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- Erinnere dich daran, wie Potenzen von \(i\) definiert sind. - Behandle \(i\) beim Multiplizieren zunächst wie eine Variable, aber ersetze \(i^2\) am Ende. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn mehrere negative Faktoren auftreten. - Wurzeln können zusammengefasst werden, bevor die Multiplikation mit \(i\) erfolgt.

1. Multiplikation der Koeffizienten und der imaginären Einheiten: \(8 \cdot 0{,}5 \cdot i^2 = 4 \cdot (-1) = -4\). 2. Berücksichtigung der Vorzeichen: \((-3) \cdot (-7) \cdot i^2 = 21 \cdot (-1) = -21\). 3. Anwendung der Wurzelgesetze: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} \cdot i^2 = \sqrt{36} \cdot (-1) = 6 \cdot (-1) = -6\). 4. Zusammenfassen der Faktoren: \((1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4) \cdot i^4 = 24 \cdot (i^2)^2 = 24 \cdot (-1)^2 = 24 \cdot 1 = 24\).

1) \(-4\) 2) \(-21\) 3) \(-6\) 4) \(24\)

- Überlege, wie man Brüche aufteilt, wenn im Zähler eine Summe steht. - Was passiert mit der imaginären Einheit \(i\), wenn sie sowohl im Zähler als auch im Nenner als Faktor steht? - Behandle \(i\) beim Kürzen wie eine Variable, solange keine Potenzen wie \(i^2\) entstehen.

1. Division eines Summenausdrucks durch eine reelle Zahl: Den Realteil und den Imaginärteil einzeln durch \(6\) dividieren. Ergebnis: \(3 + i\). 2. Division zweier rein imaginärer Zahlen: Die imaginäre Einheit \(i\) kürzt sich heraus, Division der Koeffizienten \(20 : 5\). Ergebnis: \(4\). 3. Division eines Summenausdrucks durch eine reelle Zahl: Den Realteil \(-12\) und den Imaginärteil \(4i\) einzeln durch \(4\) dividieren. Ergebnis: \(-3 + i\). 4. Division einer rein imaginären Zahl durch \(i\): Die imaginäre Einheit \(i\) kürzt sich direkt heraus. Ergebnis: \(7\).

1) \(3 + i\) 2) \(4\) 3) \(-3 + i\) 4) \(7\)

- Welche Bestandteile der algebraischen Form gehören beim Addieren jeweils zusammen? - Achte darauf, das Vorzeichen des Imaginärteils beizubehalten. - Lies Realteil und Imaginärteil erst aus der vollständig zusammengefassten Zahl ab.

1. Die Realteile ergeben \(2+(-5)=-3\), die Imaginärteile ergeben \(-3+1=-2\). 2. Damit ist \(z_1+z_2=-3-2i\). 3. Folglich gilt \(\operatorname{Re}(z_1+z_2)=-3\) und \(\operatorname{Im}(z_1+z_2)=-2\).

\(z_1+z_2=-3-2i\), \(\operatorname{Re}(z_1+z_2)=-3\), \(\operatorname{Im}(z_1+z_2)=-2\)

- Vergleiche beim Konjugieren Realteil und Imaginärteil getrennt. - Überlege, welche Koordinate sich bei einer Spiegelung an der reellen Achse ändert.

1. Beim komplexen Konjugieren bleibt der Realteil unverändert und das Vorzeichen des Imaginärteils wechselt. Daher ist \(\bar z=2+5i\). 2. Zu \(z\) gehört der Punkt \((2|-5)\), zu \(\bar z\) der Punkt \((2|5)\). Die Punkte sind an der reellen Achse gespiegelt.

a) \(\bar z=2+5i\) b) \(z\leftrightarrow(2|-5)\), \(\bar z\leftrightarrow(2|5)\); Spiegelachse: reelle Achse

- Der Betrag entspricht dem Abstand des zugehörigen Punktes vom Ursprung. - Verwende Realteil und Imaginärteil als die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks.

1. Für \(z=a+bi\) gilt \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\). 2. Damit ist \(|z|=\sqrt{6^2+(-8)^2}=\sqrt{100}=10\).

\(|z|=10\)

- Welche Zahl hat in \(\mathbb C\) das Quadrat \(-1\)? - Berücksichtige beide Zahlen, deren Quadrat denselben Wert ergibt.

1. Wegen \(i^2=-1\) gilt \((6i)^2=-36\) und ebenso \((-6i)^2=-36\). 2. Daher besitzt die Gleichung die beiden Lösungen \(x=6i\) und \(x=-6i\).

\(x=\pm6i\)

- Untersuche, wie sich die Potenzen der imaginären Einheit \(i\) nach vier Schritten wiederholen. - Erinnere dich daran, wie man die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl mithilfe von \(i\) ausdrückt. - Nutze die bekannte Lösungsformel für quadratische Gleichungen und setze für die Wurzel aus einer negativen Zahl das entsprechende Vielfache von \(i\) ein.

1. Bestimmung der Potenzen von \(i\): Es gilt \(i^1 = i\), \(i^2 = -1\), \(i^3 = i^2 \cdot i = -i\) und \(i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1\). 2. Berechnung der Summe: \(S = i + (-1) + (-i) + 1 = 0\). 3. Anwendung der Mitternachtsformel (oder quadratischen Ergänzung) auf \(x^2 + 4x + 13 = 0\): Die Diskriminante ist \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36\). 4. Bestimmung der Wurzeln aus der negativen Diskriminante: \(\sqrt{-36} = \sqrt{36 \cdot (-1)} = 6i\). 5. Berechnung der Lösungen: \(x_{1,2} = \frac{-4 \pm 6i}{2}\), woraus sich \(x_1 = -2 + 3i\) und \(x_2 = -2 - 3i\) ergeben. Die Lösungsmenge ist \(L = \{-2 + 3i; -2 - 3i\}\).

a) \(S = 0\) b) \(L = \{-2 + 3i; -2 - 3i\}\)

- Welche reelle Zahl bewirkt bei der Multiplikation eine Punktspiegelung am Ursprung? - Wie lässt sich eine Streckung mathematisch als Faktor ausdrücken? - Kannst du die beiden Operationen zu einem einzigen Faktor zusammenfassen?

1. Eine Drehung um \(180^\circ\) entspricht in der Gaußschen Zahlenebene der Multiplikation mit \(-1\). 2. Eine Streckung um den Faktor \(3\) entspricht der Multiplikation mit der reellen Zahl \(3\). 3. Die kombinierte Operation entspricht somit der Multiplikation mit \(w = 3 \cdot (-1) = -3\). 4. Die Berechnung der resultierenden Zahl ergibt \(z_2 = w \cdot z_1 = -3 \cdot (1 + 2i) = -3 - 6i\).

\(z_2 = -3 - 6i\) und \(w = -3\)

- Wie addiert man zwei Vektoren geometrisch? - Welche geometrische Bedeutung hat der Betrag einer komplexen Zahl? - Vergleiche beim letzten Teil die Länge des Summenvektors mit der Summe der beiden Einzellängen.

1. Es ist \(s=(3-1)+(2+4)i=2+6i\). Geometrisch entspricht dies der Vektoraddition; der Summenvektor ist die Diagonale des von den Vektoren zu \(z_1\) und \(z_2\) aufgespannten Parallelogramms. 2. Es gilt \(|z_1|=\sqrt{13}\approx 3{,}61\), \(|z_2|=\sqrt{17}\approx 4{,}12\) und \(|s|=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6{,}32\). 3. Es ist \(|z_1|+|z_2|=\sqrt{13}+\sqrt{17}\approx 7{,}73\). Damit gilt \(6{,}32\leq 7{,}73\), also ist die Dreiecksungleichung erfüllt.

1. \(s=2+6i\); geometrisch ist der Summenvektor die Parallelogrammdiagonale der beiden Ausgangsvektoren. 2. \(|z_1|=\sqrt{13}\approx 3{,}61\), \(|z_2|=\sqrt{17}\approx 4{,}12\), \(|s|=2\sqrt{10}\approx 6{,}32\). 3. Ja. Es gilt \(|s|\approx 6{,}32\leq |z_1|+|z_2|\approx 7{,}73\).

- Wie addiert und subtrahiert man komplexe Zahlen in der algebraischen Form? - Welche Rolle spielen der Real- und Imaginärteil bei der Darstellung als Punkt in einem Koordinatensystem? - Erinnere dich an die Formel für den Betrag einer komplexen Zahl. - Was stellt die Verbindungslinie zwischen zwei Punkten in einer Ebene mathematisch dar?

1. Berechnung der Summe: \(s = (4 + (-2)) + (2 + 3)i = 2 + 5i\). 2. Berechnung der Differenz: \(d = (4 - (-2)) + (2 - 3)i = 6 - i\). 3. Bestimmung der Koordinaten der Endpunkte: Für \(s\) ist dies der Punkt \((2|5)\), für \(d\) der Punkt \((6|-1)\). 4. Berechnung des Betrags der Differenz: \(|6 - i| = \sqrt{6^2 + (-1)^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37} \approx 6{,}08\). 5. Geometrische Interpretation: Der Betrag der Differenz \(|z_1 - z_2|\) entspricht dem euklidischen Abstand zwischen den Punkten \(z_1\) und \(z_2\) in der Gaußschen Zahlenebene.

a) \(s = 2 + 5i\); \(d = 6 - i\) b) Endpunkte: \(P_s(2|5)\) und \(P_d(6|-1)\) c) \(|z_1 - z_2| = \sqrt{37} \approx 6{,}08\). Geometrisch entspricht dies dem Abstand zwischen den Punkten \(z_1\) und \(z_2\).

- Erinnere dich an die Definition der imaginären Einheit \(i\) und was passiert, wenn man sie mit sich selbst multipliziert. - Wie gehst du beim Ausmultiplizieren von zwei Klammern vor? - Welchen Trick gibt es, um eine komplexe Zahl aus dem Nenner eines Bruches zu entfernen? - Denke an die dritte binomische Formel im Zusammenhang mit der konjugiert komplexen Zahl.

1. Zur Berechnung des Produkts \(z_1 \cdot z_2\) werden die Klammern multipliziert: \((4 - 3i) \cdot (1 + 2i) = 4 + 8i - 3i - 6i^2\). Unter Verwendung von \(i^2 = -1\) ergibt sich \(4 + 5i + 6 = 10 + 5i\). 2. Zur Berechnung des Quotienten \(\frac{z_1}{z_2}\) wird der Bruch mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners, also \(\bar{z}_2 = 1 - 2i\), erweitert: \(\frac{(4 - 3i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)}\). 3. Der Nenner vereinfacht sich zu \(1^2 + 2^2 = 5\). 4. Der Zähler wird ausmultipliziert: \(4 - 8i - 3i + 6i^2 = 4 - 11i - 6 = -2 - 11i\). 5. Division der einzelnen Komponenten durch den Nenner ergibt \(\frac{-2}{5} - \frac{11}{5}i\), also \(-0{,}4 - 2{,}2i\).

a) \(10 + 5i\) b) \(-0{,}4 - 2{,}2i\)

- Behandle den Realteil und den Imaginärteil wie zwei verschiedene Variablen, die man nicht direkt mischen kann. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du eine Klammer auflöst, vor der ein Minuszeichen steht. - Erinnere dich an den Wert von \(i^2\) und leite daraus höhere Potenzen wie \(i^3\) ab. - Kannst du eine binomische Formel erkennen und anwenden?

1. Addition und Subtraktion der Realteile: \(12 - 7 - 5 = 0\). Addition und Subtraktion der Imaginärteile: \((-5 + 8 - 3)i = 0i\). Ergebnis: \(0\). 2. Multiplikation der ersten Klammer: \(4 \cdot 0{,}5 - 4i = 2 - 4i\). Vereinfachung der Potenz: \(i^3 = -i\). Gesamtausdruck: \(2 - 4i - 3 - 2i - i\). Zusammenfassen der Realteile: \(2 - 3 = -1\). Zusammenfassen der Imaginärteile: \(-4 - 2 - 1 = -7\). Ergebnis: \(-1 - 7i\). 3. Anwendung der binomischen Formel: \((2 + i)^2 = 4 + 4i + i^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i\). Subtraktion des zweiten Terms: \((3 + 4i) - (4 + 4i) = 3 - 4 + (4 - 4)i = -1\). Ergebnis: \(-1\).

1) \(0\) 2) \(-1 - 7i\) 3) \(-1\)

- Bringe beide Seiten zunächst in die Form \(a+bi\). - Überlege, welche Bedingungen gelten müssen, damit zwei komplexe Zahlen gleich sind. - Prüfe am Ende, ob deine Werte die ursprüngliche Gleichung erfüllen.

1. Die linke Seite wird zu \((x+2)+(y-3)i\), die rechte Seite wegen \(i^2=-1\) zu \(-5+4i\). 2. Aus der Gleichheit der Realteile folgt \(x+2=-5\), also \(x=-7\). 3. Aus der Gleichheit der Imaginärteile folgt \(y-3=4\), also \(y=7\).

\(x=-7\) und \(y=7\)

- Wie addiert man komplexe Zahlen in der algebraischen Form? - Überlege dir, wie du Vektoren in einem Koordinatensystem addierst. - Welche Form entsteht, wenn man zwei verschiedene Wege zum selben Zielpunkt betrachtet? - Erinnere dich an die Gesetze der Addition bei reellen Zahlen.

1. Die Berechnung der Summen erfolgt durch getrennte Addition der Real- und Imaginärteile: \(s_A = (4 - 1) + (2 + 3)i = 3 + 5i\) und \(s_B = (-1 + 4) + (3 + 2)i = 3 + 5i\). Beide Ergebnisse sind identisch. 2. Geometrisch entspricht die Addition der komplexen Zahlen der Vektoraddition im \(\mathbb{R}^2\). Werden die Vektoren zu den Punkten \(z_1\) und \(z_2\) vom Ursprung aus eingezeichnet, bilden sie zusammen mit dem Summenpunkt \(3 + 5i\) ein Parallelogramm (sofern die Vektoren nicht kollinear sind). Dies veranschaulicht das Kommutativgesetz der Addition (\(z_1 + z_2 = z_2 + z_1\)).

1. \(s_A = 3 + 5i\), \(s_B = 3 + 5i\). 2. Die Punkte spannen ein Parallelogramm auf. Das illustrierte Gesetz ist das Kommutativgesetz der Addition.

- Wie subtrahiert man zwei Vektoren komponentenweise? - Erinnere dich an die Definition des Betrags einer komplexen Zahl \(a + bi\). - Was gibt der Betrag eines Differenzvektors zwischen zwei Punkten an?

1. Subtraktion der Real- und Imaginärteile: \(w = (7 - 3) + (5 - 2)i = 4 + 3i\). 2. Berechnung des Betrags: \(|w| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\). 3. Geometrische Bedeutung: Der Betrag der Differenz \(|z_1 - z_2|\) entspricht dem euklidischen Abstand zwischen den Punkten \(z_1\) und \(z_2\) in der Gaußschen Zahlenebene. In diesem Fall beträgt der Abstand 5 Längeneinheiten.

1. \(w = 4 + 3i\) 2. \(|w| = 5\) 3. Der Betrag entspricht dem Abstand zwischen den Punkten \(z_1\) und \(z_2\) in der komplexen Zahlenebene.

- Ordne Real- und Imaginärteile getrennt. - Achte beim Auflösen einer Klammer auf das Vorzeichen davor. - Prüfe, ob sich einzelne Imaginäranteile gegenseitig aufheben.

1. Für a) werden Real- und Imaginärteile getrennt zusammengefasst: \(3{,}5-1{,}5-0{,}2=1{,}8\) und \(-0{,}4+0{,}4+1{,}75=1{,}75\). Damit ergibt sich \(1{,}8+1{,}75i\). 2. Für b) ergibt das Auflösen der Klammern \(4u-5vi-2u-vi-u+3vi\). Zusammenfassen liefert \(u-3vi\).

a) \(1{,}8+1{,}75i\) b) \(u-3vi\)

- Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen davorsteht. - Fasse alle Terme mit der imaginären Einheit \(i\) und alle Terme ohne \(i\) getrennt zusammen. - Arbeite dich bei geschachtelten Klammern von innen nach außen vor.

1. Vereinfachung des Ausdrucks innerhalb der eckigen Klammern durch Zusammenfassen der Real- und Imaginärteil-Koeffizienten: \((2a - a + 4a) + (1b + 5b + 2b)i = 5a + 8bi\). 2. Subtraktion dieses Ergebnisses vom ersten Term des Gesamtausdrucks: \((3a - 5a) + (-4b - 8b)i = -2a - 12bi\).

\(-2a - 12bi\)

- Wie gehst du bei der Addition und Subtraktion mit den Teilen um, die ein \(i\) enthalten, und wie mit denen ohne \(i\)? - Achte besonders auf das Minuszeichen vor den Klammern. - Kannst du die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, um sie leichter zusammenzufassen?

1. Getrennte Zusammenfassung von Real- und Imaginärteil: \(\operatorname{Re} = 4{,}5 - 1{,}8 + 0{,}3 = 3{,}0\) und \(\operatorname{Im} = -1{,}2 - 2{,}4 - 0{,}9 = -4{,}5\). Ergebnis: \(3 - 4{,}5i\). 2. Getrennte Zusammenfassung von Real- und Imaginärteil unter Berücksichtigung der Vorzeichen: \(\operatorname{Re} = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} - 1 = \frac{3+2-4}{4} = \frac{1}{4}\). Für den Imaginärteil gilt: \(\operatorname{Im} = \frac{5}{6} - \frac{1}{3} - (-\frac{1}{4}) = \frac{10-4+3}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}\). Ergebnis: \(\frac{1}{4} + \frac{3}{4}i\).

1) \(3 - 4{,}5i\) 2) \(\frac{1}{4} + \frac{3}{4}i\)

- Erinnere dich an die binomischen Formeln für komplexe Zahlen. - Wie geht man vor, wenn eine komplexe Zahl im Nenner steht? - Was ergibt das Quadrat der imaginären Einheit \( i \)? - Fasse am Ende alle reellen Teile und alle imaginären Teile getrennt zusammen.

1. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf den ersten Summanden: \( (3 - i)^2 = 9 - 6i + i^2 = 9 - 6i - 1 = 8 - 6i \). 2. Vereinfachung des Bruchs durch Erweitern mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners \( (4 - 2i) \): \( \frac{20(4 - 2i)}{(4 + 2i)(4 - 2i)} = \frac{80 - 40i}{16 + 4} = \frac{80 - 40i}{20} = 4 - 2i \). 3. Addition der beiden Teilergebnisse: \( (8 - 6i) + (4 - 2i) = 12 - 8i \).

\( z = 12 - 8i \)

- Denke daran, dass \(i^2\) immer durch \(-1\) ersetzt werden kann. - Multipliziere die Klammern wie bei reellen Binomen aus. - Bei höheren Potenzen kann es hilfreich sein, den Ausdruck schrittweise zu quadrieren. - Achte auf das Vorzeichen, wenn du \(i \cdot i\) berechnest.

1. Ausmultiplizieren: \((4 - 3i)(2 + 5i) = 8 + 20i - 6i - 15i^2\). Da \(i^2 = -1\), ergibt sich \(8 + 14i + 15 = 23 + 14i\). 2. Schrittweise potenzieren: \((1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i\). Dann ist \((1 + i)^4 = (2i)^2 = 4i^2 = -4\). Ergebnis: \(-4 + 0i\). 3. Ausmultiplizieren: \((3 - 0{,}5i)(2 + 4i) = 6 + 12i - i - 2i^2 = 6 + 11i + 2 = 8 + 11i\). 4. Anwendung der dritten binomischen Formel: \((\sqrt{7} + 3i)(\sqrt{7} - 3i) = (\sqrt{7})^2 - (3i)^2 = 7 - 9i^2 = 7 + 9 = 16\). Ergebnis: \(16 + 0i\).

1) \(23 + 14i\) 2) \(-4\) 3) \(8 + 11i\) 4) \(16\)

- Erinnere dich daran, wie die konjugiert komplexe Zahl zu einer Zahl gebildet wird. - Welche binomische Formel lässt sich beim Multiplizieren einer komplexen Zahl mit ihrer Konjugierten anwenden? - Was passiert mit der imaginären Einheit \(i\), wenn sie quadriert wird? - Überlege, welche Werte Quadrate von reellen Zahlen annehmen können.

1. Berechnung für \(z_1\): Die konjugiert komplexe Zahl ist \(\bar{z}_1 = 6 + 8i\). Das Produkt ergibt sich zu \((6 - 8i) \cdot (6 + 8i) = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\). 2. Berechnung für \(z_2\): Die konjugiert komplexe Zahl ist \(\bar{z}_2 = \sqrt{7} - i\sqrt{2}\). Das Produkt ergibt sich zu \((\sqrt{7} + i\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{7} - i\sqrt{2}) = (\sqrt{7})^2 + (\sqrt{2})^2 = 7 + 2 = 9\). 3. Allgemeiner Beweis: Für \(z = a + bi\) gilt \(\bar{z} = a - bi\). Das Produkt ist \(z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2 i^2 = a^2 + b^2\). 4. Da \(a\) und \(b\) reelle Zahlen sind, sind \(a^2\) und \(b^2\) reell und jeweils \(\ge 0\). Somit ist auch ihre Summe \(a^2 + b^2\) reell und \(\ge 0\).

a) \(z_1 \cdot \bar{z}_1 = 100\) und \(z_2 \cdot \bar{z}_2 = 9\). b) Das Produkt ergibt \(z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2\). Da Quadrate reeller Zahlen nie negativ sind, ist auch deren Summe stets reell und \(\ge 0\).

- Wie kannst du den Nenner so umformen, dass er eine rein reelle Zahl wird? - Welche Rolle spielt die konjugiert komplexe Zahl bei der Division? - Erinnere dich an die Definition \(i^2 = -1\). - Was passiert, wenn du eine komplexe Zahl mit ihrer konjugiert komplexen Zahl multiplizierst?

1. Für Teilaufgabe a): Erweiterung des Bruchs mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners \(2 - i\). 2. Berechnung des Nenners: \((2 + i)(2 - i) = 2^2 - i^2 = 4 + 1 = 5\). 3. Berechnung des Zählers: \((3 - 4i)(2 - i) = 6 - 3i - 8i + 4i^2 = 6 - 11i - 4 = 2 - 11i\). 4. Division der Komponenten durch den Nenner: \(\frac{2}{5} - \frac{11}{5}i = 0{,}4 - 2{,}2i\). 5. Für Teilaufgabe b): Erweiterung des Bruchs mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners \(1 + 2i\). 6. Berechnung des Nenners: \((1 - 2i)(1 + 2i) = 1^2 + 2^2 = 5\). 7. Berechnung des Zählers: \(5(1 + 2i) = 5 + 10i\). 8. Vereinfachung des Bruchs: \(\frac{5 + 10i}{5} = 1 + 2i\).

a) \(0{,}4 - 2{,}2i\) b) \(1 + 2i\)

- Wie lässt sich die Gleichung nach der unbekannten Zahl auflösen? - Welche Rechenoperation ist nötig, um einen Faktor auf die andere Seite zu bringen? - Wie ist der Betrag einer komplexen Zahl definiert, wenn die Form \(a + bi\) bekannt ist?

1. Umstellen der Gleichung nach \(z\) durch Division: \(z = \frac{3 + 5i}{1 - i}\). 2. Erweitern des Bruchs mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners \(1 + i\). 3. Berechnung des Nenners: \((1 - i)(1 + i) = 1^2 + 1^2 = 2\). 4. Berechnung des Zählers: \((3 + 5i)(1 + i) = 3 + 3i + 5i + 5i^2 = 3 + 8i - 5 = -2 + 8i\). 5. Bestimmung von \(z\): \(z = \frac{-2 + 8i}{2} = -1 + 4i\). 6. Berechnung des Betrags: \(|z| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}\).

a) \(z = -1 + 4i\) b) \(|z| = \sqrt{17}\)

- Um eine komplexe Zahl im Nenner zu eliminieren, kann man den Bruch mit einer geschickt gewählten Zahl erweitern, sodass im Nenner eine reelle Zahl entsteht. - Erinnerst du dich an die dritte binomische Formel? Wie hilft sie dir hier weiter, wenn du das Vorzeichen des Imaginärteils umkehrst? - Denk daran, dass \(i^2 = -1\) gilt, wenn du die Klammern im Zähler auflöst.

1. Erweitern mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners \((1 - i)\): \(\frac{(2 + 4i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{2 - 2i + 4i - 4i^2}{1^2 + 1^2} = \frac{2 + 2i + 4}{2} = \frac{6 + 2i}{2}\). Ergebnis: \(3 + i\). 2. Erweitern mit der konjugiert komplexen Zahl \((1 + 3i)\): \(\frac{10(1 + 3i)}{(1 - 3i)(1 + 3i)} = \frac{10(1 + 3i)}{1^2 + 3^2} = \frac{10(1 + 3i)}{10}\). Ergebnis: \(1 + 3i\). 3. Erweitern mit der konjugiert komplexen Zahl \((2 - i)\): \(\frac{5i(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{10i - 5i^2}{2^2 + 1^2} = \frac{10i + 5}{5}\). Ergebnis: \(1 + 2i\).

1) \(3 + i\) 2) \(1 + 3i\) 3) \(1 + 2i\)

- Wie kann man einen Bruch so erweitern, dass im Nenner eine reelle Zahl entsteht? - Erinnere dich an die dritte binomische Formel im Zusammenhang mit komplexen Zahlen. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du \(i^2\) berechnest?

1. Multiplikation von Zähler und Nenner von \(z_1\) mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners \(2 + i\): \(\frac{(1 + 7i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)}\). 2. Ausmultiplizieren des Zählers: \(2 + i + 14i + 7i^2 = 2 + 15i - 7 = -5 + 15i\). 3. Berechnen des Nenners: \(2^2 + 1^2 = 5\). 4. Division durch den Nenner: \(\frac{-5 + 15i}{5} = -1 + 3i\). 5. Multiplikation von Zähler und Nenner von \(z_2\) mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners \(3 - i\): \(\frac{10(3 - i)}{(3 + i)(3 - i)}\). 6. Berechnen des Nenners: \(3^2 + 1^2 = 10\). 7. Kürzen des Bruchs: \(\frac{10(3 - i)}{10} = 3 - i\).

1) \(z_1 = -1 + 3i\) 2) \(z_2 = 3 - i\)

- Was passiert, wenn du den Bruch mit dem konjugierten Ausdruck des Nenners erweiterst? - Erinnerst du dich an die Eigenschaft \(i^2 = -1\)? - Kannst du den Zähler so umformen, dass ein gemeinsamer Faktor mit dem Nenner sichtbar wird? - Was bedeutet es für den Realteil, wenn das Ergebnis nur ein Vielfaches von \(i\) ist?

1. Multiplikation von Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners: \(\frac{(a + 2i)(2 + ai)}{(2 - ai)(2 + ai)}\) 2. Ausmultiplizieren des Nenners: \(2^2 + (-a)^2 = 4 + a^2\) 3. Ausmultiplizieren des Zählers: \(2a + a^2i + 4i + 2ai^2 = 2a + i(a^2 + 4) - 2a = i(a^2 + 4)\) 4. Kürzen des Bruchs: \(\frac{i(a^2 + 4)}{4 + a^2} = i\) 5. Ablesen der Komponenten: \(\operatorname{Re}(z) = 0\) und \(\operatorname{Im}(z) = 1\)

\(\operatorname{Re}(z) = 0\) und \(\operatorname{Im}(z) = 1\)

- Womit muss man einen Bruch erweitern, um die imaginäre Einheit im Nenner zu eliminieren? - Wie hängen eine komplexe Zahl und ihre konjugiert komplexe Zahl zusammen? - Was ist die Definition des Kehrwerts einer Zahl?

1. Zur Division von \(z_1\) durch \(z_2\) wird der Bruch mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners \(\bar{z}_2 = 1 + 2i\) erweitert: \(\frac{(3 + i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)}\). 2. Das Ausmultiplizieren des Zählers ergibt \(3 + 6i + i + 2i^2 = 3 + 7i - 2 = 1 + 7i\). Der Nenner ergibt sich zu \(1^2 + 2^2 = 5\). 3. Durch Trennung der Terme erhält man \(w = \frac{1}{5} + \frac{7}{5}i = 0{,}2 + 1{,}4i\). 4. Für den Kehrwert von \(z_1\) wird der Ausdruck \(\frac{1}{3 + i}\) mit der konjugiert komplexen Zahl \(3 - i\) erweitert: \(\frac{1(3 - i)}{(3 + i)(3 - i)} = \frac{3 - i}{3^2 + 1^2} = \frac{3 - i}{10}\). 5. Das Ergebnis in algebraischer Form lautet \(z_1^{-1} = \frac{3}{10} - \frac{1}{10}i = 0{,}3 - 0{,}1i\).

a) \(w = 0{,}2 + 1{,}4i\) b) \(z_1^{-1} = 0{,}3 - 0{,}1i\)

- Wie kann man einen Bruch so umformen, dass im Nenner keine komplexe Zahl mehr steht? - Erinnere dich an die Definition der imaginären Einheit \(i^2\). - Was passiert, wenn man eine komplexe Zahl mit ihrer konjugiert komplexen Zahl multipliziert? - Kannst du den Ausdruck Schritt für Schritt in die Form \(a + bi\) bringen?

1. Erweiterung des ersten Bruchs mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners (\(1 + i\)) liefert \(\frac{(1 + 3i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + i + 3i - 3}{2} = \frac{-2 + 4i}{2} = -1 + 2i\). 2. Umformung des Terms \(\frac{2}{i}\) durch Erweitern mit \(i\) ergibt \(\frac{2i}{i^2} = -2i\). 3. Zusammenführung der Ergebnisse durch Subtraktion: \(z = (-1 + 2i) - (-2i) = -1 + 4i\). 4. Bestimmung der Komponenten: \(\operatorname{Re}(z) = -1\) und \(\operatorname{Im}(z) = 4\).

\(\operatorname{Re}(z) = -1\); \(\operatorname{Im}(z) = 4\)

- Erinnerst du dich an die binomischen Formeln für reelle Zahlen? Diese lassen sich auch auf komplexe Zahlen übertragen. - Was passiert, wenn du die imaginäre Einheit \(i\) quadrierst? - Achte beim Subtrahieren besonders auf die Vorzeichen in der Klammer. - Gibt es vielleicht eine Formel, mit der man die Differenz zweier Quadrate direkt vereinfachen kann?

1. Quadrieren des ersten Terms unter Verwendung der ersten binomischen Formel: \((2 + 3i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3i + (3i)^2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i\). 2. Quadrieren des zweiten Terms unter Verwendung der zweiten binomischen Formel: \((2 - 3i)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3i + (3i)^2 = 4 - 12i - 9 = -5 - 12i\). 3. Subtraktion der beiden Ergebnisse: \((-5 + 12i) - (-5 - 12i) = -5 + 12i + 5 + 12i = 24i\). Alternativ kann die dritte binomische Formel \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) angewendet werden: \(((2+3i)-(2-3i)) \cdot ((2+3i)+(2-3i)) = (6i) \cdot (4) = 24i\).

\(24i\)

- Wie verhalten sich die Potenzen der imaginären Einheit \(i\), wenn man sie nacheinander erhöht? - Gibt es ein Muster oder eine Periodizität bei den Werten von \(i^n\)? - Überlege dir, welchen Rest der Exponent bei der Division durch 4 lässt.

1. Berechnung von \(i^{2023}\): Da \(2023 \equiv 3 \pmod{4}\), gilt \(i^{2023} = i^3 = -i\). 2. Berechnung von \(i^{2024}\): Da \(2024 \equiv 0 \pmod{4}\), gilt \(i^{2024} = i^0 = 1\). 3. Berechnung von \(i^{2025}\): Da \(2025 \equiv 1 \pmod{4}\), gilt \(i^{2025} = i^1 = i\). 4. Addition der Teilwerte: \(z = -i + 1 + i = 1\). 5. Angabe in der geforderten Form: \(z = 1 + 0i\).

\(z = 1 + 0i\) (oder einfach \(1\))

- Erinnere dich an den Zyklus der Potenzen von \(i\). - Was passiert, wenn du eine Potenz wie \(i^4\) oder \(i^8\) als Faktor isolierst? - Achte bei negativen Vorzeichen in Klammern genau auf den Exponenten.

1. Da \(i^4 = 1\), betrachtet man den Rest des Exponenten bei Division durch 4. Für \(i^{123}\) gilt \(123 = 4 \cdot 30 + 3\), woraus \(i^{123} = i^3 = -i\) folgt. 2. Die einzelnen Potenzen ergeben \(i^{10} = i^2 = -1\), \(i^{11} = i^3 = -i\), \(i^{12} = i^0 = 1\) und \(i^{13} = i^1 = i\). Die Summe lautet \(-1 - i + 1 + i = 0\). 3. Zuerst wird \((-i)^7\) berechnet: \((-1)^7 \cdot i^7 = -1 \cdot i^3 = -1 \cdot (-i) = i\). Dann wird \(i^{21} = i^1 = i\) bestimmt. Das Produkt ergibt \(i \cdot i = i^2 = -1\).

a) \(-i\) b) \(0\) c) \(-1\)

- Wie multipliziert man zwei komplexe Zahlen in der Form \(a+bi\)? - Was passiert mit dem Term \(i^2\)? - Wie kann man einen Bruch mit einer komplexen Zahl im Nenner so erweitern, dass der Nenner reell wird?

1. Berechnung des Zählers durch Ausmultiplizieren: \((3+i)(1-2i) = 3 - 6i + i - 2i^2 = 5-5i\). 2. Erweiterung des Bruchs mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners \(2-i\). 3. Berechnung des neuen Nenners: \((2+i)(2-i) = 2^2 + 1^2 = 5\). 4. Berechnung des neuen Zählers: \((5-5i)(2-i) = 10 - 5i - 10i + 5i^2 = 5 - 15i\). 5. Division der Terme durch den Nenner: \(\frac{5-15i}{5} = 1 - 3i\).

\(1 - 3i\)

- Kannst du die Basis zuerst vereinfachen oder faktorisieren? - Gibt es eine binomische Formel, die hier hilfreich sein könnte? - Wie verhalten sich die Potenzen der imaginären Einheit \(i\)? - Könnte es einfacher sein, das Quadrat der Zahl zuerst zu berechnen und dieses dann erneut zu quadrieren?

1. Berechnung von \((2 - 2i)^4\): Zuerst wird die Basis vereinfacht: \(2 - 2i = 2(1 - i)\). Es gilt \((1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i\). Damit folgt \((1 - i)^4 = (-2i)^2 = 4i^2 = -4\). Das Endergebnis ist \(2^4 \cdot (-4) = 16 \cdot (-4) = -64\). In der Form \(a + bi\): \(-64 + 0i\). 2. Berechnung von \((-\sqrt{3} + i)^3\): Anwendung des binomischen Lehrsatzes: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Hier ist \(a = -\sqrt{3}\) und \(b = i\). \(a^3 = (-\sqrt{3})^3 = -3\sqrt{3}\). \(3a^2b = 3(-\sqrt{3})^2 \cdot i = 3 \cdot 3 \cdot i = 9i\). \(3ab^2 = 3(-\sqrt{3}) \cdot i^2 = -3\sqrt{3} \cdot (-1) = 3\sqrt{3}\). \(b^3 = i^3 = -i\). Summieren der Terme: \(-3\sqrt{3} + 9i + 3\sqrt{3} - i = 8i\). In der Form \(a + bi\): \(0 + 8i\).

1) \(-64\) 2) \(8i\)

- Wie lautet die binomische Formel für den Ausdruck \((a+b)^2\)? - Was passiert mit dem Term, der \(i^2\) enthält? - Welche Bedingung muss für den Realteil einer komplexen Zahl erfüllt sein, damit sie als rein imaginär bezeichnet wird? - Kannst du den Ausdruck für \(z^2\) so umformen, dass Real- und Imaginärteil deutlich getrennt sind?

1. Berechnung von \(z^2\) unter Verwendung der binomischen Formel: \(z^2 = (k + (k-1)i)^2 = k^2 + 2 \cdot k \cdot (k-1)i + (k-1)^2i^2\) 2. Anwendung der Eigenschaft \(i^2 = -1\): \(z^2 = k^2 + 2k(k-1)i - (k-1)^2 = k^2 - (k^2 - 2k + 1) + 2k(k-1)i = 2k - 1 + 2k(k-1)i\) 3. Eine komplexe Zahl ist rein imaginär, wenn ihr Realteil gleich \(0\) ist: \(\text{Re}(z^2) = 2k - 1 = 0\) 4. Lösen der Gleichung nach \(k\): \(2k = 1 \implies k = 0{,}5\) 5. Überprüfung des Imaginärteils für \(k = 0{,}5\): \(\text{Im}(z^2) = 2 \cdot 0{,}5 \cdot (0{,}5 - 1) = 1 \cdot (-0{,}5) = -0{,}5 \neq 0\). Somit ist \(z^2 = -0{,}5i\) rein imaginär.

Der gesuchte Wert ist \(k = 0{,}5\).

- Wie kannst du den Nenner eines Bruchs reell machen? - Erinnere dich an die dritte binomische Formel im Zusammenhang mit komplexen Zahlen. - Was passiert mit \(i^2\), wenn du Klammern auflöst? - Achte darauf, den gesamten Zähler durch den neuen reellen Nenner zu teilen.

1. Den Bruch mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners, also mit \(1 - i\sqrt{2}\), erweitern: \(\frac{(3 - i\sqrt{2})(1 - i\sqrt{2})}{(1 + i\sqrt{2})(1 - i\sqrt{2})}\). 2. Den Nenner berechnen: \(1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3\). 3. Den Zähler ausmultiplizieren: \(3 \cdot 1 - 3 \cdot i\sqrt{2} - i\sqrt{2} \cdot 1 + i^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 3 - 4i\sqrt{2} - 2 = 1 - 4i\sqrt{2}\). 4. Den Ausdruck in Real- und Imaginärteil trennen: \(z = \frac{1}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}i\).

\(z = \frac{1}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}i\)

- Setze jeden neuen Wert wieder in dieselbe Rekursionsvorschrift ein. - Woran erkennst du bei den ersten beiden Parametern ein Verhalten, das sich dauerhaft wiederholt? - Für den dritten Parameter reicht eine wachsende Werteliste allein noch nicht als Begründung. Suche eine Ungleichung, die das weitere Wachstum sichert.

1. Für \(c=0\) gilt \(z_0=z_1=z_2=z_3=z_4=0\). Die Folge ist konstant und damit beschränkt. 2. Für \(c=-1\) erhält man \(z_0=0\), \(z_1=-1\), \(z_2=0\), \(z_3=-1\) und \(z_4=0\). Die Werte wechseln periodisch zwischen \(0\) und \(-1\), also ist die Folge beschränkt. 3. Für \(c=1\) erhält man \(z_0=0\), \(z_1=1\), \(z_2=2\), \(z_3=5\) und \(z_4=26\). 4. Ab \(z_1\) gilt \(z_n\ge 1\). Daher ist \(z_{n+1}=z_n^2+1\ge z_n+1\). Die Folge wächst somit über jede Schranke und ist unbeschränkt.

a) Für \(c=0\): \(z_0=0\), \(z_1=0\), \(z_2=0\), \(z_3=0\), \(z_4=0\); beschränkt. Für \(c=-1\): \(z_0=0\), \(z_1=-1\), \(z_2=0\), \(z_3=-1\), \(z_4=0\); beschränkt. b) Für \(c=1\): \(z_0=0\), \(z_1=1\), \(z_2=2\), \(z_3=5\), \(z_4=26\); die Folge ist unbeschränkt.

- Prüfe die Behauptung am angegebenen Parameter, statt sie nur allgemein zu beurteilen. - Beobachte, ob nach dem Erreichen eines bestimmten Werts ein wiederkehrendes Verhalten entsteht. - Achte beim Fluchtkriterium genau darauf, ob die Ungleichung strikt oder nicht strikt ist.

1. Für \(c=-2\) gilt \(z_0=0\), \(z_1=-2\), \(z_2=2\), \(z_3=2\), \(z_4=2\) und \(z_5=2\). 2. Der Wert \(2\) ist ein Fixpunkt, denn \(2^2-2=2\). Die Folge bleibt daher ab \(z_2\) konstant und ist beschränkt. 3. Noors Behauptung ist falsch. Das angegebene Fluchtkriterium verwendet die strikte Bedingung \(|z_n|>2\); aus \(|z_n|=2\) allein folgt keine Unbeschränktheit.

\(z_0=0\), \(z_1=-2\), \(z_2=z_3=z_4=z_5=2\). Die Folge ist beschränkt. Die Bedingung \(|z_n|=2\) reicht nicht; das Fluchtkriterium lautet hier \(|z_n|>2\).

- Prüfe die angegebene reelle Lösung zuerst unabhängig von der historischen Lösungsformel. - Unterscheide zwischen einer reellen Endlösung und den Zahlen, die während eines Lösungsverfahrens auftreten. - Frage dich für den letzten Teil, welches wiederkehrende Problem eine Erweiterung eines Zahlbereichs mathematisch löst.

1. Für \(x=4\) gilt \(4^3=64\) und \(15\cdot4+4=64\). Damit ist \(4\) tatsächlich eine reelle Lösung. 2. In \(\mathbb R\) besitzt keine Zahl das Quadrat \(-121\). In \(\mathbb C\) hat die Gleichung \(w^2=-121\) die Lösungen \(w=\pm11i\); dadurch lassen sich die in der kubischen Lösungsformel auftretenden komplexen Zwischenwerte algebraisch behandeln. 3. Das historische Beispiel zeigt, dass komplexe Zahlen nicht nur eingeführt wurden, um neue Endlösungen für Gleichungen wie \(x^2+1=0\) zu benennen. Sie wurden auch als Rechenobjekte nützlich, wenn bei der Lösung von Gleichungen mit reellen Lösungen komplexe Zwischenwerte auftreten. 4. Ein Zahlbereich wird erweitert, wenn mathematische Operationen oder Lösungsverfahren im bisherigen Bereich an eine Grenze stoßen und ein größerer Bereich diese Operationen konsistent ermöglicht.

a) \(4^3=64=15\cdot4+4\). b) In \(\mathbb R\) hat \(w^2=-121\) keine Lösung; in \(\mathbb C\) sind \(w=\pm11i\) möglich, sodass die komplexen Zwischenwerte verarbeitet werden können. c) Komplexe Zahlen wurden auch als notwendige Zwischenwerte in Verfahren für Gleichungen mit reellen Lösungen bedeutsam. d) Zahlbereiche werden erweitert, wenn der bisherige Bereich bestimmte mathematische Operationen oder Lösungsverfahren nicht geschlossen ermöglicht.

- Welche Rolle spielt die Diskriminante in der quadratischen Lösungsformel? - Was ändert sich bei einer negativen Diskriminante, wenn \(i\) zur Verfügung steht? - Beziehe alle drei Vorzeichenfälle der Diskriminante in deine Erklärung ein.

1. Für \(D>0\) ist \(\sqrt D\) reell; die Lösungsformel liefert zwei reelle und damit auch komplexe Lösungen. 2. Für \(D=0\) liefert die Lösungsformel die doppelte reelle Lösung \(x=-\frac{b}{2a}\). 3. Für \(D<0\) ist \(-D>0\) und \(\sqrt D=i\sqrt{-D}\) in \(\mathbb C\) definiert. Damit liefert die Lösungsformel zwei zueinander konjugierte komplexe Lösungen. 4. Somit besitzt jede quadratische Gleichung mit \(a\neq0\) in \(\mathbb C\) Lösungen; mit Vielfachheit gezählt sind es zwei.

Für \(D\ge0\) erhält man reelle Lösungen. Für \(D<0\) gilt \(\sqrt D=i\sqrt{-D}\), sodass die Lösungsformel komplexe Lösungen liefert. Daher ist jede quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten und \(a\neq0\) in \(\mathbb C\) lösbar.

- Welche besondere Vereinfachung ergibt sich im ersten Iterationsschritt aus \(z_0=0\)? - Verwende nach der Bestimmung von \(c\) ausschließlich die Iterationsvorschrift für die nächsten beiden Werte. - Vergleiche für das Fluchtkriterium die Beträge deiner berechneten Werte mit dem Radius des eingezeichneten Kreises.

1. Aus der Abbildung ist \(z_1=i\) ablesbar. Wegen \(z_1=z_0^2+c=c\) ist \(c=i\). 2. Es gilt \(z_2=i^2+i=-1+i\) und \(z_3=(-1+i)^2+i=-i\). 3. Die Beträge sind \(|z_1|=1\), \(|z_2|=\sqrt2\) und \(|z_3|=1\). Alle drei Werte liegen damit innerhalb des Kreises \(|z|=2\); bis zu diesem Schritt tritt das Fluchtkriterium nicht ein.

a) \(z_1=i\), also \(c=i\) b) \(z_2=-1+i\), \(z_3=-i\) c) \(|z_1|=1\), \(|z_2|=\sqrt2\), \(|z_3|=1\); bis einschließlich \(z_3\) tritt \(|z_n|>2\) nicht ein.

- Multipliziere komplexe Zahlen wie Binome aus und ersetze jedes \(i^2\) durch \(-1\). - Um einen Bruch mit einer komplexen Zahl im Nenner zu vereinfachen, musst du den Nenner „reell machen“. Welcher Faktor hilft dabei? - Die konjugiert komplexe Zahl unterscheidet sich nur im Vorzeichen des Imaginärteils. - Nutze die dritte binomische Formel für das Produkt einer Zahl mit ihrer Konjugierten.

1. Berechnung des Produkts: \(z_1 \cdot z_2 = (1 + 2i)(3 - i) = 3 - i + 6i - 2i^2\). Da \(i^2 = -1\), folgt \(3 + 5i + 2 = 5 + 5i\). 2. Berechnung des Quotienten: Erweitern des Bruchs mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners: \(\frac{1 + 2i}{3 - i} = \frac{(1 + 2i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)}\). 3. Ausmultiplizieren des Zählers: \((1 + 2i)(3 + i) = 3 + i + 6i + 2i^2 = 3 + 7i - 2 = 1 + 7i\). 4. Ausmultiplizieren des Nenners: \((3 - i)(3 + i) = 3^2 - i^2 = 9 - (-1) = 10\). 5. Ergebnis des Quotienten: \(\frac{1 + 7i}{10} = \frac{1}{10} + \frac{7}{10}i = 0{,}1 + 0{,}7i\). 6. Allgemeiner Beweis für \(z \cdot \bar{z}\): \((a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2i^2 = a^2 + b^2\). Da \(a^2 \ge 0\) und \(b^2 \ge 0\) für alle reellen Zahlen \(a, b\), ist die Summe \(a^2 + b^2\) stets eine reelle Zahl \(\ge 0\).

a) \(z_1 \cdot z_2 = 5 + 5i\) b) \(\frac{z_1}{z_2} = 0{,}1 + 0{,}7i\) c) Der Nachweis erfolgt über \(z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2\), was für \(a, b \in \mathbb{R}\) immer \(\ge 0\) ist.

- Welche Beziehung besteht zwischen den Seiten eines Parallelogramms? - Wie kann man die Verschiebung von einem Punkt zum anderen als Differenz komplexer Zahlen ausdrücken? - Überlege, welcher Vektor addiert werden muss, um von Punkt \(A\) zu Punkt \(D\) zu gelangen, wenn man die Verschiebung von \(B\) nach \(C\) kennt.

1. In einem Parallelogramm \(ABCD\) sind die gegenüberliegenden Seitenvektoren gleich, also gilt \(\vec{AB} = \vec{DC}\). 2. Berechnung des Verbindungsvektors \(\vec{AB}\) durch die Differenz der komplexen Zahlen: \(\vec{AB} = z_B - z_A = (4 + 2i) - (1 + i) = 3 + i\). 3. Da \(\vec{DC} = z_C - z_D\), folgt durch Umstellen: \(z_D = z_C - \vec{AB}\). 4. Einsetzen der Werte: \(z_D = (2 + 5i) - (3 + i) = (2 - 3) + (5 - 1)i = -1 + 4i\). 5. Alternativer Weg über \(\vec{AD} = \vec{BC}\): \(z_D = z_A + (z_C - z_B) = (1 + i) + ((2 + 5i) - (4 + 2i)) = (1 + i) + (-2 + 3i) = -1 + 4i\).

\(z_D = -1 + 4i\)

- Welche Wirkung hat die Multiplikation mit einer komplexen Zahl vom Betrag \(1\) auf die Länge eines Vektors? - Vergleiche die Koordinaten von \(z\) und \(iz\). - Welche Eigenschaften der Seiten reichen aus, um das entstehende Parallelogramm genauer zu bestimmen?

1. Es ist \(w_1=i(5+2i)=-2+5i\). Die Multiplikation mit \(i\) dreht den Vektor um \(90^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn und lässt seine Länge unverändert. 2. Es ist \(w_2=z+w_1=(5-2)+(2+5)i=3+7i\). 3. Die Vektoren zu \(z\) und \(w_1\) sind gleich lang und stehen senkrecht aufeinander. Das von ihnen aufgespannte Parallelogramm ist deshalb ein Quadrat.

1. \(w_1=-2+5i\); der Vektor wird um \(90^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn gedreht, ohne seine Länge zu ändern. 2. \(w_2=3+7i\). 3. Das Viereck ist ein Quadrat, weil die beiden aufspannenden Vektoren gleich lang und orthogonal sind.

- Was passiert mit dem Imaginärteil, wenn man mit \(i\) multipliziert? Denke an die Definition \(i^2 = -1\). - Wie berechnet man den Abstand zweier Punkte in der Ebene mit Hilfe komplexer Zahlen? - Stelle dir die Lage der Punkte \(z\) und \(w\) im Koordinatensystem vor. In welchem Quadranten liegen sie? - Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Winkel zum Ursprung und der Multiplikation mit \(i\)?

1. Berechnung von \(w\): \(w = i \cdot (2 + 2i) = 2i + 2i^2 = 2i - 2 = -2 + 2i\). 2. Berechnung der Beträge: \(|z| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} \approx 2{,}83\); \(|w| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} \approx 2{,}83\). Feststellung: Die Beträge sind identisch. 3. Berechnung des Abstands: \(|z - w| = |(2 - (-2)) + (2i - 2i)| = |4| = 4\). 4. Geometrische Beschreibung: Die Multiplikation mit \(i\) entspricht einer Drehung um \(90^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung der Gaußschen Zahlenebene. Da der Betrag gleich bleibt, handelt es sich um eine reine Drehung ohne Streckung.

a) \(w = -2 + 2i\) b) \(|z| = \sqrt{8} \approx 2{,}83\); \(|w| = \sqrt{8} \approx 2{,}83\). Die Beträge sind gleich. c) Abstand: \(4\) d) Es handelt sich um eine Drehung um den Ursprung um \(90^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn.

- Was passiert mit dem Vorzeichen des Imaginärteils, wenn man eine Zahl konjugiert? - Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn ihre Realteile und ihre Imaginärteile jeweils übereinstimmen. - Wenn eine Summe eine rein reelle Zahl ergibt, was bedeutet das für den Imaginärteil des Ergebnisses?

1. Substitution von \(z = a + bi\) und \(\bar{z} = a - bi\) in die Gleichung: \(2(a + bi) + (a - bi) = 9 + 2i\). 2. Zusammenfassen der Terme: \(2a + 2bi + a - bi = 3a + bi = 9 + 2i\). 3. Koeffizientenvergleich (Real- und Imaginärteil): \(3a = 9 \Rightarrow a = 3\) und \(b = 2\). Damit ist \(z = 3 + 2i\). 4. Berechnung von \(w\): Aus \(z + w = 12\) folgt \(w = 12 - z = 12 - (3 + 2i) = 9 - 2i\). 5. Der entsprechende Punkt in der Ebene ist \(P(9|-2)\).

a) \(a = 3\), \(b = 2\), somit \(z = 3 + 2i\) b) \(w = 9 - 2i\), Punkt: \(P(9|-2)\)

- Berechne zuerst die Ausdrücke innerhalb der Klammern. - Was passiert mit dem Real- und Imaginärteil bei der Addition? - Stell dir vor, du gehst nacheinander Wege ab. Spielt es eine Rolle, ob du zwischendurch eine Pause machst und wo? - Nutze die Eigenschaften der Addition reeller Zahlen für die Begründung.

1. Berechnung der Teilsummen: \(w_1 = (1 + 3) + (2 - 1)i = 4 + i\); \(w_2 = (3 - 2) + (-1 + 4)i = 1 + 3i\). 2. Berechnung der Gesamtsummen: \(S_1 = (4 + i) + (-2 + 4i) = (4 - 2) + (1 + 4)i = 2 + 5i\); \(S_2 = (1 + 2i) + (1 + 3i) = (1 + 1) + (2 + 3)i = 2 + 5i\). Da \(S_1 = S_2\), ist das Assoziativgesetz bestätigt. 3. In der Gaußschen Zahlenebene entspricht jede komplexe Zahl einem Verschiebungsvektor. Eine Summe entspricht dem Hintereinanderausführen dieser Verschiebungen. Die Klammerung legt lediglich fest, welcher Zwischenpunkt der Kette zuerst bestimmt wird. Da die resultierende Gesamtverschiebung nur von der Summe der Einzelkomponenten abhängt (die komponentenweise assoziativ sind), bleibt der Endpunkt der Vektorkette immer derselbe.

1. \(w_1 = 4 + i\), \(w_2 = 1 + 3i\). 2. \(S_1 = 2 + 5i\), \(S_2 = 2 + 5i\). 3. Die Klammerung ändert nur die Zwischenstationen, aber nicht die gesamte Verschiebung vom Start- zum Endpunkt.

- Schreibe die Differenz zuerst in algebraischer Form. - Welche Eigenschaft kennzeichnet eine rein reelle komplexe Zahl? - Welche Teile zweier komplexer Zahlen müssen bei Gleichheit übereinstimmen?

1. Es ist \(z-w=(x-3)+(8-y)i\). Aus \((x-3)+(8-y)i=2+5i\) folgen \(x-3=2\) und \(8-y=5\). Damit ist \(x=5\) und \(y=3\). 2. Eine rein reelle komplexe Zahl hat keinen Imaginäranteil. Deshalb muss \(8-y=0\) gelten, also \(y=8\). Der Wert von \(x\) ist dabei beliebig.

1. \(x=5\) und \(y=3\) 2. \(y=8\)

- Vergleiche bei gleichen komplexen Zahlen Real- und Imaginärteil getrennt. - Eine rein imaginäre Zahl hat den Realteil \(0\). - Prüfe zusätzlich, wann auch der Imaginärteil null wäre, da in Teil b eine von null verschiedene Zahl verlangt ist.

1. Es ist \(z_1+z_2=(a+3)+(2-b)i\). Der Vergleich mit \(5-i\) liefert \(a+3=5\) und \(2-b=-1\). Daher gilt \(a=2\) und \(b=3\). 2. Die Differenz ist \(z_1-z_2=(a-3)+(2+b)i\). Für eine rein imaginäre Zahl muss der Realteil null sein, also \(a=3\). Damit die Zahl nicht null ist, muss zusätzlich \(2+b\neq0\), also \(b\neq-2\), gelten.

a) \(a=2\) und \(b=3\). b) \(a=3\) und \(b\neq-2\).

- Verwende das Distributivgesetz, um die Klammern aufzulösen. - Denke daran, dass \(i^2\) durch \(-1\) ersetzt werden kann. - Der Realteil enthält alle Summanden ohne den Faktor \(i\), der Imaginärteil ist der reelle Koeffizient vor dem \(i\).

1. Ausmultiplizieren des ersten Produkts unter Anwendung der Regel \(i^2 = -1\): \((x + yi)(2 - i) = 2x - xi + 2yi - yi^2 = (2x + y) + (2y - x)i\). 2. Anwendung des Distributivgesetzes auf den zweiten Term: \(3(x - 2yi) = 3x - 6yi\). 3. Subtraktion der beiden Teilergebnisse und Gruppierung nach Real- und Imaginärteil: \((2x + y - 3x) + (2y - x - (-6y))i = (-x + y) + (8y - x)i\). 4. Identifikation der Komponenten: \(\text{Re}(Z) = -x + y\) und \(\text{Im}(Z) = 8y - x\).

\(Z = (-x + y) + (8y - x)i\) mit \(\text{Re}(Z) = -x + y\) und \(\text{Im}(Z) = 8y - x\)

- Wie multipliziert man zwei Klammern miteinander, wenn \(i^2 = -1\) gilt? - Überlege dir, wo die Zahl \(i\) in der Zahlenebene liegt und welchen Winkel sie mit der reellen Achse einschließt. - Wann verschwindet der Imaginärteil eines Produkts zweier komplexer Zahlen? - Erinnerst du dich an die dritte binomische Formel im Zusammenhang mit komplexen Zahlen?

1. Berechnung des Produkts: \(w = (3 + 2i)(-1 + i) = -3 + 3i - 2i + 2i^2 = -3 + i - 2 = -5 + i\). 2. Multiplikation mit \(i\): \(i \cdot z_1 = i(3 + 2i) = 3i + 2i^2 = -2 + 3i\). Geometrische Interpretation: Drehung um den Ursprung um \(90^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn. 3. Ansatz für reelles Produkt: Multiplikation mit der konjugiert komplexen Zahl \(\bar{z}_1 = 3 - 2i\). Ergebnis: \((3 + 2i)(3 - 2i) = 3^2 + 2^2 = 13\). Somit ist \(c = 3 - 2i\) eine mögliche Lösung (jedes von null verschiedene reelle Vielfache davon ist ebenfalls korrekt).

1. \(w = -5 + i\) 2. \(i \cdot z_1 = -2 + 3i\); entspricht einer Drehung um \(90^\circ\) gegen den Uhrzeigersinn. 3. Eine mögliche Zahl ist \(c = 3 - 2i\).

- Was sagt der Betrag einer komplexen Zahl über die Streckung aus? - In welche Richtung zeigt eine rein imaginäre Zahl mit positivem Koeffizienten in der Zahlenebene? - Wie wird man eine komplexe Zahl im Nenner eines Bruchs los? - Kannst du die Gleichung wie eine normale lineare Gleichung nach \(z\) umstellen?

1. Bestimmung der Polarform von \(a = 2i\): Der Betrag ist \(|2i| = 2\), was dem Streckfaktor entspricht. Die Zahl liegt auf der positiven imaginären Achse, der Drehwinkel beträgt somit \(90^\circ\) (oder \(\frac{\pi}{2}\)). 2. Berechnung des Bildes: \(w = 2i \cdot (3 - 4i) = 6i - 8i^2 = 8 + 6i\). 3. Lösen der Gleichung: \(z = \frac{4}{1+i}\). Erweitern mit dem Konjugierten des Nenners: \(z = \frac{4(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{4-4i}{1^2+1^2} = \frac{4-4i}{2} = 2 - 2i\).

1. Streckfaktor: \(2\); Drehwinkel: \(90^\circ\). 2. \(w = 8 + 6i\). 3. \(z = 2 - 2i\).

- Was muss für die Real- und Imaginärteile gelten, damit zwei komplexe Zahlen gleich sind? - Versuche zuerst, die linke Seite der Gleichung so umzuformen, dass du einen klaren Realteil und einen klaren Imaginärteil hast. - Welches Verfahren eignet sich am besten, um das entstandene Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen?

1. Einsetzen der Ausdrücke für \(u\) und \(v\) in die Gleichung: \((2x + yi) - (y - xi) = 5 + 7i\). 2. Zusammenfassen der linken Seite nach Real- und Imaginärteil: \((2x - y) + (x + y)i = 5 + 7i\). 3. Durchführung eines Koeffizientenvergleichs (Realteil gleich Realteil, Imaginärteil gleich Imaginärteil): I) \(2x - y = 5\) II) \(x + y = 7\) 4. Lösen des linearen Gleichungssystems: Addition von I und II liefert \(3x = 12\), also \(x = 4\). Einsetzen in II liefert \(4 + y = 7\), also \(y = 3\).

\(x = 4\); \(y = 3\)

- Überlege dir, was passiert, wenn du eine Zahl, die \(i\) enthält, quadrierst. - In der Gleichung kannst du versuchen, beide Seiten so zu vereinfachen, dass du die Koeffizienten vor \(i\) direkt vergleichen kannst. - Für den allgemeinen Beweis hilft es, die Definition von \(i^2\) direkt in die Formel einzusetzen. - Was weißt du über das Vorzeichen von Quadratzahlen im Bereich der reellen Zahlen?

1. Berechnung des Produkts: \(4 \cdot (-2{,}5) \cdot i^2 = -10 \cdot (-1) = 10\). 2. Umformung der Gleichung: \((xi)^2 \cdot 2i = x^2 \cdot i^2 \cdot 2i = x^2 \cdot (-1) \cdot 2i = -2x^2 i\). Gleichsetzen mit der rechten Seite: \(-2x^2 i = -18i\). Division durch \(-2i\) ergibt \(x^2 = 9\). Daraus folgen die reellen Lösungen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 3. Allgemeine Begründung: Für \(z = ki\) gilt \(z^2 = (ki)^2 = k^2 \cdot i^2\). Da \(i^2 = -1\), folgt \(z^2 = -k^2\). Da das Quadrat einer reellen Zahl \(k \neq 0\) immer positiv ist (\(k^2 > 0\)), muss das Negative davon (\(-k^2\)) immer negativ sein.

1) \(10\) 2) \(x \in \{3; -3\}\) 3) \(z^2 = (ki)^2 = -k^2\). Da \(k^2 > 0\) für \(k \neq 0\), ist \(-k^2\) stets negativ.

- Was bedeutet es für den Imaginärteil einer Zahl, wenn diese „rein reell“ sein soll? - Erinnere dich an die Definition der konjugiert komplexen Zahl: Man kehrt das Vorzeichen des Imaginärteils um. - Wie berechnet man den Betrag einer komplexen Zahl im Koordinatensystem? - Verwende für den Nachweis der Betragseigenschaft die Definition \(|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\).

1. Berechnung des Produkts: \((k + 2i)(3 - i) = 3k - ki + 6i - 2i^2 = (3k + 2) + (6 - k)i\). Damit das Ergebnis rein reell ist, muss der Imaginärteil null sein: \(6 - k = 0 \Rightarrow k = 6\). 2. Berechnung: \((a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2i^2 = a^2 + b^2\). Da \(a\) und \(b\) reell sind, sind ihre Quadrate \(a^2 \geq 0\) und \(b^2 \geq 0\). Somit ist auch die Summe \(a^2 + b^2\) stets reell und nicht-negativ. 3. Linke Seite: \(z_1 \cdot z_2 = (1 + 2i)(2 - i) = 2 - i + 4i - 2i^2 = 4 + 3i\). Betrag \(|4 + 3i| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\). Rechte Seite: \(|1 + 2i| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\) und \(|2 - i| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}\). Produkt: \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5\). Die Gleichung ist erfüllt.

1) \(k = 6\) 2) \(w \cdot \bar{w} = a^2 + b^2\); reell und \(\geq 0\), da Summe von Quadraten reeller Zahlen. 3) Ja, beide Seiten ergeben \(5\).

- Kannst du die Brüche so erweitern, dass sie denselben Nenner haben? - Nutze die Eigenschaft \(i^2 = -1\) konsequent aus. - Achte beim Quadrieren von Termen wie \(2\sqrt{3}\) darauf, beide Faktoren zu quadrieren. - Gibt es im Zähler des zweiten Ausdrucks Terme, die sich gegenseitig aufheben?

1. Erster Ausdruck: Anwendung der dritten binomischen Formel \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\). Hier ist \(a = 2\sqrt{3}\) und \(b = 5i\). Es folgt \((2\sqrt{3})^2 - (5i)^2 = 4 \cdot 3 - 25i^2 = 12 - 25(-1) = 12 + 25 = 37\). 2. Zweiter Ausdruck: Die Brüche werden auf den Hauptnenner \((x + yi)(x - yi)\) gebracht. Der Hauptnenner ergibt \(x^2 + y^2\). 3. Addition der Zähler: \(\frac{x - yi}{(x + yi)(x - yi)} + \frac{x + yi}{(x + yi)(x - yi)} = \frac{(x - yi) + (x + yi)}{x^2 + y^2}\). 4. Zusammenfassen im Zähler: \(-yi + yi = 0\), somit bleibt \(2x\) im Zähler. 5. Endergebnis: \(\frac{2x}{x^2 + y^2}\).

1) \(37\) 2) \(\frac{2x}{x^2 + y^2}\)

- Wann ist eine komplexe Zahl eine reelle Zahl? Was muss dann für den Imaginärteil gelten? - Bringe den Ausdruck zuerst in die Form \(a + bi\), indem du den Nenner reell machst. - Der Parameter \(k\) beeinflusst sowohl den Real- als auch den Imaginärteil des Ergebnisses.

1. Erweitern des Bruchs mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners \(1 - 2i\): \(z = \frac{(k + 4i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)}\). 2. Ausmultiplizieren des Zählers: \(k - 2ki + 4i - 8i^2 = k + 8 + (4 - 2k)i\). 3. Berechnen des Nenners: \(1^2 + 2^2 = 5\). 4. Darstellung in algebraischer Form: \(z = \frac{k + 8}{5} + \frac{4 - 2k}{5}i\). 5. Bedingung für eine reelle Zahl: Der Imaginärteil muss null sein, also \(\frac{4 - 2k}{5} = 0\). 6. Lösen der Gleichung nach \(k\): \(4 - 2k = 0 \Rightarrow k = 2\). 7. Einsetzen von \(k = 2\) in den Realteil: \(z = \frac{2 + 8}{5} = \frac{10}{5} = 2\).

\(k = 2\); der Wert der Zahl ist dann \(z = 2\).

- Welche reelle Struktur entsteht beim Produkt zweier konjugierter komplexer Zahlen? - Kannst du die Ausdrücke als Summe zweier Quadrate auffassen? - Beim dritten Ausdruck kann eine äquivalente quadratische Form nützlich sein.

1. Es ist \(149=10^2+7^2\), also zum Beispiel \(149=(10+7i)(10-7i)\). 2. Es ist \(25a^2+81b^2=(5a)^2+(9b)^2=(5a+9bi)(5a-9bi)\). 3. Durch quadratische Ergänzung gilt \(x^2-8x+25=(x-4)^2+9\). Damit ist \(x^2-8x+25=(x-4+3i)(x-4-3i)\).

a) Zum Beispiel \((10+7i)(10-7i)\) b) \((5a+9bi)(5a-9bi)\) c) \((x-4+3i)(x-4-3i)\)

- Wie lässt sich ein Bruch mit einem Parameter so umformen, dass Real- und Imaginärteil getrennt sind? - Welche Eigenschaft muss der Realteil einer rein imaginären Zahl besitzen? - Wie ist der Betrag einer komplexen Zahl definiert, und wie kann man die Gleichung für den Betrag quadrieren, um die Wurzel zu eliminieren?

1. Der Bruch wird mit der konjugierten Zahl des Nenners \(3 + i\) erweitert: \(\frac{(k + 3i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} = \frac{3k + ki + 9i + 3i^2}{9 + 1} = \frac{3k - 3 + (k + 9)i}{10}\). 2. Die Trennung in Real- und Imaginärteil ergibt \(z = \frac{3k - 3}{10} + \frac{k + 9}{10}i\). 3. Damit \(z\) rein imaginär ist, muss der Realteil gleich null sein: \(\frac{3k - 3}{10} = 0 \Rightarrow 3k = 3 \Rightarrow k = 1\). 4. Der Betrag ist definiert durch \(|z|^2 = x^2 + y^2\). Die Bedingung \(|z| = \sqrt{2}\) führt auf die Gleichung \(\frac{(3k - 3)^2 + (k + 9)^2}{100} = 2\). 5. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt \(9k^2 - 18k + 9 + k^2 + 18k + 81 = 200\), was sich zu \(10k^2 + 90 = 200\) vereinfacht. 6. Lösen der Gleichung nach \(k\): \(10k^2 = 110 \Rightarrow k^2 = 11\). Die Lösungen sind \(k = \sqrt{11}\) und \(k = -\sqrt{11}\).

a) \(z = \frac{3k - 3}{10} + \frac{k + 9}{10}i\) b) \(k = 1\) c) \(k = \sqrt{11}\) oder \(k = -\sqrt{11}\)

- Welche Bedingung muss der Realteil einer komplexen Zahl erfüllen, damit diese rein imaginär ist? - Wie lässt sich ein Bruch mit einer komplexen Zahl im Nenner vereinfachen? - Versuche, den Ausdruck so umzuformen, dass Real- und Imaginärteil klar getrennt sind.

1. Erweiterung des Bruchs mit dem konjugiert Komplexen des Nenners (\(2 + i\)) ergibt \(z = \frac{(a + 6i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{2a + ai + 12i - 6}{4 + 1} = \frac{(2a - 6) + (a + 12)i}{5}\). 2. Zerlegung in Realteil \(\frac{2a - 6}{5}\) und Imaginärteil \(\frac{a + 12}{5}\). 3. Bedingung für eine rein imaginäre Zahl: Der Realteil muss Null sein (\(\operatorname{Re}(z) = 0\)). 4. Lösen der Gleichung \(2a - 6 = 0\) ergibt \(a = 3\). 5. Einsetzen von \(a = 3\) in den Imaginärteil liefert \(z = \frac{3 + 12}{5}i = 3i\).

\(a = 3\); \(z = 3i\)

- Wann bezeichnen wir eine komplexe Zahl als „rein imaginär“? Was bedeutet das für ihren Realteil? - Multipliziere den Ausdruck für \(z\) mit sich selbst und sortiere das Ergebnis nach Anteilen mit und ohne \(i\). - Setze die Bedingungen aus der Aufgabenstellung Schritt für Schritt in mathematische Gleichungen oder Ungleichungen um. - Wie viele Lösungen erhältst du für die Bedingung des Realteils und welche davon erfüllt auch die Bedingung für den Imaginärteil?

1. Berechnung von \(z^2\) in Abhängigkeit von \(x\): \(z^2 = (x + 4i)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4i + (4i)^2 = x^2 + 8xi - 16\). 2. Trennung in Real- und Imaginärteil: \(\operatorname{Re}(z^2) = x^2 - 16\) und \(\operatorname{Im}(z^2) = 8x\). 3. Bedingung für eine rein imaginäre Zahl anwenden: Der Realteil muss Null sein, also \(x^2 - 16 = 0\). Dies liefert die Lösungen \(x = 4\) oder \(x = -4\). 4. Bedingung für den positiven Imaginärteil prüfen: Es muss \(\operatorname{Im}(z^2) > 0\) gelten, also \(8x > 0\). 5. Auswahl der korrekten Lösung: Da \(8 \cdot 4 = 32 > 0\) und \(8 \cdot (-4) = -32 < 0\), ist die einzige gültige Lösung \(x = 4\).

\(x = 4\)

- Kannst du im Zähler und im Nenner jeweils einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Erinnerst du dich an die Potenzgesetze für Division bei gleicher Basis? - Was passiert mit dem Bruch, wenn du Terme kürzt, die sowohl oben als auch unten stehen? - Hängt das Endergebnis am Ende noch von der Variablen \(n\) ab?

1. Ausklammern des Faktors \(i^n\) im Zähler: \(i^n + i^{n+1} = i^n \cdot (1 + i)\). 2. Ausklammern des Faktors \(i^{n+2}\) im Nenner: \(i^{n+2} + i^{n+3} = i^{n+2} \cdot (1 + i)\). 3. Kürzen des gemeinsamen Faktors \((1 + i)\): Da \(1 + i \neq 0\), vereinfacht sich der Bruch zu \(\frac{i^n}{i^{n+2}}\). 4. Anwendung der Potenzgesetze: \(\frac{i^n}{i^{n+2}} = i^{n - (n+2)} = i^{-2}\). 5. Berechnung des konstanten Wertes: \(i^{-2} = \frac{1}{i^2} = \frac{1}{-1} = -1\). 6. Da das Ergebnis \(-1\) nicht mehr von \(n\) abhängt, ist die Unabhängigkeit gezeigt.

Der Wert des Ausdrucks ist für alle \(n \in \mathbb{N}\) konstant \(-1\).

- Berechne die ersten paar Werte der Summe nacheinander. Fällt dir ein Muster auf, wie oft sich die Werte wiederholen? - Wie viele Summanden müssen zusammenkommen, damit sie sich gegenseitig aufheben? - Kannst du einen hohen Exponenten vereinfachen, indem du den Ausdruck schrittweise quadrierst?

1. Die Summe von vier aufeinanderfolgenden Potenzen von \(i\) ist immer Null: \(i^1 + i^2 + i^3 + i^4 = i - 1 - i + 1 = 0\). Daher ist \(S_8 = 0\). Es verbleibt \(S_{10} = i^9 + i^{10} = i - 1\). 2. Da jede Vierergruppe von Summanden Null ergibt, ist \(S_n = 0\) genau dann erfüllt, wenn \(n\) ein Vielfaches von 4 ist. Im Bereich \(1\) bis \(100\) sind dies die 25 Zahlen \(n \in \{4, 8, 12, \dots, 100\}\). 3. Es gilt \((1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i\). Damit folgt \((1+i)^4 = ((1+i)^2)^2 = (2i)^2 = 4i^2 = -4\). Da \(-4\) kein Imaginärteil besitzt, ist die Zahl reell.

a) \(i - 1\) b) Alle Vielfachen von 4: \(n \in \{4, 8, 12, \dots, 100\}\) (insgesamt 25 Werte) c) \((1+i)^4 = -4\), was ein Element der reellen Zahlen ist.

- Wann verschwindet der Imaginärteil beim Quadrieren einer komplexen Zahl? - Überlege dir, welche Teilausdrücke beim Ausmultiplizieren von \((a+bi)(a+bi)\) reell und welche imaginär werden. - Wenn das Ergebnis einer Quadrierung negativ ist, was sagt das über den Realteil der ursprünglichen Zahl aus? - Denke an die Definition der imaginären Einheit \(i\).

1. Berechnung des Quadrats in algebraischer Form: \(z^2 = (a+bi)^2 = a^2 + 2abi + b^2i^2 = a^2 - b^2 + 2abi\) 2. Identifikation von Realteil \(\text{Re}(z^2) = a^2 - b^2\) und Imaginärteil \(\text{Im}(z^2) = 2ab\). 3. Bedingung für eine reelle Zahl: Der Imaginärteil muss Null sein. \(2ab = 0 \iff a = 0\) oder \(b = 0\). 4. Lösung von \(z^2 = -16\): Da \(-16\) reell ist, muss \(a = 0\) oder \(b = 0\) gelten. Fall 1: \(b = 0 \implies a^2 - 0^2 = -16 \implies a^2 = -16\). Da \(a \in \mathbb{R}\), gibt es hier keine Lösung. Fall 2: \(a = 0 \implies 0^2 - b^2 = -16 \implies b^2 = 16 \implies b = 4\) oder \(b = -4\). 5. Ergebnismenge: \(z_1 = 4i\) und \(z_2 = -4i\).

a) \(z^2\) ist genau dann reell, wenn \(a = 0\) oder \(b = 0\) gilt. b) Die Lösungen sind \(z_1 = 4i\) und \(z_2 = -4i\).

- Überlege, wie sich die binomischen Formeln auf komplexe Zahlen anwenden lassen. - Erinnere dich an die Definition der konjugiert komplexen Zahl. - Was passiert mit den Vorzeichen, wenn man \(i\) quadriert? - Überlege, was die Definition eines Kehrwertes für jede beliebige Zahl (außer Null) bedeutet.

1. Einsetzen von \(z=a+bi\) und \(\bar{z}=a-bi\): \(z^2+(\bar{z})^2=(a+bi)^2+(a-bi)^2=(a^2-b^2+2abi)+(a^2-b^2-2abi)=2a^2-2b^2\). Da \(a,b\in\mathbb{R}\), ist das Ergebnis \(2(a^2-b^2)\) eine reelle Zahl. 2. Für \(n=1\): \(i^1+i^{-1}=i+\frac{1}{i}=i+\frac{i}{i^2}=i-i=0\). Für \(n=2\): \(i^2+i^{-2}=-1+\frac{1}{-1}=-1-1=-2\). 3. Die Aussage ist falsch. Das Produkt einer Zahl mit ihrem Kehrwert ist per Definition immer \(z\cdot\frac{1}{z}=1\). Der Betrag \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\) ist nur dann gleich \(1\), wenn die Zahl auf dem Einheitskreis der Gaußschen Zahlenebene liegt. Gegenbeispiel: Für \(z=2\) ist \(z\cdot\frac{1}{z}=1\), aber \(|z|=2\).

1. Der Ausdruck vereinfacht sich zu \(2(a^2-b^2)\), was für reelle \(a,b\) stets reell ist. 2. Für \(n=1\) ist der Wert \(0\), für \(n=2\) ist der Wert \(-2\). 3. Die Aussage ist falsch, da \(z\cdot z^{-1}\) immer \(1\) ergibt, der Betrag \(|z|\) jedoch jeden positiven reellen Wert annehmen kann.

- Nutze bei Brüchen die Erweiterung mit dem konjugiert Komplexen des Nenners, um den Nenner reell zu machen. - Potenzen wie \((1+i)^4\) lassen sich leichter berechnen, wenn man zuerst das Quadrat bildet. - Eine Zahl ist rein imaginär, wenn ihr Realteil exakt Null ist. - Achte beim Quadrieren von Wurzeln und der imaginären Einheit auf die Vorzeichen.

1. Berechnung von \((1 + i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i\). Damit ist \((1 + i)^4 = (2i)^2 = -4\). Division durch \(1 - i\): \(w = \frac{-4}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{-4 - 4i}{1^2 - i^2} = \frac{-4 - 4i}{2} = -2 - 2i\). 2. \(z^2 = (1 + \sqrt{3}i)^2 = 1 + 2\sqrt{3}i + (\sqrt{3}i)^2 = 1 + 2\sqrt{3}i - 3 = -2 + 2\sqrt{3}i\). Berechnung von \(z^2 - 2z = (-2 + 2\sqrt{3}i) - 2(1 + \sqrt{3}i) = -2 + 2\sqrt{3}i - 2 - 2\sqrt{3}i = -4\). Da \(-4 \in \mathbb{R}\), ist der Ausdruck reell. 3. Erweitern mit dem Konjugierten des Nenners: \(\frac{x + i}{x - i} = \frac{(x + i)^2}{x^2 + 1} = \frac{x^2 - 1 + 2xi}{x^2 + 1} = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} + \frac{2x}{x^2 + 1}i\). Damit die Zahl rein imaginär ist, muss der Realteil Null sein: \(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x = 1\) oder \(x = -1\).

1. \(w = -2 - 2i\) 2. \(z^2 = -2 + 2\sqrt{3}i\); der Ausdruck \(z^2 - 2z\) ergibt \(-4\). 3. \(x = 1\) oder \(x = -1\).

- Hier sind die Koeffizienten selbst komplexe Zahlen. Du kannst die Gleichung direkt aus der Produktform \((z - z_1)(z - z_2) = 0\) entwickeln. - Achte beim Multiplizieren der komplexen Zahlen besonders auf das Vorzeichen von \(i^2\). - Wie hängen Summe und Produkt der Wurzeln mit den Koeffizienten der Normalform zusammen?

1. Verwendung des Satzes von Vieta für die Koeffizienten: \(b = -(z_1 + z_2)\) und \(c = z_1 \cdot z_2\). 2. Berechnung des Koeffizienten \(b\): \(z_1 + z_2 = (2 + i) + (1 - 3i) = 3 - 2i\). Somit ist \(b = -(3 - 2i) = -3 + 2i\). 3. Berechnung des Koeffizienten \(c\): \(z_1 \cdot z_2 = (2 + i)(1 - 3i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-3i) + i \cdot 1 + i \cdot (-3i) = 2 - 6i + i - 3i^2\). 4. Da \(i^2 = -1\), ergibt sich \(c = 2 - 5i + 3 = 5 - 5i\). 5. Die quadratische Gleichung lautet \(z^2 + (-3 + 2i)z + (5 - 5i) = 0\).

Die Koeffizienten sind \(b = -3 + 2i\) und \(c = 5 - 5i\). Die Gleichung lautet \(z^2 + (-3 + 2i)z + (5 - 5i) = 0\).

- Welche besondere Eigenschaft haben die Nullstellen einer quadratischen Funktion mit reellen Koeffizienten, wenn die Diskriminante negativ ist? - Nutze den Zusammenhang zwischen den Nullstellen und den Parametern \(p\) und \(q\) einer quadratischen Gleichung in Normalform. - Was muss für die Diskriminante gelten, damit eine Gleichung nur komplexe (nicht-reelle) Lösungen hat?

1. Da die Koeffizienten \(p\) und \(q\) reell sind, müssen komplexe Lösungen paarweise konjugiert auftreten. Somit ist \(z_2 = \bar{z}_1 = 3 + 4i\). 2. Nach dem Satz von Vieta gilt \(p = -(z_1 + z_2)\). Einsetzen ergibt \(p = -(3 - 4i + 3 + 4i) = -6\). 3. Für den Koeffizienten \(q\) gilt nach Vieta \(q = z_1 \cdot z_2\). Einsetzen ergibt \(q = (3 - 4i)(3 + 4i) = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\). 4. Berechnung der Diskriminante: \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 25 = 36 - 100 = -64\). Da \(D < 0\) ist, besitzt die Gleichung keine reellen Lösungen.

a) \(z_2 = 3 + 4i\), da bei reellen Koeffizienten komplexe Lösungen immer konjugiert komplex auftreten. b) \(p = -6\) und \(q = 25\). c) \(D = -64\). Da \(D < 0\), gibt es keine reellen Lösungen.

- Was bedeutet der Betrag einer Differenz zweier komplexer Zahlen geometrisch? - Welche geometrische Form wird durch eine Ungleichung mit einem festen Radius beschrieben? - Wie wirkt sich eine Bedingung an den Imaginärteil auf die Position in der Ebene aus? - Skizziere die beiden Bedingungen in einem Koordinatensystem, um die Schnittmenge zu erkennen.

1. Die Bedingung \(|z - (1 + 2i)| \le 2\) beschreibt eine Kreisscheibe in der Gaußschen Zahlenebene mit dem Mittelpunkt \(C(1|2)\) und dem Radius \(r = 2\). 2. Die Bedingung \(\text{Im}(z) \ge 2\) beschreibt eine Halbebene, die alle Punkte oberhalb oder auf der horizontalen Geraden \(y = 2\) umfasst. 3. Da der Mittelpunkt des Kreises \(C(1|2)\) genau auf der Begrenzungsgeraden \(y = 2\) der Halbebene liegt, halbiert diese Gerade die Kreisscheibe. Die Schnittmenge ist somit eine Halbkreisscheibe. 4. Der Flächeninhalt eines Kreises berechnet sich durch \(A_{\text{Kreis}} = \pi r^2\). Für den Halbkreis ergibt sich \(A = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 2^2 = 2\pi \approx 6{,}28\).

Die Punktmenge \(M\) beschreibt eine Halbkreisscheibe mit Radius \(2\). Ihr Flächeninhalt beträgt \(2\pi\).

- Wie löst man quadratische Gleichungen, wenn die Diskriminante negativ ist? - Erinnerst du dich an den Satz von Vieta für quadratische Gleichungen? - Stelle dir die komplexen Zahlen als Punkte in einem Koordinatensystem vor. - Welche einfache Formel für Dreiecksflächen könnte hier nützlich sein, wenn eine Seite parallel zu einer Achse verläuft?

1. Berechnung der Lösungen mit der allgemeinen Lösungsformel: \(z_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 13}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{4 \pm 6i}{2}\). Daraus folgen \(z_1 = 2 + 3i\) und \(z_2 = 2 - 3i\). 2. Überprüfung der Summe: \(z_1 + z_2 = (2 + 3i) + (2 - 3i) = 4\). 3. Überprüfung des Produkts: \(z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(2 - 3i) = 2^2 - (3i)^2 = 4 - (-9) = 13\). 4. Die Eckpunkte des Dreiecks sind \(O(0|0)\), \(P_1(2|3)\) und \(P_2(2|-3)\). 5. Die Seite zwischen \(P_1\) und \(P_2\) liegt auf der Geraden \(x = 2\) und hat die Länge \(g = |3 - (-3)| = 6\). 6. Die Höhe des Dreiecks bezüglich dieser Grundseite ist der Abstand des Ursprungs zur Geraden \(x = 2\), also \(h = 2\). 7. Der Flächeninhalt beträgt \(A = \frac{1}{2} g h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6\).

a) \(z_1 = 2 + 3i\), \(z_2 = 2 - 3i\) b) Rechnung bestätigt die Werte: Summe \(4\), Produkt \(13\). c) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(6\).

- Kannst du die Brüche so umschreiben, dass keine imaginären Einheiten mehr im Nenner stehen? - Was muss für die Real- und Imaginärteile gelten, damit zwei komplexe Zahlen identisch sind? - Hast du versucht, die Gleichung so umzuformen, dass sie die Form \(a + bi = c + di\) annimmt? - Könntest du ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten aufstellen?

1. Multiplikation der Brüche mit den konjugiert komplexen Zahlen der Nenner zur Rationalisierung: \(\frac{x(1-i)}{(1+i)(1-i)} + \frac{y(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} = 1\). 2. Vereinfachung der Nenner: \(\frac{x(1-i)}{2} + \frac{y(1+2i)}{5} = 1\). 3. Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Hauptnenner \(10\): \(5x(1-i) + 2y(1+2i) = 10\). 4. Ausmultiplizieren und Sortieren nach Real- und Imaginärteil: \((5x + 2y) + i(4y - 5x) = 10 + 0i\). 5. Aufstellen eines linearen Gleichungssystems durch Vergleich von Real- und Imaginärteil: I: \(5x + 2y = 10\) II: \(4y - 5x = 0 \Rightarrow 5x = 4y\) 6. Einsetzen von II in I: \(4y + 2y = 10 \Rightarrow 6y = 10 \Rightarrow y = \frac{5}{3}\). 7. Berechnung von \(x\): \(5x = 4 \cdot \frac{5}{3} \Rightarrow 5x = \frac{20}{3} \Rightarrow x = \frac{4}{3}\).

Die Gleichung ist für \(x = \frac{4}{3}\) und \(y = \frac{5}{3}\) erfüllt.

- Wann ist eine komplexe Zahl eine reelle Zahl? Was muss für ihren Imaginärteil gelten? - Bringe den Ausdruck zuerst in die Form \(a + bi\), indem du den Nenner reell machst. - Der Parameter \(x\) ist als reell gegeben, das vereinfacht die Bestimmung von Real- und Imaginärteil. - Ein Bruch ist genau dann null, wenn sein Zähler null ist.

1. Den Bruch mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners \(2 - xi\) erweitern: \(w = \frac{(x + 2i)(2 - xi)}{(2 + xi)(2 - xi)}\). 2. Den Nenner berechnen: \(2^2 + x^2 = 4 + x^2\). 3. Den Zähler ausmultiplizieren: \(2x - x^2 i + 4i - 2xi^2 = 2x - x^2 i + 4i + 2x = 4x + i(4 - x^2)\). 4. Den Imaginärteil von \(w\) bestimmen: \(\text{Im}(w) = \frac{4 - x^2}{4 + x^2}\). 5. Damit \(w\) reell ist, muss der Imaginärteil null sein: \(4 - x^2 = 0\). 6. Die Gleichung lösen: \(x^2 = 4\), woraus \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\) folgt.

\(x = 2\) oder \(x = -2\)

- Verwende für jeden Parameter dieselbe Abbruchregel und dieselbe maximale Iterationszahl. - Bei Teil b) sind ein numerischer Endwert und ein erster Überschreitungsindex gefragt; beides sollte direkt aus der Iteration stammen. - Unterscheide logisch zwischen einem Kriterium, das nach endlich vielen Schritten entscheidet, und einer Beobachtung, die nur bis zu einer endlichen Iterationszahl reicht.

1. Der digitale Test zeigt für die untersuchten Werte bis einschließlich \(c=0{,}2\) innerhalb von \(100\) Schritten kein Entkommen. Für \(c=0{,}3\) tritt Entkommen auf. Damit sind \(0{,}2\) beziehungsweise \(0{,}3\) die gesuchten benachbarten Rasterwerte. 2. Für \(c=0{,}2\) liefert die Iteration \(z_{100}\approx0{,}27639\). Für \(c=0{,}3\) gilt erstmals bei \(n=12\): \(|z_{12}|>2\). 3. Nach dem Fluchtkriterium kann ein Parameter nach dem ersten Wert mit Betrag größer als \(2\) nicht zur Mandelbrot-Menge gehören. Eine endliche Zahl beschränkter Iterationswerte schließt dagegen ein späteres Entkommen nicht aus.

a) Größter untersuchter Wert ohne beobachtetes Entkommen: \(c=0{,}2\); kleinster untersuchter Wert mit Entkommen: \(c=0{,}3\). b) \(z_{100}\approx0{,}27639\) für \(c=0{,}2\); für \(c=0{,}3\) erstmals \(|z_{12}|>2\). c) Entkommen liefert durch das Fluchtkriterium einen Beweis der Nichtzugehörigkeit; aus nur \(100\) nicht entkommenen Schritten folgt noch kein Beweis der Zugehörigkeit.

- Unterscheide zwischen der Frage, ob mit neuen Zahlen zuverlässig gerechnet werden kann, und der Frage, wie diese Zahlen dargestellt und gedeutet werden. - Für Teil b) reicht eine Jahreszahl nicht; vergleiche die mathematische Funktion der Beiträge. - Nutze bei Teil c) ausdrücklich die Information über die anfänglich geringe Beachtung von Wessels Arbeit.

1. Bombelli machte den algebraischen Umgang mit komplexen Zwischenwerten systematisch möglich. Wessel und Argand ergänzten diese symbolische Ebene später um eine geometrische Interpretation, in der komplexe Zahlen als geometrische Objekte mit Lage, Betrag und Richtung verstanden werden können. 2. Die Aussage ist zu stark. Rechenregeln sind ein wesentlicher Schritt, aber die späteren geometrischen Darstellungen lieferten eine neue Repräsentation und damit zusätzliche Deutungsmöglichkeiten. Die Entwicklung bestand daher aus mehreren mathematisch verschiedenen Beiträgen. 3. Wessels geometrische Interpretation wurde 1799 veröffentlicht, blieb zunächst aber weitgehend unbeachtet. Das zeigt, dass Veröffentlichung und unmittelbare Wirkung verschiedene historische Vorgänge sind: Eine Idee kann bereits vorhanden sein, ohne sofort in der mathematischen Gemeinschaft rezipiert zu werden.

a) Bombelli steht für die systematische algebraische Verarbeitung komplexer Größen; Wessel und Argand ergänzten später eine geometrische Interpretation. Das sind unterschiedliche Fortschritte: Rechenregeln einerseits, neue Darstellung und Deutung andererseits. b) Die Aussage ist zurückzuweisen. Die späteren geometrischen Darstellungen erweiterten das Verständnis komplexer Zahlen wesentlich über reine Rechenregeln hinaus. c) Wessels Arbeit wurde 1799 veröffentlicht, zunächst aber kaum beachtet. Veröffentlichung und unmittelbare mathematische Wirkung fallen daher nicht notwendig zusammen.

- Nutze für alle \(25\) Parameter exakt dieselbe Abbruchregel und dieselbe maximale Iterationszahl. - Vergleiche nach dem Ausfüllen nicht einzelne Felder, sondern ganze Zeilen oberhalb und unterhalb der reellen Achse. - Überlege für die Begründung, wie sich Quadrieren und Addieren mit dem komplexen Konjugieren vertragen.

1. Die digitale Iteration liefert die Tabelle <table><tr><th>\(b\backslash a\)</th><th>\(-1{,}5\)</th><th>\(-1\)</th><th>\(-0{,}5\)</th><th>\(0\)</th><th>\(0{,}5\)</th></tr><tr><td>\(1\)</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>–</td><td>2</td></tr><tr><td>\(0{,}5\)</td><td>3</td><td>5</td><td>–</td><td>–</td><td>5</td></tr><tr><td>\(0\)</td><td>–</td><td>–</td><td>–</td><td>–</td><td>5</td></tr><tr><td>\(-0{,}5\)</td><td>3</td><td>5</td><td>–</td><td>–</td><td>5</td></tr><tr><td>\(-1\)</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>–</td><td>2</td></tr></table> 2. Die Zeile zu \(b\) stimmt jeweils mit der Zeile zu \(-b\) überein. Die Fluchtzeit-Darstellung ist an der reellen Achse symmetrisch. 3. Startet die Iteration mit \(z_0=0\), dann ist die Folge zum Parameter \(\bar c\) in jedem Schritt die konjugierte Folge zum Parameter \(c\). Konjugierte komplexe Zahlen haben denselben Betrag. Daher tritt \(|z_n|>2\) bei \(c\) und \(\bar c\) im selben Schritt ein.

a) <table><tr><th>\(b\backslash a\)</th><th>\(-1{,}5\)</th><th>\(-1\)</th><th>\(-0{,}5\)</th><th>\(0\)</th><th>\(0{,}5\)</th></tr><tr><td>\(1\)</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>–</td><td>2</td></tr><tr><td>\(0{,}5\)</td><td>3</td><td>5</td><td>–</td><td>–</td><td>5</td></tr><tr><td>\(0\)</td><td>–</td><td>–</td><td>–</td><td>–</td><td>5</td></tr><tr><td>\(-0{,}5\)</td><td>3</td><td>5</td><td>–</td><td>–</td><td>5</td></tr><tr><td>\(-1\)</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>–</td><td>2</td></tr></table> b) Die Zeilen zu \(b\) und \(-b\) sind identisch; die Darstellung ist zur reellen Achse symmetrisch. c) Für konjugierte Parameter entstehen konjugierte Iterationsfolgen mit gleichen Beträgen und daher gleichen Fluchtzeiten.

- Versuche, durch Ergänzen und Subtrahieren eines passenden Terms mit \(x^2\) zunächst eine Differenz zweier Quadrate zu erzeugen. - Suche für Teil b) nach einer Darstellung als Summe zweier Quadrate. - Welchen Term müsstest du addieren und subtrahieren, um ein vollständiges Quadrat der Form \((x^2 \pm k)^2\) zu erhalten?

1. Teil a): Nutzung der Sophie-Germain-Identität durch Ergänzen eines Mittelterms: \(x^4 + 100x^2 + 2500 - 100x^2\). Dies führt zu \((x^2 + 50)^2 - (10x)^2\). Anwendung der dritten binomischen Formel ergibt \((x^2 + 10x + 50)(x^2 - 10x + 50)\). 2. Teil b): Umformung von \(T\) in eine Summe von Quadraten: \(x^4 - 100x^2 + 2500 + 100x^2 = (x^2 - 50)^2 + (10x)^2\). 3. Anwendung der Identität \(X^2 + Y^2 = (X + iY)(X - iY)\) mit \(X = x^2 - 50\) und \(Y = 10x\) ergibt \((x^2 - 50 + 10xi)(x^2 - 50 - 10xi)\).

a) \((x^2 + 10x + 50)(x^2 - 10x + 50)\) b) \((x^2 - 50 + 10xi)(x^2 - 50 - 10xi)\)

- Was bedeutet die Notation \(\bar{z}\) für eine komplexe Zahl \(z = a + bi\)? - Wie lautet der Ausdruck für das Produkt \(z \cdot \bar{z}\)? - Wann sind zwei komplexe Zahlen genau dann gleich? - Kannst du die Gleichung in einen Realteil und einen Imaginärteil zerlegen?

1. Substitution von \(z = a+bi\) und \(\bar{z} = a-bi\) in die Gleichung. 2. Vereinfachung des Produkts \(z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2\). 3. Aufstellen der Gleichung: \((a^2 + b^2) + 2(a+bi) = 12 + 4i\). 4. Trennung der Gleichung in Realteil (\(a^2 + b^2 + 2a = 12\)) und Imaginärteil (\(2b = 4\)). 5. Lösung des Imaginärteils: \(b = 2\). 6. Einsetzen von \(b\) in die Realteil-Gleichung: \(a^2 + 4 + 2a = 12 \Rightarrow a^2 + 2a - 8 = 0\). 7. Lösen der quadratischen Gleichung für \(a\): \(a_1 = 2\) und \(a_2 = -4\). 8. Bildung der komplexen Zahlen: \(z_1 = 2+2i\) und \(z_2 = -4+2i\).

\(z_1 = 2 + 2i\), \(z_2 = -4 + 2i\)

- Kannst du einen wiederkehrenden Ausdruck in der Gleichung durch eine neue Variable ersetzen? - Welche Form nimmt die Gleichung an, wenn du \((z+1)^2\) als eine Einheit betrachtest? - Wie findest du die Werte für \(z\), nachdem du die Hilfsvariable berechnet hast? - Denke daran, dass Wurzeln aus negativen Zahlen im Komplexen existieren.

1. Substitution \(u = (z+1)^2\) führt auf die quadratische Gleichung \(u^2 - 2u - 8 = 0\). 2. Bestimmung der Lösungen für \(u\) mittels quadratischer Lösungsformel: \(u_1 = 4\) und \(u_2 = -2\). 3. Rücksubstitution für \(u_1 = 4\): Aus \((z+1)^2 = 4\) folgt \(z+1 = 2\) oder \(z+1 = -2\), woraus sich die reellen Lösungen \(z_1 = 1\) und \(z_2 = -3\) ergeben. 4. Rücksubstitution für \(u_2 = -2\): Aus \((z+1)^2 = -2\) folgt \(z+1 = i\sqrt{2}\) oder \(z+1 = -i\sqrt{2}\), woraus sich die komplexen Lösungen \(z_3 = -1 + i\sqrt{2}\) und \(z_4 = -1 - i\sqrt{2}\) ergeben.

\(1, -3, -1 \pm i\sqrt{2}\)

- Wie lässt sich das Quadrat einer Summe auf der linken Seite entwickeln? - Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit der Realteil der linken Seite dem Realteil der rechten Seite entspricht? - Wenn du ein System von Gleichungen hast, wie kannst du eine Variable eliminieren? - Achte darauf, dass \(x\) und \(y\) laut Aufgabenstellung reell sein müssen – was bedeutet das für mögliche Lösungen einer quadratischen Gleichung?

1. Ausmultiplizieren der linken Seite unter Verwendung von \(i^2 = -1\): \(x^2 - y^2 + 2xyi = 3 + 4i\). 2. Durchführung eines Koeffizientenvergleichs für Real- und Imaginärteil: I: \(x^2 - y^2 = 3\) II: \(2xy = 4 \Rightarrow xy = 2\) 3. Auflösen von II nach \(y\): \(y = \frac{2}{x}\) (da \(x=0\) keine Lösung für II ist). 4. Einsetzen in I: \(x^2 - \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 3 \Rightarrow x^2 - \frac{4}{x^2} = 3\). 5. Multiplikation mit \(x^2\) führt auf eine biquadratische Gleichung: \(x^4 - 3x^2 - 4 = 0\). 6. Substitution \(u = x^2\) (mit \(u \ge 0\)): \(u^2 - 3u - 4 = 0\). 7. Lösung der quadratischen Gleichung ergibt \(u_1 = 4\) und \(u_2 = -1\). Da \(x\) reell ist, muss \(x^2 = 4\) gelten. 8. Bestimmung der Werte für \(x\): \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 9. Bestimmung der zugehörigen \(y\)-Werte: Für \(x_1 = 2\) folgt \(y_1 = 1\); für \(x_2 = -2\) folgt \(y_2 = -1\).

Die Lösungen sind \(x_1 = 2, y_1 = 1\) und \(x_2 = -2, y_2 = -1\).