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- Welcher Buchstabe gibt an, nach welcher Variable integriert werden soll? - Wie behandelst du Symbole in der Funktion, die nicht der Integrationsvariable entsprechen? - Erinnere dich an die Potenzregel für das Bilden von Stammfunktionen. - Was musst du beim Einsetzen der unteren Grenze beachten, wenn diese Null ist?

1. Für Teilaufgabe a): Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{4}ax^4 - ax\). Einsetzen der Grenzen liefert \((\frac{1}{4}a \cdot 2^4 - a \cdot 2) - (\frac{1}{4}a \cdot 1^4 - a \cdot 1) = (4a - 2a) - (\frac{1}{4}a - a) = 2a - (-\frac{3}{4}a) = \frac{11}{4}a\). 2. Für Teilaufgabe b): Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{a+1}{3}x^3\). Einsetzen der Grenzen liefert \((\frac{a+1}{3} \cdot 1^3) - (\frac{a+1}{3} \cdot 0^3) = \frac{a+1}{3}\).

a) \(\frac{11}{4}a\) b) \(\frac{a+1}{3}\)

- Überlege zuerst, wie die Stammfunktion einer Sinusfunktion mit einem linearen Argument aussieht. - Achte beim Integrieren auf die innere Ableitung (lineare Substitution). - Erinnere dich an die Werte der Kosinusfunktion bei \(0\) und \(\frac{\pi}{2}\). - Stelle eine einfache lineare Gleichung für den gesuchten Parameter auf.

1. Bestimmung der Stammfunktion von \(f_a(x) = a \cdot \sin(0{,}5x)\): Die Stammfunktion lautet \(F_a(x) = -2a \cdot \cos(0{,}5x)\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_{0}^{\pi} a \cdot \sin(0{,}5x) \, dx = [-2a \cdot \cos(0{,}5x)]_{0}^{\pi}\). 3. Einsetzen der Grenzen: \(-2a \cdot \cos(0{,}5\pi) - (-2a \cdot \cos(0)) = -2a \cdot 0 + 2a \cdot 1 = 2a\). 4. Lösen der Gleichung nach \(a\): \(2a = 10 \implies a = 5\).

\(a = 5\)

- Wie lautet die Regel für das Integrieren von Potenzfunktionen? - Nutze den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: „Obere Grenze minus untere Grenze“. - Achte beim Einsetzen der Grenzen in die Stammfunktion auf die korrekte Verwendung von Klammern. - In der allgemeinen Formel bleiben die Variablen \(a\) und \(b\) einfach als Platzhalter stehen.

1. Zunächst wird eine Stammfunktion von \(g(x) = 3x^2 + 2x\) bestimmt: \(G(x) = x^3 + x^2\). Das Integral über \([1; 2]\) ergibt: \(\int_{1}^{2} (3x^2 + 2x) \, dx = [x^3 + x^2]_{1}^{2} = (2^3 + 2^2) - (1^3 + 1^2) = (8 + 4) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10\). Der Flächeninhalt beträgt somit \(10\,\text{FE}\). 2. Für das allgemeine Intervall \([a; b]\) wird die Stammfunktion an den Grenzen \(a\) und \(b\) ausgewertet: \(A = \int_{a}^{b} (3x^2 + 2x) \, dx = [x^3 + x^2]_{a}^{b} = (b^3 + b^2) - (a^3 + a^2)\).

1. \(A = 10\,\text{FE}\) 2. \(A = b^3 + b^2 - a^3 - a^2\)

- Behandle den Parameter beim Integrieren wie eine ganz normale Zahl. - Kannst du zuerst die Stammfunktion des Terms in der Klammer finden? - Setze die Grenzen ein und stelle eine Gleichung für die Unbekannte auf. - Wie löst man eine Gleichung, in der nach der Integration noch eine Variable steht?

1. Bestimmung der Stammfunktion in Abhängigkeit von \(k\): \(F(x) = \frac{1}{2}k \cdot x^2 + x\). 2. Einsetzen der Integrationsgrenzen in die Stammfunktion: \(F(3) = \frac{1}{2}k \cdot 9 + 3 = 4{,}5k + 3\) und \(F(1) = \frac{1}{2}k \cdot 1 + 1 = 0{,}5k + 1\). 3. Aufstellen der Differenz gemäß dem Hauptsatz: \((4{,}5k + 3) - (0{,}5k + 1) = 4k + 2\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert \(10\): \(4k + 2 = 10\). 5. Lösen der linearen Gleichung: \(4k = 8 \Rightarrow k = 2\).

\(k = 2\)

- Kannst du den Term im zweiten Integral als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben? - Achte bei der ersten Aufgabe besonders auf die Vorzeichen beim Einsetzen der negativen Grenze. - Wie verändert sich eine Konstante oder ein Parameter ohne Integrationsvariable beim Bilden einer Stammfunktion? - Gibt es Symmetrien, die du beim ersten Integral ausnutzen könntest?

1. Für Teilaufgabe a): Bildung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{3}ax^3 + a^3x\). Auswertung an den Grenzen ergibt \((\frac{1}{3}a \cdot 2^3 + a^3 \cdot 2) - (\frac{1}{3}a \cdot (-2)^3 + a^3 \cdot (-2)) = (\frac{8}{3}a + 2a^3) - (-\frac{8}{3}a - 2a^3) = \frac{16}{3}a + 4a^3\). 2. Für Teilaufgabe b): Umschreiben des Integranden zu \(a \cdot x^{-\frac{1}{2}}\). Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = 2a \cdot x^{\frac{1}{2}} = 2a\sqrt{x}\). Auswertung an den Grenzen liefert \(2a\sqrt{4} - 2a\sqrt{1} = 4a - 2a = 2a\).

a) \(\frac{16}{3}a + 4a^3\) b) \(2a\)

- Wie lautet die allgemeine Regel für das Bilden von Stammfunktionen bei Potenzfunktionen? - Was besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung über den Zusammenhang von Integral und Stammfunktion? - Achte beim Einsetzen der negativen unteren Grenze besonders auf die Vorzeichenregeln bei den Potenzen. - Behandle den Parameter wie eine gewöhnliche Zahl während der gesamten Rechnung.

1. Bestimmung einer Stammfunktion der Integrandenfunktion \(f(x) = x^3 - kx\): \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}kx^2\). 2. Einsetzen der oberen Grenze \(x = 2\): \(F(2) = \frac{1}{4} \cdot 2^4 - \frac{1}{2}k \cdot 2^2 = 4 - 2k\). 3. Einsetzen der unteren Grenze \(x = -1\): \(F(-1) = \frac{1}{4} \cdot (-1)^4 - \frac{1}{2}k \cdot (-1)^2 = 0{,}25 - 0{,}5k\). 4. Differenzbildung gemäß Hauptsatz: \(I = F(2) - F(-1) = (4 - 2k) - (0{,}25 - 0{,}5k) = 3{,}75 - 1{,}5k\).

\(3{,}75 - 1{,}5k\)

- Kannst du den Bruchterm als Potenz mit negativem Exponenten umschreiben, um die Stammfunktion leichter zu finden? - Überlege dir zuerst, welche Funktion abgeleitet den Integranden ergibt. - Vergiss nicht, beim Abziehen der unteren Grenze die gesamte Klammer zu berücksichtigen, um Vorzeichenfehler zu vermeiden.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = ax^2 + x^{-2}\): \(F(x) = \frac{1}{3}ax^3 - \frac{1}{x}\). 2. Berechnung des Wertes an der oberen Grenze \(x = 3\): \(F(3) = \frac{1}{3}a \cdot 3^3 - \frac{1}{3} = 9a - \frac{1}{3}\). 3. Berechnung des Wertes an der unteren Grenze \(x = 1\): \(F(1) = \frac{1}{3}a \cdot 1^3 - \frac{1}{1} = \frac{1}{3}a - 1\). 4. Anwendung des Hauptsatzes: \(I = (9a - \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3}a - 1) = \frac{26}{3}a + \frac{2}{3}\).

\(\frac{26}{3}a + \frac{2}{3}\)

- Welche Grundfunktion hat eine Ableitung der Form \(\frac{1}{x}\)? - Nutze die Logarithmengesetze, um den Ausdruck nach dem Einsetzen der Grenzen zu vereinfachen. - Denke daran, dass man Faktoren vor dem Logarithmus als Exponenten in das Argument ziehen kann oder umgekehrt. - Wie lässt sich die Zahl 16 als Potenz der Basis 2 ausdrücken?

1. Bestimmung der Stammfunktion: Eine Stammfunktion von \(f_k(x) = \frac{k}{x+2}\) ist \(F_k(x) = k \cdot \ln(x + 2)\). 2. Berechnung des Integrals in Abhängigkeit von \(k\): \(\int_{0}^{2} \frac{k}{x+2} \, dx = [k \cdot \ln(x + 2)]_{0}^{2} = k \cdot \ln(4) - k \cdot \ln(2)\). 3. Vereinfachung mithilfe von Logarithmengesetzen: \(k \cdot (\ln(4) - \ln(2)) = k \cdot \ln\left(\frac{4}{2}\right) = k \cdot \ln(2)\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(k \cdot \ln(2) = \ln(16)\). 5. Anwendung der Logarithmengesetze zur Lösung: Da \(\ln(16) = \ln(2^4) = 4 \cdot \ln(2)\), folgt durch Vergleich \(k = 4\).

\(k = 4\)

- Wie lautet die allgemeine Regel für die Integration von Ausdrücken der Form \(\frac{1}{(x+c)^2}\)? - Setze die Integrationsgrenzen in die Stammfunktion ein und bilde die Differenz. - Versuche, die resultierende Gleichung so umzuformen, dass kein Bruch mehr vorkommt. - Achte auf die Bedingung, dass die gesuchte Zahl positiv und ganzzahlig sein muss.

1. Bestimmung der Stammfunktion des Integranden: \(\int \frac{8}{(x+a)^2} \, \text{d}x = -\frac{8}{x+a}\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung unter Einbezug der Grenzen \(0\) und \(4\): \(\left[ -\frac{8}{x+a} \right]_{0}^{4} = -\frac{8}{4+a} - \left( -\frac{8}{a} \right) = \frac{8}{a} - \frac{8}{4+a}\). 3. Gleichsetzen des Terms mit dem Wert \(1\) und Bildung eines Hauptnenners: \(\frac{8(4+a) - 8a}{a(4+a)} = 1\). 4. Vereinfachung des Zählers: \(\frac{32}{a^2 + 4a} = 1\). 5. Umformung in eine quadratische Gleichung: \(a^2 + 4a - 32 = 0\). 6. Lösung der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(a_{1,2} = -2 \pm \sqrt{4 + 32} = -2 \pm 6\). 7. Da \(a\) eine positive ganze Zahl sein muss, entfällt \(a = -8\). Die Lösung ist \(a = 4\).

\(a = 4\)

- Welche Rechenregel für Integrale hilft dir bei Wurzelfunktionen weiter? - Wie lautet der Zusammenhang zwischen dem Integral und dem gesuchten Flächeninhalt? - Kannst du die Integrationsvariable und den Parameter beim Integrieren klar voneinander trennen? - Was musst du tun, wenn der berechnete Ausdruck einem festen Wert entsprechen soll?

1. Zur Berechnung des Flächeninhalts \(A(k)\) wird das bestimmte Integral der Funktion \(f_k\) über dem Intervall \([0; 4]\) gebildet: \(A(k) = \int_{0}^{4} k \cdot \sqrt{x} \, dx\). Unter Verwendung der Potenzregel für Integrale ergibt sich als Stammfunktion \(F_k(x) = k \cdot \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}}\). Die Auswertung an den Grenzen liefert \(A(k) = \left[ \frac{2}{3} k \cdot x\sqrt{x} \right]_{0}^{4} = \frac{2}{3} k \cdot 4\sqrt{4} - 0 = \frac{16}{3} k\). 2. Zur Bestimmung von \(k\) wird die Gleichung \(A(k) = 32\) aufgestellt: \(\frac{16}{3} k = 32\). Durch Multiplikation mit \(\frac{3}{16}\) erhält man \(k = 32 \cdot \frac{3}{16} = 6\).

1. \(A(k) = \frac{16}{3} k\) 2. \(k = 6\)

- Erinnere dich an die Stammfunktion der Exponentialfunktion mit einem linearen Faktor im Exponenten. - Was sind hier die unteren und oberen Grenzen für deine Integration? - Wie gehst du vor, um einen Parameter in einer Gleichung zu isolieren? - Gibt es im Ergebnis Terme, die du ausklammern oder durch die du teilen kannst, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Der Flächeninhalt wird durch das Integral \(A(a) = \int_{0}^{2} a \cdot e^{0{,}5x} \, dx\) berechnet. Eine Stammfunktion von \(g_a\) ist \(G_a(x) = \frac{a}{0{,}5} \cdot e^{0{,}5x} = 2a \cdot e^{0{,}5x}\). Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ergibt \(A(a) = \left[ 2a \cdot e^{0{,}5x} \right]_{0}^{2} = 2a \cdot e^{0{,}5 \cdot 2} - 2a \cdot e^{0} = 2ae - 2a = 2a(e - 1)\). 2. Um \(a\) zu finden, setzt man \(A(a) = 4e - 4\). Dies führt zur Gleichung \(2a(e - 1) = 4(e - 1)\). Da \(e - 1 \neq 0\), kann man durch \(2(e - 1)\) dividieren und erhält \(a = 2\).

1. \(A(a) = 2a(e - 1)\) 2. \(a = 2\)

- Wie findet man die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse schneidet? - Welches mathematische Werkzeug hilft dabei, den Inhalt einer Fläche unter einer Kurve zu berechnen? - Überlege dir, wie du die berechnete Formel für den Flächeninhalt nutzen kannst, um einen bestimmten Wert für den Parameter zu finden. - Achte darauf, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt.

1. Zur Bestimmung der Integrationsgrenzen werden die Nullstellen von \(f_k\) berechnet: \(kx - x^2 = 0 \iff x(k - x) = 0\), woraus sich \(x_1 = 0\) und \(x_2 = k\) ergeben. Da der Graph eine nach unten geöffnete Parabel mit Nullstellen bei \(0\) und \(k\) ist, liegt die Fläche oberhalb der \(x\)-Achse. Das Integral berechnet sich zu \(\int_{0}^{k} (kx - x^2) \, dx = \left[ \frac{k}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{k} = \frac{k^3}{2} - \frac{k^3}{3} = \frac{k^3}{6}\). Somit gilt \(A(k) = \frac{k^3}{6}\). 2. Die Bedingung \(A(k) = 36\) führt auf die Gleichung \(\frac{k^3}{6} = 36\). Multiplikation mit \(6\) ergibt \(k^3 = 216\). Das Ziehen der Kubikwurzel liefert \(k = 6\).

1. \(A(k) = \frac{k^3}{6}\) 2. \(k = 6\)

- Nutze die Linearität des Integrals, um den Term links vom Gleichheitszeichen zu vereinfachen. - Wie lässt sich das Integral einer konstanten Zahl \(c\) über ein Intervall allgemein ausdrücken? - Versuche, eine einfache Gleichung aufzustellen, in der nur noch \(A\) und \(c\) vorkommen. - Was musst du tun, um die Gleichung nach der gesuchten Größe \(c\) aufzulösen?

1. Anwendung der Linearitätseigenschaften (Summen- und Faktorregel): \(2 \cdot \int_{1}^{3} h(x) \, dx - \int_{1}^{3} c \, dx = 0\) 2. Substitution des gegebenen Integrals durch \(A\): \(2A - \int_{1}^{3} c \, dx = 0\) 3. Integration der Konstante \(c\) über das Intervall \([1; 3]\): \(\int_{1}^{3} c \, dx = [c \cdot x]_{1}^{3} = 3c - c = 2c\) 4. Aufstellen der linearen Gleichung: \(2A - 2c = 0\) 5. Isolieren von \(c\): \(2c = 2A \Rightarrow c = A\)

\(c = A\)

- Wie lautet die allgemeine Regel für die Stammfunktion einer Potenzfunktion? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zur Berechnung bestimmter Integrale. - Kannst du in den Ausdrücken für \(A\) und \(B\) einen gemeinsamen Faktor ausklammern, um das Verhältnis leichter zu berechnen?

1. Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{4}x^4\) für den Integranden \(x^3\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung für das erste Integral: \(A = \left[\frac{1}{4}x^4\right]_1^k = \frac{1}{4}k^4 - \frac{1}{4}\). 3. Bestimmung der Stammfunktion \(G(x) = \frac{1}{8}x^4\) für den Integranden \(\frac{1}{2}x^3\). 4. Anwendung des Hauptsatzes für das zweite Integral: \(B = \left[\frac{1}{8}x^4\right]_1^k = \frac{1}{8}k^4 - \frac{1}{8}\). 5. Berechnung des Verhältnisses durch Ausklammern: \(\frac{B}{A} = \frac{\frac{1}{8}(k^4 - 1)}{\frac{1}{4}(k^4 - 1)} = \frac{1}{2}\).

\(A = \frac{1}{4}k^4 - \frac{1}{4}\); \(B = \frac{1}{8}k^4 - \frac{1}{8}\); das Verhältnis ist \(\frac{B}{A} = \frac{1}{2}\).

- Welche Funktion musst du ableiten, um die Kosinusfunktion zu erhalten? - Wie wirkt sich ein konstanter Faktor \(a\) beim Integrieren auf die Stammfunktion aus? - Überlege, was die Faktorregel für Integrale über den Zusammenhang der beiden Ergebnisse aussagt.

1. Identifikation der Stammfunktion \(\sin(x)\) für die Funktion \(\cos(x)\). 2. Berechnung des ersten Integrals über den Hauptsatz: \(I_1 = [\sin(x)]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1\). 3. Identifikation der Stammfunktion \(a \cdot \sin(x)\) für die Funktion \(a \cdot \cos(x)\). 4. Berechnung des zweiten Integrals: \(I_2 = [a \cdot \sin(x)]_0^{\frac{\pi}{2}} = a \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - a \cdot \sin(0) = a \cdot 1 - a \cdot 0 = a\). 5. Vergleich der Resultate: Das Integral \(I_2\) ist das \(a\)-Fache von \(I_1\), was die Faktorregel der Integralrechnung (\(I_2 = a \cdot I_1\)) bestätigt.

\(I_1 = 1\); \(I_2 = a\); der Wert des Integrals \(I_2\) entspricht dem \(a\)-Fachen des Wertes von \(I_1\).

- Bestimme zuerst eine Stammfunktion des Integranden, wobei du \(k\) wie eine gewöhnliche Zahl behandelst. - Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, um das Integral in Abhängigkeit von \(k\) zu berechnen. - Setze das Ergebnis deines Integrals mit dem gegebenen Wert gleich. - Achte beim Einsetzen der Grenzen besonders auf die Vorzeichen und die Werte der trigonometrischen Funktionen an den Stellen \(0\) und \(\pi\).

1. Bestimmung der Stammfunktion von \(f(x) = k \cdot \sin(x) + x\): \(F(x) = -k \cdot \cos(x) + \frac{1}{2}x^2\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_{0}^{\pi} (k \cdot \sin(x) + x) \, dx = \left[-k \cdot \cos(x) + \frac{1}{2}x^2\right]_0^\pi\). 3. Einsetzen der Grenzen: \((-k \cdot \cos(\pi) + \frac{1}{2}\pi^2) - (-k \cdot \cos(0) + \frac{1}{2} \cdot 0^2) = (k + \frac{1}{2}\pi^2) - (-k) = 2k + \frac{1}{2}\pi^2\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(2k + \frac{1}{2}\pi^2 = \frac{1}{2}\pi^2 + 4\). 5. Lösen nach \(k\): \(2k = 4 \Rightarrow k = 2\).

\(k = 2\)

- Beginne damit, das Integral mit dem Parameter \(k\) allgemein zu berechnen. - Welche Funktion ergibt abgeleitet \(\sin x\)? Achte dabei auf das Vorzeichen. - Setze die Grenzen \(\pi\) und \(0\) in deine Stammfunktion ein und beachte die Werte der Kosinusfunktion an diesen Stellen. - Stelle eine Gleichung auf, in der das Ergebnis deines Integrals gleich Null gesetzt wird.

1. Aufstellen der Integralgleichung: \(\int_{0}^{\pi} (k \cdot \sin x - 1) \, dx = 0\). 2. Ermittlung einer Stammfunktion für den Integranden: \(F(x) = -k \cdot \cos x - x\). 3. Einsetzen der Integrationsgrenzen gemäß dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: \([-k \cdot \cos x - x]_{0}^{\pi} = (-k \cdot \cos \pi - \pi) - (-k \cdot \cos 0 - 0)\). 4. Vereinfachung des Ausdrucks unter Verwendung von \(\cos \pi = -1\) und \(\cos 0 = 1\): \((k - \pi) - (-k) = 2k - \pi\). 5. Lösen der Gleichung \(2k - \pi = 0\) nach \(k\): \(k = \frac{\pi}{2}\).

\(k = \frac{\pi}{2}\)

- Welche Variable steht hinter dem \(d\) im Integral? Das ist deine Integrationsvariable. - Stell dir alle anderen Buchstaben wie feste Zahlen vor, während du die Stammfunktion bildest. - Erinnere dich an die Potenzregel für die Integration: Was passiert mit dem Exponenten und dem Vorfaktor? - Was passiert, wenn du eine Konstante nach einer Variablen integrierst, die gar nicht im Term vorkommt?

1. Für Teilaufgabe a) ist \(x\) die Integrationsvariable. Die Stammfunktion bezüglich \(x\) lautet \(F(x) = x^4 y - 2xy^2\). Einsetzen der Grenzen ergibt \((3^4 y - 2 \cdot 3 \cdot y^2) - (1^4 y - 2 \cdot 1 \cdot y^2) = 81y - 6y^2 - y + 2y^2 = 80y - 4y^2\). 2. Für Teilaufgabe b) ist \(y\) die Integrationsvariable. Die Stammfunktion bezüglich \(y\) lautet \(F(y) = 2x^3 y^2 - \frac{2}{3}y^3\). Einsetzen der Grenzen ergibt \((2x^3 \cdot 9 - \frac{2}{3} \cdot 27) - (2x^3 \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 1) = 18x^3 - 18 - 2x^3 + \frac{2}{3} = 16x^3 - \frac{52}{3}\). 3. Für Teilaufgabe c) ist \(x\) die Integrationsvariable, während \(a^2\) eine Konstante ist. Die Stammfunktion ist \(F(x) = a^2 x\). Einsetzen der Grenzen liefert \(a^2 \cdot 1 - a^2 \cdot 0 = a^2\).

a) \(80y - 4y^2\) b) \(16x^3 - \frac{52}{3}\) c) \(a^2\)

- Achte genau auf den Unterschied zwischen der Variablen in der Integrationsgrenze und der Integrationsvariablen selbst. - Wie integriert man eine Exponentialfunktion wie \(e^z\)? - Wenn ein Produkt aus zwei Variablen vorliegt, von denen nur eine die Integrationsvariable ist, wie behandelst du den anderen Teil? - Überlege dir bei c) und d), ob das Ergebnis noch von der Integrationsvariablen abhängen darf, nachdem du die Grenzen eingesetzt hast.

1. In a) wird \(t^3\) nach \(t\) integriert. Die Stammfunktion ist \(\frac{1}{4}t^4\). Mit den Grenzen \(0\) und \(k\) folgt \(\frac{1}{4}k^4 - 0 = \frac{1}{4}k^4\). 2. In b) wird \(k^3\) nach \(k\) integriert. Die Stammfunktion ist \(\frac{1}{4}k^4\). Mit den Grenzen \(0\) und \(t\) folgt \(\frac{1}{4}t^4 - 0 = \frac{1}{4}t^4\). 3. In c) ist \(z\) die Integrationsvariable. \(w\) ist konstant. Die Stammfunktion von \(e^z \cdot w\) ist \(e^z \cdot w\). Einsetzen der Grenzen liefert \(e^1 \cdot w - e^0 \cdot w = e \cdot w - 1 \cdot w = w(e - 1)\). 4. In d) ist \(w\) die Integrationsvariable. \(e^z\) ist konstant. Die Stammfunktion ist \(\frac{1}{2}w^2 \cdot e^z\). Mit den Grenzen \(0\) und \(1\) ergibt sich \(\frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot e^z - 0 = \frac{1}{2}e^z\).

a) \(\frac{1}{4}k^4\) b) \(\frac{1}{4}t^4\) c) \(w(e - 1)\) d) \(\frac{1}{2}e^z\)

- Wo schneidet der Graph die x-Achse? Diese Stellen begrenzen deine Fläche. - Überlege dir, wie du den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der x-Achse mithilfe eines Integrals berechnest. - Nach der Integration erhältst du einen Term, der von der Variable \(a\) abhängt. - Setze diesen Term mit dem gegebenen Flächeninhalt gleich, um die Unbekannte zu bestimmen.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f_a\): \(x^2(a - x) = 0\) liefert die Stellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = a\). Da \(a > 0\), liegt das Integrationsintervall bei \([0; a]\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt \(A\): Da der Graph im ersten Quadranten verläuft, gilt \(A = \int_{0}^{a} (ax^2 - x^3) \, dx\). 3. Berechnung der Stammfunktion und Einsetzen der Grenzen: \(\left[ \frac{a}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 \right]_{0}^{a} = \frac{a^4}{3} - \frac{a^4}{4} = \frac{a^4}{12}\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(\frac{a^4}{12} = 6{,}75\). 5. Lösen der Gleichung nach \(a\): \(a^4 = 81 \implies a = 3\) (da \(a > 0\) vorausgesetzt ist).

\(a = 3\)

- Welche Nullstellen hat die Funktion und in welchem Bereich liegt der Graph unterhalb der x-Achse? - Denke daran, dass ein Flächeninhalt immer positiv ist, auch wenn das Integral negativ sein kann. - Stelle eine Gleichung auf, in der die Fläche nur noch von \(k\) abhängt. - Welche positive Zahl ergibt hoch vier genommen genau \(16\)?

1. Nullstellenbestimmung von \(g_k(x) = x(x^2 - k^2)\): Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = k\) und \(x_3 = -k\). Für den vierten Quadranten (\(x > 0\), \(y < 0\)) ist das Intervall \([0; k]\) relevant. 2. Ansatz für den Flächeninhalt: Da die Funktion im Intervall \([0; k]\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, gilt \(A = \left| \int_{0}^{k} (x^3 - k^2x) \, dx \right|\). 3. Integration: \(\int_{0}^{k} (x^3 - k^2x) \, dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{k^2}{2}x^2 \right]_{0}^{k} = \frac{k^4}{4} - \frac{k^4}{2} = -\frac{k^4}{4}\). 4. Bestimmung des Betrags und Gleichsetzen: \(A = \frac{k^4}{4} = 4\). 5. Auflösen nach \(k\): \(k^4 = 16 \implies k = 2\) (da \(k > 0\)).

\(k = 2\)

- An welchen Stellen schneidet oder berührt der Graph die \(x\)-Achse? - In welchem Bereich liegt die eingeschlossene Fläche? - Wie berechnet man den Inhalt einer Fläche zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse? - Stelle eine Gleichung für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(k\) auf.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f_k\): \(x \cdot (x - k)^2 = 0\) liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = k\) (doppelte Nullstelle). 2. Da \(k > 0\) und der Faktor \((x - k)^2\) stets nicht-negativ ist, ist \(f_k(x) \geq 0\) für alle \(x \in [0; k]\). 3. Berechnung des Flächeninhalts über das Integral: \(A = \int_{0}^{k} (x^3 - 2kx^2 + k^2x) \, dx = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}kx^3 + \frac{1}{2}k^2x^2]_0^k\). 4. Einsetzen der Grenzen ergibt \(A = \frac{1}{4}k^4 - \frac{2}{3}k^4 + \frac{1}{2}k^4 = \frac{3-8+6}{12}k^4 = \frac{1}{12}k^4\). 5. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(\frac{1}{12}k^4 = 6{,}75\). 6. Auflösen nach \(k\): \(k^4 = 81\), woraus wegen \(k > 0\) folgt: \(k = 3\).

\(k = 3\)

- Untersuche die Symmetrie der Funktion, um die Rechnung zu vereinfachen. - Bestimme zuerst alle Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse. - Wie viele Teilflächen entstehen und wie hängen diese zusammen? - Verwende die Integralrechnung, um eine allgemeine Formel für den Flächeninhalt zu finden.

1. Symmetrie untersuchen: Da \(g_a(-x) = -g_a(x)\), ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Die beiden Teilflächen sind also inhaltsgleich. 2. Nullstellen berechnen: \(x(a^2 - x^2) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\), \(x_2 = a\) und \(x_3 = -a\). 3. Integral für eine Teilfläche (z. B. von \(0\) bis \(a\)): \(\int_{0}^{a} (a^2x - x^3) \, dx = [\frac{1}{2}a^2x^2 - \frac{1}{4}x^4]_0^a = \frac{1}{2}a^4 - \frac{1}{4}a^4 = \frac{1}{4}a^4\). 4. Gesamtfläche bestimmen: \(A = 2 \cdot \frac{1}{4}a^4 = \frac{1}{2}a^4\). 5. Parameter berechnen: \(\frac{1}{2}a^4 = 40{,}5 \Rightarrow a^4 = 81\). 6. Da \(a > 0\) gefordert ist, ergibt sich \(a = 3\).

\(a = 3\)

- Überlege zuerst, an welchen Stellen der Graph die \(x\)-Achse schneidet. - Nutze die Symmetrie der Funktion aus, um die Rechnung zu vereinfachen. - Stelle einen allgemeinen Term für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(a\) auf. - Wie kannst du eine Potenzgleichung der Form \(a^n = c\) lösen?

1. Nullstellen bestimmen: \(f_a(x) = a x^2 (a^2 - x^2) = 0\) liefert die Schnittstellen mit der \(x\)-Achse bei \(x_1 = 0\) sowie \(x_{2,3} = \pm a\). 2. Symmetrie und Integral aufstellen: Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse und der Lage des Graphen oberhalb der \(x\)-Achse im Intervall \([-a; a]\) berechnet sich der Flächeninhalt durch \(A = 2 \cdot \int_{0}^{a} (a^3 x^2 - a x^4) \, dx\). 3. Integration: \(2 \cdot [\frac{1}{3}a^3 x^3 - \frac{1}{5}a x^5]_{0}^{a} = 2 \cdot (\frac{1}{3}a^6 - \frac{1}{5}a^6) = \frac{4}{15}a^6\). 4. Gleichung lösen: Den Term für den Flächeninhalt mit dem Zielwert gleichsetzen: \(\frac{4}{15}a^6 = \frac{256}{15}\). Daraus folgt \(a^6 = 64\). 5. Ergebnis: Da \(a > 0\) gefordert ist, ergibt sich \(a = \sqrt[6]{64} = 2\).

\(a = 2\)

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? Bestimme zuerst die Integrationsgrenzen. - Überlege dir, wie man den Flächeninhalt zwischen einer Funktion und der Achse mithilfe eines Integrals berechnet. - Nach der Integration erhältst du einen Ausdruck, der noch vom Parameter abhängt. - Setze diesen Ausdruck mit dem gegebenen Flächeninhalt gleich, um nach dem Parameter aufzulösen.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f_k\): \(x^2 - \frac{1}{k}x^3 = 0 \iff x^2(1 - \frac{x}{k}) = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = k\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt im Intervall \([0; k]\): \(A = \int_{0}^{k} (x^2 - \frac{1}{k}x^3) \, dx\). 3. Berechnung des Integrals unter Verwendung einer Stammfunktion: \([\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4k}x^4]_0^k = \frac{k^3}{3} - \frac{k^4}{4k} = \frac{k^3}{3} - \frac{k^3}{4} = \frac{k^3}{12}\). 4. Lösen der Gleichung für \(k\): \(\frac{k^3}{12} = 18 \iff k^3 = 216 \iff k = 6\).

\(k = 6\)

- Überlege dir zuerst, wie man allgemein ein bestimmtes Integral mithilfe einer Stammfunktion berechnet. - Kannst du eine allgemeine Stammfunktion für den gegebenen Funktionsterm angeben, auch wenn ein Parameter enthalten ist? - Setze die Integrationsgrenzen in deine Stammfunktion ein und bilde die Differenz. - Stelle eine Gleichung auf, in der nur noch der gesuchte Parameter als Unbekannte vorkommt.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = x^2 - a\): \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - ax\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_1^3 f(x) \, dx = F(3) - F(1)\). 3. Berechnung der Funktionswerte der Stammfunktion an den Grenzen: \(F(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^3 - a \cdot 3 = 9 - 3a\) und \(F(1) = \frac{1}{3} \cdot 1^3 - a \cdot 1 = \frac{1}{3} - a\). 4. Aufstellen der Gleichung für das Integral: \((9 - 3a) - (\frac{1}{3} - a) = \frac{26}{3} - 2a\). 5. Gleichsetzen mit dem Zielwert \(\frac{2}{3}\): \(\frac{26}{3} - 2a = \frac{2}{3} \implies 2a = \frac{24}{3} = 8 \implies a = 4\).

\(a = 4\)

- Erinnere dich an die Regel für das Integrieren von verketteten Exponentialfunktionen der Form \(e^{ax}\). - Welche Konstante muss beim Ableiten von \(e^{\frac{1}{2}x}\) berücksichtigt werden, damit die ursprüngliche Funktion entsteht? - Versuche, nach der Integration auf beiden Seiten der Gleichung Faktoren auszuklammern, um die Struktur zu vereinfachen.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = k \cdot e^{\frac{1}{2}x}\): Durch Anwendung der Substitutionsregel (oder linearen Verkettung) ergibt sich \(F(x) = 2k \cdot e^{\frac{1}{2}x}\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_0^2 k \cdot e^{\frac{1}{2}x} \, dx = [2k \cdot e^{\frac{1}{2}x}]_0^2 = 2k \cdot e^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2k \cdot e^{\frac{1}{2} \cdot 0} = 2ke - 2k\). 3. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(2ke - 2k = 4e - 4\). 4. Ausklammern von \(2k\) auf der linken Seite und \(4\) auf der rechten Seite: \(2k(e - 1) = 4(e - 1)\). 5. Da \(e - 1 \neq 0\), kann durch \((e - 1)\) dividiert werden: \(2k = 4\), woraus \(k = 2\) folgt.

\(k = 2\)

- Welche Symmetrie weist der Funktionsterm auf und wie vereinfacht das die Rechnung? - Bestimme zuerst alle Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse, um die Integrationsgrenzen festzulegen. - Wenn zwei Flächenstücke berechnet werden sollen, denke daran, die Beträge der Teilintegrale zu addieren oder Symmetrieeigenschaften zu nutzen. - Wie gehst du vor, wenn das Ergebnis der Flächenberechnung bereits vorgegeben ist und eine Variable gesucht wird?

1. Die Nullstellen von \(g_a\) liegen bei \(a^3 x - a x^3 = 0 \iff ax(a^2 - x^2) = 0\), also bei \(x_1 = -a\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = a\). Aufgrund der Punktsymmetrie der Graphen zum Ursprung sind die beiden Flächenstücke inhaltsgleich. Der Inhalt eines Teilstücks im Intervall \([0; a]\) wird berechnet durch \(\int_{0}^{a} (a^3 x - a x^3) \, dx = \left[ \frac{a^3}{2}x^2 - \frac{a}{4}x^4 \right]_{0}^{a} = \frac{a^5}{2} - \frac{a^5}{4} = \frac{a^5}{4}\). Der Gesamteinhalt ist somit \(A(a) = 2 \cdot \frac{a^5}{4} = \frac{a^5}{2}\). 2. Aus der Forderung \(A(a) = 16\) ergibt sich \(\frac{a^5}{2} = 16\), also \(a^5 = 32\). Durch Ziehen der 5. Wurzel erhält man \(a = 2\).

1. \(A(a) = \frac{a^5}{2}\) 2. \(a = 2\)

- Wie weist man nach, dass ein Graph durch den Koordinatenursprung verläuft? - Nutze die Stammfunktion, um das Integral in Abhängigkeit von \(k\) zu berechnen und setze das Ergebnis gleich null. - Achte bei der Symmetrieuntersuchung auf die Exponenten der ganzrationalen Funktion. - Ein Gegenbeispiel muss alle Voraussetzungen einer Behauptung erfüllen, aber die Schlussfolgerung verletzen.

1. Einsetzen von \(x = 0\) ergibt \(f_k(0) = 0^4 + k \cdot 0^2 = 0\). Somit verlaufen alle Graphen durch den Ursprung. 2. Berechnung des Integrals: \(\int_{-2}^{2} (x^4 + kx^2) \, dx = [\frac{1}{5}x^5 + \frac{k}{3}x^3]_{-2}^{2} = (\frac{32}{5} + \frac{8k}{3}) - (-\frac{32}{5} - \frac{8k}{3}) = \frac{64}{5} + \frac{16}{3}k\). 3. Bestimmung von \(k\): \(\frac{64}{5} + \frac{16}{3}k = 0 \implies \frac{16}{3}k = -12{,}8 \implies k = -12{,}8 \cdot \frac{3}{16} = -2{,}4\). 4. Symmetrie für \(k = -2{,}4\): \(f_{-2{,}4}(x) = x^4 - 2{,}4x^2\). Da nur gerade Exponenten auftreten, gilt \(f_{-2{,}4}(-x) = f_{-2{,}4}(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Da die Funktion nicht die Nullfunktion ist, kann sie nicht gleichzeitig punktsymmetrisch zum Ursprung sein. 5. Schlussfolgerung: Das Beispiel zeigt eine Funktion, die beide Bedingungen erfüllt (\(f(0)=0\) und Integral über \([-2; 2]\) ist null), aber dennoch achsensymmetrisch statt punktsymmetrisch ist. Die Behauptung ist somit falsch.

1. \(f_k(0) = 0^4 + k \cdot 0^2 = 0\). 2. \(k = -2{,}4\). 3. Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(f(-x) = f(x)\) gilt. 4. Die Funktion \(f(x) = x^4 - 2{,}4x^2\) dient als Gegenbeispiel, da sie trotz \(f(0)=0\) und einem Integralwert von null über \([-2; 2]\) achsensymmetrisch und nicht punktsymmetrisch ist.

- Stelle dir vor, wie die Fläche unter der Wurzelfunktion und die Fläche unter der Potenzfunktion zusammen ein Rechteck ausfüllen. - Welche Seitenlängen hat dieses Rechteck, wenn die obere Grenze für \(x\) bei der Wurzelfunktion \(b\) ist? - Berechne das Integral der Potenzfunktion \(x^4\) an der entsprechenden Stelle und subtrahiere es von der Gesamtfläche des Rechtecks. - Nutze die Potenzgesetze, um Terme wie \((\sqrt[4]{b})^5\) zu vereinfachen.

1. Die Funktion \(g(x) = \sqrt[4]{x}\) ist für \(x \geq 0\) die Umkehrfunktion von \(f(x) = x^4\). Das Integral \(\int_0^b \sqrt[4]{x} \, dx\) beschreibt die Fläche unter dem Graphen von \(g\) im Intervall \([0; b]\). 2. Der Endpunkt des Graphen in diesem Intervall ist \((b | \sqrt[4]{b})\). Das umschließende Rechteck hat den Flächeninhalt \(A_{\text{R}} = b \cdot \sqrt[4]{b}\). 3. Aufgrund der Symmetrie zur Geraden \(y = x\) entspricht die Fläche zwischen dem Graphen von \(g\) und der \(y\)-Achse der Fläche unter dem Graphen von \(f\) im Intervall \([0; \sqrt[4]{b}]\). 4. Das gesuchte Integral ist die Differenz aus dem Rechteckinhalt und dem Integral von \(f\): \(\int_0^b \sqrt[4]{x} \, dx = b \cdot \sqrt[4]{b} - \int_0^{\sqrt[4]{b}} x^4 \, dx\). 5. Auswertung des Integrals von \(f\): \(\int_0^{\sqrt[4]{b}} x^4 \, dx = \left[ \frac{1}{5}x^5 \right]_0^{\sqrt[4]{b}} = \frac{1}{5} (\sqrt[4]{b})^5 = \frac{1}{5} b \cdot \sqrt[4]{b}\). 6. Zusammenführung: \(b \sqrt[4]{b} - \frac{1}{5} b \sqrt[4]{b} = \frac{4}{5} b \sqrt[4]{b}\).

Durch Subtraktion des Integrals der ursprünglichen Funktion \(\int_0^{\sqrt[4]{b}} x^4 \, dx = \frac{1}{5} b \sqrt[4]{b}\) vom Flächeninhalt des umschließenden Rechtecks \(b \sqrt[4]{b}\) erhält man \(\frac{4}{5} b \sqrt[4]{b}\).

- Welche mathematischen Bedingungen leiten sich aus der Existenz eines Extrempunktes im Ursprung ab? - Wie hilft dir die Nullstelle bei \(x = 4\), eine Beziehung zwischen den verbleibenden Koeffizienten herzustellen? - In welchem Quadranten liegt die Fläche? Was sagt das über das Vorzeichen der Funktionswerte in diesem Bereich aus? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob die Bedingung für einen Tiefpunkt (zweite Ableitung) tatsächlich erfüllt ist.

1. Ein Extrempunkt im Ursprung bedeutet \(f(0) = 0\) und \(f'(0) = 0\). Für eine Funktion dritten Grades \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) folgt daraus direkt \(d = 0\) und \(c = 0\). Der Ansatz lautet \(f(x) = ax^3 + bx^2\). 2. Die Bedingung für die Nullstelle \(f(4) = 0\) liefert \(64a + 16b = 0\), also \(b = -4a\). Damit ist \(f(x) = ax^3 - 4ax^2\). 3. Die Fläche im ersten Quadranten bedeutet, dass \(f(x) \ge 0\) für \(0 \le x \le 4\) gilt. Das Integral wird aufgestellt: \(\int_{0}^{4} (ax^3 - 4ax^2) \, \text{d}x = 32\). 4. Die Berechnung des Integrals ergibt \([\frac{a}{4}x^4 - \frac{4a}{3}x^3]_0^4 = 64a - \frac{256}{3}a = -\frac{64}{3}a\). 5. Gleichsetzen mit dem Flächeninhalt: \(-\frac{64}{3}a = 32 \implies a = -1{,}5\). 6. Daraus folgt \(b = -4 \cdot (-1{,}5) = 6\). Die Bedingung für den Tiefpunkt \(f''(0) > 0\) ist mit \(f''(x) = -9x + 12\) und \(f''(0) = 12\) erfüllt. 7. Der Funktionsterm lautet \(f(x) = -1{,}5x^3 + 6x^2\).

\(f(x) = -1{,}5x^3 + 6x^2\)

- Welche Potenzen von \(x\) kommen in der Funktionsgleichung vor, wenn der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Nutze den Punkt auf der \(y\)-Achse, um das Absolutglied direkt zu bestimmen. - Stelle eine Gleichung für die Fläche auf. Beachte dabei, ob der Graph im gegebenen Intervall oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Nutze die Symmetrie des Graphen, um die Berechnung des Integrals zu vereinfachen.

1. Ansatz aufgrund der Symmetrie zur \(y\)-Achse: \(f(x) = ax^4 + cx^2 + e\). 2. Hochpunkt bei \((0|4{,}5)\): \(f(0) = 4{,}5 \implies e = 4{,}5\). Die Bedingung \(f'(0)=0\) ist durch die Symmetrie bereits erfüllt. Für einen Hochpunkt muss zusätzlich \(f''(0)=2c<0\) gelten; dies wird nach der Bestimmung von \(c\) geprüft. 3. Punkt \(P(3|0)\) einsetzen: \(f(3) = 81a + 9c + 4{,}5 = 0\). Umstellen nach \(c\) ergibt \(9c = -81a - 4{,}5\), also \(c = -9a - 0{,}5\). 4. Flächeninhalt über das Integral im Intervall \([-3; 3]\): Aufgrund der Symmetrie gilt \(2 \cdot \int_0^3 (ax^4 - (9a+0{,}5)x^2 + 4{,}5) \, \text{d}x = 16{,}2\), also \(\int_0^3 (ax^4 - (9a+0{,}5)x^2 + 4{,}5) \, \text{d}x = 8{,}1\). 5. Integration: \(\left[ \frac{a}{5}x^5 - \frac{9a+0{,}5}{3}x^3 + 4{,}5x \right]_0^3 = 48{,}6a - 9(9a+0{,}5) + 13{,}5 = 48{,}6a - 81a - 4{,}5 + 13{,}5 = -32{,}4a + 9\). 6. Gleichung lösen: \(-32{,}4a + 9 = 8{,}1 \implies -32{,}4a = -0{,}9 \implies a = \frac{1}{36}\). 7. Koeffizient \(c\) berechnen: \(c = -9 \cdot \frac{1}{36} - 0{,}5 = -0{,}25 - 0{,}5 = -0{,}75\). Da \(f''(0)=2c=-1{,}5<0\), ist \(H(0|4{,}5)\) tatsächlich ein Hochpunkt. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{1}{36}x^4 - \frac{3}{4}x^2 + 4{,}5\).

\(f(x) = \frac{1}{36}x^4 - \frac{3}{4}x^2 + 4{,}5\)

- Welche Bedingungen müssen für einen Sattelpunkt an einer bestimmten Stelle erfüllt sein? - Wie lautet die Gleichung einer Tangente in einem Punkt mit waagerechter Steigung? - Wie berechnet man die Schnittstellen zwischen einer Funktion und ihrer Tangente? - Wie ist die Formel für den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen definiert? - Überlege dir, wie du die Koeffizienten der Funktion Schritt für Schritt aus den gegebenen Informationen bestimmen kannst.

1. Aus der Bedingung für den Sattelpunkt bei \(P(0|2)\) folgen \(f(0) = 2\), \(f'(0) = 0\) und \(f''(0) = 0\). 2. Einsetzen in \(f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d\) ergibt direkt \(d = 2\), \(c = 0\) und \(2b = 0\), also \(b = 0\). Die Funktion lautet somit \(f(x) = x^4 + ax^3 + 2\). 3. Die Tangente \(t\) im Sattelpunkt \(P(0|2)\) ist eine waagerechte Gerade mit der Gleichung \(t(x) = 2\). 4. Zur Flächenberechnung werden die Schnittpunkte von \(f\) und \(t\) bestimmt: \(x^4 + ax^3 + 2 = 2 \implies x^3(x + a) = 0\). Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -a\). 5. Der Flächeninhalt berechnet sich durch \(A = \left| \int_{0}^{-a} (f(x) - t(x)) \, \text{d}x \right| = \left| \int_{0}^{-a} (x^4 + ax^3) \, \text{d}x \right| = \left| \left[ \frac{1}{5}x^5 + \frac{a}{4}x^4 \right]_{0}^{-a} \right|\). 6. Auswerten des Integrals liefert \(A = \left| -\frac{1}{5}a^5 + \frac{1}{4}a^5 \right| = \left| \frac{1}{20}a^5 \right|\). 7. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(\frac{1}{20}|a|^5 = 51{,}2 \implies |a|^5 = 1024\). Da \(4^5 = 1024\), folgt \(|a| = 4\). 8. Ein Sattelpunkt erfordert zusätzlich \(f'''(0) \neq 0\). Mit \(f'''(x) = 24x + 6a\) ist \(f'''(0) = 6a\). Für \(a = 4\) oder \(a = -4\) ist dies erfüllt. Beide Werte für \(a\) führen zu einer gültigen Funktion.

Die möglichen Funktionsterme sind \(f(x) = x^4 + 4x^3 + 2\) und \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 2\).

- Beginne damit, die Schnittpunkte des Graphen mit der horizontalen Achse zu finden. Diese hängen von \(k\) ab. - Erinnere dich daran, wie man das bestimmte Integral einer Potenzfunktion bildet. - Achte beim Einsetzen der Grenzen besonders auf die Potenzgesetze, wenn du Terme wie \((k^{\frac{3}{2}})^3\) vereinfachst. - Setze dein Ergebnis für das Integral mit dem gegebenen Flächeninhalt gleich und löse nach \(k\) auf.

1. Nullstellen berechnen: Die Gleichung \(k - \frac{1}{k^2} x^2 = 0\) führt zu \(x^2 = k^3\), also \(x_{1,2} = \pm \sqrt{k^3} = \pm k^{\frac{3}{2}}\). 2. Integral für den Flächeninhalt aufstellen: \(A = \int_{-k^{\frac{3}{2}}}^{k^{\frac{3}{2}}} (k - \frac{1}{k^2} x^2) \, dx\). Unter Ausnutzung der Symmetrie gilt \(A = 2 \cdot \int_{0}^{k^{\frac{3}{2}}} (k - \frac{1}{k^2} x^2) \, dx\). 3. Stammfunktion und Auswertung: \(2 \cdot [kx - \frac{1}{3k^2}x^3]_{0}^{k^{\frac{3}{2}}} = 2 \cdot (k \cdot k^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3k^2} (k^{\frac{3}{2}})^3) = 2 \cdot (k^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3}k^{\frac{5}{2}}) = \frac{4}{3}k^{\frac{5}{2}}\). 4. Parameter bestimmen: Die Bedingung \(\frac{4}{3}k^{\frac{5}{2}} = \frac{128}{3}\) führt auf \(k^{\frac{5}{2}} = 32\). 5. Ergebnis: Durch Umstellen der Potenz ergibt sich \(k = 32^{\frac{2}{5}} = 4\).

\(k = 4\)

- Welche Symmetrie weist der Funktionsterm auf? Das kann die Rechnung vereinfachen. - Bestimme die Stellen, an denen der Graph die Achse berührt oder schneidet. - Achte beim Integrieren darauf, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der Achse liegt. - Der gesamte Flächeninhalt ist die Summe der Inhalte der einzelnen Teilstücke.

1. Berechnung der Nullstellen von \(f_a\): \(\frac{1}{a^2}x^4 - x^2 = 0 \iff x^2(\frac{x^2}{a^2} - 1) = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = a\) und \(x_3 = -a\). 2. Nutzung der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse: Der Gesamtflächeninhalt ist \(A = 2 \cdot \left| \int_{0}^{a} (\frac{1}{a^2}x^4 - x^2) \, dx \right|\). Da der Graph im Intervall \([0; a]\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, gilt \(A = 2 \cdot \int_{0}^{a} (x^2 - \frac{1}{a^2}x^4) \, dx\). 3. Integration und Auswertung: \(2 \cdot [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{5a^2}x^5]_0^a = 2 \cdot (\frac{a^3}{3} - \frac{a^5}{5a^2}) = 2 \cdot (\frac{a^3}{3} - \frac{a^3}{5}) = 2 \cdot \frac{2a^3}{15} = \frac{4}{15}a^3\). 4. Bestimmung von \(a\): \(\frac{4}{15}a^3 = 7{,}2 \iff 4a^3 = 108 \iff a^3 = 27 \iff a = 3\).

\(a = 3\)

- Bestimme zuerst alle Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse trifft. - Beachte, dass die gesuchte Fläche aus zwei symmetrischen Teilen bestehen könnte. - Beim Integrieren wird \(k\) als Konstante behandelt. - Stelle eine Gleichung auf, die den berechneten Flächeninhalt mit dem Wert \(64{,}8\) verknüpft.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(g_k\): Aus \(x^2 \cdot (k^2 - x^2) = 0\) ergeben sich die Schnittstellen mit der \(x\)-Achse bei \(x = 0\) sowie \(x = \pm k\). 2. Da der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist und für \(x \in [-k; k]\) nicht unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, lässt sich der gesamte Flächeninhalt \(A\) als \(2 \cdot \int_{0}^{k} (k^2 \cdot x^2 - x^4) \, dx\) berechnen. 3. Berechnung des bestimmten Integrals: \(2 \cdot \left[ \frac{1}{3}k^2x^3 - \frac{1}{5}x^5 \right]_{0}^{k} = 2 \cdot (\frac{1}{3}k^5 - \frac{1}{5}k^5) = \frac{4}{15}k^5\). 4. Aufstellen der Gleichung für den Flächeninhalt: \(\frac{4}{15}k^5 = 64{,}8\). 5. Auflösen nach \(k\): Durch Multiplikation mit \(\frac{15}{4}\) erhält man \(k^5 = 243\). Die fünfte Wurzel liefert \(k = 3\).

Der gesuchte Wert ist \(k = 3\).

- Wie kannst du eine Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben? - Welche Regel für das Integrieren von Potenzfunktionen kennst du? - Was passiert mit der Zahl 1, wenn man sie mit einem beliebigen Exponenten potenziert? - Wie wendest du den Hauptsatz an, wenn die untere Grenze nicht 0 ist?

1. Umschreiben des Integranden in Potenzschreibweise: \(\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}\). 2. Bestimmung der Stammfunktion mittels der Potenzregel: \(F(x) = \frac{1}{\frac{1}{n} + 1} x^{\frac{1}{n} + 1} = \frac{n}{n+1} x^{\frac{n+1}{n}}\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_1^k x^{\frac{1}{n}} \, dx = [F(x)]_1^k = F(k) - F(1)\). 4. Einsetzen der Integrationsgrenzen: \(\frac{n}{n+1} k^{\frac{n+1}{n}} - \frac{n}{n+1} \cdot 1^{\frac{n+1}{n}}\). 5. Zusammenfassen zum Endergebnis: \(\frac{n}{n+1} \left( \sqrt[n]{k^{n+1}} - 1 \right)\).

\(\int_1^k \sqrt[n]{x} \, dx = \frac{n}{n+1} \left( \sqrt[n]{k^{n+1}} - 1 \right)\)