- Welche der beiden Funktionen bildet auf dem ganzen Intervall die obere Begrenzung? - Für eine Fläche zwischen zwei Graphen steht im Integranden „oben minus unten“.

1. Für den Flächeninhalt wird auf dem gesamten Intervall „oberer Graph minus unterer Graph“ integriert. 2. Daher lautet der Ansatz \(\int_0^2(3-x)\,\mathrm{d}x\).

\(\int_0^2(3-x)\,\mathrm{d}x\)

- Welcher Graph liegt im markierten Bereich oben? - Wie hängt die Reihenfolge der Funktionsterme von der Lage der beiden Graphen ab?

1. Im gesamten Intervall \([0;2]\) liegt der Graph von \(f\) oberhalb des Graphen von \(g\). 2. Für den Flächeninhalt wird daher „oberer Graph minus unterer Graph“ verwendet. 3. Richtig ist \(f(x)-g(x)\).

a) \(f(x)-g(x)\), denn auf \([0;2]\) liegt der Graph von \(f\) über dem Graphen von \(g\).

- Prüfe links und rechts vom Schnittpunkt getrennt, welcher Graph oben liegt. - Ein Flächeninhalt darf nicht durch einen Lagewechsel teilweise wieder abgezogen werden.

1. Links von \(x=1\) liegt \(g\) über \(f\). Dort muss daher \(g-f\) integriert werden. 2. Rechts von \(x=1\) liegt \(f\) über \(g\). Dort muss \(f-g\) integriert werden. 3. Richtig ist b).

b) \(\int_0^1(g(x)-f(x))\,\mathrm{d}x+\int_1^2(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x\)

- Welche Werte kann ein geometrischer Flächeninhalt annehmen? - Was bedeutet „oberer Graph minus unterer Graph“?

1. Ein geometrischer Flächeninhalt ist nie negativ. 2. Jonas muss in jedem betrachteten Intervall prüfen, welcher Graph oben liegt. 3. Für den Flächeninhalt wird immer „oberer Graph minus unterer Graph“ integriert. Bei einem Lagewechsel muss das Intervall geteilt werden.

Ein Flächeninhalt kann nicht negativ sein. In jedem Teilintervall muss „oben minus unten“ verwendet werden; bei einem Lagewechsel wird geteilt.

- Welche Punkte bilden zusammen mit der \(x\)-Achse den Rand der eingeschlossenen Fläche? - Welche \(x\)-Werte gehören zu diesen Randpunkten? - Prüfe, welches Vorzeichen \(g\) zwischen diesen beiden \(x\)-Werten hat.

1. Aus \(-0{,}5(x-2)^2+4{,}5=0\) folgt \((x-2)^2=9\). Damit sind die Nullstellen \(x=-1\) und \(x=5\). 2. Zwischen den Nullstellen gilt \(g(x)\ge0\). Der Flächeninhalt wird daher durch \(A=\int_{-1}^{5}g(x)\,\mathrm{d}x\) beschrieben. 3. Eine Stammfunktion ist \(G(x)=-\frac{1}{6}(x-2)^3+4{,}5x\). Damit ergibt sich \(A=G(5)-G(-1)=18\).

1. \(x=-1\) und \(x=5\) 2. \(A=\int_{-1}^{5}\left(-0{,}5(x-2)^2+4{,}5\right)\,\mathrm{d}x\) 3. \(A=18\,\text{FE}\)

- Welchen Punkt erhältst du durch Einsetzen von \(x=0\)? - Wie findest du den positiven Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse? - Welche Grenzen gehören zu der Fläche im ersten Quadranten?

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(h(0)=3{,}6\). Der Punkt ist \((0\mid3{,}6)\). Für den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse gilt \(0=-0{,}1x^2+3{,}6\), also \(x^2=36\). Im ersten Quadranten ist \(x=6\), also liegt der Punkt \((6\mid0)\) auf der \(x\)-Achse. 2. Die Fläche wird durch \(x=0\), \(y=0\) und den Graphen von \(h\) für \(0\leq x\leq6\) begrenzt. Ihr Inhalt ist \(\int_0^6(-0{,}1x^2+3{,}6)\,dx=\left[-\frac{0{,}1}{3}x^3+3{,}6x\right]_0^6=14{,}4\). Auf zwei Nachkommastellen ergibt sich \(14{,}40\,\text{FE}\).

1. \((0\mid3{,}6)\) und \((6\mid0)\) 2. \(14{,}40\,\text{FE}\)

- Welche der beiden Funktionen liefert im gegebenen Bereich größere Werte? - Stelle eine Differenzfunktion auf, bevor du integrierst. - Achte beim Bilden der Differenzfunktion besonders auf die Vorzeichen in der Klammer. - Die Fläche wird durch das bestimmte Integral der Differenzfunktion über dem Intervall berechnet.

1. Vergleich der Funktionswerte zur Bestimmung der oberen Funktion: \(f(0) = 5\) und \(g(0) = 1\). Da keine Schnittstelle im Intervall \([0; 3]\) vorliegt, gilt \(f(x) > g(x)\) für alle \(x \in [0; 3]\). 2. Aufstellen der Differenzfunktion: \(h(x) = f(x) - g(x) = (2x + 5) - (x^2 - 2x + 1) = -x^2 + 4x + 4\). 3. Berechnung des bestimmten Integrals: \(\int_0^3 (-x^2 + 4x + 4) \, dx\). 4. Bestimmung der Stammfunktion: \(H(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(H(3) = -\frac{1}{3} \cdot 27 + 2 \cdot 9 + 4 \cdot 3 = -9 + 18 + 12 = 21\) und \(H(0) = 0\). 6. Ergebnis: \(A = 21 - 0 = 21\).

Der Flächeninhalt beträgt \(21\).

- Wie lautet die allgemeine Regel, um eine Stammfunktion für eine Potenzfunktion zu finden? - Welche Integrationsgrenzen musst du verwenden? - Denk an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Man berechnet die Differenz der Stammfunktionswerte an den Intervallgrenzen. - Achte beim Einsetzen negativer Werte besonders auf die Vorzeichenregeln.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = x^2 + 2\): \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2x\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(A = \int_{-1}^{2} (x^2 + 2) \, dx = [F(x)]_{-1}^{2} = F(2) - F(-1)\). 3. Berechnung der Funktionswerte der Stammfunktion: \(F(2) = \frac{1}{3} \cdot 2^3 + 2 \cdot 2 = \frac{8}{3} + 4 = \frac{20}{3}\) und \(F(-1) = \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 + 2 \cdot (-1) = -\frac{1}{3} - 2 = -\frac{7}{3}\). 4. Differenzbildung: \(A = \frac{20}{3} - \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{27}{3} = 9\).

Der Flächeninhalt beträgt \(9\) Flächeneinheiten.

- An welchen Stellen schneidet oder berührt der Graph die waagerechte Achse? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Fläche unter einer Kurve zu berechnen? - Überlege dir, in welchem Intervall die Fläche genau liegt. - Wie gehst du vor, wenn das Ergebnis der Berechnung negativ ist?

1. Bestimmung der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse (Nullstellen): \(-x^2 + 2x + 3 = 0\). Durch Anwendung der p-q-Formel oder Faktorisieren \(-(x-3)(x+1) = 0\) ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 2. Aufstellen des bestimmten Integrals in den Grenzen der Nullstellen: \(\int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \, dx\). 3. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F(x) = -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x\). 4. Berechnung des Integralwerts: \(F(3) - F(-1) = (-\frac{1}{3} \cdot 27 + 9 + 9) - (-\frac{1}{3} \cdot (-1) + 1 - 3) = 9 - (-\frac{5}{3}) = \frac{32}{3}\). 5. Der Flächeninhalt beträgt \(10\frac{2}{3}\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{32}{3}\) (oder ca. \(10{,}67\)) Flächeneinheiten.

- An welcher Stelle wechselt die Funktionsvorschrift? - Liegt einer der beiden Graphteile im betrachteten Intervall unterhalb der \(x\)-Achse? - Wie hängt der gesamte Flächeninhalt mit den Flächen in den beiden Teilintervallen zusammen?

1. Die Funktion ist auf \([-4;2]\) nichtnegativ. Der Nahtpunkt der beiden Funktionsterme liegt bei \(x=0\). 2. Deshalb wird die Fläche dort aufgeteilt: \(A=\int_{-4}^{0}(x+4)\,dx+\int_0^2(4-2x)\,dx\). 3. Für den ersten Teil ergibt sich \(\left[\frac{1}{2}x^2+4x\right]_{-4}^{0}=8\). 4. Für den zweiten Teil ergibt sich \([4x-x^2]_0^2=4\). 5. Insgesamt ist \(A=12\,\text{FE}\).

\(12\,\text{FE}\)

- Prüfe zuerst, ob der Graph im gegebenen Intervall oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Denk daran, dass \(e\) eine konstante Zahl ist, wenn du die Stammfunktion bildest. - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse in einem festen Intervall?

1. Überprüfung der Nullstellen und des Vorzeichens: \(e^x - e = 0\) liefert \(x = 1\). Für \(x \in [1; 2]\) gilt \(e^x \geq e\), somit ist \(h(x) \geq 0\). Der Flächeninhalt entspricht dem bestimmten Integral. 2. Bestimmung einer Stammfunktion von \(h(x) = e^x - e\): \(H(x) = e^x - ex\). 3. Anwendung des Hauptsatzes: \(A = \int_{1}^{2} (e^x - e) \, dx = [e^x - ex]_1^2\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(H(2) = e^2 - 2e\) und \(H(1) = e^1 - e \cdot 1 = 0\). 5. Ergebnis: \(A = (e^2 - 2e) - 0 = e^2 - 2e\).

Der Flächeninhalt beträgt \(e^2 - 2e\) Flächeneinheiten.

- Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass sein Vorzeichen sofort erkennbar wird? - Wenn der Graph vollständig oberhalb der \(x\)-Achse liegt, wie hängt der Flächeninhalt mit dem bestimmten Integral zusammen? - Welche Stammfunktion gehört zum Polynom?

1. Es gilt \(f(x)=(x-1)^2+2>0\). Der Graph liegt im gesamten Intervall oberhalb der \(x\)-Achse. 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2+3x\). 3. Damit ist \(A=\int_0^2 f(x)\,dx=F(2)-F(0)=\frac{14}{3}\,\text{FE}\).

\(\frac{14}{3}\,\text{FE}\)

- Welches Vorzeichen hat \(f(x)\) im gesamten Intervall? - Welche bekannte Regel hilft dir beim Finden einer Stammfunktion? - Wie erhältst du daraus den Wert des bestimmten Integrals?

1. Für alle \(x\) gilt \(x^2+1>0\). Daher entspricht der Flächeninhalt dem bestimmten Integral. 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{3}x^3+x\). 3. Somit gilt \(A=\left[\frac{1}{3}x^3+x\right]_0^2=\frac{14}{3}\,\text{FE}\).

\(\frac{14}{3}\,\text{FE}\)

- Prüfe zuerst das Vorzeichen von \(f\) im Intervall. - Welche bekannte Stammfunktion gehört zu \(\frac{1}{x}\)? - Welchen Wert hat \(\ln(1)\)?

1. Auf \([1;4]\) gilt \(f(x)>0\). Daher entspricht der Flächeninhalt dem bestimmten Integral \(A=\int_1^4\frac{2}{x}\,dx\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=2\ln(x)\). 3. Damit ist \(A=2\ln(4)-2\ln(1)=2\ln(4)=4\ln(2)\).

\(4\ln(2)\,\text{FE}\)

- Welches Vorzeichen hat \(g(x)\) im gesamten Intervall? - Wie musst du den Integranden wählen, damit ein positiver Flächeninhalt entsteht? - Welche Stammfunktion gehört zu \(5-x\)?

1. Auf \([2;4]\) gilt \(g(x)<0\). Deshalb ist der Flächeninhalt \(A=\int_2^4(0-g(x))\,dx=\int_2^4(5-x)\,dx\). 2. Eine Stammfunktion ist \(G(x)=5x-\frac{1}{2}x^2\). 3. Damit ist \(A=G(4)-G(2)=4\,\text{FE}\).

\(4\,\text{FE}\)

- Wo schneiden sich die Parabel und die Gerade? - Welche Funktion liegt zwischen den Schnittstellen oben? - Kannst du die Symmetrie zur \(y\)-Achse nutzen?

1. Die Schnittstellen folgen aus \(x^2=4\): \(x=-2\) und \(x=2\). 2. Auf \([-2;2]\) liegt die Gerade \(y=4\) oberhalb der Parabel. 3. Daher ist \(A=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=2\int_0^2(4-x^2)\,dx\). 4. Es ergibt sich \(A=2\left[4x-\frac{1}{3}x^3\right]_0^2=\frac{32}{3}\,\text{FE}\).

\(\frac{32}{3}\,\text{FE}\)

- Welche Bedingung erfüllen die Schnittstellen der beiden Graphen? - Welche Funktion liegt zwischen den Schnittstellen oben? - Wie muss die Reihenfolge der Funktionsterme gewählt werden, damit ein geometrischer Flächeninhalt entsteht?

1. Aus \(x^2+1=x+1\) folgt \(x(x-1)=0\). Die Schnittstellen sind \(x=0\) und \(x=1\). 2. Für \(0<x<1\) gilt \(x>x^2\), also liegt \(g\) oberhalb von \(f\). 3. Daher ist \(A=\int_0^1\bigl((x+1)-(x^2+1)\bigr)\,dx=\int_0^1(x-x^2)\,dx\). 4. Es ergibt sich \(A=\left[\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3\right]_0^1=\frac{1}{6}\,\text{FE}\).

\(\frac{1}{6}\,\text{FE}\)

- Wie kannst du die Nullstellen der quadratischen Funktion bestimmen? - Welches Vorzeichen hat \(f\) zwischen den beiden Nullstellen? - Wie muss der Integrand für den geometrischen Flächeninhalt gewählt werden?

1. Es gilt \(x^2+x-2=(x+2)(x-1)\). Die Nullstellen sind \(x=-2\) und \(x=1\). 2. Zwischen den Nullstellen ist \(f(x)<0\). Daher ist \(A=\int_{-2}^{1}(-x^2-x+2)\,dx\). 3. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+2x\). 4. Damit ergibt sich \(A=F(1)-F(-2)=\frac{9}{2}\,\text{FE}\).

\(\frac{9}{2}\,\text{FE}\)

- An welchen Stellen ist die Sinusfunktion in einer Periode null? - Welche Funktion hat die Ableitung \(\sin(x)\)? - Liegt der Sinusgraph auf \([0;\pi]\) oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse?

1. Im Intervall \([0;2\pi]\) sind die Nullstellen von \(\sin(x)\) bei \(x=0\), \(x=\pi\) und \(x=2\pi\). 2. Eine Stammfunktion ist \(G(x)=-\cos(x)\). 3. Auf \([0;\pi]\) gilt \(g(x)\geq0\). Deshalb ist der Flächeninhalt \(A=\int_0^{\pi}\sin(x)\,dx=[-\cos(x)]_0^{\pi}=2\,\text{FE}\).

a) \(x=0\), \(x=\pi\), \(x=2\pi\) b) Zum Beispiel \(G(x)=-\cos(x)\) c) \(2\,\text{FE}\)

- Liegt der dargestellte Sinusbogen im gesamten Intervall oberhalb der \(x\)-Achse? - Welche Stammfunktion besitzt \(\sin(x)\)? - Wann entspricht ein bestimmtes Integral direkt einem Flächeninhalt?

1. Auf \([0;\pi]\) gilt \(\sin(x)\geq0\), daher ist \(A=\int_0^{\pi}\sin(x)\,\mathrm{d}x\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=-\cos(x)\). 3. Damit gilt \(A=[-\cos(x)]_0^{\pi}=2\).

\(2\,\text{FE}\)

- Welches Vorzeichen hat \(g\) im markierten Intervall? - Welche Stammfunktion besitzt \(2\cos(x)\)? - Wie wird ein bestimmtes Integral mithilfe einer Stammfunktion ausgewertet?

1. Im angegebenen Intervall liegt der Graph auf oder oberhalb der \(x\)-Achse. Daher ist \(A=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}2\cos(x)\,dx\). 2. Eine Stammfunktion ist \(G(x)=2\sin(x)\). 3. Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt \(A=2\sin(\frac{\pi}{2})-2\sin(-\frac{\pi}{2})=4\).

\(4\,\text{FE}\)

- Wo liegen die Schnittpunkte der Parabel mit der \(x\)-Achse? - Wenn eine Fläche unterhalb der \(x\)-Achse liegt, was bedeutet das für das Vorzeichen des Integrals? - Wie erhältst du aus einem negativen Integralwert einen positiven Flächeninhalt?

1. Nullstellenberechnung von \(f(x) = 0{,}5x^2 - 2\): \(0 = 0{,}5x^2 - 2 \Rightarrow 4 = x^2 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 2\). 2. Da die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse liegt, ist das Integral negativ. Der Flächeninhalt ist der Betrag des Integrals: \(A = \left| \int_{-2}^{2} (0{,}5x^2 - 2) \, dx \right|\). 3. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{6}x^3 - 2x\). 4. Berechnung des Integrals: \(\int_{-2}^{2} (0{,}5x^2 - 2) \, dx = (\frac{8}{6} - 4) - (-\frac{8}{6} + 4) = \frac{4}{3} - 4 + \frac{4}{3} - 4 = \frac{8}{3} - 8 = -\frac{16}{3}\). 5. Der Flächeninhalt ist \(A = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5{,}33\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5{,}33\).

- Welches Vorzeichen hat \(h\) zwischen den beiden Nullstellen? - Welche Stammfunktion kannst du für den verschobenen Quadratterm verwenden? - Wie wird ein negativer Integralwert in einen geometrischen Flächeninhalt überführt?

1. Es gilt \(h(1)=h(3)=0\). Zwischen diesen Nullstellen liegt die Parabel unterhalb der \(x\)-Achse. 2. Eine Stammfunktion ist \(H(x)=\frac13(x-2)^3-x\). 3. Das bestimmte Integral ist \(H(3)-H(1)=-\frac43\). Daher beträgt der geometrische Flächeninhalt \(A=\frac43\,\text{FE}\).

\(A=\frac43\,\text{FE}\approx1{,}33\,\text{FE}\)

- Bestimme zunächst die Grenzen der Fläche, indem du die Schnittpunkte der Funktionen berechnest. - Betrachte den Graphen, um zu entscheiden, welche Funktion von welcher abgezogen werden muss. - Nutze die Regeln der Integralrechnung, um die Stammfunktion zu bilden.

1. Berechnung der Schnittpunkte: \(-x^2 + 4x = x \Rightarrow x^2 - 3x = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 2. Bestimmung der oberen Funktion: Im Intervall \([0; 3]\) gilt \(f(x) \geq g(x)\). 3. Aufstellen des Integrals: \(A = \int_{0}^{3} (-x^2 + 4x - x) \, dx = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) \, dx\). 4. Integration: \([-\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2]_{0}^{3} = (-\frac{1}{3} \cdot 27 + \frac{3}{2} \cdot 9) - 0 = -9 + 13{,}5 = 4{,}5\). Der Flächeninhalt beträgt \(4{,}5\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt beträgt \(4{,}5\) Flächeneinheiten.

- Wie kannst du die Steigung und den \(y\)-Achsenabschnitt einer Geraden aus dem Koordinatensystem ablesen? - Überlege, welche Funktion im eingeschlossenen Bereich die größeren Funktionswerte hat (oben liegt). - Denke an das bestimmte Integral zur Berechnung von Flächeninhalten zwischen zwei Kurven. - Bestimme zuerst die Schnittpunkte der beiden Graphen, um die Integrationsgrenzen zu finden.

1. Die Gerade verläuft durch \((-2 \mid 0)\) und \((0 \mid 2)\). Ihre Steigung ist \(1\), der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(2\). Somit ist \(g(x)=x+2\). 2. Aus \(-x^2+4=x+2\) folgt \(x^2+x-2=0\), also \(x_1=-2\) und \(x_2=1\). 3. Im Intervall \([-2; 1]\) liegt \(f\) oberhalb von \(g\). Daher gilt \(A=\int_{-2}^{1}(-x^2-x+2)\,\mathrm{d}x\). 4. Es ergibt sich \(A=\left[-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+2x\right]_{-2}^{1}=\frac{9}{2}=4{,}5\).

a) Die Funktionsgleichung der Geraden lautet \(g(x) = x + 2\). b) Der Inhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt \(4{,}5\) Flächeneinheiten.

- Lies zuerst die beiden Schnittstellen aus der Abbildung ab. - Welche der beiden Funktionen liefert zwischen den Schnittstellen jeweils den größeren \(y\)-Wert? - Für einen geometrischen Flächeninhalt zwischen zwei Graphen wird „oberer Graph minus unterer Graph“ integriert.

1. Die beiden Graphen schneiden sich bei \(x=-1\) und \(x=1\); dies sind die Integrationsgrenzen der markierten Fläche. 2. Zwischen diesen Grenzen liegt der Graph von \(f\) oberhalb des Graphen von \(g\). 3. Daher ist der Flächeninhalt \(A=\int_{-1}^{1}(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^{1}((2-x^2)-x^2)\,\mathrm{d}x\).

\(A=\int_{-1}^{1}((2-x^2)-x^2)\,\mathrm{d}x\)

- Prüfe getrennt, ob die Integrationsgrenzen und die Reihenfolge der Funktionen stimmen. - Welcher Graph liegt im markierten Bereich oben? - Ein geometrischer Flächeninhalt soll nicht durch einen überall nichtpositiven Integranden beschrieben werden.

1. Die Integrationsgrenzen \(-1\) und \(2\) sind korrekt, denn dort schneiden sich die beiden Graphen. 2. Im gesamten Intervall \([-1;2]\) liegt \(f\) oberhalb von \(g\). Daher ist \(g(x)-f(x)\le0\) und Noahs Integral liefert keinen positiven geometrischen Flächeninhalt. 3. Richtig ist \(A=\int_{-1}^{2}(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^{2}((x+2)-x^2)\,\mathrm{d}x\).

Noahs Ansatz hat die falsche Reihenfolge der Funktionen. Richtig ist \(A=\int_{-1}^{2}((x+2)-x^2)\,\mathrm{d}x\).

- Lies aus der Abbildung ab, welcher Graph links von \(x=1\) oben liegt. - Vergleiche die Lage der Graphen auch rechts von \(x=1\). - Wähle die Differenz in jedem Teilintervall so, dass sie den Flächeninhalt beschreibt.

1. Auf \([0;1]\) liegt \(g\) oberhalb von \(f\). 2. Auf \([1;2]\) liegt \(f\) oberhalb von \(g\). 3. Daher gilt \(A=\int_0^1(g(x)-f(x))\,\mathrm{d}x+\int_1^2(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x\).

\(A=\int_0^1(g(x)-f(x))\,\mathrm{d}x+\int_1^2(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x\)

- Wo schneiden sich die beiden Graphen? - Welcher Graph liegt links und rechts vom Schnittpunkt oben? - Was passiert mit dem Vorzeichen von \(g(x)-f(x)\), wenn sich die Reihenfolge der Graphen ändert?

1. Die Graphen schneiden sich bei \(x=0\) und \(x=2\). Bei \(x=2\) wechselt ihre Reihenfolge. 2. Auf \([0;2]\) liegt \(g\) oberhalb von \(f\), auf \([2;3]\) liegt \(f\) oberhalb von \(g\). 3. Linas Integral ist eine Flächenbilanz: Der negative Beitrag nach \(x=2\) hebt einen positiven Beitrag auf. Ein geometrischer Flächeninhalt wird dadurch nicht kleiner. 4. Richtig ist \(A=\int_0^2(g(x)-f(x))\,\mathrm{d}x+\int_2^3(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x\).

Linas Ansatz berechnet eine Flächenbilanz. Für den Flächeninhalt muss bei \(x=2\) geteilt werden: \(A=\int_0^2(2x-x^2)\,\mathrm{d}x+\int_2^3(x^2-2x)\,\mathrm{d}x\).

- Wo schneidet die Gerade die \(x\)-Achse? - Welche einfachen geometrischen Figuren entstehen auf den beiden Seiten dieser Stelle? - Wie werden Teilflächen beim geometrischen Flächeninhalt zusammengefasst?

1. Die Nullstelle liegt bei \(x=1\). 2. Auf \([0;1]\) entsteht unterhalb der \(x\)-Achse ein Dreieck mit Grundseite \(1\) und Höhe \(1\). Sein Inhalt ist \(\frac{1}{2}\). 3. Auf \([1;2]\) entsteht oberhalb der \(x\)-Achse ein gleich großes Dreieck. 4. Insgesamt ist \(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\,\text{FE}\).

Es entstehen zwei Dreiecke mit jeweils \(\frac{1}{2}\,\text{FE}\). Daher ist \(A=1\,\text{FE}\).

- Welche Bedingung erfüllen die Schnittpunkte der beiden Graphen? - Wie kannst du zwischen den Schnittpunkten feststellen, welcher Graph oben liegt? - Wie hängt der Flächeninhalt von der Lage der beiden Graphen ab?

1. Aus \(x^2=2x\) folgt \(x(x-2)=0\). Die Schnittpunkte sind \((0\mid0)\) und \((2\mid4)\). 2. Auf \([0;2]\) gilt \(g(x)\ge f(x)\). 3. Daher ist \(A=\int_0^2(2x-x^2)\,\mathrm{d}x=[x^2-\frac{1}{3}x^3]_0^2=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}\).

a) \((0\mid0)\) und \((2\mid4)\) b) \(A=\frac{4}{3}\,\text{FE}\)

- Überlege zuerst, welcher der beiden Graphen im gesamten Intervall oberhalb des anderen liegt. - Wie lautet die allgemeine Formel für den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen? - Erinnere dich an die Stammfunktionen von gebrochen-rationalen Funktionen und Exponentialfunktionen. - Nutze Logarithmengesetze, um das Ergebnis im ersten Teil zu vereinfachen.

1. Für Teilaufgabe a): Da \(f(0) = 2 > g(0) = 1\) und kein Schnittpunkt im Intervall vorliegt, gilt \(f(x) > g(x)\). Das Integral lautet \(\int_0^4 (\frac{4}{x+2} - (1 - 0{,}5x)) \, dx = \int_0^4 (\frac{4}{x+2} - 1 + 0{,}5x) \, dx\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = 4\ln|x+2| - x + 0{,}25x^2\). Auswertung an den Grenzen: \(F(4) = 4\ln(6) - 4 + 4 = 4\ln(6)\) und \(F(0) = 4\ln(2)\). Der Flächeninhalt beträgt \(4\ln(6) - 4\ln(2) = 4\ln(3) \approx 4{,}394\). 2. Für Teilaufgabe b): Da \(f(0) = 2 > g(0) = 1\), gilt \(f(x) > g(x)\). Das Integral lautet \(\int_0^1 (e^x + 1 - e^{-x}) \, dx\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = e^x + x + e^{-x}\). Auswertung an den Grenzen: \(F(1) = e^1 + 1 + e^{-1}\) und \(F(0) = e^0 + 0 + e^0 = 2\). Der Flächeninhalt beträgt \(e + e^{-1} + 1 - 2 = e + e^{-1} - 1 \approx 2{,}086\).

a) \(A = 4\ln(3) \approx 4{,}394\) b) \(A = e + e^{-1} - 1 \approx 2{,}086\)

- Bestimme zunächst die Tangente bei \(x=e\) und die Schnittpunkte beider Randgraphen mit der \(x\)-Achse. - Welche größere einfache Fläche kannst du berechnen, aus der du anschließend einen Teil abziehst? - Nutze für das Integral von \(\ln(x)\) die im Aufgabentext gegebene Stammfunktion.

1. Es gilt \(f(e)=1\) und \(f'(e)=\frac1e\). Die Tangente lautet daher \(t(x)=\frac1e(x-e)+1=\frac{x}{e}\). 2. Der Graph von \(f\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=1\), die Tangente bei \(x=0\). 3. Die gesuchte Fläche ist die Fläche unter der Tangente von \(0\) bis \(e\) minus die Fläche unter \(f\) von \(1\) bis \(e\). 4. Es ist \(\int_0^e\frac{x}{e}\,\text{d}x=\frac e2\) und mithilfe der gegebenen Stammfunktion \(\int_1^e\ln(x)\,\text{d}x=L(e)-L(1)=1\). 5. Somit beträgt der Flächeninhalt \(A=\frac e2-1\approx0{,}359\,\text{FE}\).

\(A=\frac e2-1\approx0{,}359\,\text{FE}\)

- Welchen Funktionswert hat \(f\) bei \(x=1\)? - Welche Symmetrie kann dir helfen, den Rechenaufwand zu verkleinern? - An welcher Stelle ändert sich die Begrenzung des betrachteten Flächenstücks? - Wie kannst du die Beiträge der Teilflächen anschließend zusammenfassen?

1. Es gilt \(f(1)=2-18=-16\). Damit liegt bei \(x=1\) ein Schnittpunkt des Graphen von \(f\) mit \(g\). 2. Rechts der \(y\)-Achse liegt auf \([0;1]\) ein Rechteck mit Flächeninhalt \(16\). Auf \([1;3]\) liegt der Graph von \(f\) unterhalb der \(x\)-Achse, daher ist der weitere Flächeninhalt \(\int_1^3\left(\frac{18}{x^2}-2\right)\,dx=8\). 3. Das rechte Flächenstück hat damit den Inhalt \(24\). Wegen der Symmetrie zur \(y\)-Achse beträgt die Summe beider Flächenstücke \(48\).

a) \(f(1)=-16\); daher gehört \(x=1\) zu einem Schnittpunkt mit \(g\). b) \(48\,\text{FE}\)

- Wie findet man die Stellen, an denen sich zwei Graphen treffen? - Überlege, wie viele abgeschlossene Flächenstücke entstehen können, wenn es drei Schnittstellen gibt. - Musst du die Graphen zeichnen, um zu wissen, welche Funktion oben liegt, oder gibt es einen rechnerischen Weg? - Was passiert mit dem Vorzeichen des Integrals, wenn die Graphen ihre Position (oben/unten) tauschen?

1. Berechnung der Schnittstellen durch Gleichsetzen: \(x^3 - 2x = x^2 \Leftrightarrow x^3 - x^2 - 2x = 0\). Ausklammern liefert \(x(x^2 - x - 2) = 0\), woraus sich mit der \(pq\)-Formel die Schnittstellen \(x_1 = -1\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\) ergeben. 2. Bestimmung der Teilflächen durch Integration der Differenzfunktion \(h(x) = f(x) - g(x) = x^3 - x^2 - 2x\). Eine Stammfunktion ist \(H(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - x^2\). 3. Erstes Intervall \([-1; 0]\): \(H(0) - H(-1) = 0 - (\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1) = 0 - (-\frac{5}{12}) = \frac{5}{12}\). 4. Zweites Intervall \([0; 2]\): \(H(2) - H(0) = (\frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 4) - 0 = -\frac{8}{3}\). 5. Der gesamte Flächeninhalt ergibt sich aus der Summe der Beträge: \(A = |\frac{5}{12}| + |-\frac{8}{3}| = \frac{5}{12} + \frac{32}{12} = \frac{37}{12}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{37}{12} \approx 3{,}083\) Flächeneinheiten.

- Welche Ableitung brauchst du für die Tangentensteigung bei \(x=1\)? - Welche beiden \(x\)-Werte begrenzen die eingeschlossene Fläche? - Prüfe, welcher Graph zwischen diesen Grenzen oben liegt.

1. Es gilt \(f(1)=e\) und \(f'(1)=e\). Daher lautet die Tangente \(t(x)=e(x-1)+e=ex\). 2. Die Fläche liegt zwischen \(x=0\) und dem Berührpunkt \(x=1\). Wegen der Konvexität von \(e^x\) liegt der Funktionsgraph dort oberhalb der Tangente. 3. Somit ist \(A=\int_0^1(e^x-ex)\,\text{d}x=\left[e^x-\frac e2x^2\right]_0^1=\frac e2-1\).

\(A=\frac e2-1\,\text{FE}\)

- Die mittlere Änderungsrate ist die Steigung der Sekante durch die beiden Randpunkte des Funktionsgraphen. - Welche Ableitung entscheidet über die Konvexität von \(f\)? - Für den Flächeninhalt brauchst du die Differenz aus oberem und unterem Graphen.

1. Es gilt \(f(0)=\frac12\) und \(f(2)=\frac12e^2-2\). Daher ist die Sekantensteigung \(m=\frac{f(2)-f(0)}{2}=\frac14e^2-\frac54\). 2. Die Sekante lautet \(s(x)=\left(\frac14e^2-\frac54\right)x+\frac12\). 3. Da \(f''(x)=\frac12e^x>0\), ist \(f\) konvex. Die Sekante liegt daher im Intervall oberhalb des Graphen. 4. Somit ist \(A=\int_0^2(s(x)-f(x))\,\text{d}x\). Nach Vereinfachung lautet der Integrand \(\left(\frac14e^2-\frac14\right)x+\frac12-\frac12e^x\). 5. Eine Stammfunktion ist \(\frac18(e^2-1)x^2+\frac12x-\frac12e^x\). Die Auswertung von \(0\) bis \(2\) ergibt \(A=1\,\text{FE}\).

Mittlere Änderungsrate: \(\frac14e^2-\frac54\) Sekante: \(s(x)=\left(\frac14e^2-\frac54\right)x+\frac12\) Flächeninhalt: \(1\,\text{FE}\)

- Welche Nullstellen liegen im vorgegebenen Intervall und teilen es in Bereiche mit konstantem Vorzeichen? - Berechne die bestimmten Integrale auf diesen Teilintervallen getrennt. - Wie musst du die Teilintegrale für einen geometrischen Flächeninhalt zusammenfassen?

1. Aus der Produktform ergeben sich die Nullstellen \(x=-2\), \(x=1\) und \(x=2\). Diese Stellen teilen \([-3;3]\) in vier Bereiche mit konstantem Vorzeichen von \(f\). 2. Ausmultipliziert ist \(f(x)=x^3-x^2-4x+4\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac14x^4-\frac13x^3-2x^2+4x\). 3. Die Teilintegrale sind \(\int_{-3}^{-2}f(x)\,\text{d}x=-\frac{103}{12}\), \(\int_{-2}^{1}f(x)\,\text{d}x=\frac{45}{4}\), \(\int_{1}^{2}f(x)\,\text{d}x=-\frac{7}{12}\) und \(\int_{2}^{3}f(x)\,\text{d}x=\frac{47}{12}\). 4. Der geometrische Flächeninhalt ist die Summe der Beträge: \(A=\frac{103+135+7+47}{12}=\frac{73}{3}\,\text{FE}\approx24{,}33\,\text{FE}\).

\(A=\frac{73}{3}\,\text{FE}\approx24{,}33\,\text{FE}\)

- Welche Nullstelle liegt im vorgegebenen Intervall? - Warum muss die Flächenberechnung dort aufgeteilt werden? - Wie werden negative und positive Flächenbeiträge zu einem geometrischen Flächeninhalt zusammengefasst?

1. Die Nullstellen von \(f\) sind \(x=-2\) und \(x=2\). Im vorgegebenen Intervall liegt nur \(x=2\). 2. Daher wird bei \(x=2\) geteilt. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac16x^3-2x\). 3. Auf \([-1;2]\) ergibt sich der Flächenbeitrag \(\int_{-1}^{2}f(x)\,\text{d}x=-\frac92\). Auf \([2;3]\) ergibt sich \(\int_2^3f(x)\,\text{d}x=\frac76\). 4. Für den geometrischen Flächeninhalt werden die Beträge addiert: \(A=\frac92+\frac76=\frac{17}{3}\,\text{FE}\approx5{,}67\,\text{FE}\).

\(A=\frac{17}{3}\,\text{FE}\approx5{,}67\,\text{FE}\)

- Welche besonderen Punkte der Funktion musst du kennen, um die Fläche korrekt zu berechnen? - Skizziere dir grob den Verlauf der Funktion, um zu sehen, wo sie oberhalb und wo unterhalb der Achse verläuft. - Was passiert mit dem Gesamtergebnis, wenn du einfach von \(0\) bis \(2{,}5\) integrierst, ohne die Nullstellen zu beachten? - Achte bei der Berechnung der Funktionswerte der Stammfunktion besonders auf die Brüche oder Dezimalzahlen.

1. Nullstellenbestimmung: \(x(x^2 - 3x + 2) = 0\) liefert durch Ausklammern und Anwendung der pq-Formel die Stellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). 2. Alle Nullstellen liegen im Intervall \([0; 2{,}5]\). Die Fläche muss in drei Teilbereiche unterteilt werden: \([0; 1]\), \([1; 2]\) und \([2; 2{,}5]\). 3. Stammfunktion bilden: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2\). 4. Teilintegrale berechnen: \(A_1 = \int_{0}^{1} f(x) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{1}{4} - 0 = 0{,}25\). \(A_2 = \int_{1}^{2} f(x) \, dx = F(2) - F(1) = 0 - 0{,}25 = -0{,}25\). \(A_3 = \int_{2}^{2{,}5} f(x) \, dx = F(2{,}5) - F(2) = \frac{25}{64} - 0 = 0{,}390625\). 5. Gesamtfläche als Summe der Beträge: \(A = |0{,}25| + |-0{,}25| + |0{,}390625| = 0{,}5 + \frac{25}{64} = \frac{57}{64} = 0{,}890625\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{57}{64} = 0{,}890625\) Flächeneinheiten.

- Findest du heraus, wo der Graph die \(x\)-Achse berührt oder kreuzt? - Klammere zuerst \(x\) aus, um die Nullstellen leichter zu finden. - Eine Skizze oder das Überprüfen der Funktionswerte zwischen den Nullstellen kann dir helfen zu sehen, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der Achse liegt. - Wie lautet die Stammfunktion für eine Potenzfunktion?

1. Berechnung der Nullstellen: \(x^3 - 4x^2 + 4x = 0 \Leftrightarrow x(x^2 - 4x + 4) = 0 \Leftrightarrow x(x-2)^2 = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\) (doppelte Nullstelle). 2. Festlegen der Integrationsgrenzen: Da die Fläche zwischen den Nullstellen eingeschlossen wird, sind die Grenzen \(0\) und \(2\). 3. Aufstellen des Integrals: \(\int_{0}^{2} (x^3 - 4x^2 + 4x) \, dx\). 4. Bildung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + 2x^2\). 5. Berechnung des Flächeninhalts: \(F(2) - F(0) = (\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{4}{3} \cdot 8 + 2 \cdot 4) - 0 = 4 - \frac{32}{3} + 8 = 12 - \frac{32}{3} = \frac{36}{3} - \frac{32}{3} = \frac{4}{3}\). 6. Die Fläche beträgt \(\frac{4}{3}\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{4}{3}\) (oder ca. \(1{,}33\)) Flächeneinheiten.

- Überprüfe zuerst, ob sich die Graphen innerhalb des vorgegebenen Intervalls schneiden. - Was passiert mit dem Vorzeichen der Differenzfunktion an den Schnittstellen? - Wie gehst du vor, wenn eine Funktion mal oberhalb und mal unterhalb der anderen verläuft? - Denk an die Aufspaltung des Integrals an den Stellen, an denen der Betrag sein Vorzeichen ändert.

1. Bestimmung der Schnittstellen von \(f\) und \(g\): \(x^2 - 1 = 1 - x \Leftrightarrow x^2 + x - 2 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 1\). 2. Untersuchung des Vorzeichens der Differenzfunktion \(d(x) = f(x) - g(x) = x^2 + x - 2\) im Intervall \([-2; 2]\): Innerhalb von \([-2; 1]\) ist \(d(x) \leq 0\), innerhalb von \([1; 2]\) ist \(d(x) \geq 0\). 3. Aufstellen der Teilintegrale gemäß der Flächenformel mit Betrag: \(A = \int_{-2}^{1} |x^2 + x - 2| \, dx + \int_{1}^{2} |x^2 + x - 2| \, dx\). 4. Berechnung des ersten Teilintegrals: \(\int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx = [2x - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{-2}^{1} = (2 - 0{,}5 - \frac{1}{3}) - (-4 - 2 + \frac{8}{3}) = \frac{7}{6} - (-\frac{10}{3}) = 4{,}5\). 5. Berechnung des zweiten Teilintegrals: \(\int_{1}^{2} (x^2 + x - 2) \, dx = [\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x]_{1}^{2} = (\frac{8}{3} + 2 - 4) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2) = \frac{2}{3} - (-\frac{7}{6}) = \frac{11}{6}\). 6. Summation der Flächeninhalte: \(A = 4{,}5 + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} + \frac{11}{6} = \frac{38}{6} = \frac{19}{3} \approx 6{,}33\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{19}{3} \approx 6{,}33\) Flächeneinheiten.

- Was ist der Unterschied zwischen einem Integral einer Differenz und dem Integral über den Betrag dieser Differenz? - Wo schneiden sich Sinus und Kosinus im Bereich zwischen \(0\) und \(\pi\)? - Überlege dir, welche Funktion in welchen Teilabschnitten „oben“ liegt. - Wie wirkt sich ein Vorzeichenwechsel auf das Ergebnis aus, wenn kein Betrag verwendet wird?

1. \(I_1=\int_0^\pi(\sin x-\cos x)\,\text{d}x=[-\cos x-\sin x]_0^\pi=2\). 2. Die Graphen schneiden sich bei \(x=\frac\pi4\). Auf \([0;\frac\pi4]\) liegt \(g\) oberhalb von \(f\), auf \([\frac\pi4;\pi]\) liegt \(f\) oberhalb von \(g\). 3. Daher ist \(I_2=\int_0^{\pi/4}(\cos x-\sin x)\,\text{d}x+\int_{\pi/4}^{\pi}(\sin x-\cos x)\,\text{d}x=2\sqrt2\approx2{,}83\). 4. \(I_1\) ist die vorzeichenbehaftete Flächenbilanz der Differenz \(f-g\). \(I_2\) ist der nichtnegative geometrische Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen.

1. \(I_1 = 2\) 2. \(I_2 = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\) 3. \(I_1\) ist die vorzeichenbehaftete Flächenbilanz, während \(I_2\) den tatsächlichen geometrischen Flächeninhalt angibt.

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? Untersuche beide Funktionsteile getrennt. - Überlege dir, an welcher Stelle die Definition der Funktion wechselt. - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der Achse, wenn die Funktion abschnittsweise definiert ist? - Skizziere den Verlauf der Funktion grob, um die Integrationsgrenzen zu visualisieren.

1. Bestimmung der Schnittstellen mit der \(x\)-Achse: Für den ersten Teilbereich \(x \le 1\) ergibt \(4 - x^2 = 0\) die Nullstelle \(x_1 = -2\). Für den zweiten Teilbereich \(x > 1\) ergibt \(4{,}5 - 1{,}5x = 0\) die Nullstelle \(x_2 = 3\). 2. Aufteilen der Fläche in zwei Teilintervalle basierend auf der Definition der Funktion: \([-2; 1]\) und \([1; 3]\). 3. Berechnung des ersten Teilintegrals: \(\int_{-2}^{1} (4 - x^2) \, dx = [4x - \frac{1}{3}x^3]_{-2}^{1} = (4 - \frac{1}{3}) - (-8 + \frac{8}{3}) = \frac{11}{3} + \frac{16}{3} = 9\). 4. Berechnung des zweiten Teilintegrals: \(\int_{1}^{3} (4{,}5 - 1{,}5x) \, dx = [4{,}5x - 0{,}75x^2]_{1}^{3} = (13{,}5 - 6{,}75) - (4{,}5 - 0{,}75) = 6{,}75 - 3{,}75 = 3\). 5. Addition der Teilflächen: \(A = 9 + 3 = 12\).

Der Flächeninhalt beträgt \(12\,\text{FE}\).

- Wie findest du heraus, wo sich zwei Funktionsgraphen treffen? - Was musst du tun, wenn du die Grenzen für die eingeschlossene Fläche suchst? - Gibt es eine neue Funktion, die den Abstand zwischen den beiden Graphen beschreibt? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, eine Fläche unter oder zwischen Kurven zu berechnen?

1. Bestimmung der Schnittstellen durch Gleichsetzen: \(-x^2 + 6x - 5 = x^2 - 4x + 3\). Dies führt auf die quadratische Gleichung \(2x^2 - 10x + 8 = 0\) bzw. \(x^2 - 5x + 4 = 0\). 2. Die Lösungen der Gleichung sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 4\). Dies sind die Integrationsgrenzen. 3. Aufstellen der Differenzfunktion \(h(x) = f(x) - g(x) = -2x^2 + 10x - 8\). 4. Berechnung des Integrals: \(\int_{1}^{4} (-2x^2 + 10x - 8) \, dx = [-\frac{2}{3}x^3 + 5x^2 - 8x]_1^4\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(F(4) = -\frac{128}{3} + 80 - 32 = \frac{16}{3}\) und \(F(1) = -\frac{2}{3} + 5 - 8 = -\frac{11}{3}\). 6. Berechnung der Fläche: \(A = \frac{16}{3} - (-\frac{11}{3}) = \frac{27}{3} = 9\).

Der Flächeninhalt beträgt \(9\) Flächeneinheiten.

- Wie findet man heraus, wo sich zwei Graphen treffen? - Was musst du tun, wenn du den Bereich zwischen zwei Kurven berechnen möchtest? - Überlege dir, welche Funktion in dem relevanten Intervall oberhalb der anderen liegt. - Welche Rolle spielt die Differenzfunktion bei der Flächenberechnung?

1. Bestimmung der Schnittstellen durch Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x^2 - 4x + 5 = -x^2 + 8x - 11 \iff 2x^2 - 12x + 16 = 0 \iff x^2 - 6x + 8 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\). 2. Aufstellen der Differenzfunktion \(h(x) = g(x) - f(x) = -2x^2 + 12x - 16\). 3. Berechnung des bestimmten Integrals der Differenzfunktion in den Grenzen von \(2\) bis \(4\): \(\int_{2}^{4} (-2x^2 + 12x - 16) \, dx\). 4. Bestimmung einer Stammfunktion: \(H(x) = -\frac{2}{3}x^3 + 6x^2 - 16x\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(H(4) - H(2) = (-\frac{128}{3} + 96 - 64) - (-\frac{16}{3} + 24 - 32) = -\frac{32}{3} - (-\frac{40}{3}) = \frac{8}{3}\). Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{8}{3}\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{8}{3} \approx 2{,}67\) Flächeneinheiten.

- Gibt es mehr als zwei Schnittpunkte zwischen den Graphen? - Wenn es mehrere Schnittpunkte gibt, musst du die Fläche eventuell in mehrere Teile zerlegen. - Warum ist es wichtig, die Beträge der einzelnen Integrale zu addieren, anstatt einfach über das gesamte Intervall zu integrieren? - Skizziere dir grob den Verlauf oder teste Werte in den Intervallen, um zu sehen, welcher Graph oben liegt.

1. Berechnung der Schnittstellen: \(x^3 - 4x^2 + 3x = x - x^2 \iff x^3 - 3x^2 + 2x = 0\). Ausklammern von \(x\) ergibt \(x(x^2 - 3x + 2) = 0\). Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). 2. Da drei Schnittstellen vorliegen, existieren zwei Teilflächen in den Intervallen \([0; 1]\) und \([1; 2]\). 3. Differenzfunktion bilden: \(d(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\). Stammfunktion: \(D(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2\). 4. Integral für das erste Intervall: \(\int_{0}^{1} (x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx = [D(x)]_0^1 = (\frac{1}{4} - 1 + 1) - 0 = \frac{1}{4}\). 5. Integral für das zweite Intervall: \(\int_{1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx = [D(x)]_1^2 = (4 - 8 + 4) - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}\). 6. Addition der Beträge der Teilflächen: \(A = |\frac{1}{4}| + |-\frac{1}{4}| = 0{,}5\).

Der Gesamtinhalt der Flächenstücke beträgt \(0{,}5\) Flächeneinheiten.

- An welchen Stellen schneidet oder berührt der Graph die \(x\)-Achse? - Wie viele getrennte Flächenstücke entstehen zwischen dem Graphen und der Achse? - Denk daran, dass Flächeninhalte immer positive Werte sein müssen, auch wenn das Integral negativ ist. - Wie berechnet man die Stammfunktion eines Polynoms?

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3\): Durch Ausklammern erhält man \(x^2(x-3) - (x-3) = 0\), also \((x^2-1)(x-3) = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 3\). 2. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F(x) = \int (x^3 - 3x^2 - x + 3) \, dx = \frac{1}{4}x^4 - x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 3x\). 3. Berechnung der Teilflächeninhalte in den Intervallen \([-1; 1]\) und \([1; 3]\): \(A_1 = \left| \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \right| = |F(1) - F(-1)| = |1{,}75 - (-2{,}25)| = 4\). \(A_2 = \left| \int_{1}^{3} f(x) \, dx \right| = |F(3) - F(1)| = |-2{,}25 - 1{,}75| = 4\). 4. Berechnung des Gesamtflächeninhalts: \(A_{\text{ges}} = A_1 + A_2 = 4 + 4 = 8\).

Der Flächeninhalt beträgt \(8\,\text{FE}\).

- Gibt es eine Symmetrie im Graphen, die dir die Arbeit erleichtern könnte? - Welche Nullstellen begrenzen die Fläche, die tatsächlich eingeschlossen wird? - Achte darauf, dass eine doppelte Nullstelle bedeutet, dass der Graph die Achse dort nur berührt. - Wie gehst du vor, wenn der Graph unterhalb der \(x\)-Achse verläuft?

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^2\): \(\frac{1}{2}x^2(x^2 - 4) = 0\) führt zu \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) (doppelt) und \(x_3 = 2\). 2. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F(x) = \int (\frac{1}{2}x^4 - 2x^2) \, dx = \frac{1}{10}x^5 - \frac{2}{3}x^3\). 3. Ausnutzung der Symmetrie (Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse, da nur gerade Exponenten vorliegen): \(A = 2 \cdot \left| \int_{0}^{2} f(x) \, dx \right|\). 4. Berechnung des Integrals: \(\int_{0}^{2} f(x) \, dx = F(2) - F(0) = (\frac{32}{10} - \frac{16}{3}) - 0 = \frac{16}{5} - \frac{16}{3} = \frac{48 - 80}{15} = -\frac{32}{15}\). 5. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = 2 \cdot |-\frac{32}{15}| = \frac{64}{15} \approx 4{,}27\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{64}{15} \approx 4{,}27\,\text{FE}\).

- Welche Ableitung liefert die Tangentensteigung im Punkt \(P\)? - Der Berührpunkt ist zugleich eine doppelte Lösung der Gleichung \(f(x)=t(x)\). - Prüfe zwischen den Schnittpunkten, welcher Graph oben liegt.

1. Es gilt \(f'(x)=\frac32x^2-2\), also \(f'(-2)=4\). Die Tangente lautet \(t(x)=4x+8\). 2. Aus \(f(x)=t(x)\) folgt \(x^3-12x-16=0=(x+2)^2(x-4)\). Neben dem Berührpunkt \(x=-2\) liegt der weitere Schnittpunkt bei \(x=4\). 3. Auf \([-2;4]\) liegt die Tangente oberhalb des Funktionsgraphen. Daher ist \(A=\int_{-2}^{4}\left(-\frac12x^3+6x+8\right)\,\text{d}x\). 4. Eine Stammfunktion ist \(-\frac18x^4+3x^2+8x\). Die Auswertung ergibt \(A=48-(-6)=54\,\text{FE}\).

\(A=54\,\text{FE}\)

- Bestimme die Tangentensteigung mit der ersten Ableitung. - Welche besondere Form hat die Tangente an einem stationären Punkt? - Nutze den Berührpunkt als doppelte Lösung, um den weiteren Schnittpunkt zu finden.

1. Es gilt \(f'(x)=-\frac34x^2+3x\), also \(f'(4)=0\). Die Tangente ist daher die waagerechte Gerade \(t(x)=8\). 2. Aus \(f(x)=8\) folgt \(x^3-6x^2+32=0=(x-4)^2(x+2)\). Der weitere Schnittpunkt liegt bei \(x=-2\). 3. Zwischen \(-2\) und \(4\) liegt die Tangente oberhalb des Graphen. Daher ist \(A=\int_{-2}^{4}\left(8+\frac14x^3-\frac32x^2\right)\,\text{d}x\). 4. Eine Stammfunktion ist \(\frac1{16}x^4-\frac12x^3+8x\). Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ergibt sich \(A=16-(-11)=27\,\text{FE}\).

\(A=27\,\text{FE}\)

- Welche Ableitung brauchst du für die Tangentensteigung bei \(x=4\)? - Bestimme die Nullstelle der Tangente und die relevante Nullstelle von \(f\). - Welche einfache geometrische Teilfläche kannst du von der Fläche unter \(f\) abziehen?

1. Es gilt \(f(4)=4\) und \(f'(x)=2x-4\), also \(f'(4)=4\). Die Tangente lautet \(t(x)=4x-12\). 2. Der Funktionsgraph berührt die \(x\)-Achse bei \(x=2\); die Tangente schneidet sie bei \(x=3\). 3. Die gesuchte Fläche ist die Fläche unter \(f\) auf \([2;4]\) minus die Dreiecksfläche unter der Tangente auf \([3;4]\). 4. Es ist \(\int_2^4(x^2-4x+4)\,\text{d}x=\frac83\) und die Dreiecksfläche beträgt \(2\). Daher ist \(A=\frac83-2=\frac23\,\text{FE}\).

\(A=\frac23\,\text{FE}\)

- Bestimme die Tangentengleichung mit der ersten Ableitung. - Welche Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse begrenzen die gesuchte Fläche? - Kannst du eine einfache Dreiecksfläche und eine Integralfläche voneinander abziehen?

1. Es gilt \(f(2)=3\) und \(f'(x)=-2x+6\), also \(f'(2)=2\). Die Tangente lautet \(t(x)=2x-1\). 2. Die Tangente schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=0{,}5\). Die relevante Nullstelle von \(f\) ist \(x=1\). 3. Die eingeschlossene Fläche entspricht der Dreiecksfläche unter der Tangente auf \([0{,}5;2]\) minus der Fläche unter \(f\) auf \([1;2]\). 4. Die Dreiecksfläche beträgt \(\frac12\cdot1{,}5\cdot3=\frac94\). Außerdem ist \(\int_1^2(-x^2+6x-5)\,\text{d}x=\frac53\). Daher ist \(A=\frac94-\frac53=\frac7{12}\,\text{FE}\).

\(A=\frac7{12}\,\text{FE}\)

- Welche Ableitung bestimmt die Tangentensteigung im Ursprung? - Welche weitere Nullstelle besitzt \(f\) neben \(x=0\)? - Welcher Graph liegt zwischen den Schnittstellen oben?

1. Es gilt \(f(0)=0\) und \(f'(0)=0\). Daher ist die Tangente im Ursprung die \(x\)-Achse mit \(t(x)=0\). 2. Aus \(f(x)=0\) folgt \(x^3(x-4)=0\). Neben dem Berührpunkt \(x=0\) liegt der weitere Schnittpunkt bei \(x=4\). 3. Auf \((0;4)\) ist \(f(x)<0\), daher ist \(A=\int_0^4(-x^4+4x^3)\,\text{d}x\). 4. Eine Stammfunktion ist \(-\frac15x^5+x^4\). Damit ist \(A=-\frac15\cdot4^5+4^4=\frac{256}{5}\,\text{FE}=51{,}2\,\text{FE}\).

\(A=\frac{256}{5}\,\text{FE}=51{,}2\,\text{FE}\)

- Wie findet man heraus, wo sich zwei Graphen treffen? - Gibt es zwischen den Graphen nur eine zusammenhängende Fläche oder mehrere Teilflächen? - Was passiert mit dem Vorzeichen des Integrals, wenn ein Graph den anderen überholt? - Wie berechnet man den Flächeninhalt, wenn das Integral ein negatives Ergebnis liefert?

1. Berechnung der Schnittstellen durch Gleichsetzen: \(x^3 - 6x^2 + 9x = x \implies x^3 - 6x^2 + 8x = 0\). 2. Faktorisieren der Gleichung: \(x(x^2 - 6x + 8) = 0 \implies x(x-2)(x-4) = 0\). Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 4\). 3. Bestimmung der Differenzfunktion \(d(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 6x^2 + 8x\) und deren Stammfunktion \(D(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 4x^2\). 4. Berechnung der Teilflächen in den Intervallen \([0; 2]\) und \([2; 4]\): \(A_1 = \int_0^2 (x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = [D(x)]_0^2 = (4 - 16 + 16) - 0 = 4\). \(A_2 = \int_2^4 (x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = [D(x)]_2^4 = (64 - 128 + 64) - 4 = -4\). 5. Die Gesamtfläche ergibt sich aus der Summe der Beträge der Teilflächen: \(A = |4| + |-4| = 8\).

Der Inhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt \(8\) Flächeneinheiten.

- Wie findet man die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse schneidet? - Warum ist es wichtig, die Nullstellen zu kennen, bevor man integriert? - Was passiert mit dem Flächeninhalt, wenn der Graph unterhalb der \(x\)-Achse verläuft? - Kannst du die Symmetrie des Graphen nutzen, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f(x) = \frac{1}{2}x(x^2 - 4)\): Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). 2. Bildung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{8}x^4 - x^2\). 3. Berechnung der Teilintegrale: \(\int_{-2}^0 (\frac{1}{2}x^3 - 2x) \, dx = [F(x)]_{-2}^0 = 0 - (\frac{1}{8} \cdot (-2)^4 - (-2)^2) = 0 - (2 - 4) = 2\). \(\int_0^2 (\frac{1}{2}x^3 - 2x) \, dx = [F(x)]_0^2 = (\frac{1}{8} \cdot 2^4 - 2^2) - 0 = 2 - 4 = -2\). 4. Die Summe der Beträge der Teilflächen ergibt den Gesamtinhalt: \(A = |2| + |-2| = 4\).

Der Flächeninhalt beträgt \(4\) Flächeneinheiten.

- Welche Methode eignet sich, um die Nullstellen einer biquadratischen Funktion zu finden? - Überprüfe, in welchen Intervallen der Graph oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt. - Nutze die Symmetrieeigenschaften der Funktion, um Rechenschritte zu sparen. - Erinnere dich daran, dass Flächeninhalte immer positive Werte haben müssen.

1. Berechnung der Nullstellen mittels Substitution \(u = x^2\): \(-u^2 + 5u - 4 = 0\) liefert \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 4\). Daraus ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = -2\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 1\) und \(x_4 = 2\). 2. Da die Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist (\(f(x) = f(-x)\)), kann die Fläche für \(x \ge 0\) berechnet und verdoppelt werden. Die relevanten Intervalle sind \([0; 1]\) und \([1; 2]\). 3. Stammfunktion: \(F(x) = -\frac{1}{5}x^5 + \frac{5}{3}x^3 - 4x\). 4. Teilintegrale berechnen: \(\int_0^1 f(x) \, dx = F(1) - F(0) = -\frac{1}{5} + \frac{5}{3} - 4 = -\frac{38}{15}\). \(\int_1^2 f(x) \, dx = F(2) - F(1) = (-\frac{32}{5} + \frac{40}{3} - 8) - (-\frac{38}{15}) = -\frac{16}{15} + \frac{38}{15} = \frac{22}{15}\). 5. Gesamtfläche: \(A = 2 \cdot (|-\frac{38}{15}| + |\frac{22}{15}|) = 2 \cdot (\frac{38}{15} + \frac{22}{15}) = 2 \cdot \frac{60}{15} = 2 \cdot 4 = 8\).

Der Inhalt der Fläche beträgt \(8\) Flächeneinheiten.

- Wie findet man die Stellen, an denen sich zwei Graphen treffen? - Überlege dir, wie viele Teilflächen entstehen können, wenn es mehr als zwei Schnittstellen gibt. - Muss man beim Integrieren auf das Vorzeichen des Ergebnisses achten, wenn man eine Fläche berechnet? - Hilft es, die Differenzfunktion der beiden Funktionen zu bilden?

1. Bestimmung der Schnittstellen durch Gleichsetzen: \(x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = x^2 - x - 6 \Leftrightarrow x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0\). Durch Probieren oder Polynomdivision ergeben sich die Schnittstellen \(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). 2. Aufstellen der Teilintegrale für die Differenzfunktion \(d(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12\). 3. Berechnung des ersten Teilgebiets im Intervall \([-2; 2]\): \(\int_{-2}^{2} (x^3 - 3x^2 - 4x + 12) \,\text{d}x = [\frac{1}{4}x^4 - x^3 - 2x^2 + 12x]_{-2}^{2} = 12 - (-20) = 32\). 4. Berechnung des zweiten Teilgebiets im Intervall \([2; 3]\): \(\int_{2}^{3} (x^3 - 3x^2 - 4x + 12) \,\text{d}x = [\frac{1}{4}x^4 - x^3 - 2x^2 + 12x]_{2}^{3} = 11{,}25 - 12 = -0{,}75\). 5. Der Gesamteinhalt der Fläche ergibt sich aus der Summe der Beträge der Teilintegrale: \(A = |32| + |-0{,}75| = 32{,}75\).

Der Flächeninhalt beträgt \(32{,}75\) Flächeneinheiten.

- Bestimme zuerst alle Nullstellen des Funktionsterms. - An welcher Nullstelle wechselt das Vorzeichen innerhalb des eingeschlossenen Bereichs? - Berechne die beiden Flächenbeiträge getrennt. - Wie musst du mit einem negativen Flächenbeitrag umgehen, wenn der geometrische Flächeninhalt gefragt ist?

1. Aus \(f(x)=x(x-1)(x-3)\) folgen die Nullstellen \(x=0\), \(x=1\) und \(x=3\). Deshalb muss die Fläche an \(x=1\) in zwei Teilflächen zerlegt werden. 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac14x^4-\frac43x^3+\frac32x^2\). 3. Auf \([0;1]\) ist der Flächenbeitrag \(\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x=\frac5{12}\). 4. Auf \([1;3]\) ist der Flächenbeitrag \(\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x=-\frac83\). 5. Für den geometrischen Flächeninhalt werden die Beträge addiert: \(A=\frac5{12}+\frac83=\frac{37}{12}\).

\(A=\frac{37}{12}\,\text{FE}\approx3{,}083\,\text{FE}\)

- Wie findest du heraus, wo sich zwei Graphen schneiden? - Erinnere dich daran, wie man den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven berechnet. - Was sagt das Vorzeichen des bestimmten Integrals über die Lage der Graphen zueinander aus? - Teile das gesamte Intervall an den Schnittstellen in Teilintervalle auf.

1. Bestimmung der Schnittstellen durch Gleichsetzen: \(f(x) = g(x) \Leftrightarrow x^3 - 9x^2 + 23x - 15 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\), \(x_2 = 3\) und \(x_3 = 5\). 2. Aufstellen der Differenzfunktion \(h(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 9x^2 + 23x - 15\). 3. Berechnung des ersten Integrals im Intervall \([1; 3]\): \(\int_{1}^{3} (x^3 - 9x^2 + 23x - 15) \, dx = [\frac{1}{4}x^4 - 3x^3 + \frac{23}{2}x^2 - 15x]_{1}^{3} = -2{,}25 - (-6{,}25) = 4\). 4. Berechnung des zweiten Integrals im Intervall \([3; 5]\): \(\int_{3}^{5} (x^3 - 9x^2 + 23x - 15) \, dx = [\frac{1}{4}x^4 - 3x^3 + \frac{23}{2}x^2 - 15x]_{3}^{5} = -6{,}25 - (-2{,}25) = -4\). 5. Vergleich der Beträge: \(|4| = |-4|\). Beide Flächen haben einen Inhalt von \(4\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt beider Flächen beträgt jeweils \(4\,\text{FE}\).

- Welche Gleichung bestimmt die Extremstellen von \(f\)? - Wie entscheidest du mit der zweiten Ableitung, welche Extremstellen Hochpunkte sind? - Welche Steigung hat die Tangente in einem Hochpunkt? - Welche Schnittstellen von Graph und Tangente begrenzen die gesuchte Fläche?

1. Es ist \(f'(x)=-4x^3+4x\) und \(f''(x)=-12x^2+4\). 2. Aus \(f'(x)=0\) folgen die kritischen Stellen \(x=-1\), \(x=0\) und \(x=1\). Wegen \(f''(\pm1)=-8<0\) liegen bei \(x=\pm1\) lokale Hochpunkte vor. 3. Es gilt \(f(1)=f(-1)=4\). Die gemeinsame Tangente in den Hochpunkten ist daher die Gerade \(y=4\). 4. Aus \(-x^4+2x^2+3=4\) folgt \((x^2-1)^2=0\). Die Berührstellen sind \(x=-1\) und \(x=1\). 5. Der Flächeninhalt ist \(A=\int_{-1}^{1}(4-f(x))\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^{1}(x^4-2x^2+1)\,\mathrm{d}x=\frac{16}{15}\).

\(A=\frac{16}{15}\,\text{FE}\approx1{,}07\,\text{FE}\)

- Welche Gleichung liefert die kritischen Stellen? - Wie weist du mit der zweiten Ableitung den Hochpunkt nach? - Welche Form hat die Tangente in einem Extrempunkt? - Wo trifft diese Tangente den Graphen außer im Berührpunkt noch einmal?

1. Es ist \(f'(x)=3x^2-6x\) und \(f''(x)=6x-6\). 2. Aus \(f'(x)=0\) folgen die kritischen Stellen \(x=0\) und \(x=2\). Wegen \(f''(0)=-6<0\) liegt der lokale Hochpunkt bei \(x=0\). 3. Es ist \(f(0)=4\) und \(f'(0)=0\). Die Tangente im Hochpunkt lautet daher \(y=4\). 4. Aus \(x^3-3x^2+4=4\) folgt \(x^2(x-3)=0\). Neben dem Berührpunkt \(x=0\) liegt der zweite Schnittpunkt bei \(x=3\). 5. Auf \([0;3]\) liegt die Tangente über dem Graphen. Daher gilt \(A=\int_0^3(4-f(x))\,\mathrm{d}x=\int_0^3(-x^3+3x^2)\,\mathrm{d}x=\frac{27}{4}=6{,}75\).

\(A=6{,}75\,\text{FE}\)

- Erinnere dich an die Stammfunktion von Wurzelfunktionen. - Die vertikale Teilung erfordert das Lösen einer Gleichung nach der oberen Grenze \(k\). - Bei der waagerechten Teilung solltest du zuerst prüfen, ob die Trennlinie unterhalb des niedrigsten Punktes des Graphen liegt. - Wenn die Gerade unterhalb des Graphen liegt, ist die Fläche unter ihr einfach ein Rechteck.

1. Gesamtfläche: \(A = \int_{0}^{3} (x+1)^{\frac{1}{2}} \, dx = \left[ \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{3} = \frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3}\). 2. Bestimmung von \(k\): Es muss gelten \(\int_{0}^{k} (x+1)^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{7}{3}\). Dies führt zu \(\frac{2}{3}((k+1)^{\frac{3}{2}} - 1) = \frac{7}{3}\), also \((k+1)^{\frac{3}{2}} = 4{,}5\). Auflösen ergibt \(k = 4{,}5^{\frac{2}{3}} - 1 \approx 1{,}726\). 3. Bestimmung von \(c\): Da der minimale Funktionswert \(f(0) = 1\) ist, prüfen wir, ob die halbe Fläche (\(\frac{7}{3} \approx 2{,}33\)) bereits durch ein Rechteck unterhalb von \(y=1\) erreicht werden kann. Die Fläche des Rechtecks über \([0; 3]\) mit Höhe \(c\) ist \(3c\). 4. Lösen von \(3c = \frac{7}{3}\) ergibt \(c = \frac{7}{9} \approx 0{,}778\). Da dieser Wert kleiner als das Minimum der Funktion (\(1\)) ist, verläuft die Gerade vollständig unterhalb des Graphen und die Annahme des Rechtecks ist korrekt.

a) \(A = \frac{14}{3}\) b) \(k = \sqrt[3]{20{,}25} - 1 \approx 1{,}726\) c) \(c = \frac{7}{9} \approx 0{,}778\)

- Welche Gleichung bestimmt die kritischen Stellen der Funktion? - Wie erkennst du mit der zweiten Ableitung, welche davon Tiefpunkte sind? - Welche Gerade verbindet zwei Punkte mit derselben \(y\)-Koordinate \(0\)? - Nutze die Achsensymmetrie des Graphen bei der Flächenberechnung.

1. Es ist \(f'(x)=\frac34x^3-3x=\frac34x(x^2-4)\). Daher liegen kritische Stellen bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). 2. Mit \(f''(x)=\frac94x^2-3\) gilt \(f''(\pm2)=6>0\). Somit liegen bei \(x=\pm2\) lokale Tiefpunkte vor. 3. Es ist \(f(2)=f(-2)=0\). Die Verbindungsstrecke liegt daher auf der \(x\)-Achse. 4. Zwischen \(-2\) und \(2\) liegt der Graph oberhalb der \(x\)-Achse. Der Flächeninhalt ist deshalb \(A=\int_{-2}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x\). 5. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{3}{80}x^5-\frac12x^3+3x\). Damit ist \(A=F(2)-F(-2)=6{,}4\).

\(A=6{,}4\,\text{FE}\)

- Welche Ableitung liefert die Tangentensteigung bei \(x=3\)? - Welche Gleichung musst du lösen, um die zweite Schnittstelle von Tangente und Graph zu finden? - Welche Funktion liegt zwischen den Schnittstellen oberhalb der anderen?

1. Es ist \(f(3)=0\) und \(f'(x)=-3x^2+6x\), also \(f'(3)=-9\). Die Tangente lautet daher \(t(x)=-9(x-3)=-9x+27\). 2. Aus \(f(x)=t(x)\) folgt \((x-3)^2(x+3)=0\). Neben dem Berührpunkt \(x=3\) liegt der weitere Schnittpunkt bei \(x=-3\). 3. Auf \([-3;3]\) liegt die Tangente über dem Graphen. Daher ist \(A=\int_{-3}^{3}(t(x)-f(x))\,\mathrm{d}x=\int_{-3}^{3}(x^3-3x^2-9x+27)\,\mathrm{d}x=108\).

a) \(t(x)=-9x+27\) b) \(A=108\,\text{FE}\)

- Überlege dir, was die Betragsstriche für das Vorzeichen des Terms im Inneren bedeuten. - Wo ändert der Term \(x^2 - 4\) sein Vorzeichen? - In welchen Teilintervallen ist der Ausdruck positiv und in welchen negativ? - Nutze die Nullstelle, um das Integral so aufzuteilen, dass du die Betragsstriche jeweils weglassen oder durch ein Minuszeichen ersetzen kannst.

1. Untersuchung des Vorzeichens des Terms innerhalb des Betrags: Die Funktion \(g(x) = x^2 - 4\) hat im Intervall \([0; 3]\) eine Nullstelle bei \(x = 2\). 2. Für \(0 \leq x \leq 2\) ist \(x^2 - 4 \leq 0\), daher gilt \(|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2\). 3. Für \(2 < x \leq 3\) ist \(x^2 - 4 > 0\), daher gilt \(|x^2 - 4| = x^2 - 4\). 4. Aufspaltung des Integrals an der Stelle \(x = 2\): \(\int_{0}^{2} (4 - x^2) \, dx + \int_{2}^{3} (x^2 - 4) \, dx\). 5. Berechnung des ersten Teils: \([4x - \frac{1}{3}x^3]_0^2 = (8 - \frac{8}{3}) - 0 = \frac{16}{3}\). 6. Berechnung des zweiten Teils: \([\frac{1}{3}x^3 - 4x]_2^3 = (9 - 12) - (\frac{8}{3} - 8) = -3 - (-\frac{16}{3}) = \frac{7}{3}\). 7. Gesamtergebnis durch Addition: \(\frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3} = 7\frac{2}{3}\).

\(\frac{23}{3}\) oder \(7\frac{2}{3}\)

- Was zeigt dir die Differenz \(f(x)-g(x)\) über Schnittstellen und die Lage der beiden Graphen? - Welche Steigungen haben beide Graphen an der gemeinsamen Stelle? - Stelle den Flächeninhalt als Integral „oben minus unten“ dar.

1. Es gilt \(f(x)-g(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2\geq0\). Gleichheit gilt nur für \(x=1\), also haben die Graphen dort den gemeinsamen Punkt \((1\mid1)\) und wechseln ihre Lage nicht. Außerdem ist \(f'(1)=2=g'(1)\). Daher berühren sich die Graphen bei \((1\mid1)\). 2. Auf \([0;1]\) gilt wegen \((x-1)^2\geq0\), dass \(f\) oberhalb von \(g\) liegt. 3. Der Flächeninhalt ist \(A=\int_0^1(x-1)^2\,dx=\left[\frac{1}{3}x^3-x^2+x\right]_0^1=\frac{1}{3}\,\text{FE}\).

a) \(f(x)-g(x)=(x-1)^2\geq0\) mit Gleichheit nur bei \(x=1\), und \(f'(1)=g'(1)=2\); Berührpunkt \((1\mid1)\). b) \(\frac{1}{3}\,\text{FE}\)

- Beginne damit, die Schnittpunkte der beiden Graphen zu finden, um die Integrationsgrenzen festzulegen. - Welcher Graph liegt im Intervall zwischen den Schnittpunkten oben? - Du musst die Differenzfunktion \(g(x) - f(x)\) über dem gefundenen Intervall integrieren. - Nutze die Logarithmusregel für die Integration von \(\frac{1}{x}\).

1. Berechnung der Schnittstellen: \(\frac{4}{x} = 5 - x \implies x^2 - 5x + 4 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 4\). 2. Vergleich der Funktionswerte im Intervall \([1; 4]\): Da \(g(2) = 3 > f(2) = 2\), liegt der Graph von \(g\) über dem Graphen von \(f\). 3. Ansatz für den Flächeninhalt: \(A = \int_1^4 (g(x) - f(x)) \, dx = \int_1^4 (5 - x - \frac{4}{x}) \, dx\). 4. Bestimmung der Stammfunktion: \(H(x) = 5x - \frac{1}{2}x^2 - 4\ln|x|\). 5. Berechnung des Integrals: \(H(4) = 20 - 8 - 4\ln(4) = 12 - 4\ln(4)\) und \(H(1) = 5 - 0{,}5 - 4\ln(1) = 4{,}5\). 6. Differenz bilden: \(A = (12 - 4\ln(4)) - 4{,}5 = 7{,}5 - 4\ln(4)\). 7. Ergebnis: \(A = 7{,}5 - 8\ln(2) \approx 1{,}95\).

Der Flächeninhalt beträgt \(7{,}5 - 4\ln(4)\) (oder \(7{,}5 - 8\ln(2)\)), was etwa \(1{,}95\) Flächeneinheiten entspricht.

- Welche Gleichung müssen die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte erfüllen? - Welche Symmetrie besitzen beide Funktionen? - Wie kannst du nach den Schnittstellen feststellen, welcher Graph in einem Teilbereich oben liegt? - Wie kann die Symmetrie den Rechenaufwand verkleinern?

1. Aus \(x=x^3\) folgt \(x(x^2-1)=0\). Die Schnittstellen sind \(x=-1\), \(x=0\) und \(x=1\). Die Schnittpunkte sind \((-1\mid-1)\), \((0\mid0)\) und \((1\mid1)\). 2. Beide Funktionen sind ungerade. Wegen der Punktsymmetrie genügt \(A=2\int_0^1(x-x^3)\,dx\). 3. Es gilt \(A=2\left[\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}x^4\right]_0^1=\frac{1}{2}\,\text{FE}\).

1. \((-1\mid-1)\), \((0\mid0)\), \((1\mid1)\) 2. \(\frac{1}{2}\,\text{FE}\)

- Welche Bedingung erfüllen die Schnittpunkte der beiden Graphen? - Welche der beiden Funktionen liegt im eingeschlossenen Bereich oben? - Welche Information liefert dir die angegebene Stammfunktion für die Flächenberechnung?

1. Aus \(e^2x=xe^x\) folgt \(x(e^2-e^x)=0\). Damit sind \(x=0\) und \(x=2\) die Schnittstellen. 2. Im Intervall \([0;2]\) gilt \(f(x)\geq g(x)\). Daher ist \(A=\int_0^2(e^2x-xe^x)\,dx\). 3. Mit der angegebenen Stammfunktion erhält man \(A=\left[\frac{1}{2}e^2x^2-(x-1)e^x\right]_0^2=e^2-1\).

1. \(x=0\) und \(x=2\) 2. \(e^2-1\,\text{FE}\approx6{,}389\,\text{FE}\)

- Wann ist ein Bruch gleich null? - Welche Funktion musst du ableiten, um Teil b) zu prüfen? - Welches Vorzeichen hat \(g\) zwischen den beiden Achsenbegrenzungen? - Welche Logarithmengesetze helfen beim Vereinfachen des exakten Ergebnisses?

1. Ein Bruch ist genau dann null, wenn sein Zähler null ist. Aus \(e^x-3=0\) folgt \(e^x=3\) und damit \(x=\ln(3)\). 2. Es gilt \(G'(x)=2\frac{e^x}{e^x+3}-1=\frac{2e^x-(e^x+3)}{e^x+3}=\frac{e^x-3}{e^x+3}=g(x)\). Damit ist \(G\) eine Stammfunktion von \(g\). 3. Auf \([0;\ln(3)]\) gilt \(g(x)<0\). Daher ist der Flächeninhalt \(A=-\int_0^{\ln(3)}g(x)\,\mathrm{d}x=G(0)-G(\ln(3))\). 4. Es ist \(G(0)=2\ln(4)\) und \(G(\ln(3))=2\ln(6)-\ln(3)\). Somit folgt \(A=\ln\left(\frac43\right)\).

a) Ein Bruch ist null, wenn sein Zähler null ist. Aus \(e^x-3=0\) folgt \(x=\ln(3)\). Daher schneidet der Graph dort die \(x\)-Achse. b) \(G'(x)=2\frac{e^x}{e^x+3}-1=\frac{e^x-3}{e^x+3}=g(x)\). Also ist \(G\) eine Stammfunktion von \(g\). c) \(A=-\int_0^{\ln(3)}g(x)\,\mathrm{d}x=\ln\left(\frac43\right)\approx0{,}288\).

- Bestimme zuerst die Schnittstellen der beiden Funktionen, um die Grenzen der eingeschlossenen Flächen zu finden. - Wie kannst du rechnerisch überprüfen, welcher Graph in welchem Intervall oberhalb des anderen verläuft? - Überlege, wie du den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven mithilfe von bestimmten Integralen berechnen kannst. - Denke daran, dass Flächeninhalte immer positive Werte haben müssen. Was bedeutet das für die Reihenfolge der Funktionen im Integral? - Berechne die beiden Teilflächen einzeln und addiere sie am Ende zum Gesamtflächeninhalt.

1. Schnittstellen bestimmen: Durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen \(f(x) = g(x)\) erhält man die Gleichung \(x^3 - 2x = 2x\), was zu \(x^3 - 4x = 0\) bzw. \(x(x^2 - 4) = 0\) führt. Die Schnittstellen liegen somit bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). 2. Intervalle untersuchen: Die Graphen schließen im Intervall \([-2; 2]\) zwei Teilflächen ein. Im Intervall \([-2; 0]\) gilt \(f(x) \ge g(x)\) und im Intervall \([0; 2]\) gilt \(g(x) \ge f(x)\). 3. Teilflächen berechnen: - Erste Teilfläche im Intervall \([-2; 0]\): \(A_1 = \int_{-2}^0 (f(x) - g(x))\,\text{d}x = \int_{-2}^0 (x^3 - 4x)\,\text{d}x = \left[ \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 \right]_{-2}^0 = 0 - (4 - 8) = 4\) - Zweite Teilfläche im Intervall \([0; 2]\): \(A_2 = \int_0^2 (g(x) - f(x))\,\text{d}x = \int_0^2 (4x - x^3)\,\text{d}x = \left[ 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 \right]_0^2 = (8 - 4) - 0 = 4\) 4. Gesamtfläche berechnen: Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(A_{\text{gesamt}} = A_1 + A_2 = 4 + 4 = 8\).

Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(8\).

- Welche Gleichung liefert die Schnittstellen der beiden Graphen? - Welche Funktion liegt zwischen den Schnittstellen oberhalb der anderen? - In welcher Reihenfolge musst du die Funktionen im Flächenintegral subtrahieren? - Bestimme eine Stammfunktion der Differenzfunktion und setze die Grenzen ein.

1. Aus \(f(x)=g(x)\) folgt \(x^2-x-2=0\), also \(x=-1\) und \(x=2\). 2. Auf \([-1;2]\) liegt \(f\) oberhalb von \(g\). Daher ist \(A=\int_{-1}^{2}(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^{2}(-2x^2+2x+4)\,\mathrm{d}x\). 3. Eine Stammfunktion ist \(H(x)=-\frac23x^3+x^2+4x\). 4. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(A=H(2)-H(-1)=9\).

\(A=9\,\text{FE}\)

- Wie hängen die Eckpunkte des Dreiecks mit den Nullstellen und dem Scheitelpunkt der Funktion zusammen? - Erinnere dich daran, wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet, wenn die Grundseite und die Höhe bekannt sind. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, den exakten Flächeninhalt unter einer Kurve zu berechnen? Denke an die Grenzen der Fläche. - Wenn du beide Flächeninhalte berechnet hast, wie kannst du das Verhältnis des kleineren zum größeren Wert bestimmen und als Prozentsatz ausdrücken?

1. Nullstellen von \(f(x) = 4 - x^2\) durch Nullsetzen bestimmen: \(4 - x^2 = 0 \implies x = \pm 2\). Somit sind die Nullstellen \(N_1(-2 \mid 0)\) und \(N_2(2 \mid 0)\). Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(0 \mid 4)\). 2. Der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet sich mit der Grundseite \(g = 4\) (Abstand der Nullstellen) und der Höhe \(h = 4\) (\(y\)-Koordinate des Scheitelpunktes) zu \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\). 3. Der Flächeninhalt der von der Parabel und der \(x\)-Achse eingeschlossenen Fläche wird über das bestimmte Integral berechnet: \(A_{\text{Gesamt}} = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, \mathrm{d}x = \left[ 4x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-2}^{2} = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = \frac{16}{3} - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{32}{3}\). 4. Das Verhältnis der Flächeninhalte bestimmen: \(\frac{A_{\text{Dreieck}}}{A_{\text{Gesamt}}} = \frac{8}{\frac{32}{3}} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4} = 75\,\%\).

a) Nullstellen bei \(N_1(-2 \mid 0)\) und \(N_2(2 \mid 0)\), Scheitelpunkt bei \(S(0 \mid 4)\). Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(A_{\text{Dreieck}} = 8\). b) Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt \(A_{\text{Gesamt}} = \frac{32}{3} \approx 10{,}67\). c) Das Dreieck nimmt einen Anteil von genau \(75\,\%\) der Gesamtfläche ein.

- Welche Form der Parabelgleichung nutzt den gegebenen Scheitelpunkt unmittelbar? - Wie bestimmt der Punkt \(P\) den noch unbekannten Parameter der Parabel? - Welche Ableitung liefert die Tangentensteigung in \(P\)? - Welche beiden \(x\)-Werte begrenzen die eingeschlossene Fläche?

1. Mit der Scheitelpunktform \(f(x)=a(x-2)^2+3\) und \(P(4\mid1{,}5)\) folgt \(1{,}5=4a+3\), also \(a=-0{,}375\). Damit ist \(f(x)=-0{,}375(x-2)^2+3\). 2. Die erste Ableitung lautet \(f'(x)=-0{,}75(x-2)\). Daher ist die Tangentensteigung \(f'(4)=-1{,}5\), also \(t(x)=-1{,}5x+7{,}5\). 3. Auf \([0;4]\) liegt \(t\) oberhalb von \(f\). Die Differenz vereinfacht sich zu \(t(x)-f(x)=0{,}375(x-4)^2\). 4. Somit ist \(A=\int_0^4 0{,}375(x-4)^2\,\mathrm{d}x=8\).

a) \(f(x)=-0{,}375(x-2)^2+3\), \(t(x)=-1{,}5x+7{,}5\) b) \(A=8\,\text{FE}\)

- An welcher Stelle wechselt die untere Begrenzung der markierten Fläche? - Welche beiden Graphen begrenzen die linke Teilfläche, welche die rechte? - Wie lassen sich die beiden markierten Teilflächen jeweils durch ein bestimmtes Integral beschreiben?

1. Für die linke Teilfläche sind die relevanten Schnittstellen \(f=h\) bei \(x=-2\) und \(g=h\) bei \(x=-1\). Für die rechte Teilfläche ist die weitere Schnittstelle \(f=g\) bei \(x=2\). 2. Auf \([-2;-1]\) liegt \(f\) oberhalb von \(h\). Daher ist \(A_1=\int_{-2}^{-1}(f(x)-h(x))\,dx=\int_{-2}^{-1}(-x^2+3x+10)\,dx=\frac{19}{6}\). 3. Auf \([-1;2]\) liegt \(f\) oberhalb von \(g\). Daher ist \(A_2=\int_{-1}^{2}(f(x)-g(x))\,dx=\int_{-1}^{2}(-x^2-x+6)\,dx=\frac{27}{2}\). 4. Insgesamt gilt \(A=A_1+A_2=\frac{50}{3}\,\text{FE}\).

\(\frac{50}{3}\,\text{FE}\approx16{,}67\,\text{FE}\)

- Kannst du beschreiben, wie die Fläche im Koordinatensystem liegt? Verläuft sie ganz oberhalb, ganz unterhalb oder aufgeteilt? - Wie hängen die Nullstellen der Funktion mit den Integrationsgrenzen zusammen? - Was musst du beachten, wenn ein Teil des Graphen unterhalb der \(x\)-Achse liegt und du den tatsächlichen Flächeninhalt berechnen möchtest? - Wie unterscheidet sich die Flächenbilanz (das Integral über das gesamte Intervall) vom tatsächlichen Flächeninhalt? - Welche Rechenschritte sind nötig, um ein bestimmtes Integral mithilfe einer Stammfunktion zu berechnen?

1. Bestimmung der Integrationsgrenzen durch Ermittlung der Nullstellen von \(f(x) = -0{,}5x^3 + 0{,}5x^2 + x = 0\). Ausklammern liefert \(-0{,}5x(x^2 - x - 2) = 0\), woraus sich die Nullstellen bei \(x_1 = -1\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\) ergeben. Das Intervall \([-1; 2]\) wird somit bei \(x = 0\) unterteilt. 2. Bestimmung des Vorzeichens im jeweiligen Teilintervall: - Im Intervall \([-1; 0]\) verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse (\(f(x) \le 0\)). - Im Intervall \([0; 2]\) verläuft der Graph oberhalb der \(x\)-Achse (\(f(x) \ge 0\)). 3. Aufstellen der Integrale für den gesamten Flächeninhalt \(A\): \(A = -\int_{-1}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x\) Alternativ: \(A = \int_{-1}^{0} -f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x\) oder \(A = \left|\int_{-1}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x\right| + \int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x\). 4. Bestimmung einer Stammfunktion \(F\) von \(f\): \(F(x) = -\frac{1}{8}x^4 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x^2\) 5. Berechnung des ersten Teilintegrals \(I_1\): \(I_1 = \int_{-1}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x = F(0) - F(-1) = 0 - \left(-\frac{1}{8}(-1)^4 + \frac{1}{6}(-1)^3 + \frac{1}{2}(-1)^2\right) = -\left(-\frac{1}{8} - \frac{1}{6} + \frac{1}{2}\right) = -\frac{5}{24}\) Der Flächeninhalt des ersten Teils beträgt somit \(A_1 = |I_1| = \frac{5}{24}\). 6. Berechnung des zweiten Teilintegrals \(I_2\): \(I_2 = \int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x = F(2) - F(0) = \left(-\frac{1}{8}(2)^4 + \frac{1}{6}(2)^3 + \frac{1}{2}(2)^2\right) - 0 = -2 + \frac{4}{3} + 2 = \frac{4}{3} = \frac{32}{24}\) Der Flächeninhalt des zweiten Teils beträgt somit \(A_2 = \frac{32}{24}\). 7. Berechnung des Gesamtflächeninhalts durch Addition: \(A = A_1 + A_2 = \frac{5}{24} + \frac{32}{24} = \frac{37}{24}\)

a) \(A = -\int_{-1}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{0}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x\) (oder eine äquivalente Darstellung mit Beträgen) b) \(A = \frac{37}{24}\)

- Welche Gleichung liefert die Schnittpunkte der beiden Graphen? - In welchen Teilintervallen wechselt die obere Funktion? - Berechne beide Teilflächen getrennt mit „obere Funktion minus untere Funktion“.

1. Aus \(f(x)=g(x)\) folgt \(-x^3+3x^2-2x=0\), also \(-x(x-1)(x-2)=0\). Die Schnittpunkte sind \((0\mid0)\), \((1\mid2)\) und \((2\mid4)\). 2. Auf \([0;1]\) liegt \(g\) oberhalb von \(f\). Daher ist \(A_1=\int_0^1(g(x)-f(x))\,\mathrm{d}x=\frac14\). 3. Auf \([1;2]\) liegt \(f\) oberhalb von \(g\). Daher ist \(A_2=\int_1^2(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x=\frac14\). 4. Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(A=A_1+A_2=\frac12\,\text{FE}\).

a) \((0\mid0)\), \((1\mid2)\), \((2\mid4)\) b) \(A=0{,}5\,\text{FE}\)

- Wenn sich Graphen mehrmals schneiden, musst du die Fläche in Teilintervalle zerlegen. - Wie verhalten sich die Funktionen in den einzelnen Abschnitten? Welche ist jeweils „oben“? - Du kannst für jedes Intervall den Betrag des Integrals der Differenzfunktion nehmen, damit alle Teilflächen positiv addiert werden.

1. Schnittstellen bestimmen: \(x^3 - 4x = x^2 - 4 \Rightarrow x^3 - x^2 - 4x + 4 = 0\). Durch Ausklammern: \(x^2(x - 1) - 4(x - 1) = 0 \Rightarrow (x^2 - 4)(x - 1) = 0\). Die Schnittstellen sind \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). 2. Intervalle festlegen: Es ergeben sich zwei Teilflächen über \([-2; 1]\) und \([1; 2]\). 3. Integral für die erste Fläche (\([-2; 1]\)): \(A_1 = \int_{-2}^1 (x^3 - x^2 - 4x + 4) \, dx = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x]_{-2}^1 = (\frac{1}{4} - \frac{1}{3} - 2 + 4) - (4 + \frac{8}{3} - 8 - 8) = \frac{23}{12} - (-\frac{28}{3}) = \frac{23}{12} + \frac{112}{12} = \frac{135}{12} = 11{,}25\). 4. Integral für die zweite Fläche (\([1; 2]\)): \(A_2 = |\int_1^2 (x^3 - x^2 - 4x + 4) \, dx| = |[\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x]_1^2| = |(4 - \frac{8}{3} - 8 + 8) - \frac{23}{12}| = |\frac{4}{3} - \frac{23}{12}| = |\frac{16}{12} - \frac{23}{12}| = |-\frac{7}{12}| = \frac{7}{12}\). 5. Gesamtfläche: \(A_{ges} = 11{,}25 + \frac{7}{12} = \frac{135}{12} + \frac{7}{12} = \frac{142}{12} = \frac{71}{6} \approx 11{,}83\).

Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(\frac{71}{6} \approx 11{,}83\,\text{FE}\).

- Welche Bedingung an die erste Ableitung kennzeichnet einen Hochpunkt? - Prüfe beim Ableiten der vorgegebenen Stammfunktion die Produktregel sorgfältig. - Warum entspricht das bestimmte Integral hier direkt einem geometrischen Flächeninhalt?

1. Es gilt \(g'(x)=(10-2x)e^{-0{,}2x}\). Da der Exponentialfaktor positiv ist, gilt \(g'(x)=0\) genau für \(x=5\). Links davon ist \(g'>0\), rechts davon \(g'<0\); somit liegt dort der Gipfel. Es ist \(g(5)=50e^{-1}=\frac{50}{e}\,\text{m}\). 2. Für die angegebene Funktion gilt \(G'(x)=-50e^{-0{,}2x}+10(x+5)e^{-0{,}2x}=10xe^{-0{,}2x}=g(x)\). 3. Da \(g(x)\geq0\) auf \([0;15]\), ist der Flächeninhalt \(A=\int_0^{15}g(x)\,\mathrm{d}x=G(15)-G(0)=250-1000e^{-3}\,\text{m}^2\).

a) \(H\left(5\mid\frac{50}{e}\right)\) b) \(G'(x)=-50e^{-0{,}2x}+10(x+5)e^{-0{,}2x}=10xe^{-0{,}2x}=g(x)\). Damit ist \(A=250-1000e^{-3}\,\text{m}^2\).

- Welche Symmetrie besitzt der Querschnitt bezüglich der \(x\)-Achse? - Wie kannst du \(\sqrt{x}(4-x)\) als Summe von Potenzen von \(x\) schreiben? - Berechne zunächst die obere Hälfte und nutze anschließend die Symmetrie.

1. Wegen der Symmetrie zur \(x\)-Achse ist der gesamte Flächeninhalt \(A=2\int_0^4f(x)\,\mathrm{d}x\). 2. Es ist \(f(x)=2x^{1/2}-0{,}5x^{3/2}\). Eine Stammfunktion lautet \(F(x)=\frac43x^{3/2}-\frac15x^{5/2}\). 3. Damit gilt \(A=2[F(x)]_0^4=2\left(\frac{32}{3}-\frac{32}{5}\right)=\frac{128}{15}\,\text{dm}^2\).

\(A=\frac{128}{15}\,\text{dm}^2\)

- Überlege dir für jeden Teil der Abbildung, welche beiden Linien die gesuchte Fläche begrenzen. - Setze die markierten Teilflächen wie Puzzleteile zur gesuchten Fläche zusammen. - Prüfe, ob du eine Teilfläche addieren oder weglassen musst.

1. Fläche I erstreckt sich über das gesamte Intervall \([-2;0]\) zwischen den beiden Graphen. Im linken Teil ist dies \(A_1\), im rechten Teil \(A_4\). Daher gilt \(\text{Fläche I}=A_1+A_4\). 2. Fläche II besteht links aus \(A_2\) und rechts aus \(A_3+A_4\). Daher gilt \(\text{Fläche II}=A_2+A_3+A_4\). 3. Fläche III ist die Dreiecksfläche unter dem Graphen von \(g\) von \(x=-2\) bis \(x=0\). Sie setzt sich aus \(A_1+A_2\) im linken Teil und \(A_3\) im rechten Teil zusammen. Daher gilt \(\text{Fläche III}=A_1+A_2+A_3\).

- Fläche I \(=A_1+A_4\) - Fläche II \(=A_2+A_3+A_4\) - Fläche III \(=A_1+A_2+A_3\)

- Wo wechselt der Kosinus im dargestellten Intervall sein Vorzeichen? - Warum muss der geometrische Flächeninhalt an dieser Stelle aufgeteilt werden? - Wie behandelst du den negativen Integralwert des zweiten Teilintervalls?

1. Im Intervall \([0;\pi]\) liegt die Nullstelle bei \(x=\frac{\pi}{2}\). 2. Auf \([0;\frac{\pi}{2}]\) ist der Flächeninhalt \(A_1=\int_0^{\pi/2}\cos(x)\,dx=1\). 3. Auf \([\frac{\pi}{2};\pi]\) liegt der Graph unterhalb der Achse; der Flächeninhalt ist \(A_2=\left|\int_{\pi/2}^{\pi}\cos(x)\,dx\right|=1\). 4. Insgesamt gilt \(A=A_1+A_2=2\,\text{FE}\).

\(2\,\text{FE}\)

- Bestimme zuerst selbst die Nullstellen im vorgegebenen Intervall. - Auf welchen Teilintervallen liegt der Graph oberhalb beziehungsweise unterhalb der \(x\)-Achse? - Wie müssen negative Teilintegrale behandelt werden, wenn ein geometrischer Flächeninhalt gesucht ist?

1. Aus \((x-1)^2-1=0\) folgen die Nullstellen \(x=0\) und \(x=2\). 2. Auf \([0;2]\) liegt der Graph unterhalb der \(x\)-Achse. Mit einer Stammfunktion \(F(x)=\frac13(x-1)^3-x\) ergibt sich der Flächeninhalt \(A_1=\left|F(2)-F(0)\right|=\frac43\). 3. Auf \([2;3]\) liegt der Graph oberhalb der \(x\)-Achse. Es ist \(A_2=F(3)-F(2)=\frac43\). 4. Der Gesamtflächeninhalt ist \(A=\frac83\,\text{FE}\).

\(A=\frac83\,\text{FE}\approx2{,}67\,\text{FE}\)

- Bestimme zuerst selbst, wo \(f\) im Intervall sein Vorzeichen wechselt. - Wie kannst du die Wurzel als Potenz schreiben? - Wie wird der negative Teilintegralwert in einen geometrischen Flächeninhalt überführt?

1. Aus \(2-\sqrt{x}=0\) folgt die Nullstelle \(x=4\). 2. Auf \([0;4]\) liegt der Graph oberhalb der \(x\)-Achse. Mit \(F(x)=2x-\frac23x^{3/2}\) ergibt sich \(A_1=F(4)-F(0)=\frac83\). 3. Auf \([4;9]\) liegt der Graph unterhalb der \(x\)-Achse. Dort ist \(A_2=\left|F(9)-F(4)\right|=\frac83\). 4. Insgesamt beträgt der geometrische Flächeninhalt \(A=\frac{16}{3}\,\text{FE}\).

\(A=\frac{16}{3}\,\text{FE}\approx5{,}33\,\text{FE}\)

- Wo hat die Exponentialfunktion \(e^x - 1\) ihren Schnittpunkt mit der x-Achse? - Wie berechnest du den Flächeninhalt, wenn der Graph sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse verläuft? - Nutze die Eigenschaften der Stammfunktion von \(e^x\).

1. Bestimmung der Nullstelle: \(e^x - 1 = 0 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x = 0\). 2. Aufteilung des Integrals an der Nullstelle \(x = 0\): Teilflächen auf \([-1; 0]\) und \([0; 1]\). 3. Berechnung der Teilfläche \(A_1\) auf \([-1; 0]\): \(A_1 = |\int_{-1}^{0} (e^x - 1) \, dx| = |[e^x - x]_{-1}^{0}| = |(e^0 - 0) - (e^{-1} - (-1))| = |1 - (e^{-1} + 1)| = |-e^{-1}| = \frac{1}{e}\). 4. Berechnung der Teilfläche \(A_2\) auf \([0; 1]\): \(A_2 = \int_{0}^{1} (e^x - 1) \, dx = [e^x - x]_{0}^{1} = (e^1 - 1) - (e^0 - 0) = e - 1 - 1 = e - 2\). 5. Gesamtflächeninhalt: \(A = A_1 + A_2 = \frac{1}{e} + e - 2 \approx 0{,}368 + 2{,}718 - 2 = 1{,}086\).

Der Flächeninhalt beträgt \(e + \frac{1}{e} - 2 \approx 1{,}086\) Flächeneinheiten.

- Wo schneidet \(\ln(x)\) die \(x\)-Achse? - Prüfe durch Ableiten, warum die vorgegebene Funktion tatsächlich eine Stammfunktion ist. - Wie müssen die Integralwerte links und rechts der Nullstelle für den geometrischen Flächeninhalt behandelt werden?

1. Es gilt \(F'(x)=\ln(x)+1-1=\ln(x)=f(x)\). 2. Die Nullstelle von \(f\) ist \(x=1\). Auf \([\frac1e;1]\) ist \(f<0\), auf \([1;e]\) ist \(f>0\). 3. Für den linken Flächeninhalt gilt \(A_1=\left|F(1)-F(\frac1e)\right|=1-\frac2e\). 4. Für den rechten Flächeninhalt gilt \(A_2=F(e)-F(1)=1\). 5. Daher ist \(A=A_1+A_2=2-\frac2e\,\text{FE}\).

\(A=2-\frac2e\,\text{FE}\approx1{,}264\,\text{FE}\)

- Welches Vorzeichen hat die Sinusfunktion im gesamten gegebenen Intervall? - Welche Stammfunktion gehört zu \(2\sin(x)\)? - Wie lassen sich Grundseite und Höhe des Dreiecks aus den Punkten bestimmen? - Welches Verhältnis liefert den prozentual bedeckten Anteil?

1. Der Graph liegt auf \([0;\pi]\) oberhalb der \(x\)-Achse. Mit der Stammfunktion \(G(x)=-2\cos(x)\) folgt \(A=\int_0^{\pi}2\sin(x)\,\mathrm{d}x=4\,\text{m}^2\). 2. Das Dreieck hat Grundseite \(\pi\,\text{m}\) und Höhe \(2\,\text{m}\). Daher ist \(A_{\triangle}=\pi\,\text{m}^2\). 3. Der Anteil beträgt \(\frac{\pi}{4}\), also \(25\pi\,\%\).

a) \(4\,\text{m}^2\) b) \(A_{\triangle}=\pi\,\text{m}^2\); Anteil \(25\pi\,\%\)

- Welche erste Ableitung liefert jeweils die Tangentensteigung? - Welche zusätzliche Begrenzung legt in a) die linke Integrationsgrenze fest? - Welche Nullstellen von Funktion und Tangente sind in b) für die Flächenzerlegung relevant? - Prüfe jeweils, welche Begrenzung oben und welche unten liegt.

1. Zu a): \(f'(x)=2x\), also \(f'(2)=4\). Die Tangente lautet \(t(x)=4x-3\). Damit ist \(f(x)-t(x)=(x-2)^2\), also \(A=\int_0^2(x-2)^2\,\mathrm{d}x=\frac83\). 2. Zu b): \(f'(x)=-\frac8{x^3}\), also \(f'(1)=-8\). Die Tangente lautet \(t(x)=-8x+11\). 3. Der Graph von \(f\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=2\), die Tangente bei \(x=\frac{11}{8}\). Der Flächeninhalt ist \(A=\int_1^2\left(\frac4{x^2}-1\right)\,\mathrm{d}x-\int_1^{11/8}(-8x+11)\,\mathrm{d}x=1-\frac9{16}=\frac7{16}\).

a) \(A=\frac83\,\text{FE}\) b) \(A=\frac7{16}\,\text{FE}\)

- Prüfe in jedem genannten Intervall zuerst die Lage der beteiligten Graphen. - Ein geometrischer Flächeninhalt muss positiv sein, auch wenn ein bestimmtes Integral negativ sein kann. - Bei zwei Graphen entscheidet ihre Reihenfolge darüber, welche Differenz „obere Funktion minus untere Funktion“ lautet.

1. Aussage (1) ist korrekt. Auf \([0;2]\) liegt \(G_f\) oberhalb der \(x\)-Achse, daher entspricht das Integral dem Flächeninhalt. 2. Aussage (2) ist korrekt. Auf \([2;\sqrt{10}]\) liegt \(G_f\) oberhalb von \(G_g\), daher ist „oben minus unten“ gleich \(f-g\). 3. Aussage (3) ist falsch. Auf \([0;2]\) liegt \(G_g\) unterhalb der \(x\)-Achse, daher ist das Integral negativ. Korrekt ist zum Beispiel \(A=-\int_0^2 g(x)\,\mathrm{d}x\). 4. Aussage (4) ist falsch. Auf \([\sqrt{10};4]\) liegt \(G_g\) oberhalb von \(G_f\). Korrekt ist \(A=\int_{\sqrt{10}}^4(g(x)-f(x))\,\mathrm{d}x\).

(1) korrekt: Auf \([0;2]\) liegt \(f\) oberhalb der \(x\)-Achse. (2) korrekt: Auf \([2;\sqrt{10}]\) liegt \(f\) oberhalb von \(g\). (3) falsch: Auf \([0;2]\) liegt \(g\) unterhalb der \(x\)-Achse; \(\int_0^2g(x)\,\mathrm{d}x\) ist deshalb eine negative Flächenbilanz. Korrekt ist zum Beispiel \(A=-\int_0^2g(x)\,\mathrm{d}x\). (4) falsch: Auf \([\sqrt{10};4]\) liegt \(g\) oberhalb von \(f\); die Differenz ist vertauscht. Korrekt ist \(A=\int_{\sqrt{10}}^4(g(x)-f(x))\,\mathrm{d}x\).

- Welche erste Ableitung liefert die Tangentensteigung in \(P\)? - Welche Gerade bildet die linke Begrenzung der Fläche? - Welche Funktion liegt zwischen \(x=0\) und \(x=4\) oben?

1. Die erste Ableitung ist \(f'(x)=\frac14x\). Im Punkt \(P\) ist die Steigung daher \(f'(4)=1\), also lautet die Tangente \(t(x)=x\). 2. Zwischen \(x=0\) und \(x=4\) liegt \(f\) oberhalb der Tangente. 3. Damit ist \(A=\int_0^4\left(\frac18x^2+2-x\right)\,\mathrm{d}x=\frac83\).

\(A=\frac83\,\text{FE}\approx2{,}67\,\text{FE}\)

- Welche erste Ableitung liefert die Tangentensteigung bei \(x=3\)? - Welche Funktion liegt im Intervall \([1;3]\) oberhalb der anderen? - Kannst du die Differenz der beiden Funktionsterme als Quadrat schreiben?

1. Es ist \(f'(x)=-2x+4\), also \(f'(3)=-2\). Mit \(Q(3\mid3)\) folgt \(t(x)=-2x+9\). 2. Auf \([1;3]\) gilt \(t(x)-f(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2\ge0\). 3. Daher ist \(A=\int_1^3(x-3)^2\,\mathrm{d}x=\frac83\).

\(A=\frac83\,\text{FE}\approx2{,}67\,\text{FE}\)

- Wenn ein Graph die \(x\)-Achse schneidet, musst du das Integral an der Nullstelle aufteilen. - Überlege, warum man nicht einfach das Integral von \(-2\) bis \(2\) berechnen darf, um die Gesamtfläche zu erhalten. - Berechne die Inhalte der einzelnen Flächenstücke separat und addiere ihre Beträge.

1. Nullstellenberechnung von \(p(x) = x^3 - 4x\): \(x(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 0, x_3 = 2\). 2. Aufteilung in zwei Teilflächen: \(A_1\) von \(-2\) bis \(0\) und \(A_2\) von \(0\) bis \(2\). 3. Stammfunktion bilden: \(P(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2\). 4. Berechnung der ersten Teilfläche (über der \(x\)-Achse): \(A_1 = \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) \, dx = [0] - (\frac{1}{4}(-2)^4 - 2(-2)^2) = 0 - (4 - 8) = 4\). 5. Berechnung der zweiten Teilfläche (unter der \(x\)-Achse): \(A_2 = \left| \int_{0}^{2} (x^3 - 4x) \, dx \right| = \left| (\frac{1}{4}(2)^4 - 2(2)^2) - [0] \right| = |4 - 8| = 4\). 6. Gesamtfläche: \(A = A_1 + A_2 = 4 + 4 = 8\).

Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(8\).

- Überlege zuerst, an welchen Stellen sich die beiden Graphen schneiden. - Welcher Graph liegt im betrachteten Intervall oberhalb des anderen? - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen mithilfe eines Integrals? - Denke beim Integrieren der Wurzelfunktion an die Potenzschreibweise.

1. Berechnung der Schnittstellen durch Gleichsetzen: \(\sqrt{x + 1} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\). Quadrieren führt zu \(x + 1 = \frac{1}{4}(x + 1)^2\), woraus die Schnittstellen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\) folgen. 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt: \(A = \int_{-1}^{3} (\sqrt{x + 1} - (\frac{1}{2}x + \frac{1}{2})) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{2}{3}(x + 1)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x\). 4. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = [F(3)] - [F(-1)] = (\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{9}{4} - \frac{6}{4}) - (0 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}) = (\frac{16}{3} - \frac{15}{4}) - \frac{1}{4} = \frac{64 - 45 - 3}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\). Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{4}{3} \approx 1{,}33\) Flächeneinheiten.

Der Inhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt \(\frac{4}{3} \approx 1{,}33\) Flächeneinheiten.

- Prüfe, ob derselbe Graph im gesamten Intervall oben liegt. - An welcher Schnittstelle wechselt die Reihenfolge der beiden Funktionen? - Teile den Flächeninhalt dort in zwei Integrale auf und verwende jeweils „oben minus unten“. - Die beiden Teilflächen besitzen eine Symmetrie, die die Rechnung verkürzen kann.

1. Die Graphen schneiden sich im betrachteten Intervall bei \(x=-1\), \(x=0\) und \(x=1\). Bei \(x=0\) wechselt die Reihenfolge der Graphen. 2. Auf \([-1;0]\) liegt \(g\) oberhalb von \(f\), auf \([0;1]\) liegt \(f\) oberhalb von \(g\). Ein einziges Integral mit unveränderter Reihenfolge würde deshalb eine Flächenbilanz statt des geometrischen Gesamtflächeninhalts liefern. 3. Daher gilt \(A=\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{1}(x-x^3)\,\mathrm{d}x\). 4. Wegen der Symmetrie sind beide Teilflächen gleich groß. Es folgt \(A=2\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=2\left(\frac12-\frac14\right)=\frac12\).

Nein. Ein korrekter Ansatz ist \(A=\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{1}(x-x^3)\,\mathrm{d}x\), und der Flächeninhalt beträgt \(\frac12\,\text{FE}\).

- Welche Funktion bildet links vom Ursprung die untere Begrenzung, welche rechts davon? - Ein Wechsel der Randfunktion ist ein Grund, den Integralansatz zu teilen. - Verwende auf jedem Teilintervall „oberer Graph minus unterer Graph“.

1. Die obere Begrenzung ist im gesamten Bereich \(h(x)=2\). Die untere Begrenzung wechselt bei \(x=0\): Auf \([-2;0]\) ist sie \(f(x)=-x\), auf \([0;2]\) ist sie \(g(x)=x\). 2. Deshalb muss der Flächeninhalt an \(x=0\) geteilt werden: \(A=\int_{-2}^{0}(2-(-x))\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{2}(2-x)\,\mathrm{d}x\). 3. Der erste Anteil ist \(\left[2x+\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^{0}=2\), der zweite \(\left[2x-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2}=2\). 4. Insgesamt beträgt der Flächeninhalt \(A=4\,\text{FE}\).

\(A=\int_{-2}^{0}(2+x)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{2}(2-x)\,\mathrm{d}x=4\,\text{FE}\)

- Wie findet man die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse berührt oder schneidet? - Könnte eine Ersetzung (Substitution) helfen, die Nullstellen einfacher zu berechnen? - Erinnere dich an die Potenzschreibweise von Wurzeln, um die Stammfunktion leichter zu finden. - Warum ist es wichtig, am Ende den Betrag des Integrals zu nehmen?

1. Nullstellen bestimmen: Die Gleichung \(x - 4\sqrt{x} + 3 = 0\) wird mit der Substitution \(u = \sqrt{x}\) zu \(u^2 - 4u + 3 = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 3\). Durch Rücksubstitution ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 9\). 2. Stammfunktion bestimmen: \(F(x) = \int (x - 4x^{\frac{1}{2}} + 3) \, dx = \frac{1}{2}x^2 - \frac{4}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} + 3x = \frac{1}{2}x^2 - \frac{8}{3}x\sqrt{x} + 3x\). 3. Bestimmtes Integral im Intervall \([1; 9]\) berechnen: \(F(9) = \frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{8}{3} \cdot 9 \cdot 3 + 3 \cdot 9 = 40{,}5 - 72 + 27 = -4{,}5\). \(F(1) = \frac{1}{2} - \frac{8}{3} + 3 = \frac{3 - 16 + 18}{6} = \frac{5}{6}\). \(I = F(9) - F(1) = -4{,}5 - \frac{5}{6} = -\frac{27}{6} - \frac{5}{6} = -\frac{32}{6} = -\frac{16}{3}\). 4. Der Flächeninhalt ist der Betrag des Integrals: \(A = |-\frac{16}{3}| = \frac{16}{3}\).

Der Inhalt der Fläche beträgt \(\frac{16}{3}\) (ca. \(5{,}33\)) Flächeneinheiten.

- Bestimme zuerst alle Schnittstellen der beiden Graphen. - Welche Symmetrie besitzen beide Funktionen? - Prüfe auf einem der begrenzten Intervalle, welcher Graph oben liegt.

1. Aus \(\frac{4}{x^2}=5-x^2\) folgt \(x^4-5x^2+4=0\). Mit \(u=x^2\) erhält man \(u^2-5u+4=0\), also \(u=1\) oder \(u=4\). Damit sind die Schnittstellen bei \(x=-2,-1,1,2\). 2. Beide Funktionen sind achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Daher genügt es, die Fläche auf \([1;2]\) zu berechnen und zu verdoppeln. 3. Auf \([1;2]\) gilt \(g(x)\ge f(x)\). Eine Stammfunktion von \(g-f=5-x^2-4x^{-2}\) ist \(D(x)=5x-\frac13x^3+\frac4x\). 4. Es ist \(\int_1^2(g(x)-f(x))\,\text{d}x=D(2)-D(1)=\frac23\). Der Gesamtflächeninhalt beträgt daher \(2\cdot\frac23=\frac43\).

Der Gesamtinhalt der beiden Flächen beträgt \(\frac43\,\text{FE}\).

- Bestimme zunächst die Tangentengleichung und die Nullstellen beider Funktionen. - Achte darauf, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt. - Überlege dir, welche Funktion die Fläche nach oben oder unten begrenzt. - Ein Koordinatensystem kann helfen, die Integrationsgrenzen richtig zu setzen.

1. Bestimmung der Tangente \(t\) an der Stelle \(x_0 = 1\): \(f(1) = \sqrt{1} - 2 = -1\). Ableitung \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\), also \(f'(1) = 0{,}5\). Tangentengleichung: \(t(x) = 0{,}5(x - 1) - 1 = 0{,}5x - 1{,}5\). 2. Bestimmung der Nullstellen: Nullstelle von \(f\): \(\sqrt{x} - 2 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x_f = 4\). Nullstelle von \(t\): \(0{,}5x - 1{,}5 = 0 \Rightarrow 0{,}5x = 1{,}5 \Rightarrow x_t = 3\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: Da die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse liegt, betrachten wir die Beträge der Integrale. Die Fläche zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse im Intervall \([1; 4]\) ist: \(A_f = \left| \int_{1}^{4} (\sqrt{x} - 2) \, dx \right| = \left| \left[ \frac{2}{3}x^{1{,}5} - 2x \right]_{1}^{4} \right| = \left| (\frac{16}{3} - 8) - (\frac{2}{3} - 2) \right| = \left| -\frac{8}{3} + \frac{4}{3} \right| = \frac{4}{3}\). Die Fläche zwischen der Tangente \(t\) und der \(x\)-Achse im Intervall \([1; 3]\) (ein Dreieck) ist: \(A_t = \left| \int_{1}^{3} (0{,}5x - 1{,}5) \, dx \right| = \frac{1}{2} \cdot (3 - 1) \cdot |-1| = 1\). Der gesuchte Flächeninhalt ist die Differenz dieser Flächenstücke: \(A = A_f - A_t = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{1}{3} \, \text{FE}\).

- Welche Gleichungen beschreiben die Nullstellen und die Schnittpunkte mit \(g\)? - Skizziere die vier Begrenzungen und markiere die in a) gefundenen Stellen. - Wo ändert sich auf der linken Seite die untere Begrenzung der gesuchten Fläche? - Wie kannst du die entstehenden Teilflächen berechnen und anschließend zusammenfassen?

1. Aus \(\frac{1}{2}x^2-8=0\) folgt \(x^2=16\). Die Nullstellen sind \(x=-4\) und \(x=4\). 2. Aus \(\frac{1}{2}x^2-8=-6\) folgt \(x^2=4\). Die Schnittstellen mit \(g\) haben die \(x\)-Koordinaten \(-2\) und \(2\). 3. Für \(x\leq0\) besteht die gesuchte Fläche aus einem Rechteck auf \([-2;0]\) mit Inhalt \(12\) und dem Flächenstück auf \([-4;-2]\) zwischen der \(x\)-Achse und dem Graphen von \(f\). 4. Dieses Flächenstück hat den Inhalt \(\int_{-4}^{-2}\left(8-\frac{1}{2}x^2\right)\,dx=\frac{20}{3}\). Insgesamt ergibt sich \(12+\frac{20}{3}=\frac{56}{3}\).

a) Nullstellen: \(x=-4\) und \(x=4\); Schnittstellen mit \(g\): \(x=-2\) und \(x=2\). b) \(\frac{56}{3}\,\text{FE}\approx18{,}67\,\text{FE}\)

- Welche Ableitung muss für Extremstellen null sein? - Wie unterscheidest du Hoch- und Tiefpunkt mit der zweiten Ableitung? - Nutze den Berührpunkt als doppelte Lösung der Schnittgleichung mit der horizontalen Tangente.

1. Es gilt \(f'(x)=-3x^2+12\) und \(f''(x)=-6x\). Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=-2\) und \(x=2\). Wegen \(f''(2)<0\) liegt bei \(x=2\) der Hochpunkt, wegen \(f''(-2)>0\) bei \(x=-2\) der Tiefpunkt. 2. Es ist \(f(2)=16\) und \(f(-2)=-16\). Somit sind \(H(2\mid16)\) und \(T(-2\mid-16)\). 3. Die Tangente im Hochpunkt lautet \(y=16\). Aus \(f(x)=16\) folgt \(x^3-12x+16=0=(x-2)^2(x+4)\). Der weitere Schnittpunkt liegt bei \(x=-4\). 4. Der Flächeninhalt ist \(A=\int_{-4}^{2}(16+x^3-12x)\,\text{d}x\). Eine Stammfunktion ist \(16x+\frac14x^4-6x^2\). Die Auswertung ergibt \(A=12-(-96)=108\,\text{FE}\).

a) \(H(2\mid16)\), \(T(-2\mid-16)\) b) \(108\,\text{FE}\)

- Bestimme die Extremstellen mit \(g'\). - Welche Funktionswerte haben die beiden horizontalen Tangenten? - Bestimme für jede Tangente den weiteren Schnittpunkt und berechne die beiden Flächen getrennt.

1. Es gilt \(g'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\). Die Extremstellen liegen bei \(x=1\) und \(x=3\). Mit \(g(1)=4\) und \(g(3)=0\) lauten die Tangenten \(y=4\) und \(y=0\). 2. Für \(y=4\) gilt \(g(x)-4=(x-1)^2(x-4)\). Die Fläche liegt zwischen \(x=1\) und \(x=4\): \(A_1=\int_1^4(4-g(x))\,\text{d}x=\frac{27}{4}\,\text{FE}\). 3. Für \(y=0\) gilt \(g(x)=x(x-3)^2\). Die zweite Fläche liegt zwischen \(x=0\) und \(x=3\): \(A_2=\int_0^3g(x)\,\text{d}x=\frac{27}{4}\,\text{FE}\). 4. Damit ist \(A_1=A_2\), also sind die Flächen inhaltsgleich.

Beide Flächen haben den Inhalt \(\frac{27}{4}\,\text{FE}=6{,}75\,\text{FE}\).

- Untersuche zuerst, wo sich die Graphen schneiden. Eine Substitution könnte bei der Gleichung helfen. - Achte auf Symmetrien in den Funktionsgleichungen, um dir Rechenarbeit zu sparen. - Denke daran, dass beim Integrieren von \(\frac{1}{x^2}\) die Potenzregel für negative Exponenten angewendet werden kann. - Welcher Graph liegt im relevanten Bereich oberhalb des anderen?

1. Bestimmung der Schnittstellen: \(\frac{8}{x^2} = 9 - x^2 \Rightarrow x^4 - 9x^2 + 8 = 0\). Mit der Substitution \(u = x^2\) folgt \(u^2 - 9u + 8 = 0\), woraus \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 8\) resultieren. Die Schnittstellen sind somit \(x = \pm 1\) und \(x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}\). 2. Aufgrund der Achsensymmetrie beider Funktionen zur \(y\)-Achse reicht die Berechnung für den Bereich \(x > 0\) im Intervall \([1; \sqrt{8}]\). In diesem Intervall gilt \(g(x) \geq f(x)\). 3. Berechnung des Integrals der Differenzfunktion \(h(x) = g(x) - f(x) = 9 - x^2 - 8x^{-2}\): \(\int_{1}^{\sqrt{8}} (9 - x^2 - 8x^{-2}) \,\text{d}x = [9x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{8}{x}]_{1}^{\sqrt{8}}\). 4. Einsetzen der Grenzen: An der Stelle \(\sqrt{8}\) ergibt sich \(9\sqrt{8} - \frac{8\sqrt{8}}{3} + \frac{8}{\sqrt{8}} = 9\sqrt{8} - \frac{8\sqrt{8}}{3} + \sqrt{8} = 10\sqrt{8} - \frac{8\sqrt{8}}{3} = \frac{22\sqrt{8}}{3} = \frac{44\sqrt{2}}{3}\). An der Stelle \(1\) ergibt sich \(9 - \frac{1}{3} + 8 = \frac{50}{3}\). 5. Die Teilfläche rechts beträgt \(A_{\text{rechts}} = \frac{44\sqrt{2} - 50}{3}\). Der Gesamtflächeninhalt ist das Doppelte: \(A = 2 \cdot \frac{44\sqrt{2} - 50}{3} = \frac{88\sqrt{2} - 100}{3}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{88\sqrt{2} - 100}{3} \approx 8{,}15\) Flächeneinheiten.

- Überlege dir zuerst, wie man den Flächeninhalt unter einer Kurve mit einem Integral berechnet. - Für die vertikale Teilung musst du die obere Integrationsgrenze so wählen, dass genau die Hälfte des Gesamtwerts herauskommt. - Bei der horizontalen Teilung hilft eine Skizze: Die Fläche unter der Geraden \(y=c\) besteht teilweise aus einem Rechteck und teilweise aus einer Fläche unter der Kurve. - Achte bei der horizontalen Teilung darauf, ob die Gerade den Graphen innerhalb des Intervalls schneidet oder komplett darunter liegt.

1. Berechnung des Gesamtflächeninhalts: \(A = \int_{1}^{4} \frac{4}{x^2} \, dx = \left[ -\frac{4}{x} \right]_{1}^{4} = -1 - (-4) = 3\). 2. Bestimmung von \(k\): Die Bedingung \(\int_{1}^{k} \frac{4}{x^2} \, dx = 1{,}5\) führt auf \(\left[ -\frac{4}{x} \right]_{1}^{k} = 1{,}5\), also \(-\frac{4}{k} + 4 = 1{,}5\). Daraus folgt \(\frac{4}{k} = 2{,}5\) und somit \(k = 1{,}6\). 3. Bestimmung von \(c\): Da \(f(1) = 4\) und \(f(4) = 0{,}25\), liegt die gesuchte Gerade im Bereich der Funktionswerte. Die Fläche unterhalb von \(y = c\) setzt sich aus einem Rechteck und einem Integral zusammen: \(A_{unten} = \int_{1}^{x_c} c \, dx + \int_{x_c}^{4} \frac{4}{x^2} \, dx = 1{,}5\) mit \(c = \frac{4}{x_c^2}\) bzw. \(x_c = \frac{2}{\sqrt{c}}\). 4. Einsetzen und Lösen: \(c \cdot (\frac{2}{\sqrt{c}} - 1) + \left[ -\frac{4}{x} \right]_{\frac{2}{\sqrt{c}}}^{4} = 2\sqrt{c} - c - 1 + 2\sqrt{c} = 4\sqrt{c} - c - 1\). Die Gleichung \(4\sqrt{c} - c - 1 = 1{,}5\) führt mit \(u = \sqrt{c}\) auf \(u^2 - 4u + 2{,}5 = 0\). Die Lösung im Intervall ist \(u = 2 - \sqrt{1{,}5}\), woraus \(c = (2 - \sqrt{1{,}5})^2 = 5{,}5 - 2\sqrt{6} \approx 0{,}601\) folgt.

a) \(A = 3\) b) \(k = 1{,}6\) c) \(c = 5{,}5 - 2\sqrt{6} \approx 0{,}601\)

- Welche Ableitung muss an einer Wendestelle null sein? - Welche Ableitung liefert die Steigungen der Wendetangenten? - Wie bestimmst du die Fläche des Dreiecks aus Grundseite und Höhe? - Welche Teilfläche lässt sich direkt als Integral zwischen Graph und Verbindungsgerade berechnen?

1. Es ist \(g'(x)=2x^3-6x\), \(g''(x)=6x^2-6\) und \(g'''(x)=12x\). Aus \(g''(x)=0\) folgen \(x=\pm1\); wegen \(g'''(\pm1)\neq0\) sind dies Wendestellen. 2. Es gilt \(g(1)=g(-1)=1{,}5\). Die Wendepunkte sind \(W_1(1\mid1{,}5)\) und \(W_2(-1\mid1{,}5)\); ihre Verbindungsgerade lautet \(y=1{,}5\). 3. Die Wendetangenten haben die Steigungen \(g'(1)=-4\) und \(g'(-1)=4\). Damit lauten sie \(y=-4x+5{,}5\) und \(y=4x+5{,}5\). 4. Die Tangenten schneiden sich in \((0\mid5{,}5)\). Das Dreieck hat Grundseite \(2\) und Höhe \(4\), also den Flächeninhalt \(4\). 5. Die Teilfläche zwischen Graph und Verbindungsgerade ist \(A_1=\int_{-1}^{1}(g(x)-1{,}5)\,\mathrm{d}x=3{,}2\). 6. Die zweite Teilfläche ist \(A_2=4-3{,}2=0{,}8\). Daher gilt \(A_1:A_2=4:1\).

a) \(W_1(1\mid1{,}5)\), \(W_2(-1\mid1{,}5)\); Wendetangenten \(y=-4x+5{,}5\) und \(y=4x+5{,}5\); Verbindungsgerade \(y=1{,}5\) b) \(A_1:A_2=4:1\)

- Skizziere die Situation grob, um die Lage der Graphen zueinander im 3. Quadranten zu verstehen. - Welche Punkte bilden die Ecken der gesuchten Fläche? Bestimme dazu alle paarweisen Schnittpunkte der drei Randkurven. - Zerlege die Fläche in zwei Teilbereiche, da sich die untere Begrenzung an einer Stelle ändert. - Achte beim Integrieren darauf, dass du „obere Funktion minus untere Funktion“ rechnest, damit der Flächeninhalt positiv wird.

1. Schnittpunkte bestimmen: - Schnitt mit der Geraden \(y = x\): \(\frac{x^3 - 3x - 2}{x^2} = x \Rightarrow x^3 - 3x - 2 = x^3 \Rightarrow -3x - 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}\). Der Schnittpunkt liegt bei \(P(-\frac{2}{3} \mid -\frac{2}{3})\). - Schnitt mit der \(x\)-Achse (\(f(x) = 0\)): \(x^3 - 3x - 2 = 0\). Durch Probieren oder Polynomdivision findet man die Nullstellen \(x_1 = -1\) (doppelt) und \(x_2 = 2\). Für den 3. Quadranten ist \(x = -1\) relevant. - Die Gerade \(y = x\) schneidet die \(x\)-Achse im Punkt \(O(0\mid 0)\). 2. Integral aufstellen: - Die Fläche wird im Intervall \([-1; -\frac{2}{3}]\) durch die \(x\)-Achse (oben) und den Graphen von \(f\) (unten) begrenzt. - Im Intervall \([-\frac{2}{3}; 0]\) wird sie durch die \(x\)-Achse (oben) und die Gerade \(y = x\) (unten) begrenzt. - \(A = \int_{-1}^{-\frac{2}{3}} (0 - f(x)) \, dx + \int_{-\frac{2}{3}}^0 (0 - x) \, dx\). 3. Integration: - Mit \(f(x) = x - \frac{3}{x} - \frac{2}{x^2}\) ergibt sich \(\int (-f(x)) \, dx = \int (-x + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}) \, dx = -\frac{1}{2}x^2 + 3\ln|x| - \frac{2}{x} + C\). - Erster Teil: \([-\frac{1}{2}x^2 + 3\ln|x| - \frac{2}{x}]_{-1}^{-\frac{2}{3}} = (-\frac{2}{9} + 3\ln(\frac{2}{3}) + 3) - (-\frac{1}{2} + 0 + 2) = \frac{25}{9} + 3\ln(\frac{2}{3}) - \frac{3}{2} = \frac{23}{18} + 3\ln(\frac{2}{3})\). - Zweiter Teil (Dreiecksfläche): \([-\frac{1}{2}x^2]_{-\frac{2}{3}}^0 = 0 - (-\frac{2}{9}) = \frac{2}{9} = \frac{4}{18}\). 4. Gesamtergebnis: - \(A = \frac{23}{18} + \frac{4}{18} + 3\ln(\frac{2}{3}) = \frac{27}{18} + 3\ln(\frac{2}{3}) = 1{,}5 + 3\ln(\frac{2}{3}) \approx 0{,}284\).

Der Inhalt der Fläche beträgt \(A = 1{,}5 + 3\ln\left(\frac{2}{3}\right) \approx 0{,}284\,\text{FE}\).

- Welche Bedingung muss \(\ln x\) für eine Nullstelle erfüllen? - Welche erste Ableitung erhältst du mit der Quotientenregel? - Nutze für b) und c) die angegebene Stammfunktion. - Welches Vorzeichen hat \(\ln c\), wenn \(0<c<1\)?

1. Die Nullstelle liegt bei \(x=1\), weil \(\ln x=0\) genau für \(x=1\) gilt. 2. Die erste Ableitung lautet \(f'(x)=\frac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}=\frac{\ln x(2-\ln x)}{x^2}\). Neben \(x=1\) ist \(x=e^2\) eine kritische Stelle. Dort wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt der Hochpunkt \(H\left(e^2\mid\frac4{e^2}\right)\) vor. 3. Mit der angegebenen Stammfunktion ist \(A=\int_1^{e^2}f(x)\,\mathrm{d}x=\left[\frac13(\ln x)^3\right]_1^{e^2}=\frac83\). 4. Für c) gilt \(-\frac13(\ln c)^3=\frac83\). Daher ist \((\ln c)^3=-8\), also \(\ln c=-2\) und \(c=e^{-2}\).

a) Nullstelle \(x=1\); Hochpunkt \(H\left(e^2\mid\frac4{e^2}\right)\) b) \(A=\frac83\,\text{FE}\) c) \(c=e^{-2}\approx0{,}135\)

- Welche Ableitung von \(G\) musst du mit \(g\) vergleichen? - Welche erste Ableitung bestimmt die Lage des Hochpunkts von \(g\)? - Wie groß ist die Zielfläche in c) im Vergleich zu b)? - Nutze die Logarithmusgesetze, um die Gleichung für \(k\) zu vereinfachen.

1. Ableiten liefert \(G'(x)=\frac12\cdot\frac{2x}{x^2+4}=\frac{x}{x^2+4}=g(x)\). Somit ist \(G\) eine Stammfunktion von \(g\). 2. Die erste Ableitung von \(g\) ist \(g'(x)=\frac{4-x^2}{(x^2+4)^2}\). Für \(x>0\) liegt die Extremstelle bei \(x=2\); dort wechselt \(g'\) von positiv zu negativ, also liegt ein lokaler Hochpunkt vor. 3. Der Flächeninhalt aus b) ist \(A=\int_0^2g(x)\,\mathrm{d}x=G(2)-G(0)=\frac12\ln2\). 4. Für c) gilt \(G(k)-G(2)=2A=\ln2\). Also \(\frac12\ln\left(\frac{k^2+4}{8}\right)=\ln2\). 5. Daraus folgt \(\frac{k^2+4}{8}=4\), also \(k^2=28\). Wegen \(k>2\) ist \(k=2\sqrt7\).

a) \(G'(x)=g(x)\) b) \(A=\frac12\ln2\,\text{FE}\approx0{,}347\,\text{FE}\) c) \(k=2\sqrt7\approx5{,}292\)