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- Welche der beiden Funktionen bildet auf dem ganzen Intervall die obere Begrenzung? - Für eine Fläche zwischen zwei Graphen steht im Integranden „oben minus unten“.

1. Für den Flächeninhalt wird auf dem gesamten Intervall „oberer Graph minus unterer Graph“ integriert. 2. Daher lautet der Ansatz \(\int_0^2(3-x)\,\mathrm{d}x\).

\(\int_0^2(3-x)\,\mathrm{d}x\)

- Betrachte nur die linke und rechte Begrenzung der schattierten Fläche. - Welche \(x\)-Werte liegen an diesen beiden senkrechten Randlinien?

1. Die markierte Fläche beginnt bei \(x=1\) und endet bei \(x=4\). 2. Die Integrationsgrenzen sind daher \(1\) und \(4\).

Untere Integrationsgrenze: \(1\) Obere Integrationsgrenze: \(4\)

- An welchen Stellen berührt oder kreuzt der Graph die waagerechte Achse? - Nutze die Symmetrie der Parabel, um die Form besser zu verstehen. - Verwende die Messwerkzeuge deiner Software, um den Inhalt der Fläche zwischen Graph und Achse zu bestimmen.

1. Bestimmung der Nullstellen durch Lösen von \(g(x) = 0\): \(-0{,}5(x - 2)^2 + 4{,}5 = 0 \implies (x - 2)^2 = 9\). Daraus ergeben sich \(x_1 = 2 - 3 = -1\) und \(x_2 = 2 + 3 = 5\). 2. Der relevante Bereich für die Fläche liegt zwischen \(x = -1\) und \(x = 5\). 3. Verwendung eines digitalen Werkzeugs (z. B. GeoGebra-Befehl „Integral“ oder Zählen von Kästchen bei feiner Skalierung), um den Flächeninhalt unter der Parabel in diesem Intervall zu bestimmen. 4. Die exakte Berechnung ergibt: \(\int_{-1}^{5} (-0{,}5(x-2)^2 + 4{,}5) \, dx = [- \frac{1}{6}(x-2)^3 + 4{,}5x]_{-1}^5 = (- \frac{27}{6} + 22{,}5) - (\frac{27}{6} - 4{,}5) = 18 - 0 = 18\).

Die Nullstellen liegen bei \(x = -1\) und \(x = 5\). Der Flächeninhalt beträgt \(18\) Flächeneinheiten.

- Wie gehst du vor, um den höchsten Punkt auf der \(y\)-Achse zu finden? - Welcher \(x\)-Wert gehört zum Punkt, an dem der Graph die \(x\)-Achse im positiven Bereich schneidet? - Nutze eine Funktion in deinem Programm, die Flächen unter Kurven berechnen kann.

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(h(0) = 3{,}6\). Der Punkt ist \((0\mid 3{,}6)\). 2. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle) im ersten Quadranten: \(0 = -0{,}1x^2 + 3{,}6 \implies x^2 = 36 \implies x = 6\) (da nur der erste Quadrant betrachtet wird). Der Punkt ist \((6\mid 0)\). 3. Die Fläche wird durch \(x=0\), \(y=0\) und den Graphen von \(h\) für \(0 \le x \le 6\) begrenzt. 4. Berechnung mit digitalem Werkzeug: Der Flächeninhalt entspricht dem Wert des Integrals von \(0\) bis \(6\). 5. Rechnung: \(\int_{0}^{6} (-0{,}1x^2 + 3{,}6) \, dx = [- \frac{0{,}1}{3}x^3 + 3{,}6x]_0^6 = (- \frac{0{,}1}{3} \cdot 216 + 3{,}6 \cdot 6) - 0 = -7{,}2 + 21{,}6 = 14{,}4\).

Die Schnittpunkte im ersten Quadranten sind \((0\mid 3{,}6)\) und \((6\mid 0)\). Der Flächeninhalt beträgt \(14{,}40\) Flächeneinheiten.

- Welche der beiden Funktionen liefert im gegebenen Bereich größere Werte? - Stelle eine Differenzfunktion auf, bevor du integrierst. - Achte beim Bilden der Differenzfunktion besonders auf die Vorzeichen in der Klammer. - Die Fläche wird durch das bestimmte Integral der Differenzfunktion über dem Intervall berechnet.

1. Vergleich der Funktionswerte zur Bestimmung der oberen Funktion: \(f(0) = 5\) und \(g(0) = 1\). Da keine Schnittstelle im Intervall \([0; 3]\) vorliegt, gilt \(f(x) > g(x)\) für alle \(x \in [0; 3]\). 2. Aufstellen der Differenzfunktion: \(h(x) = f(x) - g(x) = (2x + 5) - (x^2 - 2x + 1) = -x^2 + 4x + 4\). 3. Berechnung des bestimmten Integrals: \(\int_0^3 (-x^2 + 4x + 4) \, dx\). 4. Bestimmung der Stammfunktion: \(H(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(H(3) = -\frac{1}{3} \cdot 27 + 2 \cdot 9 + 4 \cdot 3 = -9 + 18 + 12 = 21\) und \(H(0) = 0\). 6. Ergebnis: \(A = 21 - 0 = 21\).

Der Flächeninhalt beträgt \(21\).

- Wie lautet die allgemeine Regel, um eine Stammfunktion für eine Potenzfunktion zu finden? - Welche Integrationsgrenzen musst du verwenden? - Denk an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Man berechnet die Differenz der Stammfunktionswerte an den Intervallgrenzen. - Achte beim Einsetzen negativer Werte besonders auf die Vorzeichenregeln.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = x^2 + 2\): \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2x\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(A = \int_{-1}^{2} (x^2 + 2) \, dx = [F(x)]_{-1}^{2} = F(2) - F(-1)\). 3. Berechnung der Funktionswerte der Stammfunktion: \(F(2) = \frac{1}{3} \cdot 2^3 + 2 \cdot 2 = \frac{8}{3} + 4 = \frac{20}{3}\) und \(F(-1) = \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 + 2 \cdot (-1) = -\frac{1}{3} - 2 = -\frac{7}{3}\). 4. Differenzbildung: \(A = \frac{20}{3} - \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{27}{3} = 9\).

Der Flächeninhalt beträgt \(9\) Flächeneinheiten.

- An welchen Stellen schneidet oder berührt der Graph die waagerechte Achse? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Fläche unter einer Kurve zu berechnen? - Überlege dir, in welchem Intervall die Fläche genau liegt. - Wie gehst du vor, wenn das Ergebnis der Berechnung negativ ist?

1. Bestimmung der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse (Nullstellen): \(-x^2 + 2x + 3 = 0\). Durch Anwendung der p-q-Formel oder Faktorisieren \(-(x-3)(x+1) = 0\) ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 2. Aufstellen des bestimmten Integrals in den Grenzen der Nullstellen: \(\int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \, dx\). 3. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F(x) = -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x\). 4. Berechnung des Integralwerts: \(F(3) - F(-1) = (-\frac{1}{3} \cdot 27 + 9 + 9) - (-\frac{1}{3} \cdot (-1) + 1 - 3) = 9 - (-\frac{5}{3}) = \frac{32}{3}\). 5. Der Flächeninhalt beträgt \(10\frac{2}{3}\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{32}{3}\) (oder ca. \(10{,}67\)) Flächeneinheiten.

- Wie findet man heraus, wo sich zwei Graphen treffen? - Was musst du tun, wenn du den Bereich zwischen zwei Kurven berechnen möchtest? - Überlege dir, welche Funktion in dem relevanten Intervall oberhalb der anderen liegt. - Welche Rolle spielt die Differenzfunktion bei der Flächenberechnung?

1. Bestimmung der Schnittstellen durch Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x^2 - 4x + 5 = -x^2 + 8x - 11 \iff 2x^2 - 12x + 16 = 0 \iff x^2 - 6x + 8 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\). 2. Aufstellen der Differenzfunktion \(h(x) = g(x) - f(x) = -2x^2 + 12x - 16\). 3. Berechnung des bestimmten Integrals der Differenzfunktion in den Grenzen von \(2\) bis \(4\): \(\int_{2}^{4} (-2x^2 + 12x - 16) \, dx\). 4. Bestimmung einer Stammfunktion: \(H(x) = -\frac{2}{3}x^3 + 6x^2 - 16x\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(H(4) - H(2) = (-\frac{128}{3} + 96 - 64) - (-\frac{16}{3} + 24 - 32) = -\frac{32}{3} - (-\frac{40}{3}) = \frac{8}{3}\). Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{8}{3}\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{8}{3} \approx 2{,}67\) Flächeneinheiten.

- Wie lässt sich das Integral einer Summe aufteilen? - Welche Stammfunktionen gehören zu \(e^x\) und \(3x^2\)? - Setze anschließend die Integrationsgrenzen ein.

1. Mit der Summenregel gilt \(\int_0^1(e^x+3x^2)\,\mathrm{d}x=\int_0^1e^x\,\mathrm{d}x+\int_0^1 3x^2\,\mathrm{d}x\). 2. Stammfunktionen sind \(e^x\) beziehungsweise \(x^3\). Daher ist \(\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x=[e^x+x^3]_0^1\). 3. Einsetzen der Grenzen ergibt \((e+1)-(1+0)=e\).

\(\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x=e\)

- Prüfe zuerst, ob der Graph im gegebenen Intervall oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Denk daran, dass \(e\) eine konstante Zahl ist, wenn du die Stammfunktion bildest. - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse in einem festen Intervall?

1. Überprüfung der Nullstellen und des Vorzeichens: \(e^x - e = 0\) liefert \(x = 1\). Für \(x \in [1; 2]\) gilt \(e^x \geq e\), somit ist \(h(x) \geq 0\). Der Flächeninhalt entspricht dem bestimmten Integral. 2. Bestimmung einer Stammfunktion von \(h(x) = e^x - e\): \(H(x) = e^x - ex\). 3. Anwendung des Hauptsatzes: \(A = \int_{1}^{2} (e^x - e) \, dx = [e^x - ex]_1^2\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(H(2) = e^2 - 2e\) und \(H(1) = e^1 - e \cdot 1 = 0\). 5. Ergebnis: \(A = (e^2 - 2e) - 0 = e^2 - 2e\).

Der Flächeninhalt beträgt \(e^2 - 2e\) Flächeneinheiten.

- Überlege dir, wie du die einzelnen Summanden der Funktion getrennt integrieren kannst. - Achte besonders auf das Vorzeichen beim Integrieren von \(e^{-x}\). - Was passiert mit dem konstanten Faktor vor der Exponentialfunktion beim Bilden der Stammfunktion?

1. Die Funktion \(f(x) = 3e^{-x} + x\) ist für alle \(x \in [0; 2]\) positiv, da der erste Summand positiv und der zweite Summand nichtnegativ ist. 2. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F(x) = -3e^{-x} + \frac{1}{2}x^2\). 3. Berechnung des Integrals über dem Intervall \([0; 2]\): \(I = \int_{0}^{2} (3e^{-x} + x) \, dx = F(2) - F(0)\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(F(2) = -3e^{-2} + \frac{1}{2} \cdot 2^2 = -3e^{-2} + 2\) und \(F(0) = -3e^0 + 0 = -3\). 5. Differenz bilden: \(A = (-3e^{-2} + 2) - (-3) = 5 - 3e^{-2} \approx 4{,}594\).

Der Flächeninhalt beträgt \(A = 5 - 3e^{-2} \approx 4{,}594\,\text{FE}\).

- Liegt der dargestellte Sinusbogen im gesamten Intervall oberhalb der \(x\)-Achse? - Welche Stammfunktion besitzt \(\sin(x)\)? - Wann entspricht ein bestimmtes Integral direkt einem Flächeninhalt?

1. Auf \([0;\pi]\) gilt \(\sin(x)\geq0\), daher ist \(A=\int_0^{\pi}\sin(x)\,\mathrm{d}x\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=-\cos(x)\). 3. Damit gilt \(A=[-\cos(x)]_0^{\pi}=2\).

\(2\,\text{FE}\)

- Welches Vorzeichen hat \(g\) im markierten Intervall? - Welche Stammfunktion besitzt \(2\cos(x)\)? - Wie wird ein bestimmtes Integral mithilfe einer Stammfunktion ausgewertet?

1. Im angegebenen Intervall liegt der Graph auf oder oberhalb der \(x\)-Achse. Daher ist \(A=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}2\cos(x)\,dx\). 2. Eine Stammfunktion ist \(G(x)=2\sin(x)\). 3. Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt \(A=2\sin(\frac{\pi}{2})-2\sin(-\frac{\pi}{2})=4\).

\(4\,\text{FE}\)

- Wo liegen die Schnittpunkte der Parabel mit der \(x\)-Achse? - Wenn eine Fläche unterhalb der \(x\)-Achse liegt, was bedeutet das für das Vorzeichen des Integrals? - Wie erhältst du aus einem negativen Integralwert einen positiven Flächeninhalt?

1. Nullstellenberechnung von \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2\): \(0 = 0{,}5x^2 - 2 \Rightarrow 4 = x^2 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 2\). 2. Da die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse liegt, ist das Integral negativ. Der Flächeninhalt ist der Betrag des Integrals: \(A = \left| \int_{-2}^{2} (0{,}5x^2 - 2) \, dx \right|\). 3. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{6}x^3 - 2x\). 4. Berechnung des Integrals: \(\int_{-2}^{2} (0{,}5x^2 - 2) \, dx = (\frac{8}{6} - 4) - (-\frac{8}{6} + 4) = \frac{4}{3} - 4 + \frac{4}{3} - 4 = \frac{8}{3} - 8 = -\frac{16}{3}\). 5. Der Flächeninhalt ist \(A = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5{,}33\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5{,}33\).

- Welches Vorzeichen hat \(h\) zwischen den beiden Nullstellen? - Welche Stammfunktion kannst du für den verschobenen Quadratterm verwenden? - Wie wird ein negativer Integralwert in einen geometrischen Flächeninhalt überführt?

1. Es gilt \(h(1)=h(3)=0\). Zwischen diesen Nullstellen liegt die Parabel unterhalb der \(x\)-Achse. 2. Eine Stammfunktion ist \(H(x)=\frac13(x-2)^3-x\). 3. Das bestimmte Integral ist \(H(3)-H(1)=-\frac43\). Daher beträgt der geometrische Flächeninhalt \(A=\frac43\,\text{FE}\).

\(A=\frac43\,\text{FE}\approx1{,}33\,\text{FE}\)

- Bestimme zunächst die Grenzen der Fläche, indem du die Schnittpunkte der Funktionen berechnest. - Betrachte den Graphen, um zu entscheiden, welche Funktion von welcher abgezogen werden muss. - Nutze die Regeln der Integralrechnung, um die Stammfunktion zu bilden.

1. Berechnung der Schnittpunkte: \(-x^2 + 4x = x \Rightarrow x^2 - 3x = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 2. Bestimmung der oberen Funktion: Im Intervall \([0; 3]\) gilt \(f(x) \geq g(x)\). 3. Aufstellen des Integrals: \(A = \int_{0}^{3} (-x^2 + 4x - x) \, dx = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) \, dx\). 4. Integration: \([-\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2]_{0}^{3} = (-\frac{1}{3} \cdot 27 + \frac{3}{2} \cdot 9) - 0 = -9 + 13{,}5 = 4{,}5\). Der Flächeninhalt beträgt \(4{,}5\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt beträgt \(4{,}5\) Flächeneinheiten.

- Wie kannst du die Steigung und den \(y\)-Achsenabschnitt einer Geraden aus dem Koordinatensystem ablesen? - Überlege, welche Funktion im eingeschlossenen Bereich die größeren Funktionswerte hat (oben liegt). - Denke an das bestimmte Integral zur Berechnung von Flächeninhalten zwischen zwei Kurven. - Bestimme zuerst die Schnittpunkte der beiden Graphen, um die Integrationsgrenzen zu finden.

1. Die Gerade verläuft durch \((-2 \mid 0)\) und \((0 \mid 2)\). Ihre Steigung ist \(1\), der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(2\). Somit ist \(g(x)=x+2\). 2. Aus \(-x^2+4=x+2\) folgt \(x^2+x-2=0\), also \(x_1=-2\) und \(x_2=1\). 3. Im Intervall \([-2; 1]\) liegt \(f\) oberhalb von \(g\). Daher gilt \(A=\int_{-2}^{1}(-x^2-x+2)\,\mathrm{d}x\). 4. Es ergibt sich \(A=\left[-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+2x\right]_{-2}^{1}=\frac{9}{2}=4{,}5\).

a) Die Funktionsgleichung der Geraden lautet \(g(x) = x + 2\). b) Der Inhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt \(4{,}5\) Flächeneinheiten.

- Lies zuerst die beiden Schnittstellen aus der Abbildung ab. - Welche der beiden Funktionen liefert zwischen den Schnittstellen jeweils den größeren \(y\)-Wert? - Für einen geometrischen Flächeninhalt zwischen zwei Graphen wird „oberer Graph minus unterer Graph“ integriert.

1. Die beiden Graphen schneiden sich bei \(x=-1\) und \(x=1\); dies sind die Integrationsgrenzen der markierten Fläche. 2. Zwischen diesen Grenzen liegt der Graph von \(f\) oberhalb des Graphen von \(g\). 3. Daher ist der Flächeninhalt \(A=\int_{-1}^{1}(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^{1}((2-x^2)-x^2)\,\mathrm{d}x\).

\(A=\int_{-1}^{1}((2-x^2)-x^2)\,\mathrm{d}x\)

- Prüfe getrennt, ob die Integrationsgrenzen und die Reihenfolge der Funktionen stimmen. - Welcher Graph liegt im markierten Bereich oben? - Ein geometrischer Flächeninhalt soll nicht durch einen überall nichtpositiven Integranden beschrieben werden.

1. Die Integrationsgrenzen \(-1\) und \(2\) sind korrekt, denn dort schneiden sich die beiden Graphen. 2. Im gesamten Intervall \([-1;2]\) liegt \(f\) oberhalb von \(g\). Daher ist \(g(x)-f(x)\le0\) und Noahs Integral liefert keinen positiven geometrischen Flächeninhalt. 3. Richtig ist \(A=\int_{-1}^{2}(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^{2}((x+2)-x^2)\,\mathrm{d}x\).

Noahs Ansatz hat die falsche Reihenfolge der Funktionen. Richtig ist \(A=\int_{-1}^{2}((x+2)-x^2)\,\mathrm{d}x\).

- Überlege zuerst, welcher der beiden Graphen im gesamten Intervall oberhalb des anderen liegt. - Wie lautet die allgemeine Formel für den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen? - Erinnere dich an die Stammfunktionen von gebrochen-rationalen Funktionen und Exponentialfunktionen. - Nutze Logarithmengesetze, um das Ergebnis im ersten Teil zu vereinfachen.

1. Für Teilaufgabe a): Da \(f(0) = 2 > g(0) = 1\) und kein Schnittpunkt im Intervall vorliegt, gilt \(f(x) > g(x)\). Das Integral lautet \(\int_0^4 (\frac{4}{x+2} - (1 - 0{,}5x)) \, dx = \int_0^4 (\frac{4}{x+2} - 1 + 0{,}5x) \, dx\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = 4\ln|x+2| - x + 0{,}25x^2\). Auswertung an den Grenzen: \(F(4) = 4\ln(6) - 4 + 4 = 4\ln(6)\) und \(F(0) = 4\ln(2)\). Der Flächeninhalt beträgt \(4\ln(6) - 4\ln(2) = 4\ln(3) \approx 4{,}394\). 2. Für Teilaufgabe b): Da \(f(0) = 2 > g(0) = 1\), gilt \(f(x) > g(x)\). Das Integral lautet \(\int_0^1 (e^x + 1 - e^{-x}) \, dx\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = e^x + x + e^{-x}\). Auswertung an den Grenzen: \(F(1) = e^1 + 1 + e^{-1}\) und \(F(0) = e^0 + 0 + e^0 = 2\). Der Flächeninhalt beträgt \(e + e^{-1} + 1 - 2 = e + e^{-1} - 1 \approx 2{,}086\).

a) \(A = 4\ln(3) \approx 4{,}394\) b) \(A = e + e^{-1} - 1 \approx 2{,}086\)

- Überlege zuerst, welche der beiden Funktionen im betrachteten Intervall größere Werte annimmt. - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen über einem bestimmten Intervall? - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks. - Stelle eine Gleichung auf, die den berechneten Integralwert mit der geometrischen Flächenformel verknüpft.

1. Bestimmung der Differenzfunktion: \(h(x) = f(x) - g(x) = (x^2 + 4) - \frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}x^2 + 4\). Da \(f(x) > g(x)\) für alle \(x\) gilt, ist der Flächeninhalt durch das Integral der Differenzfunktion gegeben. 2. Berechnung des Integrals: \(A(k) = \int_{0}^{k} (\frac{1}{2}x^2 + 4) \, dx = \left[ \frac{1}{6}x^3 + 4x \right]_{0}^{k} = \frac{1}{6}k^3 + 4k\). 3. Aufstellen der Bedingung: Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot k \cdot 10 = 5k\). 4. Lösen der Gleichung: \(\frac{1}{6}k^3 + 4k = 5k \implies \frac{1}{6}k^3 = k\). Da \(k > 0\), folgt \(k^2 = 6\) und somit \(k = \sqrt{6}\).

a) \(A(k) = \frac{1}{6}k^3 + 4k\) b) \(k = \sqrt{6}\)

- Nutze die Symmetrie der Funktionen zur \(y\)-Achse, um die Integration zu vereinfachen. - Wie lautet die allgemeine Regel für die Integration von Potenzfunktionen? - Welche geometrische Formel beschreibt den Inhalt eines Rechtecks? - Überlege, wie du die resultierende Gleichung nach \(t\) auflösen kannst, wenn \(t\) als Faktor in jedem Term vorkommt.

1. Bestimmung der Differenzfunktion: \(h(x) = f(x) - g(x) = (2x^2 + 1) - (x^2 - 2) = x^2 + 3\). Da \(f(x) > g(x)\) für alle \(x\), liegt kein Vorzeichenwechsel vor. 2. Berechnung des Flächeninhalts über Symmetrie: \(A(t) = \int_{-t}^{t} (x^2 + 3) \, dx = 2\int_{0}^{t} (x^2 + 3) \, dx = 2\left[ \frac{1}{3}x^3 + 3x \right]_{0}^{t} = \frac{2}{3}t^3 + 6t\). 3. Gleichsetzung mit dem Rechteckinhalt: Die Bedingung lautet \(A(t) = t \cdot 8 = 8t\). 4. Lösen der Gleichung: \(\frac{2}{3}t^3 + 6t = 8t \implies \frac{2}{3}t^3 = 2t\). Division durch \(t\) (da \(t > 0\)) ergibt \(\frac{2}{3}t^2 = 2\), woraus \(t^2 = 3\) und somit \(t = \sqrt{3}\) folgt.

a) \(A(t) = \frac{2}{3}t^3 + 6t\) b) \(t = \sqrt{3}\)

- Bestimme zunächst die Tangente bei \(x=e\) und die Schnittpunkte beider Randgraphen mit der \(x\)-Achse. - Welche größere einfache Fläche kannst du berechnen, aus der du anschließend einen Teil abziehst? - Nutze für das Integral von \(\ln(x)\) die im Aufgabentext gegebene Stammfunktion.

1. Es gilt \(f(e)=1\) und \(f'(e)=\frac1e\). Die Tangente lautet daher \(t(x)=\frac1e(x-e)+1=\frac{x}{e}\). 2. Der Graph von \(f\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=1\), die Tangente bei \(x=0\). 3. Die gesuchte Fläche ist die Fläche unter der Tangente von \(0\) bis \(e\) minus die Fläche unter \(f\) von \(1\) bis \(e\). 4. Es ist \(\int_0^e\frac{x}{e}\,\text{d}x=\frac e2\) und mithilfe der gegebenen Stammfunktion \(\int_1^e\ln(x)\,\text{d}x=L(e)-L(1)=1\). 5. Somit beträgt der Flächeninhalt \(A=\frac e2-1\approx0{,}359\,\text{FE}\).

\(A=\frac e2-1\approx0{,}359\,\text{FE}\)

- Bestimme die Schnittpunkte der Kurve mit der \(x\)-Achse und der Geraden \(g\). - Berechne zunächst nur das Flächenstück rechts der \(y\)-Achse. - Zerlege dieses Flächenstück in ein Rechteck und einen durch ein Integral bestimmten Anteil. - Verdopple anschließend wegen der Symmetrie zur \(y\)-Achse.

1. Nachweis des Schnittpunkts: Einsetzen von \(x = 1\) in die Funktionsgleichung ergibt \(f(1) = 2 - \frac{18}{1^2} = 2 - 18 = -16\). Da dieser Wert mit dem \(y\)-Wert der Geraden \(g\) übereinstimmt, liegt ein Schnittpunkt bei \(x = 1\) vor. 2. Bestimmung der Flächenanteile für \(x > 0\): Die Fläche setzt sich aus einem Rechteck und einem Flächenstück unter dem Graphen zusammen. 3. Berechnung des Rechtecks: Für \(x \in [0; 1]\) wird die Fläche durch die \(x\)-Achse (\(y=0\)) und die Gerade \(g\) (\(y=-16\)) begrenzt. Der Inhalt beträgt \(A_{\text{Rechteck}} = 1 \cdot | -16 | = 16\). 4. Berechnung des Integrals: Für \(x \in [1; 3]\) wird die Fläche durch die \(x\)-Achse und den Graphen von \(f\) begrenzt. Da der Graph unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, gilt: \(A_{\text{Integral}} = \int_{1}^{3} (0 - f(x)) \, dx = \int_{1}^{3} (\frac{18}{x^2} - 2) \, dx\). 5. Stammfunktion und Auswertung: \([- \frac{18}{x} - 2x]_1^3 = (- \frac{18}{3} - 2 \cdot 3) - (- \frac{18}{1} - 2 \cdot 1) = (-6 - 6) - (-18 - 2) = -12 + 20 = 8\). 6. Gesamtfläche: Die Fläche auf der rechten Seite ist \(16 + 8 = 24\). Aufgrund der Symmetrie zur \(y\)-Achse beträgt der gesamte Flächeninhalt \(A_{\text{Gesamt}} = 2 \cdot 24 = 48\).

Die beiden symmetrischen Flächenstücke haben zusammen den Flächeninhalt \(48\).

- Wie findet man die Stellen, an denen sich zwei Graphen treffen? - Überlege, wie viele abgeschlossene Flächenstücke entstehen können, wenn es drei Schnittstellen gibt. - Musst du die Graphen zeichnen, um zu wissen, welche Funktion oben liegt, oder gibt es einen rechnerischen Weg? - Was passiert mit dem Vorzeichen des Integrals, wenn die Graphen ihre Position (oben/unten) tauschen?

1. Berechnung der Schnittstellen durch Gleichsetzen: \(x^3 - 2x = x^2 \Leftrightarrow x^3 - x^2 - 2x = 0\). Ausklammern liefert \(x(x^2 - x - 2) = 0\), woraus sich mit der \(pq\)-Formel die Schnittstellen \(x_1 = -1\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\) ergeben. 2. Bestimmung der Teilflächen durch Integration der Differenzfunktion \(h(x) = f(x) - g(x) = x^3 - x^2 - 2x\). Eine Stammfunktion ist \(H(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - x^2\). 3. Erstes Intervall \([-1; 0]\): \(H(0) - H(-1) = 0 - (\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1) = 0 - (-\frac{5}{12}) = \frac{5}{12}\). 4. Zweites Intervall \([0; 2]\): \(H(2) - H(0) = (\frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 4) - 0 = -\frac{8}{3}\). 5. Der gesamte Flächeninhalt ergibt sich aus der Summe der Beträge: \(A = |\frac{5}{12}| + |-\frac{8}{3}| = \frac{5}{12} + \frac{32}{12} = \frac{37}{12}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{37}{12} \approx 3{,}083\) Flächeneinheiten.

- Welche Ableitung von \(f\) liefert die Steigung der Tangente bei \(x=a\)? - Über welches Intervall erstreckt sich die durch die \(y\)-Achse und den Berührpunkt begrenzte Fläche? - Stelle den Flächeninhalt als Integral der Differenz von oberem und unterem Graphen auf.

1. Es gilt \(f'(x)=3x^2\). Die Tangente im Punkt mit \(x=a\) hat daher die Gleichung \(t(x)=3a^2(x-a)+a^3=3a^2x-2a^3\). 2. Im Intervall \([0;a]\) liegt der Graph von \(f\) oberhalb der Tangente. Somit ist \(A(a)=\int_0^a\bigl(x^3-3a^2x+2a^3\bigr)\,\text{d}x\). 3. Eine Stammfunktion ist \(\frac14x^4-\frac32a^2x^2+2a^3x\). Eingesetzt an den Grenzen ergibt sich \(A(a)=\frac14a^4-\frac32a^4+2a^4=\frac34a^4\).

\(A(a)=\frac34a^4\)

- Welche Ableitung brauchst du für die Tangentensteigung bei \(x=1\)? - Welche beiden \(x\)-Werte begrenzen die eingeschlossene Fläche? - Prüfe, welcher Graph zwischen diesen Grenzen oben liegt.

1. Es gilt \(f(1)=e\) und \(f'(1)=e\). Daher lautet die Tangente \(t(x)=e(x-1)+e=ex\). 2. Die Fläche liegt zwischen \(x=0\) und dem Berührpunkt \(x=1\). Wegen der Konvexität von \(e^x\) liegt der Funktionsgraph dort oberhalb der Tangente. 3. Somit ist \(A=\int_0^1(e^x-ex)\,\text{d}x=\left[e^x-\frac e2x^2\right]_0^1=\frac e2-1\).

\(A=\frac e2-1\,\text{FE}\)

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Gerade, wenn der y-Achsenabschnitt bekannt ist? - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen über einem bestimmten Intervall? - Nutze die Information über den Flächeninhalt, um eine Gleichung für die unbekannte Steigung aufzustellen. - Achte darauf, dass die Gerade im angegebenen Bereich nicht unter die x-Achse fallen darf.

1. Bestimmung des Schnittpunkts auf der \(y\)-Achse: \(f(0) = \frac{18}{(0 + 1)^2} = 18\). Damit hat die Gerade die Form \(g(x) = mx + 18\). 2. Berechnung des Integrals von \(f\) über dem Intervall \([0; 2]\): \(\int_{0}^{2} \frac{18}{(x+1)^2} \, dx = \left[ -\frac{18}{x+1} \right]_{0}^{2} = -6 - (-18) = 12\). 3. Berechnung des Integrals der Geraden \(g\) über \([0; 2]\): \(\int_{0}^{2} (mx + 18) \, dx = \left[ \frac{1}{2}mx^2 + 18x \right]_{0}^{2} = 2m + 36\). 4. Ansatz für den Flächeninhalt: \(| (2m + 36) - 12 | = 10\), also \(| 2m + 24 | = 10\). 5. Lösen der Gleichung: \(2m + 24 = 10 \Rightarrow m = -7\) oder \(2m + 24 = -10 \Rightarrow m = -17\). 6. Überprüfung der Lage im I. Quadranten: Für \(m = -7\) ist \(g(2) = 4 > 0\). Für \(m = -17\) ist \(g(2) = -16 < 0\), womit die Fläche nicht vollständig im I. Quadranten läge. Zudem liegt \(g(x) = -7x + 18\) im relevanten Intervall stets oberhalb von \(f(x)\). Die gesuchte Gleichung ist \(g(x) = -7x + 18\).

\(g(x) = -7x + 18\)

- Überlege zuerst, an welchen Stellen sich die Parabel und die Gerade schneiden. - Welche der beiden Funktionen liegt im betrachteten Intervall oberhalb der anderen? - Nutze die Symmetrie der Parabel zur \(y\)-Achse, um die Rechnung zu vereinfachen. - Erinnere dich daran, wie man eine Potenzfunktion integriert.

1. Berechnung der Schnittstellen: \(x^2 = k^2 \implies x_1 = -k, x_2 = k\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt: \(A(k) = \int_{-k}^{k} (k^2 - x^2) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion und Auswertung: \(\left[ k^2 x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-k}^{k} = (k^3 - \frac{1}{3}k^3) - (-k^3 + \frac{1}{3}k^3) = \frac{2}{3}k^3 - (-\frac{2}{3}k^3) = \frac{4}{3}k^3\). 4. Lösen der Gleichung für \(k\): \(\frac{4}{3}k^3 = 36 \implies k^3 = 27 \implies k = 3\).

a) \(A(k) = \frac{4}{3}k^3\) b) \(k = 3\)

- Bestimme zuerst die Stelle, an der \(f_a\) die Gerade \(y=1\) schneidet. - Welche der beiden Funktionen liegt zwischen \(x=0\) und dem Schnittpunkt oben? - Für \(e^{-x}\) kannst du die bekannte Stammfunktion einer Exponentialfunktion mit linearem Exponenten verwenden. - Vereinfache am Ende \(e^{-\ln(a)}\).

1. Der Schnittpunkt mit \(y=1\) erfüllt \(ae^{-x}=1\). Daraus folgt \(x=\ln(a)\). 2. Wegen \(a>1\) liegt \(f_a\) auf \([0;\ln(a)]\) oberhalb der Geraden \(y=1\). Daher gilt \(A(a)=\int_0^{\ln(a)}(ae^{-x}-1)\,\mathrm{d}x\). 3. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=-ae^{-x}-x\). 4. Damit ist \(A(a)=[-ae^{-x}-x]_0^{\ln(a)}=-1-\ln(a)+a=a-\ln(a)-1\).

\(A(a) = a - \ln(a) - 1\)

- Wie lautet die allgemeine Regel für das Integrieren von Potenzfunktionen der Form \(x^n\)? - Was bedeutet die Bedingung \(F(1) = 0\) für die Integrationskonstante? - Erinnere dich daran, dass der Flächeninhalt unter einem Graphen über einem Intervall durch das bestimmte Integral berechnet wird. - Überlege dir, wie du eine Gleichung der Form \(\frac{a}{x^n} = b\) nach \(x\) auflösen kannst.

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion durch Integration von \(f(x) = 6x^{-4}\): \(F(x) = \frac{6}{-3}x^{-3} + C = -\frac{2}{x^3} + C\). 2. Einsetzen der Bedingung \(F(1) = 0\): \(-\frac{2}{1^3} + C = 0 \implies -2 + C = 0 \implies C = 2\). Die gesuchte Stammfunktion ist \(F(x) = 2 - \frac{2}{x^3}\). 3. Ansatz für den Flächeninhalt als bestimmtes Integral von \(1\) bis \(k\): \(\int_{1}^{k} \frac{6}{x^4} \, dx = \left[ -\frac{2}{x^3} \right]_{1}^{k} = -\frac{2}{k^3} - \left( -\frac{2}{1^3} \right) = 2 - \frac{2}{k^3}\). 4. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(2 - \frac{2}{k^3} = 1{,}75\). 5. Auflösen nach \(k\): \(\frac{2}{k^3} = 0{,}25 = \frac{1}{4} \implies k^3 = 8 \implies k = 2\).

a) \(F(x) = 2 - \frac{2}{x^3}\) b) \(k = 2\)

- Wie hängen Ableitung und Stammfunktion zusammen? - Kannst du die Wurzelausdrücke in Potenzschreibweise mit rationalen Exponenten umschreiben? - Nutze den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, um die Fläche zu berechnen. - Wie kehrt man die Operationen „Quadrieren“ und „Ziehen der dritten Wurzel“ um?

1. Nachweis der Stammfunktion durch Ableiten: \(G(x) = 2x^{\frac{2}{3}} \implies G'(x) = 2 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{4}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{4}{3\sqrt[3]{x}}\). Da \(G'(x) = g(x)\), ist \(G\) eine Stammfunktion. 2. Berechnung des Flächeninhalts über das Integral: \(\int_{1}^{a} g(x) \, dx = [G(x)]_{1}^{a} = G(a) - G(1) = 2\sqrt[3]{a^2} - 2\sqrt[3]{1^2} = 2\sqrt[3]{a^2} - 2\). 3. Gleichsetzen mit dem Flächeninhalt \(6\): \(2\sqrt[3]{a^2} - 2 = 6\). 4. Auflösen der Gleichung: \(2\sqrt[3]{a^2} = 8 \implies \sqrt[3]{a^2} = 4\). 5. Bestimmung von \(a\): \(a^2 = 4^3 = 64 \implies a = \sqrt{64} = 8\) (da \(a > 1\)).

a) Der Nachweis erfolgt durch \(G'(x) = g(x)\). b) \(a = 8\)

- Wie lassen sich die Grenzen der Fläche bestimmen, die vom Graphen und der Achse eingeschlossen wird? - Welche Integrationsregel hilft dir bei der Stammfunktion einer Wurzelfunktion? - Überlege dir, wie du den Parameter \(k\) in der Stammfunktion behandelst. - Nachdem du das Integral in Abhängigkeit von \(k\) berechnet hast, kannst du eine Gleichung aufstellen.

1. Bestimmung der Schnittstellen mit der \(x\)-Achse: \(k\sqrt{x} - x = 0 \Rightarrow \sqrt{x}(k - \sqrt{x}) = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = k^2\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt \(A\): Da \(k\sqrt{x} \geq x\) für \(x \in [0; k^2]\), gilt \(A = \int_{0}^{k^2} (k\sqrt{x} - x) \, dx\). 3. Berechnung der Stammfunktion und des Integrals: \(\int_{0}^{k^2} (k x^{\frac{1}{2}} - x) \, dx = \left[ \frac{2}{3}k x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{k^2} = \frac{2}{3}k(k^2)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}(k^2)^2 = \frac{2}{3}k^4 - \frac{1}{2}k^4 = \frac{1}{6}k^4\). 4. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(\frac{1}{6}k^4 = 13{,}5 \Rightarrow k^4 = 81\). 5. Lösen nach \(k\): Da \(k > 0\) gefordert ist, folgt \(k = \sqrt[4]{81} = 3\).

\(k = 3\)

- Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung der Sekante durch die beiden Randpunkte des Funktionsgraphen. - Welche Ableitung entscheidet über die Konvexität von \(f\)? - Für den Flächeninhalt brauchst du die Differenz aus oberem und unterem Graphen.

1. Es gilt \(f(0)=\frac12\) und \(f(2)=\frac12e^2-2\). Daher ist die Sekantensteigung \(m=\frac{f(2)-f(0)}{2}=\frac14e^2-\frac54\). 2. Die Sekante lautet \(s(x)=\left(\frac14e^2-\frac54\right)x+\frac12\). 3. Da \(f''(x)=\frac12e^x>0\), ist \(f\) konvex. Die Sekante liegt daher im Intervall oberhalb des Graphen. 4. Somit ist \(A=\int_0^2(s(x)-f(x))\,\text{d}x\). Nach Vereinfachung lautet der Integrand \(\left(\frac14e^2-\frac14\right)x+\frac12-\frac12e^x\). 5. Eine Stammfunktion ist \(\frac18(e^2-1)x^2+\frac12x-\frac12e^x\). Die Auswertung von \(0\) bis \(2\) ergibt \(A=1\,\text{FE}\).

Mittlere Änderungsrate: \(\frac14e^2-\frac54\) Sekante: \(s(x)=\left(\frac14e^2-\frac54\right)x+\frac12\) Flächeninhalt: \(1\,\text{FE}\)

- Welche Nullstellen liegen im vorgegebenen Intervall und teilen es in Bereiche mit konstantem Vorzeichen? - Berechne die bestimmten Integrale auf diesen Teilintervallen getrennt. - Wie musst du die Teilintegrale für einen geometrischen Flächeninhalt zusammenfassen?

1. Aus der Produktform ergeben sich die Nullstellen \(x=-2\), \(x=1\) und \(x=2\). Diese Stellen teilen \([-3;3]\) in vier Bereiche mit konstantem Vorzeichen von \(f\). 2. Ausmultipliziert ist \(f(x)=x^3-x^2-4x+4\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac14x^4-\frac13x^3-2x^2+4x\). 3. Die Teilintegrale sind \(\int_{-3}^{-2}f(x)\,\text{d}x=-\frac{103}{12}\), \(\int_{-2}^{1}f(x)\,\text{d}x=\frac{45}{4}\), \(\int_{1}^{2}f(x)\,\text{d}x=-\frac{7}{12}\) und \(\int_{2}^{3}f(x)\,\text{d}x=\frac{47}{12}\). 4. Der geometrische Flächeninhalt ist die Summe der Beträge: \(A=\frac{103+135+7+47}{12}=\frac{73}{3}\,\text{FE}\approx24{,}33\,\text{FE}\).

\(A=\frac{73}{3}\,\text{FE}\approx24{,}33\,\text{FE}\)

- Welche Nullstelle liegt im vorgegebenen Intervall? - Warum muss die Flächenberechnung dort aufgeteilt werden? - Wie werden negative und positive Flächenbeiträge zu einem geometrischen Flächeninhalt zusammengefasst?

1. Die Nullstellen von \(f\) sind \(x=-2\) und \(x=2\). Im vorgegebenen Intervall liegt nur \(x=2\). 2. Daher wird bei \(x=2\) geteilt. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac16x^3-2x\). 3. Auf \([-1;2]\) ergibt sich der Flächenbeitrag \(\int_{-1}^{2}f(x)\,\text{d}x=-\frac92\). Auf \([2;3]\) ergibt sich \(\int_2^3f(x)\,\text{d}x=\frac76\). 4. Für den geometrischen Flächeninhalt werden die Beträge addiert: \(A=\frac92+\frac76=\frac{17}{3}\,\text{FE}\approx5{,}67\,\text{FE}\).

\(A=\frac{17}{3}\,\text{FE}\approx5{,}67\,\text{FE}\)

- Welche besonderen Punkte der Funktion musst du kennen, um die Fläche korrekt zu berechnen? - Skizziere dir grob den Verlauf der Funktion, um zu sehen, wo sie oberhalb und wo unterhalb der Achse verläuft. - Was passiert mit dem Gesamtergebnis, wenn du einfach von \(0\) bis \(2{,}5\) integrierst, ohne die Nullstellen zu beachten? - Achte bei der Berechnung der Funktionswerte der Stammfunktion besonders auf die Brüche oder Dezimalzahlen.

1. Nullstellenbestimmung: \(x(x^2 - 3x + 2) = 0\) liefert durch Ausklammern und Anwendung der pq-Formel die Stellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). 2. Alle Nullstellen liegen im Intervall \([0; 2{,}5]\). Die Fläche muss in drei Teilbereiche unterteilt werden: \([0; 1]\), \([1; 2]\) und \([2; 2{,}5]\). 3. Stammfunktion bilden: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2\). 4. Teilintegrale berechnen: \(A_1 = \int_{0}^{1} f(x) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{1}{4} - 0 = 0{,}25\). \(A_2 = \int_{1}^{2} f(x) \, dx = F(2) - F(1) = 0 - 0{,}25 = -0{,}25\). \(A_3 = \int_{2}^{2{,}5} f(x) \, dx = F(2{,}5) - F(2) = \frac{25}{64} - 0 = 0{,}390625\). 5. Gesamtfläche als Summe der Beträge: \(A = |0{,}25| + |-0{,}25| + |0{,}390625| = 0{,}5 + \frac{25}{64} = \frac{57}{64} = 0{,}890625\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{57}{64} = 0{,}890625\) Flächeneinheiten.

- Findest du heraus, wo der Graph die \(x\)-Achse berührt oder kreuzt? - Klammere zuerst \(x\) aus, um die Nullstellen leichter zu finden. - Eine Skizze oder das Überprüfen der Funktionswerte zwischen den Nullstellen kann dir helfen zu sehen, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der Achse liegt. - Wie lautet die Stammfunktion für eine Potenzfunktion?

1. Berechnung der Nullstellen: \(x^3 - 4x^2 + 4x = 0 \Leftrightarrow x(x^2 - 4x + 4) = 0 \Leftrightarrow x(x-2)^2 = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\) (doppelte Nullstelle). 2. Festlegen der Integrationsgrenzen: Da die Fläche zwischen den Nullstellen eingeschlossen wird, sind die Grenzen \(0\) und \(2\). 3. Aufstellen des Integrals: \(\int_{0}^{2} (x^3 - 4x^2 + 4x) \, dx\). 4. Bildung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + 2x^2\). 5. Berechnung des Flächeninhalts: \(F(2) - F(0) = (\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{4}{3} \cdot 8 + 2 \cdot 4) - 0 = 4 - \frac{32}{3} + 8 = 12 - \frac{32}{3} = \frac{36}{3} - \frac{32}{3} = \frac{4}{3}\). 6. Die Fläche beträgt \(\frac{4}{3}\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{4}{3}\) (oder ca. \(1{,}33\)) Flächeneinheiten.

- Überprüfe zuerst, ob sich die Graphen innerhalb des vorgegebenen Intervalls schneiden. - Was passiert mit dem Vorzeichen der Differenzfunktion an den Schnittstellen? - Wie gehst du vor, wenn eine Funktion mal oberhalb und mal unterhalb der anderen verläuft? - Denk an die Aufspaltung des Integrals an den Stellen, an denen der Betrag sein Vorzeichen ändert.

1. Bestimmung der Schnittstellen von \(f\) und \(g\): \(x^2 - 1 = 1 - x \Leftrightarrow x^2 + x - 2 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 1\). 2. Untersuchung des Vorzeichens der Differenzfunktion \(d(x) = f(x) - g(x) = x^2 + x - 2\) im Intervall \([-2; 2]\): Innerhalb von \([-2; 1]\) ist \(d(x) \leq 0\), innerhalb von \([1; 2]\) ist \(d(x) \geq 0\). 3. Aufstellen der Teilintegrale gemäß der Flächenformel mit Betrag: \(A = \int_{-2}^{1} |x^2 + x - 2| \, dx + \int_{1}^{2} |x^2 + x - 2| \, dx\). 4. Berechnung des ersten Teilintegrals: \(\int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx = [2x - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{-2}^{1} = (2 - 0{,}5 - \frac{1}{3}) - (-4 - 2 + \frac{8}{3}) = \frac{7}{6} - (-\frac{10}{3}) = 4{,}5\). 5. Berechnung des zweiten Teilintegrals: \(\int_{1}^{2} (x^2 + x - 2) \, dx = [\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x]_{1}^{2} = (\frac{8}{3} + 2 - 4) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2) = \frac{2}{3} - (-\frac{7}{6}) = \frac{11}{6}\). 6. Summation der Flächeninhalte: \(A = 4{,}5 + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} + \frac{11}{6} = \frac{38}{6} = \frac{19}{3} \approx 6{,}33\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{19}{3} \approx 6{,}33\) Flächeneinheiten.

- Überlege zuerst, wo der Graph die \(x\)-Achse berührt oder schneidet. - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse mithilfe von Integralen? - Beachte, dass die Integrationsgrenzen von der Lage der Nullstellen abhängen. - Denke daran, dass beim Lösen einer Potenzgleichung mit geradem Exponenten mehrere reelle Lösungen existieren können.

1. Nullstellen berechnen: \(kx^2 - x^3 = 0 \Leftrightarrow x^2(k - x) = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\) (doppelt) und \(x_2 = k\). 2. Integral berechnen: \(\int_0^k (kx^2 - x^3) \, dx = \left[ \frac{1}{3}kx^3 - \frac{1}{4}x^4 \right]_0^k = \frac{1}{3}k^4 - \frac{1}{4}k^4 = \frac{1}{12}k^4\). 3. Flächeninhalt bestimmen: Da \(k^4 \geq 0\) für alle \(k \in \mathbb{R}\), gilt für den Flächeninhalt \(A = \left| \frac{1}{12}k^4 \right| = \frac{1}{12}k^4\). 4. Parameter ermitteln: \(\frac{1}{12}k^4 = 6{,}75 \Leftrightarrow k^4 = 81\). Die reellen Lösungen sind \(k = 3\) und \(k = -3\).

1. \(x_1 = 0\), \(x_2 = k\) 2. \(k = 3\) oder \(k = -3\)

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? Untersuche beide Funktionsteile getrennt. - Überlege dir, an welcher Stelle die Definition der Funktion wechselt. - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der Achse, wenn die Funktion abschnittsweise definiert ist? - Skizziere den Verlauf der Funktion grob, um die Integrationsgrenzen zu visualisieren.

1. Bestimmung der Schnittstellen mit der \(x\)-Achse: Für den ersten Teilbereich \(x \le 1\) ergibt \(4 - x^2 = 0\) die Nullstelle \(x_1 = -2\). Für den zweiten Teilbereich \(x > 1\) ergibt \(4{,}5 - 1{,}5x = 0\) die Nullstelle \(x_2 = 3\). 2. Aufteilen der Fläche in zwei Teilintervalle basierend auf der Definition der Funktion: \([-2; 1]\) und \([1; 3]\). 3. Berechnung des ersten Teilintegrals: \(\int_{-2}^{1} (4 - x^2) \, dx = [4x - \frac{1}{3}x^3]_{-2}^{1} = (4 - \frac{1}{3}) - (-8 + \frac{8}{3}) = \frac{11}{3} + \frac{16}{3} = 9\). 4. Berechnung des zweiten Teilintegrals: \(\int_{1}^{3} (4{,}5 - 1{,}5x) \, dx = [4{,}5x - 0{,}75x^2]_{1}^{3} = (13{,}5 - 6{,}75) - (4{,}5 - 0{,}75) = 6{,}75 - 3{,}75 = 3\). 5. Addition der Teilflächen: \(A = 9 + 3 = 12\).

Der Flächeninhalt beträgt \(12\,\text{FE}\).

- Bestimme die beiden äußeren Nullstellen und beachte den Nahtpunkt bei \(x=0\). - Berechne die beiden Flächenstücke getrennt. - Für \(2\cos(0{,}5x)\) kannst du die Integrationsregel für eine Funktion mit linearem inneren Term verwenden. - Schreibe die Wurzel als Potenz, wenn dir das Integrieren dadurch leichter fällt.

1. Der Wurzelteil hat bei \(x=-4\) eine Nullstelle. Der Kosinusteil hat im betrachteten Bereich bei \(x=\pi\) eine Nullstelle. Der Nahtpunkt liegt bei \(x=0\). 2. Auf beiden Teilintervallen ist \(f\geq0\). Daher gilt \(A=\int_{-4}^{0}\sqrt{x+4}\,\mathrm{d}x+\int_0^{\pi}2\cos(0{,}5x)\,\mathrm{d}x\). 3. Für den ersten Teil ergibt sich \([\frac{2}{3}(x+4)^{3/2}]_{-4}^{0}=\frac{16}{3}\). 4. Für den zweiten Teil gilt mit der Stammfunktion \(4\sin(0{,}5x)\): \([4\sin(0{,}5x)]_0^{\pi}=4\). 5. Insgesamt ist \(A=\frac{16}{3}+4=\frac{28}{3}\,\text{FE}\approx9{,}33\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{28}{3}\,\text{FE}\) (bzw. ca. \(9{,}33\,\text{FE}\)).

- Wie findest du heraus, wo sich zwei Funktionsgraphen treffen? - Was musst du tun, wenn du die Grenzen für die eingeschlossene Fläche suchst? - Gibt es eine neue Funktion, die den Abstand zwischen den beiden Graphen beschreibt? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, eine Fläche unter oder zwischen Kurven zu berechnen?

1. Bestimmung der Schnittstellen durch Gleichsetzen: \(-x^2 + 6x - 5 = x^2 - 4x + 3\). Dies führt auf die quadratische Gleichung \(2x^2 - 10x + 8 = 0\) bzw. \(x^2 - 5x + 4 = 0\). 2. Die Lösungen der Gleichung sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 4\). Dies sind die Integrationsgrenzen. 3. Aufstellen der Differenzfunktion \(h(x) = f(x) - g(x) = -2x^2 + 10x - 8\). 4. Berechnung des Integrals: \(\int_{1}^{4} (-2x^2 + 10x - 8) \, dx = [-\frac{2}{3}x^3 + 5x^2 - 8x]_1^4\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(F(4) = -\frac{128}{3} + 80 - 32 = \frac{16}{3}\) und \(F(1) = -\frac{2}{3} + 5 - 8 = -\frac{11}{3}\). 6. Berechnung der Fläche: \(A = \frac{16}{3} - (-\frac{11}{3}) = \frac{27}{3} = 9\).

Der Flächeninhalt beträgt \(9\) Flächeneinheiten.

- Gibt es mehr als zwei Schnittpunkte zwischen den Graphen? - Wenn es mehrere Schnittpunkte gibt, musst du die Fläche eventuell in mehrere Teile zerlegen. - Warum ist es wichtig, die Beträge der einzelnen Integrale zu addieren, anstatt einfach über das gesamte Intervall zu integrieren? - Skizziere dir grob den Verlauf oder teste Werte in den Intervallen, um zu sehen, welcher Graph oben liegt.

1. Berechnung der Schnittstellen: \(x^3 - 4x^2 + 3x = x - x^2 \iff x^3 - 3x^2 + 2x = 0\). Ausklammern von \(x\) ergibt \(x(x^2 - 3x + 2) = 0\). Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). 2. Da drei Schnittstellen vorliegen, existieren zwei Teilflächen in den Intervallen \([0; 1]\) und \([1; 2]\). 3. Differenzfunktion bilden: \(d(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\). Stammfunktion: \(D(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2\). 4. Integral für das erste Intervall: \(\int_{0}^{1} (x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx = [D(x)]_0^1 = (\frac{1}{4} - 1 + 1) - 0 = \frac{1}{4}\). 5. Integral für das zweite Intervall: \(\int_{1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx = [D(x)]_1^2 = (4 - 8 + 4) - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}\). 6. Addition der Beträge der Teilflächen: \(A = |\frac{1}{4}| + |-\frac{1}{4}| = 0{,}5\).

Der Gesamtinhalt der Flächenstücke beträgt \(0{,}5\) Flächeneinheiten.

- Wie findest du die Stellen, an denen sich zwei Graphen schneiden, wenn ein Parameter enthalten ist? - Welche der beiden Funktionen liegt im eingeschlossenen Intervall oberhalb der anderen? - Nutze die Symmetrie der Funktionen zur \(y\)-Achse, um die Berechnung des Integrals zu vereinfachen. - Stelle am Ende eine Gleichung auf, in der nur noch der Parameter \(k\) als Unbekannte vorkommt.

1. Berechnung der Schnittstellen der beiden Funktionsgraphen in Abhängigkeit von \(k\): \(x^2 - k = k - x^2 \Leftrightarrow 2x^2 = 2k \Leftrightarrow x^2 = k\). Da \(k > 0\), ergeben sich die Integrationsgrenzen \(x_1 = -\sqrt{k}\) und \(x_2 = \sqrt{k}\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt: \(A = \int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} (2k - 2x^2) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion und Berechnung des bestimmten Integrals: \([2kx - \frac{2}{3}x^3]_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} = (2k\sqrt{k} - \frac{2}{3}k\sqrt{k}) - (-2k\sqrt{k} + \frac{2}{3}k\sqrt{k}) = \frac{4}{3}k\sqrt{k} - (-\frac{4}{3}k\sqrt{k}) = \frac{8}{3}k\sqrt{k}\). 4. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt und Lösen nach \(k\): \(\frac{8}{3}k\sqrt{k} = 72 \Leftrightarrow k\sqrt{k} = 27 \Leftrightarrow k^{\frac{3}{2}} = 27\). Durch Quadrieren oder Ziehen der dritten Wurzel folgt \(k = 9\).

\(k = 9\)

- An welchen Stellen schneidet oder berührt der Graph die \(x\)-Achse? - Wie viele getrennte Flächenstücke entstehen zwischen dem Graphen und der Achse? - Denk daran, dass Flächeninhalte immer positive Werte sein müssen, auch wenn das Integral negativ ist. - Wie berechnet man die Stammfunktion eines Polynoms?

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3\): Durch Ausklammern erhält man \(x^2(x-3) - (x-3) = 0\), also \((x^2-1)(x-3) = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 3\). 2. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F(x) = \int (x^3 - 3x^2 - x + 3) \, dx = \frac{1}{4}x^4 - x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 3x\). 3. Berechnung der Teilflächeninhalte in den Intervallen \([-1; 1]\) und \([1; 3]\): \(A_1 = \left| \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \right| = |F(1) - F(-1)| = |1{,}75 - (-2{,}25)| = 4\). \(A_2 = \left| \int_{1}^{3} f(x) \, dx \right| = |F(3) - F(1)| = |-2{,}25 - 1{,}75| = 4\). 4. Berechnung des Gesamtflächeninhalts: \(A_{\text{ges}} = A_1 + A_2 = 4 + 4 = 8\).

Der Flächeninhalt beträgt \(8\,\text{FE}\).

- Gibt es eine Symmetrie im Graphen, die dir die Arbeit erleichtern könnte? - Welche Nullstellen begrenzen die Fläche, die tatsächlich eingeschlossen wird? - Achte darauf, dass eine doppelte Nullstelle bedeutet, dass der Graph die Achse dort nur berührt. - Wie gehst du vor, wenn der Graph unterhalb der \(x\)-Achse verläuft?

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^2\): \(\frac{1}{2}x^2(x^2 - 4) = 0\) führt zu \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) (doppelt) und \(x_3 = 2\). 2. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F(x) = \int (\frac{1}{2}x^4 - 2x^2) \, dx = \frac{1}{10}x^5 - \frac{2}{3}x^3\). 3. Ausnutzung der Symmetrie (Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse, da nur gerade Exponenten vorliegen): \(A = 2 \cdot \left| \int_{0}^{2} f(x) \, dx \right|\). 4. Berechnung des Integrals: \(\int_{0}^{2} f(x) \, dx = F(2) - F(0) = (\frac{32}{10} - \frac{16}{3}) - 0 = \frac{16}{5} - \frac{16}{3} = \frac{48 - 80}{15} = -\frac{32}{15}\). 5. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = 2 \cdot |-\frac{32}{15}| = \frac{64}{15} \approx 4{,}27\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{64}{15} \approx 4{,}27\,\text{FE}\).

- Welche Ableitung liefert die Tangentensteigung im Punkt \(P\)? - Der Berührpunkt ist zugleich eine doppelte Lösung der Gleichung \(f(x)=t(x)\). - Prüfe zwischen den Schnittpunkten, welcher Graph oben liegt.

1. Es gilt \(f'(x)=\frac32x^2-2\), also \(f'(-2)=4\). Die Tangente lautet \(t(x)=4x+8\). 2. Aus \(f(x)=t(x)\) folgt \(x^3-12x-16=0=(x+2)^2(x-4)\). Neben dem Berührpunkt \(x=-2\) liegt der weitere Schnittpunkt bei \(x=4\). 3. Auf \([-2;4]\) liegt die Tangente oberhalb des Funktionsgraphen. Daher ist \(A=\int_{-2}^{4}\left(-\frac12x^3+6x+8\right)\,\text{d}x\). 4. Eine Stammfunktion ist \(-\frac18x^4+3x^2+8x\). Die Auswertung ergibt \(A=48-(-6)=54\,\text{FE}\).

\(A=54\,\text{FE}\)

- Bestimme die Tangentensteigung mit der ersten Ableitung. - Welche besondere Form hat die Tangente an einem stationären Punkt? - Nutze den Berührpunkt als doppelte Lösung, um den weiteren Schnittpunkt zu finden.

1. Es gilt \(f'(x)=-\frac34x^2+3x\), also \(f'(4)=0\). Die Tangente ist daher die waagerechte Gerade \(t(x)=8\). 2. Aus \(f(x)=8\) folgt \(x^3-6x^2+32=0=(x-4)^2(x+2)\). Der weitere Schnittpunkt liegt bei \(x=-2\). 3. Zwischen \(-2\) und \(4\) liegt die Tangente oberhalb des Graphen. Daher ist \(A=\int_{-2}^{4}\left(8+\frac14x^3-\frac32x^2\right)\,\text{d}x\). 4. Eine Stammfunktion ist \(\frac1{16}x^4-\frac12x^3+8x\). Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ergibt sich \(A=16-(-11)=27\,\text{FE}\).

\(A=27\,\text{FE}\)

- Welche Ableitung brauchst du für die Tangentensteigung bei \(x=4\)? - Bestimme die Nullstelle der Tangente und die relevante Nullstelle von \(f\). - Welche einfache geometrische Teilfläche kannst du von der Fläche unter \(f\) abziehen?

1. Es gilt \(f(4)=4\) und \(f'(x)=2x-4\), also \(f'(4)=4\). Die Tangente lautet \(t(x)=4x-12\). 2. Der Funktionsgraph berührt die \(x\)-Achse bei \(x=2\); die Tangente schneidet sie bei \(x=3\). 3. Die gesuchte Fläche ist die Fläche unter \(f\) auf \([2;4]\) minus die Dreiecksfläche unter der Tangente auf \([3;4]\). 4. Es ist \(\int_2^4(x^2-4x+4)\,\text{d}x=\frac83\) und die Dreiecksfläche beträgt \(2\). Daher ist \(A=\frac83-2=\frac23\,\text{FE}\).

\(A=\frac23\,\text{FE}\)

- Bestimme die Tangentengleichung mit der ersten Ableitung. - Welche Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse begrenzen die gesuchte Fläche? - Kannst du eine einfache Dreiecksfläche und eine Integralfläche voneinander abziehen?

1. Es gilt \(f(2)=3\) und \(f'(x)=-2x+6\), also \(f'(2)=2\). Die Tangente lautet \(t(x)=2x-1\). 2. Die Tangente schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=0{,}5\). Die relevante Nullstelle von \(f\) ist \(x=1\). 3. Die eingeschlossene Fläche entspricht der Dreiecksfläche unter der Tangente auf \([0{,}5;2]\) minus der Fläche unter \(f\) auf \([1;2]\). 4. Die Dreiecksfläche beträgt \(\frac12\cdot1{,}5\cdot3=\frac94\). Außerdem ist \(\int_1^2(-x^2+6x-5)\,\text{d}x=\frac53\). Daher ist \(A=\frac94-\frac53=\frac7{12}\,\text{FE}\).

\(A=\frac7{12}\,\text{FE}\)

- Welche beiden Ableitungen brauchst du, um den lokalen Tiefpunkt zu bestimmen? - Wie lautet die Tangente an einem Extrempunkt, dessen Funktionswert null ist? - Drücke den eingeschlossenen Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(a\) aus.

1. Es gilt \(f_a'(x)=a(3x^2-6x)=3ax(x-2)\) und \(f_a''(x)=a(6x-6)\). Die stationären Stellen sind \(x=0\) und \(x=2\); wegen \(f_a''(2)=6a>0\) liegt bei \(x=2\) der Tiefpunkt. 2. Es ist \(f_a(2)=0\), daher ist die Tangente dort \(y=0\). 3. Wegen \(x^3-3x^2+4=(x-2)^2(x+1)\) ist der weitere Schnittpunkt mit der Tangente bei \(x=-1\). 4. Der Flächeninhalt ist \(A(a)=\int_{-1}^{2}a(x^3-3x^2+4)\,\text{d}x=\frac{27}{4}a=6{,}75a\). 5. Aus \(6{,}75a=10{,}8\) folgt \(a=1{,}6\).

\(a=1{,}6\)

- Welche Ableitung bestimmt die Tangentensteigung im Ursprung? - Welche weitere Nullstelle besitzt \(f\) neben \(x=0\)? - Welcher Graph liegt zwischen den Schnittstellen oben?

1. Es gilt \(f(0)=0\) und \(f'(0)=0\). Daher ist die Tangente im Ursprung die \(x\)-Achse mit \(t(x)=0\). 2. Aus \(f(x)=0\) folgt \(x^3(x-4)=0\). Neben dem Berührpunkt \(x=0\) liegt der weitere Schnittpunkt bei \(x=4\). 3. Auf \((0;4)\) ist \(f(x)<0\), daher ist \(A=\int_0^4(-x^4+4x^3)\,\text{d}x\). 4. Eine Stammfunktion ist \(-\frac15x^5+x^4\). Damit ist \(A=-\frac15\cdot4^5+4^4=\frac{256}{5}\,\text{FE}=51{,}2\,\text{FE}\).

\(A=\frac{256}{5}\,\text{FE}=51{,}2\,\text{FE}\)

- Überlege dir zuerst, wo sich die Parabel und die horizontale Gerade schneiden. - Nutze die Symmetrie der Parabel zur \(y\)-Achse, um die Rechnung zu vereinfachen. - Stelle einen Term für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(c\) auf. - Welche Funktion liegt im betrachteten Intervall oberhalb der anderen?

1. Berechnung der Schnittstellen von \(f(x) = \frac{1}{4}x^2\) und \(y = c\) in Abhängigkeit von \(c\): \(\frac{1}{4}x^2 = c \implies x^2 = 4c \implies x_{1,2} = \pm 2\sqrt{c}\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt unter Ausnutzung der Symmetrie: \(A = 2\int_{0}^{2\sqrt{c}} (c - \frac{1}{4}x^2) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion und Auswertung an den Grenzen: \(2[cx - \frac{1}{12}x^3]_{0}^{2\sqrt{c}} = 2(2c\sqrt{c} - \frac{8c\sqrt{c}}{12}) = 2(2c\sqrt{c} - \frac{2}{3}c\sqrt{c}) = \frac{8}{3}c\sqrt{c} = \frac{8}{3}c^{\frac{3}{2}}\). 4. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(\frac{8}{3}c^{\frac{3}{2}} = \frac{64}{3} \implies c^{\frac{3}{2}} = 8\). 5. Auflösen nach \(c\): \(c = 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4\).

\(c = 4\)

- Überlege dir zuerst, wie groß die gesamte Fläche unter der Kurve im gegebenen Intervall ist. - Wie viel Prozent der Gesamtfläche entfallen auf das linke Teilstück, wenn das Verhältnis \(1 : 3\) ist? - Stelle ein Integral mit einer unbekannten oberen Grenze auf, das diesen Teilflächeninhalt repräsentiert. - Erinnere dich an die Stammfunktion der natürlichen Exponentialfunktion.

1. Berechnung des gesamten Flächeninhalts \(A\) im Intervall \([0; \ln(9)]\): \(A = \int_{0}^{\ln(9)} e^x \, dx = [e^x]_{0}^{\ln(9)} = e^{\ln(9)} - e^0 = 9 - 1 = 8\). 2. Bestimmung des Inhalts der linken Teilfläche \(A_1\) basierend auf dem Teilungsverhältnis \(1 : 3\): \(A_1 = \frac{1}{1+3} \cdot A = \frac{1}{4} \cdot 8 = 2\). 3. Ansatz für die gesuchte Stelle \(k\): \(\int_{0}^{k} e^x \, dx = 2\). 4. Integration und Auflösen nach \(k\): \([e^x]_{0}^{k} = e^k - 1 = 2 \implies e^k = 3 \implies k = \ln(3)\). 5. Die Gleichung der gesuchten Geraden lautet \(x = \ln(3)\).

\(x = \ln(3)\)

- Bestimme zunächst den Flächeninhalt der gesamten Fläche durch Integration über das gesamte Intervall. - Ein Verhältnis von \(2 : 1\) bedeutet, dass der linke Teil zwei Drittel der Gesamtfläche ausmacht. - Verwende die Potenzregel für die Integration, um die Fläche in Abhängigkeit von \(k\) auszudrücken. - Löse die resultierende Gleichung nach der gesuchten Grenze \(k\) auf.

1. Berechnung des Gesamtflächeninhalts \(A\) im Intervall \([1; 4]\): \(A = \int_{1}^{4} x^{-2} \, dx = [-\frac{1}{x}]_{1}^{4} = -\frac{1}{4} - (-1) = \frac{3}{4}\). 2. Bestimmung des Inhalts der linken Teilfläche \(A_1\) durch das Verhältnis \(2 : 1\): \(A_1 = \frac{2}{3} \cdot A = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2}\). 3. Aufstellen der Integralgleichung für die Grenze \(k\): \(\int_{1}^{k} x^{-2} \, dx = \frac{1}{2}\). 4. Berechnung des Integrals: \([-\frac{1}{x}]_{1}^{k} = -\frac{1}{k} - (-1) = 1 - \frac{1}{k}\). 5. Gleichsetzen und Lösen nach \(k\): \(1 - \frac{1}{k} = \frac{1}{2} \implies \frac{1}{k} = \frac{1}{2} \implies k = 2\).

\(k = 2\)

- Wie lautet die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden, die durch den Ursprung verläuft? - Wie findest du die Stellen, an denen sich die beiden Graphen schneiden? Beachte, dass diese Stellen von einem Parameter abhängen können. - Überlege dir, wie man den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen berechnet, wenn die Integrationsgrenzen bekannt sind. - Denk daran, dass bei der Berechnung eines Flächeninhalts der Betrag des Integrals entscheidend ist, falls die Lage der Graphen zueinander nicht vorab feststeht. - Es könnte mehr als einen Wert für die Steigung geben, der die Bedingung erfüllt.

1. Schnittstellen der Funktionen \(f(x) = x^2 - 4x\) und \(g(x) = mx\) durch Gleichsetzen bestimmen: \(x^2 - 4x = mx \Rightarrow x^2 - (m+4)x = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = m+4\). 2. Integral für den Flächeninhalt \(A\) zwischen den Graphen aufstellen: \(A = \left| \int_{0}^{m+4} (g(x) - f(x)) \, dx \right| = \left| \int_{0}^{m+4} ((m+4)x - x^2) \, dx \right|\). 3. Stammfunktion bilden und Grenzen einsetzen: \(\left[ \frac{m+4}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{m+4} = \frac{(m+4)^3}{2} - \frac{(m+4)^3}{3} = \frac{(m+4)^3}{6}\). 4. Den Flächeninhalt gleich \(36\) setzen: \(\left| \frac{(m+4)^3}{6} \right| = 36 \Rightarrow |m+4|^3 = 216\). 5. Die Gleichung nach \(m\) auflösen: \(|m+4| = 6\). Dies führt zu \(m+4 = 6 \Rightarrow m = 2\) oder \(m+4 = -6 \Rightarrow m = -10\).

Die möglichen Werte für die Steigung sind \(m = 2\) und \(m = -10\).

- Welche Form hat die Gleichung einer Parabel, deren Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse liegt? - Wenn eine achsensymmetrische Parabel die \(x\)-Achse bei \(3\) schneidet, wo liegt dann die andere Nullstelle? - Wie berechnet man die Fläche zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse mithilfe von Integralen? - Nutze die Information über den Flächeninhalt, um die fehlende Unbekannte in deiner Gleichung zu berechnen.

1. Ansatz für die Funktionsgleichung aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse (Hochpunkt bei \(x=0\)): \(f(x) = ax^2 + c\). 2. Verwendung der Nullstelle bei \(x = 3\): \(f(3) = 0 \implies 9a + c = 0 \implies c = -9a\). Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = ax^2 - 9a\). 3. Da der Hochpunkt auf der \(y\)-Achse liegt und die Nullstelle bei \(3\) ist, liegt die zweite Nullstelle aufgrund der Symmetrie bei \(-3\). 4. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt zwischen den Nullstellen: \(\int_{-3}^{3} (ax^2 - 9a) \, dx = 24\). 5. Berechnung des Integrals: \([ \frac{a}{3}x^3 - 9ax ]_{-3}^{3} = (9a - 27a) - (-9a + 27a) = -18a - 18a = -36a\). 6. Bestimmung von \(a\): \(-36a = 24 \implies a = -\frac{24}{36} = -\frac{2}{3}\). 7. Berechnung von \(c\): \(c = -9 \cdot (-\frac{2}{3}) = 6\). 8. Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = -\frac{2}{3}x^2 + 6\).

\(f(x) = -\frac{2}{3}x^2 + 6\)

- Welche allgemeine Form hat eine Funktion, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist? - Wie kannst du die Information über die Nullstelle nutzen, um die Anzahl der Unbekannten im Funktionsterm zu reduzieren? - Überlege dir, in welchem Bereich der Graph im ersten Quadranten verlaufen muss, um eine Fläche mit der \(x\)-Achse zu bilden. - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse mithilfe von Integralen?

1. Ansatz für eine punktsymmetrische Funktion 3. Grades: \(f(x) = ax^3 + bx\). 2. Bedingung Nullstelle: \(f(3) = 0 \implies 27a + 3b = 0\), daraus folgt \(b = -9a\). 3. Funktionsterm mit einem Parameter: \(f(x) = ax^3 - 9ax\). 4. Berechnung des Integrals für die Fläche im ersten Quadranten (Intervall \([0; 3]\)): \(\int_{0}^{3} (ax^3 - 9ax) \, dx = \left[ \frac{a}{4}x^4 - \frac{9a}{2}x^2 \right]_{0}^{3} = \frac{81}{4}a - \frac{81}{2}a = -20{,}25a\). 5. Da die Fläche im ersten Quadranten liegen soll (\(f(x) \geq 0\) für \(x \in [0; 3]\)), muss der Integralwert positiv sein: \(-20{,}25a = 4{,}5 \implies a = -\frac{2}{9}\). 6. Bestimmung von \(b\): \(b = -9 \cdot \left(-\frac{2}{9}\right) = 2\). 7. Ergebnis: \(f(x) = -\frac{2}{9}x^3 + 2x\).

\(f(x) = -\frac{2}{9}x^3 + 2x\)

- Welche positive Nullstelle besitzt \(f_a\)? - Welche Ableitung brauchst du für die Tangentensteigung in \(P\)? - Welche Differenz der beiden Funktionswerte beschreibt den Flächeninhalt auf dem relevanten Intervall? - Wie wird aus dem vorgegebenen Flächeninhalt eine Gleichung für \(a\)?

1. Es ist \(f_a(x)=x(x-a)\). Da \(a>0\), liegt die positive Nullstelle bei \(x=a\). Somit ist \(P(a\mid 0)\). 2. Die erste Ableitung lautet \(f_a'(x)=2x-a\). Daher hat die Tangente in \(P\) die Steigung \(f_a'(a)=a\) und die Gleichung \(t_a(x)=a(x-a)=ax-a^2\). 3. Auf \([0;a]\) gilt \(f_a(x)-t_a(x)=(x-a)^2\ge 0\). Der Flächeninhalt ist daher \(A(a)=\int_0^a(x-a)^2\,\mathrm{d}x=\frac13a^3\). 4. Aus \(\frac13a^3=9\) folgt \(a^3=27\). Wegen \(a>0\) ist \(a=3\).

a) \(P(a\mid 0)\) b) \(a=3\)

- Wie findet man heraus, wo sich zwei Graphen treffen? - Gibt es zwischen den Graphen nur eine zusammenhängende Fläche oder mehrere Teilflächen? - Was passiert mit dem Vorzeichen des Integrals, wenn ein Graph den anderen überholt? - Wie berechnet man den Flächeninhalt, wenn das Integral ein negatives Ergebnis liefert?

1. Berechnung der Schnittstellen durch Gleichsetzen: \(x^3 - 6x^2 + 9x = x \implies x^3 - 6x^2 + 8x = 0\). 2. Faktorisieren der Gleichung: \(x(x^2 - 6x + 8) = 0 \implies x(x-2)(x-4) = 0\). Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 4\). 3. Bestimmung der Differenzfunktion \(d(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 6x^2 + 8x\) und deren Stammfunktion \(D(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 4x^2\). 4. Berechnung der Teilflächen in den Intervallen \([0; 2]\) und \([2; 4]\): \(A_1 = \int_0^2 (x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = [D(x)]_0^2 = (4 - 16 + 16) - 0 = 4\). \(A_2 = \int_2^4 (x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = [D(x)]_2^4 = (64 - 128 + 64) - 4 = -4\). 5. Die Gesamtfläche ergibt sich aus der Summe der Beträge der Teilflächen: \(A = |4| + |-4| = 8\).

Der Inhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt \(8\) Flächeneinheiten.

- Wie findet man die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse schneidet? - Warum ist es wichtig, die Nullstellen zu kennen, bevor man integriert? - Was passiert mit dem Flächeninhalt, wenn der Graph unterhalb der \(x\)-Achse verläuft? - Kannst du die Symmetrie des Graphen nutzen, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f(x) = \frac{1}{2}x(x^2 - 4)\): Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). 2. Bildung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{8}x^4 - x^2\). 3. Berechnung der Teilintegrale: \(\int_{-2}^0 (\frac{1}{2}x^3 - 2x) \, dx = [F(x)]_{-2}^0 = 0 - (\frac{1}{8} \cdot (-2)^4 - (-2)^2) = 0 - (2 - 4) = 2\). \(\int_0^2 (\frac{1}{2}x^3 - 2x) \, dx = [F(x)]_0^2 = (\frac{1}{8} \cdot 2^4 - 2^2) - 0 = 2 - 4 = -2\). 4. Die Summe der Beträge der Teilflächen ergibt den Gesamtinhalt: \(A = |2| + |-2| = 4\).

Der Flächeninhalt beträgt \(4\) Flächeneinheiten.

- Welche Methode eignet sich, um die Nullstellen einer biquadratischen Funktion zu finden? - Überprüfe, in welchen Intervallen der Graph oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt. - Nutze die Symmetrieeigenschaften der Funktion, um Rechenschritte zu sparen. - Erinnere dich daran, dass Flächeninhalte immer positive Werte haben müssen.

1. Berechnung der Nullstellen mittels Substitution \(u = x^2\): \(-u^2 + 5u - 4 = 0\) liefert \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 4\). Daraus ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = -2\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 1\) und \(x_4 = 2\). 2. Da die Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist (\(f(x) = f(-x)\)), kann die Fläche für \(x \ge 0\) berechnet und verdoppelt werden. Die relevanten Intervalle sind \([0; 1]\) und \([1; 2]\). 3. Stammfunktion: \(F(x) = -\frac{1}{5}x^5 + \frac{5}{3}x^3 - 4x\). 4. Teilintegrale berechnen: \(\int_0^1 f(x) \, dx = F(1) - F(0) = -\frac{1}{5} + \frac{5}{3} - 4 = -\frac{38}{15}\). \(\int_1^2 f(x) \, dx = F(2) - F(1) = (-\frac{32}{5} + \frac{40}{3} - 8) - (-\frac{38}{15}) = -\frac{16}{15} + \frac{38}{15} = \frac{22}{15}\). 5. Gesamtfläche: \(A = 2 \cdot (|-\frac{38}{15}| + |\frac{22}{15}|) = 2 \cdot (\frac{38}{15} + \frac{22}{15}) = 2 \cdot \frac{60}{15} = 2 \cdot 4 = 8\).

Der Inhalt der Fläche beträgt \(8\) Flächeneinheiten.

- Wie findet man die Stellen, an denen sich zwei Graphen treffen? - Überlege dir, wie viele Teilflächen entstehen können, wenn es mehr als zwei Schnittstellen gibt. - Muss man beim Integrieren auf das Vorzeichen des Ergebnisses achten, wenn man eine Fläche berechnet? - Hilft es, die Differenzfunktion der beiden Funktionen zu bilden?

1. Bestimmung der Schnittstellen durch Gleichsetzen: \(x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = x^2 - x - 6 \Leftrightarrow x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0\). Durch Probieren oder Polynomdivision ergeben sich die Schnittstellen \(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). 2. Aufstellen der Teilintegrale für die Differenzfunktion \(d(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12\). 3. Berechnung des ersten Teilgebiets im Intervall \([-2; 2]\): \(\int_{-2}^{2} (x^3 - 3x^2 - 4x + 12) \,\text{d}x = [\frac{1}{4}x^4 - x^3 - 2x^2 + 12x]_{-2}^{2} = 12 - (-20) = 32\). 4. Berechnung des zweiten Teilgebiets im Intervall \([2; 3]\): \(\int_{2}^{3} (x^3 - 3x^2 - 4x + 12) \,\text{d}x = [\frac{1}{4}x^4 - x^3 - 2x^2 + 12x]_{2}^{3} = 11{,}25 - 12 = -0{,}75\). 5. Der Gesamteinhalt der Fläche ergibt sich aus der Summe der Beträge der Teilintegrale: \(A = |32| + |-0{,}75| = 32{,}75\).

Der Flächeninhalt beträgt \(32{,}75\) Flächeneinheiten.

- Bestimme zuerst alle Nullstellen des Funktionsterms. - An welcher Nullstelle wechselt das Vorzeichen innerhalb des eingeschlossenen Bereichs? - Berechne die beiden Flächenbeiträge getrennt. - Wie musst du mit einem negativen Flächenbeitrag umgehen, wenn der geometrische Flächeninhalt gefragt ist?

1. Aus \(f(x)=x(x-1)(x-3)\) folgen die Nullstellen \(x=0\), \(x=1\) und \(x=3\). Deshalb muss die Fläche an \(x=1\) in zwei Teilflächen zerlegt werden. 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac14x^4-\frac43x^3+\frac32x^2\). 3. Auf \([0;1]\) ist der Flächenbeitrag \(\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x=\frac5{12}\). 4. Auf \([1;3]\) ist der Flächenbeitrag \(\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x=-\frac83\). 5. Für den geometrischen Flächeninhalt werden die Beträge addiert: \(A=\frac5{12}+\frac83=\frac{37}{12}\).

\(A=\frac{37}{12}\,\text{FE}\approx3{,}083\,\text{FE}\)

- Berechne zuerst den gesamten Flächeninhalt unter der Kurve im gegebenen Intervall. - Welchen Flächeninhalt muss eine der Teilflächen haben, wenn sie „inhaltsgleich“ sind? - Die untere Teilfläche hat eine einfache geometrische Form (ein Dreieck). - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks im Koordinatensystem? - Achte darauf, ob die Gerade die Kurve innerhalb des Intervalls schneidet oder nicht.

1. Berechnung des Gesamtflächeninhalts \(A_{\text{ges}}\) unter der Kurve \(f(x) = \sqrt{x}\) von \(0\) bis \(9\): \(\int_0^9 x^{\frac{1}{2}} \, dx = [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_0^9 = \frac{2}{3} \cdot 27 = 18\). 2. Da die Fläche halbiert werden soll, muss jede Teilfläche den Inhalt \(9\) haben. 3. Die Gerade \(y = mx\) bildet mit der \(x\)-Achse und der vertikalen Geraden \(x = 9\) ein rechtwinkliges Dreieck, sofern sie die Kurve im Intervall \([0; 9]\) nicht überschreitet. 4. Die Eckpunkte dieses Dreiecks sind \((0\mid 0)\), \((9\mid 0)\) und \((9\mid 9m)\). 5. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9m = 40{,}5m\). 6. Setze den Dreiecksinhalt gleich der Hälfte der Gesamtfläche: \(40{,}5m = 9 \implies m = \frac{9}{40{,}5} = \frac{18}{81} = \frac{2}{9}\). 7. Überprüfung der Lage: Aus \(\sqrt{x} = \frac{2}{9}x\) folgen die Schnittstellen \(x = 0\) und \(x = \frac{81}{4} = 20{,}25\). Da die zweite Schnittstelle rechts von \(9\) liegt, verläuft die Gerade im Intervall \((0; 9]\) vollständig unterhalb des Graphen von \(f\).

\(m = \frac{2}{9}\)

- Wie findest du heraus, wo sich zwei Graphen schneiden? - Erinnere dich daran, wie man den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven berechnet. - Was sagt das Vorzeichen des bestimmten Integrals über die Lage der Graphen zueinander aus? - Teile das gesamte Intervall an den Schnittstellen in Teilintervalle auf.

1. Bestimmung der Schnittstellen durch Gleichsetzen: \(f(x) = g(x) \Leftrightarrow x^3 - 9x^2 + 23x - 15 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\), \(x_2 = 3\) und \(x_3 = 5\). 2. Aufstellen der Differenzfunktion \(h(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 9x^2 + 23x - 15\). 3. Berechnung des ersten Integrals im Intervall \([1; 3]\): \(\int_{1}^{3} (x^3 - 9x^2 + 23x - 15) \, dx = [\frac{1}{4}x^4 - 3x^3 + \frac{23}{2}x^2 - 15x]_{1}^{3} = -2{,}25 - (-6{,}25) = 4\). 4. Berechnung des zweiten Integrals im Intervall \([3; 5]\): \(\int_{3}^{5} (x^3 - 9x^2 + 23x - 15) \, dx = [\frac{1}{4}x^4 - 3x^3 + \frac{23}{2}x^2 - 15x]_{3}^{5} = -6{,}25 - (-2{,}25) = -4\). 5. Vergleich der Beträge: \(|4| = |-4|\). Beide Flächen haben einen Inhalt von \(4\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt beider Flächen beträgt jeweils \(4\,\text{FE}\).

- Welche Gleichung bestimmt die Extremstellen von \(f\)? - Wie entscheidest du mit der zweiten Ableitung, welche Extremstellen Hochpunkte sind? - Welche Steigung hat die Tangente in einem Hochpunkt? - Welche Schnittstellen von Graph und Tangente begrenzen die gesuchte Fläche?

1. Es ist \(f'(x)=-4x^3+4x\) und \(f''(x)=-12x^2+4\). 2. Aus \(f'(x)=0\) folgen die kritischen Stellen \(x=-1\), \(x=0\) und \(x=1\). Wegen \(f''(\pm1)=-8<0\) liegen bei \(x=\pm1\) lokale Hochpunkte vor. 3. Es gilt \(f(1)=f(-1)=4\). Die gemeinsame Tangente in den Hochpunkten ist daher die Gerade \(y=4\). 4. Aus \(-x^4+2x^2+3=4\) folgt \((x^2-1)^2=0\). Die Berührstellen sind \(x=-1\) und \(x=1\). 5. Der Flächeninhalt ist \(A=\int_{-1}^{1}(4-f(x))\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^{1}(x^4-2x^2+1)\,\mathrm{d}x=\frac{16}{15}\).

\(A=\frac{16}{15}\,\text{FE}\approx1{,}07\,\text{FE}\)

- Welche Gleichung liefert die kritischen Stellen? - Wie weist du mit der zweiten Ableitung den Hochpunkt nach? - Welche Form hat die Tangente in einem Extrempunkt? - Wo trifft diese Tangente den Graphen außer im Berührpunkt noch einmal?

1. Es ist \(f'(x)=3x^2-6x\) und \(f''(x)=6x-6\). 2. Aus \(f'(x)=0\) folgen die kritischen Stellen \(x=0\) und \(x=2\). Wegen \(f''(0)=-6<0\) liegt der lokale Hochpunkt bei \(x=0\). 3. Es ist \(f(0)=4\) und \(f'(0)=0\). Die Tangente im Hochpunkt lautet daher \(y=4\). 4. Aus \(x^3-3x^2+4=4\) folgt \(x^2(x-3)=0\). Neben dem Berührpunkt \(x=0\) liegt der zweite Schnittpunkt bei \(x=3\). 5. Auf \([0;3]\) liegt die Tangente über dem Graphen. Daher gilt \(A=\int_0^3(4-f(x))\,\mathrm{d}x=\int_0^3(-x^3+3x^2)\,\mathrm{d}x=\frac{27}{4}=6{,}75\).

\(A=6{,}75\,\text{FE}\)

- Erinnere dich an die Stammfunktion von Wurzelfunktionen. - Die vertikale Teilung erfordert das Lösen einer Gleichung nach der oberen Grenze \(k\). - Bei der waagerechten Teilung solltest du zuerst prüfen, ob die Trennlinie unterhalb des niedrigsten Punktes des Graphen liegt. - Wenn die Gerade unterhalb des Graphen liegt, ist die Fläche unter ihr einfach ein Rechteck.

1. Gesamtfläche: \(A = \int_{0}^{3} (x+1)^{\frac{1}{2}} \, dx = \left[ \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{3} = \frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3}\). 2. Bestimmung von \(k\): Es muss gelten \(\int_{0}^{k} (x+1)^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{7}{3}\). Dies führt zu \(\frac{2}{3}((k+1)^{\frac{3}{2}} - 1) = \frac{7}{3}\), also \((k+1)^{\frac{3}{2}} = 4{,}5\). Auflösen ergibt \(k = 4{,}5^{\frac{2}{3}} - 1 \approx 1{,}726\). 3. Bestimmung von \(c\): Da der minimale Funktionswert \(f(0) = 1\) ist, prüfen wir, ob die halbe Fläche (\(\frac{7}{3} \approx 2{,}33\)) bereits durch ein Rechteck unterhalb von \(y=1\) erreicht werden kann. Die Fläche des Rechtecks über \([0; 3]\) mit Höhe \(c\) ist \(3c\). 4. Lösen von \(3c = \frac{7}{3}\) ergibt \(c = \frac{7}{9} \approx 0{,}778\). Da dieser Wert kleiner als das Minimum der Funktion (\(1\)) ist, verläuft die Gerade vollständig unterhalb des Graphen und die Annahme des Rechtecks ist korrekt.

a) \(A = \frac{14}{3}\) b) \(k = \sqrt[3]{20{,}25} - 1 \approx 1{,}726\) c) \(c = \frac{7}{9} \approx 0{,}778\)

- Welche Gleichung bestimmt die kritischen Stellen der Funktion? - Wie erkennst du mit der zweiten Ableitung, welche davon Tiefpunkte sind? - Welche Gerade verbindet zwei Punkte mit derselben \(y\)-Koordinate \(0\)? - Nutze die Achsensymmetrie des Graphen bei der Flächenberechnung.

1. Es ist \(f'(x)=\frac34x^3-3x=\frac34x(x^2-4)\). Daher liegen kritische Stellen bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). 2. Mit \(f''(x)=\frac94x^2-3\) gilt \(f''(\pm2)=6>0\). Somit liegen bei \(x=\pm2\) lokale Tiefpunkte vor. 3. Es ist \(f(2)=f(-2)=0\). Die Verbindungsstrecke liegt daher auf der \(x\)-Achse. 4. Zwischen \(-2\) und \(2\) liegt der Graph oberhalb der \(x\)-Achse. Der Flächeninhalt ist deshalb \(A=\int_{-2}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x\). 5. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{3}{80}x^5-\frac12x^3+3x\). Damit ist \(A=F(2)-F(-2)=6{,}4\).

\(A=6{,}4\,\text{FE}\)

- Welche Ableitung liefert die Tangentensteigung bei \(x=3\)? - Welche Gleichung musst du lösen, um die zweite Schnittstelle von Tangente und Graph zu finden? - Welche Funktion liegt zwischen den Schnittstellen oberhalb der anderen?

1. Es ist \(f(3)=0\) und \(f'(x)=-3x^2+6x\), also \(f'(3)=-9\). Die Tangente lautet daher \(t(x)=-9(x-3)=-9x+27\). 2. Aus \(f(x)=t(x)\) folgt \((x-3)^2(x+3)=0\). Neben dem Berührpunkt \(x=3\) liegt der weitere Schnittpunkt bei \(x=-3\). 3. Auf \([-3;3]\) liegt die Tangente über dem Graphen. Daher ist \(A=\int_{-3}^{3}(t(x)-f(x))\,\mathrm{d}x=\int_{-3}^{3}(x^3-3x^2-9x+27)\,\mathrm{d}x=108\).

a) \(t(x)=-9x+27\) b) \(A=108\,\text{FE}\)

- Überlege dir, was die Betragsstriche für das Vorzeichen des Terms im Inneren bedeuten. - Wo ändert der Term \(x^2 - 4\) sein Vorzeichen? - In welchen Teilintervallen ist der Ausdruck positiv und in welchen negativ? - Nutze die Nullstelle, um das Integral so aufzuteilen, dass du die Betragsstriche jeweils weglassen oder durch ein Minuszeichen ersetzen kannst.

1. Untersuchung des Vorzeichens des Terms innerhalb des Betrags: Die Funktion \(g(x) = x^2 - 4\) hat im Intervall \([0; 3]\) eine Nullstelle bei \(x = 2\). 2. Für \(0 \leq x \leq 2\) ist \(x^2 - 4 \leq 0\), daher gilt \(|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2\). 3. Für \(2 < x \leq 3\) ist \(x^2 - 4 > 0\), daher gilt \(|x^2 - 4| = x^2 - 4\). 4. Aufspaltung des Integrals an der Stelle \(x = 2\): \(\int_{0}^{2} (4 - x^2) \, dx + \int_{2}^{3} (x^2 - 4) \, dx\). 5. Berechnung des ersten Teils: \([4x - \frac{1}{3}x^3]_0^2 = (8 - \frac{8}{3}) - 0 = \frac{16}{3}\). 6. Berechnung des zweiten Teils: \([\frac{1}{3}x^3 - 4x]_2^3 = (9 - 12) - (\frac{8}{3} - 8) = -3 - (-\frac{16}{3}) = \frac{7}{3}\). 7. Gesamtergebnis durch Addition: \(\frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3} = 7\frac{2}{3}\).

\(\frac{23}{3}\) oder \(7\frac{2}{3}\)

- Prüfe zuerst, ob der Graph im gegebenen Intervall Nullstellen besitzt oder vollständig oberhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Wie lauten die Regeln zum Bilden von Stammfunktionen von Exponentialfunktionen mit einem Faktor im Exponenten? - Denk an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, um das bestimmte Integral zu berechnen.

1. Da \(e^{2x} - 2e^x + 3 = (e^x - 1)^2 + 2 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, liegt der Graph im gesamten Intervall oberhalb der \(x\)-Achse. 2. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = e^{2x} - 2e^x + 3\): \(F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} - 2e^x + 3x\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(A = \int_{0}^{1} (e^{2x} - 2e^x + 3) \, dx = F(1) - F(0)\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(F(1) = \frac{1}{2}e^2 - 2e + 3\) und \(F(0) = \frac{1}{2}e^0 - 2e^0 + 0 = \frac{1}{2} - 2 = -1{,}5\). 5. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \frac{1}{2}e^2 - 2e + 3 - (-1{,}5) = \frac{1}{2}e^2 - 2e + 4{,}5 \approx 2{,}758\).

Der Flächeninhalt beträgt \(A = \frac{1}{2}e^2 - 2e + 4{,}5 \approx 2{,}758\,\text{FE}\).

- Prüfe zunächst das Vorzeichen von \(f\) im gesamten Intervall. - Welche bekannte logarithmische Ableitungsstruktur steckt in \(\frac{2}{x+3}\)? - Wie kannst du die Differenz zweier Logarithmen vereinfachen?

1. Auf \([0;3]\) gilt \(f(x)>0\), daher entspricht der Flächeninhalt dem bestimmten Integral \(A=\int_0^3\frac{2}{x+3}\,dx\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=2\ln|x+3|\). Hier liegt die Struktur \(g'(x)/g(x)\) mit \(g(x)=x+3\) vor. 3. Damit ist \(A=2\ln6-2\ln3=2\ln2=\ln4\).

\(A=2\ln2=\ln4\)

- Achte darauf, ob der Graph im betrachteten Intervall oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt. - Wie gehst du vor, wenn ein bestimmtes Integral ein negatives Ergebnis liefert, du aber einen Flächeninhalt berechnen sollst? - Was ist der natürliche Logarithmus von 1?

1. Bestimmung der Stammfunktion von \(g(x) = \frac{5}{x - 7}\): Eine Stammfunktion ist \(G(x) = 5 \ln|x - 7|\). 2. Untersuchung des Vorzeichens im Intervall \([2; 6]\): Da \(x - 7\) für alle \(x \in [2; 6]\) negativ ist, verläuft der Graph von \(g\) unterhalb der \(x\)-Achse. 3. Berechnung des bestimmten Integrals: \(\int_{2}^{6} \frac{5}{x - 7} \, dx = [5 \ln|x - 7|]_{2}^{6}\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(5 \ln|6 - 7| - 5 \ln|2 - 7| = 5 \ln(1) - 5 \ln(5)\). 5. Da \(\ln(1) = 0\), ergibt sich für das Integral der Wert \(-5 \ln(5)\). 6. Da ein Flächeninhalt gesucht ist, wird der Betrag des Integrals genommen: \(A = |-5 \ln(5)| = 5 \ln(5) \approx 8{,}05\).

Der Flächeninhalt beträgt \(5 \ln(5) \approx 8{,}05\) Flächeneinheiten.

- Welche zwei Bedingungen müssen für eine Berührung an derselben Stelle erfüllt sein? - Welche ersten Ableitungen besitzen \(f\) und \(g\)? - Welche Funktion liegt auf \([0;1]\) oberhalb der anderen? - Für die Stammfunktion von \(e^{1-x}\) ist der Faktor der linearen inneren Funktion zu berücksichtigen.

1. Es gilt \(f(1)=g(1)=1\). Damit besitzen beide Graphen bei \(x=1\) denselben Punkt. 2. Die ersten Ableitungen sind \(f'(x)=e^{x-1}\) und \(g'(x)=e^{1-x}\). Daher gilt \(f'(1)=g'(1)=1\). Die Graphen berühren sich bei \((1\mid1)\). 3. Auf \([0;1]\) liegt \(f\) oberhalb von \(g\). Der Flächeninhalt ist \(A=\int_0^1\left(e^{x-1}-2+e^{1-x}\right)\,\mathrm{d}x\). 4. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=e^{x-1}-2x-e^{1-x}\). Damit gilt \(A=[F(x)]_0^1=e-e^{-1}-2\approx0{,}3504\).

a) \(f(1)=g(1)=1\) und \(f'(1)=g'(1)=1\); daher Berührung bei \((1\mid1)\) b) \(A=e-e^{-1}-2\approx0{,}3504\,\text{FE}\)

- Wie findest du die Stellen, an denen der Graph die horizontale Achse schneidet? - Kannst du den Funktionsterm so umschreiben, dass er aus einzelnen Summanden besteht, die leicht zu integrieren sind? - Welche Rechenregeln für Logarithmen könnten dir helfen, den Ausdruck am Ende zu vereinfachen? - Überlege dir, ob das Integral in diesem Intervall einen positiven oder negativen Wert liefert.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f_a\): Der Zähler \((x-a)(4a-x)\) wird Null für \(x_1 = a\) und \(x_2 = 4a\). Da \(a > 0\), liegen beide Nullstellen im Definitionsbereich. 2. Umformung des Funktionsterms für die Integration: Durch Ausmultiplizieren und Division durch \(x^2\) ergibt sich \(f_a(x) = \frac{-x^2 + 5ax - 4a^2}{x^2} = -1 + \frac{5a}{x} - 4a^2 x^{-2}\). 3. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F_a(x) = -x + 5a \ln(x) + \frac{4a^2}{x}\). 4. Berechnung des Integrals über dem Intervall \([a; 4a]\): \(F_a(4a) = -4a + 5a \ln(4a) + \frac{4a^2}{4a} = -3a + 5a \ln(4a)\). \(F_a(a) = -a + 5a \ln(a) + \frac{4a^2}{a} = 3a + 5a \ln(a)\). 5. Differenzbildung: \(\int_a^{4a} f_a(x) \,\text{d}x = (-3a + 5a \ln(4a)) - (3a + 5a \ln(a)) = -6a + 5a(\ln(4a) - \ln(a)) = 5a \ln(4) - 6a\). 6. Da \(5 \ln(4) \approx 6{,}93 > 6\), ist das Integral positiv und entspricht dem Flächeninhalt \(A = a(10 \ln(2) - 6)\).

Der Flächeninhalt beträgt \(A = a(10 \ln(2) - 6)\) Flächeneinheiten.

- Wo schneidet der Graph die Koordinatenachsen? - In welchem Bereich verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse? - Für \(e^{x/k}\) kannst du die Stammfunktionsregel für eine lineare innere Funktion verwenden. - Was musst du beachten, wenn das Integral ein negatives Vorzeichen liefert, du aber einen Flächeninhalt suchst?

1. Bestimmung der Schnittpunkte mit den Achsen: Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(f_k(0) = e^0 - e = 1 - e\). Die Nullstelle ergibt sich aus \(e^{x/k} - e = 0 \Rightarrow e^{x/k} = e^1 \Rightarrow \frac{x}{k} = 1 \Rightarrow x = k\). 2. Die Fläche liegt im Intervall \([0; k]\). Da \(f_k(x) \leq 0\) für \(x \in [0; k]\), berechnet sich der Flächeninhalt über \(A = -\int_0^k (e^{x/k} - e) \, dx = \int_0^k (e - e^{x/k}) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion von \(g(x) = e - e^{x/k}\): \(G(x) = ex - k e^{x/k}\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(G(k) = e \cdot k - k \cdot e^{k/k} = ek - ek = 0\). Außerdem ist \(G(0) = e \cdot 0 - k \cdot e^0 = -k\). 5. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = G(k) - G(0) = 0 - (-k) = k\).

Der Flächeninhalt beträgt \(A = k\) Flächeneinheiten.

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? Diese Stellen begrenzen deine Fläche. - Überprüfe, ob der Graph im relevanten Bereich oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Um den Funktionsterm zu integrieren, kann eine Polynomdivision hilfreich sein. - Erinnere dich an die Stammfunktion von Brüchen der Form \(\frac{1}{x+a}\).

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f\): \(x^2 - 9 = 0 \implies x_1 = -3, x_2 = 3\). 2. Untersuchung des Vorzeichens im Intervall \([-3; 3]\): Da \(x^2 - 9 \le 0\) und \(x + 4 > 0\), gilt \(f(x) \le 0\). 3. Ansatz für den Flächeninhalt: \(A = \int_{-3}^3 -f(x) \, dx = \int_{-3}^3 \frac{9 - x^2}{x + 4} \, dx\). 4. Durchführung der Polynomdivision: \(\frac{9 - x^2}{x + 4} = -x + 4 - \frac{7}{x + 4}\). 5. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 4x - 7\ln|x + 4|\). 6. Berechnung des bestimmten Integrals: \(F(3) = 7{,}5 - 7\ln(7)\) und \(F(-3) = -16{,}5\). 7. Ergebnis: \(A = F(3) - F(-3) = 24 - 7\ln(7) \approx 10{,}38\).

Der Flächeninhalt beträgt \(24 - 7\ln(7) \approx 10{,}38\) Flächeneinheiten.

- Beginne damit, die Schnittpunkte der beiden Graphen zu finden, um die Integrationsgrenzen festzulegen. - Welcher Graph liegt im Intervall zwischen den Schnittpunkten oben? - Du musst die Differenzfunktion \(g(x) - f(x)\) über dem gefundenen Intervall integrieren. - Nutze die Logarithmusregel für die Integration von \(\frac{1}{x}\).

1. Berechnung der Schnittstellen: \(\frac{4}{x} = 5 - x \implies x^2 - 5x + 4 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 4\). 2. Vergleich der Funktionswerte im Intervall \([1; 4]\): Da \(g(2) = 3 > f(2) = 2\), liegt der Graph von \(g\) über dem Graphen von \(f\). 3. Ansatz für den Flächeninhalt: \(A = \int_1^4 (g(x) - f(x)) \, dx = \int_1^4 (5 - x - \frac{4}{x}) \, dx\). 4. Bestimmung der Stammfunktion: \(H(x) = 5x - \frac{1}{2}x^2 - 4\ln|x|\). 5. Berechnung des Integrals: \(H(4) = 20 - 8 - 4\ln(4) = 12 - 4\ln(4)\) und \(H(1) = 5 - 0{,}5 - 4\ln(1) = 4{,}5\). 6. Differenz bilden: \(A = (12 - 4\ln(4)) - 4{,}5 = 7{,}5 - 4\ln(4)\). 7. Ergebnis: \(A = 7{,}5 - 8\ln(2) \approx 1{,}95\).

Der Flächeninhalt beträgt \(7{,}5 - 4\ln(4)\) (oder \(7{,}5 - 8\ln(2)\)), was etwa \(1{,}95\) Flächeneinheiten entspricht.

- Wie lautet die allgemeine Formel für die Berechnung eines Flächeninhalts zwischen Graph und \(x\)-Achse? - Welche Stammfunktionen haben Sinus und Kosinus? - Achte beim Einsetzen der Werte in die Stammfunktion auf die Vorzeichen im Einheitskreis. - Wie kannst du eine Gleichung nach dem gesuchten Parameter auflösen?

1. Eine Stammfunktion von \(g_t(x) = t \cdot (\sin x + \cos x)\) ist \(G_t(x) = t \cdot (-\cos x + \sin x)\). 2. Der Flächeninhalt wird über das bestimmte Integral berechnet: \(A_t = \left| \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{7\pi}{4}} g_t(x) \, dx \right| = |G_t(\frac{7}{4}\pi) - G_t(\frac{3}{4}\pi)|\). 3. Einsetzen der Grenzen: \(G_t(\frac{7}{4}\pi) = t \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = -t\sqrt{2}\) und \(G_t(\frac{3}{4}\pi) = t \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = t\sqrt{2}\). 4. Die Differenz ergibt \(A_t = |-t\sqrt{2} - t\sqrt{2}| = 2\sqrt{2}t\). 5. Für Teilaufgabe b) wird die Gleichung \(2\sqrt{2}t = 4\sqrt{2}\) gelöst, woraus \(t = 2\) folgt.

a) \(A_t = 2\sqrt{2}t\) b) \(t = 2\)

- Kannst du den Term \(\sin(2x)\) so umschreiben, dass du \(\sin x\) ausklammern kannst? - Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. - Nutze die Grundintegrale für Sinusfunktionen und bei \(\sin(2x)\) die Stammfunktionsregel für eine lineare innere Funktion. - Prüfe vor der Flächenberechnung, ob der Graph im betrachteten Intervall oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft.

1. Nullstellen: Anwendung der Identität \(\sin(2x) = 2\sin x \cos x\) führt zu \(g(x) = \sin x + \sin x \cos x = \sin x (1 + \cos x)\). Die Gleichung \(\sin x (1 + \cos x) = 0\) ist erfüllt, wenn \(\sin x = 0\) oder \(\cos x = -1\). Im Intervall \([0; 2\pi]\) ergibt \(\sin x = 0\) die Stellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = \pi\) und \(x_3 = 2\pi\). Die Bedingung \(\cos x = -1\) liefert ebenfalls \(x = \pi\). Die Nullstellen sind somit \(\{0; \pi; 2\pi\}\). 2. Stammfunktion: Integration der einzelnen Summanden ergibt \(G(x) = -\cos x - \frac{1}{4}\cos(2x) + C\). Eine mögliche Stammfunktion ist \(G(x) = -\cos x - 0{,}25\cos(2x)\). 3. Flächeninhalt: Da \(g(x) \geq 0\) für \(x \in [0; \pi]\), entspricht der Flächeninhalt dem Integral \(\int_0^{\pi} g(x) \, dx\). Es gilt \(G(\pi) - G(0) = [1 - 0{,}25] - [-1 - 0{,}25] = 2\). Der Flächeninhalt beträgt \(2\,\text{FE}\).

a) Die Nullstellen im Intervall \([0; 2\pi]\) liegen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = \pi\) und \(x_3 = 2\pi\). b) Eine Stammfunktion ist \(G(x) = -\cos x - \frac{1}{4}\cos(2x)\). c) Der Flächeninhalt beträgt \(2\,\text{FE}\).

- Nutze die notwendige Bedingung für Extrema, indem du die erste Ableitung der Funktion bildest und null setzt. - Achte beim Lösen der trigonometrischen Gleichung auf das vorgegebene Intervall für \(x\). - Überlege dir vor der Flächenberechnung, ob der Graph die \(x\)-Achse im Intervall schneidet oder oberhalb verläuft. - Für \(\sin(2x)\) kannst du die Stammfunktionsregel für eine lineare innere Funktion verwenden.

1. Zur Bestimmung der Extremstellen wird die erste Ableitung \(f_k'(x) = 2k \cos(2x)\) gleich null gesetzt. Im Intervall \([0; \pi]\) liefert \(\cos(2x) = 0\) die Stellen \(x_1 = \frac{\pi}{4}\) und \(x_2 = \frac{3\pi}{4}\). Mit \(f_k''(x) = -4k \sin(2x)\) folgt \(f_k''(\frac{\pi}{4})=-4k<0\) und \(f_k''(\frac{3\pi}{4})=4k>0\). Damit sind die Extrempunkte \(H(\frac{\pi}{4}\mid 3k)\) und \(T(\frac{3\pi}{4}\mid k)\). 2. Da \(k > 0\) und \(\sin(2x) \geq -1\), ist \(f_k(x) = k(\sin(2x)+2)>0\). Daher gilt \(A=\int_0^{\pi}(k\sin(2x)+2k)\,dx\). 3. Eine Stammfunktion ist \(F_k(x)=-\frac{k}{2}\cos(2x)+2kx\). Damit ist \(A=[-\frac{k}{2}\cos(2x)+2kx]_0^{\pi}=2\pi k\).

1. Die Extrempunkte sind der Hochpunkt \(H\left(\frac{\pi}{4} \mid 3k\right)\) und der Tiefpunkt \(T\left(\frac{3\pi}{4} \mid k\right)\). 2. Der Flächeninhalt beträgt \(A = 2\pi k\).

- Welche Gleichung beschreibt die Schnittstellen der beiden Graphen? - Welche Symmetrie besitzen beide Funktionen? - Vergleiche den Faktor \(x\) mit der ersten Ableitung des Exponenten \(1-x^2\). - Wie nutzt du die Symmetrie, um nur eine der beiden Teilflächen zu integrieren?

1. Aus \(x=xe^{1-x^2}\) folgt \(x(1-e^{1-x^2})=0\). Damit sind \(x=-1\), \(x=0\) und \(x=1\) die Schnittstellen. Die Punkte sind \((-1\mid-1)\), \((0\mid0)\) und \((1\mid1)\). 2. Beide Funktionen sind ungerade. Daher genügt wegen der Punktsymmetrie \(A=2\int_0^1(g(x)-f(x))\,\mathrm{d}x\). 3. Für \(h(x)=1-x^2\) gilt \(h'(x)=-2x\). Damit ist \(xe^{1-x^2}=-\frac12h'(x)e^{h(x)}\), also ist \(-\frac12e^{1-x^2}\) eine Stammfunktion von \(g\). 4. Es folgt \(A=2\left[-\frac12e^{1-x^2}-\frac12x^2\right]_0^1=e-2\).

Schnittpunkte: \((-1\mid-1)\), \((0\mid0)\), \((1\mid1)\) \(A=e-2\,\text{FE}\approx0{,}718\,\text{FE}\)

- Setze die Funktionsterme gleich, um die Grenzen für dein Integral zu finden. - Welche der beiden Funktionen liefert im relevanten Bereich die größeren Werte? - Nutze für den Term \(xe^x\) die im Aufgabentext angegebene Stammfunktion. - Du kannst die angegebene Stammfunktion vorab mit der Produktregel überprüfen.

1. Aus \(e^2x=xe^x\) folgt \(x(e^2-e^x)=0\). Damit sind \(x_1=0\) und \(x_2=2\) die Schnittstellen. 2. Im Intervall \([0;2]\) gilt \(f(x)\geq g(x)\), zum Beispiel ist bei \(x=1\) der Wert \(e^2\) größer als \(e\). Daher ist \(A=\int_0^2(e^2x-xe^x)\,dx\). 3. Mit der angegebenen Stammfunktion erhält man \(A=[\frac12e^2x^2-(x-1)e^x]_0^2\). 4. Für die obere Grenze ergibt sich \(2e^2-e^2=e^2\), für die untere Grenze \(1\). Somit ist \(A=e^2-1\).

Die Schnittstellen liegen bei \(x = 0\) und \(x = 2\). Der Flächeninhalt beträgt \(e^2 - 1 \approx 6{,}389\,\text{FE}\).

- Bestimme zuerst die Ableitung und untersuche ihren Vorzeichenwechsel am kritischen Punkt. - Welche Integrationsgrenzen ergeben sich aus der \(x\)-Koordinate des Hochpunkts? - Nutze die im Aufgabentext angegebene Stammfunktion für die Flächenberechnung. - Woran erkennst du am Endergebnis, ob der Flächeninhalt vom Parameter abhängt?

1. Es ist \(f_a'(x)=a^2(1-ax)e^{-ax}\). Wegen \(e^{-ax}>0\) folgt aus \(f_a'(x)=0\) die Stelle \(x_H=\frac1a\). Vor dieser Stelle ist \(f_a'(x)>0\), danach \(f_a'(x)<0\). Damit liegt der lokale Hochpunkt bei \(H(\frac1a\mid \frac{a}{e})\). 2. Der Flächeninhalt ist \(A=\int_0^{1/a}a^2xe^{-ax}\,dx\). Die angegebene Stammfunktion erfüllt \(F_a'(x)=a^2xe^{-ax}\). 3. Einsetzen der Grenzen liefert \(A=F_a(\frac1a)-F_a(0)=-2e^{-1}-(-1)=1-\frac2e\). 4. Das Ergebnis enthält den Parameter \(a\) nicht; der Flächeninhalt ist daher für alle \(a>0\) gleich.

1. Hochpunkt \(H\left(\frac{1}{a} \mid \frac{a}{e}\right)\) 2. Der Flächeninhalt beträgt \(A = 1 - \frac{2}{e} \approx 0{,}264\). Da das Ergebnis keinen Parameter \(a\) mehr enthält, ist die Fläche unabhängig von \(a\).

- Welche Bedingung muss an der Stelle des lokalen Maximums erfüllt sein? - Welche Größen in der Aufgabe hängen vom Parameter \(k\) ab? - Untersuche die Struktur des Integranden, bevor du eine Stammfunktion suchst. - Woran würdest du im Endergebnis erkennen, dass der Flächeninhalt unabhängig von \(k\) ist?

1. Die erste Ableitung lautet \(g_k'(x)=\frac{x(2k^3-x^3)}{(x^3+k^3)^2}\). Für \(x>0\) ergibt \(g_k'(x)=0\) die Stelle \(x_M=\sqrt[3]{2}\,k\); dort wechselt die Ableitung von positiv zu negativ. 2. Der Flächeninhalt ist \(A=\int_0^{\sqrt[3]{2}k}\frac{x^2}{x^3+k^3}\,dx\). Eine Stammfunktion ist \(\frac13\ln(x^3+k^3)\), da der Zähler bis auf den Faktor \(3\) die Ableitung des Nenners ist. 3. Damit folgt \(A=\frac13\left(\ln(3k^3)-\ln(k^3)\right)=\frac13\ln3\). 4. Das Ergebnis enthält \(k\) nicht; der Flächeninhalt ist daher für alle \(k>0\) gleich.

\(x_M=\sqrt[3]{2}\,k\) und \(A=\frac13\ln3\approx0{,}366\). Der Flächeninhalt ist unabhängig von \(k\).

- Welche Ableitung von \(G\) musst du mit \(g\) vergleichen? - Welche erste Ableitung bestimmt die Lage des Hochpunkts von \(g\)? - Wie groß ist die Zielfläche in c) im Vergleich zu b)? - Nutze die Logarithmusgesetze, um die Gleichung für \(k\) zu vereinfachen.

1. Ableiten liefert \(G'(x)=\frac12\cdot\frac{2x}{x^2+4}=\frac{x}{x^2+4}=g(x)\). Somit ist \(G\) eine Stammfunktion von \(g\). 2. Die erste Ableitung von \(g\) ist \(g'(x)=\frac{4-x^2}{(x^2+4)^2}\). Für \(x>0\) liegt die Extremstelle bei \(x=2\); dort wechselt \(g'\) von positiv zu negativ, also liegt ein lokaler Hochpunkt vor. 3. Der Flächeninhalt aus b) ist \(A=\int_0^2g(x)\,\mathrm{d}x=G(2)-G(0)=\frac12\ln2\). 4. Für c) gilt \(G(k)-G(2)=2A=\ln2\). Also \(\frac12\ln\left(\frac{k^2+4}{8}\right)=\ln2\). 5. Daraus folgt \(\frac{k^2+4}{8}=4\), also \(k^2=28\). Wegen \(k>2\) ist \(k=2\sqrt7\).

a) \(G'(x)=g(x)\) b) \(A=\frac12\ln2\,\text{FE}\approx0{,}347\,\text{FE}\) c) \(k=2\sqrt7\approx5{,}292\)

- Nutze den Satz vom Nullprodukt für die Nullstellen. - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für Extrema (erste und zweite Ableitung). - Für die Fläche musst du die Funktion über dem Intervall zwischen den Nullstellen integrieren. - Achte beim Auflösen der Gleichung nach \(k\) auf die Potenzgesetze.

1. Nullstellen: \(x^3(k - x) = 0\) ergibt die dreifache Nullstelle \(x_1 = 0\) und die einfache Nullstelle \(x_2 = k\). 2. Ableitungen: \(f_k(x) = kx^3 - x^4\), \(f_k'(x) = 3kx^2 - 4x^3\), \(f_k''(x) = 6kx - 12x^2\). 3. Extrempunkt: \(f_k'(x) = x^2(3k - 4x) = 0\) liefert \(x = 0\) (Sattelpunkt, da \(f_k''(0) = 0\) und \(f_k'''(0) \neq 0\)) und \(x_E = \frac{3}{4}k\). 4. Art und \(y\)-Wert: \(f_k''(\frac{3}{4}k) = 6k(\frac{3}{4}k) - 12(\frac{9}{16}k^2) = \frac{18}{4}k^2 - \frac{27}{4}k^2 = -2{,}25k^2 < 0\), also ein lokales Maximum. \(y_E = f_k(\frac{3}{4}k) = (\frac{3}{4}k)^3(k - \frac{3}{4}k) = \frac{27k^3}{64} \cdot \frac{k}{4} = \frac{27}{256}k^4\). Der Hochpunkt liegt bei \(H(\frac{3}{4}k \mid \frac{27}{256}k^4)\). 5. Flächeninhalt: \(A(k) = \int_{0}^{k} (kx^3 - x^4) \, dx = [\frac{k}{4}x^4 - \frac{1}{5}x^5]_0^k = \frac{k^5}{4} - \frac{k^5}{5} = \frac{k^5}{20}\). 6. Bestimmung von \(k\): \(\frac{k^5}{20} = 51{,}2 \implies k^5 = 1024 \implies k = \sqrt[5]{1024} = 4\).

a) Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x = k\); Hochpunkt bei \(H(\frac{3}{4}k \mid \frac{27}{256}k^4)\). b) \(A(k) = \frac{1}{20}k^5\). c) \(k = 4\).

- Bestimme zuerst die Schnittstellen der beiden Funktionen, um die Grenzen der eingeschlossenen Flächen zu finden. - Wie kannst du rechnerisch überprüfen, welcher Graph in welchem Intervall oberhalb des anderen verläuft? - Überlege, wie du den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven mithilfe von bestimmten Integralen berechnen kannst. - Denke daran, dass Flächeninhalte immer positive Werte haben müssen. Was bedeutet das für die Reihenfolge der Funktionen im Integral? - Berechne die beiden Teilflächen einzeln und addiere sie am Ende zum Gesamtflächeninhalt.

1. Schnittstellen bestimmen: Durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen \(f(x) = g(x)\) erhält man die Gleichung \(x^3 - 2x = 2x\), was zu \(x^3 - 4x = 0\) bzw. \(x(x^2 - 4) = 0\) führt. Die Schnittstellen liegen somit bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). 2. Intervalle untersuchen: Die Graphen schließen im Intervall \([-2; 2]\) zwei Teilflächen ein. Im Intervall \([-2; 0]\) gilt \(f(x) \ge g(x)\) und im Intervall \([0; 2]\) gilt \(g(x) \ge f(x)\). 3. Teilflächen berechnen: - Erste Teilfläche im Intervall \([-2; 0]\): \(A_1 = \int_{-2}^0 (f(x) - g(x))\,\text{d}x = \int_{-2}^0 (x^3 - 4x)\,\text{d}x = \left[ \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 \right]_{-2}^0 = 0 - (4 - 8) = 4\) - Zweite Teilfläche im Intervall \([0; 2]\): \(A_2 = \int_0^2 (g(x) - f(x))\,\text{d}x = \int_0^2 (4x - x^3)\,\text{d}x = \left[ 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 \right]_0^2 = (8 - 4) - 0 = 4\) 4. Gesamtfläche berechnen: Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(A_{\text{gesamt}} = A_1 + A_2 = 4 + 4 = 8\).

Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(8\).

- Welche Gleichung liefert die Schnittstellen der beiden Graphen? - Welche Funktion liegt zwischen den Schnittstellen oberhalb der anderen? - In welcher Reihenfolge musst du die Funktionen im Flächenintegral subtrahieren? - Bestimme eine Stammfunktion der Differenzfunktion und setze die Grenzen ein.

1. Aus \(f(x)=g(x)\) folgt \(x^2-x-2=0\), also \(x=-1\) und \(x=2\). 2. Auf \([-1;2]\) liegt \(f\) oberhalb von \(g\). Daher ist \(A=\int_{-1}^{2}(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^{2}(-2x^2+2x+4)\,\mathrm{d}x\). 3. Eine Stammfunktion ist \(H(x)=-\frac23x^3+x^2+4x\). 4. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(A=H(2)-H(-1)=9\).

\(A=9\,\text{FE}\)

- Wie hängen die Eckpunkte des Dreiecks mit den Nullstellen und dem Scheitelpunkt der Funktion zusammen? - Erinnere dich daran, wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet, wenn die Grundseite und die Höhe bekannt sind. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, den exakten Flächeninhalt unter einer Kurve zu berechnen? Denke an die Grenzen der Fläche. - Wenn du beide Flächeninhalte berechnet hast, wie kannst du das Verhältnis des kleineren zum größeren Wert bestimmen und als Prozentsatz ausdrücken?

1. Nullstellen von \(f(x) = 4 - x^2\) durch Nullsetzen bestimmen: \(4 - x^2 = 0 \implies x = \pm 2\). Somit sind die Nullstellen \(N_1(-2 \mid 0)\) und \(N_2(2 \mid 0)\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(0 \mid 4)\). 2. Der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet sich mit der Grundseite \(g = 4\) (Abstand der Nullstellen) und der Höhe \(h = 4\) (\(y\)-Koordinate des Scheitelpunktes) zu \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\). 3. Der Flächeninhalt der von der Parabel und der \(x\)-Achse eingeschlossenen Fläche wird über das bestimmte Integral berechnet: \(A_{\text{Gesamt}} = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, \mathrm{d}x = \left[ 4x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-2}^{2} = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = \frac{16}{3} - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{32}{3}\). 4. Das Verhältnis der Flächeninhalte bestimmen: \(\frac{A_{\text{Dreieck}}}{A_{\text{Gesamt}}} = \frac{8}{\frac{32}{3}} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4} = 75\,\%\).

a) Nullstellen bei \(N_1(-2 \mid 0)\) und \(N_2(2 \mid 0)\), Scheitelpunkt bei \(S(0 \mid 4)\). Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(A_{\text{Dreieck}} = 8\). b) Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt \(A_{\text{Gesamt}} = \frac{32}{3} \approx 10{,}67\). c) Das Dreieck nimmt einen Anteil von genau \(75\,\%\) der Gesamtfläche ein.

- Welche Form der Parabelgleichung nutzt den gegebenen Scheitelpunkt unmittelbar? - Wie bestimmt der Punkt \(P\) den noch unbekannten Parameter der Parabel? - Welche Ableitung liefert die Tangentensteigung in \(P\)? - Welche beiden \(x\)-Werte begrenzen die eingeschlossene Fläche?

1. Mit der Scheitelpunktform \(f(x)=a(x-2)^2+3\) und \(P(4\mid1{,}5)\) folgt \(1{,}5=4a+3\), also \(a=-0{,}375\). Damit ist \(f(x)=-0{,}375(x-2)^2+3\). 2. Die erste Ableitung lautet \(f'(x)=-0{,}75(x-2)\). Daher ist die Tangentensteigung \(f'(4)=-1{,}5\), also \(t(x)=-1{,}5x+7{,}5\). 3. Auf \([0;4]\) liegt \(t\) oberhalb von \(f\). Die Differenz vereinfacht sich zu \(t(x)-f(x)=0{,}375(x-4)^2\). 4. Somit ist \(A=\int_0^4 0{,}375(x-4)^2\,\mathrm{d}x=8\).

a) \(f(x)=-0{,}375(x-2)^2+3\), \(t(x)=-1{,}5x+7{,}5\) b) \(A=8\,\text{FE}\)

- Betrachte das Bild genau: Welche Kurve liegt oben und welche Kurven begrenzen die Fläche nach unten? - Bestimme zuerst alle Schnittpunkte der beteiligten Graphen, um die Grenzen der Fläche zu finden. - Überlege, ob sich die untere Begrenzung der Fläche an einer Stelle ändert. Musst du die Fläche eventuell in zwei Teile aufteilen? - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven in einem bestimmten Intervall? - Berechne die einzelnen Teilflächen getrennt und addiere sie am Ende für das Gesamtergebnis.

1. Schnittpunkte bestimmen: - Schnitt von \(f\) und \(h\): \(-x^2 + 4 = -3x - 6 \implies x^2 - 3x - 10 = 0 \implies x_1 = -2\) (relevante linke Grenze). - Schnitt von \(g\) und \(h\): \(x - 2 = -3x - 6 \implies 4x = -4 \implies x_2 = -1\) (Stelle des Wechsels der unteren Begrenzung). - Schnitt von \(f\) und \(g\): \(-x^2 + 4 = x - 2 \implies x^2 + x - 6 = 0 \implies x_3 = 2\) (relevante rechte Grenze). 2. Teilflächen aufstellen: - Die Fläche wird an der Nahtstelle \(x = -1\) in zwei Teile zerlegt. - Linke Teilfläche \(A_1\) im Intervall \([-2; -1]\) mit oberer Grenze \(f(x)\) und unterer Grenze \(h(x)\). - Rechte Teilfläche \(A_2\) im Intervall \([-1; 2]\) mit oberer Grenze \(f(x)\) und unterer Grenze \(g(x)\). 3. Integration durchführen: - \(A_1 = \int_{-2}^{-1} (-x^2 + 3x + 10)\,\text{d}x = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 10x \right]_{-2}^{-1} = -\frac{49}{6} - \left(-\frac{34}{3}\right) = \frac{19}{6}\). - \(A_2 = \int_{-1}^{2} (-x^2 - x + 6)\,\text{d}x = \left[ -\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 6x \right]_{-1}^{2} = \frac{22}{3} - \left(-\frac{37}{6}\right) = \frac{81}{6} = \frac{27}{2}\). 4. Gesamtfläche berechnen: - \(A = A_1 + A_2 = \frac{19}{6} + \frac{81}{6} = \frac{100}{6} = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3}\).

Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt \(\frac{50}{3}\) (oder \(16\frac{2}{3} \approx 16{,}67\)).

- Kannst du beschreiben, wie die Fläche im Koordinatensystem liegt? Verläuft sie ganz oberhalb, ganz unterhalb oder aufgeteilt? - Wie hängen die Nullstellen der Funktion mit den Integrationsgrenzen zusammen? - Was musst du beachten, wenn ein Teil des Graphen unterhalb der \(x\)-Achse liegt und du den tatsächlichen Flächeninhalt berechnen möchtest? - Wie unterscheidet sich die Flächenbilanz (das Integral über das gesamte Intervall) vom tatsächlichen Flächeninhalt? - Welche Rechenschritte sind nötig, um ein bestimmtes Integral mithilfe einer Stammfunktion zu berechnen?

1. Bestimmung der Integrationsgrenzen durch Ermittlung der Nullstellen von \(f(x) = -0{,}5x^3 + 0{,}5x^2 + x = 0\). Ausklammern liefert \(-0{,}5x(x^2 - x - 2) = 0\), woraus sich die Nullstellen bei \(x_1 = -1\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\) ergeben. Das Intervall \([-1; 2]\) wird somit bei \(x = 0\) unterteilt. 2. Bestimmung des Vorzeichens im jeweiligen Teilintervall: - Im Intervall \([-1; 0]\) verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse (\(f(x) \le 0\)). - Im Intervall \([0; 2]\) verläuft der Graph oberhalb der \(x\)-Achse (\(f(x) \ge 0\)). 3. Aufstellen der Integrale für den gesamten Flächeninhalt \(A\): \(A = -\int_{-1}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x\) Alternativ: \(A = \int_{-1}^{0} -f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x\) oder \(A = \left|\int_{-1}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x\right| + \int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x\). 4. Bestimmung einer Stammfunktion \(F\) von \(f\): \(F(x) = -\frac{1}{8}x^4 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x^2\) 5. Berechnung des ersten Teilintegrals \(I_1\): \(I_1 = \int_{-1}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x = F(0) - F(-1) = 0 - \left(-\frac{1}{8}(-1)^4 + \frac{1}{6}(-1)^3 + \frac{1}{2}(-1)^2\right) = -\left(-\frac{1}{8} - \frac{1}{6} + \frac{1}{2}\right) = -\frac{5}{24}\) Der Flächeninhalt des ersten Teils beträgt somit \(A_1 = |I_1| = \frac{5}{24}\). 6. Berechnung des zweiten Teilintegrals \(I_2\): \(I_2 = \int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x = F(2) - F(0) = \left(-\frac{1}{8}(2)^4 + \frac{1}{6}(2)^3 + \frac{1}{2}(2)^2\right) - 0 = -2 + \frac{4}{3} + 2 = \frac{4}{3} = \frac{32}{24}\) Der Flächeninhalt des zweiten Teils beträgt somit \(A_2 = \frac{32}{24}\). 7. Berechnung des Gesamtflächeninhalts durch Addition: \(A = A_1 + A_2 = \frac{5}{24} + \frac{32}{24} = \frac{37}{24}\)

a) \(A = -\int_{-1}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x\) (oder eine äquivalente Darstellung mit Beträgen) b) \(A = \frac{37}{24}\)

- Welche Gleichung liefert die Schnittpunkte der beiden Graphen? - In welchen Teilintervallen wechselt die obere Funktion? - Berechne beide Teilflächen getrennt mit „obere Funktion minus untere Funktion“.

1. Aus \(f(x)=g(x)\) folgt \(-x^3+3x^2-2x=0\), also \(-x(x-1)(x-2)=0\). Die Schnittpunkte sind \((0\mid0)\), \((1\mid2)\) und \((2\mid4)\). 2. Auf \([0;1]\) liegt \(g\) oberhalb von \(f\). Daher ist \(A_1=\int_0^1(g(x)-f(x))\,\mathrm{d}x=\frac14\). 3. Auf \([1;2]\) liegt \(f\) oberhalb von \(g\). Daher ist \(A_2=\int_1^2(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x=\frac14\). 4. Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(A=A_1+A_2=\frac12\,\text{FE}\).

a) \((0\mid0)\), \((1\mid2)\), \((2\mid4)\) b) \(A=0{,}5\,\text{FE}\)

- Wenn sich Graphen mehrmals schneiden, musst du die Fläche in Teilintervalle zerlegen. - Wie verhalten sich die Funktionen in den einzelnen Abschnitten? Welche ist jeweils „oben“? - Du kannst für jedes Intervall den Betrag des Integrals der Differenzfunktion nehmen, damit alle Teilflächen positiv addiert werden.

1. Schnittstellen bestimmen: \(x^3 - 4x = x^2 - 4 \Rightarrow x^3 - x^2 - 4x + 4 = 0\). Durch Ausklammern: \(x^2(x - 1) - 4(x - 1) = 0 \Rightarrow (x^2 - 4)(x - 1) = 0\). Die Schnittstellen sind \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). 2. Intervalle festlegen: Es ergeben sich zwei Teilflächen über \([-2; 1]\) und \([1; 2]\). 3. Integral für die erste Fläche (\([-2; 1]\)): \(A_1 = \int_{-2}^1 (x^3 - x^2 - 4x + 4) \, dx = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x]_{-2}^1 = (\frac{1}{4} - \frac{1}{3} - 2 + 4) - (4 + \frac{8}{3} - 8 - 8) = \frac{23}{12} - (-\frac{28}{3}) = \frac{23}{12} + \frac{112}{12} = \frac{135}{12} = 11{,}25\). 4. Integral für die zweite Fläche (\([1; 2]\)): \(A_2 = |\int_1^2 (x^3 - x^2 - 4x + 4) \, dx| = |[\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x]_1^2| = |(4 - \frac{8}{3} - 8 + 8) - \frac{23}{12}| = |\frac{4}{3} - \frac{23}{12}| = |\frac{16}{12} - \frac{23}{12}| = |-\frac{7}{12}| = \frac{7}{12}\). 5. Gesamtfläche: \(A_{ges} = 11{,}25 + \frac{7}{12} = \frac{135}{12} + \frac{7}{12} = \frac{142}{12} = \frac{71}{6} \approx 11{,}83\).

Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(\frac{71}{6} \approx 11{,}83\,\text{FE}\).

- Welche Bedingung an die erste Ableitung kennzeichnet einen Hochpunkt? - Prüfe beim Ableiten der vorgegebenen Stammfunktion die Produktregel sorgfältig. - Warum entspricht das bestimmte Integral hier direkt einem geometrischen Flächeninhalt?

1. Es gilt \(g'(x)=(10-2x)e^{-0{,}2x}\). Da der Exponentialfaktor positiv ist, gilt \(g'(x)=0\) genau für \(x=5\). Links davon ist \(g'>0\), rechts davon \(g'<0\); somit liegt dort der Gipfel. Es ist \(g(5)=50e^{-1}=\frac{50}{e}\,\text{m}\). 2. Für die angegebene Funktion gilt \(G'(x)=-50e^{-0{,}2x}+10(x+5)e^{-0{,}2x}=10xe^{-0{,}2x}=g(x)\). 3. Da \(g(x)\geq0\) auf \([0;15]\), ist der Flächeninhalt \(A=\int_0^{15}g(x)\,\mathrm{d}x=G(15)-G(0)=250-1000e^{-3}\,\text{m}^2\).

a) \(G\left(5\mid\frac{50}{e}\right)\) b) \(A=250-1000e^{-3}\,\text{m}^2\)

- Welche Symmetrie besitzt der Querschnitt bezüglich der \(x\)-Achse? - Wie kannst du \(\sqrt{x}(4-x)\) als Summe von Potenzen von \(x\) schreiben? - Berechne zunächst die obere Hälfte und nutze anschließend die Symmetrie.

1. Wegen der Symmetrie zur \(x\)-Achse ist der gesamte Flächeninhalt \(A=2\int_0^4f(x)\,\mathrm{d}x\). 2. Es ist \(f(x)=2x^{1/2}-0{,}5x^{3/2}\). Eine Stammfunktion lautet \(F(x)=\frac43x^{3/2}-\frac15x^{5/2}\). 3. Damit gilt \(A=2[F(x)]_0^4=2\left(\frac{32}{3}-\frac{32}{5}\right)=\frac{128}{15}\,\text{dm}^2\).

\(A=\frac{128}{15}\,\text{dm}^2\)

- Überlege dir für jedes Teilintervall einzeln, welche Kurve oben und welche unten liegt. - Stell dir vor, du setzt die farbigen Puzzleteile \(A_i\) zusammen, um die gesuchte Gesamtfläche zu erhalten. - Achte darauf, ob eine gesuchte Fläche durch die \(x\)-Achse in zwei Teile geteilt wird oder ob sie direkt von einem Graphen zum anderen reicht.

Anhand der Abbildung lassen sich die zusammengesetzten Flächen wie folgt bestimmen: 1. Fläche I erstreckt sich über das gesamte Intervall \([-2; 0]\) zwischen den beiden Graphen. Im Teilintervall \([-2; -\sqrt{2}]\) entspricht dies der Fläche \(A_1\), im Teilintervall \([-\sqrt{2}; 0]\) der Fläche \(A_4\). Somit gilt: \(\text{Fläche I} = A_1 + A_4\). 2. Fläche II ist die Fläche unter \(G_f\) bis zur \(x\)-Achse. Links von \(-\sqrt{2}\) ist dies \(A_2\). Rechts von \(-\sqrt{2}\) setzt sich die Fläche unter \(G_f\) aus der Fläche unter \(G_g\) (nämlich \(A_3\)) und der Fläche zwischen \(G_g\) und \(G_f\) (nämlich \(A_4\)) zusammen. Also: \(\text{Fläche II} = A_2 + A_3 + A_4\). 3. Fläche III ist das Trapez unter \(G_g\) von \(x = -2\) bis \(x = 0\). Auf dem linken Teilintervall wird dieses durch die Summe von \(A_1\) und \(A_2\) gebildet, auf dem rechten durch \(A_3\). Damit ergibt sich: \(\text{Fläche III} = A_1 + A_2 + A_3\).

- Fläche I \(= A_1 + A_4\) - Fläche II \(= A_2 + A_3 + A_4\) - Fläche III \(= A_1 + A_2 + A_3\)

- Wo wechselt der Kosinus im dargestellten Intervall sein Vorzeichen? - Warum muss der geometrische Flächeninhalt an dieser Stelle aufgeteilt werden? - Wie behandelst du den negativen Integralwert des zweiten Teilintervalls?

1. Im Intervall \([0;\pi]\) liegt die Nullstelle bei \(x=\frac{\pi}{2}\). 2. Auf \([0;\frac{\pi}{2}]\) ist der Flächeninhalt \(A_1=\int_0^{\pi/2}\cos(x)\,dx=1\). 3. Auf \([\frac{\pi}{2};\pi]\) liegt der Graph unterhalb der Achse; der Flächeninhalt ist \(A_2=\left|\int_{\pi/2}^{\pi}\cos(x)\,dx\right|=1\). 4. Insgesamt gilt \(A=A_1+A_2=2\,\text{FE}\).

\(2\,\text{FE}\)

- Bestimme zuerst selbst die Nullstellen im vorgegebenen Intervall. - Auf welchen Teilintervallen liegt der Graph oberhalb beziehungsweise unterhalb der \(x\)-Achse? - Wie müssen negative Teilintegrale behandelt werden, wenn ein geometrischer Flächeninhalt gesucht ist?

1. Aus \((x-1)^2-1=0\) folgen die Nullstellen \(x=0\) und \(x=2\). 2. Auf \([0;2]\) liegt der Graph unterhalb der \(x\)-Achse. Mit einer Stammfunktion \(F(x)=\frac13(x-1)^3-x\) ergibt sich der Flächeninhalt \(A_1=\left|F(2)-F(0)\right|=\frac43\). 3. Auf \([2;3]\) liegt der Graph oberhalb der \(x\)-Achse. Es ist \(A_2=F(3)-F(2)=\frac43\). 4. Der Gesamtflächeninhalt ist \(A=\frac83\,\text{FE}\).

\(A=\frac83\,\text{FE}\approx2{,}67\,\text{FE}\)

- Bestimme zuerst selbst, wo \(f\) im Intervall sein Vorzeichen wechselt. - Wie kannst du die Wurzel als Potenz schreiben? - Wie wird der negative Teilintegralwert in einen geometrischen Flächeninhalt überführt?

1. Aus \(2-\sqrt{x}=0\) folgt die Nullstelle \(x=4\). 2. Auf \([0;4]\) liegt der Graph oberhalb der \(x\)-Achse. Mit \(F(x)=2x-\frac23x^{3/2}\) ergibt sich \(A_1=F(4)-F(0)=\frac83\). 3. Auf \([4;9]\) liegt der Graph unterhalb der \(x\)-Achse. Dort ist \(A_2=\left|F(9)-F(4)\right|=\frac83\). 4. Insgesamt beträgt der geometrische Flächeninhalt \(A=\frac{16}{3}\,\text{FE}\).

\(A=\frac{16}{3}\,\text{FE}\approx5{,}33\,\text{FE}\)

- Wo hat die Exponentialfunktion \(e^x - 1\) ihren Schnittpunkt mit der x-Achse? - Wie berechnest du den Flächeninhalt, wenn der Graph sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse verläuft? - Nutze die Eigenschaften der Stammfunktion von \(e^x\).

1. Bestimmung der Nullstelle: \(e^x - 1 = 0 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x = 0\). 2. Aufteilung des Integrals an der Nullstelle \(x = 0\): Teilflächen auf \([-1; 0]\) und \([0; 1]\). 3. Berechnung der Teilfläche \(A_1\) auf \([-1; 0]\): \(A_1 = |\int_{-1}^{0} (e^x - 1) \, dx| = |[e^x - x]_{-1}^{0}| = |(e^0 - 0) - (e^{-1} - (-1))| = |1 - (e^{-1} + 1)| = |-e^{-1}| = \frac{1}{e}\). 4. Berechnung der Teilfläche \(A_2\) auf \([0; 1]\): \(A_2 = \int_{0}^{1} (e^x - 1) \, dx = [e^x - x]_{0}^{1} = (e^1 - 1) - (e^0 - 0) = e - 1 - 1 = e - 2\). 5. Gesamtflächeninhalt: \(A = A_1 + A_2 = \frac{1}{e} + e - 2 \approx 0{,}368 + 2{,}718 - 2 = 1{,}086\).

Der Flächeninhalt beträgt \(e + \frac{1}{e} - 2 \approx 1{,}086\) Flächeneinheiten.

- Wo schneidet \(\ln(x)\) die \(x\)-Achse? - Prüfe durch Ableiten, warum die vorgegebene Funktion tatsächlich eine Stammfunktion ist. - Wie müssen die Integralwerte links und rechts der Nullstelle für den geometrischen Flächeninhalt behandelt werden?

1. Es gilt \(F'(x)=\ln(x)+1-1=\ln(x)=f(x)\). 2. Die Nullstelle von \(f\) ist \(x=1\). Auf \([\frac1e;1]\) ist \(f<0\), auf \([1;e]\) ist \(f>0\). 3. Für den linken Flächeninhalt gilt \(A_1=\left|F(1)-F(\frac1e)\right|=1-\frac2e\). 4. Für den rechten Flächeninhalt gilt \(A_2=F(e)-F(1)=1\). 5. Daher ist \(A=A_1+A_2=2-\frac2e\,\text{FE}\).

\(A=2-\frac2e\,\text{FE}\approx1{,}264\,\text{FE}\)

- Welches Vorzeichen hat die Sinusfunktion im gesamten gegebenen Intervall? - Welche Regel für lineare innere Funktionen brauchst du beim Integrieren? - Wie lassen sich Grundseite und Höhe des Dreiecks aus den Punkten bestimmen? - Welches Verhältnis liefert den prozentual bedeckten Anteil?

1. Der Graph liegt auf \([0;2\pi]\) oberhalb der \(x\)-Achse. Mit der Stammfunktion \(G(x)=-4\cos(0{,}5x)\) folgt \(A=\int_0^{2\pi}2\sin(0{,}5x)\,\mathrm{d}x=8\,\text{m}^2\). 2. Das Dreieck hat Grundseite \(2\pi\,\text{m}\) und Höhe \(2\,\text{m}\). Daher ist \(A_\triangle=2\pi\,\text{m}^2\). 3. Der Anteil beträgt \(\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}\), also \(25\pi\,\%\).

a) \(8\,\text{m}^2\) b) \(A_\triangle=2\pi\,\text{m}^2\); Anteil \(25\pi\,\%\)

- Welche erste Ableitung liefert jeweils die Tangentensteigung? - Welche zusätzliche Begrenzung legt in a) die linke Integrationsgrenze fest? - Welche Nullstellen von Funktion und Tangente sind in b) für die Flächenzerlegung relevant? - Prüfe jeweils, welche Begrenzung oben und welche unten liegt.

1. Zu a): \(f'(x)=2x\), also \(f'(2)=4\). Die Tangente lautet \(t(x)=4x-3\). Damit ist \(f(x)-t(x)=(x-2)^2\), also \(A=\int_0^2(x-2)^2\,\mathrm{d}x=\frac83\). 2. Zu b): \(f'(x)=-\frac8{x^3}\), also \(f'(1)=-8\). Die Tangente lautet \(t(x)=-8x+11\). 3. Der Graph von \(f\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=2\), die Tangente bei \(x=\frac{11}{8}\). Der Flächeninhalt ist \(A=\int_1^2\left(\frac4{x^2}-1\right)\,\mathrm{d}x-\int_1^{11/8}(-8x+11)\,\mathrm{d}x=1-\frac9{16}=\frac7{16}\).

a) \(A=\frac83\,\text{FE}\) b) \(A=\frac7{16}\,\text{FE}\)

- Überlege dir für jedes Intervall auf der \(x\)-Achse, welcher Graph oben und welcher unten liegt. - Erinnere dich daran, dass Flächeninhalte immer positive Werte sein müssen, Integrale jedoch negativ sein können. - Wie berechnet man die Fläche zwischen zwei Graphen? Spielt die Lage zur \(x\)-Achse dabei eine Rolle? - Achte auf die Nullstellen der Funktionen, um die Integrationsgrenzen zu überprüfen.

1. Analyse von (1): Die Aussage ist korrekt. \(A_1\) ist die Fläche zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse im Intervall \([0; 2]\). Da \(f(x) > 0\) in diesem Bereich, entspricht der Integralwert dem Flächeninhalt. 2. Analyse von (2): Die Aussage ist korrekt. Im Intervall \([2; \sqrt{10}]\) verläuft \(f\) oberhalb von \(g\). Die Fläche zwischen zwei Graphen wird durch das Integral der Differenzfunktion (obere minus untere Funktion) berechnet. 3. Analyse von (3): Die Aussage ist fehlerhaft. Im Intervall \([0; 2]\) verläuft der Graph von \(g\) unterhalb der \(x\)-Achse. Das Integral liefert daher einen negativen Wert. Korrektur: \(A_4 = -\int_0^2 g(x) \, \text{d}x\) oder \(A_4 = \int_0^2 |g(x)| \, \text{d}x\). 4. Analyse von (4): Die Aussage ist fehlerhaft. Im Intervall \([\sqrt{10}; 4]\) verläuft der Graph von \(g\) oberhalb von \(f\). Der angegebene Ausdruck würde einen negativen Wert liefern. Korrektur: \(A_6 = \int_{\sqrt{10}}^4 (g(x) - f(x)) \, \text{d}x\).

(1) Korrekt. (2) Korrekt. (3) Fehlerhaft: Das Integral ist negativ, da \(g\) unter der \(x\)-Achse verläuft. Korrektur: \(A_4 = -\int_0^2 g(x) \, \text{d}x\). (4) Fehlerhaft: Im Intervall \([\sqrt{10}; 4]\) ist \(g(x) > f(x)\). Korrektur: \(A_6 = \int_{\sqrt{10}}^4 (g(x) - f(x)) \, \text{d}x\).

- Welche erste Ableitung liefert die Tangentensteigung in \(P\)? - Welche Gerade bildet die linke Begrenzung der Fläche? - Welche Funktion liegt zwischen \(x=0\) und \(x=4\) oben?

1. Die erste Ableitung ist \(f'(x)=\frac14x\). Im Punkt \(P\) ist die Steigung daher \(f'(4)=1\), also lautet die Tangente \(t(x)=x\). 2. Zwischen \(x=0\) und \(x=4\) liegt \(f\) oberhalb der Tangente. 3. Damit ist \(A=\int_0^4\left(\frac18x^2+2-x\right)\,\mathrm{d}x=\frac83\).

\(A=\frac83\,\text{FE}\approx2{,}67\,\text{FE}\)

- Welche erste Ableitung liefert die Tangentensteigung bei \(x=3\)? - Welche Funktion liegt im Intervall \([1;3]\) oberhalb der anderen? - Kannst du die Differenz der beiden Funktionsterme als Quadrat schreiben?

1. Es ist \(f'(x)=-2x+4\), also \(f'(3)=-2\). Mit \(Q(3\mid3)\) folgt \(t(x)=-2x+9\). 2. Auf \([1;3]\) gilt \(t(x)-f(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2\ge0\). 3. Daher ist \(A=\int_1^3(x-3)^2\,\mathrm{d}x=\frac83\).

\(A=\frac83\,\text{FE}\approx2{,}67\,\text{FE}\)

- Wenn ein Graph die \(x\)-Achse schneidet, musst du das Integral an der Nullstelle aufteilen. - Überlege, warum man nicht einfach das Integral von \(-2\) bis \(2\) berechnen darf, um die Gesamtfläche zu erhalten. - Berechne die Inhalte der einzelnen Flächenstücke separat und addiere ihre Beträge.

1. Nullstellenberechnung von \(p(x) = x^3 - 4x\): \(x(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 0, x_3 = 2\). 2. Aufteilung in zwei Teilflächen: \(A_1\) von \(-2\) bis \(0\) und \(A_2\) von \(0\) bis \(2\). 3. Stammfunktion bilden: \(P(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2\). 4. Berechnung der ersten Teilfläche (über der \(x\)-Achse): \(A_1 = \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) \, dx = [0] - (\frac{1}{4}(-2)^4 - 2(-2)^2) = 0 - (4 - 8) = 4\). 5. Berechnung der zweiten Teilfläche (unter der \(x\)-Achse): \(A_2 = \left| \int_{0}^{2} (x^3 - 4x) \, dx \right| = \left| (\frac{1}{4}(2)^4 - 2(2)^2) - [0] \right| = |4 - 8| = 4\). 6. Gesamtfläche: \(A = A_1 + A_2 = 4 + 4 = 8\).

Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(8\).

- Überlege zuerst, an welchen Stellen sich die beiden Graphen schneiden. - Welcher Graph liegt im betrachteten Intervall oberhalb des anderen? - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen mithilfe eines Integrals? - Denke beim Integrieren der Wurzelfunktion an die Potenzschreibweise.

1. Berechnung der Schnittstellen durch Gleichsetzen: \(\sqrt{x + 1} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\). Quadrieren führt zu \(x + 1 = \frac{1}{4}(x + 1)^2\), woraus die Schnittstellen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\) folgen. 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt: \(A = \int_{-1}^{3} (\sqrt{x + 1} - (\frac{1}{2}x + \frac{1}{2})) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{2}{3}(x + 1)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x\). 4. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = [F(3)] - [F(-1)] = (\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{9}{4} - \frac{6}{4}) - (0 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}) = (\frac{16}{3} - \frac{15}{4}) - \frac{1}{4} = \frac{64 - 45 - 3}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\). Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{4}{3} \approx 1{,}33\) Flächeneinheiten.

Der Inhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt \(\frac{4}{3} \approx 1{,}33\) Flächeneinheiten.

- Wann ist ein Produkt aus \(x\) und \(\cos(x)\) gleich null? - In welchen Teilintervallen liegt der Graph oberhalb beziehungsweise unterhalb der \(x\)-Achse? - Nutze die vorgegebene Stammfunktion für beide Teilaufgaben. - Worin unterscheiden sich Flächenbilanz und geometrischer Flächeninhalt?

1. Aus \(x\cos(x)=0\) folgen im Intervall die Nullstellen \(x=0\) und \(x=\frac{\pi}{2}\). 2. Auf \([0;\frac{\pi}{2}]\) ist \(f\geq0\), auf \([\frac{\pi}{2};\pi]\) ist \(f\leq0\). Es gilt \(A_1=\frac{\pi}{2}-1\) und \(A_2=1+\frac{\pi}{2}\). Damit ist der geometrische Gesamtflächeninhalt \(A=\pi\,\text{FE}\). 3. Für das bestimmte Integral gilt \(\int_0^{\pi}f(x)\,dx=F(\pi)-F(0)=-2\). 4. Das bestimmte Integral bildet die Flächenbilanz und zählt den Flächenbeitrag unterhalb der \(x\)-Achse negativ; beim geometrischen Flächeninhalt werden die Beträge addiert.

a) \(x=0\), \(x=\frac{\pi}{2}\) b) \(\pi\,\text{FE}\) c) \(-2\); der Unterschied entsteht durch die vorzeichenbehaftete Flächenbilanz.

- Prüfe, ob derselbe Graph im gesamten Intervall oben liegt. - An welcher Schnittstelle wechselt die Reihenfolge der beiden Funktionen? - Teile den Flächeninhalt dort in zwei Integrale auf und verwende jeweils „oben minus unten“. - Die beiden Teilflächen besitzen eine Symmetrie, die die Rechnung verkürzen kann.

1. Die Graphen schneiden sich im betrachteten Intervall bei \(x=-1\), \(x=0\) und \(x=1\). Bei \(x=0\) wechselt die Reihenfolge der Graphen. 2. Auf \([-1;0]\) liegt \(g\) oberhalb von \(f\), auf \([0;1]\) liegt \(f\) oberhalb von \(g\). Ein einziges Integral mit unveränderter Reihenfolge würde deshalb eine Flächenbilanz statt des geometrischen Gesamtflächeninhalts liefern. 3. Daher gilt \(A=\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{1}(x-x^3)\,\mathrm{d}x\). 4. Wegen der Symmetrie sind beide Teilflächen gleich groß. Es folgt \(A=2\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=2\left(\frac12-\frac14\right)=\frac12\).

Nein. Ein korrekter Ansatz ist \(A=\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{1}(x-x^3)\,\mathrm{d}x\), und der Flächeninhalt beträgt \(\frac12\,\text{FE}\).

- Welche Funktion bildet links vom Ursprung die untere Begrenzung, welche rechts davon? - Ein Wechsel der Randfunktion ist ein Grund, den Integralansatz zu teilen. - Verwende auf jedem Teilintervall „oberer Graph minus unterer Graph“.

1. Die obere Begrenzung ist im gesamten Bereich \(h(x)=2\). Die untere Begrenzung wechselt bei \(x=0\): Auf \([-2;0]\) ist sie \(f(x)=-x\), auf \([0;2]\) ist sie \(g(x)=x\). 2. Deshalb muss der Flächeninhalt an \(x=0\) geteilt werden: \(A=\int_{-2}^{0}(2-(-x))\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{2}(2-x)\,\mathrm{d}x\). 3. Der erste Anteil ist \(\left[2x+\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^{0}=2\), der zweite \(\left[2x-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2}=2\). 4. Insgesamt beträgt der Flächeninhalt \(A=4\,\text{FE}\).

\(A=\int_{-2}^{0}(2+x)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{2}(2-x)\,\mathrm{d}x=4\,\text{FE}\)

- Wie findet man die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse berührt oder schneidet? - Könnte eine Ersetzung (Substitution) helfen, die Nullstellen einfacher zu berechnen? - Erinnere dich an die Potenzschreibweise von Wurzeln, um die Stammfunktion leichter zu finden. - Warum ist es wichtig, am Ende den Betrag des Integrals zu nehmen?

1. Nullstellen bestimmen: Die Gleichung \(x - 4\sqrt{x} + 3 = 0\) wird mit der Substitution \(u = \sqrt{x}\) zu \(u^2 - 4u + 3 = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 3\). Durch Rücksubstitution ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 9\). 2. Stammfunktion bestimmen: \(F(x) = \int (x - 4x^{\frac{1}{2}} + 3) \, dx = \frac{1}{2}x^2 - \frac{4}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} + 3x = \frac{1}{2}x^2 - \frac{8}{3}x\sqrt{x} + 3x\). 3. Bestimmtes Integral im Intervall \([1; 9]\) berechnen: \(F(9) = \frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{8}{3} \cdot 9 \cdot 3 + 3 \cdot 9 = 40{,}5 - 72 + 27 = -4{,}5\). \(F(1) = \frac{1}{2} - \frac{8}{3} + 3 = \frac{3 - 16 + 18}{6} = \frac{5}{6}\). \(I = F(9) - F(1) = -4{,}5 - \frac{5}{6} = -\frac{27}{6} - \frac{5}{6} = -\frac{32}{6} = -\frac{16}{3}\). 4. Der Flächeninhalt ist der Betrag des Integrals: \(A = |-\frac{16}{3}| = \frac{16}{3}\).

Der Inhalt der Fläche beträgt \(\frac{16}{3}\) (ca. \(5{,}33\)) Flächeneinheiten.

- Bestimme zuerst alle Schnittstellen der beiden Graphen. - Welche Symmetrie besitzen beide Funktionen? - Prüfe auf einem der begrenzten Intervalle, welcher Graph oben liegt.

1. Aus \(\frac{4}{x^2}=5-x^2\) folgt \(x^4-5x^2+4=0\). Mit \(u=x^2\) erhält man \(u^2-5u+4=0\), also \(u=1\) oder \(u=4\). Damit sind die Schnittstellen bei \(x=-2,-1,1,2\). 2. Beide Funktionen sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Daher genügt es, die Fläche auf \([1;2]\) zu berechnen und zu verdoppeln. 3. Auf \([1;2]\) gilt \(g(x)\ge f(x)\). Eine Stammfunktion von \(g-f=5-x^2-4x^{-2}\) ist \(D(x)=5x-\frac13x^3+\frac4x\). 4. Es ist \(\int_1^2(g(x)-f(x))\,\text{d}x=D(2)-D(1)=\frac23\). Der Gesamtflächeninhalt beträgt daher \(2\cdot\frac23=\frac43\).

Der Gesamtinhalt der beiden Flächen beträgt \(\frac43\,\text{FE}\).

- Bestimme zunächst die Tangentengleichung und die Nullstellen beider Funktionen. - Achte darauf, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt. - Überlege dir, welche Funktion die Fläche nach oben oder unten begrenzt. - Ein Koordinatensystem kann helfen, die Integrationsgrenzen richtig zu setzen.

1. Bestimmung der Tangente \(t\) an der Stelle \(x_0 = 1\): \(f(1) = \sqrt{1} - 2 = -1\). Ableitung \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\), also \(f'(1) = 0{,}5\). Tangentengleichung: \(t(x) = 0{,}5(x - 1) - 1 = 0{,}5x - 1{,}5\). 2. Bestimmung der Nullstellen: Nullstelle von \(f\): \(\sqrt{x} - 2 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x_f = 4\). Nullstelle von \(t\): \(0{,}5x - 1{,}5 = 0 \Rightarrow 0{,}5x = 1{,}5 \Rightarrow x_t = 3\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: Da die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse liegt, betrachten wir die Beträge der Integrale. Die Fläche zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse im Intervall \([1; 4]\) ist: \(A_f = \left| \int_{1}^{4} (\sqrt{x} - 2) \, dx \right| = \left| \left[ \frac{2}{3}x^{1{,}5} - 2x \right]_{1}^{4} \right| = \left| (\frac{16}{3} - 8) - (\frac{2}{3} - 2) \right| = \left| -\frac{8}{3} + \frac{4}{3} \right| = \frac{4}{3}\). Die Fläche zwischen der Tangente \(t\) und der \(x\)-Achse im Intervall \([1; 3]\) (ein Dreieck) ist: \(A_t = \left| \int_{1}^{3} (0{,}5x - 1{,}5) \, dx \right| = \frac{1}{2} \cdot (3 - 1) \cdot |-1| = 1\). Der gesuchte Flächeninhalt ist die Differenz dieser Flächenstücke: \(A = A_f - A_t = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{1}{3} \, \text{FE}\).

- Bestimme zuerst alle relevanten \(x\)-Werte durch Gleichsetzen der Funktionen. - Überlege dir, welche der Linien (Graph, \(x\)-Achse, Gerade \(g\)) in welchem Bereich die obere bzw. untere Grenze der Fläche bildet. - Du kannst die Fläche in ein Rechteck und ein krummlinig begrenztes Stück unterteilen. - Achte beim Integrieren darauf, ob der Graph oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt.

1. Nullstellen bestimmen: \(f(x) = 0 \implies \frac{1}{2}x^2 = 8 \implies x^2 = 16 \implies x_1 = -4, x_2 = 4\). 2. Schnittpunkte mit \(g\) bestimmen: \(f(x) = -6 \implies \frac{1}{2}x^2 - 8 = -6 \implies \frac{1}{2}x^2 = 2 \implies x^2 = 4 \implies x_3 = -2, x_4 = 2\). 3. Flächenaufteilung für \(x \le 0\): Die Fläche erstreckt sich von \(x = -4\) bis \(x = 0\). 4. Teilfläche 1 (Rechteck): Zwischen \(x = -2\) und \(x = 0\) wird die Fläche oben durch die \(x\)-Achse (\(y=0\)) und unten durch die Gerade \(g\) (\(y=-6\)) begrenzt. Der Inhalt ist \(A_1 = 2 \cdot 6 = 12\). 5. Teilfläche 2 (Integral): Zwischen \(x = -4\) und \(x = -2\) wird die Fläche durch die \(x\)-Achse und den Graphen von \(f\) begrenzt. Da \(f(x) \le 0\), berechnet man \(A_2 = \int_{-4}^{-2} (0 - f(x)) \, dx = \int_{-4}^{-2} (8 - \frac{1}{2}x^2) \, dx\). 6. Stammfunktion und Auswertung: \([8x - \frac{1}{6}x^3]_{-4}^{-2} = (8(-2) - \frac{1}{6}(-2)^3) - (8(-4) - \frac{1}{6}(-4)^3) = (-16 + \frac{8}{6}) - (-32 + \frac{64}{6}) = -16 + \frac{4}{3} + 32 - \frac{32}{3} = 16 - \frac{28}{3} = \frac{48-28}{3} = \frac{20}{3}\). 7. Gesamtinhalt: \(A = 12 + \frac{20}{3} = \frac{36}{3} + \frac{20}{3} = \frac{56}{3}\).

Der Flächeninhalt im II. und III. Quadranten beträgt \(\frac{56}{3}\) (ca. \(18{,}67\)).

- Überlege dir zuerst, wie groß die gesamte Fläche ist, die von der Parabel und der \(x\)-Achse eingeschlossen wird. - Skizziere die Situation, um zu sehen, welche Teilfläche (die obere oder die untere) sich leichter mit einem Integral in Abhängigkeit von \(c\) beschreiben lässt. - Wie hängen die Schnittstellen der Geraden \(y=c\) mit der Funktion von dem Wert \(c\) ab? - Nutze Symmetrieeigenschaften der Parabel, um die Berechnungen zu vereinfachen.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f(x) = 4 - x^2\): \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). 2. Berechnung des gesamten Flächeninhalts zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse: \(A_{\text{ges}} = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx = \left[ 4x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-2}^{2} = \frac{16}{3} - \left( -\frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3}\). 3. Die gesuchte Gerade \(y = c\) zerlegt die Fläche in zwei gleiche Teile, sodass die obere Teilfläche \(A_{\text{oben}} = \frac{16}{3}\) beträgt. 4. Die Schnittstellen von \(f(x) = 4 - x^2\) und \(y = c\) liegen bei \(x = \pm \sqrt{4-c}\). 5. Aufstellen des Integrals für die obere Teilfläche: \(\int_{-\sqrt{4-c}}^{\sqrt{4-c}} (4 - x^2 - c) \, dx = \frac{16}{3}\). 6. Mit der Substitution \(u = 4 - c\) ergibt das Integral \(\frac{4}{3}u^{\frac{3}{2}} = \frac{16}{3}\). 7. Lösen nach \(u\): \(u^{\frac{3}{2}} = 4 \Rightarrow u = 4^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{16} = 2\sqrt[3]{2}\). 8. Berechnung von \(c\): \(4 - c = 2\sqrt[3]{2} \Rightarrow c = 4 - 2\sqrt[3]{2}\).

\(c = 4 - \sqrt[3]{16}\) (oder \(c = 4 - 2\sqrt[3]{2}\))

- Bestimme zuerst den gesamten Flächeninhalt zwischen der Parabel und der oberen Begrenzungslinie. - In welchem Verhältnis stehen die untere Teilfläche und die Gesamtfläche zueinander? - Stelle eine Formel für die untere Teilfläche in Abhängigkeit von \(c\) auf. Erinnere dich daran, dass diese Fläche zwischen dem Graphen und der Geraden \(y=c\) liegt. - Setze den Ausdruck für die Teilfläche mit dem entsprechenden Anteil der Gesamtfläche gleich und löse nach \(c\) auf.

1. Berechnung des gesamten Flächeninhalts zwischen \(f(x) = x^2\) und \(y = 4\): Die Schnittpunkte liegen bei \(x = \pm 2\). \(A_{\text{ges}} = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx = \frac{32}{3}\). 2. Bedingung für die Teilflächen: Die obere Fläche \(A_2\) ist doppelt so groß wie die untere Fläche \(A_1\). Es gilt \(A_1 + A_2 = A_{\text{ges}}\) und \(A_2 = 2A_1\), woraus folgt \(3A_1 = A_{\text{ges}}\), also \(A_1 = \frac{32}{9}\). 3. Die untere Teilfläche \(A_1\) liegt zwischen \(y = x^2\) und \(y = c\). Die Schnittstellen sind \(x = \pm \sqrt{c}\). 4. Aufstellen des Integrals für \(A_1\): \(\int_{-\sqrt{c}}^{\sqrt{c}} (c - x^2) \, dx = \left[ cx - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-\sqrt{c}}^{\sqrt{c}} = \frac{4}{3}c^{\frac{3}{2}}\). 5. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(\frac{4}{3}c^{\frac{3}{2}} = \frac{32}{9}\). 6. Lösen nach \(c\): \(c^{\frac{3}{2}} = \frac{32}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{8}{3}\). 7. \(c = \left( \frac{8}{3} \right)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{\frac{64}{9}} = \frac{4}{\sqrt[3]{9}}\).

\(c = \sqrt[3]{\frac{64}{9}}\) (oder \(c = \frac{4}{\sqrt[3]{9}}\))

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? - Schau dir den Funktionsterm genau an: Liegt eine Symmetrie vor, die die Rechnung vereinfachen könnte? - Achte darauf, dass bei Flächenstücken unterhalb der \(x\)-Achse das Integral negativ ist, der Flächeninhalt aber positiv gezählt wird. - Stelle eine Gleichung auf, die den gesamten Flächeninhalt mit dem Parameter \(a\) verknüpft.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(g_a\): \(x(a^2 - x^2) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = a, x_3 = -a\). 2. Ausnutzung der Symmetrie: Da \(g_a\) eine ungerade Funktion ist (\(g_a(-x) = -g_a(x)\)), sind die beiden Flächenstücke zwischen \([-a; 0]\) und \([0; a]\) inhaltsgleich. Der Gesamtinhalt ist \(A_{\text{ges}} = 2 \cdot \int_{0}^{a} (a^2x - x^3) \, dx\). 3. Berechnung des Teilintegrals: \(\int_{0}^{a} (a^2x - x^3) \, dx = \left[ \frac{1}{2}a^2x^2 - \frac{1}{4}x^4 \right]_{0}^{a} = \frac{1}{2}a^4 - \frac{1}{4}a^4 = \frac{1}{4}a^4\). 4. Bestimmung des Gesamtinhalts in Abhängigkeit von \(a\): \(A_{\text{ges}} = 2 \cdot \frac{1}{4}a^4 = \frac{1}{2}a^4\). 5. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(\frac{1}{2}a^4 = 8 \Rightarrow a^4 = 16\). 6. Lösung für \(a\): Da \(a > 0\), ergibt sich \(a = 2\).

\(a = 2\)

- Wann hat eine Parabel der Form \(x^2 - k\) zwei Schnittstellen mit der \(x\)-Achse? - Wie verändert sich die Lage des Scheitelpunkts, wenn \(k\) variiert wird? - Nutze die Symmetrie der Parabel zur \(y\)-Achse, um die Berechnung des Integrals zu vereinfachen. - Wenn du eine Gleichung mit einer Wurzel oder einer gebrochenen Potenz hast, versuche beide Seiten so zu potenzieren, dass die Wurzel verschwindet.

1. Bedingung für Fläche: Eine Fläche wird nur eingeschlossen, wenn der Graph zwei Nullstellen besitzt. Da \(g_k(x) = x^2 - k\) eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt \(S(0\mid -k)\) ist, existieren zwei Nullstellen bei \(x = \pm\sqrt{k}\) genau dann, wenn \(k > 0\) gilt. Für \(k = 0\) gibt es nur eine Nullstelle im Ursprung; für \(k < 0\) liegt der gesamte Graph oberhalb der \(x\)-Achse. In beiden Fällen wird keine Fläche eingeschlossen. 2. Integral aufstellen: Für \(k > 0\) liegt die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse. \(A = \left| \int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} (x^2 - k) \, dx \right| = \left| \left[ \frac{1}{3}x^3 - kx \right]_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} \right| = \left| (\frac{1}{3}k\sqrt{k} - k\sqrt{k}) - (-\frac{1}{3}k\sqrt{k} + k\sqrt{k}) \right| = \left| -\frac{4}{3}k\sqrt{k} \right| = \frac{4}{3}k\sqrt{k} = \frac{4}{3}k^{\frac{3}{2}}\). 3. Parameter berechnen: \(\frac{4}{3}k^{\frac{3}{2}} = \frac{32}{3} \Leftrightarrow k^{\frac{3}{2}} = 8 \Leftrightarrow (k^{\frac{1}{2}})^3 = 8 \Leftrightarrow \sqrt{k} = 2 \Leftrightarrow k = 4\).

1. Eine Fläche wird nur für \(k > 0\) eingeschlossen. Der Scheitelpunkt liegt dann unterhalb der \(x\)-Achse. 2. \(k = 4\)

- Welche ersten beiden Ableitungen brauchst du, um den Hochpunkt zu bestimmen? - Wie lautet die Tangente in einem Extrempunkt mit Funktionswert \(0\)? - Drücke den Flächeninhalt zunächst in Abhängigkeit von \(k\) aus.

1. Es gilt \(g_k'(x)=k(-3x^2+12x-9)\) und \(g_k''(x)=k(-6x+12)\). Die stationären Stellen sind \(x=1\) und \(x=3\). Wegen \(g_k''(3)=-6k<0\) liegt der Hochpunkt bei \(x=3\). 2. Es ist \(g_k(3)=0\), daher lautet die Tangente \(y=0\). 3. Aus \(g_k(x)=0\) folgt \(-kx(x-3)^2=0\). Neben dem Berührpunkt \(x=3\) liegt der weitere Schnittpunkt bei \(x=0\). 4. Auf \([0;3]\) liegt der Graph unterhalb der Tangente. Daher ist \(A(k)=k\int_0^3(x^3-6x^2+9x)\,\text{d}x=\frac{27}{4}k=6{,}75k\). 5. Aus \(6{,}75k=108\) folgt \(k=16\).

\(k=16\)

- Welche Ableitung muss für Extremstellen null sein? - Wie unterscheidest du Hoch- und Tiefpunkt mit der zweiten Ableitung? - Nutze den Berührpunkt als doppelte Lösung der Schnittgleichung mit der horizontalen Tangente.

1. Es gilt \(f'(x)=-3x^2+12\) und \(f''(x)=-6x\). Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=-2\) und \(x=2\). Wegen \(f''(2)<0\) liegt bei \(x=2\) der Hochpunkt, wegen \(f''(-2)>0\) bei \(x=-2\) der Tiefpunkt. 2. Es ist \(f(2)=16\) und \(f(-2)=-16\). Somit sind \(H(2\mid16)\) und \(T(-2\mid-16)\). 3. Die Tangente im Hochpunkt lautet \(y=16\). Aus \(f(x)=16\) folgt \(x^3-12x+16=0=(x-2)^2(x+4)\). Der weitere Schnittpunkt liegt bei \(x=-4\). 4. Der Flächeninhalt ist \(A=\int_{-4}^{2}(16+x^3-12x)\,\text{d}x\). Eine Stammfunktion ist \(16x+\frac14x^4-6x^2\). Die Auswertung ergibt \(A=12-(-96)=108\,\text{FE}\).

a) \(H(2\mid16)\), \(T(-2\mid-16)\) b) \(108\,\text{FE}\)

- Bestimme die Extremstellen mit \(g'\). - Welche Funktionswerte haben die beiden horizontalen Tangenten? - Bestimme für jede Tangente den weiteren Schnittpunkt und berechne die beiden Flächen getrennt.

1. Es gilt \(g'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\). Die Extremstellen liegen bei \(x=1\) und \(x=3\). Mit \(g(1)=4\) und \(g(3)=0\) lauten die Tangenten \(y=4\) und \(y=0\). 2. Für \(y=4\) gilt \(g(x)-4=(x-1)^2(x-4)\). Die Fläche liegt zwischen \(x=1\) und \(x=4\): \(A_1=\int_1^4(4-g(x))\,\text{d}x=\frac{27}{4}\,\text{FE}\). 3. Für \(y=0\) gilt \(g(x)=x(x-3)^2\). Die zweite Fläche liegt zwischen \(x=0\) und \(x=3\): \(A_2=\int_0^3g(x)\,\text{d}x=\frac{27}{4}\,\text{FE}\). 4. Damit ist \(A_1=A_2\), also sind die Flächen inhaltsgleich.

Beide Flächen haben den Inhalt \(\frac{27}{4}\,\text{FE}=6{,}75\,\text{FE}\).

- Bestimme zuerst die Schnittpunkte der beiden Funktionen in Abhängigkeit von \(k\). - Achte darauf, welche Funktion im Bereich zwischen den Schnittstellen die größeren Funktionswerte besitzt. - Wie verändert sich die Form der Parabel, wenn \(k\) größer oder kleiner wird? - Stelle eine Gleichung auf, in der nur noch \(k\) als Unbekannte vorkommt.

1. Bestimmung der Schnittstellen von \(f(x)\) und der Geraden \(y = 4\): \(kx^2 = 4 \implies x^2 = \frac{4}{k} \implies x_{1,2} = \pm \frac{2}{\sqrt{k}}\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt zwischen den Graphen: \(A = \int_{-\frac{2}{\sqrt{k}}}^{\frac{2}{\sqrt{k}}} (4 - kx^2) \, dx\). 3. Berechnung des Integrals unter Nutzung der Symmetrie: \(2[4x - \frac{1}{3}kx^3]_{0}^{\frac{2}{\sqrt{k}}} = 2(4 \cdot \frac{2}{\sqrt{k}} - \frac{k}{3} \cdot \frac{8}{k\sqrt{k}}) = 2(\frac{8}{\sqrt{k}} - \frac{8}{3\sqrt{k}}) = 2\frac{16}{3\sqrt{k}} = \frac{32}{3\sqrt{k}}\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert \(16\): \(\frac{32}{3\sqrt{k}} = 16 \implies \frac{2}{3\sqrt{k}} = 1 \implies 3\sqrt{k} = 2\). 5. Auflösen nach \(k\): \(\sqrt{k} = \frac{2}{3} \implies k = \frac{4}{9}\).

\(k = \frac{4}{9}\)

- Berechne zuerst den gesamten Flächeninhalt des beschriebenen Bereichs. - Überlege dir, wie du die Fläche unterteilen kannst. Eine horizontale Linie teilt die Fläche anders als eine vertikale. - Die Integrationsgrenzen hängen vom Schnittpunkt der Geraden \(y = c\) mit der Funktion ab. - Es kann hilfreich sein, die Fläche oberhalb der Geraden \(y = c\) zu betrachten, um eine Gleichung aufzustellen. - Wenn du auf eine Gleichung höheren Grades stößt, versuche eine Lösung durch Probieren kleiner ganzzahliger Werte zu finden.

1. Berechnung des gesamten Flächeninhalts: \(A_{\text{ges}} = \int_0^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^2 = \frac{8}{3}\). 2. Bestimmung des Ziel-Flächeninhalts für die Teilflächen: \(A_{\text{Teil}} = \frac{4}{3}\). 3. Aufstellen einer Gleichung für die untere Teilfläche. Diese besteht aus dem Integral unter der Parabel von \(0\) bis \(\sqrt{c}\) und einem Rechteck von \(\sqrt{c}\) bis \(2\) mit der Höhe \(c\): \(A_{\text{unten}} = \int_0^{\sqrt{c}} x^2 \, dx + (2 - \sqrt{c}) \cdot c = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^{\sqrt{c}} + 2c - c\sqrt{c} = \frac{1}{3}c\sqrt{c} + 2c - c\sqrt{c} = 2c - \frac{2}{3}c\sqrt{c}\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(2c - \frac{2}{3}c\sqrt{c} = \frac{4}{3} \implies 3c - c\sqrt{c} = 2\). 5. Substitution \(u = \sqrt{c}\) führt zur kubischen Gleichung \(u^3 - 3u^2 + 2 = 0\). 6. Durch Probieren findet man die Lösung \(u = 1\). Die weiteren Lösungen der quadratischen Gleichung \(u^2 - 2u - 2 = 0\) liegen außerhalb des Definitionsbereichs für \(u\) (da \(0 < c < 4\) gelten muss, folgt \(0 < u < 2\)). 7. Rücksubstitution: \(\sqrt{c} = 1 \implies c = 1\).

\(c = 1\)

- Bestimme zunächst den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen im vorgegebenen Intervall. - Stelle den Flächeninhalt von \(0\) bis \(k\) als Funktion von \(k\) dar. - Nach der Integration erhältst du eine Gleichung, die Terme mit \(e^k\) und \(e^{-k}\) enthält. - Eine geschickte Substitution kann helfen, diese Gleichung in eine bekannte Form (z. B. eine quadratische Gleichung) zu bringen. - Achte am Ende darauf, ob dein berechneter Wert für \(k\) im Intervall \([0; \ln(3)]\) liegt.

1. Berechnung des gesamten Flächeninhalts zwischen den Kurven: \(A_{\text{ges}} = \int_0^{\ln(3)} (e^x - e^{-x}) \, dx = \left[ e^x + e^{-x} \right]_0^{\ln(3)} = (3 + \frac{1}{3}) - (1 + 1) = \frac{10}{3} - 2 = \frac{4}{3}\). 2. Bestimmung des Inhalts einer Teilfläche: \(A_{\text{Teil}} = \frac{2}{3}\). 3. Aufstellen der Integralgleichung für die linke Teilfläche von \(0\) bis \(k\): \(\int_0^k (e^x - e^{-x}) \, dx = \left[ e^x + e^{-x} \right]_0^k = e^k + e^{-k} - 2\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(e^k + e^{-k} - 2 = \frac{2}{3} \implies e^k + e^{-k} = \frac{8}{3}\). 5. Substitution \(u = e^k\) führt auf die quadratische Gleichung \(u + \frac{1}{u} = \frac{8}{3} \implies 3u^2 - 8u + 3 = 0\). 6. Lösung der quadratischen Gleichung: \(u_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}\). 7. Da \(k \in (0; \ln(3))\) liegen muss, muss \(e^k \in (1; 3)\) gelten. Nur \(u_1 = \frac{4 + \sqrt{7}}{3} \approx 2{,}215\) erfüllt diese Bedingung. 8. Rücksubstitution: \(k = \ln\left(\frac{4 + \sqrt{7}}{3}\right)\).

\(k = \ln\left(\frac{4 + \sqrt{7}}{3}\right)\)

- Was bedeutet es für die Gleichung der Geraden, dass sie eine „Ursprungsgerade“ ist? - Bestimme zuerst die Schnittpunkte der beiden Funktionen in Abhängigkeit von \(m\). - Welche Funktion liegt im betrachteten Bereich oberhalb der anderen? Ein kleiner Testwert oder eine Skizze im Kopf kann helfen. - Stelle das Integral auf und achte beim Einsetzen der oberen Grenze \(\frac{1}{m^2}\) besonders auf die Potenzgesetze. - Löse am Ende die entstandene Gleichung nach der gesuchten Steigung auf.

1. Schnittpunkte von \(f(x) = \sqrt{x}\) und \(g(x) = mx\) berechnen: \(\sqrt{x} = mx \Rightarrow x = m^2x^2 \Rightarrow x(1 - m^2x) = 0\). Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \frac{1}{m^2}\). 2. Integral für den Flächeninhalt \(A\) im Intervall \([0; \frac{1}{m^2}]\) aufstellen: \(A = \int_{0}^{\frac{1}{m^2}} (\sqrt{x} - mx) \, dx\). 3. Stammfunktion bestimmen und Integral berechnen: \(\left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{m}{2}x^2 \right]_{0}^{\frac{1}{m^2}} = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{m^2}\right)^{\frac{3}{2}} - \frac{m}{2}\left(\frac{1}{m^2}\right)^2 = \frac{2}{3m^3} - \frac{1}{2m^3} = \frac{1}{6m^3}\). 4. Den berechneten Ausdruck mit dem gegebenen Flächeninhalt gleichsetzen: \(\frac{1}{6m^3} = \frac{4}{3}\). 5. Nach \(m\) auflösen: \(3 = 24m^3 \Rightarrow m^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow m = \frac{1}{2}\).

Die Steigung der Geraden muss \(m = \frac{1}{2}\) (oder \(0{,}5\)) betragen.

- Welche Ableitung liefert die Tangentensteigungen bei \(x=-k\) und \(x=k\)? - Nutze die Achsensymmetrie der Parabel für beide Flächenberechnungen. - Vergleiche erst am Ende die beiden parameterabhängigen Flächenterme.

1. Es gilt \(f'(x)=2x\). Die Tangenten lauten daher \(y=-2kx-k^2\) und \(y=2kx-k^2\). Ihr Schnittpunkt ist \(C(0\mid-k^2)\). 2. Die Sehne \(AB\) hat die Gleichung \(y=k^2\). Daher ist \(A_1=\int_{-k}^{k}(k^2-x^2)\,\text{d}x=\frac43k^3\). 3. Wegen der Symmetrie genügt eine Hälfte: \(A_2=2\int_0^k\bigl(x^2-(2kx-k^2)\bigr)\,\text{d}x=2\int_0^k(x-k)^2\,\text{d}x=\frac23k^3\). 4. Somit ist \(A_1:A_2=\frac43k^3:\frac23k^3=2:1\), unabhängig von \(k\).

1. \(y=-2kx-k^2\), \(y=2kx-k^2\); \(C(0\mid-k^2)\) 2. \(A_1=\frac43k^3\) 3. \(A_2=\frac23k^3\) 4. \(A_1:A_2=2:1\)

- Welche Bedingung erfüllt die erste Ableitung an der Stelle eines lokalen Minimums? - Wie kannst du nach dieser Bedingung den Funktionsterm faktorisieren und seine Nullstellen bestimmen? - Wie wird aus dem gegebenen Flächeninhalt eine Gleichung für den verbleibenden Parameter? - Welche Information liefert die zweite Ableitung über die Art des Extremums?

1. Aus \(f'(x)=3ax^2+2bx\) und der Bedingung \(f'(2)=0\) folgt \(12a+4b=0\), also \(b=-3a\). 2. Damit ist \(f(x)=ax^3-3ax^2=ax^2(x-3)\). Die Nullstellen sind \(x=0\) und \(x=3\). 3. Für den eingeschlossenen Flächeninhalt gilt \(\left|\int_0^3(ax^3-3ax^2)\,\text{d}x\right|=6{,}75\). 4. Es ist \(\int_0^3(ax^3-3ax^2)\,\text{d}x=a\left[\frac14x^4-x^3\right]_0^3=-6{,}75a\). Daher gilt \(|a|=1\). 5. Mit \(f''(x)=6ax+2b=6ax-6a\) folgt \(f''(2)=6a\). Wegen des lokalen Minimums muss \(f''(2)>0\) sein, also \(a=1\). 6. Damit ist \(b=-3\).

\(a=1\) und \(b=-3\)

- Welche Potenzen dürfen bei einer zur \(y\)-Achse symmetrischen ganzrationalen Funktion 4. Grades auftreten? - Wie reduzieren die beiden Nullstellenbedingungen die Zahl der unbekannten Koeffizienten? - Nutze die Symmetrie, um den gesamten Flächeninhalt mit nur einem Integral auszudrücken. - Welche Vorzeichenbedingung liefert die zweite Ableitung für ein lokales Maximum bei \(x=0\)?

1. Wegen der Achsensymmetrie hat die Funktion die Form \(f(x)=ax^4+bx^2+c\). Aus \(f(0)=0\) folgt \(c=0\). 2. Aus \(f(2)=0\) folgt \(16a+4b=0\), also \(b=-4a\). Damit ist \(f(x)=ax^4-4ax^2\). 3. Die Nullstellen liegen bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). Wegen der Symmetrie ist der gesamte Flächeninhalt \(2\left|\int_0^2(ax^4-4ax^2)\,\text{d}x\right|\). 4. Es gilt \(\int_0^2(ax^4-4ax^2)\,\text{d}x=\left[\frac{a}{5}x^5-\frac{4a}{3}x^3\right]_0^2=-\frac{64}{15}a\). 5. Daher gilt \(2\cdot\frac{64}{15}|a|=12{,}8\), also \(|a|=\frac32\). 6. Mit \(f''(x)=12ax^2-8a\) folgt \(f''(0)=-8a\). Wegen des lokalen Maximums bei \(x=0\) muss \(f''(0)<0\) gelten, also \(a=\frac32\). 7. Damit ist \(b=-6\), also \(f(x)=1{,}5x^4-6x^2\).

\(f(x)=1{,}5x^4-6x^2\)

- Welche Begrenzungen hat die Fläche im ersten Quadranten? Bestimme den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse und die positiven Nullstellen. - Kannst du den Funktionsterm faktorisieren, um die Nullstellen leichter zu finden? - Berechne das Integral von der \(y\)-Achse bis zur ersten positiven Nullstelle. - Achte beim Lösen der Gleichung darauf, dass nur positive Werte für \(k\) gesucht sind.

1. Bestimmung der Grenzen: Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(f(0) = k^3\). Die Nullstellen der Funktion ergeben sich aus \(f(x) = (x-k)^2(x+k) = 0\) zu \(x_1 = k\) und \(x_2 = -k\). Für den ersten Quadranten ist die relevante Nullstelle \(x = k\). 2. Aufstellen des Integrals: Da der Graph für \(x \in [0; k]\) oberhalb der \(x\)-Achse verläuft, gilt \(A = \int_{0}^{k} (x^3 - kx^2 - k^2x + k^3) \, dx\). 3. Integration: \(\left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}kx^3 - \frac{1}{2}k^2x^2 + k^3x \right]_{0}^{k} = \frac{1}{4}k^4 - \frac{1}{3}k^4 - \frac{1}{2}k^4 + k^4 = \frac{3-4-6+12}{12}k^4 = \frac{5}{12}k^4\). 4. Berechnung von \(k\): \(\frac{5}{12}k^4 = \frac{20}{3} \implies 5k^4 = 80 \implies k^4 = 16\). Wegen \(k > 0\) ergibt sich \(k = 2\).

\(k = 2\)

- Welche positive Nullstelle erhältst du aus \(k\sqrt{x}-x=0\)? - Welche Ableitung liefert die Tangentensteigung im Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse? - Welche der beiden Funktionen liegt zwischen \(0\) und \(k^2\) oben? - Wie entsteht aus dem Flächeninhalt eine Gleichung für \(k\)?

1. Aus \(k\sqrt{x}-x=0\) folgt für \(x>0\) die Gleichung \(\sqrt{x}=k\). Daher ist \(x_S=k^2\). 2. Die erste Ableitung lautet \(g_k'(x)=\frac{k}{2\sqrt{x}}-1\). Damit ist \(g_k'(k^2)=-\frac12\), also \(t_k(x)=-\frac12x+\frac12k^2\). 3. Auf \([0;k^2]\) liegt die Tangente über dem Graphen. Daher gilt \(A(k)=\int_0^{k^2}\left(\frac12x+\frac12k^2-k\sqrt{x}\right)\,\mathrm{d}x\). 4. Eine Stammfunktion ist \(\frac14x^2+\frac12k^2x-\frac23kx^{3/2}\). Einsetzen der Grenzen ergibt \(A(k)=\frac1{12}k^4\). 5. Aus \(\frac1{12}k^4=\frac43\) folgt \(k^4=16\). Wegen \(k>0\) ist \(k=2\).

a) \(x_S=k^2\) b) \(k=2\)

- Welche Gleichung bestimmt die positive Extremstelle der Schar? - Welche besondere Form hat die Tangente in einem lokalen Maximum? - Welche Schnittstellen begrenzen die Fläche zwischen Funktion und Tangente? - Formuliere den Flächeninhalt zunächst als Funktion von \(k\), bevor du den Zielwert einsetzt.

1. Es ist \(f_k'(x)=2kx-3x^2=x(2k-3x)\). Die positive Extremstelle liegt bei \(x=\frac23k\). Dort ist \(f_k\left(\frac23k\right)=\frac4{27}k^3\). 2. Die Tangente im lokalen Maximum ist waagerecht und hat die Gleichung \(t(x)=\frac4{27}k^3\). 3. Aus \(f_k(x)=t(x)\) erhält man neben der doppelten Schnittstelle \(x=\frac23k\) die weitere Schnittstelle \(x=-\frac13k\). 4. Der Flächeninhalt ist \(A(k)=\int_{-k/3}^{2k/3}\left(\frac4{27}k^3-kx^2+x^3\right)\,\mathrm{d}x=\frac1{12}k^4\). 5. Aus \(\frac1{12}k^4=108\) folgt \(k^4=1296\). Wegen \(k>0\) ist \(k=6\).

\(k=6\)

- Welche Ableitung brauchst du, um die Wendestellen zu bestimmen? - Welche Ableitung liefert anschließend die Steigung der Wendetangente? - Welche Schnittstellen von Tangente und Graph begrenzen die Fläche? - Welche Terme verschwinden beim Integrieren über ein zum Ursprung symmetrisches Intervall?

1. Es ist \(g_k'(x)=4x^3-3kx^2\) und \(g_k''(x)=12x^2-6kx=6x(2x-k)\). Die Wendestellen liegen bei \(x=0\) und \(x=\frac{k}{2}\). Der gesuchte Punkt ist \(W\left(\frac{k}{2}\mid-\frac{k^4}{16}\right)\). 2. Die Tangentensteigung ist \(g_k'\left(\frac{k}{2}\right)=-\frac14k^3\). Damit lautet die Tangente \(t(x)=-\frac14k^3x+\frac1{16}k^4\). 3. Aus \(g_k(x)=t(x)\) folgt \(\left(x-\frac{k}{2}\right)^3\left(x+\frac{k}{2}\right)=0\). Die Fläche wird daher von \(x=-\frac{k}{2}\) bis \(x=\frac{k}{2}\) begrenzt. 4. Auf diesem Intervall liegt die Tangente über dem Graphen. Wegen der Symmetrie der geraden Terme ist \(A(k)=\int_{-k/2}^{k/2}(t(x)-g_k(x))\,\mathrm{d}x=2\int_0^{k/2}\left(-x^4+\frac{k^4}{16}\right)\,\mathrm{d}x=\frac1{20}k^5\). 5. Aus \(\frac1{20}k^5=1{,}6\) folgt \(k^5=32\). Wegen \(k>0\) ist \(k=2\).

\(k=2\)

- Untersuche zuerst, wo sich die Graphen schneiden. Eine Substitution könnte bei der Gleichung helfen. - Achte auf Symmetrien in den Funktionsgleichungen, um dir Rechenarbeit zu sparen. - Denke daran, dass beim Integrieren von \(\frac{1}{x^2}\) die Potenzregel für negative Exponenten angewendet werden kann. - Welcher Graph liegt im relevanten Bereich oberhalb des anderen?

1. Bestimmung der Schnittstellen: \(\frac{8}{x^2} = 9 - x^2 \Rightarrow x^4 - 9x^2 + 8 = 0\). Mit der Substitution \(u = x^2\) folgt \(u^2 - 9u + 8 = 0\), woraus \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 8\) resultieren. Die Schnittstellen sind somit \(x = \pm 1\) und \(x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}\). 2. Aufgrund der Achsensymmetrie beider Funktionen zur \(y\)-Achse reicht die Berechnung für den Bereich \(x > 0\) im Intervall \([1; \sqrt{8}]\). In diesem Intervall gilt \(g(x) \geq f(x)\). 3. Berechnung des Integrals der Differenzfunktion \(h(x) = g(x) - f(x) = 9 - x^2 - 8x^{-2}\): \(\int_{1}^{\sqrt{8}} (9 - x^2 - 8x^{-2}) \,\text{d}x = [9x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{8}{x}]_{1}^{\sqrt{8}}\). 4. Einsetzen der Grenzen: An der Stelle \(\sqrt{8}\) ergibt sich \(9\sqrt{8} - \frac{8\sqrt{8}}{3} + \frac{8}{\sqrt{8}} = 9\sqrt{8} - \frac{8\sqrt{8}}{3} + \sqrt{8} = 10\sqrt{8} - \frac{8\sqrt{8}}{3} = \frac{22\sqrt{8}}{3} = \frac{44\sqrt{2}}{3}\). An der Stelle \(1\) ergibt sich \(9 - \frac{1}{3} + 8 = \frac{50}{3}\). 5. Die Teilfläche rechts beträgt \(A_{\text{rechts}} = \frac{44\sqrt{2} - 50}{3}\). Der Gesamtflächeninhalt ist das Doppelte: \(A = 2 \cdot \frac{44\sqrt{2} - 50}{3} = \frac{88\sqrt{2} - 100}{3}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{88\sqrt{2} - 100}{3} \approx 8{,}15\) Flächeneinheiten.

- Bestimme zuerst die Schnittstellen der beiden Funktionen in Abhängigkeit von \(k\). - Untersuche die Symmetrie der Differenzfunktion. Was bedeutet Punktsymmetrie für die Flächeninhalte links und rechts vom Symmetriepunkt? - Stelle eine Formel für den Gesamtflächeninhalt in Abhängigkeit von \(k\) auf. - Löse die entstandene Gleichung nach \(k\) auf.

1. Schnittstellen bestimmen: \(x^3 - k^2x = 0 \Rightarrow x(x-k)(x+k) = 0\). Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = -k\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = k\). 2. Da die Differenzfunktion \(h(x) = x^3 - k^2x\) ungerade ist (\(h(-x) = -h(x)\)), ist ihr Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Daraus folgt direkt, dass die Flächeninhalte über \([-k; 0]\) und \([0; k]\) gleich groß sein müssen. 3. Berechnung eines Teilflächeninhalts: \(A_1 = |\int_{0}^{k} (x^3 - k^2x) \, dx| = |[\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}k^2x^2]_{0}^{k}| = |\frac{1}{4}k^4 - \frac{1}{2}k^4| = |-\frac{1}{4}k^4| = \frac{1}{4}k^4\). Wegen der Symmetrie ist der Inhalt der anderen Fläche ebenfalls \(A_2 = \frac{1}{4}k^4\). 4. Gesamtfläche berechnen: \(A_{\text{ges}} = A_1 + A_2 = \frac{1}{2}k^4\). 5. Parameter \(k\) bestimmen: \(\frac{1}{2}k^4 = 8 \Rightarrow k^4 = 16\). Da \(k > 0\) gefordert ist, folgt \(k = 2\).

a) Die Flächeninhalte sind aufgrund der Punktsymmetrie der Differenzfunktion \(h(x) = x^3 - k^2x\) stets gleich \(A = \frac{1}{4}k^4\). b) Der gesuchte Wert ist \(k = 2\).

- Überlege dir zuerst, wie man den Flächeninhalt unter einer Kurve mit einem Integral berechnet. - Für die vertikale Teilung musst du die obere Integrationsgrenze so wählen, dass genau die Hälfte des Gesamtwerts herauskommt. - Bei der horizontalen Teilung hilft eine Skizze: Die Fläche unter der Geraden \(y=c\) besteht teilweise aus einem Rechteck und teilweise aus einer Fläche unter der Kurve. - Achte bei der horizontalen Teilung darauf, ob die Gerade den Graphen innerhalb des Intervalls schneidet oder komplett darunter liegt.

1. Berechnung des Gesamtflächeninhalts: \(A = \int_{1}^{4} \frac{4}{x^2} \, dx = \left[ -\frac{4}{x} \right]_{1}^{4} = -1 - (-4) = 3\). 2. Bestimmung von \(k\): Die Bedingung \(\int_{1}^{k} \frac{4}{x^2} \, dx = 1{,}5\) führt auf \(\left[ -\frac{4}{x} \right]_{1}^{k} = 1{,}5\), also \(-\frac{4}{k} + 4 = 1{,}5\). Daraus folgt \(\frac{4}{k} = 2{,}5\) und somit \(k = 1{,}6\). 3. Bestimmung von \(c\): Da \(f(1) = 4\) und \(f(4) = 0{,}25\), liegt die gesuchte Gerade im Bereich der Funktionswerte. Die Fläche unterhalb von \(y = c\) setzt sich aus einem Rechteck und einem Integral zusammen: \(A_{unten} = \int_{1}^{x_c} c \, dx + \int_{x_c}^{4} \frac{4}{x^2} \, dx = 1{,}5\) mit \(c = \frac{4}{x_c^2}\) bzw. \(x_c = \frac{2}{\sqrt{c}}\). 4. Einsetzen und Lösen: \(c \cdot (\frac{2}{\sqrt{c}} - 1) + \left[ -\frac{4}{x} \right]_{\frac{2}{\sqrt{c}}}^{4} = 2\sqrt{c} - c - 1 + 2\sqrt{c} = 4\sqrt{c} - c - 1\). Die Gleichung \(4\sqrt{c} - c - 1 = 1{,}5\) führt mit \(u = \sqrt{c}\) auf \(u^2 - 4u + 2{,}5 = 0\). Die Lösung im Intervall ist \(u = 2 - \sqrt{1{,}5}\), woraus \(c = (2 - \sqrt{1{,}5})^2 = 5{,}5 - 2\sqrt{6} \approx 0{,}601\) folgt.

a) \(A = 3\) b) \(k = 1{,}6\) c) \(c = 5{,}5 - 2\sqrt{6} \approx 0{,}601\)

- Welche Ableitung muss an einer Wendestelle null sein? - Welche Ableitung liefert die Steigungen der Wendetangenten? - Wie bestimmst du die Fläche des Dreiecks aus Grundseite und Höhe? - Welche Teilfläche lässt sich direkt als Integral zwischen Graph und Verbindungsgerade berechnen?

1. Es ist \(g'(x)=2x^3-6x\), \(g''(x)=6x^2-6\) und \(g'''(x)=12x\). Aus \(g''(x)=0\) folgen \(x=\pm1\); wegen \(g'''(\pm1)\neq0\) sind dies Wendestellen. 2. Es gilt \(g(1)=g(-1)=1{,}5\). Die Wendepunkte sind \(W_1(1\mid1{,}5)\) und \(W_2(-1\mid1{,}5)\); ihre Verbindungsgerade lautet \(y=1{,}5\). 3. Die Wendetangenten haben die Steigungen \(g'(1)=-4\) und \(g'(-1)=4\). Damit lauten sie \(y=-4x+5{,}5\) und \(y=4x+5{,}5\). 4. Die Tangenten schneiden sich in \((0\mid5{,}5)\). Das Dreieck hat Grundseite \(2\) und Höhe \(4\), also den Flächeninhalt \(4\). 5. Die Teilfläche zwischen Graph und Verbindungsgerade ist \(A_1=\int_{-1}^{1}(g(x)-1{,}5)\,\mathrm{d}x=3{,}2\). 6. Die zweite Teilfläche ist \(A_2=4-3{,}2=0{,}8\). Daher gilt \(A_1:A_2=4:1\).

a) \(W_1(1\mid1{,}5)\), \(W_2(-1\mid1{,}5)\); Wendetangenten \(y=-4x+5{,}5\) und \(y=4x+5{,}5\); Verbindungsgerade \(y=1{,}5\) b) \(A_1:A_2=4:1\)

- Überlege zuerst, wo sich der Graph und die Gerade schneiden. Diese Stellen sind deine Integrationsgrenzen. - Du kannst die beiden Brüche der Funktion \(f\) zu einem einzigen Bruch zusammenfassen, um die Schnittpunkte leichter zu berechnen. - Erinnere dich daran, wie man Funktionen der Form \(\frac{1}{x+a}\) integriert. - Überprüfe, welche der beiden Funktionen im betrachteten Intervall die größeren Werte annimmt, um das Integral korrekt aufzustellen.

1. Berechnung der Schnittpunkte von \(f\) und \(y = 3\): Die Gleichung \(\frac{3}{x} - \frac{3}{x - 6} = 3\) führt nach Zusammenfassen der Brüche zu \(\frac{-18}{x(x - 6)} = 3\). Dies ergibt die quadratische Gleichung \(x^2 - 6x + 6 = 0\) mit den Lösungen \(x_1 = 3 - \sqrt{3}\) und \(x_2 = 3 + \sqrt{3}\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt \(A\): Da \(y = 3\) im Intervall \([3 - \sqrt{3}; 3 + \sqrt{3}]\) oberhalb von \(f(x)\) liegt (Prüfung durch Testwert \(x=3\): \(f(3) = 2 < 3\)), gilt: \(A = \int_{3 - \sqrt{3}}^{3 + \sqrt{3}} (3 - (\frac{3}{x} - \frac{3}{x - 6})) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = 3x - 3\ln|x| + 3\ln|x - 6|\). 4. Auswertung des bestimmten Integrals: \(A = [3x + 3\ln|\frac{x - 6}{x}|]_{3 - \sqrt{3}}^{3 + \sqrt{3}}\). Einsetzen der Grenzen liefert \(A = (9 + 3\sqrt{3} + 3\ln|2 - \sqrt{3}|) - (9 - 3\sqrt{3} + 3\ln|2 + \sqrt{3}|)\). Unter Verwendung von \(\ln(2 - \sqrt{3}) = -\ln(2 + \sqrt{3})\) ergibt sich der Flächeninhalt zu \(6\sqrt{3} + 6\ln(2 - \sqrt{3})\) bzw. \(6\sqrt{3} - 6\ln(2 + \sqrt{3})\). Numerischer Wert: \(A \approx 2{,}49\).

Der Flächeninhalt beträgt \(6\sqrt{3} + 6\ln(2 - \sqrt{3}) \approx 2{,}49\).

- Welche Ableitung liefert die Steigung der Tangente in \(P\)? - Welche senkrechte Gerade bildet die linke Begrenzung der Fläche? - Welche Funktion liegt zwischen \(x=0\) und \(x=1\) oberhalb der anderen? - Welche Stammfunktion gehört zu \(\frac4{x+1}\)?

1. Die erste Ableitung lautet \(f'(x)=\frac12x-\frac{4}{(x+1)^2}\). Daher ist \(f'(1)=-\frac12\). 2. Die Tangente in \(P\) hat damit die Gleichung \(t(x)=-\frac12(x-1)+2{,}25=-\frac12x+2{,}75\). 3. Zwischen \(x=0\) und \(x=1\) liegt der Graph von \(f\) oberhalb der Tangente. Somit ist \(A=\int_0^1\left(\frac14x^2+\frac12x-2{,}75+\frac4{x+1}\right)\,\mathrm{d}x\). 4. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac1{12}x^3+\frac14x^2-2{,}75x+4\ln|x+1|\). 5. Einsetzen der Grenzen ergibt \(A=4\ln2-\frac{29}{12}\).

\(A=4\ln2-\frac{29}{12}\,\text{FE}\approx0{,}356\,\text{FE}\)

- Skizziere die Situation grob, um die Lage der Graphen zueinander im 3. Quadranten zu verstehen. - Welche Punkte bilden die Ecken der gesuchten Fläche? Bestimme dazu alle paarweisen Schnittpunkte der drei Randkurven. - Zerlege die Fläche in zwei Teilbereiche, da sich die untere Begrenzung an einer Stelle ändert. - Achte beim Integrieren darauf, dass du „obere Funktion minus untere Funktion“ rechnest, damit der Flächeninhalt positiv wird.

1. Schnittpunkte bestimmen: - Schnitt mit der Geraden \(y = x\): \(\frac{x^3 - 3x - 2}{x^2} = x \Rightarrow x^3 - 3x - 2 = x^3 \Rightarrow -3x - 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}\). Der Schnittpunkt liegt bei \(P(-\frac{2}{3} \mid -\frac{2}{3})\). - Schnitt mit der \(x\)-Achse (\(f(x) = 0\)): \(x^3 - 3x - 2 = 0\). Durch Probieren oder Polynomdivision findet man die Nullstellen \(x_1 = -1\) (doppelt) und \(x_2 = 2\). Für den 3. Quadranten ist \(x = -1\) relevant. - Die Gerade \(y = x\) schneidet die \(x\)-Achse im Punkt \(O(0\mid 0)\). 2. Integral aufstellen: - Die Fläche wird im Intervall \([-1; -\frac{2}{3}]\) durch die \(x\)-Achse (oben) und den Graphen von \(f\) (unten) begrenzt. - Im Intervall \([-\frac{2}{3}; 0]\) wird sie durch die \(x\)-Achse (oben) und die Gerade \(y = x\) (unten) begrenzt. - \(A = \int_{-1}^{-\frac{2}{3}} (0 - f(x)) \, dx + \int_{-\frac{2}{3}}^0 (0 - x) \, dx\). 3. Integration: - Mit \(f(x) = x - \frac{3}{x} - \frac{2}{x^2}\) ergibt sich \(\int (-f(x)) \, dx = \int (-x + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}) \, dx = -\frac{1}{2}x^2 + 3\ln|x| - \frac{2}{x} + C\). - Erster Teil: \([-\frac{1}{2}x^2 + 3\ln|x| - \frac{2}{x}]_{-1}^{-\frac{2}{3}} = (-\frac{2}{9} + 3\ln(\frac{2}{3}) + 3) - (-\frac{1}{2} + 0 + 2) = \frac{25}{9} + 3\ln(\frac{2}{3}) - \frac{3}{2} = \frac{23}{18} + 3\ln(\frac{2}{3})\). - Zweiter Teil (Dreiecksfläche): \([-\frac{1}{2}x^2]_{-\frac{2}{3}}^0 = 0 - (-\frac{2}{9}) = \frac{2}{9} = \frac{4}{18}\). 4. Gesamtergebnis: - \(A = \frac{23}{18} + \frac{4}{18} + 3\ln(\frac{2}{3}) = \frac{27}{18} + 3\ln(\frac{2}{3}) = 1{,}5 + 3\ln(\frac{2}{3}) \approx 0{,}284\).

Der Inhalt der Fläche beträgt \(A = 1{,}5 + 3\ln\left(\frac{2}{3}\right) \approx 0{,}284\,\text{FE}\).

- Welche Bedingung muss \(\ln x\) für eine Nullstelle erfüllen? - Welche erste Ableitung erhältst du mit der Quotientenregel? - Nutze für b) und c) die angegebene Stammfunktion. - Welches Vorzeichen hat \(\ln c\), wenn \(0<c<1\)?

1. Die Nullstelle liegt bei \(x=1\), weil \(\ln x=0\) genau für \(x=1\) gilt. 2. Die erste Ableitung lautet \(f'(x)=\frac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}=\frac{\ln x(2-\ln x)}{x^2}\). Neben \(x=1\) ist \(x=e^2\) eine kritische Stelle. Dort wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt der Hochpunkt \(H\left(e^2\mid\frac4{e^2}\right)\) vor. 3. Mit der angegebenen Stammfunktion ist \(A=\int_1^{e^2}f(x)\,\mathrm{d}x=\left[\frac13(\ln x)^3\right]_1^{e^2}=\frac83\). 4. Für c) gilt \(-\frac13(\ln c)^3=\frac83\). Daher ist \((\ln c)^3=-8\), also \(\ln c=-2\) und \(c=e^{-2}\).

a) Nullstelle \(x=1\); Hochpunkt \(H\left(e^2\mid\frac4{e^2}\right)\) b) \(A=\frac83\,\text{FE}\) c) \(c=e^{-2}\approx0{,}135\)

- Wann ist ein Bruch gleich null? - Welche Ableitung muss mit \(g\) übereinstimmen, damit \(G\) eine Stammfunktion ist? - Prüfe vor der Flächenberechnung das Vorzeichen von \(g\) zwischen den beiden Achsenbegrenzungen. - Welche Logarithmengesetze helfen beim Vereinfachen des exakten Ergebnisses?

1. Zu a): Ein Bruch ist genau dann null, wenn sein Zähler null ist. Aus \(e^x-3=0\) folgt \(e^x=3\) und damit \(x=\ln3\). 2. Zu b): Es gilt \(G'(x)=2\frac{e^x}{e^x+3}-1=\frac{2e^x-(e^x+3)}{e^x+3}=\frac{e^x-3}{e^x+3}=g(x)\). Damit ist \(G\) eine Stammfunktion von \(g\). 3. Zu c): Auf \([0;\ln3]\) gilt \(g(x)<0\). Daher ist der Flächeninhalt \(A=-\int_0^{\ln3}g(x)\,dx=G(0)-G(\ln3)\). 4. Es ist \(G(0)=2\ln4\) und \(G(\ln3)=2\ln6-\ln3\). Somit folgt \(A=\ln\left(\frac43\right)\).

a) \(g(\ln3)=0\) b) \(G'(x)=g(x)\) c) \(A=\ln\left(\frac43\right)\approx0{,}288\)

- Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Nutze die drei gegebenen Punkte, um ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten der Parabel aufzustellen. - Überlege dir, welche der beiden Funktionen im gegebenen Intervall größere Werte annimmt, um den Integranden für die Fläche korrekt aufzustellen. - Stelle eine Gleichung auf, in der der berechnete Flächenterm dem Wert 1 entspricht.

1. Die Ableitung ist \(f_a'(x) = a \cos(x)\). Die Nullstelle im Intervall \([0; \pi]\) liegt bei \(x = \frac{\pi}{2}\). Mit \(f_a(\frac{\pi}{2}) = a \cdot 1 + 1 = a + 1\) ergibt sich der Hochpunkt \(H(\frac{\pi}{2} \mid a + 1)\). 2. Der Ansatz \(q_a(x) = rx^2 + sx + c\) führt mit \(q_a(0) = 1\) zu \(c = 1\). Aus \(q_a(\pi) = 1\) folgt \(r\pi^2 + s\pi = 0\), also \(s = -r\pi\). Einsetzen des Hochpunkts \(q_a(\frac{\pi}{2}) = a + 1\) ergibt \(r(\frac{\pi}{2})^2 - r\pi(\frac{\pi}{2}) + 1 = a + 1\), woraus \(-\frac{\pi^2}{4}r = a\) und somit \(r = -\frac{4a}{\pi^2}\) folgt. Es ergibt sich \(s = \frac{4a}{\pi}\). Der Funktionsterm lautet \(q_a(x) = -\frac{4a}{\pi^2}x^2 + \frac{4a}{\pi}x + 1\). 3. Da \(q_a(x) \geq f_a(x)\) auf dem Intervall \([0; \pi]\) gilt, berechnet sich die Fläche über \(A(a) = \int_0^\pi (q_a(x) - f_a(x)) \, dx = \int_0^\pi (-\frac{4a}{\pi^2}x^2 + \frac{4a}{\pi}x - a \sin(x)) \, dx\). Die Stammfunktion ist \(F_a(x) = -\frac{4a}{3\pi^2}x^3 + \frac{2a}{\pi}x^2 + a \cos(x)\). Auswertung an den Grenzen liefert \(A(a) = (-\frac{4a\pi}{3} + 2a\pi - a) - (a) = \frac{2\pi}{3}a - 2a = a(\frac{2\pi}{3} - 2)\). 4. Durch Gleichsetzen \(a(\frac{2\pi}{3} - 2) = 1\) erhält man \(a = \frac{1}{\frac{2\pi}{3} - 2} = \frac{3}{2\pi - 6} \approx 10{,}594\).

1. \(H(\frac{\pi}{2} \mid a + 1)\) 2. \(q_a(x) = -\frac{4a}{\pi^2}x^2 + \frac{4a}{\pi}x + 1\) 3. \(A(a) = a \cdot (\frac{2\pi}{3} - 2)\) 4. \(a = \frac{3}{2\pi - 6} \approx 10{,}594\)

- Wie setzt man zwei Funktionen gleich, um ihre Schnittstellen zu bestimmen? - Was muss für das Integral der Differenzfunktion über das gesamte Intervall gelten, wenn die beiden Teilflächen gleich groß sind? - Nutze für \(x\sin(x)\) die im Aufgabentext angegebene Stammfunktion. - Prüfe für die Teilfläche, welche Funktion im jeweiligen Intervall oberhalb der anderen liegt.

1. Aus \(x\sin(x)=k\sin(x)\) folgt \((x-k)\sin(x)=0\). Wegen \(k\in(0;\pi)\) liegen im Intervall \([0;\pi]\) die drei Schnittstellen \(x=0\), \(x=k\) und \(x=\pi\). 2. Sind die beiden eingeschlossenen Flächenstücke gleich groß, heben sich die vorzeichenbehafteten Differenzflächen über dem Gesamtintervall auf. Daher gilt \(\int_0^\pi(f(x)-g_k(x))\,dx=0\). 3. Mit der angegebenen Stammfunktion ist \(\int_0^\pi x\sin(x)\,dx=\pi\). Außerdem gilt \(\int_0^\pi\sin(x)\,dx=2\). Somit folgt \(\pi-2k=0\) und daher \(k=\frac\pi2\). 4. Für diesen Wert liegt \(g_k\) auf \([0;\frac\pi2]\) oberhalb von \(f\). Eine Teilfläche ist daher \(A=\int_0^{\pi/2}(\frac\pi2\sin(x)-x\sin(x))\,dx\). 5. Eine Stammfunktion des Integranden ist \((x-\frac\pi2)\cos(x)-\sin(x)\). Damit ist \(A=[(x-\frac\pi2)\cos(x)-\sin(x)]_0^{\pi/2}=\frac\pi2-1\).

a) Nachweis über \((x-k) \sin(x) = 0\). b) \(k = \frac{\pi}{2}\). c) Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{\pi}{2} - 1 \approx 0{,}571\).