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- Welchen konstanten Funktionswert zeigt der Graph? - Welche Breite hat das zugehörige Rechteck? - Welches Vorzeichen erhält ein Flächenbeitrag unterhalb der \(x\)-Achse?

1. Aus dem Graphen liest man \(f(x)=-2\) ab. 2. Zwischen \(x=-2\) und \(x=3\) entsteht ein Rechteck der Breite \(5\) und der geometrischen Höhe \(2\). 3. Da das Rechteck unterhalb der \(x\)-Achse liegt, ist sein Flächenbeitrag \(-5\cdot2=-10\). Somit ist die Flächenbilanz \(\int_{-2}^{3}f(x)\,dx=-10\).

\(\int_{-2}^{3}f(x)\,dx=-10\)

- Lies den Funktionswert an der \(y\)-Achse ab. - Wie breit ist das Intervall, über das integriert wird? - Überlege, welche geometrische Form die Fläche zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse bildet.

1. Ablesen des Funktionswerts: Der Graph ist eine waagrechte Gerade bei \(y = 1{,}5\). 2. Bestimmung der Intervallbreite: Das Integral erstreckt sich von \(x = -3\) bis \(x = 1\), also ist die Breite \(1 - (-3) = 4\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: Da die Funktion positiv ist, entspricht das Integral dem Flächeninhalt des Rechtecks: \(4 \cdot 1{,}5 = 6\).

\(\int_{-3}^{1} f(x) \, dx = 6\)

- Welche beiden \(x\)-Werte begrenzen die markierte Fläche im Bild? - Welcher Funktionsterm gehört zum dargestellten Graphen? - Wie werden Funktion und abgelesene Grenzen zu einem bestimmten Integral zusammengesetzt?

1. Aus der Abbildung liest man als linke Grenze \(x=0\) und als rechte Grenze \(x=2\) ab. 2. Der Graph liegt dort oberhalb der \(x\)-Achse. Die Flächenbilanz wird daher durch \(\int_0^2\left(\frac12x^2+1\right)\,dx\) beschrieben.

\(\int_0^2\left(\frac12x^2+1\right)\,dx\)

- Welche \(x\)-Werte bilden den linken und rechten Rand der markierten Fläche? - Welcher Funktionsterm ist zu integrieren? - Muss eine Flächenbilanz an einer Nullstelle zwingend in zwei Integrale zerlegt werden?

1. Aus der Abbildung liest man die Grenzen \(x=0\) und \(x=4\) ab. 2. Mit dem gegebenen Funktionsterm lautet die Flächenbilanz \(\int_0^4\left(\frac12x-1\right)\,dx\). Das Integral berücksichtigt automatisch, dass der Graph bei \(x=2\) die \(x\)-Achse schneidet.

\(\int_0^4\left(\frac12x-1\right)\,dx\)

- Skizziere den Graphen der Funktion im gegebenen Intervall. - Welche geometrische Figur entsteht zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse? - Erinnere dich an die Formeln für den Flächeninhalt von Standardfiguren wie Rechtecken, Dreiecken oder Trapezen. - Wie hängen die Funktionswerte an den Intervallgrenzen mit den Seitenlängen der Figur zusammen?

1. Identifikation der geometrischen Form: Der Graph der linearen Funktion \(f(x) = 0{,}5x + 3\) ist über dem Intervall \([-1; 4]\) eine Gerade. Da die Funktionswerte an den Intervallgrenzen \(f(-1) = 2{,}5\) und \(f(4) = 5\) beide positiv sind, bildet die Fläche zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse ein Trapez. 2. Bestimmung der Trapezmaße: Die parallelen Seiten haben die Längen \(a = f(-1) = 2{,}5\) und \(c = f(4) = 5\). Die Höhe des Trapezes entspricht der Intervallbreite \(h = 4 - (-1) = 5\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: Unter Verwendung der Trapezformel \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\) ergibt sich \(A = \frac{2{,}5 + 5}{2} \cdot 5 = 3{,}75 \cdot 5 = 18{,}75\). 4. Bestimmung des Integralwerts: Da die Fläche vollständig oberhalb der \(x\)-Achse liegt, entspricht der Integralwert dem Flächeninhalt: \(18{,}75\).

\(\int_{-1}^{4} (0{,}5x + 3) \, dx = 18{,}75\)

- Skizziere im Kopf den Verlauf der Funktion. Wo liegt der Scheitelpunkt? - Welche Symmetrie weist eine Parabel im Allgemeinen auf? - Betrachte die Lage der Integrationsgrenzen im Verhältnis zur Symmetrieachse der Funktion. - Haben die beiden Intervalle die gleiche Breite und den gleichen Abstand zur Symmetrieachse?

1. Identifikation der Funktion \(f(x) = (x - 2)^2\) als eine um \(2\) Einheiten nach rechts verschobene Normalparabel. 2. Bestimmung des Scheitelpunkts bei \(S(2\mid 0)\) und der daraus resultierenden Achsensymmetrie des Graphen zur Geraden \(x = 2\). 3. Analyse der Integrationsintervalle: Das Intervall \([1; 2]\) liegt unmittelbar links vom Symmetriezentrum \(x = 2\), das Intervall \([2; 3]\) unmittelbar rechts davon. Beide Intervalle haben die gleiche Breite \(1\). 4. Aufgrund der Achsensymmetrie sind die Flächeninhalte unter dem Graphen in diesen beiden zueinander symmetrisch liegenden Teilintervallen identisch, woraus die Gleichheit der Integrale folgt.

Die Gleichung ist wahr, da der Graph der Funktion \(f(x) = (x - 2)^2\) eine achsensymmetrische Parabel mit der Symmetrieachse \(x = 2\) ist. Da die Intervalle \([1; 2]\) und \([2; 3]\) symmetrisch zu dieser Achse liegen und die gleiche Breite besitzen, sind die Flächeninhalte unter dem Graphen in diesen Bereichen gleich groß.

- Untersuche zunächst, wo \(f(x)\) positiv, null oder negativ ist. - Welche Bedeutung hat die Lage des Graphen zur \(x\)-Achse für das Vorzeichen eines Flächenbeitrags? - Vergleiche für \([0;4]\) die Größenordnung des negativen und positiven Bereichs, bevor du rechnest.

1. Für \(0\leq x<2\) gilt \(x^2-4<0\). Daher verläuft der Graph auf \([0;2]\) unterhalb der \(x\)-Achse und \(\int_0^2 f(x)\,dx<0\). 2. Die Nullstelle im betrachteten Intervall ist \(x=2\). Beispielsweise liegt \((0\mid-4)\) unterhalb und \((4\mid12)\) oberhalb der \(x\)-Achse. Der positive Flächenbeitrag auf \([2;4]\) ist größer als der negative Beitrag auf \([0;2]\), daher ist ein positiver Gesamtwert plausibel. 3. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{3}x^3-4x\). Es gilt \(\int_0^2 f(x)\,dx=-\frac{16}{3}\) und \(\int_0^4 f(x)\,dx=\frac{16}{3}\). Beide Vorzeichenvermutungen werden bestätigt.

1. negativ 2. Nullstelle: \(x=2\); zum Beispiel \((0\mid-4)\) und \((4\mid12)\). Der Integralwert auf \([0;4]\) ist positiv zu erwarten. 3. \(\int_0^2 f(x)\,dx=-\frac{16}{3}\), \(\int_0^4 f(x)\,dx=\frac{16}{3}\).

- Untersuche, ob die Funktionen achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung sind. - Welche Eigenschaft haben Integrale von ungeraden Funktionen über einem Intervall der Form \([-k; k]\)? - Wie lässt sich die Berechnung bei einer geraden Funktion vereinfachen?

1. Der Integrand in Teilaufgabe a) ist eine ungerade Funktion, da er nur ungerade Exponenten besitzt. Bei einem symmetrischen Intervall \([-k; k]\) ist der Integralwert daher \(0\). 2. Der Integrand in Teilaufgabe b) ist eine gerade Funktion. Es gilt \(\int_{-k}^{k} (\frac{1}{4}x^4 - 2) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{k} (\frac{1}{4}x^4 - 2) \, dx\). Mit der Stammfunktion \(\frac{1}{20}x^5 - 2x\) folgt \(2 \cdot [\frac{1}{20}x^5 - 2x]_0^k = \frac{1}{10}k^5 - 4k\).

a) \(0\) b) \(\frac{1}{10}k^5 - 4k\)

- Schau dir die Exponenten der Variable \(x\) an. Was fällt dir auf? - Erinnerst du dich an die Regeln für Integrale über Intervalle der Form \([-a; a]\)? - Musst du wirklich jedes Mal die Stammfunktion bilden und beide Grenzen einsetzen? - Überlege, ob der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist.

1. Untersuchung der Symmetrie für Teilaufgabe a: Die Funktion \(f(x) = x^3 - 25x\) enthält nur ungerade Exponenten und ist somit punktsymmetrisch zum Ursprung. Bei einem zum Ursprung symmetrischen Intervall \([-5; 5]\) heben sich die Flächenanteile oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse auf, sodass das Integral den Wert 0 besitzt. 2. Untersuchung der Symmetrie für Teilaufgabe b: Die Funktion \(g(x) = 3x^2 - 12\) enthält nur gerade Exponenten (beachte \(12 = 12 \cdot x^0\)) und ist somit achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Berechnung unter Ausnutzung der Achsensymmetrie: \(\int_{-2}^{2} (3x^2 - 12) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{2} (3x^2 - 12) \, dx\). 4. Bestimmung der Stammfunktion \(G(x) = x^3 - 12x\) und Auswertung: \(2 \cdot [x^3 - 12x]_0^2 = 2 \cdot (2^3 - 12 \cdot 2 - (0)) = 2 \cdot (8 - 24) = -32\).

a) \(0\) b) \(-32\)

- Wo schneidet der Graph der Funktion die \(x\)-Achse im gegebenen Intervall? - Welche geometrische Form entsteht jeweils zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse? - Was ist der Unterschied in der Rechnung, wenn nach dem Integralwert oder nach dem Flächeninhalt gefragt wird?

1. Identifikation der geometrischen Teilflächen: Die Funktion \(f(x) = x - 3\) hat eine Nullstelle bei \(x = 3\). Im Intervall \([0; 3]\) verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse, im Intervall \([3; 5]\) oberhalb. 2. Berechnung der Teilflächen: Die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Eckpunkten \((0\mid 0)\), \((0\mid -3)\) und \((3\mid 0)\). Ihr Flächeninhalt ist \(A_{\text{unten}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4{,}5\). Die Fläche oberhalb der \(x\)-Achse ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Eckpunkten \((3\mid 0)\), \((5\mid 0)\) und \((5\mid 2)\). Ihr Flächeninhalt ist \(A_{\text{oben}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). 3. Berechnung des Integrals (Teil a): Das Integral entspricht der Flächenbilanz: \(\int_{0}^{5} f(x) \, dx = A_{\text{oben}} - A_{\text{unten}} = 2 - 4{,}5 = -2{,}5\). 4. Berechnung des Gesamtflächeninhalts (Teil b): Der absolute Flächeninhalt ist die Summe der Beträge der Teilflächen: \(A_{\text{ges}} = A_{\text{oben}} + A_{\text{unten}} = 2 + 4{,}5 = 6{,}5\).

a) \(\int_{0}^{5} f(x) \, dx = -2{,}5\) b) \(A = 6{,}5\)

- Prüfe zuerst, ob der Graph im gegebenen Intervall oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Denk daran, dass \(e\) eine konstante Zahl ist, wenn du die Stammfunktion bildest. - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse in einem festen Intervall?

1. Überprüfung der Nullstellen und des Vorzeichens: \(e^x - e = 0\) liefert \(x = 1\). Für \(x \in [1; 2]\) gilt \(e^x \geq e\), somit ist \(h(x) \geq 0\). Der Flächeninhalt entspricht dem bestimmten Integral. 2. Bestimmung einer Stammfunktion von \(h(x) = e^x - e\): \(H(x) = e^x - ex\). 3. Anwendung des Hauptsatzes: \(A = \int_{1}^{2} (e^x - e) \, dx = [e^x - ex]_1^2\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(H(2) = e^2 - 2e\) und \(H(1) = e^1 - e \cdot 1 = 0\). 5. Ergebnis: \(A = (e^2 - 2e) - 0 = e^2 - 2e\).

Der Flächeninhalt beträgt \(e^2 - 2e\) Flächeneinheiten.

- Überlege dir, wie du die einzelnen Summanden der Funktion getrennt integrieren kannst. - Achte besonders auf das Vorzeichen beim Integrieren von \(e^{-x}\). - Was passiert mit dem konstanten Faktor vor der Exponentialfunktion beim Bilden der Stammfunktion?

1. Die Funktion \(f(x) = 3e^{-x} + x\) ist für alle \(x \in [0; 2]\) positiv, da der erste Summand positiv und der zweite Summand nichtnegativ ist. 2. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F(x) = -3e^{-x} + \frac{1}{2}x^2\). 3. Berechnung des Integrals über dem Intervall \([0; 2]\): \(I = \int_{0}^{2} (3e^{-x} + x) \, dx = F(2) - F(0)\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(F(2) = -3e^{-2} + \frac{1}{2} \cdot 2^2 = -3e^{-2} + 2\) und \(F(0) = -3e^0 + 0 = -3\). 5. Differenz bilden: \(A = (-3e^{-2} + 2) - (-3) = 5 - 3e^{-2} \approx 4{,}594\).

Der Flächeninhalt beträgt \(A = 5 - 3e^{-2} \approx 4{,}594\,\text{FE}\).

- Welche Teilflächen liegen oberhalb und welche unterhalb der \(x\)-Achse? - In welche einfachen geometrischen Formen kannst du die dargestellten Flächen zerlegen? - Mit welchem Vorzeichen gehen die einzelnen Flächenbeiträge in die Flächenbilanz ein?

1. Die Nullstellen des dargestellten Graphen liegen bei \(x=-2\) und \(x=3\). 2. Auf \([-4;-2]\) entsteht ein Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse mit Flächenbeitrag \(-2\). 3. Auf \([-2;3]\) entsteht ein Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse mit Flächenbeitrag \(+5\). 4. Auf \([3;4]\) entsteht ein Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse mit Flächenbeitrag \(-1\). 5. Die Flächenbilanz ist \(-2+5-1=2\). Daher gilt \(\int_{-4}^{4}f(x)\,\mathrm{d}x=2\).

\(2\)

- Überlege dir, wie sich die Punktsymmetrie am Wendepunkt \(W(1 \mid 0)\) auf die Form und Größe der beiden Flächenstücke \(A_1\) und \(A_2\) auswirkt. - Denke an den Unterschied zwischen dem Wert eines bestimmten Integrals und dem geometrischen Flächeninhalt, besonders wenn ein Funktionsgraph unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Nutze die Intervalladditivität des Integrals, um das Integral über das gesamte Intervall \([-1; 3]\) zu bestimmen. - Wie berechnet man den gesamten eingeschlossenen Flächeninhalt, wenn Teile der Fläche unterhalb der \(x\)-Achse liegen?

1. Aufgrund der Punktsymmetrie des Graphen zum Wendepunkt \(W(1 \mid 0)\) ist das Flächenstück \(A_2\) im Intervall \([1; 3]\) durch Punktspiegelung deckungsgleich zum Flächenstück \(A_1\) im Intervall \([-1; 1]\). Daher besitzt \(A_2\) ebenfalls einen Flächeninhalt von \(2\,\text{FE}\). 2. Da das Flächenstück \(A_1\) vollständig oberhalb der \(x\)-Achse liegt, entspricht das Integral dem Flächeninhalt: \(\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 2\). 3. Da das Flächenstück \(A_2\) vollständig unterhalb der \(x\)-Achse liegt, ist das Integral negativ und entspricht dem negativen Flächeninhalt: \(\int_{1}^{3} f(x) \, dx = -2\). 4. Die Flächenbilanz im Intervall \([-1; 3]\) ergibt sich durch Addition der beiden Teilintegrale: \(\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 2 + (-2) = 0\). 5. Der gesamte geometrische Flächeninhalt \(A\) ist die Summe der absoluten Flächeninhalte der beiden Teilstücke: \(A = A_1 + A_2 = 2 + 2 = 4\,\text{FE}\).

a) \(A_2 = 2\,\text{FE}\), \(\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 2\) und \(\int_{1}^{3} f(x) \, dx = -2\). b) \(\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = 0\). c) \(A = 4\,\text{FE}\).

- Erinnere dich daran, wie das bestimmte Integral grafisch interpretiert werden kann. - Welche Rolle spielen Flächenstücke oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse bei der Berechnung des Integrals? - Kannst du die gesamte Fläche zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse in einfache geometrische Formen (wie Dreiecke und Rechtecke) zerlegen? - Berechne die einzelnen Flächeninhalte dieser einfachen Formen und beachte das jeweilige Vorzeichen für die Flächenbilanz.

1. Aufteilen des Integrationsbereichs \([-3; 5]\) in Teilintervalle entsprechend den geometrischen Formen zwischen dem Graphen \(G_f\) und der \(x\)-Achse. 2. Bestimmen der Flächeninhalte oberhalb der \(x\)-Achse (positive Beiträge): - Dreieck über dem Intervall \([-3; 0]\) mit der Grundseite \(g = 3\) und der Höhe \(h = 2\). Der Flächeninhalt ist \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3\). - Dreieck über dem Intervall \([4; 5]\) mit der Grundseite \(g = 1\) und der Höhe \(h = 2\). Der Flächeninhalt ist \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\). - Der gesamte positive Flächeninhalt beträgt somit \(A_{\text{oben}} = 3 + 1 = 4\). 3. Bestimmen der Flächeninhalte unterhalb der \(x\)-Achse (negative Beiträge): - Dreieck über dem Intervall \([0; 1]\) mit der Grundseite \(g = 1\) und der Höhe \(h = 2\). Der Flächeninhalt ist \(A_3 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\). - Rechteck über dem Intervall \([1; 3]\) mit der Breite \(b = 2\) und der Höhe \(h = 2\). Der Flächeninhalt ist \(A_4 = 2 \cdot 2 = 4\). - Dreieck über dem Intervall \([3; 4]\) mit der Grundseite \(g = 1\) und der Höhe \(h = 2\). Der Flächeninhalt ist \(A_5 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\). - Der gesamte negative Flächeninhalt beträgt somit \(A_{\text{unten}} = 1 + 4 + 1 = 6\). 4. Berechnung des Integrals durch die Flächenbilanz: \( \int_{-3}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x = A_{\text{oben}} - A_{\text{unten}} = 4 - 6 = -2 \)

\(-2\)

- Wie beeinflusst die Lage des Graphen oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse das Vorzeichen des bestimmten Integrals? - Denke an die Intervalladditivität: Wie kannst du ein Integral über ein großes Intervall in mehrere Teilintegrale zerlegen? - Betrachte jedes Flächenstück einzeln und bestimme, ob sein Wert positiv oder negativ in die Gesamtbilanz eingeht.

1. Zusammenhang zwischen Integral und Flächeninhalt: Liegt ein Flächenstück oberhalb der \(x\)-Achse, so ist das zugehörige Teilintegral positiv und entspricht dem Flächeninhalt. Liegt ein Flächenstück unterhalb der \(x\)-Achse, so ist das zugehörige Teilintegral negativ und entspricht dem negativen Flächeninhalt. 2. Teilaufgabe a): Das Intervall von \(-4\) bis \(-1\) entspricht dem Flächenstück \(A_1\), das unterhalb der \(x\)-Achse liegt. Daher gilt \(\int_{-4}^{-1} f(x)\,\mathrm{d}x = -A_1 = -4\). 3. Teilaufgabe b): Das Intervall von \(-1\) bis \(3\) entspricht dem Flächenstück \(A_2\), das oberhalb der \(x\)-Achse liegt. Daher gilt \(\int_{-1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x = A_2 = 6\). 4. Teilaufgabe c): Das Intervall \([-4; 3]\) setzt sich aus \([-4; -1]\) und \([-1; 3]\) zusammen. Somit gilt \(\int_{-4}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x = -A_1 + A_2 = -4 + 6 = 2\). 5. Teilaufgabe d): Das Intervall \([-4; 5]\) umfasst alle drei Teilflächen. Somit gilt \(\int_{-4}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x = -A_1 + A_2 - A_3 = -4 + 6 - 2 = 0\).

a) \(-4\) b) \(6\) c) \(2\) d) \(0\)

- In welche Dreiecke lässt sich die dargestellte Fläche zerlegen? - Welches Vorzeichen erhält ein Flächenbeitrag unterhalb der \(x\)-Achse? - Worin unterscheiden sich Flächenbilanz und geometrischer Gesamtflächeninhalt?

1. Auf \([-4;-1]\) liegt ein Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse mit Flächenbeitrag \(I_1=\frac12\cdot3\cdot2=3\). 2. Auf \([-1;3]\) liegt ein Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse mit Flächenbeitrag \(I_2=-\frac12\cdot4\cdot2=-4\). 3. Auf \([3;6]\) liegt ein Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse mit Flächenbeitrag \(I_3=\frac12\cdot3\cdot2=3\). 4. Die Flächenbilanz ist \(3-4+3=2\). Die positiven Flächenbeiträge überwiegen die negativen insgesamt um \(2\,\text{FE}\). 5. Der geometrische Gesamtflächeninhalt ist \(|3|+|-4|+|3|=10\,\text{FE}\). Er ist größer als die Flächenbilanz, weil bei ihm alle Teilflächen positiv gezählt werden.

a) 1. \(I_1=3\) 2. \(I_2=-4\) 3. \(I_3=3\) b) \(\int_{-4}^{6}f(x)\,\mathrm{d}x=2\); die Flächenbilanz ist um \(2\,\text{FE}\) positiv. c) \(A=10\,\text{FE}\).

- Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Wie hängen Stammfunktion und Integral zusammen? - Du kannst den Wert direkt bestimmen, ohne die Funktionsgleichung aufzustellen, indem du geometrische Flächeninhalte berechnest. - Achte darauf, ob Flächen oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegen.

1. Die Differenz \(F(4) - F(1)\) entspricht dem bestimmten Integral \(\int_{1}^{4} f(x) \,\mathrm{d}x\). 2. Zerlegung der Fläche in Teilflächen zwischen dem Graphen und der x-Achse: - Von \(x=1\) bis \(x=3\) liegt ein Dreieck oberhalb der x-Achse mit Grundseite \(g=2\) und Höhe \(h=2\). Inhalt: \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). - Von \(x=3\) bis \(x=4\) liegt ein Dreieck unterhalb der x-Achse mit Grundseite \(g=1\) und Höhe \(h=1\). Inhalt: \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 0{,}5\). 3. Berechnung der Flächenbilanz: Da die zweite Teilfläche unterhalb der x-Achse liegt, zählt sie negativ. 4. \(F(4) - F(1) = 2 - 0{,}5 = 1{,}5\).

Der Wert der Differenz beträgt \(F(4) - F(1) = 1{,}5\).

- Achte auf die Integrationsgrenzen auf der \(x\)-Achse und vergleiche sie mit den markierten Bereichen. - Überprüfe den Funktionstyp: Handelt es sich um eine Gerade, eine Parabel oder eine Hyperbel? - Teste charakteristische Punkte wie den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse oder die Werte an den Intervallgrenzen. - Unterscheide zwischen Verschiebungen des Graphen (z. B. \((x-2)^2\) vs. \(x^2\)).

1. Abbildung a) zeigt eine Gerade mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(1\) und einer Steigung von \(0{,}5\). Die markierte Fläche erstreckt sich von \(x=0\) bis \(x=4\). Dies entspricht dem Integral (1). 2. Abbildung b) zeigt eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt bei \((2 \mid 0)\), was dem Term \((x-2)^2\) entspricht. Die Grenzen der Fläche liegen bei \(x=0\) und \(x=2\). Dies entspricht dem Integral (2). 3. Abbildung c) zeigt einen hyperbelförmigen Graphen, der durch die Punkte \((1 \mid 4)\) und \((4 \mid 1)\) verläuft. Einsetzen in \(y = \frac{k}{x}\) ergibt \(4 = \frac{k}{1} \Rightarrow k=4\). Die Fläche liegt zwischen \(x=1\) und \(x=4\). Dies entspricht dem Integral (3).

Abbildung a) gehört zu Integral (1), Abbildung b) zu Integral (2) und Abbildung c) zu Integral (3).

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? Teile das Integral an dieser Stelle auf. - Berechne die Flächeninhalte der entstehenden Dreiecke einzeln. - Denke daran, dass Flächen unterhalb der \(x\)-Achse negativ gewertet werden.

1. Zerlegung in Teilflächen: Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = 3\). Es entstehen zwei Dreiecke. 2. Berechnung der negativen Teilfläche \(A_1\) im Intervall \([0; 3]\): Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Eckpunkten \((0\mid0), (0\mid-3)\) und \((3\mid0)\). Grundseite \(g_1 = 3\), geometrische Höhe \(h_1 = 3\). Da das Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse liegt, gilt \(I_1 = -\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = -4{,}5\). 3. Berechnung der positiven Teilfläche \(A_2\) im Intervall \([3; 5]\): Ein rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite \(g_2 = 5 - 3 = 2\) und Höhe \(f(5) = 2\). Flächeninhalt \(I_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). 4. Summation zur Flächenbilanz: \(\int_{0}^{5} f(x) \, dx = -4{,}5 + 2 = -2{,}5\).

\(\int_{0}^{5} f(x) \, dx = -2{,}5\)

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? - Welche Dreiecksflächen liegen oberhalb beziehungsweise unterhalb der Achse? - Mit welchen Vorzeichen gehen diese Flächenbeiträge in die Flächenbilanz ein?

1. Aus dem Graphen liest man die Nullstelle \(x=2\) ab. 2. Auf \([-2;2]\) liegt ein Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse mit Flächenbeitrag \(\frac12\cdot4\cdot2=4\). 3. Auf \([2;4]\) liegt ein Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse mit Flächenbeitrag \(-\frac12\cdot2\cdot1=-1\). 4. Die Flächenbilanz ist \(4-1=3\). Daher gilt \(\int_{-2}^{4}f(x)\,dx=3\).

\(\int_{-2}^{4}f(x)\,dx=3\)

- In welche einfachen geometrischen Teilflächen kannst du den dargestellten Bereich zerlegen? - Wo wechselt der Graph sein Vorzeichen? - Welches Vorzeichen erhält die Teilfläche unterhalb der \(x\)-Achse in der Flächenbilanz?

1. Der Graph hat im betrachteten Bereich die Nullstellen \(x=-3\) und \(x=1\) sowie den Hochpunkt \((-1\mid2)\). 2. Auf \([-3;1]\) liegt ein Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse mit Flächenbeitrag \(\frac12\cdot4\cdot2=4\). 3. Auf \([1;2]\) liegt ein Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse mit Flächenbeitrag \(-\frac12\cdot1\cdot1=-0{,}5\). 4. Die Flächenbilanz ist \(4-0{,}5=3{,}5\).

\(\int_{-3}^{2}f(x)\,dx=3{,}5\)

- Das Integral entspricht der Bilanz der Flächeninhalte zwischen Funktionsgraph und \(x\)-Achse. - Bestimme die Basis und die Höhe für jedes der beiden Dreiecke. - Beachte das Vorzeichen der Flächenstücke.

1. Identifikation der Teilintervalle: Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = 1\). 2. Berechnung der positiven Teilfläche im Intervall \([-2; 1]\): Ein rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite \(1 - (-2) = 3\) und Höhe \(f(-2) = 3\). Flächeninhalt \(I_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4{,}5\). 3. Berechnung der negativen Teilfläche im Intervall \([1; 3]\): Ein rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite \(3 - 1 = 2\) und geometrische Höhe \(2\). Da das Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse liegt, gilt \(I_2 = -\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = -2\). 4. Addition zur Flächenbilanz: \(\int_{-2}^{3} f(x) \, dx = 4{,}5 - 2 = 2{,}5\).

\(\int_{-2}^{3} f(x) \, dx = 2{,}5\)

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? - In welche Dreiecke lässt sich die Fläche zerlegen? - Mit welchem Vorzeichen geht das Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse in die Flächenbilanz ein?

1. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=1\). 2. Auf \([-1;1]\) liegt ein Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse mit Flächenbeitrag \(-\frac12\cdot2\cdot2=-2\). 3. Auf \([1;2]\) liegt ein Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse mit Flächenbeitrag \(\frac12\cdot1\cdot1=0{,}5\). 4. Die Flächenbilanz ist \(-2+0{,}5=-1{,}5\).

\(-1{,}5\)

- Welche Symmetrie besitzt der dargestellte Graph? - Welche Flächenbeiträge entstehen auf \([0;1]\) und \([1;2]\)? - Wie kannst du die Symmetrie nutzen, nachdem du die rechte Hälfte bilanziert hast?

1. Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-1\) und \(x=1\). 2. Auf \([0;1]\) liegt ein Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse mit Flächenbeitrag \(-0{,}5\), auf \([1;2]\) ein gleich großes Dreieck oberhalb der Achse mit Flächenbeitrag \(+0{,}5\). 3. Die Flächenbilanz auf \([0;2]\) ist daher \(0\). Wegen der Achsensymmetrie gilt für das gesamte Intervall ebenfalls \(\int_{-2}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x=0\).

\(0\)

- Welche Symmetrie erkennst du im dargestellten Graphen? - Wie werden durch eine Punktspiegelung am Ursprung die Flächen links und rechts der \(y\)-Achse zugeordnet? - Welche Vorzeichen haben die entsprechenden Flächenbeiträge?

1. Der dargestellte Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Daher sind die Flächenbeiträge auf \([-3;0]\) und \([0;3]\) betragsgleich und haben entgegengesetzte Vorzeichen. 3. In der Flächenbilanz heben sich diese Beiträge auf. Deshalb gilt \(\int_{-3}^{3}f(x)\,dx=0\).

Wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung sind die Flächenbeiträge auf \([-3;0]\) und \([0;3]\) betragsgleich und entgegengesetzt. Ihre Flächenbilanz ist \(0\).

- Welche Symmetrie zeigt der Graph? - Was bedeutet diese Symmetrie für die Flächenbeiträge auf den beiden Halbintervallen? - Wann stimmt ein Integralwert mit dem geometrischen Flächeninhalt überein?

1. Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Deshalb sind die Flächen auf \([-3;0]\) und \([0;3]\) deckungsgleich und haben in der Flächenbilanz dasselbe Vorzeichen. Daher ist das Gesamtintegral das Doppelte des rechten Teilintegrals. 2. Eine Stammfunktion ist \(H(x)=-\frac19x^3+3x\). Es gilt \(\int_{-3}^{3}h(x)\,\mathrm{d}x=H(3)-H(-3)=12\). 3. Auf \([-3;3]\) gilt \(h(x)\geq0\). Deshalb gibt es keine negativen Flächenbeiträge, und der Integralwert entspricht dem geometrischen Flächeninhalt \(12\,\text{FE}\).

a) Wegen der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse sind die beiden Halbintervalle flächengleich; daher gilt die angegebene Verdopplung. b) \(12\,\text{FE}\); der Graph liegt im gesamten Intervall auf oder oberhalb der \(x\)-Achse.

- Liegt der dargestellte Sinusbogen im gesamten Intervall oberhalb der \(x\)-Achse? - Welche Stammfunktion besitzt \(\sin(x)\)? - Wann entspricht ein bestimmtes Integral direkt einem Flächeninhalt?

1. Auf \([0;\pi]\) gilt \(\sin(x)\geq0\), daher ist \(A=\int_0^{\pi}\sin(x)\,\mathrm{d}x\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=-\cos(x)\). 3. Damit gilt \(A=[-\cos(x)]_0^{\pi}=2\).

\(2\,\text{FE}\)

- Welches Vorzeichen hat \(g\) im markierten Intervall? - Welche Stammfunktion besitzt \(2\cos(x)\)? - Wie wird ein bestimmtes Integral mithilfe einer Stammfunktion ausgewertet?

1. Im angegebenen Intervall liegt der Graph auf oder oberhalb der \(x\)-Achse. Daher ist \(A=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}2\cos(x)\,dx\). 2. Eine Stammfunktion ist \(G(x)=2\sin(x)\). 3. Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt \(A=2\sin(\frac{\pi}{2})-2\sin(-\frac{\pi}{2})=4\).

\(4\,\text{FE}\)

- Wo liegen die Schnittpunkte der Parabel mit der \(x\)-Achse? - Wenn eine Fläche unterhalb der \(x\)-Achse liegt, was bedeutet das für das Vorzeichen des Integrals? - Wie erhältst du aus einem negativen Integralwert einen positiven Flächeninhalt?

1. Nullstellenberechnung von \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2\): \(0 = 0{,}5x^2 - 2 \Rightarrow 4 = x^2 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 2\). 2. Da die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse liegt, ist das Integral negativ. Der Flächeninhalt ist der Betrag des Integrals: \(A = \left| \int_{-2}^{2} (0{,}5x^2 - 2) \, dx \right|\). 3. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{6}x^3 - 2x\). 4. Berechnung des Integrals: \(\int_{-2}^{2} (0{,}5x^2 - 2) \, dx = (\frac{8}{6} - 4) - (-\frac{8}{6} + 4) = \frac{4}{3} - 4 + \frac{4}{3} - 4 = \frac{8}{3} - 8 = -\frac{16}{3}\). 5. Der Flächeninhalt ist \(A = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5{,}33\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5{,}33\).

- Welches Vorzeichen hat \(h\) zwischen den beiden Nullstellen? - Welche Stammfunktion kannst du für den verschobenen Quadratterm verwenden? - Wie wird ein negativer Integralwert in einen geometrischen Flächeninhalt überführt?

1. Es gilt \(h(1)=h(3)=0\). Zwischen diesen Nullstellen liegt die Parabel unterhalb der \(x\)-Achse. 2. Eine Stammfunktion ist \(H(x)=\frac13(x-2)^3-x\). 3. Das bestimmte Integral ist \(H(3)-H(1)=-\frac43\). Daher beträgt der geometrische Flächeninhalt \(A=\frac43\,\text{FE}\).

\(A=\frac43\,\text{FE}\approx1{,}33\,\text{FE}\)

- Welche Symmetrie hat der Graph von \(x^3+x\), und was bedeutet das für die Flächenbilanz auf einem symmetrischen Intervall? - Wie verändert sich ein bestimmtes Integral, wenn du obere und untere Integrationsgrenze vertauschst? - Was bedeutet es für das Integrationsintervall, wenn beide Grenzen gleich sind?

1. Zu a): Der Integrand \(f(x) = x^3 + x\) ist ungerade, denn \(f(-x) = -f(x)\). Auf dem zum Ursprung symmetrischen Intervall \([-5; 5]\) heben sich die positiven und negativen Flächenbeiträge in der Flächenbilanz auf. Daher ist das Integral gleich \(0\). 2. Zu b): Beim Vertauschen der Integrationsgrenzen ändert sich das Vorzeichen: \(\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx\). Somit ist \(\int_1^4 f(x) \, dx + \int_4^1 f(x) \, dx = 0\). 3. Zu c): Ein Integral mit identischer unterer und oberer Grenze ist gleich \(0\), weil das Integrationsintervall die Breite \(0\) hat.

a) Die Funktion ist ungerade und das Intervall symmetrisch zum Ursprung; die Flächenbeiträge heben sich in der Flächenbilanz auf. b) Es gilt \(\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx\); daher ist die Summe gleich \(0\). c) Bei identischer unterer und oberer Grenze ist das bestimmte Integral gleich \(0\).

- Welche Symmetrie besitzt die Sinuskurve über eine vollständige Periode? - Welche Eigenschaft hat \(x^4\) bei der Ersetzung \(x\mapsto -x\)? - Vergleiche in c) nicht nur die Funktionsterme, sondern auch die beiden Integrationsintervalle.

1. Zu a): Der Graph der Sinusfunktion ist auf \([0;2\pi]\) punktsymmetrisch zum Punkt \((\pi\mid 0)\). Die positiven Flächenbeiträge auf \([0;\pi]\) und die negativen Flächenbeiträge auf \([\pi;2\pi]\) sind betragsgleich und heben sich in der Flächenbilanz auf. 2. Zu b): Die Funktion \(f(x)=x^4\) ist gerade. Daher sind die Beiträge auf \([-2;0]\) und \([0;2]\) gleich groß, sodass \(\int_{-2}^{2}x^4\,dx=2\int_0^2x^4\,dx\) gilt. 3. Zu c): Der Graph von \(g(x)=x-1\) entsteht aus dem Graphen von \(h(x)=x\) durch eine Verschiebung um eine Einheit nach rechts. Gleichzeitig wird das Intervall \([-1;2]\) auf \([0;3]\) verschoben. Deshalb bleibt die Flächenbilanz unverändert.

a) Wegen der Punktsymmetrie zum Punkt \((\pi\mid 0)\) heben sich die positiven und negativen Flächenbeiträge auf. b) Wegen der Achsensymmetrie von \(x^4\) zur \(y\)-Achse sind die Beiträge auf beiden Intervallhälften gleich. c) Graph und Integrationsintervall werden gemeinsam um eine Einheit nach rechts verschoben; dadurch ändert sich die Flächenbilanz nicht.

- Bestimme zunächst den Integralwert mit einer Stammfunktion. - An welcher Stelle wechselt \(f\) sein Vorzeichen? - Vergleiche die beiden Flächenbeiträge links und rechts der Nullstelle hinsichtlich Betrag und Vorzeichen.

1. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=-\frac18x^2+x\). Damit ist \(I=F(8)-F(0)=-8+8=0\). 2. Die Nullstelle von \(f\) liegt bei \(x=4\). Auf \([0;4]\) ist der Flächenbeitrag positiv und beträgt \(2\), auf \([4;8]\) ist er negativ und beträgt \(-2\). 3. Die beiden Beiträge sind betragsgleich und heben sich in der Flächenbilanz auf. Deshalb ist der Integralwert \(0\).

\(I=0\). Die Flächenbilanz ist ausgeglichen: Der positive Flächenbeitrag auf \([0;4]\) und der negative Flächenbeitrag auf \([4;8]\) sind betragsgleich.

- Prüfe in a), wie sich der Integrand bei \(x\mapsto -x\) verhält. - Welches Vorzeichen hat der Integrand in b) im Inneren des Intervalls? - Welche Wirkung hat es in c), dass die Integrationsgrenzen in umgekehrter Reihenfolge stehen?

1. Zu a): Der Integrand \(f(x)=\frac{2x}{x^2+1}\) ist ungerade. Auf dem zum Ursprung symmetrischen Intervall \([-5;5]\) heben sich die positiven und negativen Flächenbeiträge in der Flächenbilanz auf. Das Integral ist daher \(0\). 2. Zu b): Für \(1<x\leq2\) gilt \(3^x>3\), also ist \(3-3^x<0\). Daher ist der Integralwert negativ. 3. Zu c): Auf \([0;4]\) gilt \(x-4\leq0\), also ist \(\int_0^4(x-4)\,dx<0\). Wegen der vertauschten Grenzen ist \(\int_4^0(x-4)\,dx>0\).

a) null b) negativ c) positiv

- Prüfe bei jedem Integranden, ob er gerade oder ungerade ist. - Welche Folgerung hat eine ungerade Funktion für die Flächenbilanz auf einem symmetrischen Intervall? - Welche Folgerung hat eine gerade Funktion für die beiden Hälften eines symmetrischen Intervalls?

1. Zu a): \(f(x)=x^3-x\) ist ungerade. Auf dem symmetrischen Intervall \([-a;a]\) heben sich die Flächenbeiträge in der Flächenbilanz auf, also ist das Integral \(0\). 2. Zu b): \(g(x)=\cos(x)\) ist gerade. Deshalb sind die Integrale über \([-2;0]\) und \([0;2]\) gleich, sodass das Integral über \([-2;2]\) das Doppelte des rechten Teilintegrals ist. 3. Zu c): \(h(x)=\sin(x)\cos(x)\) ist als Produkt einer ungeraden und einer geraden Funktion ungerade. Daher ist das Integral über \([-1;1]\) gleich \(0\).

a) \(x^3-x\) ist ungerade; auf \([-a;a]\) ist die Flächenbilanz deshalb \(0\). b) \(\cos(x)\) ist gerade; die Beiträge auf \([-2;0]\) und \([0;2]\) sind gleich. c) \(\sin(x)\cos(x)\) ist ungerade; daher verschwindet das Integral auf \([-1;1]\).

- Wo liegen die Nullstellen beziehungsweise Symmetriezentren der drei Graphen? - Welche Flächenbeiträge liegen oberhalb und welche unterhalb der \(x\)-Achse? - Welche Symmetrie macht in c) die beiden positiven Teilflächen gleich groß?

1. Zu a): Die Gerade \(f(x)=x-2\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=2\). Auf \([0;2]\) entsteht der Flächenbeitrag \(-2\), auf \([2;4]\) der betragsgleiche Flächenbeitrag \(+2\). Die Flächenbilanz ist daher \(0\). 2. Zu b): Der Graph von \(g(x)=(x-3)^3\) ist punktsymmetrisch zum Punkt \((3\mid0)\), und das Intervall \([1;5]\) liegt symmetrisch um \(x=3\). Die beiden Flächenbeiträge sind betragsgleich und haben entgegengesetzte Vorzeichen. 3. Zu c): Der Graph von \(h(x)=\sin(x)\) ist auf \([0;\pi]\) achsensymmetrisch zur Geraden \(x=\frac{\pi}{2}\). Deshalb sind die beiden positiven Teilflächen auf \([0;\frac{\pi}{2}]\) und \([\frac{\pi}{2};\pi]\) gleich groß.

a) Die Flächenbeiträge auf \([0;2]\) und \([2;4]\) sind \(-2\) und \(+2\); ihre Flächenbilanz ist \(0\). b) Wegen der Punktsymmetrie zu \((3\mid0)\) heben sich die Flächenbeiträge auf. c) Wegen der Achsensymmetrie zu \(x=\frac{\pi}{2}\) sind die beiden Teilflächen gleich groß; das Gesamtintegral ist daher das Doppelte des ersten Teilintegrals.

- Kannst du das Integral mithilfe der Rechenregeln für Integrale in zwei einfachere Teile zerlegen? - Welche geometrische Form beschreibt die Funktion \(f(x) = \sqrt{r^2 - x^2}\) über ihrem Definitionsbereich? - Wie lässt sich das Integral einer konstanten Funktion als Flächeninhalt deuten? - Überlege, welche bekannte Flächenformel für einen Kreis hier hilfreich sein könnte.

1. Anwendung der Additivität des Integrals ermöglicht die Aufteilung in zwei Teilintegrale: \(\int_{-5}^{5} 3 \, dx + \int_{-5}^{5} \sqrt{25 - x^2} \, dx\). 2. Das erste Teilintegral \(\int_{-5}^{5} 3 \, dx\) entspricht dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Breite \(5 - (-5) = 10\) und der Höhe 3, woraus sich \(10 \cdot 3 = 30\) ergibt. 3. Das zweite Teilintegral \(\int_{-5}^{5} \sqrt{25 - x^2} \, dx\) beschreibt den Flächeninhalt eines oberen Halbkreises mit dem Radius \(r = 5\), da die Gleichung \(y = \sqrt{25 - x^2}\) die obere Hälfte eines Kreises um den Ursprung darstellt. Der Flächeninhalt berechnet sich zu \(\frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 5^2 = 12{,}5\pi\). 4. Die Summe beider Teilwerte ergibt den Gesamtwert des Integrals: \(30 + 12{,}5\pi\).

\(30 + 12{,}5\pi\)

- Nutze die Differenzregel für Integrale, um die Aufgabe zu vereinfachen. - Betrachte die beiden Funktionen im Integranden getrennt voneinander. - Welche Flächen entstehen, wenn du die Graphen der Funktionen einzeln über dem Intervall \([0; 4]\) betrachtest? - Erinnerst du dich an die Flächenformeln für Kreise und Dreiecke?

1. Das Integral wird mithilfe der Linearität in die Differenz zweier Integrale zerlegt: \(\int_{0}^{4} \sqrt{16 - x^2} \, dx - \int_{0}^{4} x \, dx\). 2. Das erste Integral \(\int_{0}^{4} \sqrt{16 - x^2} \, dx\) wird als Flächeninhalt eines Viertelkreises im ersten Quadranten mit dem Radius \(r = 4\) interpretiert. Der Wert ist \(\frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 4^2 = 4\pi\). 3. Das zweite Integral \(\int_{0}^{4} x \, dx\) entspricht dem Flächeninhalt eines rechtwinkligen, gleichschenkligen Dreiecks mit der Grundseite 4 und der Höhe 4. Die Berechnung ergibt \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\). 4. Durch Subtraktion der beiden Flächeninhalte ergibt sich der Gesamtwert des Integrals: \(4\pi - 8\).

\(4\pi - 8\)

- Welche Werte des Arguments führen bei der Kosinusfunktion zu Nullstellen? - Welche Regel für eine lineare innere Funktion brauchst du beim Bestimmen einer Stammfunktion? - Untersuche das Vorzeichen von \(f\) links und rechts der Nullstelle im Intervall \([0;3]\). - Worin unterscheiden sich Flächenbilanz und geometrischer Flächeninhalt?

1. Aus \(\cos\left(\frac{\pi}{3}x\right)=0\) folgt \(\frac{\pi}{3}x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) und damit \(x=1{,}5+3k\) für \(k\in\mathbb{Z}\). Zwei benachbarte Nullstellen sind zum Beispiel \(x_1=1{,}5\) und \(x_2=4{,}5\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{3}{\pi}\sin\left(\frac{\pi}{3}x\right)\). Daher gilt \(\int_0^3 f(x)\,dx=F(3)-F(0)=0\). 3. Auf \([0;1{,}5]\) ist \(f\) positiv, auf \([1{,}5;3]\) negativ. Das Integral bildet die Flächenbilanz: Die beiden Flächenbeiträge haben entgegengesetzte Vorzeichen und heben sich hier auf. Für den geometrischen Flächeninhalt würden dagegen die Beträge der beiden Beiträge addiert.

a) Zwei benachbarte Nullstellen sind zum Beispiel \(x_1=1{,}5\) und \(x_2=4{,}5\). b) \(\int_0^3 f(x)\,dx=0\). Das Integral gibt die Flächenbilanz an; der positive und der negative Flächenbeitrag heben sich auf, während der geometrische Flächeninhalt beide Beiträge positiv zählt.

- Wie löst man eine Gleichung nach \(x\) auf, wenn \(x\) im Exponenten steht? - Welche Regel nutzt man, um eine Funktion der Form \(e^{ax+b}\) zu integrieren? - Untersuche das Vorzeichen der Funktion links und rechts von der Nullstelle. - Was passiert bei der Integralrechnung mit Flächenstücken, die unterhalb der \(x\)-Achse liegen?

1. Berechnung der Nullstelle: Die Gleichung \(e^{0{,}5x} - e = 0\) führt auf \(e^{0{,}5x} = e^1\). Durch Logarithmieren oder Exponentenvergleich erhält man \(0{,}5x = 1\), woraus \(x = 2\) folgt. 2. Berechnung des Integrals: Eine Stammfunktion von \(g(x)\) ist \(G(x) = 2e^{0{,}5x} - ex\). Das bestimmte Integral berechnet sich als \(G(4) - G(0) = (2e^{0{,}5 \cdot 4} - e \cdot 4) - (2e^0 - e \cdot 0) = (2e^2 - 4e) - 2 = 2e^2 - 4e - 2\). 3. Erläuterung: Da die Nullstelle \(x = 2\) innerhalb des Integrationsintervalls \([0; 4]\) liegt, wechselt die Funktion dort das Vorzeichen (für \(x < 2\) ist \(g(x) < 0\), für \(x > 2\) ist \(g(x) > 0\)). Das Integral liefert die Flächenbilanz, bei der der Flächeninhalt unterhalb der \(x\)-Achse negativ gezählt wird, während für den Gesamtflächeninhalt die Beträge der Teilintegrale addiert werden müssten.

a) Die Nullstelle liegt bei \(x = 2\). b) Der Integralwert beträgt \(2e^2 - 4e - 2\) (ca. \(1{,}91\)). Da die Funktion bei \(x = 2\) einen Vorzeichenwechsel besitzt, stellt das Integral eine Bilanz aus negativen und positiven Flächenanteilen dar, was nicht dem geometrischen Gesamtflächeninhalt entspricht.

- Welche Symmetrie besitzt der Graph einer ungeraden Funktion? - Wie wirken sich zwei betragsgleiche Flächenbeiträge mit entgegengesetzten Vorzeichen auf die Flächenbilanz aus? - Welche anderen bekannten Funktionen sind ungerade?

1. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{4}x^4-2x^2\). Es gilt \(F(2)=-4\) und \(F(-2)=-4\), also \(\int_{-2}^{2}f(x)\,dx=F(2)-F(-2)=0\). 2. Der Graph von \(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, weil \(f\) ungerade ist. Auf dem symmetrischen Intervall \([-2;2]\) sind die Flächenbeiträge links und rechts des Ursprungs betragsgleich und haben entgegengesetzte Vorzeichen. Ihre Flächenbilanz ist daher \(0\). 3. Zum Beispiel ist \(g(x)=\sin(x)\) ungerade und kein Vielfaches von \(f\). Deshalb heben sich auf jedem symmetrischen Intervall \([-a;a]\) die beiden Flächenbeiträge auf.

1. \(\int_{-2}^{2}(x^3-4x)\,dx=0\). 2. Wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung sind die Flächenbeiträge betragsgleich und entgegengesetzt; ihre Flächenbilanz ist \(0\). 3. Zum Beispiel \(g(x)=\sin(x)\); als ungerade Funktion hat sie auf jedem Intervall \([-a;a]\) die Flächenbilanz \(0\).

- Wo liegt die Symmetrieachse der Parabel? - Wie liegen die beiden Teilintervalle \([1;2]\) und \([2;3]\) bezüglich dieser Achse? - Falls du rechnerisch vorgehen möchtest: Welche Stammfunktion von \(f\) kannst du verwenden?

1. Symmetrie: Der Graph von \(f\) ist achsensymmetrisch zur Geraden \(x=2\). Die Intervalle \([1;2]\) und \([2;3]\) liegen spiegelbildlich zur Symmetrieachse. Deshalb sind ihre Flächenbeiträge gleich, also ist das Integral über \([1;3]\) das Doppelte des Integrals über \([2;3]\). 2. Rechnerische Kontrolle: Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{3}(x-2)^3-x\). Es gilt \(F(3)-F(1)=-\frac{4}{3}\) und \(2\bigl(F(3)-F(2)\bigr)=-\frac{4}{3}\).

Die Gleichung ist wahr. Wegen der Achsensymmetrie zur Geraden \(x=2\) sind die Flächenbeiträge auf \([1;2]\) und \([2;3]\) gleich. Rechnerisch haben beide Seiten den Wert \(-\frac{4}{3}\).

- Prüfe, ob der Graph im Intervall \([0;2]\) eine Punktsymmetrie besitzt. - Welche Folge hat diese Symmetrie für die Flächenbilanz auf \([0;2]\)? - Wie kannst du das Integral über \([0;4]\) mithilfe der Intervalladditivität zerlegen?

1. Der Graph von \(f\) ist punktsymmetrisch zum Punkt \((1\mid0)\), denn \(f(1+h)=-f(1-h)\). 2. Das Intervall \([0;2]\) liegt symmetrisch um \(x=1\). Die beiden Flächenbeiträge auf den Teilintervallen heben sich daher in der Flächenbilanz auf, also gilt \(\int_0^2 f(x)\,dx=0\). 3. Mit der Intervalladditivität folgt \(\int_0^4 f(x)\,dx=\int_0^2 f(x)\,dx+\int_2^4 f(x)\,dx=\int_2^4 f(x)\,dx\).

Die Aussage ist wahr. Wegen der Punktsymmetrie zum Punkt \((1\mid0)\) ist die Flächenbilanz auf \([0;2]\) gleich \(0\). Daher gilt \(\int_0^4 f(x)\,dx=\int_2^4 f(x)\,dx\).

- Erinnere dich an den Unterschied zwischen Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bei Integralen. - Wann liefert ein Integral einen positiven Wert, und wann heben sich Flächen gegenseitig auf? - Für b): Suche nach einem Intervall, in dem der Graph eine Nullstelle so passiert, dass die Flächenstücke davor und danach gleich groß sind. - Nutze dein Wissen über die Sinusfunktion als Stammfunktion des Kosinus.

1. Analyse von Teilaufgabe a): Die Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (\(f(x) = f(-x)\)). Im Intervall \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\) verläuft der Graph vollständig oberhalb oder auf der \(x\)-Achse (\(\cos(x) \ge 0\)). Da keine negativen Flächenanteile existieren, muss die Bilanz (das Integral) positiv sein (konkret \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(x) \, dx = [\sin(x)]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 1 - (-1) = 2\)). 2. Analyse von Teilaufgabe b): Damit die Flächenbilanz Null ergibt, müssen sich positive und negative Flächenanteile exakt aufheben. 3. Intervallsuche: Da \(\int_a^b \cos(x) \, dx = \sin(b) - \sin(a)\), muss \(\sin(a) = \sin(b)\) gelten. Ein geeignetes Intervall ist \([\pi; 2\pi]\), da hier \(\sin(2\pi) - \sin(\pi) = 0 - 0 = 0\) gilt und \(a > 0\) erfüllt ist. 4. Überprüfung der Bedingung: Im Intervall \([\pi; 2\pi]\) ist \(\cos(x)\) negativ für \(x \in [\pi; \frac{3\pi}{2})\) und positiv für \(x \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi]\). Die Bedingung ist erfüllt.

a) Der Graph von \(f(x) = \cos(x)\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Im Intervall \([-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]\) nimmt die Funktion nur Funktionswerte \(\ge 0\) an. Somit gibt es keine negativen Flächenanteile, die den positiven Anteil mindern oder aufheben könnten; die Flächenbilanz ist daher positiv. b) Ein mögliches Intervall ist \([\pi; 2\pi]\). Hier gilt \(\int_{\pi}^{2\pi} \cos(x) \, dx = [\sin(x)]_{\pi}^{2\pi} = \sin(2\pi) - \sin(\pi) = 0\). Der Graph verläuft in \([\pi; \frac{3\pi}{2}]\) unterhalb und in \([\frac{3\pi}{2}; 2\pi]\) oberhalb der \(x\)-Achse.

- Welche Symmetrie besitzt \(g\)? - Zerlege \([-1;2]\) so, dass du das Ergebnis aus Teil 1 direkt verwenden kannst. - Welches Vorzeichen hat \(g\) auf dem zusätzlich verbleibenden Intervall?

1. Die Funktion \(g\) ist ungerade und damit punktsymmetrisch zum Ursprung. Auf \([-1;1]\) sind die Flächenbeiträge betragsgleich und haben entgegengesetzte Vorzeichen; ihre Flächenbilanz ist \(0\). 2. Es gilt \(J=\int_{-1}^{1}g(x)\,dx+\int_1^2g(x)\,dx\). Der erste Summand ist \(0\), und auf \([1;2]\) gilt \(g(x)\geq0\), wobei \(g\) nicht identisch null ist. Daher ist \(J>0\). 3. Eine Stammfunktion ist \(G(x)=\frac14x^4-\frac12x^2\). Somit gilt \(J=G(2)-G(-1)=2-\left(-\frac14\right)=\frac94=2{,}25\).

1. Wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung ist die Flächenbilanz auf \([-1;1]\) gleich \(0\). 2. \(J\) ist positiv. 3. \(J=\frac94=2{,}25\).

- Teile das Integral an der Stelle auf, an der sich die Funktionsvorschrift ändert. - Prüfe, ob der Graph innerhalb der Teilintervalle die \(x\)-Achse schneidet. - Welche einfachen geometrischen Figuren (Rechtecke, Dreiecke) kannst du in den einzelnen Abschnitten erkennen? - Beachte das Vorzeichen der Teilflächen je nach Lage zur \(x\)-Achse.

1. Zerlegung des Integrals in Intervalle basierend auf der Funktionsdefinition und den Nullstellen: \([-2; 1]\), \([1; 3]\) und \([3; 5]\). 2. Berechnung der Fläche \(A_1\) im Intervall \([-2; 1]\): Die Funktion ist konstant \(f(x) = 2\). Es entsteht ein Rechteck mit der Breite \(3\) und der Höhe \(2\). Flächeninhalt \(A_1 = 3 \cdot 2 = 6\). 3. Berechnung der Fläche \(A_2\) im Intervall \([1; 3]\): Die Funktion \(f(x) = 3 - x\) verläuft oberhalb der \(x\)-Achse bis zur Nullstelle bei \(x = 3\). Es entsteht ein Dreieck mit der Grundseite \(2\) und der Höhe \(f(1) = 2\). Flächeninhalt \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). 4. Berechnung der Fläche \(A_3\) im Intervall \([3; 5]\): Die Funktion verläuft unterhalb der \(x\)-Achse. Es entsteht ein Dreieck mit der Grundseite \(2\) und der Höhe \(|f(5)| = |3 - 5| = 2\). Flächeninhalt \(A_3 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). 5. Bestimmung der Flächenbilanz: Das Integral ergibt sich aus \(A_1 + A_2 - A_3 = 6 + 2 - 2 = 6\).

\(6\)

- Prüfe bei jedem Integranden, welche Terme gerade und welche ungerade sind. - Was folgt für das Integral einer ungeraden Funktion über ein symmetrisches Intervall? - Wie kannst du in Teil 3 gerade und ungerade Anteile getrennt behandeln?

1. Der Integrand enthält nur ungerade Potenzen und ist daher ungerade. Auf dem symmetrischen Intervall \([-4;4]\) heben sich die Flächenbeiträge in der Flächenbilanz auf. Das Integral ist \(0\). 2. \(g(x)=15x^4-6x^2\) ist gerade. Daher gilt \(\int_{-1}^{1}g(x)\,dx=2\int_0^1g(x)\,dx\). Mit \(G(x)=3x^5-2x^3\) folgt \(2\bigl(G(1)-G(0)\bigr)=2\). 3. Zerlege \(x^2+2x+1\) in den geraden Anteil \(x^2+1\) und den ungeraden Anteil \(2x\). Der ungerade Anteil hat auf \([-3;3]\) die Flächenbilanz \(0\). Für den geraden Anteil gilt \(2\int_0^3(x^2+1)\,dx=24\).

1. \(0\) 2. \(2\) 3. \(24\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Exponenten einer Polynomfunktion und ihrem Symmetrieverhalten. - Welche bekannten Integralregeln helfen dir beim Term \(f(x)+c\)? - Denke bei der Beurteilung von Aussagen über Integrale an die Lage des Graphen zur \(x\)-Achse. - Reicht die Symmetrie alleine aus, um das Vorzeichen des Integrals festzulegen?

1. Für \(f(-x)=-f(x)\) ist der Graph von \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung. Auf dem symmetrischen Intervall \([-3;3]\) heben sich die vorzeichenbehafteten Flächenbeiträge paarweise auf, also gilt \(\int_{-3}^{3}f(x)\,dx=0\). 2. Mit der Linearität gilt \(I=\int_{-3}^{3}f(x)\,dx+\int_{-3}^{3}c\,dx\). 3. Der erste Summand ist \(0\), und \(\int_{-3}^{3}c\,dx=[cx]_{-3}^{3}=3c-(-3c)=6c\). Damit ist \(I=6c\). 4. Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse legt das Vorzeichen des Integrals nicht fest. Zum Beispiel ist \(g(x)=-1\) achsensymmetrisch und \(\int_{-1}^{1}-1\,dx=-2<0\). Die Behauptung ist daher falsch.

a) Punktsymmetrie zum Ursprung bei symmetrischem Intervall führt zur Flächenbilanz \(0\). b) \(I=6c\) c) Die Aussage ist falsch; liegt der Graph unterhalb der \(x\)-Achse (z. B. \(g(x)=-1\)), ist das Integral negativ.

- Erinnere dich an die Regel, was passiert, wenn man die obere und untere Grenze eines Integrals vertauscht. - Kannst du zwei Integrale mit demselben Integranden zusammenfügen, wenn die Grenzen „aneinanderstoßen“? - Prüfe nach dem Zusammenfügen, ob das neue Intervall eine besondere Symmetrie aufweist.

1. Anwendung der Rechenregel für vertauschte Grenzen: \(-\int_{4}^{1} f(x) \, dx = \int_{1}^{4} f(x) \, dx\). 2. Zusammenfassen der Integrale über die Intervalladditivität: \(\int_{-4}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{4} f(x) \, dx = \int_{-4}^{4} f(x) \, dx\). 3. Untersuchung der Symmetrie von \(f(x) = x^3 + 2x + 0{,}5\): Die Summanden \(x^3\) und \(2x\) sind ungerade, ihr Integral über \([-4; 4]\) ist \(0\). 4. Reduktion des Integrals auf den konstanten (geraden) Teil: \(\int_{-4}^{4} 0{,}5 \, dx\). 5. Berechnung des verbleibenden Integrals: \([0{,}5x]_{-4}^{4} = 0{,}5 \cdot 4 - 0{,}5 \cdot (-4) = 2 - (-2) = 4\).

\(4\)

- Wie verhalten sich die Flächenbeiträge auf spiegelbildlich zur \(y\)-Achse liegenden Intervallen? - Nutze die Intervalladditivität, um bekannte Teilintegrale zusammenzusetzen. - Welche Rechenregel gilt für das Integral einer Summe?

1. Wegen der Achsensymmetrie gilt \(\int_{-3}^{3}f(x)\,dx=2\int_0^3f(x)\,dx=8\). 2. Ebenfalls wegen der Symmetrie gilt \(\int_{-5}^{-3}f(x)\,dx=\int_3^5f(x)\,dx=-2\). 3. Es ist \(\int_{-5}^{0}f(x)\,dx=\int_0^5f(x)\,dx=4+(-2)=2\). 4. Mit der Linearität folgt \(\int_0^5(f(x)+3)\,dx=\int_0^5f(x)\,dx+\int_0^5 3\,dx=2+15=17\).

a) \(8\) b) \(-2\) c) \(2\) d) \(17\)

- Was ist der Unterschied zwischen einem Integralwert und einem Flächeninhalt? - Wie findest du heraus, ob der Graph im gegebenen Intervall unterhalb der \(x\)-Achse verläuft? - Warum ist es wichtig, das Intervall an den Nullstellen aufzuteilen? - Überlege dir, wie du mit negativen Integralwerten bei der Flächenberechnung umgehst.

1. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2\). Berechnung des Integrals: \(\int_{-1}^{3} (x^3 - 4x) \, dx = F(3) - F(-1) = (20{,}25 - 18) - (0{,}25 - 2) = 2{,}25 - (-1{,}75) = 4\). 2. Bestimmung der Nullstellen von \(f\): \(x(x^2 - 4) = 0\) liefert \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). Im Intervall \([-1; 3]\) liegen die Nullstellen \(x = 0\) und \(x = 2\). Aufteilung des Intervalls und Berechnung der Teilflächen: \(A_1 = \int_{-1}^{0} f(x) \, dx = [F(x)]_{-1}^{0} = 0 - (-1{,}75) = 1{,}75\). \(A_2 = \left| \int_{0}^{2} f(x) \, dx \right| = |F(2) - F(0)| = |(4 - 8) - 0| = 4\). \(A_3 = \int_{2}^{3} f(x) \, dx = F(3) - F(2) = 2{,}25 - (-4) = 6{,}25\). Gesamtfläche: \(A = 1{,}75 + 4 + 6{,}25 = 12\).

1. \(\int_{-1}^{3} (x^3 - 4x) \, dx = 4\) 2. Der Flächeninhalt beträgt \(12\,\text{FE}\).

- Kannst du den Funktionsterm in eine Summe aus einer geraden und einer ungeraden Funktion aufteilen? - Was passiert mit dem Integral der ungeraden Summanden, wenn man über ein Intervall von \(-k\) bis \(k\) integriert? - Berechne das Integral des verbleibenden Anteils unter Ausnutzung der Symmetrie zur \(y\)-Achse.

1. Zerlegung des Integrands: Aufgrund der Linearität des Integrals gilt \(\int_{-k}^{k} (x^3 - 6x^2 + 2x) \, dx = \int_{-k}^{k} (x^3 + 2x) \, dx + \int_{-k}^{k} (-6x^2) \, dx\). 2. Symmetriebetrachtung: Der Anteil \(u(x) = x^3 + 2x\) ist eine ungerade Funktion. Für jedes symmetrische Intervall \([-k; k]\) gilt \(\int_{-k}^{k} u(x) \, dx = 0\). Somit hängt der Gesamtwert nur vom Integral des geraden Anteils \(g(x) = -6x^2\) ab. 3. Berechnung: \(I = \int_{-k}^{k} -6x^2 \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{k} -6x^2 \, dx = 2 \cdot [-2x^3]_0^k = 2 \cdot (-2k^3) = -4k^3\).

a) Da \(x^3\) und \(2x\) ungerade Funktionen sind, ist ihr Integral über \([-k; k]\) gleich \(0\). Es bleibt nur das Integral über den geraden Anteil \(-6x^2\). b) \(I = -4k^3\)

- Was ist der Unterschied zwischen einem Integral einer Differenz und dem Integral über den Betrag dieser Differenz? - Wo schneiden sich Sinus und Kosinus im Bereich zwischen \(0\) und \(\pi\)? - Überlege dir, welche Funktion in welchen Teilabschnitten „oben“ liegt. - Wie wirkt sich ein Vorzeichenwechsel auf das Ergebnis aus, wenn kein Betrag verwendet wird?

1. \(I_1=\int_0^\pi(\sin x-\cos x)\,\text{d}x=[-\cos x-\sin x]_0^\pi=2\). 2. Die Graphen schneiden sich bei \(x=\frac\pi4\). Auf \([0;\frac\pi4]\) liegt \(g\) oberhalb von \(f\), auf \([\frac\pi4;\pi]\) liegt \(f\) oberhalb von \(g\). 3. Daher ist \(I_2=\int_0^{\pi/4}(\cos x-\sin x)\,\text{d}x+\int_{\pi/4}^{\pi}(\sin x-\cos x)\,\text{d}x=2\sqrt2\approx2{,}83\). 4. \(I_1\) ist die vorzeichenbehaftete Flächenbilanz der Differenz \(f-g\). \(I_2\) ist der nichtnegative geometrische Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen.

1. \(I_1 = 2\) 2. \(I_2 = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\) 3. \(I_1\) ist die vorzeichenbehaftete Flächenbilanz, während \(I_2\) den tatsächlichen geometrischen Flächeninhalt angibt.

- Untersuche, welche Terme der Funktion \(f\) beim Integrieren über ein symmetrisches Intervall wegfallen könnten. - Wie verhalten sich Funktionen mit ausschließlich ungeraden Exponenten bei der Integration von \(-a\) bis \(a\)? - Nutze die Achsensymmetrie des verbleibenden Terms aus, um die Rechnung auf das Intervall von \(0\) bis \(5\) zu beschränken.

1. Identifikation der Symmetrieeigenschaften: Die Terme \(x^3\) und \(-\frac{1}{2}x\) sind ungerade Potenzen von \(x\), der Term \(\frac{3}{10}x^4\) ist eine gerade Potenz. 2. Aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung ist das Integral der ungeraden Anteile über das symmetrische Intervall \([-5; 5]\) gleich null: \(\int_{-5}^{5} (x^3 - \frac{1}{2}x) \, dx = 0\). 3. Das Integral reduziert sich auf den geraden Anteil: \(\int_{-5}^{5} \frac{3}{10}x^4 \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{5} \frac{3}{10}x^4 \, dx\). 4. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{3}{50}x^5\). 5. Berechnung des Werts: \(2 \cdot [\frac{3}{50}x^5]_0^5 = 2 \cdot (\frac{3}{50} \cdot 5^5 - 0) = 2 \cdot \frac{3 \cdot 3125}{50} = 2 \cdot 187{,}5 = 375\).

\(375\)

- Überlege dir, welche Koordinaten der Endpunkt des Graphen im betrachteten Intervall hat. - Welches geometrische Objekt wird durch die Koordinatenachsen und die Parallelen dazu aufgespannt? - Wie hängen die Flächeninhalte unter einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion zusammen, wenn man sie in ein gemeinsames Rechteck einzeichnet? - Welches Integral einer einfacheren Funktion (hier die Quadratfunktion) musst du berechnen, um den Restanteil der Fläche zu bestimmen?

1. Die Funktion \(g(x) = \sqrt{x}\) ist die Umkehrfunktion von \(f(x) = x^2\) für \(x \geq 0\). Die Fläche unter dem Graphen von \(g\) im Intervall \([0; 4]\) entspricht der Fläche zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(y\)-Achse im Bereich von \(y = 0\) bis \(y = 4\). 2. Der Punkt \((4\mid 2)\) liegt auf dem Graphen von \(g\), da \(\sqrt{4} = 2\). Das zugehörige Rechteck im ersten Quadranten hat die Eckpunkte \((0\mid 0)\), \((4\mid 0)\), \((4\mid 2)\) und \((0\mid 2)\). Sein Flächeninhalt beträgt \(A_{\text{Rechteck}} = 4 \cdot 2 = 8\). 3. Die gesuchte Fläche \(\int_0^4 \sqrt{x} \, dx\) ergibt sich aus der Differenz zwischen dem Rechteckinhalt und der Fläche unter dem Graphen von \(f\) im Intervall \([0; 2]\). 4. Berechnung des Integrals von \(f\): \(\int_0^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^2 = \frac{1}{3} \cdot 2^3 - 0 = \frac{8}{3}\). 5. Berechnung des gesuchten Werts: \(8 - \frac{8}{3} = \frac{24}{3} - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}\).

\(\int_0^4 \sqrt{x} \, dx = \frac{16}{3}\)

- Wie findet man die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse schneidet? - Warum ist es wichtig, die Nullstellen zu kennen, bevor man integriert? - Was passiert mit dem Flächeninhalt, wenn der Graph unterhalb der \(x\)-Achse verläuft? - Kannst du die Symmetrie des Graphen nutzen, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f(x) = \frac{1}{2}x(x^2 - 4)\): Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). 2. Bildung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{8}x^4 - x^2\). 3. Berechnung der Teilintegrale: \(\int_{-2}^0 (\frac{1}{2}x^3 - 2x) \, dx = [F(x)]_{-2}^0 = 0 - (\frac{1}{8} \cdot (-2)^4 - (-2)^2) = 0 - (2 - 4) = 2\). \(\int_0^2 (\frac{1}{2}x^3 - 2x) \, dx = [F(x)]_0^2 = (\frac{1}{8} \cdot 2^4 - 2^2) - 0 = 2 - 4 = -2\). 4. Die Summe der Beträge der Teilflächen ergibt den Gesamtinhalt: \(A = |2| + |-2| = 4\).

Der Flächeninhalt beträgt \(4\) Flächeneinheiten.

- Welche Methode eignet sich, um die Nullstellen einer biquadratischen Funktion zu finden? - Überprüfe, in welchen Intervallen der Graph oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt. - Nutze die Symmetrieeigenschaften der Funktion, um Rechenschritte zu sparen. - Erinnere dich daran, dass Flächeninhalte immer positive Werte haben müssen.

1. Berechnung der Nullstellen mittels Substitution \(u = x^2\): \(-u^2 + 5u - 4 = 0\) liefert \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 4\). Daraus ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = -2\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 1\) und \(x_4 = 2\). 2. Da die Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist (\(f(x) = f(-x)\)), kann die Fläche für \(x \ge 0\) berechnet und verdoppelt werden. Die relevanten Intervalle sind \([0; 1]\) und \([1; 2]\). 3. Stammfunktion: \(F(x) = -\frac{1}{5}x^5 + \frac{5}{3}x^3 - 4x\). 4. Teilintegrale berechnen: \(\int_0^1 f(x) \, dx = F(1) - F(0) = -\frac{1}{5} + \frac{5}{3} - 4 = -\frac{38}{15}\). \(\int_1^2 f(x) \, dx = F(2) - F(1) = (-\frac{32}{5} + \frac{40}{3} - 8) - (-\frac{38}{15}) = -\frac{16}{15} + \frac{38}{15} = \frac{22}{15}\). 5. Gesamtfläche: \(A = 2 \cdot (|-\frac{38}{15}| + |\frac{22}{15}|) = 2 \cdot (\frac{38}{15} + \frac{22}{15}) = 2 \cdot \frac{60}{15} = 2 \cdot 4 = 8\).

Der Inhalt der Fläche beträgt \(8\) Flächeneinheiten.

- Wo schneidet das mittlere Streckenstück die \(x\)-Achse? - In welche Rechtecke und Dreiecke lässt sich die Fläche zerlegen? - Welches Vorzeichen erhält ein Flächenbeitrag unterhalb der \(x\)-Achse in der Flächenbilanz?

1. Das Segment von \(B\) nach \(C\) hat die Gleichung \(y=-x+4\) und schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=4\). 2. Oberhalb der \(x\)-Achse liegen ein Rechteck mit Flächenbeitrag \(4\) und ein Dreieck mit Flächenbeitrag \(2\). 3. Unterhalb der \(x\)-Achse liegen ein Dreieck mit Flächenbeitrag \(-0{,}5\) und ein Rechteck mit Flächenbeitrag \(-2\). 4. Die Flächenbilanz ist \(4+2-0{,}5-2=3{,}5\). Daher gilt \(\int_0^7 f(x)\,dx=3{,}5\).

\(\int_0^7 f(x)\,dx=3{,}5\)

- Überlege dir, was die Betragsstriche für das Vorzeichen des Terms im Inneren bedeuten. - Wo ändert der Term \(x^2 - 4\) sein Vorzeichen? - In welchen Teilintervallen ist der Ausdruck positiv und in welchen negativ? - Nutze die Nullstelle, um das Integral so aufzuteilen, dass du die Betragsstriche jeweils weglassen oder durch ein Minuszeichen ersetzen kannst.

1. Untersuchung des Vorzeichens des Terms innerhalb des Betrags: Die Funktion \(g(x) = x^2 - 4\) hat im Intervall \([0; 3]\) eine Nullstelle bei \(x = 2\). 2. Für \(0 \leq x \leq 2\) ist \(x^2 - 4 \leq 0\), daher gilt \(|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2\). 3. Für \(2 < x \leq 3\) ist \(x^2 - 4 > 0\), daher gilt \(|x^2 - 4| = x^2 - 4\). 4. Aufspaltung des Integrals an der Stelle \(x = 2\): \(\int_{0}^{2} (4 - x^2) \, dx + \int_{2}^{3} (x^2 - 4) \, dx\). 5. Berechnung des ersten Teils: \([4x - \frac{1}{3}x^3]_0^2 = (8 - \frac{8}{3}) - 0 = \frac{16}{3}\). 6. Berechnung des zweiten Teils: \([\frac{1}{3}x^3 - 4x]_2^3 = (9 - 12) - (\frac{8}{3} - 8) = -3 - (-\frac{16}{3}) = \frac{7}{3}\). 7. Gesamtergebnis durch Addition: \(\frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3} = 7\frac{2}{3}\).

\(\frac{23}{3}\) oder \(7\frac{2}{3}\)

- Prüfe zuerst, ob der Graph im gegebenen Intervall Nullstellen besitzt oder vollständig oberhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Wie lauten die Regeln zum Bilden von Stammfunktionen von Exponentialfunktionen mit einem Faktor im Exponenten? - Denk an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, um das bestimmte Integral zu berechnen.

1. Da \(e^{2x} - 2e^x + 3 = (e^x - 1)^2 + 2 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, liegt der Graph im gesamten Intervall oberhalb der \(x\)-Achse. 2. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = e^{2x} - 2e^x + 3\): \(F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - 2e^x + 3x\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(A = \int_{0}^{1} (e^{2x} - 2e^x + 3) \, dx = F(1) - F(0)\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(F(1) = \frac{1}{2}e^2 - 2e + 3\) und \(F(0) = \frac{1}{2}e^0 - 2e^0 + 0 = \frac{1}{2} - 2 = -1{,}5\). 5. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \frac{1}{2}e^2 - 2e + 3 - (-1{,}5) = \frac{1}{2}e^2 - 2e + 4{,}5 \approx 2{,}758\).

Der Flächeninhalt beträgt \(A = \frac{1}{2}e^2 - 2e + 4{,}5 \approx 2{,}758\,\text{FE}\).

- Prüfe zunächst das Vorzeichen von \(f\) im gesamten Intervall. - Welche bekannte logarithmische Ableitungsstruktur steckt in \(\frac{2}{x+3}\)? - Wie kannst du die Differenz zweier Logarithmen vereinfachen?

1. Auf \([0;3]\) gilt \(f(x)>0\), daher entspricht der Flächeninhalt dem bestimmten Integral \(A=\int_0^3\frac{2}{x+3}\,dx\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=2\ln|x+3|\). Hier liegt die Struktur \(g'(x)/g(x)\) mit \(g(x)=x+3\) vor. 3. Damit ist \(A=2\ln6-2\ln3=2\ln2=\ln4\).

\(A=2\ln2=\ln4\)

- Achte darauf, ob der Graph im betrachteten Intervall oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt. - Wie gehst du vor, wenn ein bestimmtes Integral ein negatives Ergebnis liefert, du aber einen Flächeninhalt berechnen sollst? - Was ist der natürliche Logarithmus von 1?

1. Bestimmung der Stammfunktion von \(g(x) = \frac{5}{x - 7}\): Eine Stammfunktion ist \(G(x) = 5 \ln|x - 7|\). 2. Untersuchung des Vorzeichens im Intervall \([2; 6]\): Da \(x - 7\) für alle \(x \in [2; 6]\) negativ ist, verläuft der Graph von \(g\) unterhalb der \(x\)-Achse. 3. Berechnung des bestimmten Integrals: \(\int_{2}^{6} \frac{5}{x - 7} \, dx = [5 \ln|x - 7|]_{2}^{6}\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(5 \ln|6 - 7| - 5 \ln|2 - 7| = 5 \ln(1) - 5 \ln(5)\). 5. Da \(\ln(1) = 0\), ergibt sich für das Integral der Wert \(-5 \ln(5)\). 6. Da ein Flächeninhalt gesucht ist, wird der Betrag des Integrals genommen: \(A = |-5 \ln(5)| = 5 \ln(5) \approx 8{,}05\).

Der Flächeninhalt beträgt \(5 \ln(5) \approx 8{,}05\) Flächeneinheiten.

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Vorzeichen von \(f\) und dem Monotonieverhalten einer Stammfunktion \(F\)? - An welcher Nullstelle von \(f\) wechselt das Vorzeichen von positiv zu negativ? - Wie lässt sich die Änderung von \(F_1\) zwischen zwei Stellen durch ein bestimmtes Integral ausdrücken?

1. Für jede Stammfunktion gilt \(F'=f\). Ein lokaler Hochpunkt von \(F\) liegt daher an einer Nullstelle von \(f\), an der \(f\) von positiv zu negativ wechselt. 2. Bei \(x=1\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ. Deshalb besitzt \(F\) dort einen lokalen Hochpunkt. 3. Für Teil b) gilt \(F_1(0)-F_1(-2)=\int_{-2}^{0}f(x)\,dx\). 4. Eine Stammfunktion von \(f\) ist \(A(x)=\frac{1}{16}x^4-\frac14x^3-\frac34x^2+2x\). Damit ist \(\int_{-2}^{0}f(x)\,dx=4\). 5. Also gilt \(3-F_1(-2)=4\), somit \(F_1(-2)=-1\).

a) \(x=1\) b) \(F_1(-2)=-1\)

- Wie hängen der Wert eines bestimmten Integrals und die Flächenstücke zwischen dem Graphen und der x-Achse zusammen? - Achte darauf, in welchen Bereichen der Graph oberhalb und in welchen er unterhalb der x-Achse verläuft. - Kannst du krummlinig begrenzte Flächen durch einfachere geometrische Formen wie Dreiecke oder Rechtecke abschätzen? - Überlege dir, welchen geometrischen Wert das Integral einer konstanten Funktion wie 1 über ein bestimmtes Intervall darstellt.

1. Zu a): Die positive Teilfläche auf \([-2;0]\) ist deutlich kleiner als die negative Teilfläche auf \([0;3]\). Die gesamte Flächenbilanz ist daher negativ. Aussage a) ist wahr. 2. Zu b): Unterhalb der \(x\)-Achse liegt auf \([0;3]\) bereits das Dreieck mit den Eckpunkten \((0\mid 0)\), \((2\mid -4)\) und \((3\mid 0)\). Es hat den Flächeninhalt \(\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6\). Der Graph verläuft in diesem Bereich noch unter den Dreiecksseiten, daher ist das Integral kleiner als \(-6\) und insbesondere nicht größer als \(-5\). Aussage b) ist falsch. 3. Zu c): Es gilt \(\int_{-2}^{0}1\,\mathrm{d}x=2\). Das Dreieck mit den Eckpunkten \((-2\mid 0)\), \((-1\mid 2)\) und \((0\mid 0)\) hat ebenfalls den Flächeninhalt \(2\), der Graph liegt zwischen diesen Punkten jedoch oberhalb der Dreiecksseiten. Daher ist \(\int_{-2}^{0}f(x)\,\mathrm{d}x>2\). Aussage c) ist wahr.

a) **Wahr**, da die negative Teilfläche im Intervall \([0; 3]\) betragsmäßig deutlich größer ist als die positive Teilfläche im Intervall \([-2; 0]\). b) **Falsch**, da das Integral im Intervall \([0; 3]\) kleiner als \(-6\) (und damit auch kleiner als \(-5\)) ist. c) **Wahr**, da das Integral über \([-2; 0]\) größer als \(2\) (der Flächeninhalt der Dreiecksannäherung) ist, während \(\int_{-2}^{0} 1 \,\mathrm{d}x = 2\) beträgt.

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen \(F'\) und \(f\)? - Nutze das Vorzeichen von \(f\), um zu entscheiden, wo \(F\) steigt oder fällt. - Für den Wert von \(F\) kannst du die Flächenbilanz zwischen zwei Stellen verwenden. - Was bedeutet die Steigung des Graphen von \(f\) an \(x=4\) für \(F''(4)\)?

1. Weil \(F'=f\) gilt, steigt \(F\) dort, wo \(f>0\), und fällt dort, wo \(f<0\). Bei \(x=2\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ; zusätzlich sind für das absolute Maximum die Randwerte zu vergleichen. 2. Von \(x=-2\) bis \(x=2\) beträgt die Flächenbilanz \(2+2=4\). Mit \(F(-2)=0\) folgt \(F(2)=4\). 3. Von \(x=2\) bis \(x=6\) beträgt die Flächenbilanz \(-0{,}5-2-0{,}25+0{,}25=-2{,}5\). Daher ist \(F(6)=1{,}5\). Somit liegt das absolute Maximum bei \(x=2\) und hat den Wert \(4\). 4. Auf \([0;5]\) ergeben die geometrischen Flächenbeiträge \(2-0{,}5-2=-0{,}5\). Also ist \(\int_0^5 f(x)\,\mathrm{d}x=-0{,}5\). 5. Aus \(F'=f\) folgt \(F''=f'\). Im Intervall von \(x=3\) bis \(x=5\) ist der dargestellte Graph von \(f\) waagerecht, daher ist \(f'(4)=0\). Somit gilt \(F''(4)=0\).

a) Absolutes Maximum bei \(x=2\) mit \(F(2)=4\). b) \(\int_0^5 f(x)\,\mathrm{d}x=-0{,}5\) c) \(F''(4)=0\)

- Überlege zuerst, wie das Vorzeichen eines bestimmten Integrals mit der Lage des Graphen zur \(x\)-Achse zusammenhängt. - Liegt ein Flächenstück oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse? Welchen Einfluss hat das auf das Vorzeichen des Teilintegrals? - Zerlege die Integrale in Teilintervalle, die genau den gegebenen Flächen entsprechen. - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Integrals, wenn man die obere und die untere Integrationsgrenze vertauscht?

1. Für das Integral a) \(\int_{-3}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x\): Das Integrationsintervall reicht von \(-3\) bis \(2\). Dieses lässt sich in zwei Teilintervalle aufteilen: \(\int_{-3}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x = \int_{-3}^{-1} f(x) \,\mathrm{d}x + \int_{-1}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x\) - Im ersten Teilintervall \([-3; -1]\) verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse, daher gilt näherungsweise: \(\int_{-3}^{-1} f(x) \,\mathrm{d}x \approx -A_1 = -1{,}50\). - Im zweiten Teilintervall \([-1; 2]\) verläuft der Graph oberhalb der \(x\)-Achse, daher gilt näherungsweise: \(\int_{-1}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x \approx A_2 = 2{,}75\). Damit ergibt sich: \(\int_{-3}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x \approx -1{,}50 + 2{,}75 = 1{,}25\). 2. Für das Integral b) \(\int_{-1}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x\): Das Integrationsintervall reicht von \(-1\) bis \(5\). Wir teilen es an der Nullstelle \(x = 2\) auf: \(\int_{-1}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x = \int_{-1}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x + \int_{2}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x\) - Im Intervall \([-1; 2]\) verläuft der Graph oberhalb der \(x\)-Achse, also näherungsweise: \(\int_{-1}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x \approx A_2 = 2{,}75\). - Im Intervall \([2; 5]\) verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse, also näherungsweise: \(\int_{2}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x \approx -A_3 = -5{,}35\). Damit ergibt sich: \(\int_{-1}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x \approx 2{,}75 - 5{,}35 = -2{,}60\). 3. Für das Integral c) \(\int_{5}^{-3} f(x) \,\mathrm{d}x\): Hier sind die Integrationsgrenzen vertauscht (die untere Grenze ist größer als die obere Grenze). Durch das Vertauschen der Grenzen ändert sich das Vorzeichen des Integrals: \(\int_{5}^{-3} f(x) \,\mathrm{d}x = -\int_{-3}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x\) Das Integral von \(-3\) bis \(5\) setzt sich aus allen drei Teilintervallen zusammen: \(\int_{-3}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x = \int_{-3}^{-1} f(x) \,\mathrm{d}x + \int_{-1}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x + \int_{2}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x \approx -A_1 + A_2 - A_3\) Setzen wir die Werte ein: \(\int_{-3}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x \approx -1{,}50 + 2{,}75 - 5{,}35 = -4{,}10\) Damit erhalten wir für das gesuchte Integral: \(\int_{5}^{-3} f(x) \,\mathrm{d}x \approx -(-4{,}10) = 4{,}10\).

a) \(\int_{-3}^{2} f(x) \,\mathrm{d}x \approx 1{,}25\) b) \(\int_{-1}^{5} f(x) \,\mathrm{d}x \approx -2{,}60\) c) \(\int_{5}^{-3} f(x) \,\mathrm{d}x \approx 4{,}10\)

- Welche Wirkung hat die Punktsymmetrie zu einem Punkt auf der \(x\)-Achse auf die beiden Flächenbeiträge? - Worin unterscheiden sich Flächenbilanz und geometrischer Gesamtflächeninhalt? - Welche Rechenregel für bestimmte Integrale hilft bei \(g=f+1\)?

1. Wegen der Punktsymmetrie zu \(P(2\mid0)\) sind die Flächenbeiträge auf \([0;2]\) und \([2;4]\) betragsgleich und haben entgegengesetzte Vorzeichen. Daher ist ihre Flächenbilanz \(0\). 2. Eine Stammfunktion von \(f\) ist \(F(x)=0{,}125x^4-x^3+2x^2\). Es gilt \(\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x=2\). Wegen der Symmetrie beträgt der geometrische Gesamtflächeninhalt \(2+2=4\,\text{FE}\). 3. Mit der Linearität gilt \(\int_0^4g(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^4f(x)\,\mathrm{d}x+\int_0^4 1\,\mathrm{d}x=0+4=4\).

a) Die beiden Flächenbeiträge heben sich wegen der Punktsymmetrie auf; die Flächenbilanz ist \(0\). b) \(4\,\text{FE}\) c) \(\int_0^4g(x)\,\mathrm{d}x=4\)

- Überlege dir zuerst, in welchen Bereichen die Funktionswerte oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegen. - Welche Rolle spielt das Vorzeichen der Funktionswerte beim Berechnen eines bestimmten Integrals im Vergleich zu einem geometrischen Flächeninhalt? - Kannst du ein Integral über ein größeres Intervall in mehrere Teilintegrale zerlegen? - Nutze die Rechenregeln für Integrale, um Differenzen von Integralen mit gleichen Grenzen zusammenzufassen. - Erinnere dich daran, wie die Fläche zwischen zwei Graphen mathematisch als Integral definiert ist.

1. Für das Integral \(I_1 = \int_0^4 f(x) \,\mathrm{d}x\): Das Intervall \([0; 4]\) wird an der Nullstelle \(x = 1\) aufgeteilt. Da \(f(x) \le 0\) auf \([0; 1]\) und \(f(x) \ge 0\) auf \([1; 4]\) gilt, ergibt sich: \(\int_0^4 f(x) \,\mathrm{d}x = \int_0^1 f(x) \,\mathrm{d}x + \int_1^4 f(x) \,\mathrm{d}x = -A_1 + A_2\). 2. Für das Integral \(I_2 = \int_0^2 g(x) \,\mathrm{d}x\): Da der Graph \(G_g\) auf dem gesamten Intervall \([0; 2]\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, ist der Wert des bestimmten Integrals negativ und entspricht dem negativen Flächeninhalt: \(\int_0^2 g(x) \,\mathrm{d}x = -A_3\). 3. Für das Integral \(I_3 = \int_0^3 f(x) \,\mathrm{d}x - \int_0^3 g(x) \,\mathrm{d}x\): Mithilfe der Linearität des Integrals lässt sich die Differenz der Integrale zu einem einzigen Integral zusammenfassen: \(\int_0^3 (f(x) - g(x)) \,\mathrm{d}x\). Da \(G_f\) auf dem Intervall \([0; 3]\) oberhalb von \(G_g\) verläuft (mit gemeinsamen Schnittpunkten bei \(x = 0\) und \(x = 3\)), entspricht dieses Integral genau der eingeschlossenen Fläche \(A_4\): \(I_3 = A_4\).

a) \(I_1 = -A_1 + A_2\) (oder \(A_2 - A_1\)) b) \(I_2 = -A_3\) c) \(I_3 = A_4\)

- Wie hängen die Eckpunkte des Dreiecks mit den Nullstellen und dem Scheitelpunkt der Funktion zusammen? - Erinnere dich daran, wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet, wenn die Grundseite und die Höhe bekannt sind. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, den exakten Flächeninhalt unter einer Kurve zu berechnen? Denke an die Grenzen der Fläche. - Wenn du beide Flächeninhalte berechnet hast, wie kannst du das Verhältnis des kleineren zum größeren Wert bestimmen und als Prozentsatz ausdrücken?

1. Nullstellen von \(f(x) = 4 - x^2\) durch Nullsetzen bestimmen: \(4 - x^2 = 0 \implies x = \pm 2\). Somit sind die Nullstellen \(N_1(-2 \mid 0)\) und \(N_2(2 \mid 0)\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(0 \mid 4)\). 2. Der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet sich mit der Grundseite \(g = 4\) (Abstand der Nullstellen) und der Höhe \(h = 4\) (\(y\)-Koordinate des Scheitelpunktes) zu \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\). 3. Der Flächeninhalt der von der Parabel und der \(x\)-Achse eingeschlossenen Fläche wird über das bestimmte Integral berechnet: \(A_{\text{Gesamt}} = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, \mathrm{d}x = \left[ 4x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-2}^{2} = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = \frac{16}{3} - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{32}{3}\). 4. Das Verhältnis der Flächeninhalte bestimmen: \(\frac{A_{\text{Dreieck}}}{A_{\text{Gesamt}}} = \frac{8}{\frac{32}{3}} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4} = 75\,\%\).

a) Nullstellen bei \(N_1(-2 \mid 0)\) und \(N_2(2 \mid 0)\), Scheitelpunkt bei \(S(0 \mid 4)\). Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(A_{\text{Dreieck}} = 8\). b) Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt \(A_{\text{Gesamt}} = \frac{32}{3} \approx 10{,}67\). c) Das Dreieck nimmt einen Anteil von genau \(75\,\%\) der Gesamtfläche ein.

- Kannst du beschreiben, wie die Fläche im Koordinatensystem liegt? Verläuft sie ganz oberhalb, ganz unterhalb oder aufgeteilt? - Wie hängen die Nullstellen der Funktion mit den Integrationsgrenzen zusammen? - Was musst du beachten, wenn ein Teil des Graphen unterhalb der \(x\)-Achse liegt und du den tatsächlichen Flächeninhalt berechnen möchtest? - Wie unterscheidet sich die Flächenbilanz (das Integral über das gesamte Intervall) vom tatsächlichen Flächeninhalt? - Welche Rechenschritte sind nötig, um ein bestimmtes Integral mithilfe einer Stammfunktion zu berechnen?

1. Bestimmung der Integrationsgrenzen durch Ermittlung der Nullstellen von \(f(x) = -0{,}5x^3 + 0{,}5x^2 + x = 0\). Ausklammern liefert \(-0{,}5x(x^2 - x - 2) = 0\), woraus sich die Nullstellen bei \(x_1 = -1\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\) ergeben. Das Intervall \([-1; 2]\) wird somit bei \(x = 0\) unterteilt. 2. Bestimmung des Vorzeichens im jeweiligen Teilintervall: - Im Intervall \([-1; 0]\) verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse (\(f(x) \le 0\)). - Im Intervall \([0; 2]\) verläuft der Graph oberhalb der \(x\)-Achse (\(f(x) \ge 0\)). 3. Aufstellen der Integrale für den gesamten Flächeninhalt \(A\): \(A = -\int_{-1}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x\) Alternativ: \(A = \int_{-1}^{0} -f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x\) oder \(A = \left|\int_{-1}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x\right| + \int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x\). 4. Bestimmung einer Stammfunktion \(F\) von \(f\): \(F(x) = -\frac{1}{8}x^4 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x^2\) 5. Berechnung des ersten Teilintegrals \(I_1\): \(I_1 = \int_{-1}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x = F(0) - F(-1) = 0 - \left(-\frac{1}{8}(-1)^4 + \frac{1}{6}(-1)^3 + \frac{1}{2}(-1)^2\right) = -\left(-\frac{1}{8} - \frac{1}{6} + \frac{1}{2}\right) = -\frac{5}{24}\) Der Flächeninhalt des ersten Teils beträgt somit \(A_1 = |I_1| = \frac{5}{24}\). 6. Berechnung des zweiten Teilintegrals \(I_2\): \(I_2 = \int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x = F(2) - F(0) = \left(-\frac{1}{8}(2)^4 + \frac{1}{6}(2)^3 + \frac{1}{2}(2)^2\right) - 0 = -2 + \frac{4}{3} + 2 = \frac{4}{3} = \frac{32}{24}\) Der Flächeninhalt des zweiten Teils beträgt somit \(A_2 = \frac{32}{24}\). 7. Berechnung des Gesamtflächeninhalts durch Addition: \(A = A_1 + A_2 = \frac{5}{24} + \frac{32}{24} = \frac{37}{24}\)

a) \(A = -\int_{-1}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x\) (oder eine äquivalente Darstellung mit Beträgen) b) \(A = \frac{37}{24}\)

- Welche trigonometrische Identität verbindet \(\sin(2x)\) mit \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\)? - Welche Regel für lineare innere Funktionen brauchst du beim Integrieren von \(\sin(2x)\)? - Warum genügt für den geometrischen Gesamtflächeninhalt nicht das Integral über das gesamte Intervall?

1. Mit \(\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\) folgt \(f(x)=2\sin(x)(1-\cos(x))\). Im Intervall \([0;2\pi]\) sind die Nullstellen \(x=0\), \(x=\pi\) und \(x=2\pi\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=-2\cos(x)+\frac12\cos(2x)\). Daher gilt \(\int_0^{2\pi}f(x)\,\mathrm{d}x=F(2\pi)-F(0)=0\). Die positiven und negativen Flächenbeiträge heben sich in der Flächenbilanz auf. 3. Es ist \(\int_0^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x=4\) und \(\int_{\pi}^{2\pi}f(x)\,\mathrm{d}x=-4\). Der geometrische Gesamtflächeninhalt beträgt daher \(4+4=8\,\text{FE}\).

a) \(x=0\), \(x=\pi\), \(x=2\pi\) b) \(0\); die Flächenbeiträge heben sich in der Flächenbilanz auf. c) \(8\,\text{FE}\)

- Welche kleinen Funktionswerte kannst du an den Randpunkten \(x=2\) und \(x=3\) bestimmen? - Wie kannst du diese Werte als sichere Rechteckshöhen auf Teilintervallen verwenden? - Reicht die Summe dieser vollständig unter dem Graphen liegenden Rechtecke bereits aus, um \(6\) zu überschreiten?

1. Für \(|x|\leq2\) gilt \(f(x)\geq f(2)=1{,}2\). Deshalb liegt auf \([-2;2]\) ein Rechteck der Breite \(4\) und Höhe \(1{,}2\) vollständig unter dem Graphen. Sein Flächeninhalt beträgt \(4{,}8\). 2. Auf den Randintervallen \([-3;-2]\) und \([2;3]\) gilt \(f(x)\geq f(3)=0{,}7\). Dort liegen zwei Rechtecke mit Breite \(1\) und Höhe \(0{,}7\) vollständig unter dem Graphen. Zusammen haben sie den Flächeninhalt \(1{,}4\). 3. Damit ist die Fläche unter dem Graphen mindestens \(4{,}8+1{,}4=6{,}2\). Also gilt \(\int_{-3}^{3}f(x)\,\mathrm{d}x\geq6{,}2>6\).

Auf \([-2;2]\) liegt ein Rechteck mit Flächeninhalt \(4\cdot1{,}2=4{,}8\) unter dem Graphen. Auf \([-3;-2]\) und \([2;3]\) liegen zusätzlich zwei Rechtecke mit zusammen \(2\cdot1\cdot0{,}7=1{,}4\) unter dem Graphen. Daher ist \(\int_{-3}^{3}f(x)\,\mathrm{d}x\geq6{,}2>6\).

- Welche Bedingung an die erste Ableitung kennzeichnet einen Hochpunkt? - Prüfe beim Ableiten der vorgegebenen Stammfunktion die Produktregel sorgfältig. - Warum entspricht das bestimmte Integral hier direkt einem geometrischen Flächeninhalt?

1. Es gilt \(g'(x)=(10-2x)e^{-0{,}2x}\). Da der Exponentialfaktor positiv ist, gilt \(g'(x)=0\) genau für \(x=5\). Links davon ist \(g'>0\), rechts davon \(g'<0\); somit liegt dort der Gipfel. Es ist \(g(5)=50e^{-1}=\frac{50}{e}\,\text{m}\). 2. Für die angegebene Funktion gilt \(G'(x)=-50e^{-0{,}2x}+10(x+5)e^{-0{,}2x}=10xe^{-0{,}2x}=g(x)\). 3. Da \(g(x)\geq0\) auf \([0;15]\), ist der Flächeninhalt \(A=\int_0^{15}g(x)\,\mathrm{d}x=G(15)-G(0)=250-1000e^{-3}\,\text{m}^2\).

a) \(G\left(5\mid\frac{50}{e}\right)\) b) \(A=250-1000e^{-3}\,\text{m}^2\)

- Wo wechselt \(f\) im Intervall \([0;3]\) das Vorzeichen? - Welches Vorzeichen hat der Flächenbeitrag auf \([0;2]\)? - Welche Größe zählt alle Teilflächen unabhängig von ihrer Lage zur \(x\)-Achse positiv?

1. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac13x^3-4x\). Daher gilt \(\int_0^3(x^2-4)\,dx=F(3)-F(0)=-3\). 2. Auf \([0;2]\) ist der Flächenbeitrag \(-\frac{16}{3}\), also \(A_1=\frac{16}{3}\). Auf \([2;3]\) ist der Flächenbeitrag \(\frac73\), also \(A_2=\frac73\). Damit ist \(A_1+A_2=\frac{23}{3}\approx7{,}67\,\text{FE}\). 3. Das bestimmte Integral gibt die Flächenbilanz an und zählt den Beitrag unterhalb der \(x\)-Achse negativ. Der geometrische Flächeninhalt addiert dagegen die Beträge beider Teilflächen.

1. \(-3\) 2. \(\frac{23}{3}\approx7{,}67\,\text{FE}\) 3. Das Integral ist die Flächenbilanz; der geometrische Flächeninhalt ist die Summe der Beträge der Teilflächen.

- Überlege dir, wie das Vorzeichen des Funktionswerts das Vorzeichen des bestimmten Integrals beeinflusst. - Achte auf die Lage des Graphen relativ zur \(x\)-Achse: Wann heben sich Flächenanteile bei der Integration gegenseitig auf? - Untersuche den Graphen auf Symmetrieeigenschaften. Ein Symmetriepunkt auf der \(x\)-Achse kann viel über die Flächenbilanz aussagen. - Erinnere dich daran, dass das Integral über ein Intervall, in dem die Funktion nur negative Werte annimmt, selbst negativ sein muss.

1. Analyse der Flächenanteile: Der Graph verläuft im Intervall \((-1; 1)\) unterhalb der \(x\)-Achse, im Intervall \((1; 3)\) oberhalb und für \(x > 3\) wieder unterhalb. 2. Aussage a): Da \(f(x) < 0\) für alle \(x \in (-1; 1)\), ist das Integral negativ. Ergebnis: wahr. 3. Aussage b): Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt \((1 \mid 0)\). Die Flächeninhalte der Flächenstücke zwischen Graph und \(x\)-Achse über \([-1; 1]\) und \([1; 3]\) sind daher betragsmäßig gleich. Da ein Teil unterhalb und einer oberhalb der Achse liegt, heben sie sich in der Bilanz auf. Ergebnis: wahr. 4. Aussage c): Das Intervall \([0; 2]\) liegt ebenfalls symmetrisch zum Punkt \((1 \mid 0)\). Das negative Flächenstück von \(0\) bis \(1\) wird durch das gleich große positive Flächenstück von \(1\) bis \(2\) ausgeglichen. Ergebnis: wahr. 5. Aussage d): Im Intervall \((3; 4)\) verläuft der Graph vollständig unterhalb der \(x\)-Achse. Das Integral ist daher negativ. Ergebnis: falsch.

a) wahr b) wahr c) wahr d) falsch

- In welchem Teil des dargestellten Intervalls liegt der Graph oberhalb der \(x\)-Achse? - Welche Folge hat Punktsymmetrie zum Ursprung für Flächenbeiträge auf einem symmetrischen Intervall? - Welche Regel für eine lineare innere Funktion brauchst du bei \(\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\)?

1. Auf \([0;2]\) liegt der Graph oberhalb der \(x\)-Achse. Daher gilt \(A=\int_0^2 2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\,\mathrm{d}x\). 2. Wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung sind die Flächenbeiträge auf \([-2;0]\) und \([0;2]\) betragsgleich und haben entgegengesetzte Vorzeichen. Ihre Flächenbilanz ist deshalb \(0\). 3. Mit der Regel für lineare innere Funktionen ist eine Stammfunktion \(F(x)=-\frac{4}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)\). Somit ist \(A=F(2)-F(0)=\frac{8}{\pi}\,\text{FE}\).

a) \(A=\int_0^2 2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\,\mathrm{d}x\) b) Die beiden Flächenbeiträge heben sich wegen der Punktsymmetrie in der Flächenbilanz auf. c) \(A=\frac{8}{\pi}\,\text{FE}\approx2{,}55\,\text{FE}\)

- Überlege dir zuerst, ob das Schaubild in dem gesuchten Intervall oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Erinnere dich daran, dass Integrale Flächeninhalte unterhalb der \(x\)-Achse mit einem negativen Vorzeichen „zählen“. - Wenn ein Integral über mehrere Flächenstücke verläuft, musst du die einzelnen Werte unter Berücksichtigung ihrer Lage (positiv oder negativ) addieren. - Was passiert mit dem Wert eines Integrals, wenn man die obere und die untere Grenze vertauscht?

Zur Berechnung der Integrale wird die Flächenbilanz genutzt. Flächen oberhalb der \(x\)-Achse gehen positiv, Flächen unterhalb negativ in den Integralwert ein. 1. Für Teilaufgabe a): Das Intervall \([-4; -1]\) entspricht genau der Fläche \(A_1\). Da \(A_1\) oberhalb der \(x\)-Achse liegt, gilt: \(\int_{-4}^{-1} f(x) \, dx = A_1 = 1{,}2\). 2. Für Teilaufgabe b): Das Intervall \([-1; 5]\) umfasst \(A_2\) (unterhalb) und \(A_3\) (oberhalb). Somit ergibt sich: \(\int_{-1}^{5} f(x) \, dx = -A_2 + A_3 = -3{,}5 + 0{,}8 = -2{,}7\). 3. Für Teilaufgabe c): Das Intervall \([-4; 5]\) umfasst alle drei Flächen. Die Bilanz lautet: \(\int_{-4}^{5} f(x) \, dx = A_1 - A_2 + A_3 = 1{,}2 - 3{,}5 + 0{,}8 = -1{,}5\). 4. Für Teilaufgabe d): Durch Vertauschen der Integrationsgrenzen ändert sich das Vorzeichen: \(\int_{3}^{-1} f(x) \, dx = -\int_{-1}^{3} f(x) \, dx\). Da die Fläche \(A_2\) auf \([-1; 3]\) unterhalb der \(x\)-Achse liegt, ist \(\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = -A_2 = -3{,}5\). Damit folgt: \(\int_{3}^{-1} f(x) \, dx = -(-3{,}5) = 3{,}5\).

a) \(1{,}2\) b) \(-2{,}7\) c) \(-1{,}5\) d) \(3{,}5\)

- Welche der drei Teilflächen liegen oberhalb und welche unterhalb der \(x\)-Achse? - Mit welchen Vorzeichen gehen diese Teilflächen in die Flächenbilanz ein? - Welche Wirkung hat der Betrag \(|g(x)|\) auf Bereiche unterhalb der \(x\)-Achse?

1. Auf \([0;6]\) ist die Flächenbilanz \(-A+B=-2{,}5+5{,}0=2{,}5\). 2. Auf \([0;8]\) ist die Flächenbilanz \(-A+B-C=-2{,}5+5{,}0-1{,}5=1{,}0\). 3. Das Integral der Betragsfunktion addiert alle geometrischen Teilflächen positiv: \(A+B+C=2{,}5+5{,}0+1{,}5=9{,}0\). 4. In b) werden die vorzeichenbehafteten Flächenbeiträge bilanziert; in c) werden ihre Beträge zum geometrischen Gesamtflächeninhalt addiert.

a) \(2{,}5\) b) \(1{,}0\) c) \(9{,}0\) d) In b) wird die Flächenbilanz gebildet; in c) der geometrische Gesamtflächeninhalt.

- Wo wechselt der Kosinus im dargestellten Intervall sein Vorzeichen? - Warum muss der geometrische Flächeninhalt an dieser Stelle aufgeteilt werden? - Wie behandelst du den negativen Integralwert des zweiten Teilintervalls?

1. Im Intervall \([0;\pi]\) liegt die Nullstelle bei \(x=\frac{\pi}{2}\). 2. Auf \([0;\frac{\pi}{2}]\) ist der Flächeninhalt \(A_1=\int_0^{\pi/2}\cos(x)\,dx=1\). 3. Auf \([\frac{\pi}{2};\pi]\) liegt der Graph unterhalb der Achse; der Flächeninhalt ist \(A_2=\left|\int_{\pi/2}^{\pi}\cos(x)\,dx\right|=1\). 4. Insgesamt gilt \(A=A_1+A_2=2\,\text{FE}\).

\(2\,\text{FE}\)

- Bestimme zuerst selbst die Nullstellen im vorgegebenen Intervall. - Auf welchen Teilintervallen liegt der Graph oberhalb beziehungsweise unterhalb der \(x\)-Achse? - Wie müssen negative Teilintegrale behandelt werden, wenn ein geometrischer Flächeninhalt gesucht ist?

1. Aus \((x-1)^2-1=0\) folgen die Nullstellen \(x=0\) und \(x=2\). 2. Auf \([0;2]\) liegt der Graph unterhalb der \(x\)-Achse. Mit einer Stammfunktion \(F(x)=\frac13(x-1)^3-x\) ergibt sich der Flächeninhalt \(A_1=\left|F(2)-F(0)\right|=\frac43\). 3. Auf \([2;3]\) liegt der Graph oberhalb der \(x\)-Achse. Es ist \(A_2=F(3)-F(2)=\frac43\). 4. Der Gesamtflächeninhalt ist \(A=\frac83\,\text{FE}\).

\(A=\frac83\,\text{FE}\approx2{,}67\,\text{FE}\)

- Bestimme zuerst selbst, wo \(f\) im Intervall sein Vorzeichen wechselt. - Wie kannst du die Wurzel als Potenz schreiben? - Wie wird der negative Teilintegralwert in einen geometrischen Flächeninhalt überführt?

1. Aus \(2-\sqrt{x}=0\) folgt die Nullstelle \(x=4\). 2. Auf \([0;4]\) liegt der Graph oberhalb der \(x\)-Achse. Mit \(F(x)=2x-\frac23x^{3/2}\) ergibt sich \(A_1=F(4)-F(0)=\frac83\). 3. Auf \([4;9]\) liegt der Graph unterhalb der \(x\)-Achse. Dort ist \(A_2=\left|F(9)-F(4)\right|=\frac83\). 4. Insgesamt beträgt der geometrische Flächeninhalt \(A=\frac{16}{3}\,\text{FE}\).

\(A=\frac{16}{3}\,\text{FE}\approx5{,}33\,\text{FE}\)

- Wo hat die Exponentialfunktion \(e^x - 1\) ihren Schnittpunkt mit der x-Achse? - Wie berechnest du den Flächeninhalt, wenn der Graph sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse verläuft? - Nutze die Eigenschaften der Stammfunktion von \(e^x\).

1. Bestimmung der Nullstelle: \(e^x - 1 = 0 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x = 0\). 2. Aufteilung des Integrals an der Nullstelle \(x = 0\): Teilflächen auf \([-1; 0]\) und \([0; 1]\). 3. Berechnung der Teilfläche \(A_1\) auf \([-1; 0]\): \(A_1 = |\int_{-1}^{0} (e^x - 1) \, dx| = |[e^x - x]_{-1}^{0}| = |(e^0 - 0) - (e^{-1} - (-1))| = |1 - (e^{-1} + 1)| = |-e^{-1}| = \frac{1}{e}\). 4. Berechnung der Teilfläche \(A_2\) auf \([0; 1]\): \(A_2 = \int_{0}^{1} (e^x - 1) \, dx = [e^x - x]_{0}^{1} = (e^1 - 1) - (e^0 - 0) = e - 1 - 1 = e - 2\). 5. Gesamtflächeninhalt: \(A = A_1 + A_2 = \frac{1}{e} + e - 2 \approx 0{,}368 + 2{,}718 - 2 = 1{,}086\).

Der Flächeninhalt beträgt \(e + \frac{1}{e} - 2 \approx 1{,}086\) Flächeneinheiten.

- Wo schneidet \(\ln(x)\) die \(x\)-Achse? - Prüfe durch Ableiten, warum die vorgegebene Funktion tatsächlich eine Stammfunktion ist. - Wie müssen die Integralwerte links und rechts der Nullstelle für den geometrischen Flächeninhalt behandelt werden?

1. Es gilt \(F'(x)=\ln(x)+1-1=\ln(x)=f(x)\). 2. Die Nullstelle von \(f\) ist \(x=1\). Auf \([\frac1e;1]\) ist \(f<0\), auf \([1;e]\) ist \(f>0\). 3. Für den linken Flächeninhalt gilt \(A_1=\left|F(1)-F(\frac1e)\right|=1-\frac2e\). 4. Für den rechten Flächeninhalt gilt \(A_2=F(e)-F(1)=1\). 5. Daher ist \(A=A_1+A_2=2-\frac2e\,\text{FE}\).

\(A=2-\frac2e\,\text{FE}\approx1{,}264\,\text{FE}\)

- Welches Vorzeichen hat die Sinusfunktion im gesamten gegebenen Intervall? - Welche Regel für lineare innere Funktionen brauchst du beim Integrieren? - Wie lassen sich Grundseite und Höhe des Dreiecks aus den Punkten bestimmen? - Welches Verhältnis liefert den prozentual bedeckten Anteil?

1. Der Graph liegt auf \([0;2\pi]\) oberhalb der \(x\)-Achse. Mit der Stammfunktion \(G(x)=-4\cos(0{,}5x)\) folgt \(A=\int_0^{2\pi}2\sin(0{,}5x)\,\mathrm{d}x=8\,\text{m}^2\). 2. Das Dreieck hat Grundseite \(2\pi\,\text{m}\) und Höhe \(2\,\text{m}\). Daher ist \(A_\triangle=2\pi\,\text{m}^2\). 3. Der Anteil beträgt \(\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}\), also \(25\pi\,\%\).

a) \(8\,\text{m}^2\) b) \(A_\triangle=2\pi\,\text{m}^2\); Anteil \(25\pi\,\%\)

- Welche Folge hat Punktsymmetrie zum Ursprung für entsprechende Flächenbeiträge? - Unterscheide zwischen Flächenbilanz und geometrischem Flächeninhalt. - Wo liegt der Graph oberhalb beziehungsweise unterhalb der \(x\)-Achse?

1. Aussage (1) ist korrekt. Wegen der Punktsymmetrie heben sich die Flächenbeiträge in der Flächenbilanz auf. 2. Aussage (2) ist falsch. Auf \([0;4]\) liegt der Graph unterhalb der \(x\)-Achse, daher ist das Integral negativ. Richtig ist \(A_2=-\int_0^4f(x)\,\mathrm{d}x\). 3. Aussage (3) ist korrekt. Die beiden geometrischen Teilflächen sind wegen der Punktsymmetrie gleich groß. 4. Aussage (4) ist korrekt. Auf \([-4;0]\) liegt der Graph oberhalb der \(x\)-Achse, und wegen \(A_1=A_2\) ist die Gesamtfläche das Doppelte dieses Integrals.

(1) korrekt (2) falsch; \(A_2=-\int_0^4f(x)\,\mathrm{d}x\) (3) korrekt (4) korrekt

- Wenn ein Graph die \(x\)-Achse schneidet, musst du das Integral an der Nullstelle aufteilen. - Überlege, warum man nicht einfach das Integral von \(-2\) bis \(2\) berechnen darf, um die Gesamtfläche zu erhalten. - Berechne die Inhalte der einzelnen Flächenstücke separat und addiere ihre Beträge.

1. Nullstellenberechnung von \(p(x) = x^3 - 4x\): \(x(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 0, x_3 = 2\). 2. Aufteilung in zwei Teilflächen: \(A_1\) von \(-2\) bis \(0\) und \(A_2\) von \(0\) bis \(2\). 3. Stammfunktion bilden: \(P(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2\). 4. Berechnung der ersten Teilfläche (über der \(x\)-Achse): \(A_1 = \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) \, dx = [0] - (\frac{1}{4}(-2)^4 - 2(-2)^2) = 0 - (4 - 8) = 4\). 5. Berechnung der zweiten Teilfläche (unter der \(x\)-Achse): \(A_2 = \left| \int_{0}^{2} (x^3 - 4x) \, dx \right| = \left| (\frac{1}{4}(2)^4 - 2(2)^2) - [0] \right| = |4 - 8| = 4\). 6. Gesamtfläche: \(A = A_1 + A_2 = 4 + 4 = 8\).

Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(8\).

- Wann ist ein Produkt aus \(x\) und \(\cos(x)\) gleich null? - In welchen Teilintervallen liegt der Graph oberhalb beziehungsweise unterhalb der \(x\)-Achse? - Nutze die vorgegebene Stammfunktion für beide Teilaufgaben. - Worin unterscheiden sich Flächenbilanz und geometrischer Flächeninhalt?

1. Aus \(x\cos(x)=0\) folgen im Intervall die Nullstellen \(x=0\) und \(x=\frac{\pi}{2}\). 2. Auf \([0;\frac{\pi}{2}]\) ist \(f\geq0\), auf \([\frac{\pi}{2};\pi]\) ist \(f\leq0\). Es gilt \(A_1=\frac{\pi}{2}-1\) und \(A_2=1+\frac{\pi}{2}\). Damit ist der geometrische Gesamtflächeninhalt \(A=\pi\,\text{FE}\). 3. Für das bestimmte Integral gilt \(\int_0^{\pi}f(x)\,dx=F(\pi)-F(0)=-2\). 4. Das bestimmte Integral bildet die Flächenbilanz und zählt den Flächenbeitrag unterhalb der \(x\)-Achse negativ; beim geometrischen Flächeninhalt werden die Beträge addiert.

a) \(x=0\), \(x=\frac{\pi}{2}\) b) \(\pi\,\text{FE}\) c) \(-2\); der Unterschied entsteht durch die vorzeichenbehaftete Flächenbilanz.

- Zerlege das Integral über \([-k;k]\) in die beiden Hälften \([-k;0]\) und \([0;k]\). - Wie kannst du das linke Teilintegral so umformen, dass beide Integrale über \([0;k]\) laufen? - Was folgt aus einer für jedes \(k>0\) verschwindenden Integralfunktion, wenn ihr Integrand stetig ist? - Welche Bedingung an \(h(-x)\) kennzeichnet Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse?

1. Es gilt \(\int_{-k}^{k}(3x^2+5)\,dx=2k^3+10k\) und \(2\int_0^k(3x^2+5)\,dx=2k^3+10k\). 2. Aus der gegebenen Gleichung und der Intervalladditivität folgt \(\int_{-k}^{0}f(x)\,dx=\int_0^k f(x)\,dx\). Mit \(x=-u\) wird die linke Seite zu \(\int_0^k f(-u)\,du\). Also gilt für jedes \(k>0\): \(\int_0^k\bigl(f(-u)-f(u)\bigr)\,du=0\). Da der Integrand stetig ist, liefert Ableiten nach \(k\) die Gleichung \(f(-k)-f(k)=0\). Somit ist \(f(-x)=f(x)\); der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Umgekehrt erfüllt jede gerade Funktion die Integralgleichung. 3. Für \(h\) gilt \(h(-x)=x^2-cx+1\). Die Funktion ist genau dann gerade, wenn \(c=0\). Daher ist \(c=0\).

1. Beide Seiten sind \(2k^3+10k\). 2. Die Bedingung gilt für jedes \(k>0\) genau dann, wenn \(f\) gerade ist, also \(f(-x)=f(x)\); der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. \(c=0\).

- Welche Funktionsgleichung kennzeichnet Punktsymmetrie zum Ursprung? - Was sagt eine Flächenbilanz von \(0\) tatsächlich über positive und negative Flächenbeiträge aus? - Suche für ein Gegenbeispiel nach einer einfachen geraden Funktion, deren positive und negative Flächenbeiträge sich auf einem symmetrischen Intervall ausgleichen.

1. Anjas Aussage ist wahr. Bei einer zum Ursprung punktsymmetrischen Funktion gilt \(f(-x)=-f(x)\). Auf \([-a;a]\) sind die beiden Flächenbeiträge betragsgleich und haben entgegengesetzte Vorzeichen; ihre Flächenbilanz ist deshalb \(0\). 2. Lukas' Aussage ist falsch. Eine Flächenbilanz von \(0\) erzwingt keine Punktsymmetrie. 3. Ein Gegenbeispiel ist \(f(x)=x^2-\frac{1}{3}\) auf \([-1;1]\). Es gilt \(\int_{-1}^{1}\left(x^2-\frac{1}{3}\right)\,dx=0\). 4. Zugleich ist \(f(-x)=f(x)\); der Graph ist also achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Anjas Aussage ist wahr, Lukas' Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist \(f(x)=x^2-\frac{1}{3}\) auf \([-1;1]\): Das Integral ist \(0\), der Graph ist aber achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

- Was passiert mit dem Integral einer ungeraden (punktsymmetrischen) Funktion über ein Intervall, das symmetrisch zum Nullpunkt liegt? - Versuche, das gegebene Integral von \(-2\) bis \(6\) in Teilintervalle zu zerlegen, von denen du eines bereits durch die Symmetrie kennst. - Wie hängen die Integrale über \([a; b]\) und \([-b; -a]\) bei einer Punktsymmetrie zum Ursprung zusammen? Skizziere dir eventuell eine Beispielfunktion wie \(x^3\). - Prüfe genau, ob die Informationen ausreichen, um Teilflächen ab der Grenze \(0\) einzeln zu bestimmen.

1. Da \(g\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist, gilt \(\int_{-a}^{a} g(x) \, dx = 0\) für jedes \(a\). 2. Für a): Zerlegung \(\int_{-2}^{6} g(x) \, dx = \int_{-2}^{2} g(x) \, dx + \int_{2}^{6} g(x) \, dx\). Da \(\int_{-2}^{2} g(x) \, dx = 0\), folgt \(12 = 0 + \int_{2}^{6} g(x) \, dx\), also \(\int_{2}^{6} g(x) \, dx = 12\). 3. Für b): Bei Punktsymmetrie gilt \(\int_{-b}^{-a} g(x) \, dx = -\int_{a}^{b} g(x) \, dx\). Mit dem Ergebnis aus a) folgt \(\int_{-6}^{-2} g(x) \, dx = -12\). 4. Für c): Nach der Intervalladditivität ist \(\int_{0}^{6} g(x) \, dx - \int_{0}^{2} g(x) \, dx = \int_{2}^{6} g(x) \, dx = 12\). 5. Für d): Wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung ist das Integral über ein symmetrisches Intervall um Null stets \(\int_{-6}^{6} g(x) \, dx = 0\). 6. Für e): Es ist nur die Differenz der Integrale bekannt, nicht die Einzelwerte von \(\int_{0}^{2}\) oder \(\int_{0}^{6}\). Das Integral ist nicht berechenbar.

a) \(12\) b) \(-12\) c) \(12\) d) \(0\) e) Nicht eindeutig bestimmbar

- Wann ist ein Bruch gleich null? - Welche Ableitung muss mit \(g\) übereinstimmen, damit \(G\) eine Stammfunktion ist? - Prüfe vor der Flächenberechnung das Vorzeichen von \(g\) zwischen den beiden Achsenbegrenzungen. - Welche Logarithmengesetze helfen beim Vereinfachen des exakten Ergebnisses?

1. Zu a): Ein Bruch ist genau dann null, wenn sein Zähler null ist. Aus \(e^x-3=0\) folgt \(e^x=3\) und damit \(x=\ln3\). 2. Zu b): Es gilt \(G'(x)=2\frac{e^x}{e^x+3}-1=\frac{2e^x-(e^x+3)}{e^x+3}=\frac{e^x-3}{e^x+3}=g(x)\). Damit ist \(G\) eine Stammfunktion von \(g\). 3. Zu c): Auf \([0;\ln3]\) gilt \(g(x)<0\). Daher ist der Flächeninhalt \(A=-\int_0^{\ln3}g(x)\,dx=G(0)-G(\ln3)\). 4. Es ist \(G(0)=2\ln4\) und \(G(\ln3)=2\ln6-\ln3\). Somit folgt \(A=\ln\left(\frac43\right)\).

a) \(g(\ln3)=0\) b) \(G'(x)=g(x)\) c) \(A=\ln\left(\frac43\right)\approx0{,}288\)

- Welche ganzzahligen Nullstellen kannst du aus dem Graphen ablesen? - Wie lässt sich eine kubische Funktion aus ihren Nullstellen in Linearfaktorform ansetzen? - Welche algebraische Bedingung kennzeichnet Punktsymmetrie zum Ursprung? - Welche Flächenbilanz besitzt eine ungerade Funktion auf einem symmetrischen Intervall?

1. Aus dem Graphen liest man die Nullstellen \(-2\), \(0\) und \(2\) ab. Daher ist \(f(x)=ax(x+2)(x-2)=a(x^3-4x)\). Mit \(f(1)=-1\) folgt \(a=\frac13\), also \(f(x)=\frac13x^3-\frac43x\). 2. Es gilt \(f(-x)=-\frac13x^3+\frac43x=-f(x)\). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Auf dem symmetrischen Intervall \([-2{,}5;2{,}5]\) sind die Flächenbeiträge paarweise betragsgleich und entgegengesetzt. Ihre Flächenbilanz ist daher \(0\). 4. Wegen der Punktsymmetrie ist \(\int_{-1}^{1}f(x)\,dx=0\). Mit der Intervalladditivität folgt \(\int_{-1}^{2}f(x)\,dx=\int_1^2f(x)\,dx\).

1. \(f(x)=\frac13x^3-\frac43x\) 2. \(f(-x)=-f(x)\) 3. \(0\) 4. Wegen \(\int_{-1}^{1}f(x)\,dx=0\) sind beide Integrale gleich.

- Welche geometrische Form entsteht auf jedem der beiden Teilintervalle? - Welche Größen bestimmen den Flächeninhalt eines Dreiecks, und welche davon sind durch die Abbildung festgelegt? - Was bedeutet das negative Vorzeichen der zweiten Integralbedingung für die Lage von \(P_3\)?

1. Auf \([0;2]\) entsteht ein Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse mit Grundseite \(2\) und Höhe \(h\). Daher gilt \(\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\cdot2h=h\). Aus der Bedingung folgt \(h=3\). 2. Auf \([2;4]\) entsteht ein Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse mit Grundseite \(2\) und Höhe \(|k|\). Sein Flächenbeitrag ist \(k\). Aus \(\int_2^4 f(x)\,\mathrm{d}x=-1\) folgt \(k=-1\). 3. Die waagerechten Koordinaten der zusätzlichen Eckpunkte können innerhalb der jeweiligen Grundseiten frei gewählt werden, weil sich dadurch weder Grundseite noch Höhe der Dreiecke ändern. Eine mögliche Wahl ist \(u=1\) und \(v=3\). 4. Damit sind zum Beispiel \(P_1(1\mid3)\) und \(P_3(3\mid-1)\) geeignet.

Eine mögliche Wahl ist \(P_1(1\mid3)\) und \(P_3(3\mid-1)\). Allgemein sind alle \(u\in(0;2)\) und \(v\in(2;4)\) möglich, wenn \(h=3\) und \(k=-1\) gelten.