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- Was gibt die y-Achse in diesem Diagramm an? - Welche Höhendifferenz wird auf der \(x\)-Achse betrachtet? - Multipliziere die Rate mit dem zurückgelegten Höhenintervall.

1. Der Betrag der Abnahmerate ist konstant \(5\,\text{K/km}\). 2. Die Höhendifferenz beträgt \(4\,\text{km}\). 3. Der Betrag der Temperaturänderung ist \(5\,\text{K/km} \cdot 4\,\text{km} = 20\,\text{K}\). Da die Temperatur sinkt, ist die orientierte Änderung \(-20\,\text{K}\).

Die Temperatur sinkt um \(20\,\text{K}\).

- Welcher Wert für die Dichte lässt sich auf der vertikalen Achse ablesen? - Welche Länge wird auf der horizontalen Achse für die Berechnung herangezogen? - Wie erhält man die Gesamtmasse aus der Dichte pro Längeneinheit?

1. Analyse des Graphen: Die Dichte ist über die gesamte Länge konstant bei \(15\,\text{g/m}\). 2. Länge des Teilstücks: Es wird ein Stück der Länge \(10\,\text{m}\) betrachtet. 3. Berechnung der Masse: Die Masse ist das Produkt aus Dichte und Länge: \(m = 15\,\text{g/m} \cdot 10\,\text{m} = 150\,\text{g}\). Ergebnis: \(150\,\text{g}\).

Die Gesamtmasse des Stabstücks beträgt \(150\,\text{g}\).

- Wie hängen die momentane Änderungsrate und die totale Bestandsänderung mathematisch zusammen? - In welchem Zeitraum findet der Pumpvorgang statt? Das definiert deine Integrationsgrenzen. - Denke am Ende an die Umrechnung der Einheit von Litern in Kubikmeter.

1. Das Gesamtvolumen in Litern entspricht dem bestimmten Integral der Pumprate über den Zeitraum von \(0\) bis \(12\) Minuten: \(\int_{0}^{12} (120t - 10t^2) \, dt\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(V(t) = 60t^2 - \frac{10}{3}t^3\). 3. Berechnung des Werts: \(V(12) - V(0) = (60 \cdot 144 - \frac{10}{3} \cdot 1728) - 0 = 8640 - 5760 = 2880\,\text{l}\). 4. Umrechnung von Litern in Kubikmeter: Da \(1000\,\text{l} = 1\,\text{m}^3\), ergibt sich \(2880 : 1000 = 2{,}88\,\text{m}^3\).

Es werden insgesamt \(2{,}88\,\text{m}^3\) Wasser abgepumpt.

- Kannst du beschreiben, welche physikalische oder praktische Bedeutung die Fläche unter einer Änderungsrate-Kurve hat? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Gesamtänderung aus einer Änderungsrate zu berechnen? - Erinnere dich daran, wie man eine Stammfunktion für eine ganzrationale Funktion (Polynomfunktion) bildet. - Wie lautet der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um das bestimmte Integral mit den Grenzen \(1\) und \(7\) zu berechnen? - Überprüfe am Ende, ob deine Einheiten zueinander passen: Was ergibt sich, wenn man die Einheit der y-Achse mit der Einheit der x-Achse multipliziert?

1. Bestimmung der Stammfunktion \(F\) von \(f(t) = -0{,}5 t^2 + 4t + 2\): Durch gliedweise Integration erhält man: \(F(t) = -\frac{1}{6} t^3 + 2t^2 + 2t\) (oder allgemein mit einer Integrationskonstante \(C\)). 2. Berechnung des bestimmten Integrals von \(1\) bis \(7\): Es gilt \(\int_{1}^{7} f(t) \,\text{d}t = F(7) - F(1)\). Einsetzen der Grenzen liefert: \(F(7) = -\frac{1}{6} \cdot 7^3 + 2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 7 = -\frac{343}{6} + 98 + 14 = \frac{329}{6} \approx 54{,}83\) \(F(1) = -\frac{1}{6} \cdot 1^3 + 2 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = \frac{23}{6} \approx 3{,}83\) Die Differenz ergibt: \(F(7) - F(1) = \frac{329}{6} - \frac{23}{6} = \frac{306}{6} = 51\) Somit sind in diesem Zeitraum \(51\,\text{m}^3\) Wasser in das Becken geflossen. 3. Interpretation im Sachzusammenhang: Das Integral gibt die Netto-Änderung des Wasservolumens (die Gesamtzuflussmenge in Kubikmetern) im Zeitraum von \(t = 1\,\text{h}\) bis \(t = 7\,\text{h}\) an. Grafisch entspricht dieser Wert dem Flächeninhalt der Fläche unter dem Graphen von \(f\) über dem Intervall \([1; 7]\), die seitlich durch die vertikalen Linien bei \(t = 1\) und \(t = 7\) und unten durch die \(t\)-Achse begrenzt wird.

a) Eine Stammfunktion ist \(F(t) = -\frac{1}{6} t^3 + 2t^2 + 2t\) (oder allgemein mit \(+ C\)). b) Das Gesamtvolumen des Wassers beträgt \(51\,\text{m}^3\). c) Im Sachzusammenhang gibt das Integral das gesamte Wasservolumen an, das zwischen der 1. und der 7. Stunde in das Becken geflossen ist. Grafisch entspricht dieser Wert dem Flächeninhalt der Fläche unter dem Graphen von \(f\) über dem Intervall \([1; 7]\).

- Was gibt die y-Achse an und was die x-Achse? Überlege, welche Einheit entsteht, wenn man die Einheiten der beiden Achsen miteinander multipliziert. - Wie hängen eine Änderungsrate (hier die Zuflussrate) und die Gesamtänderung (hier das gesamte Wasservolumen) mathematisch zusammen? - Kannst du die geometrische Form der Fläche unter dem Graphen bestimmen? - Falls die gesamte Form schwer auf einmal zu berechnen ist, kannst du sie in einfachere Teilflächen zerlegen, deren Flächeninhalt du leicht berechnen kannst?

1. Mathematische Bedeutung: Das bestimmte Integral \(\int_{0}^{10} f(t) \,\text{d}t\) entspricht dem Inhalt der Fläche, die der Graph der Funktion \(f\) im Intervall \([0; 10]\) mit der \(t\)-Achse einschließt. 2. Sachliche Bedeutung: Das Integral beschreibt die gesamte Wassermenge (das Gesamtvolumen), die im Zeitraum von \(t = 0\,\text{min}\) bis \(t = 10\,\text{min}\) in den Speicherbehälter geflossen ist. 3. Berechnung des Werts: Die Fläche unter dem Graphen bildet ein Trapez mit den parallelen Seitenlängen \(a = 10\) und \(c = 4\) sowie der Höhe \(h = 20\). \(A = \frac{10 + 4}{2} \cdot 20 = 140\) Alternativ lässt sich die Fläche in zwei Dreiecke und ein Rechteck zerlegen: - Linkes Dreieck (\(0\) bis \(4\,\text{min}\)): \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 20 = 40\) - Mittleres Rechteck (\(4\) bis \(8\,\text{min}\)): \(4 \cdot 20 = 80\) - Rechtes Dreieck (\(8\) bis \(10\,\text{min}\)): \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 20 = 20\) - Gesamtfläche: \(40 + 80 + 20 = 140\) 4. Ergebnis: Der Wert des Integrals beträgt \(140\). Die dazugehörige physikalische Größe ist das Wasservolumen mit der Einheit Liter (\(\text{l}\)).

a) Mathematisch entspricht das Integral dem Flächeninhalt unter dem Graphen im Intervall \([0; 10]\). Sachlich stellt es das gesamte Wasservolumen dar, das in den ersten 10 Minuten in den Behälter geflossen ist. b) Der Wert des Integrals beträgt \(140\). Die Maßeinheit der berechneten Größe ist Liter (\(\text{l}\)).

- Überlege zuerst, wie man aus einer Rate die Gesamtänderung über einen Zeitraum berechnet. - Achte darauf, dass die Funktion die Rate pro Quadratmeter angibt. Wie groß ist die gesamte Fläche aller Filterelemente? - Achte bei der Flächenberechnung und beim Endergebnis auf die korrekten Einheiten (Zentimeter, Meter, Milligramm, Gramm). - Welches Zeitintervall wird durch die Angabe „Stunden seit der Schichtmitte“ abgedeckt?

1. Berechnung der Staubmasse pro Quadratmeter durch Integration der Rate \(r(t)\) über das Zeitintervall \([-4; 4]\): \(\int_{-4}^{4} 500(1 - \frac{1}{16}t^2) \, dt = [500t - \frac{500}{48}t^3]_{-4}^4\). 2. Einsetzen der Grenzen liefert \((2000 - \frac{2000}{3}) - (-2000 + \frac{2000}{3}) = \frac{4000}{3} + \frac{4000}{3} = \frac{8000}{3} \approx 2666{,}67\,\frac{\text{mg}}{\text{m}^2}\). 3. Bestimmung der gesamten Filterfläche: \(120 \cdot 2500\,\text{cm}^2 = 300\,000\,\text{cm}^2 = 30\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der Gesamtmasse: \(30\,\text{m}^2 \cdot \frac{8000}{3}\,\frac{\text{mg}}{\text{m}^2} = 80\,000\,\text{mg}\). 5. Umrechnung in Gramm: \(80\,000\,\text{mg} = 80\,\text{g}\).

Während der Schicht werden insgesamt \(80\,\text{g}\) Feinstaub aufgefangen.

- Was sagt das Vorzeichen einer Änderungsrate über die Zunahme oder Abnahme einer Größe aus? - Welche mathematische Operation berechnet die gesamte Änderung einer Größe aus ihrer Änderungsrate? - Achte beim Einsetzen in die Winkelfunktionen darauf, ob dein Taschenrechner auf das Bogenmaß (RAD) eingestellt ist. - Überlege dir, welche physikalische Einheit das Ergebnis des Integrals haben muss, wenn die Rate in Volumen pro Zeit angegeben ist.

1. Berechnung von \(v(3)\): \(v(3) = 20 \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 20 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -10\sqrt{2} \approx -14{,}14\). Damit beträgt die Änderungsrate \(-14{,}14 \cdot 10^3\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). Das negative Vorzeichen bedeutet, dass zu diesem Zeitpunkt Wasser aus dem Oberbecken abfließt (z. B. zur Stromerzeugung). 2. Bestimmung der Stammfunktion von \(v(t)\): \(V(t) = 20 \cdot \frac{4}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{4} t\right) = \frac{80}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{4} t\right)\). 3. Berechnung des Integrals: \(\int_{2}^{6} v(t) \, dt = \left[ \frac{80}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{4} t\right) \right]_{2}^{6} = \frac{80}{\pi} \cdot \left( \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) = \frac{80}{\pi} \cdot (-1 - 1) = -\frac{160}{\pi}\). 4. Interpretation: Der Wert des Integrals gibt die Nettoänderung des Wasservolumens im Zeitraum von \(t = 2\) bis \(t = 6\) an. Das Volumen im Oberbecken hat in diesem Zeitraum um \(\frac{160}{\pi} \cdot 10^3\,\text{m}^3 \approx 50{,}93 \cdot 10^3\,\text{m}^3\) abgenommen.

a) \(v(3) = -10\sqrt{2} \cdot 10^3\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}} \approx -14{,}14 \cdot 10^3\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). Das negative Vorzeichen gibt an, dass das Wasservolumen im Oberbecken zum Zeitpunkt \(t = 3\) abnimmt. b) \(\int_{2}^{6} v(t) \, dt = -\frac{160}{\pi} \cdot 10^3\,\text{m}^3 \approx -50{,}93 \cdot 10^3\,\text{m}^3\). Dies bedeutet, dass das Wasservolumen im Oberbecken zwischen den Zeitpunkten \(t = 2\) und \(t = 6\) insgesamt um etwa \(50{,}93 \cdot 10^3\,\text{m}^3\) gesunken ist.

- Was bedeutet eine negative Änderungsrate für die betrachtete Konzentration? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um die Gesamtdifferenz einer Größe zu bestimmen. - Überlege, was ein Integralwert von Null für den Vergleich von Anfangs- und Endzustand bedeutet. - Achte auf die korrekte Anwendung der Kettenregel beim Integrieren der Sinusfunktion.

1. Berechnung von \(k(5)\): \(k(5) = -0{,}5 \cdot \sin\left(\frac{5\pi}{10}\right) = -0{,}5 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -0{,}5 \cdot 1 = -0{,}5\). Zum Zeitpunkt \(t = 5\,\text{min}\) sinkt die Konzentration des Wirkstoffs mit einer Rate von \(0{,}5\,\text{mol}/(\text{l} \cdot \text{min})\). 2. Bestimmung der Stammfunktion von \(k(t)\): \(K(t) = -0{,}5 \cdot \left(-\frac{10}{\pi}\right) \cos\left(\frac{\pi}{10} t\right) = \frac{5}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{10} t\right)\). 3. Berechnung des Integrals: \(\int_{0}^{20} k(t) \, dt = \left[ \frac{5}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{10} t\right) \right]_{0}^{20} = \frac{5}{\pi} \cdot (\cos(2\pi) - \cos(0)) = \frac{5}{\pi} \cdot (1 - 1) = 0\). 4. Interpretation: Der Wert des Integrals ist \(0\). Dies bedeutet, dass die Nettoänderung der Konzentration über den gesamten Zeitraum von 20 Minuten null ist; die Konzentration am Ende des Versuchs entspricht also genau der Konzentration zu Beginn.

a) \(k(5) = -0{,}5\). Die Konzentration nimmt zum Zeitpunkt \(t = 5\) mit einer Rate von \(0{,}5\,\text{mol}/(\text{l} \cdot \text{min})\) ab. b) \(\int_{0}^{20} k(t) \, dt = 0\). Über den Zeitraum von 20 Minuten ist die Nettoänderung der Konzentration gleich Null, d. h. die Endkonzentration ist identisch mit der Anfangskonzentration.

- Was gibt der Wert eines Integrals über eine Änderungsrate an? - Achte auf das Vorzeichen des Ergebnisses und überlege, was dies für die Flüssigkeitsmenge im Tank bedeutet. - Wie hängen die Ableitung des Nenners und der Zähler der Funktion zusammen? - Was bedeutet das Kleiner-Zeichen in Bezug auf den Flüssigkeitsverlust?

1. Bestimmung der Stammfunktion: Da der Zähler bis auf einen Faktor die Ableitung des Nenners ist, verwendet man die logarithmische Integrationsregel \(\int \frac{g'(t)}{g(t)} \, dt = \ln|g(t)|\). Es gilt \(f(t) = -30\frac{2t}{t^2+36}\), woraus die Stammfunktion \(F(t) = -30\ln(t^2+36)\) folgt. 2. Berechnung des bestimmten Integrals: \(\int_0^8 f(t) \, dt = [-30 \ln(t^2+36)]_0^8 = -30 \ln(64+36) - (-30 \ln(0+36)) = -30 \ln(100) + 30 \ln(36) = -30 \ln\left(\frac{100}{36}\right) \approx -30{,}65\). 3. Interpretation: Das Integral gibt die Gesamtänderung des Volumens an. In den ersten 8 Stunden sind somit ca. \(30{,}65\,\text{l}\) Flüssigkeit aus dem Behälter ausgetreten. 4. Sachbezogene Frage zu b): Die Ungleichung fragt nach dem Zeitpunkt, ab dem die gesamte Volumenänderung einen Verlust von mehr als \(40\,\text{l}\) darstellt. Mögliche Frage: „Nach welcher Zeit \(t\) sind insgesamt mehr als \(40\,\text{l}\) Kühlflüssigkeit aus dem Behälter ausgeflossen?“

a) \(\int_0^8 f(t) \, dt = -30 \ln\left(\frac{25}{9}\right) \approx -30{,}65\). In den ersten 8 Stunden nach Entdeckung des Defekts hat das Volumen der Flüssigkeit im Behälter um ca. \(30{,}65\,\text{l}\) abgenommen. b) Eine mögliche Frage ist: „Nach wie vielen Stunden hat der Behälter insgesamt mehr als \(40\,\text{l}\) Flüssigkeit verloren?“

- Wie berechnet man die Gesamtmenge aus einer gegebenen Änderungsrate? - Kannst du eine Stammfunktion finden, indem du den Nenner und seine Ableitung betrachtest? - Was ist der Unterschied zwischen der Gesamtmenge seit Beginn und der Menge in einem bestimmten Zeitfenster? - Überlege dir, welche Einheit das Ergebnis nach der Integration über die Zeit haben muss.

1. Identifikation der Stammfunktion: Die Funktion hat die Form \(k \cdot \frac{g'(t)}{g(t)}\) mit \(g(t) = (t+2)^2+16\). Da \(g'(t) = 2(t+2)\), folgt \(h(t) = 50 \cdot \frac{2(t+2)}{(t+2)^2+16}\). Die Stammfunktion lautet \(H(t) = 50 \ln((t+2)^2+16)\). 2. Berechnung für a): \(\int_0^6 h(t) \, dt = H(6) - H(0) = 50 \ln(8^2+16) - 50 \ln(2^2+16) = 50 \ln(80) - 50 \ln(20) = 50 \ln(4) \approx 69{,}31\). In den ersten 6 Stunden fließen ca. \(69{,}31\,\text{m}^3\) Wasser zu. 3. Berechnung für b): \(\int_2^4 h(t) \, dt = H(4) - H(2) = 50 \ln(6^2+16) - 50 \ln(4^2+16) = 50 \ln(52) - 50 \ln(32) = 50 \ln(1{,}625) \approx 24{,}28\). 4. Interpretation zu b): Das Integral gibt die Wassermenge an, die im Zeitintervall von \(t=2\) bis \(t=4\) (also zwischen der zweiten und der vierten Stunde nach Beobachtungsbeginn) insgesamt in das Becken geflossen ist. Dieser Wert beträgt ca. \(24{,}28\,\text{m}^3\).

a) Das zugeflossene Volumen beträgt ca. \(69{,}31\,\text{m}^3\). b) \(\int_2^4 h(t) \, dt = 50 \ln(1{,}625) \approx 24{,}28\). Dieser Wert gibt das Wasservolumen in Kubikmetern an, das zwischen der 2. und der 4. Stunde nach Beobachtungsbeginn in das Becken zugeflossen ist.

- Überlege dir zuerst, was eine positive, eine negative und eine Geschwindigkeit von Null für die Bewegung des Ballons bedeuten. - Wie hängt die Änderung einer Größe (hier der Höhe) mit der Fläche unter der Änderungsratenkurve (hier der Geschwindigkeit) zusammen? - Versuche, die Flächen zwischen dem Graphen und der Zeitachse in einfache geometrische Formen wie Dreiecke, Rechtecke oder Trapeze zu zerlegen. - Achte darauf, ob die Flächen oberhalb oder unterhalb der Zeitachse liegen, um zu entscheiden, ob Höhe dazukommt oder verloren geht.

1. Die Flughöhe bleibt konstant, wenn \(v(t)=0\). Dies ist im Intervall \([6; 7]\) der Fall. 2. Bis \(t=6\) steigt der Ballon, von \(6\) bis \(7\) bleibt seine Höhe konstant und danach sinkt er. Daher wird die maximale Höhe im Zeitraum von \(6\) bis \(7\) Minuten erreicht. 3. Die positive Fläche bis \(t=6\) ist ein Trapez mit den parallelen Seitenlängen \(6\) und \(2\) und der Höhe \(4\): \(\Delta h_1=\frac{6+2}{2}\cdot4=16\,\text{m}\). Die maximale Höhe ist \(150\,\text{m}+16\,\text{m}=166\,\text{m}\). 4. Die negative Fläche von \(7\) bis \(10\) ist ein Trapez mit den parallelen Seitenlängen \(3\) und \(1\) und der Höhe \(2\): \(\Delta h_2=-\frac{3+1}{2}\cdot2=-4\,\text{m}\). Die Endhöhe ist \(166\,\text{m}-4\,\text{m}=162\,\text{m}\).

a) Im Zeitraum von \(t = 6\,\text{min}\) bis \(t = 7\,\text{min}\) ändert sich die Flughöhe nicht, da dort die Geschwindigkeit \(v(t) = 0\,\text{m/min}\) ist. b) Der Ballon erreicht seine maximale Höhe im Zeitraum von \(t = 6\,\text{min}\) bis \(t = 7\,\text{min}\). Diese beträgt \(166\,\text{m}\). c) Am Ende des Zeitraums (\(t = 10\,\text{min}\)) beträgt die Flughöhe des Ballons \(162\,\text{m}\).

- Überlege zuerst, welche Einheiten auf den beiden Achsen aufgetragen sind. - Wie berechnet sich der Flächeninhalt eines Rechtecks, wenn die Seitenlängen durch die Einheiten der Achsen gegeben sind? - Wann wächst eine Größe am schnellsten? Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Wachstumsgeschwindigkeit und der momentanen Änderungsrate? - Was sagt das Vorzeichen der Änderungsrate über das Steigen oder Fallen des Bestands aus? - Erinnere dich daran, wie man das bestimmte Integral einer Funktion mithilfe einer Stammfunktion berechnet.

1. Bedeutung des Kästchen-Flächeninhalts: Die Breite eines Kästchens entspricht \(1\,\text{h}\). Die Höhe eines Kästchens entspricht \(2\,\text{m}^3/\text{h}\). Der Flächeninhalt eines Kästchens entspricht somit \(1\,\text{h} \cdot 2\,\text{m}^3/\text{h} = 2\,\text{m}^3\). Dies stellt ein Wasservolumen von \(2\,\text{m}^3\) dar. 2. Zeitpunkte maximaler Zunahme und Abnahme: - Die Zunahme des Wasservolumens ist am schnellsten, wenn die Änderungsrate \(f(t)\) maximal ist. Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \(t = 5\,\text{h}\) mit \(f(5) = 9\,\text{m}^3/\text{h}\). Das Volumen nimmt also bei \(t = 5\,\text{h}\) am schnellsten zu. - Die Abnahme ist am schnellsten, wenn die Änderungsrate minimal ist. An den Rändern des Intervalls bei \(t = 0\,\text{h}\) und \(t = 10\,\text{h}\) ist \(f(t) = -16\,\text{m}^3/\text{h}\) minimal. Das Volumen nimmt also bei \(t = 0\,\text{h}\) und \(t = 10\,\text{h}\) am schnellsten ab. - Maximales Wasservolumen im Zeitraum \([2; 8]\): Da \(f(t) > 0\) für alle \(t \in (2; 8)\), fließt in diesem gesamten Zeitraum Wasser in das Becken. Das Wasservolumen steigt also kontinuierlich an und erreicht sein Maximum am Ende des Zuflusszeitraums, also bei \(t = 8\,\text{h}\). 3. Berechnung des Integrals: Ausmultiplizieren der Funktion ergibt \(f(t) = -t^2 + 10t - 16\). Eine Stammfunktion ist \(F(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 5t^2 - 16t\). Das bestimmte Integral berechnet sich über: \(\int_2^8 f(t) \,\text{d}t = F(8) - F(2) = \left(-\frac{512}{3} + 320 - 128\right) - \left(-\frac{8}{3} + 20 - 32\right) = \frac{64}{3} - \left(-\frac{44}{3}\right) = \frac{108}{3} = 36\). Bedeutung im Sachzusammenhang: Das Integral gibt die Gesamtänderung des Wasservolumens im Zeitraum von \(t = 2\,\text{h}\) bis \(t = 8\,\text{h}\) an. In diesem Zeitraum fließen insgesamt \(36\,\text{m}^3\) Wasser in das Becken.

a) Ein Kästchen im Koordinatensystem entspricht einem Wasservolumen von \(2\,\text{m}^3\). b) Das Wasservolumen nimmt bei \(t = 5\,\text{h}\) am schnellsten zu und bei \(t = 0\,\text{h}\) sowie \(t = 10\,\text{h}\) am schnellsten ab. Im Zeitraum \([2; 8]\) ist das Wasservolumen bei \(t = 8\,\text{h}\) maximal, da in diesem gesamten Intervall ein Nettozufluss stattfindet. c) \(\int_2^8 f(t) \,\text{d}t = 36\). Dies bedeutet, dass im Zeitraum von \(t = 2\,\text{h}\) bis \(t = 8\,\text{h}\) insgesamt \(36\,\text{m}^3\) Wasser zusätzlich in das Becken geflossen sind.

- Überlege dir zuerst, was die mathematische Operation des Integrierens anschaulich für eine Änderungsrate bedeutet. - Welche physikalische oder praktische Größe erhältst du, wenn du eine Rate (z. B. Personen pro Stunde) über einen Zeitraum integrierst? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um das bestimmte Integral einer Funktion rechnerisch zu bestimmen. - Wie hängen die Eintreffrate der Besucher und die maximale Bearbeitungskapazität zusammen, wenn es um die Entstehung einer Warteschlange geht? - Wann beginnt eine Warteschlange zu schrumpfen? Vergleiche dazu die beiden Linien im Graphen.

1. \(I_0(x)=\int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t\) gibt die Gesamtzahl der Besucher an, die von der Öffnung bis zum Zeitpunkt \(x\) eingetroffen sind. 2. \(I_0(2)=\int_0^2(-30t^2+240t)\,\mathrm{d}t=\left[-10t^3+120t^2\right]_0^2=400\). In den ersten zwei Stunden treffen \(400\) Besucher ein. 3. Aus \(-10x^3+120x^2=2160\) folgt im Intervall \([0; 8]\) die Lösung \(x=6\). 4. Die Gleichung \(-30t^2+240t=360\) führt auf \((t-2)(t-6)=0\). Zwischen \(2\) und \(6\) Stunden ist die Eintreffrate größer als die Kapazität; ab \(t=6\) kann die Warteschlange wieder abgebaut werden.

a) \(I_0(x)\) beschreibt die Gesamtzahl der Besucher, die von der Öffnung bis zum Zeitpunkt \(x\) (in Stunden) am Einlass eingetroffen sind. b) In den ersten zwei Stunden treffen \(400\) Besucher ein. c) Nach \(6\) Stunden sind insgesamt \(2160\) Besucher eingetroffen. d) Ab dem Zeitpunkt \(t = 6\) Stunden kann die Warteschlange wieder abgebaut werden.

- Überlege dir zuerst, was positive und negative Werte der Funktion \(f(t)\) für die Wassermenge im Teich bedeuten. - Wie hängen der Bestand (die Wassermenge) und die Änderungsrate \(f(t)\) zusammen? Wann erreicht ein Bestand seinen maximalen Wert? - Bestimme für Aufgabenteil c) eine Stammfunktion \(F(t)\) von \(f(t)\) und wende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an. - Betrachte für Aufgabenteil d) den Verlauf des Graphen vor und nach dem Zeitpunkt \(t = 4\,\text{Minuten}\). Welche Symmetrie fällt dir auf?

1. \(f(2)=6\) bedeutet: Nach \(2\) Minuten beträgt die momentane Zuflussrate \(6\,\text{L/min}\). 2. Das Volumen ist bei \(t=4\) Minuten am größten, weil \(f\) davor positiv und danach negativ ist. 3. Es gilt \(\int_0^4 (0{,}25t^3-3t^2+8t)\,\text{d}t=\left[0{,}0625t^4-t^3+4t^2\right]_0^4=16\). In den ersten vier Minuten fließen netto \(16\,\text{L}\) zu. 4. Der Graph ist punktsymmetrisch zu \((4 \mid 0)\). Daher heben sich die orientierten Flächen auf \([0; 4]\) und \([4; 8]\) auf; die Nettoänderung beträgt \(0\,\text{L}\).

a) Nach \(2\) Minuten fließen momentan \(6\,\text{Liter pro Minute}\) Wasser in den Teich. b) Nach \(4\) Minuten, da bis dahin Wasser zufließt (\(f(t) > 0\)) und danach Wasser abfließt (\(f(t) < 0\)). c) \(\int_0^4 f(t)\,\text{d}t = 16\). In den ersten \(4\) Minuten fließen insgesamt \(16\,\text{Liter}\) Wasser in den Teich. d) Die Netto-Änderung beträgt \(0\,\text{Liter}\), da die zugeflossene Wassermenge in den ersten \(4\) Minuten aufgrund der Punktsymmetrie zum Punkt \((4 \mid 0)\) exakt der abgeflossenen Wassermenge in den letzten \(4\) Minuten entspricht.

- Überlege dir zuerst, was ein positives oder negatives Vorzeichen der Änderungsrate für die Zu- und Abnahme des Wasservolumens bedeutet. - Wann wechselt das Volumen von einer Zunahme zu einer Abnahme? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, um das bestimmte Integral zu berechnen. Welche Stammfunktion hat die Kosinusfunktion? - Wie hängt das Wasservolumen zu einem beliebigen Zeitpunkt mit dem Anfangsvolumen und der akkumulierten Änderung (dem Integral) zusammen?

1. Bestimmung des Zeitpunkts des maximalen Wasservolumens: Die Änderungsrate \(f(t)\) ist im Intervall \([0; 2]\) positiv (Zufluss) und im Intervall \([2; 6]\) negativ (Abfluss). Bei \(t = 2\) liegt somit ein lokales Maximum des Wasservolumens vor. Da der Verlust im Intervall \([2; 6]\) größer ist als der Zufluss im Intervall \([6; 8]\) (die Flächenbilanz zeigt, dass der Verlust größer ist als der anschließende Gewinn), ist das Volumen bei \(t = 2\) auch das globale Maximum im Intervall \([0; 8]\). Das Wasservolumen ist nach genau \(2\) Stunden am größten. 2. Berechnung des bestimmten Integrals: Mit der Stammfunktion \(F(t) = 3 \sin\left(\frac{\pi}{4} t\right)\) ergibt sich \(\int_{2}^{6} f(t)\,\text{d}t = \left[ 3 \sin\left(\frac{\pi}{4} t\right) \right]_{2}^{6} = 3 \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) - 3 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -3 - 3 = -6\). Dies bedeutet, dass im Zeitraum von \(t = 2\) bis \(t = 6\) Stunden netto \(6\,\text{m}^3\) Wasser aus dem Speicher abgeflossen sind. 3. Berechnung des Wasservolumens nach \(6\) Stunden: \(V(6) = V(0) + \int_{0}^{6} f(t)\,\text{d}t = 15 + \left[ 3 \sin\left(\frac{\pi}{4} t\right) \right]_{0}^{6} = 15 + 3 \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) - 3 \sin(0) = 15 - 3 = 12\,\text{m}^3\).

a) Das Wasservolumen ist nach genau \(2\) Stunden am größten. b) \(\int_{2}^{6} f(t)\,\text{d}t = -6\). Dies bedeutet, dass im Zeitraum von \(t = 2\) bis \(t = 6\) Stunden netto \(6\,\text{m}^3\) Wasser aus dem Speicher abgeflossen sind. c) Nach \(6\) Stunden befinden sich \(12\,\text{m}^3\) Wasser im Speicher.

- Was stellt die y-Achse genau dar? Handelt es sich um eine Menge oder um eine Änderungsrate? - Was bedeutet es für die Gesamtmenge im Becken, wenn die Zuflussrate positiv ist, aber kleiner wird? - Wie lässt sich die Gesamtänderung einer Größe grafisch bestimmen, wenn die Änderungsrate gegeben ist? - Gibt es eine einfache geometrische Formel für die Fläche unter einer Parabel oder kannst du die Kästchen unter der Kurve zählen?

1. **Lukas' Aussage ist falsch**: Die Kurven zeigen die Zuflussrate \(f(t)\). Da diese für alle drei Zuleitungen im gesamten Intervall \([0; 60]\) positiv ist (\(f(t) \ge 0\)), fließt kontinuierlich Wasser in das Becken. Ein Sinken der Kurve bedeutet nur, dass der Zufluss langsamer erfolgt, die Wassermenge im Becken steigt jedoch weiter an. 2. **Mias Aussage ist richtig**: Die gesamte Wassermenge entspricht dem bestimmten Integral der Zuflussrate über das Intervall \([0; 60]\), also der Fläche unter der jeweiligen Kurve. Diese Fläche ist unter Kurve \(B\) sichtlich am größten. 3. **Jonas' Aussage ist falsch**: Die Gesamtwassermenge entspricht der Fläche unter den Kurven. Für Zufluss \(A\) beträgt diese Fläche ungefähr \(100\,\text{m}^3\) (genauer \(\frac{896}{9}\,\text{m}^3 \approx 99{,}6\,\text{m}^3\)), während sie für Zufluss \(C\) nur ungefähr \(85\,\text{m}^3\) (genauer \(\frac{256}{3}\,\text{m}^3 \approx 85{,}3\,\text{m}^3\)) beträgt. Somit liefert Zufluss \(A\) mehr Wasser als Zufluss \(C\). 4. **Emmas Aussage ist richtig**: Die Gesamtmenge für Zufluss \(B\) berechnet sich durch das Integral \(\int_0^{60} 0{,}005 \cdot t \cdot (60 - t)\,\text{d}t = \left[0{,}005 \cdot \left(30t^2 - \frac{1}{3}t^3\right)\right]_0^{60} = 180\,\text{m}^3\). Alternativ lässt sich dies durch die Flächenformel einer Parabel (\(\frac{2}{3} \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = \frac{2}{3} \cdot 60 \cdot 4{,}5 = 180\)) oder durch das Abzählen der Kästchen im Gitter bestätigen (1 Kästchen entspricht \(10\,\text{min} \cdot 1\,\text{m}^3/\text{min} = 10\,\text{m}^3\); unter \(B\) liegen ca. 18 Kästchen, was \(180\,\text{m}^3\) ergibt).

1. Lukas' Aussage ist **falsch**: Da die Zuflussrate stets positiv ist, nimmt die Wassermenge im Becken immer weiter zu. 2. Mias Aussage ist **richtig**: Die Fläche unter der Kurve \(B\) ist am größten, somit liefert Zufluss \(B\) die größte Wassermenge. 3. Jonas' Aussage ist **falsch**: Trotz des steileren Verlaufs von \(C\) am Ende ist die Gesamtfläche unter der Kurve \(A\) größer als unter \(C\) (ca. \(100\,\text{m}^3\) zu ca. \(85\,\text{m}^3\)). 4. Emmas Aussage ist **richtig**: Das Integral von Zufluss \(B\) über den Zeitraum ergibt genau \(180\,\text{m}^3\), was auch über die Parabel-Flächenformel (\(\frac{2}{3} \cdot 60 \cdot 4{,}5 = 180\)) oder Kästchenzählen bestätigt werden kann.

- Achte auf die Skalierung der Achsen, um die Werte genau abzulesen. - Überlege dir, welche Einheit das Produkt aus der Einheit der \(x\)-Achse (Zeit) und der Einheit der \(y\)-Achse (Rate) ergibt. - Die Stammfunktion einer Sinusfunktion vom Typ \(\sin(kt)\) ist \(-\frac{1}{k}\cos(kt)\). - Setze die Integrationsgrenzen sorgfältig in die Stammfunktion ein.

1. Ablesen der Werte: Aus dem Graphen liest man ab: \(r(0) = 15\,\text{L/min}\), \(r(3) = 25\,\text{L/min}\) und \(r(6) = 15\,\text{L/min}\). 2. Interpretation der Fläche: Das Integral der Zuflussrate über die Zeit gibt die Gesamtänderung des Bestands an. In diesem Kontext entspricht die Fläche unter dem Graphen dem gesamten Wasservolumen in Litern, das im Zeitraum von \(t=0\) bis \(t=6\) in den Behälter geflossen ist. 3. Berechnung des Volumens: \(V = \int_{0}^{6} \left(10\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 15\right)\,\text{d}t = \left[-10 \cdot \frac{6}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 15t\right]_0^6\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(V = \left(-\frac{60}{\pi}\cos(\pi) + 15 \cdot 6\right) - \left(-\frac{60}{\pi}\cos(0) + 0\right) = \left(\frac{60}{\pi} + 90\right) - \left(-\frac{60}{\pi}\right) = 90 + \frac{120}{\pi} \approx 128{,}20\,\text{L}\).

a) Die Zuflussraten sind \(r(0) = 15\,\text{L/min}\), \(r(3) = 25\,\text{L/min}\) und \(r(6) = 15\,\text{L/min}\). b) Die Fläche unter dem Graphen entspricht dem Wasservolumen, das in den 6 Minuten insgesamt zugeflossen ist. c) Es sind insgesamt etwa \(128{,}20\,\text{L}\) Wasser in den Behälter geflossen.

- Überlege dir, welche physikalische Größe durch die Fläche unter einem Zeit-Geschwindigkeits-Graphen (oder hier Zeit-Zuflussrate-Graphen) dargestellt wird. - Was bedeutet es für den Wasserstand, wenn die Zuflussrate negativ ist? - Du kannst die Flächenstücke unter dem Graphen einfach als geometrische Formen (Dreiecke, Rechtecke, Trapeze) berechnen. - Unterscheide zwischen der Änderung einer Größe (dem Integral) und dem absoluten Wert dieser Größe zu einem bestimmten Zeitpunkt.

1. Berechnung des Integrals über \([0; 6]\) (Fläche oberhalb der Achse): Die Fläche besteht aus einem Trapez mit den parallelen Seiten \(6\) und \(2\) (von \(t=2\) bis \(t=4\)) und der Höhe \(4\). Fläche \(A_1 = \frac{6+2}{2} \cdot 4 = 16\,\text{L}\). Aussage a) ist falsch (\(16\) statt \(12\)). 2. Analyse des Bereichs \([6; 10]\): Da \(v(t) < 0\) ist, fließt Wasser ab, der Wasserstand sinkt. Aussage b) ist wahr. 3. Gesamtbilanz nach 10 Minuten: Das abgeflossene Volumen entspricht der Dreiecksfläche unter der Achse von \(t=6\) bis \(t=10\). \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\,\text{L}\). Die Netto-Änderung ist \(16 - 4 = 12\,\text{L}\). Da die Bilanz positiv ist, ist der Wasserstand höher als zu Beginn. Aussage c) ist wahr. 4. Interpretation des Integrals: Das Integral \(\int_{0}^{10} v(t) \,\mathrm{d}t = 12\,\text{L}\) gibt nur die Bestandsänderung an. Um das Gesamtvolumen zu kennen, müsste man den Anfangsbestand bei \(t=0\) addieren. Aussage d) ist falsch.

a) falsch b) wahr c) wahr d) falsch

- Überlege dir, was ein Funktionswert von Null für die Bestandsgröße (das Wasservolumen) bedeutet. - Wie hängen die Flächen zwischen dem Graphen und der Zeitachse mit der Zu- und Abnahme des Bestands zusammen? - Erinnere dich daran, wie man Flächeninhalte von Trapezen oder Dreiecken berechnet, um das Integral stückweise zu bestimmen. - Achte auf das Vorzeichen der Flächen: Flächen unterhalb der Achse zählen negativ für die Bilanz.

1. Die Wassermenge ist konstant, wenn die Zuflussrate \(q(t) = 0\) ist. Dies ist im Zeitraum \([4; 6]\) der Fall. 2. Da für \(t < 4\) die Zuflussrate positiv ist (Wasser kommt hinzu) und ab \(t = 6\) negativ ist (Wasser fließt ab), ist die Wassermenge im Zeitraum \([4; 6]\) maximal. 3. Die Volumenänderung entspricht dem bestimmten Integral der Zuflussrate. Fläche oberhalb der \(t\)-Achse (\(0\) bis \(4\,\text{min}\)): \(2 \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 6\,\text{L}\). Fläche unterhalb der \(t\)-Achse (\(6\) bis \(12\,\text{min}\)): \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (-2) + 2 \cdot (-2) + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (-2) = -2 - 4 - 2 = -8\,\text{L}\). Gesamtänderung: \(6\,\text{L} - 8\,\text{L} = -2\,\text{L}\). 4. Da die Bilanz negativ ist, befindet sich am Ende weniger Wasser im Tank als zu Beginn.

a) Die Wassermenge ist im Zeitraum von \(4\) bis \(6\,\text{min}\) konstant. Sie ist im gesamten Zeitraum \([4; 6]\) maximal. b) Die Volumenänderung beträgt \(-2\,\text{L}\). Es befindet sich am Ende weniger Wasser im Tank als zu Beginn.

- Überlege dir, welche Einheiten auf den Achsen stehen und was passiert, wenn man sie multipliziert. - Wie hängen die Flächen oberhalb und unterhalb der Zeitachse mit der Zu- und Abnahme des Bestands zusammen? - Denke an den Zusammenhang zwischen der Änderungsrate und dem Bestand: Wann hört ein Bestand auf zu wachsen und beginnt zu sinken? - Du kannst die Flächen unter dem Graphen in einfache geometrische Formen wie Dreiecke und Rechtecke zerlegen.

1. Ein Gitterkästchen hat eine Breite von \(1\,\text{h}\) und eine Höhe von \(1\,\text{m}^3/\text{h}\). Sein Flächeninhalt entspricht daher einer Volumenänderung von \(1\,\text{h} \cdot 1\,\text{m}^3/\text{h} = 1\,\text{m}^3\). 2. Die gesamte Volumenänderung entspricht der Flächenbilanz unter dem Graphen: - Der positive Flächeninhalt (Trapez zwischen \(t = 0{,}5\) und \(t = 5{,}5\)) wird berechnet als \(A_{\text{pos}} = \frac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (5 + 2) \cdot 3 = 10{,}5\,\text{m}^3\). - Die negativen Flächeninhalte (zwei Dreiecke) betragen zusammen \(A_{\text{neg}} = \frac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 1 = 0{,}5\,\text{m}^3\). - Die Bilanz ergibt \(10{,}5\,\text{m}^3 - 0{,}5\,\text{m}^3 = 10\,\text{m}^3\). 3. Die Wassermenge nimmt zu, solange die Änderungsrate positiv ist (\(f(t) > 0\)), also im Intervall \([0{,}5; 5{,}5]\). Vorher nimmt sie ab, danach nimmt sie wieder ab. Das Maximum der Wassermenge wird daher zum Zeitpunkt \(t = 5{,}5\,\text{h}\) erreicht, wenn der Zufluss endet.

a) Ein Gitterkästchen entspricht einer Volumenänderung von \(1\,\text{m}^3\). b) Die gesamte Volumenänderung beträgt \(10\,\text{m}^3\). c) Die Wassermenge ist zum Zeitpunkt \(t = 5{,}5\,\text{h}\) am größten.

- Überlege dir, was die Fläche unter einem Graphen einer Änderungsrate bedeutet. - Kannst du die gesuchten Wassermengen als einfache geometrische Teilflächen (Dreiecke oder Trapeze) im Koordinatensystem sehen? - Für Teilaufgabe c) kannst du die Fläche in ein bekanntes Rechteck und ein Restdreieck zerlegen oder eine Gleichung aufstellen. - Beachte bei der Leerung in d), dass dieser Prozess erst startet, wenn der Zufluss beendet ist.

1. Das Integral \(\int_{0}^{20} r(t) \,\text{d}t\) stellt das gesamte Wasservolumen dar, das im Zeitraum von \(t = 0\) bis \(t = 20\) Minuten in das Becken geflossen ist. 2. Berechnung des Gesamtzustroms über die Dreiecksfläche: \(V_{ges} = \frac{1}{2} \cdot 20\,\text{min} \cdot 40\,\frac{\text{m}^3}{\text{min}} = 400\,\text{m}^3\). 3. Wassermenge nach 8 Minuten (Fläche des linken Teildreiecks): \(V(8) = \frac{1}{2} \cdot 8\,\text{min} \cdot 40\,\frac{\text{m}^3}{\text{min}} = 160\,\text{m}^3\). 4. Bestimmung des Zeitpunkts für \(340\,\text{m}^3\): Da \(340 > 160\), liegt der Zeitpunkt im Intervall \([8; 20]\). Die Rate ist hier \(r(t) = 40 - \frac{10}{3}(t - 8)\). Wir suchen \(t\) mit \(160 + \int_{8}^{t} (40 - \frac{10}{3}(s - 8)) \,\text{d}s = 340\), also \(\int_{8}^{t} (40 - \frac{10}{3}(s - 8)) \,\text{d}s = 180\). Mit \(u = t - 8\) folgt \(40u - \frac{5}{3}u^2 = 180\), woraus sich \(u = 6\) ergibt. Somit ist \(t = 8 + 6 = 14\,\text{min}\). 5. Leerungsvorgang: Das Becken enthält nach 20 Minuten \(400\,\text{m}^3\). Bei einer Abpumprate von \(20\,\frac{\text{m}^3}{\text{min}}\) dauert die Leerung \(\frac{400\,\text{m}^3}{20\,\text{m}^3/\text{min}} = 20\,\text{min}\). Das Becken ist also nach insgesamt \(20 + 20 = 40\,\text{min}\) leer.

a) Das Integral gibt das Gesamtvolumen des zugeflossenen Wassers an; der Wert beträgt \(400\,\text{m}^3\). b) Es sind \(160\,\text{m}^3\) zugeflossen. c) Nach \(14\,\text{min}\) sind \(340\,\text{m}^3\) erreicht. d) Das Becken ist nach \(40\,\text{min}\) wieder leer.

- Überlege dir, was ein positiver oder negativer Wert der Änderungsrate für den tatsächlichen Bestand bedeutet. - Wann hört eine Größe auf zu sinken und fängt an zu steigen? Schau dir den Nulldurchgang des Graphen an. - Die Fläche zwischen dem Graphen und der Zeitachse entspricht der Netto-Änderung des Bestands. - Achte darauf, Flächen unterhalb der Zeitachse als Abnahme (negativ) zu werten.

1. In den ersten zwei Stunden ist die Änderungsrate negativ; der Bestand sinkt. Bei \(t=2\) wechselt die Rate von negativ zu positiv, sodass dort zunächst ein Tiefpunkt des Bestands liegt. Aus dem Graphen ist außerdem erkennbar, dass die positive Flächenbilanz von \(t=2\) bis \(t=8\) größer ist als die anschließende negative Fläche von \(t=8\) bis \(t=10\). Der Bestand fällt daher bis zum Ende nicht mehr auf den Wert bei \(t=2\) zurück. Somit liegt das globale Minimum bei \(t=2\). 2. Für die Schätzung bis \(t=8\) kann die Fläche mit Trapezen der Breite \(1\,\text{h}\) angenähert werden. Aus den am Graphen abgelesenen ganzzahligen Stützstellen ergibt sich eine Nettoänderung von ungefähr \(5\,\text{L}\). 3. Somit befinden sich nach acht Stunden ungefähr \(100\,\text{L}+5\,\text{L}=105\,\text{L}\) im Behälter.

a) Die Wassermenge ist nach \(2\) Stunden am geringsten. b) Nach \(8\) Stunden befinden sich näherungsweise \(105\,\text{L}\) Wasser im Behälter.

- Überlege dir, wie sich der Bestand (das Volumen) ändert, wenn die Änderungsrate positiv oder negativ ist. - Ein lokales Extremum des Bestands liegt oft dort vor, wo die Änderungsrate einen Vorzeichenwechsel hat. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Integral einer Änderungsrate und der Gesamtänderung einer Größe. - Schau dir die Flächeninhalte zwischen dem Graphen und der Zeitachse genau an. Was fällt dir bezüglich ihrer Größe auf?

1. Das Wasservolumen nimmt zu, solange die Zuflussrate \(f(t)\) positiv ist. Laut Graph ist dies im Intervall \([0; 4]\) der Fall. Ab \(t = 4\) ist die Rate negativ, das Wasser fließt also ab und das Volumen sinkt wieder. Daher ist das Volumen zum Zeitpunkt \(t = 4\,\text{h}\) am größten. 2. Die gesamte Netto-Volumenänderung entspricht dem bestimmten Integral der Rate über das Intervall \([0; 8]\): \(\Delta V = \int_0^8 0{,}1(t^3 - 12t^2 + 32t) \,\text{d}t = 0{,}1\left[\frac{1}{4}t^4 - 4t^3 + 16t^2\right]_0^8\) Einsetzen der Grenzen: \(0{,}1 \cdot \left(\left(\frac{1}{4} \cdot 8^4 - 4 \cdot 8^3 + 16 \cdot 8^2\right) - 0\right) = 0{,}1 \cdot (1024 - 2048 + 1024) = 0\,\text{m}^3\). Die Netto-Volumenänderung nach 8 Stunden beträgt somit \(0\,\text{m}^3\).

1. Das Volumen ist zum Zeitpunkt \(t = 4\,\text{h}\) am größten, da bis dahin ein Netto-Zufluss stattfindet und danach ein Abfluss beginnt. 2. Die gesamte Netto-Volumenänderung nach 8 Stunden beträgt \(0\,\text{m}^3\).

- Überlege dir, welche physikalische Größe entsteht, wenn man eine Zuflussgeschwindigkeit (in \(\text{m}^3/\text{h}\)) mit einer Zeitdauer (in \(\text{h}\)) multipliziert. - Wie hängt das mathematische Konzept des bestimmten Integrals mit der Fläche unter dem Graphen zusammen? - Du kannst die Fläche unter der Kurve im Intervall \([4; 8]\) näherungsweise bestimmen, indem du die Gitterkästchen zählst. Welches Volumen repräsentiert ein einzelnes Gitterkästchen? - Alternativ kannst du die Fläche unter der Kurve durch einfache geometrische Formen wie Rechtecke, Dreiecke oder Trapeze annähern. - Nutze für die exakte Berechnung den Hinweis zur Stammfunktion, indem du \(k = 0{,}25\) und für \(x\) den verschobenen Term \((t - 6)\) einsetzt. Vergiss nicht den Vorfaktor \(80\).

1. Bedeutung des Integrals: Da \(f(t)\) die momentane Änderungsrate des Wasservolumens (Zuflussgeschwindigkeit) darstellt, beschreibt das bestimmte Integral \(\int_{4}^{8} f(t) \,\text{d}t\) das gesamte Wasservolumen, das im Zeitintervall von \(t = 4\) bis \(t = 8\) Stunden in das Regenrückhaltebecken fließt. Die zugehörige Einheit ist Kubikmeter (\(\text{m}^3\)). 2. Näherungswert aus der Abbildung: - Methode 1 (Kästchenzählen): Jedes Gitterquadrat entspricht einer Breite von \(1\,\text{h}\) und einer Höhe von \(10\,\text{m}^3/\text{h}\), repräsentiert also ein Volumen von \(10\,\text{m}^3\). Zwischen \(t = 4\) und \(t = 8\) befinden sich unter der Kurve etwa \(24{,}8\) Gitterquadrate. Dies entspricht einem Volumen von ca. \(248\,\text{m}^3\). - Methode 2 (Geometrische Annäherung): Die Fläche kann durch ein Rechteck der Breite \(4\) und der Höhe \(40\) (Flächeninhalt \(160\)) sowie ein darauf liegendes Dreieck mit der Basis \(4\) und der Höhe \(40\) (Flächeninhalt \(80\)) angenähert werden. Dies ergibt ein Gesamtvolumen von \(160 + 80 = 240\,\text{m}^3\). Jeder Näherungswert im Bereich von \(240\,\text{m}^3\) bis \(255\,\text{m}^3\) ist als sinnvoll anzusehen. 3. Genaue Berechnung: Mit dem Hinweis und der Kettenregel (bzw. linearen Substitution für \(x = t-6\) mit der inneren Ableitung \(1\)) bestimmen wir eine Stammfunktion \(F\) von \(f\): \(F(t) = 80\frac{1}{\sqrt{0{,}25}}\arctan(\sqrt{0{,}25}(t - 6)) = 160\arctan(0{,}5(t - 6))\) Nun berechnen wir das bestimmte Integral: \(\int_{4}^{8} f(t) \,\text{d}t = F(8) - F(4)\) \(F(8) = 160 \cdot \arctan(0{,}5 \cdot 2) = 160 \cdot \arctan(1) = 160 \cdot \frac{\pi}{4} = 40\pi\) \(F(4) = 160 \cdot \arctan(0{,}5 \cdot (-2)) = 160 \cdot \arctan(-1) = 160 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -40\pi\) \(\int_{4}^{8} f(t) \,\text{d}t = 40\pi - (-40\pi) = 80\pi \approx 251{,}33\,\text{m}^3\) Vergleich: Die Näherungswerte aus Teilaufgabe b) (z. B. \(240\,\text{m}^3\) oder \(248\,\text{m}^3\)) weichen nur sehr geringfügig vom exakten Wert von ca. \(251{,}33\,\text{m}^3\) ab.

a) Das Integral beschreibt das Wasservolumen in \(\text{m}^3\), das zwischen der 4. und der 8. Stunde in das Becken fließt. b) Ein sinnvoller Näherungswert liegt je nach Methode etwa zwischen \(240\,\text{m}^3\) und \(255\,\text{m}^3\). c) Das genaue Volumen beträgt \(80\pi\,\text{m}^3\approx251{,}33\,\text{m}^3\) und stimmt gut mit dem Näherungsbereich aus b) überein.