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- Welchen konstanten Wert nimmt die Funktion für alle \(x\) an? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Rechtecks? - Achte darauf, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt.

1. Identifikation des Funktionswerts aus dem Graphen: Da der Graph eine waagrechte Gerade bei \(y = -2\) ist, gilt \(f(x) = -2\). 2. Berechnung des Integrals als orientierter Flächeninhalt: Die Fläche liegt vollständig unterhalb der \(x\)-Achse im Intervall \([-2; 3]\). 3. Die Breite des Rechtecks beträgt \(3 - (-2) = 5\), die geometrische Höhe beträgt \(2\). 4. Da die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse liegt, ergibt sich für den orientierten Flächeninhalt \(-\left(5 \cdot 2\right) = -10\).

\(\int_{-2}^{3} f(x) \, dx = -10\)

- Lies den Funktionswert an der \(y\)-Achse ab. - Wie breit ist das Intervall, über das integriert wird? - Überlege, welche geometrische Form die Fläche zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse bildet.

1. Ablesen des Funktionswerts: Der Graph ist eine waagrechte Gerade bei \(y = 1{,}5\). 2. Bestimmung der Intervallbreite: Das Integral erstreckt sich von \(x = -3\) bis \(x = 1\), also ist die Breite \(1 - (-3) = 4\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: Da die Funktion positiv ist, entspricht das Integral dem Flächeninhalt des Rechtecks: \(4 \cdot 1{,}5 = 6\).

\(\int_{-3}^{1} f(x) \, dx = 6\)

- Schau dir an, bei welchen x-Werten die markierte Fläche beginnt und endet. - Überlege, wie man den orientierten Flächeninhalt (die Bilanz) zwischen einem Funktionsgraphen und der \(x\)-Achse mathematisch darstellt. - Die untere Grenze des Integrals entspricht dem linken Rand der Fläche, die obere Grenze dem rechten Rand.

1. Identifikation der Funktion: Die Funktion ist als \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1\) gegeben. 2. Bestimmung der Integrationsgrenzen: Die markierte Fläche erstreckt sich auf der \(x\)-Achse von \(x = 0\) bis \(x = 2\). 3. Aufstellen des Integrals: Die Flächenbilanz zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse in diesem Intervall wird durch das bestimmte Integral \(\int_{0}^{2} (\frac{1}{2}x^2 + 1) \, dx\) berechnet.

\(\int_{0}^{2} (\frac{1}{2}x^2 + 1) \, dx\)

- Die Flächenbilanz berücksichtigt das Vorzeichen der Funktionswerte. - Ein einziges Integral über das gesamte Intervall berechnet diese Bilanz automatisch.

1. Funktion festlegen: \(f(x) = \frac{1}{2}x - 1\). 2. Grenzen ablesen: Das Intervall reicht von \(x = 0\) bis \(x = 4\). 3. Integral aufstellen: Die Flächenbilanz ist \(\int_{0}^{4} (\frac{1}{2}x - 1) \, dx\). Da die Fläche teilweise unterhalb und teilweise oberhalb der \(x\)-Achse liegt (Nullstelle bei \(x=2\)), werden die orientierten Flächeninhalte im Integral gegeneinander verrechnet.

\(\int_{0}^{4} (\frac{1}{2}x - 1) \, dx\)

- Skizziere den Graphen der Funktion im gegebenen Intervall. - Welche geometrische Figur entsteht zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse? - Erinnere dich an die Formeln für den Flächeninhalt von Standardfiguren wie Rechtecken, Dreiecken oder Trapezen. - Wie hängen die Funktionswerte an den Intervallgrenzen mit den Seitenlängen der Figur zusammen?

1. Identifikation der geometrischen Form: Der Graph der linearen Funktion \(f(x) = 0{,}5x + 3\) ist über dem Intervall \([-1; 4]\) eine Gerade. Da die Funktionswerte an den Intervallgrenzen \(f(-1) = 2{,}5\) und \(f(4) = 5\) beide positiv sind, bildet die Fläche zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse ein Trapez. 2. Bestimmung der Trapezmaße: Die parallelen Seiten haben die Längen \(a = f(-1) = 2{,}5\) und \(c = f(4) = 5\). Die Höhe des Trapezes entspricht der Intervallbreite \(h = 4 - (-1) = 5\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: Unter Verwendung der Trapezformel \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\) ergibt sich \(A = \frac{2{,}5 + 5}{2} \cdot 5 = 3{,}75 \cdot 5 = 18{,}75\). 4. Bestimmung des Integralwerts: Da die Fläche vollständig oberhalb der \(x\)-Achse liegt, entspricht der Integralwert dem Flächeninhalt: \(18{,}75\).

\(\int_{-1}^{4} (0{,}5x + 3) \, dx = 18{,}75\)

- Überlege dir, wo die Nullstellen der Funktion liegen und ob der Graph in den jeweiligen Abschnitten oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Erinnere dich daran, dass Flächen unterhalb der \(x\)-Achse negativ in die Bilanz des Integrals eingehen. - Vergleiche bei der Flächenbilanz die Größe der Flächenstücke oberhalb und unterhalb der Achse.

1. Im Intervall \([0; 2]\) verläuft der Graph der Parabel unterhalb der \(x\)-Achse, da \(x^2 < 4\) für alle \(0 \le x < 2\) gilt. Somit ist die Flächenbilanz und damit das Integral negativ. 2. Das Integral \(\int_{0}^{4} f(x) \, dx\) setzt sich aus einer negativen Teilfläche über \([0; 2]\) und einer positiven Teilfläche über \([2; 4]\) zusammen. Die Skizze legt die Vermutung nahe, dass der positive Flächenanteil überwiegt. Die exakte Überprüfung erfolgt in Teilaufgabe 3. 3. Berechnung von \(I_1\): \(\int_{0}^{2} (x^2 - 4) \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - 4x \right]_{0}^{2} = (\frac{8}{3} - 8) - 0 = -\frac{16}{3}\). Berechnung von \(I_2\): \(\int_{0}^{4} (x^2 - 4) \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - 4x \right]_{0}^{4} = (\frac{64}{3} - 16) - 0 = \frac{16}{3}\).

1. Das Integral \(\int_{0}^{2} f(x) \, dx\) ist negativ. 2. Die Skizze legt einen positiven Integralwert nahe. 3. \(\int_{0}^{2} f(x) \, dx = -\frac{16}{3}\) und \(\int_{0}^{4} f(x) \, dx = \frac{16}{3}\); die Vermutung aus Teilaufgabe 2 wird bestätigt.

- Wie findet man die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse schneidet? - Warum ist es wichtig, die Nullstellen zu kennen, bevor man integriert? - Was passiert mit dem Flächeninhalt, wenn der Graph unterhalb der \(x\)-Achse verläuft? - Kannst du die Symmetrie des Graphen nutzen, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f(x) = \frac{1}{2}x(x^2 - 4)\): Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). 2. Bildung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{8}x^4 - x^2\). 3. Berechnung der Teilintegrale: \(\int_{-2}^0 (\frac{1}{2}x^3 - 2x) \, dx = [F(x)]_{-2}^0 = 0 - (\frac{1}{8} \cdot (-2)^4 - (-2)^2) = 0 - (2 - 4) = 2\). \(\int_0^2 (\frac{1}{2}x^3 - 2x) \, dx = [F(x)]_0^2 = (\frac{1}{8} \cdot 2^4 - 2^2) - 0 = 2 - 4 = -2\). 4. Die Summe der Beträge der Teilflächen ergibt den Gesamtinhalt: \(A = |2| + |-2| = 4\).

Der Flächeninhalt beträgt \(4\) Flächeneinheiten.

- Wo schneidet der Graph der Funktion die \(x\)-Achse im gegebenen Intervall? - Welche geometrische Form entsteht jeweils zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse? - Was ist der Unterschied in der Rechnung, wenn nach dem Integralwert oder nach dem Flächeninhalt gefragt wird?

1. Identifikation der geometrischen Teilflächen: Die Funktion \(f(x) = x - 3\) hat eine Nullstelle bei \(x = 3\). Im Intervall \([0; 3]\) verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse, im Intervall \([3; 5]\) oberhalb. 2. Berechnung der Teilflächen: Die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Eckpunkten \((0\mid 0)\), \((0\mid -3)\) und \((3\mid 0)\). Ihr Flächeninhalt ist \(A_{\text{unten}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4{,}5\). Die Fläche oberhalb der \(x\)-Achse ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Eckpunkten \((3\mid 0)\), \((5\mid 0)\) und \((5\mid 2)\). Ihr Flächeninhalt ist \(A_{\text{oben}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). 3. Berechnung des Integrals (Teil a): Das Integral entspricht der Flächenbilanz: \(\int_{0}^{5} f(x) \, dx = A_{\text{oben}} - A_{\text{unten}} = 2 - 4{,}5 = -2{,}5\). 4. Berechnung des Gesamtflächeninhalts (Teil b): Der absolute Flächeninhalt ist die Summe der Beträge der Teilflächen: \(A_{\text{ges}} = A_{\text{oben}} + A_{\text{unten}} = 2 + 4{,}5 = 6{,}5\).

a) \(\int_{0}^{5} f(x) \, dx = -2{,}5\) b) \(A = 6{,}5\)

- Überlege dir, wie du die einzelnen Summanden der Funktion getrennt integrieren kannst. - Achte besonders auf das Vorzeichen beim Integrieren von \(e^{-x}\). - Was passiert mit dem konstanten Faktor vor der Exponentialfunktion beim Bilden der Stammfunktion?

1. Die Funktion \(f(x) = 3e^{-x} + x\) ist für alle \(x \in [0; 2]\) positiv, da der erste Summand positiv und der zweite Summand nichtnegativ ist. 2. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F(x) = -3e^{-x} + \frac{1}{2}x^2\). 3. Berechnung des Integrals über dem Intervall \([0; 2]\): \(I = \int_{0}^{2} (3e^{-x} + x) \, dx = F(2) - F(0)\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(F(2) = -3e^{-2} + \frac{1}{2} \cdot 2^2 = -3e^{-2} + 2\) und \(F(0) = -3e^0 + 0 = -3\). 5. Differenz bilden: \(A = (-3e^{-2} + 2) - (-3) = 5 - 3e^{-2} \approx 4{,}594\).

Der Flächeninhalt beträgt \(A = 5 - 3e^{-2} \approx 4{,}594\,\text{FE}\).

- Überlege dir zuerst, was ein bestimmtes Integral anschaulich im Zusammenhang mit Flächeninhalten bedeutet (Stichwort: orientierter Flächeninhalt oder Flächenbilanz). - Welche Flächenstücke liegen oberhalb der x-Achse, welche unterhalb? Wie werden diese jeweils bei der Berechnung des Integrals gewertet? - Kannst du die Flächen zwischen dem Graphen und der x-Achse in bekannte, einfache geometrische Grundformen zerlegen? - Bestimme die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse, um die Grenzen der einzelnen Flächenstücke genau festzulegen. - Berechne die Flächeninhalte der einzelnen Teilstücke und setze sie mit dem jeweils passenden Vorzeichen zusammen.

1. Unterteile das Intervall \([-4; 4]\) in Abschnitte, in denen der Graph entweder ganz oberhalb oder ganz unterhalb der x-Achse verläuft. Die Nullstellen von \(f\) liegen bei \(x = -2\) und \(x = 3\). 2. Berechne den Flächeninhalt \(A_1\) unterhalb der x-Achse auf dem Intervall \([-4; -2]\): Das ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Grundseite \(2\) und der Höhe \(2\). Es gilt \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). Da die Fläche unterhalb der x-Achse liegt, zählt sie negativ zur Flächenbilanz: \(-2\). 3. Berechne den Flächeninhalt \(A_2\) oberhalb der x-Achse auf dem Intervall \([-2; 3]\): Das ist ein Dreieck mit den Eckpunkten \((-2 \mid 0)\), \((2 \mid 2)\) und \((3 \mid 0)\). Die Grundseite auf der x-Achse hat die Länge \(3 - (-2) = 5\). Die Höhe beträgt \(2\). Es gilt \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 5\). Da diese Fläche oberhalb der x-Achse liegt, zählt sie positiv zur Flächenbilanz: \(+5\). 4. Berechne den Flächeninhalt \(A_3\) unterhalb der x-Achse auf dem Intervall \([3; 4]\): Das ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Grundseite \(1\) (von \(x = 3\) bis \(x = 4\)) und der Höhe \(2\). Es gilt \(A_3 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\). Da diese Fläche unterhalb der x-Achse liegt, zählt sie negativ zur Flächenbilanz: \(-1\). 5. Bilde die Summe der orientierten Flächeninhalte (Flächenbilanz): \(\int_{-4}^{4} f(x) \,\mathrm{d}x = -A_1 + A_2 - A_3 = -2 + 5 - 1 = 2\).

\(2\)

- Überlege dir, wie sich die Punktsymmetrie am Wendepunkt \(W(1 \mid 0)\) auf die Form und Größe der beiden Flächenstücke \(A_1\) und \(A_2\) auswirkt. - Denke an den Unterschied zwischen dem Wert eines bestimmten Integrals und dem geometrischen Flächeninhalt, besonders wenn ein Funktionsgraph unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Nutze die Intervalladditivität des Integrals, um das Integral über das gesamte Intervall \([-1; 3]\) zu bestimmen. - Wie berechnet man den gesamten eingeschlossenen Flächeninhalt, wenn Teile der Fläche unterhalb der \(x\)-Achse liegen?

1. Aufgrund der Punktsymmetrie des Graphen zum Wendepunkt \(W(1 \mid 0)\) ist das Flächenstück \(A_2\) im Intervall \([1; 3]\) durch Punktspiegelung deckungsgleich zum Flächenstück \(A_1\) im Intervall \([-1; 1]\). Daher besitzt \(A_2\) ebenfalls einen Flächeninhalt von \(2\,\text{FE}\). 2. Da das Flächenstück \(A_1\) vollständig oberhalb der \(x\)-Achse liegt, entspricht das Integral dem Flächeninhalt: \(\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 2\). 3. Da das Flächenstück \(A_2\) vollständig unterhalb der \(x\)-Achse liegt, ist das Integral negativ und entspricht dem negativen Flächeninhalt: \(\int_{1}^{3} f(x) \, dx = -2\). 4. Die Flächenbilanz im Intervall \([-1; 3]\) ergibt sich durch Addition der beiden Teilintegrale: \(\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 2 + (-2) = 0\). 5. Der gesamte geometrische Flächeninhalt \(A\) ist die Summe der absoluten Flächeninhalte der beiden Teilstücke: \(A = A_1 + A_2 = 2 + 2 = 4\,\text{FE}\).

a) \(A_2 = 2\,\text{FE}\), \(\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 2\) und \(\int_{1}^{3} f(x) \, dx = -2\). b) \(\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = 0\). c) \(A = 4\,\text{FE}\).

- Erinnere dich daran, wie das bestimmte Integral grafisch interpretiert werden kann. - Welche Rolle spielen Flächenstücke oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse bei der Berechnung des Integrals? - Kannst du die gesamte Fläche zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse in einfache geometrische Formen (wie Dreiecke und Rechtecke) zerlegen? - Berechne die einzelnen Flächeninhalte dieser einfachen Formen und beachte das jeweilige Vorzeichen für die Flächenbilanz.

1. Aufteilen des Integrationsbereichs \([-3; 5]\) in Teilintervalle entsprechend den geometrischen Formen zwischen dem Graphen \(G_f\) und der \(x\)-Achse. 2. Bestimmen der Flächeninhalte oberhalb der \(x\)-Achse (positive Beiträge): - Dreieck über dem Intervall \([-3; 0]\) mit der Grundseite \(g = 3\) und der Höhe \(h = 2\). Der Flächeninhalt ist \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3\). - Dreieck über dem Intervall \([4; 5]\) mit der Grundseite \(g = 1\) und der Höhe \(h = 2\). Der Flächeninhalt ist \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\). - Der gesamte positive Flächeninhalt beträgt somit \(A_{\text{oben}} = 3 + 1 = 4\). 3. Bestimmen der Flächeninhalte unterhalb der \(x\)-Achse (negative Beiträge): - Dreieck über dem Intervall \([0; 1]\) mit der Grundseite \(g = 1\) und der Höhe \(h = 2\). Der Flächeninhalt ist \(A_3 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\). - Rechteck über dem Intervall \([1; 3]\) mit der Breite \(b = 2\) und der Höhe \(h = 2\). Der Flächeninhalt ist \(A_4 = 2 \cdot 2 = 4\). - Dreieck über dem Intervall \([3; 4]\) mit der Grundseite \(g = 1\) und der Höhe \(h = 2\). Der Flächeninhalt ist \(A_5 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\). - Der gesamte negative Flächeninhalt beträgt somit \(A_{\text{unten}} = 1 + 4 + 1 = 6\). 4. Berechnung des Integrals durch die Flächenbilanz: \( \int_{-3}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x = A_{\text{oben}} - A_{\text{unten}} = 4 - 6 = -2 \)

\(-2\)

- Wie beeinflusst die Lage des Graphen oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse das Vorzeichen des bestimmten Integrals? - Denke an die Intervalladditivität: Wie kannst du ein Integral über ein großes Intervall in mehrere Teilintegrale zerlegen? - Betrachte jedes Flächenstück einzeln und bestimme, ob sein Wert positiv oder negativ in die Gesamtbilanz eingeht.

1. Zusammenhang zwischen Integral und Flächeninhalt: Liegt ein Flächenstück oberhalb der \(x\)-Achse, so ist das zugehörige Teilintegral positiv und entspricht dem Flächeninhalt. Liegt ein Flächenstück unterhalb der \(x\)-Achse, so ist das zugehörige Teilintegral negativ und entspricht dem negativen Flächeninhalt. 2. Teilaufgabe a): Das Intervall von \(-4\) bis \(-1\) entspricht dem Flächenstück \(A_1\), das unterhalb der \(x\)-Achse liegt. Daher gilt \(\int_{-4}^{-1} f(x)\,\mathrm{d}x = -A_1 = -4\). 3. Teilaufgabe b): Das Intervall von \(-1\) bis \(3\) entspricht dem Flächenstück \(A_2\), das oberhalb der \(x\)-Achse liegt. Daher gilt \(\int_{-1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x = A_2 = 6\). 4. Teilaufgabe c): Das Intervall \([-4; 3]\) setzt sich aus \([-4; -1]\) und \([-1; 3]\) zusammen. Somit gilt \(\int_{-4}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x = -A_1 + A_2 = -4 + 6 = 2\). 5. Teilaufgabe d): Das Intervall \([-4; 5]\) umfasst alle drei Teilflächen. Somit gilt \(\int_{-4}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x = -A_1 + A_2 - A_3 = -4 + 6 - 2 = 0\).

a) \(-4\) b) \(6\) c) \(2\) d) \(0\)

- Kannst du die geometrischen Formen beschreiben, die zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse entstehen? - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks? - Was ist der Unterschied zwischen einem geometrischen Flächeninhalt und dem Wert eines bestimmten Integrals, wenn der Graph unterhalb der \(x\)-Achse verläuft? - Wie kannst du die Werte der einzelnen Integrale kombinieren, um das Integral über das gesamte Intervall zu bestimmen? - Warum unterscheidet sich der gesamte eingeschlossene Flächeninhalt vom Wert des Gesamtintegrals?

1. **Bestimmung der Teilintegrale:** - Im Intervall \([-4; -1]\) liegt die Fläche oberhalb der \(x\)-Achse. Es handelt sich um ein Dreieck mit der Grundseite \(g = 3\) und der Höhe \(h = 2\). Der Wert des Integrals ist somit: \(I_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3\). - Im Intervall \([-1; 3]\) liegt die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse. Es handelt sich um ein Dreieck mit der Grundseite \(g = 4\) und der Höhe/Tiefe \(h = 2\). Da die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse liegt, ist das Integral negativ: \(I_2 = -\left(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\right) = -4\). - Im Intervall \([3; 6]\) liegt die Fläche wieder oberhalb der \(x\)-Achse. Es handelt sich um ein Dreieck mit der Grundseite \(g = 3\) und der Höhe \(h = 2\): \(I_3 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3\). 2. **Gesamtintegral und Flächenbilanz:** - Das Integral über das gesamte Intervall ist die Summe der Teilintegrale: \(\int_{-4}^{6} f(x) \,\mathrm{d}x = I_1 + I_2 + I_3 = 3 + (-4) + 3 = 2\). - **Bedeutung:** Das bestimmte Integral gibt die Flächenbilanz an. Dabei werden Flächen oberhalb der \(x\)-Achse positiv und Flächen unterhalb der \(x\)-Achse negativ gezählt. Das Ergebnis \(2\) bedeutet, dass der positive Flächenanteil oberhalb der \(x\)-Achse insgesamt um genau \(2\) Flächeneinheiten größer ist als der negative Flächenanteil unterhalb der \(x\)-Achse. 3. **Geometrischer Flächeninhalt und Vergleich:** - Der gesamte geometrische Flächeninhalt \(A\) ist die Summe der absoluten Flächeninhalte der einzelnen Teilstücke: \(A = |I_1| + |I_2| + |I_3| = 3 + 4 + 3 = 10\). - **Vergleich und Begründung:** Der tatsächliche geometrische Flächeninhalt beträgt \(10\) Flächeneinheiten, während das bestimmte Integral nur den Wert \(2\) liefert. Der Unterschied entsteht dadurch, dass sich die positive Teilfläche oberhalb der \(x\)-Achse (\(3 + 3 = 6\)) und die negative Teilfläche unterhalb der \(x\)-Achse (\(-4\)) beim Integrieren gegenseitig aufheben (\(6 - 4 = 2\)).

a) 1. \(I_1 = 3\) 2. \(I_2 = -4\) 3. \(I_3 = 3\) b) \(\int_{-4}^{6} f(x) \,\mathrm{d}x = 2\). Die positiven Flächenanteile sind in der Flächenbilanz insgesamt um \(2\) Flächeneinheiten größer als die negativen. c) \(A = 10\). Der geometrische Flächeninhalt addiert alle Beträge (\(6+4=10\)), während das Integral die orientierten Flächen bilanziert (\(6-4=2\)).

- Achte auf die Integrationsgrenzen auf der \(x\)-Achse und vergleiche sie mit den markierten Bereichen. - Überprüfe den Funktionstyp: Handelt es sich um eine Gerade, eine Parabel oder eine Hyperbel? - Teste charakteristische Punkte wie den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse oder die Werte an den Intervallgrenzen. - Unterscheide zwischen Verschiebungen des Graphen (z. B. \((x-2)^2\) vs. \(x^2\)).

1. Abbildung a) zeigt eine Gerade mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(1\) und einer Steigung von \(0{,}5\). Die markierte Fläche erstreckt sich von \(x=0\) bis \(x=4\). Dies entspricht dem Integral (1). 2. Abbildung b) zeigt eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt bei \((2 \mid 0)\), was dem Term \((x-2)^2\) entspricht. Die Grenzen der Fläche liegen bei \(x=0\) und \(x=2\). Dies entspricht dem Integral (2). 3. Abbildung c) zeigt einen hyperbelförmigen Graphen, der durch die Punkte \((1 \mid 4)\) und \((4 \mid 1)\) verläuft. Einsetzen in \(y = \frac{k}{x}\) ergibt \(4 = \frac{k}{1} \Rightarrow k=4\). Die Fläche liegt zwischen \(x=1\) und \(x=4\). Dies entspricht dem Integral (3).

Abbildung a) gehört zu Integral (1), Abbildung b) zu Integral (2) und Abbildung c) zu Integral (3).

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? Teile das Integral an dieser Stelle auf. - Berechne die Flächeninhalte der entstehenden Dreiecke einzeln. - Denke daran, dass Flächen unterhalb der \(x\)-Achse negativ gewertet werden.

1. Zerlegung in Teilflächen: Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = 3\). Es entstehen zwei Dreiecke. 2. Berechnung der negativen Teilfläche \(A_1\) im Intervall \([0; 3]\): Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Eckpunkten \((0\mid0), (0\mid-3)\) und \((3\mid0)\). Grundseite \(g_1 = 3\), geometrische Höhe \(h_1 = 3\). Da das Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse liegt, gilt \(I_1 = -\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = -4{,}5\). 3. Berechnung der positiven Teilfläche \(A_2\) im Intervall \([3; 5]\): Ein rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite \(g_2 = 5 - 3 = 2\) und Höhe \(f(5) = 2\). Flächeninhalt \(I_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). 4. Summation zur Flächenbilanz: \(\int_{0}^{5} f(x) \, dx = -4{,}5 + 2 = -2{,}5\).

\(\int_{0}^{5} f(x) \, dx = -2{,}5\)

- Welche Teilflächen liegen oberhalb und welche unterhalb der \(x\)-Achse? - Bestimme die Maße der geometrischen Figuren, die vom Graphen und der \(x\)-Achse eingeschlossen werden. - Addiere die orientierten Flächeninhalte.

1. Bestimmung der Nullstelle: Aus dem Graphen ist ersichtlich, dass \(f(2) = 0\). 2. Berechnung der positiven Teilfläche im Intervall \([-2; 2]\): Ein rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite \(2 - (-2) = 4\) und Höhe \(f(-2) = 2\). Inhalt \(I_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\). 3. Berechnung der negativen Teilfläche im Intervall \([2; 4]\): Ein rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite \(4 - 2 = 2\) und geometrische Höhe \(1\). Da das Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse liegt, gilt \(I_2 = -\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = -1\). 4. Gesamtwert des Integrals: \(4 + (-1) = 3\).

\(\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = 3\)

- Zerlege die Gesamtfläche in einfache geometrische Formen wie Dreiecke. - Wo wechselt das Vorzeichen der Funktionswerte? - Berechne die Inhalte der Dreiecke über und unter der \(x\)-Achse getrennt.

1. Analyse des Graphen: Es handelt sich um einen dachförmigen Graphen. Die Nullstellen liegen bei \(x=-3\) und \(x=1\). Der Hochpunkt liegt bei \((-1 \mid 2)\). 2. Positive Teilfläche im Intervall \([-3; 1]\): Das Dreieck hat die Grundseite \(4\) und die Höhe \(2\). Daher ist \(I_1 = \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2 = 4\). 3. Negative Teilfläche im Intervall \([1; 2]\): Das Dreieck hat die Grundseite \(1\) und die Höhe \(1\). Als orientierter Flächeninhalt gilt \(I_2 = -\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 = -0{,}5\). 4. Gesamtwert: \(\int_{-3}^{2} f(x)\,\text{d}x = 4-0{,}5=3{,}5\).

\(\int_{-3}^{2} f(x) \, dx = 3{,}5\)

- Das Integral entspricht der Bilanz der Flächeninhalte zwischen Funktionsgraph und \(x\)-Achse. - Bestimme die Basis und die Höhe für jedes der beiden Dreiecke. - Beachte das Vorzeichen der Flächenstücke.

1. Identifikation der Teilintervalle: Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = 1\). 2. Berechnung der positiven Teilfläche im Intervall \([-2; 1]\): Ein rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite \(1 - (-2) = 3\) und Höhe \(f(-2) = 3\). Flächeninhalt \(I_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4{,}5\). 3. Berechnung der negativen Teilfläche im Intervall \([1; 3]\): Ein rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite \(3 - 1 = 2\) und geometrische Höhe \(2\). Da das Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse liegt, gilt \(I_2 = -\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = -2\). 4. Addition zur Flächenbilanz: \(\int_{-2}^{3} f(x) \, dx = 4{,}5 - 2 = 2{,}5\).

\(\int_{-2}^{3} f(x) \, dx = 2{,}5\)

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? - Zerlege das Integrationsintervall in Teilbereiche, in denen der Graph entweder nur oberhalb oder nur unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Denke daran, dass Flächen unterhalb der \(x\)-Achse negativ in die Bilanz des Integrals eingehen.

1. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = 1\). Im Intervall \([-1; 1]\) verläuft er unterhalb, im Intervall \([1; 2]\) oberhalb der \(x\)-Achse. 2. Die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse ist ein Dreieck mit der Grundseite \(2\) (von \(-1\) bis \(1\)) und der Höhe \(2\) (Funktionswert \(f(-1) = -2\)). Der orientierte Flächeninhalt ist \(A_1 = -\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = -2\). 3. Die Fläche oberhalb der \(x\)-Achse ist ein Dreieck mit der Grundseite \(1\) (von \(1\) bis \(2\)) und der Höhe \(1\) (Funktionswert \(f(2) = 1\)). Der Flächeninhalt ist \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 0{,}5\). 4. Die Flächenbilanz ergibt den Wert des Integrals: \(I = A_1 + A_2 = -2 + 0{,}5 = -1{,}5\).

Das Integral hat den Wert \(-1{,}5\).

- Nutze die Symmetrie des Graphen aus, um die Rechnung zu vereinfachen. - In welchen Bereichen heben sich positive und negative Flächenanteile gegenseitig auf? - Berechne die Flächeninhalte der Dreiecke, die der Graph mit der \(x\)-Achse einschließt.

1. Der Graph ist symmetrisch zur \(y\)-Achse und besteht aus zwei Geradenstücken. Er schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = -1\) und \(x = 1\). 2. Wir berechnen das Integral von \(0\) bis \(2\) und verdoppeln es aufgrund der Symmetrie. 3. Von \(x = 0\) bis \(x = 1\) bildet der Graph mit der \(x\)-Achse ein Dreieck unterhalb der Achse mit Grundseite \(1\) und Höhe \(1\). Orientierter Flächeninhalt: \(A_1 = -\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = -0{,}5\). 4. Von \(x = 1\) bis \(x = 2\) bildet der Graph ein Dreieck oberhalb der Achse mit Grundseite \(1\) und Höhe \(1\). Flächeninhalt: \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 0{,}5\). 5. Das Teilintegral von \(0\) bis \(2\) ist \(A_1 + A_2 = -0{,}5 + 0{,}5 = 0\). 6. Aufgrund der Symmetrie ist das gesamte Integral \(\int_{-2}^{2} f(x) \, \text{d}x = 2 \cdot 0 = 0\).

Das Integral hat den Wert \(0\).

- Was fällt dir an der Form des Graphen auf, wenn du ihn am Ursprung spiegelst? - Vergleiche die Fläche links von der y-Achse mit der Fläche rechts davon. - Wie werden Flächen unterhalb der x-Achse beim Integrieren gewertet?

1. Symmetrieanalyse: Die Funktion \(f(x) = 0{,}1x^3 - 0{,}9x\) enthält nur ungerade Exponenten von \(x\). Daher ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung \(O(0 \mid 0)\). Es gilt \(f(-x) = -f(x)\). 2. Flächenbetrachtung: Aufgrund der Punktsymmetrie ist der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse im Intervall \([-3; 0]\) genauso groß wie der Flächeninhalt im Intervall \([0; 3]\). 3. Flächenbilanz: Im Intervall \([-3; 0]\) liegt der Graph oberhalb der x-Achse (positives Teilintegral), im Intervall \([0; 3]\) liegt er unterhalb der x-Achse (negatives Teilintegral). Da die Beträge der Flächeninhalte gleich sind, heben sie sich in der Summe (der Bilanz) gegenseitig auf. Ergebnis: Das Integral über das symmetrische Intervall \([-3; 3]\) ist \(0\).

Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Dadurch ist die Fläche oberhalb der x-Achse im Bereich \([-3; 0]\) inhaltsgleich zur Fläche unterhalb der x-Achse im Bereich \([0; 3]\). In der Flächenbilanz des Integrals heben sich diese beiden Werte zu null auf.

- Überlege dir zuerst, wie breit jedes der Rechtecke sein muss, wenn das Intervall gleichmäßig aufgeteilt wird. - Bei einer Obersumme einer steigenden Funktion: Welchen Funktionswert (links oder rechts im Intervall) musst du wählen, damit das Rechteck über dem Graphen liegt? - Wie hängen die \(x\)-Werte der Stützstellen mit dem Laufindex der Summe zusammen? - Erinnere dich an die Formel für die Summe der ersten Quadratzahlen, um die Rechnung bei größerem \(n\) zu vereinfachen.

1. Für \(n=4\) beträgt die Breite der Teilintervalle \(\Delta x = \frac{4-0}{4} = 1\). Da \(f\) auf \([0; 4]\) streng monoton steigt, wird das Maximum in jedem Teilintervall am rechten Rand \(x_k = k\) für \(k \in \{1, 2, 3, 4\}\) angenommen. Die Obersumme lautet \(O_4 = \sum_{k=1}^{4} f(x_k) \cdot \Delta x = \sum_{k=1}^{4} \frac{1}{2}k^2 \cdot 1\). Berechnung: \(\frac{1}{2}(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2) = \frac{1}{2}(1 + 4 + 9 + 16) = 15\). 2. Für \(n=8\) ist \(\Delta x = \frac{4}{8} = 0{,}5\). Die Stützstellen sind \(x_k = 0{,}5k\). Die Obersumme ist \(O_8 = \sum_{k=1}^{8} f(0{,}5k) \cdot 0{,}5 = \sum_{k=1}^{8} \frac{1}{2}(0{,}5k)^2 \cdot 0{,}5 = \sum_{k=1}^{8} \frac{1}{16}k^2\). Unter Verwendung der Summenformel \(\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) ergibt sich für \(n=8\): \(\frac{1}{16} \cdot \frac{8 \cdot 9 \cdot 17}{6} = \frac{204}{16} = 12{,}75\).

1. \(O_4 = \sum_{k=1}^{4} \frac{1}{2}k^2 = 15\) 2. \(O_8 = \sum_{k=1}^{8} \frac{1}{16}k^2 = 12{,}75\)

- Ist die Funktion im gegebenen Bereich steigend oder fallend? Davon hängt ab, ob die Untersumme die linken oder rechten Randwerte nutzt. - Bestimme zuerst die Breite eines einzelnen Teilintervalls in Abhängigkeit von der Anzahl der Rechtecke. - Stelle eine Formel für die \(x\)-Koordinate der \(k\)-ten Stützstelle auf. - Setze diese \(x\)-Koordinate in den Funktionsterm ein, um die Höhe des k-ten Rechtecks zu erhalten.

1. Die Intervallbreite ist \(\Delta x = \frac{2-0}{5} = 0{,}4\). Da \(f\) auf \([0; 2]\) streng monoton fallend ist, liegt das Minimum in jedem Teilintervall \([x_{k-1}; x_k]\) am rechten Rand \(x_k = 0{,}4k\). Die Untersumme ist \(U_5 = \sum_{k=1}^{5} f(x_k) \cdot \Delta x = \sum_{k=1}^{5} (4 - (0{,}4k)^2) \cdot 0{,}4\). Die Funktionswerte an den Stellen \(0{,}4; 0{,}8; 1{,}2; 1{,}6; 2{,}0\) sind \(3{,}84; 3{,}36; 2{,}56; 1{,}44; 0\). Die Summe dieser Werte ist \(11{,}2\). Somit gilt \(U_5 = 11{,}2 \cdot 0{,}4 = 4{,}48\). 2. Bei \(n\) Teilintervallen ist \(\Delta x = \frac{2}{n}\) und die rechten Intervallgrenzen sind \(x_k = \frac{2k}{n}\). Da die Funktion fällt, ist der allgemeine Ausdruck für die Untersumme \(U_n = \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2k}{n}\right) \cdot \frac{2}{n} = \sum_{k=1}^{n} \left(4 - \left(\frac{2k}{n}\right)^2\right) \cdot \frac{2}{n}\).

1. \(U_5 = 4{,}48\) 2. \(U_n = \sum_{k=1}^{n} \left(4 - \frac{4k^2}{n^2}\right) \cdot \frac{2}{n}\)

- Berechne zuerst den Wert des Integrals mithilfe einer Stammfunktion. - Wo schneidet der Graph der Funktion die \(x\)-Achse? - Überlege dir, welche Teile der Fläche oberhalb und welche unterhalb der Achse liegen. - Was bedeutet ein Integralwert von Null für das Verhältnis dieser Flächenanteile?

1. Berechnung des Integrals: Eine Stammfunktion von \(f(x) = -0{,}25x + 1\) ist \(F(x) = -0{,}125x^2 + x\). Das bestimmte Integral ergibt sich zu \(I = F(8) - F(0) = (-0{,}125 \cdot 64 + 8) - 0 = -8 + 8 = 0\). 2. Interpretation der Flächenbilanz: Die Nullstelle der Funktion liegt bei \(x = 4\). Im Teilintervall \([0; 4]\) verläuft der Graph oberhalb der \(x\)-Achse (orientierter Flächeninhalt \(A_1 = \int_{0}^{4} f(x) \, dx = 2\)), im Teilintervall \([4; 8]\) unterhalb der \(x\)-Achse (orientierter Flächeninhalt \(A_2 = \int_{4}^{8} f(x) \, dx = -2\)). Da beide Teilflächen betragsmäßig gleich groß sind, heben sie sich in der Bilanz exakt auf, sodass der Gesamtwert des Integrals \(0\) beträgt.

Das Integral hat den Wert \(I = 0\). Dies bedeutet, dass die Flächenbilanz ausgeglichen ist: Der Flächeninhalt oberhalb der \(x\)-Achse (im Intervall \([0; 4]\)) ist genauso groß wie der Flächeninhalt unterhalb der \(x\)-Achse (im Intervall \([4; 8]\)).

- Untersuche, ob der Integrand eine besondere Symmetrie (z. B. Punktsymmetrie zum Ursprung) aufweist und wie das Intervall dazu liegt. - Überlege dir, welches Vorzeichen die Funktionswerte im angegebenen Bereich haben. - Achte genau auf die Reihenfolge der Integrationsgrenzen. Was passiert, wenn die obere Grenze kleiner ist als die untere? - Skizziere dir grob den Verlauf der Funktionen im Kopf oder auf Papier.

1. Für Teilaufgabe a) wird die Symmetrie des Integranden \(f(x) = \frac{2x}{x^{2}+1}\) untersucht. Da \(f(-x) = -f(x)\) gilt, ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Da das Integrationsintervall \([-5; 5]\) symmetrisch zum Nullpunkt liegt, heben sich die orientierten Flächeninhalte exakt auf. Das Integral ist null. 2. In Teilaufgabe b) wird das Vorzeichen des Integranden \(g(x) = 3 - 3^x\) auf dem Intervall \([1; 2]\) betrachtet. Da die Exponentialfunktion \(3^x\) für \(x > 1\) größer als \(3\) ist, ist der Integrand im gesamten Intervall (außer an der Stelle \(x=1\)) negativ. Da die untere Grenze kleiner als die obere Grenze ist, ist der Wert des Integrals negativ. 3. Für Teilaufgabe c) betrachtet man den Integranden \(h(x) = x-4\). Auf dem Intervall \([0; 4]\) ist dieser Ausdruck stets kleiner oder gleich null. Da die Integrationsgrenzen jedoch vertauscht sind (von \(4\) nach \(0\)), kehrt sich das Vorzeichen des Integralwerts um. Das Integral ist positiv.

a) Das Integral ist null. b) Das Integral ist negativ. c) Das Integral ist positiv.

- Kannst du das Integral mithilfe der Rechenregeln für Integrale in zwei einfachere Teile zerlegen? - Welche geometrische Form beschreibt die Funktion \(f(x) = \sqrt{r^2 - x^2}\) über ihrem Definitionsbereich? - Wie lässt sich das Integral einer konstanten Funktion als Flächeninhalt deuten? - Überlege, welche bekannte Flächenformel für einen Kreis hier hilfreich sein könnte.

1. Anwendung der Additivität des Integrals ermöglicht die Aufteilung in zwei Teilintegrale: \(\int_{-5}^{5} 3 \, dx + \int_{-5}^{5} \sqrt{25 - x^2} \, dx\). 2. Das erste Teilintegral \(\int_{-5}^{5} 3 \, dx\) entspricht dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Breite \(5 - (-5) = 10\) und der Höhe 3, woraus sich \(10 \cdot 3 = 30\) ergibt. 3. Das zweite Teilintegral \(\int_{-5}^{5} \sqrt{25 - x^2} \, dx\) beschreibt den Flächeninhalt eines oberen Halbkreises mit dem Radius \(r = 5\), da die Gleichung \(y = \sqrt{25 - x^2}\) die obere Hälfte eines Kreises um den Ursprung darstellt. Der Flächeninhalt berechnet sich zu \(\frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 5^2 = 12{,}5\pi\). 4. Die Summe beider Teilwerte ergibt den Gesamtwert des Integrals: \(30 + 12{,}5\pi\).

\(30 + 12{,}5\pi\)

- Nutze die Differenzregel für Integrale, um die Aufgabe zu vereinfachen. - Betrachte die beiden Funktionen im Integranden getrennt voneinander. - Welche Flächen entstehen, wenn du die Graphen der Funktionen einzeln über dem Intervall \([0; 4]\) betrachtest? - Erinnerst du dich an die Flächenformeln für Kreise und Dreiecke?

1. Das Integral wird mithilfe der Linearität in die Differenz zweier Integrale zerlegt: \(\int_{0}^{4} \sqrt{16 - x^2} \, dx - \int_{0}^{4} x \, dx\). 2. Das erste Integral \(\int_{0}^{4} \sqrt{16 - x^2} \, dx\) wird als Flächeninhalt eines Viertelkreises im ersten Quadranten mit dem Radius \(r = 4\) interpretiert. Der Wert ist \(\frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 4^2 = 4\pi\). 3. Das zweite Integral \(\int_{0}^{4} x \, dx\) entspricht dem Flächeninhalt eines rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreiecks mit der Grundseite 4 und der Höhe 4. Die Berechnung ergibt \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\). 4. Durch Subtraktion der beiden Flächeninhalte ergibt sich der Gesamtwert des Integrals: \(4\pi - 8\).

\(4\pi - 8\)

- Wann nimmt die Kosinusfunktion den Wert null an? - Überlege dir die allgemeine Formel für die Nullstellen der Kosinusfunktion und passe sie an das Argument in der Aufgabe an. - Denke beim Integrieren an die Kettenregel in ihrer Umkehrung (lineare Substitution). - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen bei einem Integralwert für die Lage des Graphen zur \(x\)-Achse? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen dem Integralwert (Flächenbilanz) und dem geometrischen Flächeninhalt.

1. Bestimmung der Nullstellen durch Lösen der Gleichung \(\cos\left(\frac{\pi}{3}x\right) = 0\): Da die Kosinusfunktion ihre Nullstellen bei \(\frac{\pi}{2} + k\pi\) hat, ergibt sich \(\frac{\pi}{3}x = \frac{\pi}{2} + k\pi\). Auflösen nach \(x\) liefert \(x = 1{,}5 + 3k\) für \(k \in \mathbb{Z}\). Zwei benachbarte Nullstellen sind somit beispielsweise \(x_1 = 1{,}5\) und \(x_2 = 4{,}5\). 2. Berechnung des Integrals: Eine Stammfunktion von \(f\) ist \(F(x) = \frac{3}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{3}x\right)\). Das bestimmte Integral ergibt sich zu \(\int_0^3 f(x) \, dx = \left[ \frac{3}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{3}x\right) \right]_0^3 = \frac{3}{\pi} (\sin(\pi) - \sin(0)) = \frac{3}{\pi} (0 - 0) = 0\). 3. Begründung: Der Wert des Integrals entspricht der Flächenbilanz. Da die Funktion im Teilintervall \([0; 1{,}5]\) positiv und im Teilintervall \([1{,}5; 3]\) negativ ist (bei punktsymmetrischem Verlauf zum Punkt \((1{,}5\mid 0)\)), heben sich die Inhalte der Flächen oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse gegenseitig auf.

a) Zwei benachbarte Nullstellen sind zum Beispiel \(x_1 = 1{,}5\) und \(x_2 = 4{,}5\). b) Der Wert des Integrals ist \(0\). Da der Graph im Intervall \([0; 3]\) sowohl oberhalb als auch unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, werden die orientierten Teilflächen im Integral miteinander verrechnet (Flächenbilanz), was hier zu einer vollständigen Aufhebung führt.

- Erinnere dich an den Unterschied zwischen Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bei Integralen. - Wann liefert ein Integral einen positiven Wert, und wann heben sich Flächen gegenseitig auf? - Für b): Suche nach einem Intervall, in dem der Graph eine Nullstelle so passiert, dass die Flächenstücke davor und danach gleich groß sind. - Nutze dein Wissen über die Sinusfunktion als Stammfunktion des Kosinus.

1. Analyse von Teilaufgabe a): Die Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (\(f(x) = f(-x)\)). Im Intervall \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\) verläuft der Graph vollständig oberhalb oder auf der \(x\)-Achse (\(\cos(x) \ge 0\)). Da keine negativen Flächenanteile existieren, muss die Bilanz (das Integral) positiv sein (konkret \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(x) \, dx = [\sin(x)]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 1 - (-1) = 2\)). 2. Analyse von Teilaufgabe b): Damit die Flächenbilanz Null ergibt, müssen sich positive und negative Flächenanteile exakt aufheben. 3. Intervallsuche: Da \(\int_a^b \cos(x) \, dx = \sin(b) - \sin(a)\), muss \(\sin(a) = \sin(b)\) gelten. Ein geeignetes Intervall ist \([\pi; 2\pi]\), da hier \(\sin(2\pi) - \sin(\pi) = 0 - 0 = 0\) gilt und \(a > 0\) erfüllt ist. 4. Überprüfung der Bedingung: Im Intervall \([\pi; 2\pi]\) ist \(\cos(x)\) negativ für \(x \in [\pi; \frac{3\pi}{2})\) und positiv für \(x \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi]\). Die Bedingung ist erfüllt.

a) Der Graph von \(f(x) = \cos(x)\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Im Intervall \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\) nimmt die Funktion nur Funktionswerte \(\ge 0\) an. Somit gibt es keine negativen Flächenanteile, die den positiven Anteil mindern oder aufheben könnten; die Flächenbilanz ist daher positiv. b) Ein mögliches Intervall ist \([\pi; 2\pi]\). Hier gilt \(\int_{\pi}^{2\pi} \cos(x) \, dx = [\sin(x)]_{\pi}^{2\pi} = \sin(2\pi) - \sin(\pi) = 0\). Der Graph verläuft in \([\pi; \frac{3\pi}{2}]\) unterhalb und in \([\frac{3\pi}{2}; 2\pi]\) oberhalb der \(x\)-Achse.

- Untersuche die Symmetrie der Funktion. Was bedeutet Punktsymmetrie für die Flächeninhalte links und rechts vom Ursprung? - Teile das Integral in Intervalle auf, in denen die Funktion entweder nur positiv oder nur negativ ist. - Nutze die Erkenntnis aus dem ersten Aufgabenteil, um die Vorzeichenentscheidung für das größere Intervall zu vereinfachen.

1. Die Funktion \(g(x) = x^3 - x\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da nur ungerade Exponenten auftreten (\(g(-x) = -g(x)\)). Im symmetrischen Intervall \([-1; 1]\) heben sich der positive orientierte Flächenanteil über \([-1; 0]\) und der betragsgleiche negative orientierte Flächenanteil über \([0; 1]\) in der Flächenbilanz genau auf. 2. Das Integral \(J\) lässt sich aufteilen in \(\int_{-1}^{1} g(x) \, dx + \int_{1}^{2} g(x) \, dx\). Da der erste Teil \(0\) ergibt und die Funktion im Intervall \([1; 2]\) nur positive Werte annimmt, muss das gesamte Integral positiv sein. 3. Berechnung von \(J\): \(\int_{-1}^{2} (x^3 - x) \, dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 \right]_{-1}^{2} = (\frac{16}{4} - \frac{4}{2}) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) = (4 - 2) - (-\frac{1}{4}) = 2 + 0{,}25 = 2{,}25\).

1. Aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung und des symmetrischen Intervalls \([-1; 1]\) heben sich die Flächenanteile auf; die Flächenbilanz ist \(0\). 2. Das Integral \(J\) ist positiv, da zum Bilanzwert \(0\) (aus dem Intervall \([-1; 1]\)) ein rein positiver Flächenanteil aus dem Intervall \([1; 2]\) addiert wird. 3. \(J = 2{,}25\).

- Teile das Integral an der Stelle auf, an der sich die Funktionsvorschrift ändert. - Prüfe, ob der Graph innerhalb der Teilintervalle die \(x\)-Achse schneidet. - Welche einfachen geometrischen Figuren (Rechtecke, Dreiecke) kannst du in den einzelnen Abschnitten erkennen? - Beachte das Vorzeichen der Teilflächen je nach Lage zur \(x\)-Achse.

1. Zerlegung des Integrals in Intervalle basierend auf der Funktionsdefinition und den Nullstellen: \([-2; 1]\), \([1; 3]\) und \([3; 5]\). 2. Berechnung der Fläche \(A_1\) im Intervall \([-2; 1]\): Die Funktion ist konstant \(f(x) = 2\). Es entsteht ein Rechteck mit der Breite \(3\) und der Höhe \(2\). Flächeninhalt \(A_1 = 3 \cdot 2 = 6\). 3. Berechnung der Fläche \(A_2\) im Intervall \([1; 3]\): Die Funktion \(f(x) = 3 - x\) verläuft oberhalb der \(x\)-Achse bis zur Nullstelle bei \(x = 3\). Es entsteht ein Dreieck mit der Grundseite \(2\) und der Höhe \(f(1) = 2\). Flächeninhalt \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). 4. Berechnung der Fläche \(A_3\) im Intervall \([3; 5]\): Die Funktion verläuft unterhalb der \(x\)-Achse. Es entsteht ein Dreieck mit der Grundseite \(2\) und der Höhe \(|f(5)| = |3 - 5| = 2\). Flächeninhalt \(A_3 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). 5. Bestimmung der Flächenbilanz: Das Integral ergibt sich aus \(A_1 + A_2 - A_3 = 6 + 2 - 2 = 6\).

\(6\)

- Was ist der Unterschied zwischen einem Integralwert und einem Flächeninhalt? - Wie findest du heraus, ob der Graph im gegebenen Intervall unterhalb der \(x\)-Achse verläuft? - Warum ist es wichtig, das Intervall an den Nullstellen aufzuteilen? - Überlege dir, wie du mit negativen Integralwerten bei der Flächenberechnung umgehst.

1. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2\). Berechnung des Integrals: \(\int_{-1}^{3} (x^3 - 4x) \, dx = F(3) - F(-1) = (20{,}25 - 18) - (0{,}25 - 2) = 2{,}25 - (-1{,}75) = 4\). 2. Bestimmung der Nullstellen von \(f\): \(x(x^2 - 4) = 0\) liefert \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). Im Intervall \([-1; 3]\) liegen die Nullstellen \(x = 0\) und \(x = 2\). Aufteilung des Intervalls und Berechnung der Teilflächen: \(A_1 = \int_{-1}^{0} f(x) \, dx = [F(x)]_{-1}^{0} = 0 - (-1{,}75) = 1{,}75\). \(A_2 = \left| \int_{0}^{2} f(x) \, dx \right| = |F(2) - F(0)| = |(4 - 8) - 0| = 4\). \(A_3 = \int_{2}^{3} f(x) \, dx = F(3) - F(2) = 2{,}25 - (-4) = 6{,}25\). Gesamtfläche: \(A = 1{,}75 + 4 + 6{,}25 = 12\).

1. \(\int_{-1}^{3} (x^3 - 4x) \, dx = 4\) 2. Der Flächeninhalt beträgt \(12\,\text{FE}\).

- Welche Methode eignet sich, um die Nullstellen einer biquadratischen Funktion zu finden? - Überprüfe, in welchen Intervallen der Graph oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt. - Nutze die Symmetrieeigenschaften der Funktion, um Rechenschritte zu sparen. - Erinnere dich daran, dass Flächeninhalte immer positive Werte haben müssen.

1. Berechnung der Nullstellen mittels Substitution \(u = x^2\): \(-u^2 + 5u - 4 = 0\) liefert \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 4\). Daraus ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = -2\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 1\) und \(x_4 = 2\). 2. Da die Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist (\(f(x) = f(-x)\)), kann die Fläche für \(x \ge 0\) berechnet und verdoppelt werden. Die relevanten Intervalle sind \([0; 1]\) und \([1; 2]\). 3. Stammfunktion: \(F(x) = -\frac{1}{5}x^5 + \frac{5}{3}x^3 - 4x\). 4. Teilintegrale berechnen: \(\int_0^1 f(x) \, dx = F(1) - F(0) = -\frac{1}{5} + \frac{5}{3} - 4 = -\frac{38}{15}\). \(\int_1^2 f(x) \, dx = F(2) - F(1) = (-\frac{32}{5} + \frac{40}{3} - 8) - (-\frac{38}{15}) = -\frac{16}{15} + \frac{38}{15} = \frac{22}{15}\). 5. Gesamtfläche: \(A = 2 \cdot (|-\frac{38}{15}| + |\frac{22}{15}|) = 2 \cdot (\frac{38}{15} + \frac{22}{15}) = 2 \cdot \frac{60}{15} = 2 \cdot 4 = 8\).

Der Inhalt der Fläche beträgt \(8\) Flächeneinheiten.

- Überlege dir, wie der Graph der Funktion im Koordinatensystem aussieht. - Teile die Fläche unter dem Graphen in bekannte geometrische Formen wie Rechtecke und Dreiecke auf. - Achte besonders auf die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse schneidet. - Wie werden Flächen gewertet, die unterhalb der \(x\)-Achse liegen?

1. Aufteilung des Integrationsintervalls anhand der Nullstelle des mittleren Segments: Das Segment zwischen \(B(2\mid 2)\) und \(C(5\mid -1)\) hat die Steigung \(m = \frac{-1 - 2}{5 - 2} = -1\). Die Geradengleichung lautet \(y = -1 \cdot (x - 2) + 2 = -x + 4\). Die Nullstelle liegt bei \(x = 4\). 2. Berechnung der Teilflächen oberhalb der \(x\)-Achse: Das Rechteck von \(x=0\) bis \(x=2\) mit der Höhe \(2\) hat den Inhalt \(A_1 = 2 \cdot 2 = 4\). Das Dreieck von \(x=2\) bis \(x=4\) mit der Grundseite \(2\) und der Höhe \(2\) hat den Inhalt \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). 3. Berechnung der Teilflächen unterhalb der \(x\)-Achse: Das Dreieck von \(x=4\) bis \(x=5\) mit der Grundseite \(1\) und der Höhe \(1\) (Betrag) hat den Inhalt \(A_3 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 0{,}5\). Das Rechteck von \(x=5\) bis \(x=7\) mit der Höhe \(1\) (Betrag) hat den Inhalt \(A_4 = 2 \cdot 1 = 2\). 4. Bestimmung der Flächenbilanz: Der Integralwert ergibt sich aus der Summe der orientierten Flächeninhalte: \(I = A_1 + A_2 - A_3 - A_4 = 4 + 2 - 0{,}5 - 2 = 3{,}5\).

\(\int_{0}^{7} f(x) \, dx = 3{,}5\)

- Überlege dir, was die Betragsstriche für das Vorzeichen des Terms im Inneren bedeuten. - Wo ändert der Term \(x^2 - 4\) sein Vorzeichen? - In welchen Teilintervallen ist der Ausdruck positiv und in welchen negativ? - Nutze die Nullstelle, um das Integral so aufzuteilen, dass du die Betragsstriche jeweils weglassen oder durch ein Minuszeichen ersetzen kannst.

1. Untersuchung des Vorzeichens des Terms innerhalb des Betrags: Die Funktion \(g(x) = x^2 - 4\) hat im Intervall \([0; 3]\) eine Nullstelle bei \(x = 2\). 2. Für \(0 \leq x \leq 2\) ist \(x^2 - 4 \leq 0\), daher gilt \(|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2\). 3. Für \(2 < x \leq 3\) ist \(x^2 - 4 > 0\), daher gilt \(|x^2 - 4| = x^2 - 4\). 4. Aufspaltung des Integrals an der Stelle \(x = 2\): \(\int_{0}^{2} (4 - x^2) \, dx + \int_{2}^{3} (x^2 - 4) \, dx\). 5. Berechnung des ersten Teils: \([4x - \frac{1}{3}x^3]_0^2 = (8 - \frac{8}{3}) - 0 = \frac{16}{3}\). 6. Berechnung des zweiten Teils: \([\frac{1}{3}x^3 - 4x]_2^3 = (9 - 12) - (\frac{8}{3} - 8) = -3 - (-\frac{16}{3}) = \frac{7}{3}\). 7. Gesamtergebnis durch Addition: \(\frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3} = 7\frac{2}{3}\).

\(\frac{23}{3}\) oder \(7\frac{2}{3}\)

- Prüfe zuerst, ob der Graph im gegebenen Intervall oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Denk daran, dass \(e\) eine konstante Zahl ist, wenn du die Stammfunktion bildest. - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse in einem festen Intervall?

1. Überprüfung der Nullstellen und des Vorzeichens: \(e^x - e = 0\) liefert \(x = 1\). Für \(x \in [1; 2]\) gilt \(e^x \geq e\), somit ist \(h(x) \geq 0\). Der Flächeninhalt entspricht dem bestimmten Integral. 2. Bestimmung einer Stammfunktion von \(h(x) = e^x - e\): \(H(x) = e^x - ex\). 3. Anwendung des Hauptsatzes: \(A = \int_{1}^{2} (e^x - e) \, dx = [e^x - ex]_1^2\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(H(2) = e^2 - 2e\) und \(H(1) = e^1 - e \cdot 1 = 0\). 5. Ergebnis: \(A = (e^2 - 2e) - 0 = e^2 - 2e\).

Der Flächeninhalt beträgt \(e^2 - 2e\) Flächeneinheiten.

- Prüfe zuerst, ob der Graph im gegebenen Intervall Nullstellen besitzt oder vollständig oberhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Wie lauten die Regeln zum Bilden von Stammfunktionen von Exponentialfunktionen mit einem Faktor im Exponenten? - Denk an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, um das bestimmte Integral zu berechnen.

1. Da \(e^{2x} - 2e^x + 3 = (e^x - 1)^2 + 2 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, liegt der Graph im gesamten Intervall oberhalb der \(x\)-Achse. 2. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = e^{2x} - 2e^x + 3\): \(F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - 2e^x + 3x\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(A = \int_{0}^{1} (e^{2x} - 2e^x + 3) \, dx = F(1) - F(0)\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(F(1) = \frac{1}{2}e^2 - 2e + 3\) und \(F(0) = \frac{1}{2}e^0 - 2e^0 + 0 = \frac{1}{2} - 2 = -1{,}5\). 5. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \frac{1}{2}e^2 - 2e + 3 - (-1{,}5) = \frac{1}{2}e^2 - 2e + 4{,}5 \approx 2{,}758\).

Der Flächeninhalt beträgt \(A = \frac{1}{2}e^2 - 2e + 4{,}5 \approx 2{,}758\,\text{FE}\).

- Wie hängen der Flächeninhalt unter einem Graphen und das bestimmte Integral zusammen? - Achte bei der Stammfunktion auf die innere Funktion im Nenner. - Gibt es Logarithmengesetze, mit denen du die Differenz zweier Logarithmen zusammenfassen kannst? - Was passiert mit einem Vorfaktor vor dem Logarithmus, wenn du ihn in den Logarithmus ziehst?

1. Da die Funktion \(f\) im Intervall \([0; 3]\) stets positiv ist, entspricht der Flächeninhalt dem Integral \(A = \int_{0}^{3} \frac{2}{x+3} \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion unter Berücksichtigung der linearen Verkettung: \(F(x) = 2 \ln|x+3|\). 3. Berechnung der Integralwerte an den Grenzen: \(F(3) = 2 \ln(3+3) = 2 \ln(6)\). \(F(0) = 2 \ln(0+3) = 2 \ln(3)\). 4. Differenzbildung: \(A = 2 \ln(6) - 2 \ln(3) = 2 (\ln(6) - \ln(3))\). 5. Vereinfachung mit Logarithmengesetzen: \(2 \ln\left(\frac{6}{3}\right) = 2 \ln(2)\) bzw. \(\ln(4)\).

\(2\ln(2)\) (oder \(\ln(4)\))

- Achte darauf, ob der Graph im betrachteten Intervall oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt. - Wie gehst du vor, wenn ein bestimmtes Integral ein negatives Ergebnis liefert, du aber einen Flächeninhalt berechnen sollst? - Was ist der natürliche Logarithmus von 1?

1. Bestimmung der Stammfunktion von \(g(x) = \frac{5}{x - 7}\): Eine Stammfunktion ist \(G(x) = 5 \ln|x - 7|\). 2. Untersuchung des Vorzeichens im Intervall \([2; 6]\): Da \(x - 7\) für alle \(x \in [2; 6]\) negativ ist, verläuft der Graph von \(g\) unterhalb der \(x\)-Achse. 3. Berechnung des bestimmten Integrals: \(\int_{2}^{6} \frac{5}{x - 7} \, dx = [5 \ln|x - 7|]_{2}^{6}\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(5 \ln|6 - 7| - 5 \ln|2 - 7| = 5 \ln(1) - 5 \ln(5)\). 5. Da \(\ln(1) = 0\), ergibt sich für das Integral der Wert \(-5 \ln(5)\). 6. Da ein Flächeninhalt gesucht ist, wird der Betrag des Integrals genommen: \(A = |-5 \ln(5)| = 5 \ln(5) \approx 8{,}05\).

Der Flächeninhalt beträgt \(5 \ln(5) \approx 8{,}05\) Flächeneinheiten.

- Wie hängen der Wert eines bestimmten Integrals und die Flächenstücke zwischen dem Graphen und der x-Achse zusammen? - Achte darauf, in welchen Bereichen der Graph oberhalb und in welchen er unterhalb der x-Achse verläuft. - Kannst du krummlinig begrenzte Flächen durch einfachere geometrische Formen wie Dreiecke oder Rechtecke abschätzen? - Überlege dir, welchen geometrischen Wert das Integral einer konstanten Funktion wie 1 über ein bestimmtes Intervall darstellt.

- Schritt 1 (Aussage a): Bestimmung der Flächenbilanz im Intervall \([-2; 3]\). Die positive Teilfläche über der \(x\)-Achse im Intervall \([-2; 0]\) ist deutlich kleiner als die negative Teilfläche unter der \(x\)-Achse im Intervall \([0; 3]\). Die Gesamtbilanz des Integrals ist somit negativ (\(\int_{-2}^{3} f(x) \,\mathrm{d}x \approx -5{,}21 < 0\)). Aussage a) ist wahr. - Schritt 2 (Aussage b): Abschätzung des Integrals \(\int_{0}^{3} f(x) \,\mathrm{d}x\). Die Fläche unter der \(x\)-Achse enthält ein Dreieck mit den Eckpunkten \((0 \mid 0)\), \((2 \mid -4)\) und \((3 \mid 0)\) mit dem Flächeninhalt \(\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\). Da die Fläche unter der Kurve größer ist als diese Dreiecksfläche, gilt \(\int_{0}^{3} f(x) \,\mathrm{d}x < -6\). Aussage b) ist falsch. - Schritt 3 (Aussage c): Vergleich der Integrale über \([-2; 0]\). Es gilt \(\int_{-2}^{0} 1 \,\mathrm{d}x = 2\). Die Fläche unter \(f\) über \([-2; 0]\) schließt ein Dreieck mit den Eckpunkten \((-2 \mid 0)\), \((-1 \mid 2)\) und \((0 \mid 0)\) und dem Flächeninhalt \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\) ein. Da der Graph oberhalb der Dreiecksseiten verläuft, ist das Integral größer als \(2\). Aussage c) ist wahr.

a) **Wahr**, da die negative Teilfläche im Intervall \([0; 3]\) betragsmäßig deutlich größer ist als die positive Teilfläche im Intervall \([-2; 0]\). b) **Falsch**, da das Integral im Intervall \([0; 3]\) kleiner als \(-6\) (und damit auch kleiner als \(-5\)) ist. c) **Wahr**, da das Integral über \([-2; 0]\) größer als \(2\) (der Flächeninhalt der Dreiecksannäherung) ist, während \(\int_{-2}^{0} 1 \,\mathrm{d}x = 2\) beträgt.

- Überlege zuerst, wie das Vorzeichen eines bestimmten Integrals mit der Lage des Graphen zur \(x\)-Achse zusammenhängt. - Liegt ein Flächenstück oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse? Welchen Einfluss hat das auf das Vorzeichen des Teilintegrals? - Zerlege die Integrale in Teilintervalle, die genau den gegebenen Flächen entsprechen. - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Integrals, wenn man die obere und die untere Integrationsgrenze vertauscht?

1. Für das Integral a) \(\int_{-3}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x\): Das Integrationsintervall reicht von \(-3\) bis \(2\). Dieses lässt sich in zwei Teilintervalle aufteilen: \(\int_{-3}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x = \int_{-3}^{-1} f(x) \,\mathrm{d}x + \int_{-1}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x\) - Im ersten Teilintervall \([-3; -1]\) verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse, daher gilt näherungsweise: \(\int_{-3}^{-1} f(x) \,\mathrm{d}x \approx -A_1 = -1{,}50\). - Im zweiten Teilintervall \([-1; 2]\) verläuft der Graph oberhalb der \(x\)-Achse, daher gilt näherungsweise: \(\int_{-1}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x \approx A_2 = 2{,}75\). Damit ergibt sich: \(\int_{-3}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x \approx -1{,}50 + 2{,}75 = 1{,}25\). 2. Für das Integral b) \(\int_{-1}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x\): Das Integrationsintervall reicht von \(-1\) bis \(5\). Wir teilen es an der Nullstelle \(x = 2\) auf: \(\int_{-1}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x = \int_{-1}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x + \int_{2}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x\) - Im Intervall \([-1; 2]\) verläuft der Graph oberhalb der \(x\)-Achse, also näherungsweise: \(\int_{-1}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x \approx A_2 = 2{,}75\). - Im Intervall \([2; 5]\) verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse, also näherungsweise: \(\int_{2}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x \approx -A_3 = -5{,}35\). Damit ergibt sich: \(\int_{-1}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x \approx 2{,}75 - 5{,}35 = -2{,}60\). 3. Für das Integral c) \(\int_{5}^{-3} f(x) \,\mathrm{d}x\): Hier sind die Integrationsgrenzen vertauscht (die untere Grenze ist größer als die obere Grenze). Durch das Vertauschen der Grenzen ändert sich das Vorzeichen des Integrals: \(\int_{5}^{-3} f(x) \,\mathrm{d}x = -\int_{-3}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x\) Das Integral von \(-3\) bis \(5\) setzt sich aus allen drei Teilintervallen zusammen: \(\int_{-3}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x = \int_{-3}^{-1} f(x) \,\mathrm{d}x + \int_{-1}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x + \int_{2}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x \approx -A_1 + A_2 - A_3\) Setzen wir die Werte ein: \(\int_{-3}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x \approx -1{,}50 + 2{,}75 - 5{,}35 = -4{,}10\) Damit erhalten wir für das gesuchte Integral: \(\int_{5}^{-3} f(x) \,\mathrm{d}x \approx -(-4{,}10) = 4{,}10\).

a) \(\int_{-3}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x \approx 1{,}25\) b) \(\int_{-1}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x \approx -2{,}60\) c) \(\int_{5}^{-3} f(x) \,\mathrm{d}x \approx 4{,}10\)

- Was bedeutet es anschaulich für die Flächenstücke über und unter der \(x\)-Achse, wenn ein Graph punktsymmetrisch zu einem Punkt auf der \(x\)-Achse ist? - Wie hängen das bestimmte Integral (die Flächenbilanz) und der tatsächliche Flächeninhalt zusammen? Beachte dabei das Vorzeichen der Funktionswerte. - Wie lautet die Regel zur Bestimmung einer Stammfunktion für eine Potenzfunktion der Form \(x^n\)? - Kannst du das Integral im Aufgabenteil c) mithilfe von Rechenregeln für Integrale (Summenregel) in zwei separate Integrale aufteilen?

1. Teilaufgabe a): Da der Graph \(G_f\) punktsymmetrisch zum Wendepunkt \(P(2 \mid 0)\) auf der \(x\)-Achse ist, sind die beiden Flächenstücke über dem Intervall \([0; 2]\) (oberhalb der \(x\)-Achse) und über dem Intervall \([2; 4]\) (unterhalb der \(x\)-Achse) kongruent. Die Flächenbilanz (das bestimmte Integral) ergibt somit \(\int_{0}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{2}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x = 2 + (-2) = 0\). 2. Teilaufgabe b): Der Gesamtflächeninhalt ist die Summe der absoluten Flächeninhalte: \(A_{\text{gesamt}} = \int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x + \left| \int_{2}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x \right| = 2 \cdot \int_{0}^{2} (0{,}5x^3 - 3x^2 + 4x)\,\mathrm{d}x\). Eine Stammfunktion von \(f\) ist \(F(x) = 0{,}125x^4 - x^3 + 2x^2\). Das Integral auf \([0; 2]\) ist \(F(2) - F(0) = (2 - 8 + 8) - 0 = 2\). Der Gesamtflächeninhalt beträgt somit \(2 \cdot 2 = 4\). 3. Teilaufgabe c): Mithilfe der Linearität des Integrals gilt: \(\int_{0}^{4} (f(x) + 1)\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{0}^{4} 1\,\mathrm{d}x\). Da das erste Integral nach Aufgabenteil a) gleich \(0\) ist, verbleibt \(0 + [x]_{0}^{4} = 4\). Anschaulich entspricht dies der Addition eines Rechtecks der Breite \(4\) und Höhe \(1\) zur ursprünglichen Flächenbilanz von \(0\).

a) Da der Graph \(G_f\) punktsymmetrisch zum Punkt \(P(2 \mid 0)\) ist, sind die Flächeninhalte der beiden Teilflächen im Intervall \([0; 2]\) (oberhalb der \(x\)-Achse) und im Intervall \([2; 4]\) (unterhalb der \(x\)-Achse) gleich groß. Da das Integral Flächen unterhalb der \(x\)-Achse negativ zählt, heben sich die beiden orientierten Flächen gegenseitig auf, sodass das Integral über das gesamte Intervall \([0; 4]\) gleich \(0\) ist. b) Der Inhalt der Gesamtfläche beträgt \(4\). c) Durch Aufteilen des Integrals (Linearität) erhält man \(\int_{0}^{4} g(x)\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{0}^{4} 1\,\mathrm{d}x\). Da das erste Integral nach Aufgabenteil a) gleich \(0\) ist, ergibt sich \(\int_{0}^{4} 1\,\mathrm{d}x = [x]_{0}^{4} = 4\). Alternativ lässt sich dies anschaulich begründen: Durch die Verschiebung um \(1\) nach oben kommt zur ursprünglichen Flächenbilanz von \(0\) ein Rechteck der Breite \(4\) und Höhe \(1\) hinzu, dessen Flächeninhalt \(4\) beträgt.

- Überlege dir zuerst, in welchen Bereichen die Funktionswerte oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegen. - Welche Rolle spielt das Vorzeichen der Funktionswerte beim Berechnen eines bestimmten Integrals im Vergleich zu einem geometrischen Flächeninhalt? - Kannst du ein Integral über ein größeres Intervall in mehrere Teilintegrale zerlegen? - Nutze die Rechenregeln für Integrale, um Differenzen von Integralen mit gleichen Grenzen zusammenzufassen. - Erinnere dich daran, wie die Fläche zwischen zwei Graphen mathematisch als Integral definiert ist.

1. Für das Integral \(I_1 = \int_0^4 f(x) \,\mathrm{d}x\): Das Intervall \([0; 4]\) wird an der Nullstelle \(x = 1\) aufgeteilt. Da \(f(x) \le 0\) auf \([0; 1]\) und \(f(x) \ge 0\) auf \([1; 4]\) gilt, ergibt sich: \(\int_0^4 f(x) \,\mathrm{d}x = \int_0^1 f(x) \,\mathrm{d}x + \int_1^4 f(x) \,\mathrm{d}x = -A_1 + A_2\). 2. Für das Integral \(I_2 = \int_0^2 g(x) \,\mathrm{d}x\): Da der Graph \(G_g\) auf dem gesamten Intervall \([0; 2]\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, ist der Wert des bestimmten Integrals negativ und entspricht dem negativen Flächeninhalt: \(\int_0^2 g(x) \,\mathrm{d}x = -A_3\). 3. Für das Integral \(I_3 = \int_0^3 f(x) \,\mathrm{d}x - \int_0^3 g(x) \,\mathrm{d}x\): Mithilfe der Linearität des Integrals lässt sich die Differenz der Integrale zu einem einzigen Integral zusammenfassen: \(\int_0^3 (f(x) - g(x)) \,\mathrm{d}x\). Da \(G_f\) auf dem Intervall \([0; 3]\) oberhalb von \(G_g\) verläuft (mit gemeinsamen Schnittpunkten bei \(x = 0\) und \(x = 3\)), entspricht dieses Integral genau der eingeschlossenen Fläche \(A_4\): \(I_3 = A_4\).

a) \(I_1 = -A_1 + A_2\) (oder \(A_2 - A_1\)) b) \(I_2 = -A_3\) c) \(I_3 = A_4\)

- Kannst du beschreiben, wie die Fläche im Koordinatensystem liegt? Verläuft sie ganz oberhalb, ganz unterhalb oder aufgeteilt? - Wie hängen die Nullstellen der Funktion mit den Integrationsgrenzen zusammen? - Was musst du beachten, wenn ein Teil des Graphen unterhalb der \(x\)-Achse liegt und du den tatsächlichen Flächeninhalt berechnen möchtest? - Wie unterscheidet sich die Flächenbilanz (das Integral über das gesamte Intervall) vom tatsächlichen Flächeninhalt? - Welche Rechenschritte sind nötig, um ein bestimmtes Integral mithilfe einer Stammfunktion zu berechnen?

1. Bestimmung der Integrationsgrenzen durch Ermittlung der Nullstellen von \(f(x) = -0{,}5x^3 + 0{,}5x^2 + x = 0\). Ausklammern liefert \(-0{,}5x(x^2 - x - 2) = 0\), woraus sich die Nullstellen bei \(x_1 = -1\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\) ergeben. Das Intervall \([-1; 2]\) wird somit bei \(x = 0\) unterteilt. 2. Bestimmung des Vorzeichens im jeweiligen Teilintervall: - Im Intervall \([-1; 0]\) verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse (\(f(x) \le 0\)). - Im Intervall \([0; 2]\) verläuft der Graph oberhalb der \(x\)-Achse (\(f(x) \ge 0\)). 3. Aufstellen der Integrale für den gesamten Flächeninhalt \(A\): \(A = -\int_{-1}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x\) Alternativ: \(A = \int_{-1}^{0} -f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x\) oder \(A = \left|\int_{-1}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x\right| + \int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x\). 4. Bestimmung einer Stammfunktion \(F\) von \(f\): \(F(x) = -\frac{1}{8}x^4 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x^2\) 5. Berechnung des ersten Teilintegrals \(I_1\): \(I_1 = \int_{-1}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x = F(0) - F(-1) = 0 - \left(-\frac{1}{8}(-1)^4 + \frac{1}{6}(-1)^3 + \frac{1}{2}(-1)^2\right) = -\left(-\frac{1}{8} - \frac{1}{6} + \frac{1}{2}\right) = -\frac{5}{24}\) Der Flächeninhalt des ersten Teils beträgt somit \(A_1 = |I_1| = \frac{5}{24}\). 6. Berechnung des zweiten Teilintegrals \(I_2\): \(I_2 = \int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x = F(2) - F(0) = \left(-\frac{1}{8}(2)^4 + \frac{1}{6}(2)^3 + \frac{1}{2}(2)^2\right) - 0 = -2 + \frac{4}{3} + 2 = \frac{4}{3} = \frac{32}{24}\) Der Flächeninhalt des zweiten Teils beträgt somit \(A_2 = \frac{32}{24}\). 7. Berechnung des Gesamtflächeninhalts durch Addition: \(A = A_1 + A_2 = \frac{5}{24} + \frac{32}{24} = \frac{37}{24}\)

a) \(A = -\int_{-1}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x\) (oder eine äquivalente Darstellung mit Beträgen) b) \(A = \frac{37}{24}\)

- Kannst du die Nullstellen der Funktion durch Nullsetzen des Funktionsterms bestimmen? - Welche trigonometrische Identität hilft dir dabei, den Term \(2\sin(x) - \sin(2x)\) zu vereinfachen und auszuklammern? - Wie lautet eine Stammfunktion von \(f\)? Denke an die Kettenregel rückwärts für den Teil mit \(\sin(2x)\). - Was bedeutet ein Integralwert von \(0\) für die Flächen, die oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse liegen? - Warum darf man zur Berechnung des gesamten Flächeninhalts nicht einfach über das gesamte Intervall integrieren?

1. Nullstellen von \(f(x) = 2\sin(x) - \sin(2x) = 0\) im Intervall \([0; 2\pi]\) bestimmen. Durch Einsetzen von \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\) ergibt sich \(2\sin(x)(1 - \cos(x)) = 0\). Daraus folgen die Nullstellen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = \pi\) und \(x_3 = 2\pi\). 2. Berechnung des bestimmten Integrals \(\int_0^{2\pi} f(x)\,\text{d}x\). Mit der Stammfunktion \(F(x) = -2\cos(x) + \frac{1}{2}\cos(2x)\) ergibt sich \([F(x)]_0^{2\pi} = F(2\pi) - F(0) = -1{,}5 - (-1{,}5) = 0\). Der Wert von \(0\) bedeutet eine ausgeglichene Flächenbilanz, bei der sich die Flächenanteile oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse gegenseitig aufheben. 3. Berechnung des gesamten Flächeninhalts \(A\) durch Aufteilung an der Nullstelle \(x = \pi\). Der erste Flächeninhalt ist \(A_1 = \int_0^\pi f(x)\,\text{d}x = F(\pi) - F(0) = 2{,}5 - (-1{,}5) = 4\). Der zweite Flächeninhalt ist \(A_2 = \left|\int_\pi^{2\pi} f(x)\,\text{d}x\right| = |-1{,}5 - 2{,}5| = 4\). Der Gesamtflächeninhalt ist \(A = A_1 + A_2 = 4 + 4 = 8\).

a) Nullstellen im Intervall \([0; 2\pi]\): \(x_1 = 0\), \(x_2 = \pi\), \(x_3 = 2\pi\) b) Integralwert: \(0\). Die orientierten Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse sind betragsmäßig gleich groß und heben sich in der Flächenbilanz gegenseitig auf. c) Gesamter Flächeninhalt: \(8\)

- Überlege zuerst, wie groß der Flächeninhalt des rot eingezeichneten Rechtecks ist. Bestimme dazu seine Breite und seine Höhe aus dem Koordinatensystem. - Welcher geometrischen Bedeutung entspricht das bestimmte Integral \(\int_{-3}^{3} f(x) \,\mathrm{d}x\)? - Vergleiche die Fläche des Rechtecks mit der Fläche unter dem Graphen. Wo liegt der Graph oberhalb des Rechtecks und wo unterhalb? - Schätze ab, ob die Fläche, die der Graph zusätzlich zum Rechteck einnimmt, größer oder kleiner ist als die Fläche, die dem Graphen im Vergleich zum Rechteck fehlt.

1. Das rot gezeichnete Rechteck besitzt die Breite \(b = 6\) (von \(x = -3\) bis \(x = 3\)) und die Höhe \(h = 1\), was einem Flächeninhalt von \(A_{\text{Rechteck}} = 6 \cdot 1 = 6\) entspricht. 2. Das bestimmte Integral \(\int_{-3}^{3} f(x) \,\mathrm{d}x\) stellt den Flächeninhalt der Fläche dar, die der Graph \(G_f\) im Intervall \([-3; 3]\) mit der \(x\)-Achse einschließt. 3. Im Intervall von ca. \(-2{,}45\) bis \(2{,}45\) verläuft der Graph oberhalb der oberen Kante des Rechtecks. Dieser zusätzliche Flächeninhalt unter dem Graphen ist deutlich größer als die Summe der beiden kleinen Flächen an den Rändern (von \(-3\) bis ca. \(-2{,}45\) und von ca. \(2{,}45\) bis \(3\)), bei denen der Graph unterhalb der Rechteckskante liegt. 4. Da der zusätzliche Flächenanteil den fehlenden Anteil überwiegt, ist die Gesamtfläche unter dem Graphen größer als die des Rechtecks, woraus direkt \(\int_{-3}^{3} f(x) \,\mathrm{d}x > 6\) folgt.

Das rote Rechteck hat eine Breite von \(6\) und eine Höhe von \(1\), also einen Flächeninhalt von \(6\). Das bestimmte Integral \(\int_{-3}^{3} f(x) \,\mathrm{d}x\) entspricht der Fläche unter dem Graphen \(G_f\) im Intervall \([-3; 3]\). Da die zusätzliche Fläche unter dem Graphen oberhalb des Rechtecks (im mittleren Bereich) sichtlich größer ist als die beiden kleinen Flächen an den Rändern, bei denen das Rechteck über den Graphen hinausragt, ist die Gesamtfläche unter dem Graphen größer als die des Rechtecks. Daraus folgt \(\int_{-3}^{3} f(x) \,\mathrm{d}x > 6\).

- Bestimme zuerst eine Stammfunktion für die Berechnung des Integrals. - Überlege, an welcher Stelle der Graph die \(x\)-Achse schneidet, um die Teilflächen getrennt zu betrachten. - Denke daran, dass Flächeninhalte geometrisch immer positiv sind, während Integrale auch negative Werte annehmen können. - Was passiert, wenn du Flächen unterhalb und oberhalb der \(x\)-Achse einfach zusammen in einem Integral berechnest?

1. Berechnung des Integrals: \(\int_0^3 (x^2 - 4) \, dx = [\frac{1}{3}x^3 - 4x]_0^3 = (\frac{1}{3} \cdot 27 - 4 \cdot 3) - 0 = 9 - 12 = -3\). 2. Nullstelle bestimmen: \(x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = 2\) (im betrachteten Intervall). Teilfläche \(A_1\) (unterhalb der Achse): \(|\int_0^2 (x^2 - 4) \, dx| = |[\frac{1}{3}x^3 - 4x]_0^2| = |\frac{8}{3} - 8| = |-\frac{16}{3}| = \frac{16}{3}\). Teilfläche \(A_2\) (oberhalb der Achse): \(\int_2^3 (x^2 - 4) \, dx = [\frac{1}{3}x^3 - 4x]_2^3 = -3 - (-\frac{16}{3}) = \frac{7}{3}\). Gesamtflächeninhalt: \(A = A_1 + A_2 = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3} = 7\frac{2}{3} \approx 7{,}67\). 3. Interpretation: Das bestimmte Integral berechnet die Flächenbilanz, bei der Flächen unter der \(x\)-Achse negativ gezählt werden. Da \(A_1 > A_2\), ist das Integral negativ. Der geometrische Flächeninhalt summiert die absoluten Beträge der Teilflächen.

1. Der Wert des Integrals ist \(-3\). 2. Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(\frac{23}{3} = 7\frac{2}{3} \approx 7{,}67\) Flächeneinheiten. 3. Das Integral berechnet die orientierte Flächenbilanz (Fläche unter der Achse zählt negativ), während der geometrische Inhalt die Summe der Beträge der Teilflächen ist.

- Überlege dir, wie das Vorzeichen des Funktionswerts das Vorzeichen des bestimmten Integrals beeinflusst. - Achte auf die Lage des Graphen relativ zur \(x\)-Achse: Wann heben sich Flächenanteile bei der Integration gegenseitig auf? - Untersuche den Graphen auf Symmetrieeigenschaften. Ein Symmetriepunkt auf der \(x\)-Achse kann viel über die Flächenbilanz aussagen. - Erinnere dich daran, dass das Integral über ein Intervall, in dem die Funktion nur negative Werte annimmt, selbst negativ sein muss.

1. Analyse der Flächenanteile: Der Graph verläuft im Intervall \((-1; 1)\) unterhalb der \(x\)-Achse, im Intervall \((1; 3)\) oberhalb und für \(x > 3\) wieder unterhalb. 2. Aussage a): Da \(f(x) < 0\) für alle \(x \in (-1; 1)\), ist das Integral negativ. Ergebnis: wahr. 3. Aussage b): Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt \((1 \mid 0)\). Die Flächeninhalte der Flächenstücke zwischen Graph und \(x\)-Achse über \([-1; 1]\) und \([1; 3]\) sind daher betragsmäßig gleich. Da ein Teil unterhalb und einer oberhalb der Achse liegt, heben sie sich in der Bilanz auf. Ergebnis: wahr. 4. Aussage c): Das Intervall \([0; 2]\) liegt ebenfalls symmetrisch zum Punkt \((1 \mid 0)\). Das negative Flächenstück von \(0\) bis \(1\) wird durch das gleich große positive Flächenstück von \(1\) bis \(2\) ausgeglichen. Ergebnis: wahr. 5. Aussage d): Im Intervall \((3; 4)\) verläuft der Graph vollständig unterhalb der \(x\)-Achse. Das Integral ist daher negativ. Ergebnis: falsch.

a) wahr b) wahr c) wahr d) falsch

- Überlege dir, in welchem Bereich der Graph oberhalb oder unterhalb der horizontalen Achse verläuft. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Symmetrieeigenschaften einer Funktion und dem Wert des Integrals über ein symmetrisches Intervall. - Wie lautet die Stammfunktion einer Sinusfunktion mit einem Faktor im Argument? - Achte beim Einsetzen der Grenzen in die Kosinusfunktion auf das Bogenmaß.

1. Im Intervall \([0; 2]\) verläuft der Graph oberhalb der \(x\)-Achse. Daher gilt \(A=\int_0^2 2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\,\text{d}x\). 2. Die Funktion \(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Die orientierten Flächeninhalte in \([-2; 0]\) und \([0; 2]\) sind betragsgleich und haben entgegengesetzte Vorzeichen. Daher ist \(\int_{-2}^{2} f(x)\,\text{d}x=0\). 3. Es gilt \(A=2\left[-\frac{2}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)\right]_0^2=-\frac{4}{\pi}\bigl(\cos(\pi)-\cos(0)\bigr)=\frac{8}{\pi}\approx 2{,}55\). Der Flächeninhalt beträgt genau \(\frac{8}{\pi}\,\text{FE}\).

a) \(A = \int_{0}^{2} 2\sin\left(\frac{\pi}{2} x\right) \, \text{d}x\) b) Aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung sind die Flächenanteile in \([-2; 0]\) und \([0; 2]\) betragsmäßig gleich groß, haben aber unterschiedliche Vorzeichen im Integral, sodass die Summe \(0\) ergibt. c) Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{8}{\pi} \approx 2{,}55\,\text{FE}\).

- Überlege dir zuerst, ob das Schaubild in dem gesuchten Intervall oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Erinnere dich daran, dass Integrale Flächeninhalte unterhalb der \(x\)-Achse mit einem negativen Vorzeichen „zählen“. - Wenn ein Integral über mehrere Flächenstücke verläuft, musst du die einzelnen Werte unter Berücksichtigung ihrer Lage (positiv oder negativ) addieren. - Was passiert mit dem Wert eines Integrals, wenn man die obere und die untere Grenze vertauscht?

Zur Berechnung der Integrale wird die Flächenbilanz genutzt. Flächen oberhalb der \(x\)-Achse gehen positiv, Flächen unterhalb negativ in den Integralwert ein. 1. Für Teilaufgabe a): Das Intervall \([-4; -1]\) entspricht genau der Fläche \(A_1\). Da \(A_1\) oberhalb der \(x\)-Achse liegt, gilt: \(\int_{-4}^{-1} f(x) \, dx = A_1 = 1{,}2\). 2. Für Teilaufgabe b): Das Intervall \([-1; 5]\) umfasst \(A_2\) (unterhalb) und \(A_3\) (oberhalb). Somit ergibt sich: \(\int_{-1}^{5} f(x) \, dx = -A_2 + A_3 = -3{,}5 + 0{,}8 = -2{,}7\). 3. Für Teilaufgabe c): Das Intervall \([-4; 5]\) umfasst alle drei Flächen. Die Bilanz lautet: \(\int_{-4}^{5} f(x) \, dx = A_1 - A_2 + A_3 = 1{,}2 - 3{,}5 + 0{,}8 = -1{,}5\). 4. Für Teilaufgabe d): Durch Vertauschen der Integrationsgrenzen ändert sich das Vorzeichen: \(\int_{3}^{-1} f(x) \, dx = -\int_{-1}^{3} f(x) \, dx\). Da die Fläche \(A_2\) auf \([-1; 3]\) unterhalb der \(x\)-Achse liegt, ist \(\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = -A_2 = -3{,}5\). Damit folgt: \(\int_{3}^{-1} f(x) \, dx = -(-3{,}5) = 3{,}5\).

a) \(1{,}2\) b) \(-2{,}7\) c) \(-1{,}5\) d) \(3{,}5\)

- Achte genau darauf, welche Flächenstücke über und welche unter der \(x\)-Achse liegen. - Das Integral der Betragsfunktion \(|g(x)|\) sorgt dafür, dass alle Funktionswerte positiv werden. Was bedeutet das für die Flächen unterhalb der Achse? - Überlege dir, ob bei einer „Bilanz“ Werte verloren gehen können, wenn sie unterschiedliche Vorzeichen haben.

1. Das Integral von \(0\) bis \(6\) umfasst die Fläche \(A\) unterhalb und die Fläche \(B\) oberhalb der \(x\)-Achse. Daher gilt \(\int_0^6 g(x)\,\text{d}x=-A+B=-2{,}5+5{,}0=2{,}5\). 2. Über \([0; 8]\) werden alle drei Teilflächen berücksichtigt: \(\int_0^8 g(x)\,\text{d}x=-A+B-C=-2{,}5+5{,}0-1{,}5=1{,}0\). 3. Das Integral der Betragsfunktion addiert alle Flächen positiv. Der gesamte eingeschlossene Flächeninhalt ist \(\int_0^8 |g(x)|\,\text{d}x=A+B+C=2{,}5+5{,}0+1{,}5=9{,}0\). 4. In b) wird die Flächenbilanz berechnet; in c) der geometrische Gesamtflächeninhalt.

a) \(2{,}5\) b) \(1{,}0\) c) \(9{,}0\) d) In b) wird die Flächenbilanz berechnet (orientierter Flächeninhalt), wobei Flächen unter der Achse negativ zählen. In c) wird der absolute geometrische Flächeninhalt berechnet, bei dem alle Teilflächen addiert werden.

- Welche besonderen Punkte des Graphen liegen auf den Achsen? - Wie hängen die Nullstellen einer Parabel mit ihrem Funktionsterm zusammen? - Was bedeutet Achsensymmetrie für die Flächeninhalte links und rechts der Spiegelachse? - Erinnere dich daran, wann ein Integralwert direkt einem Flächeninhalt entspricht.

1. Aus dem Graphen liest man die Nullstellen \(x_1=-3\) und \(x_2=3\) sowie den Scheitelpunkt \(S(0 \mid 3)\) ab. Mit \(h(x)=a(x+3)(x-3)=a(x^2-9)\) und \(h(0)=3\) folgt \(a=-\frac{1}{3}\). Somit ist \(h(x)=-\frac{1}{3}x^2+3\). 2. Es gilt \(h(-x)=-\frac{1}{3}(-x)^2+3=-\frac{1}{3}x^2+3=h(x)\). Daher ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Wegen der Achsensymmetrie sind die Flächenanteile in \([-3; 0]\) und \([0; 3]\) gleich groß. Da beide oberhalb der \(x\)-Achse liegen, ist das Gesamtintegral das Doppelte des rechten Teilintegrals. 4. Es gilt \(\int_{-3}^{3}\left(-\frac{1}{3}x^2+3\right)\,\text{d}x=\left[-\frac{1}{9}x^3+3x\right]_{-3}^{3}=6-(-6)=12\). Der Integralwert entspricht dem geometrischen Flächeninhalt.

1. \(h(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 3\) 2. Nachweis über \(h(-x) = h(x)\). 3. Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse sind die Flächenanteile links und rechts der Achse deckungsgleich. 4. Das Integral hat den Wert \(12\). Dies entspricht dem Flächeninhalt der Fläche, die der Graph mit der \(x\)-Achse einschließt.

- Wo schneidet der Kosinus-Graph die \(x\)-Achse? - Wenn eine Fläche teilweise unterhalb der \(x\)-Achse liegt, liefert das Integral einen negativen Wert. Wie gehst du damit um, wenn du den geometrischen Flächeninhalt suchst? - Du musst das Integral an der Nullstelle aufteilen.

1. Bestimmung der Nullstelle von \(f(x) = \cos(x)\) im Intervall \([0; \pi]\): \(\cos(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}\). 2. Aufteilung des Flächeninhalts in zwei Teilflächen \(A_1\) und \(A_2\): \(A_1\) von \(0\) bis \(\frac{\pi}{2}\) (oberhalb der \(x\)-Achse) und \(A_2\) von \(\frac{\pi}{2}\) bis \(\pi\) (unterhalb der \(x\)-Achse). 3. Berechnung von \(A_1 = \int_{0}^{\pi/2} \cos(x) \, dx = [\sin(x)]_{0}^{\pi/2} = \sin(\pi/2) - \sin(0) = 1 - 0 = 1\). 4. Berechnung von \(A_2 = |\int_{\pi/2}^{\pi} \cos(x) \, dx| = |[\sin(x)]_{\pi/2}^{\pi}| = |\sin(\pi) - \sin(\pi/2)| = |0 - 1| = 1\). 5. Berechnung des Gesamtflächeninhalts: \(A = A_1 + A_2 = 1 + 1 = 2\).

Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(2\) Flächeneinheiten.

- Untersuche zuerst, ob der Graph im Intervall \([0; 3]\) die x-Achse schneidet. - Warum ist es wichtig, den Flächeninhalt in Teilbereiche zu zerlegen? - Achte beim Integrieren auf die Vorzeichen der Funktionswerte.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f(x) = (x-1)^2 - 1\): \((x-1)^2 = 1 \Rightarrow x-1 = 1\) oder \(x-1 = -1\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 2. Aufteilung des Intervalls \([0; 3]\) an der Nullstelle \(x = 2\): Teilflächen in \([0; 2]\) und \([2; 3]\). 3. Berechnung der Teilfläche \(A_1\) (unterhalb der x-Achse): \(A_1 = |\int_{0}^{2} ((x-1)^2 - 1) \, dx| = |[\frac{1}{3}(x-1)^3 - x]_{0}^{2}|\). 4. Einsetzen: \((\frac{1}{3}(1)^3 - 2) - (\frac{1}{3}(-1)^3 - 0) = (\frac{1}{3} - 2) - (-\frac{1}{3}) = -\frac{5}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{4}{3}\). Also \(A_1 = \frac{4}{3}\). 5. Berechnung der Teilfläche \(A_2\) (oberhalb der x-Achse): \(A_2 = \int_{2}^{3} ((x-1)^2 - 1) \, dx = [\frac{1}{3}(x-1)^3 - x]_{2}^{3} = (\frac{1}{3}(2)^3 - 3) - (-\frac{5}{3}) = (\frac{8}{3} - 3) + \frac{5}{3} = \frac{13}{3} - \frac{9}{3} = \frac{4}{3}\). 6. Gesamtflächeninhalt: \(A = A_1 + A_2 = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{8}{3} \approx 2{,}67\) Flächeneinheiten.

- Wo wechselt die Funktion ihr Vorzeichen? - Erinnere dich an die Potenzschreibweise für Wurzeln, um die Stammfunktion leichter zu finden. - Der Flächeninhalt unterhalb der x-Achse muss positiv gezählt werden.

1. Bestimmung der Nullstelle: \(2 - \sqrt{x} = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4\). 2. Aufteilung des Flächeninhalts an der Nullstelle \(x = 4\): Teilfläche \(A_1\) auf \([0; 4]\) (oberhalb) und \(A_2\) auf \([4; 9]\) (unterhalb). 3. Berechnung von \(A_1 = \int_{0}^{4} (2 - x^{0{,}5}) \, dx = [2x - \frac{2}{3}x^{1{,}5}]_{0}^{4} = (2 \cdot 4 - \frac{2}{3} \cdot 4^{1{,}5}) - 0 = 8 - \frac{2}{3} \cdot 8 = 8 - \frac{16}{3} = \frac{8}{3}\). 4. Berechnung von \(A_2 = |\int_{4}^{9} (2 - x^{0{,}5}) \, dx| = |[2x - \frac{2}{3}x^{1{,}5}]_{4}^{9}| = |(2 \cdot 9 - \frac{2}{3} \cdot 9^{1{,}5}) - \frac{8}{3}| = |(18 - \frac{2}{3} \cdot 27) - \frac{8}{3}| = |(18 - 18) - \frac{8}{3}| = \frac{8}{3}\). 5. Gesamtflächeninhalt: \(A = A_1 + A_2 = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{16}{3} \approx 5{,}33\) Flächeneinheiten.

- Wo hat die Exponentialfunktion \(e^x - 1\) ihren Schnittpunkt mit der x-Achse? - Wie berechnest du den Flächeninhalt, wenn der Graph sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse verläuft? - Nutze die Eigenschaften der Stammfunktion von \(e^x\).

1. Bestimmung der Nullstelle: \(e^x - 1 = 0 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x = 0\). 2. Aufteilung des Integrals an der Nullstelle \(x = 0\): Teilflächen auf \([-1; 0]\) und \([0; 1]\). 3. Berechnung der Teilfläche \(A_1\) auf \([-1; 0]\): \(A_1 = |\int_{-1}^{0} (e^x - 1) \, dx| = |[e^x - x]_{-1}^{0}| = |(e^0 - 0) - (e^{-1} - (-1))| = |1 - (e^{-1} + 1)| = |-e^{-1}| = \frac{1}{e}\). 4. Berechnung der Teilfläche \(A_2\) auf \([0; 1]\): \(A_2 = \int_{0}^{1} (e^x - 1) \, dx = [e^x - x]_{0}^{1} = (e^1 - 1) - (e^0 - 0) = e - 1 - 1 = e - 2\). 5. Gesamtflächeninhalt: \(A = A_1 + A_2 = \frac{1}{e} + e - 2 \approx 0{,}368 + 2{,}718 - 2 = 1{,}086\).

Der Flächeninhalt beträgt \(e + \frac{1}{e} - 2 \approx 1{,}086\) Flächeneinheiten.

- Was bedeutet Punktsymmetrie für das Vorzeichen der Funktionswerte in gegenüberliegenden Intervallen? - Unterscheide klar zwischen dem Wert eines Integrals und dem Inhalt einer geometrischen Fläche. - Prüfe anhand des Graphen, wo er oberhalb und wo er unterhalb der Achse verläuft. - Überprüfe die Nullstellen der Funktion, um die Integrationsgrenzen zu verifizieren.

1. Aussage (1) ist korrekt. Aufgrund der Punktsymmetrie heben sich die Flächenanteile oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse bei der Integration genau auf. 2. Aussage (2) ist fehlerhaft. Da der Graph von \(f\) im Intervall \([0; 4]\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, ist der Integralwert negativ (\(-16\)). Der Flächeninhalt muss positiv sein. Korrektur: \(A_2 = -\int_0^4 f(x) \, \text{d}x\). 3. Aussage (3) ist korrekt. Bei einer punktsymmetrischen Funktion sind die Flächeninhalte der durch die Symmetrie entsprechenden Teilstücke gleich groß. 4. Aussage (4) ist korrekt. Da \(f(x) \ge 0\) im Intervall \([-4; 0]\) ist, entspricht das Integral genau dem Flächeninhalt \(A_1\). Wegen \(A_1 = A_2\) ist die Gesamtfläche das Doppelte dieses Werts.

(1) Korrekt. (2) Fehlerhaft: Das Integral ist negativ. Korrektur: \(A_2 = -\int_0^4 f(x) \, \text{d}x\). (3) Korrekt. (4) Korrekt.

- Wenn ein Graph die \(x\)-Achse schneidet, musst du das Integral an der Nullstelle aufteilen. - Überlege, warum man nicht einfach das Integral von \(-2\) bis \(2\) berechnen darf, um die Gesamtfläche zu erhalten. - Berechne die Inhalte der einzelnen Flächenstücke separat und addiere ihre Beträge.

1. Nullstellenberechnung von \(p(x) = x^3 - 4x\): \(x(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 0, x_3 = 2\). 2. Aufteilung in zwei Teilflächen: \(A_1\) von \(-2\) bis \(0\) und \(A_2\) von \(0\) bis \(2\). 3. Stammfunktion bilden: \(P(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2\). 4. Berechnung der ersten Teilfläche (über der \(x\)-Achse): \(A_1 = \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) \, dx = [0] - (\frac{1}{4}(-2)^4 - 2(-2)^2) = 0 - (4 - 8) = 4\). 5. Berechnung der zweiten Teilfläche (unter der \(x\)-Achse): \(A_2 = \left| \int_{0}^{2} (x^3 - 4x) \, dx \right| = \left| (\frac{1}{4}(2)^4 - 2(2)^2) - [0] \right| = |4 - 8| = 4\). 6. Gesamtfläche: \(A = A_1 + A_2 = 4 + 4 = 8\).

Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(8\).

- Wie löst man eine Gleichung nach \(x\) auf, wenn \(x\) im Exponenten steht? - Welche Regel nutzt man, um eine Funktion der Form \(e^{ax+b}\) zu integrieren? - Untersuche das Vorzeichen der Funktion links und rechts von der Nullstelle. - Was passiert bei der Integralrechnung mit Flächenstücken, die unterhalb der \(x\)-Achse liegen?

1. Berechnung der Nullstelle: Die Gleichung \(e^{0{,}5x} - e = 0\) führt auf \(e^{0{,}5x} = e^1\). Durch Logarithmieren oder Exponentenvergleich erhält man \(0{,}5x = 1\), woraus \(x = 2\) folgt. 2. Berechnung des Integrals: Eine Stammfunktion von \(g(x)\) ist \(G(x) = 2e^{0{,}5x} - ex\). Das bestimmte Integral berechnet sich als \(G(4) - G(0) = (2e^{0{,}5 \cdot 4} - e \cdot 4) - (2e^0 - e \cdot 0) = (2e^2 - 4e) - 2 = 2e^2 - 4e - 2\). 3. Erläuterung: Da die Nullstelle \(x = 2\) innerhalb des Integrationsintervalls \([0; 4]\) liegt, wechselt die Funktion dort das Vorzeichen (für \(x < 2\) ist \(g(x) < 0\), für \(x > 2\) ist \(g(x) > 0\)). Das Integral liefert die Flächenbilanz, bei der der Flächeninhalt unterhalb der \(x\)-Achse negativ gezählt wird, während für den Gesamtflächeninhalt die Beträge der Teilintegrale addiert werden müssten.

a) Die Nullstelle liegt bei \(x = 2\). b) Der Integralwert beträgt \(2e^2 - 4e - 2\) (ca. \(1{,}91\)). Da die Funktion bei \(x = 2\) einen Vorzeichenwechsel besitzt, stellt das Integral eine Bilanz aus negativen und positiven Flächenanteilen dar, was nicht dem geometrischen Gesamtflächeninhalt entspricht.

- Was ist der Unterschied zwischen einem Integral einer Differenz und dem Integral über den Betrag dieser Differenz? - Wo schneiden sich Sinus und Kosinus im Bereich zwischen \(0\) und \(\pi\)? - Überlege dir, welche Funktion in welchen Teilabschnitten „oben“ liegt. - Wie wirkt sich ein Vorzeichenwechsel auf das Ergebnis aus, wenn kein Betrag verwendet wird?

1. Berechnung von \(I_1\): \(\int_{0}^{\pi} (\sin(x) - \cos(x)) \, dx = [-\cos(x) - \sin(x)]_{0}^{\pi} = (1 - 0) - (-1 - 0) = 2\). 2. Bestimmung der Schnittstelle in \([0; \pi]\): \(\sin(x) = \cos(x) \Rightarrow \tan(x) = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}\). 3. Aufspaltung von \(I_2\): Da \(\cos(x) > \sin(x)\) auf \([0; \frac{\pi}{4}]\) und \(\sin(x) > \cos(x)\) auf \([\frac{\pi}{4}; \pi]\), gilt \(I_2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos(x) - \sin(x)) \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} (\sin(x) - \cos(x)) \, dx\). 4. Teilrechnung \(I_2\): \([\sin(x) + \cos(x)]_{0}^{\frac{\pi}{4}} + [-\cos(x) - \sin(x)]_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 1) + (1 - 0 - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})) = (\sqrt{2} - 1) + (1 + \sqrt{2}) = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\). 5. Interpretation: \(I_1\) berechnet die orientierte Bilanz der Flächenstücke (Flächenbilanz), wobei Abschnitte mit \(f(x) < g(x)\) negativ in die Flächenbilanz eingehen. \(I_2\) berechnet den tatsächlichen geometrischen Flächeninhalt zwischen den Kurven.

1. \(I_1 = 2\) 2. \(I_2 = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\) 3. \(I_1\) ist die vorzeichenbehaftete Flächenbilanz, während \(I_2\) den tatsächlichen geometrischen Flächeninhalt angibt.

- Wann wird ein Bruch gleich Null? - Achte beim Integrieren darauf, ob der Graph oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Nutze Logarithmengesetze, um das Endergebnis zu vereinfachen.

1. Nullstelle prüfen: Ein Bruch ist Null, wenn der Zähler Null ist. \(e^x - 3 = 0 \implies e^x = 3 \implies x = \ln(3)\). 2. Ableitung von \(G(x)\): \(G'(x) = 2 \cdot \frac{1}{e^x + 3} \cdot e^x - 1 = \frac{2e^x}{e^x + 3} - \frac{e^x + 3}{e^x + 3} = \frac{2e^x - e^x - 3}{e^x + 3} = \frac{e^x - 3}{e^x + 3} = g(x)\). 3. Grenzen der Fläche: Die Fläche wird begrenzt durch die \(y\)-Achse (\(x=0\)), die \(x\)-Achse (\(y=0\)) und den Graphen. Die Nullstelle liegt bei \(x = \ln(3)\). 4. Da \(g(x) < 0\) für \(x \in [0; \ln(3)]\), berechnet sich der Flächeninhalt durch \(A = - \int_0^{\ln(3)} g(x) \, dx = G(0) - G(\ln(3))\). 5. Funktionswerte berechnen: \(G(0) = 2 \ln(1+3) - 0 = 2 \ln(4) = \ln(16)\). 6. \(G(\ln 3) = 2 \ln(3+3) - \ln(3) = 2 \ln(6) - \ln(3) = \ln(36) - \ln(3) = \ln(12)\). 7. Ergebnis: \(A = \ln(16) - \ln(12) = \ln\left(\frac{16}{12}\right) = \ln\left(\frac{4}{3}\right)\).

a) \(g(\ln 3) = \frac{3-3}{3+3} = 0\) b) \(G'(x) = \frac{e^x - 3}{e^x + 3} = g(x)\) c) \(A = \ln\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0{,}288\)

- Welche Nullstellen kannst du direkt aus dem Koordinatensystem ablesen? - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Funktion, deren Nullstellen bekannt sind? - Erinnere dich an die algebraische Bedingung für Punktsymmetrie zum Ursprung. - Überlege dir, wie sich Flächen oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse bei der Integralrechnung zueinander verhalten, wenn Symmetrie vorliegt. - Kannst du das Integral in Teilintervalle zerlegen, um die Symmetrie auszunutzen?

1. Aus dem Graphen lassen sich die Nullstellen bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\) ablesen. Der Linearfaktorenansatz lautet \(f(x) = ax(x + 2)(x - 2) = a(x^3 - 4x)\). Einsetzen von \(P(1 \mid -1)\) ergibt \(-1 = a(1^3 - 4 \cdot 1) = -3a\), woraus \(a = \frac{1}{3}\) folgt. Der Funktionsterm ist \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{4}{3}x\). 2. Für Punktsymmetrie zum Ursprung muss \(f(-x) = -f(x)\) gelten. Rechnung: \(f(-x) = \frac{1}{3}(-x)^3 - \frac{4}{3}(-x) = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{4}{3}x = -(\frac{1}{3}x^3 - \frac{4}{3}x) = -f(x)\). 3. Da \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist, heben sich die orientierten Flächeninhalte über einem zum Ursprung symmetrischen Intervall wie \([-2{,}5; 2{,}5]\) gegenseitig auf. Die Flächenbilanz (das Integral) ist somit null. 4. Zerlegung des Integrals: \(\int_{-1}^{2} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} f(x) \, dx\). Aufgrund der Punktsymmetrie von \(f\) gilt \(\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 0\), was direkt zur behaupteten Gleichheit führt.

1. \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{4}{3}x\) 2. Nachweis über \(f(-x) = -f(x)\). 3. Das Integral ist null, da sich die Flächenanteile oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse aufgrund der Punktsymmetrie im Intervall \([-2{,}5; 2{,}5]\) exakt aufheben. 4. Wegen der Punktsymmetrie ist das Integral von \(-1\) bis \(1\) gleich null. Daher bleibt nur der Integralanteil von \(1\) bis \(2\) übrig.

- In welchem Punkt schneidet der natürliche Logarithmus die x-Achse? - Erinnere dich an die Stammfunktion von \(\ln(x)\). Falls du sie nicht auswendig weißt, wie lautet die Ableitung von \(x \ln(x) - x\)? - Da ein Teil der Fläche unter der Achse liegt, musst du dort den Betrag des Integrals nehmen.

1. Bestimmung der Nullstelle: \(\ln(x) = 0 \Rightarrow x = 1\). Das Intervall wird bei \(x=1\) geteilt. 2. Bestimmung der Stammfunktion von \(\ln(x)\): \(F(x) = x \ln(x) - x\). 3. Berechnung der Teilfläche \(A_1\) auf \([\frac{1}{e}; 1]\) (unterhalb): \(A_1 = |[x \ln(x) - x]_{1/e}^{1}| = |(1 \cdot 0 - 1) - (\frac{1}{e} \ln(\frac{1}{e}) - \frac{1}{e})| = |-1 - (-\frac{1}{e} - \frac{1}{e})| = |-1 + \frac{2}{e}| = 1 - \frac{2}{e}\). 4. Berechnung der Teilfläche \(A_2\) auf \([1; e]\) (oberhalb): \(A_2 = [x \ln(x) - x]_{1}^{e} = (e \cdot 1 - e) - (1 \cdot 0 - 1) = 0 - (-1) = 1\). 5. Gesamtflächeninhalt: \(A = A_1 + A_2 = 1 - \frac{2}{e} + 1 = 2 - \frac{2}{e} \approx 2 - 0{,}736 = 1{,}264\).

Der Flächeninhalt beträgt \(2 - \frac{2}{e} \approx 1{,}264\) Flächeneinheiten.