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- Was bedeutet die untere Grenze bei einer Integralfunktion für den Funktionswert an dieser Stelle? - Wie findet man eine allgemeine Stammfunktion für eine ganzrationale Funktion? - Erinnerst du dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung zur Berechnung von bestimmten Integralen? - Achte darauf, die untere Grenze korrekt in die Stammfunktion einzusetzen und das Ergebnis vom Term mit \(x\) zu subtrahieren.

1. Aufstellen des Integralausdrucks für die Integralfunktion: \(I_1(x) = \int_{1}^{x} (t^3 - 3t^2 + 2t) \, dt\) 2. Bestimmung einer Stammfunktion \(F\) von \(f\): \(F(t) = \frac{1}{4}t^4 - t^3 + t^2\) 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: \(I_1(x) = [ \frac{1}{4}t^4 - t^3 + t^2 ]_1^x\) 4. Einsetzen der Grenzen: \(I_1(x) = (\frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2) - (\frac{1}{4} \cdot 1^4 - 1^3 + 1^2)\) 5. Berechnung des konstanten Werts \(F(1)\): \(\frac{1}{4} - 1 + 1 = \frac{1}{4}\) 6. Zusammenfassen zum Term der Integralfunktion: \(I_1(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 - \frac{1}{4}\)

\(I_1(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 - \frac{1}{4}\)

- Was ist die allgemeine Definition einer Integralfunktion \(I_a(x)\)? - Wie lautet eine Stammfunktion für den gegebenen quadratischen Term? - Denke daran, dass bei einer Integralfunktion die untere Grenze fest vorgegeben ist. - Wie berechnet man den Wert eines bestimmten Integrals mit Hilfe einer Stammfunktion?

1. Aufstellen des Integralausdrucks für die Integralfunktion: \(I_2(x) = \int_{2}^{x} (6t^2 - 4t + 5) \, dt\). 2. Bestimmung einer Stammfunktion \(F(t) = 2t^3 - 2t^2 + 5t\) des Integranden. 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: \(I_2(x) = [2t^3 - 2t^2 + 5t]_{2}^{x}\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(I_2(x) = (2x^3 - 2x^2 + 5x) - (2 \cdot 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2)\). 5. Berechnung des Funktionswerts an der unteren Grenze: \(F(2) = 16 - 8 + 10 = 18\). 6. Ergebnis: \(I_2(x) = 2x^3 - 2x^2 + 5x - 18\).

\(I_2(x) = 2x^3 - 2x^2 + 5x - 18\)

- Überlege dir, welchen Wert jede Integralfunktion an ihrer unteren Grenze \(a\) annimmt. - Was bedeutet diese Eigenschaft für den Graphen der Funktion? - Prüfe, ob die gegebenen Funktionsterme Nullstellen besitzen können. - Beachte bei der Logarithmusfunktion den Definitionsbereich.

1. Eine Stammfunktion ist genau dann eine Integralfunktion, wenn sie mindestens eine Nullstelle im Definitionsbereich besitzt, da für jede Integralfunktion \(I_a(a) = \int_a^a \phi(t) \, dt = 0\) gilt. 2. Untersuchung von \(F(x)\): Die Gleichung \(x^2 - 6x + 9 = 0\) lässt sich als \((x-3)^2 = 0\) schreiben. Sie hat die Nullstelle \(x = 3\). Somit kann \(F\) eine Integralfunktion mit der unteren Grenze \(a = 3\) sein. 3. Untersuchung von \(G(x)\): Da \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, ist \(G(x) = e^x + 2 > 2\). Die Funktion \(G\) besitzt keine Nullstellen und kann daher keine Integralfunktion sein. 4. Untersuchung von \(H(x)\): Die Gleichung \(\ln(x) - 1 = 0\) führt zu \(\ln(x) = 1\), woraus \(x = e\) folgt. Da \(e\) im Definitionsbereich liegt, kann \(H\) eine Integralfunktion mit der unteren Grenze \(a = e\) sein.

\(F\) kann eine Integralfunktion sein (Nullstelle bei \(x = 3\)). \(G\) kann keine Integralfunktion sein (keine Nullstellen, da \(G(x) > 2\)). \(H\) kann eine Integralfunktion sein (Nullstelle bei \(x = e\)).

- Was passiert, wenn die obere und untere Grenze eines Integrals gleich sind? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen einer Integralfunktion und ihrer zugehörigen Randfunktion. - Wie hängen das Vorzeichen der Ableitung und das Monotonieverhalten einer Funktion zusammen? - Überlege dir, wie viele Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse eine Funktion haben kann, die immer nur steigt.

1. Nach der Definition des Integrals mit identischen Grenzen gilt \(I_2(2) = \int_{2}^{2} f(t) \, \text{d}t = 0\). Somit ist \(x = 2\) eine Nullstelle. 2. Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ist die Ableitung der Integralfunktion gleich der Randfunktion: \(I_2'(x) = f(x) = \sqrt{x^4 + 1}\). Da \(x^4 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), gilt \(x^4 + 1 \geq 1\) und somit \(I_2'(x) \geq 1 > 0\). Da die Ableitung überall positiv ist, ist die Funktion \(I_2\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend. 3. Eine streng monoton steigende Funktion nimmt jeden Wert ihres Wertebereichs höchstens einmal an. Da bereits gezeigt wurde, dass \(I_2(2) = 0\) gilt, kann es keine weiteren Stellen \(x \neq 2\) mit \(I_2(x) = 0\) geben. Somit ist \(x = 2\) die einzige Nullstelle.

a) \(x = 2\) b) \(I_2'(x) = \sqrt{x^4 + 1}\); da \(I_2'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), ist \(I_2\) streng monoton steigend. c) Wegen der strengen Monotonie und \(I_2(2) = 0\) ist \(x = 2\) die einzige Nullstelle.

- Was weißt du über den Funktionswert einer Integralfunktion an ihrer unteren Grenze? - Welche Eigenschaft muss eine Funktion besitzen, damit sie überhaupt als Integralfunktion infrage kommt? - Untersuche den Term der Funktion auf mögliche Nullstellen.

1. Eine Integralfunktion \(I_a(x) = \int_a^x h(t) \, dt\) besitzt an der unteren Integrationsgrenze \(a\) stets eine Nullstelle, da \(I_a(a) = \int_a^a h(t) \, dt = 0\) gilt. 2. Die gegebene Funktion \(H(x) = \frac{1}{1+x^2}\) hat für alle \(x \in \mathbb{R}\) einen Zähler von \(1\). Da der Nenner \(1+x^2\) für alle reellen Zahlen stets größer oder gleich \(1\) ist, ist der Funktionswert \(H(x)\) immer positiv (\(H(x) > 0\)). 3. Da \(H(x)\) keine Nullstelle besitzt, existiert kein Wert für die untere Grenze \(a\), der die Bedingung \(H(a) = 0\) erfüllt. 4. Somit kann \(H\) keine Integralfunktion sein.

Nein, \(H\) kann keine Integralfunktion sein, da eine Integralfunktion \(I_a\) immer mindestens eine Nullstelle bei \(x=a\) haben muss. Die Funktion \(H(x) = \frac{1}{1+x^2}\) wird jedoch für kein reelles \(x\) null, da der Zähler konstant \(1\) ist.

- Wie lautet die allgemeine Regel, um aus einer Funktion eine Stammfunktion zu bilden? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: Wie berechnet man ein Integral mit festen Grenzen? - Was passiert mit der unteren Grenze, wenn du den Term der Integralfunktion vereinfachst? - Welchen Zusammenhang gibt es zwischen dem Ableiten und dem Integrieren?

1. Zur Bestimmung von \(I_2(x)\) wird zunächst eine Stammfunktion von \(f(t) = 1{,}5t^2 - 4t + 1\) gebildet: \(F(t) = 0{,}5t^3 - 2t^2 + t\). Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung ergibt \(I_2(x) = [0{,}5t^3 - 2t^2 + t]_2^x = (0{,}5x^3 - 2x^2 + x) - (0{,}5 \cdot 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 2) = 0{,}5x^3 - 2x^2 + x - (4 - 8 + 2) = 0{,}5x^3 - 2x^2 + x + 2\). 2. Die Ableitung der Integralfunktion lautet \(I_2'(x) = 1{,}5x^2 - 4x + 1\). Ein Vergleich zeigt, dass \(I_2'(x) = f(x)\) gilt. Die Integralfunktion ist also eine Stammfunktion des Integranden.

1. \(I_2(x) = 0{,}5x^3 - 2x^2 + x + 2\) 2. \(I_2'(x) = 1{,}5x^2 - 4x + 1\); es gilt \(I_2'(x) = f(x)\).

- Was bedeutet das Symbol \(I_u(x)\) im Zusammenhang mit der Integralrechnung? - Wie findest du eine Stammfunktion für eine Summe von Potenzfunktionen? - Denke an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: Wie berechnet man ein Integral mit festen oder variablen Grenzen? - Achte darauf, wie sich das Minuszeichen auswirkt, wenn du den Wert der unteren Grenze subtrahierst.

1. Bestimmung einer Stammfunktion \(F\) von \(f(t) = 1{,}5t^2 - 4t\), woraus sich \(F(t) = 0{,}5t^3 - 2t^2\) ergibt. 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung zur Darstellung der Integralfunktion als Differenz der Stammfunktionswerte an den Grenzen: \(I_u(x) = F(x) - F(u)\). 3. Einsetzen der Variablen \(x\) und des Parameters \(u\) in die Stammfunktion führt zu \(I_u(x) = (0{,}5x^3 - 2x^2) - (0{,}5u^3 - 2u^2)\). 4. Auflösen der Klammern ergibt den finalen Term \(I_u(x) = 0{,}5x^3 - 2x^2 - 0{,}5u^3 + 2u^2\).

\(I_u(x) = 0{,}5x^3 - 2x^2 - 0{,}5u^3 + 2u^2\)

- Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. - Was passiert mit der unteren Grenze, wenn du die Integralfunktion allgemein berechnest? - Wie leitet man Potenzen von \(x\) ab?

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = 1{,}5x^2 - 6x\): \(F(x) = 0{,}5x^3 - 3x^2\). 2. Berechnung des Integrals in Teilaufgabe a): \(\int_{0}^{4} f(x) \, dx = [0{,}5x^3 - 3x^2]_0^4 = (0{,}5 \cdot 64 - 3 \cdot 16) - 0 = 32 - 48 = -16\). 3. Aufstellen der Integralfunktion \(I_0(x)\): \(I_0(x) = [0{,}5t^3 - 3t^2]_0^x = 0{,}5x^3 - 3x^2\). 4. Bestimmung der Ableitung \(I_0'(x)\): \(I_0'(x) = 3 \cdot 0{,}5x^2 - 2 \cdot 3x = 1{,}5x^2 - 6x\). 5. Feststellung des Zusammenhangs: Es gilt \(I_0'(x) = f(x)\). Die Integralfunktion ist eine Stammfunktion der Integrandenfunktion.

a) \(\int_{0}^{4} f(x) \, dx = -16\) b) \(I_0(x) = 0{,}5x^3 - 3x^2\). Es gilt \(I_0'(x) = f(x)\), da \(I_0'(x) = 1{,}5x^2 - 6x\).

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen einer Integralfunktion und ihrer Ableitung? - Wie lautet der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung? - Was gibt die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle grafisch an? - Erinnere dich an den Wert des natürlichen Logarithmus von \(e\).

1. Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ist die Ableitung einer Integralfunktion \(G(x) = \int_{a}^{x} g(t) \, dt\) genau der Integrand an der Stelle der oberen Grenze: \(G'(x) = \sqrt{x} + \ln(x)\). 2. Die Steigung an der Stelle \(x = e\) entspricht dem Wert der Ableitungsfunktion \(G'(e)\). 3. Einsetzen von \(e\): \(G'(e) = \sqrt{e} + \ln(e)\). 4. Da \(\ln(e) = 1\) gilt, ergibt sich für die Steigung der Wert \(\sqrt{e} + 1\).

Die Steigung beträgt \(\sqrt{e} + 1\).

- Achte genau darauf, welche Variable die Integrationsvariable ist und nach welcher Variable abgeleitet werden soll. - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Integrals, wenn man die obere und untere Grenze vertauscht? - Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ist hier das zentrale Werkzeug.

1. Teilaufgabe a: Durch Vertauschen der Integrationsgrenzen gilt \(I(x) = -\int_{10}^{x} \cos(z^2) \, dz\). Anwendung des Hauptsatzes liefert \(I'(x) = -\cos(x^2)\). 2. Teilaufgabe b: Die Variable der Funktion ist \(u\), die Integrationsvariable ist \(s\). Der Hauptsatz liefert direkt \(A'(u) = \frac{e^u}{u+3}\). 3. Teilaufgabe c: Die Variable der Funktion ist \(y\), die Integrationsvariable ist \(x\). Der Parameter \(k\) wird wie eine Konstante behandelt. Ableiten nach der oberen Grenze ergibt \(F'(y) = k \cdot \sin(y)\).

a) \(I'(x) = -\cos(x^2)\) b) \(A'(u) = \frac{e^u}{u+3}\) c) \(F'(y) = k \cdot \sin(y)\)

- Was ist die Definition einer Integralfunktion \(I_a(x)\)? - Wie integriert man eine Exponentialfunktion der Form \(e^{k \cdot x}\)? - Welchen Wert hat \(e^0\)? - Vergiss nicht, beim Einsetzen der Grenzen den gesamten Wert an der unteren Grenze abzuziehen.

1. Ansatz für die Integralfunktion mit der unteren Grenze 0: \(I_0(x) = \int_{0}^{x} (e^{0{,}5t} + 2) \, dt\) 2. Bestimmung einer Stammfunktion \(F\) von \(f\): \(F(t) = 2e^{0{,}5t} + 2t\) 3. Auswertung an den Grenzen \(0\) und \(x\): \(I_0(x) = (2e^{0{,}5x} + 2x) - (2e^{0{,}5 \cdot 0} + 2 \cdot 0)\) 4. Berechnung des Werts an der unteren Grenze: \(2e^0 + 0 = 2 \cdot 1 = 2\) 5. Aufstellen des finalen Terms: \(I_0(x) = 2e^{0{,}5x} + 2x - 2\)

\(I_0(x) = 2e^{0{,}5x} + 2x - 2\)

- Erinnere dich an die Definition der Integralfunktion als Integral mit variabler oberer Grenze. - Welche Regeln benötigst du, um die Exponentialfunktion aufzuleiten? - Achte besonders auf den konstanten Wert, der durch das Einsetzen der unteren Grenze entsteht. - Was ergibt \(e^0\)?

1. Ansatz für die Integralfunktion mit der unteren Grenze \(0\): \(I_0(x) = \int_{0}^{x} (e^{2t} - e^t) \, dt\). 2. Finden einer Stammfunktion für den Integranden: \(F(t) = \frac{1}{2}e^{2t} - e^t\). 3. Auswertung des Integrals an den Grenzen \(0\) und \(x\): \(I_0(x) = (\frac{1}{2}e^{2x} - e^x) - (\frac{1}{2}e^{2 \cdot 0} - e^0)\). 4. Berechnung des konstanten Terms: \(\frac{1}{2}e^0 - e^0 = \frac{1}{2} - 1 = -0{,}5\). 5. Zusammenführen der Teile: \(I_0(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - e^x - (-0{,}5) = \frac{1}{2}e^{2x} - e^x + 0{,}5\).

\(I_0(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - e^x + 0{,}5\)

- Wie lautet die allgemeine Form einer Stammfunktion für ein Polynom? - Welche Eigenschaft muss eine Stammfunktion haben, um als Integralfunktion darstellbar zu sein? Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der unteren Grenze und dem Funktionswert. - Wann besitzt eine quadratische Funktion reelle Nullstellen? - Wie findet man die Stellen, an denen eine Integralfunktion den Wert Null annimmt?

1. Berechnung der allgemeinen Stammfunktion: Durch Integration von \(f(x) = 2x - 4\) ergibt sich \(F_c(x) = x^2 - 4x + c\) mit \(c \in \mathbb{R}\). 2. Bedingung für Integralfunktionen: Eine Stammfunktion \(F_c\) ist genau dann eine Integralfunktion, wenn sie mindestens eine reelle Nullstelle besitzt. Die Bedingung \(x^2 - 4x + c = 0\) führt über die Diskriminante \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 16 - 4c\) zur Forderung \(16 - 4c \ge 0\). Dies ist für \(c \le 4\) erfüllt. 3. Bestimmung der unteren Grenze \(a\): Für \(G(x) = x^2 - 4x\) muss gelten \(G(a) = 0\). Die Gleichung \(a^2 - 4a = 0 \Leftrightarrow a(a-4) = 0\) liefert die Lösungen \(a_1 = 0\) und \(a_2 = 4\).

a) \(F_c(x) = x^2 - 4x + c\) mit \(c \in \mathbb{R}\) b) \(c \le 4\) c) \(a = 0\) oder \(a = 4\)

- Welche Eigenschaft hat jede Integralfunktion an ihrer unteren Grenze? - Nutze den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um eine Aussage über die Ableitung von \(G_a\) zu treffen. - Welchen Einfluss hat das Vorzeichen von \(g(x)\) auf die Steigung von \(G_a\)? - Wenn eine Funktion immer nur fällt, wie oft kann sie dann den Wert Null annehmen?

1. Jede Integralfunktion \(G_a\) hat an der unteren Integrationsgrenze \(x = a\) eine Nullstelle, da \(G_a(a) = \int_{a}^{a} g(t) \, \text{d}t = 0\) gilt. 2. Gemäß dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt für die Ableitung der Integralfunktion \(G_a'(x) = g(x)\). 3. Da laut Voraussetzung \(g(x) < 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, ist auch \(G_a'(x) < 0\) für alle \(x\). Daraus folgt, dass die Integralfunktion \(G_a\) auf dem gesamten Definitionsbereich streng monoton fallend ist. 4. Aufgrund der strengen Monotonie ist die Funktion injektiv, das heißt, sie nimmt jeden Funktionswert höchstens einmal an. Da an der Stelle \(x = a\) bereits der Funktionswert \(0\) erreicht wird, kann es keine weitere Stelle \(x\) geben, für die \(G_a(x) = 0\) gilt. Folglich besitzt \(G_a\) genau eine Nullstelle.

Jede Integralfunktion \(G_a\) hat bei \(x = a\) eine Nullstelle. Da \(G_a'(x) = g(x) < 0\) gilt, ist \(G_a\) streng monoton fallend und kann daher keine weitere Nullstelle besitzen.

- Was ist die Definition einer Integralfunktion und welche besondere Eigenschaft hat sie an der unteren Grenze? - Wie hängen Stammfunktionen und Integralfunktionen zusammen? - Untersuche den Wertebereich der Funktion, um zu prüfen, ob sie Nullstellen haben kann. - Wann lässt sich eine Funktion der Form \(F(x) + c\) durch Wahl einer geeigneten unteren Grenze \(a\) als \(\int_a^x f(t) \, \text{d}t\) schreiben?

1. Berechnung von \(I_1(x)\): Die Stammfunktion von \(f(t) = 3t^2 + 3 - 6t^{-2}\) ist \(t^3 + 3t + \frac{6}{t}\). Einsetzen der Grenzen liefert \(I_1(x) = [t^3 + 3t + \frac{6}{t}]_1^x = (x^3 + 3x + \frac{6}{x}) - (1 + 3 + 6) = x^3 + 3x + \frac{6}{x} - 10\). 2. Bestimmung von \(F(x)\): Aus \(F(x) = x^3 + 3x + \frac{6}{x} + C\) und \(F(1) = 15\) folgt \(1 + 3 + 6 + C = 15\), also \(C = 5\). Somit ist \(F(x) = x^3 + 3x + \frac{6}{x} + 5\). 3. Begründung: Das Minimum von \(g(x) = x^3 + 3x + \frac{6}{x}\) liegt bei \(x=1\) mit \(g(1) = 10\). Da \(F(x) = g(x) + 5\), gilt \(F(x) \ge 15\) für alle \(x \in \mathbb{R}^+\). Eine Integralfunktion \(I_a\) muss jedoch mindestens eine Nullstelle bei \(x=a\) besitzen. Da \(F\) keine Nullstelle hat, ist sie keine Integralfunktion. 4. Bestimmung von \(c\): Damit \(F(x) + c = I_a(x)\) gilt, muss ein \(a \in \mathbb{R}^+\) existieren mit \(F(a) + c = 0\), also \(-c = F(a)\). Da der Wertebereich von \(F\) das Intervall \([15; \infty[\) ist, muss \(-c \ge 15\) gelten, woraus \(c \le -15\) folgt.

a) \(I_1(x) = x^3 + 3x + \frac{6}{x} - 10\) b) \(F(x) = x^3 + 3x + \frac{6}{x} + 5\); \(F\) hat keine Nullstelle in \(D\), da \(F(x) \ge 15\) für alle \(x \in D\). c) \(c \le -15\)

- Wie findet man die Stelle, an der ein Funktionswert Null ist? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen einer Integralfunktion und ihrer Ableitung? - Wie nutzt man die erste und zweite Ableitung, um Hoch- oder Tiefpunkte zu bestimmen?

1. Nullstelle von \(f\): \(4 - e^{0{,}5x} = 0 \iff e^{0{,}5x} = 4 \iff 0{,}5x = \ln(4) \iff x = 2\ln(4) \approx 2{,}773\). 2. Extremstellen von \(I_0\): Nach dem Hauptsatz gilt \(I_0'(x) = f(x)\). Die notwendige Bedingung \(I_0'(x) = 0\) liefert \(x = 2\ln(4)\). Da \(I_0''(x) = f'(x) = -0{,}5 e^{0{,}5x}\) an dieser Stelle negativ ist (\(I_0''(2\ln(4)) = -2 < 0\)), liegt ein lokales Maximum vor.

a) \(x = 2\ln(4) \approx 2{,}773\) b) Lokales Maximum bei \(x = 2\ln(4)\).

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen einer Integralfunktion und ihrem Integranden? - Wie hängen das Vorzeichen der Ableitung und die Monotonie einer Funktion zusammen? - Untersuche den Term im Nenner – kann dieser jemals Null oder negativ werden? - Überlege, was passiert, wenn du die untere Grenze eines Integrals änderst. Ändert das die Form der Kurve oder nur ihre Lage im Koordinatensystem?

1. Gemäß dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung entspricht die Ableitung der Integralfunktion dem Integranden an der Stelle \(x\), also \(F_c'(x) = f(x) = \frac{2}{x^2 + 1}\). 2. Für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt \(x^2 \geq 0\), woraus \(x^2 + 1 \geq 1\) folgt. Da der Zähler \(2\) und der Nenner \(x^2 + 1\) stets positiv sind, ist \(F_c'(x) > 0\) für alle \(x\). Da die erste Ableitung überall positiv ist, ist \(F_c\) auf dem gesamten Definitionsbereich streng monoton wachsend. 3. Das Monotonieverhalten ändert sich nicht. Die Wahl von \(c\) beeinflusst lediglich den Funktionswert an der Stelle \(x=c\) (\(F_c(c) = 0\)) und führt zu einer vertikalen Verschiebung des Graphen. Die Ableitung \(F_c'(x) = f(x)\) bleibt jedoch von \(c\) unbeeinflusst, womit auch die Steigung und das Wachstumsverhalten an jeder Stelle \(x\) gleich bleiben.

a) \(F_c'(x) = \frac{2}{x^2 + 1}\) b) Da \(x^2 + 1 \geq 1\) für alle \(x\) gilt, ist \(F_c'(x) = \frac{2}{x^2 + 1} > 0\). Eine positive Ableitung impliziert streng monotones Wachstum. c) Nein, das Monotonieverhalten ändert sich nicht, da die Ableitung \(F_c'(x) = f(x)\) unabhängig von der Wahl der unteren Grenze \(c\) ist.

- Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um die Ableitung zu finden. - Untersuche den Wertebereich des Terms \(t^4 + 3\). Was bedeutet das Minuszeichen davor für das Vorzeichen der Ableitung? - Was ist der Wert jeder Integralfunktion an ihrer unteren Grenze? - Nutze die Monotonieeigenschaft: Wenn eine Funktion fällt, wie verhalten sich dann die Werte \(f(x_1)\) und \(f(x_2)\) für \(x_1 < x_2\)?

1. Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt \(G_a'(x) = g(x) = -(x^4 + 3)\). 2. Da \(x^4 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, ist \(x^4 + 3 \geq 3\). Damit ist \(G_a'(x) \leq -3\), also stets negativ (\(G_a'(x) < 0\)). Eine Funktion mit einer überall negativen Ableitung ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton fallend. 3. Für die Integralfunktion gilt definitionsgemäß \(G_2(2) = \int_{2}^{2} g(t) \, dt = 0\). Da \(G_2\) für alle \(x\) streng monoton fallend ist, folgt aus \(10 > 2\), dass der Funktionswert \(G_2(10)\) kleiner sein muss als \(G_2(2)\). Somit gilt \(G_2(10) < 0\), das Vorzeichen ist also negativ.

a) \(G_a'(x) = -(x^4 + 3)\). Da \(G_a'(x) < 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, ist die Funktion \(G_a\) streng monoton fallend. b) Das Vorzeichen ist negativ. Begründung: Es gilt \(G_2(2) = 0\). Da \(G_2\) streng monoton fallend ist, gilt für alle \(x > 2\), dass \(G_2(x) < 0\). Wegen \(10 > 2\) folgt \(G_2(10) < 0\).

- Erinnere dich an die Definition einer Integralfunktion \(I_a(x)\). Was passiert, wenn du für \(x\) den Wert \(a\) einsetzt? - Wie hängen die Integralfunktion und die Funktion im Integranden (der Integrand) zusammen? - Welche mathematische Operation hilft dir, vom Integral zur ursprünglichen Funktion unter dem Integralzeichen zu gelangen?

1. Für eine Integralfunktion \(I_a\) muss die Bedingung \(I_a(a) = 0\) erfüllt sein. Die möglichen Werte für \(a\) sind daher die Nullstellen von \(F(x)\). 2. Nullstellenberechnung: \(x^3 - 3x^2 + 2x = 0 \iff x(x^2 - 3x + 2) = 0\). 3. Die erste Nullstelle ist \(x_1 = 0\). Die weiteren Nullstellen ergeben sich aus \(x^2 - 3x + 2 = 0\), was zu \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\) führt. Mögliche Werte für \(a\) sind also \(0\), \(1\) und \(2\). 4. Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt für eine Integralfunktion \(I_a'(x) = f(x)\). 5. Ableiten von \(F\): \(f(x) = F'(x) = 3x^2 - 6x + 2\).

Die möglichen Werte für die untere Integrationsgrenze sind \(a \in \{0; 1; 2\}\). Die zugehörige Funktion \(f\) lautet \(f(x) = 3x^2 - 6x + 2\).

- Welche Funktion ergibt beim Ableiten den Kosinus? - Achte beim Einsetzen der Grenzen auf die Werte der trigonometrischen Funktionen an den Standardstellen. - Was bedeutet es geometrisch, wenn die obere und untere Grenze eines Integrals identisch sind? - Wie hängen Integralfunktionen im Allgemeinen mit Stammfunktionen zusammen?

1. Eine Stammfunktion von \(f(t) = \cos(t)\) ist \(F(t) = \sin(t)\). Damit gilt \(I_{\frac{\pi}{2}}(x) = [\sin(t)]_{\frac{\pi}{2}}^x = \sin(x) - \sin(\frac{\pi}{2}) = \sin(x) - 1\). 2. Die Ableitung von \(I_{\frac{\pi}{2}}(x) = \sin(x) - 1\) ist \(I_{\frac{\pi}{2}}'(x) = \cos(x)\). Da dies exakt der Funktionsgleichung \(f(x)\) entspricht, ist die Integralfunktion eine Stammfunktion von \(f\). 3. Nach der Definition der Integralfunktion gilt für jede untere Grenze \(a\): \(I_a(a) = \int_a^a f(t) \, dt = 0\), da das Intervall die Breite Null hat. Somit ist \(I_{\frac{\pi}{2}}(\frac{\pi}{2}) = 0\).

1. \(I_{\frac{\pi}{2}}(x) = \sin(x) - 1\) 2. \(I_{\frac{\pi}{2}}'(x) = \cos(x) = f(x)\); ja, sie ist eine Stammfunktion. 3. \(I_{\frac{\pi}{2}}(\frac{\pi}{2}) = 0\)

- Überlege dir, wie man von einer Stammfunktion bzw. Integralfunktion zurück zur ursprünglichen Funktion gelangt. - Welchen Wert muss ein Integral annehmen, wenn die obere und die untere Grenze identisch sind? - Kannst du die gefundene Gleichung für \(a\) durch Probieren einfacher ganzzahliger Werte lösen?

1. Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ist die Ableitung einer Integralfunktion \(I_a(x) = \int_a^x f(t) \, dt\) gleich dem Integranden \(f(x)\). Es gilt also \(f(x) = I_a'(x)\). 2. Die Ableitung von \(I_a(x) = 2x^3 + x^2 - 3\) nach der Potenz- und Summenregel ergibt \(f(x) = 6x^2 + 2x\). 3. Für die untere Integrationsgrenze \(a\) muss gelten, dass das Integral von \(a\) bis \(a\) null ergibt: \(I_a(a) = 0\). 4. Einsetzen von \(a\) in den Funktionsterm führt zur Gleichung \(2a^3 + a^2 - 3 = 0\). 5. Durch systematisches Probieren (Teiler des Absolutglieds \(-3\)) findet man die Nullstelle \(a = 1\), da \(2 \cdot 1^3 + 1^2 - 3 = 2 + 1 - 3 = 0\). Weitere reelle Lösungen existieren für diese Gleichung nicht.

\(f(x) = 6x^2 + 2x\) und \(a = 1\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral. - Was weißt du über den Wert eines Integrals, bei dem die Grenzen übereinstimmen? - Welche Eigenschaft muss die Integralfunktion an der Stelle \(x = a\) immer haben?

1. Um die Funktion \(f\) zu bestimmen, nutzt man den Zusammenhang \(f(x) = I_a'(x)\). 2. Die Ableitung der Exponentialfunktion \(e^{x-1} - 1\) ergibt unter Anwendung der Kettenregel \(f(x) = e^{x-1} \cdot 1 = e^{x-1}\). 3. Da jede Integralfunktion an ihrer unteren Grenze eine Nullstelle besitzt, muss \(I_a(a) = 0\) gelten. 4. Dies führt auf die Gleichung \(e^{a-1} - 1 = 0\), woraus \(e^{a-1} = 1\) folgt. 5. Da \(e^0 = 1\) gilt, ergibt sich \(a - 1 = 0\) und somit \(a = 1\).

\(f(x) = e^{x-1}\) und \(a = 1\)

- Wie ist eine Integralfunktion allgemein definiert? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Graph durch einen bestimmten Punkt verläuft? - Erinnere dich daran, wie man das bestimmte Integral mit einer variablen unteren Grenze berechnet. - Wenn du eine Gleichung dritten Grades lösen musst, hilft oft das Finden einer ersten Lösung durch Probieren von ganzzahligen Werten.

1. Aufstellen des Funktionsterms der Integralfunktion: \(I_a(x) = \int_a^x (3t^2 - 6t) \, dt = [t^3 - 3t^2]_a^x = (x^3 - 3x^2) - (a^3 - 3a^2)\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(3 \mid 4)\) in die Funktionsgleichung: \(I_a(3) = (3^3 - 3 \cdot 3^2) - (a^3 - 3a^2) = 4\). 3. Vereinfachen des Ausdrucks: \(0 - (a^3 - 3a^2) = 4\), woraus \(-a^3 + 3a^2 = 4\) bzw. \(a^3 - 3a^2 + 4 = 0\) folgt. 4. Lösen der kubischen Gleichung: Durch systematisches Probieren findet man die Nullstelle \(a_1 = -1\). Eine Polynomdivision oder das Horner-Schema liefert \((a+1)(a^2 - 4a + 4) = 0\). 5. Bestimmen der weiteren Nullstellen: Der quadratische Term \((a-2)^2 = 0\) ergibt die doppelte Lösung \(a_2 = 2\). Die gesuchten Werte sind \(a = -1\) und \(a = 2\).

\(a_1 = -1\) und \(a_2 = 2\)

- Welche Funktion ergibt abgeleitet \(\frac{1}{t}\)? - Nutze die Rechenregeln für Logarithmen, um den Ausdruck zu vereinfachen. - Überlege, welchen Wert \(\ln(e^k)\) für eine Zahl \(k\) hat. - Setze die Koordinaten des Punktes für \(x\) und \(I_a(x)\) ein.

1. Bestimmung der Stammfunktion von \(f(t) = \frac{1}{t}\): Eine Stammfunktion ist \(F(t) = \ln(t)\) für \(t > 0\). 2. Aufstellen der Integralfunktion \(I_a(x)\): \(I_a(x) = [\ln(t)]_a^x = \ln(x) - \ln(a)\). 3. Nutzen der Punktkoordinaten \(P(e^2 \mid 1)\): Es muss gelten \(I_a(e^2) = 1\), also \(\ln(e^2) - \ln(a) = 1\). 4. Anwendung der Logarithmengesetze: Da \(\ln(e^2) = 2\), vereinfacht sich die Gleichung zu \(2 - \ln(a) = 1\). 5. Auflösen nach \(a\): \(\ln(a) = 1 \implies a = e^1 = e\).

\(a = e\)

- Was passiert mathematisch, wenn die obere Grenze eines Integrals genau dem Wert der unteren Grenze entspricht? - Überlege, welche Bedingung eine Stammfunktion erfüllen muss, damit man sie als Integralfunktion mit einer bestimmten unteren Grenze schreiben kann. - Wie viele Nullstellen muss eine Integralfunktion mindestens haben?

1. Zur Bestimmung der Integralfunktion \(I_1(x) = \int_{1}^{x} (4t^3 - 4t) \, dt\) wird zunächst eine Stammfunktion von \(f(t)\) gebildet, was \(T(t) = t^4 - 2t^2\) ergibt. Durch Einsetzen der Grenzen erhält man \(I_1(x) = [t^4 - 2t^2]_1^x = (x^4 - 2x^2) - (1^4 - 2 \cdot 1^2) = x^4 - 2x^2 + 1\). 2. Eine Integralfunktion \(I_a\) muss nach Definition an der Stelle ihrer unteren Grenze \(a\) immer eine Nullstelle besitzen, da \(I_a(a) = \int_{a}^{a} f(t) \, dt = 0\) gilt. Die Funktion \(F(x) = x^4 - 2x^2 + 5\) kann jedoch als \((x^2 - 1)^2 + 4\) geschrieben werden. Da \((x^2 - 1)^2 \geq 0\), ist \(F(x) \geq 4\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). Da \(F\) keine reellen Nullstellen besitzt, kann sie für keinen Wert \(a\) eine Integralfunktion \(I_a\) darstellen.

1. \(I_1(x) = x^4 - 2x^2 + 1\) 2. \(F\) kann keine Integralfunktion sein, da jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle (bei \(x = a\)) haben muss, \(F\) aber für alle \(x\) größer als null ist (\(F(x) \geq 4\)).

- Wie hängen die Ableitung einer Integralfunktion und die Funktion im Integral zusammen? - Welchen Wert liefert ein Integral, bei dem die untere und obere Grenze identisch sind? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen der Menge aller Stammfunktionen und einer speziellen Integralfunktion.

1. Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung ist die Ableitung der Integralfunktion gleich der Randfunktion: \(f(x) = I_a'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2}x^2 - 2x - 6) = x - 2\). 2. Für die untere Grenze \(a\) muss gelten \(I_a(a) = 0\). Aus \(\frac{1}{2}a^2 - 2a - 6 = 0\) folgt durch Multiplikation mit 2 die Gleichung \(a^2 - 4a - 12 = 0\). Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind \(a_1 = 6\) und \(a_2 = -2\). 3. Da \(I_a'(x) = f(x)\) gilt, erfüllt jede Integralfunktion die Definition einer Stammfunktion. Eine beliebige Stammfunktion \(F\) von \(f\) ist jedoch nur dann eine Integralfunktion, wenn es ein \(a\) gibt, sodass \(F(a) = 0\). Stammfunktionen, die keine Nullstellen besitzen (z. B. \(F(x) = x^2 + 1\) für \(f(x) = 2x\)), können daher keine Integralfunktionen sein.

1. \(f(x) = x - 2\) 2. \(a_1 = 6\) und \(a_2 = -2\) 3. Jede Integralfunktion ist eine Stammfunktion, weil ihre Ableitung die Randfunktion ergibt. Umgekehrt ist eine Stammfunktion nur dann eine Integralfunktion, wenn sie mindestens eine Nullstelle besitzt, die als untere Grenze \(a\) dienen kann.

- Kannst du den Bruch als Potenz mit negativem Exponenten schreiben? - Welche Regel nutzt du, um eine Funktion der Form \(t^n\) aufzuleiten? - Was musst du beim Einsetzen der unteren Grenze \(2\) beachten? - Erinnere dich daran, dass die Integralfunktion an der Stelle ihrer unteren Grenze immer den Wert null annimmt – hilft dir das bei der Überprüfung?

1. Umschreiben der Funktion in die Potenzform \(f(t) = 4 \cdot t^{-2}\), um die Integration zu erleichtern. 2. Bestimmung der Stammfunktion \(F(t) = -4 \cdot t^{-1}\), was vereinfacht \(F(t) = -\frac{4}{t}\) entspricht. 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: \(I_2(x) = F(x) - F(2)\). 4. Berechnung des Wertes an der unteren Grenze: \(F(2) = -\frac{4}{2} = -2\). 5. Bildung der Differenz \(I_2(x) = -\frac{4}{x} - (-2)\), was zum Endergebnis \(I_2(x) = 2 - \frac{4}{x}\) führt.

\(I_2(x) = 2 - \frac{4}{x}\)

- Wie hängen Ableitung und Stammfunktion zusammen? - Was passiert mathematisch, wenn die obere und untere Grenze eines Integrals identisch sind? - Hat jede Stammfunktion automatisch eine Nullstelle? - Wie berechnet man den Wert eines bestimmten Integrals mit variabler oberer Grenze?

1. Berechnung der Ableitung von \(F\): \(F'(x) = 4x^3 + 2x\). Da \(F'(x) = f(x)\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\). 2. Für jede Integralfunktion \(I_a(x) = \int_a^x f(t) \, dt\) muss \(I_a(a) = 0\) gelten. Die Gleichung \(F(x) = x^4 + x^2 + 10 = 0\) hat jedoch keine reellen Lösungen (Substitution \(z = x^2\) führt auf \(z^2 + z + 10 = 0\) mit Diskriminante \(D = -39 < 0\)). Da \(F\) keine Nullstellen besitzt, kann sie keine Integralfunktion sein. 3. Berechnung von \(I_1(x) = \int_1^x (4t^3 + 2t) \, dt = [t^4 + t^2]_1^x = (x^4 + x^2) - (1^4 + 1^2) = x^4 + x^2 - 2\).

a) Nachweis durch Ableiten: \(F'(x) = 4x^3 + 2x = f(x)\). b) Eine Integralfunktion \(I_a\) muss an der Stelle \(x = a\) eine Nullstelle haben. \(F(x) = x^4 + x^2 + 10\) ist jedoch für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets größer als Null und hat somit keine Nullstellen. c) \(I_1(x) = x^4 + x^2 - 2\)

- Was weißt du über die Ableitung einer Integralfunktion? - Wie findet man die Nullstellen eines Produkts oder einer ausgeklammerten Variable? - Muss man die Integralfunktion für Teil b) zwingend explizit ableiten oder gibt es eine schnellere Überlegung?

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(g(t) = t^3 - 4t\): \(\Phi(t) = \frac{1}{4}t^4 - 2t^2\). 2. Berechnung der Integralfunktion \(G_{-2}(x)\): \(G_{-2}(x) = [\frac{1}{4}t^4 - 2t^2]_{-2}^x = (\frac{1}{4}x^4 - 2x^2) - (\frac{1}{4}(-2)^4 - 2(-2)^2) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 - (4 - 8) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 4\). 3. Anwendung des Zusammenhangs \(G_{-2}'(x) = g(x)\): Waagerechte Tangenten liegen bei den Nullstellen von \(g(x)\) vor. 4. Lösen der Gleichung \(g(x) = 0\): \(x^3 - 4x = 0 \Leftrightarrow x(x^2 - 4) = 0\). 5. Die Lösungen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). An diesen Stellen hat \(G_{-2}\) waagerechte Tangenten.

a) \(G_{-2}(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 4\) b) Die Stellen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\).

- Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um die Integralfunktion zu bestimmen. - Wie findet man das globale Minimum einer Funktion auf einem offenen Intervall? - Welche Bedingung muss eine Funktion \(H(x)\) erfüllen, damit es eine Stelle \(a\) mit \(H(a) = 0\) gibt? - Überlege dir, welchen Wertebereich der Term \(-(a^4 + \frac{1}{a^4})\) abdeckt, wenn \(a\) alle positiven reellen Zahlen durchläuft.

1. Berechnung von \(I_1(x)\): Die Integration von \(g(t) = 4t^3 - 4t^{-5}\) ergibt \([t^4 + t^{-4}]_1^x = (x^4 + \frac{1}{x^4}) - (1 + 1) = x^4 + \frac{1}{x^4} - 2\). 2. Bestimmung von \(G(x)\): Mit dem Ansatz \(G(x) = x^4 + \frac{1}{x^4} + C\) und der Bedingung \(G(2) = 20\) ergibt sich \(16 + \frac{1}{16} + C = 20\), also \(C = 4 - 0{,}0625 = 3{,}9375\). Somit ist \(G(x) = x^4 + \frac{1}{x^4} + 3{,}9375\). 3. Nullstellenfreiheit: Die Ableitung \(G'(x) = 4x^3 - \frac{4}{x^5}\) hat in \(D\) die einzige Nullstelle \(x=1\). Da \(G''(1) > 0\), liegt dort ein absolutes Minimum mit \(G(1) = 1 + 1 + 3{,}9375 = 5{,}9375\). Da das Minimum positiv ist, hat \(G\) keine Nullstellen. Da jede Integralfunktion \(I_a(a) = 0\) erfüllt, kann \(G\) keine sein. 4. Bestimmung von \(k\): Die Gleichung \(G(x) + k = \int_a^x g(t) \, \text{d}t\) führt auf \(G(x) + k = (x^4 + \frac{1}{x^4}) - (a^4 + \frac{1}{a^4})\). Durch Vergleich der konstanten Terme folgt \(3{,}9375 + k = -(a^4 + \frac{1}{a^4})\). Da der Term \(a^4 + \frac{1}{a^4}\) für \(a \in \mathbb{R}^+\) alle Werte im Intervall \([2; \infty[\) annimmt, muss \(3{,}9375 + k \le -2\) gelten. Dies liefert \(k \le -5{,}9375\).

a) \(I_1(x) = x^4 + \frac{1}{x^4} - 2\) b) \(G(x) = x^4 + \frac{1}{x^4} + 3{,}9375\); das absolute Minimum liegt bei \(G(1) = 5{,}9375 > 0\). c) \(k \le -5{,}9375\)

- Was passiert mit dem Wert eines Integrals, wenn die obere Grenze gleich der unteren Grenze ist? - Wie hängen das Vorzeichen der Funktion \(g\) und das Steigungsverhalten der Integralfunktion \(J_c\) zusammen? - Betrachte das Vorzeichen von \(J_c\) am Minimum bei \(x_0 = 4\). - Was kannst du über den Grenzwert der Integralfunktion für sehr große \(x\) aussagen? - Nutze den Zwischenwertsatz und die Monotonie für deine Argumentation.

1. Nullstelle von \(g\): \(1 - \frac{4}{x} = 0 \iff \frac{4}{x} = 1 \iff x_0 = 4\). 2. Erste Nullstelle von \(J_c\): Da die untere Grenze des Integrals \(c\) ist, gilt nach Definition \(J_c(c) = \int_{c}^{c} g(t) \, dt = 0\). Somit ist \(x_1 = c\) die erste Nullstelle. 3. Monotonie von \(J_c\): Die Ableitung ist \(J_c'(x) = g(x)\). Im Intervall \([c; 4)\) ist \(g(x) < 0\), also fällt \(J_c\) streng monoton von \(J_c(c)=0\) auf einen negativen Wert \(J_c(4) < 0\). 4. Verhalten für \(x > 4\): Für \(x > 4\) ist \(g(x) > 0\), also steigt \(J_c\) streng monoton an. 5. Existenz der zweiten Nullstelle: Es gilt \(J_c(x) = [t - 4\ln(t)]_c^x = x - 4\ln(x) - (c - 4\ln(c))\). Da \(\lim_{x \to \infty} (x - 4\ln(x)) = \infty\), strebt auch \(J_c(x)\) gegen unendlich. 6. Schlussfolgerung: Da \(J_c(4) < 0\) ist und die Funktion für große \(x\) positiv wird, muss nach dem Zwischenwertsatz zwischen \(x=4\) und \(\infty\) genau eine weitere Nullstelle liegen (wegen der strengen Monotonie in diesem Bereich).

a) \(x_0 = 4\) b) Eine Nullstelle liegt bei \(x = c\) (untere Grenze). Da \(J_c\) bis \(x=4\) streng monoton fällt, dort ein negatives Minimum besitzt und danach streng monoton gegen unendlich steigt, existiert nach dem Zwischenwertsatz genau eine weitere Nullstelle im Bereich \(x > 4\).

- Kannst du den Bruchterm so umschreiben, dass du die Potenzregel einzeln anwenden kannst? - Welche Eigenschaft muss eine Stammfunktion erfüllen, um eine Integralfunktion zu sein? - Denke bei der Funktion \(k\) an die Kettenregel beim Ableiten – wie wirkt sich das auf die Stammfunktion aus? - Wie findet man Nullstellen einer Funktion dritten Grades?

1. Gliedweise Division von \(g(x)\): \(g(x) = \frac{x^3}{x^2} - \frac{4}{x^2} = x - 4x^{-2}\). Eine Stammfunktion ist \(G(x) = \frac{1}{2}x^2 + 4x^{-1} = \frac{1}{2}x^2 + \frac{4}{x}\). 2. Prüfung von \(H\): \(H'(x) = x - 4x^{-2} = g(x)\), also ist \(H\) eine Stammfunktion. Für eine Integralfunktion muss \(H(a) = 0\) gelten: \(\frac{1}{2}a^2 + \frac{4}{a} - 4{,}5 = 0 \iff a^3 - 9a + 8 = 0\). Durch Probieren findet man die Nullstelle \(a = 1\). Somit ist \(H\) die Integralfunktion \(I_1\) (für ein Intervall, das die \(1\) enthält). 3. Stammfunktion von \(k\) mittels linearer Substitution: \(K(x) = \frac{5}{4 \cdot 2}(2x - 7)^4 = \frac{5}{8}(2x - 7)^4\).

a) \(G(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{4}{x}\) (oder jede Funktion \(G(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{4}{x} + C\)) b) Ja, \(H\) ist eine Integralfunktion von \(g\). Eine mögliche untere Grenze ist \(a = 1\) (weitere Lösungen sind \(a = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2}\)). c) \(K(x) = \frac{5}{8}(2x - 7)^4\)