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- Ersetze die unendliche Grenze zunächst durch eine Variable. - Wie lautet die Potenzregel für die Stammfunktion bei negativen Exponenten? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird?

1. Aufstellen des Integrals mit einer variablen oberen Grenze \(z\): \(\int_{1}^{z} 3x^{-4} \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{3}{-3}x^{-3} = -x^{-3} = -\frac{1}{x^3}\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: \(\left[-\frac{1}{x^3}\right]_{1}^{z} = -\frac{1}{z^3} - \left(-\frac{1}{1^3}\right) = 1 - \frac{1}{z^3}\). 4. Grenzwertbetrachtung für \(z \to +\infty\): Da \(\lim_{z \to +\infty} \frac{1}{z^3} = 0\), konvergiert der Ausdruck gegen \(1 - 0 = 1\). Das uneigentliche Integral existiert und hat den Wert \(1\).

Das Integral existiert und sein Wert beträgt \(1\).

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) immer größer wird? - Welche Differenzfunktion beschreibt den Abstand zwischen dem Graphen und seiner Asymptote? - Wie berechnet man den Flächeninhalt einer nach rechts offenen Fläche mithilfe eines Grenzwerts? - Achte beim Integrieren auf das Vorzeichen im Exponenten.

1. Bestimmung des Grenzwerts für \(x \to \infty\): \(\lim_{x \to \infty} (\frac{1}{2}e^{3-x} + 5) = 0 + 5 = 5\), da \(e^{3-x} \to 0\). Die waagerechte Asymptote ist \(y = 5\). 2. Die Differenzfunktion zwischen Graph und Asymptote ist \(d(x) = h(x) - 5 = \frac{1}{2}e^{3-x}\). Da \(d(x) > 0\), liegt der Graph oberhalb der Asymptote. 3. Ansatz für den Flächeninhalt als uneigentliches Integral: \(A = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2}e^{3-x} \,\text{d}x\). 4. Bestimmung einer Stammfunktion von \(d(x)\): \(D(x) = -\frac{1}{2}e^{3-x}\). 5. Auswertung des Grenzwerts: \(A = \lim_{b \to \infty} [-\frac{1}{2}e^{3-x}]_0^b = \lim_{b \to \infty} (-\frac{1}{2}e^{3-b} - (-\frac{1}{2}e^{3-0})) = 0 + \frac{1}{2}e^3\). 6. Der Flächeninhalt ist somit endlich mit \(A = \frac{1}{2}e^3\).

a) Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet \(y = 5\). b) Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt \(A = \frac{1}{2}e^3\).

- Überlege, an welcher Stelle die Funktion nicht definiert ist oder der Integrationsbereich unbeschränkt ist. - Verwende die Definition des uneigentlichen Integrals durch einen Grenzwert. - Bestimme zuerst eine Stammfunktion der Potenzfunktion. - Untersuche das Verhalten der Stammfunktion, wenn die Variable gegen die kritische Grenze strebt.

1. Für Teil a) wird das Integral als Grenzwert an der Stelle \(x=0\) betrachtet: \(\lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{4} x^{-0{,}5} \, dx\). Die Stammfunktion lautet \(F(x) = 2\sqrt{x}\). Der Grenzwert ergibt \(\lim_{a \to 0^+} [2\sqrt{x}]_a^4 = 2\sqrt{4} - \lim_{a \to 0^+} 2\sqrt{a} = 4 - 0 = 4\). Das Integral existiert. 2. Für Teil b) wird der Grenzwert für \(x \to +\infty\) untersucht: \(\lim_{b \to +\infty} \int_{4}^{b} x^{-0{,}5} \, dx\). Dies führt zu \(\lim_{b \to +\infty} [2\sqrt{x}]_4^b = \lim_{b \to +\infty} (2\sqrt{b} - 4) = +\infty\). Das Integral existiert nicht (divergiert).

a) Das Integral existiert, der Wert ist \(4\). b) Das Integral existiert nicht (es divergiert gegen \(+\infty\)).

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Fläche „nach rechts unbegrenzt“ ist? Welches mathematische Werkzeug wird hierfür benötigt? - Stelle das Integral mit einer variablen oberen Grenze \(z\) auf. - Bestimme eine Stammfunktion der Funktion \(f(x) = \frac{8}{x^2}\). - Berechne das bestimmte Integral in den Grenzen von \(2\) bis \(z\). - Untersuche den Grenzwert dieses Terms für \(z \to \infty\). Existiert ein endlicher Wert?

1. Formulierung des uneigentlichen Integrals: Das uneigentliche Integral für die nach rechts unbegrenzte Fläche lautet: \(A = \int_{2}^{\infty} f(x) \,\mathrm{d}x = \int_{2}^{\infty} \frac{8}{x^2} \,\mathrm{d}x\) 2. Grenzwertschreibweise einführen: Wir ersetzen die obere Grenze durch eine Variable \(z\) und betrachten den Grenzwert für \(z \to \infty\): \(A = \lim_{z \to \infty} \int_{2}^{z} \frac{8}{x^2} \,\mathrm{d}x\) 3. Bestimmung der Stammfunktion: Eine Stammfunktion von \(f(x) = 8x^{-2}\) ist \(F(x) = -\frac{8}{x}\). 4. Berechnung des bestimmten Integrals: \(\int_{2}^{z} \frac{8}{x^2} \,\mathrm{d}x = \left[ -\frac{8}{x} \right]_{2}^{z} = -\frac{8}{z} - \left( -\frac{8}{2} \right) = -\frac{8}{z} + 4\) 5. Grenzwert berechnen: \(A = \lim_{z \to \infty} \left( -\frac{8}{z} + 4 \right) = 0 + 4 = 4\) Da der Grenzwert existiert und eine reelle Zahl ist, besitzt die Fläche einen endlichen Flächeninhalt von \(A = 4\).

Die Fläche besitzt einen endlichen Flächeninhalt von \(A = 4\).

- Was bedeutet es mathematisch, dass eine Fläche nach oben unbegrenzt ist? - Überlege, wie du den linken Rand der Fläche, der sich der \(y\)-Achse nähert, mit einem Grenzwert beschreiben kannst. - Bestimme zuerst eine Stammfunktion der gegebenen Funktion. - Berechne das Integral über ein Intervall \([a; 4]\) für ein \(a > 0\). - Untersuche anschließend, was mit dem Wert des Integrals passiert, wenn \(a\) immer näher an \(0\) herankommt.

1. Aufstellen des uneigentlichen Integrals an der unteren Grenze \(0\): \(A = \lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{4} \frac{3}{\sqrt{x}} \,\mathrm{d}x\) 2. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = 3x^{-\frac{1}{2}}\): \(F(x) = 6\sqrt{x}\) 3. Berechnung des bestimmten Integrals in Abhängigkeit von \(a\): \(\int_{a}^{4} 3x^{-\frac{1}{2}} \,\mathrm{d}x = \left[ 6\sqrt{x} \right]_{a}^{4} = 6\sqrt{4} - 6\sqrt{a} = 12 - 6\sqrt{a}\) 4. Grenzwertbetrachtung für \(a \to 0^+\): \(\lim_{a \to 0^+} (12 - 6\sqrt{a}) = 12\) Da der Grenzwert existiert und endlich ist, besitzt die unbegrenzte Fläche einen endlichen Flächeninhalt von \(A = 12\).

Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt \(A = 12\).

- Nutze den Grenzwertbegriff, um das Verhalten des Integrals an der Stelle \(x=0\) zu untersuchen. - Was passiert mit dem Wert des Bruchs \(\frac{1}{x}\), wenn \(x\) immer kleiner wird? - Wenn eine Stammfunktion an einer Grenze über alle Grenzen wächst, existiert kein endlicher Flächeninhalt.

1. Aufstellen des Integrals für die Fläche: \(\int_{0}^{1} x^{-2} \, dx\) 2. Untersuchung an der Polstelle \(x=0\): \(\lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{1} x^{-2} \, dx\) 3. Bestimmung der Stammfunktion und Einsetzen der Grenzen: \(\lim_{a \to 0^+} [-\frac{1}{x}]_a^1 = \lim_{a \to 0^+} (-1 - (-\frac{1}{a})) = \lim_{a \to 0^+} (\frac{1}{a} - 1)\) 4. Ergebnis: Da der Grenzwert für \(a \to 0^+\) gegen \(\infty\) strebt, besitzt die Fläche keinen endlichen Inhalt.

Nein, die Fläche hat keinen endlichen Inhalt, da das uneigentliche Integral \(\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2} \, dx\) divergiert.

- Was passiert mit dem Integral, wenn eine der Grenzen gegen Unendlich geht oder die Funktion an einer Grenze nicht definiert ist? - Kannst du die problematische Grenze durch eine Variable ersetzen und den Grenzwert betrachten? - Erinnere dich an die Regeln für das Integrieren von Potenzfunktionen der Form \(x^n\). - Wie verhält sich der Ausdruck, wenn die Variable gegen Unendlich oder gegen Null strebt?

1. Für Teilaufgabe a) wird das unendliche Intervall durch einen Grenzwert ersetzt: \(\lim_{z \to \infty} \int_{1}^{z} 4x^{-3} \, dx\). Die Stammfunktion lautet \(F(x) = -2x^{-2}\). Die Auswertung an den Grenzen ergibt \(\lim_{z \to \infty} \left( -\frac{2}{z^2} - (-2) \right) = 0 + 2 = 2\). Das Integral existiert und hat den Wert \(2\). 2. Für Teilaufgabe b) liegt eine Unendlichkeitsstelle bei \(x = 0\) vor. Der Ansatz lautet \(\lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{1} x^{-\frac{1}{3}} \, dx\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}\). Die Auswertung ergibt \(\lim_{a \to 0^+} \left( \frac{3}{2} \cdot 1^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2} \cdot a^{\frac{2}{3}} \right) = 1{,}5 - 0 = 1{,}5\). Das Integral existiert und hat den Wert \(1{,}5\).

a) Das Integral existiert; der Wert ist \(2\). b) Das Integral existiert; der Wert ist \(1{,}5\).

- Überlege zuerst, an welcher Stelle (Intervallgrenze) das Integral „uneigentlich“ ist. - Nutze die Grenzwertschreibweise, um die Annäherung an diese Stelle mathematisch korrekt auszudrücken. - Welche Stammfunktion gehört zur natürlichen Exponentialfunktion oder zur Kehrwertfunktion? - Überlege, ob der Flächeninhalt unter der Kurve ins Unendliche wächst oder sich einem festen Wert annähert.

1. Teilaufgabe a): Untersuchung des Grenzwerts \(\lim_{z \to \infty} \int_{0}^{z} e^{-0{,}5x} \, dx\). Die Stammfunktion ist \(-2e^{-0{,}5x}\). Einsetzen der Grenzen liefert \(\lim_{z \to \infty} \left( -2e^{-0{,}5z} - (-2e^{0}) \right)\). Da \(e^{-0{,}5z}\) für \(z \to \infty\) gegen \(0\) konvergiert, ergibt sich der Grenzwert \(0 + 2 = 2\). Das Integral besitzt einen endlichen Wert. 2. Teilaufgabe b): Untersuchung an der Polstelle \(x = 1\) mittels \(\lim_{a \to 1^+} \int_{a}^{2} \frac{1}{x-1} \, dx\). Die Stammfunktion ist \(\ln|x-1|\). Einsetzen der Grenzen ergibt \(\lim_{a \to 1^+} \left( \ln|2-1| - \ln|a-1| \right) = \ln(1) - \lim_{a \to 1^+} \ln(a-1)\). Da der Logarithmus für Werte gegen Null gegen \(-\infty\) strebt, gilt \(0 - (-\infty) = \infty\). Das Integral divergiert und besitzt keinen endlichen Wert.

a) Das Integral besitzt den endlichen Wert \(2\). b) Das Integral besitzt keinen endlichen Wert (es divergiert).

- Überlege dir, wie man eine Fläche beschreibt, die an einer Seite kein festes Ende hat. - Erinnere dich an die Definition des uneigentlichen Integrals mithilfe eines Grenzwerts. - Wie verhält sich die Exponentialfunktion mit negativem Exponenten für sehr große \(x\)-Werte? - Denke an die Kettenregel beim Bilden der Stammfunktion.

1. Aufstellen des uneigentlichen Integrals: \(A = \int_{0}^{\infty} 1{,}5e^{-0{,}25x} \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} 1{,}5e^{-0{,}25x} \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: Eine Stammfunktion von \(g(x)\) ist \(G(x) = \frac{1{,}5}{-0{,}25}e^{-0{,}25x} = -6e^{-0{,}25x}\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung im Intervall \([0; b]\): \([-6e^{-0{,}25x}]_{0}^{b} = -6e^{-0{,}25b} - (-6e^{0}) = -6e^{-0{,}25b} + 6\). 4. Grenzwertbetrachtung für \(b \to \infty\): Da \(\lim_{b \to \infty} e^{-0{,}25b} = 0\) gilt, folgt \(\lim_{b \to \infty} (-6e^{-0{,}25b} + 6) = 0 + 6 = 6\). 5. Das Integral existiert und der Flächeninhalt beträgt \(6\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt beträgt \(6\).

- Kannst du die Funktion als Potenz mit negativem Exponenten schreiben, um leichter zu integrieren? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler gleich bleibt? - Setze erst eine Variable für die obere Grenze ein und betrachte dann den Limes.

1. Ansatz für den Flächeninhalt als uneigentliches Integral: \(A = \int_{2}^{\infty} \frac{8}{x^2} \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} 8x^{-2} \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: Eine Stammfunktion von \(h(x) = 8x^{-2}\) ist \(H(x) = \frac{8}{-1}x^{-1} = -\frac{8}{x}\). 3. Auswertung des bestimmten Integrals in den Grenzen von \(2\) bis \(b\): \([-\frac{8}{x}]_{2}^{b} = -\frac{8}{b} - (-\frac{8}{2}) = -\frac{8}{b} + 4\). 4. Berechnung des Grenzwerts für \(b \to \infty\): Der Term \(\frac{8}{b}\) strebt gegen \(0\). Somit ergibt sich \(\lim_{b \to \infty} (-\frac{8}{b} + 4) = 4\). 5. Da der Grenzwert eine endliche Zahl ist, besitzt die Fläche den endlichen Inhalt \(4\).

Die Fläche besitzt einen endlichen Inhalt von \(4\).

- Überlege, was mit dem Term der Exponentialfunktion passiert, wenn die \(x\)-Werte sehr klein (stark negativ) werden. - Wie bestimmt man den vertikalen Abstand zwischen zwei Funktionsgraphen an einer bestimmten Stelle? - Setze ein uneigentliches Integral an, um den Flächeninhalt über einem unbegrenzten Intervall zu berechnen. - Erinnere dich an die Kettenregel bei der Integration von Exponentialfunktionen der Form \(e^{ax+b}\).

1. Zur Bestimmung der Asymptote wird die Differenzfunktion \(d(x) = f(x) - (4-x) = 2e^{0{,}5x-1}\) betrachtet. 2. Der Grenzwert der Differenz für \(x \to -\infty\) ergibt sich zu \(\lim_{x \to -\infty} (2e^{0{,}5x-1}) = 0\), da der Exponent gegen \(-\infty\) strebt. Somit ist \(y = 4 - x\) die schräge Asymptote für \(x \to -\infty\). 3. Da \(e^{0{,}5x-1} > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), verläuft der Graph von \(f\) stets oberhalb der Asymptote. Der Flächeninhalt berechnet sich durch das uneigentliche Integral \(A = \int_{-\infty}^{2} (f(x) - g(x)) \,\text{d}x = \int_{-\infty}^{2} 2e^{0{,}5x-1} \,\text{d}x\). 4. Eine Stammfunktion von \(d(x)\) ist \(D(x) = 4e^{0{,}5x-1}\). 5. Berechnung des Integrals über den Grenzwert: \(A = \lim_{k \to -\infty} [4e^{0{,}5x-1}]_k^2 = \lim_{k \to -\infty} (4e^{0} - 4e^{0{,}5k-1}) = 4 - 0 = 4\). 6. Die Fläche besitzt den endlichen Inhalt \(A = 4\).

a) Da \(\lim_{x \to -\infty} (f(x) - (4-x)) = \lim_{x \to -\infty} (2e^{0{,}5x-1}) = 0\) gilt, ist \(y = 4 - x\) die schräge Asymptote für \(x \to -\infty\). b) Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt \(A = 4\).

- Überlege zuerst, welche Funktion im gegebenen Intervall oberhalb der anderen liegt. - Achte darauf, ob sich innerhalb des Integrationsbereichs eine Definitionslücke (Asymptote) befindet. - Wenn eine Polstelle im Inneren des Intervalls liegt, musst du das Integral in zwei separate uneigentliche Integrale aufteilen. - Nutze die Grenzwertbetrachtung für die Stammfunktion an der kritischen Stelle. - Der Flächeninhalt ist nur dann endlich, wenn beide Teilgrenzwerte existieren.

1. Bestimmung der Differenzfunktion: \(h(x) = f(x) - g(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = x^{-\frac{2}{3}}\). Da \(x^2 > 0\) für alle \(x \neq 0\), gilt \(f(x) > g(x)\). 2. Identifikation der Definitionslücke: Die Funktion \(f\) besitzt an der Stelle \(x = 0\) eine vertikale Asymptote. Da \(0 \in [-1; 8]\), muss das uneigentliche Integral an dieser Stelle aufgeteilt werden. 3. Aufstellung der Teilintegrale: \(A = \int_{-1}^{0} x^{-\frac{2}{3}} \, dx + \int_{0}^{8} x^{-\frac{2}{3}} \, dx\). 4. Berechnung des ersten Teilintegrals: \(\lim_{t \to 0^-} \int_{-1}^{t} x^{-\frac{2}{3}} \, dx = \lim_{t \to 0^-} [3x^{\frac{1}{3}}]_{-1}^{t} = \lim_{t \to 0^-} (3\sqrt[3]{t} - 3\sqrt[3]{-1}) = 0 - (-3) = 3\). 5. Berechnung des zweiten Teilintegrals: \(\lim_{s \to 0^+} \int_{s}^{8} x^{-\frac{2}{3}} \, dx = \lim_{s \to 0^+} [3x^{\frac{1}{3}}]_{s}^{8} = \lim_{s \to 0^+} (3\sqrt[3]{8} - 3\sqrt[3]{s}) = 6 - 0 = 6\). 6. Bestimmung des Gesamtinhalts: Da beide Teilintegrale konvergieren, ist der Flächeninhalt endlich mit \(A = 3 + 6 = 9\).

Die Fläche besitzt einen endlichen Inhalt von \(A = 9\).

- Was passiert mit dem Funktionswert von \(f\), wenn \(x\) sich dem Wert \(1\) nähert? - Erinnere dich daran, wie man Stammfunktionen für Ausdrücke der Form \((x-a)^{-n}\) bildet. - Ein uneigentliches Integral an einer Polstelle ist nur dann endlich, wenn der Exponent im Nenner der Differenzfunktion einen bestimmten Wert unterschreitet. - Es reicht aus zu zeigen, dass einer der beiden Teilbereiche (links oder rechts der Polstelle) einen unendlichen Inhalt hat.

1. Differenzfunktion bilden: \(h(x) = f(x) - g(x) = \frac{2}{(x-1)^2} = 2(x-1)^{-2}\). Da der Zähler positiv und das Quadrat im Nenner für \(x \neq 1\) ebenfalls positiv ist, gilt \(f(x) > g(x)\). 2. Kritische Stelle bestimmen: Die Funktion \(f\) hat bei \(x = 1\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel; die Funktionswerte streben von beiden Seiten gegen \(+\infty\). Da \(1\) im Intervall \([0; 2]\) liegt, ist das Integral bei \(x = 1\) zu untersuchen. 3. Untersuchung des uneigentlichen Integrals (linker Teil): \(\int_{0}^{1} 2(x-1)^{-2} \, dx = \lim_{t \to 1^-} [-2(x-1)^{-1}]_{0}^{t} = \lim_{t \to 1^-} \left( \frac{-2}{t-1} - \frac{-2}{0-1} \right)\). 4. Grenzwert auswerten: Da \(\lim_{t \to 1^-} \frac{-2}{t-1} = \infty\) (da \(t-1\) negativ gegen \(0\) geht), divergiert das Teilintegral. 5. Schlussfolgerung: Da bereits ein Teilintegral gegen Unendlich strebt, besitzt die gesamte Fläche keinen endlichen Inhalt.

Die Fläche besitzt keinen endlichen Inhalt (der Flächeninhalt ist unendlich).

- Wie berechnet man ein Integral, bei dem eine Grenze unendlich ist? - Findest du eine Stammfunktion für diesen Funktionstyp? Erinnere dich an die Potenzregel. - Was passiert mit dem Term, wenn die Variable gegen Unendlich läuft? - Stelle eine Gleichung auf, die den Wert des Grenzwerts mit der Vorgabe verknüpft.

1. Berechnung des unbestimmten Integrals bzw. einer Stammfunktion: \(F_k(x) = \int \frac{k}{(x+2)^2} \, dx = -\frac{k}{x+2}\). 2. Aufstellen des uneigentlichen Integrals als Grenzwert: \(\int_0^{\infty} \frac{k}{(x+2)^2} \, dx = \lim_{z \to \infty} \left[ -\frac{k}{x+2} \right]_0^z\). 3. Auswertung der Grenzen: \(\lim_{z \to \infty} \left( -\frac{k}{z+2} - \left( -\frac{k}{0+2} \right) \right) = 0 + \frac{k}{2} = \frac{k}{2}\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert und Lösen nach \(k\): \(\frac{k}{2} = 4 \implies k = 8\).

\(k = 8\)

- Denke an die Kettenregel beim Integrieren der Exponentialfunktion. - Was passiert mit dem Ausdruck \(e^{-2x}\), wenn \(x\) immer größer wird? - Kannst du den konstanten Faktor \((k-1)\) vor das Integral ziehen, um die Rechnung zu vereinfachen? - Setze das Ergebnis deiner Grenzwertbetrachtung gleich der geforderten Zahl.

1. Bestimmung einer Stammfunktion unter Verwendung der linearen Substitution: \(G_k(x) = \int (k-1) e^{-2x} \, dx = -\frac{k-1}{2} e^{-2x}\). 2. Definition des uneigentlichen Integrals über den Grenzwert: \(\int_0^{\infty} g_k(x) \, dx = \lim_{z \to \infty} \int_0^z (k-1) e^{-2x} \, dx\). 3. Berechnung des Grenzwerts: \(\lim_{z \to \infty} \left[ -\frac{k-1}{2} e^{-2x} \right]_0^z = \lim_{z \to \infty} \left( -\frac{k-1}{2} e^{-2z} + \frac{k-1}{2} e^0 \right)\). Da \(\lim_{z \to \infty} e^{-2z} = 0\), ergibt sich \(\frac{k-1}{2}\). 4. Lösen der Gleichung \(\frac{k-1}{2} = 1\): \(k-1 = 2 \implies k = 3\).

\(k = 3\)

- Welche Integrationsmethode eignet sich für Brüche, bei denen die Ableitung des Nenners im Zähler steht? - Wie geht man mathematisch vor, wenn eine Integrationsgrenze unendlich ist? - Betrachte das Verhalten des Terms, wenn die Variable gegen Unendlich strebt.

1. Aufstellen des uneigentlichen Integrals für den Flächeninhalt im Intervall \([0; \infty)\): \(A = \int_0^{\infty} \frac{10x}{(x^2+1)^2} \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_0^b \frac{10x}{(x^2+1)^2} \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion mittels Substitution \(u = x^2+1\) mit \(du = 2x \, dx\): \(\int \frac{10x}{u^2} \cdot \frac{1}{2x} \, du = \int 5u^{-2} \, du = -5u^{-1} = -\frac{5}{x^2+1}\). 3. Auswertung des Grenzwerts: \(\lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{5}{x^2+1} \right]_0^b = \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{5}{b^2+1} - \left( -\frac{5}{0^2+1} \right) \right) = 0 + 5 = 5\). 4. Die Fläche hat einen endlichen Inhalt von 5.

Die Fläche hat einen endlichen Inhalt von 5.

- Achte darauf, alle Längenangaben in die Basiseinheit Meter umzurechnen, bevor du rechnest. - Erinnere dich an die Regel für das Integrieren von Potenzfunktionen \(x^n\). - Ein uneigentliches Integral mit einer unendlichen Grenze wird berechnet, indem man zunächst eine Variable (z. B. \(b\)) einsetzt und dann den Grenzwert für \(b \to \infty\) betrachtet. - Was bedeutet es physikalisch, wenn der Abstand \(r\) gegen Unendlich geht?

1. Umrechnung der Radien in Meter: \(R = 4 \cdot 10^6\,\text{m}\) und \(r_2 = 12 \cdot 10^6\,\text{m}\). 2. Bestimmung der Stammfunktion von \(F(r) = k \cdot r^{-2}\): \(\Phi(r) = -\frac{k}{r}\). 3. Berechnung des bestimmten Integrals für Aufgabenteil a): \(W = \left[ -\frac{k}{r} \right]_{4 \cdot 10^6}^{12 \cdot 10^6} = k \cdot \left( \frac{1}{4 \cdot 10^6} - \frac{1}{12 \cdot 10^6} \right)\). 4. Einsetzen der Werte: \(W = 2{,}4 \cdot 10^{13} \cdot \left( 0{,}25 \cdot 10^{-6} - 0{,}0833\dots \cdot 10^{-6} \right) = 2{,}4 \cdot 10^{13} \cdot \frac{1}{6} \cdot 10^{-6} = 4 \cdot 10^6\,\text{J}\). In Megajoule: \(4\,\text{MJ}\). 5. Berechnung des uneigentlichen Integrals für Aufgabenteil b): \(\int_{R}^{\infty} F(r) \, dr = \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{k}{r} \right]_{R}^{b} = \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{k}{b} + \frac{k}{R} \right) = 0 + \frac{k}{R}\). 6. Einsetzen der Werte: \(\frac{2{,}4 \cdot 10^{13}}{4 \cdot 10^6} = 6 \cdot 10^6\,\text{J} = 6\,\text{MJ}\). 7. Interpretation: Dies ist die theoretisch benötigte Energie, um den Satelliten vollständig aus dem Gravitationsfeld des Planeten zu entfernen (Fluchtenergie).

a) \(W = 4\,\text{MJ}\) b) Das Integral hat den Wert \(6 \cdot 10^6\,\text{J}\) (bzw. \(6\,\text{MJ}\)). Es stellt die Energie dar, die benötigt wird, um den Satelliten unendlich weit vom Planeten zu entfernen (Fluchtenergie).

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) sehr groß wird oder sich der Null nähert? - Ersetze die kritische Grenze durch einen Parameter und bilde nach der Integration den Limes. - Achte beim Integrieren von \(x^{-n}\) auf die Vorzeichen und die Potenzgesetze. - Ein Integral existiert nur, wenn der Grenzwert eine endliche Zahl ist.

1. In Teil a) betrachtet man den Grenzwert für die obere Grenze: \(\lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} 2x^{-3} \, dx\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\). Einsetzen liefert \(\lim_{b \to +\infty} [-\frac{1}{x^2}]_1^b = \lim_{b \to +\infty} (-\frac{1}{b^2} - (-1)) = 0 + 1 = 1\). Das Integral konvergiert gegen \(1\). 2. In Teil b) liegt eine Unendlichkeitsstelle bei \(x=0\) vor: \(\lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{1} 2x^{-3} \, dx\). Die Auswertung ergibt \(\lim_{a \to 0^+} [-\frac{1}{x^2}]_a^1 = -1 - \lim_{a \to 0^+} (-\frac{1}{a^2}) = -1 + \infty = +\infty\). Das Integral divergiert.

a) Das Integral konvergiert, der Wert ist \(1\). b) Das Integral divergiert (existiert nicht).

- Wie lässt sich eine Fläche berechnen, deren Grenze im Unendlichen liegt? - Bestimme zuerst eine Stammfunktion für den Funktionsterm. - Was passiert mit dem Funktionswert und der Stammfunktion, wenn die Variable \(x\) sehr groß wird? - Ersetze die unendliche Grenze durch einen Platzhalter und führe eine Grenzwertbetrachtung durch.

1. Aufstellen des uneigentlichen Integrals für die Fläche: \(A = \int_0^{\infty} \frac{4}{x+2} \, dx\). 2. Einführung einer endlichen oberen Grenze \(k\) und Bestimmung der Stammfunktion: \(\int_0^k \frac{4}{x+2} \, dx = [4\ln|x+2|]_0^k\). 3. Auswertung des Integrals an den Grenzen: \(4\ln(k+2) - 4\ln(2)\). 4. Untersuchung des Grenzwerts für \(k \to \infty\): Da \(\ln(k+2)\) für \(k \to \infty\) gegen \(+\infty\) strebt, besitzt das Integral keinen endlichen Wert.

Die Fläche hat keinen endlichen Inhalt.

- Untersuche die Funktion auf Definitionslücken innerhalb oder am Rand des Integrationsintervalls. - Verwende eine Variable, um den Grenzwert an der kritischen Stelle zu berechnen. - Erinnerst du dich an die Kettenregel zur Integration von Funktionen der Form \((ax + b)^n\)? - Was passiert mit dem Ausdruck unter der Wurzel, wenn sich \(x\) dem Wert 2 nähert?

1. Identifikation der Definitionslücke: Der Nenner wird für \(x = 2\) null, daher liegt eine Unbeschränktheit an der oberen Grenze vor. 2. Bestimmung der Stammfunktion mittels linearer Substitution: \(\int (4 - 2x)^{-0{,}5} \, dx = \frac{1}{-2} \cdot \frac{(4 - 2x)^{0{,}5}}{0{,}5} = -\sqrt{4 - 2x}\). 3. Untersuchung des Grenzwerts für \(b \to 2^{-}\): \(\lim_{b \to 2^{-}} [-\sqrt{4 - 2x}]_{0}^{b} = \lim_{b \to 2^{-}} (-\sqrt{4 - 2b} - (-\sqrt{4 - 2 \cdot 0}))\). 4. Berechnung des Ergebnisses: \(\lim_{b \to 2^{-}} (-\sqrt{4 - 2b} + \sqrt{4}) = 0 + 2 = 2\). Das Integral existiert und hat den Wert 2.

Das Integral existiert und hat den Wert 2.

- Wie lautet die allgemeine Formel zur Berechnung eines Flächeninhalts zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse? - Kannst du \(f(x)\) als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben, um leichter eine Stammfunktion zu finden? - Was passiert mit dem Term, in dem \(u\) vorkommt, wenn \(u\) immer kleiner wird und gegen Null geht?

1. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt: \(A(u) = \int_{u}^{4} x^{-\frac{1}{2}} \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(\int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = 2x^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x}\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: \(A(u) = [2\sqrt{x}]_{u}^{4} = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{u} = 4 - 2\sqrt{u}\). 4. Untersuchung des Grenzwerts für \(u \to 0^+\): Da \(\lim_{u \to 0^+} \sqrt{u} = 0\), ergibt sich \(\lim_{u \to 0^+} (4 - 2\sqrt{u}) = 4\). Der Flächeninhalt nähert sich für kleiner werdende Werte von \(u\) dem endlichen Wert \(4\) an.

Der integralfreie Funktionsterm lautet \(A(u) = 4 - 2\sqrt{u}\). Für \(u \to 0^+\) nähert sich der Flächeninhalt dem endlichen Wert \(4\) an.

- Erinnere dich an die Regel für die Integration von Exponentialfunktionen der Form \(e^{ax}\). - Achte beim Einsetzen der unteren Grenze Null darauf, dass \(e^0\) nicht Null ist. - Überlege dir, wie sich der Graph einer fallenden Exponentialfunktion im Unendlichen verhält.

1. Ansatz für den Flächeninhalt über das bestimmte Integral: \(I(k) = \int_{0}^{k} 4e^{-0{,}5x} \, dx\). 2. Bestimmung einer Stammfunktion von \(g(x)\): \(G(x) = \frac{4}{-0{,}5}e^{-0{,}5x} = -8e^{-0{,}5x}\). 3. Auswertung des Integrals an den Grenzen: \(I(k) = [-8e^{-0{,}5x}]_{0}^{k} = -8e^{-0{,}5k} - (-8e^{0}) = -8e^{-0{,}5k} + 8\). 4. Umformung zu einem übersichtlicheren Term: \(I(k) = 8 - 8e^{-0{,}5k}\). 5. Berechnung des Grenzwerts für \(k \to \infty\): Da \(e^{-0{,}5k} = \frac{1}{e^{0{,}5k}}\) für \(k \to \infty\) gegen \(0\) strebt, folgt \(\lim_{k \to \infty} (8 - 8e^{-0{,}5k}) = 8 - 0 = 8\).

Der Funktionsterm ist \(I(k) = 8 - 8e^{-0{,}5k}\). Der Grenzwert für \(k \to \infty\) beträgt \(8\).

- Überlege, was mit den Termen passiert, wenn die Variable sehr groß wird. - Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass du einen Faktor ausklammern kannst? - Denke an die Kettenregel bei der Suche nach der Stammfunktion für die Exponentialterme. - Wie verhalten sich die einzelnen Bestandteile der Flächenformel, wenn die obere Grenze gegen Unendlich strebt?

1. Untersuchung des Grenzwerts: Da \(\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0\) und \(\lim_{x \to \infty} e^{-2x} = 0\), gilt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0 - 0 = 0\). 2. Bestimmung der Nullstelle: Ansatz \(3e^{-x} - e^{-2x} = 0\). Ausklammern führt zu \(e^{-x}(3 - e^{-x}) = 0\). Da \(e^{-x} \neq 0\), folgt \(3 = e^{-x}\), also \(-x = \ln(3)\) bzw. \(x_0 = -\ln(3)\). 3. Berechnung des Integrals: Eine Stammfunktion ist \(F(x) = -3e^{-x} + \frac{1}{2}e^{-2x}\). Der Flächeninhalt ergibt sich durch \(A(k) = \int_{-\ln(3)}^k f(x) \, dx = [F(x)]_{-\ln(3)}^k\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(F(k) = -3e^{-k} + 0{,}5e^{-2k}\) und \(F(-\ln(3)) = -3e^{\ln(3)} + 0{,}5e^{2\ln(3)} = -3 \cdot 3 + 0{,}5 \cdot 9 = -4{,}5\). Somit ist \(A(k) = -3e^{-k} + 0{,}5e^{-2k} - (-4{,}5) = 4{,}5 - 3e^{-k} + 0{,}5e^{-2k}\). 5. Grenzwertbetrachtung: Da \(\lim_{k \to \infty} e^{-k} = 0\), folgt \(\lim_{k \to \infty} A(k) = 4{,}5\).

a) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\) b) \(x_0 = -\ln(3)\) c) \(A(k) = 4{,}5 - 3e^{-k} + 0{,}5e^{-2k}\); \(\lim_{k \to \infty} A(k) = 4{,}5\)

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\)? - Skizziere die Situation grob: Welche Funktion begrenzt die Fläche nach oben, welche Linien begrenzen sie nach unten? - Beachte, dass die Tangente die \(x\)-Achse an einer bestimmten Stelle schneidet. Was bedeutet das für das Integral der unteren Begrenzung? - Erinnere dich an die Stammfunktion der natürlichen Exponentialfunktion. - Was passiert mit dem Term \(e^{-0{,}5k}\), wenn \(k\) immer größer wird?

1. Tangentengleichung: \(f(0) = 2\), \(f'(x) = -e^{-0{,}5x}\), Steigung \(m = f'(0) = -1\). Mit \(y = mx + n\) folgt \(2 = -1 \cdot 0 + n \Rightarrow n = 2\). Somit ist \(t(x) = -x + 2\). 2. Nullstelle der Tangente: \(-x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2\). Die Tangente verläuft für \(x \in [0; 2]\) oberhalb oder auf der \(x\)-Achse. 3. Flächeninhalt für \(k = 6\): Die Fläche liegt zwischen dem Graphen von \(f\) (oben) und der Begrenzung durch die Tangente (für \(x \in [0; 2]\)) bzw. die \(x\)-Achse (für \(x \in [2; 6]\)). \(A = \int_{0}^{6} 2e^{-0{,}5x} \, dx - \int_{0}^{2} (-x + 2) \, dx\). \(\int_{0}^{6} 2e^{-0{,}5x} \, dx = [-4e^{-0{,}5x}]_{0}^{6} = -4e^{-3} + 4 \approx 3{,}8008\). Fläche des Dreiecks unter der Tangente: \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\). \(A = 4 - 4e^{-3} - 2 = 2 - 4e^{-3} \approx 1{,}8008\). 4. Grenzwert für \(k \to \infty\): \(A(k) = \int_{0}^{k} 2e^{-0{,}5x} \, dx - 2 = [-4e^{-0{,}5x}]_{0}^{k} - 2 = -4e^{-0{,}5k} + 4 - 2 = 2 - 4e^{-0{,}5k}\). Für \(k \to \infty\) gilt \(e^{-0{,}5k} \to 0\), also \(A(k) \to 2\).

a) \(t(x) = -x + 2\) b) \(A = 2 - 4e^{-3} \approx 1{,}801\) c) \(A(k) = 2 - 4e^{-0{,}5k}\); für \(k \to \infty\) nähert sich der Flächeninhalt dem Wert \(2\) an.

- Wie lautet die Produktregel für das Ableiten des Ansatzes? - Was bedeutet Koeffizientenvergleich? Vergleiche die Terme mit \(x\) und die Terme ohne \(x\) getrennt. - Denk daran, dass eine Fläche im Unendlichen über den Grenzwert eines Integrals definiert wird. - Wie verhält sich der Term \(e^{-x}\) für sehr große \(x\)? Welcher Teil der Funktion „dominiert“ das Wachstum?

1. Bestimmung der Ableitung des Ansatzes: \(F'(x) = a \cdot e^{-x} + (ax + b) \cdot (-e^{-x}) = (-ax + a - b) \cdot e^{-x}\). 2. Koeffizientenvergleich mit \(f(x) = (2x + 3) \cdot e^{-x}\): Es muss gelten \(-a = 2\) und \(a - b = 3\). 3. Lösung des Gleichungssystems: Aus \(-a = 2\) folgt \(a = -2\). Eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt dies \(-2 - b = 3\), also \(b = -5\). Die Stammfunktion lautet \(F(x) = (-2x - 5) \cdot e^{-x}\). 4. Berechnung des Flächeninhalts als uneigentliches Integral: \(A = \int_{0}^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{k \to \infty} [F(x)]_0^k\). 5. Einsetzen der Grenzen und Grenzwertbetrachtung: \(\lim_{k \to \infty} ((-2k - 5) \cdot e^{-k} - (-2 \cdot 0 - 5) \cdot e^0)\). Da \(\lim_{k \to \infty} \frac{-2k-5}{e^k} = 0\), folgt \(A = 0 - (-5) = 5\). Der Flächeninhalt beträgt \(5\) Flächeneinheiten.

a) \(F(x) = (-2x - 5) \cdot e^{-x}\) b) Der Flächeninhalt beträgt \(5\).

- Nutze die Kettenregel beim Ableiten des Logarithmus-Terms. - Überlege dir, wie du die Differenz zweier Logarithmen zusammenfassen kannst. - Erinnere dich daran, dass \(4b\) auch als \(\ln(e^{4b})\) geschrieben werden kann. - Was passiert mit dem Quotienten im Logarithmus, wenn \(b\) sehr groß wird?

1. Ableitung von \(F(x)\) bilden: \(F'(x) = 4 - 2 \cdot \frac{1}{e^{2x} + 1} \cdot 2e^{2x} = 4 - \frac{4e^{2x}}{e^{2x} + 1}\). 2. Gleichnamig machen: \(F'(x) = \frac{4(e^{2x} + 1) - 4e^{2x}}{e^{2x} + 1} = \frac{4e^{2x} + 4 - 4e^{2x}}{e^{2x} + 1} = \frac{4}{e^{2x} + 1}\). Somit ist \(F'(x) = f(x)\). 3. Flächeninhalt berechnen: \(A(b) = \int_0^b f(x) \, dx = [F(x)]_0^b = F(b) - F(0)\). 4. Einsetzen: \(F(b) = 4b - 2 \ln(e^{2b} + 1)\) und \(F(0) = 4(0) - 2 \ln(e^0 + 1) = -2 \ln(2)\). 5. \(A(b) = 4b - 2 \ln(e^{2b} + 1) + 2 \ln(2)\). 6. Grenzwert untersuchen: \(A(b) = 2 \ln(e^{2b}) - 2 \ln(e^{2b} + 1) + \ln(4) = 2 \ln\left(\frac{e^{2b}}{e^{2b} + 1}\right) + \ln(4)\). 7. Da \(\lim_{b \to \infty} \frac{e^{2b}}{e^{2b} + 1} = 1\), folgt \(\lim_{b \to \infty} A(b) = 2 \ln(1) + \ln(4) = \ln(4)\).

a) \(F'(x) = \frac{4}{e^{2x} + 1} = f(x)\) b) \(A(b) = 4b - 2 \ln(e^{2b} + 1) + 2 \ln(2)\) c) Der Flächeninhalt konvergiert gegen \(\ln(4)\) (bzw. \(2 \ln 2 \approx 1{,}386\)).

- Überlege dir zuerst, durch welche uneigentlichen Integrale die beiden Flächen \(A_1\) und \(A_2\) mathematisch beschrieben werden. - Bestimme eine Stammfunktion \(F(x)\) der Funktion \(f(x) = \frac{3}{x\sqrt{x}}\). Tipp: Schreibe den Funktionsterm als Potenz mit rationalem Exponenten. - Ersetze die problematische Grenze (entweder \(0\) oder \(\infty\)) durch eine Variable \(z\) und berechne das bestimmte Integral in Abhängigkeit von \(z\). - Untersuche anschließend das Verhalten des Terms, wenn \(z\) gegen die jeweilige Grenze strebt. - Wenn der Grenzwert eine endliche Zahl ist, existiert der Flächeninhalt und entspricht diesem Wert. Wenn der Grenzwert unendlich ist, besitzt die Fläche keinen endlichen Inhalt.

1. Für \(A_1\) gilt \(\lim_{z\to0^+}\int_z^1 3x^{-3/2}\,\mathrm{d}x=\lim_{z\to0^+}\left[-\frac{6}{\sqrt{x}}\right]_z^1=\lim_{z\to0^+}\left(-6+\frac{6}{\sqrt{z}}\right)=\infty\). Daher besitzt \(A_1\) keinen endlichen Flächeninhalt. 2. Für \(A_2\) gilt \(\lim_{z\to\infty}\int_1^z 3x^{-3/2}\,\mathrm{d}x=\lim_{z\to\infty}\left[-\frac{6}{\sqrt{x}}\right]_1^z=6\). Daher besitzt \(A_2\) den endlichen Flächeninhalt \(6\).

\(A_1\): Die Fläche hat keinen endlichen Flächeninhalt. \(A_2\): Die Fläche hat einen endlichen Flächeninhalt von \(6\).

- Wie verhalten sich die Funktionswerte von \(f(x)\), wenn \(x\) immer größer wird? Gegen welchen Wert strebt der Graph? - Erinnere dich an die Definition eines uneigentlichen Integrals: Wie drückt man ein Integral mit einer unendlichen Grenze als Grenzwert (Limes) aus? - Bestimme zuerst eine Stammfunktion \(F(x)\) der Funktion \(f(x)\). - Setze die Integrationsgrenzen \(0\) und \(z\) in die Stammfunktion ein und vereinfache den Term. - Was passiert mit dem Term, in dem \(z\) vorkommt, wenn \(z\) gegen unendlich strebt?

1. Bestimmung der waagerechten Asymptote: Für \(x \to \infty\) wächst der Nenner \((x+1)^2\) unbegrenzt, sodass die Funktionswerte gegen \(0\) streben: \(\lim_{x \to \infty} \frac{6}{(x+1)^2} = 0\) Die waagerechte Asymptote hat somit die Gleichung \(y = 0\). 2. Berechnung des uneigentlichen Integrals: Wir betrachten das uneigentliche Integral mit der Variablen \(z > 0\) als obere Grenze: \(A = \lim_{z \to \infty} \int_0^z \frac{6}{(x+1)^2} \,\mathrm{d}x\) Eine Stammfunktion von \(f(x) = 6(x+1)^{-2}\) ist: \(F(x) = -\frac{6}{x+1}\) Wir berechnen das Integral im Intervall \([0; z]\): \(\int_0^z \frac{6}{(x+1)^2} \,\mathrm{d}x = \left[ -\frac{6}{x+1} \right]_0^z = \left( -\frac{6}{z+1} \right) - \left( -\frac{6}{0+1} \right) = 6 - \frac{6}{z+1}\) 3. Grenzwertbetrachtung für \(z \to \infty\): \(A = \lim_{z \to \infty} \left( 6 - \frac{6}{z+1} \right) = 6 - 0 = 6\) Da der Grenzwert existiert und endlich ist, besitzt die unbegrenzte Fläche einen endlichen Flächeninhalt von \(6\) Flächeneinheiten.

a) Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet \(y = 0\). b) Der Flächeninhalt der unbegrenzten Fläche beträgt \(6\,\text{FE}\).

- Wie berechnet man den Inhalt einer Fläche, die sich unendlich weit entlang einer Achse erstreckt? - Ersetze die unendliche Grenze zunächst durch eine Variable und berechne das Integral. - Was passiert mit dem Wert des Integrals, wenn diese Variable immer größer wird? - Erinnere dich an die Potenzregeln für das Integrieren von Funktionen der Form \((x+c)^n\).

1. Aufstellen des uneigentlichen Integrals für den Flächeninhalt: \(A = \int_{2}^{\infty} \frac{4}{(x+2)^{1{,}5}} \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = 4 \cdot \frac{(x+2)^{-0{,}5}}{-0{,}5} = -\frac{8}{\sqrt{x+2}}\). 3. Berechnung des Grenzwerts für eine obere Grenze \(b \to \infty\): \(\lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{8}{\sqrt{x+2}} \right]_{2}^{b} = \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{8}{\sqrt{b+2}} - \left( -\frac{8}{\sqrt{2+2}} \right) \right)\). 4. Da \(\lim_{b \to \infty} \frac{8}{\sqrt{b+2}} = 0\), ergibt sich: \(A = 0 + \frac{8}{\sqrt{4}} = \frac{8}{2} = 4\). Die Fläche hat einen endlichen Inhalt von \(4\,\text{FE}\).

Die Fläche hat einen endlichen Inhalt von \(A = 4\).

- Überlege dir, wie man das Integral einer Exponentialfunktion mit negativem Koeffizienten im Exponenten bildet. - Betrachte das Verhalten der \(e\)-Funktion für sehr große positive \(x\)-Werte. - Nutze eine Variable als Platzhalter für die unendliche Grenze.

1. Ansatz über das uneigentliche Integral: \(A = \int_{0}^{\infty} 2e^{-0{,}4x} \, dx\). 2. Bildung der Stammfunktion unter Verwendung der Kettenregel (linearer Exponent): \(F(x) = \frac{2}{-0{,}4}e^{-0{,}4x} = -5e^{-0{,}4x}\). 3. Berechnung des Grenzwerts: \(\lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} 2e^{-0{,}4x} \, dx = \lim_{b \to \infty} \left[ -5e^{-0{,}4x} \right]_{0}^{b}\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(\lim_{b \to \infty} (-5e^{-0{,}4b} - (-5e^{0})) = \lim_{b \to \infty} (-5e^{-0{,}4b} + 5)\). 5. Da \(e^{-0{,}4b} \to 0\) für \(b \to \infty\), folgt \(A = 0 + 5 = 5\). Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt \(5\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt \(A = 5\,\text{FE}\).

- Schreibe den Bruch als Potenz mit negativem Exponenten um, um die Stammfunktion leichter zu finden. - Achte beim Integrieren genau auf das Vorzeichen des Exponenten in der Stammfunktion. - Überlege dir: Wenn der Exponent der Variablen in der Stammfunktion positiv ist, was passiert dann, wenn die Variable gegen Unendlich geht?

1. Ansatz für das uneigentliche Integral: \(A = \int_{1}^{\infty} x^{-0{,}8} \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(G(x) = \frac{1}{-0{,}8 + 1} x^{-0{,}8 + 1} = \frac{1}{0{,}2} x^{0{,}2} = 5x^{0{,}2}\). 3. Untersuchung des Grenzwerts: \(\lim_{b \to \infty} [5x^{0{,}2}]_{1}^{b} = \lim_{b \to \infty} (5 \cdot b^{0{,}2} - 5 \cdot 1^{0{,}2})\). 4. Da der Exponent \(0{,}2\) positiv ist, gilt \(\lim_{b \to \infty} b^{0{,}2} = \infty\). 5. Das Integral divergiert, somit ist der Flächeninhalt unendlich groß.

Die Fläche hat keinen endlichen Inhalt (der Flächeninhalt ist unendlich groß).

- Stelle zunächst die Differenzfunktion auf, um den Abstand zwischen den Graphen zu beschreiben. - Beschreibe die nach rechts unbegrenzte Fläche durch ein Integral mit variabler oberer Grenze. - Was passiert mit der Stammfunktion, wenn die obere Grenze immer größer wird? - Geht \(1/x\) „schnell genug“ gegen null, damit das Integral einen endlichen Wert liefert?

1. Aufstellen des Integrals für die unbegrenzte Fläche ab \(x=2\): \(A = \int_{2}^{\infty} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{2}^{\infty} \left( \frac{2}{x} + 0{,}5 - 0{,}5 \right) \, dx = \int_{2}^{\infty} \frac{2}{x} \, dx\). 2. Finden der Stammfunktion von \(\frac{2}{x}\): \(F(x) = 2\ln|x|\). 3. Untersuchung des Grenzwerts für \(x \to \infty\): \(\lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} \frac{2}{x} \, dx = \lim_{b \to \infty} [2 \ln|x|]_2^b = \lim_{b \to \infty} (2 \ln(b) - 2 \ln(2))\). 4. Da \(\ln(b)\) für \(b \to \infty\) gegen unendlich strebt, divergiert das Integral. 5. Ergebnis: Die Fläche besitzt keinen endlichen Inhalt.

Die Fläche besitzt keinen endlichen Inhalt; der Flächeninhalt ist unendlich.

- Beachte, dass es sich bei beiden Flächen um uneigentliche Integrale handelt. - Bei \(A_1\) liegt die kritische Stelle an der unteren Grenze \(0\). - Bei \(A_2\) liegt die kritische Stelle im Unendlichen. - Nutze die Stammfunktion \(F(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}\) für beide Teilaufgaben.

1. Für \(A_1\) gilt \(A_1=\lim_{a\to0^+}\int_a^1 x^{-1/3}\,\text{d}x=\lim_{a\to0^+}\left[\frac{3}{2}x^{2/3}\right]_a^1=\frac{3}{2}\). Die Fläche ist endlich. 2. Für \(A_2\) gilt \(A_2=\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-1/3}\,\text{d}x=\lim_{b\to\infty}\left[\frac{3}{2}x^{2/3}\right]_1^b=\infty\). Die Fläche besitzt keinen endlichen Inhalt.

\(A_1\): Die Fläche hat den endlichen Inhalt \(1{,}5\). \(A_2\): Die Fläche hat keinen endlichen Inhalt.

- Überlege dir, welche der beiden Teilfunktionen im Produkt für sehr große \(x\)-Werte „stärker“ ist. - Ein Integral mit einer unendlichen Grenze wird über einen Grenzwert definiert. Ersetze \(\infty\) zunächst durch eine Variable \(b\). - Für Produkte aus ganzrationalen Funktionen und Exponentialfunktionen ist die partielle Integration oft der richtige Weg. - Wie verhält sich ein Term der Form \(x \cdot e^{-x}\), wenn \(x\) immer größer wird?

1. Begründung des Grenzverhaltens: Im Funktionsterm \(f(x) = (3x+2)e^{-0{,}5x}\) dominiert für \(x \to \infty\) die Exponentialfunktion \(e^{-0{,}5x}\) über die lineare Funktion \((3x+2)\). Da \(\lim_{x \to \infty} e^{-0{,}5x} = 0\) gilt, folgt \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\). 2. Ansatz für das uneigentliche Integral: \(A = \int_0^{\infty} (3x + 2) \cdot e^{-0{,}5x} \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_0^b (3x + 2) \cdot e^{-0{,}5x} \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion mittels partieller Integration: Wähle \(u = 3x + 2 \Rightarrow u' = 3\) und \(v' = e^{-0{,}5x} \Rightarrow v = -2e^{-0{,}5x}\). \(\int (3x + 2) \cdot e^{-0{,}5x} \, dx = (3x + 2) \cdot (-2e^{-0{,}5x}) - \int 3 \cdot (-2e^{-0{,}5x}) \, dx\) \(= -2(3x + 2)e^{-0{,}5x} + 6 \int e^{-0{,}5x} \, dx = -2(3x + 2)e^{-0{,}5x} - 12e^{-0{,}5x} = -(6x + 16)e^{-0{,}5x}\). 4. Berechnung des Flächeninhalts: \(\lim_{b \to \infty} [-(6x + 16)e^{-0{,}5x}]_0^b = \lim_{b \to \infty} (-(6b + 16)e^{-0{,}5b} - (-(6 \cdot 0 + 16)e^0)) = 0 - (-16) = 16\). Der Flächeninhalt beträgt somit \(16\) Flächeneinheiten.

a) Der Exponentialfaktor \(e^{-0{,}5x}\) fällt für \(x\to\infty\) stärker, als der lineare Faktor \(3x+2\) wächst; daher gilt \(f(x)\to0\). b) Der Flächeninhalt der unbegrenzten Fläche ist endlich und beträgt \(16\) Flächeneinheiten.

- Nutze die Potenzschreibweise \(x^{-n}\), um die passenden Stammfunktionen zu finden. - Achte auf den Sonderfall bei der Integration von \(\frac{1}{x}\). - Was muss für den Grenzwert des Integrals gelten, damit man von einem endlichen Flächeninhalt sprechen kann? - Vergleiche den Verlauf der beiden Graphen: Welcher nähert sich „schneller“ der \(x\)-Achse an?

1. Berechnung für \(g(x)\): Das uneigentliche Integral lautet \(A_g = \int_1^{\infty} \frac{4}{x^2} \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^b 4x^{-2} \, dx\). Die Stammfunktion ist \(G(x) = -4x^{-1} = -\frac{4}{x}\). Einsetzen der Grenzen: \(\lim_{b \to \infty} [-\frac{4}{x}]_1^b = \lim_{b \to \infty} (-\frac{4}{b} - (-\frac{4}{1})) = 0 + 4 = 4\). Der Flächeninhalt unter \(g\) beträgt \(4\). 2. Untersuchung für \(h(x)\): Das Integral lautet \(A_h = \int_1^{\infty} \frac{4}{x} \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^b \frac{4}{x} \, dx\). Die Stammfunktion ist \(H(x) = 4 \ln(|x|)\). Einsetzen der Grenzen: \(\lim_{b \to \infty} [4 \ln(x)]_1^b = \lim_{b \to \infty} (4 \ln(b) - 4 \ln(1)) = \lim_{b \to \infty} (4 \ln(b) - 0)\). Da die Logarithmusfunktion \(\ln(b)\) für \(b \to \infty\) gegen unendlich strebt, besitzt die Fläche keinen endlichen Inhalt.

a) Der Flächeninhalt unter \(g\) beträgt \(4\) Flächeneinheiten. b) Die Fläche unter \(h\) hat keinen endlichen Inhalt, da das zugehörige Integral divergiert.

- Stelle zuerst die Funktion auf, die den vertikalen Abstand zwischen dem Graphen und der Geraden beschreibt. - Welche Methode hilft dir, das Integral eines Produkts aus einer linearen Funktion und einer Exponentialfunktion zu bilden? - Welche der beiden Funktionen im Produkt „dominiert“ das Verhalten für sehr große Werte? - Vergiss nicht, beim Einsetzen der Grenzen sorgfältig mit den Vorzeichen umzugehen.

1. Bestimmung der Differenzfunktion \(d(x) = f(x) - 2 = x \cdot e^{-0{,}5x}\). Da \(d(x) \ge 0\) für \(x \ge 0\), entspricht der Flächeninhalt dem Integral \(A = \int_0^{\infty} x \cdot e^{-0{,}5x} \, dx\). 2. Berechnung der Stammfunktion mittels partieller Integration mit \(u = x\) und \(v' = e^{-0{,}5x}\): \(\int x \cdot e^{-0{,}5x} \, dx = -2x \cdot e^{-0{,}5x} - \int -2e^{-0{,}5x} \, dx = -2x \cdot e^{-0{,}5x} - 4e^{-0{,}5x} = (-2x - 4) \cdot e^{-0{,}5x}\). 3. Untersuchung des Grenzwerts für \(b \to \infty\): \(\lim_{b \to \infty} [(-2x - 4) \cdot e^{-0{,}5x}]_0^b = \lim_{b \to \infty} \frac{-2b-4}{e^{0{,}5b}} - ((-2 \cdot 0 - 4) \cdot e^0)\). 4. Da die Exponentialfunktion im Nenner stärker wächst als der lineare Term im Zähler, gilt \(\lim_{b \to \infty} \frac{-2b-4}{e^{0{,}5b}} = 0\). 5. Berechnung des Ergebnisses: \(0 - (-4) = 4\). Die Fläche ist endlich und hat den Inhalt 4.

Die Fläche besitzt einen endlichen Inhalt von 4.

- Ein Integral der Form \(\int \frac{f'(x)}{f(x)^a} \, dx\) lässt sich oft gut durch Substitution lösen. - Achte beim Substituieren darauf, auch die Integrationsgrenzen anzupassen. - Die Konvergenz von uneigentlichen Integralen bei Potenzfunktionen im Unendlichen hängt entscheidend von der Größe des Exponenten ab. - Was passiert im Fall \(a = 1\)? Erinnere dich an die Stammfunktion von \(\frac{1}{u}\).

1. Der Flächeninhalt wird durch das uneigentliche Integral \(A = \int_{e}^{\infty} \frac{1}{x \cdot (\ln(x))^a} \, dx\) berechnet. 2. Durchführung der Substitution \(u = \ln(x)\) mit \(du = \frac{1}{x} \, dx\). Die neuen Grenzen sind \(u(e) = \ln(e) = 1\) und \(u \to \infty\) für \(x \to \infty\). 3. Das Integral transformiert sich zu \(\int_{1}^{\infty} u^{-a} \, du\). 4. Dieses Standardintegral konvergiert genau dann, wenn der Exponent \(-a < -1\) ist, also für \(a > 1\). Für \(a = 1\) ergibt sich \(\int_1^z \frac{1}{u} \, du = \ln(z)\), also Divergenz für \(z \to \infty\). Für \(a < 1\) wächst der Term \(\frac{z^{1-a}}{1-a}\) ebenfalls unbegrenzt. 5. Berechnung für \(a > 1\): \(\lim_{z \to \infty} \left[ \frac{u^{1-a}}{1-a} \right]_1^z = 0 - \frac{1}{1-a} = \frac{1}{a-1}\). 6. Speziell für \(a = 3\): \(A = \frac{1}{3-1} = \frac{1}{2} = 0{,}5\).

Für \(a > 1\) hat die Fläche einen endlichen Inhalt von \(A(a) = \frac{1}{a-1}\). Für \(a \le 1\) besitzt die Fläche keinen endlichen Inhalt. Für \(a = 3\) beträgt der Flächeninhalt \(0{,}5\).

- Nutze die allgemeine Potenzregel für Integrale. Welchen Sonderfall musst du bei der Wahl des Exponenten beachten? - Untersuche das Verhalten des Terms \(x^{-n+1}\) für sehr große \(x\). Welchen Einfluss hat das Vorzeichen des Exponenten? - Denke an die spezielle Stammfunktion der Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\).

1. Aufgabenteil a): Bestimmung der Stammfunktion von \(150x^{-4}\) als \(\Phi(x) = \frac{150}{-3} x^{-3} = -\frac{50}{x^3}\). Berechnung des Grenzwerts: \(\lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{50}{x^3} \right]_1^b = \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{50}{b^3} + 50 \right) = 50\). 2. Aufgabenteil b): Allgemeine Stammfunktion für \(n \neq 1\) ist \(\Phi(x) = \frac{C}{-n+1} x^{-n+1}\). Das uneigentliche Integral ist \(\lim_{b \to \infty} \left[ \frac{C}{(1-n)x^{n-1}} \right]_1^b\). Da \(n > 1\), gilt \(n-1 > 0\) und somit \(\lim_{b \to \infty} \frac{1}{b^{n-1}} = 0\). Das Ergebnis ist \(0 - \frac{C}{(1-n) \cdot 1^{n-1}} = \frac{C}{n-1}\). 3. Aufgabenteil c): Für \(n = 1\) ist \(F(x) = \frac{C}{x}\). Die Stammfunktion ist \(\Phi(x) = C\ln(x)\). Der Grenzwert \(\lim_{b \to \infty} [C\ln(x)]_1^b = \lim_{b \to \infty} (C\ln(b) - 0)\) existiert nicht, da die Logarithmusfunktion für \(b \to \infty\) gegen Unendlich strebt. Das Integral divergiert.

a) \(50\) b) \(I = \frac{C}{n-1}\) c) Die Stammfunktion ist \(C\ln(x)\). Da \(\lim_{x \to \infty} \ln(x) = \infty\), besitzt das uneigentliche Integral keinen endlichen Wert.

- Wann wird ein Produkt aus zwei Faktoren Null? - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt das Wachstum, wenn \(x\) sehr kleine Werte annimmt? - Erinnere dich an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten. - Überlege dir, welche Integrationsgrenzen für die gesuchten Flächen relevant sind. - Bei einer nach links unbegrenzten Fläche nutzt man einen Grenzwert für die untere Integrationsgrenze.

1. Nullstelle bestimmen: \(4 - 2x = 0 \implies x = 2\). Da die Exponentialfunktion \(e^{0{,}5x}\) stets positiv ist, ist dies die einzige Nullstelle. 2. Grenzwert für \(x \to -\infty\): Da die Exponentialfunktion schneller gegen Null strebt als die lineare Funktion \(4 - 2x\) gegen Unendlich, gilt \(\lim_{x \to -\infty} (4 - 2x) \cdot e^{0{,}5x} = 0\). 3. Stammfunktion verifizieren: Ableiten von \(F(x) = (16 - 4x) \cdot e^{0{,}5x}\) mit der Produktregel ergibt \(F'(x) = -4 \cdot e^{0{,}5x} + (16 - 4x) \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = (-4 + 8 - 2x) \cdot e^{0{,}5x} = (4 - 2x) \cdot e^{0{,}5x} = f(x)\). 4. Flächeninhalt im ersten Quadranten: \(A_1 = \int_{0}^{2} f(x) \, dx = [F(x)]_0^2 = F(2) - F(0) = (16 - 4 \cdot 2) \cdot e^1 - (16 - 4 \cdot 0) \cdot e^0 = 8e - 16 \approx 5{,}75\). 5. Uneigentliches Integral berechnen: Da \(f(x) \ge 0\) für \(x \le 2\), berechnet man \(\int_{-\infty}^{2} f(x) \, dx = \lim_{k \to -\infty} [F(x)]_k^2 = F(2) - \lim_{k \to -\infty} F(k) = 8e - 0 = 8e \approx 21{,}75\).

a) \(x = 2\) b) \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) c) Nachweis durch Ableiten: \(F'(x) = f(x)\) d) \(A = 8e - 16 \approx 5{,}75\) e) \(A = 8e \approx 21{,}75\)

- Für die Extremstellen musst du die erste Ableitung gleich Null setzen. - Nutze die zweite Ableitung oder das Vorzeichenwechselkriterium zur Bestimmung der Art der Extrempunkte. - Denke beim Ableiten der vorgeschlagenen Stammfunktion an die Produktregel. - Das Integral berechnest du über die Differenz der Stammfunktionswerte an den Grenzen. - Überlege, wie sich ein Ausdruck der Form \(x^n \cdot e^x\) verhält, wenn \(x\) gegen minus Unendlich geht.

1. Extrempunkte bestimmen: \(g'(x) = (2x + x^2 - 3) \cdot e^x = (x^2 + 2x - 3) \cdot e^x\). Nullstellen der Ableitung bei \(x = 1\) und \(x = -3\). 2. Art der Extrema: \(g''(x) = (2x + 2 + x^2 + 2x - 3) \cdot e^x = (x^2 + 4x - 1) \cdot e^x\). \(g''(-3) = (9 - 12 - 1) \cdot e^{-3} = -4e^{-3} < 0 \implies\) Hochpunkt \(H(-3 \mid 6e^{-3})\). \(g''(1) = (1 + 4 - 1) \cdot e^1 = 4e > 0 \implies\) Tiefpunkt \(T(1 \mid -2e)\). 3. Stammfunktion verifizieren: \(G'(x) = (2x - 2 + x^2 - 2x - 1) \cdot e^x = (x^2 - 3) \cdot e^x = g(x)\). 4. Integral berechnen: \(I(k) = [G(x)]_k^{-1} = G(-1) - G(k) = ((-1)^2 - 2(-1) - 1)e^{-1} - (k^2 - 2k - 1)e^k = 2e^{-1} - (k^2 - 2k - 1)e^k\). 5. Grenzwert für \(k \to -\infty\): Da \(\lim_{k \to -\infty} (k^2 - 2k - 1)e^k = 0\) (Exponentialfunktion dominiert), ergibt sich \(\lim_{k \to -\infty} I(k) = 2e^{-1} = \frac{2}{e} \approx 0{,}74\).

a) Hochpunkt \(H(-3 \mid 6e^{-3})\), Tiefpunkt \(T(1 \mid -2e)\) b) Nachweis durch Ableiten: \(G'(x) = g(x)\) c) \(I(k) = 2e^{-1} - (k^2 - 2k - 1)e^k\) d) Der Grenzwert existiert und beträgt \(\frac{2}{e} \approx 0{,}74\).

- Betrachte die Vorzeichen von Zähler und Nenner separat. - Erkennst du im Zähler (bis auf einen Faktor) die Ableitung des Terms im Nenner? Das hilft beim Integrieren. - Nutze die Stammfunktion, um das bestimmte Integral von \(0\) bis \(z\) aufzustellen. - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler konstant bleibt?

1. Nachweis der Positivität: Für \(x > 0\) ist der Zähler \(4x > 0\). Da der Nenner \((x^2+1)^2\) als Quadrat einer positiven Zahl stets positiv ist, gilt \(g(x) > 0\) für alle \(x > 0\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: Mittels Substitution \(u = x^2+1\) mit \(du = 2x \, dx\) ergibt sich \(\int \frac{4x}{(x^2+1)^2} \, dx = 2 \int u^{-2} \, du = -2u^{-1} = -\frac{2}{x^2+1}\). Eine Stammfunktion ist \(G(x) = -\frac{2}{x^2+1}\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: \(A(z) = \int_0^z g(x) \, dx = [G(x)]_0^z = -\frac{2}{z^2+1} - (-\frac{2}{0^2+1}) = 2 - \frac{2}{z^2+1}\). 4. Uneigentliches Integral: Der Grenzwert für \(z \to \infty\) ist \(\lim_{z \to \infty} (2 - \frac{2}{z^2+1}) = 2 - 0 = 2\). Die Fläche besitzt somit den endlichen Inhalt \(2\).

a) Nachweis über \(4x > 0\) und \((x^2+1)^2 > 0\) für \(x > 0\). b) \(A(z) = 2 - \frac{2}{z^2+1}\) c) Ja, der Flächeninhalt ist \(2\).

- Was bedeutet „vollständig aus dem Einflussbereich entfernen“ für die obere Integrationsgrenze? - Erinnere dich daran, wie man ein Integral berechnet, bei dem eine Grenze unendlich ist. - Wandle alle Einheiten (Mikrocoulomb in Coulomb, Zentimeter in Meter) vor der Rechnung in das SI-System um. - Welche Stammfunktion benötigst du für einen Term der Form \(\frac{c}{r^2}\)?

1. Modellierung als uneigentliches Integral: Da die Ladung bis ins Unendliche entfernt wird, lautet der Ansatz für die Arbeit \(W = \int_{r_0}^{\infty} k \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r^2} \, dr\). 2. Berechnung des Grenzwerts: \(W = \lim_{b \to \infty} \int_{r_0}^{b} k \cdot Q_1 \cdot Q_2 \cdot r^{-2} \, dr = k \cdot Q_1 \cdot Q_2 \cdot \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{r_0}^{b}\). 3. Auswertung der Stammfunktion: \(\lim_{b \to \infty} \left( -\frac{1}{b} - (-\frac{1}{r_0}) \right) = 0 + \frac{1}{r_0} = \frac{1}{r_0}\). Somit gilt \(W = \frac{k \cdot Q_1 \cdot Q_2}{r_0}\). 4. Einsetzen der Werte: Mit \(Q_1 = 5 \cdot 10^{-5}\,\text{C}\), \(Q_2 = 2 \cdot 10^{-5}\,\text{C}\) und \(r_0 = 0{,}1\,\text{m}\) ergibt sich \(W = \frac{8{,}99 \cdot 10^9 \cdot 10^{-9}}{0{,}1} = \frac{8{,}99}{0{,}1} = 89{,}9\,\text{J}\).

Das elektrische Feld verrichtet eine Arbeit von \(89{,}9\,\text{J}\).

- Teile die Fläche an der Stelle auf, an der der Graph die Höhe \(k\) unterschreitet. - Verwende die Potenzregeln für die Integration und achte auf die Brüche im Exponenten. - Was bedeutet der Grenzübergang \(k \to \infty\) für den Flächeninhalt unter einem Graphen mit einer Polstelle bei \(x=0\)?

1. Berechnung des Schnittpunkts von \(g(x)\) und der horizontalen Geraden: \(x^{-2/3} = k \implies x^{2/3} = \frac{1}{k} \implies x = k^{-3/2} = \frac{1}{k\sqrt{k}}\). 2. Berechnung der Teilfläche des Rechtecks über dem Intervall \([0; k^{-3/2}]\) mit Höhe \(k\): \(A_{\text{Rechteck}} = k \cdot k^{-3/2} = k^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{k}}\). 3. Berechnung der Fläche unter dem Graphen im Intervall \([k^{-3/2}; 1]\): \(\int_{k^{-3/2}}^{1} x^{-2/3} \, dx = [3x^{1/3}]_{k^{-3/2}}^{1} = 3(1)^{1/3} - 3(k^{-3/2})^{1/3} = 3 - 3k^{-1/2} = 3 - \frac{3}{\sqrt{k}}\). 4. Addition der Teilflächen: \(A(k) = \frac{1}{\sqrt{k}} + 3 - \frac{3}{\sqrt{k}} = 3 - \frac{2}{\sqrt{k}}\). 5. Bestimmung des Grenzwerts: \(\lim_{k \to \infty} (3 - \frac{2}{\sqrt{k}}) = 3\).

\(A(k) = 3 - \frac{2}{\sqrt{k}}\). Der Grenzwert für \(k \to \infty\) beträgt \(3\).

- Überlege zuerst, wie man eine Tangente an einem Punkt berechnet. - Fertige eine Skizze an, um zu sehen, welche Funktion über welcher liegt und wo die Tangente die \(x\)-Achse schneidet. - Beachte die Bedingung „im ersten Quadranten“ – was bedeutet das für die untere Begrenzung der Fläche, wenn die Tangente negativ wird? - Teile die Fläche an der Stelle auf, an der sich die untere Begrenzung ändert. - Nutze die Regeln für uneigentliche Integrale, um den Grenzwert zu bestimmen.

1. Berechnung der Tangentengleichung: \(f(3) = 2\), \(f'(x) = -36x^{-3}\), \(f'(3) = -\frac{36}{27} = -\frac{4}{3}\). Die Tangente lautet \(t(x) = -\frac{4}{3}(x - 3) + 2 = -\frac{4}{3}x + 6\). 2. Bestimmung der Nullstelle der Tangente: \(-\frac{4}{3}x + 6 = 0 \implies x = 4{,}5\). 3. Da die Fläche im ersten Quadranten liegt, wird sie ab \(x = 4{,}5\) nach unten durch die \(x\)-Achse begrenzt. Der Flächeninhalt \(A_b\) setzt sich aus zwei Teilintegralen zusammen: \(A_b = \int_{3}^{4{,}5} (f(x) - t(x)) \, dx + \int_{4{,}5}^{b} f(x) \, dx\). 4. Erstes Integral: \(\int_{3}^{4{,}5} \left(\frac{18}{x^2} + \frac{4}{3}x - 6\right) \, dx = \left[-\frac{18}{x} + \frac{2}{3}x^2 - 6x\right]_{3}^{4{,}5} = (-4 + 13{,}5 - 27) - (-6 + 6 - 18) = -17{,}5 + 18 = 0{,}5\). 5. Zweites Integral: \(\int_{4{,}5}^{b} \frac{18}{x^2} \, dx = \left[-\frac{18}{x}\right]_{4{,}5}^{b} = -\frac{18}{b} + 4\). 6. Gesamter Flächeninhalt: \(A_b = 0{,}5 + 4 - \frac{18}{b} = 4{,}5 - \frac{18}{b}\). 7. Grenzwert: \(\lim_{b \to \infty} A_b = 4{,}5\). 8. Geometrische Deutung: Die ins Unendliche reichende Fläche besitzt einen endlichen Flächeninhalt.

a) \(t(x) = -\frac{4}{3}x + 6\) b) \(A_b = 4{,}5 - \frac{18}{b}\) c) Der Grenzwert ist \(4{,}5\). Dies bedeutet, dass die nach rechts unbegrenzte Fläche einen endlichen Inhalt hat.

- Untersuche die Funktion \(h\) auf Definitionslücken. - Wo genau liegt diese Lücke im Vergleich zu den Integrationsgrenzen in Aufgabenteil b)? - Welche Voraussetzung muss eine Funktion erfüllen, damit man das bestimmte Integral über ein Intervall \([a; b]\) bilden darf? - Überlege, was mit dem Funktionswert passiert, wenn \(x\) sehr nah an \(3\) herankommt.

1. Stammfunktion bestimmen: Eine Stammfunktion von \(h(x) = \frac{1}{x-3}\) ist \(H(x) = \ln|x-3|\). 2. Integral berechnen: \(\int_{4}^{6} \frac{1}{x-3} \, dx = [\ln|x-3|]_4^6 = \ln|6-3| - \ln|4-3| = \ln(3) - \ln(1) = \ln(3) \approx 1{,}099\). 3. Definitionslücke analysieren: Die Funktion \(h(x)\) besitzt an der Stelle \(x = 3\) eine vertikale Asymptote (Polstelle). 4. Integrationsintervall prüfen: Das Intervall \([2; 4]\) enthält die Stelle \(x = 3\). 5. Begründung der Nicht-Definiertheit: Für die Existenz eines bestimmten Integrals (Riemann-Integral) muss die Funktion auf dem gesamten abgeschlossenen Integrationsintervall stetig (oder zumindest beschränkt und stückweise stetig) sein. Da \(h(x)\) bei \(x = 3\) gegen unendlich strebt, ist sie dort nicht beschränkt, weshalb das Integral über ein Intervall, das diese Stelle enthält, nicht definiert ist.

a) \(\ln(3)\) b) Die Funktion \(h(x)\) hat an der Stelle \(x = 3\) eine Polstelle. Da diese Stelle innerhalb des Integrationsintervalls \([2; 4]\) liegt, ist die Funktion dort nicht stetig und nicht beschränkt. Damit ist die Grundvoraussetzung für die Definition des bestimmten Integrals nicht erfüllt.

- Bestimme zuerst den Berührpunkt und die Steigung für die Tangente. - Überlege dir genau, in welchem Bereich die Tangente die untere Begrenzung der Fläche darstellt und ab wann die \(x\)-Achse diese Rolle übernimmt. - Nutze die Potenzregel für die Integration von \(f(x)\). - Teile die Fläche unterhalb der Kurve in zwei Teile auf: den Teil über der Tangente und den Teil über der \(x\)-Achse.

1. Tangente an \(x=1\): \(f(1) = \frac{4}{2^2} = 1\). Ableitung \(f'(x) = -8(x+1)^{-3}\). Steigung \(m = f'(1) = -\frac{8}{8} = -1\). Tangente: \(y - 1 = -1(x - 1) \Rightarrow t(x) = -x + 2\). 2. Nullstelle der Tangente: \(t(x) = 0 \Rightarrow x = 2\). 3. Flächeninhalt für \(k=3\): Die Fläche wird oben durch \(f(x)\) begrenzt. Die untere Begrenzung ist für \(x \in [1; 2]\) die Tangente und für \(x \in [2; 3]\) die \(x\)-Achse. \(A = \int_{1}^{3} \frac{4}{(x+1)^2} \, dx - \int_{1}^{2} (-x + 2) \, dx\). Stammfunktion von \(f\): \(F(x) = -\frac{4}{x+1}\). Integral von \(f\): \(F(3) - F(1) = (-\frac{4}{4}) - (-\frac{4}{2}) = -1 + 2 = 1\). Fläche unter der Tangente (Dreieck): \(\int_{1}^{2} (-x + 2) \, dx = [-\frac{1}{2}x^2 + 2x]_1^2 = (-2 + 4) - (-0{,}5 + 2) = 2 - 1{,}5 = 0{,}5\). Gesamtfläche: \(A = 1 - 0{,}5 = 0{,}5\). 4. Grenzwert für \(k \to \infty\): \(A(k) = \int_{1}^{k} \frac{4}{(x+1)^2} \, dx - 0{,}5 = [-\frac{4}{x+1}]_1^k - 0{,}5 = (-\frac{4}{k+1} + 2) - 0{,}5 = 1{,}5 - \frac{4}{k+1}\). Für \(k \to \infty\) geht \(\frac{4}{k+1} \to 0\). Der Grenzwert ist \(1{,}5\).

a) \(t(x) = -x + 2\) b) \(A = 0{,}5\) c) \(\lim_{k \to \infty} A(k) = 1{,}5\)

- Wie findet man die Stelle, an der eine Funktion ihren höchsten Wert erreicht? - Welche besondere Form hat die Tangente in einem Hochpunkt? - Erinnere dich an die Integrationsregel für Funktionen, bei denen die Ableitung des Exponenten (bis auf einen Faktor) als Faktor davor steht. - Was passiert mit einem Ausdruck der Form \(e^{-x^2}\), wenn \(x\) gegen Unendlich strebt?

1. Bestimmung des Hochpunkts: \(f'(x) = (2 - 2x^2) \cdot e^{-0{,}5x^2}\). Setze \(f'(x) = 0 \implies x_H = 1\). Der Funktionswert ist \(y_H = f(1) = 2e^{-0{,}5} = \frac{2}{\sqrt{e}}\). Die Tangente ist eine waagerechte Gerade mit der Gleichung \(t: y = \frac{2}{\sqrt{e}}\). 2. Berechnung des Flächeninhalts zwischen Tangente und Graph: \(A = \int_{0}^{1} (\frac{2}{\sqrt{e}} - 2x \cdot e^{-0{,}5x^2}) \, dx\). 3. Stammfunktion bestimmen: \(\int 2x \cdot e^{-0{,}5x^2} \, dx = -2e^{-0{,}5x^2}\). Das Integral ergibt \([\frac{2}{\sqrt{e}}x + 2e^{-0{,}5x^2}]_{0}^{1}\). 4. Einsetzen der Grenzen: \((\frac{2}{\sqrt{e}} + 2e^{-0{,}5}) - (0 + 2e^0) = \frac{4}{\sqrt{e}} - 2 \approx 0{,}426\). 5. Flächeninhalt \(A(k)\): \(\int_{0}^{k} 2x \cdot e^{-0{,}5x^2} \, dx = [-2e^{-0{,}5x^2}]_{0}^{k} = -2e^{-0{,}5k^2} + 2\). 6. Grenzwertbetrachtung: Da \(\lim_{k \to \infty} e^{-0{,}5k^2} = 0\), gilt \(\lim_{k \to \infty} A(k) = 2\).

a) \(t: y = \frac{2}{\sqrt{e}}\) b) \(A = \frac{4}{\sqrt{e}} - 2 \approx 0{,}426\) c) \(A(k) = 2 - 2e^{-0{,}5k^2}\); für \(k \to \infty\) nähert sich der Flächeninhalt dem Wert \(2\) an.

- Überlege, welche Steigung die Tangente in einem Hochpunkt hat. - Wie berechnet man die Fläche zwischen einer waagerechten Geraden und einer Kurve? - Welche Integrationsmethode eignet sich für ein Produkt aus einer Potenzfunktion und einer Exponentialfunktion? - Nutze das Wachstumsverhalten von Exponentialfunktionen gegenüber Potenzfunktionen für den Grenzwert.

1. Ableitung bestimmen: \(g'(x) = (x - \frac{1}{2}x^2)e^{-x}\). Für \(x=2\) gilt \(g'(2) = 0\) und \(g''(2) = (1-x)e^{-x} - (x-\frac{1}{2}x^2)e^{-x} = -e^{-2} < 0\), also liegt ein Hochpunkt vor. 2. Tangentengleichung: \(g(2) = 2e^{-2}\), daher \(s: y = 2e^{-2}\). 3. Stammfunktion mittels partieller Integration (zweifach): \(\int \frac{1}{2}x^2 e^{-x} \, dx = -\frac{1}{2}(x^2+2x+2)e^{-x}\). 4. Flächeninhalt berechnen: \(A = \int_{0}^{2} (2e^{-2} - g(x)) \, dx = [2e^{-2}x + \frac{1}{2}(x^2+2x+2)e^{-x}]_{0}^{2}\). 5. Ergebnis des Integrals: \((4e^{-2} + 5e^{-2}) - (0 + 1) = 9e^{-2} - 1 \approx 0{,}218\). 6. Uneigentliches Integral: \(\lim_{k \to \infty} [-\frac{1}{2}(x^2+2x+2)e^{-x}]_{0}^{k} = \lim_{k \to \infty} (-\frac{1}{2}(k^2+2k+2)e^{-k} + 1)\). Da der Exponentialterm stärker sinkt als das Polynom steigt, ist der Grenzwert \(1\).

a) \(s: y = 2e^{-2}\) b) \(A = 9e^{-2} - 1 \approx 0{,}218\) c) \(\int_{0}^{\infty} g(x) \, dx = 1\)

- Welche Funktion wächst oder fällt schneller: eine Potenzfunktion oder eine Exponentialfunktion? - Achte beim Ableiten des Ansatzes besonders auf die Kettenregel beim \(e\)-Term. - Beim Koeffizientenvergleich müssen die Koeffizienten von \(x^2\), \(x^1\) und \(x^0\) auf beiden Seiten der Gleichung übereinstimmen. - Wie ist ein uneigentliches Integral mit unendlicher Grenze definiert?

1. Grenzwertbetrachtung: Für \(x \to \infty\) strebt \(e^{-0{,}5x}\) gegen \(0\). Da die Exponentialfunktion schneller gegen Null geht als jede Potenzfunktion gegen Unendlich, gilt \(\lim_{x \to \infty} x^2 \cdot e^{-0{,}5x} = 0\). 2. Ableitung des Ansatzes bilden: \(F'(x) = (2ax + b) \cdot e^{-0{,}5x} + (ax^2 + bx + c) \cdot (-0{,}5 e^{-0{,}5x}) = (-0{,}5ax^2 + (2a - 0{,}5b)x + (b - 0{,}5c)) \cdot e^{-0{,}5x}\). 3. Koeffizientenvergleich der Polynomfaktoren mit \(x^2 = 1 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 0\): I) \(-0{,}5a = 1 \implies a = -2\) II) \(2a - 0{,}5b = 0 \implies -4 - 0{,}5b = 0 \implies b = -8\) III) \(b - 0{,}5c = 0 \implies -8 - 0{,}5c = 0 \implies c = -16\) Somit ist \(F(x) = (-2x^2 - 8x - 16) \cdot e^{-0{,}5x}\). 4. Berechnung des Integrals: \(\int_0^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{k \to \infty} [F(x)]_0^k = \lim_{k \to \infty} (F(k) - F(0))\). 5. Auswertung: Da \(\lim_{k \to \infty} F(k) = 0\) (aufgrund des Faktors \(e^{-0{,}5k}\)), ergibt sich \(0 - F(0) = 0 - (-16) = 16\).

a) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\) b) \(a = -2, b = -8, c = -16\), also \(F(x) = (-2x^2 - 8x - 16) \cdot e^{-0{,}5x}\) c) \(\int_0^{\infty} f(x) \, dx = 16\)

- Wie gehst du vor, um die Extremstellen einer Funktion mit Parameter zu finden? - Um zu zeigen, dass Punkte auf einer bestimmten Kurve liegen, kannst du die x-Koordinate nach dem Parameter auflösen und in die y-Koordinate einsetzen. - Erinnere dich an die Potenzregeln für die Integration von Brüchen wie \(\frac{1}{x^n}\). - Was passiert mit Termen wie \(\frac{1}{u}\), wenn \(u\) immer größer wird?

1. Ableitung bilden: \(f_a'(x) = \frac{1 \cdot x^3 - (x - a) \cdot 3x^2}{x^6} = \frac{3a - 2x}{x^4}\). 2. Notwendige Bedingung \(f_a'(x) = 0\) liefert \(x_H = 1{,}5a\). Da \(f_a'(x) > 0\) für \(x < 1{,}5a\) und \(f_a'(x) < 0\) für \(x > 1{,}5a\), liegt ein Hochpunkt vor. 3. Funktionswert berechnen: \(y_H = f_a(1{,}5a) = \frac{1{,}5a - a}{(1{,}5a)^3} = \frac{0{,}5a}{3{,}375a^3} = \frac{4}{27a^2}\). Somit ist \(H_a(1{,}5a \mid \frac{4}{27a^2})\). 4. Ortskurve bestimmen: Aus \(x = 1{,}5a\) folgt \(a = \frac{2}{3}x\). Einsetzen in \(y_H\): \(y = \frac{4}{27 \cdot (\frac{2}{3}x)^2} = \frac{4}{27 \cdot \frac{4}{9}x^2} = \frac{1}{3x^2}\). Dies entspricht \(h(x)\). 5. Stammfunktion finden: \(F_a(x) = \int (x^{-2} - a x^{-3}) \, dx = -x^{-1} + \frac{a}{2}x^{-2} = -\frac{1}{x} + \frac{a}{2x^2}\). 6. Bestimmtes Integral berechnen: \(A(u) = \int_a^u f_a(x) \, dx = \left[ -\frac{1}{x} + \frac{a}{2x^2} \right]_a^u = (-\frac{1}{u} + \frac{a}{2u^2}) - (-\frac{1}{a} + \frac{a}{2a^2}) = \frac{1}{2a} - \frac{1}{u} + \frac{a}{2u^2}\). 7. Grenzwert bestimmen: \(\lim_{u \to \infty} A(u) = \lim_{u \to \infty} (\frac{1}{2a} - \frac{1}{u} + \frac{a}{2u^2}) = \frac{1}{2a}\).

a) \(H_a(1{,}5a \mid \frac{4}{27a^2})\) b) Durch Einsetzen von \(a = \frac{2}{3}x\) in den \(y\)-Wert des Hochpunkts erhält man \(y = \frac{1}{3x^2}\). c) \(A(u) = \frac{1}{2a} - \frac{1}{u} + \frac{a}{2u^2}\); Grenzwert: \(\frac{1}{2a}\).

- Nutze die Quotientenregel oder schreibe den Funktionsterm in eine Summe von Potenzen um, bevor du ableitest. - Die Konstante \(c\) findest du, indem du den Zusammenhang zwischen der x- und y-Koordinate des Hochpunkts allgemein formulierst. - Ein uneigentliches Integral gegen Unendlich wird als Grenzwert einer endlichen Integration berechnet. - Achte beim Einsetzen der Grenzen genau auf die Vorzeichen und die Potenzen des Parameters.

1. Ableitung berechnen: \(g_k'(x) = \frac{k \cdot x^3 - (kx - k^2) \cdot 3x^2}{x^6} = \frac{kx - 3kx + 3k^2}{x^4} = \frac{3k^2 - 2kx}{x^4}\). 2. Hochpunkt ermitteln: \(g_k'(x) = 0 \implies x_H = 1{,}5k\). Funktionswert: \(y_H = g_k(1{,}5k) = \frac{k(1{,}5k) - k^2}{(1{,}5k)^3} = \frac{0{,}5k^2}{3{,}375k^3} = \frac{4}{27k}\). Also \(H_k(1{,}5k \mid \frac{4}{27k})\). 3. Ortskurve: Mit \(k = \frac{2}{3}x\) folgt \(y = \frac{4}{27 \cdot \frac{2}{3}x} = \frac{2}{9x}\). Damit ist \(c = \frac{2}{9}\). 4. Stammfunktion: \(G_k(x) = \int (kx^{-2} - k^2x^{-3}) \, dx = -kx^{-1} + \frac{k^2}{2}x^{-2} = -\frac{k}{x} + \frac{k^2}{2x^2}\). 5. Uneigentliches Integral: \(\int_k^{\infty} g_k(x) \, dx = \lim_{u \to \infty} [-\frac{k}{x} + \frac{k^2}{2x^2}]_k^u = \lim_{u \to \infty} (-\frac{k}{u} + \frac{k^2}{2u^2} - (-\frac{k}{k} + \frac{k^2}{2k^2})) = 0 - (-1 + 0{,}5) = 0{,}5\). 6. Begründung: Bei der Auswertung der Stammfunktion an der unteren Grenze \(k\) heben sich die Einflüsse von \(k\) im Zähler und Nenner gegenseitig auf, sodass ein konstanter Zahlenwert entsteht. Die Terme mit \(u\) im Nenner verschwinden im Grenzübergang.

a) \(H_k(1{,}5k \mid \frac{4}{27k})\); die Kurvengleichung ist \(y = \frac{2}{9x}\) mit \(c = \frac{2}{9}\). b) \(\int_k^{\infty} g_k(x) \, dx = 0{,}5\). c) Der Parameter \(k\) kürzt sich beim Einsetzen der Integrationsgrenze \(k\) in die Stammfunktion vollständig heraus, und die anderen Terme streben gegen Null.

- Bestimme zuerst die Differenzfunktion \(d(x) = f(x) - g(x)\). Was fällt dir bei den beiden Brüchen auf? - Erinnere dich daran, wie man eine Stammfunktion für eine Potenzfunktion der Form \(x^{-n}\) bildet. - Drücke die nach rechts unbegrenzte Fläche als Grenzwert eines bestimmten Integrals mit einer variablen oberen Grenze \(z\) für \(z \to \infty\) aus. - Welchen Wert nimmt der Term \(\frac{6}{z}\) an, wenn \(z\) unendlich groß wird? - Überlege für den letzten Aufgabenteil, was mit dem Bruch \(\frac{6}{a}\) passiert, wenn der Nenner \(a\) immer kleiner wird und sich der Null nähert.

1. Die Differenzfunktion ist \(d(x)=f(x)-g(x)=\frac{6}{x^2}\), eine Stammfunktion ist \(D(x)=-\frac{6}{x}\). 2. Für a) gilt \(A=\lim_{z\to\infty}\int_1^z\frac{6}{x^2}\,\mathrm{d}x=\lim_{z\to\infty}\left[-\frac{6}{x}\right]_1^z=6\). 3. Für b) gilt \(A(a)=\lim_{z\to\infty}\int_a^z\frac{6}{x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{6}{a}\) für \(a>0\). 4. Für c) ist \(\lim_{a\to0^+}A(a)=\infty\). Die gesamte Fläche zwischen den Graphen im Bereich \(x>0\) besitzt daher keinen endlichen Inhalt.

a) Der Flächeninhalt der nach rechts unbegrenzten Fläche für \(x \ge 1\) beträgt \(6\). b) Der Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(a\) lautet \(A(a) = \frac{6}{a}\). c) Für \(a \to 0^+\) gilt \(A(a) \to \infty\). Geometrisch bedeutet dies, dass die gesamte Fläche zwischen den beiden Graphen für \(x > 0\) einen unendlich großen Flächeninhalt besitzt.

- Nutze die Produktregel zur Ableitung von \(h_k(x)\). - Überlege dir, welcher Faktor im Term \(k^2xe^{-kx}\) für sehr große \(x\) dominiert. - Verwende die partielle Integration für die Stammfunktion oder prüfe eine gegebene Vermutung durch Ableiten. - Vergleiche die Lage und Höhe der Hochpunkte, um die Graphen zuzuordnen.

1. Maximum bestimmen: Die Ableitung ist \(h_k'(x) = k^2 \cdot e^{-kx} + k^2 \cdot x \cdot (-k) \cdot e^{-kx} = k^2 \cdot e^{-kx} \cdot (1 - kx)\). Die Bedingung \(h_k'(x) = 0\) liefert \(1 - kx = 0\), also \(x = \frac{1}{k}\). Da die Ableitung davor positiv und danach negativ ist, liegt ein Maximum vor. 2. Asymptote: Für \(x \to \infty\) wächst die Exponentialfunktion \(e^{kx}\) im Nenner wesentlich schneller als die lineare Funktion \(k^2 x\) im Zähler. Daher gilt \(\lim_{x \to \infty} \frac{k^2 x}{e^{kx}} = 0\). 3. Uneigentliches Integral: Eine Stammfunktion von \(h_k(x)\) findet man mittels partieller Integration: \(H_k(x) = (-kx - 1) \cdot e^{-kx}\). Das Integral ist \(\int_0^\infty h_k(x) \,\mathrm{d}x = \lim_{b \to \infty} [H_k(x)]_0^b = \lim_{b \to \infty} ((-kb - 1)e^{-kb} - (-1)e^0) = 0 + 1 = 1\). Der gesamte Flächeninhalt unter jedem Graphen der Schar ist also immer genau \(1\), unabhängig vom Wert von \(k\). 4. Zuordnung: Bei \(k=1\) liegt das Maximum bei \(x=1\) mit der Höhe \(h_1(1) = 1/e \approx 0{,}37\). Bei \(k=2\) liegt das Maximum bei \(x=0{,}5\) mit der Höhe \(h_2(0{,}5) = 2/e \approx 0{,}74\). Somit gehört Kurve \(b\) (höheres Maximum weiter links) zu \(k=2\) und Kurve \(a\) zu \(k=1\).

a) \(h_k'(x) = k^2 e^{-kx}(1 - kx) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{k}\). b) Wegen des stärkeren Wachstums von \(e^{kx}\) gegenüber \(x\) gilt \(\lim_{x \to \infty} h_k(x) = 0\). c) Der Wert ist \(1\). Das bedeutet, dass alle Funktionen der Schar trotz unterschiedlicher Formen denselben Flächeninhalt mit der \(x\)-Achse einschließen. d) Kurve \(a\) gehört zu \(k=1\), Kurve \(b\) gehört zu \(k=2\).