Kostenlose Arbeitsblätter

- Welche Variable steht im Differential am Ende des Integrals? - Welche andere Größe wird beim Integrieren als fest betrachtet?

1. Die Variable hinter dem Differential \(\mathrm{d}x\) ist die Integrationsvariable, also \(x\). 2. Die Größe \(a\) bleibt beim Integrieren nach \(x\) fest und ist der Parameter.

Parameter: \(a\) Integrationsvariable: \(x\)

- Wie wirkt sich ein konstanter Faktor vor einer Funktion auf ein bestimmtes Integral aus? - Vergleiche nur den Faktor \(k\) mit \(2k\); eine Stammfunktion brauchst du nicht.

1. Der Parameter ist ein konstanter Faktor im Integranden und kann vor das Integral gezogen werden. 2. Wird \(k\) verdoppelt, verdoppelt sich daher auch der Integralwert: \(J(2k)=2J(k)\).

\(J(2k)=2J(k)\)

- Behandle den Parameter beim Integrieren wie eine ganz normale Zahl. - Kannst du zuerst die Stammfunktion des Terms in der Klammer finden? - Setze die Grenzen ein und stelle eine Gleichung für die Unbekannte auf. - Wie löst man eine Gleichung, in der nach der Integration noch eine Variable steht?

1. Bestimmung der Stammfunktion in Abhängigkeit von \(k\): \(F(x) = \frac{1}{2}kx^2 + x\). 2. Einsetzen der Integrationsgrenzen in die Stammfunktion: \(F(3) = \frac{1}{2}k \cdot 9 + 3 = 4{,}5k + 3\) und \(F(1) = \frac{1}{2}k \cdot 1 + 1 = 0{,}5k + 1\). 3. Aufstellen der Differenz gemäß dem Hauptsatz: \((4{,}5k + 3) - (0{,}5k + 1) = 4k + 2\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert \(10\): \(4k + 2 = 10\). 5. Lösen der linearen Gleichung: \(4k = 8 \Rightarrow k = 2\).

\(k = 2\)

- Welcher Buchstabe gibt an, nach welcher Variable integriert werden soll? - Wie behandelst du Symbole in der Funktion, die nicht der Integrationsvariable entsprechen? - Erinnere dich an die Potenzregel für das Bilden von Stammfunktionen. - Was musst du beim Einsetzen der unteren Grenze beachten, wenn diese Null ist?

1. Für Teilaufgabe a): Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{4}ax^4 - ax\). Einsetzen der Grenzen liefert \((\frac{1}{4}a \cdot 2^4 - a \cdot 2) - (\frac{1}{4}a \cdot 1^4 - a \cdot 1) = (4a - 2a) - (\frac{1}{4}a - a) = 2a - (-\frac{3}{4}a) = \frac{11}{4}a\). 2. Für Teilaufgabe b): Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{a+1}{3}x^3\). Einsetzen der Grenzen liefert \((\frac{a+1}{3} \cdot 1^3) - (\frac{a+1}{3} \cdot 0^3) = \frac{a+1}{3}\).

a) \(\frac{11}{4}a\) b) \(\frac{a+1}{3}\)

- Kannst du den Term im zweiten Integral als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben? - Achte bei der ersten Aufgabe besonders auf die Vorzeichen beim Einsetzen der negativen Grenze. - Wie verändert sich eine Konstante oder ein Parameter ohne Integrationsvariable beim Bilden einer Stammfunktion? - Gibt es Symmetrien, die du beim ersten Integral ausnutzen könntest?

1. Für Teilaufgabe a): Bildung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{3}ax^3 + a^3x\). Auswertung an den Grenzen ergibt \((\frac{1}{3}a \cdot 2^3 + a^3 \cdot 2) - (\frac{1}{3}a \cdot (-2)^3 + a^3 \cdot (-2)) = (\frac{8}{3}a + 2a^3) - (-\frac{8}{3}a - 2a^3) = \frac{16}{3}a + 4a^3\). 2. Für Teilaufgabe b): Umschreiben des Integranden zu \(ax^{-\frac{1}{2}}\). Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = 2ax^{\frac{1}{2}} = 2a\sqrt{x}\). Auswertung an den Grenzen liefert \(2a\sqrt{4} - 2a\sqrt{1} = 4a - 2a = 2a\).

a) \(\frac{16}{3}a + 4a^3\) b) \(2a\)

- Wie lautet die allgemeine Regel für das Bilden von Stammfunktionen bei Potenzfunktionen? - Was besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung über den Zusammenhang von Integral und Stammfunktion? - Achte beim Einsetzen der negativen unteren Grenze besonders auf die Vorzeichenregeln bei den Potenzen. - Behandle den Parameter wie eine gewöhnliche Zahl während der gesamten Rechnung.

1. Bestimmung einer Stammfunktion der Integrandenfunktion \(f(x) = x^3 - kx\): \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}kx^2\). 2. Einsetzen der oberen Grenze \(x = 2\): \(F(2) = \frac{1}{4} \cdot 2^4 - \frac{1}{2}k \cdot 2^2 = 4 - 2k\). 3. Einsetzen der unteren Grenze \(x = -1\): \(F(-1) = \frac{1}{4} \cdot (-1)^4 - \frac{1}{2}k \cdot (-1)^2 = 0{,}25 - 0{,}5k\). 4. Differenzbildung gemäß Hauptsatz: \(I = F(2) - F(-1) = (4 - 2k) - (0{,}25 - 0{,}5k) = 3{,}75 - 1{,}5k\).

\(3{,}75 - 1{,}5k\)

- Kannst du den Bruchterm als Potenz mit negativem Exponenten umschreiben, um die Stammfunktion leichter zu finden? - Überlege dir zuerst, welche Funktion abgeleitet den Integranden ergibt. - Vergiss nicht, beim Abziehen der unteren Grenze die gesamte Klammer zu berücksichtigen, um Vorzeichenfehler zu vermeiden.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = ax^2 + x^{-2}\): \(F(x) = \frac{1}{3}ax^3 - \frac{1}{x}\). 2. Berechnung des Wertes an der oberen Grenze \(x = 3\): \(F(3) = \frac{1}{3}a \cdot 3^3 - \frac{1}{3} = 9a - \frac{1}{3}\). 3. Berechnung des Wertes an der unteren Grenze \(x = 1\): \(F(1) = \frac{1}{3}a \cdot 1^3 - \frac{1}{1} = \frac{1}{3}a - 1\). 4. Anwendung des Hauptsatzes: \(I = (9a - \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3}a - 1) = \frac{26}{3}a + \frac{2}{3}\).

\(\frac{26}{3}a + \frac{2}{3}\)

- Welche Stammfunktion passt zu einer Sinusfunktion mit einer linearen inneren Funktion? - Welcher Faktor muss wegen der inneren Funktion \(0{,}5x\) berücksichtigt werden? - Welche Werte hat der Kosinus an den beiden eingesetzten Grenzen? - Welche Gleichung für \(a\) entsteht nach der Integralberechnung?

1. Eine Stammfunktion von \(f_a(x)=a\sin(0{,}5x)\) ist \(F_a(x)=-2a\cos(0{,}5x)\). Dabei wird der Faktor \(2\) wegen der linearen inneren Funktion \(0{,}5x\) berücksichtigt. 2. Mit dem Hauptsatz gilt \(\int_0^\pi a\sin(0{,}5x)\,dx=[-2a\cos(0{,}5x)]_0^\pi\). 3. Damit ergibt sich \(-2a\cos(\frac{\pi}{2})+2a\cos(0)=2a\). 4. Aus \(2a=10\) folgt \(a=5\).

\(a=5\)

- Welche Grundfunktion hat eine Ableitung der Form \(\frac{1}{x}\)? - Nutze die Logarithmengesetze, um den Ausdruck nach dem Einsetzen der Grenzen zu vereinfachen. - Denke daran, dass man Faktoren vor dem Logarithmus als Exponenten in das Argument ziehen kann oder umgekehrt. - Wie lässt sich die Zahl 16 als Potenz der Basis 2 ausdrücken?

1. Bestimmung der Stammfunktion: Eine Stammfunktion von \(f_k(x) = \frac{k}{x+2}\) ist \(F_k(x) = k\ln(x + 2)\). 2. Berechnung des Integrals in Abhängigkeit von \(k\): \(\int_{0}^{2} \frac{k}{x+2} \, dx = [k\ln(x + 2)]_{0}^{2} = k\ln(4) - k\ln(2)\). 3. Vereinfachung mithilfe von Logarithmengesetzen: \(k \cdot (\ln(4) - \ln(2)) = k\ln\left(\frac{4}{2}\right) = k\ln(2)\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(k\ln(2) = \ln(16)\). 5. Anwendung der Logarithmengesetze zur Lösung: Da \(\ln(16) = \ln(2^4) = 4\ln(2)\), folgt durch Vergleich \(k = 4\).

\(k = 4\)

- Welche Rechenregel für Integrale hilft dir bei Wurzelfunktionen weiter? - Wie lautet der Zusammenhang zwischen dem Integral und dem gesuchten Flächeninhalt? - Kannst du die Integrationsvariable und den Parameter beim Integrieren klar voneinander trennen? - Was musst du tun, wenn der berechnete Ausdruck einem festen Wert entsprechen soll?

1. Zur Berechnung des Flächeninhalts \(A(k)\) wird das bestimmte Integral der Funktion \(f_k\) über dem Intervall \([0; 4]\) gebildet: \(A(k) = \int_{0}^{4} k\sqrt{x} \, dx\). Unter Verwendung der Potenzregel für Integrale ergibt sich als Stammfunktion \(F_k(x) = k \cdot \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}}\). Die Auswertung an den Grenzen liefert \(A(k) = \left[ \frac{2}{3} kx\sqrt{x} \right]_{0}^{4} = \frac{2}{3} k \cdot 4\sqrt{4} - 0 = \frac{16}{3} k\). 2. Zur Bestimmung von \(k\) wird die Gleichung \(A(k) = 32\) aufgestellt: \(\frac{16}{3} k = 32\). Durch Multiplikation mit \(\frac{3}{16}\) erhält man \(k = 32 \cdot \frac{3}{16} = 6\).

1. \(A(k) = \frac{16}{3} k\) 2. \(k = 6\)

- Erinnere dich an die Stammfunktion der Exponentialfunktion mit einem linearen Faktor im Exponenten. - Was sind hier die unteren und oberen Grenzen für deine Integration? - Wie gehst du vor, um einen Parameter in einer Gleichung zu isolieren? - Gibt es im Ergebnis Terme, die du ausklammern oder durch die du teilen kannst, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Der Flächeninhalt wird durch das Integral \(A(a) = \int_{0}^{2} ae^{0{,}5x} \, dx\) berechnet. Eine Stammfunktion von \(g_a\) ist \(G_a(x) = \frac{a}{0{,}5}e^{0{,}5x} = 2ae^{0{,}5x}\). Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ergibt \(A(a) = \left[ 2ae^{0{,}5x} \right]_{0}^{2} = 2ae^{0{,}5 \cdot 2} - 2ae^{0} = 2ae - 2a = 2a(e - 1)\). 2. Um \(a\) zu finden, setzt man \(A(a) = 4e - 4\). Dies führt zur Gleichung \(2a(e - 1) = 4(e - 1)\). Da \(e - 1 \neq 0\), kann man durch \(2(e - 1)\) dividieren und erhält \(a = 2\).

1. \(A(a) = 2a(e - 1)\) 2. \(a = 2\)

- Wie lautet die Regel für das Integrieren von Potenzfunktionen? - Nutze den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: „Obere Grenze minus untere Grenze“. - Achte beim Einsetzen der Grenzen in die Stammfunktion auf die korrekte Verwendung von Klammern. - In der allgemeinen Formel bleiben die Variablen \(a\) und \(b\) einfach als Platzhalter stehen.

1. Zunächst wird eine Stammfunktion von \(g(x) = 3x^2 + 2x\) bestimmt: \(G(x) = x^3 + x^2\). Das Integral über \([1; 2]\) ergibt: \(\int_{1}^{2} (3x^2 + 2x) \, dx = [x^3 + x^2]_{1}^{2} = (2^3 + 2^2) - (1^3 + 1^2) = (8 + 4) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10\). Der Flächeninhalt beträgt somit \(10\,\text{FE}\). 2. Für das allgemeine Intervall \([a; b]\) wird die Stammfunktion an den Grenzen \(a\) und \(b\) ausgewertet: \(A = \int_{a}^{b} (3x^2 + 2x) \, dx = [x^3 + x^2]_{a}^{b} = (b^3 + b^2) - (a^3 + a^2)\).

1. \(A = 10\,\text{FE}\) 2. \(A = b^3 + b^2 - a^3 - a^2\)

- Nutze die Linearität des Integrals, um den Term links vom Gleichheitszeichen zu vereinfachen. - Wie lässt sich das Integral einer konstanten Zahl \(c\) über ein Intervall allgemein ausdrücken? - Versuche, eine einfache Gleichung aufzustellen, in der nur noch \(A\) und \(c\) vorkommen. - Was musst du tun, um die Gleichung nach der gesuchten Größe \(c\) aufzulösen?

1. Anwendung der Linearitätseigenschaften (Summen- und Faktorregel): \(2 \cdot \int_{1}^{3} h(x) \, dx - \int_{1}^{3} c \, dx = 0\) 2. Substitution des gegebenen Integrals durch \(A\): \(2A - \int_{1}^{3} c \, dx = 0\) 3. Integration der Konstante \(c\) über das Intervall \([1; 3]\): \(\int_{1}^{3} c \, dx = [cx]_{1}^{3} = 3c - c = 2c\) 4. Aufstellen der linearen Gleichung: \(2A - 2c = 0\) 5. Isolieren von \(c\): \(2c = 2A \Rightarrow c = A\)

\(c = A\)

- Welche Funktion musst du ableiten, um die Kosinusfunktion zu erhalten? - Wie wirkt sich ein konstanter Faktor \(a\) beim Integrieren auf die Stammfunktion aus? - Überlege, was die Faktorregel für Integrale über den Zusammenhang der beiden Ergebnisse aussagt.

1. Identifikation der Stammfunktion \(\sin(x)\) für die Funktion \(\cos(x)\). 2. Berechnung des ersten Integrals über den Hauptsatz: \(I_1 = [\sin(x)]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1\). 3. Identifikation der Stammfunktion \(a \cdot \sin(x)\) für die Funktion \(a \cdot \cos(x)\). 4. Berechnung des zweiten Integrals: \(I_2 = [a \cdot \sin(x)]_0^{\frac{\pi}{2}} = a \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - a \cdot \sin(0) = a \cdot 1 - a \cdot 0 = a\). 5. Vergleich der Resultate: Das Integral \(I_2\) ist das \(a\)-Fache von \(I_1\), was die Faktorregel der Integralrechnung (\(I_2 = a \cdot I_1\)) bestätigt.

\(I_1 = 1\); \(I_2 = a\); der Wert des Integrals \(I_2\) entspricht dem \(a\)-Fachen des Wertes von \(I_1\).

- Bestimme zuerst eine Stammfunktion des Integranden, wobei du \(k\) wie eine gewöhnliche Zahl behandelst. - Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, um das Integral in Abhängigkeit von \(k\) zu berechnen. - Setze das Ergebnis deines Integrals mit dem gegebenen Wert gleich. - Achte beim Einsetzen der Grenzen besonders auf die Vorzeichen und die Werte der trigonometrischen Funktionen an den Stellen \(0\) und \(\pi\).

1. Bestimmung der Stammfunktion von \(f(x) = k \cdot \sin(x) + x\): \(F(x) = -k \cdot \cos(x) + \frac{1}{2}x^2\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_{0}^{\pi} (k \cdot \sin(x) + x) \, dx = \left[-k \cdot \cos(x) + \frac{1}{2}x^2\right]_0^\pi\). 3. Einsetzen der Grenzen: \((-k \cdot \cos(\pi) + \frac{1}{2}\pi^2) - (-k \cdot \cos(0) + \frac{1}{2} \cdot 0^2) = (k + \frac{1}{2}\pi^2) - (-k) = 2k + \frac{1}{2}\pi^2\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(2k + \frac{1}{2}\pi^2 = \frac{1}{2}\pi^2 + 4\). 5. Lösen nach \(k\): \(2k = 4 \Rightarrow k = 2\).

\(k = 2\)

- Beginne damit, das Integral mit dem Parameter \(k\) allgemein zu berechnen. - Welche Funktion ergibt abgeleitet \(\sin x\)? Achte dabei auf das Vorzeichen. - Setze die Grenzen \(\pi\) und \(0\) in deine Stammfunktion ein und beachte die Werte der Kosinusfunktion an diesen Stellen. - Stelle eine Gleichung auf, in der das Ergebnis deines Integrals gleich Null gesetzt wird.

1. Aufstellen der Integralgleichung: \(\int_{0}^{\pi} (k \cdot \sin x - 1) \, dx = 0\). 2. Ermittlung einer Stammfunktion für den Integranden: \(F(x) = -k \cdot \cos x - x\). 3. Einsetzen der Integrationsgrenzen gemäß dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: \([-k \cdot \cos x - x]_{0}^{\pi} = (-k \cdot \cos \pi - \pi) - (-k \cdot \cos 0 - 0)\). 4. Vereinfachung des Ausdrucks unter Verwendung von \(\cos \pi = -1\) und \(\cos 0 = 1\): \((k - \pi) - (-k) = 2k - \pi\). 5. Lösen der Gleichung \(2k - \pi = 0\) nach \(k\): \(k = \frac{\pi}{2}\).

\(k = \frac{\pi}{2}\)

- Überlege dir zuerst, wie man allgemein ein bestimmtes Integral mithilfe einer Stammfunktion berechnet. - Kannst du eine allgemeine Stammfunktion für den gegebenen Funktionsterm angeben, auch wenn ein Parameter enthalten ist? - Setze die Integrationsgrenzen in deine Stammfunktion ein und bilde die Differenz. - Stelle eine Gleichung auf, in der nur noch der gesuchte Parameter als Unbekannte vorkommt.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = x^2 - a\): \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - ax\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_1^3 f(x) \, dx = F(3) - F(1)\). 3. Berechnung der Funktionswerte der Stammfunktion an den Grenzen: \(F(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^3 - a \cdot 3 = 9 - 3a\) und \(F(1) = \frac{1}{3} \cdot 1^3 - a \cdot 1 = \frac{1}{3} - a\). 4. Aufstellen der Gleichung für das Integral: \((9 - 3a) - (\frac{1}{3} - a) = \frac{26}{3} - 2a\). 5. Gleichsetzen mit dem Zielwert \(\frac{2}{3}\): \(\frac{26}{3} - 2a = \frac{2}{3} \implies 2a = \frac{24}{3} = 8 \implies a = 4\).

\(a = 4\)

- Welche Stammfunktion passt zu einer Exponentialfunktion mit der linearen inneren Funktion \(\frac{1}{2}x\)? - Welcher Faktor gleicht beim Ableiten die innere Ableitung \(\frac{1}{2}\) aus? - Welche Gleichung für \(k\) entsteht nach dem Einsetzen der Grenzen?

1. Wegen der linearen inneren Funktion \(\frac{1}{2}x\) ist eine Stammfunktion von \(f(x)=ke^{\frac{1}{2}x}\) gegeben durch \(F(x)=2ke^{\frac{1}{2}x}\). 2. Mit dem Hauptsatz folgt \(\int_0^2 ke^{\frac{1}{2}x}\,dx=[2ke^{\frac{1}{2}x}]_0^2=2ke-2k=2k(e-1)\). 3. Aus \(2k(e-1)=4(e-1)\) und \(e-1\neq0\) folgt \(k=2\).

\(k=2\)

- Überlege dir zuerst, in welchem Bereich (von wo bis wo auf der \(x\)-Achse) die Fläche liegt. - Stelle die Stammfunktion für \(x^3\) auf. Was passiert mit dem Parameter \(a\) beim Integrieren? - Du erhältst eine einfache lineare Gleichung für \(a\).

1. Integral aufstellen: Die Fläche wird im Intervall \([0; 2]\) durch die Funktion \(g_a\) und die \(x\)-Achse begrenzt. 2. Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(a\) berechnen: \(A(a) = \int_{0}^{2} ax^3 \,\text{d}x = [a\frac{1}{4}x^4]_{0}^{2}\) \(A(a) = \frac{a}{4} \cdot 2^4 - 0 = \frac{a}{4} \cdot 16 = 4a\). 3. Parameter bestimmen: Setze den Term gleich dem gewünschten Flächeninhalt: \(4a = 10 \implies a = 2{,}5\). Für \(a = 2{,}5\) beträgt der Flächeninhalt \(10\) Flächeneinheiten.

Der Parameter muss den Wert \(a = 2{,}5\) haben.

- Welche geometrischen Figuren entstehen zwischen den beiden Geraden, der \(x\)-Achse und \(x=2\)? - Welche Höhen kannst du bei \(x=2\) aus der Abbildung ablesen? - Vergleiche die beiden Dreiecksflächen bei gleicher Grundseite.

1. Beide Graphen begrenzen mit der \(x\)-Achse und der Geraden \(x=2\) rechtwinklige Dreiecke. 2. Aus der Abbildung liest man bei \(x=2\) die Höhen \(2\) für \(f_1\) und \(4\) für \(f_2\) ab. Beide Dreiecke haben die Grundseite \(2\). 3. Daher sind die Flächeninhalte \(A_1=\frac12\cdot2\cdot2=2\) und \(A_2=\frac12\cdot2\cdot4=4\). 4. Somit ist \(\int_0^2 f_2(x)\,\mathrm{d}x\) größer und das Verhältnis beträgt \(4:2=2:1\).

\(\int_0^2 f_2(x)\,\mathrm{d}x\) ist größer; das Verhältnis beträgt \(2:1\).

- Welche Symmetrie besitzt der Term \(x\) auf einem zum Ursprung symmetrischen Intervall? - Der Parameter wird beim Integrieren nach \(x\) wie eine Konstante behandelt. - Betrachte die drei Summanden getrennt, bevor du sie wieder zusammenfasst.

1. Der Summand \(ax\) ist für jedes feste \(a\) eine ungerade Funktion von \(x\). Sein Integral über das symmetrische Intervall \([-1;1]\) ist daher \(0\). 2. Der konstante Summand \(a\) trägt über die Intervalllänge \(2\) den Wert \(2a\) bei. Außerdem ist \(\int_{-1}^{1}x^2\,\mathrm{d}x=\frac{2}{3}\). 3. Somit ist \(I(a)=\frac{2}{3}+2a\). 4. Aus \(\frac{2}{3}+2a=0\) folgt \(a=-\frac{1}{3}\).

a) \(ax\) trägt wegen der Ungeradheit nichts bei; der konstante Summand \(a\) beeinflusst den Integralwert. b) \(I(a)=\frac{2}{3}+2a\) c) \(a=-\frac{1}{3}\)

- Wie lautet die allgemeine Regel für die Integration von Ausdrücken der Form \(\frac{1}{(x+c)^2}\)? - Setze die Integrationsgrenzen in die Stammfunktion ein und bilde die Differenz. - Versuche, die resultierende Gleichung so umzuformen, dass kein Bruch mehr vorkommt. - Achte auf die Bedingung, dass die gesuchte Zahl positiv und ganzzahlig sein muss.

1. Bestimmung der Stammfunktion des Integranden: \(\int \frac{8}{(x+a)^2} \, dx = -\frac{8}{x+a}\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung unter Einbezug der Grenzen \(0\) und \(4\): \(\left[ -\frac{8}{x+a} \right]_{0}^{4} = -\frac{8}{4+a} - \left( -\frac{8}{a} \right) = \frac{8}{a} - \frac{8}{4+a}\). 3. Gleichsetzen des Terms mit dem Wert \(1\) und Bildung eines Hauptnenners: \(\frac{8(4+a) - 8a}{a(4+a)} = 1\). 4. Vereinfachung des Zählers: \(\frac{32}{a^2 + 4a} = 1\). 5. Umformung in eine quadratische Gleichung: \(a^2 + 4a - 32 = 0\). 6. Lösung der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(a_{1,2} = -2 \pm \sqrt{4 + 32} = -2 \pm 6\). 7. Da \(a\) eine positive ganze Zahl sein muss, entfällt \(a = -8\). Die Lösung ist \(a = 4\).

\(a = 4\)

- Wie findet man die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse schneidet? - Welches mathematische Werkzeug hilft dabei, den Inhalt einer Fläche unter einer Kurve zu berechnen? - Überlege dir, wie du die berechnete Formel für den Flächeninhalt nutzen kannst, um einen bestimmten Wert für den Parameter zu finden. - Achte darauf, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt.

1. Zur Bestimmung der Integrationsgrenzen werden die Nullstellen von \(f_k\) berechnet: \(kx - x^2 = 0 \iff x(k - x) = 0\), woraus sich \(x_1 = 0\) und \(x_2 = k\) ergeben. Da der Graph eine nach unten geöffnete Parabel mit Nullstellen bei \(0\) und \(k\) ist, liegt die Fläche oberhalb der \(x\)-Achse. Das Integral berechnet sich zu \(\int_{0}^{k} (kx - x^2) \, dx = \left[ \frac{k}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{k} = \frac{k^3}{2} - \frac{k^3}{3} = \frac{k^3}{6}\). Somit gilt \(A(k) = \frac{k^3}{6}\). 2. Die Bedingung \(A(k) = 36\) führt auf die Gleichung \(\frac{k^3}{6} = 36\). Multiplikation mit \(6\) ergibt \(k^3 = 216\). Das Ziehen der Kubikwurzel liefert \(k = 6\).

1. \(A(k) = \frac{k^3}{6}\) 2. \(k = 6\)

- Welche Symmetrie weist der Funktionsterm auf und wie vereinfacht das die Rechnung? - Bestimme zuerst alle Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse, um die Integrationsgrenzen festzulegen. - Wenn zwei Flächenstücke berechnet werden sollen, denke daran, die Beträge der Teilintegrale zu addieren oder Symmetrieeigenschaften zu nutzen. - Wie gehst du vor, wenn das Ergebnis der Flächenberechnung bereits vorgegeben ist und eine Variable gesucht wird?

1. Die Nullstellen von \(g_a\) liegen bei \(a^3 x - a x^3 = 0 \iff ax(a^2 - x^2) = 0\), also bei \(x_1 = -a\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = a\). Aufgrund der Punktsymmetrie der Graphen zum Ursprung sind die beiden Flächenstücke inhaltsgleich. Der Inhalt eines Teilstücks im Intervall \([0; a]\) wird berechnet durch \(\int_{0}^{a} (a^3 x - a x^3) \, dx = \left[ \frac{a^3}{2}x^2 - \frac{a}{4}x^4 \right]_{0}^{a} = \frac{a^5}{2} - \frac{a^5}{4} = \frac{a^5}{4}\). Der Gesamteinhalt ist somit \(A(a) = 2 \cdot \frac{a^5}{4} = \frac{a^5}{2}\). 2. Aus der Forderung \(A(a) = 16\) ergibt sich \(\frac{a^5}{2} = 16\), also \(a^5 = 32\). Durch Ziehen der 5. Wurzel erhält man \(a = 2\).

1. \(A(a) = \frac{a^5}{2}\) 2. \(a = 2\)

- Welche Ableitung von \(f\) liefert die Steigung der Tangente bei \(x=a\)? - Über welches Intervall erstreckt sich die durch die \(y\)-Achse und den Berührpunkt begrenzte Fläche? - Stelle den Flächeninhalt als Integral der Differenz von oberem und unterem Graphen auf.

1. Es gilt \(f'(x)=3x^2\). Die Tangente im Punkt mit \(x=a\) hat daher die Gleichung \(t(x)=3a^2(x-a)+a^3=3a^2x-2a^3\). 2. Im Intervall \([0;a]\) liegt der Graph von \(f\) oberhalb der Tangente. Somit ist \(A(a)=\int_0^a\bigl(x^3-3a^2x+2a^3\bigr)\,\text{d}x\). 3. Eine Stammfunktion ist \(\frac14x^4-\frac32a^2x^2+2a^3x\). Eingesetzt an den Grenzen ergibt sich \(A(a)=\frac14a^4-\frac32a^4+2a^4=\frac34a^4\).

\(A(a)=\frac34a^4\)

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Gerade, wenn der y-Achsenabschnitt bekannt ist? - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen über einem bestimmten Intervall? - Nutze die Information über den Flächeninhalt, um eine Gleichung für die unbekannte Steigung aufzustellen. - Achte darauf, dass die Gerade im angegebenen Bereich nicht unter die x-Achse fallen darf.

1. Bestimmung des Schnittpunkts auf der \(y\)-Achse: \(f(0) = \frac{18}{(0 + 1)^2} = 18\). Damit hat die Gerade die Form \(g(x) = mx + 18\). 2. Berechnung des Integrals von \(f\) über dem Intervall \([0; 2]\): \(\int_{0}^{2} \frac{18}{(x+1)^2} \, dx = \left[ -\frac{18}{x+1} \right]_{0}^{2} = -6 - (-18) = 12\). 3. Berechnung des Integrals der Geraden \(g\) über \([0; 2]\): \(\int_{0}^{2} (mx + 18) \, dx = \left[ \frac{1}{2}mx^2 + 18x \right]_{0}^{2} = 2m + 36\). 4. Ansatz für den Flächeninhalt: \(| (2m + 36) - 12 | = 10\), also \(| 2m + 24 | = 10\). 5. Lösen der Gleichung: \(2m + 24 = 10 \Rightarrow m = -7\) oder \(2m + 24 = -10 \Rightarrow m = -17\). 6. Überprüfung der Lage im I. Quadranten: Für \(m = -7\) ist \(g(2) = 4 > 0\). Für \(m = -17\) ist \(g(2) = -16 < 0\), womit die Fläche nicht vollständig im I. Quadranten läge. Zudem liegt \(g(x) = -7x + 18\) im relevanten Intervall stets oberhalb von \(f(x)\). Die gesuchte Gleichung ist \(g(x) = -7x + 18\).

\(g(x) = -7x + 18\)

- Überlege zuerst, an welchen Stellen sich die Parabel und die Gerade schneiden. - Welche der beiden Funktionen liegt im betrachteten Intervall oberhalb der anderen? - Nutze die Symmetrie der Parabel zur \(y\)-Achse, um die Rechnung zu vereinfachen. - Erinnere dich daran, wie man eine Potenzfunktion integriert.

1. Berechnung der Schnittstellen: \(x^2 = k^2 \implies x_1 = -k, x_2 = k\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt: \(A(k) = \int_{-k}^{k} (k^2 - x^2) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion und Auswertung: \(\left[ k^2 x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-k}^{k} = (k^3 - \frac{1}{3}k^3) - (-k^3 + \frac{1}{3}k^3) = \frac{2}{3}k^3 - (-\frac{2}{3}k^3) = \frac{4}{3}k^3\). 4. Lösen der Gleichung für \(k\): \(\frac{4}{3}k^3 = 36 \implies k^3 = 27 \implies k = 3\).

a) \(A(k) = \frac{4}{3}k^3\) b) \(k = 3\)

- Bestimme zuerst die Stelle, an der \(f_a\) die Gerade \(y=1\) schneidet. - Welche der beiden Funktionen liegt zwischen \(x=0\) und dem Schnittpunkt oben? - Für \(e^{-x}\) kannst du die bekannte Stammfunktion einer Exponentialfunktion mit linearem Exponenten verwenden. - Vereinfache am Ende \(e^{-\ln(a)}\).

1. Der Schnittpunkt mit \(y=1\) erfüllt \(ae^{-x}=1\). Daraus folgt \(x=\ln(a)\). 2. Wegen \(a>1\) liegt \(f_a\) auf \([0;\ln(a)]\) oberhalb der Geraden \(y=1\). Daher gilt \(A(a)=\int_0^{\ln(a)}(ae^{-x}-1)\,\mathrm{d}x\). 3. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=-ae^{-x}-x\). 4. Damit ist \(A(a)=[-ae^{-x}-x]_0^{\ln(a)}=-1-\ln(a)+a=a-\ln(a)-1\).

\(A(a) = a - \ln(a) - 1\)

- Wie lassen sich die Grenzen der Fläche bestimmen, die vom Graphen und der Achse eingeschlossen wird? - Welche Integrationsregel hilft dir bei der Stammfunktion einer Wurzelfunktion? - Überlege dir, wie du den Parameter \(k\) in der Stammfunktion behandelst. - Nachdem du das Integral in Abhängigkeit von \(k\) berechnet hast, kannst du eine Gleichung aufstellen.

1. Bestimmung der Schnittstellen mit der \(x\)-Achse: \(k\sqrt{x} - x = 0 \Rightarrow \sqrt{x}(k - \sqrt{x}) = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = k^2\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt \(A\): Da \(k\sqrt{x} \geq x\) für \(x \in [0; k^2]\), gilt \(A = \int_{0}^{k^2} (k\sqrt{x} - x) \, dx\). 3. Berechnung der Stammfunktion und des Integrals: \(\int_{0}^{k^2} (k x^{\frac{1}{2}} - x) \, dx = \left[ \frac{2}{3}k x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{k^2} = \frac{2}{3}k(k^2)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}(k^2)^2 = \frac{2}{3}k^4 - \frac{1}{2}k^4 = \frac{1}{6}k^4\). 4. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(\frac{1}{6}k^4 = 13{,}5 \Rightarrow k^4 = 81\). 5. Lösen nach \(k\): Da \(k > 0\) gefordert ist, folgt \(k = \sqrt[4]{81} = 3\).

\(k = 3\)

- Wie lautet die allgemeine Regel für die Stammfunktion einer Potenzfunktion? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zur Berechnung bestimmter Integrale. - Kannst du in den Ausdrücken für \(A\) und \(B\) einen gemeinsamen Faktor ausklammern, um das Verhältnis leichter zu berechnen?

1. Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{4}x^4\) für den Integranden \(x^3\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung für das erste Integral: \(A = \left[\frac{1}{4}x^4\right]_1^k = \frac{1}{4}k^4 - \frac{1}{4}\). 3. Bestimmung der Stammfunktion \(G(x) = \frac{1}{8}x^4\) für den Integranden \(\frac{1}{2}x^3\). 4. Anwendung des Hauptsatzes für das zweite Integral: \(B = \left[\frac{1}{8}x^4\right]_1^k = \frac{1}{8}k^4 - \frac{1}{8}\). 5. Berechnung des Verhältnisses durch Ausklammern: \(\frac{B}{A} = \frac{\frac{1}{8}(k^4 - 1)}{\frac{1}{4}(k^4 - 1)} = \frac{1}{2}\).

\(A = \frac{1}{4}k^4 - \frac{1}{4}\); \(B = \frac{1}{8}k^4 - \frac{1}{8}\); das Verhältnis ist \(\frac{B}{A} = \frac{1}{2}\).

- Überlege zuerst, wo der Graph die \(x\)-Achse berührt oder schneidet. - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse mithilfe von Integralen? - Beachte, dass die Integrationsgrenzen von der Lage der Nullstellen abhängen. - Denke daran, dass beim Lösen einer Potenzgleichung mit geradem Exponenten mehrere reelle Lösungen existieren können.

1. Nullstellen berechnen: \(kx^2 - x^3 = 0 \Leftrightarrow x^2(k - x) = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\) (doppelt) und \(x_2 = k\). 2. Integral berechnen: \(\int_0^k (kx^2 - x^3) \, dx = \left[ \frac{1}{3}kx^3 - \frac{1}{4}x^4 \right]_0^k = \frac{1}{3}k^4 - \frac{1}{4}k^4 = \frac{1}{12}k^4\). 3. Flächeninhalt bestimmen: Da \(k^4 \geq 0\) für alle \(k \in \mathbb{R}\), gilt für den Flächeninhalt \(A = \left| \frac{1}{12}k^4 \right| = \frac{1}{12}k^4\). 4. Parameter ermitteln: \(\frac{1}{12}k^4 = 6{,}75 \Leftrightarrow k^4 = 81\). Die reellen Lösungen sind \(k = 3\) und \(k = -3\).

1. \(x_1 = 0\), \(x_2 = k\) 2. \(k = 3\) oder \(k = -3\)

- Wie findest du die Stellen, an denen sich zwei Graphen schneiden, wenn ein Parameter enthalten ist? - Welche der beiden Funktionen liegt im eingeschlossenen Intervall oberhalb der anderen? - Nutze die Symmetrie der Funktionen zur \(y\)-Achse, um die Berechnung des Integrals zu vereinfachen. - Stelle am Ende eine Gleichung auf, in der nur noch der Parameter \(k\) als Unbekannte vorkommt.

1. Berechnung der Schnittstellen der beiden Funktionsgraphen in Abhängigkeit von \(k\): \(x^2 - k = k - x^2 \Leftrightarrow 2x^2 = 2k \Leftrightarrow x^2 = k\). Da \(k > 0\), ergeben sich die Integrationsgrenzen \(x_1 = -\sqrt{k}\) und \(x_2 = \sqrt{k}\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt: \(A = \int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} (2k - 2x^2) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion und Berechnung des bestimmten Integrals: \([2kx - \frac{2}{3}x^3]_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} = (2k\sqrt{k} - \frac{2}{3}k\sqrt{k}) - (-2k\sqrt{k} + \frac{2}{3}k\sqrt{k}) = \frac{4}{3}k\sqrt{k} - (-\frac{4}{3}k\sqrt{k}) = \frac{8}{3}k\sqrt{k}\). 4. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt und Lösen nach \(k\): \(\frac{8}{3}k\sqrt{k} = 72 \Leftrightarrow k\sqrt{k} = 27 \Leftrightarrow k^{\frac{3}{2}} = 27\). Durch Quadrieren oder Ziehen der dritten Wurzel folgt \(k = 9\).

\(k = 9\)

- Welche beiden Ableitungen brauchst du, um den lokalen Tiefpunkt zu bestimmen? - Wie lautet die Tangente an einem Extrempunkt, dessen Funktionswert null ist? - Drücke den eingeschlossenen Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(a\) aus.

1. Es gilt \(f_a'(x)=a(3x^2-6x)=3ax(x-2)\) und \(f_a''(x)=a(6x-6)\). Die stationären Stellen sind \(x=0\) und \(x=2\); wegen \(f_a''(2)=6a>0\) liegt bei \(x=2\) der Tiefpunkt. 2. Es ist \(f_a(2)=0\), daher ist die Tangente dort \(y=0\). 3. Wegen \(x^3-3x^2+4=(x-2)^2(x+1)\) ist der weitere Schnittpunkt mit der Tangente bei \(x=-1\). 4. Der Flächeninhalt ist \(A(a)=\int_{-1}^{2}a(x^3-3x^2+4)\,\text{d}x=\frac{27}{4}a=6{,}75a\). 5. Aus \(6{,}75a=10{,}8\) folgt \(a=1{,}6\).

\(a=1{,}6\)

- Überlege dir zuerst, wo sich die Parabel und die horizontale Gerade schneiden. - Nutze die Symmetrie der Parabel zur \(y\)-Achse, um die Rechnung zu vereinfachen. - Stelle einen Term für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(c\) auf. - Welche Funktion liegt im betrachteten Intervall oberhalb der anderen?

1. Berechnung der Schnittstellen von \(f(x) = \frac{1}{4}x^2\) und \(y = c\) in Abhängigkeit von \(c\): \(\frac{1}{4}x^2 = c \implies x^2 = 4c \implies x_{1,2} = \pm 2\sqrt{c}\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt unter Ausnutzung der Symmetrie: \(A = 2\int_{0}^{2\sqrt{c}} (c - \frac{1}{4}x^2) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion und Auswertung an den Grenzen: \(2[cx - \frac{1}{12}x^3]_{0}^{2\sqrt{c}} = 2(2c\sqrt{c} - \frac{8c\sqrt{c}}{12}) = 2(2c\sqrt{c} - \frac{2}{3}c\sqrt{c}) = \frac{8}{3}c\sqrt{c} = \frac{8}{3}c^{\frac{3}{2}}\). 4. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(\frac{8}{3}c^{\frac{3}{2}} = \frac{64}{3} \implies c^{\frac{3}{2}} = 8\). 5. Auflösen nach \(c\): \(c = 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4\).

\(c = 4\)

- Wie lautet die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden, die durch den Ursprung verläuft? - Wie findest du die Stellen, an denen sich die beiden Graphen schneiden? Beachte, dass diese Stellen von einem Parameter abhängen können. - Überlege dir, wie man den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen berechnet, wenn die Integrationsgrenzen bekannt sind. - Denk daran, dass bei der Berechnung eines Flächeninhalts der Betrag des Integrals entscheidend ist, falls die Lage der Graphen zueinander nicht vorab feststeht. - Es könnte mehr als einen Wert für die Steigung geben, der die Bedingung erfüllt.

1. Schnittstellen der Funktionen \(f(x) = x^2 - 4x\) und \(g(x) = mx\) durch Gleichsetzen bestimmen: \(x^2 - 4x = mx \Rightarrow x^2 - (m+4)x = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = m+4\). 2. Integral für den Flächeninhalt \(A\) zwischen den Graphen aufstellen: \(A = \left| \int_{0}^{m+4} (g(x) - f(x)) \, dx \right| = \left| \int_{0}^{m+4} ((m+4)x - x^2) \, dx \right|\). 3. Stammfunktion bilden und Grenzen einsetzen: \(\left[ \frac{m+4}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{m+4} = \frac{(m+4)^3}{2} - \frac{(m+4)^3}{3} = \frac{(m+4)^3}{6}\). 4. Den Flächeninhalt gleich \(36\) setzen: \(\left| \frac{(m+4)^3}{6} \right| = 36 \Rightarrow |m+4|^3 = 216\). 5. Die Gleichung nach \(m\) auflösen: \(|m+4| = 6\). Dies führt zu \(m+4 = 6 \Rightarrow m = 2\) oder \(m+4 = -6 \Rightarrow m = -10\).

Die möglichen Werte für die Steigung sind \(m = 2\) und \(m = -10\).

- Welche Form hat die Gleichung einer Parabel, deren Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse liegt? - Wenn eine achsensymmetrische Parabel die \(x\)-Achse bei \(3\) schneidet, wo liegt dann die andere Nullstelle? - Wie berechnet man die Fläche zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse mithilfe von Integralen? - Nutze die Information über den Flächeninhalt, um die fehlende Unbekannte in deiner Gleichung zu berechnen.

1. Ansatz für die Funktionsgleichung aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse (Hochpunkt bei \(x=0\)): \(f(x) = ax^2 + c\). 2. Verwendung der Nullstelle bei \(x = 3\): \(f(3) = 0 \implies 9a + c = 0 \implies c = -9a\). Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = ax^2 - 9a\). 3. Da der Hochpunkt auf der \(y\)-Achse liegt und die Nullstelle bei \(3\) ist, liegt die zweite Nullstelle aufgrund der Symmetrie bei \(-3\). 4. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt zwischen den Nullstellen: \(\int_{-3}^{3} (ax^2 - 9a) \, dx = 24\). 5. Berechnung des Integrals: \([ \frac{a}{3}x^3 - 9ax ]_{-3}^{3} = (9a - 27a) - (-9a + 27a) = -18a - 18a = -36a\). 6. Bestimmung von \(a\): \(-36a = 24 \implies a = -\frac{24}{36} = -\frac{2}{3}\). 7. Berechnung von \(c\): \(c = -9 \cdot (-\frac{2}{3}) = 6\). 8. Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = -\frac{2}{3}x^2 + 6\).

\(f(x) = -\frac{2}{3}x^2 + 6\)

- Welche allgemeine Form hat eine Funktion, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist? - Wie kannst du die Information über die Nullstelle nutzen, um die Anzahl der Unbekannten im Funktionsterm zu reduzieren? - Überlege dir, in welchem Bereich der Graph im ersten Quadranten verlaufen muss, um eine Fläche mit der \(x\)-Achse zu bilden. - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse mithilfe von Integralen?

1. Ansatz für eine punktsymmetrische Funktion 3. Grades: \(f(x) = ax^3 + bx\). 2. Bedingung Nullstelle: \(f(3) = 0 \implies 27a + 3b = 0\), daraus folgt \(b = -9a\). 3. Funktionsterm mit einem Parameter: \(f(x) = ax^3 - 9ax\). 4. Berechnung des Integrals für die Fläche im ersten Quadranten (Intervall \([0; 3]\)): \(\int_{0}^{3} (ax^3 - 9ax) \, dx = \left[ \frac{a}{4}x^4 - \frac{9a}{2}x^2 \right]_{0}^{3} = \frac{81}{4}a - \frac{81}{2}a = -20{,}25a\). 5. Da die Fläche im ersten Quadranten liegen soll (\(f(x) \geq 0\) für \(x \in [0; 3]\)), muss der Integralwert positiv sein: \(-20{,}25a = 4{,}5 \implies a = -\frac{2}{9}\). 6. Bestimmung von \(b\): \(b = -9 \cdot \left(-\frac{2}{9}\right) = 2\). 7. Ergebnis: \(f(x) = -\frac{2}{9}x^3 + 2x\).

\(f(x) = -\frac{2}{9}x^3 + 2x\)

- Welche positive Nullstelle besitzt \(f_a\)? - Welche Ableitung brauchst du für die Tangentensteigung in \(P\)? - Welche Differenz der beiden Funktionswerte beschreibt den Flächeninhalt auf dem relevanten Intervall? - Wie wird aus dem vorgegebenen Flächeninhalt eine Gleichung für \(a\)?

1. Es ist \(f_a(x)=x(x-a)\). Da \(a>0\), liegt die positive Nullstelle bei \(x=a\). Somit ist \(P(a\mid 0)\). 2. Die erste Ableitung lautet \(f_a'(x)=2x-a\). Daher hat die Tangente in \(P\) die Steigung \(f_a'(a)=a\) und die Gleichung \(t_a(x)=a(x-a)=ax-a^2\). 3. Auf \([0;a]\) gilt \(f_a(x)-t_a(x)=(x-a)^2\ge 0\). Der Flächeninhalt ist daher \(A(a)=\int_0^a(x-a)^2\,\mathrm{d}x=\frac13a^3\). 4. Aus \(\frac13a^3=9\) folgt \(a^3=27\). Wegen \(a>0\) ist \(a=3\).

a) \(P(a\mid 0)\) b) \(a=3\)

- Welche Variable steht hinter dem \(d\) im Integral? Das ist deine Integrationsvariable. - Stell dir alle anderen Buchstaben wie feste Zahlen vor, während du die Stammfunktion bildest. - Erinnere dich an die Potenzregel für die Integration: Was passiert mit dem Exponenten und dem Vorfaktor? - Was passiert, wenn du eine Konstante nach einer Variablen integrierst, die gar nicht im Term vorkommt?

1. Für Teilaufgabe a) ist \(x\) die Integrationsvariable. Die Stammfunktion bezüglich \(x\) lautet \(F(x) = x^4 y - 2xy^2\). Einsetzen der Grenzen ergibt \((3^4 y - 2 \cdot 3 \cdot y^2) - (1^4 y - 2 \cdot 1 \cdot y^2) = 81y - 6y^2 - y + 2y^2 = 80y - 4y^2\). 2. Für Teilaufgabe b) ist \(y\) die Integrationsvariable. Die Stammfunktion bezüglich \(y\) lautet \(F(y) = 2x^3 y^2 - \frac{2}{3}y^3\). Einsetzen der Grenzen ergibt \((2x^3 \cdot 9 - \frac{2}{3} \cdot 27) - (2x^3 \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 1) = 18x^3 - 18 - 2x^3 + \frac{2}{3} = 16x^3 - \frac{52}{3}\). 3. Für Teilaufgabe c) ist \(x\) die Integrationsvariable, während \(a^2\) eine Konstante ist. Die Stammfunktion ist \(F(x) = a^2 x\). Einsetzen der Grenzen liefert \(a^2 \cdot 1 - a^2 \cdot 0 = a^2\).

a) \(80y - 4y^2\) b) \(16x^3 - \frac{52}{3}\) c) \(a^2\)

- Achte genau auf den Unterschied zwischen der Variablen in der Integrationsgrenze und der Integrationsvariablen selbst. - Wie integriert man eine Exponentialfunktion wie \(e^z\)? - Wenn ein Produkt aus zwei Variablen vorliegt, von denen nur eine die Integrationsvariable ist, wie behandelst du den anderen Teil? - Überlege dir bei c) und d), ob das Ergebnis noch von der Integrationsvariablen abhängen darf, nachdem du die Grenzen eingesetzt hast.

1. In a) wird \(t^3\) nach \(t\) integriert. Die Stammfunktion ist \(\frac{1}{4}t^4\). Mit den Grenzen \(0\) und \(k\) folgt \(\frac{1}{4}k^4 - 0 = \frac{1}{4}k^4\). 2. In b) wird \(k^3\) nach \(k\) integriert. Die Stammfunktion ist \(\frac{1}{4}k^4\). Mit den Grenzen \(0\) und \(t\) folgt \(\frac{1}{4}t^4 - 0 = \frac{1}{4}t^4\). 3. In c) ist \(z\) die Integrationsvariable. \(w\) ist konstant. Die Stammfunktion von \(e^zw\) ist \(e^zw\). Einsetzen der Grenzen liefert \(e^1w - e^0w = ew - 1w = w(e - 1)\). 4. In d) ist \(w\) die Integrationsvariable. \(e^z\) ist konstant. Die Stammfunktion ist \(\frac{1}{2}w^2 \cdot e^z\). Mit den Grenzen \(0\) und \(1\) ergibt sich \(\frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot e^z - 0 = \frac{1}{2}e^z\).

a) \(\frac{1}{4}k^4\) b) \(\frac{1}{4}t^4\) c) \(w(e - 1)\) d) \(\frac{1}{2}e^z\)

- Berechne zuerst den gesamten Flächeninhalt unter der Kurve im gegebenen Intervall. - Welchen Flächeninhalt muss eine der Teilflächen haben, wenn sie „inhaltsgleich“ sind? - Die untere Teilfläche hat eine einfache geometrische Form (ein Dreieck). - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks im Koordinatensystem? - Achte darauf, ob die Gerade die Kurve innerhalb des Intervalls schneidet oder nicht.

1. Berechnung des Gesamtflächeninhalts \(A_{\text{ges}}\) unter der Kurve \(f(x) = \sqrt{x}\) von \(0\) bis \(9\): \(\int_0^9 x^{\frac{1}{2}} \, dx = [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_0^9 = \frac{2}{3} \cdot 27 = 18\). 2. Da die Fläche halbiert werden soll, muss jede Teilfläche den Inhalt \(9\) haben. 3. Die Gerade \(y = mx\) bildet mit der \(x\)-Achse und der vertikalen Geraden \(x = 9\) ein rechtwinkliges Dreieck, sofern sie die Kurve im Intervall \([0; 9]\) nicht überschreitet. 4. Die Eckpunkte dieses Dreiecks sind \((0\mid 0)\), \((9\mid 0)\) und \((9\mid 9m)\). 5. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9m = 40{,}5m\). 6. Setze den Dreiecksinhalt gleich der Hälfte der Gesamtfläche: \(40{,}5m = 9 \implies m = \frac{9}{40{,}5} = \frac{18}{81} = \frac{2}{9}\). 7. Überprüfung der Lage: Aus \(\sqrt{x} = \frac{2}{9}x\) folgen die Schnittstellen \(x = 0\) und \(x = \frac{81}{4} = 20{,}25\). Da die zweite Schnittstelle rechts von \(9\) liegt, verläuft die Gerade im Intervall \((0; 9]\) vollständig unterhalb des Graphen von \(f\).

\(m = \frac{2}{9}\)

- An welchen Stellen schneidet oder berührt der Graph die \(x\)-Achse? - In welchem Bereich liegt die eingeschlossene Fläche? - Wie berechnet man den Inhalt einer Fläche zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse? - Stelle eine Gleichung für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(k\) auf.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f_k\): \(x \cdot (x - k)^2 = 0\) liefert \(x_1 = 0\) und \(x_2 = k\) (doppelte Nullstelle). 2. Da \(k > 0\) und der Faktor \((x - k)^2\) stets nicht-negativ ist, ist \(f_k(x) \geq 0\) für alle \(x \in [0; k]\). 3. Berechnung des Flächeninhalts über das Integral: \(A = \int_{0}^{k} (x^3 - 2kx^2 + k^2x) \, dx = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}kx^3 + \frac{1}{2}k^2x^2]_0^k\). 4. Einsetzen der Grenzen ergibt \(A = \frac{1}{4}k^4 - \frac{2}{3}k^4 + \frac{1}{2}k^4 = \frac{3-8+6}{12}k^4 = \frac{1}{12}k^4\). 5. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(\frac{1}{12}k^4 = 6{,}75\). 6. Auflösen nach \(k\): \(k^4 = 81\), woraus wegen \(k > 0\) folgt: \(k = 3\).

\(k = 3\)

- Überlege zuerst, an welchen Stellen der Graph die \(x\)-Achse schneidet. - Nutze die Symmetrie der Funktion aus, um die Rechnung zu vereinfachen. - Stelle einen allgemeinen Term für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(a\) auf. - Wie kannst du eine Potenzgleichung der Form \(a^n = c\) lösen?

1. Nullstellen bestimmen: \(f_a(x) = a x^2 (a^2 - x^2) = 0\) liefert die Schnittstellen mit der \(x\)-Achse bei \(x_1 = 0\) sowie \(x_{2,3} = \pm a\). 2. Symmetrie und Integral aufstellen: Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse und der Lage des Graphen oberhalb der \(x\)-Achse im Intervall \([-a; a]\) berechnet sich der Flächeninhalt durch \(A = 2 \cdot \int_{0}^{a} (a^3 x^2 - a x^4) \, dx\). 3. Integration: \(2 \cdot [\frac{1}{3}a^3 x^3 - \frac{1}{5}a x^5]_{0}^{a} = 2 \cdot (\frac{1}{3}a^6 - \frac{1}{5}a^6) = \frac{4}{15}a^6\). 4. Gleichung lösen: Den Term für den Flächeninhalt mit dem Zielwert gleichsetzen: \(\frac{4}{15}a^6 = \frac{256}{15}\). Daraus folgt \(a^6 = 64\). 5. Ergebnis: Da \(a > 0\) gefordert ist, ergibt sich \(a = \sqrt[6]{64} = 2\).

\(a = 2\)

- Beginne damit, die Schnittpunkte des Graphen mit der \(x\)-Achse zu finden. Diese hängen von \(k\) ab. - Erinnere dich daran, wie man das bestimmte Integral einer Potenzfunktion bildet. - Achte beim Einsetzen der Grenzen besonders auf die Potenzgesetze, wenn du Terme wie \((k^{\frac{3}{2}})^3\) vereinfachst. - Setze dein Ergebnis für das Integral mit dem gegebenen Flächeninhalt gleich und löse nach \(k\) auf.

1. Nullstellen berechnen: Die Gleichung \(k - \frac{1}{k^2} x^2 = 0\) führt zu \(x^2 = k^3\), also \(x_{1,2} = \pm \sqrt{k^3} = \pm k^{\frac{3}{2}}\). 2. Integral für den Flächeninhalt aufstellen: \(A = \int_{-k^{\frac{3}{2}}}^{k^{\frac{3}{2}}} (k - \frac{1}{k^2} x^2) \, dx\). Unter Ausnutzung der Symmetrie gilt \(A = 2 \cdot \int_{0}^{k^{\frac{3}{2}}} (k - \frac{1}{k^2} x^2) \, dx\). 3. Stammfunktion und Auswertung: \(2 \cdot [kx - \frac{1}{3k^2}x^3]_{0}^{k^{\frac{3}{2}}} = 2 \cdot (k \cdot k^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3k^2} (k^{\frac{3}{2}})^3) = 2 \cdot (k^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3}k^{\frac{5}{2}}) = \frac{4}{3}k^{\frac{5}{2}}\). 4. Parameter bestimmen: Die Bedingung \(\frac{4}{3}k^{\frac{5}{2}} = \frac{128}{3}\) führt auf \(k^{\frac{5}{2}} = 32\). 5. Ergebnis: Durch Umstellen der Potenz ergibt sich \(k = 32^{\frac{2}{5}} = 4\).

\(k = 4\)

- Welche Nullstellen begrenzen die Fläche im ersten Quadranten? - Was passiert mit Integrand und Differential, wenn du \(x=ku\) setzt? - Trenne nach der Skalierung alle Potenzen von \(k\) vom verbleibenden Integral. - Nutze die gefundene Potenzabhängigkeit auch für c).

1. Die positiven Nullstellen liegen bei \(x=0\) und \(x=k\). Daher ist \(A(k)=\int_0^k\left(x^2-\frac{x^3}{k}\right)\,\text{d}x\). 2. Mit \(x=ku\) und \(\text{d}x=k\,\text{d}u\) wird daraus \(A(k)=k^3\int_0^1(u^2-u^3)\,\text{d}u=k^3\left(\frac13-\frac14\right)=\frac1{12}k^3\). 3. Aus \(\frac1{12}k^3=18\) folgt \(k^3=216\) und damit \(k=6\). 4. \(A(2k)=\frac1{12}(2k)^3=8A(k)\).

a) \(A(k)=\frac1{12}k^3\) b) \(k=6\) c) Der Flächeninhalt wird mit dem Faktor \(8\) multipliziert.

- Welche Symmetrie weist der Funktionsterm auf? Das kann die Rechnung vereinfachen. - Bestimme die Stellen, an denen der Graph die Achse berührt oder schneidet. - Achte beim Integrieren darauf, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der Achse liegt. - Der gesamte Flächeninhalt ist die Summe der Inhalte der einzelnen Teilstücke.

1. Berechnung der Nullstellen von \(f_a\): \(\frac{1}{a^2}x^4 - x^2 = 0 \iff x^2(\frac{x^2}{a^2} - 1) = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = a\) und \(x_3 = -a\). 2. Nutzung der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse: Der Gesamtflächeninhalt ist \(A = 2 \cdot \left| \int_{0}^{a} (\frac{1}{a^2}x^4 - x^2) \, dx \right|\). Da der Graph im Intervall \([0; a]\) unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, gilt \(A = 2 \cdot \int_{0}^{a} (x^2 - \frac{1}{a^2}x^4) \, dx\). 3. Integration und Auswertung: \(2 \cdot [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{5a^2}x^5]_0^a = 2 \cdot (\frac{a^3}{3} - \frac{a^5}{5a^2}) = 2 \cdot (\frac{a^3}{3} - \frac{a^3}{5}) = 2 \cdot \frac{2a^3}{15} = \frac{4}{15}a^3\). 4. Bestimmung von \(a\): \(\frac{4}{15}a^3 = 7{,}2 \iff 4a^3 = 108 \iff a^3 = 27 \iff a = 3\).

\(a = 3\)

- Nutze zuerst die Achsensymmetrie, damit nur von \(0\) bis \(k\) integriert werden muss. - Welche Potenz von \(k\) entsteht nach \(x=ku\)? - Für b) brauchst du die Integrationsrechnung nicht zu wiederholen. - Verwende für c) die in a) hergeleitete Formel.

1. Die Nullstellen sind \(-k\), \(0\) und \(k\), und \(g_k\ge0\) auf \([-k;k]\). Wegen der Symmetrie ist \(A(k)=2\int_0^k(k^2x^2-x^4)\,\text{d}x\). 2. Mit \(x=ku\) folgt \(A(k)=2k^5\int_0^1(u^2-u^4)\,\text{d}u=2k^5\left(\frac13-\frac15\right)=\frac4{15}k^5\). 3. Daher ist \(\frac{A(2k)}{A(k)}=2^5=32\). 4. Aus \(\frac4{15}k^5=64{,}8\) folgt \(k^5=243\), also \(k=3\).

a) \(A(k)=\frac4{15}k^5\) b) \(\frac{A(2k)}{A(k)}=32\) c) \(k=3\)

- Wie findest du die Stellen, an denen der Graph die horizontale Achse schneidet? - Kannst du den Funktionsterm so umschreiben, dass er aus einzelnen Summanden besteht, die leicht zu integrieren sind? - Welche Rechenregeln für Logarithmen könnten dir helfen, den Ausdruck am Ende zu vereinfachen? - Überlege dir, ob das Integral in diesem Intervall einen positiven oder negativen Wert liefert.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f_a\): Der Zähler \((x-a)(4a-x)\) wird Null für \(x_1 = a\) und \(x_2 = 4a\). Da \(a > 0\), liegen beide Nullstellen im Definitionsbereich. 2. Umformung des Funktionsterms für die Integration: Durch Ausmultiplizieren und Division durch \(x^2\) ergibt sich \(f_a(x) = \frac{-x^2 + 5ax - 4a^2}{x^2} = -1 + \frac{5a}{x} - 4a^2 x^{-2}\). 3. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F_a(x) = -x + 5a \ln(x) + \frac{4a^2}{x}\). 4. Berechnung des Integrals über dem Intervall \([a; 4a]\): \(F_a(4a) = -4a + 5a \ln(4a) + \frac{4a^2}{4a} = -3a + 5a \ln(4a)\). \(F_a(a) = -a + 5a \ln(a) + \frac{4a^2}{a} = 3a + 5a \ln(a)\). 5. Differenzbildung: \(\int_a^{4a} f_a(x) \,\text{d}x = (-3a + 5a \ln(4a)) - (3a + 5a \ln(a)) = -6a + 5a(\ln(4a) - \ln(a)) = 5a \ln(4) - 6a\). 6. Da \(5 \ln(4) \approx 6{,}93 > 6\), ist das Integral positiv und entspricht dem Flächeninhalt \(A = a(10 \ln(2) - 6)\).

Der Flächeninhalt beträgt \(A = a(10 \ln(2) - 6)\) Flächeneinheiten.

- Wo schneidet der Graph die Koordinatenachsen? - In welchem Bereich verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse? - Für \(e^{x/k}\) kannst du die Stammfunktionsregel für eine lineare innere Funktion verwenden. - Was musst du beachten, wenn das Integral ein negatives Vorzeichen liefert, du aber einen Flächeninhalt suchst?

1. Bestimmung der Schnittpunkte mit den Achsen: Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(f_k(0) = e^0 - e = 1 - e\). Die Nullstelle ergibt sich aus \(e^{x/k} - e = 0 \Rightarrow e^{x/k} = e^1 \Rightarrow \frac{x}{k} = 1 \Rightarrow x = k\). 2. Die Fläche liegt im Intervall \([0; k]\). Da \(f_k(x) \leq 0\) für \(x \in [0; k]\), berechnet sich der Flächeninhalt über \(A = -\int_0^k (e^{x/k} - e) \, dx = \int_0^k (e - e^{x/k}) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion von \(g(x) = e - e^{x/k}\): \(G(x) = ex - k e^{x/k}\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(G(k) = e \cdot k - k \cdot e^{k/k} = ek - ek = 0\). Außerdem ist \(G(0) = e \cdot 0 - k \cdot e^0 = -k\). 5. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = G(k) - G(0) = 0 - (-k) = k\).

Der Flächeninhalt beträgt \(A = k\) Flächeneinheiten.

- Wie lautet die allgemeine Formel für die Berechnung eines Flächeninhalts zwischen Graph und \(x\)-Achse? - Welche Stammfunktionen haben Sinus und Kosinus? - Achte beim Einsetzen der Werte in die Stammfunktion auf die Vorzeichen im Einheitskreis. - Wie kannst du eine Gleichung nach dem gesuchten Parameter auflösen?

1. Eine Stammfunktion von \(g_t(x) = t \cdot (\sin x + \cos x)\) ist \(G_t(x) = t \cdot (-\cos x + \sin x)\). 2. Der Flächeninhalt wird über das bestimmte Integral berechnet: \(A_t = \left| \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{7\pi}{4}} g_t(x) \, dx \right| = |G_t(\frac{7}{4}\pi) - G_t(\frac{3}{4}\pi)|\). 3. Einsetzen der Grenzen: \(G_t(\frac{7}{4}\pi) = t \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = -t\sqrt{2}\) und \(G_t(\frac{3}{4}\pi) = t \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = t\sqrt{2}\). 4. Die Differenz ergibt \(A_t = |-t\sqrt{2} - t\sqrt{2}| = 2\sqrt{2}t\). 5. Für Teilaufgabe b) wird die Gleichung \(2\sqrt{2}t = 4\sqrt{2}\) gelöst, woraus \(t = 2\) folgt.

a) \(A_t = 2\sqrt{2}t\) b) \(t = 2\)

- Nutze die notwendige Bedingung für Extrema, indem du die erste Ableitung der Funktion bildest und null setzt. - Achte beim Lösen der trigonometrischen Gleichung auf das vorgegebene Intervall für \(x\). - Überlege dir vor der Flächenberechnung, ob der Graph die \(x\)-Achse im Intervall schneidet oder oberhalb verläuft. - Für \(\sin(2x)\) kannst du die Stammfunktionsregel für eine lineare innere Funktion verwenden.

1. Zur Bestimmung der Extremstellen wird die erste Ableitung \(f_k'(x) = 2k \cos(2x)\) gleich null gesetzt. Im Intervall \([0; \pi]\) liefert \(\cos(2x) = 0\) die Stellen \(x_1 = \frac{\pi}{4}\) und \(x_2 = \frac{3\pi}{4}\). Mit \(f_k''(x) = -4k \sin(2x)\) folgt \(f_k''(\frac{\pi}{4})=-4k<0\) und \(f_k''(\frac{3\pi}{4})=4k>0\). Damit sind die Extrempunkte \(H(\frac{\pi}{4}\mid 3k)\) und \(T(\frac{3\pi}{4}\mid k)\). 2. Da \(k > 0\) und \(\sin(2x) \geq -1\), ist \(f_k(x) = k(\sin(2x)+2)>0\). Daher gilt \(A=\int_0^{\pi}(k\sin(2x)+2k)\,dx\). 3. Eine Stammfunktion ist \(F_k(x)=-\frac{k}{2}\cos(2x)+2kx\). Damit ist \(A=[-\frac{k}{2}\cos(2x)+2kx]_0^{\pi}=2\pi k\).

1. Die Extrempunkte sind der Hochpunkt \(H\left(\frac{\pi}{4} \mid 3k\right)\) und der Tiefpunkt \(T\left(\frac{3\pi}{4} \mid k\right)\). 2. Der Flächeninhalt beträgt \(A = 2\pi k\).

- Bestimme zuerst die Ableitung und untersuche ihren Vorzeichenwechsel am kritischen Punkt. - Welche Integrationsgrenzen ergeben sich aus der \(x\)-Koordinate des Hochpunkts? - Nutze die im Aufgabentext angegebene Stammfunktion für die Flächenberechnung. - Woran erkennst du am Endergebnis, ob der Flächeninhalt vom Parameter abhängt?

1. Es ist \(f_a'(x)=a^2(1-ax)e^{-ax}\). Wegen \(e^{-ax}>0\) folgt aus \(f_a'(x)=0\) die Stelle \(x_H=\frac1a\). Vor dieser Stelle ist \(f_a'(x)>0\), danach \(f_a'(x)<0\). Damit liegt der lokale Hochpunkt bei \(H(\frac1a\mid \frac{a}{e})\). 2. Der Flächeninhalt ist \(A=\int_0^{1/a}a^2xe^{-ax}\,dx\). Die angegebene Stammfunktion erfüllt \(F_a'(x)=a^2xe^{-ax}\). 3. Einsetzen der Grenzen liefert \(A=F_a(\frac1a)-F_a(0)=-2e^{-1}-(-1)=1-\frac2e\). 4. Das Ergebnis enthält den Parameter \(a\) nicht; der Flächeninhalt ist daher für alle \(a>0\) gleich.

1. Hochpunkt \(H\left(\frac{1}{a} \mid \frac{a}{e}\right)\) 2. Der Flächeninhalt beträgt \(A = 1 - \frac{2}{e} \approx 0{,}264\). Da das Ergebnis keinen Parameter \(a\) mehr enthält, ist die Fläche unabhängig von \(a\).

- Welche Bedingung muss an der Stelle des lokalen Maximums erfüllt sein? - Welche Größen in der Aufgabe hängen vom Parameter \(k\) ab? - Untersuche die Struktur des Integranden, bevor du eine Stammfunktion suchst. - Woran würdest du im Endergebnis erkennen, dass der Flächeninhalt unabhängig von \(k\) ist?

1. Die erste Ableitung lautet \(g_k'(x)=\frac{x(2k^3-x^3)}{(x^3+k^3)^2}\). Für \(x>0\) ergibt \(g_k'(x)=0\) die Stelle \(x_M=\sqrt[3]{2}\,k\); dort wechselt die Ableitung von positiv zu negativ. 2. Der Flächeninhalt ist \(A=\int_0^{\sqrt[3]{2}k}\frac{x^2}{x^3+k^3}\,dx\). Eine Stammfunktion ist \(\frac13\ln(x^3+k^3)\), da der Zähler bis auf den Faktor \(3\) die Ableitung des Nenners ist. 3. Damit folgt \(A=\frac13\left(\ln(3k^3)-\ln(k^3)\right)=\frac13\ln3\). 4. Das Ergebnis enthält \(k\) nicht; der Flächeninhalt ist daher für alle \(k>0\) gleich.

\(x_M=\sqrt[3]{2}\,k\) und \(A=\frac13\ln3\approx0{,}366\). Der Flächeninhalt ist unabhängig von \(k\).

- Nutze den Satz vom Nullprodukt für die Nullstellen. - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für Extrema (erste und zweite Ableitung). - Für die Fläche musst du die Funktion über dem Intervall zwischen den Nullstellen integrieren. - Achte beim Auflösen der Gleichung nach \(k\) auf die Potenzgesetze.

1. Nullstellen: \(x^3(k - x) = 0\) ergibt die dreifache Nullstelle \(x_1 = 0\) und die einfache Nullstelle \(x_2 = k\). 2. Ableitungen: \(f_k(x) = kx^3 - x^4\), \(f_k'(x) = 3kx^2 - 4x^3\), \(f_k''(x) = 6kx - 12x^2\). 3. Extrempunkt: \(f_k'(x) = x^2(3k - 4x) = 0\) liefert \(x = 0\) (Sattelpunkt, da \(f_k''(0) = 0\) und \(f_k'''(0) \neq 0\)) und \(x_E = \frac{3}{4}k\). 4. Art und \(y\)-Wert: \(f_k''(\frac{3}{4}k) = 6k(\frac{3}{4}k) - 12(\frac{9}{16}k^2) = \frac{18}{4}k^2 - \frac{27}{4}k^2 = -2{,}25k^2 < 0\), also ein lokales Maximum. \(y_E = f_k(\frac{3}{4}k) = (\frac{3}{4}k)^3(k - \frac{3}{4}k) = \frac{27k^3}{64} \cdot \frac{k}{4} = \frac{27}{256}k^4\). Der Hochpunkt liegt bei \(H(\frac{3}{4}k \mid \frac{27}{256}k^4)\). 5. Flächeninhalt: \(A(k) = \int_{0}^{k} (kx^3 - x^4) \, dx = [\frac{k}{4}x^4 - \frac{1}{5}x^5]_0^k = \frac{k^5}{4} - \frac{k^5}{5} = \frac{k^5}{20}\). 6. Bestimmung von \(k\): \(\frac{k^5}{20} = 51{,}2 \implies k^5 = 1024 \implies k = \sqrt[5]{1024} = 4\).

a) Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x = k\); Hochpunkt bei \(H(\frac{3}{4}k \mid \frac{27}{256}k^4)\). b) \(A(k) = \frac{1}{20}k^5\). c) \(k = 4\).

- Welche Nullstellen bestimmen die Grenzen der eingeschlossenen Parabelfläche? - Wie findest du die Höhe des Hochpunkts der Parabel? - Wie setzt sich der Flächeninhalt des Rechtecks aus Breite und Höhe zusammen? - Welche Gleichung entsteht, wenn beide Flächeninhalte gleich sein sollen?

1. Die Nullstellen von \(f_a(x)=x(a-x)\) sind \(0\) und \(a\). Daher ist \(A_1=\int_0^a(ax-x^2)\,dx=[\frac a2x^2-\frac13x^3]_0^a=\frac16a^3\). 2. Der Hochpunkt liegt bei \(x=\frac a2\) und hat die Höhe \(f_a(\frac a2)=\frac{a^2}{4}\). 3. Das Rechteck hat deshalb den Inhalt \(A_2=4\cdot\frac{a^2}{4}=a^2\). 4. Aus \(\frac16a^3=a^2\) und \(a>0\) folgt \(a=6\).

a) \(A_1=\frac16a^3\) b) \(a=6\)

- Welche Gleichung entsteht beim Gleichsetzen von \(f_a\) und \(f_{a-1}\)? - Was bedeutet es, wenn der Parameter aus dieser Gleichung vollständig verschwindet? - Welche Differenzfunktion beschreibt den vertikalen Abstand der Graphen zwischen den Schnittpunkten? - Woran erkennst du am Flächenterm die Unabhängigkeit von \(a\)?

1. Aus \(f_a(x)=f_{a-1}(x)\) folgt \(x^2-x=0\), also \(x=0\) oder \(x=1\). Einsetzen liefert \(P_1(0\mid0)\) und \(P_2(1\mid1)\), unabhängig von \(a\). 2. Es gilt \(f_a(x)-f_{a-1}(x)=x-x^2=x(1-x)\ge0\) für \(x\in[0;1]\). 3. Daher ist \(A=\int_0^1(x-x^2)\,dx=[\frac12x^2-\frac13x^3]_0^1=\frac16\). 4. Weder Differenzfunktion noch Integrationsgrenzen enthalten \(a\); der Flächeninhalt ist deshalb parameterunabhängig.

a) Die Schnittpunkte sind für alle \(a\) die Punkte \(P_1(0\mid0)\) und \(P_2(1\mid1)\). b) \(A=\frac16\)

- Welche Nullstellen begrenzen die Fläche? - Welche Symmetrie kann die Integralrechnung verkürzen? - Wie hängt die obere Integrationsgrenze vom Parameter ab? - Welche Potenzgleichung entsteht aus der vorgegebenen Fläche?

1. Die Nullstellen sind \(x=\pm\sqrt{k}\). Wegen der Achsensymmetrie gilt \(A(k)=2\int_0^{\sqrt{k}}(k-x^2)\,dx\). 2. Damit folgt \(A(k)=2[kx-\frac13x^3]_0^{\sqrt{k}}=\frac43k^{3/2}\). 3. Aus \(\frac43k^{3/2}=36\) folgt \(k^{3/2}=27\) und damit \(k=9\).

a) \(A(k)=\frac43k^{3/2}\) b) \(k=9\)

- Bestimme zunächst die Breite des Rechtecks, indem du den Abstand zwischen den beiden Nullstellen berechnest. - Die Höhe des Rechtecks entspricht dem \(y\)-Wert des Scheitelpunkts der Parabel. - Nutze die Symmetrie der Parabel zur \(y\)-Achse, um das Integral einfacher zu berechnen. - Formuliere eine Gleichung für den Unterschied zwischen dem Rechtecksinhalt und dem Integralwert. - Löse die resultierende Potenzgleichung nach dem gesuchten Parameter auf.

1. Die Nullstellen von \(f_a(x) = a^2 - x^2\) liegen bei \(x = a\) und \(x = -a\). 2. Berechnung des Flächeninhalts der Parabel: \(A(a) = \int_{-a}^{a} (a^2 - x^2) \, dx = \left[ a^2x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-a}^{a} = (a^3 - \frac{1}{3}a^3) - (-a^3 + \frac{1}{3}a^3) = \frac{2}{3}a^3 + \frac{2}{3}a^3 = \frac{4}{3}a^3\). Damit ist Teil a) gezeigt. 3. Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \(S(0 \mid a^2)\). Das beschriebene Rechteck hat somit die Breite \(b = 2a\) und die Höhe \(h = a^2\). 4. Der Flächeninhalt des Rechtecks ist \(A_{\text{Rechteck}}=2a^3\). 5. Die Bedingung lautet: \(A_{\text{Rechteck}} - A(a) = 18\). 6. Einsetzen der Terme: \(2a^3 - \frac{4}{3}a^3 = 18 \Rightarrow \frac{6}{3}a^3 - \frac{4}{3}a^3 = 18 \Rightarrow \frac{2}{3}a^3 = 18\). 7. Auflösen nach \(a\): \(a^3 = 18 \cdot \frac{3}{2} = 27 \Rightarrow a = \sqrt[3]{27} = 3\).

a) Nachweis durch \(\int_{-a}^{a} (a^2 - x^2) \, dx = \frac{4}{3}a^3\). b) Der gesuchte Wert ist \(a = 3\).

- Nutze zunächst die Summenregel für Integrale. - Vergleiche das Verhalten der beiden Summanden bei der Ersetzung \(x\mapsto -x\). - Welche Rolle spielt ein fester Parameter bei der Integration nach \(x\)?

1. Mit der Summenregel gilt \(J(a)=\int_{-1}^{1}x^2\,\mathrm{d}x+a\int_{-1}^{1}x\,\mathrm{d}x\). 2. Der Integrand \(x\) ist ungerade. Auf dem symmetrischen Intervall \([-1;1]\) heben sich seine positiven und negativen Flächenbeiträge auf. Der parameterabhängige Anteil trägt daher \(0\) zur Flächenbilanz bei. 3. Für den parameterfreien Anteil gilt \(\int_{-1}^{1}x^2\,\mathrm{d}x=\frac23\). Somit ist \(J(a)=\frac23\) für jedes \(a\in\mathbb{R}\). 4. \(x\) ist die Integrationsvariable. Der Parameter \(a\) wird bei jeder einzelnen Integration als feste Zahl behandelt.

a) Nur der gerade Anteil \(x^2\) beeinflusst die Flächenbilanz; der Anteil \(ax\) liefert auf \([-1;1]\) den Integralwert \(0\). b) \(J(a)=\frac23\) für alle \(a\in\mathbb{R}\); der Integralwert ist unabhängig von \(a\). c) \(x\) ist die Integrationsvariable, \(a\) ein während der Integration festgehaltener Parameter.

- Überlege dir zuerst, wie groß die gesamte Fläche ist, die von der Parabel und der \(x\)-Achse eingeschlossen wird. - Skizziere die Situation, um zu sehen, welche Teilfläche (die obere oder die untere) sich leichter mit einem Integral in Abhängigkeit von \(c\) beschreiben lässt. - Wie hängen die Schnittstellen der Geraden \(y=c\) mit der Funktion von dem Wert \(c\) ab? - Nutze Symmetrieeigenschaften der Parabel, um die Berechnungen zu vereinfachen.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f(x) = 4 - x^2\): \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). 2. Berechnung des gesamten Flächeninhalts zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse: \(A_{\text{ges}} = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx = \left[ 4x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-2}^{2} = \frac{16}{3} - \left( -\frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3}\). 3. Die gesuchte Gerade \(y = c\) zerlegt die Fläche in zwei gleiche Teile, sodass die obere Teilfläche \(A_{\text{oben}} = \frac{16}{3}\) beträgt. 4. Die Schnittstellen von \(f(x) = 4 - x^2\) und \(y = c\) liegen bei \(x = \pm \sqrt{4-c}\). 5. Aufstellen des Integrals für die obere Teilfläche: \(\int_{-\sqrt{4-c}}^{\sqrt{4-c}} (4 - x^2 - c) \, dx = \frac{16}{3}\). 6. Mit der Substitution \(u = 4 - c\) ergibt das Integral \(\frac{4}{3}u^{\frac{3}{2}} = \frac{16}{3}\). 7. Lösen nach \(u\): \(u^{\frac{3}{2}} = 4 \Rightarrow u = 4^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{16} = 2\sqrt[3]{2}\). 8. Berechnung von \(c\): \(4 - c = 2\sqrt[3]{2} \Rightarrow c = 4 - 2\sqrt[3]{2}\).

\(c = 4 - \sqrt[3]{16}\) (oder \(c = 4 - 2\sqrt[3]{2}\))

- Bestimme zuerst den gesamten Flächeninhalt zwischen der Parabel und der oberen Begrenzungslinie. - In welchem Verhältnis stehen die untere Teilfläche und die Gesamtfläche zueinander? - Stelle eine Formel für die untere Teilfläche in Abhängigkeit von \(c\) auf. Erinnere dich daran, dass diese Fläche zwischen dem Graphen und der Geraden \(y=c\) liegt. - Setze den Ausdruck für die Teilfläche mit dem entsprechenden Anteil der Gesamtfläche gleich und löse nach \(c\) auf.

1. Berechnung des gesamten Flächeninhalts zwischen \(f(x) = x^2\) und \(y = 4\): Die Schnittpunkte liegen bei \(x = \pm 2\). \(A_{\text{ges}} = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx = \frac{32}{3}\). 2. Bedingung für die Teilflächen: Die obere Fläche \(A_2\) ist doppelt so groß wie die untere Fläche \(A_1\). Es gilt \(A_1 + A_2 = A_{\text{ges}}\) und \(A_2 = 2A_1\), woraus folgt \(3A_1 = A_{\text{ges}}\), also \(A_1 = \frac{32}{9}\). 3. Die untere Teilfläche \(A_1\) liegt zwischen \(y = x^2\) und \(y = c\). Die Schnittstellen sind \(x = \pm \sqrt{c}\). 4. Aufstellen des Integrals für \(A_1\): \(\int_{-\sqrt{c}}^{\sqrt{c}} (c - x^2) \, dx = \left[ cx - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-\sqrt{c}}^{\sqrt{c}} = \frac{4}{3}c^{\frac{3}{2}}\). 5. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(\frac{4}{3}c^{\frac{3}{2}} = \frac{32}{9}\). 6. Lösen nach \(c\): \(c^{\frac{3}{2}} = \frac{32}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{8}{3}\). 7. \(c = \left( \frac{8}{3} \right)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{\frac{64}{9}} = \frac{4}{\sqrt[3]{9}}\).

\(c = \sqrt[3]{\frac{64}{9}}\) (oder \(c = \frac{4}{\sqrt[3]{9}}\))

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? - Schau dir den Funktionsterm genau an: Liegt eine Symmetrie vor, die die Rechnung vereinfachen könnte? - Achte darauf, dass bei Flächenstücken unterhalb der \(x\)-Achse das Integral negativ ist, der Flächeninhalt aber positiv gezählt wird. - Stelle eine Gleichung auf, die den gesamten Flächeninhalt mit dem Parameter \(a\) verknüpft.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(g_a\): \(x(a^2 - x^2) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = a, x_3 = -a\). 2. Ausnutzung der Symmetrie: Da \(g_a\) eine ungerade Funktion ist (\(g_a(-x) = -g_a(x)\)), sind die beiden Flächenstücke zwischen \([-a; 0]\) und \([0; a]\) inhaltsgleich. Der Gesamtinhalt ist \(A_{\text{ges}} = 2 \cdot \int_{0}^{a} (a^2x - x^3) \, dx\). 3. Berechnung des Teilintegrals: \(\int_{0}^{a} (a^2x - x^3) \, dx = \left[ \frac{1}{2}a^2x^2 - \frac{1}{4}x^4 \right]_{0}^{a} = \frac{1}{2}a^4 - \frac{1}{4}a^4 = \frac{1}{4}a^4\). 4. Bestimmung des Gesamtinhalts in Abhängigkeit von \(a\): \(A_{\text{ges}} = 2 \cdot \frac{1}{4}a^4 = \frac{1}{2}a^4\). 5. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(\frac{1}{2}a^4 = 8 \Rightarrow a^4 = 16\). 6. Lösung für \(a\): Da \(a > 0\), ergibt sich \(a = 2\).

\(a = 2\)

- Wie weist man nach, dass ein Graph durch den Koordinatenursprung verläuft? - Nutze die Stammfunktion, um das Integral in Abhängigkeit von \(k\) zu berechnen und setze das Ergebnis gleich null. - Achte bei der Symmetrieuntersuchung auf die Exponenten der ganzrationalen Funktion. - Ein Gegenbeispiel muss alle Voraussetzungen einer Behauptung erfüllen, aber die Schlussfolgerung verletzen.

1. Einsetzen von \(x = 0\) ergibt \(f_k(0) = 0^4 + k \cdot 0^2 = 0\). Somit verlaufen alle Graphen durch den Ursprung. 2. Berechnung des Integrals: \(\int_{-2}^{2} (x^4 + kx^2) \, dx = [\frac{1}{5}x^5 + \frac{k}{3}x^3]_{-2}^{2} = (\frac{32}{5} + \frac{8k}{3}) - (-\frac{32}{5} - \frac{8k}{3}) = \frac{64}{5} + \frac{16}{3}k\). 3. Bestimmung von \(k\): \(\frac{64}{5} + \frac{16}{3}k = 0 \implies \frac{16}{3}k = -12{,}8 \implies k = -12{,}8 \cdot \frac{3}{16} = -2{,}4\). 4. Symmetrie für \(k = -2{,}4\): \(f_{-2{,}4}(x) = x^4 - 2{,}4x^2\). Da nur gerade Exponenten auftreten, gilt \(f_{-2{,}4}(-x) = f_{-2{,}4}(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Da die Funktion nicht die Nullfunktion ist, kann sie nicht gleichzeitig punktsymmetrisch zum Ursprung sein. 5. Schlussfolgerung: Das Beispiel zeigt eine Funktion, die beide Bedingungen erfüllt (\(f(0)=0\) und Integral über \([-2; 2]\) ist null), aber dennoch achsensymmetrisch statt punktsymmetrisch ist. Die Behauptung ist somit falsch.

1. \(f_k(0) = 0^4 + k \cdot 0^2 = 0\). 2. \(k = -2{,}4\). 3. Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(f(-x) = f(x)\) gilt. 4. Die Funktion \(f(x) = x^4 - 2{,}4x^2\) dient als Gegenbeispiel, da sie trotz \(f(0)=0\) und einem Integralwert von null über \([-2; 2]\) achsensymmetrisch und nicht punktsymmetrisch ist.

- Wann hat eine Parabel der Form \(x^2 - k\) zwei Schnittstellen mit der \(x\)-Achse? - Wie verändert sich die Lage des Scheitelpunkts, wenn \(k\) variiert wird? - Nutze die Symmetrie der Parabel zur \(y\)-Achse, um die Berechnung des Integrals zu vereinfachen. - Wenn du eine Gleichung mit einer Wurzel oder einer gebrochenen Potenz hast, versuche beide Seiten so zu potenzieren, dass die Wurzel verschwindet.

1. Bedingung für Fläche: Eine Fläche wird nur eingeschlossen, wenn der Graph zwei Nullstellen besitzt. Da \(g_k(x) = x^2 - k\) eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt \(S(0\mid -k)\) ist, existieren zwei Nullstellen bei \(x = \pm\sqrt{k}\) genau dann, wenn \(k > 0\) gilt. Für \(k = 0\) gibt es nur eine Nullstelle im Ursprung; für \(k < 0\) liegt der gesamte Graph oberhalb der \(x\)-Achse. In beiden Fällen wird keine Fläche eingeschlossen. 2. Integral aufstellen: Für \(k > 0\) liegt die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse. \(A = \left| \int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} (x^2 - k) \, dx \right| = \left| \left[ \frac{1}{3}x^3 - kx \right]_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} \right| = \left| (\frac{1}{3}k\sqrt{k} - k\sqrt{k}) - (-\frac{1}{3}k\sqrt{k} + k\sqrt{k}) \right| = \left| -\frac{4}{3}k\sqrt{k} \right| = \frac{4}{3}k\sqrt{k} = \frac{4}{3}k^{\frac{3}{2}}\). 3. Parameter berechnen: \(\frac{4}{3}k^{\frac{3}{2}} = \frac{32}{3} \Leftrightarrow k^{\frac{3}{2}} = 8 \Leftrightarrow (k^{\frac{1}{2}})^3 = 8 \Leftrightarrow \sqrt{k} = 2 \Leftrightarrow k = 4\).

1. Eine Fläche wird nur für \(k > 0\) eingeschlossen. Der Scheitelpunkt liegt dann unterhalb der \(x\)-Achse. 2. \(k = 4\)

- Welche ersten beiden Ableitungen brauchst du, um den Hochpunkt zu bestimmen? - Wie lautet die Tangente in einem Extrempunkt mit Funktionswert \(0\)? - Drücke den Flächeninhalt zunächst in Abhängigkeit von \(k\) aus.

1. Es gilt \(g_k'(x)=k(-3x^2+12x-9)\) und \(g_k''(x)=k(-6x+12)\). Die stationären Stellen sind \(x=1\) und \(x=3\). Wegen \(g_k''(3)=-6k<0\) liegt der Hochpunkt bei \(x=3\). 2. Es ist \(g_k(3)=0\), daher lautet die Tangente \(y=0\). 3. Aus \(g_k(x)=0\) folgt \(-kx(x-3)^2=0\). Neben dem Berührpunkt \(x=3\) liegt der weitere Schnittpunkt bei \(x=0\). 4. Auf \([0;3]\) liegt der Graph unterhalb der Tangente. Daher ist \(A(k)=k\int_0^3(x^3-6x^2+9x)\,\text{d}x=\frac{27}{4}k=6{,}75k\). 5. Aus \(6{,}75k=108\) folgt \(k=16\).

\(k=16\)

- Bestimme zuerst die Schnittpunkte der beiden Funktionen in Abhängigkeit von \(k\). - Achte darauf, welche Funktion im Bereich zwischen den Schnittstellen die größeren Funktionswerte besitzt. - Wie verändert sich die Form der Parabel, wenn \(k\) größer oder kleiner wird? - Stelle eine Gleichung auf, in der nur noch \(k\) als Unbekannte vorkommt.

1. Bestimmung der Schnittstellen von \(f(x)\) und der Geraden \(y = 4\): \(kx^2 = 4 \implies x^2 = \frac{4}{k} \implies x_{1,2} = \pm \frac{2}{\sqrt{k}}\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt zwischen den Graphen: \(A = \int_{-\frac{2}{\sqrt{k}}}^{\frac{2}{\sqrt{k}}} (4 - kx^2) \, dx\). 3. Berechnung des Integrals unter Nutzung der Symmetrie: \(2[4x - \frac{1}{3}kx^3]_{0}^{\frac{2}{\sqrt{k}}} = 2(4 \cdot \frac{2}{\sqrt{k}} - \frac{k}{3} \cdot \frac{8}{k\sqrt{k}}) = 2(\frac{8}{\sqrt{k}} - \frac{8}{3\sqrt{k}}) = 2\frac{16}{3\sqrt{k}} = \frac{32}{3\sqrt{k}}\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert \(16\): \(\frac{32}{3\sqrt{k}} = 16 \implies \frac{2}{3\sqrt{k}} = 1 \implies 3\sqrt{k} = 2\). 5. Auflösen nach \(k\): \(\sqrt{k} = \frac{2}{3} \implies k = \frac{4}{9}\).

\(k = \frac{4}{9}\)

- Berechne zuerst den gesamten Flächeninhalt des beschriebenen Bereichs. - Überlege dir, wie du die Fläche unterteilen kannst. Eine horizontale Linie teilt die Fläche anders als eine vertikale. - Die Integrationsgrenzen hängen vom Schnittpunkt der Geraden \(y = c\) mit der Funktion ab. - Es kann hilfreich sein, die Fläche oberhalb der Geraden \(y = c\) zu betrachten, um eine Gleichung aufzustellen. - Wenn du auf eine Gleichung höheren Grades stößt, versuche eine Lösung durch Probieren kleiner ganzzahliger Werte zu finden.

1. Berechnung des gesamten Flächeninhalts: \(A_{\text{ges}} = \int_0^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^2 = \frac{8}{3}\). 2. Bestimmung des Ziel-Flächeninhalts für die Teilflächen: \(A_{\text{Teil}} = \frac{4}{3}\). 3. Aufstellen einer Gleichung für die untere Teilfläche. Diese besteht aus dem Integral unter der Parabel von \(0\) bis \(\sqrt{c}\) und einem Rechteck von \(\sqrt{c}\) bis \(2\) mit der Höhe \(c\): \(A_{\text{unten}} = \int_0^{\sqrt{c}} x^2 \, dx + (2 - \sqrt{c}) \cdot c = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^{\sqrt{c}} + 2c - c\sqrt{c} = \frac{1}{3}c\sqrt{c} + 2c - c\sqrt{c} = 2c - \frac{2}{3}c\sqrt{c}\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(2c - \frac{2}{3}c\sqrt{c} = \frac{4}{3} \implies 3c - c\sqrt{c} = 2\). 5. Substitution \(u = \sqrt{c}\) führt zur kubischen Gleichung \(u^3 - 3u^2 + 2 = 0\). 6. Durch Probieren findet man die Lösung \(u = 1\). Die weiteren Lösungen der quadratischen Gleichung \(u^2 - 2u - 2 = 0\) liegen außerhalb des Definitionsbereichs für \(u\) (da \(0 < c < 4\) gelten muss, folgt \(0 < u < 2\)). 7. Rücksubstitution: \(\sqrt{c} = 1 \implies c = 1\).

\(c = 1\)

- Was bedeutet es für die Gleichung der Geraden, dass sie eine „Ursprungsgerade“ ist? - Bestimme zuerst die Schnittpunkte der beiden Funktionen in Abhängigkeit von \(m\). - Welche Funktion liegt im betrachteten Bereich oberhalb der anderen? Ein kleiner Testwert oder eine Skizze im Kopf kann helfen. - Stelle das Integral auf und achte beim Einsetzen der oberen Grenze \(\frac{1}{m^2}\) besonders auf die Potenzgesetze. - Löse am Ende die entstandene Gleichung nach der gesuchten Steigung auf.

1. Schnittpunkte von \(f(x) = \sqrt{x}\) und \(g(x) = mx\) berechnen: \(\sqrt{x} = mx \Rightarrow x = m^2x^2 \Rightarrow x(1 - m^2x) = 0\). Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \frac{1}{m^2}\). 2. Integral für den Flächeninhalt \(A\) im Intervall \([0; \frac{1}{m^2}]\) aufstellen: \(A = \int_{0}^{\frac{1}{m^2}} (\sqrt{x} - mx) \, dx\). 3. Stammfunktion bestimmen und Integral berechnen: \(\left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{m}{2}x^2 \right]_{0}^{\frac{1}{m^2}} = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{m^2}\right)^{\frac{3}{2}} - \frac{m}{2}\left(\frac{1}{m^2}\right)^2 = \frac{2}{3m^3} - \frac{1}{2m^3} = \frac{1}{6m^3}\). 4. Den berechneten Ausdruck mit dem gegebenen Flächeninhalt gleichsetzen: \(\frac{1}{6m^3} = \frac{4}{3}\). 5. Nach \(m\) auflösen: \(3 = 24m^3 \Rightarrow m^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow m = \frac{1}{2}\).

Die Steigung der Geraden muss \(m = \frac{1}{2}\) (oder \(0{,}5\)) betragen.

- Welche Ableitung liefert die Tangentensteigungen bei \(x=-k\) und \(x=k\)? - Nutze die Achsensymmetrie der Parabel für beide Flächenberechnungen. - Vergleiche erst am Ende die beiden parameterabhängigen Flächenterme.

1. Es gilt \(f'(x)=2x\). Die Tangenten lauten daher \(y=-2kx-k^2\) und \(y=2kx-k^2\). Ihr Schnittpunkt ist \(C(0\mid-k^2)\). 2. Die Sehne \(AB\) hat die Gleichung \(y=k^2\). Daher ist \(A_1=\int_{-k}^{k}(k^2-x^2)\,\text{d}x=\frac43k^3\). 3. Wegen der Symmetrie genügt eine Hälfte: \(A_2=2\int_0^k\bigl(x^2-(2kx-k^2)\bigr)\,\text{d}x=2\int_0^k(x-k)^2\,\text{d}x=\frac23k^3\). 4. Somit ist \(A_1:A_2=\frac43k^3:\frac23k^3=2:1\), unabhängig von \(k\).

1. \(y=-2kx-k^2\), \(y=2kx-k^2\); \(C(0\mid-k^2)\) 2. \(A_1=\frac43k^3\) 3. \(A_2=\frac23k^3\) 4. \(A_1:A_2=2:1\)

- Welche Bedingung erfüllt die erste Ableitung an der Stelle eines lokalen Minimums? - Wie kannst du nach dieser Bedingung den Funktionsterm faktorisieren und seine Nullstellen bestimmen? - Wie wird aus dem gegebenen Flächeninhalt eine Gleichung für den verbleibenden Parameter? - Welche Information liefert die zweite Ableitung über die Art des Extremums?

1. Aus \(f'(x)=3ax^2+2bx\) und der Bedingung \(f'(2)=0\) folgt \(12a+4b=0\), also \(b=-3a\). 2. Damit ist \(f(x)=ax^3-3ax^2=ax^2(x-3)\). Die Nullstellen sind \(x=0\) und \(x=3\). 3. Für den eingeschlossenen Flächeninhalt gilt \(\left|\int_0^3(ax^3-3ax^2)\,\text{d}x\right|=6{,}75\). 4. Es ist \(\int_0^3(ax^3-3ax^2)\,\text{d}x=a\left[\frac14x^4-x^3\right]_0^3=-6{,}75a\). Daher gilt \(|a|=1\). 5. Mit \(f''(x)=6ax+2b=6ax-6a\) folgt \(f''(2)=6a\). Wegen des lokalen Minimums muss \(f''(2)>0\) sein, also \(a=1\). 6. Damit ist \(b=-3\).

\(a=1\) und \(b=-3\)

- Welche Potenzen dürfen bei einer zur \(y\)-Achse symmetrischen ganzrationalen Funktion 4. Grades auftreten? - Wie reduzieren die beiden Nullstellenbedingungen die Zahl der unbekannten Koeffizienten? - Nutze die Symmetrie, um den gesamten Flächeninhalt mit nur einem Integral auszudrücken. - Welche Vorzeichenbedingung liefert die zweite Ableitung für ein lokales Maximum bei \(x=0\)?

1. Wegen der Achsensymmetrie hat die Funktion die Form \(f(x)=ax^4+bx^2+c\). Aus \(f(0)=0\) folgt \(c=0\). 2. Aus \(f(2)=0\) folgt \(16a+4b=0\), also \(b=-4a\). Damit ist \(f(x)=ax^4-4ax^2\). 3. Die Nullstellen liegen bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). Wegen der Symmetrie ist der gesamte Flächeninhalt \(2\left|\int_0^2(ax^4-4ax^2)\,\text{d}x\right|\). 4. Es gilt \(\int_0^2(ax^4-4ax^2)\,\text{d}x=\left[\frac{a}{5}x^5-\frac{4a}{3}x^3\right]_0^2=-\frac{64}{15}a\). 5. Daher gilt \(2\cdot\frac{64}{15}|a|=12{,}8\), also \(|a|=\frac32\). 6. Mit \(f''(x)=12ax^2-8a\) folgt \(f''(0)=-8a\). Wegen des lokalen Maximums bei \(x=0\) muss \(f''(0)<0\) gelten, also \(a=\frac32\). 7. Damit ist \(b=-6\), also \(f(x)=1{,}5x^4-6x^2\).

\(f(x)=1{,}5x^4-6x^2\)

- Welche Begrenzungen hat die Fläche im ersten Quadranten? Bestimme den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse und die positiven Nullstellen. - Kannst du den Funktionsterm faktorisieren, um die Nullstellen leichter zu finden? - Berechne das Integral von der \(y\)-Achse bis zur ersten positiven Nullstelle. - Achte beim Lösen der Gleichung darauf, dass nur positive Werte für \(k\) gesucht sind.

1. Bestimmung der Grenzen: Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(f(0) = k^3\). Die Nullstellen der Funktion ergeben sich aus \(f(x) = (x-k)^2(x+k) = 0\) zu \(x_1 = k\) und \(x_2 = -k\). Für den ersten Quadranten ist die relevante Nullstelle \(x = k\). 2. Aufstellen des Integrals: Da der Graph für \(x \in [0; k]\) oberhalb der \(x\)-Achse verläuft, gilt \(A = \int_{0}^{k} (x^3 - kx^2 - k^2x + k^3) \, dx\). 3. Integration: \(\left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}kx^3 - \frac{1}{2}k^2x^2 + k^3x \right]_{0}^{k} = \frac{1}{4}k^4 - \frac{1}{3}k^4 - \frac{1}{2}k^4 + k^4 = \frac{3-4-6+12}{12}k^4 = \frac{5}{12}k^4\). 4. Berechnung von \(k\): \(\frac{5}{12}k^4 = \frac{20}{3} \implies 5k^4 = 80 \implies k^4 = 16\). Wegen \(k > 0\) ergibt sich \(k = 2\).

\(k = 2\)

- Welche positive Nullstelle erhältst du aus \(k\sqrt{x}-x=0\)? - Welche Ableitung liefert die Tangentensteigung im Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse? - Welche der beiden Funktionen liegt zwischen \(0\) und \(k^2\) oben? - Wie entsteht aus dem Flächeninhalt eine Gleichung für \(k\)?

1. Aus \(k\sqrt{x}-x=0\) folgt für \(x>0\) die Gleichung \(\sqrt{x}=k\). Daher ist \(x_S=k^2\). 2. Die erste Ableitung lautet \(g_k'(x)=\frac{k}{2\sqrt{x}}-1\). Damit ist \(g_k'(k^2)=-\frac12\), also \(t_k(x)=-\frac12x+\frac12k^2\). 3. Auf \([0;k^2]\) liegt die Tangente über dem Graphen. Daher gilt \(A(k)=\int_0^{k^2}\left(\frac12x+\frac12k^2-k\sqrt{x}\right)\,\mathrm{d}x\). 4. Eine Stammfunktion ist \(\frac14x^2+\frac12k^2x-\frac23kx^{3/2}\). Einsetzen der Grenzen ergibt \(A(k)=\frac1{12}k^4\). 5. Aus \(\frac1{12}k^4=\frac43\) folgt \(k^4=16\). Wegen \(k>0\) ist \(k=2\).

a) \(x_S=k^2\) b) \(k=2\)

- Stelle dir vor, wie die Fläche unter der Wurzelfunktion und die Fläche unter der Potenzfunktion zusammen ein Rechteck ausfüllen. - Welche Seitenlängen hat dieses Rechteck, wenn die obere Grenze für \(x\) bei der Wurzelfunktion \(b\) ist? - Berechne das Integral der Potenzfunktion \(x^4\) an der entsprechenden Stelle und subtrahiere es von der Gesamtfläche des Rechtecks. - Nutze die Potenzgesetze, um Terme wie \((\sqrt[4]{b})^5\) zu vereinfachen.

1. Die Funktion \(g(x) = \sqrt[4]{x}\) ist für \(x \geq 0\) die Umkehrfunktion von \(f(x) = x^4\). Das Integral \(\int_0^b \sqrt[4]{x} \, dx\) beschreibt die Fläche unter dem Graphen von \(g\) im Intervall \([0; b]\). 2. Der Endpunkt des Graphen in diesem Intervall ist \((b \mid \sqrt[4]{b})\). Das umschließende Rechteck hat den Flächeninhalt \(A_{\text{R}} = b \cdot \sqrt[4]{b}\). 3. Aufgrund der Symmetrie zur Geraden \(y = x\) entspricht die Fläche zwischen dem Graphen von \(g\) und der \(y\)-Achse der Fläche unter dem Graphen von \(f\) im Intervall \([0; \sqrt[4]{b}]\). 4. Das gesuchte Integral ist die Differenz aus dem Rechteckinhalt und dem Integral von \(f\): \(\int_0^b \sqrt[4]{x} \, dx = b \cdot \sqrt[4]{b} - \int_0^{\sqrt[4]{b}} x^4 \, dx\). 5. Auswertung des Integrals von \(f\): \(\int_0^{\sqrt[4]{b}} x^4 \, dx = \left[ \frac{1}{5}x^5 \right]_0^{\sqrt[4]{b}} = \frac{1}{5} (\sqrt[4]{b})^5 = \frac{1}{5} b \cdot \sqrt[4]{b}\). 6. Zusammenführung: \(b \sqrt[4]{b} - \frac{1}{5} b \sqrt[4]{b} = \frac{4}{5} b \sqrt[4]{b}\).

Durch Subtraktion des Integrals der ursprünglichen Funktion \(\int_0^{\sqrt[4]{b}} x^4 \, dx = \frac{1}{5} b \sqrt[4]{b}\) vom Flächeninhalt des umschließenden Rechtecks \(b \sqrt[4]{b}\) erhält man \(\frac{4}{5} b \sqrt[4]{b}\).

- Welche Gleichung bestimmt die positive Extremstelle der Schar? - Welche besondere Form hat die Tangente in einem lokalen Maximum? - Welche Schnittstellen begrenzen die Fläche zwischen Funktion und Tangente? - Formuliere den Flächeninhalt zunächst als Funktion von \(k\), bevor du den Zielwert einsetzt.

1. Es ist \(f_k'(x)=2kx-3x^2=x(2k-3x)\). Die positive Extremstelle liegt bei \(x=\frac23k\). Dort ist \(f_k\left(\frac23k\right)=\frac4{27}k^3\). 2. Die Tangente im lokalen Maximum ist waagerecht und hat die Gleichung \(t(x)=\frac4{27}k^3\). 3. Aus \(f_k(x)=t(x)\) erhält man neben der doppelten Schnittstelle \(x=\frac23k\) die weitere Schnittstelle \(x=-\frac13k\). 4. Der Flächeninhalt ist \(A(k)=\int_{-k/3}^{2k/3}\left(\frac4{27}k^3-kx^2+x^3\right)\,\mathrm{d}x=\frac1{12}k^4\). 5. Aus \(\frac1{12}k^4=108\) folgt \(k^4=1296\). Wegen \(k>0\) ist \(k=6\).

\(k=6\)

- Welche Ableitung brauchst du, um die Wendestellen zu bestimmen? - Welche Ableitung liefert anschließend die Steigung der Wendetangente? - Welche Schnittstellen von Tangente und Graph begrenzen die Fläche? - Welche Terme verschwinden beim Integrieren über ein zum Ursprung symmetrisches Intervall?

1. Es ist \(g_k'(x)=4x^3-3kx^2\) und \(g_k''(x)=12x^2-6kx=6x(2x-k)\). Die Wendestellen liegen bei \(x=0\) und \(x=\frac{k}{2}\). Der gesuchte Punkt ist \(W\left(\frac{k}{2}\mid-\frac{k^4}{16}\right)\). 2. Die Tangentensteigung ist \(g_k'\left(\frac{k}{2}\right)=-\frac14k^3\). Damit lautet die Tangente \(t(x)=-\frac14k^3x+\frac1{16}k^4\). 3. Aus \(g_k(x)=t(x)\) folgt \(\left(x-\frac{k}{2}\right)^3\left(x+\frac{k}{2}\right)=0\). Die Fläche wird daher von \(x=-\frac{k}{2}\) bis \(x=\frac{k}{2}\) begrenzt. 4. Auf diesem Intervall liegt die Tangente über dem Graphen. Wegen der Symmetrie der geraden Terme ist \(A(k)=\int_{-k/2}^{k/2}(t(x)-g_k(x))\,\mathrm{d}x=2\int_0^{k/2}\left(-x^4+\frac{k^4}{16}\right)\,\mathrm{d}x=\frac1{20}k^5\). 5. Aus \(\frac1{20}k^5=1{,}6\) folgt \(k^5=32\). Wegen \(k>0\) ist \(k=2\).

\(k=2\)

- Bestimme zuerst die Schnittstellen der beiden Funktionen in Abhängigkeit von \(k\). - Untersuche die Symmetrie der Differenzfunktion. Was bedeutet Punktsymmetrie für die Flächeninhalte links und rechts vom Symmetriepunkt? - Stelle eine Formel für den Gesamtflächeninhalt in Abhängigkeit von \(k\) auf. - Löse die entstandene Gleichung nach \(k\) auf.

1. Schnittstellen bestimmen: \(x^3 - k^2x = 0 \Rightarrow x(x-k)(x+k) = 0\). Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = -k\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = k\). 2. Da die Differenzfunktion \(h(x) = x^3 - k^2x\) ungerade ist (\(h(-x) = -h(x)\)), ist ihr Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Daraus folgt direkt, dass die Flächeninhalte über \([-k; 0]\) und \([0; k]\) gleich groß sein müssen. 3. Berechnung eines Teilflächeninhalts: \(A_1 = |\int_{0}^{k} (x^3 - k^2x) \, dx| = |[\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}k^2x^2]_{0}^{k}| = |\frac{1}{4}k^4 - \frac{1}{2}k^4| = |-\frac{1}{4}k^4| = \frac{1}{4}k^4\). Wegen der Symmetrie ist der Inhalt der anderen Fläche ebenfalls \(A_2 = \frac{1}{4}k^4\). 4. Gesamtfläche berechnen: \(A_{\text{ges}} = A_1 + A_2 = \frac{1}{2}k^4\). 5. Parameter \(k\) bestimmen: \(\frac{1}{2}k^4 = 8 \Rightarrow k^4 = 16\). Da \(k > 0\) gefordert ist, folgt \(k = 2\).

a) Die Flächeninhalte sind aufgrund der Punktsymmetrie der Differenzfunktion \(h(x) = x^3 - k^2x\) stets gleich \(A = \frac{1}{4}k^4\). b) Der gesuchte Wert ist \(k = 2\).

- Welche mathematischen Bedingungen leiten sich aus der Existenz eines Extrempunktes im Ursprung ab? - Wie hilft dir die Nullstelle bei \(x = 4\), eine Beziehung zwischen den verbleibenden Koeffizienten herzustellen? - In welchem Quadranten liegt die Fläche? Was sagt das über das Vorzeichen der Funktionswerte in diesem Bereich aus? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob die Bedingung für einen Tiefpunkt (zweite Ableitung) tatsächlich erfüllt ist.

1. Ein Extrempunkt im Ursprung bedeutet \(f(0) = 0\) und \(f'(0) = 0\). Für eine Funktion dritten Grades \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) folgt daraus direkt \(d = 0\) und \(c = 0\). Der Ansatz lautet \(f(x) = ax^3 + bx^2\). 2. Die Bedingung für die Nullstelle \(f(4) = 0\) liefert \(64a + 16b = 0\), also \(b = -4a\). Damit ist \(f(x) = ax^3 - 4ax^2\). 3. Die Fläche im ersten Quadranten bedeutet, dass \(f(x) \ge 0\) für \(0 \le x \le 4\) gilt. Das Integral wird aufgestellt: \(\int_{0}^{4} (ax^3 - 4ax^2) \, dx = 32\). 4. Die Berechnung des Integrals ergibt \([\frac{a}{4}x^4 - \frac{4a}{3}x^3]_0^4 = 64a - \frac{256}{3}a = -\frac{64}{3}a\). 5. Gleichsetzen mit dem Flächeninhalt: \(-\frac{64}{3}a = 32 \implies a = -1{,}5\). 6. Daraus folgt \(b = -4 \cdot (-1{,}5) = 6\). Die Bedingung für den Tiefpunkt \(f''(0) > 0\) ist mit \(f''(x) = -9x + 12\) und \(f''(0) = 12\) erfüllt. 7. Der Funktionsterm lautet \(f(x) = -1{,}5x^3 + 6x^2\).

\(f(x) = -1{,}5x^3 + 6x^2\)

- Welche Potenzen von \(x\) kommen in der Funktionsgleichung vor, wenn der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Nutze den Punkt auf der \(y\)-Achse, um das Absolutglied direkt zu bestimmen. - Stelle eine Gleichung für die Fläche auf. Beachte dabei, ob der Graph im gegebenen Intervall oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Nutze die Symmetrie des Graphen, um die Berechnung des Integrals zu vereinfachen.

1. Ansatz aufgrund der Symmetrie zur \(y\)-Achse: \(f(x) = ax^4 + cx^2 + e\). 2. Hochpunkt bei \((0\mid 4{,}5)\): \(f(0) = 4{,}5 \implies e = 4{,}5\). Die Bedingung \(f'(0)=0\) ist durch die Symmetrie bereits erfüllt. Für einen Hochpunkt muss zusätzlich \(f''(0)=2c<0\) gelten; dies wird nach der Bestimmung von \(c\) geprüft. 3. Punkt \(P(3\mid 0)\) einsetzen: \(f(3) = 81a + 9c + 4{,}5 = 0\). Umstellen nach \(c\) ergibt \(9c = -81a - 4{,}5\), also \(c = -9a - 0{,}5\). 4. Flächeninhalt über das Integral im Intervall \([-3; 3]\): Aufgrund der Symmetrie gilt \(2 \cdot \int_0^3 (ax^4 - (9a+0{,}5)x^2 + 4{,}5) \, dx = 16{,}2\), also \(\int_0^3 (ax^4 - (9a+0{,}5)x^2 + 4{,}5) \, dx = 8{,}1\). 5. Integration: \(\left[ \frac{a}{5}x^5 - \frac{9a+0{,}5}{3}x^3 + 4{,}5x \right]_0^3 = 48{,}6a - 9(9a+0{,}5) + 13{,}5 = 48{,}6a - 81a - 4{,}5 + 13{,}5 = -32{,}4a + 9\). 6. Gleichung lösen: \(-32{,}4a + 9 = 8{,}1 \implies -32{,}4a = -0{,}9 \implies a = \frac{1}{36}\). 7. Koeffizient \(c\) berechnen: \(c = -9 \cdot \frac{1}{36} - 0{,}5 = -0{,}25 - 0{,}5 = -0{,}75\). Da \(f''(0)=2c=-1{,}5<0\), ist \(H(0\mid 4{,}5)\) tatsächlich ein Hochpunkt. Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{1}{36}x^4 - \frac{3}{4}x^2 + 4{,}5\).

\(f(x) = \frac{1}{36}x^4 - \frac{3}{4}x^2 + 4{,}5\)

- Welche Bedingungen müssen für einen Sattelpunkt an einer bestimmten Stelle erfüllt sein? - Wie lautet die Gleichung einer Tangente in einem Punkt mit waagerechter Steigung? - Wie berechnet man die Schnittstellen zwischen einer Funktion und ihrer Tangente? - Wie ist die Formel für den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen definiert? - Überlege dir, wie du die Koeffizienten der Funktion Schritt für Schritt aus den gegebenen Informationen bestimmen kannst.

1. Aus der Bedingung für den Sattelpunkt bei \(P(0\mid 2)\) folgen \(f(0) = 2\), \(f'(0) = 0\) und \(f''(0) = 0\). 2. Einsetzen in \(f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d\) ergibt direkt \(d = 2\), \(c = 0\) und \(2b = 0\), also \(b = 0\). Die Funktion lautet somit \(f(x) = x^4 + ax^3 + 2\). 3. Die Tangente \(t\) im Sattelpunkt \(P(0\mid 2)\) ist eine waagerechte Gerade mit der Gleichung \(t(x) = 2\). 4. Zur Flächenberechnung werden die Schnittpunkte von \(f\) und \(t\) bestimmt: \(x^4 + ax^3 + 2 = 2 \implies x^3(x + a) = 0\). Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = -a\). 5. Der Flächeninhalt berechnet sich durch \(A = \left| \int_{0}^{-a} (f(x) - t(x)) \, dx \right| = \left| \int_{0}^{-a} (x^4 + ax^3) \, dx \right| = \left| \left[ \frac{1}{5}x^5 + \frac{a}{4}x^4 \right]_{0}^{-a} \right|\). 6. Auswerten des Integrals liefert \(A = \left| -\frac{1}{5}a^5 + \frac{1}{4}a^5 \right| = \left| \frac{1}{20}a^5 \right|\). 7. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(\frac{1}{20}|a|^5 = 51{,}2 \implies |a|^5 = 1024\). Da \(4^5 = 1024\), folgt \(|a| = 4\). 8. Ein Sattelpunkt erfordert zusätzlich \(f'''(0) \neq 0\). Mit \(f'''(x) = 24x + 6a\) ist \(f'''(0) = 6a\). Für \(a = 4\) oder \(a = -4\) ist dies erfüllt. Beide Werte für \(a\) führen zu einer gültigen Funktion.

Die möglichen Funktionsterme sind \(f(x) = x^4 + 4x^3 + 2\) und \(f(x) = x^4 - 4x^3 + 2\).

- Wie kannst du eine Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben? - Welche Regel für das Integrieren von Potenzfunktionen kennst du? - Was passiert mit der Zahl 1, wenn man sie mit einem beliebigen Exponenten potenziert? - Wie wendest du den Hauptsatz an, wenn die untere Grenze nicht 0 ist?

1. Umschreiben des Integranden in Potenzschreibweise: \(\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}\). 2. Bestimmung der Stammfunktion mittels der Potenzregel: \(F(x) = \frac{1}{\frac{1}{n} + 1} x^{\frac{1}{n} + 1} = \frac{n}{n+1} x^{\frac{n+1}{n}}\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_1^k x^{\frac{1}{n}} \, dx = [F(x)]_1^k = F(k) - F(1)\). 4. Einsetzen der Integrationsgrenzen: \(\frac{n}{n+1} k^{\frac{n+1}{n}} - \frac{n}{n+1} \cdot 1^{\frac{n+1}{n}}\). 5. Zusammenfassen zum Endergebnis: \(\frac{n}{n+1} \left( \sqrt[n]{k^{n+1}} - 1 \right)\).

\(\int_1^k \sqrt[n]{x} \, dx = \frac{n}{n+1} \left( \sqrt[n]{k^{n+1}} - 1 \right)\)

- Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Nutze die drei gegebenen Punkte, um ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten der Parabel aufzustellen. - Überlege dir, welche der beiden Funktionen im gegebenen Intervall größere Werte annimmt, um den Integranden für die Fläche korrekt aufzustellen. - Stelle eine Gleichung auf, in der der berechnete Flächenterm dem Wert 1 entspricht.

1. Die Ableitung ist \(f_a'(x) = a \cos(x)\). Die Nullstelle im Intervall \([0; \pi]\) liegt bei \(x = \frac{\pi}{2}\). Mit \(f_a(\frac{\pi}{2}) = a \cdot 1 + 1 = a + 1\) ergibt sich der Hochpunkt \(H(\frac{\pi}{2} \mid a + 1)\). 2. Der Ansatz \(q_a(x) = rx^2 + sx + c\) führt mit \(q_a(0) = 1\) zu \(c = 1\). Aus \(q_a(\pi) = 1\) folgt \(r\pi^2 + s\pi = 0\), also \(s = -r\pi\). Einsetzen des Hochpunkts \(q_a(\frac{\pi}{2}) = a + 1\) ergibt \(r(\frac{\pi}{2})^2 - r\pi(\frac{\pi}{2}) + 1 = a + 1\), woraus \(-\frac{\pi^2}{4}r = a\) und somit \(r = -\frac{4a}{\pi^2}\) folgt. Es ergibt sich \(s = \frac{4a}{\pi}\). Der Funktionsterm lautet \(q_a(x) = -\frac{4a}{\pi^2}x^2 + \frac{4a}{\pi}x + 1\). 3. Da \(q_a(x) \geq f_a(x)\) auf dem Intervall \([0; \pi]\) gilt, berechnet sich die Fläche über \(A(a) = \int_0^\pi (q_a(x) - f_a(x)) \, dx = \int_0^\pi (-\frac{4a}{\pi^2}x^2 + \frac{4a}{\pi}x - a \sin(x)) \, dx\). Die Stammfunktion ist \(F_a(x) = -\frac{4a}{3\pi^2}x^3 + \frac{2a}{\pi}x^2 + a \cos(x)\). Auswertung an den Grenzen liefert \(A(a) = (-\frac{4a\pi}{3} + 2a\pi - a) - (a) = \frac{2\pi}{3}a - 2a = a(\frac{2\pi}{3} - 2)\). 4. Durch Gleichsetzen \(a(\frac{2\pi}{3} - 2) = 1\) erhält man \(a = \frac{1}{\frac{2\pi}{3} - 2} = \frac{3}{2\pi - 6} \approx 10{,}594\).

1. \(H(\frac{\pi}{2} \mid a + 1)\) 2. \(q_a(x) = -\frac{4a}{\pi^2}x^2 + \frac{4a}{\pi}x + 1\) 3. \(A(a) = a \cdot (\frac{2\pi}{3} - 2)\) 4. \(a = \frac{3}{2\pi - 6} \approx 10{,}594\)

- Wie setzt man zwei Funktionen gleich, um ihre Schnittstellen zu bestimmen? - Was muss für das Integral der Differenzfunktion über das gesamte Intervall gelten, wenn die beiden Teilflächen gleich groß sind? - Nutze für \(x\sin(x)\) die im Aufgabentext angegebene Stammfunktion. - Prüfe für die Teilfläche, welche Funktion im jeweiligen Intervall oberhalb der anderen liegt.

1. Aus \(x\sin(x)=k\sin(x)\) folgt \((x-k)\sin(x)=0\). Wegen \(k\in(0;\pi)\) liegen im Intervall \([0;\pi]\) die drei Schnittstellen \(x=0\), \(x=k\) und \(x=\pi\). 2. Sind die beiden eingeschlossenen Flächenstücke gleich groß, heben sich die vorzeichenbehafteten Differenzflächen über dem Gesamtintervall auf. Daher gilt \(\int_0^\pi(f(x)-g_k(x))\,dx=0\). 3. Mit der angegebenen Stammfunktion ist \(\int_0^\pi x\sin(x)\,dx=\pi\). Außerdem gilt \(\int_0^\pi\sin(x)\,dx=2\). Somit folgt \(\pi-2k=0\) und daher \(k=\frac\pi2\). 4. Für diesen Wert liegt \(g_k\) auf \([0;\frac\pi2]\) oberhalb von \(f\). Eine Teilfläche ist daher \(A=\int_0^{\pi/2}(\frac\pi2\sin(x)-x\sin(x))\,dx\). 5. Eine Stammfunktion des Integranden ist \((x-\frac\pi2)\cos(x)-\sin(x)\). Damit ist \(A=[(x-\frac\pi2)\cos(x)-\sin(x)]_0^{\pi/2}=\frac\pi2-1\).

a) Nachweis über \((x-k) \sin(x) = 0\). b) \(k = \frac{\pi}{2}\). c) Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{\pi}{2} - 1 \approx 0{,}571\).