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- Betrachte die besondere Form der drei Vektoren. - Welche Kantenlängen kannst du unmittelbar aus den Komponenten ablesen? - Bei drei zueinander senkrechten Kanten stimmt der Betrag des Spatprodukts mit dem Produkt der Kantenlängen überein.

1. Zuerst wird das Vektorprodukt der ersten beiden Kantenvektoren berechnet: \(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}\). 2. Das Spatprodukt ist \((\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=0\cdot0+0\cdot0+6\cdot4=24\). 3. Der Betrag des Spatprodukts ist das Volumen des Spats. Daher gilt \(V=24\,\text{VE}\).

\(V=24\,\text{VE}\)

- Welche geometrische Größe misst der Betrag des Spatprodukts? - Was bedeutet es geometrisch, wenn diese Größe null ist? - Überlege, ob die drei Richtungen dann wirklich drei Raumdimensionen aufspannen können.

1. Der Betrag des Spatprodukts ist das Volumen des aufgespannten Spats. 2. Bei einem Spatprodukt von \(0\) ist dieses Volumen \(0\). 3. Damit spannen die drei Vektoren keinen dreidimensionalen Körper auf; sie sind komplanar.

Das Volumen ist \(0\,\text{VE}\); die drei Vektoren sind komplanar.

- Überlege, welches Volumen der Betrag eines Spatprodukts unmittelbar beschreibt. - Wie verhält sich das Volumen eines Tetraeders zu dem Spat, der von denselben drei Kantenvektoren aufgespannt wird? - Es ist keine erneute Vektorproduktrechnung nötig.

1. Der Betrag des Spatprodukts ist das Volumen des von den drei Kantenvektoren aufgespannten Spats. 2. Ein Tetraeder mit denselben drei von einer Ecke ausgehenden Kanten besitzt ein Sechstel dieses Volumens. 3. Daher ist \(V=\frac{1}{6}\cdot42=7\,\text{VE}\).

\(7\,\text{VE}\)

- Wähle drei Kantenvektoren, die von demselben Eckpunkt ausgehen. - Welches Volumen beschreibt der Betrag des Spatprodukts dieser drei Vektoren zunächst? - Vergleiche dieses Volumen mit dem Volumen eines Tetraeders mit denselben drei Kantenrichtungen.

1. Vom gemeinsamen Eckpunkt \(A\) aus erhält man \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}\), \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}1\\4\\-1\end{pmatrix}\) und \(\vec{AD}=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}\). 2. Das Vektorprodukt der ersten beiden Kantenvektoren ist \(\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}-5\\4\\11\end{pmatrix}\). 3. Das Spatprodukt ergibt \((\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot\vec{AD}=42\). 4. Ein Tetraeder mit denselben drei Kantenvektoren besitzt ein Sechstel des zugehörigen Spatvolumens. Daher ist \(V=\frac{1}{6}|42|=7\,\text{VE}\).

\(V=7\,\text{VE}\)

- Welche drei Kantenvektoren gehen vom selben Eckpunkt der Pyramide aus? - Welche zwei davon kannst du zuerst mit dem Vektorprodukt verknüpfen? - Welcher Bruchteil des zugehörigen Spatvolumens gehört zur dreiseitigen Pyramide?

1. Vom Eckpunkt \(A\) aus gelten \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{AD}=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}\). 2. Das Vektorprodukt ist \(\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\0\\12\end{pmatrix}\). 3. Das Spatprodukt beträgt \((\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot\vec{AD}=48\). 4. Die dreiseitige Pyramide besitzt ein Sechstel des zugehörigen Spatvolumens. Daher ist \(V=\frac{1}{6}\cdot48=8\,\text{VE}\).

\(V=8\,\text{VE}\)

- Unterscheide zwischen dem orientierten Wert des Spatprodukts und einer geometrischen Volumenangabe. - Welche Rechenoperation macht aus einem möglicherweise negativen Spatprodukt ein geometrisches Volumen? - Welche Eigenschaft des Vektorprodukts wirkt sich aus, wenn seine beiden Faktoren vertauscht werden?

1. Es ist \(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}\). 2. Daher gilt \((\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=2\cdot(-3)=-6\). 3. Das geometrische Volumen ist der Betrag des Spatprodukts: \(V=|-6|=6\,\text{VE}\). 4. Beim Vertauschen von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) wechselt das Vektorprodukt sein Vorzeichen. Das Spatprodukt wird deshalb \(6\) statt \(-6\). 5. Der Betrag bleibt \(6\); das Volumen bleibt also \(6\,\text{VE}\).

a) \((\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=-6\) b) \(V=6\,\text{VE}\) c) Das Spatprodukt wechselt zu \(6\); das Volumen bleibt \(6\,\text{VE}\).

- Beginne mit dem Vektorprodukt der ersten beiden aufspannenden Vektoren. - Welche weitere Operation verbindet diesen Ergebnisvektor mit dem dritten Vektor zum Spatprodukt? - Warum wird für das geometrische Volumen der Betrag des Spatprodukts benötigt?

1. Das Vektorprodukt ist \(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix}-6\\-2\\7\end{pmatrix}\). 2. Das Spatprodukt ist \(\vec{n}\cdot\vec{w}=(-6)\cdot1+(-2)\cdot1+7\cdot5=27\). 3. Das Volumen des Spats ist der Betrag des Spatprodukts: \(V=|27|=27\,\text{VE}\).

a) \(\vec{n}=\begin{pmatrix}-6\\-2\\7\end{pmatrix}\) b) \(27\) c) \(V=27\,\text{VE}\)

- Welche drei Kantenvektoren gehen von einem gemeinsamen Eckpunkt der Pyramide aus? - Bestimme zunächst mit dem Vektorprodukt einen Normalenvektor zu zwei dieser Kanten. - Wie liefert das Skalarprodukt dieses Normalenvektors mit der dritten Kante ein orientiertes Volumenmaß? - Welcher geometrische Zusammenhang besteht zwischen dem zugehörigen Spat und einer dreiseitigen Pyramide?

1. Vom Punkt \(E\) aus spannen die Vektoren \(\vec{EF}=\begin{pmatrix}4\\-3\\2\end{pmatrix}\), \(\vec{EG}=\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec{EH}=\begin{pmatrix}2\\1\\6\end{pmatrix}\) die Pyramide auf. 2. Es gilt \(\vec{EF}\times\vec{EG}=\begin{pmatrix}-9\\-2\\15\end{pmatrix}\). 3. Das Spatprodukt ist \((\vec{EF}\times\vec{EG})\cdot\vec{EH}=70\). 4. Die dreiseitige Pyramide besitzt ein Sechstel des zugehörigen Spatvolumens. Daher ist \(V=\frac{1}{6}|70|=\frac{35}{3}\,\text{VE}\).

\(V=\frac{35}{3}\,\text{VE}\)

- Welche geometrische Größe liefert der Betrag des Vektorprodukts der beiden Grundkanten zunächst? - Wie hängt das Spatprodukt der drei Kantenvektoren mit dem Volumen der dreiseitigen Pyramide zusammen? - Welche allgemeine Pyramidenformel verbindet Grundfläche, Höhe und Volumen?

1. Das Vektorprodukt der beiden Grundflächenvektoren ist \(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}-2\\6\\5\end{pmatrix}\) mit Betrag \(\sqrt{65}\). Damit ist der Flächeninhalt der dreieckigen Grundfläche \(G=\frac{1}{2}\sqrt{65}\,\text{FE}\). 2. Das Spatprodukt ist \((\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{s}=12\). Daher beträgt das Pyramidenvolumen \(V=\frac{1}{6}|12|=2\,\text{VE}\). 3. Aus \(V=\frac{1}{3}Gh\) folgt \(h=\frac{3V}{G}=\frac{12}{\sqrt{65}}\,\text{LE}\).

a) \(G=\frac{1}{2}\sqrt{65}\,\text{FE}\) b) \(V=2\,\text{VE}\) c) \(h=\frac{12}{\sqrt{65}}\,\text{LE}\)

- Welche drei Kantenvektoren gehen von demselben Eckpunkt aus? - Wie erhältst du aus zwei Grundkanten zuerst die Dreiecksfläche? - Welcher Bruchteil des zugehörigen Spatvolumens gehört zum Tetraeder? - Welche Pyramidenformel verbindet anschließend Grundfläche, Volumen und Höhe?

1. Vom Punkt \(A\) aus gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}\), \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{AD}=\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}\). 2. Das Vektorprodukt ist \(\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}-20\\0\\15\end{pmatrix}\) mit Betrag \(25\). Daher ist die Grundfläche \(G=\frac{25}{2}\,\text{FE}\). 3. Das Spatprodukt liefert \((\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot\vec{AD}=-25\). Somit ist das Tetraedervolumen \(V=\frac{1}{6}|-25|=\frac{25}{6}\,\text{VE}\). 4. Aus \(V=\frac{1}{3}Gh_D\) folgt \(h_D=\frac{3V}{G}=1\,\text{LE}\).

a) \(G=\frac{25}{2}\,\text{FE}\) b) \(V=\frac{25}{6}\,\text{VE}\) c) \(h_D=1\,\text{LE}\)

- Beginne mit dem Vektorprodukt der beiden festen Vektoren. - Welche Betragsgleichung entsteht aus der vorgegebenen Volumengröße? - Warum musst du bei einer Betragsgleichung zwei Fälle berücksichtigen? - Welche geometrische Bedeutung hat ein Spatvolumen von null?

1. Das Vektorprodukt ist \(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\-2\\5\end{pmatrix}\). 2. Das Spatprodukt liefert \(V(k)=|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}_k|=|23-2k|\). 3. Aus \(|23-2k|=15\) folgen die beiden Fälle \(23-2k=15\) und \(23-2k=-15\). Damit ist \(k=4\) oder \(k=19\). 4. Komplanarität entspricht dem Volumen null. Aus \(23-2k=0\) folgt \(k=\frac{23}{2}\).

a) \(V(k)=|23-2k|\) b) \(k=4\) oder \(k=19\) c) \(k=\frac{23}{2}\); dann ist das Spatvolumen null.

- Welche Seitenvektorbeziehung bestimmt den fehlenden Punkt der parallelogrammförmigen Grundfläche? - Welche drei von \(A\) ausgehenden Vektoren spannen den Spat auf? - Welche Rolle spielt das Spatprodukt dieser drei Vektoren für das Volumen?

1. Im Parallelogramm gilt \(\vec{AD}=\vec{BC}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}\). Daher ist \(D(2\mid4\mid2)\). 2. Der dritte aufspannende Vektor ist \(\vec{AE}=\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}\), außerdem \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\). 3. Es gilt \(\vec{AB}\times\vec{AD}=\begin{pmatrix}0\\0\\12\end{pmatrix}\). 4. Das Spatvolumen ist \(V=|(\vec{AB}\times\vec{AD})\cdot\vec{AE}|=48\,\text{VE}\).

a) \(D(2\mid4\mid2)\) b) \(V=48\,\text{VE}\)

- Nutze die Vektoraddition, um den fehlenden Punkt der Grundfläche zu finden. - Das Volumen lässt sich über den Betrag des Spatprodukts der drei aufspannenden Vektoren berechnen. - Überlege dir, wie das Volumen eines Prismas oder Spats allgemein aus Grundfläche und Höhe berechnet wird, und stelle die Formel um.

1. Berechnung von \(D\): Im Parallelogramm \(ABCD\) gilt \(\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{BC}\). \(\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \implies \vec{OD} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Also \(D(1|3|2)\). 2. Volumenberechnung: \(V = |(\vec{AB} \times \vec{AD}) \cdot \vec{AE}|\). \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(\vec{AE} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}\). \(\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{pmatrix} 1-0 \\ 0-3 \\ 9-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 10 \end{pmatrix}\). \(V = \left| \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \right| = |1 - 3 + 40| = 38\). 3. Berechnung der Höhe: \(h = \frac{V}{G}\), wobei \(G = |\vec{AB} \times \vec{AD}|\) der Flächeninhalt der Grundfläche ist. \(G = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 10^2} = \sqrt{110} \approx 10{,}49\). \(h = \frac{38}{\sqrt{110}} \approx 3{,}62\).

a) \(D(1|3|2)\) b) \(V = 38\,\text{VE}\) c) \(h = \frac{38}{\sqrt{110}} \approx 3{,}62\,\text{LE}\)

- Teil a) liefert den Flächenvektor der Grundfläche als ausdrückliches Zwischenergebnis. - In b) ist der Wert des Spatprodukts selbst gefragt; nutze erst danach den Tetraederfaktor. - Für c) verbindest du das bereits bestimmte Volumen mit dem Grundflächeninhalt.

1. Es gilt \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{PR}=\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}\). 2. Das verlangte Vektorprodukt ist \(\vec{p}=\vec{PQ}\times\vec{PR}=\begin{pmatrix}0\\0\\12\end{pmatrix}\). Daher ist der Grundflächeninhalt \(G=\frac{1}{2}|\vec{p}|=6\,\text{FE}\). 3. Mit \(\vec{PS}=\begin{pmatrix}1\\1\\6\end{pmatrix}\) ist das verlangte Spatprodukt \(\vec{p}\cdot\vec{PS}=72\). 4. Das Tetraedervolumen beträgt \(V=\frac{1}{6}|72|=12\,\text{VE}\). 5. Aus \(V=\frac{1}{3}Gh\) folgt \(h=\frac{3V}{G}=6\,\text{LE}\).

a) \(\vec{p}=\begin{pmatrix}0\\0\\12\end{pmatrix}\) b) \(\vec{p}\cdot\vec{PS}=72\) und \(V=12\,\text{VE}\) c) \(h=6\,\text{LE}\)

- Beginne mit dem ausdrücklich verlangten Vektorprodukt der ersten beiden Spannvektoren. - Unterscheide in b) zwischen dem orientierten Spatprodukt und dem geometrischen Volumen. - Prüfe für c) zunächst paarweise Orthogonalität und danach die drei Kantenlängen.

1. Das verlangte Vektorprodukt ist \(\vec{p}=\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\-25\\0\end{pmatrix}\). 2. Das orientierte Spatprodukt beträgt \(\vec{p}\cdot\vec{c}=-125\). Daher ist das Volumen \(V=|-125|=125\,\text{VE}\). 3. Es gilt \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}=\vec{b}\cdot\vec{c}=0\); die Kantenrichtungen sind paarweise orthogonal. 4. Außerdem ist \(|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=5\,\text{LE}\). Der Spat ist daher ein Würfel.

a) \(\vec{p}=\begin{pmatrix}0\\-25\\0\end{pmatrix}\) b) \(\vec{p}\cdot\vec{c}=-125\), also \(V=125\,\text{VE}\) c) Der Spat ist ein Würfel.

- Wie hängen die lineare Unabhängigkeit von Vektoren und das Volumen eines Körpers zusammen? - Überlege dir, wie das Volumen eines Tetraeders im Vergleich zu einem Spat (Parallelepiped) definiert ist.

1. Nachweis eines Tetraeders: Die Vektoren \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}\) sind linear unabhängig, da das Spatprodukt \(\left(\vec{AB} \times \vec{AC}\right) \cdot \vec{AD} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 16 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} = 96 \neq 0\) ist. Damit liegen die Punkte nicht in einer gemeinsamen Ebene. 2. Volumenberechnung: Das Volumen eines Tetraeders berechnet sich durch \(V = \frac{1}{6} \cdot |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD}|\). Mit dem Betrag des Spatprodukts \(|96|\) ergibt sich \(V = \frac{1}{6} \cdot 96 = 16\,\text{VE}\).

a) Da das Spatprodukt der aufspannenden Vektoren ungleich Null ist, bilden die Punkte ein Tetraeder. b) \(V = 16\,\text{VE}\)

- Berechne in a) zunächst genau das verlangte Vektorprodukt der beiden Grundkanten. - Der Parameter tritt danach im ausdrücklich verlangten Spatprodukt auf. - Beachte beim Übergang vom orientierten Spatprodukt zum Volumen den Betrag und den Tetraederfaktor.

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{AS_k}=\begin{pmatrix}1\\1\\1+k\end{pmatrix}\). 2. Das verlangte Vektorprodukt ist \(\vec{p}=\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\0\\12\end{pmatrix}\). 3. Das Spatprodukt lautet \(\vec{p}\cdot\vec{AS_k}=12(1+k)\). Damit ist \(V(k)=\frac{1}{6}|12(1+k)|=2|1+k|\,\text{VE}\). 4. Aus \(2|1+k|=10\) folgt \(|1+k|=5\). 5. Daher ist \(k=4\) oder \(k=-6\).

a) \(\vec{p}=\begin{pmatrix}0\\0\\12\end{pmatrix}\), \(\vec{p}\cdot\vec{AS_k}=12(1+k)\), \(V(k)=2|1+k|\,\text{VE}\) b) \(k=4\) oder \(k=-6\)

- Beginne mit zwei Grundflächenvektoren und einem Vektor von derselben Ecke zur Spitze. - Nutze die Distributivität des Skalarprodukts, nachdem \(\vec{AS_k}\) eingesetzt wurde. - Welche geometrische Bedeutung hat es, wenn der Verschiebungsvektor zum Normalenvektor der Grundfläche orthogonal ist?

1. Die aufspannenden Vektoren sind \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\-1\\-2\end{pmatrix}\), \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}\) und \(\vec{AS}=\begin{pmatrix}5\\7\\7\end{pmatrix}\). 2. Es gilt \(\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}7\\1\\10\end{pmatrix}\). 3. Damit beträgt das Volumen \(V=\frac{1}{6}|\begin{pmatrix}7\\1\\10\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}5\\7\\7\end{pmatrix}|=\frac{56}{3}\) Volumeneinheiten. 4. Für die neue Spitze gilt \(\vec{AS_k}=\vec{AS}+k\vec{v}\). Daher ist der relevante Spatproduktwert \((\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot\vec{AS_k}=(\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot\vec{AS}+k(\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot\vec{v}\). 5. Es ist \(\begin{pmatrix}7\\1\\10\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\-7\\0\end{pmatrix}=0\). Der Zusatzterm verschwindet also für jedes \(k\), und das Volumen bleibt \(\frac{56}{3}\). 6. Weil \(\vec{v}\) orthogonal zum Normalenvektor der Grundfläche ist, verläuft die Verschiebung parallel zur Grundfläche. Die Pyramidenhöhe bleibt daher unverändert.

a) \(V=\frac{56}{3}\) Volumeneinheiten b) Wegen \((\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot\vec{v}=0\) ist das Spatprodukt und damit das Volumen unabhängig von \(k\). c) \(\vec{v}\) verläuft parallel zur Grundfläche; deshalb bleibt die Höhe konstant.

- Welche drei Kantenvektoren gehen vom selben Eckpunkt der Pyramide aus? - Welche geometrische Größe liefert das Spatprodukt dieser drei Vektoren zunächst? - Wie erhältst du aus dem Vektorprodukt zweier Grundseiten die dreieckige Grundfläche? - Welche Beziehung zwischen Grundfläche, Höhe und Pyramidenvolumen kannst du anschließend nach \(h\) auflösen?

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\), \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}-1\\4\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{AS}=\begin{pmatrix}4\\5\\10\end{pmatrix}\). 2. Das Vektorprodukt der Grundseiten ist \(\vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\-5\\10\end{pmatrix}\). 3. Das Spatprodukt ist \(\vec{n}\cdot\vec{AS}=75\). Daher beträgt das Pyramidenvolumen \(V=\frac{1}{6}|75|=\frac{25}{2}\,\text{VE}\). 4. Die dreieckige Grundfläche hat den Flächeninhalt \(G=\frac{1}{2}|\vec{n}|=\frac{5\sqrt{5}}{2}\,\text{FE}\). 5. Aus \(V=\frac{1}{3}Gh\) folgt \(h=\frac{3V}{G}=3\sqrt{5}\,\text{LE}\).

a) \(V=\frac{25}{2}\,\text{VE}\) b) \(G=\frac{5\sqrt{5}}{2}\,\text{FE}\); \(h=3\sqrt{5}\,\text{LE}\)

- Nutze für Teil a) nur die Lage der vier bezeichneten Kanten im Schrägbild. Gesucht ist ein gemeinsamer Eckpunkt von drei Kanten. - Von diesem Eckpunkt müssen zwei ausgewählte Kanten in der Grundfläche liegen und die dritte zur Spitze führen. - Berechne für Teil b) zuerst einen Normalenvektor der parallelogrammförmigen Grundfläche. - Welche Beziehung besteht zwischen dem Betrag des Spatprodukts und dem Volumen einer Pyramide mit derselben parallelogrammförmigen Grundfläche und Höhe?

1. Im Schrägbild liegt I auf \(AD\), III auf \(AS\) und IV auf \(AB\). Diese drei Kanten treffen sich im Eckpunkt \(A\); II liegt dagegen auf \(BC\). Daher sind I, III und IV auszuwählen. 2. Für die anschließend bezeichneten Kantenvektoren gilt \(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\0\\12\end{pmatrix}\). 3. Das Spatprodukt ist \((\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=72\). 4. Das zugehörige Spat besitzt das Volumen \(72\,\text{VE}\). Eine Pyramide mit derselben parallelogrammförmigen Grundfläche und derselben Höhe besitzt ein Drittel davon. Daher ist \(V=\frac{1}{3}\cdot72=24\,\text{VE}\).

a) I, III und IV b) \(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\0\\12\end{pmatrix}\), \((\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=72\) c) \(V=24\,\text{VE}\)

- Überlege, welche Länge bei „Grundfläche mal Höhe“ tatsächlich benötigt wird. - Ist der dritte Kantenvektor automatisch senkrecht zur von den ersten beiden Kanten aufgespannten Grundfläche? - Welche der beiden vorgeschlagenen Rechnungen berücksichtigt nur die Komponente in Normalenrichtung? - Wandle die Volumeneinheit erst am Ende in Liter um.

1. Das Vektorprodukt der beiden Grundkanten ist \(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\0\\12\end{pmatrix}\). 2. Methode I würde die Grundfläche mit der gesamten Länge von \(\vec{c}\) multiplizieren. Das wäre nur dann die Höhe, wenn \(\vec{c}\) orthogonal zur Grundfläche wäre; hier ist das nicht der Fall. 3. Methode II verwendet über das Skalarprodukt genau die zur Grundfläche senkrechte Komponente von \(\vec{c}\). 4. Es gilt \(V=\left|\begin{pmatrix}0\\0\\12\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}\right|=60\,\text{dm}^3\). 5. Somit beträgt das Fassungsvermögen \(60\,\text{l}\).

Methode II ist korrekt; das Fassungsvermögen beträgt \(60\,\text{l}\).

- Beginne mit dem Vektorprodukt der beiden festen Vektoren. - Welche Rechenoperationen treten anschließend im Spatprodukt mit \(\vec{c}_k\) auf? - Vergleiche für die Ganzzahligkeitsfrage Skalarprodukt und Betrag eines Vektors. - Was bedeutet ein Spatvolumen von null für die Lage der drei aufspannenden Vektoren?

1. Das Vektorprodukt ist \(\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\-2\\7\end{pmatrix}\). 2. Das Spatprodukt ist \((\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}_k=7k-3\). Daher gilt \(V(k)=|7k-3|\). 3. Für ganzzahliges \(k\) besitzen alle drei Vektoren ganzzahlige Komponenten. Das Vektorprodukt hat dann ganzzahlige Komponenten, und sein Skalarprodukt mit dem dritten Vektor ist ebenfalls ganzzahlig. Der Betrag bleibt ganzzahlig. 4. Der Flächeninhalt der Grundfläche ist \(A=|\vec{a}\times\vec{b}|=\sqrt{54}=3\sqrt{6}\,\text{FE}\). Dieses Beispiel zeigt, dass eine solche Fläche nicht ganzzahlig sein muss. 5. Aus \(|7k-3|=0\) folgt \(k=\frac{3}{7}\). Dann ist das Spatvolumen null; die drei Vektoren sind komplanar.

a) \(V(k)=|7k-3|\) b) Für ganzzahliges \(k\) ist das Spatprodukt und damit sein Betrag ganzzahlig. c) \(A=3\sqrt{6}\,\text{FE}\); nein, die Fläche muss nicht ganzzahlig sein. d) \(k=\frac{3}{7}\); die drei Vektoren sind komplanar.

- Welche geometrische Größe liefert der Betrag des Vektorprodukts der beiden Grundvektoren? - Wie kannst du das Skalarprodukt über Vektorlängen und den eingeschlossenen Winkel ausdrücken? - Ändert sich das Volumen eines festen Spats, wenn du eine andere Seitenfläche als Grundfläche auffasst? - Welche Rolle spielt der Betrag bei der geometrischen Volumendeutung?

1. Das Vektorprodukt der Grundvektoren ist \(\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix}-20\\0\\15\end{pmatrix}\) mit Betrag \(25\). Also ist die Grundfläche \(G=25\,\text{FE}\). 2. Für das Volumen gilt \(V=|\vec{n}\cdot\vec{w}|=|\vec{n}|\,|\vec{w}|\cos 30^\circ=25\cdot6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=75\sqrt{3}\,\text{VE}\). 3. Beide Beträge in c) beschreiben das Volumen desselben Spats, nur mit unterschiedlichen Wahlmöglichkeiten für die Grundfläche. Daher sind die Beträge gleich. Algebraisch entspricht dies der zyklischen Vertauschbarkeit des Spatprodukts.

a) \(G=25\,\text{FE}\) b) \(V=75\sqrt{3}\,\text{VE}\) c) Beide Beträge beschreiben das Volumen desselben Spats mit unterschiedlichen Grundflächen und sind deshalb gleich.

- Welche Seiten- und Winkelbedingungen reichen für den Quadratnachweis? - Welche geometrische Bedeutung besitzt der Betrag des Vektorprodukts zweier benachbarter Seitenvektoren? - Welcher Bruchteil des zugehörigen Spatvolumens gehört zu einer Pyramide mit Parallelogramm-Grundfläche? - Wie kannst du erkennen, dass der Vektor von \(M\) zur Spitze parallel zu einem Normalenvektor ist? - Vergleiche für \(k=2\) die beiden Volumenwege.

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\2\\-4\end{pmatrix}\) und \(\vec{AD}=\begin{pmatrix}4\\-4\\2\end{pmatrix}\). Beide haben die Länge \(6\), und \(\vec{AB}\cdot\vec{AD}=0\). Außerdem ist \(\vec{BC}=\vec{AD}\). Damit ist \(ABCD\) ein Quadrat. 2. Das Vektorprodukt ist \(\vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AD}=\begin{pmatrix}-12\\-24\\-24\end{pmatrix}\) mit Betrag \(36\). Dieser Betrag ist der Flächeninhalt des Quadrats. 3. Mit \(\vec{AS_k}=\begin{pmatrix}4+k\\-1+2k\\-1+2k\end{pmatrix}\) gilt \(V(k)=\frac{1}{3}|(\vec{AB}\times\vec{AD})\cdot\vec{AS_k}|=36|k|\,\text{VE}\). 4. Es ist \(\vec{MS_k}=\begin{pmatrix}k\\2k\\2k\end{pmatrix}=-\frac{k}{12}\vec{n}\). Daher verläuft \(MS_k\) für \(k\neq0\) in Normalenrichtung zur Grundfläche. 5. Für \(k=2\) ist \(h=|\vec{MS_2}|=6\). Mit \(G=36\) folgt \(V=\frac{1}{3}\cdot36\cdot6=72\,\text{VE}\), ebenso wie aus \(V(2)=72\,\text{VE}\).

a) \(ABCD\) ist ein Quadrat. b) \(\vec{n}=\begin{pmatrix}-12\\-24\\-24\end{pmatrix}\); \(|\vec{n}|=36\) ist der Flächeninhalt des Quadrats. c) \(V(k)=36|k|\,\text{VE}\) d) \(\vec{MS_k}=-\frac{k}{12}\vec{n}\); für \(k=2\) ist \(V=72\,\text{VE}\).

- Beginne für a) mit dem Vektorprodukt der beiden festen Vektoren. - Welche Winkelbedingungen müssen die drei Kantenrichtungen eines Quaders erfüllen? - Wie kannst du diese Bedingungen mit Skalarprodukten in Gleichungen für \(t\) übersetzen? - Prüfe den gefundenen Parameterwert in beiden erforderlichen Orthogonalitätsbeziehungen.

1. Das Vektorprodukt ist \(\vec{u}\times\vec{v}=\begin{pmatrix}-3\\6\\-6\end{pmatrix}\). 2. Daher gilt \(V(t)=|(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}_t|=|-3t+72|\,\text{VE}\). 3. Für einen Quader müssen die drei aufspannenden Vektoren paarweise orthogonal sein. Es gilt bereits \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\). 4. Aus \(\vec{w}_t\cdot\vec{u}=2t+6=0\) folgt \(t=-3\). Für diesen Wert gilt auch \(\vec{w}_{-3}\cdot\vec{v}=0\). 5. Somit ist der Spat für \(t=-3\) ein Quader und hat das Volumen \(V(-3)=81\,\text{VE}\).

a) \(V(t)=|72-3t|\,\text{VE}\) b) \(t=-3\); dann ist \(V=81\,\text{VE}\).