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- Findest du eine Funktion, deren Ableitung genau dem Term im Integral entspricht? - Achte beim Einsetzen der Grenzen genau auf die Vorzeichen, besonders bei der unteren Grenze. - Was ändert sich an der Rechnung, wenn die obere Grenze kleiner ist als die untere? - Kannst du die Stammfunktion für jeden Summanden einzeln bestimmen?

1. Berechnung von a): Bestimmung einer Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 + x\). Einsetzen der Grenzen: \(F(4) - F(-2) = (\frac{1}{2} \cdot 16 + 4) - (\frac{1}{2} \cdot 4 - 2) = 12 - 0 = 12\). 2. Berechnung von b): Bestimmung einer Stammfunktion \(F(t) = 2t - 0{,}4t^2\). Einsetzen der Grenzen: \(F(5) - F(0) = (2 \cdot 5 - 0{,}4 \cdot 25) - 0 = 10 - 10 = 0\). 3. Berechnung von c): Bestimmung einer Stammfunktion \(F(u) = 0{,}75u^2 - 3u\). Einsetzen der Grenzen: \(F(1) - F(4) = (0{,}75 - 3) - (0{,}75 \cdot 16 - 3 \cdot 4) = -2{,}25 - (12 - 12) = -2{,}25\).

a) \(12\) b) \(0\) c) \(-2{,}25\)

- Welcher Buchstabe gibt an, nach welcher Variable integriert werden soll? - Wie behandelst du Symbole in der Funktion, die nicht der Integrationsvariable entsprechen? - Erinnere dich an die Potenzregel für das Bilden von Stammfunktionen. - Was musst du beim Einsetzen der unteren Grenze beachten, wenn diese Null ist?

1. Für Teilaufgabe a): Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{4}ax^4 - ax\). Einsetzen der Grenzen liefert \((\frac{1}{4}a \cdot 2^4 - a \cdot 2) - (\frac{1}{4}a \cdot 1^4 - a \cdot 1) = (4a - 2a) - (\frac{1}{4}a - a) = 2a - (-\frac{3}{4}a) = \frac{11}{4}a\). 2. Für Teilaufgabe b): Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{a+1}{3}x^3\). Einsetzen der Grenzen liefert \((\frac{a+1}{3} \cdot 1^3) - (\frac{a+1}{3} \cdot 0^3) = \frac{a+1}{3}\).

a) \(\frac{11}{4}a\) b) \(\frac{a+1}{3}\)

- Welche Regel nutzt du, um die Potenz eines Terms beim Integrieren zu erhöhen? - Denk daran, dass du beim Einsetzen der Grenzen immer „Obere Grenze minus Untere Grenze“ rechnest. - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn die untere Grenze oder der Funktionswert negativ ist. - Kannst du den konstanten Faktor beim Bilden der Stammfunktion einfach beibehalten?

1. Bestimmung einer Stammfunktion \(F\) der Funktion \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2\): \(F(x) = \frac{1}{6}x^3 - 2x\) 2. Berechnung des Funktionswertes an der oberen Grenze \(x = 4\): \(F(4) = \frac{1}{6} \cdot 4^3 - 2 \cdot 4 = \frac{64}{6} - 8 = \frac{32}{3} - \frac{24}{3} = \frac{8}{3}\) 3. Berechnung des Funktionswertes an der unteren Grenze \(x = 1\): \(F(1) = \frac{1}{6} \cdot 1^3 - 2 \cdot 1 = \frac{1}{6} - 2 = -\frac{11}{6}\) 4. Differenzbildung gemäß Hauptsatz: \(F(4) - F(1) = \frac{8}{3} - \left(-\frac{11}{6}\right) = \frac{16}{6} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} = 4{,}5\)

\(4{,}5\)

- Wie berechnet man ein bestimmtes Integral, wenn die Stammfunktion bekannt ist? - Schreibe die Terme für beide Seiten der Gleichung separat mithilfe der Stammfunktion auf. - Achte auf die Reihenfolge der Grenzen beim Einsetzen in die Stammfunktion. - Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht?

1. Anwendung des Hauptsatzes auf die linke Seite der Gleichung: \(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\). 2. Anwendung des Hauptsatzes auf das Integral der rechten Seite: \(\int_b^a f(x) \, dx = F(a) - F(b)\). 3. Multiplikation des Ergebnisses aus Schritt 2 mit \(-1\): \(-(F(a) - F(b)) = -F(a) + F(b) = F(b) - F(a)\). 4. Da beide Seiten den Wert \(F(b) - F(a)\) ergeben, ist die Identität bewiesen.

Nach dem Hauptsatz gilt \(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\). Für die rechte Seite ergibt sich \(- \int_b^a f(x) \, dx = -(F(a) - F(b)) = -F(a) + F(b) = F(b) - F(a)\). Somit sind beide Seiten identisch.

- Welche Ableitungsregel musst du anwenden, wenn ein Term als Produkt zweier Funktionen erscheint? - Erinnerst du dich an die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion? - Wie hilft dir die Stammfunktion dabei, den Wert eines Integrals zwischen zwei Grenzen zu bestimmen? - Was ist der Logarithmus von \(e\) und was ist der Logarithmus von \(1\)?

1. Ableitung von \(F\) unter Verwendung der Produktregel: \(F'(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} + 1\) 2. Vereinfachung des Terms: \(F'(x) = \ln(x) + 1 + 1 = \ln(x) + 2\). Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_1^e f(x) \, dx = [x \cdot \ln(x) + x]_1^e\) 4. Einsetzen der oberen Grenze: \(F(e) = e \cdot \ln(e) + e = e \cdot 1 + e = 2e\) 5. Einsetzen der unteren Grenze: \(F(1) = 1 \cdot \ln(1) + 1 = 1 \cdot 0 + 1 = 1\) 6. Differenzbildung: \(2e - 1\)

a) \(F'(x) = \ln(x) + 1 + 1 = \ln(x) + 2 = f(x)\) b) \(\int_1^e f(x) \, dx = 2e - 1\)

- Überlege zuerst, wie die Stammfunktion einer Sinusfunktion mit einem linearen Argument aussieht. - Achte beim Integrieren auf die innere Ableitung (lineare Substitution). - Erinnere dich an die Werte der Kosinusfunktion bei \(0\) und \(\frac{\pi}{2}\). - Stelle eine einfache lineare Gleichung für den gesuchten Parameter auf.

1. Bestimmung der Stammfunktion von \(f_a(x) = a \cdot \sin(0{,}5x)\): Die Stammfunktion lautet \(F_a(x) = -2a \cdot \cos(0{,}5x)\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_{0}^{\pi} a \cdot \sin(0{,}5x) \, dx = [-2a \cdot \cos(0{,}5x)]_{0}^{\pi}\). 3. Einsetzen der Grenzen: \(-2a \cdot \cos(0{,}5\pi) - (-2a \cdot \cos(0)) = -2a \cdot 0 + 2a \cdot 1 = 2a\). 4. Lösen der Gleichung nach \(a\): \(2a = 10 \implies a = 5\).

\(a = 5\)

- Überlege dir, wie der Graph der Funktion im ersten Fall im Vergleich zum Mittelpunkt des Intervalls aussieht. - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Integrals, wenn man die obere und untere Grenze vertauscht? - Kannst du das Integral einer Summe von zwei Funktionen als Summe von zwei einzelnen Integralen schreiben? - Erinnere dich an die geometrische Deutung des Integrals einer konstanten Funktion.

1. Teilaufgabe a): Die Funktion \(f(x) = (x-1)^5\) ist punktsymmetrisch zum Punkt \((1|0)\). Da das Integrationsintervall \([0; 2]\) symmetrisch um die Stelle \(x=1\) liegt, heben sich die orientierten Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse exakt auf, woraus der Integralwert \(0\) folgt. 2. Teilaufgabe b): Es gilt die allgemeine Eigenschaft bestimmter Integrale \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx\). Addiert man ein Integral zu seinem Gegenwert (erzeugt durch das Vertauschen der Grenzen), ergibt sich stets \(0\). 3. Teilaufgabe c): Nach der Additivität (Linearität) des Integrals kann der Integrand aufgeteilt werden in \(\int_{0}^{2} x^2 \, dx + \int_{0}^{2} 4 \, dx\). Das zweite Teilintegral entspricht dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Breite \(2\) und der Höhe \(4\), also \(4 \cdot 2 = 8\).

a) Der Graph der Funktion ist punktsymmetrisch zum Punkt \((1|0)\), und das Intervall ist symmetrisch zu \(x=1\). Daher heben sich die Flächenanteile auf. b) Das Vertauschen der Integrationsgrenzen kehrt das Vorzeichen des Integrals um, die Summe ist daher \(0\). c) Durch Anwendung der Summenregel und Berechnung des Integrals der Konstanten (\(\int_{0}^{2} 4 \, dx = 8\)) folgt die Gleichung.

- Wie lautet die allgemeine Regel, um eine Stammfunktion für eine Potenzfunktion zu finden? - Welche Integrationsgrenzen musst du verwenden? - Denk an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Man berechnet die Differenz der Stammfunktionswerte an den Intervallgrenzen. - Achte beim Einsetzen negativer Werte besonders auf die Vorzeichenregeln.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = x^2 + 2\): \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2x\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(A = \int_{-1}^{2} (x^2 + 2) \, dx = [F(x)]_{-1}^{2} = F(2) - F(-1)\). 3. Berechnung der Funktionswerte der Stammfunktion: \(F(2) = \frac{1}{3} \cdot 2^3 + 2 \cdot 2 = \frac{8}{3} + 4 = \frac{20}{3}\) und \(F(-1) = \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 + 2 \cdot (-1) = -\frac{1}{3} - 2 = -\frac{7}{3}\). 4. Differenzbildung: \(A = \frac{20}{3} - \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{27}{3} = 9\).

Der Flächeninhalt beträgt \(9\) Flächeneinheiten.

- Wie lautet die Regel für das Integrieren von Potenzfunktionen? - Nutze den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: „Obere Grenze minus untere Grenze“. - Achte beim Einsetzen der Grenzen in die Stammfunktion auf die korrekte Verwendung von Klammern. - In der allgemeinen Formel bleiben die Variablen \(a\) und \(b\) einfach als Platzhalter stehen.

1. Zunächst wird eine Stammfunktion von \(g(x) = 3x^2 + 2x\) bestimmt: \(G(x) = x^3 + x^2\). Das Integral über \([1; 2]\) ergibt: \(\int_{1}^{2} (3x^2 + 2x) \, dx = [x^3 + x^2]_{1}^{2} = (2^3 + 2^2) - (1^3 + 1^2) = (8 + 4) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10\). Der Flächeninhalt beträgt somit \(10\,\text{FE}\). 2. Für das allgemeine Intervall \([a; b]\) wird die Stammfunktion an den Grenzen \(a\) und \(b\) ausgewertet: \(A = \int_{a}^{b} (3x^2 + 2x) \, dx = [x^3 + x^2]_{a}^{b} = (b^3 + b^2) - (a^3 + a^2)\).

1. \(A = 10\,\text{FE}\) 2. \(A = b^3 + b^2 - a^3 - a^2\)

- Kannst du das Integral in einzelne Teilintegrale zerlegen? - Überlege, wie du konstante Faktoren innerhalb des Integrals behandeln darfst. - Vergiss nicht, auch den konstanten Summanden über das gesamte Intervall zu integrieren. - Welche Rechenregeln für Integrale helfen dir, wenn Funktionen addiert oder subtrahiert werden?

1. Anwendung der Summen- und Faktorregel zur Zerlegung des Integrals: \(1{,}5 \cdot \int_{2}^{6} f(x) \, dx - 4 \cdot \int_{2}^{6} g(x) \, dx + \int_{2}^{6} 3 \, dx\) 2. Einsetzen der bekannten Integralwerte für \(f\) und \(g\): \(1{,}5 \cdot 12 - 4 \cdot 5 + \int_{2}^{6} 3 \, dx = 18 - 20 + \int_{2}^{6} 3 \, dx\) 3. Berechnung des Integrals der konstanten Funktion: \(\int_{2}^{6} 3 \, dx = [3x]_{2}^{6} = 3 \cdot (6 - 2) = 12\) 4. Addition der Teilwerte: \(18 - 20 + 12 = 10\)

10

- Wie lautet die allgemeine Regel, um eine Stammfunktion einer Potenzfunktion zu bilden? - Was besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung über den Zusammenhang zwischen Integral und Stammfunktion? - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen besonders auf die Klammern und Vorzeichen.

1. Bestimmung der Stammfunktion mittels Potenz-, Summen- und Faktorregel: \(F(x) = 2x^3 - x^2 + x\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_{-1}^{2} (6x^2 - 2x + 1) \, dx = [2x^3 - x^2 + x]_{-1}^{2}\). 3. Berechnung des Wertes an der oberen Grenze: \(F(2) = 2 \cdot 2^3 - 2^2 + 2 = 16 - 4 + 2 = 14\). 4. Berechnung des Wertes an der unteren Grenze: \(F(-1) = 2 \cdot (-1)^3 - (-1)^2 + (-1) = -2 - 1 - 1 = -4\). 5. Differenzbildung: \(14 - (-4) = 18\).

\(\int_{-1}^{2} (6x^2 - 2x + 1) \, dx = 18\)

- Welcher Buchstabe gibt hier an, nach welcher Variablen integriert wird? - Wie findest du die Stammfunktion für eine Summe von Termen? - Was musst du beim Einsetzen der Integrationsgrenzen in die Stammfunktion beachten? - Welcher Satz erlaubt es dir, ein bestimmtes Integral über die Stammfunktion zu berechnen?

1. Bestimmung der Stammfunktion mittels Potenz-, Faktor- und Summenregel: \(F(u) = 2u^3 - 2u^2 + 3u\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung durch Einsetzen der Grenzen: \(F(2) - F(1)\). 3. Berechnung des Wertes an der oberen Grenze: \(F(2) = 2 \cdot 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 = 16 - 8 + 6 = 14\). 4. Berechnung des Wertes an der unteren Grenze: \(F(1) = 2 \cdot 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 = 2 - 2 + 3 = 3\). 5. Differenzbildung: \(14 - 3 = 11\).

Das Integral hat den Wert \(11\). Verwendete Regeln: Potenzregel, Faktorregel, Summenregel und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

- Welche Regel nutzt du, um eine Stammfunktion für Potenzen zu finden? - Denk daran, zuerst die obere Grenze in deine Stammfunktion einzusetzen. - Was musst du beim Abziehen der Werte beachten, wenn eine Grenze Null ist?

1. Bestimmung einer Stammfunktion \(F\) des Integranden \(f(t) = 3t^2 - 2t\): \(F(t) = t^3 - t^2\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung durch Einsetzen der Integrationsgrenzen: \([t^3 - t^2]_{0}^{4}\). 3. Berechnung des Wertes an der oberen Grenze: \(F(4) = 4^3 - 4^2 = 64 - 16 = 48\). 4. Berechnung des Wertes an der unteren Grenze: \(F(0) = 0^3 - 0^2 = 0\). 5. Differenzbildung: \(F(4) - F(0) = 48 - 0 = 48\).

48

- Überlege, wie sich der Wert eines Integrals ändert, wenn die obere und die untere Grenze getauscht werden. - Kannst du das Integral so zerlegen, dass du die gegebenen Informationen direkt einsetzen kannst? - Welche Regeln gelten für die Multiplikation des Integranden mit einer Zahl und für die Summe zweier Funktionen?

1. Das Vertauschen der Integralgrenzen führt zu einer Vorzeichenumkehr des Integralwertes: \(\int_5^1 (3 f(x) + 4 g(x)) \, dx = - \int_1^5 (3 f(x) + 4 g(x)) \, dx\). 2. Anwendung der Linearität des Integrals (Summen- und Faktorregel): \(- (3 \cdot \int_1^5 f(x) \, dx + 4 \cdot \int_1^5 g(x) \, dx)\). 3. Einsetzen der bekannten Integralwerte: \(- (3 \cdot 8 + 4 \cdot (-2))\). 4. Numerische Berechnung des Ergebnisses: \(- (24 - 8) = -16\).

\(I = -16\)

- Wie lautet die allgemeine Regel, um eine Stammfunktion einer Potenzfunktion zu bilden? - Erinnere dich daran, dass bei einer Integralfunktion mit der unteren Grenze 0 der Wert an der Stelle 0 oft (aber nicht immer) wegfällt. - Was besagt der Hauptsatz über die Beziehung zwischen einer Integralfunktion und der ursprünglichen Funktion? - Überlege, wie du eine Funktion mit mehreren Summanden gliedweise ableitest.

1. Zur Bestimmung von \(I_0(x)\) wird eine Stammfunktion von \(f(t) = t^2 - 6t + 5\) gebildet: \(F(t) = \frac{1}{3}t^3 - 3t^2 + 5t\). Anwendung der Grenzen liefert \(I_0(x) = [ \frac{1}{3}t^3 - 3t^2 + 5t ]_0^x = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 5x\). 2. Einsetzen von \(x = 3\) ergibt \(I_0(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^3 - 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 = 9 - 27 + 15 = -3\). 3. Die Ableitung von \(I_0(x) = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 5x\) nach der Potenzregel ergibt \(I_0'(x) = x^2 - 6x + 5\). Da \(I_0'(x) = f(x)\) gilt, ist der Hauptsatz bestätigt.

1. \(I_0(x) = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 5x\) 2. \(I_0(3) = -3\) 3. \(I_0'(x) = x^2 - 6x + 5 = f(x)\)

- Erinnere dich an die Ableitungsregeln für trigonometrische Funktionen und Potenzen, um die Stammfunktion zu finden. - Was ist die Stammfunktion von \(\cos x\)? - Achte beim Einsetzen der Grenzen darauf, ob du im Gradmaß oder im Bogenmaß rechnen musst. - Der Hauptsatz besagt, dass du den Wert an der unteren Grenze vom Wert an der oberen Grenze abziehen musst.

1. Bestimmung der Stammfunktion der Integrandenfunktion \(f(x) = 3 \cos x - 2x\): Eine mögliche Stammfunktion ist \(F(x) = 3 \sin x - x^2\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: Das Integral entspricht der Differenz der Werte der Stammfunktion an den Grenzen, also \(F(\frac{\pi}{2}) - F(0)\). 3. Einsetzen der oberen Grenze: \(F(\frac{\pi}{2}) = 3 \sin(\frac{\pi}{2}) - (\frac{\pi}{2})^2 = 3 \cdot 1 - \frac{\pi^2}{4} = 3 - \frac{\pi^2}{4}\). 4. Einsetzen der unteren Grenze: \(F(0) = 3 \sin(0) - 0^2 = 0\). 5. Differenz bilden: \((3 - \frac{\pi^2}{4}) - 0 = 3 - \frac{\pi^2}{4}\).

\(3 - \frac{\pi^2}{4}\)

- Erinnere dich an die Potenzregel für das Bilden von Stammfunktionen. - Wie gehst du vor, wenn im Integranden eine Summe oder Differenz steht? - Überlege dir, wie man Wurzeln als Potenzen schreiben kann, um die Stammfunktion leichter zu finden. - Gibt es bei symmetrischen Integrationsintervallen Besonderheiten bei ungeraden Funktionen?

1. Teilaufgabe a): Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x\). Einsetzen der Grenzen liefert \(F(3) = 3\) und \(F(0) = 0\). Das Ergebnis ist \(3 - 0 = 3\). 2. Teilaufgabe b): Umschreiben des Integranden zu \(x^{-\frac{1}{2}}\) und Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = 2\sqrt{x}\). Einsetzen der Grenzen liefert \(F(4) = 4\) und \(F(1) = 2\). Das Ergebnis ist \(4 - 2 = 2\). 3. Teilaufgabe c): Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{4}x^4\). Einsetzen der Grenzen liefert \(F(2) = 4\) und \(F(-2) = 4\). Das Ergebnis ist \(4 - 4 = 0\).

a) \(3\) b) \(2\) c) \(0\)

- Schau dir die Exponenten der Variable \(x\) an. Was fällt dir auf? - Erinnerst du dich an die Regeln für Integrale über Intervalle der Form \([-a; a]\)? - Musst du wirklich jedes Mal die Stammfunktion bilden und beide Grenzen einsetzen? - Überlege, ob der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist.

1. Untersuchung der Symmetrie für Teilaufgabe a: Die Funktion \(f(x) = x^3 - 25x\) enthält nur ungerade Exponenten und ist somit punktsymmetrisch zum Ursprung. Bei einem zum Ursprung symmetrischen Intervall \([-5; 5]\) heben sich die Flächenanteile oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse auf, sodass das Integral den Wert 0 besitzt. 2. Untersuchung der Symmetrie für Teilaufgabe b: Die Funktion \(g(x) = 3x^2 - 12\) enthält nur gerade Exponenten (beachte \(12 = 12 \cdot x^0\)) und ist somit achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Berechnung unter Ausnutzung der Achsensymmetrie: \(\int_{-2}^{2} (3x^2 - 12) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{2} (3x^2 - 12) \, dx\). 4. Bestimmung der Stammfunktion \(G(x) = x^3 - 12x\) und Auswertung: \(2 \cdot [x^3 - 12x]_0^2 = 2 \cdot (2^3 - 12 \cdot 2 - (0)) = 2 \cdot (8 - 24) = -32\).

a) \(0\) b) \(-32\)

- Wie findet man die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse schneidet? - Warum ist es wichtig, die Nullstellen zu kennen, bevor man integriert? - Was passiert mit dem Flächeninhalt, wenn der Graph unterhalb der \(x\)-Achse verläuft? - Kannst du die Symmetrie des Graphen nutzen, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f(x) = \frac{1}{2}x(x^2 - 4)\): Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). 2. Bildung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{8}x^4 - x^2\). 3. Berechnung der Teilintegrale: \(\int_{-2}^0 (\frac{1}{2}x^3 - 2x) \, dx = [F(x)]_{-2}^0 = 0 - (\frac{1}{8} \cdot (-2)^4 - (-2)^2) = 0 - (2 - 4) = 2\). \(\int_0^2 (\frac{1}{2}x^3 - 2x) \, dx = [F(x)]_0^2 = (\frac{1}{8} \cdot 2^4 - 2^2) - 0 = 2 - 4 = -2\). 4. Die Summe der Beträge der Teilflächen ergibt den Gesamtinhalt: \(A = |2| + |-2| = 4\).

Der Flächeninhalt beträgt \(4\) Flächeneinheiten.

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem bestimmten Integral und der Stammfunktion einer Funktion? - Wie lautet die Regel für das Integrieren von Potenzfunktionen? - Achte beim Einsetzen der unteren Grenze besonders auf das Vorzeichen und die Klammern. - Was bedeutet die Schreibweise \( [F(x)]_a^b \)?

1. Bestimmung einer Stammfunktion der Integrandenfunktion \( f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2 \). Eine mögliche Stammfunktion ist \( F(x) = x^4 - 2x^3 + 2x \). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung durch Einsetzen der Integrationsgrenzen in die Stammfunktion: \( \int_{-1}^{2} f(x) \, dx = F(2) - F(-1) \). 3. Berechnung des Funktionswertes an der oberen Grenze: \( F(2) = 2^4 - 2 \cdot 2^3 + 2 \cdot 2 = 16 - 16 + 4 = 4 \). 4. Berechnung des Funktionswertes an der unteren Grenze: \( F(-1) = (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^3 + 2 \cdot (-1) = 1 + 2 - 2 = 1 \). 5. Berechnung der Differenz der Werte: \( 4 - 1 = 3 \).

\( \int_{-1}^{2} (4x^3 - 6x^2 + 2) \, dx = 3 \)

- Welche Regeln zum Bilden von Stammfunktionen von Potenzfunktionen kennst du? - Wie gehst du vor, wenn du die Stammfunktion gefunden hast und die Grenzen einsetzen möchtest? - Achte beim Einsetzen der unteren Grenze besonders auf die Vorzeichen in der Klammer.

1. Bestimmung einer Stammfunktion \(F\) der Integrandenfunktion \(f(x) = 3x^2 - 4x + 1\): \(F(x) = x^3 - 2x^2 + x\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung durch Einsetzen der Integrationsgrenzen: \([x^3 - 2x^2 + x]_{1}^{3} = F(3) - F(1)\). 3. Berechnung des Funktionswerts an der oberen Grenze: \(F(3) = 3^3 - 2 \cdot 3^2 + 3 = 27 - 18 + 3 = 12\). 4. Berechnung des Funktionswerts an der unteren Grenze: \(F(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0\). 5. Differenzbildung der Werte: \(12 - 0 = 12\).

\(12\)

- Welchen Zusammenhang stellt der Hauptsatz zwischen einem Integral und einer Stammfunktion her? - Musst du die Funktion \(f(x)\) explizit bestimmen, um das Integral zu berechnen? - Achte beim Einsetzen der unteren Grenze besonders auf das Vorzeichen und den Wert der Exponentialfunktion bei Null.

1. Identifikation der notwendigen Größen für den Hauptsatz: \(F(x)\) ist bereits als Stammfunktion von \(f(x)\) gegeben. 2. Formulierung des Hauptsatzes: \(\int_0^2 f(x) \, dx = F(2) - F(0)\). 3. Berechnung von \(F(2)\): \(F(2) = (2 - 2) \cdot e^2 = 0 \cdot e^2 = 0\). 4. Berechnung von \(F(0)\): \(F(0) = (0 - 2) \cdot e^0 = -2 \cdot 1 = -2\). 5. Berechnung der Differenz: \(0 - (-2) = 2\).

\(\int_0^2 f(x) \, dx = 2\)

- Welche Regel kennst du für das Integrieren von Funktionen mit einem linearen Term im Exponenten? - Wie hängen Stammfunktion und bestimmtes Integral zusammen? - Was ergibt \(e^0\)?

1. Bestimmung einer Stammfunktion unter Verwendung der Regel für lineare Verkettungen: \(F(x) = \frac{4}{2} \cdot e^{2x - 1} = 2 \cdot e^{2x - 1}\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_{0{,}5}^{1} f(x) \, dx = [2 \cdot e^{2x - 1}]_{0{,}5}^{1}\). 3. Berechnung der oberen Grenze: \(F(1) = 2 \cdot e^{2 \cdot 1 - 1} = 2e^1 = 2e\). 4. Berechnung der unteren Grenze: \(F(0{,}5) = 2 \cdot e^{2 \cdot 0{,}5 - 1} = 2e^0 = 2\). 5. Differenzbildung: \(2e - 2\).

Eine Stammfunktion ist \(F(x) = 2 \cdot e^{2x - 1}\). Der Wert des Integrals beträgt \(2e - 2\).

- Überlege dir, wie du die einzelnen Summanden der Funktion getrennt integrieren kannst. - Achte besonders auf das Vorzeichen beim Integrieren von \(e^{-x}\). - Was passiert mit dem konstanten Faktor vor der Exponentialfunktion beim Bilden der Stammfunktion?

1. Die Funktion \(f(x) = 3e^{-x} + x\) ist für alle \(x \in [0; 2]\) positiv, da der erste Summand positiv und der zweite Summand nichtnegativ ist. 2. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F(x) = -3e^{-x} + \frac{1}{2}x^2\). 3. Berechnung des Integrals über dem Intervall \([0; 2]\): \(I = \int_{0}^{2} (3e^{-x} + x) \, dx = F(2) - F(0)\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(F(2) = -3e^{-2} + \frac{1}{2} \cdot 2^2 = -3e^{-2} + 2\) und \(F(0) = -3e^0 + 0 = -3\). 5. Differenz bilden: \(A = (-3e^{-2} + 2) - (-3) = 5 - 3e^{-2} \approx 4{,}594\).

Der Flächeninhalt beträgt \(A = 5 - 3e^{-2} \approx 4{,}594\,\text{FE}\).

- Welche bekannte Funktion hat die Ableitung \(\frac{1}{x}\)? - Du kannst die Stammfunktion gliedweise bestimmen. - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)\). - Wie lässt sich \(\ln(e^k)\) vereinfachen?

1. Bestimmung einer Stammfunktion der Funktion \(f(x) = \frac{5}{x} - 1\): Unter Verwendung der Grundintegrale ergibt sich \(F(x) = 5 \cdot \ln|x| - x\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung durch Einsetzen der Grenzen: Obere Grenze: \(F(e^2) = 5 \cdot \ln(e^2) - e^2 = 5 \cdot 2 - e^2 = 10 - e^2\). Untere Grenze: \(F(1) = 5 \cdot \ln(1) - 1 = 5 \cdot 0 - 1 = -1\). 3. Berechnung der Differenz: \((10 - e^2) - (-1) = 11 - e^2\).

\(11 - e^2\)

- Kannst du eine Stammfunktion für den Ausdruck in der Klammer finden? - Denke beim Integrieren von \(e^{kx}\) an die Regel für die lineare Substitution. - Was musst du beim Einsetzen der Grenzen in die Stammfunktion beachten? - Vergiss nicht, dass \(e^0\) einen bestimmten Wert hat.

1. Bestimmung der Stammfunktion unter Verwendung der linearen Substitution für den Exponentialterm: \(F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{0{,}25} e^{0{,}25x} + 2x = 2e^{0{,}25x} + 2x\). 2. Einsetzen der oberen Grenze: \(F(4) = 2e^{0{,}25 \cdot 4} + 2 \cdot 4 = 2e^1 + 8 = 2e + 8\). 3. Einsetzen der unteren Grenze: \(F(0) = 2e^{0{,}25 \cdot 0} + 2 \cdot 0 = 2e^0 + 0 = 2\). 4. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_{0}^{4} f(x) \, dx = F(4) - F(0) = (2e + 8) - 2 = 2e + 6\).

\(2e + 6\)

- An welchen Stellen berührt oder kreuzt der Graph die waagerechte Achse? - Nutze die Symmetrie der Parabel, um die Form besser zu verstehen. - Verwende die Messwerkzeuge deiner Software, um den Inhalt der Fläche zwischen Graph und Achse zu bestimmen.

1. Bestimmung der Nullstellen durch Lösen von \(g(x) = 0\): \(-0{,}5(x - 2)^2 + 4{,}5 = 0 \implies (x - 2)^2 = 9\). Daraus ergeben sich \(x_1 = 2 - 3 = -1\) und \(x_2 = 2 + 3 = 5\). 2. Der relevante Bereich für die Fläche liegt zwischen \(x = -1\) und \(x = 5\). 3. Verwendung eines digitalen Werkzeugs (z. B. GeoGebra-Befehl „Integral“ oder Zählen von Kästchen bei feiner Skalierung), um den Flächeninhalt unter der Parabel in diesem Intervall zu bestimmen. 4. Die exakte Berechnung ergibt: \(\int_{-1}^{5} (-0{,}5(x-2)^2 + 4{,}5) \, dx = [- \frac{1}{6}(x-2)^3 + 4{,}5x]_{-1}^5 = (- \frac{27}{6} + 22{,}5) - (\frac{27}{6} - 4{,}5) = 18 - 0 = 18\).

Die Nullstellen liegen bei \(x = -1\) und \(x = 5\). Der Flächeninhalt beträgt \(18\) Flächeneinheiten.

- Kannst du den Term im zweiten Integral als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben? - Achte bei der ersten Aufgabe besonders auf die Vorzeichen beim Einsetzen der negativen Grenze. - Wie verändert sich eine Konstante oder ein Parameter ohne Integrationsvariable beim Bilden einer Stammfunktion? - Gibt es Symmetrien, die du beim ersten Integral ausnutzen könntest?

1. Für Teilaufgabe a): Bildung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{3}ax^3 + a^3x\). Auswertung an den Grenzen ergibt \((\frac{1}{3}a \cdot 2^3 + a^3 \cdot 2) - (\frac{1}{3}a \cdot (-2)^3 + a^3 \cdot (-2)) = (\frac{8}{3}a + 2a^3) - (-\frac{8}{3}a - 2a^3) = \frac{16}{3}a + 4a^3\). 2. Für Teilaufgabe b): Umschreiben des Integranden zu \(a \cdot x^{-\frac{1}{2}}\). Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = 2a \cdot x^{\frac{1}{2}} = 2a\sqrt{x}\). Auswertung an den Grenzen liefert \(2a\sqrt{4} - 2a\sqrt{1} = 4a - 2a = 2a\).

a) \(\frac{16}{3}a + 4a^3\) b) \(2a\)

- Wie verändert sich der Exponent und der Vorfaktor, wenn du die Stammfunktion bildest? - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du eine negative Zahl mit einem geraden Exponenten potenzierst? - Es hilft oft, Brüche erst am Ende in Dezimalzahlen umzuwandeln, um Rechenfehler zu vermeiden. - Hast du daran gedacht, die gesamte Stammfunktion an der unteren Grenze in Klammern zu setzen?

1. Finden einer Stammfunktion \(F\) für \(f(x) = \frac{1}{4}x^3 + x\): \(F(x) = \frac{1}{16}x^4 + \frac{1}{2}x^2\) 2. Einsetzen der oberen Integrationsgrenze \(x = 2\): \(F(2) = \frac{1}{16} \cdot 2^4 + \frac{1}{2} \cdot 2^2 = \frac{16}{16} + \frac{4}{2} = 1 + 2 = 3\) 3. Einsetzen der unteren Integrationsgrenze \(x = -1\): \(F(-1) = \frac{1}{16} \cdot (-1)^4 + \frac{1}{2} \cdot (-1)^2 = \frac{1}{16} + \frac{1}{2} = \frac{1}{16} + \frac{8}{16} = \frac{9}{16}\) 4. Auswertung des Integrals: \(F(2) - F(-1) = 3 - \frac{9}{16} = \frac{48}{16} - \frac{9}{16} = \frac{39}{16} = 2{,}4375\)

\(2{,}4375\)

- Bestimme zuerst eine Stammfunktion des Integranden. - Wende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an, indem du die Grenzen \(z\) und \(0\) einsetzt. - Du erhältst eine Gleichung, in der nur noch \(z\) als Unbekannte vorkommt. - Löse diese Gleichung nach \(z\) auf und achte darauf, dass laut Aufgabenstellung nur positive Werte gesucht sind.

1. Für Teilaufgabe a): Berechnung der Stammfunktion von \(f(x) = 3x^2 + 6x\), was \(F(x) = x^3 + 3x^2\) ergibt. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung führt zur Gleichung \(z^3 + 3z^2 = 54\). Durch systematisches Probieren oder Lösen der kubischen Gleichung erhält man die positive Lösung \(z = 3\). 2. Für Teilaufgabe b): Die Stammfunktion von \(g(x) = 4x + 1\) ist \(G(x) = 2x^2 + x\). Einsetzen der Grenzen liefert \(2z^2 + z = 10\). Umstellen zur quadratischen Gleichung \(2z^2 + z - 10 = 0\) und Anwendung der Lösungsformel ergibt \(z = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 80}}{4} = \frac{-1 \pm 9}{4}\). Die einzige positive Lösung ist \(z = 2\).

a) \(z = 3\) b) \(z = 2\)

- Überprüfe zuerst, wie die Stammfunktion lautet. - Welche Grenze muss man laut Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung zuerst einsetzen? - Achte besonders auf die Klammersetzung und die Vorzeichen, wenn du negative Zahlen für \(x\) einsetzt. - Was passiert mit dem Vorzeichen einer negativen Zahl, wenn sie potenziert wird?

1. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = 2x - x^3\). 2. Berechnung des Wertes an der oberen Grenze: \(F(2) = 2 \cdot 2 - 2^3 = 4 - 8 = -4\). 3. Berechnung des Wertes an der unteren Grenze: \(F(-1) = 2 \cdot (-1) - (-1)^3 = -2 - (-1) = -2 + 1 = -1\). 4. Anwendung des Hauptsatzes: \(F(2) - F(-1) = -4 - (-1) = -3\). 5. Vergleich: Lukas hat korrekt gerechnet. Mia hat die Grenzen vertauscht und die Rechnung \(F(-1) - F(2)\) durchgeführt. Tom hat beim Einsetzen der unteren Grenze in die Stammfunktion den Term \((-1)^3\) fälschlicherweise als \(1^3\) (oder \(1\)) behandelt, was zu einem Vorzeichenfehler führte (\(2(-1) - 1 = -3\) statt \(-1\)).

Lukas hat richtig gerechnet. Fehler von Mia: Sie hat die untere und die obere Grenze vertauscht (\(F(a) - F(b)\) statt \(F(b) - F(a)\)). Fehler von Tom: Er hat beim Einsetzen von \(-1\) in den Term \(-x^3\) einen Vorzeichenfehler gemacht, indem er \(1^3\) statt \((-1)^3\) verwendet hat.

- Wie lautet die allgemeine Regel für das Bilden von Stammfunktionen bei Potenzfunktionen? - Was besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung über den Zusammenhang von Integral und Stammfunktion? - Achte beim Einsetzen der negativen unteren Grenze besonders auf die Vorzeichenregeln bei den Potenzen. - Behandle den Parameter wie eine gewöhnliche Zahl während der gesamten Rechnung.

1. Bestimmung einer Stammfunktion der Integrandenfunktion \(f(x) = x^3 - kx\): \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}kx^2\). 2. Einsetzen der oberen Grenze \(x = 2\): \(F(2) = \frac{1}{4} \cdot 2^4 - \frac{1}{2}k \cdot 2^2 = 4 - 2k\). 3. Einsetzen der unteren Grenze \(x = -1\): \(F(-1) = \frac{1}{4} \cdot (-1)^4 - \frac{1}{2}k \cdot (-1)^2 = 0{,}25 - 0{,}5k\). 4. Differenzbildung gemäß Hauptsatz: \(I = F(2) - F(-1) = (4 - 2k) - (0{,}25 - 0{,}5k) = 3{,}75 - 1{,}5k\).

\(3{,}75 - 1{,}5k\)

- Kannst du den Bruchterm als Potenz mit negativem Exponenten umschreiben, um die Stammfunktion leichter zu finden? - Überlege dir zuerst, welche Funktion abgeleitet den Integranden ergibt. - Vergiss nicht, beim Abziehen der unteren Grenze die gesamte Klammer zu berücksichtigen, um Vorzeichenfehler zu vermeiden.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = ax^2 + x^{-2}\): \(F(x) = \frac{1}{3}ax^3 - \frac{1}{x}\). 2. Berechnung des Wertes an der oberen Grenze \(x = 3\): \(F(3) = \frac{1}{3}a \cdot 3^3 - \frac{1}{3} = 9a - \frac{1}{3}\). 3. Berechnung des Wertes an der unteren Grenze \(x = 1\): \(F(1) = \frac{1}{3}a \cdot 1^3 - \frac{1}{1} = \frac{1}{3}a - 1\). 4. Anwendung des Hauptsatzes: \(I = (9a - \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3}a - 1) = \frac{26}{3}a + \frac{2}{3}\).

\(\frac{26}{3}a + \frac{2}{3}\)

- Überlege zuerst, wie du den Term im Integral vereinfachen kannst, bevor du die Stammfunktion bildest. - Erinnere dich an die binomischen Formeln und das Distributivgesetz zum Auflösen der Klammern. - Achte beim Einsetzen der negativen unteren Grenze besonders auf die Vorzeichenregeln bei Potenzen.

1. Ausmultiplizieren des Integranden: \((x^2 - 4x + 4)(x + 1) = x^3 - 3x^2 + 4\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 4x\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\left[\frac{1}{4}x^4 - x^3 + 4x\right]_{-2}^{1}\). 4. Berechnung der Werte an den Grenzen: \(F(1) = 3{,}25\) und \(F(-2) = 4\). 5. Differenz bilden: \(3{,}25 - 4 = -0{,}75\).

\(-0{,}75\) (oder \(-\frac{3}{4}\))

- Beachte die Reihenfolge der Integrationsgrenzen beim Einsetzen in die Stammfunktion. - Wie lautet die Regel für das Integrieren einer Summe von Potenzfunktionen? - Überprüfe deine Rechnung für den Wert an der Stelle \(x = 3\) sorgfältig Schritt für Schritt.

1. Bestimmung der Stammfunktion des Polynoms: \(F(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - 5x\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\left[x^4 - 2x^3 + x^2 - 5x\right]_{3}^{0}\). 3. Berechnung des Wertes an der oberen Grenze: \(F(0) = 0\). 4. Berechnung des Wertes an der unteren Grenze: \(F(3) = 3^4 - 2 \cdot 3^3 + 3^2 - 5 \cdot 3 = 81 - 54 + 9 - 15 = 21\). 5. Differenz bilden: \(F(0) - F(3) = 0 - 21 = -21\).

\(-21\)

- Wie hängen eine Funktion und ihre Stammfunktion über die Ableitung zusammen? - Welche Ableitungsregel ist bei einer verketteten Funktion wie dem Logarithmus eines Terms anzuwenden? - Erinnere dich an den Hauptsatz, der die Berechnung eines Integrals durch die Differenz der Stammfunktionswerte an den Grenzen erlaubt. - Kannst du das Ergebnis mithilfe von Logarithmengesetzen vereinfachen?

1. Ableitung von \(F\) mit der Kettenregel: Die äußere Funktion ist der natürliche Logarithmus, die innere Funktion ist \(g(x) = x^2 + 4\). Es folgt \(F'(x) = \frac{1}{x^2 + 4} \cdot (x^2 + 4)' = \frac{1}{x^2 + 4} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 4}\). Damit ist \(F\) eine Stammfunktion des Integranden. 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_{0}^{2} \frac{2x}{x^2 + 4} \, dx = [F(x)]_0^2 = F(2) - F(0)\). 3. Berechnung der Funktionswerte: \(F(2) = \ln(2^2 + 4) = \ln(8)\) und \(F(0) = \ln(0^2 + 4) = \ln(4)\). 4. Subtraktion und Anwendung der Logarithmengesetze: \(\ln(8) - \ln(4) = \ln\left(\frac{8}{4}\right) = \ln(2)\).

\(\ln(2)\)

- Welche Regel nutzt du, um ein Produkt aus zwei Funktionen abzuleiten? - Was musst du tun, um zu zeigen, dass eine Funktion eine Stammfunktion einer anderen ist? - Wie setzt man die obere und untere Grenze korrekt in die Stammfunktion ein? - Achte besonders auf das Vorzeichen, wenn du den Wert an der unteren Grenze abziehst.

1. Ableitung von \(F\) mit der Produktregel: Mit \(u(x) = 2x - 1\) und \(v(x) = e^x\) gilt \(F'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\). 2. Einsetzen der Ableitungen: \(F'(x) = 2 \cdot e^x + (2x - 1) \cdot e^x\). 3. Ausklammern von \(e^x\): \(F'(x) = e^x \cdot (2 + 2x - 1) = (2x + 1) \cdot e^x\). Dies entspricht der Funktion \(f(x)\). 4. Berechnung des Integrals mit dem Hauptsatz: \(\int_{0}^{1} f(x) \, dx = [F(x)]_0^1 = F(1) - F(0)\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(F(1) = (2 \cdot 1 - 1) \cdot e^1 = 1 \cdot e = e\). \(F(0) = (2 \cdot 0 - 1) \cdot e^0 = -1 \cdot 1 = -1\). 6. Differenz bilden: \(e - (-1) = e + 1\).

\(e + 1\)

- Welche Funktion ist die Stammfunktion der Summe \(f(x) + g(x)\)? - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Summen. - Setze die Definition des Hauptsatzes für jedes Integral einzeln ein. - Versuche, die Terme auf einer Seite so umzusortieren, dass sie genau wie die andere Seite aussehen.

1. Identifikation einer Stammfunktion für die Summe: Da \((F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)\) gilt, ist \(H(x) = F(x) + G(x)\) eine Stammfunktion von \(f(x) + g(x)\). 2. Anwendung des Hauptsatzes auf die linke Seite: \(\int_a^b (f(x) + g(x)) \, dx = [F(x) + G(x)]_a^b = (F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a))\). 3. Anwendung des Hauptsatzes auf die rechte Seite: \(\int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx = (F(b) - F(a)) + (G(b) - G(a))\). 4. Umformung der rechten Seite durch Auflösen der Klammern und Umstellen der Terme (Kommutativgesetz): \(F(b) - F(a) + G(b) - G(a) = F(b) + G(b) - F(a) - G(a) = (F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a))\). 5. Vergleich zeigt die Übereinstimmung beider Seiten.

Mit der Stammfunktion \(H = F + G\) für \(f + g\) ergibt die linke Seite nach dem Hauptsatz \((F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a))\). Die rechte Seite ergibt summiert \((F(b) - F(a)) + (G(b) - G(a))\). Durch Umstellen der Terme (Kommutativ- und Assoziativgesetz) folgt die Gleichheit: \(F(b) + G(b) - F(a) - G(a) = F(b) + G(b) - (F(a) + G(a))\).

- Achte genau darauf, welcher Buchstabe nach dem Doppelpunkt steht – das ist deine Integrationsvariable. - Alle anderen Buchstaben im Funktionsterm behandelst du wie feste Zahlen. - Schreibe Brüche mit der Variablen im Nenner als Potenzen mit negativem Exponenten um, bevor du die Potenzregel anwendest. - Überlege dir, was passiert, wenn du eine feste Zahl wie \(5\) integrierst, und wende dies auf die Parameter an.

1. Für \(f(x)\) wird die Potenzregel der Integration auf \(x\) angewendet: \(\int \frac{4}{k}x^3 \, dx = \frac{4}{k} \cdot \frac{1}{4}x^4 = \frac{1}{k}x^4\) und \(\int 3ax^2 \, dx = 3a \cdot \frac{1}{3}x^3 = ax^3\). Ergebnis: \(F(x) = \frac{1}{k}x^4 - ax^3\). 2. Für \(g(t)\) wird der erste Term als \(k \cdot t^{-2}\) geschrieben. Die Integration nach \(t\) ergibt \(k \cdot \frac{1}{-1}t^{-1} = -\frac{k}{t}\). Der konstante Term \(a\) wird zu \(at\). Ergebnis: \(G(t) = -\frac{k}{t} + at\). 3. Bei \(h(a)\) ist \(a\) die Integrationsvariable. Der Term \(\frac{a}{x}\) wird wie \(\frac{1}{x} \cdot a\) behandelt, was integriert \(\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2}a^2 = \frac{a^2}{2x}\) ergibt. Der Term \(\sqrt{x}\) ist eine Konstante bezüglich \(a\), also ergibt die Integration \(\sqrt{x} \cdot a\). Ergebnis: \(H(a) = \frac{a^2}{2x} + a\sqrt{x}\).

a) \(F(x) = \frac{1}{k}x^4 - ax^3\) b) \(G(t) = -\frac{k}{t} + at\) c) \(H(a) = \frac{a^2}{2x} + a\sqrt{x}\)

- Erinnere dich daran, welche Funktion abgeleitet \(\sin(x)\) ergibt und achte auf das Vorzeichen. - Die Exponentialfunktion \(e^t\) ist beim Integrieren besonders einfach zu handhaben. - Behandle Dezimalzahlen in den Exponenten genau wie ganze Zahlen nach der bekannten Regel. - Überprüfe dein Ergebnis durch Ableiten: Kommst du wieder beim ursprünglichen Funktionsterm an?

1. Bei \(f(x)\) ist \(x\) die Variable. Die Integration von \(-\sin(x)\) ergibt \(\cos(x)\), multipliziert mit dem Faktor \(\frac{1}{k}\) folgt \(\frac{1}{k} \cos(x)\). Die Konstante \(k^2\) ergibt integriert \(k^2 x\). Ergebnis: \(F(x) = \frac{1}{k} \cos(x) + k^2 x\). 2. Bei \(g(t)\) ist \(t\) die Variable. Die Stammfunktion von \(e^t\) ist \(e^t\). Der Term \(-k^2 t\) wird nach der Potenzregel zu \(-k^2 \cdot \frac{1}{2}t^2\). Ergebnis: \(G(t) = e^t - \frac{1}{2} k^2 t^2\). 3. Bei \(h(z)\) ist \(z\) die Variable. Die Potenzregel für \(z^{1{,}5}\) liefert \(\frac{1}{1{,}5+1} z^{1{,}5+1} = \frac{1}{2{,}5} z^{2{,}5} = 0{,}4 z^{2{,}5}\). Der Term \(2{,}5 a^2\) ist eine Konstante bezüglich \(z\), seine Integration ergibt \(2{,}5 a^2 z\). Ergebnis: \(H(z) = 0{,}4 z^{2{,}5} + 2{,}5 a^2 z\).

a) \(F(x) = \frac{1}{k} \cos(x) + k^2 x\) b) \(G(t) = e^t - \frac{1}{2} k^2 t^2\) c) \(H(z) = 0{,}4 z^{2{,}5} + 2{,}5 a^2 z\)

- Kannst du den Ausdruck unter der Wurzel zu einem einzigen Term zusammenfassen? - Wie lässt sich ein Bruch mit einer Potenz im Nenner als Potenz mit negativem Exponenten schreiben? - Welche Integrationsregel wendest du auf Terme der Form \(x^n\) an? - Erinnerst du dich an den Hauptsatz, um das bestimmte Integral aus der Stammfunktion zu berechnen?

1. Vereinfachung des Integranden: Durch Zusammenfassen der Wurzeln und Umschreiben des Bruchs ergibt sich \(\sqrt{3x \cdot 12x} - 4x^{-3} = \sqrt{36x^2} - 4x^{-3} = 6x - 4x^{-3}\) (da \(x > 0\)). 2. Bestimmung der Stammfunktion: Mithilfe der Potenzregel der Integration erhält man \(F(x) = 3x^2 + 2x^{-2} = 3x^2 + \frac{2}{x^2}\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: Das Einsetzen der Grenzen liefert \(F(2) - F(1) = (3 \cdot 2^2 + \frac{2}{2^2}) - (3 \cdot 1^2 + \frac{2}{1^2}) = (12 + 0{,}5) - (3 + 2) = 12{,}5 - 5 = 7{,}5\).

\(7{,}5\)

- Überlege dir zuerst, wie du die Wurzel und den Bruch als Potenzen mit rationalen bzw. negativen Exponenten schreiben kannst. - Suche nach einer Funktion, deren Ableitung genau dem Term im Integral entspricht. - Was besagt der Hauptsatz über die Verwendung der Integrationsgrenzen? - Achte beim Einsetzen der unteren Grenze besonders auf die Vorzeichen.

1. Bestimmung einer Stammfunktion \(F\) des Integranden \(f(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} + 2x^{-2}\): \(F(x) = x^{\frac{3}{2}} - 2x^{-1} = x\sqrt{x} - \frac{2}{x}\). 2. Anwendung des Hauptsatzes durch Einsetzen der Integrationsgrenzen: \([x\sqrt{x} - \frac{2}{x}]_{1}^{4}\). 3. Auswertung an der oberen Grenze \(x = 4\): \(F(4) = 4\sqrt{4} - \frac{2}{4} = 8 - 0{,}5 = 7{,}5\). 4. Auswertung an der unteren Grenze \(x = 1\): \(F(1) = 1\sqrt{1} - \frac{2}{1} = 1 - 2 = -1\). 5. Berechnung der Differenz: \(F(4) - F(1) = 7{,}5 - (-1) = 8{,}5\).

\(8{,}5\)

- Kannst du zwei Integrale mit denselben Grenzen zu einem einzigen Integral zusammenfassen? - Was passiert, wenn die obere Grenze des einen Integrals der unteren Grenze des nächsten entspricht? - Kannst du Faktoren vor dem Integral in den Integranden hineinziehen? - Schau dir die Funktionsterme genau an – heben sich beim Zusammenfassen vielleicht komplizierte Teile gegenseitig auf?

1. Anwendung der Linearität des Integrals in Teilaufgabe a): Da die Integrationsgrenzen identisch sind, können die Integranden subtrahiert werden: \(\int_{1}^{3} (x^3 + 2x - (x^3 - 4)) \, dx = \int_{1}^{3} (2x + 4) \, dx\). 2. Berechnung des Integrals: \([x^2 + 4x]_{1}^{3} = (3^2 + 4 \cdot 3) - (1^2 + 4 \cdot 1) = 21 - 5 = 16\). 3. Nutzung der Intervalladditivität in Teilaufgabe b): Die nahtlos aneinandergrenzenden Intervalle \([0; \frac{\pi}{2}]\) und \([\frac{\pi}{2}; \pi]\) werden zu \(\int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx\) zusammengefasst. 4. Berechnung des Integrals: \([-\cos(x)]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) + 1 = 2\). 5. Vereinfachung durch Linearität in Teilaufgabe c): Der Faktor \(2\) wird in das erste Integral gezogen und mit dem zweiten Integral kombiniert: \(\int_{1}^{2} (\frac{2}{x} + x - \frac{2}{x}) \, dx = \int_{1}^{2} x \, dx\). 6. Berechnung des Integrals: \([\frac{1}{2}x^2]_{1}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2^2 - \frac{1}{2} \cdot 1^2 = 2 - 0{,}5 = 1{,}5\).

a) \(16\) b) \(2\) c) \(1{,}5\)

- Überprüfe bei symmetrischen Grenzen (wie von \(-a\) bis \(a\)), ob der Integrand eine besondere Symmetrie aufweist. - Wie ändert sich ein Integral, wenn man die obere und untere Grenze vertauscht? - Lassen sich aufeinanderfolgende Intervalle bei gleichem Integranden zu einem großen Intervall verbinden? - Versuche, Klammern erst nach dem Zusammenfassen der Integrale aufzulösen.

1. Ausnutzung der Punktsymmetrie in Teilaufgabe a): Da der Integrand \(f(x) = x^3 + \sin(x)\) eine ungerade Funktion ist (\(f(-x) = -f(x)\)) und das Integrationsintervall \([-3; 3]\) symmetrisch zum Ursprung liegt, ist der Wert des Integrals direkt \(0\). 2. Anwendung der Vertauschungsregel und Linearität in Teilaufgabe b): Das zweite Integral wird durch Vorzeichenwechsel gedreht zu \(-\int_{0}^{1} (9x^2 + 1) \, dx\). Zusammenfassen ergibt \(\int_{0}^{1} ((3x+1)^2 - (9x^2 + 1)) \, dx = \int_{0}^{1} (9x^2 + 6x + 1 - 9x^2 - 1) \, dx = \int_{0}^{1} 6x \, dx\). 3. Berechnung: \([3x^2]_{0}^{1} = 3 \cdot 1^2 - 0 = 3\). 4. Anwendung der Intervalladditivität in Teilaufgabe c): Zusammenfassen der Teilintervalle zu \(\int_{1}^{5} x^{-2} \, dx\). 5. Berechnung mittels Stammfunktion: \([-\frac{1}{x}]_{1}^{5} = -\frac{1}{5} - (-\frac{1}{1}) = -0{,}2 + 1 = 0{,}8\).

a) \(0\) b) \(3\) c) \(0{,}8\)

- Kannst du die Wurzel und den Bruch als Potenzen mit rationalen Exponenten schreiben? - Welche Regel hilft dir, die Stammfunktion einer Potenzfunktion zu finden? - Denk daran, zuerst die obere Grenze und dann die untere Grenze in die Stammfunktion einzusetzen. - Was musst du beim Subtrahieren der beiden Werte beachten, falls einer davon negativ ist?

1. Umschreiben des Integranden in Potenzschreibweise: \(x^{-\frac{1}{2}} + 2x^{-2}\) 2. Bestimmen einer Stammfunktion mittels der Potenzregel: \(F(x) = 2x^{\frac{1}{2}} - 2x^{-1} = 2\sqrt{x} - \frac{2}{x}\) 3. Berechnen des Funktionswertes an der oberen Grenze \(x = 4\): \(F(4) = 2\sqrt{4} - \frac{2}{4} = 4 - 0{,}5 = 3{,}5\) 4. Berechnen des Funktionswertes an der unteren Grenze \(x = 1\): \(F(1) = 2\sqrt{1} - \frac{2}{1} = 2 - 2 = 0\) 5. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(F(4) - F(1) = 3{,}5 - 0 = 3{,}5\)

\(3{,}5\)

- Weißt du, welche Funktionen beim Ableiten den Sinus bzw. den Kosinus ergeben? Achte dabei besonders auf das Vorzeichen. - Erinnere dich an die Werte der trigonometrischen Funktionen für die Winkel \(0\) und \(\frac{\pi}{2}\). - Wie lautet die allgemeine Formel, um ein Integral mithilfe einer Stammfunktion zu berechnen?

1. Bestimmen einer Stammfunktion unter Verwendung der Grundintegrale für Sinus und Kosinus: \(F(x) = -3\cos(x) - 2\sin(x)\) 2. Einsetzen der oberen Grenze \(x = \frac{\pi}{2}\): \(F(\frac{\pi}{2}) = -3\cos(\frac{\pi}{2}) - 2\sin(\frac{\pi}{2}) = -3 \cdot 0 - 2 \cdot 1 = -2\) 3. Einsetzen der unteren Grenze \(x = 0\): \(F(0) = -3\cos(0) - 2\sin(0) = -3 \cdot 1 - 2 \cdot 0 = -3\) 4. Berechnen der Differenz gemäß dem Hauptsatz: \(F(\frac{\pi}{2}) - F(0) = -2 - (-3) = 1\)

\(1\)

- Welche Regeln benötigst du, um die einzelnen Summanden der Funktion zu integrieren? - Was bedeutet die Angabe eines Punktes für den Funktionswert an einer bestimmten Stelle? - Wie kannst du die Integrationskonstante \(C\) bestimmen, nachdem du die allgemeine Stammfunktion gefunden hast? - Denke bei der Logarithmusfunktion an den Definitionsbereich.

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion unter Verwendung der linearen Substitution: \(F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + \ln(x+2) + C\). 2. Einsetzen der Bedingung \(F(0) = 1{,}5\): \(\frac{1}{2}e^{2 \cdot 0} + \ln(0+2) + C = 1{,}5\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(0{,}5 + \ln(2) + C = 1{,}5\). 4. Berechnen der Integrationskonstante: \(C = 1 - \ln(2)\). 5. Aufstellen der spezifischen Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + \ln(x+2) + 1 - \ln(2)\).

\(F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + \ln(x+2) + 1 - \ln(2)\)

- Wie integriert man eine verkettete Funktion mit einer linearen inneren Funktion? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Ableitung und Stammfunktion, um dein Ergebnis durch Ableiten zu prüfen. - Setze den bekannten Punkt in deine allgemeine Stammfunktion ein, um die Unbekannte zu finden.

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion mittels linearer Substitution: \(F(t) = 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{-2} (1-2t)^4 + C\). 2. Vereinfachen des Terms: \(F(t) = -0{,}5(1-2t)^4 + C\). 3. Einsetzen des gegebenen Wertes \(F(1) = 5\): \(-0{,}5(1-2 \cdot 1)^4 + C = 5\). 4. Berechnen des Klammerausdrucks: \(-0{,}5(-1)^4 + C = 5\), also \(-0{,}5 + C = 5\). 5. Bestimmung der Konstante: \(C = 5{,}5\). 6. Resultierende Stammfunktion: \(F(t) = -0{,}5(1-2t)^4 + 5{,}5\).

\(F(t) = -0{,}5(1-2t)^4 + 5{,}5\)

- Kannst du eine Stammfunktion für den Term im Integral finden? - Was passiert, wenn du die Integrationsgrenzen in die Stammfunktion einsetzt? - Entsteht eine Gleichung, die du vielleicht durch eine Ersetzung (Substitution) einfacher lösen kannst? - Hast du alle Bedingungen aus der Aufgabenstellung, wie zum Beispiel das Vorzeichen von \(k\), am Ende berücksichtigt?

1. Bestimmung einer Stammfunktion der Funktion \(f(x) = 4x^3 - 6x\): \(F(x) = x^4 - 3x^2\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \([x^4 - 3x^2]_0^k = (k^4 - 3k^2) - (0^4 - 3 \cdot 0^2) = k^4 - 3k^2\). 3. Aufstellen der Gleichung \(k^4 - 3k^2 = 4\). 4. Lösen der biquadratischen Gleichung durch Substitution \(u = k^2\): \(u^2 - 3u - 4 = 0\). 5. Die Lösungen für \(u\) sind \(u_1 = 4\) und \(u_2 = -1\). 6. Da \(k^2 = u\) und \(k\) eine reelle Zahl sein muss, entfällt \(u_2\). Aus \(k^2 = 4\) und der Bedingung \(k > 0\) folgt \(k = 2\).

\(k = 2\)

- Wie lautet die Stammfunktion von \(\sin(2x)\)? Denke dabei an die innere Ableitung. - Was erhältst du, wenn du die obere und untere Grenze in deine Stammfunktion einsetzt? - Kannst du die resultierende Gleichung so umstellen, dass der Kosinus-Ausdruck allein auf einer Seite steht? - Für welchen Wert innerhalb des Kosinus ergibt sich das gewünschte Ergebnis?

1. Bestimmung der Stammfunktion von \(f(x) = \sin(2x)\) unter Beachtung der linearen Kettenregel: \(F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x)\). 2. Einsetzen der Grenzen in das Integral: \([-\frac{1}{2}\cos(2x)]_0^a = -\frac{1}{2}\cos(2a) - (-\frac{1}{2}\cos(0)) = -\frac{1}{2}\cos(2a) + \frac{1}{2}\). 3. Gleichsetzen mit dem Zielwert \(1\): \(-\frac{1}{2}\cos(2a) + \frac{1}{2} = 1\). 4. Umformen der Gleichung zu \(\cos(2a) = -1\). 5. Bestimmung des Winkels: Der Kosinus ist \(-1\) für den Winkel \(\pi\). Also gilt \(2a = \pi\). 6. Auflösen nach \(a\) ergibt \(a = \frac{\pi}{2}\). Dieser Wert liegt im geforderten Intervall \([0; \pi]\).

\(a = \frac{\pi}{2}\)

- Achte beim Ableiten von \(F\) besonders auf die Kettenregel. Was ist hier die innere und was die äußere Funktion? - Wie lautet die Ableitung von \((\dots)^2\)? - Welche Eigenschaft von Logarithmen kannst du nutzen, um \(\ln(e^2)\) zu vereinfachen? - Wie lautet der Zusammenhang zwischen dem Integral und der Differenz der Stammfunktionswerte an den Grenzen?

1. Ableitung von \(F\) mittels Kettenregel: Die äußere Funktion ist \(u^2\) mit \(u = \ln(x)\). Es ergibt sich \(F'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (\ln(x))^1 \cdot \frac{1}{x}\) 2. Vereinfachung: \(F'(x) = \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{\ln(x)}{x}\). Da \(F'(x) = f(x)\), ist der Nachweis erbracht. 3. Berechnung des Integrals mit dem Hauptsatz: \(\int_1^{e^2} f(x) \, dx = F(e^2) - F(1)\) 4. Berechnung der Funktionswerte: \(F(e^2) = \frac{1}{2} (\ln(e^2))^2 = \frac{1}{2} \cdot 2^2 = 2\) und \(F(1) = \frac{1}{2} (\ln(1))^2 = 0\) 5. Endergebnis: \(2 - 0 = 2\)

a) \(F'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{\ln(x)}{x} = f(x)\) b) \(\int_1^{e^2} f(x) \, dx = 2\)

- Welche Grundfunktion hat eine Ableitung der Form \(\frac{1}{x}\)? - Nutze die Logarithmengesetze, um den Ausdruck nach dem Einsetzen der Grenzen zu vereinfachen. - Denke daran, dass man Faktoren vor dem Logarithmus als Exponenten in das Argument ziehen kann oder umgekehrt. - Wie lässt sich die Zahl 16 als Potenz der Basis 2 ausdrücken?

1. Bestimmung der Stammfunktion: Eine Stammfunktion von \(f_k(x) = \frac{k}{x+2}\) ist \(F_k(x) = k \cdot \ln(x + 2)\). 2. Berechnung des Integrals in Abhängigkeit von \(k\): \(\int_{0}^{2} \frac{k}{x+2} \, dx = [k \cdot \ln(x + 2)]_{0}^{2} = k \cdot \ln(4) - k \cdot \ln(2)\). 3. Vereinfachung mithilfe von Logarithmengesetzen: \(k \cdot (\ln(4) - \ln(2)) = k \cdot \ln\left(\frac{4}{2}\right) = k \cdot \ln(2)\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(k \cdot \ln(2) = \ln(16)\). 5. Anwendung der Logarithmengesetze zur Lösung: Da \(\ln(16) = \ln(2^4) = 4 \cdot \ln(2)\), folgt durch Vergleich \(k = 4\).

\(k = 4\)

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion im Hinblick auf Ableitungen? - Wie findet man die Stellen, an denen eine Funktion ihre Extremwerte annimmt? - Wie lässt sich die Art eines Extrempunktes (Maximum oder Minimum) mithilfe der Ableitung bestimmen? - Was bedeutet die Information über den Wert des Minimums für die Funktionsgleichung?

1. Allgemeine Stammfunktion bilden: \(F(x) = \int (x^3 - 4x) \, dx = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + C\). 2. Extremstellen von \(F\) bestimmen: Die Ableitung von \(F\) ist \(f\). Nullstellen von \(f(x) = x(x^2 - 4) = 0\) liefern \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 3. Art der Extrema prüfen: \(F''(x) = f'(x) = 3x^2 - 4\). Es gilt \(f'(0) = -4 < 0\) (lokales Maximum) sowie \(f'(2) = 8 > 0\) und \(f'(-2) = 8 > 0\). Somit liegen an den Stellen \(x = \pm 2\) lokale Minima vor. 4. Integrationskonstante \(C\) berechnen: Da der Wert der Minima \(5\) sein soll, gilt \(F(2) = 5\). Einsetzen ergibt \(\frac{1}{4} \cdot 2^4 - 2 \cdot 2^2 + C = 5 \implies 4 - 8 + C = 5 \implies -4 + C = 5 \implies C = 9\). 5. Funktion angeben: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 9\).

\(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 9\)

- Überlege zuerst, wie die allgemeine Stammfunktion der einzelnen Summanden aussieht. - Achte beim Exponentialterm besonders auf das Vorzeichen, das durch die innere Ableitung beim Integrieren entsteht. - Wie kannst du die gegebene Bedingung nutzen, um die unbekannte Integrationskonstante zu berechnen? - Du kannst dein Ergebnis prüfen, indem du die Stammfunktion ableitest; es muss wieder die ursprüngliche Funktion \(f\) herauskommen.

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion \(F_C(x)\) durch Anwendung der Potenzregel und der Integrationsregel für Exponentialfunktionen mit linearer innerer Funktion: \(\int 0{,}5x^3 \, dx = \frac{0{,}5}{4}x^4 = 0{,}125x^4\) und \(\int -e^{2-x} \, dx = - \frac{1}{-1} e^{2-x} = e^{2-x}\). Somit ist \(F_C(x) = 0{,}125x^4 + e^{2-x} + C\). 2. Einsetzen des gegebenen Wertes \(F(2) = 10\) in den Term: \(0{,}125 \cdot 2^4 + e^{2-2} + C = 10\). 3. Vereinfachen und Berechnen von \(C\): \(0{,}125 \cdot 16 + e^0 + C = 10 \implies 2 + 1 + C = 10 \implies 3 + C = 10 \implies C = 7\). 4. Aufstellen des gesuchten Funktionsterms: \(F(x) = 0{,}125x^4 + e^{2-x} + 7\).

\(F(x) = 0{,}125x^4 + e^{2-x} + 7\)

- Wie lautet die allgemeine Regel für die Integration von Ausdrücken der Form \(\frac{1}{(x+c)^2}\)? - Setze die Integrationsgrenzen in die Stammfunktion ein und bilde die Differenz. - Versuche, die resultierende Gleichung so umzuformen, dass kein Bruch mehr vorkommt. - Achte auf die Bedingung, dass die gesuchte Zahl positiv und ganzzahlig sein muss.

1. Bestimmung der Stammfunktion des Integranden: \(\int \frac{8}{(x+a)^2} \, \text{d}x = -\frac{8}{x+a}\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung unter Einbezug der Grenzen \(0\) und \(4\): \(\left[ -\frac{8}{x+a} \right]_{0}^{4} = -\frac{8}{4+a} - \left( -\frac{8}{a} \right) = \frac{8}{a} - \frac{8}{4+a}\). 3. Gleichsetzen des Terms mit dem Wert \(1\) und Bildung eines Hauptnenners: \(\frac{8(4+a) - 8a}{a(4+a)} = 1\). 4. Vereinfachung des Zählers: \(\frac{32}{a^2 + 4a} = 1\). 5. Umformung in eine quadratische Gleichung: \(a^2 + 4a - 32 = 0\). 6. Lösung der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(a_{1,2} = -2 \pm \sqrt{4 + 32} = -2 \pm 6\). 7. Da \(a\) eine positive ganze Zahl sein muss, entfällt \(a = -8\). Die Lösung ist \(a = 4\).

\(a = 4\)

- Erinnere dich an die Stammfunktion der Exponentialfunktion mit einem Faktor im Exponenten. - Was ist das Ergebnis von \(e^0\)? - Nutze Logarithmengesetze, um den Ausdruck am Ende so weit wie möglich zu vereinfachen. - Überprüfe, ob dein Ergebnis die Bedingung \(k > 0\) erfüllt.

1. Aufstellen des Integrals gemäß der Aufgabenstellung: \(\int_{0}^{k} e^{2x} \, \text{d}x = 4\). 2. Bestimmung der Stammfunktion von \(e^{2x}\): \(F(x) = \frac{1}{2}e^{2x}\). 3. Einsetzen der Grenzen \(0\) und \(k\): \(\left[ \frac{1}{2}e^{2x} \right]_{0}^{k} = \frac{1}{2}e^{2k} - \frac{1}{2}e^{0} = \frac{1}{2}e^{2k} - \frac{1}{2}\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(\frac{1}{2}e^{2k} - \frac{1}{2} = 4\). 5. Auflösen nach \(e^{2k}\): \(\frac{1}{2}e^{2k} = 4{,}5 \Rightarrow e^{2k} = 9\). 6. Anwendung des natürlichen Logarithmus: \(2k = \ln(9)\). 7. Isolieren von \(k\) und Vereinfachung unter Nutzung von Logarithmengesetzen: \(k = \frac{1}{2}\ln(9) = \ln(9^{1/2}) = \ln(3)\).

\(k = \ln(3)\)

- Welche Rechenregel für Integrale hilft dir bei Wurzelfunktionen weiter? - Wie lautet der Zusammenhang zwischen dem Integral und dem gesuchten Flächeninhalt? - Kannst du die Integrationsvariable und den Parameter beim Integrieren klar voneinander trennen? - Was musst du tun, wenn der berechnete Ausdruck einem festen Wert entsprechen soll?

1. Zur Berechnung des Flächeninhalts \(A(k)\) wird das bestimmte Integral der Funktion \(f_k\) über dem Intervall \([0; 4]\) gebildet: \(A(k) = \int_{0}^{4} k \cdot \sqrt{x} \, dx\). Unter Verwendung der Potenzregel für Integrale ergibt sich als Stammfunktion \(F_k(x) = k \cdot \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}}\). Die Auswertung an den Grenzen liefert \(A(k) = \left[ \frac{2}{3} k \cdot x\sqrt{x} \right]_{0}^{4} = \frac{2}{3} k \cdot 4\sqrt{4} - 0 = \frac{16}{3} k\). 2. Zur Bestimmung von \(k\) wird die Gleichung \(A(k) = 32\) aufgestellt: \(\frac{16}{3} k = 32\). Durch Multiplikation mit \(\frac{3}{16}\) erhält man \(k = 32 \cdot \frac{3}{16} = 6\).

1. \(A(k) = \frac{16}{3} k\) 2. \(k = 6\)

- Erinnere dich an die Stammfunktion der Exponentialfunktion mit einem linearen Faktor im Exponenten. - Was sind hier die unteren und oberen Grenzen für deine Integration? - Wie gehst du vor, um einen Parameter in einer Gleichung zu isolieren? - Gibt es im Ergebnis Terme, die du ausklammern oder durch die du teilen kannst, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Der Flächeninhalt wird durch das Integral \(A(a) = \int_{0}^{2} a \cdot e^{0{,}5x} \, dx\) berechnet. Eine Stammfunktion von \(g_a\) ist \(G_a(x) = \frac{a}{0{,}5} \cdot e^{0{,}5x} = 2a \cdot e^{0{,}5x}\). Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ergibt \(A(a) = \left[ 2a \cdot e^{0{,}5x} \right]_{0}^{2} = 2a \cdot e^{0{,}5 \cdot 2} - 2a \cdot e^{0} = 2ae - 2a = 2a(e - 1)\). 2. Um \(a\) zu finden, setzt man \(A(a) = 4e - 4\). Dies führt zur Gleichung \(2a(e - 1) = 4(e - 1)\). Da \(e - 1 \neq 0\), kann man durch \(2(e - 1)\) dividieren und erhält \(a = 2\).

1. \(A(a) = 2a(e - 1)\) 2. \(a = 2\)

- Wie findet man die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse schneidet? - Welches mathematische Werkzeug hilft dabei, den Inhalt einer Fläche unter einer Kurve zu berechnen? - Überlege dir, wie du die berechnete Formel für den Flächeninhalt nutzen kannst, um einen bestimmten Wert für den Parameter zu finden. - Achte darauf, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt.

1. Zur Bestimmung der Integrationsgrenzen werden die Nullstellen von \(f_k\) berechnet: \(kx - x^2 = 0 \iff x(k - x) = 0\), woraus sich \(x_1 = 0\) und \(x_2 = k\) ergeben. Da der Graph eine nach unten geöffnete Parabel mit Nullstellen bei \(0\) und \(k\) ist, liegt die Fläche oberhalb der \(x\)-Achse. Das Integral berechnet sich zu \(\int_{0}^{k} (kx - x^2) \, dx = \left[ \frac{k}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{k} = \frac{k^3}{2} - \frac{k^3}{3} = \frac{k^3}{6}\). Somit gilt \(A(k) = \frac{k^3}{6}\). 2. Die Bedingung \(A(k) = 36\) führt auf die Gleichung \(\frac{k^3}{6} = 36\). Multiplikation mit \(6\) ergibt \(k^3 = 216\). Das Ziehen der Kubikwurzel liefert \(k = 6\).

1. \(A(k) = \frac{k^3}{6}\) 2. \(k = 6\)

- Überlege zuerst, wie die allgemeine Menge aller Stammfunktionen aussieht. Denke dabei an die Integrationsregeln für Exponential- und Potenzfunktionen. - Was passiert mit der inneren Funktion \(3x+3\) beim Integrieren? - Wie kannst du die Integrationskonstante \(C\) mithilfe des gegebenen Punktes bestimmen? - Setze den bekannten \(x\)-Wert in deine Stammfunktion ein und löse die Gleichung nach der Unbekannten auf.

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion durch gliedweise Integration unter Beachtung der linearen Substitution bei der Exponentialfunktion: \(\int (2 \cdot e^{3x+3} - 4x) \, dx = \frac{2}{3} e^{3x+3} - 2x^2 + C\). 2. Einsetzen der Bedingung \(F(-1) = 5\) in den allgemeinen Term: \(\frac{2}{3} e^{3(-1)+3} - 2(-1)^2 + C = 5\). 3. Vereinfachung der Gleichung: \(\frac{2}{3} e^0 - 2 + C = 5 \implies \frac{2}{3} - 2 + C = 5\). 4. Zusammenfassen und Auflösen nach \(C\): \(-\frac{4}{3} + C = 5 \implies C = 5 + \frac{4}{3} = \frac{19}{3}\). 5. Aufstellen des gesuchten Funktionsterms: \(F(x) = \frac{2}{3} e^{3x+3} - 2x^2 + \frac{19}{3}\).

\(F(x) = \frac{2}{3} e^{3x+3} - 2x^2 + \frac{19}{3}\)

- Es ist oft hilfreich, Brüche mit Wurzeln im Nenner zuerst in die Potenzschreibweise \(x^n\) umzuwandeln. - Erinnere dich an die Regel für die Integration von Funktionen der Form \((ax+b)^n\). - Der Punkt \(P(x|y)\) gibt dir einen konkreten Wert für die Stammfunktion an einer bestimmten Stelle vor. - Vergiss nicht, am Ende die Konstante \(C\) in den Funktionsterm einzusetzen.

1. Umschreiben der Funktion in Potenzschreibweise: \(f(x) = 6 \cdot (2x+9)^{-\frac{1}{2}}\). 2. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion unter Verwendung der Regel für lineare Substitution: \(\int 6 \cdot (2x+9)^{-\frac{1}{2}} \, dx = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+9)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 6 \sqrt{2x+9} + C\). 3. Nutzen der Punktbedingung \(F(0) = 10\): \(6 \sqrt{2 \cdot 0 + 9} + C = 10\). 4. Berechnung des Wurzelwertes und Auflösen nach \(C\): \(6 \cdot 3 + C = 10 \implies 18 + C = 10 \implies C = -8\). 5. Angabe des spezifischen Funktionsterms: \(F(x) = 6 \sqrt{2x+9} - 8\).

\(F(x) = 6 \sqrt{2x+9} - 8\)

- Was fällt dir bei der Funktion in Teilaufgabe a) hinsichtlich ihrer Symmetrie zum Ursprung auf? - Wie integriert man eine verkettete Funktion mit einer linearen inneren Funktion? - Denke bei den trigonometrischen Funktionen an die Vorzeichenregeln beim Ableiten und Integrieren. - Nutze Rechenregeln für Logarithmen und Potenzen, um das Ergebnis in b) zu vereinfachen.

1. Teilaufgabe a): Bestimmung einer Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{16}x^4 - \frac{1}{2}x^2\). Einsetzen der Grenzen: \(F(2) = \frac{16}{16} - \frac{4}{2} = 1 - 2 = -1\) und \(F(-2) = \frac{16}{16} - \frac{4}{2} = -1\). Die Differenz ergibt \(-1 - (-1) = 0\). 2. Teilaufgabe b): Bestimmung einer Stammfunktion unter Beachtung der linearen Verkettung: \(F(x) = \frac{1}{3}e^{3x}\). Einsetzen der Grenzen: \(F(\ln(2)) = \frac{1}{3}e^{3\ln(2)} = \frac{1}{3}e^{\ln(8)} = \frac{8}{3}\) und \(F(0) = \frac{1}{3}e^0 = \frac{1}{3}\). Die Differenz ergibt \(\frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}\). 3. Teilaufgabe c): Bestimmung einer Stammfunktion: \(F(x) = -2\cos(x) - \frac{1}{2}\sin(2x)\). Einsetzen der Grenzen: \(F(\frac{\pi}{2}) = -2\cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}\sin(\pi) = 0 - 0 = 0\) und \(F(0) = -2\cos(0) - \frac{1}{2}\sin(0) = -2 - 0 = -2\). Die Differenz ergibt \(0 - (-2) = 2\).

a) \(0\) b) \(\frac{7}{3}\) c) \(2\)

- Kannst du die Wurzelfunktion als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben? - Welche Integrationsregel hilft dir bei einem linearen Term unter der Wurzel? - Hast du eine Stammfunktion gefunden, in die du die Grenzen einsetzen kannst? - Achte beim Einsetzen der unteren Grenze besonders auf die Vorzeichen.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f\): Unter Verwendung der Regel für lineare Substitution ergibt sich für den Term \(\sqrt{2x + 4} = (2x + 4)^{\frac{1}{2}}\) die Stammfunktion \(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (2x + 4)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} (2x + 4)^{\frac{3}{2}}\). Somit ist \(F(x) = 4x - \frac{1}{3} (2x + 4)^{\frac{3}{2}}\) eine Stammfunktion von \(f\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: Das Integral berechnet sich durch \(F(0) - F(-2)\). 3. Berechnung der Funktionswerte: \(F(0) = 4 \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} = 0 - \frac{1}{3} \cdot 8 = -\frac{8}{3}\) und \(F(-2) = 4 \cdot (-2) - \frac{1}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} = -8\). 4. Differenzbildung: \(-\frac{8}{3} - (-8) = -\frac{8}{3} + \frac{24}{3} = \frac{16}{3}\).

\(\frac{16}{3}\)

- Wie lässt sich die Wurzel in eine Potenzschreibweise umwandeln? - Welchen Einfluss hat der Faktor vor dem \(x\) innerhalb der Wurzel auf die Stammfunktion? - Erinnere dich an den Hauptsatz: Wie verknüpfst du die Stammfunktion mit den Integrationsgrenzen? - Vereinfache den Ausdruck unter der Wurzel für beide Grenzen, bevor du die Potenz berechnest.

1. Umschreiben des Funktionsterms: \(g(x) = (4 - \frac{1}{2}x)^{\frac{1}{2}}\). 2. Finden einer Stammfunktion: Durch lineare Substitution (innere Funktion \(v(x) = 4 - \frac{1}{2}x\), Faktor \(\frac{1}{-1/2} = -2\)) erhält man \(G(x) = -2 \cdot \frac{2}{3} (4 - \frac{1}{2}x)^{\frac{3}{2}} = -\frac{4}{3} (4 - \frac{1}{2}x)^{\frac{3}{2}}\). 3. Auswertung des Integrals an den Grenzen: \(\int_{0}^{8} g(x) \, dx = G(8) - G(0)\). 4. Einsetzen der Werte: \(G(8) = -\frac{4}{3} \cdot (4 - 4)^{\frac{3}{2}} = 0\) und \(G(0) = -\frac{4}{3} \cdot (4 - 0)^{\frac{3}{2}} = -\frac{4}{3} \cdot 8 = -\frac{32}{3}\). 5. Endergebnis: \(0 - (-\frac{32}{3}) = \frac{32}{3}\).

\(\frac{32}{3}\)

- Wie findet man die Nullstellen der zweiten Ableitung? - Welche Informationen benötigst du, um eine Geradengleichung der Form \(y = mx + b\) aufzustellen? - Erinnerst du dich an die Potenzregel für das Integrieren? - Was besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung über den Zusammenhang zwischen Integral und Stammfunktion?

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = x^2 - 4x + 3\), \(f''(x) = 2x - 4\), \(f'''(x) = 2\). 2. Wendestelle berechnen: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 2x - 4 = 0 \Rightarrow x_W = 2\). Da \(f'''(2) \neq 0\), liegt eine Wendestelle vor. 3. Koordinaten von \(W\): \(f(2) = \frac{1}{3} \cdot 8 - 2 \cdot 4 + 3 \cdot 2 + 1 = \frac{8}{3} - 1 = \frac{5}{3}\). Somit \(W(2 \mid \frac{5}{3})\). 4. Steigung der Tangente: \(m_t = f'(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1\). 5. Tangentengleichung: \(y = -1 \cdot (x - 2) + \frac{5}{3} \Rightarrow t: y = -x + \frac{11}{3}\). 6. Stammfunktion bestimmen: \(F(x) = \frac{1}{12}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x\). 7. Integral berechnen: \(\int_{0}^{3} f(x) \, dx = [F(x)]_0^3 = (\frac{81}{12} - \frac{54}{3} + \frac{27}{2} + 3) - 0 = 6{,}75 - 18 + 13{,}5 + 3 = 5{,}25\).

a) \(W(2 \mid \frac{5}{3})\) b) \(t: y = -x + \frac{11}{3}\) c) \(\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 5{,}25\)

- Kannst du den Funktionsterm ausklammern, um die Nullstellen leichter zu finden? - Die Wendestelle ist die Stelle, an der die Krümmung ihr Vorzeichen wechselt. Welche Ableitung hilft hier? - Achte beim Flächeninhalt darauf, ob der Graph oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Was bedeutet ein negatives Ergebnis bei einer Integralberechnung für den Flächeninhalt?

1. Nullstellen: \(g(x) = -x(x^2 - 6x + 9) = -x(x-3)^2 = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 3\). 2. Wendestelle: \(g'(x) = -3x^2 + 12x - 9\), \(g''(x) = -6x + 12\). \(g''(x) = 0 \Rightarrow x_W = 2\). (\(g'''(2) = -6 \neq 0\)). 3. Stammfunktion: \(G(x) = -\frac{1}{4}x^4 + 2x^3 - \frac{9}{2}x^2\). 4. Bestimmtes Integral \(\int_{0}^{2} g(x) \, dx\): \(G(2) - G(0) = (-\frac{1}{4} \cdot 16 + 2 \cdot 8 - \frac{9}{2} \cdot 4) - 0 = -4 + 16 - 18 = -6\). 5. Flächeninhalt im Intervall \([0; 3]\): Da die einzige weitere Nullstelle bei \(x=3\) liegt und \(g(1) = -4 < 0\), verläuft der Graph im gesamten Intervall unterhalb oder auf der \(x\)-Achse. 6. Integral \(\int_{0}^{3} g(x) \, dx = G(3) - G(0) = (-\frac{81}{4} + 2 \cdot 27 - \frac{9}{2} \cdot 9) - 0 = -20{,}25 + 54 - 40{,}5 = -6{,}75\). 7. Flächeninhalt: \(A = |\int_{0}^{3} g(x) \, dx| = 6{,}75\).

a) \(x_1 = 0\); \(x_2 = 3\) b) \(x_W = 2\) c) \(\int_{0}^{2} g(x) \, dx = -6\) d) \(A = 6{,}75\)

- Wie bildet man die Ableitung einer verketteten Funktion? - Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Funktion eine Stammfunktion einer anderen ist? - Setze zuerst die Funktionsterme ineinander ein, um die Funktionsvorschrift für die verkettete Funktion zu erhalten. - Wie geht man vor, wenn eine Stammfunktion durch einen bestimmten Punkt verlaufen soll?

1. Nachweis der Stammfunktion: Zunächst wird der Funktionsterm von \(h\) durch Einsetzen gebildet: \(h(x) = f(g(x)) = (\frac{1}{3}x + 2)^2 - 5\). Die Ableitung von \(H\) erfolgt mit der Ketten- und Summenregel: \(H'(x) = 3 \cdot (\frac{1}{3}x + 2)^2 \cdot \frac{1}{3} - 5 = (\frac{1}{3}x + 2)^2 - 5\). Da \(H'(x) = h(x)\) gilt, ist \(H\) eine Stammfunktion von \(h\). 2. Bestimmung von \(K\): Der Term von \(k\) wird bestimmt durch \(k(x) = 6 \cdot (\frac{1}{3}(x^2 - 5) + 2) = 2(x^2 - 5) + 12 = 2x^2 + 2\). Die allgemeine Stammfunktion lautet \(K(x) = \frac{2}{3}x^3 + 2x + C\). Einsetzen der Bedingung \(K(3) = 20\) liefert \(\frac{2}{3} \cdot 27 + 2 \cdot 3 + C = 18 + 6 + C = 24 + C = 20\). Daraus folgt \(C = -4\). Die gesuchte Stammfunktion ist \(K(x) = \frac{2}{3}x^3 + 2x - 4\).

a) Der Nachweis erfolgt durch Ableiten von \(H(x)\) unter Verwendung der Kettenregel, was \(H'(x) = (\frac{1}{3}x + 2)^2 - 5 = f(g(x))\) ergibt. b) \(K(x) = \frac{2}{3}x^3 + 2x - 4\)

- Überlege dir zuerst, wie die Funktionsvorschriften der verketteten Funktionen \(f(g(x))\) und \(g(f(x))\) aussehen. - Erinnere dich an die Regel für die Ableitung von Potenzfunktionen mit linearem Argument. - Welche Information liefert dir der Punkt \(P(3|0)\) für die Integrationskonstante \(C\)?

1. Überprüfung der Stammfunktion: Die Verkettung ergibt \(h(x) = f(g(x)) = (\frac{1}{2}x - 4)^2 + 2\). Ableiten von \(H(x)\) mit der Kettenregel ergibt \(H'(x) = \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot (\frac{1}{2}x - 4)^2 \cdot \frac{1}{2} + 2 = 1 \cdot (\frac{1}{2}x - 4)^2 + 2\). Wegen \(H'(x) = h(x)\) ist die Behauptung gezeigt. 2. Berechnung von \(K\): Es gilt \(k(x) = 4 \cdot (\frac{1}{2}(x^2 + 2) - 4) = 2(x^2 + 2) - 16 = 2x^2 - 12\). Die Menge aller Stammfunktionen ist \(K(x) = \frac{2}{3}x^3 - 12x + C\). Die Punktprobe mit \(P(3|0)\) ergibt \(K(3) = \frac{2}{3} \cdot 27 - 12 \cdot 3 + C = 18 - 36 + C = -18 + C = 0\). Somit ist \(C = 18\). Die Stammfunktion lautet \(K(x) = \frac{2}{3}x^3 - 12x + 18\).

a) Durch Ableiten von \(H(x)\) erhält man \(H'(x) = (\frac{1}{2}x - 4)^2 + 2\), was genau dem Term von \(h(x) = f(g(x))\) entspricht. b) \(K(x) = \frac{2}{3}x^3 - 12x + 18\)

- Welche Regeln zum Bilden von Stammfunktionen kennst du für Potenz-, Exponential- und Trigonometriefunktionen? - Wie gehst du vor, wenn du die Stammfunktion an der oberen und unteren Grenze auswerten musst? - Achte bei Teilaufgabe b) darauf, den Bruch in eine Potenz mit negativem Exponenten umzuschreiben. - Denk bei Teilaufgabe c) an die Kettenregel beim Integrieren der Exponentialfunktion.

1. Bestimmung der Stammfunktion für Teilaufgabe a): \(F(x) = 2\sin(x) + \cos(x)\). Auswertung an den Grenzen: \((2\sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(\frac{\pi}{2})) - (2\sin(0) + \cos(0)) = (2 \cdot 1 + 0) - (0 + 1) = 1\). 2. Bestimmung der Stammfunktion für Teilaufgabe b): \(F(x) = -2x^{-2} + 2x = -\frac{2}{x^2} + 2x\). Auswertung an den Grenzen: \((-\frac{2}{4} + 4) - (-\frac{2}{1} + 2) = 3{,}5 - 0 = 3{,}5\). 3. Bestimmung der Stammfunktion für Teilaufgabe c): \(F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}x^2\). Auswertung an den Grenzen: \((\frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2}e^0 + 0) = \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}e^2\).

a) \(1\) b) \(3{,}5\) c) \(\frac{1}{2}e^2\)

- Erinnerst du dich, wie man Wurzeln als Potenzen schreibt, um die Potenzregel anzuwenden? - Was ist die Stammfunktion von \(\frac{1}{x}\)? - Achte beim Einsetzen negativer Zahlen in Potenzen besonders auf die Vorzeichen. - Gibt es bei Teilaufgabe c) eine Symmetrie, die du für Teile des Integrals nutzen könntest?

1. Berechnung für a): Umschreiben der Wurzel als Potenz \(3x^{\frac{1}{2}} - 1\). Bildung der Stammfunktion \(F(x) = 2x^{\frac{3}{2}} - x\). Einsetzen der Grenzen: \((2 \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 4) - (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 1) = (2 \cdot 8 - 4) - (2 - 1) = 12 - 1 = 11\). 2. Berechnung für b): Stammfunktion bestimmen zu \(F(x) = 2\ln|x|\). Einsetzen der Grenzen: \(2\ln(e^2) - 2\ln(e) = 2 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 2\). 3. Berechnung für c): Stammfunktion bestimmen zu \(F(x) = \frac{1}{6}x^6 - x^3\). Einsetzen der Grenzen: \((\frac{1}{6} \cdot 1^6 - 1^3) - (\frac{1}{6} \cdot (-1)^6 - (-1)^3) = (\frac{1}{6} - 1) - (\frac{1}{6} + 1) = -\frac{5}{6} - \frac{7}{6} = -2\).

a) \(11\) b) \(2\) c) \(-2\)

- Wo liegt der Scheitelpunkt der Parabel und welche Symmetrie weist sie auf? - Wie verhält sich das Intervall \([1; 3]\) in Bezug auf die Symmetrieachse der Funktion? - Wenn du rechnen möchtest: Bestimme zuerst eine Stammfunktion und setze die Grenzen ein. - Nutze die Intervalladditivität, um das große Integral in zwei Teile zu zerlegen.

1. Lösungsweg über Symmetrie: Der Graph von \(f(x) = (x-2)^2 - 1\) ist eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt \(S(2|-1)\). Die Parabel ist achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 2\). Im Intervall \([1; 3]\) liegt die Symmetrieachse genau in der Mitte. Daher ist der orientierte Flächeninhalt im Teilintervall \([1; 2]\) identisch mit dem im Teilintervall \([2; 3]\). Die Summe beider Teilintegrale (\(\int_{1}^{3} f(x) \, dx\)) entspricht somit dem Doppelten eines Teilintegrals. 2. Lösungsweg über den Hauptsatz: Eine Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{1}{3}(x-2)^3 - x\). Die Berechnung der linken Seite ergibt \(F(3) - F(1) = (\frac{1}{3} \cdot 1^3 - 3) - (\frac{1}{3} \cdot (-1)^3 - 1) = -\frac{8}{3} - (-\frac{4}{3}) = -\frac{4}{3}\). Die Berechnung der rechten Seite ergibt \(2 \cdot (F(3) - F(2)) = 2 \cdot ((-\frac{8}{3}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^3 - 2)) = 2 \cdot (-\frac{8}{3} + 2) = 2 \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{4}{3}\). Beide Seiten sind gleich.

Die Gleichung ist wahr, da der Graph von \(f\) achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 2\) ist, wodurch \(\int_{1}^{2} f(x) \, dx = \int_{2}^{3} f(x) \, dx\) gilt. Alternativ liefert die Berechnung mit der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{3}(x-2)^3 - x\) auf beiden Seiten den Wert \(-\frac{4}{3}\).

- Wie hängen der Faktor vor dem x-Term und die Periodenlänge zusammen? - Welche Werte kann die Sinusfunktion annehmen und wie verändert der Vorfaktor diesen Bereich? - Wann ist der Sinus gleich Null? - Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer bestimmten Stelle? - Nutze die Kettenregel zur Bestimmung der Stammfunktion, wobei die innere Funktion linear ist.

1. Die Periodenlänge ergibt sich aus \(P = \frac{2\pi}{b}\) mit \(b = \frac{\pi}{6}\), also \(P = 12\). Die Amplitude ist \(6\), woraus die Wertemenge \(W = [-6; 6]\) folgt. 2. Nullstellen von \(\sin(z)\) liegen bei \(z = k \cdot \pi\). Mit \(\frac{\pi}{6}(x-2) = k\pi\) folgt \(x = 6k + 2\). Im Intervall \([0; 12]\) sind dies \(x_1 = 2\) (für \(k=0\)) und \(x_2 = 8\) (für \(k=1\)). 3. Die Ableitung ist \(f'(x) = 6 \cdot \frac{\pi}{6} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}(x-2)\right) = \pi \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}(x-2)\right)\). Die Steigung an der Stelle \(x=2\) ist \(f'(2) = \pi \cdot \cos(0) = \pi\). Da \(f(2) = 0\), lautet die Tangentengleichung \(t(x) = \pi \cdot (x - 2) = \pi x - 2\pi\). 4. Eine Stammfunktion von \(f\) ist \(F(x) = -\frac{36}{\pi} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}(x-2)\right)\). Das Integral berechnet sich zu \(\int_{2}^{8} f(x) \, dx = F(8) - F(2) = -\frac{36}{\pi} \cdot \cos(\pi) - \left(-\frac{36}{\pi} \cdot \cos(0)\right) = \frac{36}{\pi} - \left(-\frac{36}{\pi}\right) = \frac{72}{\pi}\).

a) Periodenlänge \(P = 12\); Wertemenge \(W = [-6; 6]\) b) \(x_1 = 2\); \(x_2 = 8\) c) \(t(x) = \pi x - 2\pi\) d) \(\int_{2}^{8} f(x) \, dx = \frac{72}{\pi} \approx 22{,}92\)

- Wie findet man die Extrema einer Funktion mithilfe der Ableitung? - Was bedeutet es mathematisch, dass eine Funktion die Stammfunktion einer anderen ist? - Überprüfe, ob der Graph im betrachteten Intervall oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft. - Wie nutzt man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zur Flächenberechnung?

1. Notwendige Bedingung für Extrema: \(g'(x) = 0\). \(g'(x) = 2 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) \sin\left(\frac{\pi}{4}x\right) = -\frac{\pi}{2} \sin\left(\frac{\pi}{4}x\right)\). Nullstellen im Intervall \([0; 8]\) sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 4\) und \(x_3 = 8\). Die Funktionswerte sind \(g(0) = 4\), \(g(4) = 0\) und \(g(8) = 4\). Somit liegen die Hochpunkte bei \(H_1(0|4)\) und \(H_2(8|4)\) sowie der Tiefpunkt bei \(T(4|0)\). 2. Ableiten von \(G\): \(G'(x) = 2 + \frac{8}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} \cos\left(\frac{\pi}{4}x\right) = 2 + 2 \cos\left(\frac{\pi}{4}x\right) = g(x)\). Damit ist \(G\) eine Stammfunktion von \(g\). 3. Da \(g(x) \ge 0\) für alle \(x\), entspricht der Flächeninhalt dem Integral \(\int_{0}^{4} g(x) \, dx\). Berechnung: \([2x + \frac{8}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{4} x\right)]_0^4 = (2 \cdot 4 + \frac{8}{\pi} \sin(\pi)) - (2 \cdot 0 + \frac{8}{\pi} \sin(0)) = 8 + 0 - 0 = 8\).

a) Hochpunkte: \(H_1(0|4)\), \(H_2(8|4)\); Tiefpunkt: \(T(4|0)\) b) Nachweis durch Ableiten: \(G'(x) = g(x)\) c) Flächeninhalt \(A = 8\)

- Beginne damit, eine Stammfunktion für den Term in den Klammern zu finden. - Setze die Integrationsgrenzen in die Stammfunktion ein und achte beim Subtrahieren auf die Vorzeichen. - Fasse den entstandenen Ausdruck so weit wie möglich zusammen. - Welche Art von Gleichung musst du lösen, nachdem du das Integral ausgewertet hast? - Überprüfe am Ende, ob es mehr als eine Lösung für die Variable geben kann.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = 2x - 6\): \(F(x) = x^2 - 6x\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_k^{2k} (2x - 6) \, dx = [x^2 - 6x]_k^{2k} = ((2k)^2 - 6 \cdot (2k)) - (k^2 - 6k) = (4k^2 - 12k) - (k^2 - 6k) = 3k^2 - 6k\). 3. Aufstellen der Gleichung \(3k^2 - 6k = 9\) und Umformung in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(k^2 - 2k - 3 = 0\). 4. Lösung der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(k_{1{,}2} = 1 \pm \sqrt{1 + 3} = 1 \pm 2\). Die gesuchten Werte sind \(k_1 = 3\) und \(k_2 = -1\).

\(k_1 = 3\), \(k_2 = -1\)

- Überlege zuerst, welche Grundregeln des Integrierens (Potenzregel, Exponentialregel, Sinusregel) du hier anwenden musst. - Wie wirkt sich der Faktor im Exponenten der e-Funktion auf die Stammfunktion aus? - Was bedeutet es für die Stammfunktion, wenn ihr Graph durch einen bestimmten Punkt verläuft? - Wie kannst du die Integrationskonstante bestimmen?

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion unter Verwendung der Summenregel und der linearen Substitution bei der Exponentialfunktion: \(F(x) = 2e^{2x} - \frac{1}{6}x^3 - \cos(x) + C\) 2. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(0 \mid 3)\) in den Term der Stammfunktion: \(F(0) = 2e^{0} - \frac{1}{6} \cdot 0^3 - \cos(0) + C = 3\) 3. Vereinfachung der Gleichung zur Bestimmung der Integrationskonstante \(C\): \(2 \cdot 1 - 0 - 1 + C = 3 \implies 1 + C = 3\) 4. Ermittlung der Konstante: \(C = 2\) 5. Angabe des gesuchten Funktionsterms: \(F(x) = 2e^{2x} - \frac{1}{6}x^3 - \cos(x) + 2\)

\(F(x) = 2e^{2x} - \frac{1}{6}x^3 - \cos(x) + 2\)

- Kannst du eine Formel für den Flächeninhalt aufstellen, in der die unbekannte Grenze vorkommt? - Wie berechnet man allgemein das Integral einer Funktion vom Typ \(x^n\)? - Wenn du einen Ausdruck für die Fläche hast, kannst du ihn mit dem Zielwert gleichsetzen. - Welche Zahl ergibt dreimal mit sich selbst multipliziert den Wert \(216\)?

1. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(k\): \(A(k) = \int_{0}^{k} x^2 \, dx\). 2. Berechnung des unbestimmten Integrals bzw. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{3}x^3\). 3. Auswerten des bestimmten Integrals: \(A(k) = [\frac{1}{3}x^3]_{0}^{k} = \frac{1}{3}k^3 - \frac{1}{3} \cdot 0^3 = \frac{1}{3}k^3\). 4. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(\frac{1}{3}k^3 = 72\). 5. Lösen der Gleichung nach \(k\): \(k^3 = 216 \Rightarrow k = \sqrt[3]{216} = 6\).

Der gesuchte Wert ist \(k = 6\).

- Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Fläche unter einer Kurve zu berechnen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral. - Setze die berechnete Formel für den Flächeninhalt mit dem gegebenen Wert gleich. - Überlege, wie du eine Potenzgleichung der Form \(x^4 = c\) lösen kannst.

1. Zur Berechnung des Flächeninhalts über dem Intervall \([0; k]\) wird das bestimmte Integral von \(f(x)\) gebildet. Eine Stammfunktion von \(f(x) = \frac{1}{4}x^3\) ist \(F(x) = \frac{1}{16}x^4\). Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt: \(A(k) = \int_{0}^{k} \frac{1}{4}x^3 \, dx = \left[ \frac{1}{16}x^4 \right]_{0}^{k} = \frac{1}{16}k^4 - 0 = \frac{1}{16}k^4\). 2. Setze den Flächeninhalt gleich \(16\) und löse nach \(k\) auf: \(\frac{1}{16}k^4 = 16\). Multiplikation mit \(16\) ergibt \(k^4 = 256\). Das Ziehen der vierten Wurzel liefert \(k = 4\) (da \(k > 0\) vorausgesetzt ist).

1. \(A = \frac{1}{16}k^4\) 2. \(k = 4\)

- Wie hängen der Flächeninhalt unter einer Kurve und das bestimmte Integral zusammen? - Kannst du eine Stammfunktion für \(x^{-2}\) finden? - Was besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung über das Einsetzen von Grenzen? - Stelle eine Gleichung auf, in der die obere Grenze \(b\) die einzige Unbekannte ist.

1. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt: \(\int_{1}^{b} x^{-2} \, dx = 0{,}8\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = -x^{-1} = -\frac{1}{x}\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{b} = \left( -\frac{1}{b} \right) - \left( -\frac{1}{1} \right) = 1 - \frac{1}{b}\). 4. Gleichsetzen des Terms mit dem Zielwert: \(1 - \frac{1}{b} = 0{,}8\). 5. Auflösen der Gleichung nach \(b\): \(\frac{1}{b} = 0{,}2\), woraus \(b = 5\) folgt.

\(b = 5\)

- Nutze den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, um den Flächeninhalt als Funktion von \(b\) auszudrücken. - Wie lautet die Stammfunktion für die einzelnen Glieder des Polynoms? - Vergiss nicht, beim Einsetzen der Grenzen auch die untere Grenze \(1\) zu berücksichtigen. - Da \(b\) größer als \(1\) sein muss, kannst du versuchen, die Lösung der resultierenden Gleichung durch Probieren einfacher Zahlen zu finden.

1. Ansatz über das bestimmte Integral für den Flächeninhalt: \(\int_{1}^{b} (3x^2 + 2x) \, dx = 78\). 2. Ermittlung der Stammfunktion: \(G(x) = x^3 + x^2\). 3. Anwendung des Hauptsatzes durch Einsetzen der Grenzen: \(\left[ x^3 + x^2 \right]_{1}^{b} = (b^3 + b^2) - (1^3 + 1^2) = b^3 + b^2 - 2\). 4. Aufstellen der Bestimmungsgleichung: \(b^3 + b^2 - 2 = 78\), vereinfacht zu \(b^3 + b^2 = 80\). 5. Lösen der Gleichung für \(b > 1\): Durch systematisches Testen kleiner Ganzzahlen ergibt sich \(4^3 + 4^2 = 64 + 16 = 80\), also \(b = 4\).

\(b = 4\)

- Nutze die Linearität des Integrals, um den Term links vom Gleichheitszeichen zu vereinfachen. - Wie lässt sich das Integral einer konstanten Zahl \(c\) über ein Intervall allgemein ausdrücken? - Versuche, eine einfache Gleichung aufzustellen, in der nur noch \(A\) und \(c\) vorkommen. - Was musst du tun, um die Gleichung nach der gesuchten Größe \(c\) aufzulösen?

1. Anwendung der Linearitätseigenschaften (Summen- und Faktorregel): \(2 \cdot \int_{1}^{3} h(x) \, dx - \int_{1}^{3} c \, dx = 0\) 2. Substitution des gegebenen Integrals durch \(A\): \(2A - \int_{1}^{3} c \, dx = 0\) 3. Integration der Konstante \(c\) über das Intervall \([1; 3]\): \(\int_{1}^{3} c \, dx = [c \cdot x]_{1}^{3} = 3c - c = 2c\) 4. Aufstellen der linearen Gleichung: \(2A - 2c = 0\) 5. Isolieren von \(c\): \(2c = 2A \Rightarrow c = A\)

\(c = A\)

- Wie lautet die allgemeine Regel für die Stammfunktion einer Potenzfunktion? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zur Berechnung bestimmter Integrale. - Kannst du in den Ausdrücken für \(A\) und \(B\) einen gemeinsamen Faktor ausklammern, um das Verhältnis leichter zu berechnen?

1. Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{4}x^4\) für den Integranden \(x^3\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung für das erste Integral: \(A = \left[\frac{1}{4}x^4\right]_1^k = \frac{1}{4}k^4 - \frac{1}{4}\). 3. Bestimmung der Stammfunktion \(G(x) = \frac{1}{8}x^4\) für den Integranden \(\frac{1}{2}x^3\). 4. Anwendung des Hauptsatzes für das zweite Integral: \(B = \left[\frac{1}{8}x^4\right]_1^k = \frac{1}{8}k^4 - \frac{1}{8}\). 5. Berechnung des Verhältnisses durch Ausklammern: \(\frac{B}{A} = \frac{\frac{1}{8}(k^4 - 1)}{\frac{1}{4}(k^4 - 1)} = \frac{1}{2}\).

\(A = \frac{1}{4}k^4 - \frac{1}{4}\); \(B = \frac{1}{8}k^4 - \frac{1}{8}\); das Verhältnis ist \(\frac{B}{A} = \frac{1}{2}\).

- Welche Funktion musst du ableiten, um die Kosinusfunktion zu erhalten? - Wie wirkt sich ein konstanter Faktor \(a\) beim Integrieren auf die Stammfunktion aus? - Überlege, was die Faktorregel für Integrale über den Zusammenhang der beiden Ergebnisse aussagt.

1. Identifikation der Stammfunktion \(\sin(x)\) für die Funktion \(\cos(x)\). 2. Berechnung des ersten Integrals über den Hauptsatz: \(I_1 = [\sin(x)]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1\). 3. Identifikation der Stammfunktion \(a \cdot \sin(x)\) für die Funktion \(a \cdot \cos(x)\). 4. Berechnung des zweiten Integrals: \(I_2 = [a \cdot \sin(x)]_0^{\frac{\pi}{2}} = a \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - a \cdot \sin(0) = a \cdot 1 - a \cdot 0 = a\). 5. Vergleich der Resultate: Das Integral \(I_2\) ist das \(a\)-Fache von \(I_1\), was die Faktorregel der Integralrechnung (\(I_2 = a \cdot I_1\)) bestätigt.

\(I_1 = 1\); \(I_2 = a\); der Wert des Integrals \(I_2\) entspricht dem \(a\)-Fachen des Wertes von \(I_1\).

- Wie gehst du vor, wenn die Funktion aus mehreren Summanden besteht? - Was passiert mit konstanten Faktoren beim Integrieren? - Überprüfe deine Stammfunktion, indem du sie im Kopf kurz ableitest. Erhältst du wieder die ursprüngliche Funktion?

1. Bestimmung der Stammfunktion unter Verwendung der Potenzregel, Summenregel und Faktorregel: \(F(x) = \frac{1}{32}x^4 + \frac{1}{2}x^3 - 4x\). 2. Einsetzen der oberen Grenze \(x = 4\): \(F(4) = \frac{1}{32} \cdot 4^4 + \frac{1}{2} \cdot 4^3 - 4 \cdot 4 = \frac{256}{32} + \frac{64}{2} - 16 = 8 + 32 - 16 = 24\). 3. Einsetzen der unteren Grenze \(x = 0\): \(F(0) = 0\). 4. Berechnung der Differenz gemäß Hauptsatz: \(24 - 0 = 24\).

\(\int_{0}^{4} (\frac{1}{8}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 4) \, dx = 24\)

- Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du die untere Grenze einsetzt. - Wie verändert sich der Exponent beim Integrieren nach der Potenzregel? - Welche Rechenregel hilft dir, wenn der Integrand aus einer Differenz besteht? - Was besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung über die Reihenfolge der Grenzen?

1. Ermittlung der Stammfunktion unter Anwendung der Potenz- und Summenregel: \(F(v) = \frac{1}{4}v^4 - \frac{1}{2}v^2\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\left[ \frac{1}{4}v^4 - \frac{1}{2}v^2 \right]_{-1}^{2}\). 3. Auswertung an der oberen Grenze: \(F(2) = \frac{1}{4} \cdot 2^4 - \frac{1}{2} \cdot 2^2 = 4 - 2 = 2\). 4. Auswertung an der unteren Grenze: \(F(-1) = \frac{1}{4} \cdot (-1)^4 - \frac{1}{2} \cdot (-1)^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -0{,}25\). 5. Berechnung der Differenz: \(2 - (-0{,}25) = 2{,}25\).

Der Wert des Integrals beträgt \(2{,}25\). Verwendete Regeln: Potenzregel, Summenregel (bzw. Differenzregel) und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

- Wie gehst du vor, wenn der Integrand aus mehreren Summanden besteht? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du die negative untere Grenze einsetzt. - Erinnere dich daran, dass eine Potenz mit negativer Basis bei einem geraden Exponenten positiv ist. - Es hilft oft, Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln oder alles auf einen Hauptnenner zu bringen.

1. Bestimmung einer Stammfunktion \(F(x)\) für den Integranden \(f(x) = \frac{1}{2}x^3 - 3x + 1\): \(F(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + x\). 2. Auswertung an der oberen Grenze \(x = 2\): \(F(2) = \frac{1}{8} \cdot 2^4 - \frac{3}{2} \cdot 2^2 + 2 = \frac{16}{8} - \frac{12}{2} + 2 = 2 - 6 + 2 = -2\). 3. Auswertung an der unteren Grenze \(x = -1\): \(F(-1) = \frac{1}{8}(-1)^4 - \frac{3}{2}(-1)^2 + (-1) = \frac{1}{8} - \frac{3}{2} - 1 = 0{,}125 - 1{,}5 - 1 = -2{,}375\). 4. Berechnung der Differenz \(F(2) - F(-1)\): \(-2 - (-2{,}375) = -2 + 2{,}375 = 0{,}375\).

\(0{,}375\) (oder \(\frac{3}{8}\))

- Überlege dir, wie du den Funktionsterm vereinfachen kannst, bevor du mit dem Integrieren beginnst. - Erinnere dich an die Potenzregel für das Bilden von Stammfunktionen. - Achte beim Einsetzen der negativen unteren Grenze besonders auf die Vorzeichen. - Der Hauptsatz besagt, dass du den Wert der Stammfunktion an der oberen Grenze minus den Wert an der unteren Grenze rechnest.

1. Den Integranden durch Ausmultiplizieren in eine Polynomform bringen: \((x + 1)(x^2 - 4x + 4) = x^3 - 4x^2 + 4x + x^2 - 4x + 4 = x^3 - 3x^2 + 4\). 2. Eine Stammfunktion \(F\) bestimmen: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 4x\). 3. Die Grenzen in die Stammfunktion einsetzen: Obere Grenze: \(F(2) = \frac{1}{4} \cdot 2^4 - 2^3 + 4 \cdot 2 = 4 - 8 + 8 = 4\). Untere Grenze: \(F(-1) = \frac{1}{4} \cdot (-1)^4 - (-1)^3 + 4 \cdot (-1) = 0{,}25 + 1 - 4 = -2{,}75\). 4. Die Differenz berechnen: \(F(2) - F(-1) = 4 - (-2{,}75) = 6{,}75\).

\(6{,}75\) (oder \(\frac{27}{4}\))

- Welche Regel hilft dir dabei, von einer Potenzfunktion zur Stammfunktion zu gelangen? - Wie verhält sich eine Quadratwurzel, wenn sie mit der vierten Potenz potenziert wird? - Vergiss nicht, nach dem Einsetzen der Grenzen den Wert der unteren Grenze vom Wert der oberen Grenze abzuziehen.

1. Eine Stammfunktion \(F\) des Integranden \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x\) bilden: \(F(x) = \frac{1}{12}x^4 - x^2\). 2. Den Wert an der oberen Grenze berechnen: \(F(\sqrt{6}) = \frac{1}{12}(\sqrt{6})^4 - (\sqrt{6})^2 = \frac{36}{12} - 6 = 3 - 6 = -3\). 3. Den Wert an der unteren Grenze berechnen: \(F(0) = \frac{1}{12} \cdot 0^4 - 0^2 = 0\). 4. Die Differenz bilden: \(F(\sqrt{6}) - F(0) = -3 - 0 = -3\).

\(-3\)

- Bestimme zuerst eine Stammfunktion des Integranden, wobei du \(k\) wie eine gewöhnliche Zahl behandelst. - Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, um das Integral in Abhängigkeit von \(k\) zu berechnen. - Setze das Ergebnis deines Integrals mit dem gegebenen Wert gleich. - Achte beim Einsetzen der Grenzen besonders auf die Vorzeichen und die Werte der trigonometrischen Funktionen an den Stellen \(0\) und \(\pi\).

1. Bestimmung der Stammfunktion von \(f(x) = k \cdot \sin(x) + x\): \(F(x) = -k \cdot \cos(x) + \frac{1}{2}x^2\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_{0}^{\pi} (k \cdot \sin(x) + x) \, dx = \left[-k \cdot \cos(x) + \frac{1}{2}x^2\right]_0^\pi\). 3. Einsetzen der Grenzen: \((-k \cdot \cos(\pi) + \frac{1}{2}\pi^2) - (-k \cdot \cos(0) + \frac{1}{2} \cdot 0^2) = (k + \frac{1}{2}\pi^2) - (-k) = 2k + \frac{1}{2}\pi^2\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(2k + \frac{1}{2}\pi^2 = \frac{1}{2}\pi^2 + 4\). 5. Lösen nach \(k\): \(2k = 4 \Rightarrow k = 2\).

\(k = 2\)

- Schreibe den Bruch in eine Potenz mit negativem Exponenten um, um die Integration zu erleichtern. - Nachdem du die Grenzen eingesetzt hast, erhältst du eine Gleichung, in der die Unbekannte \(k\) im Nenner steht. - Berücksichtige am Ende die Bedingung \(k > 1\), falls du mehrere mathematische Lösungen für die Gleichung erhältst.

1. Umschreiben der Funktion zur leichteren Integration: \(f(x) = 4 \cdot x^{-3}\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{4}{-2}x^{-2} = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}\). 3. Auswerten des Integrals an den Grenzen \(1\) und \(k\): \(\left[-\frac{2}{x^2}\right]_1^k = -\frac{2}{k^2} - \left(-\frac{2}{1^2}\right) = 2 - \frac{2}{k^2}\). 4. Aufstellen der Gleichung mit dem gegebenen Wert: \(2 - \frac{2}{k^2} = 1{,}5\). 5. Umformen der Gleichung: \(0{,}5 = \frac{2}{k^2} \Rightarrow k^2 = 4\). 6. Da laut Aufgabenstellung \(k > 1\) sein muss, folgt \(k = 2\).

\(k = 2\)

- Wie findest du eine Stammfunktion für einen linearen Term? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Wie berechnet man ein bestimmtes Integral mit einer unbekannten Grenze? - Welche Art von Gleichung entsteht, wenn du die Grenzen in die Stammfunktion einsetzt? - Was bedeutet der Wert eines Integrals anschaulich für die Fläche zwischen Graph und Achse?

1. Bestimmung der Stammfunktion von \(f(x) = x - 3\): \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3x\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\left[\frac{1}{2}x^2 - 3x\right]_2^k = 7{,}5\). 3. Einsetzen der Grenzen: \((\frac{1}{2}k^2 - 3k) - (\frac{1}{2} \cdot 2^2 - 3 \cdot 2) = 7{,}5 \implies \frac{1}{2}k^2 - 3k - (2 - 6) = 7{,}5 \implies \frac{1}{2}k^2 - 3k + 4 = 7{,}5\). 4. Umformen in eine quadratische Gleichung: \(\frac{1}{2}k^2 - 3k - 3{,}5 = 0 \implies k^2 - 6k - 7 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung: \((k - 7)(k + 1) = 0\), woraus \(k_1 = 7\) und \(k_2 = -1\) folgen. 6. Da die Bedingung \(k > 2\) gegeben ist, ist die Lösung \(k = 7\). 7. Geometrische Interpretation: Der Wert \(7{,}5\) entspricht dem orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse im Intervall \([2; 7]\).

Der gesuchte Wert ist \(k = 7\). Geometrisch bedeutet dies, dass die orientierte Fläche zwischen dem Graphen von \(f(x) = x - 3\) und der \(x\)-Achse über dem Intervall \([2; 7]\) genau \(7{,}5\) Flächeneinheiten beträgt.

- Betrachte die Symmetrie der einzelnen Summanden der Funktion im Hinblick auf das Integrationsintervall. - Was passiert mit dem Integral einer ungeraden Funktion über ein Intervall, das symmetrisch zum Nullpunkt liegt? - Kannst du die Berechnung vereinfachen, indem du nur den geraden Anteil der Funktion integrierst? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, um das verbleibende Integral zu lösen.

1. Aufteilen des Integrands in einen ungeraden Teil \(u(x) = 2x^5 - 4x^3\) und einen geraden Teil \(g(x) = 3x^2 - 1\). 2. Da das Integrationsintervall \([-2; 2]\) symmetrisch zum Ursprung ist, gilt für den ungeraden Teil \(\int_{-2}^{2} (2x^5 - 4x^3) \, dx = 0\). 3. Berechnung des verbleibenden Integrals des geraden Teils: \(\int_{-2}^{2} (3x^2 - 1) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{2} (3x^2 - 1) \, dx\). 4. Bestimmung einer Stammfunktion von \(g(x)\): \(G(x) = x^3 - x\). 5. Anwendung des Hauptsatzes: \(2 \cdot [x^3 - x]_0^2 = 2 \cdot ((2^3 - 2) - (0^3 - 0)) = 2 \cdot (8 - 2) = 12\).

\(12\)

- Untersuche, welche Terme der Funktion \(f\) beim Integrieren über ein symmetrisches Intervall wegfallen könnten. - Wie verhalten sich Funktionen mit ausschließlich ungeraden Exponenten bei der Integration von \(-a\) bis \(a\)? - Nutze die Achsensymmetrie des verbleibenden Terms aus, um die Rechnung auf das Intervall von \(0\) bis \(5\) zu beschränken.

1. Identifikation der Symmetrieeigenschaften: Die Terme \(x^3\) und \(-\frac{1}{2}x\) sind ungerade Potenzen von \(x\), der Term \(\frac{3}{10}x^4\) ist eine gerade Potenz. 2. Aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung ist das Integral der ungeraden Anteile über das symmetrische Intervall \([-5; 5]\) gleich null: \(\int_{-5}^{5} (x^3 - \frac{1}{2}x) \, dx = 0\). 3. Das Integral reduziert sich auf den geraden Anteil: \(\int_{-5}^{5} \frac{3}{10}x^4 \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{5} \frac{3}{10}x^4 \, dx\). 4. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{3}{50}x^5\). 5. Berechnung des Werts: \(2 \cdot [\frac{3}{50}x^5]_0^5 = 2 \cdot (\frac{3}{50} \cdot 5^5 - 0) = 2 \cdot \frac{3 \cdot 3125}{50} = 2 \cdot 187{,}5 = 375\).

\(375\)

- Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. - Wie findet man eine Stammfunktion für eine Potenzfunktion? - Achte beim Einsetzen der unteren Grenze besonders auf die Vorzeichen, falls diese negativ ist. - Fällt dir bei Teilaufgabe b) etwas Besonderes am Integranden und den Integrationsgrenzen auf?

1. Für Teilaufgabe a): Eine Stammfunktion von \(f(x) = x^2 - 4x + 6\) ist \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 6x\). Einsetzen der Grenzen liefert \(F(4) = \frac{64}{3} - 32 + 24 = \frac{40}{3}\) und \(F(1) = \frac{1}{3} - 2 + 6 = \frac{13}{3}\). Die Differenz ergibt \(\frac{40}{3} - \frac{13}{3} = \frac{27}{3} = 9\). 2. Für Teilaufgabe b): Eine Stammfunktion von \(g(x) = x^3 - 3x\) ist \(G(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2\). Einsetzen der Grenzen liefert \(G(2) = \frac{16}{4} - \frac{3 \cdot 4}{2} = 4 - 6 = -2\) und \(G(-2) = \frac{16}{4} - \frac{3 \cdot 4}{2} = 4 - 6 = -2\). Die Differenz ergibt \(-2 - (-2) = 0\).

a) \(9\) b) \(0\)

- Gehe schrittweise vor: Bestimme zuerst die Stammfunktion und setze dann die Grenzen ein. - Vergiss nicht, dass beim Integrieren von \(x^n\) der neue Exponent \(n+1\) ist und du durch diesen teilst. - Setze Klammern beim Subtrahieren des unteren Grenzwerts, um Rechenfehler zu vermeiden.

1. Für Teilaufgabe a): Die Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{1}{12}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + 2x\). Die Berechnung an den Grenzen ergibt \(F(3) = \frac{81}{12} - \frac{27}{3} + 6 = 6{,}75 - 9 + 6 = 3{,}75\) und \(F(0) = 0\). Das Integral hat somit den Wert \(3{,}75 - 0 = 3{,}75\). 2. Für Teilaufgabe b): Die Stammfunktion ist \(G(x) = 2x^3 - x^2 - 4x\). Die Berechnung an den Grenzen ergibt \(G(2) = 2 \cdot 8 - 4 - 4 \cdot 2 = 16 - 4 - 8 = 4\) und \(G(-1) = 2(-1)^3 - (-1)^2 - 4(-1) = -2 - 1 + 4 = 1\). Das Integral hat somit den Wert \(4 - 1 = 3\).

a) \(3{,}75\) (oder \(\frac{15}{4}\)) b) \(3\)

- Bestimme zuerst eine Stammfunktion des Terms in der Klammer. - Wende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an, indem du die Grenzen \(x\) und \(1\) einsetzt. - Du erhältst eine Gleichung mit der Unbekannten \(x\). Versuche, diese durch systematisches Probieren oder Umformen zu lösen. - Überlege dir, ob es für die resultierende Gleichung eventuell mehr als eine Lösung im reellen Bereich geben kann.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(t) = 3t^2 - 1\): \(F(t) = t^3 - t\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_1^x (3t^2 - 1) \, dt = [t^3 - t]_1^x = (x^3 - x) - (1^3 - 1) = x^3 - x\). 3. Aufstellen der Gleichung: \(x^3 - x = 6\). 4. Umformen zur Normalform: \(x^3 - x - 6 = 0\). 5. Bestimmung der Nullstellen: Durch Probieren findet man die Lösung \(x = 2\), da \(2^3 - 2 - 6 = 8 - 2 - 6 = 0\). 6. Überprüfung weiterer Lösungen: Division des Polynoms durch \((x - 2)\) ergibt \(x^2 + 2x + 3\). Da die Diskriminante \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = -8\) negativ ist, gibt es keine weiteren reellen Lösungen.

\(x = 2\)

- Überlege dir, welche Koordinaten der Endpunkt des Graphen im betrachteten Intervall hat. - Welches geometrische Objekt wird durch die Koordinatenachsen und die Parallelen dazu aufgespannt? - Wie hängen die Flächeninhalte unter einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion zusammen, wenn man sie in ein gemeinsames Rechteck einzeichnet? - Welches Integral einer einfacheren Funktion (hier die Quadratfunktion) musst du berechnen, um den Restanteil der Fläche zu bestimmen?

1. Die Funktion \(g(x) = \sqrt{x}\) ist die Umkehrfunktion von \(f(x) = x^2\) für \(x \geq 0\). Die Fläche unter dem Graphen von \(g\) im Intervall \([0; 4]\) entspricht der Fläche zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(y\)-Achse im Bereich von \(y = 0\) bis \(y = 4\). 2. Der Punkt \((4|2)\) liegt auf dem Graphen von \(g\), da \(\sqrt{4} = 2\). Das zugehörige Rechteck im ersten Quadranten hat die Eckpunkte \((0|0)\), \((4|0)\), \((4|2)\) und \((0|2)\). Sein Flächeninhalt beträgt \(A_{\text{Rechteck}} = 4 \cdot 2 = 8\). 3. Die gesuchte Fläche \(\int_0^4 \sqrt{x} \, dx\) ergibt sich aus der Differenz zwischen dem Rechteckinhalt und der Fläche unter dem Graphen von \(f\) im Intervall \([0; 2]\). 4. Berechnung des Integrals von \(f\): \(\int_0^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^2 = \frac{1}{3} \cdot 2^3 - 0 = \frac{8}{3}\). 5. Berechnung des gesuchten Werts: \(8 - \frac{8}{3} = \frac{24}{3} - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}\).

\(\int_0^4 \sqrt{x} \, dx = \frac{16}{3}\)

- Behandle den Parameter \(a\) beim Integrieren wie eine ganz normale Zahl. - Achte beim Aufschreiben der Integralfunktion darauf, dass die Variable im Integranden (hier \(t\)) eine andere ist als die obere Grenze (\(x\)). - Was passiert mit Termen, die kein \(x\) enthalten, wenn du die gesamte Funktion nach \(x\) ableitest? - Der Hauptsatz stellt eine fundamentale Verbindung zwischen Ableitung und Integral her – versuche, diesen Zusammenhang in deiner Rechnung wiederzufinden.

1. Zuerst wird eine Stammfunktion von \(f(t) = \frac{1}{4}t^3 - t\) bestimmt: \(F(t) = \frac{1}{16}t^4 - \frac{1}{2}t^2\). Die Integralfunktion ergibt sich durch Einsetzen der Grenzen: \(I_a(x) = [ \frac{1}{16}t^4 - \frac{1}{2}t^2 ]_a^x = \left(\frac{1}{16}x^4 - \frac{1}{2}x^2\right) - \left(\frac{1}{16}a^4 - \frac{1}{2}a^2\right)\). 2. Zur Bestätigung des Hauptsatzes wird \(I_a(x)\) nach \(x\) abgeleitet. Da der Ausdruck \(\left(\frac{1}{16}a^4 - \frac{1}{2}a^2\right)\) eine Konstante bezüglich \(x\) ist, fällt dieser beim Ableiten weg. Es ergibt sich \(I_a'(x) = \frac{4}{16}x^3 - \frac{2}{2}x = \frac{1}{4}x^3 - x\). Dies entspricht exakt der Funktion \(f(x)\).

1. \(I_a(x) = \frac{1}{16}x^4 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{16}a^4 + \frac{1}{2}a^2\) 2. \(I_a'(x) = \frac{1}{4}x^3 - x = f(x)\)

- Erinnere dich an die Potenzregel für das Ableiten und Integrieren. - Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt, dass ein Integral über die Differenz der Stammfunktionswerte an den Grenzen berechnet wird. - Überlege dir, welche Funktion eine Stammfunktion von \(f''\) ist. - Was passiert mit konstanten Summanden, wenn du eine Funktion ableitest?

1. Die Ableitungen lauten \(f'(x) = 4x^3 - 4x\) und \(f''(x) = 12x^2 - 4\). 2. Zur Berechnung des Integrals wird eine Stammfunktion von \(f''\) benötigt, wobei \(f'\) eine solche ist: \(G(x) = \int_{1}^{x} (12t^2 - 4) \, \text{d}t = [4t^3 - 4t]_1^x = (4x^3 - 4x) - (4 \cdot 1^3 - 4 \cdot 1) = 4x^3 - 4x\). 3. Die Ableitung von \(G\) nach \(x\) ergibt \(G'(x) = 12x^2 - 4\). Dies entspricht exakt dem Integranden \(f''(x)\). Die Beobachtung zeigt zweierlei: Erstens führt die Integration der Ableitung \(f''\) zurück zur Funktion \(f'\) (hier zufällig exakt, da \(f'(1)=0\)). Zweitens hebt das anschließende Differenzieren die Integration wieder auf, sodass man den ursprünglichen Integranden erhält.

1. \(f'(x) = 4x^3 - 4x\); \(f''(x) = 12x^2 - 4\) 2. \(G(x) = 4x^3 - 4x\) 3. \(G'(x) = 12x^2 - 4 = f''(x)\). Die Differentiation der Integralfunktion liefert den ursprünglichen Integranden zurück.

- Welche Regel beim Ableiten kennst du, die einen konstanten Faktor betrifft? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion. - Wie lässt sich ein bestimmtes Integral mithilfe einer Stammfunktion berechnen? - Kannst du den konstanten Faktor aus der Differenz der Funktionswerte an den Grenzen ausklammern?

1. Es sei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\), sodass \(F'(x) = f(x)\) gilt. 2. Nach der Faktorregel der Differentialrechnung ist die Ableitung von \(k \cdot F(x)\) gleich \(k \cdot F'(x) = k \cdot f(x)\). Damit ist \(k \cdot F\) eine Stammfunktion der Funktion \(k \cdot f\). 3. Die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ergibt: \(\int_{a}^{b} k \cdot f(x) \, dx = [k \cdot F(x)]_{a}^{b}\). 4. Durch Einsetzen der Grenzen erhält man \(k \cdot F(b) - k \cdot F(a)\). 5. Ausklammern von \(k\) führt zu \(k \cdot (F(b) - F(a))\). Da \(F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx\), folgt die Behauptung: \(k \cdot \int_{a}^{b} f(x) \, dx\).

Durch die Wahl einer Stammfunktion \(F\) von \(f\) und Anwendung der Faktorregel der Differentialrechnung zeigt man, dass \(k \cdot F\) eine Stammfunktion von \(k \cdot f\) ist. Über den Hauptsatz folgt \([k \cdot F(x)]_a^b = k \cdot (F(b) - F(a)) = k \cdot \int_a^b f(x) \, dx\).

- Betrachte die Differenz zweier Stammfunktionen und leite diese ab. - Welche Ableitungsregel hilft dir, eine Stammfunktion für den Ausdruck \(f(x) - g(x)\) zu finden? - Nutze den Hauptsatz, um das Integral der Differenz durch die Werte der Stammfunktionen an den Grenzen auszudrücken. - Versuche, die resultierenden Terme so zu sortieren, dass die einzelnen Integrale von \(f\) und \(g\) erkennbar werden.

1. Es seien \(F\) und \(G\) Stammfunktionen von \(f\) bzw. \(g\), sodass \(F' = f\) und \(G' = g\) gilt. 2. Aufgrund der Differenzregel der Differentialrechnung ist die Ableitung der Funktion \(H(x) = F(x) - G(x)\) gegeben durch \(H'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - g(x)\). Somit ist \(F - G\) eine Stammfunktion von \(f - g\). 3. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt: \(\int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx = [F(x) - G(x)]_{a}^{b}\). 4. Auswerten an den Grenzen liefert \((F(b) - G(b)) - (F(a) - G(a))\). 5. Durch Umordnen der Terme erhält man \((F(b) - F(a)) - (G(b) - G(a))\). 6. Dies entspricht nach Definition genau der Differenz der Einzelintegrale \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx - \int_{a}^{b} g(x) \, dx\).

Mit den Stammfunktionen \(F\) und \(G\) gilt \((F-G)' = f-g\). Über den Hauptsatz folgt \(\int_a^b (f-g) dx = (F(b)-G(b)) - (F(a)-G(a)) = (F(b)-F(a)) - (G(b)-G(a)) = \int_a^b f dx - \int_a^b g dx\).

- Beginne damit, das Integral mit dem Parameter \(k\) allgemein zu berechnen. - Welche Funktion ergibt abgeleitet \(\sin x\)? Achte dabei auf das Vorzeichen. - Setze die Grenzen \(\pi\) und \(0\) in deine Stammfunktion ein und beachte die Werte der Kosinusfunktion an diesen Stellen. - Stelle eine Gleichung auf, in der das Ergebnis deines Integrals gleich Null gesetzt wird.

1. Aufstellen der Integralgleichung: \(\int_{0}^{\pi} (k \cdot \sin x - 1) \, dx = 0\). 2. Ermittlung einer Stammfunktion für den Integranden: \(F(x) = -k \cdot \cos x - x\). 3. Einsetzen der Integrationsgrenzen gemäß dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: \([-k \cdot \cos x - x]_{0}^{\pi} = (-k \cdot \cos \pi - \pi) - (-k \cdot \cos 0 - 0)\). 4. Vereinfachung des Ausdrucks unter Verwendung von \(\cos \pi = -1\) und \(\cos 0 = 1\): \((k - \pi) - (-k) = 2k - \pi\). 5. Lösen der Gleichung \(2k - \pi = 0\) nach \(k\): \(k = \frac{\pi}{2}\).

\(k = \frac{\pi}{2}\)

- Kannst du die Brüche und Wurzeln als Potenzen mit negativen oder rationalen Exponenten schreiben? - Welche Regel hilft dir dabei, die Stammfunktion einer Summe von Potenzfunktionen zu finden? - Denk daran, beim Einsetzen der Grenzen sorgfältig mit den Vorzeichen umzugehen. - Wie lautet der Hauptsatz, der den Wert eines Integrals mit der Stammfunktion verknüpft?

1. Umschreiben des Integranden in die Potenzschreibweise: \(f(x) = 3x^2 - 4x^{-2} + x^{\frac{1}{2}}\) 2. Bestimmen einer Stammfunktion mithilfe der Potenzregel: \(F(x) = x^3 + 4x^{-1} + \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\), was vereinfacht \(F(x) = x^3 + \frac{4}{x} + \frac{2}{3}\sqrt{x^3}\) entspricht. 3. Einsetzen der oberen Grenze \(x = 4\): \(F(4) = 4^3 + \frac{4}{4} + \frac{2}{3}\sqrt{4^3} = 64 + 1 + \frac{16}{3} = \frac{211}{3}\) 4. Einsetzen der unteren Grenze \(x = 1\): \(F(1) = 1^3 + \frac{4}{1} + \frac{2}{3}\sqrt{1^3} = 5 + \frac{2}{3} = \frac{17}{3}\) 5. Berechnung der Differenz gemäß dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: \(\frac{211}{3} - \frac{17}{3} = \frac{194}{3}\)

\(\frac{194}{3}\) (oder \(64 \frac{2}{3}\))

- Denke daran, Brüche mit \(x\) im Nenner zuerst in die Form \(x^n\) mit negativem Exponenten zu bringen. - Verwende für die Stammfunktion von \(\sqrt{x}\) die Regel für Potenzen mit rationalen Exponenten. - Achte beim Subtrahieren der unteren Grenze besonders auf die Vorzeichen, wenn die Stammfunktion selbst negative Vorzeichen enthält.

1. Teilaufgabe a): Umschreiben des Integranden zu \(3x^{-4}\). Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = -x^{-3} = -\frac{1}{x^3}\). Einsetzen der Grenzen liefert \(F(2) = -\frac{1}{8}\) und \(F(1) = -1\). Berechnung: \(-\frac{1}{8} - (-1) = \frac{7}{8}\). 2. Teilaufgabe b): Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{3}x\sqrt{x}\). Einsetzen der Grenzen liefert \(F(4) = 8 + \frac{16}{3} = \frac{40}{3}\) und \(F(1) = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{7}{6}\). Berechnung: \(\frac{80}{6} - \frac{7}{6} = \frac{73}{6}\). 3. Teilaufgabe c): Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2\). Einsetzen der Grenzen liefert \(F(2) = 4 - 2 = 2\) und \(F(0) = 0\). Das Ergebnis ist \(2 - 0 = 2\).

a) \(\frac{7}{8}\) b) \(\frac{73}{6}\) c) \(2\)

- Kannst du die Funktion in zwei Teile zerlegen, von denen einer vielleicht besonders leicht zu integrieren ist? - Untersuche, welche Terme der Summe punktsymmetrisch und welche achsensymmetrisch sind. - Wie vereinfacht sich die Rechnung, wenn du die untere Grenze \(0\) statt \(-2\) nutzt?

1. Aufteilung des Integranden in einen ungeraden Anteil \(u(x) = \frac{1}{2}x^3\) und einen geraden Anteil \(g(x) = -x^2 + 2\). 2. Aufgrund der Punktsymmetrie von \(u(x)\) zum Ursprung gilt \(\int_{-2}^{2} \frac{1}{2}x^3 \, dx = 0\). 3. Aufgrund der Achsensymmetrie von \(g(x)\) zur \(y\)-Achse kann das Integral über \([-2; 2]\) als \(2 \cdot \int_{0}^{2} (-x^2 + 2) \, dx\) berechnet werden. 4. Bestimmung einer Stammfunktion für den verbleibenden Teil: \(G(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 2x\). 5. Berechnung des Werts: \(2 \cdot [-\frac{1}{3}x^3 + 2x]_0^2 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{3} \cdot 2^3 + 2 \cdot 2 - 0\right) = 2 \cdot \left(-\frac{8}{3} + 4\right) = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}\).

\(\frac{8}{3}\)

- Welche Methode eignet sich, um die Nullstellen einer biquadratischen Funktion zu finden? - Überprüfe, in welchen Intervallen der Graph oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt. - Nutze die Symmetrieeigenschaften der Funktion, um Rechenschritte zu sparen. - Erinnere dich daran, dass Flächeninhalte immer positive Werte haben müssen.

1. Berechnung der Nullstellen mittels Substitution \(u = x^2\): \(-u^2 + 5u - 4 = 0\) liefert \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 4\). Daraus ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = -2\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 1\) und \(x_4 = 2\). 2. Da die Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist (\(f(x) = f(-x)\)), kann die Fläche für \(x \ge 0\) berechnet und verdoppelt werden. Die relevanten Intervalle sind \([0; 1]\) und \([1; 2]\). 3. Stammfunktion: \(F(x) = -\frac{1}{5}x^5 + \frac{5}{3}x^3 - 4x\). 4. Teilintegrale berechnen: \(\int_0^1 f(x) \, dx = F(1) - F(0) = -\frac{1}{5} + \frac{5}{3} - 4 = -\frac{38}{15}\). \(\int_1^2 f(x) \, dx = F(2) - F(1) = (-\frac{32}{5} + \frac{40}{3} - 8) - (-\frac{38}{15}) = -\frac{16}{15} + \frac{38}{15} = \frac{22}{15}\). 5. Gesamtfläche: \(A = 2 \cdot (|-\frac{38}{15}| + |\frac{22}{15}|) = 2 \cdot (\frac{38}{15} + \frac{22}{15}) = 2 \cdot \frac{60}{15} = 2 \cdot 4 = 8\).

Der Inhalt der Fläche beträgt \(8\) Flächeneinheiten.

- Welche Variable steht hinter dem \(d\) im Integral? Das ist deine Integrationsvariable. - Stell dir alle anderen Buchstaben wie feste Zahlen vor, während du die Stammfunktion bildest. - Erinnere dich an die Potenzregel für die Integration: Was passiert mit dem Exponenten und dem Vorfaktor? - Was passiert, wenn du eine Konstante nach einer Variablen integrierst, die gar nicht im Term vorkommt?

1. Für Teilaufgabe a) ist \(x\) die Integrationsvariable. Die Stammfunktion bezüglich \(x\) lautet \(F(x) = x^4 y - 2xy^2\). Einsetzen der Grenzen ergibt \((3^4 y - 2 \cdot 3 \cdot y^2) - (1^4 y - 2 \cdot 1 \cdot y^2) = 81y - 6y^2 - y + 2y^2 = 80y - 4y^2\). 2. Für Teilaufgabe b) ist \(y\) die Integrationsvariable. Die Stammfunktion bezüglich \(y\) lautet \(F(y) = 2x^3 y^2 - \frac{2}{3}y^3\). Einsetzen der Grenzen ergibt \((2x^3 \cdot 9 - \frac{2}{3} \cdot 27) - (2x^3 \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 1) = 18x^3 - 18 - 2x^3 + \frac{2}{3} = 16x^3 - \frac{52}{3}\). 3. Für Teilaufgabe c) ist \(x\) die Integrationsvariable, während \(a^2\) eine Konstante ist. Die Stammfunktion ist \(F(x) = a^2 x\). Einsetzen der Grenzen liefert \(a^2 \cdot 1 - a^2 \cdot 0 = a^2\).

a) \(80y - 4y^2\) b) \(16x^3 - \frac{52}{3}\) c) \(a^2\)

- Achte genau auf den Unterschied zwischen der Variablen in der Integrationsgrenze und der Integrationsvariablen selbst. - Wie integriert man eine Exponentialfunktion wie \(e^z\)? - Wenn ein Produkt aus zwei Variablen vorliegt, von denen nur eine die Integrationsvariable ist, wie behandelst du den anderen Teil? - Überlege dir bei c) und d), ob das Ergebnis noch von der Integrationsvariablen abhängen darf, nachdem du die Grenzen eingesetzt hast.

1. In a) wird \(t^3\) nach \(t\) integriert. Die Stammfunktion ist \(\frac{1}{4}t^4\). Mit den Grenzen \(0\) und \(k\) folgt \(\frac{1}{4}k^4 - 0 = \frac{1}{4}k^4\). 2. In b) wird \(k^3\) nach \(k\) integriert. Die Stammfunktion ist \(\frac{1}{4}k^4\). Mit den Grenzen \(0\) und \(t\) folgt \(\frac{1}{4}t^4 - 0 = \frac{1}{4}t^4\). 3. In c) ist \(z\) die Integrationsvariable. \(w\) ist konstant. Die Stammfunktion von \(e^z \cdot w\) ist \(e^z \cdot w\). Einsetzen der Grenzen liefert \(e^1 \cdot w - e^0 \cdot w = e \cdot w - 1 \cdot w = w(e - 1)\). 4. In d) ist \(w\) die Integrationsvariable. \(e^z\) ist konstant. Die Stammfunktion ist \(\frac{1}{2}w^2 \cdot e^z\). Mit den Grenzen \(0\) und \(1\) ergibt sich \(\frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot e^z - 0 = \frac{1}{2}e^z\).

a) \(\frac{1}{4}k^4\) b) \(\frac{1}{4}t^4\) c) \(w(e - 1)\) d) \(\frac{1}{2}e^z\)

- Kannst du den Term in der Klammer mithilfe einer binomischen Formel vereinfachen? - Wie lässt sich eine Potenz einer Potenz mit einer einzigen Basis ausdrücken? - Erinnerst du dich an die Regel für das Integrieren von Funktionen mit einer linearen inneren Funktion? - Achte beim Einsetzen der unteren Grenze besonders auf das Vorzeichen.

1. Den Ausdruck in der Klammer mithilfe der zweiten binomischen Formel vereinfachen: \(4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2\). 2. Den Integranden umschreiben: \(((2x - 1)^2)^3 = (2x - 1)^6\). 3. Eine Stammfunktion unter Anwendung der linearen Substitutionsregel bestimmen: \(F(x) = \frac{1}{7 \cdot 2}(2x - 1)^7 = \frac{1}{14}(2x - 1)^7\). 4. Die Grenzen einsetzen: \(F(1) = \frac{1}{14}(2 \cdot 1 - 1)^7 = \frac{1}{14} \cdot 1^7 = \frac{1}{14}\) und \(F(0) = \frac{1}{14}(2 \cdot 0 - 1)^7 = \frac{1}{14} \cdot (-1)^7 = -\frac{1}{14}\). 5. Die Differenz berechnen: \(F(1) - F(0) = \frac{1}{14} - \left(-\frac{1}{14}\right) = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}\).

\(\frac{1}{7}\)

- Kannst du den Integranden zuerst so umformen, dass er nur noch aus einer Summe von Potenzen besteht? - Welche Regel hilft dir dabei, die Stammfunktion eines Polynoms zu finden? - Denk daran, dass beim Einsetzen negativer Werte in Potenzen das Vorzeichen beachtet werden muss. - Wie berechnest du das bestimmte Integral, wenn du die Stammfunktion und die Grenzen kennst?

1. Ausmultiplizieren des Integranden ergibt die Polynomform \(x^3 + 2x^2 - x - 2\). 2. Bestimmen einer Stammfunktion mittels der Potenzregel: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 2x\). 3. Einsetzen der oberen Grenze \(x = 2\): \(F(2) = \frac{1}{4} \cdot 16 + \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{1}{2} \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 4 + \frac{16}{3} - 2 - 4 = \frac{10}{3}\). 4. Einsetzen der unteren Grenze \(x = -1\): \(F(-1) = \frac{1}{4} \cdot (-1)^4 + \frac{2}{3} \cdot (-1)^3 - \frac{1}{2} \cdot (-1)^2 - 2 \cdot (-1) = \frac{1}{4} - \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{13}{12}\). 5. Differenzbildung nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: \(F(2) - F(-1) = \frac{10}{3} - \frac{13}{12} = \frac{40 - 13}{12} = \frac{27}{12} = 2{,}25\).

\(2{,}25\)

- Stelle zuerst einen Term für das Integral in Abhängigkeit von \(k\) auf. - Welchen Wert muss dieses Integral laut Aufgabenstellung annehmen? - Wie kannst du die Gleichung nach \(k\) auflösen, wenn \(k\) eine Potenz ist? - Erinnere dich an die Rechenregeln für Potenzen und Wurzeln.

1. Aufstellen der Integralgleichung für den Flächeninhalt: \(\int_0^k \sqrt[4]{x} \, dx = 25{,}6\). 2. Bestimmung der Stammfunktion von \(f(x) = x^{1/4}\): \(F(x) = \frac{4}{5} x^{5/4}\). 3. Auswertung des bestimmten Integrals: \([\frac{4}{5} x^{5/4}]_0^k = \frac{4}{5} k^{5/4} = 25{,}6\). 4. Isolieren der Potenz: \(k^{5/4} = 25{,}6 \cdot \frac{5}{4} = 32\). 5. Lösen der Gleichung nach \(k\): \(k = 32^{4/5} = (2^5)^{4/5} = 2^4 = 16\).

\(k = 16\)

- Kannst du das Problem zuerst als Gleichung mit einem Integralzeichen aufschreiben? - Wie berechnet man allgemein ein Integral, wenn eine Grenze eine Variable ist? - Welche mathematische Methode hilft dir, eine Gleichung der Form \( x^2 + px + q = 0 \) zu lösen? - Hast du alle Bedingungen aus dem Text berücksichtigt, insbesondere das Vorzeichen der gesuchten Zahl?

1. Aufstellen der Integralgleichung basierend auf der Aufgabenstellung: \( \int_{0}^{b} (2x + 1) \, dx = 12 \). 2. Finden einer Stammfunktion für \( f(x) = 2x + 1 \), welche \( F(x) = x^2 + x \) lautet. 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \( [x^2 + x]_0^b = (b^2 + b) - (0^2 + 0) = b^2 + b \). 4. Gleichsetzen des Terms mit dem vorgegebenen Integralwert: \( b^2 + b = 12 \). 5. Umformen in eine quadratische Gleichung in Normalform: \( b^2 + b - 12 = 0 \). 6. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): Die Lösungen sind \( b_1 = 3 \) und \( b_2 = -4 \). 7. Da laut Aufgabenstellung eine positive Grenze gesucht ist, entfällt \( b_2 \). Somit ist \( b = 3 \).

\( b = 3 \)

- Schau dir an, an welcher Stelle sich die Definition der Funktion ändert. - Wie kannst du das gesamte Intervall in Teilintervalle zerlegen, in denen jeweils nur eine Funktionsvorschrift gilt? - Berechne die Integrale für die einzelnen Abschnitte getrennt und addiere danach die Ergebnisse.

1. Zerlegung des Integrals an der Nahtstelle der Funktionsvorschriften bei \(x = 0\) gemäß der Intervalladditivität: \(\int_{-1}^{0} e^{2x} \, dx + \int_{0}^{2} (1 - x) \, dx\). 2. Berechnung des ersten Teilintegrals unter Verwendung der Stammfunktion \(F_1(x) = \frac{1}{2}e^{2x}\): \([\frac{1}{2}e^{2x}]_{-1}^0 = \frac{1}{2}e^0 - \frac{1}{2}e^{-2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2e^2}\). 3. Berechnung des zweiten Teilintegrals unter Verwendung der Stammfunktion \(F_2(x) = x - \frac{1}{2}x^2\): \([x - \frac{1}{2}x^2]_0^2 = (2 - \frac{1}{2} \cdot 4) - (0 - 0) = 0\). 4. Addition der beiden Teilwerte ergibt den Gesamtwert: \(\frac{1}{2} - \frac{1}{2e^2} + 0 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2e^2} \approx 0{,}432\).

\(\frac{1}{2} - \frac{1}{2e^2} \approx 0{,}432\)

- Überlege dir, was die Betragsstriche für das Vorzeichen des Terms im Inneren bedeuten. - Wo ändert der Term \(x^2 - 4\) sein Vorzeichen? - In welchen Teilintervallen ist der Ausdruck positiv und in welchen negativ? - Nutze die Nullstelle, um das Integral so aufzuteilen, dass du die Betragsstriche jeweils weglassen oder durch ein Minuszeichen ersetzen kannst.

1. Untersuchung des Vorzeichens des Terms innerhalb des Betrags: Die Funktion \(g(x) = x^2 - 4\) hat im Intervall \([0; 3]\) eine Nullstelle bei \(x = 2\). 2. Für \(0 \leq x \leq 2\) ist \(x^2 - 4 \leq 0\), daher gilt \(|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2\). 3. Für \(2 < x \leq 3\) ist \(x^2 - 4 > 0\), daher gilt \(|x^2 - 4| = x^2 - 4\). 4. Aufspaltung des Integrals an der Stelle \(x = 2\): \(\int_{0}^{2} (4 - x^2) \, dx + \int_{2}^{3} (x^2 - 4) \, dx\). 5. Berechnung des ersten Teils: \([4x - \frac{1}{3}x^3]_0^2 = (8 - \frac{8}{3}) - 0 = \frac{16}{3}\). 6. Berechnung des zweiten Teils: \([\frac{1}{3}x^3 - 4x]_2^3 = (9 - 12) - (\frac{8}{3} - 8) = -3 - (-\frac{16}{3}) = \frac{7}{3}\). 7. Gesamtergebnis durch Addition: \(\frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3} = 7\frac{2}{3}\).

\(\frac{23}{3}\) oder \(7\frac{2}{3}\)

- Kannst du die Terme im Integral als Potenzen mit rationalen Exponenten schreiben? - Erinnere dich an die Regel für die Stammfunktion von \(x^n\). - Wie vereinfacht man Terme wie \(x^{\frac{3}{2}}\), um sie leichter auszurechnen? - Denke daran, dass beim Subtrahieren der unteren Grenze ein „Minus mal Minus“ entstehen kann.

1. Umschreiben des Integranden in Potenzschreibweise: \(f(x) = x^{-2} + x^{\frac{1}{2}}\). 2. Bestimmung der Stammfunktion \(F\): \(F(x) = -x^{-1} + \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} = -\frac{1}{x} + \frac{2}{3}\sqrt{x^3}\). 3. Einsetzen der oberen Grenze \(x = 4\): \(F(4) = -\frac{1}{4} + \frac{2}{3}\sqrt{4^3} = -\frac{1}{4} + \frac{2}{3} \cdot 8 = -\frac{1}{4} + \frac{16}{3} = \frac{61}{12}\). 4. Einsetzen der unteren Grenze \(x = 1\): \(F(1) = -\frac{1}{1} + \frac{2}{3}\sqrt{1^3} = -1 + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3} = -\frac{4}{12}\). 5. Berechnung der Differenz \(F(4) - F(1)\): \(\frac{61}{12} - \left(-\frac{4}{12}\right) = \frac{65}{12}\).

\(\frac{65}{12}\)

- Überlege dir zuerst, wie man allgemein ein bestimmtes Integral mithilfe einer Stammfunktion berechnet. - Kannst du eine allgemeine Stammfunktion für den gegebenen Funktionsterm angeben, auch wenn ein Parameter enthalten ist? - Setze die Integrationsgrenzen in deine Stammfunktion ein und bilde die Differenz. - Stelle eine Gleichung auf, in der nur noch der gesuchte Parameter als Unbekannte vorkommt.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = x^2 - a\): \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - ax\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_1^3 f(x) \, dx = F(3) - F(1)\). 3. Berechnung der Funktionswerte der Stammfunktion an den Grenzen: \(F(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^3 - a \cdot 3 = 9 - 3a\) und \(F(1) = \frac{1}{3} \cdot 1^3 - a \cdot 1 = \frac{1}{3} - a\). 4. Aufstellen der Gleichung für das Integral: \((9 - 3a) - (\frac{1}{3} - a) = \frac{26}{3} - 2a\). 5. Gleichsetzen mit dem Zielwert \(\frac{2}{3}\): \(\frac{26}{3} - 2a = \frac{2}{3} \implies 2a = \frac{24}{3} = 8 \implies a = 4\).

\(a = 4\)

- Welche geometrische Form entsteht unter dem Graphen einer Ursprungsgeraden? - Wie berechnet man den Flächeninhalt dieser Form? - Nutze die Formel für die Differenz von Ober- und Untersumme bei monotonen Funktionen. - Stelle eine Ungleichung auf, um die Anzahl der Teilintervalle zu bestimmen.

1. Der Graph von \(f(x) = 1{,}5x\) bildet mit der x-Achse und der vertikalen Geraden bei \(x = b\) ein rechtwinkliges Dreieck. Die Grundseite hat die Länge \(b\), die Höhe ist \(f(b) = 1{,}5b\). Der Flächeninhalt und damit das Integral ist \(A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot 1{,}5b = 0{,}75b^2\). 2. Aus \(0{,}75b^2 = 27\) folgt \(b^2 = 36\). Da \(b > 0\), ergibt sich \(b = 6\). 3. Die Differenz zwischen Ober- und Untersumme bei einer monoton steigenden Funktion berechnet sich nach der Formel \(\overline{S}_n - \underline{S}_n = \frac{b-a}{n} \cdot (f(b) - f(a))\). Mit \(a = 0\), \(b = 6\), \(n = 100\), \(f(0) = 0\) und \(f(6) = 9\) ergibt sich: \(\frac{6}{100} \cdot (9 - 0) = 0{,}06 \cdot 9 = 0{,}54\). 4. Gesucht ist \(n\) mit \(\frac{6}{n} \cdot 9 < 0{,}01\). Dies führt auf \(\frac{54}{n} < 0{,}01\), also \(n > \frac{54}{0{,}01} = 5\,400\). Somit muss \(n\) mindestens \(5\,401\) sein.

1. \(\int_0^b 1{,}5x \, dx = 0{,}75b^2\) 2. \(b = 6\) 3. \(\overline{S}_{100} - \underline{S}_{100} = 0{,}54\) 4. \(n \ge 5\,401\)

- Erinnere dich an die Definition der Untersumme als Summe von Rechtecksflächen. - Wie hängen die Funktionswerte an den Rändern der Teilintervalle mit der Ober- und Untersumme zusammen? - Für die Differenz zwischen Ober- und Untersumme gibt es eine einfache Formel, die nur von den Funktionswerten an den Intervallgrenzen abhängt.

1. Eine Stammfunktion von \(f(x) = 2x + 1\) ist \(F(x) = x^2 + x\). Das Integral berechnet sich zu \([x^2 + x]_0^5 = (25 + 5) - (0 + 0) = 30\). 2. Die Breite der Teilintervalle ist \(\Delta x = \frac{5-0}{50} = 0{,}1\). Da \(f\) monoton steigt, ist \(\underline{S}_{50} = \sum_{i=0}^{49} f(x_i) \cdot \Delta x = \sum_{i=0}^{49} (2 \cdot (0{,}1 \cdot i) + 1) \cdot 0{,}1\). Dies ergibt \(0{,}1 \cdot (2 \cdot 0{,}1 \cdot \frac{49 \cdot 50}{2} + 50) = 0{,}1 \cdot (245 + 50) = 29{,}5\). 3. Der prozentuale Anteil berechnet sich durch \(\frac{\underline{S}_{50}}{I} = \frac{29{,}5}{30} \approx 0{,}9833\). Dies entspricht \(98{,}33\,\%\). 4. Die Differenz ist \(\overline{S}_n - \underline{S}_n = \frac{b-a}{n} \cdot (f(b) - f(a))\). Mit \(a=0, b=5, n=200, f(5)=11, f(0)=1\) ergibt sich \(\frac{5}{200} \cdot (11 - 1) = 0{,}025 \cdot 10 = 0{,}25\).

1. \(\int_0^5 (2x + 1) \, dx = 30\) 2. \(\underline{S}_{50} = 29{,}5\) 3. ca. \(98{,}33\,\%\) 4. \(\overline{S}_{200} - \underline{S}_{200} = 0{,}25\)

- Berechne zuerst den festen Zahlenwert auf der rechten Seite der Gleichung. - Bestimme eine Stammfunktion für den Term auf der linken Seite und wende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an. - Du erhältst eine Gleichung, in der \( x \) vorkommt. Kannst du einen Wert für \( x \) durch Probieren finden?

1. Bestimmung der Stammfunktionen: Für die linke Seite ist eine Stammfunktion \( F(t) = t^3 - t \), für die rechte Seite \( G(t) = t^2 + t \). 2. Berechnung des Integrals der rechten Seite: \( \int_{0}^{2} (2t + 1) \, dt = [t^2 + t]_0^2 = (2^2 + 2) - (0^2 + 0) = 6 \). 3. Berechnung des Integrals der linken Seite in Abhängigkeit von \( x \): \( \int_{1}^{x} (3t^2 - 1) \, dt = [t^3 - t]_1^x = (x^3 - x) - (1^3 - 1) = x^3 - x \). 4. Aufstellen und Lösen der Gleichung: \( x^3 - x = 6 \). Durch Probieren findet man die Lösung \( x = 2 \), da \( 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6 \). Weitere reelle Lösungen existieren für \( x > 1 \) nicht.

\( x = 2 \)

- Prüfe zuerst, ob der Graph im gegebenen Intervall oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft. - Denk daran, dass \(e\) eine konstante Zahl ist, wenn du die Stammfunktion bildest. - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der x-Achse in einem festen Intervall?

1. Überprüfung der Nullstellen und des Vorzeichens: \(e^x - e = 0\) liefert \(x = 1\). Für \(x \in [1; 2]\) gilt \(e^x \geq e\), somit ist \(h(x) \geq 0\). Der Flächeninhalt entspricht dem bestimmten Integral. 2. Bestimmung einer Stammfunktion von \(h(x) = e^x - e\): \(H(x) = e^x - e \cdot x\). 3. Anwendung des Hauptsatzes: \(A = \int_{1}^{2} (e^x - e) \, dx = [e^x - ex]_1^2\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(H(2) = e^2 - 2e\) und \(H(1) = e^1 - e \cdot 1 = 0\). 5. Ergebnis: \(A = (e^2 - 2e) - 0 = e^2 - 2e\).

Der Flächeninhalt beträgt \(e^2 - 2e\) Flächeneinheiten.

- Prüfe zuerst, ob der Graph im gegebenen Intervall Nullstellen besitzt oder vollständig oberhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Wie lauten die Regeln zum Bilden von Stammfunktionen von Exponentialfunktionen mit einem Faktor im Exponenten? - Denk an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, um das bestimmte Integral zu berechnen.

1. Da \(e^{2x} - 2e^x + 3 = (e^x - 1)^2 + 2 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, liegt der Graph im gesamten Intervall oberhalb der \(x\)-Achse. 2. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = e^{2x} - 2e^x + 3\): \(F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - 2e^x + 3x\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(A = \int_{0}^{1} (e^{2x} - 2e^x + 3) \, dx = F(1) - F(0)\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(F(1) = \frac{1}{2}e^2 - 2e + 3\) und \(F(0) = \frac{1}{2}e^0 - 2e^0 + 0 = \frac{1}{2} - 2 = -1{,}5\). 5. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \frac{1}{2}e^2 - 2e + 3 - (-1{,}5) = \frac{1}{2}e^2 - 2e + 4{,}5 \approx 2{,}758\).

Der Flächeninhalt beträgt \(A = \frac{1}{2}e^2 - 2e + 4{,}5 \approx 2{,}758\,\text{FE}\).

- Erinnere dich an die Regel für das Integrieren von verketteten Exponentialfunktionen der Form \(e^{ax}\). - Welche Konstante muss beim Ableiten von \(e^{\frac{1}{2}x}\) berücksichtigt werden, damit die ursprüngliche Funktion entsteht? - Versuche, nach der Integration auf beiden Seiten der Gleichung Faktoren auszuklammern, um die Struktur zu vereinfachen.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = k \cdot e^{\frac{1}{2}x}\): Durch Anwendung der Substitutionsregel (oder linearen Verkettung) ergibt sich \(F(x) = 2k \cdot e^{\frac{1}{2}x}\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_0^2 k \cdot e^{\frac{1}{2}x} \, dx = [2k \cdot e^{\frac{1}{2}x}]_0^2 = 2k \cdot e^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2k \cdot e^{\frac{1}{2} \cdot 0} = 2ke - 2k\). 3. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(2ke - 2k = 4e - 4\). 4. Ausklammern von \(2k\) auf der linken Seite und \(4\) auf der rechten Seite: \(2k(e - 1) = 4(e - 1)\). 5. Da \(e - 1 \neq 0\), kann durch \((e - 1)\) dividiert werden: \(2k = 4\), woraus \(k = 2\) folgt.

\(k = 2\)

- Bestimme zuerst die Stammfunktion für den gesamten Ausdruck in der Klammer. - Vergiss beim Einsetzen der unteren Grenze \(0\) nicht, dass \(e^0\) einen bestimmten Wert hat. - Manchmal lässt sich eine Gleichung durch genaues Hinsehen lösen, wenn beide Seiten den gleichen Aufbau haben.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = e^x + 1\): Es gilt \(F(x) = e^x + x\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_0^k (e^x + 1) \, dx = [e^x + x]_0^k = (e^k + k) - (e^0 + 0) = e^k + k - 1\). 3. Aufstellen der Gleichung mit dem gegebenen Integralwert: \(e^k + k - 1 = e^3 + 2\). 4. Vereinfachen der Gleichung durch Addition von \(1\) auf beiden Seiten: \(e^k + k = e^3 + 3\). 5. Durch Einsetzen erkennt man \(k = 3\) als Lösung. Da die Funktion \(k \mapsto e^k + k\) streng monoton steigend ist, ist diese Lösung eindeutig.

\(k = 3\)

- Wie hängen der Flächeninhalt unter einem Graphen und das bestimmte Integral zusammen? - Achte bei der Stammfunktion auf die innere Funktion im Nenner. - Gibt es Logarithmengesetze, mit denen du die Differenz zweier Logarithmen zusammenfassen kannst? - Was passiert mit einem Vorfaktor vor dem Logarithmus, wenn du ihn in den Logarithmus ziehst?

1. Da die Funktion \(f\) im Intervall \([0; 3]\) stets positiv ist, entspricht der Flächeninhalt dem Integral \(A = \int_{0}^{3} \frac{2}{x+3} \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion unter Berücksichtigung der linearen Verkettung: \(F(x) = 2 \cdot \ln|x+3|\). 3. Berechnung der Integralwerte an den Grenzen: \(F(3) = 2 \cdot \ln(3+3) = 2 \cdot \ln(6)\). \(F(0) = 2 \cdot \ln(0+3) = 2 \cdot \ln(3)\). 4. Differenzbildung: \(A = 2 \cdot \ln(6) - 2 \cdot \ln(3) = 2 \cdot (\ln(6) - \ln(3))\). 5. Vereinfachung mit Logarithmengesetzen: \(2 \cdot \ln\left(\frac{6}{3}\right) = 2 \cdot \ln(2)\) bzw. \(\ln(4)\).

\(2 \cdot \ln(2)\) (oder \(\ln(4)\))

- Welche Stammfunktion gehört zur Kehrwertfunktion? - Achte besonders auf die Betragsstriche beim Logarithmus, wenn du negative Grenzen einsetzt. - Erinnere dich an die Rechenregeln für den natürlichen Logarithmus, insbesondere für Potenzen von \(e\). - Was bedeutet es für das Vorzeichen des Integrals, wenn der Graph unterhalb der \(x\)-Achse verläuft?

1. Bestimmung der Stammfunktion: Eine Stammfunktion von \(f(x) = \frac{2}{x}\) ist \(F(x) = 2 \cdot \ln|x|\). 2. Berechnung von \(I_1\): Anwendung des Hauptsatzes liefert \(I_1 = [2 \cdot \ln|x|]_1^{e^2} = 2 \cdot \ln(e^2) - 2 \cdot \ln(1) = 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0 = 4\). 3. Berechnung von \(I_2\): Anwendung des Hauptsatzes liefert \(I_2 = [2 \cdot \ln|x|]_{-e}^{-1} = 2 \cdot \ln|-1| - 2 \cdot \ln|-e| = 2 \cdot \ln(1) - 2 \cdot \ln(e) = 0 - 2 \cdot 1 = -2\). 4. Symmetriebetrachtung: Da \(f(x) = \frac{2}{x}\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist (\(f(-x) = -f(x)\)), liegen die Flächenstücke im III. Quadranten unterhalb der \(x\)-Achse. Da die Integrationsgrenzen von \(I_1\) im positiven Bereich liegen (\(x > 0\)), ist der Funktionswert positiv und somit das Integral positiv. Bei \(I_2\) liegen die Grenzen im negativen Bereich (\(x < 0\)), die Funktionswerte sind dort negativ, was zu einem negativen Integralwert führt.

a) \(I_1 = 4\) b) \(I_2 = -2\) c) Da der Graph von \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist, verlaufen alle Funktionswerte für \(x < 0\) im negativen Bereich. Da die Integrationsintervalle jeweils nur im positiven (\(I_1\)) bzw. nur im negativen (\(I_2\)) Bereich liegen, ergeben sich die entsprechenden Vorzeichen durch die Lage des Graphen zur \(x\)-Achse.

- Überlege dir zuerst, wie die allgemeine Stammfunktion von \(\frac{1}{x}\) lautet. - Achte besonders auf den Betrag beim Logarithmus, wenn die Integrationsgrenzen negativ sind. - Nutze die Logarithmengesetze, um das Endergebnis so weit wie möglich zu vereinfachen. - Erinnere dich an die Werte von \(\ln(e)\) und \(\ln(e^x)\).

1. Für Teilaufgabe a) wird die Stammfunktion \(F(x) = 5 \cdot \ln|x|\) verwendet. Einsetzen der Grenzen ergibt \(5 \cdot \ln|-e| - 5 \cdot \ln|-e^2|\). Da \(\ln|-e| = \ln(e) = 1\) und \(\ln|-e^2| = \ln(e^2) = 2\), folgt: \(5 \cdot 1 - 5 \cdot 2 = -5\). 2. Für Teilaufgabe b) wird die Stammfunktion \(G(x) = \frac{1}{2} \cdot \ln|x|\) genutzt. Einsetzen der Grenzen liefert \(\frac{1}{2} \cdot \ln(2) - \frac{1}{2} \cdot \ln(0{,}5)\). Mit \(0{,}5 = 2^{-1}\) und dem Logarithmengesetz \(\ln(2^{-1}) = -\ln(2)\) ergibt sich \(\frac{1}{2} \cdot \ln(2) - \frac{1}{2} \cdot (-\ln(2)) = \frac{1}{2} \ln(2) + \frac{1}{2} \ln(2) = \ln(2)\).

a) \(-5\) b) \(\ln(2)\)

- Welche Stammfunktion passt zu einem Bruch, bei dem die Variable nur im Nenner steht? - Überprüfe, ob die Funktion im angegebenen Intervall Nullstellen hat oder das Vorzeichen wechselt. - Erinnere dich an die Logarithmengesetze, um das Ergebnis am Ende zu vereinfachen.

1. Bestimmung der Stammfunktion von \(f(x) = \frac{8}{x + 2}\): Eine Stammfunktion ist \(F(x) = 8 \cdot \ln|x + 2|\). 2. Da der Graph von \(f\) im Intervall \([0; 6]\) vollständig oberhalb der \(x\)-Achse verläuft (\(x + 2 > 0\) für alle \(x \in [0; 6]\)), entspricht der Flächeninhalt dem bestimmten Integral: \(A = \int_{0}^{6} \frac{8}{x + 2} \, dx\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(A = [8 \cdot \ln|x + 2|]_{0}^{6} = 8 \cdot \ln|6 + 2| - 8 \cdot \ln|0 + 2|\). 4. Berechnung der Werte: \(A = 8 \cdot \ln(8) - 8 \cdot \ln(2) = 8 \cdot (\ln(8) - \ln(2))\). 5. Vereinfachung mithilfe der Logarithmengesetze: \(A = 8 \cdot \ln\left(\frac{8}{2}\right) = 8 \cdot \ln(4)\). 6. Numerisches Ergebnis: \(A = 8 \cdot \ln(4) \approx 11{,}09\).

Der Inhalt der Fläche beträgt \(8 \cdot \ln(4) \approx 11{,}09\) Flächeneinheiten.

- Achte darauf, ob der Graph im betrachteten Intervall oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt. - Wie gehst du vor, wenn ein bestimmtes Integral ein negatives Ergebnis liefert, du aber einen Flächeninhalt berechnen sollst? - Was ist der natürliche Logarithmus von 1?

1. Bestimmung der Stammfunktion von \(g(x) = \frac{5}{x - 7}\): Eine Stammfunktion ist \(G(x) = 5 \cdot \ln|x - 7|\). 2. Untersuchung des Vorzeichens im Intervall \([2; 6]\): Da \(x - 7\) für alle \(x \in [2; 6]\) negativ ist, verläuft der Graph von \(g\) unterhalb der \(x\)-Achse. 3. Berechnung des bestimmten Integrals: \(\int_{2}^{6} \frac{5}{x - 7} \, dx = [5 \cdot \ln|x - 7|]_{2}^{6}\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(5 \cdot \ln|6 - 7| - 5 \cdot \ln|2 - 7| = 5 \cdot \ln(1) - 5 \cdot \ln(5)\). 5. Da \(\ln(1) = 0\), ergibt sich für das Integral der Wert \(-5 \cdot \ln(5)\). 6. Da ein Flächeninhalt gesucht ist, wird der Betrag des Integrals genommen: \(A = |-5 \cdot \ln(5)| = 5 \cdot \ln(5) \approx 8{,}05\).

Der Flächeninhalt beträgt \(5 \cdot \ln(5) \approx 8{,}05\) Flächeneinheiten.

- Kannst du den Bruch im Integranden in zwei einfachere Terme zerlegen? - Welche Funktion hat die Ableitung \(\frac{1}{x}\)? - Überlege, wie du Potenzen mit negativem Exponenten integrierst. - Erinnere dich an die Rechenregeln für Logarithmen, um das Endergebnis zusammenzufassen.

1. Aufteilen des Bruchs im Integranden: \(\frac{x - 2}{x^{2}} = \frac{x}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}} = \frac{1}{x} - 2x^{-2}\) 2. Bestimmen einer Stammfunktion \(F(x)\): \(F(x) = \ln|x| - 2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = \ln|x| + \frac{2}{x}\) 3. Anwenden des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(F(4) = \ln(4) + \frac{2}{4} = \ln(4) + 0{,}5\) \(F(2) = \ln(2) + \frac{2}{2} = \ln(2) + 1\) 4. Differenz bilden: \((\ln(4) + 0{,}5) - (\ln(2) + 1) = \ln(4) - \ln(2) - 0{,}5\) 5. Vereinfachen unter Verwendung von Logarithmusgesetzen: \(\ln\left(\frac{4}{2}\right) - 0{,}5 = \ln(2) - 0{,}5\)

\(\ln(2) - 0{,}5\)

- Wie findest du eine Funktion, deren Ableitung genau \( f(x) \) ergibt? - Überlege dir, wie breit jedes der vier Rechtecke sein muss, wenn das gesamte Intervall von 0 bis 2 geht. - Wo nimmt eine steigende Funktion innerhalb eines kleinen Abschnitts ihren kleinsten Wert an? - Erinnere dich daran, dass die Untersumme die Summe der Flächeninhalte von Rechtecken unterhalb des Graphen ist.

1. Bestimmung der Stammfunktion \( F(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2x \). Berechnung des Integrals: \( \int_{0}^{2} (x^2 + 2) \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 + 2x \right]_{0}^{2} = (\frac{8}{3} + 4) - 0 = \frac{20}{3} = 6{,}\bar{6} \). 2. Die Breite der Teilintervalle beträgt \( \Delta x = \frac{2-0}{4} = 0{,}5 \). Da die Funktion im Intervall \( [0; 2] \) streng monoton steigt, wird der minimale Funktionswert in jedem Teilintervall am linken Rand angenommen. Die Untersumme berechnet sich zu: \( U_4 = 0{,}5 \cdot (f(0) + f(0{,}5) + f(1) + f(1{,}5)) = 0{,}5 \cdot (2 + 2{,}25 + 3 + 4{,}25) = 0{,}5 \cdot 11{,}5 = 5{,}75 \). 3. Die absolute Differenz beträgt \( |6{,}\bar{6} - 5{,}75| = \frac{20}{3} - \frac{23}{4} = \frac{80-69}{12} = \frac{11}{12} \approx 0{,}917 \).

Der exakte Wert des Integrals ist \( \frac{20}{3} \approx 6{,}67 \). Die Untersumme beträgt \( U_4 = 5{,}75 \). Die absolute Differenz zwischen den Werten ist \( \frac{11}{12} \approx 0{,}917 \).

- Nutze die Potenzregel für die Integration, indem du den Bruch umschreibst. - Wenn eine Funktion fällt, an welcher Stelle im Intervall ist dann der Funktionswert am größten? - Die Obersumme nutzt die maximalen Funktionswerte in den Teilbereichen als Höhe für die Rechtecke. - Für die prozentuale Abweichung teilst du die Differenz der Werte durch den exakten Ausgangswert.

1. Stammfunktion finden: \( F(x) = -x^{-1} = -\frac{1}{x} \). Berechnung des Integrals: \( \int_{1}^{3} x^{-2} \, dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{3} = -\frac{1}{3} - (-1) = \frac{2}{3} \approx 0{,}667 \). 2. Intervallbreite \( \Delta x = \frac{3-1}{2} = 1 \). Da \( f(x) \) für \( x > 0 \) streng monoton fallend ist, liegt das Maximum jedes Teilintervalls am linken Rand. Die Obersumme ist \( O_2 = 1 \cdot (f(1) + f(2)) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} = 1 + 0{,}25 = 1{,}25 \). 3. Berechnung der prozentualen Abweichung: \( \frac{O_2 - I}{I} \cdot 100\,\% = \frac{1{,}25 - \frac{2}{3}}{\frac{2}{3}} \cdot 100\,\% = \frac{\frac{7}{12}}{\frac{2}{3}} \cdot 100\,\% = \frac{7}{8} \cdot 100\,\% = 87{,}5\,\% \).

Der exakte Integralwert ist \( \frac{2}{3} \). Die Obersumme beträgt \( O_2 = 1{,}25 \). Der Näherungswert liegt um \( 87{,}5\,\% \) über dem exakten Wert.

- Erinnere dich an die Formel für die Fläche eines Trapezes. - Welche Funktionswerte benötigst du für die einfache Trapezformel? - Kennst du eine Stammfunktion für den Ausdruck im Integral? - Wie berechnet man den Unterschied zwischen einem Schätzwert und dem tatsächlichen Wert?

1. Anwendung der einfachen Trapezformel \(A \approx \frac{b-a}{2} \cdot (f(a) + f(b))\) mit \(a = 0\) und \(b = 1\). Funktionswerte: \(f(0) = \frac{4}{1+0^2} = 4\) und \(f(1) = \frac{4}{1+1^2} = 2\). Berechnung: \(A \approx \frac{1-0}{2} \cdot (4 + 2) = 0{,}5 \cdot 6 = 3\). 2. Exakte Berechnung des Integrals: \(\int_0^1 \frac{4}{1+x^2} \, dx = [4 \cdot \arctan(x)]_0^1 = 4 \cdot \arctan(1) - 4 \cdot \arctan(0) = 4 \cdot \frac{\pi}{4} - 0 = \pi \approx 3{,}1416\). 3. Die absolute Abweichung beträgt \(|\pi - 3| \approx 0{,}1416\).

1. Der Näherungswert beträgt \(3\). 2. Der exakte Wert ist \(\pi\). Die absolute Abweichung beträgt etwa \(0{,}1416\).

- Betrachte die Beziehung zwischen dem Zähler und der Ableitung des Nenners. - Welche Ableitungsregel führt auf einen Bruch dieser Form? - Du kannst die Konstante vor das Integral ziehen, um den Term zu vereinfachen. - Erinnere dich an den Wert des natürlichen Logarithmus an der Stelle 1.

1. Identifikation des Integraltyps: Der Zähler ist bis auf einen konstanten Faktor die Ableitung des Nenners (\(f(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}\)). 2. Anwendung der Substitutionsregel oder der logarithmischen Integrationsregel: Eine Stammfunktion von \( \frac{x}{x^2+1} \) ist \( \frac{1}{2} \ln(x^2+1) \). 3. Bestimmung der Stammfunktion für den gesamten Term: \( F(x) = \frac{3}{2} \ln(x^2+1) \). 4. Einsetzen der Grenzen gemäß dem Hauptsatz: \( [ \frac{3}{2} \ln(x^2+1) ]_0^2 = \frac{3}{2} \ln(2^2+1) - \frac{3}{2} \ln(0^2+1) \). 5. Auswertung: \( \frac{3}{2} \ln(5) - \frac{3}{2} \ln(1) = \frac{3}{2} \ln(5) - 0 = \frac{3}{2} \ln(5) \).

\( \frac{3}{2} \ln(5) \)

- Nutze die Kettenregel beim Ableiten des Logarithmus-Terms. - Überlege dir, wie du die Differenz zweier Logarithmen zusammenfassen kannst. - Erinnere dich daran, dass \(4b\) auch als \(\ln(e^{4b})\) geschrieben werden kann. - Was passiert mit dem Quotienten im Logarithmus, wenn \(b\) sehr groß wird?

1. Ableitung von \(F(x)\) bilden: \(F'(x) = 4 - 2 \cdot \frac{1}{e^{2x} + 1} \cdot 2e^{2x} = 4 - \frac{4e^{2x}}{e^{2x} + 1}\). 2. Gleichnamig machen: \(F'(x) = \frac{4(e^{2x} + 1) - 4e^{2x}}{e^{2x} + 1} = \frac{4e^{2x} + 4 - 4e^{2x}}{e^{2x} + 1} = \frac{4}{e^{2x} + 1}\). Somit ist \(F'(x) = f(x)\). 3. Flächeninhalt berechnen: \(A(b) = \int_0^b f(x) dx = [F(x)]_0^b = F(b) - F(0)\). 4. Einsetzen: \(F(b) = 4b - 2 \ln(e^{2b} + 1)\) und \(F(0) = 4(0) - 2 \ln(e^0 + 1) = -2 \ln(2)\). 5. \(A(b) = 4b - 2 \ln(e^{2b} + 1) + 2 \ln(2)\). 6. Grenzwert untersuchen: \(A(b) = 2 \ln(e^{2b}) - 2 \ln(e^{2b} + 1) + \ln(4) = 2 \ln\left(\frac{e^{2b}}{e^{2b} + 1}\right) + \ln(4)\). 7. Da \(\lim_{b \to \infty} \frac{e^{2b}}{e^{2b} + 1} = 1\), folgt \(\lim_{b \to \infty} A(b) = 2 \ln(1) + \ln(4) = \ln(4)\).

a) \(F'(x) = \frac{4}{e^{2x} + 1} = f(x)\) b) \(A(b) = 4b - 2 \ln(e^{2b} + 1) + 2 \ln(2)\) c) Der Flächeninhalt konvergiert gegen \(\ln(4)\) (bzw. \(2 \ln 2 \approx 1{,}386\)).

- Wie gehst du vor, um den höchsten Punkt auf der \(y\)-Achse zu finden? - Welcher \(x\)-Wert gehört zum Punkt, an dem der Graph die \(x\)-Achse im positiven Bereich schneidet? - Nutze eine Funktion in deinem Programm, die Flächen unter Kurven berechnen kann.

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(h(0) = 3{,}6\). Der Punkt ist \((0|3{,}6)\). 2. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle) im ersten Quadranten: \(0 = -0{,}1x^2 + 3{,}6 \implies x^2 = 36 \implies x = 6\) (da nur der erste Quadrant betrachtet wird). Der Punkt ist \((6|0)\). 3. Die Fläche wird durch \(x=0\), \(y=0\) und den Graphen von \(h\) für \(0 \le x \le 6\) begrenzt. 4. Berechnung mit digitalem Werkzeug: Der Flächeninhalt entspricht dem Wert des Integrals von \(0\) bis \(6\). 5. Rechnung: \(\int_{0}^{6} (-0{,}1x^2 + 3{,}6) \, dx = [- \frac{0{,}1}{3}x^3 + 3{,}6x]_0^6 = (- \frac{0{,}1}{3} \cdot 216 + 3{,}6 \cdot 6) - 0 = -7{,}2 + 21{,}6 = 14{,}4\).

Die Schnittpunkte im ersten Quadranten sind \((0|3{,}6)\) und \((6|0)\). Der Flächeninhalt beträgt \(14{,}40\) Flächeneinheiten.

- Überlege dir, wie man den Wert eines bestimmten Integrals berechnet, wenn eine Grenze eine Variable ist. - Vergiss beim Einsetzen der unteren Grenze nicht, das Vorzeichen der gesamten Klammer zu berücksichtigen. - Bei Teilaufgabe a) hilft das Ausklammern von \(z\), um die Nullstellen zu finden. - Bei Teilaufgabe b) ist es hilfreich, sich an die Potenzgesetze und die Definition der \(e\)-Funktion zu erinnern.

1. Für Teilaufgabe a): Die Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - x\). Einsetzen der Grenzen ergibt \(\left[\frac{1}{3}x^3 - x\right]_1^z = (\frac{1}{3}z^3 - z) - (\frac{1}{3} - 1) = \frac{1}{3}z^3 - z + \frac{2}{3}\). Gleichsetzen mit dem Wert \(\frac{2}{3}\) führt zu \(\frac{1}{3}z^3 - z = 0\). Ausklammern ergibt \(z(\frac{1}{3}z^2 - 1) = 0\). Da \(z > 0\) sein muss, folgt \(\frac{1}{3}z^2 = 1\), also \(z^2 = 3\) und somit \(z = \sqrt{3}\). 2. Für Teilaufgabe b): Die Stammfunktion von \(e^x\) ist \(e^x\). Das Integral berechnet sich zu \([e^x]_0^z = e^z - e^0 = e^z - 1\). Die Gleichung lautet \(e^z - 1 = e^3 - 1\). Durch Vergleich oder Logarithmieren folgt direkt \(e^z = e^3\), woraus sich \(z = 3\) ergibt.

a) \(z = \sqrt{3}\) b) \(z = 3\)

- Gehe die Rechnung Schritt für Schritt durch und prüfe jede Umformung einzeln. - Erinnere dich an die Regeln für negative Exponenten: Was bedeutet \(a^{-n}\)? - Überprüfe die Potenzrechnung mit negativer Basis und negativem Exponenten ganz genau. - Stelle sicher, dass die Subtraktion am Ende (\(F(b) - F(a)\)) korrekt mit den Vorzeichen durchgeführt wird.

1. Prüfung der Schritte 1 bis 3: Die Umformung zu \(4x^{-3}\), die Stammfunktion \(F(x) = -2x^{-2}\) und das Einsetzen der Grenzen sind korrekt. 2. Fehleranalyse Schritt 4: Der Term \((-2)^{-2}\) wird fälschlicherweise als \(4\) berechnet. Korrekt ist \((-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 3. Korrektur der Berechnung: \(F(-1) = -2 \cdot (-1)^{-2} = -2 \cdot 1 = -2\) \(F(-2) = -2 \cdot (-2)^{-2} = -2 \cdot \frac{1}{4} = -0{,}5\) Differenz: \(F(-1) - F(-2) = -2 - (-0{,}5) = -2 + 0{,}5 = -1{,}5\).

Der Fehler liegt im 4. Schritt bei der Berechnung von \((-2)^{-2}\). Der Schüler hat das negative Vorzeichen im Exponenten ignoriert oder falsch angewendet (\((-2)^{-2} \neq 4\)). Korrektur: \((-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = 0{,}25\). Die korrekte Rechnung ab Schritt 4 lautet: \(-2 - (-2 \cdot 0{,}25) = -2 - (-0{,}5) = -1{,}5\). Der richtige Wert des Integrals ist \(-1{,}5\).

- Kannst du den Bruch so aufteilen, dass jeder Term im Zähler einzeln durch den Nenner geteilt wird? - Welches Potenzgesetz hilft dir, wenn Potenzen mit der gleichen Basis dividiert werden? - Was ist die Ableitung von \(e^{-x}\) und wie hilft dir das bei der Suche nach der Stammfunktion? - Welchen Wert hat eine Potenz mit dem Exponenten \(0\)?

1. Vereinfachung des Integranden: Durch Aufteilen des Bruchs und Anwenden der Potenzgesetze für Division (\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)) erhält man \(\frac{e^{3x}}{e^{2x}} + \frac{e^x}{e^{2x}} = e^x + e^{-x}\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: Die Stammfunktion von \(e^x\) ist \(e^x\) und die von \(e^{-x}\) ist \(-e^{-x}\) (lineare Substitution), woraus \(F(x) = e^x - e^{-x}\) folgt. 3. Berechnung des bestimmten Integrals: Einsetzen der Grenzen ergibt \(F(1) - F(0) = (e^1 - e^{-1}) - (e^0 - e^0) = e - \frac{1}{e} - (1 - 1) = e - \frac{1}{e}\).

\(e - \frac{1}{e}\)

- Erinnere dich an die Ableitungsregeln für trigonometrische Funktionen und die Exponentialfunktion, um die Stammfunktion zu finden. - Welchen Wert haben Sinus und Kosinus an den Stellen \(0\) und \(\pi\)? - Vergiss nicht, dass \(e^0\) einen festen Zahlenwert hat. - Subtrahiere den Wert an der unteren Grenze sorgfältig vom Wert an der oberen Grenze.

1. Finden einer Stammfunktion \(F\) für die Funktion \(f(x) = \sin(x) - \frac{1}{3}e^x\): \(F(x) = -\cos(x) - \frac{1}{3}e^x\). 2. Einsetzen der Grenzen gemäß \([-\cos(x) - \frac{1}{3}e^x]_{0}^{\pi}\). 3. Berechnung des Wertes an der oberen Grenze \(x = \pi\): \(-\cos(\pi) - \frac{1}{3}e^{\pi} = -(-1) - \frac{1}{3}e^{\pi} = 1 - \frac{1}{3}e^{\pi}\). 4. Berechnung des Wertes an der unteren Grenze \(x = 0\): \(-\cos(0) - \frac{1}{3}e^{0} = -1 - \frac{1}{3} = -\frac{4}{3}\). 5. Bildung der Differenz: \((1 - \frac{1}{3}e^{\pi}) - (-\frac{4}{3}) = 1 + \frac{4}{3} - \frac{1}{3}e^{\pi} = \frac{7 - e^{\pi}}{3}\).

\(\frac{7 - e^{\pi}}{3}\)

- Welche Funktion ergibt beim Ableiten \(\frac{1}{x}\)? - Wie gehst du vor, um die Nullstellen der Ableitungsfunktion zu finden? - Nutze die Logarithmengesetze, um Ausdrücke wie \(2\ln(2)\) zu vereinfachen. - Erinnere dich daran, dass die Integrationskonstante \(C\) den Graphen entlang der \(y\)-Achse verschiebt.

1. Stammfunktion bestimmen: Unter Beachtung von \(x > 0\) ergibt sich \(F(x) = \int (\frac{1}{2}x - \frac{2}{x}) \, dx = \frac{1}{4}x^2 - 2\ln(x) + C\). 2. Extremstellen finden: \(F'(x) = f(x) = 0 \implies \frac{1}{2}x = \frac{2}{x} \implies x^2 = 4\). Da \(x > 0\), ist \(x = 2\) die einzige relevante Stelle. 3. Art des Extremums verifizieren: \(F''(x) = f'(x) = \frac{1}{2} + \frac{2}{x^2}\). Da \(f'(2) = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} = 1 > 0\), liegt bei \(x = 2\) ein lokales Minimum vor. 4. Konstante \(C\) ermitteln: Die Bedingung \(F(2) = 5 - \ln(4)\) führt zu \(\frac{1}{4} \cdot 2^2 - 2\ln(2) + C = 5 - \ln(4)\). Da \(2\ln(2) = \ln(2^2) = \ln(4)\), vereinfacht sich dies zu \(1 - \ln(4) + C = 5 - \ln(4)\), woraus \(C = 4\) folgt. 5. Ergebnis formulieren: \(F(x) = \frac{1}{4}x^2 - 2\ln(x) + 4\).

\(F(x) = \frac{1}{4}x^2 - 2\ln(x) + 4\)

- Welche Funktion ergibt abgeleitet einen Ausdruck der Form \(\frac{1}{x+a}\)? - Denke bei der trigonometrischen Teilfunktion an die lineare Kettenregel (Substitution) beim Integrieren. - Nutze die Bedingung für den Funktionswert an der Stelle \(x=0\), um die Konstante \(C\) zu isolieren. - Achte darauf, ob du Logarithmusgesetze anwenden kannst, um den Term am Ende eventuell zusammenzufassen.

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion \(F_C(x)\) unter Verwendung der Regel für die Integration von Brüchen mit linearer Funktion im Nenner und der Sinus-Stammfunktion mit linearer Substitution: \(\int \frac{2}{x+3} \, dx = 2 \ln(x+3)\) (da \(x+3 > 0\)) und \(\int -\cos(0{,}5x) \, dx = -\frac{1}{0{,}5} \sin(0{,}5x) = -2 \sin(0{,}5x)\). Es ergibt sich \(F_C(x) = 2 \ln(x+3) - 2 \sin(0{,}5x) + C\). 2. Einsetzen der Bedingung \(F(0) = 0\): \(2 \ln(0+3) - 2 \sin(0{,}5 \cdot 0) + C = 0\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(2 \ln(3) - 2 \cdot 0 + C = 0 \implies 2 \ln(3) + C = 0 \implies C = -2 \ln(3)\). 4. Angabe des Funktionsterms: \(F(x) = 2 \ln(x+3) - 2 \sin(0{,}5x) - 2 \ln(3)\).

\(F(x) = 2 \ln(x+3) - 2 \sin(0{,}5x) - 2 \ln(3)\) (oder auch \(F(x) = 2 \ln(\frac{x+3}{3}) - 2 \sin(0{,}5x)\))

- Welche Symmetrie weist der Funktionsterm auf und wie vereinfacht das die Rechnung? - Bestimme zuerst alle Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse, um die Integrationsgrenzen festzulegen. - Wenn zwei Flächenstücke berechnet werden sollen, denke daran, die Beträge der Teilintegrale zu addieren oder Symmetrieeigenschaften zu nutzen. - Wie gehst du vor, wenn das Ergebnis der Flächenberechnung bereits vorgegeben ist und eine Variable gesucht wird?

1. Die Nullstellen von \(g_a\) liegen bei \(a^3 x - a x^3 = 0 \iff ax(a^2 - x^2) = 0\), also bei \(x_1 = -a\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = a\). Aufgrund der Punktsymmetrie der Graphen zum Ursprung sind die beiden Flächenstücke inhaltsgleich. Der Inhalt eines Teilstücks im Intervall \([0; a]\) wird berechnet durch \(\int_{0}^{a} (a^3 x - a x^3) \, dx = \left[ \frac{a^3}{2}x^2 - \frac{a}{4}x^4 \right]_{0}^{a} = \frac{a^5}{2} - \frac{a^5}{4} = \frac{a^5}{4}\). Der Gesamteinhalt ist somit \(A(a) = 2 \cdot \frac{a^5}{4} = \frac{a^5}{2}\). 2. Aus der Forderung \(A(a) = 16\) ergibt sich \(\frac{a^5}{2} = 16\), also \(a^5 = 32\). Durch Ziehen der 5. Wurzel erhält man \(a = 2\).

1. \(A(a) = \frac{a^5}{2}\) 2. \(a = 2\)

- Untersuche bei Brüchen immer zuerst, ob der Zähler ein Vielfaches der Ableitung des Nenners ist. - Achte bei Produkten von Funktionen darauf, ob ein Teil des Produkts die Ableitung eines Teils der inneren Funktion ist. - Wenn du substituierst, denke daran, auch die Integrationsgrenzen anzupassen. - Gibt es eine spezielle Regel für Integrale der Form \(\int f'(x) \cdot e^{f(x)} dx\)?

1. Teilaufgabe a): Anwendung der logarithmischen Integrationsregel \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C\). Da der Zähler \(3x^2\) genau die Ableitung des Nenners \(x^3 + 1\) ist, lautet eine Stammfunktion \(F(x) = \ln(x^3 + 1)\). Einsetzen der Grenzen: \(F(2) = \ln(2^3 + 1) = \ln(9)\) und \(F(1) = \ln(1^3 + 1) = \ln(2)\). Das Integral ist \(\ln(9) - \ln(2) = \ln(4{,}5)\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung der Substitutionsregel oder Erkennen der Struktur \(f'(x) \cdot e^{f(x)}\). Mit \(u = x^2 - x\) und \(du = (2x - 1) dx\) ergibt sich das Integral \(\int_{u(0)}^{u(2)} e^u \, du\). Die neuen Grenzen sind \(u(0) = 0\) und \(u(2) = 2^2 - 2 = 2\). Das Integral \(\int_{0}^{2} e^u \, du = [e^u]_0^2 = e^2 - e^0 = e^2 - 1\).

a) \(\ln(4{,}5)\) oder \(\ln(9) - \ln(2)\) b) \(e^2 - 1\)

- Denke beim Integrieren der Exponentialfunktion an die Umkehrung der Kettenregel für lineare innere Funktionen. - Beachte, dass \(e^0\) nicht Null ergibt, wenn du die untere Grenze einsetzt. - Schau dir die resultierende Gleichung genau an – lassen sich bestimmte Terme auf beiden Seiten direkt eliminieren? - Mit welcher Operation kannst du eine Gleichung nach einer Unbekannten auflösen, die im Exponenten steht?

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = e^{0{,}5x} - 1\): \(F(x) = 2e^{0{,}5x} - x\). 2. Anwendung des Hauptsatzes: \([2e^{0{,}5x} - x]_0^k = (2e^{0{,}5k} - k) - (2e^{0{,}5 \cdot 0} - 0) = 2e^{0{,}5k} - k - 2\). 3. Gleichsetzen mit der rechten Seite der Ausgangsgleichung: \(2e^{0{,}5k} - k - 2 = 4 - k\). 4. Vereinfachen der Gleichung: Da \(-k\) auf beiden Seiten vorkommt, vereinfacht sich der Ausdruck zu \(2e^{0{,}5k} - 2 = 4\), woraus \(2e^{0{,}5k} = 6\) bzw. \(e^{0{,}5k} = 3\) folgt. 5. Anwendung des natürlichen Logarithmus zur Lösung der Exponentialgleichung: \(0{,}5k = \ln(3)\), woraus \(k = 2\ln(3)\) resultiert.

\(k = 2\ln(3)\) (oder \(k = \ln(9)\))

- Kannst du die Brüche als Potenzen mit negativen Exponenten umschreiben, um die Potenzregel anzuwenden? - Gibt es einen der Brüche, bei dem die Potenzregel nicht direkt funktioniert und du eine spezielle Funktion (den Logarithmus) benötigst? - Wie lautet der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für die Berechnung von Flächeninhalten? - Welche besonderen Werte haben \(\ln(e)\) und \(\ln(1)\)?

1. Umschreiben der Funktionsterme in Potenzschreibweise: \(g(x) = 2 \cdot \frac{1}{x} + 6x^{-2}\) 2. Anwendung der Grundintegrale (\(\ln\)-Funktion und Potenzregel): \(G(x) = 2\ln(x) - 6x^{-1} = 2\ln(x) - \frac{6}{x}\) 3. Aufstellen des Integrals mit den Grenzen \(1\) und \(e\): \(\int_{1}^{e} (\frac{2}{x} + \frac{6}{x^2}) \, dx = [2\ln(x) - \frac{6}{x}]_{1}^{e}\) 4. Einsetzen der oberen und unteren Grenze: \((2\ln(e) - \frac{6}{e}) - (2\ln(1) - \frac{6}{1})\) 5. Auswerten der Terme (\(\ln(e) = 1\) und \(\ln(1) = 0\)): \((2 - \frac{6}{e}) - (0 - 6) = 2 - \frac{6}{e} + 6 = 8 - \frac{6}{e}\)

a) \(G(x) = 2\ln(x) - \frac{6}{x}\) b) \(8 - \frac{6}{e}\)

- Was weißt du über Integrale, bei denen die Grenzen identisch sind? - Versuche, alle Integrale auf die gleichen Grenzen zu bringen, um sie kombinieren zu können. - Wenn ein Ausdruck für jede beliebige Funktion \(g\) gelten soll, was muss dann mit dem Term passieren, der \(g\) enthält? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob der konstante Anteil des Integrals mit dem Ergebnis auf der rechten Seite übereinstimmt.

1. Ein Integral mit identischen Grenzen ist stets Null, also \(\int_7^7 (g(x) + k) \, dx = 0\). 2. Durch Vertauschen der Grenzen beim ersten Integral erhält man \(- \int_1^4 (k \cdot g(x) + 2) \, dx\). 3. Zusammenfassen der verbleibenden Integrale über dem Intervall \([1; 4]\) ergibt: \(\int_1^4 (-k \cdot g(x) - 2 + 3 \cdot g(x) - k) \, dx = \int_1^4 ((3 - k) \cdot g(x) - (k + 2)) \, dx\). 4. Damit der Wert unabhängig von \(g\) ist, muss der Koeffizient von \(g(x)\) im Integranden Null sein: \(3 - k = 0\), woraus \(k = 3\) folgt. 5. Zur Überprüfung wird \(k = 3\) in den verbleibenden konstanten Teil eingesetzt: \(\int_1^4 -(3 + 2) \, dx = \int_1^4 -5 \, dx = -5 \cdot (4 - 1) = -15\). Dies bestätigt die rechte Seite der Gleichung.

\(k = 3\)

- Bestimme zuerst eine Stammfunktion für den Integranden. - Setze die Integrationsgrenzen ein und stelle eine Gleichung für \(k\) auf. - Bei einer Gleichung mit \(k^4\) und \(k^2\) könnte ein Substitutionsverfahren hilfreich sein. - Denk daran, dass ein Integral positive und negative Flächenanteile miteinander verrechnet.

1. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2\). 2. Berechnung des Integrals an der unteren Grenze: \(F(-2) = \frac{1}{4}(-2)^4 - \frac{3}{2}(-2)^2 = 4 - 6 = -2\). 3. Aufstellen der Gleichung nach dem Hauptsatz: \(\frac{1}{4}k^4 - \frac{3}{2}k^2 - (-2) = 0{,}75 \implies \frac{1}{4}k^4 - 1{,}5k^2 + 1{,}25 = 0\). 4. Multiplikation mit 4 zur Vereinfachung: \(k^4 - 6k^2 + 5 = 0\). 5. Substitution \(u = k^2\) führt auf \(u^2 - 6u + 5 = 0\). 6. Lösen der quadratischen Gleichung für \(u\): \((u - 1)(u - 5) = 0 \implies u_1 = 1, u_2 = 5\). 7. Rücksubstitution: \(k^2 = 1 \implies k = \pm 1\); \(k^2 = 5 \implies k = \pm \sqrt{5}\). 8. Die Lösungsmenge ist \(k \in \{-\sqrt{5}; -1; 1; \sqrt{5}\}\). 9. Geometrische Interpretation: Die Gleichung sucht nach einer oberen Grenze \(k\), sodass die Bilanz der Flächeninhalte (orientierter Flächeninhalt) zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse von \(-2\) bis \(k\) exakt \(0{,}75\) ergibt.

Die Lösungen sind \(k_1 = -1\), \(k_2 = 1\), \(k_3 = -\sqrt{5}\) und \(k_4 = \sqrt{5}\). Geometrisch bedeutet die Gleichung, dass für diese Werte von \(k\) der orientierte Flächeninhalt zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse zwischen den Integrationsgrenzen \(-2\) und \(k\) genau \(0{,}75\) beträgt.

- Wie integriert man eine Exponentialfunktion mit einem Faktor im Exponenten? - Setze die obere und untere Grenze in die Stammfunktion ein und bilde die Differenz. - Versuche, die Gleichung so zu vereinfachen, dass der Ausdruck mit der Unbekannten \(k\) isoliert auf einer Seite steht. - Welche Umkehroperation hilft dir dabei, eine Variable aus dem Exponenten einer \(e\)-Funktion zu lösen?

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(t) = e^{2t}\): \(F(t) = \frac{1}{2}e^{2t}\). 2. Anwendung des Hauptsatzes: \(\int_k^1 e^{2t} \, dt = [\frac{1}{2}e^{2t}]_k^1 = \frac{1}{2}e^{2 \cdot 1} - \frac{1}{2}e^{2k} = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}e^{2k}\). 3. Gleichsetzen mit dem gegebenen Wert: \(\frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}e^{2k} = \frac{1}{2}(e^2 - e)\). 4. Auflösen der Gleichung: \(\frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}e^{2k} = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}e \implies -\frac{1}{2}e^{2k} = -\frac{1}{2}e \implies e^{2k} = e^1\). 5. Logarithmieren beider Seiten: \(2k = 1 \implies k = 0{,}5\).

\(k = 0{,}5\)

- Stelle dir vor, wie die Fläche unter der Wurzelfunktion und die Fläche unter der Potenzfunktion zusammen ein Rechteck ausfüllen. - Welche Seitenlängen hat dieses Rechteck, wenn die obere Grenze für \(x\) bei der Wurzelfunktion \(b\) ist? - Berechne das Integral der Potenzfunktion \(x^4\) an der entsprechenden Stelle und subtrahiere es von der Gesamtfläche des Rechtecks. - Nutze die Potenzgesetze, um Terme wie \((\sqrt[4]{b})^5\) zu vereinfachen.

1. Die Funktion \(g(x) = \sqrt[4]{x}\) ist für \(x \geq 0\) die Umkehrfunktion von \(f(x) = x^4\). Das Integral \(\int_0^b \sqrt[4]{x} \, dx\) beschreibt die Fläche unter dem Graphen von \(g\) im Intervall \([0; b]\). 2. Der Endpunkt des Graphen in diesem Intervall ist \((b | \sqrt[4]{b})\). Das umschließende Rechteck hat den Flächeninhalt \(A_{\text{R}} = b \cdot \sqrt[4]{b}\). 3. Aufgrund der Symmetrie zur Geraden \(y = x\) entspricht die Fläche zwischen dem Graphen von \(g\) und der \(y\)-Achse der Fläche unter dem Graphen von \(f\) im Intervall \([0; \sqrt[4]{b}]\). 4. Das gesuchte Integral ist die Differenz aus dem Rechteckinhalt und dem Integral von \(f\): \(\int_0^b \sqrt[4]{x} \, dx = b \cdot \sqrt[4]{b} - \int_0^{\sqrt[4]{b}} x^4 \, dx\). 5. Auswertung des Integrals von \(f\): \(\int_0^{\sqrt[4]{b}} x^4 \, dx = \left[ \frac{1}{5}x^5 \right]_0^{\sqrt[4]{b}} = \frac{1}{5} (\sqrt[4]{b})^5 = \frac{1}{5} b \cdot \sqrt[4]{b}\). 6. Zusammenführung: \(b \sqrt[4]{b} - \frac{1}{5} b \sqrt[4]{b} = \frac{4}{5} b \sqrt[4]{b}\).

Durch Subtraktion des Integrals der ursprünglichen Funktion \(\int_0^{\sqrt[4]{b}} x^4 \, dx = \frac{1}{5} b \sqrt[4]{b}\) vom Flächeninhalt des umschließenden Rechtecks \(b \sqrt[4]{b}\) erhält man \(\frac{4}{5} b \sqrt[4]{b}\).

- Nutze den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung in seiner allgemeinen Form. - Was ist die Stammfunktion einer Ableitung \(h'\)? - Behandle \(a\) und somit auch \(h(a)\) als eine feste Zahl (Konstante). - Überlege dir, wie sich die Begriffe „Stammfunktion“ und „Ableitung“ zueinander verhalten.

1. Da \(h\) eine Stammfunktion von \(h'\) ist, gilt nach dem Hauptsatz: \(I(x) = [h(t)]_a^x = h(x) - h(a)\). 2. Die Ableitung nach \(x\) lautet \(I'(x) = \frac{\text{d}}{\text{d}x}(h(x) - h(a))\). Da \(h(a)\) ein konstanter Wert ist, fällt dieser beim Differenzieren weg. Es bleibt \(I'(x) = h'(x)\). 3. Zu a): In Aufgabenteil 1 wurde die Ableitung \(h'\) integriert, was zur Funktion \(h(x)\) führte (verschoben um die Konstante \(-h(a)\)). Die Operation wurde also „rückgängig“ gemacht. Zu b): In Aufgabenteil 2 wurde die durch Integration gewonnene Funktion \(I(x)\) wieder differenziert, was exakt den Integranden \(h'(x)\) lieferte. Beide Operationen sind somit invers zueinander.

1. \(I(x) = h(x) - h(a)\) 2. \(I'(x) = h'(x)\), da die Ableitung der Differenz \(h(x) - \text{const.}\) gleich \(h'(x)\) ist. 3. a) \(I(x)\) liefert die Funktion \(h\) bis auf eine Konstante zurück. b) Die Ableitung der Integralfunktion \(I'(x)\) entspricht dem Integranden \(h'(x)\).

- Gibt es eine Möglichkeit, den Bruchterm zu vereinfachen, bevor du mit dem Integrieren beginnst? - Was passiert, wenn du jeden Term im Zähler einzeln durch den Nenner teilst? - Achte besonders auf das Minuszeichen, wenn du den Wert an der unteren Grenze abziehst.

1. Vereinfachen des Integranden durch gliedweise Division des Zählers durch den Nenner: \(f(x) = \frac{4x^4}{2x^2} - \frac{3x^2}{2x^2} + \frac{2}{2x^2} = 2x^2 - \frac{3}{2} + x^{-2}\) 2. Bilden einer Stammfunktion: \(F(x) = \frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x - x^{-1} = \frac{2}{3}x^3 - 1{,}5x - \frac{1}{x}\) 3. Auswerten an der oberen Grenze \(x = 2\): \(F(2) = \frac{2}{3} \cdot 8 - 1{,}5 \cdot 2 - \frac{1}{2} = \frac{16}{3} - 3{,}5 = \frac{32 - 21}{6} = \frac{11}{6}\) 4. Auswerten an der unteren Grenze \(x = 1\): \(F(1) = \frac{2}{3} - 1{,}5 - 1 = \frac{4 - 9 - 6}{6} = -\frac{11}{6}\) 5. Differenzbildung: \(F(2) - F(1) = \frac{11}{6} - \left(-\frac{11}{6}\right) = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}\)

\(\frac{11}{3}\) (oder \(3 \frac{2}{3}\))

- Fällt dir eine Ähnlichkeit zwischen dem Zähler und dem Nenner auf? - Versuche, den Bruch in zwei einfachere Brüche aufzuteilen. - Kannst du den Nenner mithilfe einer binomischen Formel umschreiben? - Wie lässt sich ein Bruch der Form \(\frac{k}{(x+a)^2}\) als Potenz mit negativem Exponenten schreiben, um die Integration zu erleichtern?

1. Den Nenner als Binom erkennen: \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\). 2. Den Zähler so umschreiben, dass der Nennerterm enthalten ist: \(x^2 + 2x + 5 = (x^2 + 2x + 1) + 4 = (x + 1)^2 + 4\). 3. Den Integranden als Summe zweier Brüche darstellen und vereinfachen: \(\frac{(x + 1)^2 + 4}{(x + 1)^2} = 1 + \frac{4}{(x + 1)^2} = 1 + 4(x + 1)^{-2}\). 4. Eine Stammfunktion bilden: \(F(x) = x + 4 \cdot \frac{(x + 1)^{-1}}{-1} = x - \frac{4}{x + 1}\). 5. Die Integrationsgrenzen einsetzen: \(F(2) = 2 - \frac{4}{2 + 1} = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}\) und \(F(0) = 0 - \frac{4}{0 + 1} = -4\). 6. Das Endergebnis berechnen: \(F(2) - F(0) = \frac{2}{3} - (-4) = \frac{2}{3} + \frac{12}{3} = \frac{14}{3}\).

\(\frac{14}{3}\)

- Wie lassen sich Wurzeln und Brüche als Potenzen mit rationalen oder negativen Exponenten schreiben? - Gehe beim Bilden der Stammfunktion schrittweise für jeden Summanden vor. - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Integrieren negativer Exponenten. - Überprüfe deine Stammfunktion durch Ableiten, bevor du die Grenzen einsetzt.

1. Umschreiben des Integranden in die Potenzschreibweise: \(\frac{3}{2}t^{-\frac{1}{2}} - 2t^{-2}\). 2. Bestimmen einer Stammfunktion unter Anwendung der Potenzregel: \(F(t) = \frac{3}{2} \cdot \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} - 2 \cdot \frac{t^{-1}}{-1} = 3\sqrt{t} + \frac{2}{t}\). 3. Auswerten der Stammfunktion an der oberen Grenze \(t = 4\): \(F(4) = 3\sqrt{4} + \frac{2}{4} = 6 + 0{,}5 = 6{,}5\). 4. Auswerten der Stammfunktion an der unteren Grenze \(t = 1\): \(F(1) = 3\sqrt{1} + \frac{2}{1} = 3 + 2 = 5\). 5. Berechnung der Differenz gemäß dem Hauptsatz: \(F(4) - F(1) = 6{,}5 - 5 = 1{,}5\).

\(1{,}5\)

- Wie kannst du eine Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben? - Welche Regel für das Integrieren von Potenzfunktionen kennst du? - Was passiert mit der Zahl 1, wenn man sie mit einem beliebigen Exponenten potenziert? - Wie wendest du den Hauptsatz an, wenn die untere Grenze nicht 0 ist?

1. Umschreiben des Integranden in Potenzschreibweise: \(\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}\). 2. Bestimmung der Stammfunktion mittels der Potenzregel: \(F(x) = \frac{1}{\frac{1}{n} + 1} x^{\frac{1}{n} + 1} = \frac{n}{n+1} x^{\frac{n+1}{n}}\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_1^k x^{\frac{1}{n}} \, dx = [F(x)]_1^k = F(k) - F(1)\). 4. Einsetzen der Integrationsgrenzen: \(\frac{n}{n+1} k^{\frac{n+1}{n}} - \frac{n}{n+1} \cdot 1^{\frac{n+1}{n}}\). 5. Zusammenfassen zum Endergebnis: \(\frac{n}{n+1} \left( \sqrt[n]{k^{n+1}} - 1 \right)\).

\(\int_1^k \sqrt[n]{x} \, dx = \frac{n}{n+1} \left( \sqrt[n]{k^{n+1}} - 1 \right)\)

- Erinnere dich an die Stammfunktion von \( \frac{1}{t} \). - Für das Integral auf der rechten Seite hilft dir die Kettenregel „rückwärts“ (lineare Substitution). Welchen Einfluss hat der Faktor 2 vor dem \( t \) im Nenner? - Nutze die Logarithmusgesetze, um die Ausdrücke zu vereinfachen. - Wenn auf beiden Seiten ein Logarithmus steht, kannst du die Argumente direkt vergleichen.

1. Berechnung des Integrals auf der rechten Seite: Unter Verwendung der linearen Substitution oder der Regel \( \int \frac{f'(t)}{f(t)} \, dt = \ln|f(t)| \) ergibt sich \( \int \frac{1}{2t+1} \, dt = \frac{1}{2} \ln|2t+1| \). Damit ist \( 2 \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{2t+1} \, dt = 2 \cdot [\frac{1}{2} \ln(2t+1)]_0^1 = \ln(3) - \ln(1) = \ln(3) \). 2. Berechnung des Integrals auf der linken Seite: \( \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, dt = [\ln(t)]_1^x = \ln(x) - \ln(1) = \ln(x) \). 3. Gleichsetzen der Ergebnisse: \( \ln(x) = \ln(3) \). 4. Da die Logarithmusfunktion injektiv ist, folgt direkt \( x = 3 \).

\( x = 3 \)

- Untersuche die Funktion \(h\) auf Definitionslücken. - Wo genau liegt diese Lücke im Vergleich zu den Integrationsgrenzen in Aufgabenteil b)? - Welche Voraussetzung muss eine Funktion erfüllen, damit man das bestimmte Integral über ein Intervall \([a; b]\) bilden darf? - Überlege, was mit dem Funktionswert passiert, wenn \(x\) sehr nah an \(3\) herankommt.

1. Stammfunktion bestimmen: Eine Stammfunktion von \(h(x) = \frac{1}{x-3}\) ist \(H(x) = \ln|x-3|\). 2. Integral berechnen: \(\int_{4}^{6} \frac{1}{x-3} \, dx = [\ln|x-3|]_4^6 = \ln|6-3| - \ln|4-3| = \ln(3) - \ln(1) = \ln(3) \approx 1{,}099\). 3. Definitionslücke analysieren: Die Funktion \(h(x)\) besitzt an der Stelle \(x = 3\) eine vertikale Asymptote (Polstelle). 4. Integrationsintervall prüfen: Das Intervall \([2; 4]\) enthält die Stelle \(x = 3\). 5. Begründung der Nicht-Definiertheit: Für die Existenz eines bestimmten Integrals (Riemann-Integral) muss die Funktion auf dem gesamten abgeschlossenen Integrationsintervall stetig (oder zumindest beschränkt und stückweise stetig) sein. Da \(h(x)\) bei \(x = 3\) gegen unendlich strebt, ist sie dort nicht beschränkt, weshalb das Integral über ein Intervall, das diese Stelle enthält, nicht definiert ist.

a) \(\ln(3)\) b) Die Funktion \(h(x)\) hat an der Stelle \(x = 3\) eine Polstelle. Da diese Stelle innerhalb des Integrationsintervalls \([2; 4]\) liegt, ist die Funktion dort nicht stetig und nicht beschränkt. Damit ist die Grundvoraussetzung für die Definition des bestimmten Integrals nicht erfüllt.

- Stelle zuerst den mathematischen Ausdruck für den beschriebenen Sachverhalt als Integralgleichung auf. - Berechne das Integral in Abhängigkeit von der Variable \(k\). - Welchen Wert hat der natürliche Logarithmus von \(1\)? - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(\ln(x) = c\) nach \(x\) auflösen?

1. Aufstellen des Integrals: \(\int_{1}^{k} \frac{3}{x} \, dx = 6\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = 3 \ln|x|\). 3. Anwendung des Hauptsatzes: \([3 \ln|x|]_{1}^{k} = 3 \ln(k) - 3 \ln(1)\). Da \(\ln(1) = 0\), vereinfacht sich der Ausdruck zu \(3 \ln(k)\). 4. Lösen der Gleichung: \(3 \ln(k) = 6 \implies \ln(k) = 2\). 5. Anwendung der Exponentialfunktion: \(k = e^2\). Da \(e^2 > 1\), ist die Bedingung erfüllt.

\(k = e^2\)

- Wie kannst du den Zähler umschreiben, damit ein Vielfaches des Nenners darin vorkommt? - Kannst du den Bruch so aufteilen, dass eine Konstante und ein einfacher Bruchrest entstehen? - Welche Stammfunktion hat der Term \(\frac{1}{x+k}\)? - Achte beim Einsetzen der Grenzen besonders auf die Vorzeichen beim Subtrahieren.

1. Vereinfachen des Integranden durch Termumformung: \(\frac{2x + 3}{x + 2} = \frac{2(x + 2) - 1}{x + 2} = 2 - \frac{1}{x + 2}\) 2. Bestimmen einer Stammfunktion \(F(x)\): \(F(x) = 2x - \ln|x + 2|\) 3. Berechnen der Funktionswerte an den Integrationsgrenzen: \(F(1) = 2(1) - \ln(1 + 2) = 2 - \ln(3)\) \(F(0) = 2(0) - \ln(0 + 2) = -\ln(2)\) 4. Einsetzen in den Hauptsatz: \((2 - \ln(3)) - (-\ln(2)) = 2 - \ln(3) + \ln(2)\) 5. Zusammenfassen der Logarithmen: \(2 + \ln\left(\frac{2}{3}\right)\)

\(2 + \ln\left(\frac{2}{3}\right)\)

- Kannst du den Term im Integral zuerst mithilfe einer binomischen Formel ausmultiplizieren? - Was ergibt das Produkt \(e^x \cdot e^{-x}\)? Nutze die Potenzgesetze. - Bestimme die Stammfunktion für jeden Teil des entstandenen Summenterms einzeln. - Achte beim Einsetzen der unteren Grenze genau darauf, ob Terme wegfallen oder den Wert \(1\) annehmen.

1. Anwendung der ersten binomischen Formel zur Vereinfachung des Integranden: \((e^x + e^{-x})^2 = (e^x)^2 + 2 \cdot e^x \cdot e^{-x} + (e^{-x})^2 = e^{2x} + 2 + e^{-2x}\). 2. Bestimmung der Stammfunktion der einzelnen Summanden: \(F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + 2x - \frac{1}{2}e^{-2x}\). 3. Auswertung an der oberen Grenze: \(F(1) = \frac{1}{2}e^2 + 2 \cdot 1 - \frac{1}{2}e^{-2} = \frac{1}{2}e^2 + 2 - \frac{1}{2}e^{-2}\). 4. Auswertung an der unteren Grenze: \(F(0) = \frac{1}{2}e^0 + 2 \cdot 0 - \frac{1}{2}e^0 = \frac{1}{2} + 0 - \frac{1}{2} = 0\). 5. Berechnung der Differenz \(F(1) - F(0)\) ergibt den Wert: \(\frac{1}{2}e^2 + 2 - \frac{1}{2}e^{-2}\).

\(\frac{1}{2}e^2 + 2 - \frac{1}{2}e^{-2}\)

- Wie lautet die Formel für die Fläche eines Trapezes, das die Kurve an den Intervallgrenzen verbindet? - Welches Integrationsverfahren eignet sich für ein Produkt aus einer linearen Funktion und einer Exponentialfunktion? - Vergleiche den berechneten Näherungswert mit dem exakten Ergebnis. - Überlege dir, wie der Graph der Funktion verläuft, um die Abweichung zu begründen.

1. Anwendung der einfachen Trapezformel für \(a = 0\) und \(b = 2\): \(f(0) = 0 \cdot e^0 = 0\) und \(f(2) = 2 \cdot e^2 \approx 14{,}7781\). Näherungswert: \(A \approx \frac{2-0}{2} \cdot (0 + 2e^2) = 2e^2 \approx 14{,}7781\). 2. Bestimmung der Stammfunktion mittels partieller Integration: \(\int x \cdot e^x \, dx = (x-1)e^x + C\). 3. Exakter Wert: \(\int_0^2 x \cdot e^x \, dx = [(x-1)e^x]_0^2 = (2-1)e^2 - (0-1)e^0 = e^2 + 1 \approx 8{,}3891\). 4. Da \(2e^2 > e^2 + 1\) (bzw. \(14{,}7781 > 8{,}3891\)), liefert die Trapezformel eine Überschätzung. Dies liegt an der Linkskrümmung (Konvexität) des Graphen von \(f\) im gegebenen Intervall.

1. Der Näherungswert beträgt \(2e^2 \approx 14{,}7781\). 2. Der exakte Flächeninhalt beträgt \(e^2 + 1 \approx 8{,}3891\). Die Trapezformel überschätzt den tatsächlichen Flächeninhalt.

- Welche der beiden Funktionen lässt sich durch Ableiten vereinfachen? - Erinnere dich an die Regel für die partielle Integration: \( \int u \cdot v' = uv - \int u'v \). - Achte beim Einsetzen der Grenzen auf die Werte der Logarithmusfunktion. - Fasse die Terme mit der Eulerschen Zahl am Ende zusammen.

1. Wahl der Funktionen für die partielle Integration: Setze \( u = \ln(x) \) und \( v' = x^2 \). 2. Bestimmung der Ableitung und Stammfunktion: \( u' = \frac{1}{x} \) und \( v = \frac{1}{3}x^3 \). 3. Anwendung der Formel für partielle Integration: \( \int u \cdot v' \, dx = u \cdot v - \int u' \cdot v \, dx \). 4. Berechnung des unbestimmten Integrals: \( \frac{1}{3}x^3 \ln(x) - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3}x^3 \, dx = \frac{1}{3}x^3 \ln(x) - \int \frac{1}{3}x^2 \, dx = \frac{1}{3}x^3 \ln(x) - \frac{1}{9}x^3 \). 5. Einsetzen der Grenzen \( 1 \) und \( e \): \( \left( \frac{1}{3}e^3 \ln(e) - \frac{1}{9}e^3 \right) - \left( \frac{1}{3} \cdot 1^3 \ln(1) - \frac{1}{9} \cdot 1^3 \right) \). 6. Vereinfachung unter Nutzung von \( \ln(e) = 1 \) und \( \ln(1) = 0 \): \( \left( \frac{3}{9}e^3 - \frac{1}{9}e^3 \right) - (0 - \frac{1}{9}) = \frac{2}{9}e^3 + \frac{1}{9} \).

\( \frac{2}{9}e^3 + \frac{1}{9} \)

- Die Ableitung von \(a^x\) ist \(a^x \cdot \ln a\). - Denke beim Ableiten verknüpfter Funktionen an die Produktregel. - Ein Integral über ein Intervall lässt sich mit der Differenz der Stammfunktionswerte an den Grenzen berechnen.

1. Waagerechte Tangente: \(f'(x) = 1 \cdot 3^x + x \cdot \ln 3 \cdot 3^x = (1 + x \ln 3) \cdot 3^x\). Bedingung \(f'(x) = 0 \Rightarrow 1 + x \ln 3 = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{\ln 3} \approx -0{,}910\). 2. Zweite Ableitung: \(f''(x) = \ln 3 \cdot 3^x + (1 + x \ln 3) \cdot \ln 3 \cdot 3^x = (2 \ln 3 + x (\ln 3)^2) \cdot 3^x\). Dies entspricht dem Ausdruck in der Aufgabenstellung. 3. Stammfunktion prüfen: \(F'(x) = \frac{\ln 3}{(\ln 3)^2} \cdot 3^x + \frac{x \ln 3 - 1}{(\ln 3)^2} \cdot \ln 3 \cdot 3^x = \frac{1}{\ln 3} \cdot 3^x + \frac{x \ln 3 - 1}{\ln 3} \cdot 3^x = \frac{1 + x \ln 3 - 1}{\ln 3} \cdot 3^x = x \cdot 3^x = f(x)\). 4. Integral berechnen: \(\int_{0}^{2} f(x) \, dx = [F(2) - F(0)] = \left( \frac{2\ln 3 - 1}{(\ln 3)^2} \cdot 3^2 \right) - \left( \frac{-1}{(\ln 3)^2} \cdot 3^0 \right) = \frac{18\ln 3 - 9 + 1}{(\ln 3)^2} = \frac{18\ln 3 - 8}{(\ln 3)^2} \approx 9{,}755\).

a) \(x = - \frac{1}{\ln 3} \approx -0{,}910\). b) Nachweis durch Ableiten von \(f'(x)\) mittels Produktregel. c) Ja, \(F\) ist eine Stammfunktion, da \(F'(x) = f(x)\). d) \(\frac{18\ln 3 - 8}{(\ln 3)^2} \approx 9{,}755\).

- Wann wird ein Bruch gleich Null? - Achte beim Integrieren darauf, ob der Graph oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Nutze Logarithmengesetze, um das Endergebnis zu vereinfachen.

1. Nullstelle prüfen: Ein Bruch ist Null, wenn der Zähler Null ist. \(e^x - 3 = 0 \implies e^x = 3 \implies x = \ln(3)\). 2. Ableitung von \(G(x)\): \(G'(x) = 2 \cdot \frac{1}{e^x + 3} \cdot e^x - 1 = \frac{2e^x}{e^x + 3} - \frac{e^x + 3}{e^x + 3} = \frac{2e^x - e^x - 3}{e^x + 3} = \frac{e^x - 3}{e^x + 3} = g(x)\). 3. Grenzen der Fläche: Die Fläche wird begrenzt durch die \(y\)-Achse (\(x=0\)), die \(x\)-Achse (\(y=0\)) und den Graphen. Die Nullstelle liegt bei \(x = \ln(3)\). 4. Da \(g(x) < 0\) für \(x \in [0; \ln(3)]\), berechnet sich der Flächeninhalt durch \(A = - \int_0^{\ln(3)} g(x) dx = G(0) - G(\ln(3))\). 5. Funktionswerte berechnen: \(G(0) = 2 \ln(1+3) - 0 = 2 \ln(4) = \ln(16)\). 6. \(G(\ln 3) = 2 \ln(3+3) - \ln(3) = 2 \ln(6) - \ln(3) = \ln(36) - \ln(3) = \ln(12)\). 7. Ergebnis: \(A = \ln(16) - \ln(12) = \ln\left(\frac{16}{12}\right) = \ln\left(\frac{4}{3}\right)\).

a) \(g(\ln 3) = \frac{3-3}{3+3} = 0\) b) \(G'(x) = \frac{e^x - 3}{e^x + 3} = g(x)\) c) \(A = \ln\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0{,}288\)