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- Prüfe zuerst die beiden Integrationsgrenzen. - Ist das Integrationsintervall vollständig durch zwei endliche Zahlen begrenzt?

1. Die obere Integrationsgrenze ist nicht endlich, sondern \(+\infty\). 2. Deshalb handelt es sich um ein uneigentliches Integral über ein unbeschränktes Intervall.

Das Integral ist uneigentlich, weil die obere Integrationsgrenze \(+\infty\) ist.

- Welche Integrationsgrenze verursacht die Unstetigkeit des Integranden? - Von welcher Seite muss sich eine Ersatzgrenze dieser Stelle nähern?

1. Die problematische Stelle ist \(x=0\), weil der Integrand dort nicht definiert ist. 2. Man nähert sich dieser Stelle von rechts. Daher gilt \(\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x=\lim_{a\to0^+}\int_a^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x\).

\(\lim_{a\to0^+}\int_a^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x\)

- Kannst du die Funktion als Potenz mit negativem Exponenten schreiben, um leichter zu integrieren? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler gleich bleibt? - Setze erst eine Variable für die obere Grenze ein und betrachte dann den Limes.

1. Ansatz für den Flächeninhalt als uneigentliches Integral: \(A = \int_{2}^{\infty} \frac{8}{x^2} \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} 8x^{-2} \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: Eine Stammfunktion von \(h(x) = 8x^{-2}\) ist \(H(x) = \frac{8}{-1}x^{-1} = -\frac{8}{x}\). 3. Auswertung des bestimmten Integrals in den Grenzen von \(2\) bis \(b\): \([-\frac{8}{x}]_{2}^{b} = -\frac{8}{b} - (-\frac{8}{2}) = -\frac{8}{b} + 4\). 4. Berechnung des Grenzwerts für \(b \to \infty\): Der Term \(\frac{8}{b}\) strebt gegen \(0\). Somit ergibt sich \(\lim_{b \to \infty} (-\frac{8}{b} + 4) = 4\). 5. Da der Grenzwert eine endliche Zahl ist, besitzt die Fläche den endlichen Inhalt \(4\).

Die Fläche besitzt einen endlichen Inhalt von \(4\).

- Ersetze die unendliche obere Grenze zunächst durch eine Variable. - Welche Stammfunktion besitzt \(3x^{-4}\)? - Welchen Grenzwert hat \(1/z^3\) für \(z\to+\infty\)?

1. Ersetze die unendliche obere Grenze durch \(z\): \(\int_1^z3x^{-4}\,\mathrm{d}x\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=-x^{-3}=-\frac1{x^3}\). 3. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(\int_1^z\frac3{x^4}\,\mathrm{d}x=1-\frac1{z^3}\). 4. Für \(z\to+\infty\) gilt \(\frac1{z^3}\to0\). Daher existiert das uneigentliche Integral und hat den Wert \(1\).

Das uneigentliche Integral existiert und hat den Wert \(1\).

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) immer größer wird? - Welche Differenzfunktion beschreibt den Abstand zwischen dem Graphen und seiner Asymptote? - Wie berechnet man den Flächeninhalt einer nach rechts offenen Fläche mithilfe eines Grenzwerts? - Achte beim Integrieren auf das Vorzeichen im Exponenten.

1. Bestimmung des Grenzwerts für \(x \to \infty\): \(\lim_{x \to \infty} (\frac{1}{2}e^{3-x} + 5) = 0 + 5 = 5\), da \(e^{3-x} \to 0\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 5\). 2. Die Differenzfunktion zwischen Graph und Asymptote ist \(d(x) = h(x) - 5 = \frac{1}{2}e^{3-x}\). Da \(d(x) > 0\), liegt der Graph oberhalb der Asymptote. 3. Ansatz für den Flächeninhalt als uneigentliches Integral: \(A = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2}e^{3-x} \,\text{d}x\). 4. Bestimmung einer Stammfunktion von \(d(x)\): \(D(x) = -\frac{1}{2}e^{3-x}\). 5. Auswertung des Grenzwerts: \(A = \lim_{b \to \infty} [-\frac{1}{2}e^{3-x}]_0^b = \lim_{b \to \infty} (-\frac{1}{2}e^{3-b} - (-\frac{1}{2}e^{3-0})) = 0 + \frac{1}{2}e^3\). 6. Der Flächeninhalt ist somit endlich mit \(A = \frac{1}{2}e^3\).

a) Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet \(y = 5\). b) Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt \(A = \frac{1}{2}e^3\).

- Überlege, an welcher Stelle die Funktion nicht definiert ist oder der Integrationsbereich unbeschränkt ist. - Verwende die Definition des uneigentlichen Integrals durch einen Grenzwert. - Bestimme zuerst eine Stammfunktion der Potenzfunktion. - Untersuche das Verhalten der Stammfunktion, wenn die Variable gegen die kritische Grenze strebt.

1. Für Teil a) wird das Integral als Grenzwert an der Stelle \(x=0\) betrachtet: \(\lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{4} x^{-0{,}5} \, dx\). Die Stammfunktion lautet \(F(x) = 2\sqrt{x}\). Der Grenzwert ergibt \(\lim_{a \to 0^+} [2\sqrt{x}]_a^4 = 2\sqrt{4} - \lim_{a \to 0^+} 2\sqrt{a} = 4 - 0 = 4\). Das Integral existiert. 2. Für Teil b) wird der Grenzwert für \(x \to +\infty\) untersucht: \(\lim_{b \to +\infty} \int_{4}^{b} x^{-0{,}5} \, dx\). Dies führt zu \(\lim_{b \to +\infty} [2\sqrt{x}]_4^b = \lim_{b \to +\infty} (2\sqrt{b} - 4) = +\infty\). Das Integral existiert nicht (divergiert).

a) Das Integral existiert, der Wert ist \(4\). b) Das Integral existiert nicht (es divergiert gegen \(+\infty\)).

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) sehr groß wird oder sich der Null nähert? - Ersetze die kritische Grenze durch einen Parameter und bilde nach der Integration den Limes. - Achte beim Integrieren von \(x^{-n}\) auf die Vorzeichen und die Potenzgesetze. - Ein Integral existiert nur, wenn der Grenzwert eine endliche Zahl ist.

1. In Teil a) betrachtet man den Grenzwert für die obere Grenze: \(\lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} 2x^{-3} \, dx\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\). Einsetzen liefert \(\lim_{b \to +\infty} [-\frac{1}{x^2}]_1^b = \lim_{b \to +\infty} (-\frac{1}{b^2} - (-1)) = 0 + 1 = 1\). Das Integral konvergiert gegen \(1\). 2. In Teil b) liegt eine Unendlichkeitsstelle bei \(x=0\) vor: \(\lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{1} 2x^{-3} \, dx\). Die Auswertung ergibt \(\lim_{a \to 0^+} [-\frac{1}{x^2}]_a^1 = -1 - \lim_{a \to 0^+} (-\frac{1}{a^2}) = -1 + \infty = +\infty\). Das Integral divergiert.

a) Das Integral konvergiert, der Wert ist \(1\). b) Das Integral divergiert (existiert nicht).

- Wie lässt sich eine Fläche berechnen, deren Grenze im Unendlichen liegt? - Bestimme zuerst eine Stammfunktion für den Funktionsterm. - Was passiert mit dem Funktionswert und der Stammfunktion, wenn die Variable \(x\) sehr groß wird? - Ersetze die unendliche Grenze durch einen Platzhalter und führe eine Grenzwertbetrachtung durch.

1. Aufstellen des uneigentlichen Integrals für die Fläche: \(A = \int_0^{\infty} \frac{4}{x+2} \, dx\). 2. Einführung einer endlichen oberen Grenze \(k\) und Bestimmung der Stammfunktion: \(\int_0^k \frac{4}{x+2} \, dx = [4\ln|x+2|]_0^k\). 3. Auswertung des Integrals an den Grenzen: \(4\ln(k+2) - 4\ln(2)\). 4. Untersuchung des Grenzwerts für \(k \to \infty\): Da \(\ln(k+2)\) für \(k \to \infty\) gegen \(+\infty\) strebt, besitzt das Integral keinen endlichen Wert.

Die Fläche hat keinen endlichen Inhalt.

- An welcher Intervallgrenze ist der Integrand nicht definiert? - Ersetze diese Grenze zunächst durch eine Variable. - Welche Stammfunktion erhältst du mit der Regel für eine lineare innere Funktion?

1. Für \(x=2\) wird der Nenner null. Daher ist das Integral an der oberen Grenze uneigentlich. 2. Mit der Regel für eine lineare innere Funktion ist \(F(x)=-\sqrt{4-2x}\) eine Stammfunktion von \((4-2x)^{-1/2}\). 3. Es gilt \(\int_0^2\frac{1}{\sqrt{4-2x}}\,\mathrm{d}x=\lim_{b\to2^-}[-\sqrt{4-2x}]_0^b\). 4. Der Grenzwert ist \(0-(-2)=2\). Das Integral konvergiert.

Das uneigentliche Integral existiert und hat den Wert \(2\).

- Was bedeutet es mathematisch, dass eine Fläche nach oben unbegrenzt ist? - Überlege, wie du den linken Rand der Fläche, der sich der \(y\)-Achse nähert, mit einem Grenzwert beschreiben kannst. - Bestimme zuerst eine Stammfunktion der gegebenen Funktion. - Berechne das Integral über ein Intervall \([a; 4]\) für ein \(a > 0\). - Untersuche anschließend, was mit dem Wert des Integrals passiert, wenn \(a\) immer näher an \(0\) herankommt.

1. Aufstellen des uneigentlichen Integrals an der unteren Grenze \(0\): \(A = \lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{4} \frac{3}{\sqrt{x}} \,\mathrm{d}x\) 2. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = 3x^{-\frac{1}{2}}\): \(F(x) = 6\sqrt{x}\) 3. Berechnung des bestimmten Integrals in Abhängigkeit von \(a\): \(\int_{a}^{4} 3x^{-\frac{1}{2}} \,\mathrm{d}x = \left[ 6\sqrt{x} \right]_{a}^{4} = 6\sqrt{4} - 6\sqrt{a} = 12 - 6\sqrt{a}\) 4. Grenzwertbetrachtung für \(a \to 0^+\): \(\lim_{a \to 0^+} (12 - 6\sqrt{a}) = 12\) Da der Grenzwert existiert und endlich ist, besitzt die unbegrenzte Fläche einen endlichen Flächeninhalt von \(A = 12\).

Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt \(A = 12\).

- Wie verhalten sich die Funktionswerte von \(f(x)\), wenn \(x\) immer größer wird? Gegen welchen Wert strebt der Graph? - Erinnere dich an die Definition eines uneigentlichen Integrals: Wie drückt man ein Integral mit einer unendlichen Grenze als Grenzwert (Limes) aus? - Bestimme zuerst eine Stammfunktion \(F(x)\) der Funktion \(f(x)\). - Setze die Integrationsgrenzen \(0\) und \(z\) in die Stammfunktion ein und vereinfache den Term. - Was passiert mit dem Term, in dem \(z\) vorkommt, wenn \(z\) gegen unendlich strebt?

1. Bestimmung der waagerechten Asymptote: Für \(x \to \infty\) wächst der Nenner \((x+1)^2\) unbegrenzt, sodass die Funktionswerte gegen \(0\) streben: \(\lim_{x \to \infty} \frac{6}{(x+1)^2} = 0\) Die waagerechte Asymptote hat somit die Gleichung \(y = 0\). 2. Berechnung des uneigentlichen Integrals: Wir betrachten das uneigentliche Integral mit der Variablen \(z > 0\) als obere Grenze: \(A = \lim_{z \to \infty} \int_0^z \frac{6}{(x+1)^2} \,\mathrm{d}x\) Eine Stammfunktion von \(f(x) = 6(x+1)^{-2}\) ist: \(F(x) = -\frac{6}{x+1}\) Wir berechnen das Integral im Intervall \([0; z]\): \(\int_0^z \frac{6}{(x+1)^2} \,\mathrm{d}x = \left[ -\frac{6}{x+1} \right]_0^z = \left( -\frac{6}{z+1} \right) - \left( -\frac{6}{0+1} \right) = 6 - \frac{6}{z+1}\) 3. Grenzwertbetrachtung für \(z \to \infty\): \(A = \lim_{z \to \infty} \left( 6 - \frac{6}{z+1} \right) = 6 - 0 = 6\) Da der Grenzwert existiert und endlich ist, besitzt die unbegrenzte Fläche einen endlichen Flächeninhalt von \(6\) Flächeneinheiten.

a) Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet \(y = 0\). b) Der Flächeninhalt der unbegrenzten Fläche beträgt \(6\,\text{FE}\).

- Wie berechnet man den Inhalt einer Fläche, die sich unendlich weit entlang einer Achse erstreckt? - Ersetze die unendliche Grenze zunächst durch eine Variable und berechne das Integral. - Was passiert mit dem Wert des Integrals, wenn diese Variable immer größer wird? - Erinnere dich an die Potenzregeln für das Integrieren von Funktionen der Form \((x+c)^n\).

1. Aufstellen des uneigentlichen Integrals für den Flächeninhalt: \(A = \int_{2}^{\infty} \frac{4}{(x+2)^{1{,}5}} \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = 4 \cdot \frac{(x+2)^{-0{,}5}}{-0{,}5} = -\frac{8}{\sqrt{x+2}}\). 3. Berechnung des Grenzwerts für eine obere Grenze \(b \to \infty\): \(\lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{8}{\sqrt{x+2}} \right]_{2}^{b} = \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{8}{\sqrt{b+2}} - \left( -\frac{8}{\sqrt{2+2}} \right) \right)\). 4. Da \(\lim_{b \to \infty} \frac{8}{\sqrt{b+2}} = 0\), ergibt sich: \(A = 0 + \frac{8}{\sqrt{4}} = \frac{8}{2} = 4\). Die Fläche hat einen endlichen Inhalt von \(4\,\text{FE}\).

Die Fläche hat einen endlichen Inhalt von \(A = 4\).

- Überlege dir, welche Stammfunktion eine Exponentialfunktion mit linearem Exponenten besitzt. - Betrachte das Verhalten der \(e\)-Funktion für sehr große positive \(x\)-Werte. - Nutze eine Variable als Platzhalter für die unendliche Grenze und bilde anschließend den Grenzwert.

1. Ansatz über das uneigentliche Integral: \(A = \int_{0}^{\infty} 2e^{-0{,}4x} \, dx\). 2. Für den linearen Exponenten gilt nach der Integrationsregel für \(f(ax+b)\): \(F(x) = \frac{2}{-0{,}4}e^{-0{,}4x} = -5e^{-0{,}4x}\). 3. Berechnung des Grenzwerts: \(\lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} 2e^{-0{,}4x} \, dx = \lim_{b \to \infty} \left[ -5e^{-0{,}4x} \right]_{0}^{b}\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(\lim_{b \to \infty} (-5e^{-0{,}4b} - (-5e^{0})) = \lim_{b \to \infty} (-5e^{-0{,}4b} + 5)\). 5. Da \(e^{-0{,}4b} \to 0\) für \(b \to \infty\), folgt \(A = 5\). Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt \(5\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt \(A = 5\,\text{FE}\).

- Schreibe den Bruch als Potenz mit negativem Exponenten um, um die Stammfunktion leichter zu finden. - Achte beim Integrieren genau auf das Vorzeichen des Exponenten in der Stammfunktion. - Überlege dir: Wenn der Exponent der Variablen in der Stammfunktion positiv ist, was passiert dann, wenn die Variable gegen Unendlich geht?

1. Ansatz für das uneigentliche Integral: \(A = \int_{1}^{\infty} x^{-0{,}8} \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(G(x) = \frac{1}{-0{,}8 + 1} x^{-0{,}8 + 1} = \frac{1}{0{,}2} x^{0{,}2} = 5x^{0{,}2}\). 3. Untersuchung des Grenzwerts: \(\lim_{b \to \infty} [5x^{0{,}2}]_{1}^{b} = \lim_{b \to \infty} (5 \cdot b^{0{,}2} - 5 \cdot 1^{0{,}2})\). 4. Da der Exponent \(0{,}2\) positiv ist, gilt \(\lim_{b \to \infty} b^{0{,}2} = \infty\). 5. Das Integral divergiert, somit ist der Flächeninhalt unendlich groß.

Die Fläche hat keinen endlichen Inhalt (der Flächeninhalt ist unendlich groß).

- Nutze den Grenzwertbegriff, um das Verhalten des Integrals an der Stelle \(x=0\) zu untersuchen. - Was passiert mit dem Wert des Bruchs \(\frac{1}{x}\), wenn \(x\) immer kleiner wird? - Wenn eine Stammfunktion an einer Grenze über alle Grenzen wächst, existiert kein endlicher Flächeninhalt.

1. Aufstellen des Integrals für die Fläche: \(\int_{0}^{1} x^{-2} \, dx\) 2. Untersuchung an der Polstelle \(x=0\): \(\lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{1} x^{-2} \, dx\) 3. Bestimmung der Stammfunktion und Einsetzen der Grenzen: \(\lim_{a \to 0^+} [-\frac{1}{x}]_a^1 = \lim_{a \to 0^+} (-1 - (-\frac{1}{a})) = \lim_{a \to 0^+} (\frac{1}{a} - 1)\) 4. Ergebnis: Da der Grenzwert für \(a \to 0^+\) gegen \(\infty\) strebt, besitzt die Fläche keinen endlichen Inhalt.

Nein, die Fläche hat keinen endlichen Inhalt, da das uneigentliche Integral \(\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2} \, dx\) divergiert.

- Was passiert mit dem Integral, wenn eine der Grenzen gegen Unendlich geht oder die Funktion an einer Grenze nicht definiert ist? - Kannst du die problematische Grenze durch eine Variable ersetzen und den Grenzwert betrachten? - Erinnere dich an die Regeln für das Integrieren von Potenzfunktionen der Form \(x^n\). - Wie verhält sich der Ausdruck, wenn die Variable gegen Unendlich oder gegen Null strebt?

1. Für Teilaufgabe a) wird das unendliche Intervall durch einen Grenzwert ersetzt: \(\lim_{z \to \infty} \int_{1}^{z} 4x^{-3} \, dx\). Die Stammfunktion lautet \(F(x) = -2x^{-2}\). Die Auswertung an den Grenzen ergibt \(\lim_{z \to \infty} \left( -\frac{2}{z^2} - (-2) \right) = 0 + 2 = 2\). Das Integral existiert und hat den Wert \(2\). 2. Für Teilaufgabe b) liegt eine Unendlichkeitsstelle bei \(x = 0\) vor. Der Ansatz lautet \(\lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{1} x^{-\frac{1}{3}} \, dx\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}\). Die Auswertung ergibt \(\lim_{a \to 0^+} \left( \frac{3}{2} \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2} \cdot a^{\frac{2}{3}} \right) = 1{,}5 - 0 = 1{,}5\). Das Integral existiert und hat den Wert \(1{,}5\).

a) Das Integral existiert; der Wert ist \(2\). b) Das Integral existiert; der Wert ist \(1{,}5\).

- Überlege zuerst, an welcher Stelle (Intervallgrenze) das Integral „uneigentlich“ ist. - Nutze die Grenzwertschreibweise, um die Annäherung an diese Stelle mathematisch korrekt auszudrücken. - Welche Stammfunktion gehört zur natürlichen Exponentialfunktion oder zur Kehrwertfunktion? - Überlege, ob der Flächeninhalt unter der Kurve ins Unendliche wächst oder sich einem festen Wert annähert.

1. Teilaufgabe a): Untersuchung des Grenzwerts \(\lim_{z \to \infty} \int_{0}^{z} e^{-0{,}5x} \, dx\). Die Stammfunktion ist \(-2e^{-0{,}5x}\). Einsetzen der Grenzen liefert \(\lim_{z \to \infty} \left( -2e^{-0{,}5z} - (-2e^{0}) \right)\). Da \(e^{-0{,}5z}\) für \(z \to \infty\) gegen \(0\) konvergiert, ergibt sich der Grenzwert \(0 + 2 = 2\). Das Integral besitzt einen endlichen Wert. 2. Teilaufgabe b): Untersuchung an der Polstelle \(x = 1\) mittels \(\lim_{a \to 1^+} \int_{a}^{2} \frac{1}{x-1} \, dx\). Die Stammfunktion ist \(\ln|x-1|\). Einsetzen der Grenzen ergibt \(\lim_{a \to 1^+} \left( \ln|2-1| - \ln|a-1| \right) = \ln(1) - \lim_{a \to 1^+} \ln(a-1)\). Da der Logarithmus für Werte gegen Null gegen \(-\infty\) strebt, gilt \(0 - (-\infty) = \infty\). Das Integral divergiert und besitzt keinen endlichen Wert.

a) Das Integral besitzt den endlichen Wert \(2\). b) Das Integral besitzt keinen endlichen Wert (es divergiert).

- Überlege dir, wie man eine Fläche beschreibt, die an einer Seite kein festes Ende hat. - Erinnere dich an die Definition des uneigentlichen Integrals mithilfe eines Grenzwerts. - Wie verhält sich eine Exponentialfunktion mit negativem Exponenten für sehr große \(x\)-Werte? - Bei \(e^{ax+b}\) musst du in der Stammfunktion den konstanten Faktor der linearen inneren Funktion ausgleichen.

1. Der Flächeninhalt wird als uneigentliches Integral angesetzt: \(A=\int_0^\infty 1{,}5e^{-0{,}25x}\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_0^b1{,}5e^{-0{,}25x}\,dx\). 2. Eine Stammfunktion ist \(G(x)=-6e^{-0{,}25x}\), denn der Faktor \(-6\) gleicht beim Ableiten den inneren Faktor \(-0{,}25\) aus. 3. Für eine endliche obere Grenze \(b\) gilt \(\int_0^b1{,}5e^{-0{,}25x}\,dx=[-6e^{-0{,}25x}]_0^b=-6e^{-0{,}25b}+6\). 4. Wegen \(\lim_{b\to\infty}e^{-0{,}25b}=0\) folgt \(A=6\). Der Grenzwert ist endlich, also existiert das uneigentliche Integral.

Der Flächeninhalt beträgt \(6\).

- Was passiert mit dem Exponentialterm, wenn \(x\) sehr stark negativ wird? - Wie beschreibt die Differenz der beiden Funktionsterme den vertikalen Abstand der Graphen? - Setze für die unbegrenzte Seite ein uneigentliches Integral mit Grenzwert an. - Bei \(e^{ax+b}\) musst du in der Stammfunktion den konstanten Faktor der linearen inneren Funktion ausgleichen.

1. Die Differenz zwischen Funktion und Gerade ist \(d(x)=f(x)-(4-x)=2e^{0{,}5x-1}\). 2. Wegen \(\lim_{x\to-\infty}2e^{0{,}5x-1}=0\) nähert sich der Graph von \(f\) der Geraden \(y=4-x\). Damit ist sie die schräge Asymptote für \(x\to-\infty\). 3. Da \(d(x)>0\), gilt für den Flächeninhalt \(A=\int_{-\infty}^{2}2e^{0{,}5x-1}\,dx\). 4. Eine Stammfunktion ist \(D(x)=4e^{0{,}5x-1}\), weil der Faktor \(4\) den inneren Faktor \(0{,}5\) ausgleicht. 5. Somit ist \(A=\lim_{k\to-\infty}[4e^{0{,}5x-1}]_k^2=4\). Der Grenzwert ist endlich.

a) Da \(\lim_{x \to -\infty} (f(x) - (4-x)) = \lim_{x \to -\infty} (2e^{0{,}5x-1}) = 0\) gilt, ist \(y = 4 - x\) die schräge Asymptote für \(x \to -\infty\). b) Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt \(A = 4\).

- Überlege zuerst, welche Funktion im gegebenen Intervall oberhalb der anderen liegt. - Achte darauf, ob sich innerhalb des Integrationsbereichs eine Definitionslücke (Asymptote) befindet. - Wenn eine Polstelle im Inneren des Intervalls liegt, musst du das Integral in zwei separate uneigentliche Integrale aufteilen. - Nutze die Grenzwertbetrachtung für die Stammfunktion an der kritischen Stelle. - Der Flächeninhalt ist nur dann endlich, wenn beide Teilgrenzwerte existieren.

1. Bestimmung der Differenzfunktion: \(h(x) = f(x) - g(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = x^{-\frac{2}{3}}\). Da \(x^2 > 0\) für alle \(x \neq 0\), gilt \(f(x) > g(x)\). 2. Identifikation der Definitionslücke: Die Funktion \(f\) besitzt an der Stelle \(x = 0\) eine vertikale Asymptote. Da \(0 \in [-1; 8]\), muss das uneigentliche Integral an dieser Stelle aufgeteilt werden. 3. Aufstellung der Teilintegrale: \(A = \int_{-1}^{0} x^{-\frac{2}{3}} \, dx + \int_{0}^{8} x^{-\frac{2}{3}} \, dx\). 4. Berechnung des ersten Teilintegrals: \(\lim_{t \to 0^-} \int_{-1}^{t} x^{-\frac{2}{3}} \, dx = \lim_{t \to 0^-} [3x^{\frac{1}{3}}]_{-1}^{t} = \lim_{t \to 0^-} (3\sqrt[3]{t} - 3\sqrt[3]{-1}) = 0 - (-3) = 3\). 5. Berechnung des zweiten Teilintegrals: \(\lim_{s \to 0^+} \int_{s}^{8} x^{-\frac{2}{3}} \, dx = \lim_{s \to 0^+} [3x^{\frac{1}{3}}]_{s}^{8} = \lim_{s \to 0^+} (3\sqrt[3]{8} - 3\sqrt[3]{s}) = 6 - 0 = 6\). 6. Bestimmung des Gesamtinhalts: Da beide Teilintegrale konvergieren, ist der Flächeninhalt endlich mit \(A = 3 + 6 = 9\).

Die Fläche besitzt einen endlichen Inhalt von \(A = 9\).

- Was passiert mit dem Funktionswert von \(f\), wenn \(x\) sich dem Wert \(1\) nähert? - Erinnere dich daran, wie man Stammfunktionen für Ausdrücke der Form \((x-a)^{-n}\) bildet. - Ein uneigentliches Integral an einer Polstelle ist nur dann endlich, wenn der Exponent im Nenner der Differenzfunktion einen bestimmten Wert unterschreitet. - Es reicht aus zu zeigen, dass einer der beiden Teilbereiche (links oder rechts der Polstelle) einen unendlichen Inhalt hat.

1. Differenzfunktion bilden: \(h(x) = f(x) - g(x) = \frac{2}{(x-1)^2} = 2(x-1)^{-2}\). Da der Zähler positiv und das Quadrat im Nenner für \(x \neq 1\) ebenfalls positiv ist, gilt \(f(x) > g(x)\). 2. Kritische Stelle bestimmen: Die Funktion \(f\) hat bei \(x = 1\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; die Funktionswerte streben von beiden Seiten gegen \(+\infty\). Da \(1\) im Intervall \([0; 2]\) liegt, ist das Integral bei \(x = 1\) zu untersuchen. 3. Untersuchung des uneigentlichen Integrals (linker Teil): \(\int_{0}^{1} 2(x-1)^{-2} \, dx = \lim_{t \to 1^-} [-2(x-1)^{-1}]_{0}^{t} = \lim_{t \to 1^-} \left( \frac{-2}{t-1} - \frac{-2}{0-1} \right)\). 4. Grenzwert auswerten: Da \(\lim_{t \to 1^-} \frac{-2}{t-1} = \infty\) (da \(t-1\) negativ gegen \(0\) geht), divergiert das Teilintegral. 5. Schlussfolgerung: Da bereits ein Teilintegral gegen Unendlich strebt, besitzt die gesamte Fläche keinen endlichen Inhalt.

Die Fläche besitzt keinen endlichen Inhalt (der Flächeninhalt ist unendlich).

- Wie berechnet man ein Integral, bei dem eine Grenze unendlich ist? - Findest du eine Stammfunktion für diesen Funktionstyp? Erinnere dich an die Potenzregel. - Was passiert mit dem Term, wenn die Variable gegen Unendlich läuft? - Stelle eine Gleichung auf, die den Wert des Grenzwerts mit der Vorgabe verknüpft.

1. Berechnung des unbestimmten Integrals bzw. einer Stammfunktion: \(F_k(x) = \int \frac{k}{(x+2)^2} \, dx = -\frac{k}{x+2}\). 2. Aufstellen des uneigentlichen Integrals als Grenzwert: \(\int_0^{\infty} \frac{k}{(x+2)^2} \, dx = \lim_{z \to \infty} \left[ -\frac{k}{x+2} \right]_0^z\). 3. Auswertung der Grenzen: \(\lim_{z \to \infty} \left( -\frac{k}{z+2} - \left( -\frac{k}{0+2} \right) \right) = 0 + \frac{k}{2} = \frac{k}{2}\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert und Lösen nach \(k\): \(\frac{k}{2} = 4 \implies k = 8\).

\(k = 8\)

- Für \(e^{-2x}\) kannst du die Stammfunktionsregel für eine lineare innere Funktion verwenden. - Was passiert mit \(e^{-2x}\), wenn \(x\) immer größer wird? - Kannst du den konstanten Faktor \(k-1\) beim Integrieren getrennt behandeln? - Setze den Grenzwert des Integrals gleich dem geforderten Wert.

1. Mit der Stammfunktionsregel für eine lineare innere Funktion ist \(G_k(x)=-\frac{k-1}{2}e^{-2x}\) eine Stammfunktion von \(g_k\). 2. Daher gilt \(\int_0^{\infty}g_k(x)\,dx=\lim_{z\to\infty}[-\frac{k-1}{2}e^{-2x}]_0^z\). 3. Wegen \(e^{-2z}\to0\) ergibt der Grenzwert \(\frac{k-1}{2}\). 4. Aus \(\frac{k-1}{2}=1\) folgt \(k=3\).

\(k = 3\)

- Ersetze die unendliche obere Grenze zunächst durch eine endliche Variable. - Nutze die angegebene Stammfunktion für das bestimmte Integral. - Welchen Grenzwert hat \(1/(b^2+1)\) für \(b\to\infty\)?

1. Der Flächeninhalt wird durch das uneigentliche Integral \(A=\int_0^{\infty}\frac{10x}{(x^2+1)^2}\,\mathrm{d}x\) beschrieben. 2. Die angegebene Funktion erfüllt \(F'(x)=\frac{10x}{(x^2+1)^2}=f(x)\). 3. Daher gilt \(A=\lim_{b\to\infty}[F(x)]_0^b=\lim_{b\to\infty}\left(-\frac5{b^2+1}+5\right)=5\). 4. Der Grenzwert ist endlich. Somit besitzt die Fläche einen endlichen Inhalt.

\(A=5\,\text{FE}\)

- Welche Funktion beschreibt den vertikalen Abstand zwischen Graph und Gerade? - Nutze die im Aufgabentext angegebene Stammfunktion. - Wie verhält sich ein lineares Polynom mal \(e^{-0{,}5x}\) für \(x\to\infty\)?

1. Der vertikale Abstand zwischen Graph und Gerade ist \(d(x)=f(x)-2=xe^{-0{,}5x}\ge0\). Daher gilt \(A=\int_0^{\infty}xe^{-0{,}5x}\,\mathrm{d}x\). 2. Die angegebene Funktion erfüllt mit der Produktregel \(D'(x)=xe^{-0{,}5x}=d(x)\). 3. Somit ist \(A=\lim_{b\to\infty}[(-2x-4)e^{-0{,}5x}]_0^b\). 4. Wegen \(\lim_{b\to\infty}(-2b-4)e^{-0{,}5b}=0\) folgt \(A=4\).

\(A=4\,\text{FE}\)

- Achte darauf, alle Längenangaben in die Basiseinheit Meter umzurechnen, bevor du rechnest. - Erinnere dich an die Regel für das Integrieren von Potenzfunktionen \(x^n\). - Ein uneigentliches Integral mit einer unendlichen Grenze wird berechnet, indem man zunächst eine Variable (z. B. \(b\)) einsetzt und dann den Grenzwert für \(b \to \infty\) betrachtet. - Was bedeutet es physikalisch, wenn der Abstand \(r\) gegen Unendlich geht?

1. Umrechnung der Radien in Meter: \(R = 4 \cdot 10^6\,\text{m}\) und \(r_2 = 12 \cdot 10^6\,\text{m}\). 2. Bestimmung der Stammfunktion von \(F(r) = k \cdot r^{-2}\): \(\Phi(r) = -\frac{k}{r}\). 3. Berechnung des bestimmten Integrals für Aufgabenteil a): \(W = \left[ -\frac{k}{r} \right]_{4 \cdot 10^6}^{12 \cdot 10^6} = k \cdot \left( \frac{1}{4 \cdot 10^6} - \frac{1}{12 \cdot 10^6} \right)\). 4. Einsetzen der Werte: \(W = 2{,}4 \cdot 10^{13} \cdot \left( 0{,}25 \cdot 10^{-6} - 0{,}0833\dots \cdot 10^{-6} \right) = 2{,}4 \cdot 10^{13} \cdot \frac{1}{6} \cdot 10^{-6} = 4 \cdot 10^6\,\text{J}\). In Megajoule: \(4\,\text{MJ}\). 5. Berechnung des uneigentlichen Integrals für Aufgabenteil b): \(\int_{R}^{\infty} F(r) \, dr = \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{k}{r} \right]_{R}^{b} = \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{k}{b} + \frac{k}{R} \right) = 0 + \frac{k}{R}\). 6. Einsetzen der Werte: \(\frac{2{,}4 \cdot 10^{13}}{4 \cdot 10^6} = 6 \cdot 10^6\,\text{J} = 6\,\text{MJ}\). 7. Interpretation: Dies ist die theoretisch benötigte Energie, um den Satelliten vollständig aus dem Gravitationsfeld des Planeten zu entfernen (Fluchtenergie).

a) \(W = 4\,\text{MJ}\) b) Das Integral hat den Wert \(6 \cdot 10^6\,\text{J}\) (bzw. \(6\,\text{MJ}\)). Es stellt die Energie dar, die benötigt wird, um den Satelliten unendlich weit vom Planeten zu entfernen (Fluchtenergie).

- Wie lässt sich der Flächeninhalt über \([u;4]\) als bestimmtes Integral schreiben? - Welche Stammfunktion besitzt \(x^{-1/2}\)? - Welchen Grenzwert hat \(\sqrt{u}\) für \(u\to0^+\)?

1. Der Flächeninhalt ist \(A(u)=\int_u^4x^{-1/2}\,\mathrm{d}x\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=2\sqrt{x}\). 3. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(A(u)=[2\sqrt{x}]_u^4=4-2\sqrt{u}\). 4. Für \(u\to0^+\) gilt \(\sqrt{u}\to0\). Daher ist \(\lim_{u\to0^+}A(u)=4\).

\(A(u)=4-2\sqrt{u}\) \(\lim_{u\to0^+}A(u)=4\)

- Erinnere dich an die Regel für die Integration von Exponentialfunktionen der Form \(e^{ax}\). - Achte beim Einsetzen der unteren Grenze Null darauf, dass \(e^0\) nicht Null ist. - Überlege dir, wie sich der Graph einer fallenden Exponentialfunktion im Unendlichen verhält.

1. Ansatz für den Flächeninhalt über das bestimmte Integral: \(I(k) = \int_{0}^{k} 4e^{-0{,}5x} \, dx\). 2. Bestimmung einer Stammfunktion von \(g(x)\): \(G(x) = \frac{4}{-0{,}5}e^{-0{,}5x} = -8e^{-0{,}5x}\). 3. Auswertung des Integrals an den Grenzen: \(I(k) = [-8e^{-0{,}5x}]_{0}^{k} = -8e^{-0{,}5k} - (-8e^{0}) = -8e^{-0{,}5k} + 8\). 4. Umformung zu einem übersichtlicheren Term: \(I(k) = 8 - 8e^{-0{,}5k}\). 5. Berechnung des Grenzwerts für \(k \to \infty\): Da \(e^{-0{,}5k} = \frac{1}{e^{0{,}5k}}\) für \(k \to \infty\) gegen \(0\) strebt, folgt \(\lim_{k \to \infty} (8 - 8e^{-0{,}5k}) = 8 - 0 = 8\).

Der Funktionsterm ist \(I(k) = 8 - 8e^{-0{,}5k}\). Der Grenzwert für \(k \to \infty\) beträgt \(8\).

- Welche Ableitung von \(G\) musst du mit \(g\) vergleichen? - Wie berechnest du das bestimmte Integral mithilfe der gegebenen Stammfunktion? - Wie verhält sich ein Polynom mal \(e^k\) für \(k\to-\infty\)?

1. Mit der Produktregel gilt \(G'(x)=(2x-2)e^x+(x^2-2x-1)e^x=(x^2-3)e^x=g(x)\). 2. Damit ist \(I(k)=G(-1)-G(k)=2e^{-1}-(k^2-2k-1)e^k\). 3. Für \(k\to-\infty\) gilt \((k^2-2k-1)e^k\to0\). Deshalb ist \(\lim_{k\to-\infty}I(k)=\frac2e\).

a) \(G'(x)=g(x)\) b) \(I(k)=2e^{-1}-(k^2-2k-1)e^k\) c) \(\lim_{k\to-\infty}I(k)=\frac2e\approx0{,}74\)

- Überlege, was mit den Exponentialtermen passiert, wenn die Variable sehr groß wird. - Kannst du beim Bestimmen der Nullstelle einen gemeinsamen Exponentialfaktor ausklammern? - Für Exponentialfunktionen mit linearer innerer Funktion kannst du die entsprechende Stammfunktionsregel verwenden. - Wie verhalten sich die einzelnen Bestandteile der Flächenformel, wenn die obere Grenze gegen Unendlich strebt?

1. Wegen \(e^{-x}\to0\) und \(e^{-2x}\to0\) gilt \(f(x)\to0\) für \(x\to\infty\). 2. Aus \(3e^{-x}-e^{-2x}=e^{-x}(3-e^{-x})=0\) folgt \(e^{-x}=3\) und damit \(x_0=-\ln 3\). 3. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=-3e^{-x}+\frac12e^{-2x}\). Daher ist \(A(k)=F(k)-F(-\ln3)\). 4. Es gilt \(F(-\ln3)=-\frac92\). Somit ist \(A(k)=\frac92-3e^{-k}+\frac12e^{-2k}\). 5. Für \(k\to\infty\) verschwinden beide Exponentialterme. Daher gilt \(\lim_{k\to\infty}A(k)=\frac92=4{,}5\).

a) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\) b) \(x_0 = -\ln(3)\) c) \(A(k) = 4{,}5 - 3e^{-k} + 0{,}5e^{-2k}\); \(\lim_{k \to \infty} A(k) = 4{,}5\)

- Welche Vorzeichen besitzen Zähler und Nenner für \(x>0\)? - Nutze die angegebene Stammfunktion für \(A(z)\). - Was passiert mit \(2/(z^2+1)\) für \(z\to\infty\)?

1. Für \(x>0\) sind Zähler und Nenner positiv. Daher gilt \(g(x)>0\). 2. Die angegebene Funktion erfüllt \(G'(x)=\frac{4x}{(x^2+1)^2}=g(x)\). 3. Damit ist \(A(z)=\int_0^zg(x)\,\mathrm{d}x=G(z)-G(0)=2-\frac2{z^2+1}\). 4. Für \(z\to\infty\) gilt \(\frac2{z^2+1}\to0\). Somit besitzt die unbegrenzte Fläche den endlichen Inhalt \(2\,\text{FE}\).

a) \(g(x)>0\) für \(x>0\) b) \(A(z)=2-\frac2{z^2+1}\) c) \(\lim_{z\to\infty}A(z)=2\,\text{FE}\)

- Was bedeutet „vollständig aus dem Einflussbereich entfernen“ für die obere Integrationsgrenze? - Erinnere dich daran, wie man ein Integral berechnet, bei dem eine Grenze unendlich ist. - Wandle alle Einheiten (Mikrocoulomb in Coulomb, Zentimeter in Meter) vor der Rechnung in das SI-System um. - Welche Stammfunktion benötigst du für einen Term der Form \(\frac{c}{r^2}\)?

1. Modellierung als uneigentliches Integral: Da die Ladung bis ins Unendliche entfernt wird, lautet der Ansatz für die Arbeit \(W = \int_{r_0}^{\infty} k \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r^2} \, dr\). 2. Berechnung des Grenzwerts: \(W = \lim_{b \to \infty} \int_{r_0}^{b} k \cdot Q_1 \cdot Q_2 \cdot r^{-2} \, dr = k \cdot Q_1 \cdot Q_2 \cdot \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{r_0}^{b}\). 3. Auswertung der Stammfunktion: \(\lim_{b \to \infty} \left( -\frac{1}{b} - (-\frac{1}{r_0}) \right) = 0 + \frac{1}{r_0} = \frac{1}{r_0}\). Somit gilt \(W = \frac{k \cdot Q_1 \cdot Q_2}{r_0}\). 4. Einsetzen der Werte: Mit \(Q_1 = 5 \cdot 10^{-5}\,\text{C}\), \(Q_2 = 2 \cdot 10^{-5}\,\text{C}\) und \(r_0 = 0{,}1\,\text{m}\) ergibt sich \(W = \frac{8{,}99 \cdot 10^9 \cdot 10^{-9}}{0{,}1} = \frac{8{,}99}{0{,}1} = 89{,}9\,\text{J}\).

Das elektrische Feld verrichtet eine Arbeit von \(89{,}9\,\text{J}\).

- Liegt zwischen den beiden Integrationsgrenzen eine Stelle, an der die Funktion nicht definiert ist? - Ein uneigentliches Integral mit einer inneren Polstelle muss an dieser Stelle in zwei Grenzwerte aufgeteilt werden. - Untersuche die Annäherung an \(x=3\) von links und von rechts getrennt. - Nur wenn beide Teilintegrale endlich konvergieren, existiert das uneigentliche Integral über das gesamte Intervall.

1. Eine Stammfunktion von \(h\) ist \(H(x)=\ln|x-3|\). Daher gilt \(\int_4^6h(x)\,dx=[\ln|x-3|]_4^6=\ln3\). 2. Im Intervall \([2;4]\) liegt bei \(x=3\) eine Polstelle. Deshalb muss das Integral dort in zwei uneigentliche Integrale aufgeteilt werden. 3. Links gilt \(\lim_{t\to3^-}\int_2^t\frac{1}{x-3}\,dx=\lim_{t\to3^-}(\ln|t-3|-\ln1)=-\infty\). 4. Rechts gilt \(\lim_{s\to3^+}\int_s^4\frac{1}{x-3}\,dx=\lim_{s\to3^+}(\ln1-\ln(s-3))=+\infty\). 5. Da die beiden Teilintegrale nicht endlich konvergieren, divergiert \(\int_2^4h(x)\,dx\). Die äußeren Stammfunktionswerte dürfen nicht direkt subtrahiert werden, weil die Funktion innerhalb des Intervalls an \(x=3\) nicht definiert ist.

a) \(\ln3 \approx 1{,}099\) b) Das uneigentliche Integral divergiert. Beide Seiten der Polstelle müssen getrennt untersucht werden; die zugehörigen Grenzwerte sind nicht endlich.

- Welche erste Ableitung liefert die Tangentensteigung bei \(x=0\)? - Wo schneidet die Tangente die \(x\)-Achse? - Warum wird ab dieser Stelle nur noch die Fläche unter \(f\) berücksichtigt? - Welcher Exponentialterm verschwindet für \(k\to\infty\)?

1. Es ist \(f'(x)=-e^{-0{,}5x}\), also \(f'(0)=-1\). Mit \(P(0\mid2)\) folgt \(t(x)=-x+2\). 2. Die Tangente schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=2\). Daher gilt für b) \(A=\int_0^6f(x)\,\mathrm{d}x-\int_0^2t(x)\,\mathrm{d}x\). 3. Es ist \(\int_0^6 2e^{-0{,}5x}\,\mathrm{d}x=4-4e^{-3}\) und \(\int_0^2(-x+2)\,\mathrm{d}x=2\). Somit ist \(A=2-4e^{-3}\). 4. Für \(k>2\) gilt entsprechend \(A(k)=\int_0^k f(x)\,\mathrm{d}x-2=2-4e^{-0{,}5k}\). 5. Wegen \(e^{-0{,}5k}\to0\) ist \(\lim_{k\to\infty}A(k)=2\).

a) \(t(x)=-x+2\) b) \(A=2-4e^{-3}\,\text{FE}\approx1{,}801\,\text{FE}\) c) \(A(k)=2-4e^{-0{,}5k}\), \(\lim_{k\to\infty}A(k)=2\,\text{FE}\)

- Welche erste Ableitung liefert die Tangentensteigung bei \(x=1\)? - Wo wechselt die untere Begrenzung von der Tangente zur \(x\)-Achse? - Welche Stammfunktion besitzt \(4(x+1)^{-2}\)? - Welcher Term verschwindet für \(k\to\infty\)?

1. Es ist \(f(1)=1\) und \(f'(x)=-8(x+1)^{-3}\), also \(f'(1)=-1\). Die Tangente lautet \(t(x)=-x+2\). 2. Die Tangente schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=2\). Für b) gilt deshalb \(A=\int_1^3\frac4{(x+1)^2}\,\mathrm{d}x-\int_1^2(-x+2)\,\mathrm{d}x=1-\frac12=\frac12\). 3. Für eine rechte Grenze \(k>2\) ist \(A(k)=\int_1^k\frac4{(x+1)^2}\,\mathrm{d}x-\frac12=\frac32-\frac4{k+1}\). 4. Daher ist \(\lim_{k\to\infty}A(k)=\frac32\).

a) \(t(x)=-x+2\) b) \(A=0{,}5\,\text{FE}\) c) \(\lim_{k\to\infty}A(k)=1{,}5\,\text{FE}\)

- Wie lautet der Integralansatz für \(A(k)\)? - Welche Beziehung besteht zwischen dem Faktor \(x\) und der ersten Ableitung des Exponenten? - Was passiert mit \(e^{-0{,}5k^2}\) für \(k\to\infty\)?

1. Es gilt \(A(k)=\int_0^k2xe^{-0{,}5x^2}\,\mathrm{d}x\). 2. Da die Ableitung des Exponenten \(-0{,}5x^2\) gleich \(-x\) ist, ist \(-2e^{-0{,}5x^2}\) eine Stammfunktion des Integranden. 3. Somit ist \(A(k)=[-2e^{-0{,}5x^2}]_0^k=2-2e^{-0{,}5k^2}\). 4. Für \(k\to\infty\) gilt \(e^{-0{,}5k^2}\to0\). Daher ist \(\lim_{k\to\infty}A(k)=2\).

\(A(k)=2-2e^{-0{,}5k^2}\) \(\lim_{k\to\infty}A(k)=2\,\text{FE}\)

- Nutze die angegebene Stammfunktion und ersetze die unendliche Grenze zunächst durch \(k\). - Wie verhält sich ein Polynom mal \(e^{-k}\) für \(k\to\infty\)? - Welchen Wert hat die Stammfunktion bei \(x=0\)?

1. Die angegebene Funktion erfüllt \(G'(x)=g(x)\). 2. Daher ist \(\int_0^{\infty}g(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{k\to\infty}[G(x)]_0^k\). 3. Wegen \((k^2+2k+2)e^{-k}\to0\) gilt \(G(k)\to0\). 4. Da \(G(0)=-1\), ist der Integralwert \(0-(-1)=1\).

\(\int_0^{\infty}g(x)\,\mathrm{d}x=1\)

- Nutze die angegebene Stammfunktion für das uneigentliche Integral. - Wie verhält sich ein lineares Polynom mal \(e^{-k}\) für große \(k\)? - Welchen Wert hat \(F(0)\)?

1. Die angegebene Funktion erfüllt \(F'(x)=(2x+3)e^{-x}=f(x)\). 2. Der Flächeninhalt ist \(A=\int_0^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{k\to\infty}[F(x)]_0^k\). 3. Wegen \((-2k-5)e^{-k}\to0\) gilt \(F(k)\to0\). 4. Da \(F(0)=-5\), folgt \(A=5\). Der Flächeninhalt ist endlich.

\(A=5\,\text{FE}\)

- Wie verhält sich eine fallende Exponentialfunktion im Vergleich zu einer Potenzfunktion für große \(x\)? - Nutze die angegebene Stammfunktion für das uneigentliche Integral. - Welchen Grenzwert hat \(F(k)\) für \(k\to\infty\)?

1. Für \(x\to\infty\) gilt \(x^2e^{-0{,}5x}\to0\), weil die fallende Exponentialfunktion jede Potenz dominiert. 2. Die angegebene Funktion erfüllt \(F'(x)=f(x)\). 3. Daher ist \(\int_0^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{k\to\infty}[F(x)]_0^k\). 4. Wegen \(F(k)\to0\) und \(F(0)=-16\) ergibt sich der Integralwert \(16\).

a) \(\lim_{x\to\infty}f(x)=0\) b) \(\int_0^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=16\)

- Welche Ableitung von \(F\) musst du mit \(f\) vergleichen? - Wie erhältst du \(A(b)\) aus den Stammfunktionswerten an \(0\) und \(b\)? - Welche Logarithmusgesetze helfen bei der Grenzwertbetrachtung?

1. Ableiten liefert \(F'(x)=4-\frac{4e^{2x}}{e^{2x}+1}=\frac4{e^{2x}+1}=f(x)\). Damit ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\). 2. Es gilt \(A(b)=\int_0^bf(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(0)\), also \(A(b)=4b-2\ln(e^{2b}+1)+2\ln2\). 3. Umgeformt ist \(A(b)=2\ln\left(\frac{e^{2b}}{e^{2b}+1}\right)+\ln4\). 4. Für \(b\to\infty\) geht der Quotient gegen \(1\). Daher ist \(\lim_{b\to\infty}A(b)=\ln4\).

a) \(F'(x)=f(x)\) b) \(A(b)=4b-2\ln(e^{2b}+1)+2\ln2\) c) \(\lim_{b\to\infty}A(b)=\ln4\approx1{,}386\)

- Welches Vorzeichen hat \(f_a(x)\) für \(x\ge a\)? - Schreibe den Funktionsterm als Summe von Potenzen von \(x\). - Welche Terme verschwinden für \(u\to\infty\)?

1. Für \(x\ge a\) gilt \(f_a(x)\ge0\). Daher ist \(A(u)=\int_a^u\left(x^{-2}-ax^{-3}\right)\,\mathrm{d}x\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F_a(x)=-\frac1x+\frac{a}{2x^2}\). 3. Damit ist \(A(u)=F_a(u)-F_a(a)=\frac1{2a}-\frac1u+\frac{a}{2u^2}\). 4. Für \(u\to\infty\) verschwinden die beiden \(u\)-abhängigen Brüche. Daher ist \(\lim_{u\to\infty}A(u)=\frac1{2a}\).

\(A(u)=\frac1{2a}-\frac1u+\frac{a}{2u^2}\) \(\lim_{u\to\infty}A(u)=\frac1{2a}\)

- Schreibe den Funktionsterm als Summe von Potenzen von \(x\). - Welche Stammfunktion erhältst du mit der Potenzregel? - Was passiert beim Einsetzen der unteren Grenze \(x=k\) mit den Potenzen von \(k\)?

1. Es ist \(g_k(x)=kx^{-2}-k^2x^{-3}\). Eine Stammfunktion lautet \(G_k(x)=-\frac{k}{x}+\frac{k^2}{2x^2}\). 2. Damit ist \(\int_k^{\infty}g_k(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{u\to\infty}\left[G_k(x)\right]_k^u=0-\left(-1+\frac12\right)=\frac12\). 3. An der unteren Grenze \(x=k\) kürzt sich \(k\) in beiden Quotienten vollständig; die Terme an der oberen Grenze verschwinden. Daher bleibt der konstante Wert \(\frac12\).

a) \(\int_k^{\infty}g_k(x)\,\mathrm{d}x=\frac12\) b) Beim Einsetzen von \(x=k\) kürzt sich der Parameter vollständig; die obere Grenzwertauswertung liefert \(0\).

- Überlege dir zuerst, durch welche uneigentlichen Integrale die beiden Flächen \(A_1\) und \(A_2\) mathematisch beschrieben werden. - Bestimme eine Stammfunktion \(F(x)\) der Funktion \(f(x) = \frac{3}{x\sqrt{x}}\). Tipp: Schreibe den Funktionsterm als Potenz mit rationalem Exponenten. - Ersetze die problematische Grenze (entweder \(0\) oder \(\infty\)) durch eine Variable \(z\) und berechne das bestimmte Integral in Abhängigkeit von \(z\). - Untersuche anschließend das Verhalten des Terms, wenn \(z\) gegen die jeweilige Grenze strebt. - Wenn der Grenzwert eine endliche Zahl ist, existiert der Flächeninhalt und entspricht diesem Wert. Wenn der Grenzwert unendlich ist, besitzt die Fläche keinen endlichen Inhalt.

1. Für \(A_1\) gilt \(\lim_{z\to0^+}\int_z^1 3x^{-3/2}\,\mathrm{d}x=\lim_{z\to0^+}\left[-\frac{6}{\sqrt{x}}\right]_z^1=\lim_{z\to0^+}\left(-6+\frac{6}{\sqrt{z}}\right)=\infty\). Daher besitzt \(A_1\) keinen endlichen Flächeninhalt. 2. Für \(A_2\) gilt \(\lim_{z\to\infty}\int_1^z 3x^{-3/2}\,\mathrm{d}x=\lim_{z\to\infty}\left[-\frac{6}{\sqrt{x}}\right]_1^z=6\). Daher besitzt \(A_2\) den endlichen Flächeninhalt \(6\).

\(A_1\): Die Fläche hat keinen endlichen Flächeninhalt. \(A_2\): Die Fläche hat einen endlichen Flächeninhalt von \(6\).

- Schreibe das Integral bis unendlich zunächst als Grenzwert mit einer endlichen oberen Grenze. - Entscheidend für die Konvergenz ist das Grenzverhalten der Exponentialterme in einer Stammfunktion. - Prüfe die Einheit, indem du die Einheit der Konzentration mit der Zeiteinheit multiplizierst. - Welche zusätzliche physikalische Größe wäre nötig, um aus einer Konzentration eine transportierte Masse zu bestimmen?

1. Man schreibt das uneigentliche Integral als Grenzwert \(B=\lim_{T\to\infty}\int_0^T c(t)\,\text{d}t\). 2. Eine Stammfunktion von \(c\) ist \(C(t)=25(-20e^{-0{,}05t}+4e^{-0{,}25t})\). Für \(t\to\infty\) streben beide Exponentialterme gegen \(0\), also besitzt \(C(t)\) einen endlichen Grenzwert. Damit konvergiert das uneigentliche Integral. 3. Es gilt \(B=\lim_{T\to\infty}(C(T)-C(0))=0-25(-20+4)=400\,\frac{\text{mg}\cdot\text{min}}{\text{L}}\). 4. Der Wert beschreibt die über die Zeit aufsummierte Konzentrationsbelastung an der Messstelle. Die Einheit entsteht aus Konzentration mal Zeit. Für eine Schadstoffmasse müsste zusätzlich ein Volumenstrom berücksichtigt werden.

a) Das Integral konvergiert, weil die verwendete Stammfunktion für \(t\to\infty\) einen endlichen Grenzwert besitzt. b) \(B=400\,\frac{\text{mg}\cdot\text{min}}{\text{L}}\) c) \(B\) ist eine Konzentrations-Zeit-Belastung an der Messstelle, keine Schadstoffmasse; für eine Masse wäre zusätzlich ein Volumenstrom nötig.

- Stelle zunächst die Differenzfunktion auf, um den Abstand zwischen den Graphen zu beschreiben. - Beschreibe die nach rechts unbegrenzte Fläche durch ein Integral mit variabler oberer Grenze. - Was passiert mit der Stammfunktion, wenn die obere Grenze immer größer wird? - Geht \(1/x\) „schnell genug“ gegen null, damit das Integral einen endlichen Wert liefert?

1. Aufstellen des Integrals für die unbegrenzte Fläche ab \(x=2\): \(A = \int_{2}^{\infty} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{2}^{\infty} \left( \frac{2}{x} + 0{,}5 - 0{,}5 \right) \, dx = \int_{2}^{\infty} \frac{2}{x} \, dx\). 2. Finden der Stammfunktion von \(\frac{2}{x}\): \(F(x) = 2\ln|x|\). 3. Untersuchung des Grenzwerts für \(x \to \infty\): \(\lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} \frac{2}{x} \, dx = \lim_{b \to \infty} [2 \ln|x|]_2^b = \lim_{b \to \infty} (2 \ln(b) - 2 \ln(2))\). 4. Da \(\ln(b)\) für \(b \to \infty\) gegen unendlich strebt, divergiert das Integral. 5. Ergebnis: Die Fläche besitzt keinen endlichen Inhalt.

Die Fläche besitzt keinen endlichen Inhalt; der Flächeninhalt ist unendlich.

- Untersuche bei beiden markierten Flächen, an welcher Integrationsgrenze der uneigentliche Charakter entsteht. - Bei \(A_1\) musst du den Grenzübergang an der Stelle \(x=0\) betrachten. - Bei \(A_2\) musst du das Verhalten für eine obere Grenze untersuchen, die gegen \(\infty\) wächst.

1. Für \(A_1\) gilt \(A_1=\lim_{a\to0^+}\int_a^1 x^{-1/3}\,\mathrm{d}x=\lim_{a\to0^+}\left[\frac{3}{2}x^{2/3}\right]_a^1=\frac{3}{2}\). Die Fläche ist endlich. 2. Für \(A_2\) gilt \(A_2=\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-1/3}\,\mathrm{d}x=\lim_{b\to\infty}\left[\frac{3}{2}x^{2/3}\right]_1^b=\infty\). Die Fläche besitzt keinen endlichen Inhalt.

\(A_1\): Die Fläche hat den endlichen Inhalt \(1{,}5\,\text{FE}\). \(A_2\): Die Fläche hat keinen endlichen Inhalt.

- Überlege, welcher Faktor im Produkt für sehr große \(x\)-Werte das Verhalten bestimmt. - Ersetze die unendliche obere Grenze zunächst durch eine Variable und bilde erst am Ende den Grenzwert. - Prüfe die angegebene Stammfunktion durch einmaliges Ableiten.

1. Im Funktionsterm \(f(x)=(3x+2)e^{-0{,}5x}\) dominiert für \(x\to\infty\) der exponentielle Zerfall den linearen Faktor. Daher gilt \(\lim_{x\to\infty}f(x)=0\). 2. Für den Flächeninhalt gilt \(A=\lim_{b\to\infty}\int_0^b(3x+2)e^{-0{,}5x}\,\mathrm{d}x\). 3. Durch Ableiten erhält man \(F'(x)=-6e^{-0{,}5x}+\frac{1}{2}(6x+16)e^{-0{,}5x}=(3x+2)e^{-0{,}5x}=f(x)\). 4. Somit ist \(A=\lim_{b\to\infty}[F(x)]_0^b=16\), da \((6b+16)e^{-0{,}5b}\to0\).

a) Es gilt \(f(x)\to0\) für \(x\to\infty\). b) Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt \(16\,\text{FE}\).

- Vergleiche die beiden uneigentlichen Integrale getrennt. - Achte auf den Sonderfall bei der Stammfunktion von \(\frac{1}{x}\). - Entscheidend ist jeweils der Grenzwert bei wachsender oberer Integrationsgrenze.

1. Für \(g\) gilt \(A_g=\lim_{b\to\infty}\int_1^b4x^{-2}\,\mathrm{d}x=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{4}{x}\right]_1^b=4\). 2. Für \(h\) gilt \(A_h=\lim_{b\to\infty}\int_1^b\frac{4}{x}\,\mathrm{d}x=\lim_{b\to\infty}[4\ln x]_1^b\). Da \(\ln b\to\infty\), divergiert das Integral; die Fläche hat keinen endlichen Inhalt.

a) \(A_g=4\,\text{FE}\). b) Die Fläche unter \(h\) hat keinen endlichen Inhalt.

- Erinnere dich an die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die \(x\)-Achse. - Überlege dir, wie man ein uneigentliches Integral mit einer variablen oberen Grenze berechnet. - Welche Bedingung muss für den Exponenten einer Potenzfunktion \(x^n\) gelten, damit der Grenzwert für \(x \to \infty\) gegen Null geht? - Vergiss nicht den Sonderfall, in dem die Stammfunktion ein natürlicher Logarithmus ist.

1. Das Volumen eines Rotationskörpers über dem Intervall \([1; \infty[\) ist definiert durch \(V = \pi \cdot \int_{1}^{\infty} (f_k(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{1}^{\infty} x^{-2k} \, dx\). 2. Berechnung des unbestimmten Integrals: Für \(2k \neq 1\) ist \(\int x^{-2k} \, dx = \frac{x^{-2k+1}}{-2k+1}\). Für \(2k = 1\) (also \(k = 0{,}5\)) ist \(\int x^{-1} \, dx = \ln|x|\). 3. Untersuchung des Grenzwerts für \(x \to \infty\): - Falls \(k = 0{,}5\): \(\lim_{z \to \infty} [\ln|x|]_1^z = \infty\) (divergent). - Falls \(k \neq 0{,}5\): \(\lim_{z \to \infty} \left[ \frac{x^{1-2k}}{1-2k} \right]_1^z\) existiert nur, wenn der Exponent negativ ist: \(1-2k < 0 \iff k > 0{,}5\). 4. Für \(k > 0{,}5\) ergibt sich der Wert des Integrals zu \(0 - \frac{1}{1-2k} = \frac{1}{2k-1}\). 5. Das endliche Volumen lautet somit \(V(k) = \frac{\pi}{2k-1}\) für \(k > 0{,}5\).

Das Volumen ist für \(k > 0{,}5\) endlich. Die Formel lautet \(V(k) = \frac{\pi}{2k-1}\).

- Nutze die im Aufgabentext angegebenen Stammfunktionen und untersuche jeweils ihren Grenzwert für \(x\to\infty\). - Welche Rolle spielt das Vorzeichen des Exponenten \(1-a\) im Term \((\ln x)^{1-a}\)? - Betrachte den Sonderfall \(a=1\) getrennt. - Ein endlicher Flächeninhalt liegt nur vor, wenn der Grenzwert des uneigentlichen Integrals endlich ist.

1. Der Flächeninhalt wird durch \(A(a)=\int_e^{\infty}\frac{1}{x(\ln x)^a}\,dx\) beschrieben. 2. Für \(a>1\) gilt \(1-a<0\), also \((\ln x)^{1-a}\to0\) für \(x\to\infty\). Damit ist \(A(a)=0-\frac{1^{1-a}}{1-a}=\frac{1}{a-1}\). 3. Für \(a=1\) wächst \(F_1(x)=\ln(\ln x)\) unbegrenzt; das Integral divergiert. 4. Für \(a<1\) ist \(1-a>0\), sodass \((\ln x)^{1-a}\to\infty\). Auch dann divergiert das Integral. 5. Das Integral konvergiert daher genau für \(a>1\). Für \(a=3\) ist \(A(3)=\frac{1}{2}=0{,}5\).

Für \(a > 1\) hat die Fläche einen endlichen Inhalt von \(A(a) = \frac{1}{a-1}\). Für \(a \le 1\) besitzt die Fläche keinen endlichen Inhalt. Für \(a = 3\) beträgt der Flächeninhalt \(0{,}5\).

- Nutze die allgemeine Potenzregel für Integrale. Welchen Sonderfall musst du bei der Wahl des Exponenten beachten? - Untersuche das Verhalten des Terms \(x^{-n+1}\) für sehr große \(x\). Welchen Einfluss hat das Vorzeichen des Exponenten? - Denke an die spezielle Stammfunktion der Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\).

1. Aufgabenteil a): Bestimmung der Stammfunktion von \(150x^{-4}\) als \(\Phi(x) = \frac{150}{-3} x^{-3} = -\frac{50}{x^3}\). Berechnung des Grenzwerts: \(\lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{50}{x^3} \right]_1^b = \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{50}{b^3} + 50 \right) = 50\). 2. Aufgabenteil b): Allgemeine Stammfunktion für \(n \neq 1\) ist \(\Phi(x) = \frac{C}{-n+1} x^{-n+1}\). Das uneigentliche Integral ist \(\lim_{b \to \infty} \left[ \frac{C}{(1-n)x^{n-1}} \right]_1^b\). Da \(n > 1\), gilt \(n-1 > 0\) und somit \(\lim_{b \to \infty} \frac{1}{b^{n-1}} = 0\). Das Ergebnis ist \(0 - \frac{C}{(1-n) \cdot 1^{n-1}} = \frac{C}{n-1}\). 3. Aufgabenteil c): Für \(n = 1\) ist \(F(x) = \frac{C}{x}\). Die Stammfunktion ist \(\Phi(x) = C\ln(x)\). Der Grenzwert \(\lim_{b \to \infty} [C\ln(x)]_1^b = \lim_{b \to \infty} (C\ln(b) - 0)\) existiert nicht, da die Logarithmusfunktion für \(b \to \infty\) gegen Unendlich strebt. Das Integral divergiert.

a) \(50\) b) \(I = \frac{C}{n-1}\) c) Die Stammfunktion ist \(C\ln(x)\). Da \(\lim_{x \to \infty} \ln(x) = \infty\), besitzt das uneigentliche Integral keinen endlichen Wert.

- Hier liegt eine Unstetigkeitsstelle am Rand des Integrationsbereichs vor. Wie berechnest du hier den Flächeninhalt? - Welche Stammfunktion gehört zu \(x^{-0{,}5}\) und welche zu \(\frac{1}{x}\)? - Überlege, wie sich die Funktionen \(\sqrt{x}\) und \(\ln(x)\) verhalten, wenn \(x\) gegen Null geht.

1. Aufstellen des uneigentlichen Integrals für den Flächeninhalt aufgrund der Polstelle bei \(x=0\): \(A = \int_{0}^{1} x^{-0{,}5} \, dx\). 2. Bildung der Stammfunktion \(G(x) = 2\sqrt{x}\). 3. Grenzwertberechnung an der unteren Grenze: \(\lim_{a \to 0^+} [2\sqrt{x}]_a^1 = 2\sqrt{1} - \lim_{a \to 0^+} 2\sqrt{a} = 2 - 0 = 2\). Der Flächeninhalt ist mit \(A = 2\) endlich. 4. Aufstellen des Integrals für das Rotationsvolumen: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{1} (g(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \, dx\). 5. Verwendung der Stammfunktion \(\ln|x|\). 6. Untersuchung des Grenzwerts: \(\pi \cdot \lim_{a \to 0^+} [\ln(x)]_a^1 = \pi \cdot (\ln(1) - \lim_{a \to 0^+} \ln(a)) = \pi \cdot (0 - (-\infty)) = \infty\). Das Volumen ist unendlich.

Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt \(A = 2\). Das Volumen des Rotationskörpers ist unendlich groß.

- Kannst du die Funktion als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben? - Wie lautet die allgemeine Formel für das Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die \(x\)-Achse? - Was musst du beachten, wenn eine der Integrationsgrenzen im Unendlichen liegt oder die Funktion dort nicht definiert ist? - Erinnere dich an den Grenzwert von \(\frac{1}{x^n}\) für \(x \to \infty\) und \(x \to 0\).

1. Aufstellen des Integrals für das Volumen bei Rotation um die \(x\)-Achse: \(V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 \,\text{d}x\). Hier ist \((f(x))^2 = \left(\frac{2}{x^{3/4}}\right)^2 = \frac{4}{x^{3/2}} = 4x^{-3/2}\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(\int 4x^{-3/2} \,\text{d}x = 4 \cdot \frac{x^{-1/2}}{-1/2} = -8x^{-1/2} = -\frac{8}{\sqrt{x}}\). 3. Untersuchung für \(I_1 = [1; \infty[\): \(V_1 = \pi \cdot \lim_{k \to \infty} \left[ -\frac{8}{\sqrt{x}} \right]_1^k = \pi \cdot \lim_{k \to \infty} \left( -\frac{8}{\sqrt{k}} - (-8) \right) = \pi \cdot (0 + 8) = 8\pi\). Das Volumen ist endlich. 4. Untersuchung für \(I_2 = ]0; 1]\): \(V_2 = \pi \cdot \lim_{k \to 0^+} \left[ -\frac{8}{\sqrt{x}} \right]_k^1 = \pi \cdot \lim_{k \to 0^+} \left( -8 - (-\frac{8}{\sqrt{k}}) \right) = \pi \cdot (-8 + \infty) = \infty\). Das Volumen ist unendlich groß.

Das Volumen über \(I_1 = [1; \infty[\) ist endlich und beträgt \(V_1 = 8\pi\). Das Volumen über \(I_2 = ]0; 1]\) ist unendlich groß.

- Welche beiden uneigentlichen Integrale beschreiben den Flächeninhalt und das Rotationsvolumen? - Untersuche bei beiden Integralen den Grenzwert der jeweils benötigten Stammfunktion für eine immer größere obere Grenze. - Warum kann das Quadrieren der Radienfunktion das Konvergenzverhalten gegenüber dem Flächenintegral verändern?

1. Flächeninhalt berechnen: \(A = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x+2} \,\text{d}x = \lim_{k \to \infty} [\ln|x+2|]_0^k\). 2. Grenzwertbetrachtung für \(A\): \(\lim_{k \to \infty} (\ln(k+2) - \ln(2)) = \infty\). Der Flächeninhalt ist unendlich groß. 3. Volumen berechnen: \(V = \pi \int_{0}^{\infty} (f(x))^2 \,\text{d}x = \pi \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x+2)^2} \,\text{d}x\). 4. Stammfunktion für das Volumen: \(\int (x+2)^{-2} \,\text{d}x = -(x+2)^{-1} = -\frac{1}{x+2}\). 5. Grenzwertbetrachtung für \(V\): \(V = \pi \cdot \lim_{k \to \infty} \left[ -\frac{1}{x+2} \right]_0^k = \pi \cdot \lim_{k \to \infty} \left( -\frac{1}{k+2} - (-\frac{1}{2}) \right) = \pi \cdot (0 + \frac{1}{2}) = \frac{\pi}{2}\).

a) Der Flächeninhalt ist unendlich groß, da \(\lim_{k \to \infty} \int_{0}^{k} f(x) \, dx = \infty\). b) Das Volumen des Rotationskörpers ist endlich und beträgt \(V = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\).

- Nutze die Kettenregel, um die Ableitung der gegebenen Funktion zu bilden. - Was passiert mit dem Term \(e^{-kz^2}\), wenn \(z\) betragsmäßig sehr groß wird? - Welche Bedeutung hat das Integral über \(x \cdot f(x)\) in der Stochastik? - Überlege dir, wie der Vorfaktor in der allgemeinen Formel der Normalverteilung von \(\sigma\) abhängt.

a) Nachweis der Stammfunktion durch Ableiten von \(g(z) = -e^{-\frac{1}{2}z^2}\) unter Verwendung der Kettenregel: \(g'(z) = -e^{-\frac{1}{2}z^2} \cdot (-\frac{1}{2} \cdot 2z) = z \cdot e^{-\frac{1}{2}z^2} = h(z)\). b) Berechnung des Erwartungswerts: \(\int_{-\infty}^{+\infty} z \cdot \phi(z) \, dz = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} z \cdot e^{-\frac{1}{2}z^2} \, dz = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left[ -e^{-\frac{1}{2}z^2} \right]_{-\infty}^{+\infty}\). Da \(\lim_{z \to \pm\infty} e^{-\frac{1}{2}z^2} = 0\), ergibt das Integral den Wert \(0\). Dies entspricht dem Erwartungswert \(\mu = 0\) der Standardnormalverteilung. c) Maximalwert bei \(z=0\): \(\phi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^0 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}3989\). Bei größerem \(\sigma\) wird der Vorfaktor \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\) kleiner, die Kurve wird also flacher und das Maximum sinkt.

a) Die Ableitung von \(g(z) = -e^{-\frac{1}{2}z^2}\) ergibt \(g'(z) = z \cdot e^{-\frac{1}{2}z^2}\), womit die Stammfunktionseigenschaft gezeigt ist. b) Das Integral hat den Wert \(0\); dies entspricht dem Erwartungswert \(\mu\). c) Der maximale Wert beträgt \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}3989\). Bei einer größeren Standardabweichung \(\sigma\) verringert sich die maximale Höhe der Glockenkurve.

- Welcher Faktor bestimmt die Nullstelle der Funktion? - Wie verhält sich ein lineares Polynom mal \(e^{0{,}5x}\) für \(x\to-\infty\)? - Welche Ableitung von \(F\) musst du mit \(f\) vergleichen? - Für die nach links unbegrenzte Fläche brauchst du einen Grenzwert der unteren Integrationsgrenze.

1. Aus \(4-2x=0\) folgt die einzige Nullstelle \(x=2\). 2. Für \(x\to-\infty\) gilt \((4-2x)e^{0{,}5x}\to0\), weil der Exponentialterm schneller gegen \(0\) strebt als der lineare Faktor wächst. 3. Mit der Produktregel ist \(F'(x)=-4e^{0{,}5x}+(16-4x)\cdot0{,}5e^{0{,}5x}=(4-2x)e^{0{,}5x}=f(x)\). 4. Im ersten Quadranten gilt \(A_1=\int_0^2f(x)\,\mathrm{d}x=F(2)-F(0)=8e-16\). 5. Für die nach links unbegrenzte Fläche gilt \(A=\lim_{k\to-\infty}[F(x)]_k^2=F(2)-0=8e\).

a) \(x=2\) b) \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=0\) c) \(F'(x)=f(x)\) d) \(A_1=8e-16\,\text{FE}\approx5{,}75\,\text{FE}\) e) \(A=8e\,\text{FE}\approx21{,}75\,\text{FE}\)

- Teile die Fläche an der Stelle auf, an der der Graph die Höhe \(k\) unterschreitet. - Verwende die Potenzregeln für die Integration und achte auf die Brüche im Exponenten. - Was bedeutet der Grenzübergang \(k \to \infty\) für den Flächeninhalt unter einem Graphen mit einer Polstelle bei \(x=0\)?

1. Berechnung des Schnittpunkts von \(g(x)\) und der horizontalen Geraden: \(x^{-2/3} = k \implies x^{2/3} = \frac{1}{k} \implies x = k^{-3/2} = \frac{1}{k\sqrt{k}}\). 2. Berechnung der Teilfläche des Rechtecks über dem Intervall \([0; k^{-3/2}]\) mit Höhe \(k\): \(A_{\text{Rechteck}} = k \cdot k^{-3/2} = k^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{k}}\). 3. Berechnung der Fläche unter dem Graphen im Intervall \([k^{-3/2}; 1]\): \(\int_{k^{-3/2}}^{1} x^{-2/3} \, dx = [3x^{1/3}]_{k^{-3/2}}^{1} = 3(1)^{1/3} - 3(k^{-3/2})^{1/3} = 3 - 3k^{-1/2} = 3 - \frac{3}{\sqrt{k}}\). 4. Addition der Teilflächen: \(A(k) = \frac{1}{\sqrt{k}} + 3 - \frac{3}{\sqrt{k}} = 3 - \frac{2}{\sqrt{k}}\). 5. Bestimmung des Grenzwerts: \(\lim_{k \to \infty} (3 - \frac{2}{\sqrt{k}}) = 3\).

\(A(k) = 3 - \frac{2}{\sqrt{k}}\). Der Grenzwert für \(k \to \infty\) beträgt \(3\).

- Welche erste Ableitung liefert die Tangentensteigung bei \(x=3\)? - An welcher Stelle schneidet die Tangente die \(x\)-Achse? - Warum muss der Flächenansatz dort in zwei Integrale zerlegt werden? - Welcher Term verschwindet für \(b\to\infty\)?

1. Es ist \(f(3)=2\) und \(f'(x)=-36x^{-3}\), also \(f'(3)=-\frac43\). Damit lautet die Tangente \(t(x)=-\frac43x+6\). 2. Die Tangente schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=4{,}5\). Deshalb wechselt dort die untere Begrenzung der Fläche. 3. Somit ist \(A_b=\int_3^{4{,}5}(f(x)-t(x))\,\mathrm{d}x+\int_{4{,}5}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x\). 4. Das erste Integral hat den Wert \(0{,}5\), das zweite den Wert \(4-\frac{18}{b}\). Daher ist \(A_b=4{,}5-\frac{18}{b}\). 5. Für \(b\to\infty\) gilt \(A_b\to4{,}5\). Die nach rechts unbegrenzte Fläche besitzt also einen endlichen Inhalt.

a) \(t(x)=-\frac43x+6\) b) \(A_b=4{,}5-\frac{18}{b}\) c) \(\lim_{b\to\infty}A_b=4{,}5\,\text{FE}\); die unbegrenzte Fläche hat einen endlichen Inhalt.

- Bestimme zuerst die Differenzfunktion \(d(x) = f(x) - g(x)\). Was fällt dir bei den beiden Brüchen auf? - Erinnere dich daran, wie man eine Stammfunktion für eine Potenzfunktion der Form \(x^{-n}\) bildet. - Drücke die nach rechts unbegrenzte Fläche als Grenzwert eines bestimmten Integrals mit einer variablen oberen Grenze \(z\) für \(z \to \infty\) aus. - Welchen Wert nimmt der Term \(\frac{6}{z}\) an, wenn \(z\) unendlich groß wird? - Überlege für den letzten Aufgabenteil, was mit dem Bruch \(\frac{6}{a}\) passiert, wenn der Nenner \(a\) immer kleiner wird und sich der Null nähert.

1. Die Differenzfunktion ist \(d(x)=f(x)-g(x)=\frac{6}{x^2}\), eine Stammfunktion ist \(D(x)=-\frac{6}{x}\). 2. Für a) gilt \(A=\lim_{z\to\infty}\int_1^z\frac{6}{x^2}\,\mathrm{d}x=\lim_{z\to\infty}\left[-\frac{6}{x}\right]_1^z=6\). 3. Für b) gilt \(A(a)=\lim_{z\to\infty}\int_a^z\frac{6}{x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{6}{a}\) für \(a>0\). 4. Für c) ist \(\lim_{a\to0^+}A(a)=\infty\). Die gesamte Fläche zwischen den Graphen im Bereich \(x>0\) besitzt daher keinen endlichen Inhalt.

a) Der Flächeninhalt der nach rechts unbegrenzten Fläche für \(x \ge 1\) beträgt \(6\). b) Der Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(a\) lautet \(A(a) = \frac{6}{a}\). c) Für \(a \to 0^+\) gilt \(A(a) \to \infty\). Geometrisch bedeutet dies, dass die gesamte Fläche zwischen den beiden Graphen für \(x > 0\) einen unendlich großen Flächeninhalt besitzt.

- Untersuche für das Maximum das Vorzeichen der ersten Ableitung von \(h_k\). - Vergleiche für große \(x\) das Wachstum des linearen Faktors mit dem exponentiellen Zerfall. - Prüfe die angegebene Stammfunktion durch einmaliges Ableiten, bevor du den Grenzwert des uneigentlichen Integrals bildest. - Nutze Lage und Höhe der Hochpunkte, um die Kurven zuzuordnen.

1. Es gilt \(h_k'(x)=k^2e^{-kx}-k^3xe^{-kx}=k^2e^{-kx}(1-kx)\). Wegen \(k^2e^{-kx}>0\) ist \(h_k'(x)=0\) genau für \(x=\frac{1}{k}\). Die Ableitung wechselt dort von positiv zu negativ, also liegt ein Maximum vor. 2. Für \(x\to\infty\) dominiert der exponentielle Zerfall \(e^{-kx}\) den linearen Faktor \(x\). Daher gilt \(h_k(x)\to0\), also ist die \(x\)-Achse eine waagerechte Asymptote. 3. Ableiten liefert \(H_k'(x)=-ke^{-kx}+(-kx-1)(-k)e^{-kx}=k^2xe^{-kx}=h_k(x)\). Damit gilt \(\int_0^\infty h_k(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{b\to\infty}[H_k(x)]_0^b=1\), weil \((-kb-1)e^{-kb}\to0\). Der Flächeninhalt ist somit für alle \(k>0\) gleich \(1\,\text{FE}\). 4. Für \(k=1\) liegt der Hochpunkt bei \(x=1\) mit Höhe \(\frac{1}{e}\), für \(k=2\) bei \(x=0{,}5\) mit Höhe \(\frac{2}{e}\). Daher gehört \(a\) zu \(k=1\) und \(b\) zu \(k=2\).

a) Das Maximum liegt bei \(x=\frac{1}{k}\). b) Es gilt \(\lim_{x\to\infty}h_k(x)=0\). c) \(\int_0^\infty h_k(x)\,\mathrm{d}x=1\). Der Flächeninhalt ist unabhängig von \(k\). d) \(a\): \(k=1\); \(b\): \(k=2\).