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- Was passiert mit dem Betrag und dem Winkel einer komplexen Zahl, wenn man sie streckt oder dreht? - In welcher Reihenfolge werden die Operationen ausgeführt? - Überlege dir, in welchem Quadranten die Zahl nach den Drehungen liegen muss. - Wie hängen die Polarkoordinaten einer Zahl mit ihren kartesischen Koordinaten (Real- und Imaginärteil) zusammen?

1. Die Ausgangszahl \(z_1 = 4\) hat den Betrag \(|z_1| = 4\) und das Argument \(\arg(z_1) = 0^\circ\). 2. Nach der ersten Transformation (Streckung um \(0{,}5\) und Drehung um \(30^\circ\)) ergibt sich ein Zwischenwert \(z'\) mit dem Betrag \(|z'| = 4 \cdot 0{,}5 = 2\) und dem Argument \(\arg(z') = 0^\circ + 30^\circ = 30^\circ\). 3. Die zweite Transformation (Drehung um weitere \(120^\circ\)) führt zur Zielzahl \(z_2\). Der Betrag bleibt gleich (\(|z_2| = 2\)), das Argument addiert sich: \(\arg(z_2) = 30^\circ + 120^\circ = 150^\circ\). 4. Umrechnung in die algebraische Form: \(z_2 = 2 \cdot (\cos(150^\circ) + i \cdot \sin(150^\circ))\). 5. Mit \(\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) und \(\sin(150^\circ) = \frac{1}{2}\) folgt: \(z_2 = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2 \cdot i \cdot \frac{1}{2} = -\sqrt{3} + i\).

a) Der Betrag ist \(r = 2\) und das Argument ist \(\varphi = 150^\circ\). b) Die algebraische Form lautet \(z_2 = -\sqrt{3} + i\).

- Wie verhalten sich die Beträge und Argumente bei der Multiplikation und Division von komplexen Zahlen in Polarform? - Denk daran, dass ein negatives Argument durch Addition von \(360^\circ\) in den Standardbereich gebracht werden kann. - Wie hängen der Real- und Imaginärteil einer Zahl mit ihrem Betrag und ihrem Winkel zusammen?

1. Für das Produkt \(z_3 = z_1 \cdot z_2\) werden die Beträge multipliziert (\(2 \cdot 3 = 6\)) und die Argumente addiert (\(30^\circ + 120^\circ = 150^\circ\)). Die Polarform lautet \(z_3 = 6 \cdot (\cos(150^\circ) + i \cdot \sin(150^\circ))\). Die Umwandlung in die algebraische Form ergibt \(a = 6 \cdot \cos(150^\circ) = -3\sqrt{3} \approx -5{,}20\) und \(b = 6 \cdot \sin(150^\circ) = 3\), also \(z_3 = -3\sqrt{3} + 3i\). 2. Für den Quotienten \(z_4 = \frac{z_1}{z_2}\) werden die Beträge dividiert (\(2 : 3 = \frac{2}{3}\)) und die Argumente subtrahiert (\(30^\circ - 120^\circ = -90^\circ\)). Durch Addition von \(360^\circ\) ergibt sich das positive Argument \(270^\circ\). Die Polarform lautet \(z_4 = \frac{2}{3} \cdot (\cos(270^\circ) + i \cdot \sin(270^\circ))\). Die algebraische Form ist \(a = \frac{2}{3} \cdot \cos(270^\circ) = 0\) und \(b = \frac{2}{3} \cdot \sin(270^\circ) = -\frac{2}{3}\), also \(z_4 = -\frac{2}{3}i \approx -0{,}67i\).

\(z_3 = 6 \cdot (\cos(150^\circ) + i \cdot \sin(150^\circ)) = -3\sqrt{3} + 3i \approx -5{,}20 + 3i\) \(z_4 = \frac{2}{3} \cdot (\cos(270^\circ) + i \cdot \sin(270^\circ)) = -\frac{2}{3}i \approx -0{,}67i\)

- Kannst du die Basis zuerst vereinfachen oder faktorisieren? - Gibt es eine binomische Formel, die hier hilfreich sein könnte? - Wie verhalten sich die Potenzen der imaginären Einheit \(i\)? - Könnte es einfacher sein, das Quadrat der Zahl zuerst zu berechnen und dieses dann erneut zu quadrieren?

1. Berechnung von \((2 - 2i)^4\): Zuerst wird die Basis vereinfacht: \(2 - 2i = 2(1 - i)\). Es gilt \((1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i\). Damit folgt \((1 - i)^4 = (-2i)^2 = 4i^2 = -4\). Das Endergebnis ist \(2^4 \cdot (-4) = 16 \cdot (-4) = -64\). In der Form \(a + bi\): \(-64 + 0i\). 2. Berechnung von \((-\sqrt{3} + i)^3\): Anwendung des binomischen Lehrsatzes: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Hier ist \(a = -\sqrt{3}\) und \(b = i\). \(a^3 = (-\sqrt{3})^3 = -3\sqrt{3}\). \(3a^2b = 3(-\sqrt{3})^2 \cdot i = 3 \cdot 3 \cdot i = 9i\). \(3ab^2 = 3(-\sqrt{3}) \cdot i^2 = -3\sqrt{3} \cdot (-1) = 3\sqrt{3}\). \(b^3 = i^3 = -i\). Summieren der Terme: \(-3\sqrt{3} + 9i + 3\sqrt{3} - i = 8i\). In der Form \(a + bi\): \(0 + 8i\).

1) \(-64\) 2) \(8i\)

- Wie berechnet man den Abstand eines Punktes vom Ursprung in der komplexen Ebene? - Welchen Winkel schließt der Zeiger der Zahl mit der positiven reellen Achse ein? - Was passiert mit dem Winkel einer komplexen Zahl, wenn man sie mit sich selbst multipliziert? - Wann liegt eine komplexe Zahl genau auf der waagerechten Achse im Koordinatensystem?

1. Berechnung des Betrags \(r = |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\) und des Arguments \(\varphi = \arctan(\frac{1}{1}) = \frac{\pi}{4}\). Polarform: \(z = \sqrt{2} \cdot e^{i\frac{\pi}{4}}\). 2. Anwendung des Satzes von de Moivre: \(z^n = (\sqrt{2})^n \cdot e^{i\frac{n\pi}{4}}\). Damit \(z^n\) reell ist, muss der Imaginärteil Null sein: \(\sin(\frac{n\pi}{4}) = 0\). Die kleinste Lösung für \(n > 0\) ist \(\frac{n\pi}{4} = \pi\), woraus \(n = 4\) folgt. Der Wert ist \(z^4 = (\sqrt{2})^4 \cdot e^{i\pi} = 4 \cdot (-1) = -4\). 3. Berechnung von \(z^8 = (z^4)^2 = (-4)^2 = 16\). Da \(16 \in \mathbb{N}^+\), ist die Aussage gezeigt.

1. \(z = \sqrt{2} \cdot e^{i\frac{\pi}{4}}\) 2. \(n = 4\); \(z^4 = -4\) 3. \(z^8 = 16\)

- Wie berechnet man den Betrag und den Winkel aus Real- und Imaginärteil? - Erinnere dich an die Rechenregeln für die Multiplikation komplexer Zahlen in Polarform. Was passiert dabei mit den Beträgen und den Winkeln? - Wenn \(z_1 \cdot w = z_2\) gilt, wie kannst du \(w\) isolieren? - Wie hängen die Eigenschaften der Zahl \(w\) mit der geometrischen Veränderung von \(z_1\) zu \(z_2\) zusammen?

1. Polardarstellung von \(z_1\): \(|z_1| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2\). Da \(z_1\) im ersten Quadranten liegt, ist \(\varphi_1 = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{1}) = 60^\circ\) bzw. \(\frac{\pi}{3}\). Somit \(z_1 = 2 e^{i \frac{\pi}{3}}\). 2. Polardarstellung von \(z_2\): \(|z_2| = 4\). Da \(z_2\) auf der negativen imaginären Achse liegt, ist \(\varphi_2 = 270^\circ\) bzw. \(\frac{3\pi}{2}\). Somit \(z_2 = 4 e^{i \frac{3\pi}{2}}\). 3. Berechnung von \(w\): \(w = \frac{z_2}{z_1} = \frac{-4i}{1 + i\sqrt{3}}\). Durch Erweitern mit dem konjugiert Komplexen \(1 - i\sqrt{3}\) ergibt sich \(w = \frac{-4i(1 - i\sqrt{3})}{1 + 3} = \frac{-4i - 4\sqrt{3}}{4} = -\sqrt{3} - i\). 4. Geometrische Interpretation: Der Streckfaktor \(k\) entspricht dem Betrag von \(w\). \(|w| = \frac{|z_2|}{|z_1|} = \frac{4}{2} = 2\). 5. Der Drehwinkel \(\alpha\) entspricht dem Argument von \(w\). \(\alpha = \arg(z_2) - \arg(z_1) = 270^\circ - 60^\circ = 210^\circ\) (oder \(-150^\circ\)).

a) \(z_1 = 2 e^{i \frac{\pi}{3}}\) und \(z_2 = 4 e^{i \frac{3\pi}{2}}\). b) \(w = -\sqrt{3} - i\). c) Die Abbildung ist eine Streckung mit dem Faktor \(2\) kombiniert mit einer Drehung um \(210^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn (oder \(150^\circ\) im Uhrzeigersinn).

- Welche Vorzeichen haben Real- und Imaginärteil in den verschiedenen Quadranten? - Wie kannst du den Satz des Pythagoras nutzen, um fehlende Komponenten zu berechnen? - Beachte beim Berechnen des Winkels mit dem Taschenrechner, in welchem Quadranten dein Ergebnis liegen muss.

1. Der Imaginärteil wird über den Betrag berechnet: \(|z|^2 = a^2 + b^2\), also \(25 = (-3)^2 + b^2\). Dies führt zu \(b^2 = 16\), woraus \(b = \pm 4\) folgt. Da die Zahl im dritten Quadranten liegt, müssen Real- und Imaginärteil negativ sein, daher ist \(b = -4\). 2. Das Argument \(\varphi\) erfüllt \(\cos(\varphi) = \frac{a}{|z|} = \frac{-3}{5} = -0{,}6\). Der Arkuskosinus liefert \(\arccos(-0{,}6) \approx 126{,}87^\circ\) (zweiter Quadrant). Da die Zahl im dritten Quadranten liegt, ergibt sich der korrekte Winkel durch Symmetrie oder über den Arkustangens: \(\varphi = 180^\circ + \arctan(\frac{-4}{-3}) \approx 180^\circ + 53{,}13^\circ = 233{,}13^\circ\). 3. Die Polarform lautet somit \(z \approx 5 \cdot (\cos(233{,}13^\circ) + i \cdot \sin(233{,}13^\circ))\).

1. \(b = -4\) 2. \(\varphi \approx 233{,}13^\circ\) 3. \(z \approx 5 \cdot (\cos(233{,}13^\circ) + i \cdot \sin(233{,}13^\circ))\)

- Wie hängen die Längen der Vektoren bei einer Multiplikation zusammen? - Was passiert mit den Winkeln zur positiven x-Achse, wenn man zwei komplexe Zahlen multipliziert? - Erinnere dich an die Definition von Sinus und Kosinus am Einheitskreis oder den Tangens im rechtwinkligen Dreieck. - Kannst du die Multiplikation \(z_1 \cdot z_2\) als eine Transformation sehen, die auf \(z_1\) wirkt?

1. Berechnung der Beträge und Argumente: Für \(z_1 = 1 + i\) gilt \(|z_1| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\) und \(\arg(z_1) = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = 45^\circ\). Für \(z_2 = \sqrt{3} + i\) gilt \(|z_2| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2\) und \(\arg(z_2) = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30^\circ\). 2. Algebraische Multiplikation: \(z = (1+i)(\sqrt{3}+i) = \sqrt{3} + i + i\sqrt{3} + i^2 = (\sqrt{3}-1) + (1+\sqrt{3})i\). Multiplikation in Polardarstellung: Der Betrag des Produkts ist \(|z| = |z_1| \cdot |z_2| = 2\sqrt{2}\). Das Argument des Produkts ist \(\arg(z) = \arg(z_1) + \arg(z_2) = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ\). 3. Geometrische Interpretation: Die Multiplikation mit \(z_2\) entspricht einer Drehstreckung am Ursprung. Der Vektor \(z_1\) wird um den Faktor \(|z_2| = 2\) gestreckt und um den Winkel \(\arg(z_2) = 30^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn gedreht.

1. \(|z_1| = \sqrt{2}\), \(\arg(z_1) = 45^\circ\); \(|z_2| = 2\), \(\arg(z_2) = 30^\circ\). 2. Algebraisch: \(z = (\sqrt{3}-1) + (1+\sqrt{3})i\); Polar: \(z = 2\sqrt{2} \cdot (\cos(75^\circ) + i \sin(75^\circ))\). 3. Streckung um Faktor 2 und Drehung um \(30^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn.

- Wie berechnet man den Betrag und den Winkel einer komplexen Zahl in der Gaußschen Zahlenebene? - Was muss für den Imaginärteil einer Zahl gelten, damit sie rein reell ist? - Erinnerst du dich an den Satz von de Moivre für Potenzen komplexer Zahlen in Polarform? - Wann nimmt die Sinusfunktion den Wert Null an?

1. Bestimmung der Polarform von \(z = 1 + i\sqrt{3}\): Berechnung des Betrags: \(r = |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2\). Berechnung des Arguments: Da \(z\) im ersten Quadranten liegt, gilt \(\tan(\varphi) = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}\). Daraus folgt \(\varphi = \frac{\pi}{3}\) (oder \(60^\circ\)). Die Polarform lautet: \(z = 2 \cdot (\cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}))\). 2. Bestimmung von \(n\) für \(z^n \in \mathbb{R}\): Nach dem Satz von de Moivre gilt \(z^n = 2^n \cdot (\cos(\frac{n\pi}{3}) + i \sin(\frac{n\pi}{3}))\). Damit \(z^n\) reell ist, muss der Imaginärteil Null sein: \(\sin(\frac{n\pi}{3}) = 0\). Die Sinusfunktion ist Null für Vielfache von \(\pi\), also \(\frac{n\pi}{3} = k\pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\). Daraus folgt \(n = 3k\). Die kleinste natürliche Zahl \(n > 0\) ist somit \(n = 3\). 3. Berechnung von \(z^3\): \(z^3 = 2^3 \cdot (\cos(\frac{3\pi}{3}) + i \sin(\frac{3\pi}{3})) = 8 \cdot (\cos(\pi) + i \sin(\pi))\). Da \(\cos(\pi) = -1\) und \(\sin(\pi) = 0\), ergibt sich \(z^3 = 8 \cdot (-1) = -8\).

a) \(z = 2 \cdot (\cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}))\) b) \(n = 3\); \(z^3 = -8\)

- Wie berechnet man den Abstand eines Punktes in der Gaußschen Zahlenebene vom Ursprung? - In welchem Quadranten liegt die Zahl und was bedeutet das für den Winkel? - Welche Vorteile bietet die Exponentialform beim Potenzieren von Zahlen? - Wann hat eine komplexe Zahl keinen Imaginärteil mehr? - Schau dir die Vielfachen des Winkels im Einheitskreis an.

1. Berechnung des Betrags: \(r = |z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2\). Bestimmung des Arguments: Da \(z\) im zweiten Quadranten liegt, gilt \(\varphi = \pi - \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\). Polardarstellung: \(z = 2 \cdot e^{i \frac{5\pi}{6}}\). 2. Anwendung der Potenzregel für die Exponentialform: \(z^6 = (2 \cdot e^{i \frac{5\pi}{6}})^6 = 2^6 \cdot e^{i 6 \cdot \frac{5\pi}{6}} = 64 \cdot e^{i 5\pi}\). Umwandlung in die algebraische Form: \(64 \cdot (\cos(5\pi) + i \sin(5\pi)) = 64 \cdot (-1 + 0i) = -64\). 3. \(z^n = 2^n \cdot e^{i \frac{5n\pi}{6}}\) ist reell, wenn der Imaginärteil null ist, also \(\sin\left(\frac{5n\pi}{6}\right) = 0\). Dies ist erfüllt, wenn \(\frac{5n\pi}{6} = k \cdot \pi\) für \(k \in \mathbb{Z}\). Umformen ergibt \(5n = 6k\). Da \(5\) und \(6\) teilerfremd sind, muss \(n\) ein Vielfaches von \(6\) sein. Lösung: \(n \in \{6, 12, 18, \dots\}\) bzw. \(n = 6k\) mit \(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\).

1. \(z = 2 \cdot e^{i \frac{5\pi}{6}}\) 2. \(z^6 = -64\) 3. \(n\) muss ein Vielfaches von \(6\) sein (d. h. \(n = 6k\) für \(k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)).

- Wie viele Lösungen hat eine Gleichung der Form \(z^n = a\) im Komplexen? - Wie sind die Lösungen einer solchen Wurzelgleichung geometrisch in der Gaußschen Zahlenebene verteilt? - Kannst du die Lösungen erst in der Polarform finden und dann umrechnen? - Was weißt du über die Symmetrie von Einheitswurzeln (oder deren Vielfachen) bezüglich des Ursprungs?

1. Darstellung von \(8\) in Polarform: \(8 \cdot e^{i0}\). Die drei Wurzeln sind \(z_k = \sqrt[3]{8} \cdot e^{i\frac{2k\pi}{3}}\) für \(k \in \{0, 1, 2\}\). Dies ergibt \(z_0 = 2\), \(z_1 = 2 \cdot (\cos(\frac{2\pi}{3}) + i \cdot \sin(\frac{2\pi}{3})) = -1 + i\sqrt{3}\) und \(z_2 = 2 \cdot (\cos(\frac{4\pi}{3}) + i \cdot \sin(\frac{4\pi}{3})) = -1 - i\sqrt{3}\). 2. Berechnung der Summe: \(z_0 + z_1 + z_2 = 2 + (-1 + i\sqrt{3}) + (-1 - i\sqrt{3}) = 2 - 1 - 1 + i\sqrt{3} - i\sqrt{3} = 0\). 3. Berechnung des Produkts: \(z_0 \cdot z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot (-1 + i\sqrt{3}) \cdot (-1 - i\sqrt{3})\). Anwendung der dritten binomischen Formel: \(2 \cdot ((-1)^2 - (i\sqrt{3})^2) = 2 \cdot (1 - (-3)) = 2 \cdot 4 = 8\).

1. \(z_0 = 2\), \(z_1 = -1 + i\sqrt{3}\), \(z_2 = -1 - i\sqrt{3}\) 2. \(z_0 + z_1 + z_2 = 0\) 3. \(z_0 \cdot z_1 \cdot z_2 = 8\)

- Wie schreibt man eine Zahl mit gegebenem Betrag und Winkel in der Form \(a + bi\)? - Welche Werte haben Sinus und Kosinus für \(120^\circ\)? - Überlege dir, wo die Zahl \(i\) in der komplexen Ebene liegt. Wie weit ist sie vom Ursprung entfernt und welchen Winkel schließt sie mit der x-Achse ein?

1. Die Zahl \(w\) repräsentiert die Drehstreckung mit Betrag \(|w| = k = 2\) und Argument \(\arg(w) = 120^\circ\). In algebraischer Form: \(w = 2 \cdot (\cos(120^\circ) + i \sin(120^\circ)) = 2 \cdot (-0{,}5 + i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = -1 + \sqrt{3}i\). 2. Berechnung des Bildpunktes: \(z' = w \cdot z = (-1 + \sqrt{3}i)(3 + 2i) = -3 - 2i + 3\sqrt{3}i + 2\sqrt{3}i^2 = (-3 - 2\sqrt{3}) + (3\sqrt{3} - 2)i\). Numerisch entspricht dies etwa \(-6{,}46 + 3{,}20i\). 3. Begründung für \(i\): Die Zahl \(i\) hat den Betrag \(|i| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1\) und das Argument \(\arg(i) = 90^\circ\) (da sie auf der positiven imaginären Achse liegt). Da bei der Multiplikation die Beträge multipliziert werden, bleibt die Länge wegen \(|z| \cdot 1 = |z|\) gleich. Da die Argumente addiert werden, wird der Winkel von \(z\) um genau \(90^\circ\) erhöht.

1. \(w = -1 + \sqrt{3}i\) 2. \(z' = (-3 - 2\sqrt{3}) + (3\sqrt{3} - 2)i\) 3. Da \(|i| = 1\) und \(\arg(i) = 90^\circ\), bewirkt die Multiplikation eine Streckung um Faktor 1 (unverändert) und eine Addition von \(90^\circ\) zum Argument.

- Was passiert mit den Winkeln (Argumenten), wenn man zwei komplexe Zahlen multipliziert? - Erinnere dich an die Definition von „rein imaginär“: Welcher Teil der Zahl muss dann null sein? - Wie sieht die konjugiert komplexe Zahl geometrisch aus? - Nutze die dritte binomische Formel für das Produkt von \(z\) und \(\bar{z}\).

1. Ansatz: \((1 + i\sqrt{3})(a + bi) = 4\). Ausmultiplizieren: \((a - b\sqrt{3}) + i(b + a\sqrt{3}) = 4 + 0i\). Gleichungssystem: (I) \(a - b\sqrt{3} = 4\), (II) \(b + a\sqrt{3} = 0\). Aus (II) folgt \(b = -a\sqrt{3}\). Einsetzen in (I): \(a - (-a\sqrt{3})\sqrt{3} = a + 3a = 4a = 4 \Rightarrow a = 1\). Damit ist \(b = -\sqrt{3}\). Ergebnis: \(z_2 = 1 - i\sqrt{3}\). Alternativ über Polardarstellung: \(z_2 = \frac{4}{2e^{i\pi/3}} = 2e^{-i\pi/3} = 1 - i\sqrt{3}\). 2. \(w^2 = (r e^{i\varphi})^2 = r^2 e^{i 2\varphi} = r^2 (\cos(2\varphi) + i \sin(2\varphi))\). Rein imaginär bedeutet \(\operatorname{Re}(w^2) = 0\), also \(\cos(2\varphi) = 0\). Dies gilt für \(2\varphi = \frac{\pi}{2} + k\pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\). Auflösen nach \(\varphi\): \(\varphi = \frac{\pi}{4} + k \cdot \frac{\pi}{2}\). Für das Intervall \([0; 2\pi[\) ergeben sich \(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\). 3. Mit \(z = x + iy\) ist \(\bar{z} = x - iy\). Das Produkt ist \(z \cdot \bar{z} = (x + iy)(x - iy) = x^2 - (iy)^2 = x^2 - i^2 y^2 = x^2 + y^2\). Da \(x, y \in \mathbb{R}\), sind \(x^2\) und \(y^2\) nicht-negativ, folglich ist auch ihre Summe eine reelle Zahl \(\geq 0\).

1. \(z_2 = 1 - i\sqrt{3}\) 2. \(\varphi \in \{\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}\) 3. \(z \cdot \bar{z} = x^2 + y^2\), was stets reell und \(\geq 0\) ist.