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- Welche geometrische Beziehung hat das Ergebnis eines Vektorprodukts zu den beiden Ausgangsvektoren? - Überlege, was sich bei einer Skalierung eines Vektors an seiner Richtung ändert. - Für Teil b) ist keine neue Vektorproduktrechnung nötig.

1. Das Vektorprodukt steht senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren. Daher ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}\) ein gemeinsamer Normalenvektor. 2. Jedes von \(\vec{0}\) verschiedene Vielfache eines gemeinsamen Normalenvektors hat dieselbe Richtung oder Gegenrichtung und bleibt daher orthogonal zu \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\). 3. Somit ist auch \(\frac{1}{2}\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}\) zu beiden orthogonal.

a) Zum Beispiel \(\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}\). b) Ja; \(\frac{1}{2}\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}\) hat dieselbe Normalenrichtung.

- Ordne die Komponenten der beiden Vektoren in die Rechenregel für das Vektorprodukt ein. - Viele Produkte enthalten hier eine Null; arbeite trotzdem jede Komponente getrennt ab. - Prüfe anschließend, ob dein Ergebnis zu beiden Ausgangsvektoren senkrecht steht.

1. Für das Vektorprodukt gilt \(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}0\cdot0-0\cdot2\\0\cdot0-1\cdot0\\1\cdot2-0\cdot0\end{pmatrix}\). 2. Damit ist \(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}\).

\(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}\)

- Welche geometrische Lagebeziehung folgt daraus, dass ein Vektor ein skalares Vielfaches des anderen ist? - Was sagt die Länge eines Vektorprodukts über den von den beiden Vektoren aufgespannten Flächeninhalt aus? - Eine Komponentenrechnung ist hier nicht nötig.

1. Aus \(\vec{b}=-3\vec{a}\) folgt, dass \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) parallel und entgegengesetzt gerichtet sind. 2. Das Vektorprodukt paralleler Vektoren ist der Nullvektor. 3. Daher gilt \(\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}\).

\(\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}\)

- Welche beiden Achsen sind in der Abbildung dargestellt? - Welche geometrische Eigenschaft hat das Vektorprodukt gegenüber beiden Ausgangsvektoren? - Welche Koordinatenachse steht senkrecht auf der dargestellten Koordinatenebene?

1. An den Achsenbeschriftungen des Bildes erkennt man, dass beide Vektoren in der \(x_1x_2\)-Ebene liegen. Da sie nicht parallel sind, spannen sie diese Ebene auf. 2. Das Vektorprodukt steht orthogonal auf beiden Ausgangsvektoren und damit orthogonal auf der gesamten \(x_1x_2\)-Ebene. 3. Eine solche Richtung ist parallel zur \(x_3\)-Achse.

a) \(x_1x_2\)-Ebene b) \(\vec{a}\times\vec{b}\) ist parallel zur \(x_3\)-Achse.

- Wie wird das Vektorprodukt zweier Vektoren komponentenweise berechnet? - Welche geometrische Bedeutung hat der Betrag des Vektorprodukts für ein Parallelogramm? - Wie hängt die Fläche eines Dreiecks mit der Fläche des zugehörigen Parallelogramms zusammen?

1. Das Vektorprodukt ist \(\vec{c} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 4 - (-1) \cdot 0 \\ (-1) \cdot 3 - 1 \cdot 4 \\ 1 \cdot 0 - 2 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -7 \\ -6 \end{pmatrix}\). 2. Der Betrag beträgt \(|\vec{c}|=\sqrt{8^2+(-7)^2+(-6)^2}=\sqrt{149}\). 3. Der Flächeninhalt des aufgespannten Dreiecks ist die Hälfte des Parallelogramminhalts: \(A=\frac{1}{2}|\vec{a}\times\vec{b}|=\frac{1}{2}\sqrt{149}\approx6{,}10\).

a) \(\vec{c} = \begin{pmatrix} 8 \\ -7 \\ -6 \end{pmatrix}\) b) \(A \approx 6{,}10\,\text{FE}\)

- Teil a) verlangt die gemeinsame Normalenrichtung ausdrücklich als Vektorprodukt. - Welche Vektoren besitzen dieselbe oder die entgegengesetzte Richtung wie das Ergebnis aus a)? - Ein reeller Parameter beschreibt alle Skalierungen einschließlich des Nullvektors.

1. Das Vektorprodukt ist \(\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}-7\\-8\\10\end{pmatrix}\). 2. Da \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) nicht parallel sind, spannt \(\vec{n}\) die gemeinsame Normalenrichtung auf. 3. Alle gesuchten Vektoren sind daher die Vielfachen von \(\vec{n}\): \(\vec{x}=r\begin{pmatrix}-7\\-8\\10\end{pmatrix}\) mit \(r\in\mathbb{R}\).

a) \(\vec{n}=\begin{pmatrix}-7\\-8\\10\end{pmatrix}\) b) \(\vec{x}=r\begin{pmatrix}-7\\-8\\10\end{pmatrix}\) mit \(r\in\mathbb{R}\)

- Berechne beide Vektorprodukte vollständig und vergleiche danach ihre Komponenten. - Welche Beziehung besteht zwischen zwei Vektoren, wenn jede Komponente ihr Vorzeichen wechselt? - Achte darauf, dass die Reihenfolge beim Vektorprodukt eine Rolle spielt.

1. Es ist \(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}2\cdot3-0\cdot1\\0\cdot0-1\cdot3\\1\cdot1-2\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-3\\1\end{pmatrix}\). 2. Umgekehrt gilt \(\vec{b}\times\vec{a}=\begin{pmatrix}1\cdot0-3\cdot2\\3\cdot1-0\cdot0\\0\cdot2-1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\3\\-1\end{pmatrix}\). 3. Der zweite Vektor ist der Gegenvektor des ersten. Allgemein gilt daher \(\vec{b}\times\vec{a}=-(\vec{a}\times\vec{b})\).

a) \(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}6\\-3\\1\end{pmatrix}\) b) \(\vec{b}\times\vec{a}=\begin{pmatrix}-6\\3\\-1\end{pmatrix}\) c) \(\vec{b}\times\vec{a}=-(\vec{a}\times\vec{b})\)

- Lies zuerst nur ab, auf welchen beiden positiven Achsen die Endpunkte \(A\) und \(B\) liegen. - Die Aussage „rechtshändig“ beschreibt die Orientierung der geordneten Basis \(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\); sie wird nicht aus der zweidimensionalen Projektion abgeleitet. - Beim Vektorprodukt ist die Reihenfolge der beiden Faktoren entscheidend.

1. Der Punkt \(A\) liegt auf der positiven \(x_2\)-Achse. Daher zeigt \(\vec{a}=\overrightarrow{OA}\) in positive \(x_2\)-Richtung. 2. Der Punkt \(B\) liegt auf der positiven \(x_1\)-Achse. Daher zeigt \(\vec{b}=\overrightarrow{OB}\) in positive \(x_1\)-Richtung. 3. Für die geordnete Basis eines rechtshändigen Koordinatensystems gilt \(\vec{e}_1\times\vec{e}_2=\vec{e}_3\). Beim Vertauschen der Faktoren kehrt sich die Richtung des Vektorprodukts um. 4. Deshalb zeigt \(\vec{a}\times\vec{b}\) wie \(\vec{e}_2\times\vec{e}_1=-\vec{e}_3\) in negative \(x_3\)-Richtung.

\(\vec{a}\) zeigt in positive \(x_2\)-Richtung und \(\vec{b}\) in positive \(x_1\)-Richtung. Daher zeigt \(\vec{a}\times\vec{b}\) in negative \(x_3\)-Richtung.

- Beginne mit der in a) ausdrücklich verlangten Rechenoperation für zwei Vektoren im Raum. - Überlege anschließend, wie sich die Länge eines Vektors bei einer Skalarmultiplikation verändert. - Welche zwei Vorzeichen des Skalierungsfaktors führen zur gleichen geforderten Länge?

1. Es gilt \(\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}-6\\6\\-3\end{pmatrix}\). 2. Die Länge dieses Vektors beträgt \(|\vec{n}|=\sqrt{(-6)^2+6^2+(-3)^2}=9\). 3. Für \(\vec{x}=k\vec{n}\) gilt \(|\vec{x}|=|k|\cdot9\). Aus \(|\vec{x}|=18\) folgt daher \(|k|=2\). 4. Somit ergeben sich \(\vec{x}_1=2\vec{n}=\begin{pmatrix}-12\\12\\-6\end{pmatrix}\) und \(\vec{x}_2=-2\vec{n}=\begin{pmatrix}12\\-12\\6\end{pmatrix}\).

a) \(\vec{n}=\begin{pmatrix}-6\\6\\-3\end{pmatrix}\) b) \(\vec{x}_1=\begin{pmatrix}-12\\12\\-6\end{pmatrix}\) und \(\vec{x}_2=\begin{pmatrix}12\\-12\\6\end{pmatrix}\)

- Berechne in a) genau das verlangte Vektorprodukt; sein Ergebnis gibt die gemeinsame Normalenrichtung vor. - In b) ändert die Skalarmultiplikation alle drei Komponenten mit demselben Faktor. - Welche Gleichung entsteht aus der vorgegebenen zweiten Komponente?

1. Das Vektorprodukt ist \(\vec{p}=\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix}-6\\-11\\2\end{pmatrix}\). 2. Für \(\vec{n}=k\vec{p}\) lautet die zweite Komponente \(-11k\). 3. Aus \(-11k=11\) folgt \(k=-1\). 4. Damit ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}6\\11\\-2\end{pmatrix}\).

a) \(\vec{p}=\begin{pmatrix}-6\\-11\\2\end{pmatrix}\) b) \(k=-1\) und \(\vec{n}=\begin{pmatrix}6\\11\\-2\end{pmatrix}\)

- Was ergibt das Vektorprodukt eines Vektors mit sich selbst? - Welche Orientierung haben die Vektorprodukte der Standard-Einheitsvektoren? - Vergleiche die beiden Endergebnisse der unterschiedlich geklammerten Ausdrücke.

1. Das Vektorprodukt eines Vektors mit sich selbst ist der Nullvektor. Daher gilt \((\vec{e}_1 \times \vec{e}_1) \times \vec{e}_2 = \vec{0} \times \vec{e}_2 = \vec{0}\). 2. Weiter ist \(\vec{e}_1 \times \vec{e}_2 = \vec{e}_3 = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\). Somit gilt \(\vec{e}_1 \times (\vec{e}_1 \times \vec{e}_2)=\vec{e}_1\times\vec{e}_3=\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}=-\vec{e}_2\). 3. Da \(\vec{0}\neq-\vec{e}_2\), liefern die beiden Klammerungen unterschiedliche Ergebnisse. Das Vektorprodukt ist also im Allgemeinen nicht assoziativ.

Es gilt \((\vec{e}_1 \times \vec{e}_1) \times \vec{e}_2 = \vec{0}\) und \(\vec{e}_1 \times (\vec{e}_1 \times \vec{e}_2) = \begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}\). Daher ist das Vektorprodukt nicht assoziativ.

- Stelle zuerst die beiden von \(A\) ausgehenden Seitenvektoren auf. - Das in a) verlangte Vektorprodukt liefert gleichzeitig eine Normalenrichtung und über seinen Betrag eine Flächeninformation. - Für c) bleibt nur noch die passende Skalierung samt Vorzeichenwahl.

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\3\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\). 2. Das verlangte Vektorprodukt ist \(\vec{p}=\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}-6\\0\\8\end{pmatrix}\). 3. Wegen \(|\vec{p}|=\sqrt{36+64}=10\) beträgt der Dreiecksflächeninhalt \(A=\frac{1}{2}\cdot10=5\,\text{FE}\). 4. Für die geforderte Länge \(15\) ist der positive Skalierungsfaktor \(\frac{15}{10}=\frac{3}{2}\). Dieser erhält das positive Vorzeichen der dritten Komponente. 5. Daher ist \(\vec{n}=\frac{3}{2}\vec{p}=\begin{pmatrix}-9\\0\\12\end{pmatrix}\).

a) \(\vec{p}=\begin{pmatrix}-6\\0\\8\end{pmatrix}\) b) \(5\,\text{FE}\) c) \(\vec{n}=\begin{pmatrix}-9\\0\\12\end{pmatrix}\)

- Bestimme für jeden Teilausdruck zunächst den Typ des Zwischenergebnisses: Skalar oder Vektor. - Welche Eingabetypen benötigt das Skalarprodukt, welche das Vektorprodukt? - Prüfe anschließend, ob die nächste Rechenoperation mit diesen Typen definiert ist. - Eine Division durch einen Vektor gehört nicht zu den hier definierten Vektoroperationen.

1. Der Ausdruck ist definiert. \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) ist ein Skalar und \(\vec{c}\times\vec{a}\) ein Vektor; die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ergibt einen Vektor. 2. Der Ausdruck ist definiert. \(\vec{a}\times\vec{b}\) und \(k\cdot\vec{c}\) sind Vektoren; ihre Summe ist ein Vektor. 3. Der Ausdruck ist nicht definiert, da eine Division durch einen Vektor in diesem Rahmen nicht definiert ist. 4. Der Ausdruck ist nicht definiert. \(\vec{a}\times\vec{b}\) ist ein Vektor, \(\vec{a}\cdot\vec{c}\) dagegen ein Skalar; das Vektorprodukt ist nur für zwei Vektoren definiert. 5. Der Ausdruck ist definiert. \(\vec{a}\times\vec{b}\) ist ein Vektor, seine Skalierung mit \(k\) wieder ein Vektor, und die Differenz mit \(\vec{c}\) ist ein Vektor.

1. Definiert; Ergebnis: Vektor 2. Definiert; Ergebnis: Vektor 3. Nicht definiert 4. Nicht definiert 5. Definiert; Ergebnis: Vektor

- Bestimme zuerst den Typ jedes Klammerausdrucks. - Welche Operation zwischen zwei Vektoren liefert einen Skalar, welche einen Vektor? - Das Vektorprodukt benötigt zwei Vektoren als Eingabe. - Bei einem Skalar und einem Vektor kann \(\cdot\) hier für die Skalarmultiplikation stehen.

1. In a) muss die Klammer einen Vektor liefern, damit das anschließende Skalarprodukt mit \(\vec{w}\) definiert ist und einen Skalar ergibt. Daher ist \(\square=\times\). 2. In b) ist \(\vec{v}\times\vec{w}\) ein Vektor. Für ein Vektorergebnis muss er mit \(\vec{u}\) über das Vektorprodukt verknüpft werden. Daher ist \(\square=\times\). 3. In c) ist \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) ein Skalar. Seine Multiplikation mit \(\vec{w}\) ergibt einen Vektor. Daher ist \(\square=\cdot\). 4. In d) sind beide Klammerausdrücke Vektoren. Für ein Skalarergebnis muss zwischen ihnen das Skalarprodukt stehen. Daher ist \(\square=\cdot\).

a) \(\square=\times\) b) \(\square=\times\) c) \(\square=\cdot\) d) \(\square=\cdot\)

- Teil a) legt die gemeinsame Normalenrichtung ausdrücklich durch das Vektorprodukt fest. - Beschreibe in b) zunächst den gesuchten Vektor als Vielfaches des Ergebnisses aus a). - Welche zusätzliche skalare Bedingung bestimmt den Faktor eindeutig?

1. Das Vektorprodukt ist \(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix}-2\\4\\6\end{pmatrix}\). 2. Damit gilt \(\vec{w}=k\vec{n}=\begin{pmatrix}-2k\\4k\\6k\end{pmatrix}\). 3. Aus \(\vec{w}\cdot\vec{c}=16\) folgt \(-2k+4k+6k=16\), also \(8k=16\) und damit \(k=2\). 4. Somit ist \(\vec{w}=\begin{pmatrix}-4\\8\\12\end{pmatrix}\).

a) \(\vec{n}=\begin{pmatrix}-2\\4\\6\end{pmatrix}\) b) \(k=2\) und \(\vec{w}=\begin{pmatrix}-4\\8\\12\end{pmatrix}\)