Kostenlose Arbeitsblätter

- Wie kombiniert man die einzelnen Koordinaten der Vektoren, um eine einzige Zahl zu erhalten? - Welche Bedeutung haben ein positives, ein negatives oder ein verschwindendes Ergebnis für die Geometrie zwischen den Vektoren? - Denk an den Zusammenhang zwischen dem Skalarprodukt und dem Kosinus des Winkels.

1. Berechnung des Skalarprodukts durch komponentenweise Multiplikation und Summation: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 2 + (-1) \cdot 5 + 2 \cdot (-3) = 8 - 5 - 6 = -3\). 2. Interpretation des Vorzeichens: Da das Skalarprodukt \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -3 < 0\) ist, ist der eingeschlossene Winkel stumpf (größer als \(90^\circ\)).

a) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -3\) b) Der Winkel ist stumpf, da das Skalarprodukt negativ ist.

- Wie multipliziert man die einzelnen Komponenten zweier Vektoren miteinander? - Was musst du am Ende mit den Ergebnissen der Multiplikationen machen? - Gibt es eine Regel, wie man mit Klammern bei Vektoren umgeht? - Kannst du die Aufgabe c) auf zwei verschiedene Arten lösen?

1. Berechnung von \(\vec{a} \cdot \vec{b}\): \(4 \cdot 1 + (-3) \cdot 2 + 2 \cdot 5 = 4 - 6 + 10 = 8\). 2. Berechnung von \(\vec{c} \cdot \vec{d}\): \((-2) \cdot 3 + 6 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = -6 + 6 + 0 = 0\). 3. Berechnung von \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c})\): Zuerst Summe bilden \(\vec{b} + \vec{c} = \begin{pmatrix} 1-2 \\ 2+6 \\ 5+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix}\). Dann Skalarprodukt: \(4 \cdot (-1) + (-3) \cdot 8 + 2 \cdot 6 = -4 - 24 + 12 = -16\). Alternativ über Distributivgesetz: \(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 8 + (4 \cdot (-2) + (-3) \cdot 6 + 2 \cdot 1) = 8 + (-8 - 18 + 2) = 8 - 24 = -16\).

a) \(8\) b) \(0\) c) \(-16\)

- Schreibe zuerst den Rechenausdruck für das Skalarprodukt mit dem Platzhalter auf. - Setze diesen Ausdruck mit dem gewünschten Ergebnis gleich. - Welche Art von Gleichung musst du lösen, um die Unbekannte zu finden?

1. Aufstellen der Gleichung für das Skalarprodukt: \(k \cdot 3 + 4 \cdot k + (-2) \cdot 5 = 11\). 2. Zusammenfassen der Terme: \(3k + 4k - 10 = 11\), woraus \(7k - 10 = 11\) folgt. 3. Lösen nach \(k\): Durch Addition von \(10\) auf beiden Seiten ergibt sich \(7k = 21\). Division durch \(7\) liefert \(k = 3\).

\(k = 3\)

- Überlege dir bei jedem Teilschritt, ob das Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) oder ein Vektor ist. - Welche Rechenoperationen sind für welche Objekttypen (Skalar, Vektor) definiert? - Kann eine Zahl jemals dasselbe sein wie ein Vektor? - Was ergibt das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst?

1. Ausdruck a) ist nicht definiert: Das Skalarprodukt \(\vec{b} \cdot \vec{c}\) ergibt eine reelle Zahl (Skalar). Das Skalarprodukt ist jedoch nur zwischen zwei Vektoren definiert, nicht zwischen einem Vektor \(\vec{a}\) und einem Skalar. 2. Ausdruck b) ist nicht definiert: Das Ergebnis von \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) ist ein Skalar. Die Addition ist nur zwischen Objekten gleichen Typs (Skalar + Skalar oder Vektor + Vektor) definiert; ein Skalar kann nicht zu einem Vektor \(\vec{c}\) addiert werden. 3. Ausdruck c) ist sinnvoll definiert: Das Skalarprodukt \(\vec{a} \cdot \vec{a}\) ergibt den Skalar \(|\vec{a}|^2\). Die Division einer reellen Zahl durch eine andere reelle Zahl (\(|\vec{a}|\)) ist zulässig. Das Ergebnis ist der Betrag \(|\vec{a}|\). 4. Zu d): Das Skalarprodukt \(\vec{a} \cdot \vec{a}\) ist der nichtnegative Skalar \(|\vec{a}|^2\). Seine Quadratwurzel ist die reelle Zahl \(|\vec{a}|\). Da die linke Seite der Gleichung ein Skalar und die rechte Seite ein Vektor ist, ist die Gleichung aufgrund unterschiedlicher Objekttypen im Allgemeinen nicht korrekt.

a) Nicht definiert (Skalarprodukt zwischen Vektor und Skalar existiert nicht). b) Nicht definiert (Addition von Skalar und Vektor nicht möglich). c) Definiert; das Ergebnis ist der Skalar \(|\vec{a}|\). d) \(\sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt{|\vec{a}|^2} = |\vec{a}|\). Dies ist eine Zahl, während \(\vec{a}\) ein Vektor ist. Ein Skalar und ein Vektor können nicht gleichgesetzt werden.

- Was passiert mit den einzelnen Koordinaten eines Vektors bei der Multiplikation mit einem Skalar? - Schreibe die linke Seite der Gleichung schrittweise in Koordinaten auf. - Gibt es ein Gesetz für reelle Zahlen, mit dem man einen gemeinsamen Faktor aus einer Summe herausziehen kann? - Vergleiche dein Ergebnis mit der Definition des Skalarprodukts von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\).

1. Berechnung des skalar multiplizierten Vektors: \(k \cdot \vec{u} = \begin{pmatrix} k u_1 \\ k u_2 \\ k u_3 \end{pmatrix}\). 2. Bildung des Skalarprodukts mit \(\vec{v}\): \((k \cdot \vec{u}) \cdot \vec{v} = (k u_1) v_1 + (k u_2) v_2 + (k u_3) v_3\). 3. Anwendung des Assoziativgesetzes der Multiplikation in \(\mathbb{R}\): \(k (u_1 v_1) + k (u_2 v_2) + k (u_3 v_3)\). 4. Ausklammern des Faktors \(k\) mithilfe des Distributivgesetzes in \(\mathbb{R}\): \(k (u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3)\). 5. Der Ausdruck in der Klammer entspricht der Definition von \(\vec{u} \cdot \vec{v}\), womit \(k \cdot (\vec{u} \cdot \vec{v})\) gezeigt ist.

Durch koordinatenweise Rechnung ergibt sich: \((k \cdot \vec{u}) \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} k u_1 \\ k u_2 \\ k u_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = (k u_1)v_1 + (k u_2)v_2 + (k u_3)v_3\) \(= k(u_1 v_1) + k(u_2 v_2) + k(u_3 v_3) = k(u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3) = k \cdot (\vec{u} \cdot \vec{v})\). Entscheidend sind das Assoziativgesetz der Multiplikation und das Distributivgesetz für reelle Zahlen.

- Ist das Ergebnis eines Skalarprodukts eine Zahl oder ein Vektor? - Prüfe die Vorzeichen bei der Multiplikation und der anschließenden Addition genau. - Wie lautet die genaue Rechenvorschrift für das Skalarprodukt zweier Vektoren?

1. In Teilaufgabe a) wurde ein Vektor als Ergebnis angegeben. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist jedoch immer ein Skalar (eine Zahl). Hier wurden die Komponenten fälschlicherweise komponentenweise multipliziert, anstatt die Produkte zu addieren. Richtiges Ergebnis: \(3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 5 \cdot 0 = 8\). 2. In Teilaufgabe b) liegt ein Vorzeichenfehler in der Addition vor. Der Term \(-1 \cdot 2\) wurde fälschlicherweise als \(+2\) gewertet. Richtiges Ergebnis: \(4 + 6 - 2 = 8\). 3. In Teilaufgabe c) wurden alle Komponenten beider Vektoren addiert, anstatt die entsprechenden Komponenten zu multiplizieren und diese Produkte zu summieren. Richtiges Ergebnis: \(1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 8\).

a) Fehler: Ergebnis ist ein Vektor statt eines Skalars. Richtiges Ergebnis: \(8\). b) Fehler: Vorzeichenfehler bei der Verrechnung von \(-1 \cdot 2\). Richtiges Ergebnis: \(8\). c) Fehler: Addition aller Komponenten statt Bildung der Summe der Produkte. Richtiges Ergebnis: \(8\).

- Stelle zuerst den mathematischen Ausdruck für das Skalarprodukt unter Verwendung der Variable auf. - Kannst du diesen Ausdruck mit dem Zielwert gleichsetzen? - Löse die entstandene Gleichung nach der gesuchten Unbekannten auf.

1. Aufstellen der Gleichung für das Skalarprodukt: \(k \cdot 5 + 3 \cdot k + (-2) \cdot 4 = 16\). 2. Zusammenfassen der Terme: \(5k + 3k - 8 = 16\), woraus \(8k - 8 = 16\) folgt. 3. Lösen der linearen Gleichung nach \(k\): \(8k = 24\), also \(k = 3\).

\(k = 3\)

- Wie hängen die Länge eines Vektors und das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst zusammen? - Du kannst die Aufgabe lösen, indem du erst die Vektoren in den Klammern berechnest oder indem du den Ausdruck ausmultiplizierst. - Achte bei der Berechnung des Skalarprodukts besonders auf die Vorzeichen.

1. Berechnung der Längen: \(|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3\) und \(|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\). 2. Berechnung des Skalarprodukts: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 0 + (-2) \cdot 3 = 4 + 0 - 6 = -2\). 3. Berechnung des Ausdrucks in c) durch direktes Einsetzen: \(\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix}\) und \(2 \cdot \vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}\). 4. Skalarprodukt der Ergebnisvektoren: \((-3) \cdot 6 + 2 \cdot 4 + (-5) \cdot (-1) = -18 + 8 + 5 = -5\). Alternativ über das Distributivgesetz: \(2 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{a}) + \vec{a} \cdot \vec{b} - 2 \cdot (\vec{b} \cdot \vec{a}) - \vec{b} \cdot \vec{b} = 2 \cdot |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{b}|^2 = 2 \cdot 9 - (-2) - 25 = 18 + 2 - 25 = -5\).

a) \(|\vec{a}| = 3\); \(|\vec{b}| = 5\) b) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -2\) c) \((\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2 \cdot \vec{a} + \vec{b}) = -5\)

- Erinnere dich an die Rechengesetze für das Skalarprodukt, insbesondere das Distributivgesetz. - Was passiert mit den Termen \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) und \(\vec{b} \cdot \vec{a}\), wenn du sie voneinander abziehst? - Was stellen die Vektoren \(\vec{a} + \vec{b}\) und \(\vec{a} - \vec{b}\) in einem Parallelogramm dar? - Welche speziellen Arten von Parallelogrammen kennst du, bei denen die Seiten gleich lang sind? - Wenn ein Skalarprodukt null ist, was sagt das über die Lage der beteiligten Vektoren aus?

1. Nachweis der Identität: Durch Anwenden des Distributivgesetzes für das Skalarprodukt erhält man \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}\). Wegen der Kommutativität \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\) heben sich die mittleren Terme auf. Mit \(\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2\) folgt direkt \(|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2\). 2. Geometrische Interpretation: Wenn \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0\) gilt, folgt aus Teilaufgabe a), dass \(|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0\), also \(|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2\). Da Beträge nicht negativ sind, bedeutet dies \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\). 3. Schlussfolgerung: Ein Parallelogramm, bei dem zwei anliegende Seiten (\(\vec{a}\) und \(\vec{b}\)) gleich lang sind, ist eine Raute (Rhombus). Zudem sind \(\vec{a} + \vec{b}\) und \(\vec{a} - \vec{b}\) die Diagonalen des Parallelogramms. Das Skalarprodukt \(0\) zeigt, dass die Diagonalen orthogonal zueinander stehen, was ebenfalls die Raute charakterisiert.

a) Der Nachweis erfolgt über das Distributivgesetz: \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2\). b) Das Parallelogramm muss eine Raute (Rhombus) sein, da aus der Bedingung folgt, dass die Seiten \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) gleich lang sind (\(|\vec{a}| = |\vec{b}|\)). Äquivalent dazu stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander.

- Wie berechnet man die Länge eines Vektors und nutzt diese, um einen Vektor der Länge 1 zu erhalten? - Erinnere dich an die Formel für die Projektion eines Vektors auf einen anderen mithilfe des Skalarprodukts. - Wenn ein Vektor in einen parallelen und einen senkrechten Teil zerlegt wird, wie hängen diese Teile mit dem ursprünglichen Vektor zusammen?

1. Berechnung der Länge von \(\vec{a}\): \(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = 5\). Bildung des Einheitsvektors: \(\vec{a}_0 = \frac{1}{5} \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} 0{,}6 \\ 0{,}8 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Skalarprodukts: \(\vec{a}_0 \cdot \vec{b} = 0{,}6 \cdot 1 + 0{,}8 \cdot 2 + 0 \cdot 2 = 2{,}2\). Berechnung des Projektionsvektors: \(\vec{b}_a = (\vec{a}_0 \cdot \vec{b}) \cdot \vec{a}_0 = 2{,}2 \cdot \begin{pmatrix} 0{,}6 \\ 0{,}8 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}32 \\ 1{,}76 \\ 0 \end{pmatrix}\). 3. Da \(\vec{b}_a\) die Projektion auf \(\vec{a}\) ist, gilt \(\vec{b}_1 = \vec{b}_a = \begin{pmatrix} 1{,}32 \\ 1{,}76 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die orthogonale Komponente ergibt sich aus \(\vec{b}_2 = \vec{b} - \vec{b}_1 = \begin{pmatrix} 1 - 1{,}32 \\ 2 - 1{,}76 \\ 2 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0{,}32 \\ 0{,}24 \\ 2 \end{pmatrix}\).

1. \(\vec{a}_0 = \begin{pmatrix} 0{,}6 \\ 0{,}8 \\ 0 \end{pmatrix}\) 2. \(\vec{b}_a = \begin{pmatrix} 1{,}32 \\ 1{,}76 \\ 0 \end{pmatrix}\) 3. \(\vec{b}_1 = \begin{pmatrix} 1{,}32 \\ 1{,}76 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b}_2 = \begin{pmatrix} -0{,}32 \\ 0{,}24 \\ 2 \end{pmatrix}\)

- Was bedeutet das Quadrat des Betrags eines Vektors komponentenweise? - Wende die binomischen Formeln auf die Koordinatensummen an. - Welche Bedingung muss für das Skalarprodukt erfüllt sein, damit zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen? - Welcher bekannte Satz aus der Geometrie beschreibt das Verhältnis der Seitenquadrate in einem rechtwinkligen Dreieck?

1. Darstellung der linken Seite über die Koordinaten des Summenvektors: \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (a_1 + b_1)^2 + (a_2 + b_2)^2 + (a_3 + b_3)^2\). 2. Ausmultiplizieren der Klammern mit der ersten binomischen Formel: \(a_1^2 + 2a_1b_1 + b_1^2 + a_2^2 + 2a_2b_2 + b_2^2 + a_3^2 + 2a_3b_3 + b_3^2\). 3. Gruppierung der quadrierten Komponenten und der gemischten Terme: \((a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) + 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) + (b_1^2 + b_2^2 + b_3^2)\). 4. Identifikation der Terme als \(|\vec{a}|^2\), \(2 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b})\) und \(|\vec{b}|^2\), womit die rechte Seite der Identität gezeigt ist. 5. Im Falle von Orthogonalität gilt \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\). Die Gleichung vereinfacht sich zu \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2\). 6. Dies entspricht dem Satz des Pythagoras für ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten durch \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) und dessen Hypotenuse durch \(\vec{a} + \vec{b}\) repräsentiert werden.

1. Durch Ausmultiplizieren von \(|\vec{a} + \vec{b}|^2\) erhält man koordinatenweise die Summe \(\sum a_i^2 + 2 \sum a_ib_i + \sum b_i^2\), was der rechten Seite entspricht. 2. Für \(\vec{a} \perp \vec{b}\) ist \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\), woraus \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2\) folgt. Dies ist der Satz des Pythagoras.

- Setze für zwei Koordinaten des Vektors \(\vec{x}\) beliebige Werte (z. B. 0) ein und berechne die dritte Koordinate. - Erinnerst du dich an die verschiedenen Formen von Ebenengleichungen? - Was müsste gelten, damit eine mathematische Operation als „Umkehrung“ einer anderen sinnvoll ist? Denke an die Eindeutigkeit.

1. Suche für a) Vektoren \(\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\), die \(2x_1 + x_2 - 2x_3 = 12\) erfüllen. Mögliche Lösungen sind \(\vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) (da \(2 \cdot 6 + 0 - 0 = 12\)) und \(\vec{x}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix}\) (da \(0 + 12 - 0 = 12\)). 2. Zu b): Die Gleichung hat die Form der Koordinatengleichung einer Ebene (\(ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\)). Die Lösungsmenge ist daher eine Ebene im \(\mathbb{R}^3\) mit dem Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). 3. Zu c): Eine Umkehroperation müsste ein eindeutiges Ergebnis liefern. Da es unendlich viele verschiedene Vektoren \(\vec{x}\) gibt (alle Punkte auf der Ebene), die das Skalarprodukt \(12\) mit dem gegebenen Vektor ergeben, lässt sich kein eindeutiger „Quotient“ bestimmen. Die Operation ist nicht umkehrbar.

a) Mögliche Lösungen: \(\vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{x}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix}\). b) Die Lösungsmenge beschreibt eine Ebene im Raum. c) Die Division ist nicht sinnvoll, da sie nicht eindeutig wäre: Es gibt unendlich viele Vektoren, die die Gleichung lösen, sodass man kein eindeutiges Ergebnis für \(\vec{x} = 12 : \vec{n}\) festlegen könnte.

- Wie addiert man zwei Vektoren komponentenweise? - Erinnere dich an die Definition des Skalarprodukts mithilfe von Koordinaten. - Welche Rechengesetze für reelle Zahlen helfen dir, Klammern bei Produkten wie \(x(y + z)\) aufzulösen? - Kannst du die Terme am Ende so sortieren, dass sie wieder die Struktur von Skalarprodukten haben?

1. Bestimmung des Summenvektors \(\vec{b} + \vec{c} = \begin{pmatrix} b_1 + c_1 \\ b_2 + c_2 \\ b_3 + c_3 \end{pmatrix}\). 2. Anwendung der Definition des Skalarprodukts auf die linke Seite: \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = a_1(b_1 + c_1) + a_2(b_2 + c_2) + a_3(b_3 + c_3)\). 3. Auflösen der Klammern mithilfe des Distributivgesetzes für reelle Zahlen: \(a_1b_1 + a_1c_1 + a_2b_2 + a_2c_2 + a_3b_3 + a_3c_3\). 4. Umordnen der Terme mithilfe des Kommutativ- und Assoziativgesetzes der Addition: \((a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) + (a_1c_1 + a_2c_2 + a_3c_3)\). 5. Erkennen der Teilsummen als Definitionen der Skalarprodukte \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) und \(\vec{a} \cdot \vec{c}\), woraus die rechte Seite der Gleichung folgt.

Der Beweis erfolgt durch Einsetzen der Koordinaten: \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 + c_1 \\ b_2 + c_2 \\ b_3 + c_3 \end{pmatrix} = a_1(b_1 + c_1) + a_2(b_2 + c_2) + a_3(b_3 + c_3)\) \(= a_1b_1 + a_1c_1 + a_2b_2 + a_2c_2 + a_3b_3 + a_3c_3\) \(= (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) + (a_1c_1 + a_2c_2 + a_3c_3) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\).

- Kannst du die Gleichung in a) so umstellen, dass auf einer Seite die Null steht? - Was bedeutet es für zwei Vektoren, wenn ihr Skalarprodukt null ist? - Nutze die binomischen Formeln für Vektoren, um den Ausdruck in b) zu vereinfachen. - Wie ist das Skalarprodukt über den eingeschlossenen Winkel definiert? - Welche besonderen Eigenschaften haben Einheitsvektoren bezüglich ihrer Länge?

1. Aussage a) ist falsch. Die Gleichung kann zu \(\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0\) umgeformt werden. Dies bedeutet lediglich, dass \(\vec{a}\) orthogonal zum Differenzvektor \((\vec{b} - \vec{c})\) sein muss, nicht jedoch, dass der Differenzvektor der Nullvektor ist. Ein Gegenbeispiel sind \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Aussage b) ist wahr. Durch Anwendung des Distributivgesetzes ergibt sich \(|\vec{u} + \vec{v}|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} + 2 \cdot (\vec{u} \cdot \vec{v}) + \vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|^2 + 2 \cdot (\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{v}|^2\). Die Gleichheit mit \(|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2\) tritt genau dann ein, wenn \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) ist. 3. Aussage c) ist wahr. Da für Einheitsvektoren \(|\vec{e}_1| = 1\) und \(|\vec{e}_2| = 1\) gilt, folgt aus der Formel \(\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 = |\vec{e}_1| \cdot |\vec{e}_2| \cdot \cos(\alpha) = 1 \cdot 1 \cdot \cos(\alpha) = \cos(\alpha)\). Da die Kosinusfunktion nur Werte zwischen \(-1\) und \(1\) annimmt, gilt dies auch für das Skalarprodukt.

a) Falsch, denn aus \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}\) folgt nur \(\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0\), nicht \(\vec{b} = \vec{c}\). b) Wahr, denn \(|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + 2 \cdot (\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{v}|^2\); die gegebene Gleichheit gilt genau für \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\). c) Wahr, denn für Einheitsvektoren gilt \(\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 = \cos(\alpha)\) und damit liegt der Wert im Intervall \([-1; 1]\).