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- Setze in der Definition der Integralfunktion \(x=3\) ein. - Was gilt für ein bestimmtes Integral mit gleichen Grenzen?

1. Für \(x=3\) sind untere und obere Integrationsgrenze gleich. 2. Deshalb gilt \(I_3(3)=\int_3^3 f(t)\,\mathrm{d}t=0\).

\(I_3(3)=0\)

- Welche Beziehung besteht zwischen der Ableitung einer Integralfunktion und ihrem Integranden? - Der benötigte Funktionswert von \(f\) an der Stelle \(2\) ist bereits gegeben.

1. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt für die Integralfunktion \(I_{-1}'(x)=f(x)\). 2. Daher ist \(I_{-1}'(2)=f(2)=-4\).

\(I_{-1}'(2)=-4\)

- Welche Information über \(I\) liefert das Vorzeichen von \(f\)? - Wo liegt der Graph von \(f\) unterhalb beziehungsweise oberhalb der \(x\)-Achse? - Was passiert mit der Monotonie von \(I\), wenn \(f\) sein Vorzeichen wechselt?

1. Für \(0<x<2\) liegt der Graph von \(f\) unterhalb der \(x\)-Achse, also gilt \(f(x)<0\). Deshalb fällt \(I\) dort. 2. Bei \(x=2\) ist \(f(2)=0\) und das Vorzeichen von \(f\) wechselt von negativ zu positiv. 3. Für \(2<x<4\) gilt \(f(x)>0\). Deshalb steigt \(I\) dort. 4. Wegen des Vorzeichenwechsels von \(I'=f\) besitzt \(I\) bei \(x=2\) ein lokales Minimum.

\(I\) fällt auf \((0;2)\), steigt auf \((2;4)\) und hat bei \(x=2\) ein lokales Minimum.

- Welche Größe beschreibt \(I'(x)\) am Graphen von \(I\)? - Wo fällt und wo steigt der dargestellte Graph? - An welcher Stelle ist seine Tangente waagerecht?

1. Auf \((0;2)\) fällt der Graph von \(I\). Seine Steigung ist dort negativ, also gilt \(f(x)=I'(x)<0\). 2. Bei \(x=2\) hat \(I\) eine waagerechte Tangente. Daher ist \(f(2)=0\). 3. Auf \((2;4)\) steigt der Graph von \(I\). Seine Steigung ist dort positiv, also gilt \(f(x)>0\).

\(f(x)<0\) für \(0<x<2\), \(f(2)=0\), \(f(x)>0\) für \(2<x<4\).

- Welche Stammfunktion gehört zu \(f\)? - Wie erhältst du aus einer Stammfunktion den Term von \(I_0(x)\)? - Was ergibt sich, wenn du den gefundenen Term von \(I_0\) ableitest?

1. Eine Stammfunktion von \(f\) ist \(F(x)=0{,}5x^3-3x^2\). Daher ist \(\int_{0}^{4}f(x)\,\mathrm{d}x=F(4)-F(0)=-16\). 2. Für die Integralfunktion gilt \(I_0(x)=F(x)-F(0)=0{,}5x^3-3x^2\). 3. Ableiten ergibt \(I_0'(x)=1{,}5x^2-6x=f(x)\). Damit ist \(I_0\) eine Stammfunktion von \(f\).

a) \(-16\) b) \(I_0(x)=0{,}5x^3-3x^2\) und \(I_0'(x)=f(x)\).

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen einer Integralfunktion und ihrer Ableitung? - Welche Größe beschreibt die Steigung des Graphen an einer Stelle? - Welchen Wert hat \(\ln(e)\)?

1. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(G'(x)=\sqrt{x}+\ln(x)\). 2. Die gesuchte Steigung ist \(G'(e)=\sqrt{e}+\ln(e)=\sqrt{e}+1\).

\(\sqrt{e}+1\)

- Welche Stammfunktion gehört zu \(f\)? - Wie wird die feste untere Grenze \(1\) bei der Integralfunktion berücksichtigt? - Welchen Wert hat die Stammfunktion an der unteren Grenze?

1. Eine Stammfunktion von \(f\) ist \(F(t)=\frac{1}{4}t^4-t^3+t^2\). 2. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(I_1(x)=F(x)-F(1)\). 3. Da \(F(1)=\frac{1}{4}\), folgt \(I_1(x)=\frac{1}{4}x^4-x^3+x^2-\frac{1}{4}\).

\(I_1(x)=\frac{1}{4}x^4-x^3+x^2-\frac{1}{4}\)

- Was ist die Definition einer Integralfunktion \(I_a(x)\)? - Wie integriert man eine Exponentialfunktion der Form \(e^{kx}\)? - Welchen Wert hat \(e^0\)? - Vergiss nicht, beim Einsetzen der Grenzen den gesamten Wert an der unteren Grenze abzuziehen.

1. Ansatz für die Integralfunktion mit der unteren Grenze 0: \(I_0(x) = \int_{0}^{x} (e^{0{,}5t} + 2) \, dt\) 2. Bestimmung einer Stammfunktion \(F\) von \(f\): \(F(t) = 2e^{0{,}5t} + 2t\) 3. Auswertung an den Grenzen \(0\) und \(x\): \(I_0(x) = (2e^{0{,}5x} + 2x) - (2e^{0{,}5 \cdot 0} + 2 \cdot 0)\) 4. Berechnung des Werts an der unteren Grenze: \(2e^0 + 0 = 2 \cdot 1 = 2\) 5. Aufstellen des finalen Terms: \(I_0(x) = 2e^{0{,}5x} + 2x - 2\)

\(I_0(x) = 2e^{0{,}5x} + 2x - 2\)

- Welche Stammfunktion gehört zum Integranden? - Wie wird bei \(I_2\) die feste untere Grenze berücksichtigt? - Welchen Stammfunktionswert musst du vom Term mit \(x\) abziehen?

1. Eine Stammfunktion des Integranden ist \(F(t)=2t^3-2t^2+5t\). 2. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(I_2(x)=F(x)-F(2)\). 3. Es ist \(F(2)=18\). Daher folgt \(I_2(x)=2x^3-2x^2+5x-18\).

\(I_2(x)=2x^3-2x^2+5x-18\)

- Erinnere dich an die Definition der Integralfunktion als Integral mit variabler oberer Grenze. - Welche Regeln benötigst du, um die Exponentialfunktion aufzuleiten? - Achte besonders auf den konstanten Wert, der durch das Einsetzen der unteren Grenze entsteht. - Was ergibt \(e^0\)?

1. Ansatz für die Integralfunktion mit der unteren Grenze \(0\): \(I_0(x) = \int_{0}^{x} (e^{2t} - e^t) \, dt\). 2. Finden einer Stammfunktion für den Integranden: \(F(t) = \frac{1}{2}e^{2t} - e^t\). 3. Auswertung des Integrals an den Grenzen \(0\) und \(x\): \(I_0(x) = (\frac{1}{2}e^{2x} - e^x) - (\frac{1}{2}e^{2 \cdot 0} - e^0)\). 4. Berechnung des konstanten Terms: \(\frac{1}{2}e^0 - e^0 = \frac{1}{2} - 1 = -0{,}5\). 5. Zusammenführen der Teile: \(I_0(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - e^x - (-0{,}5) = \frac{1}{2}e^{2x} - e^x + 0{,}5\).

\(I_0(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - e^x + 0{,}5\)

- Überlege dir, welchen Wert jede Integralfunktion an ihrer unteren Grenze \(a\) annimmt. - Was bedeutet diese Eigenschaft für den Graphen der Funktion? - Prüfe, ob die gegebenen Funktionsterme Nullstellen besitzen können. - Beachte bei der Logarithmusfunktion den Definitionsbereich.

1. Eine Stammfunktion ist genau dann eine Integralfunktion, wenn sie mindestens eine Nullstelle im Definitionsbereich besitzt, da für jede Integralfunktion \(I_a(a) = \int_a^a \phi(t) \, dt = 0\) gilt. 2. Untersuchung von \(F(x)\): Die Gleichung \(x^2 - 6x + 9 = 0\) lässt sich als \((x-3)^2 = 0\) schreiben. Sie hat die Nullstelle \(x = 3\). Somit kann \(F\) eine Integralfunktion mit der unteren Grenze \(a = 3\) sein. 3. Untersuchung von \(G(x)\): Da \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, ist \(G(x) = e^x + 2 > 2\). Die Funktion \(G\) besitzt keine Nullstellen und kann daher keine Integralfunktion sein. 4. Untersuchung von \(H(x)\): Die Gleichung \(\ln(x) - 1 = 0\) führt zu \(\ln(x) = 1\), woraus \(x = e\) folgt. Da \(e\) im Definitionsbereich liegt, kann \(H\) eine Integralfunktion mit der unteren Grenze \(a = e\) sein.

\(F\) kann eine Integralfunktion sein (Nullstelle bei \(x = 3\)). \(G\) kann keine Integralfunktion sein (keine Nullstellen, da \(G(x) > 2\)). \(H\) kann eine Integralfunktion sein (Nullstelle bei \(x = e\)).

- Welchen Wert hat eine Integralfunktion an ihrer unteren Grenze? - Wie hängt die Ableitung einer Integralfunktion mit dem Integranden zusammen? - Was folgt für die Anzahl möglicher Nullstellen aus strenger Monotonie?

1. Wegen gleicher Integrationsgrenzen gilt \(I_2(2)=0\). Also ist \(x=2\) eine Nullstelle. 2. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist \(I_2'(x)=f(x)=\sqrt{x^4+1}\). Da \(x^4+1\geq1\), gilt \(I_2'(x)>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\). Somit ist \(I_2\) streng monoton steigend. 3. Eine streng monoton steigende Funktion kann den Wert \(0\) höchstens einmal annehmen. Daher ist \(x=2\) die einzige Nullstelle.

a) \(x=2\) b) \(I_2'(x)=\sqrt{x^4+1}>0\); daher ist \(I_2\) streng monoton steigend. c) \(x=2\) ist die einzige Nullstelle.

- Was weißt du über den Funktionswert einer Integralfunktion an ihrer unteren Grenze? - Welche Eigenschaft muss eine Funktion besitzen, damit sie überhaupt als Integralfunktion infrage kommt? - Untersuche den Term der Funktion auf mögliche Nullstellen.

1. Eine Integralfunktion \(I_a(x) = \int_a^x h(t) \, dt\) besitzt an der unteren Integrationsgrenze \(a\) stets eine Nullstelle, da \(I_a(a) = \int_a^a h(t) \, dt = 0\) gilt. 2. Die gegebene Funktion \(H(x) = \frac{1}{1+x^2}\) hat für alle \(x \in \mathbb{R}\) einen Zähler von \(1\). Da der Nenner \(1+x^2\) für alle reellen Zahlen stets größer oder gleich \(1\) ist, ist der Funktionswert \(H(x)\) immer positiv (\(H(x) > 0\)). 3. Da \(H(x)\) keine Nullstelle besitzt, existiert kein Wert für die untere Grenze \(a\), der die Bedingung \(H(a) = 0\) erfüllt. 4. Somit kann \(H\) keine Integralfunktion sein.

Nein, \(H\) kann keine Integralfunktion sein, da eine Integralfunktion \(I_a\) immer mindestens eine Nullstelle bei \(x=a\) haben muss. Die Funktion \(H(x) = \frac{1}{1+x^2}\) wird jedoch für kein reelles \(x\) null, da der Zähler konstant \(1\) ist.

- Welche Stammfunktion gehört zu \(f\)? - Wie wird die feste untere Grenze \(2\) bei der Integralfunktion berücksichtigt? - Was erhältst du, wenn du den gefundenen Term von \(I_2\) einmal ableitest?

1. Eine Stammfunktion ist \(F(t)=0{,}5t^3-2t^2+t\). Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(I_2(x)=F(x)-F(2)=0{,}5x^3-2x^2+x+2\). 2. Ableiten ergibt \(I_2'(x)=1{,}5x^2-4x+1=f(x)\). Damit ist \(I_2\) eine Stammfunktion von \(f\).

1. \(I_2(x)=0{,}5x^3-2x^2+x+2\) 2. \(I_2'(x)=1{,}5x^2-4x+1=f(x)\)

- Welche Funktion ergibt beim Ableiten den Kosinus? - Achte beim Einsetzen der Grenzen auf die Werte der trigonometrischen Funktionen an den Standardstellen. - Was bedeutet es geometrisch, wenn die obere und untere Grenze eines Integrals identisch sind? - Wie hängen Integralfunktionen im Allgemeinen mit Stammfunktionen zusammen?

1. Eine Stammfunktion von \(f(t) = \cos(t)\) ist \(F(t) = \sin(t)\). Damit gilt \(I_{\frac{\pi}{2}}(x) = [\sin(t)]_{\frac{\pi}{2}}^x = \sin(x) - \sin(\frac{\pi}{2}) = \sin(x) - 1\). 2. Die Ableitung von \(I_{\frac{\pi}{2}}(x) = \sin(x) - 1\) ist \(I_{\frac{\pi}{2}}'(x) = \cos(x)\). Da dies exakt der Funktionsgleichung \(f(x)\) entspricht, ist die Integralfunktion eine Stammfunktion von \(f\). 3. Nach der Definition der Integralfunktion gilt für jede untere Grenze \(a\): \(I_a(a) = \int_a^a f(t) \, dt = 0\), da das Intervall die Breite Null hat. Somit ist \(I_{\frac{\pi}{2}}(\frac{\pi}{2}) = 0\).

1. \(I_{\frac{\pi}{2}}(x) = \sin(x) - 1\) 2. \(I_{\frac{\pi}{2}}'(x) = \cos(x) = f(x)\); ja, sie ist eine Stammfunktion. 3. \(I_{\frac{\pi}{2}}(\frac{\pi}{2}) = 0\)

- Welche Stammfunktion gehört zu \(f\)? - Welchen Wert hat diese Stammfunktion an der unteren Grenze \(0\)? - Was zeigt der direkte Vergleich von \(I_0'\) mit \(f\) in diesem konkreten Beispiel?

1. Eine Stammfunktion von \(f\) ist \(F(t)=\frac{1}{3}t^3-3t^2+5t\). Da \(F(0)=0\), gilt \(I_0(x)=\frac{1}{3}x^3-3x^2+5x\). 2. Einsetzen von \(x=3\) ergibt \(I_0(3)=9-27+15=-3\). 3. Ableiten liefert \(I_0'(x)=x^2-6x+5=f(x)\). Damit ist die Beziehung für diesen konkreten Term überprüft.

1. \(I_0(x)=\frac{1}{3}x^3-3x^2+5x\) 2. \(I_0(3)=-3\) 3. \(I_0'(x)=x^2-6x+5=f(x)\)

- Welche Stammfunktion gehört zu \(f\)? - Wie hängt eine Integralfunktion mit den Stammfunktionswerten an oberer und unterer Grenze zusammen? - Welche Rolle spielt \(u\), wenn du den Funktionsterm in Abhängigkeit von \(x\) aufschreibst?

1. Eine Stammfunktion von \(f\) ist \(F(t)=0{,}5t^3-2t^2\). 2. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(I_u(x)=F(x)-F(u)\). 3. Damit folgt \(I_u(x)=0{,}5x^3-2x^2-0{,}5u^3+2u^2\).

\(I_u(x)=0{,}5x^3-2x^2-0{,}5u^3+2u^2\)

- Wie kannst du den Bruch als Potenz mit negativem Exponenten schreiben? - Welche Stammfunktion hat eine Potenz \(t^n\) mit \(n\neq-1\)? - Woran kannst du dein Ergebnis bei \(x=2\) überprüfen?

1. Schreibe \(f(t)=4t^{-2}\). Eine Stammfunktion ist \(F(t)=-\frac{4}{t}\). 2. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(I_2(x)=F(x)-F(2)\). 3. Daher ist \(I_2(x)=-\frac{4}{x}+2=2-\frac{4}{x}\).

\(I_2(x)=2-\frac{4}{x}\)

- Welchen Wert hat eine Integralfunktion an ihrer unteren Grenze? - Welches Vorzeichen hat \(f\) im angegebenen Intervall laut linker Abbildung? - Was bedeutet dieses Vorzeichen für die Steigung der Integralfunktion?

1. Für jede Integralfunktion gilt \(I_a(a)=0\). Daher muss \(I_{-2}(-2)=0\) gelten. \(G_2\) verläuft bei \(x=-2\) nicht durch die \(x\)-Achse und scheidet aus. 2. Aus dem linken Graphen liest man ab, dass \(f(x)\ge0\) für \(-2\le x\le2\) gilt und \(f\) im Inneren des Intervalls positiv ist. 3. Wegen \(I_{-2}'(x)=f(x)\) muss die Integralfunktion auf \([-2;2]\) streng steigen. Von den verbleibenden Kandidaten erfüllt nur \(G_3\) diese Bedingung; \(G_1\) fällt dort.

a) \(G_2\) kann ausgeschlossen werden, weil \(I_{-2}(-2)=0\) gelten muss. b) \(G_3\) ist der richtige Graph, weil \(f\) auf \([-2;2]\) nicht negativ ist und \(I_{-2}\) dort daher steigt.

- Welche Beziehung stellt der Hauptsatz zwischen dem Integral von \(f\) und einer Stammfunktion \(F\) her? - Welche beiden Funktionswerte musst du am Graphen von \(F\) ablesen? - Achte auf die Reihenfolge „obere Grenze minus untere Grenze“.

1. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(\int_{0}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x=F(2)-F(0)\). 2. Aus dem beschrifteten Graphen von \(F\) liest man \(F(2)=0\) und \(F(0)=2\) ab. 3. Daher ist der Integralwert \(0-2=-2\).

\(-2\)

- Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Wie hängen Stammfunktion und Integral zusammen? - Du kannst den Wert direkt bestimmen, ohne die Funktionsgleichung aufzustellen, indem du geometrische Flächeninhalte berechnest. - Achte darauf, ob Flächen oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegen.

1. Die Differenz \(F(4) - F(1)\) entspricht dem bestimmten Integral \(\int_{1}^{4} f(x) \,\mathrm{d}x\). 2. Zerlegung der Fläche in Teilflächen zwischen dem Graphen und der x-Achse: - Von \(x=1\) bis \(x=3\) liegt ein Dreieck oberhalb der x-Achse mit Grundseite \(g=2\) und Höhe \(h=2\). Inhalt: \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). - Von \(x=3\) bis \(x=4\) liegt ein Dreieck unterhalb der x-Achse mit Grundseite \(g=1\) und Höhe \(h=1\). Inhalt: \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 0{,}5\). 3. Berechnung der Flächenbilanz: Da die zweite Teilfläche unterhalb der x-Achse liegt, zählt sie negativ. 4. \(F(4) - F(1) = 2 - 0{,}5 = 1{,}5\).

Der Wert der Differenz beträgt \(F(4) - F(1) = 1{,}5\).

- Welchen Funktionswert muss \(I_1\) bei \(x=1\) besitzen? - Welches Vorzeichen hat \(f\) zwischen \(1\) und \(3\) laut Graph? - Was folgt daraus für das Monotonieverhalten der Integralfunktion?

1. Wegen der unteren Grenze gilt \(I_1(1)=0\). Damit scheidet \(G_1\) aus, denn dieser Graph hat bei \(x=1\) nicht den Wert \(0\). 2. Aus dem Graphen von \(f\) liest man ab, dass \(f(x)>0\) für \(1<x<3\) gilt. Wegen \(I_1'(x)=f(x)\) muss die Integralfunktion dort streng steigen. 3. Von den verbleibenden Kandidaten steigt nur \(G_2\) auf \((1;3)\). Daher ist \(G_2\) der Graph der Integralfunktion.

Der richtige Graph ist \(G_2\).

- Welche Beziehung stellt der Hauptsatz zwischen \(f\) und einer Stammfunktion \(F\) her? - Welche beiden Werte musst du am beschrifteten Graphen von \(F\) ablesen? - In welcher Reihenfolge werden diese beiden Werte subtrahiert?

1. Aus dem Graphen von \(F\) liest man \(F(3)=4\) und \(F(0)=1\) ab. 2. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(\int_{0}^{3}f(x)\,\mathrm{d}x=F(3)-F(0)=4-1=3\).

\(3\)

- Welche zwei Stammfunktionswerte gehören zu den Integrationsgrenzen? - Wie verknüpft der Hauptsatz diese beiden Werte mit dem Integral? - Was folgt, wenn die Stammfunktion an beiden Grenzen denselben Wert hat?

1. Am Graphen liest man \(F(3)=4\) und \(F(0)=4\) ab. 2. Nach dem Hauptsatz gilt \(\int_{0}^{3}f(x)\,\mathrm{d}x=F(3)-F(0)=4-4=0\).

\(0\)

- Welche Werte von \(F\) gehören zu den beiden Integrationsgrenzen? - Wie wird aus diesen Werten der bestimmte Integralwert gebildet? - Was bedeutet es für das Integral, wenn beide Stammfunktionswerte gleich sind?

1. Am Graphen von \(F\) liest man \(F(2)=0\) und \(F(-2)=0\) ab. 2. Damit gilt nach dem Hauptsatz \(\int_{-2}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x=F(2)-F(-2)=0\).

\(0\)

- Welche Vorzeichen haben die Flächenbeiträge oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse? - Wie groß sind die beiden Dreiecksflächen? - Wo wechselt \(g\) von positiv zu negativ?

1. Auf \([0;4]\) liegt ein Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse mit Flächenbeitrag \(\frac12\cdot4\cdot2=4\). Daher ist \(I_0(4)=4\). 2. Auf \([4;8]\) liegt ein gleich großes Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse mit Flächenbeitrag \(-4\). Somit ist \(I_0(8)=4-4=0\). 3. Wegen \(I_0'=g\) steigt \(I_0\) auf \((0;4)\) und fällt auf \((4;8)\). Das Maximum liegt bei \(x=4\) und hat den Wert \(4\).

a) \(I_0(4)=4\) und \(I_0(8)=0\) b) Maximum bei \(x=4\) mit dem Wert \(4\)

- Welche geometrischen Figuren erkennst du unter dem Graphen? - Was bedeutet der Integralwert von \(0\) bis \(x\) geometrisch, solange der Graph oberhalb der Achse liegt? - Welche Folgerung hat \(f(x)\ge0\) für die Monotonie von \(I\)?

1. Auf \([0;2]\) liegt unter dem Graphen ein Dreieck mit Grundseite \(2\) und Höhe \(2\). Daher ist \(I(2)=\frac12\cdot2\cdot2=2\). 2. Auf \([0;4]\) liegt ein Dreieck mit Grundseite \(4\) und Höhe \(2\). Daher ist \(I(4)=\frac12\cdot4\cdot2=4\). 3. Der Graph von \(f\) liegt auf \([0;4]\) nie unterhalb der \(x\)-Achse. Somit gilt \(I'(x)=f(x)\ge0\), also fällt \(I\) nirgends.

\(I(2)=2\), \(I(4)=4\). \(I\) fällt auf \([0;4]\) nicht, weil \(f(x)\ge0\) gilt.

- Welche Flächenbeiträge liegen oberhalb und welche unterhalb der \(x\)-Achse? - Wie werden positive und negative Beiträge in einer Flächenbilanz verrechnet? - Wo wechselt \(f\) von positiv zu negativ?

1. Auf \([0;2]\) liegt ein Dreieck oberhalb der Achse mit Grundseite \(2\) und Höhe \(2\). Daher ist \(I(2)=2\). 2. Auf \([2;4]\) liegt ein Dreieck unterhalb der Achse mit Grundseite \(2\) und Höhe \(1\). Sein Flächenbeitrag ist \(-1\). Deshalb ist \(I(4)=2-1=1\). 3. Vor \(x=2\) ist \(f>0\), danach ist \(f<0\). Somit steigt \(I\) bis \(x=2\) und fällt anschließend. Das Maximum liegt bei \(x=2\).

a) \(I(2)=2\), \(I(4)=1\) b) \(I\) besitzt bei \(x=2\) sein Maximum.

- Nutze die Additivität bestimmter Integrale für die beiden kurzen Intervalle rechts und links von \(x\). - Was bewirkt die Stetigkeit von \(f\), wenn ein Intervall immer kürzer wird? - Für eine Ableitung müssen die Annäherungen von rechts und links zum selben Wert führen.

1. Mit der Additivität bestimmter Integrale gilt \(I(x+h)-I(x)=\int_x^{x+h}f(t)\,\mathrm{d}t\) und \(I(x)-I(x-h)=\int_{x-h}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t\). 2. Wegen der Stetigkeit liegen die Funktionswerte auf einem sehr kurzen Intervall um \(x\) nahe bei \(f(x)\). Deshalb ist jeder der beiden kurzen vorzeichenbehafteten Flächenbeiträge näherungsweise \(h\,f(x)\). 3. Somit gilt anschaulich \(\frac{I(x+h)-I(x)}{h}\to f(x)\) und \(\frac{I(x)-I(x-h)}{h}\to f(x)\) für \(h\to0^+\). 4. Beide einseitigen Differenzenquotienten besitzen also denselben Grenzwert. Daher ist \(I\) an der Stelle \(x\) differenzierbar und es gilt \(I'(x)=f(x)\).

a) \(I(x+h)-I(x)=\int_x^{x+h}f(t)\,\mathrm{d}t\) und \(I(x)-I(x-h)=\int_{x-h}^{x}f(t)\,\mathrm{d}t\). b) Für kleines \(h\) sind beide vorzeichenbehafteten Flächenbeiträge näherungsweise \(h\,f(x)\). c) Rechter und linker Differenzenquotient streben beide gegen \(f(x)\); daher gilt \(I'(x)=f(x)\).

- Was musst du prüfen, damit eine Funktion Stammfunktion von \(f\) ist? - Welchen Funktionswert besitzt \(I_1\) zwangsläufig bei \(x=1\)? - Wie unterscheiden sich verschiedene Stammfunktionen derselben Funktion voneinander?

1. Alle drei Funktionen haben die Ableitung \(2x+1\). Daher sind \(F_1\), \(F_2\) und \(F_3\) Stammfunktionen von \(f\). 2. Für jede Integralfunktion \(I_1\) gilt \(I_1(1)=0\). Es ist \(F_1(1)=2\), \(F_2(1)=0\) und \(F_3(1)=7\). Daher ist \(I_1=F_2\). 3. Stammfunktionen von \(f\) unterscheiden sich nur um additive Konstanten. Die feste untere Integrationsgrenze bestimmt genau diejenige Stammfunktion, die an dieser Stelle den Wert \(0\) besitzt.

a) Alle drei Funktionen sind Stammfunktionen von \(f\). b) \(I_1(x)=F_2(x)=x^2+x-2\). c) Eine Integralfunktion mit unterer Grenze \(1\) ist die eindeutig festgelegte Stammfunktion mit dem Wert \(0\) bei \(x=1\).

- Was weißt du über die Ableitung einer Integralfunktion? - Wie findet man die Nullstellen eines Produkts oder einer ausgeklammerten Variable? - Muss man die Integralfunktion für Teil b) zwingend explizit ableiten oder gibt es eine schnellere Überlegung?

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(g(t) = t^3 - 4t\): \(\Phi(t) = \frac{1}{4}t^4 - 2t^2\). 2. Berechnung der Integralfunktion \(G_{-2}(x)\): \(G_{-2}(x) = [\frac{1}{4}t^4 - 2t^2]_{-2}^x = (\frac{1}{4}x^4 - 2x^2) - (\frac{1}{4}(-2)^4 - 2(-2)^2) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 - (4 - 8) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 4\). 3. Anwendung des Zusammenhangs \(G_{-2}'(x) = g(x)\): Waagerechte Tangenten liegen bei den Nullstellen von \(g(x)\) vor. 4. Lösen der Gleichung \(g(x) = 0\): \(x^3 - 4x = 0 \Leftrightarrow x(x^2 - 4) = 0\). 5. Die Lösungen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). An diesen Stellen hat \(G_{-2}\) waagerechte Tangenten.

a) \(G_{-2}(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 4\) b) Die Stellen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\).

- Welche Variable ist jeweils die Funktionsvariable und welche nur Integrationsvariable? - Wie wirkt sich das Vertauschen der Integrationsgrenzen in a) auf das Vorzeichen aus? - Was sagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung über eine variable obere Grenze aus?

1. Zu a) gilt \(I(x)=-\int_{10}^{x}\cos(z^2)\,\mathrm{d}z\). Nach dem Hauptsatz folgt \(I'(x)=-\cos(x^2)\). 2. Zu b) ist die obere Grenze die Funktionsvariable. Daher gilt \(A'(u)=\frac{e^u}{u+3}\). 3. Zu c) wird der Parameter \(k\) wie eine Konstante behandelt. Es folgt \(F'(y)=k\sin(y)\).

a) \(I'(x)=-\cos(x^2)\) b) \(A'(u)=\frac{e^u}{u+3}\) c) \(F'(y)=k\sin(y)\)

- Wie lautet die allgemeine Form einer Stammfunktion für ein Polynom? - Welche Eigenschaft muss eine Stammfunktion haben, um als Integralfunktion darstellbar zu sein? Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der unteren Grenze und dem Funktionswert. - Wann besitzt eine quadratische Funktion reelle Nullstellen? - Wie findet man die Stellen, an denen eine Integralfunktion den Wert Null annimmt?

1. Berechnung der allgemeinen Stammfunktion: Durch Integration von \(f(x) = 2x - 4\) ergibt sich \(F_c(x) = x^2 - 4x + c\) mit \(c \in \mathbb{R}\). 2. Bedingung für Integralfunktionen: Eine Stammfunktion \(F_c\) ist genau dann eine Integralfunktion, wenn sie mindestens eine reelle Nullstelle besitzt. Die Bedingung \(x^2 - 4x + c = 0\) führt über die Diskriminante \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 16 - 4c\) zur Forderung \(16 - 4c \ge 0\). Dies ist für \(c \le 4\) erfüllt. 3. Bestimmung der unteren Grenze \(a\): Für \(G(x) = x^2 - 4x\) muss gelten \(G(a) = 0\). Die Gleichung \(a^2 - 4a = 0 \Leftrightarrow a(a-4) = 0\) liefert die Lösungen \(a_1 = 0\) und \(a_2 = 4\).

a) \(F_c(x) = x^2 - 4x + c\) mit \(c \in \mathbb{R}\) b) \(c \le 4\) c) \(a = 0\) oder \(a = 4\)

- Welchen Wert nimmt \(G_a\) an der unteren Grenze \(a\) an? - Welche Aussage liefert der Hauptsatz über \(G_a'\)? - Was bedeutet eine überall negative Ableitung für die Anzahl möglicher Nullstellen?

1. Es gilt \(G_a(a)=\int_a^a g(t)\,\mathrm{d}t=0\). Daher ist \(x=a\) eine Nullstelle. 2. Nach dem Hauptsatz gilt \(G_a'(x)=g(x)<0\) für alle \(x\). Somit ist \(G_a\) streng monoton fallend. 3. Wegen der strengen Monotonie kann \(G_a\) den Wert \(0\) höchstens einmal annehmen. Also ist \(x=a\) die einzige Nullstelle.

Jede Integralfunktion \(G_a\) hat bei \(x=a\) eine Nullstelle. Da \(G_a'(x)=g(x)<0\) gilt, ist \(G_a\) streng monoton fallend und besitzt keine weitere Nullstelle.

- Wie findet man die Stelle, an der ein Funktionswert Null ist? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen einer Integralfunktion und ihrer Ableitung? - Wie nutzt man die erste und zweite Ableitung, um Hoch- oder Tiefpunkte zu bestimmen?

1. Nullstelle von \(f\): \(4 - e^{0{,}5x} = 0 \iff e^{0{,}5x} = 4 \iff 0{,}5x = \ln(4) \iff x = 2\ln(4) \approx 2{,}773\). 2. Extremstellen von \(I_0\): Nach dem Hauptsatz gilt \(I_0'(x) = f(x)\). Die notwendige Bedingung \(I_0'(x) = 0\) liefert \(x = 2\ln(4)\). Da \(I_0''(x) = f'(x) = -0{,}5 e^{0{,}5x}\) an dieser Stelle negativ ist (\(I_0''(2\ln(4)) = -2 < 0\)), liegt ein lokales Maximum vor.

a) \(x = 2\ln(4) \approx 2{,}773\) b) Lokales Maximum bei \(x = 2\ln(4)\).

- Welchen Zusammenhang liefert der Hauptsatz zwischen \(F_c'\) und dem Integranden? - Welches Vorzeichen hat \(\frac{2}{x^2+1}\) auf \(\mathbb{R}\)? - Verändert die Wahl der unteren Grenze die Ableitungsfunktion?

1. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(F_c'(x)=f(x)=\frac{2}{x^2+1}\). 2. Für alle \(x\in\mathbb{R}\) ist \(x^2+1>0\), also \(F_c'(x)>0\). Daher ist \(F_c\) streng monoton wachsend. 3. Die Ableitung ist unabhängig von \(c\). Eine Änderung der unteren Grenze verändert nur die vertikale Lage des Graphen, nicht sein Monotonieverhalten.

a) \(F_c'(x)=\frac{2}{x^2+1}\) b) \(F_c'(x)>0\) für alle \(x\), daher wächst \(F_c\) streng monoton. c) Nein. Das Monotonieverhalten ist unabhängig von \(c\).

- Welchen Zusammenhang liefert der Hauptsatz zwischen \(G_a'\) und \(g\)? - Welches Vorzeichen hat \(-(x^4+3)\) für reelle \(x\)? - Welchen Wert hat \(G_2\) an der unteren Grenze \(2\), und was folgt daraus durch die Monotonie?

1. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(G_a'(x)=g(x)=-(x^4+3)\). 2. Da \(x^4+3>0\) für alle \(x\) ist, gilt \(G_a'(x)<0\). Somit ist \(G_a\) streng monoton fallend. 3. Es ist \(G_2(2)=0\). Wegen \(10>2\) und der strengen Monotonie folgt \(G_2(10)<0\).

a) \(G_a'(x)=-(x^4+3)<0\); daher ist \(G_a\) streng monoton fallend. b) \(G_2(10)<0\).

- Welche Bedingung erfüllt jede Integralfunktion an ihrer unteren Grenze? - Welche Stellen von \(F\) kommen deshalb als \(a\) infrage? - Wie erhältst du aus einer Integralfunktion den Integranden zurück?

1. Für eine Integralfunktion gilt \(I_a(a)=0\). Daher muss \(a\) eine Nullstelle von \(F\) sein. 2. Es gilt \(F(x)=x(x-1)(x-2)\). Somit sind \(a=0\), \(a=1\) und \(a=2\) möglich. 3. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt für eine Integralfunktion \(I_a'(x)=f(x)\). Daher ist \(f(x)=F'(x)=3x^2-6x+2\).

\(a\in\{0;1;2\}\) und \(f(x)=3x^2-6x+2\)

- Wie erhältst du aus einer gegebenen Integralfunktion den Integranden zurück? - Welche Bedingung erfüllt die Integralfunktion an ihrer unteren Grenze? - Wie kannst du prüfen, ob die entstehende Gleichung für \(a\) weitere reelle Lösungen besitzt?

1. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt für eine Integralfunktion \(f(x)=I_a'(x)\). Daher ist \(f(x)=6x^2+2x\). 2. An der unteren Grenze muss \(I_a(a)=0\) gelten. Somit erfüllt \(a\) die Gleichung \(2a^3+a^2-3=0\). 3. Es gilt \(2a^3+a^2-3=(a-1)(2a^2+3a+3)\). Der quadratische Faktor hat die Diskriminante \(-15\) und damit keine reellen Nullstellen. Also ist \(a=1\) die einzige reelle Lösung.

\(f(x)=6x^2+2x\) und \(a=1\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral. - Was weißt du über den Wert eines Integrals, bei dem die Grenzen übereinstimmen? - Welche Eigenschaft muss die Integralfunktion an der Stelle \(x = a\) immer haben?

1. Um die Funktion \(f\) zu bestimmen, nutzt man den Zusammenhang \(f(x) = I_a'(x)\). 2. Die Ableitung der Exponentialfunktion \(e^{x-1} - 1\) ergibt unter Anwendung der Kettenregel \(f(x) = e^{x-1} \cdot 1 = e^{x-1}\). 3. Da jede Integralfunktion an ihrer unteren Grenze eine Nullstelle besitzt, muss \(I_a(a) = 0\) gelten. 4. Dies führt auf die Gleichung \(e^{a-1} - 1 = 0\), woraus \(e^{a-1} = 1\) folgt. 5. Da \(e^0 = 1\) gilt, ergibt sich \(a - 1 = 0\) und somit \(a = 1\).

\(f(x) = e^{x-1}\) und \(a = 1\)

- Wie hängt \(I_a\) mit einer Stammfunktion von \(f\) zusammen? - Welche Terme des Funktionsterms sind beim Ableiten nach \(x\) konstant? - Was zeigt der Vergleich der erhaltenen ersten Ableitung mit \(f\) in diesem Beispiel?

1. Eine Stammfunktion von \(f\) ist \(F(t)=\frac{1}{16}t^4-\frac{1}{2}t^2\). Daher gilt \(I_a(x)=F(x)-F(a)=\frac{1}{16}x^4-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{16}a^4+\frac{1}{2}a^2\). 2. Da \(a\) bezüglich \(x\) konstant ist, folgt \(I_a'(x)=\frac{1}{4}x^3-x=f(x)\). Damit ist die Beziehung für den berechneten Term überprüft.

1. \(I_a(x)=\frac{1}{16}x^4-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{16}a^4+\frac{1}{2}a^2\) 2. \(I_a'(x)=\frac{1}{4}x^3-x=f(x)\)

- Erinnere dich an die Potenzregel für das Ableiten und Integrieren. - Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt, dass ein Integral über die Differenz der Stammfunktionswerte an den Grenzen berechnet wird. - Überlege dir, welche Funktion eine Stammfunktion von \(f''\) ist. - Was passiert mit konstanten Summanden, wenn du eine Funktion ableitest?

1. Die Ableitungen lauten \(f'(x) = 4x^3 - 4x\) und \(f''(x) = 12x^2 - 4\). 2. Zur Berechnung des Integrals wird eine Stammfunktion von \(f''\) benötigt, wobei \(f'\) eine solche ist: \(G(x) = \int_{1}^{x} (12t^2 - 4) \, \text{d}t = [4t^3 - 4t]_1^x = (4x^3 - 4x) - (4 \cdot 1^3 - 4 \cdot 1) = 4x^3 - 4x\). 3. Die Ableitung von \(G\) nach \(x\) ergibt \(G'(x) = 12x^2 - 4\). Dies entspricht exakt dem Integranden \(f''(x)\). Die Beobachtung zeigt zweierlei: Erstens führt die Integration der Ableitung \(f''\) zurück zur Funktion \(f'\) (hier zufällig exakt, da \(f'(1)=0\)). Zweitens hebt das anschließende Differenzieren die Integration wieder auf, sodass man den ursprünglichen Integranden erhält.

1. \(f'(x) = 4x^3 - 4x\); \(f''(x) = 12x^2 - 4\) 2. \(G(x) = 4x^3 - 4x\) 3. \(G'(x) = 12x^2 - 4 = f''(x)\). Die Differentiation der Integralfunktion liefert den ursprünglichen Integranden zurück.

- Nutze den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung in seiner allgemeinen Form. - Was ist die Stammfunktion einer Ableitung \(h'\)? - Behandle \(a\) und somit auch \(h(a)\) als eine feste Zahl (Konstante). - Überlege dir, wie sich die Begriffe „Stammfunktion“ und „Ableitung“ zueinander verhalten.

1. Da \(h\) eine Stammfunktion von \(h'\) ist, gilt nach dem Hauptsatz: \(I(x) = [h(t)]_a^x = h(x) - h(a)\). 2. Die Ableitung nach \(x\) lautet \(I'(x) = \frac{d}{dx}(h(x) - h(a))\). Da \(h(a)\) ein konstanter Wert ist, fällt dieser beim Differenzieren weg. Es bleibt \(I'(x) = h'(x)\). 3. Zu a): In Aufgabenteil 1 wurde die Ableitung \(h'\) integriert, was zur Funktion \(h(x)\) führte (verschoben um die Konstante \(-h(a)\)). Die Operation wurde also „rückgängig“ gemacht. Zu b): In Aufgabenteil 2 wurde die durch Integration gewonnene Funktion \(I(x)\) wieder differenziert, was exakt den Integranden \(h'(x)\) lieferte. Beide Operationen sind somit invers zueinander.

1. \(I(x) = h(x) - h(a)\) 2. \(I'(x) = h'(x)\), da die Ableitung von \(h(x)-h(a)\) gleich \(h'(x)\) ist. 3. a) \(I(x)\) liefert die Funktion \(h\) bis auf eine Konstante zurück. b) Die Ableitung der Integralfunktion \(I'(x)\) entspricht dem Integranden \(h'(x)\).

- Was passiert mathematisch, wenn die obere Grenze eines Integrals genau dem Wert der unteren Grenze entspricht? - Überlege, welche Bedingung eine Stammfunktion erfüllen muss, damit man sie als Integralfunktion mit einer bestimmten unteren Grenze schreiben kann. - Wie viele Nullstellen muss eine Integralfunktion mindestens haben?

1. Zur Bestimmung der Integralfunktion \(I_1(x) = \int_{1}^{x} (4t^3 - 4t) \, dt\) wird zunächst eine Stammfunktion von \(f(t)\) gebildet, was \(T(t) = t^4 - 2t^2\) ergibt. Durch Einsetzen der Grenzen erhält man \(I_1(x) = [t^4 - 2t^2]_1^x = (x^4 - 2x^2) - (1^4 - 2 \cdot 1^2) = x^4 - 2x^2 + 1\). 2. Eine Integralfunktion \(I_a\) muss nach Definition an der Stelle ihrer unteren Grenze \(a\) immer eine Nullstelle besitzen, da \(I_a(a) = \int_{a}^{a} f(t) \, dt = 0\) gilt. Die Funktion \(F(x) = x^4 - 2x^2 + 5\) kann jedoch als \((x^2 - 1)^2 + 4\) geschrieben werden. Da \((x^2 - 1)^2 \geq 0\), ist \(F(x) \geq 4\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). Da \(F\) keine reellen Nullstellen besitzt, kann sie für keinen Wert \(a\) eine Integralfunktion \(I_a\) darstellen.

1. \(I_1(x) = x^4 - 2x^2 + 1\) 2. \(F\) kann keine Integralfunktion sein, da jede Integralfunktion mindestens eine Nullstelle (bei \(x = a\)) haben muss, \(F\) aber für alle \(x\) größer als null ist (\(F(x) \geq 4\)).

- Wie erhältst du aus einer Integralfunktion die Funktion unter dem Integralzeichen zurück? - Welchen Wert muss \(I_a\) an der Stelle \(x=a\) haben? - Welche zusätzliche Eigenschaft braucht eine Stammfunktion, damit sie als Integralfunktion darstellbar ist?

1. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(f(x)=I_a'(x)=x-2\). 2. Für die untere Grenze muss \(I_a(a)=0\) gelten. Aus \(\frac{1}{2}a^2-2a-6=0\) folgt \(a^2-4a-12=0\), also \(a=-2\) oder \(a=6\). 3. Weil \(I_a'(x)=f(x)\), ist jede Integralfunktion eine Stammfunktion von \(f\). Umgekehrt ist eine Stammfunktion nur dann als Integralfunktion darstellbar, wenn sie mindestens eine Nullstelle besitzt, die als untere Grenze dienen kann.

1. \(f(x)=x-2\) 2. \(a=-2\) oder \(a=6\) 3. Jede Integralfunktion ist eine Stammfunktion ihres Integranden; eine Stammfunktion ist nur dann eine Integralfunktion, wenn sie eine geeignete Nullstelle als untere Grenze besitzt.

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Vorzeichen von \(f\) und dem Monotonieverhalten einer Stammfunktion \(F\)? - An welcher Nullstelle von \(f\) wechselt das Vorzeichen von positiv zu negativ? - Wie lässt sich die Änderung von \(F_1\) zwischen zwei Stellen durch ein bestimmtes Integral ausdrücken?

1. Für jede Stammfunktion gilt \(F'=f\). Ein lokaler Hochpunkt von \(F\) liegt daher an einer Nullstelle von \(f\), an der \(f\) von positiv zu negativ wechselt. 2. Bei \(x=1\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ. Deshalb besitzt \(F\) dort einen lokalen Hochpunkt. 3. Für Teil b) gilt \(F_1(0)-F_1(-2)=\int_{-2}^{0}f(x)\,dx\). 4. Eine Stammfunktion von \(f\) ist \(A(x)=\frac{1}{16}x^4-\frac14x^3-\frac34x^2+2x\). Damit ist \(\int_{-2}^{0}f(x)\,dx=4\). 5. Also gilt \(3-F_1(-2)=4\), somit \(F_1(-2)=-1\).

a) \(x=1\) b) \(F_1(-2)=-1\)

- Welchen Wert nimmt eine Integralfunktion an ihrer unteren Integrationsgrenze an? - Wie hängt die erste Ableitung einer Integralfunktion mit dem Integranden zusammen? - Was verraten die Nullstellen und das Vorzeichen des Integranden über waagerechte Tangenten und Monotonie der Integralfunktion?

1. Es gilt \(I_{-2}(-2)=0\). Der gesuchte Graph muss daher bei \(x=-2\) eine Nullstelle besitzen. Das trifft auf alle drei dargestellten Graphen zu. 2. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(I_{-2}'(x)=-\frac12x+1\). 3. Aus \(I_{-2}'(x)=0\) folgt \(x=2\). Dort muss der Graph eine waagerechte Tangente besitzen. Damit scheidet \(G_3\) aus. 4. Außerdem gilt \(I_{-2}''(x)=-\frac12<0\). Somit liegt bei \(x=2\) ein lokales Maximum vor. Das schließt den nach oben geöffneten Graphen \(G_2\) aus. 5. Daher ist \(G_1\) der Graph der Integralfunktion.

Der richtige Graph ist \(G_1\).

- Welchen Funktionswert muss die Integralfunktion an ihrer unteren Grenze besitzen? - Wie hängt das Vorzeichen von \(f\) mit dem Monotonieverhalten von \(I_2\) zusammen? - Welche Bedeutung haben die Nullstellen von \(f\) für den Verlauf der Integralfunktion?

1. Wegen \(I_2(2)=0\) muss der gesuchte Graph durch \((2\mid0)\) verlaufen. Damit scheidet \(G_3\) aus. 2. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(I_2'(x)=f(x)\). Die Nullstellen von \(f\) bei \(x=0\) und \(x=4\) sind daher Stellen mit waagerechter Tangente von \(I_2\). 3. Für \(0<x<4\) gilt \(f(x)>0\), also steigt \(I_2\) dort. Für \(x<0\) und \(x>4\) gilt \(f(x)<0\), also fällt \(I_2\) dort. Folglich hat \(I_2\) bei \(x=0\) ein lokales Minimum und bei \(x=4\) ein lokales Maximum. 4. Dieses Verhalten zeigt nur \(G_2\). Daher stellt \(G_2\) die Integralfunktion dar.

Der Graph \(G_2\) stellt die Integralfunktion \(I_2\) dar.

- Welche Flächenbeiträge liegen oberhalb und welche unterhalb der horizontalen Achse? - Wie wirkt sich eine obere Integrationsgrenze links von \(0\) auf die Integrationsrichtung aus? - Welche einfachen geometrischen Formen kannst du im Graphen erkennen und miteinander vergleichen?

1. Aussage a) ist wahr. Von \(0\) bis \(1\) entsteht ein positiver dreieckiger Flächenbeitrag von \(0{,}5\), von \(1\) bis \(2\) ein gleich großer negativer Flächenbeitrag. Die Flächenbilanz ist daher \(I_0(2)=0\). 2. Aussage b) ist wahr. Bis \(x=1\) wächst die positive Flächenbilanz. Für \(1<x<2\) wird zwar ein negativer Flächenbeitrag angesammelt, sein Betrag ist aber noch kleiner als \(0{,}5\). Daher bleibt \(I_0(x)>0\). 3. Aussage c) ist falsch. Wegen der vertauschten Integrationsrichtung gilt \(I_0(-1)=-\int_{-1}^{0}f(t)\,\mathrm{d}t\). Der Flächeninhalt des Trapezes zwischen \(-1\) und \(0\) beträgt \(\frac{2+1}{2}\cdot1=1{,}5\). Somit ist \(I_0(-1)=-1{,}5\). 4. Aussage d) ist wahr. Zwischen \(-3\) und \(-1\) heben sich ein negativer und ein positiver dreieckiger Flächenbeitrag mit gleichem Betrag auf. Deshalb gilt \(\int_{-3}^{-1}f(t)\,\mathrm{d}t=0\) und damit \(I_0(-3)=I_0(-1)=-1{,}5\).

a) Wahr b) Wahr c) Falsch; korrekt ist \(I_0(-1)=-1{,}5\). d) Wahr

- Wie hängt die erste Ableitung von \(I_2\) mit \(f\) zusammen? - Welche Vorzeichen hat \(f\) links von \(-2\) und zwischen \(-2\) und \(2\)? - Was geschieht mit einem bestimmten Integral, wenn du seine Grenzen vertauschst?

1. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(I_2'(x)=f(x)\). Das Vorzeichen von \(f\) bestimmt daher das Monotonieverhalten von \(I_2\). 2. Für \(-2<x<2\) gilt \(f(x)<0\), also fällt \(I_2\) dort streng. Für \(x<-2\) gilt \(f(x)>0\), also steigt \(I_2\) dort. 3. Bei \(x=-2\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ. Deshalb besitzt \(I_2\) dort einen lokalen Hochpunkt. 4. Es gilt \(I_2(-2)=\int_2^{-2}f(t)\,\mathrm{d}t=-\int_{-2}^{2}f(t)\,\mathrm{d}t\). Die Flächenbilanz von links nach rechts auf \([-2;2]\) ist negativ, weil \(f\) dort unterhalb der \(x\)-Achse liegt. Durch die umgekehrte Integrationsrichtung wird der Wert positiv.

a) \(I_2\) steigt für \(x<-2\) und fällt für \(-2<x<2\); bei \(x=-2\) liegt wegen des Vorzeichenwechsels von \(f\) ein lokaler Hochpunkt. b) \(I_2(-2)=-\int_{-2}^{2}f(t)\,\mathrm{d}t>0\), weil die Flächenbilanz \(\int_{-2}^{2}f(t)\,\mathrm{d}t\) negativ ist.

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen \(F'\) und \(f\)? - Nutze das Vorzeichen von \(f\), um zu entscheiden, wo \(F\) steigt oder fällt. - Für den Wert von \(F\) kannst du die Flächenbilanz zwischen zwei Stellen verwenden. - Was bedeutet die Steigung des Graphen von \(f\) an \(x=4\) für \(F''(4)\)?

1. Weil \(F'=f\) gilt, steigt \(F\) dort, wo \(f>0\), und fällt dort, wo \(f<0\). Bei \(x=2\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ; zusätzlich sind für das absolute Maximum die Randwerte zu vergleichen. 2. Von \(x=-2\) bis \(x=2\) beträgt die Flächenbilanz \(2+2=4\). Mit \(F(-2)=0\) folgt \(F(2)=4\). 3. Von \(x=2\) bis \(x=6\) beträgt die Flächenbilanz \(-0{,}5-2-0{,}25+0{,}25=-2{,}5\). Daher ist \(F(6)=1{,}5\). Somit liegt das absolute Maximum bei \(x=2\) und hat den Wert \(4\). 4. Auf \([0;5]\) ergeben die geometrischen Flächenbeiträge \(2-0{,}5-2=-0{,}5\). Also ist \(\int_0^5 f(x)\,\mathrm{d}x=-0{,}5\). 5. Aus \(F'=f\) folgt \(F''=f'\). Im Intervall von \(x=3\) bis \(x=5\) ist der dargestellte Graph von \(f\) waagerecht, daher ist \(f'(4)=0\). Somit gilt \(F''(4)=0\).

a) Absolutes Maximum bei \(x=2\) mit \(F(2)=4\). b) \(\int_0^5 f(x)\,\mathrm{d}x=-0{,}5\) c) \(F''(4)=0\)

- Überlege, welchen Funktionswert jede Integralfunktion an ihrer unteren Grenze besitzt. - Eine Verschiebung einer Stammfunktion in y-Richtung verändert ihre Ableitung nicht. - Das Vorzeichen von \(f\) lässt sich aus der Steigung des Graphen von \(F\) ablesen. - Für ein bestimmtes Integral kannst du die Werte einer Stammfunktion an den Grenzen vergleichen.

1. Eine Integralfunktion \(I_a(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\) hat bei \(x=a\) den Wert \(0\). Der dargestellte Graph von \(F\) besitzt keine Nullstelle; daher ist a) falsch. 2. Für \(H(x)=F(x)-2\) gilt \(H'=F'=f\). Außerdem ist \(H(2)=F(2)-2=0\). Damit ist \(H(x)=\int_2^x f(t)\,\mathrm{d}t\); b) ist wahr. 3. Es gilt \(f(1)=F'(1)\). Der Graph von \(F\) fällt bei \(x=1\), also ist \(F'(1)<0\). Daher ist c) falsch. 4. Nach dem Hauptsatz gilt \(\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x=F(2)-F(0)=2-4=-2\). Daher ist d) wahr.

a) Falsch b) Wahr c) Falsch d) Wahr

- Welcher Vorzeichenwechsel von \(f\) kennzeichnet ein lokales Minimum einer Stammfunktion? - Vergleiche für die Integralfunktion die Flächenbeiträge oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse. - Was sagt das Vorzeichen von \(f\) über das Monotonieverhalten jeder Stammfunktion aus?

1. Für jede Stammfunktion gilt \(F'=f\). Ein lokales Minimum von \(F\) liegt an einer Nullstelle von \(f\), an der \(f\) von negativ zu positiv wechselt. Das geschieht bei \(x=-1\) und \(x=3\). 2. Von \(-1\) bis \(1\) entsteht ein positiver Flächenbeitrag von \(2\), von \(1\) bis \(3\) ein negativer Flächenbeitrag von \(-2\). Die Flächenbilanz ist daher \(I_{-1}(3)=0\). 3. Auf \([-1;1]\) ist \(f\) im Inneren positiv, also steigt jede Stammfunktion dort streng. Auf \([1;3]\) ist \(f\) im Inneren negativ, also fällt jede Stammfunktion dort streng.

a) Lokale Minima liegen bei \(x=-1\) und \(x=3\). b) \(I_{-1}(3)=0\); der positive und der negative Flächenbeitrag heben sich in der Flächenbilanz auf. c) Streng steigend auf \([-1;1]\), streng fallend auf \([1;3]\).

- Verfolge die Flächenbilanz von \(x=0\) aus schrittweise entlang der einfachen geometrischen Teilflächen. - Welche Vorzeichen haben Flächenbeiträge oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse? - Was sagt das Vorzeichen von \(f\) über das Monotonieverhalten von \(I_0\) aus? - Welche geometrische Form liegt zwischen \(x=4\) und \(x=5\) vor?

1. Es gilt \(I_0(0)=0\). Auf \([0;2]\) entsteht ein negativer dreieckiger Flächenbeitrag von \(-2\), also \(I_0(2)=-2\). Auf \([2;4]\) kommt ein positiver Flächenbeitrag von \(2\) hinzu, also \(I_0(4)=0\). Auf \([4;6]\) wächst die Flächenbilanz um weitere \(2\) auf \(I_0(6)=2\), und auf \([6;8]\) sinkt sie wieder um \(2\) auf \(I_0(8)=0\). Damit sind die Nullstellen \(x=0\), \(x=4\) und \(x=8\). 2. Nach dem Hauptsatz gilt \(I_0'(x)=f(x)\). Bei \(x=6\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ; daher besitzt \(I_0\) dort sein globales Maximum. Der maximale Wert ist \(I_0(6)=2\). 3. Es gilt \(I_0(5)=I_0(4)+\int_4^5 f(t)\,\mathrm{d}t\). Das Teilstück ist ein Trapez mit den Höhen \(2\) und \(1\) sowie der Breite \(1\). Daher ist \(I_0(5)=\frac{2+1}{2}\cdot1=1{,}5\).

a) \(x=0\), \(x=4\) und \(x=8\) b) Der maximale Wert ist \(2\) bei \(x=6\). c) \(I_0(5)=1{,}5\)

- Welchen Wert besitzt eine Integralfunktion \(I_a\) an ihrer unteren Grenze \(a\)? - Lies das Vorzeichen von \(f=F'\) aus dem Steigen oder Fallen des dargestellten Graphen ab. - An einer lokalen Extremstelle von \(F\) ist die Steigung besonders einfach. - Nutze für das bestimmte Integral die Stammfunktionswerte an den beiden Grenzen und beachte die Symmetrie des Graphen.

1. Für die Integralfunktion \(I_0(x)=\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t\) gilt stets \(I_0(0)=0\). Aus dem Graphen liest man dagegen \(F(0)=3\). Daher ist a) falsch. 2. Wegen \(F'=f\) ist \(f\) dort positiv, wo \(F\) steigt. Im Intervall \([-2;-1]\) steigt der Graph von \(F\), also ist b) wahr. 3. Aus dem Graphen liest man \(F(0)=3\). Bei \(x=0\) besitzt \(F\) einen Hochpunkt, daher ist \(f(0)=F'(0)=0\). Somit ist \(F(0)+f(0)=3\); c) ist falsch. 4. Nach dem Hauptsatz gilt \(\int_{-2}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x=F(2)-F(-2)\). Der Graph von \(F\) ist achsensymmetrisch zur y-Achse, also ist \(F(2)=F(-2)\). Damit ist das Integral \(0\); d) ist wahr.

a) Falsch b) Wahr c) Falsch d) Wahr

- Welche einfachen Flächenbeiträge kannst du direkt aus dem Graphen bestimmen? - Was ändert sich, wenn die obere Integrationsgrenze links von der unteren Grenze \(0\) liegt? - Wie hängt die erste Ableitung von \(I\) mit \(f\) zusammen? - Wie kannst du Monotonie nutzen, um zusätzliche Nullstellen auszuschließen?

1. Auf \([0;2]\) liegt ein Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse mit Grundseite \(2\) und Höhe \(2\). Daher ist \(I(2)=\frac12\cdot2\cdot2=2\). Auf \([2;4]\) entsteht ein gleich großer negativer Flächenbeitrag, also \(I(4)=2-2=0\). Für \(I(-1)\) wird nach links integriert: \(I(-1)=-\int_{-1}^{0}f(t)\,\mathrm{d}t=-1\). 2. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(I'(x)=f(x)\). Bei \(x=-1\) wechselt \(f\) von negativ zu positiv, daher hat \(I\) dort ein lokales Minimum. Bei \(x=2\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ, daher hat \(I\) dort ein lokales Maximum. 3. Wegen der unteren Grenze ist \(I(0)=0\). Aus Teil a) folgt außerdem \(I(4)=0\). Links von \(0\) heben sich die Flächenbeiträge auf \([-2,-1]\) und \([-1,0]\) in der Flächenbilanz auf, daher gilt auch \(I(-2)=0\). Zwischen diesen Stellen ist \(I\) aufgrund des Vorzeichens von \(f\) jeweils streng monoton, sodass keine weiteren Nullstellen auftreten.

a) \(I(2)=2\), \(I(4)=0\), \(I(-1)=-1\) b) Lokales Minimum bei \(x=-1\); lokales Maximum bei \(x=2\). c) \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=4\)

- Welche geometrische Form entsteht unter einem linearen Graphen zwischen zwei senkrechten Begrenzungen? - Welche Längen haben die beiden parallelen Seiten dieses Trapezes? - Wie kannst du das bestimmte Integral alternativ mit einer Stammfunktion berechnen?

1. Auf \([1,x]\) bildet die Fläche unter dem linearen Graphen ein Trapez. Seine parallelen vertikalen Seiten haben die Längen \(f(1)=3\) und \(f(x)\), die Breite beträgt \(x-1\). Daher ist \(I_1(x)=\frac12(3+f(x))(x-1)\). 2. Einsetzen von \(f(x)=-x+4\) ergibt \(I_1(x)=\frac12(7-x)(x-1)=-0{,}5x^2+4x-3{,}5\). 3. Eine Stammfunktion von \(f(t)=-t+4\) ist \(F(t)=-0{,}5t^2+4t\). Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(I_1(x)=F(x)-F(1)=-0{,}5x^2+4x-3{,}5\). Beide Wege liefern denselben Term.

a) \(I_1(x)=\frac12(3+f(x))(x-1)\) b) \(I_1(x)=-0{,}5x^2+4x-3{,}5\) c) Auch mit einer Stammfunktion ergibt sich \(I_1(x)=-0{,}5x^2+4x-3{,}5\).

- Welche Eigenschaft hat eine Integralfunktion an ihrer unteren Grenze? - Wie kannst du bestimmte Integrale mithilfe zweier Funktionswerte derselben Stammfunktion berechnen? - Welche zusätzliche Eigenschaft braucht eine Stammfunktion, damit sie auf dem betrachteten Intervall als Integralfunktion darstellbar ist? - Wie verändert sich eine Integralfunktion, wenn du die untere Grenze von \(b\) auf \(-1\) verschiebst?

1. Für jede Integralfunktion gilt \(J_b(b)=0\). Der Graph von \(J_b\) hat im betrachteten Intervall die Nullstellen \(-3\) und \(0\). Wegen \(b\neq0\) folgt \(b=-3\). 2. Es gilt \(\int_b^0g(x)\,\mathrm{d}x=J_b(0)=0\). Außerdem ist \(\int_{-1}^0g(x)\,\mathrm{d}x=J_b(0)-J_b(-1)=0-2=-2\). 3. Da \(J_b'(x)=g(x)\), gilt auch \(G'(x)=J_b'(x)=g(x)\). Somit ist \(G\) eine Stammfunktion von \(g\). Aus dem Graphen liest man \(J_b(x)\ge0\) auf \([-4;0]\), also \(G(x)=J_b(x)+1\ge1\). Weil \(G\) dort keine Nullstelle besitzt, kann \(G\) auf diesem Intervall keine Integralfunktion von \(g\) sein. 4. Es gilt \(J_{-1}(x)=J_b(x)-J_b(-1)=J_b(x)-2\). Nullstellen von \(J_{-1}\) liegen daher dort, wo \(J_b(x)=2\). Aus dem Graphen erhält man \(x=-4\) und \(x=-1\).

a) \(b=-3\) b) \(\int_b^0 g(x)\,\mathrm{d}x=0\) und \(\int_{-1}^0 g(x)\,\mathrm{d}x=-2\) c) \(G'(x)=g(x)\), also ist \(G\) eine Stammfunktion. Da \(G(x)\ge1\) auf \([-4;0]\) gilt, besitzt \(G\) dort keine Nullstelle und kann dort keine Integralfunktion sein. d) \(x=-4\) und \(x=-1\)

- Welcher Vorzeichenwechsel von \(f\) kennzeichnet ein lokales Minimum einer Stammfunktion? - Zerlege die polygonalen Flächen in einfache Formen und beachte die Vorzeichen ihrer Flächenbeiträge. - Verfolge für Teil c die Flächenbilanz von der unteren Grenze \(-4\) aus.

1. Wegen \(F'=f\) besitzt \(F\) dort ein lokales Minimum, wo \(f\) von negativ zu positiv wechselt. Das geschieht im Inneren des Intervalls nur bei \(x=4\). 2. Auf \([-3;1]\) ergeben sich die vorzeichenbehafteten Flächenbeiträge \(1{,}5+2-0{,}5=3\). Daher ist \(\int_{-3}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x=3\). 3. Von \(-4\) bis \(0\) beträgt der positive Flächenbeitrag \(4\), von \(0\) bis \(4\) der negative Flächenbeitrag \(-4\) und von \(4\) bis \(5\) der positive Flächenbeitrag \(0{,}5\). Somit ist \(I_{-4}(5)=0{,}5\). 4. Es gilt \(I_{-4}(-4)=0\). Bis \(x=0\) steigt die Flächenbilanz auf \(4\), anschließend fällt sie bis \(I_{-4}(4)=0\) und steigt danach wieder. Daher sind \(x=-4\) und \(x=4\) die einzigen Nullstellen.

a) \(x=4\) b) \(\int_{-3}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x=3\) c) \(I_{-4}(5)=0{,}5\); Nullstellen: \(x=-4\) und \(x=4\)

- Starte in Teil a mit dem sicheren Wert \(I_0(0)\) und verfolge anschließend die Flächenbilanz anhand des Vorzeichens von \(f\). - Warum kann es nach \(x=2\) höchstens eine weitere Nullstelle geben? - Erst in Teil b: Welche Stammfunktion gehört zu dem angegebenen quadratischen Funktionsterm?

1. Es gilt \(I_0(0)=0\). Auf \((0,2)\) ist \(f<0\), daher wird die Flächenbilanz zunächst negativ. Für \(x>2\) ist \(f>0\), also steigt \(I_0\) dort streng. Aus dem Graphen ist außerdem erkennbar, dass der positive Flächenbeitrag auf \([2,4]\) größer ist als der negative Flächenbeitrag auf \([0,2]\). Somit muss \(I_0\) nach \(x=2\) genau einmal die \(x\)-Achse schneiden. Zusammen mit \(x=0\) gibt es auf \([0,4]\) genau zwei Nullstellen. 2. Rechnerisch ist \(I_0(x)=\int_0^x(0{,}5t^2-2)\,\mathrm{d}t=\frac16x^3-2x\). Aus \(\frac16x^3-2x=0\) folgt \(x\left(\frac16x^2-2\right)=0\). Daher sind die Nullstellen \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt{12}=\pm2\sqrt3\).

a) Auf \([0;4]\) liegen genau zwei Nullstellen vor: \(x=0\) und eine weitere Stelle in \((2;4)\). b) \(x=-2\sqrt3\), \(x=0\) und \(x=2\sqrt3\)

- Welche einfache geometrische Form liegt unter \(f\) zwischen \(0\) und \(4\)? - Was sagt das Vorzeichen von \(f\) über das Monotonieverhalten von \(F\) aus? - Welche Steigung muss die Integralfunktion bei \(x=0\) besitzen?

1. Auf \([0;4]\) bildet die Fläche unter \(f\) ein rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite \(4\) und Höhe \(4\). Daher ist \(F(4)=\frac12\cdot4\cdot4=8\). 2. Alle drei Kandidaten verlaufen durch den Ursprung; die Bedingung \(F(0)=0\) entscheidet die Aufgabe daher nicht. 3. Wegen \(F'(x)=f(x)\ge0\) muss \(F\) auf \([-4;4]\) monoton steigen. Graph A fällt und scheidet aus. 4. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(F'(0)=f(0)=4\). Graph C besitzt im Ursprung eine waagerechte Tangente und scheidet ebenfalls aus. 5. Graph B erfüllt den Wert \(F(4)=8\), die geforderte Monotonie und die Steigung im Ursprung. Somit ist B der Graph der Integralfunktion.

a) \(F(4)=8\) b) Graph B ist der Graph der Integralfunktion. A widerspricht der Monotonie; C widerspricht \(F'(0)=f(0)=4\).

- Für Extremstellen und Monotonie von \(F\) ist wegen \(F'=f\) das Vorzeichen von \(f\) entscheidend. - Nutze \(F(-2)=0\) als Ausgangswert für Teil c. - Schätze die Flächenbilanz zwischen \(x=-2\) und \(x=2\) anhand des Rasters und beachte die geforderte Rundung.

1. Es gilt \(F'=f\). Bei \(x=-2\) wechselt \(f\) von negativ zu positiv, daher besitzt \(F\) dort einen Tiefpunkt. Bei \(x=2\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ, daher besitzt \(F\) dort einen Hochpunkt. 2. Für \(-2<x<2\) ist \(f>0\), also ist \(F\) dort streng monoton steigend. 3. Es gilt \(F(2)-F(-2)=\int_{-2}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x\). Wegen \(F(-2)=0\) ist \(F(2)\) gleich der positiven Flächenbilanz. Aus dem Raster ergibt sich gerundet auf halbe Einheiten \(F(2)\approx2{,}5\).

a) Tiefpunkt bei \(x=-2\), Hochpunkt bei \(x=2\). b) Streng steigend für \(-2<x<2\). c) \(F(2)\approx2{,}5\).

- Eine Integralfunktion \(I_a(x)\) hat immer die Eigenschaft \(I_a(a) = 0\). - Übertrage die Eigenschaften von \(f\) (Nullstellen, Extrema, Symmetrie) systematisch auf \(I_0\). - Wie verhalten sich die Flächenanteile links und rechts der y-Achse zueinander?

1. \(I_0\) ist diejenige Stammfunktion von \(f\), für die \(I_0(0) = 0\) gilt. 2. Die Nullstellen von \(f\) bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\) sind Extremstellen von \(I_0\). 3. Wegen der Vorzeichenwechsel von \(f\) hat \(I_0\) bei \(x = -2\) ein lokales Minimum, bei \(x = 0\) ein lokales Maximum und bei \(x = 2\) wieder ein lokales Minimum. 4. Die Extremstellen von \(f\) liegen aus dem Graphen auf \(0{,}5\) genau bei \(x\approx-1{,}0\) und \(x\approx1{,}0\). Dort besitzt \(I_0\) Wendestellen. 5. Da \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist \(I_0\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 6. Der Verlauf ist W-förmig und geht durch den Hochpunkt \((0 \mid 0)\).

Der Graph von \(I_0\) verläuft W-förmig und ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Er hat ein lokales Maximum im Punkt \((0 \mid 0)\), lokale Minima bei \(x=-2\) und \(x=2\) sowie Wendestellen ungefähr bei \(x\approx-1{,}0\) und \(x\approx1{,}0\).

- Erinnere dich an die Definition der Integralfunktion: Was passiert, wenn die obere Grenze gleich der unteren Grenze ist? - Nutze den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Wie hängen die Integralfunktion und die Funktion im Integral zusammen? - Wie lässt sich die Steigung eines Graphen an einer bestimmten Stelle interpretieren? - Was sagt das Monotonieverhalten der Integralfunktion über das Vorzeichen des Integranden aus?

1. Da für jede Integralfunktion \(I_a(a) = 0\) gilt, muss \(a\) eine Nullstelle der Funktion sein. Aus dem Graphen lässt sich ablesen, dass die Funktion bei \(x = 1\) und \(x = -2\) die x-Achse schneidet. Da \(a > 0\) gefordert ist, folgt \(a = 1\). 2. Es gilt der Zusammenhang \(I_a'(x) = f(x)\). Der Wert des Integranden an einer Stelle entspricht also der lokalen Steigung der Integralfunktion. Im Punkt \((0 \mid \frac{2}{3})\) des Graphen lässt sich eine Tangente anlegen. Die Steigung beträgt dort \(-1\), woraus \(f(0) = -1\) folgt. 3. An der Stelle \(x = -2\) ist der Graph der Integralfunktion \(I_a\) streng monoton steigend (die Steigung ist positiv). Da \(I_a'(x) = f(x)\) ist, muss folglich \(f(-2) > 0\) gelten. Der Wert des Integranden ist also positiv.

1. Die untere Integrationsgrenze ist \(a = 1\), da dort \(I_a(1) = 0\) gilt. 2. Der Wert des Integranden ist \(f(0) = -1\), da die Steigung des Graphen an der Stelle \(x = 0\) den Wert \(-1\) hat. 3. Der Wert \(f(-2)\) ist positiv, da der Graph von \(I_a\) an dieser Stelle steigt, was eine positive Ableitung und damit einen positiven Funktionswert von \(f\) bedeutet.

- Welchen Wert muss die Integralfunktion bei ihrer unteren Grenze \(0\) besitzen? - Welche Steigung muss \(I_0\) im Ursprung aufgrund von \(f(0)\) haben? - In welchem Bereich ist \(f\) positiv, und was bedeutet das für die Monotonie von \(I_0\)?

1. Es gilt \(I_0(0)=0\). Daher muss der gesuchte Graph durch den Ursprung verlaufen. Das trifft auf \(G_1\) und \(G_3\) zu, nicht aber auf \(G_2\). 2. Wegen \(I_0'(x)=f(x)\) ist \(I_0'(0)=f(0)=2\). Der gesuchte Graph muss im Ursprung also eine positive Steigung besitzen. 3. \(G_1\) steigt im Ursprung, während \(G_3\) dort fällt. Daher ist \(G_1\) der Graph der Integralfunktion. 4. Dies stimmt auch mit dem Vorzeichen von \(f\) überein: Für \(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\) gilt \(f(x)>0\), also muss \(I_0\) dort steigen.

Der Graph \(G_1\) stellt die Integralfunktion \(I_0\) dar.

- Welchen Wert hat ein Integral mit identischen Grenzen? - Nach dem Hauptsatz gilt \(J'(x)=f(x)\). Wie hängen die Vorzeichen von \(f\) mit der Monotonie von \(J\) zusammen? - Achte bei vertauschten Integrationsgrenzen auf das Vorzeichen. - Betrachte die Flächenbilanz zwischen dem Graphen und der \(t\)-Achse.

1. Es gilt \(J(2)=\int_2^2 f(t)\,\text{d}t=0\). Aussage a) ist wahr. 2. Nach dem Hauptsatz gilt \(J'(x)=f(x)\). Bei \(x=6\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ, daher hat \(J\) dort ein Maximum. Aussage b) ist wahr. 3. Es gilt \(J(0)=-\int_0^2 f(t)\,\text{d}t=-2\). Aussage c) ist falsch. 4. Auf \(]2; 6[\) ist \(f>0\), daher steigt \(J\) von \(J(2)=0\) bis \(J(6)=6\). Auf \([6; 8]\) fällt \(J\) nur bis \(J(8)=4\). Somit ist \(J(x)>0\) für alle \(x\in ]2; 8]\). Aussage d) ist wahr.

a) Wahr: \(J(2)=0\). b) Wahr: Bei \(x=6\) wechselt \(J'(x)=f(x)\) von positiv zu negativ. c) Falsch: \(J(0)=-2\). d) Wahr: \(J\) steigt bis \(6\) auf \(6\) und fällt anschließend nur bis \(J(8)=4\).

- Welchen Wert besitzt eine Integralfunktion an ihrer unteren Grenze? - Welche Vorzeichen haben die Flächenbeiträge oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse? - Vergleiche die Beträge der beiden dreieckigen Flächenbeiträge.

1. Für jede Integralfunktion gilt \(I_a(a)=0\). Daher muss \(a\) eine Nullstelle der dargestellten Integralfunktion sein. Aus der Abbildung liest man \(x=0\) und \(x=4\) ab. Somit sind \(a=0\) und \(a=4\) möglich. 2. Für \(a=0\) ist \(I_0(5)=\int_0^5f(t)\,\mathrm{d}t\). Auf \([0;2]\) entsteht ein positiver dreieckiger Flächenbeitrag von \(\frac12\cdot2\cdot2=2\). 3. Auf \([2;5]\) entsteht ein negativer dreieckiger Flächenbeitrag mit dem Betrag \(\frac12\cdot3\cdot3=4{,}5\), also mit dem Wert \(-4{,}5\). 4. Die Flächenbilanz ist daher \(I_0(5)=2-4{,}5=-2{,}5\). Der negative Flächenbeitrag überwiegt den positiven.

a) \(a=0\) oder \(a=4\) b) Die Flächenbilanz ist \(I_0(5)=2-4{,}5=-2{,}5\), weil der negative Flächenbeitrag auf \([2;5]\) betragsmäßig größer ist.

- Welche Flächenbeiträge zwischen Graph und \(x\)-Achse gehen positiv und welche negativ in die Flächenbilanz ein? - Wie verändert sich \(I_1\), wenn \(f\) positiv beziehungsweise negativ ist? - Zerlege die graphisch gegebenen Bereiche in einfache geometrische Figuren.

1. Auf \([1;5]\) liegen drei positive Flächenbeiträge vor: ein Dreieck mit Fläche \(1\), ein Rechteck mit Fläche \(4\) und ein weiteres Dreieck mit Fläche \(1\). Daher ist \(I_1(5)=1+4+1=6\). 2. Auf \([5;6]\) ergibt sich ein negativer Flächenbeitrag von \(-1\), also \(I_1(6)=5\). Für \(x>6\) gilt \(f(x)=-2\), daher \(I_1(x)=5-2(x-6)=17-2x\). Aus \(17-2x=0\) folgt \(x=8{,}5\). 3. Wegen \(I_1'(x)=f(x)\) steigt \(I_1\) auf \((1;5)\) und fällt auf \((5;6]\). Bei \(x=5\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ, daher hat \(I_1\) dort ein lokales Maximum mit dem Wert \(6\).

a) \(I_1(5)=6\) b) \(x=8{,}5\) c) \(I_1\) steigt auf \([1;5]\), fällt auf \([5;6]\) und hat bei \(x=5\) ein lokales Maximum mit dem Wert \(6\).

- Welche Information über \(f\) liefert die Steigung des Graphen von \(F\)? - Wie hängt ein bestimmtes Integral von den Werten einer Stammfunktion an den Grenzen ab? - Welchen Wert muss eine Integralfunktion an ihrer unteren Grenze haben?

1. Da \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, gilt \(F'=f\). Bei \(x=0\) hat \(F\) einen lokalen Hochpunkt, also \(F'(0)=0\) und damit \(f(0)=0\). Aussage a) ist wahr. 2. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(\int_{-2}^{2} f(x)\,\text{d}x=F(2)-F(-2)\). Wegen der Achsensymmetrie des Graphen ist \(F(2)=F(-2)\). Aussage b) ist wahr. 3. Für \(I_0\) muss \(I_0(0)=0\) gelten. Der Graph zeigt jedoch \(F(0)\neq0\). Aussage c) ist falsch. 4. Bei \(x=1\) fällt der Graph von \(F\), also ist \(F'(1)<0\). Damit gilt \(f(1)<0\). Aussage d) ist wahr.

a) Wahr, da \(F'(0)=f(0)=0\). b) Wahr, da \(F(2)=F(-2)\). c) Falsch, da \(F(0)\neq0\), aber \(I_0(0)=0\) gelten müsste. d) Wahr, da \(F'(1)=f(1)<0\).

- Welche Werte von \(F\) brauchst du, um das bestimmte Integral zu bestimmen? - Welche Bedingung muss eine Stammfunktion erfüllen, damit sie zugleich eine Integralfunktion ist? - Wie hängt das Vorzeichen von \(f(0)\) mit der Steigung von \(F\) bei \(x=0\) zusammen?

1. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(\int_0^2 f(x)\,\text{d}x=F(2)-F(0)\). Aus dem Graphen liest man \(F(2)=0\) und \(F(0)=4\). Daher ist das Integral \(-4\). 2. Eine Stammfunktion \(F\) ist genau dann eine Integralfunktion von \(f\), wenn es eine Stelle \(a\) mit \(F(a)=0\) gibt. Der Graph hat Nullstellen bei \(x=2\) und \(x=-4\). Daher kann beispielsweise \(a=2\) oder \(a=-4\) gewählt werden. 3. Es gilt \(f(0)=F'(0)\). Da der Graph von \(F\) bei \(x=0\) fällt, ist \(F'(0)<0\), also \(f(0)<0\).

a) \(\int_{0}^{2} f(x)\,\text{d}x=-4\) b) Eine mögliche untere Grenze ist \(a=2\) oder \(a=-4\). c) \(f(0)<0\), da \(F\) bei \(x=0\) fällt.

- Welche Bedingung muss eine Integralfunktion an ihrer unteren Grenze erfüllen? - Welche Information über \(f\) erhältst du aus der Steigung von \(F\)? - Welche Werte von \(F\) bestimmen das Integral in Teil c)?

1. Eine Integralfunktion muss an ihrer unteren Grenze den Wert \(0\) haben. Da \(F(-1)=0\) gilt, ist \(F\) die Integralfunktion mit unterer Grenze \(-1\). Aussage a) ist wahr. 2. Es gilt \(f(4)=F'(4)\). Der Graph von \(F\) fällt dort, also ist \(f(4)<0\). Aussage b) ist falsch. 3. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(\int_{-1}^3 f(x)\,\text{d}x=F(3)-F(-1)=8-0=8\). Aussage c) ist wahr. 4. Nullstellen von \(f\) liegen dort, wo \(F\) eine waagerechte Tangente hat. Im Intervall \([-2;4]\) besitzt \(F\) zwei Extremstellen bei \(x=-1\) und \(x=3\). Aussage d) ist falsch.

a) Wahr, da \(F(-1)=0\). b) Falsch, da \(F'(4)=f(4)<0\). c) Wahr, da \(F(3)-F(-1)=8\). d) Falsch, da \(f\) im angegebenen Intervall zwei Nullstellen besitzt.

- Welche Eigenschaft muss eine Integralfunktion an ihrer unteren Grenze besitzen? - Wie hängen die Steigung von \(F\) und die Funktionswerte von \(f\) zusammen? - Was bedeutet eine waagerechte Tangente von \(F\) für \(f\)?

1. Eine Integralfunktion muss mindestens eine Nullstelle haben. Da der Graph von \(F\) vollständig oberhalb der \(x\)-Achse liegt, ist Aussage a) falsch. 2. Es gilt \(f(1)=F'(1)\). Da der Graph von \(F\) bei \(x=1\) fällt, ist \(f(1)<0\). Aussage b) ist wahr. 3. Es gilt \(\int_0^4 f(x)\,\text{d}x=F(4)-F(0)=4-4=0\). Aussage c) ist wahr. 4. Bei \(x=2\) hat \(F\) ein lokales Minimum und damit eine waagerechte Tangente. Also ist \(F'(2)=f(2)=0\). Aussage d) ist wahr.

a) Falsch, da \(F\) keine Nullstelle besitzt. b) Wahr, da \(F'(1)=f(1)<0\). c) Wahr, da \(F(4)-F(0)=0\). d) Wahr, da \(F'(2)=f(2)=0\).

- Für \(J(6)\) brauchst du die Flächenbilanz zwischen \(x=3\) und \(x=6\). - Wie hängt die Steigung von \(J\) mit den Funktionswerten von \(f\) zusammen? - An welcher Nullstelle von \(f\) wechselt das Vorzeichen von positiv zu negativ?

1. Es gilt \(J(6)=\int_3^6 f(t)\,\text{d}t\). Aus der Flächenbilanz im Diagramm ergibt sich näherungsweise \(J(6)\approx1{,}4\). 2. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(J'(x)=f(x)\). Bei \(x=5\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ. Daher besitzt \(J\) dort eine lokale Maximumstelle.

1. \(J(6)\approx1{,}4\) 2. Die lokale Maximumstelle liegt bei \(x=5\).

- Welche Beziehung gilt zwischen \(J'\) und \(f\)? - Welcher Vorzeichenwechsel von \(f\) führt zu einem lokalen Maximum von \(J\)? - Für den Vergleich in c) zählt die Flächenbilanz ab der unteren Grenze \(1\).

1. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(J'(x)=f(x)\). Die Nullstellen von \(J'\) sind daher die Nullstellen von \(f\): \(x=1{,}5\), \(x=4{,}5\) und \(x=7{,}5\). 2. Ein lokales Maximum von \(J\) liegt an einer Nullstelle von \(J'\), an der \(J'\) von positiv zu negativ wechselt. Im Intervall \([0;6]\) geschieht dies bei \(x=1{,}5\). 3. Es gilt \(J(1)=0\). Zwischen \(x=1\) und \(x=4\) ist der negative Flächenbeitrag betragsmäßig größer als der positive. Daher ist \(J(4)<0\) und somit \(J(1)>J(4)\).

a) \(x=1{,}5\), \(x=4{,}5\) und \(x=7{,}5\) b) \(x=1{,}5\) c) \(J(1)>J(4)\)

- Welche besondere Eigenschaft hat \(I_a\) an der unteren Grenze \(a\)? - Wie kannst du ein Integral zwischen zwei Stellen aus Funktionswerten derselben Integralfunktion bestimmen? - Wie unterscheiden sich zwei Integralfunktionen derselben Funktion mit verschiedenen unteren Grenzen? - Welche Information über \(f(2)\) liefert die Steigung von \(I_a\) bei \(x=2\)?

1. Für eine Integralfunktion gilt \(I_a(a)=0\). Im vorgegebenen Intervall hat der Graph bei \(x=2\) eine Nullstelle, also ist \(a=2\). 2. Es gilt \(\int_2^0 f(x)\,\text{d}x=I_2(0)=3\). Außerdem ist \(\int_0^4 f(x)\,\text{d}x=I_2(4)-I_2(0)=3-3=0\). 3. Es gilt \(I_0(x)=I_2(x)-I_2(0)=I_2(x)-3\). Nullstellen von \(I_0\) liegen daher dort, wo der dargestellte Graph den Wert \(3\) annimmt. Das ist bei \(x=0\) und \(x=4\) der Fall. 4. Nach dem Hauptsatz gilt \(I_a'(x)=f(x)\). Bei \(x=2\) hat \(I_a\) einen lokalen Tiefpunkt und somit eine waagerechte Tangente. Daher ist \(f(2)=I_a'(2)=0\).

a) \(a=2\) b) \(\int_{2}^{0} f(x)\,\text{d}x=3\) und \(\int_{0}^{4} f(x)\,\text{d}x=0\) c) \(x=0\) und \(x=4\) d) \(f(2)=0\)

- Welche beiden parallelen Seiten und welche Höhe hat das Trapez bis zur variablen Stelle \(x\)? - Welche zwei gut ablesbaren Punkte bestimmen die Geradengleichung von \(v\)? - Da \(v\) im betrachteten Bereich positiv ist, entspricht das Integral hier zugleich der zurückgelegten Strecke.

1. Aus dem Graphen liest man \(v(0)=2\) und beispielsweise \(v(5)=4\). Damit ist die Steigung \((4-2):5=0{,}4\) und \(v(t)=0{,}4t+2\). 2. Die Fläche unter dem positiven Geschwindigkeitsgraphen von \(0\) bis \(x\) ist ein Trapez mit parallelen Seiten \(2\) und \(0{,}4x+2\) sowie Höhe \(x\). Daher ist \(s(x)=\frac{2+(0{,}4x+2)}{2}x=0{,}2x^2+2x\). 3. Durch Integration ergibt sich ebenfalls \(s(x)=\int_0^x(0{,}4t+2)\,\text{d}t=0{,}2x^2+2x\). 4. Für \(x=10\) folgt \(s(10)=40\,\text{m}\).

a) \(s(x)=0{,}2x^2+2x\) b) \(v(t)=0{,}4t+2\) und \(s(x)=0{,}2x^2+2x\) c) \(40\,\text{m}\)

- Bestimme zuerst die Steigung und den Achsenabschnitt der Geraden aus dem Graphen. - Denke beim Integrieren an die Potenzregel für Stammfunktionen. - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Integrals, wenn man die Grenzen vertauscht oder entgegen der Achsenrichtung integriert? - Überlege dir separat, welches Vorzeichen die Funktionswerte in den Bereichen \(x < 2\) und \(x > 2\) haben.

1. Bestimmung von \(g(t)\): Die Gerade verläuft durch die Punkte \((0\mid2)\) und \((2\mid0)\). Die Steigung ist \(m = \frac{0 - 2}{2 - 0} = -1\). Mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 2\) ergibt sich \(g(t) = -t + 2\). 2. Berechnung des Integrals: \(J_2(x) = \int_2^x (-t + 2) \, dt = [-0{,}5t^2 + 2t]_2^x = (-0{,}5x^2 + 2x) - (-0{,}5 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2) = -0{,}5x^2 + 2x - ( -2 + 4) = -0{,}5x^2 + 2x - 2\). 3. Geometrische Begründung: - Für \(x > 2\) liegen die Funktionswerte von \(g(t)\) unterhalb der \(x\)-Achse (sie sind negativ). Da die Integrationsrichtung von links nach rechts (positiv) verläuft, ist der Integralwert negativ. - Für \(x < 2\) liegen die Funktionswerte von \(g(t)\) oberhalb der \(x\)-Achse (sie sind positiv). Da jedoch „rückwärts“ von \(2\) nach links integriert wird, kehrt sich das Vorzeichen um, und das Integral wird ebenfalls negativ.

a) \(g(t) = -t + 2\) b) \(J_2(x) = -0{,}5x^2 + 2x - 2\) c) Für \(x > 2\) ist das Integral negativ, da die Fläche unter der Achse liegt. Für \(x < 2\) liegt die Fläche zwar über der Achse, aber durch die umgekehrte Integrationsrichtung (von \(2\) nach links) wird der Wert des Integrals ebenfalls negativ.

- Welchen Wert hat \(G\) an seiner unteren Grenze \(0\)? - Verfolge rechts von \(0\), wie negative und positive Flächenbeiträge die Flächenbilanz verändern. - Welche Symmetrie von \(G\) folgt aus der Punktsymmetrie von \(g\)?

1. Wegen \(G(0)=0\) ist \(x=0\) eine Nullstelle. 2. Für \(0<x<3\) ist \(g(x)<0\), daher wird die Flächenbilanz von \(0\) aus negativ. Für \(3<x<5\) ist \(g(x)>0\), sodass \(G\) wieder steigt. 3. Aus dem Gitter erkennt man, dass der positive Flächenbeitrag nach \(x=3\) den zuvor angesammelten negativen Beitrag vor \(x=5\) ausgleicht. Da \(G\) dort streng steigt, geschieht dies genau einmal, näherungsweise bei \(x\approx4{,}2\). 4. Weil \(g\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist \(G\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Daher gibt es eine weitere Nullstelle bei \(x\approx-4{,}2\). Insgesamt besitzt \(G\) genau drei Nullstellen.

\(G\) besitzt genau drei Nullstellen: \(x=0\) sowie näherungsweise \(x\approx-4{,}2\) und \(x\approx4{,}2\).

- Bestimme zuerst die Flächenbilanz bis \(x=2\) und bis \(x=4\). - Welche Beziehung gilt zwischen \(I_0'\) und \(f\)? - Prüfe bei Randpunkten nur das Verhalten innerhalb des vorgegebenen Intervalls.

1. Auf \([0;2]\) liegt ein Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse mit Flächenbeitrag \(2\). Daher ist \(I_0(2)=2\). 2. Auf \([2;4]\) liegt ein gleich großes Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse. Somit ist \(I_0(4)=2-2=0\). 3. Nach dem Hauptsatz gilt \(I_0'(x)=f(x)\). Bei \(x=2\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ, also hat \(I_0\) dort einen Hochpunkt. Bei \(x=4\) wechselt \(f\) von negativ zu positiv, also liegt dort ein Tiefpunkt. 4. Am linken Rand \(x=0\) liegt ein Randtiefpunkt, weil \(I_0\) unmittelbar rechts davon steigt. Am rechten Rand \(x=5\) liegt ein Randhochpunkt, weil \(I_0\) unmittelbar links davon steigt.

a) \(I_0(2)=2\) und \(I_0(4)=0\) b) Randtiefpunkt bei \(x=0\), Hochpunkt bei \(x=2\), Tiefpunkt bei \(x=4\), Randhochpunkt bei \(x=5\)

- Welche Eigenschaften hat \(f\) im gesamten Intervall \([-4;4]\)? - Welche drei Informationen liefern \(F(0)\), \(F'=f\) und die Symmetrie von \(f\) über den gesuchten Graphen? - Prüfe die Kandidaten nicht nur am Startwert, sondern auch an ihrer Steigung und Monotonie.

1. Da \(f\) auf \([-4;4]\) nicht negativ ist, ist \(A=\int_{-4}^4(4-0{,}25x^2)\,\text{d}x=\left[4x-\frac1{12}x^3\right]_{-4}^4=\frac{64}{3}\,\text{m}^2\approx21{,}33\,\text{m}^2\). 2. Alle drei Kandidaten verlaufen durch den Ursprung. Für die Integralfunktion gilt zusätzlich \(F'=f\), also \(F'(0)=4\), und \(F\) ist auf \((-4;4)\) streng steigend. 3. Graph A fällt für \(x>0\) und scheidet deshalb aus. Graph B hat bei \(x=0\) eine waagerechte Tangente und widerspricht \(F'(0)=4\). 4. Graph C erfüllt die positive Steigung im Ursprung und die geforderte Monotonie. Wegen der Achsensymmetrie von \(f\) ist er außerdem punktsymmetrisch zum Ursprung. Daher ist C der gesuchte Graph.

a) \(A=\frac{64}{3}\,\text{m}^2\approx21{,}33\,\text{m}^2\) b) Graph C

- Die Flächenbilanz unter einer Änderungsrate beschreibt die gesamte Temperaturänderung. - Wie hängt die Steigung von \(G\) mit dem Vorzeichen von \(g\) zusammen? - Welchen Wert muss \(G\) an der unteren Integrationsgrenze haben?

1. Die Flächenbilanz besteht aus vier Dreiecken mit den Flächenbeiträgen \(-2\), \(+2\), \(+2\) und \(-2\). Daher ist \(\Delta T=0\,\text{K}\). 2. Es gilt \(G(-2)=0\) und nach dem Hauptsatz \(G'(x)=g(x)\). Bei \(x=0\) wechselt \(g\) von negativ zu positiv, daher hat \(G\) dort ein Minimum. Bei \(x=4\) wechselt \(g\) von positiv zu negativ, daher hat \(G\) dort ein Maximum. 3. Bei \(x=2\) ist \(g(2)>0\); dort liegt keine Extremstelle von \(G\). Der Knick von \(g\) verändert dort lediglich die Krümmung von \(G\). 4. Graph 1 erfüllt \(G(-2)=0\), besitzt das Minimum bei \(0\), das Maximum bei \(4\) und endet wegen der Gesamtbilanz bei \(G(6)=0\).

a) \(\Delta T=0\,\text{K}\) b) Graph 1

- Welche Beziehung gilt unabhängig von der unteren Grenze zwischen \(I_a'\) und \(f\)? - Welche Vorzeichenwechsel von \(f\) erzeugen Minima oder Maxima von \(I_a\)? - Zwei Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich nur um eine Konstante. - Die Verschiebungskonstanten lassen sich als bestimmte Integrale zwischen zwei unteren Grenzen deuten.

1. Die Nullstellen von \(f\) liegen bei \(x=1\) und \(x=3\). Auf \((0;1)\) ist \(f<0\), auf \((1;3)\) ist \(f>0\), auf \((3;4)\) ist \(f<0\). 2. Da für jede untere Grenze \(a\) gilt \(I_a'(x)=f(x)\), haben alle drei Integralfunktionen bei \(x=1\) ein lokales Minimum und bei \(x=3\) ein lokales Maximum. 3. Beim Verändern von \(a\) ändert sich nur die vertikale Lage des Graphen; Monotonie, Extremstellen und Form bleiben gleich, weil die Ableitung immer \(f\) ist. 4. Es gilt \(I_0(x)-I_1(x)=\int_0^1f(t)\,\text{d}t=-1\). Daher ist \(c_0=-1\). 5. Außerdem gilt \(I_3(x)-I_1(x)=-\int_1^3f(t)\,\text{d}t=-2\). Daher ist \(c_3=-2\).

a) Lokales Minimum bei \(x=1\), lokales Maximum bei \(x=3\), jeweils für alle drei Integralfunktionen. b) Beim Verändern von \(a\) werden die Graphen nur vertikal verschoben; ihre Ableitung, Monotonie und Extremstellen bleiben gleich. c) \(c_0=-1\), \(c_3=-2\).

- Vergleiche auf jedem kurzen Intervall die kleinste und die größte Funktionshöhe mit der Fläche unter dem Graphen. - Führe die Abschätzung getrennt rechts und links von \(x\) durch. - Welche Grenzwerte besitzen \(f(x+h)\) und \(f(x-h)\) wegen der Stetigkeit?

1. Da \(f\) auf \([x;x+h]\) wächst, gilt dort \(f(x)\le f(t)\le f(x+h)\). Deshalb liegt der rechte Flächenstreifen zwischen den Rechtecksflächen \(h f(x)\) und \(h f(x+h)\). 2. Auf \([x-h;x]\) gilt entsprechend \(f(x-h)\le f(t)\le f(x)\). Daher liegt der linke Flächenstreifen zwischen \(h f(x-h)\) und \(h f(x)\). 3. Nach Division durch \(h>0\) erhält man \(f(x)\le\frac{I(x+h)-I(x)}{h}\le f(x+h)\) und \(f(x-h)\le\frac{I(x)-I(x-h)}{h}\le f(x)\). 4. Wegen der Stetigkeit gilt \(f(x+h)\to f(x)\) und \(f(x-h)\to f(x)\) für \(h\to0^+\). Beide Differenzenquotienten werden daher jeweils zwischen Größen eingeschlossen, die gegen \(f(x)\) streben. 5. Rechter und linker Ableitungsgrenzwert stimmen überein. Somit gilt \(I'(x)=f(x)\).

a) Die beiden Flächenstreifen liegen jeweils zwischen den angegebenen Rechtecksflächen. b) Nach Division durch \(h\) streben rechter und linker Differenzenquotient beide gegen \(f(x)\). c) \(I'(x)=f(x)\).

- Welche gemeinsame Stammfunktion kannst du für die verschiedenen Teilfragen verwenden? - Welche Eigenschaft muss eine Stammfunktion besitzen, wenn sie als \(I_a\) darstellbar sein soll? - Wie kannst du in b) untersuchen, ob \(G\) irgendwo den Wert \(0\) erreicht? - Welche Werte kann der Ausdruck \(a^4+\frac{1}{a^4}\) für \(a>0\) überhaupt annehmen?

1. Eine Stammfunktion von \(g\) ist \(F(x)=x^4+\frac{1}{x^4}\). Daher gilt \(I_1(x)=F(x)-F(1)=x^4+\frac{1}{x^4}-2\). 2. Aus \(G(2)=20\) folgt \(G(x)=x^4+\frac{1}{x^4}+\frac{63}{16}\). 3. Es gilt \(G'(x)=\frac{4(x^8-1)}{x^5}\). Damit ist \(G\) auf \((0;1)\) fallend und auf \((1;\infty)\) steigend; das globale Minimum liegt bei \(x=1\). Da \(G(1)=\frac{95}{16}>0\), besitzt \(G\) keine Nullstelle und kann keine Integralfunktion sein. 4. Für eine Integralfunktion gilt \(I_a(x)=F(x)-F(a)\). Aus \(G(x)+k=I_a(x)\) folgt \(\frac{63}{16}+k=-\left(a^4+\frac{1}{a^4}\right)\). 5. Der Ausdruck \(a^4+\frac{1}{a^4}\) nimmt für \(a>0\) genau alle Werte ab \(2\) an. Daher existiert ein passendes \(a\) genau dann, wenn \(\frac{63}{16}+k\leq-2\), also \(k\leq-\frac{95}{16}\).

a) \(I_1(x)=x^4+\frac{1}{x^4}-2\) b) \(G(x)=x^4+\frac{1}{x^4}+\frac{63}{16}\) mit globalem Minimum \(G(1)=\frac{95}{16}>0\); daher ist \(G\) keine Integralfunktion. c) \(k\leq-\frac{95}{16}\)

- Welche Nullstelle ist durch die Definition einer Integralfunktion sofort bekannt? - Wie kann das Vorzeichen von \(g\) genutzt werden, um den Verlauf von \(J_c\) zu beschreiben? - Welche zusätzliche Information brauchst du, um nach dem Vorzeichenwechsel von \(g\) die Existenz einer weiteren Nullstelle zu sichern? - Wie lässt sich anschließend die Eindeutigkeit einer möglichen zweiten Nullstelle begründen?

1. Aus \(1-\frac{4}{x}=0\) folgt \(x_0=4\). 2. Es gilt \(J_c(c)=0\). Außerdem ist \(J_c'(x)=g(x)\). Da \(g(x)<0\) für \(c\leq x<4\), fällt \(J_c\) dort streng und besitzt bei \(x=4\) einen negativen Wert. 3. Für \(x>4\) gilt \(g(x)>0\), also steigt \(J_c\) dort streng. 4. Mit einer Stammfunktion \(t-4\ln t\) gilt \(J_c(x)=x-4\ln x-(c-4\ln c)\). Für \(x\to\infty\) wächst dieser Ausdruck gegen \(+\infty\). 5. Wegen Stetigkeit existiert daher nach \(x=4\) mindestens eine weitere Nullstelle. Wegen der strengen Monotonie auf \((4;\infty)\) ist sie eindeutig. Zusammen mit \(x=c\) besitzt \(J_c\) genau zwei Nullstellen.

a) \(x_0=4\) b) Eine Nullstelle ist \(x=c\). Bis \(x=4\) fällt \(J_c\) auf einen negativen Wert, danach steigt sie streng und geht für \(x\to\infty\) gegen \(+\infty\). Daher gibt es genau eine weitere Nullstelle für \(x>4\).

- Welche Bedeutung hat die Definitionslücke von \(g\) für mögliche Integrationsintervalle? - Welche zwei Bedingungen muss \(H\) erfüllen, damit \(H=I_a\) für eine geeignete untere Grenze \(a\) gelten kann? - Wie ordnest du gefundene Nullstellen von \(H\) den beiden Komponenten des Definitionsbereichs zu?

1. Wegen des Nenners ist \(g\) bei \(x=0\) nicht definiert. Für \(x\neq0\) gilt \(g(x)=x-4x^{-2}\). 2. Auf jeder der beiden Komponenten des Definitionsbereichs ist \(G(x)=\frac12x^2+\frac4x+C\) eine Stammfunktion von \(g\). 3. Es gilt \(H'(x)=x-4x^{-2}=g(x)\). Damit \(H\) eine Integralfunktion \(I_a\) ist, muss zusätzlich \(H(a)=0\) gelten. 4. Aus \(\frac12a^2+\frac4a-4{,}5=0\) folgt \(a^3-9a+8=0\). Die Lösungen sind \(a=1\) sowie \(a=\frac{-1\pm\sqrt{33}}2\). 5. Die beiden positiven Werte \(a=1\) und \(a=\frac{-1+\sqrt{33}}2\) gehören zur Komponente \((0,\infty)\). Der negative Wert \(a=\frac{-1-\sqrt{33}}2\) gehört zur Komponente \(( -\infty,0)\). Eine Integraldarstellung darf die Definitionslücke bei \(0\) nicht überschreiten.

a) \(G(x)=\frac12x^2+\frac4x+C\) auf jeder der Komponenten \(( -\infty,0)\) und \((0,\infty)\). b) Ja. Möglich sind \(a=1\) und \(a=\frac{-1+\sqrt{33}}2\) auf \((0,\infty)\) sowie \(a=\frac{-1-\sqrt{33}}2\) auf \(( -\infty,0)\).