichen?

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec{DC}=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\). Damit sind die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich orientiert; \(ABCD\) ist ein Parallelogramm und nach der inklusiven Definition auch ein Trapez. 2. Für eine benachbarte Seite ist \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}\). 3. Mit dem Skalarprodukt gilt \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}=3^2+2^2+1^2=14\) und \(\vec{BC}\cdot\vec{BC}=(-1)^2+3^2+2^2=14\). Daher sind \(AB\) und \(BC\) gleich lang. 4. Ein Parallelogramm mit gleich langen benachbarten Seiten ist eine Raute. Somit erfüllt \(ABCD\) alle drei genannten Bezeichnungen.

\(ABCD\) ist ein Trapez, ein Parallelogramm und eine Raute.

- Wie hängen die Ortsvektoren der Eckpunkte eines Dreiecks mit dem Ortsvektor des Schwerpunkts zusammen? - Erinnere dich an die Formel für den Mittelpunkt einer Strecke zwischen zwei Punkten. - Was bedeutet ein Teilungsverhältnis von \(2:1\) für die beteiligten Vektoren auf einer Geraden? - Wie kannst du zeigen, dass zwei Vektoren parallel sind und in einem bestimmten Längenverhältnis stehen?

1. Berechnung von \(C\): Aus der Schwerpunktsformel \(\vec{s} = \frac{1}{3} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})\) folgt \(\vec{c} = 3 \cdot \vec{s} - \vec{a} - \vec{b}\). Einsetzen der Werte ergibt \(\vec{c} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 2 + 4 \\ 6 - 5 - 1 \\ 6 + 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(C(5|0|4)\). 2. Mittelpunkt \(M_c\): \(\vec{m_c} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2} \left[ \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). 3. Teilungsverhältnis prüfen: Berechne die Vektoren \(\vec{CS} = \vec{s} - \vec{c} = \begin{pmatrix} 1-5 \\ 2-0 \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{SM_c} = \vec{m_c} - \vec{s} = \begin{pmatrix} -1-1 \\ 3-2 \\ 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{CS} = 2 \cdot \vec{SM_c}\), womit \(S\) die Strecke \(CM_c\) im Verhältnis \(2:1\) teilt.

a) \(C(5|0|4)\) b) \(\vec{m_c} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\) c) Da \(\vec{CS} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{SM_c} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) gilt, ist \(\vec{CS} = 2 \cdot \vec{SM_c}\). Damit teilt \(S\) die Strecke \(CM_c\) im Verhältnis \(2:1\).

- Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei Punkten? - Nutze die Mittelpunktsformel für die Ortsvektoren. - Vergleiche die Komponenten der berechneten Vektoren, um ein Vielfaches zu finden. - Für den allgemeinen Beweis: Ersetze die Ortsvektoren der Mittelpunkte durch die Ausdrücke der Eckpunktvektoren und vereinfache den Term.

1. Seitenvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 7-3 \\ 5-1 \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 9-1 \\ 6-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Mittelpunkte: \(\vec{m_c} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{m_b} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{c}) = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix}\). 3. Vektor \(\vec{M_c M_b} = \vec{m_b} - \vec{m_c} = \begin{pmatrix} 2-5 \\ 5-3 \\ 5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Der Seitenvektor \(\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 1-7 \\ 9-5 \\ 6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{BC} = 2 \cdot \vec{M_c M_b}\). 4. Allgemeiner Beweis: \(\vec{M_c M_b} = \vec{m_b} - \vec{m_c} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{c}) - \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2} \cdot \vec{a} + \frac{1}{2} \cdot \vec{c} - \frac{1}{2} \cdot \vec{a} - \frac{1}{2} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}\).

a) \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}\) b) \(M_c(5|3|3)\), \(M_b(2|5|5)\) c) \(\vec{M_c M_b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{M_c M_b} = \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}\). d) Der Beweis erfolgt über \(\vec{M_c M_b} = \vec{m_b} - \vec{m_c} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a}+\vec{c}) - \frac{1}{2} \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = \frac{1}{2} \cdot (\vec{c}-\vec{b}) = \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}\).

- Wie drückt man einen Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten durch deren Ortsvektoren aus? - Versuche, die gegebene Gleichung so umzuformen, dass auf einer Seite nur Terme stehen, die einen Seitenvektor beschreiben. - Überlege, was die Gleichheit der Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{DC}\) für die Parallelität und die Länge der Seiten bedeutet. - Welche Eigenschaft der Diagonalen ist charakteristisch für ein Parallelogramm?

1. Der Vektor \(\vec{AB}\) ist gegeben durch \(\vec{b} - \vec{a}\), der Vektor \(\vec{DC}\) durch \(\vec{c} - \vec{d}\). Aus der Voraussetzung \(\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}\) folgt durch Subtraktion von \(\vec{a}\) und \(\vec{d}\) auf beiden Seiten direkt \(\vec{c} - \vec{d} = \vec{b} - \vec{a}\). Somit gilt \(\vec{DC} = \vec{AB}\). 2. Der Mittelpunkt der Diagonale \(\overline{AC}\) ist \(\vec{m}_{AC} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{c})\). Der Mittelpunkt der Diagonale \(\overline{BD}\) ist \(\vec{m}_{BD} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{b} + \vec{d})\). Gilt \(\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}\), so folgt nach Multiplikation mit \(\frac{1}{2}\) unmittelbar \(\vec{m}_{AC} = \vec{m}_{BD}\). Die Diagonalen haben also denselben Mittelpunkt und halbieren einander. 3. Ein möglicher Lehrsatz lautet: Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn sich seine Diagonalen gegenseitig halbieren. Dies ist äquivalent dazu, dass gegenüberliegende Seitenvektoren (wie \(\vec{AB}\) und \(\vec{DC}\)) identisch sind.

1. Durch Umformen von \(\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}\) zu \(\vec{b} - \vec{a} = \vec{c} - \vec{d}\) folgt \(\vec{AB} = \vec{DC}\). 2. Da \(\frac{1}{2} \cdot (\vec{a} + \vec{c}) = \frac{1}{2} \cdot (\vec{b} + \vec{d})\), sind die Mittelpunkte der Diagonalen identisch. 3. Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn sich seine Diagonalen gegenseitig halbieren.

- Schreibe eine allgemeine Linearkombination \(s\vec{a}+t\vec{b}\) als Spaltenvektor. - Die erste und dritte Komponente bestimmen hier die beiden Koeffizienten besonders schnell. - Eine Darstellung ist nur möglich, wenn dieselben Koeffizienten anschließend auch die zweite Komponente erfüllen.

1. Allgemein gilt \(s\vec{a}+t\vec{b}=\begin{pmatrix}s\\s+t\\t\end{pmatrix}\). 2. Für \(\vec{c}\) erzwingen die erste und dritte Komponente \(s=2\) und \(t=1\). Dann wäre die zweite Komponente jedoch \(s+t=3\) statt \(1\). Daher ist \(\vec{c}\) nicht darstellbar. 3. Für \(\vec{d}\) liefern die erste und dritte Komponente ebenfalls \(s=2\) und \(t=1\). Nun ist \(s+t=3\), also stimmt auch die zweite Komponente. 4. Somit gilt \(\vec{d}=2\vec{a}+\vec{b}\), während \(\vec{c}\) keine Linearkombination von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist.

\(\vec{c}\): nicht als \(s\vec{a}+t\vec{b}\) darstellbar \(\vec{d}\): \(\vec{d}=2\vec{a}+\vec{b}\)

- Behandle die Gewichtungsformel zunächst als Gleichung zwischen vier Ortsvektoren. - Isoliere den unbekannten Beitrag von \(\vec{OC}\), bevor du komponentenweise rechnest. - Nutze für die Rückprobe exakt dieselben Gewichte wie in der gegebenen Animation.

1. Aus \(\vec{OP}=\frac{1}{2}\vec{OA}+\frac{1}{4}\vec{OB}+\frac{1}{4}\vec{OC}\) folgt nach Multiplikation mit \(4\): \(4\vec{OP}=2\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\). 2. Daher ist \(\vec{OC}=4\vec{OP}-2\vec{OA}-\vec{OB}\). 3. Einsetzen ergibt \(\vec{OC}=\begin{pmatrix}6\\6\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\-2\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\5\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\3\\-5\end{pmatrix}\). 4. Also ist \(C(6\mid3\mid-5)\). 5. Zur Kontrolle ergibt \(\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}+\frac{1}{4}\begin{pmatrix}-4\\5\\1\end{pmatrix}+\frac{1}{4}\begin{pmatrix}6\\3\\-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}5\\1{,}5\\0{,}5\end{pmatrix}=\vec{OP}\).

a) \(C(6\mid3\mid-5)\) b) Die Rückprobe ergibt \(\vec{OP}=\begin{pmatrix}1{,}5\\1{,}5\\0{,}5\end{pmatrix}\).

- Übersetze jedes Teilungsverhältnis zuerst in einen Anteil der jeweiligen Kante. - Beschreibe \(\vec{CD}\) mithilfe der beiden von \(A\) ausgehenden Kantenvektoren zu \(C\) und \(D\). - Schreibe anschließend sowohl \(P\) als auch \(Q\) relativ zu \(A\) und bilde den Verbindungsvektor.

1. Wegen \(AP:PB=1:2\) liegt \(P\) nach einem Drittel der Kante von \(A\) nach \(B\). Mit \(A\) als Bezugspunkt gilt daher \(\vec{AP}=\frac{1}{3}\vec{a}\). 2. Aus \(CQ:QD=2:1\) folgt \(\vec{CQ}=\frac{2}{3}\vec{CD}\). 3. Mit \(\vec{CD}=\vec{AD}-\vec{AC}=\vec{c}-\vec{b}\) erhält man \(\vec{AQ}=\vec{AC}+\vec{CQ}=\vec{b}+\frac{2}{3}(\vec{c}-\vec{b})=\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c}\). 4. Somit ist \(\vec{PQ}=\vec{AQ}-\vec{AP}=-\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c}\).

\(\vec{PQ}=-\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c}\)

- Ersetze alle Verbindungsvektoren durch Differenzen von Ortsvektoren bezüglich eines Ursprungs \(O\). - Versuche, die resultierende Formel so umzustrukturieren, dass ein Teil der Summe einen Punkt auf einer Dreiecksseite darstellt. - Achte auf die Summe der Koeffizienten bei Linearkombinationen; wenn sie \(1\) ergibt, liegt der Punkt auf der Verbindungsgeraden. - Das Teilungsverhältnis lässt sich direkt aus den Koeffizienten der Linearkombination ablesen.

1. Die Gleichung wird durch \(\vec{PX} = \vec{OX} - \vec{OP}\) ersetzt: \(3(\vec{OA} - \vec{OP}) + 2(\vec{OB} - \vec{OP}) + (\vec{OC} - \vec{OP}) = \vec{0}\). Zusammenfassen ergibt \(3 \cdot \vec{OA} + 2 \cdot \vec{OB} + \vec{OC} - 6 \cdot \vec{OP} = \vec{0}\). Daraus folgt \(\vec{OP} = \frac{3 \cdot \vec{OA} + 2 \cdot \vec{OB} + \vec{OC}}{6} = \frac{1}{2} \cdot \vec{OA} + \frac{1}{3} \cdot \vec{OB} + \frac{1}{6} \cdot \vec{OC}\). 2. Um die Lage auf \(\overline{AM}\) zu zeigen, wird \(\vec{OP}\) umgeformt zu \(\vec{OP} = \frac{3 \cdot \vec{OA} + 3 \cdot (\frac{2 \cdot \vec{OB} + \vec{OC}}{3})}{6} = \frac{1}{2} \cdot \vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3} \cdot \vec{OB} + \frac{1}{3} \cdot \vec{OC})\). Setze \(\vec{OM} = \frac{2}{3} \cdot \vec{OB} + \frac{1}{3} \cdot \vec{OC}\). Da die Summe der Koeffizienten \(\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1\) ist, liegt \(M\) auf \(\overline{BC}\). \(M\) teilt \(\overline{BC}\) im Verhältnis \(1:2\) (Abstand zu \(B\) ist \(\frac{1}{3}\) der Gesamtlänge). Da \(\vec{OP} = \frac{1}{2} \cdot \vec{OA} + \frac{1}{2} \cdot \vec{OM}\), ist \(P\) der Mittelpunkt von \(\overline{AM}\) und teilt diese somit im Verhältnis \(1:1\).

1. \(\vec{OP} = \frac{1}{2} \cdot \vec{OA} + \frac{1}{3} \cdot \vec{OB} + \frac{1}{6} \cdot \vec{OC}\) 2. \(M\) teilt \(\overline{BC}\) im Verhältnis \(1:2\); \(P\) teilt \(\overline{AM}\) im Verhältnis \(1:1\).

- Wie berechnet man den Mittelpunkt einer Strecke zwischen zwei Punkten mit Vektoren? - Erinnere dich an die Definition eines Parallelogramms über seine Seitenvektoren. - Überlege, welche geometrische Bedeutung der Vektor \(\vec{c} - \vec{a}\) für das ursprüngliche Viereck hat. - Was bedeutet es für eine Figur, wenn ein Seitenvektor den Wert Null hat?

1. Die Ortsvektoren der Mittelpunkte sind \(\vec{p} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a}+\vec{b})\) und \(\vec{q} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{b}+\vec{c})\). Der Verbindungsvektor ist \(\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \frac{1}{2} \cdot \vec{b} + \frac{1}{2} \cdot \vec{c} - \frac{1}{2} \cdot \vec{a} - \frac{1}{2} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{c} - \vec{a})\). 2. Analog gilt für die gegenüberliegende Seite \(\vec{s} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a}+\vec{d})\) und \(\vec{r} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{c}+\vec{d})\). Der Vektor \(\vec{SR} = \vec{r} - \vec{s} = \frac{1}{2} \cdot \vec{c} + \frac{1}{2} \cdot \vec{d} - \frac{1}{2} \cdot \vec{a} - \frac{1}{2} \cdot \vec{d} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{c} - \vec{a})\). Da \(\vec{PQ} = \vec{SR}\) gilt, sind die Seiten parallel und gleich lang, das Viereck ist somit ein Parallelogramm. 3. Die Punkte \(P\), \(Q\) und \(S\) liegen stets in mindestens einer gemeinsamen Ebene. Aus \(\vec{SR} = \vec{PQ}\) folgt \(\vec{OR} = \vec{OS} + \vec{PQ}\), also liegt auch \(R\) in dieser Ebene. Sind die maßgeblichen Vektoren linear abhängig, ist die Figur entsprechend entartet, aber weiterhin eben. 4. Wenn \(A = C\), dann ist \(\vec{a} = \vec{c}\) und somit \(\vec{PQ} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} - \vec{a}) = \vec{0}\). Dies bedeutet \(P = Q\) und \(S = R\). Das Viereck entartet damit zu höchstens einer Strecke \(PS\); falls zusätzlich \(P = S\) gilt, entartet es zu einem Punkt.

1. \(\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{b}+\vec{c}) - \frac{1}{2} \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = \frac{1}{2} \cdot (\vec{c}-\vec{a})\). 2. \(\vec{SR} = \vec{r} - \vec{s} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{c}+\vec{d}) - \frac{1}{2} \cdot (\vec{a}+\vec{d}) = \frac{1}{2} \cdot (\vec{c}-\vec{a})\). Da \(\vec{PQ} = \vec{SR}\), ist \(PQRS\) ein Parallelogramm. 3. Die vier Punkte liegen in einer gemeinsamen Ebene; bei linear abhängigen Seitenvektoren ist das Parallelogramm entartet. 4. Das Viereck entartet zu höchstens einer Strecke (\(P=Q\) und \(S=R\)); fallen auch \(P\) und \(S\) zusammen, entsteht ein Punkt.