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- Überlege, wie man das Kreuzprodukt zweier Vektoren komponentenweise berechnet. - Welche geometrische Bedeutung hat die Länge (der Betrag) des Vektorprodukts für ein Parallelogramm? - Wie verhält sich die Fläche eines Dreiecks zur Fläche des zugehörigen Parallelogramms?

1. Berechnung des Vektorprodukts nach der Determinantenmethode oder der Standardformel: \(\vec{c} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 4 - (-1) \cdot 0 \\ (-1) \cdot 3 - 1 \cdot 4 \\ 1 \cdot 0 - 2 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -7 \\ -6 \end{pmatrix}\). 2. Der Flächeninhalt eines von zwei Vektoren aufgespannten Dreiecks entspricht der Hälfte des Betrags ihres Vektorprodukts: \(A = \frac{1}{2} \cdot |\vec{a} \times \vec{b}|\). 3. Berechnung des Betrags von \(\vec{c}\): \(|\vec{c}| = \sqrt{8^2 + (-7)^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 49 + 36} = \sqrt{149}\). 4. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \frac{1}{2} \sqrt{149} \approx 6{,}10\).

a) \(\vec{c} = \begin{pmatrix} 8 \\ -7 \\ -6 \end{pmatrix}\) b) \(A \approx 6{,}10\,\text{FE}\)

- Achte genau auf die Klammersetzung, da sie die Reihenfolge der Rechenoperationen bestimmt. - Berechne zuerst den Ausdruck innerhalb der Klammern und verwende dieses Ergebnis für den nächsten Schritt. - Denke daran, dass das Vektorprodukt zweier Vektoren wieder ein Vektor ist. - Überprüfe am Ende, ob die beiden resultierenden Vektoren in allen Komponenten übereinstimmen.

1. Berechnung der linken Seite: Zuerst wird das Kreuzprodukt in der Klammer bestimmt: \(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Anschließend wird dieses Ergebnis mit \(\vec{c}\) gekreuzt: \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der rechten Seite: Zuerst wird das Kreuzprodukt in der Klammer bestimmt: \(\vec{b} \times \vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Anschließend wird \(\vec{a}\) mit diesem Ergebnis gekreuzt: \(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\) gilt, ist die Gleichung für diese Vektoren nicht erfüllt.

Die Gleichung ist nicht erfüllt, da \((\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\) gilt.

- Überlege, mit welcher Rechenoperation man einen Vektor erzeugt, der auf zwei anderen Vektoren senkrecht steht. - Sind nur einzelne Vektoren gesucht oder eine ganze Menge? - Wie hängen alle Vektoren zusammen, die in dieselbe (oder die genau entgegengesetzte) Richtung zeigen?

1. Zur Bestimmung eines Vektors, der senkrecht auf zwei gegebenen Vektoren steht, wird das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnet: \(\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1) \cdot 1 - 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot (-2) - 4 \cdot 1 \\ 4 \cdot 3 - (-1) \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -8 \\ 10 \end{pmatrix}\). 2. Alle zu \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) orthogonalen Vektoren sind die Vielfachen dieses Normalenvektors. 3. Die gesuchte Menge ist somit \(\{\vec{x} \mid \vec{x} = r \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -8 \\ 10 \end{pmatrix}; r \in \mathbb{R}\}\).

\(\vec{x} = r \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -8 \\ 10 \end{pmatrix}\) mit \(r \in \mathbb{R}\)

- Welche Operation liefert dir einen Vektor, der auf zwei gegebenen Vektoren senkrecht steht? - Wie berechnet man die Länge eines Vektors? - Wenn ein Vektor die Länge 9 hat, wie kommst du dann zu einem Vektor derselben Richtung mit der Länge 18? - Gibt es nur eine Richtung, die senkrecht auf einer Ebene steht, oder gibt es zwei?

1. Berechnung eines Vektors, der auf \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) senkrecht steht, mithilfe des Kreuzprodukts: \(\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \cdot (-2) - 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 2 - 1 \cdot (-2) \\ 1 \cdot 1 - 2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}\) 2. Berechnung der Länge dieses Vektors: \(|\vec{n}| = \sqrt{(-6)^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 36 + 9} = \sqrt{81} = 9\) 3. Bestimmung des Skalierungsfaktors für die geforderte Länge 18: \(k = \pm \frac{18}{9} = \pm 2\) 4. Multiplikation des Vektors \(\vec{n}\) mit den Faktoren \(2\) und \(-2\), um die beiden möglichen Lösungen zu erhalten: \(\vec{x}_1 = \begin{pmatrix} -12 \\ 12 \\ -6 \end{pmatrix}\) und \(\vec{x}_2 = \begin{pmatrix} 12 \\ -12 \\ 6 \end{pmatrix}\)

\(\vec{x}_1 = \begin{pmatrix} -12 \\ 12 \\ -6 \end{pmatrix}\) und \(\vec{x}_2 = \begin{pmatrix} 12 \\ -12 \\ 6 \end{pmatrix}\)

- Überlege, mit welcher Operation man einen Vektor erzeugen kann, der auf zwei gegebenen Vektoren senkrecht steht. - Jeder Vektor, der senkrecht auf zwei anderen steht, muss ein Vielfaches ihres Kreuzprodukts sein. - Wie kannst du ein Vielfaches so anpassen, dass eine bestimmte Komponente einen vorgegebenen Wert annimmt?

1. Berechnung des Vektorprodukts von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\): \(\vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} (-2) \cdot 3 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 - 4 \cdot 3 \\ 4 \cdot 0 - (-2) \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -11 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Da jeder zu \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) orthogonale Vektor ein Vielfaches des Vektorprodukts ist, gilt \(\vec{n} = k \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ -11 \\ 2 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung von \(k\) über die Bedingung für die \(y\)-Koordinate: \(-11k = 11 \implies k = -1\). 4. Einsetzen von \(k\): \(\vec{n} = -1 \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ -11 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 11 \\ -2 \end{pmatrix}\).

\(\vec{n} = \begin{pmatrix} 6 \\ 11 \\ -2 \end{pmatrix}\)

- Erinnere dich an die Definition des Kreuzprodukts für den ersten Teil. - Das Spatprodukt kombiniert das Kreuzprodukt und das Skalarprodukt. - Was gibt das Vorzeichen des Spatprodukts über die Orientierung der Vektoren an und wie erhält man daraus ein Volumen?

1. Berechnung des Vektorprodukts \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}\): \(\begin{pmatrix} 1 \cdot 0 - 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot (-1) - 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Skalarprodukts von \(\vec{n}\) und \(\vec{w}\): \((-6) \cdot 1 + (-2) \cdot 1 + 7 \cdot 5 = -6 - 2 + 35 = 27\). 3. Das Volumen des aufgespannten Spats ist der Betrag des Spatprodukts: \(V = |27| = 27\).

a) \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -6 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}\) b) \(27\) c) \(V = 27\,\text{VE}\)

- Was passiert, wenn man das Vektorprodukt eines Vektors mit sich selbst bildet? - Erinnere dich an die Definition oder die grafische Bedeutung des Vektorprodukts bei den Standard-Einheitsvektoren. - Vergleiche die beiden Endergebnisse. Wenn sie unterschiedlich sind, ist das Gesetz widerlegt.

1. Berechnung des ersten Ausdrucks: Da das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst stets den Nullvektor ergibt, folgt \(\vec{e}_1 \times \vec{e}_1 = \vec{0}\). Damit ist \((\vec{e}_1 \times \vec{e}_1) \times \vec{e}_2 = \vec{0} \times \vec{e}_2 = \vec{0}\). 2. Berechnung des zweiten Ausdrucks: Zuerst wird die Klammer berechnet: \(\vec{e}_1 \times \vec{e}_2 = \vec{e}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Dann folgt \(\vec{e}_1 \times (\vec{e}_1 \times \vec{e}_2) = \vec{e}_1 \times \vec{e}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\vec{e}_2\). 3. Schlussfolgerung: Da \(\vec{0} \neq -\vec{e}_2\), ist gezeigt, dass die Ergebnisse voneinander abweichen und somit das Assoziativgesetz nicht gilt.

Es gilt \((\vec{e}_1 \times \vec{e}_1) \times \vec{e}_2 = \vec{0}\) und \(\vec{e}_1 \times (\vec{e}_1 \times \vec{e}_2) = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da die Ergebnisse verschieden sind, ist das Vektorprodukt nicht assoziativ.

- Welche Rechenregeln kennst du für das Ausmultiplizieren von Klammern bei Vektoren? - Was passiert, wenn man einen Vektor mit sich selbst kreuzt? - Wie hängen \( \vec{a} \times \vec{b} \) und \( \vec{b} \times \vec{a} \) zusammen? - Kannst du Skalare innerhalb des Vektorprodukts nach vorne ziehen?

1. Anwendung des Distributivgesetzes zur Auflösung der Klammern: \( \vec{a} \times (2\vec{a}) + \vec{a} \times (-\vec{b}) + (2\vec{b}) \times (2\vec{a}) + (2\vec{b}) \times (-\vec{b}) \). 2. Anwendung der Regel für die Multiplikation mit Skalaren: \( 2(\vec{a} \times \vec{a}) - (\vec{a} \times \vec{b}) + 4(\vec{b} \times \vec{a}) - 2(\vec{b} \times \vec{b}) \). 3. Da das Vektorprodukt eines Vektors mit sich selbst den Nullvektor ergibt (\( \vec{v} \times \vec{v} = \vec{0} \)), vereinfacht sich der Ausdruck zu: \( \vec{0} - (\vec{a} \times \vec{b}) + 4(\vec{b} \times \vec{a}) - \vec{0} \). 4. Nutzung der Antikommutativität \( \vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b}) \): \( -(\vec{a} \times \vec{b}) + 4(-(\vec{a} \times \vec{b})) = -1(\vec{a} \times \vec{b}) - 4(\vec{a} \times \vec{b}) = -5(\vec{a} \times \vec{b}) \).

\( -5 \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) \)

- Mit welcher Rechenoperation prüft man die Orthogonalität zweier Vektoren? - Setze die Koordinaten der Vektoren in die Definition ein. - Versuche, die Produkte in der Summe so zu ordnen, dass du Paare findest, die sich gegenseitig aufheben. - Denk daran, dass bei der Multiplikation reeller Zahlen die Reihenfolge der Faktoren keine Rolle spielt.

1. Orthogonalitätskriterium aufstellen: Das Skalarprodukt von \( \vec{b} \) und \( \vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} \) muss null ergeben: \( \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0 \). 2. Koordinatenweise Berechnung des Skalarprodukts: \( b_1(a_2 b_3 - a_3 b_2) + b_2(a_3 b_1 - a_1 b_3) + b_3(a_1 b_2 - a_2 b_1) \). 3. Ausmultiplizieren der Terme: \( b_1 a_2 b_3 - b_1 a_3 b_2 + b_2 a_3 b_1 - b_2 a_1 b_3 + b_3 a_1 b_2 - b_3 a_2 b_1 \). 4. Umordnen der Faktoren (Kommutativgesetz der Multiplikation in \( \mathbb{R} \)) und Zusammenfassen: \( (a_2 b_1 b_3 - a_2 b_3 b_1) + (a_3 b_2 b_1 - a_3 b_1 b_2) + (a_1 b_3 b_2 - a_1 b_2 b_3) \). 5. Feststellen, dass sich alle Terme paarweise zu null addieren: \( 0 + 0 + 0 = 0 \). Damit ist die Orthogonalität bewiesen.

Der Nachweis erfolgt über das Skalarprodukt: \( \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = b_1(a_2 b_3 - a_3 b_2) + b_2(a_3 b_1 - a_1 b_3) + b_3(a_1 b_2 - a_2 b_1) = 0 \).

- Welche Operation liefert einen Vektor, der auf zwei gegebenen Vektoren senkrecht steht? - Wie berechnet man die Länge eines Vektors? - Gibt es nur eine Richtung im Raum, die senkrecht auf zwei anderen steht? - Denke daran, dass ein Vektor und sein Gegenvektor dieselbe Länge haben.

1. Berechnung des Kreuzproduktes zur Bestimmung eines Normalenvektors: \(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 2 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 - 2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung der Länge des berechneten Vektors: \(|\vec{n}_0| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}\). 3. Da die geforderte Länge exakt \(\sqrt{14}\) entspricht, sind der berechnete Vektor und sein Gegenvektor die gesuchten Lösungen. 4. Ergebnismenge: \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\).

Die gesuchten Vektoren sind \(\vec{n}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}\).

- Welches Rechenverfahren liefert einen Vektor, der auf zwei gegebenen Vektoren senkrecht steht? - Wie berechnet man die Länge eines Vektors? - Wenn ein Vektor nicht die gewünschte Länge hat, mit welcher Zahl musst du ihn multiplizieren? - Bedenke, dass es für eine feste Länge immer zwei entgegengesetzte Richtungen gibt.

1. Berechnung eines gemeinsamen Normalenvektors mithilfe des Vektorprodukts: \(\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-2) - 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 1 - 2 \cdot (-2) \\ 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung der Länge des Normalenvektors: \(|\vec{n}| = \sqrt{(-6)^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 36 + 9} = \sqrt{81} = 9\). 3. Skalierung auf die Ziel-Länge \(18\): Da der Vektor die Länge \(9\) hat, muss er mit dem Faktor \(k = \frac{18}{9} = 2\) multipliziert werden. 4. Angabe der beiden möglichen Vektoren: \(\vec{c}_1 = 2 \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 \\ 12 \\ 6 \end{pmatrix}\) und \(\vec{c}_2 = -2 \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ -12 \\ -6 \end{pmatrix}\).

Die gesuchten Vektoren sind \(\vec{c}_1 = \begin{pmatrix} -12 \\ 12 \\ 6 \end{pmatrix}\) und \(\vec{c}_2 = \begin{pmatrix} 12 \\ -12 \\ -6 \end{pmatrix}\).

- Wie hängen das Kreuzprodukt zweier Vektoren und der Flächeninhalt eines von ihnen aufgespannten Dreiecks zusammen? - Bestimme zuerst zwei Vektoren, die die Seiten des Dreiecks beschreiben. - Wie kannst du sicherstellen, dass ein Vektor eine ganz bestimmte Länge und eine bestimmte Ausrichtung (Vorzeichen einer Koordinate) hat?

1. Aufstellen der Spannvektoren des Dreiecks: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Kreuzprodukts: \(\vec{v} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 - 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 \\ 4 \cdot 2 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: \(A_{\Delta} = \frac{1}{2} |\vec{v}| = \frac{1}{2} \sqrt{(-6)^2 + 0^2 + 8^2} = \frac{1}{2} \sqrt{100} = 5\). 4. Normierung und Skalierung für Teilaufgabe b): Der Vektor \(\vec{v}\) hat die Länge \(10\). Für die Länge \(15\) wird er mit dem Faktor \(k = \frac{15}{10} = 1{,}5\) multipliziert. 5. Prüfung der \(z\)-Bedingung: \(1{,}5 \cdot 8 = 12\). Da \(12 > 0\), ist dies der gesuchte Vektor. Falls die Koordinate negativ gewesen wäre, hätte man den Gegenvektor wählen müssen. 6. Ergebnisvektor: \(\vec{n} = 1{,}5 \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix}\).

a) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(5\) Flächeneinheiten. b) Der gesuchte Vektor ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -9 \\ 0 \\ 12 \end{pmatrix}\).

- Unterscheide stets zwischen dem Skalarprodukt (Ergebnis ist eine Zahl) und dem Kreuzprodukt (Ergebnis ist ein Vektor). - Überprüfe bei jeder Operation, ob die beteiligten Objekte (Skalar oder Vektor) für diese Rechenart zulässig sind. - Gibt es in der Vektorrechnung eine Division durch Vektoren? - Achte auf die Klammern, um die Reihenfolge der Operationen und damit die Typen der Zwischenergebnisse zu bestimmen.

1. Der Ausdruck ist definiert. \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) ist ein Skalar und \(\vec{c} \times \vec{a}\) ein Vektor. Die Skalarmultiplikation eines Skalars mit einem Vektor ergibt einen Vektor. 2. Der Ausdruck ist definiert. Sowohl das Kreuzprodukt \(\vec{a} \times \vec{b}\) als auch die Skalarmultiplikation \(k \cdot \vec{c}\) ergeben Vektoren. Die Addition zweier Vektoren ist definiert und ergibt einen Vektor. 3. Der Ausdruck ist nicht definiert, da eine Division durch einen Vektor mathematisch nicht erklärt ist. 4. Der Ausdruck ist nicht definiert. Das Kreuzprodukt \(\vec{a} \times \vec{b}\) ist ein Vektor, während das Skalarprodukt \(\vec{a} \cdot \vec{c}\) ein Skalar ist. Das Kreuzprodukt \(\times\) ist jedoch nur zwischen zwei Vektoren definiert. 5. Der Ausdruck ist definiert. Das Spatprodukt \(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})\) ergibt einen Skalar. Die Subtraktion zweier Skalare (\(Skalar - k\)) ist definiert und ergibt einen Skalar.

1. Definiert; Ergebnis: Vektor 2. Definiert; Ergebnis: Vektor 3. Nicht definiert 4. Nicht definiert 5. Definiert; Ergebnis: Skalar

- Überlege dir zuerst, welchen Typ (Skalar oder Vektor) der Ausdruck in den Klammern hat. - Welche Operation zwischen einem Vektor und dem Klammerergebnis führt zum gewünschten Zieltyp? - Denk daran, dass das Kreuzprodukt \(\times\) immer zwei Vektoren als Eingabe braucht und einen Vektor liefert. - Das Skalarprodukt \(\cdot\) macht aus zwei Vektoren eine Zahl.

1. Damit das Skalarprodukt mit \(\vec{w}\) am Ende einen Skalar liefert, muss der Ausdruck in der Klammer ein Vektor sein. Das Kreuzprodukt \(\vec{u} \times \vec{v}\) liefert diesen Vektor (Spatprodukt). Würde man \(\cdot\) wählen, stünde dort ein Skalar, und das Skalarprodukt mit \(\vec{w}\) wäre nicht definiert. Ergebnis: \(\square = \times\). 2. Die Klammer liefert einen Vektor. Damit das Gesamtergebnis ein Vektor ist, muss \(\vec{u}\) über das Kreuzprodukt mit diesem Vektor verknüpft werden. Das Skalarprodukt würde einen Skalar liefern. Ergebnis: \(\square = \times\). 3. Die Klammer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) ergibt einen Skalar. Um mit dem Vektor \(\vec{w}\) einen Vektor als Ergebnis zu erhalten, muss die Skalarmultiplikation verwendet werden. Das Kreuzprodukt ist hier nicht definiert, da es zwei Vektoren benötigt. Ergebnis: \(\square = \cdot\). 4. Beide Klammern liefern jeweils einen Vektor. Damit die Verknüpfung zweier Vektoren einen Skalar ergibt, muss das Skalarprodukt gewählt werden. Ergebnis: \(\square = \cdot\).

a) \(\square = \times\) b) \(\square = \times\) c) \(\square = \cdot\) d) \(\square = \cdot\)

- Überlege dir, mit welcher Rechenoperation man einen Vektor erzeugt, der auf zwei gegebenen Vektoren senkrecht steht. - Ein Vektor, der dieselbe Richtung wie das Kreuzprodukt hat, lässt sich als Vielfaches dieses Kreuzprodukts darstellen. - Nutze die bereits bekannte Koordinate des gesuchten Vektors, um den passenden Streckfaktor zu ermitteln.

1. Berechnung des Kreuzprodukts der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\), um einen zu beiden orthogonalen Richtungsvektor zu erhalten: \(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} (-1) \cdot (-1) - 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 1 - 3 \cdot (-1) \\ 3 \cdot 2 - (-1) \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}\). 2. Da \(\vec{c}\) ebenfalls orthogonal zu \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sein muss, muss er ein Vielfaches dieses Kreuzprodukts sein: \(\vec{c} = k \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}\). 3. Bestimmung des Skalierungsfaktors \(k\) durch Vergleich der bekannten \(y\)-Komponente: \(5 \cdot k = 15 \implies k = 3\). 4. Berechnung der fehlenden Komponenten mithilfe von \(k\): \(c_1 = 3 \cdot (-3) = -9\) und \(c_3 = 3 \cdot 7 = 21\).

\(\vec{c} = \begin{pmatrix} -9 \\ 15 \\ 21 \end{pmatrix}\)

- Wenn ein Vektor senkrecht auf einer Ebene steht, welche Bedingung muss er dann im Bezug auf die Spannvektoren erfüllen? - Du kannst die Orthogonalität entweder über das Skalarprodukt (Gleichungssystem) oder über das Kreuzprodukt ausdrücken. - Falls du das Kreuzprodukt nutzt: Wie musst du den resultierenden Vektor verändern, damit die letzte Koordinate genau \(6\) ergibt?

1. Da \(\vec{w}\) senkrecht auf der Ebene steht, muss er orthogonal zu den Spannvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) sein. Das Skalarprodukt muss jeweils null ergeben. 2. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems: I: \(\vec{w} \cdot \vec{u} = w_1 + w_2 + 6 = 0\) II: \(\vec{w} \cdot \vec{v} = 2w_1 - w_2 + 18 = 0\) 3. Addition der beiden Gleichungen, um \(w_2\) zu eliminieren: \(3w_1 + 24 = 0 \implies 3w_1 = -24 \implies w_1 = -8\). 4. Einsetzen von \(w_1\) in Gleichung I: \(-8 + w_2 + 6 = 0 \implies w_2 - 2 = 0 \implies w_2 = 2\). Alternativer Weg: Berechnung des Kreuzprodukts \(\vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}\) und anschließende Skalierung mit \(k = -2\), um die \(z\)-Komponente \(6\) zu erhalten.

\(w_1 = -8\) und \(w_2 = 2\) (bzw. \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -8 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}\))

- Wie kannst du allgemein alle Vektoren beschreiben, die auf zwei gegebenen Vektoren senkrecht stehen? - Kannst du einen Parameter nutzen, um die Menge dieser Vektoren darzustellen? - Wie wird das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnet? - Nutze die zusätzliche Bedingung mit dem dritten Vektor, um den unbekannten Parameter zu bestimmen.

1. Ermittlung eines zu \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) orthogonalen Richtungsvektors mittels Kreuzprodukt: \(\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \cdot (-1) - 1 \cdot 2 \\ 1 \cdot 1 - 3 \cdot (-1) \\ 3 \cdot 2 - 0 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}\) 2. Aufstellen eines Ansatzes für den gesuchten Vektor \(\vec{w}\) als Vielfaches von \(\vec{n}\): \(\vec{w} = k \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2k \\ 4k \\ 6k \end{pmatrix}\) 3. Einsetzen in die Bedingung für das Skalarprodukt: \(\vec{w} \cdot \vec{c} = 16 \implies (-2k) \cdot 1 + 4k \cdot 1 + 6k \cdot 1 = 16\) 4. Lösen der linearen Gleichung: \(8k = 16 \implies k = 2\) 5. Berechnung der Komponenten von \(\vec{w}\) durch Einsetzen von \(k\): \(\vec{w} = 2 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 12 \end{pmatrix}\)

\(\vec{w} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 12 \end{pmatrix}\)

- Prüfe zuerst, ob die Vektoren parallel zueinander sind. - Welche geometrische Figur bilden alle Vektoren, die auf einem einzelnen Vektor senkrecht stehen? - Was passiert mit dem Kreuzprodukt, wenn man es auf parallele Vektoren anwendet? - Wie viele Richtungen gibt es in einer Ebene?

1. Untersuchung der linearen Abhängigkeit: Es gilt \(\vec{v} = -1{,}5 \cdot \vec{u}\). Die Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) sind somit kollinear (parallel). 2. Bedingung für Orthogonalität: Ein Vektor \(\vec{w} = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix}\) ist orthogonal zu \(\vec{u}\), wenn das Skalarprodukt null ist: \(2w_1 + 4w_2 - 6w_3 = 0\). Da \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) parallel sind, ist jeder zu \(\vec{u}\) orthogonale Vektor automatisch auch zu \(\vec{v}\) orthogonal. 3. Beispielhafte Lösung für Teil a): Wähle \(w_3 = 0\) und \(w_2 = 1\), dann folgt \(2w_1 + 4 = 0 \Rightarrow w_1 = -2\). Ein möglicher Vektor ist \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 4. Begründung für Teil b): Da die beiden Vektoren kollinear sind, legen sie keine eindeutige Ebene im Raum fest, sondern liegen auf einer gemeinsamen Geraden durch den Ursprung. Alle Vektoren, die in der zu dieser Geraden senkrechten Ebene liegen, sind orthogonal zu beiden Vektoren. Da eine Ebene unendlich viele Richtungen enthält, ist die Richtung von \(\vec{w}\) nicht eindeutig.

a) Ein möglicher Vektor ist \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) (andere Lösungen wie \(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind ebenfalls möglich). b) Die Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) sind kollinear und entgegengesetzt gerichtet (\(\vec{v} = -1{,}5 \cdot \vec{u}\)). Sie spannen daher keine eindeutige Ebene auf. Alle Vektoren in der Ebene durch den Ursprung, die orthogonal zu \(\vec{u}\) ist, sind zugleich zu beiden Vektoren orthogonal; deshalb gibt es unendlich viele mögliche Richtungen.

- Welche Bedingung muss für das Skalarprodukt gelten, damit Orthogonalität vorliegt? - Du hast drei Unbekannte, aber nur zwei Bedingungen. Was bedeutet das für die Anzahl der Lösungen? - Wie sieht die Struktur einer Punktmenge aus, die durch ein Vielfaches eines Richtungsvektors beschrieben wird? - Überlege dir, wie viele Vektoren im Raum senkrecht auf einer Fläche stehen können.

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems über das Skalarprodukt: (I) \(3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0\) (II) \(x_1 - x_2 = 0\) 2. Aus (II) folgt direkt \(x_1 = x_2\). 3. Einsetzen in (I): \(3x_1 + x_1 + 2x_3 = 0 \implies 4x_1 + 2x_3 = 0 \implies x_3 = -2x_1\). 4. Wahl eines Parameters \(t = x_1\): Die Lösungsmenge ist \(L = \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^3 \mid \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} \}\). 5. Geometrische Interpretation: Die Lösungsmenge beschreibt eine Gerade durch den Ursprung (Ursprungsgerade). 6. Begründung der Nichteindeutigkeit: Alle Vektoren, die ein Vielfaches eines gemeinsamen Normalenvektors sind, stehen ebenfalls orthogonal auf der von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannten Ebene. Da nur die Richtung durch die Orthogonalität festgelegt ist, bleibt die Länge und Orientierung (der Parameter \(t\)) frei wählbar.

a) \(\vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) mit \(t \in \mathbb{R}\). b) Geometrisch handelt es sich um eine Gerade durch den Koordinatenursprung. Die Lösung ist nicht eindeutig, da jeder Vektor auf dieser Geraden die Orthogonalitätsbedingung erfüllt; lediglich die Richtung ist durch die beiden Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) festgelegt.