Kostenlose Arbeitsblätter

- Welche mathematische Operation kehrt den Vorgang des Ableitens um? - Wie hängen Beschleunigung, Geschwindigkeit und Ort (Weg) über die Ableitung zusammen? - Was bedeutet die Information über den Zeitpunkt \(t = 0\) für deine Integrationskonstante? - In welcher Reihenfolge musst du integrieren, um vom Gegebenen zum Gesuchten zu gelangen?

1. Bestimmung von \(v(t)\) durch Integration der Beschleunigung: \(v(t) = \int 0{,}6t \, dt = 0{,}3t^2 + C\). 2. Bestimmung von \(C\) mit \(v(0) = 0\): \(0{,}3 \cdot 0^2 + C = 0 \implies C = 0\). Ergebnis: \(v(t) = 0{,}3t^2\). 3. Bestimmung von \(s(t)\) durch Integration der Geschwindigkeit: \(s(t) = \int 0{,}3t^2 \, dt = 0{,}1t^3 + C'\). 4. Bestimmung von \(C'\) mit \(s(0) = 0\): \(0{,}1 \cdot 0^3 + C' = 0 \implies C' = 0\). Ergebnis: \(s(t) = 0{,}1t^3\). 5. Berechnung der Werte für \(t = 5\): \(v(5) = 0{,}3 \cdot 5^2 = 7{,}5\) und \(s(5) = 0{,}1 \cdot 5^3 = 12{,}5\).

a) \(v(t) = 0{,}3t^2\) b) \(s(t) = 0{,}1t^3\) c) Nach \(5\,\text{s}\) beträgt die Geschwindigkeit \(7{,}5\,\text{m/s}\) und der Weg \(12{,}5\,\text{m}\).

- Wie kommst du von der Geschwindigkeit zur zurückgelegten Strecke? - Was bedeutet die Bedingung \(s(0) = 0\) für deine Integrationskonstante? - Wie berechnet man den Zuwachs einer Größe in einem bestimmten Zeitabschnitt, wenn die Änderungsrate bekannt ist? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, die Fläche unter einem Graphen in einem Intervall zu bestimmen?

1. Herleitung der Weg-Zeit-Funktion: Die Funktion \(s(t)\) ist eine Stammfunktion von \(v(t)\). Es gilt \(s(t) = \int 0{,}75 t^2 \,\text{d}t = \frac{0{,}75}{3}t^3 + C = 0{,}25t^3 + C\). Da \(s(0) = 0\), folgt \(C = 0\), also \(s(t) = 0{,}25t^3\). 2. Berechnung der Wegstrecke im Intervall \([2; 6]\): Die gesuchte Strecke entspricht dem bestimmten Integral der Geschwindigkeit in den Grenzen von 2 bis 6. 3. Berechnung des Integrals: \(\int_{2}^{6} 0{,}75 t^2 \,\text{d}t = [0{,}25t^3]_2^6\). 4. Auswertung: \(0{,}25 \cdot 6^3 - 0{,}25 \cdot 2^3 = 0{,}25 \cdot 216 - 0{,}25 \cdot 8 = 54 - 2 = 52\,\text{m}\). Alternativ: \(s(6) - s(2) = 52\,\text{m}\).

a) \(s(t) = 0{,}25t^3\) b) Das Motorrad legt in diesem Zeitraum \(52\,\text{m}\) zurück.

- Wie hängen Geschwindigkeit und Weg mathematisch zusammen? - Welche Rechenoperation kehrt die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit um? - Wie berechnet man die Differenz der Positionen zwischen zwei Zeitpunkten? - Denk an die Kettenregel beim Integrieren der e-Funktion.

1. Der zurückgelegte Weg \(s(T)\) wird durch das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit berechnet: \(s(T) = \int_{0}^{T} v(t) \, \text{d}t\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(V(t) = \int 15 \cdot (1 - e^{-0{,}2t}) \, \text{d}t = 15t + \frac{15}{0{,}2}e^{-0{,}2t} = 15t + 75e^{-0{,}2t}\). 3. Berechnung der Strecke in den ersten \(5\,\text{s}\): \(s(5) = [15t + 75e^{-0{,}2t}]_0^5 = (15 \cdot 5 + 75e^{-1}) - (0 + 75e^0) = 75 + 75e^{-1} - 75 = 75e^{-1} \approx 27{,}59\,\text{m}\). 4. Berechnung der Strecke für das Intervall \([5; 10]\): \(s(10) - s(5) = [15t + 75e^{-0{,}2t}]_5^{10} = (150 + 75e^{-2}) - (75 + 75e^{-1}) = 75 + 75e^{-2} - 75e^{-1} \approx 57{,}56\,\text{m}\).

In den ersten \(5\,\text{s}\) legt das Boot ca. \(27{,}59\,\text{m}\) zurück. In den darauffolgenden \(5\,\text{s}\) (Zeitintervall von \(t=5\) bis \(t=10\)) legt es ca. \(57{,}56\,\text{m}\) zurück.

- Was gibt die Fläche unter dem Graphen einer Geschwindigkeits-Zeit-Funktion an? - Welches bestimmte Integral musst du hier aufstellen? - Wie bildest du die Stammfunktion eines Ausdrucks der Form \(a \cdot e^{k \cdot t}\)?

1. Die Fallhöhe \(h\) entspricht dem Integral der Geschwindigkeit über das Zeitintervall \([0; 12]\): \(h = \int_{0}^{12} 55 \cdot (1 - e^{-0{,}18t}) \, \text{d}t\). 2. Eine Stammfunktion von \(v(t) = 55 - 55e^{-0{,}18t}\) ist \(V(t) = 55t + \frac{55}{0{,}18}e^{-0{,}18t} \approx 55t + 305{,}56e^{-0{,}18t}\). 3. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: \(h = V(12) - V(0) = (55 \cdot 12 + \frac{55}{0{,}18}e^{-0{,}18 \cdot 12}) - (0 + \frac{55}{0{,}18}e^0)\). 4. Numerische Auswertung: \(h = 660 + 305{,}56 \cdot e^{-2{,}16} - 305{,}56 \approx 660 + 35{,}23 - 305{,}56 = 389{,}67\,\text{m}\).

Der Fallschirmspringer legt in den ersten \(12\,\text{s}\) eine Fallhöhe von ca. \(389{,}67\,\text{m}\) zurück.

- Wie hängen Geschwindigkeit und zurückgelegte Strecke mathematisch zusammen? - Welcher Zeitpunkt \(t\) entspricht dem Start von Fahrzeug B? - Achte darauf, dass Fahrzeug B erst ab \(t = 10\) eine Geschwindigkeit größer als Null hat. - Was bedeutet „Abstand“ im Hinblick auf die Positionen der beiden Fahrzeuge?

1. Zur Berechnung der Strecke von Fahrzeug A bis zum Start von Fahrzeug B (\(t = 10\)) wird das Integral der Geschwindigkeit bestimmt: \(s_A(10) = \int_0^{10} 18(1 - e^{-0{,}08t}) \, \text{d}t = [18t + 225e^{-0{,}08t}]_0^{10}\). Einsetzen der Grenzen ergibt \(s_A(10) = (180 + 225e^{-0{,}8}) - (0 + 225) \approx 56{,}10\,\text{m}\). 2. Der gesuchte Zeitpunkt ist \(t = 20\) (10 Sekunden nach dem Start von B). Die Geschwindigkeiten betragen \(v_A(20) = 18(1 - e^{-1{,}6}) \approx 14{,}37\,\text{m/s}\) und \(v_B(20) = 24(1 - e^{-1{,}2}) \approx 16{,}77\,\text{m/s}\). Der Unterschied beträgt ca. \(2{,}40\,\text{m/s}\). 3. 20 Sekunden nach dem Start von B entspricht \(t = 30\). Strecke von A: \(s_A(30) = [18t + 225e^{-0{,}08t}]_0^{30} = 540 + 225e^{-2{,}4} - 225 \approx 335{,}41\,\text{m}\). Strecke von B seit seinem Start: \(s_B(30) = \int_{10}^{30} 24(1 - e^{-0{,}12(t-10)}) \, \text{d}t = [24t + 200e^{-0{,}12(t-10)}]_{10}^{30} = (720 + 200e^{-2{,}4}) - (240 + 200) \approx 298{,}14\,\text{m}\). Der Abstand beträgt \(335{,}41 - 298{,}14 = 37{,}27\,\text{m}\).

a) ca. \(56{,}10\,\text{m}\) b) ca. \(2{,}40\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) c) ca. \(37{,}27\,\text{m}\)

- Wie hängen Geschwindigkeit und Beschleunigung mathematisch zusammen? - Welche Ableitungsregeln musst du anwenden, wenn du ein Produkt aus einer ganzrationalen Funktion und einer e-Funktion hast? - Welche physikalische Größe erhältst du, wenn du die Geschwindigkeit über die Zeit integrierst? - Wie findet man eine Stammfunktion für einen Term der Form \((at^2+bt+c) \cdot e^{kt}\)? Erinnere dich an die Methode des unbestimmten Ansatzes oder die partielle Integration.

1. Die Beschleunigung ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit: \(a(t) = v'(t)\). Unter Anwendung der Produkt- und Kettenregel ergibt sich \(a(t) = (20 - 4t) \cdot e^{-0{,}5t} + (20t - 2t^2) \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5t} = (t^2 - 14t + 20) \cdot e^{-0{,}5t}\). 2. Einsetzen von \(t = 2\): \(a(2) = (4 - 28 + 20) \cdot e^{-1} = -4 \cdot e^{-1} \approx -1{,}47\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). 3. Die Tiefe \(s(10)\) entspricht dem Integral der Geschwindigkeit: \(s(10) = \int_0^{10} (20t - 2t^2) \cdot e^{-0{,}5t} \, \text{d}t\). 4. Eine Stammfunktion von \(v\) ist \(V(t) = (4t^2 - 24t - 48) \cdot e^{-0{,}5t}\). 5. Berechnung des bestimmten Integrals: \(s(10) = V(10) - V(0) = (400 - 240 - 48) \cdot e^{-5} - (-48) = 112 \cdot e^{-5} + 48 \approx 48{,}75\,\text{m}\). 6. Das Integral \(\int_0^{10} v(t) \, \text{d}t\) gibt die gesamte vertikale Distanz an, die das Fahrzeug im Zeitintervall \([0; 10]\) zurückgelegt hat, also die nach 10 Sekunden erreichte Tiefe.

a) Die Beschleunigung beträgt ca. \(-1{,}47\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). b) Das Fahrzeug hat eine Tiefe von ca. \(48{,}75\,\text{m}\) erreicht. c) Das Integral gibt den in den ersten 10 Sekunden zurückgelegten Weg (die erreichte Tiefe) in Metern an.

- Erinnerst du dich an die Regel für die partielle Integration? - Wie nutzt man die Stammfunktion, um den Weg in einem bestimmten Zeitabschnitt zu finden? - Was bedeutet „Durchschnitt“ im Kontext einer kontinuierlichen Funktion über ein Intervall? - Überprüfe die Vorzeichen beim Einsetzen in die Stammfunktion sorgfältig.

1. Mittels partieller Integration ergibt sich die Stammfunktion \(V(t) = (-50t - 250) \cdot e^{-0{,}2t} - 250 \cdot e^{-0{,}2t} = (-50t - 500) \cdot e^{-0{,}2t}\). 2. Die Wegstrecke \(s\) im Intervall \([5; 15]\) wird berechnet durch \(s = \int_{5}^{15} v(t) \, \text{d}t = V(15) - V(5)\). Einsetzen liefert \(V(15) = (-50 \cdot 15 - 500) \cdot e^{-3} = -1250 \cdot e^{-3} \approx -62{,}23\) und \(V(5) = (-50 \cdot 5 - 500) \cdot e^{-1} = -750 \cdot e^{-1} \approx -275{,}91\). Die Differenz ergibt \(s \approx -62{,}23 - (-275{,}91) = 213{,}68\,\text{m}\). 3. Die durchschnittliche Geschwindigkeit \(\bar{v}\) ist der Quotient aus Weg und Zeit: \(\bar{v} = \frac{s}{15 - 5} = \frac{213{,}68}{10} \approx 21{,}37\,\text{m/s}\).

1. Eine Stammfunktion ist \(V(t) = (-50t - 500) \cdot e^{-0{,}2t}\). 2. Der zurückgelegte Weg beträgt ca. \(213{,}68\,\text{m}\). 3. Die durchschnittliche Geschwindigkeit beträgt ca. \(21{,}37\,\text{m/s}\).

- Wie hängen Geschwindigkeit und Weg mathematisch zusammen? - Was bedeutet es für die Konstante \(C\), wenn du einen festen Punkt der Funktion kennst? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. - Überlege, was passiert, wenn du zwei Funktionswerte derselben Stammfunktion voneinander abziehst.

1. Die allgemeine Stammfunktion von \(v(t) = 0{,}3t^2 + 2\) lautet \(s(t) = 0{,}1t^3 + 2t + C\). 2. Einsetzen der Bedingung \(s(1) = 5\): \(0{,}1 \cdot 1^3 + 2 \cdot 1 + C = 5 \Rightarrow 2{,}1 + C = 5 \Rightarrow C = 2{,}9\). Die Funktionsgleichung lautet \(s(t) = 0{,}1t^3 + 2t + 2{,}9\). 3. a) \(s(4) = 0{,}1 \cdot 64 + 2 \cdot 4 + 2{,}9 = 6{,}4 + 8 + 2{,}9 = 17{,}3\). Die Differenz ist \(s(4) - s(1) = 17{,}3 - 5 = 12{,}3\,\text{m}\). b) Das Integral berechnet sich zu \(\int_{1}^{4} (0{,}3t^2 + 2) \, dt = [0{,}1t^3 + 2t]_1^4 = (6{,}4 + 8) - (0{,}1 + 2) = 14{,}4 - 2{,}1 = 12{,}3\,\text{m}\). 4. Beide Ergebnisse sind identisch (\(12{,}3\,\text{m}\)). Dies bestätigt den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: Das bestimmte Integral der Geschwindigkeit über ein Intervall entspricht der Änderung der Position (dem zurückgelegten Weg) in diesem Zeitraum, wobei die Integrationskonstante \(C\) bei der Differenzbildung wegfällt.

1. \(s(t) = 0{,}1t^3 + 2t + C\) 2. \(C = 2{,}9\); \(s(t) = 0{,}1t^3 + 2t + 2{,}9\) 3. In beiden Fällen ergibt sich ein Weg von \(12{,}3\,\text{m}\). 4. Die Ergebnisse sind gleich, da das Integral der Geschwindigkeit die Änderung des Weges beschreibt (\(s(b) - s(a) = \int_a^b v(t) \, dt\)).

- Wie hängen Beschleunigung, Geschwindigkeit und Weg mathematisch über die Integralrechnung zusammen? - Welche Rolle spielen die Werte zum Zeitpunkt \(t = 0\) bei der Bestimmung der Stammfunktionen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die gesuchte Zeit die Unbekannte ist? - Erinnerst du dich an ein Verfahren, um quadratische Gleichungen zu lösen?

1. Bestimmung der Geschwindigkeitsfunktion: Da \(v(t) = \int a(t) \,\text{d}t\), folgt \(v(t) = \int 2 \,\text{d}t = 2t + C_1\). Mit der Anfangsbedingung \(v(0) = 5\) ergibt sich \(C_1 = 5\), also \(v(t) = 2t + 5\). 2. Bestimmung der Wegfunktion: Da \(s(t) = \int v(t) \,\text{d}t\), folgt \(s(t) = \int (2t + 5) \,\text{d}t = t^2 + 5t + C_2\). Mit der Anfangsbedingung \(s(0) = 10\) ergibt sich \(C_2 = 10\), also \(s(t) = t^2 + 5t + 10\). 3. Berechnung des Zeitpunkts für \(s = 160\): Setze \(t^2 + 5t + 10 = 160\), woraus die quadratische Gleichung \(t^2 + 5t - 150 = 0\) folgt. 4. Lösen der quadratischen Gleichung: Die Lösungen sind \(t = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (-150)}}{2} = \frac{-5 \pm 25}{2}\). Da \(t \ge 0\) sein muss, ist \(t = 10\,\text{s}\).

a) \(v(t) = 2t + 5\) und \(s(t) = t^2 + 5t + 10\) b) Das Fahrzeug erreicht die Position nach \(t = 10\,\text{s}\).

- Was berechnet man allgemein, wenn man die Geschwindigkeit über die Zeit integriert? - Überlege, was es für die Position der Boote bedeutet, wenn die Differenz ihrer zurückgelegten Strecken genau Null ist. - Welche Bedeutung haben die Integrationsgrenzen in diesem Kontext? - Vergleiche die Grenzwerte der Geschwindigkeiten für sehr große \(t\), um zu verstehen, welches Boot langfristig schneller ist.

1. Der Term \(\int_0^x v_1(t) \, dt\) berechnet die von Boot 1 seit dem Start bis zum Zeitpunkt \(x\) zurückgelegte Strecke. Der Term \(\int_{25}^x v_2(t) \, dt\) berechnet die von Boot 2 seit seinem Start bis zum Zeitpunkt \(x\) zurückgelegte Strecke. Die Differenz \(D(x)\) gibt somit den aktuellen Vorsprung von Boot 1 gegenüber Boot 2 (bzw. den Abstand der Boote) zum Zeitpunkt \(x\) an. 2. Berechnung von \(s_1(50) = \int_0^{50} 15(1 - e^{-0{,}05t}) \, dt = [15t + 300e^{-0{,}05t}]_0^{50} = (750 + 300e^{-2{,}5}) - 300 \approx 474{,}63\,\text{m}\). 3. Berechnung von \(s_2(50) = \int_{25}^{50} 25(1 - e^{-0{,}1(t-25)}) \, dt = [25t + 250e^{-0{,}1(t-25)}]_{25}^{50} = (1250 + 250e^{-2{,}5}) - (625 + 250) \approx 395{,}52\,\text{m}\). 4. \(D(50) = 474{,}63 - 395{,}52 = 79{,}11\,\text{m}\). Dies bedeutet, dass Boot 1 nach \(50\,\text{s}\) noch \(79{,}11\,\text{m}\) vor Boot 2 liegt. 5. Wenn \(D(z) = 0\) gilt, ist die Differenz der zurückgelegten Strecken null. Da beide Boote am selben Punkt gestartet sind, bedeutet dies, dass sie zum Zeitpunkt \(z\) denselben Ort erreichen. Da Boot 2 später gestartet ist und eine höhere Endgeschwindigkeit anstrebt, findet hier der Überholvorgang statt.

a) \(D(x)\) beschreibt den Abstand (Vorsprung von Boot 1) zwischen den beiden Booten zum Zeitpunkt \(x\). b) \(D(50) \approx 79{,}11\,\text{m}\); Boot 1 ist zum Zeitpunkt \(t=50\,\text{s}\) noch ca. \(79{,}11\,\text{m}\) vor Boot 2. c) Bei \(D(z) = 0\) haben beide Boote die gleiche Strecke ab dem gemeinsamen Startpunkt zurückgelegt, sie befinden sich also auf gleicher Höhe.

- Denke an den Zusammenhang zwischen Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung. - Wie leitest du Terme ab, in denen die Variable sowohl linear als auch im Exponenten der e-Funktion vorkommt? - Um die Strecke zu berechnen, musst du die Geschwindigkeitsfunktion integrieren. - Was passiert mit dem Term \(e^{-0{,}5t}\) und dem Vorfaktor, wenn \(t\) immer größer wird?

1. Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit: \(a(t) = v'(t)\). Konstante Faktoren und Summanden beachten: \(v(t) = 80 - (40t + 80)e^{-0{,}5t}\). Ableiten mit Produkt- und Kettenregel: \(a(t) = 0 - [40 \cdot e^{-0{,}5t} + (40t + 80) \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5t}] = -[40 - 20t - 40] \cdot e^{-0{,}5t} = 20t \cdot e^{-0{,}5t}\). 2. Die Strecke \(s(20)\) wird durch das Integral \(\int_0^{20} v(t) \, \text{d}t\) berechnet. 3. Bestimmung einer Stammfunktion für \(v(t) = 80 - (40t + 80)e^{-0{,}5t}\). Eine Stammfunktion ist \(V(t) = 80t + (80t + 320)e^{-0{,}5t}\). 4. Berechnung des Weges: \(s(20) = V(20) - V(0) = (1600 + 1920e^{-10}) - (0 + 320) = 1280 + 1920e^{-10} \approx 1280{,}09\,\text{m}\). 5. Die Grenzgeschwindigkeit ist der Grenzwert von \(v(t)\) für \(t \to \infty\). Da \(\lim_{t \to \infty} (0{,}5t + 1) \cdot e^{-0{,}5t} = 0\), folgt \(\lim_{t \to \infty} v(t) = 80 \cdot (1 - 0) = 80\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

a) \(a(t) = 20t \cdot e^{-0{,}5t}\) b) Der Zug legt ca. \(1280{,}09\,\text{m}\) zurück. c) Die Grenzgeschwindigkeit beträgt \(80\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

- Wie hängen Geschwindigkeit, Beschleunigung und Weg mathematisch zusammen? - Welche Bedingung muss für eine Stelle gelten, an der eine Funktion ihren höchsten Wert erreicht? - Wie berechnet man den Wert eines bestimmten Integrals, wenn eine Stammfunktion bekannt ist? - Achte darauf, die Einheiten in der Antwort korrekt anzugeben.

1. Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit: \(a(t) = v'(t) = (1{,}6t - 0{,}08t^2) \cdot e^{-0{,}1t}\). Zur Bestimmung des Maximums wird die Ableitung \(a'(t) = v''(t) = (0{,}008t^2 - 0{,}32t + 1{,}6) \cdot e^{-0{,}1t}\) gleich null gesetzt. Die Nullstellen der quadratischen Gleichung \(0{,}008t^2 - 0{,}32t + 1{,}6 = 0\) liegen bei \(t_1 = 20 - 10\sqrt{2} \approx 5{,}86\) und \(t_2 = 20 + 10\sqrt{2} \approx 34{,}14\). Ein Vergleich der Funktionswerte von \(a(t)\) an diesen Stellen sowie an den Rändern des Intervalls \([0; 60]\) ergibt das globale Maximum bei \(t_1 \approx 5{,}86\,\text{s}\) mit \(a(5{,}86) \approx 3{,}69\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). 2. Der zurückgelegte Weg \(s\) im Intervall \([0; 20]\) entspricht dem Integral \(\int_{0}^{20} v(t) \, \text{d}t\). Mit der gegebenen Stammfunktion berechnet man \(s = V(20) - V(0) = [(-8 \cdot 20^2 - 160 \cdot 20 - 1600) \cdot e^{-2}] - [(-8 \cdot 0^2 - 160 \cdot 0 - 1600) \cdot e^{0}] = -8000 \cdot e^{-2} - (-1600) \approx -1082{,}68 + 1600 = 517{,}32\,\text{m}\).

1. Die maximale Beschleunigung beträgt ca. \(3{,}69\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). 2. Das Fahrzeug legt in den ersten \(20\) Sekunden eine Strecke von ca. \(517{,}32\,\text{m}\) zurück.

- Welche Regel nutzt du, um eine Exponentialfunktion der Form \(e^{k \cdot t}\) zu integrieren? - Was passiert mit dem Term \(e^{-0{,}5t}\), wenn \(t\) sehr groß wird? - Betrachte bei der Begründung in Aufgabenteil 3 die Definition der Stammfunktion mit einer Konstante \(C\).

1. Berechnung des Integrals: \(\int_{0}^{4} 12 e^{-0{,}5t} \, dt = [12 \cdot \frac{1}{-0{,}5} e^{-0{,}5t}]_0^4 = [-24 e^{-0{,}5t}]_0^4 = -24(e^{-2} - e^0) = 24(1 - e^{-2}) \approx 20{,}75\,\text{m}\). 2. Der Gesamtweg für \(t \to \infty\) entspricht dem uneigentlichen Integral \(\int_{0}^{\infty} 12 e^{-0{,}5t} \, dt\). Der Grenzwert berechnet sich zu \(\lim_{b \to \infty} [-24 e^{-0{,}5t}]_0^b = \lim_{b \to \infty} (-24 e^{-0{,}5b} + 24) = 0 + 24 = 24\,\text{m}\). Da der Grenzwert existiert und endlich ist, ist der Weg begrenzt. 3. Sei \(S(t)\) eine beliebige Stammfunktion von \(v(t)\). Dann gilt \(s(t) = S(t) + C\). Für die Differenz gilt: \(s(b) - s(a) = (S(b) + C) - (S(a) + C) = S(b) - S(a)\). Da sich \(C\) (und damit der Einfluss der Startposition) aufhebt, ist die Differenz nur von der Funktion \(v\) und den Grenzen abhängig.

1. \(24(1 - e^{-2}) \approx 20{,}75\,\text{m}\) 2. Der Grenzwert beträgt \(24\,\text{m}\). Da das Integral gegen einen endlichen Wert konvergiert, ist der Weg begrenzt. 3. Da \(s(b) - s(a) = (S(b) + C) - (S(a) + C) = S(b) - S(a)\) gilt, fällt die Konstante \(C\), die die Startposition festlegt, bei der Berechnung der Wegdifferenz weg.

- Denke an die Stammfunktion der natürlichen Exponentialfunktion und die lineare Kettenregel. - Achte darauf, dass die Integrationskonstante nicht immer null sein muss, nur weil ein Startwert null ist. - Wie berechnet man den Wert der Exponentialfunktion an der Stelle \(0\)? - Integriere schrittweise von der Beschleunigung zur Geschwindigkeit und dann zum Weg.

1. Integration der Beschleunigungsfunktion: \(v(t) = \int -4e^{-0{,}5t} \, dt = \frac{-4}{-0{,}5}e^{-0{,}5t} + C = 8e^{-0{,}5t} + C\). 2. Bestimmung der Konstante \(C\) mit \(v(0) = 8\): \(8e^0 + C = 8 \implies 8 + C = 8 \implies C = 0\). Also \(v(t) = 8e^{-0{,}5t}\). 3. Integration der Geschwindigkeitsfunktion: \(s(t) = \int 8e^{-0{,}5t} \, dt = \frac{8}{-0{,}5}e^{-0{,}5t} + C' = -16e^{-0{,}5t} + C'\). 4. Bestimmung der Konstante \(C'\) mit \(s(0) = 0\): \(-16e^0 + C' = 0 \implies -16 + C' = 0 \implies C' = 16\). 5. Weg-Zeit-Funktion: \(s(t) = 16 - 16e^{-0{,}5t}\). 6. Berechnung für \(t = 2\): \(s(2) = 16 - 16e^{-1} \approx 10{,}11\).

a) \(v(t) = 8e^{-0{,}5t}\) b) \(s(t) = 16 - 16e^{-0{,}5t}\) c) Der zurückgelegte Weg beträgt etwa \(10{,}11\,\text{m}\).