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- Kannst du eine Formel für den Flächeninhalt aufstellen, in der die unbekannte Grenze vorkommt? - Wie berechnet man allgemein das Integral einer Funktion vom Typ \(x^n\)? - Wenn du einen Ausdruck für die Fläche hast, kannst du ihn mit dem Zielwert gleichsetzen. - Welche Zahl ergibt dreimal mit sich selbst multipliziert den Wert \(216\)?

1. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(k\): \(A(k) = \int_{0}^{k} x^2 \, dx\). 2. Berechnung des unbestimmten Integrals bzw. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{3}x^3\). 3. Auswerten des bestimmten Integrals: \(A(k) = [\frac{1}{3}x^3]_{0}^{k} = \frac{1}{3}k^3 - \frac{1}{3} \cdot 0^3 = \frac{1}{3}k^3\). 4. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(\frac{1}{3}k^3 = 72\). 5. Lösen der Gleichung nach \(k\): \(k^3 = 216 \Rightarrow k = \sqrt[3]{216} = 6\).

Der gesuchte Wert ist \(k = 6\).

- Achte auf den Unterschied zwischen dem Integralwert (Flächenbilanz) und dem geometrischen Flächeninhalt, besonders bei Funktionen mit negativen Werten. - Nutze die Symmetrie des Graphen aus, um das Problem zu vereinfachen. - Wenn das Intervall über eine Nullstelle hinweggeht, musst du den Betrag des Funktionswertes im Integral berücksichtigen. - Formuliere aus dem gewünschten Flächeninhalt eine Gleichung für die noch unbekannte Intervallgrenze.

1. Berücksichtigung der Punktsymmetrie von \(f(x) = x^3\): Der Flächeninhalt setzt sich aus Flächenstücken oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse zusammen. 2. Ansatz für ein symmetrisches Intervall \([-b; b]\): Da der Graph punktsymmetrisch ist, gilt für den Flächeninhalt \(A = 2 \cdot \int_0^b x^3 \, dx = 8\). 3. Berechnung des Teilintegrals: \(\int_0^b x^3 \, dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^b = \frac{1}{4}b^4\). 4. Gleichung lösen: \(2 \cdot \frac{1}{4}b^4 = 8 \iff \frac{1}{2}b^4 = 8 \iff b^4 = 16 \iff b = 2\). 5. Ein mögliches Intervall ist \([-2; 2]\). Alternativ führt der Ansatz \(\int_0^b x^3 \, dx = 8\) zu \(b = \sqrt[4]{32} = 2\sqrt[4]{2}\). 6. Darstellung als Integral für das Intervall \([-2; 2]\): \(\int_{-2}^2 |x^3| \, dx\).

Ein mögliches Intervall ist \([-2; 2]\). Der Flächeninhalt als Integral: \(\int_{-2}^2 |x^3| \, dx\).

- Überlege, wie die Graphen der beiden Funktionen zueinander liegen. Sind sie vielleicht nur verschoben? - Untersuche die Symmetrie der Integranden. Wo liegen die Scheitelpunkte der Potenzfunktionen? - Was passiert mit dem Wert eines Integrals, wenn man sowohl die Funktion als auch die Grenzen um denselben Wert verschiebt? - Du kannst auch beide Seiten explizit mit der Stammfunktion berechnen und die resultierende Gleichung nach \(b\) auflösen.

1. Berechnung des linken Integrals: Die Funktion \(f(x) = (x-2)^4\) ist achsensymmetrisch zu \(x=2\). Das Integral über das Intervall \([1; 3]\) entspricht \(\int_{-1}^{1} u^4 \, du = [\frac{1}{5}u^5]_{-1}^{1} = \frac{1}{5} - (-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5} = 0{,}4\). 2. Analyse des rechten Integrals: Die Funktion \(g(x) = (x-4)^4\) ist eine um 2 Einheiten nach rechts verschobene Version von \(f(x)\). Es gilt \(g(x) = f(x-2)\). 3. Anwendung der Intervallverschiebung: Das Integral einer verschobenen Funktion über ein verschobenes Intervall bleibt gleich: \(\int_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx = \int_{x_1+c}^{x_2+c} f(x-c) \, dx\). Mit \(c=2\) folgt \(\int_{1}^{3} (x-2)^4 \, dx = \int_{1+2}^{3+2} (x-2-2)^4 \, dx = \int_{3}^{5} (x-4)^4 \, dx\). 4. Vergleich der Grenzen: Durch direkten Vergleich mit der Aufgabenstellung \(\int_{3}^{b} (x-4)^4 \, dx\) ergibt sich \(b = 5\). Da der Integrand \((x-4)^4\) für alle \(x \neq 4\) positiv ist, ist die Integralfunktion streng monoton wachsend, womit \(b=5\) die einzige Lösung ist.

\(b = 5\)

- Welchen Wert hat das Integral der Sinusfunktion über eine vollständige Periode von \(2\pi\)? - Wie wirkt sich der Summand \(+2\) auf den Flächeninhalt unter dem Graphen aus? - Wenn man ein Integral über eine Periode verdoppeln möchte, was bietet sich für die Länge des neuen Intervalls an? - Erinnere dich an die Linearität des Integrals: Du kannst den Sinus-Teil und den konstanten Teil getrennt betrachten.

1. Auswertung des rechten Integrals: Das Integral \(\int_{0}^{2\pi} \sin(x) \, dx\) über eine volle Periode ist \(0\). Somit reduziert sich das Integral auf den konstanten Teil: \(\int_{0}^{2\pi} 2 \, dx = [2x]_0^{2\pi} = 4\pi\). Der Gesamtwert der rechten Seite ist also \(2 \cdot 4\pi = 8\pi\). 2. Aufstellen der Bedingung für die linke Seite: Wir suchen \(a\) und \(b\), sodass \(\int_{a}^{b} (\sin(x) + 2) \, dx = 8\pi\). 3. Nutzung der Periodizität: Da \(f(x) = \sin(x) + 2\) die Periode \(2\pi\) besitzt, liefert jedes Intervall der Länge \(4\pi\) zwei vollständige Perioden. Der Sinusanteil integriert sich dabei zu \(0\), während der konstante Anteil den Wert \(2 \cdot 4\pi = 8\pi\) liefert. 4. Daher gilt allgemein \(b = a + 4\pi\). Eine mögliche Wahl ist \(a = 0\) und \(b = 4\pi\).

Zum Beispiel \(a = 0\) und \(b = 4\pi\). Allgemein ist jede Wahl mit \(b = a + 4\pi\) geeignet.

- Was bedeutet es für die Flächenbilanz, wenn ein Integral den Wert Null hat? - Erinnere dich an die Eigenschaften von geraden und ungeraden Funktionen im Zusammenhang mit dem Ursprung. - Wie hängen die Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse zusammen, wenn das Integral Null ist? - Du kannst eine Grenze festlegen (z. B. \(a=0\)) und die andere durch Lösen einer Gleichung mit der Stammfunktion bestimmen.

1. Symmetrie-Ansatz: Die Funktion \(f(x) = x^3 - 4x\) ist eine ungerade Funktion, da nur ungerade Exponenten auftreten (\(f(-x) = -f(x)\)). Bei ungeraden Funktionen ist das Integral über jedem zum Ursprung symmetrischen Intervall \([-c; c]\) gleich Null. Ein mögliches Paar ist daher \(a = -2\) und \(b = 2\). 2. Rechnerischer Ansatz: Es wird ein Intervall \([0; b]\) gesucht. Die Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2\). Die Bedingung \(\int_0^b f(x) \, dx = F(b) - F(0) = 0\) führt auf die Gleichung \(\frac{1}{4}b^4 - 2b^2 = 0\). 3. Lösen der Gleichung: Ausklammern ergibt \(b^2 \cdot (\frac{1}{4}b^2 - 2) = 0\). Da \(b > 0\) sein soll, folgt \(\frac{1}{4}b^2 = 2\), also \(b^2 = 8\) und somit \(b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). Ein zweites Paar ist somit \(a = 0\) und \(b = \sqrt{8}\).

Zwei mögliche Paare sind: 1. \(a = -2\) und \(b = 2\) (Begründung über Punktsymmetrie zum Ursprung). 2. \(a = 0\) und \(b = \sqrt{8}\) (oder \(b \approx 2{,}83\)).

- Wie sieht der Graph einer Kosinusfunktion aus? Wo liegen Flächen oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse? - Das Integral über eine volle Periode einer Sinus- oder Kosinusfunktion ist immer Null. Wie groß ist die Periode hier? - Du kannst die Integrationsgrenzen so wählen, dass die Werte der Stammfunktion an beiden Stellen identisch sind. - Überlege dir, an welchen Stellen die Sinusfunktion den Wert Null annimmt.

1. Bestimmung der Stammfunktion: Eine Stammfunktion von \(g(x) = 2 \cdot \cos(2x)\) ist \(G(x) = \sin(2x)\) (unter Verwendung der linearen Kettenregel). 2. Aufstellen der Integralbedingung: Es muss gelten \(\int_a^b g(x) \, dx = G(b) - G(a) = \sin(2b) - \sin(2a) = 0\). Dies ist erfüllt, wenn \(\sin(2b) = \sin(2a)\). 3. Wahl der Grenzen: Wählt man \(a = 0\), so muss \(\sin(2b) = \sin(0) = 0\) gelten. 4. Lösen für \(b\): Die Sinusfunktion hat Nullstellen bei Vielfachen von \(\pi\). Also \(2b = \pi\), was zu \(b = \frac{\pi}{2}\) führt. 5. Überprüfung: \(\int_0^{\pi/2} 2\cos(2x) \, dx = [\sin(2x)]_0^{\pi/2} = \sin(\pi) - \sin(0) = 0 - 0 = 0\).

Ein mögliches Intervall ist \([0; \frac{\pi}{2}]\) (oder auch \([0; \pi]\), da dies einer vollen Periode entspricht). Rechnung: \(\int_0^{\pi/2} 2\cos(2x) \, dx = [\sin(2x)]_0^{\pi/2} = \sin(\pi) - \sin(0) = 0\).

- Bestimme zuerst eine Stammfunktion des Integranden. - Setze die Grenzen in die Stammfunktion ein, um einen Term in Abhängigkeit von \(b\) zu erhalten. - Überlege dir, wie du die resultierende Gleichung nach \(b\) auflösen kannst. - Achte auf die Bedingung \(b > 0\). - Was bedeutet es für die Flächenanteile oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse, wenn das Integral null ergibt?

1. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x\). 2. Aufstellen der Gleichung mithilfe des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: \(\left[ \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x \right]_{0}^{b} = \frac{1}{3}b^3 - 2b^2 + 3b = 0\). 3. Ausklammern von \(b\): \(b \cdot (\frac{1}{3}b^2 - 2b + 3) = 0\). 4. Da \(b > 0\) gefordert ist, muss der Klammerausdruck null sein: \(\frac{1}{3}b^2 - 2b + 3 = 0\). 5. Multiplikation mit 3 führt zu der quadratischen Gleichung \(b^2 - 6b + 9 = 0\). 6. Anwendung der binomischen Formel oder der \(p\)-\(q\)-Formel ergibt \((b-3)^2 = 0\), woraus \(b = 3\) folgt.

\(b = 3\)

- Erinnere dich daran, wie man Potenzen mit negativen Exponenten integriert. - Nachdem du die Grenzen eingesetzt hast, erhältst du eine Gleichung, in der \(b\) auch im Nenner vorkommen kann. - Wie kannst du eine Gleichung mit \(b\) im Nenner so umformen, dass eine bekannte Gleichungsform entsteht? - Prüfe am Ende, welche deiner berechneten Lösungen die Bedingung \(b > 1\) erfüllt.

1. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = x + \frac{1}{x}\). 2. Anwendung des Hauptsatzes: \(\left[ x + \frac{1}{x} \right]_{1}^{b} = (b + \frac{1}{b}) - (1 + \frac{1}{1}) = b + \frac{1}{b} - 2\). 3. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(b + \frac{1}{b} - 2 = 0{,}5\), also \(b + \frac{1}{b} = 2{,}5\). 4. Umformung in eine quadratische Gleichung durch Multiplikation mit \(b\): \(b^2 - 2{,}5b + 1 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(b_{1,2} = \frac{2{,}5 \pm \sqrt{6{,}25 - 4}}{2} = \frac{2{,}5 \pm 1{,}5}{2}\). 6. Dies ergibt die Lösungen \(b_1 = 2\) und \(b_2 = 0{,}5\). Da \(b > 1\) vorausgesetzt ist, ist die gesuchte Grenze \(b = 2\).

\(b = 2\)

- Bestimme zuerst eine Stammfunktion des Integranden. - Wende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an, indem du die Grenzen \(z\) und \(0\) einsetzt. - Du erhältst eine Gleichung, in der nur noch \(z\) als Unbekannte vorkommt. - Löse diese Gleichung nach \(z\) auf und achte darauf, dass laut Aufgabenstellung nur positive Werte gesucht sind.

1. Für Teilaufgabe a): Berechnung der Stammfunktion von \(f(x) = 3x^2 + 6x\), was \(F(x) = x^3 + 3x^2\) ergibt. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung führt zur Gleichung \(z^3 + 3z^2 = 54\). Durch systematisches Probieren oder Lösen der kubischen Gleichung erhält man die positive Lösung \(z = 3\). 2. Für Teilaufgabe b): Die Stammfunktion von \(g(x) = 4x + 1\) ist \(G(x) = 2x^2 + x\). Einsetzen der Grenzen liefert \(2z^2 + z = 10\). Umstellen zur quadratischen Gleichung \(2z^2 + z - 10 = 0\) und Anwendung der Lösungsformel ergibt \(z = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 80}}{4} = \frac{-1 \pm 9}{4}\). Die einzige positive Lösung ist \(z = 2\).

a) \(z = 3\) b) \(z = 2\)

- Überlege dir, wie man den Wert eines bestimmten Integrals berechnet, wenn eine Grenze eine Variable ist. - Vergiss beim Einsetzen der unteren Grenze nicht, das Vorzeichen der gesamten Klammer zu berücksichtigen. - Bei Teilaufgabe a) hilft das Ausklammern von \(z\), um die Nullstellen zu finden. - Bei Teilaufgabe b) ist es hilfreich, sich an die Potenzgesetze und die Definition der \(e\)-Funktion zu erinnern.

1. Für Teilaufgabe a): Die Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 - x\). Einsetzen der Grenzen ergibt \(\left[\frac{1}{3}x^3 - x\right]_1^z = (\frac{1}{3}z^3 - z) - (\frac{1}{3} - 1) = \frac{1}{3}z^3 - z + \frac{2}{3}\). Gleichsetzen mit dem Wert \(\frac{2}{3}\) führt zu \(\frac{1}{3}z^3 - z = 0\). Ausklammern ergibt \(z(\frac{1}{3}z^2 - 1) = 0\). Da \(z > 0\) sein muss, folgt \(\frac{1}{3}z^2 = 1\), also \(z^2 = 3\) und somit \(z = \sqrt{3}\). 2. Für Teilaufgabe b): Die Stammfunktion von \(e^x\) ist \(e^x\). Das Integral berechnet sich zu \([e^x]_0^z = e^z - e^0 = e^z - 1\). Die Gleichung lautet \(e^z - 1 = e^3 - 1\). Durch Vergleich oder Logarithmieren folgt direkt \(e^z = e^3\), woraus sich \(z = 3\) ergibt.

a) \(z = \sqrt{3}\) b) \(z = 3\)

- Kannst du eine Stammfunktion für den Term im Integral finden? - Was passiert, wenn du die Integrationsgrenzen in die Stammfunktion einsetzt? - Entsteht eine Gleichung, die du vielleicht durch eine Ersetzung (Substitution) einfacher lösen kannst? - Hast du alle Bedingungen aus der Aufgabenstellung, wie zum Beispiel das Vorzeichen von \(k\), am Ende berücksichtigt?

1. Bestimmung einer Stammfunktion der Funktion \(f(x) = 4x^3 - 6x\): \(F(x) = x^4 - 3x^2\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \([x^4 - 3x^2]_0^k = (k^4 - 3k^2) - (0^4 - 3 \cdot 0^2) = k^4 - 3k^2\). 3. Aufstellen der Gleichung \(k^4 - 3k^2 = 4\). 4. Lösen der biquadratischen Gleichung durch Substitution \(u = k^2\): \(u^2 - 3u - 4 = 0\). 5. Die Lösungen für \(u\) sind \(u_1 = 4\) und \(u_2 = -1\). 6. Da \(k^2 = u\) und \(k\) eine reelle Zahl sein muss, entfällt \(u_2\). Aus \(k^2 = 4\) und der Bedingung \(k > 0\) folgt \(k = 2\).

\(k = 2\)

- Wie lautet die Stammfunktion von \(\sin(2x)\)? Denke dabei an die innere Ableitung. - Was erhältst du, wenn du die obere und untere Grenze in deine Stammfunktion einsetzt? - Kannst du die resultierende Gleichung so umstellen, dass der Kosinus-Ausdruck allein auf einer Seite steht? - Für welchen Wert innerhalb des Kosinus ergibt sich das gewünschte Ergebnis?

1. Bestimmung der Stammfunktion von \(f(x) = \sin(2x)\) unter Beachtung der linearen Kettenregel: \(F(x) = -\frac{1}{2}\cos(2x)\). 2. Einsetzen der Grenzen in das Integral: \([-\frac{1}{2}\cos(2x)]_0^a = -\frac{1}{2}\cos(2a) - (-\frac{1}{2}\cos(0)) = -\frac{1}{2}\cos(2a) + \frac{1}{2}\). 3. Gleichsetzen mit dem Zielwert \(1\): \(-\frac{1}{2}\cos(2a) + \frac{1}{2} = 1\). 4. Umformen der Gleichung zu \(\cos(2a) = -1\). 5. Bestimmung des Winkels: Der Kosinus ist \(-1\) für den Winkel \(\pi\). Also gilt \(2a = \pi\). 6. Auflösen nach \(a\) ergibt \(a = \frac{\pi}{2}\). Dieser Wert liegt im geforderten Intervall \([0; \pi]\).

\(a = \frac{\pi}{2}\)

- Erinnere dich an die Stammfunktion der Exponentialfunktion mit einem Faktor im Exponenten. - Was ist das Ergebnis von \(e^0\)? - Nutze Logarithmengesetze, um den Ausdruck am Ende so weit wie möglich zu vereinfachen. - Überprüfe, ob dein Ergebnis die Bedingung \(k > 0\) erfüllt.

1. Aufstellen des Integrals gemäß der Aufgabenstellung: \(\int_{0}^{k} e^{2x} \, \text{d}x = 4\). 2. Bestimmung der Stammfunktion von \(e^{2x}\): \(F(x) = \frac{1}{2}e^{2x}\). 3. Einsetzen der Grenzen \(0\) und \(k\): \(\left[ \frac{1}{2}e^{2x} \right]_{0}^{k} = \frac{1}{2}e^{2k} - \frac{1}{2}e^{0} = \frac{1}{2}e^{2k} - \frac{1}{2}\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(\frac{1}{2}e^{2k} - \frac{1}{2} = 4\). 5. Auflösen nach \(e^{2k}\): \(\frac{1}{2}e^{2k} = 4{,}5 \Rightarrow e^{2k} = 9\). 6. Anwendung des natürlichen Logarithmus: \(2k = \ln(9)\). 7. Isolieren von \(k\) und Vereinfachung unter Nutzung von Logarithmengesetzen: \(k = \frac{1}{2}\ln(9) = \ln(9^{1/2}) = \ln(3)\).

\(k = \ln(3)\)

- Überlege dir, welchen Wert das Integral über das gesamte Intervall annehmen muss, wenn die Flächen oberhalb und unterhalb der Achse denselben Inhalt haben. - Wie berechnet man den Wert eines bestimmten Integrals mithilfe einer Stammfunktion? - Wandle die Bedingung in eine Gleichung um, in der \(k\) die Unbekannte ist. - Kannst du die resultierende Gleichung durch Ausklammern vereinfachen?

1. Für gleich große Flächeninhalte oberhalb und unterhalb der \(x\)-Achse muss das bestimmte Integral der Funktion über das Intervall \([0; k]\) den Wert Null ergeben: \(\int_0^k (9 - x^2) \, dx = 0\). 2. Eine Stammfunktion von \(f\) ist durch \(F(x) = 9x - \frac{1}{3}x^3\) gegeben. 3. Das Einsetzen der Integrationsgrenzen führt zu der Gleichung \(F(k) - F(0) = 9k - \frac{1}{3}k^3 = 0\). 4. Ausklammern von \(k\) ergibt \(k \cdot (9 - \frac{1}{3}k^2) = 0\). Da \(k > 0\) gesucht ist, muss der Ausdruck in der Klammer Null sein: \(9 - \frac{1}{3}k^2 = 0\). 5. Umstellen nach \(k^2\) liefert \(k^2 = 27\), woraus sich der Wert \(k = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\) ergibt. 6. Da die Funktion \(f\) bei \(x = 3\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt und \(3\sqrt{3} \approx 5{,}20 > 3\) gilt, sind im Intervall \([0; 3\sqrt{3}]\) tatsächlich Flächenanteile auf beiden Seiten der \(x\)-Achse vorhanden.

\(k = 3\sqrt{3}\) (bzw. \(k \approx 5{,}20\))

- Beginne damit, eine Stammfunktion für den Term in den Klammern zu finden. - Setze die Integrationsgrenzen in die Stammfunktion ein und achte beim Subtrahieren auf die Vorzeichen. - Fasse den entstandenen Ausdruck so weit wie möglich zusammen. - Welche Art von Gleichung musst du lösen, nachdem du das Integral ausgewertet hast? - Überprüfe am Ende, ob es mehr als eine Lösung für die Variable geben kann.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = 2x - 6\): \(F(x) = x^2 - 6x\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_k^{2k} (2x - 6) \, dx = [x^2 - 6x]_k^{2k} = ((2k)^2 - 6 \cdot (2k)) - (k^2 - 6k) = (4k^2 - 12k) - (k^2 - 6k) = 3k^2 - 6k\). 3. Aufstellen der Gleichung \(3k^2 - 6k = 9\) und Umformung in die Normalform einer quadratischen Gleichung: \(k^2 - 2k - 3 = 0\). 4. Lösung der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(k_{1{,}2} = 1 \pm \sqrt{1 + 3} = 1 \pm 2\). Die gesuchten Werte sind \(k_1 = 3\) und \(k_2 = -1\).

\(k_1 = 3\), \(k_2 = -1\)

- Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Fläche unter einer Kurve zu berechnen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral. - Setze die berechnete Formel für den Flächeninhalt mit dem gegebenen Wert gleich. - Überlege, wie du eine Potenzgleichung der Form \(x^4 = c\) lösen kannst.

1. Zur Berechnung des Flächeninhalts über dem Intervall \([0; k]\) wird das bestimmte Integral von \(f(x)\) gebildet. Eine Stammfunktion von \(f(x) = \frac{1}{4}x^3\) ist \(F(x) = \frac{1}{16}x^4\). Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt: \(A(k) = \int_{0}^{k} \frac{1}{4}x^3 \, dx = \left[ \frac{1}{16}x^4 \right]_{0}^{k} = \frac{1}{16}k^4 - 0 = \frac{1}{16}k^4\). 2. Setze den Flächeninhalt gleich \(16\) und löse nach \(k\) auf: \(\frac{1}{16}k^4 = 16\). Multiplikation mit \(16\) ergibt \(k^4 = 256\). Das Ziehen der vierten Wurzel liefert \(k = 4\) (da \(k > 0\) vorausgesetzt ist).

1. \(A = \frac{1}{16}k^4\) 2. \(k = 4\)

- Wie hängen der Flächeninhalt unter einer Kurve und das bestimmte Integral zusammen? - Kannst du eine Stammfunktion für \(x^{-2}\) finden? - Was besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung über das Einsetzen von Grenzen? - Stelle eine Gleichung auf, in der die obere Grenze \(b\) die einzige Unbekannte ist.

1. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt: \(\int_{1}^{b} x^{-2} \, dx = 0{,}8\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = -x^{-1} = -\frac{1}{x}\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{b} = \left( -\frac{1}{b} \right) - \left( -\frac{1}{1} \right) = 1 - \frac{1}{b}\). 4. Gleichsetzen des Terms mit dem Zielwert: \(1 - \frac{1}{b} = 0{,}8\). 5. Auflösen der Gleichung nach \(b\): \(\frac{1}{b} = 0{,}2\), woraus \(b = 5\) folgt.

\(b = 5\)

- Nutze den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, um den Flächeninhalt als Funktion von \(b\) auszudrücken. - Wie lautet die Stammfunktion für die einzelnen Glieder des Polynoms? - Vergiss nicht, beim Einsetzen der Grenzen auch die untere Grenze \(1\) zu berücksichtigen. - Da \(b\) größer als \(1\) sein muss, kannst du versuchen, die Lösung der resultierenden Gleichung durch Probieren einfacher Zahlen zu finden.

1. Ansatz über das bestimmte Integral für den Flächeninhalt: \(\int_{1}^{b} (3x^2 + 2x) \, dx = 78\). 2. Ermittlung der Stammfunktion: \(G(x) = x^3 + x^2\). 3. Anwendung des Hauptsatzes durch Einsetzen der Grenzen: \(\left[ x^3 + x^2 \right]_{1}^{b} = (b^3 + b^2) - (1^3 + 1^2) = b^3 + b^2 - 2\). 4. Aufstellen der Bestimmungsgleichung: \(b^3 + b^2 - 2 = 78\), vereinfacht zu \(b^3 + b^2 = 80\). 5. Lösen der Gleichung für \(b > 1\): Durch systematisches Testen kleiner Ganzzahlen ergibt sich \(4^3 + 4^2 = 64 + 16 = 80\), also \(b = 4\).

\(b = 4\)

- Schreibe den Bruch in eine Potenz mit negativem Exponenten um, um die Integration zu erleichtern. - Nachdem du die Grenzen eingesetzt hast, erhältst du eine Gleichung, in der die Unbekannte \(k\) im Nenner steht. - Berücksichtige am Ende die Bedingung \(k > 1\), falls du mehrere mathematische Lösungen für die Gleichung erhältst.

1. Umschreiben der Funktion zur leichteren Integration: \(f(x) = 4 \cdot x^{-3}\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{4}{-2}x^{-2} = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}\). 3. Auswerten des Integrals an den Grenzen \(1\) und \(k\): \(\left[-\frac{2}{x^2}\right]_1^k = -\frac{2}{k^2} - \left(-\frac{2}{1^2}\right) = 2 - \frac{2}{k^2}\). 4. Aufstellen der Gleichung mit dem gegebenen Wert: \(2 - \frac{2}{k^2} = 1{,}5\). 5. Umformen der Gleichung: \(0{,}5 = \frac{2}{k^2} \Rightarrow k^2 = 4\). 6. Da laut Aufgabenstellung \(k > 1\) sein muss, folgt \(k = 2\).

\(k = 2\)

- Wie findest du eine Stammfunktion für einen linearen Term? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Wie berechnet man ein bestimmtes Integral mit einer unbekannten Grenze? - Welche Art von Gleichung entsteht, wenn du die Grenzen in die Stammfunktion einsetzt? - Was bedeutet der Wert eines Integrals anschaulich für die Fläche zwischen Graph und Achse?

1. Bestimmung der Stammfunktion von \(f(x) = x - 3\): \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 - 3x\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\left[\frac{1}{2}x^2 - 3x\right]_2^k = 7{,}5\). 3. Einsetzen der Grenzen: \((\frac{1}{2}k^2 - 3k) - (\frac{1}{2} \cdot 2^2 - 3 \cdot 2) = 7{,}5 \implies \frac{1}{2}k^2 - 3k - (2 - 6) = 7{,}5 \implies \frac{1}{2}k^2 - 3k + 4 = 7{,}5\). 4. Umformen in eine quadratische Gleichung: \(\frac{1}{2}k^2 - 3k - 3{,}5 = 0 \implies k^2 - 6k - 7 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung: \((k - 7)(k + 1) = 0\), woraus \(k_1 = 7\) und \(k_2 = -1\) folgen. 6. Da die Bedingung \(k > 2\) gegeben ist, ist die Lösung \(k = 7\). 7. Geometrische Interpretation: Der Wert \(7{,}5\) entspricht dem orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse im Intervall \([2; 7]\).

Der gesuchte Wert ist \(k = 7\). Geometrisch bedeutet dies, dass die orientierte Fläche zwischen dem Graphen von \(f(x) = x - 3\) und der \(x\)-Achse über dem Intervall \([2; 7]\) genau \(7{,}5\) Flächeneinheiten beträgt.

- Bestimme zuerst eine Stammfunktion des Terms in der Klammer. - Wende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an, indem du die Grenzen \(x\) und \(1\) einsetzt. - Du erhältst eine Gleichung mit der Unbekannten \(x\). Versuche, diese durch systematisches Probieren oder Umformen zu lösen. - Überlege dir, ob es für die resultierende Gleichung eventuell mehr als eine Lösung im reellen Bereich geben kann.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(t) = 3t^2 - 1\): \(F(t) = t^3 - t\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_1^x (3t^2 - 1) \, dt = [t^3 - t]_1^x = (x^3 - x) - (1^3 - 1) = x^3 - x\). 3. Aufstellen der Gleichung: \(x^3 - x = 6\). 4. Umformen zur Normalform: \(x^3 - x - 6 = 0\). 5. Bestimmung der Nullstellen: Durch Probieren findet man die Lösung \(x = 2\), da \(2^3 - 2 - 6 = 8 - 2 - 6 = 0\). 6. Überprüfung weiterer Lösungen: Division des Polynoms durch \((x - 2)\) ergibt \(x^2 + 2x + 3\). Da die Diskriminante \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = -8\) negativ ist, gibt es keine weiteren reellen Lösungen.

\(x = 2\)

- Wie ist eine Integralfunktion allgemein definiert? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Graph durch einen bestimmten Punkt verläuft? - Erinnere dich daran, wie man das bestimmte Integral mit einer variablen unteren Grenze berechnet. - Wenn du eine Gleichung dritten Grades lösen musst, hilft oft das Finden einer ersten Lösung durch Probieren von ganzzahligen Werten.

1. Aufstellen des Funktionsterms der Integralfunktion: \(I_a(x) = \int_a^x (3t^2 - 6t) \, dt = [t^3 - 3t^2]_a^x = (x^3 - 3x^2) - (a^3 - 3a^2)\). 2. Einsetzen des Punktes \(P(3 \mid 4)\) in die Funktionsgleichung: \(I_a(3) = (3^3 - 3 \cdot 3^2) - (a^3 - 3a^2) = 4\). 3. Vereinfachen des Ausdrucks: \(0 - (a^3 - 3a^2) = 4\), woraus \(-a^3 + 3a^2 = 4\) bzw. \(a^3 - 3a^2 + 4 = 0\) folgt. 4. Lösen der kubischen Gleichung: Durch systematisches Probieren findet man die Nullstelle \(a_1 = -1\). Eine Polynomdivision oder das Horner-Schema liefert \((a+1)(a^2 - 4a + 4) = 0\). 5. Bestimmen der weiteren Nullstellen: Der quadratische Term \((a-2)^2 = 0\) ergibt die doppelte Lösung \(a_2 = 2\). Die gesuchten Werte sind \(a = -1\) und \(a = 2\).

\(a_1 = -1\) und \(a_2 = 2\)

- Welche Funktion ergibt abgeleitet \(\frac{1}{t}\)? - Nutze die Rechenregeln für Logarithmen, um den Ausdruck zu vereinfachen. - Überlege, welchen Wert \(\ln(e^k)\) für eine Zahl \(k\) hat. - Setze die Koordinaten des Punktes für \(x\) und \(I_a(x)\) ein.

1. Bestimmung der Stammfunktion von \(f(t) = \frac{1}{t}\): Eine Stammfunktion ist \(F(t) = \ln(t)\) für \(t > 0\). 2. Aufstellen der Integralfunktion \(I_a(x)\): \(I_a(x) = [\ln(t)]_a^x = \ln(x) - \ln(a)\). 3. Nutzen der Punktkoordinaten \(P(e^2 \mid 1)\): Es muss gelten \(I_a(e^2) = 1\), also \(\ln(e^2) - \ln(a) = 1\). 4. Anwendung der Logarithmengesetze: Da \(\ln(e^2) = 2\), vereinfacht sich die Gleichung zu \(2 - \ln(a) = 1\). 5. Auflösen nach \(a\): \(\ln(a) = 1 \implies a = e^1 = e\).

\(a = e\)

- Stelle zuerst einen Term für das Integral in Abhängigkeit von \(k\) auf. - Welchen Wert muss dieses Integral laut Aufgabenstellung annehmen? - Wie kannst du die Gleichung nach \(k\) auflösen, wenn \(k\) eine Potenz ist? - Erinnere dich an die Rechenregeln für Potenzen und Wurzeln.

1. Aufstellen der Integralgleichung für den Flächeninhalt: \(\int_0^k \sqrt[4]{x} \, dx = 25{,}6\). 2. Bestimmung der Stammfunktion von \(f(x) = x^{1/4}\): \(F(x) = \frac{4}{5} x^{5/4}\). 3. Auswertung des bestimmten Integrals: \([\frac{4}{5} x^{5/4}]_0^k = \frac{4}{5} k^{5/4} = 25{,}6\). 4. Isolieren der Potenz: \(k^{5/4} = 25{,}6 \cdot \frac{5}{4} = 32\). 5. Lösen der Gleichung nach \(k\): \(k = 32^{4/5} = (2^5)^{4/5} = 2^4 = 16\).

\(k = 16\)

- Kannst du das Problem zuerst als Gleichung mit einem Integralzeichen aufschreiben? - Wie berechnet man allgemein ein Integral, wenn eine Grenze eine Variable ist? - Welche mathematische Methode hilft dir, eine Gleichung der Form \( x^2 + px + q = 0 \) zu lösen? - Hast du alle Bedingungen aus dem Text berücksichtigt, insbesondere das Vorzeichen der gesuchten Zahl?

1. Aufstellen der Integralgleichung basierend auf der Aufgabenstellung: \( \int_{0}^{b} (2x + 1) \, dx = 12 \). 2. Finden einer Stammfunktion für \( f(x) = 2x + 1 \), welche \( F(x) = x^2 + x \) lautet. 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \( [x^2 + x]_0^b = (b^2 + b) - (0^2 + 0) = b^2 + b \). 4. Gleichsetzen des Terms mit dem vorgegebenen Integralwert: \( b^2 + b = 12 \). 5. Umformen in eine quadratische Gleichung in Normalform: \( b^2 + b - 12 = 0 \). 6. Lösen der quadratischen Gleichung (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): Die Lösungen sind \( b_1 = 3 \) und \( b_2 = -4 \). 7. Da laut Aufgabenstellung eine positive Grenze gesucht ist, entfällt \( b_2 \). Somit ist \( b = 3 \).

\( b = 3 \)

- Bestimme zuerst die Stammfunktion für den gesamten Ausdruck in der Klammer. - Vergiss beim Einsetzen der unteren Grenze \(0\) nicht, dass \(e^0\) einen bestimmten Wert hat. - Manchmal lässt sich eine Gleichung durch genaues Hinsehen lösen, wenn beide Seiten den gleichen Aufbau haben.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = e^x + 1\): Es gilt \(F(x) = e^x + x\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(\int_0^k (e^x + 1) \, dx = [e^x + x]_0^k = (e^k + k) - (e^0 + 0) = e^k + k - 1\). 3. Aufstellen der Gleichung mit dem gegebenen Integralwert: \(e^k + k - 1 = e^3 + 2\). 4. Vereinfachen der Gleichung durch Addition von \(1\) auf beiden Seiten: \(e^k + k = e^3 + 3\). 5. Durch Einsetzen erkennt man \(k = 3\) als Lösung. Da die Funktion \(k \mapsto e^k + k\) streng monoton steigend ist, ist diese Lösung eindeutig.

\(k = 3\)

- Denke beim Integrieren der Exponentialfunktion an die Umkehrung der Kettenregel für lineare innere Funktionen. - Beachte, dass \(e^0\) nicht Null ergibt, wenn du die untere Grenze einsetzt. - Schau dir die resultierende Gleichung genau an – lassen sich bestimmte Terme auf beiden Seiten direkt eliminieren? - Mit welcher Operation kannst du eine Gleichung nach einer Unbekannten auflösen, die im Exponenten steht?

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = e^{0{,}5x} - 1\): \(F(x) = 2e^{0{,}5x} - x\). 2. Anwendung des Hauptsatzes: \([2e^{0{,}5x} - x]_0^k = (2e^{0{,}5k} - k) - (2e^{0{,}5 \cdot 0} - 0) = 2e^{0{,}5k} - k - 2\). 3. Gleichsetzen mit der rechten Seite der Ausgangsgleichung: \(2e^{0{,}5k} - k - 2 = 4 - k\). 4. Vereinfachen der Gleichung: Da \(-k\) auf beiden Seiten vorkommt, vereinfacht sich der Ausdruck zu \(2e^{0{,}5k} - 2 = 4\), woraus \(2e^{0{,}5k} = 6\) bzw. \(e^{0{,}5k} = 3\) folgt. 5. Anwendung des natürlichen Logarithmus zur Lösung der Exponentialgleichung: \(0{,}5k = \ln(3)\), woraus \(k = 2\ln(3)\) resultiert.

\(k = 2\ln(3)\) (oder \(k = \ln(9)\))

- Bestimme zuerst eine Stammfunktion für den Integranden. - Setze die Integrationsgrenzen ein und stelle eine Gleichung für \(k\) auf. - Bei einer Gleichung mit \(k^4\) und \(k^2\) könnte ein Substitutionsverfahren hilfreich sein. - Denk daran, dass ein Integral positive und negative Flächenanteile miteinander verrechnet.

1. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2\). 2. Berechnung des Integrals an der unteren Grenze: \(F(-2) = \frac{1}{4}(-2)^4 - \frac{3}{2}(-2)^2 = 4 - 6 = -2\). 3. Aufstellen der Gleichung nach dem Hauptsatz: \(\frac{1}{4}k^4 - \frac{3}{2}k^2 - (-2) = 0{,}75 \implies \frac{1}{4}k^4 - 1{,}5k^2 + 1{,}25 = 0\). 4. Multiplikation mit 4 zur Vereinfachung: \(k^4 - 6k^2 + 5 = 0\). 5. Substitution \(u = k^2\) führt auf \(u^2 - 6u + 5 = 0\). 6. Lösen der quadratischen Gleichung für \(u\): \((u - 1)(u - 5) = 0 \implies u_1 = 1, u_2 = 5\). 7. Rücksubstitution: \(k^2 = 1 \implies k = \pm 1\); \(k^2 = 5 \implies k = \pm \sqrt{5}\). 8. Die Lösungsmenge ist \(k \in \{-\sqrt{5}; -1; 1; \sqrt{5}\}\). 9. Geometrische Interpretation: Die Gleichung sucht nach einer oberen Grenze \(k\), sodass die Bilanz der Flächeninhalte (orientierter Flächeninhalt) zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse von \(-2\) bis \(k\) exakt \(0{,}75\) ergibt.

Die Lösungen sind \(k_1 = -1\), \(k_2 = 1\), \(k_3 = -\sqrt{5}\) und \(k_4 = \sqrt{5}\). Geometrisch bedeutet die Gleichung, dass für diese Werte von \(k\) der orientierte Flächeninhalt zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse zwischen den Integrationsgrenzen \(-2\) und \(k\) genau \(0{,}75\) beträgt.

- Wie integriert man eine Exponentialfunktion mit einem Faktor im Exponenten? - Setze die obere und untere Grenze in die Stammfunktion ein und bilde die Differenz. - Versuche, die Gleichung so zu vereinfachen, dass der Ausdruck mit der Unbekannten \(k\) isoliert auf einer Seite steht. - Welche Umkehroperation hilft dir dabei, eine Variable aus dem Exponenten einer \(e\)-Funktion zu lösen?

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(t) = e^{2t}\): \(F(t) = \frac{1}{2}e^{2t}\). 2. Anwendung des Hauptsatzes: \(\int_k^1 e^{2t} \, dt = [\frac{1}{2}e^{2t}]_k^1 = \frac{1}{2}e^{2 \cdot 1} - \frac{1}{2}e^{2k} = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}e^{2k}\). 3. Gleichsetzen mit dem gegebenen Wert: \(\frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}e^{2k} = \frac{1}{2}(e^2 - e)\). 4. Auflösen der Gleichung: \(\frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}e^{2k} = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}e \implies -\frac{1}{2}e^{2k} = -\frac{1}{2}e \implies e^{2k} = e^1\). 5. Logarithmieren beider Seiten: \(2k = 1 \implies k = 0{,}5\).

\(k = 0{,}5\)

- Erinnere dich an die Stammfunktion von \( \frac{1}{t} \). - Für das Integral auf der rechten Seite hilft dir die Kettenregel „rückwärts“ (lineare Substitution). Welchen Einfluss hat der Faktor 2 vor dem \( t \) im Nenner? - Nutze die Logarithmusgesetze, um die Ausdrücke zu vereinfachen. - Wenn auf beiden Seiten ein Logarithmus steht, kannst du die Argumente direkt vergleichen.

1. Berechnung des Integrals auf der rechten Seite: Unter Verwendung der linearen Substitution oder der Regel \( \int \frac{f'(t)}{f(t)} \, dt = \ln|f(t)| \) ergibt sich \( \int \frac{1}{2t+1} \, dt = \frac{1}{2} \ln|2t+1| \). Damit ist \( 2 \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{2t+1} \, dt = 2 \cdot [\frac{1}{2} \ln(2t+1)]_0^1 = \ln(3) - \ln(1) = \ln(3) \). 2. Berechnung des Integrals auf der linken Seite: \( \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, dt = [\ln(t)]_1^x = \ln(x) - \ln(1) = \ln(x) \). 3. Gleichsetzen der Ergebnisse: \( \ln(x) = \ln(3) \). 4. Da die Logarithmusfunktion injektiv ist, folgt direkt \( x = 3 \).

\( x = 3 \)

- Stelle zuerst den mathematischen Ausdruck für den beschriebenen Sachverhalt als Integralgleichung auf. - Berechne das Integral in Abhängigkeit von der Variable \(k\). - Welchen Wert hat der natürliche Logarithmus von \(1\)? - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(\ln(x) = c\) nach \(x\) auflösen?

1. Aufstellen des Integrals: \(\int_{1}^{k} \frac{3}{x} \, dx = 6\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = 3 \ln|x|\). 3. Anwendung des Hauptsatzes: \([3 \ln|x|]_{1}^{k} = 3 \ln(k) - 3 \ln(1)\). Da \(\ln(1) = 0\), vereinfacht sich der Ausdruck zu \(3 \ln(k)\). 4. Lösen der Gleichung: \(3 \ln(k) = 6 \implies \ln(k) = 2\). 5. Anwendung der Exponentialfunktion: \(k = e^2\). Da \(e^2 > 1\), ist die Bedingung erfüllt.

\(k = e^2\)