Kostenlose Arbeitsblätter

- Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei Punkten? - Denk an die Formel für die Länge eines Vektors im Raum. - Wie hängen der Ortsvektor eines Zielpunktes, der Startpunkt und der Verschiebungsvektor zusammen? - Was bedeutet die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl für seine Komponenten?

1. Berechnung des Verbindungsvektors durch Subtraktion der Ortsvektoren: \(\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} -1 - 2 \\ 1 - (-3) \\ 1 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Betrags von \(\vec{PQ}\) mithilfe der Wurzel aus der Summe der Quadrate der Komponenten: \(|\vec{PQ}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5\). 3. Bestimmung des Vektors \(\vec{QR}\) durch Multiplikation von \(\vec{PQ}\) mit dem Skalar \(2\): \(\vec{QR} = 2 \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix}\). 4. Berechnung des Ortsvektors von \(R\) durch Addition: \(\vec{r} = \vec{q} + \vec{QR} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 9 \\ 1 \end{pmatrix}\). Somit ist \(R(-7|9|1)\).

a) \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(|\vec{PQ}| = 5\) b) \(R(-7|9|1)\)

- Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei Punkten im Raum? - Erinnere dich an die Formel für den Betrag eines Vektors, um die Abstände zu bestimmen. - Was muss für die Seitenlängen gelten, damit ein Dreieck gleichschenklig ist? Und was für ein gleichseitiges Dreieck?

1. Berechnung der Verbindungsvektoren: \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 1-1 \\ 4-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\) \(\vec{QR} = \begin{pmatrix} 2-5 \\ 5-1 \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}\) \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} 2-2 \\ 5-1 \\ 3-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\) 2. Berechnung der Seitenlängen: \(|\vec{PQ}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\) \(|\vec{QR}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{26} \approx 5{,}10\) \(|\vec{PR}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\) 3. Vergleich der Längen: Da zwei Seiten gleich lang sind (\(|\vec{PQ}| = |\vec{PR}| = 5\)), ist das Dreieck gleichschenklig. Da die dritte Seite eine andere Länge hat (\(\sqrt{26} \neq 5\)), ist es nicht gleichseitig.

a) Die Seitenlängen betragen \(|\vec{PQ}| = 5\), \(|\vec{QR}| = \sqrt{26} \approx 5{,}10\) und \(|\vec{PR}| = 5\). b) Das Dreieck ist gleichschenklig, da die Schenkel \(PQ\) und \(PR\) mit jeweils \(5\) Längeneinheiten gleich lang sind. Es ist nicht gleichseitig, da die Basis \(QR\) eine andere Länge hat.

- Wie stellt man den Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten auf? - Welche Formel nutzt man, um die Länge (den Betrag) eines Vektors zu bestimmen? - Setze die Formel für die Länge gleich dem gegebenen Wert und versuche, nach der Unbekannten aufzulösen. - Gibt es geometrisch gesehen vielleicht mehr als eine Position für den Punkt, die die Bedingung erfüllt?

1. Der Verbindungsvektor wird berechnet durch \(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 4-2 \\ 1-k \\ -3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1-k \\ -4 \end{pmatrix}\). 2. Die Bedingung für die Länge lautet \(|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (1-k)^2 + (-4)^2} = 6\). 3. Quadrieren der Gleichung führt auf \(4 + (1-k)^2 + 16 = 36\). 4. Vereinfachen ergibt \(20 + (1-k)^2 = 36\), also \((1-k)^2 = 16\). 5. Das Lösen der reinquadratischen Gleichung liefert \(1-k = 4\) (woraus \(k = -3\) folgt) oder \(1-k = -4\) (woraus \(k = 5\) folgt).

Die möglichen Werte sind \(k_1 = -3\) und \(k_2 = 5\).

- Wie kombiniert man die einzelnen Koordinaten der Vektoren, um eine einzige Zahl zu erhalten? - Welche Bedeutung haben ein positives, ein negatives oder ein verschwindendes Ergebnis für die Geometrie zwischen den Vektoren? - Denk an den Zusammenhang zwischen dem Skalarprodukt und dem Kosinus des Winkels.

1. Berechnung des Skalarprodukts durch komponentenweise Multiplikation und Summation: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 2 + (-1) \cdot 5 + 2 \cdot (-3) = 8 - 5 - 6 = -3\). 2. Interpretation des Vorzeichens: Da das Skalarprodukt \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -3 < 0\) ist, ist der eingeschlossene Winkel stumpf (größer als \(90^\circ\)).

a) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -3\) b) Der Winkel ist stumpf, da das Skalarprodukt negativ ist.

- Woran erkennst du mithilfe eines Rechenverfahrens, ob zwei Vektoren einen rechten Winkel einschließen? - Gehe systematisch vor und prüfe nacheinander alle Kombinationen der Vektoren. - Achte beim Rechnen besonders auf die Vorzeichen der einzelnen Koordinaten.

1. Berechnung der Skalarprodukte für alle möglichen Vektorpaare: - \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 2 = 2 + 2 - 4 = 0\) - \(\vec{a} \cdot \vec{c} = 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) + (-2) \cdot 1 = 4 - 2 - 2 = 0\) - \(\vec{a} \cdot \vec{d} = 2 \cdot 0 + 1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-2) = 0 + 4 + 4 = 8 \neq 0\) - \(\vec{b} \cdot \vec{c} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = 2 - 4 + 2 = 0\) - \(\vec{b} \cdot \vec{d} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-2) = 0 + 8 - 4 = 4 \neq 0\) - \(\vec{c} \cdot \vec{d} = 2 \cdot 0 + (-2) \cdot 4 + 1 \cdot (-2) = 0 - 8 - 2 = -10 \neq 0\) 2. Identifikation der orthogonalen Paare: Die Paare mit einem Skalarprodukt von null sind orthogonal. Dies sind \((\vec{a}, \vec{b})\), \((\vec{a}, \vec{c})\) und \((\vec{b}, \vec{c})\).

Die Vektorpaare \((\vec{a}, \vec{b})\), \((\vec{a}, \vec{c})\) und \((\vec{b}, \vec{c})\) sind jeweils orthogonal zueinander.

- Überlege, was das Skalarprodukt über den Winkel zwischen zwei Vektoren aussagt. - Erinnerst du dich an einen speziellen Winkel, bei dem das Ergebnis einer Kosinus-Berechnung null wird? - Versuche, Vektoren zu wählen, die entlang der Koordinatenachsen liegen.

1. Die Regel lässt sich nicht direkt übertragen, da das Skalarprodukt zweier Vektoren auch dann null sein kann, wenn keiner der Vektoren der Nullvektor ist. 2. Beispiel für zwei solche Vektoren: \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 3. Überprüfung des Skalarprodukts: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0\). 4. Da beide Vektoren eine Länge von \(1\) haben (also keine Nullvektoren sind), ist die Bedingung erfüllt. 5. Geometrische Bedingung: Das Skalarprodukt zweier von Null verschiedener Vektoren ist genau dann null, wenn die Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander stehen.

Die Regel ist nicht übertragbar. Ein Gegenbeispiel sind die Vektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), für die \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) gilt, obwohl beide ungleich \(\vec{0}\) sind. Die geometrische Bedingung ist die Orthogonalität (\(\vec{u} \perp \vec{v}\)).

- Wie berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren, wenn deren Koordinaten bekannt sind? - Erinnere dich an die binomischen Formeln aus der Algebra. Welche davon passt zur Struktur der Terme? - Wie ist der Betrag (die Länge) eines Vektors über seine Koordinaten definiert? - Überlege, wie du die Summe so umstellen kannst, dass die Beträge der einzelnen Vektoren sichtbar werden.

1. Aufstellen der Summen- und Differenzvektoren in Koordinatenschreibweise: \(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ u_3 + v_3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{u} - \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 - v_1 \\ u_2 - v_2 \\ u_3 - v_3 \end{pmatrix}\). 2. Anwendung der Definition des Skalarprodukts auf die linke Seite: \((u_1 + v_1)(u_1 - v_1) + (u_2 + v_2)(u_2 - v_2) + (u_3 + v_3)(u_3 - v_3)\). 3. Vereinfachung der einzelnen Summanden mithilfe der dritten binomischen Formel: \((u_1^2 - v_1^2) + (u_2^2 - v_2^2) + (u_3^2 - v_3^2)\). 4. Umordnung der Terme nach Vektorkomponenten: \((u_1^2 + u_2^2 + u_3^2) - (v_1^2 + v_2^2 + v_3^2)\). 5. Einsetzen der Definition des Betragsquadrats \(|\vec{a}|^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2\), woraus die rechte Seite \(|\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2\) folgt.

Die koordinatenweise Berechnung der linken Seite ergibt \((u_1^2 - v_1^2) + (u_2^2 - v_2^2) + (u_3^2 - v_3^2)\). Durch Umstellen erhält man \((u_1^2 + u_2^2 + u_3^2) - (v_1^2 + v_2^2 + v_3^2)\), was exakt der rechten Seite \(|\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2\) entspricht.

- Welche Eigenschaft des Skalarprodukts hilft dir bei der Orthogonalität weiter? - Stelle eine Gleichung für den Betrag des Vektors auf. - Du hast nun zwei Gleichungen. Wie kannst du eine Unbekannte eliminieren? - Überlege, ob es aufgrund der Quadrate in der Längenberechnung mehrere Lösungen geben könnte.

1. Skalarprodukt für Orthogonalität nutzen: Da \(\vec{n} \perp \vec{w}\) gilt, ist \(\vec{n} \cdot \vec{w} = 3a - 4b + 0 \cdot 12 = 0\). Dies führt zur Beziehung \(3a = 4b\) bzw. \(a = \frac{4}{3}b\). 2. Längenbedingung anwenden: Die Länge von \(\vec{w}\) ist \(|\vec{w}| = \sqrt{a^2 + b^2 + 12^2} = 13\). Quadrieren ergibt \(a^2 + b^2 + 144 = 169\), was zu \(a^2 + b^2 = 25\) führt. 3. Gleichungssystem lösen: Einsetzen von \(a = \frac{4}{3}b\) in die Kreisgleichung ergibt \((\frac{4}{3}b)^2 + b^2 = 25\). Dies führt zu \(\frac{16}{9}b^2 + \frac{9}{9}b^2 = 25\), also \(\frac{25}{9}b^2 = 25\). 4. Ergebnisse berechnen: Es folgt \(b^2 = 9\), woraus sich \(b_1 = 3\) und \(b_2 = -3\) ergeben. Durch Einsetzen in die erste Beziehung erhält man \(a_1 = 4\) und \(a_2 = -4\).

Es gibt zwei mögliche Wertepaare: 1. \(a = 4\) und \(b = 3\) 2. \(a = -4\) und \(b = -3\)

- Welche Formel verknüpft das Skalarprodukt mit den Längen der Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel? - Vergleiche die gegebene Gleichung mit der allgemeinen Definition. Was muss für den Kosinus-Teil gelten? - Was bedeutet ein Winkel von \(0^\circ\) oder \(180^\circ\) für die Ausrichtung zweier Pfeile im Raum?

1. Anwendung der Definition des Skalarprodukts: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\alpha)\). 2. Gleichsetzen mit der Bedingung aus der Aufgabenstellung: \(|\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\alpha) = -|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|\). 3. Da die Vektoren keine Nullvektoren sind, folgt durch Division \(\cos(\alpha) = -1\). 4. Bestimmung des Winkels: \(\alpha = \arccos(-1) = 180^\circ\). 5. Geometrische Schlussfolgerung: Die Vektoren sind kollinear und entgegengesetzt gerichtet (antiparallel).

Der Winkel beträgt \(\alpha = 180^\circ\). Die Vektoren sind kollinear und zeigen in entgegengesetzte Richtungen (sie sind antiparallel).

- Beginne damit, die Vektoren der gegenüberliegenden Seiten zu berechnen. - Wann nennt man zwei Vektoren parallel (kollinear)? - Reicht es für ein Parallelogramm aus, wenn die Seiten nur parallel sind, oder müssen sie noch eine weitere Bedingung erfüllen? - Wenn eine Eigenschaft wie „Parallelogramm“ nicht erfüllt ist, kann dann eine speziellere Form wie „Raute“ vorliegen?

1. Bestimmung der Vektoren für ein Paar gegenüberliegender Seiten: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 4-2 \\ 3-2 \\ 5-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Überprüfung auf Parallelität: Es gilt \(\vec{AB} = 2 \cdot \vec{DC}\). Da die Vektoren kollinear sind, sind die Seiten \(AB\) und \(DC\) parallel. Das Viereck ist somit ein Trapez. 3. Überprüfung auf Parallelogramm: Da \(\vec{AB} \neq \vec{DC}\) (die Seiten sind nicht gleich lang), ist das Viereck kein Parallelogramm. 4. Da es kein Parallelogramm ist, kann es auch keine Raute sein.

Das Viereck \(ABCD\) ist ein Trapez, aber kein Parallelogramm und keine Raute.

- Wie berechnet man die Länge eines Vektors aus seinen Koordinaten? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl quadrierst? - Erinnere dich daran, dass das Quadrat einer Quadratwurzel \(\sqrt{x}\) genau \(x\) ergibt. - Kannst du die Formel für den Betrag eines Vektors im dreidimensionalen Raum anwenden?

1. Für \(\vec{a}\): Berechnung der Quadratsumme der Komponenten: \((-8)^2 + 12^2 + 9^2 = 64 + 144 + 81 = 289\). Die Länge ist die Wurzel daraus: \(\sqrt{289} = 17\). 2. Für \(\vec{b}\): Die Quadrate der Wurzeln ergeben die Radikanden: \((\sqrt{13})^2 + (\sqrt{15})^2 + (\sqrt{21})^2 = 13 + 15 + 21 = 49\). Die Länge beträgt \(\sqrt{49} = 7\). 3. Für \(\vec{c}\): Quadratsumme bilden: \(1{,}5^2 + (-2)^2 + 6^2 = 2{,}25 + 4 + 36 = 42{,}25\). Die Länge ist \(\sqrt{42{,}25} = 6{,}5\).

a) \(|\vec{a}| = 17\) b) \(|\vec{b}| = 7\) c) \(|\vec{c}| = 6{,}5\)

- Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Welche Formel hilft dir, die Länge (den Betrag) eines Vektors aus seinen Komponenten zu berechnen? - Was musst du mit einem Vektor tun, damit er kürzer oder länger wird, aber seine Richtung beibehält? - Wie verändert sich die Gesamtlänge eines Vektors, wenn du jede seiner Komponenten durch denselben Wert teilst?

1. Berechnung des Verbindungsvektors durch Subtraktion der Punktkoordinaten: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 7 - 3 \\ 2 - (-2) \\ 3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der Länge mittels der Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate: \(|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6\). 3. Bestimmung des Einheitsvektors durch Skalierung mit dem Kehrwert der Länge: \(\vec{u} = \frac{1}{6} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\) b) \(|\vec{AB}| = 6\) c) \(\vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}\)

- Wie berechnet man die Länge eines Vektors aus seinen Koordinaten? - Was passiert mit den einzelnen Komponenten eines Vektors, wenn man ihn mit einer Zahl multipliziert? - Überlege dir, ob das Vorzeichen einer Zahl Einfluss auf die Länge eines damit multiplizierten Vektors hat. - Erinnere dich an die Definition des Betrags einer reellen Zahl.

1. Berechnung des Betrags von \(\vec{u}\): \(|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\). 2. Berechnung über Komponenten: \(\vec{v} = -2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ -24 \end{pmatrix}\). Der Betrag ist \(|\vec{v}| = \sqrt{(-6)^2 + 8^2 + (-24)^2} = \sqrt{36 + 64 + 576} = \sqrt{676} = 26\). 3. Berechnung über die Skalierungseigenschaft: \(|\vec{v}| = |-2| \cdot |\vec{u}| = 2 \cdot 13 = 26\). 4. Vergleich und Erläuterung: Beide Rechenwege führen zum selben Ergebnis \(26\). Der Skalierungsfaktor \(k = -2\) bewirkt eine Verdopplung der Länge, da der Betrag des Faktors \(|k| = 2\) entscheidend für die Längenänderung ist, während das negative Vorzeichen lediglich die Orientierung des Vektors umkehrt.

a) \(|\vec{u}| = 13\) b) 1. \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ -24 \end{pmatrix} \Rightarrow |\vec{v}| = 26\); 2. \(|\vec{v}| = 2 \cdot 13 = 26\) c) Beide Wege ergeben \(26\). Die Länge verdoppelt sich, da \(|-2| = 2\).

- Erinnere dich an die Formel für den Betrag eines Vektors im dreidimensionalen Raum. - Wie gehst du mit negativen Vorzeichen unter der Wurzel um? - Was passiert, wenn du eine Quadratwurzel quadrierst? - Berechne am besten zuerst alle Beträge einzeln und vergleiche dann die Ergebnisse.

Um die Längen zu vergleichen, wird für jeden Vektor der Betrag mit der Formel \(|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\) berechnet. 1. Berechnung für die erste Gruppe: \(|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3\) \(|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 0^2} = 3\) \(|\vec{c}| = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{5 + 4} = 3\) \(|\vec{d}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\) Diese Vektoren haben alle die Länge \(3\). 2. Berechnung für die zweite Gruppe: \(|\vec{e}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5\) \(|\vec{f}| = \sqrt{0^2 + (-5)^2 + 0^2} = 5\) \(|\vec{g}| = \sqrt{(\sqrt{20})^2 + (\sqrt{5})^2 + 0^2} = \sqrt{20 + 5} = 5\) \(|\vec{h}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\) Diese Vektoren haben alle die Länge \(5\).

Die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) und \(\vec{d}\) haben alle die Länge \(3\). Die Vektoren \(\vec{e}\), \(\vec{f}\), \(\vec{g}\) und \(\vec{h}\) haben alle die Länge \(5\).

- Wie berechnet man die Länge eines Vektors im Raum? - Was bedeutet es für die Komponenten eines Vektors, wenn er die Länge 1 haben soll? - Überlege dir, wie du einen Vektor „schrumpfen“ oder „strecken“ kannst, ohne seine Richtung zu ändern. - Welche Rolle spielt der Betrag eines Vektors bei dieser Darstellung?

1. Berechnung des Betrags von \(\vec{v}\): \(|\vec{v}| = \sqrt{(-4)^2 + 7^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 49 + 16} = \sqrt{81} = 9\). 2. Bestimmung des Einheitsvektors \(\vec{u}\) durch Normierung: \(\vec{u} = \frac{1}{|\vec{v}|} \cdot \vec{v} = \frac{1}{9} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{4}{9} \\ \frac{7}{9} \\ \frac{4}{9} \end{pmatrix}\). 3. Darstellung als Vielfaches: \(\vec{v} = 9 \cdot \begin{pmatrix} -\frac{4}{9} \\ \frac{7}{9} \\ \frac{4}{9} \end{pmatrix}\).

\(\vec{v} = 9 \cdot \begin{pmatrix} -\frac{4}{9} \\ \frac{7}{9} \\ \frac{4}{9} \end{pmatrix}\)

- Wie berechnest du die Länge eines Vektors aus seinen Koordinaten? - Was passiert mit der Länge eines Vektors, wenn du ihn mit einer Zahl multiplizierst? - Bedenke, dass der Betrag einer Zahl immer positiv ist, die Zahl selbst aber auch negativ sein kann.

1. Berechnung der Länge des Vektors \(\vec{a}\): \(|\vec{a}| = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7\). 2. Aufstellen der Gleichung für die Länge des skalierten Vektors: \(|\vec{v}| = |c| \cdot |\vec{a}| = 10{,}5\). 3. Einsetzen des Wertes von \(|\vec{a}|\) und Auflösen nach dem Betrag von \(c\): \(|c| \cdot 7 = 10{,}5 \implies |c| = 1{,}5\). 4. Berücksichtigung beider Vorzeichen für \(c\): \(c_1 = 1{,}5\) und \(c_2 = -1{,}5\).

\(c = 1{,}5\) oder \(c = -1{,}5\)

- Wann stehen zwei Vektoren im rechten Winkel zueinander? - Wie berechnet man das Skalarprodukt von zwei Vektoren? - Stelle eine Gleichung auf, in der das Skalarprodukt vorkommt.

1. Orthogonalitätsbedingung aufstellen: Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\). 2. Skalarprodukt berechnen: \(2 \cdot (k + 1) + k \cdot 3 + (-4) \cdot 2 = 2k + 2 + 3k - 8 = 5k - 6\). 3. Gleichung lösen: \(5k - 6 = 0\) führt zu \(5k = 6\), also \(k = 1{,}2\). Für \(k = 1{,}2\) sind die Vektoren orthogonal.

\(k = 1{,}2\)

- Wie multipliziert man die einzelnen Komponenten zweier Vektoren miteinander? - Was musst du am Ende mit den Ergebnissen der Multiplikationen machen? - Gibt es eine Regel, wie man mit Klammern bei Vektoren umgeht? - Kannst du die Aufgabe c) auf zwei verschiedene Arten lösen?

1. Berechnung von \(\vec{a} \cdot \vec{b}\): \(4 \cdot 1 + (-3) \cdot 2 + 2 \cdot 5 = 4 - 6 + 10 = 8\). 2. Berechnung von \(\vec{c} \cdot \vec{d}\): \((-2) \cdot 3 + 6 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = -6 + 6 + 0 = 0\). 3. Berechnung von \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c})\): Zuerst Summe bilden \(\vec{b} + \vec{c} = \begin{pmatrix} 1-2 \\ 2+6 \\ 5+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix}\). Dann Skalarprodukt: \(4 \cdot (-1) + (-3) \cdot 8 + 2 \cdot 6 = -4 - 24 + 12 = -16\). Alternativ über Distributivgesetz: \(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 8 + (4 \cdot (-2) + (-3) \cdot 6 + 2 \cdot 1) = 8 + (-8 - 18 + 2) = 8 - 24 = -16\).

a) \(8\) b) \(0\) c) \(-16\)

- Welche Vektoren bilden die Seiten des Dreiecks, die sich im Punkt \(A\) treffen? - Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Welches Kriterium muss für die Richtungsvektoren der Seiten erfüllt sein, damit ein rechter Winkel vorliegt?

1. Bestimmung der Richtungsvektoren der Dreiecksseiten, die im Punkt \(A\) zusammentreffen: \(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Überprüfung der Orthogonalität mittels Skalarprodukt: \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) = -2 + 4 - 2 = 0\). 3. Da das Skalarprodukt den Wert \(0\) hat, sind die Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) orthogonal. Somit liegt bei \(A\) ein rechter Winkel vor.

Ja, das Dreieck \(ABC\) besitzt im Punkt \(A\) einen rechten Winkel, da das Skalarprodukt der Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) null ergibt.

- Überlege dir bei jedem Teilschritt, ob das Ergebnis ein Skalar (eine Zahl) oder ein Vektor ist. - Welche Rechenoperationen sind für welche Objekttypen (Skalar, Vektor) definiert? - Kann eine Zahl jemals dasselbe sein wie ein Vektor? - Was ergibt das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst?

1. Ausdruck a) ist nicht definiert: Das Skalarprodukt \(\vec{b} \cdot \vec{c}\) ergibt eine reelle Zahl (Skalar). Das Skalarprodukt ist jedoch nur zwischen zwei Vektoren definiert, nicht zwischen einem Vektor \(\vec{a}\) und einem Skalar. 2. Ausdruck b) ist nicht definiert: Das Ergebnis von \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) ist ein Skalar. Die Addition ist nur zwischen Objekten gleichen Typs (Skalar + Skalar oder Vektor + Vektor) definiert; ein Skalar kann nicht zu einem Vektor \(\vec{c}\) addiert werden. 3. Ausdruck c) ist sinnvoll definiert: Das Skalarprodukt \(\vec{a} \cdot \vec{a}\) ergibt den Skalar \(|\vec{a}|^2\). Die Division einer reellen Zahl durch eine andere reelle Zahl (\(|\vec{a}|\)) ist zulässig. Das Ergebnis ist der Betrag \(|\vec{a}|\). 4. Zu d): Das Skalarprodukt \(\vec{a} \cdot \vec{a}\) ist der nichtnegative Skalar \(|\vec{a}|^2\). Seine Quadratwurzel ist die reelle Zahl \(|\vec{a}|\). Da die linke Seite der Gleichung ein Skalar und die rechte Seite ein Vektor ist, ist die Gleichung aufgrund unterschiedlicher Objekttypen im Allgemeinen nicht korrekt.

a) Nicht definiert (Skalarprodukt zwischen Vektor und Skalar existiert nicht). b) Nicht definiert (Addition von Skalar und Vektor nicht möglich). c) Definiert; das Ergebnis ist der Skalar \(|\vec{a}|\). d) \(\sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt{|\vec{a}|^2} = |\vec{a}|\). Dies ist eine Zahl, während \(\vec{a}\) ein Vektor ist. Ein Skalar und ein Vektor können nicht gleichgesetzt werden.

- Was passiert mit den einzelnen Koordinaten eines Vektors bei der Multiplikation mit einem Skalar? - Schreibe die linke Seite der Gleichung schrittweise in Koordinaten auf. - Gibt es ein Gesetz für reelle Zahlen, mit dem man einen gemeinsamen Faktor aus einer Summe herausziehen kann? - Vergleiche dein Ergebnis mit der Definition des Skalarprodukts von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\).

1. Berechnung des skalar multiplizierten Vektors: \(k \cdot \vec{u} = \begin{pmatrix} k u_1 \\ k u_2 \\ k u_3 \end{pmatrix}\). 2. Bildung des Skalarprodukts mit \(\vec{v}\): \((k \cdot \vec{u}) \cdot \vec{v} = (k u_1) v_1 + (k u_2) v_2 + (k u_3) v_3\). 3. Anwendung des Assoziativgesetzes der Multiplikation in \(\mathbb{R}\): \(k (u_1 v_1) + k (u_2 v_2) + k (u_3 v_3)\). 4. Ausklammern des Faktors \(k\) mithilfe des Distributivgesetzes in \(\mathbb{R}\): \(k (u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3)\). 5. Der Ausdruck in der Klammer entspricht der Definition von \(\vec{u} \cdot \vec{v}\), womit \(k \cdot (\vec{u} \cdot \vec{v})\) gezeigt ist.

Durch koordinatenweise Rechnung ergibt sich: \((k \cdot \vec{u}) \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} k u_1 \\ k u_2 \\ k u_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = (k u_1)v_1 + (k u_2)v_2 + (k u_3)v_3\) \(= k(u_1 v_1) + k(u_2 v_2) + k(u_3 v_3) = k(u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3) = k \cdot (\vec{u} \cdot \vec{v})\). Das entscheidende Gesetz ist das Distributivgesetz für reelle Zahlen (zum Ausklammern von \(k\)).

- Ist das Ergebnis eines Skalarprodukts eine Zahl oder ein Vektor? - Prüfe die Vorzeichen bei der Multiplikation und der anschließenden Addition genau. - Wie lautet die genaue Rechenvorschrift für das Skalarprodukt zweier Vektoren?

1. In Teilaufgabe a) wurde ein Vektor als Ergebnis angegeben. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist jedoch immer ein Skalar (eine Zahl). Hier wurden die Komponenten fälschlicherweise komponentenweise multipliziert, anstatt die Produkte zu addieren. Richtiges Ergebnis: \(3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 5 \cdot 0 = 8\). 2. In Teilaufgabe b) liegt ein Vorzeichenfehler in der Addition vor. Der Term \(-1 \cdot 2\) wurde fälschlicherweise als \(+2\) gewertet. Richtiges Ergebnis: \(4 + 6 - 2 = 8\). 3. In Teilaufgabe c) wurden alle Komponenten beider Vektoren addiert, anstatt die entsprechenden Komponenten zu multiplizieren und diese Produkte zu summieren. Richtiges Ergebnis: \(1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 8\).

a) Fehler: Ergebnis ist ein Vektor statt eines Skalars. Richtiges Ergebnis: \(8\). b) Fehler: Vorzeichenfehler bei der Verrechnung von \(-1 \cdot 2\). Richtiges Ergebnis: \(8\). c) Fehler: Addition aller Komponenten statt Bildung der Summe der Produkte. Richtiges Ergebnis: \(8\).

- Was muss für das Skalarprodukt zweier Vektoren gelten, damit sie senkrecht aufeinanderstehen? - Der Umfang ist die Summe aller drei Seitenlängen. - Welche Besonderheit beim Berechnen des Flächeninhalts ergibt sich, wenn ein rechter Winkel vorliegt?

1. Aufstellen der Vektoren vom Punkt \(P\) aus: \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Überprüfung auf Orthogonalität: \(\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) = -2 + 4 - 2 = 0\). Da das Skalarprodukt null ist, beträgt der Winkel bei \(P\) genau \(90^\circ\). 3. Berechnung der Seitenlängen: \(|\vec{PQ}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = 3\), \(|\vec{PR}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = 3\). Die Hypotenuse ist \(|\vec{QR}| = \sqrt{(-1-2)^2 + (2-2)^2 + (-2-1)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24\). 4. Berechnung des Umfangs: \(U = 3 + 3 + 3\sqrt{2} = 6 + 3\sqrt{2} \approx 10{,}24\). 5. Berechnung des Flächeninhalts für das rechtwinklige Dreieck: \(A = \frac{1}{2} \cdot |\vec{PQ}| \cdot |\vec{PR}| = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4{,}5\).

a) Da \(\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = 0\), ist das Dreieck bei \(P\) rechtwinklig. b) Der Umfang beträgt ca. \(10{,}24\,\text{LE}\). c) Der Flächeninhalt beträgt \(4{,}5\,\text{FE}\).

- Wie kannst du mit Vektoren zeigen, dass gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind? - Welches Rechenverfahren hilft dir zu prüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinanderstehen? - Was ist die zusätzliche Bedingung, damit aus einem Rechteck ein Quadrat wird? - Berechne die Längen der Vektoren, um die Seitenlängen zu vergleichen.

1. Berechnung der Verbindungsvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(\vec{CD} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Prüfung auf Parallelogramm: Da \(\vec{AB} = -\vec{CD} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), liegen gegenüberliegende Seiten parallel und sind gleich lang. Es handelt sich um ein Parallelogramm. 3. Prüfung auf rechte Winkel: Das Skalarprodukt \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 3 = 0\) zeigt, dass die Seiten \(\overline{AB}\) und \(\overline{BC}\) orthogonal sind. Somit ist das Viereck ein Rechteck. 4. Prüfung auf Quadrat (Seitenlängen): \(|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 0^2} = 4\) und \(|\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}61\). Da die benachbarten Seiten nicht gleich lang sind (\(4 \neq \sqrt{13}\)), ist das Rechteck kein Quadrat.

Das Viereck \(ABCD\) ist ein Rechteck, da die gegenüberliegenden Seiten parallel sind (\(\vec{AB} = \vec{DC}\)) und benachbarte Seiten orthogonal zueinander stehen (\(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0\)). Es ist jedoch kein Quadrat, da die Seitenlängen mit \(|\vec{AB}| = 4\) und \(|\vec{BC}| = \sqrt{13}\) unterschiedlich sind.

- Bestimme zuerst die Koordinaten der beteiligten Punkte oder stelle die Vektoren direkt auf. - Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit zwei Vektoren im Raum senkrecht aufeinander stehen? - Führe die Rechnung allgemein mit der Kantenlänge \(a\) durch.

1. Bestimmung der Richtungsvektoren: \(\vec{OF} = \vec{F} - \vec{O} = \begin{pmatrix} a \\ a \\ a \end{pmatrix}\) und \(\vec{EB} = \vec{B} - \vec{E} = \begin{pmatrix} a-a \\ a-0 \\ 0-a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ a \\ -a \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Skalarprodukts: \(\vec{OF} \cdot \vec{EB} = a \cdot 0 + a \cdot a + a \cdot (-a)\). 3. Vereinfachung des Terms: \(0 + a^2 - a^2 = 0\). 4. Interpretation: Da das Skalarprodukt für jede Kantenlänge \(a > 0\) den Wert \(0\) ergibt, stehen die Raumdiagonale \(OF\) und die Flächendiagonale \(EB\) orthogonal (senkrecht) zueinander.

Die Raumdiagonale \(OF\) und die Flächendiagonale \(EB\) stehen orthogonal zueinander, da ihr Skalarprodukt \(\vec{OF} \cdot \vec{EB} = a \cdot 0 + a \cdot a + a \cdot (-a) = 0\) ergibt.

- Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei Punkten? - Welche Formel hilft dir, die Länge eines Vektors aus seinen Koordinaten zu bestimmen? - Was sagt ein Skalarprodukt von null über die Lage zweier Vektoren zueinander aus? - Muss man alle möglichen Paare von Vektoren prüfen, wenn man bereits ein Skalarprodukt von null gefunden hat?

1. Berechnung der Verbindungsvektoren: \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(\vec{QR} = \begin{pmatrix} -5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der Seitenlängen über den Betrag der Vektoren: \(|\vec{PQ}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{13}\), \(|\vec{PR}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{22}\), \(|\vec{QR}| = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{35}\). 3. Untersuchung auf Orthogonalität mittels Skalarprodukt: \(\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = 2 \cdot (-3) + 3 \cdot 2 + 0 \cdot 3 = -6 + 6 + 0 = 0\). 4. Da das Skalarprodukt der Vektoren \(\vec{PQ}\) und \(\vec{PR}\) null ist, liegt am Eckpunkt \(P\) ein rechter Winkel vor.

a) Die Seitenlängen betragen \(|\vec{PQ}| = \sqrt{13}\), \(|\vec{PR}| = \sqrt{22}\) und \(|\vec{QR}| = \sqrt{35}\). b) Das Dreieck ist rechtwinklig, da das Skalarprodukt \(\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = 0\) ist. Der rechte Winkel liegt am Punkt \(P\).

- Wo genau befindet sich die Spitze einer geraden Pyramide im Verhältnis zur Grundfläche? - In welcher Ebene liegen die Punkte der Grundfläche? Was sagt das über die Richtung der Höhe aus? - Wie lässt sich der Mittelpunkt eines Quadrats aus seinen Eckpunkten berechnen? - Wie hängen der Mittelpunkt, die Höhe und die Spitze der Pyramide zusammen? - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Vektor von einer Ecke zur Spitze und der gegebenen Kantenlänge?

1. Da die Grundfläche in der Ebene \(z=2\) liegt, wird der Mittelpunkt \(M\) der quadratischen Grundfläche durch Mittelwertbildung der gegenüberliegenden Eckpunkte \(A\) und \(C\) bestimmt: \(M\left(\frac{1+7}{2} \big| \frac{1+7}{2} \big| 2\right) = (4|4|2)\). 2. Bei einer geraden Pyramide liegt die Spitze \(S\) senkrecht über dem Mittelpunkt \(M\). Da die Grundfläche parallel zur \(xy\)-Ebene verläuft, hat die Spitze die Form \(S(4|4|2+h)\). 3. Der Vektor \(\vec{AS}\) lautet somit \(\vec{AS} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 4-1 \\ (2+h)-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ h \end{pmatrix}\). 4. Die Bedingung für die Kantenlänge lautet \(|\vec{AS}|^2 = 3^2 + 3^2 + h^2 = 43\). 5. Dies führt zu \(18 + h^2 = 43\), also \(h^2 = 25\), woraus \(h_1 = 5\) und \(h_2 = -5\) folgen. 6. Die Koordinaten der Spitze sind somit \(S_1(4|4|7)\) und \(S_2(4|4|-3)\).

\(S_1(4|4|7)\) und \(S_2(4|4|-3)\)

- Wie berechnet man die Länge eines Vektors aus seinen Komponenten? - Wenn zwei Vektoren die gleiche Länge haben sollen, was muss dann für ihre Betragsquadrate gelten? - Achte auf die Bedingung für den gesuchten Wert von \(z\).

1. Berechnung des Betrags von \(\vec{a}\): \(|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7\). 2. Aufstellen der Gleichung für den Betrag von \(\vec{b}\): \(|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + z^2} = \sqrt{36 + 9 + z^2} = \sqrt{45 + z^2}\). 3. Gleichsetzen der Beträge: \(\sqrt{45 + z^2} = 7\). 4. Quadrieren beider Seiten führt zu \(45 + z^2 = 49\). 5. Auflösen nach \(z\): \(z^2 = 4 \implies z = 2\) oder \(z = -2\). Da \(z \in \mathbb{R}^+\) gefordert ist, ist das Ergebnis \(z = 2\).

a) \(|\vec{a}| = 7\) b) \(z = 2\)

- Welches Rechenwerkzeug hilft dir zu entscheiden, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinanderstehen? - Um die Form des Dreiecks zu bestimmen, solltest du die Vektoren zwischen den Eckpunkten betrachten. - Reicht es aus, nur ein Skalarprodukt zu prüfen? Überlege, an welchen Ecken ein rechter Winkel vorliegen könnte. - Wie hängen die Längen der Vektoren mit der Eigenschaft „gleichschenklig“ zusammen?

1. Bestimmung der Vektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Prüfung auf Orthogonalität mittels Skalarprodukt: \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \cdot (-2) + 1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-1) = -4 + 2 + 2 = 0\). Da das Skalarprodukt null ist, sind \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) orthogonal; das Dreieck hat bei \(A\) einen rechten Winkel. 3. Prüfung auf Gleichschenkligkeit durch Längenvergleich: \(|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3\) \(|\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3\) \(|\vec{BC}| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24\) 4. Ergebnis: Da \(|\vec{AB}| = |\vec{AC}|\) gilt, ist das Dreieck gleichschenklig.

Das Dreieck ist rechtwinklig mit dem rechten Winkel am Eckpunkt \(A\), da \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0\) gilt. Zudem ist es gleichschenklig, da die Seiten \(AB\) und \(AC\) beide die Länge \(3\) besitzen.

- Welche besondere Eigenschaft haben die Koordinaten eines Punktes, der direkt auf der \(y\)-Achse liegt? - Wie berechnet man allgemein den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der nur noch eine Koordinate unbekannt ist? - Denke daran, dass eine quadratische Gleichung beim Lösen oft zwei mögliche Ergebnisse liefert.

1. Ein allgemeiner Punkt auf der \(y\)-Achse hat die Form \(P(0|y|0)\). 2. Die Abstandsformel zwischen \(A\) und \(P\) liefert die Gleichung \(\sqrt{(0-1)^2 + (y-3)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{26}\). 3. Durch Quadrieren beider Seiten ergibt sich \(1 + (y-3)^2 + 16 = 26\). 4. Zusammenfassen der konstanten Terme führt zu \(17 + (y-3)^2 = 26\), woraus \((y-3)^2 = 9\) folgt. 5. Das Ziehen der Wurzel ergibt zwei Fälle: \(y-3 = 3\) oder \(y-3 = -3\). 6. Daraus folgen die Lösungen \(y_1 = 6\) und \(y_2 = 0\).

Die gesuchten Punkte sind \(P_1(0|6|0)\) und \(P_2(0|0|0)\).

- Welche mathematische Operation hilft dabei, den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen? - Was muss für das Ergebnis dieser Operation gelten, damit ein Winkel von \(90^\circ\) vorliegt? - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum? - Welche Eigenschaften müssen die Seitenlängen eines gleichschenkligen Dreiecks erfüllen?

1. Bestimmung der Verbindungsvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Prüfung auf Rechtwinkligkeit mittels Skalarprodukt: \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = 2 - 4 + 2 = 0\). Somit liegt bei Punkt \(A\) ein rechter Winkel vor. 3. Prüfung auf Gleichschenkligkeit durch Berechnung der Seitenlängen: \(|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3\) und \(|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3\). Da zwei Seiten gleich lang sind, ist das Dreieck gleichschenklig. Das Dreieck \(ABC\) ist sowohl rechtwinklig (bei \(A\)) als auch gleichschenklig (mit den Schenkeln \(AB\) und \(AC\)).

Das Dreieck \(ABC\) ist rechtwinklig (rechter Winkel bei \(A\)) und gleichschenklig (\(|\vec{AB}| = |\vec{AC}| = 3\)).

- Welche Vektoren schließen den Winkel an der Ecke \(D\) ein? - Wie hängen die Orthogonalität zweier Vektoren und ihr Skalarprodukt zusammen? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Unbekannte \(k\) vorkommt.

1. Aufstellen der Vektoren, die den Winkel im Punkt \(D\) bilden: \(\vec{DE} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ k-2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{DF} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für einen rechten Winkel bei \(D\): Das Skalarprodukt der Vektoren \(\vec{DE}\) und \(\vec{DF}\) muss gleich null sein. 3. Berechnung des Skalarprodukts: \(\vec{DE} \cdot \vec{DF} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (k-2) \cdot (-2) = 2 + 2 - 2k + 4 = 8 - 2k\). 4. Lösen der Gleichung \(8 - 2k = 0\) ergibt \(k = 4\).

Das Dreieck hat für \(k = 4\) einen rechten Winkel bei \(D\).

- Wie berechnet man den Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten? - Erinnere dich an die Formel für den Betrag eines Vektors im Raum. - Welches Ergebnis liefert das Skalarprodukt bei orthogonalen Vektoren? - Nutze die Vektoraddition, um von einem bekannten Punkt zum gesuchten Punkt zu gelangen. - Überlege dir, welche Koordinaten sich ändern, wenn eine Strecke parallel zu einer Koordinatenachse verläuft.

1. Berechnung der Vektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Längenberechnung: \(|\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 3^2} = 5\) und \(|\vec{AD}| = \sqrt{(-5)^2 + 0^2 + 0^2} = 5\). Die Längen sind mit \(5\,\text{LE}\) gleich. 3. Skalarprodukt: \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0 \cdot (-5) + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0\). Da das Skalarprodukt null ist, stehen die Kanten senkrecht aufeinander. 4. Punkt \(C\): \(\vec{OC} = \vec{OB} + \vec{AD} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix}\), also \(C(-1|5|5)\). 5. Parallelität: Da sich bei den Punkten \(A\) und \(D\) (ebenso bei \(B\) und \(C\)) nur die \(x\)-Koordinate unterscheidet, verläuft die Kante \(AD\) parallel zur \(x\)-Achse. Die darauf senkrecht stehenden Würfelflächen \(ABFE\) und \(DCGH\) sind somit parallel zur \(yz\)-Ebene.

a) \(|\vec{AB}| = 5\), \(|\vec{AD}| = 5\). b) \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0\). c) \(C(-1|5|5)\). d) Die Flächen \(ABFE\) und \(DCGH\) sind parallel zur \(yz\)-Ebene, da die Kante \(AD\) parallel zur \(x\)-Achse liegt (nur die \(x\)-Koordinate von \(A\) und \(D\) variiert).

- Der Umfang ist die Summe der Längen aller drei Seiten des Dreiecks. - Achte beim Winkel \(\beta\) darauf, dass beide Vektoren vom Scheitelpunkt \(Q\) ausgehen müssen. - Wie hängen der Kosinus eines Winkels und das Skalarprodukt zusammen? - Ein Vektor steht senkrecht auf einer Ebene, wenn er senkrecht auf zwei nicht parallelen Vektoren dieser Ebene steht.

1. Seitenlängen: \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(|\vec{PQ}| = 4\); \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) mit \(|\vec{PR}| = 3\); \(\vec{QR} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) mit \(|\vec{QR}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 3^2} = 5\). 2. Umfang: \(U = 4 + 3 + 5 = 12\,\text{LE}\). 3. Winkel \(\beta\): Es gilt \(\cos(\beta) = \frac{\vec{QP} \cdot \vec{QR}}{|\vec{QP}| \cdot |\vec{QR}|}\). Mit \(\vec{QP} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{QR} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) ergibt sich \(\cos(\beta) = \frac{16 + 0 + 0}{4 \cdot 5} = \frac{16}{20} = 0{,}8\). Somit ist \(\beta = \arccos(0{,}8) \approx 36{,}87^\circ\). 4. Punkt \(P'\): \(\vec{OP'} = \vec{OP} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix}\), also \(P'(2|7|0)\). 5. Orthogonalität: \(\vec{PP'} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{PP'} \cdot \vec{PQ} = 0 \cdot 4 + 4 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0\) und \(\vec{PP'} \cdot \vec{PR} = 0 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 0 \cdot 3 = 0\), steht die Kante senkrecht auf zwei aufspannenden Vektoren der Grundfläche.

a) \(U = 12\,\text{LE}\). b) \(\beta \approx 36{,}87^\circ\). c) \(P'(2|7|0)\); die Orthogonalität ist durch die Skalarprodukte \(\vec{PP'} \cdot \vec{PQ} = 0\) und \(\vec{PP'} \cdot \vec{PR} = 0\) nachgewiesen.

- Wann sind in einem Dreieck alle drei Seiten gleich lang? - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum mit ihren Koordinaten? - Überlege dir, wie groß das Quadrat der Seitenlängen sein muss. - Gibt es Symmetrien in den Koordinaten, die dir die Arbeit erleichtern?

1. Berechnung der Seitenlänge \(c = |\vec{OA}|\): Da \(O(0|0|0)\) und \(A(6|0|0)\), gilt \(|\vec{OA}| = \sqrt{6^2 + 0^2 + 0^2} = 6\). 2. Aufstellen der Bedingung für die Gleichseitigkeit: Es muss \(|\vec{OB}| = 6\) und \(|\vec{AB}| = 6\) gelten. 3. Berechnung von \(|\vec{OB}|^2\): \(|\vec{OB}|^2 = 3^2 + 3^2 + z^2 = 18 + z^2\). 4. Gleichsetzen mit \(6^2\): \(18 + z^2 = 36\). Daraus folgt \(z^2 = 18\). 5. Lösen nach \(z\): \(z = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) oder \(z = -\sqrt{18} = -3\sqrt{2}\). 6. Überprüfung von \(|\vec{AB}|\): \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3-6 \\ 3-0 \\ z-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ z \end{pmatrix}\). Es gilt \(|\vec{AB}|^2 = (-3)^2 + 3^2 + z^2 = 18 + z^2\). Da dieser Ausdruck identisch mit \(|\vec{OB}|^2\) ist, sind für \(z^2 = 18\) alle Seiten gleich lang.

\(z = 3\sqrt{2}\) oder \(z = -3\sqrt{2}\)

- Wie hängen die Vektoren \(\vec{CA}\) und \(\vec{CB}\) mit den gegebenen Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) zusammen? - Erinnere dich daran, wie man die Länge eines Vektors über das Skalarprodukt mit sich selbst ausdrückt. - Wann stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander? - Welche Eigenschaft hat der Mittelpunkt einer Strecke in Bezug auf die Eckpunkte? - Ein gleichseitiges Dreieck ist ein spezielles gleichschenkliges Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich lang sind.

1. Berechnung der Seitenvektoren: \(\vec{CA} = \vec{u} - \vec{v}\) und \(\vec{CB} = -\vec{u} - \vec{v}\). 2. Nachweis der Gleichschenkligkeit: Die Quadrate der Seitenlängen sind \(|\vec{AC}|^2 = |\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 - 2 \cdot (\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{v}|^2\) und \(|\vec{BC}|^2 = |-\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + 2 \cdot (\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{v}|^2\). Für \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) folgt \(|\vec{AC}|^2 = |\vec{BC}|^2\), also \(|\vec{AC}| = |\vec{BC}|\). 3. Bedingung für den rechten Winkel bei \(C\): Das Skalarprodukt \(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (-\vec{u} - \vec{v}) = -(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = -(|\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2) = |\vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2\) muss null sein. Dies ist für \(|\vec{v}| = |\vec{u}|\) erfüllt. Geometrisch bedeutet dies, dass \(C\) auf der Kugel mit Mittelpunkt \(M\) und Radius \(|\vec{u}|\) liegt; die Strecke \(AB\) ist ein Durchmesser dieser Kugel. 4. Gleichseitigkeit: Es muss gelten \(\vec{u} \perp \vec{v}\) (für \(|\vec{AC}|=|\vec{BC}|\)) und \(|\vec{AC}| = |\vec{AB}|\). Mit \(|\vec{AB}| = 2 \cdot |\vec{u}|\) folgt \(|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 = (2 \cdot |\vec{u}|)^2 = 4 \cdot |\vec{u}|^2\). Umformen ergibt \(|\vec{v}|^2 = 3 \cdot |\vec{u}|^2\), also \(|\vec{v}| = \sqrt{3} \cdot |\vec{u}|\). Das Verhältnis ist \(\sqrt{3} : 1\).

a) Nachweis über \(|\vec{AC}|^2 = |\vec{BC}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2\) für \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\). b) Bedingung: \(|\vec{v}| = |\vec{u}|\). Geometrische Deutung: \(C\) liegt auf der Kugel mit Mittelpunkt \(M\) und Radius \(|\vec{u}|\); \(AB\) ist ein Durchmesser. c) Verhältnis: \(|\vec{v}| : |\vec{u}| = \sqrt{3} : 1\).

- Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum? - Was zeichnet die Koordinaten eines Punktes aus, der auf der \(z\)-Achse liegt? - Wie stellst du die Koordinaten eines allgemeinen Punktes auf einer Geraden dar? - Welche Bedingung muss für das Skalarprodukt zweier Vektoren gelten, wenn diese einen rechten Winkel einschließen?

1. Gleichschenkligkeit: Für \(P(0|y|z)\) gilt \(\vec{PA} = \begin{pmatrix} 3 \\ -y \\ -z \end{pmatrix}\) und \(\vec{PB} = \begin{pmatrix} -3 \\ -y \\ -z \end{pmatrix}\). Die Längen sind \(|\vec{PA}| = \sqrt{3^2 + (-y)^2 + (-z)^2} = \sqrt{9 + y^2 + z^2}\) und \(|\vec{PB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-y)^2 + (-z)^2} = \sqrt{9 + y^2 + z^2}\). Da \(|\vec{PA}| = |\vec{PB}|\), ist das Dreieck stets gleichschenklig. 2. Gleichseitigkeit: Die Basislänge ist \(|AB| = 6\). Für \(P(0|0|z)\) auf der \(z\)-Achse gilt \(|\vec{PA}| = \sqrt{9 + z^2}\). Die Bedingung \(\sqrt{9 + z^2} = 6\) führt zu \(9 + z^2 = 36\), also \(z^2 = 27\) bzw. \(z = \pm 3\sqrt{3}\). Die Punkte sind \(P_1(0|0|3\sqrt{3})\) und \(P_2(0|0|-3\sqrt{3})\). 3. Rechter Winkel bei \(Q\): Ein Punkt auf \(g\) hat die Form \(Q(k|2|0)\). Die Vektoren sind \(\vec{QA} = \begin{pmatrix} 3-k \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{QB} = \begin{pmatrix} -3-k \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\). Das Skalarprodukt \(\vec{QA} \cdot \vec{QB} = (3-k)(-3-k) + (-2)(-2) + 0 = k^2 - 9 + 4 = k^2 - 5\) muss Null sein. Dies ergibt \(k = \pm \sqrt{5}\). Mögliche Punkte sind \(Q_1(\sqrt{5}|2|0)\) und \(Q_2(-\sqrt{5}|2|0)\).

a) Nachweis über \(|\vec{PA}| = |\vec{PB}| = \sqrt{9 + y^2 + z^2}\). b) \(P_1(0|0|3\sqrt{3})\) und \(P_2(0|0|-3\sqrt{3})\). c) \(Q_1(\sqrt{5}|2|0)\) oder \(Q_2(-\sqrt{5}|2|0)\).

- Wie berechnet man die Länge eines Vektors zwischen zwei Punkten? - Welche Seiten müssen in einem gleichschenkligen Dreieck gleich lang sein, wenn \(AB\) die Basis ist? - Was bedeutet „gleichseitig“ für die Längen aller drei Seiten? - Welches mathematische Werkzeug hilft dabei, die Orthogonalität zweier Vektoren zu prüfen?

1. Berechnung der Seitenlängenquadrate: \(\vec{AC_k} = \begin{pmatrix} 1+k \\ 2-k \\ -1-k \end{pmatrix} \Rightarrow |\vec{AC_k}|^2 = (1+k)^2 + (2-k)^2 + (-1-k)^2 = 3k^2 + 6\) \(\vec{BC_k} = \begin{pmatrix} -1+k \\ -2-k \\ 1-k \end{pmatrix} \Rightarrow |\vec{BC_k}|^2 = (-1+k)^2 + (-2-k)^2 + (1-k)^2 = 3k^2 + 6\) Da \(|\vec{AC_k}| = |\vec{BC_k}|\) für alle \(k \in \mathbb{R}\) gilt, ist jedes Dreieck gleichschenklig mit der Basis \(AB\). 2. Bedingung für Gleichseitigkeit: \(|\vec{AB}|^2 = 2^2 + 4^2 + (-2)^2 = 24\). Gleichsetzen: \(3k^2 + 6 = 24 \Rightarrow 3k^2 = 18 \Rightarrow k^2 = 6 \Rightarrow k = \pm \sqrt{6}\). 3. Bedingung für rechten Winkel bei \(C_k\): Das Skalarprodukt \(\vec{C_k A} \cdot \vec{C_k B}\) muss null sein. \(\vec{C_k A} = \begin{pmatrix} -1-k \\ -2+k \\ 1+k \end{pmatrix}\), \(\vec{C_k B} = \begin{pmatrix} 1-k \\ 2+k \\ -1+k \end{pmatrix}\). \(\vec{C_k A} \cdot \vec{C_k B} = (-1-k)(1-k) + (-2+k)(2+k) + (1+k)(-1+k) = (k^2-1) + (k^2-4) + (k^2-1) = 3k^2 - 6\). \(3k^2 - 6 = 0 \Rightarrow k^2 = 2 \Rightarrow k = \pm \sqrt{2}\).

a) Wegen \(|\vec{AC_k}| = |\vec{BC_k}| = \sqrt{3k^2+6}\) sind alle Dreiecke gleichschenklig mit der Basis \(AB\). b) Das Dreieck ist gleichseitig für \(k_1 = \sqrt{6}\) und \(k_2 = -\sqrt{6}\). c) Ein rechter Winkel bei \(C_k\) tritt für \(k_3 = \sqrt{2}\) und \(k_4 = -\sqrt{2}\) auf.

- Wie hängt das Quadrat der Länge eines Differenzvektors mit dem Skalarprodukt zusammen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der nur die Längen und der Kosinus des Winkels vorkommen? - Überlege dir, wie du die unbekannte Länge \(L\) aus der Gleichung eliminieren kannst. - Welcher Zusammenhang besteht allgemein zwischen \(|\vec{u} \pm \vec{v}|^2\) und den Einzelbeträgen?

1. Sei \(L = |\vec{a}| = |\vec{b}|\) die Länge der Vektoren. Dann gilt nach Aufgabenstellung \(|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3} \cdot L\). 2. Unter Verwendung der Eigenschaften des Skalarprodukts gilt \(|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2\). 3. Ersetzen des Skalarprodukts durch den Winkel ergibt \(|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos(\alpha)\). 4. Einsetzen der gegebenen Verhältnisse führt zu \((\sqrt{3}L)^2 = L^2 + L^2 - 2 \cdot L \cdot L \cdot \cos(\alpha)\), was sich zu \(3L^2 = 2L^2 - 2L^2 \cos(\alpha)\) vereinfacht. 5. Durch Umformung erhält man \(L^2 = -2L^2 \cos(\alpha)\) und daraus \(\cos(\alpha) = -0{,}5\). 6. Der gesuchte Winkel beträgt somit \(\alpha = \arccos(-0{,}5) = 120^\circ\).

Der Winkel zwischen den Vektoren beträgt \(120^\circ\).

- Nutze eine Variable wie \(k\) für die Länge des kürzeren Vektors, um die Verhältnisse auszudrücken. - Erinnere dich an die binomischen Formeln für Vektoren im Zusammenhang mit dem Skalarprodukt. - Was passiert mit der Unbekannten \(k\), wenn du die Gleichung nach dem Kosinus auflöst? - Welcher Winkel hat einen Kosinuswert von \(0{,}5\)?

1. Setze \(|\vec{u}| = k\). Dann folgt aus den Angaben \(|\vec{v}| = 2k\) und \(|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{7}k\). 2. Es gilt die Beziehung \(|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2|\vec{u}||\vec{v}| \cos(\alpha)\). 3. Einsetzen der Werte ergibt \((\sqrt{7}k)^2 = k^2 + (2k)^2 + 2 \cdot k \cdot 2k \cdot \cos(\alpha)\). 4. Vereinfachung der Gleichung: \(7k^2 = k^2 + 4k^2 + 4k^2 \cos(\alpha) \implies 7k^2 = 5k^2 + 4k^2 \cos(\alpha)\). 5. Subtraktion von \(5k^2\) und Division durch \(4k^2\) (da \(k \neq 0\)) führt zu \(2 = 4 \cos(\alpha)\), also \(\cos(\alpha) = 0{,}5\). 6. Daraus ergibt sich der Winkel \(\alpha = 60^\circ\).

Der eingeschlossene Winkel beträgt \(60^\circ\).

- Welche beiden Vektoren treffen im Punkt \(B\) zusammen? - Wie berechnet man die Länge eines Vektors im Raum? - Welche Formel verknüpft das Skalarprodukt zweier Vektoren mit ihrem Zwischenwinkel? - Achte darauf, dass die Vektoren beide vom Scheitelpunkt des Winkels ausgehen.

1. Bestimmung der Vektoren, die den Winkel \(\beta\) einschließen: \(\vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Skalarprodukts: \(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-3) \cdot 0 + (-2) \cdot 4 + 0 \cdot (-3) = -8\). 3. Berechnung der Beträge der Vektoren: \(|\vec{BA}| = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}606\) und \(|\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{25} = 5\). 4. Anwendung der Kosinusformel: \(\cos(\beta) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{-8}{5 \cdot \sqrt{13}} \approx -0{,}4438\). 5. Berechnung des Winkels: \(\beta = \arccos(-0{,}4438) \approx 116{,}34^\circ\).

Der Innenwinkel \(\beta\) am Eckpunkt \(B\) beträgt ca. \(116{,}34^\circ\).

- Stelle dir die Situation räumlich vor. Welche Koordinaten hat die Spitze der Flächendiagonale, wenn sie in der \(xy\)-Ebene liegt? - Nutze die Definition des Skalarprodukts zur Bestimmung des Kosinuswerts. - Überprüfe, ob deine Vektoren den gleichen Anfangspunkt haben.

1. Definition der Vektoren: Die Raumdiagonale ist \(\vec{d} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}\). Die Flächendiagonale in der \(xy\)-Ebene ist \(\vec{f} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Skalarprodukts: \(\vec{d} \cdot \vec{f} = 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3 + 12 \cdot 0 = 16 + 9 = 25\). 3. Berechnung der Beträge: \(|\vec{d}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13\) und \(|\vec{f}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\). 4. Anwendung der Formel für den Winkel: \(\cos(\alpha) = \frac{\vec{d} \cdot \vec{f}}{|\vec{d}| \cdot |\vec{f}|} = \frac{25}{13 \cdot 5} = \frac{5}{13} \approx 0{,}3846\). 5. Bestimmung des Winkels: \(\alpha = \arccos\left(\frac{5}{13}\right) \approx 67{,}38^\circ\).

Der Winkel \(\alpha\) zwischen der Raumdiagonalen und der Flächendiagonale beträgt ca. \(67{,}38^\circ\).

- Stelle zuerst den mathematischen Ausdruck für das Skalarprodukt unter Verwendung der Variable auf. - Kannst du diesen Ausdruck mit dem Zielwert gleichsetzen? - Löse die entstandene Gleichung nach der gesuchten Unbekannten auf.

1. Aufstellen der Gleichung für das Skalarprodukt: \(k \cdot 5 + 3 \cdot k + (-2) \cdot 4 = 16\). 2. Zusammenfassen der Terme: \(5k + 3k - 8 = 16\), woraus \(8k - 8 = 16\) folgt. 3. Lösen der linearen Gleichung nach \(k\): \(8k = 24\), also \(k = 3\).

\(k = 3\)

- Wann ist das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich null? - Wie multipliziert man einen Vektor mit einer Summe von Vektoren? - Überlege, ob du die Rechenregeln für das Skalarprodukt (wie das Distributivgesetz) nutzen kannst, um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Bedingung für Orthogonalität: Das Skalarprodukt muss null ergeben. Rechnung: \(2 \cdot 3 + 1 \cdot (-4) + z \cdot 2 = 0\). 2. Auflösen nach \(z\): \(6 - 4 + 2z = 0 \implies 2 + 2z = 0 \implies z = -1\). 3. Berechnung des Skalarprodukts mit dem Distributivgesetz: \(\vec{u} \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} + \vec{u} \cdot \vec{v}\). 4. Da \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) (aus a), berechnet man nur \(\vec{u} \cdot \vec{u} = 2^2 + 1^2 + (-1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6\). Alternativer Weg für b): Zuerst den Summenvektor \(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\) bilden und dann \(\vec{u} \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = 2 \cdot 5 + 1 \cdot (-3) + (-1) \cdot 1 = 10 - 3 - 1 = 6\).

a) \(z = -1\) b) \(\vec{u} \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = 6\)

- Wie hängen die Länge eines Vektors und das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst zusammen? - Du kannst die Aufgabe lösen, indem du erst die Vektoren in den Klammern berechnest oder indem du den Ausdruck ausmultiplizierst. - Achte bei der Berechnung des Skalarprodukts besonders auf die Vorzeichen.

1. Berechnung der Längen: \(|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3\) und \(|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\). 2. Berechnung des Skalarprodukts: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 0 + (-2) \cdot 3 = 4 + 0 - 6 = -2\). 3. Berechnung des Ausdrucks in c) durch direktes Einsetzen: \(\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix}\) und \(2 \cdot \vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}\). 4. Skalarprodukt der Ergebnisvektoren: \((-3) \cdot 6 + 2 \cdot 4 + (-5) \cdot (-1) = -18 + 8 + 5 = -5\). Alternativ über das Distributivgesetz: \(2 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{a}) + \vec{a} \cdot \vec{b} - 2 \cdot (\vec{b} \cdot \vec{a}) - \vec{b} \cdot \vec{b} = 2 \cdot |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{b}|^2 = 2 \cdot 9 - (-2) - 25 = 18 + 2 - 25 = -5\).

a) \(|\vec{a}| = 3\); \(|\vec{b}| = 5\) b) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -2\) c) \((\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2 \cdot \vec{a} + \vec{b}) = -5\)

- Welche mathematische Bedingung muss für das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren gelten? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Variable \(k\) vorkommt. - Welche Art von Gleichung erhältst du nach dem Zusammenfassen der Terme und wie löst man diese?

1. Bedingung für Orthogonalität: Das Skalarprodukt der beiden Vektoren muss null sein: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\). 2. Aufstellen der Gleichung: \(k \cdot k + 5 \cdot (-6) + k \cdot 1 = 0\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(k^2 - 30 + k = 0\), umgeformt \(k^2 + k - 30 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisieren): \((k + 6)(k - 5) = 0\). 5. Bestimmung der Lösungen: \(k_1 = -6\) und \(k_2 = 5\).

Die Vektoren sind für \(k = -6\) und \(k = 5\) orthogonal zueinander.

- Nutze für Aufgabenteil a) die komponentenweise Berechnung des Skalarprodukts. - In Teil b) solltest du untersuchen, welche Bedingungen die einzelnen Faktoren der Formel erfüllen müssen, damit das Gesamtergebnis null wird. - Welchen Wert muss der Kosinus annehmen, damit das Produkt verschwindet?

1. Berechnung von \(y\) über die Definition des Skalarprodukts: \(2 \cdot 3 + 4 \cdot y + (-1) \cdot 2 = 0\). 2. Vereinfachung der Gleichung: \(6 + 4y - 2 = 0 \Rightarrow 4y + 4 = 0\). 3. Lösung nach \(y\): \(y = -1\). 4. Erläuterung zur Formel: Das Produkt auf der rechten Seite der Gleichung \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\varphi)\) wird null, wenn mindestens einer der drei Faktoren null ist. 5. Wenn \(\vec{a} \neq \vec{0}\) und \(\vec{b} \neq \vec{0}\) gelten, sind deren Beträge \(|\vec{a}|\) und \(|\vec{b}|\) größer als null. 6. Das Produkt kann dennoch null werden, wenn \(\cos(\varphi) = 0\) gilt, was bei einem Winkel von \(\varphi = 90^\circ\) der Fall ist.

a) \(y = -1\) b) Das Skalarprodukt wird null, wenn \(\cos(\varphi) = 0\) gilt. Dies ist bei \(\varphi = 90^\circ\) der Fall, sodass auch für Vektoren mit einer Länge größer als null das Skalarprodukt null sein kann, sofern sie orthogonal zueinander stehen.

- Wie kannst du aus den Koordinaten der Punkte die Vektoren zwischen ihnen bestimmen? - Erinnere dich an die Formel für die Länge eines Vektors im Raum. - Welches Rechenwerkzeug hilft dir dabei, den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen? - Überlege dir, welche Bedingungen für die Seitenlängen oder Winkel erfüllt sein müssen, damit ein Dreieck als „besonders“ gilt.

1. Berechnung der Verbindungsvektoren und deren Beträge: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \implies c = |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = 5\) \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \implies b = |\vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 0^2} = 5\) \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -7 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \implies a = |\vec{BC}| = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{50} \approx 7{,}07\) 2. Berechnung der Winkel über das Skalarprodukt: \(\cos(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{3 \cdot (-4) + 4 \cdot 3 + 0 \cdot 0}{5 \cdot 5} = \frac{0}{25} = 0 \implies \alpha = 90^\circ\) Da \(b = c\) gilt, ist das Dreieck gleichschenklig, woraus für die Basiswinkel folgt: \(\beta = \gamma = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ\). 3. Das Dreieck ist gleichschenklig, da zwei Seiten gleich lang sind (\(5 = 5\)). Es ist zudem rechtwinklig, da der Winkel \(\alpha = 90^\circ\) beträgt.

1. Seitenlängen: \(a = \sqrt{50} \approx 7{,}07\); \(b = 5\); \(c = 5\). 2. Winkel: \(\alpha = 90^\circ\); \(\beta = 45^\circ\); \(\gamma = 45^\circ\). 3. Das Dreieck ist gleichschenklig-rechtwinklig.

- Wann stehen zwei Vektoren mathematisch gesehen senkrecht aufeinander? - Erinnere dich an die Definition des Skalarprodukts und wie man es berechnet. - Nach dem Aufstellen der Bedingung erhältst du eine Gleichung, in der die Variable quadratisch vorkommt. - Welche Verfahren kennst du, um die Nullstellen einer solchen Funktion zu finden?

1. Bedingung für Orthogonalität aufstellen: Das Skalarprodukt der Vektoren muss null sein, also \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\). 2. Skalarprodukt berechnen: \(t \cdot t + t \cdot (-5) + 4 \cdot 1 = t^2 - 5t + 4\). 3. Quadratische Gleichung lösen: \(t^2 - 5t + 4 = 0\). 4. Anwendung der Lösungsformel (p-q-Formel) oder Faktorisieren: \((t - 1)(t - 4) = 0\). 5. Die Lösungen sind \(t_1 = 1\) und \(t_2 = 4\).

\(t_1 = 1\) und \(t_2 = 4\)

- Kannst du die Gleichung in a) so umstellen, dass auf einer Seite die Null steht? - Was bedeutet es für zwei Vektoren, wenn ihr Skalarprodukt null ist? - Nutze die binomischen Formeln für Vektoren, um den Ausdruck in b) zu vereinfachen. - Wie ist das Skalarprodukt über den eingeschlossenen Winkel definiert? - Welche besonderen Eigenschaften haben Einheitsvektoren bezüglich ihrer Länge?

1. Aussage a) ist falsch. Die Gleichung kann zu \(\vec{a} \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0\) umgeformt werden. Dies bedeutet lediglich, dass \(\vec{a}\) orthogonal zum Differenzvektor \((\vec{b} - \vec{c})\) sein muss, nicht jedoch, dass der Differenzvektor der Nullvektor ist. Ein Gegenbeispiel sind \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Aussage b) ist wahr. Durch Anwendung des Distributivgesetzes ergibt sich \(|\vec{u} + \vec{v}|^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} + 2 \cdot (\vec{u} \cdot \vec{v}) + \vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{u}|^2 + 2 \cdot (\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{v}|^2\). Die Gleichheit mit \(|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2\) tritt genau dann ein, wenn das Skalarprodukt \(2 \cdot (\vec{u} \cdot \vec{v}) = 0\) ist, was der Definition von Orthogonalität entspricht. 3. Aussage c) ist wahr. Da für Einheitsvektoren \(|\vec{e}_1| = 1\) und \(|\vec{e}_2| = 1\) gilt, folgt aus der Formel \(\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 = |\vec{e}_1| \cdot |\vec{e}_2| \cdot \cos(\alpha) = 1 \cdot 1 \cdot \cos(\alpha) = \cos(\alpha)\). Da die Kosinusfunktion nur Werte zwischen \(-1\) und \(1\) annimmt, gilt dies auch für das Skalarprodukt.

a) Falsch. b) Wahr. c) Wahr.

- Erinnere dich an die Rechengesetze für das Skalarprodukt, insbesondere das Distributivgesetz. - Was passiert mit den Termen \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) und \(\vec{b} \cdot \vec{a}\), wenn du sie voneinander abziehst? - Was stellen die Vektoren \(\vec{a} + \vec{b}\) und \(\vec{a} - \vec{b}\) in einem Parallelogramm dar? - Welche speziellen Arten von Parallelogrammen kennst du, bei denen die Seiten gleich lang sind? - Wenn ein Skalarprodukt null ist, was sagt das über die Lage der beteiligten Vektoren aus?

1. Nachweis der Identität: Durch Anwenden des Distributivgesetzes für das Skalarprodukt erhält man \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}\). Wegen der Kommutativität \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\) heben sich die mittleren Terme auf. Mit \(\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2\) folgt direkt \(|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2\). 2. Geometrische Interpretation: Wenn \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0\) gilt, folgt aus Teilaufgabe a), dass \(|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0\), also \(|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2\). Da Beträge nicht negativ sind, bedeutet dies \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\). 3. Schlussfolgerung: Ein Parallelogramm, bei dem zwei anliegende Seiten (\(\vec{a}\) und \(\vec{b}\)) gleich lang sind, ist eine Raute (Rhombus). Zudem sind \(\vec{a} + \vec{b}\) und \(\vec{a} - \vec{b}\) die Diagonalen des Parallelogramms. Das Skalarprodukt \(0\) zeigt, dass die Diagonalen orthogonal zueinander stehen, was ebenfalls die Raute charakterisiert.

a) Der Nachweis erfolgt über das Distributivgesetz: \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2\). b) Das Parallelogramm muss eine Raute (Rhombus) sein, da aus der Bedingung folgt, dass die Seiten \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) gleich lang sind (\(|\vec{a}| = |\vec{b}|\)). Äquivalent dazu stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander.

- Wie hängen die Koordinaten der oberen Eckpunkte mit denen der Grundfläche zusammen? - Erinnere dich an die Formel für die Länge eines Vektors im Raum. - Wie lauten die Normalenvektoren der Koordinatenebenen? - Welche trigonometrische Funktion verknüpft den Richtungsvektor einer Geraden und den Normalenvektor einer Ebene, um den Schnittwinkel zu berechnen?

1. Koordinaten von \(G\) bestimmen: Da \(G\) vertikal über \(C(0|5|0)\) liegt, folgt \(G(0|5|16)\). 2. Vektor \(\vec{AG}\) berechnen: \(\vec{AG} = \vec{G} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 0-12 \\ 5-0 \\ 16-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ 5 \\ 16 \end{pmatrix}\). 3. Länge berechnen: \(|\vec{AG}| = \sqrt{(-12)^2 + 5^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 25 + 256} = \sqrt{425} = 5\sqrt{17} \approx 20{,}62\,\text{LE}\). 4. Winkel mit der \(x_1x_2\)-Ebene (Grundfläche, Normalenvektor \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)): \(\sin(\alpha_1) = \frac{|\vec{AG} \cdot \vec{n}_1|}{|\vec{AG}| \cdot |\vec{n}_1|} = \frac{16}{\sqrt{425}}\), woraus \(\alpha_1 \approx 50{,}85^\circ\) folgt. 5. Winkel mit der \(x_2x_3\)-Ebene (Seitenfläche links, Normalenvektor \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)): \(\sin(\alpha_2) = \frac{|-12|}{\sqrt{425}}\), woraus \(\alpha_2 \approx 35{,}55^\circ\) folgt. 6. Winkel mit der \(x_1x_3\)-Ebene (Seitenfläche hinten, Normalenvektor \(\vec{n}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)): \(\sin(\alpha_3) = \frac{5}{\sqrt{425}}\), woraus \(\alpha_3 \approx 14{,}04^\circ\) folgt.

a) \(\vec{AG} = \begin{pmatrix} -12 \\ 5 \\ 16 \end{pmatrix}\); Länge \(L \approx 20{,}62\,\text{LE}\) b) Winkel mit der Grundfläche: \(\approx 50{,}85^\circ\); mit der linken Seitenfläche: \(\approx 35{,}55^\circ\); mit der hinteren Seitenfläche: \(\approx 14{,}04^\circ\).

- Wie berechnet man die Länge eines Vektors und nutzt diese, um einen Vektor der Länge 1 zu erhalten? - Erinnere dich an die Formel für die Projektion eines Vektors auf einen anderen mithilfe des Skalarprodukts. - Wenn ein Vektor in einen parallelen und einen senkrechten Teil zerlegt wird, wie hängen diese Teile mit dem ursprünglichen Vektor zusammen?

1. Berechnung der Länge von \(\vec{a}\): \(|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = 5\). Bildung des Einheitsvektors: \(\vec{a}_0 = \frac{1}{5} \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} 0{,}6 \\ 0{,}8 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Skalarprodukts: \(\vec{a}_0 \cdot \vec{b} = 0{,}6 \cdot 1 + 0{,}8 \cdot 2 + 0 \cdot 2 = 2{,}2\). Berechnung des Projektionsvektors: \(\vec{b}_a = (\vec{a}_0 \cdot \vec{b}) \cdot \vec{a}_0 = 2{,}2 \cdot \begin{pmatrix} 0{,}6 \\ 0{,}8 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}32 \\ 1{,}76 \\ 0 \end{pmatrix}\). 3. Da \(\vec{b}_a\) die Projektion auf \(\vec{a}\) ist, gilt \(\vec{b}_1 = \vec{b}_a = \begin{pmatrix} 1{,}32 \\ 1{,}76 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die orthogonale Komponente ergibt sich aus \(\vec{b}_2 = \vec{b} - \vec{b}_1 = \begin{pmatrix} 1 - 1{,}32 \\ 2 - 1{,}76 \\ 2 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0{,}32 \\ 0{,}24 \\ 2 \end{pmatrix}\).

1. \(\vec{a}_0 = \begin{pmatrix} 0{,}6 \\ 0{,}8 \\ 0 \end{pmatrix}\) 2. \(\vec{b}_a = \begin{pmatrix} 1{,}32 \\ 1{,}76 \\ 0 \end{pmatrix}\) 3. \(\vec{b}_1 = \begin{pmatrix} 1{,}32 \\ 1{,}76 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b}_2 = \begin{pmatrix} -0{,}32 \\ 0{,}24 \\ 2 \end{pmatrix}\)

- Wie hängen die Länge eines Vektors und das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst zusammen? - Welche Vektoren bilden die Seiten des Parallelogramms und in welcher Beziehung müssen sie für ein Rechteck stehen? - Kannst du die Gleichung für die Diagonalenlängen so umformen, dass du die binomischen Formeln für Vektoren anwenden kannst? - Was bedeutet ein Skalarprodukt von null für die geometrische Anordnung zweier Vektoren?

1. Ansatz über die Quadrate der Längen: Die Bedingung \(|\vec{e}| = |\vec{f}|\) ist äquivalent zu \(|\vec{e}|^2 = |\vec{f}|^2\). 2. Einsetzen der Vektorsummen: \((\vec{a} + \vec{b})^2 = (\vec{a} - \vec{b})^2\). 3. Anwendung der Rechenregeln für das Skalarprodukt (Distributivgesetz): \(|\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2\). 4. Vereinfachung der Gleichung durch Subtraktion von \(|\vec{a}|^2\) und \(|\vec{b}|^2\): \(2\vec{a} \cdot \vec{b} = -2\vec{a} \cdot \vec{b}\). 5. Umformung zur Orthogonalitätsbedingung: \(4\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\), woraus \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) folgt. 6. Geometrische Interpretation: Da das Skalarprodukt der aufspannenden Vektoren null ist, stehen die Seiten des Parallelogramms senkrecht aufeinander, womit es definitionsgemäß ein Rechteck ist.

Die Gleichheit der Diagonalenlängen \(|\vec{e}| = |\vec{f}|\) ist äquivalent zu \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2\). Durch Ausmultiplizieren ergibt sich \(|\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2\), was zu \(4\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) vereinfacht wird. Dies bedeutet \(\vec{a} \perp \vec{b}\), was die Eigenschaft eines Rechtecks ist.

- Welche beiden Vektoren schließen den Winkel im Punkt \(C\) ein? - Welche Bedingung muss für das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren erfüllt sein, wenn dort ein rechter Winkel vorliegt? - Stelle eine Gleichung auf, in der nur noch die Unbekannte \(x\) vorkommt. - Erinnerst du dich an eine binomische Formel, die dir beim Lösen der entstandenen quadratischen Gleichung helfen könnte?

1. Aufstellen der Vektoren, die den rechten Winkel bei \(C\) bilden: \(\vec{CA} = \vec{a} - \vec{c} = \begin{pmatrix} -x \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{CB} = \vec{b} - \vec{c} = \begin{pmatrix} 4-x \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Anwendung der Orthogonalitätsbedingung: Da der Winkel bei \(C\) ein rechter Winkel ist, muss das Skalarprodukt \(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0\) gelten. 3. Berechnung des Skalarprodukts: \((-x) \cdot (4-x) + (-4) \cdot (-2) + (-2) \cdot 2 = -4x + x^2 + 8 - 4\). 4. Aufstellen der quadratischen Gleichung: \(x^2 - 4x + 4 = 0\). 5. Lösen der Gleichung: Die Gleichung lässt sich als Binom \((x-2)^2 = 0\) schreiben, woraus die einzige Lösung \(x = 2\) folgt.

\(x = 2\)

- Was bedeutet das Quadrat des Betrags eines Vektors komponentenweise? - Wende die binomischen Formeln auf die Koordinatensummen an. - Welche Bedingung muss für das Skalarprodukt erfüllt sein, damit zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen? - Welcher bekannte Satz aus der Geometrie beschreibt das Verhältnis der Seitenquadrate in einem rechtwinkligen Dreieck?

1. Darstellung der linken Seite über die Koordinaten des Summenvektors: \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (a_1 + b_1)^2 + (a_2 + b_2)^2 + (a_3 + b_3)^2\). 2. Ausmultiplizieren der Klammern mit der ersten binomischen Formel: \(a_1^2 + 2a_1b_1 + b_1^2 + a_2^2 + 2a_2b_2 + b_2^2 + a_3^2 + 2a_3b_3 + b_3^2\). 3. Gruppierung der quadrierten Komponenten und der gemischten Terme: \((a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) + 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) + (b_1^2 + b_2^2 + b_3^2)\). 4. Identifikation der Terme als \(|\vec{a}|^2\), \(2 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b})\) und \(|\vec{b}|^2\), womit die rechte Seite der Identität gezeigt ist. 5. Im Falle von Orthogonalität gilt \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\). Die Gleichung vereinfacht sich zu \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2\). 6. Dies entspricht dem Satz des Pythagoras für ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten durch \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) und dessen Hypotenuse durch \(\vec{a} + \vec{b}\) repräsentiert werden.

1. Durch Ausmultiplizieren von \(|\vec{a} + \vec{b}|^2\) erhält man koordinatenweise die Summe \(\sum a_i^2 + 2 \sum a_ib_i + \sum b_i^2\), was der rechten Seite entspricht. 2. Für \(\vec{a} \perp \vec{b}\) ist \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\), woraus \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2\) folgt. Dies ist der Satz des Pythagoras.

- Welche Vektoreigenschaften müssen für ein Parallelogramm erfüllt sein? - Wie unterscheiden sich die Seitenlängen einer Raute von denen eines allgemeinen Parallelogramms? - Mit welchem Rechenverfahren kannst du überprüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinanderstehen? - Überlege dir, welche zusätzliche Eigenschaft eine Raute zu einem Quadrat macht.

1. Berechnung der Verbindungsvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 6-4 \\ 3-1 \\ 6-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{AB} = \vec{DC}\), handelt es sich um ein Parallelogramm. 2. Berechnung der Seitenlängen: \(|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3\). Für die benachbarte Seite gilt \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) mit der Länge \(|\vec{AD}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\). Da alle Seiten im Parallelogramm gleich lang sind (\(3=3\)), ist es eine Raute. 3. Prüfung auf rechte Winkel: Das Skalarprodukt \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 2 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = 4 - 2 + 2 = 4\). Da \(4 \neq 0\), liegt kein rechter Winkel vor. Somit ist die Raute kein Quadrat.

Das Viereck ist ein Parallelogramm, da \(\vec{AB} = \vec{DC}\). Da die benachbarten Seiten \(\vec{AB}\) und \(\vec{AD}\) beide die Länge \(3\) besitzen, ist es eine Raute. Da das Skalarprodukt \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 4 \neq 0\) ist, sind die Seiten nicht orthogonal, weshalb kein Quadrat vorliegt.

- Wie zeigt man mit Vektoren, dass zwei Geradenabschnitte parallel zueinander verlaufen? - Was muss für die Längen der gegenüberliegenden Seiten gelten, damit es ein Trapez, aber eben kein Parallelogramm ist? - Welche Seiten musst du vergleichen, um zu zeigen, dass ein Trapez gleichschenklig ist? - Erinnere dich an die Formel zur Berechnung des Betrags eines Vektors im Raum.

1. Prüfung auf Parallelität: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 1-1 \\ 7-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{AB} = 2 \cdot \vec{DC}\), sind die Seiten \(AB\) und \(DC\) parallel. Das Viereck ist ein Trapez. 2. Ausschluss eines Parallelogramms: Da \(\vec{AB} \neq \vec{DC}\) (die Längen \(4\) und \(2\) sind verschieden), ist es kein Parallelogramm. 3. Prüfung auf Gleichschenkligkeit: Berechnung der Längen der nicht-parallelen Seiten: \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \Rightarrow |\vec{AD}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3\). \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 5-6 \\ 1-(-1) \\ 7-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \Rightarrow |\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = 3\). Da die Schenkel gleich lang sind (\(3=3\)), ist das Trapez gleichschenklig.

Das Viereck ist ein Trapez, da \(\vec{AB} \parallel \vec{DC}\) gilt (\(\vec{AB} = 2 \cdot \vec{DC}\)). Es ist kein Parallelogramm, da die parallelen Seiten ungleich lang sind (\(4 \neq 2\)). Da die Längen der Schenkel \(|\vec{AD}| = 3\) und \(|\vec{BC}| = 3\) übereinstimmen, ist das Trapez gleichschenklig.

- Überlege, wie sich die Geschwindigkeiten des Schwimmers und des Wassers mathematisch kombinieren lassen. - Welche Geschwindigkeitskomponente ist entscheidend für das Erreichen des gegenüberliegenden Ufers? - Wenn der Schwimmer genau gegenüber ankommen will, welche Bedingung muss dann für seine effektive Bewegung parallel zum Ufer gelten? - Wie hängen der Betrag eines Vektors und seine einzelnen Komponenten zusammen? - Nutze die Definition des Skalarprodukts, um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen.

1. Die resultierende Geschwindigkeit \(\vec{v}_r\) ist die Summe aus Eigengeschwindigkeit und Strömungsgeschwindigkeit: \(\vec{v}_r = \vec{v}_s + \vec{v}_w = \begin{pmatrix} 0{,}6 \\ 1{,}0 \\ 0 \end{pmatrix}\,\text{m/s}\). Der Betrag ist \(|\vec{v}_r| = \sqrt{0{,}6^2 + 1{,}0^2 + 0^2} = \sqrt{1{,}36} \approx 1{,}17\,\text{m/s}\). 2. Die Zeit für die Überquerung hängt nur von der Geschwindigkeitskomponente senkrecht zum Ufer (\(y\)-Komponente) ab: \(t = \frac{100\,\text{m}}{1{,}0\,\text{m/s}} = 100\,\text{s}\). Die Abtriebsstrecke ergibt sich aus der \(x\)-Komponente: \(s_{drift} = 0{,}6\,\text{m/s} \cdot 100\,\text{s} = 60\,\text{m}\). 3. Damit der Schwimmer senkrecht überquert, muss die \(x\)-Komponente der resultierenden Geschwindigkeit null sein: \(v_{h,x} + 0{,}6 = 0 \Rightarrow v_{h,x} = -0{,}6\). Da der Betrag der Eigengeschwindigkeit \(1{,}0\,\text{m/s}\) sein muss, gilt \((-0{,}6)^2 + v_{h,y}^2 = 1{,}0^2\), woraus \(v_{h,y} = 0{,}8\) folgt. Der Vektor ist \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} -0{,}6 \\ 0{,}8 \\ 0 \end{pmatrix}\,\text{m/s}\). 4. Der Winkel \(\alpha\) zur positiven x-Achse \(\vec{u}_x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) berechnet sich über \(\cos(\alpha) = \frac{\vec{v}_h \cdot \vec{u}_x}{|\vec{v}_h| \cdot |\vec{u}_x|} = \frac{-0{,}6 \cdot 1}{1 \cdot 1} = -0{,}6\). Dies ergibt \(\alpha = \arccos(-0{,}6) \approx 126{,}87^\circ\).

a) \(\vec{v}_r = \begin{pmatrix} 0{,}6 \\ 1{,}0 \\ 0 \end{pmatrix}\,\text{m/s}\), \(|\vec{v}_r| \approx 1{,}17\,\text{m/s}\) b) Zeit: \(100\,\text{s}\), Abtrieb: \(60\,\text{m}\) c) \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} -0{,}6 \\ 0{,}8 \\ 0 \end{pmatrix}\,\text{m/s}\) d) \(\alpha \approx 126{,}87^\circ\)

- Überlege dir, welche Seiten in einem gleichschenkligen Dreieck mit der Basis AB gleich lang sein müssen. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum? - Wann sind zwei Vektoren orthogonal zueinander? Welches Rechenwerkzeug hilft dir dabei? - Erinnere dich an die Flächenformel für Dreiecke. Welche Strecke im Dreieck entspricht hier der Höhe?

1. Berechnung der Längenquadrate der Schenkel: \(\vec{AC_t} = \begin{pmatrix} 1+2t \\ 2-2t \\ 2+t \end{pmatrix}\) und \(\vec{BC_t} = \begin{pmatrix} -1+2t \\ -2-2t \\ -2+t \end{pmatrix}\). Die Quadrate sind \(|\vec{AC_t}|^2 = (1+2t)^2 + (2-2t)^2 + (2+t)^2 = 9t^2 + 9\) und \(|\vec{BC_t}|^2 = (-1+2t)^2 + (-2-2t)^2 + (-2+t)^2 = 9t^2 + 9\). Da die Längen gleich sind, ist das Dreieck für alle \(t \neq 0\) gleichschenklig. Für \(t=0\) gilt \(C_0=M\), sodass kein Dreieck entsteht. 2. Für ein gleichseitiges Dreieck muss \(|\vec{AC_t}|^2 = |\vec{AB}|^2\) gelten. Mit \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\) folgt \(|\vec{AB}|^2 = 2^2 + 4^2 + 4^2 = 36\). Die Gleichung \(9t^2 + 9 = 36\) führt zu \(9t^2 = 27\), also \(t^2 = 3\) und somit \(t_{1;2} = \pm \sqrt{3}\). 3. Der Mittelpunkt von \(AB\) ist \(M\left(\frac{2+4}{2} | \frac{1+5}{2} | \frac{-1+3}{2}\right) = (3|3|1)\). Der Verbindungsvektor ist \(\vec{MC_t} = \begin{pmatrix} 2t \\ -2t \\ t \end{pmatrix}\). Das Skalarprodukt ergibt \(\vec{MC_t} \cdot \vec{AB} = 2t \cdot 2 + (-2t) \cdot 4 + t \cdot 4 = 4t - 8t + 4t = 0\), womit die Orthogonalität bewiesen ist. 4. Die Höhe des Dreiecks ist \(h_c = |\vec{MC_t}| = \sqrt{(2t)^2 + (-2t)^2 + t^2} = \sqrt{9t^2} = 3|t|\). Mit der Grundseite \(g = |\vec{AB}| = 6\) gilt für den Flächeninhalt \(A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3|t| = 9|t|\). Aus \(9|t| = 18\) folgt \(|t| = 2\), also \(t_{1;2} = \pm 2\).

a) Für \(t \neq 0\) gilt \(|\vec{AC_t}| = |\vec{BC_t}| = \sqrt{9t^2+9}\); daher ist das Dreieck gleichschenklig. Für \(t=0\) entsteht kein Dreieck. b) \(t = \pm \sqrt{3}\) c) \(M(3|3|1)\); Nachweis über \(\vec{MC_t} \cdot \vec{AB} = 0\) d) \(t = \pm 2\)

- Wie lassen sich die Diagonalen eines Parallelogramms durch die Vektoren der Seiten ausdrücken? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Betrag eines Vektors und dem Skalarprodukt mit sich selbst. - Welche Rechenregeln für das Skalarprodukt ähneln den binomischen Formeln? - Was muss für das Skalarprodukt zweier Vektoren gelten, damit diese einen rechten Winkel einschließen? - Überlege dir für den geometrischen Teil, welche Teildreiecke im Rechteck identisch sein könnten.

1. Darstellung der Diagonalenvektoren: \(\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}\) und \(\vec{BD} = \vec{b} - \vec{a}\). 2. Bedingung für gleiche Längen: \(|\vec{AC}| = |\vec{BD}|\) ist äquivalent zu \(|\vec{AC}|^2 = |\vec{BD}|^2\). 3. Anwendung des Skalarprodukts: \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2\). 4. Ausmultiplizieren: \(|\vec{a}|^2 + 2 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{b}|^2 - 2 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}|^2\). 5. Vereinfachung der Gleichung: \(4 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0\), woraus \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) folgt. Dies bedeutet, dass die Seiten \(\overline{AB}\) und \(\overline{AD}\) orthogonal sind, was das Parallelogramm zu einem Rechteck macht. 6. Geometrische Begründung: Ist das Parallelogramm ein Rechteck, sind die Dreiecke \(ABC\) und \(DCB\) nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent, da \(AB = DC\), \(BC\) eine gemeinsame Seite ist und die eingeschlossenen Winkel rechte Winkel sind. Daher gilt \(AC = BD\). Umgekehrt seien \(AC = BD\). Dann sind die Dreiecke \(ABC\) und \(BAD\) nach SSS kongruent, denn \(AB\) ist gemeinsam, \(BC = AD\) und \(AC = BD\). Somit sind die benachbarten Innenwinkel \(\angle ABC\) und \(\angle BAD\) gleich groß. Da benachbarte Innenwinkel eines Parallelogramms zusammen \(180^\circ\) ergeben, sind beide \(90^\circ\); das Parallelogramm ist ein Rechteck.

a) Aus \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2\) folgt nach dem Ausmultiplizieren \(4 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0\). Dies ist genau dann erfüllt, wenn \(\vec{a} \perp \vec{b}\) gilt, das Parallelogramm also ein Rechteck ist. b) Im Rechteck sind die Dreiecke \(ABC\) und \(DCB\) nach SWS kongruent, also gilt \(AC = BD\). Umgekehrt sind bei \(AC = BD\) die Dreiecke \(ABC\) und \(BAD\) nach SSS kongruent. Die dadurch gleichen benachbarten Innenwinkel des Parallelogramms sind jeweils \(90^\circ\), sodass ein Rechteck vorliegt.

- Wie lassen sich die Diagonalen als Wege entlang der beabsichtigten Seitenvektoren beschreiben? - Welche besondere Eigenschaft haben die Längen der Seitenvektoren in einer Raute? - Woran erkennt man mithilfe des Skalarprodukts, ob zwei Vektoren einen rechten Winkel bilden? - Welche Rechenregel für Skalarprodukte ähnelt den binomischen Formeln?

1. Aufstellen der Vektorgleichungen für die Diagonalen: \(\vec{e} = \vec{u} + \vec{v}\) und \(\vec{f} = \vec{v} - \vec{u}\) (da \(\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD}\)). 2. Berechnung des Skalarprodukts der Diagonalvektoren: \(\vec{e} \cdot \vec{f} = (\vec{v} + \vec{u}) \cdot (\vec{v} - \vec{u})\). 3. Anwendung des Distributivgesetzes (analog zur dritten binomischen Formel): \(\vec{e} \cdot \vec{f} = \vec{v} \cdot \vec{v} - \vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2\). 4. Einsetzen der Rauteneigenschaft: Da in einer Raute alle Seiten gleich lang sind, gilt \(|\vec{u}| = |\vec{v}|\). 5. Ergebnis: Das Skalarprodukt ergibt \(|\vec{v}|^2 - |\vec{v}|^2 = 0\). Da das Skalarprodukt null ist, stehen die Diagonalen \(\vec{e}\) und \(\vec{f}\) senkrecht aufeinander.

a) \(\vec{e} = \vec{u} + \vec{v}\) und \(\vec{f} = \vec{v} - \vec{u}\) b) Durch Ausmultiplizieren des Skalarprodukts \(\vec{e} \cdot \vec{f} = (\vec{v} + \vec{u}) \cdot (\vec{v} - \vec{u})\) erhält man \(|\vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2\). Da bei einer Raute \(|\vec{u}| = |\vec{v}|\) gilt, ist das Skalarprodukt \(0\), was die Orthogonalität beweist.

- Wie berechnet man die Länge eines Vektors aus seinen Koordinaten? - Wann sind zwei Vektoren orthogonal zueinander? - Welche Eigenschaft müssen die Seitenlängen in einem gleichschenkligen bzw. gleichseitigen Dreieck erfüllen? - Kannst du die Bedingung für den rechten Winkel als Skalarprodukt formulieren?

1. Berechnung der Seitenlängen \(|\vec{AC_k}|\) und \(|\vec{BC_k}|\): \(\vec{AC_k} = \begin{pmatrix} k-2 \\ 0 \\ k \end{pmatrix} \implies |\vec{AC_k}|^2 = (k-2)^2 + k^2 = 2k^2 - 4k + 4\) \(\vec{BC_k} = \begin{pmatrix} k \\ 0 \\ k-2 \end{pmatrix} \implies |\vec{BC_k}|^2 = k^2 + (k-2)^2 = 2k^2 - 4k + 4\) Da \(|\vec{AC_k}| = |\vec{BC_k}|\) für alle \(k \in \mathbb{R}\), ist das Dreieck stets gleichschenklig mit Basis \([AB]\). 2. Bedingung für rechten Winkel bei \(C_k\): \(\vec{C_kA} \cdot \vec{C_kB} = 0\) \(\begin{pmatrix} 2-k \\ 0 \\ -k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -k \\ 0 \\ 2-k \end{pmatrix} = (2-k)(-k) + (-k)(2-k) = 2k^2 - 4k = 0\) Lösungen: \(k_1 = 0\) und \(k_2 = 2\). 3. Bedingung für Gleichseitigkeit: \(|\vec{AC_k}|^2 = |\vec{AB}|^2\) \(|\vec{AB}|^2 = (-2)^2 + 0^2 + 2^2 = 8\) \(2k^2 - 4k + 4 = 8 \iff k^2 - 2k - 2 = 0\) Lösungen mittels \(pq\)-Formel: \(k = 1 \pm \sqrt{3}\).

a) Nachweis über \(|\vec{AC_k}| = \sqrt{2k^2-4k+4} = |\vec{BC_k}|\). b) \(k_1 = 0\); \(k_2 = 2\) c) \(k_1 = 1 - \sqrt{3}\); \(k_2 = 1 + \sqrt{3}\)

- Kannst du die Koordinaten von \(R_t\) in eine Form bringen, die einer bekannten Linien- oder Flächenform im Raum entspricht? - Erinnere dich daran, welche Vektoren den Winkel an einer bestimmten Ecke des Dreiecks aufspannen. - Welches Werkzeug hilft dir zu prüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinanderstehen? - Stelle für die Teilaufgaben b) und c) jeweils eine Gleichung auf, die den Parameter \(t\) enthält.

1. Darstellung der Ortskurve: Die Koordinaten von \(R_t\) lassen sich als Geradengleichung schreiben: \(\vec{r_t} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die Punkte liegen auf einer Geraden. 2. Rechter Winkel bei \(P\): \(\vec{PQ} \cdot \vec{PR_t} = 0\) \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{PR_t} = \begin{pmatrix} t-3 \\ 2t-2 \\ 1 \end{pmatrix}\) \((-2) \cdot (t-3) + 2 \cdot (2t-2) + 2 \cdot 1 = -2t + 6 + 4t - 4 + 2 = 2t + 4 = 0 \implies t = -2\). 3. Rechter Winkel bei \(Q\): \(\vec{QP} \cdot \vec{QR_t} = 0\) \(\vec{QP} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(\vec{QR_t} = \begin{pmatrix} t-1 \\ 2t-4 \\ -1 \end{pmatrix}\) \(2 \cdot (t-1) - 2 \cdot (2t-4) - 2 \cdot (-1) = 2t - 2 - 4t + 8 + 2 = -2t + 8 = 0 \implies t = 4\).

a) Die Punkte \(R_t\) liegen auf einer Geraden durch den Punkt \((0|0|2)\) mit dem Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\). b) \(t = -2\) c) Ja, für \(t = 4\) ist das Dreieck bei \(Q\) rechtwinklig.

- Woran erkennt man mathematisch, dass zwei Vektoren senkrecht aufeinanderstehen? - Wie berechnet man die Länge eines Vektors mit gegebenen Komponenten? - Kannst du aus den Bedingungen ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten erstellen? - Versuche, eine der Variablen in einer Gleichung zu isolieren und in die andere einzusetzen.

1. Bedingung für Orthogonalität aufstellen: Das Skalarprodukt von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) muss null sein: \(1 \cdot x + (-2) \cdot 2 + 2 \cdot y = 0\). Daraus folgt die lineare Gleichung \(x - 4 + 2y = 0\) bzw. \(x = 4 - 2y\). 2. Bedingung für die Länge aufstellen: Der Betrag von \(\vec{v}\) muss \(3\) sein: \(\sqrt{x^2 + 2^2 + y^2} = 3\). Quadrieren liefert \(x^2 + 4 + y^2 = 9\), also \(x^2 + y^2 = 5\). 3. Substitution und Lösung: Setzt man \(x = 4 - 2y\) in die quadratische Gleichung ein, erhält man \((4 - 2y)^2 + y^2 = 5\). Ausmultiplizieren führt auf \(16 - 16y + 4y^2 + y^2 = 5\), vereinfacht zu \(5y^2 - 16y + 11 = 0\). 4. Die quadratische Gleichung liefert die Lösungen \(y_1 = 1\) und \(y_2 = 2{,}2\). 5. Durch Einsetzen in \(x = 4 - 2y\) ergeben sich die zugehörigen Werte \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -0{,}4\).

Es gibt zwei mögliche Lösungen für das Paar \((x|y)\): Lösung 1: \(x = 2\) und \(y = 1\) Lösung 2: \(x = -0{,}4\) und \(y = 2{,}2\)

- Wann ist der Betrag des Skalarprodukts genau so groß wie das Produkt der Beträge der Einzelvektoren? Überlege dir dies mithilfe der Winkelformel. - Wenn zwei Vektoren in die gleiche oder genau die entgegengesetzte Richtung zeigen, wie hängen ihre Koordinaten dann zusammen? - Wie berechnet man die Länge eines Vektors, der durch Multiplikation mit einer Zahl entstanden ist? - Beachte, dass es zwei Richtungen gibt, die die Bedingung erfüllen könnten.

1. Die Gleichung \(|\vec{a} \cdot \vec{x}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{x}|\) bedeutet geometrisch, dass der Betrag des Kosinus des eingeschlossenen Winkels \(|\cos(\alpha)| = 1\) sein muss. 2. Daraus folgt, dass die Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{x}\) kollinear sein müssen: \(\vec{x} = k \cdot \vec{a}\) für ein \(k \in \mathbb{R}\). 3. Berechnung der Länge von \(\vec{a}\): \(|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\). 4. Aufstellen der Längenbedingung für \(\vec{x}\): \(|\vec{x}| = |k| \cdot |\vec{a}| = |k| \cdot 3 = 9\). 5. Berechnung des Skalierungsfaktors: \(|k| = 3\), woraus \(k_1 = 3\) und \(k_2 = -3\) folgen. 6. Berechnung der Vektoren: \(\vec{x}_1 = 3 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}\) und \(\vec{x}_2 = -3 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}\).

Die gesuchten Vektoren sind \(\vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}\) und \(\vec{x}_2 = \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}\).

- Wie kannst du die Längen der Diagonalen durch die Vektoren der Seiten ausdrücken? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Betrag eines Vektors und dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. - Nutze das Distributivgesetz, um die Ausdrücke für die quadrierten Längen zu vereinfachen. - Überlege, welche Terme sich bei der Addition der beiden Diagonalenquadrate gegenseitig aufheben.

1. Die quadrierten Längen der Diagonalen werden als Skalarprodukte der entsprechenden Vektoren mit sich selbst ausgedrückt: \(|\vec{e}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})\) und \(|\vec{f}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})\). 2. Unter Anwendung des Distributivgesetzes für das Skalarprodukt ergeben sich die Ausdrücke: \(|\vec{e}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2\) und \(|\vec{f}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2\). 3. Die Addition der beiden Gleichungen führt zu \(|\vec{e}|^2 + |\vec{f}|^2 = 2 \cdot |\vec{a}|^2 + 2 \cdot |\vec{b}|^2\). 4. Da das Parallelogramm jeweils zwei Seiten der Länge \(|\vec{a}|\) und zwei Seiten der Länge \(|\vec{b}|\) besitzt, entspricht die rechte Seite \(2 \cdot |\vec{a}|^2 + 2 \cdot |\vec{b}|^2\) genau der Summe der Quadrate aller vier Seitenlängen.

Durch Einsetzen der Vektorsummen in das Skalarprodukt und anschließendes Addieren zeigt man: \(|\vec{e}|^2 + |\vec{f}|^2 = 2 \cdot (|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2)\). Dies entspricht der Summe der Quadrate der vier Seitenlängen.

- Beginne damit, die Eckpunkte des Würfels in ein Koordinatensystem mit der Kantenlänge \(a\) einzutragen. - Welche Vektoren repräsentieren die Raumdiagonalen in diesem System? - Welche Formel hilft dir dabei, den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen? - Beachte, dass beim Schnittwinkel zwischen Geraden (den Diagonalen) der Kosinuswert positiv sein muss.

1. Ein Koordinatensystem wird so gewählt, dass ein Eckpunkt im Ursprung liegt und die Kanten entlang der Achsen verlaufen. Zwei Raumdiagonalen können dann durch die Vektoren \(\vec{d}_1 = \begin{pmatrix} a \\ a \\ a \end{pmatrix}\) und \(\vec{d}_2 = \begin{pmatrix} -a \\ a \\ a \end{pmatrix}\) beschrieben werden. 2. Das Skalarprodukt dieser Vektoren wird berechnet: \(\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2 = a \cdot (-a) + a \cdot a + a \cdot a = -a^2 + a^2 + a^2 = a^2\). 3. Die Beträge der Diagonalvektoren betragen jeweils \(|\vec{d}_1| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}\) und analog \(|\vec{d}_2| = a\sqrt{3}\). 4. Der Kosinus des Winkels \(\alpha\) ergibt sich aus der Formel \(\cos(\alpha) = \frac{|\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2|}{|\vec{d}_1| \cdot |\vec{d}_2|}\). Einsetzen der Werte liefert \(\cos(\alpha) = \frac{a^2}{(a\sqrt{3}) \cdot (a\sqrt{3})} = \frac{a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}\).

\(\cos(\alpha) = \frac{1}{3}\)

- Überlege dir zuerst, welche Bedingungen für die Vektoren der Seiten bei den verschiedenen Vierecksarten gelten müssen. - Wie hängen die Vektoren gegenüberliegender Seiten bei einem Parallelogramm zusammen? - Was musst du über die Längen der Vektoren wissen, um eine Raute nachzuweisen? - Denke an die Hierarchie der Vierecke: Ist jedes Parallelogramm auch ein Trapez?

1. Berechnung der Verbindungsvektoren gegenüberliegender Seiten: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 3-1 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 6-4 \\ 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Da \(\vec{AB} = \vec{DC}\), sind die Seiten \(AB\) und \(DC\) parallel und gleich lang. Somit ist das Viereck ein Parallelogramm und folglich auch ein Trapez. 3. Prüfung auf eine Raute durch Vergleich benachbarter Seitenlängen: \(|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{14}\) und \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 4-5 \\ 6-3 \\ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Die Länge ist \(|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{14}\). 4. Da alle Seiten gleich lang sind (\(|\vec{AB}| = |\vec{BC}|\)), handelt es sich um eine Raute.

Das Viereck \(ABCD\) ist ein Trapez, ein Parallelogramm und eine Raute.

- Stelle zuerst einen allgemeinen Ausdruck für die Länge des Vektors auf, der die Variable enthält. - Welche Gleichung erhältst du, wenn dieser Ausdruck den Wert 15 annehmen soll? - Wie kannst du eine Wurzelgleichung am besten nach der Unbekannten auflösen? - Denke daran, dass beim Lösen einer reinquadratischen Gleichung oft zwei Lösungen existieren.

1. Aufstellen der Formel für den Betrag des Vektors in Abhängigkeit von \(k\): \(|\vec{v}| = \sqrt{(2k)^2 + k^2 + 10^2} = \sqrt{4k^2 + k^2 + 100} = \sqrt{5k^2 + 100}\). 2. Gleichsetzen mit dem Zielwert \(15\): \(\sqrt{5k^2 + 100} = 15\). 3. Quadrieren beider Seiten der Gleichung: \(5k^2 + 100 = 225\). 4. Subtraktion von \(100\) und Division durch \(5\): \(5k^2 = 125 \implies k^2 = 25\). 5. Ziehen der Wurzel liefert die beiden möglichen Werte: \(k_1 = 5\) und \(k_2 = -5\).

\(k = 5\) oder \(k = -5\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Komponenten eines Vektors und seiner Länge. - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die unbekannte Koordinate vorkommt? - Wie kannst du eine Wurzelgleichung so umformen, dass du nach der Unbekannten auflösen kannst? - Gibt es möglicherweise mehr als einen Wert, der die Bedingung für die Länge erfüllt?

1. Aufstellen der Gleichung für den Betrag des Vektors: \(\sqrt{x^2 + 4^2 + (-8)^2} = 12\). 2. Quadrieren beider Seiten der Gleichung: \(x^2 + 16 + 64 = 144\). 3. Zusammenfassen der konstanten Terme: \(x^2 + 80 = 144\). 4. Isolieren von \(x^2\): \(x^2 = 64\). 5. Ziehen der Wurzel unter Berücksichtigung beider Vorzeichen: \(x_1 = 8\) und \(x_2 = -8\).

\(x = 8\) oder \(x = -8\)

- Nutze die Formel für den Betrag eines skalierten Vektors: \(|r \cdot \vec{a}| = |r| \cdot |\vec{a}|\). - Wenn du eine Gleichung der Form \(|r| = c\) hast, welche Werte kann \(r\) dann annehmen? - Was bedeutet ein positives oder negatives Vorzeichen beim Streckungsfaktor \(r\) für die Richtung des Vektors?

1. Berechnung des Betrags von \(\vec{a}\): \(|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 0 + 9} = \sqrt{25} = 5\). 2. Aufstellen der Gleichung für die Länge von \(\vec{b}\): \(|\vec{b}| = |r \cdot \vec{a}| = |r| \cdot |\vec{a}|\). 3. Einsetzen der gegebenen Werte: \(20 = |r| \cdot 5\). Daraus folgt \(|r| = 4\). 4. Lösen der Betragsgleichung: Es ergeben sich zwei Lösungen \(r_1 = 4\) und \(r_2 = -4\). 5. Geometrische Interpretation: Für \(r = 4\) zeigt \(\vec{b}\) in dieselbe Richtung wie \(\vec{a}\). Für \(r = -4\) zeigt \(\vec{b}\) in die entgegengesetzte Richtung. In beiden Fällen ist der Vektor viermal so lang wie \(\vec{a}\).

a) \(|\vec{a}| = 5\) b) \(r_1 = 4\); \(r_2 = -4\) c) Es gibt zwei Vektoren der Länge \(20\), die kollinear zu \(\vec{a}\) sind: einen in Richtung von \(\vec{a}\) (\(r=4\)) und einen in der entgegengesetzten Richtung (\(r=-4\)).

- Bestimme zuerst den Betrag des Vergleichsvektors. - Achte bei \(\vec{v}_2\) darauf, dass die Komponenten bereits unter einer Wurzel stehen. - Wie berechnest du das Quadrat von \(2\sqrt{3}\)? - Prüfe sorgfältig, ob die Summe der Quadrate exakt \(169\) ergibt.

1. Zuerst wird die Referenzlänge von \(\vec{u}\) bestimmt: \(|\vec{u}| = \sqrt{12^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{144 + 16 + 9} = \sqrt{169} = 13\). 2. Nun werden die Längen der anderen Vektoren berechnet: \(|\vec{v}_1| = \sqrt{0^2 + 13^2 + 0^2} = 13\) \(|\vec{v}_2| = \sqrt{100 + 50 + 19} = \sqrt{169} = 13\) \(|\vec{v}_3| = \sqrt{1^2 + 12^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 144 + 12} = \sqrt{157} \neq 13\) \(|\vec{v}_4| = \sqrt{5^2 + 12^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\) \(|\vec{v}_5| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\) \(|\vec{v}_6| = \sqrt{8^2 + 8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 64 + 16} = \sqrt{144} = 12 \neq 13\) Somit haben \(\vec{v}_1\), \(\vec{v}_2\), \(\vec{v}_4\) und \(\vec{v}_5\) dieselbe Länge wie \(\vec{u}\).

Die Vektoren \(\vec{v}_1\), \(\vec{v}_2\), \(\vec{v}_4\) und \(\vec{v}_5\) haben dieselbe Länge wie \(\vec{u}\) (nämlich \(13\)).

- Erinnere dich an die Formel für den Betrag eines Vektors mithilfe des Skalarprodukts oder des Satzes von Pythagoras im Raum. - Wie erhältst du aus einem Vektor einen Einheitsvektor, der in dieselbe Richtung zeigt? - Kannst du den ursprünglichen Vektor wiederherstellen, indem du den Einheitsvektor mit einem Skalar multiplizierst?

1. Berechnung der Länge des Vektors \(\vec{a}\): \(|\vec{a}| = \sqrt{12^2 + (-12)^2 + 6^2} = \sqrt{144 + 144 + 36} = \sqrt{324} = 18\). 2. Berechnung des Einheitsvektors \(\vec{u}\) in Richtung von \(\vec{a}\): \(\vec{u} = \frac{1}{18} \cdot \begin{pmatrix} 12 \\ -12 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}\). 3. Darstellung von \(\vec{a}\) als Produkt: \(\vec{a} = 18 \cdot \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}\).

\(\vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}\) und \(\vec{a} = 18 \cdot \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}\)

- Wie hängen der Parameter \(t\), der Richtungsvektor und der Abstand vom Startpunkt zusammen? - Berechne zuerst, wie lang der Richtungsvektor der Geraden ist. - Wie oft passt diese Länge in den gesuchten Gesamtabstand? - Vergiss nicht, dass man sich auf der Geraden in zwei Richtungen vom Startpunkt entfernen kann.

1. Der Abstand eines Punktes auf der Geraden zum Startpunkt \(S\) entspricht der Länge des Vektors \(t \cdot \vec{u}\), wobei \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -4 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix}\) der Richtungsvektor ist. 2. Berechnung der Länge des Richtungsvektors: \(|\vec{u}| = \sqrt{(-4)^2 + 7^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 49 + 16} = \sqrt{81} = 9\). 3. Bestimmung des Parameters \(t\): Aus \(|t \cdot \vec{u}| = |t| \cdot 9 = 27\) folgt \(|t| = 3\), also \(t_1 = 3\) und \(t_2 = -3\). 4. Berechnung der Punktkoordinaten durch Einsetzen von \(t\) in die Geradengleichung: Für \(t = 3\): \(\vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 \\ 25 \\ 10 \end{pmatrix}\). Für \(t = -3\): \(\vec{x}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} - 3 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 \\ -17 \\ -14 \end{pmatrix}\).

Die Punkte sind \(P_1(-11|25|10)\) und \(P_2(13|-17|-14)\).

- Wie kannst du die Seiten des Dreiecks als Vektoren darstellen? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir zu prüfen, ob zwei Linien senkrecht aufeinanderstehen? - Es reicht aus, die Winkel an den drei Eckpunkten nacheinander zu prüfen.

1. Verbindungsvektoren berechnen: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 6-2 \\ 1-1 \\ 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 2-2 \\ 4-1 \\ 8-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}\) \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 2-6 \\ 4-1 \\ 8-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}\) 2. Skalarprodukte prüfen: \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \cdot 0 + 0 \cdot 3 + 0 \cdot 5 = 0\). Da das Skalarprodukt von \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) null ist, sind diese Vektoren orthogonal. 3. Schlussfolgerung: Das Dreieck hat einen rechten Winkel im Eckpunkt \(A\). Weitere Prüfungen (\(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = -16\) und \(\vec{AC} \cdot \vec{BC} = 34\)) sind nicht notwendig, da bereits ein rechter Winkel gefunden wurde.

Das Dreieck \(ABC\) besitzt einen rechten Winkel im Eckpunkt \(A\).

- Schreibe zuerst den Rechenausdruck für das Skalarprodukt mit dem Platzhalter auf. - Setze diesen Ausdruck mit dem gewünschten Ergebnis gleich. - Welche Art von Gleichung musst du lösen, um die Unbekannte zu finden?

1. Aufstellen der Gleichung für das Skalarprodukt: \(k \cdot 3 + 4 \cdot k + (-2) \cdot 5 = 11\). 2. Zusammenfassen der Terme: \(3k + 4k - 10 = 11\), woraus \(7k - 10 = 11\) folgt. 3. Lösen nach \(k\): Addiere \(10\) auf beiden Seiten ergibt \(7k = 21\). Division durch \(7\) liefert \(k = 3\).

\(k = 3\)

- Wann stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander? - Welche Rechenoperation verknüpft die Komponenten der Vektoren, um die Orthogonalität zu prüfen? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Unbekannte vorkommt. - Achte darauf, ob es mehr als eine Lösung für die Gleichung geben könnte.

1. Aufstellen der Bedingung für Orthogonalität: Das Skalarprodukt der beiden Vektoren muss null ergeben, also \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\). 2. Berechnung des Skalarprodukts in Abhängigkeit von \(t\): \(t \cdot t + 2 \cdot (-3) + 1 \cdot 5 = t^2 - 6 + 5 = t^2 - 1\). 3. Lösen der Gleichung \(t^2 - 1 = 0\): Durch Umformen ergibt sich \(t^2 = 1\), woraus die Lösungen \(t_1 = 1\) und \(t_2 = -1\) folgen.

Die Vektoren sind für \(t_1 = 1\) und \(t_2 = -1\) orthogonal zueinander.

- Setze für zwei Koordinaten des Vektors \(\vec{x}\) beliebige Werte (z. B. 0) ein und berechne die dritte Koordinate. - Erinnerst du dich an die verschiedenen Formen von Ebenengleichungen? - Was müsste gelten, damit eine mathematische Operation als „Umkehrung“ einer anderen sinnvoll ist? Denke an die Eindeutigkeit.

1. Suche für a) Vektoren \(\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\), die \(2x_1 + x_2 - 2x_3 = 12\) erfüllen. Mögliche Lösungen sind \(\vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) (da \(2 \cdot 6 + 0 - 0 = 12\)) und \(\vec{x}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix}\) (da \(0 + 12 - 0 = 12\)). 2. Zu b): Die Gleichung hat die Form der Koordinatengleichung einer Ebene (\(ax_1 + bx_2 + cx_3 = d\)). Die Lösungsmenge ist daher eine Ebene im \(\mathbb{R}^3\) mit dem Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). 3. Zu c): Eine Umkehroperation müsste ein eindeutiges Ergebnis liefern. Da es unendlich viele verschiedene Vektoren \(\vec{x}\) gibt (alle Punkte auf der Ebene), die das Skalarprodukt \(12\) mit dem gegebenen Vektor ergeben, lässt sich kein eindeutiger „Quotient“ bestimmen. Die Operation ist nicht umkehrbar.

a) Mögliche Lösungen: \(\vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{x}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix}\). b) Die Lösungsmenge beschreibt eine Ebene im Raum. c) Die Division ist nicht sinnvoll, da sie nicht eindeutig wäre: Es gibt unendlich viele Vektoren, die die Gleichung lösen, sodass man kein eindeutiges Ergebnis für \(\vec{x} = 12 : \vec{n}\) festlegen könnte.

- Wie addiert man zwei Vektoren komponentenweise? - Erinnere dich an die Definition des Skalarprodukts mithilfe von Koordinaten. - Welche Rechengesetze für reelle Zahlen helfen dir, Klammern bei Produkten wie \(x(y + z)\) aufzulösen? - Kannst du die Terme am Ende so sortieren, dass sie wieder die Struktur von Skalarprodukten haben?

1. Bestimmung des Summenvektors \(\vec{b} + \vec{c} = \begin{pmatrix} b_1 + c_1 \\ b_2 + c_2 \\ b_3 + c_3 \end{pmatrix}\). 2. Anwendung der Definition des Skalarprodukts auf die linke Seite: \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = a_1(b_1 + c_1) + a_2(b_2 + c_2) + a_3(b_3 + c_3)\). 3. Auflösen der Klammern mithilfe des Distributivgesetzes für reelle Zahlen: \(a_1b_1 + a_1c_1 + a_2b_2 + a_2c_2 + a_3b_3 + a_3c_3\). 4. Umordnen der Terme mithilfe des Kommutativ- und Assoziativgesetzes der Addition: \((a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) + (a_1c_1 + a_2c_2 + a_3c_3)\). 5. Erkennen der Teilsummen als Definitionen der Skalarprodukte \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) und \(\vec{a} \cdot \vec{c}\), woraus die rechte Seite der Gleichung folgt.

Der Beweis erfolgt durch Einsetzen der Koordinaten: \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 + c_1 \\ b_2 + c_2 \\ b_3 + c_3 \end{pmatrix} = a_1(b_1 + c_1) + a_2(b_2 + c_2) + a_3(b_3 + c_3)\) \(= a_1b_1 + a_1c_1 + a_2b_2 + a_2c_2 + a_3b_3 + a_3c_3\) \(= (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) + (a_1c_1 + a_2c_2 + a_3c_3) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\).

- Wann stehen zwei Vektoren mathematisch gesehen senkrecht aufeinander? - Wie berechnet man die Länge (den Betrag) eines Vektors im Raum? - Wenn du einen Vektor mit einer Zahl multiplizierst, was passiert dann mit seiner Richtung und seiner Länge? - Überlege dir, wie sich das Skalarprodukt verhält, wenn man einen der Vektoren mit einem Streckungsfaktor multipliziert.

1. Orthogonalitätsbedingung aufstellen: Das Skalarprodukt \(\vec{v} \cdot \vec{x}\) muss null ergeben. Es folgt \(2 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 + 1 \cdot x_3 = 0\). 2. Gleichung lösen: \(2 - 4 + x_3 = 0 \Rightarrow x_3 = 2\). Der Vektor ist \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 3. Länge berechnen: \(|\vec{x}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\). 4. Skalierung für \(\vec{y}\): Da die Ziel-Länge \(12\) das Vierfache der aktuellen Länge \(3\) ist, gilt \(\vec{y} = 4 \cdot \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix}\). 5. Begründung der Orthogonalität: Aufgrund der Linearität des Skalarprodukts gilt \(\vec{v} \cdot (k \cdot \vec{x}) = k \cdot (\vec{v} \cdot \vec{x})\). Da \(\vec{v} \cdot \vec{x} = 0\), ist auch jedes Vielfache von \(\vec{x}\) orthogonal zu \(\vec{v}\).

a) \(x_3 = 2\) b) \(|\vec{x}| = 3\) c) \(\vec{y} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix}\) d) Da \(\vec{y}\) ein Vielfaches von \(\vec{x}\) ist (\(\vec{y} = 4\vec{x}\)) und \(\vec{x}\) orthogonal zu \(\vec{v}\) ist, gilt \(\vec{v} \cdot \vec{y} = \vec{v} \cdot (4\vec{x}) = 4 \cdot (\vec{v} \cdot \vec{x}) = 4 \cdot 0 = 0\).

- Welches Rechenwerkzeug hilft dir zu prüfen, ob Vektoren einen rechten Winkel einschließen? - Versuche, dir einen Vektor als Stab im Raum vorzustellen. Wo könnten überall andere Stäbe liegen, die senkrecht dazu sind? - Denke an das Konzept einer Normalenform bei Ebenen. - Wie viele Dimensionen bleiben „übrig“, wenn du eine Bedingung (senkrecht zu einem Vektor) im 3D-Raum vorgibst?

1. Bedingung für Orthogonalität: Das Skalarprodukt \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) muss null sein: \(k \cdot 2 + 6 \cdot k + (-2) \cdot 10 = 0\). 2. Gleichung nach \(k\) auflösen: \(2k + 6k - 20 = 0 \Rightarrow 8k = 20 \Rightarrow k = 2{,}5\). 3. Geometrische Erklärung Raum: Alle Vektoren, die orthogonal zu einem festen Vektor \(\vec{n}\) sind, liegen in einer Ebene, für die \(\vec{n}\) der Normalenvektor ist. In dieser Ebene gibt es unendlich viele verschiedene Richtungen. 4. Geometrische Erklärung Ebene: In einer zweidimensionalen Ebene gibt es zu einem Vektor nur eine dazu senkrechte Gerade. Auf dieser Geraden existieren lediglich zwei mögliche Orientierungen (Richtungen).

a) \(k = 2{,}5\) b) Im \(\mathbb{R}^3\) bilden alle zu \(\vec{n}\) orthogonalen Vektoren eine Ebene durch den Ursprung, deren Normalenvektor \(\vec{n}\) ist. Da eine Ebene unendlich viele Richtungen enthält, gibt es unendlich viele orthogonale Vektoren. Im \(\mathbb{R}^2\) liegen alle zu einem festen Vektor orthogonalen Vektoren auf einer Geraden durch den Ursprung; diese Gerade besitzt zwei entgegengesetzte Orientierungen.

- Überprüfe die Multiplikation mit Null im ersten Schritt. - Welche Rechenoperation muss zwischen den Beträgen der Vektoren im Nenner der Winkelformel stehen? - Wenn das Skalarprodukt Null ergibt, was bedeutet das für den Winkel zwischen den Vektoren? - Welcher Winkel gehört zu einem Kosinuswert von \(0{,}5\)?

1. Der erste Fehler liegt in der Berechnung des Skalarprodukts: \(0 \cdot 5\) ergibt \(0\), nicht \(5\). Das korrekte Skalarprodukt ist \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 0 \cdot 5 = 0\). 2. Der zweite Fehler liegt in der Formel für den Kosinus des Winkels: Im Nenner müssen die Beträge multipliziert werden (\(|\vec{u}| \cdot |\vec{v}| = 5 \cdot 5\)), nicht addiert. 3. Der dritte Fehler ist die Bestimmung des Winkels aus dem Kosinuswert: \(\cos(\phi) = 0{,}5\) entspräche \(\phi = 60^\circ\), nicht \(30^\circ\). 4. Korrekte Berechnung: Da das Skalarprodukt \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) ist, gilt \(\cos(\phi) = 0\) und somit \(\phi = 90^\circ\).

Fehler 1: Rechenfehler im Skalarprodukt (\(0 \cdot 5 = 0\), nicht \(5\)). Fehler 2: Formelfehler im Nenner (Addition statt Multiplikation der Beträge). Fehler 3: Falscher Winkelwert für \(\cos(\phi) = 0{,}5\) (\(60^\circ\) statt \(30^\circ\)). Der korrekte Winkel ist \(\phi = 90^\circ\).

- Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum? - Welche Formel verknüpft das Skalarprodukt zweier Vektoren mit dem eingeschlossenen Winkel? - Achte darauf, dass die Vektoren für die Winkelberechnung beide vom selben Eckpunkt ausgehen. - Kennst du eine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks, in der ein Winkel und zwei Seiten vorkommen?

1. Berechnung der Verbindungsvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der Seitenlängen über die Vektorbeträge: \(c = |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = 5\), \(a = |\vec{BC}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 4^2} = 5\) und \(b = |\vec{AC}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{32} \approx 5{,}66\). 3. Berechnung des Winkels \(\beta\) mit dem Skalarprodukt: \(\vec{BA} = \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-3) \cdot (-3) + (-4) \cdot 0 + 0 \cdot 4 = 9\). 4. Bestimmung des Kosinuswerts: \(\cos(\beta) = \frac{9}{5 \cdot 5} = 0{,}36\). Daraus folgt \(\beta = \arccos(0{,}36) \approx 68{,}90^\circ\). 5. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin(\beta) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \sin(68{,}90^\circ) \approx 11{,}66\).

a) Die Seitenlängen betragen \(5\), \(5\) und \(\sqrt{32} \approx 5{,}66\). b) Der Winkel \(\beta\) beträgt ca. \(68{,}90^\circ\). c) Der Flächeninhalt beträgt ca. \(11{,}66\,\text{FE}\).

- Wie berechnest du den Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten? - Erinnere dich an die Formel für den Betrag eines Vektors, um Seitenlängen zu bestimmen. - Was muss für das Skalarprodukt zweier Vektoren gelten, wenn diese senkrecht aufeinanderstehen? - Wenn du die Seitenlängen kennst, welche Schlüsse kannst du auf die Winkel ziehen?

1. Berechnung der Seitenvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{CA} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der Seitenlängen: \(c = |\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), \(a = |\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), \(b = |\vec{CA}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). Da alle Seiten gleich lang sind, ist das Dreieck gleichseitig. 3. Überprüfung auf rechte Winkel (Skalarprodukte der Vektoren, die an einem Punkt zusammenlaufen): \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = 4 \neq 0\); \(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = 4 \neq 0\); \(\vec{CB} \cdot \vec{CA} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = 4 \neq 0\). Es gibt keinen rechten Winkel. 4. Da das Dreieck gleichseitig ist, müssen alle Innenwinkel \(60^\circ\) betragen. Dies lässt sich über \(\cos(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{4}{\sqrt{8} \cdot \sqrt{8}} = 0{,}5\) bestätigen.

a) Die Seitenlängen betragen alle \(2\sqrt{2} \approx 2{,}83\). Das Dreieck ist gleichseitig. b) Die Skalarprodukte der jeweils von einem Eckpunkt ausgehenden Seitenvektoren sind ungleich null und betragen jeweils \(4\); daher ist das Dreieck nicht rechtwinklig. c) Da das Dreieck gleichseitig ist, sind alle Innenwinkel \(60^\circ\) groß.

- Nutze die Eigenschaft eines Parallelogramms, dass gegenüberliegende Seiten durch identische Vektoren dargestellt werden können. - Wodurch unterscheidet sich eine Raute von einem allgemeinen Parallelogramm hinsichtlich der Seitenlängen? - Wie kannst du schnell feststellen, ob ein Innenwinkel \(90^\circ\) beträgt? - Denk daran, dass für ein Rechteck das Skalarprodukt benachbarter Seitenvektoren Null sein muss.

1. Berechnung von \(D\): In einem Parallelogramm gilt \(\vec{AD} = \vec{BC}\). Mit \(\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) folgt \(\vec{D} = \vec{A} + \vec{BC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(D(2|4|3)\). 2. Prüfung auf Raute (Seitenlängen): Berechne die Längen benachbarter Seitenvektoren. \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\), also \(|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = 5\). \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\), also \(|\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2} = 5\). Da \(|\vec{AB}| = |\vec{BC}|\), ist das Parallelogramm eine Raute. 3. Prüfung auf Rechteck (Winkel): Berechne das Skalarprodukt \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 3 + 0 \cdot 4 = 12\). Da \(12 \neq 0\), sind die Seiten nicht orthogonal. Es ist kein Rechteck.

a) Der vierte Punkt ist \(D(2|4|3)\). b) Das Parallelogramm ist eine Raute, da die benachbarten Seiten gleich lang sind (\(|\vec{AB}| = 5\) und \(|\vec{BC}| = 5\)). Es ist kein Rechteck, da das Skalarprodukt \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 12 \neq 0\) ist und somit kein rechter Winkel vorliegt.

- Stelle die Raumdiagonalen als Vektoren mithilfe der Kantenlängen dar. - Wann ist das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich null? - Betrachte die verschiedenen Vorzeichenkombinationen für die Komponenten der Diagonalvektoren. - Überlege, was passieren würde, wenn mehrere dieser Bedingungen gleichzeitig für dieselben Werte gelten müssten.

1. Die Raumdiagonalen eines Quaders mit den Kantenlängen \(a\), \(b\) und \(c\) lassen sich als Vektoren darstellen, zum Beispiel \(\vec{d_1} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) und \(\vec{d_2} = \begin{pmatrix} -a \\ b \\ c \end{pmatrix}\). Die Orthogonalität ist erfüllt, wenn das Skalarprodukt null ist: \(\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = -a^2 + b^2 + c^2 = 0\). Dies führt zur Bedingung \(a^2 = b^2 + c^2\). Analog ergeben sich für andere Paare von Raumdiagonalen die Bedingungen \(b^2 = a^2 + c^2\) oder \(c^2 = a^2 + b^2\). Somit müssen zwei Kantenlängen im Quadrat addiert das Quadrat der dritten Kantenlänge ergeben. 2. Damit alle vier Raumdiagonalen paarweise orthogonal sind, müssten alle drei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein: \(a^2 = b^2 + c^2\), \(b^2 = a^2 + c^2\) und \(c^2 = a^2 + b^2\). Addiert man beispielsweise die ersten beiden Gleichungen, erhält man \(a^2 + b^2 = a^2 + b^2 + 2c^2\), woraus \(2c^2 = 0\) und somit \(c = 0\) folgt. Da ein Quader jedoch positive Kantenlängen besitzen muss, ist dies unmöglich. Es gibt also keinen solchen Quader.

1. Zwei Raumdiagonalen sind orthogonal, wenn das Quadrat einer Kantenlänge gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Kantenlängen ist (z. B. \(a^2 = b^2 + c^2\)). 2. Nein, ein solcher Quader existiert nicht, da dies auf Kantenlängen von \(0\) führen würde.

- Wie hängen die Diagonalen in einer Skizze mit den Seitenvektoren zusammen? - Wann ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren den Wert Null? - Gibt es eine Rechenregel für das Skalarprodukt, die der dritten binomischen Formel ähnelt? - Was bedeutet es für die Geometrie eines Parallelogramms, wenn zwei benachbarte Seiten gleich lang sind?

1. Aufstellen der Diagonalvektoren: \(\vec{e} = \vec{a} + \vec{b}\) und \(\vec{f} = \vec{b} - \vec{a}\). 2. Berechnung des Skalarprodukts: \(\vec{e} \cdot \vec{f} = (\vec{b} + \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{b} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2\). 3. Orthogonalitätsbedingung: Die Diagonalen sind orthogonal, wenn \(\vec{e} \cdot \vec{f} = 0\). Dies führt zu \(|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 = 0\), also \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\). 4. Schlussfolgerung: Da die anliegenden Seiten \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) gleich lang sein müssen, handelt es sich bei dem Parallelogramm um eine Raute.

a) \(\vec{e} = \vec{a} + \vec{b}\) und \(\vec{f} = \vec{b} - \vec{a}\) b) Das Skalarprodukt \(\vec{e} \cdot \vec{f} = |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2\) ist genau dann null, wenn \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\) gilt. Ein Parallelogramm mit gleich langen Seiten ist eine Raute.

- Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei Punkten, wenn die Vektoren vom Ursprung aus gegeben sind? - Der Vektor der Seitenhalbierenden zeigt vom Eckpunkt \(A\) zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. - Was muss für das Skalarprodukt gelten, damit zwei Vektoren einen rechten Winkel bilden? - Berechne die Längen der beiden vom Punkt \(A\) ausgehenden Seiten. Was sagt dies über die Symmetrie des Dreiecks aus?

1. Berechnung von \(\vec{w} = \vec{BC} = \vec{v} - \vec{u} = \begin{pmatrix} -3-4 \\ 4-0 \\ 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der Seitenhalbierenden \(\vec{s}_a = \frac{1}{2}(\vec{u} + \vec{v}) = \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 2 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}\). 3. Skalarprodukt bilden: \(\vec{s}_a \cdot \vec{w} = 0{,}5 \cdot (-7) + 2 \cdot 4 + 1{,}5 \cdot (-3) = -3{,}5 + 8 - 4{,}5 = 0\). Die Vektoren sind orthogonal. 4. Längenvergleich: \(|\vec{u}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2} = 5\) und \(|\vec{v}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = 5\). 5. Da das Dreieck gleichschenklig mit \(|\vec{AB}| = |\vec{AC}|\) ist, fällt die Seitenhalbierende der Basis mit der Höhe zusammen und steht somit orthogonal auf der Basis.

a) \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -7 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\); \(\vec{s}_a = \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 2 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{s}_a \cdot \vec{w} = 0\), daher sind sie orthogonal. c) Da \(|\vec{AB}| = 5\) und \(|\vec{AC}| = 5\) gleich lang sind, ist das Dreieck gleichschenklig. In einem gleichschenkligen Dreieck steht die Seitenhalbierende der Basis stets senkrecht auf dieser.

- Zur Berechnung von Längen im Raum kannst du den Betrag der entsprechenden Verbindungsvektoren nutzen. - Überlege dir, wie du die Koordinaten eines Verbindungsvektors zwischen zwei Punkten bestimmst. - Für die Berechnung eines Winkels zwischen zwei Vektoren ist das Skalarprodukt hilfreich. - Der Flächeninhalt eines Parallelogramms lässt sich im dreidimensionalen Raum besonders einfach mit dem Betrag des Kreuzprodukts zweier aufspannender Vektoren berechnen.

1. Berechnung der Seitenvektoren und deren Längen: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \implies |\vec{AB}| = \sqrt{5^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{29} \approx 5{,}39\) \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \implies |\vec{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{22} \approx 4{,}69\) \(\vec{CD} = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \implies |\vec{CD}| = \sqrt{29} \approx 5{,}39\) \(\vec{DA} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix} \implies |\vec{DA}| = \sqrt{22} \approx 4{,}69\) Da \(\vec{AB} = -\vec{CD}\), handelt es sich um ein Parallelogramm. 2. Berechnung der Diagonalenlängen: \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \implies |\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{43} \approx 6{,}56\) \(\vec{BD} = \begin{pmatrix} -7 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \implies |\vec{BD}| = \sqrt{(-7)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{59} \approx 7{,}68\) 3. Berechnung des Winkels \(\alpha\): \(\cos(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}|} = \frac{5 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 + 2 \cdot 3}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{22}} = \frac{-4}{\sqrt{638}} \approx -0{,}1584\) \(\alpha = \arccos\left(\frac{-4}{\sqrt{638}}\right) \approx 99{,}11^\circ\) 4. Berechnung des Flächeninhalts über das Kreuzprodukt: \(A = |\vec{AB} \times \vec{AD}| = \left| \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} -6 \\ -19 \\ 15 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{(-6)^2 + (-19)^2 + 15^2} = \sqrt{622} \approx 24{,}94\)

a) Seitenlängen: \(a = c = \sqrt{29} \approx 5{,}39\); \(b = d = \sqrt{22} \approx 4{,}69\). Diagonalen: \(e = \sqrt{43} \approx 6{,}56\); \(f = \sqrt{59} \approx 7{,}68\). b) \(\alpha \approx 99{,}11^\circ\). c) \(A = \sqrt{622} \approx 24{,}94\,\text{FE}\).

- Wie lassen sich die Diagonalen eines Parallelogramms durch die Vektoren der Seiten ausdrücken? - Welches Rechenwerkzeug aus der Vektorgeometrie nutzt du, um zu prüfen, ob zwei Linien senkrecht zueinander stehen? - Erinnere dich an die Rechenregeln für das Skalarprodukt, insbesondere an das Ausmultiplizieren von Klammern. - Was muss für die Längen der Seitenvektoren in einer Raute gelten?

1. Darstellung der Diagonalen durch die aufspannenden Vektoren: \(\vec{e} = \vec{a} + \vec{b}\) und \(\vec{f} = \vec{b} - \vec{a}\). 2. Bedingung für Orthogonalität der Diagonalen: Das Skalarprodukt muss null sein, also \(\vec{e} \cdot \vec{f} = 0\). 3. Berechnung des Skalarprodukts unter Anwendung des Distributivgesetzes (bzw. der dritten binomischen Formel für Vektoren): \((\vec{b} + \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{b} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2\). 4. Schlussfolgerung: \(\vec{e} \cdot \vec{f} = 0\) gilt genau dann, wenn \(|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 = 0\), was äquivalent zu \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\) ist. 5. Da ein Parallelogramm mit gleich langen benachbarten Seiten per Definition eine Raute ist, ist die Behauptung bewiesen.

Durch Einsetzen der Diagonalvektoren \(\vec{e} = \vec{a} + \vec{b}\) und \(\vec{f} = \vec{b} - \vec{a}\) in das Skalarprodukt ergibt sich \(\vec{e} \cdot \vec{f} = |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2\). Dieses Produkt ist genau dann null, wenn \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\). Somit stehen die Diagonalen genau dann senkrecht aufeinander, wenn die benachbarten Seiten gleich lang sind, was die Definition einer Raute ist.

- Wie lassen sich die Diagonalen eines Parallelogramms mithilfe der Vektoren der anliegenden Seiten beschreiben? - Erinnere dich an die Rechenregeln für das Skalarprodukt, insbesondere an das Distributivgesetz. - Was bedeutet der quadrierte Betrag eines Vektors im Hinblick auf seine Länge? - Kannst du die Terme so umformen, dass sich bestimmte Teile gegenseitig aufheben?

1. Anwendung des Distributivgesetzes für das Skalarprodukt: \(|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + 2 \cdot (\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{v}|^2\) und \(|\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 - 2 \cdot (\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{v}|^2\). 2. Addition der Terme: Die gemischten Skalarprodukte \(2 \cdot (\vec{u} \cdot \vec{v})\) und \(-2 \cdot (\vec{u} \cdot \vec{v})\) summieren sich zu null. 3. Ergebnis der Vereinfachung: \(2 \cdot |\vec{u}|^2 + 2 \cdot |\vec{v}|^2\). 4. Geometrische Zuordnung: Die Vektoren \(\vec{u} + \vec{v}\) und \(\vec{u} - \vec{v}\) entsprechen den beiden Diagonalen des Parallelogramms. 5. Zusammenfassung als Satz: Die Summe der Quadrate der Diagonalenlängen ist gleich der Summe der Quadrate aller vier Seitenlängen eines Parallelogramms.

a) \(2|\vec{u}|^2 + 2|\vec{v}|^2\) b) Die Vektoren \(\vec{u} + \vec{v}\) und \(\vec{u} - \vec{v}\) stellen die beiden Diagonalen des Parallelogramms dar. c) In einem Parallelogramm ist die Summe der Quadrate der Diagonalenlängen gleich der Summe der Quadrate der Längen aller vier Seiten.

- Wie kannst du den fehlenden Punkt \(C\) mithilfe der Vektoraddition finden? - Wie berechnet man den Betrag eines Vektors im Raum, und wie sieht dann sein Quadrat aus? - Denke daran, dass gegenüberliegende Seiten in einem Parallelogramm gleich lang sind. - Welche Punkte musst du verbinden, um die Diagonalen zu erhalten?

1. Berechnung von Punkt \(C\): Da \(\vec{BC} = \vec{AD}\), gilt \(\vec{OC} = \vec{OB} + \vec{AD} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}\). Also \(C(6|5|2)\). 2. Quadrate der Diagonalenlängen: \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \Rightarrow e^2 = 5^2 + 4^2 + 1^2 = 42\). \(\vec{BD} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \Rightarrow f^2 = (-3)^2 + 2^2 + 3^2 = 22\). Die Summe ist \(42 + 22 = 64\). 3. Quadrate der Seitenlängen: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \Rightarrow |\vec{AB}|^2 = 4^2 + 1^2 + (-1)^2 = 18\). \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \Rightarrow |\vec{AD}|^2 = 1^2 + 3^2 + 2^2 = 14\). 4. Summe der Quadrate aller vier Seiten: \(2 \cdot (18 + 14) = 64\). 5. Vergleich: Beide Summen ergeben \(64\), was die Parallelogrammgleichung für dieses Beispiel verifiziert.

a) \(C(6|5|2)\) b) \(e^2 = 42\) und \(f^2 = 22\). c) Die Summe der Quadrate der Diagonalen ist \(64\). Die Summe der Quadrate aller vier Seitenlängen (\(2 \cdot 18 + 2 \cdot 14\)) ist ebenfalls \(64\). Die Ergebnisse sind identisch.

- Denke an den Zusammenhang zwischen Vektoren und Punktkoordinaten: \(\vec{OD} = \vec{OC} + \vec{CD}\). - Die Länge eines Vektors berechnest du über die Wurzel aus der Summe der Quadrate seiner Komponenten. - Für den Winkel zwischen zwei Vektoren ist das Skalarprodukt hilfreich. - Ein Trapez lässt sich zur Flächenberechnung in zwei Dreiecke aufteilen.

1. Berechnung von \(D\): Aus der Bedingung \(\vec{DC} = \frac{1}{2} \vec{AB}\) folgt mit \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\), dass \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). Damit ergibt sich \(\vec{OD} = \vec{OC} - \vec{DC} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 5-1 \\ 3-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(D(2|4|4)\). 2. Seitenlängen: \(|\vec{AB}| = \sqrt{6^2+2^2+(-2)^2} = \sqrt{44} \approx 6{,}63\); \(|\vec{BC}| = \left| \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{17} \approx 4{,}12\); \(|\vec{CD}| = \sqrt{3^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{11} \approx 3{,}32\); \(|\vec{DA}| = \left| \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{14} \approx 3{,}74\). 3. Winkel \(\alpha\): Verwendung des Skalarprodukts zwischen \(\vec{AB}\) und \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). \(\cos(\alpha) = \frac{6 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + (-2) \cdot 2}{\sqrt{44} \cdot \sqrt{14}} = \frac{8}{\sqrt{616}} \approx 0{,}3222\), woraus \(\alpha \approx 71{,}20^\circ\) folgt. 4. Flächeninhalt: Zerlegung in zwei Dreiecke \(ABD\) und \(BCD\). \(F = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AD}| + \frac{1}{2} |\vec{BC} \times \vec{BD}| = \sqrt{138} + 0{,}5\sqrt{138} = 1{,}5\sqrt{138} \approx 17{,}62\,\text{FE}\). Alternativ über die Trapezformel mit Höhe \(h = |\vec{AD}| \cdot \sin(\alpha) = \sqrt{14} \cdot \sqrt{1 - 0{,}3222^2} = \sqrt{\frac{138}{11}}\).

a) \(D(2|4|4)\) b) \(|\vec{AB}| \approx 6{,}63\), \(|\vec{BC}| \approx 4{,}12\), \(|\vec{CD}| \approx 3{,}32\), \(|\vec{DA}| \approx 3{,}74\) c) \(\alpha \approx 71{,}2^\circ\); \(F \approx 17{,}62\,\text{FE}\)

- Nutze die Eigenschaft paralleler Seitenvektoren, um den fehlenden Punkt zu finden. - Was unterscheidet eine Raute von einem gewöhnlichen Parallelogramm hinsichtlich der Seitenlängen? - Wo genau schneiden sich die Diagonalen in jedem Parallelogramm? - Das Skalarprodukt zweier Vektoren verrät dir sofort, ob diese senkrecht zueinander stehen. - Für die Fläche einer Raute gibt es eine spezielle Formel, die nur die Längen der Diagonalen nutzt.

1. Punkt \(D\): Für ein Parallelogramm gilt \(\vec{AD} = \vec{BC}\). Mit \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) folgt \(\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{BC} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}\), also \(D(2|2|7)\). 2. Nachweis Raute: Berechnung der benachbarten Seitenlängen. \(|\vec{AB}| = \sqrt{3^2+4^2+0^2} = 5\) und \(|\vec{BC}| = \sqrt{0^2+3^2+4^2} = 5\). Da alle Seiten im Parallelogramm gleich lang sind (\(5\,\text{LE}\)), ist es eine Raute. 3. Schnittpunkt \(M\): Die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren einander. \(M\) ist der Mittelpunkt von \(AC\): \(M = \frac{1}{2}(A+C) = (3{,}5|2{,}5|5)\). 4. Schnittwinkel: Vektoren der Diagonalen sind \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{BD} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\). Das Skalarprodukt \(\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 3 \cdot (-3) + 7 \cdot (-1) + 4 \cdot 4 = -9 - 7 + 16 = 0\) zeigt, dass sie orthogonal sind (\(90^\circ\)). Dies bestätigt den Satz, dass die Diagonalen einer Raute senkrecht aufeinanderstehen. 5. Flächeninhalt: Da die Diagonalen einer Raute senkrecht aufeinanderstehen, gilt \(F = \frac{1}{2} \cdot |\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}|\). Mit \(|\vec{AC}| = \sqrt{3^2+7^2+4^2} = \sqrt{74}\) und \(|\vec{BD}| = \sqrt{(-3)^2+(-1)^2+4^2} = \sqrt{26}\) folgt \(F = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{74} \cdot \sqrt{26} = \sqrt{481} \approx 21{,}93\,\text{FE}\).

a) \(D(2|2|7)\); Nachweis über \(|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = 5\) b) \(M(3{,}5|2{,}5|5)\) c) \(90^\circ\); Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander. d) \(F = \sqrt{481} \approx 21{,}93\,\text{FE}\)

- Welche Vektoren müssen gleich sein, damit ein Viereck ein Parallelogramm ist? - Wie lässt sich die Orthogonalität zweier Vektoren rechnerisch überprüfen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Seitenlängen bei einer Raute. - Welche speziellen Eigenschaften müssen für ein Quadrat gleichzeitig erfüllt sein?

1. Nachweis des Parallelogramms: Die Verbindungsvektoren gegenüberliegender Seiten werden berechnet. Es gilt \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 2-0 \\ k-(k-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{AB} = \vec{DC}\) für alle \(k\) gilt, ist \(ABCD\) stets ein Parallelogramm. 2. Bedingung für ein Rechteck: Ein Parallelogramm ist ein Rechteck, wenn ein Innenwinkel \(90^\circ\) beträgt. Mit \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ k-3 \end{pmatrix}\) muss gelten: \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0\). Dies führt zu \(2 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot (k-3) = 4 + k - 3 = k + 1 = 0\), woraus \(k = -1\) folgt. 3. Bedingung für eine Raute: Ein Parallelogramm ist eine Raute, wenn benachbarte Seiten gleich lang sind. Es gilt \(|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = 3\). Die Länge von \(BC\) ist \(|\vec{BC}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (k-3)^2} = \sqrt{k^2 - 6k + 13}\). Gleichsetzen ergibt \(9 = k^2 - 6k + 13 \iff k^2 - 6k + 4 = 0\). Die Lösungen sind \(k = 3 \pm \sqrt{5}\). 4. Quadrat-Eigenschaft: Ein Quadrat muss sowohl ein Rechteck (\(k = -1\)) als auch eine Raute (\(k = 3 \pm \sqrt{5}\)) sein. Da diese Bedingungen nicht gleichzeitig erfüllt werden können, existiert kein solches \(k\).

a) Nachweis über \(\vec{AB} = \vec{DC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). b) \(k = -1\) c) \(k = 3 + \sqrt{5}\) oder \(k = 3 - \sqrt{5}\) d) Da die Bedingungen für Rechteck (\(k = -1\)) und Raute (\(k = 3 \pm \sqrt{5}\)) nicht gleichzeitig erfüllbar sind, kann kein Quadrat entstehen.

- Welche zwei Vektoren schließen den Winkel am Punkt \(A\) ein? - Welche Bedingung muss für das Skalarprodukt gelten, damit ein rechter Winkel vorliegt? - Wie lautet die allgemeine Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren? - Achte darauf, dass die Vektoren für die Winkelberechnung beide vom selben Punkt (hier \(B\)) ausgehen sollten.

1. Bestimmung der Vektoren für den Winkel bei \(A\): \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Nachweis des rechten Winkels über das Skalarprodukt: \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \cdot 0 + 0 \cdot 4 + 4 \cdot 0 = 0\). Somit ist der Winkel bei \(A\) genau \(90^\circ\). 3. Bestimmung der Vektoren für den Winkel bei \(B\): \(\vec{BA} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\). 4. Berechnung der Beträge: \(|\vec{BA}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + (-4)^2} = 5\) und \(|\vec{BC}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{41}\). 5. Anwendung der Winkelformel: \(\cos(\beta) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{(-3) \cdot (-3) + 0 \cdot 4 + (-4) \cdot (-4)}{5 \cdot \sqrt{41}} = \frac{25}{5\sqrt{41}} = \frac{5}{\sqrt{41}}\). 6. Berechnung des Winkels: \(\beta = \arccos\left(\frac{5}{\sqrt{41}}\right) \approx 38{,}66^\circ\).

a) Wegen \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0\) ist das Dreieck bei \(A\) rechtwinklig. b) Der Innenwinkel am Eckpunkt \(B\) beträgt \(\beta \approx 38{,}66^\circ\).

- Überlege zuerst, in welcher besonderen Lage im Koordinatensystem die Grundfläche der Pyramide liegt. - Eine gerade Pyramide zeichnet sich dadurch aus, dass das Lot von der Spitze auf die Grundfläche genau im Mittelpunkt der Grundfläche eintrifft. - Wie berechnet man die Länge eines Vektors im Raum? - Denke daran, dass es bei solchen Aufgaben oft zwei symmetrische Lösungen für die Spitze geben kann.

1. Alle Eckpunkte der Grundfläche haben die \(x\)-Koordinate \(5\), somit liegt die Grundfläche in der Ebene \(x=5\). 2. Der Mittelpunkt \(M\) der Grundfläche berechnet sich als \(M\left(5 \big| \frac{0+4}{2} \big| \frac{0+4}{2}\right) = (5|2|2)\). 3. Da die Pyramide gerade ist, muss die Spitze \(S\) auf der Normalen zur Grundfläche durch \(M\) liegen. Diese verläuft parallel zur \(x\)-Achse: \(S(5+h|2|2)\). 4. Der Verbindungsvektor \(\vec{AS}\) ist \(\vec{AS} = \begin{pmatrix} h \\ 2-0 \\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} h \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 5. Aus der Kantenlänge folgt \(|\vec{AS}|^2 = h^2 + 2^2 + 2^2 = 6^2 = 36\). 6. Die Gleichung \(h^2 + 8 = 36\) liefert \(h^2 = 28\), also \(h = \pm \sqrt{28} = \pm 2\sqrt{7}\). 7. Die möglichen Koordinaten für die Spitze sind \(S_1(5+2\sqrt{7}|2|2)\) und \(S_2(5-2\sqrt{7}|2|2)\).

\(S_1(5+2\sqrt{7}|2|2)\) und \(S_2(5-2\sqrt{7}|2|2)\)

- Welches mathematische Werkzeug hilft dir zu prüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinanderstehen? - An welchen Ecken des Dreiecks könnte der rechte Winkel liegen? - Achte darauf, dass für deine Lösungen tatsächlich ein Dreieck existiert und keine Punkte zusammenfallen. - Stelle für jeden der drei Eckpunkte eine Gleichung auf.

1. Identifikation der möglichen Scheitelpunkte für den rechten Winkel: \(O\), \(A\) oder \(B\). Damit ein Dreieck entsteht, muss \(k \neq 0\) gelten, da sonst \(B=O\) wäre. 2. Fall 1: Rechter Winkel bei \(O\). Bedingung: \(\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0\). \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} k \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 1\cdot k + 2\cdot 0 + 2\cdot 0 = k\). \(k = 0\) führt zu keinem Dreieck (Punkt \(B\) fällt mit \(O\) zusammen). 3. Fall 2: Rechter Winkel bei \(A\). Bedingung: \(\vec{AO} \cdot \vec{AB} = 0\). \(\vec{AO} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} k-1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\). \((-1)(k-1) + (-2)(-2) + (-2)(-2) = -k + 1 + 4 + 4 = 9 - k = 0 \implies k = 9\). 4. Fall 3: Rechter Winkel bei \(B\). Bedingung: \(\vec{BO} \cdot \vec{BA} = 0\). \(\vec{BO} = \begin{pmatrix} -k \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{BA} = \begin{pmatrix} 1-k \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). \((-k)(1-k) + 0 + 0 = k^2 - k = 0 \implies k(k-1) = 0\). Da \(k \neq 0\), bleibt nur \(k = 1\). 5. Zusammenfassung: Das Dreieck ist rechtwinklig für \(k = 1\) oder \(k = 9\).

\(k = 1\) oder \(k = 9\)

- Überlege dir, welche Seiten des Dreiecks gleich lang sein müssen, wenn der Punkt \(C_t\) auf einer Symmetrieachse zur Strecke \(AB\) variiert. - Wie hängen die Grundseite und die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks mit seinem Flächeninhalt zusammen? - Wo liegt der Fußpunkt der Höhe in einem gleichschenkligen Dreieck? - Du kannst die Höhe auch als Abstand eines Punktes von einer Geraden oder als Länge eines Vektors berechnen.

1. Nachweis der Gleichschenkligkeit: Berechnung der Abstände von \(C_t(2+2t|2-t|4)\) zu \(A\) und \(B\): \(\vec{AC_t} = \begin{pmatrix} 1+2t \\ 2-t \\ 2 \end{pmatrix} \Rightarrow |\vec{AC_t}|^2 = (1+2t)^2 + (2-t)^2 + 2^2 = 5t^2 + 9\). \(\vec{BC_t} = \begin{pmatrix} -1+2t \\ -2-t \\ -2 \end{pmatrix} \Rightarrow |\vec{BC_t}|^2 = (-1+2t)^2 + (-2-t)^2 + (-2)^2 = 5t^2 + 9\). Da \(|\vec{AC_t}| = |\vec{BC_t}|\), ist das Dreieck für alle \(t \neq 0\) gleichschenklig mit Basis \(AB\). Für \(t=0\) gilt \(C_0=M\), sodass kein Dreieck entsteht. 2. Berechnung des Flächeninhalts: Die Basis \(AB\) hat die Länge \(|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = 6\). Der Mittelpunkt der Basis ist \(M(2|2|4)\). Da das Dreieck gleichschenklig ist, entspricht die Höhe \(h\) dem Abstand \(|\vec{MC_t}|\). \(\vec{MC_t} = \begin{pmatrix} 2t \\ -t \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow h = \sqrt{(2t)^2 + (-t)^2 + 0^2} = \sqrt{5t^2} = |t|\sqrt{5}\). Flächenformel: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot |t|\sqrt{5} = 3|t|\sqrt{5}\). 3. Bestimmung von \(t\): Setze \(3|t|\sqrt{5} = 3\sqrt{5} \Rightarrow |t| = 1 \Rightarrow t_1 = 1; t_2 = -1\).

a) Da die Seitenlängen \(|\vec{AC_t}| = |\vec{BC_t}| = \sqrt{5t^2+9}\) für alle \(t \neq 0\) identisch sind, ist das Dreieck gleichschenklig. Für \(t=0\) entsteht kein Dreieck. b) Der Flächeninhalt beträgt \(3\sqrt{5}\) für \(t = 1\) und \(t = -1\).

- Berechne zuerst alle drei Seitenlängen, um zu sehen, ob Symmetrien vorliegen. - Welche Seite ist die längste? Der gegenüberliegende Winkel ist immer der größte im Dreieck. - Achte beim Berechnen des Winkels darauf, dass beide Vektoren vom selben Eckpunkt ausgehen. - Was sagt ein negatives Ergebnis beim Skalarprodukt über die Art des Winkels aus?

1. Berechnung der Seitenlängen über die Vektorbeträge: \(\vec{KL} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies |\vec{KL}| = 4\) \(\vec{KM} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \implies |\vec{KM}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6} \approx 2{,}45\) \(\vec{LM} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \implies |\vec{LM}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6} \approx 2{,}45\) Da \(|\vec{KM}| = |\vec{LM}|\), ist das Dreieck gleichschenklig mit der Basis \(KL\). 2. Der größte Winkel liegt der längsten Seite \(KL\) gegenüber, also bei Punkt \(M\): Nutze \(\vec{MK} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{ML} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\). \(\cos(\mu) = \frac{\vec{MK} \cdot \vec{ML}}{|\vec{MK}| \cdot |\vec{ML}|} = \frac{-2 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1)}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-4 + 1 + 1}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}\) \(\mu = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) \approx 109{,}5^\circ\) 3. Da \(\mu > 90^\circ\), ist das Dreieck stumpfwinklig.

Seitenlängen: \(KL = 4\); \(KM = \sqrt{6} \approx 2{,}45\); \(LM = \sqrt{6} \approx 2{,}45\). Größter Winkel: \(\mu \approx 109{,}5^\circ\). Art des Dreiecks: Gleichschenklig und stumpfwinklig.

- Wenn ein Vektor zu zwei anderen Vektoren senkrecht sein soll, muss er zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllen. - Stelle für jede Orthogonalitätsbedingung eine eigene Gleichung auf. - Du erhältst ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) eignet sich hier am besten?

1. Orthogonalitätsbedingungen für beide Vektoren mittels Skalarprodukt aufstellen: I) \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 0 \Rightarrow 2x - y + 0 = 0\) II) \(\vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow x + 2y - 5 = 0\) 2. Lineares Gleichungssystem lösen: Aus Gleichung I folgt \(y = 2x\). 3. Einsetzen von \(y = 2x\) in Gleichung II: \(x + 2(2x) - 5 = 0 \Rightarrow 5x = 5 \Rightarrow x = 1\). 4. Berechnen von \(y\): \(y = 2 \cdot 1 = 2\). 5. Die gesuchten Koordinaten sind \(x = 1\) und \(y = 2\).

\(x = 1\) und \(y = 2\)

- Überlege dir zuerst die Vektoren, die von der Spitze zu den Eckpunkten führen. - Die Grundfläche liegt in einer besonderen Ebene des Koordinatensystems. Welcher Normalenvektor gehört dazu? - Verwende für den Winkel zwischen zwei Geraden (Kanten) das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren. - Achte darauf, ob nach dem Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene oder zwischen zwei Geraden gefragt ist.

1. Vektor \(\vec{AS}\) bestimmen: \(\vec{AS} = \vec{S} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 0-4 \\ 0-(-4) \\ 12-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ 12 \end{pmatrix}\). 2. Länge berechnen: \(|\vec{AS}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 16 + 144} = \sqrt{176} = 4\sqrt{11} \approx 13{,}27\,\text{LE}\). 3. Winkel mit der Grundfläche (\(x_1x_2\)-Ebene, Normalenvektor \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)): \(\sin(\beta) = \frac{|\vec{AS} \cdot \vec{n}|}{|\vec{AS}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{12}{\sqrt{176}}\), daraus folgt \(\beta \approx 64{,}76^\circ\). 4. Vektor \(\vec{BS}\) bestimmen: \(\vec{BS} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 12 \end{pmatrix}\) mit Länge \(|\vec{BS}| = \sqrt{176}\). 5. Winkel \(\gamma\) zwischen \(\vec{AS}\) und \(\vec{BS}\) über das Skalarprodukt: \(\cos(\gamma) = \frac{\vec{AS} \cdot \vec{BS}}{|\vec{AS}| \cdot |\vec{BS}|} = \frac{(-4) \cdot (-4) + 4 \cdot (-4) + 12 \cdot 12}{176} = \frac{16 - 16 + 144}{176} = \frac{144}{176} = \frac{9}{11}\). 6. Ergebnis: \(\gamma = \arccos\left(\frac{9}{11}\right) \approx 35{,}10^\circ\).

a) Länge der Seitenkante: \(\approx 13{,}27\,\text{LE}\) b) Neigungswinkel zur Grundfläche: \(\approx 64{,}76^\circ\) c) Winkel zwischen benachbarten Seitenkanten: \(\approx 35{,}10^\circ\)

- Was bedeutet es für die Komponenten der Geschwindigkeit, wenn das Flugzeug genau entlang einer Koordinatenachse fliegt? - Denke an die Beziehung zwischen der Geschwindigkeit gegenüber der Luft, der Windgeschwindigkeit und der Geschwindigkeit über Grund. - Wie kannst du den Betrag eines Vektors nutzen, um eine fehlende Koordinate zu bestimmen? - Erinnere dich an die Formel für den Kosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren unter Verwendung des Skalarprodukts. - Wie hängen Weg, Zeit und Geschwindigkeit zusammen?

1. Für die resultierende Geschwindigkeit über Grund gilt \(\vec{v}_g = \vec{v}_h + \vec{v}_w = \begin{pmatrix} 0 \\ v_y \\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(v_y>0\). Daraus folgt für die Eigengeschwindigkeit \(\vec{v}_h = \vec{v}_g - \vec{v}_w = \begin{pmatrix} -80 \\ v_y + 60 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Da der Betrag der Eigengeschwindigkeit \(170\,\text{km/h}\) beträgt, gilt: \((-80)^2 + (v_y + 60)^2 = 170^2\). Rechnerisch: \(6\,400 + (v_y + 60)^2 = 28\,900 \Rightarrow (v_y + 60)^2 = 22\,500 \Rightarrow v_y + 60 = \pm 150\). Daraus folgen \(v_y=90\) oder \(v_y=-210\). Da das Flugzeug in Richtung des nördlich gelegenen Zielorts fliegt, muss \(v_y>0\) gelten; daher ist \(v_y=90\). Somit ist \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 0 \\ 90 \\ 0 \end{pmatrix}\,\text{km/h}\). 3. Der Vektor der Eigengeschwindigkeit ist \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} -80 \\ 150 \\ 0 \end{pmatrix}\,\text{km/h}\). 4. Der Winkel \(\phi\) zwischen \(\vec{v}_h\) und \(\vec{v}_g\) berechnet sich über \(\cos(\phi) = \frac{\vec{v}_h \cdot \vec{v}_g}{|\vec{v}_h| \cdot |\vec{v}_g|} = \frac{(-80) \cdot 0 + 150 \cdot 90 + 0}{170 \cdot 90} = \frac{13\,500}{15\,300} = \frac{150}{170} = \frac{15}{17}\). Daraus folgt \(\phi = \arccos(\frac{15}{17}) \approx 28{,}07^\circ\). 5. Die Flugzeit berechnet sich aus der Distanz und der Geschwindigkeit über Grund: \(t = \frac{540\,\text{km}}{90\,\text{km/h}} = 6\,\text{h}\).

a) \(\vec{v}_g = \begin{pmatrix} 0 \\ 90 \\ 0 \end{pmatrix}\,\text{km/h}\) b) \(\vec{v}_h = \begin{pmatrix} -80 \\ 150 \\ 0 \end{pmatrix}\,\text{km/h}\) c) \(\phi \approx 28{,}07^\circ\) d) \(t = 6\,\text{h}\)

- Nutze die Koordinaten der Punkte, um die Vektoren der Seiten aufzustellen. - Was bedeutet es für die Winkel in einem gleichschenkligen Dreieck, wenn es rechtwinklig ist? Wo kann der rechte Winkel liegen? - Wie prüft man mit Vektoren, ob drei Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen? - Beachte bei der letzten Teilaufgabe die Bedingung für das Vorzeichen von \(k\).

1. Berechnung der Seitenlängen: \(\vec{PS_k} = \begin{pmatrix} k+1 \\ 1-2k \\ k+1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{QS_k} = \begin{pmatrix} k-1 \\ -1-2k \\ k-1 \end{pmatrix}\). Die Quadrate der Längen sind \(|\vec{PS_k}|^2 = 2(k+1)^2 + (1-2k)^2 = 6k^2+3\) und \(|\vec{QS_k}|^2 = 2(k-1)^2 + (-1-2k)^2 = 6k^2+3\). Somit sind die Längen für alle \(k\) identisch. 2. Da das Dreieck gleichschenklig mit Basis \(PQ\) ist, kann ein rechter Winkel nur bei \(S_k\) oder gleichzeitig bei \(P\) und \(Q\) liegen (was unmöglich ist). Für einen rechten Winkel bei \(S_k\) muss \(\vec{S_k P} \cdot \vec{S_k Q} = 0\) gelten: \(-(k+1) \cdot (1-k) + (2k-1) \cdot (2k+1) + -(k+1) \cdot (1-k) = (k^2-1) + (4k^2-1) + (k^2-1) = 6k^2-3\). Aus \(6k^2-3=0\) folgt \(k = \pm \sqrt{0{,}5}\). 3. Ein Punkt liegt auf der Strecke \(PQ\), wenn er die Form \(\vec{P} + r \cdot \vec{PQ}\) mit \(0 \le r \le 1\) hat. Mit \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) führt das Gleichungssystem \(2+k = 1+2r\), \(1-2k = 2r\) und \(2+k = 1+2r\) zur Lösung \(r=0{,}5\) und \(k=0\). Da \(r=0{,}5\) im Intervall liegt, ist \(S_0\) der Mittelpunkt der Strecke \(PQ\). 4. Gesucht ist \(k>0\) mit \(\sqrt{6k^2+3} = \sqrt{21}\). Quadrieren ergibt \(6k^2+3 = 21\), also \(6k^2 = 18\), woraus \(k^2 = 3\) und wegen \(k>0\) schließlich \(k = \sqrt{3}\) folgt.

a) Nachweis über \(|\vec{PS_k}| = |\vec{QS_k}| = \sqrt{6k^2+3}\) b) \(k = \pm \sqrt{0{,}5}\); der rechte Winkel liegt am Eckpunkt \(S_k\) c) Ja, für \(k=0\) (entspricht dem Mittelpunkt von \(PQ\)) d) \(k = \sqrt{3}\)

- Stelle die Diagonalen als Summe bzw. Differenz der Seitenvektoren dar. - Nutze die Eigenschaft \(|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}\). - Was passiert mit dem gemischten Term des Skalarprodukts, wenn du die beiden quadrierten Summen addierst? - Überlege für Teil b), was die Definition einer Raute für die Längen der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) bedeutet.

1. Definition der Diagonalenvektoren: \(\vec{e} = \vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}\) und \(\vec{f} = \vec{BD} = \vec{b} - \vec{a}\). 2. Quadrate der Längen als Skalarprodukte ausdrücken: \(|\vec{e}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})\) und \(|\vec{f}|^2 = (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a})\). 3. Anwendung des Distributivgesetzes (binomische Formeln): \(|\vec{e}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2\) und \(|\vec{f}|^2 = |\vec{b}|^2 - 2 \cdot \vec{b} \cdot \vec{a} + |\vec{a}|^2\). 4. Addition der beiden Ausdrücke: \(|\vec{e}|^2 + |\vec{f}|^2 = (|\vec{a}|^2 + 2 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2) + (|\vec{b}|^2 - 2 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2)\). 5. Zusammenfassen: Die Terme \(2 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b}\) heben sich gegenseitig auf, es bleibt \(2 \cdot |\vec{a}|^2 + 2 \cdot |\vec{b}|^2 = 2 \cdot (|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2)\). 6. Spezialfall Raute: In einer Raute gilt \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = s\). Einsetzen in die Formel ergibt \(|\vec{AC}|^2 + |\vec{BD}|^2 = 2 \cdot (s^2 + s^2) = 4 \cdot s^2\).

a) Die Addition der quadrierten Diagonalenlängen \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{b} - \vec{a}|^2\) liefert nach dem Ausmultiplizieren \(|\vec{a}|^2 + 2 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}|^2 = 2 \cdot |\vec{a}|^2 + 2 \cdot |\vec{b}|^2\). b) Für eine Raute mit Seitenlänge \(s\) vereinfacht sich die Gleichung zu \(|\vec{AC}|^2 + |\vec{BD}|^2 = 4 \cdot s^2\).

- Wie hängen die Vektoren \(\vec{MB}\) und \(\vec{MC}\) zusammen, wenn \(M\) genau in der Mitte liegt? - Nutze die Identität \(|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}\), um die Längenquadrate zu berechnen. - Welche Terme heben sich bei der Addition der beiden quadrierten Ausdrücke gegenseitig auf? - Erinnere dich an die binomischen Formeln für Vektoren.

1. Definition der Teilvektoren: Da \(M\) die Mitte von \(BC\) ist, gilt \(\vec{MC} = -\vec{MB}\). Setze \(\vec{m} = \vec{AM}\) und \(\vec{x} = \vec{MB}\). 2. Darstellung der Seitenvektoren: \(\vec{AB} = \vec{m} + \vec{x}\) und \(\vec{AC} = \vec{m} - \vec{x}\). 3. Berechnung der Quadrate der Beträge mittels Skalarprodukt: \(|\vec{AB}|^2 = |\vec{m} + \vec{x}|^2 = |\vec{m}|^2 + 2 \cdot (\vec{m} \cdot \vec{x}) + |\vec{x}|^2\) sowie \(|\vec{AC}|^2 = |\vec{m} - \vec{x}|^2 = |\vec{m}|^2 - 2 \cdot (\vec{m} \cdot \vec{x}) + |\vec{x}|^2\). 4. Addition der beiden Gleichungen: \(|\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 = (|\vec{m}|^2 + 2 \cdot (\vec{m} \cdot \vec{x}) + |\vec{x}|^2) + (|\vec{m}|^2 - 2 \cdot (\vec{m} \cdot \vec{x}) + |\vec{x}|^2) = 2 \cdot |\vec{m}|^2 + 2 \cdot |\vec{x}|^2\). 5. Rückführung auf die ursprünglichen Bezeichnungen: Da \(|\vec{m}|^2 = |\vec{AM}|^2\) und \(|\vec{x}|^2 = |\vec{BM}|^2\), folgt die Behauptung \(2 \cdot (|\vec{AM}|^2 + |\vec{BM}|^2)\).

Der Beweis erfolgt durch Einsetzen der Vektorsummen in das Skalarprodukt: \(|\vec{AM} + \vec{MB}|^2 + |\vec{AM} - \vec{MB}|^2 = (|\vec{AM}|^2 + 2 \cdot (\vec{AM} \cdot \vec{MB}) + |\vec{MB}|^2) + (|\vec{AM}|^2 - 2 \cdot (\vec{AM} \cdot \vec{MB}) + |\vec{MB}|^2) = 2 \cdot |\vec{AM}|^2 + 2 \cdot |\vec{MB}|^2\). Dies entspricht der zu beweisenden Gleichung \(2 \cdot (|\vec{AM}|^2 + |\vec{BM}|^2)\).

- Überlege dir, welche zwei Vektoren den Winkel im Punkt \(E\) einschließen. - Nutze das Skalarprodukt als Werkzeug, um die Bedingung für einen rechten Winkel in eine Gleichung für \(k\) zu übersetzen. - Um zu prüfen, ob ein Dreieck gleichschenklig ist, musst du die Längen der drei Seiten vergleichen.

1. Aufstellen der Vektoren, die im Punkt \(E\) zusammentreffen: \(\vec{ED} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 1-2 \\ k-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ k-1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{EF} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 5-2 \\ 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für Orthogonalität: \(\vec{ED} \cdot \vec{EF} = 0\). 3. Berechnung des Skalarprodukts: \((-2) \cdot (-2) + (-1) \cdot 3 + (k-1) \cdot 1 = 4 - 3 + k - 1 = k\). 4. Daraus folgt für den rechten Winkel bei \(E\): \(k = 0\). 5. Untersuchung für \(k=4\): Länge \(DE\): \(|\vec{DE}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (1-4)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}\). Länge \(EF\): \(|\vec{EF}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}\). Länge \(DF\): \(|\vec{DF}| = \sqrt{(1-1)^2 + (5-1)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{0 + 16 + 4} = \sqrt{20}\). Da \(|\vec{DE}| = |\vec{EF}|\), ist das Dreieck für \(k=4\) gleichschenklig.

a) Für \(k = 0\) ist das Dreieck bei \(E\) rechtwinklig. b) Für \(k = 4\) ist das Dreieck gleichschenklig, da die Seiten \(DE\) und \(EF\) beide die Länge \(\sqrt{14}\) besitzen.

- Nutze das Skalarprodukt, um die Orthogonalität der Diagonalvektoren auszudrücken. - Erinnere dich an die binomischen Formeln im Zusammenhang mit dem Skalarprodukt. - Wie lässt sich der quadrierte Betrag eines Vektors als Skalarprodukt ausdrücken? - Berechne für den zweiten Teil zuerst den Summenvektor der beiden gegebenen Vektoren.

1. Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist. Es gilt: \((\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}) \cdot (\vec{u} + \vec{v} - \vec{w}) = 0\). Unter Anwendung des Distributivgesetzes ergibt sich: \(|\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{w}|^2 = 0\). Daher folgt \(|\vec{u} + \vec{v}| = |\vec{w}|\). Dies bedeutet, dass die Länge von \(\vec{w}\) der Länge der Diagonale der von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) aufgespannten Seitenfläche entsprechen muss. 2. Zunächst wird die Summe \(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) berechnet. Der Betrag dieser Flächendiagonale ist \(|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\). Gemäß der hergeleiteten Bedingung muss also gelten: \(|\vec{w}| = \sqrt{20} \approx 4{,}47\).

1. Nachweis über \((\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}) \cdot (\vec{u} + \vec{v} - \vec{w}) = |\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{w}|^2 = 0\). 2. Die Länge von \(\vec{w}\) muss \(|\vec{w}| = \sqrt{20} \approx 4{,}47\) betragen.

- Welche Eigenschaft müssen die Seitenvektoren eines Parallelogramms erfüllen, damit es ein Rechteck ist? - Erinnere dich daran, dass sich die Diagonalen in einem Rechteck halbieren. Dieser Punkt hat eine besondere Bedeutung für den Umkreis. - Wie hängen die Diagonalenlänge und der Umkreisradius bei einem Rechteck zusammen? - Nutze für den Winkel zwischen den Diagonalen die Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren, wobei du den Betrag im Zähler verwendest, um den spitzen Winkel zu erhalten.

1. Nachweis des Rechtecks: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{CD} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{DA} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\). Es gilt \(\vec{AB} = -\vec{CD}\) und \(\vec{BC} = -\vec{DA}\). Damit sind jeweils gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang; also ist \(ABCD\) ein Parallelogramm. Skalarprodukt: \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 2 \cdot (-2) + 2 \cdot 2 + 0 \cdot 2 = -4 + 4 + 0 = 0\). Da die benachbarten Seiten orthogonal sind, ist es ein Rechteck. 2. Schnittwinkel der Diagonalen: \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{BD} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}\). \(\cos(\phi) = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{BD}|}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}|} = \frac{|0 \cdot (-4) + 4 \cdot 0 + 2 \cdot 2|}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{20}} = \frac{4}{20} = 0{,}2\). \(\phi = \arccos(0{,}2) \approx 78{,}46^\circ\). 3. Umkreis: Der Mittelpunkt \(M\) ist der Mittelpunkt der Diagonalen: \(M = \frac{1}{2}(A + C) = (1|3|3)\). Der Radius \(r\) ist die halbe Diagonalenlänge: \(r = \frac{1}{2} |\vec{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{20} = \sqrt{5} \approx 2{,}24\).

a) Da \(\vec{AB} = -\vec{CD}\), \(\vec{BC} = -\vec{DA}\) und \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0\) gilt, ist das Viereck ein Rechteck. b) \(\phi \approx 78{,}46^\circ\). c) \(M(1|3|3)\) und \(r = \sqrt{5} \approx 2{,}24\).

- Ein Drachenviereck zeichnet sich dadurch aus, dass jeweils zwei benachbarte Seiten gleich lang sind. - Wann wird aus einem Drachenviereck eine Raute? - Überlege, was passiert, wenn ein Eckpunkt auf der Verbindungsstrecke zweier anderer Eckpunkte liegt. - Reicht es für ein Quadrat aus, wenn alle Seiten gleich lang sind?

1. Nachweis des Drachenvierecks: Es muss gezeigt werden, dass zwei Paare benachbarter Seiten gleich lang sind. Es gilt \(|\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{45}\) und \(|\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + 5^2 + 2^2} = \sqrt{45}\), also \(AB = BC\). Für die anderen Seiten gilt \(|\vec{AD}|^2 = (k+2)^2 + (2k+1)^2 + (2k-2)^2 = 9k^2 + 9\) und \(|\vec{CD}|^2 = (k-2)^2 + (2k-1)^2 + (2k+2)^2 = 9k^2 + 9\), also \(AD = CD\). Somit liegt ein Drachenviereck vor. 2. Raute: Eine Raute liegt vor, wenn alle Seiten gleich lang sind, also \(|\vec{AB}|^2 = |\vec{AD}|^2\). Dies führt zu \(45 = 9k^2 + 9 \iff 9k^2 = 36 \iff k^2 = 4\). Da \(k = -2\) ausgeschlossen ist, bleibt \(k = 2\). 3. Ausschlusswerte: Für \(k = -2\) ergibt sich \(D(1|-1|-1)\), was dem Punkt \(B\) entspricht; das Viereck entartet zum Dreieck (bzw. einer Strecke). Für \(k = 0\) ergibt sich \(D(3|3|3)\). Dieser Punkt liegt auf der Strecke \(AC\), da er genau der Mittelpunkt von \(AC\) ist (\(\frac{1+5}{2}=3\), \(\frac{2+4}{2}=3\), \(\frac{5+1}{2}=3\)), wodurch kein echtes Viereck entsteht. 4. Quadrat: Ein Quadrat ist eine Raute mit einem rechten Winkel bei \(B\). Das Skalarprodukt \(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} = 0 + 15 + 12 = 27 \neq 0\). Da der Winkel bei \(B\) unabhängig von \(k\) nicht \(90^\circ\) beträgt, kann das Viereck nie ein Quadrat sein.

a) Nachweis über \(AB = BC = \sqrt{45}\) und \(AD = CD = 3\sqrt{k^2+1}\). b) \(k = 2\) c) Bei \(k = -2\) ist \(D = B\). Bei \(k = 0\) liegt \(D\) auf der Diagonalen \(AC\) (Mittelpunkt). d) Nein, da der Winkel bei \(B\) nicht \(90^\circ\) ist (\(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 27 \neq 0\)).