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- Welche Größe erhältst du, wenn eine Geschwindigkeit über die Zeit integriert wird? - Welche Einheit entsteht aus \(\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot\text{s}\)? - Das Vorzeichen beschreibt hier eine Richtung, nicht eine negative Weglänge.

1. Das Integral einer Geschwindigkeit über die Zeit beschreibt die Ortsänderung. 2. Der Wert \(-6\,\text{m}\) bedeutet, dass die Position des Aufzugs am Ende des Zeitraums um \(6\,\text{m}\) niedriger ist als zu Beginn. Das negative Vorzeichen beschreibt die Bewegungsrichtung der resultierenden Ortsänderung.

Der Aufzug hat zwischen \(t=4\,\text{s}\) und \(t=9\,\text{s}\) eine Ortsänderung von \(-6\,\text{m}\); seine Endposition liegt also \(6\,\text{m}\) unter seiner Anfangsposition.

- Welche Größe erhältst du, wenn du eine Geschwindigkeit über ein Zeitintervall integrierst? - Für die zweite Strecke brauchst du nur das Zeitintervall von \(t=5\) bis \(t=10\). - Achte beim Bilden einer Stammfunktion des Exponentialterms auf den Faktor im Exponenten.

1. Der zurückgelegte Weg wird durch das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit berechnet. 2. Eine Stammfunktion von \(v(t)=15(1-e^{-0{,}2t})\) ist \(V(t)=15t+75e^{-0{,}2t}\). 3. Für die ersten \(5\,\text{s}\) gilt \(\int_0^5 v(t)\,\text{d}t=[15t+75e^{-0{,}2t}]_0^5=75e^{-1}\approx27{,}59\,\text{m}\). 4. Für die darauffolgenden \(5\,\text{s}\) gilt \(\int_5^{10}v(t)\,\text{d}t=[15t+75e^{-0{,}2t}]_5^{10}=75+75e^{-2}-75e^{-1}\approx57{,}56\,\text{m}\).

In den ersten \(5\,\text{s}\) legt das Boot etwa \(27{,}59\,\text{m}\) zurück. In den darauffolgenden \(5\,\text{s}\) legt es etwa \(57{,}56\,\text{m}\) zurück.

- Welche physikalische Größe entsteht, wenn du eine Geschwindigkeit über die Zeit integrierst? - Prüfe, ob die Geschwindigkeit im betrachteten Intervall ihr Vorzeichen wechselt. - Wie beeinflusst die bekannte Anfangsposition den konstanten Term der Ortsfunktion?

1. Eine Stammfunktion von \(v(t)=0{,}6t^2+5\) ist \(V(t)=0{,}2t^3+5t\). 2. Es gilt \(\int_0^5(0{,}6t^2+5)\,\text{d}t=[0{,}2t^3+5t]_0^5=50\,\text{m}\). 3. Das Integral ist die Ortsänderung in den ersten \(5\,\text{s}\). Da \(v(t)>0\) gilt, entspricht sie hier zugleich der zurückgelegten Strecke. 4. Für die Ortsfunktion gilt \(s(t)=0{,}2t^3+5t+C\). Aus \(s(0)=12\) folgt \(C=12\). 5. Damit ist \(s(t)=0{,}2t^3+5t+12\).

a) \(50\,\text{m}\); das ist die Ortsänderung und hier zugleich die zurückgelegte Strecke in den ersten \(5\,\text{s}\). b) \(s(t)=0{,}2t^3+5t+12\).

- Welche mathematische Operation kehrt den Vorgang des Ableitens um? - Wie hängen Beschleunigung, Geschwindigkeit und Ort (Weg) über die Ableitung zusammen? - Was bedeutet die Information über den Zeitpunkt \(t = 0\) für deine Integrationskonstante? - In welcher Reihenfolge musst du integrieren, um vom Gegebenen zum Gesuchten zu gelangen?

1. Bestimmung von \(v(t)\) durch Integration der Beschleunigung: \(v(t) = \int 0{,}6t \, dt = 0{,}3t^2 + C\). 2. Bestimmung von \(C\) mit \(v(0) = 0\): \(0{,}3 \cdot 0^2 + C = 0 \implies C = 0\). Ergebnis: \(v(t) = 0{,}3t^2\). 3. Bestimmung von \(s(t)\) durch Integration der Geschwindigkeit: \(s(t) = \int 0{,}3t^2 \, dt = 0{,}1t^3 + C'\). 4. Bestimmung von \(C'\) mit \(s(0) = 0\): \(0{,}1 \cdot 0^3 + C' = 0 \implies C' = 0\). Ergebnis: \(s(t) = 0{,}1t^3\). 5. Berechnung der Werte für \(t = 5\): \(v(5) = 0{,}3 \cdot 5^2 = 7{,}5\) und \(s(5) = 0{,}1 \cdot 5^3 = 12{,}5\).

a) \(v(t) = 0{,}3t^2\) b) \(s(t) = 0{,}1t^3\) c) Nach \(5\,\text{s}\) beträgt die Geschwindigkeit \(7{,}5\,\text{m/s}\) und der Weg \(12{,}5\,\text{m}\).

- Wie kommst du von der Geschwindigkeit zur zurückgelegten Strecke? - Was bedeutet die Bedingung \(s(0) = 0\) für deine Integrationskonstante? - Wie berechnet man den Zuwachs einer Größe in einem bestimmten Zeitabschnitt, wenn die Änderungsrate bekannt ist? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, die Fläche unter einem Graphen in einem Intervall zu bestimmen?

1. Herleitung der Weg-Zeit-Funktion: Die Funktion \(s(t)\) ist eine Stammfunktion von \(v(t)\). Es gilt \(s(t) = \int 0{,}75 t^2 \,\text{d}t = \frac{0{,}75}{3}t^3 + C = 0{,}25t^3 + C\). Da \(s(0) = 0\), folgt \(C = 0\), also \(s(t) = 0{,}25t^3\). 2. Berechnung der Wegstrecke im Intervall \([2; 6]\): Die gesuchte Strecke entspricht dem bestimmten Integral der Geschwindigkeit in den Grenzen von 2 bis 6. 3. Berechnung des Integrals: \(\int_{2}^{6} 0{,}75 t^2 \,\text{d}t = [0{,}25t^3]_2^6\). 4. Auswertung: \(0{,}25 \cdot 6^3 - 0{,}25 \cdot 2^3 = 0{,}25 \cdot 216 - 0{,}25 \cdot 8 = 54 - 2 = 52\,\text{m}\). Alternativ: \(s(6) - s(2) = 52\,\text{m}\).

a) \(s(t) = 0{,}25t^3\) b) Das Motorrad legt in diesem Zeitraum \(52\,\text{m}\) zurück.

- Welche Beziehung besteht zwischen Geschwindigkeit und Ortsfunktion? - Prüfe, ob die Geschwindigkeit im betrachteten Zeitraum ihr Vorzeichen wechselt. - Wie bestimmt der Anfangswert \(s(0)=0\) die Integrationskonstante?

1. Auf \([0;10]\) ist \(v(t)>0\), deshalb entspricht die Ortsänderung jeweils der zurückgelegten Strecke. 2. Eine Stammfunktion ist \(s(t)=-0{,}04t^3+0{,}6t^2+4t+C\). Aus \(s(0)=0\) folgt \(C=0\). 3. Damit ist \(s(5)=30\,\text{m}\) und \(s(10)=60\,\text{m}\). 4. Die Ortsfunktion lautet \(s(t)=-0{,}04t^3+0{,}6t^2+4t\).

a) \(30\,\text{m}\). b) \(60\,\text{m}\). c) \(s(t)=-0{,}04t^3+0{,}6t^2+4t\).

- Wie hängt die zurückgelegte Strecke mit dem Graphen der Geschwindigkeit zusammen? Überlege, welche geometrische Eigenschaft der Fläche unter der Kurve hier eine Rolle spielt. - Kannst du die unregelmäßige Fläche unter dem Graphen in bekanntere, einfachere geometrische Formen zerlegen? - Versuche, die einzelnen Abschnitte nacheinander zu betrachten und die jeweiligen Flächeninhalte zu berechnen. - Achte auf die Beschriftung und Einheiten der beiden Achsen, wenn du Werte abliest.

1. Der zurückgelegte Weg \(s\) entspricht dem Integral der Geschwindigkeit über die Zeit, also der Fläche unter dem Graphen von \(v\) im Intervall \([0; 10]\). 2. Die Fläche unter dem Graphen lässt sich in drei einfache geometrische Teilflächen zerlegen: - Ein Dreieck im Intervall \([0; 3]\) mit der Grundseite \(3\,\text{s}\) und der Höhe \(6\,\text{m/s}\): \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9\,\text{m}\) - Ein Rechteck im Intervall \([3; 7]\) mit der Breite \(4\,\text{s}\) und der Höhe \(6\,\text{m/s}\): \(A_2 = 4 \cdot 6 = 24\,\text{m}\) - Ein Trapez im Intervall \([7; 10]\) mit der Breite \(3\,\text{s}\) und den parallelen Seiten \(6\,\text{m/s}\) und \(2\,\text{m/s}\): \(A_3 = \frac{6 + 2}{2} \cdot 3 = 12\,\text{m}\) 3. Die Addition der Teilflächen ergibt die gesamte zurückgelegte Strecke: \(s = A_1 + A_2 + A_3 = 9 + 24 + 12 = 45\,\text{m}\)

Die gesamte zurückgelegte Strecke beträgt \(45\,\text{m}\).

- Welche Bedeutung hat die Fläche unter einem Geschwindigkeits-Zeit-Graphen? - Welche Strecke repräsentiert ein einzelnes Gitterquadrat aufgrund der Achseneinheiten? - Schätze ganze und angeschnittene Kästchen innerhalb des markierten Bereichs getrennt.

1. Die Strecke entspricht der Fläche unter dem Geschwindigkeitsgraphen im Intervall \([2;8]\), also \(\int_2^8v(t)\,\text{d}t\). 2. Ein Gitterquadrat entspricht \(1\,\text{s}\cdot1\,\text{m/s}=1\,\text{m}\). Durch Abschätzen ganzer und angeschnittener Kästchen erhält man ungefähr \(27\,\text{m}\). 3. Eine numerische Auswertung des Integrals liefert zur Kontrolle \(\int_2^8 8e^{-\frac{(t-5)^2}{4}}\,\text{d}t\approx27{,}40\,\text{m}\) und bestätigt die graphische Schätzung.

Der Paketroboter legt ungefähr \(27\,\text{m}\) zurück. Graphische Schätzwerte zwischen \(25\,\text{m}\) und \(29\,\text{m}\) sind plausibel.

- Welche Bewegungsrichtung zeigen positive beziehungsweise negative Werte von \(v\)? - Wann wächst die Entfernung vom Bezugspunkt und wann nimmt sie wieder ab? - Die Flächenstücke unter dem Geschwindigkeitsgraphen lassen sich geometrisch bestimmen. - Berücksichtige beim Schlusswert den Anfangswert \(s(0)=50\,\text{m}\).

1. Das Auto entfernt sich vom Bezugspunkt, solange \(v(t)>0\). Dies gilt bis \(t=8\,\text{s}\); danach ist \(v(t)<0\). Daher ist die Entfernung bei \(t=8\,\text{s}\) maximal. 2. Von \(0\) bis \(4\) ergibt das Trapez \(\frac{2+6}{2}\cdot4=16\,\text{m}\). 3. Von \(4\) bis \(8\) ergibt das Dreieck \(\frac12\cdot4\cdot6=12\,\text{m}\), von \(8\) bis \(12\) das orientierte Dreieck \(-\frac12\cdot4\cdot4=-8\,\text{m}\). 4. Die gesamte Ortsänderung bis \(t=12\) ist \(16+12-8=20\,\text{m}\). Mit dem Anfangswert folgt \(s(12)=50\,\text{m}+20\,\text{m}=70\,\text{m}\).

a) Nach \(8\,\text{s}\). b) \(s(12)=70\,\text{m}\).

- Welche Rolle spielt das Vorzeichen der Geschwindigkeit für eine Ortsänderung? - Bei einer zurückgelegten Strecke darf ein Richtungswechsel bereits gefahrene Meter nicht wieder aufheben. - Zerlege die Fläche im Diagramm in einfache geometrische Teilflächen.

1. Die Ortsänderung berücksichtigt die Bewegungsrichtung und wird deshalb durch \(\int_0^5v(t)\,\text{d}t\) beschrieben. Die insgesamt zurückgelegte Strecke zählt alle Teilstrecken positiv und wird durch \(\int_0^5|v(t)|\,\text{d}t\) beschrieben. 2. Oberhalb der \(t\)-Achse entstehen ein Rechteck mit Fläche \(4\) und ein Dreieck mit Fläche \(1\), zusammen also \(5\,\text{m}\). Unterhalb der Achse entstehen ein Dreieck mit Betrag \(1\) und ein Rechteck mit Betrag \(2\), zusammen also \(3\,\text{m}\). 3. Daher ist die Ortsänderung \(5\,\text{m}-3\,\text{m}=2\,\text{m}\). Die insgesamt zurückgelegte Strecke beträgt \(5\,\text{m}+3\,\text{m}=8\,\text{m}\).

a) Ortsänderung: \(\int_0^5v(t)\,\text{d}t\); Strecke: \(\int_0^5|v(t)|\,\text{d}t\) b) Ortsänderung: \(2\,\text{m}\); Strecke: \(8\,\text{m}\)

- Welche Differenz der beiden Geschwindigkeiten beschreibt die momentane Änderung des Vorsprungs von Nils? - Das Integral dieser Differenz liefert nicht direkt den Abstand, sondern dessen Änderung. - Wie wird aus Anfangsabstand und Abstandsänderung der neue Abstand?

1. Die Änderungsrate des Abstands \(d=x_N-x_L\) ist \(d'(t)=v_N(t)-v_L(t)=t-3\). 2. Die Änderung des Abstands in den ersten drei Sekunden ist \(\int_0^3(t-3)\,\text{d}t=\left[\frac12t^2-3t\right]_0^3=-4{,}5\,\text{m}\). 3. Der negative Integralwert bedeutet, dass der Abstand um \(4{,}5\,\text{m}\) kleiner geworden ist. Aus dem Anfangsabstand \(6\,\text{m}\) folgt \(d(3)=1{,}5\,\text{m}\).

\(d(3)=1{,}5\,\text{m}\). Das Integral ist \(-4{,}5\,\text{m}\) und bedeutet, dass sich der Abstand um \(4{,}5\,\text{m}\) verringert hat.

- Welche Beziehung besteht zwischen Geschwindigkeit und zurückgelegter Strecke? - Übersetze „10 Sekunden nach dem Start von Fahrzeug B“ und „20 Sekunden nach dem Start von Fahrzeug B“ zuerst in Werte der gemeinsamen Zeitvariable \(t\). - Berücksichtige, dass Fahrzeug B vor \(t=10\) an der Startlinie steht. - Für den Abstand brauchst du die Differenz der beiden Positionen zum selben Zeitpunkt.

1. Bis zum Start von Fahrzeug B bei \(t=10\) gilt \(s_A(10)=\int_0^{10}18(1-e^{-0{,}08t})\,\text{d}t=[18t+225e^{-0{,}08t}]_0^{10}\approx56{,}10\,\text{m}\). 2. Zehn Sekunden nach dem Start von B ist \(t=20\). Es gilt \(v_A(20)\approx14{,}37\,\text{m/s}\) und \(v_B(20)\approx16{,}77\,\text{m/s}\). Der Geschwindigkeitsunterschied beträgt daher etwa \(2{,}41\,\text{m/s}\). 3. Zwanzig Sekunden nach dem Start von B ist \(t=30\). Dann gilt \(s_A(30)\approx335{,}41\,\text{m}\) und \(s_B(30)=\int_{10}^{30}v_B(t)\,\text{d}t\approx298{,}14\,\text{m}\). Der Abstand beträgt somit etwa \(37{,}27\,\text{m}\).

a) \(56{,}10\,\text{m}\) b) \(2{,}41\,\text{m/s}\) c) \(37{,}27\,\text{m}\)

- Welche Größe erhältst du durch das bestimmte Integral einer Geschwindigkeit über die Zeit? - Nutze die angegebene Stammfunktion nur an den beiden Intervallgrenzen. - Welche Information über die Bewegungsrichtung erhältst du aus dem Vorzeichen von \(v(t)\)?

1. Die Tiefenänderung ist \(\int_0^{10}v(t)\,\text{d}t=V(10)-V(0)=48+112e^{-5}\,\text{m}\approx48{,}75\,\text{m}\). 2. Da das Fahrzeug an der Wasseroberfläche startet, beträgt seine Tiefe nach \(10\,\text{s}\) ebenfalls \(48{,}75\,\text{m}\). 3. Das Integral beschreibt die vorzeichenbehaftete Tiefenänderung im betrachteten Zeitraum. 4. Für \(0\le t\le10\) gilt \(20t-2t^2=2t(10-t)\ge0\) und damit \(v(t)\ge0\). Deshalb gibt es keinen Richtungswechsel; Ortsänderung und vertikal zurückgelegte Strecke stimmen überein.

a) \(48{,}75\,\text{m}\). b) Das Integral ist die Tiefenänderung in den ersten \(10\,\text{s}\). c) Weil \(v(t)\ge0\) auf \([0;10]\) gilt, findet kein Richtungswechsel statt; daher entspricht die Tiefenänderung zugleich der zurückgelegten Strecke.

- Welche Differenz von Stammfunktionswerten gehört jeweils zum betrachteten Zeitintervall? - Warum darfst du hier die vorzeichenbehaftete Ortsänderung als zurückgelegte Strecke deuten? - Vergleiche die Ergebnisse erst, nachdem beide Intervalle dieselbe Länge von \(10\,\text{s}\) haben.

1. Auf \([0;20]\) ist \(v(t)\ge0\), daher entsprechen die bestimmten Integrale den zurückgelegten Strecken. 2. Für die ersten \(10\,\text{s}\) gilt \(V(10)-V(0)\approx487{,}55\,\text{m}\). 3. Für das Intervall \([10;20]\) gilt \(V(20)-V(10)\approx792{,}54\,\text{m}\). 4. Im zweiten gleich langen Zeitintervall legt der Zug etwa \(304{,}99\,\text{m}\) mehr zurück. Das passt dazu, dass seine Geschwindigkeit im Verlauf des Startvorgangs deutlich größer geworden ist.

a) \([0;10]\): \(487{,}55\,\text{m}\); \([10;20]\): \(792{,}54\,\text{m}\). b) Im zweiten Zehnsekundenintervall sind es etwa \(304{,}99\,\text{m}\) mehr; der Zug fährt dort insgesamt mit höheren Geschwindigkeiten.

- Welche Differenz der angegebenen Stammfunktion liefert die Ortsänderung auf \([5;15]\)? - Prüfe das Vorzeichen der Geschwindigkeit, bevor du Ortsänderung und Strecke gleichsetzt. - Wie erhältst du aus einer während \(10\,\text{s}\) zurückgelegten Strecke die mittlere Geschwindigkeit?

1. Da \(v(t)>0\) im betrachteten Intervall ist, entspricht die Ortsänderung der zurückgelegten Strecke. 2. Es gilt \(\int_5^{15}v(t)\,\text{d}t=V(15)-V(5)=750e^{-1}-1250e^{-3}\,\text{m}\approx213{,}68\,\text{m}\). 3. Das Intervall hat die Länge \(10\,\text{s}\). Daher ist die durchschnittliche Geschwindigkeit \(\bar v=\frac{1}{10}\int_5^{15}v(t)\,\text{d}t\approx21{,}37\,\text{m/s}\).

a) \(213{,}68\,\text{m}\). b) \(21{,}37\,\text{m/s}\).

- Welche Beziehung besteht zwischen einer Ortsfunktion und der Geschwindigkeitsfunktion? - Was kannst du mit einem bekannten Funktionswert über die Integrationskonstante bestimmen? - Was passiert mit der Integrationskonstante, wenn du zwei Werte derselben Ortsfunktion voneinander abziehst? - Welche Aussage des Hauptsatzes verbindet diese Differenz mit einem bestimmten Integral?

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(s(t)=0{,}1t^3+2t+C\). 2. Aus \(s(1)=5\) folgt \(0{,}1+2+C=5\), also \(C=2{,}9\). Damit ist \(s(t)=0{,}1t^3+2t+2{,}9\). 3. Es gilt \(s(4)-s(1)=17{,}3-5=12{,}3\,\text{m}\). 4. Außerdem ist \(\int_1^4(0{,}3t^2+2)\,\text{d}t=[0{,}1t^3+2t]_1^4=12{,}3\,\text{m}\). 5. Beide Ergebnisse stimmen wegen des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung überein. Bei der Differenz zweier Werte derselben Ortsfunktion hebt sich die Integrationskonstante auf.

1. \(s(t)=0{,}1t^3+2t+C\). 2. \(C=2{,}9\), also \(s(t)=0{,}1t^3+2t+2{,}9\). 3. a) \(12{,}3\,\text{m}\). b) \(12{,}3\,\text{m}\). 4. Beide Werte sind gleich, weil \(s(4)-s(1)=\int_1^4v(t)\,\text{d}t\).

- Erinnere dich an die physikalischen Beziehungen: Die Geschwindigkeit ist die Stammfunktion der Beschleunigung, und der Weg ist die Stammfunktion der Geschwindigkeit. - Schreibe die Wurzel als Potenz um, um die Integrationsregeln leichter anwenden zu können. - Vergiss nicht, bei jedem Integrationsschritt die Integrationskonstante mithilfe der Startwerte zu bestimmen. - Wie berechnet man Potenzen mit rationalen Exponenten wie \(5/2\) am besten ohne Taschenrechner?

1. Bestimmung von \(v(t)\) durch Integration von \(a(t)\): \(v(t) = \int 0{,}75t^{1/2} \,\text{d}t = 0{,}75 \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C_1 = 0{,}5t^{3/2} + C_1\). 2. Anwendung der Randbedingung \(v(0) = 0\): \(0{,}5 \cdot 0^{3/2} + C_1 = 0 \implies C_1 = 0\). Somit ist \(v(t) = 0{,}5t^{3/2}\). 3. Bestimmung von \(s(t)\) durch Integration von \(v(t)\): \(s(t) = \int 0{,}5t^{3/2} \,\text{d}t = 0{,}5 \cdot \frac{2}{5} t^{5/2} + C_2 = 0{,}2t^{5/2} + C_2\). 4. Anwendung der Randbedingung \(s(0) = 0\): \(0{,}2 \cdot 0^{5/2} + C_2 = 0 \implies C_2 = 0\). Somit ist \(s(t) = 0{,}2t^{5/2}\). 5. Berechnung der Strecke für \(t = 16\): \(s(16) = 0{,}2 \cdot 16^{5/2} = 0{,}2 \cdot (\sqrt{16})^5 = 0{,}2 \cdot 4^5 = 0{,}2 \cdot 1024 = 204{,}8\). Die Strecke nach \(16\) Sekunden beträgt \(204{,}8\,\text{m}\).

a) \(v(t) = 0{,}5t^{3/2}\) (oder \(v(t) = 0{,}5\sqrt{t^3}\)) b) \(s(t) = 0{,}2t^{5/2}\) (oder \(s(t) = 0{,}2\sqrt{t^5}\)) c) Die zurückgelegte Strecke beträgt \(204{,}8\,\text{m}\).

- Welche Beziehung besteht zwischen Beschleunigung und Geschwindigkeit sowie zwischen Geschwindigkeit und Wegfunktion? - Nutze die beiden Anfangswerte jeweils erst nach dem Integrieren, um die Integrationskonstanten zu bestimmen. - Prüfe für Teil c das Vorzeichen der Geschwindigkeit, bevor du Ortsänderung und zurückgelegten Weg gleichsetzt.

1. Durch Integration der Beschleunigung erhält man \(v(t)=8e^{-0{,}5t}+C\). Aus \(v(0)=8\,\text{m}/\text{s}\) folgt \(C=0\), also \(v(t)=8e^{-0{,}5t}\). 2. Durch erneute Integration erhält man \(s(t)=-16e^{-0{,}5t}+C\). Aus \(s(0)=0\) folgt \(C=16\), also \(s(t)=16-16e^{-0{,}5t}\). 3. Da \(v(t)>0\) gilt, entspricht die Ortsänderung dem zurückgelegten Weg. Für die ersten zwei Sekunden ist \(s(2)-s(0)=16(1-e^{-1})\,\text{m}\).

a) \(v(t)=8e^{-0{,}5t}\) b) \(s(t)=16-16e^{-0{,}5t}\) c) \(16(1-e^{-1})\,\text{m}\)

- Wie hängen Beschleunigung, Geschwindigkeit und Weg mathematisch über die Integralrechnung zusammen? - Welche Rolle spielen die Werte zum Zeitpunkt \(t = 0\) bei der Bestimmung der Stammfunktionen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die gesuchte Zeit die Unbekannte ist? - Erinnerst du dich an ein Verfahren, um quadratische Gleichungen zu lösen?

1. Bestimmung der Geschwindigkeitsfunktion: Da \(v(t) = \int a(t) \,\text{d}t\), folgt \(v(t) = \int 2 \,\text{d}t = 2t + C_1\). Mit der Anfangsbedingung \(v(0) = 5\) ergibt sich \(C_1 = 5\), also \(v(t) = 2t + 5\). 2. Bestimmung der Wegfunktion: Da \(s(t) = \int v(t) \,\text{d}t\), folgt \(s(t) = \int (2t + 5) \,\text{d}t = t^2 + 5t + C_2\). Mit der Anfangsbedingung \(s(0) = 10\) ergibt sich \(C_2 = 10\), also \(s(t) = t^2 + 5t + 10\). 3. Berechnung des Zeitpunkts für \(s = 160\): Setze \(t^2 + 5t + 10 = 160\), woraus die quadratische Gleichung \(t^2 + 5t - 150 = 0\) folgt. 4. Lösen der quadratischen Gleichung: Die Lösungen sind \(t = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (-150)}}{2} = \frac{-5 \pm 25}{2}\). Da \(t \ge 0\) sein muss, ist \(t = 10\,\text{s}\).

a) \(v(t) = 2t + 5\) und \(s(t) = t^2 + 5t + 10\) b) Das Fahrzeug erreicht die Position nach \(t = 10\,\text{s}\).

- Nutze für Teil a) ausschließlich die markierten Zeitwerte am Geschwindigkeitsgraphen. - Welche beiden Geschwindigkeitswerte bilden jeweils die parallelen Seiten eines Trapezes? - Für den exakten Vergleich reicht es, die angegebene Stammfunktion an den Intervallgrenzen auszuwerten. - Vergleiche Näherungswert und exakten Wert mit einer positiven absoluten Differenz.

1. Aus dem Graphen liest man \(v(0)=2\,\text{m/s}\), \(v(2)=4\,\text{m/s}\), \(v(4)=5\,\text{m/s}\) und \(v(6)=2\,\text{m/s}\) ab. 2. Die drei Trapezflächen haben bei einer Breite von jeweils \(2\,\text{s}\) die Inhalte \(6\,\text{m}\), \(9\,\text{m}\) und \(7\,\text{m}\). Der Näherungswert ist daher \(22\,\text{m}\). 3. Exakt gilt \(\int_0^6v(t)\,\text{d}t=V(6)-V(0)=23{,}25\,\text{m}\). 4. Die absolute Abweichung beträgt \(23{,}25\,\text{m}-22\,\text{m}=1{,}25\,\text{m}\).

a) \(v(0)=2\,\text{m/s}\), \(v(2)=4\,\text{m/s}\), \(v(4)=5\,\text{m/s}\), \(v(6)=2\,\text{m/s}\). b) \(22\,\text{m}\). c) Exakt \(23{,}25\,\text{m}\); absolute Abweichung \(1{,}25\,\text{m}\).

- Wie erhältst du aus einer Vertikalgeschwindigkeit die Änderung der Flughöhe? - Vergiss bei der Höhenfunktion die Anfangshöhe nicht. - An welchem Vorzeichenwechsel von \(v\) erkennst du ein Höhenminimum? - Für die Rückkehr zur Ausgangshöhe muss die gesamte Höhenänderung seit \(t=0\) gleich null sein.

1. Aus \(v(t)=-0{,}2t^3+4{,}2t^2-16t\) folgt für die Höhenfunktion \(h(t)=150+\int_0^t v(\tau)\,\text{d}\tau=150-0{,}05t^4+1{,}4t^3-8t^2\). 2. Damit ist \(h(4)=98{,}8\,\text{m}\) und \(h(10)=250\,\text{m}\). 3. Auf \((0;5)\) ist \(v(t)<0\), danach ist \(v(t)>0\). Daher liegt das Minimum bei \(t=5\,\text{min}\). Es gilt \(h(5)=93{,}75\,\text{m}\). 4. Für die Rückkehr zur Ausgangshöhe muss \(h(t)=150\) gelten. Daraus folgt \(-0{,}05t^2(t^2-28t+160)=0\). Neben \(t=0\) ergeben sich \(t=8\) und \(t=20\); im Modellintervall ist der erste spätere Zeitpunkt \(t=8\,\text{min}\).

a) \(h(4)=98{,}8\,\text{m}\), \(h(10)=250\,\text{m}\). b) Nach \(5\,\text{min}\) bei \(93{,}75\,\text{m}\). c) Nach \(8\,\text{min}\).

- Wie hängen die physikalischen Größen Ort, Geschwindigkeit und Zeit mathematisch zusammen? - Wenn zwei Graphen sich schneiden, was bedeutet das für ihre Funktionswerte? - Erinnere dich daran, wie man die Fläche unter einer Kurve berechnet. - Wie lässt sich die Differenz zweier Flächen durch ein einziges Integral beschreiben?

Gleichsetzen der Geschwindigkeiten zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(-\frac{1}{4}t^2 + 2t + 2 = \frac{1}{2}t + 2 \implies -\frac{1}{4}t^2 + \frac{3}{2}t = 0\). Die Lösung für \(t > 0\) liefert den Zeitpunkt \(t = 6\,\text{s}\). Einsetzen in eine der Funktionen ergibt die gemeinsame Geschwindigkeit \(v = 5\,\text{m/s}\). Berechnung der zurückgelegten Wege durch Integration von \(0\) bis \(6\): Weg von Paul: \(s_P = \int_{0}^{6} \left(-\frac{1}{4}t^2 + 2t + 2\right)\,\mathrm{d}t = \left[ -\frac{1}{12}t^3 + t^2 + 2t \right]_{0}^{6} = 30\,\text{m}\). Weg von Jonas: \(s_J = \int_{0}^{6} \left(\frac{1}{2}t + 2\right)\,\mathrm{d}t = \left[ \frac{1}{4}t^2 + 2t \right]_{0}^{6} = 21\,\text{m}\). Vergleich der Wege: Paul liegt vorn mit einem Vorsprung von \(30\,\text{m} - 21\,\text{m} = 9\,\text{m}\). Geometrische Interpretation: Der Vorsprung entspricht der Fläche zwischen den Graphen von \(v_p\) und \(v_j\) im Intervall \([0; 6]\), berechnet durch das Integral der Differenzfunktion \(\int_{0}^{6} (v_p(t) - v_j(t))\,\mathrm{d}t = 9\,\text{m}\).

a) Nach \(6\,\text{s}\) haben beide Läufer die gleiche Geschwindigkeit von \(5\,\text{m/s}\). b) Paul hat \(30\,\text{m}\) zurückgelegt, Jonas \(21\,\text{m}\). c) Paul liegt mit \(9\,\text{m}\) Vorsprung vorne. Dieser Vorsprung entspricht genau der Fläche zwischen den beiden Graphen im Intervall \([0; 6]\).

- Welche Geradengleichung kannst du aus Steigung und Achsenabschnitt des dargestellten Geschwindigkeitsgraphen ablesen? - Welche Beziehung besteht zwischen Wegfunktion und Geschwindigkeit? - Wie nutzt du die bekannte Position bei \(t=6\,\text{s}\), um die additive Konstante festzulegen?

1. Aus dem Graphen liest man eine Gerade mit Steigung \(0{,}5\) und \(y\)-Achsenabschnitt \(1\) ab. Daher gilt \(v(t)=0{,}5t+1\). 2. Da \(s'=v\), hat die Wegfunktion die Form \(s(t)=0{,}25t^2+t+C\). 3. Aus \(s(6)=30\) folgt \(0{,}25\cdot36+6+C=30\), also \(15+C=30\). 4. Damit ist \(C=15\) und somit \(s(t)=0{,}25t^2+t+15\).

\(s(t)=0{,}25t^2+t+15\)

- Was bedeutet eine negative Geschwindigkeit für die Bewegungsrichtung des Autos? - Welche Rolle spielen die Vorzeichen der Flächen beim Bestimmen der Position? - Unterscheide zwischen „gesamter Fahrstrecke“ und „vorzeichenbehafteter Ortsänderung“. - Die Teilflächen des Diagramms lassen sich als einfache geometrische Figuren behandeln.

1. Das Auto entfernt sich vom Startpunkt, solange \(v(t)>0\) ist. Ab \(t=12\,\text{s}\) ist die Geschwindigkeit negativ und das Auto fährt zurück. Daher wird die maximale Entfernung bei \(t=12\,\text{s}\) erreicht. 2. Die positive Fläche von \(0\) bis \(12\) besteht aus zwei Dreiecken und einem Rechteck: \(\frac12\cdot4\cdot10+4\cdot10+\frac12\cdot4\cdot10=80\,\text{m}\). 3. Von \(12\) bis \(20\) ergibt die orientierte Fläche \(\frac12\cdot8\cdot(-5)=-20\,\text{m}\). 4. Für die gesamte Fahrstrecke werden die Beträge addiert: \(80\,\text{m}+20\,\text{m}=100\,\text{m}\). 5. Die Endposition folgt aus der orientierten Flächenbilanz: \(80\,\text{m}-20\,\text{m}=60\,\text{m}\). Das Auto befindet sich damit \(60\,\text{m}\) in positiver Bewegungsrichtung vom Startpunkt.

a) Nach \(12\,\text{s}\); maximale Entfernung: \(80\,\text{m}\). b) Die gesamte Fahrstrecke beträgt \(100\,\text{m}\). c) Nach \(20\,\text{s}\) befindet sich das Auto bei \(s=60\,\text{m}\), also \(60\,\text{m}\) in positiver Richtung vom Startpunkt.

- Was stellt das Integral einer Geschwindigkeit-Zeit-Funktion physikalisch dar? - Beachte das Vorzeichen der Geschwindigkeit: Was bedeutet es für die Fahrtrichtung, wenn der Graph unter die Zeitachse sinkt? - Wie berechnet man Flächeninhalte von Trapez und Dreieck? - Überlege dir, in welchem Zeitraum das Fahrzeug in die ursprüngliche Richtung fährt und wann es zurücksetzt.

1. Das bestimmte Integral der Geschwindigkeit über die Zeit gibt die Ortsänderung des Fahrzeugs an. 2. Zur Berechnung des Integrals wird die Flächenbilanz bestimmt: - Fläche oberhalb der Achse (Trapez von \(t = 0\) bis \(t = 8\)): \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot (8 + 4) \cdot 10 = 60\,\text{m}\). - Fläche unterhalb der Achse (Dreieck von \(t = 8\) bis \(t = 10\)): \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 10 = 10\,\text{m}\). - Integralwert: \(\int_0^{10} v(t)\,\text{d}t = 60 - 10 = 50\). Die Ortsänderung beträgt \(50\,\text{m}\). 3. Das Fahrzeug entfernt sich vom Startpunkt, solange die Geschwindigkeit positiv ist (\(v(t) > 0\)). Dies ist für \(0 < t < 8\) der Fall. Ab \(t = 8\,\text{s}\) wird die Geschwindigkeit negativ, was bedeutet, dass das Fahrzeug umkehrt und sich wieder dem Startpunkt nähert. Die maximale Entfernung wird also bei \(t = 8\,\text{s}\) erreicht.

a) Das Integral gibt die gesamte Ortsänderung des Fahrzeugs an. b) Der Wert des Integrals ist \(50\). Dies entspricht einer Ortsänderung von \(50\,\text{m}\). c) Das Fahrzeug ist zum Zeitpunkt \(t = 8\,\text{s}\) am weitesten vom Startpunkt entfernt.

- Welche bestimmte Integration liefert die Ortsänderung in den ersten zehn Sekunden? - Wie hängt die mittlere Geschwindigkeit mit der in einem festen Zeitraum zurückgelegten Strecke zusammen? - Vergleiche einen Mittelwert über das ganze Intervall mit dem Geschwindigkeitswert ganz am Ende des Intervalls.

1. Eine Stammfunktion von \(v\) ist \(V(t)=40t+160e^{-0{,}25t}\). 2. Die Strecke ist \(\int_0^{10}v(t)\,\text{d}t=V(10)-V(0)=240+160e^{-2{,}5}\,\text{m}\approx253{,}13\,\text{m}\). 3. Die durchschnittliche Geschwindigkeit ist \(\bar v=\frac{1}{10}\int_0^{10}v(t)\,\text{d}t\approx25{,}31\,\text{m/s}\). 4. Am Ende des Intervalls gilt \(v(10)=40(1-e^{-2{,}5})\approx36{,}72\,\text{m/s}\). Da die Geschwindigkeit während des gesamten Intervalls von \(0\) aus ansteigt, liegt ihr zeitlicher Mittelwert unter dem Endwert.

a) \(240+160e^{-2{,}5}\,\text{m}\approx253{,}13\,\text{m}\). b) \(\bar v\approx25{,}31\,\text{m/s}\). c) \(v(10)\approx36{,}72\,\text{m/s}\) ist größer als der Mittelwert, weil das Fahrzeug erst im Verlauf der zehn Sekunden auf höhere Geschwindigkeiten beschleunigt.

- Wann hat ein bewegtes Objekt die Geschwindigkeit Null? - Wie hängen Geschwindigkeit und Position (bzw. zurückgelegter Weg) mathematisch zusammen? - Achte beim Berechnen der Position darauf, ob die Geschwindigkeit positiv oder negativ ist. - Für die gesamte Wegstrecke musst du die Beträge der Teilwege in den verschiedenen Bewegungsrichtungen addieren.

1. Für Teilaufgabe a): Nullstellen von \(v(t) = 0{,}5t^2 - 4t + 6\). Multiplikation mit 2 ergibt \(t^2 - 8t + 12 = 0\). Mit der pq-Formel: \(t_{1,2} = 4 \pm \sqrt{16-12} = 4 \pm 2\). Die Stillstände sind bei \(t = 2\,\text{s}\) und \(t = 6\,\text{s}\). Für \(0 \le t < 2\) ist \(v(t) > 0\) (vorwärts), für \(2 < t < 6\) ist \(v(t) < 0\) (rückwärts) und für \(6 < t \le 8\) ist \(v(t) > 0\) (vorwärts). 2. Für Teilaufgabe b): Die Positionsfunktion ist \(s(t) = \int v(t)\,\text{d}t = \frac{1}{6}t^3 - 2t^2 + 6t + C\). Mit \(s(0) = 0\) ist \(C = 0\). Berechnung für \(t = 6\): \(s(6) = \frac{1}{6} \cdot 6^3 - 2 \cdot 6^2 + 6 \cdot 6 = 36 - 72 + 36 = 0\). Das Fahrzeug ist nach \(6\,\text{s}\) wieder am Startpunkt. 3. Für Teilaufgabe c): \(s(2) = \frac{1}{6} \cdot 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 6 \cdot 2 = \frac{8}{6} - 8 + 12 = \frac{4}{3} + 4 = 5\,\frac{1}{3} \approx 5{,}33\,\text{m}\). 4. Für Teilaufgabe d): Gesamtwegstrecke \(L = \int_0^8 |v(t)|\,\text{d}t = \int_0^2 v(t)\,\text{d}t + \left| \int_2^6 v(t)\,\text{d}t \right| + \int_6^8 v(t)\,\text{d}t\). \(\int_0^2 v(t)\,\text{d}t = s(2) - s(0) = 5\,\frac{1}{3}\). \(\int_2^6 v(t)\,\text{d}t = s(6) - s(2) = 0 - 5\,\frac{1}{3} = -5\,\frac{1}{3}\). Der Betrag ist \(5\,\frac{1}{3}\). \(\int_6^8 v(t)\,\text{d}t = s(8) - s(6) = (\frac{1}{6} \cdot 512 - 2 \cdot 64 + 48) - 0 = \frac{256}{3} - 128 + 48 = 85\,\frac{1}{3} - 80 = 5\,\frac{1}{3}\). Gesamtweg: \(5\,\frac{1}{3} + 5\,\frac{1}{3} + 5\,\frac{1}{3} = 16\,\text{m}\).

a) Das Fahrzeug steht bei \(t=2\,\text{s}\) und \(t=6\,\text{s}\) still. Es fährt zuerst vorwärts \((0<t<2)\), dann rückwärts \((2<t<6)\) und schließlich wieder vorwärts \((6<t\le8)\). b) Nach \(6\,\text{s}\) ist die Position \(s(6)=0\,\text{m}\). Das Fahrzeug befindet sich wieder am Startpunkt. c) Die Entfernung beträgt \(5\,\frac{1}{3}\,\text{m}\approx5{,}33\,\text{m}\). d) Die gesamte zurückgelegte Wegstrecke beträgt \(16\,\text{m}\).

- Überlege dir den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit, Zeit und Wegstrecke im \(v\)-\(t\)-Diagramm. - Wie berechnet man die Fläche eines Trapezes? - Für die Durchschnittsgeschwindigkeit teilst du den Gesamtweg durch die Gesamtzeit. - Denke an den Umrechnungsfaktor zwischen \(\text{m}/\text{s}\) und \(\text{km}/\text{h}\). - Teile die Fahrt in Abschnitte auf, um zu sehen, wie viel Weg in welcher Zeit zurückgelegt wird.

1. Bewegungsphasen: Von \(0\) bis \(10\,\text{s}\) erfolgt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Von \(10\) bis \(50\,\text{s}\) fährt das Fahrzeug mit einer konstanten Geschwindigkeit von \(20\,\text{m}/\text{s}\). Von \(50\) bis \(60\,\text{s}\) findet eine gleichmäßige Verzögerung (Bremsvorgang) bis zum Stillstand statt. 2. Gesamtweg: Die Fläche unter dem Graphen entspricht der Strecke. Als Trapez berechnet: \(s_{ges} = \frac{1}{2} \cdot (60\,\text{s} + 40\,\text{s}) \cdot 20\,\text{m}/\text{s} = 50 \cdot 20 = 1000\,\text{m}\). 3. Durchschnittsgeschwindigkeit: \(\bar{v} = \frac{s_{ges}}{t_{ges}} = \frac{1000\,\text{m}}{60\,\text{s}} = \frac{50}{3}\,\text{m}/\text{s}\). Umrechnung in \(\text{km}/\text{h}\): \(\frac{50}{3} \cdot 3{,}6 = 60\,\text{km}/\text{h}\). 4. Zeitpunkt für die Hälfte der Strecke (\(500\,\text{m}\)): In der ersten Phase werden \(s_1 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 20 = 100\,\text{m}\) zurückgelegt. In der zweiten Phase müssen weitere \(400\,\text{m}\) gefahren werden. Bei \(20\,\text{m}/\text{s}\) dauert dies \(\Delta t = \frac{400\,\text{m}}{20\,\text{m}/\text{s}} = 20\,\text{s}\). Der Zeitpunkt ist \(t = 10\,\text{s} + 20\,\text{s} = 30\,\text{s}\).

a) \(0\) bis \(10\,\text{s}\): gleichmäßig beschleunigte Bewegung; \(10\) bis \(50\,\text{s}\): konstante Geschwindigkeit; \(50\) bis \(60\,\text{s}\): gleichmäßig verzögerte Bewegung bis zum Stillstand. b) Das Fahrzeug hat \(1000\,\text{m}\) zurückgelegt. c) Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt \(60\,\text{km}/\text{h}\). d) Nach \(30\,\text{s}\) ist die Hälfte der Strecke zurückgelegt.

- Welche Information liefert ein Schnittpunkt zweier Geschwindigkeitsgraphen? - Wann wächst der Abstand zugunsten Antons: wenn \(f\) größer oder kleiner als \(g\) ist? - Wie hängt die Änderung eines Vorsprungs mit der Differenz der beiden Geschwindigkeiten zusammen?

1. Die beiden Geschwindigkeitsgraphen schneiden sich bei etwa \(t\approx6{,}6\,\text{s}\). 2. Vor diesem Zeitpunkt liegt \(f(t)>g(t)\). Anton gewinnt also pro Sekunde mehr Strecke als Bernd; sein Vorsprung wächst. 3. Nach dem Schnittpunkt gilt \(f(t)<g(t)\). Bernd gewinnt dann Strecke auf Anton zurück; Antons Vorsprung wird kleiner. 4. Bezeichnet \(D(t)\) Antons Vorsprung, so ist seine momentane Änderungsrate \(D'(t)=f(t)-g(t)\). Der Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ am Schnittpunkt zeigt, dass \(D\) dort sein Maximum erreicht.

a) Etwa \(t\approx6{,}6\,\text{s}\). b) Bis etwa \(6{,}6\,\text{s}\) wächst Antons Vorsprung; danach wird er kleiner. c) Der Vorsprung hat die Änderungsrate \(f(t)-g(t)\). Diese wechselt am Schnittpunkt von positiv zu negativ, daher ist der Vorsprung dort maximal.

- Welche Ortsänderung erhältst du, wenn du eine Geschwindigkeit über ein Zeitintervall integrierst? - Welche Bedeutung hat die Reihenfolge der beiden Ortsänderungen in \(D(x)\) für das Vorzeichen? - Was muss für die beiden Positionen gelten, wenn ein Boot das andere genau einholt? - Beachte den späteren Startzeitpunkt von Boot 2 bei den Integrationsgrenzen.

1. Die Integrale geben die von der gemeinsamen Startposition aus zurückgelegten Ortsänderungen der beiden Boote an. Daher ist \(D(x)\) die vorzeichenbehaftete Positionsdifferenz „Boot 1 minus Boot 2“; der räumliche Abstand ist \(|D(x)|\). 2. Für Boot 1 gilt \(s_1(50)=\int_0^{50}15(1-e^{-0{,}05t})\,\text{d}t=[15t+300e^{-0{,}05t}]_0^{50}\approx474{,}6255\,\text{m}\). 3. Für Boot 2 gilt \(s_2(50)=\int_{25}^{50}25(1-e^{-0{,}1(t-25)})\,\text{d}t\approx395{,}5213\,\text{m}\). 4. Somit ist \(D(50)\approx79{,}1042\,\text{m}\), also auf zwei Nachkommastellen \(79{,}10\,\text{m}\). Der positive Wert bedeutet, dass Boot 1 zu diesem Zeitpunkt noch vorn liegt. 5. Aus \(D(z)=0\) folgt die Gleichheit der beiden Positionen. Die erste solche Nullstelle nach \(t=25\) ist der Einholzeitpunkt.

a) \(D(x)\) ist die vorzeichenbehaftete Positionsdifferenz von Boot 1 zu Boot 2; der Abstand ist \(|D(x)|\). b) \(D(50)\approx79{,}10\,\text{m}\); Boot 1 liegt zu diesem Zeitpunkt noch vorn. c) Bei \(D(z)=0\) befinden sich beide Boote am selben Ort; die erste solche Nullstelle nach \(t=25\) ist der Einholzeitpunkt.

- Wie erhältst du aus einer Vertikalgeschwindigkeit eine Höhenfunktion, wenn die Anfangshöhe bekannt ist? - Für ein absolutes Maximum im gesamten Modellintervall musst du neben inneren Kandidaten auch die Randwerte beachten. - Welche Bedingung beschreibt die Rückkehr zur Ausgangshöhe? - Achte darauf, zwischen Höhe und Geschwindigkeit zu unterscheiden, wenn du Nullstellen interpretierst.

1. Die Höhe ergibt sich aus \(h(t)=250+\int_0^t v(x)\,\text{d}x\). Mit \(v(t)=2\cdot10^{-5}(t^3-130t^2+3000t)\) folgt \(h(t)=250+2\cdot10^{-5}(\frac14t^4-\frac{130}{3}t^3+1500t^2)\). 2. Es gilt \(h(60)=235{,}6\,\text{m}\) und \(h(120)=221{,}2\,\text{m}\). 3. Für das absolute Maximum im Modellintervall \([0;150]\) werden die Stellen mit \(v(t)=0\) und die Randwerte verglichen. Die Nullstellen sind \(t=0\), \(t=30\) und \(t=100\). Es gilt \(h(30)=257{,}65\,\text{m}\), \(h(100)=\frac{550}{3}\,\text{m}\) und \(h(150)=531{,}25\,\text{m}\). Daher liegt das Maximum bei \(t=150\,\text{s}\). 4. Für \(t=40\) ergibt die Höhenfunktion \(h(40)\approx255{,}33\,\text{m}\), was die angegebene Näherung bestätigt. 5. Für die Rückkehr zur Ausgangshöhe gilt \(h(t)=250\). Nach Ausklammern von \(t^2\) bleibt \(\frac14t^2-\frac{130}{3}t+1500=0\). Die positiven Lösungen sind \(t=\frac{260\pm20\sqrt{34}}{3}\). Der erste Rückkehrzeitpunkt ist daher \(t=\frac{260-20\sqrt{34}}{3}\,\text{s}\approx47{,}79\,\text{s}\).

a) Nach \(60\,\text{s}\): \(235{,}6\,\text{m}\); nach \(120\,\text{s}\): \(221{,}2\,\text{m}\). b) \(t=150\,\text{s}\); maximale Höhe: \(531{,}25\,\text{m}\). c) \(h(40)\approx255{,}33\,\text{m}\). d) \(t=\frac{260-20\sqrt{34}}{3}\,\text{s}\approx47{,}79\,\text{s}\).

- Welche Regel nutzt du, um eine Exponentialfunktion der Form \(e^{kt}\) zu integrieren? - Was passiert mit dem Term \(e^{-0{,}5t}\), wenn \(t\) sehr groß wird? - Betrachte bei der Begründung in Aufgabenteil 3 die Definition der Stammfunktion mit einer Konstante \(C\).

1. Berechnung des Integrals: \(\int_{0}^{4} 12 e^{-0{,}5t} \, dt = [12 \cdot \frac{1}{-0{,}5} e^{-0{,}5t}]_0^4 = [-24 e^{-0{,}5t}]_0^4 = -24(e^{-2} - e^0) = 24(1 - e^{-2}) \approx 20{,}75\,\text{m}\). 2. Der Gesamtweg für \(t \to \infty\) entspricht dem uneigentlichen Integral \(\int_{0}^{\infty} 12 e^{-0{,}5t} \, dt\). Der Grenzwert berechnet sich zu \(\lim_{b \to \infty} [-24 e^{-0{,}5t}]_0^b = \lim_{b \to \infty} (-24 e^{-0{,}5b} + 24) = 0 + 24 = 24\,\text{m}\). Da der Grenzwert existiert und endlich ist, ist der Weg begrenzt. 3. Sei \(S(t)\) eine beliebige Stammfunktion von \(v(t)\). Dann gilt \(s(t) = S(t) + C\). Für die Differenz gilt: \(s(b) - s(a) = (S(b) + C) - (S(a) + C) = S(b) - S(a)\). Da sich \(C\) (und damit der Einfluss der Startposition) aufhebt, ist die Differenz nur von der Funktion \(v\) und den Grenzen abhängig.

1. \(24(1 - e^{-2}) \approx 20{,}75\,\text{m}\) 2. Der Grenzwert beträgt \(24\,\text{m}\). Da das Integral gegen einen endlichen Wert konvergiert, ist der Weg begrenzt. 3. Da \(s(b) - s(a) = (S(b) + C) - (S(a) + C) = S(b) - S(a)\) gilt, fällt die Konstante \(C\), die die Startposition festlegt, bei der Berechnung der Wegdifferenz weg.

- Welches bestimmte Integral beschreibt die in einem Zeitintervall zurückgelegte Strecke, wenn die Geschwindigkeit nicht negativ ist? - Wie wird bei einer unendlichen oberen Grenze ein bestimmtes Integral definiert? - Für den prozentualen Anteil vergleichst du die Strecke bis \(6\,\text{s}\) mit der gesamten theoretischen Strecke.

1. Da \(v(t)\ge0\) für \(t\ge0\) gilt, entsprechen die Integrale den zurückgelegten Strecken. 2. Für die ersten \(6\,\text{s}\) gilt \(\int_0^6v(t)\,\text{d}t=V(6)-V(0)=4-16e^{-3}\,\text{m}\approx3{,}20\,\text{m}\). 3. Für die Gesamtstrecke gilt \(\int_0^\infty v(t)\,\text{d}t=\lim_{b\to\infty}(V(b)-V(0))=4\,\text{m}\), weil \((-2b-4)e^{-0{,}5b}\to0\). 4. Der Anteil nach \(6\,\text{s}\) ist \(\frac{4-16e^{-3}}{4}\cdot100\,\%\approx80{,}1\,\%\).

a) \(4-16e^{-3}\,\text{m}\approx3{,}20\,\text{m}\). b) \(4\,\text{m}\). c) \(80{,}1\,\%\).