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- Welche Rechengröße eignet sich für einen direkten Orthogonalitätstest? - Berechne sie komponentenweise. - Welche besondere Zahl muss als Ergebnis auftreten, wenn die Vektoren senkrecht stehen?

1. Das Skalarprodukt ist \(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot2+2\cdot(-1)+0\cdot0=0\). 2. Da das Skalarprodukt null ist und beide Vektoren von \(\vec{0}\) verschieden sind, stehen sie senkrecht aufeinander.

Ja. Es gilt \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\), also \(\vec{a}\perp\vec{b}\).

- Übersetze die Orthogonalitätsforderung in eine Skalarproduktgleichung. - Setze die Komponenten beider Vektoren ein. - Löse die entstehende lineare Gleichung nach dem Parameter auf.

1. Für orthogonale Vektoren muss \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\) gelten. 2. Es ist \(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot s+2\cdot1+0\cdot0=s+2\). 3. Aus \(s+2=0\) folgt \(s=-2\).

\(s=-2\)

- Welche zwei Seitenvektoren gehen vom Eckpunkt \(P\) aus? - Welche Skalarproduktbedingung kennzeichnet zwei orthogonale Vektoren? - Sobald du einen rechten Winkel nachgewiesen hast, ist keine Prüfung der beiden anderen Ecken mehr nötig.

1. Für den Winkel bei \(P\) verwenden wir \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{PR}=\begin{pmatrix}-3\\2\\3\end{pmatrix}\). 2. Es gilt \(\vec{PQ}\cdot\vec{PR}=2\cdot(-3)+3\cdot2+0\cdot3=0\). 3. Daher stehen \(\vec{PQ}\) und \(\vec{PR}\) senkrecht aufeinander. Das Dreieck besitzt bei \(P\) einen rechten Winkel.

Das Dreieck ist bei \(P\) rechtwinklig, da \(\vec{PQ}\cdot\vec{PR}=0\).

- Welche Vektoren schließen den Winkel an der Ecke \(D\) ein? - Wie hängen die Orthogonalität zweier Vektoren und ihr Skalarprodukt zusammen? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Unbekannte \(k\) vorkommt.

1. Aufstellen der Vektoren, die den Winkel im Punkt \(D\) bilden: \(\vec{DE} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ k-2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{DF} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für einen rechten Winkel bei \(D\): Das Skalarprodukt der Vektoren \(\vec{DE}\) und \(\vec{DF}\) muss gleich null sein. 3. Berechnung des Skalarprodukts: \(\vec{DE} \cdot \vec{DF} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (k-2) \cdot (-2) = 2 + 2 - 2k + 4 = 8 - 2k\). 4. Lösen der Gleichung \(8 - 2k = 0\) ergibt \(k = 4\).

Das Dreieck hat für \(k = 4\) einen rechten Winkel bei \(D\).

- Welche beiden Verbindungsvektoren bilden den Winkel bei \(A\)? - Welche Bedingung muss ihr Skalarprodukt für einen rechten Winkel erfüllen? - Achte darauf, dass beide Vektoren am selben Eckpunkt beginnen.

1. Die beiden vom Punkt \(A\) ausgehenden Vektoren sind \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}\) und \(\vec{AD}=\begin{pmatrix}-5\\0\\0\end{pmatrix}\). 2. Das Skalarprodukt ist \(\vec{AB}\cdot\vec{AD}=0\cdot(-5)+4\cdot0+3\cdot0=0\). 3. Daher sind die beiden Vektoren orthogonal und die Strecken schließen bei \(A\) einen rechten Winkel ein.

Ja. Es gilt \(\vec{AB}\cdot\vec{AD}=0\), also ist \(\angle BAD=90^\circ\).

- Woran erkennst du mithilfe eines Rechenverfahrens, ob zwei Vektoren einen rechten Winkel einschließen? - Gehe systematisch vor und prüfe nacheinander alle Kombinationen der Vektoren. - Achte beim Rechnen besonders auf die Vorzeichen der einzelnen Koordinaten.

1. Berechnung der Skalarprodukte für alle möglichen Vektorpaare: - \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 2 = 2 + 2 - 4 = 0\) - \(\vec{a} \cdot \vec{c} = 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) + (-2) \cdot 1 = 4 - 2 - 2 = 0\) - \(\vec{a} \cdot \vec{d} = 2 \cdot 0 + 1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-2) = 0 + 4 + 4 = 8 \neq 0\) - \(\vec{b} \cdot \vec{c} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = 2 - 4 + 2 = 0\) - \(\vec{b} \cdot \vec{d} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-2) = 0 + 8 - 4 = 4 \neq 0\) - \(\vec{c} \cdot \vec{d} = 2 \cdot 0 + (-2) \cdot 4 + 1 \cdot (-2) = 0 - 8 - 2 = -10 \neq 0\) 2. Identifikation der orthogonalen Paare: Die Paare mit einem Skalarprodukt von null sind orthogonal. Dies sind \((\vec{a}, \vec{b})\), \((\vec{a}, \vec{c})\) und \((\vec{b}, \vec{c})\).

Die Vektorpaare \((\vec{a}, \vec{b})\), \((\vec{a}, \vec{c})\) und \((\vec{b}, \vec{c})\) sind jeweils orthogonal zueinander.

- Welche mathematische Bedingung muss für das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren gelten? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Variable \(k\) vorkommt. - Welche Art von Gleichung erhältst du nach dem Zusammenfassen der Terme und wie löst man diese?

1. Bedingung für Orthogonalität: Das Skalarprodukt der beiden Vektoren muss null sein: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\). 2. Aufstellen der Gleichung: \(k \cdot k + 5 \cdot (-6) + k \cdot 1 = 0\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(k^2 - 30 + k = 0\), umgeformt \(k^2 + k - 30 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisieren): \((k + 6)(k - 5) = 0\). 5. Bestimmung der Lösungen: \(k_1 = -6\) und \(k_2 = 5\).

Die Vektoren sind für \(k = -6\) und \(k = 5\) orthogonal zueinander.

- Überlege, was das Skalarprodukt über den Winkel zwischen zwei Vektoren aussagt. - Erinnerst du dich an einen speziellen Winkel, bei dem das Ergebnis einer Kosinus-Berechnung null wird? - Versuche, Vektoren zu wählen, die entlang der Koordinatenachsen liegen.

1. Die Regel lässt sich nicht direkt übertragen, da das Skalarprodukt zweier Vektoren auch dann null sein kann, wenn keiner der Vektoren der Nullvektor ist. 2. Beispiel für zwei solche Vektoren: \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 3. Überprüfung des Skalarprodukts: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0\). 4. Da beide Vektoren eine Länge von \(1\) haben (also keine Nullvektoren sind), ist die Bedingung erfüllt. 5. Geometrische Bedingung: Das Skalarprodukt zweier von Null verschiedener Vektoren ist genau dann null, wenn die Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander stehen.

Die Regel ist nicht übertragbar. Ein Gegenbeispiel sind die Vektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), für die \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) gilt, obwohl beide ungleich \(\vec{0}\) sind. Die geometrische Bedingung ist die Orthogonalität (\(\vec{u} \perp \vec{v}\)).

- Welche Skalarproduktbedingung kennzeichnet zwei orthogonale Vektoren? - Setze die Komponenten der beiden Vektoren in diese Bedingung ein. - Löse anschließend die entstehende lineare Gleichung nach \(s\) auf.

1. Für Orthogonalität muss \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\) gelten. 2. Damit ist \(2\cdot3+4s+(-1)\cdot2=0\), also \(4+4s=0\). 3. Daraus folgt \(s=-1\).

\(s=-1\)

- Wann stehen zwei Vektoren im rechten Winkel zueinander? - Wie berechnet man das Skalarprodukt von zwei Vektoren? - Stelle eine Gleichung auf, in der das Skalarprodukt vorkommt.

1. Orthogonalitätsbedingung aufstellen: Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\). 2. Skalarprodukt berechnen: \(2 \cdot (k + 1) + k \cdot 3 + (-4) \cdot 2 = 2k + 2 + 3k - 8 = 5k - 6\). 3. Gleichung lösen: \(5k - 6 = 0\) führt zu \(5k = 6\), also \(k = 1{,}2\). Für \(k = 1{,}2\) sind die Vektoren orthogonal.

\(k = 1{,}2\)

- Wie kannst du die Seiten des Dreiecks als Vektoren darstellen? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir zu prüfen, ob zwei Linien senkrecht aufeinanderstehen? - Es reicht aus, die Winkel an den drei Eckpunkten nacheinander zu prüfen.

1. Verbindungsvektoren berechnen: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 6-2 \\ 1-1 \\ 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 2-2 \\ 4-1 \\ 8-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}\) \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 2-6 \\ 4-1 \\ 8-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}\) 2. Skalarprodukte prüfen: \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \cdot 0 + 0 \cdot 3 + 0 \cdot 5 = 0\). Da das Skalarprodukt von \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) null ist, sind diese Vektoren orthogonal. 3. Schlussfolgerung: Das Dreieck hat einen rechten Winkel im Eckpunkt \(A\). Weitere Prüfungen (\(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = -16\) und \(\vec{AC} \cdot \vec{BC} = 34\)) sind nicht notwendig, da bereits ein rechter Winkel gefunden wurde.

Das Dreieck \(ABC\) besitzt einen rechten Winkel im Eckpunkt \(A\).

- Wann stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander? - Welche Rechenoperation verknüpft die Komponenten der Vektoren, um die Orthogonalität zu prüfen? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Unbekannte vorkommt. - Achte darauf, ob es mehr als eine Lösung für die Gleichung geben könnte.

1. Aufstellen der Bedingung für Orthogonalität: Das Skalarprodukt der beiden Vektoren muss null ergeben, also \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\). 2. Berechnung des Skalarprodukts in Abhängigkeit von \(t\): \(t \cdot t + 2 \cdot (-3) + 1 \cdot 5 = t^2 - 6 + 5 = t^2 - 1\). 3. Lösen der Gleichung \(t^2 - 1 = 0\): Durch Umformen ergibt sich \(t^2 = 1\), woraus die Lösungen \(t_1 = 1\) und \(t_2 = -1\) folgen.

Die Vektoren sind für \(t_1 = 1\) und \(t_2 = -1\) orthogonal zueinander.

- Welche beiden Verbindungsvektoren bilden den Winkel am Punkt \(P\)? - Welche Bedingung erfüllt das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren? - Berechne nur das Skalarprodukt der beiden Vektoren, die tatsächlich am Punkt \(P\) zusammentreffen.

1. Die beiden Vektoren, die den Winkel bei \(P\) bilden, sind \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec{PR}=\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}\). 2. Ihr Skalarprodukt ist \(\vec{PQ}\cdot\vec{PR}=2\cdot(-1)+2\cdot2+1\cdot(-2)=0\). 3. Daher sind \(\vec{PQ}\) und \(\vec{PR}\) orthogonal; der Winkel bei \(P\) ist ein rechter Winkel.

\(\vec{PQ}\cdot\vec{PR}=0\); das Dreieck ist bei \(P\) rechtwinklig.

- Welche beiden Verbindungsvektoren beginnen am Eckpunkt \(E\)? - Wie lässt sich ein rechter Winkel mit dem Skalarprodukt ausdrücken? - Setze die Komponenten ein und löse die entstehende Gleichung nach \(k\) auf.

1. Die beiden Vektoren am Punkt \(E\) sind \(\vec{ED}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\k-1\end{pmatrix}\) und \(\vec{EF}=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}\). 2. Für einen rechten Winkel bei \(E\) muss \(\vec{ED}\cdot\vec{EF}=0\) gelten. 3. Es ist \((-2)\cdot(-2)+(-1)\cdot3+(k-1)\cdot1=k\). Somit folgt \(k=0\).

\(k=0\)

- Bestimme zuerst die Koordinaten der beteiligten Punkte oder stelle die Vektoren direkt auf. - Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit zwei Vektoren im Raum senkrecht aufeinander stehen? - Führe die Rechnung allgemein mit der Kantenlänge \(a\) durch.

1. Bestimmung der Richtungsvektoren: \(\vec{OF} = \begin{pmatrix} a \\ a \\ a \end{pmatrix}\) und \(\vec{EB} = \vec{OB} - \vec{OE} = \begin{pmatrix} a-a \\ a-0 \\ 0-a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ a \\ -a \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Skalarprodukts: \(\vec{OF} \cdot \vec{EB} = a \cdot 0 + a \cdot a + a \cdot (-a)\). 3. Vereinfachung des Terms: \(0 + a^2 - a^2 = 0\). 4. Interpretation: Da das Skalarprodukt für jede Kantenlänge \(a > 0\) den Wert \(0\) ergibt, sind die Richtungsvektoren der Raumdiagonalen \(OF\) und der Flächendiagonalen \(EB\) orthogonal.

Die Richtungsvektoren der Raumdiagonalen \(OF\) und der Flächendiagonalen \(EB\) sind orthogonal, da ihr Skalarprodukt \(\vec{OF} \cdot \vec{EB} = a \cdot 0 + a \cdot a + a \cdot (-a) = 0\) ergibt.

- Lies die Komponenten aller drei Vektoren sorgfältig aus dem Bild ab. - Welcher Skalarproduktwert ist das rechnerische Kriterium für Orthogonalität? - Prüfe beide Kandidaten vollständig; eine optische Winkelabschätzung ist kein Nachweis.

1. Aus dem Bild liest man \(\vec{OA}=\begin{pmatrix}5\\8\end{pmatrix}\), \(\vec{OB}=\begin{pmatrix}8\\-5\end{pmatrix}\) und \(\vec{OC}=\begin{pmatrix}7\\-4\end{pmatrix}\). 2. Es gilt \(\vec{OA}\cdot\vec{OB}=5\cdot8+8\cdot(-5)=40-40=0\). 3. Für den zweiten Kandidaten gilt \(\vec{OA}\cdot\vec{OC}=5\cdot7+8\cdot(-4)=35-32=3\neq0\). 4. Daher ist genau \(\vec{OB}\) orthogonal zu \(\vec{OA}\).

a) \(\vec{OA}\cdot\vec{OB}=0\), \(\vec{OA}\cdot\vec{OC}=3\) b) \(\vec{OB}\) ist orthogonal zu \(\vec{OA}\).

- Nutze die Achsenwerte und nicht den gezeichneten Winkel als Datenquelle. - Welcher Skalarproduktwert kennzeichnet Orthogonalität? - Vergleiche bei c) die Raster-Schrittweiten der beiden Achsen.

1. Aus dem Bild liest man \(\vec{OA}=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{OB}=\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}\). 2. Das Skalarprodukt ist \(\vec{OA}\cdot\vec{OB}=2\cdot2+2\cdot(-2)=4-4=0\). 3. Damit sind \(\vec{OA}\) und \(\vec{OB}\) orthogonal. 4. Wegen der unterschiedlichen Achsenskalierung wird ein mathematischer Einheitsvektor in \(x_1\)-Richtung anders lang dargestellt als in \(x_2\)-Richtung. Dadurch werden Winkel im Bild verzerrt.

a) \(\vec{OA}=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\), \(\vec{OB}=\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}\) b) \(\vec{OA}\cdot\vec{OB}=0\); die Vektoren sind orthogonal. c) Die unterschiedlichen Achsenmaßstäbe verzerren Winkel in der Darstellung.

- Welches Rechenwerkzeug hilft dir zu entscheiden, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinanderstehen? - Um die Form des Dreiecks zu bestimmen, solltest du die Vektoren zwischen den Eckpunkten betrachten. - Reicht es aus, nur ein Skalarprodukt zu prüfen? Überlege, an welchen Ecken ein rechter Winkel vorliegen könnte. - Wie hängen die Längen der Vektoren mit der Eigenschaft „gleichschenklig“ zusammen?

1. Bestimmung der Vektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Prüfung auf Orthogonalität mittels Skalarprodukt: \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \cdot (-2) + 1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-1) = -4 + 2 + 2 = 0\). Da das Skalarprodukt null ist, sind \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) orthogonal; das Dreieck hat bei \(A\) einen rechten Winkel. 3. Prüfung auf Gleichschenkligkeit durch Längenvergleich: \(|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3\) \(|\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3\) \(|\vec{BC}| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24\) 4. Ergebnis: Da \(|\vec{AB}| = |\vec{AC}|\) gilt, ist das Dreieck gleichschenklig.

Das Dreieck ist rechtwinklig mit dem rechten Winkel am Eckpunkt \(A\), da \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0\) gilt. Zudem ist es gleichschenklig, da die Seiten \(AB\) und \(AC\) beide die Länge \(3\) besitzen.

- Vergleiche in a) die Selbstskalarprodukte der beiden Seitenvektoren von \(P\) aus. - Welche Koordinaten sind für einen Punkt auf der \(x_3\)-Achse null? - Für ein gleichseitiges Dreieck müssen die Seiten zu \(P\) dieselbe Länge wie \(AB\) besitzen.

1. Für \(P(0\mid s\mid t)\) gilt \(\vec{PA}=\begin{pmatrix}3\\-s\\-t\end{pmatrix}\) und \(\vec{PB}=\begin{pmatrix}-3\\-s\\-t\end{pmatrix}\). 2. Die Selbstskalarprodukte sind gleich: \(\vec{PA}\cdot\vec{PA}=\vec{PB}\cdot\vec{PB}=9+s^2+t^2\). Daher ist \(|\vec{PA}|=|\vec{PB}|\), und für \(P\neq O\) entsteht ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis \(AB\). 3. Für einen Punkt auf der \(x_3\)-Achse ist \(P(0\mid0\mid t)\). Wegen \(|\vec{AB}|^2=36\) verlangt Gleichseitigkeit \(9+t^2=36\). 4. Damit ist \(t=\pm3\sqrt{3}\). Die gesuchten Punkte sind \(P_1(0\mid0\mid3\sqrt{3})\) und \(P_2(0\mid0\mid-3\sqrt{3})\).

a) \(\vec{PA}\cdot\vec{PA}=\vec{PB}\cdot\vec{PB}=9+s^2+t^2\); daher ist \(|\vec{PA}|=|\vec{PB}|\). b) \(P_1(0\mid0\mid3\sqrt{3})\) und \(P_2(0\mid0\mid-3\sqrt{3})\)

- Vergleiche die beiden Schenkellängen über ihre Selbstskalarprodukte. - Prüfe den Sonderfall \(k=0\) darauf, ob tatsächlich ein Dreieck entsteht. - Für Gleichseitigkeit muss zusätzlich die Basis dieselbe Länge wie die beiden Schenkel besitzen.

1. Es gilt \(\vec{AC_k}=\begin{pmatrix}1+k\\2-k\\-1-k\end{pmatrix}\) und \(\vec{BC_k}=\begin{pmatrix}-1+k\\-2-k\\1-k\end{pmatrix}\). 2. Die Selbstskalarprodukte sind \(\vec{AC_k}\cdot\vec{AC_k}=\vec{BC_k}\cdot\vec{BC_k}=3k^2+6\). Damit ist das Dreieck für \(k\neq0\) gleichschenklig mit Basis \(AB\). 3. Für \(k=0\) ist \(C_0(3\mid3\mid2)\) der Mittelpunkt von \(AB\); die drei Punkte sind kollinear und bilden kein Dreieck. 4. Außerdem ist \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}=24\). Gleichseitigkeit verlangt daher \(3k^2+6=24\), also \(k=\pm\sqrt{6}\).

a) Für \(k\neq0\) ist \(ABC_k\) gleichschenklig mit Basis \(AB\); bei \(k=0\) sind die drei Punkte kollinear. b) \(k=\pm\sqrt{6}\)

- Welche Skalarproduktbedingung beschreibt Orthogonalität? - In Teil b) kannst du die Summe entweder zuerst bilden oder eine Rechenregel des Skalarprodukts nutzen. - Welche Information aus Teil a) vereinfacht das Skalarprodukt in Teil b)?

1. Für Orthogonalität muss \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\) gelten. Damit ist \(2\cdot3+1\cdot(-4)+2s=0\). 2. Aus \(2+2s=0\) folgt \(s=-1\). 3. Mit dem Distributivgesetz gilt \(\vec{u}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{u}\cdot\vec{v}\). 4. Wegen \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\) bleibt \(\vec{u}\cdot\vec{u}=2^2+1^2+(-1)^2=6\).

a) \(s=-1\) b) \(\vec{u}\cdot(\vec{u}+\vec{v})=6\)

- Der gesuchte Vektor muss zwei Orthogonalitätsbedingungen gleichzeitig erfüllen. - Formuliere zu jedem gegebenen Vektor eine Skalarproduktgleichung. - Wie kannst du die beiden entstehenden linearen Gleichungen gemeinsam lösen?

1. Aus \(\vec{n}\cdot\vec{u}=0\) folgt \(2p-q=0\). 2. Aus \(\vec{n}\cdot\vec{v}=0\) folgt \(p+2q-5=0\). 3. Die erste Gleichung liefert \(q=2p\). Eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt sich \(p+4p-5=0\), also \(p=1\). 4. Damit ist \(q=2\).

\(p=1\) und \(q=2\)

- Wie hängen die Länge eines Vektors und das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst zusammen? - Welche Vektoren bilden die Seiten des Parallelogramms und in welcher Beziehung müssen sie für ein Rechteck stehen? - Kannst du die Gleichung für die Diagonalenlängen so umformen, dass du die binomischen Formeln für Vektoren anwenden kannst? - Was bedeutet ein Skalarprodukt von null für die geometrische Anordnung zweier Vektoren?

1. Ansatz über die Quadrate der Längen: Die Bedingung \(|\vec{e}| = |\vec{f}|\) ist äquivalent zu \(|\vec{e}|^2 = |\vec{f}|^2\). 2. Einsetzen der Vektorsummen: \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2\). 3. Anwendung der Rechenregeln für das Skalarprodukt (Distributivgesetz): \(|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2\). 4. Vereinfachung der Gleichung durch Subtraktion von \(|\vec{a}|^2\) und \(|\vec{b}|^2\): \(2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -2(\vec{a} \cdot \vec{b})\). 5. Umformung zur Orthogonalitätsbedingung: \(4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0\), woraus \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) folgt. 6. Geometrische Interpretation: Da das Skalarprodukt der aufspannenden Vektoren null ist, stehen die Seiten des Parallelogramms senkrecht aufeinander, womit es definitionsgemäß ein Rechteck ist.

Die Gleichheit der Diagonalenlängen \(|\vec{e}| = |\vec{f}|\) ist äquivalent zu \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2\). Durch Ausmultiplizieren ergibt sich \(|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2\), was zu \(4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0\) vereinfacht wird. Dies bedeutet \(\vec{a} \perp \vec{b}\), was die Eigenschaft eines Rechtecks ist.

- Welche beiden Verbindungsvektoren treffen sich am Punkt \(C\)? - Übersetze den rechten Winkel in eine Skalarproduktbedingung. - Welche Form hat die entstehende quadratische Gleichung?

1. Die den Winkel bei \(C\) bildenden Vektoren sind \(\vec{CA}=\begin{pmatrix}-s\\-4\\-2\end{pmatrix}\) und \(\vec{CB}=\begin{pmatrix}4-s\\-2\\2\end{pmatrix}\). 2. Wegen des rechten Winkels gilt \(\vec{CA}\cdot\vec{CB}=0\). 3. Damit ist \((-s)(4-s)+(-4)(-2)+(-2)\cdot2=0\), also \(s^2-4s+4=0\). 4. Aus \((s-2)^2=0\) folgt \(s=2\).

\(s=2\)

- Prüfe für a) zunächst eine Parallelogrammbeziehung und vergleiche dann zwei benachbarte Seitenlängen. - Teil b) gibt dir das zu verwendende Orthogonalitätskriterium bereits vor. - Welche Bedeutung hat ein Skalarprodukt ungleich null für den eingeschlossenen Winkel?

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec{DC}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\). Damit ist \(ABCD\) ein Parallelogramm. 2. Weiter gilt \(\vec{AD}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\). Die beiden benachbarten Seiten besitzen \(|\vec{AB}|=|\vec{AD}|=3\). Somit ist das Parallelogramm eine Raute. 3. Das ausdrücklich verlangte Skalarprodukt beträgt \(\vec{AB}\cdot\vec{AD}=2\cdot2+2\cdot(-1)+1\cdot2=4\). 4. Da das Skalarprodukt nicht null ist, sind benachbarte Seiten nicht orthogonal. Die Raute ist daher kein Quadrat.

a) \(ABCD\) ist eine Raute. b) \(\vec{AB}\cdot\vec{AD}=4\neq0\); daher liegt kein rechter Innenwinkel vor und die Raute ist kein Quadrat.

- Welche beiden Verbindungsvektoren bilden jeweils den Winkel bei \(P\) beziehungsweise bei \(Q\)? - Welche Skalarproduktbedingung kennzeichnet einen rechten Winkel? - Stelle für die beiden Eckpunkte getrennte Bedingungen auf; die passenden Parameterwerte müssen nicht gleich sein.

1. Es ist \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}-2\\2\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{PR_t}=\begin{pmatrix}t-3\\2t-2\\1\end{pmatrix}\). 2. Für einen rechten Winkel bei \(P\) gilt \(\vec{PQ}\cdot\vec{PR_t}=0\). Damit ist \(-2(t-3)+2(2t-2)+2=2t+4=0\), also \(t=-2\). 3. Weiter ist \(\vec{QP}=\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix}\) und \(\vec{QR_t}=\begin{pmatrix}t-1\\2t-4\\-1\end{pmatrix}\). 4. Für einen rechten Winkel bei \(Q\) gilt \(\vec{QP}\cdot\vec{QR_t}=0\). Damit ist \(2(t-1)-2(2t-4)+2=-2t+8=0\), also \(t=4\).

a) \(t=-2\) b) Ja, für \(t=4\).

- Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei Punkten im Raum? - Was bedeutet es für die Geometrie eines Vierecks, wenn gegenüberliegende Vektoren identisch sind? - Welche Eigenschaft müssen die Seitenvektoren erfüllen, damit ein rechter Winkel entsteht? - Reicht die Parallelität der Seiten aus, um ein Rechteck eindeutig zu identifizieren?

1. Berechnung der Vektoren durch Differenzbildung der Punktkoordinaten: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 2-1 \\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 6-3 \\ 5-4 \\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 3-2 \\ 4-1 \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 6-5 \\ 5-2 \\ 2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Da \(\vec{AB} = \vec{DC}\) (und \(\vec{AD} = \vec{BC}\)), sind die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang. Somit ist das Viereck ein Parallelogramm. 3. Prüfung auf ein Rechteck mittels Skalarprodukt benachbarter Seitenvektoren: \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 0 = 3 + 3 + 0 = 6\). Da das Skalarprodukt ungleich Null ist, liegt kein rechter Winkel vor. Das Viereck ist ein Parallelogramm, aber kein Rechteck.

a) \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). b) Es handelt sich um ein Parallelogramm, da die gegenüberliegenden Seitenvektoren gleich sind. Es ist kein Rechteck, da das Skalarprodukt \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 6 \neq 0\) ist.

- Formuliere die Orthogonalität und die vorgegebene Länge als zwei Gleichungen. - Kannst du eine der beiden Unbekannten aus der linearen Gleichung ausdrücken? - Prüfe nach dem Lösen, welche Wertepaare beide ursprünglichen Bedingungen erfüllen.

1. Aus \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\) folgt \(p-4+2q=0\), also \(p=4-2q\). 2. Aus \(|\vec{v}|=3\) folgt \(p^2+2^2+q^2=9\), also \(p^2+q^2=5\). 3. Einsetzen von \(p=4-2q\) ergibt \((4-2q)^2+q^2=5\), also \(5q^2-16q+11=0\). 4. Die Gleichung hat die Lösungen \(q=1\) und \(q=2{,}2\). 5. Daraus folgen \(p=2\) beziehungsweise \(p=-0{,}4\).

\((p,q)=(2,1)\) oder \((p,q)=(-0{,}4,2{,}2)\)

- Wann stehen zwei Vektoren mathematisch gesehen senkrecht aufeinander? - Wie berechnet man die Länge (den Betrag) eines Vektors im Raum? - Wenn du einen Vektor mit einer Zahl multiplizierst, was passiert dann mit seiner Richtung und seiner Länge? - Überlege dir, wie sich das Skalarprodukt verhält, wenn man einen der Vektoren mit einem Streckungsfaktor multipliziert.

1. Orthogonalitätsbedingung aufstellen: Das Skalarprodukt \(\vec{v} \cdot \vec{x}\) muss null ergeben. Es folgt \(2 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 + 1 \cdot x_3 = 0\). 2. Gleichung lösen: \(2 - 4 + x_3 = 0 \Rightarrow x_3 = 2\). Der Vektor ist \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 3. Länge berechnen: \(|\vec{x}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\). 4. Skalierung für \(\vec{y}\): Da die Ziel-Länge \(12\) das Vierfache der aktuellen Länge \(3\) ist, gilt \(\vec{y} = 4\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix}\). 5. Begründung der Orthogonalität: Aufgrund der Linearität des Skalarprodukts gilt \(\vec{v} \cdot (k\vec{x}) = k(\vec{v} \cdot \vec{x})\). Da \(\vec{v} \cdot \vec{x} = 0\), ist auch jedes Vielfache von \(\vec{x}\) orthogonal zu \(\vec{v}\).

a) \(x_3 = 2\) b) \(|\vec{x}| = 3\) c) \(\vec{y} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix}\) d) Da \(\vec{y}\) ein Vielfaches von \(\vec{x}\) ist (\(\vec{y} = 4\vec{x}\)) und \(\vec{x}\) orthogonal zu \(\vec{v}\) ist, gilt \(\vec{v} \cdot \vec{y} = \vec{v} \cdot (4\vec{x}) = 4(\vec{v} \cdot \vec{x}) = 4 \cdot 0 = 0\).

- Welche Skalarproduktbedingung kennzeichnet zwei orthogonale Vektoren? - Stelle dir in Teil b) alle möglichen Pfeilrichtungen vor, die zu einem festen Pfeil senkrecht stehen. - Wie viele Bewegungsrichtungen bleiben dabei in zwei beziehungsweise drei Dimensionen übrig?

1. Für Orthogonalität muss \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\) gelten. Damit ist \(2k+6k-20=0\). 2. Aus \(8k=20\) folgt \(k=2{,}5\). 3. Im dreidimensionalen Raum bilden alle zu \(\vec{n}\) orthogonalen Vektoren eine Ebene durch den Ursprung. Diese Ebene enthält unendlich viele Richtungen. 4. In einer zweidimensionalen Ebene liegen alle zu einem festen von null verschiedenen Vektor orthogonalen Vektoren auf einer Geraden durch den Ursprung. Diese Gerade besitzt zwei entgegengesetzte Orientierungen.

a) \(k=2{,}5\) b) Im dreidimensionalen Raum bilden die zu \(\vec{n}\) orthogonalen Vektoren eine Ebene durch den Ursprung; im zweidimensionalen Raum liegen sie auf einer Geraden durch den Ursprung.

- Für a) genügt eine passende Gleichheit gegenüberliegender Seitenvektoren. - In b) ist nicht nur die geometrische Lage zu erkennen: Berechne das verlangte Skalarprodukt vollständig. - Welche zusätzliche Seitenlängenbedingung müsste ein Rechteck erfüllen, um ein Quadrat zu sein?

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}\) und \(\vec{DC}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\). Wegen \(\vec{AB}=\vec{DC}\) ist \(ABCD\) ein Parallelogramm. 2. Das verlangte Skalarprodukt ist \(\vec{AB}\cdot\vec{BC}=0\). Daher stehen benachbarte Seiten senkrecht aufeinander und das Parallelogramm ist ein Rechteck. 3. Es gilt \(|\vec{AB}|=4\) und \(|\vec{BC}|=\sqrt{13}\). Da \(4\neq\sqrt{13}\), sind die benachbarten Seiten nicht gleich lang; das Rechteck ist kein Quadrat.

a) \(\vec{AB}=\vec{DC}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\), also Parallelogramm. b) \(\vec{AB}\cdot\vec{BC}=0\), also Rechteck. c) \(|\vec{AB}|=4\neq\sqrt{13}=|\vec{BC}|\), also kein Quadrat.

- Nutze die Eigenschaft eines Parallelogramms, dass gegenüberliegende Seiten durch identische Vektoren dargestellt werden können. - Wodurch unterscheidet sich eine Raute von einem allgemeinen Parallelogramm hinsichtlich der Seitenlängen? - Wie kannst du schnell feststellen, ob ein Innenwinkel \(90^\circ\) beträgt? - Denk daran, dass für ein Rechteck das Skalarprodukt benachbarter Seitenvektoren Null sein muss.

1. Berechnung von \(D\): In einem Parallelogramm gilt \(\vec{AD} = \vec{BC}\). Mit \(\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) folgt \(\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{BC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(D(2|4|3)\). 2. Prüfung auf Raute (Seitenlängen): Berechne die Längen benachbarter Seitenvektoren. \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\), also \(|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = 5\). \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\), also \(|\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2} = 5\). Da \(|\vec{AB}| = |\vec{BC}|\), ist das Parallelogramm eine Raute. 3. Prüfung auf Rechteck (Winkel): Berechne das Skalarprodukt \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 3 + 0 \cdot 4 = 12\). Da \(12 \neq 0\), sind die Seiten nicht orthogonal. Es ist kein Rechteck.

a) Der vierte Punkt ist \(D(2|4|3)\). b) Das Parallelogramm ist eine Raute, da die benachbarten Seiten gleich lang sind (\(|\vec{AB}| = 5\) und \(|\vec{BC}| = 5\)). Es ist kein Rechteck, da das Skalarprodukt \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 12 \neq 0\) ist und somit kein rechter Winkel vorliegt.

- Wie hängen die Diagonalen in einer Skizze mit den Seitenvektoren zusammen? - Wann ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren den Wert Null? - Gibt es eine Rechenregel für das Skalarprodukt, die der dritten binomischen Formel ähnelt? - Was bedeutet es für die Geometrie eines Parallelogramms, wenn zwei benachbarte Seiten gleich lang sind?

1. Aufstellen der Diagonalvektoren: \(\vec{e} = \vec{a} + \vec{b}\) und \(\vec{f} = \vec{b} - \vec{a}\). 2. Berechnung des Skalarprodukts: \(\vec{e} \cdot \vec{f} = (\vec{b} + \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{b} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2\). 3. Orthogonalitätsbedingung: Die Diagonalen sind orthogonal, wenn \(\vec{e} \cdot \vec{f} = 0\). Dies führt zu \(|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 = 0\), also \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\). 4. Schlussfolgerung: Da die anliegenden Seiten \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) gleich lang sein müssen, handelt es sich bei dem Parallelogramm um eine Raute.

a) \(\vec{e} = \vec{a} + \vec{b}\) und \(\vec{f} = \vec{b} - \vec{a}\) b) Das Skalarprodukt \(\vec{e} \cdot \vec{f} = |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2\) ist genau dann null, wenn \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\) gilt. Ein Parallelogramm mit gleich langen Seiten ist eine Raute.

- Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei Punkten, wenn die Vektoren vom Ursprung aus gegeben sind? - Der Vektor der Seitenhalbierenden zeigt vom Eckpunkt \(A\) zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. - Was muss für das Skalarprodukt gelten, damit zwei Vektoren einen rechten Winkel bilden? - Berechne die Längen der beiden vom Punkt \(A\) ausgehenden Seiten. Was sagt dies über die Symmetrie des Dreiecks aus?

1. Berechnung von \(\vec{w} = \vec{BC} = \vec{v} - \vec{u} = \begin{pmatrix} -3-4 \\ 4-0 \\ 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der Seitenhalbierenden \(\vec{s}_a = \frac{1}{2}(\vec{u} + \vec{v}) = \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 2 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}\). 3. Skalarprodukt bilden: \(\vec{s}_a \cdot \vec{w} = 0{,}5 \cdot (-7) + 2 \cdot 4 + 1{,}5 \cdot (-3) = -3{,}5 + 8 - 4{,}5 = 0\). Die Vektoren sind orthogonal. 4. Längenvergleich: \(|\vec{u}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2} = 5\) und \(|\vec{v}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = 5\). 5. Da das Dreieck gleichschenklig mit \(|\vec{AB}| = |\vec{AC}|\) ist, fällt die Seitenhalbierende der Basis mit der Höhe zusammen und steht somit orthogonal auf der Basis.

a) \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -7 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\); \(\vec{s}_a = \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 2 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{s}_a \cdot \vec{w} = 0\), daher sind sie orthogonal. c) Da \(|\vec{AB}| = 5\) und \(|\vec{AC}| = 5\) gleich lang sind, ist das Dreieck gleichschenklig. In einem gleichschenkligen Dreieck steht die Seitenhalbierende der Basis stets senkrecht auf dieser.

- Welche Bedingung muss für das Skalarprodukt gelten, damit Orthogonalität vorliegt? - Du hast drei Unbekannte, aber nur zwei Bedingungen. Was bedeutet das für die Anzahl der Lösungen? - Wie sieht die Struktur einer Punktmenge aus, die durch ein Vielfaches eines Richtungsvektors beschrieben wird? - Überlege dir, wie viele Vektoren im Raum senkrecht auf einer Fläche stehen können.

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems über das Skalarprodukt: (I) \(3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0\) (II) \(x_1 - x_2 = 0\) 2. Aus (II) folgt direkt \(x_1 = x_2\). 3. Einsetzen in (I): \(3x_1 + x_1 + 2x_3 = 0 \implies 4x_1 + 2x_3 = 0 \implies x_3 = -2x_1\). 4. Wahl eines Parameters \(t = x_1\): Die Lösungsmenge ist \(L = \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^3 \mid \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} \}\). 5. Geometrische Interpretation: Die Lösungsmenge beschreibt eine Gerade durch den Ursprung (Ursprungsgerade). 6. Begründung der Nichteindeutigkeit: Alle Vektoren, die ein Vielfaches eines gemeinsamen Normalenvektors sind, stehen ebenfalls orthogonal auf der von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannten Ebene. Da nur die Richtung durch die Orthogonalität festgelegt ist, bleibt die Länge und Orientierung (der Parameter \(t\)) frei wählbar.

a) \(\vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) mit \(t \in \mathbb{R}\). b) Geometrisch handelt es sich um eine Gerade durch den Koordinatenursprung. Die Lösung ist nicht eindeutig, da jeder Vektor auf dieser Geraden die Orthogonalitätsbedingung erfüllt; lediglich die Richtung ist durch die beiden Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) festgelegt.

- Welche Beziehung muss ein Normalenvektor zu jedem der beiden Spannvektoren erfüllen? - Übersetze beide Orthogonalitätsbedingungen jeweils in ein Skalarprodukt. - Die zwei Bedingungen ergeben zwei lineare Gleichungen für \(w_1\) und \(w_2\); löse dieses Gleichungssystem.

1. Da \(\vec{w}\) senkrecht auf der von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) aufgespannten Ebene steht, gilt \(\vec{w}\cdot\vec{u}=0\) und \(\vec{w}\cdot\vec{v}=0\). 2. Daraus entstehen die Gleichungen \(w_1+w_2+6=0\) und \(2w_1-w_2+18=0\). 3. Durch Addition folgt \(3w_1+24=0\), also \(w_1=-8\). 4. Einsetzen in \(w_1+w_2+6=0\) liefert \(w_2=2\).

\(w_1=-8\) und \(w_2=2\), also \(\vec{w}=\begin{pmatrix}-8\\2\\6\end{pmatrix}\).

- Welches mathematische Werkzeug hilft dir zu prüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinanderstehen? - An welchen Ecken des Dreiecks könnte der rechte Winkel liegen? - Achte darauf, dass für deine Lösungen tatsächlich ein Dreieck existiert und keine Punkte zusammenfallen. - Stelle für jeden der drei Eckpunkte eine Gleichung auf.

1. Identifikation der möglichen Scheitelpunkte für den rechten Winkel: \(O\), \(A\) oder \(B\). Damit ein Dreieck entsteht, muss \(k \neq 0\) gelten, da sonst \(B=O\) wäre. 2. Fall 1: Rechter Winkel bei \(O\). Bedingung: \(\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0\). \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} k \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 1\cdot k + 2\cdot 0 + 2\cdot 0 = k\). \(k = 0\) führt zu keinem Dreieck (Punkt \(B\) fällt mit \(O\) zusammen). 3. Fall 2: Rechter Winkel bei \(A\). Bedingung: \(\vec{AO} \cdot \vec{AB} = 0\). \(\vec{AO} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} k-1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\). \((-1)(k-1) + (-2)(-2) + (-2)(-2) = -k + 1 + 4 + 4 = 9 - k = 0 \implies k = 9\). 4. Fall 3: Rechter Winkel bei \(B\). Bedingung: \(\vec{BO} \cdot \vec{BA} = 0\). \(\vec{BO} = \begin{pmatrix} -k \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{BA} = \begin{pmatrix} 1-k \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). \((-k)(1-k) + 0 + 0 = k^2 - k = 0 \implies k(k-1) = 0\). Da \(k \neq 0\), bleibt nur \(k = 1\). 5. Zusammenfassung: Das Dreieck ist rechtwinklig für \(k = 1\) oder \(k = 9\).

\(k = 1\) oder \(k = 9\)

- Wie lassen sich die Diagonalen eines Parallelogramms durch die Vektoren der Seiten ausdrücken? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Betrag eines Vektors und dem Skalarprodukt mit sich selbst. - Welche Rechenregeln für das Skalarprodukt ähneln den binomischen Formeln? - Was muss für das Skalarprodukt zweier Vektoren gelten, damit diese einen rechten Winkel einschließen? - Überlege dir für den geometrischen Teil, welche Teildreiecke im Rechteck identisch sein könnten.

1. Darstellung der Diagonalenvektoren: \(\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}\) und \(\vec{BD} = \vec{b} - \vec{a}\). 2. Bedingung für gleiche Längen: \(|\vec{AC}| = |\vec{BD}|\) ist äquivalent zu \(|\vec{AC}|^2 = |\vec{BD}|^2\). 3. Anwendung des Skalarprodukts: \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2\). 4. Ausmultiplizieren: \(|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}|^2\). 5. Vereinfachung der Gleichung: \(4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0\), woraus \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) folgt. Dies bedeutet, dass die Seiten \(\overline{AB}\) und \(\overline{AD}\) orthogonal sind, was das Parallelogramm zu einem Rechteck macht. 6. Geometrische Begründung: Ist das Parallelogramm ein Rechteck, sind die Dreiecke \(ABC\) und \(DCB\) nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent, da \(AB = DC\), \(BC\) eine gemeinsame Seite ist und die eingeschlossenen Winkel rechte Winkel sind. Daher gilt \(AC = BD\). Umgekehrt seien \(AC = BD\). Dann sind die Dreiecke \(ABC\) und \(BAD\) nach SSS kongruent, denn \(AB\) ist gemeinsam, \(BC = AD\) und \(AC = BD\). Somit sind die benachbarten Innenwinkel \(\angle ABC\) und \(\angle BAD\) gleich groß. Da benachbarte Innenwinkel eines Parallelogramms zusammen \(180^\circ\) ergeben, sind beide \(90^\circ\); das Parallelogramm ist ein Rechteck.

a) Aus \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2\) folgt nach dem Ausmultiplizieren \(4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0\). Dies ist genau dann erfüllt, wenn \(\vec{a} \perp \vec{b}\) gilt, das Parallelogramm also ein Rechteck ist. b) Im Rechteck sind die Dreiecke \(ABC\) und \(DCB\) nach SWS kongruent, also gilt \(AC = BD\). Umgekehrt sind bei \(AC = BD\) die Dreiecke \(ABC\) und \(BAD\) nach SSS kongruent. Die dadurch gleichen benachbarten Innenwinkel des Parallelogramms sind jeweils \(90^\circ\), sodass ein Rechteck vorliegt.

- Prüfe zuerst, ob einer der beiden gegebenen Vektoren ein skalares Vielfaches des anderen ist. - Welche geometrische Menge bilden alle Vektoren, die zu einem festen von null verschiedenen Vektor orthogonal sind? - Was liefert das Vektorprodukt zweier paralleler Vektoren, und warum bedeutet das hier nicht, dass es keine gemeinsamen Orthogonalrichtungen gibt? - Für Teil a) reicht ein einziges geeignetes Beispiel; prüfe es mit beiden Skalarprodukten.

1. Es gilt \(\vec{v}=-1{,}5\vec{u}\). Die Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) sind daher kollinear und entgegengesetzt gerichtet. 2. Ein Vektor \(\vec{w}=\begin{pmatrix}w_1\\w_2\\w_3\end{pmatrix}\) ist orthogonal zu \(\vec{u}\), wenn \(2w_1+4w_2-6w_3=0\) gilt. Wegen der Kollinearität ist er dann automatisch auch orthogonal zu \(\vec{v}\). 3. Mit \(w_3=0\) und \(w_2=1\) ergibt sich beispielsweise \(w_1=-2\). Somit ist \(\vec{w}=\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}\) eine mögliche Lösung. 4. Alle zu \(\vec{u}\) orthogonalen Vektoren liegen in der Ebene durch den Ursprung, die senkrecht zu \(\vec{u}\) steht. Diese Ebene enthält unendlich viele Richtungen, die zugleich orthogonal zu \(\vec{v}\) sind.

a) Zum Beispiel \(\vec{w}=\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}\). b) Es gilt \(\vec{v}=-1{,}5\vec{u}\). Daher genügt dieselbe Orthogonalitätsbedingung für beide Vektoren; ihre Lösungen bilden eine Ebene durch den Ursprung und damit unendlich viele Richtungen.

- Stelle die Raumdiagonalen als Vektoren mithilfe der Kantenlängen dar. - Wann ist das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich null? - Betrachte die verschiedenen Vorzeichenkombinationen für die Komponenten der Diagonalvektoren. - Überlege, was passieren würde, wenn mehrere dieser Bedingungen gleichzeitig für dieselben Werte gelten müssten.

1. Die Raumdiagonalen eines Quaders mit den Kantenlängen \(a\), \(b\) und \(c\) lassen sich als Vektoren darstellen, zum Beispiel \(\vec{d_1} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) und \(\vec{d_2} = \begin{pmatrix} -a \\ b \\ c \end{pmatrix}\). Die Orthogonalität ist erfüllt, wenn das Skalarprodukt null ist: \(\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = -a^2 + b^2 + c^2 = 0\). Dies führt zur Bedingung \(a^2 = b^2 + c^2\). Analog ergeben sich für andere Paare von Raumdiagonalen die Bedingungen \(b^2 = a^2 + c^2\) oder \(c^2 = a^2 + b^2\). Somit müssen zwei Kantenlängen im Quadrat addiert das Quadrat der dritten Kantenlänge ergeben. 2. Damit alle vier Raumdiagonalen paarweise orthogonal sind, müssten alle drei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein: \(a^2 = b^2 + c^2\), \(b^2 = a^2 + c^2\) und \(c^2 = a^2 + b^2\). Addiert man beispielsweise die ersten beiden Gleichungen, erhält man \(a^2 + b^2 = a^2 + b^2 + 2c^2\), woraus \(2c^2 = 0\) und somit \(c = 0\) folgt. Da ein Quader jedoch positive Kantenlängen besitzen muss, ist dies unmöglich. Es gibt also keinen solchen Quader.

1. Zwei Raumdiagonalen sind orthogonal, wenn das Quadrat einer Kantenlänge gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Kantenlängen ist (z. B. \(a^2 = b^2 + c^2\)). 2. Nein, ein solcher Quader existiert nicht, da dies auf Kantenlängen von \(0\) führen würde.

- Nutze das Skalarprodukt, um die Orthogonalität der Diagonalvektoren auszudrücken. - Erinnere dich an die binomischen Formeln im Zusammenhang mit dem Skalarprodukt. - Wie lässt sich der quadrierte Betrag eines Vektors als Skalarprodukt ausdrücken? - Berechne für den zweiten Teil zuerst den Summenvektor der beiden gegebenen Vektoren.

1. Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist. Es gilt: \((\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}) \cdot (\vec{u} + \vec{v} - \vec{w}) = 0\). Unter Anwendung des Distributivgesetzes ergibt sich: \(|\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{w}|^2 = 0\). Daher folgt \(|\vec{u} + \vec{v}| = |\vec{w}|\). Dies bedeutet, dass die Länge von \(\vec{w}\) der Länge der Diagonale der von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) aufgespannten Seitenfläche entsprechen muss. 2. Zunächst wird die Summe \(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) berechnet. Der Betrag dieser Flächendiagonale ist \(|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\). Gemäß der hergeleiteten Bedingung muss also gelten: \(|\vec{w}| = \sqrt{20} \approx 4{,}47\).

1. Nachweis über \((\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}) \cdot (\vec{u} + \vec{v} - \vec{w}) = |\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{w}|^2 = 0\). 2. Die Länge von \(\vec{w}\) muss \(|\vec{w}| = \sqrt{20} \approx 4{,}47\) betragen.

- Beginne mit einer Vektorgleichheit für zwei gegenüberliegende Seiten. - In b) ist das Skalarprodukt selbst ein verlangtes Zwischenergebnis; setze es erst danach gleich null. - Für eine Raute kannst du die Quadrate zweier benachbarter Seitenlängen vergleichen. - Welche beiden Bedingungen müssten für ein Quadrat gleichzeitig erfüllt sein?

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec{DC}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\). Daher ist \(ABCD\) für jedes \(k\) ein Parallelogramm. 2. Weiter ist \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}2\\0\\k-3\end{pmatrix}\). Das verlangte Skalarprodukt lautet \(\vec{AB}\cdot\vec{BC}=4+k-3=k+1\). Für ein Rechteck muss es null sein; daher ist \(k=-1\). 3. Für eine Raute müssen benachbarte Seiten gleich lang sein. Es gilt \(|\vec{AB}|^2=9\) und \(|\vec{BC}|^2=4+(k-3)^2\). Aus \(9=4+(k-3)^2\) folgt \(k=3\pm\sqrt{5}\). 4. Ein Quadrat müsste gleichzeitig die Rechteckbedingung \(k=-1\) und eine der Rautenbedingungen \(k=3\pm\sqrt{5}\) erfüllen. Das ist unmöglich.

a) \(\vec{AB}=\vec{DC}=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\) b) \(\vec{AB}\cdot\vec{BC}=k+1\), daher \(k=-1\) c) \(k=3+\sqrt{5}\) oder \(k=3-\sqrt{5}\) d) Keine der Rautenlösungen ist \(-1\); daher entsteht kein Quadrat.

- Wie hängen die Vektoren \(\vec{CA}\) und \(\vec{CB}\) mit den gegebenen Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) zusammen? - Erinnere dich daran, wie man die Länge eines Vektors über das Skalarprodukt mit sich selbst ausdrückt. - Wann stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander? - Welche Eigenschaft hat der Mittelpunkt einer Strecke in Bezug auf die Eckpunkte? - Ein gleichseitiges Dreieck ist ein spezielles gleichschenkliges Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich lang sind.

1. Berechnung der Seitenvektoren: \(\vec{CA} = \vec{u} - \vec{v}\) und \(\vec{CB} = -\vec{u} - \vec{v}\). 2. Nachweis der Gleichschenkligkeit: Die Quadrate der Seitenlängen sind \(|\vec{AC}|^2 = |\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{v}|^2\) und \(|\vec{BC}|^2 = |-\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{v}|^2\). Für \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) folgt \(|\vec{AC}|^2 = |\vec{BC}|^2\), also \(|\vec{AC}| = |\vec{BC}|\). 3. Bedingung für den rechten Winkel bei \(C\): Das Skalarprodukt \(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (-\vec{u} - \vec{v}) = -(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = -(|\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2) = |\vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2\) muss null sein. Dies ist für \(|\vec{v}| = |\vec{u}|\) erfüllt. Geometrisch bedeutet dies, dass \(C\) auf der Kugel mit Mittelpunkt \(M\) und Radius \(|\vec{u}|\) liegt; die Strecke \(AB\) ist ein Durchmesser dieser Kugel. 4. Gleichseitigkeit: Es muss gelten \(\vec{u} \perp \vec{v}\) (für \(|\vec{AC}|=|\vec{BC}|\)) und \(|\vec{AC}| = |\vec{AB}|\). Mit \(|\vec{AB}| = 2|\vec{u}|\) folgt \(|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 = (2|\vec{u}|)^2 = 4|\vec{u}|^2\). Umformen ergibt \(|\vec{v}|^2 = 3|\vec{u}|^2\), also \(|\vec{v}| = \sqrt{3}|\vec{u}|\). Das Verhältnis ist \(\sqrt{3}{:}1\).

a) Nachweis über \(|\vec{AC}|^2 = |\vec{BC}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2\) für \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\). b) Bedingung: \(|\vec{v}| = |\vec{u}|\). Geometrische Deutung: \(C\) liegt auf der Kugel mit Mittelpunkt \(M\) und Radius \(|\vec{u}|\); \(AB\) ist ein Durchmesser. c) Verhältnis: \(|\vec{v}|{:}|\vec{u}| = \sqrt{3}{:}1\).