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- An welchen Stellen berührt oder kreuzt der Graph die waagerechte Achse? - Nutze die Symmetrie der Parabel, um die Form besser zu verstehen. - Verwende die Messwerkzeuge deiner Software, um den Inhalt der Fläche zwischen Graph und Achse zu bestimmen.

1. Bestimmung der Nullstellen durch Lösen von \(g(x) = 0\): \(-0{,}5(x - 2)^2 + 4{,}5 = 0 \implies (x - 2)^2 = 9\). Daraus ergeben sich \(x_1 = 2 - 3 = -1\) und \(x_2 = 2 + 3 = 5\). 2. Der relevante Bereich für die Fläche liegt zwischen \(x = -1\) und \(x = 5\). 3. Verwendung eines digitalen Werkzeugs (z. B. GeoGebra-Befehl „Integral“ oder Zählen von Kästchen bei feiner Skalierung), um den Flächeninhalt unter der Parabel in diesem Intervall zu bestimmen. 4. Die exakte Berechnung ergibt: \(\int_{-1}^{5} (-0{,}5(x-2)^2 + 4{,}5) \, dx = [- \frac{1}{6}(x-2)^3 + 4{,}5x]_{-1}^5 = (- \frac{27}{6} + 22{,}5) - (\frac{27}{6} - 4{,}5) = 18 - 0 = 18\).

Die Nullstellen liegen bei \(x = -1\) und \(x = 5\). Der Flächeninhalt beträgt \(18\) Flächeneinheiten.

- Wie gehst du vor, um den höchsten Punkt auf der \(y\)-Achse zu finden? - Welcher \(x\)-Wert gehört zum Punkt, an dem der Graph die \(x\)-Achse im positiven Bereich schneidet? - Nutze eine Funktion in deinem Programm, die Flächen unter Kurven berechnen kann.

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(h(0) = 3{,}6\). Der Punkt ist \((0\mid 3{,}6)\). 2. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle) im ersten Quadranten: \(0 = -0{,}1x^2 + 3{,}6 \implies x^2 = 36 \implies x = 6\) (da nur der erste Quadrant betrachtet wird). Der Punkt ist \((6\mid 0)\). 3. Die Fläche wird durch \(x=0\), \(y=0\) und den Graphen von \(h\) für \(0 \le x \le 6\) begrenzt. 4. Berechnung mit digitalem Werkzeug: Der Flächeninhalt entspricht dem Wert des Integrals von \(0\) bis \(6\). 5. Rechnung: \(\int_{0}^{6} (-0{,}1x^2 + 3{,}6) \, dx = [- \frac{0{,}1}{3}x^3 + 3{,}6x]_0^6 = (- \frac{0{,}1}{3} \cdot 216 + 3{,}6 \cdot 6) - 0 = -7{,}2 + 21{,}6 = 14{,}4\).

Die Schnittpunkte im ersten Quadranten sind \((0\mid 3{,}6)\) und \((6\mid 0)\). Der Flächeninhalt beträgt \(14{,}40\) Flächeneinheiten.

- Welche der beiden Funktionen liefert im gegebenen Bereich größere Werte? - Stelle eine Differenzfunktion auf, bevor du integrierst. - Achte beim Bilden der Differenzfunktion besonders auf die Vorzeichen in der Klammer. - Die Fläche wird durch das bestimmte Integral der Differenzfunktion über dem Intervall berechnet.

1. Vergleich der Funktionswerte zur Bestimmung der oberen Funktion: \(f(0) = 5\) und \(g(0) = 1\). Da keine Schnittstelle im Intervall \([0; 3]\) vorliegt, gilt \(f(x) > g(x)\) für alle \(x \in [0; 3]\). 2. Aufstellen der Differenzfunktion: \(h(x) = f(x) - g(x) = (2x + 5) - (x^2 - 2x + 1) = -x^2 + 4x + 4\). 3. Berechnung des bestimmten Integrals: \(\int_0^3 (-x^2 + 4x + 4) \, dx\). 4. Bestimmung der Stammfunktion: \(H(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(H(3) = -\frac{1}{3} \cdot 27 + 2 \cdot 9 + 4 \cdot 3 = -9 + 18 + 12 = 21\) und \(H(0) = 0\). 6. Ergebnis: \(A = 21 - 0 = 21\).

Der Flächeninhalt beträgt \(21\).

- Wie lautet die allgemeine Regel, um eine Stammfunktion für eine Potenzfunktion zu finden? - Welche Integrationsgrenzen musst du verwenden? - Denk an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Man berechnet die Differenz der Stammfunktionswerte an den Intervallgrenzen. - Achte beim Einsetzen negativer Werte besonders auf die Vorzeichenregeln.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = x^2 + 2\): \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2x\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(A = \int_{-1}^{2} (x^2 + 2) \, dx = [F(x)]_{-1}^{2} = F(2) - F(-1)\). 3. Berechnung der Funktionswerte der Stammfunktion: \(F(2) = \frac{1}{3} \cdot 2^3 + 2 \cdot 2 = \frac{8}{3} + 4 = \frac{20}{3}\) und \(F(-1) = \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 + 2 \cdot (-1) = -\frac{1}{3} - 2 = -\frac{7}{3}\). 4. Differenzbildung: \(A = \frac{20}{3} - \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{27}{3} = 9\).

Der Flächeninhalt beträgt \(9\) Flächeneinheiten.

- An welchen Stellen schneidet oder berührt der Graph die waagerechte Achse? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Fläche unter einer Kurve zu berechnen? - Überlege dir, in welchem Intervall die Fläche genau liegt. - Wie gehst du vor, wenn das Ergebnis der Berechnung negativ ist?

1. Bestimmung der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse (Nullstellen): \(-x^2 + 2x + 3 = 0\). Durch Anwendung der p-q-Formel oder Faktorisieren \(-(x-3)(x+1) = 0\) ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 2. Aufstellen des bestimmten Integrals in den Grenzen der Nullstellen: \(\int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \, dx\). 3. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F(x) = -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x\). 4. Berechnung des Integralwerts: \(F(3) - F(-1) = (-\frac{1}{3} \cdot 27 + 9 + 9) - (-\frac{1}{3} \cdot (-1) + 1 - 3) = 9 - (-\frac{5}{3}) = \frac{32}{3}\). 5. Der Flächeninhalt beträgt \(10\frac{2}{3}\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{32}{3}\) (oder ca. \(10{,}67\)) Flächeneinheiten.

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? Untersuche beide Funktionsteile getrennt. - Überlege dir, an welcher Stelle die Definition der Funktion wechselt. - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der Achse, wenn die Funktion abschnittsweise definiert ist? - Skizziere den Verlauf der Funktion grob, um die Integrationsgrenzen zu visualisieren.

1. Bestimmung der Schnittstellen mit der \(x\)-Achse: Für den ersten Teilbereich \(x \le 1\) ergibt \(4 - x^2 = 0\) die Nullstelle \(x_1 = -2\). Für den zweiten Teilbereich \(x > 1\) ergibt \(4{,}5 - 1{,}5x = 0\) die Nullstelle \(x_2 = 3\). 2. Aufteilen der Fläche in zwei Teilintervalle basierend auf der Definition der Funktion: \([-2; 1]\) und \([1; 3]\). 3. Berechnung des ersten Teilintegrals: \(\int_{-2}^{1} (4 - x^2) \, dx = [4x - \frac{1}{3}x^3]_{-2}^{1} = (4 - \frac{1}{3}) - (-8 + \frac{8}{3}) = \frac{11}{3} + \frac{16}{3} = 9\). 4. Berechnung des zweiten Teilintegrals: \(\int_{1}^{3} (4{,}5 - 1{,}5x) \, dx = [4{,}5x - 0{,}75x^2]_{1}^{3} = (13{,}5 - 6{,}75) - (4{,}5 - 0{,}75) = 6{,}75 - 3{,}75 = 3\). 5. Addition der Teilflächen: \(A = 9 + 3 = 12\).

Der Flächeninhalt beträgt \(12\,\text{FE}\).

- Wie findet man heraus, wo sich zwei Graphen treffen? - Was musst du tun, wenn du den Bereich zwischen zwei Kurven berechnen möchtest? - Überlege dir, welche Funktion in dem relevanten Intervall oberhalb der anderen liegt. - Welche Rolle spielt die Differenzfunktion bei der Flächenberechnung?

1. Bestimmung der Schnittstellen durch Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x^2 - 4x + 5 = -x^2 + 8x - 11 \iff 2x^2 - 12x + 16 = 0 \iff x^2 - 6x + 8 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\). 2. Aufstellen der Differenzfunktion \(h(x) = g(x) - f(x) = -2x^2 + 12x - 16\). 3. Berechnung des bestimmten Integrals der Differenzfunktion in den Grenzen von \(2\) bis \(4\): \(\int_{2}^{4} (-2x^2 + 12x - 16) \, dx\). 4. Bestimmung einer Stammfunktion: \(H(x) = -\frac{2}{3}x^3 + 6x^2 - 16x\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(H(4) - H(2) = (-\frac{128}{3} + 96 - 64) - (-\frac{16}{3} + 24 - 32) = -\frac{32}{3} - (-\frac{40}{3}) = \frac{8}{3}\). Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{8}{3}\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{8}{3} \approx 2{,}67\) Flächeneinheiten.

- Bestimme zuerst die Gleichung der Tangente \(t(x)\) mithilfe der Ableitung an der Stelle \(x = 3\). - Prüfe, welche der beiden Funktionen im Intervall \([1; 3]\) größere Werte annimmt. - Berechne das bestimmte Integral der Differenz beider Funktionen über das gegebene Intervall.

1. Es gilt \(f'(x)=-2x+4\), also \(f'(3)=-2\). Mit \(Q(3 \mid 3)\) folgt \(t(x)=-2x+9\). 2. Die Differenz ist \(t(x)-f(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2\ge0\). 3. Daher gilt \(A=\int_1^3 (x^2-6x+9)\,\text{d}x=\left[\frac{1}{3}x^3-3x^2+9x\right]_1^3=9-\frac{19}{3}=\frac{8}{3}\approx2{,}67\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{8}{3} \approx 2{,}67\) Flächeneinheiten.

- Bestimme zunächst die Grenzen der Fläche, indem du die Schnittpunkte der Funktionen berechnest. - Betrachte den Graphen, um zu entscheiden, welche Funktion von welcher abgezogen werden muss. - Nutze die Regeln der Integralrechnung, um die Stammfunktion zu bilden.

1. Berechnung der Schnittpunkte: \(-x^2 + 4x = x \Rightarrow x^2 - 3x = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 2. Bestimmung der oberen Funktion: Im Intervall \([0; 3]\) gilt \(f(x) \geq g(x)\). 3. Aufstellen des Integrals: \(A = \int_{0}^{3} (-x^2 + 4x - x) \, dx = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) \, dx\). 4. Integration: \([-\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2]_{0}^{3} = (-\frac{1}{3} \cdot 27 + \frac{3}{2} \cdot 9) - 0 = -9 + 13{,}5 = 4{,}5\). Der Flächeninhalt beträgt \(4{,}5\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt beträgt \(4{,}5\) Flächeneinheiten.

- Wie kannst du die Steigung und den \(y\)-Achsenabschnitt einer Geraden aus dem Koordinatensystem ablesen? - Überlege, welche Funktion im eingeschlossenen Bereich die größeren Funktionswerte hat (oben liegt). - Denke an das bestimmte Integral zur Berechnung von Flächeninhalten zwischen zwei Kurven. - Bestimme zuerst die Schnittpunkte der beiden Graphen, um die Integrationsgrenzen zu finden.

1. Die Gerade verläuft durch \((-2 \mid 0)\) und \((0 \mid 2)\). Ihre Steigung ist \(1\), der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(2\). Somit ist \(g(x)=x+2\). 2. Aus \(-x^2+4=x+2\) folgt \(x^2+x-2=0\), also \(x_1=-2\) und \(x_2=1\). 3. Im Intervall \([-2; 1]\) liegt \(f\) oberhalb von \(g\). Daher gilt \(A=\int_{-2}^{1}(-x^2-x+2)\,\mathrm{d}x\). 4. Es ergibt sich \(A=\left[-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+2x\right]_{-2}^{1}=\frac{9}{2}=4{,}5\).

a) Die Funktionsgleichung der Geraden lautet \(g(x) = x + 2\). b) Der Inhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt \(4{,}5\) Flächeneinheiten.

- Überlege zuerst, welcher der beiden Graphen im gesamten Intervall oberhalb des anderen liegt. - Wie lautet die allgemeine Formel für den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen? - Erinnere dich an die Stammfunktionen von gebrochen-rationalen Funktionen und Exponentialfunktionen. - Nutze Logarithmengesetze, um das Ergebnis im ersten Teil zu vereinfachen.

1. Für Teilaufgabe a): Da \(f(0) = 2 > g(0) = 1\) und kein Schnittpunkt im Intervall vorliegt, gilt \(f(x) > g(x)\). Das Integral lautet \(\int_0^4 (\frac{4}{x+2} - (1 - 0{,}5x)) \, dx = \int_0^4 (\frac{4}{x+2} - 1 + 0{,}5x) \, dx\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = 4\ln|x+2| - x + 0{,}25x^2\). Auswertung an den Grenzen: \(F(4) = 4\ln(6) - 4 + 4 = 4\ln(6)\) und \(F(0) = 4\ln(2)\). Der Flächeninhalt beträgt \(4\ln(6) - 4\ln(2) = 4\ln(3) \approx 4{,}394\). 2. Für Teilaufgabe b): Da \(f(0) = 2 > g(0) = 1\), gilt \(f(x) > g(x)\). Das Integral lautet \(\int_0^1 (e^x + 1 - e^{-x}) \, dx\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = e^x + x + e^{-x}\). Auswertung an den Grenzen: \(F(1) = e^1 + 1 + e^{-1}\) und \(F(0) = e^0 + 0 + e^0 = 2\). Der Flächeninhalt beträgt \(e + e^{-1} + 1 - 2 = e + e^{-1} - 1 \approx 2{,}086\).

a) \(A = 4\ln(3) \approx 4{,}394\) b) \(A = e + e^{-1} - 1 \approx 2{,}086\)

- Überlege zuerst, welche der beiden Funktionen im betrachteten Intervall größere Werte annimmt. - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen über einem bestimmten Intervall? - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks. - Stelle eine Gleichung auf, die den berechneten Integralwert mit der geometrischen Flächenformel verknüpft.

1. Bestimmung der Differenzfunktion: \(h(x) = f(x) - g(x) = (x^2 + 4) - \frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}x^2 + 4\). Da \(f(x) > g(x)\) für alle \(x\) gilt, ist der Flächeninhalt durch das Integral der Differenzfunktion gegeben. 2. Berechnung des Integrals: \(A(k) = \int_{0}^{k} (\frac{1}{2}x^2 + 4) \, dx = \left[ \frac{1}{6}x^3 + 4x \right]_{0}^{k} = \frac{1}{6}k^3 + 4k\). 3. Aufstellen der Bedingung: Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot k \cdot 10 = 5k\). 4. Lösen der Gleichung: \(\frac{1}{6}k^3 + 4k = 5k \implies \frac{1}{6}k^3 = k\). Da \(k > 0\), folgt \(k^2 = 6\) und somit \(k = \sqrt{6}\).

a) \(A(k) = \frac{1}{6}k^3 + 4k\) b) \(k = \sqrt{6}\)

- Nutze die Symmetrie der Funktionen zur \(y\)-Achse, um die Integration zu vereinfachen. - Wie lautet die allgemeine Regel für die Integration von Potenzfunktionen? - Welche geometrische Formel beschreibt den Inhalt eines Rechtecks? - Überlege, wie du die resultierende Gleichung nach \(t\) auflösen kannst, wenn \(t\) als Faktor in jedem Term vorkommt.

1. Bestimmung der Differenzfunktion: \(h(x) = f(x) - g(x) = (2x^2 + 1) - (x^2 - 2) = x^2 + 3\). Da \(f(x) > g(x)\) für alle \(x\), liegt kein Vorzeichenwechsel vor. 2. Berechnung des Flächeninhalts über Symmetrie: \(A(t) = \int_{-t}^{t} (x^2 + 3) \, dx = 2\int_{0}^{t} (x^2 + 3) \, dx = 2\left[ \frac{1}{3}x^3 + 3x \right]_{0}^{t} = \frac{2}{3}t^3 + 6t\). 3. Gleichsetzung mit dem Rechteckinhalt: Die Bedingung lautet \(A(t) = t \cdot 8 = 8t\). 4. Lösen der Gleichung: \(\frac{2}{3}t^3 + 6t = 8t \implies \frac{2}{3}t^3 = 2t\). Division durch \(t\) (da \(t > 0\)) ergibt \(\frac{2}{3}t^2 = 2\), woraus \(t^2 = 3\) und somit \(t = \sqrt{3}\) folgt.

a) \(A(t) = \frac{2}{3}t^3 + 6t\) b) \(t = \sqrt{3}\)

- Stelle zuerst die Gleichung der Tangente auf. - Skizziere die Situation gedanklich: Wo schneiden die Tangente und der Funktionsgraph jeweils die \(x\)-Achse? - Überlege, wie du die gesuchte Fläche in bekannte Teilflächen oder Integrale zerlegen kannst. - Manchmal ist es einfacher, eine große Fläche zu berechnen und einen Teil davon abzuziehen.

1. Bestimmung der Tangentengleichung an der Stelle \(x_0 = e\): Es gilt \(f(e) = \ln(e) = 1\) und \(f'(x) = \frac{1}{x}\), also \(f'(e) = \frac{1}{e}\). Die Tangente \(t\) hat die Gleichung \(t(x) = \frac{1}{e}(x - e) + 1 = \frac{1}{e}x\). 2. Bestimmung der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: Der Graph von \(f\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(\ln(x) = 0 \Rightarrow x_f = 1\). Die Tangente \(t\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(\frac{1}{e}x = 0 \Rightarrow x_t = 0\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: Die Fläche setzt sich zusammen aus dem Bereich unter der Tangente von \(x = 0\) bis \(x = 1\) (Dreiecksfläche) und dem Bereich zwischen Tangente und Funktionsgraph von \(x = 1\) bis \(x = e\). Alternativ berechnet man die Fläche unter der Tangente von \(0\) bis \(e\) und subtrahiert die Fläche unter dem Graphen von \(f\) von \(1\) bis \(e\). Fläche unter der Tangente: \(\int_{0}^{e} \frac{1}{e}x \, dx = \left[ \frac{1}{2e}x^2 \right]_{0}^{e} = \frac{e^2}{2e} = \frac{e}{2}\). Fläche unter \(f\): \(\int_{1}^{e} \ln(x) \, dx = [x \ln(x) - x]_{1}^{e} = (e \cdot 1 - e) - (1 \cdot 0 - 1) = 1\). Gesamtfläche: \(A = \frac{e}{2} - 1 \approx 0{,}359\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{e}{2} - 1 \approx 0{,}359 \, \text{FE}\).

- Bestimme die Schnittpunkte der Kurve mit der \(x\)-Achse und der Geraden \(g\). - Berechne zunächst nur das Flächenstück rechts der \(y\)-Achse. - Zerlege dieses Flächenstück in ein Rechteck und einen durch ein Integral bestimmten Anteil. - Verdopple anschließend wegen der Symmetrie zur \(y\)-Achse.

1. Nachweis des Schnittpunkts: Einsetzen von \(x = 1\) in die Funktionsgleichung ergibt \(f(1) = 2 - \frac{18}{1^2} = 2 - 18 = -16\). Da dieser Wert mit dem \(y\)-Wert der Geraden \(g\) übereinstimmt, liegt ein Schnittpunkt bei \(x = 1\) vor. 2. Bestimmung der Flächenanteile für \(x > 0\): Die Fläche setzt sich aus einem Rechteck und einem Flächenstück unter dem Graphen zusammen. 3. Berechnung des Rechtecks: Für \(x \in [0; 1]\) wird die Fläche durch die \(x\)-Achse (\(y=0\)) und die Gerade \(g\) (\(y=-16\)) begrenzt. Der Inhalt beträgt \(A_{\text{Rechteck}} = 1 \cdot | -16 | = 16\). 4. Berechnung des Integrals: Für \(x \in [1; 3]\) wird die Fläche durch die \(x\)-Achse und den Graphen von \(f\) begrenzt. Da der Graph unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, gilt: \(A_{\text{Integral}} = \int_{1}^{3} (0 - f(x)) \, dx = \int_{1}^{3} (\frac{18}{x^2} - 2) \, dx\). 5. Stammfunktion und Auswertung: \([- \frac{18}{x} - 2x]_1^3 = (- \frac{18}{3} - 2 \cdot 3) - (- \frac{18}{1} - 2 \cdot 1) = (-6 - 6) - (-18 - 2) = -12 + 20 = 8\). 6. Gesamtfläche: Die Fläche auf der rechten Seite ist \(16 + 8 = 24\). Aufgrund der Symmetrie zur \(y\)-Achse beträgt der gesamte Flächeninhalt \(A_{\text{Gesamt}} = 2 \cdot 24 = 48\).

Die beiden symmetrischen Flächenstücke haben zusammen den Flächeninhalt \(48\).

- Überlege dir zuerst, wie groß die gesamte Fläche ist, die von der Parabel und der \(x\)-Achse eingeschlossen wird. - Skizziere die Situation, um zu sehen, welche Teilfläche (die obere oder die untere) sich leichter mit einem Integral in Abhängigkeit von \(c\) beschreiben lässt. - Wie hängen die Schnittstellen der Geraden \(y=c\) mit der Funktion von dem Wert \(c\) ab? - Nutze Symmetrieeigenschaften der Parabel, um die Berechnungen zu vereinfachen.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f(x) = 4 - x^2\): \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). 2. Berechnung des gesamten Flächeninhalts zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse: \(A_{\text{ges}} = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx = \left[ 4x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-2}^{2} = \frac{16}{3} - \left( -\frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3}\). 3. Die gesuchte Gerade \(y = c\) zerlegt die Fläche in zwei gleiche Teile, sodass die obere Teilfläche \(A_{\text{oben}} = \frac{16}{3}\) beträgt. 4. Die Schnittstellen von \(f(x) = 4 - x^2\) und \(y = c\) liegen bei \(x = \pm \sqrt{4-c}\). 5. Aufstellen des Integrals für die obere Teilfläche: \(\int_{-\sqrt{4-c}}^{\sqrt{4-c}} (4 - x^2 - c) \, dx = \frac{16}{3}\). 6. Mit der Substitution \(u = 4 - c\) ergibt das Integral \(\frac{4}{3}u^{\frac{3}{2}} = \frac{16}{3}\). 7. Lösen nach \(u\): \(u^{\frac{3}{2}} = 4 \Rightarrow u = 4^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{16} = 2\sqrt[3]{2}\). 8. Berechnung von \(c\): \(4 - c = 2\sqrt[3]{2} \Rightarrow c = 4 - 2\sqrt[3]{2}\).

\(c = 4 - \sqrt[3]{16}\) (oder \(c = 4 - 2\sqrt[3]{2}\))

- Wie findet man die Stellen, an denen sich zwei Graphen treffen? - Überlege, wie viele abgeschlossene Flächenstücke entstehen können, wenn es drei Schnittstellen gibt. - Musst du die Graphen zeichnen, um zu wissen, welche Funktion oben liegt, oder gibt es einen rechnerischen Weg? - Was passiert mit dem Vorzeichen des Integrals, wenn die Graphen ihre Position (oben/unten) tauschen?

1. Berechnung der Schnittstellen durch Gleichsetzen: \(x^3 - 2x = x^2 \Leftrightarrow x^3 - x^2 - 2x = 0\). Ausklammern liefert \(x(x^2 - x - 2) = 0\), woraus sich mit der \(pq\)-Formel die Schnittstellen \(x_1 = -1\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\) ergeben. 2. Bestimmung der Teilflächen durch Integration der Differenzfunktion \(h(x) = f(x) - g(x) = x^3 - x^2 - 2x\). Eine Stammfunktion ist \(H(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - x^2\). 3. Erstes Intervall \([-1; 0]\): \(H(0) - H(-1) = 0 - (\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1) = 0 - (-\frac{5}{12}) = \frac{5}{12}\). 4. Zweites Intervall \([0; 2]\): \(H(2) - H(0) = (\frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 4) - 0 = -\frac{8}{3}\). 5. Der gesamte Flächeninhalt ergibt sich aus der Summe der Beträge: \(A = |\frac{5}{12}| + |-\frac{8}{3}| = \frac{5}{12} + \frac{32}{12} = \frac{37}{12}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{37}{12} \approx 3{,}083\) Flächeneinheiten.

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(a\)? - Überlege dir, über welches Intervall integriert werden muss, wenn die \(y\)-Achse eine Begrenzung ist. - Welche Funktion liegt im betrachteten Bereich oberhalb der anderen? - Erinnere dich an die Regeln für das Bilden von Stammfunktionen bei Potenzfunktionen.

1. Bestimmung der Tangentengleichung an der Stelle \(x = a\): Mit \(f'(x) = 3x^2\) ergibt sich die Steigung \(m = 3a^2\). Die Tangente lautet \(t(x) = 3a^2(x - a) + a^3 = 3a^2x - 2a^3\). 2. Aufstellen des Integrals für die Fläche zwischen \(G_f\) und \(t\) im Intervall \([0; a]\): Da \(f(x) \geq t(x)\) für \(x \in [0; a]\), gilt \(A = \int_{0}^{a} (x^3 - (3a^2x - 2a^3)) \, dx\). 3. Berechnung des Integrals: \(\int_{0}^{a} (x^3 - 3a^2x + 2a^3) \, dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}a^2x^2 + 2a^3x \right]_{0}^{a}\). 4. Einsetzen der Grenzen: \((\frac{1}{4}a^4 - \frac{3}{2}a^4 + 2a^4) - 0 = \frac{1 - 6 + 8}{4}a^4 = \frac{3}{4}a^4\).

Der Flächeninhalt berechnet sich über das Integral der Differenzfunktion von Graph und Tangente im Intervall \([0; a]\). Die Integration von \(f(x) - t(x) = x^3 - 3a^2x + 2a^3\) führt auf \(\left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}a^2x^2 + 2a^3x \right]_{0}^{a}\), was vereinfacht den Wert \(A = \frac{3}{4}a^4\) ergibt.

- Bestimme zuerst die Funktionsgleichung der Tangente im gegebenen Punkt. - Skizziere im Kopf oder grob auf Papier den Verlauf der Exponentialfunktion und der Ursprungsgerade, um die Grenzen zu finden. - Achte beim Integrieren darauf, dass die untere Grenze hier nicht null als Ergebnis liefert. - Was bedeutet „exakter Inhalt“ für die Form deines Endergebnisses?

1. Bestimmung der Tangentengleichung bei \(x = 1\): Mit \(f(1) = e\) und \(f'(1) = e\) ergibt sich \(t(x) = e(x - 1) + e = ex\). 2. Festlegung der Integrationsgrenzen: Die Fläche wird links durch die \(y\)-Achse (\(x = 0\)) und rechts durch den Berührpunkt (\(x = 1\)) begrenzt. 3. Aufstellen des Integrals: Da \(e^x > ex\) für \(x \neq 1\), berechnet man \(A = \int_{0}^{1} (e^x - ex) \, dx\). 4. Integration: \(\int_{0}^{1} (e^x - ex) \, dx = [e^x - \frac{1}{2}ex^2]_{0}^{1}\). 5. Auswertung: \((e^1 - \frac{1}{2}e \cdot 1^2) - (e^0 - \frac{1}{2}e \cdot 0^2) = (e - \frac{1}{2}e) - 1 = \frac{1}{2}e - 1\).

Der exakte Flächeninhalt beträgt \(A = \frac{1}{2}e - 1\) (ca. \(0{,}359\) Flächeneinheiten).

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Gerade, wenn der y-Achsenabschnitt bekannt ist? - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen über einem bestimmten Intervall? - Nutze die Information über den Flächeninhalt, um eine Gleichung für die unbekannte Steigung aufzustellen. - Achte darauf, dass die Gerade im angegebenen Bereich nicht unter die x-Achse fallen darf.

1. Bestimmung des Schnittpunkts auf der \(y\)-Achse: \(f(0) = \frac{18}{(0 + 1)^2} = 18\). Damit hat die Gerade die Form \(g(x) = mx + 18\). 2. Berechnung des Integrals von \(f\) über dem Intervall \([0; 2]\): \(\int_{0}^{2} \frac{18}{(x+1)^2} \, dx = \left[ -\frac{18}{x+1} \right]_{0}^{2} = -6 - (-18) = 12\). 3. Berechnung des Integrals der Geraden \(g\) über \([0; 2]\): \(\int_{0}^{2} (mx + 18) \, dx = \left[ \frac{1}{2}mx^2 + 18x \right]_{0}^{2} = 2m + 36\). 4. Ansatz für den Flächeninhalt: \(| (2m + 36) - 12 | = 10\), also \(| 2m + 24 | = 10\). 5. Lösen der Gleichung: \(2m + 24 = 10 \Rightarrow m = -7\) oder \(2m + 24 = -10 \Rightarrow m = -17\). 6. Überprüfung der Lage im I. Quadranten: Für \(m = -7\) ist \(g(2) = 4 > 0\). Für \(m = -17\) ist \(g(2) = -16 < 0\), womit die Fläche nicht vollständig im I. Quadranten läge. Zudem liegt \(g(x) = -7x + 18\) im relevanten Intervall stets oberhalb von \(f(x)\). Die gesuchte Gleichung ist \(g(x) = -7x + 18\).

\(g(x) = -7x + 18\)

- Überlege zuerst, an welchen Stellen sich die Parabel und die Gerade schneiden. - Welche der beiden Funktionen liegt im betrachteten Intervall oberhalb der anderen? - Nutze die Symmetrie der Parabel zur \(y\)-Achse, um die Rechnung zu vereinfachen. - Erinnere dich daran, wie man eine Potenzfunktion integriert.

1. Berechnung der Schnittstellen: \(x^2 = k^2 \implies x_1 = -k, x_2 = k\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt: \(A(k) = \int_{-k}^{k} (k^2 - x^2) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion und Auswertung: \(\left[ k^2 x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-k}^{k} = (k^3 - \frac{1}{3}k^3) - (-k^3 + \frac{1}{3}k^3) = \frac{2}{3}k^3 - (-\frac{2}{3}k^3) = \frac{4}{3}k^3\). 4. Lösen der Gleichung für \(k\): \(\frac{4}{3}k^3 = 36 \implies k^3 = 27 \implies k = 3\).

a) \(A(k) = \frac{4}{3}k^3\) b) \(k = 3\)

- Wie lautet die allgemeine Regel für das Integrieren von Potenzfunktionen der Form \(x^n\)? - Was bedeutet die Bedingung \(F(1) = 0\) für die Integrationskonstante? - Erinnere dich daran, dass der Flächeninhalt unter einem Graphen über einem Intervall durch das bestimmte Integral berechnet wird. - Überlege dir, wie du eine Gleichung der Form \(\frac{a}{x^n} = b\) nach \(x\) auflösen kannst.

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion durch Integration von \(f(x) = 6x^{-4}\): \(F(x) = \frac{6}{-3}x^{-3} + C = -\frac{2}{x^3} + C\). 2. Einsetzen der Bedingung \(F(1) = 0\): \(-\frac{2}{1^3} + C = 0 \implies -2 + C = 0 \implies C = 2\). Die gesuchte Stammfunktion ist \(F(x) = 2 - \frac{2}{x^3}\). 3. Ansatz für den Flächeninhalt als bestimmtes Integral von \(1\) bis \(k\): \(\int_{1}^{k} \frac{6}{x^4} \, dx = \left[ -\frac{2}{x^3} \right]_{1}^{k} = -\frac{2}{k^3} - \left( -\frac{2}{1^3} \right) = 2 - \frac{2}{k^3}\). 4. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(2 - \frac{2}{k^3} = 1{,}75\). 5. Auflösen nach \(k\): \(\frac{2}{k^3} = 0{,}25 = \frac{1}{4} \implies k^3 = 8 \implies k = 2\).

a) \(F(x) = 2 - \frac{2}{x^3}\) b) \(k = 2\)

- Wie hängen Ableitung und Stammfunktion zusammen? - Kannst du die Wurzelausdrücke in Potenzschreibweise mit rationalen Exponenten umschreiben? - Nutze den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um die Fläche zu berechnen. - Wie kehrt man die Operationen „Quadrieren“ und „Ziehen der dritten Wurzel“ um?

1. Nachweis der Stammfunktion durch Ableiten: \(G(x) = 2x^{\frac{2}{3}} \implies G'(x) = 2 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{4}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{4}{3\sqrt[3]{x}}\). Da \(G'(x) = g(x)\), ist \(G\) eine Stammfunktion. 2. Berechnung des Flächeninhalts über das Integral: \(\int_{1}^{a} g(x) \, dx = [G(x)]_{1}^{a} = G(a) - G(1) = 2\sqrt[3]{a^2} - 2\sqrt[3]{1^2} = 2\sqrt[3]{a^2} - 2\). 3. Gleichsetzen mit dem Flächeninhalt \(6\): \(2\sqrt[3]{a^2} - 2 = 6\). 4. Auflösen der Gleichung: \(2\sqrt[3]{a^2} = 8 \implies \sqrt[3]{a^2} = 4\). 5. Bestimmung von \(a\): \(a^2 = 4^3 = 64 \implies a = \sqrt{64} = 8\) (da \(a > 1\)).

a) Der Nachweis erfolgt durch \(G'(x) = g(x)\). b) \(a = 8\)

- Wie lassen sich die Grenzen der Fläche bestimmen, die vom Graphen und der Achse eingeschlossen wird? - Welche Integrationsregel hilft dir bei der Stammfunktion einer Wurzelfunktion? - Überlege dir, wie du den Parameter \(k\) in der Stammfunktion behandelst. - Nachdem du das Integral in Abhängigkeit von \(k\) berechnet hast, kannst du eine Gleichung aufstellen.

1. Bestimmung der Schnittstellen mit der \(x\)-Achse: \(k\sqrt{x} - x = 0 \Rightarrow \sqrt{x}(k - \sqrt{x}) = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = k^2\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt \(A\): Da \(k\sqrt{x} \geq x\) für \(x \in [0; k^2]\), gilt \(A = \int_{0}^{k^2} (k\sqrt{x} - x) \, dx\). 3. Berechnung der Stammfunktion und des Integrals: \(\int_{0}^{k^2} (k x^{\frac{1}{2}} - x) \, dx = \left[ \frac{2}{3}k x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{k^2} = \frac{2}{3}k(k^2)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}(k^2)^2 = \frac{2}{3}k^4 - \frac{1}{2}k^4 = \frac{1}{6}k^4\). 4. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(\frac{1}{6}k^4 = 13{,}5 \Rightarrow k^4 = 81\). 5. Lösen nach \(k\): Da \(k > 0\) gefordert ist, folgt \(k = \sqrt[4]{81} = 3\).

\(k = 3\)

- Untersuche zuerst, ob der Graph der Funktion im angegebenen Intervall die \(x\)-Achse schneidet. - Warum ist es wichtig, das Integral an den Nullstellen aufzuteilen? - Denk daran, dass Flächeninhalte immer positiv angegeben werden, auch wenn das Integral negativ ist. - Wie findet man eine Stammfunktion für einen quadratischen Term?

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2\): Aus \(\frac{1}{2}x^2 - 2 = 0\) folgt \(x^2 = 4\), also \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). 2. Prüfung der Nullstellen im Intervall \([-1; 3]\): Nur die Nullstelle \(x_2 = 2\) liegt innerhalb des Intervalls. 3. Aufteilen des Integrals an der Nullstelle \(x = 2\) in die Teilintervalle \([-1; 2]\) und \([2; 3]\). 4. Berechnung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{6}x^3 - 2x\). 5. Berechnung der orientierten Flächeninhalte: \(\int_{-1}^{2} f(x) \, dx = F(2) - F(-1) = \left(\frac{8}{6} - 4\right) - \left(-\frac{1}{6} + 2\right) = -\frac{8}{3} - \frac{11}{6} = -\frac{16}{6} - \frac{11}{6} = -4{,}5\). \(\int_{2}^{3} f(x) \, dx = F(3) - F(2) = \left(\frac{27}{6} - 6\right) - \left(-\frac{8}{3}\right) = -1{,}5 + \frac{8}{3} = \frac{7}{6}\). 6. Summe der Beträge der Teilflächen: \(A = |-4{,}5| + |\frac{7}{6}| = \frac{27}{6} + \frac{7}{6} = \frac{34}{6} = \frac{17}{3} \approx 5{,}67\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{17}{3}\) (ca. \(5{,}67\)) Flächeneinheiten.

- Findest du heraus, wo der Graph die \(x\)-Achse berührt oder kreuzt? - Klammere zuerst \(x\) aus, um die Nullstellen leichter zu finden. - Eine Skizze oder das Überprüfen der Funktionswerte zwischen den Nullstellen kann dir helfen zu sehen, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der Achse liegt. - Wie lautet die Stammfunktion für eine Potenzfunktion?

1. Berechnung der Nullstellen: \(x^3 - 4x^2 + 4x = 0 \Leftrightarrow x(x^2 - 4x + 4) = 0 \Leftrightarrow x(x-2)^2 = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\) (doppelte Nullstelle). 2. Festlegen der Integrationsgrenzen: Da die Fläche zwischen den Nullstellen eingeschlossen wird, sind die Grenzen \(0\) und \(2\). 3. Aufstellen des Integrals: \(\int_{0}^{2} (x^3 - 4x^2 + 4x) \, dx\). 4. Bildung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + 2x^2\). 5. Berechnung des Flächeninhalts: \(F(2) - F(0) = (\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{4}{3} \cdot 8 + 2 \cdot 4) - 0 = 4 - \frac{32}{3} + 8 = 12 - \frac{32}{3} = \frac{36}{3} - \frac{32}{3} = \frac{4}{3}\). 6. Die Fläche beträgt \(\frac{4}{3}\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{4}{3}\) (oder ca. \(1{,}33\)) Flächeneinheiten.

- Überprüfe zuerst, ob sich die Graphen innerhalb des vorgegebenen Intervalls schneiden. - Was passiert mit dem Vorzeichen der Differenzfunktion an den Schnittstellen? - Wie gehst du vor, wenn eine Funktion mal oberhalb und mal unterhalb der anderen verläuft? - Denk an die Aufspaltung des Integrals an den Stellen, an denen der Betrag sein Vorzeichen ändert.

1. Bestimmung der Schnittstellen von \(f\) und \(g\): \(x^2 - 1 = 1 - x \Leftrightarrow x^2 + x - 2 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 1\). 2. Untersuchung des Vorzeichens der Differenzfunktion \(d(x) = f(x) - g(x) = x^2 + x - 2\) im Intervall \([-2; 2]\): Innerhalb von \([-2; 1]\) ist \(d(x) \leq 0\), innerhalb von \([1; 2]\) ist \(d(x) \geq 0\). 3. Aufstellen der Teilintegrale gemäß der Flächenformel mit Betrag: \(A = \int_{-2}^{1} |x^2 + x - 2| \, dx + \int_{1}^{2} |x^2 + x - 2| \, dx\). 4. Berechnung des ersten Teilintegrals: \(\int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx = [2x - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{-2}^{1} = (2 - 0{,}5 - \frac{1}{3}) - (-4 - 2 + \frac{8}{3}) = \frac{7}{6} - (-\frac{10}{3}) = 4{,}5\). 5. Berechnung des zweiten Teilintegrals: \(\int_{1}^{2} (x^2 + x - 2) \, dx = [\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x]_{1}^{2} = (\frac{8}{3} + 2 - 4) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2) = \frac{2}{3} - (-\frac{7}{6}) = \frac{11}{6}\). 6. Summation der Flächeninhalte: \(A = 4{,}5 + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} + \frac{11}{6} = \frac{38}{6} = \frac{19}{3} \approx 6{,}33\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{19}{3} \approx 6{,}33\) Flächeneinheiten.

- Überlege zuerst, wo der Graph die \(x\)-Achse berührt oder schneidet. - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse mithilfe von Integralen? - Beachte, dass die Integrationsgrenzen von der Lage der Nullstellen abhängen. - Denke daran, dass beim Lösen einer Potenzgleichung mit geradem Exponenten mehrere reelle Lösungen existieren können.

1. Nullstellen berechnen: \(kx^2 - x^3 = 0 \Leftrightarrow x^2(k - x) = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\) (doppelt) und \(x_2 = k\). 2. Integral berechnen: \(\int_0^k (kx^2 - x^3) \, dx = \left[ \frac{1}{3}kx^3 - \frac{1}{4}x^4 \right]_0^k = \frac{1}{3}k^4 - \frac{1}{4}k^4 = \frac{1}{12}k^4\). 3. Flächeninhalt bestimmen: Da \(k^4 \geq 0\) für alle \(k \in \mathbb{R}\), gilt für den Flächeninhalt \(A = \left| \frac{1}{12}k^4 \right| = \frac{1}{12}k^4\). 4. Parameter ermitteln: \(\frac{1}{12}k^4 = 6{,}75 \Leftrightarrow k^4 = 81\). Die reellen Lösungen sind \(k = 3\) und \(k = -3\).

1. \(x_1 = 0\), \(x_2 = k\) 2. \(k = 3\) oder \(k = -3\)

- Wie findest du heraus, wo sich zwei Funktionsgraphen treffen? - Was musst du tun, wenn du die Grenzen für die eingeschlossene Fläche suchst? - Gibt es eine neue Funktion, die den Abstand zwischen den beiden Graphen beschreibt? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, eine Fläche unter oder zwischen Kurven zu berechnen?

1. Bestimmung der Schnittstellen durch Gleichsetzen: \(-x^2 + 6x - 5 = x^2 - 4x + 3\). Dies führt auf die quadratische Gleichung \(2x^2 - 10x + 8 = 0\) bzw. \(x^2 - 5x + 4 = 0\). 2. Die Lösungen der Gleichung sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 4\). Dies sind die Integrationsgrenzen. 3. Aufstellen der Differenzfunktion \(h(x) = f(x) - g(x) = -2x^2 + 10x - 8\). 4. Berechnung des Integrals: \(\int_{1}^{4} (-2x^2 + 10x - 8) \, dx = [-\frac{2}{3}x^3 + 5x^2 - 8x]_1^4\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(F(4) = -\frac{128}{3} + 80 - 32 = \frac{16}{3}\) und \(F(1) = -\frac{2}{3} + 5 - 8 = -\frac{11}{3}\). 6. Berechnung der Fläche: \(A = \frac{16}{3} - (-\frac{11}{3}) = \frac{27}{3} = 9\).

Der Flächeninhalt beträgt \(9\) Flächeneinheiten.

- Wie findest du die Stellen, an denen sich zwei Graphen schneiden, wenn ein Parameter enthalten ist? - Welche der beiden Funktionen liegt im eingeschlossenen Intervall oberhalb der anderen? - Nutze die Symmetrie der Funktionen zur \(y\)-Achse, um die Berechnung des Integrals zu vereinfachen. - Stelle am Ende eine Gleichung auf, in der nur noch der Parameter \(k\) als Unbekannte vorkommt.

1. Berechnung der Schnittstellen der beiden Funktionsgraphen in Abhängigkeit von \(k\): \(x^2 - k = k - x^2 \Leftrightarrow 2x^2 = 2k \Leftrightarrow x^2 = k\). Da \(k > 0\), ergeben sich die Integrationsgrenzen \(x_1 = -\sqrt{k}\) und \(x_2 = \sqrt{k}\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt: \(A = \int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} (2k - 2x^2) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion und Berechnung des bestimmten Integrals: \([2kx - \frac{2}{3}x^3]_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} = (2k\sqrt{k} - \frac{2}{3}k\sqrt{k}) - (-2k\sqrt{k} + \frac{2}{3}k\sqrt{k}) = \frac{4}{3}k\sqrt{k} - (-\frac{4}{3}k\sqrt{k}) = \frac{8}{3}k\sqrt{k}\). 4. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt und Lösen nach \(k\): \(\frac{8}{3}k\sqrt{k} = 72 \Leftrightarrow k\sqrt{k} = 27 \Leftrightarrow k^{\frac{3}{2}} = 27\). Durch Quadrieren oder Ziehen der dritten Wurzel folgt \(k = 9\).

\(k = 9\)

- An welchen Stellen schneidet oder berührt der Graph die \(x\)-Achse? - Wie viele getrennte Flächenstücke entstehen zwischen dem Graphen und der Achse? - Denk daran, dass Flächeninhalte immer positive Werte sein müssen, auch wenn das Integral negativ ist. - Wie berechnet man die Stammfunktion eines Polynoms?

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3\): Durch Ausklammern erhält man \(x^2(x-3) - (x-3) = 0\), also \((x^2-1)(x-3) = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 3\). 2. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F(x) = \int (x^3 - 3x^2 - x + 3) \, dx = \frac{1}{4}x^4 - x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 3x\). 3. Berechnung der Teilflächeninhalte in den Intervallen \([-1; 1]\) und \([1; 3]\): \(A_1 = \left| \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \right| = |F(1) - F(-1)| = |1{,}75 - (-2{,}25)| = 4\). \(A_2 = \left| \int_{1}^{3} f(x) \, dx \right| = |F(3) - F(1)| = |-2{,}25 - 1{,}75| = 4\). 4. Berechnung des Gesamtflächeninhalts: \(A_{\text{ges}} = A_1 + A_2 = 4 + 4 = 8\).

Der Flächeninhalt beträgt \(8\,\text{FE}\).

- Gibt es eine Symmetrie im Graphen, die dir die Arbeit erleichtern könnte? - Welche Nullstellen begrenzen die Fläche, die tatsächlich eingeschlossen wird? - Achte darauf, dass eine doppelte Nullstelle bedeutet, dass der Graph die Achse dort nur berührt. - Wie gehst du vor, wenn der Graph unterhalb der \(x\)-Achse verläuft?

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^2\): \(\frac{1}{2}x^2(x^2 - 4) = 0\) führt zu \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) (doppelt) und \(x_3 = 2\). 2. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F(x) = \int (\frac{1}{2}x^4 - 2x^2) \, dx = \frac{1}{10}x^5 - \frac{2}{3}x^3\). 3. Ausnutzung der Symmetrie (Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse, da nur gerade Exponenten vorliegen): \(A = 2 \cdot \left| \int_{0}^{2} f(x) \, dx \right|\). 4. Berechnung des Integrals: \(\int_{0}^{2} f(x) \, dx = F(2) - F(0) = (\frac{32}{10} - \frac{16}{3}) - 0 = \frac{16}{5} - \frac{16}{3} = \frac{48 - 80}{15} = -\frac{32}{15}\). 5. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = 2 \cdot |-\frac{32}{15}| = \frac{64}{15} \approx 4{,}27\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{64}{15} \approx 4{,}27\,\text{FE}\).

- Bestimme zuerst die Steigung der Tangente mithilfe der ersten Ableitung an der gegebenen Stelle. - Denke daran, dass der Berührpunkt der Tangente immer eine doppelte Nullstelle der Differenzfunktion von Graph und Tangente ist. Das hilft dir beim Finden des weiteren Schnittpunkts. - Überprüfe durch eine Testeinsetzung, welcher Graph im Intervall oberhalb des anderen liegt, um das Vorzeichen der Fläche korrekt zu behandeln. - Integriere die Differenzfunktion über dem Intervall zwischen den berechneten Schnittstellen.

1. Ableitung berechnen: \(f'(x) = \frac{3}{2}x^2 - 2\). 2. Steigung der Tangente bei \(x = -2\): \(m = f'(-2) = 4\). 3. Tangentengleichung aufstellen: \(t(x) = 4(x - (-2)) + 0 = 4x + 8\). 4. Schnittpunkte von \(f\) und \(t\) bestimmen: \(\frac{1}{2}x^3 - 2x = 4x + 8 \Leftrightarrow x^3 - 12x - 16 = 0\). Da \(x = -2\) eine doppelte Nullstelle ist (Berührpunkt), ergibt die Polynomdivision den weiteren Schnittpunkt \(x = 4\). 5. Differenzfunktion bilden: Im Intervall \([-2; 4]\) liegt die Tangente oberhalb des Graphen, also \(d(x) = t(x) - f(x) = -\frac{1}{2}x^3 + 6x + 8\). 6. Integral berechnen: \(A = \int_{-2}^{4} \left(-\frac{1}{2}x^3 + 6x + 8\right) \, dx = \left[-\frac{1}{8}x^4 + 3x^2 + 8x\right]_{-2}^{4}\). 7. Werte einsetzen: Stammfunktion an der oberen Grenze \(F(4) = 48\) und an der unteren Grenze \(F(-2) = -6\). 8. Ergebnis berechnen: \(A = 48 - (-6) = 54\).

Der Flächeninhalt beträgt \(54\,\text{FE}\).

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\)? - Wenn die Steigung der Tangente Null ist, handelt es sich um eine waagerechte Gerade. - Nutze die Eigenschaft des Berührpunkts aus, um die Gleichung für die Schnittpunkte schneller zu lösen. - Der gesuchte Flächeninhalt ergibt sich aus dem Integral der Differenzfunktion zwischen den beiden Schnittstellen.

1. Erste Ableitung bilden: \(f'(x) = -\frac{3}{4}x^2 + 3x\). 2. Tangentensteigung an der Stelle \(x = 4\) berechnen: \(m = f'(4) = 0\). 3. Tangentengleichung aufstellen: Da \(m = 0\) und der Punkt \(P(4\mid 8)\) gegeben ist, lautet die Gleichung \(t(x) = 8\). 4. Schnittpunkte berechnen: \(-\frac{1}{4}x^3 + \frac{3}{2}x^2 = 8 \Leftrightarrow x^3 - 6x^2 + 32 = 0\). Mit der bekannten doppelten Nullstelle \(x = 4\) (Berührpunkt) ergibt sich durch Polynomdivision der weitere Schnittpunkt bei \(x = -2\). 5. Differenzfunktion aufstellen: \(d(x) = 8 - f(x) = \frac{1}{4}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 8\). 6. Flächeninhalt durch Integration bestimmen: \(A = \int_{-2}^{4} \left(\frac{1}{4}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 8\right) \, dx = \left[\frac{1}{16}x^4 - \frac{1}{2}x^3 + 8x\right]_{-2}^{4}\). 7. Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung anwenden: \(F(4) = 16\) und \(F(-2) = -11\). 8. Ergebnis: \(A = 16 - (-11) = 27\).

Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt \(27\,\text{FE}\).

- Bestimme zuerst die Gleichung der Tangente im gegebenen Punkt. - Skizziere die Situation grob, um zu sehen, welche Funktionen die Fläche oben und unten begrenzen. - Suche die Nullstellen der Funktion und der Tangente, um die Integrationsgrenzen festzulegen. - Überlege, ob du die Fläche in Teilflächen zerlegen musst oder ob du eine einfache Subtraktion von Flächeninhalten (z. B. einer Dreiecksfläche) nutzen kannst.

1. Bestimmung der Tangentengleichung an der Stelle \(x = 4\): Es gilt \(f(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 + 4 = 4\). Die Ableitung ist \(f'(x) = 2x - 4\), woraus die Steigung \(f'(4) = 4\) folgt. Die Tangente \(t\) hat somit die Gleichung \(y - 4 = 4(x - 4)\), also \(t(x) = 4x - 12\). 2. Ermittlung der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: Der Graph von \(f\) berührt die \(x\)-Achse bei \(x = 2\) (da \(f(x) = (x-2)^2\)). Die Tangente schneidet die \(x\)-Achse bei \(t(x) = 0 \Rightarrow 4x = 12 \Rightarrow x = 3\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: Die gesuchte Fläche liegt zwischen \(x = 2\) und \(x = 4\). Sie wird nach oben durch den Graphen von \(f\) begrenzt. Von \(x = 2\) bis \(x = 3\) bildet die \(x\)-Achse die untere Grenze, von \(x = 3\) bis \(x = 4\) ist es die Tangente. Der Inhalt berechnet sich als Integral von \(f\) über \([2; 4]\) abzüglich der Dreiecksfläche unter der Tangente über \([3; 4]\): \(A = \int_{2}^{4} (x^2 - 4x + 4) \, dx - \frac{1}{2} \cdot (4 - 3) \cdot 4 = \left[ \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x \right]_{2}^{4} - 2 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3}\).

Der Flächeninhalt beträgt \( \frac{2}{3} \) Flächeneinheiten.

- Überlege zuerst, an welcher Stelle der Graph einen Tiefpunkt hat und wie die Gleichung einer Tangente an einem Extrempunkt aussieht. - Bestimme den weiteren Schnittpunkt zwischen dem Graphen und dieser Tangente, um die Integrationsgrenzen festzulegen. - Die Fläche wird durch das Integral der Differenzfunktion zwischen den Schnittstellen berechnet. - Stelle eine Gleichung auf, die den berechneten Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(a\) mit dem Zielwert gleichsetzt.

1. Ableitungen bilden: \(f_a'(x) = a(3x^2 - 6x)\) und \(f_a''(x) = a(6x - 6)\). 2. Lokale Extrema bestimmen: \(f_a'(x) = 0 \Rightarrow 3ax(x - 2) = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 3. Tiefpunkt identifizieren: Da \(f_a''(2) = 6a > 0\) (für \(a > 0\)), liegt bei \(x = 2\) ein lokaler Tiefpunkt vor. 4. Tangentengleichung: Der Funktionswert am Tiefpunkt ist \(f_a(2) = a(2^3 - 3 \cdot 2^2 + 4) = 0\). Die Tangente ist somit die horizontale Gerade \(y = 0\). 5. Schnittpunkte mit der Tangente: \(a(x^3 - 3x^2 + 4) = 0\). Da \(x = 2\) eine doppelte Nullstelle ist (Berührpunkt), ergibt die Polynomdivision oder Faktorisierung \((x - 2)^2(x + 1) = 0\). Die Schnittstellen sind \(x = 2\) und \(x = -1\). 6. Flächeninhalt berechnen: \(A = \int_{-1}^{2} (a(x^3 - 3x^2 + 4) - 0) \, dx = a \left[ \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 4x \right]_{-1}^{2}\). Einsetzen der Grenzen liefert \(a \cdot (4 - (-2{,}75)) = 6{,}75a\). 7. Parameter \(a\) bestimmen: \(6{,}75a = 10{,}8 \Rightarrow a = 1{,}6\).

\(a = 1{,}6\)

- Wie findet man die Stellen, an denen die Steigung null ist? - Welche Form hat die Gleichung einer Tangente in einem Punkt mit waagerechter Steigung? - Wie findet man die Grenzen für das Integral, wenn eine Fläche zwischen zwei Funktionen eingeschlossen ist? - Denk daran, dass die Tangente den Graphen an der Extremstelle berührt, was eine Besonderheit für die Nullstellen der Differenzfunktion bedeutet.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = -3x^2 + 12\) und \(f''(x) = -6x\). 2. Extremstellen bestimmen: \(f'(x) = 0 \Rightarrow -3x^2 = -12 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -2\). 3. Art der Extrema prüfen: \(f''(2) = -12 < 0\) (Hochpunkt), \(f''(-2) = 12 > 0\) (Tiefpunkt). 4. Koordinaten berechnen: \(f(2) = -(2)^3 + 12 \cdot 2 = 16 \Rightarrow H(2\mid 16)\); \(f(-2) = -(-2)^3 + 12 \cdot (-2) = -16 \Rightarrow T(-2\mid -16)\). 5. Gleichung der Tangente im Hochpunkt: \(y = 16\). 6. Schnittpunkte von \(f(x)\) und \(y = 16\) finden: \(-x^3 + 12x = 16 \Rightarrow x^3 - 12x + 16 = 0\). Da \(x = 2\) eine doppelte Nullstelle ist (Berührpunkt), Division durch \((x-2)^2 = x^2 - 4x + 4\) ergibt \((x+4)\). Schnittstellen bei \(x = 2\) und \(x = -4\). 7. Flächeninhalt berechnen: \(A = \int_{-4}^{2} (16 - (-x^3 + 12x)) \, dx = \int_{-4}^{2} (x^3 - 12x + 16) \, dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - 6x^2 + 16x \right]_{-4}^{2}\). 8. Einsetzen der Grenzen: \((4 - 24 + 32) - (64 - 96 - 64) = 12 - (-96) = 108\). Der Flächeninhalt beträgt \(108\).

a) Hochpunkt \(H(2\mid 16)\), Tiefpunkt \(T(-2\mid -16)\). b) Der Flächeninhalt beträgt \(108\,\text{FE}\).

- Überlege dir zuerst, wo sich die Parabel und die horizontale Gerade schneiden. - Nutze die Symmetrie der Parabel zur \(y\)-Achse, um die Rechnung zu vereinfachen. - Stelle einen Term für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(c\) auf. - Welche Funktion liegt im betrachteten Intervall oberhalb der anderen?

1. Berechnung der Schnittstellen von \(f(x) = \frac{1}{4}x^2\) und \(y = c\) in Abhängigkeit von \(c\): \(\frac{1}{4}x^2 = c \implies x^2 = 4c \implies x_{1,2} = \pm 2\sqrt{c}\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt unter Ausnutzung der Symmetrie: \(A = 2\int_{0}^{2\sqrt{c}} (c - \frac{1}{4}x^2) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion und Auswertung an den Grenzen: \(2[cx - \frac{1}{12}x^3]_{0}^{2\sqrt{c}} = 2(2c\sqrt{c} - \frac{8c\sqrt{c}}{12}) = 2(2c\sqrt{c} - \frac{2}{3}c\sqrt{c}) = \frac{8}{3}c\sqrt{c} = \frac{8}{3}c^{\frac{3}{2}}\). 4. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(\frac{8}{3}c^{\frac{3}{2}} = \frac{64}{3} \implies c^{\frac{3}{2}} = 8\). 5. Auflösen nach \(c\): \(c = 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4\).

\(c = 4\)

- Überlege dir zuerst, wie groß die gesamte Fläche unter der Kurve im gegebenen Intervall ist. - Wie viel Prozent der Gesamtfläche entfallen auf das linke Teilstück, wenn das Verhältnis \(1 : 3\) ist? - Stelle ein Integral mit einer unbekannten oberen Grenze auf, das diesen Teilflächeninhalt repräsentiert. - Erinnere dich an die Stammfunktion der natürlichen Exponentialfunktion.

1. Berechnung des gesamten Flächeninhalts \(A\) im Intervall \([0; \ln(9)]\): \(A = \int_{0}^{\ln(9)} e^x \, dx = [e^x]_{0}^{\ln(9)} = e^{\ln(9)} - e^0 = 9 - 1 = 8\). 2. Bestimmung des Inhalts der linken Teilfläche \(A_1\) basierend auf dem Teilungsverhältnis \(1 : 3\): \(A_1 = \frac{1}{1+3} \cdot A = \frac{1}{4} \cdot 8 = 2\). 3. Ansatz für die gesuchte Stelle \(k\): \(\int_{0}^{k} e^x \, dx = 2\). 4. Integration und Auflösen nach \(k\): \([e^x]_{0}^{k} = e^k - 1 = 2 \implies e^k = 3 \implies k = \ln(3)\). 5. Die Gleichung der gesuchten Geraden lautet \(x = \ln(3)\).

\(x = \ln(3)\)

- Bestimme zunächst den Flächeninhalt der gesamten Fläche durch Integration über das gesamte Intervall. - Ein Verhältnis von \(2 : 1\) bedeutet, dass der linke Teil zwei Drittel der Gesamtfläche ausmacht. - Verwende die Potenzregel für die Integration, um die Fläche in Abhängigkeit von \(k\) auszudrücken. - Löse die resultierende Gleichung nach der gesuchten Grenze \(k\) auf.

1. Berechnung des Gesamtflächeninhalts \(A\) im Intervall \([1; 4]\): \(A = \int_{1}^{4} x^{-2} \, dx = [-\frac{1}{x}]_{1}^{4} = -\frac{1}{4} - (-1) = \frac{3}{4}\). 2. Bestimmung des Inhalts der linken Teilfläche \(A_1\) durch das Verhältnis \(2 : 1\): \(A_1 = \frac{2}{3} \cdot A = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2}\). 3. Aufstellen der Integralgleichung für die Grenze \(k\): \(\int_{1}^{k} x^{-2} \, dx = \frac{1}{2}\). 4. Berechnung des Integrals: \([-\frac{1}{x}]_{1}^{k} = -\frac{1}{k} - (-1) = 1 - \frac{1}{k}\). 5. Gleichsetzen und Lösen nach \(k\): \(1 - \frac{1}{k} = \frac{1}{2} \implies \frac{1}{k} = \frac{1}{2} \implies k = 2\).

\(k = 2\)

- Wie lautet die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden, die durch den Ursprung verläuft? - Wie findest du die Stellen, an denen sich die beiden Graphen schneiden? Beachte, dass diese Stellen von einem Parameter abhängen können. - Überlege dir, wie man den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen berechnet, wenn die Integrationsgrenzen bekannt sind. - Denk daran, dass bei der Berechnung eines Flächeninhalts der Betrag des Integrals entscheidend ist, falls die Lage der Graphen zueinander nicht vorab feststeht. - Es könnte mehr als einen Wert für die Steigung geben, der die Bedingung erfüllt.

1. Schnittstellen der Funktionen \(f(x) = x^2 - 4x\) und \(g(x) = mx\) durch Gleichsetzen bestimmen: \(x^2 - 4x = mx \Rightarrow x^2 - (m+4)x = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = m+4\). 2. Integral für den Flächeninhalt \(A\) zwischen den Graphen aufstellen: \(A = \left| \int_{0}^{m+4} (g(x) - f(x)) \, dx \right| = \left| \int_{0}^{m+4} ((m+4)x - x^2) \, dx \right|\). 3. Stammfunktion bilden und Grenzen einsetzen: \(\left[ \frac{m+4}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{m+4} = \frac{(m+4)^3}{2} - \frac{(m+4)^3}{3} = \frac{(m+4)^3}{6}\). 4. Den Flächeninhalt gleich \(36\) setzen: \(\left| \frac{(m+4)^3}{6} \right| = 36 \Rightarrow |m+4|^3 = 216\). 5. Die Gleichung nach \(m\) auflösen: \(|m+4| = 6\). Dies führt zu \(m+4 = 6 \Rightarrow m = 2\) oder \(m+4 = -6 \Rightarrow m = -10\).

Die möglichen Werte für die Steigung sind \(m = 2\) und \(m = -10\).

- Welche Form hat die Gleichung einer Parabel, deren Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse liegt? - Wenn eine achsensymmetrische Parabel die \(x\)-Achse bei \(3\) schneidet, wo liegt dann die andere Nullstelle? - Wie berechnet man die Fläche zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse mithilfe von Integralen? - Nutze die Information über den Flächeninhalt, um die fehlende Unbekannte in deiner Gleichung zu berechnen.

1. Ansatz für die Funktionsgleichung aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse (Hochpunkt bei \(x=0\)): \(f(x) = ax^2 + c\). 2. Verwendung der Nullstelle bei \(x = 3\): \(f(3) = 0 \implies 9a + c = 0 \implies c = -9a\). Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = ax^2 - 9a\). 3. Da der Hochpunkt auf der \(y\)-Achse liegt und die Nullstelle bei \(3\) ist, liegt die zweite Nullstelle aufgrund der Symmetrie bei \(-3\). 4. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt zwischen den Nullstellen: \(\int_{-3}^{3} (ax^2 - 9a) \, dx = 24\). 5. Berechnung des Integrals: \([ \frac{a}{3}x^3 - 9ax ]_{-3}^{3} = (9a - 27a) - (-9a + 27a) = -18a - 18a = -36a\). 6. Bestimmung von \(a\): \(-36a = 24 \implies a = -\frac{24}{36} = -\frac{2}{3}\). 7. Berechnung von \(c\): \(c = -9 \cdot (-\frac{2}{3}) = 6\). 8. Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = -\frac{2}{3}x^2 + 6\).

\(f(x) = -\frac{2}{3}x^2 + 6\)

- Welche allgemeine Form hat eine Funktion, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist? - Wie kannst du die Information über die Nullstelle nutzen, um die Anzahl der Unbekannten im Funktionsterm zu reduzieren? - Überlege dir, in welchem Bereich der Graph im ersten Quadranten verlaufen muss, um eine Fläche mit der \(x\)-Achse zu bilden. - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse mithilfe von Integralen?

1. Ansatz für eine punktsymmetrische Funktion 3. Grades: \(f(x) = ax^3 + bx\). 2. Bedingung Nullstelle: \(f(3) = 0 \implies 27a + 3b = 0\), daraus folgt \(b = -9a\). 3. Funktionsterm mit einem Parameter: \(f(x) = ax^3 - 9ax\). 4. Berechnung des Integrals für die Fläche im ersten Quadranten (Intervall \([0; 3]\)): \(\int_{0}^{3} (ax^3 - 9ax) \, dx = \left[ \frac{a}{4}x^4 - \frac{9a}{2}x^2 \right]_{0}^{3} = \frac{81}{4}a - \frac{81}{2}a = -20{,}25a\). 5. Da die Fläche im ersten Quadranten liegen soll (\(f(x) \geq 0\) für \(x \in [0; 3]\)), muss der Integralwert positiv sein: \(-20{,}25a = 4{,}5 \implies a = -\frac{2}{9}\). 6. Bestimmung von \(b\): \(b = -9 \cdot \left(-\frac{2}{9}\right) = 2\). 7. Ergebnis: \(f(x) = -\frac{2}{9}x^3 + 2x\).

\(f(x) = -\frac{2}{9}x^3 + 2x\)

- Überlege zuerst, an welchen Stellen der Graph die \(x\)-Achse schneidet oder berührt. - Wie hängen diese Stellen mit den Grenzen deines Integrals zusammen? - Stelle einen Term für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(k\) auf. - Löse die resultierende Gleichung nach der gesuchten positiven Zahl auf.

1. Bestimmung der Integrationsgrenzen: Die Nullstellen von \(f(x) = x^2(k - x)\) liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = k\). Da \(k > 0\), verläuft der Graph im Intervall \([0; k]\) im ersten Quadranten oberhalb der \(x\)-Achse. 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt: \(A = \int_{0}^{k} (kx^2 - x^3) \, dx\). 3. Berechnung der Stammfunktion und des bestimmten Integrals: \(\left[ \frac{1}{3}kx^3 - \frac{1}{4}x^4 \right]_{0}^{k} = \frac{1}{3}k^4 - \frac{1}{4}k^4 = \frac{1}{12}k^4\). 4. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(\frac{1}{12}k^4 = 6{,}75\). 5. Lösen der Gleichung nach \(k\): \(k^4 = 6{,}75 \cdot 12 = 81\). Da \(k > 0\) gefordert ist, folgt \(k = \sqrt[4]{81} = 3\).

\(k = 3\)

- Wie findest du die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse berührt oder schneidet? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\). - Welche Grenzen musst du für das Integral wählen, wenn die \(y\)-Achse eine der Begrenzungen ist? - Überlege, welche Funktion im betrachteten Intervall oberhalb der anderen liegt, um den Flächeninhalt korrekt zu berechnen.

1. Berechnung der Nullstelle von \(f_a(x) = x(x - a)\): Da \(a > 0\), liegt die positive Nullstelle bei \(x_0 = a\). Damit ist \(P(a \mid 0)\). 2. Bestimmung der Tangentengleichung in \(P\): Die Ableitung ist \(f_a'(x) = 2x - a\). Die Steigung in \(P\) beträgt \(m = f_a'(a) = 2a - a = a\). Die Tangente lautet \(t_a(x) = a(x - a) = ax - a^2\). 3. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt \(A\) zwischen \(x = 0\) und \(x = a\): Da \((f_a(x) - t_a(x)) = x^2 - 2ax + a^2 = (x - a)^2 \ge 0\), liegt der Graph über der Tangente. 4. Berechnung des Integrals: \(A = \int_0^a (x - a)^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}(x - a)^3 \right]_0^a = 0 - \left( -\frac{1}{3}a^3 \right) = \frac{1}{3}a^3\). 5. Bestimmung von \(a\): Aus \(\frac{1}{3}a^3 = 9\) folgt \(a^3 = 27\) und somit \(a = 3\).

a) \(P(a \mid 0)\) b) \(a = 3\)

- Wie findet man heraus, wo sich zwei Graphen treffen? - Gibt es zwischen den Graphen nur eine zusammenhängende Fläche oder mehrere Teilflächen? - Was passiert mit dem Vorzeichen des Integrals, wenn ein Graph den anderen überholt? - Wie berechnet man den Flächeninhalt, wenn das Integral ein negatives Ergebnis liefert?

1. Berechnung der Schnittstellen durch Gleichsetzen: \(x^3 - 6x^2 + 9x = x \implies x^3 - 6x^2 + 8x = 0\). 2. Faktorisieren der Gleichung: \(x(x^2 - 6x + 8) = 0 \implies x(x-2)(x-4) = 0\). Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 4\). 3. Bestimmung der Differenzfunktion \(d(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 6x^2 + 8x\) und deren Stammfunktion \(D(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 4x^2\). 4. Berechnung der Teilflächen in den Intervallen \([0; 2]\) und \([2; 4]\): \(A_1 = \int_0^2 (x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = [D(x)]_0^2 = (4 - 16 + 16) - 0 = 4\). \(A_2 = \int_2^4 (x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = [D(x)]_2^4 = (64 - 128 + 64) - 4 = -4\). 5. Die Gesamtfläche ergibt sich aus der Summe der Beträge der Teilflächen: \(A = |4| + |-4| = 8\).

Der Inhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt \(8\) Flächeneinheiten.

- Wie findet man die Stellen, an denen sich zwei Graphen treffen? - Überlege dir, wie viele Teilflächen entstehen können, wenn es mehr als zwei Schnittstellen gibt. - Muss man beim Integrieren auf das Vorzeichen des Ergebnisses achten, wenn man eine Fläche berechnet? - Hilft es, die Differenzfunktion der beiden Funktionen zu bilden?

1. Bestimmung der Schnittstellen durch Gleichsetzen: \(x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = x^2 - x - 6 \Leftrightarrow x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0\). Durch Probieren oder Polynomdivision ergeben sich die Schnittstellen \(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). 2. Aufstellen der Teilintegrale für die Differenzfunktion \(d(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12\). 3. Berechnung des ersten Teilgebiets im Intervall \([-2; 2]\): \(\int_{-2}^{2} (x^3 - 3x^2 - 4x + 12) \,\text{d}x = [\frac{1}{4}x^4 - x^3 - 2x^2 + 12x]_{-2}^{2} = 12 - (-20) = 32\). 4. Berechnung des zweiten Teilgebiets im Intervall \([2; 3]\): \(\int_{2}^{3} (x^3 - 3x^2 - 4x + 12) \,\text{d}x = [\frac{1}{4}x^4 - x^3 - 2x^2 + 12x]_{2}^{3} = 11{,}25 - 12 = -0{,}75\). 5. Der Gesamteinhalt der Fläche ergibt sich aus der Summe der Beträge der Teilintegrale: \(A = |32| + |-0{,}75| = 32{,}75\).

Der Flächeninhalt beträgt \(32{,}75\) Flächeneinheiten.

- Welche Schritte sind nötig, um eine Fläche zwischen einem Graphen und der Achse zu berechnen? - Warum ist es wichtig, zuerst die Stellen zu finden, an denen der Graph die Achse schneidet? - Denke daran, dass Flächeninhalte immer positiv sind, auch wenn das Integral negativ ist. - Musst du das Integral an bestimmten Stellen aufteilen?

1. Bestimmung der Nullstellen: Durch Ausklammern von \(x\) erhält man \(x(x^2 - 4x + 3) = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung führen zu den Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 3\). 2. Aufstellen der Teilintegrale: Die Fläche verteilt sich auf die Intervalle \([0; 1]\) und \([1; 3]\). 3. Integration: Eine Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2\). 4. Berechnung der orientierten Flächeninhalte: \(\int_{0}^{1} f(x) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{5}{12} - 0 = \frac{5}{12}\). \(\int_{1}^{3} f(x) \, dx = F(3) - F(1) = -\frac{9}{4} - \frac{5}{12} = -\frac{27}{12} - \frac{5}{12} = -\frac{32}{12} = -\frac{8}{3}\). 5. Gesamte Fläche: \(A = \left| \frac{5}{12} \right| + \left| -\frac{8}{3} \right| = \frac{5}{12} + \frac{32}{12} = \frac{37}{12}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{37}{12} \approx 3{,}083\,\text{FE}\).

- Kannst du die Funktion faktorisieren, um die Schnittpunkte mit der Achse zu finden? - Was bedeutet es für die Fläche, wenn eine Nullstelle doppelt vorkommt (eine Berührstelle ist)? - Hilft dir die Symmetrie der Funktion, die Rechnung zu verkürzen? - Überprüfe am Ende, ob dein Ergebnis für einen Flächeninhalt sinnvoll ist.

1. Bestimmung der Nullstellen: \(\frac{1}{2}x^2(x^2 - 4) = 0\) liefert die Nullstellen \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) (doppelte Nullstelle) und \(x_3 = 2\). 2. Symmetrie nutzen: Da \(f(x)\) nur gerade Exponenten besitzt, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Die Fläche im Intervall \([-2; 0]\) ist gleich der Fläche im Intervall \([0; 2]\). 3. Integration: Eine Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{1}{10}x^5 - \frac{2}{3}x^3\). 4. Berechnung des Integrals für ein Teilintervall: \(\int_{0}^{2} (\frac{1}{2}x^4 - 2x^2) \, dx = F(2) - F(0) = (\frac{32}{10} - \frac{16}{3}) - 0 = \frac{16}{5} - \frac{16}{3} = \frac{48 - 80}{15} = -\frac{32}{15}\). 5. Gesamtfläche: Da die Funktion zwischen den Nullstellen \(-2\) und \(2\) stets unterhalb oder auf der \(x\)-Achse verläuft (wegen der doppelten Nullstelle bei \(x=0\) findet kein Vorzeichenwechsel statt), ergibt sich der Flächeninhalt zu \(A = 2 \cdot |-\frac{32}{15}| = \frac{64}{15}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{64}{15} \approx 4{,}267\,\text{FE}\).

- Berechne zuerst den gesamten Flächeninhalt unter der Kurve im gegebenen Intervall. - Welchen Flächeninhalt muss eine der Teilflächen haben, wenn sie „inhaltsgleich“ sind? - Die untere Teilfläche hat eine einfache geometrische Form (ein Dreieck). - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks im Koordinatensystem? - Achte darauf, ob die Gerade die Kurve innerhalb des Intervalls schneidet oder nicht.

1. Berechnung des Gesamtflächeninhalts \(A_{\text{ges}}\) unter der Kurve \(f(x) = \sqrt{x}\) von \(0\) bis \(9\): \(\int_0^9 x^{\frac{1}{2}} \, dx = [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_0^9 = \frac{2}{3} \cdot 27 = 18\). 2. Da die Fläche halbiert werden soll, muss jede Teilfläche den Inhalt \(9\) haben. 3. Die Gerade \(y = mx\) bildet mit der \(x\)-Achse und der vertikalen Geraden \(x = 9\) ein rechtwinkliges Dreieck, sofern sie die Kurve im Intervall \([0; 9]\) nicht überschreitet. 4. Die Eckpunkte dieses Dreiecks sind \((0\mid 0)\), \((9\mid 0)\) und \((9\mid 9m)\). 5. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9m = 40{,}5m\). 6. Setze den Dreiecksinhalt gleich der Hälfte der Gesamtfläche: \(40{,}5m = 9 \implies m = \frac{9}{40{,}5} = \frac{18}{81} = \frac{2}{9}\). 7. Überprüfung der Lage: Aus \(\sqrt{x} = \frac{2}{9}x\) folgen die Schnittstellen \(x = 0\) und \(x = \frac{81}{4} = 20{,}25\). Da die zweite Schnittstelle rechts von \(9\) liegt, verläuft die Gerade im Intervall \((0; 9]\) vollständig unterhalb des Graphen von \(f\).

\(m = \frac{2}{9}\)

- Wie findest du heraus, wo sich zwei Graphen schneiden? - Erinnere dich daran, wie man den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven berechnet. - Was sagt das Vorzeichen des bestimmten Integrals über die Lage der Graphen zueinander aus? - Teile das gesamte Intervall an den Schnittstellen in Teilintervalle auf.

1. Bestimmung der Schnittstellen durch Gleichsetzen: \(f(x) = g(x) \Leftrightarrow x^3 - 9x^2 + 23x - 15 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\), \(x_2 = 3\) und \(x_3 = 5\). 2. Aufstellen der Differenzfunktion \(h(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 9x^2 + 23x - 15\). 3. Berechnung des ersten Integrals im Intervall \([1; 3]\): \(\int_{1}^{3} (x^3 - 9x^2 + 23x - 15) \, dx = [\frac{1}{4}x^4 - 3x^3 + \frac{23}{2}x^2 - 15x]_{1}^{3} = -2{,}25 - (-6{,}25) = 4\). 4. Berechnung des zweiten Integrals im Intervall \([3; 5]\): \(\int_{3}^{5} (x^3 - 9x^2 + 23x - 15) \, dx = [\frac{1}{4}x^4 - 3x^3 + \frac{23}{2}x^2 - 15x]_{3}^{5} = -6{,}25 - (-2{,}25) = -4\). 5. Vergleich der Beträge: \(|4| = |-4|\). Beide Flächen haben einen Inhalt von \(4\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt beider Flächen beträgt jeweils \(4\,\text{FE}\).

- Wie findest du die Hochpunkte einer Funktion? - Welche Steigung hat eine Tangente in einem Hochpunkt? - Wenn zwei Punkte auf derselben Höhe liegen, wie sieht die Gerade durch diese Punkte aus? - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen? - Achte auf die Symmetrie der Funktion, das könnte die Rechnung vereinfachen.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = -4x^3 + 4x\) und \(f''(x) = -12x^2 + 4\). 2. Extremstellen bestimmen: \(f'(x) = 0 \implies -4x(x^2 - 1) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\). 3. Hochpunkte identifizieren: Wegen \(f''(\pm 1) = -8 < 0\) liegen an \(x = 1\) und \(x = -1\) lokale Maxima vor. Die Funktionswerte sind \(f(1) = f(-1) = 4\). 4. Tangentengleichung: Da beide Hochpunkte auf der gleichen Höhe liegen, ist die Tangente eine horizontale Gerade mit der Gleichung \(y = 4\). 5. Schnittstellen von \(f\) und Tangente: \(-x^4 + 2x^2 + 3 = 4 \implies x^4 - 2x^2 + 1 = 0 \implies (x^2 - 1)^2 = 0\). Die Schnittstellen sind \(x = -1\) und \(x = 1\). 6. Flächeninhalt berechnen: \(A = \int_{-1}^{1} (4 - f(x)) \, dx = \int_{-1}^{1} (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx\). 7. Stammfunktion und Auswertung: \(\left[ \frac{1}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + x \right]_{-1}^{1} = (\frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1) - (-\frac{1}{5} + \frac{2}{3} - 1) = \frac{8}{15} - (-\frac{8}{15}) = \frac{16}{15}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{16}{15} \approx 1{,}07\,\text{FE}\).

- Bestimme zuerst die Position und den \(y\)-Wert des Hochpunkts. - Überlege dir, welche einfache Form die Gleichung einer Tangente in einem Extrempunkt hat. - Um die Grenzen für das Integral zu finden, musst du berechnen, wo die Tangente den Graphen erneut schneidet. - Überlege dir vor dem Integrieren, welche Funktion von welcher abgezogen werden muss, damit die Fläche positiv ist.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = 3x^2 - 6x\) und \(f''(x) = 6x - 6\). 2. Hochpunkt bestimmen: \(f'(x) = 0 \implies 3x(x - 2) = 0\). Kritische Stellen bei \(x = 0\) und \(x = 2\). Da \(f''(0) = -6 < 0\), liegt der Hochpunkt bei \(x = 0\). 3. Tangentengleichung: Der Funktionswert am Hochpunkt ist \(f(0) = 4\). Die Steigung ist \(f'(0) = 0\). Die Tangente ist \(y = 4\). 4. Schnittstellen finden: \(x^3 - 3x^2 + 4 = 4 \implies x^3 - 3x^2 = 0 \implies x^2(x - 3) = 0\). Die Schnittstellen liegen bei \(x = 0\) (Berührpunkt) und \(x = 3\). 5. Flächeninhalt berechnen: Da die Tangente im relevanten Intervall oberhalb des Graphen liegt, gilt \(A = \int_{0}^{3} (4 - (x^3 - 3x^2 + 4)) \, dx = \int_{0}^{3} (-x^3 + 3x^2) \, dx\). 6. Stammfunktion und Auswertung: \(\left[ -\frac{1}{4}x^4 + x^3 \right]_{0}^{3} = (-\frac{81}{4} + 27) - 0 = -20{,}25 + 27 = 6{,}75\).

Der Flächeninhalt beträgt \(6{,}75\,\text{FE}\).

- Erinnere dich an die Stammfunktion von Wurzelfunktionen. - Die vertikale Teilung erfordert das Lösen einer Gleichung nach der oberen Grenze \(k\). - Bei der waagerechten Teilung solltest du zuerst prüfen, ob die Trennlinie unterhalb des niedrigsten Punktes des Graphen liegt. - Wenn die Gerade unterhalb des Graphen liegt, ist die Fläche unter ihr einfach ein Rechteck.

1. Gesamtfläche: \(A = \int_{0}^{3} (x+1)^{\frac{1}{2}} \, dx = \left[ \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{3} = \frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3}\). 2. Bestimmung von \(k\): Es muss gelten \(\int_{0}^{k} (x+1)^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{7}{3}\). Dies führt zu \(\frac{2}{3}((k+1)^{\frac{3}{2}} - 1) = \frac{7}{3}\), also \((k+1)^{\frac{3}{2}} = 4{,}5\). Auflösen ergibt \(k = 4{,}5^{\frac{2}{3}} - 1 \approx 1{,}726\). 3. Bestimmung von \(c\): Da der minimale Funktionswert \(f(0) = 1\) ist, prüfen wir, ob die halbe Fläche (\(\frac{7}{3} \approx 2{,}33\)) bereits durch ein Rechteck unterhalb von \(y=1\) erreicht werden kann. Die Fläche des Rechtecks über \([0; 3]\) mit Höhe \(c\) ist \(3c\). 4. Lösen von \(3c = \frac{7}{3}\) ergibt \(c = \frac{7}{9} \approx 0{,}778\). Da dieser Wert kleiner als das Minimum der Funktion (\(1\)) ist, verläuft die Gerade vollständig unterhalb des Graphen und die Annahme des Rechtecks ist korrekt.

a) \(A = \frac{14}{3}\) b) \(k = \sqrt[3]{20{,}25} - 1 \approx 1{,}726\) c) \(c = \frac{7}{9} \approx 0{,}778\)

- Wie findest du die Stellen, an denen die Funktion ihre niedrigsten Werte in einem Bereich annimmt? - Wenn du zwei Punkte mit derselben \(y\)-Koordinate verbindest, welche einfache Form hat dann die Geradengleichung? - Überlege dir, welche Funktion „oben“ und welche „unten“ liegt, um den Ansatz für das Integral zu finden. - Nutzt du die Symmetrie des Graphen zur \(y\)-Achse, kannst du die Rechnung vereinfachen.

1. Bestimmung der Tiefpunkte: Die notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) führt auf \(\frac{3}{4}x^3 - 3x = 0\). Ausklammern ergibt \(\frac{3}{4}x(x^2 - 4) = 0\), woraus die Extremstellen \(x_1 = 0\) und \(x_{2,3} = \pm 2\) folgen. Da \(f''(x) = \frac{9}{4}x^2 - 3\) an den Stellen \(\pm 2\) den Wert \(6 > 0\) annimmt, liegen dort lokale Minima vor. 2. Berechnung der Funktionswerte der Tiefpunkte: \(f(2) = \frac{3}{16} \cdot 2^4 - \frac{3}{2} \cdot 2^2 + 3 = 3 - 6 + 3 = 0\). Aufgrund der Achsensymmetrie ist auch \(f(-2) = 0\). Die Verbindungsgerade ist somit die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: Da der Graph zwischen den Tiefpunkten oberhalb der \(x\)-Achse verläuft (z. B. \(f(0) = 3\)), ergibt sich der Flächeninhalt durch das Integral \(A = \int_{-2}^{2} f(x) \, dx\). 4. Integration: \(\int_{-2}^{2} (\frac{3}{16}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 3) \, dx = [\frac{3}{80}x^5 - \frac{1}{2}x^3 + 3x]_{-2}^{2}\). Einsetzen der Grenzen liefert \((\frac{3 \cdot 32}{80} - \frac{8}{2} + 6) - (-\frac{3 \cdot 32}{80} + \frac{8}{2} - 6) = (1{,}2 - 4 + 6) - (-1{,}2 + 4 - 6) = 3{,}2 - (-3{,}2) = 6{,}4\).

Der Flächeninhalt beträgt \(6{,}4\,\text{FE}\) (Flächeneinheiten).

- Überlege dir, wie man die Steigung einer Tangente an einem bestimmten Punkt berechnet. - Wie sieht die allgemeine Geradengleichung für eine Tangente aus? - Um die Grenzen für dein Integral zu finden, musst du die Stellen bestimmen, an denen sich die beiden Funktionen treffen. - Da es sich um eine Tangente handelt, kennst du bereits eine der Schnittstellen (den Berührpunkt). - Was musst du beim Integrieren beachten, wenn du die Fläche zwischen zwei Graphen suchst?

1. Berechnung der Tangentengleichung: \(f(3) = -3^3 + 3 \cdot 3^2 = 0\) \(f'(x) = -3x^2 + 6x \implies f'(3) = -3 \cdot 9 + 6 \cdot 3 = -9\) Tangente \(t(x) = f'(3) \cdot (x - 3) + f(3) = -9(x - 3) + 0 = -9x + 27\) 2. Bestimmung der Schnittpunkte von \(f\) und \(t\): \(-x^3 + 3x^2 = -9x + 27 \iff x^3 - 3x^2 - 9x + 27 = 0\) Da \(x = 3\) eine Berührstelle ist, ist \((x - 3)^2\) ein Faktor: \((x - 3)^2(x + 3) = 0\) Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 3. Berechnung des Flächeninhalts über das Integral der Differenzfunktion: \(A = \left| \int_{-3}^{3} (f(x) - t(x)) \, dx \right| = \left| \int_{-3}^{3} (-x^3 + 3x^2 + 9x - 27) \, dx \right|\) Stammfunktion: \(F(x) = -\frac{1}{4}x^4 + x^3 + \frac{9}{2}x^2 - 27x\) Obere Grenze: \(F(3) = -20{,}25 + 27 + 40{,}5 - 81 = -33{,}75\) Untere Grenze: \(F(-3) = -20{,}25 - 27 + 40{,}5 + 81 = 74{,}25\) Flächeninhalt: \(A = |-33{,}75 - 74{,}25| = |-108| = 108\)

a) \(t(x) = -9x + 27\) b) \(A = 108\)

- Zwei Graphen berühren sich an einer Stelle, wenn sie dort sowohl denselben Funktionswert als auch dieselbe Steigung haben. - Die \(y\)-Achse entspricht der Geraden \(x = 0\). - Bestimme zuerst, welche Funktion im relevanten Intervall die größeren Werte annimmt. - Nutze die Kettenregel für die Ableitung und Stammfunktion von \(e^{1-x}\).

1. Nachweis des Berührpunktes: Funktionswerte prüfen: \(f(1) = e^{1-1} = e^0 = 1\) und \(g(1) = 2 - e^{1-1} = 2 - 1 = 1\). Da \(f(1) = g(1)\), liegt ein Schnittpunkt bei \((1\mid 1)\) vor. 2. Ableitungen prüfen: \(f'(x) = e^{x-1}\) und \(g'(x) = e^{1-x}\) (mittels Kettenregel: \(-e^{1-x} \cdot (-1)\)). 3. Steigungen an der Stelle \(x = 1\): \(f'(1) = e^0 = 1\) und \(g'(1) = e^0 = 1\). Da \(f'(1) = g'(1)\), berühren sich die Graphen. 4. Flächenberechnung: Da \(f(0) = e^{-1} \approx 0{,}37\) und \(g(0) = 2 - e \approx -0{,}72\), verläuft \(f\) im Intervall \([0; 1]\) oberhalb von \(g\). 5. Integral aufstellen: \(A = \int_{0}^{1} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{0}^{1} (e^{x-1} - 2 + e^{1-x}) \, dx\). 6. Eine Stammfunktion der Differenz ist \(e^{x-1} - 2x - e^{1-x}\). Daher ist \(A = [e^{x-1} - 2x - e^{1-x}]_{0}^{1}\). 7. Grenzen einsetzen: \((e^0 - 2 \cdot 1 - e^0) - (e^{-1} - 2 \cdot 0 - e^1) = -2 - (e^{-1} - e) = e - e^{-1} - 2\). 8. Ergebnis: \(A = e - \frac{1}{e} - 2 \approx 0{,}3504\).

a) Wegen \(f(1) = g(1) = 1\) und \(f'(1) = g'(1) = 1\) berühren sich die Graphen an der Stelle \(x = 1\). b) Der Flächeninhalt beträgt \(A = e - e^{-1} - 2 \approx 0{,}3504\,\text{FE}\).

- Wie findest du die Stellen, an denen der Graph die horizontale Achse schneidet? - Kannst du den Funktionsterm so umschreiben, dass er aus einzelnen Summanden besteht, die leicht zu integrieren sind? - Welche Rechenregeln für Logarithmen könnten dir helfen, den Ausdruck am Ende zu vereinfachen? - Überlege dir, ob das Integral in diesem Intervall einen positiven oder negativen Wert liefert.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f_a\): Der Zähler \((x-a)(4a-x)\) wird Null für \(x_1 = a\) und \(x_2 = 4a\). Da \(a > 0\), liegen beide Nullstellen im Definitionsbereich. 2. Umformung des Funktionsterms für die Integration: Durch Ausmultiplizieren und Division durch \(x^2\) ergibt sich \(f_a(x) = \frac{-x^2 + 5ax - 4a^2}{x^2} = -1 + \frac{5a}{x} - 4a^2 x^{-2}\). 3. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F_a(x) = -x + 5a \ln(x) + \frac{4a^2}{x}\). 4. Berechnung des Integrals über dem Intervall \([a; 4a]\): \(F_a(4a) = -4a + 5a \ln(4a) + \frac{4a^2}{4a} = -3a + 5a \ln(4a)\). \(F_a(a) = -a + 5a \ln(a) + \frac{4a^2}{a} = 3a + 5a \ln(a)\). 5. Differenzbildung: \(\int_a^{4a} f_a(x) \,\text{d}x = (-3a + 5a \ln(4a)) - (3a + 5a \ln(a)) = -6a + 5a(\ln(4a) - \ln(a)) = 5a \ln(4) - 6a\). 6. Da \(5 \ln(4) \approx 6{,}93 > 6\), ist das Integral positiv und entspricht dem Flächeninhalt \(A = a(10 \ln(2) - 6)\).

Der Flächeninhalt beträgt \(A = a(10 \ln(2) - 6)\) Flächeneinheiten.

- Wo schneidet der Graph die Koordinatenachsen? - In welchem Bereich verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse? - Denk beim Integrieren an die Kettenregel (beziehungsweise die lineare Substitution). - Was musst du beachten, wenn das Integral ein negatives Vorzeichen liefert, du aber einen Flächeninhalt suchst?

1. Bestimmung der Schnittpunkte mit den Achsen: Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(f_k(0) = e^0 - e = 1 - e\). Die Nullstelle ergibt sich aus \(e^{x/k} - e = 0 \Rightarrow e^{x/k} = e^1 \Rightarrow \frac{x}{k} = 1 \Rightarrow x = k\). 2. Die Fläche liegt im Intervall \([0; k]\). Da \(f_k(x) \leq 0\) für \(x \in [0; k]\), berechnet sich der Flächeninhalt über \(A = -\int_0^k (e^{x/k} - e) \,\text{d}x = \int_0^k (e - e^{x/k}) \,\text{d}x\). 3. Bestimmung der Stammfunktion von \(g(x) = e - e^{x/k}\): \(G(x) = ex - k e^{x/k}\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(G(k) = e \cdot k - k \cdot e^{k/k} = ek - ek = 0\). \(G(0) = e \cdot 0 - k \cdot e^0 = -k\). 5. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = G(k) - G(0) = 0 - (-k) = k\).

Der Flächeninhalt beträgt \(A = k\) Flächeneinheiten.

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? Diese Stellen begrenzen deine Fläche. - Überprüfe, ob der Graph im relevanten Bereich oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Um den Funktionsterm zu integrieren, kann eine Polynomdivision hilfreich sein. - Erinnere dich an die Stammfunktion von Brüchen der Form \(\frac{1}{x+a}\).

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f\): \(x^2 - 9 = 0 \implies x_1 = -3, x_2 = 3\). 2. Untersuchung des Vorzeichens im Intervall \([-3; 3]\): Da \(x^2 - 9 \le 0\) und \(x + 4 > 0\), gilt \(f(x) \le 0\). 3. Ansatz für den Flächeninhalt: \(A = \int_{-3}^3 -f(x) \, dx = \int_{-3}^3 \frac{9 - x^2}{x + 4} \, dx\). 4. Durchführung der Polynomdivision: \(\frac{9 - x^2}{x + 4} = -x + 4 - \frac{7}{x + 4}\). 5. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 4x - 7\ln|x + 4|\). 6. Berechnung des bestimmten Integrals: \(F(3) = 7{,}5 - 7\ln(7)\) und \(F(-3) = -16{,}5\). 7. Ergebnis: \(A = F(3) - F(-3) = 24 - 7\ln(7) \approx 10{,}38\).

Der Flächeninhalt beträgt \(24 - 7\ln(7) \approx 10{,}38\) Flächeneinheiten.

- Beginne damit, die Schnittpunkte der beiden Graphen zu finden, um die Integrationsgrenzen festzulegen. - Welcher Graph liegt im Intervall zwischen den Schnittpunkten oben? - Du musst die Differenzfunktion \(g(x) - f(x)\) über dem gefundenen Intervall integrieren. - Nutze die Logarithmusregel für die Integration von \(\frac{1}{x}\).

1. Berechnung der Schnittstellen: \(\frac{4}{x} = 5 - x \implies x^2 - 5x + 4 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 4\). 2. Vergleich der Funktionswerte im Intervall \([1; 4]\): Da \(g(2) = 3 > f(2) = 2\), liegt der Graph von \(g\) über dem Graphen von \(f\). 3. Ansatz für den Flächeninhalt: \(A = \int_1^4 (g(x) - f(x)) \, dx = \int_1^4 (5 - x - \frac{4}{x}) \, dx\). 4. Bestimmung der Stammfunktion: \(H(x) = 5x - \frac{1}{2}x^2 - 4\ln|x|\). 5. Berechnung des Integrals: \(H(4) = 20 - 8 - 4\ln(4) = 12 - 4\ln(4)\) und \(H(1) = 5 - 0{,}5 - 4\ln(1) = 4{,}5\). 6. Differenz bilden: \(A = (12 - 4\ln(4)) - 4{,}5 = 7{,}5 - 4\ln(4)\). 7. Ergebnis: \(A = 7{,}5 - 8\ln(2) \approx 1{,}95\).

Der Flächeninhalt beträgt \(7{,}5 - 4\ln(4)\) (oder \(7{,}5 - 8\ln(2)\)), was etwa \(1{,}95\) Flächeneinheiten entspricht.

- Wie lautet die allgemeine Formel für die Berechnung eines Flächeninhalts zwischen Graph und \(x\)-Achse? - Welche Stammfunktionen haben Sinus und Kosinus? - Achte beim Einsetzen der Werte in die Stammfunktion auf die Vorzeichen im Einheitskreis. - Wie kannst du eine Gleichung nach dem gesuchten Parameter auflösen?

1. Eine Stammfunktion von \(g_t(x) = t \cdot (\sin x + \cos x)\) ist \(G_t(x) = t \cdot (-\cos x + \sin x)\). 2. Der Flächeninhalt wird über das bestimmte Integral berechnet: \(A_t = \left| \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{7\pi}{4}} g_t(x) \, dx \right| = |G_t(\frac{7}{4}\pi) - G_t(\frac{3}{4}\pi)|\). 3. Einsetzen der Grenzen: \(G_t(\frac{7}{4}\pi) = t \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = -t\sqrt{2}\) und \(G_t(\frac{3}{4}\pi) = t \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = t\sqrt{2}\). 4. Die Differenz ergibt \(A_t = |-t\sqrt{2} - t\sqrt{2}| = 2\sqrt{2}t\). 5. Für Teilaufgabe b) wird die Gleichung \(2\sqrt{2}t = 4\sqrt{2}\) gelöst, woraus \(t = 2\) folgt.

a) \(A_t = 2\sqrt{2}t\) b) \(t = 2\)

- Kannst du den Term \(\sin(2x)\) so umschreiben, dass du \(\sin x\) ausklammern kannst? - Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. - Nutze die Grundintegrale für Sinusfunktionen und achte beim zweiten Summanden auf die lineare Kettenregel. - Prüfe vor der Flächenberechnung, ob der Graph im betrachteten Intervall oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft.

1. Nullstellen: Anwendung der Identität \(\sin(2x) = 2\sin x \cos x\) führt zu \(g(x) = \sin x + \sin x \cos x = \sin x \cdot (1 + \cos x)\). Die Gleichung \(\sin x \cdot (1 + \cos x) = 0\) ist erfüllt, wenn \(\sin x = 0\) oder \(\cos x = -1\). Im Intervall \([0; 2\pi]\) ergibt \(\sin x = 0\) die Stellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = \pi\) und \(x_3 = 2\pi\). Die Bedingung \(\cos x = -1\) liefert ebenfalls \(x = \pi\). Die Nullstellen sind somit \(\{0; \pi; 2\pi\}\). 2. Stammfunktion: Integration der einzelnen Summanden ergibt \(G(x) = \int (\sin x + \frac{1}{2}\sin(2x)) \, dx = -\cos x - \frac{1}{4}\cos(2x) + C\). Eine mögliche Stammfunktion ist \(G(x) = -\cos x - 0{,}25\cos(2x)\). 3. Flächeninhalt: Da \(g(x) \geq 0\) für \(x \in [0; \pi]\), entspricht der Flächeninhalt dem Integral \(\int_0^{\pi} g(x) \, dx\). Berechnung: \(G(\pi) - G(0) = [-\cos(\pi) - 0{,}25\cos(2\pi)] - [-\cos(0) - 0{,}25\cos(0)] = [1 - 0{,}25] - [-1 - 0{,}25] = 0{,}75 - (-1{,}25) = 2\). Der Flächeninhalt beträgt \(2\,\text{FE}\).

a) Die Nullstellen im Intervall \([0; 2\pi]\) liegen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = \pi\) und \(x_3 = 2\pi\). b) Eine Stammfunktion ist \(G(x) = -\cos x - \frac{1}{4}\cos(2x)\). c) Der Flächeninhalt beträgt \(2\,\text{FE}\).

- Nutze die notwendige Bedingung für Extrema, indem du die erste Ableitung der Funktion bildest und null setzt. - Achte beim Lösen der trigonometrischen Gleichung auf das vorgegebene Intervall für \(x\). - Überlege dir vor der Flächenberechnung, ob der Graph die \(x\)-Achse im Intervall schneidet oder oberhalb verläuft. - Verwende die Regeln zur Integration von Sinusfunktionen, insbesondere die Kettenregel „rückwärts“ für den Faktor \(2\) im Argument.

1. Zur Bestimmung der Extremstellen wird die erste Ableitung \(f_k'(x) = 2k \cdot \cos(2x)\) gleich null gesetzt. Im Intervall \([0; \pi]\) liefert \(2k \cdot \cos(2x) = 0\) die Lösungen \(2x = \frac{\pi}{2}\) und \(2x = \frac{3\pi}{2}\), also \(x_1 = \frac{\pi}{4}\) und \(x_2 = \frac{3\pi}{4}\). 2. Überprüfung mit der zweiten Ableitung \(f_k''(x) = -4k \cdot \sin(2x)\): \(f_k''\left(\frac{\pi}{4}\right) = -4k < 0\) (Hochpunkt) und \(f_k''\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 4k > 0\) (Tiefpunkt). Die \(y\)-Koordinaten sind \(f_k\left(\frac{\pi}{4}\right) = k \cdot 1 + 2k = 3k\) und \(f_k\left(\frac{3\pi}{4}\right) = k \cdot (-1) + 2k = k\). Die Extrempunkte sind \(H\left(\frac{\pi}{4} \mid 3k\right)\) und \(T\left(\frac{3\pi}{4} \mid k\right)\). 3. Da \(k > 0\) und \(\sin(2x) \ge -1\), ist \(f_k(x) = k(\sin(2x) + 2) > 0\). Die Fläche berechnet sich durch das Integral \(A = \int_0^{\pi} (k \cdot \sin(2x) + 2k) \, dx\). 4. Bestimmung der Stammfunktion: \(F_k(x) = -\frac{k}{2} \cos(2x) + 2kx\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(A = \left[-\frac{k}{2} \cos(2x) + 2kx\right]_0^{\pi} = \left(-\frac{k}{2} \cos(2\pi) + 2k\pi\right) - \left(-\frac{k}{2} \cos(0) + 0\right) = \left(-\frac{k}{2} + 2k\pi\right) - \left(-\frac{k}{2}\right) = 2\pi k\).

1. Die Extrempunkte sind der Hochpunkt \(H\left(\frac{\pi}{4} \mid 3k\right)\) und der Tiefpunkt \(T\left(\frac{3\pi}{4} \mid k\right)\). 2. Der Flächeninhalt beträgt \(A = 2\pi k\).

- Wie findet man mathematisch heraus, wo sich zwei Kurven kreuzen? - Schau dir den Verlauf der Graphen an – gibt es Symmetrien, die dir Arbeit ersparen? - Welche Integrationsmethode hilft dir weiter, wenn im Exponenten einer e-Funktion eine Ableitung (bis auf einen Faktor) des Vorfaktors steht? - Denk daran, dass eine Fläche immer einen positiven Wert haben muss.

1. Zur Bestimmung der Schnittpunkte wird der Ansatz \(f(x) = g(x)\) verwendet: \(x = x e^{1-x^2}\). Dies führt auf \(x(1 - e^{1-x^2}) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) sowie \(1 - x^2 = 0\), woraus \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\) folgen. Die Schnittpunkte liegen bei \(P_1(-1 \mid -1)\), \(P_2(0 \mid 0)\) und \(P_3(1 \mid 1)\). 2. Da beide Funktionen ungerade sind (\(f(-x) = -f(x)\) und \(g(-x) = -g(x)\)), ist die eingeschlossene Fläche punktsymmetrisch zum Ursprung. Der Gesamtinhalt \(A\) berechnet sich somit als \(A = 2\int_{0}^{1} (g(x) - f(x)) \,\text{d}x\), da \(g(x) \geq f(x)\) für \(x \in [0; 1]\) gilt. 3. Die Stammfunktion von \(g(x) = x e^{1-x^2}\) wird mittels Substitution \(u = 1-x^2\) bestimmt: \(\int x e^{1-x^2} \,\text{d}x = -\frac{1}{2} e^{1-x^2}\). 4. Die Berechnung des Integrals ergibt: \(A = 2\left[ -\frac{1}{2} e^{1-x^2} - \frac{1}{2} x^2 \right]_{0}^{1} = 2\left( (-\frac{1}{2} e^0 - \frac{1}{2}) - (-\frac{1}{2} e^1 - 0) \right) = 2(-1 + \frac{1}{2}e) = e - 2\).

Die Schnittpunkte sind \(P_1(-1 \mid -1)\), \(P_2(0 \mid 0)\) und \(P_3(1 \mid 1)\). Der Flächeninhalt beträgt \(e - 2 \approx 0{,}718\,\text{FE}\).

- Setze die Funktionsterme gleich, um die Grenzen für dein Integral zu finden. - Welche der beiden Funktionen liefert im relevanten Bereich die größeren Werte? - Für das Produkt aus einer linearen Funktion und einer e-Funktion ist die partielle Integration ein hilfreiches Werkzeug. - Achte beim Einsetzen der unteren Grenze Null besonders auf die e-Funktion, da \(e^0\) nicht Null ist.

1. Schnittstellen bestimmen: \(e^2 x = x e^x \Leftrightarrow x(e^2 - e^x) = 0\). Daraus ergeben sich die Lösungen \(x_1 = 0\) und \(e^x = e^2 \Rightarrow x_2 = 2\). 2. Da im Intervall \([0; 2]\) die Bedingung \(f(x) \geq g(x)\) erfüllt ist (Testwert \(x=1\): \(e^2 \cdot 1 > 1 \cdot e^1\)), berechnet sich der Flächeninhalt durch \(A = \int_{0}^{2} (e^2 x - x e^x) \,\text{d}x\). 3. Das Integral von \(x e^x\) wird mittels partieller Integration bestimmt: \(\int x e^x \,\text{d}x = x e^x - \int e^x \,\text{d}x = (x-1)e^x\). 4. Berechnung des Gesamtausdrucks: \(A = \left[ \frac{1}{2} e^2 x^2 - (x-1)e^x \right]_{0}^{2}\). Einsetzen der Grenzen: \(F(2) = \frac{1}{2} e^2 (4) - (2-1)e^2 = 2e^2 - e^2 = e^2\). \(F(0) = 0 - (0-1)e^0 = 1\). 5. Differenz bilden: \(A = e^2 - 1\).

Die Schnittstellen liegen bei \(x = 0\) und \(x = 2\). Der Flächeninhalt beträgt \(e^2 - 1 \approx 6{,}389\,\text{FE}\).

- Verwende die Produktregel für die Ableitung. - Überlege, welche Integrationsmethode (z. B. Substitution oder partielle Integration) hier zielführend ist. - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Ergebnis „unabhängig von einem Parameter“ ist? - Achte beim Integrieren auf die korrekte Anpassung der Integrationsgrenzen, falls du eine Substitution nutzt.

1. Zur Bestimmung des Hochpunkts wird die erste Ableitung gebildet: \(f_a'(x) = a^2 e^{-ax} + a^2 x \cdot (-a) e^{-ax} = a^2 (1 - ax) e^{-ax}\). Die notwendige Bedingung \(f_a'(x) = 0\) liefert \(1 - ax = 0\), also \(x_H = \frac{1}{a}\). Der Funktionswert an dieser Stelle ist \(f_a(\frac{1}{a}) = a^2 \cdot \frac{1}{a} \cdot e^{-1} = \frac{a}{e}\). Da \(f_a'(x) > 0\) für \(x < \frac{1}{a}\) und \(f_a'(x) < 0\) für \(x > \frac{1}{a}\), liegt ein lokaler Hochpunkt bei \(H\left(\frac{1}{a} \mid \frac{a}{e}\right)\) vor. 2. Der Flächeninhalt wird durch das Integral \(A = \int_{0}^{\frac{1}{a}} a^2 x e^{-ax} \, dx\) berechnet. Mittels der Substitution \(u = ax\) mit \(du = a \, dx\) (bzw. \(dx = \frac{1}{a} du\)) transformieren sich die Grenzen zu \(u(0) = 0\) und \(u(\frac{1}{a}) = 1\). Das Integral vereinfacht sich zu \(A = \int_{0}^{1} a^2 \cdot \frac{u}{a} \cdot e^{-u} \cdot \frac{1}{a} \, du = \int_{0}^{1} u e^{-u} \, du\). Die Stammfunktion von \(u e^{-u}\) wird mittels partieller Integration bestimmt: \(\int u e^{-u} \, du = -u e^{-u} - e^{-u} = -(u+1)e^{-u}\). Einsetzen der Grenzen ergibt \(A = [-(u+1)e^{-u}]_0^1 = -2e^{-1} - (-1 \cdot e^0) = 1 - \frac{2}{e}\). Da dieser Wert keine Variable \(a\) enthält, ist der Flächeninhalt unabhängig von \(a\).

1. Hochpunkt \(H\left(\frac{1}{a} \mid \frac{a}{e}\right)\) 2. Der Flächeninhalt beträgt \(A = 1 - \frac{2}{e} \approx 0{,}264\). Da das Ergebnis keinen Parameter \(a\) mehr enthält, ist die Fläche unabhängig von \(a\).

- Zur Überprüfung der Stammfunktion ist die Kettenregel hilfreich. - Bestimme zuerst die \(x\)-Koordinate des Hochpunkts mithilfe der ersten Ableitung. - Nutze die Logarithmusgesetze, um Ausdrücke wie \(\ln a - \ln b\) zusammenzufassen. - Stelle eine Gleichung auf, in der das bestimmte Integral von \(2\) bis \(k\) dem Zielwert entspricht.

1. Nachweis der Stammfunktion: Ableiten von \(G(x)\) mit der Kettenregel ergibt \(G'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + 4} \cdot 2x = \frac{x}{x^2 + 4} = g(x)\). 2. Hochpunkt finden: \(g'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 4) - x \cdot 2x}{(x^2 + 4)^2} = \frac{4 - x^2}{(x^2 + 4)^2}\). Aus \(g'(x) = 0\) folgt für \(x > 0\) die Stelle \(x = 2\). 3. Fläche in b): Der Graph startet bei \(x = 0\) im Ursprung. Die Fläche liegt über \([0; 2]\). Inhalt \(A = \int_0^2 g(x) \, dx = [G(x)]_0^2 = \frac{1}{2} \ln(8) - \frac{1}{2} \ln(4) = \frac{1}{2} \ln(\frac{8}{4}) = \frac{1}{2} \ln 2\). 4. Ansatz für c): Es soll gelten \(\int_2^k g(x) \, dx = 2A = \ln 2\). 5. Gleichung lösen: \(G(k) - G(2) = \ln 2 \iff \frac{1}{2} \ln(k^2 + 4) - \frac{1}{2} \ln 8 = \ln 2\). Multiplikation mit 2 und Anwendung von Logarithmusregeln führt zu \(\ln(\frac{k^2 + 4}{8}) = \ln 4 \iff \frac{k^2 + 4}{8} = 4 \iff k^2 = 28\). Da \(k > 2\), ist \(k = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\).

a) \(G'(x) = g(x)\). b) Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{1}{2} \ln 2\) (ca. \(0{,}347\)). c) \(k = 2\sqrt{7}\) (ca. \(5{,}292\))

- Nutze den Satz vom Nullprodukt für die Nullstellen. - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für Extrema (erste und zweite Ableitung). - Für die Fläche musst du die Funktion über dem Intervall zwischen den Nullstellen integrieren. - Achte beim Auflösen der Gleichung nach \(k\) auf die Potenzgesetze.

1. Nullstellen: \(x^3(k - x) = 0\) ergibt die dreifache Nullstelle \(x_1 = 0\) und die einfache Nullstelle \(x_2 = k\). 2. Ableitungen: \(f_k(x) = kx^3 - x^4\), \(f_k'(x) = 3kx^2 - 4x^3\), \(f_k''(x) = 6kx - 12x^2\). 3. Extrempunkt: \(f_k'(x) = x^2(3k - 4x) = 0\) liefert \(x = 0\) (Sattelpunkt, da \(f_k''(0) = 0\) und \(f_k'''(0) \neq 0\)) und \(x_E = \frac{3}{4}k\). 4. Art und \(y\)-Wert: \(f_k''(\frac{3}{4}k) = 6k(\frac{3}{4}k) - 12(\frac{9}{16}k^2) = \frac{18}{4}k^2 - \frac{27}{4}k^2 = -2{,}25k^2 < 0\), also ein lokales Maximum. \(y_E = f_k(\frac{3}{4}k) = (\frac{3}{4}k)^3(k - \frac{3}{4}k) = \frac{27k^3}{64} \cdot \frac{k}{4} = \frac{27}{256}k^4\). Der Hochpunkt liegt bei \(H(\frac{3}{4}k \mid \frac{27}{256}k^4)\). 5. Flächeninhalt: \(A(k) = \int_{0}^{k} (kx^3 - x^4) \, dx = [\frac{k}{4}x^4 - \frac{1}{5}x^5]_0^k = \frac{k^5}{4} - \frac{k^5}{5} = \frac{k^5}{20}\). 6. Bestimmung von \(k\): \(\frac{k^5}{20} = 51{,}2 \implies k^5 = 1024 \implies k = \sqrt[5]{1024} = 4\).

a) Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x = k\); Hochpunkt bei \(H(\frac{3}{4}k \mid \frac{27}{256}k^4)\). b) \(A(k) = \frac{1}{20}k^5\). c) \(k = 4\).

- Bestimme zuerst die Schnittstellen der beiden Funktionen, um die Grenzen der eingeschlossenen Flächen zu finden. - Wie kannst du rechnerisch überprüfen, welcher Graph in welchem Intervall oberhalb des anderen verläuft? - Überlege, wie du den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven mithilfe von bestimmten Integralen berechnen kannst. - Denke daran, dass Flächeninhalte immer positive Werte haben müssen. Was bedeutet das für die Reihenfolge der Funktionen im Integral? - Berechne die beiden Teilflächen einzeln und addiere sie am Ende zum Gesamtflächeninhalt.

1. Schnittstellen bestimmen: Durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen \(f(x) = g(x)\) erhält man die Gleichung \(x^3 - 2x = 2x\), was zu \(x^3 - 4x = 0\) bzw. \(x(x^2 - 4) = 0\) führt. Die Schnittstellen liegen somit bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). 2. Intervalle untersuchen: Die Graphen schließen im Intervall \([-2; 2]\) zwei Teilflächen ein. Im Intervall \([-2; 0]\) gilt \(f(x) \ge g(x)\) und im Intervall \([0; 2]\) gilt \(g(x) \ge f(x)\). 3. Teilflächen berechnen: - Erste Teilfläche im Intervall \([-2; 0]\): \(A_1 = \int_{-2}^0 (f(x) - g(x))\,\text{d}x = \int_{-2}^0 (x^3 - 4x)\,\text{d}x = \left[ \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 \right]_{-2}^0 = 0 - (4 - 8) = 4\) - Zweite Teilfläche im Intervall \([0; 2]\): \(A_2 = \int_0^2 (g(x) - f(x))\,\text{d}x = \int_0^2 (4x - x^3)\,\text{d}x = \left[ 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 \right]_0^2 = (8 - 4) - 0 = 4\) 4. Gesamtfläche berechnen: Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(A_{\text{gesamt}} = A_1 + A_2 = 4 + 4 = 8\).

Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(8\).

- Wie kannst du die Grenzen der eingeschlossenen Fläche bestimmen? Überlege, wo sich die beiden Graphen treffen. - Setze die beiden Funktionsgleichungen gleich, um die Schnittstellen zu berechnen. - Welche der beiden Funktionen verläuft im gesamten Bereich zwischen den Schnittstellen oberhalb der anderen? - Um den Flächeninhalt zu berechnen, kannst du das Integral der Differenzfunktion (obere Funktion minus untere Funktion) über dem Intervall der Schnittstellen bilden. - Bestimme eine Stammfunktion der Differenzfunktion und wende den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung an.

1. Schnittstellen bestimmen: Um die Grenzen des Integrals zu finden, setzen wir die beiden Funktionsgleichungen gleich: \(f(x) = g(x)\) \(-x^2 + 2x + 3 = x^2 - 1\) \(2x^2 - 2x - 4 = 0\) Dividieren durch 2 liefert die quadratische Gleichung: \(x^2 - x - 2 = 0\) Mit der p-q-Formel oder durch Faktorisieren erhalten wir die Schnittstellen: \((x - 2)(x + 1) = 0 \implies x_1 = -1 \text{ und } x_2 = 2\) 2. Differenzfunktion aufstellen: Da der Graph von \(f\) im Intervall \([-1; 2]\) oberhalb des Graphen von \(g\) verläuft (z. B. \(f(0) = 3 > g(0) = -1\)), berechnet sich die Differenzfunktion wie folgt: \(h(x) = f(x) - g(x) = (-x^2 + 2x + 3) - (x^2 - 1) = -2x^2 + 2x + 4\) 3. Integral berechnen: Der Flächeninhalt \(A\) ergibt sich durch das Integral der Differenzfunktion in den Grenzen von \(-1\) bis \(2\): \(A = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) \,\text{d}x\) Eine Stammfunktion von \(h(x)\) ist: \(H(x) = -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x\) Wir setzen die Grenzen ein: \(H(2) = -\frac{2}{3} \cdot 2^3 + 2^2 + 4 \cdot 2 = -\frac{16}{3} + 4 + 8 = \frac{20}{3}\) \(H(-1) = -\frac{2}{3} \cdot (-1)^3 + (-1)^2 + 4 \cdot (-1) = \frac{2}{3} + 1 - 4 = -\frac{7}{3}\) Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt: \(A = H(2) - H(-1) = \frac{20}{3} - \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{27}{3} = 9\)

Der Inhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt \(9\) (bzw. \(9\) Flächeneinheiten).

- Kannst du die gegebenen Punkte aus dem Graphen nutzen, um die Funktionsgleichungen der beiden Graphen aufzustellen? - Wie hilft dir die Scheitelpunktform einer Parabel weiter, wenn der Scheitelpunkt bekannt ist? - Welche Rolle spielt die Ableitung einer Funktion, wenn du die Gleichung einer Tangente bestimmen möchtest? - Schau dir die Grenzen der schattierten Fläche genau an. Welche \(x\)-Werte begrenzen diese Fläche links und rechts? - Wie berechnet man allgemein die Fläche, die von zwei Graphen im Intervall zwischen zwei Grenzen eingeschlossen wird?

1. Bestimmung der Parabelgleichung: Ansatz der Scheitelpunktform \(f(x) = a(x - h)^2 + k\) mit \(S(2 \mid 3)\) führt zu \(f(x) = a(x - 2)^2 + 3\). Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(4 \mid 1{,}5)\) liefert: \(1{,}5 = a(4 - 2)^2 + 3 \Rightarrow 4a = -1{,}5 \Rightarrow a = -0{,}375\). Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = -0{,}375(x-2)^2 + 3\). 2. Bestimmung der Tangentengleichung: Die Ableitung von \(f\) ist \(f'(x) = -0{,}75(x-2)\). Die Tangentensteigung im Punkt \(P\) ist \(m = f'(4) = -0{,}75(4-2) = -1{,}5\). Mit der Punkt-Steigungs-Form ergibt sich für die Tangente: \(t(x) = -1{,}5(x - 4) + 1{,}5 = -1{,}5x + 7{,}5\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: Die Integrationsgrenzen sind durch die \(y\)-Achse (\(x = 0\)) und die \(x\)-Koordinate des Berührpunktes \(P\) (\(x = 4\)) gegeben. Da \(t(x) \ge f(x)\) für alle \(x \in [0; 4]\), gilt: \(A = \int_{0}^{4} (t(x) - f(x)) \, dx = \int_{0}^{4} 0{,}375(x-4)^2 \, dx\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = 0{,}125(x-4)^3\). \(A = \left[ 0{,}125(x-4)^3 \right]_{0}^{4} = 0 - 0{,}125(-4)^3 = 8\). Der Flächeninhalt beträgt somit \(8\).

a) Die Funktionsgleichung der Parabel lautet \(f(x) = -0{,}375(x-2)^2 + 3\) und die Gleichung der Tangente lautet \(t(x) = -1{,}5x + 7{,}5\). b) Der Inhalt der begrenzten Fläche beträgt \(8\).

- Betrachte das Bild genau: Welche Kurve liegt oben und welche Kurven begrenzen die Fläche nach unten? - Bestimme zuerst alle Schnittpunkte der beteiligten Graphen, um die Grenzen der Fläche zu finden. - Überlege, ob sich die untere Begrenzung der Fläche an einer Stelle ändert. Musst du die Fläche eventuell in zwei Teile aufteilen? - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven in einem bestimmten Intervall? - Berechne die einzelnen Teilflächen getrennt und addiere sie am Ende für das Gesamtergebnis.

1. Schnittpunkte bestimmen: - Schnitt von \(f\) und \(h\): \(-x^2 + 4 = -3x - 6 \implies x^2 - 3x - 10 = 0 \implies x_1 = -2\) (relevante linke Grenze). - Schnitt von \(g\) und \(h\): \(x - 2 = -3x - 6 \implies 4x = -4 \implies x_2 = -1\) (Stelle des Wechsels der unteren Begrenzung). - Schnitt von \(f\) und \(g\): \(-x^2 + 4 = x - 2 \implies x^2 + x - 6 = 0 \implies x_3 = 2\) (relevante rechte Grenze). 2. Teilflächen aufstellen: - Die Fläche wird an der Nahtstelle \(x = -1\) in zwei Teile zerlegt. - Linke Teilfläche \(A_1\) im Intervall \([-2; -1]\) mit oberer Grenze \(f(x)\) und unterer Grenze \(h(x)\). - Rechte Teilfläche \(A_2\) im Intervall \([-1; 2]\) mit oberer Grenze \(f(x)\) und unterer Grenze \(g(x)\). 3. Integration durchführen: - \(A_1 = \int_{-2}^{-1} (-x^2 + 3x + 10)\,\text{d}x = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 10x \right]_{-2}^{-1} = -\frac{49}{6} - \left(-\frac{34}{3}\right) = \frac{19}{6}\). - \(A_2 = \int_{-1}^{2} (-x^2 - x + 6)\,\text{d}x = \left[ -\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 6x \right]_{-1}^{2} = \frac{22}{3} - \left(-\frac{37}{6}\right) = \frac{81}{6} = \frac{27}{2}\). 4. Gesamtfläche berechnen: - \(A = A_1 + A_2 = \frac{19}{6} + \frac{81}{6} = \frac{100}{6} = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3}\).

Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt \(\frac{50}{3}\) (oder \(16\frac{2}{3} \approx 16{,}67\)).

- Überlege dir zuerst, wie man die Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen allgemein berechnet. Welche Gleichung musst du dafür aufstellen? - Wenn du die Schnittpunkte hast, teilen deren x-Koordinaten die x-Achse in verschiedene Abschnitte ein. Wie berechnet man die Fläche zwischen zwei Kurven in einem solchen Abschnitt? - Achte beim Integrieren darauf, welche der beiden Funktionen im jeweiligen Intervall die größeren Funktionswerte annimmt, um ein positives Flächenergebnis zu erhalten. - Erinnere dich daran, welcher Zusammenhang zwischen der Monotonie einer Funktion und ihrer Umkehrbarkeit besteht. Welches mathematische Werkzeug hilft dir, das Monotonieverhalten zu untersuchen?

1. Schnittpunkte bestimmen: Wir setzen die Funktionsterme gleich: \(f(x) = g(x) \Rightarrow -x^3 + 3x^2 = 2x\) Daraus folgt durch Umformen: \(-x^3 + 3x^2 - 2x = 0\) Ausklammern von \(-x\) ergibt: \(-x(x^2 - 3x + 2) = 0\) Ein erster gemeinsamer x-Wert ist \(x_1 = 0\). Für den quadratischen Term in der Klammer erhalten wir durch Faktorisierung: \(x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0\) Die weiteren gemeinsamen x-Werte sind \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). Einsetzen in einen der Funktionsterme liefert die Schnittpunkte \(S_1(0 \mid 0)\), \(S_2(1 \mid 2)\) und \(S_3(2 \mid 4)\). 2. Flächeninhalt berechnen: Die Graphen schließen im Intervall \([0; 2]\) zwei Flächenstücke ein. Für das erste Flächenstück im Intervall \([0; 1]\) verläuft der Graph von \(g\) oberhalb des Graphen von \(f\): \(A_1 = \int_{0}^{1} (2x - (-x^3 + 3x^2)) \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1} (x^3 - 3x^2 + 2x) \,\mathrm{d}x\) Mit einer Stammfunktion \(F_1(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2\) ergibt sich: \(A_1 = \left[ \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 \right]_{0}^{1} = \left(\frac{1}{4} - 1 + 1\right) - 0 = 0{,}25\) Für das zweite Flächenstück im Intervall \([1; 2]\) verläuft der Graph von \(f\) oberhalb des Graphen von \(g\): \(A_2 = \int_{1}^{2} (-x^3 + 3x^2 - 2x) \,\mathrm{d}x\) Mit einer Stammfunktion \(F_2(x) = -\frac{1}{4}x^4 + x^3 - x^2\) ergibt sich: \(A_2 = \left[ -\frac{1}{4}x^4 + x^3 - x^2 \right]_{1}^{2} = ( -4 + 8 - 4 ) - \left( -\frac{1}{4} + 1 - 1 \right) = 0 - \left(-\frac{1}{4}\right) = 0{,}25\) Der gesamte Flächeninhalt des Logos beträgt: \(A_{\text{Gesamt}} = A_1 + A_2 = 0{,}25 + 0{,}25 = 0{,}5\,\text{FE}\) 3. Umkehrbarkeit begründen: Eine stetige Funktion ist in einem Intervall umkehrbar, wenn sie dort streng monoton ist. Wir untersuchen das Vorzeichen der ersten Ableitung von \(f\): \(f'(x) = -3x^2 + 6x = 3x(2 - x)\) Für alle \(x \in (0; 2)\) gilt \(3x > 0\) und \((2 - x) > 0\), woraus \(f'(x) > 0\) folgt. Da die Ableitung im offenen Intervall überall positiv ist, ist die Funktion \(f\) im Intervall \([0; 2]\) streng monoton steigend und somit umkehrbar.

a) Die Schnittpunkte der beiden Graphen im Bereich \(x \ge 0\) sind \(S_1(0 \mid 0)\), \(S_2(1 \mid 2)\) und \(S_3(2 \mid 4)\). b) Der gesamte Flächeninhalt des Logos beträgt \(0{,}5\,\text{FE}\). c) Die erste Ableitung \(f'(x) = 3x(2 - x)\) ist für alle \(x \in (0; 2)\) echt positiv. Daher ist \(f\) auf dem Intervall \([0; 2]\) streng monoton steigend und folglich umkehrbar.

- Wenn sich Graphen mehrmals schneiden, musst du die Fläche in Teilintervalle zerlegen. - Wie verhalten sich die Funktionen in den einzelnen Abschnitten? Welche ist jeweils „oben“? - Du kannst für jedes Intervall den Betrag des Integrals der Differenzfunktion nehmen, damit alle Teilflächen positiv addiert werden.

1. Schnittstellen bestimmen: \(x^3 - 4x = x^2 - 4 \Rightarrow x^3 - x^2 - 4x + 4 = 0\). Durch Ausklammern: \(x^2(x - 1) - 4(x - 1) = 0 \Rightarrow (x^2 - 4)(x - 1) = 0\). Die Schnittstellen sind \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). 2. Intervalle festlegen: Es ergeben sich zwei Teilflächen über \([-2; 1]\) und \([1; 2]\). 3. Integral für die erste Fläche (\([-2; 1]\)): \(A_1 = \int_{-2}^1 (x^3 - x^2 - 4x + 4) \, dx = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x]_{-2}^1 = (\frac{1}{4} - \frac{1}{3} - 2 + 4) - (4 + \frac{8}{3} - 8 - 8) = \frac{23}{12} - (-\frac{28}{3}) = \frac{23}{12} + \frac{112}{12} = \frac{135}{12} = 11{,}25\). 4. Integral für die zweite Fläche (\([1; 2]\)): \(A_2 = |\int_1^2 (x^3 - x^2 - 4x + 4) \, dx| = |[\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x]_1^2| = |(4 - \frac{8}{3} - 8 + 8) - \frac{23}{12}| = |\frac{4}{3} - \frac{23}{12}| = |\frac{16}{12} - \frac{23}{12}| = |-\frac{7}{12}| = \frac{7}{12}\). 5. Gesamtfläche: \(A_{ges} = 11{,}25 + \frac{7}{12} = \frac{135}{12} + \frac{7}{12} = \frac{142}{12} = \frac{71}{6} \approx 11{,}83\).

Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(\frac{71}{6} \approx 11{,}83\,\text{FE}\).

- Überlege dir für jedes Teilintervall einzeln, welche Kurve oben und welche unten liegt. - Stell dir vor, du setzt die farbigen Puzzleteile \(A_i\) zusammen, um die gesuchte Gesamtfläche zu erhalten. - Achte darauf, ob eine gesuchte Fläche durch die \(x\)-Achse in zwei Teile geteilt wird oder ob sie direkt von einem Graphen zum anderen reicht.

Anhand der Abbildung lassen sich die zusammengesetzten Flächen wie folgt bestimmen: 1. Fläche I erstreckt sich über das gesamte Intervall \([-2; 0]\) zwischen den beiden Graphen. Im Teilintervall \([-2; -\sqrt{2}]\) entspricht dies der Fläche \(A_1\), im Teilintervall \([-\sqrt{2}; 0]\) der Fläche \(A_4\). Somit gilt: \(\text{Fläche I} = A_1 + A_4\). 2. Fläche II ist die Fläche unter \(G_f\) bis zur \(x\)-Achse. Links von \(-\sqrt{2}\) ist dies \(A_2\). Rechts von \(-\sqrt{2}\) setzt sich die Fläche unter \(G_f\) aus der Fläche unter \(G_g\) (nämlich \(A_3\)) und der Fläche zwischen \(G_g\) und \(G_f\) (nämlich \(A_4\)) zusammen. Also: \(\text{Fläche II} = A_2 + A_3 + A_4\). 3. Fläche III ist das Trapez unter \(G_g\) von \(x = -2\) bis \(x = 0\). Auf dem linken Teilintervall wird dieses durch die Summe von \(A_1\) und \(A_2\) gebildet, auf dem rechten durch \(A_3\). Damit ergibt sich: \(\text{Fläche III} = A_1 + A_2 + A_3\).

- Fläche I \(= A_1 + A_4\) - Fläche II \(= A_2 + A_3 + A_4\) - Fläche III \(= A_1 + A_2 + A_3\)

- Überlege dir für jedes Intervall auf der \(x\)-Achse, welcher Graph oben und welcher unten liegt. - Erinnere dich daran, dass Flächeninhalte immer positive Werte sein müssen, Integrale jedoch negativ sein können. - Wie berechnet man die Fläche zwischen zwei Graphen? Spielt die Lage zur \(x\)-Achse dabei eine Rolle? - Achte auf die Nullstellen der Funktionen, um die Integrationsgrenzen zu überprüfen.

1. Analyse von (1): Die Aussage ist korrekt. \(A_1\) ist die Fläche zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse im Intervall \([0; 2]\). Da \(f(x) > 0\) in diesem Bereich, entspricht der Integralwert dem Flächeninhalt. 2. Analyse von (2): Die Aussage ist korrekt. Im Intervall \([2; \sqrt{10}]\) verläuft \(f\) oberhalb von \(g\). Die Fläche zwischen zwei Graphen wird durch das Integral der Differenzfunktion (obere minus untere Funktion) berechnet. 3. Analyse von (3): Die Aussage ist fehlerhaft. Im Intervall \([0; 2]\) verläuft der Graph von \(g\) unterhalb der \(x\)-Achse. Das Integral liefert daher einen negativen Wert. Korrektur: \(A_4 = -\int_0^2 g(x) \, \text{d}x\) oder \(A_4 = \int_0^2 |g(x)| \, \text{d}x\). 4. Analyse von (4): Die Aussage ist fehlerhaft. Im Intervall \([\sqrt{10}; 4]\) verläuft der Graph von \(g\) oberhalb von \(f\). Der angegebene Ausdruck würde einen negativen Wert liefern. Korrektur: \(A_6 = \int_{\sqrt{10}}^4 (g(x) - f(x)) \, \text{d}x\).

(1) Korrekt. (2) Korrekt. (3) Fehlerhaft: Das Integral ist negativ, da \(g\) unter der \(x\)-Achse verläuft. Korrektur: \(A_4 = -\int_0^2 g(x) \, \text{d}x\). (4) Fehlerhaft: Im Intervall \([\sqrt{10}; 4]\) ist \(g(x) > f(x)\). Korrektur: \(A_6 = \int_{\sqrt{10}}^4 (g(x) - f(x)) \, \text{d}x\).

- Überlege zuerst, wie die Funktionsgleichung der Tangente lautet. Kennst du die Koordinaten und die Steigung im Berührpunkt? - Bestimme anhand des Graphen, wo die Fläche links beginnt und rechts endet. - Wenn zwei Graphen eine Fläche einschließen, berechnet man das Integral der Differenzfunktion. Welche Funktion liegt oben? - Achte beim Integrieren auf die Potenzregeln.

1. Die Ableitung ist \(f'(x)=\frac{1}{4}x\). Im Punkt \(P(4 \mid 4)\) ist die Steigung \(m=f'(4)=1\). Mit der Punkt-Steigungs-Form ergibt sich \(t(x)=(x-4)+4=x\). 2. Die gesuchte Fläche liegt zwischen \(x=0\) und \(x=4\); dort verläuft \(f\) oberhalb der Tangente. 3. Daher gilt \(A=\int_0^4\left(\frac{1}{8}x^2+2-x\right)\,\text{d}x=\left[\frac{1}{24}x^3+2x-\frac{1}{2}x^2\right]_0^4=\frac{8}{3}\approx2{,}67\).

Der Inhalt der Fläche beträgt \(\frac{8}{3} \approx 2{,}67\) Flächeneinheiten.

- Überlege zuerst, an welchen Stellen sich die beiden Graphen schneiden. - Welcher Graph liegt im betrachteten Intervall oberhalb des anderen? - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen mithilfe eines Integrals? - Denke beim Integrieren der Wurzelfunktion an die Potenzschreibweise.

1. Berechnung der Schnittstellen durch Gleichsetzen: \(\sqrt{x + 1} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\). Quadrieren führt zu \(x + 1 = \frac{1}{4}(x + 1)^2\), woraus die Schnittstellen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\) folgen. 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt: \(A = \int_{-1}^{3} (\sqrt{x + 1} - (\frac{1}{2}x + \frac{1}{2})) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{2}{3}(x + 1)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x\). 4. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = [F(3)] - [F(-1)] = (\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{9}{4} - \frac{6}{4}) - (0 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}) = (\frac{16}{3} - \frac{15}{4}) - \frac{1}{4} = \frac{64 - 45 - 3}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\). Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{4}{3} \approx 1{,}33\) Flächeneinheiten.

Der Inhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt \(\frac{4}{3} \approx 1{,}33\) Flächeneinheiten.

- Überlege zuerst, an welchen Stellen der Graph die \(x\)-Achse kreuzt. - Erinnere dich an die Methode der partiellen Integration, um die Stammfunktion eines Produkts zu finden. - Achte darauf, ob der Graph in bestimmten Teilintervallen oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Was ist der Unterschied zwischen einem Flächeninhalt und dem Wert eines bestimmten Integrals?

1. Nullstellen im Intervall \([0; \pi]\): Die Bedingung \(f(x) = 0\) führt zu \(x = 0\) oder \(\cos(x) = 0\). Innerhalb des betrachteten Intervalls sind dies \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\). Die Stelle \(x = \pi\) ist keine Nullstelle, da \(\cos(\pi) = -1\). 2. Stammfunktion bestimmen: Mittels partieller Integration ergibt sich \(F(x) = \int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) + \cos(x) + C\). 3. Flächeninhalt berechnen: Da der Graph bei \(x = \frac{\pi}{2}\) die \(x\)-Achse schneidet, muss die Fläche in zwei Teilbereichen berechnet werden. - \(A_1 = \int_{0}^{\pi/2} f(x) \, dx = [x \sin(x) + \cos(x)]_{0}^{\pi/2} = (\frac{\pi}{2} \cdot 1 + 0) - (0 + 1) = \frac{\pi}{2} - 1 \approx 0{,}57\). - \(A_2 = |\int_{\pi/2}^{\pi} f(x) \, dx| = |[x \sin(x) + \cos(x)]_{\pi/2}^{\pi}| = |(\pi \cdot 0 + (-1)) - (\frac{\pi}{2} \cdot 1 + 0)| = |-1 - \frac{\pi}{2}| = 1 + \frac{\pi}{2} \approx 2{,}57\). - Gesamtinhalt: \(A_{\text{ges}} = A_1 + A_2 = (\frac{\pi}{2} - 1) + (1 + \frac{\pi}{2}) = \pi \approx 3{,}14\). 4. Integralwert berechnen: \(\int_{0}^{\pi} f(x) \, dx = [x \sin(x) + \cos(x)]_{0}^{\pi} = (\pi \cdot 0 + (-1)) - (0 \cdot 0 + 1) = -2\). 5. Erklärung des Unterschieds: Das bestimmte Integral berechnet die Bilanz der orientierten Flächeninhalte. Da der Graph im Intervall \([\frac{\pi}{2}; \pi]\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, wird dieser Flächenanteil vom Integral negativ gewertet, während für den geometrischen Flächeninhalt die Absolutbeträge der Flächenstücke addiert werden.

a) Die Nullstellen im Intervall sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \frac{\pi}{2}\). b) Der Flächeninhalt beträgt \(\pi \approx 3{,}14\). c) Der Wert des Integrals ist \(-2\). Der Unterschied rührt daher, dass das Integral Flächenanteile unterhalb der \(x\)-Achse negativ bilanziert, während der Flächeninhalt die Summe der Beträge aller Teilflächen ist.

- Wie findet man die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse berührt oder schneidet? - Könnte eine Ersetzung (Substitution) helfen, die Nullstellen einfacher zu berechnen? - Erinnere dich an die Potenzschreibweise von Wurzeln, um die Stammfunktion leichter zu finden. - Warum ist es wichtig, am Ende den Betrag des Integrals zu nehmen?

1. Nullstellen bestimmen: Die Gleichung \(x - 4\sqrt{x} + 3 = 0\) wird mit der Substitution \(u = \sqrt{x}\) zu \(u^2 - 4u + 3 = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 3\). Durch Rücksubstitution ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 9\). 2. Stammfunktion bestimmen: \(F(x) = \int (x - 4x^{\frac{1}{2}} + 3) \, dx = \frac{1}{2}x^2 - \frac{4}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} + 3x = \frac{1}{2}x^2 - \frac{8}{3}x\sqrt{x} + 3x\). 3. Bestimmtes Integral im Intervall \([1; 9]\) berechnen: \(F(9) = \frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{8}{3} \cdot 9 \cdot 3 + 3 \cdot 9 = 40{,}5 - 72 + 27 = -4{,}5\). \(F(1) = \frac{1}{2} - \frac{8}{3} + 3 = \frac{3 - 16 + 18}{6} = \frac{5}{6}\). \(I = F(9) - F(1) = -4{,}5 - \frac{5}{6} = -\frac{27}{6} - \frac{5}{6} = -\frac{32}{6} = -\frac{16}{3}\). 4. Der Flächeninhalt ist der Betrag des Integrals: \(A = |-\frac{16}{3}| = \frac{16}{3}\).

Der Inhalt der Fläche beträgt \(\frac{16}{3}\) (ca. \(5{,}33\)) Flächeneinheiten.

- Findest du zuerst heraus, wo sich die beiden Graphen schneiden? - Eine Substitution könnte hilfreich sein, um die Gleichung für die Schnittstellen zu lösen. - Nutze Symmetrieeigenschaften der Funktionen aus, um die Rechnung zu vereinfachen. - Erinnere dich daran, wie man den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven berechnet, indem man die Differenzfunktion integriert. - Überprüfe in jedem Intervall, welcher Graph oberhalb des anderen liegt.

1. Berechnung der Schnittstellen: Gleichsetzen \(\frac{4}{x^2} = 5 - x^2\) führt auf die biquadratische Gleichung \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\). 2. Substitution \(u = x^2\) ergibt \(u^2 - 5u + 4 = 0\) mit den Lösungen \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 4\). 3. Rücksubstitution liefert die Schnittstellen \(x_1 = -2\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 1\) und \(x_4 = 2\). 4. Aufgrund der Achsensymmetrie beider Funktionen zur \(y\)-Achse reicht die Integration im Intervall \([1; 2]\) und anschließende Verdopplung. 5. Differenzfunktion bilden: \(d(x) = g(x) - f(x) = 5 - x^2 - 4x^{-2}\). 6. Stammfunktion der Differenzfunktion: \(D(x) = 5x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{4}{x}\). 7. Bestimmtes Integral berechnen: \(D(2) - D(1) = (10 - \frac{8}{3} + 2) - (5 - \frac{1}{3} + 4) = \frac{28}{3} - \frac{26}{3} = \frac{2}{3}\). 8. Gesamtfläche: \(A = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{4}{3}\).

- Bestimme zunächst die Tangentengleichung und die Nullstellen beider Funktionen. - Achte darauf, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt. - Überlege dir, welche Funktion die Fläche nach oben oder unten begrenzt. - Ein Koordinatensystem kann helfen, die Integrationsgrenzen richtig zu setzen.

1. Bestimmung der Tangente \(t\) an der Stelle \(x_0 = 1\): \(f(1) = \sqrt{1} - 2 = -1\). Ableitung \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\), also \(f'(1) = 0{,}5\). Tangentengleichung: \(t(x) = 0{,}5(x - 1) - 1 = 0{,}5x - 1{,}5\). 2. Bestimmung der Nullstellen: Nullstelle von \(f\): \(\sqrt{x} - 2 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x_f = 4\). Nullstelle von \(t\): \(0{,}5x - 1{,}5 = 0 \Rightarrow 0{,}5x = 1{,}5 \Rightarrow x_t = 3\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: Da die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse liegt, betrachten wir die Beträge der Integrale. Die Fläche zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse im Intervall \([1; 4]\) ist: \(A_f = \left| \int_{1}^{4} (\sqrt{x} - 2) \, dx \right| = \left| \left[ \frac{2}{3}x^{1{,}5} - 2x \right]_{1}^{4} \right| = \left| (\frac{16}{3} - 8) - (\frac{2}{3} - 2) \right| = \left| -\frac{8}{3} + \frac{4}{3} \right| = \frac{4}{3}\). Die Fläche zwischen der Tangente \(t\) und der \(x\)-Achse im Intervall \([1; 3]\) (ein Dreieck) ist: \(A_t = \left| \int_{1}^{3} (0{,}5x - 1{,}5) \, dx \right| = \frac{1}{2} \cdot (3 - 1) \cdot |-1| = 1\). Der gesuchte Flächeninhalt ist die Differenz dieser Flächenstücke: \(A = A_f - A_t = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{1}{3} \, \text{FE}\).

- Bestimme zuerst alle relevanten \(x\)-Werte durch Gleichsetzen der Funktionen. - Überlege dir, welche der Linien (Graph, \(x\)-Achse, Gerade \(g\)) in welchem Bereich die obere bzw. untere Grenze der Fläche bildet. - Du kannst die Fläche in ein Rechteck und ein krummlinig begrenztes Stück unterteilen. - Achte beim Integrieren darauf, ob der Graph oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt.

1. Nullstellen bestimmen: \(f(x) = 0 \implies \frac{1}{2}x^2 = 8 \implies x^2 = 16 \implies x_1 = -4, x_2 = 4\). 2. Schnittpunkte mit \(g\) bestimmen: \(f(x) = -6 \implies \frac{1}{2}x^2 - 8 = -6 \implies \frac{1}{2}x^2 = 2 \implies x^2 = 4 \implies x_3 = -2, x_4 = 2\). 3. Flächenaufteilung für \(x \le 0\): Die Fläche erstreckt sich von \(x = -4\) bis \(x = 0\). 4. Teilfläche 1 (Rechteck): Zwischen \(x = -2\) und \(x = 0\) wird die Fläche oben durch die \(x\)-Achse (\(y=0\)) und unten durch die Gerade \(g\) (\(y=-6\)) begrenzt. Der Inhalt ist \(A_1 = 2 \cdot 6 = 12\). 5. Teilfläche 2 (Integral): Zwischen \(x = -4\) und \(x = -2\) wird die Fläche durch die \(x\)-Achse und den Graphen von \(f\) begrenzt. Da \(f(x) \le 0\), berechnet man \(A_2 = \int_{-4}^{-2} (0 - f(x)) \, dx = \int_{-4}^{-2} (8 - \frac{1}{2}x^2) \, dx\). 6. Stammfunktion und Auswertung: \([8x - \frac{1}{6}x^3]_{-4}^{-2} = (8(-2) - \frac{1}{6}(-2)^3) - (8(-4) - \frac{1}{6}(-4)^3) = (-16 + \frac{8}{6}) - (-32 + \frac{64}{6}) = -16 + \frac{4}{3} + 32 - \frac{32}{3} = 16 - \frac{28}{3} = \frac{48-28}{3} = \frac{20}{3}\). 7. Gesamtinhalt: \(A = 12 + \frac{20}{3} = \frac{36}{3} + \frac{20}{3} = \frac{56}{3}\).

Der Flächeninhalt im II. und III. Quadranten beträgt \(\frac{56}{3}\) (ca. \(18{,}67\)).

- Bestimme zuerst den gesamten Flächeninhalt zwischen der Parabel und der oberen Begrenzungslinie. - In welchem Verhältnis stehen die untere Teilfläche und die Gesamtfläche zueinander? - Stelle eine Formel für die untere Teilfläche in Abhängigkeit von \(c\) auf. Erinnere dich daran, dass diese Fläche zwischen dem Graphen und der Geraden \(y=c\) liegt. - Setze den Ausdruck für die Teilfläche mit dem entsprechenden Anteil der Gesamtfläche gleich und löse nach \(c\) auf.

1. Berechnung des gesamten Flächeninhalts zwischen \(f(x) = x^2\) und \(y = 4\): Die Schnittpunkte liegen bei \(x = \pm 2\). \(A_{\text{ges}} = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx = \frac{32}{3}\). 2. Bedingung für die Teilflächen: Die obere Fläche \(A_2\) ist doppelt so groß wie die untere Fläche \(A_1\). Es gilt \(A_1 + A_2 = A_{\text{ges}}\) und \(A_2 = 2A_1\), woraus folgt \(3A_1 = A_{\text{ges}}\), also \(A_1 = \frac{32}{9}\). 3. Die untere Teilfläche \(A_1\) liegt zwischen \(y = x^2\) und \(y = c\). Die Schnittstellen sind \(x = \pm \sqrt{c}\). 4. Aufstellen des Integrals für \(A_1\): \(\int_{-\sqrt{c}}^{\sqrt{c}} (c - x^2) \, dx = \left[ cx - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-\sqrt{c}}^{\sqrt{c}} = \frac{4}{3}c^{\frac{3}{2}}\). 5. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(\frac{4}{3}c^{\frac{3}{2}} = \frac{32}{9}\). 6. Lösen nach \(c\): \(c^{\frac{3}{2}} = \frac{32}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{8}{3}\). 7. \(c = \left( \frac{8}{3} \right)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{\frac{64}{9}} = \frac{4}{\sqrt[3]{9}}\).

\(c = \sqrt[3]{\frac{64}{9}}\) (oder \(c = \frac{4}{\sqrt[3]{9}}\))

- Bestimme zunächst die Stelle, an der der Graph die Gerade \(y = 1\) schneidet. - Skizziere dir gedanklich den Verlauf der \(e\)-Funktion mit negativem Exponenten. - Achte beim Integrieren auf die Kettenregel (lineare Substitution). - Nutze die Rechenregeln für Logarithmen und Exponentialfunktionen, um den Ausdruck zu vereinfachen.

1. Bestimmung der oberen Integrationsgrenze durch Schnitt von \(f_a\) und \(y=1\): \(a e^{-x} = 1 \iff e^{-x} = \frac{1}{a} \iff -x = \ln\left(\frac{1}{a}\right) \iff x = \ln(a)\). 2. Da \(a > 1\), gilt für den Startwert \(f_a(0) = a > 1\). Im Intervall \([0; \ln(a)]\) verläuft der Graph von \(f_a\) oberhalb der Geraden \(y=1\). 3. Aufstellen des Integrals: \(A = \int_{0}^{\ln(a)} (a e^{-x} - 1) \, dx\). 4. Bildung der Stammfunktion: \(F(x) = -a e^{-x} - x\). 5. Berechnung des bestimmten Integrals: \(\left[ -a e^{-x} - x \right]_{0}^{\ln(a)} = (-a e^{-\ln(a)} - \ln(a)) - (-a e^{0} - 0) = (-a \cdot \frac{1}{a} - \ln(a)) - (-a) = -1 - \ln(a) + a = a - \ln(a) - 1\).

\(A(a) = a - \ln(a) - 1\)

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? - Schau dir den Funktionsterm genau an: Liegt eine Symmetrie vor, die die Rechnung vereinfachen könnte? - Achte darauf, dass bei Flächenstücken unterhalb der \(x\)-Achse das Integral negativ ist, der Flächeninhalt aber positiv gezählt wird. - Stelle eine Gleichung auf, die den gesamten Flächeninhalt mit dem Parameter \(a\) verknüpft.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(g_a\): \(x(a^2 - x^2) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = a, x_3 = -a\). 2. Ausnutzung der Symmetrie: Da \(g_a\) eine ungerade Funktion ist (\(g_a(-x) = -g_a(x)\)), sind die beiden Flächenstücke zwischen \([-a; 0]\) und \([0; a]\) inhaltsgleich. Der Gesamtinhalt ist \(A_{\text{ges}} = 2 \cdot \int_{0}^{a} (a^2x - x^3) \, dx\). 3. Berechnung des Teilintegrals: \(\int_{0}^{a} (a^2x - x^3) \, dx = \left[ \frac{1}{2}a^2x^2 - \frac{1}{4}x^4 \right]_{0}^{a} = \frac{1}{2}a^4 - \frac{1}{4}a^4 = \frac{1}{4}a^4\). 4. Bestimmung des Gesamtinhalts in Abhängigkeit von \(a\): \(A_{\text{ges}} = 2 \cdot \frac{1}{4}a^4 = \frac{1}{2}a^4\). 5. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(\frac{1}{2}a^4 = 8 \Rightarrow a^4 = 16\). 6. Lösung für \(a\): Da \(a > 0\), ergibt sich \(a = 2\).

\(a = 2\)

- Die mittlere Änderungsrate entspricht der Steigung der Sekante. - Nutze die Punkt-Steigungs-Form oder den y-Achsenabschnitt für die Geradengleichung. - Überlege dir, welche der beiden Funktionen im gegebenen Intervall größere Werte annimmt. - Erinnere dich an die Stammfunktion der natürlichen Exponentialfunktion.

1. Berechnung der Funktionswerte: \(f(0) = 0{,}5 \cdot e^0 - 0 = 0{,}5\) und \(f(2) = 0{,}5e^2 - 2\). 2. Bestimmung der mittleren Änderungsrate \(m\): \(m = \frac{(0{,}5e^2 - 2) - 0{,}5}{2 - 0} = \frac{0{,}5e^2 - 2{,}5}{2} = 0{,}25e^2 - 1{,}25\). 3. Aufstellen der Sekantengleichung \(s(x) = mx + f(0)\): \(s(x) = (0{,}25e^2 - 1{,}25)x + 0{,}5\). 4. Da \(f(x)\) eine konvexe Funktion ist (\(f''(x) = 0{,}5e^x > 0\)), liegt die Sekante über dem Intervall \([0; 2]\) oberhalb des Graphen. Der Flächeninhalt berechnet sich durch \(A = \int_0^2 (s(x) - f(x)) \, dx\). 5. Differenzfunktion: \(d(x) = (0{,}25e^2 - 1{,}25)x + 0{,}5 - (0{,}5e^x - x) = (0{,}25e^2 - 0{,}25)x + 0{,}5 - 0{,}5e^x\). 6. Integration: \(\int_0^2 d(x) \, dx = [0{,}125(e^2 - 1)x^2 + 0{,}5x - 0{,}5e^x]_0^2\). 7. Einsetzen der Grenzen: \((0{,}125(e^2 - 1) \cdot 4 + 0{,}5 \cdot 2 - 0{,}5e^2) - (0 + 0 - 0{,}5) = (0{,}5e^2 - 0{,}5 + 1 - 0{,}5e^2) + 0{,}5 = 1\).

Die mittlere Änderungsrate ist \(0{,}25e^2 - 1{,}25\). Die Sekantengleichung lautet \(s(x) = (0{,}25e^2 - 1{,}25)x + 0{,}5\). Der Flächeninhalt beträgt \(1\) Flächeneinheit.

- Multipliziere den Funktionsterm zuerst aus, um die Stammfunktion leichter bilden zu können. - Welche Stellen sind entscheidend für die Aufteilung der Fläche? - Denk daran, für jedes Teilintervall den Betrag des Integrals zu nehmen, falls der Graph unter der Achse liegt. - Es hilft, die Funktionswerte der Stammfunktion an allen Grenzen vorab einzeln zu berechnen.

1. Ausmultiplizieren der Funktion: \(f(x) = x^3 - x^2 - 4x + 4\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x\). 3. Nullstellen bestimmen: Aus der Produktform ergeben sich direkt \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). Alle drei Nullstellen liegen im Intervall \([-3; 3]\). 4. Aufteilung des Integrals in Teilintervalle: \([-3; -2]\), \([-2; 1]\), \([1; 2]\) und \([2; 3]\). 5. Berechnung der Teilintegrale: \(\int_{-3}^{-2} f(x) \, dx = F(-2) - F(-3) = -\frac{28}{3} - (-0{,}75) = -\frac{103}{12} \approx -8{,}583\) \(\int_{-2}^{1} f(x) \, dx = F(1) - F(-2) = \frac{23}{12} - (-\frac{28}{3}) = \frac{135}{12} = 11{,}25\) \(\int_{1}^{2} f(x) \, dx = F(2) - F(1) = \frac{4}{3} - \frac{23}{12} = -\frac{7}{12} \approx -0{,}583\) \(\int_{2}^{3} f(x) \, dx = F(3) - F(2) = 5{,}25 - \frac{4}{3} = \frac{47}{12} \approx 3{,}917\) 6. Summe der Beträge: \(A = \frac{103}{12} + \frac{135}{12} + \frac{7}{12} + \frac{47}{12} = \frac{292}{12} = \frac{73}{3}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{73}{3} \approx 24{,}33\,\text{FE}\).

- Welche besonderen Punkte der Funktion musst du kennen, um die Fläche korrekt zu berechnen? - Skizziere dir grob den Verlauf der Funktion, um zu sehen, wo sie oberhalb und wo unterhalb der Achse verläuft. - Was passiert mit dem Gesamtergebnis, wenn du einfach von \(0\) bis \(2{,}5\) integrierst, ohne die Nullstellen zu beachten? - Achte bei der Berechnung der Funktionswerte der Stammfunktion besonders auf die Brüche oder Dezimalzahlen.

1. Nullstellenbestimmung: \(x(x^2 - 3x + 2) = 0\) liefert durch Ausklammern und Anwendung der pq-Formel die Stellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). 2. Alle Nullstellen liegen im Intervall \([0; 2{,}5]\). Die Fläche muss in drei Teilbereiche unterteilt werden: \([0; 1]\), \([1; 2]\) und \([2; 2{,}5]\). 3. Stammfunktion bilden: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2\). 4. Teilintegrale berechnen: \(A_1 = \int_{0}^{1} f(x) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{1}{4} - 0 = 0{,}25\). \(A_2 = \int_{1}^{2} f(x) \, dx = F(2) - F(1) = 0 - 0{,}25 = -0{,}25\). \(A_3 = \int_{2}^{2{,}5} f(x) \, dx = F(2{,}5) - F(2) = \frac{25}{64} - 0 = 0{,}390625\). 5. Gesamtfläche als Summe der Beträge: \(A = |0{,}25| + |-0{,}25| + |0{,}390625| = 0{,}5 + \frac{25}{64} = \frac{57}{64} = 0{,}890625\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{57}{64} = 0{,}890625\) Flächeneinheiten.

- Wann hat eine Parabel der Form \(x^2 - k\) zwei Schnittstellen mit der \(x\)-Achse? - Wie verändert sich die Lage des Scheitelpunkts, wenn \(k\) variiert wird? - Nutze die Symmetrie der Parabel zur \(y\)-Achse, um die Berechnung des Integrals zu vereinfachen. - Wenn du eine Gleichung mit einer Wurzel oder einer gebrochenen Potenz hast, versuche beide Seiten so zu potenzieren, dass die Wurzel verschwindet.

1. Bedingung für Fläche: Eine Fläche wird nur eingeschlossen, wenn der Graph zwei Nullstellen besitzt. Da \(g_k(x) = x^2 - k\) eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt \(S(0\mid -k)\) ist, existieren zwei Nullstellen bei \(x = \pm\sqrt{k}\) genau dann, wenn \(k > 0\) gilt. Für \(k = 0\) gibt es nur eine Nullstelle im Ursprung; für \(k < 0\) liegt der gesamte Graph oberhalb der \(x\)-Achse. In beiden Fällen wird keine Fläche eingeschlossen. 2. Integral aufstellen: Für \(k > 0\) liegt die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse. \(A = \left| \int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} (x^2 - k) \, dx \right| = \left| \left[ \frac{1}{3}x^3 - kx \right]_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} \right| = \left| (\frac{1}{3}k\sqrt{k} - k\sqrt{k}) - (-\frac{1}{3}k\sqrt{k} + k\sqrt{k}) \right| = \left| -\frac{4}{3}k\sqrt{k} \right| = \frac{4}{3}k\sqrt{k} = \frac{4}{3}k^{\frac{3}{2}}\). 3. Parameter berechnen: \(\frac{4}{3}k^{\frac{3}{2}} = \frac{32}{3} \Leftrightarrow k^{\frac{3}{2}} = 8 \Leftrightarrow (k^{\frac{1}{2}})^3 = 8 \Leftrightarrow \sqrt{k} = 2 \Leftrightarrow k = 4\).

1. Eine Fläche wird nur für \(k > 0\) eingeschlossen. Der Scheitelpunkt liegt dann unterhalb der \(x\)-Achse. 2. \(k = 4\)

- Bestimme zuerst die Grenzen der Fläche, indem du die Nullstellen der beiden Funktionsteile suchst. - Achte darauf, dass du beim Integrieren die Kettenregel (bzw. die lineare Substitution) beachtest, besonders beim Kosinus-Teil. - Die Fläche besteht aus zwei Teilen, die am Punkt \(x = 0\) aneinandergrenzen. Berechne beide Teile separat. - Erinnere dich an die Potenzregel für das Integrieren von Wurzeltermen.

1. Bestimmung der Nullstellen: Im Bereich \(x \le 0\) ist \(\sqrt{x+4} = 0\) bei \(x_1 = -4\). Im Bereich \(x > 0\) ist \(2 \cos(0{,}5x) = 0\), wenn \(0{,}5x = \frac{\pi}{2}\), also bei \(x_2 = \pi\). 2. Identifikation der Integrationsgrenzen: Die eingeschlossene Fläche erstreckt sich von \(x = -4\) bis \(x = \pi\). Der Nahtpunkt der Funktionen liegt bei \(x = 0\). 3. Berechnung des Integrals für den ersten Abschnitt: \(\int_{-4}^{0} (x+4)^{\frac{1}{2}} \, dx = [\frac{2}{3}(x+4)^{\frac{3}{2}}]_{-4}^{0} = \frac{2}{3}(4)^{\frac{3}{2}} - 0 = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}\). 4. Berechnung des Integrals für den zweiten Abschnitt: \(\int_{0}^{\pi} 2 \cos(0{,}5x) \, dx = [4 \sin(0{,}5x)]_{0}^{\pi} = 4 \sin(\frac{\pi}{2}) - 4 \sin(0) = 4 \cdot 1 - 0 = 4\). 5. Berechnung des Gesamtflächeninhalts: \(A = \frac{16}{3} + 4 = \frac{16}{3} + \frac{12}{3} = \frac{28}{3}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{28}{3}\,\text{FE}\) (bzw. ca. \(9{,}33\,\text{FE}\)).

- Gibt es mehr als zwei Schnittpunkte zwischen den Graphen? - Wenn es mehrere Schnittpunkte gibt, musst du die Fläche eventuell in mehrere Teile zerlegen. - Warum ist es wichtig, die Beträge der einzelnen Integrale zu addieren, anstatt einfach über das gesamte Intervall zu integrieren? - Skizziere dir grob den Verlauf oder teste Werte in den Intervallen, um zu sehen, welcher Graph oben liegt.

1. Berechnung der Schnittstellen: \(x^3 - 4x^2 + 3x = x - x^2 \iff x^3 - 3x^2 + 2x = 0\). Ausklammern von \(x\) ergibt \(x(x^2 - 3x + 2) = 0\). Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). 2. Da drei Schnittstellen vorliegen, existieren zwei Teilflächen in den Intervallen \([0; 1]\) und \([1; 2]\). 3. Differenzfunktion bilden: \(d(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\). Stammfunktion: \(D(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2\). 4. Integral für das erste Intervall: \(\int_{0}^{1} (x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx = [D(x)]_0^1 = (\frac{1}{4} - 1 + 1) - 0 = \frac{1}{4}\). 5. Integral für das zweite Intervall: \(\int_{1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx = [D(x)]_1^2 = (4 - 8 + 4) - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}\). 6. Addition der Beträge der Teilflächen: \(A = |\frac{1}{4}| + |-\frac{1}{4}| = 0{,}5\).

Der Gesamtinhalt der Flächenstücke beträgt \(0{,}5\) Flächeneinheiten.

- Ermittle zunächst die Tangentengleichung und die Nullstellen beider Funktionen. - Eine Skizze hilft dir dabei, die obere und untere Begrenzung der Fläche im jeweiligen Intervall zu identifizieren. - Achte darauf, dass die Fläche an einer Stelle durch die \(x\)-Achse und an einer anderen durch den Funktionsgraphen nach unten begrenzt wird. - Kannst du eine geometrische Form (wie ein Dreieck) nutzen, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Tangentengleichung aufstellen: Es ist \(f(2) = -2^2 + 6 \cdot 2 - 5 = 3\). Mit \(f'(x) = -2x + 6\) ergibt sich die Steigung \(f'(2) = 2\). Die Tangente \(t\) lautet \(y - 3 = 2(x - 2)\), also \(t(x) = 2x - 1\). 2. Grenzen bestimmen: Die Tangente schneidet die \(x\)-Achse bei \(2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0{,}5\). Der Graph von \(f\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(-x^2 + 6x - 5 = 0\), was zu \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\) führt. Die für die Fläche relevante Nullstelle ist \(x = 1\). 3. Flächeninhalt berechnen: Die Fläche wird von oben durch die Tangente begrenzt (im Intervall \([0{,}5; 2]\)). Die untere Begrenzung ist von \(x = 0{,}5\) bis \(x = 1\) die \(x\)-Achse und von \(x = 1\) bis \(x = 2\) der Graph von \(f\). Rechnerisch ergibt sich dies aus der Fläche des Dreiecks unter der Tangente (Grundseite \(2 - 0{,}5 = 1{,}5\), Höhe \(3\)) abzüglich der Fläche unter dem Graphen von \(f\) zwischen \(1\) und \(2\): \(A = \frac{1}{2} \cdot 1{,}5 \cdot 3 - \int_{1}^{2} (-x^2 + 6x - 5) \, dx = 2{,}25 - \left[ -\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 - 5x \right]_{1}^{2} = \frac{9}{4} - \frac{5}{3} = \frac{27 - 20}{12} = \frac{7}{12}\).

Der Flächeninhalt beträgt \( \frac{7}{12} \) Flächeneinheiten.

- Wie lautet die Steigung einer Tangente in einem Hochpunkt? - Nachdem du die Tangentengleichung aufgestellt hast, musst du herausfinden, wo sie den Graphen erneut schneidet. - Nutze das bestimmte Integral, um den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(k\) auszudrücken. - Achte darauf, welche Funktion im betrachteten Intervall die obere Grenze der Fläche bildet.

1. Ableitungen bestimmen: \(g_k'(x) = k(-3x^2 + 12x - 9)\) und \(g_k''(x) = k(-6x + 12)\). 2. Hochpunkt ermitteln: \(g_k'(x) = 0 \Rightarrow -3k(x^2 - 4x + 3) = 0 \Rightarrow -3k(x-1)(x-3) = 0\). Die Stellen sind \(x = 1\) und \(x = 3\). Da \(g_k''(1) = 6k > 0\) (Minimum) und \(g_k''(3) = -6k < 0\) (Maximum), liegt der Hochpunkt bei \(x = 3\). 3. Tangente berechnen: Der Funktionswert ist \(g_k(3) = k(-27 + 54 - 27) = 0\). Die Tangente ist \(y = 0\). 4. Schnittstellen mit der Tangente: \(k(-x^3 + 6x^2 - 9x) = 0 \Rightarrow -kx(x - 3)^2 = 0\). Die Schnittstellen sind \(x = 3\) und \(x = 0\). 5. Integral aufstellen: Im Intervall \([0; 3]\) liegt der Graph unterhalb der Tangente \(y = 0\). Daher gilt \(A = \int_{0}^{3} (0 - g_k(x)) \, dx = k \int_{0}^{3} (x^3 - 6x^2 + 9x) \, dx\). 6. Stammfunktion berechnen: \(k \left[ \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + \frac{9}{2}x^2 \right]_{0}^{3} = k \left(20{,}25 - 54 + 40{,}5\right) = 6{,}75k\). 7. Gleichung lösen: \(6{,}75k = 108 \Rightarrow k = 16\).

\(k = 16\)

- Bestimme zuerst die Gleichungen der beiden waagerechten Tangenten. - Du musst für jede Tangente einzeln die Schnittpunkte mit dem Funktionsgraphen finden, um die Integrationsgrenzen festzulegen. - Überlege dir, welche Funktion im jeweiligen Intervall „oben“ liegt, um den Flächeninhalt korrekt zu berechnen. - Wusstest du, dass kubische Funktionen punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt sind? Wie könnte das hier helfen?

1. Ableitung bestimmen: \(g'(x) = 3x^2 - 12x + 9\). 2. Extremstellen finden: \(3x^2 - 12x + 9 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = 3\). 3. Funktionswerte berechnen: \(g(1) = 1 - 6 + 9 = 4\) (Hochpunkt), \(g(3) = 27 - 54 + 27 = 0\) (Tiefpunkt). 4. Tangente 1 (Hochpunkt): \(y = 4\). Schnitt mit \(g(x)\): \(x^3 - 6x^2 + 9x = 4 \Rightarrow (x-1)^2(x-4) = 0\). Grenzen sind \(1\) und \(4\). 5. Flächeninhalt 1 berechnen: \(A_1 = \int_{1}^{4} (4 - (x^3 - 6x^2 + 9x)) \, dx = \int_{1}^{4} (-x^3 + 6x^2 - 9x + 4) \, dx = \left[ -\frac{1}{4}x^4 + 2x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 4x \right]_{1}^{4} = 8 - 1{,}25 = 6{,}75\). 6. Tangente 2 (Tiefpunkt): \(y = 0\). Schnitt mit \(g(x)\): \(x^3 - 6x^2 + 9x = 0 \Rightarrow x(x-3)^2 = 0\). Grenzen sind \(0\) und \(3\). 7. Flächeninhalt 2 berechnen: \(A_2 = \int_{0}^{3} (x^3 - 6x^2 + 9x - 0) \, dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + \frac{9}{2}x^2 \right]_{0}^{3} = 6{,}75 - 0 = 6{,}75\). 8. Vergleich: Da \(A_1 = 6{,}75\) und \(A_2 = 6{,}75\), sind beide Flächeninhalte gleich groß.

Beide Flächen haben einen Inhalt von \(6{,}75\,\text{FE}\). Damit ist gezeigt, dass sie inhaltsgleich sind.

- Der Koordinatenursprung ist der Punkt \((0\mid 0)\). - Wie lautet die Gleichung einer Geraden mit Steigung \(0\), die durch den Ursprung verläuft? - Finde die weitere Schnittstelle durch Ausklammern in der Differenzgleichung. - Integriere die Differenz von Tangente und Funktion zwischen den beiden Schnittstellen.

1. Tangente im Ursprung \((0\mid 0)\): \(f(0) = 0\) und \(f'(0) = 0\). Daraus ergibt sich die Tangentengleichung \(t(x) = 0\) (die \(x\)-Achse). 2. Schnittstellen von \(f\) und \(t\): \(x^4 - 4x^3 = 0 \iff x^3(x - 4) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\). 3. Differenzfunktion für den Flächeninhalt: Da der Graph von \(f\) im Intervall \((0; 4)\) unterhalb der \(x\)-Achse liegt, berechnet man \(d(x) = t(x) - f(x) = -x^4 + 4x^3\). 4. Stammfunktion \(D(x) = -\frac{1}{5}x^5 + x^4\). 5. Auswertung des Integrals: \(D(4) = -204{,}8 + 256 = 51{,}2\) und \(D(0) = 0\). 6. Flächeninhalt \(A = 51{,}2 - 0 = 51{,}2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(51{,}2\,\text{FE}\).

- Bestimme zuerst die Schnittpunkte der beiden Funktionen in Abhängigkeit von \(k\). - Achte darauf, welche Funktion im Bereich zwischen den Schnittstellen die größeren Funktionswerte besitzt. - Wie verändert sich die Form der Parabel, wenn \(k\) größer oder kleiner wird? - Stelle eine Gleichung auf, in der nur noch \(k\) als Unbekannte vorkommt.

1. Bestimmung der Schnittstellen von \(f(x)\) und der Geraden \(y = 4\): \(kx^2 = 4 \implies x^2 = \frac{4}{k} \implies x_{1,2} = \pm \frac{2}{\sqrt{k}}\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt zwischen den Graphen: \(A = \int_{-\frac{2}{\sqrt{k}}}^{\frac{2}{\sqrt{k}}} (4 - kx^2) \, dx\). 3. Berechnung des Integrals unter Nutzung der Symmetrie: \(2[4x - \frac{1}{3}kx^3]_{0}^{\frac{2}{\sqrt{k}}} = 2(4 \cdot \frac{2}{\sqrt{k}} - \frac{k}{3} \cdot \frac{8}{k\sqrt{k}}) = 2(\frac{8}{\sqrt{k}} - \frac{8}{3\sqrt{k}}) = 2\frac{16}{3\sqrt{k}} = \frac{32}{3\sqrt{k}}\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert \(16\): \(\frac{32}{3\sqrt{k}} = 16 \implies \frac{2}{3\sqrt{k}} = 1 \implies 3\sqrt{k} = 2\). 5. Auflösen nach \(k\): \(\sqrt{k} = \frac{2}{3} \implies k = \frac{4}{9}\).

\(k = \frac{4}{9}\)

- Berechne zuerst den gesamten Flächeninhalt des beschriebenen Bereichs. - Überlege dir, wie du die Fläche unterteilen kannst. Eine horizontale Linie teilt die Fläche anders als eine vertikale. - Die Integrationsgrenzen hängen vom Schnittpunkt der Geraden \(y = c\) mit der Funktion ab. - Es kann hilfreich sein, die Fläche oberhalb der Geraden \(y = c\) zu betrachten, um eine Gleichung aufzustellen. - Wenn du auf eine Gleichung höheren Grades stößt, versuche eine Lösung durch Probieren kleiner ganzzahliger Werte zu finden.

1. Berechnung des gesamten Flächeninhalts: \(A_{\text{ges}} = \int_0^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^2 = \frac{8}{3}\). 2. Bestimmung des Ziel-Flächeninhalts für die Teilflächen: \(A_{\text{Teil}} = \frac{4}{3}\). 3. Aufstellen einer Gleichung für die untere Teilfläche. Diese besteht aus dem Integral unter der Parabel von \(0\) bis \(\sqrt{c}\) und einem Rechteck von \(\sqrt{c}\) bis \(2\) mit der Höhe \(c\): \(A_{\text{unten}} = \int_0^{\sqrt{c}} x^2 \, dx + (2 - \sqrt{c}) \cdot c = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^{\sqrt{c}} + 2c - c\sqrt{c} = \frac{1}{3}c\sqrt{c} + 2c - c\sqrt{c} = 2c - \frac{2}{3}c\sqrt{c}\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(2c - \frac{2}{3}c\sqrt{c} = \frac{4}{3} \implies 3c - c\sqrt{c} = 2\). 5. Substitution \(u = \sqrt{c}\) führt zur kubischen Gleichung \(u^3 - 3u^2 + 2 = 0\). 6. Durch Probieren findet man die Lösung \(u = 1\). Die weiteren Lösungen der quadratischen Gleichung \(u^2 - 2u - 2 = 0\) liegen außerhalb des Definitionsbereichs für \(u\) (da \(0 < c < 4\) gelten muss, folgt \(0 < u < 2\)). 7. Rücksubstitution: \(\sqrt{c} = 1 \implies c = 1\).

\(c = 1\)

- Bestimme zunächst den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen im vorgegebenen Intervall. - Stelle den Flächeninhalt von \(0\) bis \(k\) als Funktion von \(k\) dar. - Nach der Integration erhältst du eine Gleichung, die Terme mit \(e^k\) und \(e^{-k}\) enthält. - Eine geschickte Substitution kann helfen, diese Gleichung in eine bekannte Form (z. B. eine quadratische Gleichung) zu bringen. - Achte am Ende darauf, ob dein berechneter Wert für \(k\) im Intervall \([0; \ln(3)]\) liegt.

1. Berechnung des gesamten Flächeninhalts zwischen den Kurven: \(A_{\text{ges}} = \int_0^{\ln(3)} (e^x - e^{-x}) \, dx = \left[ e^x + e^{-x} \right]_0^{\ln(3)} = (3 + \frac{1}{3}) - (1 + 1) = \frac{10}{3} - 2 = \frac{4}{3}\). 2. Bestimmung des Inhalts einer Teilfläche: \(A_{\text{Teil}} = \frac{2}{3}\). 3. Aufstellen der Integralgleichung für die linke Teilfläche von \(0\) bis \(k\): \(\int_0^k (e^x - e^{-x}) \, dx = \left[ e^x + e^{-x} \right]_0^k = e^k + e^{-k} - 2\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(e^k + e^{-k} - 2 = \frac{2}{3} \implies e^k + e^{-k} = \frac{8}{3}\). 5. Substitution \(u = e^k\) führt auf die quadratische Gleichung \(u + \frac{1}{u} = \frac{8}{3} \implies 3u^2 - 8u + 3 = 0\). 6. Lösung der quadratischen Gleichung: \(u_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}\). 7. Da \(k \in (0; \ln(3))\) liegen muss, muss \(e^k \in (1; 3)\) gelten. Nur \(u_1 = \frac{4 + \sqrt{7}}{3} \approx 2{,}215\) erfüllt diese Bedingung. 8. Rücksubstitution: \(k = \ln\left(\frac{4 + \sqrt{7}}{3}\right)\).

\(k = \ln\left(\frac{4 + \sqrt{7}}{3}\right)\)

- Was bedeutet es für die Gleichung der Geraden, dass sie eine „Ursprungsgerade“ ist? - Bestimme zuerst die Schnittpunkte der beiden Funktionen in Abhängigkeit von \(m\). - Welche Funktion liegt im betrachteten Bereich oberhalb der anderen? Ein kleiner Testwert oder eine Skizze im Kopf kann helfen. - Stelle das Integral auf und achte beim Einsetzen der oberen Grenze \(\frac{1}{m^2}\) besonders auf die Potenzgesetze. - Löse am Ende die entstandene Gleichung nach der gesuchten Steigung auf.

1. Schnittpunkte von \(f(x) = \sqrt{x}\) und \(g(x) = mx\) berechnen: \(\sqrt{x} = mx \Rightarrow x = m^2x^2 \Rightarrow x(1 - m^2x) = 0\). Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \frac{1}{m^2}\). 2. Integral für den Flächeninhalt \(A\) im Intervall \([0; \frac{1}{m^2}]\) aufstellen: \(A = \int_{0}^{\frac{1}{m^2}} (\sqrt{x} - mx) \, dx\). 3. Stammfunktion bestimmen und Integral berechnen: \(\left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{m}{2}x^2 \right]_{0}^{\frac{1}{m^2}} = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{m^2}\right)^{\frac{3}{2}} - \frac{m}{2}\left(\frac{1}{m^2}\right)^2 = \frac{2}{3m^3} - \frac{1}{2m^3} = \frac{1}{6m^3}\). 4. Den berechneten Ausdruck mit dem gegebenen Flächeninhalt gleichsetzen: \(\frac{1}{6m^3} = \frac{4}{3}\). 5. Nach \(m\) auflösen: \(3 = 24m^3 \Rightarrow m^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow m = \frac{1}{2}\).

Die Steigung der Geraden muss \(m = \frac{1}{2}\) (oder \(0{,}5\)) betragen.

- Nutze die Symmetrie der Parabel \(f(x) = x^2\) zur \(y\)-Achse, um Rechnungen zu vereinfachen. - Wie hängen die Tangentensteigungen in den Punkten \(-k\) und \(k\) zusammen? - Für die Fläche \(A_2\) musst du die Fläche zwischen der Parabel und den beiden unterschiedlichen Tangentenstücken berechnen; eine Aufteilung des Integrals an der Nahtstelle der Tangenten ist hier sinnvoll. - Überlege dir, welche der Funktionen im jeweiligen Intervall die „obere“ und welche die „untere“ ist.

1. Ableitung \(f'(x) = 2x\). Tangente in \(A\): \(y = -2kx - k^2\). Tangente in \(B\): \(y = 2kx - k^2\). Schnittpunkt durch Gleichsetzen: \(-2kx - k^2 = 2kx - k^2 \Rightarrow 4kx = 0 \Rightarrow x_C = 0\). Einsetzen ergibt \(y_C = -k^2\). Also \(C(0\mid -k^2)\). 2. Sehne \(AB\) liegt auf der Geraden \(y = k^2\). Parabelsegment \(A_1 = \int_{-k}^{k} (k^2 - x^2) \, dx = [k^2x - \frac{1}{3}x^3]_{-k}^{k} = (k^3 - \frac{1}{3}k^3) - (-k^3 + \frac{1}{3}k^3) = \frac{4}{3}k^3\). 3. Fläche \(A_2\) zwischen Parabel und Tangenten (symmetrisch zur \(y\)-Achse): \(A_2 = 2\int_{0}^{k} (x^2 - (2kx - k^2)) \, dx = 2\int_{0}^{k} (x-k)^2 \, dx = 2[\frac{1}{3}(x-k)^3]_{0}^{k} = 2(0 - (-\frac{1}{3}k^3)) = \frac{2}{3}k^3\). 4. Verhältnis \(A_1 {:} A_2 = \frac{4}{3}k^3 {:} \frac{2}{3}k^3 = 2 {:} 1\). Das Verhältnis ist somit konstant \(2\).

1. Tangenten: \(y = -2kx - k^2\) und \(y = 2kx - k^2\); Schnittpunkt \(C(0\mid -k^2)\). 2. \(A_1 = \frac{4}{3}k^3\). 3. \(A_2 = \frac{2}{3}k^3\). 4. \(A_1 {:} A_2 = 2 {:} 1\). Das Verhältnis ist stets \(2\).

- Welche mathematische Bedingung muss für ein lokales Minimum an einer bestimmten Stelle erfüllt sein? - Kannst du die Funktion so umformen, dass du ihre Nullstellen direkt ablesen kannst? - In welchem Bereich musst du integrieren, um die eingeschlossene Fläche zu erhalten? - Achte darauf, dass die Fläche als absoluter Betrag des Integrals definiert ist. - Überprüfe am Ende mit der zweiten Ableitung, ob tatsächlich ein Minimum vorliegt.

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx\). 2. Bedingung für das lokale Minimum bei \(x = 2\) nutzen: \(f'(2) = 0 \implies 12a + 4b = 0 \implies b = -3a\). 3. Funktionsgleichung mit einem Parameter ausdrücken: \(f(x) = ax^3 - 3ax^2 = ax^2(x - 3)\). 4. Nullstellen bestimmen: \(x_1 = 0\) (doppelt) und \(x_2 = 3\). 5. Integral für den Flächeninhalt im Intervall \([0; 3]\) aufstellen: \(A = \left| \int_{0}^{3} (ax^3 - 3ax^2) \, dx \right| = 6{,}75\). 6. Integral berechnen: \(\int_{0}^{3} (ax^3 - 3ax^2) \, dx = a \cdot [\frac{1}{4}x^4 - x^3]_{0}^{3} = a \cdot (\frac{81}{4} - 27) = a \cdot (20{,}25 - 27) = -6{,}75a\). 7. Bestimmung von \(a\): \(\left| -6{,}75a \right| = 6{,}75 \implies |a| = 1\). 8. Überprüfung der Art des Extremums: \(f''(x) = 6ax + 2b = 6ax - 6a\). Für ein Minimum bei \(x=2\) muss \(f''(2) = 12a - 6a = 6a > 0\) gelten, daraus folgt \(a = 1\). 9. Berechnung von \(b\): \(b = -3 \cdot 1 = -3\).

\(a = 1\) und \(b = -3\)

- Welche Potenzen von \(x\) kommen in einer achsensymmetrischen Funktion vor? - Nutze die Symmetrie der Funktion aus, um die Berechnung der Gesamtfläche zu vereinfachen. - Wie viele Nullstellen muss die Funktion insgesamt haben, wenn sie achsensymmetrisch ist und durch den Ursprung sowie durch \(x=2\) verläuft? - Was bedeutet die Information über das lokale Maximum für das Vorzeichen des Streckungsfaktors?

1. Ansatz für eine achsensymmetrische Funktion 4. Grades: \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. Bedingung Ursprung: \(f(0) = 0 \implies c = 0\). 3. Bedingung Nullstelle: \(f(2) = 0 \implies 16a + 4b = 0 \implies b = -4a\). 4. Funktionsterm: \(f(x) = ax^4 - 4ax^2\). 5. Bedingung Maximum bei \(x=0\): \(f''(x) = 12ax^2 - 8a\); \(f''(0) = -8a < 0 \implies a > 0\). 6. Flächeninhalt bestimmen: Die Nullstellen liegen bei \(x=0\) und \(x=\pm 2\). Die Gesamtfläche setzt sich aus zwei symmetrischen Teilen zusammen: \(2 \cdot \left| \int_{0}^{2} (ax^4 - 4ax^2) \, dx \right| = 12{,}8\). 7. Integral berechnen: \(\int_{0}^{2} (ax^4 - 4ax^2) \, dx = \left[ \frac{a}{5}x^5 - \frac{4a}{3}x^3 \right]_{0}^{2} = \frac{32}{5}a - \frac{32}{3}a = -\frac{64}{15}a\). 8. Gleichung aufstellen: \(2 \cdot \frac{64}{15}a = 12{,}8 \implies \frac{128}{15}a = \frac{128}{10} \implies a = 1{,}5\). 9. Bestimmung von \(b\): \(b = -4 \cdot 1{,}5 = -6\). 10. Ergebnis: \(f(x) = 1{,}5x^4 - 6x^2\).

\(f(x) = 1{,}5x^4 - 6x^2\)

- Welche Begrenzungen hat die Fläche im ersten Quadranten? Bestimme den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse und die positiven Nullstellen. - Kannst du den Funktionsterm faktorisieren, um die Nullstellen leichter zu finden? - Berechne das Integral von der \(y\)-Achse bis zur ersten positiven Nullstelle. - Achte beim Lösen der Gleichung darauf, dass nur positive Werte für \(k\) gesucht sind.

1. Bestimmung der Grenzen: Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(f(0) = k^3\). Die Nullstellen der Funktion ergeben sich aus \(f(x) = (x-k)^2(x+k) = 0\) zu \(x_1 = k\) und \(x_2 = -k\). Für den ersten Quadranten ist die relevante Nullstelle \(x = k\). 2. Aufstellen des Integrals: Da der Graph für \(x \in [0; k]\) oberhalb der \(x\)-Achse verläuft, gilt \(A = \int_{0}^{k} (x^3 - kx^2 - k^2x + k^3) \, dx\). 3. Integration: \(\left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}kx^3 - \frac{1}{2}k^2x^2 + k^3x \right]_{0}^{k} = \frac{1}{4}k^4 - \frac{1}{3}k^4 - \frac{1}{2}k^4 + k^4 = \frac{3-4-6+12}{12}k^4 = \frac{5}{12}k^4\). 4. Berechnung von \(k\): \(\frac{5}{12}k^4 = \frac{20}{3} \implies 5k^4 = 80 \implies k^4 = 16\). Wegen \(k > 0\) ergibt sich \(k = 2\).

\(k = 2\)

- Setze die Funktionsgleichung gleich Null, um den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse zu finden. - Bestimme zuerst die Ableitung der Wurzelfunktion, um die Tangentensteigung berechnen zu können. - Die Fläche wird durch die \(y\)-Achse (links) und den Schnittpunkt (rechts) begrenzt. - Achte beim Integrieren der Wurzelfunktion auf die Potenzregeln.

1. Berechnung der positiven Nullstelle: \(k\sqrt{x} - x = 0 \iff \sqrt{x}(k - \sqrt{x}) = 0\). Da \(x_S > 0\), folgt \(\sqrt{x_S} = k\), also \(x_S = k^2\). 2. Bestimmung der Tangente in \(S(k^2 \mid 0)\): Die Ableitung ist \(g_k'(x) = \frac{k}{2\sqrt{x}} - 1\). Die Steigung ist \(g_k'(k^2) = \frac{k}{2k} - 1 = -\frac{1}{2}\). Die Tangente lautet \(t_k(x) = -\frac{1}{2}(x - k^2) = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}k^2\). 3. Berechnung des Flächeninhalts \(A\) durch Integration von \(0\) bis \(k^2\): Hier gilt \(t_k(x) \ge g_k(x)\). Die Differenzfunktion ist \(t_k(x) - g_k(x) = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}k^2 - k\sqrt{x}\). 4. Integral berechnen: \(A = \int_0^{k^2} \left( \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}k^2 - kx^{\frac{1}{2}} \right) \, dx = \left[ \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}k^2x - \frac{2}{3}kx^{\frac{3}{2}} \right]_0^{k^2} = \frac{1}{4}k^4 + \frac{1}{2}k^4 - \frac{2}{3}k^4 = \frac{1}{12}k^4\). 5. Bestimmung von \(k\): Aus \(\frac{1}{12}k^4 = \frac{4}{3}\) folgt \(k^4 = 16\). Da \(k > 0\), ist \(k = 2\).

a) \(x_S = k^2\) b) \(k = 2\)

- Überlege zuerst, welche Steigung die Tangente in einem lokalen Maximum hat. - Wie lautet die allgemeine Formel für die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen? - Die Integrationsgrenzen findest du durch Gleichsetzen der Funktion und der Tangente. - Faktorisiere die Differenzfunktion und nutze die Vielfachheit des Berührpunkts, um die weitere Schnittstelle zu bestimmen.

1. Bestimmung des lokalen Maximums: \(f_k'(x) = 2kx - 3x^2 = x(2k - 3x)\). Die Extremstelle bei \(x = \frac{2}{3}k\) liefert den Funktionswert \(y_{max} = f_k(\frac{2}{3}k) = \frac{4}{27}k^3\). 2. Gleichung der Tangente \(t\): Da es sich um ein Maximum handelt, ist die Tangente waagerecht mit der Gleichung \(t(x) = \frac{4}{27}k^3\). 3. Schnittpunkte von \(f_k\) und \(t\): \(kx^2 - x^3 = \frac{4}{27}k^3 \Rightarrow x^3 - kx^2 + \frac{4}{27}k^3 = 0\). Neben der doppelten Schnittstelle \(x = \frac{2}{3}k\) ergibt sich durch Polynomdivision oder Probieren die weitere Schnittstelle \(x = -\frac{1}{3}k\). 4. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \int_{-\frac{k}{3}}^{\frac{2k}{3}} (\frac{4}{27}k^3 - (kx^2 - x^3)) \, dx = [\frac{4}{27}k^3x - \frac{1}{3}kx^3 + \frac{1}{4}x^4]_{-\frac{k}{3}}^{\frac{2k}{3}}\). Einsetzen der Grenzen liefert \(A = \frac{1}{12}k^4\). 5. Bestimmung von \(k\): \(\frac{1}{12}k^4 = 108 \Rightarrow k^4 = 1296\). Da \(k > 0\), folgt \(k = 6\).

\(k = 6\)

- Bestimme zunächst die zweite Ableitung, um die Wendestellen zu finden. - Stelle die Tangentengleichung mithilfe der Punkt-Steigungs-Form auf. - Beim Integrieren über ein symmetrisches Intervall um Null vereinfachen sich oft Terme mit ungeraden Exponenten. - Überprüfe, welcher Graph im Integrationsintervall oberhalb des anderen liegt.

1. Bestimmung der Wendepunkte: \(g_k'(x) = 4x^3 - 3kx^2\), \(g_k''(x) = 12x^2 - 6kx = 6x(2x - k)\). Die Wendestellen liegen bei \(x = 0\) und \(x = \frac{k}{2}\). Der gesuchte Wendepunkt ist \(W(\frac{k}{2} \mid -\frac{k^4}{16})\). 2. Tangentengleichung an der Stelle \(x_w = \frac{k}{2}\): Die Steigung ist \(g_k'(\frac{k}{2}) = -\frac{1}{4}k^3\). Damit ergibt sich die Tangente \(t(x) = -\frac{1}{4}k^3(x - \frac{k}{2}) - \frac{k^4}{16} = -\frac{1}{4}k^3x + \frac{k^4}{16}\). 3. Schnittstellen von \(g_k\) und \(t\): \(x^4 - kx^3 = -\frac{1}{4}k^3x + \frac{k^4}{16} \Rightarrow (x - \frac{k}{2})^3(x + \frac{k}{2}) = 0\). Die Schnittstellen sind \(x = \frac{k}{2}\) (dreifach) und \(x = -\frac{k}{2}\). 4. Flächeninhalt berechnen: \(A = \int_{-\frac{k}{2}}^{\frac{k}{2}} |t(x) - g_k(x)| \, dx = \int_{-\frac{k}{2}}^{\frac{k}{2}} (-x^4 + kx^3 - \frac{1}{4}k^3x + \frac{k^4}{16}) \, dx\). Da die ungeraden Potenzen über dem symmetrischen Intervall verschwinden, bleibt \(2\int_0^{\frac{k}{2}} (-x^4 + \frac{k^4}{16}) \, dx = 2[-\frac{1}{5}x^5 + \frac{k^4}{16}x]_0^{\frac{k}{2}} = \frac{1}{20}k^5\). 5. Bestimmung von \(k\): \(\frac{1}{20}k^5 = 1{,}6 \Rightarrow k^5 = 32 \Rightarrow k = 2\).

\(k = 2\)

- Untersuche zuerst, wo sich die Graphen schneiden. Eine Substitution könnte bei der Gleichung helfen. - Achte auf Symmetrien in den Funktionsgleichungen, um dir Rechenarbeit zu sparen. - Denke daran, dass beim Integrieren von \(\frac{1}{x^2}\) die Potenzregel für negative Exponenten angewendet werden kann. - Welcher Graph liegt im relevanten Bereich oberhalb des anderen?

1. Bestimmung der Schnittstellen: \(\frac{8}{x^2} = 9 - x^2 \Rightarrow x^4 - 9x^2 + 8 = 0\). Mit der Substitution \(u = x^2\) folgt \(u^2 - 9u + 8 = 0\), woraus \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 8\) resultieren. Die Schnittstellen sind somit \(x = \pm 1\) und \(x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}\). 2. Aufgrund der Achsensymmetrie beider Funktionen zur \(y\)-Achse reicht die Berechnung für den Bereich \(x > 0\) im Intervall \([1; \sqrt{8}]\). In diesem Intervall gilt \(g(x) \geq f(x)\). 3. Berechnung des Integrals der Differenzfunktion \(h(x) = g(x) - f(x) = 9 - x^2 - 8x^{-2}\): \(\int_{1}^{\sqrt{8}} (9 - x^2 - 8x^{-2}) \,\text{d}x = [9x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{8}{x}]_{1}^{\sqrt{8}}\). 4. Einsetzen der Grenzen: An der Stelle \(\sqrt{8}\) ergibt sich \(9\sqrt{8} - \frac{8\sqrt{8}}{3} + \frac{8}{\sqrt{8}} = 9\sqrt{8} - \frac{8\sqrt{8}}{3} + \sqrt{8} = 10\sqrt{8} - \frac{8\sqrt{8}}{3} = \frac{22\sqrt{8}}{3} = \frac{44\sqrt{2}}{3}\). An der Stelle \(1\) ergibt sich \(9 - \frac{1}{3} + 8 = \frac{50}{3}\). 5. Die Teilfläche rechts beträgt \(A_{\text{rechts}} = \frac{44\sqrt{2} - 50}{3}\). Der Gesamtflächeninhalt ist das Doppelte: \(A = 2 \cdot \frac{44\sqrt{2} - 50}{3} = \frac{88\sqrt{2} - 100}{3}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{88\sqrt{2} - 100}{3} \approx 8{,}15\) Flächeneinheiten.

- Bestimme zuerst die Schnittstellen der beiden Funktionen in Abhängigkeit von \(k\). - Untersuche die Symmetrie der Differenzfunktion. Was bedeutet Punktsymmetrie für die Flächeninhalte links und rechts vom Symmetriepunkt? - Stelle eine Formel für den Gesamtflächeninhalt in Abhängigkeit von \(k\) auf. - Löse die entstandene Gleichung nach \(k\) auf.

1. Schnittstellen bestimmen: \(x^3 - k^2x = 0 \Rightarrow x(x-k)(x+k) = 0\). Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = -k\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = k\). 2. Da die Differenzfunktion \(h(x) = x^3 - k^2x\) ungerade ist (\(h(-x) = -h(x)\)), ist ihr Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Daraus folgt direkt, dass die Flächeninhalte über \([-k; 0]\) und \([0; k]\) gleich groß sein müssen. 3. Berechnung eines Teilflächeninhalts: \(A_1 = |\int_{0}^{k} (x^3 - k^2x) \, dx| = |[\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}k^2x^2]_{0}^{k}| = |\frac{1}{4}k^4 - \frac{1}{2}k^4| = |-\frac{1}{4}k^4| = \frac{1}{4}k^4\). Wegen der Symmetrie ist der Inhalt der anderen Fläche ebenfalls \(A_2 = \frac{1}{4}k^4\). 4. Gesamtfläche berechnen: \(A_{\text{ges}} = A_1 + A_2 = \frac{1}{2}k^4\). 5. Parameter \(k\) bestimmen: \(\frac{1}{2}k^4 = 8 \Rightarrow k^4 = 16\). Da \(k > 0\) gefordert ist, folgt \(k = 2\).

a) Die Flächeninhalte sind aufgrund der Punktsymmetrie der Differenzfunktion \(h(x) = x^3 - k^2x\) stets gleich \(A = \frac{1}{4}k^4\). b) Der gesuchte Wert ist \(k = 2\).

- Überlege dir zuerst, wie man den Flächeninhalt unter einer Kurve mit einem Integral berechnet. - Für die vertikale Teilung musst du die obere Integrationsgrenze so wählen, dass genau die Hälfte des Gesamtwerts herauskommt. - Bei der horizontalen Teilung hilft eine Skizze: Die Fläche unter der Geraden \(y=c\) besteht teilweise aus einem Rechteck und teilweise aus einer Fläche unter der Kurve. - Achte bei der horizontalen Teilung darauf, ob die Gerade den Graphen innerhalb des Intervalls schneidet oder komplett darunter liegt.

1. Berechnung des Gesamtflächeninhalts: \(A = \int_{1}^{4} \frac{4}{x^2} \, dx = \left[ -\frac{4}{x} \right]_{1}^{4} = -1 - (-4) = 3\). 2. Bestimmung von \(k\): Die Bedingung \(\int_{1}^{k} \frac{4}{x^2} \, dx = 1{,}5\) führt auf \(\left[ -\frac{4}{x} \right]_{1}^{k} = 1{,}5\), also \(-\frac{4}{k} + 4 = 1{,}5\). Daraus folgt \(\frac{4}{k} = 2{,}5\) und somit \(k = 1{,}6\). 3. Bestimmung von \(c\): Da \(f(1) = 4\) und \(f(4) = 0{,}25\), liegt die gesuchte Gerade im Bereich der Funktionswerte. Die Fläche unterhalb von \(y = c\) setzt sich aus einem Rechteck und einem Integral zusammen: \(A_{unten} = \int_{1}^{x_c} c \, dx + \int_{x_c}^{4} \frac{4}{x^2} \, dx = 1{,}5\) mit \(c = \frac{4}{x_c^2}\) bzw. \(x_c = \frac{2}{\sqrt{c}}\). 4. Einsetzen und Lösen: \(c \cdot (\frac{2}{\sqrt{c}} - 1) + \left[ -\frac{4}{x} \right]_{\frac{2}{\sqrt{c}}}^{4} = 2\sqrt{c} - c - 1 + 2\sqrt{c} = 4\sqrt{c} - c - 1\). Die Gleichung \(4\sqrt{c} - c - 1 = 1{,}5\) führt mit \(u = \sqrt{c}\) auf \(u^2 - 4u + 2{,}5 = 0\). Die Lösung im Intervall ist \(u = 2 - \sqrt{1{,}5}\), woraus \(c = (2 - \sqrt{1{,}5})^2 = 5{,}5 - 2\sqrt{6} \approx 0{,}601\) folgt.

a) \(A = 3\) b) \(k = 1{,}6\) c) \(c = 5{,}5 - 2\sqrt{6} \approx 0{,}601\)

- Erinnere dich an die Bedingungen für Wendestellen und wie man Tangentengleichungen aufstellt. - Zeichne dir die Situation skizzenhaft im Kopf vor: Wo liegen die Wendepunkte und wo schneiden sich die Tangenten? - Das Dreieck wird nach unten durch die Gerade begrenzt, die die Wendepunkte verbindet. - Eine Teilfläche liegt zwischen dem Graphen und der unteren Dreiecksseite, die andere zwischen dem Graphen und den Tangenten. - Berechne zuerst die Gesamtfläche des Dreiecks mit der klassischen Formel für Dreiecke.

1. Wendepunkte bestimmen: \(g''(x) = 6x^2 - 6 = 0 \Rightarrow x = \pm 1\). Mit \(g'''(x) = 12x \neq 0\) sind dies Wendestellen. Funktionswerte: \(g(1) = 0{,}5 - 3 + 4 = 1{,}5\) und \(g(-1) = 1{,}5\). Wendepunkte: \(W_1(1 \mid 1{,}5)\) und \(W_2(-1 \mid 1{,}5)\). 2. Geradengleichungen: Die Verbindungsgerade ist \(y = 1{,}5\). Steigungen der Tangenten: \(g'(1) = 2(1)^3 - 6(1) = -4\) und \(g'(-1) = 4\). Tangentengleichungen: \(t_1: y = -4(x-1) + 1{,}5 = -4x + 5{,}5\) und \(t_2: y = 4(x+1) + 1{,}5 = 4x + 5{,}5\). 3. Dreiecksfläche: Der Schnittpunkt der Tangenten liegt bei \(4x + 5{,}5 = -4x + 5{,}5 \Rightarrow x=0, y=5{,}5\). Das Dreieck hat die Grundseite \(g = 1 - (-1) = 2\) auf der Geraden \(y = 1{,}5\) und die Höhe \(h = 5{,}5 - 1{,}5 = 4\). Fläche \(A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\). 4. Teilfläche zwischen Graph und Verbindungsgerade: \(A_1 = \int_{-1}^{1} (g(x) - 1{,}5) \, dx = \int_{-1}^{1} (0{,}5x^4 - 3x^2 + 2{,}5) \, dx = [0{,}1x^5 - x^3 + 2{,}5x]_{-1}^{1} = 1{,}6 - (-1{,}6) = 3{,}2\). 5. Zweite Teilfläche und Verhältnis: \(A_2 = A_{Dreieck} - A_1 = 4 - 3{,}2 = 0{,}8\). Das Verhältnis ist \(A_1 {:} A_2 = 3{,}2 {:} 0{,}8 = 4 {:} 1\).

a) Wendepunkte: \(W_1(1 \mid 1{,}5)\), \(W_2(-1 \mid 1{,}5)\). Wendetangenten: \(y = -4x + 5{,}5\) und \(y = 4x + 5{,}5\). Verbindungsgerade: \(y = 1{,}5\). b) Der Graph teilt die Dreiecksfläche im Verhältnis \(4 {:} 1\).

- Überlege zuerst, wo sich der Graph und die Gerade schneiden. Diese Stellen sind deine Integrationsgrenzen. - Du kannst die beiden Brüche der Funktion \(f\) zu einem einzigen Bruch zusammenfassen, um die Schnittpunkte leichter zu berechnen. - Erinnere dich daran, wie man Funktionen der Form \(\frac{1}{x+a}\) integriert. - Überprüfe, welche der beiden Funktionen im betrachteten Intervall die größeren Werte annimmt, um das Integral korrekt aufzustellen.

1. Berechnung der Schnittpunkte von \(f\) und \(y = 3\): Die Gleichung \(\frac{3}{x} - \frac{3}{x - 6} = 3\) führt nach Zusammenfassen der Brüche zu \(\frac{-18}{x(x - 6)} = 3\). Dies ergibt die quadratische Gleichung \(x^2 - 6x + 6 = 0\) mit den Lösungen \(x_1 = 3 - \sqrt{3}\) und \(x_2 = 3 + \sqrt{3}\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt \(A\): Da \(y = 3\) im Intervall \([3 - \sqrt{3}; 3 + \sqrt{3}]\) oberhalb von \(f(x)\) liegt (Prüfung durch Testwert \(x=3\): \(f(3) = 2 < 3\)), gilt: \(A = \int_{3 - \sqrt{3}}^{3 + \sqrt{3}} (3 - (\frac{3}{x} - \frac{3}{x - 6})) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = 3x - 3\ln|x| + 3\ln|x - 6|\). 4. Auswertung des bestimmten Integrals: \(A = [3x + 3\ln|\frac{x - 6}{x}|]_{3 - \sqrt{3}}^{3 + \sqrt{3}}\). Einsetzen der Grenzen liefert \(A = (9 + 3\sqrt{3} + 3\ln|2 - \sqrt{3}|) - (9 - 3\sqrt{3} + 3\ln|2 + \sqrt{3}|)\). Unter Verwendung von \(\ln(2 - \sqrt{3}) = -\ln(2 + \sqrt{3})\) ergibt sich der Flächeninhalt zu \(6\sqrt{3} + 6\ln(2 - \sqrt{3})\) bzw. \(6\sqrt{3} - 6\ln(2 + \sqrt{3})\). Numerischer Wert: \(A \approx 2{,}49\).

Der Flächeninhalt beträgt \(6\sqrt{3} + 6\ln(2 - \sqrt{3}) \approx 2{,}49\).

- Erinnere dich daran, wie man die Steigung einer Tangente mithilfe der Ableitung bestimmt. - Die \(y\)-Achse entspricht einer senkrechten Geraden bei einem bestimmten \(x\)-Wert. Welcher ist das? - Überlege, welche der beiden Funktionen im relevanten Bereich oberhalb der anderen liegt. - Welche Stammfunktionen benötigst du für die einzelnen Summanden der Differenzfunktion?

1. Ableitung der Funktion bilden: \(f'(x) = 0{,}5x - \frac{4}{(x+1)^2}\) 2. Steigung der Tangente im Punkt \(P\) berechnen: \(f'(1) = 0{,}5 \cdot 1 - \frac{4}{(1+1)^2} = 0{,}5 - 1 = -0{,}5\) 3. Gleichung der Tangente \(t\) ermitteln: \(t(x) = -0{,}5(x - 1) + 2{,}25 = -0{,}5x + 2{,}75\) 4. Grenzen des Integrals festlegen: Die untere Grenze ist \(x = 0\) (wegen der \(y\)-Achse), die obere Grenze ist die \(x\)-Koordinate des Berührpunktes \(x = 1\). 5. Differenzfunktion \(d(x) = f(x) - t(x)\) aufstellen: \(d(x) = \frac{1}{4}x^2 + \frac{4}{x+1} - (-0{,}5x + 2{,}75) = \frac{1}{4}x^2 + 0{,}5x - 2{,}75 + \frac{4}{x+1}\) 6. Bestimmtes Integral berechnen: \(\int_{0}^{1} (\frac{1}{4}x^2 + 0{,}5x - 2{,}75 + \frac{4}{x+1}) \, dx = [\frac{1}{12}x^3 + 0{,}25x^2 - 2{,}75x + 4 \ln|x+1|]_{0}^{1} = (\frac{1}{12} + 0{,}25 - 2{,}75 + 4 \ln 2) - 0 = 4 \ln 2 - \frac{29}{12}\)

Der Flächeninhalt beträgt \(4 \ln 2 - \frac{29}{12} \approx 0{,}356\).

- Skizziere die Situation grob, um die Lage der Graphen zueinander im 3. Quadranten zu verstehen. - Welche Punkte bilden die Ecken der gesuchten Fläche? Bestimme dazu alle paarweisen Schnittpunkte der drei Randkurven. - Zerlege die Fläche in zwei Teilbereiche, da sich die untere Begrenzung an einer Stelle ändert. - Achte beim Integrieren darauf, dass du „obere Funktion minus untere Funktion“ rechnest, damit der Flächeninhalt positiv wird.

1. Schnittpunkte bestimmen: - Schnitt mit der Geraden \(y = x\): \(\frac{x^3 - 3x - 2}{x^2} = x \Rightarrow x^3 - 3x - 2 = x^3 \Rightarrow -3x - 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}\). Der Schnittpunkt liegt bei \(P(-\frac{2}{3} \mid -\frac{2}{3})\). - Schnitt mit der \(x\)-Achse (\(f(x) = 0\)): \(x^3 - 3x - 2 = 0\). Durch Probieren oder Polynomdivision findet man die Nullstellen \(x_1 = -1\) (doppelt) und \(x_2 = 2\). Für den 3. Quadranten ist \(x = -1\) relevant. - Die Gerade \(y = x\) schneidet die \(x\)-Achse im Punkt \(O(0\mid 0)\). 2. Integral aufstellen: - Die Fläche wird im Intervall \([-1; -\frac{2}{3}]\) durch die \(x\)-Achse (oben) und den Graphen von \(f\) (unten) begrenzt. - Im Intervall \([-\frac{2}{3}; 0]\) wird sie durch die \(x\)-Achse (oben) und die Gerade \(y = x\) (unten) begrenzt. - \(A = \int_{-1}^{-\frac{2}{3}} (0 - f(x)) \, dx + \int_{-\frac{2}{3}}^0 (0 - x) \, dx\). 3. Integration: - Mit \(f(x) = x - \frac{3}{x} - \frac{2}{x^2}\) ergibt sich \(\int (-f(x)) \, dx = \int (-x + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}) \, dx = -\frac{1}{2}x^2 + 3\ln|x| - \frac{2}{x} + C\). - Erster Teil: \([-\frac{1}{2}x^2 + 3\ln|x| - \frac{2}{x}]_{-1}^{-\frac{2}{3}} = (-\frac{2}{9} + 3\ln(\frac{2}{3}) + 3) - (-\frac{1}{2} + 0 + 2) = \frac{25}{9} + 3\ln(\frac{2}{3}) - \frac{3}{2} = \frac{23}{18} + 3\ln(\frac{2}{3})\). - Zweiter Teil (Dreiecksfläche): \([-\frac{1}{2}x^2]_{-\frac{2}{3}}^0 = 0 - (-\frac{2}{9}) = \frac{2}{9} = \frac{4}{18}\). 4. Gesamtergebnis: - \(A = \frac{23}{18} + \frac{4}{18} + 3\ln(\frac{2}{3}) = \frac{27}{18} + 3\ln(\frac{2}{3}) = 1{,}5 + 3\ln(\frac{2}{3}) \approx 0{,}284\).

Der Inhalt der Fläche beträgt \(A = 1{,}5 + 3\ln\left(\frac{2}{3}\right) \approx 0{,}284\,\text{FE}\).

- Untersuche zuerst das Monotonieverhalten oder die Nullstellen der ersten Ableitung, um das Maximum zu finden. - Fällt dir eine Besonderheit im Aufbau des Bruchs auf, wenn du Zähler und Nenner vergleichst? - Erinnere dich an die Regel für Integrale der Form \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx\). - Nutze Logarithmengesetze, um den finalen Ausdruck zu vereinfachen.

1. Bestimmung der Extremstelle \(x_M\): Die Ableitung von \(g_k(x)\) nach der Quotientenregel lautet \(g_k'(x) = \frac{2x(x^3+k^3) - x^2(3x^2)}{(x^3+k^3)^2} = \frac{2x^4 + 2xk^3 - 3x^4}{(x^3+k^3)^2} = \frac{x(2k^3 - x^3)}{(x^3+k^3)^2}\). Die Nullstelle der Ableitung im Bereich \(x > 0\) liegt bei \(2k^3 - x^3 = 0\), woraus \(x^3 = 2k^3\) und somit \(x_M = \sqrt[3]{2} \cdot k\) folgt. 2. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \int_{0}^{\sqrt[3]{2}k} \frac{x^2}{x^3 + k^3} \, dx\). Da der Zähler bis auf einen konstanten Faktor die Ableitung des Nenners ist (\(\frac{d}{dx}(x^3+k^3) = 3x^2\)), kann eine Stammfunktion direkt als \(\frac{1}{3} \ln|x^3 + k^3|\) angegeben werden. 3. Auswertung des Integrals: \(A = \left[ \frac{1}{3} \ln(x^3 + k^3) \right]_{0}^{\sqrt[3]{2}k} = \frac{1}{3} \left( \ln((\sqrt[3]{2}k)^3 + k^3) - \ln(0^3 + k^3) \right) = \frac{1}{3} (\ln(2k^3 + k^3) - \ln(k^3)) = \frac{1}{3} (\ln(3k^3) - \ln(k^3))\). 4. Vereinfachung mithilfe der Logarithmengesetze: \(A = \frac{1}{3} \ln\left(\frac{3k^3}{k^3}\right) = \frac{1}{3} \ln(3)\). Dieser Wert ist konstant und somit unabhängig von \(k\).

Die Maximalstelle liegt bei \(x_M = k \cdot \sqrt[3]{2}\). Der Flächeninhalt berechnet sich zu \(A = \frac{1}{3} \ln(3) \approx 0{,}366\). Da dieser Wert für alle \(k > 0\) identisch ist, ist die Fläche unabhängig von \(k\).

- Wie hängen die Nullstellen des Zählers mit den Nullstellen der gesamten Funktion zusammen? - Nutze die Quotientenregel, um die Ableitung zu bilden und die Extrema zu finden. - Überlege dir, welche Substitution den Integranden so vereinfacht, dass eine einfache Potenzregel angewendet werden kann. - Denke daran, dass der natürliche Logarithmus für Werte zwischen 0 und 1 negativ ist.

1. Nullstelle bestimmen: \(f(x) = 0 \iff (\ln x)^2 = 0 \iff \ln x = 0 \iff x = 1\). 2. Lokale Extrema bestimmen: Die Ableitung \(f'(x) = \frac{2 \ln x - (\ln x)^2}{x^2} = \frac{\ln x \cdot (2 - \ln x)}{x^2}\) besitzt Nullstellen bei \(x = 1\) (Minimum, da \(f(x) \ge 0\)) und \(x = e^2\). Die \(y\)-Koordinate des Hochpunkts ist \(f(e^2) = \frac{4}{e^2}\), also \(H(e^2 \mid 4e^{-2})\). 3. Flächeninhalt in b): Das Intervall ist \([1; e^2]\). Eine Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{1}{3} (\ln x)^3\) (mittels Substitution \(u = \ln x\)). Der Flächeninhalt ist \(\int_1^{e^2} f(x) \, dx = [\frac{1}{3} (\ln x)^3]_1^{e^2} = \frac{1}{3} \cdot 2^3 - 0 = \frac{8}{3}\). 4. Flächeninhalt in c): Das Integral über \([c; 1]\) ist \(\int_c^1 f(x) \, dx = [\frac{1}{3} (\ln x)^3]_c^1 = 0 - \frac{1}{3} (\ln c)^3 = -\frac{1}{3} (\ln c)^3\). 5. Gleichung für \(c\) lösen: \(-\frac{1}{3} (\ln c)^3 = \frac{8}{3} \iff (\ln c)^3 = -8 \iff \ln c = -2 \iff c = e^{-2}\). Da \(e^{-2} \in (0; 1)\), ist dies die gesuchte Lösung.

a) Nullstelle bei \(x = 1\); Hochpunkt \(H(e^2 \mid \frac{4}{e^2})\) b) Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{8}{3}\). c) \(c = e^{-2}\) (ca. \(0{,}135\))

- Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Nutze die drei gegebenen Punkte, um ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten der Parabel aufzustellen. - Überlege dir, welche der beiden Funktionen im gegebenen Intervall größere Werte annimmt, um den Integranden für die Fläche korrekt aufzustellen. - Stelle eine Gleichung auf, in der der berechnete Flächenterm dem Wert 1 entspricht.

1. Die Ableitung ist \(f_a'(x) = a \cos(x)\). Die Nullstelle im Intervall \([0; \pi]\) liegt bei \(x = \frac{\pi}{2}\). Mit \(f_a(\frac{\pi}{2}) = a \cdot 1 + 1 = a + 1\) ergibt sich der Hochpunkt \(H(\frac{\pi}{2} \mid a + 1)\). 2. Der Ansatz \(q_a(x) = rx^2 + sx + c\) führt mit \(q_a(0) = 1\) zu \(c = 1\). Aus \(q_a(\pi) = 1\) folgt \(r\pi^2 + s\pi = 0\), also \(s = -r\pi\). Einsetzen des Hochpunkts \(q_a(\frac{\pi}{2}) = a + 1\) ergibt \(r(\frac{\pi}{2})^2 - r\pi(\frac{\pi}{2}) + 1 = a + 1\), woraus \(-\frac{\pi^2}{4}r = a\) und somit \(r = -\frac{4a}{\pi^2}\) folgt. Es ergibt sich \(s = \frac{4a}{\pi}\). Der Funktionsterm lautet \(q_a(x) = -\frac{4a}{\pi^2}x^2 + \frac{4a}{\pi}x + 1\). 3. Da \(q_a(x) \geq f_a(x)\) auf dem Intervall \([0; \pi]\) gilt, berechnet sich die Fläche über \(A(a) = \int_0^\pi (q_a(x) - f_a(x)) \, dx = \int_0^\pi (-\frac{4a}{\pi^2}x^2 + \frac{4a}{\pi}x - a \sin(x)) \, dx\). Die Stammfunktion ist \(F_a(x) = -\frac{4a}{3\pi^2}x^3 + \frac{2a}{\pi}x^2 + a \cos(x)\). Auswertung an den Grenzen liefert \(A(a) = (-\frac{4a\pi}{3} + 2a\pi - a) - (a) = \frac{2\pi}{3}a - 2a = a(\frac{2\pi}{3} - 2)\). 4. Durch Gleichsetzen \(a(\frac{2\pi}{3} - 2) = 1\) erhält man \(a = \frac{1}{\frac{2\pi}{3} - 2} = \frac{3}{2\pi - 6} \approx 10{,}594\).

1. \(H(\frac{\pi}{2} \mid a + 1)\) 2. \(q_a(x) = -\frac{4a}{\pi^2}x^2 + \frac{4a}{\pi}x + 1\) 3. \(A(a) = a \cdot (\frac{2\pi}{3} - 2)\) 4. \(a = \frac{3}{2\pi - 6} \approx 10{,}594\)

- Wie setzt man zwei Funktionen gleich, um Schnittstellen zu finden? - Wenn zwei Flächenstücke zwischen zwei Graphen gleich groß sein sollen, was sagt das über das Integral der Differenzfunktion über das gesamte Intervall aus? - Nutze die partielle Integration, um eine Stammfunktion für \(x \cdot \sin(x)\) zu finden. - Achte beim Berechnen der Teilfläche darauf, welche Funktion in welchem Bereich oberhalb der anderen liegt.

1. Schnittstellen: Gleichung \(x \sin(x) = k \sin(x) \Leftrightarrow (x-k) \sin(x) = 0\). Da \(k \in (0; \pi)\) gilt, liegen im Intervall \([0; \pi]\) die drei Schnittstellen \(x=0\), \(x=k\) und \(x=\pi\). 2. Flächengleichheit: Die Bedingung für zwei gleich große Flächenstücke zwischen den Schnittstellen \(0\), \(k\) und \(\pi\) ist \(\int_0^\pi (f(x) - g_k(x)) \, dx = 0\). 3. Berechnung: \(\int_0^\pi (x \sin(x) - k \sin(x)) \, dx = \int_0^\pi x \sin(x) \, dx - k \int_0^\pi \sin(x) \, dx = 0\). 4. Stammfunktion von \(x \sin(x)\) per partieller Integration: \(-x \cos(x) + \sin(x)\). Das Integral über \([0; \pi]\) ergibt \(( -\pi \cos(\pi) + \sin(\pi)) - 0 = \pi\). 5. Das Integral \(\int_0^\pi \sin(x) \, dx = [-\cos(x)]_0^\pi = -(-1) - (-1) = 2\). 6. Gleichung: \(\pi - 2k = 0 \Rightarrow k = \frac{\pi}{2}\). 7. Flächeninhalt: \(A = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\frac{\pi}{2} \sin(x) - x \sin(x)) \, dx\). Eine Stammfunktion des Integranden ist \((x - \frac{\pi}{2}) \cos(x) - \sin(x)\). 8. Damit gilt \(A = [(x - \frac{\pi}{2}) \cos(x) - \sin(x)]_0^{\frac{\pi}{2}} = -1 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - 1\).

a) Nachweis über \((x-k) \sin(x) = 0\). b) \(k = \frac{\pi}{2}\). c) Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{\pi}{2} - 1 \approx 0{,}571\).

- Bestimme zuerst die Gleichung der Tangente \(t\) an der gegebenen Stelle \(x_0\). - Schaue dir den Graphen an, um die Integrationsgrenzen und die begrenzenden Funktionen zu identifizieren. - Überlege dir, welche Funktion in dem Bereich „oben“ und welche „unten“ liegt. - Bei Teilaufgabe b) ist die Fläche durch die \(x\)-Achse begrenzt; beachte, dass Tangente und Funktionsgraph unterschiedliche Nullstellen haben.

a) 1. Tangentengleichung aufstellen: \(f(2) = 5\), \(f'(x) = 2x\), also \(f'(2) = 4\). Tangente: \(y = 4(x-2) + 5 = 4x - 3\). 2. Differenzfunktion bilden: \(h(x) = f(x) - t(x) = x^2 + 1 - (4x - 3) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2\). 3. Fläche berechnen: \(A = \int_{0}^{2} (x-2)^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}(x-2)^3 \right]_{0}^{2} = 0 - (-\frac{8}{3}) = \frac{8}{3} \approx 2{,}67\). b) 1. Tangentengleichung aufstellen: \(f(1) = 3\), \(f'(x) = -\frac{8}{x^3}\), also \(f'(1) = -8\). Tangente: \(y = -8(x-1) + 3 = -8x + 11\). 2. Nullstellen bestimmen: \(f(x) = 0 \Rightarrow x = 2\). Tangente \(t(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{11}{8} = 1{,}375\). 3. Fläche berechnen: Die Fläche liegt zwischen \(x=1\) und \(x=2\). Sie setzt sich zusammen aus dem Integral unter \(f\) abzüglich der Fläche unter der Tangente (ein Dreieck). \(A = \int_{1}^{2} (\frac{4}{x^2} - 1) \, dx - \int_{1}^{1{,}375} (-8x + 11) \, dx\). \(\int_{1}^{2} f(x) \, dx = \left[ -\frac{4}{x} - x \right]_{1}^{2} = (-2-2) - (-4-1) = -4 + 5 = 1\). Dreiecksfläche: \(\frac{1}{2} \cdot (1{,}375 - 1) \cdot 3 = 0{,}5 \cdot 0{,}375 \cdot 3 = 0{,}5625 = \frac{9}{16}\). Gesamtfläche: \(A = 1 - 0{,}5625 = 0{,}4375 = \frac{7}{16}\).

a) \(A = \frac{8}{3} \approx 2{,}67\) b) \(A = 0{,}4375 = \frac{7}{16}\)