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- Was bedeutet die untere Grenze bei einer Integralfunktion für den Funktionswert an dieser Stelle? - Wie findet man eine allgemeine Stammfunktion für eine ganzrationale Funktion? - Erinnerst du dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung zur Berechnung von bestimmten Integralen? - Achte darauf, die untere Grenze korrekt in die Stammfunktion einzusetzen und das Ergebnis vom Term mit \(x\) zu subtrahieren.

1. Aufstellen des Integralausdrucks für die Integralfunktion: \(I_1(x) = \int_{1}^{x} (t^3 - 3t^2 + 2t) \, dt\) 2. Bestimmung einer Stammfunktion \(F\) von \(f\): \(F(t) = \frac{1}{4}t^4 - t^3 + t^2\) 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: \(I_1(x) = [ \frac{1}{4}t^4 - t^3 + t^2 ]_1^x\) 4. Einsetzen der Grenzen: \(I_1(x) = (\frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2) - (\frac{1}{4} \cdot 1^4 - 1^3 + 1^2)\) 5. Berechnung des konstanten Werts \(F(1)\): \(\frac{1}{4} - 1 + 1 = \frac{1}{4}\) 6. Zusammenfassen zum Term der Integralfunktion: \(I_1(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 - \frac{1}{4}\)

\(I_1(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 - \frac{1}{4}\)

- Was ist die allgemeine Definition einer Integralfunktion \(I_a(x)\)? - Wie lautet eine Stammfunktion für den gegebenen quadratischen Term? - Denke daran, dass bei einer Integralfunktion die untere Grenze fest vorgegeben ist. - Wie berechnet man den Wert eines bestimmten Integrals mit Hilfe einer Stammfunktion?

1. Aufstellen des Integralausdrucks für die Integralfunktion: \(I_2(x) = \int_{2}^{x} (6t^2 - 4t + 5) \, dt\). 2. Bestimmung einer Stammfunktion \(F(t) = 2t^3 - 2t^2 + 5t\) des Integranden. 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: \(I_2(x) = [2t^3 - 2t^2 + 5t]_{2}^{x}\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(I_2(x) = (2x^3 - 2x^2 + 5x) - (2 \cdot 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2)\). 5. Berechnung des Funktionswerts an der unteren Grenze: \(F(2) = 16 - 8 + 10 = 18\). 6. Ergebnis: \(I_2(x) = 2x^3 - 2x^2 + 5x - 18\).

\(I_2(x) = 2x^3 - 2x^2 + 5x - 18\)

- Überlege dir, welchen Wert jede Integralfunktion an ihrer unteren Grenze \(a\) annimmt. - Was bedeutet diese Eigenschaft für den Graphen der Funktion? - Prüfe, ob die gegebenen Funktionsterme Nullstellen besitzen können. - Beachte bei der Logarithmusfunktion den Definitionsbereich.

1. Eine Stammfunktion ist genau dann eine Integralfunktion, wenn sie mindestens eine Nullstelle im Definitionsbereich besitzt, da für jede Integralfunktion \(I_a(a) = \int_a^a \phi(t) \, dt = 0\) gilt. 2. Untersuchung von \(F(x)\): Die Gleichung \(x^2 - 6x + 9 = 0\) lässt sich als \((x-3)^2 = 0\) schreiben. Sie hat die Nullstelle \(x = 3\). Somit kann \(F\) eine Integralfunktion mit der unteren Grenze \(a = 3\) sein. 3. Untersuchung von \(G(x)\): Da \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, ist \(G(x) = e^x + 2 > 2\). Die Funktion \(G\) besitzt keine Nullstellen und kann daher keine Integralfunktion sein. 4. Untersuchung von \(H(x)\): Die Gleichung \(\ln(x) - 1 = 0\) führt zu \(\ln(x) = 1\), woraus \(x = e\) folgt. Da \(e\) im Definitionsbereich liegt, kann \(H\) eine Integralfunktion mit der unteren Grenze \(a = e\) sein.

\(F\) kann eine Integralfunktion sein (Nullstelle bei \(x = 3\)). \(G\) kann keine Integralfunktion sein (keine Nullstellen, da \(G(x) > 2\)). \(H\) kann eine Integralfunktion sein (Nullstelle bei \(x = e\)).

- Was passiert, wenn die obere und untere Grenze eines Integrals gleich sind? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen einer Integralfunktion und ihrer zugehörigen Randfunktion. - Wie hängen das Vorzeichen der Ableitung und das Monotonieverhalten einer Funktion zusammen? - Überlege dir, wie viele Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse eine Funktion haben kann, die immer nur steigt.

1. Nach der Definition des Integrals mit identischen Grenzen gilt \(I_2(2) = \int_{2}^{2} f(t) \, \text{d}t = 0\). Somit ist \(x = 2\) eine Nullstelle. 2. Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ist die Ableitung der Integralfunktion gleich der Randfunktion: \(I_2'(x) = f(x) = \sqrt{x^4 + 1}\). Da \(x^4 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), gilt \(x^4 + 1 \geq 1\) und somit \(I_2'(x) \geq 1 > 0\). Da die Ableitung überall positiv ist, ist die Funktion \(I_2\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend. 3. Eine streng monoton steigende Funktion nimmt jeden Wert ihres Wertebereichs höchstens einmal an. Da bereits gezeigt wurde, dass \(I_2(2) = 0\) gilt, kann es keine weiteren Stellen \(x \neq 2\) mit \(I_2(x) = 0\) geben. Somit ist \(x = 2\) die einzige Nullstelle.

a) \(x = 2\) b) \(I_2'(x) = \sqrt{x^4 + 1}\); da \(I_2'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), ist \(I_2\) streng monoton steigend. c) Wegen der strengen Monotonie und \(I_2(2) = 0\) ist \(x = 2\) die einzige Nullstelle.

- Was weißt du über den Funktionswert einer Integralfunktion an ihrer unteren Grenze? - Welche Eigenschaft muss eine Funktion besitzen, damit sie überhaupt als Integralfunktion infrage kommt? - Untersuche den Term der Funktion auf mögliche Nullstellen.

1. Eine Integralfunktion \(I_a(x) = \int_a^x h(t) \, dt\) besitzt an der unteren Integrationsgrenze \(a\) stets eine Nullstelle, da \(I_a(a) = \int_a^a h(t) \, dt = 0\) gilt. 2. Die gegebene Funktion \(H(x) = \frac{1}{1+x^2}\) hat für alle \(x \in \mathbb{R}\) einen Zähler von \(1\). Da der Nenner \(1+x^2\) für alle reellen Zahlen stets größer oder gleich \(1\) ist, ist der Funktionswert \(H(x)\) immer positiv (\(H(x) > 0\)). 3. Da \(H(x)\) keine Nullstelle besitzt, existiert kein Wert für die untere Grenze \(a\), der die Bedingung \(H(a) = 0\) erfüllt. 4. Somit kann \(H\) keine Integralfunktion sein.

Nein, \(H\) kann keine Integralfunktion sein, da eine Integralfunktion \(I_a\) immer mindestens eine Nullstelle bei \(x=a\) haben muss. Die Funktion \(H(x) = \frac{1}{1+x^2}\) wird jedoch für kein reelles \(x\) null, da der Zähler konstant \(1\) ist.

- Wie lautet die allgemeine Regel, um aus einer Funktion eine Stammfunktion zu bilden? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: Wie berechnet man ein Integral mit festen Grenzen? - Was passiert mit der unteren Grenze, wenn du den Term der Integralfunktion vereinfachst? - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Ableiten und dem Integrieren?

1. Zur Bestimmung von \(I_2(x)\) wird zunächst eine Stammfunktion von \(f(t) = 1{,}5t^2 - 4t + 1\) gebildet: \(F(t) = 0{,}5t^3 - 2t^2 + t\). Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung ergibt \(I_2(x) = [0{,}5t^3 - 2t^2 + t]_2^x = (0{,}5x^3 - 2x^2 + x) - (0{,}5 \cdot 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 2) = 0{,}5x^3 - 2x^2 + x - (4 - 8 + 2) = 0{,}5x^3 - 2x^2 + x + 2\). 2. Die Ableitung der Integralfunktion lautet \(I_2'(x) = 1{,}5x^2 - 4x + 1\). Ein Vergleich zeigt, dass \(I_2'(x) = f(x)\) gilt. Die Integralfunktion ist also eine Stammfunktion des Integranden.

1. \(I_2(x) = 0{,}5x^3 - 2x^2 + x + 2\) 2. \(I_2'(x) = 1{,}5x^2 - 4x + 1\); es gilt \(I_2'(x) = f(x)\).

- Wie lautet die allgemeine Regel, um eine Stammfunktion einer Potenzfunktion zu bilden? - Erinnere dich daran, dass bei einer Integralfunktion mit der unteren Grenze 0 der Wert an der Stelle 0 oft (aber nicht immer) wegfällt. - Was besagt der Hauptsatz über die Beziehung zwischen einer Integralfunktion und der ursprünglichen Funktion? - Überlege, wie du eine Funktion mit mehreren Summanden gliedweise ableitest.

1. Zur Bestimmung von \(I_0(x)\) wird eine Stammfunktion von \(f(t) = t^2 - 6t + 5\) gebildet: \(F(t) = \frac{1}{3}t^3 - 3t^2 + 5t\). Anwendung der Grenzen liefert \(I_0(x) = [ \frac{1}{3}t^3 - 3t^2 + 5t ]_0^x = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 5x\). 2. Einsetzen von \(x = 3\) ergibt \(I_0(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^3 - 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 = 9 - 27 + 15 = -3\). 3. Die Ableitung von \(I_0(x) = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 5x\) nach der Potenzregel ergibt \(I_0'(x) = x^2 - 6x + 5\). Da \(I_0'(x) = f(x)\) gilt, ist der Hauptsatz bestätigt.

1. \(I_0(x) = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 5x\) 2. \(I_0(3) = -3\) 3. \(I_0'(x) = x^2 - 6x + 5 = f(x)\)

- Was bedeutet das Symbol \(I_u(x)\) im Zusammenhang mit der Integralrechnung? - Wie findest du eine Stammfunktion für eine Summe von Potenzfunktionen? - Denke an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: Wie berechnet man ein Integral mit festen oder variablen Grenzen? - Achte darauf, wie sich das Minuszeichen auswirkt, wenn du den Wert der unteren Grenze subtrahierst.

1. Bestimmung einer Stammfunktion \(F\) von \(f(t) = 1{,}5t^2 - 4t\), woraus sich \(F(t) = 0{,}5t^3 - 2t^2\) ergibt. 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung zur Darstellung der Integralfunktion als Differenz der Stammfunktionswerte an den Grenzen: \(I_u(x) = F(x) - F(u)\). 3. Einsetzen der Variablen \(x\) und des Parameters \(u\) in die Stammfunktion führt zu \(I_u(x) = (0{,}5x^3 - 2x^2) - (0{,}5u^3 - 2u^2)\). 4. Auflösen der Klammern ergibt den finalen Term \(I_u(x) = 0{,}5x^3 - 2x^2 - 0{,}5u^3 + 2u^2\).

\(I_u(x) = 0{,}5x^3 - 2x^2 - 0{,}5u^3 + 2u^2\)

- Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. - Was passiert mit der unteren Grenze, wenn du die Integralfunktion allgemein berechnest? - Wie leitet man Potenzen von \(x\) ab?

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = 1{,}5x^2 - 6x\): \(F(x) = 0{,}5x^3 - 3x^2\). 2. Berechnung des Integrals in Teilaufgabe a): \(\int_{0}^{4} f(x) \, dx = [0{,}5x^3 - 3x^2]_0^4 = (0{,}5 \cdot 64 - 3 \cdot 16) - 0 = 32 - 48 = -16\). 3. Aufstellen der Integralfunktion \(I_0(x)\): \(I_0(x) = [0{,}5t^3 - 3t^2]_0^x = 0{,}5x^3 - 3x^2\). 4. Bestimmung der Ableitung \(I_0'(x)\): \(I_0'(x) = 3 \cdot 0{,}5x^2 - 2 \cdot 3x = 1{,}5x^2 - 6x\). 5. Feststellung des Zusammenhangs: Es gilt \(I_0'(x) = f(x)\). Die Integralfunktion ist eine Stammfunktion der Integrandenfunktion.

a) \(\int_{0}^{4} f(x) \, dx = -16\) b) \(I_0(x) = 0{,}5x^3 - 3x^2\). Es gilt \(I_0'(x) = f(x)\), da \(I_0'(x) = 1{,}5x^2 - 6x\).

- Was weißt du über die Ableitung einer Integralfunktion? - Wie findet man die Nullstellen eines Produkts oder einer ausgeklammerten Variable? - Muss man die Integralfunktion für Teil b) zwingend explizit ableiten oder gibt es eine schnellere Überlegung?

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(g(t) = t^3 - 4t\): \(\Phi(t) = \frac{1}{4}t^4 - 2t^2\). 2. Berechnung der Integralfunktion \(G_{-2}(x)\): \(G_{-2}(x) = [\frac{1}{4}t^4 - 2t^2]_{-2}^x = (\frac{1}{4}x^4 - 2x^2) - (\frac{1}{4}(-2)^4 - 2(-2)^2) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 - (4 - 8) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 4\). 3. Anwendung des Zusammenhangs \(G_{-2}'(x) = g(x)\): Waagerechte Tangenten liegen bei den Nullstellen von \(g(x)\) vor. 4. Lösen der Gleichung \(g(x) = 0\): \(x^3 - 4x = 0 \Leftrightarrow x(x^2 - 4) = 0\). 5. Die Lösungen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). An diesen Stellen hat \(G_{-2}\) waagerechte Tangenten.

a) \(G_{-2}(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 4\) b) Die Stellen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\).

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen einer Integralfunktion und ihrer Ableitung? - Wie lautet der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung? - Was gibt die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle grafisch an? - Erinnere dich an den Wert des natürlichen Logarithmus von \(e\).

1. Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ist die Ableitung einer Integralfunktion \(G(x) = \int_{a}^{x} g(t) \, dt\) genau der Integrand an der Stelle der oberen Grenze: \(G'(x) = \sqrt{x} + \ln(x)\). 2. Die Steigung an der Stelle \(x = e\) entspricht dem Wert der Ableitungsfunktion \(G'(e)\). 3. Einsetzen von \(e\): \(G'(e) = \sqrt{e} + \ln(e)\). 4. Da \(\ln(e) = 1\) gilt, ergibt sich für die Steigung der Wert \(\sqrt{e} + 1\).

Die Steigung beträgt \(\sqrt{e} + 1\).

- Achte genau darauf, welche Variable die Integrationsvariable ist und nach welcher Variable abgeleitet werden soll. - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Integrals, wenn man die obere und untere Grenze vertauscht? - Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ist hier das zentrale Werkzeug.

1. Teilaufgabe a: Durch Vertauschen der Integrationsgrenzen gilt \(I(x) = -\int_{10}^{x} \cos(z^2) \, dz\). Anwendung des Hauptsatzes liefert \(I'(x) = -\cos(x^2)\). 2. Teilaufgabe b: Die Variable der Funktion ist \(u\), die Integrationsvariable ist \(s\). Der Hauptsatz liefert direkt \(A'(u) = \frac{e^u}{u+3}\). 3. Teilaufgabe c: Die Variable der Funktion ist \(y\), die Integrationsvariable ist \(x\). Der Parameter \(k\) wird wie eine Konstante behandelt. Ableiten nach der oberen Grenze ergibt \(F'(y) = k \cdot \sin(y)\).

a) \(I'(x) = -\cos(x^2)\) b) \(A'(u) = \frac{e^u}{u+3}\) c) \(F'(y) = k \cdot \sin(y)\)

- Was ist die Definition einer Integralfunktion \(I_a(x)\)? - Wie integriert man eine Exponentialfunktion der Form \(e^{kx}\)? - Welchen Wert hat \(e^0\)? - Vergiss nicht, beim Einsetzen der Grenzen den gesamten Wert an der unteren Grenze abzuziehen.

1. Ansatz für die Integralfunktion mit der unteren Grenze 0: \(I_0(x) = \int_{0}^{x} (e^{0{,}5t} + 2) \, dt\) 2. Bestimmung einer Stammfunktion \(F\) von \(f\): \(F(t) = 2e^{0{,}5t} + 2t\) 3. Auswertung an den Grenzen \(0\) und \(x\): \(I_0(x) = (2e^{0{,}5x} + 2x) - (2e^{0{,}5 \cdot 0} + 2 \cdot 0)\) 4. Berechnung des Werts an der unteren Grenze: \(2e^0 + 0 = 2 \cdot 1 = 2\) 5. Aufstellen des finalen Terms: \(I_0(x) = 2e^{0{,}5x} + 2x - 2\)

\(I_0(x) = 2e^{0{,}5x} + 2x - 2\)

- Erinnere dich an die Definition der Integralfunktion als Integral mit variabler oberer Grenze. - Welche Regeln benötigst du, um die Exponentialfunktion aufzuleiten? - Achte besonders auf den konstanten Wert, der durch das Einsetzen der unteren Grenze entsteht. - Was ergibt \(e^0\)?

1. Ansatz für die Integralfunktion mit der unteren Grenze \(0\): \(I_0(x) = \int_{0}^{x} (e^{2t} - e^t) \, dt\). 2. Finden einer Stammfunktion für den Integranden: \(F(t) = \frac{1}{2}e^{2t} - e^t\). 3. Auswertung des Integrals an den Grenzen \(0\) und \(x\): \(I_0(x) = (\frac{1}{2}e^{2x} - e^x) - (\frac{1}{2}e^{2 \cdot 0} - e^0)\). 4. Berechnung des konstanten Terms: \(\frac{1}{2}e^0 - e^0 = \frac{1}{2} - 1 = -0{,}5\). 5. Zusammenführen der Teile: \(I_0(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - e^x - (-0{,}5) = \frac{1}{2}e^{2x} - e^x + 0{,}5\).

\(I_0(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - e^x + 0{,}5\)

- Wie lautet die allgemeine Form einer Stammfunktion für ein Polynom? - Welche Eigenschaft muss eine Stammfunktion haben, um als Integralfunktion darstellbar zu sein? Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der unteren Grenze und dem Funktionswert. - Wann besitzt eine quadratische Funktion reelle Nullstellen? - Wie findet man die Stellen, an denen eine Integralfunktion den Wert Null annimmt?

1. Berechnung der allgemeinen Stammfunktion: Durch Integration von \(f(x) = 2x - 4\) ergibt sich \(F_c(x) = x^2 - 4x + c\) mit \(c \in \mathbb{R}\). 2. Bedingung für Integralfunktionen: Eine Stammfunktion \(F_c\) ist genau dann eine Integralfunktion, wenn sie mindestens eine reelle Nullstelle besitzt. Die Bedingung \(x^2 - 4x + c = 0\) führt über die Diskriminante \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 16 - 4c\) zur Forderung \(16 - 4c \ge 0\). Dies ist für \(c \le 4\) erfüllt. 3. Bestimmung der unteren Grenze \(a\): Für \(G(x) = x^2 - 4x\) muss gelten \(G(a) = 0\). Die Gleichung \(a^2 - 4a = 0 \Leftrightarrow a(a-4) = 0\) liefert die Lösungen \(a_1 = 0\) und \(a_2 = 4\).

a) \(F_c(x) = x^2 - 4x + c\) mit \(c \in \mathbb{R}\) b) \(c \le 4\) c) \(a = 0\) oder \(a = 4\)

- Welche Eigenschaft hat jede Integralfunktion an ihrer unteren Grenze? - Nutze den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um eine Aussage über die Ableitung von \(G_a\) zu treffen. - Welchen Einfluss hat das Vorzeichen von \(g(x)\) auf die Steigung von \(G_a\)? - Wenn eine Funktion immer nur fällt, wie oft kann sie dann den Wert Null annehmen?

1. Jede Integralfunktion \(G_a\) hat an der unteren Integrationsgrenze \(x = a\) eine Nullstelle, da \(G_a(a) = \int_{a}^{a} g(t) \, \text{d}t = 0\) gilt. 2. Gemäß dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt für die Ableitung der Integralfunktion \(G_a'(x) = g(x)\). 3. Da laut Voraussetzung \(g(x) < 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, ist auch \(G_a'(x) < 0\) für alle \(x\). Daraus folgt, dass die Integralfunktion \(G_a\) auf dem gesamten Definitionsbereich streng monoton fallend ist. 4. Aufgrund der strengen Monotonie ist die Funktion injektiv, das heißt, sie nimmt jeden Funktionswert höchstens einmal an. Da an der Stelle \(x = a\) bereits der Funktionswert \(0\) erreicht wird, kann es keine weitere Stelle \(x\) geben, für die \(G_a(x) = 0\) gilt. Folglich besitzt \(G_a\) genau eine Nullstelle.

Jede Integralfunktion \(G_a\) hat bei \(x = a\) eine Nullstelle. Da \(G_a'(x) = g(x) < 0\) gilt, ist \(G_a\) streng monoton fallend und kann daher keine weitere Nullstelle besitzen.

- Wie findet man die Stelle, an der ein Funktionswert Null ist? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen einer Integralfunktion und ihrer Ableitung? - Wie nutzt man die erste und zweite Ableitung, um Hoch- oder Tiefpunkte zu bestimmen?

1. Nullstelle von \(f\): \(4 - e^{0{,}5x} = 0 \iff e^{0{,}5x} = 4 \iff 0{,}5x = \ln(4) \iff x = 2\ln(4) \approx 2{,}773\). 2. Extremstellen von \(I_0\): Nach dem Hauptsatz gilt \(I_0'(x) = f(x)\). Die notwendige Bedingung \(I_0'(x) = 0\) liefert \(x = 2\ln(4)\). Da \(I_0''(x) = f'(x) = -0{,}5 e^{0{,}5x}\) an dieser Stelle negativ ist (\(I_0''(2\ln(4)) = -2 < 0\)), liegt ein lokales Maximum vor.

a) \(x = 2\ln(4) \approx 2{,}773\) b) Lokales Maximum bei \(x = 2\ln(4)\).

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen einer Integralfunktion und ihrem Integranden? - Wie hängen das Vorzeichen der Ableitung und die Monotonie einer Funktion zusammen? - Untersuche den Term im Nenner – kann dieser jemals Null oder negativ werden? - Überlege, was passiert, wenn du die untere Grenze eines Integrals änderst. Ändert das die Form der Kurve oder nur ihre Lage im Koordinatensystem?

1. Gemäß dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung entspricht die Ableitung der Integralfunktion dem Integranden an der Stelle \(x\), also \(F_c'(x) = f(x) = \frac{2}{x^2 + 1}\). 2. Für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt \(x^2 \geq 0\), woraus \(x^2 + 1 \geq 1\) folgt. Da der Zähler \(2\) und der Nenner \(x^2 + 1\) stets positiv sind, ist \(F_c'(x) > 0\) für alle \(x\). Da die erste Ableitung überall positiv ist, ist \(F_c\) auf dem gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend. 3. Das Monotonieverhalten ändert sich nicht. Die Wahl von \(c\) beeinflusst lediglich den Funktionswert an der Stelle \(x=c\) (\(F_c(c) = 0\)) und führt zu einer vertikalen Verschiebung des Graphen. Die Ableitung \(F_c'(x) = f(x)\) bleibt jedoch von \(c\) unbeeinflusst, womit auch die Steigung und das Wachstumsverhalten an jeder Stelle \(x\) gleich bleiben.

a) \(F_c'(x) = \frac{2}{x^2 + 1}\) b) Da \(x^2 + 1 \geq 1\) für alle \(x\) gilt, ist \(F_c'(x) = \frac{2}{x^2 + 1} > 0\). Eine positive Ableitung impliziert streng monotones Wachstum. c) Nein, das Monotonieverhalten ändert sich nicht, da die Ableitung \(F_c'(x) = f(x)\) unabhängig von der Wahl der unteren Grenze \(c\) ist.

- Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um die Ableitung zu finden. - Untersuche den Wertebereich des Terms \(t^4 + 3\). Was bedeutet das Minuszeichen davor für das Vorzeichen der Ableitung? - Was ist der Wert jeder Integralfunktion an ihrer unteren Grenze? - Nutze die Monotonieeigenschaft: Wenn eine Funktion fällt, wie verhalten sich dann die Werte \(f(x_1)\) und \(f(x_2)\) für \(x_1 < x_2\)?

1. Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt \(G_a'(x) = g(x) = -(x^4 + 3)\). 2. Da \(x^4 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, ist \(x^4 + 3 \geq 3\). Damit ist \(G_a'(x) \leq -3\), also stets negativ (\(G_a'(x) < 0\)). Eine Funktion mit einer überall negativen Ableitung ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton fallend. 3. Für die Integralfunktion gilt definitionsgemäß \(G_2(2) = \int_{2}^{2} g(t) \, dt = 0\). Da \(G_2\) für alle \(x\) streng monoton fallend ist, folgt aus \(10 > 2\), dass der Funktionswert \(G_2(10)\) kleiner sein muss als \(G_2(2)\). Somit gilt \(G_2(10) < 0\), das Vorzeichen ist also negativ.

a) \(G_a'(x) = -(x^4 + 3)\). Da \(G_a'(x) < 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, ist die Funktion \(G_a\) streng monoton fallend. b) Das Vorzeichen ist negativ. Begründung: Es gilt \(G_2(2) = 0\). Da \(G_2\) streng monoton fallend ist, gilt für alle \(x > 2\), dass \(G_2(x) < 0\). Wegen \(10 > 2\) folgt \(G_2(10) < 0\).

- Erinnere dich an die Definition einer Integralfunktion \(I_a(x)\). Was passiert, wenn du für \(x\) den Wert \(a\) einsetzt? - Wie hängen die Integralfunktion und die Funktion im Integranden (der Integrand) zusammen? - Welche mathematische Operation hilft dir, vom Integral zur ursprünglichen Funktion unter dem Integralzeichen zu gelangen?

1. Für eine Integralfunktion \(I_a\) muss die Bedingung \(I_a(a) = 0\) erfüllt sein. Die möglichen Werte für \(a\) sind daher die Nullstellen von \(F(x)\). 2. Nullstellenberechnung: \(x^3 - 3x^2 + 2x = 0 \iff x(x^2 - 3x + 2) = 0\). 3. Die erste Nullstelle ist \(x_1 = 0\). Die weiteren Nullstellen ergeben sich aus \(x^2 - 3x + 2 = 0\), was zu \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\) führt. Mögliche Werte für \(a\) sind also \(0\), \(1\) und \(2\). 4. Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt für eine Integralfunktion \(I_a'(x) = f(x)\). 5. Ableiten von \(F\): \(f(x) = F'(x) = 3x^2 - 6x + 2\).

Die möglichen Werte für die untere Integrationsgrenze sind \(a \in \{0; 1; 2\}\). Die zugehörige Funktion \(f\) lautet \(f(x) = 3x^2 - 6x + 2\).

- Welche Funktion ergibt beim Ableiten den Kosinus? - Achte beim Einsetzen der Grenzen auf die Werte der trigonometrischen Funktionen an den Standardstellen. - Was bedeutet es geometrisch, wenn die obere und untere Grenze eines Integrals identisch sind? - Wie hängen Integralfunktionen im Allgemeinen mit Stammfunktionen zusammen?

1. Eine Stammfunktion von \(f(t) = \cos(t)\) ist \(F(t) = \sin(t)\). Damit gilt \(I_{\frac{\pi}{2}}(x) = [\sin(t)]_{\frac{\pi}{2}}^x = \sin(x) - \sin(\frac{\pi}{2}) = \sin(x) - 1\). 2. Die Ableitung von \(I_{\frac{\pi}{2}}(x) = \sin(x) - 1\) ist \(I_{\frac{\pi}{2}}'(x) = \cos(x)\). Da dies exakt der Funktionsgleichung \(f(x)\) entspricht, ist die Integralfunktion eine Stammfunktion von \(f\). 3. Nach der Definition der Integralfunktion gilt für jede untere Grenze \(a\): \(I_a(a) = \int_a^a f(t) \, dt = 0\), da das Intervall die Breite Null hat. Somit ist \(I_{\frac{\pi}{2}}(\frac{\pi}{2}) = 0\).

1. \(I_{\frac{\pi}{2}}(x) = \sin(x) - 1\) 2. \(I_{\frac{\pi}{2}}'(x) = \cos(x) = f(x)\); ja, sie ist eine Stammfunktion. 3. \(I_{\frac{\pi}{2}}(\frac{\pi}{2}) = 0\)

- Überlege dir, wie man von einer Stammfunktion bzw. Integralfunktion zurück zur ursprünglichen Funktion gelangt. - Welchen Wert muss ein Integral annehmen, wenn die obere und die untere Grenze identisch sind? - Kannst du die gefundene Gleichung für \(a\) durch Probieren einfacher ganzzahliger Werte lösen?

1. Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ist die Ableitung einer Integralfunktion \(I_a(x) = \int_a^x f(t) \, dt\) gleich dem Integranden \(f(x)\). Es gilt also \(f(x) = I_a'(x)\). 2. Die Ableitung von \(I_a(x) = 2x^3 + x^2 - 3\) nach der Potenz- und Summenregel ergibt \(f(x) = 6x^2 + 2x\). 3. Für die untere Integrationsgrenze \(a\) muss gelten, dass das Integral von \(a\) bis \(a\) null ergibt: \(I_a(a) = 0\). 4. Einsetzen von \(a\) in den Funktionsterm führt zur Gleichung \(2a^3 + a^2 - 3 = 0\). 5. Durch systematisches Probieren (Teiler des Absolutglieds \(-3\)) findet man die Nullstelle \(a = 1\), da \(2 \cdot 1^3 + 1^2 - 3 = 2 + 1 - 3 = 0\). Durch Faktorisieren erhält man \(2a^3+a^2-3=(a-1)(2a^2+3a+3)\). Da die Diskriminante des quadratischen Faktors \(3^2-4\cdot2\cdot3=-15\) negativ ist, gibt es keine weiteren reellen Lösungen.

\(f(x) = 6x^2 + 2x\) und \(a = 1\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral. - Was weißt du über den Wert eines Integrals, bei dem die Grenzen übereinstimmen? - Welche Eigenschaft muss die Integralfunktion an der Stelle \(x = a\) immer haben?

1. Um die Funktion \(f\) zu bestimmen, nutzt man den Zusammenhang \(f(x) = I_a'(x)\). 2. Die Ableitung der Exponentialfunktion \(e^{x-1} - 1\) ergibt unter Anwendung der Kettenregel \(f(x) = e^{x-1} \cdot 1 = e^{x-1}\). 3. Da jede Integralfunktion an ihrer unteren Grenze eine Nullstelle besitzt, muss \(I_a(a) = 0\) gelten. 4. Dies führt auf die Gleichung \(e^{a-1} - 1 = 0\), woraus \(e^{a-1} = 1\) folgt. 5. Da \(e^0 = 1\) gilt, ergibt sich \(a - 1 = 0\) und somit \(a = 1\).

\(f(x) = e^{x-1}\) und \(a = 1\)

- Behandle den Parameter \(a\) beim Integrieren wie eine ganz normale Zahl. - Achte beim Aufschreiben der Integralfunktion darauf, dass die Variable im Integranden (hier \(t\)) eine andere ist als die obere Grenze (\(x\)). - Was passiert mit Termen, die kein \(x\) enthalten, wenn du die gesamte Funktion nach \(x\) ableitest? - Der Hauptsatz stellt eine fundamentale Verbindung zwischen Ableitung und Integral her – versuche, diesen Zusammenhang in deiner Rechnung wiederzufinden.

1. Zuerst wird eine Stammfunktion von \(f(t) = \frac{1}{4}t^3 - t\) bestimmt: \(F(t) = \frac{1}{16}t^4 - \frac{1}{2}t^2\). Die Integralfunktion ergibt sich durch Einsetzen der Grenzen: \(I_a(x) = [ \frac{1}{16}t^4 - \frac{1}{2}t^2 ]_a^x = \left(\frac{1}{16}x^4 - \frac{1}{2}x^2\right) - \left(\frac{1}{16}a^4 - \frac{1}{2}a^2\right)\). 2. Zur Bestätigung des Hauptsatzes wird \(I_a(x)\) nach \(x\) abgeleitet. Da der Ausdruck \(\left(\frac{1}{16}a^4 - \frac{1}{2}a^2\right)\) eine Konstante bezüglich \(x\) ist, fällt dieser beim Ableiten weg. Es ergibt sich \(I_a'(x) = \frac{4}{16}x^3 - \frac{2}{2}x = \frac{1}{4}x^3 - x\). Dies entspricht exakt der Funktion \(f(x)\).

1. \(I_a(x) = \frac{1}{16}x^4 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{16}a^4 + \frac{1}{2}a^2\) 2. \(I_a'(x) = \frac{1}{4}x^3 - x = f(x)\)

- Erinnere dich an die Potenzregel für das Ableiten und Integrieren. - Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt, dass ein Integral über die Differenz der Stammfunktionswerte an den Grenzen berechnet wird. - Überlege dir, welche Funktion eine Stammfunktion von \(f''\) ist. - Was passiert mit konstanten Summanden, wenn du eine Funktion ableitest?

1. Die Ableitungen lauten \(f'(x) = 4x^3 - 4x\) und \(f''(x) = 12x^2 - 4\). 2. Zur Berechnung des Integrals wird eine Stammfunktion von \(f''\) benötigt, wobei \(f'\) eine solche ist: \(G(x) = \int_{1}^{x} (12t^2 - 4) \, \text{d}t = [4t^3 - 4t]_1^x = (4x^3 - 4x) - (4 \cdot 1^3 - 4 \cdot 1) = 4x^3 - 4x\). 3. Die Ableitung von \(G\) nach \(x\) ergibt \(G'(x) = 12x^2 - 4\). Dies entspricht exakt dem Integranden \(f''(x)\). Die Beobachtung zeigt zweierlei: Erstens führt die Integration der Ableitung \(f''\) zurück zur Funktion \(f'\) (hier zufällig exakt, da \(f'(1)=0\)). Zweitens hebt das anschließende Differenzieren die Integration wieder auf, sodass man den ursprünglichen Integranden erhält.

1. \(f'(x) = 4x^3 - 4x\); \(f''(x) = 12x^2 - 4\) 2. \(G(x) = 4x^3 - 4x\) 3. \(G'(x) = 12x^2 - 4 = f''(x)\). Die Differentiation der Integralfunktion liefert den ursprünglichen Integranden zurück.

- Was passiert mathematisch, wenn die obere Grenze eines Integrals genau dem Wert der unteren Grenze entspricht? - Überlege, welche Bedingung eine Stammfunktion erfüllen muss, damit man sie als Integralfunktion mit einer bestimmten unteren Grenze schreiben kann. - Wie viele Nullstellen muss eine Integralfunktion mindestens haben?

1. Zur Bestimmung der Integralfunktion \(I_1(x) = \int_{1}^{x} (4t^3 - 4t) \, dt\) wird zunächst eine Stammfunktion von \(f(t)\) gebildet, was \(T(t) = t^4 - 2t^2\) ergibt. Durch Einsetzen der Grenzen erhält man \(I_1(x) = [t^4 - 2t^2]_1^x = (x^4 - 2x^2) - (1^4 - 2 \cdot 1^2) = x^4 - 2x^2 + 1\). 2. Eine Integralfunktion \(I_a\) muss nach Definition an der Stelle ihrer unteren Grenze \(a\) immer eine Nullstelle besitzen, da \(I_a(a) = \int_{a}^{a} f(t) \, dt = 0\) gilt. Die Funktion \(F(x) = x^4 - 2x^2 + 5\) kann jedoch als \((x^2 - 1)^2 + 4\) geschrieben werden. Da \((x^2 - 1)^2 \geq 0\), ist \(F(x) \geq 4\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). Da \(F\) keine reellen Nullstellen besitzt, kann sie für keinen Wert \(a\) eine Integralfunktion \(I_a\) darstellen.

1. \(I_1(x) = x^4 - 2x^2 + 1\) 2. \(F\) kann keine Integralfunktion sein, da jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle (bei \(x = a\)) haben muss, \(F\) aber für alle \(x\) größer als null ist (\(F(x) \geq 4\)).

- Wie hängen die Ableitung einer Integralfunktion und die Funktion im Integral zusammen? - Welchen Wert liefert ein Integral, bei dem die untere und obere Grenze identisch sind? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen der Menge aller Stammfunktionen und einer speziellen Integralfunktion.

1. Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ist die Ableitung der Integralfunktion gleich der Randfunktion: \(f(x) = I_a'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2}x^2 - 2x - 6) = x - 2\). 2. Für die untere Grenze \(a\) muss gelten \(I_a(a) = 0\). Aus \(\frac{1}{2}a^2 - 2a - 6 = 0\) folgt durch Multiplikation mit 2 die Gleichung \(a^2 - 4a - 12 = 0\). Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind \(a_1 = 6\) und \(a_2 = -2\). 3. Da \(I_a'(x) = f(x)\) gilt, erfüllt jede Integralfunktion die Definition einer Stammfunktion. Eine beliebige Stammfunktion \(F\) von \(f\) ist jedoch nur dann eine Integralfunktion, wenn es ein \(a\) gibt, sodass \(F(a) = 0\). Stammfunktionen, die keine Nullstellen besitzen (z. B. \(F(x) = x^2 + 1\) für \(f(x) = 2x\)), können daher keine Integralfunktionen sein.

1. \(f(x) = x - 2\) 2. \(a_1 = 6\) und \(a_2 = -2\) 3. Jede Integralfunktion ist eine Stammfunktion, weil ihre Ableitung die Randfunktion ergibt. Umgekehrt ist eine Stammfunktion nur dann eine Integralfunktion, wenn sie mindestens eine Nullstelle besitzt, die als untere Grenze \(a\) dienen kann.

- Kannst du den Bruch als Potenz mit negativem Exponenten schreiben? - Welche Regel nutzt du, um eine Funktion der Form \(t^n\) aufzuleiten? - Was musst du beim Einsetzen der unteren Grenze \(2\) beachten? - Erinnere dich daran, dass die Integralfunktion an der Stelle ihrer unteren Grenze immer den Wert null annimmt – hilft dir das bei der Überprüfung?

1. Umschreiben der Funktion in die Potenzform \(f(t) = 4t^{-2}\), um die Integration zu erleichtern. 2. Bestimmung der Stammfunktion \(F(t) = -4t^{-1}\), was vereinfacht \(F(t) = -\frac{4}{t}\) entspricht. 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: \(I_2(x) = F(x) - F(2)\). 4. Berechnung des Wertes an der unteren Grenze: \(F(2) = -\frac{4}{2} = -2\). 5. Bildung der Differenz \(I_2(x) = -\frac{4}{x} - (-2)\), was zum Endergebnis \(I_2(x) = 2 - \frac{4}{x}\) führt.

\(I_2(x) = 2 - \frac{4}{x}\)

- Erinnere dich daran, welchen Wert eine Integralfunktion an ihrer unteren Integrationsgrenze immer annimmt. Hilft dir das hier bereits weiter? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Ableitung einer Integralfunktion und dem Integranden im Integral? - Wie kannst du mithilfe des Integranden herausfinden, an welcher Stelle die Integralfunktion eine waagerechte Tangente und damit eine mögliche Extremstelle haben muss? - Überlege dir, wie das Vorzeichen des Integranden das Monotonieverhalten der Integralfunktion beeinflusst.

1. Bestimmung des Funktionswerts an der unteren Integrationsgrenze: Da \(I_{-2}(-2) = \int_{-2}^{-2} f(t) \mathrm{d}t = 0\), muss der gesuchte Graph eine Nullstelle bei \(x = -2\) besitzen. Dies trifft auf alle drei Graphen \(G_1\), \(G_2\) und \(G_3\) zu. 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: Die Ableitung der Integralfunktion entspricht dem Integranden, also \(I_{-2}'(x) = f(x) = -\frac{1}{2}x + 1\). 3. Bestimmung der Extremstellen: Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle ist \(I_{-2}'(x) = f(x) = 0\), woraus sich \(-\frac{1}{2}x + 1 = 0 \implies x = 2\) ergibt. Somit muss der Graph bei \(x = 2\) einen Scheitelpunkt mit waagerechter Tangente besitzen. Dies schließt den Graphen \(G_3\) aus, dessen Scheitelpunkt bei \(x = 1\) liegt. 4. Bestimmung des Extremumstyps: Wegen \(I_{-2}''(x) = f'(x) = -\frac{1}{2} < 0\) liegt bei \(x = 2\) ein lokales Maximum vor. Dies schließt den nach oben geöffneten Graphen \(G_2\) mit einem lokalen Minimum bei \(x = 2\) aus. 5. Ergebnis: Der Graph der Integralfunktion \(I_{-2}\) ist \(G_1\).

Der richtige Graph ist \(G_1\).

- Überlege zuerst, welchen Funktionswert eine Integralfunktion an der Stelle ihrer unteren Grenze haben muss. Was bedeutet das für den Verlauf des Graphen? - Wie hängt die Ableitung der Integralfunktion \(I_a(x)\) mit der Funktion \(f(x)\) zusammen? Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. - Welche Bedeutung haben die Nullstellen von \(f(x)\) für den Graphen der Integralfunktion? - Schaue dir das Vorzeichen von \(f(x)\) in verschiedenen Bereichen an und überlege, was dies für das Monotonieverhalten der Integralfunktion bedeutet.

1. Bestimmung des Funktionswerts an der unteren Integrationsgrenze: Da die untere Grenze des Integrals bei \(2\) liegt, gilt für die Integralfunktion \(I_2(2) = \int_{2}^{2} f(t) \,\mathrm{d}t = 0\). Der Graph der gesuchten Integralfunktion muss also durch den Punkt \((2 \mid 0)\) verlaufen. Dies ist für \(G_1\) und \(G_3\) der Fall, schließt jedoch \(G_2\), der durch \((2 \mid 4)\) verläuft, aus. 2. Zusammenhang zwischen Ableitung und Integrand: Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt \(I_2'(x) = f(x)\). Die Nullstellen von \(f\) bei \(x = 0\) und \(x = 4\) sind somit die Extremstellen von \(I_2\). 3. Analyse der Monotonie: Da \(f(x) > 0\) für \(0 < x < 4\) ist, muss \(I_2\) in diesem Intervall streng monoton steigen. Da \(f(x) < 0\) für \(x < 0\) und \(x > 4\) ist, muss \(I_2\) in diesen Bereichen streng monoton fallen. Somit hat \(I_2\) bei \(x = 0\) einen Tiefpunkt und bei \(x = 4\) einen Hochpunkt. 4. Abgleich mit den verbleibenden Graphen: Der Graph \(G_1\) zeigt genau dieses Monotonieverhalten mit einem Tiefpunkt bei \((0 \mid -4)\) und einem Hochpunkt bei \((4 \mid 4)\), während \(G_3\) das entgegengesetzte Verhalten aufweist. Somit stellt der Graph \(G_1\) die Integralfunktion \(I_2\) dar.

Der Graph \(G_1\) stellt die Integralfunktion \(I_2\) dar.

- Kannst du das Integral als geometrische Fläche zwischen dem Graphen und der horizontalen Achse interpretieren? - Achte besonders auf das Vorzeichen: Was passiert mit dem Integral, wenn der Graph unterhalb der Achse liegt? - Was bedeutet es für das Vorzeichen des Integrals, wenn die obere Grenze kleiner ist als die untere Grenze (Integration nach links)? - Kannst du die Flächenstücke durch einfache geometrische Formen wie Dreiecke und Trapeze berechnen?

1. **Aussage a) ist wahr**: Das Integral \(\int_0^2 f(t) \,\mathrm{d}t\) teilt sich in zwei Bereiche auf: - Von \(t = 0\) bis \(t = 1\) verläuft der Graph oberhalb der \(t\)-Achse. Die Fläche ist ein Dreieck mit Grundseite \(1\) und Höhe \(1\), also \(A_1 = \frac{1 \cdot 1}{2} = 0{,}5\). - Von \(t = 1\) bis \(t = 2\) verläuft der Graph unterhalb der \(t\)-Achse. Die Fläche ist ein Dreieck mit Grundseite \(1\) und Höhe \(1\), also \(A_2 = \frac{1 \cdot 1}{2} = 0{,}5\). Da dieses Dreieck unterhalb der Achse liegt, zählt sein Wert negativ. Somit gilt \(I_0(2) = 0{,}5 - 0{,}5 = 0\). 2. **Aussage b) ist wahr**: - Für \(x \in ]0; 1]\) ist der Funktionswert \(f(t) \ge 0\), weshalb das Integral \(I_0(x) = \int_0^x f(t) \,\mathrm{d}t\) positiv ist. - Für \(x \in ]1; 2[\) wird vom positiven Wert \(I_0(1) = 0{,}5\) ein Teil der negativen Fläche abgezogen. Da dieser abgezogene Flächeninhalt für \(x < 2\) jedoch strikt kleiner als \(0{,}5\) ist, bleibt das Integral \(I_0(x) = 0{,}5 - \int_1^x |f(t)| \,\mathrm{d}t\) immer positiv. 3. **Aussage c) ist falsch**: Da die obere Grenze kleiner als die untere Grenze ist, gilt: \(I_0(-1) = \int_0^{-1} f(t) \,\mathrm{d}t = -\int_{-1}^0 f(t) \,\mathrm{d}t\) Die Fläche unter dem Graphen von \(t = -1\) bis \(t = 0\) ist ein Trapez mit den parallelen Seitenlängen \(f(-1) = 2\) und \(f(0) = 1\) sowie der Breite \(1\). Der Flächeninhalt beträgt: \(A_{\text{Trapez}} = \frac{2 + 1}{2} \cdot 1 = 1{,}5\) Wegen der umgekehrten Integrationsrichtung gilt \(I_0(-1) = -1{,}5\). 4. **Aussage d) ist wahr**: Es gilt \(I_0(-3) = -\int_{-3}^0 f(t) \,\mathrm{d}t\). Wir betrachten das Integral \(\int_{-3}^{-1} f(t) \,\mathrm{d}t\): - Von \(t = -3\) bis \(t = -2\) liegt ein Dreieck unterhalb der \(t\)-Achse mit dem Flächeninhalt \(-1\). - Von \(t = -2\) bis \(t = -1\) liegt ein Dreieck oberhalb der \(t\)-Achse mit dem Flächeninhalt \(+1\). Diese beiden Flächen heben sich gegenseitig auf, sodass \(\int_{-3}^{-1} f(t) \,\mathrm{d}t = 0\) gilt. Daraus folgt \(\int_{-3}^0 f(t) \,\mathrm{d}t = \int_{-1}^0 f(t) \,\mathrm{d}t\) und somit \(I_0(-3) = I_0(-1) = -1{,}5\).

a) Wahr b) Wahr c) Falsch (der korrekte Wert ist \(-1{,}5\)) d) Wahr

- Erinnere dich an die Definition einer Integralfunktion: Was ist der Wert eines Integrals, wenn die obere Grenze gleich der unteren Grenze ist? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Ableitung einer Integralfunktion \(I_a(x)\) und der Funktion \(f(x)\), die unter dem Integral steht? - Wie hängen das Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f\) und das Monotonieverhalten der Stamm- beziehungsweise Integralfunktion zusammen? - Betrachte den Verlauf des Graphen von \(f\) im Intervall \([-2; 2]\): Ist er positiv oder negativ, und was bedeutet das für das Monotonieverhalten der Integralfunktion?

1. Bestimmung des Funktionswerts an der Stelle \(x = -2\): Für jede Integralfunktion gilt allgemein \(I_a(a) = \int_{a}^{a} f(t) \,\mathrm{d}t = 0\). Hier ist die untere Grenze \(a = -2\), also muss \(I_{-2}(-2) = 0\) gelten. Der Graph von \(G_2\) verläuft an der Stelle \(x = -2\) nicht durch die \(x\)-Achse; es gilt \(G_2(-2) \approx -2{,}67 \neq 0\). Daher kann der Graph \(G_2\) ausgeschlossen werden. 2. Untersuchung des Monotonieverhaltens im Intervall \([-2; 2]\): Die Ableitung der Integralfunktion ist die Funktion \(f\) selbst, also \(I_{-2}'(x) = f(x)\). Im Intervall \([-2; 2]\) gilt \(f(x) \ge 0\), da der Graph von \(f\) oberhalb oder auf der \(x\)-Achse liegt. Daraus folgt, dass die Integralfunktion \(I_{-2}\) im Intervall \([-2; 2]\) streng monoton steigend ist. Der Graph \(G_1\) steigt im Intervall \([-2; 2]\) streng monoton an, während der Graph \(G_3\) im selben Intervall streng monoton fällt, da \(G_3' = -f\) gilt. Somit ist \(G_1\) der korrekte Graph der Integralfunktion \(I_{-2}\).

a) Der Graph \(G_2\) kann ausgeschlossen werden, da für die Integralfunktion \(I_{-2}(-2) = 0\) gelten muss, der Graph \(G_2\) jedoch an der Stelle \(x = -2\) einen Funktionswert ungleich null besitzt. b) Der Graph \(G_1\) ist der richtige Graph. Da die Ableitung \(I_{-2}'(x) = f(x)\) im Intervall \([-2; 2]\) nicht negativ ist, muss die Integralfunktion dort monoton steigen. Dies trifft nur auf \(G_1\) zu, während \(G_3\) in diesem Intervall fällt.

- Wie hängen eine Funktion \(f\) und ihre Integralfunktion \(I_a\) über die Ableitung zusammen? - Welchen Einfluss hat das Vorzeichen einer Funktion auf das Monotonieverhalten ihrer Stamm- beziehungsweise Integralfunktion? - Was passiert mit dem Vorzeichen eines bestimmten Integrals, wenn man die obere und die untere Integrationsgrenze vertauscht? - Welches Vorzeichen hat das Integral einer Funktion, deren Graph im Integrationsintervall vollständig unterhalb der \(x\)-Achse liegt, wenn man von links nach rechts integriert?

a) 1. Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt \(I_2'(x) = f(x)\). Das Vorzeichen von \(f(x)\) bestimmt somit das Monotonieverhalten der Integralfunktion \(I_2\). 2. Im Intervall \([-2; 2]\) verläuft der Graph \(G_f\) unterhalb oder auf der \(x\)-Achse, es gilt also \(f(x) \le 0\). Daher ist \(I_2\) in diesem Intervall streng monoton fallend. 3. Für \(x < -2\) ist \(f(x) > 0\), weshalb \(I_2\) dort streng monoton steigend ist. 4. Da die Ableitung \(I_2'\), also \(f\), bei \(x = -2\) ihr Vorzeichen von Plus nach Minus wechselt, besitzt der Graph von \(I_2\) an dieser Stelle einen lokalen Hochpunkt. b) 1. Nach Definition der Integralfunktion gilt \(I_2(-2) = \int_{2}^{-2} f(t)\,\mathrm{d}t\). 2. Vertauscht man die Integrationsgrenzen, ändert sich das Vorzeichen des Integrals: \(I_2(-2) = -\int_{-2}^{2} f(t)\,\mathrm{d}t\). 3. Da der Graph von \(f\) im Intervall \([-2; 2]\) vollständig unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, ist der Wert des Integrals \(\int_{-2}^{2} f(t)\,\mathrm{d}t\) negativ. 4. Durch das zusätzliche negative Vorzeichen vor dem Integral ergibt sich für \(I_2(-2)\) ein positiver Wert: \(-\text{(negativer Wert)} > 0\).

a) Da \(I_2'(x) = f(x)\) ist, richtet sich das Monotonieverhalten von \(I_2\) nach dem Vorzeichen von \(f\): Für \(x < -2\) gilt \(f(x) > 0\), also steigt \(I_2\) streng monoton. Im Intervall \([-2; 2]\) gilt \(f(x) \le 0\), also fällt \(I_2\) streng monoton. Der Vorzeichenwechsel von \(f\) bei \(x = -2\) von Plus nach Minus begründet den dortigen Hochpunkt von \(I_2\). b) Nach Definition gilt \(I_2(-2) = \int_{2}^{-2} f(t)\,\mathrm{d}t = -\int_{-2}^{2} f(t)\,\mathrm{d}t\). Da der Graph von \(f\) im Intervall \([-2; 2]\) unterhalb der \(x\)-Achse liegt, ist das Integral \(\int_{-2}^{2} f(t)\,\mathrm{d}t\) negativ. Durch das Vertauschen der Grenzen entsteht ein zusätzliches Minuszeichen, wodurch \(I_2(-2)\) positiv wird.

- Interpretiere \(I_0(x)\) als orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse. - Welche Vorzeichen haben Flächenstücke oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse? - Nach dem Hauptsatz gilt \(I_0'(x)=f(x)\). Wie helfen die Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(f\) bei der Bestimmung von Extremstellen? - Zerlege die Fläche bis \(x=5\) in bekannte Dreiecke und Trapeze.

1. Es gilt \(I_0(0)=0\). Im Intervall \([0; 2]\) liegt eine Dreiecksfläche mit dem orientierten Inhalt \(-2\), also \(I_0(2)=-2\). Von \(2\) bis \(4\) kommt eine positive Dreiecksfläche mit Inhalt \(2\) hinzu, also \(I_0(4)=0\). Von \(4\) bis \(6\) kommt nochmals \(2\) hinzu, also \(I_0(6)=2\). Von \(6\) bis \(8\) wird \(2\) abgezogen, also \(I_0(8)=0\). Die Nullstellen sind \(x=0\), \(x=4\) und \(x=8\). 2. Nach dem Hauptsatz gilt \(I_0'(x)=f(x)\). Bei \(x=6\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ; daher besitzt \(I_0\) dort sein globales Maximum. Der maximale Wert ist \(I_0(6)=2\). 3. Es gilt \(I_0(5)=I_0(4)+\int_4^5 f(t)\,\text{d}t\). Das Teilstück ist ein Trapez mit den Höhen \(2\) und \(1\) und der Breite \(1\). Daher ist \(I_0(5)=\frac{2+1}{2}\cdot 1=1{,}5\).

a) Die Nullstellen von \(I_0\) im Intervall \([0; 8]\) sind \(x = 0\), \(x = 4\) und \(x = 8\). b) Der maximale Wert ist \(2\) und wird an der Stelle \(x = 6\) angenommen. c) Der Funktionswert ist \(I_0(5) = 1{,}5\).

- Überlege dir zuerst, wie die Integralfunktion \(I(x)\) anschaulich definiert ist: Sie misst die orientierte Fläche (Flächenbilanz) unter dem Graphen von \(f\) ab der Startstelle \(0\). - Achte besonders auf das Vorzeichen der Flächenstücke: Liegt der Graph oberhalb der \(x\)-Achse, ist der Beitrag positiv, liegt er darunter, ist er negativ. - Was passiert, wenn du nach links integrierst? Wie ändert sich dadurch das Vorzeichen des bestimmten Integrals? - Nutze den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: Wie hängen die Ableitung von \(I(x)\) und die Funktion \(f(x)\) zusammen? Was bedeutet das für Extremstellen? - Denke daran, dass eine Integralfunktion an ihrer unteren Grenze immer den Wert \(0\) annimmt.

1. Bestimmung der Funktionswerte von \(I(x)\) durch Flächenbilanz: - Für \(I(2) = \int_{0}^{2} f(t) \, \mathrm{d}t\) betrachten wir das Dreieck über der \(x\)-Achse im Intervall \([0; 2]\) mit Grundseite \(2\) und Höhe \(2\). Die Fläche ist positiv: \(I(2) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). - Für \(I(4) = \int_{0}^{4} f(t) \, \mathrm{d}t\) addieren wir zum Wert \(I(2)\) das Integral von \(2\) bis \(4\). Dieses entspricht einem Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse mit Grundseite \(2\) und Höhe \(2\), also mit negativem Flächeninhalt: \(\int_{2}^{4} f(t) \, \mathrm{d}t = -\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = -2\). Somit gilt \(I(4) = 2 - 2 = 0\). - Für \(I(-1) = \int_{0}^{-1} f(t) \, \mathrm{d}t\) beachten wir die Umkehrung der Integrationsrichtung: \(I(-1) = -\int_{-1}^{0} f(t) \, \mathrm{d}t\). Das Dreieck über der \(x\)-Achse im Intervall \([-1; 0]\) hat die Grundseite \(1\) und die Höhe \(2\), also den Flächeninhalt \(\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\). Mit dem negativen Vorzeichen der rückwärtigen Integration folgt \(I(-1) = -1\). 2. Lokale Extremstellen im Inneren von \([-2; 5]\): - Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt \(I'(x) = f(x)\). Lokale Extremstellen im Inneren des Intervalls treten an den Nullstellen von \(f\) mit Vorzeichenwechsel auf. - Bei \(x = -1\) hat \(f\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus. Daher liegt bei \(x = -1\) eine lokale Minimalstelle von \(I\) vor. - Bei \(x = 2\) hat \(f\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Daher liegt bei \(x = 2\) eine lokale Maximalstelle von \(I\) vor. 3. Nullstellen der Integralfunktion \(I\): - Eine Nullstelle ist stets die untere Integrationsgrenze, also \(x = 0\), da \(I(0) = \int_{0}^{0} f(t) \, \mathrm{d}t = 0\). - Aus Teilaufgabe a) wissen wir bereits, dass \(I(4) = 0\) ist, womit \(x = 4\) eine weitere Nullstelle ist. - Für die linke Grenze \(x = -2\) berechnen wir \(I(-2) = -\int_{-2}^{0} f(t) \, \mathrm{d}t\). Die orientierte Fläche von \(-2\) bis \(-1\) beträgt \(-1\) und die von \(-1\) bis \(0\) beträgt \(+1\). Die Summe ist \(-1 + 1 = 0\), weshalb \(I(-2) = 0\) gilt. Somit ist \(x = -2\) die dritte Nullstelle. - Da \(I\) auf den Intervallen zwischen diesen Werten aufgrund des konstanten Vorzeichens von \(f\) streng monoton verläuft, gibt es keine weiteren Nullstellen. Die Nullstellen im Intervall \([-2; 5]\) sind somit genau \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 4\).

a) Die gesuchten Funktionswerte sind \(I(2) = 2\), \(I(4) = 0\) und \(I(-1) = -1\). b) Lokale Minimalstelle bei \(x = -1\) (Vorzeichenwechsel von \(f\) von Minus nach Plus); lokale Maximalstelle bei \(x = 2\) (Vorzeichenwechsel von \(f\) von Plus nach Minus). c) Die Nullstellen der Integralfunktion \(I\) im Intervall \([-2; 5]\) sind genau \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 4\).

- Welche geometrische Form hat die Fläche unter dem Graphen im angegebenen Intervall? - Welche Längen haben die beiden parallelen Seiten dieser Figur und wie hängen sie mit der Funktion zusammen? - Wie berechnet man allgemein den Flächeninhalt eines Trapezes? - Wie lässt sich das bestimmte Integral mithilfe einer Stammfunktion berechnen? - Vergleiche die beiden Terme, nachdem du den Term ohne Funktionssymbol vereinfacht hast.

1. Geometrische Begründung: Die Fläche unter der linearen Funktion \(f\) im Intervall \([1; x]\) stellt geometrisch ein Trapez mit vertikalen parallelen Seiten dar. Die Längen dieser Seiten entsprechen den Funktionswerten an den Grenzen: Die linke Seite hat die feste Höhe \(a = f(1) = -1 + 4 = 3\), die rechte Seite hat die variable Höhe \(c = f(x)\). Die Breite des Trapezes ist die Differenz der Intervallgrenzen, also \(h = x - 1\). Einsetzen in die Trapezformel \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\) ergibt direkt die Integralfunktion: \(I_1(x) = \frac{1}{2} \cdot (3 + f(x)) \cdot (x - 1)\). 2. Term ohne Funktionssymbol: Setzt man den Funktionsterm \(f(x) = -x + 4\) in das Ergebnis aus Teilaufgabe a) ein, erhält man: \(I_1(x) = \frac{1}{2} \cdot (3 + (-x + 4)) \cdot (x - 1) = \frac{1}{2} \cdot (7 - x) \cdot (x - 1)\). Ausmultiplizieren liefert: \(I_1(x) = \frac{1}{2} \cdot (7x - 7 - x^2 + x) = \frac{1}{2} \cdot (-x^2 + 8x - 7) = -0{,}5x^2 + 4x - 3{,}5\). 3. Analytische Berechnung: Eine Stammfunktion von \(f(t) = -t + 4\) ist \(F(t) = -0{,}5t^2 + 4t\). Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt: \(I_1(x) = \int_{1}^{x} (-t + 4)\,\mathrm{d}t = F(x) - F(1) = (-0{,}5x^2 + 4x) - (-0{,}5 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1) = -0{,}5x^2 + 4x - 3{,}5\). Dies stimmt exakt mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe b) überein.

a) Die Fläche unter dem Graphen ist ein Trapez mit den parallelen vertikalen Seiten \(a = f(1) = 3\) und \(c = f(x)\) sowie der Breite \(h = x - 1\). Einsetzen in die Flächenformel des Trapezes \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\) zeigt die Behauptung. b) \(I_1(x) = -0{,}5x^2 + 4x - 3{,}5\) c) Mit der Stammfunktion \(F(t) = -0{,}5t^2 + 4t\) gilt: \(I_1(x) = F(x) - F(1) = (-0{,}5x^2 + 4x) - 3{,}5 = -0{,}5x^2 + 4x - 3{,}5\). Dies stimmt mit dem Ergebnis aus b) überein.

- Welchen Wert hat eine Integralfunktion an ihrer unteren Grenze? Nutze dies, um die Nullstellen im Graphen zu untersuchen. - Wie hängen der Wert eines bestimmten Integrals und die Funktionswerte der Integralfunktion zusammen? - Was muss für eine Funktion gelten, damit sie als Integralfunktion bezeichnet werden kann? Welche Eigenschaft bezüglich Nullstellen unterscheidet sie von einer beliebigen Stammfunktion? - Wenn du die untere Grenze einer Integralfunktion verschiebst, entspricht dies einer vertikalen Verschiebung des ursprünglichen Graphen. Bei welchem Funktionswert von \(J_b\) liegen die neuen Nullstellen?

1. **Teilaufgabe a):** Für jede Integralfunktion gilt nach Definition \(J_b(b) = \int_b^b g(t)\,\mathrm{d}t = 0\). Die untere Grenze \(b\) muss also eine Nullstelle von \(J_b\) sein. Aus dem Graphen lesen wir im Intervall \([-4; 0]\) die Nullstellen bei \(x = -3\) und \(x = 0\) ab. Da die Aufgabenstellung \(b \ne 0\) vorschreibt, folgt: \(b = -3\). 2. **Teilaufgabe b):** - Das erste Integral entspricht dem Funktionswert an der oberen Grenze \(0\): \(\int_b^0 g(x)\,\mathrm{d}x = J_b(0) = J_{-3}(0)\). Aus dem Graphen lesen wir ab: \(J_{-3}(0) = 0\). Somit gilt \(\int_{-3}^0 g(x)\,\mathrm{d}x = 0\). - Für das zweite Integral nutzen wir die Integralfunktion als Stammfunktion: \(\int_{-1}^0 g(x)\,\mathrm{d}x = J_b(0) - J_b(-1) = 0 - 2 = -2\). 3. **Teilaufgabe c):** - Da \(J_b\) eine Integralfunktion von \(g\) ist, ist sie auch eine Stammfunktion von \(g\), es gilt also \(J_b'(x) = g(x)\). Für die Ableitung von \(G\) folgt: \(G'(x) = (J_b(x) + 1)' = J_b'(x) = g(x)\). Damit ist \(G\) ebenfalls eine Stammfunktion von \(g\). - Jede Integralfunktion muss an ihrer unteren Grenze den Wert \(0\) annehmen, besitzt also mindestens eine Nullstelle im betrachteten Intervall. Der Graph zeigt, dass \(J_b(x) \ge 0\) für alle \(x \in [-4; 0]\) ist. Daraus folgt: \(G(x) = J_b(x) + 1 \ge 0 + 1 = 1 > 0\) für alle \(x \in [-4; 0]\). Da \(G\) im gesamten Intervall keine Nullstelle besitzt, kann sie dort keine Integralfunktion von \(g\) sein. 4. **Teilaufgabe d):** Die Integralfunktion \(J_{-1}\) ist gegeben durch: \(J_{-1}(x) = \int_{-1}^x g(t)\,\mathrm{d}t = J_b(x) - J_b(-1) = J_b(x) - 2\). Die Nullstellen von \(J_{-1}\) sind die Stellen \(x\), für die gilt: \(J_{-1}(x) = 0 \iff J_b(x) = 2\). Wir suchen im Graphen nach den Stellen im Intervall \([-4; 0]\), an denen der Funktionswert \(2\) beträgt. Dies ist bei \(x_1 = -4\) und \(x_2 = -1\) der Fall.

a) \(b = -3\) b) \(\int_b^0 g(x)\,\mathrm{d}x = 0\) und \(\int_{-1}^0 g(x)\,\mathrm{d}x = -2\) c) Da \(G'(x) = g(x)\), ist \(G\) eine Stammfunktion. Weil \(J_b(x) \ge 0\) auf \([-4; 0]\) gilt, ist \(G(x) \ge 1 > 0\) stets positiv und besitzt keine Nullstelle, weshalb \(G\) keine Integralfunktion sein kann. d) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -4\) und \(x_2 = -1\).

- Wie lautet die mathematische Definition einer Integralfunktion und wie bestimmt man deren Stammfunktion? - Erinnere dich daran, was das Einsetzen der unteren Grenze als obere Grenze für den Wert des Integrals bedeutet. - Welche geometrische Bedeutung hat das bestimmte Integral im Zusammenhang mit Flächenstücken oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse? - Überlege dir, wie das Vorzeichen der Funktionswerte von \(f\) das Monotonieverhalten der Integralfunktion \(I_0\) beeinflusst. - Vergleiche die Größe der Flächenstücke unterhalb und oberhalb der \(x\)-Achse im Graphen. Was passiert mit der Summe dieser Flächen, wenn du von links nach rechts gehst?

1. Rechnerische Bestimmung: \(I_0(x)=\int_0^x (0{,}5t^2-2)\,\mathrm{d}t=\frac{1}{6}x^3-2x\). Aus \(\frac{1}{6}x^3-2x=0\) folgt \(x\left(\frac{1}{6}x^2-2\right)=0\). Die Nullstellen sind \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt{12}\approx\pm 3{,}46\). 2. Qualitative Begründung auf \([0; 4]\): Bei \(x=0\) ist das Integral wegen gleicher Grenzen null. Auf \((0; 2)\) liegt der Graph von \(f\) unterhalb der \(x\)-Achse, daher wird die Flächenbilanz negativ. Ab \(x=2\) liegt der Graph oberhalb der \(x\)-Achse und die Bilanz wächst streng. Aus der Zeichnung ist erkennbar, dass die positive Fläche von \(2\) bis \(4\) größer als die negative Fläche von \(0\) bis \(2\) ist. Daher muss die stetige Integralfunktion nach \(x=2\) genau einmal die \(x\)-Achse schneiden. Zusammen mit \(x=0\) besitzt sie auf \([0; 4]\) genau zwei Nullstellen.

a) Die Nullstellen der Integralfunktion \(I_0\) im Intervall \([-4; 4]\) sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = -\sqrt{12} \approx -3{,}46\) und \(x_3 = \sqrt{12} \approx 3{,}46\). b) Es gilt \(I_0(0)=0\). Auf \((0;2)\) ist \(f(x)<0\), daher wird \(I_0\) negativ; für \(x>2\) ist \(f(x)>0\), sodass \(I_0\) streng steigt. Da die positive Fläche auf \([2;4]\) größer ist als die negative Fläche auf \([0;2]\), besitzt \(I_0\) neben \(x=0\) genau eine weitere Nullstelle in \((2;4]\).

- Was bedeutet die Integralfunktion \(F(x) = \int_0^x f(t)\,\text{d}t\) anschaulich für den Flächeninhalt unter dem Graphen von \(f\)? - Welche geometrische Form bildet die Fläche unter dem Graphen von \(f\) im Bereich von \(0\) bis \(4\)? - Welcher Zusammenhang besteht nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zwischen einer Funktion \(f\) und ihrer Integralfunktion \(F\)? - Was sagt das Vorzeichen von \(f(x)\) über das Monotonieverhalten (Steigen oder Fallen) von \(F(x)\) aus? - Wie hängt das Wachstum oder Fallen von \(f(x)\) mit der Krümmung des Graphen von \(F(x)\) zusammen?

1. **Geometrische Berechnung von \(F(4)\):** Nach der Definition der Integralfunktion ist \(F(4) = \int_0^4 f(t)\,\text{d}t\). Dies entspricht dem Flächeninhalt unter dem Graphen von \(f\) im Intervall \([0; 4]\). In diesem Intervall ist der Graph von \(f\) eine Strecke von \((0 \mid 4)\) nach \((4 \mid 0)\). Die Fläche darunter bildet ein rechtwinkliges Dreieck mit der Grundseite \(g = 4\) und der Höhe \(h = 4\). Der Flächeninhalt berechnet sich zu: \(A = \frac{1}{2} g h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\). Da der Graph von \(f\) in diesem Bereich vollständig oberhalb der x-Achse liegt, ist der Wert des Integrals positiv: \(F(4) = 8\). 2. **Ausschluss von Graph B:** Da \(f(x) \geq 0\) für alle \(x \in [-4; 4]\) gilt, ist die Ableitung der Integralfunktion \(F'(x) = f(x)\) überall nicht-negativ (und im Intervall \((-4; 4)\) sogar streng positiv). Eine Funktion mit einer nicht-negativen Ableitung muss auf dem gesamten Intervall monoton steigen. Graph B fällt jedoch im Intervall \([0; 4]\) ab und hat dort den Wert \(F(4) = 0\) statt \(8\). Somit scheidet Graph B aus. 3. **Ausschluss von Graph C und Bestätigung von Graph A:** Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt für die Ableitung der Integralfunktion \(F'(x) = f(x)\). An der Stelle \(x = 0\) hat \(f\) den Wert \(f(0) = 4\). Das bedeutet, dass der Graph der Integralfunktion \(F\) im Ursprung eine positive Steigung von \(4\) aufweisen muss. Graph C besitzt im Ursprung jedoch eine waagerechte Tangente (Steigung \(0\)), was im Widerspruch zu \(F'(0) = 4\) steht. Somit scheidet Graph C aus. Alternativ lässt sich dies über das Krümmungsverhalten begründen: Da \(f(x)\) für \(x < 0\) streng monoton steigt, muss \(F\) dort linksgekrümmt (konvex) sein. Da \(f(x)\) für \(x > 0\) streng monoton fällt, muss \(F\) dort rechtsgekrümmt (konkav) sein. Dies wird durch Graph A korrekt dargestellt (Graph C zeigt das genau umgekehrte Krümmungsverhalten). Somit ist **Graph A** der richtige Graph.

a) \(F(4) = 8\) b) Graph A ist der Graph der Integralfunktion \(F\): Graph B scheidet aus, weil \(F\) wegen \(f(x)\geq 0\) monoton steigen muss; Graph C scheidet aus, weil \(F'(0)=f(0)=4\) gilt und der Graph daher im Ursprung die Steigung \(4\), nicht \(0\), haben muss.

- Überlege zuerst, welchen Funktionswert die Integralfunktion \(I_0(x)\) an der Stelle \(x = 0\) immer haben muss. - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen der Funktion \(f\) und der Ableitung ihrer Integralfunktion? - Achte auf die Nullstellen der Funktion \(f\). Was bedeuten sie für den Verlauf des Graphen der Integralfunktion? - Betrachte die Vorzeichen der Funktionswerte von \(f\). In welchen Bereichen muss der Graph der Integralfunktion steigen oder fallen?

1. Die Integralfunktion \(I_0(x)\) muss die Bedingung \(I_0(0) = \int_{0}^{0} f(t) \, \mathrm{d}t = 0\) erfüllen. Der Graph muss also durch den Ursprung \((0 \mid 0)\) verlaufen. Dies trifft auf \(G_1\) und \(G_3\) zu, während \(G_2\) einen \(y\)-Achsenabschnitt von \(1{,}5\) hat und somit entfällt. 2. Für die Ableitung der Integralfunktion gilt \(I_0'(x) = f(x)\). An der Stelle \(x = 0\) ist \(f(0) = 2 \cdot \cos(0) = 2\). Die Steigung von \(I_0\) bei \(x = 0\) muss also \(2\) (positiv) sein. 3. Graph \(G_1\) ist bei \(x = 0\) streng monoton steigend, während Graph \(G_3\) dort fallend ist. Daher stellt \(G_1\) die Integralfunktion dar. 4. Alternativ: Da \(f(x) > 0\) für \(x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})\), muss \(I_0\) in diesem Intervall streng monoton steigen. Dies ist nur bei \(G_1\) der Fall.

Der Graph \(G_1\) stellt die Integralfunktion \(I_0\) dar.

- Welchen Wert hat ein Integral mit identischen Grenzen? - Nach dem Hauptsatz gilt \(J'(x)=f(x)\). Wie hängen die Vorzeichen von \(f\) mit der Monotonie von \(J\) zusammen? - Achte bei vertauschten Integrationsgrenzen auf das Vorzeichen. - Betrachte die Flächenbilanz zwischen dem Graphen und der \(t\)-Achse.

1. Es gilt \(J(2)=\int_2^2 f(t)\,\text{d}t=0\). Aussage a) ist wahr. 2. Nach dem Hauptsatz gilt \(J'(x)=f(x)\). Bei \(x=6\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ, daher hat \(J\) dort ein Maximum. Aussage b) ist wahr. 3. Es gilt \(J(0)=-\int_0^2 f(t)\,\text{d}t=-2\). Aussage c) ist falsch. 4. Auf \(]2; 6[\) ist \(f>0\), daher steigt \(J\) von \(J(2)=0\) bis \(J(6)=6\). Auf \([6; 8]\) fällt \(J\) nur bis \(J(8)=4\). Somit ist \(J(x)>0\) für alle \(x\in ]2; 8]\). Aussage d) ist wahr.

a) Wahr: \(J(2)=0\). b) Wahr: Bei \(x=6\) wechselt \(J'(x)=f(x)\) von positiv zu negativ. c) Falsch: \(J(0)=-2\). d) Wahr: \(J\) steigt bis \(6\) auf \(6\) und fällt anschließend nur bis \(J(8)=4\).

- Überlege dir, welchen Wert eine Integralfunktion an ihrer unteren Grenze \(a\) immer annehmen muss. - Erinnere dich daran, dass das Integral als Bilanz von Flächeninhalten oberhalb und unterhalb der x-Achse interpretiert werden kann. - Wie berechnet man den Flächeninhalt von Dreiecken, die durch den Graphen einer linearen Funktion und die Achsen entstehen? - Vergleiche die Größe der Flächenstücke, die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen.

1. Bestimmung von \(a\): Da für jede Integralfunktion \(I_a(a) = \int_a^a f(t) \, dt = 0\) gilt, muss \(a\) eine Nullstelle von \(I_a\) sein. Aus dem Graphen liest man die Nullstellen \(x = 0\) und \(x = 4\) ab. Daher sind \(a=0\) und \(a=4\) mögliche Werte. Für Teil b) wird \(a=0\) gewählt. 2. Erklärung der Flächenbilanz für \(I_0(5)\): Der Wert \(I_0(5) = \int_0^5 f(t) \, dt\) entspricht der orientierten Fläche zwischen dem Graphen von \(f\) und der x-Achse im Intervall \([0; 5]\). 3. Im Intervall \([0; 2]\) liegt der Graph oberhalb der x-Achse. Die Fläche des entsprechenden Dreiecks beträgt \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). 4. Im Intervall \([2; 5]\) liegt der Graph unterhalb der x-Achse. Die Fläche dieses Dreiecks beträgt \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot (5 - 2) \cdot |f(5)| = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4{,}5\). 5. Die Flächenbilanz ergibt sich zu \(I_0(5) = A_1 - A_2 = 2 - 4{,}5 = -2{,}5\). Da der Betrag der negativen Fläche (\(4{,}5\)) größer ist als der der positiven Fläche (\(2\)), ist das Gesamtergebnis negativ.

a) Mögliche Werte sind \(a=0\) und \(a=4\). b) Für \(a=0\) ist die positive Dreiecksfläche auf \([0;2]\) gleich \(2\), die negative Dreiecksfläche auf \([2;5]\) hat den Betrag \(4{,}5\). Daher gilt \(I_0(5)=2-4{,}5=-2{,}5\).

- Erinnere dich daran, dass die Integralfunktion \(I_a(x)\) den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der Achse im Intervall \([a; x]\) angibt. - Flächen oberhalb der \(x\)-Achse zählen positiv, Flächen unterhalb der Achse negativ. - Wo liegen die Nullstellen der Funktion \(f\)? Welche Bedeutung haben diese für die Monotonie der Integralfunktion? - Zerlege die Fläche unter dem Graphen in einfache geometrische Formen wie Dreiecke und Rechtecke.

1. Berechnung von \(I_1(5)\): Die Integralfunktion entspricht der Bilanz der Flächeninhalte zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse ab \(x=1\). - Intervall \([1; 2]\): Dreiecksfläche oberhalb der Achse mit \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\). - Intervall \([2; 4]\): Rechtecksfläche oberhalb der Achse mit \(A_2 = 2 \cdot 2 = 4\). - Intervall \([4; 5]\): Dreiecksfläche oberhalb der Achse mit \(A_3 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\). - Summe: \(I_1(5) = 1 + 4 + 1 = 6\). 2. Bestimmung der Nullstelle \(x > 5\): - Für \(x \in [5; 6]\) ist \(f(t) = -2t + 10\). Der Flächenbeitrag ist \(\int_5^6 f(t) \,\text{d}t = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (-2) = -1\). Somit ist \(I_1(6) = 6 - 1 = 5\). - Für \(x > 6\) ist \(f(t) = -2\). Es gilt \(I_1(x) = I_1(6) + \int_6^x (-2) \,\text{d}t = 5 - 2(x - 6) = 17 - 2x\). - Aus \(17 - 2x = 0\) folgt \(x = 8{,}5\). 3. Verlauf von \(I_1\) auf \([1; 6]\): - Da \(f(x) > 0\) für \(x \in (1; 5)\), ist \(I_1\) dort streng monoton steigend. - Bei \(x = 5\) hat \(f\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\), daher liegt bei \(x = 5\) ein lokales Maximum von \(I_1\) vor. - Für \(x \in (5; 6]\) ist \(f(x) < 0\), daher ist \(I_1\) dort streng monoton fallend.

a) \(I_1(5) = 6\) b) \(x = 8{,}5\) c) Der Graph von \(I_1\) ist im Intervall \([1; 5]\) streng monoton steigend und im Intervall \([5; 6]\) streng monoton fallend. Bei \(x = 5\) befindet sich ein lokales Maximum mit dem Wert \(6\).

- Wie kannst du ein bestimmtes Integral berechnen, wenn du die Werte der Stammfunktion an den Integrationsgrenzen kennst? - Überlege, welchen Funktionswert eine Integralfunktion an ihrer unteren Grenze immer haben muss. - Welchen grafischen Zusammenhang gibt es zwischen einer Funktion und ihrer Ableitungsfunktion (hier \(F\) und \(f\))? - Schau dir die Monotonie des Graphen an der Stelle \(x = 0\) an.

1. Berechnung des Integrals: Gemäß dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ist \(\int_{0}^{2} f(x) \, \text{d}x = F(2) - F(0)\). Aus dem Graphen entnimmt man die Funktionswerte \(F(2) = 0\) und \(F(0) = 4\). Damit ergibt sich: \(0 - 4 = -4\). 2. Integralfunktion: Eine Stammfunktion ist genau dann eine Integralfunktion, wenn sie mindestens eine Nullstelle besitzt, da für eine Integralfunktion \(J_a(x) = \int_a^x f(t) \, \text{d}t\) stets \(J_a(a) = 0\) gilt. Da der Graph von \(F\) Nullstellen bei \(x = 2\) und \(x = -4\) hat, ist \(F\) eine Integralfunktion. Eine mögliche untere Grenze ist \(a = 2\) (oder \(a = -4\)). 3. Vorzeichen von \(f(0)\): Der Funktionswert \(f(0)\) entspricht der Steigung der Stammfunktion \(F\) an der Stelle \(x = 0\). Da der Graph von \(F\) an dieser Stelle fällt, ist die Steigung negativ, woraus \(f(0) < 0\) folgt.

a) \(\int_{0}^{2} f(x) \, \text{d}x = -4\) b) \(F\) ist eine Integralfunktion, da sie Nullstellen besitzt (z. B. bei \(x=2\)). Eine mögliche untere Grenze ist \(a = 2\) oder \(a = -4\). c) \(f(0)\) ist negativ, da der Graph der Stammfunktion \(F\) an der Stelle \(x=0\) eine negative Steigung aufweist (er fällt).

- Eine Integralfunktion hat immer mindestens eine Stelle, an der ihr Wert null ist. Trifft das hier zu? - Denke an den Zusammenhang zwischen der Ableitung einer Funktion und ihrer Steigung. - Wie berechnet man ein bestimmtes Integral, wenn man die Stammfunktion kennt? - Was sagt ein Tiefpunkt im Graphen der Stammfunktion über die Werte der ursprünglichen Funktion aus?

1. Eine Integralfunktion muss eine Nullstelle haben. Da der Graph \(G_F\) stets oberhalb der x-Achse verläuft (Minimum bei \(y = 2\)), hat \(F\) keine Nullstelle. Die Aussage ist falsch. 2. Der Funktionswert \(f(1)\) ist die Steigung von \(F\) bei \(x = 1\). Da der Graph dort fällt, ist die Steigung negativ. Die Aussage ist wahr. 3. Es gilt \(\int_0^4 f(x) \,\text{d}x = F(4) - F(0)\). Aus dem Graphen liest man \(F(4) = 4\) und \(F(0) = 4\) ab. Somit ist das Integral \(4 - 4 = 0\). Die Aussage ist wahr. 4. Nullstellen von \(f\) sind die Stellen, an denen \(F\) eine waagerechte Tangente hat. Bei \(x = 2\) liegt ein lokales Minimum von \(F\) vor, also ist \(f(2) = F'(2) = 0\). Die Aussage ist wahr.

a) Falsch, da \(F\) keine Nullstellen besitzt. b) Wahr, da \(F\) bei \(x = 1\) eine negative Steigung hat. c) Wahr, da \(F(4) - F(0) = 4 - 4 = 0\). d) Wahr, da \(F\) bei \(x = 2\) ein lokales Extremum (waagerechte Tangente) hat.

- Denke daran, dass der Wert einer Integralfunktion einer orientierten Fläche entspricht. - Was sagt der Funktionswert \(f(x)\) über die Steigung der Integralfunktion \(J(x)\) aus? - Wo hat eine Funktion ihre lokalen Maxima, wenn man ihre Ableitung kennt?

1. Es gilt \(J(6)=\int_3^6 f(t)\,\mathrm{d}t\). Aus der Zeichnung ergibt sich näherungsweise \(J(6)\approx 1{,}4\). 2. Nach dem Hauptsatz gilt \(J'(x)=f(x)\). Bei \(x=5\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ. Daher besitzt \(J\) dort eine lokale Maximumstelle.

1. \(J(6)\approx 1{,}4\) 2. Die lokale Maximumstelle liegt bei \(x=5\), weil \(J'(x)=f(x)\) dort von positiv zu negativ wechselt.

- Was sagt der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung über die Ableitung einer Integralfunktion aus? - Wie hängen die Nullstellen der Ableitung mit den Extremstellen der Funktion zusammen? - Denke daran, dass das Integral als Bilanz von Flächeninhalten (orientierter Flächeninhalt) interpretiert werden kann. - Was ist der Wert eines Integrals, wenn die obere und untere Grenze gleich sind?

1. Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt \(J'(x) = f(x)\). Die Nullstellen von \(J'\) sind also die Nullstellen von \(f\). Im dargestellten Bereich sind dies \(x = 1{,}5\), \(x = 4{,}5\) und \(x = 7{,}5\). 2. Ein lokales Maximum von \(J\) liegt vor, wenn \(J'(x) = f(x)\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus besitzt. Im Intervall \([0; 6]\) ist dies nur an der Stelle \(x = 1{,}5\) der Fall. 3. Es gilt \(J(1) = \int_{1}^{1} f(t) \, dt = 0\). Der Wert \(J(4) = \int_{1}^{4} f(t) \, dt\) setzt sich aus der positiven Fläche im Intervall \([1; 1{,}5]\) und der negativen Fläche im Intervall \([1{,}5; 4]\) zusammen. Da das Flächenstück unterhalb der \(x\)-Achse zwischen \(1{,}5\) und \(4\) deutlich größer ist als das Flächenstück oberhalb zwischen \(1\) und \(1{,}5\), ist das Gesamtergebnis negativ. Somit ist \(J(1) > J(4)\).

a) Die Nullstellen von \(J'\) liegen bei \(x = 1{,}5\), \(x = 4{,}5\) und \(x = 7{,}5\). b) Das lokale Maximum von \(J\) liegt bei \(x = 1{,}5\). c) \(J(1)\) ist größer, da \(J(1) = 0\) und \(J(4) < 0\) gilt.

- Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes: \(A = \frac{a+c}{2} \cdot h\). Welche Seiten des Graphen entsprechen \(a\), \(c\) und \(h\)? - Die Steigung einer Geraden findest du mit einem Steigungsdreieck. - Der Wert einer Integralfunktion an einer Stelle entspricht der orientierten Fläche unter dem Graphen zwischen der unteren Grenze und dieser Stelle. - Achte darauf, dass in Teilaufgabe a) der Term für \(v(x)\) noch von \(x\) abhängt.

1. Bestimmung der Funktionsgleichung aus dem Graphen: Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(v(0) = 2\). Die Steigung berechnet sich über ein Steigungsdreieck, z. B. zwischen \(t=0\) und \(t=5\), zu \(m = \frac{v(5) - v(0)}{5 - 0} = \frac{4 - 2}{5} = 0{,}4\). Somit gilt \(v(t) = 0{,}4t + 2\). 2. Herleitung über die Trapezformel: Die Fläche unter dem Graphen von \(0\) bis \(x\) ist ein Trapez mit den parallelen Seitenlängen \(a = v(0) = 2\) und \(c = v(x) = 0{,}4x + 2\) sowie der Höhe \(h = x\). Es folgt: \(s(x) = \frac{v(0) + v(x)}{2} \cdot x = \frac{2 + (0{,}4x + 2)}{2} \cdot x = \frac{0{,}4x + 4}{2} \cdot x = (0{,}2x + 2) \cdot x = 0{,}2x^2 + 2x\). 3. Verifizierung durch Integration: \(s(x) = \int_0^x (0{,}4t + 2) \, dt = [0{,}2t^2 + 2t]_0^x = 0{,}2x^2 + 2x - (0{,}2 \cdot 0^2 + 2 \cdot 0) = 0{,}2x^2 + 2x\). Die Ergebnisse stimmen überein. 4. Berechnung der Strecke für \(x = 10\): \(s(10) = 0{,}2 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10 = 0{,}2 \cdot 100 + 20 = 20 + 20 = 40\). Die Strecke beträgt \(40\,\text{m}\).

a) \(s(x) = 0{,}2x^2 + 2x\) b) \(v(t) = 0{,}4t + 2\); die Integration führt zum identischen Term \(s(x) = 0{,}2x^2 + 2x\). c) Das Fahrzeug hat \(40\,\text{m}\) zurückgelegt.

- Bestimme zuerst die Steigung und den Achsenabschnitt der Geraden aus dem Graphen. - Denke beim Integrieren an die Potenzregel für Stammfunktionen. - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Integrals, wenn man die Grenzen vertauscht oder entgegen der Achsenrichtung integriert? - Überlege dir separat, welches Vorzeichen die Funktionswerte in den Bereichen \(x < 2\) und \(x > 2\) haben.

1. Bestimmung von \(g(t)\): Die Gerade verläuft durch die Punkte \((0\mid2)\) und \((2\mid0)\). Die Steigung ist \(m = \frac{0 - 2}{2 - 0} = -1\). Mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 2\) ergibt sich \(g(t) = -t + 2\). 2. Berechnung des Integrals: \(J_2(x) = \int_2^x (-t + 2) \, dt = [-0{,}5t^2 + 2t]_2^x = (-0{,}5x^2 + 2x) - (-0{,}5 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2) = -0{,}5x^2 + 2x - ( -2 + 4) = -0{,}5x^2 + 2x - 2\). 3. Geometrische Begründung: - Für \(x > 2\) liegen die Funktionswerte von \(g(t)\) unterhalb der \(x\)-Achse (sie sind negativ). Da die Integrationsrichtung von links nach rechts (positiv) verläuft, ist der Integralwert negativ. - Für \(x < 2\) liegen die Funktionswerte von \(g(t)\) oberhalb der \(x\)-Achse (sie sind positiv). Da jedoch „rückwärts“ von \(2\) nach links integriert wird, kehrt sich das Vorzeichen um, und das Integral wird ebenfalls negativ.

a) \(g(t) = -t + 2\) b) \(J_2(x) = -0{,}5x^2 + 2x - 2\) c) Für \(x > 2\) ist das Integral negativ, da die Fläche unter der Achse liegt. Für \(x < 2\) liegt die Fläche zwar über der Achse, aber durch die umgekehrte Integrationsrichtung (von \(2\) nach links) wird der Wert des Integrals ebenfalls negativ.

- Überlege zuerst, welcher Wert für \(G(0)\) herauskommt. Das ist deine erste Nullstelle. - Erinnere dich daran, dass das Integral dem orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse entspricht. - Schau dir an, wie sich die Flächen oberhalb und unterhalb der Achse gegenseitig aufheben könnten, wenn du von der unteren Grenze \(0\) aus nach rechts oder links gehst. - Achte auf die Symmetrie des Graphen von \(g\). Hilft dir das bei der Bestimmung der Nullstellen im negativen Bereich?

1. Wegen der gleichen unteren und oberen Grenze gilt \(G(0)=0\). Damit ist \(x=0\) eine Nullstelle. 2. Für \(0<x<3\) liegt der Graph von \(g\) unterhalb der x-Achse. Daher wird die Flächenbilanz \(G(x)\) dort streng kleiner und bleibt negativ; in diesem Intervall gibt es keine weitere Nullstelle. 3. Für \(3<x<5\) liegt \(g\) oberhalb der x-Achse. Deshalb wächst \(G\) dort streng. Eine Abschätzung mit dem Gitter zeigt, dass die positive Fläche von \(3\) bis \(5\) größer ist als der zuvor angesammelte negative Flächeninhalt von \(0\) bis \(3\). Somit wird die Bilanz genau einmal ausgeglichen, ungefähr bei \(x\approx4{,}2\). 4. Der Graph von \(g\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Daher ist die Flächenbilanz \(G\) achsensymmetrisch zur y-Achse, und es gibt eine weitere Nullstelle ungefähr bei \(x\approx-4{,}2\). Insgesamt besitzt \(G\) genau drei Nullstellen.

Die Funktion \(G\) besitzt in \([-5;5]\) genau drei Nullstellen: \(x=0\) sowie näherungsweise \(x\approx-4{,}2\) und \(x\approx4{,}2\).

- Was bedeutet die Integralfunktion \(I_0(x)\) anschaulich für die Fläche unter dem Graphen von \(g\)? - Wie berechnet man den Flächeninhalt von Dreiecken? Denke an die Vorzeichen bei Flächen unterhalb der \(x\)-Achse. - Überlege dir, wie sich der „angesammelte“ Flächeninhalt verändert, wenn du von links nach rechts über den Graphen fährst.

1. Wert von \(I_0(4)\) berechnen: \(I_0(4)\) entspricht dem Flächeninhalt des Dreiecks über dem Intervall \([0; 4]\) mit der Grundseite \(g = 4\) und der Höhe \(h = 2\). Es ergibt sich \(I_0(4) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\). 2. Wert von \(I_0(8)\) berechnen: \(I_0(8) = \int_0^4 g(t) \,\mathrm{d}t + \int_4^8 g(t) \,\mathrm{d}t\). Das zweite Integral entspricht dem orientierten Flächeninhalt des Dreiecks unterhalb der \(x\)-Achse mit Grundseite \(g = 4\) und geometrischer Höhe \(h = 2\). Somit ist \(I_0(8) = 4 - \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4 - 4 = 0\). 3. Maximum bestimmen: \(I_0(x)\) wächst, solange \(g(x) > 0\) (Intervall \((0; 4)\)) und fällt, wenn \(g(x) < 0\) (Intervall \((4; 8)\)). Das absolute Maximum liegt daher bei \(x = 4\) mit dem Wert \(I_0(4) = 4\).

a) \(I_0(4) = 4\); \(I_0(8) = 0\) b) Das Maximum liegt bei \(x = 4\) mit dem Wert \(4\).

- Überlege dir, welche geometrische Bedeutung das Integral einer Funktion hat. - Wie hängen die Nullstellen der Funktion \(f\) mit den besonderen Punkten der Integralfunktion \(I_0\) zusammen? - Achte beim Ablesen der Flächen auf das Vorzeichen: Flächen oberhalb der \(x\)-Achse zählen positiv, Flächen unterhalb negativ. - Was sagt dir der Wert von \(f(x)\) über die Steigung der Integralfunktion an dieser Stelle aus?

1. Die Dreiecksfläche auf \([0; 2]\) hat den Inhalt \(2\), daher ist \(I_0(2)=2\). 2. Auf \([2; 4]\) liegt eine gleich große Dreiecksfläche unterhalb der \(x\)-Achse. Somit ist \(I_0(4)=2-2=0\). 3. Da \(I_0'(x)=f(x)\), liegt bei \(x=2\) wegen des Wechsels von positiv zu negativ ein Hochpunkt und bei \(x=4\) wegen des Wechsels von negativ zu positiv ein Tiefpunkt. Am linken Rand \(x=0\) liegt ein Randtiefpunkt, da \(I_0\) unmittelbar rechts davon steigt. Am rechten Rand \(x=5\) liegt ein Randhochpunkt, da \(I_0\) unmittelbar links davon steigt; dabei ist \(I_0(5)=1\).

a) \(I_0(2)=2\) und \(I_0(4)=0\). b) Randtiefpunkt bei \(x=0\), Hochpunkt bei \(x=2\), Tiefpunkt bei \(x=4\), Randhochpunkt bei \(x=5\).

- Überlege dir, wie man die Fläche unter einer Parabel mit einem Integral berechnet. - Was passiert mit dem Wert einer Integralfunktion, wenn die obere Grenze gleich der unteren Grenze ist? - Achte auf die Monotonie: Wenn die Ausgangsfunktion positiv ist, wie verhält sich dann die Fläche, wenn man die Grenze nach rechts verschiebt? - Vergleiche die Symmetrie der Ausgangsfunktion mit der Symmetrie der Stammfunktion.

1. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \int_{-4}^4 (4 - 0{,}25x^2) \,\text{d}x = [4x - \frac{1}{12}x^3]_{-4}^4 = (16 - \frac{64}{12}) - (-16 + \frac{64}{12}) = 32 - \frac{128}{12} = \frac{64}{3} \approx 21{,}33\,\text{m}^2\). 2. Bestimmung des Graphen von \(F\): Da \(F(x) = \int_0^x f(t) \,\text{d}t\) gilt, muss \(F(0) = 0\) sein. Dies trifft nur auf Graph A zu. 3. Weitere Begründung: Da \(f(x) > 0\) für \(x \in (-4; 4)\) ist, muss \(F\) im positiven Bereich streng monoton steigen und im negativen Bereich (rückwärts integriert) ebenfalls Werte liefern, die von \(0\) aus zu negativen Werten führen. Graph B zeigt eine Parabel (die Funktion \(f\) selbst) und Graph C hat den falschen Startwert \(F(0) \neq 0\) sowie einen falschen Verlauf (quadratisch statt kubisch). Somit ist Graph A korrekt.

a) Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{64}{3} \approx 21{,}33\,\text{m}^2\). b) Graph A ist der Graph der Integralfunktion \(F\). Begründung: Es muss \(F(0) = 0\) gelten, was nur bei Graph A der Fall ist. Da \(f(x)\) im Intervall \([-4; 4]\) positiv ist, muss \(F\) für \(x > 0\) streng monoton steigen. Graph B stellt die Funktion \(f\) dar, und Graph C hat einen y-Achsenabschnitt ungleich Null.

- Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um die Integralfunktion zu bestimmen. - Wie findet man das globale Minimum einer Funktion auf einem offenen Intervall? - Welche Bedingung muss eine Funktion \(H(x)\) erfüllen, damit es eine Stelle \(a\) mit \(H(a) = 0\) gibt? - Überlege dir, welchen Wertebereich der Term \(-(a^4 + \frac{1}{a^4})\) abdeckt, wenn \(a\) alle positiven reellen Zahlen durchläuft.

1. Berechnung von \(I_1(x)\): Die Integration von \(g(t) = 4t^3 - 4t^{-5}\) ergibt \([t^4 + t^{-4}]_1^x = (x^4 + \frac{1}{x^4}) - (1 + 1) = x^4 + \frac{1}{x^4} - 2\). 2. Bestimmung von \(G(x)\): Mit dem Ansatz \(G(x) = x^4 + \frac{1}{x^4} + C\) und der Bedingung \(G(2) = 20\) ergibt sich \(16 + \frac{1}{16} + C = 20\), also \(C = 4 - 0{,}0625 = 3{,}9375\). Somit ist \(G(x) = x^4 + \frac{1}{x^4} + 3{,}9375\). 3. Nullstellenfreiheit: Die Ableitung \(G'(x) = 4x^3 - \frac{4}{x^5}\) hat in \(D\) die einzige Nullstelle \(x=1\). Da für \(x>0\) nach der AM-GM-Ungleichung \(x^4 + \frac{1}{x^4} \ge 2\) gilt und Gleichheit genau bei \(x=1\) eintritt, liegt dort das globale Minimum mit \(G(1) = 1 + 1 + 3{,}9375 = 5{,}9375\). Da das Minimum positiv ist, hat \(G\) keine Nullstellen. Da jede Integralfunktion \(I_a(a) = 0\) erfüllt, kann \(G\) keine sein. 4. Bestimmung von \(k\): Die Gleichung \(G(x) + k = \int_a^x g(t) \, dt\) führt auf \(G(x) + k = (x^4 + \frac{1}{x^4}) - (a^4 + \frac{1}{a^4})\). Durch Vergleich der konstanten Terme folgt \(3{,}9375 + k = -(a^4 + \frac{1}{a^4})\). Da der Term \(a^4 + \frac{1}{a^4}\) für \(a > 0\) alle Werte im Intervall \([2; \infty)\) annimmt, muss \(3{,}9375 + k \le -2\) gelten. Dies liefert \(k \le -5{,}9375\).

a) \(I_1(x) = x^4 + \frac{1}{x^4} - 2\) b) \(G(x) = x^4 + \frac{1}{x^4} + 3{,}9375\); das absolute Minimum liegt bei \(G(1) = 5{,}9375 > 0\). c) \(k \le -5{,}9375\)

- Was passiert mit dem Wert eines Integrals, wenn die obere Grenze gleich der unteren Grenze ist? - Wie hängen das Vorzeichen der Funktion \(g\) und das Steigungsverhalten der Integralfunktion \(J_c\) zusammen? - Betrachte das Vorzeichen von \(J_c\) am Minimum bei \(x_0 = 4\). - Was kannst du über den Grenzwert der Integralfunktion für sehr große \(x\) aussagen? - Nutze den Zwischenwertsatz und die Monotonie für deine Argumentation.

1. Nullstelle von \(g\): \(1 - \frac{4}{x} = 0 \iff \frac{4}{x} = 1 \iff x_0 = 4\). 2. Erste Nullstelle von \(J_c\): Da die untere Grenze des Integrals \(c\) ist, gilt nach Definition \(J_c(c) = \int_{c}^{c} g(t) \, dt = 0\). Somit ist \(x_1 = c\) die erste Nullstelle. 3. Monotonie von \(J_c\): Die Ableitung ist \(J_c'(x) = g(x)\). Im Intervall \([c; 4)\) ist \(g(x) < 0\), also fällt \(J_c\) streng monoton von \(J_c(c)=0\) auf einen negativen Wert \(J_c(4) < 0\). 4. Verhalten für \(x > 4\): Für \(x > 4\) ist \(g(x) > 0\), also steigt \(J_c\) streng monoton an. 5. Existenz der zweiten Nullstelle: Es gilt \(J_c(x) = [t - 4\ln(t)]_c^x = x - 4\ln(x) - (c - 4\ln(c))\). Da \(\lim_{x \to \infty} (x - 4\ln(x)) = \infty\), strebt auch \(J_c(x)\) gegen unendlich. 6. Schlussfolgerung: Da \(J_c(4) < 0\) ist und die Funktion für große \(x\) positiv wird, muss nach dem Zwischenwertsatz zwischen \(x=4\) und \(\infty\) genau eine weitere Nullstelle liegen (wegen der strengen Monotonie in diesem Bereich).

a) \(x_0 = 4\) b) Eine Nullstelle liegt bei \(x = c\) (untere Grenze). Da \(J_c\) bis \(x=4\) streng monoton fällt, dort ein negatives Minimum besitzt und danach streng monoton gegen unendlich steigt, existiert nach dem Zwischenwertsatz genau eine weitere Nullstelle im Bereich \(x > 4\).

- Nutze den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung in seiner allgemeinen Form. - Was ist die Stammfunktion einer Ableitung \(h'\)? - Behandle \(a\) und somit auch \(h(a)\) als eine feste Zahl (Konstante). - Überlege dir, wie sich die Begriffe „Stammfunktion“ und „Ableitung“ zueinander verhalten.

1. Da \(h\) eine Stammfunktion von \(h'\) ist, gilt nach dem Hauptsatz: \(I(x) = [h(t)]_a^x = h(x) - h(a)\). 2. Die Ableitung nach \(x\) lautet \(I'(x) = \frac{d}{dx}(h(x) - h(a))\). Da \(h(a)\) ein konstanter Wert ist, fällt dieser beim Differenzieren weg. Es bleibt \(I'(x) = h'(x)\). 3. Zu a): In Aufgabenteil 1 wurde die Ableitung \(h'\) integriert, was zur Funktion \(h(x)\) führte (verschoben um die Konstante \(-h(a)\)). Die Operation wurde also „rückgängig“ gemacht. Zu b): In Aufgabenteil 2 wurde die durch Integration gewonnene Funktion \(I(x)\) wieder differenziert, was exakt den Integranden \(h'(x)\) lieferte. Beide Operationen sind somit invers zueinander.

1. \(I(x) = h(x) - h(a)\) 2. \(I'(x) = h'(x)\), da die Ableitung von \(h(x)-h(a)\) gleich \(h'(x)\) ist. 3. a) \(I(x)\) liefert die Funktion \(h\) bis auf eine Konstante zurück. b) Die Ableitung der Integralfunktion \(I'(x)\) entspricht dem Integranden \(h'(x)\).

- Erinnere dich an die Definition der Integralfunktion: Was passiert, wenn die obere Grenze gleich der unteren Grenze ist? - Nutze den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Wie hängen die Integralfunktion und die Funktion im Integral zusammen? - Wie lässt sich die Steigung eines Graphen an einer bestimmten Stelle interpretieren? - Was sagt das Monotonieverhalten der Integralfunktion über das Vorzeichen des Integranden aus?

1. Da für jede Integralfunktion \(I_a(a) = 0\) gilt, muss \(a\) eine Nullstelle der Funktion sein. Aus dem Graphen lässt sich ablesen, dass die Funktion bei \(x = 1\) und \(x = -2\) die x-Achse schneidet. Da \(a > 0\) gefordert ist, folgt \(a = 1\). 2. Es gilt der Zusammenhang \(I_a'(x) = f(x)\). Der Wert des Integranden an einer Stelle entspricht also der lokalen Steigung der Integralfunktion. Im Punkt \((0 \mid \frac{2}{3})\) des Graphen lässt sich eine Tangente anlegen. Die Steigung beträgt dort \(-1\), woraus \(f(0) = -1\) folgt. 3. An der Stelle \(x = -2\) ist der Graph der Integralfunktion \(I_a\) streng monoton steigend (die Steigung ist positiv). Da \(I_a'(x) = f(x)\) ist, muss folglich \(f(-2) > 0\) gelten. Der Wert des Integranden ist also positiv.

1. Die untere Integrationsgrenze ist \(a = 1\), da dort \(I_a(1) = 0\) gilt. 2. Der Wert des Integranden ist \(f(0) = -1\), da die Steigung des Graphen an der Stelle \(x = 0\) den Wert \(-1\) hat. 3. Der Wert \(f(-2)\) ist positiv, da der Graph von \(I_a\) an dieser Stelle steigt, was eine positive Ableitung und damit einen positiven Funktionswert von \(f\) bedeutet.

- Was kannst du über den Wert der Integralfunktion an der unteren Integrationsgrenze sagen? - Wie hängen die Nullstellen der ursprünglichen Funktion mit den Steigungen der Integralfunktion zusammen? - Wenn die Funktion \(f\) positiv ist, was sagt das über die Steigung des Graphen von \(I_1\) aus? - Du kannst den Wert der Integralfunktion an bestimmten Stellen auch durch Abzählen von Kästchen oder Berechnen von Teilflächen (Dreiecke) bestimmen.

1. Berechnung der charakteristischen Punkte der Integralfunktion \(I_1(x)\): Es muss \(I_1(1) = 0\) gelten. Graph \(G_1\) und \(G_2\) erfüllen dies, während \(G_3\) bei \(x=1\) den Wert \(1\) hat. 2. Zusammenhang zwischen \(f\) und \(I_1\): Die Ableitung von \(I_1\) ist \(f\), d. h. \(I_1'(x) = f(x)\). Die Nullstellen von \(f\) bei \(x=1\) und \(x=3\) sind die Extremstellen von \(I_1\). 3. Monotoniebetrachtung: Im Intervall \((1; 3)\) ist \(f(x) > 0\), folglich muss \(I_1\) dort streng monoton steigen. Graph \(G_1\) steigt in diesem Intervall von \(0\) auf \(2\), während Graph \(G_2\) dort fällt. 4. Wertprüfung: Der Wert \(I_1(3)\) entspricht dem Flächeninhalt des Dreiecks über der \(x\)-Achse zwischen \(x=1\) und \(x=3\). Grundseite \(g=2\), Höhe \(h=2\), also \(A = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). Graph \(G_1\) hat bei \(x=3\) den Wert \(2\). 5. Ergebnis: Nur Graph \(G_1\) erfüllt alle Bedingungen.

Der Graph \(G_1\) ist der richtige Graph für die Integralfunktion \(I_1\).

- Jede Integralfunktion hat an ihrer unteren Grenze eine Nullstelle. - Nutze den Zusammenhang \(\int_{u}^{v} f(x) \, dx = I_a(v) - I_a(u)\) für die Berechnungen. - Wie hängen verschiedene Integralfunktionen derselben Funktion \(f\) zusammen? Überlege, was passieren muss, damit \(I_0(x) = 0\) gilt. - Welche geometrische Bedeutung hat der Funktionswert von \(f\) für den Graphen von \(I_a\)?

1. Da \(I_a(a) = 0\) sein muss, ist \(a\) eine Nullstelle von \(I_a\). Im Intervall \([0; 4]\) hat der Graph bei \(x = 2\) eine Nullstelle, also ist \(a = 2\). 2. Es gilt \(\int_{2}^{0} f(x) \, dx = I_2(0)\). Laut Graph ist \(I_2(0) = 3\). 3. Für das zweite Integral gilt: \(\int_{0}^{4} f(x) \, dx = I_2(4) - I_2(0) = 3 - 3 = 0\). 4. Die Integralfunktion zur unteren Grenze \(0\) ist definiert als \(I_0(x) = \int_0^x f(t) \, dt\). Mit der Beziehung \(\int_0^x f(t) \, dt = \int_2^x f(t) \, dt - \int_2^0 f(t) \, dt\) ergibt sich \(I_0(x) = I_2(x) - I_2(0)\). Nullstellen von \(I_0\) liegen also dort vor, wo \(I_2(x) = I_2(0) = 3\) gilt. Im Graphen ist dies bei \(x = 0\) und \(x = 4\) der Fall. 5. Da \(I_a\) die Integralfunktion von \(f\) ist, gilt \(I_a'(x) = f(x)\). An der Stelle \(x = 2\) hat der Graph von \(I_a\) einen lokalen Tiefpunkt. Da die Tangente dort waagerecht verläuft, ist die Steigung \(I_a'(2) = 0\). Somit folgt \(f(2) = 0\).

a) \(a = 2\) b) \(\int_{2}^{0} f(x) \, dx = 3\) und \(\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 0\) c) Die Nullstellen von \(I_0\) liegen bei \(x = 0\) und \(x = 4\). d) \(f(2) = 0\), da der Graph von \(I_a\) bei \(x = 2\) ein lokales Extremum (waagerechte Tangente) besitzt.

- Die Fläche zwischen dem Graphen der Änderungsrate und der x-Achse entspricht der Bestandsänderung. - Wo die Änderungsrate Null ist und das Vorzeichen wechselt, hat die Bestandsfunktion ein Extremum. - Überlege dir, was der Funktionswert der Integralfunktion an der unteren Integrationsgrenze sein muss. - Positiver Zufluss bedeutet, dass der Bestand steigt; negativer Zufluss (Abfluss) bedeutet, dass er sinkt.

1. Die Flächenbilanz besteht aus vier Dreiecken mit den orientierten Inhalten \(-2\), \(+2\), \(+2\) und \(-2\). Daher ist \(V_{\text{ges}}=0\,\text{m}^3\). 2. Es gilt \(G(-2)=0\) und \(G'(x)=g(x)\). Der Graph von \(g\) hat Nullstellen bei \(x=0\) und \(x=4\). Bei \(x=0\) wechselt \(g\) von negativ zu positiv, daher hat \(G\) dort ein Minimum. Bei \(x=4\) wechselt \(g\) von positiv zu negativ, daher hat \(G\) dort ein Maximum. 3. Bei \(x=2\) ist \(g(2)=2>0\); dort liegt keine Extremstelle von \(G\). Wegen des Knickes von \(g\) wechselt dort lediglich die Krümmung von \(G\). 4. Graph 1 erfüllt \(G(-2)=0\), besitzt das Minimum bei \(0\), das Maximum bei \(4\) und endet wegen der Gesamtbilanz bei \(G(6)=0\).

a) Die gesamte Volumenänderung beträgt \(0\,\text{m}^3\). b) Graph 1 stellt \(G\) dar. Die Nullstellen von \(g\) bei \(x=0\) und \(x=4\) erzeugen ein Minimum beziehungsweise Maximum von \(G\); außerdem gilt \(G(-2)=G(6)=0\).