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- Wie lautet die Regel für die Stammfunktion bei linearer Verkettung? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die vorgeschlagene Stammfunktion ableitest. Erhältst du die ursprüngliche Funktion \(f(x)\)? - Achte besonders auf den Unterschied zwischen dem Multiplizieren und dem Dividieren mit der inneren Ableitung.

1. Fall A: Der Fehler liegt in der Anwendung der linearen Kettenregel. Statt durch die innere Ableitung \(3\) zu dividieren, wurde mit ihr multipliziert. Korrektur: \(F(x) = -\frac{1}{3}\cos(3x)\). 2. Fall B: Der Term ist korrekt. Die Division durch die innere Ableitung \(2\) ergibt den Faktor \(0{,}5\). 3. Fall C: Hier wurde zwar die äußere Aufleitung korrekt durchgeführt (\(\frac{1}{4}u^4\)), aber die lineare innere Funktion \(4x+2\) wurde nicht berücksichtigt. Es fehlt die Division durch die innere Ableitung \(4\). Korrektur: \(F(x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}(4x+2)^4 = \frac{1}{16}(4x+2)^4\). 4. Fall D: Der Term ist korrekt. Die innere Ableitung ist \(0{,}5\). Division durch \(0{,}5\) entspricht einer Multiplikation mit \(2\).

A: Fehler: Multiplikation statt Division mit der inneren Ableitung \(3\). Korrekt: \(F(x) = -\frac{1}{3}\cos(3x)\). B: Korrekt. C: Fehler: Innere Ableitung \(4\) wurde nicht durch Division berücksichtigt. Korrekt: \(F(x) = \frac{1}{16}(4x+2)^4\). D: Korrekt.

- Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Sinus und Kosinus und wende sie rückwärts an. - Achte auf die inneren Funktionen der verketteten Terme. Wie wirkt sich ein konstanter Faktor vor dem \(x\) beim Integrieren aus? - Du kannst dein Ergebnis prüfen, indem du die gefundene Stammfunktion wieder ableitest.

1. Anwendung der linearen Substitutionsregel auf den ersten Summanden: Die Stammfunktion von \(\cos(ax+b)\) ist \(\frac{1}{a} \sin(ax+b)\). Mit \(a=3\) ergibt sich \(6 \cdot \frac{1}{3} \sin(3x - 1) = 2 \sin(3x - 1)\). 2. Anwendung der linearen Substitutionsregel auf den zweiten Summanden: Die Stammfunktion von \(\sin(ax+b)\) ist \(-\frac{1}{a} \cos(ax+b)\). Mit \(a=\frac{1}{2}\) ergibt sich \(2 \cdot \left(-\frac{1}{1/2} \cos\left(\frac{1}{2}x\right)\right) = -4 \cos\left(\frac{1}{2}x\right)\). 3. Kombination der Ergebnisse zur Stammfunktion: \(F(x) = 2 \sin(3x - 1) - 4 \cos\left(\frac{1}{2}x\right)\).

\(F(x) = 2 \sin(3x - 1) - 4 \cos\left(\frac{1}{2}x\right)\)

- Überlege dir, welcher Teil des Terms in der Klammer steht und welcher Exponent außen wirkt. - Wie wirkt sich die Steigung der inneren Geraden beim Ableiten mit der Kettenregel aus? Überlege dir den Umkehrschritt für die Stammfunktion. - Du kannst dein Ergebnis überprüfen, indem du die Stammfunktion mit der Kettenregel wieder ableitest.

1. Identifikation der inneren linearen Funktion: \(u(x) = 0{,}5x + 2\). 2. Identifikation der äußeren Funktion: \(v(u) = u^6\). 3. Anwendung der linearen Substitutionsregel (Aufleitung): \(F(x) = \frac{1}{m} \cdot V(u(x))\), wobei \(m = 0{,}5\) die Steigung der inneren Funktion ist. 4. Bestimmung der Stammfunktion der äußeren Funktion: \(V(u) = \frac{1}{7}u^7\). 5. Berechnung des Vorfaktors: \(\frac{1}{0{,}5} \cdot \frac{1}{7} = 2 \cdot \frac{1}{7} = \frac{2}{7}\). 6. Zusammensetzen zur Stammfunktion: \(F(x) = \frac{2}{7}(0{,}5x + 2)^7\).

Innere Funktion: \(u(x) = 0{,}5x + 2\) Äußere Funktion: \(v(u) = u^6\) Stammfunktion: \(F(x) = \frac{2}{7}(0{,}5x + 2)^7\)

- Überlege dir, welchen Teil des Nenners du durch eine neue Variable ersetzen kannst, um die Struktur zu vereinfachen. - Vergiss nicht, das Differential \(dx\) ebenfalls zu transformieren. - Denk daran, dass sich bei einer Substitution in einem bestimmten Integral auch die Grenzen ändern. - Welche Stammfunktion gehört zu einem Term der Form \(\frac{1}{u}\)? - Kannst du das Ergebnis mithilfe von Logarithmengesetzen noch weiter zusammenfassen?

1. Durchführung der linearen Substitution \(u = 2x + 2\). Daraus folgt für das Differential \(du = 2 \, dx\) bzw. \(dx = \frac{1}{2} \, du\). 2. Anpassung der Integrationsgrenzen: Für \(x = 0\) ergibt sich \(u = 2 \cdot 0 + 2 = 2\). Für \(x = 3\) ergibt sich \(u = 2 \cdot 3 + 2 = 8\). 3. Transformation des Integrals: \(\int_{2}^{8} \frac{4}{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \int_{2}^{8} \frac{2}{u} \, du\). 4. Bestimmung der Stammfunktion und Auswertung: \([2 \cdot \ln|u|]_{2}^{8} = 2 \cdot (\ln(8) - \ln(2))\). 5. Vereinfachung unter Nutzung der Logarithmengesetze: \(2 \cdot \ln\left(\frac{8}{2}\right) = 2 \cdot \ln(4) = 4 \cdot \ln(2)\).

\(4 \cdot \ln(2)\) (ca. \(2{,}773\))

- Betrachte das Verhältnis zwischen dem Zähler und dem Nenner des Bruchs. - Was passiert, wenn du den Nenner ableitest? - Gibt es eine spezielle Regel für Brüche, bei denen der Zähler die Ableitung des Nenners ist?

1. Erkennen der Struktur \(\frac{f'(x)}{f(x)}\): Der Zähler \(4x\) ist genau die Ableitung des Nenners \(2x^2 + 1\). 2. Anwendung der logarithmischen Integrationsregel (oder Substitution \(u = 2x^2 + 1\)). 3. Eine Stammfunktion ist \(F(x) = \ln(2x^2 + 1)\). 4. Auswertung an den Grenzen: \(F(1) = \ln(2 \cdot 1^2 + 1) = \ln(3)\) und \(F(0) = \ln(2 \cdot 0^2 + 1) = \ln(1) = 0\). 5. Berechnung der Differenz: \(\ln(3) - 0 = \ln(3)\).

Stammfunktion: \(F(x) = \ln(2x^2 + 1)\) Integralwert: \(\ln(3)\)

- Schau dir den Zusammenhang zwischen dem Faktor vor der Klammer und dem Ausdruck in der Klammer genau an. - Erkennst du eine Funktion und ihre Ableitung wieder? - Wie würde man eine Funktion der Form \( (f(x))^n \) ableiten? Überlege dir den Umkehrweg. - Du kannst zur Kontrolle deine gefundene Stammfunktion einmal ableiten.

1. Erkennen der Struktur: Der Integrand hat die Form \( g'(x) \cdot (g(x))^n \) mit \( g(x) = x^2 - 1 \), \( g'(x) = 2x \) und \( n = 3 \). 2. Bestimmung der Stammfunktion: Nach der Potenzregel für verkettete Funktionen (Umkehrung der Kettenregel) ist eine Stammfunktion \( G(x) = \frac{1}{n+1} \cdot (g(x))^{n+1} \). Hier: \( G(x) = \frac{1}{4}(x^2 - 1)^4 \). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: Einsetzen der Grenzen \( [1; 2] \). 4. Berechnung der Werte: \( G(2) = \frac{1}{4}(2^2 - 1)^4 = \frac{1}{4} \cdot 3^4 = \frac{81}{4} = 20{,}25 \). 5. \( G(1) = \frac{1}{4}(1^2 - 1)^4 = 0 \). 6. Ergebnis: \( 20{,}25 - 0 = 20{,}25 \).

\( \int_{1}^{2} 2x \cdot (x^2 - 1)^3 \, dx = 20{,}25 \)

- Erinnere dich an die Ableitungsregel für den natürlichen Logarithmus in Verbindung mit der Kettenregel. - Vergleiche den Funktionsterm aus b) genau mit deinem Ergebnis aus a). Welcher Faktor unterscheidet die beiden Ausdrücke? - Wie wirkt sich ein konstanter Faktor beim Integrieren aus?

1. Ableitung von \(h(x)\) mit der Kettenregel: Die äußere Funktion ist der natürliche Logarithmus, die innere Funktion ist \(g(x) = x^2 + 5\). Es gilt \(h'(x) = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) = \frac{2x}{x^2 + 5}\). 2. Vergleich von \(h'(x)\) mit \(k(x)\): Es fällt auf, dass \(k(x) = \frac{1}{2} \cdot h'(x)\). 3. Bestimmung der Stammfunktion: Da die Integration linear ist, folgt \(K(x) = \frac{1}{2} \cdot h(x) + C = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 5) + C\). Eine mögliche Stammfunktion ist somit \(K(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 5)\).

a) \(h'(x) = \frac{2x}{x^2 + 5}\) b) \(K(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 5)\) (oder jede Funktion der Form \(K(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 5) + C\))

- Betrachte den Zusammenhang zwischen dem Faktor vor der Klammer und dem Term innerhalb der Klammer. - Was passiert, wenn du den Ausdruck in der Klammer ableitest? - Kannst du den Funktionsterm so umschreiben, dass die Ableitung der inneren Funktion als Faktor auftaucht? - Welche Regel für das Integrieren von verketteten Funktionen kennst du?

1. Identifikation der inneren Funktion \(g(x) = 2x^2 - 5\) und deren Ableitung \(g'(x) = 4x\). 2. Umformung des Funktionsterms, um die Struktur \(k \cdot g'(x) \cdot (g(x))^n\) zu erhalten: \(f(x) = \frac{1}{4} \cdot 4x \cdot (2x^2 - 5)^4\). 3. Anwendung der Substitutionsregel oder der verallgemeinerten Potenzregel: \(\int (g(x))^n \cdot g'(x) \, dx = \frac{1}{n+1} (g(x))^{n+1} + C\). 4. Berechnung des Koeffizienten: \(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{20}\). 5. Aufstellen der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{20}(2x^2 - 5)^5\).

\(F(x) = \frac{1}{20}(2x^2 - 5)^5\) (oder jede andere Funktion \(F(x) = \frac{1}{20}(2x^2 - 5)^5 + C\) mit \(C \in \mathbb{R}\))

- Überlege dir, wie die Kettenregel beim Ableiten funktioniert und wie man sie für die Integration umkehren kann. - Achte auf Terme, bei denen der Zähler die Ableitung des Nenners ist. - Bei linearen Verkettungen musst du durch die innere Ableitung dividieren. - Du kannst zur Überprüfung auch die Stammfunktionen ableiten.

1. Für \(f_1(x) = 4 \cdot \cos(4x - 2)\) wird die lineare Substitution oder die Umkehrung der Kettenregel angewendet. Die Ableitung von \(\sin(4x - 2)\) ist \(\cos(4x - 2) \cdot 4\), was exakt \(f_1\) entspricht. Somit gehört \(f_1\) zu \(F_C\). 2. Der Term \(f_2(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x}\) hat die Struktur \(\frac{g'(x)}{g(x)}\) mit \(g(x) = x^2 + x\). Das Integral folgt der Regel \(\int \frac{g'(x)}{g(x)} \, dx = \ln|g(x)| + C\). Somit gehört \(f_2\) zu \(F_A\). 3. Für \(f_3(x) = (2x - 3)^4\) nutzt man die Regel für Potenzen mit linearer innerer Funktion \(\int (ax+b)^n \, dx = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1} + C\). Mit \(a=2\) und \(n=4\) ergibt sich \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} (2x - 3)^5 = \frac{1}{10} (2x - 3)^5\). Somit gehört \(f_3\) zu \(F_D\). 4. Für \(f_4(x) = e^{0{,}5x}\) gilt \(\int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C\). Mit \(a=0{,}5\) folgt \(\frac{1}{0{,}5} e^{0{,}5x} = 2e^{0{,}5x}\). Somit gehört \(f_4\) zu \(F_B\).

1 – C, 2 – A, 3 – D, 4 – B

- Betrachte das Verhältnis zwischen dem Zähler und dem Nenner des Bruchs. - Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Ableitung des Nenners und dem Term im Zähler? - Welche Stammfunktion ergibt sich, wenn ein Bruch die Form „Ableitung durch Funktion“ hat? - Denke an die Rechenregeln für Logarithmen beim Vereinfachen.

1. Erkennen der Struktur: Der Zähler \(6x^2 + 2\) ist das Zweifache der Ableitung des Nenners \(f(x) = x^3 + x + 1\), da \(f'(x) = 3x^2 + 1\). 2. Anwendung der logarithmischen Integrationsregel: Das Integral hat die Form \(2 \cdot \int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx\), woraus die Stammfunktion \(F(x) = 2 \cdot \ln|x^3 + x + 1|\) folgt. 3. Einsetzen der Grenzen: \(F(1) = 2 \cdot \ln|1^3 + 1 + 1| = 2 \ln(3)\) und \(F(0) = 2 \cdot \ln|0^3 + 0 + 1| = 2 \ln(1) = 0\). 4. Berechnung der Differenz: \(2 \ln(3) - 0 = 2 \ln(3)\).

\(2 \ln(3)\) (oder \(\ln(9)\))

- Kannst du den Integranden in zwei einfachere Terme zerlegen? - Untersuche den ersten Bruch: Fällt dir ein Zusammenhang zwischen dem Zähler und der Ableitung des Nenners auf? - Wie integriert man eine verkettete Funktion mit einer linearen inneren Funktion? - Erinnere dich an die Regel für Integrale der Form \(\frac{f'(x)}{f(x)}\).

1. Aufteilen des Integrals in zwei Summanden: \(\int_{0}^{2} \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx + \int_{0}^{2} (3x - 1)^2 \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion für den ersten Teil mithilfe der Regel \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)|\): Hier ist \(f(x) = x^2 + 1\) und \(f'(x) = 2x\), also ist die Stammfunktion \(F_1(x) = \ln(x^2 + 1)\). 3. Auswertung des ersten Teils an den Grenzen: \(\ln(2^2 + 1) - \ln(0^2 + 1) = \ln(5) - \ln(1) = \ln(5)\). 4. Bestimmung der Stammfunktion für den zweiten Teil mittels linearer Substitution: \(F_2(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x - 1)^3}{3} = \frac{1}{9}(3x - 1)^3\). 5. Auswertung des zweiten Teils an den Grenzen: \(\frac{1}{9}(3 \cdot 2 - 1)^3 - \frac{1}{9}(3 \cdot 0 - 1)^3 = \frac{1}{9}(5^3 - (-1)^3) = \frac{1}{9}(125 + 1) = \frac{126}{9} = 14\). 6. Addition der Ergebnisse: \(14 + \ln(5)\).

\(14 + \ln(5)\)

- Untersuche den Bruch: Besteht ein Zusammenhang zwischen dem Zähler und der Ableitung des Nenners? - Erinnere dich an die Stammfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion in Verbindung mit der Kettenregel. - Schreibe die Wurzelfunktion als Potenz mit rationalem Exponenten um. - Beachte bei der Integration verketteter Funktionen mit linearer Innenfunktion den Korrekturfaktor (den Kehrwert der inneren Ableitung).

1. Teilaufgabe a): Der Integrand hat die Form \(\frac{f'(x)}{f(x)}\) mit \(f(x) = x^2 + x\), da \(f'(x) = 2x + 1\). Die Stammfunktion ist somit \(F(x) = \ln|x^2 + x|\). Einsetzen der Grenzen ergibt \(\ln|4^2 + 4| - \ln|1^2 + 1| = \ln(20) - \ln(2) = \ln\left(\frac{20}{2}\right) = \ln(10)\). 2. Teilaufgabe b): Unter Verwendung der linearen Substitution oder der Kettenregel rückwärts mit \(g(x) = 2x + 1\) ergibt sich die Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (2x + 1)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} \sqrt{(2x + 1)^3}\). Einsetzen der Grenzen liefert \(\frac{1}{3} \sqrt{9^3} - \frac{1}{3} \sqrt{1^3} = \frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 1 = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}\).

a) \(\ln(10)\) b) \(\frac{26}{3}\)

- Kannst du den Bruch in Teil 1 so umschreiben, dass jeder Term eine einfache Potenz von \(x\) ist? - Achte bei Teil 2 auf den Zusammenhang zwischen dem Zähler und der Ableitung des Nenners. - Überlege bei Teil 3, welche Funktion beim Ableiten \(e^{0{,}5x}\) ergibt und welcher Faktor dabei durch die Kettenregel entsteht. - Erinnere dich an die Ableitungen der Grundfunktionen – gibt es eine einfache Funktion, deren Ableitung genau \(\ln(x)\) ist?

1. Das Integral lässt sich durch Aufteilen des Bruchs in \(\int_{1}^{2} (1 + x^{-2}) \, dx\) umformen. Mit der Potenzregel ergibt sich \([x - \frac{1}{x}]_{1}^{2} = (2 - 0{,}5) - (1 - 1) = 1{,}5\). 2. Hier liegt die Form \(\frac{f'(x)}{f(x)}\) mit \(f(x) = x^3 + 1\) vor. Die Stammfunktion ist \(\ln|x^3 + 1|\). Berechnung: \([\ln(x^3 + 1)]_{0}^{1} = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2)\). 3. Dies ist ein Fall der linearen Substitution. Die Stammfunktion ist \(2e^{0{,}5x}\). Berechnung: \([2e^{0{,}5x}]_{0}^{2} = 2e^1 - 2e^0 = 2e - 2\). 4. Dieses Integral lässt sich nicht mit den genannten Regeln berechnen (erfordert partielle Integration). 5. Dieses Integral lässt sich nicht mit den genannten Regeln berechnen (erfordert die Arkustangens-Funktion).

1. \(1{,}5\) 2. \(\ln(2)\) 3. \(2e - 2\) 4. Nicht mit den genannten Regeln berechenbar. 5. Nicht mit den genannten Regeln berechenbar.

- Wie lautet die allgemeine Stammfunktion einer Kosinusfunktion mit linearem Argument? - Welchen Wertebereich hat die Sinusfunktion und wie verändert sich dieser durch den Vorfaktor? - Wie verschiebt die Integrationskonstante \(C\) den Graphen der Funktion in \(y\)-Richtung? - Stelle eine Gleichung für den tiefsten Punkt des Graphen auf.

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion mittels linearer Substitution: \(F_k(x) = \int \cos(kx) \, dx = \frac{1}{k} \sin(kx) + C\). 2. Analyse des Wertebereichs: Der Term \(\sin(kx)\) nimmt Werte im Intervall \([-1; 1]\) an. Der Term \(\frac{1}{k} \sin(kx)\) hat somit den Wertebereich \([-\frac{1}{|k|}; \frac{1}{|k|}]\). 3. Bestimmung des Minimums: Das Minimum der Funktion \(F_k\) ist \(C - \frac{1}{|k|}\). 4. Anwendung der Bedingung: Da das Minimum \(0\) sein soll, gilt \(C - \frac{1}{|k|} = 0\), woraus \(C = \frac{1}{|k|}\) folgt. 5. Angabe der Stammfunktion: \(F_k(x) = \frac{1}{k} \sin(kx) + \frac{1}{|k|}\).

\(F_k(x) = \frac{1}{k} \sin(kx) + \frac{1}{|k|}\)

- Bestimme zuerst die allgemeine Stammfunktion von \(g\). Achte dabei auf die innere Ableitung. - In welchem Bereich schwanken die Werte des Kosinus-Teils deiner Stammfunktion? - Was muss für das Maximum und das Minimum einer Funktion gelten, damit sie das Vorzeichen wechselt? - Welche Werte darf die Integrationskonstante \(C\) annehmen, um diese Bedingung zu erfüllen?

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion unter Anwendung der linearen Kettenregel: \(G(x) = \int 6 \sin(3x + 2) \, dx = 6 \cdot \left(-\frac{1}{3} \cos(3x + 2)\right) + C = -2 \cos(3x + 2) + C\). 2. Bestimmung des Wertebereichs: Da \(\cos(3x + 2)\) Werte zwischen \(-1\) und \(1\) annimmt, liegt der Term \(-2 \cos(3x + 2)\) im Intervall \([-2; 2]\). 3. Analyse der Bedingung: Damit \(G\) sowohl positive als auch negative Werte annimmt, muss der Wertebereich \([C - 2; C + 2]\) die Null im Inneren enthalten. Dies ist erfüllt, wenn das Minimum kleiner als Null (\(C - 2 < 0\)) und das Maximum größer als Null (\(C + 2 > 0\)) ist. 4. Lösen der Ungleichungen: Aus \(C < 2\) und \(C > -2\) folgt das Intervall \(C \in (-2; 2)\). 5. Ergebnismenge: Alle Stammfunktionen der Form \(G(x) = -2 \cos(3x + 2) + C\) mit \(C \in (-2; 2)\).

\(G(x) = -2 \cos(3x + 2) + C\) mit \(C \in (-2; 2)\)

- Untersuche den Zähler in Teil a): In welchem Verhältnis steht er zur Ableitung des Nenners? - Erinnerst du dich an die Regel für Brüche, bei denen der Zähler ein Vielfaches der Ableitung des Nenners ist? - Betrachte in Teil b) die innere Funktion. Wie beeinflusst eine lineare Transformation im Argument das Integral? - Welche Funktion ergibt abgeleitet den Sinus, und was musst du wegen des Faktors vor dem \(t\) beachten?

1. Für Teilaufgabe a) wird die logarithmische Integrationsregel \(\int \frac{u'(x)}{u(x)} \, dx = \ln|u(x)| + C\) genutzt. Da die Ableitung des Nenners \(u(x) = x^2 - 3x + 10\) gerade \(u'(x) = 2x - 3\) ist, lässt sich der Zähler als \(3 \cdot (2x - 3)\) umschreiben. Somit ergibt sich \(F(x) = 3 \cdot \ln|x^2 - 3x + 10|\). 2. Für Teilaufgabe b) wird die lineare Substitutionsregel angewendet. Die innere Funktion ist \(h(t) = \frac{1}{2}t + \pi\) mit der Steigung \(m = \frac{1}{2}\). Eine Stammfunktion von \(\sin(z)\) ist \(-\cos(z)\). Unter Berücksichtigung des Faktors \(8\) und des Kehrwerts der inneren Ableitung \(\frac{1}{m} = 2\) ergibt sich \(G(t) = 8 \cdot \left(-\cos\left(\frac{1}{2}t + \pi\right)\right) \cdot 2 = -16 \cdot \cos\left(\frac{1}{2}t + \pi\right)\).

a) \(F(x) = 3 \cdot \ln|x^2 - 3x + 10|\) b) \(G(t) = -16 \cdot \cos\left(\frac{1}{2}t + \pi\right)\)

- Untersuche den Zusammenhang zwischen dem Zähler und dem Nenner des Bruchs. - Gibt es eine Regel für Brüche, bei denen der Zähler ein Vielfaches der Ableitung des Nenners ist? - Erinnere dich an die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion. - Wie kannst du die Logarithmusgesetze nutzen, um das Endergebnis zusammenzufassen?

1. Identifikation der Struktur des Integranden: Der Zähler \(6x^2 - 2\) ist das Zweifache der Ableitung des Nenners \(f(x) = x^3 - x + 5\), da \(f'(x) = 3x^2 - 1\). 2. Anwendung der logarithmischen Integrationsregel \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C\): Eine Stammfunktion ist somit \(F(x) = 2 \cdot \ln|x^3 - x + 5|\). 3. Einsetzen der oberen Grenze: \(F(2) = 2 \cdot \ln|2^3 - 2 + 5| = 2 \cdot \ln(11)\). 4. Einsetzen der unteren Grenze: \(F(1) = 2 \cdot \ln|1^3 - 1 + 5| = 2 \cdot \ln(5)\). 5. Berechnung der Differenz: \(2 \cdot \ln(11) - 2 \cdot \ln(5) = 2 \cdot (\ln(11) - \ln(5)) = 2 \ln\left(\frac{11}{5}\right) = 2 \ln(2{,}2)\).

\(2 \ln(2{,}2)\) (ca. \(1{,}577\))

- Betrachte die innere Funktion des Exponenten. Wie wirkt sich eine lineare Funktion im Exponenten auf die Stammfunktion aus? - Erinnere dich an die Kettenregel beim Ableiten und überlege, wie du sie beim Integrieren umkehrst. - Was ist der Wert von \(e^0\)? - Achte beim Einsetzen der Grenzen besonders auf die Vorzeichen.

1. Anwendung der Substitutionsregel für lineare innere Funktionen \(g(x) = ax + b\): Die Stammfunktion von \(e^{ax+b}\) ist \(\frac{1}{a} e^{ax+b}\). 2. Bestimmung der Stammfunktion mit \(a = -0{,}5\): \(F(x) = \frac{1}{-0{,}5} e^{1 - 0{,}5x} = -2 e^{1 - 0{,}5x}\). 3. Auswertung an der oberen Grenze \(x = 2\): \(F(2) = -2 e^{1 - 0{,}5 \cdot 2} = -2 e^{0} = -2\). 4. Auswertung an der unteren Grenze \(x = 0\): \(F(0) = -2 e^{1 - 0{,}5 \cdot 0} = -2 e^1 = -2e\). 5. Berechnung der Differenz: \(F(2) - F(0) = -2 - (-2e) = 2e - 2\).

\(2e - 2\) (ca. \(3{,}437\))

- Welche der beiden Teilfunktionen lässt sich einfacher ableiten, um den Grad des Terms zu verringern oder ihn zu vereinfachen? - Erinnerst du dich an die Regel für die Integration von Produkten? - Was ist die Ableitung der Logarithmusfunktion? - Überlege, wie du den Term nach dem ersten Schritt der Integration weiter vereinfachen kannst.

1. Anwendung der partiellen Integration mit \(u(x) = \ln(x)\) und \(v'(x) = x\). 2. Bestimmung der Ableitung \(u'(x) = \frac{1}{x}\) und der Stammfunktion \(v(x) = \frac{1}{2}x^2\). 3. Einsetzen in die Formel für die partielle Integration: \(\int_{1}^{e} x \ln(x) \, dx = [\frac{1}{2}x^2 \ln(x)]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx\). 4. Vereinfachung des Integralterms zu \(\int_{1}^{e} \frac{1}{2}x \, dx = [\frac{1}{4}x^2]_{1}^{e}\). 5. Berechnung der Terme an den Grenzen: \((\frac{1}{2}e^2 \ln(e) - \frac{1}{2} \cdot 1^2 \ln(1)) - (\frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4} \cdot 1^2)\). 6. Auswerten der Logarithmen (\(\ln(e)=1\), \(\ln(1)=0\)) ergibt \(\frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4}\).

\(\frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4}\) (bzw. \(\approx 2{,}097\))

- Welcher Teil des Integranden wird beim Ableiten zu einer Konstanten? - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Integrieren der Sinus- und Kosinusfunktion. - Kannst du die Werte von Sinus und Kosinus an den Stellen \(0\) und \(\frac{\pi}{2}\) bestimmen? - Setze die Grenzen sorgfältig in die zusammengesetzte Stammfunktion ein.

1. Wahl der Teilfunktionen: \(u(x) = 2x - 1\) und \(v'(x) = \sin(x)\). 2. Berechnung der benötigten Ableitung \(u'(x) = 2\) und Stammfunktion \(v(x) = -\cos(x)\). 3. Anwendung der Formel \(\int u \cdot v' = [u \cdot v] - \int u' \cdot v\): \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2x - 1) \sin(x) \, dx = [-(2x - 1)\cos(x)]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2(-\cos(x)) \, dx\). 4. Umformung des zweiten Integrals zu \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\cos(x) \, dx = [2\sin(x)]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\). 5. Zusammenführen der Stammfunktion: \([-(2x - 1)\cos(x) + 2\sin(x)]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\). 6. Einsetzen der Grenzen: \((-(2 \cdot \frac{\pi}{2} - 1) \cdot \cos(\frac{\pi}{2}) + 2\sin(\frac{\pi}{2})) - (-(2 \cdot 0 - 1) \cdot \cos(0) + 2\sin(0))\). 7. Da \(\cos(\frac{\pi}{2}) = 0\), \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\), \(\cos(0) = 1\) und \(\sin(0) = 0\), ergibt sich: \((0 + 2) - (-(-1) \cdot 1 + 0) = 2 - 1 = 1\).

\(1\)

- Überlege dir, welche Funktionen beim Ableiten wieder eine Exponentialfunktion oder einen Faktor \(x\) erzeugen. - Erinnere dich an die Struktur der Kettenregel beim Integrieren (Substitution). - Wann ist es hilfreich, ein Produkt von zwei Funktionen zu integrieren, bei denen ein Teil durch Ableiten einfacher wird? - Gibt es einen Exponenten, bei dem sich der Ausdruck vor dem \(e\) direkt mit der inneren Ableitung verrechnen lässt?

1. Möglichkeit 1: Setze den Exponenten auf \(x\). Das Integral \(\int_{0}^{1} x \cdot e^{x} dx\) erfordert partielle Integration mit \(u=x\) und \(v'=e^x\). Die Stammfunktion ist \((x-1)e^x\). Auswertung: \([(x-1)e^x]_0^1 = (1-1)e^1 - (0-1)e^0 = 0 - (-1) = 1\). 2. Möglichkeit 2: Setze den Exponenten auf \(x^2\). Das Integral \(\int_{0}^{1} x \cdot e^{x^2} dx\) kann durch die Substitutionsregel gelöst werden, da der Faktor \(x\) bis auf eine Konstante die Ableitung der inneren Funktion \(x^2\) ist. Mit \(u = x^2\) und \(du = 2x \, dx\) ergibt sich \(\frac{1}{2} \int e^u du\). Die Stammfunktion ist \(\frac{1}{2} e^{x^2}\). Auswertung: \([\frac{1}{2} e^{x^2}]_0^1 = \frac{1}{2}(e^1 - e^0) = \frac{1}{2}(e-1) \approx 0{,}859\).

Mögliche Exponenten sind \(x\) (Lösung mittels partieller Integration; Wert: \(1\)) oder \(x^2\) (Lösung mittels Substitution; Wert: \(\frac{1}{2}(e-1)\)).

- Was passiert, wenn Zähler und Nenner identisch sind? - Welche Beziehung muss zwischen dem Zähler und dem Nenner bestehen, damit man das Ergebnis direkt als Logarithmus schreiben kann? - Denke an die Ableitung der Funktion \(e^x\). Welche Funktionen haben \(e^x\) als Ableitung?

1. Teilaufgabe a): Setze den Nenner auf \(e^x\). Der Integrand vereinfacht sich zu \(\frac{e^x}{e^x} = 1\). Das Integral lautet \(\int_{0}^{1} 1 dx = [x]_0^1 = 1 - 0 = 1\). 2. Teilaufgabe b): Die logarithmische Integrationsregel besagt, dass \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C\). Da im Zähler \(e^x\) steht, muss der Nenner eine Funktion \(f(x)\) sein, deren Ableitung \(e^x\) ist. Eine mögliche Wahl ist \(f(x) = e^x + 1\). 3. Berechnung zu b): \(\int_{0}^{1} \frac{e^x}{e^x + 1} dx = [\ln(e^x + 1)]_0^1 = \ln(e^1 + 1) - \ln(e^0 + 1) = \ln(e+1) - \ln(2) = \ln\left(\frac{e+1}{2}\right) \approx 0{,}62\).

a) Nenner \(e^x\); Integralwert: \(1\). b) Nenner \(e^x + 1\); Integralwert: \(\ln\left(\frac{e+1}{2}\right)\).

- Welchen Faktor kannst du ergänzen, um die partielle Integration anzuwenden? - Erinnere dich an die Ableitung der Logarithmusfunktion und die Kettenregel. - Was passiert mit dem Integranden, wenn du die Faktoren für die partielle Integration geschickt wählst? - Beachte den Wert des natürlichen Logarithmus an der Stelle 1.

1. Anwendung der partiellen Integration auf \(I_{0{,}2}(x) = \int_{0{,}2}^x 1 \cdot \ln(5t) \, dt\) mit \(u(t) = \ln(5t)\) und \(v'(t) = 1\). 2. Bestimmung der Ableitung \(u'(t) = \frac{1}{5t} \cdot 5 = \frac{1}{t}\) und der Stammfunktion \(v(t) = t\). 3. Einsetzen in die Formel der partiellen Integration: \(\int \ln(5t) \, dt = t \cdot \ln(5t) - \int t \cdot \frac{1}{t} \, dt = t \cdot \ln(5t) - t\). 4. Auswertung der Grenzen: \(I_{0{,}2}(x) = [t \cdot \ln(5t) - t]_{0{,}2}^x = (x \cdot \ln(5x) - x) - (0{,}2 \cdot \ln(1) - 0{,}2)\). 5. Da \(\ln(1) = 0\), ergibt sich \(I_{0{,}2}(x) = x \cdot \ln(5x) - x + 0{,}2\).

\(I_{0{,}2}(x) = x \cdot \ln(5x) - x + 0{,}2\)

- Welche Integrationsregel eignet sich für ein Produkt aus einer linearen Funktion und einer Exponentialfunktion? - Überlege dir, welchen Teil der Funktion du ableiten und welchen du integrieren möchtest, um das Integral zu vereinfachen. - Vergiss bei der Stammfunktion von \(e^{3x}\) die innere Ableitung nicht. - Kannst du den resultierenden Term am Ende durch Ausklammern vereinfachen?

1. Anwendung der partiellen Integration mit der Formel \(\int u(x) \cdot v'(x) \, dx = u(x) \cdot v(x) - \int u'(x) \cdot v(x) \, dx\). 2. Wahl der Teilfunktionen: \(u(x) = x + 1\) und \(v'(x) = e^{3x}\). 3. Bestimmung der Ableitung und Stammfunktion der Teile: \(u'(x) = 1\) und \(v(x) = \frac{1}{3} e^{3x}\). 4. Einsetzen in die Formel: \(F(x) = (x + 1) \cdot \frac{1}{3} e^{3x} - \int 1 \cdot \frac{1}{3} e^{3x} \, dx\). 5. Berechnung des verbleibenden Integrals: \(\int \frac{1}{3} e^{3x} \, dx = \frac{1}{9} e^{3x}\). 6. Zusammenfassen und Vereinfachen: \(F(x) = \frac{1}{3}(x + 1)e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} = (\frac{1}{3}x + \frac{1}{3} - \frac{1}{9})e^{3x} = (\frac{1}{3}x + \frac{2}{9})e^{3x}\).

\(F(x) = \left(\frac{1}{3}x + \frac{2}{9}\right) \cdot e^{3x}\)

- Erkennst du eine Produktstruktur, bei der ein Faktor durch Ableiten wegfällt? - Achte beim Integrieren von \(\cos(2x)\) auf den Faktor vor dem \(x\) im Argument. - Welches Vorzeichen ergibt sich, wenn du eine Sinusfunktion integrierst? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die gefundene Stammfunktion wieder ableitest.

1. Nutzung der partiellen Integration: \(\int u \cdot v' = uv - \int u' v\). 2. Festlegung der Funktionen: \(u(x) = 4x\) (wird durch Ableiten einfacher) und \(v'(x) = \cos(2x)\). 3. Ableiten und Integrieren: \(u'(x) = 4\) und \(v(x) = \frac{1}{2} \sin(2x)\). 4. Einsetzen: \(F(x) = 4x \cdot \frac{1}{2} \sin(2x) - \int 4 \cdot \frac{1}{2} \sin(2x) \, dx\). 5. Vereinfachen des ersten Terms und des neuen Integrals: \(2x \sin(2x) - \int 2 \sin(2x) \, dx\). 6. Integration des Sinus-Terms (Beachtung des Vorzeichens und Faktors): \(\int 2 \sin(2x) \, dx = - \cos(2x)\). 7. Endergebnis: \(F(x) = 2x \sin(2x) + \cos(2x)\).

\(F(x) = 2x \cdot \sin(2x) + \cos(2x)\)

- Überlege dir, wie du den Integranden sinnvoll in zwei Faktoren aufteilen kannst. - Was passiert, wenn du eine Funktion wählst, deren Stammfunktion genau dem anderen Teil des Integranden entspricht? - Betrachte das Integral am Ende der Formel – kommt es dir bekannt vor? - Du kannst das Integral wie eine Variable in einer algebraischen Gleichung behandeln.

1. Wahl der Funktionen für die partielle Integration: \(u(x) = \ln(x)\) und \(v'(x) = \frac{1}{x}\). 2. Bestimmung der Ableitung und Stammfunktion: \(u'(x) = \frac{1}{x}\) und \(v(x) = \ln(x)\). 3. Anwendung der Formel \(\int u \cdot v' = [u \cdot v] - \int u' \cdot v\): \(\int_{1}^{e} \frac{\ln(x)}{x} \, dx = [\ln(x) \cdot \ln(x)]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \cdot \ln(x) \, dx\). 4. Zusammenfassen des Integrals \(I\) auf einer Seite: \(I = [\ln^2(x)]_{1}^{e} - I \Rightarrow 2I = [\ln^2(x)]_{1}^{e}\). 5. Auswerten der Grenzen: \(2I = \ln^2(e) - \ln^2(1) = 1^2 - 0 = 1\). 6. Auflösen nach \(I\): \(I = \frac{1}{2} = 0{,}5\).

\(0{,}5\)

- Überlege dir, welcher Teil des Produkts durch Ableiten einfacher wird. - Erinnere dich an die Formel der partiellen Integration: \(\int u \cdot v' = u \cdot v - \int u' \cdot v\). - Was passiert mit der Potenz von \(x\), wenn du sie ableitest? - Nach dem ersten Schritt bleibt ein Integral übrig, das eine ähnliche Struktur wie das ursprüngliche hat. Wie kannst du hier weiter vorgehen?

1. Erste partielle Integration mit \(u = x^2\) und \(v' = e^{2x}\) führt zu \(u' = 2x\) und \(v = \frac{1}{2} e^{2x}\). Es ergibt sich \(\left[ \frac{1}{2}x^2 e^{2x} \right]_0^1 - \int_0^1 x e^{2x} dx\). 2. Zweite partielle Integration für das verbleibende Integral \(\int x e^{2x} dx\) mit \(u = x\) und \(v' = e^{2x}\) liefert die Stammfunktion \(\frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}\). 3. Die gesamte Stammfunktion für den Integranden lautet \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 e^{2x} - \left( \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} \right) = \left( \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} \right) e^{2x}\). 4. Auswertung der Grenzen: \(F(1) = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) e^2 = \frac{1}{4}e^2\) und \(F(0) = \left( 0 - 0 + \frac{1}{4} \right) e^0 = \frac{1}{4}\). 5. Die Differenz \(F(1) - F(0)\) ergibt den Wert \(\frac{e^2 - 1}{4}\).

\(\frac{e^2 - 1}{4}\)

- Welche Funktion eignet sich besser zum Ableiten, damit der Grad des Terms sinkt? - Achte beim zweiten Schritt besonders auf die Vorzeichen, da die Integration von Sinus und Kosinus Vorzeichenwechsel beinhalten kann. - Setze die Grenzen erst ganz am Ende in die vollständige Stammfunktion ein, um Rechenfehler zu vermeiden. - Erinnere dich an die Werte von Sinus und Kosinus bei \(0\) und \(\frac{\pi}{2}\).

1. Erste partielle Integration mit \(u = x^2\) und \(v' = \cos(x)\) ergibt \(u' = 2x\) und \(v = \sin(x)\). Das Integral wird zu \(\left[ x^2 \sin(x) \right]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} 2x \sin(x) dx\). 2. Zweite partielle Integration für \(\int 2x \sin(x) dx\) mit \(u = 2x\) und \(v' = \sin(x)\) führt zu \(u' = 2\) und \(v = -\cos(x)\). Dies ergibt \(\left[ -2x \cos(x) \right]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} -2 \cos(x) dx = \left[ -2x \cos(x) + 2 \sin(x) \right]_0^{\pi/2}\). 3. Die vollständige Stammfunktion lautet \(F(x) = x^2 \sin(x) - (-2x \cos(x) + 2 \sin(x)) = x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) - 2 \sin(x)\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(F(\pi/2) = (\frac{\pi}{2})^2 \cdot 1 + 2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 - 2 \cdot 1 = \frac{\pi^2}{4} - 2\). 5. Einsetzen der unteren Grenze: \(F(0) = 0 + 0 - 0 = 0\). 6. Der Wert des Integrals ist \(\frac{\pi^2}{4} - 2\).

\(\frac{\pi^2}{4} - 2\)

- Untersuche den Bruch: Ist der Zähler vielleicht die Ableitung des Nenners? - Bei Potenzausdrücken im Nenner kann es helfen, diese mit negativem Exponenten zu schreiben. - Achte bei Verkettungen mit linearen Funktionen auf den Korrekturfaktor (den Kehrwert der inneren Ableitung). - Kannst du eine Stammfunktion finden, indem du die Kettenregel rückwärts anwendest?

1. Für Teilaufgabe a) wird die logarithmische Integrationsregel \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + C\) angewendet. Mit \(f(x) = x^2 - 5x + 10\) und \(f'(x) = 2x - 5\) ergibt sich die Stammfunktion \(F(x) = \ln|x^2 - 5x + 10|\). Einsetzen der Grenzen liefert \(\ln|3^2 - 5 \cdot 3 + 10| - \ln|1^2 - 5 \cdot 1 + 10| = \ln(4) - \ln(6) = \ln(\frac{2}{3})\). 2. Für Teilaufgabe b) wird die lineare Substitution oder die erweiterte Potenzregel verwendet. Die Stammfunktion von \((2x + 2)^{-3}\) ist \(F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x + 2)^{-2}}{-2} = -\frac{1}{4(2x + 2)^2}\). Einsetzen der Grenzen ergibt \(F(1) - F(0) = -\frac{1}{4(4)^2} - (-\frac{1}{4(2)^2}) = -\frac{1}{64} + \frac{1}{16} = \frac{3}{64}\).

a) \(\ln(\frac{2}{3})\) b) \(\frac{3}{64}\)

- Betrachte die Summanden einzeln für die Ableitung und die Integration. - Welche Beziehung besteht zwischen dem Zähler und der Ableitung des Nenners im ersten Summanden? - Nutze für den trigonometrischen Teil die Kettenregel bzw. deren Umkehrung. - Welche Regel ist für das Ableiten eines Quotienten zweier Funktionen hilfreich?

1. Zur Bestimmung von \(f'(x)\) wird der erste Summand mit der Quotientenregel abgeleitet: \(u = 4x, u' = 4, v = 2x^2 + 3, v' = 4x\). Dies ergibt \(\frac{4(2x^2 + 3) - 4x(4x)}{(2x^2 + 3)^2} = \frac{8x^2 + 12 - 16x^2}{(2x^2 + 3)^2} = \frac{12 - 8x^2}{(2x^2 + 3)^2}\). Der zweite Summand wird mit der Kettenregel abgeleitet zu \(2\cos(2x + 1)\). Somit gilt \(f'(x) = \frac{12 - 8x^2}{(2x^2 + 3)^2} + 2\cos(2x + 1)\). 2. Zur Bestimmung von \(F(x)\) erkennt man im ersten Summanden die Struktur \(\frac{g'(x)}{g(x)}\), da \((2x^2 + 3)' = 4x\). Das Integral ist somit \(\ln(2x^2 + 3)\). Der zweite Summand wird mittels linearer Substitution integriert zu \(-\frac{1}{2}\cos(2x + 1)\). Somit gilt \(F(x) = \ln(2x^2 + 3) - \frac{1}{2}\cos(2x + 1)\).

\(f'(x) = \frac{12 - 8x^2}{(2x^2 + 3)^2} + 2\cos(2x + 1)\) \(F(x) = \ln(2x^2 + 3) - \frac{1}{2}\cos(2x + 1)\)

- Kannst du den Bruch mit der Wurzel als Potenz mit negativem Exponenten schreiben? - Welcher Funktionstyp führt beim Ableiten auf einen Bruch der Form \(\frac{1}{z}\)? - Denke an die „lineare Kettenregel“ für Integrale: Was passiert mit dem Faktor vor dem \(x\)? - Überprüfe dein Ergebnis durch Ableiten.

1. Integration des ersten Terms mittels der Regel für lineare Substitution bei der Kehrwertfunktion \(\frac{1}{x}\): \(\int \frac{10}{2x+7} \, dx = 10 \cdot \frac{1}{2} \ln|2x+7| = 5 \ln(2x+7)\). Da \(x > -2{,}25\), ist der Ausdruck im Logarithmus stets positiv. 2. Umschreiben des zweiten Terms in Potenzschreibweise: \(\frac{1}{\sqrt{4x+9}} = (4x+9)^{-\frac{1}{2}}\). 3. Integration des Potenzterms unter Berücksichtigung der linearen inneren Funktion: \(\int (4x+9)^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{(4x+9)^{\frac{1}{2}}}{1/2} = \frac{2}{4} (4x+9)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{4x+9}\). 4. Zusammenführen der Teilintegrale: \(F(x) = 5 \ln(2x + 7) + \frac{1}{2} \sqrt{4x + 9}\).

\(F(x) = 5 \ln(2x + 7) + \frac{1}{2} \sqrt{4x + 9}\)

- Schreibe den Bruch und die Wurzel zuerst als eine Potenz mit rationalem Exponenten um. - Was ist die Ableitung des Ausdrucks unter der Wurzel? Dieser Wert spielt eine Rolle für den Vorfaktor der Stammfunktion. - Erinnere dich daran, dass die Stammfunktion von \(u^n\) allgemein \(\frac{1}{n+1} u^{n+1}\) lautet.

1. Umschreiben der Funktion in Potenzschreibweise: \(f(x) = (4 - 3x)^{-\frac{1}{2}}\). 2. Bestimmung der inneren linearen Funktion: \(u(x) = 4 - 3x\). 3. Bestimmung der äußeren Funktion: \(v(u) = u^{-\frac{1}{2}}\) (oder \(v(u) = \frac{1}{\sqrt{u}}\)). 4. Anwendung der Integrationsregel für lineare Verkettungen: Der Korrekturfaktor ist \(\frac{1}{-3}\). 5. Stammfunktion der äußeren Funktion bilden: \(\int u^{-\frac{1}{2}} du = \frac{1}{1/2} u^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{u}\). 6. Gesamte Stammfunktion berechnen: \(F(x) = -\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot (4 - 3x)^{\frac{1}{2}} = -\frac{2}{3} \sqrt{4 - 3x}\).

Innere Funktion: \(u(x) = 4 - 3x\) Äußere Funktion: \(v(u) = \frac{1}{\sqrt{u}}\) (bzw. \(v(u) = u^{-\frac{1}{2}}\)) Stammfunktion: \(F(x) = -\frac{2}{3} \sqrt{4 - 3x}\)

- Erkennst du in den Funktionstermen eine lineare innere Funktion der Form \(ax + b\)? - Wie lautet die Regel für das Aufleiten von Funktionen mit einer linearen Verkettung? - Denke daran, dass du beim Integrieren durch die Ableitung der inneren Funktion dividieren musst. - Kannst du den Bruch in Teilaufgabe b) als Potenz mit negativem Exponenten schreiben, um die Potenzregel anzuwenden?

1. Für \(f(x) = (0{,}4x - 2)^4\) wird die Regel für lineare Verkettungen angewendet. Mit der äußeren Aufleitung \(\frac{1}{5}(\dots)^5\) und der inneren Ableitung \(0{,}4\) ergibt sich: \(F(x) = \frac{1}{0{,}4 \cdot 5} \cdot (0{,}4x - 2)^5 = \frac{1}{2}(0{,}4x - 2)^5 = 0{,}5(0{,}4x - 2)^5\). 2. Die Funktion \(g(x) = 3 \cdot (1 - 2x)^{-2}\) wird ebenfalls mit der linearen Kettenregel integriert. Die äußere Aufleitung ist \(\frac{3}{-1}(\dots)^{-1}\), dividiert durch die innere Ableitung \(-2\). Dies führt zu \(G(x) = \frac{3}{(-2) \cdot (-1)} \cdot (1 - 2x)^{-1} = \frac{3}{2(1 - 2x)} = 1{,}5(1 - 2x)^{-1}\). 3. Für \(h(x) = 2 \cdot \cos(4x + \frac{\pi}{2})\) ist die äußere Aufleitung \(2 \cdot \sin(\dots)\). Division durch die innere Ableitung \(4\) ergibt \(H(x) = \frac{2}{4} \sin(4x + \frac{\pi}{2}) = 0{,}5 \sin(4x + \frac{\pi}{2})\).

a) \(F(x) = 0{,}5(0{,}4x - 2)^5\) b) \(G(x) = \frac{3}{2(1 - 2x)}\) c) \(H(x) = 0{,}5 \sin\left(4x + \frac{\pi}{2}\right)\)

- Schreibe die Wurzel im Nenner zuerst als Potenz mit einem rationalen, negativen Exponenten um. - Bestimme zuerst die allgemeine Stammfunktion mit der Integrationskonstanten \(C\). - Wie kannst du die gegebene Bedingung \(F(0) = 5\) nutzen, um den Wert von \(C\) zu berechnen? - Überprüfe dein Ergebnis durch Ableiten von \(F(x)\).

1. Umschreiben der Funktion in Potenzschreibweise: \(f(x) = (2x + 9)^{-\frac{1}{2}}\). 2. Anwendung der linearen Kettenregel zur Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion \(F(x)\). Die äußere Aufleitung von \(u^{-\frac{1}{2}}\) ist \(2u^{\frac{1}{2}}\). Division durch die innere Ableitung \(2\) ergibt: \(F(x) = \frac{1}{2} \cdot 2(2x + 9)^{\frac{1}{2}} + C = \sqrt{2x + 9} + C\). 3. Einsetzen der Bedingung \(F(0) = 5\): \(\sqrt{2 \cdot 0 + 9} + C = 5 \Rightarrow \sqrt{9} + C = 5 \Rightarrow 3 + C = 5\). 4. Berechnung der Integrationskonstante: \(C = 2\). 5. Aufstellen der gesuchten Stammfunktion: \(F(x) = \sqrt{2x + 9} + 2\).

\(F(x) = \sqrt{2x + 9} + 2\)

- Kannst du den Term mit Hilfe der binomischen Formeln oder durch schrittweises Multiplizieren vereinfachen? - Was musst du beim Integrieren beachten, wenn im Inneren der Potenz eine lineare Funktion steht? - Wie verändert der Vorfaktor der inneren Funktion das Gesamtergebnis der Integration? - Hast du beim Einsetzen der Grenzen in die Stammfunktion sorgfältig auf die Vorzeichen geachtet?

1. Ausmultiplizieren des Terms: \((0{,}5x + 1)^3 = (0{,}5x + 1)^2 \cdot (0{,}5x + 1) = (0{,}25x^2 + x + 1) \cdot (0{,}5x + 1) = 0{,}125x^3 + 0{,}75x^2 + 1{,}5x + 1\). 2. Gliedweise Integration: \(\int_0^2 (0{,}125x^3 + 0{,}75x^2 + 1{,}5x + 1) \, dx = [0{,}03125x^4 + 0{,}25x^3 + 0{,}75x^2 + x]_0^2\). 3. Einsetzen der Grenzen: \((0{,}03125 \cdot 16 + 0{,}25 \cdot 8 + 0{,}75 \cdot 4 + 2) - 0 = 0{,}5 + 2 + 3 + 2 = 7{,}5\). 4. Lineare Substitution: Mit \(f(u) = u^3\) und der inneren Funktion \(g(x) = 0{,}5x + 1\) (wobei \(a = 0{,}5\)) ergibt sich die Stammfunktion \(\Phi(x) = \frac{1}{0{,}5} \cdot \frac{1}{4}(0{,}5x + 1)^4 = 0{,}5(0{,}5x + 1)^4\). 5. Einsetzen der Grenzen in die Substitutionsformel: \(0{,}5 \cdot [(0{,}5 \cdot 2 + 1)^4 - (0{,}5 \cdot 0 + 1)^4] = 0{,}5 \cdot (2^4 - 1^4) = 0{,}5 \cdot (16 - 1) = 7{,}5\). Beide Wege führen zum identischen Ergebnis \(7{,}5\).

\(7{,}5\)

- Kannst du die Summenregel anwenden, um das Integral in zwei Teile zu zerlegen? - Erinnerst du dich an die Regel für die Integration von Funktionen mit einer linearen inneren Funktion \(ax+b\)? - Wie lautet die Stammfunktion von \(x^n\) für negative Exponenten? - Achte beim Einsetzen der Grenzen besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor dem Term steht.

1. Bestimmung der Stammfunktion für den ersten Summanden \((2x+1)^3\): Mit der linearen Kettenregel ergibt sich \(F_1(x) = \frac{1}{2 \cdot 4}(2x+1)^4 = \frac{1}{8}(2x+1)^4\). 2. Berechnung des Teilintegrals: \(F_1(1) - F_1(0) = \frac{3^4}{8} - \frac{1^4}{8} = \frac{81}{8} - \frac{1}{8} = \frac{80}{8} = 10\). 3. Bestimmung der Stammfunktion für den zweiten Summanden \(3(3x+1)^{-2}\): Anwendung der linearen Kettenregel liefert \(F_2(x) = 3 \cdot \frac{1}{3 \cdot (-1)}(3x+1)^{-1} = -\frac{1}{3x+1}\). 4. Berechnung des Teilintegrals: \(F_2(1) - F_2(0) = -\frac{1}{4} - (-1) = \frac{3}{4} = 0{,}75\). 5. Differenz der Teilintegrale bilden: \(10 - 0{,}75 = 9{,}25\).

\(9{,}25\)

- Achte besonders auf das Vorzeichen beim Ersetzen des Differentials. - Wenn du die Integrationsgrenzen vertauschst, ändert sich das Vorzeichen des gesamten Integrals. - Überprüfe am Ende, ob dein Argument im Logarithmus positiv ist. - Gibt es eine Regel für die Integration von Brüchen, bei denen der Zähler ein Vielfaches der Ableitung des Nenners ist?

1. Substitution von \(u = 12 - 3x\). Aus \(du = -3 \, dx\) folgt \(dx = -\frac{1}{3} \, du\). 2. Berechnung der neuen Integrationsgrenzen: Die untere Grenze \(x = -1\) wird zu \(u = 12 - 3(-1) = 15\). Die obere Grenze \(x = 2\) wird zu \(u = 12 - 3(2) = 6\). 3. Einsetzen in das Integral: \(\int_{15}^{6} \frac{6}{u} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \, du = -2 \int_{15}^{6} \frac{1}{u} \, du\). 4. Vertauschen der Grenzen zur Aufhebung des negativen Vorzeichens: \(2 \int_{6}^{15} \frac{1}{u} \, du\). 5. Integration und Einsetzen: \(2 \cdot [\ln|u|]_{6}^{15} = 2 \cdot (\ln(15) - \ln(6))\). 6. Zusammenfassen des Logarithmus: \(2 \cdot \ln\left(\frac{15}{6}\right) = 2 \cdot \ln(2{,}5)\).

\(2 \cdot \ln(2{,}5)\) (ca. \(1{,}833\))

- Kannst du im Exponenten eine lineare Funktion erkennen und die entsprechende Regel anwenden? - Untersuche bei Teilaufgabe b), in welchem Verhältnis der Vorfaktor zur Ableitung des Exponenten steht. - Erinnerst du dich an die Kettenregel beim Ableiten? Hier musst du sie quasi rückwärts anwenden.

1. Für Teilaufgabe a) wird die Regel für lineare Substitution angewendet. Da die innere Funktion \(g(x) = 4 - 0{,}5x\) die Ableitung \(g'(x) = -0{,}5\) besitzt, ergibt sich die Stammfunktion durch Division des Koeffizienten \(-2\) durch \(-0{,}5\). Dies führt zu \(F(x) = \frac{-2}{-0{,}5} e^{4 - 0{,}5x} = 4 e^{4 - 0{,}5x}\). 2. Für Teilaufgabe b) wird die Struktur \(g'(x) \cdot e^{g(x)}\) erkannt. Die Ableitung des Exponenten \(g(x) = x^2 - 3x + 1\) ist \(g'(x) = 2x - 3\). Da der Vorfaktor \(6x - 9\) das Dreifache von \(2x - 3\) ist, lässt sich die Funktion als \(f(x) = 3 \cdot (2x - 3) \cdot e^{x^2 - 3x + 1}\) schreiben. Die Stammfunktion lautet somit \(F(x) = 3 e^{x^2 - 3x + 1}\).

a) \(F(x) = 4 e^{4 - 0{,}5x}\) b) \(F(x) = 3 e^{x^2 - 3x + 1}\)

- Kannst du den ersten Bruch so umformen, dass im Zähler die Ableitung des Nenners (oder ein Vielfaches davon) steht? - Erinnere dich an die Ableitungsregel für die natürliche Logarithmusfunktion in Verbindung mit der Kettenregel. - Schreibe den zweiten Summanden als Potenz mit negativem Exponenten um, bevor du ihn integrierst.

1. Identifikation der Struktur des ersten Summanden: Die Ableitung des Nenners \(g(x) = x^2 - 3x + 10\) ist \(g'(x) = 2x - 3\). Der Zähler lässt sich als \(2 \cdot (2x - 3)\) schreiben, was der Form \(k \cdot \frac{g'(x)}{g(x)}\) entspricht. 2. Anwendung der logarithmischen Integrationsregel \(\int \frac{g'(x)}{g(x)} \, dx = \ln|g(x)|\): Es ergibt sich \(\int \frac{4x - 6}{x^2 - 3x + 10} \, dx = 2 \ln(x^2 - 3x + 10)\). Da der quadratische Ausdruck keine reellen Nullstellen hat und stets positiv ist, kann auf die Betragsstriche verzichtet werden. 3. Integration des zweiten Summanden mittels der Potenzregel für \(x^{-2}\): \(\int x^{-2} \, dx = -x^{-1} = -\frac{1}{x}\). 4. Zusammenführung der Teilergebnisse zur Stammfunktion \(F(x) = 2 \ln(x^2 - 3x + 10) - \frac{1}{x}\).

\(F(x) = 2 \ln(x^2 - 3x + 10) - \frac{1}{x}\)

- Welcher Teil des Produkts im Integranden wird einfacher, wenn du ihn ableitest? - Erinnere dich an die Regel für die partielle Integration bestimmter Integrale. - Achte bei der Bestimmung der Stammfunktion von \(e^{-x}\) auf die Kettenregel. - Setze die Grenzen sorgfältig in die zusammengesetzte Stammfunktion ein.

1. Festlegung der Funktionen für die partielle Integration: \(u(x) = 2x+1\) und \(v'(x) = e^{-x}\). 2. Bestimmung der Ableitung \(u'(x) = 2\) und einer Stammfunktion \(v(x) = -e^{-x}\). 3. Anwendung der Formel für die partielle Integration \(\int u \cdot v' = [u \cdot v] - \int u' \cdot v\): \(\int_0^1 (2x+1) \cdot e^{-x} \, dx = [-(2x+1)e^{-x}]_0^1 - \int_0^1 -2e^{-x} \, dx\). 4. Berechnung des verbleibenden Integrals: \(\int_0^1 2e^{-x} \, dx = [-2e^{-x}]_0^1\). 5. Zusammenfassen der Terme zur Stammfunktion: \([-(2x+1)e^{-x} - 2e^{-x}]_0^1 = [(-2x-3)e^{-x}]_0^1\). 6. Auswertung an den Grenzen: \((-2 \cdot 1 - 3)e^{-1} - (-2 \cdot 0 - 3)e^0 = -5e^{-1} + 3\). 7. Endergebnis: \(3 - \frac{5}{e}\).

\(3 - \frac{5}{e} \approx 1{,}1606\)

- Betrachte das Verhältnis zwischen dem Zähler und dem Nenner des Bruchs. - Was passiert, wenn du den Nenner ableitest? - Gibt es eine spezielle Regel für Integrale, bei denen die Ableitung des Nenners im Zähler steht? - Überlege, welche Funktion als Ableitung den Kehrwert mal die innere Ableitung liefert.

1. Untersuchung der Termstruktur: Der Nenner ist \(f(x) = 2x^2+1\). 2. Berechnung der Ableitung des Nenners: \(f'(x) = 4x\). 3. Feststellung, dass der Zähler exakt der Ableitung des Nenners entspricht (\(f'/f\)-Struktur). 4. Anwendung der Integrationsregel \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + C\). 5. Aufstellen der Stammfunktion für das bestimmte Integral: \([\ln(2x^2+1)]_0^1\). 6. Einsetzen der Grenzen: \(\ln(2 \cdot 1^2 + 1) - \ln(2 \cdot 0^2 + 1) = \ln(3) - \ln(1)\). 7. Da \(\ln(1) = 0\), ergibt sich der Wert \(\ln(3)\).

\(\ln(3) \approx 1{,}0986\)

- Überlege dir, welche Funktion durch Ableiten einfacher wird und welche Funktion beim Integrieren nicht wesentlich komplizierter wird. - Was passiert mit einer Potenz von \(x\), wenn du sie ableitest? Was passiert, wenn du sie integrierst? - Ziel der partiellen Integration ist es, ein Integral zu erhalten, das leichter zu lösen ist als das ursprüngliche.

1. Durchführung der partiellen Integration mit \(u(x) = e^{0{,}5x}\) und \(v'(x) = 2x+4\): Es folgt \(u'(x) = 0{,}5e^{0{,}5x}\) und \(v(x) = x^2+4x\). Das neue Integral lautet \(\int 0{,}5e^{0{,}5x}(x^2+4x) \, dx\). Der Grad des Polynoms steigt somit von 1 auf 2, was den Integranden komplexer macht. 2. Zweckmäßige Wahl für die Berechnung: \(u(x) = 2x+4\) und \(v'(x) = e^{0{,}5x}\). Daraus folgt \(u'(x) = 2\) und \(v(x) = 2e^{0{,}5x}\). 3. Anwendung der Formel: \(I = [(2x+4) \cdot 2e^{0{,}5x}]_0^1 - \int_0^1 2 \cdot 2e^{0{,}5x} \, dx\). 4. Vereinfachung: \(I = [4(x+2)e^{0{,}5x}]_0^1 - [8e^{0{,}5x}]_0^1\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(I = (12e^{0{,}5} - 8) - (8e^{0{,}5} - 8) = 4e^{0{,}5}\).

a) Der Grad des Polynoms im Integranden erhöht sich von 1 auf 2. b) \(I = 4\sqrt{e}\)

- Überlege dir, welchen Teil des Produkts du ableiten solltest, damit der Grad des Terms sinkt. - Du wirst das Verfahren zweimal anwenden müssen, um den quadratischen Term vollständig zu eliminieren. - Achte beim Integrieren von Sinus und Kosinus genau auf die Vorzeichen. - Erinnere dich an die Werte der trigonometrischen Funktionen an den Stellen \(0\) und \(\pi\).

1. Erste partielle Integration mit \(u(x) = x^2 - 2x\) und \(v'(x) = \sin(x)\): Es gilt \(u'(x) = 2x - 2\) und \(v(x) = -\cos(x)\). Daraus folgt: \(\int (x^2 - 2x) \sin(x) \, dx = -(x^2 - 2x) \cos(x) + \int (2x - 2) \cos(x) \, dx\). 2. Zweite partielle Integration für den neuen Integranden mit \(u_1(x) = 2x - 2\) und \(v_1'(x) = \cos(x)\): Es gilt \(u_1'(x) = 2\) und \(v_1(x) = \sin(x)\). Daraus folgt: \(\int (2x - 2) \cos(x) \, dx = (2x - 2) \sin(x) - \int 2 \sin(x) \, dx = (2x - 2) \sin(x) + 2 \cos(x)\). 3. Zusammenführung der Stammfunktion: \(F(x) = -(x^2 - 2x) \cos(x) + (2x - 2) \sin(x) + 2 \cos(x) = (2x - x^2 + 2) \cos(x) + (2x - 2) \sin(x)\). 4. Einsetzen der Grenzen \(0\) und \(\pi\): Obere Grenze: \(F(\pi) = (2\pi - \pi^2 + 2) \cdot (-1) + (2\pi - 2) \cdot 0 = \pi^2 - 2\pi - 2\). Untere Grenze: \(F(0) = (0 - 0 + 2) \cdot 1 + (0 - 2) \cdot 0 = 2\). Differenz: \((\pi^2 - 2\pi - 2) - 2 = \pi^2 - 2\pi - 4\).

\(\pi^2 - 2\pi - 4 \approx -0{,}412\)

- Welche der beiden Funktionen im Produkt wird beim Ableiten einfacher? - Erinnere dich an die Regel für das Integrieren von Produkten zweier Funktionen. - Welche Funktion eignet sich hier besser als Faktor, der abgeleitet wird?

1. Anwendung der partiellen Integration mit \(u(x) = \ln(x)\) und \(v'(x) = x\). 2. Bestimmung der Ableitung \(u'(x) = \frac{1}{x}\) und einer Stammfunktion \(v(x) = \frac{1}{2}x^2\). 3. Einsetzen in die Formel für partielle Integration: \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 \ln(x) - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{2}x^2 \ln(x) - \frac{1}{4}x^2\). 4. Auswertung an den Grenzen: \(F(e) = \frac{1}{2}e^2 \cdot 1 - \frac{1}{4}e^2 = \frac{1}{4}e^2\) und \(F(1) = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot 1^2 = -\frac{1}{4}\). 5. Berechnung der Differenz: \(\frac{1}{4}e^2 - (-\frac{1}{4}) = \frac{e^2 + 1}{4}\).

Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 \ln(x) - \frac{1}{4}x^2\) Integralwert: \(\frac{e^2 + 1}{4}\)

- Betrachte den Nenner des Bruchs und leite ihn im Kopf ab. Fällt dir eine Ähnlichkeit zum Zähler auf? - Welche bekannte Integrationsregel hilft dir bei Brüchen, bei denen der Zähler die Ableitung des Nenners ist? - Erinnere dich an die Eigenschaften des natürlichen Logarithmus, insbesondere an den Wert von \(\ln(e)\) und \(\ln(1)\). - Wie vereinfacht sich der Ausdruck unter dem Logarithmus, wenn du die obere Grenze einsetzt?

1. Identifikation der Struktur \(\frac{f'(x)}{f(x)}\): Die Ableitung des Nenners \(g(x) = x^2 + 1\) ist \(g'(x) = 2x\). 2. Anpassung des Zählers durch Multiplikation mit \(\frac{1}{2}\), sodass das Integral die Form \(\frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx\) annimmt. 3. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1)\). 4. Auswertung an der oberen Grenze: \(F(\sqrt{e-1}) = \frac{1}{2} \ln((\sqrt{e-1})^2 + 1) = \frac{1}{2} \ln(e-1+1) = \frac{1}{2} \ln(e) = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0{,}5\). 5. Auswertung an der unteren Grenze: \(F(0) = \frac{1}{2} \ln(0^2 + 1) = \frac{1}{2} \ln(1) = 0\). 6. Berechnung der Differenz: \(0{,}5 - 0 = 0{,}5\).

\(0{,}5\)

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Zähler und dem Nenner des Bruchs? - Gibt es eine spezielle Regel für Brüche, bei denen der Zähler die Ableitung des Nenners ist? - Achte beim Einsetzen der Integrationsgrenzen auf die Werte der trigonometrischen Funktionen im Bogenmaß. - Kannst du das Ergebnis mithilfe von Logarithmengesetzen zusammenfassen?

1. Untersuchung der Termstruktur: Der Zähler \(\cos(x)\) ist genau die Ableitung des Nenners \(u(x) = \sin(x) + 2\). Es liegt die Form \(\frac{u'(x)}{u(x)}\) vor. 2. Anwendung der Integrationsregel: Das unbestimmte Integral von \(\frac{u'(x)}{u(x)}\) ist \(\ln|u(x)| + C\). Da \(\sin(x) + 2 > 0\) für alle \(x\) ist, können die Betragsstriche entfallen. Eine Stammfunktion ist \(G(x) = \ln(\sin(x) + 2)\). 3. Einsetzen der Grenzen: \([ \ln(\sin(x) + 2) ]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \ln(\sin(\frac{\pi}{2}) + 2) - \ln(\sin(0) + 2)\). 4. Auswerten der Sinuswerte: Da \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\) und \(\sin(0) = 0\), ergibt sich \(\ln(1 + 2) - \ln(0 + 2) = \ln(3) - \ln(2)\). 5. Vereinfachung: Nach den Logarithmengesetzen ist dies \(\ln\left(\frac{3}{2}\right)\) bzw. \(\ln(1{,}5)\).

\(\ln(3) - \ln(2) = \ln(1{,}5)\)

- Untersuche das Verhältnis zwischen dem Zähler und dem Nenner des Bruchs. - Was ist die Ableitung des Nenners? - Gibt es eine spezielle Integrationsregel für Brüche, bei denen der Zähler die Ableitung des Nenners ist? - Achte auf den Definitionsbereich, um zu entscheiden, ob Betragsstriche beim Logarithmus notwendig sind.

1. Analyse der Struktur des Bruchs: Der Zähler \(x^2\) ist bis auf einen konstanten Faktor die Ableitung des Nenners \(g(x) = x^3 + 8\), da \(g'(x) = 3x^2\). 2. Anwendung der logarithmischen Integrationsregel \(\int \frac{g'(x)}{g(x)} \, dx = \ln|g(x)| + C\). 3. Anpassung des Zählers durch Multiplikation mit \(\frac{1}{3}\): \(f(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3x^2}{x^3 + 8}\). 4. Bildung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{3} \ln|x^3 + 8|\). 5. Berücksichtigung des Definitionsbereichs (\(x > -2 \Rightarrow x^3 + 8 > 0\)), wodurch die Betragsstriche entfallen können: \(F(x) = \frac{1}{3} \ln(x^3 + 8)\).

\(F(x) = \frac{1}{3} \ln(x^3 + 8)\) (oder jede andere Funktion \(F(x) = \frac{1}{3} \ln(x^3 + 8) + C\) mit \(C \in \mathbb{R}\))

- Fällt dir eine Beziehung zwischen dem ersten Faktor und dem Ausdruck in der Klammer auf? - Wie leitest du eine Funktion der Form \((g(x))^n\) ab? Kannst du das hier rückwärts anwenden? - Versuche, den inneren Teil der Klammer als eine neue Variable zu betrachten.

1. Identifikation der Struktur: Der Integrand hat die Form \(g'(x) \cdot (g(x))^n\) mit \(g(x) = x^3+x+1\), \(g'(x) = 3x^2+1\) und \(n = 2\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: Nach der Potenzregel für verkettete Funktionen (oder durch Substitution \(u = x^3+x+1\)) ergibt sich \(F(x) = \frac{1}{3}(x^3+x+1)^3\). 3. Berechnung des Integrals: Einsetzen der Grenzen in die Stammfunktion liefert \(F(1) - F(0) = \frac{1}{3}(1^3+1+1)^3 - \frac{1}{3}(0^3+0+1)^3 = \frac{1}{3} \cdot 3^3 - \frac{1}{3} \cdot 1^3 = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}\).

Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{3}(x^3+x+1)^3\) Integralwert: \(\frac{26}{3} \approx 8{,}67\)

- Überlege, welcher Teil der Funktion beim Ableiten einfacher wird. - Erinnere dich an die Regel für die partielle Integration. - Achte beim Integrieren der Winkelfunktion auf die lineare Kettenregel (innere Ableitung). - Pass besonders auf die Vorzeichen beim Zusammenfassen der Teilintegrale auf.

Die Stammfunktion wird mittels partieller Integration berechnet. Wir wählen \(u = 2 - x\) und \(v' = \sin(2x)\). Daraus ergeben sich die Ableitung \(u' = -1\) und die Stammfunktion \(v = -0{,}5 \cos(2x)\). Nach der Formel \(\int u v' \, dx = uv - \int u'v \, dx\) folgt: 1. Einsetzen der Terme: \(F(x) = (2 - x) \cdot (-0{,}5 \cos(2x)) - \int (-1) \cdot (-0{,}5 \cos(2x)) \, dx\) 2. Vereinfachen des Produkts: \(F(x) = (0{,}5x - 1) \cos(2x) - 0{,}5 \int \cos(2x) \, dx\) 3. Integration des verbleibenden Terms: \(\int 0{,}5 \cos(2x) \, dx = 0{,}25 \sin(2x)\) 4. Zusammenführen der Ergebnisse: \(F(x) = (0{,}5x - 1) \cos(2x) - 0{,}25 \sin(2x)\)

\(F(x) = (0{,}5x - 1) \cos(2x) - 0{,}25 \sin(2x)\)

- Fällt dir eine Beziehung zwischen dem Ausdruck unter der Wurzel und dem Faktor davor auf? - Was passiert, wenn du den Term innerhalb der Wurzel ableitest? - Versuche eine geeignete Ersetzung (Substitution), um den Wurzelterm zu vereinfachen. - Denke daran, am Ende die ursprüngliche Variable wieder einzusetzen.

Zur Lösung verwenden wir das Verfahren der Substitution. Da die Ableitung des Radikanden \(x^3 + 1\) bis auf einen konstanten Faktor dem Faktor \(x^2\) entspricht, setzen wir \(u = x^3 + 1\). 1. Bestimmung des Differentials: \(\frac{du}{dx} = 3x^2\), also \(x^2 \, dx = \frac{1}{3} \, du\). 2. Transformation des Integrals: \(\int x^2 \sqrt{x^3 + 1} \, dx = \int \frac{1}{3} \sqrt{u} \, du\). 3. Integration nach \(u\): \(\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} \, du = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}}\). 4. Rücksubstitution: Ersetzen von \(u\) durch \(x^3 + 1\) ergibt \(F(x) = \frac{2}{9} (x^3 + 1)^{\frac{3}{2}}\). Das Ergebnis lässt sich auch als \(F(x) = \frac{2}{9} \sqrt{(x^3 + 1)^3}\) schreiben.

\(F(x) = \frac{2}{9} \sqrt{(x^3 + 1)^3}\)

- Betrachte den Zusammenhang zwischen dem Ausdruck in der Klammer und dem Faktor vor der Klammer. - Fällt dir eine Funktion auf, deren Ableitung (bis auf einen konstanten Faktor) bereits als Faktor im Integranden steht? - Wie ändern sich die Grenzen des Integrals, wenn du eine neue Variable einführst? - Du kannst das Ergebnis deiner Stammfunktion durch Ableiten mit der Kettenregel überprüfen.

1. Substitution von \(u = x^3 + 1\). Damit ergibt sich für das Differential \(du = 3x^2 dx\), woraus \(12x^2 dx = 4 du\) folgt. 2. Bestimmung der neuen Integrationsgrenzen: Für \(x = 0\) ist \(u = 1\); für \(x = 1\) ist \(u = 2\). 3. Das Integral transformiert sich zu \(\int_1^2 4u^3 du\). 4. Eine Stammfunktion des substituierten Terms ist \(u^4\). Rücksubstituiert ergibt dies für den ursprünglichen Integranden die Stammfunktion \(F(x) = (x^3+1)^4\). 5. Berechnung des Integralwertes: \([u^4]_1^2 = 2^4 - 1^4 = 16 - 1 = 15\).

Stammfunktion: \(F(x) = (x^3+1)^4\) Integralwert: \(15\)

- Untersuche, ob der Zähler des Bruchs etwas mit der Ableitung des Terms unter der Wurzel zu tun hat. - Schreibe die Wurzel im Nenner als Potenz mit negativem Exponenten um, um die Integration zu erleichtern. - Vergiss nicht, beim Berechnen des bestimmten Integrals entweder die Grenzen anzupassen oder vor dem Einsetzen der ursprünglichen Grenzen die Rücksubstitution durchzuführen.

1. Anwendung der Substitution \(u = x^2 + 9\). Das Differential lautet \(du = 2x dx\), was zu \(x dx = \frac{1}{2} du\) führt. 2. Anpassung der Grenzen: Die untere Grenze \(x = 0\) wird zu \(u = 9\), die obere Grenze \(x = 4\) wird zu \(u = 25\). 3. Das Integral lautet nun \(\int_9^{25} \frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} du\). 4. Eine Stammfunktion in Abhängigkeit von \(u\) ist \(u^{\frac{1}{2}} = \sqrt{u}\). Durch Rücksubstitution erhält man eine Stammfunktion für \(f(x)\): \(F(x) = \sqrt{x^2+9}\). 5. Auswertung des bestimmten Integrals: \([\sqrt{u}]_9^{25} = \sqrt{25} - \sqrt{9} = 5 - 3 = 2\).

Stammfunktion: \(F(x) = \sqrt{x^2+9}\) Integralwert: \(2\)

- Untersuche den Zusammenhang zwischen dem Nenner und dem Zähler des Bruchs. - Was passiert, wenn du den Nenner ableitest? Wie unterscheidet sich dieses Ergebnis vom Zähler? - Erinnere dich an die Integrationsregel für Funktionen der Form \( \frac{f'(x)}{f(x)} \). - Nutze am Ende Logarithmengesetze, um das Ergebnis so weit wie möglich zusammenzufassen.

1. Identifikation der Struktur: Der Nenner ist \( g(x) = x^2 + 2 \) mit der Ableitung \( g'(x) = 2x \). Der Zähler \( x \) lässt sich als \( \frac{1}{2} \cdot g'(x) \) schreiben. 2. Anwendung der logarithmischen Integrationsregel: Eine Stammfunktion ist \( F(x) = \frac{1}{2} \ln|x^2 + 2| \). 3. Einsetzen der Integrationsgrenzen: \( F(2) - F(0) = \frac{1}{2} \ln(2^2 + 2) - \frac{1}{2} \ln(0^2 + 2) \). 4. Berechnung der Werte: \( \frac{1}{2} \ln(6) - \frac{1}{2} \ln(2) = \frac{1}{2} (\ln(6) - \ln(2)) \). 5. Vereinfachung mit Logarithmengesetzen: \( \frac{1}{2} \ln\left(\frac{6}{2}\right) = \frac{1}{2} \ln(3) \).

\( \frac{1}{2} \ln(3) \)

- Überprüfe zuerst, ob die Funktion im angegebenen Intervall Nullstellen besitzt oder das Vorzeichen wechselt. - Betrachte die Ableitung des Nenners. Fällt dir eine Ähnlichkeit zum Zähler auf? - Welche Stammfunktion gehört zu einem Bruch, bei dem der Zähler die Ableitung des Nenners ist? - Setze die oberen und unteren Grenzen in deine Stammfunktion ein und vereinfache den Term.

1. Da \( \cos(x) \geq 0 \) und \( 2 + \sin(x) > 0 \) für alle \( x \in [0; \frac{\pi}{2}] \), verläuft der Graph im betrachteten Intervall oberhalb der \( x \)-Achse. Der Flächeninhalt entspricht dem Integral \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(x)}{2 + \sin(x)} \, dx \). 2. Die Ableitung des Nenners \( g(x) = 2 + \sin(x) \) ist \( g'(x) = \cos(x) \), was exakt dem Zähler entspricht. 3. Damit ist eine Stammfunktion \( F(x) = \ln|2 + \sin(x)| \). 4. Einsetzen der Grenzen: \( [\ln(2 + \sin(x))]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \ln(2 + \sin(\frac{\pi}{2})) - \ln(2 + \sin(0)) \). 5. Auswertung der trigonometrischen Werte (\( \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \); \( \sin(0) = 0 \)): \( \ln(2 + 1) - \ln(2 + 0) = \ln(3) - \ln(2) \). 6. Ergebnis als ein Logarithmus: \( \ln(\frac{3}{2}) = \ln(1{,}5) \).

\(\ln\left(\frac{3}{2}\right)\,\text{FE}\)

- Untersuche, ob der Funktionsterm eine innere und eine äußere Funktion besitzt. - Prüfe, ob ein Faktor im Produkt (fast) der Ableitung der inneren Funktion entspricht. - Bei Brüchen lohnt es sich zu testen, ob der Zähler die Ableitung des Nenners ist. - Manchmal hilft ein kleiner Rechentrick, um den Term in eine Form zu bringen, die man leichter integrieren kann.

1. Teilaufgabe a: Anwendung der linearen Substitutionsregel mit \(u = 2x + 7\) und \(u' = 2\). Division durch die innere Ableitung ergibt \(F(x) = 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}(2x + 7)^4 = (2x + 7)^4\). 2. Teilaufgabe b: Erkennen der Struktur \(u'(x) \cdot (u(x))^n\) mit \(u(x) = x^3 - 6x + 1\) und \(u'(x) = 3x^2 - 6\). Integration gemäß der Potenzregel für verkettete Funktionen ergibt \(F(x) = \frac{1}{6}(x^3 - 6x + 1)^6\). 3. Teilaufgabe c: Erkennen der logarithmischen Integrationsregel \(\frac{u'(x)}{u(x)}\) mit \(u(x) = x^2 + 5x - 2\) und \(u'(x) = 2x + 5\). Dies führt auf \(F(x) = \ln|x^2 + 5x - 2|\). 4. Teilaufgabe d: Umformung des Terms zu \(f(x) = (x + 1 - 1)(x + 1)^4 = (x + 1)^5 - (x + 1)^4\). Integration der einzelnen Potenzen mittels linearer Substitution ergibt \(F(x) = \frac{1}{6}(x + 1)^6 - \frac{1}{5}(x + 1)^5\).

a) \(F(x) = (2x + 7)^4\) b) \(F(x) = \frac{1}{6}(x^3 - 6x + 1)^6\) c) \(F(x) = \ln|x^2 + 5x - 2|\) d) \(F(x) = \frac{1}{6}(x + 1)^6 - \frac{1}{5}(x + 1)^5\)

- Achte bei Exponentialfunktionen besonders auf die Ableitung des Exponenten. - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Sinus und Kosinus und wende sie rückwärts an. - Kannst du den Bruch als Potenz mit negativem Exponenten schreiben? - Überprüfe dein Ergebnis immer durch Ableiten der gefundenen Stammfunktion.

1. Teilaufgabe a: Lineare Substitution im Exponenten mit \(u = 3 - 2x\). Division der Konstanten durch die innere Ableitung \(-2\) ergibt \(F(x) = \frac{-6}{-2}e^{3 - 2x} = 3e^{3 - 2x}\). 2. Teilaufgabe b: Struktur \(k \cdot u'(x) \cdot e^{u(x)}\) mit \(u(x) = x^2 + 4x\) und \(u'(x) = 2x + 4\). Da \((x + 2) = \frac{1}{2}u'(x)\), folgt \(F(x) = \frac{1}{2}e^{x^2 + 4x}\). 3. Teilaufgabe c: Lineare Substitution mit \(u = 5x - \pi\). Unter Berücksichtigung der Stammfunktion des Sinus \((-\cos)\) und Division durch \(u' = 5\) ergibt sich \(F(x) = 5 \cdot \frac{1}{5}(-\cos(5x - \pi)) = -\cos(5x - \pi)\). 4. Teilaufgabe d: Umschreiben als \(f(x) = 6x \cdot (x^2 + 4)^{-2}\). Mit \(u(x) = x^2 + 4\) ist \(u'(x) = 2x\), also \(f(x) = 3 \cdot u'(x) \cdot (u(x))^{-2}\). Integration liefert \(F(x) = 3 \cdot \frac{1}{-1}(x^2 + 4)^{-1} = -\frac{3}{x^2 + 4}\).

a) \(F(x) = 3e^{3 - 2x}\) b) \(F(x) = \frac{1}{2}e^{x^2 + 4x}\) c) \(F(x) = -\cos(5x - \pi)\) d) \(F(x) = -\frac{3}{x^2 + 4}\)

- Siehst du eine Beziehung zwischen dem Term unter der Wurzel und dem Faktor vor der Wurzel? - Erinnere dich an die Substitutionsregel: Wenn ein Teil der Funktion die Ableitung eines anderen Teils ist, vereinfacht das die Integration erheblich. - Vergiss am Ende nicht, die Integrationskonstante \(C\) so zu wählen, dass die Bedingung für den Punkt \(P\) erfüllt ist. - Du kannst die Wurzel auch als Potenz mit dem Exponenten \(\frac{1}{2}\) schreiben.

1. Zur Integration von \(f(x) = 2x \cdot \sqrt{x^2 + 9}\) bietet sich die Substitution an. Setze \(u = x^2 + 9\), woraus durch Ableiten \(\frac{du}{dx} = 2x\) bzw. \(du = 2x \, dx\) folgt. 2. Einsetzen in das Integral: \(\int \sqrt{u} \, du = \int u^{\frac{1}{2}} \, du = \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C\). 3. Rücksubstitution führt auf die allgemeine Stammfunktion \(F(x) = \frac{2}{3}(x^2 + 9)^{\frac{3}{2}} + C\), was auch als \(F(x) = \frac{2}{3}\sqrt{(x^2 + 9)^3} + C\) geschrieben werden kann. 4. Bestimmung von \(C\) mithilfe des Punktes \(P(0 \mid 20)\): \(F(0) = \frac{2}{3}(0^2 + 9)^{\frac{3}{2}} + C = 20\). 5. Berechnung des Terms: \(9^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27\). Damit folgt \(\frac{2}{3} \cdot 27 + C = 20\), also \(18 + C = 20\), woraus \(C = 2\) resultiert. 6. Die gesuchte Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{2}{3}(x^2 + 9)^{\frac{3}{2}} + 2\).

\(F(x) = \frac{2}{3}(x^2 + 9)^{\frac{3}{2}} + 2\)

- Untersuche den Exponenten der e-Funktion und den Faktor davor. - Hängt der Faktor vor der e-Funktion mit der Ableitung des Exponenten zusammen? - Wie lautet die Ableitung einer verketteten Funktion mit der e-Funktion als äußere Funktion? - Achte beim Einsetzen der Grenzen auf die Werte der trigonometrischen Funktionen an den Stellen \(0\) und \(\pi\).

1. Identifikation der Struktur: Der Integrand hat die Form \(f'(x) \cdot e^{f(x)}\) mit einer kleinen Anpassung des Vorzeichens. Mit \(f(x) = \cos(x)\) ist \(f'(x) = -\sin(x)\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: Da die Ableitung von \(e^{\cos(x)}\) gleich \(-\sin(x) \cdot e^{\cos(x)}\) ist, lautet eine Stammfunktion \(F(x) = -e^{\cos(x)}\). 3. Auswertung an den Grenzen: Obere Grenze: \(F(\pi) = -e^{\cos(\pi)} = -e^{-1} = -\frac{1}{e}\). Untere Grenze: \(F(0) = -e^{\cos(0)} = -e^{1} = -e\). 4. Differenzbildung: \((-\frac{1}{e}) - (-e) = e - \frac{1}{e}\).

\(e - \frac{1}{e}\) (oder \(\frac{e^2 - 1}{e}\))

- Erkennst du in den Termen Zusammenhänge zwischen einzelnen Teilen und deren Ableitungen? - Suche nach der Struktur \(\frac{g'(x)}{g(x)}\). Was ist die zugehörige Stammfunktion? - Überprüfe durch Ableiten mit der Kettenregel, ob du wieder bei \(f(x)\) landest.

1. Fall A: Der Zähler \(x\) ist fast die Ableitung des Nenners (\(2x\)). Es fehlt ein Faktor \(0{,}5\), um die Form \(\frac{g'(x)}{g(x)}\) zu erhalten. Die vorgeschlagene Stammfunktion ergibt abgeleitet \(\frac{2x}{x^2+1}\). Korrektur: \(F(x) = 0{,}5 \ln(x^2+1)\). 2. Fall B: Der Term ist korrekt. Es liegt die Form \(g'(x) \cdot e^{g(x)}\) vor, deren Stammfunktion \(e^{g(x)}\) ist. 3. Fall C: Hier wurde fälschlicherweise eine Art Produktregel für die Integration vermutet. Da der Zähler genau die Ableitung des Nenners ist (\(g'(x) = e^x\)), gilt die Regel \(\int \frac{g'(x)}{g(x)} dx = \ln|g(x)|\). Korrektur: \(F(x) = \ln(e^x+2)\). 4. Fall D: Der Term ist korrekt. Nach der Regel für die Integration von \(g'(x) \cdot (g(x))^n\) mit \(g(x) = \sin(x)\) und \(n=1\) ergibt sich \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sin^2(x) = \sin^2(x)\). Die Probe durch Ableiten bestätigt dies: \((\sin^2(x))' = 2\sin(x)\cos(x)\).

A: Fehler: Faktor \(0{,}5\) fehlt, da die Ableitung des Nenners \(2x\) ist. Korrekt: \(F(x) = 0{,}5\ln(x^2+1)\). B: Korrekt. C: Fehler: Falsche Struktur unterstellt; Zähler ist bereits Ableitung des Nenners. Korrekt: \(F(x) = \ln(e^x+2)\). D: Korrekt.

- Betrachte den Exponenten der e-Funktion. Wie sieht seine Ableitung aus? - Findest du einen Teil des Integranden im restlichen Ausdruck wieder (eventuell bis auf einen Vorzeichenfaktor)? - Denke daran, beim Substituieren auch die Integrationsgrenzen anzupassen. - Welche Ableitungsregel wurde hier vermutlich rückwärts angewendet?

1. Wahl der Substitution: \(u = \frac{1}{x}\). 2. Berechnung des Differentials: \(\frac{du}{dx} = -\frac{1}{x^2}\), woraus folgt \(-\,du = \frac{1}{x^2} \, dx\). 3. Anpassung der Integrationsgrenzen: Für \(x = 1\) ist \(u = 1\); für \(x = 2\) ist \(u = \frac{1}{2}\). 4. Transformation des Integrals: \(\int_{1}^{1/2} -e^u \, du\). 5. Umkehrung der Grenzen zur Beseitigung des Minuszeichens: \(\int_{1/2}^{1} e^u \, du\). 6. Berechnung des bestimmten Integrals: \([e^u]_{1/2}^{1} = e^1 - e^{1/2} = e - \sqrt{e}\).

\(e - \sqrt{e}\)

- Achte bei Teilaufgabe a) auf den Exponenten der e-Funktion und dessen Ableitung. Fehlt dort vielleicht nur ein konstanter Faktor? - Überlege dir für die trigonometrischen Terme in b) einzeln die Stammfunktionen. - Was musst du beim Integrieren von \(\cos(k \cdot x)\) beachten? - Setze die Grenzen sorgfältig ein und achte auf die Vorzeichen, besonders bei den Werten der Winkelfunktionen.

1. Teilaufgabe a): Der Integrand ist fast die Ableitung einer verketteten e-Funktion. Mit der Substitution \(u = -\frac{1}{2}x^2\) (oder Erkennen der Struktur \(f'(x) \cdot e^{f(x)}\)) ergibt sich die Stammfunktion \(F(x) = -e^{-\frac{1}{2}x^2}\). Die Berechnung liefert \(-e^{-\frac{1}{2} \cdot 2^2} - (-e^0) = -e^{-2} + 1 = 1 - \frac{1}{e^2}\). 2. Teilaufgabe b): Die Integration erfolgt gliedweise. Die Stammfunktion von \(\frac{1}{2}\sin(x)\) ist \(-\frac{1}{2}\cos(x)\). Die Stammfunktion von \(\cos(\frac{1}{2}x)\) ist \(2\sin(\frac{1}{2}x)\) (lineare Substitution). Einsetzen der Grenzen: \(\left[-\frac{1}{2}\cos(x) + 2\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\right]_0^{\pi} = \left(-\frac{1}{2}\cos(\pi) + 2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) - \left(-\frac{1}{2}\cos(0) + 2\sin(0)\right) = \left(\frac{1}{2} + 2\right) - \left(-\frac{1}{2} + 0\right) = 2{,}5 + 0{,}5 = 3\).

a) \(1 - e^{-2} \approx 0{,}865\) b) \(3\)

- Hilft es dir, das Produkt in Aufgabe 1 zuerst aufzulösen? - Bei Aufgabe 2 steht eine lineare Funktion im Nenner. Welche Regel für verkettete Funktionen mit innerer linearer Funktion kennst du? - Vergleiche in Aufgabe 4 die Ableitung des Nenners mit dem Term im Zähler. - Überlege, ob du eine Funktion kennst, deren Ableitung ein Produkt aus \(x\) und einer trigonometrischen Funktion ist.

1. Durch Ausmultiplizieren erhält man \(\int_{0}^{2} (x^2 - 1) \, dx\). Anwendung der Potenzregel: \([\frac{1}{3}x^3 - x]_{0}^{2} = (\frac{8}{3} - 2) - 0 = \frac{2}{3}\). 2. Lineare Substitution führt auf eine logarithmische Stammfunktion: \([\frac{1}{2} \ln|2x - 3|]_{2}^{5} = \frac{1}{2}(\ln(7) - \ln(1)) = 0{,}5 \ln(7)\). 3. Nicht mit den genannten Regeln berechenbar (erfordert partielle Integration). 4. Der Zähler ist genau die Ableitung des Nenners (\(f'/f\)-Regel). Stammfunktion ist \(\ln|x^2 + 3x|\). Berechnung: \([\ln(x^2 + 3x)]_{1}^{2} = \ln(4+6) - \ln(1+3) = \ln(10) - \ln(4) = \ln(2{,}5)\). 5. Nicht mit den genannten Regeln berechenbar (erfordert spezielle Substitutionen oder Integraltafeln).

1. \(\frac{2}{3}\) 2. \(0{,}5 \ln(7)\) 3. Nicht mit den genannten Regeln berechenbar. 4. \(\ln(2{,}5)\) 5. Nicht mit den genannten Regeln berechenbar.

- Achte bei Teil a) auf den Exponenten und dessen Ableitung. Findest du diese Ableitung (bis auf einen konstanten Faktor) als Faktor in der Funktion wieder? - Welche Kettenregel-Struktur könnte hier vorliegen? - In Teil b) hilft es, den Bruch als Produkt zu schreiben: \(\frac{1}{x} \cdot (\ln(x))^2\). Fällt dir eine Beziehung zwischen den beiden Faktoren auf? - Gibt es eine Regel für Funktionen der Form \(f(x) = (u(x))^n \cdot u'(x)\)?

1. Teilaufgabe a) folgt der Struktur \(g'(x) \cdot e^{g(x)}\). Die Ableitung des Exponenten \(g(x) = 1 - x^2\) ist \(g'(x) = -2x\). Der vorhandene Faktor \(x\) entspricht \(-\frac{1}{2} \cdot (-2x)\). Damit ist eine Stammfunktion \(F(x) = -\frac{1}{2} \cdot e^{1 - x^2}\). 2. Teilaufgabe b) weist die Struktur \((u(x))^n \cdot u'(x)\) auf, wobei \(u(x) = \ln(x)\) und \(u'(x) = \frac{1}{x}\) ist. Mit \(n = 2\) ergibt sich die Stammfunktion nach der Potenzregel für Funktionen: \(H(x) = \frac{1}{n+1} (u(x))^{n+1} = \frac{1}{3} (\ln(x))^3\).

a) \(F(x) = -\frac{1}{2} e^{1 - x^2}\) b) \(H(x) = \frac{1}{3} (\ln(x))^3\)

- Kannst du die Methode der partiellen Integration mehrfach hintereinander anwenden? - Wie lässt sich die Potenz im Logarithmus durch Ableiten vereinfachen? - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen. - Überlege dir, welche Werte die Terme an der unteren Grenze 1 annehmen.

1. Erste partielle Integration mit \(u(t) = (\ln(t))^2\) und \(v'(t) = 1\). 2. Berechnung von \(u'(t) = 2 \ln(t) \cdot \frac{1}{t}\) und \(v(t) = t\). 3. Anwendung der Formel: \(\int (\ln(t))^2 \, dt = t (\ln(t))^2 - \int 2 \ln(t) \, dt\). 4. Zweite partielle Integration für das verbleibende Integral \(\int 2 \ln(t) \, dt\) mit \(u(t) = \ln(t)\) und \(v'(t) = 2\), was zu \(2t \ln(t) - 2t\) führt. 5. Zusammenführen der Ergebnisse: Eine Stammfunktion ist \(F(t) = t (\ln(t))^2 - 2t \ln(t) + 2t\). 6. Auswertung der Integralfunktion: \(I_1(x) = [t (\ln(t))^2 - 2t \ln(t) + 2t]_1^x = (x (\ln(x))^2 - 2x \ln(x) + 2x) - (1 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 2)\). 7. Endergebnis: \(I_1(x) = x (\ln(x))^2 - 2x \ln(x) + 2x - 2\).

\(I_1(x) = x (\ln(x))^2 - 2x \ln(x) + 2x - 2\)

- Manchmal muss man die partielle Integration mehrfach anwenden, bevor sich ein Muster ergibt. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du das zweite Mal integrierst. - Wenn das ursprüngliche Integral wieder erscheint, kannst du es durch Addition oder Subtraktion auf die linke Seite der Gleichung bringen. - Was sind die Werte von \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\) an den Stellen \(0\) und \(\pi\)?

1. Erste partielle Integration mit \(u = \sin(x)\) und \(v' = e^x\): \(\int_{0}^{\pi} e^x \sin(x) \, dx = [e^x \sin(x)]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} e^x \cos(x) \, dx\). 2. Auswertung des Randterms: \(e^\pi \sin(\pi) - e^0 \sin(0) = 0 - 0 = 0\). Das Integral vereinfacht sich zu \(I = - \int_{0}^{\pi} e^x \cos(x) \, dx\). 3. Zweite partielle Integration für das verbleibende Integral mit \(u = \cos(x)\) und \(v' = e^x\): \(\int_{0}^{\pi} e^x \cos(x) \, dx = [e^x \cos(x)]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} e^x (-\sin(x)) \, dx\). 4. Einsetzen in die Gleichung aus Schritt 2: \(I = -([e^x \cos(x)]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} e^x \sin(x) \, dx)\). 5. Zusammenführen des gesuchten Integrals \(I\): \(I = -[e^x \cos(x)]_{0}^{\pi} - I \Rightarrow 2I = -[e^x \cos(x)]_{0}^{\pi}\). 6. Auswerten der Grenzen: \(-[e^\pi \cos(\pi) - e^0 \cos(0)] = -[e^\pi \cdot (-1) - 1 \cdot 1] = -(-e^\pi - 1) = e^\pi + 1\). 7. Finale Lösung durch Division: \(I = \frac{e^\pi + 1}{2}\).

\(\frac{e^\pi + 1}{2}\)

- Überprüfe, ob ein Teil des Integranden die Ableitung eines anderen Teils (z. B. einer inneren Funktion) ist. - Was passiert mit den Integrationsgrenzen, wenn du eine neue Variable einführst? - Erinnere dich an die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion. - Gibt es eine Struktur der Form \(f'(x) \cdot g(f(x))\)?

1. In Teilaufgabe a) wird die Substitution \(u = x^2\) mit \(du = 2x \, dx\) durchgeführt, woraus \(x \, dx = \frac{1}{2} \, du\) folgt. Die Integrationsgrenzen ändern sich von \(x=0\) zu \(u=0\) und von \(x=\sqrt{\pi}\) zu \(u=\pi\). Das Integral wird zu \(\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \sin(u) \, du = \frac{1}{2} [-\cos(u)]_{0}^{\pi}\). Auswertung: \(\frac{1}{2} (-\cos(\pi) - (-\cos(0))) = \frac{1}{2} (1 + 1) = 1\). 2. In Teilaufgabe b) wird erkannt, dass der Zähler die Ableitung des Nenners ist (\(f(x) = e^x + 1 \Rightarrow f'(x) = e^x\)). Gemäß der Regel \(\int \frac{f'}{f} = \ln|f|\) ist die Stammfunktion \(F(x) = \ln(e^x + 1)\). Einsetzen der Grenzen ergibt \(\ln(e^1 + 1) - \ln(e^0 + 1) = \ln(e + 1) - \ln(2) = \ln(\frac{e + 1}{2})\).

a) \(1\) b) \(\ln(\frac{e + 1}{2})\)

- Kannst du im ersten Summanden einen Teil entdecken, der (bis auf einen konstanten Faktor) die Ableitung des Exponenten ist? - Überlege, wie man Produkte von Funktionen ableitet. - Schreibe die Wurzelfunktion als Potenz um, um die Potenzregel anzuwenden. - Welche Integrationsregel ist hilfreich, wenn im Integranden eine Funktion und ihre innere Ableitung vorkommen?

1. Für \(x > \frac{2}{3}\) erfolgt die Ableitung des ersten Summanden mit der Produkt- und Kettenregel: \(1 \cdot e^{-x^2} + x \cdot e^{-x^2} \cdot (-2x) = (1 - 2x^2)e^{-x^2}\). Der zweite Summand \((3x-2)^{0{,}5}\) wird mit der Kettenregel zu \(\frac{1}{2}(3x-2)^{-0{,}5} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x-2}}\) abgeleitet. Somit ist \(f'(x) = (1 - 2x^2)e^{-x^2} + \frac{3}{2\sqrt{3x - 2}}\) für \(x > \frac{2}{3}\). 2. Für die Stammfunktion \(F(x)\) wird im ersten Summanden die Substitution \(u = -x^2\) mit \(du = -2x \, dx\) verwendet, was auf \(-\frac{1}{2}e^{-x^2}\) führt. Der zweite Summand wird als Potenz \((3x-2)^{1/2}\) aufgefasst und mittels linearer Substitution integriert: \(\frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-2)^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{9}\sqrt{(3x-2)^3}\). Somit ist \(F(x) = -\frac{1}{2}e^{-x^2} + \frac{2}{9}\sqrt{(3x - 2)^3}\) für \(x \ge \frac{2}{3}\).

\(f'(x) = (1 - 2x^2)e^{-x^2} + \frac{3}{2\sqrt{3x - 2}}\) für \(x > \frac{2}{3}\) \(F(x) = -\frac{1}{2}e^{-x^2} + \frac{2}{9}\sqrt{(3x - 2)^3}\) für \(x \ge \frac{2}{3}\)

- Erinnere dich an das Pascalsche Dreieck, um Potenzen von Binomen schneller auszumultiplizieren. - Achte bei der linearen Substitution besonders auf das Vorzeichen des Faktors vor dem \(x\). - Was passiert mit einer negativen Zahl, wenn sie mit einem ungeraden Exponenten potenziert wird? - Überprüfe, ob du beim Integrieren der einzelnen Glieder die Exponenten und die zugehörigen Nenner korrekt angepasst hast.

1. Ausmultiplizieren mittels des Pascalschen Dreiecks oder binomischer Formeln: \((1 - 2x)^4 = 1 - 4(2x) + 6(2x)^2 - 4(2x)^3 + (2x)^4 = 1 - 8x + 24x^2 - 32x^3 + 16x^4\). 2. Gliedweise Integration: \(\int_0^1 (1 - 8x + 24x^2 - 32x^3 + 16x^4) \, dx = [x - 4x^2 + 8x^3 - 8x^4 + 3{,}2x^5]_0^1\). 3. Berechnung des Werts: \((1 - 4 + 8 - 8 + 3{,}2) - 0 = 0{,}2\). 4. Anwendung der linearen Substitution: Die innere Funktion ist \(g(x) = 1 - 2x\) mit \(a = -2\). Die Stammfunktion lautet \(\Phi(x) = \frac{1}{-2} \cdot \frac{1}{5}(1 - 2x)^5 = -0{,}1(1 - 2x)^5\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(-0{,}1 \cdot [(1 - 2 \cdot 1)^5 - (1 - 2 \cdot 0)^5] = -0{,}1 \cdot ((-1)^5 - 1^5) = -0{,}1 \cdot (-1 - 1) = -0{,}1 \cdot (-2) = 0{,}2\). Beide Methoden bestätigen den Wert \(0{,}2\).

\(0{,}2\)

- Überlege dir, wie sich die innere Ableitung einer linearen Funktion beim Integrieren auf den Vorfaktor auswirkt. - Schreibe die Wurzel im Nenner als Potenz mit negativem, rationalem Exponenten um. - Welche Werte nehmen die Sinus- und Kosinusfunktionen an den Stellen \(0\) und \(\pi\) an? - Behandle die beiden Summanden getrennt voneinander.

1. Stammfunktion für \(\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right)\): Unter Verwendung der linearen Kettenregel (Division durch die innere Ableitung \(\frac{\pi}{4}\)) erhält man \(F_1(x) = -\frac{4}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{4}x\right)\). 2. Auswertung an den Grenzen: \(F_1(4) - F_1(0) = -\frac{4}{\pi} \cos(\pi) - \left(-\frac{4}{\pi} \cos(0)\right) = \frac{4}{\pi} + \frac{4}{\pi} = \frac{8}{\pi}\). 3. Stammfunktion für \((2x+1)^{-\frac{1}{2}}\): Die lineare Kettenregel ergibt \(F_2(x) = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} (2x+1)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2x+1}\). 4. Auswertung an den Grenzen: \(F_2(4) - F_2(0) = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2\). 5. Addition der Teilergebnisse: \(\frac{8}{\pi} + 2\).

\(\frac{8}{\pi} + 2\)

- Hilft es dir, den Klammerausdruck in a) zuerst auszumultiplizieren? - Schau dir in b) den Zähler und den Nenner genau an. Gibt es einen Zusammenhang zwischen den Ableitungen? - Erinnerst du dich an die Regel für Brüche, bei denen der Zähler (fast) die Ableitung des Nenners ist?

1. In Teilaufgabe a) wird der Term zunächst mithilfe der ersten binomischen Formel zu \(f(x) = (e^{2x})^2 + 2 \cdot e^{2x} \cdot 1 + 1^2 = e^{4x} + 2e^{2x} + 1\) umgeformt. Die gliedweise Integration unter Berücksichtigung der linearen Innenteile in den Exponenten ergibt \(F(x) = \frac{1}{4} e^{4x} + e^{2x} + x\). 2. In Teilaufgabe b) liegt die Struktur \(\frac{g'(x)}{g(x)}\) vor, wenn man einen konstanten Faktor berücksichtigt. Die Ableitung des Nenners \(g(x) = e^{2x} + 3\) ist \(g'(x) = 2e^{2x}\). Da der Zähler \(4e^{2x} = 2 \cdot (2e^{2x})\) ist, folgt mit der logarithmischen Integrationsregel \(F(x) = 2 \ln(e^{2x} + 3)\). Da der Ausdruck \(e^{2x} + 3\) für alle \(x\) positiv ist, können die Betragsstriche entfallen.

a) \(F(x) = \frac{1}{4} e^{4x} + e^{2x} + x\) b) \(F(x) = 2 \ln(e^{2x} + 3)\)

- Versuche, den ersten Bruch so zu zerlegen, dass ein ganzrationaler Anteil und ein einfacher Restbruch entstehen. - Untersuche beim zweiten Bruch, in welcher Beziehung der Zähler zur Ableitung des Nenners steht. - Überlege, wie du den Vorfaktor anpassen musst, damit die Regel für die logarithmische Integration exakt passt.

1. Umformung des ersten Terms durch eine einfache Polynomdivision oder durch geschicktes Ergänzen im Zähler: \(\frac{x+3}{x+2} = \frac{x+2+1}{x+2} = 1 + \frac{1}{x+2}\). 2. Integration des umgeformten ersten Terms: \(\int (1 + \frac{1}{x+2}) \, dx = x + \ln|x+2|\). 3. Untersuchung des zweiten Terms auf die Struktur \(\frac{g'(x)}{g(x)}\): Die Ableitung des Nenners \(g(x) = 2e^x + 4\) ist \(g'(x) = 2e^x\). Da der Zähler \(e^x\) genau \(\frac{1}{2} g'(x)\) entspricht, folgt \(\int \frac{e^x}{2e^x + 4} \, dx = \frac{1}{2} \ln(2e^x + 4)\). Da \(2e^x + 4 > 0\) für alle \(x\) gilt, sind hier keine Betragsstriche erforderlich. 4. Kombination der Ergebnisse zur Stammfunktion \(F(x) = x + \ln|x+2| - \frac{1}{2} \ln(2e^x + 4)\).

\(F(x) = x + \ln|x+2| - \frac{1}{2} \ln(2e^x + 4)\)

- Wenn kein Produkt erkennbar ist, hilft oft der Trick, den Faktor 1 zu ergänzen. - Manche Integrale erfordern eine wiederholte Anwendung derselben Methode auf das neu entstandene Integral. - Achte beim zweiten Schritt genau auf die Vorzeichen, besonders wenn du ein Minuszeichen vor dem gesamten Integral stehen hast. - Erinnere dich an die Ableitung der Logarithmusfunktion und die Kettenregel.

1. Erster Schritt der partiellen Integration mit \(u(x) = (\ln(x))^2\) und \(v'(x) = 1\): Es folgt \(u'(x) = 2\ln(x) \cdot \frac{1}{x}\) und \(v(x) = x\). 2. Anwendung der Formel: \(\int (\ln(x))^2 \, dx = x(\ln(x))^2 - \int x \cdot \frac{2\ln(x)}{x} \, dx = x(\ln(x))^2 - \int 2\ln(x) \, dx\). 3. Zweiter Schritt der partiellen Integration für \(\int 2\ln(x) \, dx\) mit \(u(x) = 2\ln(x)\) und \(v'(x) = 1\): Es folgt \(u'(x) = \frac{2}{x}\) und \(v(x) = x\). 4. Berechnung des Teilintegrals: \(\int 2\ln(x) \, dx = 2x\ln(x) - \int 2 \, dx = 2x\ln(x) - 2x\). 5. Zusammenführung zur Stammfunktion: \(F(x) = x(\ln(x))^2 - 2x\ln(x) + 2x\). 6. Auswertung des bestimmten Integrals: \([x(\ln(x))^2 - 2x\ln(x) + 2x]_1^e = (e \cdot 1^2 - 2e \cdot 1 + 2e) - (1 \cdot 0^2 - 2 \cdot 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1) = e - 2\).

\(e - 2\)

- Was passiert, wenn du die Exponentialfunktion zweimal ableitest und die Winkelfunktion zweimal integrierst? - Versuche, das Integral als eine Variable zu betrachten, wenn es auf der rechten Seite der Gleichung wieder erscheint. - Nach der zweiten Integration kannst du die Gleichung algebraisch nach dem gesuchten Integral umstellen. - Prüfe die Werte von \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\) an den Grenzen \(0\) und \(\frac{\pi}{2}\).

1. Erste partielle Integration mit \(u = e^{2x}\) und \(v' = \cos(x)\): Mit \(u' = 2e^{2x}\) und \(v = \sin(x)\) ergibt sich: \(I = \int e^{2x} \cos(x) \, dx = e^{2x} \sin(x) - 2 \int e^{2x} \sin(x) \, dx\). 2. Zweite partielle Integration für das verbleibende Integral mit \(u = e^{2x}\) und \(v' = \sin(x)\): Mit \(u' = 2e^{2x}\) und \(v = -\cos(x)\) folgt: \(\int e^{2x} \sin(x) \, dx = -e^{2x} \cos(x) + 2 \int e^{2x} \cos(x) \, dx = -e^{2x} \cos(x) + 2I\). 3. Einsetzen und nach \(I\) auflösen: \(I = e^{2x} \sin(x) - 2 (-e^{2x} \cos(x) + 2I) = e^{2x} \sin(x) + 2e^{2x} \cos(x) - 4I\). Daraus folgt \(5I = e^{2x} (\sin(x) + 2 \cos(x))\), also \(I = \frac{1}{5} e^{2x} (\sin(x) + 2 \cos(x))\). 4. Auswertung des bestimmten Integrals in den Grenzen \(0\) bis \(\frac{\pi}{2}\): \(F(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{5} e^{\pi} (1 + 2 \cdot 0) = \frac{1}{5} e^{\pi}\). \(F(0) = \frac{1}{5} e^{0} (0 + 2 \cdot 1) = \frac{2}{5}\). Ergebnis: \(\frac{1}{5} e^{\pi} - \frac{2}{5}\).

\(\frac{e^{\pi} - 2}{5} \approx 4{,}228\)

- Überlege dir, wie du das Produkt zweier gleicher Funktionen mit der partiellen Integration behandeln kannst. - Gibt es eine Identität, die \(\sin^2(x)\) und \(\cos^2(x)\) miteinander verknüpft? - Was passiert, wenn das gesuchte Integral nach der Umformung auf beiden Seiten der Gleichung erscheint? - Erinnere dich an die Werte der Sinus- und Kosinusfunktion an den Stellen \(0\) und \(\pi\).

1. Anwendung der partiellen Integration mit \(u = \cos(x)\) und \(v' = \cos(x)\), woraus \(u' = -\sin(x)\) und \(v = \sin(x)\) folgt. 2. Aufstellen der Gleichung: \(\int \cos^2(x) \, dx = \sin(x) \cos(x) + \int \sin^2(x) \, dx\). 3. Ersetzen von \(\sin^2(x)\) durch \(1 - \cos^2(x)\), was zu \(\int \cos^2(x) \, dx = \sin(x) \cos(x) + \int 1 \, dx - \int \cos^2(x) \, dx\) führt. 4. Umformen der Gleichung ergibt die Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{2}(x + \sin(x) \cos(x))\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(F(\pi) = \frac{1}{2}(\pi + 0) = \frac{\pi}{2}\) und \(F(0) = 0\). 6. Die Differenz ergibt den Wert \(\frac{\pi}{2}\).

\(\frac{\pi}{2}\)

- Was passiert, wenn du den Nenner des Bruchs ableitest? - Gibt es eine spezielle Integrationsregel für Brüche, bei denen der Zähler die Ableitung des Nenners ist? - Erinnere dich an die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion in Verbindung mit der Kettenregel. - Lasse das Ergebnis als exakten Wert mit dem Logarithmus stehen.

1. Analyse des Integranden: Der Nenner ist \( g(x) = e^x + 1 \). Die Ableitung des Nenners ist \( g'(x) = e^x \). 2. Struktur identifizieren: Der Integrand entspricht exakt der Form \( \frac{g'(x)}{g(x)} \). 3. Stammfunktion bestimmen: Die Stammfunktion einer Funktion der Form \( \frac{g'(x)}{g(x)} \) ist \( G(x) = \ln|g(x)| \). Da \( e^x + 1 \) für alle \( x \) positiv ist, gilt \( G(x) = \ln(e^x + 1) \). 4. Grenzen einsetzen: \( \int_{0}^{1} \frac{e^x}{e^x + 1} \, dx = [\ln(e^x + 1)]_0^1 = \ln(e^1 + 1) - \ln(e^0 + 1) \). 5. Vereinfachen: \( \ln(e + 1) - \ln(2) = \ln\left(\frac{e + 1}{2}\right) \).

\( \int_{0}^{1} \frac{e^x}{e^x + 1} \, dx = \ln\left(\frac{e + 1}{2}\right) \approx 0{,}62 \)

- Untersuche das Verhältnis zwischen dem Zähler und dem Nenner des Bruchs. - Gibt es eine spezielle Regel für Brüche, bei denen der Zähler die Ableitung des Nenners ist? - Erinnere dich an die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion in Verbindung mit der Kettenregel. - Was ergibt \(e^{\ln(a)}\)?

1. Analyse der Termstruktur: Der Zähler \(e^x\) ist genau die Ableitung des Nenners \(e^x+3\). Es liegt somit die Form \(\frac{g'(x)}{g(x)}\) vor. 2. Bestimmung der Stammfunktion: Mit der logarithmischen Integrationsregel ergibt sich \(F(x) = \ln|e^x+3|\). Da \(e^x+3 > 0\) für alle \(x\), ist \(F(x) = \ln(e^x+3)\). 3. Berechnung des Integrals: Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: \(\int_0^{\ln(2)} \frac{e^x}{e^x+3} dx = [ \ln(e^x+3) ]_0^{\ln(2)} = \ln(e^{\ln(2)}+3) - \ln(e^0+3) = \ln(2+3) - \ln(1+3) = \ln(5) - \ln(4) = \ln\left(\frac{5}{4}\right)\).

Stammfunktion: \(F(x) = \ln(e^x+3)\) Integralwert: \(\ln(1{,}25) \approx 0{,}223\)