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- Ersetze die unendliche Grenze zunächst durch eine Variable. - Wie lautet die Potenzregel für die Stammfunktion bei negativen Exponenten? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird?

1. Aufstellen des Integrals mit einer variablen oberen Grenze \(z\): \(\int_{1}^{z} 3x^{-4} \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{3}{-3}x^{-3} = -x^{-3} = -\frac{1}{x^3}\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: \(\left[-\frac{1}{x^3}\right]_{1}^{z} = -\frac{1}{z^3} - \left(-\frac{1}{1^3}\right) = 1 - \frac{1}{z^3}\). 4. Grenzwertbetrachtung für \(z \to +\infty\): Da \(\lim_{z \to +\infty} \frac{1}{z^3} = 0\), konvergiert der Ausdruck gegen \(1 - 0 = 1\). Das uneigentliche Integral existiert und hat den Wert \(1\).

Das Integral existiert und sein Wert beträgt \(1\).

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) immer größer wird? - Welche Differenzfunktion beschreibt den Abstand zwischen dem Graphen und seiner Asymptote? - Wie berechnet man den Flächeninhalt einer nach rechts offenen Fläche mithilfe eines Grenzwerts? - Achte beim Integrieren auf das Vorzeichen im Exponenten.

1. Bestimmung des Grenzwerts für \(x \to \infty\): \(\lim_{x \to \infty} (\frac{1}{2}e^{3-x} + 5) = 0 + 5 = 5\), da \(e^{3-x} \to 0\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 5\). 2. Die Differenzfunktion zwischen Graph und Asymptote ist \(d(x) = h(x) - 5 = \frac{1}{2}e^{3-x}\). Da \(d(x) > 0\), liegt der Graph oberhalb der Asymptote. 3. Ansatz für den Flächeninhalt als uneigentliches Integral: \(A = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2}e^{3-x} \,\text{d}x\). 4. Bestimmung einer Stammfunktion von \(d(x)\): \(D(x) = -\frac{1}{2}e^{3-x}\). 5. Auswertung des Grenzwerts: \(A = \lim_{b \to \infty} [-\frac{1}{2}e^{3-x}]_0^b = \lim_{b \to \infty} (-\frac{1}{2}e^{3-b} - (-\frac{1}{2}e^{3-0})) = 0 + \frac{1}{2}e^3\). 6. Der Flächeninhalt ist somit endlich mit \(A = \frac{1}{2}e^3\).

a) Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet \(y = 5\). b) Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt \(A = \frac{1}{2}e^3\).

- Überlege, an welcher Stelle die Funktion nicht definiert ist oder der Integrationsbereich unbeschränkt ist. - Verwende die Definition des uneigentlichen Integrals durch einen Grenzwert. - Bestimme zuerst eine Stammfunktion der Potenzfunktion. - Untersuche das Verhalten der Stammfunktion, wenn die Variable gegen die kritische Grenze strebt.

1. Für Teil a) wird das Integral als Grenzwert an der Stelle \(x=0\) betrachtet: \(\lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{4} x^{-0{,}5} \, dx\). Die Stammfunktion lautet \(F(x) = 2\sqrt{x}\). Der Grenzwert ergibt \(\lim_{a \to 0^+} [2\sqrt{x}]_a^4 = 2\sqrt{4} - \lim_{a \to 0^+} 2\sqrt{a} = 4 - 0 = 4\). Das Integral existiert. 2. Für Teil b) wird der Grenzwert für \(x \to +\infty\) untersucht: \(\lim_{b \to +\infty} \int_{4}^{b} x^{-0{,}5} \, dx\). Dies führt zu \(\lim_{b \to +\infty} [2\sqrt{x}]_4^b = \lim_{b \to +\infty} (2\sqrt{b} - 4) = +\infty\). Das Integral existiert nicht (divergiert).

a) Das Integral existiert, der Wert ist \(4\). b) Das Integral existiert nicht (es divergiert gegen \(+\infty\)).

- Schreibe das Integral zunächst als Grenzwert mit einer endlichen oberen Grenze \(b\). - Wie lautet die Stammfunktion einer Potenzfunktion mit dem Exponenten \(-\frac{1}{2}\)? - Betrachte das Verhalten der Stammfunktion, wenn die obere Grenze gegen Unendlich strebt.

1. Bestimmung der Stammfunktion von \(f(x) = x^{-0{,}5}\): \(F(x) = 2\sqrt{x}\). 2. Aufstellen des Grenzwerts für die obere Grenze \(b \to \infty\): \(\lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} x^{-0{,}5} \, dx = \lim_{b \to \infty} [2\sqrt{x}]_{1}^{b}\). 3. Einsetzen der Grenzen: \(\lim_{b \to \infty} (2\sqrt{b} - 2\sqrt{1}) = \lim_{b \to \infty} (2\sqrt{b} - 2)\). 4. Da \(\sqrt{b}\) für \(b \to \infty\) unbeschränkt wächst, existiert der Grenzwert nicht. Das Integral ist divergent.

Das uneigentliche Integral existiert nicht (es divergiert).

- Was passiert mit dem Integral, wenn eine der Grenzen gegen Unendlich geht oder die Funktion an einer Grenze nicht definiert ist? - Kannst du die problematische Grenze durch eine Variable ersetzen und den Grenzwert betrachten? - Erinnere dich an die Regeln für das Integrieren von Potenzfunktionen der Form \(x^n\). - Wie verhält sich der Ausdruck, wenn die Variable gegen Unendlich oder gegen Null strebt?

1. Für Teilaufgabe a) wird das unendliche Intervall durch einen Grenzwert ersetzt: \(\lim_{z \to \infty} \int_{1}^{z} 4x^{-3} dx\). Die Stammfunktion lautet \(F(x) = -2x^{-2}\). Die Auswertung an den Grenzen ergibt \(\lim_{z \to \infty} \left( -\frac{2}{z^2} - (-2) \right) = 0 + 2 = 2\). Das Integral existiert und hat den Wert \(2\). 2. Für Teilaufgabe b) liegt eine Unendlichkeitsstelle bei \(x = 0\) vor. Der Ansatz lautet \(\lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{1} x^{-\frac{1}{3}} dx\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}\). Die Auswertung ergibt \(\lim_{a \to 0^+} \left( \frac{3}{2} \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2} \cdot a^{\frac{2}{3}} \right) = 1{,}5 - 0 = 1{,}5\). Das Integral existiert und hat den Wert \(1{,}5\).

a) Das Integral existiert; der Wert ist \(2\). b) Das Integral existiert; der Wert ist \(1{,}5\).

- Überlege zuerst, an welcher Stelle (Intervallgrenze) das Integral „uneigentlich“ ist. - Nutze die Grenzwertschreibweise, um die Annäherung an diese Stelle mathematisch korrekt auszudrücken. - Welche Stammfunktion gehört zur natürlichen Exponentialfunktion oder zur Kehrwertfunktion? - Überlege, ob der Flächeninhalt unter der Kurve ins Unendliche wächst oder sich einem festen Wert annähert.

1. Teilaufgabe a): Untersuchung des Grenzwerts \(\lim_{z \to \infty} \int_{0}^{z} e^{-0{,}5x} dx\). Die Stammfunktion ist \(-2e^{-0{,}5x}\). Einsetzen der Grenzen liefert \(\lim_{z \to \infty} \left( -2e^{-0{,}5z} - (-2e^{0}) \right)\). Da \(e^{-0{,}5z}\) für \(z \to \infty\) gegen \(0\) konvergiert, ergibt sich der Grenzwert \(0 + 2 = 2\). Das Integral besitzt einen endlichen Wert. 2. Teilaufgabe b): Untersuchung an der Polstelle \(x = 1\) mittels \(\lim_{a \to 1^+} \int_{a}^{2} \frac{1}{x-1} dx\). Die Stammfunktion ist \(\ln|x-1|\). Einsetzen der Grenzen ergibt \(\lim_{a \to 1^+} \left( \ln|2-1| - \ln|a-1| \right) = \ln(1) - \lim_{a \to 1^+} \ln(a-1)\). Da der Logarithmus für Werte gegen Null gegen \(-\infty\) strebt, gilt \(0 - (-\infty) = \infty\). Das Integral divergiert und besitzt keinen endlichen Wert.

a) Das Integral besitzt den endlichen Wert \(2\). b) Das Integral besitzt keinen endlichen Wert (es divergiert).

- Überlege dir, wie man eine Fläche beschreibt, die an einer Seite kein festes Ende hat. - Erinnere dich an die Definition des uneigentlichen Integrals mithilfe eines Grenzwerts. - Wie verhält sich die Exponentialfunktion mit negativem Exponenten für sehr große \(x\)-Werte? - Denke an die Kettenregel beim Bilden der Stammfunktion.

1. Aufstellen des uneigentlichen Integrals: \(A = \int_{0}^{\infty} 1{,}5 \cdot e^{-0{,}25x} \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} 1{,}5 \cdot e^{-0{,}25x} \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: Eine Stammfunktion von \(g(x)\) ist \(G(x) = \frac{1{,}5}{-0{,}25} \cdot e^{-0{,}25x} = -6 \cdot e^{-0{,}25x}\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung im Intervall \([0; b]\): \([-6 \cdot e^{-0{,}25x}]_{0}^{b} = -6 \cdot e^{-0{,}25b} - (-6 \cdot e^{0}) = -6 \cdot e^{-0{,}25b} + 6\). 4. Grenzwertbetrachtung für \(b \to \infty\): Da \(\lim_{b \to \infty} e^{-0{,}25b} = 0\) gilt, folgt \(\lim_{b \to \infty} (-6 \cdot e^{-0{,}25b} + 6) = 0 + 6 = 6\). 5. Das Integral existiert und der Flächeninhalt beträgt \(6\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt beträgt \(6\).

- Kannst du die Funktion als Potenz mit negativem Exponenten schreiben, um leichter zu integrieren? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler gleich bleibt? - Setze erst eine Variable für die obere Grenze ein und betrachte dann den Limes.

1. Ansatz für den Flächeninhalt als uneigentliches Integral: \(A = \int_{2}^{\infty} \frac{8}{x^2} \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} 8x^{-2} \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: Eine Stammfunktion von \(h(x) = 8x^{-2}\) ist \(H(x) = \frac{8}{-1}x^{-1} = -\frac{8}{x}\). 3. Auswertung des bestimmten Integrals in den Grenzen von \(2\) bis \(b\): \([-\frac{8}{x}]_{2}^{b} = -\frac{8}{b} - (-\frac{8}{2}) = -\frac{8}{b} + 4\). 4. Berechnung des Grenzwerts für \(b \to \infty\): Der Term \(\frac{8}{b}\) strebt gegen \(0\). Somit ergibt sich \(\lim_{b \to \infty} (-\frac{8}{b} + 4) = 4\). 5. Da der Grenzwert eine endliche Zahl ist, besitzt die Fläche den endlichen Inhalt \(4\).

Die Fläche besitzt einen endlichen Inhalt von \(4\).

- Der Flächeninhalt entspricht dem Wert des uneigentlichen Integrals in den gegebenen Grenzen. - Erinnere dich an die Ableitungsregel für \(e^{k \cdot x}\), um die Stammfunktion zu finden. - Untersuche das Verhalten der natürlichen Exponentialfunktion für \(x \to +\infty\), wenn der Exponent gegen \(-\infty\) strebt.

1. Ansatz über das uneigentliche Integral: \(I = \lim_{z \to +\infty} \int_{0}^{z} 2 \cdot e^{-0{,}5x} \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: Unter Verwendung der Regel für Exponentialfunktionen ergibt sich \(F(x) = \frac{2}{-0{,}5} \cdot e^{-0{,}5x} = -4 \cdot e^{-0{,}5x}\). 3. Berechnung des bestimmten Integrals in den Grenzen \(0\) und \(z\): \([-4e^{-0{,}5x}]_0^z = -4e^{-0{,}5z} - (-4e^0) = 4 - 4e^{-0{,}5z}\). 4. Grenzwertbildung für \(z \to +\infty\): Der Term \(e^{-0{,}5z}\) geht gegen \(0\), da der Exponent gegen \(-\infty\) strebt. Somit gilt \(\lim_{z \to +\infty} (4 - 4e^{-0{,}5z}) = 4\). Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt \(4\) Flächeneinheiten.

Die Fläche besitzt einen endlichen Inhalt von \(4\).

- Überlege, was mit dem Term der Exponentialfunktion passiert, wenn die \(x\)-Werte sehr klein (stark negativ) werden. - Wie bestimmt man den vertikalen Abstand zwischen zwei Funktionsgraphen an einer bestimmten Stelle? - Setze ein uneigentliches Integral an, um den Flächeninhalt über einem unbegrenzten Intervall zu berechnen. - Erinnere dich an die Kettenregel bei der Integration von Exponentialfunktionen der Form \(e^{ax+b}\).

1. Zur Bestimmung der Asymptote wird die Differenzfunktion \(d(x) = f(x) - (4-x) = 2 \cdot e^{0{,}5x-1}\) betrachtet. 2. Der Grenzwert der Differenz für \(x \to -\infty\) ergibt sich zu \(\lim_{x \to -\infty} (2 \cdot e^{0{,}5x-1}) = 0\), da der Exponent gegen \(-\infty\) strebt. Somit ist \(y = 4 - x\) die schräge Asymptote für \(x \to -\infty\). 3. Da \(e^{0{,}5x-1} > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), verläuft der Graph von \(f\) stets oberhalb der Asymptote. Der Flächeninhalt berechnet sich durch das uneigentliche Integral \(A = \int_{-\infty}^{2} (f(x) - g(x)) \,\text{d}x = \int_{-\infty}^{2} 2 \cdot e^{0{,}5x-1} \,\text{d}x\). 4. Eine Stammfunktion von \(d(x)\) ist \(D(x) = 4 \cdot e^{0{,}5x-1}\). 5. Berechnung des Integrals über den Grenzwert: \(A = \lim_{k \to -\infty} [4 \cdot e^{0{,}5x-1}]_k^2 = \lim_{k \to -\infty} (4 \cdot e^{0} - 4 \cdot e^{0{,}5k-1}) = 4 - 0 = 4\). 6. Die Fläche besitzt den endlichen Inhalt \(A = 4\).

a) Da \(\lim_{x \to -\infty} (f(x) - (4-x)) = \lim_{x \to -\infty} (2 \cdot e^{0{,}5x-1}) = 0\) gilt, ist \(y = 4 - x\) die schräge Asymptote für \(x \to -\infty\). b) Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt \(A = 4\).

- Überlege zuerst, welche Funktion im gegebenen Intervall oberhalb der anderen liegt. - Achte darauf, ob sich innerhalb des Integrationsbereichs eine Definitionslücke (Asymptote) befindet. - Wenn eine Polstelle im Inneren des Intervalls liegt, musst du das Integral in zwei separate uneigentliche Integrale aufteilen. - Nutze die Grenzwertbetrachtung für die Stammfunktion an der kritischen Stelle. - Der Flächeninhalt ist nur dann endlich, wenn beide Teilgrenzwerte existieren.

1. Bestimmung der Differenzfunktion: \(h(x) = f(x) - g(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = x^{-\frac{2}{3}}\). Da \(x^2 > 0\) für alle \(x \neq 0\), gilt \(f(x) > g(x)\). 2. Identifikation der Definitionslücke: Die Funktion \(f\) besitzt an der Stelle \(x = 0\) eine vertikale Asymptote. Da \(0 \in [-1; 8]\), muss das uneigentliche Integral an dieser Stelle aufgeteilt werden. 3. Aufstellung der Teilintegrale: \(A = \int_{-1}^{0} x^{-\frac{2}{3}} \, dx + \int_{0}^{8} x^{-\frac{2}{3}} \, dx\). 4. Berechnung des ersten Teilintegrals: \(\lim_{t \to 0^-} \int_{-1}^{t} x^{-\frac{2}{3}} \, dx = \lim_{t \to 0^-} [3x^{\frac{1}{3}}]_{-1}^{t} = \lim_{t \to 0^-} (3\sqrt[3]{t} - 3\sqrt[3]{-1}) = 0 - (-3) = 3\). 5. Berechnung des zweiten Teilintegrals: \(\lim_{s \to 0^+} \int_{s}^{8} x^{-\frac{2}{3}} \, dx = \lim_{s \to 0^+} [3x^{\frac{1}{3}}]_{s}^{8} = \lim_{s \to 0^+} (3\sqrt[3]{8} - 3\sqrt[3]{s}) = 6 - 0 = 6\). 6. Bestimmung des Gesamtinhalts: Da beide Teilintegrale konvergieren, ist der Flächeninhalt endlich mit \(A = 3 + 6 = 9\).

Die Fläche besitzt einen endlichen Inhalt von \(A = 9\).

- Was passiert mit dem Funktionswert von \(f\), wenn \(x\) sich dem Wert \(1\) nähert? - Erinnere dich daran, wie man Stammfunktionen für Ausdrücke der Form \((x-a)^{-n}\) bildet. - Ein uneigentliches Integral an einer Polstelle ist nur dann endlich, wenn der Exponent im Nenner der Differenzfunktion einen bestimmten Wert unterschreitet. - Es reicht aus zu zeigen, dass einer der beiden Teilbereiche (links oder rechts der Polstelle) einen unendlichen Inhalt hat.

1. Differenzfunktion bilden: \(h(x) = f(x) - g(x) = \frac{2}{(x-1)^2} = 2(x-1)^{-2}\). Da der Zähler positiv und das Quadrat im Nenner für \(x \neq 1\) ebenfalls positiv ist, gilt \(f(x) > g(x)\). 2. Kritische Stelle bestimmen: Die Funktion \(f\) hat bei \(x = 1\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; die Funktionswerte streben von beiden Seiten gegen \(+\infty\). Da \(1\) im Intervall \([0; 2]\) liegt, ist das Integral bei \(x = 1\) zu untersuchen. 3. Untersuchung des uneigentlichen Integrals (linker Teil): \(\int_{0}^{1} 2(x-1)^{-2} \, dx = \lim_{t \to 1^-} [-2(x-1)^{-1}]_{0}^{t} = \lim_{t \to 1^-} \left( \frac{-2}{t-1} - \frac{-2}{0-1} \right)\). 4. Grenzwert auswerten: Da \(\lim_{t \to 1^-} \frac{-2}{t-1} = \infty\) (da \(t-1\) negativ gegen \(0\) geht), divergiert das Teilintegral. 5. Schlussfolgerung: Da bereits ein Teilintegral gegen Unendlich strebt, besitzt die gesamte Fläche keinen endlichen Inhalt.

Die Fläche besitzt keinen endlichen Inhalt (der Flächeninhalt ist unendlich).

- Wie berechnet man ein Integral, bei dem eine Grenze unendlich ist? - Findest du eine Stammfunktion für diesen Funktionstyp? Erinnere dich an die Potenzregel. - Was passiert mit dem Term, wenn die Variable gegen Unendlich läuft? - Stelle eine Gleichung auf, die den Wert des Grenzwerts mit der Vorgabe verknüpft.

1. Berechnung des unbestimmten Integrals bzw. einer Stammfunktion: \(F_k(x) = \int \frac{k}{(x+2)^2} \, dx = -\frac{k}{x+2}\). 2. Aufstellen des uneigentlichen Integrals als Grenzwert: \(\int_0^{\infty} \frac{k}{(x+2)^2} \, dx = \lim_{z \to \infty} \left[ -\frac{k}{x+2} \right]_0^z\). 3. Auswertung der Grenzen: \(\lim_{z \to \infty} \left( -\frac{k}{z+2} - \left( -\frac{k}{0+2} \right) \right) = 0 + \frac{k}{2} = \frac{k}{2}\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert und Lösen nach \(k\): \(\frac{k}{2} = 4 \implies k = 8\).

\(k = 8\)

- Denke an die Kettenregel beim Integrieren der Exponentialfunktion. - Was passiert mit dem Ausdruck \(e^{-2x}\), wenn \(x\) immer größer wird? - Kannst du den konstanten Faktor \((k-1)\) vor das Integral ziehen, um die Rechnung zu vereinfachen? - Setze das Ergebnis deiner Grenzwertbetrachtung gleich der geforderten Zahl.

1. Bestimmung einer Stammfunktion unter Verwendung der linearen Substitution: \(G_k(x) = \int (k-1) e^{-2x} \, dx = -\frac{k-1}{2} e^{-2x}\). 2. Definition des uneigentlichen Integrals über den Grenzwert: \(\int_0^{\infty} g_k(x) \, dx = \lim_{z \to \infty} \int_0^z (k-1) e^{-2x} \, dx\). 3. Berechnung des Grenzwerts: \(\lim_{z \to \infty} \left[ -\frac{k-1}{2} e^{-2x} \right]_0^z = \lim_{z \to \infty} \left( -\frac{k-1}{2} e^{-2z} + \frac{k-1}{2} e^0 \right)\). Da \(\lim_{z \to \infty} e^{-2z} = 0\), ergibt sich \(\frac{k-1}{2}\). 4. Lösen der Gleichung \(\frac{k-1}{2} = 1\): \(k-1 = 2 \implies k = 3\).

\(k = 3\)

- Welche Integrationsmethode eignet sich für Brüche, bei denen die Ableitung des Nenners im Zähler steht? - Wie geht man mathematisch vor, wenn eine Integrationsgrenze unendlich ist? - Betrachte das Verhalten des Terms, wenn die Variable gegen Unendlich strebt.

1. Aufstellen des uneigentlichen Integrals für den Flächeninhalt im Intervall \([0; \infty)\): \(A = \int_0^{\infty} \frac{10x}{(x^2+1)^2} \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_0^b \frac{10x}{(x^2+1)^2} \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion mittels Substitution \(u = x^2+1\) mit \(du = 2x \, dx\): \(\int \frac{10x}{u^2} \cdot \frac{1}{2x} \, du = \int 5u^{-2} \, du = -5u^{-1} = -\frac{5}{x^2+1}\). 3. Auswertung des Grenzwerts: \(\lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{5}{x^2+1} \right]_0^b = \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{5}{b^2+1} - \left( -\frac{5}{0^2+1} \right) \right) = 0 + 5 = 5\). 4. Die Fläche hat einen endlichen Inhalt von 5.

Die Fläche hat einen endlichen Inhalt von 5.

- Achte darauf, alle Längenangaben in die Basiseinheit Meter umzurechnen, bevor du rechnest. - Erinnere dich an die Regel für das Integrieren von Potenzfunktionen \(x^n\). - Ein uneigentliches Integral mit einer unendlichen Grenze wird berechnet, indem man zunächst eine Variable (z. B. \(b\)) einsetzt und dann den Grenzwert für \(b \to \infty\) betrachtet. - Was bedeutet es physikalisch, wenn der Abstand \(r\) gegen Unendlich geht?

1. Umrechnung der Radien in Meter: \(R = 4 \cdot 10^6\,\text{m}\) und \(r_2 = 12 \cdot 10^6\,\text{m}\). 2. Bestimmung der Stammfunktion von \(F(r) = k \cdot r^{-2}\): \(\Phi(r) = -\frac{k}{r}\). 3. Berechnung des bestimmten Integrals für Aufgabenteil a): \(W = \left[ -\frac{k}{r} \right]_{4 \cdot 10^6}^{12 \cdot 10^6} = k \cdot \left( \frac{1}{4 \cdot 10^6} - \frac{1}{12 \cdot 10^6} \right)\). 4. Einsetzen der Werte: \(W = 2{,}4 \cdot 10^{13} \cdot \left( 0{,}25 \cdot 10^{-6} - 0{,}0833\dots \cdot 10^{-6} \right) = 2{,}4 \cdot 10^{13} \cdot \frac{1}{6} \cdot 10^{-6} = 4 \cdot 10^6\,\text{J}\). In Megajoule: \(4\,\text{MJ}\). 5. Berechnung des uneigentlichen Integrals für Aufgabenteil b): \(\int_{R}^{\infty} F(r) \, dr = \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{k}{r} \right]_{R}^{b} = \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{k}{b} + \frac{k}{R} \right) = 0 + \frac{k}{R}\). 6. Einsetzen der Werte: \(\frac{2{,}4 \cdot 10^{13}}{4 \cdot 10^6} = 6 \cdot 10^6\,\text{J} = 6\,\text{MJ}\). 7. Interpretation: Dies ist die theoretisch benötigte Energie, um den Satelliten vollständig aus dem Gravitationsfeld des Planeten zu entfernen (Fluchtenergie).

a) \(W = 4\,\text{MJ}\) b) Das Integral hat den Wert \(6 \cdot 10^6\,\text{J}\) (bzw. \(6\,\text{MJ}\)). Es stellt die Energie dar, die benötigt wird, um den Satelliten unendlich weit vom Planeten zu entfernen (Fluchtenergie).

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) sehr groß wird oder sich der Null nähert? - Ersetze die kritische Grenze durch einen Parameter und bilde nach der Integration den Limes. - Achte beim Integrieren von \(x^{-n}\) auf die Vorzeichen und die Potenzgesetze. - Ein Integral existiert nur, wenn der Grenzwert eine endliche Zahl ist.

1. In Teil a) betrachtet man den Grenzwert für die obere Grenze: \(\lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} 2x^{-3} \, dx\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\). Einsetzen liefert \(\lim_{b \to +\infty} [-\frac{1}{x^2}]_1^b = \lim_{b \to +\infty} (-\frac{1}{b^2} - (-1)) = 0 + 1 = 1\). Das Integral konvergiert gegen \(1\). 2. In Teil b) liegt eine Unendlichkeitsstelle bei \(x=0\) vor: \(\lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{1} 2x^{-3} \, dx\). Die Auswertung ergibt \(\lim_{a \to 0^+} [-\frac{1}{x^2}]_a^1 = -1 - \lim_{a \to 0^+} (-\frac{1}{a^2}) = -1 + \infty = +\infty\). Das Integral divergiert.

a) Das Integral konvergiert, der Wert ist \(1\). b) Das Integral divergiert (existiert nicht).

- Wie lässt sich eine Fläche berechnen, deren Grenze im Unendlichen liegt? - Bestimme zuerst eine Stammfunktion für den Funktionsterm. - Was passiert mit dem Funktionswert und der Stammfunktion, wenn die Variable \(x\) sehr groß wird? - Ersetze die unendliche Grenze durch einen Platzhalter und führe eine Grenzwertbetrachtung durch.

1. Aufstellen des uneigentlichen Integrals für die Fläche: \(A = \int_0^{\infty} \frac{4}{x+2} \, dx\). 2. Einführung einer endlichen oberen Grenze \(k\) und Bestimmung der Stammfunktion: \(\int_0^k \frac{4}{x+2} \, dx = [4 \cdot \ln|x+2|]_0^k\). 3. Auswertung des Integrals an den Grenzen: \(4 \cdot \ln(k+2) - 4 \cdot \ln(2)\). 4. Untersuchung des Grenzwerts für \(k \to \infty\): Da \(\ln(k+2)\) für \(k \to \infty\) gegen \(+\infty\) strebt, besitzt das Integral keinen endlichen Wert.

Die Fläche hat keinen endlichen Inhalt.

- Welche Grenzen schränken die Fläche im ersten Quadranten ein? - Erinnere dich an die Regel zur Integration von Exponentialfunktionen mit linearem Exponenten. - Nutze eine Variable als obere Grenze, um den Flächeninhalt in Abhängigkeit von dieser Grenze auszudrücken. - Überlege, gegen welchen Wert eine \(e\)-Funktion strebt, wenn \(x\) immer größer wird und der Exponent gegen \(-\infty\) geht.

1. Formulierung des uneigentlichen Integrals mit der oberen Grenze \(\infty\): \(\int_0^{\infty} 3 e^{-1{,}5x} \, dx\). 2. Bildung der Stammfunktion unter Verwendung der Kettenregel (linearer Exponent): \(G(x) = \frac{3}{-1{,}5} e^{-1{,}5x} = -2 e^{-1{,}5x}\). 3. Berechnung des Integrals über dem Intervall \([0; k]\): \([-2 e^{-1{,}5x}]_0^k = -2 e^{-1{,}5k} - (-2 e^0) = -2 e^{-1{,}5k} + 2\). 4. Durchführung des Grenzübergangs für \(k \to \infty\): Da \(\lim_{k \to \infty} e^{-1{,}5k} = 0\) gilt, nähert sich der Term dem Wert \(-2 \cdot 0 + 2 = 2\) an.

Der Flächeninhalt beträgt \(2\).

- Untersuche die Funktion auf Definitionslücken innerhalb oder am Rand des Integrationsintervalls. - Verwende eine Variable, um den Grenzwert an der kritischen Stelle zu berechnen. - Erinnerst du dich an die Kettenregel zur Integration von Funktionen der Form \((ax + b)^n\)? - Was passiert mit dem Ausdruck unter der Wurzel, wenn sich \(x\) dem Wert 2 nähert?

1. Identifikation der Definitionslücke: Der Nenner wird für \(x = 2\) null, daher liegt eine Unbeschränktheit an der oberen Grenze vor. 2. Bestimmung der Stammfunktion mittels linearer Substitution: \(\int (4 - 2x)^{-0{,}5} \, dx = \frac{1}{-2} \cdot \frac{(4 - 2x)^{0{,}5}}{0{,}5} = -\sqrt{4 - 2x}\). 3. Untersuchung des Grenzwerts für \(b \to 2^{-}\): \(\lim_{b \to 2^{-}} [-\sqrt{4 - 2x}]_{0}^{b} = \lim_{b \to 2^{-}} (-\sqrt{4 - 2b} - (-\sqrt{4 - 2 \cdot 0}))\). 4. Berechnung des Ergebnisses: \(\lim_{b \to 2^{-}} (-\sqrt{4 - 2b} + \sqrt{4}) = 0 + 2 = 2\). Das Integral existiert und hat den Wert 2.

Das Integral existiert und hat den Wert 2.

- Wie lautet die allgemeine Formel zur Berechnung eines Flächeninhalts zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse? - Kannst du \(f(x)\) als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben, um leichter eine Stammfunktion zu finden? - Was passiert mit dem Term, in dem \(u\) vorkommt, wenn \(u\) immer kleiner wird und gegen Null geht?

1. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt: \(A(u) = \int_{u}^{4} x^{-\frac{1}{2}} \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(\int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = 2x^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x}\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: \(A(u) = [2\sqrt{x}]_{u}^{4} = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{u} = 4 - 2\sqrt{u}\). 4. Untersuchung des Grenzwerts für \(u \to 0^+\): Da \(\lim_{u \to 0^+} \sqrt{u} = 0\), ergibt sich \(\lim_{u \to 0^+} (4 - 2\sqrt{u}) = 4\). Der Flächeninhalt nähert sich für kleiner werdende Werte von \(u\) dem endlichen Wert \(4\) an.

Der integralfreie Funktionsterm lautet \(A(u) = 4 - 2\sqrt{u}\). Für \(u \to 0^+\) nähert sich der Flächeninhalt dem endlichen Wert \(4\) an.

- Erinnere dich an die Regel für die Integration von Exponentialfunktionen der Form \(e^{ax}\). - Achte beim Einsetzen der unteren Grenze Null darauf, dass \(e^0\) nicht Null ist. - Überlege dir, wie sich der Graph einer fallenden Exponentialfunktion im Unendlichen verhält.

1. Ansatz für den Flächeninhalt über das bestimmte Integral: \(I(k) = \int_{0}^{k} 4 \cdot e^{-0{,}5x} \, dx\). 2. Bestimmung einer Stammfunktion von \(g(x)\): \(G(x) = \frac{4}{-0{,}5} \cdot e^{-0{,}5x} = -8 \cdot e^{-0{,}5x}\). 3. Auswertung des Integrals an den Grenzen: \(I(k) = [-8e^{-0{,}5x}]_{0}^{k} = -8e^{-0{,}5k} - (-8e^{0}) = -8e^{-0{,}5k} + 8\). 4. Umformung zu einem übersichtlicheren Term: \(I(k) = 8 - 8e^{-0{,}5k}\). 5. Berechnung des Grenzwerts für \(k \to \infty\): Da \(e^{-0{,}5k} = \frac{1}{e^{0{,}5k}}\) für \(k \to \infty\) gegen \(0\) strebt, folgt \(\lim_{k \to \infty} (8 - 8e^{-0{,}5k}) = 8 - 0 = 8\).

Der Funktionsterm ist \(I(k) = 8 - 8e^{-0{,}5k}\). Der Grenzwert für \(k \to \infty\) beträgt \(8\).

- Wann wird ein Produkt aus zwei Faktoren Null? - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt das Wachstum, wenn \(x\) sehr kleine Werte annimmt? - Erinnere dich an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten. - Überlege dir, welche Integrationsgrenzen für die gesuchten Flächen relevant sind. - Bei einer nach links unbegrenzten Fläche nutzt man einen Grenzwert für die untere Integrationsgrenze.

1. Nullstelle bestimmen: \(4 - 2x = 0 \implies x = 2\). Da die Exponentialfunktion \(e^{0{,}5x}\) stets positiv ist, ist dies die einzige Nullstelle. 2. Grenzwert für \(x \to -\infty\): Da die Exponentialfunktion schneller gegen Null strebt als die lineare Funktion \(4 - 2x\) gegen Unendlich, gilt \(\lim_{x \to -\infty} (4 - 2x) \cdot e^{0{,}5x} = 0\). 3. Stammfunktion verifizieren: Ableiten von \(F(x) = (16 - 4x) \cdot e^{0{,}5x}\) mit der Produktregel ergibt \(F'(x) = -4 \cdot e^{0{,}5x} + (16 - 4x) \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = (-4 + 8 - 2x) \cdot e^{0{,}5x} = (4 - 2x) \cdot e^{0{,}5x} = f(x)\). 4. Flächeninhalt im ersten Quadranten: \(A_1 = \int_{0}^{2} f(x) \, dx = [F(x)]_0^2 = F(2) - F(0) = (16 - 4 \cdot 2) \cdot e^1 - (16 - 4 \cdot 0) \cdot e^0 = 8e - 16 \approx 5{,}75\). 5. Uneigentliches Integral berechnen: Da \(f(x) \ge 0\) für \(x \le 2\), berechnet man \(\int_{-\infty}^{2} f(x) \, dx = \lim_{k \to -\infty} [F(x)]_k^2 = F(2) - \lim_{k \to -\infty} F(k) = 8e - 0 = 8e \approx 21{,}75\).

a) \(x = 2\) b) \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) c) Nachweis durch Ableiten: \(F'(x) = f(x)\) d) \(A = 8e - 16 \approx 5{,}75\) e) \(A = 8e \approx 21{,}75\)

- Überlege, was mit den Termen passiert, wenn die Variable sehr groß wird. - Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass du einen Faktor ausklammern kannst? - Denke an die Kettenregel bei der Suche nach der Stammfunktion für die Exponentialterme. - Wie verhalten sich die einzelnen Bestandteile der Flächenformel, wenn die obere Grenze gegen Unendlich strebt?

1. Untersuchung des Grenzwerts: Da \(\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0\) und \(\lim_{x \to \infty} e^{-2x} = 0\), gilt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0 - 0 = 0\). 2. Bestimmung der Nullstelle: Ansatz \(3e^{-x} - e^{-2x} = 0\). Ausklammern führt zu \(e^{-x}(3 - e^{-x}) = 0\). Da \(e^{-x} \neq 0\), folgt \(3 = e^{-x}\), also \(-x = \ln(3)\) bzw. \(x_0 = -\ln(3)\). 3. Berechnung des Integrals: Eine Stammfunktion ist \(F(x) = -3e^{-x} + \frac{1}{2}e^{-2x}\). Der Flächeninhalt ergibt sich durch \(A(k) = \int_{-\ln(3)}^k f(x) \, dx = [F(x)]_{-\ln(3)}^k\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(F(k) = -3e^{-k} + 0{,}5e^{-2k}\) und \(F(-\ln(3)) = -3e^{\ln(3)} + 0{,}5e^{2\ln(3)} = -3 \cdot 3 + 0{,}5 \cdot 9 = -4{,}5\). Somit ist \(A(k) = -3e^{-k} + 0{,}5e^{-2k} - (-4{,}5) = 4{,}5 - 3e^{-k} + 0{,}5e^{-2k}\). 5. Grenzwertbetrachtung: Da \(\lim_{k \to \infty} e^{-k} = 0\), folgt \(\lim_{k \to \infty} A(k) = 4{,}5\).

a) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\) b) \(x_0 = -\ln(3)\) c) \(A(k) = 4{,}5 - 3e^{-k} + 0{,}5e^{-2k}\); \(\lim_{k \to \infty} A(k) = 4{,}5\)

- Skizziere die Situation für einen festen Wert von \(k\), um die Form der Fläche zu verstehen. - Überlege, an welcher Stelle sich der Graph von \(f\) und die Gerade \(y=k\) schneiden. - Die gesuchte Fläche lässt sich in ein Rechteck links vom Schnittpunkt und ein krummlinig begrenztes Flächenstück rechts davon zerlegen. - Wie verhält sich der Term \(\frac{1}{k}\), wenn \(k\) sehr groß wird?

1. Bestimmung des Schnittpunkts von \(f(x)\) und \(y = k\): \(\frac{2}{\sqrt{x}} = k \implies \sqrt{x} = \frac{2}{k} \implies x = \frac{4}{k^2}\). 2. Aufteilung der Fläche in ein Rechteck und ein Flächenstück unter dem Graphen: Das Rechteck hat die Breite \(\frac{4}{k^2}\) und die Höhe \(k\), woraus sich die Teilfläche \(A_1 = k \cdot \frac{4}{k^2} = \frac{4}{k}\) ergibt. 3. Berechnung des Integrals für den verbleibenden Teil von \(x = \frac{4}{k^2}\) bis \(x = 4\): \(A_2 = \int_{4/k^2}^{4} 2x^{-1/2} \, dx = [4\sqrt{x}]_{4/k^2}^{4} = 4\sqrt{4} - 4\sqrt{\frac{4}{k^2}} = 8 - \frac{8}{k}\). 4. Gesamte Fläche \(A(k) = A_1 + A_2 = \frac{4}{k} + 8 - \frac{8}{k} = 8 - \frac{4}{k}\). 5. Grenzwertbetrachtung: \(\lim_{k \to \infty} (8 - \frac{4}{k}) = 8\).

a) \(A(k) = 8 - \frac{4}{k}\) b) Für \(k \to \infty\) ergibt sich der Flächeninhalt \(8\).

- Überlege zuerst, wie man eine Tangente an einem Punkt berechnet. - Fertige eine Skizze an, um zu sehen, welche Funktion über welcher liegt und wo die Tangente die \(x\)-Achse schneidet. - Beachte die Bedingung „im ersten Quadranten“ – was bedeutet das für die untere Begrenzung der Fläche, wenn die Tangente negativ wird? - Teile die Fläche an der Stelle auf, an der sich die untere Begrenzung ändert. - Nutze die Regeln für uneigentliche Integrale, um den Grenzwert zu bestimmen.

1. Berechnung der Tangentengleichung: \(f(3) = 2\), \(f'(x) = -36 \cdot x^{-3}\), \(f'(3) = -\frac{36}{27} = -\frac{4}{3}\). Die Tangente lautet \(t(x) = -\frac{4}{3}(x - 3) + 2 = -\frac{4}{3}x + 6\). 2. Bestimmung der Nullstelle der Tangente: \(-\frac{4}{3}x + 6 = 0 \implies x = 4{,}5\). 3. Da die Fläche im ersten Quadranten liegt, wird sie ab \(x = 4{,}5\) nach unten durch die \(x\)-Achse begrenzt. Der Flächeninhalt \(A_b\) setzt sich aus zwei Teilintegralen zusammen: \(A_b = \int_{3}^{4{,}5} (f(x) - t(x)) \, dx + \int_{4{,}5}^{b} f(x) \, dx\). 4. Erstes Integral: \(\int_{3}^{4{,}5} \left(\frac{18}{x^2} + \frac{4}{3}x - 6\right) \, dx = \left[-\frac{18}{x} + \frac{2}{3}x^2 - 6x\right]_{3}^{4{,}5} = (-4 + 13{,}5 - 27) - (-6 + 6 - 18) = -17{,}5 + 18 = 0{,}5\). 5. Zweites Integral: \(\int_{4{,}5}^{b} \frac{18}{x^2} \, dx = \left[-\frac{18}{x}\right]_{4{,}5}^{b} = -\frac{18}{b} + 4\). 6. Gesamter Flächeninhalt: \(A_b = 0{,}5 + 4 - \frac{18}{b} = 4{,}5 - \frac{18}{b}\). 7. Grenzwert: \(\lim_{b \to \infty} A_b = 4{,}5\). 8. Geometrische Deutung: Die ins Unendliche reichende Fläche besitzt einen endlichen Flächeninhalt.

a) \(t(x) = -\frac{4}{3}x + 6\) b) \(A_b = 4{,}5 - \frac{18}{b}\) c) Der Grenzwert ist \(4{,}5\). Dies bedeutet, dass die nach rechts unbegrenzte Fläche einen endlichen Inhalt hat.

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\)? - Skizziere die Situation grob: Welche Funktion begrenzt die Fläche nach oben, welche Linien begrenzen sie nach unten? - Beachte, dass die Tangente die \(x\)-Achse an einer bestimmten Stelle schneidet. Was bedeutet das für das Integral der unteren Begrenzung? - Erinnere dich an die Stammfunktion der natürlichen Exponentialfunktion. - Was passiert mit dem Term \(e^{-0{,}5k}\), wenn \(k\) immer größer wird?

1. Tangentengleichung: \(f(0) = 2\), \(f'(x) = -e^{-0{,}5x}\), Steigung \(m = f'(0) = -1\). Mit \(y = mx + n\) folgt \(2 = -1 \cdot 0 + n \Rightarrow n = 2\). Somit ist \(t(x) = -x + 2\). 2. Nullstelle der Tangente: \(-x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2\). Die Tangente verläuft für \(x \in [0; 2]\) oberhalb oder auf der \(x\)-Achse. 3. Flächeninhalt für \(k = 6\): Die Fläche liegt zwischen dem Graphen von \(f\) (oben) und der Begrenzung durch die Tangente (für \(x \in [0; 2]\)) bzw. die \(x\)-Achse (für \(x \in [2; 6]\)). \(A = \int_{0}^{6} 2e^{-0{,}5x} \, dx - \int_{0}^{2} (-x + 2) \, dx\). \(\int_{0}^{6} 2e^{-0{,}5x} \, dx = [-4e^{-0{,}5x}]_{0}^{6} = -4e^{-3} + 4 \approx 3{,}8008\). Fläche des Dreiecks unter der Tangente: \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). \(A = 4 - 4e^{-3} - 2 = 2 - 4e^{-3} \approx 1{,}8008\). 4. Grenzwert für \(k \to \infty\): \(A(k) = \int_{0}^{k} 2e^{-0{,}5x} \, dx - 2 = [-4e^{-0{,}5x}]_{0}^{k} - 2 = -4e^{-0{,}5k} + 4 - 2 = 2 - 4e^{-0{,}5k}\). Für \(k \to \infty\) gilt \(e^{-0{,}5k} \to 0\), also \(A(k) \to 2\).

a) \(t(x) = -x + 2\) b) \(A = 2 - 4e^{-3} \approx 1{,}801\) c) \(A(k) = 2 - 4e^{-0{,}5k}\); für \(k \to \infty\) nähert sich der Flächeninhalt dem Wert \(2\) an.

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) immer näher an 0 rückt? - Wie lautet die Stammfunktion von \(x^n\), wenn \(n = -0{,}5\) ist? - Wie untersuchst du den Grenzwert des Flächeninhalts für \(u \to 0\)?

1. Berechnung des Flächeninhalts über das Integral \(\int_{u}^{1} x^{-0{,}5} \, dx\): Eine Stammfunktion ist \(F(x) = 2\sqrt{x}\). Einsetzen der Grenzen liefert \(A(u) = [2\sqrt{x}]_u^1 = 2 - 2\sqrt{u}\). 2. Grenzwertbetrachtung für den Flächeninhalt: \(\lim_{u \to 0^+} (2 - 2\sqrt{u}) = 2\). Die Fläche ist somit endlich.

a) \(A(u) = 2 - 2\sqrt{u}\) b) \(\lim_{u \to 0^+} A(u) = 2\)

- Wie findet man die Stelle, an der eine Funktion ihren höchsten Wert erreicht? - Welche besondere Form hat die Tangente in einem Hochpunkt? - Erinnere dich an die Integrationsregel für Funktionen, bei denen die Ableitung des Exponenten (bis auf einen Faktor) als Faktor davor steht. - Was passiert mit einem Ausdruck der Form \(e^{-x^2}\), wenn \(x\) gegen Unendlich strebt?

1. Bestimmung des Hochpunkts: \(f'(x) = (2 - 2x^2) \cdot e^{-0{,}5x^2}\). Setze \(f'(x) = 0 \implies x_H = 1\). Der Funktionswert ist \(y_H = f(1) = 2e^{-0{,}5} = \frac{2}{\sqrt{e}}\). Die Tangente ist eine waagerechte Gerade mit der Gleichung \(t: y = \frac{2}{\sqrt{e}}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts zwischen Tangente und Graph: \(A = \int_{0}^{1} (\frac{2}{\sqrt{e}} - 2x \cdot e^{-0{,}5x^2}) \, dx\). 3. Stammfunktion bestimmen: \(\int 2x \cdot e^{-0{,}5x^2} \, dx = -2e^{-0{,}5x^2}\). Das Integral ergibt \([\frac{2}{\sqrt{e}}x + 2e^{-0{,}5x^2}]_{0}^{1}\). 4. Einsetzen der Grenzen: \((\frac{2}{\sqrt{e}} + 2e^{-0{,}5}) - (0 + 2e^0) = \frac{4}{\sqrt{e}} - 2 \approx 0{,}426\). 5. Flächeninhalt \(A(k)\): \(\int_{0}^{k} 2x \cdot e^{-0{,}5x^2} \, dx = [-2e^{-0{,}5x^2}]_{0}^{k} = -2e^{-0{,}5k^2} + 2\). 6. Grenzwertbetrachtung: Da \(\lim_{k \to \infty} e^{-0{,}5k^2} = 0\), gilt \(\lim_{k \to \infty} A(k) = 2\).

a) \(t: y = \frac{2}{\sqrt{e}}\) b) \(A = \frac{4}{\sqrt{e}} - 2 \approx 0{,}426\) c) \(A(k) = 2 - 2e^{-0{,}5k^2}\); für \(k \to \infty\) nähert sich der Flächeninhalt dem Wert \(2\) an.

- Wie lautet die Produktregel für das Ableiten des Ansatzes? - Was bedeutet Koeffizientenvergleich? Vergleiche die Terme mit \(x\) und die Terme ohne \(x\) getrennt. - Denk daran, dass eine Fläche im Unendlichen über den Grenzwert eines Integrals definiert wird. - Wie verhält sich der Term \(e^{-x}\) für sehr große \(x\)? Welcher Teil der Funktion „dominiert“ das Wachstum?

1. Bestimmung der Ableitung des Ansatzes: \(F'(x) = a \cdot e^{-x} + (ax + b) \cdot (-e^{-x}) = (-ax + a - b) \cdot e^{-x}\). 2. Koeffizientenvergleich mit \(f(x) = (2x + 3) \cdot e^{-x}\): Es muss gelten \(-a = 2\) und \(a - b = 3\). 3. Lösung des Gleichungssystems: Aus \(-a = 2\) folgt \(a = -2\). Eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt dies \(-2 - b = 3\), also \(b = -5\). Die Stammfunktion lautet \(F(x) = (-2x - 5) \cdot e^{-x}\). 4. Berechnung des Flächeninhalts als uneigentliches Integral: \(A = \int_{0}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{k \to \infty} [F(x)]_0^k\). 5. Einsetzen der Grenzen und Grenzwertbetrachtung: \(\lim_{k \to \infty} ((-2k - 5) \cdot e^{-k} - (-2 \cdot 0 - 5) \cdot e^0)\). Da \(\lim_{k \to \infty} \frac{-2k-5}{e^k} = 0\), folgt \(A = 0 - (-5) = 5\). Der Flächeninhalt beträgt \(5\) Flächeneinheiten.

a) \(F(x) = (-2x - 5) \cdot e^{-x}\) b) Der Flächeninhalt beträgt \(5\).

- Wie gehst du vor, um die Extremstellen einer Funktion mit Parameter zu finden? - Um zu zeigen, dass Punkte auf einer bestimmten Kurve liegen, kannst du die x-Koordinate nach dem Parameter auflösen und in die y-Koordinate einsetzen. - Erinnere dich an die Potenzregeln für die Integration von Brüchen wie \(\frac{1}{x^n}\). - Was passiert mit Termen wie \(\frac{1}{u}\), wenn \(u\) immer größer wird?

1. Ableitung bilden: \(f_a'(x) = \frac{1 \cdot x^3 - (x - a) \cdot 3x^2}{x^6} = \frac{3a - 2x}{x^4}\). 2. Notwendige Bedingung \(f_a'(x) = 0\) liefert \(x_H = 1{,}5a\). Da \(f_a'(x) > 0\) für \(x < 1{,}5a\) und \(f_a'(x) < 0\) für \(x > 1{,}5a\), liegt ein Hochpunkt vor. 3. Funktionswert berechnen: \(y_H = f_a(1{,}5a) = \frac{1{,}5a - a}{(1{,}5a)^3} = \frac{0{,}5a}{3{,}375a^3} = \frac{4}{27a^2}\). Somit ist \(H_a(1{,}5a \mid \frac{4}{27a^2})\). 4. Ortskurve bestimmen: Aus \(x = 1{,}5a\) folgt \(a = \frac{2}{3}x\). Einsetzen in \(y_H\): \(y = \frac{4}{27 \cdot (\frac{2}{3}x)^2} = \frac{4}{27 \cdot \frac{4}{9}x^2} = \frac{1}{3x^2}\). Dies entspricht \(h(x)\). 5. Stammfunktion finden: \(F_a(x) = \int (x^{-2} - a x^{-3}) \, dx = -x^{-1} + \frac{a}{2}x^{-2} = -\frac{1}{x} + \frac{a}{2x^2}\). 6. Bestimmtes Integral berechnen: \(A(u) = \int_a^u f_a(x) \, dx = \left[ -\frac{1}{x} + \frac{a}{2x^2} \right]_a^u = (-\frac{1}{u} + \frac{a}{2u^2}) - (-\frac{1}{a} + \frac{a}{2a^2}) = \frac{1}{2a} - \frac{1}{u} + \frac{a}{2u^2}\). 7. Grenzwert bestimmen: \(\lim_{u \to \infty} A(u) = \lim_{u \to \infty} (\frac{1}{2a} - \frac{1}{u} + \frac{a}{2u^2}) = \frac{1}{2a}\).

a) \(H_a(1{,}5a \mid \frac{4}{27a^2})\) b) Durch Einsetzen von \(a = \frac{2}{3}x\) in den \(y\)-Wert des Hochpunkts erhält man \(y = \frac{1}{3x^2}\). c) \(A(u) = \frac{1}{2a} - \frac{1}{u} + \frac{a}{2u^2}\); Grenzwert: \(\frac{1}{2a}\).

- Stelle zuerst die Funktion auf, die den vertikalen Abstand zwischen dem Graphen und der Geraden beschreibt. - Welche Methode hilft dir, das Integral eines Produkts aus einer linearen Funktion und einer Exponentialfunktion zu bilden? - Welche der beiden Funktionen im Produkt „dominiert“ das Verhalten für sehr große Werte? - Vergiss nicht, beim Einsetzen der Grenzen sorgfältig mit den Vorzeichen umzugehen.

1. Bestimmung der Differenzfunktion \(d(x) = f(x) - 2 = x \cdot e^{-0{,}5x}\). Da \(d(x) \ge 0\) für \(x \ge 0\), entspricht der Flächeninhalt dem Integral \(A = \int_0^{\infty} x \cdot e^{-0{,}5x} \, dx\). 2. Berechnung der Stammfunktion mittels partieller Integration mit \(u = x\) und \(v' = e^{-0{,}5x}\): \(\int x \cdot e^{-0{,}5x} \, dx = -2x \cdot e^{-0{,}5x} - \int -2 \cdot e^{-0{,}5x} \, dx = -2x \cdot e^{-0{,}5x} - 4 \cdot e^{-0{,}5x} = (-2x - 4) \cdot e^{-0{,}5x}\). 3. Untersuchung des Grenzwerts für \(b \to \infty\): \(\lim_{b \to \infty} [(-2x - 4) \cdot e^{-0{,}5x}]_0^b = \lim_{b \to \infty} \frac{-2b-4}{e^{0{,}5b}} - ((-2 \cdot 0 - 4) \cdot e^0)\). 4. Da die Exponentialfunktion im Nenner stärker wächst als der lineare Term im Zähler, gilt \(\lim_{b \to \infty} \frac{-2b-4}{e^{0{,}5b}} = 0\). 5. Berechnung des Ergebnisses: \(0 - (-4) = 4\). Die Fläche ist endlich und hat den Inhalt 4.

Die Fläche besitzt einen endlichen Inhalt von 4.

- Ein Integral der Form \(\int \frac{f'(x)}{f(x)^a} \, dx\) lässt sich oft gut durch Substitution lösen. - Achte beim Substituieren darauf, auch die Integrationsgrenzen anzupassen. - Die Konvergenz von uneigentlichen Integralen bei Potenzfunktionen im Unendlichen hängt entscheidend von der Größe des Exponenten ab. - Was passiert im Fall \(a = 1\)? Erinnere dich an die Stammfunktion von \(\frac{1}{u}\).

1. Der Flächeninhalt wird durch das uneigentliche Integral \(A = \int_{e}^{\infty} \frac{1}{x \cdot (\ln(x))^a} \, dx\) berechnet. 2. Durchführung der Substitution \(u = \ln(x)\) mit \(du = \frac{1}{x} \, dx\). Die neuen Grenzen sind \(u(e) = \ln(e) = 1\) und \(u \to \infty\) für \(x \to \infty\). 3. Das Integral transformiert sich zu \(\int_{1}^{\infty} u^{-a} \, du\). 4. Dieses Standardintegral konvergiert genau dann, wenn der Exponent \(-a < -1\) ist, also für \(a > 1\). 5. Berechnung für \(a > 1\): \(\lim_{z \to \infty} \left[ \frac{u^{1-a}}{1-a} \right]_1^z = 0 - \frac{1}{1-a} = \frac{1}{a-1}\). 6. Speziell für \(a = 3\): \(A = \frac{1}{3-1} = \frac{1}{2} = 0{,}5\).

Die Fläche hat für \(a > 1\) einen endlichen Inhalt von \(A(a) = \frac{1}{a-1}\). Für \(a = 3\) beträgt der Flächeninhalt \(0{,}5\).

- Nutze die allgemeine Potenzregel für Integrale. Welchen Sonderfall musst du bei der Wahl des Exponenten beachten? - Untersuche das Verhalten des Terms \(x^{-n+1}\) für sehr große \(x\). Welchen Einfluss hat das Vorzeichen des Exponenten? - Denke an die spezielle Stammfunktion der Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\).

1. Aufgabenteil a): Bestimmung der Stammfunktion von \(150 \cdot x^{-4}\) als \(\Phi(x) = \frac{150}{-3} x^{-3} = -\frac{50}{x^3}\). Berechnung des Grenzwerts: \(\lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{50}{x^3} \right]_1^b = \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{50}{b^3} + 50 \right) = 50\). 2. Aufgabenteil b): Allgemeine Stammfunktion für \(n \neq 1\) ist \(\Phi(x) = \frac{C}{-n+1} x^{-n+1}\). Das uneigentliche Integral ist \(\lim_{b \to \infty} \left[ \frac{C}{(1-n)x^{n-1}} \right]_1^b\). Da \(n > 1\), gilt \(n-1 > 0\) und somit \(\lim_{b \to \infty} \frac{1}{b^{n-1}} = 0\). Das Ergebnis ist \(0 - \frac{C}{(1-n) \cdot 1^{n-1}} = \frac{C}{n-1}\). 3. Aufgabenteil c): Für \(n = 1\) ist \(F(x) = \frac{C}{x}\). Die Stammfunktion ist \(\Phi(x) = C \cdot \ln(x)\). Der Grenzwert \(\lim_{b \to \infty} [C \cdot \ln(x)]_1^b = \lim_{b \to \infty} (C \cdot \ln(b) - 0)\) existiert nicht, da die Logarithmusfunktion für \(b \to \infty\) gegen Unendlich strebt. Das Integral divergiert.

a) \(50\) b) \(I = \frac{C}{n-1}\) c) Die Stammfunktion ist \(C \cdot \ln(x)\). Da \(\lim_{x \to \infty} \ln(x) = \infty\), besitzt das uneigentliche Integral keinen endlichen Wert.

- Für die Extremstellen musst du die erste Ableitung gleich Null setzen. - Nutze die zweite Ableitung oder das Vorzeichenwechselkriterium zur Bestimmung der Art der Extrempunkte. - Denke beim Ableiten der vorgeschlagenen Stammfunktion an die Produktregel. - Das Integral berechnest du über die Differenz der Stammfunktionswerte an den Grenzen. - Überlege, wie sich ein Ausdruck der Form \(x^n \cdot e^x\) verhält, wenn \(x\) gegen minus Unendlich geht.

1. Extrempunkte bestimmen: \(g'(x) = (2x + x^2 - 3) \cdot e^x = (x^2 + 2x - 3) \cdot e^x\). Nullstellen der Ableitung bei \(x = 1\) und \(x = -3\). 2. Art der Extrema: \(g''(x) = (2x + 2 + x^2 + 2x - 3) \cdot e^x = (x^2 + 4x - 1) \cdot e^x\). \(g''(-3) = (9 - 12 - 1) \cdot e^{-3} = -4e^{-3} < 0 \implies\) Hochpunkt \(H(-3 \mid 6e^{-3})\). \(g''(1) = (1 + 4 - 1) \cdot e^1 = 4e > 0 \implies\) Tiefpunkt \(T(1 \mid -2e)\). 3. Stammfunktion verifizieren: \(G'(x) = (2x - 2 + x^2 - 2x - 1) \cdot e^x = (x^2 - 3) \cdot e^x = g(x)\). 4. Integral berechnen: \(I(k) = [G(x)]_k^{-1} = G(-1) - G(k) = ((-1)^2 - 2(-1) - 1)e^{-1} - (k^2 - 2k - 1)e^k = 2e^{-1} - (k^2 - 2k - 1)e^k\). 5. Grenzwert für \(k \to -\infty\): Da \(\lim_{k \to -\infty} (k^2 - 2k - 1)e^k = 0\) (Exponentialfunktion dominiert), ergibt sich \(\lim_{k \to -\infty} I(k) = 2e^{-1} = \frac{2}{e} \approx 0{,}74\).

a) Hochpunkt \(H(-3 \mid 6e^{-3})\), Tiefpunkt \(T(1 \mid -2e)\) b) Nachweis durch Ableiten: \(G'(x) = g(x)\) c) \(I(k) = 2e^{-1} - (k^2 - 2k - 1)e^k\) d) Der Grenzwert existiert und beträgt \(\frac{2}{e} \approx 0{,}74\).

- Betrachte die Vorzeichen von Zähler und Nenner separat. - Erkennst du im Zähler (bis auf einen Faktor) die Ableitung des Terms im Nenner? Das hilft beim Integrieren. - Nutze die Stammfunktion, um das bestimmte Integral von \(0\) bis \(z\) aufzustellen. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler konstant bleibt?

1. Nachweis der Positivität: Für \(x > 0\) ist der Zähler \(4x > 0\). Da der Nenner \((x^2+1)^2\) als Quadrat einer positiven Zahl stets positiv ist, gilt \(g(x) > 0\) für alle \(x > 0\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: Mittels Substitution \(u = x^2+1\) mit \(du = 2x \, dx\) ergibt sich \(\int \frac{4x}{(x^2+1)^2} \, dx = 2 \int u^{-2} \, du = -2u^{-1} = -\frac{2}{x^2+1}\). Eine Stammfunktion ist \(G(x) = -\frac{2}{x^2+1}\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: \(A(z) = \int_0^z g(x) \, dx = [G(x)]_0^z = -\frac{2}{z^2+1} - (-\frac{2}{0^2+1}) = 2 - \frac{2}{z^2+1}\). 4. Uneigentliches Integral: Der Grenzwert für \(z \to \infty\) ist \(\lim_{z \to \infty} (2 - \frac{2}{z^2+1}) = 2 - 0 = 2\). Die Fläche besitzt somit den endlichen Inhalt \(2\).

a) Nachweis über \(4x > 0\) und \((x^2+1)^2 > 0\) für \(x > 0\). b) \(A(z) = 2 - \frac{2}{z^2+1}\) c) Ja, der Flächeninhalt ist \(2\).

- Teile die Fläche an der Stelle auf, an der der Graph die Höhe \(k\) unterschreitet. - Verwende die Potenzregeln für die Integration und achte auf die Brüche im Exponenten. - Was bedeutet der Grenzübergang \(k \to \infty\) für den Flächeninhalt unter einem Graphen mit einer Polstelle bei \(x=0\)?

1. Berechnung des Schnittpunkts von \(g(x)\) und der horizontalen Geraden: \(x^{-2/3} = k \implies x^{2/3} = \frac{1}{k} \implies x = k^{-3/2} = \frac{1}{k\sqrt{k}}\). 2. Berechnung der Teilfläche des Rechtecks über dem Intervall \([0; k^{-3/2}]\) mit Höhe \(k\): \(A_{\text{Rechteck}} = k \cdot k^{-3/2} = k^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{k}}\). 3. Berechnung der Fläche unter dem Graphen im Intervall \([k^{-3/2}; 1]\): \(\int_{k^{-3/2}}^{1} x^{-2/3} \, dx = [3x^{1/3}]_{k^{-3/2}}^{1} = 3(1)^{1/3} - 3(k^{-3/2})^{1/3} = 3 - 3k^{-1/2} = 3 - \frac{3}{\sqrt{k}}\). 4. Addition der Teilflächen: \(A(k) = \frac{1}{\sqrt{k}} + 3 - \frac{3}{\sqrt{k}} = 3 - \frac{2}{\sqrt{k}}\). 5. Bestimmung des Grenzwerts: \(\lim_{k \to \infty} (3 - \frac{2}{\sqrt{k}}) = 3\).

\(A(k) = 3 - \frac{2}{\sqrt{k}}\). Der Grenzwert für \(k \to \infty\) beträgt \(3\).

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung? - Skizziere den Verlauf der Exponentialfunktion und der Tangente. Wo verlässt die Tangente den ersten Quadranten? - Erinnere dich daran, dass Integrale über Differenzen von Funktionen berechnet werden können. - Was passiert mit dem Term \(e^{-0{,}5b}\), wenn \(b\) immer größer wird?

1. Tangentengleichung: \(g(0) = 8\), \(g'(x) = -4 \cdot e^{-0{,}5x}\), \(g'(0) = -4\). Die Tangente ist \(t(x) = -4x + 8\). 2. Nullstelle der Tangente: \(t(x) = 0\) bei \(x = 2\). 3. Flächenberechnung im ersten Quadranten: Für \(0 \le x \le 2\) ist die Fläche zwischen \(g(x)\) und \(t(x)\) eingeschlossen. Für \(x > 2\) verläuft die Tangente unterhalb der \(x\)-Achse, sodass die Fläche zwischen \(g(x)\) und der \(x\)-Achse liegt. 4. \(A_b = \int_{0}^{2} (g(x) - t(x)) \, dx + \int_{2}^{b} g(x) \, dx\). 5. Erstes Integral: \(\int_{0}^{2} (8e^{-0{,}5x} + 4x - 8) \, dx = \left[-16e^{-0{,}5x} + 2x^2 - 8x\right]_{0}^{2} = (-16e^{-1} + 8 - 16) - (-16) = 8 - \frac{16}{e}\). 6. Zweites Integral: \(\int_{2}^{b} 8e^{-0{,}5x} \, dx = \left[-16e^{-0{,}5x}\right]_{2}^{b} = -16e^{-0{,}5b} + 16e^{-1} = \frac{16}{e} - 16e^{-0{,}5b}\). 7. Summe: \(A_b = (8 - \frac{16}{e}) + (\frac{16}{e} - 16e^{-0{,}5b}) = 8 - 16e^{-0{,}5b}\). 8. Grenzwert: \(\lim_{b \to \infty} A_b = 8\). 9. Interpretation: Trotz der unendlichen Ausdehnung der Fläche in \(x\)-Richtung ist ihr Flächeninhalt mit \(8\) Flächeneinheiten endlich.

a) \(t(x) = -4x + 8\) b) \(A_b = 8 - 16 \cdot e^{-0{,}5b}\) c) Der Flächeninhalt beträgt \(8\). Dies zeigt, dass eine unendlich ausgedehnte Fläche einen endlichen Inhalt besitzen kann.

- Bestimme zuerst den Berührpunkt und die Steigung für die Tangente. - Überlege dir genau, in welchem Bereich die Tangente die untere Begrenzung der Fläche darstellt und ab wann die \(x\)-Achse diese Rolle übernimmt. - Nutze die Potenzregel für die Integration von \(f(x)\). - Teile die Fläche unterhalb der Kurve in zwei Teile auf: den Teil über der Tangente und den Teil über der \(x\)-Achse.

1. Tangente an \(x=1\): \(f(1) = \frac{4}{2^2} = 1\). Ableitung \(f'(x) = -8(x+1)^{-3}\). Steigung \(m = f'(1) = -\frac{8}{8} = -1\). Tangente: \(y - 1 = -1(x - 1) \Rightarrow t(x) = -x + 2\). 2. Nullstelle der Tangente: \(t(x) = 0 \Rightarrow x = 2\). 3. Flächeninhalt für \(k=3\): Die Fläche wird oben durch \(f(x)\) begrenzt. Die untere Begrenzung ist für \(x \in [1; 2]\) die Tangente und für \(x \in [2; 3]\) die \(x\)-Achse. \(A = \int_{1}^{3} \frac{4}{(x+1)^2} \, dx - \int_{1}^{2} (-x + 2) \, dx\). Stammfunktion von \(f\): \(F(x) = -\frac{4}{x+1}\). Integral von \(f\): \(F(3) - F(1) = (-\frac{4}{4}) - (-\frac{4}{2}) = -1 + 2 = 1\). Fläche unter der Tangente (Dreieck): \(\int_{1}^{2} (-x + 2) \, dx = [-\frac{1}{2}x^2 + 2x]_1^2 = (-2 + 4) - (-0{,}5 + 2) = 2 - 1{,}5 = 0{,}5\). Gesamtfläche: \(A = 1 - 0{,}5 = 0{,}5\). 4. Grenzwert für \(k \to \infty\): \(A(k) = \int_{1}^{k} \frac{4}{(x+1)^2} \, dx - 0{,}5 = [-\frac{4}{x+1}]_1^k - 0{,}5 = (-\frac{4}{k+1} + 2) - 0{,}5 = 1{,}5 - \frac{4}{k+1}\). Für \(k \to \infty\) geht \(\frac{4}{k+1} \to 0\). Der Grenzwert ist \(1{,}5\).

a) \(t(x) = -x + 2\) b) \(A = 0{,}5\) c) \(\lim_{k \to \infty} A(k) = 1{,}5\)

- Überlege, welche Steigung die Tangente in einem Hochpunkt hat. - Wie berechnet man die Fläche zwischen einer waagerechten Geraden und einer Kurve? - Welche Integrationsmethode eignet sich für ein Produkt aus einer Potenzfunktion und einer Exponentialfunktion? - Denk an die Regel von L'Hospital oder das Wachstumsverhalten von Exponentialfunktionen gegenüber Potenzfunktionen für den Grenzwert.

1. Ableitung bestimmen: \(g'(x) = (x - \frac{1}{2}x^2)e^{-x}\). Für \(x=2\) gilt \(g'(2) = 0\) und \(g''(2) = (1-x)e^{-x} - (x-\frac{1}{2}x^2)e^{-x} = -e^{-2} < 0\), also liegt ein Hochpunkt vor. 2. Tangentengleichung: \(g(2) = 2e^{-2}\), daher \(s: y = 2e^{-2}\). 3. Stammfunktion mittels partieller Integration (zweifach): \(\int \frac{1}{2}x^2 e^{-x} \, dx = -\frac{1}{2}(x^2+2x+2)e^{-x}\). 4. Flächeninhalt berechnen: \(A = \int_{0}^{2} (2e^{-2} - g(x)) \, dx = [2e^{-2}x + \frac{1}{2}(x^2+2x+2)e^{-x}]_{0}^{2}\). 5. Ergebnis des Integrals: \((4e^{-2} + 5e^{-2}) - (0 + 1) = 9e^{-2} - 1 \approx 0{,}218\). 6. Uneigentliches Integral: \(\lim_{k \to \infty} [-\frac{1}{2}(x^2+2x+2)e^{-x}]_{0}^{k} = \lim_{k \to \infty} (-\frac{1}{2}(k^2+2k+2)e^{-k} + 1)\). Da der Exponentialterm stärker sinkt als das Polynom steigt, ist der Grenzwert \(1\).

a) \(s: y = 2e^{-2}\) b) \(A = 9e^{-2} - 1 \approx 0{,}218\) c) \(\int_{0}^{\infty} g(x) \, dx = 1\)

- Welche Funktion wächst oder fällt schneller: eine Potenzfunktion oder eine Exponentialfunktion? - Achte beim Ableiten des Ansatzes besonders auf die Kettenregel beim \(e\)-Term. - Beim Koeffizientenvergleich müssen die Koeffizienten von \(x^2\), \(x^1\) und \(x^0\) auf beiden Seiten der Gleichung übereinstimmen. - Wie ist ein uneigentliches Integral mit unendlicher Grenze definiert?

1. Grenzwertbetrachtung: Für \(x \to \infty\) strebt \(e^{-0{,}5x}\) gegen \(0\). Da die Exponentialfunktion schneller gegen Null geht als jede Potenzfunktion gegen Unendlich, gilt \(\lim_{x \to \infty} x^2 \cdot e^{-0{,}5x} = 0\). 2. Ableitung des Ansatzes bilden: \(F'(x) = (2ax + b) \cdot e^{-0{,}5x} + (ax^2 + bx + c) \cdot (-0{,}5 e^{-0{,}5x}) = (-0{,}5ax^2 + (2a - 0{,}5b)x + (b - 0{,}5c)) \cdot e^{-0{,}5x}\). 3. Koeffizientenvergleich der Polynomfaktoren mit \(x^2 = 1 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 0\): I) \(-0{,}5a = 1 \implies a = -2\) II) \(2a - 0{,}5b = 0 \implies -4 - 0{,}5b = 0 \implies b = -8\) III) \(b - 0{,}5c = 0 \implies -8 - 0{,}5c = 0 \implies c = -16\) Somit ist \(F(x) = (-2x^2 - 8x - 16) \cdot e^{-0{,}5x}\). 4. Berechnung des Integrals: \(\int_0^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{k \to \infty} [F(x)]_0^k = \lim_{k \to \infty} (F(k) - F(0))\). 5. Auswertung: Da \(\lim_{k \to \infty} F(k) = 0\) (aufgrund des Faktors \(e^{-0{,}5k}\)), ergibt sich \(0 - F(0) = 0 - (-16) = 16\).

a) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\) b) \(a = -2, b = -8, c = -16\), also \(F(x) = (-2x^2 - 8x - 16) \cdot e^{-0{,}5x}\) c) \(\int_0^{\infty} f(x) \, dx = 16\)

- Nutze die Quotientenregel oder schreibe den Funktionsterm in eine Summe von Potenzen um, bevor du ableitest. - Die Konstante \(c\) findest du, indem du den Zusammenhang zwischen der x- und y-Koordinate des Hochpunkts allgemein formulierst. - Ein uneigentliches Integral gegen Unendlich wird als Grenzwert einer endlichen Integration berechnet. - Achte beim Einsetzen der Grenzen genau auf die Vorzeichen und die Potenzen des Parameters.

1. Ableitung berechnen: \(g_k'(x) = \frac{k \cdot x^3 - (kx - k^2) \cdot 3x^2}{x^6} = \frac{kx - 3kx + 3k^2}{x^4} = \frac{3k^2 - 2kx}{x^4}\). 2. Hochpunkt ermitteln: \(g_k'(x) = 0 \implies x_H = 1{,}5k\). Funktionswert: \(y_H = g_k(1{,}5k) = \frac{k(1{,}5k) - k^2}{(1{,}5k)^3} = \frac{0{,}5k^2}{3{,}375k^3} = \frac{4}{27k}\). Also \(H_k(1{,}5k \mid \frac{4}{27k})\). 3. Ortskurve: Mit \(k = \frac{2}{3}x\) folgt \(y = \frac{4}{27 \cdot \frac{2}{3}x} = \frac{2}{9x}\). Damit ist \(c = \frac{2}{9}\). 4. Stammfunktion: \(G_k(x) = \int (kx^{-2} - k^2x^{-3}) \, dx = -kx^{-1} + \frac{k^2}{2}x^{-2} = -\frac{k}{x} + \frac{k^2}{2x^2}\). 5. Uneigentliches Integral: \(\int_k^{\infty} g_k(x) \, dx = \lim_{u \to \infty} [-\frac{k}{x} + \frac{k^2}{2x^2}]_k^u = \lim_{u \to \infty} (-\frac{k}{u} + \frac{k^2}{2u^2} - (-\frac{k}{k} + \frac{k^2}{2k^2})) = 0 - (-1 + 0{,}5) = 0{,}5\). 6. Begründung: Bei der Auswertung der Stammfunktion an der unteren Grenze \(k\) heben sich die Einflüsse von \(k\) im Zähler und Nenner gegenseitig auf, sodass ein konstanter Zahlenwert entsteht. Die Terme mit \(u\) im Nenner verschwinden im Grenzübergang.

a) \(H_k(1{,}5k \mid \frac{4}{27k})\); die Kurvengleichung ist \(y = \frac{2}{9x}\) mit \(c = \frac{2}{9}\). b) \(\int_k^{\infty} g_k(x) \, dx = 0{,}5\). c) Der Parameter \(k\) kürzt sich beim Einsetzen der Integrationsgrenze \(k\) in die Stammfunktion vollständig heraus, und die anderen Terme streben gegen Null.