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- Welchen Wert hat die Datenrate auf der y-Achse? - Welches Zeitintervall ist markiert? - Wie hängen Datenrate, Zeit und übertragene Datenmenge zusammen?

1. Aus dem Graphen liest man eine konstante Datenrate von \(200\,\text{MB/min}\) ab. 2. Der betrachtete Zeitraum reicht von \(0\) bis \(2{,}5\,\text{min}\). 3. Die Datenmenge ist \(200\,\text{MB/min}\cdot2{,}5\,\text{min}=500\,\text{MB}\).

Es werden insgesamt \(500\,\text{MB}\) übertragen.

- Was gibt die y-Achse in diesem Diagramm an? - Welche Höhendifferenz wird auf der \(x\)-Achse betrachtet? - Multipliziere die Rate mit dem zurückgelegten Höhenintervall.

1. Der Betrag der Temperaturabnahmerate ist konstant \(5\,\text{K/km}\). 2. Die Höhendifferenz beträgt \(4\,\text{km}\). 3. Die Temperaturänderung beträgt \(-5\,\text{K/km}\cdot4\,\text{km}=-20\,\text{K}\). Daher sinkt die Temperatur um \(20\,\text{K}\).

Die Temperatur sinkt um \(20\,\text{K}\).

- Welcher Wert für die Dichte lässt sich auf der vertikalen Achse ablesen? - Welche Länge wird auf der horizontalen Achse für die Berechnung herangezogen? - Wie erhält man die Gesamtmasse aus der Dichte pro Längeneinheit?

1. Analyse des Graphen: Die Dichte ist über die gesamte Länge konstant bei \(15\,\text{g/m}\). 2. Länge des Teilstücks: Es wird ein Stück der Länge \(10\,\text{m}\) betrachtet. 3. Berechnung der Masse: Die Masse ist das Produkt aus Dichte und Länge: \(m = 15\,\text{g/m} \cdot 10\,\text{m} = 150\,\text{g}\). Ergebnis: \(150\,\text{g}\).

Die Gesamtmasse des Stabstücks beträgt \(150\,\text{g}\).

- Wie hängen ein Massenstrom und die insgesamt transportierte Masse mathematisch zusammen? - Welches Zeitintervall beschreibt den vollständigen Beschickungsvorgang? - Denke am Ende an die Umrechnung von Kilogramm in Tonnen.

1. Die gesamte Masse in Kilogramm entspricht dem bestimmten Integral des Massenstroms: \(\int_0^{12}(120t-10t^2)\,\text{d}t\). 2. Eine Stammfunktion ist \(V(t)=60t^2-\frac{10}{3}t^3\). 3. Es gilt \(V(12)-V(0)=8640-5760=2880\,\text{kg}\). 4. Mit \(1000\,\text{kg}=1\,\text{t}\) folgt \(2880:1000=2{,}88\,\text{t}\).

Es werden insgesamt \(2{,}88\,\text{t}\) Kunststoffgranulat transportiert.

- Das Integral einer Leistung über die Zeit liefert eine Energie. - Nutze die angegebene Stammfunktion mit den Grenzen \(0\) und \(12\). - Runde erst den endgültigen exakten Ausdruck auf zwei Dezimalstellen.

1. Die aufgenommene Energie ist \(\int_0^{12}g(t)\,\text{d}t\). Aus \(\text{kW}\cdot\text{h}\) entsteht die Einheit \(\text{kWh}\). 2. Mit der angegebenen Stammfunktion ergibt sich \(G(12)-G(0)=27\,400-157\,000e^{-12/5}\,\text{kWh}\). 3. Numerisch ist das \(27\,400-157\,000e^{-12/5}\approx13\,157{,}28\).

\(27\,400-157\,000e^{-12/5}\,\text{kWh}\approx13\,157{,}28\,\text{kWh}\)

- Energie erhältst du aus einer zeitabhängigen Leistung durch Integration über die Zeit. - Verwende die ersten sechs Stunden als Integrationsintervall. - Prüfe, welche Einheit aus \(\text{kW}\cdot\text{h}\) entsteht.

1. Die erzeugte Energie ist das Integral der Leistung über die Zeit: \(E=\int_0^6(-t^2+12t)\,\mathrm{d}t\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F(t)=-\frac13t^3+6t^2\). 3. Daher gilt \(E=F(6)-F(0)=-72+216=144\,\text{kWh}\).

\(144\,\text{kWh}\)

- Eine Leistung wird durch Integration über die Zeit in eine Energie umgerechnet. - Bestimme zunächst eine Stammfunktion des Polynoms. - Nutze für das bestimmte Integral den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. - Welche geometrische Bedeutung hat ein bestimmtes Integral, wenn der Integrand im ganzen Intervall positiv ist?

1. Eine Stammfunktion ist \(F(t)=-\frac16t^3+2t^2+2t\). 2. Nach dem Hauptsatz gilt \(\int_1^7f(t)\,\text{d}t=F(7)-F(1)=51\). Die erzeugte Energie beträgt \(51\,\text{kWh}\). 3. Da die Leistung auf \([1;7]\) positiv ist, entspricht der Integralwert dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen, der Zeitachse und den Geraden \(t=1\) und \(t=7\).

a) Zum Beispiel \(F(t)=-\frac16t^3+2t^2+2t\). b) \(51\,\text{kWh}\) c) Das Integral gibt die in diesem Zeitraum erzeugte elektrische Energie an und entspricht hier dem Flächeninhalt unter dem positiven Leistungsgraphen.

- Welche Größe steht auf der y-Achse, und welche Einheit entsteht zusammen mit Minuten? - Wie hängt eine Bearbeitungsrate mit der insgesamt bearbeiteten Anzahl zusammen? - Zerlege die Fläche unter dem Graphen in einfache geometrische Teilflächen.

1. Das bestimmte Integral entspricht der Fläche unter dem Graphen der Bearbeitungsrate. Sachlich ist es die Gesamtzahl der in den zehn Minuten sortierten Pakete. 2. Die Fläche kann als zwei Dreiecke und ein Rechteck zerlegt werden: \(\frac12\cdot4\cdot20=40\), \(4\cdot20=80\) und \(\frac12\cdot2\cdot20=20\). 3. Insgesamt ergibt sich \(40+80+20=140\) Pakete.

a) Das Integral gibt die Gesamtzahl der während der zehn Minuten sortierten Pakete an. b) \(140\) Pakete.

- Der Graph zeigt die Änderungsrate \(f'\), nicht die Funktion \(f\) selbst. - Die Flächenbilanz unter \(f'\) auf \([0;4]\) ist die Änderung von \(f\) auf diesem Intervall. - Addiere diese Änderung zum gegebenen Anfangswert \(f(0)\).

1. Nach dem Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Gesamtänderung gilt \(f(4)-f(0)=\int_0^4 f'(x)\,\mathrm{d}x\). 2. Zwischen \(x=0\) und \(x=4\) besteht die Fläche aus zwei Dreiecken mit jeweils Grundseite \(2\) und Höhe \(2\). Die Flächenbilanz beträgt daher \(2+2=4\). 3. Mit \(f(0)=2\) folgt \(f(4)=2+4=6\).

\(f(4)=6\)

- Die Fläche unter dem Graphen von \(f'\) beschreibt die Änderung von \(f\). - Welche geometrische Form liegt zwischen \(x=0\) und \(x=2\) vor? - Addiere die gefundene Änderung zum Anfangswert \(f(0)\).

1. Es gilt \(f(2)-f(0)=\int_0^2 f'(x)\,\mathrm{d}x\). 2. Zwischen \(x=0\) und \(x=2\) liegt ein Trapez mit den parallelen Seitenlängen \(1\) und \(2\) und der Breite \(2\). Seine Fläche ist \(\frac{1+2}{2}\cdot2=3\). 3. Mit \(f(0)=1\) folgt \(f(2)=1+3=4\).

\(f(2)=4\)

- Welche geometrische Form hat die Fläche zwischen der ansteigenden Geraden und der Zeitachse? - Welche beiden Randwerte der Wachstumsrate kannst du aus dem Graphen ablesen? - Welche Einheit erhältst du, wenn du eine Rate in Millimetern pro Woche über Wochen aufsummierst?

1. Die Fläche unter dem Graphen ist ein Trapez. 2. Zu Beginn beträgt die Wachstumsrate \(2\,\text{mm}/\text{Woche}\), nach drei Wochen \(8\,\text{mm}/\text{Woche}\). 3. Der Flächeninhalt ist \(A=\frac{2+8}{2}\cdot3\,\text{mm}=15\,\text{mm}\). 4. Dieser Flächeninhalt ist der gesamte Durchmesserzuwachs in den drei Wochen.

Der Durchmesserzuwachs beträgt \(15\,\text{mm}\).

- Welche geometrische Form bildet die Fläche unter der Geraden? - Welche Grundseite und Höhe hat dieses Dreieck? - Welche Einheit entsteht aus \(\text{m/min}\cdot\text{min}\)?

1. Die Fläche unter dem Geschwindigkeitsgraphen ist ein rechtwinkliges Dreieck. 2. Die Geschwindigkeit beginnt bei \(400\,\text{m/min}\) und sinkt bis \(t=2\,\text{min}\) auf \(0\). 3. Die verarbeitete Länge ist \(\frac12\cdot2\,\text{min}\cdot400\,\text{m/min}=400\,\text{m}\).

In den ersten zwei Minuten laufen insgesamt \(400\,\text{m}\) Papierbahn durch die Maschine.

- Was bedeutet ein positives oder negatives Vorzeichen der Nettoänderungsrate für die Besucherzahl? - Wo wechselt die Rate von positiv zu negativ? - Welche Beziehung haben die beiden Flächenbeiträge aufgrund der angegebenen Punktsymmetrie? - Die Flächenbilanz der Rate ist die gesamte Änderung der Besucherzahl.

1. Die Besucherzahl nimmt zu, solange \(f(t)>0\). Dies gilt im Intervall \([0;4]\). Ab \(t=4\) ist die Rate negativ, also sinkt die Besucherzahl. Daher ist sie bei \(t=4\,\text{h}\) am größten. 2. Wegen der Punktsymmetrie zu \((4\mid0)\) sind die Flächenbeiträge auf \([0;4]\) und \([4;8]\) betragsgleich und haben entgegengesetzte Vorzeichen. Die Flächenbilanz ist daher \(0\). Somit beträgt die gesamte Nettoänderung \(0\) Personen.

1. Die Besucherzahl ist bei \(t=4\,\text{h}\) am größten. 2. Die Nettoänderung nach acht Stunden beträgt \(0\) Personen.

- Welche Größe erhältst du, wenn du eine vertikale Geschwindigkeit über die Zeit integrierst? - Achte darauf, dass \(v(t)\) im gesamten Zeitraum positiv ist. - Addiere die Höhenänderung zur gegebenen Anfangshöhe.

1. Die Höhenänderung ist das Integral der vertikalen Geschwindigkeit: \(\Delta h=\int_0^2(2t+1)\,\mathrm{d}t\). 2. Mit der Stammfunktion \(t^2+t\) folgt \(\Delta h=[t^2+t]_0^2=6\,\text{m}\). 3. Damit beträgt die Höhe nach zwei Sekunden \(15\,\text{m}+6\,\text{m}=21\,\text{m}\).

Höhenänderung: \(6\,\text{m}\) Höhe nach \(2\,\text{s}\): \(21\,\text{m}\)

- Überlege zuerst, wie man aus einer Rate die Gesamtänderung über einen Zeitraum berechnet. - Achte darauf, dass die Funktion die Rate pro Quadratmeter angibt. Wie groß ist die gesamte Fläche aller Filterelemente? - Achte bei der Flächenberechnung und beim Endergebnis auf die korrekten Einheiten (Zentimeter, Meter, Milligramm, Gramm). - Welches Zeitintervall wird durch die Angabe „Stunden seit der Schichtmitte“ abgedeckt?

1. Berechnung der Staubmasse pro Quadratmeter durch Integration der Rate \(r(t)\) über das Zeitintervall \([-4; 4]\): \(\int_{-4}^{4} 500(1 - \frac{1}{16}t^2) \, dt = [500t - \frac{500}{48}t^3]_{-4}^4\). 2. Einsetzen der Grenzen liefert \((2000 - \frac{2000}{3}) - (-2000 + \frac{2000}{3}) = \frac{4000}{3} + \frac{4000}{3} = \frac{8000}{3} \approx 2666{,}67\,\frac{\text{mg}}{\text{m}^2}\). 3. Bestimmung der gesamten Filterfläche: \(120 \cdot 2500\,\text{cm}^2 = 300\,000\,\text{cm}^2 = 30\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der Gesamtmasse: \(30\,\text{m}^2 \cdot \frac{8000}{3}\,\frac{\text{mg}}{\text{m}^2} = 80\,000\,\text{mg}\). 5. Umrechnung in Gramm: \(80\,000\,\text{mg} = 80\,\text{g}\).

Während der Schicht werden insgesamt \(80\,\text{g}\) Feinstaub aufgefangen.

- Die gesamte Bestandsänderung erhältst du aus dem Integral der Nettoänderungsrate. - Beachte den Faktor \(100\) in der Einheit der Rate. - Für das Minimum des Bestands ist entscheidend, wann die Rate ihr Vorzeichen von negativ zu positiv wechselt.

1. Die Bestandsänderung ist \(100\int_0^4 f(t)\,\text{d}t\). Mit \(F(t)=-0{,}025t^4+0{,}2t^3-0{,}4t^2\) ergibt sich \(F(4)-F(0)=0\). Daher beträgt die gesamte Bestandsänderung \(0\) Pakete. 2. Es gilt \(f(t)=-0{,}1t(t-2)(t-4)\). Für \(0<t<2\) ist \(f(t)<0\), für \(2<t<4\) ist \(f(t)>0\). Der Bestand sinkt also bis \(t=2\) und steigt danach. Damit ist er bei \(t=2\,\text{h}\) minimal.

a) Die Bestandsänderung beträgt \(0\) Pakete. b) Der Bestand ist bei \(t=2\,\text{h}\) minimal.

- Eine über die Zeit angegebene Emissionsrate wird durch Integration in eine freigesetzte Menge umgerechnet. - Verwende für den Vergleich dieselbe Stammfunktion auf den beiden Teilintervallen. - Prüfe beim Vergleich, dass die beiden Teilmengen zusammen die Gesamtmenge ergeben.

1. Eine Stammfunktion ist \(F(t)=-0{,}0025t^4+0{,}04t^3+0{,}5t\). Damit ist \(F(10)-F(0)=20\). Insgesamt werden also \(20\,\text{kg}\) freigesetzt. 2. Für die erste Hälfte gilt \(F(5)-F(0)=5{,}9375\,\text{kg}\). Für die zweite Hälfte gilt \(F(10)-F(5)=14{,}0625\,\text{kg}\). In der zweiten Hälfte wird somit deutlich mehr Schadstoff freigesetzt.

a) Insgesamt werden \(20\,\text{kg}\) Schadstoff freigesetzt. b) In den ersten fünf Stunden werden \(5{,}9375\,\text{kg}\), in den zweiten fünf Stunden \(14{,}0625\,\text{kg}\) freigesetzt.

- Was sagt das Vorzeichen einer Leistung über Laden oder Entladen aus? - Welche Operation liefert aus einer Leistung über die Zeit eine Energieänderung? - Achte bei den Winkelfunktionen auf das Bogenmaß. - Welche Einheit entsteht aus \(\text{kW}\cdot\text{h}\)?

1. \(v(3)=20\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-10\sqrt2\,\text{kW}\approx-14{,}14\,\text{kW}\). Das negative Vorzeichen bedeutet, dass der Speicher zu diesem Zeitpunkt Energie abgibt. 2. Eine Stammfunktion ist \(V(t)=\frac{80}{\pi}\sin\left(\frac{\pi}{4}t\right)\). 3. \(\int_2^6v(t)\,\text{d}t=\frac{80}{\pi}(-1-1)=-\frac{160}{\pi}\,\text{kWh}\approx-50{,}93\,\text{kWh}\). 4. Der Energieinhalt des Speichers nimmt zwischen \(t=2\) und \(t=6\) netto um etwa \(50{,}93\,\text{kWh}\) ab.

a) \(v(3)=-10\sqrt2\,\text{kW}\approx-14{,}14\,\text{kW}\); der Speicher wird entladen. b) \(\int_2^6v(t)\,\text{d}t=-\frac{160}{\pi}\,\text{kWh}\approx-50{,}93\,\text{kWh}\); der Energieinhalt nimmt entsprechend ab.

- Was bedeutet eine negative Änderungsrate für die betrachtete Konzentration? - Welche mathematische Operation liefert aus einer Änderungsrate die gesamte Änderung über ein Zeitintervall? - Für den Sinusterm kannst du die Integrationsregel für eine lineare innere Funktion verwenden. - Überlege, was ein Integralwert von null für den Vergleich von Anfangs- und Endzustand bedeutet.

1. Berechnung von \(k(5)\): \(k(5) = -0{,}5 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=-0{,}5\). Zum Zeitpunkt \(t=5\,\text{min}\) sinkt die Konzentration mit einer Rate von \(0{,}5\,\text{mol}/(\text{l}\cdot\text{min})\). 2. Mit der Integrationsregel für lineare innere Funktionen ist \(K(t)=\frac{5}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{10}t\right)\) eine Stammfunktion von \(k\). 3. Damit gilt \(\int_0^{20}k(t)\,dt=\left[\frac{5}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{10}t\right)\right]_0^{20}=\frac{5}{\pi}(\cos(2\pi)-\cos(0))=0\). 4. Die Nettoänderung der Konzentration über die 20 Minuten ist somit null; die Endkonzentration stimmt mit der Anfangskonzentration überein.

a) \(k(5) = -0{,}5\). Die Konzentration nimmt zum Zeitpunkt \(t = 5\) mit einer Rate von \(0{,}5\,\text{mol}/(\text{l} \cdot \text{min})\) ab. b) \(\int_{0}^{20} k(t) \, dt = 0\). Über den Zeitraum von 20 Minuten ist die Nettoänderung der Konzentration gleich Null, d. h. die Endkonzentration ist identisch mit der Anfangskonzentration.

- Energie erhältst du durch Integration der Leistung über die Zeit. - Vergleiche die Länge des Integrationsintervalls mit der Periode der Sinuskomponente. - Skaliere das Ergebnis einer Anlage anschließend mit Anlagenzahl und Schichtzahl.

1. Die elektrische Energie einer Anlage ist \(\int_0^{12}P(t)\,\mathrm{d}t\). Das Intervall hat genau die Periodenlänge \(12\) der Sinuskomponente, daher ist deren Integral über dieses Intervall null. Es bleibt \(20\cdot12=240\,\text{kWh}\). 2. Für \(8\) Anlagen und zwei Schichten ergibt sich \(240\,\text{kWh}\cdot8\cdot2=3840\,\text{kWh}\).

a) \(240\,\text{kWh}\) b) \(3840\,\text{kWh}\)

- Das Integral einer Nettoänderungsrate beschreibt die gesamte Bestandsänderung. - Vergleiche den Zähler mit der ersten Ableitung des Nenners. - Übersetze das negative Vorzeichen in einen Bestandsverlust. - Was bedeutet „kleiner als \(-40\)“ für die kumulierte Bestandsänderung?

1. Für \(g(t)=t^2+36\) gilt \(g'(t)=2t\). Damit ist \(f(t)=-30\frac{g'(t)}{g(t)}\), also \(F(t)=-30\ln(t^2+36)\) eine Stammfunktion. 2. Es folgt \(\int_0^8 f(t)\,\text{d}t=-30\ln\left(\frac{100}{36}\right)=-30\ln\left(\frac{25}{9}\right)\approx-30{,}65\,\text{kg}\). 3. Der Rohstoffvorrat hat in den ersten acht Stunden netto um etwa \(30{,}65\,\text{kg}\) abgenommen. 4. Die Ungleichung beschreibt Zeitpunkte, zu denen der kumulierte Vorratsverlust größer als \(40\,\text{kg}\) ist.

a) \(\int_0^8 f(t)\,\text{d}t=-30\ln\left(\frac{25}{9}\right)\,\text{kg}\approx-30{,}65\,\text{kg}\). Der Vorrat hat um etwa \(30{,}65\,\text{kg}\) abgenommen. b) Zum Beispiel: „Nach wie vielen Stunden wurden netto mehr als \(40\,\text{kg}\) Rohstoff aus dem Vorrat entnommen?“

- Die übertragene Datenmenge erhältst du durch Integration der Datenrate. - Vergleiche den Zähler mit der ersten Ableitung des Nenners. - Achte bei a) und b) auf die unterschiedlichen Zeitintervalle.

1. Für \(g(t)=(t+2)^2+16\) gilt \(g'(t)=2(t+2)\). Damit ist \(h(t)=50\frac{g'(t)}{g(t)}\), also \(H(t)=50\ln((t+2)^2+16)\) eine Stammfunktion. 2. Für die ersten sechs Stunden ergibt sich \(H(6)-H(0)=50\ln(4)\approx69{,}31\,\text{GB}\). 3. Für die zweite bis vierte Stunde gilt \(H(4)-H(2)=50\ln\left(\frac{52}{32}\right)=50\ln(1{,}625)\approx24{,}28\,\text{GB}\). 4. Der zweite Integralwert ist die in diesem Zweistundenintervall übertragene Datenmenge.

a) \(50\ln(4)\,\text{GB}\approx69{,}31\,\text{GB}\) b) \(50\ln(1{,}625)\,\text{GB}\approx24{,}28\,\text{GB}\); dies ist die zwischen der zweiten und vierten Stunde übertragene Datenmenge.

- Überlege dir zuerst, was eine positive, eine negative und eine Geschwindigkeit von Null für die Bewegung des Ballons bedeuten. - Wie hängt die Änderung einer Größe (hier der Höhe) mit der Fläche unter der Änderungsratenkurve (hier der Geschwindigkeit) zusammen? - Versuche, die Flächen zwischen dem Graphen und der Zeitachse in einfache geometrische Formen wie Dreiecke, Rechtecke oder Trapeze zu zerlegen. - Achte darauf, ob die Flächen oberhalb oder unterhalb der Zeitachse liegen, um zu entscheiden, ob Höhe dazukommt oder verloren geht.

1. Die Flughöhe bleibt konstant, wenn \(v(t)=0\). Dies ist im Intervall \([6; 7]\) der Fall. 2. Bis \(t=6\) steigt der Ballon, von \(6\) bis \(7\) bleibt seine Höhe konstant und danach sinkt er. Daher wird die maximale Höhe im Zeitraum von \(6\) bis \(7\) Minuten erreicht. 3. Die positive Fläche bis \(t=6\) ist ein Trapez mit den parallelen Seitenlängen \(6\) und \(2\) und der Höhe \(4\): \(\Delta h_1=\frac{6+2}{2}\cdot4=16\,\text{m}\). Die maximale Höhe ist \(150\,\text{m}+16\,\text{m}=166\,\text{m}\). 4. Die negative Fläche von \(7\) bis \(10\) ist ein Trapez mit den parallelen Seitenlängen \(3\) und \(1\) und der Höhe \(2\): \(\Delta h_2=-\frac{3+1}{2}\cdot2=-4\,\text{m}\). Die Endhöhe ist \(166\,\text{m}-4\,\text{m}=162\,\text{m}\).

a) Im Zeitraum von \(t = 6\,\text{min}\) bis \(t = 7\,\text{min}\) ändert sich die Flughöhe nicht, da dort die Geschwindigkeit \(v(t) = 0\,\text{m/min}\) ist. b) Der Ballon erreicht seine maximale Höhe im Zeitraum von \(t = 6\,\text{min}\) bis \(t = 7\,\text{min}\). Diese beträgt \(166\,\text{m}\). c) Am Ende des Zeitraums (\(t = 10\,\text{min}\)) beträgt die Flughöhe des Ballons \(162\,\text{m}\).

- Welche Einheiten stehen auf den beiden Achsen, und welche Einheit hat damit eine Fläche im Diagramm? - Wann wächst ein Bestand am schnellsten? Betrachte dafür die Höhe der Änderungsrate. - Was sagt das Vorzeichen der Nettoänderungsrate über den Bestand aus? - Für c) liefert das Integral die gesamte Bestandsänderung.

1. Ein Gitterkästchen hat Breite \(1\,\text{h}\) und Höhe \(2\,\frac{\text{Räder}}{\text{h}}\). Es entspricht daher einer Bestandsänderung von \(2\) Rädern. 2. Die Nettoänderungsrate ist bei \(t=5\,\text{h}\) mit \(f(5)=9\) maximal; dort nimmt der Bestand am schnellsten zu. An den Randpunkten \(t=0\) und \(t=10\) ist \(f=-16\) minimal; dort nimmt der Bestand am schnellsten ab. 3. Auf \((2;8)\) ist \(f>0\), daher steigt der Bestand dort durchgehend und ist bei \(t=8\,\text{h}\) maximal. 4. Eine Stammfunktion ist \(F(t)=-\frac13t^3+5t^2-16t\). Damit ist \(\int_2^8f(t)\,\text{d}t=36\). Der Bestand verfügbarer Räder steigt in diesem Zeitraum netto um \(36\) Räder.

a) Ein Gitterkästchen entspricht einer Bestandsänderung von \(2\) Rädern. b) Schnellste Zunahme bei \(t=5\,\text{h}\), schnellste Abnahme bei \(t=0\,\text{h}\) und \(t=10\,\text{h}\); im Intervall \([2;8]\) ist der Bestand bei \(t=8\,\text{h}\) maximal. c) \(\int_2^8f(t)\,\text{d}t=36\); der Bestand steigt netto um \(36\) Räder.

- Welche Einheit entsteht aus Leistung mal Zeit? - Lies für b) die drei Höhen an den vorgegebenen Zeitpunkten direkt aus der Abbildung ab. - Für c) brauchst du nur die beiden gegebenen Stammfunktionswerte voneinander abzuziehen.

1. Das Integral beschreibt die zwischen der vierten und achten Stunde aufgenommene elektrische Energie. Die Einheit ist \(\text{kWh}\). 2. Aus dem Graphen liest man \(f(4)=40\,\text{kW}\), \(f(6)=80\,\text{kW}\) und \(f(8)=40\,\text{kW}\) ab. 3. Die Trapezschätzung ist \(\frac{40+80}{2}\cdot2+\frac{80+40}{2}\cdot2=240\,\text{kWh}\). 4. Exakt gilt \(F(8)-F(4)=40\pi-(-40\pi)=80\pi\,\text{kWh}\approx251{,}33\,\text{kWh}\). 5. Die Trapezschätzung liegt damit um etwa \(11{,}33\,\text{kWh}\) unter dem exakten Wert.

a) Aufgenommene elektrische Energie zwischen \(t=4\) und \(t=8\), Einheit \(\text{kWh}\). b) \(f(4)=40\,\text{kW}\), \(f(6)=80\,\text{kW}\), \(f(8)=40\,\text{kW}\); Trapezschätzung \(240\,\text{kWh}\). c) \(80\pi\,\text{kWh}\approx251{,}33\,\text{kWh}\); die Schätzung ist etwa \(11{,}33\,\text{kWh}\) kleiner.

- Das Integral einer Eintreffrate über die Zeit liefert eine Anzahl von Personen. - Nutze für b) und c) dieselbe Integralfunktion mit unterschiedlichen Zielwerten. - Vergleiche für d) die Eintreffrate \(f(t)\) mit der Kapazitätsgrenze von \(360\,\frac{\text{Personen}}{\text{h}}\).

1. \(I_0(x)\) gibt die Gesamtzahl der Besucher an, die von der Öffnung bis zum Zeitpunkt \(x\) eingetroffen sind. 2. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(I_0(2)=\left[-10t^3+120t^2\right]_0^2=400\). 3. Aus \(-10x^3+120x^2=2160\) ergibt sich im Intervall \([0;8]\) die Lösung \(x=6\). 4. Die Gleichung \(-30t^2+240t=360\) hat die Lösungen \(t=2\) und \(t=6\). Zwischen diesen Zeitpunkten liegt die Eintreffrate über der Kapazitätsgrenze; ab \(t=6\) ist sie wieder kleiner, sodass die Warteschlange abgebaut werden kann.

a) \(I_0(x)\) ist die Zahl der bis zum Zeitpunkt \(x\) eingetroffenen Besucher. b) \(400\) Besucher. c) \(x=6\,\text{h}\). d) Ab \(t=6\,\text{h}\).

- Das Vorzeichen der Änderungsrate zeigt, ob die Temperatur steigt oder fällt. - Nutze die faktorisierte Form, um den Vorzeichenwechsel der Rate bei \(t=4\) zu begründen. - Nutze für c) eine Stammfunktion und den Hauptsatz. - Was sagt \(f(8-t)=-f(t)\) über die beiden Flächenbeiträge links und rechts von \(t=4\) aus?

1. \(f(2)=6\) bedeutet, dass die Temperatur nach zwei Minuten momentan mit \(6\,\text{K}/\text{min}\) steigt. 2. Aus der faktorisierten Form folgt \(f(t)>0\) für \(0<t<4\) und \(f(t)<0\) für \(4<t<8\). Die Temperatur ist daher bei \(t=4\) maximal. 3. \(\int_0^4f(t)\,\text{d}t=16\,\text{K}\). In den ersten vier Minuten steigt die Temperatur netto um \(16\,\text{K}\). 4. Es gilt \(f(8-t)=-f(t)\). Damit sind die Flächenbeiträge auf \([0;4]\) und \([4;8]\) betragsgleich und haben entgegengesetzte Vorzeichen. Die gesamte Temperaturänderung beträgt \(0\,\text{K}\).

a) Nach zwei Minuten steigt die Temperatur momentan mit \(6\,\frac{\text{K}}{\text{min}}\). b) Bei \(t=4\,\text{min}\). c) \(16\,\text{K}\) Temperaturzunahme. d) \(0\,\text{K}\) Gesamtänderung.

- In welchen Teilintervallen ist der Kosinus im gegebenen Ausdruck positiv beziehungsweise negativ? - Für das Temperaturmaximum ist der Vorzeichenwechsel der Änderungsrate entscheidend. - Welche Stammfunktion gehört zur Kosinusfunktion? - Addiere für c) die akkumulierte Temperaturänderung zur Anfangstemperatur.

1. Die Änderungsrate ist unmittelbar vor \(t=2\) positiv und unmittelbar danach negativ. Bei \(t=2\) wechselt die Temperatur daher von Zunahme zu Abnahme und besitzt dort ein lokales Maximum. 2. Mit der Stammfunktion \(F(t)=3\sin\left(\frac{\pi}{4}t\right)\) gilt \(\int_2^6f(t)\,\text{d}t=-6\,\text{K}\). Die Temperatur sinkt in diesem Zeitraum netto um \(6\,\text{K}\). 3. Für die ersten sechs Stunden ist \(\int_0^6f(t)\,\text{d}t=-3\,\text{K}\). Daher beträgt die Temperatur nach sechs Stunden \(15\,^\circ\text{C}-3\,\text{K}=12\,^\circ\text{C}\).

a) Die Temperatur besitzt bei \(t=2\,\text{h}\) ein lokales Maximum. b) \(\int_2^6f(t)\,\text{d}t=-6\,\text{K}\); die Temperatur sinkt netto um \(6\,\text{K}\). c) Nach sechs Stunden beträgt die Temperatur \(12\,^\circ\text{C}\).

- Stellt die y-Achse eine bereits transportierte Masse oder einen momentanen Massenstrom dar? - Wie hängt die Gesamtmasse mit der Fläche unter einem Massenstrom zusammen? - Reicht ein Vergleich der Raten am Ende aus, um die Gesamtmassen zu vergleichen? - Für B kannst du die Fläche auch exakt integrieren.

1. Lukas' Aussage ist falsch. Alle drei Massenströme sind auf \([0;60]\) nicht negativ. Ein fallender Massenstrom bedeutet nur, dass langsamer weitertransportiert wird; die kumulierte Masse sinkt nicht. 2. Mias Aussage ist richtig. Die Gesamtmasse entspricht der Fläche unter der jeweiligen Ratenkurve; diese ist bei B am größten. 3. Jonas' Aussage ist falsch. Für A ergibt sich etwa \(99{,}6\,\text{kg}\), für C etwa \(85{,}3\,\text{kg}\). Ein größerer Momentanwert am Ende entscheidet nicht über die Gesamtfläche. 4. Emmas Aussage ist richtig. \(\int_0^{60}0{,}005t(60-t)\,\text{d}t=180\,\text{kg}\).

1. falsch 2. richtig 3. falsch; A transportiert insgesamt etwa \(99{,}6\,\text{kg}\), C etwa \(85{,}3\,\text{kg}\). 4. richtig; B transportiert insgesamt \(180\,\text{kg}\).

- Das Vorzeichen von \(f'\) entscheidet über Steigen und Fallen von \(f\). - Ob \(f'\) selbst steigt oder fällt, liefert Information über das Vorzeichen von \(f''\). - Suche für die Wendestelle nach einem Wechsel im Monotonieverhalten von \(f'\).

1. Der Graph von \(f'\) steigt auf \((0;2)\) und fällt auf \((2;6)\). Daher ist \(f''\) zunächst positiv und danach negativ. Bei \(x=2\) wechselt die Krümmung; dort besitzt \(f\) eine Wendestelle. 2. Für \(0<x<4\) ist \(f'(x)>0\), also steigt \(f\). Für \(4<x<6\) ist \(f'(x)<0\), also fällt \(f\). Daher besitzt \(f\) bei \(x=4\) einen Hochpunkt. Bis \(x=2\) gilt \(f''>0\), danach \(f''<0\); entsprechend wechselt die Krümmung bei \(x=2\).

a) Wendestelle bei \(x=2\). b) \(f\) steigt auf \([0;4]\), fällt auf \([4;6]\) und besitzt bei \(x=4\) einen Hochpunkt. Die Krümmung wechselt bei \(x=2\).

- Für Extremstellen und Monotonie von \(F\) ist wegen \(F'=f\) das Vorzeichen von \(f\) entscheidend. - Nutze \(F(-2)=0\) als Ausgangswert für Teil c. - Schätze die Flächenbilanz zwischen \(x=-2\) und \(x=2\) anhand des Rasters und beachte die geforderte Rundung.

1. Es gilt \(F'=f\). Bei \(x=-2\) wechselt \(f\) von negativ zu positiv, daher besitzt \(F\) dort einen Tiefpunkt. Bei \(x=2\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ, daher besitzt \(F\) dort einen Hochpunkt. 2. Für \(-2<x<2\) ist \(f>0\), also ist \(F\) dort streng monoton steigend. 3. Es gilt \(F(2)-F(-2)=\int_{-2}^{2}f(x)\,\mathrm{d}x\). Wegen \(F(-2)=0\) ist \(F(2)\) gleich der positiven Flächenbilanz. Aus dem Raster ergibt sich gerundet auf halbe Einheiten \(F(2)\approx2{,}5\).

a) Tiefpunkt bei \(x=-2\), Hochpunkt bei \(x=2\). b) Streng steigend für \(-2<x<2\). c) \(F(2)\approx2{,}5\).

- Nutze für a) ausschließlich die Achsenskalierung und die Schnittpunkte mit der Höhe \(20\,\text{kg/min}\). - Welche Einheit entsteht aus \(\text{min}\) und \(\text{kg/min}\)? - Für c) brauchst du nur die beiden gegebenen Stammfunktionswerte zu subtrahieren.

1. Die Höhe \(20\,\text{kg/min}\) wird bei \(t=1\,\text{min}\) und \(t=5\,\text{min}\) erreicht. Dazwischen liegt der Graph darüber. 2. Die Fläche unter einem Massenstrom-Zeit-Graphen entspricht der insgesamt transportierten Masse; die Einheit ist \(\text{kg}\). 3. Mit den gegebenen Stammfunktionswerten gilt \(R(6)-R(0)=90+\frac{120}{\pi}\approx128{,}20\).

a) Bei \(t=1\,\text{min}\) und \(t=5\,\text{min}\); größer als \(20\,\text{kg/min}\) für \(1<t<5\). b) Die Fläche entspricht der insgesamt transportierten Masse. c) \(90+\frac{120}{\pi}\,\text{kg}\approx128{,}20\,\text{kg}\).

- Welche physikalische Größe entsteht aus Leistung mal Zeit? - Was bedeutet eine negative Ladeleistung für den Energieinhalt? - Zerlege die Flächenstücke in einfache geometrische Formen. - Unterscheide zwischen Änderung einer Größe und ihrem absoluten Bestand.

1. Die positive Fläche auf \([0;6]\) besteht aus zwei Dreiecken mit je \(4\,\text{kWh}\) und einem Rechteck mit \(8\,\text{kWh}\). Insgesamt sind es \(16\,\text{kWh}\). Aussage a) ist daher falsch. 2. Auf \([6;10]\) ist \(v(t)<0\); der Energieinhalt sinkt daher kontinuierlich. Aussage b) ist wahr. 3. Die negative Dreiecksfläche hat den Betrag \(4\,\text{kWh}\). Die Flächenbilanz ist \(16-4=12\,\text{kWh}>0\); Aussage c) ist wahr. 4. Das Integral gibt nur die Änderung des Energieinhalts an. Für den absoluten Energieinhalt müsste der Anfangswert addiert werden. Aussage d) ist falsch.

a) falsch b) wahr c) wahr d) falsch

- Ein Bestand bleibt konstant, wenn seine Änderungsrate null ist. - Berücksichtige Flächen oberhalb und unterhalb der Zeitachse mit ihren Vorzeichen. - Das Vorzeichen der Flächenbilanz zeigt, ob der Endbestand über oder unter dem Anfangsbestand liegt.

1. Der Bestand ist konstant, wenn \(q(t)=0\), also auf \([4;6]\). Vorher ist \(q>0\), danach \(q<0\); daher ist der Bestand auf dem gesamten Intervall \([4;6]\) maximal. 2. Der positive Flächenbeitrag von \(0\) bis \(4\) beträgt \(6\,\text{kg}\). Die negativen Flächenbeiträge von \(6\) bis \(12\) ergeben \(-8\,\text{kg}\). 3. Die Flächenbilanz ist \(-2\,\text{kg}\). Am Ende sind netto \(2\,\text{kg}\) weniger Material vorhanden.

a) Der Bestand ist auf \([4;6]\,\text{min}\) konstant und dort maximal. b) Die Bestandsänderung beträgt \(-2\,\text{kg}\); am Ende ist weniger Material vorhanden.

- Multipliziere die Einheiten und Schrittweiten der beiden Achsen. - Wie tragen Flächen oberhalb und unterhalb der Zeitachse zur Gesamtänderung bei? - Wann hört die Konzentration auf zu steigen und beginnt zu sinken? - Zerlege die Fläche in einfache geometrische Formen.

1. Ein Gitterkästchen hat Breite \(0{,}5\,\text{h}\) und Höhe \(1\,\text{ppm}/\text{h}\). Es entspricht daher einer Konzentrationsänderung von \(0{,}5\,\text{ppm}\). Zwei benachbarte Gitterkästchen in horizontaler Richtung entsprechen \(1\,\text{ppm}\). 2. Die positive Fläche zwischen \(t=0{,}5\) und \(t=5{,}5\) ist ein Trapez mit Inhalt \(10{,}5\,\text{ppm}\). Die beiden negativen Dreiecke ergeben zusammen \(-0{,}5\,\text{ppm}\). Die Flächenbilanz beträgt \(10\,\text{ppm}\). 3. Die Konzentration steigt, solange \(f(t)>0\), also von \(t=0{,}5\) bis \(t=5{,}5\), und fällt danach. Daher ist sie bei \(t=5{,}5\,\text{h}\) am größten.

a) Ein einzelnes Gitterkästchen entspricht \(0{,}5\,\text{ppm}\) Konzentrationsänderung. b) Die Konzentration ändert sich insgesamt um \(+10\,\text{ppm}\). c) Sie ist bei \(t=5{,}5\,\text{h}\) am größten.

- Das Integral einer Leistung über die Zeit liefert eine Energie. - Nutze für a) und c) nur die jeweils gegebenen Werte der Stammfunktion. - Für b) benötigst du ausschließlich die Lage des höchsten Punkts und die y-Skalierung der Abbildung.

1. Für die ersten zehn Stunden gilt \(F(10)-F(0)=200-400e^{-1}\). Die Energie beträgt \((200-400e^{-1})\,\text{MWh}\). 2. Der höchste Punkt des dargestellten Graphen liegt bei \(t=10\,\text{h}\). Aus der y-Skala liest man dort ungefähr \(7{,}4\,\text{MW}\) ab. 3. Bis \(t=20\) gilt \(F(20)-F(0)=200-600e^{-2}\,\text{MWh}\). 4. Es gilt \(200-600e^{-2}>2(200-400e^{-1})\), also ist nach \(20\) Stunden mehr als doppelt so viel Energie erzeugt worden wie nach zehn Stunden.

a) \((200-400e^{-1})\,\text{MWh}\) b) Maximum bei \(t=10\,\text{h}\); maximale Leistung etwa \(7{,}4\,\text{MW}\). c) \((200-600e^{-2})\,\text{MWh}\); das ist mehr als das Doppelte des Werts aus a).

- Die Fläche unter einer Einlassrate entspricht einer Anzahl von Personen. - Erkennst du die gesuchten Anzahlen als Dreiecks- oder Trapezflächen? - Für c) liegt der gesuchte Zeitpunkt nach dem Maximum der Rate. - In d) beginnt das Verlassen erst nach dem Ende des Einlasses.

1. Das Integral gibt die Gesamtzahl der eingelassenen Personen an. Die Dreiecksfläche ist \(\frac12\cdot20\cdot40=400\) Personen. 2. In den ersten acht Minuten ergibt die linke Dreiecksfläche \(\frac12\cdot8\cdot40=160\) Personen. 3. Ab \(t=8\) ist \(r(t)=40-\frac{10}{3}(t-8)\). Gesucht ist \(t\) mit \(160+\int_8^t\left(40-\frac{10}{3}(s-8)\right)\,\text{d}s=340\). Mit \(u=t-8\) folgt \(40u-\frac53u^2=180\), also \(u=6\) und \(t=14\,\text{min}\). 4. Nach \(20\) Minuten sind \(400\) Personen in der Halle. Bei \(20\) Personen pro Minute dauert das Verlassen \(20\) Minuten. Die Halle ist bei \(t=40\,\text{min}\) leer.

a) Insgesamt werden \(400\) Personen eingelassen. b) In den ersten acht Minuten werden \(160\) Personen eingelassen. c) Nach \(14\,\text{min}\) sind \(340\) Personen eingelassen. d) Bei \(t=40\,\text{min}\) ist die Halle wieder leer.

- Was bedeutet ein positives oder negatives Vorzeichen der Nettoänderungsrate für den Bestand? - Wann hört der Bestand auf zu sinken und beginnt zu steigen? - Lies für b) nur die fünf ausdrücklich genannten Stützwerte ab und bilde daraus vier Trapeze gleicher Breite. - Addiere die so geschätzte Nettoänderung zum Anfangsbestand von \(100\,\text{kg}\).

1. In den ersten zwei Stunden ist die Änderungsrate negativ; der Bestand sinkt. Bei \(t=2\) wechselt die Rate von negativ zu positiv. Die spätere positive Flächenbilanz ist groß genug, dass der Bestand bis zum Ende nicht mehr auf diesen Tiefstand zurückfällt. Das globale Minimum liegt daher bei \(t=2\,\text{h}\). 2. Aus dem Graphen liest man \(f(0)=-4\), \(f(2)=0\), \(f(4)=2\), \(f(6)=2\) und \(f(8)=0\) in \(\text{kg}/\text{h}\) ab. 3. Die Trapezsumme mit Breite \(2\,\text{h}\) beträgt \((-4+0)+(0+2)+(2+2)+(2+0)=4\,\text{kg}\). 4. Der geschätzte Bestand nach acht Stunden ist daher \(100\,\text{kg}+4\,\text{kg}=104\,\text{kg}\).

a) Der Warenbestand ist nach \(2\,\text{h}\) am geringsten. b) Mit der vorgegebenen Trapezregel ergibt sich ein geschätzter Bestand von \(104\,\text{kg}\).

- Die Flächenbilanz unter einer Änderungsrate beschreibt die gesamte Temperaturänderung. - Wie hängt die Steigung von \(G\) mit dem Vorzeichen von \(g\) zusammen? - Welchen Wert muss \(G\) an der unteren Integrationsgrenze haben?

1. Die Flächenbilanz besteht aus vier Dreiecken mit den Flächenbeiträgen \(-2\), \(+2\), \(+2\) und \(-2\). Daher ist \(\Delta T=0\,\text{K}\). 2. Es gilt \(G(-2)=0\) und nach dem Hauptsatz \(G'(x)=g(x)\). Bei \(x=0\) wechselt \(g\) von negativ zu positiv, daher hat \(G\) dort ein Minimum. Bei \(x=4\) wechselt \(g\) von positiv zu negativ, daher hat \(G\) dort ein Maximum. 3. Bei \(x=2\) ist \(g(2)>0\); dort liegt keine Extremstelle von \(G\). Der Knick von \(g\) verändert dort lediglich die Krümmung von \(G\). 4. Graph 1 erfüllt \(G(-2)=0\), besitzt das Minimum bei \(0\), das Maximum bei \(4\) und endet wegen der Gesamtbilanz bei \(G(6)=0\).

a) \(\Delta T=0\,\text{K}\) b) Graph 1

- Welche Bedeutung haben Flächen oberhalb und unterhalb der Zeitachse bei einem Geschwindigkeitsgraphen? - Unterscheide zwischen einer vorzeichenbehafteten Gesamtänderung und einer gesamten Weglänge. - Die beiden Teilflächen lassen sich aus der Abbildung als Dreiecke bestimmen.

1. Oberhalb der Zeitachse liegt ein Dreieck mit Grundseite \(2\,\text{s}\) und Höhe \(2\,\text{m}/\text{s}\). Sein Flächeninhalt ist \(2\,\text{m}\). 2. Unterhalb der Zeitachse liegt ein Dreieck mit Grundseite \(2\,\text{s}\) und Höhe \(1\,\text{m}/\text{s}\). Sein Flächeninhalt beträgt \(1\,\text{m}\), geht in die Ortsänderung aber mit negativem Vorzeichen ein. 3. Die Ortsänderung ist daher \(2\,\text{m}-1\,\text{m}=1\,\text{m}\). 4. Für die insgesamt zurückgelegte Strecke werden beide Flächeninhalte positiv addiert: \(2\,\text{m}+1\,\text{m}=3\,\text{m}\). 5. Der Unterschied entsteht, weil die Ortsänderung die Bewegungsrichtung über das Vorzeichen berücksichtigt, während die zurückgelegte Strecke die Weglängen beider Bewegungsrichtungen addiert.

a) Ortsänderung: \(1\,\text{m}\) b) Zurückgelegte Strecke: \(3\,\text{m}\) c) Negative Geschwindigkeiten vermindern die Ortsänderung, tragen zur zurückgelegten Strecke aber mit ihrem Betrag bei.

- Der Bestand wächst bei positiver Änderungsrate und fällt bei negativer Änderungsrate. - Suche zuerst die Stelle, an der die Änderungsrate ihr Vorzeichen wechselt. - Eine integrierte Rate in Prozentpunkten pro Stunde liefert eine Änderung in Prozentpunkten. - Addiere die jeweilige Gesamtänderung zum anfänglichen Ladezustand.

1. Der Ladezustand wächst, solange \(r(t)>0\), und fällt, sobald \(r(t)<0\). Aus \(6-2t=0\) folgt \(t=3\,\text{h}\). Dort liegt das Maximum. 2. Bis \(t=3\) beträgt die Änderung \(\int_0^3(6-2t)\,\mathrm{d}t=[6t-t^2]_0^3=9\) Prozentpunkte. 3. Der maximale Ladezustand ist daher \(40\,\%+9\) Prozentpunkte \(=49\,\%\). 4. Bis \(t=4\) beträgt die Gesamtänderung \(\int_0^4(6-2t)\,\mathrm{d}t=[6t-t^2]_0^4=8\) Prozentpunkte. 5. Nach \(4\,\text{h}\) beträgt der Ladezustand somit \(48\,\%\).

a) Nach \(3\,\text{h}\) b) \(49\,\%\) c) \(48\,\%\)