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- Skizziere im Kopf den Verlauf der Funktion. Wo liegt der Scheitelpunkt? - Welche Symmetrie weist eine Parabel im Allgemeinen auf? - Betrachte die Lage der Integrationsgrenzen im Verhältnis zur Symmetrieachse der Funktion. - Haben die beiden Intervalle die gleiche Breite und den gleichen Abstand zur Symmetrieachse?

1. Identifikation der Funktion \(f(x) = (x - 2)^2\) als eine um \(2\) Einheiten nach rechts verschobene Normalparabel. 2. Bestimmung des Scheitelpunkts bei \(S(2\mid 0)\) und der daraus resultierenden Achsensymmetrie des Graphen zur Geraden \(x = 2\). 3. Analyse der Integrationsintervalle: Das Intervall \([1; 2]\) liegt unmittelbar links vom Symmetriezentrum \(x = 2\), das Intervall \([2; 3]\) unmittelbar rechts davon. Beide Intervalle haben die gleiche Breite \(1\). 4. Aufgrund der Achsensymmetrie sind die Flächeninhalte unter dem Graphen in diesen beiden zueinander symmetrisch liegenden Teilintervallen identisch, woraus die Gleichheit der Integrale folgt.

Die Gleichung ist wahr, da der Graph der Funktion \(f(x) = (x - 2)^2\) eine achsensymmetrische Parabel mit der Symmetrieachse \(x = 2\) ist. Da die Intervalle \([1; 2]\) und \([2; 3]\) symmetrisch zu dieser Achse liegen und die gleiche Breite besitzen, sind die Flächeninhalte unter dem Graphen in diesen Bereichen gleich groß.

- Wie berechnet man ein bestimmtes Integral, wenn die Stammfunktion bekannt ist? - Schreibe die Terme für beide Seiten der Gleichung separat mithilfe der Stammfunktion auf. - Achte auf die Reihenfolge der Grenzen beim Einsetzen in die Stammfunktion. - Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht?

1. Anwendung des Hauptsatzes auf die linke Seite der Gleichung: \(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\). 2. Anwendung des Hauptsatzes auf das Integral der rechten Seite: \(\int_b^a f(x) \, dx = F(a) - F(b)\). 3. Multiplikation des Ergebnisses aus Schritt 2 mit \(-1\): \(-(F(a) - F(b)) = -F(a) + F(b) = F(b) - F(a)\). 4. Da beide Seiten den Wert \(F(b) - F(a)\) ergeben, ist die Identität bewiesen.

Nach dem Hauptsatz gilt \(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\). Für die rechte Seite ergibt sich \(- \int_b^a f(x) \, dx = -(F(a) - F(b)) = -F(a) + F(b) = F(b) - F(a)\). Somit sind beide Seiten identisch.

- Wie lautet die Regel für die Stammfunktion bei linearer Verkettung? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die vorgeschlagene Stammfunktion ableitest. Erhältst du die ursprüngliche Funktion \(f(x)\)? - Achte besonders auf den Unterschied zwischen dem Multiplizieren und dem Dividieren mit der inneren Ableitung.

1. Fall A: Statt durch die innere Ableitung \(3\) zu dividieren, wurde mit ihr multipliziert. Eine korrekte Stammfunktion ist \(F(x)=-\frac13\cos(3x)\). 2. Fall B: Der Term ist korrekt, denn die Division durch die innere Ableitung \(2\) ergibt den Faktor \(0{,}5\). 3. Fall C: Die innere Ableitung \(4\) wurde nicht berücksichtigt. Eine korrekte Stammfunktion ist \(F(x)=\frac1{16}(4x+2)^4\). 4. Fall D: Der vorgeschlagene Term \(F(x)=2\ln(0{,}5x+1)\) ist auf dem Intervall \(x>-2\) korrekt. Er ist jedoch nicht auf dem gesamten Definitionsbereich von \(f\), also auf beiden Intervallen \(( -\infty;-2)\) und \((-2;\infty)\), definiert. Eine Stammfunktion, die auf beiden Teilintervallen dieselbe Formel verwendet, ist \(F(x)=2\ln|0{,}5x+1|\).

A) Fehler bei der linearen Verkettung; korrekt ist \(F(x)=-\frac13\cos(3x)\). B) Korrekt. C) Die Division durch die innere Ableitung \(4\) fehlt; korrekt ist \(F(x)=\frac1{16}(4x+2)^4\). D) \(2\ln(0{,}5x+1)\) ist auf \(x>-2\) eine gültige Stammfunktion. Für beide Teilintervalle des Definitionsbereichs kann man \(F(x)=2\ln|0{,}5x+1|\) verwenden.

- Überlege dir, wie der Graph der Funktion im ersten Fall im Vergleich zum Mittelpunkt des Intervalls aussieht. - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Integrals, wenn man die obere und untere Grenze vertauscht? - Kannst du das Integral einer Summe von zwei Funktionen als Summe von zwei einzelnen Integralen schreiben? - Erinnere dich an die geometrische Deutung des Integrals einer konstanten Funktion.

1. Teilaufgabe a): Die Funktion \(f(x) = (x-1)^5\) ist punktsymmetrisch zum Punkt \((1\mid 0)\). Da das Integrationsintervall \([0; 2]\) symmetrisch um die Stelle \(x=1\) liegt, heben sich die orientierten Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse exakt auf, woraus der Integralwert \(0\) folgt. 2. Teilaufgabe b): Es gilt die allgemeine Eigenschaft bestimmter Integrale \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx\). Addiert man ein Integral zu seinem Gegenwert (erzeugt durch das Vertauschen der Grenzen), ergibt sich stets \(0\). 3. Teilaufgabe c): Nach der Additivität (Linearität) des Integrals kann der Integrand aufgeteilt werden in \(\int_{0}^{2} x^2 \, dx + \int_{0}^{2} 4 \, dx\). Das zweite Teilintegral entspricht dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Breite \(2\) und der Höhe \(4\), also \(4 \cdot 2 = 8\).

a) Der Graph der Funktion ist punktsymmetrisch zum Punkt \((1\mid 0)\), und das Intervall ist symmetrisch zu \(x=1\). Daher heben sich die Flächenanteile auf. b) Das Vertauschen der Integrationsgrenzen kehrt das Vorzeichen des Integrals um, die Summe ist daher \(0\). c) Durch Anwendung der Summenregel und Berechnung des Integrals der Konstanten (\(\int_{0}^{2} 4 \, dx = 8\)) folgt die Gleichung.

- Kannst du das Integral in einzelne Teilintegrale zerlegen? - Überlege, wie du konstante Faktoren innerhalb des Integrals behandeln darfst. - Vergiss nicht, auch den konstanten Summanden über das gesamte Intervall zu integrieren. - Welche Rechenregeln für Integrale helfen dir, wenn Funktionen addiert oder subtrahiert werden?

1. Anwendung der Summen- und Faktorregel zur Zerlegung des Integrals: \(1{,}5 \cdot \int_{2}^{6} f(x) \, dx - 4 \cdot \int_{2}^{6} g(x) \, dx + \int_{2}^{6} 3 \, dx\) 2. Einsetzen der bekannten Integralwerte für \(f\) und \(g\): \(1{,}5 \cdot 12 - 4 \cdot 5 + \int_{2}^{6} 3 \, dx = 18 - 20 + \int_{2}^{6} 3 \, dx\) 3. Berechnung des Integrals der konstanten Funktion: \(\int_{2}^{6} 3 \, dx = [3x]_{2}^{6} = 3 \cdot (6 - 2) = 12\) 4. Addition der Teilwerte: \(18 - 20 + 12 = 10\)

10

- Überlege, wie sich der Wert eines Integrals ändert, wenn die obere und die untere Grenze getauscht werden. - Kannst du das Integral so zerlegen, dass du die gegebenen Informationen direkt einsetzen kannst? - Welche Regeln gelten für die Multiplikation des Integranden mit einer Zahl und für die Summe zweier Funktionen?

1. Das Vertauschen der Integralgrenzen führt zu einer Vorzeichenumkehr des Integralwertes: \(\int_5^1 (3f(x) + 4g(x)) \, dx = - \int_1^5 (3f(x) + 4g(x)) \, dx\). 2. Anwendung der Linearität des Integrals (Summen- und Faktorregel): \(- (3 \cdot \int_1^5 f(x) \, dx + 4 \cdot \int_1^5 g(x) \, dx)\). 3. Einsetzen der bekannten Integralwerte: \(- (3 \cdot 8 + 4 \cdot (-2))\). 4. Numerische Berechnung des Ergebnisses: \(- (24 - 8) = -16\).

\(I = -16\)

- Untersuche, ob die Funktionen achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung sind. - Welche Eigenschaft haben Integrale von ungeraden Funktionen über einem Intervall der Form \([-k; k]\)? - Wie lässt sich die Berechnung bei einer geraden Funktion vereinfachen?

1. Der Integrand in Teilaufgabe a) ist eine ungerade Funktion, da er nur ungerade Exponenten besitzt. Bei einem symmetrischen Intervall \([-k; k]\) ist der Integralwert daher \(0\). 2. Der Integrand in Teilaufgabe b) ist eine gerade Funktion. Es gilt \(\int_{-k}^{k} (\frac{1}{4}x^4 - 2) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{k} (\frac{1}{4}x^4 - 2) \, dx\). Mit der Stammfunktion \(\frac{1}{20}x^5 - 2x\) folgt \(2 \cdot [\frac{1}{20}x^5 - 2x]_0^k = \frac{1}{10}k^5 - 4k\).

a) \(0\) b) \(\frac{1}{10}k^5 - 4k\)

- Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Sinus und Kosinus und wende sie rückwärts an. - Achte auf die inneren Funktionen der verketteten Terme. Wie wirkt sich ein konstanter Faktor vor dem \(x\) beim Integrieren aus? - Du kannst dein Ergebnis prüfen, indem du die gefundene Stammfunktion wieder ableitest.

1. Anwendung der linearen Substitutionsregel auf den ersten Summanden: Die Stammfunktion von \(\cos(ax+b)\) ist \(\frac{1}{a} \sin(ax+b)\). Mit \(a=3\) ergibt sich \(6 \cdot \frac{1}{3} \sin(3x - 1) = 2 \sin(3x - 1)\). 2. Anwendung der linearen Substitutionsregel auf den zweiten Summanden: Die Stammfunktion von \(\sin(ax+b)\) ist \(-\frac{1}{a} \cos(ax+b)\). Mit \(a=\frac{1}{2}\) ergibt sich \(2 \cdot \left(-\frac{1}{\frac{1}{2}} \cos\left(\frac{1}{2}x\right)\right) = -4 \cos\left(\frac{1}{2}x\right)\). 3. Kombination der Ergebnisse zur Stammfunktion: \(F(x) = 2 \sin(3x - 1) - 4 \cos\left(\frac{1}{2}x\right)\).

\(F(x) = 2 \sin(3x - 1) - 4 \cos\left(\frac{1}{2}x\right)\)

- Schau dir die Exponenten der Variable \(x\) an. Was fällt dir auf? - Erinnerst du dich an die Regeln für Integrale über Intervalle der Form \([-a; a]\)? - Musst du wirklich jedes Mal die Stammfunktion bilden und beide Grenzen einsetzen? - Überlege, ob der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist.

1. Untersuchung der Symmetrie für Teilaufgabe a: Die Funktion \(f(x) = x^3 - 25x\) enthält nur ungerade Exponenten und ist somit punktsymmetrisch zum Ursprung. Bei einem zum Ursprung symmetrischen Intervall \([-5; 5]\) heben sich die Flächenanteile oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse auf, sodass das Integral den Wert 0 besitzt. 2. Untersuchung der Symmetrie für Teilaufgabe b: Die Funktion \(g(x) = 3x^2 - 12\) enthält nur gerade Exponenten (beachte \(12 = 12 \cdot x^0\)) und ist somit achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Berechnung unter Ausnutzung der Achsensymmetrie: \(\int_{-2}^{2} (3x^2 - 12) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{2} (3x^2 - 12) \, dx\). 4. Bestimmung der Stammfunktion \(G(x) = x^3 - 12x\) und Auswertung: \(2 \cdot [x^3 - 12x]_0^2 = 2 \cdot (2^3 - 12 \cdot 2 - (0)) = 2 \cdot (8 - 24) = -32\).

a) \(0\) b) \(-32\)

- Überlege dir, welcher Teil des Terms in der Klammer steht und welcher Exponent außen wirkt. - Wie wirkt sich die Steigung der inneren Geraden beim Ableiten mit der Kettenregel aus? Überlege dir den Umkehrschritt für die Stammfunktion. - Du kannst dein Ergebnis überprüfen, indem du die Stammfunktion mit der Kettenregel wieder ableitest.

1. Identifikation der inneren linearen Funktion: \(u(x) = 0{,}5x + 2\). 2. Identifikation der äußeren Funktion: \(v(u) = u^6\). 3. Anwendung der linearen Substitutionsregel: \(F(x) = \frac{1}{m} \cdot V(u(x))\), wobei \(m = 0{,}5\) die Steigung der inneren Funktion ist. 4. Bestimmung einer Stammfunktion der äußeren Funktion: \(V(u) = \frac{1}{7}u^7\). 5. Berechnung des Vorfaktors: \(\frac{1}{0{,}5} \cdot \frac{1}{7} = 2 \cdot \frac{1}{7} = \frac{2}{7}\). 6. Zusammensetzen zur Stammfunktion: \(F(x) = \frac{2}{7}(0{,}5x + 2)^7\).

Innere Funktion: \(u(x) = 0{,}5x + 2\) Äußere Funktion: \(v(u) = u^6\) Stammfunktion: \(F(x) = \frac{2}{7}(0{,}5x + 2)^7\)

- Welche Regel kennst du für das Integrieren von Funktionen mit einem linearen Term im Exponenten? - Wie hängen Stammfunktion und bestimmtes Integral zusammen? - Was ergibt \(e^0\)?

1. Bestimmung einer Stammfunktion unter Verwendung der Regel für lineare Verkettungen: \(F(x) = \frac{4}{2} \cdot e^{2x - 1} = 2e^{2x - 1}\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_{0{,}5}^{1} f(x) \, dx = [2e^{2x - 1}]_{0{,}5}^{1}\). 3. Berechnung der oberen Grenze: \(F(1) = 2e^{2 \cdot 1 - 1} = 2e^1 = 2e\). 4. Berechnung der unteren Grenze: \(F(0{,}5) = 2e^{2 \cdot 0{,}5 - 1} = 2e^0 = 2\). 5. Differenzbildung: \(2e - 2\).

Eine Stammfunktion ist \(F(x) = 2e^{2x - 1}\). Der Wert des Integrals beträgt \(2e - 2\).

- Überlege dir, welchen Teil des Nenners du durch eine neue Variable ersetzen kannst, um die Struktur zu vereinfachen. - Vergiss nicht, das Differential \(dx\) ebenfalls zu transformieren. - Denk daran, dass sich bei einer Substitution in einem bestimmten Integral auch die Grenzen ändern. - Welche Stammfunktion gehört zu einem Term der Form \(\frac{1}{u}\)? - Kannst du das Ergebnis mithilfe von Logarithmengesetzen noch weiter zusammenfassen?

1. Durchführung der linearen Substitution \(u = 2x + 2\). Daraus folgt für das Differential \(du = 2 \, dx\) bzw. \(dx = \frac{1}{2} \, du\). 2. Anpassung der Integrationsgrenzen: Für \(x = 0\) ergibt sich \(u = 2 \cdot 0 + 2 = 2\). Für \(x = 3\) ergibt sich \(u = 2 \cdot 3 + 2 = 8\). 3. Transformation des Integrals: \(\int_{2}^{8} \frac{4}{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \int_{2}^{8} \frac{2}{u} \, du\). 4. Bestimmung der Stammfunktion und Auswertung: \([2\ln|u|]_{2}^{8} = 2 \cdot (\ln(8) - \ln(2))\). 5. Vereinfachung unter Nutzung der Logarithmengesetze: \(2\ln\left(\frac{8}{2}\right) = 2\ln(4) = 4\ln(2)\).

\(4\ln(2)\) (ca. \(2{,}773\))

- Betrachte das Verhältnis zwischen dem Zähler und dem Nenner des Bruchs. - Was passiert, wenn du den Nenner ableitest? - Gibt es eine spezielle Regel für Brüche, bei denen der Zähler die Ableitung des Nenners ist?

1. Erkennen der Struktur \(\frac{f'(x)}{f(x)}\): Der Zähler \(4x\) ist genau die Ableitung des Nenners \(2x^2 + 1\). 2. Anwendung der logarithmischen Integrationsregel (oder Substitution \(u = 2x^2 + 1\)). 3. Eine Stammfunktion ist \(F(x) = \ln(2x^2 + 1)\). 4. Auswertung an den Grenzen: \(F(1) = \ln(2 \cdot 1^2 + 1) = \ln(3)\) und \(F(0) = \ln(2 \cdot 0^2 + 1) = \ln(1) = 0\). 5. Berechnung der Differenz: \(\ln(3) - 0 = \ln(3)\).

Stammfunktion: \(F(x) = \ln(2x^2 + 1)\) Integralwert: \(\ln(3)\)

- Schau dir den Zusammenhang zwischen dem Faktor vor der Klammer und dem Ausdruck in der Klammer genau an. - Erkennst du eine Funktion und ihre Ableitung wieder? - Wie würde man eine Funktion der Form \( (f(x))^n \) ableiten? Überlege dir den Umkehrweg. - Du kannst zur Kontrolle deine gefundene Stammfunktion einmal ableiten.

1. Erkennen der Struktur: Der Integrand hat die Form \( g'(x) \cdot (g(x))^n \) mit \( g(x) = x^2 - 1 \), \( g'(x) = 2x \) und \( n = 3 \). 2. Bestimmung der Stammfunktion: Nach der Potenzregel für verkettete Funktionen (Umkehrung der Kettenregel) ist eine Stammfunktion \( G(x) = \frac{1}{n+1} \cdot (g(x))^{n+1} \). Hier: \( G(x) = \frac{1}{4}(x^2 - 1)^4 \). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: Einsetzen der Grenzen \( [1; 2] \). 4. Berechnung der Werte: \( G(2) = \frac{1}{4}(2^2 - 1)^4 = \frac{1}{4} \cdot 3^4 = \frac{81}{4} = 20{,}25 \). 5. \( G(1) = \frac{1}{4}(1^2 - 1)^4 = 0 \). 6. Ergebnis: \( 20{,}25 - 0 = 20{,}25 \).

\( \int_{1}^{2} 2x \cdot (x^2 - 1)^3 \, dx = 20{,}25 \)

- Erinnere dich an die Ableitungsregel für den natürlichen Logarithmus in Verbindung mit der Kettenregel. - Vergleiche den Funktionsterm aus b) genau mit deinem Ergebnis aus a). Welcher Faktor unterscheidet die beiden Ausdrücke? - Wie wirkt sich ein konstanter Faktor beim Integrieren aus?

1. Ableitung von \(h(x)\) mit der Kettenregel: Die äußere Funktion ist der natürliche Logarithmus, die innere Funktion ist \(g(x) = x^2 + 5\). Es gilt \(h'(x) = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) = \frac{2x}{x^2 + 5}\). 2. Vergleich von \(h'(x)\) mit \(k(x)\): Es fällt auf, dass \(k(x) = \frac{1}{2} \cdot h'(x)\). 3. Bestimmung der Stammfunktion: Da die Integration linear ist, folgt \(K(x) = \frac{1}{2} \cdot h(x) + C = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 5) + C\). Eine mögliche Stammfunktion ist somit \(K(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 5)\).

a) \(h'(x) = \frac{2x}{x^2 + 5}\) b) \(K(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 5)\) (oder jede Funktion der Form \(K(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 5) + C\))

- Betrachte den Zusammenhang zwischen dem Faktor vor der Klammer und dem Term innerhalb der Klammer. - Was passiert, wenn du den Ausdruck in der Klammer ableitest? - Kannst du den Funktionsterm so umschreiben, dass die Ableitung der inneren Funktion als Faktor auftaucht? - Welche Regel für das Integrieren von verketteten Funktionen kennst du?

1. Identifikation der inneren Funktion \(g(x) = 2x^2 - 5\) und deren Ableitung \(g'(x) = 4x\). 2. Umformung des Funktionsterms, um die Struktur \(k \cdot g'(x) \cdot (g(x))^n\) zu erhalten: \(f(x) = \frac{1}{4} \cdot 4x \cdot (2x^2 - 5)^4\). 3. Anwendung der Substitutionsregel oder der verallgemeinerten Potenzregel: \(\int (g(x))^n \cdot g'(x) \, dx = \frac{1}{n+1} (g(x))^{n+1} + C\). 4. Berechnung des Koeffizienten: \(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{20}\). 5. Aufstellen der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{20}(2x^2 - 5)^5\).

\(F(x) = \frac{1}{20}(2x^2 - 5)^5\) (oder jede andere Funktion \(F(x) = \frac{1}{20}(2x^2 - 5)^5 + C\) mit \(C \in \mathbb{R}\))

- Überlege dir, wie sich der Graph einer ungeraden Funktion verhält, wenn man ihn am Ursprung spiegelt. - Was passiert mit dem Vorzeichen eines Integrals, wenn man die obere und untere Grenze vertauscht? - Welchen Flächeninhalt hat eine Fläche, deren Breite Null ist? - Erinnere dich an die Definition der Flächenbilanz bei Flächen oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse.

1. Zu a): Der Integrand \(f(x) = x^3 + x\) ist eine ungerade Funktion, da \(f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x = -f(x)\). Bei einem zum Ursprung symmetrischen Intervall \([-5; 5]\) heben sich die positiven und negativen Flächenanteile exakt auf, sodass die Flächenbilanz (das Integral) Null ergibt. 2. Zu b): Nach der Eigenschaft der Vertauschung der Integrationsgrenzen gilt allgemein \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx\). Addiert man beide Integrale, so heben sie sich zu Null auf: \(\int_{1}^{4} f(x) \, dx + (-\int_{1}^{4} f(x) \, dx) = 0\). 3. Zu c): Das Integral über ein Intervall der Breite Null (\(a\) bis \(a\)) ist stets Null, da die Fläche unter dem Graphen keine Ausdehnung in \(x\)-Richtung besitzt.

a) Die Funktion ist ungerade und das Intervall symmetrisch zum Ursprung; die Flächenanteile heben sich auf. b) Es gilt die Regel \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx\), woraus die Summe Null folgt. c) Integrale mit identischer oberer und unterer Grenze sind immer Null, da das Intervall die Breite Null hat.

- Untersuche, ob die Funktion im Integranden gerade (achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse) oder ungerade (punktsymmetrisch zum Ursprung) ist. - Was passiert mit dem Wert eines Integrals über ein Intervall \([-a; a]\), wenn der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft? - Wie verhalten sich die Flächenanteile links und rechts der \(y\)-Achse bei einer achsensymmetrischen Funktion? - Überlege dir, wie sich das Vorzeichen des Funktionswerts ändert, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt.

1. In Teil a ist \(f(x)=x^3-x\) ungerade, denn \(f(-x)=-f(x)\). Für \(a\geq0\) ist \([-a;a]\) ein symmetrisches Intervall; die orientierten Flächenanteile heben sich auf, daher ist das Integral \(0\). 2. In Teil b ist \(g(x)=\cos(x)\) gerade, denn \(g(-x)=g(x)\). Die Integrale über \([-2;0]\) und \([0;2]\) sind gleich, sodass das Integral über \([-2;2]\) das Doppelte des rechten Teilintegrals ist. 3. In Teil c ist \(h(x)=\sin(x)\cos(x)\) ungerade, weil das Produkt einer ungeraden und einer geraden Funktion ungerade ist. Deshalb verschwindet das Integral über \([-1;1]\).

a) Der Integrand \(f(x) = x^3 - x\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung (\(f(-x) = -f(x)\)). Bei Integration über ein symmetrisches Intervall \([-a; a]\) ist die Flächenbilanz \(0\). b) Der Integrand \(g(x) = \cos(x)\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (\(g(-x) = g(x)\)). Die Flächeninhalte links und rechts der \(y\)-Achse sind gleich groß, daher ist das Integral über \([-2; 2]\) doppelt so groß wie über \([0; 2]\). c) Der Integrand \(h(x) = \sin(x) \cdot \cos(x)\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da das Produkt aus einer ungeraden und einer geraden Funktion ungerade ist. Das Integral über \([-1; 1]\) verschwindet daher.

- Skizziere dir den Verlauf der Graphen im angegebenen Intervall grob im Kopf oder auf Papier. - Achte darauf, an welcher Stelle der Graph die \(x\)-Achse schneidet und ob dort eine Symmetrie vorliegt. - Überlege, welche Flächenstücke oberhalb (positiv) und welche unterhalb (negativ) der \(x\)-Achse liegen. - Gibt es eine vertikale Achse, an der die Fläche gespiegelt wird?

1. Bei Teilaufgabe a) stellt der Graph von \(f(x) = x - 2\) eine Gerade dar, die die \(x\)-Achse bei \(x = 2\) schneidet. Im Intervall \([0; 2]\) liegt ein Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse mit dem orientierten Flächenbeitrag \(-2\), im Intervall \([2; 4]\) ein gleich großes Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse mit dem orientierten Flächenbeitrag \(+2\). Die Summe der orientierten Flächen (Bilanz) ist \(0\). 2. Bei Teilaufgabe b) ist die Funktion \(g(x) = (x - 3)^3\) punktsymmetrisch zum Punkt \(P(3\mid 0)\). Das Intervall \([1; 5]\) liegt symmetrisch um die Stelle \(x = 3\). Die negativen Flächenanteile in \([1; 3]\) und die positiven Anteile in \([3; 5]\) sind betragsmäßig gleich groß und heben sich in der Bilanz auf. 3. Bei Teilaufgabe c) ist der Graph von \(h(x) = \sin(x)\) im Intervall \([0; \pi]\) achsensymmetrisch zur Geraden \(x = \frac{\pi}{2}\). Die Fläche unter dem Bogen von \(0\) bis \(\frac{\pi}{2}\) ist daher exakt so groß wie die Fläche von \(\frac{\pi}{2}\) bis \(\pi\), was den Faktor \(2\) erklärt.

a) Die Gerade \(y = x - 2\) ist punktsymmetrisch zu ihrem Nullpunkt \((2\mid 0)\). Die Flächenanteile in den Teilintervallen \([0; 2]\) und \([2; 4]\) sind gleich groß, haben aber unterschiedliche Vorzeichen, sodass die Bilanz \(0\) ergibt. b) Der Graph von \(g(x) = (x - 3)^3\) ist punktsymmetrisch zum Punkt \((3\mid 0)\). Da das Intervall \([1; 5]\) symmetrisch um \(x = 3\) liegt, heben sich die orientierten Flächeninhalte auf. c) Die Sinuskurve ist im Intervall \([0; \pi]\) achsensymmetrisch zur Geraden \(x = \frac{\pi}{2}\). Die beiden Teilflächen links und rechts der Symmetrieachse sind identisch, daher ist das Gesamtintegral das Doppelte des Teilintegrals.

- Welche Funktion ist die Stammfunktion der Summe \(f(x) + g(x)\)? - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Summen. - Setze die Definition des Hauptsatzes für jedes Integral einzeln ein. - Versuche, die Terme auf einer Seite so umzusortieren, dass sie genau wie die andere Seite aussehen.

1. Identifikation einer Stammfunktion für die Summe: Da \((F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)\) gilt, ist \(H(x) = F(x) + G(x)\) eine Stammfunktion von \(f(x) + g(x)\). 2. Anwendung des Hauptsatzes auf die linke Seite: \(\int_a^b (f(x) + g(x)) \, dx = [F(x) + G(x)]_a^b = (F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a))\). 3. Anwendung des Hauptsatzes auf die rechte Seite: \(\int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx = (F(b) - F(a)) + (G(b) - G(a))\). 4. Umformung der rechten Seite durch Auflösen der Klammern und Umstellen der Terme (Kommutativgesetz): \(F(b) - F(a) + G(b) - G(a) = F(b) + G(b) - F(a) - G(a) = (F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a))\). 5. Vergleich zeigt die Übereinstimmung beider Seiten.

Mit der Stammfunktion \(H = F + G\) für \(f + g\) ergibt die linke Seite nach dem Hauptsatz \((F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a))\). Die rechte Seite ergibt summiert \((F(b) - F(a)) + (G(b) - G(a))\). Durch Umstellen der Terme (Kommutativ- und Assoziativgesetz) folgt die Gleichheit: \(F(b) + G(b) - F(a) - G(a) = F(b) + G(b) - (F(a) + G(a))\).

- Überlege dir, wie die Kettenregel beim Ableiten funktioniert und wie man sie für die Integration umkehren kann. - Achte auf Terme, bei denen der Zähler die Ableitung des Nenners ist. - Bei linearen Verkettungen musst du durch die innere Ableitung dividieren. - Du kannst zur Überprüfung auch die Stammfunktionen ableiten.

1. Für \(f_1(x) = 4\cos(4x - 2)\) wird die lineare Substitution oder die Umkehrung der Kettenregel angewendet. Die Ableitung von \(\sin(4x - 2)\) ist \(\cos(4x - 2) \cdot 4\), was exakt \(f_1\) entspricht. Somit gehört \(f_1\) zu \(F_C\). 2. Der Term \(f_2(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x}\) hat die Struktur \(\frac{g'(x)}{g(x)}\) mit \(g(x) = x^2 + x\). Das Integral folgt der Regel \(\int \frac{g'(x)}{g(x)} \, dx = \ln|g(x)| + C\). Somit gehört \(f_2\) zu \(F_A\). 3. Für \(f_3(x) = (2x - 3)^4\) nutzt man die Regel für Potenzen mit linearer innerer Funktion \(\int (ax+b)^n \, dx = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1} + C\). Mit \(a=2\) und \(n=4\) ergibt sich \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} (2x - 3)^5 = \frac{1}{10} (2x - 3)^5\). Somit gehört \(f_3\) zu \(F_D\). 4. Für \(f_4(x) = e^{0{,}5x}\) gilt \(\int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C\). Mit \(a=0{,}5\) folgt \(\frac{1}{0{,}5} e^{0{,}5x} = 2e^{0{,}5x}\). Somit gehört \(f_4\) zu \(F_B\).

1 – C, 2 – A, 3 – D, 4 – B

- Betrachte das Verhältnis zwischen dem Zähler und dem Nenner des Bruchs. - Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Ableitung des Nenners und dem Term im Zähler? - Welche Stammfunktion ergibt sich, wenn ein Bruch die Form „Ableitung durch Funktion“ hat? - Denke an die Rechenregeln für Logarithmen beim Vereinfachen.

1. Erkennen der Struktur: Der Zähler \(6x^2 + 2\) ist das Zweifache der Ableitung des Nenners \(f(x) = x^3 + x + 1\), da \(f'(x) = 3x^2 + 1\). 2. Anwendung der logarithmischen Integrationsregel: Das Integral hat die Form \(2\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx\), woraus die Stammfunktion \(F(x) = 2\ln|x^3 + x + 1|\) folgt. 3. Einsetzen der Grenzen: \(F(1) = 2\ln|1^3 + 1 + 1| = 2 \ln(3)\) und \(F(0) = 2\ln|0^3 + 0 + 1| = 2 \ln(1) = 0\). 4. Berechnung der Differenz: \(2 \ln(3) - 0 = 2 \ln(3)\).

\(2 \ln(3)\) (oder \(\ln(9)\))

- Kannst du zwei Integrale mit denselben Grenzen zu einem einzigen Integral zusammenfassen? - Was passiert, wenn die obere Grenze des einen Integrals der unteren Grenze des nächsten entspricht? - Kannst du Faktoren vor dem Integral in den Integranden hineinziehen? - Schau dir die Funktionsterme genau an – heben sich beim Zusammenfassen vielleicht komplizierte Teile gegenseitig auf?

1. Anwendung der Linearität des Integrals in Teilaufgabe a): Da die Integrationsgrenzen identisch sind, können die Integranden subtrahiert werden: \(\int_{1}^{3} (x^3 + 2x - (x^3 - 4)) \, dx = \int_{1}^{3} (2x + 4) \, dx\). 2. Berechnung des Integrals: \([x^2 + 4x]_{1}^{3} = (3^2 + 4 \cdot 3) - (1^2 + 4 \cdot 1) = 21 - 5 = 16\). 3. Nutzung der Intervalladditivität in Teilaufgabe b): Die nahtlos aneinandergrenzenden Intervalle \([0; \frac{\pi}{2}]\) und \([\frac{\pi}{2}; \pi]\) werden zu \(\int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx\) zusammengefasst. 4. Berechnung des Integrals: \([-\cos(x)]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) + 1 = 2\). 5. Vereinfachung durch Linearität in Teilaufgabe c): Der Faktor \(2\) wird in das erste Integral gezogen und mit dem zweiten Integral kombiniert: \(\int_{1}^{2} (\frac{2}{x} + x - \frac{2}{x}) \, dx = \int_{1}^{2} x \, dx\). 6. Berechnung des Integrals: \([\frac{1}{2}x^2]_{1}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2^2 - \frac{1}{2} \cdot 1^2 = 2 - 0{,}5 = 1{,}5\).

a) \(16\) b) \(2\) c) \(1{,}5\)

- Überprüfe bei symmetrischen Grenzen (wie von \(-a\) bis \(a\)), ob der Integrand eine besondere Symmetrie aufweist. - Wie ändert sich ein Integral, wenn man die obere und untere Grenze vertauscht? - Lassen sich aufeinanderfolgende Intervalle bei gleichem Integranden zu einem großen Intervall verbinden? - Versuche, Klammern erst nach dem Zusammenfassen der Integrale aufzulösen.

1. Ausnutzung der Punktsymmetrie in Teilaufgabe a): Da der Integrand \(f(x) = x^3 + \sin(x)\) eine ungerade Funktion ist (\(f(-x) = -f(x)\)) und das Integrationsintervall \([-3; 3]\) symmetrisch zum Ursprung liegt, ist der Wert des Integrals direkt \(0\). 2. Anwendung der Vertauschungsregel und Linearität in Teilaufgabe b): Das zweite Integral wird durch Vorzeichenwechsel gedreht zu \(-\int_{0}^{1} (9x^2 + 1) \, dx\). Zusammenfassen ergibt \(\int_{0}^{1} ((3x+1)^2 - (9x^2 + 1)) \, dx = \int_{0}^{1} (9x^2 + 6x + 1 - 9x^2 - 1) \, dx = \int_{0}^{1} 6x \, dx\). 3. Berechnung: \([3x^2]_{0}^{1} = 3 \cdot 1^2 - 0 = 3\). 4. Anwendung der Intervalladditivität in Teilaufgabe c): Zusammenfassen der Teilintervalle zu \(\int_{1}^{5} x^{-2} \, dx\). 5. Berechnung mittels Stammfunktion: \([-\frac{1}{x}]_{1}^{5} = -\frac{1}{5} - (-\frac{1}{1}) = -0{,}2 + 1 = 0{,}8\).

a) \(0\) b) \(3\) c) \(0{,}8\)

- Kannst du den Integranden in zwei einfachere Terme zerlegen? - Untersuche den ersten Bruch: Fällt dir ein Zusammenhang zwischen dem Zähler und der Ableitung des Nenners auf? - Wie integriert man eine verkettete Funktion mit einer linearen inneren Funktion? - Erinnere dich an die Regel für Integrale der Form \(\frac{f'(x)}{f(x)}\).

1. Aufteilen des Integrals in zwei Summanden: \(\int_{0}^{2} \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx + \int_{0}^{2} (3x - 1)^2 \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion für den ersten Teil mithilfe der Regel \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)|\): Hier ist \(f(x) = x^2 + 1\) und \(f'(x) = 2x\), also ist die Stammfunktion \(F_1(x) = \ln(x^2 + 1)\). 3. Auswertung des ersten Teils an den Grenzen: \(\ln(2^2 + 1) - \ln(0^2 + 1) = \ln(5) - \ln(1) = \ln(5)\). 4. Bestimmung der Stammfunktion für den zweiten Teil mittels linearer Substitution: \(F_2(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x - 1)^3}{3} = \frac{1}{9}(3x - 1)^3\). 5. Auswertung des zweiten Teils an den Grenzen: \(\frac{1}{9}(3 \cdot 2 - 1)^3 - \frac{1}{9}(3 \cdot 0 - 1)^3 = \frac{1}{9}(5^3 - (-1)^3) = \frac{1}{9}(125 + 1) = \frac{126}{9} = 14\). 6. Addition der Ergebnisse: \(14 + \ln(5)\).

\(14 + \ln(5)\)

- Untersuche den Bruch: Besteht ein Zusammenhang zwischen dem Zähler und der Ableitung des Nenners? - Erinnere dich an die Stammfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion in Verbindung mit der Kettenregel. - Schreibe die Wurzelfunktion als Potenz mit rationalem Exponenten um. - Beachte bei der Integration verketteter Funktionen mit linearer Innenfunktion den Korrekturfaktor (den Kehrwert der inneren Ableitung).

1. Teilaufgabe a): Der Integrand hat die Form \(\frac{f'(x)}{f(x)}\) mit \(f(x) = x^2 + x\), da \(f'(x) = 2x + 1\). Die Stammfunktion ist somit \(F(x) = \ln|x^2 + x|\). Einsetzen der Grenzen ergibt \(\ln|4^2 + 4| - \ln|1^2 + 1| = \ln(20) - \ln(2) = \ln\left(\frac{20}{2}\right) = \ln(10)\). 2. Teilaufgabe b): Unter Verwendung der linearen Substitution oder der Kettenregel rückwärts mit \(g(x) = 2x + 1\) ergibt sich die Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (2x + 1)^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3} \sqrt{(2x + 1)^3}\). Einsetzen der Grenzen liefert \(\frac{1}{3} \sqrt{9^3} - \frac{1}{3} \sqrt{1^3} = \frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 1 = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}\).

a) \(\ln(10)\) b) \(\frac{26}{3}\)

- Kannst du den Bruch in Teil 1 so umschreiben, dass jeder Term eine einfache Potenz von \(x\) ist? - Achte bei Teil 2 auf den Zusammenhang zwischen dem Zähler und der Ableitung des Nenners. - Überlege bei Teil 3, welche Funktion beim Ableiten \(e^{0{,}5x}\) ergibt und welcher Faktor dabei durch die Kettenregel entsteht. - Erinnere dich an die Ableitungen der Grundfunktionen – gibt es eine einfache Funktion, deren Ableitung genau \(\ln(x)\) ist?

1. Das Integral lässt sich durch Aufteilen des Bruchs in \(\int_{1}^{2} (1 + x^{-2}) \, dx\) umformen. Mit der Potenzregel ergibt sich \([x - \frac{1}{x}]_{1}^{2} = (2 - 0{,}5) - (1 - 1) = 1{,}5\). 2. Hier liegt die Form \(\frac{f'(x)}{f(x)}\) mit \(f(x) = x^3 + 1\) vor. Die Stammfunktion ist \(\ln|x^3 + 1|\). Berechnung: \([\ln(x^3 + 1)]_{0}^{1} = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2)\). 3. Dies ist ein Fall der linearen Substitution. Die Stammfunktion ist \(2e^{0{,}5x}\). Berechnung: \([2e^{0{,}5x}]_{0}^{2} = 2e^1 - 2e^0 = 2e - 2\). 4. Dieses Integral lässt sich nicht mit den genannten Regeln berechnen (erfordert partielle Integration). 5. Dieses Integral lässt sich nicht mit den genannten Regeln berechnen (erfordert die Arkustangens-Funktion).

1. \(1{,}5\) 2. \(\ln(2)\) 3. \(2e - 2\) 4. Nicht mit den genannten Regeln berechenbar. 5. Nicht mit den genannten Regeln berechenbar.

- Wie lautet die allgemeine Stammfunktion einer Kosinusfunktion mit linearem Argument? - Welchen Wertebereich hat die Sinusfunktion und wie verändert sich dieser durch den Vorfaktor? - Wie verschiebt die Integrationskonstante \(C\) den Graphen der Funktion in \(y\)-Richtung? - Stelle eine Gleichung für den tiefsten Punkt des Graphen auf.

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion mittels linearer Substitution: \(F_k(x) = \int \cos(kx) \, dx = \frac{1}{k} \sin(kx) + C\). 2. Analyse des Wertebereichs: Der Term \(\sin(kx)\) nimmt Werte im Intervall \([-1; 1]\) an. Der Term \(\frac{1}{k} \sin(kx)\) hat somit den Wertebereich \([-\frac{1}{|k|}; \frac{1}{|k|}]\). 3. Bestimmung des Minimums: Das Minimum der Funktion \(F_k\) ist \(C - \frac{1}{|k|}\). 4. Anwendung der Bedingung: Da das Minimum \(0\) sein soll, gilt \(C - \frac{1}{|k|} = 0\), woraus \(C = \frac{1}{|k|}\) folgt. 5. Angabe der Stammfunktion: \(F_k(x) = \frac{1}{k} \sin(kx) + \frac{1}{|k|}\).

\(F_k(x) = \frac{1}{k} \sin(kx) + \frac{1}{|k|}\)

- Bestimme zuerst die allgemeine Stammfunktion von \(g\). Achte dabei auf die innere Ableitung. - In welchem Bereich schwanken die Werte des Kosinus-Teils deiner Stammfunktion? - Was muss für das Maximum und das Minimum einer Funktion gelten, damit sie das Vorzeichen wechselt? - Welche Werte darf die Integrationskonstante \(C\) annehmen, um diese Bedingung zu erfüllen?

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion unter Anwendung der linearen Kettenregel: \(G(x) = \int 6 \sin(3x + 2) \, dx = 6 \cdot \left(-\frac{1}{3} \cos(3x + 2)\right) + C = -2 \cos(3x + 2) + C\). 2. Bestimmung des Wertebereichs: Da \(\cos(3x + 2)\) Werte zwischen \(-1\) und \(1\) annimmt, liegt der Term \(-2 \cos(3x + 2)\) im Intervall \([-2; 2]\). 3. Analyse der Bedingung: Damit \(G\) sowohl positive als auch negative Werte annimmt, muss der Wertebereich \([C - 2; C + 2]\) die Null im Inneren enthalten. Dies ist erfüllt, wenn das Minimum kleiner als Null (\(C - 2 < 0\)) und das Maximum größer als Null (\(C + 2 > 0\)) ist. 4. Lösen der Ungleichungen: Aus \(C < 2\) und \(C > -2\) folgt das Intervall \(C \in (-2; 2)\). 5. Ergebnismenge: Alle Stammfunktionen der Form \(G(x) = -2 \cos(3x + 2) + C\) mit \(C \in (-2; 2)\).

\(G(x) = -2 \cos(3x + 2) + C\) mit \(C \in (-2; 2)\)

- Untersuche den Zähler in Teil a): In welchem Verhältnis steht er zur Ableitung des Nenners? - Erinnerst du dich an die Regel für Brüche, bei denen der Zähler ein Vielfaches der Ableitung des Nenners ist? - Betrachte in Teil b) die innere Funktion. Wie beeinflusst eine lineare Transformation im Argument das Integral? - Welche Funktion ergibt abgeleitet den Sinus, und was musst du wegen des Faktors vor dem \(t\) beachten?

1. Für Teilaufgabe a) wird die logarithmische Integrationsregel \(\int \frac{u'(x)}{u(x)} \, dx = \ln|u(x)| + C\) genutzt. Da die Ableitung des Nenners \(u(x) = x^2 - 3x + 10\) gerade \(u'(x) = 2x - 3\) ist, lässt sich der Zähler als \(3(2x - 3)\) umschreiben. Somit ergibt sich \(F(x) = 3\ln|x^2 - 3x + 10|\). 2. Für Teilaufgabe b) wird die lineare Substitutionsregel angewendet. Die innere Funktion ist \(h(t) = \frac{1}{2}t + \pi\) mit der Steigung \(m = \frac{1}{2}\). Eine Stammfunktion von \(\sin(z)\) ist \(-\cos(z)\). Unter Berücksichtigung des Faktors \(8\) und des Kehrwerts der inneren Ableitung \(\frac{1}{m} = 2\) ergibt sich \(G(t) = 8 \cdot \left(-\cos\left(\frac{1}{2}t + \pi\right)\right) \cdot 2 = -16\cos\left(\frac{1}{2}t + \pi\right)\).

a) \(F(x) = 3\ln|x^2 - 3x + 10|\) b) \(G(t) = -16\cos\left(\frac{1}{2}t + \pi\right)\)

- Untersuche den Zusammenhang zwischen dem Zähler und dem Nenner des Bruchs. - Gibt es eine Regel für Brüche, bei denen der Zähler ein Vielfaches der Ableitung des Nenners ist? - Erinnere dich an die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion. - Wie kannst du die Logarithmusgesetze nutzen, um das Endergebnis zusammenzufassen?

1. Identifikation der Struktur des Integranden: Der Zähler \(6x^2 - 2\) ist das Zweifache der Ableitung des Nenners \(f(x) = x^3 - x + 5\), da \(f'(x) = 3x^2 - 1\). 2. Anwendung der logarithmischen Integrationsregel \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + C\): Eine Stammfunktion ist somit \(F(x) = 2\ln|x^3 - x + 5|\). 3. Einsetzen der oberen Grenze: \(F(2) = 2\ln|2^3 - 2 + 5| = 2\ln(11)\). 4. Einsetzen der unteren Grenze: \(F(1) = 2\ln|1^3 - 1 + 5| = 2\ln(5)\). 5. Berechnung der Differenz: \(2\ln(11) - 2\ln(5) = 2(\ln(11) - \ln(5)) = 2 \ln\left(\frac{11}{5}\right) = 2 \ln(2{,}2)\).

\(2 \ln(2{,}2)\) (ca. \(1{,}577\))

- Betrachte die innere Funktion des Exponenten. Wie wirkt sich eine lineare Funktion im Exponenten auf die Stammfunktion aus? - Erinnere dich an die Kettenregel beim Ableiten und überlege, wie du sie beim Integrieren umkehrst. - Was ist der Wert von \(e^0\)? - Achte beim Einsetzen der Grenzen besonders auf die Vorzeichen.

1. Anwendung der Substitutionsregel für lineare innere Funktionen \(g(x) = ax + b\): Die Stammfunktion von \(e^{ax+b}\) ist \(\frac{1}{a} e^{ax+b}\). 2. Bestimmung der Stammfunktion mit \(a = -0{,}5\): \(F(x) = \frac{1}{-0{,}5} e^{1 - 0{,}5x} = -2 e^{1 - 0{,}5x}\). 3. Auswertung an der oberen Grenze \(x = 2\): \(F(2) = -2 e^{1 - 0{,}5 \cdot 2} = -2 e^{0} = -2\). 4. Auswertung an der unteren Grenze \(x = 0\): \(F(0) = -2 e^{1 - 0{,}5 \cdot 0} = -2 e^1 = -2e\). 5. Berechnung der Differenz: \(F(2) - F(0) = -2 - (-2e) = 2e - 2\).

\(2e - 2\) (ca. \(3{,}437\))

- Was passiert mit den Vorzeichen der Funktionswerte, wenn man den Graphen am Ursprung spiegelt? - Wie berechnet man den Wert eines bestimmten Integrals mithilfe einer Stammfunktion? - Überlege dir, wie sich Flächen oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse bei der Integralrechnung gegenseitig beeinflussen. - Welche bekannten Funktionstypen außer ganzrationalen Funktionen weisen eine Punktsymmetrie zum Ursprung auf?

1. Berechnung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2\). Einsetzen der Grenzen: \(F(2) = \frac{1}{4} \cdot 2^4 - 2 \cdot 2^2 = 4 - 8 = -4\) und \(F(-2) = \frac{1}{4} \cdot (-2)^4 - 2 \cdot (-2)^2 = 4 - 8 = -4\). Die Differenz ergibt \(\int_{-2}^{2} f(x) \, dx = -4 - (-4) = 0\). 2. Der Graph von \(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da nur ungerade Exponenten vorkommen. In einem zum Ursprung symmetrischen Intervall \([-2; 2]\) sind die Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse gleich groß. Da das Integral die orientierten Flächeninhalte addiert (Flächenbilanz), heben sich diese exakt zu Null auf. 3. Eine mögliche Funktion ist \(g(x) = \sin(x)\). Diese Funktion ist ebenfalls punktsymmetrisch zum Ursprung (\(g(-x) = -g(x)\)), wodurch die Flächenbilanz über jedem Intervall \([-a; a]\) den Wert Null ergibt.

1. \(\int_{-2}^{2} (x^3 - 4x) \, dx = [\frac{1}{4}x^4 - 2x^2]_{-2}^{2} = (-4) - (-4) = 0\). 2. Aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung sind die Flächenanteile im Intervall \([-2; 0]\) und \([0; 2]\) betragsgleich, haben aber unterschiedliche Vorzeichen, sodass die Flächenbilanz (das Integral) Null ergibt. 3. Beispiel: \(g(x) = \sin(x)\) oder \(g(x) = x^5\). Begründung: Die Funktion ist ungerade (punktsymmetrisch zum Ursprung), weshalb sich die orientierten Flächeninhalte über dem Intervall \([-a; a]\) aufheben.

- Welcher Teil des Integranden wird beim Ableiten zu einer Konstanten? - Achte besonders auf die Vorzeichen beim Integrieren der Sinus- und Kosinusfunktion. - Kannst du die Werte von Sinus und Kosinus an den Stellen \(0\) und \(\frac{\pi}{2}\) bestimmen? - Setze die Grenzen sorgfältig in die zusammengesetzte Stammfunktion ein.

1. Wahl der Teilfunktionen: \(u(x) = 2x - 1\) und \(v'(x) = \sin(x)\). 2. Berechnung der benötigten Ableitung \(u'(x) = 2\) und Stammfunktion \(v(x) = -\cos(x)\). 3. Anwendung der Formel \(\int u \cdot v' = [u \cdot v] - \int u' \cdot v\): \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (2x - 1) \sin(x) \, dx = [-(2x - 1)\cos(x)]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2(-\cos(x)) \, dx\). 4. Umformung des zweiten Integrals zu \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\cos(x) \, dx = [2\sin(x)]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\). 5. Zusammenführen der Stammfunktion: \([-(2x - 1)\cos(x) + 2\sin(x)]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\). 6. Einsetzen der Grenzen: \((-(2 \cdot \frac{\pi}{2} - 1) \cdot \cos(\frac{\pi}{2}) + 2\sin(\frac{\pi}{2})) - (-(2 \cdot 0 - 1) \cdot \cos(0) + 2\sin(0))\). 7. Da \(\cos(\frac{\pi}{2}) = 0\), \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\), \(\cos(0) = 1\) und \(\sin(0) = 0\), ergibt sich: \((0 + 2) - (-(-1) \cdot 1 + 0) = 2 - 1 = 1\).

\(1\)

- Überlege dir, welche Funktionen beim Ableiten wieder eine Exponentialfunktion oder einen Faktor \(x\) erzeugen. - Erinnere dich an die Struktur der Kettenregel beim Integrieren (Substitution). - Wann ist es hilfreich, ein Produkt von zwei Funktionen zu integrieren, bei denen ein Teil durch Ableiten einfacher wird? - Gibt es einen Exponenten, bei dem sich der Ausdruck vor dem \(e\) direkt mit der inneren Ableitung verrechnen lässt?

1. Erste Möglichkeit: Setze den Exponenten gleich \(x\). Das Integral \(\int_0^1 x e^x\,dx\) wird durch partielle Integration berechnet. Mit \(u=x\) und \(v'=e^x\) erhält man die Stammfunktion \((x-1)e^x\). Daher gilt \(\left[(x-1)e^x\right]_0^1=1\). 2. Zweite Möglichkeit: Setze den Exponenten gleich \(x^2\). Dann kann \(\int_0^1 x e^{x^2}\,dx\) durch die Substitution \(u=x^2\) berechnet werden, weil \(du=2x\,dx\) gilt. Eine weitere Auswertung ist nicht erforderlich, da laut Aufgabenstellung nur eines der beiden vervollständigten Integrale berechnet werden soll.

Mögliche Exponenten sind \(x\) und \(x^2\). Für \(x\) führt partielle Integration zum Integralwert \(1\); für \(x^2\) wäre Substitution die passende Methode.

- Was passiert, wenn Zähler und Nenner identisch sind? - Welche Beziehung muss zwischen dem Zähler und dem Nenner bestehen, damit man das Ergebnis direkt als Logarithmus schreiben kann? - Denke an die Ableitung der Funktion \(e^x\). Welche Funktionen haben \(e^x\) als Ableitung?

1. Teilaufgabe a): Setze den Nenner auf \(e^x\). Der Integrand vereinfacht sich zu \(\frac{e^x}{e^x} = 1\). Das Integral lautet \(\int_{0}^{1} 1 \, dx = [x]_0^1 = 1 - 0 = 1\). 2. Teilaufgabe b): Die logarithmische Integrationsregel besagt, dass \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + C\). Da im Zähler \(e^x\) steht, muss der Nenner eine Funktion \(f(x)\) sein, deren Ableitung \(e^x\) ist. Eine mögliche Wahl ist \(f(x) = e^x + 1\). 3. Berechnung zu b): \(\int_{0}^{1} \frac{e^x}{e^x + 1} \, dx = [\ln(e^x + 1)]_0^1 = \ln(e^1 + 1) - \ln(e^0 + 1) = \ln(e+1) - \ln(2) = \ln\left(\frac{e+1}{2}\right) \approx 0{,}62\).

a) Nenner \(e^x\); Integralwert: \(1\). b) Nenner \(e^x + 1\); Integralwert: \(\ln\left(\frac{e+1}{2}\right)\).

- Welchen Faktor kannst du ergänzen, um die partielle Integration anzuwenden? - Erinnere dich an die Ableitung der Logarithmusfunktion und die Kettenregel. - Was passiert mit dem Integranden, wenn du die Faktoren für die partielle Integration geschickt wählst? - Beachte den Wert des natürlichen Logarithmus an der Stelle 1.

1. Anwendung der partiellen Integration auf \(I_{0{,}2}(x) = \int_{0{,}2}^x 1 \cdot \ln(5t) \, dt\) mit \(u(t) = \ln(5t)\) und \(v'(t) = 1\). 2. Bestimmung der Ableitung \(u'(t) = \frac{1}{5t} \cdot 5 = \frac{1}{t}\) und der Stammfunktion \(v(t) = t\). 3. Einsetzen in die Formel der partiellen Integration: \(\int \ln(5t) \, dt = t \cdot \ln(5t) - \int t \cdot \frac{1}{t} \, dt = t \cdot \ln(5t) - t\). 4. Auswertung der Grenzen: \(I_{0{,}2}(x) = [t \cdot \ln(5t) - t]_{0{,}2}^x = (x \cdot \ln(5x) - x) - (0{,}2 \cdot \ln(1) - 0{,}2)\). 5. Da \(\ln(1) = 0\), ergibt sich \(I_{0{,}2}(x) = x \cdot \ln(5x) - x + 0{,}2\).

\(I_{0{,}2}(x) = x \cdot \ln(5x) - x + 0{,}2\)

- Welche Integrationsregel eignet sich für ein Produkt aus einer linearen Funktion und einer Exponentialfunktion? - Überlege dir, welchen Teil der Funktion du ableiten und welchen du integrieren möchtest, um das Integral zu vereinfachen. - Vergiss bei der Stammfunktion von \(e^{3x}\) die innere Ableitung nicht. - Kannst du den resultierenden Term am Ende durch Ausklammern vereinfachen?

1. Anwendung der partiellen Integration mit der Formel \(\int u(x) \cdot v'(x) \, dx = u(x) \cdot v(x) - \int u'(x) \cdot v(x) \, dx\). 2. Wahl der Teilfunktionen: \(u(x) = x + 1\) und \(v'(x) = e^{3x}\). 3. Bestimmung der Ableitung und Stammfunktion der Teile: \(u'(x) = 1\) und \(v(x) = \frac{1}{3} e^{3x}\). 4. Einsetzen in die Formel: \(F(x) = (x + 1) \cdot \frac{1}{3} e^{3x} - \int 1 \cdot \frac{1}{3} e^{3x} \, dx\). 5. Berechnung des verbleibenden Integrals: \(\int \frac{1}{3} e^{3x} \, dx = \frac{1}{9} e^{3x}\). 6. Zusammenfassen und Vereinfachen: \(F(x) = \frac{1}{3}(x + 1)e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} = (\frac{1}{3}x + \frac{1}{3} - \frac{1}{9})e^{3x} = (\frac{1}{3}x + \frac{2}{9})e^{3x}\).

\(F(x) = \left(\frac{1}{3}x + \frac{2}{9}\right) \cdot e^{3x}\)

- Erkennst du eine Produktstruktur, bei der ein Faktor durch Ableiten wegfällt? - Achte beim Integrieren von \(\cos(2x)\) auf den Faktor vor dem \(x\) im Argument. - Welches Vorzeichen ergibt sich, wenn du eine Sinusfunktion integrierst? - Überprüfe dein Ergebnis, indem du die gefundene Stammfunktion wieder ableitest.

1. Nutzung der partiellen Integration: \(\int u \cdot v' = uv - \int u' v\). 2. Festlegung der Funktionen: \(u(x) = 4x\) (wird durch Ableiten einfacher) und \(v'(x) = \cos(2x)\). 3. Ableiten und Integrieren: \(u'(x) = 4\) und \(v(x) = \frac{1}{2} \sin(2x)\). 4. Einsetzen: \(F(x) = 4x \cdot \frac{1}{2} \sin(2x) - \int 4 \cdot \frac{1}{2} \sin(2x) \, dx\). 5. Vereinfachen des ersten Terms und des neuen Integrals: \(2x \sin(2x) - \int 2 \sin(2x) \, dx\). 6. Integration des Sinus-Terms (Beachtung des Vorzeichens und Faktors): \(\int 2 \sin(2x) \, dx = - \cos(2x)\). 7. Endergebnis: \(F(x) = 2x \sin(2x) + \cos(2x)\).

\(F(x) = 2x \cdot \sin(2x) + \cos(2x)\)

- Wo liegt der Scheitelpunkt der Parabel und welche Symmetrie weist sie auf? - Wie verhält sich das Intervall \([1; 3]\) in Bezug auf die Symmetrieachse der Funktion? - Wenn du rechnen möchtest: Bestimme zuerst eine Stammfunktion und setze die Grenzen ein. - Nutze die Intervalladditivität, um das große Integral in zwei Teile zu zerlegen.

1. Lösungsweg über Symmetrie: Der Graph von \(f(x) = (x-2)^2 - 1\) ist eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt \(S(2\mid -1)\). Die Parabel ist achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 2\). Im Intervall \([1; 3]\) liegt die Symmetrieachse genau in der Mitte. Daher ist der orientierte Flächeninhalt im Teilintervall \([1; 2]\) identisch mit dem im Teilintervall \([2; 3]\). Die Summe beider Teilintegrale (\(\int_{1}^{3} f(x) \, dx\)) entspricht somit dem Doppelten eines Teilintegrals. 2. Lösungsweg über den Hauptsatz: Eine Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{1}{3}(x-2)^3 - x\). Die Berechnung der linken Seite ergibt \(F(3) - F(1) = (\frac{1}{3} \cdot 1^3 - 3) - (\frac{1}{3} \cdot (-1)^3 - 1) = -\frac{8}{3} - (-\frac{4}{3}) = -\frac{4}{3}\). Die Berechnung der rechten Seite ergibt \(2 \cdot (F(3) - F(2)) = 2 \cdot ((-\frac{8}{3}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^3 - 2)) = 2 \cdot (-\frac{8}{3} + 2) = 2 \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{4}{3}\). Beide Seiten sind gleich.

Die Gleichung ist wahr, da der Graph von \(f\) achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 2\) ist, wodurch \(\int_{1}^{2} f(x) \, dx = \int_{2}^{3} f(x) \, dx\) gilt. Alternativ liefert die Berechnung mit der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{3}(x-2)^3 - x\) auf beiden Seiten den Wert \(-\frac{4}{3}\).

- Überlege dir, wie du den Integranden sinnvoll in zwei Faktoren aufteilen kannst. - Was passiert, wenn du eine Funktion wählst, deren Stammfunktion genau dem anderen Teil des Integranden entspricht? - Betrachte das Integral am Ende der Formel – kommt es dir bekannt vor? - Du kannst das Integral wie eine Variable in einer algebraischen Gleichung behandeln.

1. Wahl der Funktionen für die partielle Integration: \(u(x) = \ln(x)\) und \(v'(x) = \frac{1}{x}\). 2. Bestimmung der Ableitung und Stammfunktion: \(u'(x) = \frac{1}{x}\) und \(v(x) = \ln(x)\). 3. Anwendung der Formel \(\int u \cdot v' = [u \cdot v] - \int u' \cdot v\): \(\int_{1}^{e} \frac{\ln(x)}{x} \, dx = [\ln(x) \cdot \ln(x)]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \cdot \ln(x) \, dx\). 4. Zusammenfassen des Integrals \(I\) auf einer Seite: \(I = [\ln^2(x)]_{1}^{e} - I \Rightarrow 2I = [\ln^2(x)]_{1}^{e}\). 5. Auswerten der Grenzen: \(2I = \ln^2(e) - \ln^2(1) = 1^2 - 0 = 1\). 6. Auflösen nach \(I\): \(I = \frac{1}{2} = 0{,}5\).

\(0{,}5\)

- Überlege dir, welcher Teil des Produkts durch Ableiten einfacher wird. - Erinnere dich an die Formel der partiellen Integration: \(\int u \cdot v' = u \cdot v - \int u' \cdot v\). - Was passiert mit der Potenz von \(x\), wenn du sie ableitest? - Nach dem ersten Schritt bleibt ein Integral übrig, das eine ähnliche Struktur wie das ursprüngliche hat. Wie kannst du hier weiter vorgehen?

1. Erste partielle Integration mit \(u = x^2\) und \(v' = e^{2x}\) führt zu \(u' = 2x\) und \(v = \frac{1}{2} e^{2x}\). Es ergibt sich \(\left[ \frac{1}{2}x^2 e^{2x} \right]_0^1 - \int_0^1 x e^{2x} \, dx\). 2. Zweite partielle Integration für das verbleibende Integral \(\int x e^{2x} \, dx\) mit \(u = x\) und \(v' = e^{2x}\) liefert die Stammfunktion \(\frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}\). 3. Die gesamte Stammfunktion für den Integranden lautet \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 e^{2x} - \left( \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} \right) = \left( \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} \right) e^{2x}\). 4. Auswertung der Grenzen: \(F(1) = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) e^2 = \frac{1}{4}e^2\) und \(F(0) = \left( 0 - 0 + \frac{1}{4} \right) e^0 = \frac{1}{4}\). 5. Die Differenz \(F(1) - F(0)\) ergibt den Wert \(\frac{e^2 - 1}{4}\).

\(\frac{e^2 - 1}{4}\)

- Welche Funktion eignet sich besser zum Ableiten, damit der Grad des Terms sinkt? - Achte beim zweiten Schritt besonders auf die Vorzeichen, da die Integration von Sinus und Kosinus Vorzeichenwechsel beinhalten kann. - Setze die Grenzen erst ganz am Ende in die vollständige Stammfunktion ein, um Rechenfehler zu vermeiden. - Erinnere dich an die Werte von Sinus und Kosinus bei \(0\) und \(\frac{\pi}{2}\).

1. Erste partielle Integration mit \(u = x^2\) und \(v' = \cos(x)\) ergibt \(u' = 2x\) und \(v = \sin(x)\). Das Integral wird zu \(\left[ x^2 \sin(x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2x \sin(x) \, dx\). 2. Zweite partielle Integration für \(\int 2x \sin(x) \, dx\) mit \(u = 2x\) und \(v' = \sin(x)\) führt zu \(u' = 2\) und \(v = -\cos(x)\). Dies ergibt \(\left[ -2x \cos(x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} -2 \cos(x) \, dx = \left[ -2x \cos(x) + 2 \sin(x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}}\). 3. Die vollständige Stammfunktion lautet \(F(x) = x^2 \sin(x) - (-2x \cos(x) + 2 \sin(x)) = x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) - 2 \sin(x)\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(F(\frac{\pi}{2}) = (\frac{\pi}{2})^2 \cdot 1 + 2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot 0 - 2 \cdot 1 = \frac{\pi^2}{4} - 2\). 5. Einsetzen der unteren Grenze: \(F(0) = 0 + 0 - 0 = 0\). 6. Der Wert des Integrals ist \(\frac{\pi^2}{4} - 2\).

\(\frac{\pi^2}{4} - 2\)

- Untersuche den Bruch: Ist der Zähler vielleicht die Ableitung des Nenners? - Bei Potenzausdrücken im Nenner kann es helfen, diese mit negativem Exponenten zu schreiben. - Achte bei Verkettungen mit linearen Funktionen auf den Korrekturfaktor (den Kehrwert der inneren Ableitung). - Kannst du eine Stammfunktion finden, indem du die Kettenregel rückwärts anwendest?

1. Für Teilaufgabe a) wird die logarithmische Integrationsregel \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + C\) angewendet. Mit \(f(x) = x^2 - 5x + 10\) und \(f'(x) = 2x - 5\) ergibt sich die Stammfunktion \(F(x) = \ln|x^2 - 5x + 10|\). Einsetzen der Grenzen liefert \(\ln|3^2 - 5 \cdot 3 + 10| - \ln|1^2 - 5 \cdot 1 + 10| = \ln(4) - \ln(6) = \ln(\frac{2}{3})\). 2. Für Teilaufgabe b) wird die lineare Substitution oder die erweiterte Potenzregel verwendet. Die Stammfunktion von \((2x + 2)^{-3}\) ist \(F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x + 2)^{-2}}{-2} = -\frac{1}{4(2x + 2)^2}\). Einsetzen der Grenzen ergibt \(F(1) - F(0) = -\frac{1}{4(4)^2} - (-\frac{1}{4(2)^2}) = -\frac{1}{64} + \frac{1}{16} = \frac{3}{64}\).

a) \(\ln(\frac{2}{3})\) b) \(\frac{3}{64}\)

- Überlege dir, wo die Nullstellen der Funktion liegen und ob der Graph eine besondere Symmetrie aufweist. - Was bedeutet Punktsymmetrie zu einem Punkt auf der \(x\)-Achse für den Wert eines Integrals über ein symmetrisches Intervall? - Kannst du das Integral von 0 bis 4 in zwei Teilintegrale zerlegen?

1. Untersuchung der Symmetrie von \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\): Die Funktion besitzt Nullstellen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt \(P(1\mid 0)\), da \(f(1+h) = -f(1-h)\) gilt. 2. Anwendung auf das Integral: Aufgrund der Punktsymmetrie zum Mittelpunkt des Intervalls \([0; 2]\) heben sich die orientierten Flächeninhalte in diesem Bereich gegenseitig auf, woraus \(\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 0\) folgt. 3. Intervalladditivität: Das Integral über \([0; 4]\) lässt sich aufspalten in \(\int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx\). 4. Schlussfolgerung: Da der erste Teilterm Null ist, gilt \(\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 0 + \int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} f(x) \, dx\). Die Aussage ist somit wahr.

Die Aussage ist wahr. Begründung: Der Graph von \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\) ist punktsymmetrisch zum Punkt \(P(1\mid 0)\). Daraus folgt, dass die Flächenbilanz im Intervall \([0; 2]\) genau Null ergibt (\(\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 0\)). Durch die Zerlegung des Integrals \(\int_{0}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx\) erkennt man, dass der Wert identisch mit \(\int_{2}^{4} f(x) \, dx\) sein muss.

- Überlege dir, was die geometrische Bedeutung des Integrals als „orientierter Flächeninhalt“ für symmetrische Graphen bedeutet. - Erinnere dich an die Definitionen von Punkt- und Achsensymmetrie. - Suche für das Gegenbeispiel nach einer einfachen Funktion (z. B. einer Parabel), die so verschoben ist, dass die Flächenbilanz über einem symmetrischen Intervall null ergibt. - Prüfe, ob jede Funktion, deren Integral null ist, zwingend „ungerade“ sein muss.

1. Anjas Aussage ist wahr: Bei einer punktsymmetrischen Funktion gilt \(f(-x) = -f(x)\). Die Flächenanteile oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse im Intervall \([-a; a]\) sind betragsmäßig gleich groß, besitzen aber unterschiedliche Vorzeichen, sodass sich das Integral zu null aufhebt. 2. Lukas’ Aussage ist falsch: Ein verschwindendes Integral bedeutet lediglich, dass die Flächenbilanz ausgeglichen ist, lässt aber keinen zwingenden Rückschluss auf die Art der Symmetrie zu. 3. Gegenbeispiel: Betrachte \(f(x) = x^2 - \frac{1}{3}\) im Intervall \([-1; 1]\). 4. Berechnung des Integrals: \(\int_{-1}^{1} (x^2 - \frac{1}{3}) \, dx = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{3}x]_{-1}^{1} = (\frac{1}{3} - \frac{1}{3}) - (-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) = 0 - 0 = 0\). 5. Symmetrie-Prüfung: Da \(f(-x) = (-x)^2 - \frac{1}{3} = x^2 - \frac{1}{3} = f(x)\) gilt, ist die Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und nicht punktsymmetrisch zum Ursprung (da \(f(1) = \frac{2}{3} \neq -f(-1)\)).

Anjas Aussage ist wahr, Lukas’ Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel für Lukas’ Behauptung ist die Funktion \(f(x) = x^2 - \frac{1}{3}\) im Intervall \([-1; 1]\). Hier ist \(\int_{-1}^{1} (x^2 - \frac{1}{3}) \, dx = 0\), der Graph ist jedoch achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

- Betrachte die Summanden einzeln für die Ableitung und die Integration. - Welche Beziehung besteht zwischen dem Zähler und der Ableitung des Nenners im ersten Summanden? - Nutze für den trigonometrischen Teil die Kettenregel bzw. deren Umkehrung. - Welche Regel ist für das Ableiten eines Quotienten zweier Funktionen hilfreich?

1. Zur Bestimmung von \(f'(x)\) wird der erste Summand mit der Quotientenregel abgeleitet: \(u = 4x, u' = 4, v = 2x^2 + 3, v' = 4x\). Dies ergibt \(\frac{4(2x^2 + 3) - 4x(4x)}{(2x^2 + 3)^2} = \frac{8x^2 + 12 - 16x^2}{(2x^2 + 3)^2} = \frac{12 - 8x^2}{(2x^2 + 3)^2}\). Der zweite Summand wird mit der Kettenregel abgeleitet zu \(2\cos(2x + 1)\). Somit gilt \(f'(x) = \frac{12 - 8x^2}{(2x^2 + 3)^2} + 2\cos(2x + 1)\). 2. Zur Bestimmung von \(F(x)\) erkennt man im ersten Summanden die Struktur \(\frac{g'(x)}{g(x)}\), da \((2x^2 + 3)' = 4x\). Das Integral ist somit \(\ln(2x^2 + 3)\). Der zweite Summand wird mittels linearer Substitution integriert zu \(-\frac{1}{2}\cos(2x + 1)\). Somit gilt \(F(x) = \ln(2x^2 + 3) - \frac{1}{2}\cos(2x + 1)\).

\(f'(x) = \frac{12 - 8x^2}{(2x^2 + 3)^2} + 2\cos(2x + 1)\) \(F(x) = \ln(2x^2 + 3) - \frac{1}{2}\cos(2x + 1)\)

- Was passiert mit den Integrationsgrenzen, wenn du das Vorzeichen vor einem Integral änderst? - Kannst du die beiden Integrale so umformen, dass sie eine gemeinsame Grenze haben? - Über welches Gesamtintervall wird effektiv integriert, wenn man ein Teilintervall von einem größeren abzieht? - Versuche, eine Stammfunktion für den Term in der Klammer zu finden.

1. Nutzung der Integraleigenschaften: Die Subtraktion eines Integrals ist gleichbedeutend mit der Addition des Integrals bei vertauschten Grenzen: \(-\int_{2}^{3} f(x) \, dx = \int_{3}^{2} f(x) \, dx\). 2. Zusammenfassen der Integrale: \(\int_{-1}^{3} (4 - x^2) \, dx + \int_{3}^{2} (4 - x^2) \, dx = \int_{-1}^{2} (4 - x^2) \, dx\). 3. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(F(2) = 4 \cdot 2 - \frac{1}{3} \cdot 2^3 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}\). 5. Einsetzen der unteren Grenze: \(F(-1) = 4 \cdot (-1) - \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 = -4 + \frac{1}{3} = -\frac{11}{3}\). 6. Berechnung der Differenz: \(\frac{16}{3} - \left(-\frac{11}{3}\right) = \frac{27}{3} = 9\).

\(9\)

- Wie kannst du ein Minuszeichen vor einem Integral eliminieren, indem du die Integrationsgrenzen anpasst? - Schau dir die Grenzen der einzelnen Integrale genau an. Lassen sie sich zu einer lückenlosen Kette verbinden? - Es ist oft einfacher, zuerst den gesamten Integralausdruck zu vereinfachen, bevor du die Stammfunktion bildest.

1. Anwendung der Rechenregel für vertauschte Grenzen: \(-\int_{4}^{2} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} f(x) \, dx\). 2. Zusammenfassen der drei Integrale über die aneinandergrenzenden Intervalle \([-1; 2]\), \([2; 4]\) und \([4; 5]\) zu einem Integral über das Gesamtintervall \([-1; 5]\): \(\int_{-1}^{5} (3x^2 - 4x + 5) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x\). 4. Berechnung der Funktionswerte an den Grenzen: \(F(5) = 5^3 - 2 \cdot 5^2 + 5 \cdot 5 = 125 - 50 + 25 = 100\) und \(F(-1) = (-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 + 5 \cdot (-1) = -1 - 2 - 5 = -8\). 5. Differenzbildung: \(100 - (-8) = 108\).

\(\int_{-1}^{5} (3x^2 - 4x + 5) \, dx = 108\)

- Kannst du die beiden Integrale zu einem einzigen Integral zusammenfassen, da sie dieselben Grenzen haben? - Multipliziere den Faktor vor dem ersten Integral in den Integranden hinein, bevor du die Funktionen addierst. - Welche Terme im Integranden heben sich gegenseitig auf, wenn du alles zusammenfasst? - Erinnere dich beim Integrieren daran, wie man Potenzen mit negativen Exponenten behandelt.

1. Anwendung der Linearität (Faktorregel und Summenregel), um die Integranden zusammenzufassen: \(\int_{1}^{4} \left(3 \cdot (\sqrt{x} + \frac{1}{x^2}) + (2 - 3\sqrt{x})\right) \, dx\). 2. Vereinfachung des Integranden: \(3\sqrt{x} + \frac{3}{x^2} + 2 - 3\sqrt{x} = \frac{3}{x^2} + 2\). 3. Bestimmung der Stammfunktion von \(f(x) = 3x^{-2} + 2\): \(F(x) = -3x^{-1} + 2x = -\frac{3}{x} + 2x\). 4. Berechnung der Werte an den Grenzen: \(F(4) = -\frac{3}{4} + 2 \cdot 4 = -0{,}75 + 8 = 7{,}25\) und \(F(1) = -\frac{3}{1} + 2 \cdot 1 = -3 + 2 = -1\). 5. Differenzbildung: \(7{,}25 - (-1) = 8{,}25\).

\(\int_{1}^{4} \left(\frac{3}{x^2} + 2\right) \, dx = 8{,}25\)

- Überprüfe, ob der Integrand nur gerade oder nur ungerade Exponenten besitzt. - Wie verhält sich der Graph einer Funktion mit ausschließlich ungeraden Exponenten bei einer Spiegelung am Ursprung? - Kannst du eine Summe im Integral in einzelne Integrale aufteilen, um Symmetrien besser zu nutzen? - Was bedeutet Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse für die Flächeninhalte links und rechts der Achse?

1. Der Integrand \(f(x) = x^5 - 12x^3 + 2x\) enthält nur ungerade Exponenten. Die Funktion ist somit punktsymmetrisch zum Ursprung. Da das Integrationsintervall \([-4; 4]\) symmetrisch zum Ursprung liegt, heben sich die orientierten Flächeninhalte auf: \(\int_{-4}^{4} (x^5 - 12x^3 + 2x) \, dx = 0\). 2. Der Integrand \(g(x) = 15x^4 - 6x^2\) enthält nur gerade Exponenten. Die Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Es gilt \(\int_{-1}^{1} g(x) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{1} (15x^4 - 6x^2) \, dx\). Mit der Stammfunktion \(G(x) = 3x^5 - 2x^3\) ergibt sich \(2 \cdot [3x^5 - 2x^3]_0^1 = 2 \cdot (3 - 2) = 2\). 3. Der Integrand \(h(x) = x^2 + 2x + 1\) kann in einen geraden Teil \(x^2 + 1\) und einen ungeraden Teil \(2x\) zerlegt werden. Das Integral über den ungeraden Teil \(\int_{-3}^{3} 2x \, dx\) ist \(0\). Das Integral über den geraden Teil ist \(2 \cdot \int_{0}^{3} (x^2 + 1) \, dx = 2 \cdot [\frac{1}{3}x^3 + x]_0^3 = 2 \cdot (9 + 3) = 24\).

1. \(0\) 2. \(2\) 3. \(24\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Exponenten einer Polynomfunktion und ihrem Symmetrieverhalten. - Nutze die Rechenregeln für Integrale, um die Summe im Integranden aufzuspalten. - Denke bei der Beurteilung von Aussagen über Integrale an die Lage des Graphen zur \(x\)-Achse. - Reicht die Symmetrie alleine aus, um das Vorzeichen des Integrals festzulegen?

a) Da \(f(x)\) nur ungerade Exponenten besitzt, ist der Graph von \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung. Im Intervall \([-3; 3]\) sind die Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse aufgrund der Symmetrie betragsgleich, haben aber unterschiedliche Vorzeichen in der Flächenbilanz. Somit ist das Gesamteintegral \(0\). b) Das Integral kann mithilfe der Linearität aufgeteilt werden: \(\int_{-3}^{3} (f(x) + c) \, dx = \int_{-3}^{3} f(x) \, dx + \int_{-3}^{3} c \, dx\). Aus Aufgabenteil a) ist bekannt, dass der erste Term \(0\) ist. Für den zweiten Term gilt: \(\int_{-3}^{3} c \, dx = [cx]_{-3}^{3} = 3c - (-3c) = 6c\). c) Die Aussage ist falsch. Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse bedeutet lediglich, dass der Graph links und rechts der Achse identisch verläuft. Liegt der Graph im betrachteten Intervall vollständig unterhalb der \(x\)-Achse, ist das Integral negativ. Beispiel: \(g(x) = -1\). Hier ist \(\int_{-1}^{1} -1 \, dx = -2\), obwohl \(g\) achsensymmetrisch ist.

a) Punktsymmetrie zum Ursprung bei symmetrischem Intervall führt zur Flächenbilanz \(0\). b) \(I = 6c\) c) Die Aussage ist falsch; liegt der Graph unterhalb der \(x\)-Achse (z. B. \(g(x) = -1\)), ist das Integral negativ.

- Erinnere dich an die Regel, was passiert, wenn man die obere und untere Grenze eines Integrals vertauscht. - Kannst du zwei Integrale mit demselben Integranden zusammenfügen, wenn die Grenzen „aneinanderstoßen“? - Prüfe nach dem Zusammenfügen, ob das neue Intervall eine besondere Symmetrie aufweist.

1. Anwendung der Rechenregel für vertauschte Grenzen: \(-\int_{4}^{1} f(x) \, dx = \int_{1}^{4} f(x) \, dx\). 2. Zusammenfassen der Integrale über die Intervalladditivität: \(\int_{-4}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{4} f(x) \, dx = \int_{-4}^{4} f(x) \, dx\). 3. Untersuchung der Symmetrie von \(f(x) = x^3 + 2x + 0{,}5\): Die Summanden \(x^3\) und \(2x\) sind ungerade, ihr Integral über \([-4; 4]\) ist \(0\). 4. Reduktion des Integrals auf den konstanten (geraden) Teil: \(\int_{-4}^{4} 0{,}5 \, dx\). 5. Berechnung des verbleibenden Integrals: \([0{,}5x]_{-4}^{4} = 0{,}5 \cdot 4 - 0{,}5 \cdot (-4) = 2 - (-2) = 4\).

\(4\)

- Überlege dir, wie sich Flächeninhalte bei einer Spiegelung an der \(y\)-Achse verhalten. - Nutze die Eigenschaft, dass man Integrationsintervalle an beliebigen Stellen aufteilen oder zusammensetzen kann. - Erinnere dich daran, wie man die Summe von zwei Funktionen integriert. - Wie berechnet man das Integral einer konstanten Funktion über ein bestimmtes Intervall?

1. Da \(f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, gilt \(\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{a} f(x) \, dx\). Somit ist \(\int_{-3}^{3} f(x) \, dx = 2 \cdot 4 = 8\). 2. Bei Achsensymmetrie gilt \(\int_{-b}^{-a} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx\). Daher ist \(\int_{-5}^{-3} f(x) \, dx = \int_{3}^{5} f(x) \, dx = -2\). 3. Wegen der Symmetrie ist \(\int_{-5}^{0} f(x) \, dx = \int_{0}^{5} f(x) \, dx\). Mit der Intervalladditivität folgt \(\int_{0}^{5} f(x) \, dx = \int_{0}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx = 4 + (-2) = 2\). 4. Nach der Linearität des Integrals gilt \(\int_{0}^{5} (f(x) + 3) \, dx = \int_{0}^{5} f(x) \, dx + \int_{0}^{5} 3 \, dx\). Das erste Integral ist \(2\) (siehe Schritt 3), das zweite ist \([3x]_0^5 = 15\). Die Summe ergibt \(2 + 15 = 17\).

a) \(8\) b) \(-2\) c) \(2\) d) \(17\)

- Kannst du den Funktionsterm in eine Summe aus einer geraden und einer ungeraden Funktion aufteilen? - Was passiert mit dem Integral der ungeraden Summanden, wenn man über ein Intervall von \(-k\) bis \(k\) integriert? - Berechne das Integral des verbleibenden Anteils unter Ausnutzung der Symmetrie zur \(y\)-Achse.

1. Zerlegung des Integrands: Aufgrund der Linearität des Integrals gilt \(\int_{-k}^{k} (x^3 - 6x^2 + 2x) \, dx = \int_{-k}^{k} (x^3 + 2x) \, dx + \int_{-k}^{k} (-6x^2) \, dx\). 2. Symmetriebetrachtung: Der Anteil \(u(x) = x^3 + 2x\) ist eine ungerade Funktion. Für jedes symmetrische Intervall \([-k; k]\) gilt \(\int_{-k}^{k} u(x) \, dx = 0\). Somit hängt der Gesamtwert nur vom Integral des geraden Anteils \(g(x) = -6x^2\) ab. 3. Berechnung: \(I = \int_{-k}^{k} -6x^2 \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{k} -6x^2 \, dx = 2 \cdot [-2x^3]_0^k = 2 \cdot (-2k^3) = -4k^3\).

a) Da \(x^3\) und \(2x\) ungerade Funktionen sind, ist ihr Integral über \([-k; k]\) gleich \(0\). Es bleibt nur das Integral über den geraden Anteil \(-6x^2\). b) \(I = -4k^3\)

- Betrachte die Symmetrie der einzelnen Summanden der Funktion im Hinblick auf das Integrationsintervall. - Was passiert mit dem Integral einer ungeraden Funktion über ein Intervall, das symmetrisch zum Nullpunkt liegt? - Kannst du die Berechnung vereinfachen, indem du nur den geraden Anteil der Funktion integrierst? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, um das verbleibende Integral zu lösen.

1. Aufteilen des Integrands in einen ungeraden Teil \(u(x) = 2x^5 - 4x^3\) und einen geraden Teil \(g(x) = 3x^2 - 1\). 2. Da das Integrationsintervall \([-2; 2]\) symmetrisch zum Ursprung ist, gilt für den ungeraden Teil \(\int_{-2}^{2} (2x^5 - 4x^3) \, dx = 0\). 3. Berechnung des verbleibenden Integrals des geraden Teils: \(\int_{-2}^{2} (3x^2 - 1) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{2} (3x^2 - 1) \, dx\). 4. Bestimmung einer Stammfunktion von \(g(x)\): \(G(x) = x^3 - x\). 5. Anwendung des Hauptsatzes: \(2 \cdot [x^3 - x]_0^2 = 2 \cdot ((2^3 - 2) - (0^3 - 0)) = 2 \cdot (8 - 2) = 12\).

\(12\)

- Untersuche, welche Terme der Funktion \(f\) beim Integrieren über ein symmetrisches Intervall wegfallen könnten. - Wie verhalten sich Funktionen mit ausschließlich ungeraden Exponenten bei der Integration von \(-a\) bis \(a\)? - Nutze die Achsensymmetrie des verbleibenden Terms aus, um die Rechnung auf das Intervall von \(0\) bis \(5\) zu beschränken.

1. Identifikation der Symmetrieeigenschaften: Die Terme \(x^3\) und \(-\frac{1}{2}x\) sind ungerade Potenzen von \(x\), der Term \(\frac{3}{10}x^4\) ist eine gerade Potenz. 2. Aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung ist das Integral der ungeraden Anteile über das symmetrische Intervall \([-5; 5]\) gleich null: \(\int_{-5}^{5} (x^3 - \frac{1}{2}x) \, dx = 0\). 3. Das Integral reduziert sich auf den geraden Anteil: \(\int_{-5}^{5} \frac{3}{10}x^4 \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{5} \frac{3}{10}x^4 \, dx\). 4. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{3}{50}x^5\). 5. Berechnung des Werts: \(2 \cdot [\frac{3}{50}x^5]_0^5 = 2 \cdot (\frac{3}{50} \cdot 5^5 - 0) = 2 \cdot \frac{3 \cdot 3125}{50} = 2 \cdot 187{,}5 = 375\).

\(375\)

- Überlege dir, welche Koordinaten der Endpunkt des Graphen im betrachteten Intervall hat. - Welches geometrische Objekt wird durch die Koordinatenachsen und die Parallelen dazu aufgespannt? - Wie hängen die Flächeninhalte unter einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion zusammen, wenn man sie in ein gemeinsames Rechteck einzeichnet? - Welches Integral einer einfacheren Funktion (hier die Quadratfunktion) musst du berechnen, um den Restanteil der Fläche zu bestimmen?

1. Die Funktion \(g(x) = \sqrt{x}\) ist die Umkehrfunktion von \(f(x) = x^2\) für \(x \geq 0\). Die Fläche unter dem Graphen von \(g\) im Intervall \([0; 4]\) entspricht der Fläche zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(y\)-Achse im Bereich von \(y = 0\) bis \(y = 4\). 2. Der Punkt \((4\mid 2)\) liegt auf dem Graphen von \(g\), da \(\sqrt{4} = 2\). Das zugehörige Rechteck im ersten Quadranten hat die Eckpunkte \((0\mid 0)\), \((4\mid 0)\), \((4\mid 2)\) und \((0\mid 2)\). Sein Flächeninhalt beträgt \(A_{\text{Rechteck}} = 4 \cdot 2 = 8\). 3. Die gesuchte Fläche \(\int_0^4 \sqrt{x} \, dx\) ergibt sich aus der Differenz zwischen dem Rechteckinhalt und der Fläche unter dem Graphen von \(f\) im Intervall \([0; 2]\). 4. Berechnung des Integrals von \(f\): \(\int_0^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^2 = \frac{1}{3} \cdot 2^3 - 0 = \frac{8}{3}\). 5. Berechnung des gesuchten Werts: \(8 - \frac{8}{3} = \frac{24}{3} - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}\).

\(\int_0^4 \sqrt{x} \, dx = \frac{16}{3}\)

- Kannst du den Bruch mit der Wurzel als Potenz mit negativem Exponenten schreiben? - Welcher Funktionstyp führt beim Ableiten auf einen Bruch der Form \(\frac{1}{z}\)? - Denke an die „lineare Kettenregel“ für Integrale: Was passiert mit dem Faktor vor dem \(x\)? - Überprüfe dein Ergebnis durch Ableiten.

1. Integration des ersten Terms mittels der Regel für lineare Substitution bei der Kehrwertfunktion \(\frac{1}{x}\): \(\int \frac{10}{2x+7} \, dx = 10 \cdot \frac{1}{2} \ln|2x+7| = 5 \ln(2x+7)\). Da \(x > -2{,}25\), ist der Ausdruck im Logarithmus stets positiv. 2. Umschreiben des zweiten Terms in Potenzschreibweise: \(\frac{1}{\sqrt{4x+9}} = (4x+9)^{-\frac{1}{2}}\). 3. Integration des Potenzterms unter Berücksichtigung der linearen inneren Funktion: \(\int (4x+9)^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{(4x+9)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{4} (4x+9)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{4x+9}\). 4. Zusammenführen der Teilintegrale: \(F(x) = 5 \ln(2x + 7) + \frac{1}{2} \sqrt{4x + 9}\).

\(F(x) = 5 \ln(2x + 7) + \frac{1}{2} \sqrt{4x + 9}\)

- Welche Regel beim Ableiten kennst du, die einen konstanten Faktor betrifft? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion. - Wie lässt sich ein bestimmtes Integral mithilfe einer Stammfunktion berechnen? - Kannst du den konstanten Faktor aus der Differenz der Funktionswerte an den Grenzen ausklammern?

1. Es sei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\), sodass \(F'(x) = f(x)\) gilt. 2. Nach der Faktorregel der Differentialrechnung ist die Ableitung von \(k \cdot F(x)\) gleich \(k \cdot F'(x) = k \cdot f(x)\). Damit ist \(k \cdot F\) eine Stammfunktion der Funktion \(k \cdot f\). 3. Die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ergibt: \(\int_{a}^{b} k \cdot f(x) \, dx = [k \cdot F(x)]_{a}^{b}\). 4. Durch Einsetzen der Grenzen erhält man \(k \cdot F(b) - k \cdot F(a)\). 5. Ausklammern von \(k\) führt zu \(k \cdot (F(b) - F(a))\). Da \(F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx\), folgt die Behauptung: \(k \cdot \int_{a}^{b} f(x) \, dx\).

Durch die Wahl einer Stammfunktion \(F\) von \(f\) und Anwendung der Faktorregel der Differentialrechnung zeigt man, dass \(k \cdot F\) eine Stammfunktion von \(k \cdot f\) ist. Über den Hauptsatz folgt \([k \cdot F(x)]_a^b = k \cdot (F(b) - F(a)) = k \cdot \int_a^b f(x) \, dx\).

- Betrachte die Differenz zweier Stammfunktionen und leite diese ab. - Welche Ableitungsregel hilft dir, eine Stammfunktion für den Ausdruck \(f(x) - g(x)\) zu finden? - Nutze den Hauptsatz, um das Integral der Differenz durch die Werte der Stammfunktionen an den Grenzen auszudrücken. - Versuche, die resultierenden Terme so zu sortieren, dass die einzelnen Integrale von \(f\) und \(g\) erkennbar werden.

1. Es seien \(F\) und \(G\) Stammfunktionen von \(f\) bzw. \(g\), sodass \(F' = f\) und \(G' = g\) gilt. 2. Aufgrund der Differenzregel der Differentialrechnung ist die Ableitung der Funktion \(H(x) = F(x) - G(x)\) gegeben durch \(H'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - g(x)\). Somit ist \(F - G\) eine Stammfunktion von \(f - g\). 3. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt: \(\int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx = [F(x) - G(x)]_{a}^{b}\). 4. Auswerten an den Grenzen liefert \((F(b) - G(b)) - (F(a) - G(a))\). 5. Durch Umordnen der Terme erhält man \((F(b) - F(a)) - (G(b) - G(a))\). 6. Dies entspricht nach Definition genau der Differenz der Einzelintegrale \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx - \int_{a}^{b} g(x) \, dx\).

Mit den Stammfunktionen \(F\) und \(G\) gilt \((F-G)' = f-g\). Über den Hauptsatz folgt \(\int_a^b (f-g) \, dx = (F(b)-G(b)) - (F(a)-G(a)) = (F(b)-F(a)) - (G(b)-G(a)) = \int_a^b f \, dx - \int_a^b g \, dx\).

- Kannst du die Funktion in zwei Teile zerlegen, von denen einer vielleicht besonders leicht zu integrieren ist? - Untersuche, welche Terme der Summe punktsymmetrisch und welche achsensymmetrisch sind. - Wie vereinfacht sich die Rechnung, wenn du die untere Grenze \(0\) statt \(-2\) nutzt?

1. Aufteilung des Integranden in einen ungeraden Anteil \(u(x) = \frac{1}{2}x^3\) und einen geraden Anteil \(g(x) = -x^2 + 2\). 2. Aufgrund der Punktsymmetrie von \(u(x)\) zum Ursprung gilt \(\int_{-2}^{2} \frac{1}{2}x^3 \, dx = 0\). 3. Aufgrund der Achsensymmetrie von \(g(x)\) zur \(y\)-Achse kann das Integral über \([-2; 2]\) als \(2 \cdot \int_{0}^{2} (-x^2 + 2) \, dx\) berechnet werden. 4. Bestimmung einer Stammfunktion für den verbleibenden Teil: \(G(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 2x\). 5. Berechnung des Werts: \(2 \cdot [-\frac{1}{3}x^3 + 2x]_0^2 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{3} \cdot 2^3 + 2 \cdot 2 - 0\right) = 2 \cdot \left(-\frac{8}{3} + 4\right) = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}\).

\(\frac{8}{3}\)

- Bestimme zuerst, wann der Ausdruck unter der Wurzel positiv ist. - Schreibe die Funktion als Potenz mit Exponent \(-\frac12\). - Berücksichtige bei der linearen inneren Funktion den Faktor ihrer Ableitung. - Überprüfe Ergebnis und Definitionsbereich durch Ableiten.

1. Für reelle Funktionswerte muss \(4-3x>0\) gelten. Daher ist der Definitionsbereich \(D_f=(-\infty,\frac43)\). 2. In Potenzschreibweise gilt \(f(x)=(4-3x)^{-\frac12}\). 3. Die innere Funktion ist \(u(x)=4-3x\), die äußere Funktion ist \(v(u)=u^{-\frac12}\) für \(u>0\). 4. Eine Stammfunktion der äußeren Funktion ist \(2u^{\frac12}\). Wegen \(u'(x)=-3\) ergibt sich \(F(x)=-\frac13\cdot2(4-3x)^{\frac12}=-\frac23\sqrt{4-3x}\). 5. Durch Ableiten erhält man \(F'(x)=\frac{1}{\sqrt{4-3x}}\) für \(x<\frac43\).

Definitionsbereich: \(x<\frac43\). Innere Funktion: \(u(x)=4-3x\). Äußere Funktion: \(v(u)=u^{-\frac12}=\frac1{\sqrt u}\) für \(u>0\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=-\frac23\sqrt{4-3x}\).

- Erkennst du in den Funktionstermen eine lineare innere Funktion der Form \(ax + b\)? - Wie lautet die Regel für das Integrieren von Funktionen mit einer linearen Verkettung? - Denke daran, dass du beim Integrieren durch die Ableitung der inneren Funktion dividieren musst. - Kannst du den Bruch in Teilaufgabe b) als Potenz mit negativem Exponenten schreiben, um die Potenzregel anzuwenden?

1. Für \(f(x) = (0{,}4x - 2)^4\) wird die Regel für lineare Verkettungen angewendet. Mit der äußeren Stammfunktion \(\frac{1}{5}(\dots)^5\) und der inneren Ableitung \(0{,}4\) ergibt sich: \(F(x) = \frac{1}{0{,}4 \cdot 5} \cdot (0{,}4x - 2)^5 = \frac{1}{2}(0{,}4x - 2)^5 = 0{,}5(0{,}4x - 2)^5\). 2. Die Funktion \(g(x) = 3(1 - 2x)^{-2}\) wird ebenfalls mit der linearen Kettenregel integriert. Eine Stammfunktion des äußeren Terms ist \(\frac{3}{-1}(\dots)^{-1}\); anschließend wird durch die innere Ableitung \(-2\) dividiert. Dies führt zu \(G(x) = \frac{3}{(-2) \cdot (-1)} \cdot (1 - 2x)^{-1} = \frac{3}{2(1 - 2x)} = 1{,}5(1 - 2x)^{-1}\). 3. Für \(h(x) = 2\cos(4x + \frac{\pi}{2})\) ist der äußere Stammfunktionsterm \(2 \cdot \sin(\dots)\). Division durch die innere Ableitung \(4\) ergibt \(H(x) = \frac{2}{4} \sin(4x + \frac{\pi}{2}) = 0{,}5 \sin(4x + \frac{\pi}{2})\).

a) \(F(x) = 0{,}5(0{,}4x - 2)^5\) b) \(G(x) = \frac{3}{2(1 - 2x)}\) c) \(H(x) = 0{,}5 \sin\left(4x + \frac{\pi}{2}\right)\)

- Bestimme zuerst den reellen Definitionsbereich. - Bilde zunächst die allgemeine Stammfunktion mit \(C\). - Setze anschließend \(x=0\) und nutze \(F(0)=5\). - Überprüfe das Ergebnis durch Ableiten.

1. Für reelle Funktionswerte muss \(2x+9>0\) gelten. Daher ist \(D_f=(-\frac92,\infty)\). 2. Es gilt \(f(x)=(2x+9)^{-\frac12}\). Eine allgemeine Stammfunktion auf diesem Intervall ist \(F(x)=\sqrt{2x+9}+C\), denn \(\frac{d}{dx}\sqrt{2x+9}=\frac1{\sqrt{2x+9}}\). 3. Aus \(F(0)=5\) folgt \(3+C=5\), also \(C=2\). 4. Damit ist \(F(x)=\sqrt{2x+9}+2\) für \(x>-\frac92\).

\(F(x)=\sqrt{2x+9}+2\) für \(x>-\frac92\).

- Kannst du den Term mit Hilfe der binomischen Formeln oder durch schrittweises Multiplizieren vereinfachen? - Was musst du beim Integrieren beachten, wenn im Inneren der Potenz eine lineare Funktion steht? - Wie verändert der Vorfaktor der inneren Funktion das Gesamtergebnis der Integration? - Hast du beim Einsetzen der Grenzen in die Stammfunktion sorgfältig auf die Vorzeichen geachtet?

1. Ausmultiplizieren des Terms: \((0{,}5x + 1)^3 = (0{,}5x + 1)^2 \cdot (0{,}5x + 1) = (0{,}25x^2 + x + 1) \cdot (0{,}5x + 1) = 0{,}125x^3 + 0{,}75x^2 + 1{,}5x + 1\). 2. Gliedweise Integration: \(\int_0^2 (0{,}125x^3 + 0{,}75x^2 + 1{,}5x + 1) \, dx = [0{,}03125x^4 + 0{,}25x^3 + 0{,}75x^2 + x]_0^2\). 3. Einsetzen der Grenzen: \((0{,}03125 \cdot 16 + 0{,}25 \cdot 8 + 0{,}75 \cdot 4 + 2) - 0 = 0{,}5 + 2 + 3 + 2 = 7{,}5\). 4. Lineare Substitution: Mit \(f(u) = u^3\) und der inneren Funktion \(g(x) = 0{,}5x + 1\) (wobei \(a = 0{,}5\)) ergibt sich die Stammfunktion \(\Phi(x) = \frac{1}{0{,}5} \cdot \frac{1}{4}(0{,}5x + 1)^4 = 0{,}5(0{,}5x + 1)^4\). 5. Einsetzen der Grenzen in die Substitutionsformel: \(0{,}5 \cdot [(0{,}5 \cdot 2 + 1)^4 - (0{,}5 \cdot 0 + 1)^4] = 0{,}5 \cdot (2^4 - 1^4) = 0{,}5 \cdot (16 - 1) = 7{,}5\). Beide Wege führen zum identischen Ergebnis \(7{,}5\).

\(7{,}5\)

- Kannst du die Summenregel anwenden, um das Integral in zwei Teile zu zerlegen? - Erinnerst du dich an die Regel für die Integration von Funktionen mit einer linearen inneren Funktion \(ax+b\)? - Wie lautet die Stammfunktion von \(x^n\) für negative Exponenten? - Achte beim Einsetzen der Grenzen besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor dem Term steht.

1. Bestimmung der Stammfunktion für den ersten Summanden \((2x+1)^3\): Mit der linearen Kettenregel ergibt sich \(F_1(x) = \frac{1}{2 \cdot 4}(2x+1)^4 = \frac{1}{8}(2x+1)^4\). 2. Berechnung des Teilintegrals: \(F_1(1) - F_1(0) = \frac{3^4}{8} - \frac{1^4}{8} = \frac{81}{8} - \frac{1}{8} = \frac{80}{8} = 10\). 3. Bestimmung der Stammfunktion für den zweiten Summanden \(3(3x+1)^{-2}\): Anwendung der linearen Kettenregel liefert \(F_2(x) = 3 \cdot \frac{1}{3 \cdot (-1)}(3x+1)^{-1} = -\frac{1}{3x+1}\). 4. Berechnung des Teilintegrals: \(F_2(1) - F_2(0) = -\frac{1}{4} - (-1) = \frac{3}{4} = 0{,}75\). 5. Differenz der Teilintegrale bilden: \(10 - 0{,}75 = 9{,}25\).

\(9{,}25\)

- Überlege dir, wie sich die innere Ableitung einer linearen Funktion beim Integrieren auf den Vorfaktor auswirkt. - Schreibe die Wurzel im Nenner als Potenz mit negativem, rationalem Exponenten um. - Welche Werte nehmen die Sinus- und Kosinusfunktionen an den Stellen \(0\) und \(\pi\) an? - Behandle die beiden Summanden getrennt voneinander.

1. Stammfunktion für \(\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right)\): Unter Verwendung der linearen Kettenregel (Division durch die innere Ableitung \(\frac{\pi}{4}\)) erhält man \(F_1(x) = -\frac{4}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{4}x\right)\). 2. Auswertung an den Grenzen: \(F_1(4) - F_1(0) = -\frac{4}{\pi} \cos(\pi) - \left(-\frac{4}{\pi} \cos(0)\right) = \frac{4}{\pi} + \frac{4}{\pi} = \frac{8}{\pi}\). 3. Stammfunktion für \((2x+1)^{-\frac{1}{2}}\): Die lineare Kettenregel ergibt \(F_2(x) = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} (2x+1)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2x+1}\). 4. Auswertung an den Grenzen: \(F_2(4) - F_2(0) = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2\). 5. Addition der Teilergebnisse: \(\frac{8}{\pi} + 2\).

\(\frac{8}{\pi} + 2\)

- Kannst du den Term in der Klammer mithilfe einer binomischen Formel vereinfachen? - Wie lässt sich eine Potenz einer Potenz mit einer einzigen Basis ausdrücken? - Erinnerst du dich an die Regel für das Integrieren von Funktionen mit einer linearen inneren Funktion? - Achte beim Einsetzen der unteren Grenze besonders auf das Vorzeichen.

1. Den Ausdruck in der Klammer mithilfe der zweiten binomischen Formel vereinfachen: \(4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2\). 2. Den Integranden umschreiben: \(((2x - 1)^2)^3 = (2x - 1)^6\). 3. Eine Stammfunktion unter Anwendung der linearen Substitutionsregel bestimmen: \(F(x) = \frac{1}{7 \cdot 2}(2x - 1)^7 = \frac{1}{14}(2x - 1)^7\). 4. Die Grenzen einsetzen: \(F(1) = \frac{1}{14}(2 \cdot 1 - 1)^7 = \frac{1}{14} \cdot 1^7 = \frac{1}{14}\) und \(F(0) = \frac{1}{14}(2 \cdot 0 - 1)^7 = \frac{1}{14} \cdot (-1)^7 = -\frac{1}{14}\). 5. Die Differenz berechnen: \(F(1) - F(0) = \frac{1}{14} - \left(-\frac{1}{14}\right) = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}\).

\(\frac{1}{7}\)

- Schau dir an, an welcher Stelle sich die Definition der Funktion ändert. - Wie kannst du das gesamte Intervall in Teilintervalle zerlegen, in denen jeweils nur eine Funktionsvorschrift gilt? - Berechne die Integrale für die einzelnen Abschnitte getrennt und addiere danach die Ergebnisse.

1. Zerlegung des Integrals an der Nahtstelle der Funktionsvorschriften bei \(x = 0\) gemäß der Intervalladditivität: \(\int_{-1}^{0} e^{2x} \, dx + \int_{0}^{2} (1 - x) \, dx\). 2. Berechnung des ersten Teilintegrals unter Verwendung der Stammfunktion \(F_1(x) = \frac{1}{2}e^{2x}\): \([\frac{1}{2}e^{2x}]_{-1}^0 = \frac{1}{2}e^0 - \frac{1}{2}e^{-2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2e^2}\). 3. Berechnung des zweiten Teilintegrals unter Verwendung der Stammfunktion \(F_2(x) = x - \frac{1}{2}x^2\): \([x - \frac{1}{2}x^2]_0^2 = (2 - \frac{1}{2} \cdot 4) - (0 - 0) = 0\). 4. Addition der beiden Teilwerte ergibt den Gesamtwert: \(\frac{1}{2} - \frac{1}{2e^2} + 0 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2e^2} \approx 0{,}432\).

\(\frac{1}{2} - \frac{1}{2e^2} \approx 0{,}432\)

- Achte besonders auf das Vorzeichen beim Ersetzen des Differentials. - Wenn du die Integrationsgrenzen vertauschst, ändert sich das Vorzeichen des gesamten Integrals. - Überprüfe am Ende, ob dein Argument im Logarithmus positiv ist. - Gibt es eine Regel für die Integration von Brüchen, bei denen der Zähler ein Vielfaches der Ableitung des Nenners ist?

1. Substitution von \(u = 12 - 3x\). Aus \(du = -3 \, dx\) folgt \(dx = -\frac{1}{3} \, du\). 2. Berechnung der neuen Integrationsgrenzen: Die untere Grenze \(x = -1\) wird zu \(u = 12 - 3(-1) = 15\). Die obere Grenze \(x = 2\) wird zu \(u = 12 - 3(2) = 6\). 3. Einsetzen in das Integral: \(\int_{15}^{6} \frac{6}{u} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \, du = -2 \int_{15}^{6} \frac{1}{u} \, du\). 4. Vertauschen der Grenzen zur Aufhebung des negativen Vorzeichens: \(2 \int_{6}^{15} \frac{1}{u} \, du\). 5. Integration und Einsetzen: \(2 \cdot [\ln|u|]_{6}^{15} = 2 \cdot (\ln(15) - \ln(6))\). 6. Zusammenfassen des Logarithmus: \(2\ln\left(\frac{15}{6}\right) = 2\ln(2{,}5)\).

\(2\ln(2{,}5)\) (ca. \(1{,}833\))

- Kannst du im Exponenten eine lineare Funktion erkennen und die entsprechende Regel anwenden? - Untersuche bei Teilaufgabe b), in welchem Verhältnis der Vorfaktor zur Ableitung des Exponenten steht. - Erinnerst du dich an die Kettenregel beim Ableiten? Hier musst du sie quasi rückwärts anwenden.

1. Für Teilaufgabe a) wird die Regel für lineare Substitution angewendet. Da die innere Funktion \(g(x) = 4 - 0{,}5x\) die Ableitung \(g'(x) = -0{,}5\) besitzt, ergibt sich die Stammfunktion durch Division des Koeffizienten \(-2\) durch \(-0{,}5\). Dies führt zu \(F(x) = \frac{-2}{-0{,}5} e^{4 - 0{,}5x} = 4 e^{4 - 0{,}5x}\). 2. Für Teilaufgabe b) wird die Struktur \(g'(x) \cdot e^{g(x)}\) erkannt. Die Ableitung des Exponenten \(g(x) = x^2 - 3x + 1\) ist \(g'(x) = 2x - 3\). Da der Vorfaktor \(6x - 9\) das Dreifache von \(2x - 3\) ist, lässt sich die Funktion als \(f(x) = 3(2x - 3) \cdot e^{x^2 - 3x + 1}\) schreiben. Die Stammfunktion lautet somit \(F(x) = 3 e^{x^2 - 3x + 1}\).

a) \(F(x) = 4 e^{4 - 0{,}5x}\) b) \(F(x) = 3 e^{x^2 - 3x + 1}\)

- Bestimme zuerst den Definitionsbereich; beachte den Summanden \(\frac1{x^2}\). - Im ersten Bruch ist der Zähler ein Vielfaches der Ableitung des Nenners. - Integriere \(x^{-2}\) mit der Potenzregel. - Auf getrennten Definitionsintervallen können unterschiedliche Integrationskonstanten auftreten.

1. Wegen des Summanden \(\frac1{x^2}\) ist \(f\) bei \(x=0\) nicht definiert. Der Definitionsbereich besteht aus den Intervallen \(( -\infty,0)\) und \((0,\infty)\). 2. Für \(q(x)=x^2-3x+10\) gilt \(q'(x)=2x-3\), und der Zähler des ersten Bruchs ist \(4x-6=2q'(x)\). 3. Da \(q(x)>0\) für alle reellen \(x\), ist \(\int\frac{4x-6}{x^2-3x+10}\,dx=2\ln(x^2-3x+10)\). 4. Außerdem gilt \(\int x^{-2}\,dx=-x^{-1}=-\frac1x\). 5. Somit ist auf jedem der beiden Definitionsintervalle \(F(x)=2\ln(x^2-3x+10)-\frac1x+C\) eine Stammfunktion. Die Integrationskonstante kann auf den beiden Intervallen unabhängig gewählt werden.

Auf \(( -\infty,0)\) und auf \((0,\infty)\) ist jeweils \(F(x)=2\ln(x^2-3x+10)-\frac1x+C\) eine Stammfunktion; die Konstanten dürfen auf den beiden Intervallen verschieden sein.

- Betrachte die Beziehung zwischen dem Zähler und der Ableitung des Nenners. - Welche Ableitungsregel führt auf einen Bruch dieser Form? - Du kannst die Konstante vor das Integral ziehen, um den Term zu vereinfachen. - Erinnere dich an den Wert des natürlichen Logarithmus an der Stelle 1.

1. Identifikation des Integraltyps: Der Zähler ist bis auf einen konstanten Faktor die Ableitung des Nenners (\(f(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}\)). 2. Anwendung der Substitutionsregel oder der logarithmischen Integrationsregel: Eine Stammfunktion von \( \frac{x}{x^2+1} \) ist \( \frac{1}{2} \ln(x^2+1) \). 3. Bestimmung der Stammfunktion für den gesamten Term: \( F(x) = \frac{3}{2} \ln(x^2+1) \). 4. Einsetzen der Grenzen gemäß dem Hauptsatz: \( [ \frac{3}{2} \ln(x^2+1) ]_0^2 = \frac{3}{2} \ln(2^2+1) - \frac{3}{2} \ln(0^2+1) \). 5. Auswertung: \( \frac{3}{2} \ln(5) - \frac{3}{2} \ln(1) = \frac{3}{2} \ln(5) - 0 = \frac{3}{2} \ln(5) \).

\( \frac{3}{2} \ln(5) \)

- Welcher Teil des Produkts im Integranden wird einfacher, wenn du ihn ableitest? - Erinnere dich an die Regel für die partielle Integration bestimmter Integrale. - Achte bei der Bestimmung der Stammfunktion von \(e^{-x}\) auf die Kettenregel. - Setze die Grenzen sorgfältig in die zusammengesetzte Stammfunktion ein.

1. Festlegung der Funktionen für die partielle Integration: \(u(x) = 2x+1\) und \(v'(x) = e^{-x}\). 2. Bestimmung der Ableitung \(u'(x) = 2\) und einer Stammfunktion \(v(x) = -e^{-x}\). 3. Anwendung der Formel für die partielle Integration \(\int u \cdot v' = [u \cdot v] - \int u' \cdot v\): \(\int_0^1 (2x+1) \cdot e^{-x} \, dx = [-(2x+1)e^{-x}]_0^1 - \int_0^1 -2e^{-x} \, dx\). 4. Berechnung des verbleibenden Integrals: \(\int_0^1 2e^{-x} \, dx = [-2e^{-x}]_0^1\). 5. Zusammenfassen der Terme zur Stammfunktion: \([-(2x+1)e^{-x} - 2e^{-x}]_0^1 = [(-2x-3)e^{-x}]_0^1\). 6. Auswertung an den Grenzen: \((-2 \cdot 1 - 3)e^{-1} - (-2 \cdot 0 - 3)e^0 = -5e^{-1} + 3\). 7. Endergebnis: \(3 - \frac{5}{e}\).

\(3 - \frac{5}{e} \approx 1{,}1606\)

- Überlege dir, welche Funktion durch Ableiten einfacher wird und welche Funktion beim Integrieren nicht wesentlich komplizierter wird. - Was passiert mit einer Potenz von \(x\), wenn du sie ableitest? Was passiert, wenn du sie integrierst? - Ziel der partiellen Integration ist es, ein Integral zu erhalten, das leichter zu lösen ist als das ursprüngliche.

1. Durchführung der partiellen Integration mit \(u(x) = e^{0{,}5x}\) und \(v'(x) = 2x+4\): Es folgt \(u'(x) = 0{,}5e^{0{,}5x}\) und \(v(x) = x^2+4x\). Das neue Integral lautet \(\int 0{,}5e^{0{,}5x}(x^2+4x) \, dx\). Der Grad des Polynoms steigt somit von 1 auf 2, was den Integranden komplexer macht. 2. Zweckmäßige Wahl für die Berechnung: \(u(x) = 2x+4\) und \(v'(x) = e^{0{,}5x}\). Daraus folgt \(u'(x) = 2\) und \(v(x) = 2e^{0{,}5x}\). 3. Anwendung der Formel: \(I = [(2x+4) \cdot 2e^{0{,}5x}]_0^1 - \int_0^1 2 \cdot 2e^{0{,}5x} \, dx\). 4. Vereinfachung: \(I = [4(x+2)e^{0{,}5x}]_0^1 - [8e^{0{,}5x}]_0^1\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(I = (12e^{0{,}5} - 8) - (8e^{0{,}5} - 8) = 4e^{0{,}5}\).

a) Der Grad des Polynoms im Integranden erhöht sich von 1 auf 2. b) \(I = 4\sqrt{e}\)

- Überlege dir, welchen Teil des Produkts du ableiten solltest, damit der Grad des Terms sinkt. - Du wirst das Verfahren zweimal anwenden müssen, um den quadratischen Term vollständig zu eliminieren. - Achte beim Integrieren von Sinus und Kosinus genau auf die Vorzeichen. - Erinnere dich an die Werte der trigonometrischen Funktionen an den Stellen \(0\) und \(\pi\).

1. Erste partielle Integration mit \(u(x) = x^2 - 2x\) und \(v'(x) = \sin(x)\): Es gilt \(u'(x) = 2x - 2\) und \(v(x) = -\cos(x)\). Daraus folgt: \(\int (x^2 - 2x) \sin(x) \, dx = -(x^2 - 2x) \cos(x) + \int (2x - 2) \cos(x) \, dx\). 2. Zweite partielle Integration für den neuen Integranden mit \(u_1(x) = 2x - 2\) und \(v_1'(x) = \cos(x)\): Es gilt \(u_1'(x) = 2\) und \(v_1(x) = \sin(x)\). Daraus folgt: \(\int (2x - 2) \cos(x) \, dx = (2x - 2) \sin(x) - \int 2 \sin(x) \, dx = (2x - 2) \sin(x) + 2 \cos(x)\). 3. Zusammenführung der Stammfunktion: \(F(x) = -(x^2 - 2x) \cos(x) + (2x - 2) \sin(x) + 2 \cos(x) = (2x - x^2 + 2) \cos(x) + (2x - 2) \sin(x)\). 4. Einsetzen der Grenzen \(0\) und \(\pi\): Obere Grenze: \(F(\pi) = (2\pi - \pi^2 + 2) \cdot (-1) + (2\pi - 2) \cdot 0 = \pi^2 - 2\pi - 2\). Untere Grenze: \(F(0) = (0 - 0 + 2) \cdot 1 + (0 - 2) \cdot 0 = 2\). Differenz: \((\pi^2 - 2\pi - 2) - 2 = \pi^2 - 2\pi - 4\).

\(\pi^2 - 2\pi - 4 \approx -0{,}414\)

- Welche der beiden Funktionen im Produkt wird beim Ableiten einfacher? - Erinnere dich an die Regel für das Integrieren von Produkten zweier Funktionen. - Welche Funktion eignet sich hier besser als Faktor, der abgeleitet wird?

1. Anwendung der partiellen Integration mit \(u(x) = \ln(x)\) und \(v'(x) = x\). 2. Bestimmung der Ableitung \(u'(x) = \frac{1}{x}\) und einer Stammfunktion \(v(x) = \frac{1}{2}x^2\). 3. Einsetzen in die Formel für partielle Integration: \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 \ln(x) - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{2}x^2 \ln(x) - \frac{1}{4}x^2\). 4. Auswertung an den Grenzen: \(F(e) = \frac{1}{2}e^2 \cdot 1 - \frac{1}{4}e^2 = \frac{1}{4}e^2\) und \(F(1) = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot 1^2 = -\frac{1}{4}\). 5. Berechnung der Differenz: \(\frac{1}{4}e^2 - (-\frac{1}{4}) = \frac{e^2 + 1}{4}\).

Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 \ln(x) - \frac{1}{4}x^2\) Integralwert: \(\frac{e^2 + 1}{4}\)

- Betrachte den Nenner des Bruchs und leite ihn im Kopf ab. Fällt dir eine Ähnlichkeit zum Zähler auf? - Welche bekannte Integrationsregel hilft dir bei Brüchen, bei denen der Zähler die Ableitung des Nenners ist? - Erinnere dich an die Eigenschaften des natürlichen Logarithmus, insbesondere an den Wert von \(\ln(e)\) und \(\ln(1)\). - Wie vereinfacht sich der Ausdruck unter dem Logarithmus, wenn du die obere Grenze einsetzt?

1. Identifikation der Struktur \(\frac{f'(x)}{f(x)}\): Die Ableitung des Nenners \(g(x) = x^2 + 1\) ist \(g'(x) = 2x\). 2. Anpassung des Zählers durch Multiplikation mit \(\frac{1}{2}\), sodass das Integral die Form \(\frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx\) annimmt. 3. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1)\). 4. Auswertung an der oberen Grenze: \(F(\sqrt{e-1}) = \frac{1}{2} \ln((\sqrt{e-1})^2 + 1) = \frac{1}{2} \ln(e-1+1) = \frac{1}{2} \ln(e) = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0{,}5\). 5. Auswertung an der unteren Grenze: \(F(0) = \frac{1}{2} \ln(0^2 + 1) = \frac{1}{2} \ln(1) = 0\). 6. Berechnung der Differenz: \(0{,}5 - 0 = 0{,}5\).

\(0{,}5\)

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Zähler und dem Nenner des Bruchs? - Gibt es eine spezielle Regel für Brüche, bei denen der Zähler die Ableitung des Nenners ist? - Achte beim Einsetzen der Integrationsgrenzen auf die Werte der trigonometrischen Funktionen im Bogenmaß. - Kannst du das Ergebnis mithilfe von Logarithmengesetzen zusammenfassen?

1. Untersuchung der Termstruktur: Der Zähler \(\cos(x)\) ist genau die Ableitung des Nenners \(u(x) = \sin(x) + 2\). Es liegt die Form \(\frac{u'(x)}{u(x)}\) vor. 2. Anwendung der Integrationsregel: Das unbestimmte Integral von \(\frac{u'(x)}{u(x)}\) ist \(\ln|u(x)| + C\). Da \(\sin(x) + 2 > 0\) für alle \(x\) ist, können die Betragsstriche entfallen. Eine Stammfunktion ist \(G(x) = \ln(\sin(x) + 2)\). 3. Einsetzen der Grenzen: \([ \ln(\sin(x) + 2) ]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \ln(\sin(\frac{\pi}{2}) + 2) - \ln(\sin(0) + 2)\). 4. Auswerten der Sinuswerte: Da \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\) und \(\sin(0) = 0\), ergibt sich \(\ln(1 + 2) - \ln(0 + 2) = \ln(3) - \ln(2)\). 5. Vereinfachung: Nach den Logarithmengesetzen ist dies \(\ln\left(\frac{3}{2}\right)\) bzw. \(\ln(1{,}5)\).

\(\ln(3) - \ln(2) = \ln(1{,}5)\)

- Untersuche das Verhältnis zwischen dem Zähler und dem Nenner des Bruchs. - Was ist die Ableitung des Nenners? - Gibt es eine spezielle Integrationsregel für Brüche, bei denen der Zähler die Ableitung des Nenners ist? - Achte auf den Definitionsbereich, um zu entscheiden, ob Betragsstriche beim Logarithmus notwendig sind.

1. Analyse der Struktur des Bruchs: Der Zähler \(x^2\) ist bis auf einen konstanten Faktor die Ableitung des Nenners \(g(x) = x^3 + 8\), da \(g'(x) = 3x^2\). 2. Anwendung der logarithmischen Integrationsregel \(\int \frac{g'(x)}{g(x)} \, dx = \ln|g(x)| + C\). 3. Anpassung des Zählers durch Multiplikation mit \(\frac{1}{3}\): \(f(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3x^2}{x^3 + 8}\). 4. Bildung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{3} \ln|x^3 + 8|\). 5. Berücksichtigung des Definitionsbereichs (\(x > -2 \Rightarrow x^3 + 8 > 0\)), wodurch die Betragsstriche entfallen können: \(F(x) = \frac{1}{3} \ln(x^3 + 8)\).

\(F(x) = \frac{1}{3} \ln(x^3 + 8)\) (oder jede andere Funktion \(F(x) = \frac{1}{3} \ln(x^3 + 8) + C\) mit \(C \in \mathbb{R}\))

- Fällt dir eine Beziehung zwischen dem ersten Faktor und dem Ausdruck in der Klammer auf? - Wie leitest du eine Funktion der Form \((g(x))^n\) ab? Kannst du das hier rückwärts anwenden? - Versuche, den inneren Teil der Klammer als eine neue Variable zu betrachten.

1. Identifikation der Struktur: Der Integrand hat die Form \(g'(x) \cdot (g(x))^n\) mit \(g(x) = x^3+x+1\), \(g'(x) = 3x^2+1\) und \(n = 2\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: Nach der Potenzregel für verkettete Funktionen (oder durch Substitution \(u = x^3+x+1\)) ergibt sich \(F(x) = \frac{1}{3}(x^3+x+1)^3\). 3. Berechnung des Integrals: Einsetzen der Grenzen in die Stammfunktion liefert \(F(1) - F(0) = \frac{1}{3}(1^3+1+1)^3 - \frac{1}{3}(0^3+0+1)^3 = \frac{1}{3} \cdot 3^3 - \frac{1}{3} \cdot 1^3 = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}\).

Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{3}(x^3+x+1)^3\) Integralwert: \(\frac{26}{3} \approx 8{,}67\)

- Überlege, welcher Teil der Funktion beim Ableiten einfacher wird. - Erinnere dich an die Regel für die partielle Integration. - Achte beim Integrieren der Winkelfunktion auf die lineare Kettenregel (innere Ableitung). - Pass besonders auf die Vorzeichen beim Zusammenfassen der Teilintegrale auf.

Die Stammfunktion wird mittels partieller Integration berechnet. Wir wählen \(u = 2 - x\) und \(v' = \sin(2x)\). Daraus ergeben sich die Ableitung \(u' = -1\) und die Stammfunktion \(v = -0{,}5 \cos(2x)\). Nach der Formel \(\int u v' \, dx = uv - \int u'v \, dx\) folgt: 1. Einsetzen der Terme: \(F(x) = (2 - x) \cdot (-0{,}5 \cos(2x)) - \int (-1) \cdot (-0{,}5 \cos(2x)) \, dx\) 2. Vereinfachen des Produkts: \(F(x) = (0{,}5x - 1) \cos(2x) - 0{,}5 \int \cos(2x) \, dx\) 3. Integration des verbleibenden Terms: \(\int 0{,}5 \cos(2x) \, dx = 0{,}25 \sin(2x)\) 4. Zusammenführen der Ergebnisse: \(F(x) = (0{,}5x - 1) \cos(2x) - 0{,}25 \sin(2x)\)

\(F(x) = (0{,}5x - 1) \cos(2x) - 0{,}25 \sin(2x)\)

- Fällt dir eine Beziehung zwischen dem Ausdruck unter der Wurzel und dem Faktor davor auf? - Was passiert, wenn du den Term innerhalb der Wurzel ableitest? - Versuche eine geeignete Ersetzung (Substitution), um den Wurzelterm zu vereinfachen. - Denke daran, am Ende die ursprüngliche Variable wieder einzusetzen.

Zur Lösung verwenden wir das Verfahren der Substitution. Da die Ableitung des Radikanden \(x^3 + 1\) bis auf einen konstanten Faktor dem Faktor \(x^2\) entspricht, setzen wir \(u = x^3 + 1\). 1. Bestimmung des Differentials: \(\frac{du}{dx} = 3x^2\), also \(x^2 \, dx = \frac{1}{3} \, du\). 2. Transformation des Integrals: \(\int x^2 \sqrt{x^3 + 1} \, dx = \int \frac{1}{3} \sqrt{u} \, du\). 3. Integration nach \(u\): \(\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} \, du = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}}\). 4. Rücksubstitution: Ersetzen von \(u\) durch \(x^3 + 1\) ergibt \(F(x) = \frac{2}{9} (x^3 + 1)^{\frac{3}{2}}\). Das Ergebnis lässt sich auch als \(F(x) = \frac{2}{9} \sqrt{(x^3 + 1)^3}\) schreiben.

\(F(x) = \frac{2}{9} \sqrt{(x^3 + 1)^3}\)

- Betrachte den Zusammenhang zwischen dem Ausdruck in der Klammer und dem Faktor vor der Klammer. - Fällt dir eine Funktion auf, deren Ableitung (bis auf einen konstanten Faktor) bereits als Faktor im Integranden steht? - Wie ändern sich die Grenzen des Integrals, wenn du eine neue Variable einführst? - Du kannst das Ergebnis deiner Stammfunktion durch Ableiten mit der Kettenregel überprüfen.

1. Substitution von \(u = x^3 + 1\). Damit ergibt sich für das Differential \(du = 3x^2 \, dx\), woraus \(12x^2 \, dx = 4 \, du\) folgt. 2. Bestimmung der neuen Integrationsgrenzen: Für \(x = 0\) ist \(u = 1\); für \(x = 1\) ist \(u = 2\). 3. Das Integral transformiert sich zu \(\int_1^2 4u^3 \, du\). 4. Eine Stammfunktion des substituierten Terms ist \(u^4\). Rücksubstituiert ergibt dies für den ursprünglichen Integranden die Stammfunktion \(F(x) = (x^3+1)^4\). 5. Berechnung des Integralwertes: \([u^4]_1^2 = 2^4 - 1^4 = 16 - 1 = 15\).

Stammfunktion: \(F(x) = (x^3+1)^4\) Integralwert: \(15\)

- Untersuche, ob der Zähler des Bruchs etwas mit der Ableitung des Terms unter der Wurzel zu tun hat. - Schreibe die Wurzel im Nenner als Potenz mit negativem Exponenten um, um die Integration zu erleichtern. - Vergiss nicht, beim Berechnen des bestimmten Integrals entweder die Grenzen anzupassen oder vor dem Einsetzen der ursprünglichen Grenzen die Rücksubstitution durchzuführen.

1. Anwendung der Substitution \(u = x^2 + 9\). Das Differential lautet \(du = 2x \, dx\), was zu \(x \, dx = \frac{1}{2} \, du\) führt. 2. Anpassung der Grenzen: Die untere Grenze \(x = 0\) wird zu \(u = 9\), die obere Grenze \(x = 4\) wird zu \(u = 25\). 3. Das Integral lautet nun \(\int_9^{25} \frac{1}{2} u^{-\frac{1}{2}} \, du\). 4. Eine Stammfunktion in Abhängigkeit von \(u\) ist \(u^{\frac{1}{2}} = \sqrt{u}\). Durch Rücksubstitution erhält man eine Stammfunktion für \(f(x)\): \(F(x) = \sqrt{x^2+9}\). 5. Auswertung des bestimmten Integrals: \([\sqrt{u}]_9^{25} = \sqrt{25} - \sqrt{9} = 5 - 3 = 2\).

Stammfunktion: \(F(x) = \sqrt{x^2+9}\) Integralwert: \(2\)

- Untersuche den Zusammenhang zwischen dem Nenner und dem Zähler des Bruchs. - Was passiert, wenn du den Nenner ableitest? Wie unterscheidet sich dieses Ergebnis vom Zähler? - Erinnere dich an die Integrationsregel für Funktionen der Form \( \frac{f'(x)}{f(x)} \). - Nutze am Ende Logarithmengesetze, um das Ergebnis so weit wie möglich zusammenzufassen.

1. Identifikation der Struktur: Der Nenner ist \( g(x) = x^2 + 2 \) mit der Ableitung \( g'(x) = 2x \). Der Zähler \( x \) lässt sich als \( \frac{1}{2} \cdot g'(x) \) schreiben. 2. Anwendung der logarithmischen Integrationsregel: Eine Stammfunktion ist \( F(x) = \frac{1}{2} \ln|x^2 + 2| \). 3. Einsetzen der Integrationsgrenzen: \( F(2) - F(0) = \frac{1}{2} \ln(2^2 + 2) - \frac{1}{2} \ln(0^2 + 2) \). 4. Berechnung der Werte: \( \frac{1}{2} \ln(6) - \frac{1}{2} \ln(2) = \frac{1}{2} (\ln(6) - \ln(2)) \). 5. Vereinfachung mit Logarithmengesetzen: \( \frac{1}{2} \ln\left(\frac{6}{2}\right) = \frac{1}{2} \ln(3) \).

\( \frac{1}{2} \ln(3) \)

- Untersuche, ob der Funktionsterm eine innere und eine äußere Funktion besitzt. - Prüfe, ob ein Faktor im Produkt (fast) der Ableitung der inneren Funktion entspricht. - Bei Brüchen lohnt es sich zu testen, ob der Zähler die Ableitung des Nenners ist. - Manchmal hilft ein kleiner Rechentrick, um den Term in eine Form zu bringen, die man leichter integrieren kann.

1. Teilaufgabe a: Anwendung der linearen Substitutionsregel mit \(u = 2x + 7\) und \(u' = 2\). Division durch die innere Ableitung ergibt \(F(x) = 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}(2x + 7)^4 = (2x + 7)^4\). 2. Teilaufgabe b: Erkennen der Struktur \(u'(x) \cdot (u(x))^n\) mit \(u(x) = x^3 - 6x + 1\) und \(u'(x) = 3x^2 - 6\). Integration gemäß der Potenzregel für verkettete Funktionen ergibt \(F(x) = \frac{1}{6}(x^3 - 6x + 1)^6\). 3. Teilaufgabe c: Erkennen der logarithmischen Integrationsregel \(\frac{u'(x)}{u(x)}\) mit \(u(x) = x^2 + 5x - 2\) und \(u'(x) = 2x + 5\). Dies führt auf \(F(x) = \ln|x^2 + 5x - 2|\). 4. Teilaufgabe d: Umformung des Terms zu \(f(x) = (x + 1 - 1)(x + 1)^4 = (x + 1)^5 - (x + 1)^4\). Integration der einzelnen Potenzen mittels linearer Substitution ergibt \(F(x) = \frac{1}{6}(x + 1)^6 - \frac{1}{5}(x + 1)^5\).

a) \(F(x) = (2x + 7)^4\) b) \(F(x) = \frac{1}{6}(x^3 - 6x + 1)^6\) c) \(F(x) = \ln|x^2 + 5x - 2|\) d) \(F(x) = \frac{1}{6}(x + 1)^6 - \frac{1}{5}(x + 1)^5\)

- Achte bei Exponentialfunktionen besonders auf die Ableitung des Exponenten. - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Sinus und Kosinus und wende sie rückwärts an. - Kannst du den Bruch als Potenz mit negativem Exponenten schreiben? - Überprüfe dein Ergebnis immer durch Ableiten der gefundenen Stammfunktion.

1. Teilaufgabe a: Lineare Substitution im Exponenten mit \(u = 3 - 2x\). Division der Konstanten durch die innere Ableitung \(-2\) ergibt \(F(x) = \frac{-6}{-2}e^{3 - 2x} = 3e^{3 - 2x}\). 2. Teilaufgabe b: Struktur \(k \cdot u'(x) \cdot e^{u(x)}\) mit \(u(x) = x^2 + 4x\) und \(u'(x) = 2x + 4\). Da \((x + 2) = \frac{1}{2}u'(x)\), folgt \(F(x) = \frac{1}{2}e^{x^2 + 4x}\). 3. Teilaufgabe c: Lineare Substitution mit \(u = 5x - \pi\). Unter Berücksichtigung der Stammfunktion des Sinus \((-\cos)\) und Division durch \(u' = 5\) ergibt sich \(F(x) = 5 \cdot \frac{1}{5}(-\cos(5x - \pi)) = -\cos(5x - \pi)\). 4. Teilaufgabe d: Umschreiben als \(f(x) = 6x \cdot (x^2 + 4)^{-2}\). Mit \(u(x) = x^2 + 4\) ist \(u'(x) = 2x\), also \(f(x) = 3u'(x) \cdot (u(x))^{-2}\). Integration liefert \(F(x) = 3 \cdot \frac{1}{-1}(x^2 + 4)^{-1} = -\frac{3}{x^2 + 4}\).

a) \(F(x) = 3e^{3 - 2x}\) b) \(F(x) = \frac{1}{2}e^{x^2 + 4x}\) c) \(F(x) = -\cos(5x - \pi)\) d) \(F(x) = -\frac{3}{x^2 + 4}\)

- Skizziere dir den Verlauf der Sinuskurve über eine vollständige Periode. - Welche Symmetrie weisen Funktionen auf, die nur gerade Exponenten besitzen? - Wie verändert sich die Fläche unter einem Graphen, wenn man sowohl die Funktion als auch die Grenzen in die gleiche Richtung verschiebt? - Denke an die Bedeutung des Integrals als orientierter Flächeninhalt.

1. Zu a): Der Graph der Sinusfunktion ist über dem Intervall \([0; 2\pi]\) punktsymmetrisch zum Punkt \((\pi\mid 0)\). Die Fläche oberhalb der \(x\)-Achse im Intervall \([0; \pi]\) ist exakt so groß wie die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse im Intervall \([\pi; 2\pi]\). In der Flächenbilanz heben sich diese Werte zu Null auf. 2. Zu b): Die Funktion \(f(x) = x^4\) ist eine gerade Funktion (achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse), da nur gerade Exponenten auftreten. Die Fläche im Intervall \([-2; 0]\) ist daher deckungsgleich mit der Fläche im Intervall \([0; 2]\). Das Gesamtintegral über \([-2; 2]\) entspricht somit dem Doppelten des Integrals über einer der beiden Hälften. 3. Zu c): Der Graph der Funktion \(g(x) = x-1\) entsteht durch eine Verschiebung des Graphen von \(h(x) = x\) um eine Einheit nach rechts. Da auch die Integrationsgrenzen von \([-1; 2]\) um genau eine Einheit nach rechts auf \([0; 3]\) verschoben wurden, bleiben die Form der Fläche und ihr Inhalt unter dem Graphen identisch.

a) Aufgrund der Punktsymmetrie der Sinusfunktion zum Punkt \((\pi\mid 0)\) heben sich die positiven und negativen Flächenanteile auf. b) Da \(x^4\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, sind die Flächeninhalte links und rechts der Achse identisch. c) Es handelt sich um eine identische Fläche, die lediglich entlang der \(x\)-Achse um eine Einheit verschoben wurde (Substitution/Translation).

- Siehst du eine Beziehung zwischen dem Term unter der Wurzel und dem Faktor vor der Wurzel? - Erinnere dich an die Substitutionsregel: Wenn ein Teil der Funktion die Ableitung eines anderen Teils ist, vereinfacht das die Integration erheblich. - Vergiss am Ende nicht, die Integrationskonstante \(C\) so zu wählen, dass die Bedingung für den Punkt \(P\) erfüllt ist. - Du kannst die Wurzel auch als Potenz mit dem Exponenten \(\frac{1}{2}\) schreiben.

1. Zur Integration von \(f(x) = 2x \cdot \sqrt{x^2 + 9}\) bietet sich die Substitution an. Setze \(u = x^2 + 9\), woraus durch Ableiten \(\frac{du}{dx} = 2x\) bzw. \(du = 2x \, dx\) folgt. 2. Einsetzen in das Integral: \(\int \sqrt{u} \, du = \int u^{\frac{1}{2}} \, du = \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C\). 3. Rücksubstitution führt auf die allgemeine Stammfunktion \(F(x) = \frac{2}{3}(x^2 + 9)^{\frac{3}{2}} + C\), was auch als \(F(x) = \frac{2}{3}\sqrt{(x^2 + 9)^3} + C\) geschrieben werden kann. 4. Bestimmung von \(C\) mithilfe des Punktes \(P(0 \mid 20)\): \(F(0) = \frac{2}{3}(0^2 + 9)^{\frac{3}{2}} + C = 20\). 5. Berechnung des Terms: \(9^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27\). Damit folgt \(\frac{2}{3} \cdot 27 + C = 20\), also \(18 + C = 20\), woraus \(C = 2\) resultiert. 6. Die gesuchte Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{2}{3}(x^2 + 9)^{\frac{3}{2}} + 2\).

\(F(x) = \frac{2}{3}(x^2 + 9)^{\frac{3}{2}} + 2\)

- Untersuche den Exponenten der e-Funktion und den Faktor davor. - Hängt der Faktor vor der e-Funktion mit der Ableitung des Exponenten zusammen? - Wie lautet die Ableitung einer verketteten Funktion mit der e-Funktion als äußere Funktion? - Achte beim Einsetzen der Grenzen auf die Werte der trigonometrischen Funktionen an den Stellen \(0\) und \(\pi\).

1. Identifikation der Struktur: Der Integrand hat die Form \(f'(x) \cdot e^{f(x)}\) mit einer kleinen Anpassung des Vorzeichens. Mit \(f(x) = \cos(x)\) ist \(f'(x) = -\sin(x)\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: Da die Ableitung von \(e^{\cos(x)}\) gleich \(-\sin(x) \cdot e^{\cos(x)}\) ist, lautet eine Stammfunktion \(F(x) = -e^{\cos(x)}\). 3. Auswertung an den Grenzen: Obere Grenze: \(F(\pi) = -e^{\cos(\pi)} = -e^{-1} = -\frac{1}{e}\). Untere Grenze: \(F(0) = -e^{\cos(0)} = -e^{1} = -e\). 4. Differenzbildung: \((-\frac{1}{e}) - (-e) = e - \frac{1}{e}\).

\(e - \frac{1}{e}\) (oder \(\frac{e^2 - 1}{e}\))

- Erkennst du in den Termen Zusammenhänge zwischen einzelnen Teilen und deren Ableitungen? - Suche nach der Struktur \(\frac{g'(x)}{g(x)}\). Was ist die zugehörige Stammfunktion? - Überprüfe durch Ableiten mit der Kettenregel, ob du wieder bei \(f(x)\) landest.

1. Fall A: Der Zähler \(x\) ist fast die Ableitung des Nenners (\(2x\)). Es fehlt ein Faktor \(0{,}5\), um die Form \(\frac{g'(x)}{g(x)}\) zu erhalten. Die vorgeschlagene Stammfunktion ergibt abgeleitet \(\frac{2x}{x^2+1}\). Korrektur: \(F(x) = 0{,}5 \ln(x^2+1)\). 2. Fall B: Der Term ist korrekt. Es liegt die Form \(g'(x) \cdot e^{g(x)}\) vor, deren Stammfunktion \(e^{g(x)}\) ist. 3. Fall C: Hier wurde fälschlicherweise eine Art Produktregel für die Integration vermutet. Da der Zähler genau die Ableitung des Nenners ist (\(g'(x) = e^x\)), gilt die Regel \(\int \frac{g'(x)}{g(x)} \, dx = \ln|g(x)|\). Korrektur: \(F(x) = \ln(e^x+2)\). 4. Fall D: Der Term ist korrekt. Nach der Regel für die Integration von \(g'(x) \cdot (g(x))^n\) mit \(g(x) = \sin(x)\) und \(n=1\) ergibt sich \(\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sin^2(x) = \sin^2(x)\). Die Probe durch Ableiten bestätigt dies: \((\sin^2(x))' = 2\sin(x)\cos(x)\).

A) Fehler: Faktor \(0{,}5\) fehlt, da die Ableitung des Nenners \(2x\) ist. Korrekt: \(F(x) = 0{,}5\ln(x^2+1)\). B) Korrekt. C) Fehler: Falsche Struktur unterstellt; Zähler ist bereits Ableitung des Nenners. Korrekt: \(F(x) = \ln(e^x+2)\). D) Korrekt.

- Betrachte den Exponenten der e-Funktion. Wie sieht seine Ableitung aus? - Findest du einen Teil des Integranden im restlichen Ausdruck wieder (eventuell bis auf einen Vorzeichenfaktor)? - Denke daran, beim Substituieren auch die Integrationsgrenzen anzupassen. - Welche Ableitungsregel wurde hier vermutlich rückwärts angewendet?

1. Wahl der Substitution: \(u = \frac{1}{x}\). 2. Berechnung des Differentials: \(\frac{du}{dx} = -\frac{1}{x^2}\), woraus folgt \(-\,du = \frac{1}{x^2} \, dx\). 3. Anpassung der Integrationsgrenzen: Für \(x = 1\) ist \(u = 1\); für \(x = 2\) ist \(u = \frac{1}{2}\). 4. Transformation des Integrals: \(\int_{1}^{\frac{1}{2}} -e^u \, du\). 5. Umkehrung der Grenzen zur Beseitigung des Minuszeichens: \(\int_{\frac{1}{2}}^{1} e^u \, du\). 6. Berechnung des bestimmten Integrals: \([e^u]_{\frac{1}{2}}^{1} = e^1 - e^{\frac{1}{2}} = e - \sqrt{e}\).

\(e - \sqrt{e}\)

- Achte bei Teilaufgabe a) auf den Exponenten der e-Funktion und dessen Ableitung. Fehlt dort vielleicht nur ein konstanter Faktor? - Überlege dir für die trigonometrischen Terme in b) einzeln die Stammfunktionen. - Was musst du beim Integrieren von \(\cos(kx)\) beachten? - Setze die Grenzen sorgfältig ein und achte auf die Vorzeichen, besonders bei den Werten der Winkelfunktionen.

1. Teilaufgabe a): Der Integrand ist fast die Ableitung einer verketteten e-Funktion. Mit der Substitution \(u = -\frac{1}{2}x^2\) (oder Erkennen der Struktur \(f'(x) \cdot e^{f(x)}\)) ergibt sich die Stammfunktion \(F(x) = -e^{-\frac{1}{2}x^2}\). Die Berechnung liefert \(-e^{-\frac{1}{2} \cdot 2^2} - (-e^0) = -e^{-2} + 1 = 1 - \frac{1}{e^2}\). 2. Teilaufgabe b): Die Integration erfolgt gliedweise. Die Stammfunktion von \(\frac{1}{2}\sin(x)\) ist \(-\frac{1}{2}\cos(x)\). Die Stammfunktion von \(\cos(\frac{1}{2}x)\) ist \(2\sin(\frac{1}{2}x)\) (lineare Substitution). Einsetzen der Grenzen: \(\left[-\frac{1}{2}\cos(x) + 2\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\right]_0^{\pi} = \left(-\frac{1}{2}\cos(\pi) + 2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) - \left(-\frac{1}{2}\cos(0) + 2\sin(0)\right) = \left(\frac{1}{2} + 2\right) - \left(-\frac{1}{2} + 0\right) = 2{,}5 + 0{,}5 = 3\).

a) \(1 - e^{-2} \approx 0{,}865\) b) \(3\)

- Hilft es dir, das Produkt in Aufgabe 1 zuerst aufzulösen? - Bei Aufgabe 2 steht eine lineare Funktion im Nenner. Welche Regel für verkettete Funktionen mit innerer linearer Funktion kennst du? - Vergleiche in Aufgabe 4 die Ableitung des Nenners mit dem Term im Zähler. - Überlege, ob du eine Funktion kennst, deren Ableitung ein Produkt aus \(x\) und einer trigonometrischen Funktion ist.

1. Durch Ausmultiplizieren erhält man \(\int_{0}^{2} (x^2 - 1) \, dx\). Anwendung der Potenzregel: \([\frac{1}{3}x^3 - x]_{0}^{2} = (\frac{8}{3} - 2) - 0 = \frac{2}{3}\). 2. Lineare Substitution führt auf eine logarithmische Stammfunktion: \([\frac{1}{2} \ln|2x - 3|]_{2}^{5} = \frac{1}{2}(\ln(7) - \ln(1)) = 0{,}5 \ln(7)\). 3. Nicht mit den genannten Regeln berechenbar (erfordert partielle Integration). 4. Der Zähler ist genau die Ableitung des Nenners (\(f'/f\)-Regel). Stammfunktion ist \(\ln|x^2 + 3x|\). Berechnung: \([\ln(x^2 + 3x)]_{1}^{2} = \ln(4+6) - \ln(1+3) = \ln(10) - \ln(4) = \ln(2{,}5)\). 5. Nicht mit den genannten Regeln berechenbar (erfordert spezielle Substitutionen oder Integraltafeln).

1. \(\frac{2}{3}\) 2. \(0{,}5 \ln(7)\) 3. Nicht mit den genannten Regeln berechenbar. 4. \(\ln(2{,}5)\) 5. Nicht mit den genannten Regeln berechenbar.

- Achte bei Teil a) auf den Exponenten und dessen Ableitung. Findest du diese Ableitung (bis auf einen konstanten Faktor) als Faktor in der Funktion wieder? - Welche Kettenregel-Struktur könnte hier vorliegen? - In Teil b) hilft es, den Bruch als Produkt zu schreiben: \(\frac{1}{x} \cdot (\ln(x))^2\). Fällt dir eine Beziehung zwischen den beiden Faktoren auf? - Gibt es eine Regel für Funktionen der Form \(f(x) = (u(x))^n \cdot u'(x)\)?

1. Teilaufgabe a) folgt der Struktur \(g'(x) \cdot e^{g(x)}\). Die Ableitung des Exponenten \(g(x) = 1 - x^2\) ist \(g'(x) = -2x\). Der vorhandene Faktor \(x\) entspricht \(-\frac{1}{2} \cdot (-2x)\). Damit ist eine Stammfunktion \(F(x) = -\frac{1}{2}e^{1 - x^2}\). 2. Teilaufgabe b) weist die Struktur \((u(x))^n \cdot u'(x)\) auf, wobei \(u(x) = \ln(x)\) und \(u'(x) = \frac{1}{x}\) ist. Mit \(n = 2\) ergibt sich die Stammfunktion nach der Potenzregel für Funktionen: \(H(x) = \frac{1}{n+1} (u(x))^{n+1} = \frac{1}{3} (\ln(x))^3\).

a) \(F(x) = -\frac{1}{2} e^{1 - x^2}\) b) \(H(x) = \frac{1}{3} (\ln(x))^3\)

- Vergleiche die Ergebnisse der Integration über das gesamte Intervall mit dem doppelten Wert des rechten Teilintervalls. - Was muss für die Funktionswerte \(f(x)\) und \(f(-x)\) gelten, damit die Flächeninhalte links und rechts der \(y\)-Achse identisch sind? - Erinnere dich an die Bedingung für Achsensymmetrie bei ganzrationalen Funktionen bezüglich der Exponenten. - Untersuche, wie sich der Parameter \(c\) beim Integrieren und Einsetzen der Grenzen verhält.

1. Linke Seite: \(\int_{-k}^{k} (3x^2 + 5) \, dx = [x^3 + 5x]_{-k}^{k} = (k^3 + 5k) - ((-k)^3 + 5(-k)) = k^3 + 5k - (-k^3 - 5k) = 2k^3 + 10k\). Rechte Seite: \(2 \cdot \int_{0}^{k} (3x^2 + 5) \, dx = 2 \cdot [x^3 + 5x]_0^k = 2(k^3 + 5k - 0) = 2k^3 + 10k\). Beide Seiten sind identisch. 2. Die Gleichung besagt, dass der Integralwert über das gesamte Intervall \([-k; k]\) genau doppelt so groß ist wie der Wert über der rechten Hälfte \([0; k]\). Dies setzt voraus, dass der orientierte Flächeninhalt im linken Teil \([-k; 0]\) identisch mit dem im rechten Teil \([0; k]\) ist. Dies ist bei Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse (\(f(-x) = f(x)\)) der Fall. 3. Damit \(h(x) = x^2 + cx + 1\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, dürfen nur gerade Exponenten von \(x\) vorkommen. Daraus folgt direkt \(c = 0\). Rechnerische Überprüfung: \(\int_{-k}^{k} (x^2+cx+1) \, dx = [\frac{1}{3}x^3 + \frac{c}{2}x^2 + x]_{-k}^k = \frac{2}{3}k^3 + 2k\). Der Term mit \(c\) fällt durch die Subtraktion weg (\(\frac{c}{2}k^2 - \frac{c}{2}(-k)^2 = 0\)). Auf der rechten Seite gilt \(2 \int_{0}^{k} (x^2+cx+1) \, dx = 2(\frac{1}{3}k^3 + \frac{c}{2}k^2 + k) = \frac{2}{3}k^3 + ck^2 + 2k\). Gleichsetzen liefert \(\frac{2}{3}k^3 + 2k = \frac{2}{3}k^3 + ck^2 + 2k\), was für alle \(k\) nur für \(c = 0\) wahr ist.

1. Beide Seiten ergeben \(2k^3 + 10k\). 2. Der Graph der Funktion \(f\) muss achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse sein (\(f(x) = f(-x)\)). 3. \(c = 0\).

- Untersuche bei Brüchen immer zuerst, ob der Zähler ein Vielfaches der Ableitung des Nenners ist. - Achte bei Produkten von Funktionen darauf, ob ein Teil des Produkts die Ableitung eines Teils der inneren Funktion ist. - Wenn du substituierst, denke daran, auch die Integrationsgrenzen anzupassen. - Gibt es eine spezielle Regel für Integrale der Form \(\int f'(x) \cdot e^{f(x)} \, dx\)?

1. Teilaufgabe a): Anwendung der logarithmischen Integrationsregel \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + C\). Da der Zähler \(3x^2\) genau die Ableitung des Nenners \(x^3 + 1\) ist, lautet eine Stammfunktion \(F(x) = \ln(x^3 + 1)\). Einsetzen der Grenzen: \(F(2) = \ln(2^3 + 1) = \ln(9)\) und \(F(1) = \ln(1^3 + 1) = \ln(2)\). Das Integral ist \(\ln(9) - \ln(2) = \ln(4{,}5)\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung der Substitutionsregel oder Erkennen der Struktur \(f'(x) \cdot e^{f(x)}\). Mit \(u = x^2 - x\) und \(du = (2x - 1) \, dx\) ergibt sich das Integral \(\int_{u(0)}^{u(2)} e^u \, du\). Die neuen Grenzen sind \(u(0) = 0\) und \(u(2) = 2^2 - 2 = 2\). Das Integral \(\int_{0}^{2} e^u \, du = [e^u]_0^2 = e^2 - e^0 = e^2 - 1\).

a) \(\ln(4{,}5)\) oder \(\ln(9) - \ln(2)\) b) \(e^2 - 1\)

- Kannst du die Methode der partiellen Integration mehrfach hintereinander anwenden? - Wie lässt sich die Potenz im Logarithmus durch Ableiten vereinfachen? - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen. - Überlege dir, welche Werte die Terme an der unteren Grenze 1 annehmen.

1. Erste partielle Integration mit \(u(t) = (\ln(t))^2\) und \(v'(t) = 1\). 2. Berechnung von \(u'(t) = 2 \ln(t) \cdot \frac{1}{t}\) und \(v(t) = t\). 3. Anwendung der Formel: \(\int (\ln(t))^2 \, dt = t (\ln(t))^2 - \int 2 \ln(t) \, dt\). 4. Zweite partielle Integration für das verbleibende Integral \(\int 2 \ln(t) \, dt\) mit \(u(t) = \ln(t)\) und \(v'(t) = 2\), was zu \(2t \ln(t) - 2t\) führt. 5. Zusammenführen der Ergebnisse: Eine Stammfunktion ist \(F(t) = t (\ln(t))^2 - 2t \ln(t) + 2t\). 6. Auswertung der Integralfunktion: \(I_1(x) = [t (\ln(t))^2 - 2t \ln(t) + 2t]_1^x = (x (\ln(x))^2 - 2x \ln(x) + 2x) - (1 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 2)\). 7. Endergebnis: \(I_1(x) = x (\ln(x))^2 - 2x \ln(x) + 2x - 2\).

\(I_1(x) = x (\ln(x))^2 - 2x \ln(x) + 2x - 2\)

- Manchmal muss man die partielle Integration mehrfach anwenden, bevor sich ein Muster ergibt. - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du das zweite Mal integrierst. - Wenn das ursprüngliche Integral wieder erscheint, kannst du es durch Addition oder Subtraktion auf die linke Seite der Gleichung bringen. - Was sind die Werte von \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\) an den Stellen \(0\) und \(\pi\)?

1. Erste partielle Integration mit \(u = \sin(x)\) und \(v' = e^x\): \(\int_{0}^{\pi} e^x \sin(x) \, dx = [e^x \sin(x)]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} e^x \cos(x) \, dx\). 2. Auswertung des Randterms: \(e^\pi \sin(\pi) - e^0 \sin(0) = 0 - 0 = 0\). Das Integral vereinfacht sich zu \(I = - \int_{0}^{\pi} e^x \cos(x) \, dx\). 3. Zweite partielle Integration für das verbleibende Integral mit \(u = \cos(x)\) und \(v' = e^x\): \(\int_{0}^{\pi} e^x \cos(x) \, dx = [e^x \cos(x)]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} e^x (-\sin(x)) \, dx\). 4. Einsetzen in die Gleichung aus Schritt 2: \(I = -([e^x \cos(x)]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} e^x \sin(x) \, dx)\). 5. Zusammenführen des gesuchten Integrals \(I\): \(I = -[e^x \cos(x)]_{0}^{\pi} - I \Rightarrow 2I = -[e^x \cos(x)]_{0}^{\pi}\). 6. Auswerten der Grenzen: \(-[e^\pi \cos(\pi) - e^0 \cos(0)] = -[e^\pi \cdot (-1) - 1 \cdot 1] = -(-e^\pi - 1) = e^\pi + 1\). 7. Finale Lösung durch Division: \(I = \frac{e^\pi + 1}{2}\).

\(\frac{e^\pi + 1}{2}\)

- Überprüfe, ob ein Teil des Integranden die Ableitung eines anderen Teils (z. B. einer inneren Funktion) ist. - Was passiert mit den Integrationsgrenzen, wenn du eine neue Variable einführst? - Erinnere dich an die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion. - Gibt es eine Struktur der Form \(f'(x) \cdot g(f(x))\)?

1. In Teilaufgabe a) wird die Substitution \(u = x^2\) mit \(du = 2x \, dx\) durchgeführt, woraus \(x \, dx = \frac{1}{2} \, du\) folgt. Die Integrationsgrenzen ändern sich von \(x=0\) zu \(u=0\) und von \(x=\sqrt{\pi}\) zu \(u=\pi\). Das Integral wird zu \(\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \sin(u) \, du = \frac{1}{2} [-\cos(u)]_{0}^{\pi}\). Auswertung: \(\frac{1}{2} (-\cos(\pi) - (-\cos(0))) = \frac{1}{2} (1 + 1) = 1\). 2. In Teilaufgabe b) wird erkannt, dass der Zähler die Ableitung des Nenners ist (\(f(x) = e^x + 1 \Rightarrow f'(x) = e^x\)). Gemäß der Regel \(\int \frac{f'}{f} = \ln|f|\) ist die Stammfunktion \(F(x) = \ln(e^x + 1)\). Einsetzen der Grenzen ergibt \(\ln(e^1 + 1) - \ln(e^0 + 1) = \ln(e + 1) - \ln(2) = \ln(\frac{e + 1}{2})\).

a) \(1\) b) \(\ln(\frac{e + 1}{2})\)

- Kannst du im ersten Summanden einen Teil entdecken, der (bis auf einen konstanten Faktor) die Ableitung des Exponenten ist? - Überlege, wie man Produkte von Funktionen ableitet. - Schreibe die Wurzelfunktion als Potenz um, um die Potenzregel anzuwenden. - Welche Integrationsregel ist hilfreich, wenn im Integranden eine Funktion und ihre innere Ableitung vorkommen?

1. Für \(x > \frac{2}{3}\) erfolgt die Ableitung des ersten Summanden mit der Produkt- und Kettenregel: \(1 \cdot e^{-x^2} + x \cdot e^{-x^2} \cdot (-2x) = (1 - 2x^2)e^{-x^2}\). Der zweite Summand \((3x-2)^{0{,}5}\) wird mit der Kettenregel zu \(\frac{1}{2}(3x-2)^{-0{,}5} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x-2}}\) abgeleitet. Somit ist \(f'(x) = (1 - 2x^2)e^{-x^2} + \frac{3}{2\sqrt{3x - 2}}\) für \(x > \frac{2}{3}\). 2. Für die Stammfunktion \(F(x)\) wird im ersten Summanden die Substitution \(u = -x^2\) mit \(du = -2x \, dx\) verwendet, was auf \(-\frac{1}{2}e^{-x^2}\) führt. Der zweite Summand wird als Potenz \((3x-2)^{1/2}\) aufgefasst und mittels linearer Substitution integriert: \(\frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-2)^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{9}\sqrt{(3x-2)^3}\). Somit ist \(F(x) = -\frac{1}{2}e^{-x^2} + \frac{2}{9}\sqrt{(3x - 2)^3}\) für \(x \ge \frac{2}{3}\).

\(f'(x) = (1 - 2x^2)e^{-x^2} + \frac{3}{2\sqrt{3x - 2}}\) für \(x > \frac{2}{3}\) \(F(x) = -\frac{1}{2}e^{-x^2} + \frac{2}{9}\sqrt{(3x - 2)^3}\) für \(x \ge \frac{2}{3}\)

- Was weißt du über Integrale, bei denen die Grenzen identisch sind? - Versuche, alle Integrale auf die gleichen Grenzen zu bringen, um sie kombinieren zu können. - Wenn ein Ausdruck für jede beliebige Funktion \(g\) gelten soll, was muss dann mit dem Term passieren, der \(g\) enthält? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob der konstante Anteil des Integrals mit dem Ergebnis auf der rechten Seite übereinstimmt.

1. Ein Integral mit identischen Grenzen ist stets Null, also \(\int_7^7 (g(x) + k) \, dx = 0\). 2. Durch Vertauschen der Grenzen beim ersten Integral erhält man \(- \int_1^4 (kg(x) + 2) \, dx\). 3. Zusammenfassen der verbleibenden Integrale über dem Intervall \([1; 4]\) ergibt: \(\int_1^4 (-kg(x) - 2 + 3g(x) - k) \, dx = \int_1^4 ((3 - k)g(x) - (k + 2)) \, dx\). 4. Damit der Wert unabhängig von \(g\) ist, muss der Koeffizient von \(g(x)\) im Integranden Null sein: \(3 - k = 0\), woraus \(k = 3\) folgt. 5. Zur Überprüfung wird \(k = 3\) in den verbleibenden konstanten Teil eingesetzt: \(\int_1^4 -(3 + 2) \, dx = \int_1^4 -5 \, dx = -5 \cdot (4 - 1) = -15\). Dies bestätigt die rechte Seite der Gleichung.

\(k = 3\)

- Was passiert mit dem Integral einer ungeraden (punktsymmetrischen) Funktion über ein Intervall, das symmetrisch zum Nullpunkt liegt? - Versuche, das gegebene Integral von \(-2\) bis \(6\) in Teilintervalle zu zerlegen, von denen du eines bereits durch die Symmetrie kennst. - Wie hängen die Integrale über \([a; b]\) und \([-b; -a]\) bei einer Punktsymmetrie zum Ursprung zusammen? Skizziere dir eventuell eine Beispielfunktion wie \(x^3\). - Prüfe genau, ob die Informationen ausreichen, um Teilflächen ab der Grenze \(0\) einzeln zu bestimmen.

1. Da \(g\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist, gilt \(\int_{-a}^{a} g(x) \, dx = 0\) für jedes \(a\). 2. Für a): Zerlegung \(\int_{-2}^{6} g(x) \, dx = \int_{-2}^{2} g(x) \, dx + \int_{2}^{6} g(x) \, dx\). Da \(\int_{-2}^{2} g(x) \, dx = 0\), folgt \(12 = 0 + \int_{2}^{6} g(x) \, dx\), also \(\int_{2}^{6} g(x) \, dx = 12\). 3. Für b): Bei Punktsymmetrie gilt \(\int_{-b}^{-a} g(x) \, dx = -\int_{a}^{b} g(x) \, dx\). Mit dem Ergebnis aus a) folgt \(\int_{-6}^{-2} g(x) \, dx = -12\). 4. Für c): Nach der Intervalladditivität ist \(\int_{0}^{6} g(x) \, dx - \int_{0}^{2} g(x) \, dx = \int_{2}^{6} g(x) \, dx = 12\). 5. Für d): Wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung ist das Integral über ein symmetrisches Intervall um Null stets \(\int_{-6}^{6} g(x) \, dx = 0\). 6. Für e): Es ist nur die Differenz der Integrale bekannt, nicht die Einzelwerte von \(\int_{0}^{2}\) oder \(\int_{0}^{6}\). Das Integral ist nicht berechenbar.

a) \(12\) b) \(-12\) c) \(12\) d) \(0\) e) Nicht eindeutig bestimmbar

- Erinnere dich an das Pascalsche Dreieck, um Potenzen von Binomen schneller auszumultiplizieren. - Achte bei der linearen Substitution besonders auf das Vorzeichen des Faktors vor dem \(x\). - Was passiert mit einer negativen Zahl, wenn sie mit einem ungeraden Exponenten potenziert wird? - Überprüfe, ob du beim Integrieren der einzelnen Glieder die Exponenten und die zugehörigen Nenner korrekt angepasst hast.

1. Ausmultiplizieren mittels des Pascalschen Dreiecks oder binomischer Formeln: \((1 - 2x)^4 = 1 - 4(2x) + 6(2x)^2 - 4(2x)^3 + (2x)^4 = 1 - 8x + 24x^2 - 32x^3 + 16x^4\). 2. Gliedweise Integration: \(\int_0^1 (1 - 8x + 24x^2 - 32x^3 + 16x^4) \, dx = [x - 4x^2 + 8x^3 - 8x^4 + 3{,}2x^5]_0^1\). 3. Berechnung des Werts: \((1 - 4 + 8 - 8 + 3{,}2) - 0 = 0{,}2\). 4. Anwendung der linearen Substitution: Die innere Funktion ist \(g(x) = 1 - 2x\) mit \(a = -2\). Die Stammfunktion lautet \(\Phi(x) = \frac{1}{-2} \cdot \frac{1}{5}(1 - 2x)^5 = -0{,}1(1 - 2x)^5\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(-0{,}1 \cdot [(1 - 2 \cdot 1)^5 - (1 - 2 \cdot 0)^5] = -0{,}1 \cdot ((-1)^5 - 1^5) = -0{,}1 \cdot (-1 - 1) = -0{,}1 \cdot (-2) = 0{,}2\). Beide Methoden bestätigen den Wert \(0{,}2\).

\(0{,}2\)

- Beachte zuerst, dass \(g\) bei \(x=0\) nicht definiert ist. - Eine Integralfunktion \(I_a\) erfüllt \(I_a(a)=0\). - Löse daher \(H(a)=0\) und ordne jede Lösung einer zusammenhängenden Komponente des Definitionsbereichs zu. - Bei \(k\) ist der Korrekturfaktor der linearen inneren Funktion zu berücksichtigen.

1. Die Funktion \(g\) ist wegen des Nenners bei \(x=0\) nicht definiert. Es gilt für \(x\neq0\): \(g(x)=x-4x^{-2}\). 2. Auf jedem der beiden Definitionsintervalle ist daher \(G(x)=\frac12x^2+\frac4x+C\) eine Stammfunktion. 3. Für \(H\) gilt \(H'(x)=x-4x^{-2}=g(x)\) für \(x\neq0\). Damit \(H=I_a\) gilt, muss zusätzlich \(H(a)=0\) sein. 4. Aus \(\frac12a^2+\frac4a-4{,}5=0\) folgt \(a^3-9a+8=0\). Die Nullstellen sind \(a=1\) sowie \(a=\frac{-1\pm\sqrt{33}}2\). 5. Für die positiven unteren Grenzen \(1\) und \(\frac{-1+\sqrt{33}}2\) gilt die Integraldarstellung auf Intervallen innerhalb von \((0,\infty)\), die jeweils \(a\) und \(x\) enthalten. Für die negative Grenze \(\frac{-1-\sqrt{33}}2\) gilt sie entsprechend innerhalb von \(( -\infty,0)\). Ein Integrationsweg darf \(0\) nicht überschreiten. 6. Für \(k(x)=5(2x-7)^3\) ist eine Stammfunktion \(K(x)=\frac58(2x-7)^4\).

a) \(G(x)=\frac12x^2+\frac4x+C\) auf jedem der Intervalle \(( -\infty,0)\) und \((0,\infty)\). b) Ja. Mögliche Grenzen sind \(a=1\), \(a=\frac{-1+\sqrt{33}}2\) auf \((0,\infty)\) sowie \(a=\frac{-1-\sqrt{33}}2\) auf \(( -\infty,0)\). Der Integrationsweg darf \(0\) nicht überschreiten. c) \(K(x)=\frac58(2x-7)^4\).

- Hilft es dir, den Klammerausdruck in a) zuerst auszumultiplizieren? - Schau dir in b) den Zähler und den Nenner genau an. Gibt es einen Zusammenhang zwischen den Ableitungen? - Erinnerst du dich an die Regel für Brüche, bei denen der Zähler (fast) die Ableitung des Nenners ist?

1. In Teilaufgabe a) wird der Term zunächst mithilfe der ersten binomischen Formel zu \(f(x) = (e^{2x})^2 + 2 \cdot e^{2x} \cdot 1 + 1^2 = e^{4x} + 2e^{2x} + 1\) umgeformt. Die gliedweise Integration unter Berücksichtigung der linearen Innenteile in den Exponenten ergibt \(F(x) = \frac{1}{4} e^{4x} + e^{2x} + x\). 2. In Teilaufgabe b) liegt die Struktur \(\frac{g'(x)}{g(x)}\) vor, wenn man einen konstanten Faktor berücksichtigt. Die Ableitung des Nenners \(g(x) = e^{2x} + 3\) ist \(g'(x) = 2e^{2x}\). Da der Zähler \(4e^{2x} = 2 \cdot (2e^{2x})\) ist, folgt mit der logarithmischen Integrationsregel \(F(x) = 2 \ln(e^{2x} + 3)\). Da der Ausdruck \(e^{2x} + 3\) für alle \(x\) positiv ist, können die Betragsstriche entfallen.

a) \(F(x) = \frac{1}{4} e^{4x} + e^{2x} + x\) b) \(F(x) = 2 \ln(e^{2x} + 3)\)

- Bestimme zuerst die Nullstellen der Nenner. - Zerlege den ersten Bruch in \(1+\frac1{x+2}\). - Beim zweiten Bruch ist der Zähler die Hälfte der Nennerableitung. - Beachte getrennte Integrationskonstanten auf getrennten Definitionsintervallen.

1. Wegen des Nenners \(x+2\) ist \(f\) bei \(x=-2\) nicht definiert. Der zweite Nenner \(2e^x+4\) ist stets positiv. Somit besteht der Definitionsbereich aus \(( -\infty,-2)\) und \((-2,\infty)\). 2. Der erste Bruch lässt sich umformen zu \(\frac{x+3}{x+2}=1+\frac1{x+2}\). 3. Daher ist \(\int\left(1+\frac1{x+2}\right)\,dx=x+\ln\lvert x+2\rvert\). 4. Für \(q(x)=2e^x+4\) gilt \(q'(x)=2e^x\). Somit ist \(\int\frac{e^x}{2e^x+4}\,dx=\frac12\ln(2e^x+4)\). 5. Auf jedem der beiden Definitionsintervalle ist daher \(F(x)=x+\ln\lvert x+2\rvert-\frac12\ln(2e^x+4)+C\) eine Stammfunktion. Die Konstanten können auf den beiden Intervallen unabhängig gewählt werden.

Auf \(( -\infty,-2)\) und \((-2,\infty)\) ist jeweils \(F(x)=x+\ln\lvert x+2\rvert-\frac12\ln(2e^x+4)+C\) eine Stammfunktion; die Konstanten dürfen auf den beiden Intervallen verschieden sein.

- Welche der beiden Funktionen lässt sich durch Ableiten vereinfachen? - Erinnere dich an die Regel für die partielle Integration: \( \int u \cdot v' = uv - \int u'v \). - Achte beim Einsetzen der Grenzen auf die Werte der Logarithmusfunktion. - Fasse die Terme mit der Eulerschen Zahl am Ende zusammen.

1. Wahl der Funktionen für die partielle Integration: Setze \( u = \ln(x) \) und \( v' = x^2 \). 2. Bestimmung der Ableitung und Stammfunktion: \( u' = \frac{1}{x} \) und \( v = \frac{1}{3}x^3 \). 3. Anwendung der Formel für partielle Integration: \( \int u \cdot v' \, dx = u \cdot v - \int u' \cdot v \, dx \). 4. Berechnung des unbestimmten Integrals: \( \frac{1}{3}x^3 \ln(x) - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3}x^3 \, dx = \frac{1}{3}x^3 \ln(x) - \int \frac{1}{3}x^2 \, dx = \frac{1}{3}x^3 \ln(x) - \frac{1}{9}x^3 \). 5. Einsetzen der Grenzen \( 1 \) und \( e \): \( \left( \frac{1}{3}e^3 \ln(e) - \frac{1}{9}e^3 \right) - \left( \frac{1}{3} \cdot 1^3 \ln(1) - \frac{1}{9} \cdot 1^3 \right) \). 6. Vereinfachung unter Nutzung von \( \ln(e) = 1 \) und \( \ln(1) = 0 \): \( \left( \frac{3}{9}e^3 - \frac{1}{9}e^3 \right) - (0 - \frac{1}{9}) = \frac{2}{9}e^3 + \frac{1}{9} \).

\( \frac{2}{9}e^3 + \frac{1}{9} \)

- Wenn kein Produkt erkennbar ist, hilft oft der Trick, den Faktor 1 zu ergänzen. - Manche Integrale erfordern eine wiederholte Anwendung derselben Methode auf das neu entstandene Integral. - Achte beim zweiten Schritt genau auf die Vorzeichen, besonders wenn du ein Minuszeichen vor dem gesamten Integral stehen hast. - Erinnere dich an die Ableitung der Logarithmusfunktion und die Kettenregel.

1. Erster Schritt der partiellen Integration mit \(u(x) = (\ln(x))^2\) und \(v'(x) = 1\): Es folgt \(u'(x) = 2\ln(x) \cdot \frac{1}{x}\) und \(v(x) = x\). 2. Anwendung der Formel: \(\int (\ln(x))^2 \, dx = x(\ln(x))^2 - \int x \cdot \frac{2\ln(x)}{x} \, dx = x(\ln(x))^2 - \int 2\ln(x) \, dx\). 3. Zweiter Schritt der partiellen Integration für \(\int 2\ln(x) \, dx\) mit \(u(x) = 2\ln(x)\) und \(v'(x) = 1\): Es folgt \(u'(x) = \frac{2}{x}\) und \(v(x) = x\). 4. Berechnung des Teilintegrals: \(\int 2\ln(x) \, dx = 2x\ln(x) - \int 2 \, dx = 2x\ln(x) - 2x\). 5. Zusammenführung zur Stammfunktion: \(F(x) = x(\ln(x))^2 - 2x\ln(x) + 2x\). 6. Auswertung des bestimmten Integrals: \([x(\ln(x))^2 - 2x\ln(x) + 2x]_1^e = (e \cdot 1^2 - 2e \cdot 1 + 2e) - (1 \cdot 0^2 - 2 \cdot 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1) = e - 2\).

\(e - 2\)

- Was passiert, wenn du die Exponentialfunktion zweimal ableitest und die Winkelfunktion zweimal integrierst? - Versuche, das Integral als eine Variable zu betrachten, wenn es auf der rechten Seite der Gleichung wieder erscheint. - Nach der zweiten Integration kannst du die Gleichung algebraisch nach dem gesuchten Integral umstellen. - Prüfe die Werte von \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\) an den Grenzen \(0\) und \(\frac{\pi}{2}\).

1. Erste partielle Integration mit \(u = e^{2x}\) und \(v' = \cos(x)\): Mit \(u' = 2e^{2x}\) und \(v = \sin(x)\) ergibt sich: \(I = \int e^{2x} \cos(x) \, dx = e^{2x} \sin(x) - 2 \int e^{2x} \sin(x) \, dx\). 2. Zweite partielle Integration für das verbleibende Integral mit \(u = e^{2x}\) und \(v' = \sin(x)\): Mit \(u' = 2e^{2x}\) und \(v = -\cos(x)\) folgt: \(\int e^{2x} \sin(x) \, dx = -e^{2x} \cos(x) + 2 \int e^{2x} \cos(x) \, dx = -e^{2x} \cos(x) + 2I\). 3. Einsetzen und nach \(I\) auflösen: \(I = e^{2x} \sin(x) - 2 (-e^{2x} \cos(x) + 2I) = e^{2x} \sin(x) + 2e^{2x} \cos(x) - 4I\). Daraus folgt \(5I = e^{2x} (\sin(x) + 2 \cos(x))\), also \(I = \frac{1}{5} e^{2x} (\sin(x) + 2 \cos(x))\). 4. Auswertung des bestimmten Integrals in den Grenzen \(0\) bis \(\frac{\pi}{2}\): \(F(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{5} e^{\pi} (1 + 2 \cdot 0) = \frac{1}{5} e^{\pi}\). \(F(0) = \frac{1}{5} e^{0} (0 + 2 \cdot 1) = \frac{2}{5}\). Ergebnis: \(\frac{1}{5} e^{\pi} - \frac{2}{5}\).

\(\frac{e^{\pi} - 2}{5} \approx 4{,}228\)

- Überlege dir, wie du das Produkt zweier gleicher Funktionen mit der partiellen Integration behandeln kannst. - Gibt es eine Identität, die \(\sin^2(x)\) und \(\cos^2(x)\) miteinander verknüpft? - Was passiert, wenn das gesuchte Integral nach der Umformung auf beiden Seiten der Gleichung erscheint? - Erinnere dich an die Werte der Sinus- und Kosinusfunktion an den Stellen \(0\) und \(\pi\).

1. Anwendung der partiellen Integration mit \(u = \cos(x)\) und \(v' = \cos(x)\), woraus \(u' = -\sin(x)\) und \(v = \sin(x)\) folgt. 2. Aufstellen der Gleichung: \(\int \cos^2(x) \, dx = \sin(x) \cos(x) + \int \sin^2(x) \, dx\). 3. Ersetzen von \(\sin^2(x)\) durch \(1 - \cos^2(x)\), was zu \(\int \cos^2(x) \, dx = \sin(x) \cos(x) + \int 1 \, dx - \int \cos^2(x) \, dx\) führt. 4. Umformen der Gleichung ergibt die Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{2}(x + \sin(x) \cos(x))\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(F(\pi) = \frac{1}{2}(\pi + 0) = \frac{\pi}{2}\) und \(F(0) = 0\). 6. Die Differenz ergibt den Wert \(\frac{\pi}{2}\).

\(\frac{\pi}{2}\)

- Untersuche das Verhältnis zwischen dem Zähler und dem Nenner des Bruchs. - Gibt es eine spezielle Regel für Brüche, bei denen der Zähler die Ableitung des Nenners ist? - Erinnere dich an die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion in Verbindung mit der Kettenregel. - Was ergibt \(e^{\ln(a)}\)?

1. Analyse der Termstruktur: Der Zähler \(e^x\) ist genau die Ableitung des Nenners \(e^x+3\). Es liegt somit die Form \(\frac{g'(x)}{g(x)}\) vor. 2. Bestimmung der Stammfunktion: Mit der logarithmischen Integrationsregel ergibt sich \(F(x) = \ln|e^x+3|\). Da \(e^x+3 > 0\) für alle \(x\), ist \(F(x) = \ln(e^x+3)\). 3. Berechnung des Integrals: Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: \(\int_0^{\ln(2)} \frac{e^x}{e^x+3} \, dx = [ \ln(e^x+3) ]_0^{\ln(2)} = \ln(e^{\ln(2)}+3) - \ln(e^0+3) = \ln(2+3) - \ln(1+3) = \ln(5) - \ln(4) = \ln\left(\frac{5}{4}\right)\).

Stammfunktion: \(F(x) = \ln(e^x+3)\) Integralwert: \(\ln(1{,}25) \approx 0{,}223\)