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- Welche Formel verknüpft das Skalarprodukt mit den Längen der Vektoren und ihrem eingeschlossenen Winkel? - Vergleiche die gegebene Gleichung mit dieser Formel und bestimme den Kosinuswert. - Was bedeutet ein Winkel von \(180^\circ\) für die Richtungen zweier Vektoren?

1. Für den eingeschlossenen Winkel gilt \(\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos(\alpha)\). 2. Mit der gegebenen Bedingung folgt \(|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos(\alpha)=-|\vec{u}|\,|\vec{v}|\). 3. Da beide Vektoren von \(\vec{0}\) verschieden sind, kann durch \(|\vec{u}|\,|\vec{v}|\) dividiert werden. Somit gilt \(\cos(\alpha)=-1\). 4. Daher ist \(\alpha=180^\circ\). Die Vektoren sind kollinear und entgegengesetzt gerichtet.

\(\alpha=180^\circ\). Die Vektoren sind kollinear und entgegengesetzt gerichtet.

- Setze Skalarprodukt und beide Vektorlängen in die Winkelformel ein. - Vereinfache zunächst den Kosinuswert. - Bestimme anschließend den zugehörigen Winkel und vergleiche ihn mit \(90^\circ\).

1. Für den Winkel gilt \(\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\). 2. Einsetzen ergibt \(\cos(\alpha)=\frac{3}{2\cdot3}=\frac{1}{2}\). 3. Daher ist \(\alpha=60^\circ\). Der Winkel ist spitz.

\(\alpha=60^\circ\); der Winkel ist spitz.

- Betrachte in der Winkelbeziehung nur das Vorzeichen des Skalarprodukts. - Die Vektorlängen können das Vorzeichen nicht verändern, weil sie positiv sind. - Welche Vorzeichen hat der Kosinus bei spitzen, rechten und stumpfen Winkeln?

1. Für von null verschiedene Vektoren hat \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) dasselbe Vorzeichen wie \(\cos(\varphi)\), weil beide Vektorlängen positiv sind. 2. Ein negatives Skalarprodukt gehört zu einem stumpfen Winkel. 3. Ein Skalarprodukt von null gehört zu einem rechten Winkel. 4. Ein positives Skalarprodukt gehört zu einem spitzen Winkel.

a) stumpf b) recht c) spitz

- Welche beiden Verbindungsvektoren beginnen am Eckpunkt \(Q\)? - Welche Formel verbindet das Skalarprodukt mit den Beträgen zweier Vektoren und ihrem eingeschlossenen Winkel? - Berechne zuerst Skalarprodukt und Beträge; wende den Arkuskosinus erst im letzten Schritt an.

1. Für den Winkel bei \(Q\) werden die Vektoren \(\vec{QP}=\begin{pmatrix}-4\\0\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{QR}=\begin{pmatrix}-4\\0\\3\end{pmatrix}\) verwendet. 2. Es gilt \(\vec{QP}\cdot\vec{QR}=16\), \(|\vec{QP}|=4\) und \(|\vec{QR}|=5\). 3. Damit ist \(\cos(\beta)=\frac{16}{4\cdot5}=0{,}8\). 4. Folglich ist \(\beta=\arccos(0{,}8)\approx36{,}87^\circ\).

\(\beta\approx36{,}87^\circ\)

- Welche beiden Vektoren beginnen am Scheitelpunkt \(B\)? - Bestimme ihr Skalarprodukt und ihre Längen zunächst exakt. - Wie lässt sich daraus der Kosinus des gesuchten Winkels bestimmen?

1. Die den Winkel bei \(B\) bildenden Vektoren sind \(\vec{BA}=\begin{pmatrix}-3\\-2\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix}\). 2. Ihr Skalarprodukt ist \(\vec{BA}\cdot\vec{BC}=-8\). 3. Die Längen sind \(|\vec{BA}|=\sqrt{13}\) und \(|\vec{BC}|=5\). 4. Somit gilt \(\cos(\beta)=\frac{-8}{5\sqrt{13}}\). 5. Daher ist \(\beta=\arccos\left(\frac{-8}{5\sqrt{13}}\right)\approx116{,}34^\circ\).

\(\beta\approx116{,}34^\circ\)

- Welche beiden Verbindungsvektoren beginnen am Eckpunkt \(B\)? - Bestimme ihr Skalarprodukt und ihre Beträge. - Setze diese Größen in die Winkelformel ein und runde erst den fertigen Winkel.

1. Die beiden Vektoren am Eckpunkt \(B\) sind \(\vec{BA}=\begin{pmatrix}-3\\-4\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}-3\\0\\4\end{pmatrix}\). 2. Es gilt \(\vec{BA}\cdot\vec{BC}=9\) sowie \(|\vec{BA}|=|\vec{BC}|=5\). 3. Damit ist \(\cos(\beta)=\frac{9}{25}=0{,}36\). 4. Folglich ist \(\beta=\arccos(0{,}36)\approx68{,}90^\circ\).

\(\beta\approx68{,}90^\circ\)

- Bestimme zuerst je einen Richtungsvektor der beiden Diagonalen. - Beim spitzen Schnittwinkel zweier Geraden darf die Orientierung der Richtungsvektoren das Ergebnis nicht verändern. - Setze Skalarprodukt und Beträge in die Winkelbeziehung ein und wähle den spitzen Winkel.

1. Die Diagonalvektoren sind \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{BD}=\begin{pmatrix}-4\\0\\2\end{pmatrix}\). 2. Es gilt \(\vec{AC}\cdot\vec{BD}=4\) und \(|\vec{AC}|=|\vec{BD}|=\sqrt{20}\). 3. Für den spitzen Schnittwinkel wird der Betrag des Skalarprodukts verwendet: \(\cos(\phi)=\frac{4}{20}=0{,}2\). 4. Somit ist \(\phi=\arccos(0{,}2)\approx78{,}46^\circ\).

\(\phi\approx78{,}46^\circ\)

- Setze die beiden Vektorlängen gedanklich in den Nenner der Winkelbeziehung ein. - Unter welcher Bedingung ist ein Bruch nicht definiert? - Überlege außerdem, welche geometrische Eigenschaft ein Vektor besitzen muss, damit man seine Richtung mit einer anderen vergleichen kann.

1. Zwar gilt \(\vec{0}\cdot\vec{b}=0\), aber daraus darf hier kein rechter Winkel gefolgert werden. 2. In der Winkelbeziehung \(\cos(\varphi)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\) wäre der Nenner null, weil \(|\vec{a}|=0\). 3. Die Formel ist deshalb für dieses Vektorpaar nicht definiert. 4. Außerdem besitzt der Nullvektor keine Richtung. Ein Winkel zwischen dem Nullvektor und einem anderen Vektor ist daher nicht definiert.

Der Schluss ist falsch. Wegen \(|\vec{a}|=0\) ist die Winkelbeziehung nicht definiert, und der Nullvektor besitzt keine Richtung. Daher ist kein Winkel zwischen \(\vec{0}\) und \(\vec{b}\) definiert.

- Berechne Skalarprodukt und beide Längen zunächst getrennt. - Welche Formel verbindet genau diese drei Größen mit dem eingeschlossenen Winkel? - Prüfe, ob sich für den Kosinus ein bekannter exakter Wert ergibt.

1. Das Skalarprodukt ist \(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\). 2. Für beide Vektoren gilt \(|\vec{a}|=|\vec{b}|=\sqrt{2}\). 3. Damit ist \(\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}=\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\). 4. Also ist \(\alpha=60^\circ\).

a) \(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\), \(|\vec{a}|=|\vec{b}|=\sqrt{2}\) b) \(\alpha=60^\circ\)

- Lies zuerst die waagerechten und senkrechten Komponenten beider Vektoren ab. - Berechne Skalarprodukt und Längen aus diesen Bilddaten, statt den gezeichneten Winkel zu schätzen. - Setze die Ergebnisse erst danach in die Skalarprodukt-Winkelformel ein.

1. Aus dem Bild liest man \(\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\). 2. Es gilt \(\vec{a}\cdot\vec{b}=5\), \(|\vec{a}|=\sqrt{10}\) und \(|\vec{b}|=\sqrt{5}\). 3. Daher ist \(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}=\frac{5}{\sqrt{10}\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\). 4. Somit beträgt der Winkel \(\alpha=45^\circ\).

a) \(\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\), \(\vec{a}\cdot\vec{b}=5\), \(|\vec{a}|=\sqrt{10}\), \(|\vec{b}|=\sqrt{5}\), \(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\) b) \(\alpha=45^\circ\)

- Verwende für jeden Winkel zwei Vektoren mit demselben Anfangspunkt. - Teil b) verlangt den Quotienten aus der Skalarprodukt-Winkelformel als eigenes Ergebnis. - Erst aus diesem exakten Kosinuswert wird der Winkel bestimmt.

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}\). Daher ist \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=0\), also ist der Winkel bei \(A\) recht. 2. Für den Winkel bei \(B\) gilt \(\vec{BA}=\begin{pmatrix}-3\\0\\-4\end{pmatrix}\) und \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}-3\\4\\-4\end{pmatrix}\). 3. Es ist \(\vec{BA}\cdot\vec{BC}=25\), \(|\vec{BA}|=5\) und \(|\vec{BC}|=\sqrt{41}\). 4. Der ausdrücklich verlangte Quotient ist daher \(\frac{25}{5\sqrt{41}}=\frac{5}{\sqrt{41}}\). 5. Somit gilt \(\beta=\arccos\left(\frac{5}{\sqrt{41}}\right)\approx38{,}66^\circ\).

a) \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=0\), also rechter Winkel bei \(A\). b) \(\frac{\vec{BA}\cdot\vec{BC}}{|\vec{BA}|\,|\vec{BC}|}=\frac{5}{\sqrt{41}}\), daher \(\beta\approx38{,}66^\circ\).

- Multipliziere in a) das verlangte Skalarprodukt distributiv aus. - Beide Selbstskalarprodukte lassen sich durch \(L^2\) ersetzen. - Welcher Quotient aus a) ist zugleich der Kosinus des gesuchten Winkels?

1. Wegen \(|\vec{a}|=|\vec{b}|=L\) gilt \((\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=L^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+L^2\). 2. Andererseits ist dieser Wert wegen \(|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}\,L\) gleich \(3L^2\). 3. Damit folgt \(3L^2=2L^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}\), also \(\vec{a}\cdot\vec{b}=-\frac{1}{2}L^2\) und \(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{L^2}=-\frac{1}{2}\). 4. In der Winkelformel ist \(\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}=-\frac{1}{2}\). 5. Daher ist \(\alpha=120^\circ\).

a) \(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{L^2}=-\frac{1}{2}\) b) \(\alpha=120^\circ\)

- Schreibe alle Längen zunächst als Vielfache derselben positiven Größe \(L\). - In a) ist die distributive Entwicklung des Skalarprodukts ausdrücklich Teil der Aufgabe. - Achte in b) darauf, dass im Nenner das Produkt \(|\vec{u}|\,|\vec{v}|\) steht.

1. Es gilt \(|\vec{u}|=L\), \(|\vec{v}|=2L\) und \(|\vec{u}+\vec{v}|^2=7L^2\). 2. Durch Ausmultiplizieren erhält man \((\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})=L^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+4L^2\). 3. Damit gilt \(7L^2=5L^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}\), also \(\vec{u}\cdot\vec{v}=L^2\) und \(\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{L^2}=1\). 4. Für den Winkel \(\alpha\) folgt \(\cos(\alpha)=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}=\frac{L^2}{2L^2}=\frac{1}{2}\). 5. Daher ist \(\alpha=60^\circ\).

a) \(\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{L^2}=1\) b) \(\alpha=60^\circ\)

- Berechne in a) genau die drei Größen, die in der Winkelformel vorkommen. - Der in b) verlangte Quotient ist der Kosinus des eingeschlossenen Winkels. - Runde erst den Winkel, nicht die Zwischenwerte.

1. Es ist \(\vec{d}\cdot\vec{f}=4\cdot4+3\cdot3+12\cdot0=25\). 2. Weiter gilt \(|\vec{d}|=\sqrt{16+9+144}=13\) und \(|\vec{f}|=\sqrt{16+9}=5\). 3. Der verlangte Quotient ist \(\frac{25}{13\cdot5}=\frac{5}{13}\). 4. Daher ist \(\alpha=\arccos\left(\frac{5}{13}\right)\approx67{,}38^\circ\).

a) \(\vec{d}\cdot\vec{f}=25\), \(|\vec{d}|=13\), \(|\vec{f}|=5\) b) \(\frac{\vec{d}\cdot\vec{f}}{|\vec{d}|\,|\vec{f}|}=\frac{5}{13}\), daher \(\alpha\approx67{,}38^\circ\)

- Wähle an jedem Eckpunkt zwei Seitenvektoren, die genau dort beginnen. - Die drei exakten Kosinuswerte sind ausdrücklich Teil der Antwort; bestimme sie jeweils aus Skalarprodukt und Vektorlängen. - Für die Gleichschenkligkeit genügt anschließend ein exakter Vergleich zweier Seitenlängen.

1. Am Punkt \(A\) gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}-4\\3\\0\end{pmatrix}\). Damit ist \(\cos(\alpha)=\frac{0}{5\cdot5}=0\), also \(\alpha=90^\circ\). 2. Am Punkt \(B\) gilt \(\vec{BA}=\begin{pmatrix}-3\\-4\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}-7\\-1\\0\end{pmatrix}\). Daher ist \(\cos(\beta)=\frac{25}{5\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\), also \(\beta=45^\circ\). 3. Am Punkt \(C\) gilt \(\vec{CA}=\begin{pmatrix}4\\-3\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{CB}=\begin{pmatrix}7\\1\\0\end{pmatrix}\). Somit ist \(\cos(\gamma)=\frac{25}{5\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\), also \(\gamma=45^\circ\). 4. Außerdem gilt \(|\vec{AB}|=|\vec{AC}|=5\). Das Dreieck ist daher gleichschenklig und wegen \(\alpha=90^\circ\) rechtwinklig.

a) \(\cos(\alpha)=0\Rightarrow\alpha=90^\circ\); \(\cos(\beta)=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow\beta=45^\circ\); \(\cos(\gamma)=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow\gamma=45^\circ\) b) Das Dreieck ist gleichschenklig-rechtwinklig.

- In a) ist der Skalarproduktquotient selbst ein verlangtes Ergebnis; beginne daher mit den beiden von \(M\) ausgehenden Vektoren. - Das Vorzeichen des Quotienten gibt bereits einen Hinweis auf die Winkelart. - Vergleiche für c) die exakten Seitenlängen erst nach der Winkelberechnung.

1. Es gilt \(\vec{MK}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\-1\end{pmatrix}\) und \(\vec{ML}=\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}\). 2. Das Skalarprodukt beträgt \(\vec{MK}\cdot\vec{ML}=-4+1+1=-2\). Beide Vektoren haben die Länge \(\sqrt{6}\). 3. Daher ist der verlangte Quotient \(-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}\), also \(\angle KML=\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\approx109{,}5^\circ\). 4. Die Seitenlängen sind \(KL=4\) sowie \(KM=LM=\sqrt{6}\). Das Dreieck ist somit gleichschenklig und wegen des Winkels bei \(M\) stumpfwinklig.

a) \(\vec{MK}\cdot\vec{ML}=-2\) und \(\frac{\vec{MK}\cdot\vec{ML}}{|\vec{MK}|\,|\vec{ML}|}=-\frac{1}{3}\) b) \(\angle KML\approx109{,}5^\circ\) c) \(KL=4\), \(KM=LM=\sqrt{6}\); gleichschenklig und stumpfwinklig

- Bestimme zuerst den oberen Eckpunkt \(G\) aus der Quadergeometrie. - Für den Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene kannst du den Richtungsvektor der Geraden mit einem Normalenvektor der Ebene vergleichen. - Welche besonders einfachen Normalenvektoren besitzen die drei Koordinatenebenen? - Prüfe, ob deine berechneten Winkel jeweils zwischen \(0^\circ\) und \(90^\circ\) liegen.

1. Da \(G\) über \(C\) liegt, ist \(G(0\mid5\mid16)\). Somit gilt \(\vec{AG}=\begin{pmatrix}-12\\5\\16\end{pmatrix}\). 2. Die Länge ist \(|\vec{AG}|=\sqrt{144+25+256}=\sqrt{425}=5\sqrt{17}\) Längeneinheiten. 3. Für die \(x_1x_2\)-Ebene kann \(\vec{n}_1=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\) als Normalenvektor verwendet werden. Für den Schnittwinkel \(\alpha_1\) gilt \(\sin(\alpha_1)=\frac{|\vec{AG}\cdot\vec{n}_1|}{|\vec{AG}|\,|\vec{n}_1|}=\frac{16}{\sqrt{425}}\). Daher ist \(\alpha_1\approx50{,}91^\circ\). 4. Für die \(x_2x_3\)-Ebene mit \(\vec{n}_2=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) folgt \(\sin(\alpha_2)=\frac{12}{\sqrt{425}}\), also \(\alpha_2\approx35{,}60^\circ\). 5. Für die \(x_1x_3\)-Ebene mit \(\vec{n}_3=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\) folgt \(\sin(\alpha_3)=\frac{5}{\sqrt{425}}\), also \(\alpha_3\approx14{,}04^\circ\).

a) \(\vec{AG}=\begin{pmatrix}-12\\5\\16\end{pmatrix}\), \(|\vec{AG}|=5\sqrt{17}\) Längeneinheiten b) \(x_1x_2\)-Ebene: \(\alpha_1\approx50{,}91^\circ\); \(x_2x_3\)-Ebene: \(\alpha_2\approx35{,}60^\circ\); \(x_1x_3\)-Ebene: \(\alpha_3\approx14{,}04^\circ\)

- Bestimme zunächst den Vektor einer Seitenkante. - Für den Schnittwinkel mit der Grundfläche ist deren Normalenrichtung hilfreich. - In Teil c) werden zwei Geradenrichtungen miteinander verglichen, nicht eine Gerade mit einer Ebene. - Halte die beiden Winkelbeziehungen in den Teilen b) und c) auseinander.

1. Es gilt \(\vec{AS}=\begin{pmatrix}-4\\4\\12\end{pmatrix}\). Daher ist \(|\vec{AS}|=\sqrt{176}=4\sqrt{11}\) Längeneinheiten. 2. Die Grundfläche liegt in der \(x_1x_2\)-Ebene; ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\). 3. Für den Schnittwinkel \(\beta\) gilt \(\sin(\beta)=\frac{|\vec{AS}\cdot\vec{n}|}{|\vec{AS}|\,|\vec{n}|}=\frac{12}{\sqrt{176}}\). Somit ist \(\beta\approx64{,}76^\circ\). 4. Weiter ist \(\vec{BS}=\begin{pmatrix}-4\\-4\\12\end{pmatrix}\) und \(|\vec{BS}|=\sqrt{176}\). 5. Für den Winkel \(\gamma\) zwischen den Seitenkanten gilt \(\cos(\gamma)=\frac{\vec{AS}\cdot\vec{BS}}{|\vec{AS}|\,|\vec{BS}|}=\frac{144}{176}=\frac{9}{11}\). 6. Daher ist \(\gamma=\arccos\left(\frac{9}{11}\right)\approx35{,}10^\circ\).

a) \(|\vec{AS}|=4\sqrt{11}\) Längeneinheiten b) \(\beta\approx64{,}76^\circ\) c) \(\gamma\approx35{,}10^\circ\)

- Wie werden Eigengeschwindigkeit und Strömungsgeschwindigkeit zur Geschwindigkeit über Grund kombiniert? - Welche Vektorkomponente entscheidet darüber, wie schnell das gegenüberliegende Ufer erreicht wird? - Welche Komponente der resultierenden Geschwindigkeit muss für eine Überquerung ohne Abtrieb null sein? - Welche Bedingung muss die Länge der gesuchten Eigengeschwindigkeit weiterhin erfüllen?

1. Die Geschwindigkeiten addieren sich zu \(\vec{v}_r=\vec{v}_s+\vec{v}_w=\begin{pmatrix}0{,}6\\1{,}0\\0\end{pmatrix}\,\text{m/s}\). Der Betrag ist \(|\vec{v}_r|=\sqrt{1{,}36}\,\text{m/s}\approx1{,}17\,\text{m/s}\). 2. Für die Überquerung ist die zweite Komponente maßgeblich. Daher gilt \(t=\frac{100\,\text{m}}{1{,}0\,\text{m/s}}=100\,\text{s}\). In dieser Zeit beträgt der Abtrieb \(0{,}6\,\text{m/s}\cdot100\,\text{s}=60\,\text{m}\). 3. Für eine resultierende Bewegung senkrecht zum Ufer muss die erste Komponente verschwinden. Deshalb muss die erste Komponente von \(\vec{v}_h\) gleich \(-0{,}6\,\text{m/s}\) sein. 4. Aus \(|\vec{v}_h|=1{,}0\,\text{m/s}\) folgt für die positive zweite Komponente \((-0{,}6)^2+v_{h,2}^2=1\), also \(v_{h,2}=0{,}8\). Damit ist \(\vec{v}_h=\begin{pmatrix}-0{,}6\\0{,}8\\0\end{pmatrix}\,\text{m/s}\).

a) \(\vec{v}_r=\begin{pmatrix}0{,}6\\1{,}0\\0\end{pmatrix}\,\text{m/s}\), \(|\vec{v}_r|\approx1{,}17\,\text{m/s}\) b) \(t=100\,\text{s}\), Abtrieb \(60\,\text{m}\) c) \(\vec{v}_h=\begin{pmatrix}-0{,}6\\0{,}8\\0\end{pmatrix}\,\text{m/s}\)

- Wann ist der Betrag des Skalarprodukts genau so groß wie das Produkt der Beträge der Einzelvektoren? Überlege dir dies mithilfe der Winkelformel. - Wenn zwei Vektoren in die gleiche oder genau die entgegengesetzte Richtung zeigen, wie hängen ihre Koordinaten dann zusammen? - Wie berechnet man die Länge eines Vektors, der durch Multiplikation mit einer Zahl entstanden ist? - Beachte, dass es zwei Richtungen gibt, die die Bedingung erfüllen könnten.

1. Die Gleichung \(|\vec{a} \cdot \vec{x}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{x}|\) bedeutet geometrisch, dass der Betrag des Kosinus des eingeschlossenen Winkels \(|\cos(\alpha)| = 1\) sein muss. 2. Daraus folgt, dass die Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{x}\) kollinear sein müssen: \(\vec{x} = k \cdot \vec{a}\) für ein \(k \in \mathbb{R}\). 3. Berechnung der Länge von \(\vec{a}\): \(|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\). 4. Aufstellen der Längenbedingung für \(\vec{x}\): \(|\vec{x}| = |k| \cdot |\vec{a}| = |k| \cdot 3 = 9\). 5. Berechnung des Skalierungsfaktors: \(|k| = 3\), woraus \(k_1 = 3\) und \(k_2 = -3\) folgen. 6. Berechnung der Vektoren: \(\vec{x}_1 = 3 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}\) und \(\vec{x}_2 = -3 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}\).

Die gesuchten Vektoren sind \(\vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}\) und \(\vec{x}_2 = \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}\).

- Beginne damit, die Eckpunkte des Würfels in ein Koordinatensystem mit der Kantenlänge \(a\) einzutragen. - Welche Vektoren repräsentieren die Raumdiagonalen in diesem System? - Welche Formel hilft dir dabei, den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen? - Beachte, dass beim Schnittwinkel zwischen Geraden (den Diagonalen) der Kosinuswert positiv sein muss.

1. Ein Koordinatensystem wird so gewählt, dass ein Eckpunkt im Ursprung liegt und die Kanten entlang der Achsen verlaufen. Zwei Raumdiagonalen können dann durch die Vektoren \(\vec{d}_1 = \begin{pmatrix} a \\ a \\ a \end{pmatrix}\) und \(\vec{d}_2 = \begin{pmatrix} -a \\ a \\ a \end{pmatrix}\) beschrieben werden. 2. Das Skalarprodukt dieser Vektoren wird berechnet: \(\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2 = a \cdot (-a) + a \cdot a + a \cdot a = -a^2 + a^2 + a^2 = a^2\). 3. Die Beträge der Diagonalvektoren betragen jeweils \(|\vec{d}_1| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}\) und analog \(|\vec{d}_2| = a\sqrt{3}\). 4. Der Kosinus des Winkels \(\alpha\) ergibt sich aus der Formel \(\cos(\alpha) = \frac{|\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2|}{|\vec{d}_1| \cdot |\vec{d}_2|}\). Einsetzen der Werte liefert \(\cos(\alpha) = \frac{a^2}{(a\sqrt{3}) \cdot (a\sqrt{3})} = \frac{a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}\).

\(\cos(\alpha) = \frac{1}{3}\)

- Prüfe jede Zeile der Notizen unabhängig auf Rechen- und Formelfehler. - Unterscheide dabei zwischen der Berechnung des Skalarprodukts und der anschließenden Winkelbeziehung. - Berechne den Winkel anschließend noch einmal aus den ursprünglichen Vektoren.

1. Der erste Fehler liegt im Skalarprodukt: \(0\cdot5=0\), nicht \(5\). Daher ist \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\). 2. Der zweite Fehler liegt im Nenner der Winkelbeziehung: Die beiden Vektorlängen müssen multipliziert und nicht addiert werden. 3. Der dritte Fehler betrifft die Zuordnung des Winkels: \(\cos(\phi)=0{,}5\) würde \(\phi=60^\circ\) und nicht \(30^\circ\) bedeuten. 4. Mit dem korrekten Skalarprodukt gilt \(\cos(\phi)=0\), also \(\phi=90^\circ\).

Fehler 1: \(0\cdot5=0\); das Skalarprodukt ist \(0\). Fehler 2: Im Nenner müssen die Vektorlängen multipliziert werden. Fehler 3: \(\cos(\phi)=0{,}5\) gehört zu \(60^\circ\), nicht zu \(30^\circ\). Korrekter Winkel: \(\phi=90^\circ\)

- Verwende für jeden Innenwinkel zwei Seitenvektoren mit demselben Anfangspunkt. - Bestimme für jedes Vektorpaar Skalarprodukt und beide Beträge, bevor du den Kosinus berechnest. - Verlasse dich nicht auf eine Seitenklassifikation; die drei Winkel sollen aus der Skalarproduktbeziehung folgen.

1. Für den Winkel bei \(A\) gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}\). Es ist \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=4\) und \(|\vec{AB}|=|\vec{AC}|=2\sqrt{2}\). Daher ist \(\cos(\alpha)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\), also \(\alpha=60^\circ\). 2. Für den Winkel bei \(B\) gilt \(\vec{BA}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}\). Wieder ergeben Skalarprodukt und Beträge \(\cos(\beta)=\frac{1}{2}\), also \(\beta=60^\circ\). 3. Für den Winkel bei \(C\) gilt \(\vec{CA}=\begin{pmatrix}-2\\0\\-2\end{pmatrix}\) und \(\vec{CB}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}\). Damit ist ebenfalls \(\cos(\gamma)=\frac{1}{2}\), also \(\gamma=60^\circ\).

\(\alpha=60^\circ\), \(\beta=60^\circ\), \(\gamma=60^\circ\)

- Berechne für beide Vorschläge Skalarprodukt und Vektorlänge, bevor du vergleichst. - Für Teil b) brauchst du keine Arkuskosinuswerte. Wie verhält sich der Kosinus auf dem Intervall von \(0^\circ\) bis \(180^\circ\)? - Beide zu vergleichenden Kosinuswerte sind positiv. Wie kannst du zwei positive Wurzelausdrücke exakt vergleichen, ohne Dezimalzahlen zu verwenden? - Überlege für Teil c), welche Faktoren außer dem Winkel im Skalarprodukt zweier Vektoren vorkommen.

1. Es gilt \(|\vec{r}|=3\), \(|\vec{u}|=\sqrt{11}\) und \(|\vec{v}|=3\). 2. Die Skalarprodukte sind \(\vec{r}\cdot\vec{u}=9\) und \(\vec{r}\cdot\vec{v}=8\). 3. Daher ist \(\cos(\alpha)=\frac{9}{3\sqrt{11}}=\frac{3}{\sqrt{11}}\) und \(\cos(\beta)=\frac{8}{9}\). 4. Beide Kosinuswerte sind positiv. Zum exakten Vergleich darf deshalb quadriert werden: \(\left(\frac{3}{\sqrt{11}}\right)^2=\frac{9}{11}\) und \(\left(\frac{8}{9}\right)^2=\frac{64}{81}\). 5. Wegen \(9\cdot81=729>704=64\cdot11\) gilt \(\frac{9}{11}>\frac{64}{81}\), also \(\cos(\alpha)>\cos(\beta)\). Auf dem Winkelintervall von \(0^\circ\) bis \(180^\circ\) nimmt der Kosinus mit wachsendem Winkel ab. Daher ist \(\alpha<\beta\), also ist \(\vec{u}\) die bessere Näherung an die Sollrichtung. 6. Ein Skalarprodukt enthält neben dem Winkel auch die Längen beider Vektoren. Ohne Division durch die Vektorlängen können unterschiedlich lange Kandidaten deshalb trotz größerer Winkelabweichung ein größeres Skalarprodukt besitzen.

a) \(\vec{r}\cdot\vec{u}=9\), \(\vec{r}\cdot\vec{v}=8\), \(|\vec{r}|=3\), \(|\vec{u}|=\sqrt{11}\), \(|\vec{v}|=3\), \(\cos(\alpha)=\frac{3}{\sqrt{11}}\), \(\cos(\beta)=\frac{8}{9}\) b) \(\vec{u}\) besitzt die kleinere Winkelabweichung, denn \(\frac{3}{\sqrt{11}}>\frac{8}{9}\) und damit \(\alpha<\beta\). c) Das Skalarprodukt hängt auch von den Vektorlängen ab; für einen Winkelvergleich müssen die Skalarprodukte durch die jeweiligen Längenprodukte normiert werden.

- Welche Komponenten muss \(\vec{v}_g\) besitzen, wenn die Flugbahn genau in positive \(x_2\)-Richtung verläuft? - Nutze die Beziehung zwischen Eigengeschwindigkeit, Wind und Geschwindigkeit über Grund zusammen mit der gegebenen Länge von \(\vec{v}_h\). - Welche beiden Vektoren beschreiben in Teil c) die gesteuerte Richtung und die tatsächliche Flugbahn? - Wende die Skalarprodukt-Winkelformel erst an, nachdem beide Geschwindigkeitsvektoren feststehen.

1. Wegen der geforderten Flugrichtung hat \(\vec{v}_g\) die Form \(\vec{v}_g=\begin{pmatrix}0\\v_{g,2}\\0\end{pmatrix}\,\text{km/h}\) mit \(v_{g,2}>0\). 2. Aus \(\vec{v}_g=\vec{v}_h+\vec{v}_w\) folgt \(\vec{v}_h=\begin{pmatrix}-80\\v_{g,2}+60\\0\end{pmatrix}\,\text{km/h}\). 3. Wegen \(|\vec{v}_h|=170\,\text{km/h}\) gilt \((-80)^2+(v_{g,2}+60)^2=170^2\). Daraus folgen \(v_{g,2}=90\) und \(v_{g,2}=-210\); wegen \(v_{g,2}>0\) bleibt \(v_{g,2}=90\). 4. Somit ist \(\vec{v}_g=\begin{pmatrix}0\\90\\0\end{pmatrix}\,\text{km/h}\) und \(\vec{v}_h=\begin{pmatrix}-80\\150\\0\end{pmatrix}\,\text{km/h}\). 5. Für den Winkel \(\phi\) gilt \(\cos(\phi)=\frac{\vec{v}_h\cdot\vec{v}_g}{|\vec{v}_h|\,|\vec{v}_g|}=\frac{150}{170}=\frac{15}{17}\). Daher ist \(\phi\approx28{,}07^\circ\).

a) \(\vec{v}_g=\begin{pmatrix}0\\90\\0\end{pmatrix}\,\text{km/h}\) b) \(\vec{v}_h=\begin{pmatrix}-80\\150\\0\end{pmatrix}\,\text{km/h}\) c) \(\phi\approx28{,}07^\circ\)

- Bestimme zuerst Skalarprodukt und beide Längen in Abhängigkeit von \(t\). - Setze den Kosinuswert des verlangten Winkels ein, bevor du die Gleichung umformst. - Beim Quadrieren geht die Vorzeicheninformation verloren. - Prüfe deshalb jeden Kandidaten in der jeweils unquadrierten Winkelgleichung.

1. Es gilt \(\vec{a}_t\cdot\vec{b}=t+1\), \(|\vec{a}_t|=\sqrt{t^2+2}\) und \(|\vec{b}|=\sqrt{2}\). 2. Für \(60^\circ\) lautet die unquadrierte Gleichung \(\frac{t+1}{\sqrt{2}\sqrt{t^2+2}}=\frac{1}{2}\). 3. Quadrieren führt zu \(2(t+1)^2=t^2+2\), also \(t(t+4)=0\). Von \(t=0\) und \(t=-4\) erfüllt nur \(t=0\) die ursprüngliche positive Gleichung. 4. Für \(120^\circ\) lautet die unquadrierte Gleichung \(\frac{t+1}{\sqrt{2}\sqrt{t^2+2}}=-\frac{1}{2}\). 5. Nach demselben Quadrieren bleiben dieselben Kandidaten; die ursprüngliche negative Gleichung erfüllt nur \(t=-4\).

a) \(\frac{t+1}{\sqrt{2}\sqrt{t^2+2}}=\frac{1}{2}\); daraus \(t=0\) b) \(\frac{t+1}{\sqrt{2}\sqrt{t^2+2}}=-\frac{1}{2}\); daraus \(t=-4\)

- Übersetze jede der beiden Winkelbedingungen zuerst in eine Skalarproduktgleichung. - Die beiden Referenzvektoren sind nicht orthogonal; eine einzelne Komponente lässt sich daher nicht direkt aus einem Achsenwinkel ablesen. - Nutze die beiden linearen Gleichungen, um die drei Komponenten von \(\vec{x}\) auf einen Parameter zurückzuführen. - Erst die feste Länge liefert die verbleibende quadratische Bedingung. - Prüfe bei b) den Winkel der beiden Lösungen wieder mit einem Skalarprodukt.

1. Es gilt \(|\vec{p}|=|\vec{q}|=\sqrt{2}\). Wegen \(|\vec{x}|=6\) und \(\cos60^\circ=\frac{1}{2}\) müssen \(\vec{x}\cdot\vec{p}=3\sqrt{2}\) und \(\vec{x}\cdot\vec{q}=3\sqrt{2}\) gelten. 2. Für \(\vec{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\) erhält man damit \(x_1+x_2=3\sqrt{2}\) und \(x_1+x_3=3\sqrt{2}\). Also gilt \(x_2=x_3=t\) und \(x_1=3\sqrt{2}-t\). 3. Die Längenbedingung liefert \((3\sqrt{2}-t)^2+2t^2=36\). Daraus folgt \(t^2-2\sqrt{2}\,t-6=0\) und damit \(t=3\sqrt{2}\) oder \(t=-\sqrt{2}\). 4. Somit gibt es genau \(\vec{x}_1=\begin{pmatrix}0\\3\sqrt{2}\\3\sqrt{2}\end{pmatrix}\) und \(\vec{x}_2=\begin{pmatrix}4\sqrt{2}\\-\sqrt{2}\\-\sqrt{2}\end{pmatrix}\). Die beiden Lösungen der quadratischen Längenbedingung erfassen alle Fälle. 5. Ihr Skalarprodukt ist \(\vec{x}_1\cdot\vec{x}_2=-12\). Da beide die Länge \(6\) besitzen, gilt \(\cos(\beta)=\frac{-12}{36}=-\frac{1}{3}\). 6. Daher ist \(\beta=\arccos\!\left(-\frac{1}{3}\right)\approx109{,}5^\circ\).

a) \(\vec{x}\cdot\vec{p}=3\sqrt{2}\) und \(\vec{x}\cdot\vec{q}=3\sqrt{2}\); daraus \(\vec{x}_1=\begin{pmatrix}0\\3\sqrt{2}\\3\sqrt{2}\end{pmatrix}\), \(\vec{x}_2=\begin{pmatrix}4\sqrt{2}\\-\sqrt{2}\\-\sqrt{2}\end{pmatrix}\) b) \(\vec{x}_1\cdot\vec{x}_2=-12\), \(\cos(\beta)=-\frac{1}{3}\), \(\beta\approx109{,}5^\circ\)