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- Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn der Index steigt? - Betrachte den Bruchterm und den Vorzeichenfaktor getrennt voneinander. - Wie verhalten sich die Werte für sehr große gerade Zahlen im Vergleich zu sehr großen ungeraden Zahlen? - Erinnere dich an die Definition eines Häufungspunkts im Vergleich zu einem Grenzwert.

1. Berechnung der Folgenglieder durch Einsetzen von \(n = 1, \dots, 6\): \(a_1 = -2\), \(a_2 = 1{,}5\), \(a_3 = -\frac{4}{3} \approx -1{,}33\), \(a_4 = 1{,}25\), \(a_5 = -1{,}2\), \(a_6 = \frac{7}{6} \approx 1{,}17\). 2. Untersuchung der Teilfolgen: Für gerade \(n = 2k\) gilt \(a_{2k} = \frac{2k+1}{2k} = 1 + \frac{1}{2k}\), was für \(k \to \infty\) gegen \(1\) strebt. Für ungerade \(n = 2k-1\) gilt \(a_{2k-1} = -\frac{2k}{2k-1} = -(1 + \frac{1}{2k-1})\), was gegen \(-1\) strebt. Die Häufungspunkte sind somit \(1\) und \(-1\). 3. Eine konvergente Folge kann nur einen Häufungspunkt besitzen, nämlich ihren Grenzwert. Da die Folge zwei verschiedene Häufungspunkte besitzt, ist sie divergent.

1. \(a_1 = -2\); \(a_2 = 1{,}5\); \(a_3 = -\frac{4}{3}\); \(a_4 = 1{,}25\); \(a_5 = -1{,}2\); \(a_6 = \frac{7}{6}\). 2. Die Häufungspunkte sind \(1\) und \(-1\). 3. Die Folge ist divergent, da sie mehr als einen Häufungspunkt besitzt.

- Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler gleich bleibt? - Wie lässt sich der Abstand zwischen einem Folgenglied und dem Grenzwert mathematisch als Ungleichung ausdrücken? - Vergleiche zwei aufeinanderfolgende Glieder, um die Richtung der Veränderung festzustellen. - Denk an den Startwert der Folge und das Verhalten für sehr große Werte von \(n\).

1. Der Grenzwert wird bestimmt, indem der Term \(\frac{5}{n+1}\) für \(n \to \infty\) betrachtet wird. Da dieser gegen \(0\) konvergiert, gilt \(g = \lim_{n \to \infty} (2 - \frac{5}{n+1}) = 2 - 0 = 2\). 2. Zur Bestimmung des Index \(n\) wird die Ungleichung \(|a_n - g| < \epsilon\) gelöst: \(|2 - \frac{5}{n+1} - 2| < 0{,}001 \Rightarrow |-\frac{5}{n+1}| < 0{,}001\). Da \(n \geq 1\) gilt, ist \(\left|-\frac{5}{n+1}\right| = \frac{5}{n+1}\). Also muss \(\frac{5}{n+1} < 0{,}001\) gelten. Umstellen ergibt \(n+1 > \frac{5}{0{,}001} = 5\,000\), also \(n > 4\,999\). Ab dem Index \(n = 5\,000\) liegen alle Folgenglieder in der Umgebung. 3. Zur Untersuchung der Monotonie wird die Differenz \(a_{n+1} - a_n\) betrachtet: \((2 - \frac{5}{n+2}) - (2 - \frac{5}{n+1}) = \frac{5}{n+1} - \frac{5}{n+2} = \frac{5(n+2) - 5(n+1)}{(n+1)(n+2)} = \frac{5}{(n+1)(n+2)}\). Da dieser Ausdruck für alle \(n \geq 1\) positiv ist, ist die Folge streng monoton wachsend. 4. Da die Folge streng monoton wachsend ist, ist das erste Folgenglied \(a_1 = 2 - \frac{5}{1+1} = -0{,}5\) eine untere Schranke. Da die Folge gegen \(2\) konvergiert und wächst, ist \(2\) eine obere Schranke (jedes \(M \geq 2\) ist ebenfalls eine obere Schranke).

1. \(g = 2\) 2. Ab \(n = 5\,000\) 3. Die Folge ist streng monoton wachsend. 4. Untere Schranke: \(S_u = -0{,}5\) (oder kleiner); obere Schranke: \(S_o = 2\) (oder größer).

- Wie verhält sich der Bruchterm, wenn der Nenner immer größer wird? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Wert in einer beliebig kleinen Umgebung um eine Zahl liegt? - Für den Nachweis der Monotonie kannst du die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder untersuchen. - Überlege dir, wie man den Term der Folge so umformen kann, dass der Grenzwert direkt ablesbar ist.

1. Berechnung der Glieder durch Einsetzen: \( a_1 = 3 \); \( a_2 = 2{,}5 \); \( a_3 \approx 2{,}33 \); \( a_4 = 2{,}25 \); \( a_5 = 2{,}2 \); \( a_6 \approx 2{,}17 \). 2. Bestimmung des Grenzwerts: \( a_n = \frac{2n}{n} + \frac{1}{n} = 2 + \frac{1}{n} \). Für \( n \to \infty \) gilt \( \frac{1}{n} \to 0 \), woraus \( g = 2 \) folgt. 3. Lösen der Ungleichung \( |a_n - 2| < 0{,}05 \): \( |2 + \frac{1}{n} - 2| < 0{,}05 \implies \frac{1}{n} < \frac{5}{100} \implies n > 20 \). Ab dem Index \( n = 21 \) ist die Bedingung erfüllt. 4. Monotonie: \( a_{n+1} - a_n = (2 + \frac{1}{n+1}) - (2 + \frac{1}{n}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n - (n+1)}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)} \). Da dieser Ausdruck für alle \( n \ge 1 \) negativ ist, fällt die Folge streng monoton. Da \( \frac{1}{n} > 0 \) für alle \( n \in \mathbb{N} \), gilt stets \( a_n = 2 + \frac{1}{n} > 2 \).

1. \( 3 \); \( 2{,}5 \); \( 2{,}33 \); \( 2{,}25 \); \( 2{,}2 \); \( 2{,}17 \). 2. \( g = 2 \). 3. Ab \( n = 21 \). 4. Beweis über \( a_{n+1} - a_n < 0 \) und \( a_n = 2 + \frac{1}{n} > 2 \).

- Wie viele Schritte der Differenz liegen zwischen dem 4. und dem 11. Glied? - Kannst du aus zwei bekannten Gliedern die konstante Differenz der Folge bestimmen? - Wenn du die Differenz kennst, wie kommst du dann zum ersten Glied oder direkt zu einem weit entfernten Glied?

1. Bestimmung der konstanten Differenz \( d \) der Folge durch den Quotienten aus der Differenz der Gliedwerte und der Differenz ihrer Indizes: \( d = \frac{a_{11} - a_4}{11 - 4} = \frac{-11 - 17}{7} = -4 \). 2. Berechnung des ersten Gliedes \( a_1 \) ausgehend von \( a_4 \): \( a_1 = a_4 - 3d = 17 - 3 \cdot (-4) = 29 \). 3. Berechnung des 50. Gliedes mithilfe der expliziten Bildungsformel \( a_n = a_1 + (n-1)d \): \( a_{50} = 29 + 49 \cdot (-4) = -167 \).

\( a_{50} = -167 \)

- Wie findest du die kleinste und die größte Zahl in diesem Bereich, die die Bedingung erfüllt? - Welche Art von Folge bilden diese Zahlen? - Wie viele Zahlen liegen insgesamt in diesem Bereich? - Gibt es eine Formel, mit der man die Summe einer solchen Zahlenfolge direkt berechnen kann?

1. Identifikation des ersten Gliedes \(a_1\) als kleinstes Vielfaches von 13 oberhalb von 100: \(104 : 13 = 8\), also \(a_1 = 104\). 2. Identifikation des letzten Gliedes \(a_n\) als größtes Vielfaches von 13 unterhalb von 1000: \(1000 : 13 \approx 76{,}92\), also \(76 \cdot 13 = 988\), woraus \(a_n = 988\) folgt. 3. Berechnung der Anzahl der Glieder \(n\) mithilfe der Formel für das allgemeine Glied einer arithmetischen Folge \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\): \(988 = 104 + (n-1) \cdot 13\). Dies führt zu \(884 = 13 \cdot (n-1)\) und somit \(n-1 = 68\), also \(n = 69\). 4. Berechnung der Gesamtsumme \(S_{69}\) mit der Gaußschen Summenformel: \(S_{69} = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = \frac{69}{2} \cdot (104 + 988) = 34{,}5 \cdot 1092 = 37\,674\).

Die Summe beträgt \(37\,674\).

- Wie hängen die verschiedenen Glieder einer arithmetischen Folge voneinander ab? - Kannst du die Differenz zwischen den gegebenen Gliedern nutzen, um den konstanten Zuwachs zu finden? - Welche Informationen benötigst du für die allgemeine Summenformel einer endlichen Reihe? - Überlege, wie du vom dritten Glied zurück zum ersten Glied gelangst.

1. Bestimmung der Differenz \(d\): Da es sich um eine arithmetische Folge handelt, gilt \(a_7 = a_3 + 4d\). Einsetzen der Werte ergibt \(45 = 17 + 4d\), woraus \(28 = 4d\) und somit \(d = 7\) folgt. 2. Bestimmung des ersten Gliedes \(a_1\): Mit \(a_3 = a_1 + 2d\) folgt \(17 = a_1 + 2 \cdot 7\), also \(17 = a_1 + 14\), woraus sich \(a_1 = 3\) ergibt. 3. Berechnung des 20. Gliedes \(a_{20}\): Es gilt \(a_{20} = a_1 + 19d = 3 + 19 \cdot 7 = 3 + 133 = 136\). 4. Berechnung der Summe \(S_{20}\): Unter Verwendung der Summenformel für arithmetische Reihen \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\) ergibt sich \(S_{20} = \frac{20}{2}(3 + 136) = 10 \cdot 139 = 1390\).

Die Summe der ersten \(20\) Glieder beträgt \(1390\).

- Kannst du die Folge als arithmetische Folge identifizieren? - Welche Formel hilft dabei, die Summe der ersten Glieder einer solchen Folge zu berechnen? - Überlege bei Teilaufgabe 2, wie das letzte Glied der Folge in Abhängigkeit von \(n\) aussieht. - Kannst du die Bedingung in Teilaufgabe 3 als eine Gleichung formulieren?

1. Die ersten \(40\) Vielfachen von \(3\) bilden eine arithmetische Folge mit \(a_1 = 3\) und \(a_{40} = 3 \cdot 40 = 120\). Die Summe berechnet sich nach der Formel \(S_{40} = \frac{a_1 + a_{40}}{2} \cdot 40 = \frac{3 + 120}{2} \cdot 40 = 123 \cdot 20 = 2460\). 2. Die ersten \(n\) ungeraden Zahlen sind \(1, 3, 5, \dots, (2n-1)\). Dies ist eine arithmetische Folge mit \(a_1 = 1\) und dem \(n\)-ten Glied \(a_n = 2n-1\). Die Summe ergibt sich zu \(S_n = \frac{1 + (2n-1)}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2\). 3. Gesucht ist \(n\) mit \(\frac{n(n+1)}{2} = 1275\). Dies führt auf die quadratische Gleichung \(n^2 + n - 2550 = 0\). Anwendung der Lösungsformel: \(n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot (-2550)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{10\,201}}{2} = \frac{-1 \pm 101}{2}\). Da \(n\) eine natürliche Zahl sein muss, folgt \(n = \frac{100}{2} = 50\).

1. \(2460\) 2. Nachweis über die Summenformel der arithmetischen Reihe: \(S_n = \frac{1 + (2n-1)}{2} \cdot n = n^2\). 3. \(n = 50\)

- Was ist die kleinste und was die größte dreistellige Zahl, die die Bedingung erfüllt? - Handelt es sich um eine arithmetische oder eine geometrische Folge? - Wie viele Zahlen liegen insgesamt in diesem Bereich, wenn man immer in Sechser-Schritten springt? - Gibt es eine Formel, mit der man die Summe einer solchen Zahlenfolge direkt berechnen kann?

1. Identifikation der kleinsten dreistelligen, durch 6 teilbaren Zahl: \(17 \cdot 6 = 102\), also \(a_1 = 102\). 2. Identifikation der größten dreistelligen, durch 6 teilbaren Zahl: \(166 \cdot 6 = 996\), also \(a_n = 996\). 3. Bestimmung der Anzahl der Glieder \(n\) der arithmetischen Folge mit der Differenz \(d = 6\): \(996 = 102 + (n - 1) \cdot 6 \implies 894 = (n - 1) \cdot 6 \implies 149 = n - 1 \implies n = 150\). 4. Berechnung der Summe mit der Formel \(S_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2}\): \(S_{150} = \frac{150 \cdot (102 + 996)}{2} = 75 \cdot 1098 = 82\,350\).

Die Summe beträgt \(82\,350\).

- Schreibe dir die ersten Glieder der Folge auf, um ein Muster zu erkennen. - Um welche Art von Folge handelt es sich, wenn der Abstand zwischen den Gliedern immer gleich ist? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für die Summe der ersten Glieder einer solchen Folge. - Setze dein Ergebnis für das allgemeine Glied in die Summenformel ein und vereinfache den Ausdruck.

1. Die Folge beginnt mit \(3, 7, 11, \dots\). Es handelt sich um eine arithmetische Folge mit dem ersten Glied \(a_1 = 3\) und der konstanten Differenz \(d = 4\). Die explizite Bildungsregel lautet \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d = 3 + (n-1) \cdot 4 = 4n - 1\). 2. Die Summe einer arithmetischen Reihe berechnet sich nach der Formel \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\). Einsetzen der bekannten Werte ergibt \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (3 + 4n - 1) = \frac{n}{2} \cdot (4n + 2) = n \cdot (2n + 1) = 2n^2 + n\).

1. \(a_n = 4n - 1\) 2. \(S_n = 2n^2 + n\)

- Wie viele Glieder hat die Folge insgesamt, wenn man die beiden Randwerte und die eingefügten Zahlen zählt? - Welche Formel verknüpft das erste Glied, das letzte Glied und die Summe einer arithmetischen Folge? - Wenn du die Gesamtzahl der Glieder kennst, wie berechnest du dann den Schrittabstand zwischen den Gliedern?

1. Verwendung der Summenformel für arithmetische Reihen: \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\) mit \(a_1 = 10\), \(a_n = 50\) und \(S_n = 330\). 2. Einsetzen der Werte: \(330 = \frac{n}{2} \cdot (10 + 50) = 30n\). 3. Berechnung der Gesamtzahl der Glieder: \(n = \frac{330}{30} = 11\). 4. Bestimmung der Anzahl der eingefügten Zahlen: \(k = n - 2 = 9\). 5. Berechnung der Differenz \(d\) mit der Formel \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\): \(50 = 10 + 10d \Rightarrow 40 = 10d \Rightarrow d = 4\).

\(k = 9\); \(d = 4\)

- Wie viele Glieder hat die Folge insgesamt, wenn man die beiden Randwerte mitzählt? - Welcher mathematische Zusammenhang besteht zwischen dem ersten Glied, dem letzten Glied und der Differenz einer solchen Folge? - Könnte eine Skizze der Glieder auf einem Zahlenstrahl helfen?

1. Da sechs Zahlen eingefügt werden sollen, besteht die gesamte Folge aus \(n = 6 + 2 = 8\) Gliedern. 2. Es gilt \(a_1 = -12\) und \(a_8 = 16\). 3. Die Differenz \(d\) der arithmetischen Folge wird mithilfe der Formel \(a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\) berechnet: \(16 = -12 + (8 - 1) \cdot d \Rightarrow 28 = 7d \Rightarrow d = 4\). 4. Die einzufügenden Glieder ergeben sich durch sukzessive Addition von \(d\): \(a_2 = -8\), \(a_3 = -4\), \(a_4 = 0\), \(a_5 = 4\), \(a_6 = 8\), \(a_7 = 12\).

\(-8, -4, 0, 4, 8, 12\)

- Wie viele Glieder hat die Folge insgesamt, wenn zwischen zwei Zahlen weitere Zahlen eingefügt werden? - Welche allgemeine Formel beschreibt den Zusammenhang zwischen dem ersten und dem letzten Glied einer arithmetischen Folge? - Wie berechnet man ein Glied aus seinem Vorgänger, wenn die Differenz bekannt ist?

1. Identifikation der Glieder: Die Folge besteht aus \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\). Gegeben sind \(a_1 = -7\) und \(a_6 = 23\). 2. Berechnung der Differenz \(d\): Unter Verwendung der Formel für das \(n\)-te Glied \(a_n = a_1 + (n-1)d\) ergibt sich \(23 = -7 + (6-1) \cdot d\). 3. Auflösen nach \(d\): \(30 = 5d \implies d = 6\). 4. Bestimmung der Glieder: - \(a_1 = -7\) - \(a_2 = -7 + 6 = -1\) - \(a_3 = -1 + 6 = 5\) - \(a_4 = 5 + 6 = 11\)

Die Differenz beträgt \(d = 6\). Die ersten vier Glieder der Folge sind \(-7\), \(-1\), \(5\) und \(11\).

- Wie hängen der Startwert, der Endwert und die Anzahl der Schritte mit der Differenz zusammen? - Was bedeutet es für die Gliederanzahl, wenn man von „eingefügten“ Werten spricht? - Welche Formel hilft dir, die Summe einer arithmetischen Reihe effizient zu berechnen?

1. Berechnung der Anzahl der Glieder zwischen \(3\) und \(15\): Aus \(a_k = a_1 + (k-1) \cdot d\) folgt mit \(a_1 = 3\), \(a_k = 15\) und \(d = 1{,}5\) die Gleichung \(15 = 3 + (k-1) \cdot 1{,}5\). Dies ergibt \(12 = (k-1) \cdot 1{,}5\), also \(k-1 = 8\) und \(k = 9\). Da die Randwerte \(3\) und \(15\) mitgezählt werden, müssen \(n = k - 2 = 7\) Werte eingefügt werden. 2. Berechnung der ersten sechs Glieder: Mit \(a_1 = 3\) und \(d = 1{,}5\) ergeben sich \(a_1 = 3\), \(a_2 = 4{,}5\), \(a_3 = 6\), \(a_4 = 7{,}5\), \(a_5 = 9\) und \(a_6 = 10{,}5\). 3. Summe der gesamten Folge bis \(27\): Zuerst Bestimmung der Gesamtzahl der Glieder \(N\). Es gilt \(27 = 3 + (N-1) \cdot 1{,}5\), woraus \(24 = (N-1) \cdot 1{,}5\) und somit \(N-1 = 16\), also \(N = 17\) folgt. Die Summenformel \(S_N = \frac{N}{2}(a_1 + a_N)\) liefert \(S_{17} = \frac{17}{2}(3 + 27) = \frac{17}{2} \cdot 30 = 255\).

1. Es müssen jeweils \(7\) Werte eingefügt werden. 2. Die ersten sechs Glieder lauten \(3; 4{,}5; 6; 7{,}5; 9; 10{,}5\). 3. Die Summe beträgt \(255\).

- Stelle zuerst allgemeine Formeln für die Glieder beider Folgen in Abhängigkeit von \(d\) bzw. \(q\) auf. - Nutze die Informationen über die zweiten und dritten Glieder, um ein Gleichungssystem zu bilden. - Kannst du eine Variable durch die andere ausdrücken, um die Anzahl der Unbekannten zu reduzieren? - Erinnere dich an die Summenformel für arithmetische Reihen.

1. Aufstellen der Terme für die Glieder unter Verwendung von \(a_1 = g_1 = 4\): \(a_2 = 4 + d\), \(a_3 = 4 + 2d\), \(g_2 = 4q\), \(g_3 = 4q^2\). 2. Einsetzen der Bedingung \(a_2 = g_2 + 2\) ergibt \(4 + d = 4q + 2\), woraus \(d = 4q - 2\) folgt. 3. Gleichsetzen der dritten Glieder (\(a_3 = g_3\)): \(4 + 2(4q - 2) = 4q^2\). 4. Vereinfachen der Gleichung zu \(8q = 4q^2\). Da \(q \neq 0\), folgt \(q = 2\). 5. Berechnung von \(d = 4 \cdot 2 - 2 = 6\). 6. Bestimmung der ersten drei Glieder: Arithmetische Folge \(4, 10, 16\); Geometrische Folge \(4, 8, 16\). 7. Berechnung der Summe \(S_{10}\) der arithmetischen Folge mit der Formel \(S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\): \(S_{10} = \frac{10}{2}(2 \cdot 4 + 9 \cdot 6) = 5 \cdot (8 + 54) = 310\).

a) \(d = 6\) und \(q = 2\) b) Arithmetische Folge: \(4, 10, 16\); Geometrische Folge: \(4, 8, 16\) c) \(S_{10} = 310\)

- Prüfe die Konstanz der Differenz für arithmetische Folgen. - Prüfe die Konstanz des Quotienten für geometrische Folgen. - Nutze konkrete Zahlenbeispiele, um eine Vermutung zu widerlegen. - Setze die allgemeine Formel für das \(n\)-te Glied ein.

1. Für Teil a): \(s_{n+1} - s_n = (a_{n+1} + b_{n+1}) - (a_n + b_n) = (a_{n+1} - a_n) + (b_{n+1} - b_n) = d_1 + d_2\). Da \(d_1 + d_2\) konstant ist, ist die Summenfolge arithmetisch. 2. Für Teil b): \(\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{g_{n+1}^2}{g_n^2} = \left(\frac{g_{n+1}}{g_n}\right)^2\). Da \(\frac{g_{n+1}}{g_n} = q\), gilt \(\frac{c_{n+1}}{c_n} = q^2\). Da \(q^2\) konstant ist, ist die Folge geometrisch mit dem Quotienten \(q^2\). 3. Für Teil c): Die ersten Glieder sind \(y_1 = \frac{1}{3}\), \(y_2 = \frac{1}{5}\), \(y_3 = \frac{1}{7}\). Die Differenzen sind \(y_2 - y_1 = \frac{1}{5} - \frac{1}{3} = -\frac{2}{15}\) und \(y_3 - y_2 = \frac{1}{7} - \frac{1}{5} = -\frac{2}{35}\). Da \(-\frac{2}{15} \neq -\frac{2}{35}\), ist die Differenz nicht konstant. Die Folge ist nicht arithmetisch.

a) Ja, sie ist arithmetisch mit der Differenz \(d = d_1 + d_2\). b) Ja, sie ist geometrisch mit dem Quotienten \(q' = q^2\). c) Nein, die Differenzen zwischen den Gliedern sind nicht konstant (z. B. \(y_2 - y_1 \neq y_3 - y_2\)).

- Betrachte die Definitionen: Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz aufeinanderfolgender Glieder konstant, bei einer geometrischen Folge deren Quotient. - Setze im Zweifelsfall einfache Zahlenbeispiele ein (z. B. \(2, 4, 6, \dots\) für AF oder \(2, 4, 8, \dots\) für GF), um eine Vermutung zu prüfen. - Prüfe, ob die Differenz \(b_{n+1} - b_n\) oder der Quotient \(\frac{b_{n+1}}{b_n}\) noch vom Index \(n\) abhängt.

1. Fall \(b_n = 5 \cdot a_n\): War \((a_n)\) eine AF, so ist \(b_{n+1} - b_n = 5(a_{n+1} - a_n) = 5d\). Die Folge ist eine AF. War \((a_n)\) eine GF, so ist \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{5a_{n+1}}{5a_n} = q\). Die Folge ist eine GF. 2. Fall \(b_n = a_n + 5\): War \((a_n)\) eine AF, so ist \(b_{n+1} - b_n = (a_{n+1} + 5) - (a_n + 5) = d\). Die Folge ist eine AF. War \((a_n)\) eine GF, so ist \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{a_{n+1} + 5}{a_n + 5} = \frac{a_1 q^n + 5}{a_1 q^{n-1} + 5}\). Dieser Ausdruck ist im Allgemeinen nicht konstant, daher ist die Folge im Allgemeinen keine GF. Außerdem gilt \(b_{n+1} - b_n = a_1 q^{n-1}(q-1)\); auch diese Differenz ist im Allgemeinen nicht konstant. Somit ist \((b_n)\) im Allgemeinen weder eine AF noch eine GF. 3. Fall \(b_n = a_n^2\): War \((a_n)\) eine AF, so ist \(b_{n+1} - b_n = a_{n+1}^2 - a_n^2 = (a_{n+1} - a_n)(a_{n+1} + a_n) = d(2a_1 + (2n-1)d)\). Die Differenz hängt von \(n\) ab, also ist \((b_n)\) keine AF. Auch der Quotient \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = \left(\frac{a_n+d}{a_n}\right)^2\) ist im Allgemeinen nicht konstant, also ist \((b_n)\) im Allgemeinen keine GF. War \((a_n)\) eine GF, so ist \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{a_{n+1}^2}{a_n^2} = q^2\). Die Folge ist eine GF. 4. Fall \(b_n = \frac{1}{a_n}\): War \((a_n)\) eine AF, so ist \(b_{n+1} - b_n = \frac{1}{a_n+d} - \frac{1}{a_n} = \frac{-d}{a_n(a_n+d)}\) nicht konstant, also ist \((b_n)\) keine AF. Auch der Quotient \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{a_n}{a_n+d}\) ist im Allgemeinen nicht konstant, also ist \((b_n)\) im Allgemeinen keine GF. War \((a_n)\) eine GF, so ist \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{q}\). Die Folge ist eine GF.

1) AF bleibt AF; GF bleibt GF. 2) AF bleibt AF; GF wird im Allgemeinen weder AF noch GF. 3) AF wird im Allgemeinen weder AF noch GF; GF bleibt GF (mit Quotient \(q^2\)). 4) AF wird im Allgemeinen weder AF noch GF; GF bleibt GF (mit Quotient \(\frac{1}{q}\)).

- Welche Formel berechnet die Summe einer arithmetischen Folge? - Was bedeutet es für die einzelnen Glieder, wenn die Differenz negativ ist? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die Summe Null gesetzt wird? - Wie verhalten sich die Vorzeichen der Folgenglieder im Verlauf der Folge?

1. Ansatz mit der Summenformel für arithmetische Reihen: \( S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d) \). Setzen der Bedingung \( S_n = 0 \): \( \frac{n}{2} \cdot (2 \cdot 15 + (n-1) \cdot (-1{,}5)) = 0 \). Da \( n > 0 \), muss der Klammerausdruck Null sein: \( 30 - 1{,}5n + 1{,}5 = 0 \). Auflösen nach \( n \): \( 31{,}5 = 1{,}5n \Rightarrow n = 21 \). Die Summe der ersten \( 21 \) Glieder ist Null. 2. Da die Differenz \( d = -1{,}5 \) negativ ist, handelt es sich um eine streng monoton fallende Folge. Nach dem Glied \( a_{11} = 15 + 10 \cdot (-1{,}5) = 0 \) sind alle weiteren Folgenglieder negativ. Bis \( n = 21 \) heben die negativen Glieder die vorangegangenen positiven Glieder exakt auf. Für \( n > 21 \) kommen nur noch weitere negative Werte hinzu, wodurch die Gesamtsumme negativ wird.

1. \( n = 21 \) 2. Die Folge ist streng monoton fallend. Ab dem 12. Glied sind die Werte negativ. Bei \( n = 21 \) gleichen die negativen Glieder die positiven Glieder genau aus; für jedes weitere \( n \) sinkt die Summe tiefer ins Negative.

- Was passiert mit den Termen, in denen \(n\) im Nenner steht, wenn \(n\) immer größer wird? - Wie lässt sich der Abstand zwischen einem Folgenglied und dem Grenzwert mathematisch ausdrücken? - Könntest du die Ungleichung nach der gesuchten Variable auflösen? - Um das Wachstumsverhalten zu untersuchen, kannst du die Differenz aufeinanderfolgender Glieder betrachten.

1. Einsetzen der Werte ergibt \(a_1 = \frac{3}{5} = 0{,}6\), \(a_2 = \frac{7}{7} = 1\) und \(a_{10} = \frac{39}{23} \approx 1{,}696\). 2. Durch Ausklammern von \(n\) im Zähler und Nenner erhält man \(a_n = \frac{4 - \frac{1}{n}}{2 + \frac{3}{n}}\). Der Grenzwert für \(n \to \infty\) ist \(g = \frac{4}{2} = 2\). 3. Aus \(| \frac{4n-1}{2n+3} - 2 | < 0{,}001\) folgt \(| \frac{4n-1-4n-6}{2n+3} | < 0{,}001\), also \(\frac{7}{2n+3} < 0{,}001\). Umstellen ergibt \(7000 < 2n + 3 \implies 6997 < 2n \implies n > 3498{,}5\). Das kleinste \(n_0\) ist \(3499\). 4. Die Differenz \(a_{n+1} - a_n = \frac{4n+3}{2n+5} - \frac{4n-1}{2n+3} = \frac{(4n+3)(2n+3) - (4n-1)(2n+5)}{(2n+5)(2n+3)} = \frac{14}{(2n+5)(2n+3)}\) ist für alle \(n \in \mathbb{N}\) positiv, daher ist die Folge streng monoton wachsend.

1) \(a_1 = 0{,}6\); \(a_2 = 1\); \(a_{10} \approx 1{,}696\) 2) \(g = 2\) 3) \(n_0 = 3499\) 4) Nachweis über \(a_{n+1} - a_n > 0\) erbracht.

- Überlege dir, was mit dem Bruch passiert, wenn \( n \) sehr groß wird. - Die Bedingung für das Intervall lässt sich als Betragsungleichung \( |a_n - g| < \varepsilon \) schreiben. - Erinnere dich an die Definition von Monotonie: Werden die Werte immer nur größer oder immer nur kleiner? - Für die Beschränktheit reicht es zu zeigen, dass die Werte niemals eine bestimmte obere oder untere Grenze überschreiten.

1. Einsetzen der Werte ergibt \( a_1 = 4 - 10 = -6 \), \( a_2 = 4 + 5 = 9 \), \( a_{10} = 4 + 1 = 5 \) und \( a_{100} = 4 + 0{,}1 = 4{,}1 \). 2. Da der Term \( \frac{10 \cdot (-1)^n}{n} \) für \( n \to \infty \) gegen \( 0 \) konvergiert (Nullfolge), ist der Grenzwert \( g = 4 \). 3. Das Intervall entspricht der Bedingung \( |a_n - 4| < 0{,}05 \). Einsetzen der Folgendefinition liefert \( |\frac{10 \cdot (-1)^n}{n}| < 0{,}05 \), also \( \frac{10}{n} < 0{,}05 \). Umstellen nach \( n \) ergibt \( n > \frac{10}{0{,}05} = 200 \). Somit liegen alle Folgenglieder ab \( n = 201 \) im Intervall. 4. Die Folge ist beschränkt, da alle Glieder im Intervall \( [-6; 9] \) liegen (\( a_1 \) ist das Minimum, \( a_2 \) das Maximum). Sie ist nicht monoton, da der Term \( (-1)^n \) einen Vorzeichenwechsel bewirkt, wodurch die Werte abwechselnd oberhalb und unterhalb des Grenzwertes liegen (oszillierende Folge).

1. \( a_1 = -6 \), \( a_2 = 9 \), \( a_{10} = 5 \), \( a_{100} = 4{,}1 \). 2. \( g = 4 \). 3. Ab dem Index \( n = 201 \). 4. Die Folge ist beschränkt (z. B. durch \( -6 \) und \( 9 \)), aber nicht monoton, da sie um den Grenzwert oszilliert.

- Setze nacheinander kleine natürliche Zahlen ein, um ein Gefühl für die Folge zu bekommen. - Kannst du den Term so umformen, dass der Einfluss von \(n\) im Bruch deutlicher wird? - Welche Rolle spielt der Ausdruck \((-1)^n\) für die Struktur der Folge? - Was muss für die Grenzwerte aller Teilfolgen gelten, damit die gesamte Folge konvergiert?

1. Einsetzen der Indizes: \(c_1 = 2 + \frac{-1 \cdot 0}{1} = 2\); \(c_2 = 2 + \frac{1 \cdot 1}{2} = 2{,}5\); \(c_3 = 2 + \frac{-1 \cdot 2}{3} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33\). 2. Grenzwerte der Teilfolgen: Für gerade Indizes gilt \(c_{2k} = 2 + \frac{2k-1}{2k} = 2 + (1 - \frac{1}{2k})\). Der Grenzwert für \(k \to \infty\) ist \(2 + 1 = 3\). Für ungerade Indizes gilt \(c_{2k-1} = 2 - \frac{(2k-1)-1}{2k-1} = 2 - \frac{2k-2}{2k-1}\). Der Grenzwert für \(k \to \infty\) ist \(2 - 1 = 1\). 3. Da die beiden Teilfolgen gegen unterschiedliche Werte (\(3\) und \(1\)) konvergieren, besitzt die gesamte Folge \((c_n)\) keinen eindeutigen Grenzwert und ist somit divergent.

1. \(c_1 = 2\); \(c_2 = 2{,}5\); \(c_3 = \frac{4}{3}\). 2. Die Teilfolge der geraden Indizes strebt gegen \(3\), die der ungeraden Indizes gegen \(1\). 3. Die Folge ist divergent, da die Grenzwerte der Teilfolgen nicht identisch sind.

- Kannst du den Bruch so zerlegen, dass \(n\) nur noch in einem Teil vorkommt? - Nutze den umgeformten Term, um den Abstand zum Grenzwert leichter zu berechnen. - Überlege, was der kleinstmögliche Wert für \(n\) ist und wie sich der Wert des Bruchs bei größerem \(n\) verändert.

1. Der Term wird aufgeteilt: \(b_n = \frac{n^2}{2n^2} - \frac{1}{2n^2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2n^2} = 0{,}5 - \frac{1}{2n^2}\). Da \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n^2} = 0\), folgt \(\lim_{n \to \infty} b_n = 0{,}5\). 2. Es gilt \(|0{,}5 - (0{,}5 - \frac{1}{2n^2})| < 0{,}01 \Rightarrow \frac{1}{2n^2} < 0{,}01\). Umstellen nach \(n\) ergibt \(2n^2 > \frac{1}{0{,}01} = 100\), also \(n^2 > 50\). Da \(n\) eine natürliche Zahl ist, muss \(n > \sqrt{50} \approx 7{,}071\) gelten. Somit erfüllen alle \(n \geq 8\) die Bedingung. 3. Für alle \(n \geq 1\) ist \(\frac{1}{2n^2}\) positiv. Da dieser Wert von \(0{,}5\) subtrahiert wird, ist \(b_n\) stets kleiner als \(0{,}5\), was \(0{,}5\) zu einer oberen Schranke macht. Das kleinste Glied ist \(b_1 = \frac{1^2-1}{2 \cdot 1^2} = 0\). Da \(\frac{1}{2n^2}\) mit wachsendem \(n\) kleiner wird, wird der subtrahierte Wert kleiner, die Differenz also größer. Somit ist \(b_n \geq 0\) für alle \(n\), was \(0\) zu einer unteren Schranke macht.

1. \(b_n = 0{,}5 - \frac{1}{2n^2}\); Grenzwert ist \(0{,}5\). 2. Für alle \(n \geq 8\). 3. \(b_1 = 0\) ist das Minimum (untere Schranke); \(b_n\) nähert sich von unten dem Grenzwert \(0{,}5\) (obere Schranke).

- Um die Monotonie zu zeigen, kannst du auch untersuchen, ob \( b_n < b_{n+1} \) für alle \( n \) gilt. - Eine Schranke ist eine Zahl, die von keinem Folgenglied überschritten wird. - Erinnere dich an die Division durch die höchste Potenz von \( n \) im Zähler und Nenner zur Grenzwertbestimmung. - Löse die Ungleichung im letzten Aufgabenteil Schritt für Schritt nach \( n \) auf.

1. Monotonieprüfung über \( b_{n+1} - b_n \): \( \frac{3(n+1)-1}{n+2} - \frac{3n-1}{n+1} = \frac{3n+2}{n+2} - \frac{3n-1}{n+1} = \frac{(3n+2)(n+1) - (3n-1)(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{3n^2+5n+2 - (3n^2+5n-2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{4}{(n+1)(n+2)} > 0 \). Somit streng monoton steigend. 2. Da die Folge steigt und gegen 3 konvergiert, ist z. B. \( S = 3 \) eine obere Schranke (da \( \frac{3n-1}{n+1} < \frac{3n+3}{n+1} = 3 \)). 3. Grenzwertbildung: \( \lim_{n \to \infty} \frac{3 - \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = 3 \), also \( L = 3 \). 4. Ansatz \( |3 - \frac{3n-1}{n+1}| < \epsilon \): \( |\frac{3(n+1) - (3n-1)}{n+1}| = \frac{4}{n+1} < \epsilon \). Umstellen nach \( n \): \( n+1 > \frac{4}{\epsilon} \implies n > \frac{4}{\epsilon} - 1 \). Für die übliche Formulierung \(n \ge n_0\) ist der kleinste Index daher \( n_0 = \max\left(1, \left\lfloor \frac{4}{\epsilon} - 1 \right\rfloor + 1\right) \).

1. Nachweis über \( b_{n+1} - b_n = \frac{4}{(n+1)(n+2)} > 0 \). 2. Obere Schranke z. B. \( S = 3 \). 3. \( L = 3 \). 4. \( n_0 = \max\left(1, \left\lfloor \frac{4}{\epsilon} - 1 \right\rfloor + 1\right) \).

- Wie verhalten sich die Werte der Folge, wenn \(n\) immer größer wird? - Könntest du die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern untersuchen? - Wie lässt sich eine Ungleichung mit einer Wurzel am besten nach der gesuchten Variablen auflösen? - Überlege, ob eine einfachere, kleinere Funktion existiert, die unterhalb deiner Folge liegt und trotzdem gegen Unendlich strebt.

1. Untersuchung der Monotonie: Es wird die Differenz aufeinanderfolgender Glieder betrachtet. \(a_{n+1} - a_n = \sqrt{(n+1)^2 + 4(n+1)} - \sqrt{n^2 + 4n} = \sqrt{n^2 + 6n + 5} - \sqrt{n^2 + 4n}\). Da \(n^2 + 6n + 5 > n^2 + 4n\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) gilt und die Wurzelfunktion streng monoton wachsend ist, folgt \(a_{n+1} > a_n\). Die Folge ist streng monoton wachsend. 2. Nachweis der Unbeschränktheit: Um \(a_n > M\) zu erfüllen, muss \(\sqrt{n^2 + 4n} > M\) gelten. Quadrieren liefert \(n^2 + 4n > M^2\). Um die Ungleichung exakt zu lösen, wird quadratisch ergänzt: \(n^2 + 4n > M^2 \Leftrightarrow (n+2)^2 > M^2 + 4\). Da \(n+2 > 0\), genügt \(n > -2 + \sqrt{M^2 + 4}\). Für jedes \(M > 0\) gibt es ein solches \(n\); daher ist die Folge unbeschränkt. 3. Berechnung für \(M = 100\): Die Ungleichung lautet \(n^2 + 4n > 10\,000\), also \(n^2 + 4n - 10\,000 > 0\). Die Nullstellen der quadratischen Gleichung liegen bei \(n = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 40\,000}}{2} = -2 \pm \sqrt{10\,004}\). Mit \(\sqrt{10\,004} \approx 100{,}02\) ergibt sich \(n > 98{,}02\). Somit ist das kleinste natürliche \(n\) der Wert \(99\).

1. Die strenge Monotonie folgt aus \(a_{n+1}^2 - a_n^2 = 2n + 5 > 0\). 2. \(a_n > M\) ist erfüllt für \(n > -2 + \sqrt{4 + M^2}\). 3. Das kleinste \(n\) ist \(99\).

- Wie verhält sich die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern? - Was bedeutet es für die Glieder einer Folge, wenn sie „unbeschränkt“ wachsen oder fallen? - Kannst du eine Ungleichung aufstellen, um den gesuchten Index zu berechnen? - Denke daran, dass der Index \(n\) immer eine ganze positive Zahl sein muss.

1. Berechnung der Differenz aufeinanderfolgender Glieder: \(a_{n+1} - a_n = (15 - \frac{1}{4}(n+1)^2) - (15 - \frac{1}{4}n^2) = -\frac{1}{4}(n^2 + 2n + 1) + \frac{1}{4}n^2 = -\frac{1}{2}n - \frac{1}{4}\). Da \(n \ge 1\), ist \((-\frac{1}{2}n - \frac{1}{4}) < 0\), woraus die strenge Monotonie folgt. 2. Für eine beliebige Schranke \(S < 0\) muss \(15 - \frac{1}{4}n^2 < S\) gelten. Umformung ergibt \(n^2 > 4(15 - S)\) bzw. \(n > 2\sqrt{15 - S}\). Da für jedes reelle \(S\) eine solche natürliche Zahl \(n\) existiert, ist die Folge nach unten unbeschränkt. 3. Ansatz \(a_n < -200\): \(15 - 0{,}25n^2 < -200 \implies 0{,}25n^2 > 215 \implies n^2 > 860\). Da \(\sqrt{860} \approx 29{,}33\), ist der kleinste Index \(n = 30\). 4. Ansatz \(a_n < -5\,000\): \(15 - 0{,}25n^2 < -5\,000 \implies 0{,}25n^2 > 5\,015 \implies n^2 > 20\,060\). Da \(\sqrt{20\,060} \approx 141{,}63\), ist der kleinste Index \(n = 142\).

1. Nachweis über \(a_{n+1} - a_n < 0\). 2. Nachweis über \(\lim_{n \to \infty} a_n = -\infty\). 3. Ab \(n = 30\). 4. Ab \(n = 142\).

- Nutze die Trigonometrie im gleichschenkligen Teildreieck, um die Seitenlänge zu berechnen. - Für den Teil b) ist eine trigonometrische Identität für den Doppelwinkel des Sinus (\(\sin(2\alpha)\)) sehr hilfreich. - Überlege dir beim Grenzwert, was mit dem Argument des Kosinus passiert, wenn \(n\) sehr groß wird.

1. Ein Teildreieck des \(n\)-Ecks hat den Mittelpunktswinkel \(\frac{2\pi}{n}\). Die Seitenlänge \(s_n\) ergibt sich durch Halbierung des Dreiecks zu \(s_n = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\). Der Umfang ist \(p_n = n \cdot s_n = 2nR \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\). 2. Berechnung von \(p_{2n}\): Ersetzen von \(n\) durch \(2n\) ergibt \(p_{2n} = 2(2n)R \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right) = 4nR \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)\). 3. Verhältnis bilden: \(v_n = \frac{4nR \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)}{2nR \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)} = \frac{2 \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}\). 4. Anwendung der Doppelwinkelformel \(\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)\) mit \(x = \frac{\pi}{2n}\): \(\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right) \cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)\). 5. Einsetzen und Kürzen: \(v_n = \frac{2 \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)}{2 \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right) \cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)} = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)}\). 6. Grenzwert: Da \(\frac{\pi}{2n} \to 0\) für \(n \to \infty\) und \(\cos(0) = 1\), folgt \(\lim_{n \to \infty} v_n = \frac{1}{1} = 1\). 7. Interpretation: Mit zunehmender Eckenzahl nähert sich der Umfang des Vielecks bereits sehr stark dem Kreisumfang an, sodass eine Verdopplung der Ecken kaum noch eine Änderung des Gesamtumfangs bewirkt.

a) \(p_n = 2nR \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\). b) Durch Anwendung von \(\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right) \cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)\) im Nenner des Verhältnisses \(\frac{p_{2n}}{p_n}\) erhält man nach Kürzen \(v_n = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)}\). c) Der Grenzwert ist \(1\). Dies bedeutet, dass der Umfangszuwachs bei Eckenzahlverdopplung für große \(n\) gegen Null geht, da die Vielecke gegen den Kreisumfang konvergieren.

- Welche Formel verknüpft die Summe einer arithmetischen Folge mit ihrem ersten Glied und der Differenz? - Versuche, eine Gleichung aufzustellen, in der nur noch die Differenz als Unbekannte vorkommt. - Wie berechnet man ein bestimmtes Glied, wenn das Startglied und die Differenz bekannt sind?

1. Verwendung der Summenformel für arithmetische Folgen \( S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) \) mit den gegebenen Werten \( n = 20 \), \( a_1 = 12 \) und \( S_{20} = 1000 \). 2. Aufstellen der Gleichung: \( 1000 = \frac{20}{2} \cdot (2 \cdot 12 + 19d) \), was vereinfacht zu \( 1000 = 10 \cdot (24 + 19d) \). 3. Auflösen der Gleichung nach \( d \): \( 100 = 24 + 19d \Rightarrow 76 = 19d \Rightarrow d = 4 \). 4. Berechnung des 15. Gliedes mit der Formel \( a_{15} = a_1 + 14d \): \( a_{15} = 12 + 14 \cdot 4 = 68 \).

\( d = 4 \) und \( a_{15} = 68 \)

- Wie lautet die allgemeine Formel für das \(n\)-te Glied einer arithmetischen Folge? - Kannst du den Ausdruck für \(b_n\) so vereinfachen, dass man das Verhalten für sehr große \(n\) direkt ablesen kann? - Zerlege die „pyramidenförmige“ Summe in zwei bekannte Teilsummen. - Welche Summenformel für die ersten \(k\) Zahlen kannst du hier mehrfach anwenden?

1. Das allgemeine Glied der arithmetischen Folge lautet \(a_n = a_1 + (n-1) \cdot d = 5 + (n-1) \cdot 2 = 2n + 3\). Die \(n\)-te Partialsumme berechnet sich über \(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{5 + 2n + 3}{2} \cdot n = \frac{2n + 8}{2} \cdot n = n^2 + 4n\). 2. Die Folge \(b_n\) ist gegeben durch \(b_n = \frac{n^2 + 4n}{n^2} = 1 + \frac{4}{n}\). Da \(\lim_{n \to \infty} \frac{4}{n} = 0\) gilt, konvergiert die Folge gegen den Grenzwert \(g = 1\). 3. Die Gesamtsumme \(T_n\) lässt sich in die Summe der ersten \(n\) natürlichen Zahlen und die Summe der ersten \(n-1\) natürlichen Zahlen zerlegen. Unter Verwendung der Gaußschen Summenformel ergibt sich: \(T_n = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n^2 + n + n^2 - n}{2} = \frac{2n^2}{2} = n^2\).

a) \(S_n = n^2 + 4n\) b) Die Folge konvergiert gegen den Grenzwert \(1\). c) Nachweis durch Zerlegung: \(\frac{n(n+1)}{2} + \frac{(n-1)n}{2} = n^2\).

- Kannst du die Gesamtzahl der Glieder direkt aus der Summe und den Randwerten berechnen? - Beachte den Unterschied zwischen der Gesamtzahl der Glieder und der Anzahl der eingefügten Glieder. - Wie berechnest du die Differenz, wenn du das erste und das letzte Glied sowie deren Position kennst?

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Glieder \(k\): Über die Summenformel \(S_k = \frac{k}{2}(a_1 + a_k)\) erhält man \(275 = \frac{k}{2}(5 + 45)\). Dies vereinfacht sich zu \(275 = 25k\), woraus \(k = 11\) folgt. Die Anzahl der eingefügten Glieder ist \(n = k - 2 = 9\). 2. Berechnung der Differenz \(d\): Aus \(a_k = a_1 + (k-1) \cdot d\) folgt mit \(k=11\): \(45 = 5 + 10d\). Dies ergibt \(40 = 10d\) und somit \(d = 4\). 3. Berechnung der Teilsumme \(S_5\): Mit \(a_1 = 5\), \(d = 4\) und \(n=5\) gilt \(S_5 = \frac{5}{2}(2 \cdot 5 + (5-1) \cdot 4) = 2{,}5 \cdot (10 + 16) = 2{,}5 \cdot 26 = 65\). Alternativ: Die Glieder sind \(5, 9, 13, 17, 21\). Die Summe ist \(5+9+13+17+21 = 65\).

1. Es wurden \(n = 9\) Glieder eingefügt. 2. Die Differenz beträgt \(d = 4\). 3. Die Summe der ersten fünf Glieder beträgt \(65\).

- Welche Formel verknüpft die Summe, das erste Glied, die Anzahl der Glieder und die Differenz? - Könnte eine quadratische Gleichung entstehen? - Betrachte die einzelnen Glieder der Folge ab dem vierten Glied. Was fällt dir an deren Summe auf?

1. Verwendung der Summenformel für arithmetische Folgen \(S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n-1)d]\). Einsetzen der Werte ergibt \(27 = \frac{n}{2} \cdot [2 \cdot 12 + (n-1) \cdot (-3)]\). Umformung führt zur quadratischen Gleichung \(3n^2 - 27n + 54 = 0\) bzw. \(n^2 - 9n + 18 = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(n_1 = 3\) und \(n_2 = 6\). 2. Die Glieder der Folge lauten \(a_1=12\), \(a_2=9\), \(a_3=6\), \(a_4=3\), \(a_5=0\), \(a_6=-3\). Die Summe \(S_3 = 12 + 9 + 6 = 27\). Für \(S_6\) kommen die Glieder \(a_4, a_5, a_6\) hinzu. Da \(a_4 + a_5 + a_6 = 3 + 0 + (-3) = 0\), bleibt der Wert der Gesamtsumme unverändert bei \(27\).

1. \(n_1 = 3\) und \(n_2 = 6\) 2. Die Summe der Glieder \(a_4, a_5\) und \(a_6\) ist Null (\(3 + 0 + (-3) = 0\)), weshalb \(S_3 = S_6\) gilt.

- Wie lassen sich die Glieder einer geometrischen Folge allgemein mit einem Startwert und einem Quotienten ausdrücken? - Welche mathematische Beziehung besteht zwischen drei aufeinanderfolgenden Gliedern einer arithmetischen Folge? - Überlege, wie du aus den zwei Bedingungen (Summe und arithmetische Eigenschaft) ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten erstellen kannst. - Was bedeutet die Information „wachsend“ für den Quotienten der geometrischen Folge?

1. Ansatz für die geometrische Folge: \(a\), \(a \cdot q\), \(a \cdot q^2\) mit \(q > 1\). 2. Summenbedingung aufstellen: \(a + aq + aq^2 = a(1 + q + q^2) = 21\). Daraus folgt \(a = \frac{21}{1 + q + q^2}\). 3. Bedingungen für die arithmetische Folge: Die neuen Zahlen sind \(a+2\), \(aq+2\) und \(aq^2-1\). 4. Eigenschaft der arithmetischen Folge nutzen: \(2(aq+2) = (a+2) + (aq^2-1)\). 5. Gleichung vereinfachen: \(2aq + 4 = a + aq^2 + 1 \implies a(q^2 - 2q + 1) = 3 \implies a(q-1)^2 = 3\). 6. Einsetzen von \(a\): \(\frac{21(q-1)^2}{1 + q + q^2} = 3 \implies 7(q^2 - 2q + 1) = 1 + q + q^2\). 7. Quadratische Gleichung lösen: \(7q^2 - 14q + 7 = 1 + q + q^2 \implies 6q^2 - 15q + 6 = 0 \implies 2q^2 - 5q + 2 = 0\). 8. Lösungen für \(q\): \(q_1 = 2\) und \(q_2 = 0{,}5\). Da die Folge wachsend ist, gilt \(q = 2\). 9. \(a\) berechnen: \(a = \frac{3}{(2-1)^2} = 3\). 10. Die Zahlen bestimmen: \(3\), \(3 \cdot 2 = 6\), \(3 \cdot 2^2 = 12\).

Die ursprünglichen Zahlen sind \(3\), \(6\) und \(12\).

- Wie hängen die Glieder einer arithmetischen Folge zusammen? - Wie hängen die Glieder einer geometrischen Folge zusammen? - Kannst du die vier Zahlen durch weniger Variablen ausdrücken, indem du die Summenbedingungen nutzt? - Stelle eine Gleichung auf, die nur noch eine Unbekannte enthält. - Achte darauf, dass alle gesuchten Zahlen ganze Zahlen sein müssen.

1. Seien die vier Zahlen \(x_1, x_2, x_3, x_4\). Da \(x_1, x_2, x_3\) eine arithmetische Folge bilden, gilt \(x_1 + x_3 = 2x_2\). 2. Da \(x_2, x_3, x_4\) eine geometrische Folge bilden, gilt \(x_3^2 = x_2 \cdot x_4\). 3. Gegeben sind die Summen \(x_2 + x_3 = 30\) und \(x_1 + x_4 = 32\). 4. Aus \(x_3 = 30 - x_2\) und der arithmetischen Eigenschaft folgt \(x_1 = 2x_2 - (30 - x_2) = 3x_2 - 30\). 5. Aus der geometrischen Eigenschaft folgt \(x_4 = \frac{(30 - x_2)^2}{x_2}\). 6. Einsetzen in die Summe der äußeren Glieder ergibt \(3x_2 - 30 + \frac{(30 - x_2)^2}{x_2} = 32\). 7. Multiplikation mit \(x_2\) und Umformung führt zur quadratischen Gleichung \(4x_2^2 - 122x_2 + 900 = 0\), vereinfacht \(2x_2^2 - 61x_2 + 450 = 0\). 8. Die Lösungen sind \(x_2 = 18\) und \(x_2 = 12{,}5\). Da die Zahlen ganzzahlig sein müssen, ist \(x_2 = 18\). 9. Hieraus ergeben sich \(x_3 = 12\), \(x_1 = 24\) und \(x_4 = 8\).

24, 18, 12, 8

- Stelle die Glieder der geometrischen Folge mithilfe eines Startwerts und eines konstanten Quotienten dar. - Nutze die Eigenschaft einer arithmetischen Folge, dass die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern konstant ist. - Stelle ein Gleichungssystem auf, indem du die Differenzen der neuen Glieder vergleichst. - Versuche, Terme im Gleichungssystem auszuklammern, um die Variablen durch Division der Gleichungen zu isolieren.

1. Sei die geometrische Folge durch \(a, aq, aq^2, aq^3\) gegeben. Die resultierende arithmetische Folge ist \(a-2, aq-3, aq^2-9, aq^3-25\). 2. Die Differenz \(d\) der arithmetischen Folge lässt sich auf drei Arten ausdrücken: \(d = (aq-3) - (a-2) = a(q-1) - 1\) \(d = (aq^2-9) - (aq-3) = aq(q-1) - 6\) \(d = (aq^3-25) - (aq^2-9) = aq^2(q-1) - 16\) 3. Durch Gleichsetzen der ersten beiden Ausdrücke für \(d\) erhält man: \(aq(q-1) - 6 = a(q-1) - 1 \Rightarrow a(q-1)^2 = 5\). 4. Durch Gleichsetzen der letzten beiden Ausdrücke für \(d\) erhält man: \(aq^2(q-1) - 16 = aq(q-1) - 6 \Rightarrow aq(q-1)^2 = 10\). 5. Division der zweiten Gleichung durch die erste (\(a \neq 0, q \neq 1\)) ergibt \(q = 2\). 6. Einsetzen von \(q=2\) in \(a(q-1)^2 = 5\) ergibt \(a(1)^2 = 5\), also \(a = 5\). 7. Die vier Zahlen der geometrischen Folge lauten \(5, 10, 20, 40\).

\(5, 10, 20, 40\)

- Wie ist die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern bei einer arithmetischen Folge definiert? - Welche Eigenschaft muss das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Glieder bei einer geometrischen Folge erfüllen? - Erinnere dich an die Logarithmengesetze für die Differenz zweier Logarithmen. - Wie lassen sich Potenzen mit gleicher Basis dividieren?

1. Um zu prüfen, ob \((b_n)\) arithmetisch ist, wird die Differenz aufeinanderfolgender Glieder berechnet: \(b_{n+1} - b_n = \ln(a_{n+1}) - \ln(a_n)\). Mithilfe der Logarithmengesetze gilt \(\ln(a_{n+1}) - \ln(a_n) = \ln\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)\). Da \((a_n)\) geometrisch ist, gilt \(\frac{a_{n+1}}{a_n} = q\). Somit ist \(b_{n+1} - b_n = \ln(q)\). Da \(\ln(q)\) für ein festes \(q\) konstant ist, handelt es sich um eine arithmetische Folge mit der Differenz \(d = \ln(q)\). 2. Für die Folge \((d_n)\) wird der Quotient aufeinanderfolgender Glieder betrachtet: \(\frac{d_{n+1}}{d_n} = \frac{e^{c_{n+1}}}{e^{c_n}}\). Nach den Potenzgesetzen ergibt sich \(e^{c_{n+1} - c_n}\). Da \((c_n)\) eine arithmetische Folge mit der Differenz \(d\) ist, gilt \(c_{n+1} - c_n = d\). Folglich ist \(\frac{d_{n+1}}{d_n} = e^d\). Da \(e^d\) konstant ist, ist \((d_n)\) eine geometrische Folge mit dem Quotienten \(q' = e^d\).

1. Ja, die Folge \((b_n)\) ist arithmetisch mit der Differenz \(d = \ln(q)\). 2. Die Folge \((d_n)\) ist geometrisch mit dem Quotienten \(q' = e^d\).

- Erkennst du im Nenner eine Struktur, die du faktorisieren kannst? - Wie lässt sich ein Bruch mit einem Produkt im Nenner in eine Differenz zerlegen? - Schreibe die Summe für die ersten drei Werte von \(k\) auf und schaue, ob sich etwas vereinfachen lässt. - Überlege, welcher Teil der Summe für sehr große \(k\) keine Rolle mehr spielt.

1. Faktorisierung des Nenners unter Verwendung der dritten binomischen Formel: \(4k^2 - 1 = (2k-1)(2k+1)\). 2. Partialbruchzerlegung des Summanden: \(\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1}\). Multiplikation mit dem Hauptnenner führt auf \(1 = A(2k+1) + B(2k-1)\). Für \(k = 0{,}5\) folgt \(A = 0{,}5\); für \(k = -0{,}5\) folgt \(B = -0{,}5\). Somit: \(\frac{1}{4k^2-1} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)\). 3. Bildung der Partialsumme \(S_n\): \(S_n = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right) = \frac{1}{2} \left[ \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) \right]\). 4. Vereinfachung der Teleskopsumme: \(S_n = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2n+1}\right)\). 5. Grenzwertbetrachtung für \(n \to \infty\): \(S = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2n+1}\right) = \frac{1}{2} (1 - 0) = 0{,}5\).

\(0{,}5\)

- Vergleiche die Wachstumsgeschwindigkeiten von Zähler und Nenner. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Ableitung einer Funktion und der Monotonie einer Folge. - Setze die Bedingung als Ungleichung an und versuche, diese durch Umformen in eine quadratische Form zu bringen. - Welche Methoden kennst du, um die Nullstellen eines quadratischen Terms zu finden?

1. Da der Grad des Zählers größer ist als der des Nenners, wächst die Folge über alle Grenzen: \(\lim_{n \to \infty} b_n = \infty\). 2. Die Ableitung der zugehörigen Funktion \(f(x) = \frac{x^2 - 10}{x + 5}\) ist \(f'(x) = \frac{x^2 + 10x + 10}{(x + 5)^2}\). Für \(x \ge 1\) ist der Zähler stets positiv, somit ist die Folge für alle \(n \in \mathbb{N}\) streng monoton wachsend. Alternativ zeigt \(b_{n+1} - b_n > 0\) das gleiche Ergebnis. 3. Löse \(\frac{n^2 - 10}{n + 5} > 50 \implies n^2 - 10 > 50n + 250 \implies n^2 - 50n - 260 > 0\). Die Nullstellen der quadratischen Gleichung liegen bei \(n \approx 54{,}75\) und \(n \approx -4{,}75\). Da \(n \in \mathbb{N}\), muss \(n \ge 55\) gelten. Das kleinste \(n\) ist \(55\).

1) \(\lim_{n \to \infty} b_n = \infty\) 2) Nachweis über die positive Ableitung der zugehörigen Funktion oder Differenzbildung erbracht. 3) \(n = 55\)

- Um Monotonie zu zeigen, kannst du die Differenz \( a_{n+1} - a_n \) bilden und prüfen, ob diese immer positiv ist. - Für den Grenzwert bei gebrochen-rationalen Funktionen hilft es oft, Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von \( n \) zu teilen. - Löse die Ungleichung \( |a_n - g| < \varepsilon \) nach \( n \) auf. - Wenn eine Folge monoton wachsend ist und gegen einen Wert konvergiert, was sagt das über ihre Schranken aus?

1. Untersuchung der Differenz \( a_{n+1} - a_n \): \( \frac{3(n+1)^2}{(n+1)^2+2} - \frac{3n^2}{n^2+2} = \frac{12n+6}{((n+1)^2+2)(n^2+2)} \). Da \( n \ge 1 \), sind Zähler und Nenner positiv, also \( a_{n+1} - a_n > 0 \). Die Folge ist streng monoton wachsend. 2. Division durch die höchste Potenz \( n^2 \) ergibt \( a_n = \frac{3}{1 + \frac{2}{n^2}} \). Für \( n \to \infty \) geht \( \frac{2}{n^2} \to 0 \), woraus der Grenzwert \( g = 3 \) folgt. 3. Die Bedingung \( |a_n - 3| < 0{,}001 \) führt auf \( |\frac{3n^2 - 3(n^2+2)}{n^2+2}| < 0{,}001 \), also \( \frac{6}{n^2+2} < 0{,}001 \). Umformen ergibt \( n^2 + 2 > 6000 \), also \( n^2 > 5998 \). Es folgt \( n > \sqrt{5998} \approx 77{,}45 \). Der kleinste Index ist somit \( N = 77 \), da die Bedingung für alle \( n \ge 78 \) erfüllt ist. 4. Da die Folge bei \( a_1 = 1 \) beginnt und streng monoton gegen \( 3 \) wächst, ist \( 1 \) eine untere Schranke und \( 3 \) eine obere Schranke.

1. Nachweis über \( a_{n+1} - a_n > 0 \). 2. \( g = 3 \). 3. \( N = 77 \) (Bedingung gilt ab \( n = 78 \)). 4. Untere Schranke: \( 1 \), obere Schranke: \( 3 \).

- Vereinfache den Bruch, indem du jeden Summanden im Zähler einzeln durch den Nenner teilst. - Wie beeinflussen die einzelnen Teile des Terms das Verhalten für sehr große Werte von \(n\)? - Um eine Ungleichung mit einem Bruch zu lösen, kann es hilfreich sein, sie in eine quadratische Form zu bringen. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du den gefundenen Wert und den nächstkleineren Wert in die Formel einsetzt.

1. Zerlegung des Terms: \(b_n = \frac{3n^2}{n} - \frac{1000}{n} = 3n - \frac{1000}{n}\). Für \(n \to \infty\) geht \(3n \to \infty\) und \(\frac{1000}{n} \to 0\). Somit gilt \(\lim_{n \to \infty} b_n = \infty\) (bestimmte Divergenz). 2. Lösen der Ungleichung \(3n - \frac{1000}{n} > 100\). Multiplikation mit \(n\) ergibt \(3n^2 - 100n - 1000 > 0\). Die Mitternachtsformel liefert die positive Nullstelle \(n = \frac{100 + \sqrt{10\,000 + 12\,000}}{6} \approx 41{,}39\). Somit ist \(n_0 = 42\). 3. Lösen der Ungleichung \(3n - \frac{1000}{n} > 1000\). Umformung zu \(3n^2 - 1000n - 1000 > 0\). Die positive Nullstelle ist \(n = \frac{1000 + \sqrt{1\,000\,000 + 12\,000}}{6} \approx 334{,}33\). Somit ist \(n_1 = 335\).

1. Die Folge ist bestimmt divergent gegen \(+\infty\). 2. \(n_0 = 42\) 3. \(n_1 = 335\)

- Zerlege die Vielecke in \(n\) identische Teildreiecke, die vom Mittelpunkt ausgehen. - Überlege dir für das einbeschriebene Vieleck, welche Seiten und Winkel im Teildreieck durch den Radius \(R\) gegeben sind. - Erinnere dich an die Definition von Sinus und Tangens am rechtwinkligen (Teil-)Dreieck. - Wie verhält sich die Fläche eines Vielecks im Vergleich zur Kreisfläche, wenn man immer mehr Ecken hinzufügt?

1. Aufteilung des einbeschriebenen \(n\)-Ecks in \(n\) gleichschenklige Teildreiecke mit den Schenkeln \(R\) und dem Mittelpunktswinkel \(\alpha = \frac{2\pi}{n}\). Flächeninhalt eines Dreiecks: \(\frac{1}{2} R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\). Gesamtfläche: \(A_{i,n} = \frac{n}{2} R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\). 2. Für das umbeschriebene \(n\)-Eck ist der Kreisradius \(R\) die Höhe (Apothema) der \(n\) Teildreiecke. Die Grundseite eines Dreiecks ist \(s = 2R \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)\). Flächeninhalt eines Dreiecks: \(R^2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)\). Gesamtfläche: \(A_{u,n} = n R^2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)\). 3. Grenzwert \(A_{i,n}\): Umformung zu \(\pi R^2 \cdot \frac{\sin(2\pi/n)}{2\pi/n}\). Mit \(x = \frac{2\pi}{n} \to 0\) folgt \(\lim_{n \to \infty} A_{i,n} = \pi R^2 \cdot 1 = \pi R^2\). 4. Grenzwert \(A_{u,n}\): Umformung zu \(\pi R^2 \cdot \frac{\tan(\pi/n)}{\pi/n} = \pi R^2 \cdot \frac{\sin(\pi/n)}{(\pi/n) \cdot \cos(\pi/n)}\). Da \(\cos(0) = 1\), folgt \(\lim_{n \to \infty} A_{u,n} = \pi R^2 \cdot \frac{1}{1} = \pi R^2\). 5. Monotonie: Die Begründung erfolgt über die Formeln. Für \(x=\frac{2\pi}{n}\) gilt \(A_{i,n}=\pi R^2\cdot\frac{\sin x}{x}\); für wachsendes \(n\) wird \(x\) kleiner und \(\frac{\sin x}{x}\) nähert sich auf \((0,\frac{2\pi}{3}]\) wachsend dem Wert 1 an. Daher ist \(A_{i,n}\) streng monoton wachsend. Für \(y=\frac{\pi}{n}\) gilt \(A_{u,n}=\pi R^2\cdot\frac{\tan y}{y}\); für wachsendes \(n\) wird \(y\) kleiner und \(\frac{\tan y}{y}\) fällt auf \((0,\frac{\pi}{3}]\) gegen 1. Daher ist \(A_{u,n}\) streng monoton fallend.

a) \(A_{i,n} = \frac{n}{2} R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\) und \(A_{u,n} = n R^2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)\). b) Beide Folgen konvergieren gegen die Kreisfläche \(\pi R^2\). c) Für \(n \ge 3\) ist \(A_{i,n}\) streng monoton wachsend und \(A_{u,n}\) streng monoton fallend; dies folgt aus dem Monotonieverhalten von \(\frac{\sin x}{x}\) bzw. \(\frac{\tan x}{x}\) für kleiner werdende Winkel.

- Wie hängt das \(n\)-te Glied einer Folge mit der Summe der ersten \(n\) und der ersten \(n-1\) Glieder zusammen? - Versuche den Bruch in zwei einfachere Brüche zu zerlegen, deren Nenner die Faktoren des ursprünglichen Nenners sind. - Wenn du die Summe ausschreibst, heben sich dann bestimmte Terme gegenseitig auf? - Was passiert mit dem Restterm der Summe, wenn \(n\) immer größer wird?

1. Das allgemeine Glied \(a_n\) ergibt sich aus der Differenz der Partialsummen: \(a_n = S_n - S_{n-1}\) für \(n > 1\). Mit \(S_n = 2n^2 + n\) folgt \(a_n = (2n^2 + n) - (2(n-1)^2 + (n-1)) = 2n^2 + n - (2n^2 - 4n + 2 + n - 1) = 4n - 1\). Für \(n=1\) gilt \(a_1 = S_1 = 3\), was mit der Formel übereinstimmt. 2. Mit \(a_n = 4n - 1\) ist \(b_n = \frac{1}{(4n-1)(4n+3)}\). Mittels Partialbruchzerlegung ergibt sich \(b_n = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3}\right)\). Die Summe \(T_n\) ist eine Teleskopsumme: \(T_n = \frac{1}{4} \cdot \left[ \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{11}\right) + \dots + \left(\frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3}\right) \right] = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4n+3}\right)\). 3. Der Grenzwert für \(n \to \infty\) ergibt sich, da \(\frac{1}{4n+3} \to 0\): \(T = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}\).

1. \(a_n = 4n - 1\) 2. \(T_n = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4n+3}\right)\); Grenzwert \(T = \frac{1}{12}\)

- Überlege dir, wie viele Glieder die Summe \(S\) umfasst. - Gibt es eine Eigenschaft bei arithmetischen Folgen bezüglich der Summe von Gliedern, die den gleichen Abstand von den Enden haben? - Versuche, die Summe der Teilfolge durch die Randwerte \(x\) und \(y\) auszudrücken.

1. Darstellung der Glieder: Sei \(a_1 = x\) und \(a_{n+2} = y\). Die eingefügten Glieder sind \(a_2, a_3, \dots, a_{n+1}\). 2. Summe der eingefügten Glieder: Da es sich um eine arithmetische Folge handelt, ist die Summe der eingefügten Glieder \(S = \frac{n}{2}(a_2 + a_{n+1})\). 3. Symmetrie-Eigenschaft: In einer arithmetischen Folge gilt für die Glieder \(a_1 + a_{n+2} = a_2 + a_{n+1} = \dots = x + y\). 4. Substitution: Ersetze \((a_2 + a_{n+1})\) durch \((x + y)\) in der Summenformel: \(S = \frac{n}{2}(x + y)\). 5. Auflösen nach \(n\): Für \(x+y \ne 0\) erhält man durch Umstellen \(n = \frac{2S}{x + y}\).

Für \(x+y \ne 0\) lautet die Formel für die Anzahl der eingefügten Zahlen \(n = \frac{2S}{x + y}\).

- Wie hängen die Partialsumme \(S_n\) und das einzelne Glied \(a_n\) zusammen? - Wie kannst du \(a_1\) direkt aus der Summenformel bestimmen? - Was muss für die Differenz zweier benachbarter Glieder gelten, damit eine Folge arithmetisch ist?

1. Berechnung der Glieder über die Differenz der Partialsummen: \(a_1 = S_1 = 2(1)^2 + 3(1) = 5\). \(a_2 = S_2 - S_1 = (2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2) - 5 = 14 - 5 = 9\). \(a_3 = S_3 - S_2 = (2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3) - 14 = 27 - 14 = 13\). 2. Herleitung von \(a_n\) durch \(S_n - S_{n-1}\): \(a_n = (2n^2 + 3n) - (2(n-1)^2 + 3(n-1))\). Ausmultiplizieren ergibt \(a_n = 2n^2 + 3n - (2n^2 - 4n + 2 + 3n - 3) = 2n^2 + 3n - (2n^2 - n - 1) = 4n + 1\). 3. Nachweis der arithmetischen Eigenschaft durch die Differenz aufeinanderfolgender Glieder: \(a_n - a_{n-1} = (4n + 1) - (4(n-1) + 1) = 4n + 1 - 4n + 4 - 1 = 4\). Da die Differenz konstant \(d = 4\) ist, ist die Folge arithmetisch.

1. \(a_1 = 5\), \(a_2 = 9\), \(a_3 = 13\) 2. \(a_n = 4n + 1\) 3. Die Differenz \(a_n - a_{n-1} = 4\) ist konstant, daher ist die Folge arithmetisch.

- Es ist oft hilfreich, die mittlere Zahl einer arithmetischen Folge als Variable zu wählen, um die Summenbedingung schnell zu vereinfachen. - Was kennzeichnet eine geometrische Folge im Vergleich zu einer arithmetischen Folge? - Gibt es eine Eigenschaft des mittleren Gliedes einer geometrischen Folge bezüglich seiner Nachbarn? - Achte darauf, ob im Text Einschränkungen wie „steigend“ oder „positiv“ stehen – falls nicht, sind oft mehrere Lösungen möglich.

1. Ansatz für die arithmetische Folge: \(a-d\), \(a\), \(a+d\). 2. Summenbedingung: \((a-d) + a + (a+d) = 3a = 15 \implies a = 5\). Die Glieder sind \(5-d\), \(5\), \(5+d\). 3. Neue Zahlen für die geometrische Folge bilden: \((5-d)-1 = 4-d\), \(5-1 = 4\) und \((5+d)+1 = 6+d\). 4. Eigenschaft der geometrischen Folge nutzen: Das Quadrat des mittleren Gliedes entspricht dem Produkt der äußeren Glieder: \(4^2 = (4-d)(6+d)\). 5. Gleichung lösen: \(16 = 24 + 4d - 6d - d^2 \implies 16 = 24 - 2d - d^2 \implies d^2 + 2d - 8 = 0\). 6. Lösungen für \(d\): Durch Anwendung der p-q-Formel ergeben sich \(d_1 = 2\) und \(d_2 = -4\). 7. Tripel für \(d_1 = 2\): \(5-2=3\), \(5\), \(5+2=7\). Prüfung: \(3, 5, 7\) (arithmetisch), modifiziert: \(2, 4, 8\) (geometrisch mit \(q=2\)). 8. Tripel für \(d_2 = -4\): \(5-(-4)=9\), \(5\), \(5+(-4)=1\). Prüfung: \(9, 5, 1\) (arithmetisch), modifiziert: \(8, 4, 2\) (geometrisch mit \(q=0{,}5\)).

Die möglichen Zahlentripel sind \((3, 5, 7)\) und \((9, 5, 1)\).

- Überlege dir, wie man den Zusammenhang zwischen drei Zahlen in einer geometrischen Folge beschreibt. - Verfahre ebenso für die arithmetische Folge. - Nutze die Informationen über die Summen der Zahlenpaare, um die Anzahl der Unbekannten zu reduzieren. - Kannst du eine quadratische Gleichung für eines der Glieder aufstellen?

1. Seien die Zahlen \(a, b, c, d\). Es gilt \(b^2 = ac\) (geometrisch) und \(2c = b + d\) (arithmetisch). 2. Gegeben sind \(b + c = 18\) und \(a + d = 21\). 3. Drücke \(a\) und \(d\) durch \(c\) aus: Mit \(b = 18 - c\) folgt \(a = \frac{(18 - c)^2}{c}\) und \(d = 2c - (18 - c) = 3c - 18\). 4. Einsetzen in \(a + d = 21\): \(\frac{(18 - c)^2}{c} + 3c - 18 = 21\). 5. Multiplikation mit \(c\) ergibt \(324 - 36c + c^2 + 3c^2 - 18c = 21c\). 6. Zusammenfassen führt zu \(4c^2 - 75c + 324 = 0\). 7. Die Diskriminante ist \(D = (-75)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 324 = 5625 - 5184 = 441 = 21^2\). 8. Die Lösungen für \(c\) sind \(c_1 = \frac{75 + 21}{8} = 12\) und \(c_2 = \frac{75 - 21}{8} = 6{,}75\). 9. Da \(c\) eine ganze Zahl ist, gilt \(c = 12\). Daraus folgen \(b = 6\), \(a = 3\) und \(d = 18\).

3, 6, 12, 18

- Bestimme zuerst die ersten Glieder der Differenzenfolge \(d_n\). - Wie hängen die Glieder der ursprünglichen Folge \(a_n\) mit den Summen der Differenzenfolge zusammen? - Nutze die Summenformel für geometrische Folgen, um einen geschlossenen Ausdruck für \(a_n\) zu finden. - Was passiert mit dem Term, der \(n\) enthält, wenn \(n\) immer größer wird?

1. Berechnung der ersten Differenzen: \(d_1 = a_2 - a_1 = 5\), \(d_2 = a_3 - a_2 = 2{,}5\). 2. Da \((d_n)\) geometrisch ist, gilt für den Quotienten \(q = \frac{2{,}5}{5} = 0{,}5\). Das allgemeine Glied der Differenzenfolge ist \(d_n = 5 \cdot 0{,}5^{n-1}\). 3. Das Glied \(a_n\) ergibt sich aus der Summe: \(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} d_k = 10 + \sum_{k=1}^{n-1} 5 \cdot 0{,}5^{k-1}\). 4. Anwendung der Summenformel für geometrische Reihen: \(a_n = 10 + 5 \cdot \frac{1 - 0{,}5^{n-1}}{1 - 0{,}5} = 10 + 10 \cdot (1 - 0{,}5^{n-1}) = 20 - 10 \cdot 0{,}5^{n-1}\). 5. Grenzwertbetrachtung für \(n \to \infty\): Da \(0{,}5^{n-1} \to 0\), folgt \(\lim_{n \to \infty} a_n = 20 - 10 \cdot 0 = 20\).

a) \(a_n = 20 - 10 \cdot 0{,}5^{n-1}\) (oder eine äquivalente Form) b) Die Folge konvergiert gegen den Grenzwert \(20\).

- Nutze die Potenzgesetze, insbesondere \(\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}\). - Erinnere dich an die Logarithmengesetze, speziell \(\log(x) - \log(y) = \log(\frac{x}{y})\). - Um eine Folge als geometrisch nachzuweisen, musst du zeigen, dass das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Glieder unabhängig von \(n\) ist. - Um eine Folge als arithmetisch nachzuweisen, musst du zeigen, dass der Abstand zweier aufeinanderfolgender Glieder unabhängig von \(n\) ist.

1. Zu a): Um zu zeigen, dass \((b_n)\) geometrisch ist, berechnen wir den Quotienten \(\frac{b_{n+1}}{b_n}\). Es gilt \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{a_{n+1}}}{2^{a_n}} = 2^{a_{n+1} - a_n}\). Da \((a_n)\) arithmetisch ist, ist \(a_{n+1} - a_n = d\). Somit ist \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = 2^d\). Da \(d\) konstant ist, ist auch der Quotient \(2^d\) konstant. Die Folge ist geometrisch. 2. Zu b): Um zu zeigen, dass \((c_n)\) arithmetisch ist, berechnen wir die Differenz \(c_{n+1} - c_n\). Es gilt \(c_{n+1} - c_n = \log_2(g_{n+1}) - \log_2(g_n) = \log_2\left(\frac{g_{n+1}}{g_n}\right)\). Da \((g_n)\) geometrisch ist, ist \(\frac{g_{n+1}}{g_n} = q\). Somit ist \(c_{n+1} - c_n = \log_2(q)\). Da \(q\) konstant ist, ist auch die Differenz \(\log_2(q)\) konstant. Die Folge ist arithmetisch. 3. Zu c): Wir prüfen den Quotienten \(\frac{w_{n+1}}{w_n}\). Es gilt \(\frac{w_{n+1}}{w_n} = \frac{u_{n+1} \cdot v_{n+1}}{u_n \cdot v_n} = \frac{u_{n+1}}{u_n} \cdot \frac{v_{n+1}}{v_n}\). Da \((u_n)\) und \((v_n)\) geometrisch sind, gilt \(\frac{u_{n+1}}{u_n} = q_u\) und \(\frac{v_{n+1}}{v_n} = q_v\). Der Quotient \(\frac{w_{n+1}}{w_n} = q_u \cdot q_v\) ist somit konstant, was die geometrische Eigenschaft von \((w_n)\) beweist.

a) Der Quotient ist \(2^d\). b) Die Differenz ist \(\log_2(q)\). c) Die Folge ist geometrisch mit dem Quotienten \(q_w = q_u \cdot q_v\).

- Kannst du den Nenner des Bruchs faktorisieren? - Versuche, den Bruch in zwei einfachere Brüche zu zerlegen, deren Differenz den ursprünglichen Term ergibt. - Schreibe die ersten Glieder der Summe explizit auf. Welche Terme heben sich gegenseitig auf? - Was passiert mit den verbleibenden Termen, wenn die Anzahl der Glieder gegen Unendlich geht?

1. Zerlegung des allgemeinen Gliedes mittels Partialbruchzerlegung: \(\frac{2}{k(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+2}\). Durch Koeffizientenvergleich oder Einsetzen spezieller Werte ergibt sich \(A = 1\) und \(B = -1\). Somit gilt: \(\frac{2}{k(k+2)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\). 2. Aufstellen der \(n\)-ten Partialsumme \(S_n\): \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right) = \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}\right) + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)\). 3. Identifikation der Teleskopsumme: Fast alle Terme heben sich gegenseitig auf. Es verbleiben die ersten beiden positiven Terme und die letzten beiden negativen Terme: \(S_n = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}\). 4. Berechnung des Grenzwertes für \(n \to \infty\): \(S = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}\right) = 1 + \frac{1}{2} - 0 - 0 = 1{,}5\).

\(1{,}5\)