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- Suche im Exponenten nach einer inneren Funktion. - Vergleiche deren Ableitung mit dem Faktor vor der Exponentialfunktion.

1. Wählt man \(g(x)=x^2\), dann ist \(g'(x)=2x\). 2. Damit hat der Integrand genau die Form \(g'(x)e^{g(x)}\). Richtig ist a).

a) \(g'(x)e^{g(x)}\)

- Welche Grundfunktion hat beim Ableiten den Kosinus als Ergebnis? - Welche zusätzliche Konstante entsteht beim Ableiten der inneren Funktion \(3x\)?

1. Eine Stammfunktion von \(\cos(u)\) ist \(\sin(u)\). 2. Wegen der linearen inneren Funktion \(3x\) wird mit \(\frac{1}{3}\) ausgeglichen. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{3}\sin(3x)\).

Zum Beispiel \(F(x)=\frac{1}{3}\sin(3x)\).

- Skizziere im Kopf den Verlauf der Funktion. Wo liegt der Scheitelpunkt? - Welche Symmetrie weist eine Parabel im Allgemeinen auf? - Betrachte die Lage der Integrationsgrenzen im Verhältnis zur Symmetrieachse der Funktion. - Haben die beiden Intervalle die gleiche Breite und den gleichen Abstand zur Symmetrieachse?

1. Identifikation der Funktion \(f(x) = (x - 2)^2\) als eine um \(2\) Einheiten nach rechts verschobene Normalparabel. 2. Bestimmung des Scheitelpunkts bei \(S(2\mid 0)\) und der daraus resultierenden Achsensymmetrie des Graphen zur Geraden \(x = 2\). 3. Analyse der Integrationsintervalle: Das Intervall \([1; 2]\) liegt unmittelbar links vom Symmetriezentrum \(x = 2\), das Intervall \([2; 3]\) unmittelbar rechts davon. Beide Intervalle haben die gleiche Breite \(1\). 4. Aufgrund der Achsensymmetrie sind die Flächeninhalte unter dem Graphen in diesen beiden zueinander symmetrisch liegenden Teilintervallen identisch, woraus die Gleichheit der Integrale folgt.

Die Gleichung ist wahr, da der Graph der Funktion \(f(x) = (x - 2)^2\) eine achsensymmetrische Parabel mit der Symmetrieachse \(x = 2\) ist. Da die Intervalle \([1; 2]\) und \([2; 3]\) symmetrisch zu dieser Achse liegen und die gleiche Breite besitzen, sind die Flächeninhalte unter dem Graphen in diesen Bereichen gleich groß.

- Wie berechnet man ein bestimmtes Integral, wenn die Stammfunktion bekannt ist? - Schreibe die Terme für beide Seiten der Gleichung separat mithilfe der Stammfunktion auf. - Achte auf die Reihenfolge der Grenzen beim Einsetzen in die Stammfunktion. - Was passiert mit den Vorzeichen in einer Klammer, wenn ein Minuszeichen davor steht?

1. Anwendung des Hauptsatzes auf die linke Seite der Gleichung: \(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\). 2. Anwendung des Hauptsatzes auf das Integral der rechten Seite: \(\int_b^a f(x) \, dx = F(a) - F(b)\). 3. Multiplikation des Ergebnisses aus Schritt 2 mit \(-1\): \(-(F(a) - F(b)) = -F(a) + F(b) = F(b) - F(a)\). 4. Da beide Seiten den Wert \(F(b) - F(a)\) ergeben, ist die Identität bewiesen.

Nach dem Hauptsatz gilt \(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\). Für die rechte Seite ergibt sich \(- \int_b^a f(x) \, dx = -(F(a) - F(b)) = -F(a) + F(b) = F(b) - F(a)\). Somit sind beide Seiten identisch.

- Vergleiche den Zähler mit der ersten Ableitung des Nenners. - Welche Stammfunktion gehört zur Struktur \(g'(x)/g(x)\)? - Prüfe, ob der Nenner auf dem Integrationsintervall positiv ist.

1. Für \(g(x)=x^3+x+1\) gilt \(g'(x)=3x^2+1\). Der Zähler ist \(2g'(x)\). 2. Daher ist \(2\ln|x^3+x+1|\) eine Stammfunktion des Integranden. 3. Auswerten an den Grenzen ergibt \(2\ln3-2\ln1=2\ln3\).

\(2\ln3\)

- Vergleiche den Faktor vor der Exponentialfunktion mit der ersten Ableitung des Exponenten. - Achte auf das Vorzeichen in der Struktur \(g'(x)e^{g(x)}\). - Setze anschließend die beiden trigonometrisch einfachen Grenzen ein.

1. Für \(g(x)=\cos x\) gilt \(g'(x)=-\sin x\). Der Integrand ist daher \(-g'(x)e^{g(x)}\). 2. Eine Stammfunktion ist \(-e^{\cos x}\). 3. Damit ergibt sich \([-e^{\cos x}]_0^{\pi}=-e^{-1}+e=e-\frac1e\).

\(e-\frac{1}{e}\)

- Prüfe jeden Vorschlag durch einmaliges Ableiten. - Achte bei linearen inneren Funktionen auf den konstanten inneren Ableitungsfaktor. - Beim Logarithmus muss der Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion berücksichtigt werden.

1. A ist falsch: Bei der Regel für lineare innere Funktionen muss durch den inneren Ableitungsfaktor \(3\) geteilt werden. Korrekt ist \(-\frac13\cos(3x)+C\). 2. B ist korrekt, denn beim Ableiten von \(0{,}5e^{2x-4}\) entsteht der Faktor \(2\). 3. C ist falsch. Korrekt ist \(\frac1{16}(4x+2)^4+C\). 4. D ist auf \(x>-2\) korrekt. Auf beiden Teilintervallen des Definitionsbereichs kann \(2\ln|0{,}5x+1|+C\) verwendet werden.

A) falsch; \(-\frac13\cos(3x)+C\) B) korrekt C) falsch; \(\frac1{16}(4x+2)^4+C\) D) auf \(x>-2\) korrekt; auf beiden Definitionsintervallen: \(2\ln|0{,}5x+1|+C\)

- Betrachte \(1/x\) als innere Funktion. - Vergleiche deren erste Ableitung mit dem Faktor \(1/x^2\). - Achte auf das zusätzliche Minuszeichen.

1. Setze für die Strukturerkennung \(g(x)=\frac1x\). Dann ist \(g'(x)=-\frac1{x^2}\). 2. Der Integrand ist \(-g'(x)e^{g(x)}\). Daher ist \(-e^{1/x}\) eine Stammfunktion. 3. Es folgt \([-e^{1/x}]_1^2=-e^{1/2}+e=e-\sqrt e\).

\(e-\sqrt e\)

- Vergleiche den Zähler mit der ersten Ableitung des Nenners. - Nutze die Struktur \(g'/g\) und beachte den konstanten Vorfaktor. - Fasse die Differenz der Logarithmen am Ende zusammen.

1. Für \(g(x)=x^3-x+5\) gilt \(g'(x)=3x^2-1\). Der Zähler ist \(2g'(x)\). 2. Daher ist \(2\ln|x^3-x+5|\) eine Stammfunktion. 3. Auswerten liefert \(2\ln11-2\ln5=2\ln\!\left(\frac{11}{5}\right)\).

\(2\ln\!\left(\frac{11}{5}\right)\)

- Der Exponent ist eine lineare Funktion. - Welche Stammfunktion gehört nach der Regel für \(e^{ax+b}\) dazu? - Setze anschließend die beiden Grenzen in der richtigen Reihenfolge ein.

1. Für die lineare innere Funktion \(1-0{,}5x\) gilt die Integrationsregel \(\int e^{ax+b}\,dx=\frac1a e^{ax+b}+C\). Daher ist \(F(x)=-2e^{1-0{,}5x}\) eine Stammfunktion. 2. Mit dem Hauptsatz folgt \(\int_0^2e^{1-0{,}5x}\,dx=F(2)-F(0)=-2-(-2e)=2e-2\).

\(2e - 2\) (ca. \(3{,}437\))

- Wie kannst du die Wurzel als Potenz schreiben? - Welche Regel gilt beim Integrieren einer Potenz mit linearer innerer Funktion? - Wie werden die Stammfunktionswerte an den beiden Grenzen miteinander verknüpft?

1. Für \((2x+4)^{\frac{1}{2}}\) liefert die Regel für lineare innere Funktionen die Stammfunktion \(\frac{1}{3}(2x+4)^{\frac{3}{2}}\). Daher ist \(F(x)=4x-\frac{1}{3}(2x+4)^{\frac{3}{2}}\) eine Stammfunktion von \(f\). 2. Es gilt \(F(0)=-\frac{8}{3}\) und \(F(-2)=-8\). 3. Nach dem Hauptsatz ist \(\int_{-2}^{0}f(x)\,\mathrm{d}x=F(0)-F(-2)=\frac{16}{3}\).

\(\frac{16}{3}\)

- Wie lässt sich die Wurzel als Potenz schreiben? - Welche Korrektur ist beim Integrieren wegen des Faktors \(-\frac{1}{2}\) in der linearen inneren Funktion nötig? - Wie verwendest du anschließend die beiden Integrationsgrenzen?

1. Es gilt \(g(x)=\left(4-\frac{1}{2}x\right)^{\frac{1}{2}}\). 2. Nach der Regel für lineare innere Funktionen ist \(G(x)=-\frac{4}{3}\left(4-\frac{1}{2}x\right)^{\frac{3}{2}}\) eine Stammfunktion von \(g\). 3. Es gilt \(G(8)=0\) und \(G(0)=-\frac{32}{3}\). 4. Daher ist \(\int_{0}^{8}g(x)\,\mathrm{d}x=G(8)-G(0)=\frac{32}{3}\).

\(\frac{32}{3}\)

- Welche Symmetrie besitzt der Graph in a) bezüglich der Mitte des Intervalls? - Was geschieht mit einem Integralwert, wenn die Grenzen vertauscht werden? - Wie zerlegt die Summenregel das Integral in c)?

1. Zu a): Der Graph von \(f(x)=(x-1)^5\) ist punktsymmetrisch zu \((1\mid0)\), und das Intervall \([0;2]\) ist symmetrisch zu \(x=1\). Die beiden Flächenbeiträge sind daher betragsgleich und haben entgegengesetzte Vorzeichen; die Flächenbilanz ist \(0\). 2. Zu b): Beim Vertauschen der Integrationsgrenzen wechselt das Vorzeichen. Daher ist das zweite Integral der Gegenwert des ersten, sodass die Summe \(0\) ist. 3. Zu c): Nach der Summenregel gilt \(\int_0^2(x^2+4)\,\mathrm{d}x=\int_0^2x^2\,\mathrm{d}x+\int_0^24\,\mathrm{d}x\). Das zweite Integral hat den Wert \(8\).

a) Wegen der Punktsymmetrie und des symmetrischen Intervalls ist die Flächenbilanz \(0\). b) Die vertauschten Grenzen erzeugen entgegengesetzte Integralwerte; ihre Summe ist \(0\). c) Die Summenregel liefert zusätzlich \(\int_0^24\,\mathrm{d}x=8\).

- Welche Grundfunktion ergibt beim Ableiten den Kosinus? - Wie wird der lineare Potenzterm integriert? - Wodurch unterscheiden sich verschiedene Stammfunktionen derselben Funktion?

1. Die Stammfunktionsfamilie lautet \(F(x)=6\sin(x)-2x^2+C\). 2. Für \(C=0\) erhält man beispielsweise \(F_1(x)=6\sin(x)-2x^2\). 3. Für \(C=5\) erhält man beispielsweise \(F_2(x)=6\sin(x)-2x^2+5\).

Zum Beispiel \(F_1(x)=6\sin(x)-2x^2\) und \(F_2(x)=6\sin(x)-2x^2+5\). Andere verschiedene Konstanten sind ebenfalls möglich.

- Behandle den Faktor \(\frac{1}{a}\) beim Integrieren nach \(x\) wie eine Konstante. - Schreibe den variablen Anteil als Potenz von \(x\). - Für Teil 2 kannst du die gegebene Funktion ableiten und mit dem Scharterm vergleichen.

1. Es ist \(h_a(x)=\frac{1}{a}x^{-2}\). Daher ist \(H_a(x)=-\frac{1}{ax}+C\) eine Stammfunktion. 2. Ableiten von \(H(x)=-\frac{1}{5x}\) liefert \(H'(x)=\frac{1}{5x^2}\). Der Vergleich mit \(h_a(x)=\frac{1}{ax^2}\) ergibt \(a=5\).

1. \(H_a(x)=-\frac{1}{ax}+C\) 2. \(a=5\)

- Wie weist du durch Ableiten nach, dass eine gegebene Funktion eine Stammfunktion ist? - Welche Ableitungsregel gilt für \(\ln(-x)\)? - Welche Stammfunktion gehört auf \(x>0\) zum Term \(1/x\)? - Nutze den gegebenen Funktionswert, um die Integrationskonstante zu bestimmen.

1. Für \(x<0\) gilt \(G'(x)=5\cdot\frac{1}{-x}\cdot(-1)+\frac{1}{2}x=\frac{5}{x}+\frac{1}{2}x=g(x)\). Damit ist \(G\) dort eine Stammfunktion von \(g\). 2. Für \(x>0\) hat eine Stammfunktion die Form \(H(x)=5\ln(x)+\frac{1}{4}x^2+C\). 3. Aus \(H(1)=0{,}25\) folgt \(5\ln(1)+\frac{1}{4}+C=0{,}25\). Daher ist \(C=0\). 4. Somit ist \(H(x)=5\ln(x)+\frac{1}{4}x^2\).

1. \(G'(x)=g(x)\), also ist \(G\) für \(x<0\) eine Stammfunktion von \(g\). 2. \(H(x)=5\ln(x)+\frac{1}{4}x^2\)

- Welche Stammfunktion gehört für \(x>0\) zu \(1/x\)? - Behandle die beiden Summanden getrennt und setze die Stammfunktionen anschließend zusammen. - Wodurch unterscheiden sich verschiedene Stammfunktionen derselben Funktion?

1. Für \(x>0\) lautet die Stammfunktionsfamilie \(F(x)=6\ln(x)+2x+C\). 2. Mit zwei verschiedenen Konstanten, beispielsweise \(C=0\) und \(C=5\), erhält man \(F_1(x)=6\ln(x)+2x\) und \(F_2(x)=6\ln(x)+2x+5\).

Zum Beispiel \(F_1(x)=6\ln(x)+2x\) und \(F_2(x)=6\ln(x)+2x+5\). Allgemein gilt \(F(x)=6\ln(x)+2x+C\).

- Schreibe den Bruchterm als Potenz mit negativem Exponenten. - Welche trigonometrische Funktion hat den Kosinus als Ableitung? - Prüfe deinen Funktionsterm durch Ableiten.

1. Es ist \(\frac{4}{x^5}=4x^{-5}\). 2. Eine Stammfunktion von \(\cos(x)\) ist \(\sin(x)\). 3. Die Potenzregel liefert für \(4x^{-5}\) den Term \(-x^{-4}=-\frac{1}{x^4}\). 4. Somit ist \(g(x)=\sin(x)-\frac{1}{x^4}\) eine mögliche Funktion.

\(g(x)=\sin(x)-\frac{1}{x^4}\) für \(x\ne0\)

- Wie kannst du das Integral mithilfe der Summen- und Faktorregel zerlegen? - Welche der entstehenden Integralwerte sind bereits gegeben? - Wie berechnest du das Integral der konstanten Funktion \(3\) über \([2;6]\)?

1. Nach Summen- und Faktorregel gilt \(\int_{2}^{6}(1{,}5f(x)-4g(x)+3)\,\mathrm{d}x=1{,}5\int_{2}^{6}f(x)\,\mathrm{d}x-4\int_{2}^{6}g(x)\,\mathrm{d}x+\int_{2}^{6}3\,\mathrm{d}x\). 2. Einsetzen der bekannten Werte ergibt \(1{,}5\cdot12-4\cdot5+3(6-2)=18-20+12=10\).

\(10\)

- Überlege, wie sich der Wert eines Integrals ändert, wenn die obere und die untere Grenze getauscht werden. - Kannst du das Integral so zerlegen, dass du die gegebenen Informationen direkt einsetzen kannst? - Welche Regeln gelten für die Multiplikation des Integranden mit einer Zahl und für die Summe zweier Funktionen?

1. Das Vertauschen der Integralgrenzen führt zu einer Vorzeichenumkehr des Integralwertes: \(\int_5^1 (3f(x) + 4g(x)) \, dx = - \int_1^5 (3f(x) + 4g(x)) \, dx\). 2. Anwendung der Linearität des Integrals (Summen- und Faktorregel): \(- (3 \cdot \int_1^5 f(x) \, dx + 4 \cdot \int_1^5 g(x) \, dx)\). 3. Einsetzen der bekannten Integralwerte: \(- (3 \cdot 8 + 4 \cdot (-2))\). 4. Numerische Berechnung des Ergebnisses: \(- (24 - 8) = -16\).

\(I = -16\)

- Untersuche, ob die Funktionen achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung sind. - Welche Eigenschaft haben Integrale von ungeraden Funktionen über einem Intervall der Form \([-k; k]\)? - Wie lässt sich die Berechnung bei einer geraden Funktion vereinfachen?

1. Der Integrand in Teilaufgabe a) ist eine ungerade Funktion, da er nur ungerade Exponenten besitzt. Bei einem symmetrischen Intervall \([-k; k]\) ist der Integralwert daher \(0\). 2. Der Integrand in Teilaufgabe b) ist eine gerade Funktion. Es gilt \(\int_{-k}^{k} (\frac{1}{4}x^4 - 2) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{k} (\frac{1}{4}x^4 - 2) \, dx\). Mit der Stammfunktion \(\frac{1}{20}x^5 - 2x\) folgt \(2 \cdot [\frac{1}{20}x^5 - 2x]_0^k = \frac{1}{10}k^5 - 4k\).

a) \(0\) b) \(\frac{1}{10}k^5 - 4k\)

- Betrachte die Symmetrie der einzelnen Summanden der Funktion im Hinblick auf das Integrationsintervall. - Was passiert mit dem Integral einer ungeraden Funktion über ein Intervall, das symmetrisch zum Nullpunkt liegt? - Kannst du die Berechnung vereinfachen, indem du nur den geraden Anteil der Funktion integrierst? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, um das verbleibende Integral zu lösen.

1. Aufteilen des Integrands in einen ungeraden Teil \(u(x) = 2x^5 - 4x^3\) und einen geraden Teil \(g(x) = 3x^2 - 1\). 2. Da das Integrationsintervall \([-2; 2]\) symmetrisch zum Ursprung ist, gilt für den ungeraden Teil \(\int_{-2}^{2} (2x^5 - 4x^3) \, dx = 0\). 3. Berechnung des verbleibenden Integrals des geraden Teils: \(\int_{-2}^{2} (3x^2 - 1) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{2} (3x^2 - 1) \, dx\). 4. Bestimmung einer Stammfunktion von \(g(x)\): \(G(x) = x^3 - x\). 5. Anwendung des Hauptsatzes: \(2 \cdot [x^3 - x]_0^2 = 2 \cdot ((2^3 - 2) - (0^3 - 0)) = 2 \cdot (8 - 2) = 12\).

\(12\)

- Wende die Ableitungsregeln für Sinus und Kosinus rückwärts an. - Berücksichtige bei beiden Termen den konstanten Ableitungsfaktor der linearen inneren Funktion. - Kontrolliere dein Ergebnis durch Ableiten.

1. Nach der Regel für lineare innere Funktionen ist eine Stammfunktion von \(6\cos(3x-1)\) gleich \(2\sin(3x-1)\). 2. Eine Stammfunktion von \(2\sin(\frac12x)\) ist \(-4\cos(\frac12x)\). 3. Damit ist zum Beispiel \(F(x)=2\sin(3x-1)-4\cos(\frac12x)\) eine Stammfunktion.

\(F(x)=2\sin(3x-1)-4\cos\!\left(\frac12x\right)\)

- Schau dir die Exponenten der Variable \(x\) an. Was fällt dir auf? - Erinnerst du dich an die Regeln für Integrale über Intervalle der Form \([-a; a]\)? - Musst du wirklich jedes Mal die Stammfunktion bilden und beide Grenzen einsetzen? - Überlege, ob der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist.

1. Untersuchung der Symmetrie für Teilaufgabe a: Die Funktion \(f(x) = x^3 - 25x\) enthält nur ungerade Exponenten und ist somit punktsymmetrisch zum Ursprung. Bei einem zum Ursprung symmetrischen Intervall \([-5; 5]\) heben sich die Flächenanteile oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse auf, sodass das Integral den Wert 0 besitzt. 2. Untersuchung der Symmetrie für Teilaufgabe b: Die Funktion \(g(x) = 3x^2 - 12\) enthält nur gerade Exponenten (beachte \(12 = 12 \cdot x^0\)) und ist somit achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Berechnung unter Ausnutzung der Achsensymmetrie: \(\int_{-2}^{2} (3x^2 - 12) \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{2} (3x^2 - 12) \, dx\). 4. Bestimmung der Stammfunktion \(G(x) = x^3 - 12x\) und Auswertung: \(2 \cdot [x^3 - 12x]_0^2 = 2 \cdot (2^3 - 12 \cdot 2 - (0)) = 2 \cdot (8 - 24) = -32\).

a) \(0\) b) \(-32\)

- Kannst du die Funktion in zwei Teile zerlegen, von denen einer vielleicht besonders leicht zu integrieren ist? - Untersuche, welche Terme der Summe punktsymmetrisch und welche achsensymmetrisch sind. - Wie vereinfacht sich die Rechnung, wenn du die untere Grenze \(0\) statt \(-2\) nutzt?

1. Aufteilung des Integranden in einen ungeraden Anteil \(u(x) = \frac{1}{2}x^3\) und einen geraden Anteil \(g(x) = -x^2 + 2\). 2. Aufgrund der Punktsymmetrie von \(u(x)\) zum Ursprung gilt \(\int_{-2}^{2} \frac{1}{2}x^3 \, dx = 0\). 3. Aufgrund der Achsensymmetrie von \(g(x)\) zur \(y\)-Achse kann das Integral über \([-2; 2]\) als \(2 \cdot \int_{0}^{2} (-x^2 + 2) \, dx\) berechnet werden. 4. Bestimmung einer Stammfunktion für den verbleibenden Teil: \(G(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 2x\). 5. Berechnung des Werts: \(2 \cdot [-\frac{1}{3}x^3 + 2x]_0^2 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{3} \cdot 2^3 + 2 \cdot 2 - 0\right) = 2 \cdot \left(-\frac{8}{3} + 4\right) = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}\).

\(\frac{8}{3}\)

- Trenne den linearen Klammerterm von der äußeren Potenz. - Integriere zunächst die äußere Potenz gedanklich. - Berücksichtige anschließend den konstanten Ableitungsfaktor der inneren Funktion.

1. Die innere Funktion ist \(u(x)=0{,}5x+2\), die äußere Funktion ist \(v(u)=u^6\). 2. Eine Stammfunktion der äußeren Funktion ist \(V(u)=\frac17u^7\). 3. Nach der Regel für lineare innere Funktionen muss durch den inneren Ableitungsfaktor \(0{,}5\) geteilt werden. Daher ist \(F(x)=\frac27(0{,}5x+2)^7\) eine Stammfunktion.

Innere Funktion: \(u(x)=0{,}5x+2\) Äußere Funktion: \(v(u)=u^6\) Stammfunktion: \(F(x)=\frac27(0{,}5x+2)^7\)

- Der Exponent ist eine lineare innere Funktion. - Berücksichtige ihren konstanten Ableitungsfaktor beim Bilden der Stammfunktion. - Werte die Stammfunktion anschließend an beiden Grenzen aus.

1. Nach der Regel für lineare innere Funktionen ist \(F(x)=2e^{2x-1}\) eine Stammfunktion. 2. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(\int_{0{,}5}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x=[2e^{2x-1}]_{0{,}5}^{1}=2e-2\).

Eine Stammfunktion ist \(F(x)=2e^{2x-1}\). Der Integralwert ist \(2e-2\).

- Bearbeite Summanden getrennt. - Bei jedem Exponentialterm ist der Exponent linear. - Berücksichtige den konstanten Ableitungsfaktor der inneren Funktion.

1. Nach der Regel für lineare innere Funktionen ist zu a) \(F(x)=2e^{2x}\) möglich. 2. In b) werden die Summanden einzeln integriert: \(-e^{5-x}\) und \(\frac13x^3\). Somit ist \(F(x)=-e^{5-x}+\frac13x^3\). 3. In c) ergibt der Exponentialterm \(\frac18e^{4x-2}\), der konstante Summand \(-3x\). Daher ist \(F(x)=\frac18e^{4x-2}-3x\).

a) \(F(x)=2e^{2x}\) b) \(F(x)=-e^{5-x}+\frac13x^3\) c) \(F(x)=\frac18e^{4x-2}-3x\)

- Welche Potenz von \(x\) steckt im Term \(\frac{1}{x^2}\)? - Wie entstehen aus einer Stammfunktion weitere Stammfunktionen derselben Funktion? - Nutze den gegebenen Punkt, um die Integrationskonstante der gesuchten Stammfunktion zu bestimmen.

1. Wegen \(f(x)=x^{-2}+1\) lautet die Stammfunktionsfamilie \(F(x)=-\frac{1}{x}+x+C\) mit \(C\in\mathbb{R}\). 2. Vier mögliche Beispiele sind \(F_1(x)=-\frac{1}{x}+x\), \(F_2(x)=-\frac{1}{x}+x+1\), \(F_3(x)=-\frac{1}{x}+x-5\) und \(F_4(x)=-\frac{1}{x}+x+10\). 3. Für den Punkt \(P(1\mid0)\) gilt \(0=-1+1+C\). Damit ist \(C=0\). 4. Die gesuchte Stammfunktion ist also \(F(x)=-\frac{1}{x}+x\).

a) Zum Beispiel \(F_1(x)=-\frac{1}{x}+x\), \(F_2(x)=-\frac{1}{x}+x+1\), \(F_3(x)=-\frac{1}{x}+x-5\) und \(F_4(x)=-\frac{1}{x}+x+10\) b) \(F(x)=-\frac{1}{x}+x\)

- Überlege dir, welchen Teil des Nenners du durch eine neue Variable ersetzen kannst, um die Struktur zu vereinfachen. - Vergiss nicht, das Differential \(dx\) ebenfalls zu transformieren. - Denk daran, dass sich bei einer Substitution in einem bestimmten Integral auch die Grenzen ändern. - Welche Stammfunktion gehört zu einem Term der Form \(\frac{1}{u}\)? - Kannst du das Ergebnis mithilfe von Logarithmengesetzen noch weiter zusammenfassen?

1. Durchführung der linearen Substitution \(u = 2x + 2\). Daraus folgt für das Differential \(du = 2 \, dx\) bzw. \(dx = \frac{1}{2} \, du\). 2. Anpassung der Integrationsgrenzen: Für \(x = 0\) ergibt sich \(u = 2 \cdot 0 + 2 = 2\). Für \(x = 3\) ergibt sich \(u = 2 \cdot 3 + 2 = 8\). 3. Transformation des Integrals: \(\int_{2}^{8} \frac{4}{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \int_{2}^{8} \frac{2}{u} \, du\). 4. Bestimmung der Stammfunktion und Auswertung: \([2\ln|u|]_{2}^{8} = 2 \cdot (\ln(8) - \ln(2))\). 5. Vereinfachung unter Nutzung der Logarithmengesetze: \(2\ln\left(\frac{8}{2}\right) = 2\ln(4) = 4\ln(2)\).

\(4\ln(2)\) (ca. \(2{,}773\))

- Zerlege den Integranden in seine beiden Summanden. - Welche Regel gilt für Exponentialfunktionen mit einer linearen inneren Funktion? - Setze anschließend beide Grenzen in dieselbe Stammfunktion ein.

1. Für den Exponentialterm liegt eine lineare innere Funktion vor. Eine Stammfunktion ist daher \(F(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{0{,}25}e^{0{,}25x}+2x=2e^{0{,}25x}+2x\). 2. Es ist \(F(4)=2e+8\) und \(F(0)=2\). 3. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(\int_0^4 \left(\frac12e^{0{,}25x}+2\right)\,dx=F(4)-F(0)=2e+6\).

\(2e+6\)

- Vergleiche den Zähler mit der ersten Ableitung des Nenners. - Welche Integrationsregel passt zu einem Quotienten der Form \(\frac{g'}{g}\)? - Werte die gefundene Stammfunktion an beiden Grenzen aus.

1. Für \(g(x)=x^2+1\) gilt \(g'(x)=2x\). Damit ist \(3x=\frac32g'(x)\), also liegt die Struktur \(\frac{g'}{g}\) vor. 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac32\ln(x^2+1)\). 3. Nach dem Hauptsatz gilt \(\int_0^2 \frac{3x}{x^2+1}\,dx=F(2)-F(0)=\frac32\ln5\).

\(\frac{3}{2}\ln 5\)

- Vergleiche den Zähler mit der ersten Ableitung des Nenners. - Welche Integrationsregel passt zu einem Quotienten der Form \(\frac{g'}{g}\)? - Werte die gefundene Stammfunktion anschließend an beiden Grenzen aus.

1. Für \(g(x)=2x^2+1\) gilt \(g'(x)=4x\). Der Integrand hat damit die Struktur \(\frac{g'(x)}{g(x)}\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\ln(2x^2+1)\). 3. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(\int_0^1\frac{4x}{2x^2+1}\,dx=F(1)-F(0)=\ln3\).

Stammfunktion: \(F(x)=\ln(2x^2+1)\) Integralwert: \(\ln3\)

- Betrachte den Nenner des Bruchs und leite ihn im Kopf ab. Fällt dir eine Ähnlichkeit zum Zähler auf? - Welche bekannte Integrationsregel hilft dir bei Brüchen, bei denen der Zähler die Ableitung des Nenners ist? - Erinnere dich an die Eigenschaften des natürlichen Logarithmus, insbesondere an den Wert von \(\ln(e)\) und \(\ln(1)\). - Wie vereinfacht sich der Ausdruck unter dem Logarithmus, wenn du die obere Grenze einsetzt?

1. Identifikation der Struktur \(\frac{f'(x)}{f(x)}\): Die Ableitung des Nenners \(g(x) = x^2 + 1\) ist \(g'(x) = 2x\). 2. Anpassung des Zählers durch Multiplikation mit \(\frac{1}{2}\), sodass das Integral die Form \(\frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx\) annimmt. 3. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1)\). 4. Auswertung an der oberen Grenze: \(F(\sqrt{e-1}) = \frac{1}{2} \ln((\sqrt{e-1})^2 + 1) = \frac{1}{2} \ln(e-1+1) = \frac{1}{2} \ln(e) = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0{,}5\). 5. Auswertung an der unteren Grenze: \(F(0) = \frac{1}{2} \ln(0^2 + 1) = \frac{1}{2} \ln(1) = 0\). 6. Berechnung der Differenz: \(0{,}5 - 0 = 0{,}5\).

\(0{,}5\)

- Vergleiche den Faktor vor der Exponentialfunktion mit der Ableitung ihres Exponenten. - Welche der bekannten Integrationsstrukturen passt, wenn die Ableitung des Exponenten als Faktor vorkommt? - Überprüfe eine vermutete Stammfunktion durch Ableiten.

1. Setze gedanklich \(g(x)=x^2-1\). Dann ist \(g'(x)=2x\). 2. Der Integrand besitzt damit die curriculare Struktur \(g'(x)e^{g(x)}\). Eine Stammfunktion ist deshalb \(G(x)=e^{x^2-1}\). 3. Nach dem Hauptsatz ergibt sich \([e^{x^2-1}]_1^2=e^3-e^0=e^3-1\).

\(e^3-1\)

- Erinnere dich an die Ableitungsregel für den natürlichen Logarithmus in Verbindung mit der Kettenregel. - Vergleiche den Funktionsterm aus b) genau mit deinem Ergebnis aus a). Welcher Faktor unterscheidet die beiden Ausdrücke? - Wie wirkt sich ein konstanter Faktor beim Integrieren aus?

1. Ableitung von \(h(x)\) mit der Kettenregel: Die äußere Funktion ist der natürliche Logarithmus, die innere Funktion ist \(g(x) = x^2 + 5\). Es gilt \(h'(x) = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) = \frac{2x}{x^2 + 5}\). 2. Vergleich von \(h'(x)\) mit \(k(x)\): Es fällt auf, dass \(k(x) = \frac{1}{2} \cdot h'(x)\). 3. Bestimmung der Stammfunktion: Da die Integration linear ist, folgt \(K(x) = \frac{1}{2} \cdot h(x) + C = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 5) + C\). Eine mögliche Stammfunktion ist somit \(K(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 5)\).

a) \(h'(x) = \frac{2x}{x^2 + 5}\) b) \(K(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 5)\) (oder jede Funktion der Form \(K(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 5) + C\))

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Zähler und dem Nenner des Bruchs? - Gibt es eine spezielle Regel für Brüche, bei denen der Zähler die Ableitung des Nenners ist? - Achte beim Einsetzen der Integrationsgrenzen auf die Werte der trigonometrischen Funktionen im Bogenmaß. - Kannst du das Ergebnis mithilfe von Logarithmengesetzen zusammenfassen?

1. Untersuchung der Termstruktur: Der Zähler \(\cos(x)\) ist genau die Ableitung des Nenners \(u(x) = \sin(x) + 2\). Es liegt die Form \(\frac{u'(x)}{u(x)}\) vor. 2. Anwendung der Integrationsregel: Das unbestimmte Integral von \(\frac{u'(x)}{u(x)}\) ist \(\ln|u(x)| + C\). Da \(\sin(x) + 2 > 0\) für alle \(x\) ist, können die Betragsstriche entfallen. Eine Stammfunktion ist \(G(x) = \ln(\sin(x) + 2)\). 3. Einsetzen der Grenzen: \([ \ln(\sin(x) + 2) ]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \ln(\sin(\frac{\pi}{2}) + 2) - \ln(\sin(0) + 2)\). 4. Auswerten der Sinuswerte: Da \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\) und \(\sin(0) = 0\), ergibt sich \(\ln(1 + 2) - \ln(0 + 2) = \ln(3) - \ln(2)\). 5. Vereinfachung: Nach den Logarithmengesetzen ist dies \(\ln\left(\frac{3}{2}\right)\) bzw. \(\ln(1{,}5)\).

\(\ln(3) - \ln(2) = \ln(1{,}5)\)

- Vergleiche den Faktor \(x\) mit der Ableitung des Exponenten. - Kannst du einen konstanten Faktor so herausziehen, dass die Struktur \(g'(x)e^{g(x)}\) sichtbar wird? - Überprüfe deine Stammfunktion durch Ableiten.

1. Für die innere Funktion \(g(x)=2x^2-5\) gilt \(g'(x)=4x\). 2. Schreibe \(f(x)=\frac14\,g'(x)e^{g(x)}\). 3. Mit der Integrationsregel für \(g'(x)e^{g(x)}\) ist daher \(F(x)=\frac14e^{2x^2-5}\) eine Stammfunktion.

\(F(x)=\frac14e^{2x^2-5}\) (oder \(F(x)=\frac14e^{2x^2-5}+C\) mit \(C\in\mathbb{R}\))

- Untersuche das Verhältnis zwischen dem Zähler und dem Nenner des Bruchs. - Was ist die Ableitung des Nenners? - Gibt es eine spezielle Integrationsregel für Brüche, bei denen der Zähler die Ableitung des Nenners ist? - Achte auf den Definitionsbereich, um zu entscheiden, ob Betragsstriche beim Logarithmus notwendig sind.

1. Analyse der Struktur des Bruchs: Der Zähler \(x^2\) ist bis auf einen konstanten Faktor die Ableitung des Nenners \(g(x) = x^3 + 8\), da \(g'(x) = 3x^2\). 2. Anwendung der logarithmischen Integrationsregel \(\int \frac{g'(x)}{g(x)} \, dx = \ln|g(x)| + C\). 3. Anpassung des Zählers durch Multiplikation mit \(\frac{1}{3}\): \(f(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3x^2}{x^3 + 8}\). 4. Bildung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{3} \ln|x^3 + 8|\). 5. Berücksichtigung des Definitionsbereichs (\(x > -2 \Rightarrow x^3 + 8 > 0\)), wodurch die Betragsstriche entfallen können: \(F(x) = \frac{1}{3} \ln(x^3 + 8)\).

\(F(x) = \frac{1}{3} \ln(x^3 + 8)\) (oder jede andere Funktion \(F(x) = \frac{1}{3} \ln(x^3 + 8) + C\) mit \(C \in \mathbb{R}\))

- Vergleiche den Zähler mit der ersten Ableitung des Nenners. - Welche Integrationsregel passt zur Struktur \(\frac{g'}{g}\)? - Vereinfache beim Einsetzen der oberen Grenze zuerst \(e^{\ln 2}\).

1. Für \(g(x)=e^x+3\) gilt \(g'(x)=e^x\). Damit hat der Integrand die Struktur \(\frac{g'}{g}\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\ln(e^x+3)\), da \(e^x+3>0\) gilt. 3. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist \(\int_0^{\ln 2}f(x)\,dx=F(\ln2)-F(0)=\ln5-\ln4=\ln\left(\frac54\right)\).

Stammfunktion: \(F(x)=\ln(e^x+3)\) Integralwert: \(\ln\left(\frac54\right)\)

- Vergleiche den Faktor \(x^2\) mit der Ableitung des Exponenten. - Kannst du einen konstanten Faktor ergänzen und wieder ausgleichen, sodass die Struktur \(g'(x)e^{g(x)}\) entsteht? - Überprüfe eine gefundene Stammfunktion durch Ableiten.

1. Für die innere Funktion \(g(x)=x^3+1\) gilt \(g'(x)=3x^2\). 2. Damit lässt sich \(f(x)=\frac13g'(x)e^{g(x)}\) schreiben. 3. Mit der Integrationsregel für \(g'(x)e^{g(x)}\) ist \(F(x)=\frac13e^{x^3+1}\) eine Stammfunktion.

\(F(x)=\frac13e^{x^3+1}\) (oder \(F(x)=\frac13e^{x^3+1}+C\) mit \(C\in\mathbb{R}\))

- Vergleiche den Zähler mit der Ableitung des Nenners. - Welche Integrationsregel passt zu einem Bruch der Form \(g'(x):g(x)\)? - Prüfe vor dem Weglassen von Betragsstrichen das Vorzeichen des Nenners auf dem Integrationsintervall.

1. Für \(g(x)=x^3+1\) gilt \(g'(x)=3x^2\). 2. Der Integrand besitzt damit die Struktur \(\frac{g'(x)}{g(x)}\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\ln(x^3+1)\), da \(x^3+1>0\) auf \([0,1]\). 3. Nach dem Hauptsatz gilt \([\ln(x^3+1)]_0^1=\ln(2)-\ln(1)=\ln(2)\).

Stammfunktion: \(F(x)=\ln(x^3+1)\) Integralwert: \(\ln(2)\)

- Schreibe die Wurzel im Nenner als Potenz mit rationalem Exponenten. - Welche Regel gilt, wenn die innere Funktion linear ist? - Überprüfe den notwendigen Vorfaktor, indem du deine Stammfunktion ableitest.

1. Schreibe den Integranden als \((2x+9)^{-\frac12}\). 2. Mit der Integrationsregel für Funktionen mit linearer innerer Funktion ist \(F(x)=\sqrt{2x+9}\) eine Stammfunktion. 3. Nach dem Hauptsatz ergibt sich \(F(8)-F(0)=\sqrt{25}-\sqrt{9}=5-3=2\).

Stammfunktion: \(F(x)=\sqrt{2x+9}\) Integralwert: \(2\)

- Untersuche den Zusammenhang zwischen dem Nenner und dem Zähler des Bruchs. - Was passiert, wenn du den Nenner ableitest? Wie unterscheidet sich dieses Ergebnis vom Zähler? - Erinnere dich an die Integrationsregel für Funktionen der Form \( \frac{f'(x)}{f(x)} \). - Nutze am Ende Logarithmengesetze, um das Ergebnis so weit wie möglich zusammenzufassen.

1. Identifikation der Struktur: Der Nenner ist \( g(x) = x^2 + 2 \) mit der Ableitung \( g'(x) = 2x \). Der Zähler \( x \) lässt sich als \( \frac{1}{2} \cdot g'(x) \) schreiben. 2. Anwendung der logarithmischen Integrationsregel: Eine Stammfunktion ist \( F(x) = \frac{1}{2} \ln|x^2 + 2| \). 3. Einsetzen der Integrationsgrenzen: \( F(2) - F(0) = \frac{1}{2} \ln(2^2 + 2) - \frac{1}{2} \ln(0^2 + 2) \). 4. Berechnung der Werte: \( \frac{1}{2} \ln(6) - \frac{1}{2} \ln(2) = \frac{1}{2} (\ln(6) - \ln(2)) \). 5. Vereinfachung mit Logarithmengesetzen: \( \frac{1}{2} \ln\left(\frac{6}{2}\right) = \frac{1}{2} \ln(3) \).

\( \frac{1}{2} \ln(3) \)

- Vergleiche bei Bruch und Exponentialterm jeweils äußeren Ausdruck und mögliche innere Funktion. - Prüfe bei der trigonometrischen Funktion, ob das Argument linear in \(x\) ist. - Eine Kategorie darf auch bedeuten, dass die im Thema behandelten Regeln nicht ausreichen.

1. In a) ist der Zähler \(6x\) die Ableitung des Nenners \(3x^2+2\). Daher liegt die Struktur \(g'/g\) vor. 2. In b) ist \(4x\) die Ableitung des Exponenten \(2x^2-1\). Daher liegt die Struktur \(g'e^g\) vor. 3. In c) besitzt der Kosinus die lineare innere Funktion \(3x+1\). Daher gehört das Integral zur Regel für lineare innere Funktionen. 4. In d) passt der Faktor \(x\) weder als Ableitung eines Nenners noch als Ableitung eines Exponenten; außerdem ist \(x\) nicht nur eine konstante lineare innere Ableitung. Das Integral gehört zu keiner der drei hier behandelten Strukturen.

a) \(g'/g\) b) \(g'e^g\) c) lineare innere Funktion d) keine dieser drei Strukturen

- Welche Symmetrie hat der Graph von \(x^3+x\), und was bedeutet das für die Flächenbilanz auf einem symmetrischen Intervall? - Wie verändert sich ein bestimmtes Integral, wenn du obere und untere Integrationsgrenze vertauschst? - Was bedeutet es für das Integrationsintervall, wenn beide Grenzen gleich sind?

1. Zu a): Der Integrand \(f(x) = x^3 + x\) ist ungerade, denn \(f(-x) = -f(x)\). Auf dem zum Ursprung symmetrischen Intervall \([-5; 5]\) heben sich die positiven und negativen Flächenbeiträge in der Flächenbilanz auf. Daher ist das Integral gleich \(0\). 2. Zu b): Beim Vertauschen der Integrationsgrenzen ändert sich das Vorzeichen: \(\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx\). Somit ist \(\int_1^4 f(x) \, dx + \int_4^1 f(x) \, dx = 0\). 3. Zu c): Ein Integral mit identischer unterer und oberer Grenze ist gleich \(0\), weil das Integrationsintervall die Breite \(0\) hat.

a) Die Funktion ist ungerade und das Intervall symmetrisch zum Ursprung; die Flächenbeiträge heben sich in der Flächenbilanz auf. b) Es gilt \(\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx\); daher ist die Summe gleich \(0\). c) Bei identischer unterer und oberer Grenze ist das bestimmte Integral gleich \(0\).

- Welche Symmetrie besitzt die Sinuskurve über eine vollständige Periode? - Welche Eigenschaft hat \(x^4\) bei der Ersetzung \(x\mapsto -x\)? - Vergleiche in c) nicht nur die Funktionsterme, sondern auch die beiden Integrationsintervalle.

1. Zu a): Der Graph der Sinusfunktion ist auf \([0;2\pi]\) punktsymmetrisch zum Punkt \((\pi\mid 0)\). Die positiven Flächenbeiträge auf \([0;\pi]\) und die negativen Flächenbeiträge auf \([\pi;2\pi]\) sind betragsgleich und heben sich in der Flächenbilanz auf. 2. Zu b): Die Funktion \(f(x)=x^4\) ist gerade. Daher sind die Beiträge auf \([-2;0]\) und \([0;2]\) gleich groß, sodass \(\int_{-2}^{2}x^4\,dx=2\int_0^2x^4\,dx\) gilt. 3. Zu c): Der Graph von \(g(x)=x-1\) entsteht aus dem Graphen von \(h(x)=x\) durch eine Verschiebung um eine Einheit nach rechts. Gleichzeitig wird das Intervall \([-1;2]\) auf \([0;3]\) verschoben. Deshalb bleibt die Flächenbilanz unverändert.

a) Wegen der Punktsymmetrie zum Punkt \((\pi\mid 0)\) heben sich die positiven und negativen Flächenbeiträge auf. b) Wegen der Achsensymmetrie von \(x^4\) zur \(y\)-Achse sind die Beiträge auf beiden Intervallhälften gleich. c) Graph und Integrationsintervall werden gemeinsam um eine Einheit nach rechts verschoben; dadurch ändert sich die Flächenbilanz nicht.

- Prüfe bei jedem Integranden, ob er gerade oder ungerade ist. - Welche Folgerung hat eine ungerade Funktion für die Flächenbilanz auf einem symmetrischen Intervall? - Welche Folgerung hat eine gerade Funktion für die beiden Hälften eines symmetrischen Intervalls?

1. Zu a): \(f(x)=x^3-x\) ist ungerade. Auf dem symmetrischen Intervall \([-a;a]\) heben sich die Flächenbeiträge in der Flächenbilanz auf, also ist das Integral \(0\). 2. Zu b): \(g(x)=\cos(x)\) ist gerade. Deshalb sind die Integrale über \([-2;0]\) und \([0;2]\) gleich, sodass das Integral über \([-2;2]\) das Doppelte des rechten Teilintegrals ist. 3. Zu c): \(h(x)=\sin(x)\cos(x)\) ist als Produkt einer ungeraden und einer geraden Funktion ungerade. Daher ist das Integral über \([-1;1]\) gleich \(0\).

a) \(x^3-x\) ist ungerade; auf \([-a;a]\) ist die Flächenbilanz deshalb \(0\). b) \(\cos(x)\) ist gerade; die Beiträge auf \([-2;0]\) und \([0;2]\) sind gleich. c) \(\sin(x)\cos(x)\) ist ungerade; daher verschwindet das Integral auf \([-1;1]\).

- Wo liegen die Nullstellen beziehungsweise Symmetriezentren der drei Graphen? - Welche Flächenbeiträge liegen oberhalb und welche unterhalb der \(x\)-Achse? - Welche Symmetrie macht in c) die beiden positiven Teilflächen gleich groß?

1. Zu a): Die Gerade \(f(x)=x-2\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=2\). Auf \([0;2]\) entsteht der Flächenbeitrag \(-2\), auf \([2;4]\) der betragsgleiche Flächenbeitrag \(+2\). Die Flächenbilanz ist daher \(0\). 2. Zu b): Der Graph von \(g(x)=(x-3)^3\) ist punktsymmetrisch zum Punkt \((3\mid0)\), und das Intervall \([1;5]\) liegt symmetrisch um \(x=3\). Die beiden Flächenbeiträge sind betragsgleich und haben entgegengesetzte Vorzeichen. 3. Zu c): Der Graph von \(h(x)=\sin(x)\) ist auf \([0;\pi]\) achsensymmetrisch zur Geraden \(x=\frac{\pi}{2}\). Deshalb sind die beiden positiven Teilflächen auf \([0;\frac{\pi}{2}]\) und \([\frac{\pi}{2};\pi]\) gleich groß.

a) Die Flächenbeiträge auf \([0;2]\) und \([2;4]\) sind \(-2\) und \(+2\); ihre Flächenbilanz ist \(0\). b) Wegen der Punktsymmetrie zu \((3\mid0)\) heben sich die Flächenbeiträge auf. c) Wegen der Achsensymmetrie zu \(x=\frac{\pi}{2}\) sind die beiden Teilflächen gleich groß; das Gesamtintegral ist daher das Doppelte des ersten Teilintegrals.

- Welche Funktion ist die Stammfunktion der Summe \(f(x) + g(x)\)? - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für Summen. - Setze die Definition des Hauptsatzes für jedes Integral einzeln ein. - Versuche, die Terme auf einer Seite so umzusortieren, dass sie genau wie die andere Seite aussehen.

1. Identifikation einer Stammfunktion für die Summe: Da \((F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)\) gilt, ist \(H(x) = F(x) + G(x)\) eine Stammfunktion von \(f(x) + g(x)\). 2. Anwendung des Hauptsatzes auf die linke Seite: \(\int_a^b (f(x) + g(x)) \, dx = [F(x) + G(x)]_a^b = (F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a))\). 3. Anwendung des Hauptsatzes auf die rechte Seite: \(\int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx = (F(b) - F(a)) + (G(b) - G(a))\). 4. Umformung der rechten Seite durch Auflösen der Klammern und Umstellen der Terme (Kommutativgesetz): \(F(b) - F(a) + G(b) - G(a) = F(b) + G(b) - F(a) - G(a) = (F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a))\). 5. Vergleich zeigt die Übereinstimmung beider Seiten.

Mit der Stammfunktion \(H = F + G\) für \(f + g\) ergibt die linke Seite nach dem Hauptsatz \((F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a))\). Die rechte Seite ergibt summiert \((F(b) - F(a)) + (G(b) - G(a))\). Durch Umstellen der Terme (Kommutativ- und Assoziativgesetz) folgt die Gleichheit: \(F(b) + G(b) - F(a) - G(a) = F(b) + G(b) - (F(a) + G(a))\).

- Prüfe bei linearen inneren Funktionen, welcher Faktor beim Ableiten der inneren Funktion entsteht. - Suche beim Quotienten nach der Struktur \(g'(x)/g(x)\). - Du kannst jede vorgeschlagene Stammfunktion durch einmaliges Ableiten überprüfen.

1. \(F_C'(x)=4\cos(4x-2)=f_1(x)\), also gehört \(1\) zu C. 2. Für \(g(x)=x^2+x\) gilt \(g'(x)=2x+1\). Daher hat \(f_2\) die Form \(g'/g\), und A passt. 3. Für \((2x-3)^4\) liefert die Regel für lineare innere Funktionen die Stammfunktion \(\frac{1}{10}(2x-3)^5+C\); daher passt D. 4. Zu \(e^{0{,}5x}\) gehört \(2e^{0{,}5x}+C\); daher passt B.

1 – C, 2 – A, 3 – D, 4 – B

- Vergleiche den Faktor vor der Exponentialfunktion mit der ersten Ableitung ihres Exponenten. - Erkennst du die Struktur \(g'(x)e^{g(x)}\)? - Bestimme die Integrationskonstante erst mithilfe der Punktbedingung.

1. Für \(g(x)=x^2\) gilt \(g'(x)=2x\). Der Integrand hat daher die Form \(g'(x)e^{g(x)}\). 2. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=e^{x^2}+C\). 3. Aus \(F(0)=20\) folgt \(1+C=20\), also \(C=19\). 4. Damit ist \(F(x)=e^{x^2}+19\).

\(F(x)=e^{x^2}+19\)

- Welche Funktionen ergeben beim Ableiten Sinus- beziehungsweise Exponentialterme? - Behandle Parameter, nach denen nicht integriert wird, wie Konstanten. - Die Potenzregel gilt auch für nicht ganzzahlige Exponenten, sofern der Definitionsbereich passt. - Kontrolliere jede gefundene Stammfunktion durch Ableiten nach der jeweils angegebenen Variablen.

1. In a) ist \(x\) die Variable. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{k}\cos(x)+k^2x\). 2. In b) ist \(t\) die Variable. Eine Stammfunktion ist \(G(t)=e^t-\frac{1}{2}k^2t^2\). 3. In c) ist \(z\) die Variable. Die Potenzregel liefert für \(z^{1{,}5}\) den Term \(0{,}4z^{2{,}5}\). Daher ist \(H(z)=0{,}4z^{2{,}5}+2{,}5a^2z\) eine Stammfunktion.

a) \(F(x)=\frac{1}{k}\cos(x)+k^2x\) b) \(G(t)=e^t-\frac{1}{2}k^2t^2\) c) \(H(z)=0{,}4z^{2{,}5}+2{,}5a^2z\)

- Entscheide zuerst, ob eine Struktur \(g'/g\), \(g'e^g\) oder eine lineare innere Funktion vorliegt. - Prüfe die vorgeschlagenen Terme durch Ableiten. - Achte auf konstante Faktoren, die beim Ableiten entstehen.

1. A ist falsch. Für \(g(x)=x^2+1\) gilt \(g'(x)=2x\); daher ist \(f(x)=\frac12\frac{g'(x)}{g(x)}\). Eine Stammfunktion ist \(\frac12\ln(x^2+1)\). 2. B ist korrekt: Für \(g(x)=x^3\) gilt \(g'(x)=3x^2\), also liegt die Struktur \(g'e^g\) vor. 3. C ist falsch. Mit \(g(x)=e^x+2\) gilt \(g'(x)=e^x\), daher ist \(\ln(e^x+2)\) eine Stammfunktion. 4. D ist falsch. Eine Stammfunktion ist \(\frac14(2x+1)^4\).

A) falsch; \(\frac12\ln(x^2+1)\) B) korrekt C) falsch; \(\ln(e^x+2)\) D) falsch; \(\frac14(2x+1)^4\)

- Kannst du zwei Integrale mit denselben Grenzen zu einem einzigen Integral zusammenfassen? - Was passiert, wenn die obere Grenze des einen Integrals der unteren Grenze des nächsten entspricht? - Kannst du Faktoren vor dem Integral in den Integranden hineinziehen? - Schau dir die Funktionsterme genau an – heben sich beim Zusammenfassen vielleicht komplizierte Teile gegenseitig auf?

1. Anwendung der Linearität des Integrals in Teilaufgabe a): Da die Integrationsgrenzen identisch sind, können die Integranden subtrahiert werden: \(\int_{1}^{3} (x^3 + 2x - (x^3 - 4)) \, dx = \int_{1}^{3} (2x + 4) \, dx\). 2. Berechnung des Integrals: \([x^2 + 4x]_{1}^{3} = (3^2 + 4 \cdot 3) - (1^2 + 4 \cdot 1) = 21 - 5 = 16\). 3. Nutzung der Intervalladditivität in Teilaufgabe b): Die nahtlos aneinandergrenzenden Intervalle \([0; \frac{\pi}{2}]\) und \([\frac{\pi}{2}; \pi]\) werden zu \(\int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx\) zusammengefasst. 4. Berechnung des Integrals: \([-\cos(x)]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) + 1 = 2\). 5. Vereinfachung durch Linearität in Teilaufgabe c): Der Faktor \(2\) wird in das erste Integral gezogen und mit dem zweiten Integral kombiniert: \(\int_{1}^{2} (\frac{2}{x} + x - \frac{2}{x}) \, dx = \int_{1}^{2} x \, dx\). 6. Berechnung des Integrals: \([\frac{1}{2}x^2]_{1}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2^2 - \frac{1}{2} \cdot 1^2 = 2 - 0{,}5 = 1{,}5\).

a) \(16\) b) \(2\) c) \(1{,}5\)

- Überprüfe bei symmetrischen Grenzen (wie von \(-a\) bis \(a\)), ob der Integrand eine besondere Symmetrie aufweist. - Wie ändert sich ein Integral, wenn man die obere und untere Grenze vertauscht? - Lassen sich aufeinanderfolgende Intervalle bei gleichem Integranden zu einem großen Intervall verbinden? - Versuche, Klammern erst nach dem Zusammenfassen der Integrale aufzulösen.

1. Ausnutzung der Punktsymmetrie in Teilaufgabe a): Da der Integrand \(f(x) = x^3 + \sin(x)\) eine ungerade Funktion ist (\(f(-x) = -f(x)\)) und das Integrationsintervall \([-3; 3]\) symmetrisch zum Ursprung liegt, ist der Wert des Integrals direkt \(0\). 2. Anwendung der Vertauschungsregel und Linearität in Teilaufgabe b): Das zweite Integral wird durch Vorzeichenwechsel gedreht zu \(-\int_{0}^{1} (9x^2 + 1) \, dx\). Zusammenfassen ergibt \(\int_{0}^{1} ((3x+1)^2 - (9x^2 + 1)) \, dx = \int_{0}^{1} (9x^2 + 6x + 1 - 9x^2 - 1) \, dx = \int_{0}^{1} 6x \, dx\). 3. Berechnung: \([3x^2]_{0}^{1} = 3 \cdot 1^2 - 0 = 3\). 4. Anwendung der Intervalladditivität in Teilaufgabe c): Zusammenfassen der Teilintervalle zu \(\int_{1}^{5} x^{-2} \, dx\). 5. Berechnung mittels Stammfunktion: \([-\frac{1}{x}]_{1}^{5} = -\frac{1}{5} - (-\frac{1}{1}) = -0{,}2 + 1 = 0{,}8\).

a) \(0\) b) \(3\) c) \(0{,}8\)

- Zerlege den Integranden in zwei Summanden. - Vergleiche beim Bruch den Zähler mit der ersten Ableitung des Nenners. - Beim Potenzterm ist die innere Funktion linear.

1. Zerlege das Integral in die beiden Summanden. 2. Für \(g(x)=x^2+1\) gilt \(g'(x)=2x\). Daher ist der erste Integralwert \([\ln(x^2+1)]_0^2=\ln5\). 3. Eine Stammfunktion von \((3x-1)^2\) ist \(\frac19(3x-1)^3\). Der zweite Integralwert ist \(\frac19(125-(-1))=14\). 4. Insgesamt ergibt sich \(14+\ln5\).

\(14+\ln5\)

- Vergleiche in a) den Zähler mit der ersten Ableitung des Nenners. - Schreibe in b) die Wurzel als Potenz. - Berücksichtige bei der linearen inneren Funktion ihren konstanten Ableitungsfaktor.

1. Für a) setze \(g(x)=x^2+x\). Wegen \(g'(x)=2x+1\) ist \(\ln|x^2+x|\) eine Stammfunktion. Der Wert ist \(\ln20-\ln2=\ln10\). 2. Für b) liefert die Regel für lineare innere Funktionen die Stammfunktion \(\frac13(2x+1)^{3/2}\). Damit ergibt sich \(\frac13(27-1)=\frac{26}{3}\).

a) \(\ln10\) b) \(\frac{26}{3}\)

- Vergleiche in a) den Faktor \(x\) mit der ersten Ableitung des Exponenten. - Achte dabei auf das Vorzeichen in der Struktur \(g'e^g\). - In b) kannst du gliedweise integrieren; beim Kosinusterm ist die innere Funktion linear.

1. Für a) setze zur Strukturerkennung \(g(x)=-\frac12x^2\). Dann gilt \(g'(x)=-x\), also ist der Integrand \(-g'(x)e^{g(x)}\). Eine Stammfunktion ist \(-e^{-x^2/2}\). 2. Damit ergibt sich \([-e^{-x^2/2}]_0^2=1-e^{-2}\). 3. Für b) wird gliedweise integriert. Eine Stammfunktion ist \(-\frac12\cos x+2\sin\!\left(\frac12x\right)\). 4. Einsetzen von \(0\) und \(\pi\) ergibt \(3\).

a) \(1-e^{-2}\) b) \(3\)

- Welche Stammfunktionen passen zu den beiden Summanden, wenn du die linearen inneren Funktionen beachtest? - Wie kannst du die erhaltene allgemeine Stammfunktion durch Ableiten kontrollieren? - Wie nutzt du den Punkt \(P(0\mid1{,}5)\), um die additive Konstante festzulegen? - Welche Bedeutung hat die Bedingung \(x>-2\) für den Logarithmusterm?

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+\ln(x+2)+C\). 2. Aus \(F(0)=1{,}5\) folgt \(\frac{1}{2}+\ln(2)+C=1{,}5\). 3. Damit ist \(C=1-\ln(2)\). 4. Somit lautet die gesuchte Stammfunktion \(F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+\ln(x+2)+1-\ln(2)\).

\(F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+\ln(x+2)+1-\ln(2)\)

- Vereinfache Integral 1 zunächst algebraisch. - Prüfe bei Integral 2, ob der Zähler die erste Ableitung des Nenners ist. - Bei Integral 3 ist der Exponent linear. - Beurteile 4 und 5 ausschließlich mit den ausdrücklich zugelassenen Regeln.

1. \(\frac{x^2+1}{x^2}=1+x^{-2}\). Daher ergibt sich \([x-1/x]_1^2=\frac32\). 2. Für \(g(x)=x^3+1\) gilt \(g'(x)=3x^2\). Daher ist der Wert \([\ln(x^3+1)]_0^1=\ln2\). 3. Eine Stammfunktion von \(e^{0{,}5x}\) ist \(2e^{0{,}5x}\). Daher ergibt sich \([2e^{0{,}5x}]_0^2=2e-2\). 4. \(\int_1^2\ln x\,\mathrm{d}x\) lässt sich mit den genannten Regeln nicht bestimmen. 5. \(\int_0^1\frac1{x^2+1}\,\mathrm{d}x\) lässt sich mit den genannten Regeln nicht bestimmen.

1. \(\frac32\) 2. \(\ln2\) 3. \(2e-2\) 4. Nicht mit den genannten Regeln berechenbar. 5. Nicht mit den genannten Regeln berechenbar.

- Löse das Produkt in 1 zuerst auf. - In 2 steht eine lineare Funktion im Nenner. - Vergleiche in 4 den Zähler mit der Ableitung des Nenners. - Beurteile 3 und 5 nur mit Blick auf die ausdrücklich zugelassenen Regeln.

1. Nach Ausmultiplizieren gilt \(\int_0^2(x^2-1)\,dx=\left[\frac13x^3-x\right]_0^2=\frac23\). 2. Mit der Regel für lineare innere Funktionen ist \(\frac12\ln|2x-3|\) eine Stammfunktion. Der Wert ist \(\frac12\ln(7)\). 3. Dieses Integral lässt sich mit den genannten Regeln nicht berechnen. 4. Der Zähler ist die Ableitung des Nenners. Daher ist der Wert \([\ln(x^2+3x)]_1^2=\ln(10)-\ln(4)=\ln(2{,}5)\). 5. Dieses Integral lässt sich mit den genannten Regeln nicht berechnen.

1. \(\frac{2}{3}\) 2. \(0{,}5 \ln(7)\) 3. Nicht mit den genannten Regeln berechenbar. 4. \(\ln(2{,}5)\) 5. Nicht mit den genannten Regeln berechenbar.

- Nutze für \(\cos(kx)\) die Regel für lineare innere Funktionen. - Welchen Wertebereich besitzt \(\frac1k\sin(kx)\)? - Die Integrationskonstante verschiebt diesen Wertebereich vertikal.

1. Nach der Regel für lineare innere Funktionen lautet die allgemeine Stammfunktion \(F_k(x)=\frac1k\sin(kx)+C\). 2. Der Term \(\frac1k\sin(kx)\) hat den Wertebereich \([-1/|k|;1/|k|]\). 3. Das Minimum von \(F_k\) ist daher \(C-\frac1{|k|}\). 4. Aus der Bedingung \(C-\frac1{|k|}=0\) folgt \(C=\frac1{|k|}\). 5. Damit ist \(F_k(x)=\frac1k\sin(kx)+\frac1{|k|}\).

\(F_k(x)=\frac1k\sin(kx)+\frac1{|k|}\)

- Bestimme zuerst mit der Regel für lineare innere Funktionen die allgemeine Stammfunktion. - Welchen Wertebereich besitzt der Kosinusterm? - Wann enthält ein verschobenes Intervall sowohl negative als auch positive Werte?

1. Mit der Integrationsregel für lineare innere Funktionen lautet die allgemeine Stammfunktion \(G(x)=-2\cos(3x+2)+C\). 2. Da \(\cos(3x+2)\in[-1;1]\), hat der Term \(-2\cos(3x+2)\) den Wertebereich \([-2;2]\). Somit hat \(G\) den Wertebereich \([C-2;C+2]\). 3. Positive und negative Funktionswerte treten genau dann auf, wenn \(C-2<0\) und \(C+2>0\). 4. Daher gilt \(-2<C<2\).

\(G(x) = -2 \cos(3x + 2) + C\) mit \(C \in (-2; 2)\)

- Vergleiche in a) den Zähler mit der ersten Ableitung des Nenners. - Welche logarithmische Stammfunktion passt zu einem Vielfachen von \(u'/u\)? - In b) ist das Argument des Sinus linear.

1. Für \(u(x)=x^2-3x+10\) gilt \(u'(x)=2x-3\). Der Zähler ist \(3u'(x)\). Daher ist \(F(x)=3\ln|x^2-3x+10|\) eine Stammfunktion. 2. In b) ist die innere Funktion linear. Eine Stammfunktion ist \(G(t)=-16\cos\!\left(\frac12t+\pi\right)\).

a) \(F(x)=3\ln|x^2-3x+10|\) b) \(G(t)=-16\cos\!\left(\frac12t+\pi\right)\)

- Vergleiche in a) den Faktor vor der Exponentialfunktion mit der ersten Ableitung des Exponenten. - Achte auf den konstanten Faktor in der Struktur \(g'e^g\). - Prüfe in b), ob der Zähler die erste Ableitung des Nenners ist.

1. Für \(g(x)=1-x^2\) gilt \(g'(x)=-2x\). Damit ist \(f(x)=-\frac12g'(x)e^{g(x)}\), also \(F(x)=-\frac12e^{1-x^2}\) eine Stammfunktion. 2. In b) ist der Zähler die erste Ableitung des Nenners. Daher ist \(H(x)=\ln(x^2+x+4)\) eine Stammfunktion.

a) \(F(x)=-\frac12e^{1-x^2}\) b) \(H(x)=\ln(x^2+x+4)\)

- Welche Stammfunktionen passen zu den beiden Summanden, wenn du beim Exponentialterm die lineare innere Funktion berücksichtigst? - Wie kannst du insbesondere das Vorzeichen des Exponentialterms durch Ableiten überprüfen? - Wie bestimmt die Bedingung \(F(2)=10\) anschließend die additive Konstante?

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=0{,}125x^4+e^{2-x}+C\). 2. Aus \(F(2)=10\) folgt \(0{,}125\cdot2^4+e^0+C=10\). 3. Damit ist \(2+1+C=10\) und somit \(C=7\). 4. Die gesuchte Stammfunktion lautet \(F(x)=0{,}125x^4+e^{2-x}+7\).

\(F(x)=0{,}125x^4+e^{2-x}+7\)

- Welche Stammfunktion passt zum Bruchterm auf dem angegebenen Definitionsbereich? - Wie wirkt sich die lineare innere Funktion im Kosinusterm auf die Stammfunktion aus? - Wie kannst du die gefundenen Terme durch Ableiten kontrollieren? - Welche Gleichung liefert die Bedingung \(F(0)=0\) für die Konstante?

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=2\ln(x+3)-2\sin(0{,}5x)+C\). 2. Mit \(F(0)=0\) folgt \(2\ln(3)+C=0\). 3. Damit ist \(C=-2\ln(3)\). 4. Somit lautet die gesuchte Stammfunktion \(F(x)=2\ln(x+3)-2\sin(0{,}5x)-2\ln(3)\).

\(F(x)=2\ln(x+3)-2\sin(0{,}5x)-2\ln(3)\)

- Welche Stammfunktion besitzt der Exponentialterm, wenn du die lineare innere Funktion berücksichtigst? - Wie kannst du den Faktor vor dem Exponentialterm durch Ableiten überprüfen? - Welche Gleichung entsteht aus der Bedingung \(F(-1)=5\)?

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{2}{3}e^{3x+3}-2x^2+C\). 2. Mit \(F(-1)=5\) folgt \(\frac{2}{3}e^0-2+C=5\). 3. Daher gilt \(-\frac{4}{3}+C=5\) und damit \(C=\frac{19}{3}\). 4. Somit ist \(F(x)=\frac{2}{3}e^{3x+3}-2x^2+\frac{19}{3}\).

\(F(x)=\frac{2}{3}e^{3x+3}-2x^2+\frac{19}{3}\)

- Welche Potenzschreibweise passt zum Wurzelausdruck im Nenner? - Wie wirkt sich die lineare innere Funktion auf die Stammfunktion dieser Potenz aus? - Wie kannst du den erhaltenen Wurzelterm durch Ableiten überprüfen? - Welche Information liefert der Punkt \(P(0\mid10)\) für die Konstante?

1. Schreibe \(f(x)=6(2x+9)^{-\frac{1}{2}}\). 2. Unter Berücksichtigung der linearen inneren Funktion ist eine allgemeine Stammfunktion \(F(x)=6\sqrt{2x+9}+C\). 3. Aus \(F(0)=10\) folgt \(6\sqrt{9}+C=10\), also \(18+C=10\). 4. Damit ist \(C=-8\). 5. Die gesuchte Stammfunktion lautet \(F(x)=6\sqrt{2x+9}-8\).

\(F(x)=6\sqrt{2x+9}-8\)

- Welche Symmetrie besitzt der Graph einer ungeraden Funktion? - Wie wirken sich zwei betragsgleiche Flächenbeiträge mit entgegengesetzten Vorzeichen auf die Flächenbilanz aus? - Welche anderen bekannten Funktionen sind ungerade?

1. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{4}x^4-2x^2\). Es gilt \(F(2)=-4\) und \(F(-2)=-4\), also \(\int_{-2}^{2}f(x)\,dx=F(2)-F(-2)=0\). 2. Der Graph von \(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, weil \(f\) ungerade ist. Auf dem symmetrischen Intervall \([-2;2]\) sind die Flächenbeiträge links und rechts des Ursprungs betragsgleich und haben entgegengesetzte Vorzeichen. Ihre Flächenbilanz ist daher \(0\). 3. Zum Beispiel ist \(g(x)=\sin(x)\) ungerade und kein Vielfaches von \(f\). Deshalb heben sich auf jedem symmetrischen Intervall \([-a;a]\) die beiden Flächenbeiträge auf.

1. \(\int_{-2}^{2}(x^3-4x)\,dx=0\). 2. Wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung sind die Flächenbeiträge betragsgleich und entgegengesetzt; ihre Flächenbilanz ist \(0\). 3. Zum Beispiel \(g(x)=\sin(x)\); als ungerade Funktion hat sie auf jedem Intervall \([-a;a]\) die Flächenbilanz \(0\).

- Vergleiche in a) den Zähler mit der ersten Ableitung des Nenners. - Prüfe in b), ob der Faktor vor der Exponentialfunktion die erste Ableitung des Exponenten ist. - Wenn du in b) substituierst, passe auch die Integrationsgrenzen an.

1. Für a) gilt mit \(g(x)=x^3+1\): \(g'(x)=3x^2\). Daher ist \(\ln(x^3+1)\) eine Stammfunktion und der Wert ist \(\ln9-\ln2=\ln(4{,}5)\). 2. Für b) liegt die Struktur \(g'(x)e^{g(x)}\) mit \(g(x)=x^2-x\) vor. Alternativ kann tatsächlich \(u=x^2-x\) substituiert werden. Dann sind die neuen Grenzen \(u(0)=0\) und \(u(2)=2\), sodass \(\int_0^2e^u\,\mathrm{d}u=e^2-1\).

a) \(\ln(4{,}5)\) b) \(e^2-1\)

- Welche Exponenten besitzen eine erste Ableitung, die ein konstantes Vielfaches von \(x\) ist? - Prüfe für jede Ergänzung die Struktur \(g'(x)e^{g(x)}\). - Für die Berechnung genügt eine deiner beiden Ergänzungen.

1. Eine mögliche Ergänzung ist \(x^2\). Für \(g(x)=x^2\) gilt \(g'(x)=2x\), also ist \(xe^{x^2}=\frac12g'(x)e^{g(x)}\). 2. Eine zweite mögliche Ergänzung ist \(2x^2-1\). Für \(h(x)=2x^2-1\) gilt \(h'(x)=4x\), also ist \(xe^{2x^2-1}=\frac14h'(x)e^{h(x)}\). 3. Für die erste Ergänzung ist \(\frac12e^{x^2}\) eine Stammfunktion. Damit ergibt sich \(\int_0^1xe^{x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{e-1}{2}\).

Zum Beispiel \(x^2\) und \(2x^2-1\). Für \(x^2\) ist der Integralwert \(\frac{e-1}{2}\).

- Für a) genügt eine Ergänzung, bei der sich Zähler und Nenner vereinfachen. - Für b) muss der Zähler die erste Ableitung des gewählten Nenners sein. - Es gibt jeweils mehrere mögliche Ergänzungen.

1. Für a) ist etwa der Nenner \(e^x\) möglich. Der Integrand ist dann \(1\), also beträgt der Integralwert \(1\). 2. Für b) kann der Nenner \(e^x+1\) gewählt werden, dessen erste Ableitung \(e^x\) ist. 3. Dann gilt \(\int_0^1\frac{e^x}{e^x+1}\,\mathrm{d}x=[\ln(e^x+1)]_0^1=\ln\!\left(\frac{e+1}{2}\right)\).

a) Zum Beispiel Nenner \(e^x\); Integralwert \(1\). b) Zum Beispiel Nenner \(e^x+1\); Integralwert \(\ln\!\left(\frac{e+1}{2}\right)\).

- Wo liegt die Symmetrieachse der Parabel? - Wie liegen die beiden Teilintervalle \([1;2]\) und \([2;3]\) bezüglich dieser Achse? - Falls du rechnerisch vorgehen möchtest: Welche Stammfunktion von \(f\) kannst du verwenden?

1. Symmetrie: Der Graph von \(f\) ist achsensymmetrisch zur Geraden \(x=2\). Die Intervalle \([1;2]\) und \([2;3]\) liegen spiegelbildlich zur Symmetrieachse. Deshalb sind ihre Flächenbeiträge gleich, also ist das Integral über \([1;3]\) das Doppelte des Integrals über \([2;3]\). 2. Rechnerische Kontrolle: Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{3}(x-2)^3-x\). Es gilt \(F(3)-F(1)=-\frac{4}{3}\) und \(2\bigl(F(3)-F(2)\bigr)=-\frac{4}{3}\).

Die Gleichung ist wahr. Wegen der Achsensymmetrie zur Geraden \(x=2\) sind die Flächenbeiträge auf \([1;2]\) und \([2;3]\) gleich. Rechnerisch haben beide Seiten den Wert \(-\frac{4}{3}\).

- Vergleiche in a) den Zähler mit der Ableitung des Nenners. - Schreibe in b) den Nenner als Potenz mit negativem Exponenten. - Bei der linearen inneren Funktion in b) muss der konstante innere Ableitungsfaktor berücksichtigt werden.

1. In a) ist der Zähler die Ableitung des Nenners. Daher liefert die logarithmische Regel die Stammfunktion \(\ln|x^2-5x+10|\). 2. Einsetzen der Grenzen ergibt \(\ln(4)-\ln(6)=\ln\left(\frac23\right)\). 3. In b) schreibe den Integranden als \((2x+2)^{-3}\). Mit der Regel für lineare innere Funktionen ist \(-\frac{1}{4}(2x+2)^{-2}\) eine Stammfunktion. 4. Damit folgt \(-\frac{1}{64}+\frac{1}{16}=\frac{3}{64}\).

a) \(\ln(\frac{2}{3})\) b) \(\frac{3}{64}\)

- Vergleiche in a) den Faktor vor der Exponentialfunktion mit der ersten Ableitung des Exponenten. - Prüfe in b), ob der Zähler die erste Ableitung des Nenners ist. - Ordne beide Integrale zuerst einem Strukturmuster zu.

1. Für a) gilt mit \(g(x)=x^2\): \(g'(x)=2x\). Der Integrand hat die Form \(g'e^g\), daher ist \(e^{x^2}\) eine Stammfunktion und der Wert ist \(e-1\). 2. In b) ist der Zähler die erste Ableitung des Nenners \(h(x)=e^x+1\). Daher ist \(\ln(e^x+1)\) eine Stammfunktion. 3. Auswerten ergibt \(\ln(e+1)-\ln2=\ln\!\left(\frac{e+1}{2}\right)\).

a) \(e-1\) b) \(\ln\!\left(\frac{e+1}{2}\right)\)

- Zerlege den Funktionsterm gedanklich in den Sinusanteil und den konstanten Anteil. - Welche Funktion ergibt beim Ableiten den Sinus? Achte auf das Vorzeichen. - Nutze den vorgegebenen Punkt erst nach dem Aufstellen der Stammfunktionsfamilie.

1. Es ist \(g(x)=0{,}6\sin(x)-0{,}4\). Damit lautet die Stammfunktionsfamilie \(G(x)=-0{,}6\cos(x)-0{,}4x+C\). 2. Für a) kann beispielsweise \(C=0\) gewählt werden. Dann ist \(G_1(x)=-0{,}6\cos(x)-0{,}4x\). 3. Für b) gilt \(G_2(0)=1\). Damit folgt \(-0{,}6\cos(0)+C=1\). 4. Wegen \(\cos(0)=1\) ist \(C=1{,}6\). Also ist \(G_2(x)=-0{,}6\cos(x)-0{,}4x+1{,}6\).

a) Zum Beispiel \(G_1(x)=-0{,}6\cos(x)-0{,}4x\) b) \(G_2(x)=-0{,}6\cos(x)-0{,}4x+1{,}6\)

- Kannst du den Funktionsterm als Ergebnis einer bekannten Ableitungsregel erkennen? - Untersuche, ob die beiden Summanden gemeinsam aus der Ableitung eines Produkts entstanden sein können. - Überprüfe einen vermuteten Produktterm durch Ableiten.

1. Der Funktionsterm hat die Struktur einer Produktableitung \((uv)'=u'v+uv'\). 2. Mit \(u(x)=x^3\) und \(v(x)=\sin(x)\) gilt \(u'(x)=3x^2\) und \(v'(x)=\cos(x)\). 3. Daher ist \((x^3\sin(x))'=3x^2\sin(x)+x^3\cos(x)=f(x)\). 4. Somit ist \(F(x)=x^3\sin(x)\) eine Stammfunktion von \(f\).

\(F(x)=x^3\sin(x)\)

- Prüfe, ob der Graph im Intervall \([0;2]\) eine Punktsymmetrie besitzt. - Welche Folge hat diese Symmetrie für die Flächenbilanz auf \([0;2]\)? - Wie kannst du das Integral über \([0;4]\) mithilfe der Intervalladditivität zerlegen?

1. Der Graph von \(f\) ist punktsymmetrisch zum Punkt \((1\mid0)\), denn \(f(1+h)=-f(1-h)\). 2. Das Intervall \([0;2]\) liegt symmetrisch um \(x=1\). Die beiden Flächenbeiträge auf den Teilintervallen heben sich daher in der Flächenbilanz auf, also gilt \(\int_0^2 f(x)\,dx=0\). 3. Mit der Intervalladditivität folgt \(\int_0^4 f(x)\,dx=\int_0^2 f(x)\,dx+\int_2^4 f(x)\,dx=\int_2^4 f(x)\,dx\).

Die Aussage ist wahr. Wegen der Punktsymmetrie zum Punkt \((1\mid0)\) ist die Flächenbilanz auf \([0;2]\) gleich \(0\). Daher gilt \(\int_0^4 f(x)\,dx=\int_2^4 f(x)\,dx\).

- Welche Stammfunktionen gehören zu den drei Summanden? - Wie wirkt sich der Faktor im Exponenten der Exponentialfunktion auf ihre Stammfunktion aus? - Wie kannst du den Exponentialterm durch Ableiten kontrollieren? - Welche Gleichung liefert der Punkt \(P(0\mid3)\) für die Konstante?

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=2e^{2x}-\frac{1}{6}x^3-\cos(x)+C\). 2. Aus \(F(0)=3\) folgt \(2-1+C=3\). 3. Damit ist \(C=2\). 4. Die gesuchte Stammfunktion lautet \(F(x)=2e^{2x}-\frac{1}{6}x^3-\cos(x)+2\).

\(F(x)=2e^{2x}-\frac{1}{6}x^3-\cos(x)+2\)

- Bearbeite die beiden Summanden getrennt. - Für die Ableitung des Bruchs benötigst du die Quotientenregel. - Für seine Stammfunktion vergleiche den Zähler mit der ersten Ableitung des Nenners. - Beim trigonometrischen Summanden ist die innere Funktion linear.

1. Für den ersten Summanden liefert die Quotientenregel \(\frac{12-8x^2}{(2x^2+3)^2}\), für den zweiten die Kettenregel \(2\cos(2x+1)\). Daher ist \(f'(x)=\frac{12-8x^2}{(2x^2+3)^2}+2\cos(2x+1)\). 2. Für \(g(x)=2x^2+3\) gilt \(g'(x)=4x\). Der erste Summand von \(f\) hat also die Struktur \(g'/g\), sodass \(\ln(2x^2+3)\) eine Stammfunktion ist. 3. Eine Stammfunktion von \(\sin(2x+1)\) ist nach der Regel für lineare innere Funktionen \(-\frac12\cos(2x+1)\). 4. Damit kann man \(F(x)=\ln(2x^2+3)-\frac12\cos(2x+1)\) wählen.

\(f'(x)=\frac{12-8x^2}{(2x^2+3)^2}+2\cos(2x+1)\) \(F(x)=\ln(2x^2+3)-\frac12\cos(2x+1)\)

- Für die Ableitung des ersten Summanden brauchst du Produkt- und Kettenregel. - Für dessen Stammfunktion vergleiche den Faktor \(x\) mit der ersten Ableitung des Exponenten. - Beim Wurzelterm ist die innere Funktion linear.

1. Für \(x>\frac23\) gilt \(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(xe^{-x^2})=(1-2x^2)e^{-x^2}\) und \(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sqrt{3x-2}=\frac{3}{2\sqrt{3x-2}}\). 2. Daher ist \(f'(x)=(1-2x^2)e^{-x^2}+\frac{3}{2\sqrt{3x-2}}\). 3. Für \(g(x)=-x^2\) gilt \(g'(x)=-2x\). Daher ist \(-\frac12e^{-x^2}\) eine Stammfunktion des ersten Summanden. 4. Für \(\sqrt{3x-2}\) liefert die Regel für lineare innere Funktionen \(\frac29(3x-2)^{3/2}\). 5. Somit kann man \(F(x)=-\frac12e^{-x^2}+\frac29(3x-2)^{3/2}\) wählen.

\(f'(x)=(1-2x^2)e^{-x^2}+\frac{3}{2\sqrt{3x-2}}\) für \(x>\frac23\) \(F(x)=-\frac12e^{-x^2}+\frac29(3x-2)^{3/2}\) für \(x\ge\frac23\)

- Wie lässt sich der Bruch als Potenz mit negativem Exponenten schreiben? - Welche Einschränkung an \(n\) sorgt dafür, dass die gewöhnliche Potenzregel hier anwendbar bleibt? - Was bedeutet die freie Integrationskonstante für die Anzahl der Stammfunktionen? - Nutze den Punkt im Spezialfall, um \(C\) zu bestimmen.

1. Es ist \(f_n(x)=3x^{-n}\). Die Potenzregel liefert \(F_n(x)=\frac{3}{1-n}x^{1-n}+C=-\frac{3}{(n-1)x^{n-1}}+C\). 2. Zu jedem festen \(n\) gibt es unendlich viele Stammfunktionen, weil \(C\in\mathbb{R}\) frei gewählt werden kann. 3. Für \(n=4\) gilt \(F_4(x)=-\frac{1}{x^3}+C\). Aus \(F_4(1)=1\) folgt \(-1+C=1\), also \(C=2\). Damit ist \(F_4(x)=-\frac{1}{x^3}+2\).

1. \(F_n(x)=-\frac{3}{(n-1)x^{n-1}}+C\) für \(x>0\) mit \(C\in\mathbb{R}\) 2. Für jedes feste \(n\) gibt es unendlich viele Stammfunktionen. 3. \(F_4(x)=-\frac{1}{x^3}+2\)

- Schreibe Wurzeln und Brüche als Potenzen mit rationalen Exponenten um. - Wie verändert sich der Exponent beim Bilden einer Stammfunktion einer Potenzfunktion? - Kontrolliere jeden gefundenen Term durch Ableiten.

1. Für a) ist \(f'(x)=1{,}5x^{0{,}5}\). Die Potenzregel liefert \(f(x)=x^{1{,}5}\). 2. Für b) ist \(g'(x)=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\). Damit ist \(g(x)=x^{\frac{2}{3}}\). 3. Für c) ist \(h'(x)=x^{-1{,}5}\). Daher ist \(h(x)=-2x^{-0{,}5}=-\frac{2}{\sqrt{x}}\).

a) \(f(x)=x^{1{,}5}\) b) \(g(x)=x^{\frac{2}{3}}\) c) \(h(x)=-\frac{2}{\sqrt{x}}\)

- Schreibe Wurzelterme im Nenner als Potenzen mit negativen rationalen Exponenten. - Behandle bei einer Summe jeden Summanden getrennt. - Kontrolliere die Ergebnisse durch Ableiten auf dem angegebenen Definitionsbereich.

1. In a) liefert die Potenzregel \(f(x)=\frac{0{,}8}{0{,}4}x^{0{,}4}=2x^{0{,}4}\). 2. In b) ist \(\frac{3}{4\sqrt[4]{x^3}}=\frac{3}{4}x^{-0{,}75}\). Eine Stammfunktion dieses Summanden ist \(3x^{0{,}25}\); der Summand \(-1\) liefert \(-x\). 3. Daher kann \(g(x)=3x^{0{,}25}-x\) gewählt werden.

a) \(f(x)=2x^{0{,}4}\) b) \(g(x)=3x^{0{,}25}-x\)

- Wie lautet die Grundregel für die Stammfunktion von \(x^{-1}\)? - Welche Form des Logarithmus ist auf dem Bereich \(x<0\) passend? - Setze für eine besondere Stammfunktion den vorgegebenen Punkt oder Funktionswert in die allgemeine Stammfunktionsfamilie ein. - Welche Werte haben \(\ln(1)\) und \(\ln(e)\)?

1. Für \(x<0\) lautet die allgemeine Stammfunktion \(F(x)=\frac{2}{3}\ln(-x)-4x+C\) mit \(C\in\mathbb{R}\). 2. Aus \(F_1(-1)=0\) folgt \(\frac{2}{3}\ln(1)+4+C=0\). Damit ist \(C=-4\) und \(F_1(x)=\frac{2}{3}\ln(-x)-4x-4\). 3. Aus \(F_2(-e)=1\) folgt \(\frac{2}{3}\ln(e)+4e+C=1\). Somit ist \(C=\frac{1}{3}-4e\) und \(F_2(x)=\frac{2}{3}\ln(-x)-4x+\frac{1}{3}-4e\).

1. \(F(x)=\frac{2}{3}\ln(-x)-4x+C\) 2. \(F_1(x)=\frac{2}{3}\ln(-x)-4x-4\) 3. \(F_2(x)=\frac{2}{3}\ln(-x)-4x+\frac{1}{3}-4e\)

- Welche Logarithmusform ist auf dem Bereich \(x<0\) geeignet? - Was ergibt die Ableitung von \(\ln(-x)\)? - Wie erzeugst du aus einer Stammfunktion eine zweite, verschiedene Stammfunktion derselben Funktion?

1. Eine Stammfunktion des Summanden \(x\) ist \(\frac{1}{2}x^2\). 2. Für \(x<0\) ist eine Stammfunktion von \(-\frac{1}{4x}\) der Term \(-\frac{1}{4}\ln(-x)\). 3. Damit lautet die Stammfunktionsfamilie \(F(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}\ln(-x)+C\). 4. Mit verschiedenen Konstanten, zum Beispiel \(C=0\) und \(C=-1\), erhält man zwei verschiedene Stammfunktionen.

Zum Beispiel \(F_1(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}\ln(-x)\) und \(F_2(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}\ln(-x)-1\)

- Welche Grundfunktionen ergeben beim Ableiten Sinus beziehungsweise Kosinus? - Schreibe den Bruchterm in Teil c) als Potenz mit negativem Exponenten. - Bei einer Summe kannst du die einzelnen Summanden getrennt behandeln.

1. In a) ist \(f(x)=5\sin(x)\) eine passende Funktion. 2. In b) ist \(f(x)=\cos(x)\) eine passende Funktion. 3. In c) gilt \(f'(x)=2x^{-2}\). Eine passende Funktion ist \(f(x)=-\frac{2}{x}\). 4. In d) liefert die Potenzregel \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2\).

a) \(f(x)=5\sin(x)\) b) \(f(x)=\cos(x)\) c) \(f(x)=-\frac{2}{x}\) d) \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2\)

- Betrachte die beiden Summanden getrennt. - Welche trigonometrische Funktion ergibt beim Ableiten den Sinus? Achte auf das Vorzeichen. - Kontrolliere den gefundenen Funktionsterm durch Ableiten.

1. Zum Summanden \(8\sin(x)\) gehört als Stammfunktion \(-8\cos(x)\). 2. Zum Summanden \(4x^7\) gehört als Stammfunktion \(0{,}5x^8\). 3. Daher ist \(g(x)=-8\cos(x)+0{,}5x^8\) eine mögliche Ausgangsfunktion. 4. Zur Kontrolle gilt \(g'(x)=8\sin(x)+4x^7\).

\(g(x)=-8\cos(x)+0{,}5x^8\)

- Was passiert mit den Integrationsgrenzen, wenn du das Vorzeichen vor einem Integral änderst? - Kannst du die beiden Integrale so umformen, dass sie eine gemeinsame Grenze haben? - Über welches Gesamtintervall wird effektiv integriert, wenn man ein Teilintervall von einem größeren abzieht? - Versuche, eine Stammfunktion für den Term in der Klammer zu finden.

1. Nutzung der Integraleigenschaften: Die Subtraktion eines Integrals ist gleichbedeutend mit der Addition des Integrals bei vertauschten Grenzen: \(-\int_{2}^{3} f(x) \, dx = \int_{3}^{2} f(x) \, dx\). 2. Zusammenfassen der Integrale: \(\int_{-1}^{3} (4 - x^2) \, dx + \int_{3}^{2} (4 - x^2) \, dx = \int_{-1}^{2} (4 - x^2) \, dx\). 3. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(F(2) = 4 \cdot 2 - \frac{1}{3} \cdot 2^3 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}\). 5. Einsetzen der unteren Grenze: \(F(-1) = 4 \cdot (-1) - \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 = -4 + \frac{1}{3} = -\frac{11}{3}\). 6. Berechnung der Differenz: \(\frac{16}{3} - \left(-\frac{11}{3}\right) = \frac{27}{3} = 9\).

\(9\)

- Wie kannst du ein Minuszeichen vor einem Integral eliminieren, indem du die Integrationsgrenzen anpasst? - Schau dir die Grenzen der einzelnen Integrale genau an. Lassen sie sich zu einer lückenlosen Kette verbinden? - Es ist oft einfacher, zuerst den gesamten Integralausdruck zu vereinfachen, bevor du die Stammfunktion bildest.

1. Anwendung der Rechenregel für vertauschte Grenzen: \(-\int_{4}^{2} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} f(x) \, dx\). 2. Zusammenfassen der drei Integrale über die aneinandergrenzenden Intervalle \([-1; 2]\), \([2; 4]\) und \([4; 5]\) zu einem Integral über das Gesamtintervall \([-1; 5]\): \(\int_{-1}^{5} (3x^2 - 4x + 5) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x\). 4. Berechnung der Funktionswerte an den Grenzen: \(F(5) = 5^3 - 2 \cdot 5^2 + 5 \cdot 5 = 125 - 50 + 25 = 100\) und \(F(-1) = (-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 + 5 \cdot (-1) = -1 - 2 - 5 = -8\). 5. Differenzbildung: \(100 - (-8) = 108\).

\(\int_{-1}^{5} (3x^2 - 4x + 5) \, dx = 108\)

- Kannst du die beiden Integrale zu einem einzigen Integral zusammenfassen, da sie dieselben Grenzen haben? - Multipliziere den Faktor vor dem ersten Integral in den Integranden hinein, bevor du die Funktionen addierst. - Welche Terme im Integranden heben sich gegenseitig auf, wenn du alles zusammenfasst? - Erinnere dich beim Integrieren daran, wie man Potenzen mit negativen Exponenten behandelt.

1. Anwendung der Linearität (Faktorregel und Summenregel), um die Integranden zusammenzufassen: \(\int_{1}^{4} \left(3 \cdot (\sqrt{x} + \frac{1}{x^2}) + (2 - 3\sqrt{x})\right) \, dx\). 2. Vereinfachung des Integranden: \(3\sqrt{x} + \frac{3}{x^2} + 2 - 3\sqrt{x} = \frac{3}{x^2} + 2\). 3. Bestimmung der Stammfunktion von \(f(x) = 3x^{-2} + 2\): \(F(x) = -3x^{-1} + 2x = -\frac{3}{x} + 2x\). 4. Berechnung der Werte an den Grenzen: \(F(4) = -\frac{3}{4} + 2 \cdot 4 = -0{,}75 + 8 = 7{,}25\) und \(F(1) = -\frac{3}{1} + 2 \cdot 1 = -3 + 2 = -1\). 5. Differenzbildung: \(7{,}25 - (-1) = 8{,}25\).

\(\int_{1}^{4} \left(\frac{3}{x^2} + 2\right) \, dx = 8{,}25\)

- Prüfe bei jedem Integranden, welche Terme gerade und welche ungerade sind. - Was folgt für das Integral einer ungeraden Funktion über ein symmetrisches Intervall? - Wie kannst du in Teil 3 gerade und ungerade Anteile getrennt behandeln?

1. Der Integrand enthält nur ungerade Potenzen und ist daher ungerade. Auf dem symmetrischen Intervall \([-4;4]\) heben sich die Flächenbeiträge in der Flächenbilanz auf. Das Integral ist \(0\). 2. \(g(x)=15x^4-6x^2\) ist gerade. Daher gilt \(\int_{-1}^{1}g(x)\,dx=2\int_0^1g(x)\,dx\). Mit \(G(x)=3x^5-2x^3\) folgt \(2\bigl(G(1)-G(0)\bigr)=2\). 3. Zerlege \(x^2+2x+1\) in den geraden Anteil \(x^2+1\) und den ungeraden Anteil \(2x\). Der ungerade Anteil hat auf \([-3;3]\) die Flächenbilanz \(0\). Für den geraden Anteil gilt \(2\int_0^3(x^2+1)\,dx=24\).

1. \(0\) 2. \(2\) 3. \(24\)

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Exponenten einer Polynomfunktion und ihrem Symmetrieverhalten. - Welche bekannten Integralregeln helfen dir beim Term \(f(x)+c\)? - Denke bei der Beurteilung von Aussagen über Integrale an die Lage des Graphen zur \(x\)-Achse. - Reicht die Symmetrie alleine aus, um das Vorzeichen des Integrals festzulegen?

1. Für \(f(-x)=-f(x)\) ist der Graph von \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung. Auf dem symmetrischen Intervall \([-3;3]\) heben sich die vorzeichenbehafteten Flächenbeiträge paarweise auf, also gilt \(\int_{-3}^{3}f(x)\,dx=0\). 2. Mit der Linearität gilt \(I=\int_{-3}^{3}f(x)\,dx+\int_{-3}^{3}c\,dx\). 3. Der erste Summand ist \(0\), und \(\int_{-3}^{3}c\,dx=[cx]_{-3}^{3}=3c-(-3c)=6c\). Damit ist \(I=6c\). 4. Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse legt das Vorzeichen des Integrals nicht fest. Zum Beispiel ist \(g(x)=-1\) achsensymmetrisch und \(\int_{-1}^{1}-1\,dx=-2<0\). Die Behauptung ist daher falsch.

a) Punktsymmetrie zum Ursprung bei symmetrischem Intervall führt zur Flächenbilanz \(0\). b) \(I=6c\) c) Die Aussage ist falsch; liegt der Graph unterhalb der \(x\)-Achse (z. B. \(g(x)=-1\)), ist das Integral negativ.

- Erinnere dich an die Regel, was passiert, wenn man die obere und untere Grenze eines Integrals vertauscht. - Kannst du zwei Integrale mit demselben Integranden zusammenfügen, wenn die Grenzen „aneinanderstoßen“? - Prüfe nach dem Zusammenfügen, ob das neue Intervall eine besondere Symmetrie aufweist.

1. Anwendung der Rechenregel für vertauschte Grenzen: \(-\int_{4}^{1} f(x) \, dx = \int_{1}^{4} f(x) \, dx\). 2. Zusammenfassen der Integrale über die Intervalladditivität: \(\int_{-4}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{4} f(x) \, dx = \int_{-4}^{4} f(x) \, dx\). 3. Untersuchung der Symmetrie von \(f(x) = x^3 + 2x + 0{,}5\): Die Summanden \(x^3\) und \(2x\) sind ungerade, ihr Integral über \([-4; 4]\) ist \(0\). 4. Reduktion des Integrals auf den konstanten (geraden) Teil: \(\int_{-4}^{4} 0{,}5 \, dx\). 5. Berechnung des verbleibenden Integrals: \([0{,}5x]_{-4}^{4} = 0{,}5 \cdot 4 - 0{,}5 \cdot (-4) = 2 - (-2) = 4\).

\(4\)

- Wie verhalten sich die Flächenbeiträge auf spiegelbildlich zur \(y\)-Achse liegenden Intervallen? - Nutze die Intervalladditivität, um bekannte Teilintegrale zusammenzusetzen. - Welche Rechenregel gilt für das Integral einer Summe?

1. Wegen der Achsensymmetrie gilt \(\int_{-3}^{3}f(x)\,dx=2\int_0^3f(x)\,dx=8\). 2. Ebenfalls wegen der Symmetrie gilt \(\int_{-5}^{-3}f(x)\,dx=\int_3^5f(x)\,dx=-2\). 3. Es ist \(\int_{-5}^{0}f(x)\,dx=\int_0^5f(x)\,dx=4+(-2)=2\). 4. Mit der Linearität folgt \(\int_0^5(f(x)+3)\,dx=\int_0^5f(x)\,dx+\int_0^5 3\,dx=2+15=17\).

a) \(8\) b) \(-2\) c) \(2\) d) \(17\)

- Kannst du den Funktionsterm in eine Summe aus einer geraden und einer ungeraden Funktion aufteilen? - Was passiert mit dem Integral der ungeraden Summanden, wenn man über ein Intervall von \(-k\) bis \(k\) integriert? - Berechne das Integral des verbleibenden Anteils unter Ausnutzung der Symmetrie zur \(y\)-Achse.

1. Zerlegung des Integrands: Aufgrund der Linearität des Integrals gilt \(\int_{-k}^{k} (x^3 - 6x^2 + 2x) \, dx = \int_{-k}^{k} (x^3 + 2x) \, dx + \int_{-k}^{k} (-6x^2) \, dx\). 2. Symmetriebetrachtung: Der Anteil \(u(x) = x^3 + 2x\) ist eine ungerade Funktion. Für jedes symmetrische Intervall \([-k; k]\) gilt \(\int_{-k}^{k} u(x) \, dx = 0\). Somit hängt der Gesamtwert nur vom Integral des geraden Anteils \(g(x) = -6x^2\) ab. 3. Berechnung: \(I = \int_{-k}^{k} -6x^2 \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{k} -6x^2 \, dx = 2 \cdot [-2x^3]_0^k = 2 \cdot (-2k^3) = -4k^3\).

a) Da \(x^3\) und \(2x\) ungerade Funktionen sind, ist ihr Integral über \([-k; k]\) gleich \(0\). Es bleibt nur das Integral über den geraden Anteil \(-6x^2\). b) \(I = -4k^3\)

- Untersuche, welche Terme der Funktion \(f\) beim Integrieren über ein symmetrisches Intervall wegfallen könnten. - Wie verhalten sich Funktionen mit ausschließlich ungeraden Exponenten bei der Integration von \(-a\) bis \(a\)? - Nutze die Achsensymmetrie des verbleibenden Terms aus, um die Rechnung auf das Intervall von \(0\) bis \(5\) zu beschränken.

1. Identifikation der Symmetrieeigenschaften: Die Terme \(x^3\) und \(-\frac{1}{2}x\) sind ungerade Potenzen von \(x\), der Term \(\frac{3}{10}x^4\) ist eine gerade Potenz. 2. Aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung ist das Integral der ungeraden Anteile über das symmetrische Intervall \([-5; 5]\) gleich null: \(\int_{-5}^{5} (x^3 - \frac{1}{2}x) \, dx = 0\). 3. Das Integral reduziert sich auf den geraden Anteil: \(\int_{-5}^{5} \frac{3}{10}x^4 \, dx = 2 \cdot \int_{0}^{5} \frac{3}{10}x^4 \, dx\). 4. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{3}{50}x^5\). 5. Berechnung des Werts: \(2 \cdot [\frac{3}{50}x^5]_0^5 = 2 \cdot (\frac{3}{50} \cdot 5^5 - 0) = 2 \cdot \frac{3 \cdot 3125}{50} = 2 \cdot 187{,}5 = 375\).

\(375\)

- Überlege dir, welche Koordinaten der Endpunkt des Graphen im betrachteten Intervall hat. - Welches geometrische Objekt wird durch die Koordinatenachsen und die Parallelen dazu aufgespannt? - Wie hängen die Flächeninhalte unter einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion zusammen, wenn man sie in ein gemeinsames Rechteck einzeichnet? - Welches Integral einer einfacheren Funktion (hier die Quadratfunktion) musst du berechnen, um den Restanteil der Fläche zu bestimmen?

1. Die Funktion \(g(x) = \sqrt{x}\) ist die Umkehrfunktion von \(f(x) = x^2\) für \(x \geq 0\). Die Fläche unter dem Graphen von \(g\) im Intervall \([0; 4]\) entspricht der Fläche zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(y\)-Achse im Bereich von \(y = 0\) bis \(y = 4\). 2. Der Punkt \((4\mid 2)\) liegt auf dem Graphen von \(g\), da \(\sqrt{4} = 2\). Das zugehörige Rechteck im ersten Quadranten hat die Eckpunkte \((0\mid 0)\), \((4\mid 0)\), \((4\mid 2)\) und \((0\mid 2)\). Sein Flächeninhalt beträgt \(A_{\text{Rechteck}} = 4 \cdot 2 = 8\). 3. Die gesuchte Fläche \(\int_0^4 \sqrt{x} \, dx\) ergibt sich aus der Differenz zwischen dem Rechteckinhalt und der Fläche unter dem Graphen von \(f\) im Intervall \([0; 2]\). 4. Berechnung des Integrals von \(f\): \(\int_0^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^2 = \frac{1}{3} \cdot 2^3 - 0 = \frac{8}{3}\). 5. Berechnung des gesuchten Werts: \(8 - \frac{8}{3} = \frac{24}{3} - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}\).

\(\int_0^4 \sqrt{x} \, dx = \frac{16}{3}\)

- Schreibe Brüche mit \(x\) im Nenner als Potenzen mit negativen Exponenten. - Teile in Teil b) den Zähler termweise durch den Nenner, bevor du integrierst. - Kontrolliere die Exponenten nach Anwendung der Potenzregel.

1. In a) ist \(f(x)=x^4-2x^{-3}+1\). Die Potenzregel liefert \(F(x)=\frac{1}{5}x^5+x^{-2}+x=\frac{1}{5}x^5+\frac{1}{x^2}+x\). 2. In b) gilt \(f(x)=x+5x^{-2}\). Damit ist \(F(x)=\frac{1}{2}x^2-5x^{-1}=\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{x}\) eine Stammfunktion.

a) \(F(x)=\frac{1}{5}x^5+\frac{1}{x^2}+x\) b) \(F(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{x}\)

- Schreibe Wurzeln als Potenzen mit rationalen Exponenten. - Vereinfache den Quotienten in Teil b), bevor du die Potenzregel anwendest. - Prüfe durch Ableiten, ob du wieder die Ausgangsfunktion erhältst.

1. In a) gilt \(f(x)=3x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=2x^{\frac{3}{2}}-2x^{\frac{1}{2}}\). 2. In b) vereinfacht sich der Term zu \(f(x)=1+2x^{-\frac{1}{2}}\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=x+4x^{\frac{1}{2}}\).

a) \(F(x)=2x^{\frac{3}{2}}-2\sqrt{x}\) b) \(F(x)=x+4\sqrt{x}\)

- Vereinfache den Quotienten, indem du jeden Summanden im Zähler durch \(x^2\) teilst. - Schreibe den entstehenden Bruchterm als negative Potenz. - Wodurch unterscheiden sich zwei Stammfunktionen derselben Funktion?

1. Durch termweises Dividieren gilt \(f(x)=6x^2-3x^{-2}+5x^4\). 2. Eine Stammfunktionsfamilie ist \(F(x)=x^5+2x^3+\frac{3}{x}+C\). 3. Mit \(C=0\) und \(C=5\) erhält man beispielsweise \(F_1(x)=x^5+2x^3+\frac{3}{x}\) und \(F_2(x)=x^5+2x^3+\frac{3}{x}+5\).

Zum Beispiel \(F_1(x)=x^5+2x^3+\frac{3}{x}\) und \(F_2(x)=x^5+2x^3+\frac{3}{x}+5\)

- Löse zuerst die binomische Klammer auf. - Schreibe den Wurzelterm im Nenner als negative rationale Potenz. - Nutze unterschiedliche Integrationskonstanten, um zwei verschiedene Stammfunktionen zu erhalten.

1. Es ist \((2x^2+1)^2=4x^4+4x^2+1\) und \(\frac{4}{\sqrt{x}}=4x^{-\frac{1}{2}}\). 2. Damit ist \(g(x)=4x^4+4x^2+1-4x^{-\frac{1}{2}}\). 3. Eine Stammfunktionsfamilie lautet \(G(x)=\frac{4}{5}x^5+\frac{4}{3}x^3+x-8\sqrt{x}+C\). 4. Beispielsweise ergeben \(C=0\) und \(C=1\) zwei verschiedene Stammfunktionen.

Zum Beispiel \(G_1(x)=\frac{4}{5}x^5+\frac{4}{3}x^3+x-8\sqrt{x}\) und \(G_2(x)=\frac{4}{5}x^5+\frac{4}{3}x^3+x-8\sqrt{x}+1\)

- Entscheide zuerst, welche algebraische Umformung den jeweiligen Term in eine Summe einfacher Potenzen überführt. - Wurzelterme lassen sich als rationale Potenzen schreiben. - Quotienten mit Potenzen von \(x\) im Nenner lassen sich häufig termweise vereinfachen. - Kontrolliere jede gefundene Stammfunktion durch Ableiten.

1. In a) gilt \((1-x)^3=1-3x+3x^2-x^3\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=x-\frac{3}{2}x^2+x^3-\frac{1}{4}x^4\). 2. In b) vereinfacht sich der Term zu \(4x^3-2x^{-\frac{1}{2}}\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=x^4-4\sqrt{x}\). 3. In c) gilt \((x^2+2)^2=x^4+4x^2+4\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{5}x^5+\frac{4}{3}x^3+4x\). 4. In d) vereinfacht sich der Quotient zu \(x-3x^{-2}+2x^{-4}\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{x}-\frac{2}{3x^3}\).

a) \(F(x)=x-\frac{3}{2}x^2+x^3-\frac{1}{4}x^4\) b) \(F(x)=x^4-4\sqrt{x}\) c) \(F(x)=\frac{1}{5}x^5+\frac{4}{3}x^3+4x\) d) \(F(x)=\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{x}-\frac{2}{3x^3}\)

- Bearbeite die beiden Summanden getrennt. - Schreibe den Wurzelterm als Potenz mit negativem Exponenten. - Bei beiden Summanden ist die innere Funktion linear; berücksichtige jeweils deren konstanten Ableitungsfaktor.

1. Für den ersten Summanden gilt mit der Integrationsregel für lineare innere Funktionen \(\int\frac{10}{2x+7}\,dx=5\ln(2x+7)\). Im gegebenen Definitionsbereich ist \(2x+7>0\). 2. Schreibe den zweiten Summanden als \((4x+9)^{-1/2}\). Mit derselben Regel für die lineare innere Funktion erhält man \(\frac12\sqrt{4x+9}\) als Stammfunktion. 3. Eine Stammfunktion von \(f\) ist daher \(F(x)=5\ln(2x+7)+\frac12\sqrt{4x+9}\).

\(F(x) = 5 \ln(2x + 7) + \frac{1}{2} \sqrt{4x + 9}\)

- Welche Stammfunktionen gehören zu Sinus und Kosinus? - Schreibe Brüche und Wurzeln als Potenzen, wenn dies die Potenzregel übersichtlicher macht. - Behandle konstante Faktoren und Summanden getrennt und kontrolliere anschließend durch Ableiten.

1. In a) ist \(F(x)=-5\cos(x)+\frac{1}{5}x^5\) eine Stammfunktion. 2. In b) ist \(\frac{3}{x^2}=3x^{-2}\). Daher ist \(F(x)=-\frac{3}{x}-2\sin(x)\) eine Stammfunktion. 3. In c) ist eine Stammfunktion von \(\cos(x)+x^{-\frac{1}{2}}\) der Term \(\sin(x)+2\sqrt{x}\). Mit dem Faktor \(4\) folgt \(F(x)=4\sin(x)+8\sqrt{x}\).

a) \(F(x)=-5\cos(x)+\frac{1}{5}x^5\) b) \(F(x)=-\frac{3}{x}-2\sin(x)\) c) \(F(x)=4\sin(x)+8\sqrt{x}\)

- Bestimme zuerst die Stammfunktionsfamilie der beiden Summanden. - Welche Funktion ergibt beim Ableiten den Sinus? - Nutze den gegebenen Punkt, um die Integrationskonstante festzulegen.

1. Die Stammfunktionsfamilie lautet \(F(x)=-\cos(x)-x^4+C\). 2. Aus \(F(0)=2\) folgt \(-\cos(0)+C=2\). 3. Wegen \(\cos(0)=1\) ist \(C=3\). 4. Damit ist \(F(x)=-\cos(x)-x^4+3\).

\(F(x)=-\cos(x)-x^4+3\)

- Welche Regel beim Ableiten kennst du, die einen konstanten Faktor betrifft? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion. - Wie lässt sich ein bestimmtes Integral mithilfe einer Stammfunktion berechnen? - Kannst du den konstanten Faktor aus der Differenz der Funktionswerte an den Grenzen ausklammern?

1. Es sei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\), sodass \(F'(x) = f(x)\) gilt. 2. Nach der Faktorregel der Differentialrechnung ist die Ableitung von \(k \cdot F(x)\) gleich \(k \cdot F'(x) = k \cdot f(x)\). Damit ist \(k \cdot F\) eine Stammfunktion der Funktion \(k \cdot f\). 3. Die Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ergibt: \(\int_{a}^{b} k \cdot f(x) \, dx = [k \cdot F(x)]_{a}^{b}\). 4. Durch Einsetzen der Grenzen erhält man \(k \cdot F(b) - k \cdot F(a)\). 5. Ausklammern von \(k\) führt zu \(k \cdot (F(b) - F(a))\). Da \(F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx\), folgt die Behauptung: \(k \cdot \int_{a}^{b} f(x) \, dx\).

Durch die Wahl einer Stammfunktion \(F\) von \(f\) und Anwendung der Faktorregel der Differentialrechnung zeigt man, dass \(k \cdot F\) eine Stammfunktion von \(k \cdot f\) ist. Über den Hauptsatz folgt \([k \cdot F(x)]_a^b = k \cdot (F(b) - F(a)) = k \cdot \int_a^b f(x) \, dx\).

- Betrachte die Differenz zweier Stammfunktionen und leite diese ab. - Welche Ableitungsregel hilft dir, eine Stammfunktion für den Ausdruck \(f(x) - g(x)\) zu finden? - Nutze den Hauptsatz, um das Integral der Differenz durch die Werte der Stammfunktionen an den Grenzen auszudrücken. - Versuche, die resultierenden Terme so zu sortieren, dass die einzelnen Integrale von \(f\) und \(g\) erkennbar werden.

1. Es seien \(F\) und \(G\) Stammfunktionen von \(f\) bzw. \(g\), sodass \(F' = f\) und \(G' = g\) gilt. 2. Aufgrund der Differenzregel der Differentialrechnung ist die Ableitung der Funktion \(H(x) = F(x) - G(x)\) gegeben durch \(H'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - g(x)\). Somit ist \(F - G\) eine Stammfunktion von \(f - g\). 3. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt: \(\int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx = [F(x) - G(x)]_{a}^{b}\). 4. Auswerten an den Grenzen liefert \((F(b) - G(b)) - (F(a) - G(a))\). 5. Durch Umordnen der Terme erhält man \((F(b) - F(a)) - (G(b) - G(a))\). 6. Dies entspricht nach Definition genau der Differenz der Einzelintegrale \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx - \int_{a}^{b} g(x) \, dx\).

Mit den Stammfunktionen \(F\) und \(G\) gilt \((F-G)' = f-g\). Über den Hauptsatz folgt \(\int_a^b (f-g) \, dx = (F(b)-G(b)) - (F(a)-G(a)) = (F(b)-F(a)) - (G(b)-G(a)) = \int_a^b f \, dx - \int_a^b g \, dx\).

- Welche Stammfunktionen passen zu den beiden Summanden? - Wie wirkt sich der Faktor im Exponenten von \(e^{2x}\) auf die Stammfunktion aus? - Wie kannst du den Exponentialterm durch Ableiten überprüfen? - Wie bestimmt die Bedingung \(F(0)=5\) die Konstante?

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=2e^{2x}-2x^3+C\). 2. Aus \(F(0)=5\) folgt \(2+C=5\). 3. Damit ist \(C=3\). 4. Die gesuchte Stammfunktion lautet \(F(x)=2e^{2x}-2x^3+3\).

\(F(x)=2e^{2x}-2x^3+3\)

- Hilft es, den Bruchterm als Potenz mit negativem Exponenten zu schreiben? - Wie verändert sich bei der Potenzregel der Exponent beim Bilden einer Stammfunktion? - Nutze die vorgegebene Funktionsbedingung erst nach dem Aufstellen der Stammfunktionsfamilie.

1. Es ist \(f(x)=4x^{-3}+\frac{1}{2}\). 2. Eine allgemeine Stammfunktion lautet \(F(x)=-2x^{-2}+\frac{1}{2}x+C=-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{2}x+C\). 3. Aus \(F(2)=0\) folgt \(-\frac{2}{4}+1+C=0\), also \(C=-0{,}5\). 4. Damit ist \(F(x)=-\frac{2}{x^2}+0{,}5x-0{,}5\).

\(F(x)=-\frac{2}{x^2}+0{,}5x-0{,}5\)

- Bestimme zuerst den reellen Definitionsbereich. - Schreibe die Funktion als Potenz mit Exponent \(-\frac12\). - Berücksichtige die erste Ableitung der linearen inneren Funktion. - Kontrolliere die Stammfunktion durch einmaliges Ableiten.

1. Für reelle Funktionswerte muss \(4-3x>0\) gelten, also ist \(D_f=(-\infty;\frac43)\). 2. Es gilt \(f(x)=(4-3x)^{-1/2}\). Die innere Funktion ist \(u(x)=4-3x\), die äußere \(v(u)=u^{-1/2}\). 3. Eine Stammfunktion der äußeren Funktion ist \(2u^{1/2}\). Wegen \(u'(x)=-3\) ergibt sich \(F(x)=-\frac23\sqrt{4-3x}\). 4. Durch Ableiten erhält man \(F'(x)=\frac1{\sqrt{4-3x}}=f(x)\).

Definitionsbereich: \(x<\frac43\) Innere Funktion: \(u(x)=4-3x\) Äußere Funktion: \(v(u)=u^{-1/2}\) Stammfunktion: \(F(x)=-\frac23\sqrt{4-3x}\)

- Alle drei Terme enthalten eine lineare innere Funktion der Form \(ax+b\). - Schreibe den Bruch in b) als Potenz mit negativem Exponenten. - Berücksichtige jeweils den konstanten Ableitungsfaktor der inneren Funktion.

1. In a) ist die innere Funktion linear. Mit der entsprechenden Integrationsregel ist \(F(x)=\frac12(0{,}4x-2)^5\) eine Stammfunktion. 2. In b) schreibe \(g(x)=3(1-2x)^{-2}\). Die Regel für lineare innere Funktionen liefert \(G(x)=\frac{3}{2}(1-2x)^{-1}=\frac{3}{2(1-2x)}\). 3. In c) ergibt dieselbe Regel \(H(x)=\frac12\sin\left(4x+\frac{\pi}{2}\right)\).

a) \(F(x) = 0{,}5(0{,}4x - 2)^5\) b) \(G(x) = \frac{3}{2(1 - 2x)}\) c) \(H(x) = 0{,}5 \sin\left(4x + \frac{\pi}{2}\right)\)

- Bestimme zuerst den reellen Definitionsbereich. - Bilde zunächst die allgemeine Stammfunktion mit \(C\). - Setze anschließend \(x=0\) und nutze \(F(0)=5\). - Überprüfe das Ergebnis durch Ableiten.

1. Für reelle Funktionswerte muss \(2x+9>0\) gelten. Daher ist \(D_f=(-\frac92,\infty)\). 2. Es gilt \(f(x)=(2x+9)^{-\frac12}\). Eine allgemeine Stammfunktion auf diesem Intervall ist \(F(x)=\sqrt{2x+9}+C\), denn \(\frac{d}{dx}\sqrt{2x+9}=\frac1{\sqrt{2x+9}}\). 3. Aus \(F(0)=5\) folgt \(3+C=5\), also \(C=2\). 4. Damit ist \(F(x)=\sqrt{2x+9}+2\) für \(x>-\frac92\).

\(F(x)=\sqrt{2x+9}+2\) für \(x>-\frac92\).

- Für den ersten Weg kannst du den Klammerterm schrittweise ausmultiplizieren. - Beim direkten Weg ist der innere Ableitungsfaktor \(0{,}5\) zu berücksichtigen. - Kontrolliere, ob beide Ergebnisse übereinstimmen.

1. Ausmultipliziert ist \((0{,}5x+1)^3=0{,}125x^3+0{,}75x^2+1{,}5x+1\). Gliedweise Integration auf \([0;2]\) ergibt \(7{,}5\). 2. Direkt liefert die Regel für lineare innere Funktionen die Stammfunktion \(\frac12(0{,}5x+1)^4\). Daher ist der Integralwert \(\frac12(2^4-1^4)=7{,}5\). 3. Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis.

\(7{,}5\)

- Nutze für a) die binomische Formel oder das Pascalsche Dreieck. - Beim direkten Weg ist der innere Ableitungsfaktor \(-2\) zu berücksichtigen. - Vergleiche die beiden exakten Ergebnisse.

1. Ausmultipliziert ist \((1-2x)^4=1-8x+24x^2-32x^3+16x^4\). Gliedweise Integration auf \([0;1]\) ergibt \(0{,}2\). 2. Direkt ist \(-\frac1{10}(1-2x)^5\) eine Stammfunktion. Damit ergibt sich \(-\frac1{10}((-1)^5-1^5)=0{,}2\). 3. Beide Wege liefern denselben Integralwert.

\(0{,}2\)

- Kannst du die Summenregel anwenden, um das Integral in zwei Teile zu zerlegen? - Erinnerst du dich an die Regel für das Integrieren von Funktionen mit einer linearen inneren Funktion \(ax+b\)? - Wie lautet die Stammfunktion von \(x^n\) für negative Exponenten? - Achte beim Einsetzen der Grenzen besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor dem Term steht.

1. Bestimmung der Stammfunktion für den ersten Summanden \((2x+1)^3\): Mit der Regel für Funktionen mit linearer innerer Funktion ergibt sich \(F_1(x) = \frac{1}{2 \cdot 4}(2x+1)^4 = \frac{1}{8}(2x+1)^4\). 2. Berechnung des Teilintegrals: \(F_1(1) - F_1(0) = \frac{3^4}{8} - \frac{1^4}{8} = \frac{81}{8} - \frac{1}{8} = \frac{80}{8} = 10\). 3. Bestimmung der Stammfunktion für den zweiten Summanden \(3(3x+1)^{-2}\): Die Regel für Funktionen mit linearer innerer Funktion liefert \(F_2(x) = 3 \cdot \frac{1}{3 \cdot (-1)}(3x+1)^{-1} = -\frac{1}{3x+1}\). 4. Berechnung des Teilintegrals: \(F_2(1) - F_2(0) = -\frac{1}{4} - (-1) = \frac{3}{4} = 0{,}75\). 5. Differenz der Teilintegrale bilden: \(10 - 0{,}75 = 9{,}25\).

\(9{,}25\)

- Überlege dir, wie sich die innere Ableitung einer linearen Funktion beim Integrieren auf den Vorfaktor auswirkt. - Schreibe die Wurzel im Nenner als Potenz mit negativem, rationalem Exponenten um. - Welche Werte nehmen die Sinus- und Kosinusfunktionen an den Stellen \(0\) und \(\pi\) an? - Behandle die beiden Summanden getrennt voneinander.

1. Stammfunktion für \(\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right)\): Mit der Regel für Funktionen mit linearer innerer Funktion erhält man \(F_1(x) = -\frac{4}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{4}x\right)\). 2. Auswertung an den Grenzen: \(F_1(4) - F_1(0) = -\frac{4}{\pi} \cos(\pi) - \left(-\frac{4}{\pi} \cos(0)\right) = \frac{4}{\pi} + \frac{4}{\pi} = \frac{8}{\pi}\). 3. Stammfunktion für \((2x+1)^{-\frac{1}{2}}\): Die Regel für Funktionen mit linearer innerer Funktion ergibt \(F_2(x) = \sqrt{2x+1}\). 4. Auswertung an den Grenzen: \(F_2(4) - F_2(0) = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2\). 5. Addition der Teilergebnisse: \(\frac{8}{\pi} + 2\).

\(\frac{8}{\pi} + 2\)

- Vereinfache den Klammerterm mit einer binomischen Formel. - Fasse anschließend die Potenz einer Potenz zusammen. - Berücksichtige beim Integrieren den konstanten inneren Ableitungsfaktor.

1. Es gilt \(4x^2-4x+1=(2x-1)^2\), also ist der Integrand \((2x-1)^6\). 2. Nach der Regel für lineare innere Funktionen ist \(F(x)=\frac1{14}(2x-1)^7\) eine Stammfunktion. 3. Damit ergibt sich \(F(1)-F(0)=\frac1{14}-(-\frac1{14})=\frac17\).

\(\frac17\)

- Schau dir an, an welcher Stelle sich die Definition der Funktion ändert. - Wie kannst du das gesamte Intervall in Teilintervalle zerlegen, in denen jeweils nur eine Funktionsvorschrift gilt? - Berechne die Integrale für die einzelnen Abschnitte getrennt und addiere danach die Ergebnisse.

1. Zerlegung des Integrals an der Nahtstelle der Funktionsvorschriften bei \(x = 0\) gemäß der Intervalladditivität: \(\int_{-1}^{0} e^{2x} \, dx + \int_{0}^{2} (1 - x) \, dx\). 2. Berechnung des ersten Teilintegrals unter Verwendung der Stammfunktion \(F_1(x) = \frac{1}{2}e^{2x}\): \([\frac{1}{2}e^{2x}]_{-1}^0 = \frac{1}{2}e^0 - \frac{1}{2}e^{-2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2e^2}\). 3. Berechnung des zweiten Teilintegrals unter Verwendung der Stammfunktion \(F_2(x) = x - \frac{1}{2}x^2\): \([x - \frac{1}{2}x^2]_0^2 = (2 - \frac{1}{2} \cdot 4) - (0 - 0) = 0\). 4. Addition der beiden Teilwerte ergibt den Gesamtwert: \(\frac{1}{2} - \frac{1}{2e^2} + 0 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2e^2} \approx 0{,}432\).

\(\frac{1}{2} - \frac{1}{2e^2} \approx 0{,}432\)

- Welche bekannten Ableitungen helfen dir, Stammfunktionen zu \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) und \(e^x\) zu erkennen? - Stelle zunächst die Stammfunktionsfamilie mit einer freien Konstante auf. - Nutze anschließend den vorgegebenen Funktionswert, um diese Konstante zu bestimmen.

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(F(x)=\sqrt{x}+e^x+C\). 2. Aus \(F(1)=e+4\) folgt \(1+e+C=e+4\). 3. Daher ist \(C=3\). 4. Somit lautet die gesuchte Stammfunktion \(F(x)=\sqrt{x}+e^x+3\).

\(F(x)=\sqrt{x}+e^x+3\)

- Bestimme zunächst eine allgemeine Stammfunktion mit Konstante \(C\). - Beim Exponentialterm ist die innere Funktion \(-x\) linear. - Nutze anschließend die Punktbedingung.

1. Nach der Regel für lineare innere Funktionen lautet die allgemeine Stammfunktion \(F(x)=-3e^{-x}+2x+C\). 2. Aus \(F(0)=1\) folgt \(-3+C=1\), also \(C=4\). 3. Damit ist \(F(x)=-3e^{-x}+2x+4\).

\(F(x)=-3e^{-x}+2x+4\)

- Welche Stammfunktion gehört auf einem negativen Definitionsbereich zu \(1/x\)? - Was ändert eine additive Konstante an der Ableitung einer Funktion? - Wie hängt die Steigung einer Stammfunktion an einer Stelle mit dem Wert von \(f\) an derselben Stelle zusammen?

1. Für \(x<0\) lautet die Stammfunktionsfamilie \(F(x)=\ln(-x)+C\). 2. Drei Beispiele sind \(F_1(x)=\ln(-x)\), \(F_2(x)=\ln(-x)+2\) und \(F_3(x)=\ln(-x)-1\). 3. Jede Stammfunktion erfüllt \(F'(x)=f(x)\). Deshalb ist ihre Steigung bei \(x=-2\) gleich \(f(-2)\). 4. Es gilt \(f(-2)=-0{,}5\).

a) Zum Beispiel \(F_1(x)=\ln(-x)\), \(F_2(x)=\ln(-x)+2\) und \(F_3(x)=\ln(-x)-1\) b) Alle Stammfunktionen haben bei \(x=-2\) die Steigung \(-0{,}5\), weil \(F'(-2)=f(-2)=-0{,}5\) gilt.

- Achte besonders auf das Vorzeichen beim Ersetzen des Differentials. - Wenn du die Integrationsgrenzen vertauschst, ändert sich das Vorzeichen des gesamten Integrals. - Überprüfe am Ende, ob dein Argument im Logarithmus positiv ist. - Gibt es eine Regel für die Integration von Brüchen, bei denen der Zähler ein Vielfaches der Ableitung des Nenners ist?

1. Substitution von \(u = 12 - 3x\). Aus \(du = -3 \, dx\) folgt \(dx = -\frac{1}{3} \, du\). 2. Berechnung der neuen Integrationsgrenzen: Die untere Grenze \(x = -1\) wird zu \(u = 12 - 3(-1) = 15\). Die obere Grenze \(x = 2\) wird zu \(u = 12 - 3(2) = 6\). 3. Einsetzen in das Integral: \(\int_{15}^{6} \frac{6}{u} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \, du = -2 \int_{15}^{6} \frac{1}{u} \, du\). 4. Vertauschen der Grenzen zur Aufhebung des negativen Vorzeichens: \(2 \int_{6}^{15} \frac{1}{u} \, du\). 5. Integration und Einsetzen: \(2 \cdot [\ln|u|]_{6}^{15} = 2 \cdot (\ln(15) - \ln(6))\). 6. Zusammenfassen des Logarithmus: \(2\ln\left(\frac{15}{6}\right) = 2\ln(2{,}5)\).

\(2\ln(2{,}5)\) (ca. \(1{,}833\))

- In a) ist der Exponent eine lineare innere Funktion. - Vergleiche in b) den Faktor vor der Exponentialfunktion mit der ersten Ableitung des Exponenten. - Prüfe die Ergebnisse durch Ableiten.

1. In a) ist die innere Funktion \(g(x)=4-0{,}5x\) mit \(g'(x)=-0{,}5\). Nach der Regel für lineare innere Funktionen ist \(F(x)=4e^{4-0{,}5x}\) eine Stammfunktion. 2. In b) setze \(g(x)=x^2-3x+1\). Dann ist \(g'(x)=2x-3\), und \(6x-9=3g'(x)\). Daher hat der Integrand die Form \(3g'(x)e^{g(x)}\), sodass \(F(x)=3e^{x^2-3x+1}\) eine Stammfunktion ist.

a) \(F(x)=4e^{4-0{,}5x}\) b) \(F(x)=3e^{x^2-3x+1}\)

- Hilft es dir, den Klammerausdruck in a) zuerst auszumultiplizieren? - Schau dir in b) den Zähler und den Nenner genau an. Gibt es einen Zusammenhang zwischen den Ableitungen? - Erinnerst du dich an die Regel für Brüche, bei denen der Zähler (fast) die Ableitung des Nenners ist?

1. In Teilaufgabe a) wird der Term zunächst mithilfe der ersten binomischen Formel zu \(f(x) = (e^{2x})^2 + 2 \cdot e^{2x} \cdot 1 + 1^2 = e^{4x} + 2e^{2x} + 1\) umgeformt. Die gliedweise Integration unter Berücksichtigung der linearen Innenteile in den Exponenten ergibt \(F(x) = \frac{1}{4} e^{4x} + e^{2x} + x\). 2. In Teilaufgabe b) liegt die Struktur \(\frac{g'(x)}{g(x)}\) vor, wenn man einen konstanten Faktor berücksichtigt. Die Ableitung des Nenners \(g(x) = e^{2x} + 3\) ist \(g'(x) = 2e^{2x}\). Da der Zähler \(4e^{2x} = 2 \cdot (2e^{2x})\) ist, folgt mit der logarithmischen Integrationsregel \(F(x) = 2 \ln(e^{2x} + 3)\). Da der Ausdruck \(e^{2x} + 3\) für alle \(x\) positiv ist, können die Betragsstriche entfallen.

a) \(F(x) = \frac{1}{4} e^{4x} + e^{2x} + x\) b) \(F(x) = 2 \ln(e^{2x} + 3)\)

- Bestimme zuerst den Definitionsbereich; beachte den Summanden \(\frac1{x^2}\). - Im ersten Bruch ist der Zähler ein Vielfaches der Ableitung des Nenners. - Integriere \(x^{-2}\) mit der Potenzregel. - Auf getrennten Definitionsintervallen können unterschiedliche Integrationskonstanten auftreten.

1. Wegen des Summanden \(\frac1{x^2}\) ist \(f\) bei \(x=0\) nicht definiert. Der Definitionsbereich besteht aus den Intervallen \(( -\infty,0)\) und \((0,\infty)\). 2. Für \(q(x)=x^2-3x+10\) gilt \(q'(x)=2x-3\), und der Zähler des ersten Bruchs ist \(4x-6=2q'(x)\). 3. Da \(q(x)>0\) für alle reellen \(x\), ist \(\int\frac{4x-6}{x^2-3x+10}\,dx=2\ln(x^2-3x+10)\). 4. Außerdem gilt \(\int x^{-2}\,dx=-x^{-1}=-\frac1x\). 5. Somit ist auf jedem der beiden Definitionsintervalle \(F(x)=2\ln(x^2-3x+10)-\frac1x+C\) eine Stammfunktion. Die Integrationskonstante kann auf den beiden Intervallen unabhängig gewählt werden.

Auf \(( -\infty,0)\) und auf \((0,\infty)\) ist jeweils \(F(x)=2\ln(x^2-3x+10)-\frac1x+C\) eine Stammfunktion; die Konstanten dürfen auf den beiden Intervallen verschieden sein.

- Bestimme zuerst die Nullstellen der Nenner. - Zerlege den ersten Bruch in \(1+\frac1{x+2}\). - Beim zweiten Bruch ist der Zähler die Hälfte der Nennerableitung. - Beachte getrennte Integrationskonstanten auf getrennten Definitionsintervallen.

1. Wegen des Nenners \(x+2\) ist \(f\) bei \(x=-2\) nicht definiert. Der zweite Nenner \(2e^x+4\) ist stets positiv. Somit besteht der Definitionsbereich aus \(( -\infty,-2)\) und \((-2,\infty)\). 2. Der erste Bruch lässt sich umformen zu \(\frac{x+3}{x+2}=1+\frac1{x+2}\). 3. Daher ist \(\int\left(1+\frac1{x+2}\right)\,dx=x+\ln\lvert x+2\rvert\). 4. Für \(q(x)=2e^x+4\) gilt \(q'(x)=2e^x\). Somit ist \(\int\frac{e^x}{2e^x+4}\,dx=\frac12\ln(2e^x+4)\). 5. Auf jedem der beiden Definitionsintervalle ist daher \(F(x)=x+\ln\lvert x+2\rvert-\frac12\ln(2e^x+4)+C\) eine Stammfunktion. Die Konstanten können auf den beiden Intervallen unabhängig gewählt werden.

Auf \(( -\infty,-2)\) und \((-2,\infty)\) ist jeweils \(F(x)=x+\ln\lvert x+2\rvert-\frac12\ln(2e^x+4)+C\) eine Stammfunktion; die Konstanten dürfen auf den beiden Intervallen verschieden sein.

- Gibt es eine trigonometrische Identität, mit der du das Quadrat des Kosinus durch einen konstanten Term und einen Kosinusterm ersetzen kannst? - Nach der Umformung kannst du die Summenregel für Integrale verwenden. - Achte beim Kosinusterm auf den linearen inneren Ausdruck.

1. Mit der Identität \(\cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}\) wird das Integral zu \(\frac12\int_0^\pi 1\,dx+\frac12\int_0^\pi\cos(2x)\,dx\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=\frac{x}{2}+\frac14\sin(2x)\). 3. Nach dem Hauptsatz gilt \(F(\pi)-F(0)=\frac{\pi}{2}+\frac14\sin(2\pi)-\frac14\sin(0)=\frac{\pi}{2}\).

\(\frac{\pi}{2}\)

- Untersuche, ob der erste Faktor die Ableitung des Exponenten ist. - Welche Integrationsstruktur passt zu einem Produkt aus der Ableitung des Exponenten und der zugehörigen Exponentialfunktion? - Setze erst nach dem Bestimmen der Stammfunktion die Grenzen ein.

1. Für \(g(x)=x^3+x+1\) gilt \(g'(x)=3x^2+1\). 2. Der Integrand hat damit die curriculare Struktur \(g'(x)e^{g(x)}\). Eine Stammfunktion ist \(F(x)=e^{x^3+x+1}\). 3. Nach dem Hauptsatz folgt \(F(1)-F(0)=e^3-e\).

Stammfunktion: \(F(x)=e^{x^3+x+1}\) Integralwert: \(e^3-e\)

- Prüfe bei jeder Funktion zuerst, welche der curricularen Integrationsstrukturen erkennbar ist. - Bei einem Produkt kann die Ableitung eines Exponenten als Faktor auftreten. - Bei einem Bruch lohnt es sich zu prüfen, ob der Zähler die Ableitung des Nenners ist. - Bei Teilaufgabe d) kann eine algebraische Umformung den Term auf lineare innere Funktionen zurückführen.

1. Teilaufgabe a): Mit der Regel für Funktionen mit linearer innerer Funktion ist \(F(x)=(2x+7)^4\) eine Stammfunktion. 2. Teilaufgabe b): Für \(g(x)=x^3-6x+1\) gilt \(g'(x)=3x^2-6\). Daher liegt die Struktur \(g'(x)e^{g(x)}\) vor und \(F(x)=e^{x^3-6x+1}\) ist eine Stammfunktion. 3. Teilaufgabe c): Für \(g(x)=x^2+5x-2\) gilt \(g'(x)=2x+5\). Damit liefert die logarithmische Integrationsregel \(F(x)=\ln|x^2+5x-2|\). 4. Teilaufgabe d): Schreibe \(x=(x+1)-1\). Dann ist \(f(x)=(x+1)^5-(x+1)^4\). Mit der Regel für lineare innere Funktionen erhält man \(F(x)=\frac16(x+1)^6-\frac15(x+1)^5\).

a) \(F(x) = (2x + 7)^4\) b) \(F(x) = e^{x^3 - 6x + 1}\) c) \(F(x) = \ln|x^2 + 5x - 2|\) d) \(F(x) = \frac{1}{6}(x + 1)^6 - \frac{1}{5}(x + 1)^5\)

- Ordne jedem Term zuerst eine passende Integrationsstruktur zu. - Bei Exponentialfunktionen kann die Ableitung des Exponenten als Faktor vorkommen. - Bei linearen inneren Funktionen musst du den konstanten inneren Faktor berücksichtigen. - Prüfe beim Bruch in d), ob der Zähler genau die Ableitung des Nenners ist.

1. Teilaufgabe a): Mit der Regel für Funktionen mit linearer innerer Funktion ergibt sich \(F(x)=3e^{3-2x}\). 2. Teilaufgabe b): Für \(g(x)=x^2+4x\) ist \(g'(x)=2x+4=2(x+2)\). Daher ist \(f(x)=\frac12g'(x)e^{g(x)}\) und \(F(x)=\frac12e^{x^2+4x}\). 3. Teilaufgabe c): Mit der Regel für Funktionen mit linearer innerer Funktion ist \(F(x)=-\cos(5x-\pi)\) eine Stammfunktion. 4. Teilaufgabe d): Für \(g(x)=3x^2+4\) gilt \(g'(x)=6x\). Daher liefert die logarithmische Integrationsregel \(F(x)=\ln(3x^2+4)\).

a) \(F(x) = 3e^{3 - 2x}\) b) \(F(x) = \frac{1}{2}e^{x^2 + 4x}\) c) \(F(x) = -\cos(5x - \pi)\) d) \(F(x) = \ln(3x^2 + 4)\)

- Prüfe bei jedem Exponenten, ob die Potenzregel überhaupt zulässig ist. - Was passiert mit dem Nenner der Potenzregel genau beim Exponenten \(-1\)? - Welche bekannte Grundfunktion gehört zur Kehrwertfunktion auf dem Bereich \(x>0\)?

1. Für den Summanden \(x^{-2}\) ist die Potenzregel anwendbar und liefert \(-x^{-1}\) als Stammfunktion. 2. Beim Summanden \(x^{-1}\) würde die Potenzregel durch den neuen Exponenten \(-1+1=0\) teilen. Deshalb ist der Exponent \(-1\) von dieser Regel ausgeschlossen. 3. Für \(x>0\) ist \(\ln(x)\) eine Stammfunktion von \(x^{-1}=\frac{1}{x}\). 4. Somit lautet die Stammfunktionsfamilie \(F(x)=-\frac{1}{x}+\ln(x)+C\) mit \(C\in\mathbb{R}\).

Die Potenzregel ist für den Exponenten \(-1\) nicht anwendbar, weil sonst durch \(0\) geteilt würde. Für \(x>0\) gilt \(F(x)=-\frac{1}{x}+\ln(x)+C\) mit \(C\in\mathbb{R}\).

- Die sicherste Kontrolle einer vorgeschlagenen Stammfunktion ist ihre Ableitung. - Achte bei linearen inneren Funktionen auf den Faktor, der beim Ableiten entsteht. - Vergleiche bei a) und c) jeweils die innere Funktion mit dem zusätzlichen Faktor im Integranden.

1. Zu a): Die Ableitung von \(\ln(x^2+4)\) ist \(\frac{2x}{x^2+4}\). Der Vorschlag ist richtig und nutzt die Struktur \(g'/g\). 2. Zu b): Die Ableitung von \(3e^{3x-1}\) ist \(9e^{3x-1}\), nicht \(3e^{3x-1}\). Der Vorschlag ist falsch. Eine korrekte Stammfunktion ist \(e^{3x-1}+C\). 3. Zu c): Die Ableitung von \(e^{-x^2}\) ist \(-2x e^{-x^2}\). Der Vorschlag ist richtig und nutzt die Struktur \(g'e^g\).

Falsch ist b). Korrekt ist \(\int3e^{3x-1}\,dx=e^{3x-1}+C\). Die Vorschläge a) und c) sind richtig.

- Welche Funktion ergibt beim Ableiten \(\frac{1}{x}\)? - Wie kannst du eine stationäre Stelle der gesuchten Stammfunktion mithilfe von \(F'=f\) finden? - Welche Information liefert die zweite Ableitung über die Art des Extremums? - Nutze die Bedingung zum Minimalwert erst, nachdem die zugehörige Stelle feststeht.

1. Unter Beachtung von \(x>0\) ergibt sich \(F(x)=\frac{1}{4}x^2-2\ln(x)+C\). 2. Wegen \(F'(x)=f(x)\) gilt an einer stationären Stelle \(\frac{1}{2}x-\frac{2}{x}=0\). Daraus folgt \(x^2=4\), also wegen \(x>0\) die Stelle \(x=2\). 3. Es ist \(F''(x)=f'(x)=\frac{1}{2}+\frac{2}{x^2}\) und damit \(F''(2)=1>0\). Also liegt bei \(x=2\) ein lokales Minimum vor. 4. Aus \(F(2)=5-\ln(4)\) folgt \(1-2\ln(2)+C=5-\ln(4)\). Mit \(2\ln(2)=\ln(4)\) ergibt sich \(C=4\). 5. Somit ist \(F(x)=\frac{1}{4}x^2-2\ln(x)+4\).

\(F(x)=\frac{1}{4}x^2-2\ln(x)+4\)

- Zerlege das Integral über \([-k;k]\) in die beiden Hälften \([-k;0]\) und \([0;k]\). - Wie kannst du das linke Teilintegral so umformen, dass beide Integrale über \([0;k]\) laufen? - Was folgt aus einer für jedes \(k>0\) verschwindenden Integralfunktion, wenn ihr Integrand stetig ist? - Welche Bedingung an \(h(-x)\) kennzeichnet Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse?

1. Es gilt \(\int_{-k}^{k}(3x^2+5)\,dx=2k^3+10k\) und \(2\int_0^k(3x^2+5)\,dx=2k^3+10k\). 2. Aus der gegebenen Gleichung und der Intervalladditivität folgt \(\int_{-k}^{0}f(x)\,dx=\int_0^k f(x)\,dx\). Mit \(x=-u\) wird die linke Seite zu \(\int_0^k f(-u)\,du\). Also gilt für jedes \(k>0\): \(\int_0^k\bigl(f(-u)-f(u)\bigr)\,du=0\). Da der Integrand stetig ist, liefert Ableiten nach \(k\) die Gleichung \(f(-k)-f(k)=0\). Somit ist \(f(-x)=f(x)\); der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Umgekehrt erfüllt jede gerade Funktion die Integralgleichung. 3. Für \(h\) gilt \(h(-x)=x^2-cx+1\). Die Funktion ist genau dann gerade, wenn \(c=0\). Daher ist \(c=0\).

1. Beide Seiten sind \(2k^3+10k\). 2. Die Bedingung gilt für jedes \(k>0\) genau dann, wenn \(f\) gerade ist, also \(f(-x)=f(x)\); der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. \(c=0\).

- Prüfe, ob die beiden Summanden gemeinsam als Ableitung eines Produkts entstanden sein könnten. - Bei einer Produktableitung entstehen zwei Summanden, in denen jeweils nur einer der beiden Faktoren abgeleitet wird. - Suche eine Produktstruktur und überprüfe deinen Kandidaten anschließend durch Ableiten.

1. Die Struktur von \(f\) lässt sich als Ableitung eines Produkts erkennen. 2. Für \(u(x)=\sqrt{x}\) und \(v(x)=\cos(x)\) gilt \(u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\) und \(v'(x)=-\sin(x)\). 3. Mit der Produktregel folgt \((u(x)v(x))'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cos(x)-\sqrt{x}\sin(x)=f(x)\). 4. Daher ist \(F(x)=\sqrt{x}\cos(x)\) eine Stammfunktion von \(f\).

\(F(x)=\sqrt{x}\cos(x)\)

- Welche Funktionsgleichung kennzeichnet Punktsymmetrie zum Ursprung? - Was sagt eine Flächenbilanz von \(0\) tatsächlich über positive und negative Flächenbeiträge aus? - Suche für ein Gegenbeispiel nach einer einfachen geraden Funktion, deren positive und negative Flächenbeiträge sich auf einem symmetrischen Intervall ausgleichen.

1. Anjas Aussage ist wahr. Bei einer zum Ursprung punktsymmetrischen Funktion gilt \(f(-x)=-f(x)\). Auf \([-a;a]\) sind die beiden Flächenbeiträge betragsgleich und haben entgegengesetzte Vorzeichen; ihre Flächenbilanz ist deshalb \(0\). 2. Lukas' Aussage ist falsch. Eine Flächenbilanz von \(0\) erzwingt keine Punktsymmetrie. 3. Ein Gegenbeispiel ist \(f(x)=x^2-\frac{1}{3}\) auf \([-1;1]\). Es gilt \(\int_{-1}^{1}\left(x^2-\frac{1}{3}\right)\,dx=0\). 4. Zugleich ist \(f(-x)=f(x)\); der Graph ist also achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Anjas Aussage ist wahr, Lukas' Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist \(f(x)=x^2-\frac{1}{3}\) auf \([-1;1]\): Das Integral ist \(0\), der Graph ist aber achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

- Was weißt du über Integrale, bei denen die Grenzen identisch sind? - Versuche, alle Integrale auf die gleichen Grenzen zu bringen, um sie kombinieren zu können. - Wenn ein Ausdruck für jede beliebige Funktion \(g\) gelten soll, was muss dann mit dem Term passieren, der \(g\) enthält? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob der konstante Anteil des Integrals mit dem Ergebnis auf der rechten Seite übereinstimmt.

1. Ein Integral mit identischen Grenzen ist stets Null, also \(\int_7^7 (g(x) + k) \, dx = 0\). 2. Durch Vertauschen der Grenzen beim ersten Integral erhält man \(- \int_1^4 (kg(x) + 2) \, dx\). 3. Zusammenfassen der verbleibenden Integrale über dem Intervall \([1; 4]\) ergibt: \(\int_1^4 (-kg(x) - 2 + 3g(x) - k) \, dx = \int_1^4 ((3 - k)g(x) - (k + 2)) \, dx\). 4. Damit der Wert unabhängig von \(g\) ist, muss der Koeffizient von \(g(x)\) im Integranden Null sein: \(3 - k = 0\), woraus \(k = 3\) folgt. 5. Zur Überprüfung wird \(k = 3\) in den verbleibenden konstanten Teil eingesetzt: \(\int_1^4 -(3 + 2) \, dx = \int_1^4 -5 \, dx = -5 \cdot (4 - 1) = -15\). Dies bestätigt die rechte Seite der Gleichung.

\(k = 3\)

- Was passiert mit dem Integral einer ungeraden (punktsymmetrischen) Funktion über ein Intervall, das symmetrisch zum Nullpunkt liegt? - Versuche, das gegebene Integral von \(-2\) bis \(6\) in Teilintervalle zu zerlegen, von denen du eines bereits durch die Symmetrie kennst. - Wie hängen die Integrale über \([a; b]\) und \([-b; -a]\) bei einer Punktsymmetrie zum Ursprung zusammen? Skizziere dir eventuell eine Beispielfunktion wie \(x^3\). - Prüfe genau, ob die Informationen ausreichen, um Teilflächen ab der Grenze \(0\) einzeln zu bestimmen.

1. Da \(g\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist, gilt \(\int_{-a}^{a} g(x) \, dx = 0\) für jedes \(a\). 2. Für a): Zerlegung \(\int_{-2}^{6} g(x) \, dx = \int_{-2}^{2} g(x) \, dx + \int_{2}^{6} g(x) \, dx\). Da \(\int_{-2}^{2} g(x) \, dx = 0\), folgt \(12 = 0 + \int_{2}^{6} g(x) \, dx\), also \(\int_{2}^{6} g(x) \, dx = 12\). 3. Für b): Bei Punktsymmetrie gilt \(\int_{-b}^{-a} g(x) \, dx = -\int_{a}^{b} g(x) \, dx\). Mit dem Ergebnis aus a) folgt \(\int_{-6}^{-2} g(x) \, dx = -12\). 4. Für c): Nach der Intervalladditivität ist \(\int_{0}^{6} g(x) \, dx - \int_{0}^{2} g(x) \, dx = \int_{2}^{6} g(x) \, dx = 12\). 5. Für d): Wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung ist das Integral über ein symmetrisches Intervall um Null stets \(\int_{-6}^{6} g(x) \, dx = 0\). 6. Für e): Es ist nur die Differenz der Integrale bekannt, nicht die Einzelwerte von \(\int_{0}^{2}\) oder \(\int_{0}^{6}\). Das Integral ist nicht berechenbar.

a) \(12\) b) \(-12\) c) \(12\) d) \(0\) e) Nicht eindeutig bestimmbar

- Welche Bedeutung hat die Definitionslücke von \(g\) für mögliche Integrationsintervalle? - Welche zwei Bedingungen muss \(H\) erfüllen, damit \(H=I_a\) für eine geeignete untere Grenze \(a\) gelten kann? - Wie ordnest du gefundene Nullstellen von \(H\) den beiden Komponenten des Definitionsbereichs zu?

1. Wegen des Nenners ist \(g\) bei \(x=0\) nicht definiert. Für \(x\neq0\) gilt \(g(x)=x-4x^{-2}\). 2. Auf jeder der beiden Komponenten des Definitionsbereichs ist \(G(x)=\frac12x^2+\frac4x+C\) eine Stammfunktion von \(g\). 3. Es gilt \(H'(x)=x-4x^{-2}=g(x)\). Damit \(H\) eine Integralfunktion \(I_a\) ist, muss zusätzlich \(H(a)=0\) gelten. 4. Aus \(\frac12a^2+\frac4a-4{,}5=0\) folgt \(a^3-9a+8=0\). Die Lösungen sind \(a=1\) sowie \(a=\frac{-1\pm\sqrt{33}}2\). 5. Die beiden positiven Werte \(a=1\) und \(a=\frac{-1+\sqrt{33}}2\) gehören zur Komponente \((0,\infty)\). Der negative Wert \(a=\frac{-1-\sqrt{33}}2\) gehört zur Komponente \(( -\infty,0)\). Eine Integraldarstellung darf die Definitionslücke bei \(0\) nicht überschreiten.

a) \(G(x)=\frac12x^2+\frac4x+C\) auf jeder der Komponenten \(( -\infty,0)\) und \((0,\infty)\). b) Ja. Möglich sind \(a=1\) und \(a=\frac{-1+\sqrt{33}}2\) auf \((0,\infty)\) sowie \(a=\frac{-1-\sqrt{33}}2\) auf \(( -\infty,0)\).