Kostenlose Arbeitsblätter

- Bestimme zuerst den Betrag des bereits gegebenen Vektorprodukts. - Welche Fläche entspricht diesem Betrag unmittelbar? - Vergleiche diese Fläche mit der Fläche eines Dreiecks aus denselben beiden Seitenvektoren.

1. Der Betrag des Vektorprodukts ist \(\sqrt{0^2+6^2+8^2}=10\). 2. Dieser Betrag ist der Flächeninhalt des zugehörigen Parallelogramms. Das Dreieck hat die Hälfte davon. 3. Daher ist \(A=\frac{1}{2}\cdot10=5\,\text{FE}\).

\(5\,\text{FE}\)

- Entscheide zuerst anhand der Abbildung, welche graue Fläche ein Parallelogramm und welche ein Dreieck ist. - Welche dieser beiden Flächen wird durch den Betrag eines Vektorprodukts unmittelbar beschrieben? - Vergleiche die Flächeninhalte von Dreieck und Parallelogramm bei denselben beiden aufspannenden Vektoren.

1. Der Betrag \(|\vec{a}\times\vec{b}|\) ist der Flächeninhalt des von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannten Parallelogramms. 2. In Teilabbildung b) ist die graue Fläche dieses Parallelogramm. Daher beträgt ihr Flächeninhalt \(12\,\text{FE}\). 3. Teilabbildung a) zeigt das Dreieck mit denselben beiden aufspannenden Vektoren. Sein Flächeninhalt ist halb so groß, also \(6\,\text{FE}\).

Die Fläche in Teilabbildung b) hat \(12\,\text{FE}\); die Fläche in Teilabbildung a) hat \(6\,\text{FE}\).

- Welche zwei Seitenvektoren gehen von demselben Eckpunkt aus? - Welche Fläche beschreibt der Betrag ihres Vektorprodukts zunächst? - Welchen Faktor musst du für die Dreiecksfläche berücksichtigen?

1. Zwei von \(A\) ausgehende Seitenvektoren sind \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}\). 2. Das Vektorprodukt ist \(\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}-20\\0\\15\end{pmatrix}\). 3. Sein Betrag ist \(\sqrt{(-20)^2+15^2}=25\). Daher beträgt der Dreiecksflächeninhalt \(A=\frac{1}{2}\cdot25=12{,}5\,\text{FE}\).

\(A=12{,}5\,\text{FE}\)

- Wie kannst du einen zweidimensionalen Vektor in den Raum übertragen, ohne seine Lage in der \(x_1x_2\)-Ebene zu verändern? - Welche dritte Komponente müssen beide eingebetteten Vektoren deshalb erhalten? - Welche geometrische Größe liefert der Betrag des Vektorprodukts?

1. Ergänze als dritte Komponente jeweils \(0\): \(\vec{u}^*=\begin{pmatrix}6\\-2\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}^*=\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}\). 2. Das Vektorprodukt ist \(\vec{u}^*\times\vec{v}^*=\begin{pmatrix}0\\0\\30\end{pmatrix}\). 3. Sein Betrag beträgt \(30\). Das ist der Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms.

\(30\) Flächeneinheiten

- Welche zwei Verbindungsvektoren kannst du mit gemeinsamem Anfangspunkt bilden? - Welche geometrische Größe liefert der Betrag ihres Vektorprodukts? - Wie unterscheidet sich die Dreiecksfläche von der Fläche des aufgespannten Parallelogramms?

1. Zwei Spannvektoren sind \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}\). 2. Das Vektorprodukt ist \(\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}\). 3. Sein Betrag ist \(4\sqrt{3}\). Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt daher \(A=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3}=2\sqrt{3}\,\text{FE}\).

\(A=2\sqrt{3}\,\text{FE}\)

- Berechne zuerst das vollständige Vektorprodukt. - Welche geometrische Größe beschreibt anschließend dessen Betrag? - Für eine Parallelogrammfläche ist kein zusätzlicher Faktor \(\frac{1}{2}\) nötig.

1. Das Vektorprodukt ist \(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}\). 2. Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist der Betrag des Vektorprodukts. 3. Daher gilt \(A=|\vec{a}\times\vec{b}|=6\,\text{FE}\).

a) \(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}\) b) \(A=6\,\text{FE}\)

- Lies zuerst die drei Eckpunkte aus dem Koordinatensystem ab. - Welche zwei Vektoren mit demselben Anfangspunkt spannen das Dreieck auf? - Berechne deren Vektorprodukt vollständig. - Wie hängt die Dreiecksfläche vom Betrag dieses Vektorprodukts ab?

1. Aus dem Bild liest man \(A(0\mid0\mid0)\), \(B(4\mid1\mid0)\) und \(C(1\mid3\mid0)\). 2. Damit sind \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}\). 3. Es folgt \(\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\0\\11\end{pmatrix}\). 4. Der Dreiecksflächeninhalt ist die Hälfte des Betrags: \(A=\frac{1}{2}\cdot11=\frac{11}{2}\,\text{FE}\).

a) \(A(0\mid0\mid0)\), \(B(4\mid1\mid0)\), \(C(1\mid3\mid0)\); \(\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\0\\11\end{pmatrix}\) b) \(A=\frac{11}{2}\,\text{FE}\)

- Stelle für beide verlangten Rechnungen zuerst die jeweils vom selben Eckpunkt ausgehenden Seitenvektoren auf. - Vergleiche nicht nur die Vektorprodukte selbst, sondern auch ihre Beträge. - Welche geometrische Bedeutung hat das Vorzeichen beziehungsweise die Orientierung eines Vektorprodukts für den Flächeninhalt?

1. Es gilt \(\vec{DE}=\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}\), \(\vec{DF}=\begin{pmatrix}-2\\2\\3\end{pmatrix}\), \(\vec{ED}=\begin{pmatrix}-2\\-3\\-2\end{pmatrix}\) und \(\vec{EF}=\begin{pmatrix}-4\\-1\\1\end{pmatrix}\). 2. Das erste Vektorprodukt ist \(\vec{DE}\times\vec{DF}=\begin{pmatrix}5\\-10\\10\end{pmatrix}\) mit Betrag \(15\). 3. Das zweite Vektorprodukt ist \(\vec{ED}\times\vec{EF}=\begin{pmatrix}-5\\10\\-10\end{pmatrix}\) mit demselben Betrag \(15\). 4. Beide Vektorpaare spannen dasselbe Dreieck auf. Die Vektorprodukte sind Gegenvektoren und unterscheiden sich daher nur in ihrer Orientierung; ihre Beträge sind gleich. 5. Somit ist der Flächeninhalt in beiden Rechnungen \(A=\frac{1}{2}\cdot15=7{,}5\,\text{FE}\).

Beide Rechnungen ergeben \(A=7{,}5\,\text{FE}\). Die Vektorprodukte sind Gegenvektoren und haben deshalb denselben Betrag.

- Bestimme zuerst den Bildpunkt \(F\) aus der gegebenen Verschiebung. - Welche zwei von demselben Eckpunkt ausgehenden Vektoren spannen das Dreieck \(ABF\) auf? - Welche geometrische Größe liefert der Betrag ihres Vektorprodukts zunächst?

1. Für den Bildpunkt gilt \(\vec{OF}=\vec{OC}+\vec{v}=\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\), also \(F(4\mid5\mid6)\). 2. Zwei Spannvektoren des Dreiecks sind \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{AF}=\begin{pmatrix}2\\5\\6\end{pmatrix}\). 3. Das Vektorprodukt ist \(\vec{AB}\times\vec{AF}=\begin{pmatrix}6\\-18\\13\end{pmatrix}\) und hat den Betrag \(23\). 4. Der Dreiecksflächeninhalt ist daher \(A=\frac{1}{2}\cdot23=11{,}5\,\text{FE}\).

\(A=11{,}5\,\text{FE}\)

- Bestimme zuerst die drei Mittelpunkte und zwei Seitenvektoren des Dreiecks mit gemeinsamem Anfangspunkt. - Welche geometrische Fläche beschreibt der Betrag des Vektorprodukts dieser beiden Seitenvektoren? - Achte darauf, vom aufgespannten Parallelogramm zur Dreiecksfläche überzugehen.

1. Die Mittelpunkte sind \(M_1(2\mid0\mid0)\), \(M_2(4\mid4\mid2)\) und \(M_3(0\mid2\mid4)\). 2. Damit gilt \(\vec{M_1M_2}=\begin{pmatrix}2\\4\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{M_1M_3}=\begin{pmatrix}-2\\2\\4\end{pmatrix}\). 3. Das Vektorprodukt ist \(\vec{M_1M_2}\times\vec{M_1M_3}=\begin{pmatrix}12\\-12\\12\end{pmatrix}\). 4. Sein Betrag beträgt \(\sqrt{12^2+(-12)^2+12^2}=12\sqrt{3}\). 5. Das Vektorprodukt liefert die Fläche des von den beiden Seitenvektoren aufgespannten Parallelogramms. Für das Dreieck folgt daher \(A=\frac{1}{2}\cdot12\sqrt{3}=6\sqrt{3}\,\text{FE}\).

\(\vec{M_1M_2}\times\vec{M_1M_3}=\begin{pmatrix}12\\-12\\12\end{pmatrix}\) \(A=6\sqrt{3}\,\text{FE}\)

- Welche gegenüberliegenden Seitenvektoren eines Parallelogramms sind gleich? - Welche beiden benachbarten Seitenvektoren spannen das Parallelogramm auf? - Welche geometrische Größe liefert der Betrag ihres Vektorprodukts?

1. In einem Parallelogramm gilt \(\vec{AD}=\vec{BC}\). Mit \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\) folgt \(D(2\mid3\mid3)\). 2. Die aufspannenden Seitenvektoren sind \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{AD}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\). 3. Ihr Vektorprodukt ist \(\vec{AB}\times\vec{AD}=\begin{pmatrix}1\\-3\\5\end{pmatrix}\). 4. Daher beträgt der Flächeninhalt \(A=\left|\vec{AB}\times\vec{AD}\right|=\sqrt{35}\,\text{FE}\).

a) \(D(2\mid3\mid3)\) b) \(A=\sqrt{35}\,\text{FE}\)

- Welche gegenüberliegenden Seitenvektoren sind in einem Parallelogramm gleich? - Welche zwei benachbarten Seitenvektoren spannen das Parallelogramm auf? - Welche geometrische Größe liefert der Betrag ihres Vektorprodukts?

1. Es gilt \(\vec{PS}=\vec{QR}=\begin{pmatrix}-2\\3\\4\end{pmatrix}\). Daher ist \(S(0\mid2\mid8)\). 2. Zwei aufspannende Seitenvektoren sind \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{PS}=\begin{pmatrix}-2\\3\\4\end{pmatrix}\). 3. Ihr Vektorprodukt ist \(\vec{PQ}\times\vec{PS}=\begin{pmatrix}12\\-12\\15\end{pmatrix}\). 4. Somit beträgt der Flächeninhalt \(A=\sqrt{12^2+(-12)^2+15^2}=\sqrt{513}\,\text{FE}\).

a) \(S(0\mid2\mid8)\) b) \(A=\sqrt{513}\,\text{FE}\)

- Welche beiden Seitenvektoren spannen das Dreieck auf? - Wie hängt der Betrag ihres Vektorprodukts mit der Dreiecksfläche zusammen? - Welche klassische Dreiecksformel verbindet Fläche, Grundseite \(AC\) und die dazugehörige Höhe?

1. Zwei aufspannende Seitenvektoren sind \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\4\\4\end{pmatrix}\). 2. Es gilt \(\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}4\\-8\\8\end{pmatrix}\) mit Betrag \(12\). Daher ist \(A=\frac{1}{2}\cdot12=6\,\text{FE}\). 3. Die Grundseite \(AC\) hat die Länge \(|\vec{AC}|=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\). 4. Aus \(6=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{2}\cdot h_b\) folgt \(h_b=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\,\text{LE}\).

a) \(A=6\,\text{FE}\) b) \(h_b=\frac{3\sqrt{2}}{2}\,\text{LE}\)

- Welche Seitenvektoren solltest du vergleichen, um die Parallelogrammstruktur nachzuweisen? - Für die Fläche brauchst du zwei benachbarte Seitenvektoren mit gemeinsamem Anfangspunkt. - Welche geometrische Größe liefert der Betrag ihres Vektorprodukts?

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}5\\0\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{DC}=\begin{pmatrix}5\\0\\2\end{pmatrix}\). Außerdem ist \(\vec{AD}=\begin{pmatrix}-2\\3\\3\end{pmatrix}\) und \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}-2\\3\\3\end{pmatrix}\). Damit sind beide Paare gegenüberliegender Seiten gleich; \(ABCD\) ist ein Parallelogramm. 2. Das Vektorprodukt zweier benachbarter Seitenvektoren ist \(\vec{AB}\times\vec{AD}=\begin{pmatrix}-6\\-19\\15\end{pmatrix}\). 3. Daher beträgt der Flächeninhalt \(A=\sqrt{(-6)^2+(-19)^2+15^2}=\sqrt{622}\,\text{FE}\).

a) \(\vec{AB}=\vec{DC}\) und \(\vec{AD}=\vec{BC}\); daher ist \(ABCD\) ein Parallelogramm. b) \(A=\sqrt{622}\,\text{FE}\)

- Forme die Vektorbedingung zunächst nach \(\vec{DC}\) um und bestimme daraus \(D\). - Welche zwei Dreiecke entstehen durch die Diagonale \(BD\)? - Wähle für jede Teilfläche zwei Vektoren mit demselben Anfangspunkt. - Addiere die beiden mit dem Vektorprodukt bestimmten Dreiecksflächen.

1. Aus \(\vec{DC}=\frac{1}{2}\vec{AB}\) folgt mit \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}6\\2\\-2\end{pmatrix}\) der Vektor \(\vec{DC}=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}\). Daher ist \(D=C-\vec{DC}=(2\mid4\mid4)\). 2. Für das Dreieck \(ABD\) verwenden wir \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}6\\2\\-2\end{pmatrix}\) und \(\vec{AD}=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}\). Ihr Vektorprodukt hat den Betrag \(2\sqrt{138}\), also ist die Teilfläche \(\sqrt{138}\,\text{FE}\). 3. Für das Dreieck \(BCD\) verwenden wir \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}-2\\2\\3\end{pmatrix}\) und \(\vec{BD}=\begin{pmatrix}-5\\1\\4\end{pmatrix}\). Ihr Vektorprodukt hat den Betrag \(\sqrt{138}\), also ist die Teilfläche \(\frac{1}{2}\sqrt{138}\,\text{FE}\). 4. Insgesamt beträgt der Flächeninhalt \(A=\frac{3}{2}\sqrt{138}\,\text{FE}\).

a) \(D(2\mid4\mid4)\) b) \(A=\frac{3}{2}\sqrt{138}\,\text{FE}\)

- Welche Seitenvektorbeziehung bestimmt den vierten Punkt eines Parallelogramms? - Welche zusätzliche Seitenlängen-Eigenschaft macht ein Parallelogramm zu einer Raute? - Welche zwei benachbarten Seitenvektoren spannen die Raute auf? - Nutze für die Fläche den Betrag ihres Vektorprodukts.

1. Für das Parallelogramm gilt \(\vec{AD}=\vec{BC}=\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix}\). Daher ist \(D(2\mid2\mid7)\). 2. Weiter ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}\). Es gilt \(|\vec{AB}|=5\) und \(|\vec{AD}|=5\). Ein Parallelogramm mit gleich langen benachbarten Seiten ist eine Raute. 3. Das Vektorprodukt ist \(\vec{AB}\times\vec{AD}=\begin{pmatrix}16\\-12\\9\end{pmatrix}\). 4. Sein Betrag beträgt \(\sqrt{16^2+(-12)^2+9^2}=\sqrt{481}\). Damit ist der Flächeninhalt \(A=\sqrt{481}\,\text{FE}\).

a) \(D(2\mid2\mid7)\); \(ABCD\) ist eine Raute. b) \(A=\sqrt{481}\,\text{FE}\)

- Setze die Definitionen von \(\vec{u}_k\) und \(\vec{v}\) direkt in das Vektorprodukt ein. - Welche Rechengesetze gelten für Summe und skalaren Faktor im Vektorprodukt? - Was ist \(\vec{b}\times\vec{b}\)? - Beim Flächeninhalt bleibt der Betrag des Faktors relevant.

1. Es gilt \(\vec{u}_k\times\vec{v}=(k\vec{a}+\vec{b})\times\vec{b}\). 2. Mit Distributivität und \(\vec{b}\times\vec{b}=\vec{0}\) folgt \(\vec{u}_k\times\vec{v}=k(\vec{a}\times\vec{b})\). 3. Daher ist \(A_k=|\vec{u}_k\times\vec{v}|=|k|\,|\vec{a}\times\vec{b}|=12|k|\,\text{FE}\). 4. Aus \(12|k|=30\) folgt \(|k|=\frac{5}{2}\), also \(k=\frac{5}{2}\) oder \(k=-\frac{5}{2}\).

a) \(\vec{u}_k\times\vec{v}=k(\vec{a}\times\vec{b})\), \(A_k=12|k|\,\text{FE}\) b) \(k=\frac{5}{2}\) oder \(k=-\frac{5}{2}\)

- Vergleiche für a) die quadrierten Längen der beiden Seiten von \(C_t\) zu \(A\) und \(B\). - Prüfe den Sonderfall \(t=0\) getrennt auf Kollinearität. - Welche beiden von \(A\) ausgehenden Vektoren spannen das Dreieck auf? - Beim Flächeninhalt führt der Betrag des Vektorprodukts zu einer Betragsgleichung in \(t\).

1. Es ist \(\vec{AC_t}=\begin{pmatrix}1+2t\\2-t\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{BC_t}=\begin{pmatrix}-1+2t\\-2-t\\-2\end{pmatrix}\). Für beide gilt \(|\vec{AC_t}|^2=|\vec{BC_t}|^2=5t^2+9\). Daher ist das Dreieck für \(t\neq0\) gleichschenklig mit Basis \(AB\). 2. Für \(t=0\) ist \(C_0(2\mid2\mid4)\) der Mittelpunkt von \(AB\); die drei Punkte sind kollinear und bilden kein Dreieck. 3. Für den Flächeninhalt verwenden wir \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC_t}\). Es gilt \(\vec{AB}\times\vec{AC_t}=\begin{pmatrix}4t\\8t\\-10t\end{pmatrix}\). 4. Damit ist \(A=\frac{1}{2}\left|\vec{AB}\times\vec{AC_t}\right|=\frac{1}{2}\sqrt{180t^2}=3\sqrt{5}\,|t|\). 5. Aus \(3\sqrt{5}\,|t|=3\sqrt{5}\) folgt \(|t|=1\), also \(t=1\) oder \(t=-1\).

a) Für \(t\neq0\) ist \(ABC_t\) gleichschenklig mit Basis \(AB\); bei \(t=0\) entsteht kein Dreieck. b) \(t=1\) oder \(t=-1\)

- Welcher Faktor unterscheidet den Dreiecksflächeninhalt vom Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms? - Ergänze bei beiden zweidimensionalen Seitenvektoren dieselbe dritte Komponente. - Eine Betragsgleichung kann zu zwei algebraischen Fällen führen; beachte anschließend die Bedingung \(s>0\).

1. Die Seitenvektoren sind \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}s\\5\\0\end{pmatrix}\). 2. Das Vektorprodukt ist \(\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\0\\20-2s\end{pmatrix}\). 3. Für den Dreiecksflächeninhalt gilt \(A=\frac12|20-2s|=|10-s|\). 4. Aus \(|10-s|=13\) folgen \(s=-3\) oder \(s=23\). 5. Wegen \(s>0\) bleibt \(s=23\).

\(s=23\)

- Von welchem Eckpunkt aus kannst du das Fünfeck ohne Überlappung in Dreiecke zerlegen? - Bestimme für jedes Teildreieck zwei Vektoren mit gemeinsamem Anfangspunkt. - Nutze für jede Teilfläche den Betrag des Vektorprodukts und berücksichtige den Dreiecksfaktor. - Addiere erst am Ende die exakten Teilflächen.

1. Zerlege das Fünfeck vom Punkt \(A\) aus in die Dreiecke \(ABC\), \(ACD\) und \(ADE\). 2. Für \(ABC\) gilt \(\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}-4\\-4\\4\end{pmatrix}\). Damit ist \(A_1=2\sqrt{3}\,\text{FE}\). 3. Für \(ACD\) gilt \(\vec{AC}\times\vec{AD}=\begin{pmatrix}-7\\-7\\7\end{pmatrix}\). Damit ist \(A_2=\frac{7}{2}\sqrt{3}\,\text{FE}\). 4. Für \(ADE\) gilt \(\vec{AD}\times\vec{AE}=\begin{pmatrix}-4\\-4\\4\end{pmatrix}\). Damit ist \(A_3=2\sqrt{3}\,\text{FE}\). 5. Insgesamt ergibt sich \(A=A_1+A_2+A_3=\frac{15}{2}\sqrt{3}\,\text{FE}\).

\(A=\frac{15}{2}\sqrt{3}\,\text{FE}\)