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- Woran erkennst du mithilfe eines Rechenverfahrens, ob zwei Vektoren einen rechten Winkel einschließen? - Gehe systematisch vor und prüfe nacheinander alle Kombinationen der Vektoren. - Achte beim Rechnen besonders auf die Vorzeichen der einzelnen Koordinaten.

1. Berechnung der Skalarprodukte für alle möglichen Vektorpaare: - \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 2 = 2 + 2 - 4 = 0\) - \(\vec{a} \cdot \vec{c} = 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) + (-2) \cdot 1 = 4 - 2 - 2 = 0\) - \(\vec{a} \cdot \vec{d} = 2 \cdot 0 + 1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-2) = 0 + 4 + 4 = 8 \neq 0\) - \(\vec{b} \cdot \vec{c} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = 2 - 4 + 2 = 0\) - \(\vec{b} \cdot \vec{d} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-2) = 0 + 8 - 4 = 4 \neq 0\) - \(\vec{c} \cdot \vec{d} = 2 \cdot 0 + (-2) \cdot 4 + 1 \cdot (-2) = 0 - 8 - 2 = -10 \neq 0\) 2. Identifikation der orthogonalen Paare: Die Paare mit einem Skalarprodukt von null sind orthogonal. Dies sind \((\vec{a}, \vec{b})\), \((\vec{a}, \vec{c})\) und \((\vec{b}, \vec{c})\).

Die Vektorpaare \((\vec{a}, \vec{b})\), \((\vec{a}, \vec{c})\) und \((\vec{b}, \vec{c})\) sind jeweils orthogonal zueinander.

- Überlege, was das Skalarprodukt über den Winkel zwischen zwei Vektoren aussagt. - Erinnerst du dich an einen speziellen Winkel, bei dem das Ergebnis einer Kosinus-Berechnung null wird? - Versuche, Vektoren zu wählen, die entlang der Koordinatenachsen liegen.

1. Die Regel lässt sich nicht direkt übertragen, da das Skalarprodukt zweier Vektoren auch dann null sein kann, wenn keiner der Vektoren der Nullvektor ist. 2. Beispiel für zwei solche Vektoren: \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 3. Überprüfung des Skalarprodukts: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0\). 4. Da beide Vektoren eine Länge von \(1\) haben (also keine Nullvektoren sind), ist die Bedingung erfüllt. 5. Geometrische Bedingung: Das Skalarprodukt zweier von Null verschiedener Vektoren ist genau dann null, wenn die Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander stehen.

Die Regel ist nicht übertragbar. Ein Gegenbeispiel sind die Vektoren \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), für die \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) gilt, obwohl beide ungleich \(\vec{0}\) sind. Die geometrische Bedingung ist die Orthogonalität (\(\vec{u} \perp \vec{v}\)).

- Welche Eigenschaft des Skalarprodukts hilft dir bei der Orthogonalität weiter? - Stelle eine Gleichung für den Betrag des Vektors auf. - Du hast nun zwei Gleichungen. Wie kannst du eine Unbekannte eliminieren? - Überlege, ob es aufgrund der Quadrate in der Längenberechnung mehrere Lösungen geben könnte.

1. Skalarprodukt für Orthogonalität nutzen: Da \(\vec{n} \perp \vec{w}\) gilt, ist \(\vec{n} \cdot \vec{w} = 3a - 4b + 0 \cdot 12 = 0\). Dies führt zur Beziehung \(3a = 4b\) bzw. \(a = \frac{4}{3}b\). 2. Längenbedingung anwenden: Die Länge von \(\vec{w}\) ist \(|\vec{w}| = \sqrt{a^2 + b^2 + 12^2} = 13\). Quadrieren ergibt \(a^2 + b^2 + 144 = 169\), was zu \(a^2 + b^2 = 25\) führt. 3. Gleichungssystem lösen: Einsetzen von \(a = \frac{4}{3}b\) in die Kreisgleichung ergibt \((\frac{4}{3}b)^2 + b^2 = 25\). Dies führt zu \(\frac{16}{9}b^2 + \frac{9}{9}b^2 = 25\), also \(\frac{25}{9}b^2 = 25\). 4. Ergebnisse berechnen: Es folgt \(b^2 = 9\), woraus sich \(b_1 = 3\) und \(b_2 = -3\) ergeben. Durch Einsetzen in die erste Beziehung erhält man \(a_1 = 4\) und \(a_2 = -4\).

Es gibt zwei mögliche Wertepaare: 1. \(a = 4\) und \(b = 3\) 2. \(a = -4\) und \(b = -3\)

- Wann stehen zwei Vektoren im rechten Winkel zueinander? - Wie berechnet man das Skalarprodukt von zwei Vektoren? - Stelle eine Gleichung auf, in der das Skalarprodukt vorkommt.

1. Orthogonalitätsbedingung aufstellen: Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\). 2. Skalarprodukt berechnen: \(2 \cdot (k + 1) + k \cdot 3 + (-4) \cdot 2 = 2k + 2 + 3k - 8 = 5k - 6\). 3. Gleichung lösen: \(5k - 6 = 0\) führt zu \(5k = 6\), also \(k = 1{,}2\). Für \(k = 1{,}2\) sind die Vektoren orthogonal.

\(k = 1{,}2\)

- Wie kannst du die Seiten des Dreiecks als Vektoren darstellen? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir zu prüfen, ob zwei Linien senkrecht aufeinanderstehen? - Es reicht aus, die Winkel an den drei Eckpunkten nacheinander zu prüfen.

1. Verbindungsvektoren berechnen: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 6-2 \\ 1-1 \\ 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 2-2 \\ 4-1 \\ 8-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}\) \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 2-6 \\ 4-1 \\ 8-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}\) 2. Skalarprodukte prüfen: \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 \cdot 0 + 0 \cdot 3 + 0 \cdot 5 = 0\). Da das Skalarprodukt von \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) null ist, sind diese Vektoren orthogonal. 3. Schlussfolgerung: Das Dreieck hat einen rechten Winkel im Eckpunkt \(A\). Weitere Prüfungen (\(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = -16\) und \(\vec{AC} \cdot \vec{BC} = 34\)) sind nicht notwendig, da bereits ein rechter Winkel gefunden wurde.

Das Dreieck \(ABC\) besitzt einen rechten Winkel im Eckpunkt \(A\).

- Wann stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander? - Welche Rechenoperation verknüpft die Komponenten der Vektoren, um die Orthogonalität zu prüfen? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Unbekannte vorkommt. - Achte darauf, ob es mehr als eine Lösung für die Gleichung geben könnte.

1. Aufstellen der Bedingung für Orthogonalität: Das Skalarprodukt der beiden Vektoren muss null ergeben, also \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\). 2. Berechnung des Skalarprodukts in Abhängigkeit von \(t\): \(t \cdot t + 2 \cdot (-3) + 1 \cdot 5 = t^2 - 6 + 5 = t^2 - 1\). 3. Lösen der Gleichung \(t^2 - 1 = 0\): Durch Umformen ergibt sich \(t^2 = 1\), woraus die Lösungen \(t_1 = 1\) und \(t_2 = -1\) folgen.

Die Vektoren sind für \(t_1 = 1\) und \(t_2 = -1\) orthogonal zueinander.

- Was muss für das Skalarprodukt zweier Vektoren gelten, damit sie senkrecht aufeinanderstehen? - Der Umfang ist die Summe aller drei Seitenlängen. - Welche Besonderheit beim Berechnen des Flächeninhalts ergibt sich, wenn ein rechter Winkel vorliegt?

1. Aufstellen der Vektoren vom Punkt \(P\) aus: \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Überprüfung auf Orthogonalität: \(\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) = -2 + 4 - 2 = 0\). Da das Skalarprodukt null ist, beträgt der Winkel bei \(P\) genau \(90^\circ\). 3. Berechnung der Seitenlängen: \(|\vec{PQ}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = 3\), \(|\vec{PR}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = 3\). Die Hypotenuse ist \(|\vec{QR}| = \sqrt{(-1-2)^2 + (2-2)^2 + (-2-1)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24\). 4. Berechnung des Umfangs: \(U = 3 + 3 + 3\sqrt{2} = 6 + 3\sqrt{2} \approx 10{,}24\). 5. Berechnung des Flächeninhalts für das rechtwinklige Dreieck: \(A = \frac{1}{2} \cdot |\vec{PQ}| \cdot |\vec{PR}| = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4{,}5\).

a) Da \(\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = 0\), ist das Dreieck bei \(P\) rechtwinklig. b) Der Umfang beträgt ca. \(10{,}24\,\text{LE}\). c) Der Flächeninhalt beträgt \(4{,}5\,\text{FE}\).

- Wie kannst du mit Vektoren zeigen, dass gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind? - Welches Rechenverfahren hilft dir zu prüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinanderstehen? - Was ist die zusätzliche Bedingung, damit aus einem Rechteck ein Quadrat wird? - Berechne die Längen der Vektoren, um die Seitenlängen zu vergleichen.

1. Berechnung der Verbindungsvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(\vec{CD} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Prüfung auf Parallelogramm: Da \(\vec{AB} = -\vec{CD} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), liegen gegenüberliegende Seiten parallel und sind gleich lang. Es handelt sich um ein Parallelogramm. 3. Prüfung auf rechte Winkel: Das Skalarprodukt \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 3 = 0\) zeigt, dass die Seiten \(\overline{AB}\) und \(\overline{BC}\) orthogonal sind. Somit ist das Viereck ein Rechteck. 4. Prüfung auf Quadrat (Seitenlängen): \(|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 0^2} = 4\) und \(|\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}61\). Da die benachbarten Seiten nicht gleich lang sind (\(4 \neq \sqrt{13}\)), ist das Rechteck kein Quadrat.

Das Viereck \(ABCD\) ist ein Rechteck, da die gegenüberliegenden Seiten parallel sind (\(\vec{AB} = \vec{DC}\)) und benachbarte Seiten orthogonal zueinander stehen (\(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0\)). Es ist jedoch kein Quadrat, da die Seitenlängen mit \(|\vec{AB}| = 4\) und \(|\vec{BC}| = \sqrt{13}\) unterschiedlich sind.

- Bestimme zuerst die Koordinaten der beteiligten Punkte oder stelle die Vektoren direkt auf. - Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit zwei Vektoren im Raum senkrecht aufeinander stehen? - Führe die Rechnung allgemein mit der Kantenlänge \(a\) durch.

1. Bestimmung der Richtungsvektoren: \(\vec{OF} = \vec{F} - \vec{O} = \begin{pmatrix} a \\ a \\ a \end{pmatrix}\) und \(\vec{EB} = \vec{B} - \vec{E} = \begin{pmatrix} a-a \\ a-0 \\ 0-a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ a \\ -a \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Skalarprodukts: \(\vec{OF} \cdot \vec{EB} = a \cdot 0 + a \cdot a + a \cdot (-a)\). 3. Vereinfachung des Terms: \(0 + a^2 - a^2 = 0\). 4. Interpretation: Da das Skalarprodukt für jede Kantenlänge \(a > 0\) den Wert \(0\) ergibt, sind die Richtungsvektoren der Raumdiagonalen \(OF\) und der Flächendiagonalen \(EB\) orthogonal.

Die Richtungsvektoren der Raumdiagonalen \(OF\) und der Flächendiagonalen \(EB\) sind orthogonal, da ihr Skalarprodukt \(\vec{OF} \cdot \vec{EB} = a \cdot 0 + a \cdot a + a \cdot (-a) = 0\) ergibt.

- Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei Punkten? - Welche Formel hilft dir, die Länge eines Vektors aus seinen Koordinaten zu bestimmen? - Was sagt ein Skalarprodukt von null über die Lage zweier Vektoren zueinander aus? - Muss man alle möglichen Paare von Vektoren prüfen, wenn man bereits ein Skalarprodukt von null gefunden hat?

1. Berechnung der Verbindungsvektoren: \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{PR} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(\vec{QR} = \begin{pmatrix} -5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der Seitenlängen über den Betrag der Vektoren: \(|\vec{PQ}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{13}\), \(|\vec{PR}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{22}\), \(|\vec{QR}| = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{35}\). 3. Untersuchung auf Orthogonalität mittels Skalarprodukt: \(\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = 2 \cdot (-3) + 3 \cdot 2 + 0 \cdot 3 = -6 + 6 + 0 = 0\). 4. Da das Skalarprodukt der Vektoren \(\vec{PQ}\) und \(\vec{PR}\) null ist, liegt am Eckpunkt \(P\) ein rechter Winkel vor.

a) Die Seitenlängen betragen \(|\vec{PQ}| = \sqrt{13}\), \(|\vec{PR}| = \sqrt{22}\) und \(|\vec{QR}| = \sqrt{35}\). b) Das Dreieck ist rechtwinklig, da das Skalarprodukt \(\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = 0\) ist. Der rechte Winkel liegt am Punkt \(P\).

- Welches Rechenwerkzeug hilft dir zu entscheiden, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinanderstehen? - Um die Form des Dreiecks zu bestimmen, solltest du die Vektoren zwischen den Eckpunkten betrachten. - Reicht es aus, nur ein Skalarprodukt zu prüfen? Überlege, an welchen Ecken ein rechter Winkel vorliegen könnte. - Wie hängen die Längen der Vektoren mit der Eigenschaft „gleichschenklig“ zusammen?

1. Bestimmung der Vektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Prüfung auf Orthogonalität mittels Skalarprodukt: \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \cdot (-2) + 1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-1) = -4 + 2 + 2 = 0\). Da das Skalarprodukt null ist, sind \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) orthogonal; das Dreieck hat bei \(A\) einen rechten Winkel. 3. Prüfung auf Gleichschenkligkeit durch Längenvergleich: \(|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3\) \(|\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3\) \(|\vec{BC}| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24\) 4. Ergebnis: Da \(|\vec{AB}| = |\vec{AC}|\) gilt, ist das Dreieck gleichschenklig.

Das Dreieck ist rechtwinklig mit dem rechten Winkel am Eckpunkt \(A\), da \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0\) gilt. Zudem ist es gleichschenklig, da die Seiten \(AB\) und \(AC\) beide die Länge \(3\) besitzen.

- Welche mathematische Operation hilft dabei, den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen? - Was muss für das Ergebnis dieser Operation gelten, damit ein Winkel von \(90^\circ\) vorliegt? - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum? - Welche Eigenschaften müssen die Seitenlängen eines gleichschenkligen Dreiecks erfüllen?

1. Bestimmung der Verbindungsvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}\). 2. Prüfung auf Rechtwinkligkeit mittels Skalarprodukt: \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = 2 - 4 + 2 = 0\). Somit liegt bei Punkt \(A\) ein rechter Winkel vor. 3. Prüfung auf Gleichschenkligkeit durch Berechnung der Seitenlängen: \(|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3\) und \(|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3\). Da zwei Seiten gleich lang sind, ist das Dreieck gleichschenklig. Das Dreieck \(ABC\) ist sowohl rechtwinklig (bei \(A\)) als auch gleichschenklig (mit den Schenkeln \(AB\) und \(AC\)).

Das Dreieck \(ABC\) ist rechtwinklig (rechter Winkel bei \(A\)) und gleichschenklig (\(|\vec{AB}| = |\vec{AC}| = 3\)).

- Welche Vektoren schließen den Winkel an der Ecke \(D\) ein? - Wie hängen die Orthogonalität zweier Vektoren und ihr Skalarprodukt zusammen? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Unbekannte \(k\) vorkommt.

1. Aufstellen der Vektoren, die den Winkel im Punkt \(D\) bilden: \(\vec{DE} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ k-2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{DF} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für einen rechten Winkel bei \(D\): Das Skalarprodukt der Vektoren \(\vec{DE}\) und \(\vec{DF}\) muss gleich null sein. 3. Berechnung des Skalarprodukts: \(\vec{DE} \cdot \vec{DF} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (k-2) \cdot (-2) = 2 + 2 - 2k + 4 = 8 - 2k\). 4. Lösen der Gleichung \(8 - 2k = 0\) ergibt \(k = 4\).

Das Dreieck hat für \(k = 4\) einen rechten Winkel bei \(D\).

- Wie berechnet man den Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten? - Erinnere dich an die Formel für den Betrag eines Vektors im Raum. - Welches Ergebnis liefert das Skalarprodukt bei orthogonalen Vektoren? - Nutze die Vektoraddition, um von einem bekannten Punkt zum gesuchten Punkt zu gelangen. - Überlege dir, welche Koordinaten sich ändern, wenn eine Strecke parallel zu einer Koordinatenachse verläuft.

1. Berechnung der Vektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Längenberechnung: \(|\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 3^2} = 5\) und \(|\vec{AD}| = \sqrt{(-5)^2 + 0^2 + 0^2} = 5\). Die Längen sind mit \(5\,\text{LE}\) gleich. 3. Skalarprodukt: \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0 \cdot (-5) + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0\). Da das Skalarprodukt null ist, stehen die Kanten senkrecht aufeinander. 4. Punkt \(C\): \(\vec{OC} = \vec{OB} + \vec{AD} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix}\), also \(C(-1|5|5)\). 5. Parallelität: Da sich bei den Punkten \(A\) und \(D\) (ebenso bei \(B\) und \(C\)) nur die \(x\)-Koordinate unterscheidet, verläuft die Kante \(AD\) parallel zur \(x\)-Achse. Die darauf senkrecht stehenden Würfelflächen \(ABFE\) und \(DCGH\) sind somit parallel zur \(yz\)-Ebene.

a) \(|\vec{AB}| = 5\), \(|\vec{AD}| = 5\). b) \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0\). c) \(C(-1|5|5)\). d) Die Flächen \(ABFE\) und \(DCGH\) sind parallel zur \(yz\)-Ebene, da die Kante \(AD\) parallel zur \(x\)-Achse liegt (nur die \(x\)-Koordinate von \(A\) und \(D\) variiert).

- Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Punkten im Raum? - Was zeichnet die Koordinaten eines Punktes aus, der auf der \(z\)-Achse liegt? - Wie stellst du die Koordinaten eines allgemeinen Punktes auf einer Geraden dar? - Welche Bedingung muss für das Skalarprodukt zweier Vektoren gelten, wenn diese einen rechten Winkel einschließen?

1. Gleichschenkligkeit: Für \(P(0|y|z)\) gilt \(\vec{PA} = \begin{pmatrix} 3 \\ -y \\ -z \end{pmatrix}\) und \(\vec{PB} = \begin{pmatrix} -3 \\ -y \\ -z \end{pmatrix}\). Die Längen sind \(|\vec{PA}| = \sqrt{3^2 + (-y)^2 + (-z)^2} = \sqrt{9 + y^2 + z^2}\) und \(|\vec{PB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-y)^2 + (-z)^2} = \sqrt{9 + y^2 + z^2}\). Da \(|\vec{PA}| = |\vec{PB}|\), ist das Dreieck stets gleichschenklig. 2. Gleichseitigkeit: Die Basislänge ist \(|AB| = 6\). Für \(P(0|0|z)\) auf der \(z\)-Achse gilt \(|\vec{PA}| = \sqrt{9 + z^2}\). Die Bedingung \(\sqrt{9 + z^2} = 6\) führt zu \(9 + z^2 = 36\), also \(z^2 = 27\) bzw. \(z = \pm 3\sqrt{3}\). Die Punkte sind \(P_1(0|0|3\sqrt{3})\) und \(P_2(0|0|-3\sqrt{3})\). 3. Rechter Winkel bei \(Q\): Ein Punkt auf \(g\) hat die Form \(Q(k|2|0)\). Die Vektoren sind \(\vec{QA} = \begin{pmatrix} 3-k \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{QB} = \begin{pmatrix} -3-k \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\). Das Skalarprodukt \(\vec{QA} \cdot \vec{QB} = (3-k)(-3-k) + (-2)(-2) + 0 = k^2 - 9 + 4 = k^2 - 5\) muss Null sein. Dies ergibt \(k = \pm \sqrt{5}\). Mögliche Punkte sind \(Q_1(\sqrt{5}|2|0)\) und \(Q_2(-\sqrt{5}|2|0)\).

a) Nachweis über \(|\vec{PA}| = |\vec{PB}| = \sqrt{9 + y^2 + z^2}\). b) \(P_1(0|0|3\sqrt{3})\) und \(P_2(0|0|-3\sqrt{3})\). c) \(Q_1(\sqrt{5}|2|0)\) oder \(Q_2(-\sqrt{5}|2|0)\).

- Wie berechnet man die Länge eines Vektors zwischen zwei Punkten? - Welche Seiten müssen in einem gleichschenkligen Dreieck gleich lang sein, wenn \(AB\) die Basis ist? - Was bedeutet „gleichseitig“ für die Längen aller drei Seiten? - Welches mathematische Werkzeug hilft dabei, die Orthogonalität zweier Vektoren zu prüfen?

1. Berechnung der Seitenlängenquadrate: \(\vec{AC_k} = \begin{pmatrix} 1+k \\ 2-k \\ -1-k \end{pmatrix} \Rightarrow |\vec{AC_k}|^2 = (1+k)^2 + (2-k)^2 + (-1-k)^2 = 3k^2 + 6\) \(\vec{BC_k} = \begin{pmatrix} -1+k \\ -2-k \\ 1-k \end{pmatrix} \Rightarrow |\vec{BC_k}|^2 = (-1+k)^2 + (-2-k)^2 + (1-k)^2 = 3k^2 + 6\) Da \(|\vec{AC_k}| = |\vec{BC_k}|\) für alle \(k \in \mathbb{R}\) gilt, ist jedes Dreieck gleichschenklig mit der Basis \(AB\). 2. Bedingung für Gleichseitigkeit: \(|\vec{AB}|^2 = 2^2 + 4^2 + (-2)^2 = 24\). Gleichsetzen: \(3k^2 + 6 = 24 \Rightarrow 3k^2 = 18 \Rightarrow k^2 = 6 \Rightarrow k = \pm \sqrt{6}\). 3. Bedingung für rechten Winkel bei \(C_k\): Das Skalarprodukt \(\vec{C_k A} \cdot \vec{C_k B}\) muss null sein. \(\vec{C_k A} = \begin{pmatrix} -1-k \\ -2+k \\ 1+k \end{pmatrix}\), \(\vec{C_k B} = \begin{pmatrix} 1-k \\ 2+k \\ -1+k \end{pmatrix}\). \(\vec{C_k A} \cdot \vec{C_k B} = (-1-k)(1-k) + (-2+k)(2+k) + (1+k)(-1+k) = (k^2-1) + (k^2-4) + (k^2-1) = 3k^2 - 6\). \(3k^2 - 6 = 0 \Rightarrow k^2 = 2 \Rightarrow k = \pm \sqrt{2}\).

a) Wegen \(|\vec{AC_k}| = |\vec{BC_k}| = \sqrt{3k^2+6}\) sind alle Dreiecke gleichschenklig mit der Basis \(AB\). b) Das Dreieck ist gleichseitig für \(k_1 = \sqrt{6}\) und \(k_2 = -\sqrt{6}\). c) Ein rechter Winkel bei \(C_k\) tritt für \(k_3 = \sqrt{2}\) und \(k_4 = -\sqrt{2}\) auf.

- Wann ist das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich null? - Wie multipliziert man einen Vektor mit einer Summe von Vektoren? - Überlege, ob du die Rechenregeln für das Skalarprodukt (wie das Distributivgesetz) nutzen kannst, um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Bedingung für Orthogonalität: Das Skalarprodukt muss null ergeben. Rechnung: \(2 \cdot 3 + 1 \cdot (-4) + z \cdot 2 = 0\). 2. Auflösen nach \(z\): \(6 - 4 + 2z = 0 \implies 2 + 2z = 0 \implies z = -1\). 3. Berechnung des Skalarprodukts mit dem Distributivgesetz: \(\vec{u} \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} + \vec{u} \cdot \vec{v}\). 4. Da \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) (aus a), berechnet man nur \(\vec{u} \cdot \vec{u} = 2^2 + 1^2 + (-1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6\). Alternativer Weg für b): Zuerst den Summenvektor \(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\) bilden und dann \(\vec{u} \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = 2 \cdot 5 + 1 \cdot (-3) + (-1) \cdot 1 = 10 - 3 - 1 = 6\).

a) \(z = -1\) b) \(\vec{u} \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = 6\)

- Welche mathematische Bedingung muss für das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren gelten? - Stelle eine Gleichung auf, in der die Variable \(k\) vorkommt. - Welche Art von Gleichung erhältst du nach dem Zusammenfassen der Terme und wie löst man diese?

1. Bedingung für Orthogonalität: Das Skalarprodukt der beiden Vektoren muss null sein: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\). 2. Aufstellen der Gleichung: \(k \cdot k + 5 \cdot (-6) + k \cdot 1 = 0\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(k^2 - 30 + k = 0\), umgeformt \(k^2 + k - 30 = 0\). 4. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisieren): \((k + 6)(k - 5) = 0\). 5. Bestimmung der Lösungen: \(k_1 = -6\) und \(k_2 = 5\).

Die Vektoren sind für \(k = -6\) und \(k = 5\) orthogonal zueinander.

- Nutze für Aufgabenteil a) die komponentenweise Berechnung des Skalarprodukts. - In Teil b) solltest du untersuchen, welche Bedingungen die einzelnen Faktoren der Formel erfüllen müssen, damit das Gesamtergebnis null wird. - Welchen Wert muss der Kosinus annehmen, damit das Produkt verschwindet?

1. Berechnung von \(y\) über die Definition des Skalarprodukts: \(2 \cdot 3 + 4 \cdot y + (-1) \cdot 2 = 0\). 2. Vereinfachung der Gleichung: \(6 + 4y - 2 = 0 \Rightarrow 4y + 4 = 0\). 3. Lösung nach \(y\): \(y = -1\). 4. Erläuterung zur Formel: Das Produkt auf der rechten Seite der Gleichung \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\varphi)\) wird null, wenn mindestens einer der drei Faktoren null ist. 5. Wenn \(\vec{a} \neq \vec{0}\) und \(\vec{b} \neq \vec{0}\) gelten, sind deren Beträge \(|\vec{a}|\) und \(|\vec{b}|\) größer als null. 6. Das Produkt kann dennoch null werden, wenn \(\cos(\varphi) = 0\) gilt, was bei einem Winkel von \(\varphi = 90^\circ\) der Fall ist.

a) \(y = -1\) b) Das Skalarprodukt wird null, wenn \(\cos(\varphi) = 0\) gilt. Dies ist bei \(\varphi = 90^\circ\) der Fall, sodass auch für Vektoren mit einer Länge größer als null das Skalarprodukt null sein kann, sofern sie orthogonal zueinander stehen.

- Wann stehen zwei Vektoren mathematisch gesehen senkrecht aufeinander? - Erinnere dich an die Definition des Skalarprodukts und wie man es berechnet. - Nach dem Aufstellen der Bedingung erhältst du eine Gleichung, in der die Variable quadratisch vorkommt. - Welche Verfahren kennst du, um die Nullstellen einer solchen Funktion zu finden?

1. Bedingung für Orthogonalität aufstellen: Das Skalarprodukt der Vektoren muss null sein, also \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\). 2. Skalarprodukt berechnen: \(t \cdot t + t \cdot (-5) + 4 \cdot 1 = t^2 - 5t + 4\). 3. Quadratische Gleichung lösen: \(t^2 - 5t + 4 = 0\). 4. Anwendung der Lösungsformel (p-q-Formel) oder Faktorisieren: \((t - 1)(t - 4) = 0\). 5. Die Lösungen sind \(t_1 = 1\) und \(t_2 = 4\).

\(t_1 = 1\) und \(t_2 = 4\)

- Wie hängen die Länge eines Vektors und das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst zusammen? - Welche Vektoren bilden die Seiten des Parallelogramms und in welcher Beziehung müssen sie für ein Rechteck stehen? - Kannst du die Gleichung für die Diagonalenlängen so umformen, dass du die binomischen Formeln für Vektoren anwenden kannst? - Was bedeutet ein Skalarprodukt von null für die geometrische Anordnung zweier Vektoren?

1. Ansatz über die Quadrate der Längen: Die Bedingung \(|\vec{e}| = |\vec{f}|\) ist äquivalent zu \(|\vec{e}|^2 = |\vec{f}|^2\). 2. Einsetzen der Vektorsummen: \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2\). 3. Anwendung der Rechenregeln für das Skalarprodukt (Distributivgesetz): \(|\vec{a}|^2 + 2 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2\). 4. Vereinfachung der Gleichung durch Subtraktion von \(|\vec{a}|^2\) und \(|\vec{b}|^2\): \(2 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) = -2 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b})\). 5. Umformung zur Orthogonalitätsbedingung: \(4 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0\), woraus \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) folgt. 6. Geometrische Interpretation: Da das Skalarprodukt der aufspannenden Vektoren null ist, stehen die Seiten des Parallelogramms senkrecht aufeinander, womit es definitionsgemäß ein Rechteck ist.

Die Gleichheit der Diagonalenlängen \(|\vec{e}| = |\vec{f}|\) ist äquivalent zu \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2\). Durch Ausmultiplizieren ergibt sich \(|\vec{a}|^2 + 2 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2\), was zu \(4 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0\) vereinfacht wird. Dies bedeutet \(\vec{a} \perp \vec{b}\), was die Eigenschaft eines Rechtecks ist.

- Welche beiden Vektoren schließen den Winkel im Punkt \(C\) ein? - Welche Bedingung muss für das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren erfüllt sein, wenn dort ein rechter Winkel vorliegt? - Stelle eine Gleichung auf, in der nur noch die Unbekannte \(x\) vorkommt. - Erinnerst du dich an eine binomische Formel, die dir beim Lösen der entstandenen quadratischen Gleichung helfen könnte?

1. Aufstellen der Vektoren, die den rechten Winkel bei \(C\) bilden: \(\vec{CA} = \vec{a} - \vec{c} = \begin{pmatrix} -x \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{CB} = \vec{b} - \vec{c} = \begin{pmatrix} 4-x \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 2. Anwendung der Orthogonalitätsbedingung: Da der Winkel bei \(C\) ein rechter Winkel ist, muss das Skalarprodukt \(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0\) gelten. 3. Berechnung des Skalarprodukts: \((-x) \cdot (4-x) + (-4) \cdot (-2) + (-2) \cdot 2 = -4x + x^2 + 8 - 4\). 4. Aufstellen der quadratischen Gleichung: \(x^2 - 4x + 4 = 0\). 5. Lösen der Gleichung: Die Gleichung lässt sich als Binom \((x-2)^2 = 0\) schreiben, woraus die einzige Lösung \(x = 2\) folgt.

\(x = 2\)

- Welche Vektoreigenschaften müssen für ein Parallelogramm erfüllt sein? - Wie unterscheiden sich die Seitenlängen einer Raute von denen eines allgemeinen Parallelogramms? - Mit welchem Rechenverfahren kannst du überprüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinanderstehen? - Überlege dir, welche zusätzliche Eigenschaft eine Raute zu einem Quadrat macht.

1. Berechnung der Verbindungsvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 6-4 \\ 3-1 \\ 6-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{AB} = \vec{DC}\), handelt es sich um ein Parallelogramm. 2. Berechnung der Seitenlängen: \(|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3\). Für die benachbarte Seite gilt \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) mit der Länge \(|\vec{AD}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\). Da alle Seiten im Parallelogramm gleich lang sind (\(3=3\)), ist es eine Raute. 3. Prüfung auf rechte Winkel: Das Skalarprodukt \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 2 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = 4 - 2 + 2 = 4\). Da \(4 \neq 0\), liegt kein rechter Winkel vor. Somit ist die Raute kein Quadrat.

Das Viereck ist ein Parallelogramm, da \(\vec{AB} = \vec{DC}\). Da die benachbarten Seiten \(\vec{AB}\) und \(\vec{AD}\) beide die Länge \(3\) besitzen, ist es eine Raute. Da das Skalarprodukt \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 4 \neq 0\) ist, sind die Seiten nicht orthogonal, weshalb kein Quadrat vorliegt.

- Kannst du die Koordinaten von \(R_t\) in eine Form bringen, die einer bekannten Linien- oder Flächenform im Raum entspricht? - Erinnere dich daran, welche Vektoren den Winkel an einer bestimmten Ecke des Dreiecks aufspannen. - Welches Werkzeug hilft dir zu prüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinanderstehen? - Stelle für die Teilaufgaben b) und c) jeweils eine Gleichung auf, die den Parameter \(t\) enthält.

1. Darstellung der Ortskurve: Die Koordinaten von \(R_t\) lassen sich als Geradengleichung schreiben: \(\vec{r_t} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die Punkte liegen auf einer Geraden. 2. Rechter Winkel bei \(P\): \(\vec{PQ} \cdot \vec{PR_t} = 0\) \(\vec{PQ} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{PR_t} = \begin{pmatrix} t-3 \\ 2t-2 \\ 1 \end{pmatrix}\) \((-2) \cdot (t-3) + 2 \cdot (2t-2) + 2 \cdot 1 = -2t + 6 + 4t - 4 + 2 = 2t + 4 = 0 \implies t = -2\). 3. Rechter Winkel bei \(Q\): \(\vec{QP} \cdot \vec{QR_t} = 0\) \(\vec{QP} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(\vec{QR_t} = \begin{pmatrix} t-1 \\ 2t-4 \\ -1 \end{pmatrix}\) \(2 \cdot (t-1) - 2 \cdot (2t-4) - 2 \cdot (-1) = 2t - 2 - 4t + 8 + 2 = -2t + 8 = 0 \implies t = 4\).

a) Die Punkte \(R_t\) liegen auf einer Geraden durch den Punkt \((0|0|2)\) mit dem Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\). b) \(t = -2\) c) Ja, für \(t = 4\) ist das Dreieck bei \(Q\) rechtwinklig.

- Wie berechnet man einen Vektor zwischen zwei Punkten im Raum? - Was bedeutet es für die Geometrie eines Vierecks, wenn gegenüberliegende Vektoren identisch sind? - Welche Eigenschaft müssen die Seitenvektoren erfüllen, damit ein rechter Winkel entsteht? - Reicht die Parallelität der Seiten aus, um ein Rechteck eindeutig zu identifizieren?

1. Berechnung der Vektoren durch Differenzbildung der Punktkoordinaten: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 2-1 \\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 6-3 \\ 5-4 \\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\). \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 3-2 \\ 4-1 \\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 6-5 \\ 5-2 \\ 2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Da \(\vec{AB} = \vec{DC}\) (und \(\vec{AD} = \vec{BC}\)), sind die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang. Somit ist das Viereck ein Parallelogramm. 3. Prüfung auf ein Rechteck mittels Skalarprodukt benachbarter Seitenvektoren: \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 0 = 3 + 3 + 0 = 6\). Da das Skalarprodukt ungleich Null ist, liegt kein rechter Winkel vor. Das Viereck ist ein Parallelogramm, aber kein Rechteck.

a) \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{AD} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\). b) Es handelt sich um ein Parallelogramm, da die gegenüberliegenden Seitenvektoren gleich sind. Es ist kein Rechteck, da das Skalarprodukt \(\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 6 \neq 0\) ist.

- Woran erkennt man mathematisch, dass zwei Vektoren senkrecht aufeinanderstehen? - Wie berechnet man die Länge eines Vektors mit gegebenen Komponenten? - Kannst du aus den Bedingungen ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten erstellen? - Versuche, eine der Variablen in einer Gleichung zu isolieren und in die andere einzusetzen.

1. Bedingung für Orthogonalität aufstellen: Das Skalarprodukt von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) muss null sein: \(1 \cdot x + (-2) \cdot 2 + 2 \cdot y = 0\). Daraus folgt die lineare Gleichung \(x - 4 + 2y = 0\) bzw. \(x = 4 - 2y\). 2. Bedingung für die Länge aufstellen: Der Betrag von \(\vec{v}\) muss \(3\) sein: \(\sqrt{x^2 + 2^2 + y^2} = 3\). Quadrieren liefert \(x^2 + 4 + y^2 = 9\), also \(x^2 + y^2 = 5\). 3. Substitution und Lösung: Setzt man \(x = 4 - 2y\) in die quadratische Gleichung ein, erhält man \((4 - 2y)^2 + y^2 = 5\). Ausmultiplizieren führt auf \(16 - 16y + 4y^2 + y^2 = 5\), vereinfacht zu \(5y^2 - 16y + 11 = 0\). 4. Die quadratische Gleichung liefert die Lösungen \(y_1 = 1\) und \(y_2 = 2{,}2\). 5. Durch Einsetzen in \(x = 4 - 2y\) ergeben sich die zugehörigen Werte \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -0{,}4\).

Es gibt zwei mögliche Lösungen für das Paar \((x|y)\): Lösung 1: \(x = 2\) und \(y = 1\) Lösung 2: \(x = -0{,}4\) und \(y = 2{,}2\)

- Wann stehen zwei Vektoren mathematisch gesehen senkrecht aufeinander? - Wie berechnet man die Länge (den Betrag) eines Vektors im Raum? - Wenn du einen Vektor mit einer Zahl multiplizierst, was passiert dann mit seiner Richtung und seiner Länge? - Überlege dir, wie sich das Skalarprodukt verhält, wenn man einen der Vektoren mit einem Streckungsfaktor multipliziert.

1. Orthogonalitätsbedingung aufstellen: Das Skalarprodukt \(\vec{v} \cdot \vec{x}\) muss null ergeben. Es folgt \(2 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 + 1 \cdot x_3 = 0\). 2. Gleichung lösen: \(2 - 4 + x_3 = 0 \Rightarrow x_3 = 2\). Der Vektor ist \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). 3. Länge berechnen: \(|\vec{x}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\). 4. Skalierung für \(\vec{y}\): Da die Ziel-Länge \(12\) das Vierfache der aktuellen Länge \(3\) ist, gilt \(\vec{y} = 4 \cdot \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix}\). 5. Begründung der Orthogonalität: Aufgrund der Linearität des Skalarprodukts gilt \(\vec{v} \cdot (k \cdot \vec{x}) = k \cdot (\vec{v} \cdot \vec{x})\). Da \(\vec{v} \cdot \vec{x} = 0\), ist auch jedes Vielfache von \(\vec{x}\) orthogonal zu \(\vec{v}\).

a) \(x_3 = 2\) b) \(|\vec{x}| = 3\) c) \(\vec{y} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix}\) d) Da \(\vec{y}\) ein Vielfaches von \(\vec{x}\) ist (\(\vec{y} = 4\vec{x}\)) und \(\vec{x}\) orthogonal zu \(\vec{v}\) ist, gilt \(\vec{v} \cdot \vec{y} = \vec{v} \cdot (4\vec{x}) = 4 \cdot (\vec{v} \cdot \vec{x}) = 4 \cdot 0 = 0\).

- Welches Rechenwerkzeug hilft dir zu prüfen, ob Vektoren einen rechten Winkel einschließen? - Versuche, dir einen Vektor als Stab im Raum vorzustellen. Wo könnten überall andere Stäbe liegen, die senkrecht dazu sind? - Denke an das Konzept einer Normalenform bei Ebenen. - Wie viele Dimensionen bleiben „übrig“, wenn du eine Bedingung (senkrecht zu einem Vektor) im 3D-Raum vorgibst?

1. Bedingung für Orthogonalität: Das Skalarprodukt \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) muss null sein: \(k \cdot 2 + 6 \cdot k + (-2) \cdot 10 = 0\). 2. Gleichung nach \(k\) auflösen: \(2k + 6k - 20 = 0 \Rightarrow 8k = 20 \Rightarrow k = 2{,}5\). 3. Geometrische Erklärung Raum: Alle Vektoren, die orthogonal zu einem festen Vektor \(\vec{n}\) sind, liegen in einer Ebene, für die \(\vec{n}\) der Normalenvektor ist. In dieser Ebene gibt es unendlich viele verschiedene Richtungen. 4. Geometrische Erklärung Ebene: In einer zweidimensionalen Ebene gibt es zu einem Vektor nur eine dazu senkrechte Gerade. Auf dieser Geraden existieren lediglich zwei mögliche Orientierungen (Richtungen).

a) \(k = 2{,}5\) b) Im \(\mathbb{R}^3\) bilden alle zu \(\vec{n}\) orthogonalen Vektoren eine Ebene durch den Ursprung, deren Normalenvektor \(\vec{n}\) ist. Da eine Ebene unendlich viele Richtungen enthält, gibt es unendlich viele orthogonale Vektoren. Im \(\mathbb{R}^2\) liegen alle zu einem festen Vektor orthogonalen Vektoren auf einer Geraden durch den Ursprung; diese Gerade besitzt zwei entgegengesetzte Orientierungen.

- Überlege dir, welche zwei Vektoren den Winkel im Punkt \(E\) einschließen. - Nutze das Skalarprodukt als Werkzeug, um die Bedingung für einen rechten Winkel in eine Gleichung für \(k\) zu übersetzen. - Um zu prüfen, ob ein Dreieck gleichschenklig ist, musst du die Längen der drei Seiten vergleichen.

1. Aufstellen der Vektoren, die im Punkt \(E\) zusammentreffen: \(\vec{ED} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 1-2 \\ k-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ k-1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{EF} = \begin{pmatrix} 1-3 \\ 5-2 \\ 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). 2. Bedingung für Orthogonalität: \(\vec{ED} \cdot \vec{EF} = 0\). 3. Berechnung des Skalarprodukts: \((-2) \cdot (-2) + (-1) \cdot 3 + (k-1) \cdot 1 = 4 - 3 + k - 1 = k\). 4. Daraus folgt für den rechten Winkel bei \(E\): \(k = 0\). 5. Untersuchung für \(k=4\): Länge \(DE\): \(|\vec{DE}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (1-4)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}\). Länge \(EF\): \(|\vec{EF}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}\). Länge \(DF\): \(|\vec{DF}| = \sqrt{(1-1)^2 + (5-1)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{0 + 16 + 4} = \sqrt{20}\). Da \(|\vec{DE}| = |\vec{EF}|\), ist das Dreieck für \(k=4\) gleichschenklig.

a) Für \(k = 0\) ist das Dreieck bei \(E\) rechtwinklig. b) Für \(k = 4\) ist das Dreieck gleichschenklig, da die Seiten \(DE\) und \(EF\) beide die Länge \(\sqrt{14}\) besitzen.

- Nutze die Eigenschaft eines Parallelogramms, dass gegenüberliegende Seiten durch identische Vektoren dargestellt werden können. - Wodurch unterscheidet sich eine Raute von einem allgemeinen Parallelogramm hinsichtlich der Seitenlängen? - Wie kannst du schnell feststellen, ob ein Innenwinkel \(90^\circ\) beträgt? - Denk daran, dass für ein Rechteck das Skalarprodukt benachbarter Seitenvektoren Null sein muss.

1. Berechnung von \(D\): In einem Parallelogramm gilt \(\vec{AD} = \vec{BC}\). Mit \(\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) folgt \(\vec{D} = \vec{A} + \vec{BC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\). Der Punkt ist \(D(2|4|3)\). 2. Prüfung auf Raute (Seitenlängen): Berechne die Längen benachbarter Seitenvektoren. \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\), also \(|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = 5\). \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\), also \(|\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 4^2} = 5\). Da \(|\vec{AB}| = |\vec{BC}|\), ist das Parallelogramm eine Raute. 3. Prüfung auf Rechteck (Winkel): Berechne das Skalarprodukt \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 3 + 0 \cdot 4 = 12\). Da \(12 \neq 0\), sind die Seiten nicht orthogonal. Es ist kein Rechteck.

a) Der vierte Punkt ist \(D(2|4|3)\). b) Das Parallelogramm ist eine Raute, da die benachbarten Seiten gleich lang sind (\(|\vec{AB}| = 5\) und \(|\vec{BC}| = 5\)). Es ist kein Rechteck, da das Skalarprodukt \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 12 \neq 0\) ist und somit kein rechter Winkel vorliegt.

- Stelle die Raumdiagonalen als Vektoren mithilfe der Kantenlängen dar. - Wann ist das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich null? - Betrachte die verschiedenen Vorzeichenkombinationen für die Komponenten der Diagonalvektoren. - Überlege, was passieren würde, wenn mehrere dieser Bedingungen gleichzeitig für dieselben Werte gelten müssten.

1. Die Raumdiagonalen eines Quaders mit den Kantenlängen \(a\), \(b\) und \(c\) lassen sich als Vektoren darstellen, zum Beispiel \(\vec{d_1} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) und \(\vec{d_2} = \begin{pmatrix} -a \\ b \\ c \end{pmatrix}\). Die Orthogonalität ist erfüllt, wenn das Skalarprodukt null ist: \(\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = -a^2 + b^2 + c^2 = 0\). Dies führt zur Bedingung \(a^2 = b^2 + c^2\). Analog ergeben sich für andere Paare von Raumdiagonalen die Bedingungen \(b^2 = a^2 + c^2\) oder \(c^2 = a^2 + b^2\). Somit müssen zwei Kantenlängen im Quadrat addiert das Quadrat der dritten Kantenlänge ergeben. 2. Damit alle vier Raumdiagonalen paarweise orthogonal sind, müssten alle drei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein: \(a^2 = b^2 + c^2\), \(b^2 = a^2 + c^2\) und \(c^2 = a^2 + b^2\). Addiert man beispielsweise die ersten beiden Gleichungen, erhält man \(a^2 + b^2 = a^2 + b^2 + 2c^2\), woraus \(2c^2 = 0\) und somit \(c = 0\) folgt. Da ein Quader jedoch positive Kantenlängen besitzen muss, ist dies unmöglich. Es gibt also keinen solchen Quader.

1. Zwei Raumdiagonalen sind orthogonal, wenn das Quadrat einer Kantenlänge gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Kantenlängen ist (z. B. \(a^2 = b^2 + c^2\)). 2. Nein, ein solcher Quader existiert nicht, da dies auf Kantenlängen von \(0\) führen würde.

- Wie hängen die Diagonalen in einer Skizze mit den Seitenvektoren zusammen? - Wann ergibt das Skalarprodukt zweier Vektoren den Wert Null? - Gibt es eine Rechenregel für das Skalarprodukt, die der dritten binomischen Formel ähnelt? - Was bedeutet es für die Geometrie eines Parallelogramms, wenn zwei benachbarte Seiten gleich lang sind?

1. Aufstellen der Diagonalvektoren: \(\vec{e} = \vec{a} + \vec{b}\) und \(\vec{f} = \vec{b} - \vec{a}\). 2. Berechnung des Skalarprodukts: \(\vec{e} \cdot \vec{f} = (\vec{b} + \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = \vec{b} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2\). 3. Orthogonalitätsbedingung: Die Diagonalen sind orthogonal, wenn \(\vec{e} \cdot \vec{f} = 0\). Dies führt zu \(|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 = 0\), also \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\). 4. Schlussfolgerung: Da die anliegenden Seiten \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) gleich lang sein müssen, handelt es sich bei dem Parallelogramm um eine Raute.

a) \(\vec{e} = \vec{a} + \vec{b}\) und \(\vec{f} = \vec{b} - \vec{a}\) b) Das Skalarprodukt \(\vec{e} \cdot \vec{f} = |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2\) ist genau dann null, wenn \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\) gilt. Ein Parallelogramm mit gleich langen Seiten ist eine Raute.

- Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei Punkten, wenn die Vektoren vom Ursprung aus gegeben sind? - Der Vektor der Seitenhalbierenden zeigt vom Eckpunkt \(A\) zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. - Was muss für das Skalarprodukt gelten, damit zwei Vektoren einen rechten Winkel bilden? - Berechne die Längen der beiden vom Punkt \(A\) ausgehenden Seiten. Was sagt dies über die Symmetrie des Dreiecks aus?

1. Berechnung von \(\vec{w} = \vec{BC} = \vec{v} - \vec{u} = \begin{pmatrix} -3-4 \\ 4-0 \\ 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der Seitenhalbierenden \(\vec{s}_a = \frac{1}{2}(\vec{u} + \vec{v}) = \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 2 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}\). 3. Skalarprodukt bilden: \(\vec{s}_a \cdot \vec{w} = 0{,}5 \cdot (-7) + 2 \cdot 4 + 1{,}5 \cdot (-3) = -3{,}5 + 8 - 4{,}5 = 0\). Die Vektoren sind orthogonal. 4. Längenvergleich: \(|\vec{u}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2} = 5\) und \(|\vec{v}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = 5\). 5. Da das Dreieck gleichschenklig mit \(|\vec{AB}| = |\vec{AC}|\) ist, fällt die Seitenhalbierende der Basis mit der Höhe zusammen und steht somit orthogonal auf der Basis.

a) \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -7 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}\); \(\vec{s}_a = \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 2 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{s}_a \cdot \vec{w} = 0\), daher sind sie orthogonal. c) Da \(|\vec{AB}| = 5\) und \(|\vec{AC}| = 5\) gleich lang sind, ist das Dreieck gleichschenklig. In einem gleichschenkligen Dreieck steht die Seitenhalbierende der Basis stets senkrecht auf dieser.

- Wenn ein Vektor senkrecht auf einer Ebene steht, welche Bedingung muss er dann im Bezug auf die Spannvektoren erfüllen? - Du kannst die Orthogonalität entweder über das Skalarprodukt (Gleichungssystem) oder über das Kreuzprodukt ausdrücken. - Falls du das Kreuzprodukt nutzt: Wie musst du den resultierenden Vektor verändern, damit die letzte Koordinate genau \(6\) ergibt?

1. Da \(\vec{w}\) senkrecht auf der Ebene steht, muss er orthogonal zu den Spannvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) sein. Das Skalarprodukt muss jeweils null ergeben. 2. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems: I: \(\vec{w} \cdot \vec{u} = w_1 + w_2 + 6 = 0\) II: \(\vec{w} \cdot \vec{v} = 2w_1 - w_2 + 18 = 0\) 3. Addition der beiden Gleichungen, um \(w_2\) zu eliminieren: \(3w_1 + 24 = 0 \implies 3w_1 = -24 \implies w_1 = -8\). 4. Einsetzen von \(w_1\) in Gleichung I: \(-8 + w_2 + 6 = 0 \implies w_2 - 2 = 0 \implies w_2 = 2\). Alternativer Weg: Berechnung des Kreuzprodukts \(\vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}\) und anschließende Skalierung mit \(k = -2\), um die \(z\)-Komponente \(6\) zu erhalten.

\(w_1 = -8\) und \(w_2 = 2\) (bzw. \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -8 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}\))

- Welches mathematische Werkzeug hilft dir zu prüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinanderstehen? - An welchen Ecken des Dreiecks könnte der rechte Winkel liegen? - Achte darauf, dass für deine Lösungen tatsächlich ein Dreieck existiert und keine Punkte zusammenfallen. - Stelle für jeden der drei Eckpunkte eine Gleichung auf.

1. Identifikation der möglichen Scheitelpunkte für den rechten Winkel: \(O\), \(A\) oder \(B\). Damit ein Dreieck entsteht, muss \(k \neq 0\) gelten, da sonst \(B=O\) wäre. 2. Fall 1: Rechter Winkel bei \(O\). Bedingung: \(\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0\). \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} k \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 1\cdot k + 2\cdot 0 + 2\cdot 0 = k\). \(k = 0\) führt zu keinem Dreieck (Punkt \(B\) fällt mit \(O\) zusammen). 3. Fall 2: Rechter Winkel bei \(A\). Bedingung: \(\vec{AO} \cdot \vec{AB} = 0\). \(\vec{AO} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} k-1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\). \((-1)(k-1) + (-2)(-2) + (-2)(-2) = -k + 1 + 4 + 4 = 9 - k = 0 \implies k = 9\). 4. Fall 3: Rechter Winkel bei \(B\). Bedingung: \(\vec{BO} \cdot \vec{BA} = 0\). \(\vec{BO} = \begin{pmatrix} -k \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{BA} = \begin{pmatrix} 1-k \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\). \((-k)(1-k) + 0 + 0 = k^2 - k = 0 \implies k(k-1) = 0\). Da \(k \neq 0\), bleibt nur \(k = 1\). 5. Zusammenfassung: Das Dreieck ist rechtwinklig für \(k = 1\) oder \(k = 9\).

\(k = 1\) oder \(k = 9\)

- Wenn ein Vektor zu zwei anderen Vektoren senkrecht sein soll, muss er zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllen. - Stelle für jede Orthogonalitätsbedingung eine eigene Gleichung auf. - Du erhältst ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. - Welches Verfahren (Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren) eignet sich hier am besten?

1. Orthogonalitätsbedingungen für beide Vektoren mittels Skalarprodukt aufstellen: I) \(\vec{n} \cdot \vec{u} = 0 \Rightarrow 2x - y + 0 = 0\) II) \(\vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow x + 2y - 5 = 0\) 2. Lineares Gleichungssystem lösen: Aus Gleichung I folgt \(y = 2x\). 3. Einsetzen von \(y = 2x\) in Gleichung II: \(x + 2(2x) - 5 = 0 \Rightarrow 5x = 5 \Rightarrow x = 1\). 4. Berechnen von \(y\): \(y = 2 \cdot 1 = 2\). 5. Die gesuchten Koordinaten sind \(x = 1\) und \(y = 2\).

\(x = 1\) und \(y = 2\)

- Wie lassen sich die Diagonalen eines Parallelogramms durch die Vektoren der Seiten ausdrücken? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Betrag eines Vektors und dem Skalarprodukt mit sich selbst. - Welche Rechenregeln für das Skalarprodukt ähneln den binomischen Formeln? - Was muss für das Skalarprodukt zweier Vektoren gelten, damit diese einen rechten Winkel einschließen? - Überlege dir für den geometrischen Teil, welche Teildreiecke im Rechteck identisch sein könnten.

1. Darstellung der Diagonalenvektoren: \(\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}\) und \(\vec{BD} = \vec{b} - \vec{a}\). 2. Bedingung für gleiche Längen: \(|\vec{AC}| = |\vec{BD}|\) ist äquivalent zu \(|\vec{AC}|^2 = |\vec{BD}|^2\). 3. Anwendung des Skalarprodukts: \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2\). 4. Ausmultiplizieren: \(|\vec{a}|^2 + 2 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{b}|^2 - 2 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}|^2\). 5. Vereinfachung der Gleichung: \(4 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0\), woraus \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) folgt. Dies bedeutet, dass die Seiten \(\overline{AB}\) und \(\overline{AD}\) orthogonal sind, was das Parallelogramm zu einem Rechteck macht. 6. Geometrische Begründung: Ist das Parallelogramm ein Rechteck, sind die Dreiecke \(ABC\) und \(DCB\) nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent, da \(AB = DC\), \(BC\) eine gemeinsame Seite ist und die eingeschlossenen Winkel rechte Winkel sind. Daher gilt \(AC = BD\). Umgekehrt seien \(AC = BD\). Dann sind die Dreiecke \(ABC\) und \(BAD\) nach SSS kongruent, denn \(AB\) ist gemeinsam, \(BC = AD\) und \(AC = BD\). Somit sind die benachbarten Innenwinkel \(\angle ABC\) und \(\angle BAD\) gleich groß. Da benachbarte Innenwinkel eines Parallelogramms zusammen \(180^\circ\) ergeben, sind beide \(90^\circ\); das Parallelogramm ist ein Rechteck.

a) Aus \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2\) folgt nach dem Ausmultiplizieren \(4 \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0\). Dies ist genau dann erfüllt, wenn \(\vec{a} \perp \vec{b}\) gilt, das Parallelogramm also ein Rechteck ist. b) Im Rechteck sind die Dreiecke \(ABC\) und \(DCB\) nach SWS kongruent, also gilt \(AC = BD\). Umgekehrt sind bei \(AC = BD\) die Dreiecke \(ABC\) und \(BAD\) nach SSS kongruent. Die dadurch gleichen benachbarten Innenwinkel des Parallelogramms sind jeweils \(90^\circ\), sodass ein Rechteck vorliegt.

- Prüfe zuerst, ob die Vektoren parallel zueinander sind. - Welche geometrische Figur bilden alle Vektoren, die auf einem einzelnen Vektor senkrecht stehen? - Was passiert mit dem Kreuzprodukt, wenn man es auf parallele Vektoren anwendet? - Wie viele Richtungen gibt es in einer Ebene?

1. Untersuchung der linearen Abhängigkeit: Es gilt \(\vec{v} = -1{,}5 \cdot \vec{u}\). Die Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) sind somit kollinear (parallel). 2. Bedingung für Orthogonalität: Ein Vektor \(\vec{w} = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix}\) ist orthogonal zu \(\vec{u}\), wenn das Skalarprodukt null ist: \(2w_1 + 4w_2 - 6w_3 = 0\). Da \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) parallel sind, ist jeder zu \(\vec{u}\) orthogonale Vektor automatisch auch zu \(\vec{v}\) orthogonal. 3. Beispielhafte Lösung für Teil a): Wähle \(w_3 = 0\) und \(w_2 = 1\), dann folgt \(2w_1 + 4 = 0 \Rightarrow w_1 = -2\). Ein möglicher Vektor ist \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). 4. Begründung für Teil b): Da die beiden Vektoren kollinear sind, legen sie keine eindeutige Ebene im Raum fest, sondern liegen auf einer gemeinsamen Geraden durch den Ursprung. Alle Vektoren, die in der zu dieser Geraden senkrechten Ebene liegen, sind orthogonal zu beiden Vektoren. Da eine Ebene unendlich viele Richtungen enthält, ist die Richtung von \(\vec{w}\) nicht eindeutig.

a) Ein möglicher Vektor ist \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) (andere Lösungen wie \(\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) sind ebenfalls möglich). b) Die Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) sind kollinear und entgegengesetzt gerichtet (\(\vec{v} = -1{,}5 \cdot \vec{u}\)). Sie spannen daher keine eindeutige Ebene auf. Alle Vektoren in der Ebene durch den Ursprung, die orthogonal zu \(\vec{u}\) ist, sind zugleich zu beiden Vektoren orthogonal; deshalb gibt es unendlich viele mögliche Richtungen.

- Nutze das Skalarprodukt, um die Orthogonalität der Diagonalvektoren auszudrücken. - Erinnere dich an die binomischen Formeln im Zusammenhang mit dem Skalarprodukt. - Wie lässt sich der quadrierte Betrag eines Vektors als Skalarprodukt ausdrücken? - Berechne für den zweiten Teil zuerst den Summenvektor der beiden gegebenen Vektoren.

1. Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist. Es gilt: \((\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}) \cdot (\vec{u} + \vec{v} - \vec{w}) = 0\). Unter Anwendung des Distributivgesetzes ergibt sich: \(|\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{w}|^2 = 0\). Daher folgt \(|\vec{u} + \vec{v}| = |\vec{w}|\). Dies bedeutet, dass die Länge von \(\vec{w}\) der Länge der Diagonale der von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) aufgespannten Seitenfläche entsprechen muss. 2. Zunächst wird die Summe \(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) berechnet. Der Betrag dieser Flächendiagonale ist \(|\vec{u} + \vec{v}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\). Gemäß der hergeleiteten Bedingung muss also gelten: \(|\vec{w}| = \sqrt{20} \approx 4{,}47\).

1. Nachweis über \((\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}) \cdot (\vec{u} + \vec{v} - \vec{w}) = |\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{w}|^2 = 0\). 2. Die Länge von \(\vec{w}\) muss \(|\vec{w}| = \sqrt{20} \approx 4{,}47\) betragen.

- Welche Bedingung muss für das Skalarprodukt gelten, damit Orthogonalität vorliegt? - Du hast drei Unbekannte, aber nur zwei Bedingungen. Was bedeutet das für die Anzahl der Lösungen? - Wie sieht die Struktur einer Punktmenge aus, die durch ein Vielfaches eines Richtungsvektors beschrieben wird? - Überlege dir, wie viele Vektoren im Raum senkrecht auf einer Fläche stehen können.

1. Aufstellen des linearen Gleichungssystems über das Skalarprodukt: (I) \(3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0\) (II) \(x_1 - x_2 = 0\) 2. Aus (II) folgt direkt \(x_1 = x_2\). 3. Einsetzen in (I): \(3x_1 + x_1 + 2x_3 = 0 \implies 4x_1 + 2x_3 = 0 \implies x_3 = -2x_1\). 4. Wahl eines Parameters \(t = x_1\): Die Lösungsmenge ist \(L = \{ \vec{x} \in \mathbb{R}^3 \mid \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, t \in \mathbb{R} \}\). 5. Geometrische Interpretation: Die Lösungsmenge beschreibt eine Gerade durch den Ursprung (Ursprungsgerade). 6. Begründung der Nichteindeutigkeit: Alle Vektoren, die ein Vielfaches eines gemeinsamen Normalenvektors sind, stehen ebenfalls orthogonal auf der von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannten Ebene. Da nur die Richtung durch die Orthogonalität festgelegt ist, bleibt die Länge und Orientierung (der Parameter \(t\)) frei wählbar.

a) \(\vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) mit \(t \in \mathbb{R}\). b) Geometrisch handelt es sich um eine Gerade durch den Koordinatenursprung. Die Lösung ist nicht eindeutig, da jeder Vektor auf dieser Geraden die Orthogonalitätsbedingung erfüllt; lediglich die Richtung ist durch die beiden Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) festgelegt.

- Welche Vektoren müssen gleich sein, damit ein Viereck ein Parallelogramm ist? - Wie lässt sich die Orthogonalität zweier Vektoren rechnerisch überprüfen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Seitenlängen bei einer Raute. - Welche speziellen Eigenschaften müssen für ein Quadrat gleichzeitig erfüllt sein?

1. Nachweis des Parallelogramms: Die Verbindungsvektoren gegenüberliegender Seiten werden berechnet. Es gilt \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec{DC} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ 2-0 \\ k-(k-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{AB} = \vec{DC}\) für alle \(k\) gilt, ist \(ABCD\) stets ein Parallelogramm. 2. Bedingung für ein Rechteck: Ein Parallelogramm ist ein Rechteck, wenn ein Innenwinkel \(90^\circ\) beträgt. Mit \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ k-3 \end{pmatrix}\) muss gelten: \(\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0\). Dies führt zu \(2 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot (k-3) = 4 + k - 3 = k + 1 = 0\), woraus \(k = -1\) folgt. 3. Bedingung für eine Raute: Ein Parallelogramm ist eine Raute, wenn benachbarte Seiten gleich lang sind. Es gilt \(|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = 3\). Die Länge von \(BC\) ist \(|\vec{BC}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (k-3)^2} = \sqrt{k^2 - 6k + 13}\). Gleichsetzen ergibt \(9 = k^2 - 6k + 13 \iff k^2 - 6k + 4 = 0\). Die Lösungen sind \(k = 3 \pm \sqrt{5}\). 4. Quadrat-Eigenschaft: Ein Quadrat muss sowohl ein Rechteck (\(k = -1\)) als auch eine Raute (\(k = 3 \pm \sqrt{5}\)) sein. Da diese Bedingungen nicht gleichzeitig erfüllt werden können, existiert kein solches \(k\).

a) Nachweis über \(\vec{AB} = \vec{DC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). b) \(k = -1\) c) \(k = 3 + \sqrt{5}\) oder \(k = 3 - \sqrt{5}\) d) Da die Bedingungen für Rechteck (\(k = -1\)) und Raute (\(k = 3 \pm \sqrt{5}\)) nicht gleichzeitig erfüllbar sind, kann kein Quadrat entstehen.

- Wie hängen die Vektoren \(\vec{CA}\) und \(\vec{CB}\) mit den gegebenen Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) zusammen? - Erinnere dich daran, wie man die Länge eines Vektors über das Skalarprodukt mit sich selbst ausdrückt. - Wann stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander? - Welche Eigenschaft hat der Mittelpunkt einer Strecke in Bezug auf die Eckpunkte? - Ein gleichseitiges Dreieck ist ein spezielles gleichschenkliges Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich lang sind.

1. Berechnung der Seitenvektoren: \(\vec{CA} = \vec{u} - \vec{v}\) und \(\vec{CB} = -\vec{u} - \vec{v}\). 2. Nachweis der Gleichschenkligkeit: Die Quadrate der Seitenlängen sind \(|\vec{AC}|^2 = |\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 - 2 \cdot (\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{v}|^2\) und \(|\vec{BC}|^2 = |-\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + 2 \cdot (\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{v}|^2\). Für \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) folgt \(|\vec{AC}|^2 = |\vec{BC}|^2\), also \(|\vec{AC}| = |\vec{BC}|\). 3. Bedingung für den rechten Winkel bei \(C\): Das Skalarprodukt \(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (-\vec{u} - \vec{v}) = -(\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = -(|\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2) = |\vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2\) muss null sein. Dies ist für \(|\vec{v}| = |\vec{u}|\) erfüllt. Geometrisch bedeutet dies, dass \(C\) auf der Kugel mit Mittelpunkt \(M\) und Radius \(|\vec{u}|\) liegt; die Strecke \(AB\) ist ein Durchmesser dieser Kugel. 4. Gleichseitigkeit: Es muss gelten \(\vec{u} \perp \vec{v}\) (für \(|\vec{AC}|=|\vec{BC}|\)) und \(|\vec{AC}| = |\vec{AB}|\). Mit \(|\vec{AB}| = 2 \cdot |\vec{u}|\) folgt \(|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 = (2 \cdot |\vec{u}|)^2 = 4 \cdot |\vec{u}|^2\). Umformen ergibt \(|\vec{v}|^2 = 3 \cdot |\vec{u}|^2\), also \(|\vec{v}| = \sqrt{3} \cdot |\vec{u}|\). Das Verhältnis ist \(\sqrt{3} : 1\).

a) Nachweis über \(|\vec{AC}|^2 = |\vec{BC}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2\) für \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\). b) Bedingung: \(|\vec{v}| = |\vec{u}|\). Geometrische Deutung: \(C\) liegt auf der Kugel mit Mittelpunkt \(M\) und Radius \(|\vec{u}|\); \(AB\) ist ein Durchmesser. c) Verhältnis: \(|\vec{v}| : |\vec{u}| = \sqrt{3} : 1\).