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- Wie hängen die momentane Änderungsrate und die totale Bestandsänderung mathematisch zusammen? - In welchem Zeitraum findet der Pumpvorgang statt? Das definiert deine Integrationsgrenzen. - Denke am Ende an die Umrechnung der Einheit von Litern in Kubikmeter.

1. Das Gesamtvolumen in Litern entspricht dem bestimmten Integral der Pumprate über den Zeitraum von \(0\) bis \(12\) Minuten: \(\int_{0}^{12} (120t - 10t^2) \, dt\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(V(t) = 60t^2 - \frac{10}{3}t^3\). 3. Berechnung des Werts: \(V(12) - V(0) = (60 \cdot 144 - \frac{10}{3} \cdot 1728) - 0 = 8640 - 5760 = 2880\,\text{l}\). 4. Umrechnung von Litern in Kubikmeter: Da \(1000\,\text{l} = 1\,\text{m}^3\), ergibt sich \(2880 : 1000 = 2{,}88\,\text{m}^3\).

Es werden insgesamt \(2{,}88\,\text{m}^3\) Wasser abgepumpt.

- Überlege zuerst, wie man aus einer Rate die Gesamtänderung über einen Zeitraum berechnet. - Achte darauf, dass die Funktion die Rate pro Quadratmeter angibt. Wie groß ist die gesamte Fläche aller Filterelemente? - Achte bei der Flächenberechnung und beim Endergebnis auf die korrekten Einheiten (Zentimeter, Meter, Milligramm, Gramm). - Welches Zeitintervall wird durch die Angabe „Stunden seit der Schichtmitte“ abgedeckt?

1. Berechnung der Staubmasse pro Quadratmeter durch Integration der Rate \(r(t)\) über das Zeitintervall \([-4; 4]\): \(\int_{-4}^{4} 500 \cdot (1 - \frac{1}{16}t^2) \, dt = [500t - \frac{500}{48}t^3]_{-4}^4\). 2. Einsetzen der Grenzen liefert \((2000 - \frac{2000}{3}) - (-2000 + \frac{2000}{3}) = \frac{4000}{3} + \frac{4000}{3} = \frac{8000}{3} \approx 2666{,}67\,\frac{\text{mg}}{\text{m}^2}\). 3. Bestimmung der gesamten Filterfläche: \(120 \cdot 2500\,\text{cm}^2 = 300\,000\,\text{cm}^2 = 30\,\text{m}^2\). 4. Berechnung der Gesamtmasse: \(30\,\text{m}^2 \cdot \frac{8000}{3}\,\frac{\text{mg}}{\text{m}^2} = 80\,000\,\text{mg}\). 5. Umrechnung in Gramm: \(80\,000\,\text{mg} = 80\,\text{g}\).

Während der Schicht werden insgesamt \(80\,\text{g}\) Feinstaub aufgefangen.

- Was sagt das Vorzeichen einer Änderungsrate über die Zunahme oder Abnahme einer Größe aus? - Welche mathematische Operation berechnet die gesamte Änderung einer Größe aus ihrer Änderungsrate? - Achte beim Einsetzen in die Winkelfunktionen darauf, ob dein Taschenrechner auf das Bogenmaß (RAD) eingestellt ist. - Überlege dir, welche physikalische Einheit das Ergebnis des Integrals haben muss, wenn die Rate in Volumen pro Zeit angegeben ist.

1. Berechnung von \(v(3)\): \(v(3) = 20 \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 20 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -10\sqrt{2} \approx -14{,}14\). Damit beträgt die Änderungsrate \(-14{,}14 \cdot 10^3\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). Das negative Vorzeichen bedeutet, dass zu diesem Zeitpunkt Wasser aus dem Oberbecken abfließt (z. B. zur Stromerzeugung). 2. Bestimmung der Stammfunktion von \(v(t)\): \(V(t) = 20 \cdot \frac{4}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{4} t\right) = \frac{80}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{4} t\right)\). 3. Berechnung des Integrals: \(\int_{2}^{6} v(t) \, dt = \left[ \frac{80}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{4} t\right) \right]_{2}^{6} = \frac{80}{\pi} \cdot \left( \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) = \frac{80}{\pi} \cdot (-1 - 1) = -\frac{160}{\pi}\). 4. Interpretation: Der Wert des Integrals gibt die Nettoänderung des Wasservolumens im Zeitraum von \(t = 2\) bis \(t = 6\) an. Das Volumen im Oberbecken hat in diesem Zeitraum um \(\frac{160}{\pi} \cdot 10^3\,\text{m}^3 \approx 50{,}93 \cdot 10^3\,\text{m}^3\) abgenommen.

a) \(v(3) = -10\sqrt{2} \cdot 10^3\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}} \approx -14{,}14 \cdot 10^3\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). Das negative Vorzeichen gibt an, dass das Wasservolumen im Oberbecken zum Zeitpunkt \(t = 3\) abnimmt. b) \(\int_{2}^{6} v(t) \, dt = -\frac{160}{\pi} \cdot 10^3\,\text{m}^3 \approx -50{,}93 \cdot 10^3\,\text{m}^3\). Dies bedeutet, dass das Wasservolumen im Oberbecken zwischen den Zeitpunkten \(t = 2\) und \(t = 6\) insgesamt um etwa \(50{,}93 \cdot 10^3\,\text{m}^3\) gesunken ist.

- Was bedeutet eine negative Änderungsrate für die betrachtete Konzentration? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um die Gesamtdifferenz einer Größe zu bestimmen. - Überlege, was ein Integralwert von Null für den Vergleich von Anfangs- und Endzustand bedeutet. - Achte auf die korrekte Anwendung der Kettenregel beim Integrieren der Sinusfunktion.

1. Berechnung von \(k(5)\): \(k(5) = -0{,}5 \cdot \sin\left(\frac{5\pi}{10}\right) = -0{,}5 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -0{,}5 \cdot 1 = -0{,}5\). Zum Zeitpunkt \(t = 5\,\text{min}\) sinkt die Konzentration des Wirkstoffs mit einer Rate von \(0{,}5\,\text{mol}/(\text{l} \cdot \text{min})\). 2. Bestimmung der Stammfunktion von \(k(t)\): \(K(t) = -0{,}5 \cdot \left(-\frac{10}{\pi}\right) \cos\left(\frac{\pi}{10} t\right) = \frac{5}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{10} t\right)\). 3. Berechnung des Integrals: \(\int_{0}^{20} k(t) \, dt = \left[ \frac{5}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{10} t\right) \right]_{0}^{20} = \frac{5}{\pi} \cdot (\cos(2\pi) - \cos(0)) = \frac{5}{\pi} \cdot (1 - 1) = 0\). 4. Interpretation: Der Wert des Integrals ist \(0\). Dies bedeutet, dass die Nettoänderung der Konzentration über den gesamten Zeitraum von 20 Minuten null ist; die Konzentration am Ende des Versuchs entspricht also genau der Konzentration zu Beginn.

a) \(k(5) = -0{,}5\). Die Konzentration nimmt zum Zeitpunkt \(t = 5\) mit einer Rate von \(0{,}5\,\text{mol}/(\text{l} \cdot \text{min})\) ab. b) \(\int_{0}^{20} k(t) \, dt = 0\). Über den Zeitraum von 20 Minuten ist die Nettoänderung der Konzentration gleich Null, d. h. die Endkonzentration ist identisch mit der Anfangskonzentration.

- Was gibt der Wert eines Integrals über eine Änderungsrate an? - Achte auf das Vorzeichen des Ergebnisses und überlege, was dies für die Flüssigkeitsmenge im Tank bedeutet. - Wie hängen die Ableitung des Nenners und der Zähler der Funktion zusammen? - Was bedeutet das Kleiner-Zeichen in Bezug auf den Flüssigkeitsverlust?

1. Bestimmung der Stammfunktion: Da der Zähler bis auf einen Faktor die Ableitung des Nenners ist, verwendet man die logarithmische Integrationsregel \(\int \frac{g'(t)}{g(t)} dt = \ln|g(t)|\). Es gilt \(f(t) = -30 \cdot \frac{2t}{t^2+36}\), woraus die Stammfunktion \(F(t) = -30 \cdot \ln(t^2+36)\) folgt. 2. Berechnung des bestimmten Integrals: \(\int_0^8 f(t) dt = [-30 \ln(t^2+36)]_0^8 = -30 \ln(64+36) - (-30 \ln(0+36)) = -30 \ln(100) + 30 \ln(36) = -30 \ln\left(\frac{100}{36}\right) \approx -30{,}65\). 3. Interpretation: Das Integral gibt die Gesamtänderung des Volumens an. In den ersten 8 Stunden sind somit ca. \(30{,}65\,\text{l}\) Flüssigkeit aus dem Behälter ausgetreten. 4. Sachbezogene Frage zu b): Die Ungleichung fragt nach dem Zeitpunkt, ab dem die gesamte Volumenänderung einen Verlust von mehr als \(40\,\text{l}\) darstellt. Mögliche Frage: „Nach welcher Zeit \(t\) sind insgesamt mehr als \(40\,\text{l}\) Kühlflüssigkeit aus dem Behälter ausgeflossen?“

a) \(\int_0^8 f(t) dt = -30 \ln\left(\frac{25}{9}\right) \approx -30{,}65\). In den ersten 8 Stunden nach Entdeckung des Defekts hat das Volumen der Flüssigkeit im Behälter um ca. \(30{,}65\,\text{l}\) abgenommen. b) Eine mögliche Frage ist: „Nach wie vielen Stunden hat der Behälter insgesamt mehr als \(40\,\text{l}\) Flüssigkeit verloren?“

- Wie berechnet man die Gesamtmenge aus einer gegebenen Änderungsrate? - Kannst du eine Stammfunktion finden, indem du den Nenner und seine Ableitung betrachtest? - Was ist der Unterschied zwischen der Gesamtmenge seit Beginn und der Menge in einem bestimmten Zeitfenster? - Überlege dir, welche Einheit das Ergebnis nach der Integration über die Zeit haben muss.

1. Identifikation der Stammfunktion: Die Funktion hat die Form \(k \cdot \frac{g'(t)}{g(t)}\) mit \(g(t) = (t+2)^2+16\). Da \(g'(t) = 2(t+2)\), folgt \(h(t) = 50 \cdot \frac{2(t+2)}{(t+2)^2+16}\). Die Stammfunktion lautet \(H(t) = 50 \ln((t+2)^2+16)\). 2. Berechnung für a): \(\int_0^6 h(t) dt = H(6) - H(0) = 50 \ln(8^2+16) - 50 \ln(2^2+16) = 50 \ln(80) - 50 \ln(20) = 50 \ln(4) \approx 69{,}31\). In den ersten 6 Stunden fließen ca. \(69{,}31\,\text{m}^3\) Wasser zu. 3. Berechnung für b): \(\int_2^4 h(t) dt = H(4) - H(2) = 50 \ln(6^2+16) - 50 \ln(4^2+16) = 50 \ln(52) - 50 \ln(32) = 50 \ln(1{,}625) \approx 24{,}28\). 4. Interpretation zu b): Das Integral gibt die Wassermenge an, die im Zeitintervall von \(t=2\) bis \(t=4\) (also zwischen der zweiten und der vierten Stunde nach Beobachtungsbeginn) insgesamt in das Becken geflossen ist. Dieser Wert beträgt ca. \(24{,}28\,\text{m}^3\).

a) Das zugeflossene Volumen beträgt ca. \(69{,}31\,\text{m}^3\). b) \(\int_2^4 h(t) dt = 50 \ln(1{,}625) \approx 24{,}28\). Dieser Wert gibt das Wasservolumen in Kubikmetern an, das zwischen der 2. und der 4. Stunde nach Beobachtungsbeginn in das Becken zugeflossen ist.