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- Du kannst die Klammerung des Matrixprodukts verändern, nicht aber die Reihenfolge der Matrizen (Assoziativgesetz). - Welche Kombination ist für dich einfacher zu rechnen: erst die beiden linken Matrizen oder erst die beiden rechten? - Achte darauf, dass die Anzahl der Spalten der linken Matrix immer mit der Anzahl der Zeilen der rechten Matrix übereinstimmen muss. - Was für eine Art von Ergebnis erwartest du am Ende: eine Matrix oder einen Vektor?

1. Berechnung des Produkts \(A \cdot B\): \(A\) (\(2 \times 2\)) mal \(B\) (\(2 \times 3\)) ergibt eine \(2 \times 3\)-Matrix. Zeile 1 von \(A\) mal Spalten von \(B\): \(2 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 = 2\); \(2 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) = 5\); \(2 \cdot 4 + (-1) \cdot 2 = 6\). Zeile 2 von \(A\) mal Spalten von \(B\): \(3 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 3\); \(3 \cdot 2 + 0 \cdot (-1) = 6\); \(3 \cdot 4 + 0 \cdot 2 = 12\). Zwischenergebnis: \(A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 6 \\ 3 & 6 & 12 \end{pmatrix}\). 2. Multiplikation des Zwischenergebnisses mit \(C\): Die \(2 \times 3\)-Matrix wird mit dem Spaltenvektor \(C\) (\(3 \times 1\)) multipliziert. Obere Komponente: \(2 \cdot 1 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot (-2) = 2 + 0 - 12 = -10\). Untere Komponente: \(3 \cdot 1 + 6 \cdot 0 + 12 \cdot (-2) = 3 + 0 - 24 = -21\). Das Endergebnis ist der Vektor \(P = \begin{pmatrix} -10 \\ -21 \end{pmatrix}\). Alternativ kann zuerst \(B \cdot C\) berechnet werden: \(B \cdot C = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 4 \cdot (-2) \\ 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + 2 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -4 \end{pmatrix}\). Dann \(A \cdot (B \cdot C) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -7 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot (-7) + (-1) \cdot (-4) \\ 3 \cdot (-7) + 0 \cdot (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 \\ -21 \end{pmatrix}\).

\(P = \begin{pmatrix} -10 \\ -21 \end{pmatrix}\)

- Welche Operation macht die Wirkung einer Matrix \( M \) rückgängig? - Erinnere dich an die Definition: Wenn \( M \vec{x} = \vec{b} \), dann ist \( \vec{x} = M^{-1} \vec{b} \). - Achte bei der Multiplikation der Matrix mit dem Vektor genau auf die Vorzeichen der Einträge. - Du kannst dein Ergebnis am Ende prüfen, indem du den gefundenen Vektor in das ursprüngliche System einsetzt.

1. Das Gleichungssystem hat die Form \( M \cdot \vec{x} = \vec{c} \) mit \( \vec{c} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix} \). 2. Um \( \vec{x} \) zu bestimmen, multipliziert man beide Seiten von links mit der inversen Matrix \( M^{-1} \): \( \vec{x} = M^{-1} \cdot \vec{c} \). 3. Ausführung der Matrix-Vektor-Multiplikation: \( \vec{x} = \begin{pmatrix} -3 & -2 & 4 \\ 2 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-3) \cdot 5 + (-2) \cdot 10 + 4 \cdot 7 \\ 2 \cdot 5 + 1 \cdot 10 + (-2) \cdot 7 \\ (-1) \cdot 5 + 0 \cdot 10 + 1 \cdot 7 \end{pmatrix} \). 4. Berechnung der Komponenten: \( x_1 = -15 - 20 + 28 = -7 \). \( x_2 = 10 + 10 - 14 = 6 \). \( x_3 = -5 + 0 + 7 = 2 \). Der Lösungsvektor ist somit \( \vec{x} = \begin{pmatrix} -7 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} \).

Der Lösungsvektor ist \( \vec{x} = \begin{pmatrix} -7 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} \), also \( x_1 = -7 \), \( x_2 = 6 \) und \( x_3 = 2 \).

- Überlege dir zuerst, wie viele Variablen und wie viele Gleichungen das System hat. - Was bedeutet es für die Anzahl der Lösungen, wenn es mehr Unbekannte als Gleichungen gibt? - Wende das Gauß-Verfahren an, um das System in eine Stufenform zu bringen. - Wähle für die verbleibende freie Variable einen Parameter wie \( t \). - Drücke alle anderen Variablen in Abhängigkeit von diesem Parameter aus.

1. Aufstellen der erweiterten Koeffizientenmatrix: \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 4 \\ 2 & -1 & 3 & | & 3 \end{pmatrix} \) 2. Durchführung des Gauß-Schritts \( II - 2 \cdot I \), um die Variable \( x_1 \) in der zweiten Gleichung zu eliminieren: \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 4 \\ 0 & -5 & 5 & | & -5 \end{pmatrix} \) 3. Vereinfachung der zweiten Zeile durch Division durch \( -5 \): \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 4 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 \end{pmatrix} \) 4. Da das System unterbestimmt ist, wird eine Variable als freier Parameter gewählt, zum Beispiel \( x_3 = t \) mit \( t \in \mathbb{R} \). 5. Rücksubstitution: Aus der zweiten Zeile folgt \( x_2 - t = 1 \), also \( x_2 = 1 + t \). Einsetzen in die erste Zeile ergibt \( x_1 + 2(1 + t) - t = 4 \), woraus \( x_1 = 2 - t \) folgt. 6. Zusammenfassen der Ergebnisse in der Lösungsmenge \( L \).

\( L = \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \mid t \in \mathbb{R} \right\} \)

- Überprüfe zuerst, welche Dimension das Produkt der beiden Matrizen hat. - Erinnere dich daran, wie man eine Matrix transponiert. - Bei der Subtraktion von Matrizen werden die entsprechenden Einträge an denselben Positionen voneinander abgezogen. - Achte beim Rechnen besonders auf die Vorzeichen.

1. Berechnung des Produkts \(A \cdot B\): Die Matrix \(A\) ist eine \(2 \times 3\)-Matrix und \(B\) eine \(3 \times 2\)-Matrix, das Ergebnis ist eine \(2 \times 2\)-Matrix. \(c_{11} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 2\) \(c_{12} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + 0 \cdot 1 = -3\) \(c_{21} = (-1) \cdot 2 + 0 \cdot 0 + 3 \cdot 1 = 1\) \(c_{22} = (-1) \cdot 1 + 0 \cdot (-2) + 3 \cdot 1 = 2\) Es folgt: \(A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung der transponierten Matrix \((A \cdot B)^T\): Durch Vertauschen von Zeilen und Spalten ergibt sich \((A \cdot B)^T = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung der Differenz \(M = A \cdot B - (A \cdot B)^T\): \(M = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-2 & -3-1 \\ 1-(-3) & 2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}\).

\(M = \begin{pmatrix} 0 & -4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}\)

- Überführe die Matrixgleichung in eine erweiterte Koeffizientenmatrix. - Wie viele Unbekannte gibt es und wie viele unabhängige Gleichungen bleiben nach dem Gauß-Verfahren übrig? - Wenn es mehr Unbekannte als unabhängige Gleichungen gibt, musst du Parameter für die freien Variablen einführen. - Du kannst die Lösung am Ende als Summe aus einem Stützvektor und Spannvektoren darstellen.

1. Aufstellen der erweiterten Koeffizientenmatrix und Anwendung des Gauß-Verfahrens: \(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 0 & | & 4 \\ 2 & 0 & 2 & 4 & | & 6 \\ 1 & 1 & 0 & 4 & | & 2 \end{pmatrix}\) Elimination unter \(x_1\): \(Z_2 - 2Z_1\) und \(Z_3 - Z_1\) ergibt: \(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 0 & | & 4 \\ 0 & 2 & -2 & 4 & | & -2 \\ 0 & 2 & -2 & 4 & | & -2 \end{pmatrix}\) 2. Da die zweite und dritte Zeile identisch sind, ist eine Gleichung redundant. Normierung von \(Z_2\): \(x_2 - x_3 + 2x_4 = -1\). 3. Bestimmung der freien Variablen: Wähle \(x_3 = s\) und \(x_4 = t\). Daraus folgt \(x_2 = -1 + s - 2t\). Einsetzen in \(Z_1\): \(x_1 - (-1 + s - 2t) + 2s = 4 \Rightarrow x_1 + 1 - s + 2t + 2s = 4 \Rightarrow x_1 = 3 - s - 2t\). 4. Aufschreiben der Lösungsmenge in Vektorform: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 3-s-2t \\ -1+s-2t \\ s \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

\(\mathbb{L} = \{ \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \mid s, t \in \mathbb{R} \}\)

- Wie berechnet man den Bildpunkt eines Vektors unter einer Matrixabbildung? - Wenn der Bildpunkt gegeben ist, wie kannst du den ursprünglichen Vektor mithilfe eines Gleichungssystems finden? - Überlege dir, welche Koordinate sich bei einer Spiegelung an der \( x_2x_3 \)-Ebene ändert und wie das in einer Matrix aussieht. - Achte bei der Matrixmultiplikation auf die richtige Reihenfolge der Matrizen.

1. Berechnung der Bildpunkte durch Matrix-Vektor-Multiplikation: \( \vec{a}' = M \cdot \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-1+0 \\ 2-2+3 \\ 0-1+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \Rightarrow A'(3|3|5) \). \( \vec{b}' = M \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8+0+0 \\ 4+0-1 \\ 0+0-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} \Rightarrow B'(8|3|-2) \). 2. Bestimmung des Urbildes durch Lösen von \( M \cdot \vec{c} = \vec{c}' \): Das Gleichungssystem lautet: (I) \( 2x_1 + x_2 = 4 \) (II) \( x_1 + 2x_2 + x_3 = 5 \) (III) \( x_2 + 2x_3 = 2 \) Aus (I) folgt \( x_2 = 4 - 2x_1 \). Einsetzen in (III) ergibt \( (4 - 2x_1) + 2x_3 = 2 \), also \( 2x_3 = 2x_1 - 2 \) bzw. \( x_3 = x_1 - 1 \). Einsetzen von \( x_2 \) und \( x_3 \) in (II): \( x_1 + 2(4 - 2x_1) + (x_1 - 1) = 5 \Rightarrow -2x_1 + 7 = 5 \Rightarrow x_1 = 1 \). Daraus folgt \( x_2 = 2 \) und \( x_3 = 0 \). Der Urbildpunkt ist \( C(1|2|0) \). 3. Die Matrix der Spiegelung an der \( x_2x_3 \)-Ebene (Invertierung der \( x_1 \)-Koordinate) ist \( S = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \). Die Matrix der Verkettung ist \( V = S \cdot M = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \).

a) \( A'(3|3|5) \) und \( B'(8|3|-2) \) b) \( C(1|2|0) \) c) \( S = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \); \( V = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)

- Überlege dir, wie die Standardbasisvektoren \(\vec{e}_1\), \(\vec{e}_2\) und \(\vec{e}_3\) durch die jeweilige geometrische Operation verändert werden. - Die Bilder der Basisvektoren bilden die Spalten der gesuchten Matrix. - Denk daran, dass bei der Multiplikation von Matrizen die Reihenfolge entscheidend ist. - Um Vektoren zu finden, die auf den Nullvektor abgebildet werden, musst du ein homogenes lineares Gleichungssystem lösen.

1. Bestimmung von \(A\): Die Spiegelung an \(x_1 - x_3 = 0\) vertauscht die \(x_1\)- und \(x_3\)-Koordinaten, während \(x_2\) unverändert bleibt. Die Spalten der Matrix sind die Bilder der Einheitsvektoren: \(\vec{e}_1 \to \vec{e}_3\), \(\vec{e}_2 \to \vec{e}_2\), \(\vec{e}_3 \to \vec{e}_1\). Somit ist \(A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\). 2. Bestimmung von \(B\): Die Projektion auf die \(x_1\)-\(x_2\)-Ebene setzt die \(x_3\)-Komponente auf Null: \(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung von \(C\): \(C = B \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\). 4. Prüfung der Kommutativität: \(A \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\). Da \(B \cdot A \neq A \cdot B\), ist die Reihenfolge nicht vertauschbar. 5. Bestimmung des Kerns von \(C\): Das Gleichungssystem \(C \cdot \vec{x} = \vec{0}\) führt auf \(x_3 = 0\) und \(x_2 = 0\). Die Koordinate \(x_1\) ist frei wählbar (\(x_1 = t\)). Die Lösungsmenge ist \(\vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(t \in \mathbb{R}\).

a) \(A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) b) \(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) c) \(C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) d) Nein, da \(A \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \neq C\) e) \(\vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) mit \(t \in \mathbb{R}\)

- Fällt dir eine Gemeinsamkeit bei den beiden Produkten auf? - Gibt es eine Rechenregel, mit der du die Matrixmultiplikation und die Subtraktion zusammenfassen kannst? - Was passiert, wenn du zuerst die Differenz der vorderen Matrizen bildest? - Schau dir die Einträge der beiden vorderen Matrizen genau an – wie unterscheiden sie sich?

1. Anwendung des Distributivgesetzes für Matrizen: \(A \cdot C - B \cdot C = (A - B) \cdot C\). 2. Berechnung der Differenzmatrix \(D = A - B\): \(\begin{pmatrix} 5-4 & 3-3 & -1-(-1) \\ 2-2 & 4-3 & 0-0 \\ 1-1 & -2-(-2) & 8-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = E\). 3. Da die Differenz die Einheitsmatrix \(E\) ergibt, entspricht das Endergebnis der Matrix \(C\): \(E \cdot \begin{pmatrix} 17 & -4 \\ 22 & 5 \\ -3 & 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 & -4 \\ 22 & 5 \\ -3 & 11 \end{pmatrix}\).

\(\begin{pmatrix} 17 & -4 \\ 22 & 5 \\ -3 & 11 \end{pmatrix}\)

- Welche Matrix in der Kette sieht am einfachsten aus? - Wie verändert eine Matrix mit vielen Nullen das Ergebnis einer Multiplikation? - In welcher Reihenfolge könntest du multiplizieren, um die vielen Nullen optimal zu nutzen? - Was passiert mit den Spalten oder Zeilen, wenn du mit einer Matrix multiplizierst, die fast nur aus Nullen besteht?

1. Ausnutzen der Assoziativität und der Struktur der mittleren Matrix (Diagonalmatrix mit nur einem von Null verschiedenen Element). 2. Multiplikation der ersten beiden Matrizen \(A \cdot B\): Da nur das Element \(b_{22} = 5\) ungleich Null ist, resultiert eine Matrix, deren zweite Spalte dem 5-fachen der zweiten Spalte von \(A\) entspricht und deren restliche Spalten Null sind: \(A \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 10 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 25 & 0 \end{pmatrix}\). 3. Multiplikation dieses Zwischenergebnisses mit der dritten Matrix \(C\): Da nur die zweite Spalte von \(A \cdot B\) besetzt ist, wird nur die zweite Zeile von \(C\) mit den entsprechenden Werten multipliziert: \(\begin{pmatrix} 0 & 10 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 25 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 11 & 12 \\ 13 & 14 \\ 15 & 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \cdot 13 & 10 \cdot 14 \\ 5 \cdot 13 & 5 \cdot 14 \\ 25 \cdot 13 & 25 \cdot 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 130 & 140 \\ 65 & 70 \\ 325 & 350 \end{pmatrix}\).

\(\begin{pmatrix} 130 & 140 \\ 65 & 70 \\ 325 & 350 \end{pmatrix}\)

- Was passiert, wenn du eine Matrix mit ihrer Inversen multiplizierst? - Wie hängen die Koeffizienten des Gleichungssystems mit der Matrix \( A \) zusammen? - Wenn du die Gleichung \( A \cdot \vec{x} = \vec{b} \) hast, wie kannst du sie nach \( \vec{x} \) auflösen, falls \( A^{-1} \) bekannt ist? - Achte beim Multiplizieren der Matrix \( B \) mit dem Vektor darauf, den Vorfaktor \( \frac{1}{4} \) erst ganz am Ende oder konsequent bei jedem Schritt zu berücksichtigen.

1. Berechnung des Produkts \( A \cdot B \): \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 6-1-1 & -2+3-1 & -2-1+3 \\ 3-2-1 & -1+6-1 & -1-2+3 \\ 3-1-2 & -1+3-2 & -1-1+6 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I \). Damit ist \( B = A^{-1} \). 2. Die Lösung des Systems \( A \cdot \vec{x} = \vec{b} \) mit \( \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 12 \end{pmatrix} \) berechnet sich durch \( \vec{x} = B \cdot \vec{b} \): \( \vec{x} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 12 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 12 - 8 - 12 \\ -4 + 24 - 12 \\ -4 - 8 + 36 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -8 \\ 8 \\ 24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} \).

1. Der Nachweis erfolgt durch \( A \cdot B = I \). 2. Die Lösung des Gleichungssystems ist \( x_1 = -2 \), \( x_2 = 2 \), \( x_3 = 6 \).

- Überprüfe zuerst die Lage von \( P \) relativ zur Geraden \( g \). Was passiert mit Vektoren, die senkrecht auf der Spiegelachse stehen? - Welche Punkte ändern ihre Position bei einer Spiegelung nicht? - Du kannst die Matrix elementweise bestimmen, indem du die Abbildungsgleichung \( M \cdot \vec{v} = \vec{w} \) für zwei verschiedene Vektoren aufstellst. - Erinnerst du dich, wie man ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten löst?

1. Zur Bestimmung von \( P' \): Der Vektor \( \vec{P} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} \) steht senkrecht auf dem Richtungsvektor \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \), da das Skalarprodukt \( (-1) \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 0 \) ergibt. Bei einer Spiegelung an einer Geraden durch den Ursprung wird ein zu ihr orthogonaler Vektor auf sein Negatives abgebildet. Somit gilt \( \vec{P'} = -\vec{P} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} \). Der Bildpunkt ist \( P'(1 | -3) \). 2. Zur Bestimmung der Matrix \( M \): Ein Punkt auf der Geraden \( g \), zum Beispiel \( \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \), ist ein Fixpunkt. Es gilt also \( M \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \). Zudem gilt für Punkt \( P \): \( M \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} \). 3. Dies führt auf zwei lineare Gleichungssysteme: Für die erste Zeile der Matrix (\( a \) und \( b \)): \( 3a + b = 3 \) und \( -a + 3b = 1 \). Die Lösung mittels Einsetzungsverfahren oder Gauß-Algorithmus ergibt \( a = 0{,}8 \) und \( b = 0{,}6 \). Für die zweite Zeile der Matrix (\( c \) und \( d \)): \( 3c + d = 1 \) und \( -c + 3d = -3 \). Die Lösung ergibt \( c = 0{,}6 \) und \( d = -0{,}8 \). Die Matrix lautet \( M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}6 \\ 0{,}6 & -0{,}8 \end{pmatrix} \).

a) \( P'(1 | -3) \) b) \( M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}6 \\ 0{,}6 & -0{,}8 \end{pmatrix} \)

- Denke an die Definition der Matrixmultiplikation: Zeile mal Spalte. - Was bedeutet es für einen Punkt, ein Fixpunkt einer Abbildung zu sein? - Wenn du ein Gleichungssystem mit zwei Variablen löst und beide Gleichungen im Grunde dasselbe aussagen, deutet das auf eine Gerade von Lösungen hin. - Wie hängen die Steigung einer Geraden und das Verhältnis der Koordinaten \( x \) und \( y \) zusammen?

1. Berechnung von \( A^2 \): \( A \cdot A = \begin{pmatrix} -0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & 0{,}6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -0{,}6 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & 0{,}6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-0{,}6)^2 + 0{,}8^2 & -0{,}6 \cdot 0{,}8 + 0{,}8 \cdot 0{,}6 \\ 0{,}8 \cdot (-0{,}6) + 0{,}6 \cdot 0{,}8 & 0{,}8^2 + 0{,}6^2 \end{pmatrix} \). Da \( 0{,}36 + 0{,}64 = 1 \) und die Nebendiagonalelemente \( -0{,}48 + 0{,}48 = 0 \) sind, folgt \( A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E \). 2. Bestimmung der Fixpunktgeraden: Die Bedingung \( A\vec{x} = \vec{x} \) ist äquivalent zu \( (A-E)\vec{x} = \vec{0} \). Dies ergibt das Gleichungssystem: \( (-0{,}6 - 1)x + 0{,}8y = 0 \implies -1{,}6x + 0{,}8y = 0 \) \( 0{,}8x + (0{,}6 - 1)y = 0 \implies 0{,}8x - 0{,}4y = 0 \) 3. Beide Gleichungen sind linear abhängig (die erste ist das \(-2\)-fache der zweiten). Aus \( 0{,}8x - 0{,}4y = 0 \) folgt durch Umformung \( 0{,}4y = 0{,}8x \), also \( y = 2x \). Die Gleichung der Geraden \( h \) lautet somit \( y = 2x \).

a) Nachweis durch \( A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \). b) \( h: y = 2x \)

- Wende den Gauß-Algorithmus an, um das System auf Stufenform zu bringen. - Behandle den Parameter \(t\) wie eine normale Zahl während der Umformungen. - Überprüfe am Ende, ob die letzte Zeile eine wahre Aussage oder eine Bedingung für \(t\) liefert. - Nutze die Rückwärtssubstitution, um die Werte für \(x_1, x_2\) und \(x_3\) nacheinander zu bestimmen.

1. Aufstellen der erweiterten Koeffizientenmatrix: \(\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -2 & 2t+4 \\ 1 & 1 & 0 & 3t \\ 1 & 1 & 1 & 4t \\ 1 & 2 & 5 & 7t-4 \end{array}\right)\) 2. Erster Eliminationsschritt (Subtraktion der ersten Zeile von den anderen): \(R_2' = R_2 - R_1 \to (0, 1, 2, t-4)\) \(R_3' = R_3 - R_1 \to (0, 1, 3, 2t-4)\) \(R_4' = R_4 - R_1 \to (0, 2, 7, 5t-8)\) 3. Zweiter Eliminationsschritt (Verrechnung mit der neuen zweiten Zeile): \(R_3'' = R_3' - R_2' \to (0, 0, 1, t)\) \(R_4'' = R_4' - 2R_2' \to (0, 0, 3, 3t)\) 4. Dritter Eliminationsschritt: \(R_4''' = R_4'' - 3R_3'' \to (0, 0, 0, 0)\). Die letzte Zeile ist für alle \(t\) erfüllt. 5. Rückwärtssubstitution: Aus \(R_3''\): \(x_3 = t\) Aus \(R_2'\): \(x_2 + 2t = t - 4 \implies x_2 = -t - 4\) Aus \(R_1\): \(x_1 - 2t = 2t + 4 \implies x_1 = 4t + 4\) Die Lösung lautet \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 4t+4 \\ -t-4 \\ t \end{pmatrix}\).

Die Lösung des Gleichungssystems ist \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 4t+4 \\ -t-4 \\ t \end{pmatrix}\).

- Wie kannst du die erste Gleichung nutzen, um die Variable \(x_1\) in den anderen Gleichungen zu eliminieren? - Wenn du die Werte für die Unbekannten gefunden hast, wie kannst du sicherstellen, dass sie auch die vierte Gleichung erfüllen? - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn eine zusätzliche Gleichung durch die bereits gefundenen Werte gelöst wird? - Erinnerst du dich an die Stufenform beim Gauß-Verfahren?

1. Aufstellen der erweiterten Koeffizientenmatrix für das System (1): \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 4 \\ 2 & -1 & 3 & | & 9 \\ -1 & 2 & -1 & | & -1 \end{pmatrix} \) 2. Elimination der Einträge unter der Hauptdiagonale: \( R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 \) ergibt \( (0, -3, 1, | , 1) \) \( R_3 \leftarrow R_3 + R_1 \) ergibt \( (0, 3, 0, | , 3) \) 3. Aus der neuen dritten Zeile folgt \( 3x_2 = 3 \), also \( x_2 = 1 \). 4. Einsetzen in die zweite Zeile: \( -3(1) + x_3 = 1 \Rightarrow x_3 = 4 \). 5. Einsetzen in die erste Zeile: \( x_1 + 1 + 4 = 4 \Rightarrow x_1 = -1 \). Die Lösungsmenge ist \( L = \{(-1; 1; 4)\} \). 6. Prüfung der zusätzlichen Gleichung: \( 3(-1) + 1 + 2(4) = -3 + 1 + 8 = 6 \). Da die Gleichung für die gefundene Lösung erfüllt ist, stellt sie keine Einschränkung dar. 7. Probe für (1): Gl. 1: \( -1 + 1 + 4 = 4 \) (wahr) Gl. 2: \( 2(-1) - 1 + 3(4) = -2 - 1 + 12 = 9 \) (wahr) Gl. 3: \( -(-1) + 2(1) - 4 = 1 + 2 - 4 = -1 \) (wahr) Zusatzgl.: \( 6 = 6 \) (wahr)

Die Lösungsmenge ist \( L = \{(-1; 1; 4)\} \). Die zusätzliche Gleichung ist für diese Lösung erfüllt (\( 6 = 6 \)) und schränkt die Lösungsmenge somit nicht weiter ein.

- Versuche zuerst, ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten zu lösen. - Was passiert mit der Lösungsmenge eines Systems, wenn eine neue Gleichung hinzukommt, die bereits durch die vorhandene Lösung erfüllt wird? - Kannst du eine Variable so wählen, dass sie in den anderen Gleichungen leicht wegfällt? - Denk daran, dass bei einem überbestimmten System eine Lösung nur existiert, wenn sie alle Gleichungen gleichzeitig löst.

1. Anwendung des Gauß-Verfahrens auf das System aus (1), (2) und (3): Erweiterte Matrix: \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & | & 2 \\ 2 & -3 & 1 & | & -1 \\ 1 & 4 & -2 & | & 5 \end{pmatrix} \) 2. \( R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 \) ergibt \( (0, -5, 3, | , -5) \) 3. \( R_3 \leftarrow R_3 - R_1 \) ergibt \( (0, 3, -1, | , 3) \) 4. Elimination von \( x_2 \) in der dritten Zeile: \( 5R_3 + 3R_2 \) ergibt \( (0, 0, 4, | , 0) \), woraus \( x_3 = 0 \) folgt. 5. Rückwärtseinsetzen: Aus \( 3x_2 - 0 = 3 \) folgt \( x_2 = 1 \). Aus \( x_1 + 1 - 0 = 2 \) folgt \( x_1 = 1 \). 6. Überprüfung mit Gleichung (4): \( 3(1) + 1 - 0 = 4 \). Da \( 4 = 4 \) eine wahre Aussage ist, ist die Lösung \( (1; 1; 0) \) auch eine Lösung des Gesamtsystems. 7. Probe: (1) \( 1 + 1 - 0 = 2 \) (2) \( 2(1) - 3(1) + 0 = -1 \) (3) \( 1 + 4(1) - 2(0) = 5 \) (4) \( 3(1) + 1 - 0 = 4 \) Alle Gleichungen sind erfüllt.

Die Lösungsmenge ist \( L = \{(1; 1; 0)\} \). Da die vierte Gleichung für diese Werte ebenfalls erfüllt ist, stellt sie keine zusätzliche Einschränkung dar.

- Übertrage das System zuerst in eine übersichtliche Matrixform. - Versuche, unterhalb der Hauptdiagonalen Nullen zu erzeugen. - Welche Rechenoperationen mit Zeilen sind erlaubt, ohne die Lösungsmenge zu verändern? - Wenn du die Stufenform erreicht hast, kannst du die Werte der Variablen von unten nach oben berechnen. - Mache am Ende die Probe, indem du deine Ergebnisse in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt.

1. Überführung in die erweiterte Koeffizientenmatrix: \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 3 \\ 2 & -1 & 3 & | & 14 \\ 3 & 1 & -2 & | & -1 \end{pmatrix} \) 2. Elimination von \(x_1\) in der zweiten und dritten Zeile durch \(R_2 - 2R_1\) und \(R_3 - 3R_1\): \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 3 \\ 0 & -5 & 1 & | & 8 \\ 0 & -5 & -5 & | & -10 \end{pmatrix} \) 3. Elimination von \(x_2\) in der dritten Zeile durch \(R_3 - R_2\): \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 3 \\ 0 & -5 & 1 & | & 8 \\ 0 & 0 & -6 & | & -18 \end{pmatrix} \) 4. Berechnung der Variablen durch Rückwärtseinsetzen: Aus der dritten Zeile folgt \(-6x_3 = -18 \Rightarrow x_3 = 3\). Einsetzen in die zweite Zeile: \(-5x_2 + 3 = 8 \Rightarrow -5x_2 = 5 \Rightarrow x_2 = -1\). Einsetzen in die erste Zeile: \(x_1 + 2(-1) + 3 = 3 \Rightarrow x_1 + 1 = 3 \Rightarrow x_1 = 2\).

\( x_1 = 2 \), \( x_2 = -1 \), \( x_3 = 3 \) bzw. \( L = \{(2; -1; 3)\} \)

- Wie gehst du vor, wenn du mehr Gleichungen als Unbekannte hast? - Beginne damit, das System wie gewohnt zu reduzieren. - Prüfe am Ende, ob die gefundene Lösung tatsächlich alle vier ursprünglichen Gleichungen erfüllt. - Achte beim Subtrahieren der Gleichungen besonders auf die Vorzeichen.

1. Reduktion auf ein System mit zwei Variablen durch Elimination von \(x_1\): (II) \(- 2 \cdot\) (I) ergibt \(-x_2 - 5x_3 = 3\); (III) \(-\) (I) ergibt \(-4x_2 + x_3 = -9\); (IV) \(- 3 \cdot\) (I) ergibt \(-x_2 - 2x_3 = 0\). 2. Elimination von \(x_2\) aus den verbleibenden Gleichungen: (III') \(- 4 \cdot\) (II') liefert \(21x_3 = -21 \Rightarrow x_3 = -1\); (IV') \(-\) (II') liefert \(3x_3 = -3 \Rightarrow x_3 = -1\). Da beide Wege denselben Wert für \(x_3\) liefern, ist das System konsistent. 3. Berechnung von \(x_2\) und \(x_1\) durch Rückwärtseinsetzen: Aus \(-x_2 - 5(-1) = 3\) folgt \(x_2 = 2\). Aus (I) folgt \(x_1 + 2 - 1 = 4 \Rightarrow x_1 = 3\). 4. Die Lösungsmenge besteht somit aus dem Vektor \((3; 2; -1)\).

\(L = \{(3; 2; -1)\}\)

- Kannst du das System in eine Matrixschreibweise übertragen? - Welche Zeilenoperationen helfen dir, Nullen unter das erste Element der Hauptdiagonale zu bringen? - Versuche, das System schrittweise auf Stufenform zu bringen. - Wie kannst du die gefundenen Werte am Ende überprüfen?

1. Überführung in die erweiterte Koeffizientenmatrix: \( \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 4 \\ 2 & 1 & -1 & | & 11 \\ -3 & 4 & -2 & | & -9 \end{pmatrix} \) 2. Elimination von \(x_1\) in der zweiten und dritten Zeile durch \(Z_2 - 2Z_1\) und \(Z_3 + 3Z_1\): \( \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 4 \\ 0 & 5 & -7 & | & 3 \\ 0 & -2 & 7 & | & 3 \end{pmatrix} \) 3. Addition der neuen zweiten und dritten Zeile zur Elimination von \(x_3\) (oder \(x_2\)): \( (5x_2 - 7x_3) + (-2x_2 + 7x_3) = 3 + 3 \Rightarrow 3x_2 = 6 \Rightarrow x_2 = 2 \) 4. Rücksubstitution von \(x_2 = 2\) in die Gleichung \(5x_2 - 7x_3 = 3\): \( 10 - 7x_3 = 3 \Rightarrow -7x_3 = -7 \Rightarrow x_3 = 1 \) 5. Rücksubstitution von \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 1\) in die erste Gleichung: \( x_1 - 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 4 \Rightarrow x_1 - 1 = 4 \Rightarrow x_1 = 5 \)

\( x_1 = 5 \), \( x_2 = 2 \), \( x_3 = 1 \) bzw. \( L = \{(5; 2; 1)\} \)

- Was passiert im Gauß-Verfahren, wenn eine Gleichung ein Vielfaches einer anderen ist? - Wie gehst du vor, wenn du am Ende weniger echte Gleichungen als Unbekannte hast? - Du kannst eine der Variablen als Parameter (z. B. \( t \)) wählen. - Gibt es eine Variable, die in den Gleichungen besonders einfach freigestellt werden kann?

1. Überführung des Systems in die Matrixform und Anwendung des Gauß-Algorithmus. 2. Elimination von \(x_1\) in den Gleichungen (2) und (3) durch die Operationen \( (2) - 2 \cdot (1) \) und \( (3) - 3 \cdot (1) \): \( (2') \quad -3x_2 + 5x_3 = -3 \) \( (3') \quad -3x_2 + 5x_3 = -3 \) 3. Subtraktion von \((2')\) von \((3')\) ergibt die Nullzeile \( 0 = 0 \). Dies zeigt, dass das System unterbestimmt ist und unendlich viele Lösungen besitzt. 4. Einführung eines Parameters, z. B. \( x_1 = t \). Aus Gleichung (3) folgt direkt: \( 3t - x_3 = 3 \implies x_3 = 3t - 3 \). Einsetzen in Gleichung (1): \( t + x_2 - 2(3t - 3) = 2 \implies t + x_2 - 6t + 6 = 2 \implies x_2 = 5t - 4 \). 5. Die allgemeine Lösung lautet \( (x_1; x_2; x_3) = (t; 5t - 4; 3t - 3) \) für \( t \in \mathbb{R} \).

\( L = \{(t; 5t - 4; 3t - 3) \mid t \in \mathbb{R}\} \)

- Wie viele linear unabhängige Gleichungen braucht man mindestens für eine eindeutige Lösung bei zwei Variablen? - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn ein Punkt in alle Gleichungen eingesetzt eine wahre Aussage ergibt? - Denk bei Teilaufgabe b) an die grafische Darstellung von Gleichungen als Geraden. Wie müssen drei Geraden liegen, damit es keinen gemeinsamen Schnittpunkt gibt, sie sich aber paarweise schneiden? - Ein Widerspruch in der letzten Zeile des Gauß-Algorithmus (z. B. \(0 = 1\)) zeigt die Unlösbarkeit an.

1. Für Teilaufgabe a) werden drei Gleichungen benötigt, die alle durch den Punkt \((3 | 2)\) erfüllt werden. Zwei Gleichungen müssen linear unabhängig sein, die dritte kann eine Kombination oder eine weitere unabhängige Gerade durch den Punkt sein. Beispiel: (I) \(x_1 + x_2 = 5\), (II) \(x_1 - x_2 = 1\), (III) \(x_1 = 3\). Einsetzen von \((3 | 2)\) bestätigt die Korrektheit. 2. Für Teilaufgabe b) müssen drei Geraden gewählt werden, die sich nicht in einem gemeinsamen Punkt schneiden, aber paarweise Schnittpunkte besitzen. Dies ist der Fall, wenn die Geraden ein Dreieck bilden (keine zwei Geraden sind parallel). Beispiel: (I) \(x_1 = 0\), (II) \(x_2 = 0\), (III) \(x_1 + x_2 = 1\). - Schnittpunkt (I) und (II): \((0 | 0)\) - Schnittpunkt (II) und (III): \((1 | 0)\) - Schnittpunkt (I) und (III): \((0 | 1)\) Das Gesamtsystem hat keine Lösung, da kein Punkt auf allen drei Geraden gleichzeitig liegt. Geometrisch bilden die Geraden die Seiten eines Dreiecks.

Mögliche Lösungen: a) (I) \(x_1 + x_2 = 5\), (II) \(x_1 - x_2 = 1\), (III) \(x_1 = 3\) b) (I) \(x_1 = 0\), (II) \(x_2 = 0\), (III) \(x_1 + x_2 = 1\). Die Geraden bilden ein Dreieck und haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

- Wie viele Lösungen kann ein lineares Gleichungssystem grundsätzlich haben? - Welche mathematische Operation hilft dir, ein System schrittweise zu vereinfachen? - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn am Ende eine Zeile wie \(0 = 0\) oder \(0 = 5\) entsteht? - Wie gehst du vor, wenn du mehr Unbekannte als unabhängige Gleichungen hast?

1. System a): Anwendung des Gauß-Verfahrens. Subtraktion des Doppelten der ersten Zeile von der zweiten ergibt \(-3x_2 - x_3 = -9\). Subtraktion der ersten von der dritten Zeile ergibt \(x_2 - 2x_3 = -4\). Auflösen des reduzierten Systems liefert \(x_3 = 3\), \(x_2 = 2\) und \(x_1 = 1\). Das System hat genau eine Lösung: \(L = \{(1; 2; 3)\}\). 2. System b): Addition der ersten beiden Gleichungen ergibt \(3x_1 + 3x_2 = 9\). Die dritte Gleichung lautet jedoch \(3x_1 + 3x_2 = 10\). Dies führt zum Widerspruch \(9 = 10\). Das System hat keine Lösung: \(L = \emptyset\). 3. System c): Subtraktion des Doppelten der ersten Zeile von der zweiten ergibt \(3x_2 - 5x_3 = -3\). Subtraktion der ersten von der dritten Zeile ergibt ebenfalls \(3x_2 - 5x_3 = -3\). Da zwei Gleichungen identisch sind, ist der Rang der Matrix 2 bei 3 Unbekannten. Mit \(x_3 = t\) folgt \(3x_2 = 5t - 3 \Rightarrow x_2 = \frac{5}{3}t - 1\) und \(x_1 = x_2 - 2t + 3 = \frac{5}{3}t - 1 - 2t + 3 = 2 - \frac{1}{3}t\). Das System hat unendlich viele Lösungen: \(L = \{(2 - \frac{1}{3}t; \frac{5}{3}t - 1; t) \mid t \in \mathbb{R}\}\).

a) Genau eine Lösung: \(L = \{(1; 2; 3)\}\) b) Keine Lösung: \(L = \emptyset\) c) Unendlich viele Lösungen: \(L = \{(2 - \frac{1}{3}t; \frac{5}{3}t - 1; t) \mid t \in \mathbb{R}\}\)

- Versuche zuerst, eine Variable aus zwei der Gleichungen zu eliminieren. - Achte darauf, die Koeffizienten so zu multiplizieren, dass sie sich beim Addieren oder Subtrahieren aufheben. - Wenn du eine Variable bestimmt hast, kannst du sie in die vorherigen Zwischenschritte einsetzen. - Prüfe am Ende, ob deine Lösung alle drei ursprünglichen Gleichungen erfüllt.

1. Überführung in die erweiterte Koeffizientenmatrix oder direktes Anwenden von Additionsverfahren. 2. Elimination von \(x_1\) in der zweiten und dritten Gleichung: \(2 \cdot \text{II} - \text{I} \Rightarrow -5x_2 + 5x_3 = -15 \Rightarrow x_2 - x_3 = 3\) \(2 \cdot \text{III} - 3 \cdot \text{I} \Rightarrow 5x_2 - 3x_3 = 21\) 3. Elimination von \(x_2\) unter Verwendung der neuen Gleichungen: \((5x_2 - 3x_3) - 5 \cdot (x_2 - x_3) = 21 - 5 \cdot 3 \Rightarrow 2x_3 = 6 \Rightarrow x_3 = 3\) 4. Rückwärtseinsetzen: \(x_2 - 3 = 3 \Rightarrow x_2 = 6\) \(2x_1 + 6 - 3 = 5 \Rightarrow 2x_1 = 2 \Rightarrow x_1 = 1\) 5. Die Lösungsmenge ist \(L = \{(1; 6; 3)\}\).

\(L = \{(1; 6; 3)\}\)

- Überlege dir zuerst, wie die allgemeine Form einer Funktion 2. Grades aussieht. - Was sagen dir die Koordinaten der Punkte über die Unbekannten in deiner Gleichung? - Erstelle für jeden Punkt eine eigene Gleichung. - Wie kannst du ein System aus mehreren Gleichungen systematisch lösen, um die Koeffizienten zu finden?

1. Ansatz der allgemeinen Funktionsgleichung für den Grad 2: \(f(x) = ax^2 + bx + c\). 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems durch Einsetzen der Punktkoordinaten: I: \(a \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) + c = 14 \implies 4a - 2b + c = 14\) II: \(a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 2 \implies a + b + c = 2\) III: \(a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c = 4 \implies 9a + 3b + c = 4\) 3. Überführung in die Matrixschreibweise und Anwendung des Gauß-Algorithmus: Durch Vertauschen von Zeilen und Subtraktion von Vielfachen (z. B. \(Z_2 - 4Z_1\) und \(Z_3 - 9Z_1\)) ergibt sich die Stufenform. Hieraus folgen die Koeffizienten \(c = 4\), \(b = -3\) und \(a = 1\). 4. Die gesuchte Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2 - 3x + 4\).

\(f(x) = x^2 - 3x + 4\)

- Nutze das Gauß-Verfahren, um die Matrix auf Stufenform zu bringen. - Achte darauf, ob Zeilen während der Umformung identisch werden oder eine Nullzeile entsteht. - Wie viele Variablen bleiben „frei“, wenn du den Rang der Matrix mit der Anzahl der Variablen vergleichst? - Verwende zwei verschiedene Parameter (z. B. \( r \) und \( s \)), um die unendlich vielen Lösungen zu beschreiben. - Stelle das Ergebnis am Ende als Menge von Vektoren dar.

1. Überführung in die Matrixschreibweise: \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & | & 10 \\ 1 & -1 & 2 & 0 & | & 4 \\ 2 & 0 & 3 & 1 & | & 14 \end{pmatrix} \) 2. Anwendung des Gauß-Verfahrens: Die Operationen \( II - I \) und \( III - 2 \cdot I \) führen zur Matrix \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & | & 10 \\ 0 & -2 & 1 & -1 & | & -6 \\ 0 & -2 & 1 & -1 & | & -6 \end{pmatrix} \). 3. Da die zweite und dritte Zeile identisch sind, ist das System redundant; die dritte Gleichung liefert keine neue Information und kann gestrichen werden. 4. Es verbleiben zwei Gleichungen für vier Variablen, was zwei freie Parameter erfordert. Wähle z. B. \( x_2 = r \) und \( x_4 = s \) mit \( r, s \in \mathbb{R} \). 5. Auflösen der zweiten Zeile nach \( x_3 \): \( -2r + x_3 - s = -6 \implies x_3 = 2r + s - 6 \). 6. Einsetzen in die erste Zeile: \( x_1 + r + (2r + s - 6) + s = 10 \implies x_1 = 16 - 3r - 2s \). 7. Darstellung der Lösungsmenge in Vektorform.

\( L = \left\{ \begin{pmatrix} 16 \\ 0 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \mid r, s \in \mathbb{R} \right\} \)

- Welche allgemeine Form hat eine Funktion 3. Grades? - Wie viele Unbekannte gibt es in der Funktionsgleichung und wie viele Informationen (Punkte) hast du? - Was bedeutet es für ein Gleichungssystem, wenn es weniger Gleichungen als Unbekannte gibt? - Versuche, eine der Variablen als freien Parameter zu wählen, um die anderen Variablen auszudrücken.

1. Ansatz für die ganzrationale Funktion 3. Grades: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems durch Einsetzen der Punkte: I. \(f(0) = 1 \Rightarrow d = 1\) II. \(f(1) = 4 \Rightarrow a + b + c + 1 = 4 \Rightarrow a + b + c = 3\) III. \(f(-1) = 2 \Rightarrow -a + b - c + 1 = 2 \Rightarrow -a + b - c = 1\) 3. Lösen des Systems: Addition von II und III ergibt \(2b = 4\), also \(b = 2\). 4. Einsetzen von \(b=2\) in II liefert \(a + 2 + c = 3 \Rightarrow c = 1 - a\). 5. Da ein Freiheitsgrad verbleibt, wird \(a\) mit \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) als Parameter gewählt. 6. Die allgemeine Funktionsgleichung lautet: \(f_a(x) = ax^3 + 2x^2 + (1-a)x + 1\) mit \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\).

\(f_a(x) = ax^3 + 2x^2 + (1-a)x + 1\) mit \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) (für eine Funktion exakt 3. Grades).

- Stelle für jede Bedingung eine lineare Gleichung mit den Variablen für die Ziffern auf. - Wie lässt sich der Wert einer Zahl durch ihre Ziffern ausdrücken? - Überlege beim Wegfall einer Bedingung, welche Einschränkungen für die verbleibenden Variablen durch den Kontext „Ziffer“ bestehen. - Nutze das Additionsverfahren, um Variablen schrittweise zu eliminieren.

Es sei \(x\) die Hunderter-, \(y\) die Zehner- und \(z\) die Einerziffer. Die Bedingungen führen auf das Gleichungssystem: 1. \(x + y + z = 12\) 2. \(y + z = 3x \implies 3x - y - z = 0\) 3. \(100y + 10x + z = (100x + 10y + z) - 180 \implies -90x + 90y = -180 \implies x - y = 2\) Durch Addition von (1) und (2) erhält man \(4x = 12\), woraus \(x = 3\) folgt. Einsetzen in (3) ergibt \(3 - y = 2\), also \(y = 1\). Einsetzen in (1) liefert \(3 + 1 + z = 12\), woraus \(z = 8\) folgt. Die gesuchte Zahl lautet \(318\). Ohne die dritte Bedingung bleibt das System aus \(x = 3\) und \(y + z = 9\). Da es sich um Ziffern handelt, muss \(y, z \in \{0, 1, \dots, 9\}\) gelten. Die möglichen Zahlen sind somit \(309, 318, 327, 336, 345, 354, 363, 372, 381\) und \(390\).

Die Zahl lautet \(318\). Ohne die dritte Bedingung kommen die Zahlen \(309, 318, 327, 336, 345, 354, 363, 372, 381, 390\) infrage.

- Welche Informationen kannst du direkt aus der Gleichung der Wendetangente für den Funktionswert und die Steigung an der Stelle \(x=1\) ableiten? - Übersetze jede geometrische Eigenschaft (Nullstelle, Wendepunkt, Achsenabschnitt) in eine mathematische Gleichung für \(f(x)\), \(f'(x)\) oder \(f''(x)\). - Wie viele Unbekannte hat eine Funktion 3. Grades und wie viele Gleichungen benötigst du mindestens? - Denke daran, dass bei einem Berührpunkt oder einer Tangente der Funktionswert der Kurve und der Geraden an dieser Stelle gleich sein müssen.

1. Ansatz für eine Funktion 3. Grades: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) sowie die Ableitungen \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) und \(f''(x) = 6ax + 2b\). 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems aus den Bedingungen: - \(f(0) = 2 \implies d = 2\) - \(f(2) = 0 \implies 8a + 4b + 2c + d = 0 \implies 8a + 4b + 2c = -2\) - \(f''(1) = 0 \implies 6a + 2b = 0\) - \(f'(1) = -3\) (Steigung der Wendetangente) \(\implies 3a + 2b + c = -3\) - (Zusätzlich gilt \(f(1) = t(1) = 1\), was zur Überprüfung oder als alternative Gleichung genutzt werden kann: \(a + b + c + d = 1\)). 3. Lösen des Systems (z. B. mit dem Gauß-Verfahren): Aus \(6a + 2b = 0\) folgt \(b = -3a\). Einsetzen in die anderen Gleichungen führt auf ein System für \(a\) und \(c\): \(8a + 4(-3a) + 2c = -2 \implies -4a + 2c = -2 \implies -2a + c = -1\) \(3a + 2(-3a) + c = -3 \implies -3a + c = -3\) Subtraktion der Gleichungen ergibt \(a = 2\). Daraus folgen \(b = -6\) und \(c = 3\). 4. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3x + 2\).

\(f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3x + 2\)

- Nutze den Gauß-Algorithmus, um das System auf Stufenform zu bringen. - Achte besonders auf die Werte des Parameters, bei denen Divisionen durch Null auftreten könnten oder eine Zeile die Form \(0 = c\) annimmt. - Untersuche separat, wann das System keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen besitzt. - Bei unendlich vielen Lösungen kannst du eine Variable als freien Parameter (z. B. \(t\)) wählen.

1. Anwendung des Gauß-Verfahrens auf die erweiterte Koeffizientenmatrix: Zeile 2 ersetzen durch \(Z_2 - Z_1\) ergibt \(x_2 + (k-1)x_3 = 2\). Zeile 3 ersetzen durch \(Z_3 - Z_1\) ergibt \((k^2-4)x_3 = k-2\). 2. Fallunterscheidung für die letzte Gleichung \((k-2)(k+2)x_3 = k-2\): - Fall \(k = -2\): Die Gleichung lautet \(0 \cdot x_3 = -4\). Dies ist ein Widerspruch, daher ist die Lösungsmenge leer: \(\mathbb{L} = \emptyset\). - Fall \(k = 2\): Die Gleichung lautet \(0 \cdot x_3 = 0\). Es gibt unendlich viele Lösungen. Aus \(Z_2\) folgt \(x_2 + x_3 = 2 \Rightarrow x_2 = 2 - x_3\). Einsetzen in \(Z_1\) ergibt \(x_1 + (2 - x_3) + x_3 = 3 \Rightarrow x_1 = 1\). Mit \(x_3 = t\) gilt \(\mathbb{L} = \{ (1; 2-t; t) \mid t \in \mathbb{R} \}\). - Fall \(k \in \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\): Es gibt eine eindeutige Lösung. Durch Division folgt \(x_3 = \frac{k-2}{(k-2)(k+2)} = \frac{1}{k+2}\). Rückwärtseinsetzen: \(x_2 = 2 - (k-1) \cdot \frac{1}{k+2} = \frac{2k+4-k+1}{k+2} = \frac{k+5}{k+2}\). \(x_1 = 3 - \frac{k+5}{k+2} - \frac{1}{k+2} = \frac{3k+6-k-5-1}{k+2} = \frac{2k}{k+2}\).

- Für \(k = -2\): \(\mathbb{L} = \emptyset\) - Für \(k = 2\): \(\mathbb{L} = \{ (1; 2-t; t) \mid t \in \mathbb{R} \}\) - Für \(k \in \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\): \(\mathbb{L} = \{ (\frac{2k}{k+2}; \frac{k+5}{k+2}; \frac{1}{k+2}) \}\)

- Was passiert mathematisch, wenn ein Punkt auf den Ursprung abgebildet wird? Welche Gleichung musst du aufstellen? - Wenn ein Gleichungssystem weniger Informationen liefert als Variablen vorhanden sind, wie beschreibst du die Lösung? - Überlege dir für die Projektion auf eine Achse, welche Koordinaten erhalten bleiben und welche zu Null werden. - Denke beim Gauß-Verfahren daran, die Zeilen systematisch zu kombinieren, um Variablen zu eliminieren.

1. Bildpunktberechnung: \( \vec{p}' = K \cdot \vec{p} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-2+2 \\ 6-2+1 \\ 3-4+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} \Rightarrow P'(3|5|4) \). 2. Lösung des homogenen Systems \( K \cdot \vec{x} = \vec{0} \) mit Gauß: (I) \( x_1 + x_2 + 2x_3 = 0 \) (II) \( 2x_1 + x_2 + x_3 = 0 \) (III) \( x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 0 \) Schritt 1: (II) - 2 \(\cdot\) (I) ergibt \( -x_2 - 3x_3 = 0 \Rightarrow x_2 = -3x_3 \). Schritt 2: (III) - (I) ergibt \( x_2 + 3x_3 = 0 \), was dieselbe Information liefert. Schritt 3: Setze \( x_3 = t \). Dann ist \( x_2 = -3t \). Schritt 4: Einsetzen in (I): \( x_1 - 3t + 2t = 0 \Rightarrow x_1 = t \). Die Lösungsmenge ist die Gerade \( \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \) mit \( t \in \mathbb{R} \). 3. Die Projektion auf die \( x_3 \)-Achse setzt die \( x_1 \)- und \( x_2 \)-Komponenten auf Null: \( L = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \). Die Matrix \( M \) ergibt sich zu \( M = L \cdot K = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 5 \end{pmatrix} \).

a) \( P'(3|5|4) \) b) Alle Punkte auf der Geraden \( \vec{x} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \) für \( t \in \mathbb{R} \). c) \( L = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \); \( M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 5 \end{pmatrix} \)

- Wie verändern sich die Achsen bei einer Spiegelung an einer Ebene, die schräg durch das Koordinatensystem verläuft (wie \(x_1 = -x_2\))? - Achte auf die richtige Reihenfolge der Matrizenmultiplikation: „zuerst \(M\), dann \(N\)“ bedeutet \(N \cdot M\). - Stelle das Gleichungssystem \(K \cdot \vec{x} = \vec{b}\) Zeile für Zeile auf und löse es systematisch von unten nach oben oder mit dem Gauß-Algorithmus.

1. Bestimmung von \(N\): Der Normalenvektor von \(F\) ist \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\). Die Spiegelung bildet \(\vec{e}_1\) auf \(\vec{e}_1 - 2 \frac{\vec{e}_1 \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|^2} \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\) ab. Analog gilt \(\vec{e}_2 \to \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) und \(\vec{e}_3 \to \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Daraus folgt \(N = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung von \(K\): Die Verkettung ist \(K = N \cdot M = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\). 3. Lösen des LGS \(K \cdot \vec{x} = \vec{b}\): I: \(-x_2 - x_3 = -3\) II: \(-x_1 - x_2 = -3\) III: \(x_3 = 1\) Aus III folgt \(x_3 = 1\). Einsetzen in I: \(-x_2 - 1 = -3 \implies x_2 = 2\). Einsetzen in II: \(-x_1 - 2 = -3 \implies x_1 = 1\). Der Urbildvektor ist \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\).

a) \(N = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) b) \(K = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) c) \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

- Nutze den Gauß-Algorithmus, um Nullen unterhalb der Hauptdiagonale zu erzeugen. - Achte darauf, wie sich die Parameter \(a, b, c, d\) in der vierten Spalte verändern. - Wann hat ein homogenes Gleichungssystem nur die triviale Lösung? Betrachte dazu die Anzahl der Nicht-Nullzeilen in der Stufenform. - Überlege, was eine Nullzeile in der Stufenform über die lineare Unabhängigkeit der beteiligten Vektoren aussagt.

1. Anwendung des Gauß-Verfahrens auf die Matrix \(A\): \(R_2' = R_2 - R_1 \to (0, 1, -2, b-a)\) \(R_3' = R_3 - R_1 \to (0, 2, -4, c-a)\) 2. Weiterführung der Elimination: \(R_3'' = R_3' - 2R_2' \to (0, 0, 0, c-a-2(b-a)) = (0, 0, 0, a-2b+c)\) 3. Tausch der dritten und vierten Zeile, um die Stufenform zu erreichen: \(A \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & a \\ 0 & 1 & -2 & b-a \\ 0 & 0 & 1 & d \\ 0 & 0 & 0 & a-2b+c \end{pmatrix}\) 4. Zur Eindeutigkeit: Ein homogenes System \(4 \times 4\) ist genau dann eindeutig lösbar (nur die triviale Lösung), wenn der Rang der Matrix 4 ist. Dies ist hier der Fall, wenn das letzte Diagonalelement \(a-2b+c \neq 0\) ist. Diese Bedingung enthält \(d\) nicht, womit die Eindeutigkeit unabhängig von \(d\) ist. 5. Zur linearen Abhängigkeit: Die drei angegebenen Vektoren sind die ersten drei Zeilenvektoren der Teilmatrix aus den ersten drei Spalten. Aus der Elimination in Teil a) folgt für diese Zeilen direkt \(R_3 - 2R_2 + R_1 = \vec{0}\). Damit gilt \(\vec{v}_3 - 2\vec{v}_2 + \vec{v}_1 = \vec{0}\); die Vektoren \(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3\) sind also linear abhängig.

a) Die Zeilenstufenform lautet \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & a \\ 0 & 1 & -2 & b-a \\ 0 & 0 & 1 & d \\ 0 & 0 & 0 & a-2b+c \end{pmatrix}\). b) Die Bedingung für eine eindeutige Lösung ist \(a-2b+c \neq 0\). Da \(d\) in dieser Bedingung nicht vorkommt, ist die Eindeutigkeit unabhängig von \(d\). c) Aus der Zeilenstufenform folgt für die entsprechenden Zeilenvektoren \(R_3 - 2R_2 + R_1 = \vec{0}\), also \(\vec{v}_3 - 2\vec{v}_2 + \vec{v}_1 = \vec{0}\). Damit sind die Vektoren linear abhängig.

- Gehe systematisch Spalte für Spalte vor, um die Dreiecksform zu erreichen. - Es kann hilfreich sein, eine Zeile durch einen gemeinsamen Teiler zu dividieren, um einfachere Zahlen zu erhalten. - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Subtrahieren der Zeilen. - Wie viele unabhängige Gleichungen bleiben, wenn eine Zeile ein Vielfaches einer anderen ist? - Überprüfe dein Ergebnis durch Einsetzen in die vierte Gleichung.

1. Aufstellen der erweiterten Koeffizientenmatrix: \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 2 & -1 & 2 & -1 & | & -2 \\ 1 & 3 & -1 & 2 & | & 8 \\ 3 & 2 & 1 & -3 & | & 6 \end{pmatrix} \) 2. Erzeugen von Nullen in der ersten Spalte (\(R_2-2R_1, R_3-R_1, R_4-3R_1\)): \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & -3 & 0 & -3 & | & -6 \\ 0 & 2 & -2 & 1 & | & 6 \\ 0 & -1 & -2 & -6 & | & 0 \end{pmatrix} \) 3. Vereinfachen der zweiten Zeile durch Division durch \(-3\), dann Elimination in der zweiten Spalte: \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & | & 2 \\ 0 & 0 & -2 & -1 & | & 2 \\ 0 & 0 & -2 & -5 & | & 2 \end{pmatrix} \) 4. Elimination in der dritten Spalte (\(R_4-R_3\)): \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & | & 2 \\ 0 & 0 & -2 & -1 & | & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -4 & | & 0 \end{pmatrix} \) 5. Rückwärtssubstitution: Aus \(R_4\): \(-4x_4 = 0 \Rightarrow x_4 = 0\). Aus \(R_3\): \(-2x_3 - 0 = 2 \Rightarrow x_3 = -1\). Aus \(R_2\): \(x_2 + 0 = 2 \Rightarrow x_2 = 2\). Aus \(R_1\): \(x_1 + 2 - 1 + 0 = 2 \Rightarrow x_1 = 1\).

\( x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = -1, x_4 = 0 \) bzw. \( L = \{(1; 2; -1; 0)\} \)

- Kannst du das System schrittweise in eine Dreiecksform bringen? - Was passiert, wenn du eine Gleichung so umformst, dass eine Variable wegfällt? - Es hilft oft, die Gleichungen zuerst übersichtlich untereinander zu schreiben. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die Werte am Ende in die Ausgangsgleichungen einsetzt.

1. Überführung in die erweiterte Koeffizientenmatrix und Elimination von \(x_1\) in den Zeilen (II), (III) und (IV) durch Verrechnung mit (I): (II) \(- 2 \cdot\) (I) ergibt \(-x_2 - 3x_3 = 0\); (III) \(-\) (I) ergibt \(-3x_2 + x_3 - 2x_4 = 2\); (IV) \(- 3 \cdot\) (I) ergibt \(-x_2 - 4x_3 - 4x_4 = -17\). 2. Elimination von \(x_2\) aus den neuen Gleichungen: (III') \(- 3 \cdot\) (II') führt zu \(10x_3 - 2x_4 = 2\); (IV') \(-\) (II') führt zu \(-x_3 - 4x_4 = -17\). 3. Elimination von \(x_3\) aus dem verbleibenden System: (IV'') \(+ 0{,}1 \cdot\) (III'') ergibt \(-4{,}2x_4 = -16{,}8\), woraus \(x_4 = 4\) folgt. 4. Durch Rückwärtseinsetzen ergeben sich die restlichen Werte: Aus (III'') folgt \(10x_3 - 2(4) = 2 \Rightarrow x_3 = 1\); aus (II') folgt \(-x_2 - 3(1) = 0 \Rightarrow x_2 = -3\); aus (I) folgt \(x_1 - 3 + 1 + 4 = 4 \Rightarrow x_1 = 2\).

\(x_1 = 2; x_2 = -3; x_3 = 1; x_4 = 4\)

- Fällt dir eine Struktur in den Gleichungen auf? Jede Gleichung enthält nur zwei Variablen. - Du kannst die Variablen nacheinander eliminieren oder eine Variable durch eine andere ausdrücken. - Was passiert, wenn du die erste von der vierten Gleichung subtrahierst? - Achte beim Gauß-Verfahren darauf, die Matrix systematisch in Dreiecksform zu bringen.

1. Aufstellen der erweiterten Koeffizientenmatrix: \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & | & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & | & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & | & 10 \\ 2 & 0 & 0 & 1 & | & 7 \end{pmatrix} \) 2. Elimination von \(x_1\) in der vierten Zeile durch \(Z_4 - Z_1\): \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & | & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & | & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & | & 10 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & | & 3 \end{pmatrix} \) 3. Elimination von \(x_2\) in der neuen vierten Zeile durch \(Z_4 + Z_2\): \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & | & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & | & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & | & 10 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & | & 11 \end{pmatrix} \) 4. Elimination von \(x_3\) in der neuen vierten Zeile durch \(Z_4 - 2Z_3\): \( 0x_1 + 0x_2 + 0x_3 - 3x_4 = 11 - 20 = -9 \Rightarrow -3x_4 = -9 \Rightarrow x_4 = 3 \) 5. Rückwärtseinsetzen: \( x_3 + 2 \cdot 3 = 10 \Rightarrow x_3 = 4 \) \( x_2 + 2 \cdot 4 = 8 \Rightarrow x_2 = 0 \) \( 2x_1 + 0 = 4 \Rightarrow x_1 = 2 \)

\( x_1 = 2 \), \( x_2 = 0 \), \( x_3 = 4 \), \( x_4 = 3 \) bzw. \( L = \{(2; 0; 4; 3)\} \)

- Welche Gleichung eignet sich am besten als Pivot-Gleichung, um die anderen Variablen zu eliminieren? - Wie viele Lösungen erwartest du bei vier Gleichungen und drei Unbekannten? - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn während des Verfahrens eine Nullzeile oder ein Widerspruch entsteht? - Prüfe am Ende, ob deine gefundenen Werte alle vier ursprünglichen Gleichungen erfüllen.

1. Aufstellen der erweiterten Koeffizientenmatrix und Anwendung von Zeilenoperationen zur Erzeugung einer Stufenform, zum Beispiel durch Elimination von \(x_1\) in den Gleichungen (1), (2) und (3) unter Verwendung von (4). 2. Nach den ersten Schritten (z. B. \(II - IV\), \(III - 3 \cdot IV\), \(I - 2 \cdot IV\)) ergeben sich neue Gleichungen: \( (I') \quad -x_2 - 3x_3 = -5 \) \( (II') \quad 2x_2 + x_3 = 0 \) \( (III') \quad -4x_2 - x_3 = 2 \) 3. Elimination von \(x_2\) aus \((I')\) und \((III')\) mithilfe von \((II')\) führt zu: \( (I'') \quad -2{,}5x_3 = -5 \implies x_3 = 2 \) \( (III'') \quad x_3 = 2 \) 4. Da die Gleichungen konsistent sind, folgt durch Rückwärtseinsetzen: Aus \((II')\): \(2x_2 + 2 = 0 \implies x_2 = -1 \). Aus \((4)\): \(x_1 - 1 + 2 = 3 \implies x_1 = 2 \). 5. Die Lösungsmenge ist \( L = \{(2; -1; 2)\} \).

\( L = \{(2; -1; 2)\} \)

- Wann sind zwei Ebenen identisch, wann parallel und wann schneiden sie sich? - Welche Rolle spielen die Koeffizienten vor den Variablen im Vergleich zum Ergebnis hinter dem Gleichheitszeichen? - Wie viele freie Parameter hat die Lösung eines Systems mit 2 Gleichungen und 3 Variablen im Normalfall? - Für Teilaufgabe c): Wie prüfst du, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt?

1. Für Teilaufgabe a) muss \(E_2\) ein Vielfaches von \(E_1\) sein (identische Ebenen). Sei \(E_2: 4x_1 - 2x_2 + 6x_3 = 12\). Die Lösungsmenge entspricht \(E_1\). Umwandlung in Parameterform: Setze \(x_2 = s\) und \(x_3 = t\). Dann ist \(2x_1 = 6 + s - 3t\), also \(x_1 = 3 + 0{,}5s - 1{,}5t\). \(L = \left\{ \vec{x} \in \mathbb{R}^3 \mid \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}; s, t \in \mathbb{R} \right\}\). 2. Für Teilaufgabe b) müssen die Ebenen parallel, aber nicht identisch sein. Die Koeffizienten der linken Seite müssen proportional sein, die rechte Seite nicht. Beispiel: \(E_2: 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 10\). 3. Für Teilaufgabe c) muss \(E_2\) so gewählt werden, dass sie nicht parallel zu \(E_1\) ist und den Punkt \(P(3 | 0 | 0)\) enthält. Einsetzen von \(P\) in \(E_1\): \(2 \cdot 3 - 0 + 3 \cdot 0 = 6\) (wahr). Wähle z. B. \(E_2: x_2 = 0\). Da \(P\) die Koordinate \(x_2 = 0\) hat, liegt \(P\) auf \(E_2\). Die Normalenvektoren \(\vec{n}_1 = (2; -1; 3)\) und \(\vec{n}_2 = (0; 1; 0)\) sind keine Vielfachen, daher schneiden sich die Ebenen in einer Geraden.

Mögliche Lösungen: a) \(E_2: 4x_1 - 2x_2 + 6x_3 = 12\); \(L: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) b) \(E_2: 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 10\) c) \(E_2: x_2 = 0\) (oder jede andere Ebene durch \(P\), die nicht parallel zu \(E_1\) ist).

- Überlege zuerst, ob es mehr Variablen als Gleichungen gibt oder umgekehrt. - Kann ein System mit vier Gleichungen für drei Unbekannte trotzdem eine eindeutige Lösung haben? - Wie viele Parameter musst du einführen, wenn nach dem Gauß-Verfahren zwei Variablen „frei“ wählbar bleiben? - Versuche, eine Variable durch eine andere auszudrücken, um das System zu verkleinern.

1. System a): Aus der zweiten Gleichung folgt \(x_1 = x_2\). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(2x_1 + x_3 = 4\), was identisch mit der dritten Gleichung ist. Einsetzen von \(x_2 = x_1\) in die vierte Gleichung ergibt \(3x_1 + x_3 = 6\). Subtraktion von \(2x_1 + x_3 = 4\) von \(3x_1 + x_3 = 6\) liefert \(x_1 = 2\). Daraus folgt \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 4 - 2(2) = 0\). Überprüfung aller Gleichungen bestätigt die Lösung. Das System ist überbestimmt, aber konsistent. Lösung: \(L = \{(2; 2; 0)\}\). 2. System b): Addition der beiden Gleichungen eliminiert \(x_2\) und \(x_3\) und ergibt \(3x_1 + 3x_4 = 6\), also \(x_1 + x_4 = 2\). Wir setzen zwei Parameter: \(x_4 = r\) und \(x_3 = s\). Dann ist \(x_1 = 2 - r\). Einsetzen in die erste Gleichung: \((2 - r) + x_2 - s + r = 2 \Rightarrow 2 + x_2 - s = 2 \Rightarrow x_2 = s\). Das System hat unendlich viele Lösungen mit zwei freien Parametern. Lösung: \(L = \{(2 - r; s; s; r) \mid r, s \in \mathbb{R}\}\).

a) \(L = \{(2; 2; 0)\}\) b) \(L = \{(2 - r; s; s; r) \mid r, s \in \mathbb{R}\}\)

- Wie viele Variablen und wie viele Gleichungen liegen vor? - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn zwei Gleichungen nach der Umformung im Widerspruch zueinander stehen? - Nutze das Gauß-Verfahren, um die Matrix in Stufenform zu bringen. - Achte besonders auf die Ergebnisse in der letzten Spalte, wenn auf der linken Seite einer Zeile nur Nullen stehen.

1. Anwendung des Gauß-Algorithmus auf die erweiterte Koeffizientenmatrix. 2. Elimination von \(x_1\) in den Zeilen II, III und IV unter Nutzung von Zeile I: \(\text{II} - 2 \cdot \text{I} \Rightarrow -5x_2 + 3x_3 = -3\) \(\text{III} - 3 \cdot \text{I} \Rightarrow -5x_2 + 3x_3 = -3\) (Gleichung III ist identisch mit der neuen Gleichung II) \(\text{IV} - \text{I} \Rightarrow -5x_2 + 3x_3 = 3\) 3. Vergleich der umgeformten Gleichungen II und IV: Aus II folgt \(-5x_2 + 3x_3 = -3\), aus IV folgt \(-5x_2 + 3x_3 = 3\). 4. Subtraktion dieser beiden Gleichungen führt auf den Widerspruch \(0 = 6\). 5. Da ein Widerspruch entstanden ist, besitzt das System keine Lösung. Die Lösungsmenge ist leer.

\(L = \emptyset\)

- Wie viele Unbekannte hat eine Funktion 3. Grades im Vergleich zu einer Funktion 2. Grades? - Einer der Punkte ist besonders hilfreich, da er direkt den Wert des absoluten Gliedes verrät. Welcher ist das? - Setze die verbleibenden Punkte in die allgemeine Form ein, um ein System für die restlichen Unbekannten zu erhalten. - Nutze ein Schema wie eine Matrix, um den Überblick über deine Rechenschritte zu behalten.

1. Ansatz der allgemeinen Funktionsgleichung für den Grad 3: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). 2. Einsetzen der Punkte liefert das Gleichungssystem: Aus \(P_1(0|-2)\) folgt direkt \(d = -2\). Die weiteren Punkte ergeben: I: \(a + b + c - 2 = 0 \implies a + b + c = 2\) II: \(8a + 4b + 2c - 2 = 12 \implies 8a + 4b + 2c = 14\) III: \(-a + b - c - 2 = -6 \implies -a + b - c = -4\) 3. Lösung des Systems für \(a, b, c\) mittels Gauß-Algorithmus (z. B. durch Addition von I und III zur Elimination von \(a\) und \(c\)): Es ergibt sich \(2b = -2\), also \(b = -1\). Durch Einsetzen in die verbleibenden Gleichungen erhält man \(c = 1\) und \(a = 2\). 4. Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = 2x^3 - x^2 + x - 2\).

\(f(x) = 2x^3 - x^2 + x - 2\)

- Stelle zuerst die allgemeine Funktionsgleichung für den Grad 4 auf. - Setze die Koordinaten der Punkte in die Funktionsgleichung ein, um ein System von Gleichungen zu erhalten. - Nutze den Gauß-Algorithmus, um das System schrittweise zu vereinfachen. - Wenn du mehr Variablen als Gleichungen hast, bleibt eine Variable als Parameter im Ergebnis stehen.

1. Ansatz: \(f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\). 2. Einsetzen der Punkte liefert das Gleichungssystem: \(f(0) = 0 \Rightarrow e = 0\) \(f(1) = 1 \Rightarrow a + b + c + d = 1\) \(f(-1) = -3 \Rightarrow a - b + c - d = -3\) \(f(2) = 18 \Rightarrow 16a + 8b + 4c + 2d = 18 \Rightarrow 8a + 4b + 2c + d = 9\) 3. Reduktion des Systems (Gauß-Verfahren): Addition der Gleichungen aus \(f(1)=1\) und \(f(-1)=-3\): \(2a + 2c = -2 \Rightarrow c = -1 - a\). Subtraktion der Gleichung aus \(f(-1)=-3\) von der Gleichung aus \(f(1)=1\): \(2b + 2d = 4 \Rightarrow d = 2 - b\). 4. Einsetzen in die dritte Gleichung: \(8a + 4b + 2(-1-a) + (2-b) = 9 \Rightarrow 6a + 3b = 9 \Rightarrow b = 3 - 2a\). 5. Daraus folgt für \(d\): \(d = 2 - (3 - 2a) = 2a - 1\). 6. Alle Koeffizienten hängen nun von \(a\) ab: \(b = 3-2a\), \(c = -a-1\), \(d = 2a-1\), \(e = 0\). Für eine Funktion genau 4. Grades gilt \(a \ne 0\).

\(f_a(x) = ax^4 + (3-2a)x^3 - (a+1)x^2 + (2a-1)x\) mit \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\).

- Bezeichne die vier Ziffern mit Variablen und übersetze die Sätze in Gleichungen. - Kombiniere die erste und zweite Gleichung, um die Summen von Ziffernpaaren direkt zu bestimmen. - Versuche, alle Variablen durch eine einzige Variable auszudrücken, um die Lösung zu finden. - Prüfe am Ende, ob alle Ziffern im Bereich von 0 bis 9 liegen und die Tausenderziffer nicht null ist.

Die Ziffern seien \(a\) (Tausender), \(b\) (Hunderter), \(c\) (Zehner) und \(d\) (Einer). Das Gleichungssystem lautet: 1. \(a + b + c + d = 16\) 2. \(a + d = b + c \implies a - b - c + d = 0\) 3. \(a = 3b \implies a - 3b = 0\) 4. \(c - d = 4\) Addition von (1) und (2) liefert \(2a + 2d = 16 \implies a + d = 8\). Subtraktion (1) minus (2) liefert \(2b + 2c = 16 \implies b + c = 8\). Aus (3) folgt \(a = 3b\). Einsetzen in \(a + d = 8\) ergibt \(3b + d = 8 \implies d = 8 - 3b\). Aus (4) folgt \(c = d + 4\). Einsetzen in \(b + c = 8\) ergibt \(b + (d + 4) = 8 \implies b + d = 4\). Nun ersetzt man \(d\) durch \(8 - 3b\): \(b + (8 - 3b) = 4 \implies -2b = -4 \implies b = 2\). Daraus folgt \(a = 3 \cdot 2 = 6\). Mit \(a + d = 8\) folgt \(d = 2\). Mit \(c - d = 4\) folgt \(c = 6\). Die Ziffern sind \(a=6, b=2, c=6, d=2\).

Die Zahl lautet \(6262\).

- Notiere zuerst alle Bedingungen, die aus den Koordinaten und den Eigenschaften der Extrempunkte folgen. - Wie viele Koeffizienten musst du bestimmen und wie viele Informationen sind im Text gegeben? - Wenn mehr Bedingungen als Unbekannte existieren, bestimme zuerst die Funktion mit einem Teil der Bedingungen und prüfe dann die restlichen. - Was bedeutet es für die Existenz einer Funktion, wenn ein Punkt der Aufgabe nicht auf dem Graphen liegt, den die anderen Bedingungen definieren?

1. Ansatz: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) und \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\). 2. Aufstellen der Gleichungen aus den Extrempunkten: - \(f(0) = 4 \implies d = 4\) - \(f'(0) = 0 \implies c = 0\) - \(f(2) = 0 \implies 8a + 4b + 2(0) + 4 = 0 \implies 8a + 4b = -4 \implies 2a + b = -1\) - \(f'(2) = 0 \implies 3a(2^2) + 2b(2) + 0 = 0 \implies 12a + 4b = 0 \implies 3a + b = 0\) 3. Lösen des Teilsystems für \(a\) und \(b\): Aus \(3a + b = 0\) folgt \(b = -3a\). Einsetzen in \(2a + b = -1\) ergibt \(2a - 3a = -1\), also \(a = 1\) und \(b = -3\). Dies liefert die Funktion \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\). 4. Überprüfung der Zusatzbedingung \(P(1|3)\): Berechnung von \(f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 4 = 1 - 3 + 4 = 2\). Da \(2 \neq 3\) ist, ist die Bedingung nicht erfüllt. Das Gleichungssystem ist überbestimmt und inkonsistent.

Es existiert keine solche Funktion, da die Bedingungen zu einem Widerspruch führen (der Funktionswert an der Stelle \(x=1\) müsste \(2\) sein, gefordert ist jedoch \(3\)).