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- Wie gehst du vor, wenn du zwei Vektoren addierst? Übertrage dieses Prinzip auf die einzelnen Positionen der Matrizen. - Was muss bei der Größe der Matrizen beachtet werden, damit jeder Platz einen Partner zum Rechnen hat? - Überlege dir, was die Zeilen und Spalten in der Aufgabe bedeuten, um das Ergebnis zu deuten. - Was passiert mathematisch, wenn du von einer Zahl eine größere Zahl abziehst?

1. Berechnung der Summe \(S = A + B\): Die entsprechenden Einträge werden addiert: \(s_{11} = 24+16=40\), \(s_{12} = 18+22=40\), \(s_{21} = 30+25=55\), \(s_{22} = 12+20=32\). Resultat: \(S = \begin{pmatrix} 40 & 40 \\ 55 & 32 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der Differenz \(D = A - B\): Die entsprechenden Einträge werden subtrahiert: \(d_{11} = 24-16=8\), \(d_{12} = 18-22=-4\), \(d_{21} = 30-25=5\), \(d_{22} = 12-20=-8\). Resultat: \(D = \begin{pmatrix} 8 & -4 \\ 5 & -8 \end{pmatrix}\). Ein negativer Eintrag bedeutet, dass Filiale 2 in der entsprechenden Woche von diesem Modell mehr Einheiten verkauft hat als Filiale 1. 3. Voraussetzung für Addition/Differenz: Beide Matrizen müssen die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten besitzen (gleicher Typ/Format). 4. Bedeutung der Nullmatrix: Eine Nullmatrix \(C\) würde bedeuten, dass die Filiale in beiden Wochen keines der beiden Tablet-Modelle verkauft hat (alle Verkaufszahlen sind Null).

a) \(S = \begin{pmatrix} 40 & 40 \\ 55 & 32 \end{pmatrix}\) b) \(D = \begin{pmatrix} 8 & -4 \\ 5 & -8 \end{pmatrix}\); ein negativer Wert zeigt an, dass Filiale 2 mehr verkauft hat als Filiale 1. c) Die Matrizen müssen vom gleichen Typ sein (gleiche Zeilen- und Spaltenanzahl). d) Es wurden in dem Zeitraum keine Tablets verkauft.

- Welche Spalte der Matrix repräsentiert die Abonnentenzahlen der „Gourmet“-Kiste? - Ein Zuwachs von \(20\,\%\) entspricht einer Multiplikation des ursprünglichen Wertes mit \(1{,}20\). - Achte darauf, dass bei der Matrixaddition nur Elemente an der jeweils gleichen Position addiert werden. - Lies genau ab, welche Zeile für welches Abo-Modell steht, falls nach spezifischen Summen gefragt wird.

1. Identifikation der Abonnentenzahlen für die „Gourmet“-Kiste in der dritten Spalte: Die Addition der Abonnentenzahlen beider Modelle ergibt \(30 + 20 = 50\). 2. Berechnung des Wachstums um \(20\,\%\) durch Multiplikation der Matrix \(A\) mit dem Faktor \(1{,}2\): \(A_{neu} = 1{,}2 \cdot \begin{pmatrix} 45 & 60 & 30 \\ 25 & 40 & 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 54 & 72 & 36 \\ 30 & 48 & 24 \end{pmatrix}\). 3. Addition der Neukunden-Matrix \(N\) zur Matrix \(A_{neu}\), um den Gesamtbestand im Sommer zu erhalten: \(A_{ges} = A_{neu} + N = \begin{pmatrix} 54+10 & 72+15 & 36+5 \\ 30+5 & 48+10 & 24+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 64 & 87 & 41 \\ 35 & 58 & 32 \end{pmatrix}\).

a) Insgesamt haben \(50\) Abonnenten eine „Gourmet“-Kiste bestellt. b) \(A_{neu} = \begin{pmatrix} 54 & 72 & 36 \\ 30 & 48 & 24 \end{pmatrix}\) c) \(A_{ges} = \begin{pmatrix} 64 & 87 & 41 \\ 35 & 58 & 32 \end{pmatrix}\)

- Überlege dir zuerst, wie viele Zeilen und Spalten die Matrix hat. - Der erste Index \( i \) steht für die Zeilennummer, der zweite Index \( j \) für die Spaltennummer. - Setze die jeweiligen Werte für \( i \) und \( j \) nacheinander in die Formel ein.

1. Berechnung der Elemente für die erste Zeile (\( i = 1 \)): \( a_{11} = 2^1 \cdot 1 = 2 \); \( a_{12} = 2^1 \cdot 2 = 4 \); \( a_{13} = 2^1 \cdot 3 = 6 \); \( a_{14} = 2^1 \cdot 4 = 8 \); \( a_{15} = 2^1 \cdot 5 = 10 \). 2. Berechnung der Elemente für die zweite Zeile (\( i = 2 \)): \( a_{21} = 2^2 \cdot 1 = 4 \); \( a_{22} = 2^2 \cdot 2 = 8 \); \( a_{23} = 2^2 \cdot 3 = 12 \); \( a_{24} = 2^2 \cdot 4 = 16 \); \( a_{25} = 2^2 \cdot 5 = 20 \). 3. Zusammenstellen der Matrix: \( \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\ 4 & 8 & 12 & 16 & 20 \end{pmatrix} \).

\( \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\ 4 & 8 & 12 & 16 & 20 \end{pmatrix} \)

- Was bedeutet die Bedingung \( i = j \) für die Position eines Elements in der Matrix? - Welche Elemente liegen nicht auf der Hauptdiagonale? - Achte darauf, dass die Matrix genau drei Zeilen und drei Spalten besitzt.

1. Identifikation der Diagonalelemente (\( i = j \)): Für die Positionen \( (1,1) \), \( (2,2) \) und \( (3,3) \) gilt \( m_{11} = m_{22} = m_{33} = 0{,}5 \). 2. Identifikation der restlichen Elemente (\( i \neq j \)): Für alle anderen Positionen (außerhalb der Hauptdiagonale) gilt \( m_{ij} = 0{,}25 \). 3. Konstruktion der Matrix: \( \mathbf{M} = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}25 & 0{,}25 \\ 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \\ 0{,}25 & 0{,}25 & 0{,}5 \end{pmatrix} \).

\( \mathbf{M} = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}25 & 0{,}25 \\ 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \\ 0{,}25 & 0{,}25 & 0{,}5 \end{pmatrix} \)

- Überlege dir zuerst, wie viele Zeilen und Spalten die Matrix haben muss. - Erinnere dich daran, welcher Index für die Zeile und welcher für die Spalte steht. - Gehe die Informationen Schritt für Schritt durch und trage die Werte an die richtigen Positionen ein. - Was musst du tun, wenn für eine bestimmte Position kein Wert angegeben wurde? - Bei Übergangsmatrizen ist es oft hilfreich zu prüfen, ob die Summe der Werte in jeder Spalte \( 1 \) ergibt.

1. Bestimmung der Matrixstruktur: Da es vier Zustände gibt, handelt es sich um eine \( 4 \times 4 \)-Matrix. 2. Zuordnung der Indizes: Der erste Index \( i \) gibt die Zeile und der zweite Index \( j \) die Spalte an. 3. Eintragen der Werte: Spalte 1: \( m_{11}=0{,}75, m_{21}=0{,}15, m_{31}=0, m_{41}=0{,}10 \). Spalte 2: \( m_{12}=0{,}20, m_{22}=0{,}80, m_{32}=0, m_{42}=0 \). Spalte 3: \( m_{13}=0, m_{23}=0, m_{33}=0{,}60, m_{43}=0{,}40 \). Spalte 4: \( m_{14}=0{,}05, m_{24}=0, m_{34}=0{,}05, m_{44}=0{,}90 \). 4. Zusammenfassen zur Matrix \( M \).

\( M = \begin{pmatrix} 0{,}75 & 0{,}20 & 0 & 0{,}05 \\ 0{,}15 & 0{,}80 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0{,}60 & 0{,}05 \\ 0{,}10 & 0 & 0{,}40 & 0{,}90 \end{pmatrix} \)

- Stell dir vor, du spiegelst die Einträge der Matrix an der Diagonale, die von links oben nach rechts unten verläuft. - Welche Zahlen oder Terme müssen an den gegenüberliegenden Positionen gleich sein? - Vergleiche die Einträge paarweise, zum Beispiel das Element in der ersten Zeile, zweiten Spalte mit dem in der zweiten Zeile, ersten Spalte.

1. Eine Matrix ist symmetrisch, wenn für ihre Elemente \(k_{ij} = k_{ji}\) gilt. 2. Für die Elemente der ersten Zeile und Spalte ergibt sich: \(2 \cdot u = 6 \implies u = 3\) und \(v - 3 = 4 \implies v = 7\). 3. Für die Elemente der zweiten Zeile und Spalte ergibt sich: \(w = 8\). 4. Die resultierende symmetrische Matrix lautet \(K = \begin{pmatrix} 10 & 6 & 4 \\ 6 & 5 & 8 \\ 4 & 8 & 7 \end{pmatrix}\).

\(u = 3\), \(v = 7\), \(w = 8\)

- Überlege dir, welche Dimension die Ergebnismatrix haben muss, wenn eine \(3 \times 2\)-Matrix mit einer \(2 \times 2\)-Matrix multipliziert wird. - Erinnere dich an die Regel „Zeile mal Spalte“. - Was bedeutet ein Element in der resultierenden Matrix \(C\) im Sachzusammenhang? Zum Beispiel: Was gibt der Wert in der ersten Zeile und zweiten Spalte an?

Um die Matrix \(C = A \cdot B\) zu berechnen, wird das Skalarprodukt der Zeilen von \(A\) mit den Spalten von \(B\) gebildet: 1. Erste Zeile von \(C\): \(c_{11} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 9\) \(c_{12} = 3 \cdot 6 + 1 \cdot 1 = 19\) 2. Zweite Zeile von \(C\): \(c_{21} = 2 \cdot 2 + 4 \cdot 3 = 16\) \(c_{22} = 2 \cdot 6 + 4 \cdot 1 = 16\) 3. Dritte Zeile von \(C\): \(c_{31} = 0 \cdot 2 + 5 \cdot 3 = 15\) \(c_{32} = 0 \cdot 6 + 5 \cdot 1 = 5\) Die Ergebnismatrix lautet somit \(C = \begin{pmatrix} 9 & 19 \\ 16 & 16 \\ 15 & 5 \end{pmatrix}\).

\(C = \begin{pmatrix} 9 & 19 \\ 16 & 16 \\ 15 & 5 \end{pmatrix}\)

- Wie kannst du die Daten aus der Tabelle in einer Matrix anordnen, sodass die Spalten den Gebäcksorten entsprechen? - Erinnere dich daran, wie man eine Matrix mit einem Spaltenvektor multipliziert: „Zeile mal Spalte“. - Was bedeuten die einzelnen Komponenten des Ergebnisvektors im Sachzusammenhang?

1. Aufstellen der Produktionsmatrix \( A \) aus der Tabelle: \( A = \begin{pmatrix} 150 & 120 & 100 \\ 90 & 80 & 70 \\ 10 & 30 & 25 \end{pmatrix} \) 2. Aufstellen des Auftragsvektors \( \vec{v} \): \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 60 \\ 50 \\ 40 \end{pmatrix} \) 3. Berechnung des Ergebnisvektors \( \vec{r} = A \cdot \vec{v} \) durch Zeile-mal-Spalte-Rechnung: - Mehl: \( 150 \cdot 60 + 120 \cdot 50 + 100 \cdot 40 = 9\,000 + 6\,000 + 4\,000 = 19\,000 \) - Wasser: \( 90 \cdot 60 + 80 \cdot 50 + 70 \cdot 40 = 5\,400 + 4\,000 + 2\,800 = 12\,200 \) - Körner: \( 10 \cdot 60 + 30 \cdot 50 + 25 \cdot 40 = 600 + 1\,500 + 1\,000 = 3\,100 \) 4. Zusammenfassen zum Vektor \( \vec{r} = \begin{pmatrix} 19\,000 \\ 12\,200 \\ 3\,100 \end{pmatrix} \). Die Komponenten sind in der Reihenfolge Mehl in Gramm, Wasser in Millilitern und Körner in Gramm angegeben.

\( \vec{r} = \begin{pmatrix} 19\,000 \\ 12\,200 \\ 3\,100 \end{pmatrix} \), entsprechend \(19\,000\,\text{g}\) Mehl, \(12\,200\,\text{mL}\) Wasser und \(3\,100\,\text{g}\) Körnern.

- Stelle dir den Prozess als Kette vor: Rohstoffe fließen in Zwischenprodukte, und diese fließen in Endprodukte. - Wie lässt sich der gesamte Materialfluss mathematisch durch eine einzige Operation zwischen den gegebenen Matrizen ausdrücken? - Prüfe vor der Rechnung, ob die Dimensionen der Matrizen eine Multiplikation erlauben. - Jedes Element der neuen Matrix berechnet sich aus dem Skalarprodukt einer Zeile der ersten Matrix und einer Spalte der zweiten Matrix.

1. Der Zusammenhang zwischen Rohstoffen und Endprodukten wird über die Multiplikation der Verflechtungsmatrizen berechnet: \(M_{RE} = M_{RZ} \cdot M_{ZE}\). 2. Berechnung der Elemente von \(M_{RE}\): - \(r_{11} = 5 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 15 + 4 = 19\) - \(r_{12} = 5 \cdot 7 + 2 \cdot 1 = 35 + 2 = 37\) - \(r_{21} = 3 \cdot 3 + 4 \cdot 2 = 9 + 8 = 17\) - \(r_{22} = 3 \cdot 7 + 4 \cdot 1 = 21 + 4 = 25\) - \(r_{31} = 1 \cdot 3 + 6 \cdot 2 = 3 + 12 = 15\) - \(r_{32} = 1 \cdot 7 + 6 \cdot 1 = 7 + 6 = 13\) 3. Zusammenfassen der Ergebnisse in der Matrix \(M_{RE}\): \[ M_{RE} = \begin{pmatrix} 19 & 37 \\ 17 & 25 \\ 15 & 13 \end{pmatrix} \]

Die Bedarfsmatrix \(M_{RE}\) lautet: \[ M_{RE} = \begin{pmatrix} 19 & 37 \\ 17 & 25 \\ 15 & 13 \end{pmatrix} \]

- Gehe bei der Multiplikation schrittweise vor: Das Element in der ersten Zeile und ersten Spalte des Ergebnisses entsteht aus der ersten Zeile der linken und der ersten Spalte der rechten Matrix. - Achte genau auf die Reihenfolge der Matrizen beim Multiplizieren. - Was bedeutet es für zwei Matrizen, gleich zu sein? - Ein Quadrat einer Matrix berechnest du, indem du die Matrix mit sich selbst multiplizierst.

1. Berechnung von \(A \cdot B\): \(\begin{pmatrix} 1 \cdot 4 + 2 \cdot 2 & 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 5 \\ 0 \cdot 4 + 3 \cdot 2 & 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 9 \\ 6 & 15 \end{pmatrix}\) 2. Berechnung von \(B \cdot A\): \(\begin{pmatrix} 4 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 & 4 \cdot 2 + (-1) \cdot 3 \\ 2 \cdot 1 + 5 \cdot 0 & 2 \cdot 2 + 5 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 19 \end{pmatrix}\) 3. Vergleich: Da \(\begin{pmatrix} 8 & 9 \\ 6 & 15 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 19 \end{pmatrix}\), gilt das Kommutativgesetz nicht. 4. Berechnung von \(A^2\): \(\begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 \\ 0 \cdot 1 + 3 \cdot 0 & 0 \cdot 2 + 3 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}\)

a) \(A \cdot B = \begin{pmatrix} 8 & 9 \\ 6 & 15 \end{pmatrix}\) und \(B \cdot A = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 19 \end{pmatrix}\) b) Das Kommutativgesetz gilt nicht, da \(A \cdot B \neq B \cdot A\). c) \(A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}\)

- Überlege dir beim Multiplizieren, wie die Einsen in der Matrix \(P\) die einzelnen Spalten von \(A\) „auswählen“. - Was passiert mit einem Vektor, wenn du ihn mit einer Matrix multiplizierst, die in jeder Zeile und Spalte genau eine 1 hat? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen Links- und Rechtsmultiplikation bei Matrizen. - Für Aufgabenteil c): Wie sieht eine Matrix aus, die bei Multiplikation gar nichts verändert? Wie müsstest du diese abändern?

1. Berechnung von \(A \cdot P\): Die erste Spalte des Ergebnisses entspricht der dritten Spalte von \(A\), die zweite Spalte von \(A \cdot P\) der ersten Spalte von \(A\) und die dritte Spalte des Ergebnisses der zweiten Spalte von \(A\). \(A \cdot P = \begin{pmatrix} 0 & 5 & -2 \\ 7 & 1 & 4 \\ 2 & -3 & 8 \\ -1 & 6 & 0 \end{pmatrix}\) 2. Analyse der Wirkung: Die Rechtsmultiplikation mit \(P\) bewirkt eine zyklische Vertauschung der Spalten. Konkret rückt jede Spalte eine Position nach rechts, und die letzte Spalte wird zur ersten. 3. Konstruktion von \(Q\): Da \(A\) vier Zeilen hat, muss \(Q\) eine \(4 \times 4\)-Matrix sein. Um Zeile 1 und 4 zu tauschen, muss in der ersten Zeile von \(Q\) an der vierten Stelle eine 1 stehen und in der vierten Zeile von \(Q\) an der ersten Stelle eine 1. Die Zeilen 2 und 3 entsprechen der Einheitsmatrix. \(Q = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

a) \(A \cdot P = \begin{pmatrix} 0 & 5 & -2 \\ 7 & 1 & 4 \\ 2 & -3 & 8 \\ -1 & 6 & 0 \end{pmatrix}\) b) Die Spalten werden zyklisch nach rechts verschoben (Spalte 1 \(\to\) 2, Spalte 2 \(\to\) 3, Spalte 3 \(\to\) 1). c) \(Q = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

- Überlege dir, wie du die Informationen aus der Tabelle in einer Matrix anordnen kannst. - Welche Dimension muss der Vektor mit den Bestellmengen haben, damit die Multiplikation möglich ist? - Erinnere dich an die Regel „Zeile mal Spalte“ bei der Matrizenrechnung. - Was bedeuten die einzelnen Zeilen im Ergebnisvektor für die Lösung der Aufgabe?

1. Aufstellen der Verbrauchsmatrix \(M\) (Zutaten pro Brot) und des Bestellvektors \(\vec{v}\) (Anzahl der Brote): \(M = \begin{pmatrix} 0{,}60 & 0{,}50 \\ 0{,}30 & 0{,}30 \\ 0{,}10 & 0{,}20 \end{pmatrix}\); \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 150 \\ 100 \end{pmatrix}\) 2. Berechnung des Gesamtbedarfs \(\vec{r}\) durch das Matrizenprodukt \(\vec{r} = M \cdot \vec{v}\): \(\vec{r} = \begin{pmatrix} 0{,}60 \cdot 150 + 0{,}50 \cdot 100 \\ 0{,}30 \cdot 150 + 0{,}30 \cdot 100 \\ 0{,}10 \cdot 150 + 0{,}20 \cdot 100 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 90 + 50 \\ 45 + 30 \\ 15 + 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 140 \\ 75 \\ 35 \end{pmatrix}\) 3. Die Komponenten des Ergebnisvektors entsprechen den Gesamtmengen der Zutaten in \(\text{kg}\).

Für den Auftrag werden \(140\,\text{kg}\) Mehl, \(75\,\text{kg}\) Wasser und \(35\,\text{kg}\) Körner benötigt.

- Welche Information gehört in die Zeilen und welche in die Spalten deiner Matrix, damit die Multiplikation mit dem Preisvektor Sinn ergibt? - Achte darauf, dass die Reihenfolge der Zutaten in der Matrix mit der Reihenfolge im Preisvektor übereinstimmt. - Wie berechnet man das Skalarprodukt einer Zeile mit einem Vektor?

1. Aufstellen der Matrix \(M\), wobei die Zeilen die Menüs und die Spalten die Zutaten (Reis, Gemüse, Protein) repräsentieren: \(M = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}4 & 0 \\ 0{,}15 & 0{,}2 & 0{,}15 \\ 0{,}1 & 0{,}3 & 0{,}25 \end{pmatrix}\) 2. Multiplikation der Matrix \(M\) mit dem Preisvektor \(\vec{p}\): \(M \cdot \vec{p} = \begin{pmatrix} 0{,}2 \cdot 2{,}00 + 0{,}4 \cdot 3{,}50 + 0 \cdot 14{,}00 \\ 0{,}15 \cdot 2{,}00 + 0{,}2 \cdot 3{,}50 + 0{,}15 \cdot 14{,}00 \\ 0{,}1 \cdot 2{,}00 + 0{,}3 \cdot 3{,}50 + 0{,}25 \cdot 14{,}00 \end{pmatrix}\) 3. Berechnung der Komponenten des Ergebnisvektors: - Veggie: \(0{,}40 + 1{,}40 + 0 = 1{,}80\) - Standard: \(0{,}30 + 0{,}70 + 2{,}10 = 3{,}10\) - Exklusiv: \(0{,}20 + 1{,}05 + 3{,}50 = 4{,}75\)

Die Materialkosten pro Portion betragen für das Menü „Veggie“ \(1{,}80\,\text{€}\), für das Menü „Standard“ \(3{,}10\,\text{€}\) und für das Menü „Exklusiv“ \(4{,}75\,\text{€}\).

- Erinnere dich an die Regel „Zeile mal Spalte“ für die Multiplikation von Matrizen. - Berechne jedes Element der Ergebnismatrix einzeln. - Vergleiche am Ende die entsprechenden Einträge der beiden Ergebnismatrizen.

1. Berechnung von \(A \cdot B\): \(\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 0 \cdot 1 & 2 \cdot 1 + 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + 5 \cdot 1 & 0 \cdot 1 + 5 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}\) 2. Berechnung von \(B \cdot A\): \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 1 \cdot 5 \\ 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 1 \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}\) 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 5 & 5 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}\), ist gezeigt, dass \(A \cdot B \neq B \cdot A\).

Es gilt \(A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 5 & 5 \end{pmatrix}\) und \(B \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}\). Da die Ergebnismatrizen nicht identisch sind, ist \(A \cdot B \neq B \cdot A\).

- Schau dir die Struktur des Ausdrucks genau an. Fällt dir eine Gemeinsamkeit bei den Summanden auf? - Gibt es ein Gesetz, mit dem man Matrizen ausklammern kann? - Addiere zuerst die Vektoren, bevor du die Matrixmultiplikation ausführst.

1. Anwendung des Distributivgesetzes für Matrizen und Vektoren: \(M \cdot \vec{v} + M \cdot \vec{w} = M \cdot (\vec{v} + \vec{w})\). 2. Berechnung der Summe der beiden Vektoren: \(\begin{pmatrix} 14 \\ 37 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 86 \\ 63 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 100 \\ 100 \end{pmatrix}\). 3. Multiplikation der Matrix mit dem Summenvektor: \(\begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}1 \\ 0{,}4 & 0{,}9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 100 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}6 \cdot 100 + 0{,}1 \cdot 100 \\ 0{,}4 \cdot 100 + 0{,}9 \cdot 100 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 60 + 10 \\ 40 + 90 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 70 \\ 130 \end{pmatrix}\).

\(\begin{pmatrix} 70 \\ 130 \end{pmatrix}\)

- Welche Zahl verändert bei der normalen Multiplikation den Wert nicht? Wie könnte eine entsprechende Matrix aufgebaut sein? - Erinnere dich an das Rechenschema „Zeile mal Spalte“. - Welche Voraussetzung muss für die Anzahl der Zeilen und Spalten erfüllt sein, damit man zwei Matrizen überhaupt multiplizieren darf?

1. Eine mögliche Wahl für \( X \) ist die \( 2 \times 2 \)-Einheitsmatrix \( E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \), denn damit gilt \(A \cdot X = A\). 2. Überprüfung von \( X \cdot A \): Die Rechnung \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 + 0 \cdot 4 & 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 3 + 1 \cdot 4 & 0 \cdot (-2) + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} \) ergibt die Matrix \( \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \), was exakt \( A \) entspricht. 3. Dimensionsprüfung: Die Matrix \( A \) ist vom Typ \( 2 \times 2 \), die Matrix \( E_3 \) vom Typ \( 3 \times 3 \). Das Produkt \( A \cdot E_3 \) ist nur definiert, wenn die Spaltenanzahl von \( A \) (hier 2) mit der Zeilenanzahl von \( E_3 \) (hier 3) übereinstimmt. Da \( 2 \neq 3 \), ist die Multiplikation nicht durchführbar. Analog ist \( E_3 \cdot A \) nicht definiert, da \( 3 \neq 2 \).

a) \( X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) b) Die Rechnung bestätigt \( X \cdot A = A \). c) Die Multiplikation ist aufgrund nicht passender Dimensionen (\( 2 \neq 3 \)) nicht definiert.

- Erinnere dich an das Verfahren „Zeile mal Spalte“ bei der Matrizenmultiplikation. - Achte beim Rechnen besonders auf die Vorzeichen. - Was ist das Besondere an einer Matrix, die auf der Hauptdiagonalen nur Einsen und sonst nur Nullen hat? - Wenn das Produkt zweier Matrizen ein ganz bestimmtes neutrales Element ergibt, wie nennt man diese Matrizen dann?

1. Berechnung von \( \mathbf{M} \cdot \mathbf{N} \): \( \begin{pmatrix} 5 \cdot 2 + 3 \cdot (-3) & 5 \cdot (-3) + 3 \cdot 5 \\ 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) & 3 \cdot (-3) + 2 \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10-9 & -15+15 \\ 6-6 & -9+10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \). 2. Berechnung von \( \mathbf{N} \cdot \mathbf{M} \): \( \begin{pmatrix} 2 \cdot 5 + (-3) \cdot 3 & 2 \cdot 3 + (-3) \cdot 2 \\ -3 \cdot 5 + 5 \cdot 3 & -3 \cdot 3 + 5 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10-9 & 6-6 \\ -15+15 & -9+10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \). 3. Feststellung: Beide Produkte ergeben die Einheitsmatrix \( \mathbf{E} \). 4. Schlussfolgerung: Da \( \mathbf{M} \cdot \mathbf{N} = \mathbf{N} \cdot \mathbf{M} = \mathbf{E} \) gilt, sind \( \mathbf{M} \) und \( \mathbf{N} \) zueinander inverse Matrizen.

a) \( \mathbf{M} \cdot \mathbf{N} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) und \( \mathbf{N} \cdot \mathbf{M} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \). b) Die Matrizen \( \mathbf{M} \) und \( \mathbf{N} \) sind zueinander invers.

- Was bedeuten die Zeilen und Spalten der Ergebnismatrix nach der Multiplikation mit dem Produktionsvektor? - Überlege dir, was passiert, wenn du zwei Matrizen addierst: Welche Informationen werden hier zusammengefasst? - Erinnere dich an das Distributivgesetz aus der Algebra. Wie lässt sich das auf Matrizen und Vektoren übertragen? - Hilft es dir, den Rechenweg in Worten zu beschreiben, um die Bedeutung der Summenmatrix zu verstehen?

1. Berechnung des Bedarfs für Werkstatt 1: \(M_1 \cdot \vec{p} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 40 + 5 \cdot 60 \\ 2 \cdot 40 + 1 \cdot 60 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 420 \\ 140 \end{pmatrix}\). Werkstatt 1 benötigt \(420\,\text{m}^2\) Holz und \(140\,\text{h}\) Arbeitszeit. 2. Berechnung des Bedarfs für Werkstatt 2: \(M_2 \cdot \vec{p} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 40 + 4 \cdot 60 \\ 1{,}5 \cdot 40 + 2 \cdot 60 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 320 \\ 180 \end{pmatrix}\). Werkstatt 2 benötigt \(320\,\text{m}^2\) Holz und \(180\,\text{h}\) Arbeitszeit. 3. Addition zum Gesamtbedarf: \(\begin{pmatrix} 420 \\ 140 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 320 \\ 180 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 740 \\ 320 \end{pmatrix}\). Insgesamt werden \(740\,\text{m}^2\) Holz und \(320\,\text{h}\) Arbeitszeit benötigt. 4. Berechnung der Summenmatrix: \(S = M_1 + M_2 = \begin{pmatrix} 3+2 & 5+4 \\ 2+1{,}5 & 1+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 9 \\ 3{,}5 & 3 \end{pmatrix}\). 5. Berechnung des Gesamtbedarfs mit \(S\): \(S \cdot \vec{p} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 40 + 9 \cdot 60 \\ 3{,}5 \cdot 40 + 3 \cdot 60 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 200 + 540 \\ 140 + 180 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 740 \\ 320 \end{pmatrix}\). 6. Bedeutung von \(S\): Die Matrix \(S\) gibt den kombinierten Ressourcenbedarf an, wenn in jeder Werkstatt jeweils ein Regal des betreffenden Typs gefertigt wird. Die Gleichung gilt, da es mathematisch keinen Unterschied macht, ob man die Ressourcenverbräuche der einzelnen Standorte addiert oder zuerst diesen kombinierten Bedarf ermittelt und anschließend mit den jeweiligen Stückzahlen multipliziert.

a) Werkstatt 1: \(420\,\text{m}^2\) Holz, \(140\,\text{h}\) Arbeit; Werkstatt 2: \(320\,\text{m}^2\) Holz, \(180\,\text{h}\) Arbeit. Gesamt: \(\begin{pmatrix} 740 \\ 320 \end{pmatrix}\). b) \(S = \begin{pmatrix} 5 & 9 \\ 3{,}5 & 3 \end{pmatrix}\); \(S \cdot \vec{p} = \begin{pmatrix} 740 \\ 320 \end{pmatrix}\). c) Die Matrix \(S\) stellt den kombinierten Ressourcenbedarf dar, wenn in beiden Werkstätten jeweils ein Regal des betreffenden Typs produziert wird. Die Gleichung spiegelt das Distributivgesetz wider: Der Gesamtaufwand ist die Summe der Einzelaufwände.

- Was bedeutet „neutral“ im Zusammenhang mit einer Rechenoperation wie der Addition? - Wie werden zwei Matrizen miteinander addiert? Erinnere dich an die komponentenweise Rechnung. - Welche Zahl ändert bei der Addition einen Wert nicht? - Überprüfe die Definition einer Übergangsmatrix: Welche Eigenschaft müssen die Spaltensummen erfüllen?

1. Aus der Bedingung \(M + N = M\) folgt für die einzelnen Komponenten: \(m_{ij} + n_{ij} = m_{ij}\). Durch Subtraktion von \(m_{ij}\) auf beiden Seiten ergibt sich \(n_{ij} = 0\) für alle Indizes. Somit ist \(N = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) die Nullmatrix. 2. Da die Addition von Matrizen komponentenweise definiert ist, existiert für jede Dimension \(m \times n\) eine Matrix, deren Einträge alle gleich der reellen Zahl 0 sind. Da 0 das neutrale Element der Addition in \(\mathbb{R}\) ist, gilt für jedes Element \(a_{ij}\) einer beliebigen Matrix \(A\): \(a_{ij} + 0 = a_{ij}\). Somit ist die Nullmatrix \(O_{m,n}\) stets das neutrale Element. 3. Eine Übergangsmatrix erfordert, dass die Summe der Einträge jeder Spalte 1 ist. Bei der Nullmatrix ist die Summe der Einträge jeder Spalte \(0 + 0 + \dots + 0 = 0\). Da \(0 \neq 1\), kann die neutrale Matrix der Addition niemals eine Übergangsmatrix sein.

1. \(N = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) 2. Die Existenz ist durch die komponentenweise Addition und das neutrale Element 0 der reellen Zahlen gegeben. 3. Nein, da die Spaltensummen der Nullmatrix 0 und nicht 1 sind.

- Was bedeutet es für die einzelnen Zahlen in einer Tabelle, wenn die gesamte Tabelle mit einem Faktor multipliziert wird? - Erinnere dich an die Rechenregeln für Zahlen. Warum dürfen wir beim Addieren die Reihenfolge vertauschen? - Addiere die Werte einer Spalte in der ursprünglichen Matrix und in der neuen Matrix. Was fällt dir auf? - Wie sind Matrizen aufgebaut? Sie bestehen aus vielen einzelnen Zahlen, für die du die Grundrechenarten bereits kennst.

1. Berechnung von \(M_{neu}\): Jeder Eintrag von \(M\) wird mit 2 multipliziert. \(M_{neu} = \begin{pmatrix} 1{,}4 & 0{,}4 \\ 0{,}6 & 1{,}6 \end{pmatrix}\). 2. Distributivgesetz prüfen: \(M + M = \begin{pmatrix} 1{,}4 & 0{,}4 \\ 0{,}6 & 1{,}6 \end{pmatrix}\). \(3 \cdot (M + M) = \begin{pmatrix} 4{,}2 & 1{,}2 \\ 1{,}8 & 4{,}8 \end{pmatrix}\). \(3 \cdot M = \begin{pmatrix} 2{,}1 & 0{,}6 \\ 0{,}9 & 2{,}4 \end{pmatrix}\). \(3 \cdot M + 3 \cdot M = \begin{pmatrix} 2{,}1+2{,}1 & 0{,}6+0{,}6 \\ 0{,}9+0{,}9 & 2{,}4+2{,}4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4{,}2 & 1{,}2 \\ 1{,}8 & 4{,}8 \end{pmatrix}\). Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis. 3. Begründung Kommutativgesetz: Die Addition von Matrizen erfolgt komponentenweise (\(a_{ij} + b_{ij}\)). Da für die reellen Zahlen das Kommutativgesetz gilt (\(a_{ij} + b_{ij} = b_{ij} + a_{ij}\)), gilt es auch für jeden Eintrag der Ergebnismatrix. 4. Interpretation \(M_{neu}\): Bei einer stochastischen Matrix muss die Summe der Einträge jeder Spalte genau \(1\) ergeben (\(100\,\%\)). Bei \(M_{neu}\) sind die Spaltensummen \(1{,}4 + 0{,}6 = 2{,}0\) und \(0{,}4 + 1{,}6 = 2{,}0\). Dies würde bedeuten, dass sich die Gesamtpopulation verdoppelt, anstatt nur verteilt zu werden.

a) \(M_{neu} = \begin{pmatrix} 1{,}4 & 0{,}4 \\ 0{,}6 & 1{,}6 \end{pmatrix}\) b) Beide Berechnungen ergeben \(\begin{pmatrix} 4{,}2 & 1{,}2 \\ 1{,}8 & 4{,}8 \end{pmatrix}\). c) Da die komponentenweise Addition auf der kommutativen Addition reeller Zahlen basiert, ist auch die Matrixaddition kommutativ. d) Die Spaltensummen sind größer als \(1\) (hier \(2\)), was bei realen Übergangswahrscheinlichkeiten unmöglich ist, da die Summe der Anteile \(100\,\%\) bzw. \(1\) nicht überschreiten darf.

- Überlege dir, welche Information in den Zeilen und welche in den Spalten der Matrix steht. - Wenn du die Summe über alle Standorte für ein bestimmtes Modell suchst, musst du die entsprechende Spalte addieren. - Für die Gesamtzahl pro Standort addiere die Werte entlang einer Zeile. - Bei gleichbleibenden Lieferungen über mehrere Zeiträume hilft die Multiplikation der Matrix mit einer Zahl. - Um Bestände oder Lieferungen verschiedener Zeiträume zusammenzuführen, nutzt man die komponentenweise Addition der Matrizen.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Schuhe des Typs „Trail“ durch Addition der Werte in der dritten Spalte: \(80 + 110 + 100 = 290\). 2. Berechnung der Zeilensummen zur Ermittlung des Zentrums mit der größten Liefermenge: West: \(120 + 150 + 80 + 200 = 550\); Süd: \(100 + 120 + 110 + 180 = 510\); Ost: \(90 + 130 + 100 + 150 = 470\). Das Zentrum West erhielt die meisten Schuhe. 3. Bestimmung der Matrix \(L_Q\) durch Multiplikation der Matrix \(L_A\) mit dem Skalar \(3\): \(L_Q = 3 \cdot L_A = \begin{pmatrix} 360 & 450 & 240 & 600 \\ 300 & 360 & 330 & 540 \\ 270 & 390 & 300 & 450 \end{pmatrix}\). 4. Berechnung der Gesamtlieferung für Juli und August durch Addition der Matrizen \(L_A\) und \(L_{Aug}\): \(L_{Ges} = L_A + L_{Aug} = \begin{pmatrix} 120+140 & 150+160 & 80+90 & 200+210 \\ 100+110 & 120+130 & 110+120 & 180+190 \\ 90+100 & 130+140 & 100+110 & 150+160 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 260 & 310 & 170 & 410 \\ 210 & 250 & 230 & 370 \\ 190 & 270 & 210 & 310 \end{pmatrix}\).

a) Es wurden insgesamt \(290\) Schuhe des Typs „Trail“ geliefert. Das Verteilzentrum West erhielt mit \(550\) Stück die meisten Schuhe. b) \(L_Q = \begin{pmatrix} 360 & 450 & 240 & 600 \\ 300 & 360 & 330 & 540 \\ 270 & 390 & 300 & 450 \end{pmatrix}\) c) \(L_{Ges} = \begin{pmatrix} 260 & 310 & 170 & 410 \\ 210 & 250 & 230 & 370 \\ 190 & 270 & 210 & 310 \end{pmatrix}\)

- Achte darauf, die Rechenoperationen für jede Position in der Matrix einzeln durchzuführen. - Bei der Subtraktion einer negativen Zahl musst du auf das Vorzeichen achten. - Du kannst Klammerausdrücke bei Matrizen wie in der normalen Algebra auflösen und zusammenfassen.

1. Durchführung der komponentenweisen Addition und Subtraktion: \( \mathbf{A} + \mathbf{B} - \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 4-2-1 & -1+5-2 & 2+0-(-3) \\ 0+1-(-2) & 3-4-0 & -5+2-4 \\ 1+3-0 & 2+0-1 & 1-1-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 3 & -1 & -7 \\ 4 & 1 & -5 \end{pmatrix} \) 2. Skalierung der Matrizen und anschließende Subtraktion: \( 2 \cdot \mathbf{A} - 3 \cdot \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 8-(-6) & -2-15 & 4-0 \\ 0-3 & 6-(-12) & -10-6 \\ 2-9 & 4-0 & 2-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & -17 & 4 \\ -3 & 18 & -16 \\ -7 & 4 & 5 \end{pmatrix} \) 3. Vereinfachung des Ausdrucks zu \( 2 \cdot \mathbf{A} + \mathbf{B} - 2 \cdot \mathbf{C} \) und Berechnung: \( \begin{pmatrix} 8-2-2 & -2+5-4 & 4+0+6 \\ 0+1+4 & 6-4-0 & -10+2-8 \\ 2+3-0 & 4+0-2 & 2-1-10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 10 \\ 5 & 2 & -16 \\ 5 & 2 & -9 \end{pmatrix} \)

a) \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 3 & -1 & -7 \\ 4 & 1 & -5 \end{pmatrix} \) b) \( \begin{pmatrix} 14 & -17 & 4 \\ -3 & 18 & -16 \\ -7 & 4 & 5 \end{pmatrix} \) c) \( \begin{pmatrix} 4 & -1 & 10 \\ 5 & 2 & -16 \\ 5 & 2 & -9 \end{pmatrix} \)

- Multipliziere jeden Eintrag der Matrix mit dem Skalar vor der Matrix. - Um eine Matrixgleichung zu lösen, kannst du sie wie eine normale lineare Gleichung umstellen. - Achte bei Dezimalzahlen besonders sorgfältig auf die Kommastellen.

1. Berechnung der Linearkombination durch Skalierung und Addition: \( 2 \cdot \mathbf{M} + 4 \cdot \mathbf{N} = \begin{pmatrix} 3-2 & -4+16 & 8+0 \\ 0+8 & 6{,}4-6{,}4 & -2+12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 12 & 8 \\ 8 & 0 & 10 \end{pmatrix} \) 2. Subtraktion der skalierten Matrix \( \mathbf{N} \) von \( \mathbf{M} \): \( \mathbf{M} - 0{,}5 \cdot \mathbf{N} = \begin{pmatrix} 1{,}5 - (-0{,}25) & -2-2 & 4-0 \\ 0-1 & 3{,}2 - (-0{,}8) & -1-1{,}5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}75 & -4 & 4 \\ -1 & 4 & -2{,}5 \end{pmatrix} \) 3. Umstellen der Gleichung nach \( \mathbf{X} = \mathbf{M} - 3 \cdot \mathbf{N} \) und komponentenweise Berechnung: \( \mathbf{X} = \begin{pmatrix} 1{,}5 - (-1{,}5) & -2-12 & 4-0 \\ 0-6 & 3{,}2 - (-4{,}8) & -1-9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -14 & 4 \\ -6 & 8 & -10 \end{pmatrix} \)

a) \( \begin{pmatrix} 1 & 12 & 8 \\ 8 & 0 & 10 \end{pmatrix} \) b) \( \begin{pmatrix} 1{,}75 & -4 & 4 \\ -1 & 4 & -2{,}5 \end{pmatrix} \) c) \( \mathbf{X} = \begin{pmatrix} 3 & -14 & 4 \\ -6 & 8 & -10 \end{pmatrix} \)

- Welche Information liefert dir der Typ \( 3 \times 4 \) über den Aufbau der Matrix? - Achte genau darauf, welche Zahl für die Zeile und welche für die Spalte steht, besonders wenn die Angaben unsortiert sind. - Es hilft, sich zuerst ein leeres Raster mit 3 Zeilen und 4 Spalten aufzuzeichnen. - Was bedeuten die Indizes im Kontext der Grundstoffe und Zwischenprodukte?

1. Festlegen des Matrixformats: Die Matrix \( A \) besitzt 3 Zeilen (für die Grundstoffe) und 4 Spalten (für die Zwischenprodukte). 2. Systematisches Eintragen der Werte \( a_{ij} \) (Zeile \( i \), Spalte \( j \)): Zeile 1: \( a_{11}=4, a_{12}=3, a_{13}=0, a_{14}=6 \) Zeile 2: \( a_{21}=0, a_{22}=5, a_{23}=8, a_{24}=2 \) Zeile 3: \( a_{31}=2, a_{32}=0, a_{33}=1, a_{34}=7 \) 3. Alle nicht genannten Positionen (\( a_{21}, a_{32}, a_{13} \)) werden mit \( 0 \) besetzt.

\( A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 0 & 6 \\ 0 & 5 & 8 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 7 \end{pmatrix} \)

- Was bedeutet es für die Entfernung, wenn du von einem Ort zu genau demselben Ort fährst? - Wenn der Weg von A nach B genauso lang ist wie von B nach A, was sagt das über die Einträge gegenüber der Hauptdiagonale aus? - Überlege dir, was die Einträge in einer Zeile gemeinsam haben (z. B. den Start- oder Zielpunkt).

1. Da die Entfernung innerhalb eines Standorts \( 0 \) ist, gilt für die Hauptdiagonale \( d_{ii} = 0 \). Aufgrund der Gleichheit von Hin- und Rückweg ist die Matrix symmetrisch (\( d_{ij} = d_{ji} \)). Durch Abgleich der gegebenen Werte ergibt sich: \( d_{11}=0, d_{13}=d_{31}=5{,}0, d_{15}=d_{51}=1{,}0 \) \( d_{21}=d_{12}=4{,}0, d_{22}=0, d_{24}=d_{42}=2{,}0 \) \( d_{32}=d_{23}=3{,}0, d_{33}=0, d_{35}=d_{53}=4{,}0 \) \( d_{41}=d_{14}=7{,}0, d_{43}=d_{34}=8{,}0, d_{44}=0, d_{45}=d_{54}=9{,}0 \) \( d_{52}=d_{25}=6{,}0, d_{55}=0 \) Die vollständige Matrix lautet: \( \mathbf{D} = \begin{pmatrix} 0 & 4{,}0 & 5{,}0 & 7{,}0 & 1{,}0 \\ 4{,}0 & 0 & 3{,}0 & 2{,}0 & 6{,}0 \\ 5{,}0 & 3{,}0 & 0 & 8{,}0 & 4{,}0 \\ 7{,}0 & 2{,}0 & 8{,}0 & 0 & 9{,}0 \\ 1{,}0 & 6{,}0 & 4{,}0 & 9{,}0 & 0 \end{pmatrix} \) 2. Die Matrix ist quadratisch (\( 5 \times 5 \)). Die Hauptdiagonale besteht nur aus Nullen. Die Matrix ist symmetrisch zur Hauptdiagonale (\( \mathbf{D} = \mathbf{D}^T \)). 3. Ein Zeilenvektor \( \vec{z}_i \) gibt alle Entfernungen an, die von einem festen Startstandort \( i \) zu allen anderen Standorten (einschließlich sich selbst) führen. Er beschreibt somit das „Entfernungsprofil“ eines Standorts zu den restlichen Zielen im Netz.

1. \( \mathbf{D} = \begin{pmatrix} 0 & 4{,}0 & 5{,}0 & 7{,}0 & 1{,}0 \\ 4{,}0 & 0 & 3{,}0 & 2{,}0 & 6{,}0 \\ 5{,}0 & 3{,}0 & 0 & 8{,}0 & 4{,}0 \\ 7{,}0 & 2{,}0 & 8{,}0 & 0 & 9{,}0 \\ 1{,}0 & 6{,}0 & 4{,}0 & 9{,}0 & 0 \end{pmatrix} \) 2. Die Matrix ist quadratisch, hat eine Null-Hauptdiagonale und ist symmetrisch. 3. Ein Zeilenvektor enthält alle Entfernungen von einem festen Startpunkt zu allen möglichen Zielpunkten.

- Was bedeutet Symmetrie für die Beziehung zwischen den Einträgen \(p_{12}\) und \(p_{21}\) sowie \(p_{32}\) und \(p_{23}\)? - Wie berechnet man die Zeilensumme einer Matrix? - Was muss für alle Paare von Einträgen gelten, die sich an der Hauptdiagonale gegenüberliegen?

1. Bestimmung von \(x\) und \(y\) durch Symmetriebedingung \(p_{ij} = p_{ji}\): \(p_{21} = p_{12} \implies x = 0{,}3\) \(p_{23} = p_{32} \implies y = 0{,}3\) 2. Überprüfung der stochastischen Eigenschaft durch Zeilensummen: Zeile 1: \(0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1{,}0\) Zeile 2: \(0{,}3 + 0{,}4 + 0{,}3 = 1{,}0\) Zeile 3: \(0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}5 = 1{,}0\) Alle Zeilensummen ergeben 1, die Matrix ist stochastisch. 3. Allgemeine Bedingung: Eine quadratische Matrix \(A\) ist symmetrisch, wenn für alle Indizes \(i\) und \(j\) gilt: \(a_{ij} = a_{ji}\). Dies entspricht der Eigenschaft \(A = A^T\).

a) \(x = 0{,}3\) und \(y = 0{,}3\) b) Ja, da alle Zeilensummen \(1{,}0\) ergeben. c) \(a_{ij} = a_{ji}\) für alle \(i, j\) (bzw. \(A = A^T\)).

- Wie stellst du die aktuelle Verteilung als mathematisches Objekt dar? - Welche Rechenoperation verknüpft die Übergangsmatrix mit dem Zustandsvektor? - Wie kannst du das Ergebnis der ersten Woche nutzen, um die Verteilung für die darauffolgende Woche zu finden? - Achte darauf, dass die Spaltensummen der Matrix und die Summe der Kunden im Vektor jeweils konstant bleiben sollten.

1. Die Kundenverteilung nach einer Woche wird durch das Produkt der Übergangsmatrix \(M\) mit dem Startvektor \(\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 10\,000 \\ 6000 \\ 4000 \end{pmatrix}\) berechnet: \(\vec{v}_1 = M \cdot \vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 0{,}8 \cdot 10\,000 + 0{,}1 \cdot 6000 + 0{,}05 \cdot 4000 \\ 0{,}1 \cdot 10\,000 + 0{,}7 \cdot 6000 + 0{,}15 \cdot 4000 \\ 0{,}1 \cdot 10\,000 + 0{,}2 \cdot 6000 + 0{,}8 \cdot 4000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8800 \\ 5800 \\ 5400 \end{pmatrix}\). Nach einer Woche hat Anbieter \(A\) \(8800\) Kunden, Anbieter \(B\) \(5800\) Kunden und Anbieter \(C\) \(5400\) Kunden. 2. Die Verteilung nach zwei Wochen ergibt sich aus \(\vec{v}_2 = M \cdot \vec{v}_1\): \(\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 0{,}8 \cdot 8800 + 0{,}1 \cdot 5800 + 0{,}05 \cdot 5400 \\ 0{,}1 \cdot 8800 + 0{,}7 \cdot 5800 + 0{,}15 \cdot 5400 \\ 0{,}1 \cdot 8800 + 0{,}2 \cdot 5800 + 0{,}8 \cdot 5400 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7890 \\ 5750 \\ 6360 \end{pmatrix}\). Nach zwei Wochen hat Anbieter \(A\) \(7890\) Kunden, Anbieter \(B\) \(5750\) Kunden und Anbieter \(C\) \(6360\) Kunden.

1. Nach einer Woche: \(A: 8800\), \(B: 5800\), \(C: 5400\). 2. Nach zwei Wochen: \(A: 7890\), \(B: 5750\), \(C: 6360\).

- In welcher Reihenfolge müssen die Matrizen multipliziert werden, um den direkten Weg von den Rohstoffen zu den Endprodukten zu erhalten? - Überlege, was die Zeilen und Spalten der Ergebnismatrix bedeuten. - Wie verknüpfst du den Bedarfsvektor der Endprodukte mit der berechneten Gesamtmatrix?

1. Die Gesamtmatrix \(M_{RE}\) berechnet sich durch die Matrizenmultiplikation der Teilmatrizen: \(M_{RE} = M_{RZ} \cdot M_{ZE} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 & 3 \cdot 5 + 1 \cdot 2 \\ 2 \cdot 2 + 4 \cdot 1 & 2 \cdot 5 + 4 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 17 \\ 8 & 18 \end{pmatrix}\). 2. Der Rohstoffbedarf \(\vec{r}\) für den Produktionsvektor \(\vec{e} = \begin{pmatrix} 50 \\ 30 \end{pmatrix}\) ergibt sich aus: \(\vec{r} = M_{RE} \cdot \vec{e} = \begin{pmatrix} 7 & 17 \\ 8 & 18 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 50 \\ 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \cdot 50 + 17 \cdot 30 \\ 8 \cdot 50 + 18 \cdot 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 350 + 510 \\ 400 + 540 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 860 \\ 940 \end{pmatrix}\). Es werden \(860\) Einheiten von \(R_1\) und \(940\) Einheiten von \(R_2\) benötigt.

1. \(M_{RE} = \begin{pmatrix} 7 & 17 \\ 8 & 18 \end{pmatrix}\) 2. Bedarf: \(860\) Einheiten \(R_1\) und \(940\) Einheiten \(R_2\).

- Wie stellst du eine Verteilung mathematisch als Vektor dar? - Wie berechnet man den nächsten Zustand in einem Prozess, wenn die Übergangsmatrix bekannt ist? - Achte darauf, dass die Summe der Fahrzeuge in jedem Schritt gleich bleiben muss. - Kannst du für Aufgabenteil c) das Ergebnis aus b) direkt weiterverwenden?

1. Bestimmung von \(\vec{v}_0\): Da \(1\,000\) Fahrzeuge gleichmäßig auf zwei Stationen verteilt sind, gilt \(\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 500 \\ 500 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung von \(\vec{v}_1 = M \cdot \vec{v}_0\): \(\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 0{,}8 \cdot 500 + 0{,}3 \cdot 500 \\ 0{,}2 \cdot 500 + 0{,}7 \cdot 500 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 400 + 150 \\ 100 + 350 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 550 \\ 450 \end{pmatrix}\). Nach einer Woche befinden sich \(550\) Fahrzeuge an Station \(A\) und \(450\) an Station \(B\). 3. Berechnung von \(\vec{v}_2 = M \cdot \vec{v}_1\): \(\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 0{,}8 \cdot 550 + 0{,}3 \cdot 450 \\ 0{,}2 \cdot 550 + 0{,}7 \cdot 450 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 440 + 135 \\ 110 + 315 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 575 \\ 425 \end{pmatrix}\). Nach zwei Wochen befinden sich \(575\) Fahrzeuge an Station \(A\) und \(425\) an Station \(B\).

a) \(\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 500 \\ 500 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 550 \\ 450 \end{pmatrix}\) c) \(\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 575 \\ 425 \end{pmatrix}\)

- Überlege dir, wie du die Informationen aus der Tabelle in eine Matrixform bringen kannst, damit die Spalten der einen Matrix zu den Zeilen der anderen passen. - Welche mathematische Operation verknüpft den Bedarf pro Stück mit der Anzahl der bestellten Stücke? - Achte beim Multiplizieren darauf, dass du „Zeile mal Spalte“ rechnest. - Was bedeuten die Zeilen und Spalten in deiner Ergebnismatrix?

1. Aufstellen der Auftragsmatrix \(M_{TK}\) aus der Tabelle: \[ M_{TK} = \begin{pmatrix} 10 & 5 \\ 40 & 20 \\ 15 & 10 \end{pmatrix} \] 2. Berechnung des Gesamtbedarfs durch Matrixmultiplikation \(M_{MK} = M_{MT} \cdot M_{TK}\): - Zeile 1 (Holzplatten): Kunde 1: \(8 \cdot 10 + 5 \cdot 40 + 4 \cdot 15 = 80 + 200 + 60 = 340\) Kunde 2: \(8 \cdot 5 + 5 \cdot 20 + 4 \cdot 10 = 40 + 100 + 40 = 180\) - Zeile 2 (Schrauben): Kunde 1: \(24 \cdot 10 + 16 \cdot 40 + 12 \cdot 15 = 240 + 640 + 180 = 1060\) Kunde 2: \(24 \cdot 5 + 16 \cdot 20 + 12 \cdot 10 = 120 + 320 + 120 = 560\) - Zeile 3 (Scharniere): Kunde 1: \(2 \cdot 10 + 0 \cdot 40 + 4 \cdot 15 = 20 + 0 + 60 = 80\) Kunde 2: \(2 \cdot 5 + 0 \cdot 20 + 4 \cdot 10 = 10 + 0 + 40 = 50\) 3. Ergebnismatrix \(M_{MK}\) (Bauteile pro Kunde): \[ M_{MK} = \begin{pmatrix} 340 & 180 \\ 1060 & 560 \\ 80 & 50 \end{pmatrix} \]

Die Ergebnismatrix für den Bauteilbedarf der Kunden 1 und 2 lautet: \[ M_{MK} = \begin{pmatrix} 340 & 180 \\ 1060 & 560 \\ 80 & 50 \end{pmatrix} \] Kunde 1 benötigt somit \(340\) Holzplatten, \(1060\) Schrauben und \(80\) Scharniere. Kunde 2 benötigt \(180\) Holzplatten, \(560\) Schrauben und \(50\) Scharniere.

- Überprüfe zuerst die Dimensionen der Matrizen (Zeilen \(\times\) Spalten). - Wann ist die Multiplikation zweier Matrizen überhaupt erlaubt? - Erinnere dich an die Regel „Zeile mal Spalte“. - Prüfe systematisch alle Kombinationen, auch die Multiplikation einer Matrix mit sich selbst.

Um festzustellen, welche Produkte definiert sind, werden die Dimensionen verglichen: \(M\) ist eine \(2 \times 2\)-Matrix, \(N\) eine \(2 \times 3\)-Matrix und \(P\) eine \(3 \times 1\)-Matrix. Ein Produkt \(A \cdot B\) ist definiert, wenn die Spaltenanzahl von \(A\) der Zeilenanzahl von \(B\) entspricht. 1. \(M \cdot N\) (\(2 \times 2 \cdot 2 \times 3\)) ist definiert: \(\begin{pmatrix} 3 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) & 3 \cdot 0 + (-1) \cdot 3 & 3 \cdot 5 + (-1) \cdot 1 \\ 2 \cdot 1 + 4 \cdot (-2) & 2 \cdot 0 + 4 \cdot 3 & 2 \cdot 5 + 4 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -3 & 14 \\ -6 & 12 & 14 \end{pmatrix}\) 2. \(N \cdot P\) (\(2 \times 3 \cdot 3 \times 1\)) ist definiert: \(\begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 0 \cdot (-3) + 5 \cdot 0 \\ -2 \cdot 2 + 3 \cdot (-3) + 1 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -13 \end{pmatrix}\) 3. \(M \cdot M\) (\(2 \times 2 \cdot 2 \times 2\)) ist definiert: \(\begin{pmatrix} 3 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 & 3 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 \\ 2 \cdot 3 + 4 \cdot 2 & 2 \cdot (-1) + 4 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -7 \\ 14 & 14 \end{pmatrix}\) Die übrigen Produkte \(M \cdot P\), \(N \cdot M\), \(N \cdot N\), \(P \cdot M\), \(P \cdot N\) und \(P \cdot P\) sind aufgrund inkompatibler Dimensionen nicht definiert.

Die definierten Produkte sind: \(M \cdot N = \begin{pmatrix} 5 & -3 & 14 \\ -6 & 12 & 14 \end{pmatrix}\) \(N \cdot P = \begin{pmatrix} 2 \\ -13 \end{pmatrix}\) \(M \cdot M = \begin{pmatrix} 7 & -7 \\ 14 & 14 \end{pmatrix}\)

- Stelle zuerst die beiden Matrizen so auf, dass die Spalten der ersten Matrix den Zeilen der zweiten Matrix entsprechen. - Bei der Multiplikation zweier Matrizen erhältst du wieder eine Matrix. Was sagen die Spalten dieser neuen Matrix aus? - Achte darauf, welche Information in den Zeilen und welche in den Spalten der Ergebnismatrix steht.

1. Definition der Bedarfsmatrix \(A\) (Bauteile pro Gerät) und der Bestellmatrix \(B\) (Geräte pro Filiale): \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}\); \(B = \begin{pmatrix} 50 & 40 \\ 30 & 60 \end{pmatrix}\) 2. Berechnung der Ergebnismatrix \(C = A \cdot B\): \(C = \begin{pmatrix} 1 \cdot 50 + 1 \cdot 30 & 1 \cdot 40 + 1 \cdot 60 \\ 3 \cdot 50 + 2 \cdot 30 & 3 \cdot 40 + 2 \cdot 60 \\ 5 \cdot 50 + 4 \cdot 30 & 5 \cdot 40 + 4 \cdot 60 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 80 & 100 \\ 210 & 240 \\ 370 & 440 \end{pmatrix}\) 3. Interpretation: Die Spalten der Matrix \(C\) geben den Bedarf der jeweiligen Filiale an.

Filiale 1 benötigt 80 Gehäuse, 210 Platinen und 370 Kabel. Filiale 2 benötigt 100 Gehäuse, 240 Platinen und 440 Kabel.

- Überlege dir, wie die Dimensionen der Matrizen zusammenpassen müssen, damit man sie multiplizieren kann. - Was bedeutet ein einzelner Eintrag in der Ergebnismatrix im Sachkontext? - Die Zeilen der ersten Matrix bestimmen die Zeilen des Ergebnisses (Rohstoffe), die Spalten der zweiten Matrix bestimmen die Spalten des Ergebnisses (Kunden).

1. Aufstellen der Bestellmatrix \(B\) (Spalten entsprechen den Möbelhäusern, Zeilen den Regaltypen): \(B = \begin{pmatrix} 10 & 8 \\ 5 & 12 \end{pmatrix}\) 2. Berechnung der Gesamtbedarfsmatrix \(C = A \cdot B\): \(C = \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 20 & 32 \\ 4 & 10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 & 8 \\ 5 & 12 \end{pmatrix}\) 3. Berechnung der einzelnen Einträge von \(C\): - Bretter: \(c_{11} = 5 \cdot 10 + 8 \cdot 5 = 90\); \(c_{12} = 5 \cdot 8 + 8 \cdot 12 = 136\) - Schrauben: \(c_{21} = 20 \cdot 10 + 32 \cdot 5 = 360\); \(c_{22} = 20 \cdot 8 + 32 \cdot 12 = 544\) - Halterungen: \(c_{31} = 4 \cdot 10 + 10 \cdot 5 = 90\); \(c_{32} = 4 \cdot 8 + 10 \cdot 12 = 152\) 4. Die Ergebnismatrix \(C = \begin{pmatrix} 90 & 136 \\ 360 & 544 \\ 90 & 152 \end{pmatrix}\) zeigt den Rohstoffbedarf pro Möbelhaus.

a) \(B = \begin{pmatrix} 10 & 8 \\ 5 & 12 \end{pmatrix}\) b) Für Möbelhaus 1 werden \(90\) Bretter, \(360\) Schrauben und \(90\) Halterungen benötigt. Für Möbelhaus 2 werden \(136\) Bretter, \(544\) Schrauben und \(152\) Halterungen benötigt.

- Was bedeutet es mathematisch, wenn die Reihenfolge zweier Prozesse eine Rolle spielt? - Gehe beim Multiplizieren der Dezimalzahlen sorgfältig vor oder wandle sie bei Bedarf in Brüche um. - Achte darauf, welche Matrix links und welche rechts steht, da dies bei der Matrizenmultiplikation entscheidend ist.

1. Berechnung des Produkts \(M \cdot N\): \(\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}4 \\ 0{,}2 & 0{,}6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0 \\ 0{,}5 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}8 \cdot 0{,}5 + 0{,}4 \cdot 0{,}5 & 0{,}8 \cdot 0 + 0{,}4 \cdot 1 \\ 0{,}2 \cdot 0{,}5 + 0{,}6 \cdot 0{,}5 & 0{,}2 \cdot 0 + 0{,}6 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}\) 2. Berechnung des Produkts \(N \cdot M\): \(\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0 \\ 0{,}5 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}4 \\ 0{,}2 & 0{,}6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}5 \cdot 0{,}8 + 0 \cdot 0{,}2 & 0{,}5 \cdot 0{,}4 + 0 \cdot 0{,}6 \\ 0{,}5 \cdot 0{,}8 + 1 \cdot 0{,}2 & 0{,}5 \cdot 0{,}4 + 1 \cdot 0{,}6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}2 \\ 0{,}6 & 0{,}8 \end{pmatrix}\) 3. Vergleich der Matrizen: Die Matrizen \(M \cdot N\) und \(N \cdot M\) sind verschieden, somit hat die Reihenfolge einen Einfluss auf das Gesamtergebnis.

Die Berechnung ergibt \(M \cdot N = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}\) und \(N \cdot M = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}2 \\ 0{,}6 & 0{,}8 \end{pmatrix}\). Da \(M \cdot N \neq N \cdot M\), beeinflusst die Reihenfolge der Prozesse das Gesamtergebnis.

- Überlege dir für den ersten Weg, welche Dimension die Matrix haben muss, die den Nährstoffgehalt pro Gericht angibt. - Achte beim zweiten Weg darauf, dass du zuerst die Gesamtmenge der Zutaten für alle Gerichte eines Wochenplans zusammenfasst. - Prüfe vor jeder Multiplikation, ob die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt. - Was bedeuten die Zeilen und Spalten der Ergebnismatrix im Sachkontext?

1. Berechnung über den Nährstoffgehalt pro Gericht: Zuerst wird das Produkt \(M = A \cdot B\) gebildet. Es ergibt sich \(M = \begin{pmatrix} 12 \cdot 2 + 15 \cdot 1 + 10 \cdot 3 & 12 \cdot 1 + 15 \cdot 2 + 10 \cdot 1 \\ 8 \cdot 2 + 5 \cdot 1 + 14 \cdot 3 & 8 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 14 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 69 & 52 \\ 63 & 32 \end{pmatrix}\). Anschließend wird der Gesamtbedarf durch \(T = M \cdot C\) berechnet: \(T = \begin{pmatrix} 69 \cdot 100 + 52 \cdot 40 & 69 \cdot 50 + 52 \cdot 120 & 69 \cdot 80 + 52 \cdot 60 \\ 63 \cdot 100 + 32 \cdot 40 & 63 \cdot 50 + 32 \cdot 120 & 63 \cdot 80 + 32 \cdot 60 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8980 & 9690 & 8640 \\ 7580 & 6990 & 6960 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung über den Zutatenbedarf: Zuerst wird das Produkt \(Z = B \cdot C\) gebildet. Es ergibt sich \(Z = \begin{pmatrix} 240 & 220 & 220 \\ 180 & 290 & 200 \\ 340 & 270 & 300 \end{pmatrix}\). Der Nährstoffbedarf folgt aus \(T = A \cdot Z = \begin{pmatrix} 12 \cdot 240 + 15 \cdot 180 + 10 \cdot 340 & \dots \\ \dots & \dots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8980 & 9690 & 8640 \\ 7580 & 6990 & 6960 \end{pmatrix}\). Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis, was das Assoziativgesetz \((A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)\) bestätigt.

Der Gesamtnährstoffbedarf für die Wochenpläne \(W_1, W_2\) und \(W_3\) beträgt: Für \(N_1\): \(8980\) Einheiten (\(W_1\)), \(9690\) Einheiten (\(W_2\)), \(8640\) Einheiten (\(W_3\)). Für \(N_2\): \(7580\) Einheiten (\(W_1\)), \(6990\) Einheiten (\(W_2\)), \(6960\) Einheiten (\(W_3\)). Die Ergebnismatrix lautet: \(\begin{pmatrix} 8980 & 9690 & 8640 \\ 7580 & 6990 & 6960 \end{pmatrix}\).

- Welche Information erhältst du, wenn du die Bestellmatrizen beider Wochen addierst? - Was bedeutet das Ergebnis einer Multiplikation von Ressourcenmatrix und Bestellmatrix im Sachkontext? - Wie kannst du die Gesamtkosten berechnen, wenn du zuerst die Kosten für jede Woche einzeln ermittelst? - Vergleiche die beiden Rechenwege: In welcher Reihenfolge führst du Addition und Multiplikation jeweils aus?

1. Aufstellen der Matrizen: \(R = \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 12 & 15 \end{pmatrix}\), \(B_1 = \begin{pmatrix} 40 & 25 & 30 \\ 20 & 30 & 10 \end{pmatrix}\) und \(B_2 = \begin{pmatrix} 20 & 35 & 10 \\ 15 & 20 & 25 \end{pmatrix}\). 2. Erster Rechenweg: Addition der Bestellungen \(B_{ges} = B_1 + B_2 = \begin{pmatrix} 60 & 60 & 40 \\ 35 & 50 & 35 \end{pmatrix}\). Anschließend Multiplikation mit der Ressourcenmatrix: \(R \cdot B_{ges} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 60 + 8 \cdot 35 & 5 \cdot 60 + 8 \cdot 50 & 5 \cdot 40 + 8 \cdot 35 \\ 12 \cdot 60 + 15 \cdot 35 & 12 \cdot 60 + 15 \cdot 50 & 12 \cdot 40 + 15 \cdot 35 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 580 & 700 & 480 \\ 1245 & 1470 & 1005 \end{pmatrix}\). 3. Zweiter Rechenweg: Einzelne Berechnung der Ressourcen pro Woche und anschließende Addition: \(R \cdot B_1 + R \cdot B_2\). \(R \cdot B_1 = \begin{pmatrix} 360 & 365 & 230 \\ 780 & 750 & 510 \end{pmatrix}\), \(R \cdot B_2 = \begin{pmatrix} 220 & 335 & 250 \\ 465 & 720 & 495 \end{pmatrix}\). Summe: \(\begin{pmatrix} 580 & 700 & 480 \\ 1245 & 1470 & 1005 \end{pmatrix}\). 4. Die Ergebnisse zeigen, dass die Materialkosten für Firma X \(580\,\text{€}\), für Firma Y \(700\,\text{€}\) und für Firma Z \(480\,\text{€}\) betragen. Der Zeitaufwand liegt bei \(1\,245\), \(1\,470\) bzw. \(1\,005\) Minuten. 5. Das zugrunde liegende Gesetz ist das Distributivgesetz für Matrizen: \(A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C\).

Die Gesamtkosten und der Zeitaufwand pro Kunde ergeben sich aus der Matrix \(G = \begin{pmatrix} 580 & 700 & 480 \\ 1245 & 1470 & 1005 \end{pmatrix}\). Firma X: \(580\,\text{€}\) Material, \(1\,245\,\text{min}\) Zeit. Firma Y: \(700\,\text{€}\) Material, \(1\,470\,\text{min}\) Zeit. Firma Z: \(480\,\text{€}\) Material, \(1\,005\,\text{min}\) Zeit. Das Rechengesetz lautet: \(R \cdot (B_1 + B_2) = R \cdot B_1 + R \cdot B_2\) (Links-Distributivgesetz).

- Überlege dir, was die Einträge in der Ergebnismatrix bedeuten müssen, damit sie den Gesamtbedarf pro Möbelhaus angeben. - Wie kannst du die Matrizen \(Q_1\) und \(Q_2\) kombinieren, bevor du den Materialverbrauch berechnest? - Welche Operationen (Addition, Multiplikation) sind nötig, um den Materialbedarf für ein einzelnes Möbelhaus in einem Quartal zu bestimmen? - Was fällt dir auf, wenn du die Ergebnisse der beiden Rechenwege vergleichst?

1. Identifikation der Matrizen: \(V = \begin{pmatrix} 2 & 1{,}5 \\ 12 & 8 \end{pmatrix}\) sowie \(Q_1\) und \(Q_2\). 2. Weg 1: Berechnung der Gesamtliefermengen \(Q_{ges} = Q_1 + Q_2 = \begin{pmatrix} 150 & 250 & 150 \\ 100 & 100 & 150 \end{pmatrix}\). Multiplikation \(V \cdot Q_{ges} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 150 + 1{,}5 \cdot 100 & 2 \cdot 250 + 1{,}5 \cdot 100 & 2 \cdot 150 + 1{,}5 \cdot 150 \\ 12 \cdot 150 + 8 \cdot 100 & 12 \cdot 250 + 8 \cdot 100 & 12 \cdot 150 + 8 \cdot 150 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 450 & 650 & 525 \\ 2600 & 3800 & 3000 \end{pmatrix}\). 3. Weg 2: Berechnung des Bedarfs pro Quartal: \(V \cdot Q_1 = \begin{pmatrix} 290 & 360 & 340 \\ 1680 & 2120 & 1920 \end{pmatrix}\) und \(V \cdot Q_2 = \begin{pmatrix} 160 & 290 & 185 \\ 920 & 1680 & 1080 \end{pmatrix}\). Addition der Ergebnisse: \(\begin{pmatrix} 450 & 650 & 525 \\ 2600 & 3800 & 3000 \end{pmatrix}\). 4. Die Ergebnisse pro Möbelhaus (A, B, C) für Holz (\(\text{m}^2\)) und Schrauben (Stück) sind identisch. 5. Das illustrierte Gesetz ist das Distributivgesetz der Matrizenmultiplikation über die Matrizenaddition: \(V \cdot (Q_1 + Q_2) = V \cdot Q_1 + V \cdot Q_2\).

Gesamtbedarf pro Möbelhaus: Möbelhaus A: \(450\,\text{m}^2\) Holz, \(2\,600\) Schrauben. Möbelhaus B: \(650\,\text{m}^2\) Holz, \(3\,800\) Schrauben. Möbelhaus C: \(525\,\text{m}^2\) Holz, \(3\,000\) Schrauben. Gesetz: \(V \cdot (Q_1 + Q_2) = V \cdot Q_1 + V \cdot Q_2\) (Distributivgesetz).

- Haben beide Terme denselben Vektor als Faktor? - Überlege, ob du den Vektor „ausklammern“ kannst, indem du die Matrizen zuerst subtrahierst. - Eine Matrix, die nur Einträge auf der Hauptdiagonale hat, vereinfacht die Rechnung erheblich.

1. Nutzung des Distributivgesetzes in der Form \(A \cdot \vec{x} - B \cdot \vec{x} = (A - B) \cdot \vec{x}\). 2. Berechnung der Differenzmatrix: \(\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}4 \\ 0{,}2 & 0{,}6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0{,}3 & 0{,}4 \\ 0{,}2 & 0{,}1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0 \\ 0 & 0{,}5 \end{pmatrix}\). 3. Multiplikation der Differenzmatrix mit dem Vektor: \(\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0 \\ 0 & 0{,}5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 12 \\ 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}5 \cdot 12 \\ 0{,}5 \cdot 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}\).

\(\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}\)

- Was passiert mit einem Vektor oder einer Matrix, wenn du sie mit einer Matrix multiplizierst, die nur Einsen auf der Hauptdiagonalen hat? - Überlege dir, was die Einträge \( 1 \) und \( 0 \) in einer Übergangsmatrix für die Wanderung zwischen Zuständen bedeuten. - Nutze Variablen für die Einträge einer allgemeinen Matrix, um die Gleichheit der Produkte nachzuweisen.

1. Berechnung von \( M_{\text{ges}} \): Da \( M_2 \) die Einheitsmatrix \( E \) ist, gilt \( M_{\text{ges}} = M_2 \cdot M_1 = E \cdot M_1 = M_1 = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}4 \\ 0{,}3 & 0{,}6 \end{pmatrix} \). 2. Interpretation: Die Einheitsmatrix als Übergangsmatrix bedeutet, dass kein Austausch zwischen den Zuständen stattfindet. Jeder Zustand bleibt zu \( 100\,\% \) bei sich selbst erhalten; es liegt ein stationärer Übergang ohne Änderung der Verteilung vor. 3. Allgemeiner Beweis: \( M \cdot E = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \cdot 1 + b \cdot 0 & a \cdot 0 + b \cdot 1 \\ c \cdot 1 + d \cdot 0 & c \cdot 0 + d \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \). \( E \cdot M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot a + 0 \cdot c & 1 \cdot b + 0 \cdot d \\ 0 \cdot a + 1 \cdot c & 0 \cdot b + 1 \cdot d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \). Da beide Rechenwege dieselbe Matrix \( M \) ergeben, ist gezeigt, dass \(E\) mit \(M\) kommutiert.

a) \( M_{\text{ges}} = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}4 \\ 0{,}3 & 0{,}6 \end{pmatrix} \) b) Die Matrix \( M_2 \) bewirkt keine Änderung der Zustände (Identität). c) Es gilt \(M \cdot E = M\) und \(E \cdot M = M\); daher kommutiert \(E\) mit \(M\).

- Wie muss das Ergebnis einer Matrixmultiplikation aussehen, damit man von einer inversen Matrix spricht? - Multipliziere die beiden Matrizen schrittweise nach der Regel „Zeile mal Spalte“. - Wie sieht die \( 3 \times 3 \)-Einheitsmatrix aus? - Reicht es aus, nur ein Produkt zu berechnen, um die Inversität bei quadratischen Matrizen zu bestätigen?

1. Durchführung der Matrixmultiplikation \( \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \): \( c_{11} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 1 \) \( c_{12} = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0 \) \( c_{13} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 = 0 \) \( c_{21} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0 \) \( c_{22} = 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 1 \) \( c_{23} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 0 \) \( c_{31} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0 \) \( c_{32} = 0 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0 \) \( c_{33} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 1 \) 2. Resultat des Produkts: \( \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \mathbf{E} \). 3. Da \(\mathbf{A}\) und \(\mathbf{B}\) quadratisch sind und das Produkt die Einheitsmatrix \( \mathbf{E} \) ergibt, ist \( \mathbf{B} \) die inverse Matrix zu \( \mathbf{A} \).

Ja, \( \mathbf{B} \) ist die inverse Matrix zu \( \mathbf{A} \), da das Produkt \( \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \) die Einheitsmatrix \( \mathbf{E} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) ergibt.

- Was bedeuten die Einträge in der Summenmatrix \(G_1 + G_2\)? - Wie hängen die Verkaufszahlen in den beiden Halbjahren zusammen? - Warum ist es sinnvoll, die Matrizen zu addieren, bevor man sie mit dem Vektor multipliziert? - Überprüfe, ob die Einheiten (Gewinn in € pro Zeitschrift) nach der Multiplikation mit der Anzahl der Zeitschriften einen sinnvollen Gesamtwert ergeben.

1. Berechnung des Gewinns für das 1. Halbjahr: \(G_1 \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} 1{,}20 \cdot 10\,000 + 1{,}50 \cdot 8\,000 \\ 1{,}10 \cdot 10\,000 + 1{,}40 \cdot 8\,000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12\,000 + 12\,000 \\ 11\,000 + 11\,200 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24\,000 \\ 22\,200 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Gewinns für das 2. Halbjahr: \(G_2 \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} 1{,}30 \cdot 10\,000 + 1{,}60 \cdot 8\,000 \\ 1{,}00 \cdot 10\,000 + 1{,}50 \cdot 8\,000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13\,000 + 12\,800 \\ 10\,000 + 12\,000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\,800 \\ 22\,000 \end{pmatrix}\). 3. Summe der Einzelgewinne: \(\begin{pmatrix} 24\,000 \\ 22\,200 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 25\,800 \\ 22\,000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 49\,800 \\ 44\,200 \end{pmatrix}\). 4. Berechnung der Jahresgewinn-Matrix: \(G_{\text{Jahr}} = G_1 + G_2 = \begin{pmatrix} 1{,}20+1{,}30 & 1{,}50+1{,}60 \\ 1{,}10+1{,}00 & 1{,}40+1{,}50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2{,}50 & 3{,}10 \\ 2{,}10 & 2{,}90 \end{pmatrix}\). 5. Berechnung des Gesamtgewinns mit der Jahresmatrix: \(G_{\text{Jahr}} \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} 2{,}50 \cdot 10\,000 + 3{,}10 \cdot 8\,000 \\ 2{,}10 \cdot 10\,000 + 2{,}90 \cdot 8\,000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\,000 + 24\,800 \\ 21\,000 + 23\,200 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 49\,800 \\ 44\,200 \end{pmatrix}\). 6. Interpretation: Da die Verkaufszahlen in beiden Halbjahren identisch sind, fasst \(G_{\text{Jahr}}\) für jede Region und Zeitschrift die Gewinnmargen für je ein im ersten und ein im zweiten Halbjahr verkauftes Exemplar zusammen. Das Distributivgesetz zeigt, dass der Gesamtgewinn entweder durch Addition der halbjährlichen Gewinne oder durch Multiplikation dieser aufsummierten Margen mit den identischen Verkaufszahlen berechnet werden kann.

Der Gesamtgewinn beträgt \(49\,800\,\text{€}\) in Region \(R_1\) und \(44\,200\,\text{€}\) in Region \(R_2\). Die Rechnung \((G_1 + G_2) \cdot \vec{v}\) liefert dasselbe Ergebnis wie \(G_1 \cdot \vec{v} + G_2 \cdot \vec{v}\). Die Matrix \(G_{\text{Jahr}} = \begin{pmatrix} 2{,}50 & 3{,}10 \\ 2{,}10 & 2{,}90 \end{pmatrix}\) enthält für jede Zeitschrift und Region die Summe der Gewinnmargen für je ein Exemplar im ersten und ein Exemplar im zweiten Halbjahr.

- Erinnere dich daran, dass die Matrix, die bei der Addition nichts verändert, die Nullmatrix ist. - Führe die Matrixmultiplikation „Zeile mal Spalte“ durch, um das Produkt zu berechnen. - Überlege dir für den Vergleich, was es für die Bestandszahlen in einem Vektor bedeutet, wenn man sie mit 1 oder mit 0 multipliziert. - Was passiert mit einem Vektor, wenn er mit der Einheitsmatrix multipliziert wird?

1. Die Gleichung \(A + Z = A\) führt komponentenweise auf \(a_{ij} + z_{ij} = a_{ij}\), woraus \(z_{ij} = 0\) für alle \(i, j\) folgt. Somit ist \(Z = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) die Nullmatrix. 2. Die Multiplikation \(A \cdot Z\) ergibt \(\begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}4 \\ 0{,}3 & 0{,}6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\). Da \(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}4 \\ 0{,}3 & 0{,}6 \end{pmatrix}\), ist \(A \cdot Z \neq A\). 3. Wenn \(M = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\), gilt \(v_{n+1} = I \cdot v_n = v_n\). Das bedeutet, der Zustand ändert sich nicht (Stagnation). Wenn \(M = Z = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\), gilt \(v_{n+1} = Z \cdot v_n = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Dies entspräche einem totalen Kollaps des Systems, bei dem nach einem Schritt kein Bestand mehr vorhanden ist.

1. \(Z = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) 2. \(A \cdot Z = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq A\) 3. Bei \(M=I\) bleibt der Zustand gleich (\(v_{n+1}=v_n\)); bei \(M=Z\) wird der Zustand sofort zum Nullvektor (\(v_{n+1}=0\)).

- Woran erkennst du an einem Ergebnis, dass zwei Matrizen invers zueinander sind? - Wie hängen der aktuelle Zustand, der Folgezustand und die Übergangsmatrix mathematisch zusammen? - Welche Operation kehrt einen Multiplikationsschritt mit einer Matrix um?

1. Berechnung des Produkts \(M \cdot A\): \(\begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}2 \\ 0{,}4 & 0{,}8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -0{,}5 \\ -1 & 1{,}5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}6 \cdot 2 + 0{,}2 \cdot (-1) & 0{,}6 \cdot (-0{,}5) + 0{,}2 \cdot 1{,}5 \\ 0{,}4 \cdot 2 + 0{,}8 \cdot (-1) & 0{,}4 \cdot (-0{,}5) + 0{,}8 \cdot 1{,}5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\). Ergebnis: Da das Produkt die Einheitsmatrix \(I_2\) ergibt, ist \(A = M^{-1}\). 2. Berechnung des Anfangszustands \(\vec{v}_0\) mittels der inversen Matrix: \(\vec{v}_0 = M^{-1} \cdot \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 & -0{,}5 \\ -1 & 1{,}5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 40 \\ 60 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 40 - 0{,}5 \cdot 60 \\ -1 \cdot 40 + 1{,}5 \cdot 60 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50 \\ 50 \end{pmatrix}\).

a) Der Nachweis erfolgt durch die Multiplikation \(M \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\). b) Der Zustandsvektor zum Zeitpunkt \(t_0\) ist \(\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 50 \\ 50 \end{pmatrix}\).

- Was muss passieren, wenn du eine Matrix mit ihrer Umkehrung multiplizierst? - Erinnerst du dich an die Definition der Einheitsmatrix? - Reicht es aus, nur ein einzelnes Element des Produkts zu berechnen, um die Eigenschaft sicher zu bestätigen?

1. Durchführung der Matrixmultiplikation \(P \cdot Q\): Zeile 1: \(1 \cdot 0{,}25 + 2 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot (-0{,}25) = 1\); \(1 \cdot (-0{,}5) + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 0{,}5 = 0\); \(1 \cdot 0{,}75 + 2 \cdot (-0{,}5) + 1 \cdot 0{,}25 = 0\). Zeile 2: \(0 \cdot 0{,}25 + 1 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot (-0{,}25) = 0\); \(0 \cdot (-0{,}5) + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0{,}5 = 1\); \(0 \cdot 0{,}75 + 1 \cdot (-0{,}5) + 2 \cdot 0{,}25 = 0\). Zeile 3: \(1 \cdot 0{,}25 + 0 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot (-0{,}25) = 0\); \(1 \cdot (-0{,}5) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0{,}5 = 0\); \(1 \cdot 0{,}75 + 0 \cdot (-0{,}5) + 1 \cdot 0{,}25 = 1\). 2. Ergebnisprüfung: Das Produkt \(P \cdot Q\) ergibt die Einheitsmatrix \(I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\). Somit ist \(Q = P^{-1}\).

Ja, \(Q\) ist die inverse Matrix zu \(P\), da das Produkt \(P \cdot Q\) die Einheitsmatrix \(I_3\) ergibt.

- Multipliziere die Matrizen auf beiden Seiten der Gleichung allgemein aus. - Zwei Matrizen sind genau dann gleich, wenn sie in allen entsprechenden Einträgen übereinstimmen. - Erstelle aus dem Vergleich der Einträge ein lineares Gleichungssystem für die Variablen \(a, b, c\) und \(d\). - Versuche, so viele Variablen wie möglich durch die anderen auszudrücken.

1. Aufstellen der Matrixprodukte: \(A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 2 \cdot c & b + 2 \cdot d \\ 2 \cdot a + c & 2 \cdot b + d \end{pmatrix}\) \(B \cdot A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 2 \cdot b & 2 \cdot a + b \\ c + 2 \cdot d & 2 \cdot c + d \end{pmatrix}\) 2. Vergleich der entsprechenden Einträge (LGS): I: \(a + 2 \cdot c = a + 2 \cdot b \implies 2 \cdot c = 2 \cdot b \implies c = b\) II: \(b + 2 \cdot d = 2 \cdot a + b \implies 2 \cdot d = 2 \cdot a \implies d = a\) III: \(2 \cdot a + c = c + 2 \cdot d \implies 2 \cdot a = 2 \cdot d \implies a = d\) IV: \(2 \cdot b + d = 2 \cdot c + d \implies 2 \cdot b = 2 \cdot c \implies b = c\) 3. Die Bedingungen \(c = b\) und \(d = a\) müssen erfüllt sein. Die Variablen \(a\) und \(b\) können frei gewählt werden. 4. Ergebnismatrix: \(B = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}\) für beliebige \(a, b \in \mathbb{R}\).

Alle Matrizen der Form \(B = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}\) mit \(a, b \in \mathbb{R}\).

- Welche mathematische Operation verknüpft aufeinanderfolgende Produktionsstufen? - Achte bei der Multiplikation genau auf die Reihenfolge der Matrizen. - Gehe schrittweise vor, indem du erst zwei Matrizen multiplizierst und das Ergebnis dann mit der dritten. - Überlege dir, welche Dimension die Ergebnismatrix haben muss, damit sie Rohstoffe direkt auf Endprodukte abbildet.

1. Berechnung der Matrix für den Übergang von Rohstoffen zu den Zwischenprodukten der Stufe \(X\): \(M_{RX} = M_{RZ} \cdot M_{ZX} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 & 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 & 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 \\ 4 \cdot 1 + 0 \cdot 2 & 4 \cdot 2 + 0 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 5 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}\) 2. Berechnung der Gesamtmatrix \(M_{RE}\) durch Multiplikation mit der letzten Stufe: \(M_{RE} = M_{RX} \cdot M_{XE} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 5 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \cdot 3 + 5 \cdot 1 & 4 \cdot 1 + 5 \cdot 2 \\ 7 \cdot 3 + 5 \cdot 1 & 7 \cdot 1 + 5 \cdot 2 \\ 4 \cdot 3 + 8 \cdot 1 & 4 \cdot 1 + 8 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 & 14 \\ 26 & 17 \\ 20 & 20 \end{pmatrix}\)

\(M_{RE} = \begin{pmatrix} 17 & 14 \\ 26 & 17 \\ 20 & 20 \end{pmatrix}\)

- Erinnere dich an das Prinzip „Zeile mal Spalte“ bei der Matrixmultiplikation. - Was bedeutet es für ein Ergebnis, wenn das Vertauschen der Faktoren zu einem anderen Resultat führt? - Überlege, ob die Reihenfolge der Multiplikation bei Zahlen und bei Matrizen immer die gleiche Auswirkung hat.

1. Berechnung von \( A \cdot B \): Multiplikation der Zeilen von \( A \) mit den Spalten von \( B \). \( (0{,}6 \cdot 0{,}8 + 0{,}1 \cdot 0{,}2) = 0{,}5 \); \( (0{,}6 \cdot 0{,}3 + 0{,}1 \cdot 0{,}7) = 0{,}25 \); \( (0{,}4 \cdot 0{,}8 + 0{,}9 \cdot 0{,}2) = 0{,}5 \); \( (0{,}4 \cdot 0{,}3 + 0{,}9 \cdot 0{,}7) = 0{,}75 \). Ergebnis: \( A \cdot B = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}25 \\ 0{,}5 & 0{,}75 \end{pmatrix} \). 2. Berechnung von \( B \cdot A \): Multiplikation der Zeilen von \( B \) mit den Spalten von \( A \). \( (0{,}8 \cdot 0{,}6 + 0{,}3 \cdot 0{,}4) = 0{,}6 \); \( (0{,}8 \cdot 0{,}1 + 0{,}3 \cdot 0{,}9) = 0{,}35 \); \( (0{,}2 \cdot 0{,}6 + 0{,}7 \cdot 0{,}4) = 0{,}4 \); \( (0{,}2 \cdot 0{,}1 + 0{,}7 \cdot 0{,}9) = 0{,}65 \). Ergebnis: \( B \cdot A = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}35 \\ 0{,}4 & 0{,}65 \end{pmatrix} \). 3. Vergleich: Da \( A \cdot B \neq B \cdot A \), hat die Reihenfolge der Prozesse einen Einfluss auf das Endergebnis.

\( A \cdot B = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}25 \\ 0{,}5 & 0{,}75 \end{pmatrix} \); \( B \cdot A = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}35 \\ 0{,}4 & 0{,}65 \end{pmatrix} \). Da die Ergebnisse unterschiedlich sind, beeinflusst die Reihenfolge das Marktergebnis.

- Wie verändert sich eine Matrix, wenn man sie von rechts mit einer Diagonalmatrix multipliziert? - Wie verändert sie sich, wenn man sie von links mit einer Diagonalmatrix multipliziert? - Achte beim Rechnen darauf, welche Elemente der Diagonalmatrix mit welchen Einträgen von \( M \) kombiniert werden.

1. Berechnung von \( M \cdot D \): Multiplikation jeder Spalte von \( M \) mit dem entsprechenden Diagonalelement von \( D \). Erste Spalte \(\cdot 1\), zweite Spalte \(\cdot 2\), dritte Spalte \(\cdot 3\). Ergebnis: \( M \cdot D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 1 & 6 & 0 \\ 0 & 2 & 6 \end{pmatrix} \). 2. Berechnung von \( D \cdot M \): Multiplikation jeder Zeile von \( M \) mit dem entsprechenden Diagonalelement von \( D \). Erste Zeile \(\cdot 1\), zweite Zeile \(\cdot 2\), dritte Zeile \(\cdot 3\). Ergebnis: \( D \cdot M = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 6 & 0 \\ 0 & 3 & 6 \end{pmatrix} \). 3. Vergleich: \( M \cdot D \neq D \cdot M \). Bei \( M \cdot D \) werden die Spalten skaliert, bei \( D \cdot M \) die Zeilen.

\( M \cdot D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 1 & 6 & 0 \\ 0 & 2 & 6 \end{pmatrix} \); \( D \cdot M = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 6 & 0 \\ 0 & 3 & 6 \end{pmatrix} \). Die Ergebnisse sind verschieden: Bei \( M \cdot D \) werden die Spalten von \( M \) skaliert, bei \( D \cdot M \) die Zeilen.

- Wie multipliziert man zwei Matrizen miteinander? Erinnere dich an die Regel „Zeile mal Spalte“. - Was bedeutet das Gleichheitszeichen zwischen zwei Matrizen für die einzelnen Einträge? - Du kannst die Aufgabe in zwei separate Gleichungssysteme mit jeweils zwei Unbekannten aufteilen. - Welches Verfahren kennst du, um ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten zu lösen?

1. Aufstellen der Matrixgleichung: \(\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\). 2. Ausmultiplizieren ergibt zwei Gleichungssysteme: I: \(4 \cdot a + 7 \cdot c = 1\) und \(a + 2 \cdot c = 0\) II: \(4 \cdot b + 7 \cdot d = 0\) und \(b + 2 \cdot d = 1\) 3. Lösen von System I: Aus der zweiten Gleichung folgt \(a = -2 \cdot c\). Einsetzen in die erste: \(4 \cdot (-2 \cdot c) + 7 \cdot c = 1 \implies -8 \cdot c + 7 \cdot c = 1 \implies c = -1\). Daraus folgt \(a = -2 \cdot (-1) = 2\). 4. Lösen von System II: Aus der zweiten Gleichung folgt \(b = 1 - 2 \cdot d\). Einsetzen in die erste: \(4 \cdot (1 - 2 \cdot d) + 7 \cdot d = 0 \implies 4 - 8 \cdot d + 7 \cdot d = 0 \implies d = 4\). Daraus folgt \(b = 1 - 2 \cdot 4 = -7\). 5. Die inverse Matrix lautet \(T^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}\).

\(T^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}\)

- Nutze die Definition der Einheitsmatrix \(\mathbf{E}_2\). Welche Werte stehen dort auf der Hauptdiagonalen und welche außerhalb? - Du erhältst durch das Ausmultiplizieren der Matrizen vier Gleichungen. - Betrachte die Unbekannten paarweise für jede Spalte der Zielmatrix. - Kannst du eine Variable in einer Gleichung isolieren und in die andere einsetzen?

1. Ansatz über die Matrixmultiplikation: \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\). 2. Erstellen der Gleichungen für die erste Spalte von \(M^{-1}\): (1) \(1 \cdot x_{11} + 2 \cdot x_{21} = 1\) (2) \(2 \cdot x_{11} + 5 \cdot x_{21} = 0\) Aus (2) folgt \(x_{11} = -2{,}5 \cdot x_{21}\). Einsetzen in (1): \(-2{,}5 \cdot x_{21} + 2 \cdot x_{21} = 1 \implies -0{,}5 \cdot x_{21} = 1 \implies x_{21} = -2\). Somit ist \(x_{11} = 5\). 3. Erstellen der Gleichungen für die zweite Spalte von \(M^{-1}\): (3) \(1 \cdot x_{12} + 2 \cdot x_{22} = 0\) (4) \(2 \cdot x_{12} + 5 \cdot x_{22} = 1\) Aus (3) folgt \(x_{12} = -2 \cdot x_{22}\). Einsetzen in (4): \(2 \cdot (-2 \cdot x_{22}) + 5 \cdot x_{22} = 1 \implies -4 \cdot x_{22} + 5 \cdot x_{22} = 1 \implies x_{22} = 1\). Somit ist \(x_{12} = -2\). 4. Die gesuchte Matrix ist \(M^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\).

\(M^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\)

- Was passiert, wenn du die Übergangsmatrix mehrmals auf den Startvektor anwendest? - Erinnerst du dich an die Potenzierung von Diagonalmatrizen? Warum ist das einfacher als bei normalen Matrizen? - Betrachte den Term mit \(0{,}4^n\). Was passiert mit diesem Teil, wenn \(n\) immer größer wird? - Ein stabiles Verhältnis bedeutet, dass sich die Anteile der Populationen nicht mehr ändern. Welcher Eigenvektor könnte hier eine Rolle spielen?

1. Berechnung von \(\vec{v}_1 = M \cdot \vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 0{,}8 \cdot 100 + 0{,}4 \cdot 50 \\ 0{,}2 \cdot 100 + 0{,}6 \cdot 50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 100 \\ 50 \end{pmatrix}\). Da \(\vec{v}_1 = \vec{v}_0\), ist \(\vec{v}_2 = \vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 100 \\ 50 \end{pmatrix}\). 2. Verwendung der Diagonalisierung: \(M^n = S \cdot \begin{pmatrix} 1^n & 0 \\ 0 & 0{,}4^n \end{pmatrix} \cdot S^{-1}\). 3. Einsetzen der Werte: \(\vec{v}_n = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0{,}4^n \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 50 \end{pmatrix}\). 4. Multiplikation \(S^{-1} \cdot \vec{v}_0 = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 150 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50 \\ 0 \end{pmatrix}\). 5. Damit ergibt sich \(\vec{v}_n = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0{,}4^n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 50 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 50 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 100 \\ 50 \end{pmatrix}\). In diesem speziellen Fall (Startvektor ist Eigenvektor zum Eigenwert 1) bleibt der Bestand konstant. 6. Für \(n \to \infty\) strebt \(0{,}4^n \to 0\). Allgemein gilt für Startwerte \(\vec{v}_0\): \(\vec{v}_n \to S \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot S^{-1} \cdot \vec{v}_0\). Das Ergebnis ist ein Vielfaches des ersten Eigenvektors \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Das stabile Verhältnis ist \(a : b = 2 : 1\).

a) \(\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 100 \\ 50 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{v}_n = \begin{pmatrix} 100 \\ 50 \end{pmatrix}\) (da der Startvektor zufällig ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist) c) Das Langzeitverhältnis beträgt \(a : b = 2 : 1\).

- Welche Information gehört in welche Matrix? Überlege dir, wie du die Anteile als Dezimalzahlen schreiben kannst. - Wie kannst du die Gesamtanzahl der bestellten Brote jeder Sorte für beide Filialen zusammenfassen? - In welchem Schritt spielt das Gewicht eines einzelnen Brotlaibs eine Rolle? - Achte darauf, dass bei der Matrizenmultiplikation die Dimensionen zusammenpassen (Zeile mal Spalte).

1. Aufstellen der Verbrauchsmatrix \(M\) (Mehlanteile pro Brotsorte) und der Bestellmatrix \(B\) (Anzahl der Brote pro Filiale): \(M = \begin{pmatrix} 0{,}50 & 0{,}10 & 0{,}05 \\ 0{,}40 & 0{,}80 & 0{,}05 \\ 0{,}10 & 0{,}10 & 0{,}90 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 120 & 150 \\ 80 & 100 \\ 50 & 40 \end{pmatrix}\) 2. Berechnung der Gesamtbestellungen über beide Filialen durch Addition der Spalten von \(B\) oder Multiplikation von \(B\) mit einem Einsvektor: \(\vec{b}_{ges} = \begin{pmatrix} 270 \\ 180 \\ 90 \end{pmatrix}\) 3. Berechnung der Mehlmengen pro Broteinheit durch Multiplikation von \(M\) mit \(\vec{b}_{ges}\): \(\vec{m}_{Einheiten} = \begin{pmatrix} 0{,}50 \cdot 270 + 0{,}10 \cdot 180 + 0{,}05 \cdot 90 \\ 0{,}40 \cdot 270 + 0{,}80 \cdot 180 + 0{,}05 \cdot 90 \\ 0{,}10 \cdot 270 + 0{,}10 \cdot 180 + 0{,}90 \cdot 90 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 157{,}5 \\ 256{,}5 \\ 126 \end{pmatrix}\) 4. Berücksichtigung des Gewichts pro Laib (\(0{,}75\,\text{kg}\)): \(\vec{m}_{kg} = 0{,}75 \cdot \vec{m}_{Einheiten} = \begin{pmatrix} 118{,}125 \\ 192{,}375 \\ 94{,}5 \end{pmatrix}\)

Insgesamt werden \(118{,}125\,\text{kg}\) Weizenmehl, \(192{,}375\,\text{kg}\) Roggenmehl und \(94{,}5\,\text{kg}\) Dinkelmehl benötigt.

- Für die Route musst du die Kosten für jeden einzelnen Teilschritt aus der Matrix ablesen und addieren. - Was bedeutet eine niedrige Zeilensumme für die Erreichbarkeit anderer Standorte? - Achte bei der Mauterhöhung darauf, ob die Kosten für den Aufenthalt am eigenen Standort (Diagonale) ebenfalls steigen sollten.

1. Die Kosten berechnen sich aus der Summe der jeweiligen Matrixeinträge: \( k_{12} + k_{24} + k_{43} + k_{31} = 10 + 12 + 5 + 15 = 42 \). Die Gesamtkosten betragen \( 42\,\text{€} \) pro Tonne. 2. Zeilensummen: \( S_1 = 0 + 10 + 15 + 20 = 45 \) \( S_2 = 10 + 0 + 8 + 12 = 30 \) \( S_3 = 15 + 8 + 0 + 5 = 28 \) \( S_4 = 20 + 12 + 5 + 0 = 37 \) Die Zeilensumme gibt die Gesamtkosten an, die entstehen, wenn man von einem Standort aus jeweils eine Tonne zu allen anderen Standorten liefert. \( L_3 \) ist am günstigsten/zentralsten, da die Summe der Kosten dort mit \( 28\,\text{€} \) am geringsten ist. 3. Zur Berechnung von \( \mathbf{K}_{neu} \) wird zu jedem Element \( k_{ij} \) mit \( i \neq j \) der Wert \( 2{,}50 \) addiert. Die Diagonalelemente bleiben \( 0 \), da keine Maut am Standort selbst anfällt. \( \mathbf{K}_{neu} = \begin{pmatrix} 0 & 12{,}50 & 17{,}50 & 22{,}50 \\ 12{,}50 & 0 & 10{,}50 & 14{,}50 \\ 17{,}50 & 10{,}50 & 0 & 7{,}50 \\ 22{,}50 & 14{,}50 & 7{,}50 & 0 \end{pmatrix} \) Die Matrix bleibt symmetrisch, da zu symmetrisch liegenden Elementen derselbe Wert addiert wurde.

1. \( 42\,\text{€} \) 2. Summen: \( L_1: 45 \), \( L_2: 30 \), \( L_3: 28 \), \( L_4: 37 \). \( L_3 \) ist am günstigsten gelegen. 3. \( \mathbf{K}_{neu} = \begin{pmatrix} 0 & 12{,}50 & 17{,}50 & 22{,}50 \\ 12{,}50 & 0 & 10{,}50 & 14{,}50 \\ 17{,}50 & 10{,}50 & 0 & 7{,}50 \\ 22{,}50 & 14{,}50 & 7{,}50 & 0 \end{pmatrix} \). Die Symmetrie bleibt erhalten.

- Überlege zuerst, wie du eine Matrix berechnest, die den direkten Weg von den Rohstoffen zu den Endgeräten beschreibt. - Welchen mathematischen Vorteil bietet die Verknüpfung der beiden Matrizen \( A \) und \( B \)? - Du kannst die Aufgabe in zwei Schritten lösen: Berechne erst den Bedarf an Zwischenmodulen und daraus den Bedarf an Rohstoffen, oder berechne direkt die Gesamtmatrix.

1. Berechnung der Gesamtproduktionsmatrix \( C \), die den direkten Bedarf an Rohstoffen pro Endgerät angibt: \( C = A \cdot B \) 2. Multiplikation der Matrizen: \( C = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 5 + 3 \cdot 1 & 2 \cdot 2 + 3 \cdot 6 \\ 4 \cdot 5 + 1 \cdot 1 & 4 \cdot 2 + 1 \cdot 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 & 22 \\ 21 & 14 \end{pmatrix} \) 3. Aufstellen des Auftragsvektors \( \vec{e} = \begin{pmatrix} 100 \\ 150 \end{pmatrix} \) 4. Berechnung des Rohstoffbedarfsvektors \( \vec{r} = C \cdot \vec{e} \): - \( R_1 = 13 \cdot 100 + 22 \cdot 150 = 1\,300 + 3\,300 = 4\,600 \) - \( R_2 = 21 \cdot 100 + 14 \cdot 150 = 2\,100 + 2\,100 = 4\,200 \) 5. Der Ergebnisvektor ist \( \vec{r} = \begin{pmatrix} 4\,600 \\ 4\,200 \end{pmatrix} \)

\( \vec{r} = \begin{pmatrix} 4\,600 \\ 4\,200 \end{pmatrix} \)

- Wenn die alte Zeile 1 zur neuen Zeile 2 werden soll, wo muss dann die 1 in der zweiten Zeile der Matrix \(S\) stehen? - Die Matrix \(S^T\) vertauscht die Spalten nach demselben Prinzip wie \(S\) die Zeilen. - Was passiert mit den Diagonalelementen einer Diagonalmatrix, wenn man Zeilen und Spalten auf die gleiche Weise vertauscht?

1. Bestimmung von \(S\): Die neue Zeile 1 muss die alte Zeile 4 sein, die neue Zeile 2 die alte Zeile 1, die neue Zeile 3 die alte Zeile 2 und die neue Zeile 4 die alte Zeile 3. \(S = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\) 2. Transponierte Matrix \(S^T\): \(S^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) 3. Berechnung von \(S \cdot M\): Die Zeilen von \(M\) werden zyklisch nach unten verschoben. \(S \cdot M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}\) 4. Berechnung von \((S \cdot M) \cdot S^T\): Die Spalten des Zwischenergebnisses werden zyklisch nach rechts verschoben. \(M' = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\)

a) \(S = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\) b) \(M' = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\)

- Was passiert mathematisch, wenn du eine Matrix, die „Einheiten von A pro B“ angibt, mit einer Matrix multiplizierst, die „Einheiten von B pro C“ angibt? - Achte bei Teilaufgabe b) genau auf die Reihenfolge der Multiplikation, die durch die Aufgabenstellung vorgegeben ist. - Das Assoziativgesetz besagt, dass die Klammerung bei der Multiplikation von drei Matrizen das Endergebnis nicht verändert.

1. Berechnung von \(M_{gesamt}\): \(M_1 \cdot M_2 = \begin{pmatrix} 4 \cdot 3 + 2 \cdot 2 & 4 \cdot 1 + 2 \cdot 4 & 4 \cdot 2 + 2 \cdot 0 \\ 1 \cdot 3 + 5 \cdot 2 & 1 \cdot 1 + 5 \cdot 4 & 1 \cdot 2 + 5 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & 12 & 8 \\ 13 & 21 & 2 \end{pmatrix}\). Diese Matrix gibt den direkten Bedarf an Rohstoffen \(R_1, R_2\) pro fertiggestelltem Gerät \(G_1, G_2, G_3\) an. 2. Berechnung des Modulbedarfs pro Auftrag: \(M_{Auftrag} = M_2 \cdot D = \begin{pmatrix} 3 \cdot 10 + 1 \cdot 20 + 2 \cdot 15 & 3 \cdot 5 + 1 \cdot 15 + 2 \cdot 10 \\ 2 \cdot 10 + 4 \cdot 20 + 0 \cdot 15 & 2 \cdot 5 + 4 \cdot 15 + 0 \cdot 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 80 & 50 \\ 100 & 70 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Rohstoffbedarfs: \(R = M_1 \cdot M_{Auftrag} = \begin{pmatrix} 4 \cdot 80 + 2 \cdot 100 & 4 \cdot 50 + 2 \cdot 70 \\ 1 \cdot 80 + 5 \cdot 100 & 1 \cdot 50 + 5 \cdot 70 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 520 & 340 \\ 580 & 400 \end{pmatrix}\).

a) \(M_{gesamt} = \begin{pmatrix} 16 & 12 & 8 \\ 13 & 21 & 2 \end{pmatrix}\). Sie gibt den Rohstoffverbrauch pro Gerät an. b) Der Rohstoffbedarf für die Aufträge beträgt: Auftrag \(O_1\): \(520\) Einheiten \(R_1\) und \(580\) Einheiten \(R_2\). Auftrag \(O_2\): \(340\) Einheiten \(R_1\) und \(400\) Einheiten \(R_2\). Die Ergebnismatrix ist \(\begin{pmatrix} 520 & 340 \\ 580 & 400 \end{pmatrix}\).

- Führe zuerst die Matrixmultiplikation mit den Variablen \(x, y, z, w\) durch. - Nutze die Gleichheit der Einträge, um Abhängigkeiten zwischen den Variablen zu finden (z. B. \(y\) in Abhängigkeit von \(z\)). - Berücksichtige für den zweiten Teil die Definition einer Übergangsmatrix: Die Summe der Einträge jeder Zeile muss \(1\) ergeben. - Achte darauf, dass bei einer Übergangsmatrix kein Eintrag kleiner als \(0\) sein darf, was den Bereich für deine Parameter einschränkt.

1. Berechnung von \(P \cdot Q\) und \(Q \cdot P\): \(P \cdot Q = \begin{pmatrix} 0{,}6 \cdot x + 0{,}4 \cdot z & 0{,}6 \cdot y + 0{,}4 \cdot w \\ 0{,}2 \cdot x + 0{,}8 \cdot z & 0{,}2 \cdot y + 0{,}8 \cdot w \end{pmatrix}\) \(Q \cdot P = \begin{pmatrix} 0{,}6 \cdot x + 0{,}2 \cdot y & 0{,}4 \cdot x + 0{,}8 \cdot y \\ 0{,}6 \cdot z + 0{,}2 \cdot w & 0{,}4 \cdot z + 0{,}8 \cdot w \end{pmatrix}\) 2. Vergleich der Einträge liefert das LGS: \(0{,}6 \cdot x + 0{,}4 \cdot z = 0{,}6 \cdot x + 0{,}2 \cdot y \implies 0{,}4 \cdot z = 0{,}2 \cdot y \implies y = 2 \cdot z\) \(0{,}6 \cdot y + 0{,}4 \cdot w = 0{,}4 \cdot x + 0{,}8 \cdot y \implies 0{,}4 \cdot w = 0{,}4 \cdot x + 0{,}2 \cdot y \implies w = x + 0{,}5 \cdot y = x + z\) Die anderen beiden Gleichungen führen auf dieselben Bedingungen. 3. Allgemeine Form für a): \(Q = \begin{pmatrix} x & 2 \cdot z \\ z & x + z \end{pmatrix}\) für \(x, z \in \mathbb{R}\). 4. Bedingungen für b) (Übergangsmatrix): Zeilensumme 1: \(x + 2 \cdot z = 1 \implies x = 1 - 2 \cdot z\) Zeilensumme 2: \(z + (x + z) = x + 2 \cdot z = 1\) (konsistent) Nichtnegativität: \(z \ge 0\), \(2 \cdot z \ge 0\), \(x = 1 - 2 \cdot z \ge 0 \implies z \le 0{,}5\), \(x + z = 1 - z \ge 0 \implies z \le 1\). Daraus folgt \(0 \le z \le 0{,}5\). 5. Ergebnismatrix für b): \(Q = \begin{pmatrix} 1 - 2 \cdot z & 2 \cdot z \\ z & 1 - z \end{pmatrix}\) mit \(0 \le z \le 0{,}5\).

a) \(Q = \begin{pmatrix} x & 2 \cdot z \\ z & x + z \end{pmatrix}\) mit \(x, z \in \mathbb{R}\). b) \(Q = \begin{pmatrix} 1 - 2 \cdot z & 2 \cdot z \\ z & 1 - z \end{pmatrix}\) mit \(0 \le z \le 0{,}5\).

- Bestimme zuerst die Matrix, die alle Produktionsstufen zusammenfasst. - Erinnert dich die Struktur der Matrizen an die Verkettung von linearen Abbildungen? - Um den Bedarf für eine spezifische Bestellung zu finden, kannst du die Gesamtmatrix mit einem Produktionsvektor multiplizieren. - Welche Zeile der Ergebnismatrix enthält die Informationen über das Grundmaterial \(M_2\)?

1. Berechnung der Produktmatrix \(A \cdot B\): \(A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 6 & 2 & 4 \\ 3 & 0 & 6 \end{pmatrix}\) 2. Berechnung der Gesamtmatrix \(G = (A \cdot B) \cdot C\): \(G = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 6 & 2 & 4 \\ 3 & 0 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 0 \cdot 0 & 2 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ 6 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 4 \cdot 0 & 6 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 4 \cdot 1 \\ 3 \cdot 1 + 0 \cdot 3 + 6 \cdot 0 & 3 \cdot 2 + 0 \cdot 0 + 6 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 12 & 16 \\ 3 & 12 \end{pmatrix}\) 3. Berechnung des Bedarfs an \(M_2\) für den Produktionsvektor \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix}\): Die zweite Zeile der Matrix \(G\) gibt den Bedarf an \(M_2\) pro Stück \(F_1\) und \(F_2\) an: \((12; 16)\). Gesamtbedarf \(M_2 = 12 \cdot 10 + 16 \cdot 5 = 120 + 80 = 200\).

Gesamtbedarfsmatrix \(G = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 12 & 16 \\ 3 & 12 \end{pmatrix}\); für den Auftrag werden \(200\) Einheiten von \(M_2\) benötigt.

- Wie kannst du die Gleichungen für \(x_{n+1}\) und \(y_{n+1}\) in ein Schema mit Zeilen und Spalten übertragen? - Schreibe die ersten Werte für \(x\) und \(y\) einfach mal untereinander auf. Fällt dir ein Muster auf? - Wenn du eine Matrix \(n\)-mal mit sich selbst multiplizierst und sie diagonalisierbar ist, was passiert dann mit den Elementen auf der Hauptdiagonale? - Denk an das Wachstum von Exponentialfunktionen. Wenn du zwei verschiedene Basen hast, welche bestimmt das Verhalten für sehr große Exponenten?

1. Aufstellen der Matrix: Aus den Gleichungen folgt \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der Folgenglieder für \(x_n\): \(x_0=1\), \(x_1=1+0=1\), \(x_2=1+1=2\), \(x_3=2+1=3\), \(x_4=3+2=5\), \(x_5=5+3=8\). Dies ist die Fibonacci-Folge. 3. Die Matrix \(A\) lässt sich diagonalisieren zu \(A = S D S^{-1}\), wobei die Spalten von \(S\) Eigenvektoren von \(A\) sind und \(D = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2)\) gilt. Damit ist \(A^n = S D^n S^{-1}\). 4. Der Vektor \(\vec{v}_n = A^n \vec{v}_0\) wird für große \(n\) vom Term mit dem betragsmäßig größten Eigenwert dominiert. Da \(|\lambda_1| > |\lambda_2|\), gilt \(\vec{v}_n \approx c_1 \cdot \lambda_1^n \cdot \vec{e}_1\), wobei \(\vec{e}_1\) der Eigenvektor zu \(\lambda_1\) ist. 5. Das Verhältnis aufeinanderfolgender Glieder \(\frac{x_{n+1}}{x_n}\) nähert sich somit \(\frac{c \cdot \lambda_1^{n+1}}{c \cdot \lambda_1^n} = \lambda_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\).

a) \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) b) \(x_0 = 1, x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3, x_4 = 5, x_5 = 8\). Es handelt sich um die Fibonacci-Folge. c) Da \(|\lambda_1| > |\lambda_2|\), dominiert \(\lambda_1^n\) das Wachstum, sodass \(\frac{x_{n+1}}{x_n} \to \lambda_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\).

- Wie hängen die Stufen der Produktion (Rohstoffe, Zwischenprodukte, Endprodukte) mathematisch zusammen? - Was bedeutet das Ergebnis der Multiplikation zweier Matrizen im Sachkontext? - Achte auf die Reihenfolge der Matrizen bei der Multiplikation. - Wie kannst du den Auftrag als Vektor darstellen, um ihn mit der Matrix zu verknüpfen?

1. Berechnung der Verflechtungsmatrix \(M_{RE}\) durch Multiplikation der Matrizen \(M_{RZ}\) und \(M_{ZE}\): \(M_{RE} = M_{RZ} \cdot M_{ZE} = \begin{pmatrix} 10 & 15 \\ 5 & 10 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \cdot 2 + 15 \cdot 0 & 10 \cdot 1 + 15 \cdot 3 \\ 5 \cdot 2 + 10 \cdot 0 & 5 \cdot 1 + 10 \cdot 3 \\ 2 \cdot 2 + 5 \cdot 0 & 2 \cdot 1 + 5 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 & 55 \\ 10 & 35 \\ 4 & 17 \end{pmatrix}\) 2. Aufstellen des Auftragsvektors \(\vec{e} = \begin{pmatrix} 50 \\ 30 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Gesamtbedarfs an Grundbauteilen \(\vec{r}\) durch Multiplikation von \(M_{RE}\) mit \(\vec{e}\): \(\vec{r} = \begin{pmatrix} 20 & 55 \\ 10 & 35 \\ 4 & 17 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 50 \\ 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 \cdot 50 + 55 \cdot 30 \\ 10 \cdot 50 + 35 \cdot 30 \\ 4 \cdot 50 + 17 \cdot 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1000 + 1650 \\ 500 + 1050 \\ 200 + 510 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2650 \\ 1550 \\ 710 \end{pmatrix}\)

a) Die Matrix \(M_{RE}\) lautet \(\begin{pmatrix} 20 & 55 \\ 10 & 35 \\ 4 & 17 \end{pmatrix}\). b) Es werden insgesamt \(2650\) Widerstände, \(1550\) Kondensatoren und \(710\) Transistoren benötigt.