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- Skizziere den Graphen der Funktion im gegebenen Intervall. - Welche geometrische Figur entsteht zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse? - Erinnere dich an die Formeln für den Flächeninhalt von Standardfiguren wie Rechtecken, Dreiecken oder Trapezen. - Wie hängen die Funktionswerte an den Intervallgrenzen mit den Seitenlängen der Figur zusammen?

1. Identifikation der geometrischen Form: Der Graph der linearen Funktion \(f(x) = 0{,}5x + 3\) ist über dem Intervall \([-1; 4]\) eine Gerade. Da die Funktionswerte an den Intervallgrenzen \(f(-1) = 2{,}5\) und \(f(4) = 5\) beide positiv sind, bildet die Fläche zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse ein Trapez. 2. Bestimmung der Trapezmaße: Die parallelen Seiten haben die Längen \(a = f(-1) = 2{,}5\) und \(c = f(4) = 5\). Die Höhe des Trapezes entspricht der Intervallbreite \(h = 4 - (-1) = 5\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: Unter Verwendung der Trapezformel \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\) ergibt sich \(A = \frac{2{,}5 + 5}{2} \cdot 5 = 3{,}75 \cdot 5 = 18{,}75\). 4. Bestimmung des Integralwerts: Da die Fläche vollständig oberhalb der \(x\)-Achse liegt, entspricht der Integralwert dem Flächeninhalt: \(18{,}75\).

\(\int_{-1}^{4} (0{,}5x + 3) \, dx = 18{,}75\)

- Skizziere im Kopf den Verlauf der Funktion. Wo liegt der Scheitelpunkt? - Welche Symmetrie weist eine Parabel im Allgemeinen auf? - Betrachte die Lage der Integrationsgrenzen im Verhältnis zur Symmetrieachse der Funktion. - Haben die beiden Intervalle die gleiche Breite und den gleichen Abstand zur Symmetrieachse?

1. Identifikation der Funktion \(f(x) = (x - 2)^2\) als eine um \(2\) Einheiten nach rechts verschobene Normalparabel. 2. Bestimmung des Scheitelpunkts bei \(S(2|0)\) und der daraus resultierenden Achsensymmetrie des Graphen zur Geraden \(x = 2\). 3. Analyse der Integrationsintervalle: Das Intervall \([1; 2]\) liegt unmittelbar links vom Symmetriezentrum \(x = 2\), das Intervall \([2; 3]\) unmittelbar rechts davon. Beide Intervalle haben die gleiche Breite \(1\). 4. Aufgrund der Achsensymmetrie sind die Flächeninhalte unter dem Graphen in diesen beiden zueinander symmetrisch liegenden Teilintervallen identisch, woraus die Gleichheit der Integrale folgt.

Die Gleichung ist wahr, da der Graph der Funktion \(f(x) = (x - 2)^2\) eine achsensymmetrische Parabel mit der Symmetrieachse \(x = 2\) ist. Da die Intervalle \([1; 2]\) und \([2; 3]\) symmetrisch zu dieser Achse liegen und die gleiche Breite besitzen, sind die Flächeninhalte unter dem Graphen in diesen Bereichen gleich groß.

- Überlege dir, wo die Nullstellen der Funktion liegen und ob der Graph in den jeweiligen Abschnitten oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Erinnere dich daran, dass Flächen unterhalb der \(x\)-Achse negativ in die Bilanz des Integrals eingehen. - Vergleiche bei der Flächenbilanz die Größe der Flächenstücke oberhalb und unterhalb der Achse.

1. Im Intervall \([0; 2]\) verläuft der Graph der Parabel unterhalb der \(x\)-Achse, da \(x^2 < 4\) für alle \(x \in [0; 2[\) gilt. Somit ist die Flächenbilanz und damit das Integral negativ. 2. Das Integral \(\int_{0}^{4} f(x) \, dx\) setzt sich aus einer negativen Teilfläche über \([0; 2]\) und einer positiven Teilfläche über \([2; 4]\) zusammen. Da die Funktionswerte im zweiten Intervall (bis zu \(f(4)=12\)) betragsmäßig deutlich größer sind als im ersten Intervall (bis zu \(f(0)=-4\)), überwiegt der positive Flächeninhalt. 3. Berechnung von \(I_1\): \(\int_{0}^{2} (x^2 - 4) \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - 4x \right]_{0}^{2} = (\frac{8}{3} - 8) - 0 = -\frac{16}{3}\). Berechnung von \(I_2\): \(\int_{0}^{4} (x^2 - 4) \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - 4x \right]_{0}^{4} = (\frac{64}{3} - 16) - 0 = \frac{16}{3}\).

1. Das Integral \(\int_{0}^{2} f(x) \, dx\) ist negativ. 2. Die positive Fläche im Intervall \([2; 4]\) ist größer als die negative Fläche im Intervall \([0; 2]\), daher ist das Gesamtintegral positiv. 3. \(\int_{0}^{2} f(x) \, dx = -\frac{16}{3}\) und \(\int_{0}^{4} f(x) \, dx = \frac{16}{3}\).

- Untersuche, ob die Funktionen achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung sind. - Welche Eigenschaft haben Integrale von ungeraden Funktionen über einem Intervall der Form \([-k; k]\)? - Wie lässt sich die Berechnung bei einer geraden Funktion vereinfachen, indem man die Integrationsgrenzen anpasst? - Achte auf die Exponenten der Potenzfunktionen innerhalb der Summen.

1. Identifikation der Symmetrie: Der Integrand in Teilaufgabe a) ist eine ungerade Funktion, da er nur ungerade Exponenten besitzt. Bei einem symmetrischen Intervall \([-k; k]\) ist der Integralwert somit \(0\). 2. Berechnung für b): Der Integrand ist eine gerade Funktion. Es gilt \(\int_{-k}^{k} (3x^2 + 5) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{k} (3x^2 + 5) \, dx\). Stammfunktion bilden: \([x^3 + 5x]_0^k = k^3 + 5k\). Ergebnis: \(2k^3 + 10k\). 3. Berechnung für c): Der Integrand ist eine gerade Funktion. Es gilt \(\int_{-k}^{k} (\frac{1}{4}x^4 - 2) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{k} (\frac{1}{4}x^4 - 2) \, dx\). Stammfunktion bilden: \([\frac{1}{20}x^5 - 2x]_0^k = \frac{1}{20}k^5 - 2k\). Ergebnis: \(\frac{1}{10}k^5 - 4k\).

a) \(0\) b) \(2k^3 + 10k\) c) \(\frac{1}{10}k^5 - 4k\)

- Wo schneidet der Graph der Funktion die \(x\)-Achse im gegebenen Intervall? - Welche geometrische Form entsteht jeweils zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse? - Was ist der Unterschied in der Rechnung, wenn nach dem Integralwert oder nach dem Flächeninhalt gefragt wird?

1. Identifikation der geometrischen Teilflächen: Die Funktion \(f(x) = x - 3\) hat eine Nullstelle bei \(x = 3\). Im Intervall \([0; 3]\) verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse, im Intervall \([3; 5]\) oberhalb. 2. Berechnung der Teilflächen: Die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Eckpunkten \((0|0)\), \((0|-3)\) und \((3|0)\). Ihr Flächeninhalt ist \(A_{\text{unten}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4{,}5\). Die Fläche oberhalb der \(x\)-Achse ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Eckpunkten \((3|0)\), \((5|0)\) und \((5|2)\). Ihr Flächeninhalt ist \(A_{\text{oben}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). 3. Berechnung des Integrals (Teil a): Das Integral entspricht der Flächenbilanz: \(\int_{0}^{5} f(x) \, dx = A_{\text{oben}} - A_{\text{unten}} = 2 - 4{,}5 = -2{,}5\). 4. Berechnung des Gesamtflächeninhalts (Teil b): Der absolute Flächeninhalt ist die Summe der Beträge der Teilflächen: \(A_{\text{ges}} = A_{\text{oben}} + A_{\text{unten}} = 2 + 4{,}5 = 6{,}5\).

a) \(\int_{0}^{5} f(x) \, dx = -2{,}5\) b) \(A = 6{,}5\)

- Untersuche zuerst, ob der Graph die \(x\)-Achse innerhalb des Integrationsintervalls schneidet. - Teile das Intervall an der Nullstelle in zwei Bereiche auf. - Welche geometrischen Formen entstehen in den jeweiligen Bereichen? - Denke daran, dass Flächen unterhalb der \(x\)-Achse bei der Berechnung eines Integrals negativ gezählt werden.

1. Bestimmung der Nullstelle: Die Funktion \(f(x) = 2 - x\) hat eine Nullstelle bei \(x = 2\). Das Intervall \([0; 6]\) wird somit in zwei Teilintervalle unterteilt: \([0; 2]\) und \([2; 6]\). 2. Berechnung der Teilflächen: - Im Intervall \([0; 2]\) liegt der Graph oberhalb der \(x\)-Achse. Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit der Grundseite \(g_1 = 2\) und der Höhe \(h_1 = f(0) = 2\). Der Flächeninhalt beträgt \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). - Im Intervall \([2; 6]\) liegt der Graph unterhalb der \(x\)-Achse. Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit der Grundseite \(g_2 = 6 - 2 = 4\) und der Höhe \(h_2 = |f(6)| = |2 - 6| = 4\). Der Flächeninhalt beträgt \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\). 3. Berechnung der Flächenbilanz: Da die zweite Teilfläche unterhalb der \(x\)-Achse liegt, geht sie negativ in das Integral ein: \(I = A_1 - A_2 = 2 - 8 = -6\).

\(\int_{0}^{6} (2 - x) \, dx = -6\)

- Überlege dir, wie sich der Graph einer ungeraden Funktion verhält, wenn man ihn am Ursprung spiegelt. - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Integrals, wenn man die obere und untere Grenze vertauscht? - Welchen Flächeninhalt hat eine Fläche, deren Breite Null ist? - Erinnere dich an die Definition der Flächenbilanz bei Flächen oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse.

1. Zu a): Der Integrand \(f(x) = x^3 + x\) ist eine ungerade Funktion, da \(f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x = -f(x)\). Bei einem zum Ursprung symmetrischen Intervall \([-5; 5]\) heben sich die positiven und negativen Flächenanteile exakt auf, sodass die Flächenbilanz (das Integral) Null ergibt. 2. Zu b): Nach der Eigenschaft der Vertauschung der Integrationsgrenzen gilt allgemein \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx\). Addiert man beide Integrale, so heben sie sich zu Null auf: \(\int_{1}^{4} f(x) \, dx + (-\int_{1}^{4} f(x) \, dx) = 0\). 3. Zu c): Das Integral über ein Intervall der Breite Null (\(a\) bis \(a\)) ist stets Null, da die Fläche unter dem Graphen keine Ausdehnung in \(x\)-Richtung besitzt.

a) Die Funktion ist ungerade und das Intervall symmetrisch zum Ursprung; die Flächenanteile heben sich auf. b) Es gilt die Regel \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx\), woraus die Summe Null folgt. c) Integrale mit identischer oberer und unterer Grenze sind immer Null, da das Intervall die Breite Null hat.

- Überlege dir zuerst, wie breit jedes der Rechtecke sein muss, wenn das Intervall gleichmäßig aufgeteilt wird. - Bei einer Obersumme einer steigenden Funktion: Welchen Funktionswert (links oder rechts im Intervall) musst du wählen, damit das Rechteck über dem Graphen liegt? - Wie hängen die \(x\)-Werte der Stützstellen mit dem Laufindex der Summe zusammen? - Erinnere dich an die Formel für die Summe der ersten Quadratzahlen, um die Rechnung bei größerem \(n\) zu vereinfachen.

1. Für \(n=4\) beträgt die Breite der Teilintervalle \(\Delta x = \frac{4-0}{4} = 1\). Da \(f\) auf \([0; 4]\) streng monoton steigt, wird das Maximum in jedem Teilintervall am rechten Rand \(x_k = k\) für \(k \in \{1, 2, 3, 4\}\) angenommen. Die Obersumme lautet \(O_4 = \sum_{k=1}^{4} f(x_k) \cdot \Delta x = \sum_{k=1}^{4} \frac{1}{2}k^2 \cdot 1\). Berechnung: \(\frac{1}{2}(1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2) = \frac{1}{2}(1 + 4 + 9 + 16) = 15\). 2. Für \(n=8\) ist \(\Delta x = \frac{4}{8} = 0{,}5\). Die Stützstellen sind \(x_k = 0{,}5k\). Die Obersumme ist \(O_8 = \sum_{k=1}^{8} f(0{,}5k) \cdot 0{,}5 = \sum_{k=1}^{8} \frac{1}{2}(0{,}5k)^2 \cdot 0{,}5 = \sum_{k=1}^{8} \frac{1}{16}k^2\). Unter Verwendung der Summenformel \(\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) ergibt sich für \(n=8\): \(\frac{1}{16} \cdot \frac{8 \cdot 9 \cdot 17}{6} = \frac{204}{16} = 12{,}75\).

1. \(O_4 = \sum_{k=1}^{4} \frac{1}{2}k^2 = 15\) 2. \(O_8 = \sum_{k=1}^{8} \frac{1}{16}k^2 = 12{,}75\)

- Skizziere den Graphen der Funktion im gegebenen Intervall, um die Form der Fläche zu visualisieren. - Welche einfachen geometrischen Grundformen passen am besten in den Bereich zwischen dem Graphen und der horizontalen Achse? - Denke daran, dass du die Fläche in mehrere Teilflächen zerlegen kannst, um eine genauere Schätzung zu erhalten. - Wie berechnet man die Fläche eines Trapezes oder eines Dreiecks?

1. Bestimmung markanter Punkte der Funktion \(f(x) = 4 - \frac{1}{2}x^2\): \(f(-2) = 2\), \(f(0) = 4\) und \(f(2) = 2\). 2. Wahl einer geometrischen Näherung: Ein Rechteck über dem Intervall \([-2; 2]\) mit der Höhe \(y = 2\) (Fläche \(4 \cdot 2 = 8\)) kombiniert mit einem darauf liegenden Dreieck mit der Basis \(4\) und der restlichen Höhe \(2\) (Fläche \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\)). Der Näherungswert ergibt sich zu \(8 + 4 = 12\). 3. Exakte Berechnung des Integrals: \[\int_{-2}^{2} \left(4 - \frac{1}{2}x^2\right) \, dx = \left[4x - \frac{1}{6}x^3\right]_{-2}^{2}\] 4. Einsetzen der Grenzen: \(\left(4 \cdot 2 - \frac{1}{6} \cdot 2^3\right) - \left(4 \cdot (-2) - \frac{1}{6} \cdot (-2)^3\right) = \left(8 - \frac{4}{3}\right) - \left(-8 + \frac{4}{3}\right) = \frac{20}{3} + \frac{20}{3} = \frac{40}{3} \approx 13{,}33\).

Ein möglicher Näherungswert ist \(12\). Der exakte Wert des Integrals beträgt \(\frac{40}{3} \approx 13{,}33\).

- Beachte, dass Flächen unterhalb der \(x\)-Achse bei der Integralberechnung negativ zählen. - Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse innerhalb der Integrationsgrenzen? Dies ist ein guter Punkt, um die Fläche aufzuteilen. - Bestimme die Funktionswerte an den Grenzen und an der Nullstelle, um die Höhen deiner geometrischen Figuren festzulegen. - Überlege, ob ein Dreieck oder ein Trapez die Krümmung der Parabel in den jeweiligen Abschnitten besser annähert.

1. Analyse der Funktion \(f(x) = x^2 - 4\): Die Nullstelle im Intervall liegt bei \(x = 2\). Markante Punkte sind \(f(0) = -4\), \(f(2) = 0\) und \(f(3) = 5\). 2. Geometrische Näherung durch zwei Dreiecke: - Intervall \([0; 2]\): Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse mit Grundseite \(2\) und Höhe \(4\). Der orientierte Beitrag ist \(A_1 = -\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = -4\). - Intervall \([2; 3]\): Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse mit Grundseite \(1\) und Höhe \(5\). Fläche \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 5 = 2{,}5\). 3. Summe der Teilflächen (Flächenbilanz): \(-4 + 2{,}5 = -1{,}5\). 4. Exakte Berechnung: \[\int_{0}^{3} (x^2 - 4) \, dx = \left[\frac{1}{3}x^3 - 4x\right]_0^3 = \left(\frac{1}{3} \cdot 27 - 4 \cdot 3\right) - (0) = 9 - 12 = -3\].

Ein möglicher Näherungswert ist \(-1{,}5\). Der exakte Wert des Integrals beträgt \(-3\).

- Welche Zahl bleibt in jedem Summanden unverändert und welche ändert sich systematisch? - Bestimme den Abstand zwischen den aufeinanderfolgenden Werten, die quadriert werden. - Wie viele Schritte sind nötig, um vom Startwert zum Endwert zu gelangen? - Überlege dir einen Term, der für eine Zählvariable \(k\) (z. B. ab 0) genau die Werte in den Klammern erzeugt.

1. In der gegebenen Summe tritt der konstante Faktor \(0{,}4\) in jedem Summanden auf. Die Basis der Quadrate beginnt bei \(1\) und erhöht sich in jedem Schritt um \(0{,}4\), bis der Endwert \(3\) erreicht ist. 2. Die Anzahl der Schritte \(n\) ergibt sich aus \(1 + n \cdot 0{,}4 = 3\), woraus \(0{,}4n = 2\) und somit \(n = 5\) folgt. Da wir bei \(k=0\) beginnen, gibt es insgesamt 6 Summanden. Das allgemeine Glied lautet \(0{,}4 \cdot (1 + 0{,}4k)^2\) für \(k=0, \dots, 5\). Die Summe ist somit \(\sum_{k=0}^{5} 0{,}4 \cdot (1 + 0{,}4k)^2\). 3. Zur Berechnung werden die einzelnen Quadrate bestimmt: \(1^2 = 1\); \(1{,}4^2 = 1{,}96\); \(1{,}8^2 = 3{,}24\); \(2{,}2^2 = 4{,}84\); \(2{,}6^2 = 6{,}76\) und \(3^2 = 9\). 4. Die Summe der Quadrate beträgt \(1 + 1{,}96 + 3{,}24 + 4{,}84 + 6{,}76 + 9 = 26{,}8\). Multipliziert mit dem Faktor \(0{,}4\) ergibt sich der Gesamtwert \(10{,}72\).

a) \(S = \sum_{k=0}^{5} 0{,}4 \cdot (1 + 0{,}4k)^2\) b) \(10{,}72\)

- Was bedeuten die Zahlen unter und über dem Summenzeichen für die Variable \(k\)? - Setze nacheinander alle erlaubten Werte für \(k\) in den Term hinter dem Summenzeichen ein. - Verbinde diese berechneten Einzelterme durch Pluszeichen. - Kannst du einen gemeinsamen Faktor ausklammern, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Die Summe wird für die ganzzahligen Werte von \(k=1\) bis \(k=5\) ausgeschrieben: \(s = \frac{3}{4} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \cdot \left( \frac{2}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \cdot \left( \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \cdot \left( \frac{4}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \cdot \left( \frac{5}{2} \right)^2\). 2. Berechnung der einzelnen Terme: \(\frac{3}{4} \cdot 0{,}25 = 0{,}1875\) \(\frac{3}{4} \cdot 1 = 0{,}75\) \(\frac{3}{4} \cdot 2{,}25 = 1{,}6875\) \(\frac{3}{4} \cdot 4 = 3\) \(\frac{3}{4} \cdot 6{,}25 = 4{,}6875\) 3. Addition der Werte: \(0{,}1875 + 0{,}75 + 1{,}6875 + 3 + 4{,}6875 = 10{,}3125\). Alternativ über Brüche: \(\frac{3}{16} \cdot (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2) = \frac{3}{16} \cdot (1 + 4 + 9 + 16 + 25) = \frac{3}{16} \cdot 55 = \frac{165}{16} = 10{,}3125\).

a) \(s = \frac{3}{4} \cdot (\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} \cdot (\frac{2}{2})^2 + \frac{3}{4} \cdot (\frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4} \cdot (\frac{4}{2})^2 + \frac{3}{4} \cdot (\frac{5}{2})^2\) (oder dezimal: \(0{,}75 \cdot 0{,}5^2 + 0{,}75 \cdot 1^2 + 0{,}75 \cdot 1{,}5^2 + 0{,}75 \cdot 2^2 + 0{,}75 \cdot 2{,}5^2\)) b) \(10{,}3125\) (oder \(\frac{165}{16}\))

- Berechne zuerst den Wert des Integrals mithilfe einer Stammfunktion. - Wo schneidet der Graph der Funktion die \(x\)-Achse? - Überlege dir, welche Teile der Fläche oberhalb und welche unterhalb der Achse liegen. - Was bedeutet ein Integralwert von Null für das Verhältnis dieser Flächenanteile?

1. Berechnung des Integrals: Eine Stammfunktion von \(f(x) = -0{,}25x + 1\) ist \(F(x) = -0{,}125x^2 + x\). Das bestimmte Integral ergibt sich zu \(I = F(8) - F(0) = (-0{,}125 \cdot 64 + 8) - 0 = -8 + 8 = 0\). 2. Interpretation der Flächenbilanz: Die Nullstelle der Funktion liegt bei \(x = 4\). Im Teilintervall \([0; 4]\) verläuft der Graph oberhalb der \(x\)-Achse (orientierter Flächeninhalt \(A_1 = \int_{0}^{4} f(x) \, dx = 2\)), im Teilintervall \([4; 8]\) unterhalb der \(x\)-Achse (orientierter Flächeninhalt \(A_2 = \int_{4}^{8} f(x) \, dx = -2\)). Da beide Teilflächen betragsmäßig gleich groß sind, heben sie sich in der Bilanz exakt auf, sodass der Gesamtwert des Integrals \(0\) beträgt.

Das Integral hat den Wert \(I = 0\). Dies bedeutet, dass die Flächenbilanz ausgeglichen ist: Der Flächeninhalt oberhalb der \(x\)-Achse (im Intervall \([0; 4]\)) ist genauso groß wie der Flächeninhalt unterhalb der \(x\)-Achse (im Intervall \([4; 8]\)).

- Überlege dir eine einfache untere Grenze für das Intervall, zum Beispiel \(0\). - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Potenzschreibweise von Wurzeln und der Integration. - Wie berechnet man den Wert eines bestimmten Integrals mithilfe einer Stammfunktion? - Welche Zahl ergibt mit sich selbst und ihrer Wurzel multipliziert den Wert \(8\)?

1. Ansatz für den Flächeninhalt über dem Intervall \([0; b]\): \(A = \int_0^b \frac{3}{2}\sqrt{x} \, dx = 8\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(\int \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \, dx = x^{\frac{3}{2}} = x\sqrt{x}\). 3. Auswertung des bestimmten Integrals: \([x\sqrt{x}]_0^b = b\sqrt{b} - 0 = 8\). 4. Lösen der Gleichung: \(b^{\frac{3}{2}} = 8 \iff b = 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4\). 5. Das Intervall ist somit \([0; 4]\). 6. Darstellung als Integral: \(\int_0^4 \frac{3}{2}\sqrt{x} \, dx\).

Ein mögliches Intervall ist \([0; 4]\). Der Flächeninhalt als Integral: \(\int_0^4 \frac{3}{2}\sqrt{x} \, dx\).

- Achte auf den Unterschied zwischen dem Integralwert (Flächenbilanz) und dem geometrischen Flächeninhalt, besonders bei Funktionen mit negativen Werten. - Nutze die Symmetrie des Graphen aus, um das Problem zu vereinfachen. - Wenn das Intervall über eine Nullstelle hinweggeht, musst du den Betrag des Funktionswertes im Integral berücksichtigen. - Welche einfache Zahl hoch vier ergibt \(16\)?

1. Berücksichtigung der Punktsymmetrie von \(f(x) = x^3\): Der Flächeninhalt setzt sich aus Flächenstücken oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse zusammen. 2. Ansatz für ein symmetrisches Intervall \([-b; b]\): Da der Graph punktsymmetrisch ist, gilt für den Flächeninhalt \(A = 2 \cdot \int_0^b x^3 \, dx = 8\). 3. Berechnung des Teilintegrals: \(\int_0^b x^3 \, dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^b = \frac{1}{4}b^4\). 4. Gleichung lösen: \(2 \cdot \frac{1}{4}b^4 = 8 \iff \frac{1}{2}b^4 = 8 \iff b^4 = 16 \iff b = 2\). 5. Ein mögliches Intervall ist \([-2; 2]\). Alternativ führt der Ansatz \(\int_0^b x^3 \, dx = 8\) zu \(b = \sqrt[4]{32} = 2\sqrt[4]{2}\). 6. Darstellung als Integral für das Intervall \([-2; 2]\): \(\int_{-2}^2 |x^3| \, dx\).

Ein mögliches Intervall ist \([-2; 2]\). Der Flächeninhalt als Integral: \(\int_{-2}^2 |x^3| \, dx\).

- Überlege, wie die Graphen der beiden Funktionen zueinander liegen. Sind sie vielleicht nur verschoben? - Untersuche die Symmetrie der Integranden. Wo liegen die Scheitelpunkte der Potenzfunktionen? - Was passiert mit dem Wert eines Integrals, wenn man sowohl die Funktion als auch die Grenzen um denselben Wert verschiebt? - Du kannst auch beide Seiten explizit mit der Stammfunktion berechnen und die resultierende Gleichung nach \(b\) auflösen.

1. Berechnung des linken Integrals: Die Funktion \(f(x) = (x-2)^4\) ist achsensymmetrisch zu \(x=2\). Das Integral über das Intervall \([1; 3]\) entspricht \(\int_{-1}^{1} u^4 \, du = [\frac{1}{5}u^5]_{-1}^{1} = \frac{1}{5} - (-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5} = 0{,}4\). 2. Analyse des rechten Integrals: Die Funktion \(g(x) = (x-4)^4\) ist eine um 2 Einheiten nach rechts verschobene Version von \(f(x)\). Es gilt \(g(x) = f(x-2)\). 3. Anwendung der Intervallverschiebung: Das Integral einer verschobenen Funktion über ein verschobenes Intervall bleibt gleich: \(\int_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx = \int_{x_1+c}^{x_2+c} f(x-c) \, dx\). Mit \(c=2\) folgt \(\int_{1}^{3} (x-2)^4 \, dx = \int_{1+2}^{3+2} (x-2-2)^4 \, dx = \int_{3}^{5} (x-4)^4 \, dx\). 4. Vergleich der Grenzen: Durch direkten Vergleich mit der Aufgabenstellung \(\int_{3}^{b} (x-4)^4 \, dx\) ergibt sich \(b = 5\). Da der Integrand \((x-4)^4\) für alle \(x \neq 4\) positiv ist, ist die Integralfunktion streng monoton wachsend, womit \(b=5\) die einzige Lösung ist.

\(b = 5\)

- Untersuche, ob der Integrand eine besondere Symmetrie (z. B. Punktsymmetrie zum Ursprung) aufweist und wie das Intervall dazu liegt. - Überlege dir, welches Vorzeichen die Funktionswerte im angegebenen Bereich haben. - Achte genau auf die Reihenfolge der Integrationsgrenzen. Was passiert, wenn die obere Grenze kleiner ist als die untere? - Skizziere dir grob den Verlauf der Funktionen im Kopf oder auf Papier.

1. Für Teilaufgabe a) wird die Symmetrie des Integranden \(f(x) = \frac{2x}{x^{2}+1}\) untersucht. Da \(f(-x) = -f(x)\) gilt, ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Da das Integrationsintervall \([-5; 5]\) symmetrisch zum Nullpunkt liegt, heben sich die orientierten Flächeninhalte exakt auf. Das Integral ist null. 2. In Teilaufgabe b) wird das Vorzeichen des Integranden \(g(x) = 3 - 3^x\) auf dem Intervall \([1; 2]\) betrachtet. Da die Exponentialfunktion \(3^x\) für \(x > 1\) größer als \(3\) ist, ist der Integrand im gesamten Intervall (außer an der Stelle \(x=1\)) negativ. Da die untere Grenze kleiner als die obere Grenze ist, ist der Wert des Integrals negativ. 3. Für Teilaufgabe c) betrachtet man den Integranden \(h(x) = x-4\). Auf dem Intervall \([0; 4]\) ist dieser Ausdruck stets kleiner oder gleich null. Da die Integrationsgrenzen jedoch vertauscht sind (von \(4\) nach \(0\)), kehrt sich das Vorzeichen des Integralwerts um. Das Integral ist positiv.

a) Das Integral ist null. b) Das Integral ist negativ. c) Das Integral ist positiv.

- Was bedeutet es für die Flächenbilanz, wenn ein Integral den Wert Null hat? - Erinnere dich an die Eigenschaften von geraden und ungeraden Funktionen im Zusammenhang mit dem Ursprung. - Wie hängen die Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse zusammen, wenn das Integral Null ist? - Du kannst eine Grenze festlegen (z. B. \(a=0\)) und die andere durch Lösen einer Gleichung mit der Stammfunktion bestimmen.

1. Symmetrie-Ansatz: Die Funktion \(f(x) = x^3 - 4x\) ist eine ungerade Funktion, da nur ungerade Exponenten auftreten (\(f(-x) = -f(x)\)). Bei ungeraden Funktionen ist das Integral über jedem zum Ursprung symmetrischen Intervall \([-c; c]\) gleich Null. Ein mögliches Paar ist daher \(a = -2\) und \(b = 2\). 2. Rechnerischer Ansatz: Es wird ein Intervall \([0; b]\) gesucht. Die Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2\). Die Bedingung \(\int_0^b f(x) \, dx = F(b) - F(0) = 0\) führt auf die Gleichung \(\frac{1}{4}b^4 - 2b^2 = 0\). 3. Lösen der Gleichung: Ausklammern ergibt \(b^2 \cdot (\frac{1}{4}b^2 - 2) = 0\). Da \(b > 0\) sein soll, folgt \(\frac{1}{4}b^2 = 2\), also \(b^2 = 8\) und somit \(b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). Ein zweites Paar ist somit \(a = 0\) und \(b = \sqrt{8}\).

Zwei mögliche Paare sind: 1. \(a = -2\) und \(b = 2\) (Begründung über Punktsymmetrie zum Ursprung). 2. \(a = 0\) und \(b = \sqrt{8}\) (oder \(b \approx 2{,}83\)).

- Wie sieht der Graph einer Kosinusfunktion aus? Wo liegen Flächen oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse? - Das Integral über eine volle Periode einer Sinus- oder Kosinusfunktion ist immer Null. Wie groß ist die Periode hier? - Du kannst die Integrationsgrenzen so wählen, dass die Werte der Stammfunktion an beiden Stellen identisch sind. - Überlege dir, an welchen Stellen die Sinusfunktion den Wert Null annimmt.

1. Bestimmung der Stammfunktion: Eine Stammfunktion von \(g(x) = 2 \cdot \cos(2x)\) ist \(G(x) = \sin(2x)\) (unter Verwendung der linearen Kettenregel). 2. Aufstellen der Integralbedingung: Es muss gelten \(\int_a^b g(x) \, dx = G(b) - G(a) = \sin(2b) - \sin(2a) = 0\). Dies ist erfüllt, wenn \(\sin(2b) = \sin(2a)\). 3. Wahl der Grenzen: Wählt man \(a = 0\), so muss \(\sin(2b) = \sin(0) = 0\) gelten. 4. Lösen für \(b\): Die Sinusfunktion hat Nullstellen bei Vielfachen von \(\pi\). Also \(2b = \pi\), was zu \(b = \frac{\pi}{2}\) führt. 5. Überprüfung: \(\int_0^{\pi/2} 2\cos(2x) \, dx = [\sin(2x)]_0^{\pi/2} = \sin(\pi) - \sin(0) = 0 - 0 = 0\).

Ein mögliches Intervall ist \([0; \frac{\pi}{2}]\) (oder auch \([0; \pi]\), da dies einer vollen Periode entspricht). Rechnung: \(\int_0^{\pi/2} 2\cos(2x) \, dx = [\sin(2x)]_0^{\pi/2} = \sin(\pi) - \sin(0) = 0\).

- Denke an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. - Wie berechnet man die Differenz der Stammfunktionswerte an den Grenzen? - Was bedeutet ein negatives Ergebnis oder das Ergebnis Null für die Lage des Graphen zur \(x\)-Achse? - Erinnere dich daran, dass das Integral Flächeninhalte unterhalb der \(x\)-Achse negativ wertet.

1. Für Teilaufgabe a): Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x\). Berechnung der Grenzen: \(F(2) = \frac{1}{3} \cdot 8 - 4 - 6 = \frac{8}{3} - 10 = -\frac{22}{3}\) und \(F(-1) = \frac{1}{3} \cdot (-1) - 1 + 3 = \frac{5}{3}\). Differenz bilden: \(-\frac{22}{3} - \frac{5}{3} = -\frac{27}{3} = -9\). 2. Für Teilaufgabe b): Bestimmung der Stammfunktion \(G(x) = \frac{1}{8}x^4 - 2x^2\). Berechnung der Grenzen: \(G(4) = \frac{1}{8} \cdot 256 - 2 \cdot 16 = 32 - 32 = 0\) und \(G(0) = 0\). Das Integral hat den Wert \(0\). 3. Deutung zu b): Da der Wert des Integrals Null ist, bedeutet dies im Sinne der Flächenbilanz, dass die Flächeninhalte der oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse liegenden Teilflächen im Integrationsintervall betragsmäßig gleich groß sind und sich gegenseitig aufheben.

a) \(-9\) b) \(0\). Der Wert \(0\) bedeutet, dass sich die Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse im Intervall \([0; 4]\) gegenseitig aufheben.

- Behandle den Parameter beim Integrieren wie eine ganz normale Zahl. - Kannst du zuerst die Stammfunktion des Terms in der Klammer finden? - Setze die Grenzen ein und stelle eine Gleichung für die Unbekannte auf. - Wie löst man eine Gleichung, in der nach der Integration noch eine Variable steht?

1. Bestimmung der Stammfunktion in Abhängigkeit von \(k\): \(F(x) = \frac{1}{2}k \cdot x^2 + x\). 2. Einsetzen der Integrationsgrenzen in die Stammfunktion: \(F(3) = \frac{1}{2}k \cdot 9 + 3 = 4{,}5k + 3\) und \(F(1) = \frac{1}{2}k \cdot 1 + 1 = 0{,}5k + 1\). 3. Aufstellen der Differenz gemäß dem Hauptsatz: \((4{,}5k + 3) - (0{,}5k + 1) = 4k + 2\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert \(10\): \(4k + 2 = 10\). 5. Lösen der linearen Gleichung: \(4k = 8 \Rightarrow k = 2\).

\(k = 2\)

- Bestimme zuerst eine Stammfunktion des Integranden. - Setze die Grenzen in die Stammfunktion ein, um einen Term in Abhängigkeit von \(b\) zu erhalten. - Überlege dir, wie du die resultierende Gleichung nach \(b\) auflösen kannst. - Achte auf die Bedingung \(b > 0\). - Was bedeutet es für die Flächenanteile oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse, wenn das Integral null ergibt?

1. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x\). 2. Aufstellen der Gleichung mithilfe des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: \(\left[ \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x \right]_{0}^{b} = \frac{1}{3}b^3 - 2b^2 + 3b = 0\). 3. Ausklammern von \(b\): \(b \cdot (\frac{1}{3}b^2 - 2b + 3) = 0\). 4. Da \(b > 0\) gefordert ist, muss der Klammerausdruck null sein: \(\frac{1}{3}b^2 - 2b + 3 = 0\). 5. Multiplikation mit 3 führt zu der quadratischen Gleichung \(b^2 - 6b + 9 = 0\). 6. Anwendung der binomischen Formel oder der \(p\)-\(q\)-Formel ergibt \((b-3)^2 = 0\), woraus \(b = 3\) folgt.

\(b = 3\)

- Erinnere dich daran, wie man Potenzen mit negativen Exponenten integriert. - Nachdem du die Grenzen eingesetzt hast, erhältst du eine Gleichung, in der \(b\) auch im Nenner vorkommen kann. - Wie kannst du eine Gleichung mit \(b\) im Nenner so umformen, dass eine bekannte Gleichungsform entsteht? - Prüfe am Ende, welche deiner berechneten Lösungen die Bedingung \(b > 1\) erfüllt.

1. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = x + \frac{1}{x}\). 2. Anwendung des Hauptsatzes: \(\left[ x + \frac{1}{x} \right]_{1}^{b} = (b + \frac{1}{b}) - (1 + \frac{1}{1}) = b + \frac{1}{b} - 2\). 3. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(b + \frac{1}{b} - 2 = 0{,}5\), also \(b + \frac{1}{b} = 2{,}5\). 4. Umformung in eine quadratische Gleichung durch Multiplikation mit \(b\): \(b^2 - 2{,}5b + 1 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(b_{1,2} = \frac{2{,}5 \pm \sqrt{6{,}25 - 4}}{2} = \frac{2{,}5 \pm 1{,}5}{2}\). 6. Dies ergibt die Lösungen \(b_1 = 2\) und \(b_2 = 0{,}5\). Da \(b > 1\) vorausgesetzt ist, ist die gesuchte Grenze \(b = 2\).

\(b = 2\)

- Untersuche, ob die Funktion im Integranden gerade (achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse) oder ungerade (punktsymmetrisch zum Ursprung) ist. - Was passiert mit dem Wert eines Integrals über ein Intervall \([-a; a]\), wenn der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft? - Wie verhalten sich die Flächenanteile links und rechts der \(y\)-Achse bei einer achsensymmetrischen Funktion? - Überlege dir, wie sich das Vorzeichen des Funktionswerts ändert, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt.

1. Für Teilaufgabe a) wird die Punktsymmetrie zum Ursprung des Integranden \(f(x) = x^3 - x\) genutzt. Da alle Exponenten ungerade sind, gilt \(f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -f(x)\). Bei einem zum Ursprung symmetrischen Intervall \([-a; a]\) heben sich die orientierten Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse exakt auf, sodass das Integral \(0\) ergibt. 2. In Teilaufgabe b) ist der Integrand \(g(x) = \cos(x)\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(g(-x) = \cos(-x) = \cos(x) = g(x)\) gilt. Daher ist der Flächeninhalt über dem Intervall \([-2; 0]\) identisch mit dem über \([0; 2]\), woraus die Verdopplung folgt. 3. In Teilaufgabe c) ist das Produkt aus einer punktsymmetrischen Funktion (\(\sin(x)\)) und einer achsensymmetrischen Funktion (\(\cos(x)\)) insgesamt punktsymmetrisch zum Ursprung: \(h(-x) = \sin(-x) \cdot \cos(-x) = -\sin(x) \cdot \cos(x) = -h(x)\). Über dem symmetrischen Intervall \([-1; 1]\) ergibt die Flächenbilanz somit \(0\).

a) Der Integrand \(f(x) = x^3 - x\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung (\(f(-x) = -f(x)\)). Bei Integration über ein symmetrisches Intervall \([-a; a]\) ist die Flächenbilanz \(0\). b) Der Integrand \(g(x) = \cos(x)\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (\(g(-x) = g(x)\)). Die Flächeninhalte links und rechts der \(y\)-Achse sind gleich groß, daher ist das Integral über \([-2; 2]\) doppelt so groß wie über \([0; 2]\). c) Der Integrand \(h(x) = \sin(x) \cdot \cos(x)\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da das Produkt aus einer ungeraden und einer geraden Funktion ungerade ist. Das Integral über \([-1; 1]\) verschwindet daher.

- Skizziere dir den Verlauf der Graphen im angegebenen Intervall grob im Kopf oder auf Papier. - Achte darauf, an welcher Stelle der Graph die \(x\)-Achse schneidet und ob dort eine Symmetrie vorliegt. - Überlege, welche Flächenstücke oberhalb (positiv) und welche unterhalb (negativ) der \(x\)-Achse liegen. - Gibt es eine vertikale Achse, an der die Fläche gespiegelt wird?

1. Bei Teilaufgabe a) stellt der Graph von \(f(x) = x - 2\) eine Gerade dar, die die \(x\)-Achse bei \(x = 2\) schneidet. Im Intervall \([0; 2]\) liegt ein Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse mit dem orientierten Flächenbeitrag \(-2\), im Intervall \([2; 4]\) ein gleich großes Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse mit dem orientierten Flächenbeitrag \(+2\). Die Summe der orientierten Flächen (Bilanz) ist \(0\). 2. Bei Teilaufgabe b) ist die Funktion \(g(x) = (x - 3)^3\) punktsymmetrisch zum Punkt \(P(3|0)\). Das Intervall \([1; 5]\) liegt symmetrisch um die Stelle \(x = 3\). Die negativen Flächenanteile in \([1; 3]\) und die positiven Anteile in \([3; 5]\) sind betragsmäßig gleich groß und heben sich in der Bilanz auf. 3. Bei Teilaufgabe c) ist der Graph von \(h(x) = \sin(x)\) im Intervall \([0; \pi]\) achsensymmetrisch zur Geraden \(x = \frac{\pi}{2}\). Die Fläche unter dem Bogen von \(0\) bis \(\frac{\pi}{2}\) ist daher exakt so groß wie die Fläche von \(\frac{\pi}{2}\) bis \(\pi\), was den Faktor \(2\) erklärt.

a) Die Gerade \(y = x - 2\) ist punktsymmetrisch zu ihrem Nullpunkt \((2|0)\). Die Flächenanteile in den Teilintervallen \([0; 2]\) und \([2; 4]\) sind gleich groß, haben aber unterschiedliche Vorzeichen, sodass die Bilanz \(0\) ergibt. b) Der Graph von \(g(x) = (x - 3)^3\) ist punktsymmetrisch zum Punkt \((3|0)\). Da das Intervall \([1; 5]\) symmetrisch um \(x = 3\) liegt, heben sich die orientierten Flächeninhalte auf. c) Die Sinuskurve ist im Intervall \([0; \pi]\) achsensymmetrisch zur Geraden \(x = \frac{\pi}{2}\). Die beiden Teilflächen links und rechts der Symmetrieachse sind identisch, daher ist das Gesamtintegral das Doppelte des Teilintegrals.

- Untersuche die Symmetrie der Funktion im Integranden. - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Überlege dir, wie sich die Flächen oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse in einem Intervall verhalten, das symmetrisch zur \(y\)-Achse liegt. - Erinnere dich an den Begriff der Flächenbilanz bei punktsymmetrischen Graphen.

1. Untersuchung des Integranden \(f(x) = x \cdot e^{-x^2}\) auf Symmetrieeigenschaften. 2. Nachweis der Punktsymmetrie zum Ursprung durch Einsetzen von \(-x\): \(f(-x) = (-x) \cdot e^{-(-x)^2} = -x \cdot e^{-x^2} = -f(x)\). 3. Feststellung, dass bei einer punktsymmetrischen Funktion die orientierten Flächeninhalte (Flächenbilanz) über einem zum Symmetriezentrum symmetrischen Intervall \([-k; k]\) stets Null ergeben. 4. Die negativen Flächenanteile links der \(y\)-Achse und die positiven Flächenanteile rechts der \(y\)-Achse heben sich exakt auf.

Die Gleichung gilt, da der Integrand \(f(x) = x \cdot e^{-x^2}\) eine ungerade Funktion ist (punktsymmetrisch zum Ursprung). Bei der Integration über ein symmetrisches Intervall \([-k; k]\) heben sich die orientierten Flächeninhalte unterhalb und oberhalb der \(x\)-Achse gegenseitig auf, sodass die Gesamtsumme (Flächenbilanz) \(0\) ergibt.

- Kannst du das Integral mithilfe der Rechenregeln für Integrale in zwei einfachere Teile zerlegen? - Welche geometrische Form beschreibt die Funktion \(f(x) = \sqrt{r^2 - x^2}\) über ihrem Definitionsbereich? - Wie lässt sich das Integral einer konstanten Funktion als Flächeninhalt deuten? - Überlege, welche bekannte Flächenformel für einen Kreis hier hilfreich sein könnte.

1. Anwendung der Additivität des Integrals ermöglicht die Aufteilung in zwei Teilintegrale: \(\int_{-5}^{5} 3 \, dx + \int_{-5}^{5} \sqrt{25 - x^2} \, dx\). 2. Das erste Teilintegral \(\int_{-5}^{5} 3 \, dx\) entspricht dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Breite \(5 - (-5) = 10\) und der Höhe 3, woraus sich \(10 \cdot 3 = 30\) ergibt. 3. Das zweite Teilintegral \(\int_{-5}^{5} \sqrt{25 - x^2} \, dx\) beschreibt den Flächeninhalt eines oberen Halbkreises mit dem Radius \(r = 5\), da die Gleichung \(y = \sqrt{25 - x^2}\) die obere Hälfte eines Kreises um den Ursprung darstellt. Der Flächeninhalt berechnet sich zu \(\frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 5^2 = 12{,}5\pi\). 4. Die Summe beider Teilwerte ergibt den Gesamtwert des Integrals: \(30 + 12{,}5\pi\).

\(30 + 12{,}5\pi\)

- Wann nimmt die Kosinusfunktion den Wert null an? - Überlege dir die allgemeine Formel für die Nullstellen der Kosinusfunktion und passe sie an das Argument in der Aufgabe an. - Denke beim Integrieren an die Kettenregel in ihrer Umkehrung (lineare Substitution). - Was bedeutet ein negatives Vorzeichen bei einem Integralwert für die Lage des Graphen zur \(x\)-Achse? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen dem Integralwert (Flächenbilanz) und dem geometrischen Flächeninhalt.

1. Bestimmung der Nullstellen durch Lösen der Gleichung \(\cos\left(\frac{\pi}{3}x\right) = 0\): Da die Kosinusfunktion ihre Nullstellen bei \(\frac{\pi}{2} + k \cdot \pi\) hat, ergibt sich \(\frac{\pi}{3}x = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi\). Auflösen nach \(x\) liefert \(x = 1{,}5 + 3k\) für \(k \in \mathbb{Z}\). Zwei benachbarte Nullstellen sind somit beispielsweise \(x_1 = 1{,}5\) und \(x_2 = 4{,}5\). 2. Berechnung des Integrals: Eine Stammfunktion von \(f\) ist \(F(x) = \frac{3}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{3}x\right)\). Das bestimmte Integral ergibt sich zu \(\int_0^3 f(x) \, dx = \left[ \frac{3}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{3}x\right) \right]_0^3 = \frac{3}{\pi} (\sin(\pi) - \sin(0)) = \frac{3}{\pi} (0 - 0) = 0\). 3. Begründung: Der Wert des Integrals entspricht der Flächenbilanz. Da die Funktion im Teilintervall \([0; 1{,}5]\) positiv und im Teilintervall \([1{,}5; 3]\) negativ ist (bei punktsymmetrischem Verlauf zum Punkt \((1{,}5|0)\)), heben sich die Inhalte der Flächen oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse gegenseitig auf.

a) Zwei benachbarte Nullstellen sind zum Beispiel \(x_1 = 1{,}5\) und \(x_2 = 4{,}5\). b) Der Wert des Integrals ist \(0\). Da der Graph im Intervall \([0; 3]\) sowohl oberhalb als auch unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, werden die orientierten Teilflächen im Integral miteinander verrechnet (Flächenbilanz), was hier zu einer vollständigen Aufhebung führt.

- Überlege dir, welchen Wert das Integral über das gesamte Intervall annehmen muss, wenn die Flächen oberhalb und unterhalb der Achse denselben Inhalt haben. - Wie berechnet man den Wert eines bestimmten Integrals mithilfe einer Stammfunktion? - Wandle die Bedingung in eine Gleichung um, in der \(k\) die Unbekannte ist. - Kannst du die resultierende Gleichung durch Ausklammern vereinfachen?

1. Für gleich große Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse muss das bestimmte Integral der Funktion über das Intervall \([0; k]\) den Wert Null ergeben: \(\int_0^k (9 - x^2) \, dx = 0\). 2. Eine Stammfunktion von \(f\) ist durch \(F(x) = 9x - \frac{1}{3}x^3\) gegeben. 3. Das Einsetzen der Integrationsgrenzen führt zu der Gleichung \(F(k) - F(0) = 9k - \frac{1}{3}k^3 = 0\). 4. Ausklammern von \(k\) ergibt \(k \cdot (9 - \frac{1}{3}k^2) = 0\). Da \(k > 0\) gesucht ist, muss der Ausdruck in der Klammer Null sein: \(9 - \frac{1}{3}k^2 = 0\). 5. Umstellen nach \(k^2\) liefert \(k^2 = 27\), woraus sich der Wert \(k = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\) ergibt. 6. Da die Funktion \(f\) bei \(x = 3\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt und \(3\sqrt{3} \approx 5{,}20 > 3\) gilt, sind im Intervall \([0; 3\sqrt{3}]\) tatsächlich Flächenanteile auf beiden Seiten der \(x\)-Achse vorhanden.

\(k = 3\sqrt{3}\) (bzw. \(k \approx 5{,}20\))

- Was bedeutet es für die Flächenbilanz (das Integral), wenn die Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse gleich groß sind? - Bestimme eine Stammfunktion für den gegebenen Funktionsterm. - Setze die Integrationsgrenzen in die Stammfunktion ein, um einen Ausdruck in Abhängigkeit von \(k\) zu erhalten. - Welche mathematische Bedingung muss dieser Ausdruck erfüllen? - Überprüfe, ob dein berechnetes \(k\) größer ist als die Nullstelle der Funktion im betrachteten Bereich.

1. Die Bedingung für identische Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse entspricht einer Flächenbilanz von Null: \(\int_0^k (x^3 - 6x^2) \, dx = 0\). 2. Eine Stammfunktion von \(f\) lautet \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3\). 3. Die Auswertung des Integrals an den Grenzen ergibt die Gleichung \(\frac{1}{4}k^4 - 2k^3 = 0\). 4. Durch Ausklammern von \(k^3\) erhält man \(k^3 \cdot (\frac{1}{4}k - 2) = 0\). 5. Da \(k > 0\) vorausgesetzt ist, folgt \(\frac{1}{4}k - 2 = 0\). 6. Die Auflösung nach \(k\) ergibt den Wert \(k = 8\). 7. Da die Funktion \(f\) bei \(x = 6\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat und \(8 > 6\) ist, liegen im Intervall \([0; 8]\) Flächenanteile sowohl oberhalb als auch unterhalb der \(x\)-Achse vor.

\(k = 8\)

- Was passiert mit den Vorzeichen der Funktionswerte, wenn man den Graphen am Ursprung spiegelt? - Wie berechnet man den Wert eines bestimmten Integrals mithilfe einer Stammfunktion? - Überlege dir, wie sich Flächen oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse bei der Integralrechnung gegenseitig beeinflussen. - Welche bekannten Funktionstypen außer ganzrationalen Funktionen weisen eine Punktsymmetrie zum Ursprung auf?

1. Berechnung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2\). Einsetzen der Grenzen: \(F(2) = \frac{1}{4} \cdot 2^4 - 2 \cdot 2^2 = 4 - 8 = -4\) und \(F(-2) = \frac{1}{4} \cdot (-2)^4 - 2 \cdot (-2)^2 = 4 - 8 = -4\). Die Differenz ergibt \(\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = -4 - (-4) = 0\). 2. Der Graph von \(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da nur ungerade Exponenten vorkommen. In einem zum Ursprung symmetrischen Intervall \([-2; 2]\) sind die Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse gleich groß. Da das Integral die orientierten Flächeninhalte addiert (Flächenbilanz), heben sich diese exakt zu Null auf. 3. Eine mögliche Funktion ist \(g(x) = \sin(x)\). Diese Funktion ist ebenfalls punktsymmetrisch zum Ursprung (\(g(-x) = -g(x)\)), wodurch die Flächenbilanz über jedem Intervall \([-a; a]\) den Wert Null ergibt.

1. \(\int_{-2}^{2} (x^3 - 4x) \, dx = [\frac{1}{4}x^4 - 2x^2]_{-2}^{2} = (-4) - (-4) = 0\). 2. Aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung sind die Flächenanteile im Intervall \([-2; 0]\) und \([0; 2]\) betragsgleich, haben aber unterschiedliche Vorzeichen, sodass die Flächenbilanz (das Integral) Null ergibt. 3. Beispiel: \(g(x) = \sin(x)\) oder \(g(x) = x^5\). Begründung: Die Funktion ist ungerade (punktsymmetrisch zum Ursprung), weshalb sich die orientierten Flächeninhalte über dem Intervall \([-a; a]\) aufheben.

- Überlege dir, wo die Nullstellen der Funktion liegen und ob der Graph eine besondere Symmetrie aufweist. - Was bedeutet Punktsymmetrie zu einem Punkt auf der \(x\)-Achse für den Wert eines Integrals über ein symmetrisches Intervall? - Kannst du das Integral von 0 bis 4 in zwei Teilintegrale zerlegen?

1. Untersuchung der Symmetrie von \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\): Die Funktion besitzt Nullstellen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt \(P(1|0)\), da \(f(1+h) = -f(1-h)\) gilt. 2. Anwendung auf das Integral: Aufgrund der Punktsymmetrie zum Mittelpunkt des Intervalls \([0; 2]\) heben sich die orientierten Flächeninhalte in diesem Bereich gegenseitig auf, woraus \(\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 0\) folgt. 3. Intervalladditivität: Das Integral über \([0; 4]\) lässt sich aufspalten in \(\int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx\). 4. Schlussfolgerung: Da der erste Teilterm Null ist, gilt \(\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 0 + \int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} f(x) \, dx\). Die Aussage ist somit wahr.

Die Aussage ist wahr. Begründung: Der Graph von \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\) ist punktsymmetrisch zum Punkt \(P(1|0)\). Daraus folgt, dass die Flächenbilanz im Intervall \([0; 2]\) genau Null ergibt (\(\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 0\)). Durch die Zerlegung des Integrals \(\int_{0}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx\) erkennt man, dass der Wert identisch mit \(\int_{2}^{4} f(x) \, dx\) sein muss.

- Erinnere dich an den Unterschied zwischen Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bei Integralen. - Wann liefert ein Integral einen positiven Wert, und wann heben sich Flächen gegenseitig auf? - Für b): Suche nach einem Intervall, in dem der Graph eine Nullstelle so passiert, dass die Flächenstücke davor und danach gleich groß sind. - Nutze dein Wissen über die Sinusfunktion als Stammfunktion des Kosinus.

1. Analyse von Teilaufgabe a): Die Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (\(f(x) = f(-x)\)). Im Intervall \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\) verläuft der Graph vollständig oberhalb oder auf der \(x\)-Achse (\(\cos(x) \ge 0\)). Da keine negativen Flächenanteile existieren, muss die Bilanz (das Integral) positiv sein (konkret \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(x) \, dx = [\sin(x)]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 1 - (-1) = 2\)). 2. Analyse von Teilaufgabe b): Damit die Flächenbilanz Null ergibt, müssen sich positive und negative Flächenanteile exakt aufheben. 3. Intervallsuche: Da \(\int_a^b \cos(x) \, dx = \sin(b) - \sin(a)\), muss \(\sin(a) = \sin(b)\) gelten. Ein geeignetes Intervall ist \([\pi; 2\pi]\), da hier \(\sin(2\pi) - \sin(\pi) = 0 - 0 = 0\) gilt und \(a > 0\) erfüllt ist. 4. Überprüfung der Bedingung: Im Intervall \([\pi; 2\pi]\) ist \(\cos(x)\) negativ für \(x \in [\pi; \frac{3\pi}{2})\) und positiv für \(x \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi]\). Die Bedingung ist erfüllt.

a) Der Graph von \(f(x) = \cos(x)\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Im Intervall \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\) nimmt die Funktion nur Funktionswerte \(\ge 0\) an. Somit gibt es keine negativen Flächenanteile, die den positiven Anteil mindern oder aufheben könnten; die Flächenbilanz ist daher positiv. b) Ein mögliches Intervall ist \([\pi; 2\pi]\). Hier gilt \(\int_{\pi}^{2\pi} \cos(x) \, dx = [\sin(x)]_{\pi}^{2\pi} = \sin(2\pi) - \sin(\pi) = 0\). Der Graph verläuft in \([\pi; \frac{3\pi}{2}]\) unterhalb und in \([\frac{3\pi}{2}; 2\pi]\) oberhalb der \(x\)-Achse. Alternative Lösungen wie \([\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]\) sind ebenfalls korrekt.

- Überlege dir, was die geometrische Bedeutung des Integrals als „orientierter Flächeninhalt“ für symmetrische Graphen bedeutet. - Erinnere dich an die Definitionen von Punkt- und Achsensymmetrie. - Suche für das Gegenbeispiel nach einer einfachen Funktion (z. B. einer Parabel), die so verschoben ist, dass die Flächenbilanz über einem symmetrischen Intervall null ergibt. - Prüfe, ob jede Funktion, deren Integral null ist, zwingend „ungerade“ sein muss.

1. Anjas Aussage ist wahr: Bei einer punktsymmetrischen Funktion gilt \(f(-x) = -f(x)\). Die Flächenanteile oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse im Intervall \([-a; a]\) sind betragsmäßig gleich groß, besitzen aber unterschiedliche Vorzeichen, sodass sich das Integral zu null aufhebt. 2. Lukas’ Aussage ist falsch: Ein verschwindendes Integral bedeutet lediglich, dass die Flächenbilanz ausgeglichen ist, lässt aber keinen zwingenden Rückschluss auf die Art der Symmetrie zu. 3. Gegenbeispiel: Betrachte \(f(x) = x^2 - \frac{1}{3}\) im Intervall \([-1; 1]\). 4. Berechnung des Integrals: \(\int_{-1}^{1} (x^2 - \frac{1}{3}) \, dx = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{3}x]_{-1}^{1} = (\frac{1}{3} - \frac{1}{3}) - (-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) = 0 - 0 = 0\). 5. Symmetrie-Prüfung: Da \(f(-x) = (-x)^2 - \frac{1}{3} = x^2 - \frac{1}{3} = f(x)\) gilt, ist die Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und nicht punktsymmetrisch zum Ursprung (da \(f(1) = \frac{2}{3} \neq -f(-1)\)).

Anjas Aussage ist wahr, Lukas’ Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel für Lukas’ Behauptung ist die Funktion \(f(x) = x^2 - \frac{1}{3}\) im Intervall \([-1; 1]\). Hier ist \(\int_{-1}^{1} (x^2 - \frac{1}{3}) \, dx = 0\), der Graph ist jedoch achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

- Untersuche die Symmetrie der Funktion. Was bedeutet Punktsymmetrie für die Flächeninhalte links und rechts vom Ursprung? - Teile das Integral in Intervalle auf, in denen die Funktion entweder nur positiv oder nur negativ ist. - Nutze die Erkenntnis aus dem ersten Aufgabenteil, um die Vorzeichenentscheidung für das größere Intervall zu vereinfachen.

1. Die Funktion \(g(x) = x^3 - x\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da nur ungerade Exponenten auftreten (\(g(-x) = -g(x)\)). Im symmetrischen Intervall \([-1; 1]\) heben sich der positive orientierte Flächenanteil über \([-1; 0]\) und der betragsgleiche negative orientierte Flächenanteil über \([0; 1]\) in der Flächenbilanz genau auf. 2. Das Integral \(J\) lässt sich aufteilen in \(\int_{-1}^{1} g(x) \, dx + \int_{1}^{2} g(x) \, dx\). Da der erste Teil \(0\) ergibt und die Funktion im Intervall \([1; 2]\) nur positive Werte annimmt, muss das gesamte Integral positiv sein. 3. Berechnung von \(J\): \(\int_{-1}^{2} (x^3 - x) \, dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 \right]_{-1}^{2} = (\frac{16}{4} - \frac{4}{2}) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) = (4 - 2) - (-\frac{1}{4}) = 2 + 0{,}25 = 2{,}25\).

1. Aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung und des symmetrischen Intervalls \([-1; 1]\) heben sich die Flächenanteile auf; die Flächenbilanz ist \(0\). 2. Das Integral \(J\) ist positiv, da zum Bilanzwert \(0\) (aus dem Intervall \([-1; 1]\)) ein rein positiver Flächenanteil aus dem Intervall \([1; 2]\) addiert wird. 3. \(J = 2{,}25\).

- Skizziere den Graphen der Funktion im gegebenen Intervall. - Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? - Welche geometrischen Formen entstehen zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse? - Denk daran, dass Flächen unterhalb der \(x\)-Achse beim Integral negativ gezählt werden.

1. Identifikation der Funktion \(f(x) = 1{,}5x\) und Untersuchung des Graphen im Intervall \([-2; 4]\). Der Graph ist eine Ursprungsgerade mit der Nullstelle bei \(x = 0\). 2. Bestimmung der Teilfläche \(A_1\) unterhalb der \(x\)-Achse im Intervall \([-2; 0]\): Es handelt sich um ein Dreieck mit der Grundseite \(g_1 = 2\) und der Höhe \(h_1 = |f(-2)| = |-3| = 3\). Der Flächeninhalt beträgt \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3\). Da die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse liegt, geht sie negativ in die Bilanz ein. 3. Bestimmung der Teilfläche \(A_2\) oberhalb der \(x\)-Achse im Intervall \([0; 4]\): Es handelt sich um ein Dreieck mit der Grundseite \(g_2 = 4\) und der Höhe \(h_2 = f(4) = 6\). Der Flächeninhalt beträgt \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12\). Diese Fläche geht positiv in die Bilanz ein. 4. Berechnung der Flächenbilanz: \(\int_{-2}^{4} 1{,}5x \, dx = -A_1 + A_2 = -3 + 12 = 9\).

\(9\)

- Schau dir die Integrationsgrenzen der einzelnen Summanden genau an. Fällt dir eine Reihenfolge auf? - Haben alle Integrale denselben Funktionsterm? - Erinnerst du dich an die Regel, wie man Integrale über aneinandergrenzende Intervalle kombiniert? - Berechne erst am Ende den Wert des zusammengefassten Integrals, um Rechenaufwand zu sparen.

1. Anwendung der Intervalladditivität: Da der Integrand in allen drei Integralen identisch ist und die Grenzen lückenlos aneinanderschließen (\(-2\) bis \(0\), \(0\) bis \(3\), \(3\) bis \(5\)), können diese zu einem Integral über das Intervall \([-2; 5]\) zusammengefasst werden. 2. Aufstellen des vereinfachten Integrals: \(\int_{-2}^{5} \left(\frac{1}{2}x^2 - 2x\right) \, dx\). 3. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{6}x^3 - x^2\). 4. Berechnung der Funktionswerte an den Grenzen: \(F(5) = \frac{125}{6} - 25 = \frac{125}{6} - \frac{150}{6} = -\frac{25}{6}\) und \(F(-2) = \frac{-8}{6} - 4 = -\frac{4}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{16}{3} = -\frac{32}{6}\). 5. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: \(F(5) - F(-2) = -\frac{25}{6} - \left(-\frac{32}{6}\right) = \frac{7}{6}\).

\(\frac{7}{6}\)

- Was passiert mit den Integrationsgrenzen, wenn du das Vorzeichen vor einem Integral änderst? - Kannst du die beiden Integrale so umformen, dass sie eine gemeinsame Grenze haben? - Über welches Gesamtintervall wird effektiv integriert, wenn man ein Teilintervall von einem größeren abzieht? - Versuche, eine Stammfunktion für den Term in der Klammer zu finden.

1. Nutzung der Integraleigenschaften: Die Subtraktion eines Integrals ist gleichbedeutend mit der Addition des Integrals bei vertauschten Grenzen: \(-\int_{2}^{3} f(x) \, dx = \int_{3}^{2} f(x) \, dx\). 2. Zusammenfassen der Integrale: \(\int_{-1}^{3} (4 - x^2) \, dx + \int_{3}^{2} (4 - x^2) \, dx = \int_{-1}^{2} (4 - x^2) \, dx\). 3. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(F(2) = 4 \cdot 2 - \frac{1}{3} \cdot 2^3 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}\). 5. Einsetzen der unteren Grenze: \(F(-1) = 4 \cdot (-1) - \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 = -4 + \frac{1}{3} = -\frac{11}{3}\). 6. Berechnung der Differenz: \(\frac{16}{3} - \left(-\frac{11}{3}\right) = \frac{27}{3} = 9\).

\(9\)

- Wie kannst du ein Minuszeichen vor einem Integral eliminieren, indem du die Integrationsgrenzen anpasst? - Schau dir die Grenzen der einzelnen Integrale genau an. Lassen sie sich zu einer lückenlosen Kette verbinden? - Es ist oft einfacher, zuerst den gesamten Integralausdruck zu vereinfachen, bevor du die Stammfunktion bildest.

1. Anwendung der Rechenregel für vertauschte Grenzen: \(-\int_{4}^{2} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} f(x) \, dx\). 2. Zusammenfassen der drei Integrale über die aneinandergrenzenden Intervalle \([-1; 2]\), \([2; 4]\) und \([4; 5]\) zu einem Integral über das Gesamtintervall \([-1; 5]\): \(\int_{-1}^{5} (3x^2 - 4x + 5) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x\). 4. Berechnung der Funktionswerte an den Grenzen: \(F(5) = 5^3 - 2 \cdot 5^2 + 5 \cdot 5 = 125 - 50 + 25 = 100\) und \(F(-1) = (-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 + 5 \cdot (-1) = -1 - 2 - 5 = -8\). 5. Differenzbildung: \(100 - (-8) = 108\).

\(\int_{-1}^{5} (3x^2 - 4x + 5) \, dx = 108\)

- Kannst du die beiden Integrale zu einem einzigen Integral zusammenfassen, da sie dieselben Grenzen haben? - Multipliziere den Faktor vor dem ersten Integral in den Integranden hinein, bevor du die Funktionen addierst. - Welche Terme im Integranden heben sich gegenseitig auf, wenn du alles zusammenfasst? - Erinnere dich beim Integrieren daran, wie man Potenzen mit negativen Exponenten behandelt.

1. Anwendung der Linearität (Faktorregel und Summenregel), um die Integranden zusammenzufassen: \(\int_{1}^{4} \left(3 \cdot (\sqrt{x} + \frac{1}{x^2}) + (2 - 3\sqrt{x})\right) \, dx\). 2. Vereinfachung des Integranden: \(3\sqrt{x} + \frac{3}{x^2} + 2 - 3\sqrt{x} = \frac{3}{x^2} + 2\). 3. Bestimmung der Stammfunktion von \(f(x) = 3x^{-2} + 2\): \(F(x) = -3x^{-1} + 2x = -\frac{3}{x} + 2x\). 4. Berechnung der Werte an den Grenzen: \(F(4) = -\frac{3}{4} + 2 \cdot 4 = -0{,}75 + 8 = 7{,}25\) und \(F(1) = -\frac{3}{1} + 2 \cdot 1 = -3 + 2 = -1\). 5. Differenzbildung: \(7{,}25 - (-1) = 8{,}25\).

\(\int_{1}^{4} \left(\frac{3}{x^2} + 2\right) \, dx = 8{,}25\)

- Überprüfe, ob der Integrand nur gerade oder nur ungerade Exponenten besitzt. - Wie verhält sich der Graph einer Funktion mit ausschließlich ungeraden Exponenten bei einer Spiegelung am Ursprung? - Kannst du eine Summe im Integral in einzelne Integrale aufteilen, um Symmetrien besser zu nutzen? - Was bedeutet Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse für die Flächeninhalte links und rechts der Achse?

1. Der Integrand \(f(x) = x^5 - 12x^3 + 2x\) enthält nur ungerade Exponenten. Die Funktion ist somit punktsymmetrisch zum Ursprung. Da das Integrationsintervall \([-4; 4]\) symmetrisch zum Ursprung liegt, heben sich die orientierten Flächeninhalte auf: \(\int_{-4}^{4} (x^5 - 12x^3 + 2x) \, dx = 0\). 2. Der Integrand \(g(x) = 15x^4 - 6x^2\) enthält nur gerade Exponenten. Die Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Es gilt \(\int_{-1}^{1} g(x) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{1} (15x^4 - 6x^2) \, dx\). Mit der Stammfunktion \(G(x) = 3x^5 - 2x^3\) ergibt sich \(2 \cdot [3x^5 - 2x^3]_0^1 = 2 \cdot (3 - 2) = 2\). 3. Der Integrand \(h(x) = x^2 + 2x + 1\) kann in einen geraden Teil \(x^2 + 1\) und einen ungeraden Teil \(2x\) zerlegt werden. Das Integral über den ungeraden Teil \(\int_{-3}^{3} 2x \, dx\) ist \(0\). Das Integral über den geraden Teil ist \(2 \cdot \int_{0}^{3} (x^2 + 1) \, dx = 2 \cdot [\frac{1}{3}x^3 + x]_0^3 = 2 \cdot (9 + 3) = 24\).

1. \(0\) 2. \(2\) 3. \(24\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Exponenten einer Polynomfunktion und ihrem Symmetrieverhalten. - Nutze die Rechenregeln für Integrale, um die Summe im Integranden aufzuspalten. - Denke bei der Beurteilung von Aussagen über Integrale an die Lage des Graphen zur \(x\)-Achse. - Reicht die Symmetrie alleine aus, um das Vorzeichen des Integrals festzulegen?

a) Da \(f(x)\) nur ungerade Exponenten besitzt, ist der Graph von \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung. Im Intervall \([-3; 3]\) sind die Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse aufgrund der Symmetrie betragsgleich, haben aber unterschiedliche Vorzeichen in der Flächenbilanz. Somit ist das Gesamteintegral \(0\). b) Das Integral kann mithilfe der Linearität aufgeteilt werden: \(\int_{-3}^{3} (f(x) + c) \, dx = \int_{-3}^{3} f(x) \, dx + \int_{-3}^{3} c \, dx\). Aus Aufgabenteil a) ist bekannt, dass der erste Term \(0\) ist. Für den zweiten Term gilt: \(\int_{-3}^{3} c \, dx = [cx]_{-3}^{3} = 3c - (-3c) = 6c\). c) Die Aussage ist falsch. Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse bedeutet lediglich, dass der Graph links und rechts der Achse identisch verläuft. Liegt der Graph im betrachteten Intervall vollständig unterhalb der \(x\)-Achse, ist das Integral negativ. Beispiel: \(g(x) = -1\). Hier ist \(\int_{-1}^{1} -1 \, dx = -2\), obwohl \(g\) achsensymmetrisch ist.

a) Punktsymmetrie zum Ursprung bei symmetrischem Intervall führt zur Flächenbilanz \(0\). b) \(I = 6c\) c) Die Aussage ist falsch; liegt der Graph unterhalb der \(x\)-Achse (z. B. \(g(x) = -1\)), ist das Integral negativ.

- Überlege dir, welche Summanden des Funktionsterms punktsymmetrisch zum Ursprung und welche achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse sind. - Was passiert mit dem Integral einer ungeraden Funktion über einem Intervall der Form \([-a; a]\)? - Kannst du das Integral einer geraden Funktion über einem symmetrischen Intervall vereinfachen?

1. Zerlegung des Integranden in einen ungeraden Teil \(g(x) = \frac{1}{10}x^5 - \frac{2}{3}x^3\) und einen geraden Teil \(h(x) = x^2 - 5\). 2. Da das Intervall \([-3; 3]\) symmetrisch zum Ursprung ist, gilt für den ungeraden Teil: \(\int_{-3}^{3} \left( \frac{1}{10}x^5 - \frac{2}{3}x^3 \right) \, dx = 0\). 3. Das Integral vereinfacht sich somit auf den geraden Teil: \(\int_{-3}^{3} (x^2 - 5) \, dx\). 4. Nutzung der Symmetrie des geraden Teils: \(2 \cdot \int_{0}^{3} (x^2 - 5) \, dx\). 5. Bestimmung der Stammfunktion: \(2 \cdot \left[ \frac{1}{3}x^3 - 5x \right]_{0}^{3}\). 6. Einsetzen der Grenzen: \(2 \cdot \left( (\frac{1}{3} \cdot 27 - 5 \cdot 3) - 0 \right) = 2 \cdot (9 - 15) = 2 \cdot (-6) = -12\).

\(-12\)

- Erinnere dich an die Regel, was passiert, wenn man die obere und untere Grenze eines Integrals vertauscht. - Kannst du zwei Integrale mit demselben Integranden zusammenfügen, wenn die Grenzen „aneinanderstoßen“? - Prüfe nach dem Zusammenfügen, ob das neue Intervall eine besondere Symmetrie aufweist.

1. Anwendung der Rechenregel für vertauschte Grenzen: \(-\int_{4}^{1} f(x) \, dx = \int_{1}^{4} f(x) \, dx\). 2. Zusammenfassen der Integrale über die Intervalladditivität: \(\int_{-4}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{4} f(x) \, dx = \int_{-4}^{4} f(x) \, dx\). 3. Untersuchung der Symmetrie von \(f(x) = x^3 + 2x + 0{,}5\): Die Summanden \(x^3\) und \(2x\) sind ungerade, ihr Integral über \([-4; 4]\) ist \(0\). 4. Reduktion des Integrals auf den konstanten (geraden) Teil: \(\int_{-4}^{4} 0{,}5 \, dx\). 5. Berechnung des verbleibenden Integrals: \([0{,}5x]_{-4}^{4} = 0{,}5 \cdot 4 - 0{,}5 \cdot (-4) = 2 - (-2) = 4\).

\(4\)

- Überlege dir, wie sich Flächeninhalte bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse verhalten. - Nutze die Eigenschaft, dass man Integrationsintervalle an beliebigen Stellen aufteilen oder zusammensetzen kann. - Erinnere dich daran, wie man die Summe von zwei Funktionen integriert. - Wie berechnet man das Integral einer konstanten Funktion über ein bestimmtes Intervall?

1. Da \(f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, gilt \(\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{a} f(x) \, dx\). Somit ist \(\int_{-3}^{3} f(x) \, dx = 2 \cdot 4 = 8\). 2. Bei Achsensymmetrie gilt \(\int_{-b}^{-a} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx\). Daher ist \(\int_{-5}^{-3} f(x) \, dx = \int_{3}^{5} f(x) \, dx = -2\). 3. Wegen der Symmetrie ist \(\int_{-5}^{0} f(x) \, dx = \int_{0}^{5} f(x) \, dx\). Mit der Intervalladditivität folgt \(\int_{0}^{5} f(x) \, dx = \int_{0}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx = 4 + (-2) = 2\). 4. Nach der Linearität des Integrals gilt \(\int_{0}^{5} (f(x) + 3) \, dx = \int_{0}^{5} f(x) \, dx + \int_{0}^{5} 3 \, dx\). Das erste Integral ist \(2\) (siehe Schritt 3), das zweite ist \([3x]_0^5 = 15\). Die Summe ergibt \(2 + 15 = 17\).

a) \(8\) b) \(-2\) c) \(2\) d) \(17\)

- Kannst du den Funktionsterm in eine Summe aus einer geraden und einer ungeraden Funktion aufteilen? - Was passiert mit dem Integral der ungeraden Summanden, wenn man über ein Intervall von \(-k\) bis \(k\) integriert? - Berechne das Integral des verbleibenden Anteils unter Ausnutzung der Symmetrie zur \(y\)-Achse.

1. Zerlegung des Integrands: Aufgrund der Linearität des Integrals gilt \(\int_{-k}^{k} (x^3 - 6x^2 + 2x) \, dx = \int_{-k}^{k} (x^3 + 2x) \, dx + \int_{-k}^{k} (-6x^2) \, dx\). 2. Symmetriebetrachtung: Der Anteil \(u(x) = x^3 + 2x\) ist eine ungerade Funktion. Für jedes symmetrische Intervall \([-k; k]\) gilt \(\int_{-k}^{k} u(x) \, dx = 0\). Somit hängt der Gesamtwert nur vom Integral des geraden Anteils \(g(x) = -6x^2\) ab. 3. Berechnung: \(I = \int_{-k}^{k} -6x^2 \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{k} -6x^2 \, dx = 2 \cdot [-2x^3]_0^k = 2 \cdot (-2k^3) = -4k^3\).

a) Da \(x^3\) und \(2x\) ungerade Funktionen sind, ist ihr Integral über \([-k; k]\) gleich \(0\). Es bleibt nur das Integral über den geraden Anteil \(-6x^2\). b) \(I = -4k^3\)

- Wie berechnet man das Integral einer Potenzfunktion mithilfe einer Stammfunktion? - Überlege dir, wie du die Nullstellen der Funktion findest, um das Intervall sinnvoll aufzuteilen. - Denke daran, dass Flächeninhalte immer positive Werte sind, während Integrale auch negativ sein können. - Wie hängen die Vorzeichen der Funktionswerte in den Teilintervallen mit der Verrechnung zum Gesamtintegral zusammen?

1. Berechnung des Integrals: Eine Stammfunktion von \(f(x) = x^3 - 4x\) ist \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2\). Das Integral über \([-1; 3]\) ergibt \(\int_{-1}^3 (x^3 - 4x) \, dx = F(3) - F(-1) = (\frac{81}{4} - 18) - (\frac{1}{4} - 2) = 2{,}25 - (-1{,}75) = 4\). 2. Nullstellen und Teilflächen: Die Nullstellen von \(f(x) = x(x^2-4)\) sind \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). Im Intervall \([-1; 3]\) liegen die Nullstellen \(x = 0\) und \(x = 2\). Dies führt zu drei Teilintervallen: - \([-1; 0]\): \(A_1 = \int_{-1}^0 f(x) \, dx = F(0) - F(-1) = 0 - (-1{,}75) = 1{,}75\). - \([0; 2]\): \(\int_0^2 f(x) \, dx = F(2) - F(0) = (4 - 8) - 0 = -4\). Der Flächeninhalt beträgt \(A_2 = |-4| = 4\). - \([2; 3]\): \(A_3 = \int_2^3 f(x) \, dx = F(3) - F(2) = 2{,}25 - (-4) = 6{,}25\). 3. Verrechnung: Die Flächenbilanz ergibt \(A_1 - A_2 + A_3 = 1{,}75 - 4 + 6{,}25 = 4\). Dies entspricht dem Wert des Integrals.

1. Der Wert des Integrals ist \(4\). 2. Die Nullstellen im Intervall sind \(x = 0\) und \(x = 2\). Die Flächeninhalte der Teilflächen betragen \(A_1 = 1{,}75\), \(A_2 = 4\) und \(A_3 = 6{,}25\). 3. Die Rechnung \(1{,}75 - 4 + 6{,}25 = 4\) bestätigt das Ergebnis des Integrals.

- Zur Bestimmung der Nullstellen kannst du die \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisierung nutzen. - Skizziere dir gedanklich den Verlauf der Parabel, um zu wissen, wo sie oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Was bedeutet es für das Vorzeichen des Integrals, wenn der Graph unterhalb der \(x\)-Achse liegt? - Achte beim Einsetzen der Grenzen in die Stammfunktion besonders auf die Brüche.

1. Berechnung des Integrals: Eine Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x\). Das Integral ergibt \(\int_0^4 (x^2 - 4x + 3) \, dx = F(4) - F(0) = (\frac{64}{3} - 32 + 12) - 0 = \frac{64}{3} - 20 = \frac{4}{3} \approx 1{,}333\). 2. Nullstellen und Teilflächen: Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\) (Lösung der quadratischen Gleichung). Die Intervalle sind: - \([0; 1]\): \(\int_0^1 f(x) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{1}{3} - 2 + 3 = \frac{4}{3}\). Da das Integral positiv ist, liegt die Fläche oberhalb der \(x\)-Achse: \(A_1 = \frac{4}{3}\). - \([1; 3]\): \(\int_1^3 f(x) \, dx = F(3) - F(1) = (9 - 18 + 9) - \frac{4}{3} = -\frac{4}{3}\). Die Fläche liegt unterhalb der \(x\)-Achse: \(A_2 = |-\frac{4}{3}| = \frac{4}{3}\). - \([3; 4]\): \(\int_3^4 f(x) \, dx = F(4) - F(3) = \frac{4}{3} - 0 = \frac{4}{3}\). Die Fläche liegt oberhalb der \(x\)-Achse: \(A_3 = \frac{4}{3}\). 3. Verrechnung: Die Bilanz lautet \(A_1 - A_2 + A_3 = \frac{4}{3} - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{4}{3}\). Dies bestätigt den Wert des Integrals.

1. Der Wert des Integrals ist \(\frac{4}{3}\). 2. Die Nullstellen sind \(x = 1\) und \(x = 3\). Die drei Teilflächen haben jeweils den Inhalt \(\frac{4}{3}\). 3. Die Flächenbilanz \(\frac{4}{3} - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{4}{3}\) bestätigt das Integral.

- Überlege dir, wie der Graph der Funktion im Koordinatensystem aussieht. - Teile die Fläche unter dem Graphen in bekannte geometrische Formen wie Rechtecke und Dreiecke auf. - Achte besonders auf die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse schneidet. - Wie werden Flächen gewertet, die unterhalb der \(x\)-Achse liegen?

1. Aufteilung des Integrationsintervalls anhand der Nullstelle des mittleren Segments: Das Segment zwischen \(B(2|2)\) und \(C(5|-1)\) hat die Steigung \(m = \frac{-1 - 2}{5 - 2} = -1\). Die Geradengleichung lautet \(y = -1(x - 2) + 2 = -x + 4\). Die Nullstelle liegt bei \(x = 4\). 2. Berechnung der Teilflächen oberhalb der \(x\)-Achse: Das Rechteck von \(x=0\) bis \(x=2\) mit der Höhe \(2\) hat den Inhalt \(A_1 = 2 \cdot 2 = 4\). Das Dreieck von \(x=2\) bis \(x=4\) mit der Grundseite \(2\) und der Höhe \(2\) hat den Inhalt \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). 3. Berechnung der Teilflächen unterhalb der \(x\)-Achse: Das Dreieck von \(x=4\) bis \(x=5\) mit der Grundseite \(1\) und der Höhe \(1\) (Betrag) hat den Inhalt \(A_3 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 0{,}5\). Das Rechteck von \(x=5\) bis \(x=7\) mit der Höhe \(1\) (Betrag) hat den Inhalt \(A_4 = 2 \cdot 1 = 2\). 4. Bestimmung der Flächenbilanz: Der Integralwert ergibt sich aus der Summe der orientierten Flächeninhalte: \(I = A_1 + A_2 - A_3 - A_4 = 4 + 2 - 0{,}5 - 2 = 3{,}5\).

\(\int_{0}^{7} f(x) \, dx = 3{,}5\)

- Skizziere dir den Verlauf der Sinuskurve über eine vollständige Periode. - Welche Symmetrie weisen Funktionen auf, die nur gerade Exponenten besitzen? - Wie verändert sich die Fläche unter einem Graphen, wenn man sowohl die Funktion als auch die Grenzen in die gleiche Richtung verschiebt? - Denke an die Bedeutung des Integrals als orientierter Flächeninhalt.

1. Zu a): Der Graph der Sinusfunktion ist über dem Intervall \([0; 2\pi]\) punktsymmetrisch zum Punkt \((\pi|0)\). Die Fläche oberhalb der \(x\)-Achse im Intervall \([0; \pi]\) ist exakt so groß wie die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse im Intervall \([\pi; 2\pi]\). In der Flächenbilanz heben sich diese Werte zu Null auf. 2. Zu b): Die Funktion \(f(x) = x^4\) ist eine gerade Funktion (achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse), da nur gerade Exponenten auftreten. Die Fläche im Intervall \([-2; 0]\) ist daher deckungsgleich mit der Fläche im Intervall \([0; 2]\). Das Gesamtintegral über \([-2; 2]\) entspricht somit dem Doppelten des Integrals über einer der beiden Hälften. 3. Zu c): Der Graph der Funktion \(g(x) = x-1\) entsteht durch eine Verschiebung des Graphen von \(h(x) = x\) um eine Einheit nach rechts. Da auch die Integrationsgrenzen von \([-1; 2]\) um genau eine Einheit nach rechts auf \([0; 3]\) verschoben wurden, bleiben die Form der Fläche und ihr Inhalt unter dem Graphen identisch.

a) Aufgrund der Punktsymmetrie der Sinusfunktion zum Punkt \((\pi|0)\) heben sich die positiven und negativen Flächenanteile auf. b) Da \(x^4\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, sind die Flächeninhalte links und rechts der Achse identisch. c) Es handelt sich um eine identische Fläche, die lediglich entlang der \(x\)-Achse um eine Einheit verschoben wurde (Substitution/Translation).

- Ist die Funktion im gegebenen Bereich steigend oder fallend? Davon hängt ab, ob die Untersumme die linken oder rechten Randwerte nutzt. - Bestimme zuerst die Breite eines einzelnen Teilintervalls in Abhängigkeit von der Anzahl der Rechtecke. - Stelle eine Formel für die \(x\)-Koordinate der k-ten Stützstelle auf. - Setze diese \(x\)-Koordinate in den Funktionsterm ein, um die Höhe des k-ten Rechtecks zu erhalten.

1. Die Intervallbreite ist \(\Delta x = \frac{2-0}{5} = 0{,}4\). Da \(f\) auf \([0; 2]\) streng monoton fallend ist, liegt das Minimum in jedem Teilintervall \([x_{k-1}; x_k]\) am rechten Rand \(x_k = 0{,}4k\). Die Untersumme ist \(U_5 = \sum_{k=1}^{5} f(x_k) \cdot \Delta x = \sum_{k=1}^{5} (4 - (0{,}4k)^2) \cdot 0{,}4\). Die Funktionswerte an den Stellen \(0{,}4; 0{,}8; 1{,}2; 1{,}6; 2{,}0\) sind \(3{,}84; 3{,}36; 2{,}56; 1{,}44; 0\). Die Summe dieser Werte ist \(11{,}2\). Somit gilt \(U_5 = 11{,}2 \cdot 0{,}4 = 4{,}48\). 2. Bei \(n\) Teilintervallen ist \(\Delta x = \frac{2}{n}\) und die rechten Intervallgrenzen sind \(x_k = \frac{2k}{n}\). Da die Funktion fällt, ist der allgemeine Ausdruck für die Untersumme \(U_n = \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2k}{n}\right) \cdot \frac{2}{n} = \sum_{k=1}^{n} \left(4 - \left(\frac{2k}{n}\right)^2\right) \cdot \frac{2}{n}\).

1. \(U_5 = 4{,}48\) 2. \(U_n = \sum_{k=1}^{n} \left(4 - \frac{4k^2}{n^2}\right) \cdot \frac{2}{n}\)

- Welchen Wert hat das Integral der Sinusfunktion über eine vollständige Periode von \(2\pi\)? - Wie wirkt sich der Summand \(+2\) auf den Flächeninhalt unter dem Graphen aus? - Wenn man ein Integral über eine Periode verdoppeln möchte, was bietet sich für die Länge des neuen Intervalls an? - Erinnere dich an die Linearität des Integrals: Du kannst den Sinus-Teil und den konstanten Teil getrennt betrachten.

1. Auswertung des rechten Integrals: Das Integral \(\int_{0}^{2\pi} \sin(x) \, dx\) über eine volle Periode ist \(0\). Somit reduziert sich das Integral auf den konstanten Teil: \(\int_{0}^{2\pi} 2 \, dx = [2x]_0^{2\pi} = 4\pi\). Der Gesamtwert der rechten Seite ist also \(2 \cdot 4\pi = 8\pi\). 2. Aufstellen der Bedingung für die linke Seite: Wir suchen \(a\) und \(b\), sodass \(\int_{a}^{b} (\sin(x) + 2) \, dx = 8\pi\). 3. Nutzung der Periodizität: Da die Funktion \(f(x) = \sin(x) + 2\) die Periode \(2\pi\) besitzt und der Mittelwert über eine Periode \(2\) beträgt, entspricht das Integral über zwei volle Perioden (Länge \(4\pi\)) genau dem doppelten Wert des Integrals über eine Periode. 4. Wahl der Grenzen: Wählt man \(a = 0\), so muss gelten \(\int_{0}^{b} (\sin(x) + 2) \, dx = 8\pi\). Dies ist für \(b = 4\pi\) erfüllt, da \(\int_{0}^{4\pi} \sin(x) \, dx = 0\) und \(\int_{0}^{4\pi} 2 \, dx = 8\pi\). Eine mögliche Lösung ist somit \(a = 0\) und \(b = 4\pi\).

Zum Beispiel \(a = 0\) und \(b = 4\pi\) (weitere Lösungen sind möglich, sofern \(b - a = 4\pi\) und die Grenzen so gewählt sind, dass sich die Sinusanteile aufheben, z. B. über volle Perioden).

- Erinnere dich an den Verlauf der Standardfunktionen wie Sinus, Kosinus oder Exponentialfunktionen. - Gibt es innerhalb des Intervalls einen Punkt, an dem die Funktion ihr Vorzeichen wechselt? Wenn ja, wie verhalten sich die Flächen davor und danach? - Bestimme den Wertebereich des Integranden auf dem gegebenen Intervall. - Überprüfe, ob die Integrationsrichtung (von der unteren zur oberen Grenze) positiv ist.

1. Bei a) wird die Kosinusfunktion auf dem Intervall \([0; \pi]\) betrachtet. Der Graph ist im Bereich \([0; \frac{\pi}{2}]\) positiv und im Bereich \([\frac{\pi}{2}; \pi]\) negativ. Aufgrund der Punktsymmetrie zum Punkt \((\frac{\pi}{2}|0)\) sind die beiden Flächenanteile betragsmäßig gleich groß und heben sich in der Bilanz auf. Das Integral ist null. 2. Bei b) wird der Scheitelpunkt der Parabel \(f(x) = x^2 - 5\) betrachtet, der bei \((0|-5)\) liegt. Im Intervall \([-2; 2]\) erreicht die Funktion ihren maximalen Wert an den Grenzen mit \(2^2 - 5 = -1\). Da der Integrand im gesamten Intervall negativ ist und die Grenzen in Standardreihenfolge vorliegen, ist das Integral negativ. 3. Bei c) ist der Integrand eine Exponentialfunktion der Form \(e^{u}\). Da Exponentialfunktionen für alle reellen Exponenten stets positive Funktionswerte liefern und die untere Grenze kleiner als die obere ist, muss der Wert des Integrals positiv sein.

a) Das Integral ist null. b) Das Integral ist negativ. c) Das Integral ist positiv.

- Nutze die Differenzregel für Integrale, um die Aufgabe zu vereinfachen. - Betrachte die beiden Funktionen im Integranden getrennt voneinander. - Welche Flächen entstehen, wenn du die Graphen der Funktionen einzeln über dem Intervall \([0; 4]\) betrachtest? - Erinnerst du dich an die Flächenformeln für Kreise und Dreiecke?

1. Das Integral wird mithilfe der Linearität in die Differenz zweier Integrale zerlegt: \(\int_{0}^{4} \sqrt{16 - x^2} \, dx - \int_{0}^{4} x \, dx\). 2. Das erste Integral \(\int_{0}^{4} \sqrt{16 - x^2} \, dx\) wird als Flächeninhalt eines Viertelkreises im ersten Quadranten mit dem Radius \(r = 4\) interpretiert. Der Wert ist \(\frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 4^2 = 4\pi\). 3. Das zweite Integral \(\int_{0}^{4} x \, dx\) entspricht dem Flächeninhalt eines rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreiecks mit der Grundseite 4 und der Höhe 4. Die Berechnung ergibt \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\). 4. Durch Subtraktion der beiden Flächeninhalte ergibt sich der Gesamtwert des Integrals: \(4\pi - 8\).

\(4\pi - 8\)

- Wie löst man eine Gleichung nach \(x\) auf, wenn \(x\) im Exponenten steht? - Welche Regel nutzt man, um eine Funktion der Form \(e^{ax+b}\) zu integrieren? - Untersuche das Vorzeichen der Funktion links und rechts von der Nullstelle. - Was passiert bei der Integralrechnung mit Flächenstücken, die unterhalb der \(x\)-Achse liegen?

1. Berechnung der Nullstelle: Die Gleichung \(e^{0{,}5x} - e = 0\) führt auf \(e^{0{,}5x} = e^1\). Durch Logarithmieren oder Exponentenvergleich erhält man \(0{,}5x = 1\), woraus \(x = 2\) folgt. 2. Berechnung des Integrals: Eine Stammfunktion von \(g(x)\) ist \(G(x) = 2e^{0{,}5x} - ex\). Das bestimmte Integral berechnet sich als \(G(4) - G(0) = (2e^{0{,}5 \cdot 4} - e \cdot 4) - (2e^0 - e \cdot 0) = (2e^2 - 4e) - 2 = 2e^2 - 4e - 2\). 3. Erläuterung: Da die Nullstelle \(x = 2\) innerhalb des Integrationsintervalls \([0; 4]\) liegt, wechselt die Funktion dort das Vorzeichen (für \(x < 2\) ist \(g(x) < 0\), für \(x > 2\) ist \(g(x) > 0\)). Das Integral liefert die Flächenbilanz, bei der der Flächeninhalt unterhalb der \(x\)-Achse negativ gezählt wird, während für den Gesamtflächeninhalt die Beträge der Teilintegrale addiert werden müssten.

a) Die Nullstelle liegt bei \(x = 2\). b) Der Integralwert beträgt \(2e^2 - 4e - 2\) (ca. \(1{,}91\)). Da die Funktion bei \(x = 2\) einen Vorzeichenwechsel besitzt, stellt das Integral eine Bilanz aus negativen und positiven Flächenanteilen dar, was nicht dem geometrischen Gesamtflächeninhalt entspricht.

- Vergleiche die Ergebnisse der Integration über das gesamte Intervall mit dem doppelten Wert des rechten Teilintervalls. - Was muss für die Funktionswerte \(f(x)\) und \(f(-x)\) gelten, damit die Flächeninhalte links und rechts der \(y\)-Achse identisch sind? - Erinnere dich an die Bedingung für Achsensymmetrie bei ganzrationalen Funktionen bezüglich der Exponenten. - Untersuche, wie sich der Parameter \(c\) beim Integrieren und Einsetzen der Grenzen verhält.

1. Linke Seite: \(\int_{-k}^{k} (3x^2 + 5) \, dx = [x^3 + 5x]_{-k}^{k} = (k^3 + 5k) - ((-k)^3 + 5(-k)) = k^3 + 5k - (-k^3 - 5k) = 2k^3 + 10k\). Rechte Seite: \(2 \cdot \int_{0}^{k} (3x^2 + 5) \, dx = 2 \cdot [x^3 + 5x]_0^k = 2(k^3 + 5k - 0) = 2k^3 + 10k\). Beide Seiten sind identisch. 2. Die Gleichung besagt, dass der Integralwert über das gesamte Intervall \([-k; k]\) genau doppelt so groß ist wie der Wert über der rechten Hälfte \([0; k]\). Dies setzt voraus, dass der orientierte Flächeninhalt im linken Teil \([-k; 0]\) identisch mit dem im rechten Teil \([0; k]\) ist. Dies ist bei Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse (\(f(-x) = f(x)\)) der Fall. 3. Damit \(h(x) = x^2 + cx + 1\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, dürfen nur gerade Exponenten von \(x\) vorkommen. Daraus folgt direkt \(c = 0\). Rechnerische Überprüfung: \(\int_{-k}^{k} (x^2+cx+1) \, dx = [\frac{1}{3}x^3 + \frac{c}{2}x^2 + x]_{-k}^k = \frac{2}{3}k^3 + 2k\). Der Term mit \(c\) fällt durch die Subtraktion weg (\(\frac{c}{2}k^2 - \frac{c}{2}(-k)^2 = 0\)). Auf der rechten Seite gilt \(2 \int_{0}^{k} (x^2+cx+1) \, dx = 2(\frac{1}{3}k^3 + \frac{c}{2}k^2 + k) = \frac{2}{3}k^3 + ck^2 + 2k\). Gleichsetzen liefert \(\frac{2}{3}k^3 + 2k = \frac{2}{3}k^3 + ck^2 + 2k\), was für alle \(k\) nur für \(c = 0\) wahr ist.

1. Beide Seiten ergeben \(2k^3 + 10k\). 2. Der Graph der Funktion \(f\) muss achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse sein (\(f(x) = f(-x)\)). 3. \(c = 0\).

- Wie weist man nach, dass ein Graph durch den Koordinatenursprung verläuft? - Nutze die Stammfunktion, um das Integral in Abhängigkeit von \(k\) zu berechnen und setze das Ergebnis gleich null. - Achte bei der Symmetrieuntersuchung auf die Exponenten der ganzrationalen Funktion. - Ein Gegenbeispiel muss alle Voraussetzungen einer Behauptung erfüllen, aber die Schlussfolgerung verletzen.

1. Einsetzen von \(x = 0\) ergibt \(f_k(0) = 0^4 + k \cdot 0^2 = 0\). Somit verlaufen alle Graphen durch den Ursprung. 2. Berechnung des Integrals: \(\int_{-2}^{2} (x^4 + kx^2) \, dx = [\frac{1}{5}x^5 + \frac{k}{3}x^3]_{-2}^{2} = (\frac{32}{5} + \frac{8k}{3}) - (-\frac{32}{5} - \frac{8k}{3}) = \frac{64}{5} + \frac{16}{3}k\). 3. Bestimmung von \(k\): \(\frac{64}{5} + \frac{16}{3}k = 0 \implies \frac{16}{3}k = -12{,}8 \implies k = -12{,}8 \cdot \frac{3}{16} = -2{,}4\). 4. Symmetrie für \(k = -2{,}4\): \(f_{-2{,}4}(x) = x^4 - 2{,}4x^2\). Da nur gerade Exponenten auftreten, gilt \(f_{-2{,}4}(-x) = f_{-2{,}4}(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Da die Funktion nicht die Nullfunktion ist, kann sie nicht gleichzeitig punktsymmetrisch zum Ursprung sein. 5. Schlussfolgerung: Das Beispiel zeigt eine Funktion, die beide Bedingungen erfüllt (\(f(0)=0\) und Integral über \([-2; 2]\) ist null), aber dennoch achsensymmetrisch statt punktsymmetrisch ist. Die Behauptung ist somit falsch.

1. \(f_k(0) = 0^4 + k \cdot 0^2 = 0\). 2. \(k = -2{,}4\). 3. Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(f(-x) = f(x)\) gilt. 4. Die Funktion \(f(x) = x^4 - 2{,}4x^2\) dient als Gegenbeispiel, da sie trotz \(f(0)=0\) und einem Integralwert von null über \([-2; 2]\) achsensymmetrisch und nicht punktsymmetrisch ist.

- Teile das Integral an der Stelle auf, an der sich die Funktionsvorschrift ändert. - Prüfe, ob der Graph innerhalb der Teilintervalle die \(x\)-Achse schneidet. - Welche einfachen geometrischen Figuren (Rechtecke, Dreiecke) kannst du in den einzelnen Abschnitten erkennen? - Beachte das Vorzeichen der Teilflächen je nach Lage zur \(x\)-Achse.

1. Zerlegung des Integrals in Intervalle basierend auf der Funktionsdefinition und den Nullstellen: \([-2; 1]\), \([1; 3]\) und \([3; 5]\). 2. Berechnung der Fläche \(A_1\) im Intervall \([-2; 1]\): Die Funktion ist konstant \(f(x) = 2\). Es entsteht ein Rechteck mit der Breite \(3\) und der Höhe \(2\). Flächeninhalt \(A_1 = 3 \cdot 2 = 6\). 3. Berechnung der Fläche \(A_2\) im Intervall \([1; 3]\): Die Funktion \(f(x) = 3 - x\) verläuft oberhalb der \(x\)-Achse bis zur Nullstelle bei \(x = 3\). Es entsteht ein Dreieck mit der Grundseite \(2\) und der Höhe \(f(1) = 2\). Flächeninhalt \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). 4. Berechnung der Fläche \(A_3\) im Intervall \([3; 5]\): Die Funktion verläuft unterhalb der \(x\)-Achse. Es entsteht ein Dreieck mit der Grundseite \(2\) und der Höhe \(|f(5)| = |3 - 5| = 2\). Flächeninhalt \(A_3 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). 5. Bestimmung der Flächenbilanz: Das Integral ergibt sich aus \(A_1 + A_2 - A_3 = 6 + 2 - 2 = 6\).

\(6\)

- Was passiert mit dem Integral einer ungeraden (punktsymmetrischen) Funktion über ein Intervall, das symmetrisch zum Nullpunkt liegt? - Versuche, das gegebene Integral von \(-2\) bis \(6\) in Teilintervalle zu zerlegen, von denen du eines bereits durch die Symmetrie kennst. - Wie hängen die Integrale über \([a; b]\) und \([-b, -a]\) bei einer Punktsymmetrie zum Ursprung zusammen? Skizziere dir eventuell eine Beispielfunktion wie \(x^3\). - Prüfe genau, ob die Informationen ausreichen, um Teilflächen ab der Grenze \(0\) einzeln zu bestimmen.

1. Da \(g\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist, gilt \(\int_{-a}^{a} g(x) \, dx = 0\) für jedes \(a\). 2. Für a): Zerlegung \(\int_{-2}^{6} g(x) \, dx = \int_{-2}^{2} g(x) \, dx + \int_{2}^{6} g(x) \, dx\). Da \(\int_{-2}^{2} g(x) \, dx = 0\), folgt \(12 = 0 + \int_{2}^{6} g(x) \, dx\), also \(\int_{2}^{6} g(x) \, dx = 12\). 3. Für b): Bei Punktsymmetrie gilt \(\int_{-b}^{-a} g(x) \, dx = -\int_{a}^{b} g(x) \, dx\). Mit dem Ergebnis aus a) folgt \(\int_{-6}^{-2} g(x) \, dx = -12\). 4. Für c): Nach der Intervalladditivität ist \(\int_{0}^{6} g(x) \, dx - \int_{0}^{2} g(x) \, dx = \int_{2}^{6} g(x) \, dx = 12\). 5. Für d): Wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung ist das Integral über ein symmetrisches Intervall um Null stets \(\int_{-6}^{6} g(x) \, dx = 0\). 6. Für e): Es ist nur die Differenz der Integrale bekannt, nicht die Einzelwerte von \(\int_{0}^{2}\) oder \(\int_{0}^{6}\). Das Integral ist nicht berechenbar.

a) \(12\) b) \(-12\) c) \(12\) d) \(0\) e) Nicht eindeutig bestimmbar