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- Welcher der beiden Indizes bezeichnet laut Definition den Ausgangszustand? - Ordne den zweiten Index dem Ausgangstarif und den ersten Index dem Zieltarif zu. - Formuliere den Dezimalwert anschließend als Anteil im beschriebenen Monatswechsel.

1. Beim Eintrag \(m_{12}\) bezeichnet der zweite Index den Ausgangstarif Plus und der erste Index den Zieltarif Basis. Daher bedeutet \(m_{12}=0{,}25\), dass in einem Monat \(25\,\%\) der Kundinnen und Kunden aus Plus in Basis wechseln.

In einem Monat wechseln \(25\,\%\) der Kundinnen und Kunden aus dem Tarif Plus in den Tarif Basis.

- Nutze die im Text festgelegte Bedeutung von Zeilen und Spalten. - Beginne mit einem Ausgangstarif und übertrage seine beiden Anteile gemeinsam in die Matrix. - Kontrolliere am Ende, ob jeder Ausgangstarif vollständig auf die beiden Zieltarife verteilt ist.

1. Die erste Spalte enthält die Übergänge aus Basis: \(0{,}8\) nach Basis und \(0{,}2\) nach Plus. 2. Die zweite Spalte enthält die Übergänge aus Plus: \(0{,}3\) nach Basis und \(0{,}7\) nach Plus. 3. Daher ist \(M=\begin{pmatrix}0{,}8&0{,}3\\0{,}2&0{,}7\end{pmatrix}\).

\(M=\begin{pmatrix}0{,}8&0{,}3\\0{,}2&0{,}7\end{pmatrix}\)

- Schreibe die Anfangsverteilung zuerst als Vektor in der angegebenen Reihenfolge. - Welche Rechenoperation beschreibt laut Aufgabenstellung genau einen Übergangsschritt? - Ordne die beiden Komponenten des Ergebnisvektors wieder Bus und Bahn zu.

1. Der Anfangsvektor ist \(v_0=\begin{pmatrix}60\\40\end{pmatrix}\). 2. Es folgt \(v_1=Mv_0=\begin{pmatrix}0{,}75\cdot60+0{,}2\cdot40\\0{,}25\cdot60+0{,}8\cdot40\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}53\\47\end{pmatrix}\). 3. Nach einem Monat fahren somit \(53\) Personen mit dem Bus und \(47\) mit der Bahn.

\(v_1=\begin{pmatrix}53\\47\end{pmatrix}\). Nach einem Monat fahren \(53\) Personen mit dem Bus und \(47\) mit der Bahn.

- Wie gehst du vor, wenn du zwei Vektoren addierst? Übertrage dieses Prinzip auf die einzelnen Positionen der Matrizen. - Was muss bei der Größe der Matrizen beachtet werden, damit jeder Platz einen Partner zum Rechnen hat? - Überlege dir, was die Zeilen und Spalten in der Aufgabe bedeuten, um das Ergebnis zu deuten. - Was passiert mathematisch, wenn du von einer Zahl eine größere Zahl abziehst?

1. Berechnung der Summe \(S = A + B\): Die entsprechenden Einträge werden addiert: \(s_{11} = 24+16=40\), \(s_{12} = 18+22=40\), \(s_{21} = 30+25=55\), \(s_{22} = 12+20=32\). Resultat: \(S = \begin{pmatrix} 40 & 40 \\ 55 & 32 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der Differenz \(D = A - B\): Die entsprechenden Einträge werden subtrahiert: \(d_{11} = 24-16=8\), \(d_{12} = 18-22=-4\), \(d_{21} = 30-25=5\), \(d_{22} = 12-20=-8\). Resultat: \(D = \begin{pmatrix} 8 & -4 \\ 5 & -8 \end{pmatrix}\). Ein negativer Eintrag bedeutet, dass Filiale 2 in der entsprechenden Woche von diesem Modell mehr Einheiten verkauft hat als Filiale 1. 3. Voraussetzung für Addition/Differenz: Beide Matrizen müssen die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten besitzen (gleicher Typ/Format). 4. Bedeutung der Nullmatrix: Eine Nullmatrix \(C\) würde bedeuten, dass die Filiale in beiden Wochen keines der beiden Tablet-Modelle verkauft hat (alle Verkaufszahlen sind Null).

a) \(S = \begin{pmatrix} 40 & 40 \\ 55 & 32 \end{pmatrix}\) b) \(D = \begin{pmatrix} 8 & -4 \\ 5 & -8 \end{pmatrix}\); ein negativer Wert zeigt an, dass Filiale 2 mehr verkauft hat als Filiale 1. c) Die Matrizen müssen vom gleichen Typ sein (gleiche Zeilen- und Spaltenanzahl). d) Es wurden in dem Zeitraum keine Tablets verkauft.

- Welche Spalte gehört zum Kistentyp „Gourmet“? - Wie lässt sich ein prozentualer Zuwachs als gleichmäßige Skalierung aller Matrixeinträge beschreiben? - Bei einer Matrixaddition werden Einträge mit derselben Position zusammengeführt.

1. In der dritten Spalte stehen \(30\) und \(20\), also insgesamt \(50\) Gourmet-Abonnements. 2. Ein Zuwachs um \(20\,\%\) skaliert alle Einträge auf \(120\,\%\) des Ausgangswerts. Damit ist \(A_{neu}=\begin{pmatrix}54&72&36\\30&48&24\end{pmatrix}\). 3. Durch Addition folgt \(A_{ges}=A_{neu}+N=\begin{pmatrix}64&87&41\\35&58&32\end{pmatrix}\).

a) \(50\) b) \(A_{neu}=\begin{pmatrix}54&72&36\\30&48&24\end{pmatrix}\) c) \(A_{ges}=\begin{pmatrix}64&87&41\\35&58&32\end{pmatrix}\)

- Überlege dir zuerst, wie viele Zeilen und Spalten die Matrix hat. - Der erste Index \( i \) steht für die Zeilennummer, der zweite Index \( j \) für die Spaltennummer. - Setze die jeweiligen Werte für \( i \) und \( j \) nacheinander in die Formel ein.

1. Berechnung der Elemente für die erste Zeile (\( i = 1 \)): \( a_{11} = 2^1 \cdot 1 = 2 \); \( a_{12} = 2^1 \cdot 2 = 4 \); \( a_{13} = 2^1 \cdot 3 = 6 \); \( a_{14} = 2^1 \cdot 4 = 8 \); \( a_{15} = 2^1 \cdot 5 = 10 \). 2. Berechnung der Elemente für die zweite Zeile (\( i = 2 \)): \( a_{21} = 2^2 \cdot 1 = 4 \); \( a_{22} = 2^2 \cdot 2 = 8 \); \( a_{23} = 2^2 \cdot 3 = 12 \); \( a_{24} = 2^2 \cdot 4 = 16 \); \( a_{25} = 2^2 \cdot 5 = 20 \). 3. Zusammenstellen der Matrix: \( \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\ 4 & 8 & 12 & 16 & 20 \end{pmatrix} \).

\( \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\ 4 & 8 & 12 & 16 & 20 \end{pmatrix} \)

- Was bedeutet die Bedingung \( i = j \) für die Position eines Elements in der Matrix? - Welche Elemente liegen nicht auf der Hauptdiagonale? - Achte darauf, dass die Matrix genau drei Zeilen und drei Spalten besitzt.

1. Identifikation der Diagonalelemente (\( i = j \)): Für die Positionen \( (1,1) \), \( (2,2) \) und \( (3,3) \) gilt \( m_{11} = m_{22} = m_{33} = 0{,}5 \). 2. Identifikation der restlichen Elemente (\( i \neq j \)): Für alle anderen Positionen (außerhalb der Hauptdiagonale) gilt \( m_{ij} = 0{,}25 \). 3. Konstruktion der Matrix: \( \mathbf{M} = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}25 & 0{,}25 \\ 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \\ 0{,}25 & 0{,}25 & 0{,}5 \end{pmatrix} \).

\( \mathbf{M} = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}25 & 0{,}25 \\ 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \\ 0{,}25 & 0{,}25 & 0{,}5 \end{pmatrix} \)

- Achte darauf, die Rechenoperationen für jede Position in der Matrix einzeln durchzuführen. - Bei der Subtraktion einer negativen Zahl musst du auf das Vorzeichen achten. - Du kannst Klammerausdrücke bei Matrizen wie in der normalen Algebra auflösen und zusammenfassen.

1. Durchführung der komponentenweisen Addition und Subtraktion: \( \mathbf{A} + \mathbf{B} - \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 4-2-1 & -1+5-2 & 2+0-(-3) \\ 0+1-(-2) & 3-4-0 & -5+2-4 \\ 1+3-0 & 2+0-1 & 1-1-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 3 & -1 & -7 \\ 4 & 1 & -5 \end{pmatrix} \) 2. Skalierung der Matrizen und anschließende Subtraktion: \( 2 \cdot \mathbf{A} - 3 \cdot \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 8-(-6) & -2-15 & 4-0 \\ 0-3 & 6-(-12) & -10-6 \\ 2-9 & 4-0 & 2-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & -17 & 4 \\ -3 & 18 & -16 \\ -7 & 4 & 5 \end{pmatrix} \) 3. Vereinfachung des Ausdrucks zu \( 2 \cdot \mathbf{A} + \mathbf{B} - 2 \cdot \mathbf{C} \) und Berechnung: \( \begin{pmatrix} 8-2-2 & -2+5-4 & 4+0+6 \\ 0+1+4 & 6-4-0 & -10+2-8 \\ 2+3-0 & 4+0-2 & 2-1-10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 10 \\ 5 & 2 & -16 \\ 5 & 2 & -9 \end{pmatrix} \)

a) \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 3 & -1 & -7 \\ 4 & 1 & -5 \end{pmatrix} \) b) \( \begin{pmatrix} 14 & -17 & 4 \\ -3 & 18 & -16 \\ -7 & 4 & 5 \end{pmatrix} \) c) \( \begin{pmatrix} 4 & -1 & 10 \\ 5 & 2 & -16 \\ 5 & 2 & -9 \end{pmatrix} \)

- Multipliziere jeden Eintrag der Matrix mit dem Skalar vor der Matrix. - Um eine Matrixgleichung zu lösen, kannst du sie wie eine normale lineare Gleichung umstellen. - Achte bei Dezimalzahlen besonders sorgfältig auf die Kommastellen.

1. Berechnung der Linearkombination durch Skalierung und Addition: \( 2 \cdot \mathbf{M} + 4 \cdot \mathbf{N} = \begin{pmatrix} 3-2 & -4+16 & 8+0 \\ 0+8 & 6{,}4-6{,}4 & -2+12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 12 & 8 \\ 8 & 0 & 10 \end{pmatrix} \) 2. Subtraktion der skalierten Matrix \( \mathbf{N} \) von \( \mathbf{M} \): \( \mathbf{M} - 0{,}5 \cdot \mathbf{N} = \begin{pmatrix} 1{,}5 - (-0{,}25) & -2-2 & 4-0 \\ 0-1 & 3{,}2 - (-0{,}8) & -1-1{,}5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}75 & -4 & 4 \\ -1 & 4 & -2{,}5 \end{pmatrix} \) 3. Umstellen der Gleichung nach \( \mathbf{X} = \mathbf{M} - 3 \cdot \mathbf{N} \) und komponentenweise Berechnung: \( \mathbf{X} = \begin{pmatrix} 1{,}5 - (-1{,}5) & -2-12 & 4-0 \\ 0-6 & 3{,}2 - (-4{,}8) & -1-9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -14 & 4 \\ -6 & 8 & -10 \end{pmatrix} \)

a) \( \begin{pmatrix} 1 & 12 & 8 \\ 8 & 0 & 10 \end{pmatrix} \) b) \( \begin{pmatrix} 1{,}75 & -4 & 4 \\ -1 & 4 & -2{,}5 \end{pmatrix} \) c) \( \mathbf{X} = \begin{pmatrix} 3 & -14 & 4 \\ -6 & 8 & -10 \end{pmatrix} \)

- Überlege dir zuerst, wie viele Zeilen und Spalten die Matrix haben muss. - Erinnere dich daran, welcher Index für die Zeile und welcher für die Spalte steht. - Gehe die Informationen Schritt für Schritt durch und trage die Werte an die richtigen Positionen ein. - Was musst du tun, wenn für eine bestimmte Position kein Wert angegeben wurde? - Bei Übergangsmatrizen ist es oft hilfreich zu prüfen, ob die Summe der Werte in jeder Spalte \( 1 \) ergibt.

1. Bestimmung der Matrixstruktur: Da es vier Zustände gibt, handelt es sich um eine \( 4 \times 4 \)-Matrix. 2. Zuordnung der Indizes: Der erste Index \( i \) gibt die Zeile und der zweite Index \( j \) die Spalte an. 3. Eintragen der Werte: Spalte 1: \( m_{11}=0{,}75, m_{21}=0{,}15, m_{31}=0, m_{41}=0{,}10 \). Spalte 2: \( m_{12}=0{,}20, m_{22}=0{,}80, m_{32}=0, m_{42}=0 \). Spalte 3: \( m_{13}=0, m_{23}=0, m_{33}=0{,}60, m_{43}=0{,}40 \). Spalte 4: \( m_{14}=0{,}05, m_{24}=0, m_{34}=0{,}05, m_{44}=0{,}90 \). 4. Zusammenfassen zur Matrix \( M \).

\( M = \begin{pmatrix} 0{,}75 & 0{,}20 & 0 & 0{,}05 \\ 0{,}15 & 0{,}80 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0{,}60 & 0{,}05 \\ 0{,}10 & 0 & 0{,}40 & 0{,}90 \end{pmatrix} \)

- Welche Information liefert dir der Typ \( 3 \times 4 \) über den Aufbau der Matrix? - Achte genau darauf, welche Zahl für die Zeile und welche für die Spalte steht, besonders wenn die Angaben unsortiert sind. - Es hilft, sich zuerst ein leeres Raster mit 3 Zeilen und 4 Spalten aufzuzeichnen. - Was bedeuten die Indizes im Kontext der Grundstoffe und Zwischenprodukte?

1. Festlegen des Matrixformats: Die Matrix \( A \) besitzt 3 Zeilen (für die Grundstoffe) und 4 Spalten (für die Zwischenprodukte). 2. Systematisches Eintragen der Werte \( a_{ij} \) (Zeile \( i \), Spalte \( j \)): Zeile 1: \( a_{11}=4, a_{12}=3, a_{13}=0, a_{14}=6 \) Zeile 2: \( a_{21}=0, a_{22}=5, a_{23}=8, a_{24}=2 \) Zeile 3: \( a_{31}=2, a_{32}=0, a_{33}=1, a_{34}=7 \) 3. Alle nicht genannten Positionen (\( a_{21}, a_{32}, a_{13} \)) werden mit \( 0 \) besetzt.

\( A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 0 & 6 \\ 0 & 5 & 8 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 7 \end{pmatrix} \)

- Für die Route musst du die Kosten für jeden einzelnen Teilschritt aus der Matrix ablesen und addieren. - Was bedeutet eine niedrige Zeilensumme für die Erreichbarkeit anderer Standorte? - Achte bei der Mauterhöhung darauf, ob die Kosten für den Aufenthalt am eigenen Standort (Diagonale) ebenfalls steigen sollten.

1. Die Kosten berechnen sich aus der Summe der jeweiligen Matrixeinträge: \( k_{12} + k_{24} + k_{43} + k_{31} = 10 + 12 + 5 + 15 = 42 \). Der Kostensatz für die Rundreise beträgt \(42\,\text{€}/\text{t}\). 2. Zeilensummen: \( S_1 = 0 + 10 + 15 + 20 = 45 \) \( S_2 = 10 + 0 + 8 + 12 = 30 \) \( S_3 = 15 + 8 + 0 + 5 = 28 \) \( S_4 = 20 + 12 + 5 + 0 = 37 \) Die Zeilensumme gibt die Summe der Kostensätze für Transporte von einem Lagerhaus zu allen anderen Lagerhäusern an. Werden von einem Standort aus jeweils eine Tonne zu allen anderen Standorten geliefert, entspricht sie zugleich den Gesamtkosten in Euro. \( L_3 \) ist am günstigsten bzw. zentralsten gelegen, da die Summe der Kostensätze dort mit \(28\,\text{€}/\text{t}\) am geringsten ist. 3. Zur Berechnung von \( \mathbf{K}_{neu} \) wird zu jedem Element \( k_{ij} \) mit \( i \neq j \) der Wert \( 2{,}50 \) addiert. Die Diagonalelemente bleiben \( 0 \), da keine Maut am Standort selbst anfällt. \( \mathbf{K}_{neu} = \begin{pmatrix} 0 & 12{,}50 & 17{,}50 & 22{,}50 \\ 12{,}50 & 0 & 10{,}50 & 14{,}50 \\ 17{,}50 & 10{,}50 & 0 & 7{,}50 \\ 22{,}50 & 14{,}50 & 7{,}50 & 0 \end{pmatrix} \) Die Matrix bleibt symmetrisch, da zu symmetrisch liegenden Elementen derselbe Wert addiert wurde.

1. \(42\,\text{€}/\text{t}\) 2. Summen der Kostensätze: \( L_1: 45\,\text{€}/\text{t} \), \( L_2: 30\,\text{€}/\text{t} \), \( L_3: 28\,\text{€}/\text{t} \), \( L_4: 37\,\text{€}/\text{t} \). \( L_3 \) ist am günstigsten gelegen. 3. \( \mathbf{K}_{neu} = \begin{pmatrix} 0 & 12{,}50 & 17{,}50 & 22{,}50 \\ 12{,}50 & 0 & 10{,}50 & 14{,}50 \\ 17{,}50 & 10{,}50 & 0 & 7{,}50 \\ 22{,}50 & 14{,}50 & 7{,}50 & 0 \end{pmatrix} \). Die Symmetrie bleibt erhalten.

- Stell dir vor, du spiegelst die Einträge der Matrix an der Diagonale, die von links oben nach rechts unten verläuft. - Welche Zahlen oder Terme müssen an den gegenüberliegenden Positionen gleich sein? - Vergleiche die Einträge paarweise, zum Beispiel das Element in der ersten Zeile, zweiten Spalte mit dem in der zweiten Zeile, ersten Spalte.

1. Eine Matrix ist symmetrisch, wenn für ihre Elemente \(k_{ij} = k_{ji}\) gilt. 2. Für die Elemente der ersten Zeile und Spalte ergibt sich: \(2u = 6 \implies u = 3\) und \(v - 3 = 4 \implies v = 7\). 3. Für die Elemente der zweiten Zeile und Spalte ergibt sich: \(w = 8\). 4. Die resultierende symmetrische Matrix lautet \(K = \begin{pmatrix} 10 & 6 & 4 \\ 6 & 5 & 8 \\ 4 & 8 & 7 \end{pmatrix}\).

\(u = 3\), \(v = 7\), \(w = 8\)

- Überlege dir, welche Dimension die Ergebnismatrix haben muss, wenn eine \(3 \times 2\)-Matrix mit einer \(2 \times 2\)-Matrix multipliziert wird. - Erinnere dich an die Regel „Zeile mal Spalte“. - Was bedeutet ein Element in der resultierenden Matrix \(C\) im Sachzusammenhang? Zum Beispiel: Was gibt der Wert in der ersten Zeile und zweiten Spalte an?

Um die Matrix \(C = A \cdot B\) zu berechnen, wird das Skalarprodukt der Zeilen von \(A\) mit den Spalten von \(B\) gebildet: 1. Erste Zeile von \(C\): \(c_{11} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 9\) \(c_{12} = 3 \cdot 6 + 1 \cdot 1 = 19\) 2. Zweite Zeile von \(C\): \(c_{21} = 2 \cdot 2 + 4 \cdot 3 = 16\) \(c_{22} = 2 \cdot 6 + 4 \cdot 1 = 16\) 3. Dritte Zeile von \(C\): \(c_{31} = 0 \cdot 2 + 5 \cdot 3 = 15\) \(c_{32} = 0 \cdot 6 + 5 \cdot 1 = 5\) Die Ergebnismatrix lautet somit \(C = \begin{pmatrix} 9 & 19 \\ 16 & 16 \\ 15 & 5 \end{pmatrix}\).

\(C = \begin{pmatrix} 9 & 19 \\ 16 & 16 \\ 15 & 5 \end{pmatrix}\)

- Wie kannst du die Daten aus der Tabelle in einer Matrix anordnen, sodass die Spalten den Gebäcksorten entsprechen? - Erinnere dich daran, wie man eine Matrix mit einem Spaltenvektor multipliziert: „Zeile mal Spalte“. - Was bedeuten die einzelnen Komponenten des Ergebnisvektors im Sachzusammenhang?

1. Aufstellen der Produktionsmatrix \( A \) aus der Tabelle: \( A = \begin{pmatrix} 150 & 120 & 100 \\ 90 & 80 & 70 \\ 10 & 30 & 25 \end{pmatrix} \) 2. Aufstellen des Auftragsvektors \( \vec{v} \): \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 60 \\ 50 \\ 40 \end{pmatrix} \) 3. Berechnung des Ergebnisvektors \( \vec{r} = A \cdot \vec{v} \) durch Zeile-mal-Spalte-Rechnung: - Mehl: \( 150 \cdot 60 + 120 \cdot 50 + 100 \cdot 40 = 9000 + 6000 + 4000 = 19\,000 \) - Wasser: \( 90 \cdot 60 + 80 \cdot 50 + 70 \cdot 40 = 5400 + 4000 + 2800 = 12\,200 \) - Körner: \( 10 \cdot 60 + 30 \cdot 50 + 25 \cdot 40 = 600 + 1500 + 1000 = 3100 \) 4. Zusammenfassen zum Vektor \( \vec{r} = \begin{pmatrix} 19\,000 \\ 12\,200 \\ 3100 \end{pmatrix} \). Die Komponenten sind in der Reihenfolge Mehl in Gramm, Wasser in Millilitern und Körner in Gramm angegeben.

\( \vec{r} = \begin{pmatrix} 19\,000 \\ 12\,200 \\ 3100 \end{pmatrix} \), entsprechend \(19\,000\,\text{g}\) Mehl, \(12\,200\,\text{mL}\) Wasser und \(3100\,\text{g}\) Körnern.

- Gehe bei der Multiplikation schrittweise vor: Das Element in der ersten Zeile und ersten Spalte des Ergebnisses entsteht aus der ersten Zeile der linken und der ersten Spalte der rechten Matrix. - Achte genau auf die Reihenfolge der Matrizen beim Multiplizieren. - Was bedeutet es für zwei Matrizen, gleich zu sein? - Ein Quadrat einer Matrix berechnest du, indem du die Matrix mit sich selbst multiplizierst.

1. Berechnung von \(A \cdot B\): \(\begin{pmatrix} 1 \cdot 4 + 2 \cdot 2 & 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 5 \\ 0 \cdot 4 + 3 \cdot 2 & 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 9 \\ 6 & 15 \end{pmatrix}\) 2. Berechnung von \(B \cdot A\): \(\begin{pmatrix} 4 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 & 4 \cdot 2 + (-1) \cdot 3 \\ 2 \cdot 1 + 5 \cdot 0 & 2 \cdot 2 + 5 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 19 \end{pmatrix}\) 3. Vergleich: Da \(\begin{pmatrix} 8 & 9 \\ 6 & 15 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 19 \end{pmatrix}\), gilt das Kommutativgesetz nicht. 4. Berechnung von \(A^2\): \(\begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 \\ 0 \cdot 1 + 3 \cdot 0 & 0 \cdot 2 + 3 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}\)

a) \(A \cdot B = \begin{pmatrix} 8 & 9 \\ 6 & 15 \end{pmatrix}\) und \(B \cdot A = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 19 \end{pmatrix}\) b) Das Kommutativgesetz gilt nicht, da \(A \cdot B \neq B \cdot A\). c) \(A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}\)

- Welche Größe sollte eine Zeile der Matrix beschreiben, damit die Multiplikation mit dem Preisvektor möglich ist? - Die Reihenfolge der Zutaten muss in Matrix und Vektor übereinstimmen. - Interpretiere jede Komponente des Produktvektors als Kosten einer Portion.

1. Mit den Menüs als Zeilen und den Zutaten als Spalten ist \(M=\begin{pmatrix}0{,}2&0{,}4&0\\0{,}15&0{,}2&0{,}15\\0{,}1&0{,}3&0{,}25\end{pmatrix}\). 2. Das Produkt \(M\vec{p}\) liefert die drei Portionskosten. Es ergibt \(\begin{pmatrix}1{,}80\\3{,}10\\4{,}75\end{pmatrix}\,\text{€}\).

Veggie: \(1{,}80\,\text{€}\), Standard: \(3{,}10\,\text{€}\), Exklusiv: \(4{,}75\,\text{€}\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn die Reihenfolge zweier Prozesse eine Rolle spielt? - Gehe beim Multiplizieren der Dezimalzahlen sorgfältig vor oder wandle sie bei Bedarf in Brüche um. - Achte darauf, welche Matrix links und welche rechts steht, da dies bei der Matrizenmultiplikation entscheidend ist.

1. Berechnung des Produkts \(M \cdot N\): \(\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}4 \\ 0{,}2 & 0{,}6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0 \\ 0{,}5 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}8 \cdot 0{,}5 + 0{,}4 \cdot 0{,}5 & 0{,}8 \cdot 0 + 0{,}4 \cdot 1 \\ 0{,}2 \cdot 0{,}5 + 0{,}6 \cdot 0{,}5 & 0{,}2 \cdot 0 + 0{,}6 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}\) 2. Berechnung des Produkts \(N \cdot M\): \(\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0 \\ 0{,}5 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}4 \\ 0{,}2 & 0{,}6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}5 \cdot 0{,}8 + 0 \cdot 0{,}2 & 0{,}5 \cdot 0{,}4 + 0 \cdot 0{,}6 \\ 0{,}5 \cdot 0{,}8 + 1 \cdot 0{,}2 & 0{,}5 \cdot 0{,}4 + 1 \cdot 0{,}6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}2 \\ 0{,}6 & 0{,}8 \end{pmatrix}\) 3. Vergleich der Matrizen: Die Matrizen \(M \cdot N\) und \(N \cdot M\) sind verschieden, somit hat die Reihenfolge einen Einfluss auf das Gesamtergebnis.

Die Berechnung ergibt \(M \cdot N = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}\) und \(N \cdot M = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}2 \\ 0{,}6 & 0{,}8 \end{pmatrix}\). Da \(M \cdot N \neq N \cdot M\), beeinflusst die Reihenfolge der Prozesse das Gesamtergebnis.

- Welche Struktur haben die beiden Summanden gemeinsam? - Welches Rechengesetz verbindet eine gemeinsame lineare Abbildung mit einer Summe? - Suche nach einem Weg, der weniger Matrix-Vektor-Produkte benötigt.

1. Mit dem Distributivgesetz wird die gemeinsame Matrix ausgeklammert. 2. Die beiden Vektoren ergeben zusammen \(\begin{pmatrix}100\\100\end{pmatrix}\). 3. Die verbleibende Matrix-Vektor-Multiplikation liefert \(\begin{pmatrix}70\\130\end{pmatrix}\).

\(\begin{pmatrix}70\\130\end{pmatrix}\)

- Was ist in beiden Produkten identisch? - Welches Rechengesetz kann die Zahl der Matrix-Vektor-Multiplikationen verringern? - Prüfe, ob nach einer geeigneten Umformung eine besonders einfache Matrix entsteht.

1. Mit dem Distributivgesetz wird der gemeinsame Vektor zusammengefasst: \((A-B)\vec{x}\). 2. Es ist \(A-B=\begin{pmatrix}0{,}5&0\\0&0{,}5\end{pmatrix}\). 3. Multiplikation mit \(\begin{pmatrix}12\\18\end{pmatrix}\) ergibt \(\begin{pmatrix}6\\9\end{pmatrix}\).

\(\begin{pmatrix}6\\9\end{pmatrix}\)

- Welche Zahl verändert bei der normalen Multiplikation den Wert nicht? Wie könnte eine entsprechende Matrix aufgebaut sein? - Erinnere dich an das Rechenschema „Zeile mal Spalte“. - Welche Voraussetzung muss für die Anzahl der Zeilen und Spalten erfüllt sein, damit man zwei Matrizen überhaupt multiplizieren darf?

1. Eine mögliche Wahl für \( X \) ist die \( 2 \times 2 \)-Einheitsmatrix \( E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \), denn damit gilt \(A \cdot X = A\). 2. Überprüfung von \( X \cdot A \): Die Rechnung \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 + 0 \cdot 4 & 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 3 + 1 \cdot 4 & 0 \cdot (-2) + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} \) ergibt die Matrix \( \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \), was exakt \( A \) entspricht. 3. Dimensionsprüfung: Die Matrix \( A \) ist vom Typ \( 2 \times 2 \), die Matrix \( E_3 \) vom Typ \( 3 \times 3 \). Das Produkt \( A \cdot E_3 \) ist nur definiert, wenn die Spaltenanzahl von \( A \) (hier 2) mit der Zeilenanzahl von \( E_3 \) (hier 3) übereinstimmt. Da \( 2 \neq 3 \), ist die Multiplikation nicht durchführbar. Analog ist \( E_3 \cdot A \) nicht definiert, da \( 3 \neq 2 \).

a) \( X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) b) Die Rechnung bestätigt \( X \cdot A = A \). c) Die Multiplikation ist aufgrund nicht passender Dimensionen (\( 2 \neq 3 \)) nicht definiert.

- Erinnere dich an das Verfahren „Zeile mal Spalte“ bei der Matrizenmultiplikation. - Achte beim Rechnen besonders auf die Vorzeichen. - Was ist das Besondere an einer Matrix, die auf der Hauptdiagonalen nur Einsen und sonst nur Nullen hat? - Wenn das Produkt zweier Matrizen ein ganz bestimmtes neutrales Element ergibt, wie nennt man diese Matrizen dann?

1. Berechnung von \( \mathbf{M} \cdot \mathbf{N} \): \( \begin{pmatrix} 5 \cdot 2 + 3 \cdot (-3) & 5 \cdot (-3) + 3 \cdot 5 \\ 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) & 3 \cdot (-3) + 2 \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10-9 & -15+15 \\ 6-6 & -9+10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \). 2. Berechnung von \( \mathbf{N} \cdot \mathbf{M} \): \( \begin{pmatrix} 2 \cdot 5 + (-3) \cdot 3 & 2 \cdot 3 + (-3) \cdot 2 \\ -3 \cdot 5 + 5 \cdot 3 & -3 \cdot 3 + 5 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10-9 & 6-6 \\ -15+15 & -9+10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \). 3. Feststellung: Beide Produkte ergeben die Einheitsmatrix \( \mathbf{E} \). 4. Schlussfolgerung: Da \( \mathbf{M} \cdot \mathbf{N} = \mathbf{N} \cdot \mathbf{M} = \mathbf{E} \) gilt, sind \( \mathbf{M} \) und \( \mathbf{N} \) zueinander inverse Matrizen.

a) \( \mathbf{M} \cdot \mathbf{N} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) und \( \mathbf{N} \cdot \mathbf{M} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \). b) Die Matrizen \( \mathbf{M} \) und \( \mathbf{N} \) sind zueinander invers.

- Was bedeutet „neutral“ im Zusammenhang mit einer Rechenoperation wie der Addition? - Wie werden zwei Matrizen miteinander addiert? Erinnere dich an die komponentenweise Rechnung. - Welche Zahl ändert bei der Addition einen Wert nicht? - Überprüfe die Definition einer Übergangsmatrix: Welche Eigenschaft müssen die Spaltensummen erfüllen?

1. Aus der Bedingung \(M + N = M\) folgt für die einzelnen Komponenten: \(m_{ij} + n_{ij} = m_{ij}\). Durch Subtraktion von \(m_{ij}\) auf beiden Seiten ergibt sich \(n_{ij} = 0\) für alle Indizes. Somit ist \(N = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) die Nullmatrix. 2. Da die Addition von Matrizen komponentenweise definiert ist, existiert für jede Dimension \(m \times n\) eine Matrix, deren Einträge alle gleich der reellen Zahl 0 sind. Da 0 das neutrale Element der Addition in \(\mathbb{R}\) ist, gilt für jedes Element \(a_{ij}\) einer beliebigen Matrix \(A\): \(a_{ij} + 0 = a_{ij}\). Somit ist die Nullmatrix \(O_{m,n}\) stets das neutrale Element. 3. Eine Übergangsmatrix erfordert, dass die Summe der Einträge jeder Spalte 1 ist. Bei der Nullmatrix ist die Summe der Einträge jeder Spalte \(0 + 0 + \dots + 0 = 0\). Da \(0 \neq 1\), kann die neutrale Matrix der Addition niemals eine Übergangsmatrix sein.

1. \(N = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) 2. Die Existenz ist durch die komponentenweise Addition und das neutrale Element 0 der reellen Zahlen gegeben. 3. Nein, da die Spaltensummen der Nullmatrix 0 und nicht 1 sind.

- Übersetze die Bedingung „unverändert nach einem Schritt“ direkt in eine Matrixgleichung. - Nutze zusätzlich, dass insgesamt \(120\) Personen auf die beiden Verkehrsmittel verteilt sind. - Prüfe die gefundene Verteilung durch erneute Multiplikation mit \(M\) und formuliere die Bedeutung anschließend mit Bus und Bahn.

1. Mit \(z=120-b\) liefert die erste Komponente von \(Mv=v\) die Gleichung \(0{,}9b+0{,}2(120-b)=b\). 2. Daraus folgt \(0{,}7b+24=b\), also \(b=80\) und \(z=40\). 3. Es gilt \(M\begin{pmatrix}80\\40\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}80\\40\end{pmatrix}\). Wenn an einem Tag \(80\) Personen den Bus und \(40\) die Bahn nutzen, bleibt diese Verteilung nach dem nächsten Übergang und damit auch an allen weiteren Tagen unverändert.

\(v=\begin{pmatrix}80\\40\end{pmatrix}\). Bei \(80\) Bus- und \(40\) Bahnfahrenden bleibt die Verteilung unter dem Übergangsprozess unverändert.

- Bei einer gerichteten Kante ist der Zustand vor dem Pfeil die Quelle und der Zustand danach das Ziel. - Die Spaltenkonvention ordnet alle von demselben Zustand ausgehenden Kanten derselben Matrixspalte zu. - Arbeite in Teil b) rückwärts: Jede Matrixspalte beschreibt alle gerichteten Kanten, die von ihrem Ausgangszustand starten.

1. Von A führen die Kanten mit Anteilen \(0{,}7\) nach A und \(0{,}3\) nach B. Daher ist die erste Spalte \(\begin{pmatrix}0{,}7\\0{,}3\end{pmatrix}\). Von B führen \(0{,}2\) nach A und \(0{,}8\) nach B. Die zweite Spalte ist \(\begin{pmatrix}0{,}2\\0{,}8\end{pmatrix}\). 2. Somit ist \(M=\begin{pmatrix}0{,}7&0{,}2\\0{,}3&0{,}8\end{pmatrix}\). Beide Spalten summieren sich zu \(1\). 3. Für \(N\) lauten die gerichteten Kanten \(A\to A:0{,}6\), \(A\to B:0{,}4\), \(B\to A:0{,}1\) und \(B\to B:0{,}9\).

a) \(M=\begin{pmatrix}0{,}7&0{,}2\\0{,}3&0{,}8\end{pmatrix}\); beide Spaltensummen sind \(1\). b) \(A\to A:0{,}6\), \(A\to B:0{,}4\), \(B\to A:0{,}1\), \(B\to B:0{,}9\).

- Kläre zuerst, ob eine Zeile oder eine Spalte alle Übergänge von einem festen Ausgangszustand enthält. - Vergleiche Minas Kanten nicht einzeln ohne System, sondern suche nach einem einheitlichen Zuordnungsfehler. - Ein gültiger Übergangsgraph muss die Erhaltung der gesamten Anteile an jedem Ausgangszustand widerspiegeln.

1. Mina liest die Matrixzeilen als Ausgangszustände. Nach der vorgegebenen Konvention muss jedoch jede Matrixspalte als Menge der Übergänge von einem Ausgangszustand gelesen werden. 2. Die korrekte Kantenliste lautet: \(A\to A:0{,}5\), \(A\to B:0{,}3\), \(A\to C:0{,}2\); \(B\to A:0{,}2\), \(B\to B:0{,}7\), \(B\to C:0{,}1\); \(C\to A:0{,}4\), \(C\to B:0{,}1\), \(C\to C:0{,}5\). 3. Bei einem Übergangsprozess müssen die Gewichte aller von einem Zustand ausgehenden Kanten die Summe \(1\) haben. Minas A-Kanten ergeben \(0{,}5+0{,}2+0{,}4=1{,}1\) und können daher nicht stimmen. In der korrigierten Liste ist die Summe \(0{,}5+0{,}3+0{,}2=1\).

a) Mina liest Zeilen statt Spalten als Ausgangszustände. b) \(A\to A:0{,}5\), \(A\to B:0{,}3\), \(A\to C:0{,}2\); \(B\to A:0{,}2\), \(B\to B:0{,}7\), \(B\to C:0{,}1\); \(C\to A:0{,}4\), \(C\to B:0{,}1\), \(C\to C:0{,}5\). c) Ausgehende Gewichte müssen sich zu \(1\) summieren. Bei Mina ergibt A \(1{,}1\), korrekt ist \(1\).

- Lies für jede Matrixspalte zuerst nur die Pfeile, die von einem einzigen Ausgangszustand starten. - Unterscheide sorgfältig zwischen Pfeilrichtung und räumlicher Lage der Zustände im Bild. - Die Summenkontrolle betrifft alle ausgehenden Pfeile eines Zustands gemeinsam.

1. Vom Zustand A führen die Pfeile mit Anteil \(0{,}4\) nach B und mit Anteil \(0{,}6\) nach C. Daher lautet die erste Spalte \(\begin{pmatrix}0\\0{,}4\\0{,}6\end{pmatrix}\). 2. Vom Zustand B führt der einzige Pfeil mit Anteil \(1\) nach C. Die zweite Spalte ist \(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\). 3. Vom Zustand C führt der einzige Pfeil mit Anteil \(1\) nach A. Die dritte Spalte ist \(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\). 4. Somit ist \(M=\begin{pmatrix}0&0&1\\0{,}4&0&0\\0{,}6&1&0\end{pmatrix}\). Die Spaltensummen sind jeweils \(1\). Im Übergangsgraphen bedeutet dies, dass sich die Gewichte aller von einem festen Ausgangszustand ausgehenden Pfeile jeweils zu \(1\) addieren.

a) \(M=\begin{pmatrix}0&0&1\\0{,}4&0&0\\0{,}6&1&0\end{pmatrix}\) b) Alle drei Spaltensummen sind \(1\); entsprechend summieren sich an jedem Zustand die Gewichte der ausgehenden Pfeile zu \(1\).

- Jede Komponente des neuen Zustands entspricht einer Zeile des Matrixprodukts. - Beim Rückweg von Gleichungen zur Matrix musst du die vorgegebene Spaltenkonvention beachten. - Kontrolliere deine Zuordnung mit den Spaltensummen.

1. Aus der ersten Matrixzeile folgt \(b_{n+1}=0{,}75b_n+0{,}20z_n\), aus der zweiten \(z_{n+1}=0{,}25b_n+0{,}80z_n\). 2. Die Koeffizienten von \(u_n\) bilden die erste Spalte und die Koeffizienten von \(v_n\) die zweite Spalte. Daher ist \(N=\begin{pmatrix}0{,}6&0{,}1\\0{,}4&0{,}9\end{pmatrix}\). 3. In beiden Darstellungen summieren sich die Ausgangsspalten zu \(1\).

a) \(b_{n+1}=0{,}75b_n+0{,}20z_n\), \(z_{n+1}=0{,}25b_n+0{,}80z_n\) b) \(N=\begin{pmatrix}0{,}6&0{,}1\\0{,}4&0{,}9\end{pmatrix}\)

- Eine Matrixspalte enthält bei der vorgegebenen Konvention alle Ziele eines Ausgangszustands. - Die Tabelle ist nach Ausgangszuständen in den Zeilen organisiert; achte deshalb beim Übertragen auf die Orientierung. - Für \(b_{n+1}\) benötigst du die Matrixzeile des Zielzustands B.

1. Die erste Matrixspalte beschreibt die Übergänge von A: nach A \(0{,}6\), nach B \(0{,}3\), nach C \(0{,}1\). Entsprechend liefert die zweite Spalte für B die Werte \(0{,}2\), \(0{,}5\), \(0{,}3\) und die dritte Spalte für C die Werte \(0{,}1\), \(0{,}4\), \(0{,}5\). 2. Die zweite Matrixzeile liefert \(b_{n+1}=0{,}3a_n+0{,}5b_n+0{,}4c_n\).

a) <table><tr><th>von</th><th>nach A</th><th>nach B</th><th>nach C</th></tr><tr><td>A</td><td>\(0{,}6\)</td><td>\(0{,}3\)</td><td>\(0{,}1\)</td></tr><tr><td>B</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}5\)</td><td>\(0{,}3\)</td></tr><tr><td>C</td><td>\(0{,}1\)</td><td>\(0{,}4\)</td><td>\(0{,}5\)</td></tr></table> b) \(b_{n+1}=0{,}3a_n+0{,}5b_n+0{,}4c_n\)

- Welche Matrixspalte beschreibt, was mit einem bereits in Z befindlichen Anteil geschieht? - Führe die Übergänge schrittweise aus; jede neue Verteilung ist der Ausgang für den nächsten Schritt. - Beobachte besonders die erste Komponente über mehrere Schritte hinweg.

1. Die zweite Spalte ist \(\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\). Wer in Z ist, bleibt daher mit Anteil \(1\) in Z. 2. Es ergibt sich \(\vec{v}_1=\begin{pmatrix}60\\40\end{pmatrix}\), \(\vec{v}_2=\begin{pmatrix}36\\64\end{pmatrix}\), \(\vec{v}_3=\begin{pmatrix}21{,}6\\78{,}4\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_4=\begin{pmatrix}12{,}96\\87{,}04\end{pmatrix}\). 3. Nach vier Schritten sind \(87{,}04\,\%\) in Z. Der Anteil in T wird in jedem Schritt mit \(0{,}6\) multipliziert und nimmt daher weiter ab; entsprechend wächst der absorbierte Anteil.

a) Z ist absorbierend, weil die Z-Spalte \(\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\) ist. b) \(\vec{v}_1=\begin{pmatrix}60\\40\end{pmatrix}\), \(\vec{v}_2=\begin{pmatrix}36\\64\end{pmatrix}\), \(\vec{v}_3=\begin{pmatrix}21{,}6\\78{,}4\end{pmatrix}\), \(\vec{v}_4=\begin{pmatrix}12{,}96\\87{,}04\end{pmatrix}\) c) \(87{,}04\,\%\) befinden sich nach vier Schritten in Z; der Anteil nähert sich weiter \(100\,\%\).

- Was bedeutet es für die einzelnen Zahlen in einer Tabelle, wenn die gesamte Tabelle mit einem Faktor multipliziert wird? - Erinnere dich an die Rechenregeln für Zahlen. Warum dürfen wir beim Addieren die Reihenfolge vertauschen? - Addiere die Werte einer Spalte in der ursprünglichen Matrix und in der neuen Matrix. Was fällt dir auf? - Wie sind Matrizen aufgebaut? Sie bestehen aus vielen einzelnen Zahlen, für die du die Grundrechenarten bereits kennst.

1. Berechnung von \(M_{neu}\): Jeder Eintrag von \(M\) wird mit 2 multipliziert. \(M_{neu} = \begin{pmatrix} 1{,}4 & 0{,}4 \\ 0{,}6 & 1{,}6 \end{pmatrix}\). 2. Distributivgesetz prüfen: \(M + M = \begin{pmatrix} 1{,}4 & 0{,}4 \\ 0{,}6 & 1{,}6 \end{pmatrix}\). \(3 \cdot (M + M) = \begin{pmatrix} 4{,}2 & 1{,}2 \\ 1{,}8 & 4{,}8 \end{pmatrix}\). \(3 \cdot M = \begin{pmatrix} 2{,}1 & 0{,}6 \\ 0{,}9 & 2{,}4 \end{pmatrix}\). \(3 \cdot M + 3 \cdot M = \begin{pmatrix} 2{,}1+2{,}1 & 0{,}6+0{,}6 \\ 0{,}9+0{,}9 & 2{,}4+2{,}4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4{,}2 & 1{,}2 \\ 1{,}8 & 4{,}8 \end{pmatrix}\). Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis. 3. Begründung Kommutativgesetz: Die Addition von Matrizen erfolgt komponentenweise (\(a_{ij} + b_{ij}\)). Da für die reellen Zahlen das Kommutativgesetz gilt (\(a_{ij} + b_{ij} = b_{ij} + a_{ij}\)), gilt es auch für jeden Eintrag der Ergebnismatrix. 4. Interpretation \(M_{neu}\): Bei einer stochastischen Matrix muss die Summe der Einträge jeder Spalte genau \(1\) ergeben (\(100\,\%\)). Bei \(M_{neu}\) sind die Spaltensummen \(1{,}4 + 0{,}6 = 2{,}0\) und \(0{,}4 + 1{,}6 = 2{,}0\). Dies würde bedeuten, dass sich die Gesamtpopulation verdoppelt, anstatt nur verteilt zu werden.

a) \(M_{neu} = \begin{pmatrix} 1{,}4 & 0{,}4 \\ 0{,}6 & 1{,}6 \end{pmatrix}\) b) Beide Berechnungen ergeben \(\begin{pmatrix} 4{,}2 & 1{,}2 \\ 1{,}8 & 4{,}8 \end{pmatrix}\). c) Da die komponentenweise Addition auf der kommutativen Addition reeller Zahlen basiert, ist auch die Matrixaddition kommutativ. d) Die Spaltensummen sind größer als \(1\) (hier \(2\)), was bei realen Übergangswahrscheinlichkeiten unmöglich ist, da die Summe der Anteile \(100\,\%\) bzw. \(1\) nicht überschreiten darf.

- Überlege dir, welche Information in den Zeilen und welche in den Spalten der Matrix steht. - Wenn du die Summe über alle Standorte für ein bestimmtes Modell suchst, musst du die entsprechende Spalte addieren. - Für die Gesamtzahl pro Standort addiere die Werte entlang einer Zeile. - Bei gleichbleibenden Lieferungen über mehrere Zeiträume hilft die Multiplikation der Matrix mit einer Zahl. - Um Bestände oder Lieferungen verschiedener Zeiträume zusammenzuführen, nutzt man die komponentenweise Addition der Matrizen.

1. Berechnung der Gesamtzahl der Schuhe des Typs „Trail“ durch Addition der Werte in der dritten Spalte: \(80 + 110 + 100 = 290\). 2. Berechnung der Zeilensummen zur Ermittlung des Zentrums mit der größten Liefermenge: West: \(120 + 150 + 80 + 200 = 550\); Süd: \(100 + 120 + 110 + 180 = 510\); Ost: \(90 + 130 + 100 + 150 = 470\). Das Zentrum West erhielt die meisten Schuhe. 3. Bestimmung der Matrix \(L_Q\) durch Multiplikation der Matrix \(L_A\) mit dem Skalar \(3\): \(L_Q = 3 \cdot L_A = \begin{pmatrix} 360 & 450 & 240 & 600 \\ 300 & 360 & 330 & 540 \\ 270 & 390 & 300 & 450 \end{pmatrix}\). 4. Berechnung der Gesamtlieferung für Juli und August durch Addition der Matrizen \(L_A\) und \(L_{Aug}\): \(L_{Ges} = L_A + L_{Aug} = \begin{pmatrix} 120+140 & 150+160 & 80+90 & 200+210 \\ 100+110 & 120+130 & 110+120 & 180+190 \\ 90+100 & 130+140 & 100+110 & 150+160 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 260 & 310 & 170 & 410 \\ 210 & 250 & 230 & 370 \\ 190 & 270 & 210 & 310 \end{pmatrix}\).

a) Es wurden insgesamt \(290\) Schuhe des Typs „Trail“ geliefert. Das Verteilzentrum West erhielt mit \(550\) Stück die meisten Schuhe. b) \(L_Q = \begin{pmatrix} 360 & 450 & 240 & 600 \\ 300 & 360 & 330 & 540 \\ 270 & 390 & 300 & 450 \end{pmatrix}\) c) \(L_{Ges} = \begin{pmatrix} 260 & 310 & 170 & 410 \\ 210 & 250 & 230 & 370 \\ 190 & 270 & 210 & 310 \end{pmatrix}\)

- Was bedeutet es für die Entfernung, wenn du von einem Ort zu genau demselben Ort fährst? - Wenn der Weg von A nach B genauso lang ist wie von B nach A, was sagt das über die Einträge gegenüber der Hauptdiagonale aus? - Überlege dir, was die Einträge in einer Zeile gemeinsam haben (z. B. den Start- oder Zielpunkt).

1. Da die Entfernung innerhalb eines Standorts \( 0 \) ist, gilt für die Hauptdiagonale \( d_{ii} = 0 \). Aufgrund der Gleichheit von Hin- und Rückweg ist die Matrix symmetrisch (\( d_{ij} = d_{ji} \)). Durch Abgleich der gegebenen Werte ergibt sich: \( d_{11}=0, d_{13}=d_{31}=5{,}0, d_{15}=d_{51}=1{,}0 \) \( d_{21}=d_{12}=4{,}0, d_{22}=0, d_{24}=d_{42}=2{,}0 \) \( d_{32}=d_{23}=3{,}0, d_{33}=0, d_{35}=d_{53}=4{,}0 \) \( d_{41}=d_{14}=7{,}0, d_{43}=d_{34}=8{,}0, d_{44}=0, d_{45}=d_{54}=9{,}0 \) \( d_{52}=d_{25}=6{,}0, d_{55}=0 \) Die vollständige Matrix lautet: \( \mathbf{D} = \begin{pmatrix} 0 & 4{,}0 & 5{,}0 & 7{,}0 & 1{,}0 \\ 4{,}0 & 0 & 3{,}0 & 2{,}0 & 6{,}0 \\ 5{,}0 & 3{,}0 & 0 & 8{,}0 & 4{,}0 \\ 7{,}0 & 2{,}0 & 8{,}0 & 0 & 9{,}0 \\ 1{,}0 & 6{,}0 & 4{,}0 & 9{,}0 & 0 \end{pmatrix} \) 2. Die Matrix ist quadratisch (\( 5 \times 5 \)). Die Hauptdiagonale besteht nur aus Nullen. Die Matrix ist symmetrisch zur Hauptdiagonale (\( \mathbf{D} = \mathbf{D}^T \)). 3. Ein Zeilenvektor \( \vec{z}_i \) gibt alle Entfernungen an, die von einem festen Startstandort \( i \) zu allen anderen Standorten (einschließlich sich selbst) führen. Er beschreibt somit das „Entfernungsprofil“ eines Standorts zu den restlichen Zielen im Netz.

1. \( \mathbf{D} = \begin{pmatrix} 0 & 4{,}0 & 5{,}0 & 7{,}0 & 1{,}0 \\ 4{,}0 & 0 & 3{,}0 & 2{,}0 & 6{,}0 \\ 5{,}0 & 3{,}0 & 0 & 8{,}0 & 4{,}0 \\ 7{,}0 & 2{,}0 & 8{,}0 & 0 & 9{,}0 \\ 1{,}0 & 6{,}0 & 4{,}0 & 9{,}0 & 0 \end{pmatrix} \) 2. Die Matrix ist quadratisch, hat eine Null-Hauptdiagonale und ist symmetrisch. 3. Ein Zeilenvektor enthält alle Entfernungen von einem festen Startpunkt zu allen möglichen Zielpunkten.

- Welche Einträge einer symmetrischen Matrix liegen spiegelbildlich zur Hauptdiagonale? - Welche Bedeutung hat eine Spalte, wenn \(p_{ij}\) einen Übergang vom Zustand \(j\) zum Zustand \(i\) beschreibt? - Prüfe neben den erforderlichen Summen auch die Vorzeichen der Matrixeinträge.

1. Aus der Symmetriebedingung \(p_{ij} = p_{ji}\) folgt \(p_{21} = p_{12}\), also \(x = 0{,}3\), sowie \(p_{23} = p_{32}\), also \(y = 0{,}3\). 2. Mit diesen Werten sind die Spaltensummen \(0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1\), \(0{,}3 + 0{,}4 + 0{,}3 = 1\) und \(0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}5 = 1\). Alle Einträge sind nichtnegativ, daher ist \(P\) eine Übergangsmatrix. 3. Eine quadratische Matrix \(A\) ist symmetrisch, wenn für alle Indizes \(i\) und \(j\) gilt: \(a_{ij} = a_{ji}\). Dies ist gleichbedeutend mit \(A = A^T\).

a) \(x = 0{,}3\) und \(y = 0{,}3\) b) Ja. Alle Spaltensummen sind \(1\) und alle Einträge sind nichtnegativ. c) \(a_{ij} = a_{ji}\) für alle \(i, j\), also \(A = A^T\).

- Wie stellst du die aktuelle Verteilung als mathematisches Objekt dar? - Welche Rechenoperation verknüpft die Übergangsmatrix mit dem Zustandsvektor? - Wie kannst du das Ergebnis der ersten Woche nutzen, um die Verteilung für die darauffolgende Woche zu finden? - Achte darauf, dass die Spaltensummen der Matrix und die Summe der Kunden im Vektor jeweils konstant bleiben sollten.

1. Die Kundenverteilung nach einer Woche wird durch das Produkt der Übergangsmatrix \(M\) mit dem Startvektor \(\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 10\,000 \\ 6000 \\ 4000 \end{pmatrix}\) berechnet: \(\vec{v}_1 = M \cdot \vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 0{,}8 \cdot 10\,000 + 0{,}1 \cdot 6000 + 0{,}05 \cdot 4000 \\ 0{,}1 \cdot 10\,000 + 0{,}7 \cdot 6000 + 0{,}15 \cdot 4000 \\ 0{,}1 \cdot 10\,000 + 0{,}2 \cdot 6000 + 0{,}8 \cdot 4000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8800 \\ 5800 \\ 5400 \end{pmatrix}\). Nach einer Woche hat Anbieter \(A\) \(8800\) Kunden, Anbieter \(B\) \(5800\) Kunden und Anbieter \(C\) \(5400\) Kunden. 2. Die Verteilung nach zwei Wochen ergibt sich aus \(\vec{v}_2 = M \cdot \vec{v}_1\): \(\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 0{,}8 \cdot 8800 + 0{,}1 \cdot 5800 + 0{,}05 \cdot 5400 \\ 0{,}1 \cdot 8800 + 0{,}7 \cdot 5800 + 0{,}15 \cdot 5400 \\ 0{,}1 \cdot 8800 + 0{,}2 \cdot 5800 + 0{,}8 \cdot 5400 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7890 \\ 5750 \\ 6360 \end{pmatrix}\). Nach zwei Wochen hat Anbieter \(A\) \(7890\) Kunden, Anbieter \(B\) \(5750\) Kunden und Anbieter \(C\) \(6360\) Kunden.

1. Nach einer Woche: \(A: 8800\), \(B: 5800\), \(C: 5400\). 2. Nach zwei Wochen: \(A: 7890\), \(B: 5750\), \(C: 6360\).

- Ordne die Bestellmengen so an, dass die Produktreihenfolge zu den Spalten von \(M_{MT}\) passt. - Prüfe vor dem Multiplizieren die inneren Dimensionen der beiden Matrizen. - Interpretiere einen Eintrag der Ergebnismatrix als Bauteilbedarf eines bestimmten Kunden.

1. Aufstellen der Auftragsmatrix \(M_{TK}\) aus der Tabelle: \(M_{TK}=\begin{pmatrix}10&5\\40&20\\15&10\end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Gesamtbedarfs durch Matrixmultiplikation \(M_{MK}=M_{MT}M_{TK}\): \(M_{MK}=\begin{pmatrix}340&180\\1060&560\\80&50\end{pmatrix}\). 3. Die Zeilen stehen für Holzplatten, Schrauben und Scharniere; die Spalten stehen für Kunde 1 und Kunde 2.

\(M_{TK}=\begin{pmatrix}10&5\\40&20\\15&10\end{pmatrix}\) \(M_{MK}=\begin{pmatrix}340&180\\1060&560\\80&50\end{pmatrix}\) Die Zeilen stehen für \(H,Sc,Si\), die Spalten für Kunde 1 und Kunde 2.

- Überprüfe zuerst die Dimensionen der Matrizen (Zeilen \(\times\) Spalten). - Wann ist die Multiplikation zweier Matrizen überhaupt erlaubt? - Erinnere dich an die Regel „Zeile mal Spalte“. - Prüfe systematisch alle Kombinationen, auch die Multiplikation einer Matrix mit sich selbst.

Um festzustellen, welche Produkte definiert sind, werden die Dimensionen verglichen: \(M\) ist eine \(2 \times 2\)-Matrix, \(N\) eine \(2 \times 3\)-Matrix und \(P\) eine \(3 \times 1\)-Matrix. Ein Produkt \(A \cdot B\) ist definiert, wenn die Spaltenanzahl von \(A\) der Zeilenanzahl von \(B\) entspricht. 1. \(M \cdot N\) (Produkt einer \(2 \times 2\)-Matrix mit einer \(2 \times 3\)-Matrix) ist definiert: \(\begin{pmatrix} 3 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) & 3 \cdot 0 + (-1) \cdot 3 & 3 \cdot 5 + (-1) \cdot 1 \\ 2 \cdot 1 + 4 \cdot (-2) & 2 \cdot 0 + 4 \cdot 3 & 2 \cdot 5 + 4 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -3 & 14 \\ -6 & 12 & 14 \end{pmatrix}\) 2. \(N \cdot P\) (Produkt einer \(2 \times 3\)-Matrix mit einer \(3 \times 1\)-Matrix) ist definiert: \(\begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 0 \cdot (-3) + 5 \cdot 0 \\ -2 \cdot 2 + 3 \cdot (-3) + 1 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -13 \end{pmatrix}\) 3. \(M \cdot M\) (Produkt einer \(2 \times 2\)-Matrix mit einer \(2 \times 2\)-Matrix) ist definiert: \(\begin{pmatrix} 3 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 & 3 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 \\ 2 \cdot 3 + 4 \cdot 2 & 2 \cdot (-1) + 4 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -7 \\ 14 & 14 \end{pmatrix}\) Die übrigen Produkte \(M \cdot P\), \(N \cdot M\), \(N \cdot N\), \(P \cdot M\), \(P \cdot N\) und \(P \cdot P\) sind aufgrund inkompatibler Dimensionen nicht definiert.

Die definierten Produkte sind: \(M \cdot N = \begin{pmatrix} 5 & -3 & 14 \\ -6 & 12 & 14 \end{pmatrix}\) \(N \cdot P = \begin{pmatrix} 2 \\ -13 \end{pmatrix}\) \(M \cdot M = \begin{pmatrix} 7 & -7 \\ 14 & 14 \end{pmatrix}\)

- Überlege dir beim Multiplizieren, wie die Einsen in der Matrix \(P\) die einzelnen Spalten von \(A\) „auswählen“. - Was passiert mit einem Vektor, wenn du ihn mit einer Matrix multiplizierst, die in jeder Zeile und Spalte genau eine 1 hat? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen Links- und Rechtsmultiplikation bei Matrizen. - Für Aufgabenteil c): Wie sieht eine Matrix aus, die bei Multiplikation gar nichts verändert? Wie müsstest du diese abändern?

1. Berechnung von \(A \cdot P\): Die erste Spalte des Ergebnisses entspricht der dritten Spalte von \(A\), die zweite Spalte von \(A \cdot P\) der ersten Spalte von \(A\) und die dritte Spalte des Ergebnisses der zweiten Spalte von \(A\). \(A \cdot P = \begin{pmatrix} 0 & 5 & -2 \\ 7 & 1 & 4 \\ 2 & -3 & 8 \\ -1 & 6 & 0 \end{pmatrix}\) 2. Analyse der Wirkung: Die Rechtsmultiplikation mit \(P\) bewirkt eine zyklische Vertauschung der Spalten. Konkret rückt jede Spalte eine Position nach rechts, und die letzte Spalte wird zur ersten. 3. Konstruktion von \(Q\): Da \(A\) vier Zeilen hat, muss \(Q\) eine \(4 \times 4\)-Matrix sein. Um Zeile 1 und 4 zu tauschen, muss in der ersten Zeile von \(Q\) an der vierten Stelle eine 1 stehen und in der vierten Zeile von \(Q\) an der ersten Stelle eine 1. Die Zeilen 2 und 3 entsprechen der Einheitsmatrix. \(Q = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

a) \(A \cdot P = \begin{pmatrix} 0 & 5 & -2 \\ 7 & 1 & 4 \\ 2 & -3 & 8 \\ -1 & 6 & 0 \end{pmatrix}\) b) Die Spalten werden zyklisch nach rechts verschoben (Spalte 1 \(\to\) 2, Spalte 2 \(\to\) 3, Spalte 3 \(\to\) 1). c) \(Q = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

- Überlege dir für den ersten Weg, welche Dimension die Matrix haben muss, die den Nährstoffgehalt pro Gericht angibt. - Achte beim zweiten Weg darauf, dass du zuerst die Gesamtmenge der Zutaten für alle Gerichte eines Wochenplans zusammenfasst. - Prüfe vor jeder Multiplikation, ob die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt. - Was bedeuten die Zeilen und Spalten der Ergebnismatrix im Sachkontext?

1. Berechnung über den Nährstoffgehalt pro Gericht: Zuerst wird das Produkt \(M = A \cdot B\) gebildet. Es ergibt sich \(M = \begin{pmatrix} 12 \cdot 2 + 15 \cdot 1 + 10 \cdot 3 & 12 \cdot 1 + 15 \cdot 2 + 10 \cdot 1 \\ 8 \cdot 2 + 5 \cdot 1 + 14 \cdot 3 & 8 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 14 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 69 & 52 \\ 63 & 32 \end{pmatrix}\). Anschließend wird der Gesamtbedarf durch \(T = M \cdot C\) berechnet: \(T = \begin{pmatrix} 69 \cdot 100 + 52 \cdot 40 & 69 \cdot 50 + 52 \cdot 120 & 69 \cdot 80 + 52 \cdot 60 \\ 63 \cdot 100 + 32 \cdot 40 & 63 \cdot 50 + 32 \cdot 120 & 63 \cdot 80 + 32 \cdot 60 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8980 & 9690 & 8640 \\ 7580 & 6990 & 6960 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung über den Zutatenbedarf: Zuerst wird das Produkt \(Z = B \cdot C\) gebildet. Es ergibt sich \(Z = \begin{pmatrix} 240 & 220 & 220 \\ 180 & 290 & 200 \\ 340 & 270 & 300 \end{pmatrix}\). Der Nährstoffbedarf folgt aus \(T = A \cdot Z = \begin{pmatrix} 12 \cdot 240 + 15 \cdot 180 + 10 \cdot 340 & \dots \\ \dots & \dots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8980 & 9690 & 8640 \\ 7580 & 6990 & 6960 \end{pmatrix}\). Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis, was das Assoziativgesetz \((A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)\) bestätigt.

Der Gesamtnährstoffbedarf für die Wochenpläne \(W_1, W_2\) und \(W_3\) ist in beiden Rechenwegen gleich: \(\begin{pmatrix} 8980 & 9690 & 8640 \\ 7580 & 6990 & 6960 \end{pmatrix}\). Für \(N_1\) sind das \(8980\), \(9690\) und \(8640\) Einheiten; für \(N_2\) \(7580\), \(6990\) und \(6960\) Einheiten. Damit wird \((A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)\) im gegebenen Sachkontext bestätigt.

- Was passiert mathematisch, wenn du eine Matrix, die „Einheiten von A pro B“ angibt, mit einer Matrix multiplizierst, die „Einheiten von B pro C“ angibt? - Achte bei Teilaufgabe b) genau auf die Reihenfolge der Multiplikation, die durch die Aufgabenstellung vorgegeben ist. - Das Assoziativgesetz besagt, dass die Klammerung bei der Multiplikation von drei Matrizen das Endergebnis nicht verändert.

1. Berechnung von \(M_{gesamt}\): \(M_1 \cdot M_2 = \begin{pmatrix} 4 \cdot 3 + 2 \cdot 2 & 4 \cdot 1 + 2 \cdot 4 & 4 \cdot 2 + 2 \cdot 0 \\ 1 \cdot 3 + 5 \cdot 2 & 1 \cdot 1 + 5 \cdot 4 & 1 \cdot 2 + 5 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & 12 & 8 \\ 13 & 21 & 2 \end{pmatrix}\). Diese Matrix gibt den direkten Bedarf an Rohstoffen \(R_1, R_2\) pro fertiggestelltem Gerät \(G_1, G_2, G_3\) an. 2. Berechnung des Modulbedarfs pro Auftrag: \(M_{Auftrag} = M_2 \cdot D = \begin{pmatrix} 3 \cdot 10 + 1 \cdot 20 + 2 \cdot 15 & 3 \cdot 5 + 1 \cdot 15 + 2 \cdot 10 \\ 2 \cdot 10 + 4 \cdot 20 + 0 \cdot 15 & 2 \cdot 5 + 4 \cdot 15 + 0 \cdot 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 80 & 50 \\ 100 & 70 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Rohstoffbedarfs: \(R = M_1 \cdot M_{Auftrag} = \begin{pmatrix} 4 \cdot 80 + 2 \cdot 100 & 4 \cdot 50 + 2 \cdot 70 \\ 1 \cdot 80 + 5 \cdot 100 & 1 \cdot 50 + 5 \cdot 70 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 520 & 340 \\ 580 & 400 \end{pmatrix}\).

a) \(M_{gesamt} = \begin{pmatrix} 16 & 12 & 8 \\ 13 & 21 & 2 \end{pmatrix}\). Sie gibt den Rohstoffverbrauch pro Gerät an. b) Der Rohstoffbedarf für die Aufträge beträgt: Auftrag \(O_1\): \(520\) Einheiten \(R_1\) und \(580\) Einheiten \(R_2\). Auftrag \(O_2\): \(340\) Einheiten \(R_1\) und \(400\) Einheiten \(R_2\). Die Ergebnismatrix ist \(\begin{pmatrix} 520 & 340 \\ 580 & 400 \end{pmatrix}\).

- Welche Information erhältst du, wenn du die Bestellmatrizen beider Wochen addierst? - Was bedeutet das Ergebnis einer Multiplikation von Ressourcenmatrix und Bestellmatrix im Sachkontext? - Wie kannst du die Gesamtkosten berechnen, wenn du zuerst die Kosten für jede Woche einzeln ermittelst? - Vergleiche die beiden Rechenwege: In welcher Reihenfolge führst du Addition und Multiplikation jeweils aus?

1. Aufstellen der Matrizen: \(R = \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ 12 & 15 \end{pmatrix}\), \(B_1 = \begin{pmatrix} 40 & 25 & 30 \\ 20 & 30 & 10 \end{pmatrix}\) und \(B_2 = \begin{pmatrix} 20 & 35 & 10 \\ 15 & 20 & 25 \end{pmatrix}\). 2. Erster Rechenweg: Addition der Bestellungen \(B_{ges} = B_1 + B_2 = \begin{pmatrix} 60 & 60 & 40 \\ 35 & 50 & 35 \end{pmatrix}\). Anschließend Multiplikation mit der Ressourcenmatrix: \(R \cdot B_{ges} = \begin{pmatrix} 5 \cdot 60 + 8 \cdot 35 & 5 \cdot 60 + 8 \cdot 50 & 5 \cdot 40 + 8 \cdot 35 \\ 12 \cdot 60 + 15 \cdot 35 & 12 \cdot 60 + 15 \cdot 50 & 12 \cdot 40 + 15 \cdot 35 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 580 & 700 & 480 \\ 1245 & 1470 & 1005 \end{pmatrix}\). 3. Zweiter Rechenweg: Einzelne Berechnung der Ressourcen pro Woche und anschließende Addition: \(R \cdot B_1 + R \cdot B_2\). \(R \cdot B_1 = \begin{pmatrix} 360 & 365 & 230 \\ 780 & 750 & 510 \end{pmatrix}\), \(R \cdot B_2 = \begin{pmatrix} 220 & 335 & 250 \\ 465 & 720 & 495 \end{pmatrix}\). Summe: \(\begin{pmatrix} 580 & 700 & 480 \\ 1245 & 1470 & 1005 \end{pmatrix}\). 4. Die Ergebnisse zeigen, dass die Materialkosten für Firma X \(580\,\text{€}\), für Firma Y \(700\,\text{€}\) und für Firma Z \(480\,\text{€}\) betragen. Der Zeitaufwand liegt bei \(1245\), \(1470\) bzw. \(1005\) Minuten. 5. Das zugrunde liegende Gesetz ist das Distributivgesetz für Matrizen: \(A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C\).

Die Gesamtkosten und der Zeitaufwand pro Kunde ergeben sich aus der Matrix \(G = \begin{pmatrix} 580 & 700 & 480 \\ 1245 & 1470 & 1005 \end{pmatrix}\). Firma X: \(580\,\text{€}\) Material, \(1245\,\text{min}\) Zeit. Firma Y: \(700\,\text{€}\) Material, \(1470\,\text{min}\) Zeit. Firma Z: \(480\,\text{€}\) Material, \(1005\,\text{min}\) Zeit. Das Rechengesetz lautet: \(R \cdot (B_1 + B_2) = R \cdot B_1 + R \cdot B_2\) (Links-Distributivgesetz).

- Was passiert mit einem Vektor oder einer Matrix, wenn du sie mit einer Matrix multiplizierst, die nur Einsen auf der Hauptdiagonalen hat? - Überlege dir, was die Einträge \( 1 \) und \( 0 \) in einer Übergangsmatrix für die Wanderung zwischen Zuständen bedeuten. - Nutze Variablen für die Einträge einer allgemeinen Matrix, um die Gleichheit der Produkte nachzuweisen.

1. Berechnung von \( M_{\text{ges}} \): Da \( M_2 \) die Einheitsmatrix \( E \) ist, gilt \( M_{\text{ges}} = M_2 \cdot M_1 = E \cdot M_1 = M_1 = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}4 \\ 0{,}3 & 0{,}6 \end{pmatrix} \). 2. Interpretation: Die Einheitsmatrix als Übergangsmatrix bedeutet, dass kein Austausch zwischen den Zuständen stattfindet. Jeder Zustand bleibt zu \( 100\,\% \) bei sich selbst erhalten; es liegt ein stationärer Übergang ohne Änderung der Verteilung vor. 3. Allgemeiner Beweis: \( M \cdot E = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \cdot 1 + b \cdot 0 & a \cdot 0 + b \cdot 1 \\ c \cdot 1 + d \cdot 0 & c \cdot 0 + d \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \). \( E \cdot M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot a + 0 \cdot c & 1 \cdot b + 0 \cdot d \\ 0 \cdot a + 1 \cdot c & 0 \cdot b + 1 \cdot d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \). Da beide Rechenwege dieselbe Matrix \( M \) ergeben, ist gezeigt, dass \(E\) mit \(M\) kommutiert.

a) \( M_{\text{ges}} = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}4 \\ 0{,}3 & 0{,}6 \end{pmatrix} \) b) Die Matrix \( M_2 \) bewirkt keine Änderung der Zustände (Identität). c) Es gilt \(M \cdot E = M\) und \(E \cdot M = M\); daher kommutiert \(E\) mit \(M\).

- Was bedeuten die Einträge in der Summenmatrix \(G_1 + G_2\)? - Wie hängen die Verkaufszahlen in den beiden Halbjahren zusammen? - Warum ist es sinnvoll, die Matrizen zu addieren, bevor man sie mit dem Vektor multipliziert? - Überprüfe, ob die Einheiten (Gewinn in € pro Zeitschrift) nach der Multiplikation mit der Anzahl der Zeitschriften einen sinnvollen Gesamtwert ergeben.

1. Berechnung des Gewinns für das 1. Halbjahr: \(G_1 \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} 1{,}20 \cdot 10\,000 + 1{,}50 \cdot 8000 \\ 1{,}10 \cdot 10\,000 + 1{,}40 \cdot 8000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12\,000 + 12\,000 \\ 11\,000 + 11\,200 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24\,000 \\ 22\,200 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung des Gewinns für das 2. Halbjahr: \(G_2 \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} 1{,}30 \cdot 10\,000 + 1{,}60 \cdot 8000 \\ 1{,}00 \cdot 10\,000 + 1{,}50 \cdot 8000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13\,000 + 12\,800 \\ 10\,000 + 12\,000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\,800 \\ 22\,000 \end{pmatrix}\). 3. Summe der Einzelgewinne: \(\begin{pmatrix} 24\,000 \\ 22\,200 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 25\,800 \\ 22\,000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 49\,800 \\ 44\,200 \end{pmatrix}\). 4. Berechnung der Jahresgewinn-Matrix: \(G_{\text{Jahr}} = G_1 + G_2 = \begin{pmatrix} 1{,}20+1{,}30 & 1{,}50+1{,}60 \\ 1{,}10+1{,}00 & 1{,}40+1{,}50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2{,}50 & 3{,}10 \\ 2{,}10 & 2{,}90 \end{pmatrix}\). 5. Berechnung des Gesamtgewinns mit der Jahresmatrix: \(G_{\text{Jahr}} \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} 2{,}50 \cdot 10\,000 + 3{,}10 \cdot 8000 \\ 2{,}10 \cdot 10\,000 + 2{,}90 \cdot 8000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\,000 + 24\,800 \\ 21\,000 + 23\,200 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 49\,800 \\ 44\,200 \end{pmatrix}\). 6. Interpretation: Da die Verkaufszahlen in beiden Halbjahren identisch sind, fasst \(G_{\text{Jahr}}\) für jede Region und Zeitschrift die Gewinnmargen für je ein im ersten und ein im zweiten Halbjahr verkauftes Exemplar zusammen. Das Distributivgesetz zeigt, dass der Gesamtgewinn entweder durch Addition der halbjährlichen Gewinne oder durch Multiplikation dieser aufsummierten Margen mit den identischen Verkaufszahlen berechnet werden kann.

Der Gesamtgewinn beträgt \(49\,800\,\text{€}\) in Region \(R_1\) und \(44\,200\,\text{€}\) in Region \(R_2\). Die Rechnung \((G_1 + G_2) \cdot \vec{v}\) liefert dasselbe Ergebnis wie \(G_1 \cdot \vec{v} + G_2 \cdot \vec{v}\). Die Matrix \(G_{\text{Jahr}} = \begin{pmatrix} 2{,}50 & 3{,}10 \\ 2{,}10 & 2{,}90 \end{pmatrix}\) enthält für jede Zeitschrift und Region die Summe der Gewinnmargen für je ein Exemplar im ersten und ein Exemplar im zweiten Halbjahr.

- Erinnere dich daran, dass die Matrix, die bei der Addition nichts verändert, die Nullmatrix ist. - Führe die Matrixmultiplikation „Zeile mal Spalte“ durch, um das Produkt zu berechnen. - Überlege dir für den Vergleich, was es für die Bestandszahlen in einem Vektor bedeutet, wenn man sie mit 1 oder mit 0 multipliziert. - Was passiert mit einem Vektor, wenn er mit der Einheitsmatrix multipliziert wird?

1. Die Gleichung \(A + Z = A\) führt komponentenweise auf \(a_{ij} + z_{ij} = a_{ij}\), woraus \(z_{ij} = 0\) für alle \(i, j\) folgt. Somit ist \(Z = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) die Nullmatrix. 2. Die Multiplikation \(A \cdot Z\) ergibt \(\begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}4 \\ 0{,}3 & 0{,}6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\). Da \(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}4 \\ 0{,}3 & 0{,}6 \end{pmatrix}\), ist \(A \cdot Z \neq A\). 3. Wenn \(M = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\), gilt \(v_{n+1} = I \cdot v_n = v_n\). Das bedeutet, der Zustand ändert sich nicht (Stagnation). Wenn \(M = Z = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\), gilt \(v_{n+1} = Z \cdot v_n = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Dies entspräche einem totalen Kollaps des Systems, bei dem nach einem Schritt kein Bestand mehr vorhanden ist.

1. \(Z = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) 2. \(A \cdot Z = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq A\) 3. Bei \(M=I\) bleibt der Zustand gleich (\(v_{n+1}=v_n\)); bei \(M=Z\) wird der Zustand sofort zum Nullvektor (\(v_{n+1}=0\)).

- Welche Produktbeziehung definiert zwei inverse Matrizen im hier verwendeten Unterrichtskontext? - Wie lässt sich ein bereits ausgeführter Übergang mit einer inversen Matrix rückgängig machen? - Kontrolliere, ob der rekonstruierte Anfangszustand durch Multiplikation mit \(M\) wieder \(\vec{v}_1\) ergibt.

1. Es ist \(MA=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\). 2. Ebenso ist \(AM=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\). Damit ist nach der zweiseitigen Inversendefinition \(A=M^{-1}\). 3. Der Anfangszustand ist \(\vec{v}_0=M^{-1}\vec{v}_1=A\begin{pmatrix}40\\60\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}50\\50\end{pmatrix}\).

a) \(MA=AM=E_2\), also \(A=M^{-1}\). b) \(\vec{v}_0=\begin{pmatrix}50\\50\end{pmatrix}\)

- Bestimme zuerst die Matrix, die alle Produktionsstufen zusammenfasst. - Erinnert dich die Struktur der Matrizen an die Verkettung von linearen Abbildungen? - Um den Bedarf für eine spezifische Bestellung zu finden, kannst du die Gesamtmatrix mit einem Produktionsvektor multiplizieren. - Welche Zeile der Ergebnismatrix enthält die Informationen über das Grundmaterial \(M_2\)?

1. Berechnung der Produktmatrix \(A \cdot B\): \(A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 6 & 2 & 4 \\ 3 & 0 & 6 \end{pmatrix}\) 2. Berechnung der Gesamtmatrix \(G = (A \cdot B) \cdot C\): \(G = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 6 & 2 & 4 \\ 3 & 0 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 0 \cdot 0 & 2 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ 6 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 4 \cdot 0 & 6 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 4 \cdot 1 \\ 3 \cdot 1 + 0 \cdot 3 + 6 \cdot 0 & 3 \cdot 2 + 0 \cdot 0 + 6 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 12 & 16 \\ 3 & 12 \end{pmatrix}\) 3. Berechnung des Bedarfs an \(M_2\) für den Produktionsvektor \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix}\): Die zweite Zeile der Matrix \(G\) gibt den Bedarf an \(M_2\) pro Stück \(F_1\) und \(F_2\) an: \((12; 16)\). Gesamtbedarf \(M_2 = 12 \cdot 10 + 16 \cdot 5 = 120 + 80 = 200\).

Gesamtbedarfsmatrix \(G = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 12 & 16 \\ 3 & 12 \end{pmatrix}\); für den Auftrag werden \(200\) Einheiten von \(M_2\) benötigt.

- Wie verändert sich eine Matrix, wenn man sie von rechts mit einer Diagonalmatrix multipliziert? - Wie verändert sie sich, wenn man sie von links mit einer Diagonalmatrix multipliziert? - Achte beim Rechnen darauf, welche Elemente der Diagonalmatrix mit welchen Einträgen von \( M \) kombiniert werden.

1. Berechnung von \( M \cdot D \): Multiplikation jeder Spalte von \( M \) mit dem entsprechenden Diagonalelement von \( D \). Erste Spalte \(\cdot 1\), zweite Spalte \(\cdot 2\), dritte Spalte \(\cdot 3\). Ergebnis: \( M \cdot D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 1 & 6 & 0 \\ 0 & 2 & 6 \end{pmatrix} \). 2. Berechnung von \( D \cdot M \): Multiplikation jeder Zeile von \( M \) mit dem entsprechenden Diagonalelement von \( D \). Erste Zeile \(\cdot 1\), zweite Zeile \(\cdot 2\), dritte Zeile \(\cdot 3\). Ergebnis: \( D \cdot M = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 6 & 0 \\ 0 & 3 & 6 \end{pmatrix} \). 3. Vergleich: \( M \cdot D \neq D \cdot M \). Bei \( M \cdot D \) werden die Spalten skaliert, bei \( D \cdot M \) die Zeilen.

\( M \cdot D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 1 & 6 & 0 \\ 0 & 2 & 6 \end{pmatrix} \); \( D \cdot M = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 6 & 0 \\ 0 & 3 & 6 \end{pmatrix} \). Die Ergebnisse sind verschieden: Bei \( M \cdot D \) werden die Spalten von \( M \) skaliert, bei \( D \cdot M \) die Zeilen.

- Wie multipliziert man zwei Matrizen miteinander? Erinnere dich an die Regel „Zeile mal Spalte“. - Was bedeutet das Gleichheitszeichen zwischen zwei Matrizen für die einzelnen Einträge? - Du kannst die Aufgabe in zwei separate Gleichungssysteme mit jeweils zwei Unbekannten aufteilen. - Welches Verfahren kennst du, um ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten zu lösen?

1. Aufstellen der Matrixgleichung: \(\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\). 2. Ausmultiplizieren ergibt zwei Gleichungssysteme: I: \(4a + 7c = 1\) und \(a + 2c = 0\) II: \(4b + 7d = 0\) und \(b + 2d = 1\) 3. Lösen von System I: Aus der zweiten Gleichung folgt \(a = -2c\). Einsetzen in die erste: \(4 \cdot (-2c) + 7c = 1 \implies -8c + 7c = 1 \implies c = -1\). Daraus folgt \(a = -2 \cdot (-1) = 2\). 4. Lösen von System II: Aus der zweiten Gleichung folgt \(b = 1 - 2d\). Einsetzen in die erste: \(4 \cdot (1 - 2d) + 7d = 0 \implies 4 - 8d + 7d = 0 \implies d = 4\). Daraus folgt \(b = 1 - 2 \cdot 4 = -7\). 5. Die inverse Matrix lautet \(T^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}\).

\(T^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}\)

- Welche Koeffizienten von \(x_n\) und \(y_n\) stehen in den beiden Rekursionsgleichungen? - Führe die Rekursion für die ersten Schritte parallel für beide Zustandsgrößen aus. - Überlege, was ein einmaliges Multiplizieren mit \(A\) für den Zustandsvektor bedeutet. - Wie lässt sich derselbe Übergang mehrfach hintereinander mithilfe einer Matrixpotenz schreiben?

1. Aus den Rekursionsgleichungen folgt \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\). 2. Es gilt \(x_0=1\), \(x_1=1\), \(x_2=2\), \(x_3=3\), \(x_4=5\) und \(x_5=8\). Dies sind die ersten Glieder der Fibonacci-Folge mit dem hier gewählten Startwert \(x_0=1\). 3. Durch Matrixmultiplikation erhält man \(A^2=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\) und \(A^3=\begin{pmatrix}3&2\\2&1\end{pmatrix}\). 4. Jeder Faktor \(A\) führt genau einen weiteren Schritt des Systems aus. Daher beschreibt \(A^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\) den Zustandsvektor nach \(n\) Schritten. 5. Für \(n=3\) ist \(A^3\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\). Damit ist insbesondere \(x_3=3\), wie in Teilaufgabe b) berechnet.

a) \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\) b) \(x_0=1\), \(x_1=1\), \(x_2=2\), \(x_3=3\), \(x_4=5\), \(x_5=8\); Fibonacci-Folge. c) Jede Multiplikation mit \(A\) führt einen weiteren Schritt aus; deshalb liefert \(A^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\) den Zustand nach \(n\) Schritten. Es gilt \(A^2=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\), \(A^3=\begin{pmatrix}3&2\\2&1\end{pmatrix}\) und \(A^3\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\), also \(x_3=3\).

- Welche Information gehört in welche Matrix? Überlege dir, wie du die Anteile als Dezimalzahlen schreiben kannst. - Wie kannst du die Gesamtanzahl der bestellten Brote jeder Sorte für beide Filialen zusammenfassen? - In welchem Schritt spielt die Mehlmischungsmenge pro Brotlaib eine Rolle? - Achte darauf, dass bei der Matrizenmultiplikation die Dimensionen zusammenpassen (Zeile mal Spalte).

1. Aufstellen der Verbrauchsmatrix \(M\) (Mehlanteile pro Brotsorte) und der Bestellmatrix \(B\) (Anzahl der Brote pro Filiale): \(M = \begin{pmatrix} 0{,}50 & 0{,}10 & 0{,}05 \\ 0{,}40 & 0{,}80 & 0{,}05 \\ 0{,}10 & 0{,}10 & 0{,}90 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 120 & 150 \\ 80 & 100 \\ 50 & 40 \end{pmatrix}\) 2. Berechnung der Gesamtbestellungen über beide Filialen durch Addition der Spalten von \(B\) oder Multiplikation von \(B\) mit einem Einsvektor: \(\vec{b}_{ges} = \begin{pmatrix} 270 \\ 180 \\ 90 \end{pmatrix}\) 3. Berechnung der Mehlanteile für alle bestellten Laibe durch Multiplikation von \(M\) mit \(\vec{b}_{ges}\): \(\vec{m}_{Einheiten} = \begin{pmatrix} 0{,}50 \cdot 270 + 0{,}10 \cdot 180 + 0{,}05 \cdot 90 \\ 0{,}40 \cdot 270 + 0{,}80 \cdot 180 + 0{,}05 \cdot 90 \\ 0{,}10 \cdot 270 + 0{,}10 \cdot 180 + 0{,}90 \cdot 90 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 157{,}5 \\ 256{,}5 \\ 126 \end{pmatrix}\) 4. Berücksichtigung der Mehlmischungsmenge pro Laib (\(0{,}75\,\text{kg}\)): \(\vec{m}_{kg} = 0{,}75 \cdot \vec{m}_{Einheiten} = \begin{pmatrix} 118{,}125 \\ 192{,}375 \\ 94{,}5 \end{pmatrix}\)

Insgesamt werden \(118{,}125\,\text{kg}\) Weizenmehl, \(192{,}375\,\text{kg}\) Roggenmehl und \(94{,}5\,\text{kg}\) Dinkelmehl benötigt.

- Wie hängen die Stufen der Produktion (Rohstoffe, Zwischenprodukte, Endprodukte) mathematisch zusammen? - Was bedeutet das Ergebnis der Multiplikation zweier Matrizen im Sachkontext? - Achte auf die Reihenfolge der Matrizen bei der Multiplikation. - Wie kannst du den Auftrag als Vektor darstellen, um ihn mit der Matrix zu verknüpfen?

1. Berechnung der Verflechtungsmatrix \(M_{RE}\) durch Multiplikation der Matrizen \(M_{RZ}\) und \(M_{ZE}\): \(M_{RE} = M_{RZ} \cdot M_{ZE} = \begin{pmatrix} 10 & 15 \\ 5 & 10 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \cdot 2 + 15 \cdot 0 & 10 \cdot 1 + 15 \cdot 3 \\ 5 \cdot 2 + 10 \cdot 0 & 5 \cdot 1 + 10 \cdot 3 \\ 2 \cdot 2 + 5 \cdot 0 & 2 \cdot 1 + 5 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 & 55 \\ 10 & 35 \\ 4 & 17 \end{pmatrix}\) 2. Aufstellen des Auftragsvektors \(\vec{e} = \begin{pmatrix} 50 \\ 30 \end{pmatrix}\). 3. Berechnung des Gesamtbedarfs an Grundbauteilen \(\vec{r}\) durch Multiplikation von \(M_{RE}\) mit \(\vec{e}\): \(\vec{r} = \begin{pmatrix} 20 & 55 \\ 10 & 35 \\ 4 & 17 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 50 \\ 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 \cdot 50 + 55 \cdot 30 \\ 10 \cdot 50 + 35 \cdot 30 \\ 4 \cdot 50 + 17 \cdot 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1000 + 1650 \\ 500 + 1050 \\ 200 + 510 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2650 \\ 1550 \\ 710 \end{pmatrix}\)

a) Die Matrix \(M_{RE}\) lautet \(\begin{pmatrix} 20 & 55 \\ 10 & 35 \\ 4 & 17 \end{pmatrix}\). b) Es werden insgesamt \(2650\) Widerstände, \(1550\) Kondensatoren und \(710\) Transistoren benötigt.

- Eine Matrixpotenz beschreibt mehrere aufeinanderfolgende Schritte desselben Prozesses. - Kannst du eine bereits berechnete Matrixpotenz für den nächsten geforderten Exponenten wiederverwenden? - Bilde für Teil c) die Differenz der beiden Komponenten nach einem Übergang und fasse die Terme zusammen. - Welche Folgerung hat eine geometrisch kleiner werdende Differenz, wenn die Summe beider Komponenten konstant \(1000\) bleibt?

1. Es ist \(M^2=\begin{pmatrix}0{,}625&0{,}375\\0{,}375&0{,}625\end{pmatrix}\). 2. Damit folgt \(v_2=M^2v_0=\begin{pmatrix}625\\375\end{pmatrix}\). 3. Aus \(M^4=(M^2)^2\) ergibt sich \(M^4=\begin{pmatrix}0{,}53125&0{,}46875\\0{,}46875&0{,}53125\end{pmatrix}\) und somit \(v_4=\begin{pmatrix}531{,}25\\468{,}75\end{pmatrix}\). 4. Aus \(a_{n+1}=0{,}75a_n+0{,}25b_n\) und \(b_{n+1}=0{,}25a_n+0{,}75b_n\) folgt \(d_{n+1}=a_{n+1}-b_{n+1}=0{,}5(a_n-b_n)=\frac{1}{2}d_n\). 5. Daher gilt \(d_n=1000\left(\frac{1}{2}\right)^n\to 0\). Zugleich bleibt \(a_n+b_n=1000\). Somit gilt \(a_n\to 500\) und \(b_n\to 500\), also \(v_n\to\begin{pmatrix}500\\500\end{pmatrix}\).

a) \(M^2=\begin{pmatrix}0{,}625&0{,}375\\0{,}375&0{,}625\end{pmatrix}\), \(v_2=\begin{pmatrix}625\\375\end{pmatrix}\) b) \(M^4=\begin{pmatrix}0{,}53125&0{,}46875\\0{,}46875&0{,}53125\end{pmatrix}\), \(v_4=\begin{pmatrix}531{,}25\\468{,}75\end{pmatrix}\) c) \(d_{n+1}=\frac{1}{2}d_n\), also \(d_n\to0\) und damit \(v_n\to\begin{pmatrix}500\\500\end{pmatrix}\).

- Nutze für die hohe Potenz bewusst die Matrixpotenz-Funktion eines geeigneten digitalen Werkzeugs. - Multipliziere die berechnete Potenz anschließend mit dem Anfangsvektor. - Vergleiche die Spalten der hohen Matrixpotenz, um die langfristige Wirkung verschiedener Anfangszustände zu beurteilen.

1. Ein digitales Werkzeug liefert \(M^{20}\approx\begin{pmatrix}0{,}4000&0{,}4000\\0{,}6000&0{,}6000\end{pmatrix}\). 2. Mit höherer interner Genauigkeit ergibt \(\vec{v}_{20}=M^{20}\vec{v}_0\approx\begin{pmatrix}400{,}0004\\599{,}9996\end{pmatrix}\), gerundet also \(\begin{pmatrix}400\\600\end{pmatrix}\). 3. Nach vielen Übergängen stabilisiert sich die Verteilung näherungsweise bei \(40\,\%\) im ersten und \(60\,\%\) im zweiten Zustand.

\(M^{20}\approx\begin{pmatrix}0{,}4000&0{,}4000\\0{,}6000&0{,}6000\end{pmatrix}\), \(\vec{v}_{20}\approx\begin{pmatrix}400\\600\end{pmatrix}\). Langfristig ergibt sich näherungsweise eine \(40{:}60\)-Verteilung.

- Multipliziere in Teil a) die Matrix zunächst symbolisch mit dem Fibonacci-Vektor und verwende erst danach die Rekursionsvorschrift. - Für Teil b) soll die Matrixpotenz die wiederholte Rekursion bündeln. - Unterscheide in Teil c) zwischen dem Prüfen eines konkreten Index und einer Aussage über unendlich viele Indizes.

1. Es gilt \(Q\vec{v}_n=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}F_{n+1}\\F_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}F_{n+1}+F_n\\F_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}F_{n+2}\\F_{n+1}\end{pmatrix}=\vec{v}_{n+1}\). 2. Durch Matrixmultiplikation erhält man \(Q^2=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\) und \(Q^4=\begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}\). Daher ist \(Q^4\vec{v}_1=\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix}\). Somit gilt \(F_6=8\) und \(F_5=5\). 3. Es ist \(F_1+F_2+F_3+F_4+F_5=1+1+2+3+5=12\) und \(F_7-1=13-1=12\). Die Aussage stimmt also für \(n=5\). Eine einzelne Überprüfung zeigt jedoch nur einen konkreten Fall; der Induktionsbeweis begründet die Aussage für alle natürlichen \(n\) im angegebenen Bereich.

a) \(Q\vec{v}_n=\begin{pmatrix}F_{n+2}\\F_{n+1}\end{pmatrix}=\vec{v}_{n+1}\) b) \(Q^4=\begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}\), \(F_5=5\), \(F_6=8\) c) Für \(n=5\) gilt links \(12\) und rechts \(F_7-1=12\). Das bestätigt nur diesen Einzelfall; erst ein allgemeiner Beweis wie die vollständige Induktion deckt alle \(n\) ab.

- Wenn die alte Zeile 1 zur neuen Zeile 2 werden soll, wo muss dann die 1 in der zweiten Zeile der Matrix \(S\) stehen? - Die Matrix \(S^T\) vertauscht die Spalten nach demselben Prinzip wie \(S\) die Zeilen. - Was passiert mit den Diagonalelementen einer Diagonalmatrix, wenn man Zeilen und Spalten auf die gleiche Weise vertauscht?

1. Bestimmung von \(S\): Die neue Zeile 1 muss die alte Zeile 4 sein, die neue Zeile 2 die alte Zeile 1, die neue Zeile 3 die alte Zeile 2 und die neue Zeile 4 die alte Zeile 3. \(S = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\) 2. Transponierte Matrix \(S^T\): \(S^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) 3. Berechnung von \(S \cdot M\): Die Zeilen von \(M\) werden zyklisch nach unten verschoben. \(S \cdot M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}\) 4. Berechnung von \((S \cdot M) \cdot S^T\): Die Spalten des Zwischenergebnisses werden zyklisch nach rechts verschoben. \(M' = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\)

a) \(S = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\) b) \(M' = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\)

- Multipliziere die Matrizen auf beiden Seiten der Gleichung allgemein aus. - Zwei Matrizen sind genau dann gleich, wenn sie in allen entsprechenden Einträgen übereinstimmen. - Erstelle aus dem Vergleich der Einträge ein lineares Gleichungssystem für die Variablen \(a, b, c\) und \(d\). - Versuche, so viele Variablen wie möglich durch die anderen auszudrücken.

1. Aufstellen der Matrixprodukte: \(A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 2c & b + 2d \\ 2a + c & 2b + d \end{pmatrix}\) \(B \cdot A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 2b & 2a + b \\ c + 2d & 2c + d \end{pmatrix}\) 2. Vergleich der entsprechenden Einträge (LGS): I: \(a + 2c = a + 2b \implies 2c = 2b \implies c = b\) II: \(b + 2d = 2a + b \implies 2d = 2a \implies d = a\) III: \(2a + c = c + 2d \implies 2a = 2d \implies a = d\) IV: \(2b + d = 2c + d \implies 2b = 2c \implies b = c\) 3. Die Bedingungen \(c = b\) und \(d = a\) müssen erfüllt sein. Die Variablen \(a\) und \(b\) können frei gewählt werden. 4. Ergebnismatrix: \(B = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}\) für beliebige \(a, b \in \mathbb{R}\).

Alle Matrizen der Form \(B = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}\) mit \(a, b \in \mathbb{R}\).

- Vergleiche die entsprechenden Einträge der beiden Produkte \(P Q\) und \(Q P\). - Welche Variablen bleiben nach dem Lösen der Kommutationsbedingungen frei? - Übertrage die festgelegte Übergangskonvention konsequent auf die Spaltensummen von \(Q\). - Welche zusätzlichen Einschränkungen entstehen durch die Nichtnegativität aller Einträge?

1. Es gilt \(P Q = \begin{pmatrix} 0{,}6x + 0{,}2z & 0{,}6y + 0{,}2w \\ 0{,}4x + 0{,}8z & 0{,}4y + 0{,}8w \end{pmatrix}\) und \(Q P = \begin{pmatrix} 0{,}6x + 0{,}4y & 0{,}2x + 0{,}8y \\ 0{,}6z + 0{,}4w & 0{,}2z + 0{,}8w \end{pmatrix}\). 2. Der Vergleich der Einträge liefert \(z = 2y\) und \(w = x + y\). Die übrigen Gleichungen führen auf dieselben Bedingungen. 3. Damit haben alle mit \(P\) kommutierenden Matrizen die Form \(Q = \begin{pmatrix} x & y \\ 2y & x+y \end{pmatrix}\) mit \(x,y \in \mathbb{R}\). 4. Für eine Übergangsmatrix müssen die Spaltensummen \(1\) sein. Beide Spalten liefern \(x+2y=1\), also \(x=1-2y\). Aus der Nichtnegativität folgt \(0 \le y \le \frac{1}{2}\). 5. Somit gilt \(Q = \begin{pmatrix} 1-2y & y \\ 2y & 1-y \end{pmatrix}\) mit \(0 \le y \le \frac{1}{2}\).

a) \(Q = \begin{pmatrix} x & y \\ 2y & x+y \end{pmatrix}\) mit \(x,y \in \mathbb{R}\) b) \(Q = \begin{pmatrix} 1-2y & y \\ 2y & 1-y \end{pmatrix}\) mit \(0 \le y \le \frac{1}{2}\)

- Lies bei einem absorbierenden Zustand die gesamte zugehörige Spalte der Übergangsmatrix. - Für zwei Schritte musst du dieselbe Übergangsvorschrift zweimal anwenden. - Zerlege die endgültige Gewinnwahrscheinlichkeit nach dem ersten möglichen Übergang aus dem jeweiligen Zwischenzustand. - Vergleiche für Teil d) die Wahrscheinlichkeit, in den Zwischenzuständen zu bleiben, mit einem festen Faktor kleiner als \(1\). - Erst wenn die verbleibende Zwischenzustandswahrscheinlichkeit gegen \(0\) geht, darfst du Gewinn- und Verlustwahrscheinlichkeit zu \(1\) ergänzen.

1. In der Spalte zu \(G\) steht nur in der Zeile \(G\) der Wert \(1\), und in der Spalte zu \(V\) nur in der Zeile \(V\) der Wert \(1\). Nach dem Erreichen eines dieser Zustände bleibt das Spiel dort. 2. Für \(v_0=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}\) ist \(v_1=\begin{pmatrix}0{,}4\\0{,}3\\0{,}2\\0{,}1\end{pmatrix}\) und \(v_2=Mv_1=\begin{pmatrix}0{,}22\\0{,}24\\0{,}31\\0{,}23\end{pmatrix}\). 3. Nach dem ersten Übergang gilt \(g_A=0{,}4g_A+0{,}3g_B+0{,}2\) und \(g_B=0{,}2g_A+0{,}4g_B+0{,}1\). Dies ist äquivalent zu \(0{,}6g_A-0{,}3g_B=0{,}2\) und \(-0{,}2g_A+0{,}6g_B=0{,}1\). 4. Das Gleichungssystem liefert \(g_A=\frac{1}{2}\) und \(g_B=\frac{1}{3}\). 5. Von Zustand \(A\) bleiben nach einem Schritt höchstens \(0{,}7\) der Wahrscheinlichkeit in den Zwischenzuständen, von Zustand \(B\) höchstens \(0{,}6\). Daher ist die gesamte Wahrscheinlichkeit, nach \(n\) Schritten noch in \(A\) oder \(B\) zu sein, höchstens \(0{,}7^n\) und geht gegen \(0\). Somit erfolgt schließlich mit Wahrscheinlichkeit \(1\) eine Absorption in \(G\) oder \(V\). 6. Bei Start in \(A\) ist die endgültige Gewinnwahrscheinlichkeit \(g_A=\frac{1}{2}\). Die Verlustwahrscheinlichkeit beträgt daher \(1-g_A=\frac{1}{2}\).

a) \(G\) und \(V\) sind absorbierend, weil ein einmal erreichter Endzustand mit Wahrscheinlichkeit \(1\) erhalten bleibt. b) \(v_2=\begin{pmatrix}0{,}22\\0{,}24\\0{,}31\\0{,}23\end{pmatrix}\) c) \(g_A=0{,}4g_A+0{,}3g_B+0{,}2\), \(g_B=0{,}2g_A+0{,}4g_B+0{,}1\); daraus \(g_A=\frac{1}{2}\), \(g_B=\frac{1}{3}\) d) Die Wahrscheinlichkeit für einen Verbleib in \(A\) oder \(B\) ist höchstens \(0{,}7^n\) und geht gegen \(0\). Bei Start in \(A\) gilt daher \(P(G)=\frac{1}{2}\) und \(P(V)=\frac{1}{2}\).

- Nutze die Spaltensummen schon beim Aufstellen der allgemeinen Matrix, damit nicht für jeden Eintrag eine eigene Variable nötig ist. - Prüfe zusätzlich, welche Ungleichungen aus der Bedeutung der Matrixeinträge als Übergangsanteile folgen. - Aus jeder Vektorgleichung reichen wegen der erhaltenen Gesamtsumme zwei unabhängige Komponentengleichungen. - Löse die vier unabhängigen linearen Gleichungen erst, bevor du die Matrix vollständig einsetzt und prüfst. - Für Teil d) genügt es nicht zu behaupten, dass eine Gleichung fehlt: Konstruiere zwei verschiedene stochastische Matrizen, die alle verbleibenden Angaben tatsächlich erfüllen.

1. Setze \(a=A\to A\), \(b=B\to A\), \(c=B\to B\) und \(d=C\to B\). Aus den Spaltensummen folgt \(M=\begin{pmatrix}a&b&0{,}1\\0{,}6-a&c&d\\0{,}4&1-b-c&0{,}9-d\end{pmatrix}\). Damit alle Einträge Übergangsanteile sind, gelten \(0\le a\le0{,}6\), \(b\ge0\), \(c\ge0\), \(b+c\le1\) und \(0\le d\le0{,}9\). 2. Aus \(M\vec{v}=\vec{v}\) liefern die ersten beiden Komponenten \(20a+30b+4=20\) und \(20(0{,}6-a)+30c+40d=30\). Aus \(M\vec{w}=\vec{w}'\) liefern die ersten beiden Komponenten \(50a+20b+3=32\) und \(50(0{,}6-a)+20c+30d=25\). Da jede Spalte von \(M\) die Summe \(1\) hat, bleibt die Gesamtsumme eines Zustandsvektors erhalten. Sobald zwei Komponenten und die Gesamtsumme feststehen, ist die dritte Komponente bestimmt; deshalb ist die jeweilige dritte Gleichung abhängig. 3. Aus den Gleichungen folgt \(a=0{,}5\), \(b=0{,}2\), \(c=0{,}4\), \(d=0{,}4\). Damit \(M=\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}2&0{,}1\\0{,}1&0{,}4&0{,}4\\0{,}4&0{,}4&0{,}5\end{pmatrix}\). Es gilt tatsächlich \(M\vec{v}=\begin{pmatrix}20\\30\\40\end{pmatrix}\) und \(M\vec{w}=\begin{pmatrix}32\\25\\43\end{pmatrix}\). 4. Fehlt die B-Komponente von \(\vec{w}'\), ergeben die verbleibenden Bedingungen \(a=0{,}5\), \(b=0{,}2\) und \(c=\frac{14}{15}-\frac43d\). Beispielsweise sind sowohl \(M_1=\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}2&0{,}1\\0{,}1&0{,}4&0{,}4\\0{,}4&0{,}4&0{,}5\end{pmatrix}\) als auch \(M_2=\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}2&0{,}1\\0{,}1&0{,}6&0{,}25\\0{,}4&0{,}2&0{,}65\end{pmatrix}\) gültige Übergangsmatrizen. Beide erfüllen \(M\vec{v}=\vec{v}\) und liefern für \(M\vec{w}\) die A-Komponente \(32\), sind aber verschieden. Die Rekonstruktion wäre also nicht eindeutig.

a) \(M=\begin{pmatrix}a&b&0{,}1\\0{,}6-a&c&d\\0{,}4&1-b-c&0{,}9-d\end{pmatrix}\) mit \(0\le a\le0{,}6\), \(b,c\ge0\), \(b+c\le1\) und \(0\le d\le0{,}9\). b) \(20a+30b+4=20\), \(20(0{,}6-a)+30c+40d=30\), \(50a+20b+3=32\), \(50(0{,}6-a)+20c+30d=25\). Die dritten Komponentengleichungen sind wegen der erhaltenen Gesamtsumme abhängig. c) \(M=\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}2&0{,}1\\0{,}1&0{,}4&0{,}4\\0{,}4&0{,}4&0{,}5\end{pmatrix}\); beide Vektorbedingungen werden erfüllt. d) Zum Beispiel sind bei fehlender B-Komponente sowohl \(M_1=M\) als auch \(M_2=\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}2&0{,}1\\0{,}1&0{,}6&0{,}25\\0{,}4&0{,}2&0{,}65\end{pmatrix}\) möglich. Daher ist die Rekonstruktion nicht eindeutig.