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- Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei Punkten im Raum? - Erinnere dich an die Formel für den Betrag eines Vektors, um die Abstände zu bestimmen. - Was muss für die Seitenlängen gelten, damit ein Dreieck gleichschenklig ist? Und was für ein gleichseitiges Dreieck?

1. Berechnung der Verbindungsvektoren: \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 1-1 \\ 4-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\) \(\vec{QR} = \begin{pmatrix} 2-5 \\ 5-1 \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}\) \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} 2-2 \\ 5-1 \\ 3-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\) 2. Berechnung der Seitenlängen: \(|\vec{PQ}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\) \(|\vec{QR}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{26} \approx 5{,}10\) \(|\vec{PR}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\) 3. Vergleich der Längen: Da zwei Seiten gleich lang sind (\(|\vec{PQ}| = |\vec{PR}| = 5\)), ist das Dreieck gleichschenklig. Da die dritte Seite eine andere Länge hat (\(\sqrt{26} \neq 5\)), ist es nicht gleichseitig.

a) Die Seitenlängen betragen \(|\vec{PQ}| = 5\), \(|\vec{QR}| = \sqrt{26} \approx 5{,}10\) und \(|\vec{PR}| = 5\). b) Das Dreieck ist gleichschenklig, da die Schenkel \(PQ\) und \(PR\) mit jeweils \(5\) Längeneinheiten gleich lang sind. Es ist nicht gleichseitig, da die Basis \(QR\) eine andere Länge hat.

- Wie stellt man den Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten auf? - Welche Formel nutzt man, um die Länge (den Betrag) eines Vektors zu bestimmen? - Setze die Formel für die Länge gleich dem gegebenen Wert und versuche, nach der Unbekannten aufzulösen. - Gibt es geometrisch gesehen vielleicht mehr als eine Position für den Punkt, die die Bedingung erfüllt?

1. Der Verbindungsvektor wird berechnet durch \(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 4-2 \\ 1-k \\ -3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1-k \\ -4 \end{pmatrix}\). 2. Die Bedingung für die Länge lautet \(|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (1-k)^2 + (-4)^2} = 6\). 3. Quadrieren der Gleichung führt auf \(4 + (1-k)^2 + 16 = 36\). 4. Vereinfachen ergibt \(20 + (1-k)^2 = 36\), also \((1-k)^2 = 16\). 5. Das Lösen der reinquadratischen Gleichung liefert \(1-k = 4\) (woraus \(k = -3\) folgt) oder \(1-k = -4\) (woraus \(k = 5\) folgt).

Die möglichen Werte sind \(k_1 = -3\) und \(k_2 = 5\).

- Wie berechnet man die Länge eines Vektors aus seinen Koordinaten? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl quadrierst? - Erinnere dich daran, dass das Quadrat einer Quadratwurzel \(\sqrt{x}\) genau \(x\) ergibt. - Kannst du die Formel für den Betrag eines Vektors im dreidimensionalen Raum anwenden?

1. Für \(\vec{a}\): Berechnung der Quadratsumme der Komponenten: \((-8)^2 + 12^2 + 9^2 = 64 + 144 + 81 = 289\). Die Länge ist die Wurzel daraus: \(\sqrt{289} = 17\). 2. Für \(\vec{b}\): Die Quadrate der Wurzeln ergeben die Radikanden: \((\sqrt{13})^2 + (\sqrt{15})^2 + (\sqrt{21})^2 = 13 + 15 + 21 = 49\). Die Länge beträgt \(\sqrt{49} = 7\). 3. Für \(\vec{c}\): Quadratsumme bilden: \(1{,}5^2 + (-2)^2 + 6^2 = 2{,}25 + 4 + 36 = 42{,}25\). Die Länge ist \(\sqrt{42{,}25} = 6{,}5\).

a) \(|\vec{a}| = 17\) b) \(|\vec{b}| = 7\) c) \(|\vec{c}| = 6{,}5\)

- Stelle zuerst einen allgemeinen Ausdruck für die Länge des Vektors auf, der die Variable enthält. - Welche Gleichung erhältst du, wenn dieser Ausdruck den Wert 15 annehmen soll? - Wie kannst du eine Wurzelgleichung am besten nach der Unbekannten auflösen? - Denke daran, dass beim Lösen einer reinquadratischen Gleichung oft zwei Lösungen existieren.

1. Aufstellen der Formel für den Betrag des Vektors in Abhängigkeit von \(k\): \(|\vec{v}| = \sqrt{(2k)^2 + k^2 + 10^2} = \sqrt{4k^2 + k^2 + 100} = \sqrt{5k^2 + 100}\). 2. Gleichsetzen mit dem Zielwert \(15\): \(\sqrt{5k^2 + 100} = 15\). 3. Quadrieren beider Seiten der Gleichung: \(5k^2 + 100 = 225\). 4. Subtraktion von \(100\) und Division durch \(5\): \(5k^2 = 125 \implies k^2 = 25\). 5. Ziehen der Wurzel liefert die beiden möglichen Werte: \(k_1 = 5\) und \(k_2 = -5\).

\(k = 5\) oder \(k = -5\)

- Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Welche Formel hilft dir, die Länge (den Betrag) eines Vektors aus seinen Komponenten zu berechnen? - Was musst du mit einem Vektor tun, damit er kürzer oder länger wird, aber seine Richtung beibehält? - Wie verändert sich die Gesamtlänge eines Vektors, wenn du jede seiner Komponenten durch denselben Wert teilst?

1. Berechnung des Verbindungsvektors durch Subtraktion der Punktkoordinaten: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 7 - 3 \\ 2 - (-2) \\ 3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der Länge mittels der Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate: \(|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6\). 3. Bestimmung des Einheitsvektors durch Skalierung mit dem Kehrwert der Länge: \(\vec{u} = \frac{1}{6} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}\) b) \(|\vec{AB}| = 6\) c) \(\vec{u} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}\)

- Wie berechnet man die Länge eines Vektors aus seinen Koordinaten? - Was passiert mit den einzelnen Komponenten eines Vektors, wenn man ihn mit einer Zahl multipliziert? - Überlege dir, ob das Vorzeichen einer Zahl Einfluss auf die Länge eines damit multiplizierten Vektors hat. - Erinnere dich an die Definition des Betrags einer reellen Zahl.

1. Berechnung des Betrags von \(\vec{u}\): \(|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\). 2. Berechnung über Komponenten: \(\vec{v} = -2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ -24 \end{pmatrix}\). Der Betrag ist \(|\vec{v}| = \sqrt{(-6)^2 + 8^2 + (-24)^2} = \sqrt{36 + 64 + 576} = \sqrt{676} = 26\). 3. Berechnung über die Skalierungseigenschaft: \(|\vec{v}| = |-2| \cdot |\vec{u}| = 2 \cdot 13 = 26\). 4. Vergleich und Erläuterung: Beide Rechenwege führen zum selben Ergebnis \(26\). Der Skalierungsfaktor \(k = -2\) bewirkt eine Verdopplung der Länge, da der Betrag des Faktors \(|k| = 2\) entscheidend für die Längenänderung ist, während das negative Vorzeichen lediglich die Orientierung des Vektors umkehrt.

a) \(|\vec{u}| = 13\) b) 1. \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ -24 \end{pmatrix} \Rightarrow |\vec{v}| = 26\); 2. \(|\vec{v}| = 2 \cdot 13 = 26\) c) Beide Wege ergeben \(26\). Die Länge verdoppelt sich, da \(|-2| = 2\).

- Nutze die Formel für den Betrag eines skalierten Vektors: \(|r \cdot \vec{a}| = |r| \cdot |\vec{a}|\). - Wenn du eine Gleichung der Form \(|r| = c\) hast, welche Werte kann \(r\) dann annehmen? - Was bedeutet ein positives oder negatives Vorzeichen beim Streckungsfaktor \(r\) für die Richtung des Vektors?

1. Berechnung des Betrags von \(\vec{a}\): \(|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 0 + 9} = \sqrt{25} = 5\). 2. Aufstellen der Gleichung für die Länge von \(\vec{b}\): \(|\vec{b}| = |r \cdot \vec{a}| = |r| \cdot |\vec{a}|\). 3. Einsetzen der gegebenen Werte: \(20 = |r| \cdot 5\). Daraus folgt \(|r| = 4\). 4. Lösen der Betragsgleichung: Es ergeben sich zwei Lösungen \(r_1 = 4\) und \(r_2 = -4\). 5. Geometrische Interpretation: Für \(r = 4\) zeigt \(\vec{b}\) in dieselbe Richtung wie \(\vec{a}\). Für \(r = -4\) zeigt \(\vec{b}\) in die entgegengesetzte Richtung. In beiden Fällen ist der Vektor viermal so lang wie \(\vec{a}\).

a) \(|\vec{a}| = 5\) b) \(r_1 = 4\); \(r_2 = -4\) c) Es gibt zwei Vektoren der Länge \(20\), die kollinear zu \(\vec{a}\) sind: einen in Richtung von \(\vec{a}\) (\(r=4\)) und einen in der entgegengesetzten Richtung (\(r=-4\)).

- Erinnere dich an die Formel für den Betrag eines Vektors im dreidimensionalen Raum. - Wie gehst du mit negativen Vorzeichen unter der Wurzel um? - Was passiert, wenn du eine Quadratwurzel quadrierst? - Berechne am besten zuerst alle Beträge einzeln und vergleiche dann die Ergebnisse.

Um die Längen zu vergleichen, wird für jeden Vektor der Betrag mit der Formel \(|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\) berechnet. 1. Berechnung für die erste Gruppe: \(|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3\) \(|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 0^2} = 3\) \(|\vec{c}| = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{5 + 4} = 3\) \(|\vec{d}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\) Diese Vektoren haben alle die Länge \(3\). 2. Berechnung für die zweite Gruppe: \(|\vec{e}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5\) \(|\vec{f}| = \sqrt{0^2 + (-5)^2 + 0^2} = 5\) \(|\vec{g}| = \sqrt{(\sqrt{20})^2 + (\sqrt{5})^2 + 0^2} = \sqrt{20 + 5} = 5\) \(|\vec{h}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\) Diese Vektoren haben alle die Länge \(5\).

Die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) und \(\vec{d}\) haben alle die Länge \(3\). Die Vektoren \(\vec{e}\), \(\vec{f}\), \(\vec{g}\) und \(\vec{h}\) haben alle die Länge \(5\).

- Wie berechnet man die Länge eines Vektors im Raum? - Was bedeutet es für die Komponenten eines Vektors, wenn er die Länge 1 haben soll? - Überlege dir, wie du einen Vektor „schrumpfen“ oder „strecken“ kannst, ohne seine Richtung zu ändern. - Welche Rolle spielt der Betrag eines Vektors bei dieser Darstellung?

1. Berechnung des Betrags von \(\vec{v}\): \(|\vec{v}| = \sqrt{(-4)^2 + 7^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 49 + 16} = \sqrt{81} = 9\). 2. Bestimmung des Einheitsvektors \(\vec{u}\) durch Normierung: \(\vec{u} = \frac{1}{|\vec{v}|} \cdot \vec{v} = \frac{1}{9} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{4}{9} \\ \frac{7}{9} \\ \frac{4}{9} \end{pmatrix}\). 3. Darstellung als Vielfaches: \(\vec{v} = 9 \cdot \begin{pmatrix} -\frac{4}{9} \\ \frac{7}{9} \\ \frac{4}{9} \end{pmatrix}\).

\(\vec{v} = 9 \cdot \begin{pmatrix} -\frac{4}{9} \\ \frac{7}{9} \\ \frac{4}{9} \end{pmatrix}\)

- Wo genau befindet sich die Spitze einer geraden Pyramide im Verhältnis zur Grundfläche? - In welcher Ebene liegen die Punkte der Grundfläche? Was sagt das über die Richtung der Höhe aus? - Wie lässt sich der Mittelpunkt eines Quadrats aus seinen Eckpunkten berechnen? - Wie hängen der Mittelpunkt, die Höhe und die Spitze der Pyramide zusammen? - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Vektor von einer Ecke zur Spitze und der gegebenen Kantenlänge?

1. Da die Grundfläche in der Ebene \(z=2\) liegt, wird der Mittelpunkt \(M\) der quadratischen Grundfläche durch Mittelwertbildung der gegenüberliegenden Eckpunkte \(A\) und \(C\) bestimmt: \(M\left(\frac{1+7}{2} \big| \frac{1+7}{2} \big| 2\right) = (4|4|2)\). 2. Bei einer geraden Pyramide liegt die Spitze \(S\) senkrecht über dem Mittelpunkt \(M\). Da die Grundfläche parallel zur \(xy\)-Ebene verläuft, hat die Spitze die Form \(S(4|4|2+h)\). 3. Der Vektor \(\vec{AS}\) lautet somit \(\vec{AS} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 4-1 \\ (2+h)-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ h \end{pmatrix}\). 4. Die Bedingung für die Kantenlänge lautet \(|\vec{AS}|^2 = 3^2 + 3^2 + h^2 = 43\). 5. Dies führt zu \(18 + h^2 = 43\), also \(h^2 = 25\), woraus \(h_1 = 5\) und \(h_2 = -5\) folgen. 6. Die Koordinaten der Spitze sind somit \(S_1(4|4|7)\) und \(S_2(4|4|-3)\).

\(S_1(4|4|7)\) und \(S_2(4|4|-3)\)

- Wie berechnet man die Länge eines Vektors aus seinen Komponenten? - Wenn zwei Vektoren die gleiche Länge haben sollen, was muss dann für ihre Betragsquadrate gelten? - Achte auf die Bedingung für den gesuchten Wert von \(z\).

1. Berechnung des Betrags von \(\vec{a}\): \(|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7\). 2. Aufstellen der Gleichung für den Betrag von \(\vec{b}\): \(|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + z^2} = \sqrt{36 + 9 + z^2} = \sqrt{45 + z^2}\). 3. Gleichsetzen der Beträge: \(\sqrt{45 + z^2} = 7\). 4. Quadrieren beider Seiten führt zu \(45 + z^2 = 49\). 5. Auflösen nach \(z\): \(z^2 = 4 \implies z = 2\) oder \(z = -2\). Da \(z \in \mathbb{R}^+\) gefordert ist, ist das Ergebnis \(z = 2\).

a) \(|\vec{a}| = 7\) b) \(z = 2\)

- Welche besondere Eigenschaft haben die Koordinaten eines Punktes, der direkt auf der \(y\)-Achse liegt? - Wie berechnet man allgemein den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der nur noch eine Koordinate unbekannt ist? - Denke daran, dass eine quadratische Gleichung beim Lösen oft zwei mögliche Ergebnisse liefert.

1. Ein allgemeiner Punkt auf der \(y\)-Achse hat die Form \(P(0|y|0)\). 2. Die Abstandsformel zwischen \(A\) und \(P\) liefert die Gleichung \(\sqrt{(0-1)^2 + (y-3)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{26}\). 3. Durch Quadrieren beider Seiten ergibt sich \(1 + (y-3)^2 + 16 = 26\). 4. Zusammenfassen der konstanten Terme führt zu \(17 + (y-3)^2 = 26\), woraus \((y-3)^2 = 9\) folgt. 5. Das Ziehen der Wurzel ergibt zwei Fälle: \(y-3 = 3\) oder \(y-3 = -3\). 6. Daraus folgen die Lösungen \(y_1 = 6\) und \(y_2 = 0\).

Die gesuchten Punkte sind \(P_1(0|6|0)\) und \(P_2(0|0|0)\).

- Wann sind in einem Dreieck alle drei Seiten gleich lang? - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum mit ihren Koordinaten? - Überlege dir, wie groß das Quadrat der Seitenlängen sein muss. - Gibt es Symmetrien in den Koordinaten, die dir die Arbeit erleichtern?

1. Berechnung der Seitenlänge \(c = |\vec{OA}|\): Da \(O(0|0|0)\) und \(A(6|0|0)\), gilt \(|\vec{OA}| = \sqrt{6^2 + 0^2 + 0^2} = 6\). 2. Aufstellen der Bedingung für die Gleichseitigkeit: Es muss \(|\vec{OB}| = 6\) und \(|\vec{AB}| = 6\) gelten. 3. Berechnung von \(|\vec{OB}|^2\): \(|\vec{OB}|^2 = 3^2 + 3^2 + z^2 = 18 + z^2\). 4. Gleichsetzen mit \(6^2\): \(18 + z^2 = 36\). Daraus folgt \(z^2 = 18\). 5. Lösen nach \(z\): \(z = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) oder \(z = -\sqrt{18} = -3\sqrt{2}\). 6. Überprüfung von \(|\vec{AB}|\): \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3-6 \\ 3-0 \\ z-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ z \end{pmatrix}\). Es gilt \(|\vec{AB}|^2 = (-3)^2 + 3^2 + z^2 = 18 + z^2\). Da dieser Ausdruck identisch mit \(|\vec{OB}|^2\) ist, sind für \(z^2 = 18\) alle Seiten gleich lang.

\(z = 3\sqrt{2}\) oder \(z = -3\sqrt{2}\)

- Wie zeigt man mit Vektoren, dass zwei Geradenabschnitte parallel zueinander verlaufen? - Was muss für die Längen der gegenüberliegenden Seiten gelten, damit es ein Trapez, aber eben kein Parallelogramm ist? - Welche Seiten musst du vergleichen, um zu zeigen, dass ein Trapez gleichschenklig ist? - Erinnere dich an die Formel zur Berechnung des Betrags eines Vektors im Raum.

1. Prüfung auf Parallelität: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 1-1 \\ 7-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{AB} = 2 \cdot \vec{DC}\), sind die Seiten \(AB\) und \(DC\) parallel. Das Viereck ist ein Trapez. 2. Ausschluss eines Parallelogramms: Da \(\vec{AB} \neq \vec{DC}\) (die Längen \(4\) und \(2\) sind verschieden), ist es kein Parallelogramm. 3. Prüfung auf Gleichschenkligkeit: Berechnung der Längen der nicht-parallelen Seiten: \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \Rightarrow |\vec{AD}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3\). \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 5-6 \\ 1-(-1) \\ 7-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \Rightarrow |\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = 3\). Da die Schenkel gleich lang sind (\(3=3\)), ist das Trapez gleichschenklig.

Das Viereck ist ein Trapez, da \(\vec{AB} \parallel \vec{DC}\) gilt (\(\vec{AB} = 2 \cdot \vec{DC}\)). Es ist kein Parallelogramm, da die parallelen Seiten ungleich lang sind (\(4 \neq 2\)). Da die Längen der Schenkel \(|\vec{AD}| = 3\) und \(|\vec{BC}| = 3\) übereinstimmen, ist das Trapez gleichschenklig.

- Wie berechnet man die Länge eines Vektors aus seinen Koordinaten? - Wann sind zwei Vektoren orthogonal zueinander? - Welche Eigenschaft müssen die Seitenlängen in einem gleichschenkligen bzw. gleichseitigen Dreieck erfüllen? - Kannst du die Bedingung für den rechten Winkel als Skalarprodukt formulieren?

1. Berechnung der Seitenlängen \(|\vec{AC_k}|\) und \(|\vec{BC_k}|\): \(\vec{AC_k} = \begin{pmatrix} k-2 \\ 0 \\ k \end{pmatrix} \implies |\vec{AC_k}|^2 = (k-2)^2 + k^2 = 2k^2 - 4k + 4\) \(\vec{BC_k} = \begin{pmatrix} k \\ 0 \\ k-2 \end{pmatrix} \implies |\vec{BC_k}|^2 = k^2 + (k-2)^2 = 2k^2 - 4k + 4\) Da \(|\vec{AC_k}| = |\vec{BC_k}|\) für alle \(k \in \mathbb{R}\), ist das Dreieck stets gleichschenklig mit Basis \([AB]\). 2. Bedingung für rechten Winkel bei \(C_k\): \(\vec{C_kA} \cdot \vec{C_kB} = 0\) \(\begin{pmatrix} 2-k \\ 0 \\ -k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -k \\ 0 \\ 2-k \end{pmatrix} = (2-k)(-k) + (-k)(2-k) = 2k^2 - 4k = 0\) Lösungen: \(k_1 = 0\) und \(k_2 = 2\). 3. Bedingung für Gleichseitigkeit: \(|\vec{AC_k}|^2 = |\vec{AB}|^2\) \(|\vec{AB}|^2 = (-2)^2 + 0^2 + 2^2 = 8\) \(2k^2 - 4k + 4 = 8 \iff k^2 - 2k - 2 = 0\) Lösungen mittels \(pq\)-Formel: \(k = 1 \pm \sqrt{3}\).

a) Nachweis über \(|\vec{AC_k}| = \sqrt{2k^2-4k+4} = |\vec{BC_k}|\). b) \(k_1 = 0\); \(k_2 = 2\) c) \(k_1 = 1 - \sqrt{3}\); \(k_2 = 1 + \sqrt{3}\)

- Erinnere dich an die Definition einer Raute im Vergleich zu einem allgemeinen Parallelogramm. - Wie bestimmt man die Länge (den Betrag) eines Vektors im dreidimensionalen Koordinatensystem? - Welche Vektoren musst du vergleichen, um zu zeigen, dass alle Seiten gleich lang und parallel sind? - Wie berechnet man den Umfang einer Figur, wenn die Seitenlängen bekannt sind?

1. Berechnung der Vektoren: \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 2-1 \\ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{PS} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ 3-1 \\ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der Längen: \(|\vec{PQ}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3\). \(|\vec{PS}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3\). 3. Nachweis der Rautenform: Zuerst Prüfung auf Parallelogramm: \(\vec{SR} = \begin{pmatrix} 4-2 \\ 4-3 \\ 5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{PQ} = \vec{SR}\), ist es ein Parallelogramm. Da zudem die benachbarten Seiten gleich lang sind (\(|\vec{PQ}| = |\vec{PS}| = 3\)), ist es eine Raute. 4. Umfangsberechnung: Da alle vier Seiten gleich lang sind, gilt \(U = 4 \cdot 3 = 12\).

a) \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(|\vec{PQ}| = 3\); \(\vec{PS} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(|\vec{PS}| = 3\). b) Das Viereck ist ein Parallelogramm (\(\vec{PQ} = \vec{SR} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)) mit gleich langen benachbarten Seiten (\(3 = 3\)), also eine Raute. c) Der Umfang beträgt \(12\) Längeneinheiten.

- Wenn ein Vektor in einer Ebene „flach“ liegt, trägt er nicht zur Höhe bei. Was bedeutet das für seine Komponenten? - Überlege dir, welche Koordinaten null sein müssen, wenn ein Vektor nur nach „oben“ oder „unten“ zeigt. - Die Formel für die Länge eines Vektors im Raum ist eine Erweiterung des Satzes von Pythagoras auf drei Dimensionen. - Vektoren werden komponentenweise addiert.

1. Die Einbettung in die \(x_1x_2\)-Ebene bedeutet, dass die \(x_3\)-Komponente \(0\) ist. Die Länge berechnet sich im Raum über \(\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + 0^2}\), was identisch mit der Länge in der Ebene \(\sqrt{u_1^2 + u_2^2}\) ist. Die Länge bleibt also \(8\). 2. Ein Vektor senkrecht zur \(x_1x_2\)-Ebene verläuft parallel zur \(x_3\)-Achse. Seine \(x_1\)- und \(x_2\)-Komponenten sind \(0\). Bei einer Länge von \(6\) ist eine mögliche Darstellung \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}\) (oder \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix}\)). 3. Der Summenvektor ist \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 3+0 \\ 4+0 \\ 0+12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 12 \end{pmatrix}\). Die Länge berechnet sich nach dem Satz des Pythagoras im Raum: \(|\vec{s}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\).

1. Die dritte Komponente ist \(0\); die Länge bleibt \(8\), da \(x_3 = 0\) den Wert unter der Wurzel nicht verändert. 2. \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}\) (oder \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix}\)) 3. \(|\vec{s}| = 13\)

- Bestimme zuerst den Betrag des Vergleichsvektors. - Achte bei \(\vec{v}_2\) darauf, dass die Komponenten bereits unter einer Wurzel stehen. - Wie berechnest du das Quadrat von \(2\sqrt{3}\)? - Prüfe sorgfältig, ob die Summe der Quadrate exakt \(169\) ergibt.

1. Zuerst wird die Referenzlänge von \(\vec{u}\) bestimmt: \(|\vec{u}| = \sqrt{12^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{144 + 16 + 9} = \sqrt{169} = 13\). 2. Nun werden die Längen der anderen Vektoren berechnet: \(|\vec{v}_1| = \sqrt{0^2 + 13^2 + 0^2} = 13\) \(|\vec{v}_2| = \sqrt{100 + 50 + 19} = \sqrt{169} = 13\) \(|\vec{v}_3| = \sqrt{1^2 + 12^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 144 + 12} = \sqrt{157} \neq 13\) \(|\vec{v}_4| = \sqrt{5^2 + 12^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\) \(|\vec{v}_5| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\) \(|\vec{v}_6| = \sqrt{8^2 + 8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 64 + 16} = \sqrt{144} = 12 \neq 13\) Somit haben \(\vec{v}_1\), \(\vec{v}_2\), \(\vec{v}_4\) und \(\vec{v}_5\) dieselbe Länge wie \(\vec{u}\).

Die Vektoren \(\vec{v}_1\), \(\vec{v}_2\), \(\vec{v}_4\) und \(\vec{v}_5\) haben dieselbe Länge wie \(\vec{u}\) (nämlich \(13\)).

- Wie hängen der Parameter \(t\), der Richtungsvektor und der Abstand vom Startpunkt zusammen? - Berechne zuerst, wie lang der Richtungsvektor der Geraden ist. - Wie oft passt diese Länge in den gesuchten Gesamtabstand? - Vergiss nicht, dass man sich auf der Geraden in zwei Richtungen vom Startpunkt entfernen kann.

1. Der Abstand eines Punktes auf der Geraden zum Startpunkt \(S\) entspricht der Länge des Vektors \(t \cdot \vec{u}\), wobei \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -4 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix}\) der Richtungsvektor ist. 2. Berechnung der Länge des Richtungsvektors: \(|\vec{u}| = \sqrt{(-4)^2 + 7^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 49 + 16} = \sqrt{81} = 9\). 3. Bestimmung des Parameters \(t\): Aus \(|t \cdot \vec{u}| = |t| \cdot 9 = 27\) folgt \(|t| = 3\), also \(t_1 = 3\) und \(t_2 = -3\). 4. Berechnung der Punktkoordinaten durch Einsetzen von \(t\) in die Geradengleichung: Für \(t = 3\): \(\vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 \\ 25 \\ 10 \end{pmatrix}\). Für \(t = -3\): \(\vec{x}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} - 3 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 \\ -17 \\ -14 \end{pmatrix}\).

Die Punkte sind \(P_1(-11|25|10)\) und \(P_2(13|-17|-14)\).

- Wie kannst du den fehlenden Punkt \(C\) mithilfe der Vektoraddition finden? - Wie berechnet man den Betrag eines Vektors im Raum, und wie sieht dann sein Quadrat aus? - Denke daran, dass gegenüberliegende Seiten in einem Parallelogramm gleich lang sind. - Welche Punkte musst du verbinden, um die Diagonalen zu erhalten?

1. Berechnung von Punkt \(C\): Da \(\vec{BC} = \vec{AD}\), gilt \(\vec{OC} = \vec{OB} + \vec{AD} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}\). Also \(C(6|5|2)\). 2. Quadrate der Diagonalenlängen: \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \Rightarrow e^2 = 5^2 + 4^2 + 1^2 = 42\). \(\vec{BD} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \Rightarrow f^2 = (-3)^2 + 2^2 + 3^2 = 22\). Die Summe ist \(42 + 22 = 64\). 3. Quadrate der Seitenlängen: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \Rightarrow |\vec{AB}|^2 = 4^2 + 1^2 + (-1)^2 = 18\). \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \Rightarrow |\vec{AD}|^2 = 1^2 + 3^2 + 2^2 = 14\). 4. Summe der Quadrate aller vier Seiten: \(2 \cdot (18 + 14) = 64\). 5. Vergleich: Beide Summen ergeben \(64\), was die Parallelogrammgleichung für dieses Beispiel verifiziert.

a) \(C(6|5|2)\) b) \(e^2 = 42\) und \(f^2 = 22\). c) Die Summe der Quadrate der Diagonalen ist \(64\). Die Summe der Quadrate aller vier Seitenlängen (\(2 \cdot 18 + 2 \cdot 14\)) ist ebenfalls \(64\). Die Ergebnisse sind identisch.

- Überlege zuerst, in welcher besonderen Lage im Koordinatensystem die Grundfläche der Pyramide liegt. - Eine gerade Pyramide zeichnet sich dadurch aus, dass das Lot von der Spitze auf die Grundfläche genau im Mittelpunkt der Grundfläche eintrifft. - Wie berechnet man die Länge eines Vektors im Raum? - Denke daran, dass es bei solchen Aufgaben oft zwei symmetrische Lösungen für die Spitze geben kann.

1. Alle Eckpunkte der Grundfläche haben die \(x\)-Koordinate \(5\), somit liegt die Grundfläche in der Ebene \(x=5\). 2. Der Mittelpunkt \(M\) der Grundfläche berechnet sich als \(M\left(5 \big| \frac{0+4}{2} \big| \frac{0+4}{2}\right) = (5|2|2)\). 3. Da die Pyramide gerade ist, muss die Spitze \(S\) auf der Normalen zur Grundfläche durch \(M\) liegen. Diese verläuft parallel zur \(x\)-Achse: \(S(5+h|2|2)\). 4. Der Verbindungsvektor \(\vec{AS}\) ist \(\vec{AS} = \begin{pmatrix} h \\ 2-0 \\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} h \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 5. Aus der Kantenlänge folgt \(|\vec{AS}|^2 = h^2 + 2^2 + 2^2 = 6^2 = 36\). 6. Die Gleichung \(h^2 + 8 = 36\) liefert \(h^2 = 28\), also \(h = \pm \sqrt{28} = \pm 2\sqrt{7}\). 7. Die möglichen Koordinaten für die Spitze sind \(S_1(5+2\sqrt{7}|2|2)\) und \(S_2(5-2\sqrt{7}|2|2)\).

\(S_1(5+2\sqrt{7}|2|2)\) und \(S_2(5-2\sqrt{7}|2|2)\)

- Überlege dir, welche Seiten in einem gleichschenkligen Dreieck mit der Basis AB gleich lang sein müssen. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum? - Wann sind zwei Vektoren orthogonal zueinander? Welches Rechenwerkzeug hilft dir dabei? - Erinnere dich an die Flächenformel für Dreiecke. Welche Strecke im Dreieck entspricht hier der Höhe?

1. Berechnung der Längenquadrate der Schenkel: \(\vec{AC_t} = \begin{pmatrix} 1+2t \\ 2-2t \\ 2+t \end{pmatrix}\) und \(\vec{BC_t} = \begin{pmatrix} -1+2t \\ -2-2t \\ -2+t \end{pmatrix}\). Die Quadrate sind \(|\vec{AC_t}|^2 = (1+2t)^2 + (2-2t)^2 + (2+t)^2 = 9t^2 + 9\) und \(|\vec{BC_t}|^2 = (-1+2t)^2 + (-2-2t)^2 + (-2+t)^2 = 9t^2 + 9\). Da die Längen gleich sind, ist das Dreieck für alle \(t \neq 0\) gleichschenklig. Für \(t=0\) gilt \(C_0=M\), sodass kein Dreieck entsteht. 2. Für ein gleichseitiges Dreieck muss \(|\vec{AC_t}|^2 = |\vec{AB}|^2\) gelten. Mit \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\) folgt \(|\vec{AB}|^2 = 2^2 + 4^2 + 4^2 = 36\). Die Gleichung \(9t^2 + 9 = 36\) führt zu \(9t^2 = 27\), also \(t^2 = 3\) und somit \(t_{1;2} = \pm \sqrt{3}\). 3. Der Mittelpunkt von \(AB\) ist \(M\left(\frac{2+4}{2} | \frac{1+5}{2} | \frac{-1+3}{2}\right) = (3|3|1)\). Der Verbindungsvektor ist \(\vec{MC_t} = \begin{pmatrix} 2t \\ -2t \\ t \end{pmatrix}\). Das Skalarprodukt ergibt \(\vec{MC_t} \cdot \vec{AB} = 2t \cdot 2 + (-2t) \cdot 4 + t \cdot 4 = 4t - 8t + 4t = 0\), womit die Orthogonalität bewiesen ist. 4. Die Höhe des Dreiecks ist \(h_c = |\vec{MC_t}| = \sqrt{(2t)^2 + (-2t)^2 + t^2} = \sqrt{9t^2} = 3|t|\). Mit der Grundseite \(g = |\vec{AB}| = 6\) gilt für den Flächeninhalt \(A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3|t| = 9|t|\). Aus \(9|t| = 18\) folgt \(|t| = 2\), also \(t_{1;2} = \pm 2\).

a) Für \(t \neq 0\) gilt \(|\vec{AC_t}| = |\vec{BC_t}| = \sqrt{9t^2+9}\); daher ist das Dreieck gleichschenklig. Für \(t=0\) entsteht kein Dreieck. b) \(t = \pm \sqrt{3}\) c) \(M(3|3|1)\); Nachweis über \(\vec{MC_t} \cdot \vec{AB} = 0\) d) \(t = \pm 2\)

- Nutze die Koordinaten der Punkte, um die Vektoren der Seiten aufzustellen. - Was bedeutet es für die Winkel in einem gleichschenkligen Dreieck, wenn es rechtwinklig ist? Wo kann der rechte Winkel liegen? - Wie prüft man mit Vektoren, ob drei Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen? - Beachte bei der letzten Teilaufgabe die Bedingung für das Vorzeichen von \(k\).

1. Berechnung der Seitenlängen: \(\vec{PS_k} = \begin{pmatrix} k+1 \\ 1-2k \\ k+1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{QS_k} = \begin{pmatrix} k-1 \\ -1-2k \\ k-1 \end{pmatrix}\). Die Quadrate der Längen sind \(|\vec{PS_k}|^2 = 2(k+1)^2 + (1-2k)^2 = 6k^2+3\) und \(|\vec{QS_k}|^2 = 2(k-1)^2 + (-1-2k)^2 = 6k^2+3\). Somit sind die Längen für alle \(k\) identisch. 2. Da das Dreieck gleichschenklig mit Basis \(PQ\) ist, kann ein rechter Winkel nur bei \(S_k\) oder gleichzeitig bei \(P\) und \(Q\) liegen (was unmöglich ist). Für einen rechten Winkel bei \(S_k\) muss \(\vec{S_k P} \cdot \vec{S_k Q} = 0\) gelten: \(-(k+1) \cdot (1-k) + (2k-1) \cdot (2k+1) + -(k+1) \cdot (1-k) = (k^2-1) + (4k^2-1) + (k^2-1) = 6k^2-3\). Aus \(6k^2-3=0\) folgt \(k = \pm \sqrt{0{,}5}\). 3. Ein Punkt liegt auf der Strecke \(PQ\), wenn er die Form \(\vec{P} + r \cdot \vec{PQ}\) mit \(0 \le r \le 1\) hat. Mit \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) führt das Gleichungssystem \(2+k = 1+2r\), \(1-2k = 2r\) und \(2+k = 1+2r\) zur Lösung \(r=0{,}5\) und \(k=0\). Da \(r=0{,}5\) im Intervall liegt, ist \(S_0\) der Mittelpunkt der Strecke \(PQ\). 4. Gesucht ist \(k>0\) mit \(\sqrt{6k^2+3} = \sqrt{21}\). Quadrieren ergibt \(6k^2+3 = 21\), also \(6k^2 = 18\), woraus \(k^2 = 3\) und wegen \(k>0\) schließlich \(k = \sqrt{3}\) folgt.

a) Nachweis über \(|\vec{PS_k}| = |\vec{QS_k}| = \sqrt{6k^2+3}\) b) \(k = \pm \sqrt{0{,}5}\); der rechte Winkel liegt am Eckpunkt \(S_k\) c) Ja, für \(k=0\) (entspricht dem Mittelpunkt von \(PQ\)) d) \(k = \sqrt{3}\)

- Stelle die Diagonalen als Summe bzw. Differenz der Seitenvektoren dar. - Nutze die Eigenschaft \(|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}\). - Was passiert mit dem gemischten Term des Skalarprodukts, wenn du die beiden quadrierten Summen addierst? - Überlege für Teil b), was die Definition einer Raute für die Längen der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) bedeutet.

1. Definition der Diagonalenvektoren: \(\vec{e} = \vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}\) und \(\vec{f} = \vec{BD} = \vec{b} - \vec{a}\). 2. Quadrate der Längen als Skalarprodukte ausdrücken: \(|\vec{e}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})\) und \(|\vec{f}|^2 = (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a})\). 3. Anwendung des Distributivgesetzes (binomische Formeln): \(|\vec{e}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2\) und \(|\vec{f}|^2 = |\vec{b}|^2 - 2 \cdot \vec{b} \cdot \vec{a} + |\vec{a}|^2\). 4. Addition der beiden Ausdrücke: \(|\vec{e}|^2 + |\vec{f}|^2 = (|\vec{a}|^2 + 2 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2) + (|\vec{b}|^2 - 2 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2)\). 5. Zusammenfassen: Die Terme \(2 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b}\) heben sich gegenseitig auf, es bleibt \(2 \cdot |\vec{a}|^2 + 2 \cdot |\vec{b}|^2 = 2 \cdot (|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2)\). 6. Spezialfall Raute: In einer Raute gilt \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = s\). Einsetzen in die Formel ergibt \(|\vec{AC}|^2 + |\vec{BD}|^2 = 2 \cdot (s^2 + s^2) = 4 \cdot s^2\).

a) Die Addition der quadrierten Diagonalenlängen \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{b} - \vec{a}|^2\) liefert nach dem Ausmultiplizieren \(|\vec{a}|^2 + 2 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}|^2 = 2 \cdot |\vec{a}|^2 + 2 \cdot |\vec{b}|^2\). b) Für eine Raute mit Seitenlänge \(s\) vereinfacht sich die Gleichung zu \(|\vec{AC}|^2 + |\vec{BD}|^2 = 4 \cdot s^2\).

- Wie hängen die Vektoren \(\vec{MB}\) und \(\vec{MC}\) zusammen, wenn \(M\) genau in der Mitte liegt? - Nutze die Identität \(|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}\), um die Längenquadrate zu berechnen. - Welche Terme heben sich bei der Addition der beiden quadrierten Ausdrücke gegenseitig auf? - Erinnere dich an die binomischen Formeln für Vektoren.

1. Definition der Teilvektoren: Da \(M\) die Mitte von \(BC\) ist, gilt \(\vec{MC} = -\vec{MB}\). Setze \(\vec{m} = \vec{AM}\) und \(\vec{x} = \vec{MB}\). 2. Darstellung der Seitenvektoren: \(\vec{AB} = \vec{m} + \vec{x}\) und \(\vec{AC} = \vec{m} - \vec{x}\). 3. Berechnung der Quadrate der Beträge mittels Skalarprodukt: \(|\vec{AB}|^2 = |\vec{m} + \vec{x}|^2 = |\vec{m}|^2 + 2 \cdot (\vec{m} \cdot \vec{x}) + |\vec{x}|^2\) sowie \(|\vec{AC}|^2 = |\vec{m} - \vec{x}|^2 = |\vec{m}|^2 - 2 \cdot (\vec{m} \cdot \vec{x}) + |\vec{x}|^2\). 4. Addition der beiden Gleichungen: \(|\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 = (|\vec{m}|^2 + 2 \cdot (\vec{m} \cdot \vec{x}) + |\vec{x}|^2) + (|\vec{m}|^2 - 2 \cdot (\vec{m} \cdot \vec{x}) + |\vec{x}|^2) = 2 \cdot |\vec{m}|^2 + 2 \cdot |\vec{x}|^2\). 5. Rückführung auf die ursprünglichen Bezeichnungen: Da \(|\vec{m}|^2 = |\vec{AM}|^2\) und \(|\vec{x}|^2 = |\vec{BM}|^2\), folgt die Behauptung \(2 \cdot (|\vec{AM}|^2 + |\vec{BM}|^2)\).

Der Beweis erfolgt durch Einsetzen der Vektorsummen in das Skalarprodukt: \(|\vec{AM} + \vec{MB}|^2 + |\vec{AM} - \vec{MB}|^2 = (|\vec{AM}|^2 + 2 \cdot (\vec{AM} \cdot \vec{MB}) + |\vec{MB}|^2) + (|\vec{AM}|^2 - 2 \cdot (\vec{AM} \cdot \vec{MB}) + |\vec{MB}|^2) = 2 \cdot |\vec{AM}|^2 + 2 \cdot |\vec{MB}|^2\). Dies entspricht der zu beweisenden Gleichung \(2 \cdot (|\vec{AM}|^2 + |\vec{BM}|^2)\).

- Behandle den Parameter \(k\) beim Aufstellen des Vektors wie eine normale Zahl. - Die Formel für den Betrag eines Vektors führt hier auf eine Gleichung, in der \(k\) vorkommt. - Wenn du eine Wurzelgleichung löst, denke daran, dass beim Quadrieren oder beim Ziehen der Wurzel aus einem Quadrat zwei Lösungen entstehen können.

1. Aufstellen des Vektors durch Subtraktion der Ortsvektoren: \(\vec{PQ_k} = \vec{Q_k} - \vec{P} = \begin{pmatrix} k-3 \\ 6-2 \\ 3-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k-3 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Einsetzen von \(k=3\): \(\vec{PQ_3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). Der Betrag ist \(|\vec{PQ_3}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{32} \approx 5{,}66\). 3. Ansatz für die Länge 6: \(\sqrt{(k-3)^2 + 4^2 + 4^2} = 6\). 4. Quadrieren der Gleichung: \((k-3)^2 + 16 + 16 = 36\), also \((k-3)^2 + 32 = 36\). 5. Umformen zu \((k-3)^2 = 4\). 6. Ziehen der Wurzel führt zu zwei Fällen: \(k-3 = 2 \implies k = 5\) und \(k-3 = -2 \implies k = 1\).

a) \(\vec{PQ_k} = \begin{pmatrix} k-3 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\) b) \(|\vec{PQ_3}| = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66\) c) \(k_1 = 1\) und \(k_2 = 5\)

- Ein Drachenviereck zeichnet sich dadurch aus, dass jeweils zwei benachbarte Seiten gleich lang sind. - Wann wird aus einem Drachenviereck eine Raute? - Überlege, was passiert, wenn ein Eckpunkt auf der Verbindungsstrecke zweier anderer Eckpunkte liegt. - Reicht es für ein Quadrat aus, wenn alle Seiten gleich lang sind?

1. Nachweis des Drachenvierecks: Es muss gezeigt werden, dass zwei Paare benachbarter Seiten gleich lang sind. Es gilt \(|\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{45}\) und \(|\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + 5^2 + 2^2} = \sqrt{45}\), also \(AB = BC\). Für die anderen Seiten gilt \(|\vec{AD}|^2 = (k+2)^2 + (2k+1)^2 + (2k-2)^2 = 9k^2 + 9\) und \(|\vec{CD}|^2 = (k-2)^2 + (2k-1)^2 + (2k+2)^2 = 9k^2 + 9\), also \(AD = CD\). Somit liegt ein Drachenviereck vor. 2. Raute: Eine Raute liegt vor, wenn alle Seiten gleich lang sind, also \(|\vec{AB}|^2 = |\vec{AD}|^2\). Dies führt zu \(45 = 9k^2 + 9 \iff 9k^2 = 36 \iff k^2 = 4\). Da \(k = -2\) ausgeschlossen ist, bleibt \(k = 2\). 3. Ausschlusswerte: Für \(k = -2\) ergibt sich \(D(1|-1|-1)\), was dem Punkt \(B\) entspricht; das Viereck entartet zum Dreieck (bzw. einer Strecke). Für \(k = 0\) ergibt sich \(D(3|3|3)\). Dieser Punkt liegt auf der Strecke \(AC\), da er genau der Mittelpunkt von \(AC\) ist (\(\frac{1+5}{2}=3\), \(\frac{2+4}{2}=3\), \(\frac{5+1}{2}=3\)), wodurch kein echtes Viereck entsteht. 4. Quadrat: Ein Quadrat ist eine Raute mit einem rechten Winkel bei \(B\). Das Skalarprodukt \(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} = 0 + 15 + 12 = 27 \neq 0\). Da der Winkel bei \(B\) unabhängig von \(k\) nicht \(90^\circ\) beträgt, kann das Viereck nie ein Quadrat sein.

a) Nachweis über \(AB = BC = \sqrt{45}\) und \(AD = CD = 3\sqrt{k^2+1}\). b) \(k = 2\) c) Bei \(k = -2\) ist \(D = B\). Bei \(k = 0\) liegt \(D\) auf der Diagonalen \(AC\) (Mittelpunkt). d) Nein, da der Winkel bei \(B\) nicht \(90^\circ\) ist (\(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 27 \neq 0\)).