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- Was gibt die Fläche unter einer Geschwindigkeits-Zeit-Kurve physikalisch an? - Wie hängen die Geschwindigkeit und die zurückgelegte Strecke mathematisch zusammen? - Welche Bedeutung hat die Integrationskonstante, wenn ein Startwert gegeben ist? - Erinnere dich an die Potenzregel für das Bilden von Stammfunktionen.

1. Bestimmung der Stammfunktion von \(v(t) = 0{,}6t^2 + 5\): \(V(t) = 0{,}2t^3 + 5t\). 2. Berechnung des bestimmten Integrals im Intervall \([0; 5]\): \(\int_{0}^{5} (0{,}6t^2 + 5) \, \text{d}t = [0{,}2t^3 + 5t]_0^5 = (0{,}2 \cdot 125 + 5 \cdot 5) - 0 = 25 + 25 = 50\). 3. Interpretation: Der Wert \(50\) gibt die Strecke in Metern an, die das Fahrzeug im Zeitintervall von \(0\) bis \(5\) Sekunden zusätzlich zurückgelegt hat. 4. Aufstellen der Bestandsfunktion \(s(t)\) unter Berücksichtigung des Anfangswerts \(s(0) = 12\): \(s(t) = \int v(t) \, \text{d}t = 0{,}2t^3 + 5t + C\). Einsetzen des Anfangswerts liefert \(12 = 0{,}2 \cdot 0^3 + 5 \cdot 0 + C\), woraus \(C = 12\) folgt. 5. Ergebnis: \(s(t) = 0{,}2t^3 + 5t + 12\).

a) Das Integral beträgt \(50\). Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass das Fahrzeug in den ersten \(5\) Sekunden eine Strecke von \(50\,\text{m}\) zurücklegt. b) Der Funktionsterm lautet \(s(t) = 0{,}2t^3 + 5t + 12\).

- Wie kommst du von der Geschwindigkeit zur zurückgelegten Strecke? - Was bedeutet die Bedingung \(s(0) = 0\) für deine Integrationskonstante? - Wie berechnet man den Zuwachs einer Größe in einem bestimmten Zeitabschnitt, wenn die Änderungsrate bekannt ist? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, die Fläche unter einem Graphen in einem Intervall zu bestimmen?

1. Herleitung der Weg-Zeit-Funktion: Die Funktion \(s(t)\) ist eine Stammfunktion von \(v(t)\). Es gilt \(s(t) = \int 0{,}75 t^2 \,\text{d}t = \frac{0{,}75}{3}t^3 + C = 0{,}25t^3 + C\). Da \(s(0) = 0\), folgt \(C = 0\), also \(s(t) = 0{,}25t^3\). 2. Berechnung der Wegstrecke im Intervall \([2; 6]\): Die gesuchte Strecke entspricht dem bestimmten Integral der Geschwindigkeit in den Grenzen von 2 bis 6. 3. Berechnung des Integrals: \(\int_{2}^{6} 0{,}75 t^2 \,\text{d}t = [0{,}25t^3]_2^6\). 4. Auswertung: \(0{,}25 \cdot 6^3 - 0{,}25 \cdot 2^3 = 0{,}25 \cdot 216 - 0{,}25 \cdot 8 = 54 - 2 = 52\,\text{m}\). Alternativ: \(s(6) - s(2) = 52\,\text{m}\).

a) \(s(t) = 0{,}25t^3\) b) Das Motorrad legt in diesem Zeitraum \(52\,\text{m}\) zurück.

- Wie hängen die physikalischen Größen Geschwindigkeit und Weg mathematisch über die Integralrechnung zusammen? - Welcher mathematischen Operation entspricht das Bestimmen der zurückgelegten Strecke, wenn die Geschwindigkeit gegeben ist? - Bestimme zuerst eine Stammfunktion \(s\) der gegebenen Geschwindigkeitsfunktion \(v\), wobei \(s(0) = 0\) gilt. - Setze die entsprechenden Zeitpunkte in deine ermittelte Wegfunktion ein, um die gesuchten Strecken zu berechnen.

1. Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Weg nutzen: Der zurückgelegte Weg \(s(t)\) ist die Stammfunktion der Geschwindigkeit \(v(t)\) mit der Bedingung \(s(0) = 0\). 2. Aufstellen der allgemeinen Stammfunktion: \(s(t) = \int (-0{,}12 t^2 + 1{,}2 t + 4)\,\mathrm{d}t = -0{,}04 t^3 + 0{,}6 t^2 + 4 t + C\) Da \(s(0) = 0\), folgt \(C = 0\), also: \(s(t) = -0{,}04 t^3 + 0{,}6 t^2 + 4 t\) 3. Berechnung für \(t = 5\,\text{s}\): \(s(5) = -0{,}04 \cdot 5^3 + 0{,}6 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5 = -5 + 15 + 20 = 30\,\text{m}\) 4. Berechnung für \(t = 10\,\text{s}\): \(s(10) = -0{,}04 \cdot 10^3 + 0{,}6 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10 = -40 + 60 + 40 = 60\,\text{m}\)

a) In den ersten \(5\,\text{s}\) legt der Radfahrer \(30\,\text{m}\) zurück. b) Während des gesamten \(10\)-sekündigen Sprints legt er \(60\,\text{m}\) zurück. c) Die Funktionsgleichung der Weg-Zeit-Funktion lautet \(s(t) = -0{,}04 t^3 + 0{,}6 t^2 + 4 t\).

- Wie hängt die zurückgelegte Strecke mit dem Graphen der Geschwindigkeit zusammen? Überlege, welche geometrische Eigenschaft der Fläche unter der Kurve hier eine Rolle spielt. - Kannst du die unregelmäßige Fläche unter dem Graphen in bekanntere, einfachere geometrische Formen zerlegen? - Versuche, die einzelnen Abschnitte nacheinander zu betrachten und die jeweiligen Flächeninhalte zu berechnen. - Achte auf die Beschriftung und Einheiten der beiden Achsen, wenn du Werte abliest.

1. Der zurückgelegte Weg \(s\) entspricht dem Integral der Geschwindigkeit über die Zeit, also der Fläche unter dem Graphen von \(v\) im Intervall \([0; 10]\). 2. Die Fläche unter dem Graphen lässt sich in drei einfache geometrische Teilflächen zerlegen: - Ein Dreieck im Intervall \([0; 3]\) mit der Grundseite \(3\,\text{s}\) und der Höhe \(6\,\text{m/s}\): \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9\,\text{m}\) - Ein Rechteck im Intervall \([3; 7]\) mit der Breite \(4\,\text{s}\) und der Höhe \(6\,\text{m/s}\): \(A_2 = 4 \cdot 6 = 24\,\text{m}\) - Ein Trapez im Intervall \([7; 10]\) mit der Breite \(3\,\text{s}\) und den parallelen Seiten \(6\,\text{m/s}\) und \(2\,\text{m/s}\): \(A_3 = \frac{6 + 2}{2} \cdot 3 = 12\,\text{m}\) 3. Die Addition der Teilflächen ergibt die gesamte zurückgelegte Strecke: \(s = A_1 + A_2 + A_3 = 9 + 24 + 12 = 45\,\text{m}\)

Die gesamte zurückgelegte Strecke beträgt \(45\,\text{m}\).

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen Geschwindigkeit, Zeit und dem zurückgelegten Weg? - Die Fläche unter einem Geschwindigkeits-Zeit-Graphen hat eine besondere Bedeutung. Welche ist das? - Bestimme zuerst den Wert eines einzelnen Kästchens im Koordinatensystem. - Zähle die Kästchen im markierten Bereich von \(t = 2\) bis \(t = 8\). Schätze dabei Anteile von Kästchen ab.

1. Interpretation der physikalischen Größe: Die zurückgelegte Strecke \(s\) entspricht dem bestimmten Integral der Geschwindigkeit über die Zeit, also dem Flächeninhalt unter dem Graphen von \(v\) im Intervall \([2; 8]\). 2. Abschätzung des Flächeninhalts aus der Abbildung: Ein Gitterquadrat entspricht einer Strecke von \(1\,\text{s} \cdot 1\,\text{m/s} = 1\,\text{m}\). Durch Zählen der Quadrate oder Nutzung der Mittelpunktsregel lässt sich die Fläche nähern. 3. Berechnung: Die Fläche unter der Glockenkurve zwischen \(2\) und \(8\) umfasst etwa \(27\) Einheitsquadrate. Der exakte Wert des Integrals \(\int_{2}^{8} 8e^{-\frac{(t-5)^2}{4}} \,\text{d}t\) beträgt näherungsweise \(27{,}40\,\text{m}\). 4. Ergebnis: Der Roboter legt in diesem Zeitraum eine Strecke von zirka \(27\,\text{m}\) zurück.

Der Paketroboter legt im Zeitraum von \(t = 2\) bis \(t = 8\) Sekunden eine Strecke von etwa \(27\,\text{m}\) zurück (Werte zwischen \(25\,\text{m}\) und \(29\,\text{m}\) sind als Näherung akzeptabel).

- In welche Richtung fährt das Auto, wenn der Graph oberhalb oder unterhalb der Zeitachse verläuft? - Die Entfernung vom Bezugspunkt wächst, solange das Auto sich von ihm weg bewegt. - Du kannst die Fläche unter dem Graphen in einfache geometrische Figuren wie Dreiecke und Trapeze zerlegen. - Vergiss nicht, den Anfangsabstand von \(50\,\text{Metern}\) zur berechneten Änderung zu addieren.

1. Analyse der Bewegungsrichtung: Das Auto entfernt sich vom Bezugspunkt, solange die Geschwindigkeit positiv ist (\(v(t) > 0\)). Dies gilt für das Zeitintervall \(0 \le t < 8\). 2. Bestimmung des Umkehrpunktes: Bei \(t = 8\,\text{s}\) wird die Geschwindigkeit negativ, das Auto fährt also zurück. Die maximale Entfernung wird folglich zum Zeitpunkt \(t = 8\,\text{s}\) erreicht. 3. Berechnung der Teilflächen zur Bestimmung der Positionsänderung: - Fläche 0 bis 4 s (Trapez): \(A_1 = \frac{2\,\text{m/s} + 6\,\text{m/s}}{2} \cdot 4\,\text{s} = 16\,\text{m}\). - Fläche 4 bis 8 s (Dreieck): \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 4\,\text{s} \cdot 6\,\text{m/s} = 12\,\text{m}\). - Fläche 8 bis 12 s (Dreieck unter der Achse): \(A_3 = \frac{1}{2} \cdot 4\,\text{s} \cdot (-4\,\text{m/s}) = -8\,\text{m}\). 4. Ermittlung der Gesamtänderung: \(\Delta s = 16\,\text{m} + 12\,\text{m} - 8\,\text{m} = 20\,\text{m}\). 5. Berechnung der Endposition: \(s(12) = s(0) + \Delta s = 50\,\text{m} + 20\,\text{m} = 70\,\text{m}\).

a) Das Auto ist nach \(8\,\text{s}\) am weitesten entfernt, da es sich bis dahin vom Bezugspunkt weg bewegt und danach umkehrt. b) Nach \(12\,\text{s}\) befindet sich das Auto in einer Entfernung von \(70\,\text{m}\) vom Bezugspunkt.

- Wie hängen Geschwindigkeit und Weg mathematisch zusammen? - Welche Rechenoperation kehrt die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit um? - Wie berechnet man die Differenz der Positionen zwischen zwei Zeitpunkten? - Denk an die Kettenregel beim Integrieren der e-Funktion.

1. Der zurückgelegte Weg \(s(T)\) wird durch das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit berechnet: \(s(T) = \int_{0}^{T} v(t) \, \text{d}t\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(V(t) = \int 15(1 - e^{-0{,}2t}) \, \text{d}t = 15t + \frac{15}{0{,}2}e^{-0{,}2t} = 15t + 75e^{-0{,}2t}\). 3. Berechnung der Strecke in den ersten \(5\,\text{s}\): \(s(5) = [15t + 75e^{-0{,}2t}]_0^5 = (15 \cdot 5 + 75e^{-1}) - (0 + 75e^0) = 75 + 75e^{-1} - 75 = 75e^{-1} \approx 27{,}59\,\text{m}\). 4. Berechnung der Strecke für das Intervall \([5; 10]\): \(s(10) - s(5) = [15t + 75e^{-0{,}2t}]_5^{10} = (150 + 75e^{-2}) - (75 + 75e^{-1}) = 75 + 75e^{-2} - 75e^{-1} \approx 57{,}56\,\text{m}\).

In den ersten \(5\,\text{s}\) legt das Boot ca. \(27{,}59\,\text{m}\) zurück. In den darauffolgenden \(5\,\text{s}\) (Zeitintervall von \(t=5\) bis \(t=10\)) legt es ca. \(57{,}56\,\text{m}\) zurück.

- Was gibt die Fläche unter dem Graphen einer Geschwindigkeits-Zeit-Funktion an? - Welches bestimmte Integral musst du hier aufstellen? - Wie bildest du die Stammfunktion eines Ausdrucks der Form \(ae^{kt}\)?

1. Die Fallhöhe ist das Integral der Geschwindigkeit über \([0;12]\): \(h=\int_0^{12}55(1-e^{-0{,}18t})\,dt\). 2. Eine Stammfunktion ist \(V(t)=55t+\frac{55}{0{,}18}e^{-0{,}18t}\). 3. Damit gilt \(h=V(12)-V(0)=660+\frac{55}{0{,}18}e^{-2{,}16}-\frac{55}{0{,}18}\approx389{,}6827\,\text{m}\). 4. Auf zwei Nachkommastellen gerundet beträgt die Fallhöhe \(389{,}68\,\text{m}\).

Der Fallschirmspringer legt in den ersten \(12\,\text{s}\) eine Fallhöhe von etwa \(389{,}68\,\text{m}\) zurück.

- Wie hängen Geschwindigkeit und zurückgelegte Strecke mathematisch zusammen? - Welcher Zeitpunkt \(t\) entspricht dem Start von Fahrzeug B? - Achte darauf, dass Fahrzeug B erst ab \(t = 10\) eine Geschwindigkeit größer als Null hat. - Was bedeutet „Abstand“ im Hinblick auf die Positionen der beiden Fahrzeuge?

1. Bis zum Start von Fahrzeug B bei \(t=10\) legt Fahrzeug A \(s_A(10)=\int_0^{10}18(1-e^{-0{,}08t})\,dt=[18t+225e^{-0{,}08t}]_0^{10}\approx56{,}10\,\text{m}\) zurück. 2. Zehn Sekunden nach dem Start von B ist \(t=20\). Es gilt \(v_A(20)\approx14{,}3659\,\text{m/s}\) und \(v_B(20)\approx16{,}7713\,\text{m/s}\). Der Geschwindigkeitsunterschied ist daher \(16{,}7713-14{,}3659\approx2{,}4055\,\text{m/s}\), also gerundet \(2{,}41\,\text{m/s}\). 3. Zwanzig Sekunden nach dem Start von B ist \(t=30\). Fahrzeug A hat dann \(s_A(30)\approx335{,}41\,\text{m}\), Fahrzeug B seit seinem Start \(s_B(30)\approx298{,}14\,\text{m}\) zurückgelegt. Der Abstand beträgt \(335{,}41-298{,}14\approx37{,}27\,\text{m}\).

a) etwa \(56{,}10\,\text{m}\) b) etwa \(2{,}41\,\text{m/s}\) c) etwa \(37{,}27\,\text{m}\)

- Erinnerst du dich an die Regel für die partielle Integration? - Wie nutzt man die Stammfunktion, um den Weg in einem bestimmten Zeitabschnitt zu finden? - Was bedeutet „Durchschnitt“ im Kontext einer kontinuierlichen Funktion über ein Intervall? - Überprüfe die Vorzeichen beim Einsetzen in die Stammfunktion sorgfältig.

1. Mittels partieller Integration ergibt sich die Stammfunktion \(V(t) = (-50t - 250) \cdot e^{-0{,}2t} - 250 \cdot e^{-0{,}2t} = (-50t - 500) \cdot e^{-0{,}2t}\). 2. Die Wegstrecke \(s\) im Intervall \([5; 15]\) wird berechnet durch \(s = \int_{5}^{15} v(t) \, \text{d}t = V(15) - V(5)\). Einsetzen liefert \(V(15) = (-50 \cdot 15 - 500) \cdot e^{-3} = -1250 \cdot e^{-3} \approx -62{,}23\) und \(V(5) = (-50 \cdot 5 - 500) \cdot e^{-1} = -750 \cdot e^{-1} \approx -275{,}91\). Die Differenz ergibt \(s \approx -62{,}23 - (-275{,}91) = 213{,}68\,\text{m}\). 3. Die durchschnittliche Geschwindigkeit \(\bar{v}\) ist der Quotient aus Weg und Zeit: \(\bar{v} = \frac{s}{15 - 5} = \frac{213{,}68}{10} \approx 21{,}37\,\text{m/s}\).

1. Eine Stammfunktion ist \(V(t) = (-50t - 500) \cdot e^{-0{,}2t}\). 2. Der zurückgelegte Weg beträgt ca. \(213{,}68\,\text{m}\). 3. Die durchschnittliche Geschwindigkeit beträgt ca. \(21{,}37\,\text{m/s}\).

- Wie hängen Geschwindigkeit und Weg mathematisch zusammen? - Was bedeutet es für die Konstante \(C\), wenn du einen festen Punkt der Funktion kennst? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. - Überlege, was passiert, wenn du zwei Funktionswerte derselben Stammfunktion voneinander abziehst.

1. Die allgemeine Stammfunktion von \(v(t) = 0{,}3t^2 + 2\) lautet \(s(t) = 0{,}1t^3 + 2t + C\). 2. Einsetzen der Bedingung \(s(1) = 5\): \(0{,}1 \cdot 1^3 + 2 \cdot 1 + C = 5 \Rightarrow 2{,}1 + C = 5 \Rightarrow C = 2{,}9\). Die Funktionsgleichung lautet \(s(t) = 0{,}1t^3 + 2t + 2{,}9\). 3. a) \(s(4) = 0{,}1 \cdot 64 + 2 \cdot 4 + 2{,}9 = 6{,}4 + 8 + 2{,}9 = 17{,}3\). Die Differenz ist \(s(4) - s(1) = 17{,}3 - 5 = 12{,}3\,\text{m}\). b) Das Integral berechnet sich zu \(\int_{1}^{4} (0{,}3t^2 + 2) \, dt = [0{,}1t^3 + 2t]_1^4 = (6{,}4 + 8) - (0{,}1 + 2) = 14{,}4 - 2{,}1 = 12{,}3\,\text{m}\). 4. Beide Ergebnisse sind identisch (\(12{,}3\,\text{m}\)). Dies bestätigt den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: Das bestimmte Integral der Geschwindigkeit über ein Intervall entspricht der Änderung der Position (dem zurückgelegten Weg) in diesem Zeitraum, wobei die Integrationskonstante \(C\) bei der Differenzbildung wegfällt.

1. \(s(t) = 0{,}1t^3 + 2t + C\) 2. \(C = 2{,}9\); \(s(t) = 0{,}1t^3 + 2t + 2{,}9\) 3. In beiden Fällen ergibt sich ein Weg von \(12{,}3\,\text{m}\). 4. Die Ergebnisse sind gleich, da das Integral der Geschwindigkeit die Änderung des Weges beschreibt (\(s(b) - s(a) = \int_a^b v(t) \, dt\)).

- Erinnere dich an die physikalischen Beziehungen: Die Geschwindigkeit ist die Stammfunktion der Beschleunigung, und der Weg ist die Stammfunktion der Geschwindigkeit. - Schreibe die Wurzel als Potenz um, um die Integrationsregeln leichter anwenden zu können. - Vergiss nicht, bei jedem Integrationsschritt die Integrationskonstante mithilfe der Startwerte zu bestimmen. - Wie berechnet man Potenzen mit rationalen Exponenten wie \(5/2\) am besten ohne Taschenrechner?

1. Bestimmung von \(v(t)\) durch Integration von \(a(t)\): \(v(t) = \int 0{,}75t^{1/2} \,\text{d}t = 0{,}75 \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C_1 = 0{,}5t^{3/2} + C_1\). 2. Anwendung der Randbedingung \(v(0) = 0\): \(0{,}5 \cdot 0^{3/2} + C_1 = 0 \implies C_1 = 0\). Somit ist \(v(t) = 0{,}5t^{3/2}\). 3. Bestimmung von \(s(t)\) durch Integration von \(v(t)\): \(s(t) = \int 0{,}5t^{3/2} \,\text{d}t = 0{,}5 \cdot \frac{2}{5} t^{5/2} + C_2 = 0{,}2t^{5/2} + C_2\). 4. Anwendung der Randbedingung \(s(0) = 0\): \(0{,}2 \cdot 0^{5/2} + C_2 = 0 \implies C_2 = 0\). Somit ist \(s(t) = 0{,}2t^{5/2}\). 5. Berechnung der Strecke für \(t = 16\): \(s(16) = 0{,}2 \cdot 16^{5/2} = 0{,}2 \cdot (\sqrt{16})^5 = 0{,}2 \cdot 4^5 = 0{,}2 \cdot 1024 = 204{,}8\). Die Strecke nach \(16\) Sekunden beträgt \(204{,}8\,\text{m}\).

a) \(v(t) = 0{,}5t^{3/2}\) (oder \(v(t) = 0{,}5\sqrt{t^3}\)) b) \(s(t) = 0{,}2t^{5/2}\) (oder \(s(t) = 0{,}2\sqrt{t^5}\)) c) Die zurückgelegte Strecke beträgt \(204{,}8\,\text{m}\).

- Schau dir den Graphen genau an und suche die Schnittpunkte der Kurve mit den vertikalen Gitterlinien bei den gesuchten Zeiten. - Erinnere dich daran, wie die Fläche eines einzelnen Trapezes berechnet wird: Verwende die beiden parallelen Seiten (die Funktionswerte an den Intervallgrenzen) und die Breite des Intervalls. - Der zurückgelegte Weg entspricht mathematisch der Fläche unter dem Geschwindigkeits-Zeit-Graphen. Welches mathematische Werkzeug hilft dir, diese Fläche exakt zu bestimmen? - Um die Abweichung zu berechnen, subtrahiere den Näherungswert vom exakten Wert.

1. Ablesen der Geschwindigkeitswerte aus dem Funktionsgraphen an den ganzzahligen Stellen: \(v(0) = 2\,\text{m/s}\) \(v(2) = 4\,\text{m/s}\) \(v(4) = 5\,\text{m/s}\) \(v(6) = 2\,\text{m/s}\) 2. Näherung des Weges über drei Trapeze mit der Breite \(h = 2\,\text{s}\): - Erstes Trapez: \(A_1 = \frac{v(0) + v(2)}{2} \cdot h = \frac{2 + 4}{2} \cdot 2 = 6\,\text{m}\) - Zweites Trapez: \(A_2 = \frac{v(2) + v(4)}{2} \cdot h = \frac{4 + 5}{2} \cdot 2 = 9\,\text{m}\) - Drittes Trapez: \(A_3 = \frac{v(4) + v(6)}{2} \cdot h = \frac{5 + 2}{2} \cdot 2 = 7\,\text{m}\) - Gesamter genäherter Weg: \(s_{\text{Näherung}} = 6 + 9 + 7 = 22\,\text{m}\) 3. Berechnung des exakten Weges mittels des bestimmten Integrals: - Stammfunktion bestimmen: \(V(t) = -\frac{1}{64}t^4 + \frac{1}{12}t^3 + \frac{3}{8}t^2 + 2t\) - Integral berechnen: \(\int_{0}^{6} v(t)\,\mathrm{d}t = V(6) - V(0) = \left(-\frac{1296}{64} + \frac{216}{12} + \frac{108}{8} + 12\right) - 0 = -20{,}25 + 18 + 13{,}5 + 12 = 23{,}25\,\text{m}\) 4. Bestimmung der absoluten Abweichung: - Abweichung: \(23{,}25\,\text{m} - 22\,\text{m} = 1{,}25\,\text{m}\)

a) \(v(0) = 2\,\text{m/s}\), \(v(2) = 4\,\text{m/s}\), \(v(4) = 5\,\text{m/s}\), \(v(6) = 2\,\text{m/s}\) b) Der Näherungswert für den zurückgelegten Weg beträgt \(22\,\text{m}\). c) Der exakte Wert beträgt \(23{,}25\,\text{m}\). Die absolute Abweichung beträgt \(1{,}25\,\text{m}\).

- Überlege dir zuerst, wie die Flughöhe mit der Vertikalgeschwindigkeit zusammenhängt. Welcher mathematische Operator beschreibt die Rekonstruktion einer Bestandsgröße aus einer Änderungsrate? - Bestimme eine Stammfunktion für die Geschwindigkeit \(v(t)\), um die Höhenänderung zu beschreiben. - Vergiss nicht, die Anfangshöhe von \(150\,\text{m}\) bei der Berechnung der tatsächlichen Flughöhe zu berücksichtigen. - Wann wechselt der Ballon vom Sinken zum Steigen? Achte auf das Vorzeichen der Geschwindigkeit im Graphen. - Setze für den Zeitpunkt der Wiederkehr der Ausgangshöhe die Höhenänderung gleich null und löse die entstehende Gleichung nach \(t\).

1. Bestimmung der Höhenfunktion \(h(t)\) durch Integration der Vertikalgeschwindigkeit \(v(t) = -0{,}2t^3 + 4{,}2t^2 - 16t\): \(h(t) = h(0) + \int_0^t v(\tau) \,\mathrm{d}\tau = 150 + \left[ -0{,}05\tau^4 + 1{,}4\tau^3 - 8\tau^2 \right]_0^t = 150 - 0{,}05t^4 + 1{,}4t^3 - 8t^2\) 2. Berechnung der Höhen für Teilaufgabe a): - Nach \(4\,\text{Minuten}\): \(h(4) = 150 - 0{,}05 \cdot 4^4 + 1{,}4 \cdot 4^3 - 8 \cdot 4^2 = 150 - 12{,}8 + 89{,}6 - 128 = 98{,}8\,\text{m}\) - Nach \(10\,\text{Minuten}\): \(h(10) = 150 - 0{,}05 \cdot 10^4 + 1{,}4 \cdot 10^3 - 8 \cdot 10^2 = 150 - 500 + 1400 - 800 = 250\,\text{m}\) 3. Bestimmung der minimalen Höhe für Teilaufgabe b): Der Ballon sinkt, solange \(v(t) < 0\) ist, und steigt, sobald \(v(t) > 0\) ist. Der Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus findet an der Nullstelle \(t = 5\) statt. Die minimale Höhe nach \(5\,\text{Minuten}\) beträgt: \(h(5) = 150 - 0{,}05 \cdot 5^4 + 1{,}4 \cdot 5^3 - 8 \cdot 5^2 = 150 - 31{,}25 + 175 - 200 = 93{,}75\,\text{m}\) 4. Zeitpunkt der Wiederkehr der Ausgangshöhe für Teilaufgabe c): Die Ausgangshöhe wird wieder erreicht, wenn die Höhenänderung null ist: \(-0{,}05t^4 + 1{,}4t^3 - 8t^2 = 0 \implies -0{,}05t^2(t^2 - 28t + 160) = 0\) Für \(t > 0\) lösen wir die quadratische Gleichung \(t^2 - 28t + 160 = 0\): \(t = 14 \pm \sqrt{14^2 - 160} = 14 \pm 6\) Dies liefert \(t = 8\) und \(t = 20\). Da die Flugphase auf das Intervall \([0; 10]\) beschränkt ist, erreicht der Ballon nach genau \(8\,\text{Minuten}\) wieder seine Ausgangshöhe.

a) Nach \(4\,\text{Minuten}\) beträgt die Flughöhe \(98{,}8\,\text{m}\), nach \(10\,\text{Minuten}\) beträgt sie \(250\,\text{m}\). b) Die minimale Höhe von \(93{,}75\,\text{m}\) wird nach \(5\,\text{Minuten}\) erreicht. c) Der Ballon erreicht nach genau \(8\,\text{Minuten}\) wieder seine Ausgangshöhe.

- Wie hängen die physikalischen Größen Ort, Geschwindigkeit und Zeit mathematisch zusammen? - Wenn zwei Graphen sich schneiden, was bedeutet das für ihre Funktionswerte? - Erinnere dich daran, wie man die Fläche unter einer Kurve berechnet. - Wie lässt sich die Differenz zweier Flächen durch ein einziges Integral beschreiben?

Gleichsetzen der Geschwindigkeiten zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(-\frac{1}{4}t^2 + 2t + 2 = \frac{1}{2}t + 2 \implies -\frac{1}{4}t^2 + \frac{3}{2}t = 0\). Die Lösung für \(t > 0\) liefert den Zeitpunkt \(t = 6\,\text{s}\). Einsetzen in eine der Funktionen ergibt die gemeinsame Geschwindigkeit \(v = 5\,\text{m/s}\). Berechnung der zurückgelegten Wege durch Integration von \(0\) bis \(6\): Weg von Paul: \(s_P = \int_{0}^{6} \left(-\frac{1}{4}t^2 + 2t + 2\right)\,\mathrm{d}t = \left[ -\frac{1}{12}t^3 + t^2 + 2t \right]_{0}^{6} = 30\,\text{m}\). Weg von Jonas: \(s_J = \int_{0}^{6} \left(\frac{1}{2}t + 2\right)\,\mathrm{d}t = \left[ \frac{1}{4}t^2 + 2t \right]_{0}^{6} = 21\,\text{m}\). Vergleich der Wege: Paul liegt vorn mit einem Vorsprung von \(30\,\text{m} - 21\,\text{m} = 9\,\text{m}\). Geometrische Interpretation: Der Vorsprung entspricht der Fläche zwischen den Graphen von \(v_P\) und \(v_J\) im Intervall \([0; 6]\), berechnet durch das Integral der Differenzfunktion \(\int_{0}^{6} (v_P(t) - v_J(t))\,\mathrm{d}t = 9\,\text{m}\).

a) Nach \(6\,\text{s}\) haben beide Läufer die gleiche Geschwindigkeit von \(5\,\text{m/s}\). b) Paul hat \(30\,\text{m}\) zurückgelegt, Jonas \(21\,\text{m}\). c) Paul liegt mit \(9\,\text{m}\) Vorsprung vorne. Dieser Vorsprung entspricht genau der Fläche zwischen den beiden Graphen im Intervall \([0; 6]\).

- Was bedeutet eine negative Geschwindigkeit für die Bewegungsrichtung des Autos? - Wie berechnet man die zurückgelegte Strecke aus einem Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm? - Unterscheide zwischen der "gesamten Fahrstrecke" (Weglänge) und der "Entfernung vom Startpunkt" (Verschiebung). - Zerlege die Fläche unter dem Graphen in einfache geometrische Formen wie Dreiecke und Rechtecke.

1. Das Auto entfernt sich vom Startpunkt, solange \(v(t) > 0\) ist. Dies ist für \(t < 12\,\text{s}\) der Fall. Ab \(t = 12\,\text{s}\) wird die Geschwindigkeit negativ, das Auto fährt also zurück. Die maximale Entfernung wird somit bei \(t = 12\,\text{s}\) erreicht. 2. Berechnung der maximalen Entfernung (\(0\) bis \(12\,\text{s}\)): Die Fläche unter dem Graphen setzt sich aus einem Dreieck, einem Rechteck und einem weiteren Dreieck zusammen: \(s_{\text{max}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 + 4 \cdot 10 + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 = 20 + 40 + 20 = 80\,\text{m}\). 3. Berechnung des Rückwegs (\(12\) bis \(20\,\text{s}\)): Die Fläche unter der Achse ist ein Dreieck: \(\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot (-5) = -20\,\text{m}\). 4. Gesamte Fahrstrecke: Hier werden die Beträge der Flächen addiert: \(80\,\text{m} + |-20\,\text{m}| = 100\,\text{m}\). 5. Endposition nach \(20\,\text{s}\): Die orientierte Flächenbilanz ergibt \(80\,\text{m} - 20\,\text{m} = 60\,\text{m}\). Das Auto ist \(60\,\text{m}\) vom Startpunkt entfernt.

a) Das Auto ist nach \(12\,\text{s}\) am weitesten entfernt. Die maximale Entfernung beträgt \(80\,\text{m}\). b) Die gesamte Fahrstrecke beträgt \(100\,\text{m}\). c) Nach \(20\,\text{s}\) befindet sich das Auto \(60\,\text{m}\) von seiner Startposition entfernt.

- Überlege, wie die zurückgelegte Strecke mathematisch mit der Geschwindigkeit zusammenhängt. - Welches Verfahren aus der Integralrechnung hilft dir, die Fläche unter der Kurve zu bestimmen? - Nutze den Graphen, um für einen gegebenen Wert auf der \(y\)-Achse den passenden Wert auf der \(x\)-Achse zu finden. - Was passiert mit dem Exponentialterm in der Funktionsgleichung, wenn die Zeit sehr groß wird?

1. Integration der Geschwindigkeitsfunktion \(v(t) = 40 - 40e^{-0{,}25t}\) liefert die Wegfunktion \(s(t) = 40t + 160e^{-0{,}25t} - 160\) unter Berücksichtigung von \(s(0) = 0\). 2. Berechnung der Strecke für \(t = 10\): \(s(10) = 40 \cdot 10 + 160 \cdot e^{-2{,}5} - 160 = 240 + 160 \cdot e^{-2{,}5} \approx 253{,}13\,\text{m}\). 3. Ablesen des Zeitpunktes für \(v(t) = 20\,\text{m/s}\) aus dem Graphen ergibt \(t \approx 2{,}8\,\text{s}\). Die Rechnung \(20 = 40 \cdot (1 - e^{-0{,}25t})\) führt zu \(0{,}5 = e^{-0{,}25t}\) und somit \(t = \frac{\ln(0{,}5)}{-0{,}25} = 4\ln(2) \approx 2{,}77\,\text{s}\). 4. Der Grenzwert für \(t \to \infty\) ist \(\lim_{t \to \infty} 40 \cdot (1 - e^{-0{,}25t}) = 40\), da der Term \(e^{-0{,}25t}\) gegen Null strebt. Die Grenzgeschwindigkeit beträgt \(40\,\text{m/s}\).

a) Das Fahrzeug hat ca. \(253{,}13\,\text{m}\) zurückgelegt. b) Aus dem Graphen liest man \(t \approx 2{,}8\,\text{s}\) ab; die genaue Rechnung ergibt \(t \approx 2{,}77\,\text{s}\). c) Die Grenzgeschwindigkeit beträgt \(40\,\text{m/s}\).

- Überlege dir den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit, Zeit und Wegstrecke im \(v\)-\(t\)-Diagramm. - Wie berechnet man die Fläche eines Trapezes? - Für die Durchschnittsgeschwindigkeit teilst du den Gesamtweg durch die Gesamtzeit. - Denke an den Umrechnungsfaktor zwischen \(\text{m}/\text{s}\) und \(\text{km}/\text{h}\). - Teile die Fahrt in Abschnitte auf, um zu sehen, wie viel Weg in welcher Zeit zurückgelegt wird.

1. Bewegungsphasen: Von \(0\) bis \(10\,\text{s}\) erfolgt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Von \(10\) bis \(50\,\text{s}\) fährt das Fahrzeug mit einer konstanten Geschwindigkeit von \(20\,\text{m}/\text{s}\). Von \(50\) bis \(60\,\text{s}\) findet eine gleichmäßige Verzögerung (Bremsvorgang) bis zum Stillstand statt. 2. Gesamtweg: Die Fläche unter dem Graphen entspricht der Strecke. Als Trapez berechnet: \(s_{ges} = \frac{1}{2} \cdot (60\,\text{s} + 40\,\text{s}) \cdot 20\,\text{m}/\text{s} = 50 \cdot 20 = 1000\,\text{m}\). 3. Durchschnittsgeschwindigkeit: \(\bar{v} = \frac{s_{ges}}{t_{ges}} = \frac{1000\,\text{m}}{60\,\text{s}} = \frac{50}{3}\,\text{m}/\text{s}\). Umrechnung in \(\text{km}/\text{h}\): \(\frac{50}{3} \cdot 3{,}6 = 60\,\text{km}/\text{h}\). 4. Zeitpunkt für die Hälfte der Strecke (\(500\,\text{m}\)): In der ersten Phase werden \(s_1 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 20 = 100\,\text{m}\) zurückgelegt. In der zweiten Phase müssen weitere \(400\,\text{m}\) gefahren werden. Bei \(20\,\text{m}/\text{s}\) dauert dies \(\Delta t = \frac{400\,\text{m}}{20\,\text{m}/\text{s}} = 20\,\text{s}\). Der Zeitpunkt ist \(t = 10\,\text{s} + 20\,\text{s} = 30\,\text{s}\).

a) \(0\) bis \(10\,\text{s}\): gleichmäßig beschleunigte Bewegung; \(10\) bis \(50\,\text{s}\): konstante Geschwindigkeit; \(50\) bis \(60\,\text{s}\): gleichmäßig verzögerte Bewegung bis zum Stillstand. b) Das Fahrzeug hat \(1000\,\text{m}\) zurückgelegt. c) Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt \(60\,\text{km}/\text{h}\). d) Nach \(30\,\text{s}\) ist die Hälfte der Strecke zurückgelegt.

- Wie hängen Geschwindigkeit, Beschleunigung und Weg mathematisch zusammen? Denke an Ableitungen und Integrale. - Die Höchstgeschwindigkeit findest du durch Untersuchung der ersten Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion. - Um die maximale Beschleunigung zu finden, musst du die Funktion betrachten, die die Beschleunigung beschreibt. - Die Durchschnittsgeschwindigkeit lässt sich über das Integral der Geschwindigkeit oder einfach über die Gesamtstrecke und Gesamtzeit berechnen.

1. Die maximale Geschwindigkeit liegt an einem lokalen Maximum von \(v(t)\) vor. Ableitung: \(v'(t) = -0{,}15t^2 + 1{,}2t\). Nullstellen von \(v'\): \(-0{,}15t(t - 8) = 0 \Rightarrow t_1 = 0\), \(t_2 = 8\). Da \(v''(8) = -0{,}3 \cdot 8 + 1{,}2 = -1{,}2 < 0\), liegt bei \(t = 8\,\text{s}\) ein Maximum vor. Maximalwert: \(v(8) = -0{,}05 \cdot 8^3 + 0{,}6 \cdot 8^2 = -25{,}6 + 38{,}4 = 12{,}8\,\text{m}/\text{s}\). 2. Die Beschleunigung ist \(a(t) = v'(t) = -0{,}15t^2 + 1{,}2t\). Das Maximum von \(a(t)\) liegt am Wendepunkt von \(v(t)\). \(a'(t) = v''(t) = -0{,}3t + 1{,}2 = 0 \Rightarrow t = 4\,\text{s}\). Maximaler Beschleunigungswert: \(a(4) = -0{,}15 \cdot 4^2 + 1{,}2 \cdot 4 = -2{,}4 + 4{,}8 = 2{,}4\,\text{m}/\text{s}^2\). 3. Die Strecke \(s\) ist das Integral der Geschwindigkeit: \(s = \int_0^{12} v(t) \,\text{d}t\). Stammfunktion: \(V(t) = -0{,}0125t^4 + 0{,}2t^3\). Berechnung: \(V(12) = -0{,}0125 \cdot 12^4 + 0{,}2 \cdot 12^3 = -259{,}2 + 345{,}6 = 86{,}4\). Da \(V(0) = 0\), beträgt die Strecke \(86{,}4\,\text{m}\). 4. Die Durchschnittsgeschwindigkeit \(\bar{v}\) ist die Gesamtfahrstrecke geteilt durch die Gesamtzeit: \(\bar{v} = \frac{86{,}4\,\text{m}}{12\,\text{s}} = 7{,}2\,\text{m}/\text{s}\).

a) Die Höchstgeschwindigkeit von \(12{,}8\,\text{m}/\text{s}\) wird nach \(8\,\text{s}\) erreicht. b) Die maximale Beschleunigung tritt zum Zeitpunkt \(t = 4\,\text{s}\) auf und beträgt \(2{,}4\,\text{m}/\text{s}^2\). c) Das Fahrzeug legt in den 12 Sekunden eine Strecke von \(86{,}4\,\text{m}\) zurück. d) Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt \(7{,}2\,\text{m}/\text{s}\).

- Was berechnet man allgemein, wenn man die Geschwindigkeit über die Zeit integriert? - Überlege, was es für die Position der Boote bedeutet, wenn die Differenz ihrer zurückgelegten Strecken genau Null ist. - Welche Bedeutung haben die Integrationsgrenzen in diesem Kontext? - Vergleiche die Grenzwerte der Geschwindigkeiten für sehr große \(t\), um zu verstehen, welches Boot langfristig schneller ist.

1. Die beiden Integrale geben die Positionen der Boote relativ zum gemeinsamen Startpunkt an. Daher ist \(D(x)\) die vorzeichenbehaftete Positionsdifferenz „Position von Boot 1 minus Position von Boot 2“. Für \(D(x)>0\) liegt Boot 1 vorn, für \(D(x)<0\) liegt Boot 2 vorn; der räumliche Abstand ist \(|D(x)|\). 2. Für Boot 1 gilt \(s_1(50)=\int_0^{50}15(1-e^{-0{,}05t})\,dt=[15t+300e^{-0{,}05t}]_0^{50}\approx474{,}63\,\text{m}\). 3. Für Boot 2 gilt \(s_2(50)=\int_{25}^{50}25(1-e^{-0{,}1(t-25)})\,dt\approx395{,}52\,\text{m}\). 4. Damit ist \(D(50)=474{,}63-395{,}52\approx79{,}11\,\text{m}\). Der positive Wert bedeutet, dass Boot 1 zu diesem Zeitpunkt noch etwa \(79{,}11\,\text{m}\) vorn liegt. 5. Aus \(D(z)=0\) folgt, dass beide Positionswerte gleich sind. Eine Nullstelle nach dem Start von Boot 2 bezeichnet daher einen Zeitpunkt, an dem beide Boote auf gleicher Höhe sind; beim ersten solchen Zeitpunkt holt Boot 2 Boot 1 ein.

a) \(D(x)\) ist die vorzeichenbehaftete Positionsdifferenz von Boot 1 zu Boot 2; der Abstand ist \(|D(x)|\). b) \(D(50)\approx79{,}11\,\text{m}\); Boot 1 liegt noch vorn. c) Bei \(D(z)=0\) befinden sich beide Boote am selben Ort; die erste solche Nullstelle nach \(t=25\) ist der Einholzeitpunkt.

- Wie hängen die Geschwindigkeit und die zurückgelegte Strecke (Höhe) mathematisch zusammen? - Überlege dir, was der Anfangswert für die Berechnung der Bestandsfunktion bedeutet. - Wann ändert sich die Bewegungsrichtung von Steigen zu Sinken? - Vergleiche für ein absolutes Maximum auch die Randwerte des Modellintervalls. - Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit der Bestand wieder den ursprünglichen Wert annimmt?

1. Aufstellen der Höhenfunktion \(h(t)\) durch Integration der Geschwindigkeit: \(h(t) = 250 + \int_0^t v(x) \, \text{d}x\). Mit \(v(t) = 2 \cdot 10^{-5}(t^3 - 130t^2 + 3000t)\) ergibt sich \(h(t) = 250 + 2 \cdot 10^{-5}(\frac{1}{4}t^4 - \frac{130}{3}t^3 + 1500t^2)\). 2. Berechnung der Höhen: \(h(60) = 250 + 2 \cdot 10^{-5}(3\,240\,000 - 9\,360\,000 + 5\,400\,000) = 235{,}6\,\text{m}\). Für \(t=120\) ergibt sich \(h(120) = 250 + 2 \cdot 10^{-5}(51\,840\,000 - 74\,880\,000 + 21\,600\,000) = 221{,}2\,\text{m}\). 3. Für die maximale Höhe im Modellintervall \([0; 150]\) werden die inneren Extremstellen und die Randwerte verglichen. Die Nullstellen von \(v(t)\) liegen bei \(t=0\), \(t=30\) und \(t=100\). Bei \(t=30\) liegt ein lokales Maximum mit \(h(30) = 257{,}65\,\text{m}\), bei \(t=100\) ein lokales Minimum mit \(h(100) \approx 183{,}33\,\text{m}\). Am rechten Rand gilt \(h(150) = 250 + 2 \cdot 10^{-5}(126\,562\,500 - 146\,250\,000 + 33\,750\,000) = 531{,}25\,\text{m}\). Damit erreicht der Ballon im betrachteten Zeitraum bei \(t=150\,\text{s}\) seine maximale Höhe von \(531{,}25\,\text{m}\). 4. Nachweis für \(t=40\): \(h(40) = 250 + 2 \cdot 10^{-5}(640\,000 - 2\,773\,333{,}33 + 2\,400\,000) \approx 255{,}33\,\text{m}\). 5. Rückkehr zur Ausgangshöhe: Ansatz \(h(t) = 250\), was zu \(\frac{1}{4}t^4 - \frac{130}{3}t^3 + 1500t^2 = 0\) führt. Ausklammern von \(t^2\) und Lösen der quadratischen Gleichung \(\frac{1}{4}t^2 - \frac{130}{3}t + 1500 = 0\) liefert \(t \approx 47{,}79\) und \(t \approx 125{,}54\). Der erste Zeitpunkt ist somit \(t \approx 47{,}8\,\text{s}\).

a) Nach \(60\,\text{s}\): \(235{,}6\,\text{m}\); nach \(120\,\text{s}\): \(221{,}2\,\text{m}\). b) Zeitpunkt: \(t = 150\,\text{s}\); maximale Höhe im betrachteten Zeitraum: \(531{,}25\,\text{m}\). c) Nachweis durch Einsetzen in die Stammfunktion: \(h(40) \approx 255{,}33\,\text{m}\). d) Zeitpunkt: \(t \approx 47{,}8\,\text{s}\).

- Wie hängen Geschwindigkeit und Beschleunigung mathematisch zusammen? - Welche Ableitungsregeln musst du anwenden, wenn du ein Produkt aus einer ganzrationalen Funktion und einer e-Funktion hast? - Welche physikalische Größe erhältst du, wenn du die Geschwindigkeit über die Zeit integrierst? - Wie findet man eine Stammfunktion für einen Term der Form \((at^2+bt+c) \cdot e^{kt}\)? Erinnere dich an die Methode des unbestimmten Ansatzes oder die partielle Integration.

1. Die Beschleunigung ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit: \(a(t) = v'(t)\). Unter Anwendung der Produkt- und Kettenregel ergibt sich \(a(t) = (20 - 4t) \cdot e^{-0{,}5t} + (20t - 2t^2) \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5t} = (t^2 - 14t + 20) \cdot e^{-0{,}5t}\). 2. Einsetzen von \(t = 2\): \(a(2) = (4 - 28 + 20) \cdot e^{-1} = -4 \cdot e^{-1} \approx -1{,}47\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). 3. Die Tiefe \(s(10)\) entspricht dem Integral der Geschwindigkeit: \(s(10) = \int_0^{10} (20t - 2t^2) \cdot e^{-0{,}5t} \, \text{d}t\). 4. Eine Stammfunktion von \(v\) ist \(V(t) = (4t^2 - 24t - 48) \cdot e^{-0{,}5t}\). 5. Berechnung des bestimmten Integrals: \(s(10) = V(10) - V(0) = (400 - 240 - 48) \cdot e^{-5} - (-48) = 112 \cdot e^{-5} + 48 \approx 48{,}75\,\text{m}\). 6. Das Integral \(\int_0^{10} v(t) \, \text{d}t\) gibt die gesamte vertikale Distanz an, die das Fahrzeug im Zeitintervall \([0; 10]\) zurückgelegt hat, also die nach 10 Sekunden erreichte Tiefe.

a) Die Beschleunigung beträgt ca. \(-1{,}47\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). b) Das Fahrzeug hat eine Tiefe von ca. \(48{,}75\,\text{m}\) erreicht. c) Das Integral gibt den in den ersten 10 Sekunden zurückgelegten Weg (die erreichte Tiefe) in Metern an.

- Denke an den Zusammenhang zwischen Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung. - Wie leitest du Terme ab, in denen die Variable sowohl linear als auch im Exponenten der e-Funktion vorkommt? - Um die Strecke zu berechnen, musst du die Geschwindigkeitsfunktion integrieren. - Was passiert mit dem Term \(e^{-0{,}5t}\) und dem Vorfaktor, wenn \(t\) immer größer wird?

1. Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit: \(a(t) = v'(t)\). Konstante Faktoren und Summanden beachten: \(v(t) = 80 - (40t + 80)e^{-0{,}5t}\). Ableiten mit Produkt- und Kettenregel: \(a(t) = 0 - [40 \cdot e^{-0{,}5t} + (40t + 80) \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5t}] = -[40 - 20t - 40] \cdot e^{-0{,}5t} = 20t \cdot e^{-0{,}5t}\). 2. Die Strecke \(s(20)\) wird durch das Integral \(\int_0^{20} v(t) \, \text{d}t\) berechnet. 3. Bestimmung einer Stammfunktion für \(v(t) = 80 - (40t + 80)e^{-0{,}5t}\). Eine Stammfunktion ist \(V(t) = 80t + (80t + 320)e^{-0{,}5t}\). 4. Berechnung des Weges: \(s(20) = V(20) - V(0) = (1600 + 1920e^{-10}) - (0 + 320) = 1280 + 1920e^{-10} \approx 1280{,}09\,\text{m}\). 5. Die Grenzgeschwindigkeit ist der Grenzwert von \(v(t)\) für \(t \to \infty\). Da \(\lim_{t \to \infty} (0{,}5t + 1) \cdot e^{-0{,}5t} = 0\), folgt \(\lim_{t \to \infty} v(t) = 80 \cdot (1 - 0) = 80\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

a) \(a(t) = 20t \cdot e^{-0{,}5t}\) b) Der Zug legt ca. \(1280{,}09\,\text{m}\) zurück. c) Die Grenzgeschwindigkeit beträgt \(80\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

- Wie hängen Geschwindigkeit, Beschleunigung und Weg mathematisch zusammen? - Welche Bedingung muss für eine Stelle gelten, an der eine Funktion ihren höchsten Wert erreicht? - Wie berechnet man den Wert eines bestimmten Integrals, wenn eine Stammfunktion bekannt ist? - Achte darauf, die Einheiten in der Antwort korrekt anzugeben.

1. Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit: \(a(t) = v'(t) = (1{,}6t - 0{,}08t^2) \cdot e^{-0{,}1t}\). Zur Bestimmung des Maximums wird die Ableitung \(a'(t) = v''(t) = (0{,}008t^2 - 0{,}32t + 1{,}6) \cdot e^{-0{,}1t}\) gleich null gesetzt. Die Nullstellen der quadratischen Gleichung \(0{,}008t^2 - 0{,}32t + 1{,}6 = 0\) liegen bei \(t_1 = 20 - 10\sqrt{2} \approx 5{,}86\) und \(t_2 = 20 + 10\sqrt{2} \approx 34{,}14\). Ein Vergleich der Funktionswerte von \(a(t)\) an diesen Stellen sowie an den Rändern des Intervalls \([0; 60]\) ergibt das globale Maximum bei \(t_1 \approx 5{,}86\,\text{s}\) mit \(a(5{,}86) \approx 3{,}69\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). 2. Der zurückgelegte Weg \(s\) im Intervall \([0; 20]\) entspricht dem Integral \(\int_{0}^{20} v(t) \, \text{d}t\). Mit der gegebenen Stammfunktion berechnet man \(s = V(20) - V(0) = [(-8 \cdot 20^2 - 160 \cdot 20 - 1600) \cdot e^{-2}] - [(-8 \cdot 0^2 - 160 \cdot 0 - 1600) \cdot e^{0}] = -8000 \cdot e^{-2} - (-1600) \approx -1082{,}68 + 1600 = 517{,}32\,\text{m}\).

1. Die maximale Beschleunigung beträgt ca. \(3{,}69\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). 2. Das Fahrzeug legt in den ersten \(20\) Sekunden eine Strecke von ca. \(517{,}32\,\text{m}\) zurück.

- Welche Regel nutzt du, um eine Exponentialfunktion der Form \(e^{kt}\) zu integrieren? - Was passiert mit dem Term \(e^{-0{,}5t}\), wenn \(t\) sehr groß wird? - Betrachte bei der Begründung in Aufgabenteil 3 die Definition der Stammfunktion mit einer Konstante \(C\).

1. Berechnung des Integrals: \(\int_{0}^{4} 12 e^{-0{,}5t} \, dt = [12 \cdot \frac{1}{-0{,}5} e^{-0{,}5t}]_0^4 = [-24 e^{-0{,}5t}]_0^4 = -24(e^{-2} - e^0) = 24(1 - e^{-2}) \approx 20{,}75\,\text{m}\). 2. Der Gesamtweg für \(t \to \infty\) entspricht dem uneigentlichen Integral \(\int_{0}^{\infty} 12 e^{-0{,}5t} \, dt\). Der Grenzwert berechnet sich zu \(\lim_{b \to \infty} [-24 e^{-0{,}5t}]_0^b = \lim_{b \to \infty} (-24 e^{-0{,}5b} + 24) = 0 + 24 = 24\,\text{m}\). Da der Grenzwert existiert und endlich ist, ist der Weg begrenzt. 3. Sei \(S(t)\) eine beliebige Stammfunktion von \(v(t)\). Dann gilt \(s(t) = S(t) + C\). Für die Differenz gilt: \(s(b) - s(a) = (S(b) + C) - (S(a) + C) = S(b) - S(a)\). Da sich \(C\) (und damit der Einfluss der Startposition) aufhebt, ist die Differenz nur von der Funktion \(v\) und den Grenzen abhängig.

1. \(24(1 - e^{-2}) \approx 20{,}75\,\text{m}\) 2. Der Grenzwert beträgt \(24\,\text{m}\). Da das Integral gegen einen endlichen Wert konvergiert, ist der Weg begrenzt. 3. Da \(s(b) - s(a) = (S(b) + C) - (S(a) + C) = S(b) - S(a)\) gilt, fällt die Konstante \(C\), die die Startposition festlegt, bei der Berechnung der Wegdifferenz weg.

- Was stellt das Integral einer Geschwindigkeit-Zeit-Funktion physikalisch dar? - Beachte das Vorzeichen der Geschwindigkeit: Was bedeutet es für die Fahrtrichtung, wenn der Graph unter die Zeitachse sinkt? - Wie berechnet man Flächeninhalte von Trapez und Dreieck? - Überlege dir, in welchem Zeitraum das Fahrzeug in die ursprüngliche Richtung fährt und wann es zurücksetzt.

1. Das bestimmte Integral der Geschwindigkeit über die Zeit gibt die Ortsänderung des Fahrzeugs an. 2. Zur Berechnung des Integrals wird die Flächenbilanz bestimmt: - Fläche oberhalb der Achse (Trapez von \(t = 0\) bis \(t = 8\)): \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot (8 + 4) \cdot 10 = 60\,\text{m}\). - Fläche unterhalb der Achse (Dreieck von \(t = 8\) bis \(t = 10\)): \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 10 = 10\,\text{m}\). - Integralwert: \(\int_0^{10} v(t)\,\text{d}t = 60 - 10 = 50\). Die Ortsänderung beträgt \(50\,\text{m}\). 3. Das Fahrzeug entfernt sich vom Startpunkt, solange die Geschwindigkeit positiv ist (\(v(t) > 0\)). Dies ist für \(0 < t < 8\) der Fall. Ab \(t = 8\,\text{s}\) wird die Geschwindigkeit negativ, was bedeutet, dass das Fahrzeug umkehrt und sich wieder dem Startpunkt nähert. Die maximale Entfernung wird also bei \(t = 8\,\text{s}\) erreicht.

a) Das Integral gibt die gesamte Ortsänderung des Fahrzeugs an. b) Der Wert des Integrals ist \(50\). Dies entspricht einer Ortsänderung von \(50\,\text{m}\). c) Das Fahrzeug ist zum Zeitpunkt \(t = 8\,\text{s}\) am weitesten vom Startpunkt entfernt.

- Wann hat ein bewegtes Objekt die Geschwindigkeit Null? - Wie hängen Geschwindigkeit und Position (bzw. zurückgelegter Weg) mathematisch zusammen? - Achte beim Berechnen der Position darauf, ob die Geschwindigkeit positiv oder negativ ist. - Für die gesamte Wegstrecke musst du die Beträge der Teilwege in den verschiedenen Bewegungsrichtungen addieren.

1. Für Teilaufgabe a): Nullstellen von \(v(t) = 0{,}5t^2 - 4t + 6\). Multiplikation mit 2 ergibt \(t^2 - 8t + 12 = 0\). Mit der pq-Formel: \(t_{1,2} = 4 \pm \sqrt{16-12} = 4 \pm 2\). Die Stillstände sind bei \(t = 2\,\text{s}\) und \(t = 6\,\text{s}\). Für \(0 \le t < 2\) ist \(v(t) > 0\) (vorwärts), für \(2 < t < 6\) ist \(v(t) < 0\) (rückwärts) und für \(6 < t \le 8\) ist \(v(t) > 0\) (vorwärts). 2. Für Teilaufgabe b): Die Positionsfunktion ist \(s(t) = \int v(t)\,\text{d}t = \frac{1}{6}t^3 - 2t^2 + 6t + C\). Mit \(s(0) = 0\) ist \(C = 0\). Berechnung für \(t = 6\): \(s(6) = \frac{1}{6} \cdot 6^3 - 2 \cdot 6^2 + 6 \cdot 6 = 36 - 72 + 36 = 0\). Das Fahrzeug ist nach \(6\,\text{s}\) wieder am Startpunkt. 3. Für Teilaufgabe c): \(s(2) = \frac{1}{6} \cdot 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 6 \cdot 2 = \frac{8}{6} - 8 + 12 = \frac{4}{3} + 4 = 5\,\frac{1}{3} \approx 5{,}33\,\text{m}\). 4. Für Teilaufgabe d): Gesamtwegstrecke \(L = \int_0^8 |v(t)|\,\text{d}t = \int_0^2 v(t)\,\text{d}t + \left| \int_2^6 v(t)\,\text{d}t \right| + \int_6^8 v(t)\,\text{d}t\). \(\int_0^2 v(t)\,\text{d}t = s(2) - s(0) = 5\,\frac{1}{3}\). \(\int_2^6 v(t)\,\text{d}t = s(6) - s(2) = 0 - 5\,\frac{1}{3} = -5\,\frac{1}{3}\). Der Betrag ist \(5\,\frac{1}{3}\). \(\int_6^8 v(t)\,\text{d}t = s(8) - s(6) = (\frac{1}{6} \cdot 512 - 2 \cdot 64 + 48) - 0 = \frac{256}{3} - 128 + 48 = 85\,\frac{1}{3} - 80 = 5\,\frac{1}{3}\). Gesamtweg: \(5\,\frac{1}{3} + 5\,\frac{1}{3} + 5\,\frac{1}{3} = 16\,\text{m}\).

a) Das Fahrzeug steht bei \(t = 2\,\text{s}\) und \(t = 6\,\text{s}\) still. Es fährt zuerst vorwärts (\(0\) bis \(2\,\text{s}\)), dann rückwärts (\(2\) bis \(6\,\text{s}\)) und schließlich wieder vorwärts (\(6\) bis \(8\,\text{s}\)). b) Nach \(6\,\text{s}\) ist die Position \(s(6) = 0\,\text{m}\). Das Fahrzeug befindet sich also wieder genau am Startpunkt. c) Die Entfernung beträgt \(5\,\frac{1}{3}\,\text{m}\) (ca. \(5{,}33\,\text{m}\)). d) Die gesamte zurückgelegte Wegstrecke beträgt \(16\,\text{m}\).

- Überlege dir für Teil a), wann ein Bruch mit konstantem Zähler seinen größten Wert annimmt. - Erinnere dich daran, dass die Fläche unter dem Geschwindigkeits-Zeit-Graphen dem zurückgelegten Weg entspricht. - Wie berechnet man den Flächeninhalt unter einer Geraden? Wie unter einer Kurve? - Wenn zwei Objekte sich in die gleiche Richtung bewegen, wann vergrößert sich ihr Abstand und ab wann wird er wieder kleiner?

1. Maximum von \(f(t)\): Der Bruch \(\frac{6}{(t - 5)^2 + 1}\) ist maximal, wenn der Nenner minimal ist. Da \((t - 5)^2 \ge 0\), ist der kleinste Wert des Nenners \(1\) bei \(t = 5\). Die maximale Geschwindigkeit ist \(f(5) = 2 + \frac{6}{1} = 8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 2. Weg von Bernd: \(s_g = \int_{0}^{12} (0{,}4t + 1) \, dt = [0{,}2t^2 + t]_0^{12} = 0{,}2 \cdot 144 + 12 = 28{,}8 + 12 = 40{,}8\,\text{m}\). 3. Weg von Anton: \(s_f = \int_{0}^{12} (2 + \frac{6}{(t - 5)^2 + 1}) \, dt\). Mit dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung und der Stammfunktion \(F(t) = 2t + 6\arctan(t-5)\) ergibt sich \(s_f = [2t + 6\arctan(t-5)]_0^{12} = (24 + 6\arctan(7)) - (0 + 6\arctan(-5)) \approx (24 + 6 \cdot 1{,}4289) - (6 \cdot (-1{,}3734)) \approx 32{,}57 + 8{,}24 \approx 40{,}81\,\text{m}\). 4. Vergleich: Anton legt etwa \(40{,}814\,\text{m}\), Bernd \(40{,}8\,\text{m}\) zurück. Anton liegt damit um etwa \(0{,}014\,\text{m}\) knapp vorn. 5. Maximaler Vorsprung: Der Vorsprung \(d(t) = s_f(t) - s_g(t)\) ist maximal, wenn seine Ableitung null ist, also wenn \(f(t) - g(t) = 0\) bzw. \(f(t) = g(t)\). Im Graphen ist dies der einzige Schnittpunkt der Graphen im betrachteten Intervall (bei \(t \approx 6{,}62\,\text{s}\)); danach läuft Bernd schneller als Anton.

a) Der Nenner \((t-5)^2+1\) ist bei \(t=5\) minimal (\(1\)); daher ist \(f(5) = 8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) die Höchstgeschwindigkeit. b) Bernd legt \(40{,}8\,\text{m}\) zurück, Anton etwa \(40{,}814\,\text{m}\). Anton liegt nach \(12\,\text{s}\) um etwa \(0{,}014\,\text{m}\) knapp vorn. c) Antons Vorsprung ist beim Schnittpunkt der Geschwindigkeitsgraphen maximal, also bei \(t \approx 6{,}62\,\text{s}\). Bis dahin ist Anton schneller, danach Bernd.

- Wie hängen Geschwindigkeit und zurückgelegte Strecke mathematisch zusammen? Überlege, welche Operation (Ableiten oder Integrieren) du benötigst. - Um ein Maximum zu finden, ist die Untersuchung der ersten Ableitung der Funktion \(v(t)\) hilfreich. - Nutze die Methode der partiellen Integration für das Produkt aus einer linearen Funktion und einer Exponentialfunktion. - Überlege beim Grenzwert für die gesamte Strecke, welcher Teil des Terms für sehr große Werte von \(t\) gegen Null strebt.

1. Maximale Geschwindigkeit bestimmen: Die erste Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion lautet nach der Produkt- und Kettenregel \(v'(t) = 1 \cdot e^{-0{,}5t} + t \cdot (-0{,}5)e^{-0{,}5t} = (1 - 0{,}5t)e^{-0{,}5t}\). - Nullstelle der Ableitung: \(1 - 0{,}5t = 0 \Rightarrow t = 2\,\text{s}\). - Maximalwert berechnen: \(v(2) = 2 \cdot e^{-0{,}5 \cdot 2} = 2 \cdot e^{-1} \approx 0{,}74\,\text{m/s}\). 2. Stammfunktion zur Wegberechnung finden: Mittels partieller Integration erhält man \(s(t) = \int t e^{-0{,}5t} \,\text{d}t = (-2t - 4)e^{-0{,}5t} + C\). 3. Strecke im Intervall \([0; 6]\) berechnen: - \(s = \int_{0}^{6} v(t) \,\text{d}t = [(-2t - 4)e^{-0{,}5t}]_{0}^{6}\) - Einsetzen der Grenzen: \(s = (-2 \cdot 6 - 4)e^{-3} - (-2 \cdot 0 - 4)e^{0} = -16e^{-3} + 4 \approx 3{,}20\,\text{m}\). 4. Gesamte Strecke für \(t \to \infty\) berechnen: - Zu bestimmen ist das uneigentliche Integral \(\int_{0}^{\infty} v(t) \,\text{d}t = \lim_{b \to \infty} [(-2b - 4)e^{-0{,}5b}] - (-4)\). - Da die Exponentialfunktion im Nenner stärker wächst als der lineare Term im Zähler, gilt \(\lim_{b \to \infty} \frac{-2b-4}{e^{0{,}5b}} = 0\). - Somit ergibt sich eine Gesamtstrecke von \(0 + 4 = 4\,\text{m}\).

a) Das Fahrzeug erreicht nach \(2\,\text{s}\) seine Höchstgeschwindigkeit von ca. \(0{,}74\,\text{m/s}\). b) In den ersten \(6\) Sekunden legt das Fahrzeug eine Strecke von ca. \(3{,}20\,\text{m}\) zurück. c) Die gesamte theoretisch zurückgelegte Strecke beträgt genau \(4\,\text{m}\).