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- Wende die angegebene Zeilenoperation auf jeden Eintrag der zweiten Zeile an. - Die erste Zeile wird bei diesem Schritt nicht verändert. - Vergleiche den ersten Eintrag der alten und der neuen zweiten Zeile, um den Zweck des Schritts zu erkennen.

1. Für die zweite Zeile wird komponentenweise \((3,1,7)-3(1,2,5)\) berechnet. 2. Dadurch entsteht \((0,-5,-8)\). Die erste Zeile bleibt unverändert. 3. Gezielt eliminiert wird der erste Koeffizient der zweiten Zeile, also der Eintrag unter dem ersten Pivot.

Neue zweite Zeile: \((0,-5\,|\,-8)\). Eliminiert wird der erste Koeffizient der zweiten Zeile.

- Halte die Reihenfolge der Variablen in beiden Gleichungen gleich. - Jede Gleichung liefert genau eine Zeile der erweiterten Matrix. - Die rechte Seite der Gleichung steht hinter dem Trennstrich.

1. In jeder Zeile stehen zuerst die Koeffizienten von \(x\) und \(y\), danach die rechte Seite der zugehörigen Gleichung. 2. Damit lautet die erweiterte Matrix \(\left(\begin{array}{cc|c}1&2&5\\3&-1&4\end{array}\right)\).

\(\left(\begin{array}{cc|c}1&2&5\\3&-1&4\end{array}\right)\)

- Lies jede Matrixzeile als eine eigene Gleichung. - Die beiden Spalten vor dem Trennstrich gehören in der Reihenfolge zu \(x\) und \(y\). - Ein Koeffizient \(0\) bedeutet, dass die zugehörige Variable in dieser Gleichung nicht erscheint.

1. Die erste Zeile steht für \(x-2y=3\). 2. Die zweite Zeile steht für \(4y=8\).

\(x-2y=3\) und \(4y=8\)

- Übertrage das System zuerst in eine übersichtliche Matrixform. - Versuche, unterhalb der Hauptdiagonalen Nullen zu erzeugen. - Welche Rechenoperationen mit Zeilen sind erlaubt, ohne die Lösungsmenge zu verändern? - Wenn du die Stufenform erreicht hast, kannst du die Werte der Variablen von unten nach oben berechnen. - Mache am Ende die Probe, indem du deine Ergebnisse in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt.

1. Überführung in die erweiterte Koeffizientenmatrix: \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 3 \\ 2 & -1 & 3 & | & 14 \\ 3 & 1 & -2 & | & -1 \end{pmatrix} \) 2. Elimination von \(x_1\) in der zweiten und dritten Zeile durch \(R_2 - 2R_1\) und \(R_3 - 3R_1\): \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 3 \\ 0 & -5 & 1 & | & 8 \\ 0 & -5 & -5 & | & -10 \end{pmatrix} \) 3. Elimination von \(x_2\) in der dritten Zeile durch \(R_3 - R_2\): \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 3 \\ 0 & -5 & 1 & | & 8 \\ 0 & 0 & -6 & | & -18 \end{pmatrix} \) 4. Berechnung der Variablen durch Rückwärtseinsetzen: Aus der dritten Zeile folgt \(-6x_3 = -18 \Rightarrow x_3 = 3\). Einsetzen in die zweite Zeile: \(-5x_2 + 3 = 8 \Rightarrow -5x_2 = 5 \Rightarrow x_2 = -1\). Einsetzen in die erste Zeile: \(x_1 + 2(-1) + 3 = 3 \Rightarrow x_1 + 1 = 3 \Rightarrow x_1 = 2\).

\( x_1 = 2 \), \( x_2 = -1 \), \( x_3 = 3 \) bzw. \( L = \{(2; -1; 3)\} \)

- Beobachte, was eine Nullzeile nach der Elimination über die Zahl unabhängiger Gleichungen aussagt. - Welche Variable kannst du als freien Parameter wählen? - Prüfe deine Parameterdarstellung an einer ursprünglichen Gleichung.

1. Mit \(R_2\leftarrow R_2-2R_1\) und \(R_3\leftarrow R_3-3R_1\) entstehen zweimal dieselbe Zeile \((0,-3,5|-3)\). 2. Mit \(R_3\leftarrow R_3-R_2\) entsteht eine Nullzeile. Es bleibt daher eine freie Variable. 3. Setze \(x_3=t\). Aus \(-3x_2+5t=-3\) folgt \(x_2=1+\frac53t\). Aus der ersten Gleichung folgt \(x_1=1+\frac13t\). 4. Damit ist \(L=\left\{\left(1+\frac13t;1+\frac53t;t\right)\mid t\in\mathbb R\right\}\).

\(L=\left\{\left(1+\frac13t;1+\frac53t;t\right)\mid t\in\mathbb R\right\}\)

- Wie viele Pivotvariablen können zwei unabhängige Gleichungen höchstens liefern? - Führe zuerst die Elimination aus und entscheide danach, welche Variable frei bleibt. - Stelle die Lösungsmenge so dar, dass der freie Parameter sichtbar ist.

1. Die erweiterte Matrix lautet \(\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&4\\2&-1&3&3\end{array}\right)\). 2. Mit \(R_2\leftarrow R_2-2R_1\) folgt \((0,-5,5|-5)\), also nach Division durch \(-5\) die Zeile \((0,1,-1|1)\). 3. Setze die freie Variable \(x_3=t\). Dann ist \(x_2=1+t\) und aus der ersten Zeile folgt \(x_1=2-t\).

\(L=\left\{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\mid t\in\mathbb R\right\}\)

- Übertrage beide Gleichungen zuerst in eine erweiterte Matrix. - Nutze die erste Zeile, um den ersten Eintrag der zweiten Zeile zu eliminieren. - Lies nach der Zeilenumformung zunächst die Variable aus der zweiten Zeile ab.

1. Die erweiterte Matrix lautet \(\left(\begin{array}{cc|c}1&1&5\\2&-1&4\end{array}\right)\). 2. Mit \(R_2\leftarrow R_2-2R_1\) erhält man \(\left(\begin{array}{cc|c}1&1&5\\0&-3&-6\end{array}\right)\). 3. Aus der zweiten Zeile folgt \(y=2\); aus der ersten Zeile folgt anschließend \(x=3\).

\(L=\{(3;2)\}\)

- Übersetze die letzte Matrixzeile jeweils zurück in eine Gleichung. - Vergleiche bei einem widerspruchsfreien System die Zahl der Pivotvariablen mit der Zahl der Unbekannten. - Eine Nullzeile und eine Widerspruchszeile haben grundverschiedene Bedeutungen.

1. Bei A bedeutet die letzte Zeile \(0=0\). Es gibt nur zwei Pivotvariablen bei drei Unbekannten, also bleibt eine Variable frei. Das System besitzt unendlich viele Lösungen. 2. Bei B bedeutet die letzte Zeile \(0=5\). Dieser Widerspruch macht das System unlösbar. 3. Keines der beiden Systeme besitzt genau eine Lösung.

A: unendlich viele Lösungen, weil eine freie Variable bleibt und die letzte Zeile \(0=0\) ist. B: keine Lösung, weil die letzte Zeile den Widerspruch \(0=5\) enthält.

- Überführe die Matrixgleichung in eine erweiterte Koeffizientenmatrix. - Wie viele Unbekannte gibt es und wie viele unabhängige Gleichungen bleiben nach dem Gauß-Verfahren übrig? - Wenn es mehr Unbekannte als unabhängige Gleichungen gibt, musst du Parameter für die freien Variablen einführen. - Du kannst die Lösung am Ende als Summe aus einem Stützvektor und Spannvektoren darstellen.

1. Aufstellen der erweiterten Koeffizientenmatrix und Anwendung des Gauß-Verfahrens: \(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 0 & | & 4 \\ 2 & 0 & 2 & 4 & | & 6 \\ 1 & 1 & 0 & 4 & | & 2 \end{pmatrix}\) Elimination unter \(x_1\): \(Z_2 - 2Z_1\) und \(Z_3 - Z_1\) ergibt: \(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 0 & | & 4 \\ 0 & 2 & -2 & 4 & | & -2 \\ 0 & 2 & -2 & 4 & | & -2 \end{pmatrix}\) 2. Da die zweite und dritte Zeile identisch sind, ist eine Gleichung redundant. Normierung von \(Z_2\): \(x_2 - x_3 + 2x_4 = -1\). 3. Bestimmung der freien Variablen: Wähle \(x_3 = s\) und \(x_4 = t\). Daraus folgt \(x_2 = -1 + s - 2t\). Einsetzen in \(Z_1\): \(x_1 - (-1 + s - 2t) + 2s = 4 \Rightarrow x_1 + 1 - s + 2t + 2s = 4 \Rightarrow x_1 = 3 - s - 2t\). 4. Aufschreiben der Lösungsmenge in Vektorform: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 3-s-2t \\ -1+s-2t \\ s \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

\(\mathbb{L} = \{ \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \mid s, t \in \mathbb{R} \}\)

- Welche Vektoren bleiben bei einer Spiegelung an einer Ursprungsgeraden unverändert? - Welche Abbildungsgleichungen liefern zwei voneinander unabhängige Eingabevektoren? - Ordne die unbekannten Matrixeinträge so, dass du kleine lineare Gleichungssysteme erhältst. - Führe die Eliminationsschritte anschließend als Zeilenumformungen aus.

1. Es gilt \((-1)\cdot3+3\cdot1=0\). Der Vektor zu \(P\) steht also senkrecht auf \(g\) und wird bei der Spiegelung negiert. Daher ist \(P'(1|-3)\). 2. Für den Richtungsvektor von \(g\) gilt \(M\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\), für \(P\) gilt \(M\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}\). 3. Für \(a,b\) entsteht \(\left(\begin{array}{cc|c}3&1&3\\-1&3&1\end{array}\right)\). Mit \(R_2\leftarrow3R_2+R_1\) folgt \(\left(\begin{array}{cc|c}3&1&3\\0&10&6\end{array}\right)\), also \(b=0{,}6\) und \(a=0{,}8\). 4. Für \(c,d\) entsteht \(\left(\begin{array}{cc|c}3&1&1\\-1&3&-3\end{array}\right)\). Mit \(R_2\leftarrow3R_2+R_1\) folgt \(\left(\begin{array}{cc|c}3&1&1\\0&10&-8\end{array}\right)\), also \(d=-0{,}8\) und \(c=0{,}6\). 5. Damit ist \(M=\begin{pmatrix}0{,}8&0{,}6\\0{,}6&-0{,}8\end{pmatrix}\).

a) \(P'(1|-3)\) b) \(M=\begin{pmatrix}0{,}8&0{,}6\\0{,}6&-0{,}8\end{pmatrix}\)

- Was bedeutet eine zweimal ausgeführte Spiegelung an derselben Geraden? - Welche Gleichung charakterisiert einen Fixpunkt einer linearen Abbildung? - Beobachte beim Gauß-Verfahren, ob eine Zeile redundant wird.

1. Es ist \(A^2=\begin{pmatrix}(-0{,}6)^2+0{,}8^2&-0{,}6\cdot0{,}8+0{,}8\cdot0{,}6\\0{,}8\cdot(-0{,}6)+0{,}6\cdot0{,}8&0{,}8^2+0{,}6^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\). 2. Für die Fixpunkte ergibt sich \(\left(\begin{array}{cc|c}-1{,}6&0{,}8&0\\0{,}8&-0{,}4&0\end{array}\right)\). 3. Mit \(R_1\leftarrow R_1+2R_2\) entsteht eine Nullzeile. Aus \(0{,}8x-0{,}4y=0\) folgt \(y=2x\). 4. Damit ist die Spiegelachse \(h:y=2x\).

a) \(A^2=E\) b) \(h:y=2x\)

- Behandle \(t\) während der Zeilenumformungen wie einen festen reellen Wert. - Welche Zeile sollte nach der ersten Eliminationsstufe besonders einfach werden? - Prüfe, ob die zusätzliche vierte Gleichung eine neue Bedingung erzeugt oder redundant ist.

1. Die erweiterte Matrix lautet \(\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-2&2t+4\\1&1&0&3t\\1&1&1&4t\\1&2&5&7t-4\end{array}\right)\). 2. Mit \(R_2\leftarrow R_2-R_1\), \(R_3\leftarrow R_3-R_1\), \(R_4\leftarrow R_4-R_1\) erhält man die unteren Zeilen \((0,1,2|t-4)\), \((0,1,3|2t-4)\), \((0,2,7|5t-8)\). 3. Mit \(R_3\leftarrow R_3-R_2\) und \(R_4\leftarrow R_4-2R_2\) entstehen \((0,0,1|t)\) und \((0,0,3|3t)\). Danach liefert \(R_4\leftarrow R_4-3R_3\) die Nullzeile. 4. Rückwärtseinsetzen ergibt \(x_3=t\), \(x_2=-t-4\) und \(x_1=4t+4\).

\(\vec{x}=\begin{pmatrix}4t+4\\-t-4\\t\end{pmatrix}\)

- Wie kannst du die erste Gleichung nutzen, um die Variable \(x_1\) in den anderen Gleichungen zu eliminieren? - Wenn du die Werte für die Unbekannten gefunden hast, wie kannst du sicherstellen, dass sie auch die vierte Gleichung erfüllen? - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn eine zusätzliche Gleichung durch die bereits gefundenen Werte gelöst wird? - Erinnerst du dich an die Stufenform beim Gauß-Verfahren?

1. Aufstellen der erweiterten Koeffizientenmatrix für das System (1): \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 4 \\ 2 & -1 & 3 & | & 9 \\ -1 & 2 & -1 & | & -1 \end{pmatrix} \) 2. Elimination der Einträge unter der Hauptdiagonale: \( R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 \) ergibt \( (0, -3, 1, | , 1) \) \( R_3 \leftarrow R_3 + R_1 \) ergibt \( (0, 3, 0, | , 3) \) 3. Aus der neuen dritten Zeile folgt \( 3x_2 = 3 \), also \( x_2 = 1 \). 4. Einsetzen in die zweite Zeile: \( -3(1) + x_3 = 1 \Rightarrow x_3 = 4 \). 5. Einsetzen in die erste Zeile: \( x_1 + 1 + 4 = 4 \Rightarrow x_1 = -1 \). Die Lösungsmenge ist \( L = \{(-1; 1; 4)\} \). 6. Prüfung der zusätzlichen Gleichung: \( 3(-1) + 1 + 2(4) = -3 + 1 + 8 = 6 \). Da die Gleichung für die gefundene Lösung erfüllt ist, stellt sie keine Einschränkung dar. 7. Probe für (1): Gl. 1: \( -1 + 1 + 4 = 4 \) (wahr) Gl. 2: \( 2(-1) - 1 + 3(4) = -2 - 1 + 12 = 9 \) (wahr) Gl. 3: \( -(-1) + 2(1) - 4 = 1 + 2 - 4 = -1 \) (wahr) Zusatzgl.: \( 6 = 6 \) (wahr)

Die Lösungsmenge ist \( L = \{(-1; 1; 4)\} \). Die zusätzliche Gleichung ist für diese Lösung erfüllt (\( 6 = 6 \)) und schränkt die Lösungsmenge somit nicht weiter ein.

- Erzeuge systematisch eine Stufenform, statt einzelne Variablen direkt freizustellen. - Ein geeigneter Zeilentausch oder eine Normierung kann die Rechnung vereinfachen. - Beginne die Rückwärtssubstitution erst, wenn die Stufenform erreicht ist.

1. Ausgangsmatrix: \(\left(\begin{array}{cccc|c}1&1&1&1&2\\2&-1&2&-1&-2\\1&3&-1&2&8\\3&2&1&-3&6\end{array}\right)\). 2. Elimination in der ersten Spalte liefert \(\left(\begin{array}{cccc|c}1&1&1&1&2\\0&-3&0&-3&-6\\0&2&-2&1&6\\0&-1&-2&-6&0\end{array}\right)\). 3. Nach Normierung der zweiten Zeile und Elimination in der zweiten Spalte erhält man \(\left(\begin{array}{cccc|c}1&1&1&1&2\\0&1&0&1&2\\0&0&-2&-1&2\\0&0&-2&-5&2\end{array}\right)\). 4. Mit \(R_4\leftarrow R_4-R_3\) folgt \((0,0,0,-4|0)\). Rückwärtseinsetzen ergibt \(x_4=0\), \(x_3=-1\), \(x_2=2\), \(x_1=1\).

\(L=\{(1;2;-1;0)\}\)

- Behandle auch ein überbestimmtes System zunächst mit denselben Zeilenoperationen wie ein quadratisches System. - Beobachte, ob zusätzliche Zeilen widersprechen oder lediglich bereits vorhandene Information bestätigen. - Prüfe die gefundene Lösung am Ende in allen vier Ausgangsgleichungen.

1. Mit der ersten Zeile als Pivot liefern \(R_2\leftarrow R_2-2R_1\), \(R_3\leftarrow R_3-R_1\), \(R_4\leftarrow R_4-3R_1\) die Gleichungen \(-x_2-5x_3=3\), \(-4x_2+x_3=-9\) und \(-x_2-2x_3=0\). 2. Elimination von \(x_2\) ergibt aus der zweiten und dritten reduzierten Gleichung jeweils \(x_3=-1\); das System bleibt also widerspruchsfrei. 3. Rückwärtseinsetzen liefert \(x_2=2\) und \(x_1=3\). 4. Damit ist \(L=\{(3;2;-1)\}\).

\(L=\{(3;2;-1)\}\)

- Nutze die bereits vorhandenen Nullen in der Koeffizientenmatrix für eine kurze Gauß-Elimination. - Welche Zeile eignet sich jeweils als Pivot für die nächste Variable? - Lies die Lösung erst nach vollständiger Stufenform rückwärts ab.

1. Die erweiterte Matrix lautet \(\left(\begin{array}{cccc|c}2&1&0&0&4\\0&1&2&0&8\\0&0&1&2&10\\2&0&0&1&7\end{array}\right)\). 2. Mit \(R_4\leftarrow R_4-R_1\) und danach \(R_4\leftarrow R_4+R_2\) erhält man als vierte Zeile \((0,0,2,1|11)\). 3. Mit \(R_4\leftarrow R_4-2R_3\) folgt \((0,0,0,-3|-9)\), also \(x_4=3\). 4. Rückwärtseinsetzen ergibt \(x_3=4\), \(x_2=0\) und \(x_1=2\).

\(L=\{(2;0;4;3)\}\)

- Welche Gleichung eignet sich am besten als Pivot-Gleichung, um die anderen Variablen zu eliminieren? - Wie viele Lösungen erwartest du bei vier Gleichungen und drei Unbekannten? - Was bedeutet es für die Lösungsmenge, wenn während des Verfahrens eine Nullzeile oder ein Widerspruch entsteht? - Prüfe am Ende, ob deine gefundenen Werte alle vier ursprünglichen Gleichungen erfüllen.

1. Aufstellen der erweiterten Koeffizientenmatrix und Anwendung von Zeilenoperationen zur Erzeugung einer Stufenform, zum Beispiel durch Elimination von \(x_1\) in den Gleichungen (1), (2) und (3) unter Verwendung von (4). 2. Nach den ersten Schritten (z. B. \(II - IV\), \(III - 3 \cdot IV\), \(I - 2 \cdot IV\)) ergeben sich neue Gleichungen: \( (I') \quad -x_2 - 3x_3 = -5 \) \( (II') \quad 2x_2 + x_3 = 0 \) \( (III') \quad -4x_2 - x_3 = 2 \) 3. Elimination von \(x_2\) aus \((I')\) und \((III')\) mithilfe von \((II')\) führt zu: \( (I'') \quad -2{,}5x_3 = -5 \implies x_3 = 2 \) \( (III'') \quad x_3 = 2 \) 4. Da die Gleichungen konsistent sind, folgt durch Rückwärtseinsetzen: Aus \((II')\): \(2x_2 + 2 = 0 \implies x_2 = -1 \). Aus \((4)\): \(x_1 - 1 + 2 = 3 \implies x_1 = 2 \). 5. Die Lösungsmenge ist \( L = \{(2; -1; 2)\} \).

\( L = \{(2; -1; 2)\} \)

- Welche Zeilenstruktur muss nach Gauß für genau eine Lösung entstehen? - Welche Zeilenstruktur kennzeichnet ein unlösbares System? - Übersetze die Bedingung „jedes Zweiersystem hat genau eine Lösung“ zusätzlich in die Lage der Geraden.

1. Für a) ist zum Beispiel \(x_1+x_2=5\), \(x_1-x_2=1\), \(x_1=3\) geeignet. Gauß liefert aus den ersten beiden Zeilen \(x_1=3\), \(x_2=2\); die dritte Zeile ist damit erfüllt. 2. Für b) ist zum Beispiel \(x_1=0\), \(x_2=0\), \(x_1+x_2=1\) geeignet. In der erweiterten Matrix führt die dritte Zeile nach Elimination mit den ersten beiden Zeilen auf \((0,0|1)\), also auf einen Widerspruch. 3. Jedes Zweier-Teilsystem besitzt genau einen Schnittpunkt: \((0|0)\), \((1|0)\) oder \((0|1)\). Die drei Geraden bilden daher die Seiten eines Dreiecks und besitzen keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

a) Zum Beispiel \(x_1+x_2=5\), \(x_1-x_2=1\), \(x_1=3\) b) Zum Beispiel \(x_1=0\), \(x_2=0\), \(x_1+x_2=1\); Gauß erzeugt eine Widerspruchszeile. Die drei Geraden schneiden sich paarweise, aber nicht alle im selben Punkt.

- Welche Zeilenformen stehen für eindeutige, widersprüchliche oder freie Situationen? - Führe für alle drei Systeme dieselbe Eliminationslogik aus, bevor du klassifizierst. - Bei einer freien Variable kannst du die Lösungsmenge parametrisieren.

1. Bei a) führt Gauß zu drei Pivotzeilen; Rückwärtseinsetzen ergibt \((x_1,x_2,x_3)=(1,2,3)\). 2. Bei b) liefert die Elimination aus den ersten beiden Zeilen die Beziehung \(3x_1+3x_2=9\), während die dritte Zeile \(3x_1+3x_2=10\) fordert. Die Stufenform enthält daher eine Widerspruchszeile. 3. Bei c) werden nach Elimination zwei Zeilen identisch. Mit \(x_3=t\) folgt \(x_2=\frac53t-1\) und \(x_1=2-\frac13t\).

a) Genau eine Lösung: \(L=\{(1;2;3)\}\) b) Keine Lösung: \(L=\emptyset\) c) Unendlich viele Lösungen: \(L=\left\{\left(2-\frac13t;\frac53t-1;t\right)\mid t\in\mathbb R\right\}\)

- Vergleiche nach der Elimination die Zahl der Pivotvariablen mit der Zahl der Unbekannten. - Zusätzliche Gleichungen können redundant sein; wenige Gleichungen können freie Variablen lassen. - Parametrisiere nur Variablen, die nach der Stufenform tatsächlich frei sind.

1. Bei a) ergibt die Gauß-Elimination drei Pivotvariablen; eine Zeile ist redundant. Rückwärtseinsetzen liefert \(x_1=2\), \(x_2=2\), \(x_3=0\). 2. Bei b) bleiben nach der Elimination zwei freie Variablen. Setzt man \(x_3=s\) und \(x_4=r\), folgen \(x_1=2-r\) und \(x_2=s\). 3. Damit ist a) trotz vier Gleichungen eindeutig lösbar, während b) wegen zweier Freiheitsgrade unendlich viele Lösungen besitzt.

a) \(L=\{(2;2;0)\}\) b) \(L=\{(2-r;s;s;r)\mid r,s\in\mathbb R\}\)

- Eliminiere dieselbe Pivotvariable aus allen nachfolgenden Zeilen. - Welche Zeile in einer Stufenform macht ein System unlösbar? - Entscheide erst nach der Elimination über die Lösungsmenge.

1. Mit der ersten Zeile als Pivot führen \(R_2\leftarrow R_2-2R_1\), \(R_3\leftarrow R_3-3R_1\), \(R_4\leftarrow R_4-R_1\) auf die unteren Beziehungen \(-5x_2+3x_3=-3\), \(-5x_2+3x_3=-3\) und \(-5x_2+3x_3=3\). 2. Subtrahiert man die zweite reduzierte Zeile von der letzten, entsteht die Widerspruchszeile \(0=6\). 3. Daher besitzt das System keine Lösung.

\(L=\emptyset\)

- Überlege dir zuerst, wie die allgemeine Form einer Funktion 2. Grades aussieht. - Was sagen dir die Koordinaten der Punkte über die Unbekannten in deiner Gleichung? - Erstelle für jeden Punkt eine eigene Gleichung. - Wie kannst du ein System aus mehreren Gleichungen mit dem Gauß-Algorithmus systematisch lösen?

1. Ansatz der allgemeinen Funktionsgleichung für den Grad 2: \(f(x) = ax^2 + bx + c\). 2. Einsetzen der Punktkoordinaten liefert: \(4a - 2b + c = 14\) \(a + b + c = 2\) \(9a + 3b + c = 4\) 3. Für den Gauß-Algorithmus wird die zweite Gleichung als erste Zeile verwendet: \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 4 & -2 & 1 & | & 14 \\ 9 & 3 & 1 & | & 4 \end{pmatrix}\) Mit \(R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1\) und \(R_3 \leftarrow R_3 - 9R_1\) ergibt sich \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & -6 & -3 & | & 6 \\ 0 & -6 & -8 & | & -14 \end{pmatrix}\). Mit \(R_3 \leftarrow R_3 - R_2\) folgt \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & -6 & -3 & | & 6 \\ 0 & 0 & -5 & | & -20 \end{pmatrix}\). 4. Rückwärtseinsetzen liefert \(c = 4\), \(-6b - 3 \cdot 4 = 6\), also \(b = -3\), und \(a - 3 + 4 = 2\), also \(a = 1\). 5. Die gesuchte Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2 - 3x + 4\).

\(f(x) = x^2 - 3x + 4\)

- Wie viele Unbekannte hat eine Funktion 3. Grades im Vergleich zu einer Funktion 2. Grades? - Einer der Punkte ist besonders hilfreich, da er direkt den Wert des absoluten Gliedes verrät. Welcher ist das? - Setze die verbleibenden Punkte in die allgemeine Form ein, um ein System für die restlichen Unbekannten zu erhalten. - Nutze ein Schema wie eine Matrix, um den Überblick über deine Rechenschritte zu behalten.

1. Ansatz der allgemeinen Funktionsgleichung für den Grad 3: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). 2. Einsetzen der Punkte liefert das Gleichungssystem: Aus \(P_1(0|-2)\) folgt direkt \(d = -2\). Die weiteren Punkte ergeben: I: \(a + b + c - 2 = 0 \implies a + b + c = 2\) II: \(8a + 4b + 2c - 2 = 12 \implies 8a + 4b + 2c = 14\) III: \(-a + b - c - 2 = -6 \implies -a + b - c = -4\) 3. Lösung des Systems für \(a, b, c\) mittels Gauß-Algorithmus (z. B. durch Addition von I und III zur Elimination von \(a\) und \(c\)): Es ergibt sich \(2b = -2\), also \(b = -1\). Durch Einsetzen in die verbleibenden Gleichungen erhält man \(c = 1\) und \(a = 2\). 4. Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = 2x^3 - x^2 + x - 2\).

\(f(x) = 2x^3 - x^2 + x - 2\)

- Beobachte, ob nach der Elimination Zeilen identisch oder zu Nullzeilen werden. - Wie viele freie Variablen bleiben nach der Zahl der Pivotzeilen übrig? - Wähle erst danach passende Parameter und löse die Pivotvariablen rückwärts.

1. Nach \(R_2\leftarrow R_2-R_1\) und \(R_3\leftarrow R_3-2R_1\) entstehen zweimal dieselbe Zeile \((0,-2,1,-1|-6)\). 2. Eine weitere Elimination erzeugt eine Nullzeile. Es bleiben zwei freie Variablen. 3. Setze \(x_2=r\) und \(x_4=s\). Dann folgt aus der zweiten Pivotzeile \(x_3=2r+s-6\). 4. Aus der ersten Zeile folgt \(x_1=16-3r-2s\).

\(L=\left\{\begin{pmatrix}16\\0\\-6\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\2\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2\\0\\1\\1\end{pmatrix}\mid r,s\in\mathbb R\right\}\)

- Welche vier Koeffizienten hat der allgemeine Ansatz einer kubischen Funktion? - Jeder gegebene Punkt liefert eine lineare Bedingung an diese Koeffizienten. - Beobachte nach der Gauß-Elimination, welcher Koeffizient frei bleibt. - Welche zusätzliche Bedingung stellt sicher, dass der Grad wirklich \(3\) ist?

1. Mit \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) liefern die drei Punkte \(d=1\), \(a+b+c+d=4\) und \(-a+b-c+d=2\). 2. Die Koeffizientenmatrix für \((a,b,c,d)\) wird mit Gauß reduziert. Aus der ersten Punktbedingung folgt \(d=1\); die beiden übrigen Zeilen werden zu \(a+b+c=3\) und \(-a+b-c=1\). 3. Addition dieser beiden Pivotbeziehungen liefert \(b=2\). Damit gilt \(c=1-a\). 4. Für eine Funktion exakt 3. Grades ist \(a\neq0\). Somit lautet die Familie \(f_a(x)=ax^3+2x^2+(1-a)x+1\) mit \(a\in\mathbb R\setminus\{0\}\).

\(f_a(x)=ax^3+2x^2+(1-a)x+1\) mit \(a\in\mathbb R\setminus\{0\}\)

- Stelle zuerst die allgemeine Funktionsgleichung für den Grad 4 auf. - Setze die Koordinaten der Punkte in die Funktionsgleichung ein, um ein System von Gleichungen zu erhalten. - Nutze den Gauß-Algorithmus, um das System schrittweise zu vereinfachen. - Wenn du mehr Variablen als Gleichungen hast, bleibt eine Variable als Parameter im Ergebnis stehen.

1. Ansatz: \(f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\). 2. Einsetzen der Punkte liefert das Gleichungssystem: \(f(0) = 0 \Rightarrow e = 0\) \(f(1) = 1 \Rightarrow a + b + c + d = 1\) \(f(-1) = -3 \Rightarrow a - b + c - d = -3\) \(f(2) = 18 \Rightarrow 16a + 8b + 4c + 2d = 18 \Rightarrow 8a + 4b + 2c + d = 9\) 3. Reduktion des Systems (Gauß-Verfahren): Addition der Gleichungen aus \(f(1)=1\) und \(f(-1)=-3\): \(2a + 2c = -2 \Rightarrow c = -1 - a\). Subtraktion der Gleichung aus \(f(-1)=-3\) von der Gleichung aus \(f(1)=1\): \(2b + 2d = 4 \Rightarrow d = 2 - b\). 4. Einsetzen in die dritte Gleichung: \(8a + 4b + 2(-1-a) + (2-b) = 9 \Rightarrow 6a + 3b = 9 \Rightarrow b = 3 - 2a\). 5. Daraus folgt für \(d\): \(d = 2 - (3 - 2a) = 2a - 1\). 6. Alle Koeffizienten hängen nun von \(a\) ab: \(b = 3-2a\), \(c = -a-1\), \(d = 2a-1\), \(e = 0\). Für eine Funktion genau 4. Grades gilt \(a \ne 0\).

\(f_a(x) = ax^4 + (3-2a)x^3 - (a+1)x^2 + (2a-1)x\) mit \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\).

- Übersetze jede sprachliche Bedingung zunächst in eine lineare Gleichung für drei Ziffern. - Welche zusätzliche Einschränkung haben Variablen, die Dezimalziffern darstellen? - Vergleiche die Gauß-Stufenform einmal mit und einmal ohne die dritte Bedingung.

1. Mit Hunderterziffer \(x\), Zehnerziffer \(y\) und Einerziffer \(z\) lautet das System \(x+y+z=12\), \(3x-y-z=0\), \(x-y=2\). 2. Gauß-Elimination der ersten beiden Zeilen liefert \(4x=12\), also \(x=3\). Mit der dritten Gleichung folgt \(y=1\), danach \(z=8\). Die Zahl ist \(318\). 3. Ohne die dritte Gleichung bleibt nach Gauß \(x=3\) und \(y+z=9\). Da \(y,z\) Ziffern sind, sind \((y,z)=(0,9),(1,8),\dots,(9,0)\) möglich. 4. Die entsprechenden Zahlen sind \(309,318,327,336,345,354,363,372,381,390\).

Die gesuchte Zahl ist \(318\). Ohne die dritte Bedingung sind \(309,318,327,336,345,354,363,372,381,390\) möglich.

- Formuliere zuerst jede der vier Aussagen als lineare Gleichung. - Wähle Zeilenoperationen so, dass die Ziffern nacheinander eliminiert werden. - Prüfe nach dem Rückwärtseinsetzen zusätzlich die Ziffernbedingungen.

1. Für die Ziffern \(a,b,c,d\) entsteht \(a+b+c+d=16\), \(a-b-c+d=0\), \(a-3b=0\), \(c-d=4\). 2. Die erweiterte Matrix beginnt mit den Zeilen \((1,1,1,1|16)\), \((1,-1,-1,1|0)\), \((1,-3,0,0|0)\), \((0,0,1,-1|4)\). 3. Mit \(R_2\leftarrow R_2-R_1\), Division von \(R_2\) durch \(-2\), \(R_3\leftarrow R_3-R_1\) und anschließend \(R_3\leftarrow R_3+4R_2\) erhält man die Pivotzeilen \((0,1,1,0|8)\) und \((0,0,3,-1|16)\). 4. Mit \(R_3\leftarrow R_3-3R_4\) folgt \((0,0,0,2|4)\). Rückwärtseinsetzen ergibt \(d=2\), \(c=6\), \(b=2\), \(a=6\). 5. Alle Werte sind zulässige Ziffern und \(a\neq0\). Die Zahl lautet \(6262\).

\(6262\)

- Nutze den Gauß-Algorithmus, um das System auf Stufenform zu bringen. - Achte besonders auf die Werte des Parameters, bei denen Divisionen durch Null auftreten könnten oder eine Zeile die Form \(0 = c\) annimmt. - Untersuche separat, wann das System keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen besitzt. - Bei unendlich vielen Lösungen kannst du eine Variable als freien Parameter (z. B. \(t\)) wählen.

1. Anwendung des Gauß-Verfahrens auf die erweiterte Koeffizientenmatrix: Zeile 2 ersetzen durch \(Z_2 - Z_1\) ergibt \(x_2 + (k-1)x_3 = 2\). Zeile 3 ersetzen durch \(Z_3 - Z_1\) ergibt \((k^2-4)x_3 = k-2\). 2. Fallunterscheidung für die letzte Gleichung \((k-2)(k+2)x_3 = k-2\): - Fall \(k = -2\): Die Gleichung lautet \(0 \cdot x_3 = -4\). Dies ist ein Widerspruch, daher ist die Lösungsmenge leer: \(\mathbb{L} = \emptyset\). - Fall \(k = 2\): Die Gleichung lautet \(0 \cdot x_3 = 0\). Es gibt unendlich viele Lösungen. Aus \(Z_2\) folgt \(x_2 + x_3 = 2 \Rightarrow x_2 = 2 - x_3\). Einsetzen in \(Z_1\) ergibt \(x_1 + (2 - x_3) + x_3 = 3 \Rightarrow x_1 = 1\). Mit \(x_3 = t\) gilt \(\mathbb{L} = \{ (1; 2-t; t) \mid t \in \mathbb{R} \}\). - Fall \(k \in \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\): Es gibt eine eindeutige Lösung. Durch Division folgt \(x_3 = \frac{k-2}{(k-2)(k+2)} = \frac{1}{k+2}\). Rückwärtseinsetzen: \(x_2 = 2 - (k-1) \frac{1}{k+2} = \frac{2k+4-k+1}{k+2} = \frac{k+5}{k+2}\). \(x_1 = 3 - \frac{k+5}{k+2} - \frac{1}{k+2} = \frac{3k+6-k-5-1}{k+2} = \frac{2k}{k+2}\).

- Für \(k = -2\): \(\mathbb{L} = \emptyset\) - Für \(k = 2\): \(\mathbb{L} = \{ (1; 2-t; t) \mid t \in \mathbb{R} \}\) - Für \(k \in \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\): \(\mathbb{L} = \{ (\frac{2k}{k+2}; \frac{k+5}{k+2}; \frac{1}{k+2}) \}\)

- Nutze den Gauß-Algorithmus, um Nullen unterhalb der Hauptdiagonale zu erzeugen. - Achte darauf, wie sich die Parameter \(a, b, c, d\) in der vierten Spalte verändern. - Wann hat ein homogenes Gleichungssystem nur die triviale Lösung? Betrachte dazu die Anzahl der Nicht-Nullzeilen in der Stufenform. - Betrachte für Teilaufgabe c) gezielt die ersten drei Komponenten der ersten drei Zeilen.

1. Anwendung des Gauß-Verfahrens auf die Matrix \(A\): \(R_2' = R_2 - R_1 \to (0, 1, -2, b-a)\) \(R_3' = R_3 - R_1 \to (0, 2, -4, c-a)\) 2. Weiterführung der Elimination: \(R_3'' = R_3' - 2R_2' \to (0, 0, 0, c-a-2(b-a)) = (0, 0, 0, a-2b+c)\) 3. Tausch der dritten und vierten Zeile, um die Stufenform zu erreichen: \(A \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & a \\ 0 & 1 & -2 & b-a \\ 0 & 0 & 1 & d \\ 0 & 0 & 0 & a-2b+c \end{pmatrix}\) 4. Zur Eindeutigkeit: Ein homogenes System mit vier Unbekannten ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Koeffizientenmatrix den Rang 4 besitzt. Dies ist hier genau dann der Fall, wenn \(a-2b+c \neq 0\) gilt. Diese Bedingung enthält \(d\) nicht, womit die Eindeutigkeit unabhängig von \(d\) ist. 5. Zur linearen Abhängigkeit betrachtet man in den ersten drei Zeilen nur die ersten drei Komponenten. Die bei der Elimination verwendete Kombination liefert dort \(\vec{v}_3 - 2\vec{v}_2 + \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). In der vollständigen vierten Komponente bleibt dagegen \(a-2b+c\) stehen. Die angegebene Relation betrifft daher genau die drei Vektoren \(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3\) und zeigt ihre lineare Abhängigkeit.

a) Die Zeilenstufenform lautet \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & a \\ 0 & 1 & -2 & b-a \\ 0 & 0 & 1 & d \\ 0 & 0 & 0 & a-2b+c \end{pmatrix}\). b) Die Bedingung für eine eindeutige Lösung ist \(a-2b+c \neq 0\). Da \(d\) in dieser Bedingung nicht vorkommt, ist die Eindeutigkeit unabhängig von \(d\). c) Für die ersten drei Komponenten gilt \(\vec{v}_3 - 2\vec{v}_2 + \vec{v}_1 = \vec{0}\). Damit sind die Vektoren linear abhängig.