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- Welche allgemeine Formel kennst du zur Berechnung von Rotationsvolumina bei Rotation um die \(x\)-Achse? - Was passiert mit der Wurzel, wenn du die Funktionsvorschrift quadrierst? - Wie lautet die Stammfunktion einer linearen Funktion? - Denk daran, am Ende den Faktor \(\pi\) nicht zu vergessen.

1. Aufstellen des Volumenintegrals: \(V = \pi \cdot \int_{1}^{5} (\sqrt{3x + 1})^2 \, dx\). 2. Vereinfachen des Integranden: \((\sqrt{3x + 1})^2 = 3x + 1\). 3. Bestimmen einer Stammfunktion: \(F(x) = \frac{3}{2}x^2 + x\). 4. Berechnen des bestimmten Integrals: \(\int_{1}^{5} (3x + 1) \, dx = [1{,}5 \cdot 5^2 + 5] - [1{,}5 \cdot 1^2 + 1] = 42{,}5 - 2{,}5 = 40\). 5. Multiplikation mit \(\pi\): \(V = 40\pi \approx 125{,}66\).

Das Volumen beträgt \(V = 40\pi \approx 125{,}66\) Volumeneinheiten.

- Erinnere dich an die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die \(x\)-Achse. - Überlege dir, wie man ein uneigentliches Integral mit einer variablen oberen Grenze berechnet. - Welche Bedingung muss für den Exponenten einer Potenzfunktion \(x^n\) gelten, damit der Grenzwert für \(x \to \infty\) gegen Null geht? - Vergiss nicht den Sonderfall, in dem die Stammfunktion ein natürlicher Logarithmus ist.

1. Das Volumen eines Rotationskörpers über dem Intervall \([1; \infty[\) ist definiert durch \(V = \pi \cdot \int_{1}^{\infty} (f_k(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{1}^{\infty} x^{-2k} \, dx\). 2. Berechnung des unbestimmten Integrals: Für \(2k \neq 1\) ist \(\int x^{-2k} \, dx = \frac{x^{-2k+1}}{-2k+1}\). Für \(2k = 1\) (also \(k = 0{,}5\)) ist \(\int x^{-1} \, dx = \ln|x|\). 3. Untersuchung des Grenzwerts für \(x \to \infty\): - Falls \(k = 0{,}5\): \(\lim_{z \to \infty} [\ln|x|]_1^z = \infty\) (divergent). - Falls \(k \neq 0{,}5\): \(\lim_{z \to \infty} \left[ \frac{x^{1-2k}}{1-2k} \right]_1^z\) existiert nur, wenn der Exponent negativ ist: \(1-2k < 0 \iff k > 0{,}5\). 4. Für \(k > 0{,}5\) ergibt sich der Wert des Integrals zu \(0 - \frac{1}{1-2k} = \frac{1}{2k-1}\). 5. Das endliche Volumen lautet somit \(V(k) = \frac{\pi}{2k-1}\) für \(k > 0{,}5\).

Das Volumen ist für \(k > 0{,}5\) endlich. Die Formel lautet \(V(k) = \frac{\pi}{2k-1}\).

- Welche geometrische Form entsteht, wenn eine schräge Gerade um eine Achse rotiert? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für das Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die \(x\)-Achse. - Achte beim Quadrieren der Funktion auf die Vorfaktoren. - Setze die Grenzen des Intervalls sorgfältig in die Stammfunktion ein.

1. Bestimmung der Körperform: Da eine Ursprungsgerade in einem Intervall rotiert, das den Ursprung nicht enthält, entsteht ein Kegelstumpf. 2. Aufstellen des Volumenintegrals: \(V = \pi \cdot \int_{k}^{3k} (f(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{k}^{3k} \left(\frac{1}{2}x\right)^2 \, dx\). 3. Vereinfachung des Integranden: \(\pi \cdot \int_{k}^{3k} \frac{1}{4}x^2 \, dx\). 4. Bestimmung der Stammfunktion und Einsetzen der Grenzen: \(\frac{\pi}{4} \cdot \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{k}^{3k} = \frac{\pi}{12} \cdot \left( (3k)^3 - k^3 \right)\). 5. Endgültige Berechnung: \(\frac{\pi}{12} \cdot (27k^3 - k^3) = \frac{26\pi}{12}k^3 = \frac{13}{6}\pi k^3\).

Es entsteht ein Kegelstumpf mit dem Volumen \(V = \frac{13}{6}\pi k^3\).

- Überlege, welche Funktion im Quadrat unter dem Integral steht. - Was für ein Körper entsteht, wenn eine geneigte Gerade um die Achse rotiert? - Erinnerst du dich an die Potenzregel für das Integrieren von Klammerausdrücken der Form \((ax+b)^n\)? - Die Radien an den Enden des Körpers hängen direkt mit der Höhe der Randfunktion an den Grenzen zusammen.

1. Die allgemeine Formel für das Rotationsvolumen lautet \(V = \pi \cdot \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx\). Durch Vergleich mit dem gegebenen Integral ergibt sich die Randfunktion \(f(x) = x + 2\). Da es sich um die Rotation einer linearen Funktion handelt, die die Rotationsachse im betrachteten Intervall \([0; 3]\) nicht schneidet, entsteht ein gerader Kegelstumpf. 2. Zur Berechnung des Volumens wird die Stammfunktion gebildet: \(\pi \cdot \int_{0}^{3} (x+2)^2 dx = \pi \cdot \left[ \frac{1}{3}(x+2)^3 \right]_{0}^{3}\). Einsetzen der Grenzen liefert \(\pi \cdot \left( \frac{1}{3}(3+2)^3 - \frac{1}{3}(0+2)^3 \right) = \pi \cdot \left( \frac{125}{3} - \frac{8}{3} \right) = \frac{117}{3}\pi = 39\pi\). 3. Die Radien der Begrenzungsflächen entsprechen den Funktionswerten an den Intervallgrenzen: \(r_1 = f(0) = 0 + 2 = 2\) und \(r_2 = f(3) = 3 + 2 = 5\).

1. Randfunktion \(f(x) = x + 2\); geometrische Form: gerader Kegelstumpf. 2. \(V = 39\pi\). 3. \(r_1 = 2\) und \(r_2 = 5\).

- Was passiert geometrisch, wenn du die Differenz der Funktionen quadrierst, im Vergleich dazu, wenn du die Quadrate der Funktionen subtrahierst? - Überlege dir, welche Form der Querschnitt des Rotationskörpers an einer Stelle \(x\) hat. - Erinnere dich an die binomischen Formeln beim Ausmultiplizieren des Integranden.

1. Aufstellen des Integrals für das Volumen nach der korrekten Formel: \(V = \pi \int_{0}^{4} ((\sqrt{x} + 1)^2 - 1^2) \, dx\). 2. Vereinfachen des Integranden: \((\sqrt{x} + 1)^2 - 1 = x + 2\sqrt{x} + 1 - 1 = x + 2\sqrt{x}\). 3. Bestimmen der Stammfunktion und Berechnung des Integrals: \(\pi \int_{0}^{4} (x + 2x^{\frac{1}{2}}) \, dx = \pi [\frac{1}{2}x^2 + \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4} = \pi (8 + \frac{4}{3} \cdot 8) = \frac{56}{3}\pi \approx 58{,}64\). 4. Aufstellen und Berechnen des Vergleichsintegrals: \(V_{falsch} = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x} + 1 - 1)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{4} x \, dx\). 5. Bestimmen der Stammfunktion: \(\pi [\frac{1}{2}x^2]_{0}^{4} = \pi (8 - 0) = 8\pi \approx 25{,}13\). 6. Vergleich der Ergebnisse: Der Wert \(V_{falsch} = 8\pi\) ist deutlich kleiner als das tatsächliche Volumen \(V = \frac{56}{3}\pi\).

a) \(V = \frac{56}{3}\pi \approx 58{,}64\) b) \(V_{falsch} = 8\pi \approx 25{,}13\). Die Ergebnisse sind nicht identisch, da die Differenz der Quadrate nicht gleich dem Quadrat der Differenz ist.

- Überlege zuerst, welche der beiden Funktionen im gegebenen Intervall größere Funktionswerte annimmt. - Erinnere dich an die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers, der durch die Differenz zweier Funktionen entsteht. - Vereinfache den Integranden so weit wie möglich, bevor du mit dem Integrieren beginnst. - Achte beim Quadrieren von Summen auf die binomischen Formeln.

1. Aufstellen des Integrals für das Volumen: \(V = \pi \cdot \int_{1}^{3} (f(x)^2 - g(x)^2) \, dx\). 2. Einsetzen der Funktionsterme: \(V = \pi \cdot \int_{1}^{3} ((x + 1)^2 - (\sqrt{2x + 2})^2) \, dx\). 3. Vereinfachen des Integranden: \((x^2 + 2x + 1) - (2x + 2) = x^2 - 1\). 4. Bestimmen der Stammfunktion: \(\int (x^2 - 1) \, dx = \frac{1}{3}x^3 - x\). 5. Auswerten des bestimmten Integrals: \([\frac{1}{3}x^3 - x]_{1}^{3} = (9 - 3) - (\frac{1}{3} - 1) = 6 - (-\frac{2}{3}) = \frac{20}{3}\). 6. Multiplikation mit \(\pi\): \(V = \frac{20}{3}\pi\).

\(V = \frac{20}{3}\pi \approx 20{,}94\)

- Überlege dir zuerst, wie das Volumen eines Rotationskörpers allgemein berechnet wird. - Beachte den Zusammenhang zwischen Millilitern und Kubikzentimetern. - Das gesuchte \(h\) entspricht der oberen Grenze des Integrals. - Nach der Integration erhältst du eine Gleichung, die du nach der unbekannten Höhe auflösen kannst.

1. Aufstellen der Formel für das Rotationsvolumen in Abhängigkeit von der Füllhöhe \(h\): \(V(h) = \pi \cdot \int_{0}^{h} (f(x))^2 \, dx\). 2. Einsetzen der Funktion \(f(x) = \sqrt{3x}\): \(V(h) = \pi \cdot \int_{0}^{h} 3x \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion und Auswertung an den Grenzen: \(V(h) = \pi \cdot [1{,}5x^2]_0^h = 1{,}5\pi h^2\). 4. Gleichsetzen des Volumens mit dem gegebenen Wert (\(150\,\text{ml} = 150\,\text{cm}^3\)): \(1{,}5\pi h^2 = 150\). 5. Auflösen nach \(h\): \(h^2 = \frac{100}{\pi} \approx 31{,}83\). 6. Berechnung des Endergebnisses: \(h = \sqrt{\frac{100}{\pi}} \approx 5{,}64\,\text{cm}\).

Der Flüssigkeitsspiegel steht ca. \(5{,}64\,\text{cm}\) hoch im Gefäß.

- Erinnere dich an die Formel für das Rotationsvolumen um die \(x\)-Achse: \(V = \pi \int_a^b (f(x))^2 dx\). - Für den Innenraum musst du die Funktion \(g(x)\) vor dem Integrieren quadrieren. Nutze hierfür die binomischen Formeln. - Das Materialvolumen erhältst du, indem du das "innere" vom "äußeren" Volumen subtrahierst. - Der Radius an einer Stelle \(x\) entspricht einfach dem Funktionswert an dieser Stelle.

1. Das Volumen des massiven Außenkörpers berechnet sich durch \(V_f = \pi \cdot \int_{0}^{10} (f(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{10} (x + 2) \, dx\). Stammfunktion bilden: \(\pi \cdot [0{,}5x^2 + 2x]_0^{10} = \pi \cdot (50 + 20) = 70\pi \approx 219{,}91\,\text{cm}^3\). 2. Das Volumen des Innenraums berechnet sich durch \(V_g = \pi \cdot \int_{0}^{10} (g(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{10} (0{,}2x + 1)^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{10} (0{,}04x^2 + 0{,}4x + 1) \, dx\). Stammfunktion bilden: \(\pi \cdot [\frac{0{,}04}{3}x^3 + 0{,}2x^2 + x]_0^{10} = \pi \cdot (\frac{40}{3} + 20 + 10) = \frac{130}{3}\pi \approx 136{,}14\,\text{cm}^3\). 3. Das Glasvolumen ist die Differenz der beiden Volumina: \(V_{\text{Glas}} = V_f - V_g = 70\pi - \frac{130}{3}\pi = \frac{80}{3}\pi \approx 83{,}78\,\text{cm}^3\). 4. Den äußeren Radius über die Funktionsgleichung bestimmen: \(f(x) = 3 \implies \sqrt{x + 2} = 3\). Quadrieren führt zu \(x + 2 = 9\), also \(x = 7\). Bei \(x = 7\,\text{cm}\) ist der Radius \(3\,\text{cm}\).

a) \(V_f \approx 219{,}91\,\text{cm}^3\) b) \(V_g \approx 136{,}14\,\text{cm}^3\) c) \(V_{\text{Glas}} \approx 83{,}78\,\text{cm}^3\) d) Bei \(x = 7\,\text{cm}\).

- Wie lautet die allgemeine Formel für das Volumen eines Körpers, der durch Rotation einer Fläche um die \(x\)-Achse entsteht? - Bestimme zuerst den Integranden, indem du den Funktionsterm quadrierst. - Welche Integrationsregeln benötigst du für ein Polynom? - Achte darauf, die Grenzen korrekt aus der Aufgabenstellung zu übernehmen.

1. Aufstellen des Integrals für das Rotationsvolumen um die \(x\)-Achse: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{6} (f(x))^2 \, dx\). 2. Einsetzen der Funktionsgleichung: \((f(x))^2 = (x \cdot \sqrt{6 - x})^2 = x^2 \cdot (6 - x) = 6x^2 - x^3\). 3. Berechnung des unbestimmten Integrals: \(\int (6x^2 - x^3) \, dx = 2x^3 - \frac{1}{4}x^4 + C\). 4. Anwendung des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung: \(V = \pi \cdot [2x^3 - \frac{1}{4}x^4]_{0}^{6}\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(V = \pi \cdot (2 \cdot 6^3 - \frac{1}{4} \cdot 6^4 - (0)) = \pi \cdot (432 - 324) = 108\pi\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(108\pi \approx 339{,}29 \, \text{VE}\).

- Welche Grenzen ergeben sich aus der Beschreibung der Fläche? - Denk daran, dass der gesamte Funktionsterm quadriert werden muss, bevor du integrierst. - Es hilft oft, Brüche mit Potenzen im Nenner als Potenzen mit negativem Exponenten zu schreiben. - Welche Regel wendest du an, um eine Funktion der Form \((ax+b)^n\) zu integrieren?

1. Identifikation der Integrationsgrenzen: Die Fläche wird durch die \(y\)-Achse (\(x = 0\)) und die Gerade \(x = 2\) begrenzt, also \(a = 0\) und \(b = 2\). 2. Aufstellen des Volumenintegrals: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{2} (g(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{2} \left(\frac{3}{x + 1}\right)^2 \, dx\). 3. Vereinfachung des Integranden: \((g(x))^2 = \frac{9}{(x + 1)^2} = 9 \cdot (x + 1)^{-2}\). 4. Bestimmung der Stammfunktion: \(\int 9 \cdot (x + 1)^{-2} \, dx = 9 \cdot \frac{(x + 1)^{-1}}{-1} = -\frac{9}{x + 1} + C\). 5. Berechnung des bestimmten Integrals: \(V = \pi \cdot [-\frac{9}{x + 1}]_{0}^{2} = \pi \cdot (-\frac{9}{2 + 1} - (-\frac{9}{0 + 1}))\). 6. Ausrechnen der Werte: \(V = \pi \cdot (-3 + 9) = 6\pi\).

Das Volumen des Körpers beträgt \(6\pi \approx 18{,}85 \, \text{VE}\).

- Wie gehst du vor, wenn eine Integrationsgrenze unendlich ist? - Erinnerst du dich an die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers bei Drehung um die \(x\)-Achse? - Was passiert mit dem Logarithmus bzw. mit einem Bruch, wenn die Variable gegen Unendlich geht? - Überlege dir zuerst die Stammfunktionen für beide Teilaufgaben.

1. Berechnung des Flächeninhalts über das uneigentliche Integral \(\int_{0}^{\infty} \frac{2}{x+4} \, dx\). 2. Bestimmung der Stammfunktion \(F(x) = 2 \cdot \ln(x+4)\). 3. Untersuchung des Grenzwerts: \(\lim_{b \to \infty} [2 \cdot \ln(x+4)]_0^b = \lim_{b \to \infty} (2 \cdot \ln(b+4) - 2 \cdot \ln(4)) = \infty\). Die Fläche besitzt keinen endlichen Inhalt. 4. Berechnung des Rotationsvolumens über \(V = \pi \cdot \int_{0}^{\infty} (f(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{\infty} \frac{4}{(x+4)^2} \, dx\). 5. Bestimmung der Stammfunktion \(V(x) = \pi \cdot \left[ -\frac{4}{x+4} \right]\). 6. Auswertung des Grenzwerts: \(\pi \cdot \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{4}{b+4} - (-\frac{4}{0+4}) \right) = \pi \cdot (0 + 1) = \pi\). Das Volumen beträgt \(\pi\).

Der Flächeninhalt ist unendlich groß. Das Volumen des Rotationskörpers ist endlich und beträgt \(V = \pi\).

- Überlege zuerst, wie man das Volumen eines Rotationskörpers allgemein berechnet. - Was passiert mit dem verfügbaren Platz für das Wasser, wenn ein fester Körper im Gefäß steht? - Achte darauf, ob der Zylinder bei der jeweiligen Füllhöhe nur teilweise oder vollständig unter Wasser ist. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Kubikdezimetern und Litern.

1. Das Volumen des Rotationskörpers bis zu einer Höhe \(h\) berechnet sich durch \(V(h) = \pi \int_{0}^{h} (f(x))^2 \, dx = \pi \int_{0}^{h} (2x + 4) \, dx\). 2. Stammfunktion bilden: \(\pi [x^2 + 4x]_0^h = \pi (h^2 + 4h)\). 3. Für Teilaufgabe a) ist die Füllhöhe \(h = 2\). Das Volumen des Gefäßes bis zu dieser Höhe beträgt \(V(2) = \pi (2^2 + 4 \cdot 2) = 12\pi\,\text{dm}^3\). 4. Das Volumen des Zylinders beträgt \(V_Z = \pi \cdot r^2 \cdot h_z = \pi \cdot 1^2 \cdot 2 = 2\pi\,\text{dm}^3\). 5. Die Wassermenge ist die Differenz: \(V_{W,a} = 12\pi - 2\pi = 10\pi \approx 31{,}42\,\text{l}\). 6. Für Teilaufgabe b) ist die Füllhöhe \(h = 5\). Das Volumen des Gefäßes beträgt \(V(5) = \pi (5^2 + 4 \cdot 5) = 45\pi\,\text{dm}^3\). 7. Da der Zylinder mit \(h_z = 2\) vollständig unter Wasser ist, bleibt sein verdrängtes Volumen konstant bei \(2\pi\,\text{dm}^3\). 8. Die gesamte Wassermenge beträgt \(V_{W,b} = 45\pi - 2\pi = 43\pi \approx 135{,}09\,\text{l}\).

a) Es müssen ca. \(31{,}42\,\text{l}\) Wasser eingefüllt werden. b) Bei einer Füllhöhe von \(5\,\text{dm}\) befinden sich ca. \(135{,}09\,\text{l}\) Wasser im Gefäß.

- Wie quadriert man ein Produkt und eine Potenz? Erinnere dich an die Regel \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) und \((e^x)^n = e^{n \cdot x}\). - Welche Integrationsregel benötigst du für die Exponentialfunktion mit linearem Exponenten? - Achte beim Einsetzen der Grenzen besonders auf das Vorzeichen und den Wert von \(e^0\). - Kannst du das Ergebnis zuerst exakt mit \(\pi\) und \(e\) angeben, bevor du es rundest?

1. Aufstellen des Integrals: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{4} (2 \cdot e^{-0{,}25x})^2 \, dx\). 2. Vereinfachen des Integranden unter Anwendung der Potenzgesetze: \((2 \cdot e^{-0{,}25x})^2 = 4 \cdot e^{-0{,}5x}\). 3. Bestimmen der Stammfunktion mittels linearer Substitution: \(F(x) = \frac{4}{-0{,}5} \cdot e^{-0{,}5x} = -8 \cdot e^{-0{,}5x}\). 4. Auswerten des Integrals in den Grenzen von \(0\) bis \(4\): \(\pi \cdot [-8 \cdot e^{-0{,}5 \cdot 4} - (-8 \cdot e^{0})] = \pi \cdot [-8 \cdot e^{-2} + 8]\). 5. Zusammenfassen des exakten Ergebnisses: \(V = 8\pi(1 - e^{-2})\). 6. Numerische Berechnung: \(V \approx 21{,}73\).

Das Volumen beträgt exakt \(V = 8\pi(1 - e^{-2}) \approx 21{,}73\) Volumeneinheiten.

- Überlege zuerst, an welchen Stellen sich die beiden Graphen schneiden. - Welche der beiden Funktionen liegt im relevanten Bereich über der anderen? - Erinnere dich an die Volumenformel für Rotationskörper, die durch zwei Funktionen begrenzt werden. - Achte beim Quadrieren der beiden Funktionsterme auf die binomischen Formeln.

1. Schnittstellen der Graphen durch Gleichsetzen bestimmen: \(x^2 = 4x - x^2 \Leftrightarrow 2x^2 - 4x = 0 \Leftrightarrow 2x(x - 2) = 0\). Die Integrationsgrenzen sind \(a = 0\) und \(b = 2\). 2. Differenz der Funktionsquadrate im Intervall \([0; 2]\) bilden, wobei \(g(x) \geq f(x)\) gilt: \((g(x))^2 - (f(x))^2 = (4x - x^2)^2 - (x^2)^2 = 16x^2 - 8x^3 + x^4 - x^4 = 16x^2 - 8x^3\). 3. Volumenintegral aufstellen: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{2} (16x^2 - 8x^3) \, dx\). 4. Stammfunktion bestimmen: \(\int (16x^2 - 8x^3) \, dx = \left[ \frac{16}{3}x^3 - 2x^4 \right]\). 5. Grenzen einsetzen und berechnen: \(V = \pi \cdot \left( \left( \frac{16}{3} \cdot 8 - 2 \cdot 16 \right) - 0 \right) = \pi \cdot \left( \frac{128}{3} - \frac{96}{3} \right) = \frac{32}{3}\pi\).

Das Volumen beträgt \(V = \frac{32}{3}\pi \approx 33{,}51 \, \text{VE}\).

- Welche Funktion beschreibt im Koordinatensystem einen Kreisbogen um den Ursprung? - In welchem Bereich auf der \(x\)-Achse muss die Funktion betrachtet werden, um eine vollständige Kugel zu erzeugen? - Wie lautet die allgemeine Formel für das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um die \(x\)-Achse entsteht? - Nutze die Symmetrie der Kugel aus, um die Rechnung gegebenenfalls zu vereinfachen.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung für den oberen Halbkreis: \(f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}\) über dem Intervall \([-R; R]\). 2. Anwendung der Volumenformel für Rotationskörper um die \(x\)-Achse: \(V = \pi \int_{-R}^{R} (f(x))^2 dx = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 - x^2) dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = R^2 x - \frac{1}{3}x^3\). 4. Auswertung des bestimmten Integrals an den Grenzen: \(V = \pi \cdot [R^2 x - \frac{1}{3}x^3]_{-R}^{R} = \pi \cdot ((R^3 - \frac{1}{3}R^3) - (-R^3 + \frac{1}{3}R^3))\). 5. Zusammenfassen der Terme: \(V = \pi \cdot (\frac{2}{3}R^3 - (-\frac{2}{3}R^3)) = \pi \cdot \frac{4}{3}R^3\). 6. Endergebnis: \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\).

Das Volumen der Kugel beträgt \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\).

- Kannst du die Funktion als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben? - Wie lautet die allgemeine Formel für das Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die \(x\)-Achse? - Was musst du beachten, wenn eine der Integrationsgrenzen im Unendlichen liegt oder die Funktion dort nicht definiert ist? - Erinnere dich an den Grenzwert von \(\frac{1}{x^n}\) für \(x \to \infty\) und \(x \to 0\).

1. Aufstellen des Integrals für das Volumen bei Rotation um die \(x\)-Achse: \(V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 \, dx\). Hier ist \((f(x))^2 = \left(\frac{2}{x^{3/4}}\right)^2 = \frac{4}{x^{3/2}} = 4x^{-3/2}\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(\int 4x^{-3/2} \, dx = 4 \cdot \frac{x^{-1/2}}{-1/2} = -8x^{-1/2} = -\frac{8}{\sqrt{x}}\). 3. Untersuchung für \(I_1 = [1; \infty[\): \(V_1 = \pi \cdot \lim_{k \to \infty} \left[ -\frac{8}{\sqrt{x}} \right]_1^k = \pi \cdot \lim_{k \to \infty} \left( -\frac{8}{\sqrt{k}} - (-8) \right) = \pi \cdot (0 + 8) = 8\pi\). Das Volumen ist endlich. 4. Untersuchung für \(I_2 = ]0; 1]\): \(V_2 = \pi \cdot \lim_{k \to 0^+} \left[ -\frac{8}{\sqrt{x}} \right]_k^1 = \pi \cdot \lim_{k \to 0^+} \left( -8 - (-\frac{8}{\sqrt{k}}) \right) = \pi \cdot (-8 + \infty) = \infty\). Das Volumen ist unendlich groß.

Das Volumen über \(I_1 = [1; \infty[\) ist endlich und beträgt \(V_1 = 8\pi\). Das Volumen über \(I_2 = ]0; 1]\) ist unendlich groß.

- Wie lautet die allgemeine Formel für das Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die \(x\)-Achse? - Erinnere dich daran, wie man einen Parameter beim Integrieren behandelt, wenn er sowohl im Funktionsterm als auch in den Integrationsgrenzen vorkommt. - Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung feststellen, ob es sich um einen Hochpunkt handelt?

1. Aufstellen der Volumenformel: \(V(k) = \pi \int_{1}^{k} (f_k(x))^2 \, \text{d}x = \pi \int_{1}^{k} \frac{1}{kx} \, \text{d}x\). 2. Berechnung des Integrals: \(V(k) = \frac{\pi}{k} \left[ \ln(x) \right]_{1}^{k} = \frac{\pi \ln(k)}{k}\). 3. Bestimmung der ersten Ableitung: \(V'(k) = \pi \cdot \frac{\frac{1}{k} \cdot k - \ln(k)}{k^2} = \frac{\pi (1 - \ln(k))}{k^2}\). 4. Ermittlung der Nullstelle der ersten Ableitung: \(1 - \ln(k) = 0 \implies \ln(k) = 1 \implies k = e\). 5. Für \(1 < k < e\) gilt \(1 - \ln(k) > 0\), also \(V'(k) > 0\). Für \(k > e\) gilt \(1 - \ln(k) < 0\), also \(V'(k) < 0\). 6. Somit steigt \(V\) zunächst und fällt anschließend; bei \(k=e\) liegt daher das globale Maximum vor.

Das Volumen ist für \(k = e\) global maximal.

- Überlege zuerst, wie sich die Integrationsgrenzen verändern, wenn sich \(a\) ändert. - Stelle eine Funktion für das Volumen in Abhängigkeit von \(a\) auf, nachdem du das Integral berechnet hast. - Nutze die notwendige Bedingung für Extremstellen, um mögliche Kandidaten für \(a\) zu finden. - Vergiss nicht, die Art des Extrempunktes mithilfe eines geeigneten Kriteriums nachzuweisen.

1. Aufstellen der Volumenfunktion: \(V(a) = \pi \int_{a}^{a^2} \left(\frac{1}{x}\right)^2 \, \text{d}x = \pi \int_{a}^{a^2} x^{-2} \, \text{d}x\). 2. Integration und Auswertung der Grenzen: \(V(a) = \pi \left[ -\frac{1}{x} \right]_{a}^{a^2} = \pi \left( -\frac{1}{a^2} - (-\frac{1}{a}) \right) = \pi \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a^2} \right)\). 3. Bildung der ersten Ableitung: \(V'(a) = \pi \left( -a^{-2} + 2a^{-3} \right) = \frac{\pi (2 - a)}{a^3}\). 4. Nullstelle der Ableitung finden: \(2 - a = 0 \implies a = 2\). 5. Für \(1 < a < 2\) ist \(V'(a) > 0\), für \(a > 2\) ist \(V'(a) < 0\). 6. Daher besitzt das Volumen bei \(a=2\) ein globales Maximum.

Das Volumen ist für \(a = 2\) extremal; es handelt sich um ein globales Maximum.

- Achte auf den Zusammenhang zwischen den Längeneinheiten im Koordinatensystem und den realen Maßen. - Erinnere dich an die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die \(x\)-Achse. - Denke daran, dass das Volumen im Modell in \(\text{LE}^3\) berechnet wird. Wie rechnest du das in Kubikzentimeter um? - Für die Masse benötigst du das Volumen in einer passenden Einheit (\(\text{cm}^3\)). - Die Vertiefung ist ein einfacher geometrischer Körper, dessen Volumen vom Gesamtvolumen abgezogen werden kann.

1. Die Höhe des Hockers entspricht der Länge des Intervalls: \(h = 4 - (-4) = 8\,\text{LE}\). Da \(1\,\text{LE} = 10\,\text{cm}\), beträgt die reale Höhe \(80\,\text{cm}\). 2. Der Radius bei \(x = 4\) ist \(f(4) = \sqrt{0{,}2 \cdot 16 + 4} = \sqrt{7{,}2} \approx 2{,}683\,\text{LE}\). Der reale Durchmesser ist \(d = 2 \cdot \sqrt{7{,}2} \cdot 10\,\text{cm} \approx 53{,}67\,\text{cm}\). 3. Das Volumen des Rotationskörpers berechnet sich durch \(V = \pi \cdot \int_{-4}^{4} (f(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{-4}^{4} (0{,}2x^2 + 4) \, dx\). 4. Stammfunktion: \(F(x) = \frac{0{,}2}{3}x^3 + 4x\). Das Integral ergibt \(\left[ \frac{1}{15}x^3 + 4x \right]_{-4}^{4} = (\frac{64}{15} + 16) - (-\frac{64}{15} - 16) = \frac{128}{15} + 32 = \frac{608}{15} \approx 40{,}533\,\text{LE}^3\). 5. Das Volumen in Litern: \(V_{\text{real}} = \frac{608}{15} \cdot \pi \cdot (10\,\text{cm})^3 \approx 127\,339\,\text{cm}^3 \approx 127{,}34\,\text{l}\). 6. Die Masse berechnet sich aus \(m = \rho \cdot V \approx 0{,}95\,\text{g/cm}^3 \cdot 127\,339\,\text{cm}^3 \approx 120\,972\,\text{g} \approx 120{,}97\,\text{kg}\). 7. Das Volumen des Zylinders beträgt \(V_Z = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot 1^2 \cdot 2 = 2\pi\,\text{LE}^3\). 8. Restvolumen: \(V_{\text{Rest}} = V - V_Z = (\frac{608}{15}\pi - 2\pi)\,\text{LE}^3 = \frac{578}{15}\pi\,\text{LE}^3 \approx 38{,}533\pi\,\text{LE}^3 \approx 121{,}06\,\text{l}\).

a) Höhe: \(80\,\text{cm}\); Durchmesser: ca. \(53{,}67\,\text{cm}\) b) Volumen: ca. \(127{,}34\,\text{l}\) c) Masse: ca. \(120{,}97\,\text{kg}\) d) Restvolumen: ca. \(121{,}06\,\text{l}\)

- Wie lautet die allgemeine Formel für das Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die x-Achse? - Denk daran, dass die Füllhöhe der oberen Integrationsgrenze entspricht. - Wie berechnet man das Volumen einer Kugel, und wie beeinflussen eingetauchte Objekte den Flüssigkeitsstand? - Für die integralfreie Gleichung musst du das Integral auflösen und die Grenzen einsetzen, ohne nach der Unbekannten aufzulösen.

1. Berechnung des Volumens bei einer Füllhöhe von \(8\,\text{cm}\): \(V(8) = \pi \cdot \int_{0}^{8} (0{,}2x + 3)^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{8} (0{,}04x^2 + 1{,}2x + 9) \, dx\). Stammfunktion bilden: \(\pi \cdot [ \frac{0{,}04}{3}x^3 + 0{,}6x^2 + 9x ]_0^8\). Einsetzen der Grenzen: \(V(8) = \pi \cdot (\frac{0{,}04}{3} \cdot 512 + 0{,}6 \cdot 64 + 9 \cdot 8) = \pi \cdot (6{,}826... + 38{,}4 + 72) \approx 368{,}28\,\text{cm}^3\). 2. Überprüfung des Überlaufens: Maximales Fassungsvermögen bei \(x = 10\): \(V(10) = \pi \cdot [ \frac{0{,}04}{3}x^3 + 0{,}6x^2 + 9x ]_0^{10} = \pi \cdot (\frac{40}{3} + 60 + 90) = \pi \cdot \frac{490}{3} \approx 513{,}13\,\text{cm}^3\). Volumen der 5 Glassteine: \(V_{\text{Steine}} = 5 \cdot \frac{4}{3}\pi \cdot 1{,}2^3 = 5 \cdot 2{,}304\pi = 11{,}52\pi \approx 36{,}19\,\text{cm}^3\). Gesamtvolumen: \(V_{\text{gesamt}} = 368{,}28 + 36{,}19 = 404{,}47\,\text{cm}^3\). Da \(404{,}47 < 513{,}13\), läuft das Gefäß nicht über. 3. Aufstellen der integralfreien Gleichung für \(V = 300\): Unter Verwendung der Stammfunktion aus Schritt 1: \(\pi \cdot (\frac{0{,}04}{3}h^3 + 0{,}6h^2 + 9h) = 300\).

a) Das Volumen beträgt ca. \(368{,}28\,\text{cm}^3\). b) Das Gefäß läuft nicht über, da das Gesamtvolumen von ca. \(404{,}47\,\text{cm}^3\) kleiner als das maximale Fassungsvermögen von ca. \(513{,}13\,\text{cm}^3\) ist. c) \(\pi \cdot \left(\frac{0{,}04}{3}h^3 + 0{,}6h^2 + 9h\right) = 300\)

- Wie lautet die allgemeine Gleichung einer Geraden, die durch den Ursprung geht? - Welche Formel berechnet das Volumen eines Körpers, der durch die Rotation einer Funktion um die \(x\)-Achse entsteht? - Behandle \(r\) und \(h\) beim Integrieren wie konstante Zahlen. - Was passiert mit dem Quadrat, wenn du ein Produkt aus einer Konstante und einer Variable quadrierst?

1. Aufstellen der Geradengleichung: Da die Gerade durch den Ursprung verläuft, hat sie die Form \(f(x) = m \cdot x\). Die Steigung ergibt sich aus dem Punkt \(P(h \mid r)\) zu \(m = \frac{r}{h}\), woraus \(f(x) = \frac{r}{h}x\) folgt. 2. Anwendung der Volumenformel für Rotationskörper: \(V = \pi \int_{0}^{h} (f(x))^2 \, dx = \pi \int_{0}^{h} \left(\frac{r}{h}x\right)^2 \, dx\). 3. Integration: \(V = \pi \cdot \frac{r^2}{h^2} \int_{0}^{h} x^2 \, dx = \pi \cdot \frac{r^2}{h^2} \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{h} = \pi \cdot \frac{r^2}{h^2} \cdot \frac{1}{3}h^3 = \frac{1}{3}\pi r^2 h\). 4. Einsetzen der Werte für Teilaufgabe c): Mit \(h = 15\) und \(r = 4\) ergibt sich \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 4^2 \cdot 15 = 80\pi \approx 251{,}33\,\text{cm}^3\).

a) \(f(x) = \frac{r}{h}x\) b) \(V = \pi \int_{0}^{h} (\frac{r}{h}x)^2 \, dx = \dots = \frac{1}{3}\pi r^2 h\) c) \(V = 80\pi\,\text{cm}^3 \approx 251{,}33\,\text{cm}^3\)

- Stelle dir die Schale als einen großen Rotationskörper vor, aus dem ein kleinerer herausgeschnitten wurde. - Wie berechnet man allgemein das Volumen eines Körpers, der durch die Rotation einer Funktion um die \(x\)-Achse entsteht? - Beachte die unterschiedlichen Integrationsgrenzen für die Außen- und Innenseite. - Das Fassungsvermögen entspricht dem Volumen des Hohlraums im Inneren.

1. Berechnung des Volumens des durch \(f\) erzeugten Außenkörpers: \(V_f = \pi \cdot \int_{0}^{16} (f(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{16} (0{,}5x + 4) \, dx\). 2. Stammfunktion bilden und Grenzen einsetzen: \(V_f = \pi \cdot [0{,}25x^2 + 4x]_0^{16} = \pi \cdot (64 + 64) = 128\pi \approx 402{,}12\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des Volumens des durch \(g\) erzeugten Innenraums (Fassungsvermögen): \(V_g = \pi \cdot \int_{4}^{16} (g(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{4}^{16} (0{,}8x - 3{,}2) \, dx\). 4. Stammfunktion bilden und Grenzen einsetzen: \(V_g = \pi \cdot [0{,}4x^2 - 3{,}2x]_4^{16} = \pi \cdot ((102{,}4 - 51{,}2) - (6{,}4 - 12{,}8)) = \pi \cdot (51{,}2 + 6{,}4) = 57{,}6\pi \approx 180{,}96\,\text{cm}^3\). 5. Berechnung des Glasvolumens: \(V_{\text{Glas}} = V_f - V_g = 128\pi - 57{,}6\pi = 70{,}4\pi \approx 221{,}17\,\text{cm}^3\).

Das Fassungsvermögen der Schale beträgt \(57{,}6\pi\,\text{cm}^3 \approx 180{,}96\,\text{cm}^3\). Das Volumen des benötigten Glases beträgt \(70{,}4\pi\,\text{cm}^3 \approx 221{,}17\,\text{cm}^3\).

- Welchen Punkt muss die Gerade am Ende des Intervalls erreichen, damit der Radius passt? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für das Volumen von Rotationskörpern bei Rotation um die \(x\)-Achse. - Was passiert mit den Konstanten \(r\) und \(h\) beim Integrieren nach \(x\)? - Überlege, wie die Integralformel für Rotationskörper überhaupt definiert oder hergeleitet wird (Stichwort: Zerlegung in dünne Scheiben).

1. Bestimmung der Steigung: Da die Gerade durch \((0|0)\) und \((h|r)\) verlaufen muss, gilt \(m = \frac{r}{h}\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = \frac{r}{h}x\). 2. Aufstellen des Integrals: Das Volumen berechnet sich durch \(V = \pi \cdot \int_{0}^{h} (f(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{h} \left(\frac{r}{h}x\right)^2 \, dx\). 3. Integration: \(V = \pi \cdot \frac{r^2}{h^2} \cdot \int_{0}^{h} x^2 \, dx = \pi \cdot \frac{r^2}{h^2} \cdot \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{h}\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(V = \pi \cdot \frac{r^2}{h^2} \cdot \left( \frac{1}{3}h^3 - 0 \right) = \frac{1}{3} \pi r^2 h\). 5. Begründung zum Zirkelschluss: Die allgemeine Volumenformel für Rotationskörper \(V = \pi \int [f(x)]^2 dx\) wird üblicherweise über Grenzwerte von Summen kleiner Zylindervolumina hergeleitet. Wenn man also diese Formel nutzt, um geometrische Grundkörper zu beweisen, setzt man die Gültigkeit der Zylinderformel bereits implizit voraus.

a) \(f(x) = \frac{r}{h}x\) b) \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\) c) Die Herleitung der Integralformel basiert auf der Summation von infinitesimal dünnen Zylinderscheiben (\(V = \pi r^2 \cdot \Delta x\)). Somit wird das Wissen über das Zylindervolumen bereits für die Definition des Integrals benötigt.

- Bestimme zuerst die Stellen, an denen sich die beiden Graphen schneiden, um die Integrationsgrenzen zu finden. - Überlege dir, welcher Graph im relevanten Bereich oberhalb des anderen liegt. - Stelle die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers auf, der durch die Rotation einer Fläche zwischen zwei Kurven entsteht. - Denk daran, dass du die Quadrate der Funktionswerte subtrahieren musst, bevor du integrierst.

1. Bestimmung der Schnittstellen der Funktionen \(f(x) = 2\sqrt{x}\) und \(g(x) = x\): \(2\sqrt{x} = x \implies 4x = x^2 \implies x(x - 4) = 0\). Die Integrationsgrenzen sind somit \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\). 2. Da \(f(x) \geq g(x)\) im Intervall \([0; 4]\) gilt, ergibt sich das Volumen durch die Differenz der Rotationsvolumina: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{4} ( (2\sqrt{x})^2 - x^2 ) \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{4} (4x - x^2) \, dx\). 3. Berechnung des Integrals: \(\int_{0}^{4} (4x - x^2) \, dx = \left[ 2x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{4} = (2 \cdot 16 - \frac{64}{3}) - 0 = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3}\). 4. Endergebnis: \(V = \frac{32}{3}\pi \approx 33{,}51\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(V = \frac{32}{3}\pi \approx 33{,}51\,\text{VE}\).

- Überlege dir zuerst, welchen Punkt auf dem Graphen du aus den gegebenen Maßen (Höhe und Radius) ableiten kannst. - Da die Wasseroberfläche kreisförmig ist und das Gefäß nach oben offen steht, findet hier eine Rotation um die \(y\)-Achse statt. - Erinnere dich an die Formel für das Rotationsvolumen bei Drehung um die \(y\)-Achse. Was musst du mit der Funktionsgleichung machen, bevor du integrierst? - Achte beim Integrieren von Potenzfunktionen auf die Regel für Brüche im Exponenten.

1. Zur Bestimmung von \(a\) wird der Punkt \((4|8)\) in die Funktionsgleichung \(y = a \cdot x^3\) eingesetzt: \(8 = a \cdot 4^3 \implies 8 = 64a \implies a = 0{,}125\). 2. Für die Volumenberechnung bei Rotation um die \(y\)-Achse wird die Gleichung nach \(x^2\) umgestellt: \(y = 0{,}125x^3 \implies x^3 = 8y \implies x = (8y)^{\frac{1}{3}} \implies x^2 = (8y)^{\frac{2}{3}} = 4y^{\frac{2}{3}}\). 3. Das Volumen berechnet sich über das Integral \(V = \pi \cdot \int_{0}^{8} x^2 \, dy = \pi \cdot \int_{0}^{8} 4y^{\frac{2}{3}} \, dy\). 4. Bestimmung der Stammfunktion und Auswertung: \(V = 4\pi \cdot \left[ \frac{3}{5}y^{\frac{5}{3}} \right]_{0}^{8} = 4\pi \cdot \frac{3}{5} \cdot 8^{\frac{5}{3}} = 2{,}4\pi \cdot 32 = 76{,}8\pi\). 5. Numerisches Ergebnis: \(V \approx 241{,}27\,\text{cm}^3\).

a) \(a = 0{,}125\) b) Das Fassungsvermögen beträgt \(76{,}8\pi\,\text{cm}^3 \approx 241{,}27\,\text{cm}^3\).

- Was musst du zuerst tun, um die Integrationsgrenzen zu finden? - Wie berechnet man das Volumen eines Körpers, wenn die Fläche zwischen zwei Graphen rotiert? - Überlege, welche Funktion im relevanten Bereich weiter von der Rotationsachse entfernt ist. - Achte beim Bilden des Integranden darauf, die Quadrate der einzelnen Funktionen zu subtrahieren, nicht das Quadrat ihrer Differenz zu verwenden.

1. Bestimmung der Schnittpunkte durch Gleichsetzen: \(\sqrt{x+4} = \frac{1}{2}x + 2\). Quadrieren führt zu \(x+4 = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4\), woraus \(\frac{1}{4}x^2 + x = 0\) folgt. Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 0\). 2. Im Intervall \([-4; 0]\) verläuft der Graph von \(f\) oberhalb von \(g\). Da beide Funktionen im Intervall nichtnegativ sind, ergibt sich das Volumen aus der Differenz der Integrale der Quadrate: \(V = \pi \cdot \int_{-4}^{0} ((\sqrt{x+4})^2 - (\frac{1}{2}x + 2)^2) \, dx\). 3. Vereinfachung des Integranden: \((x+4) - (\frac{1}{4}x^2 + 2x + 4) = -\frac{1}{4}x^2 - x\). 4. Berechnung des Integrals: \(\int_{-4}^{0} (-\frac{1}{4}x^2 - x) \, dx = [-\frac{1}{12}x^3 - \frac{1}{2}x^2]_{-4}^{0}\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(0 - (-\frac{1}{12}(-64) - \frac{1}{2}(16)) = 0 - (\frac{16}{3} - 8) = \frac{8}{3}\). 6. Das Volumen beträgt \(V = \frac{8}{3}\pi \approx 8{,}38\,\text{VE}\).

\(V = \frac{8}{3}\pi \approx 8{,}38\,\text{VE}\)

- Überlege zuerst, in welchem Bereich der Graph oberhalb oder auf der \(x\)-Achse verläuft, um die Grenzen zu finden. - Erinnere dich an die allgemeine Formel für das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um die Abszisse entsteht. - Es ist hilfreich, das Quadrat der Funktion zuerst vollständig auszumultiplizieren, bevor du integrierst. - Achte beim Einsetzen der unteren Grenze besonders auf die Vorzeichen.

1. Bestimmung der Integrationsgrenzen durch die Nullstellen von \(f(x) = (x + 1) \cdot \sqrt{2 - x}\): Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\). 2. Aufstellen des Integrals für das Rotationsvolumen: \(V = \pi \cdot \int_{-1}^{2} (f(x))^2 \, dx\). 3. Quadrieren des Funktionsterms: \((f(x))^2 = (x + 1)^2 \cdot (2 - x) = (x^2 + 2x + 1) \cdot (2 - x) = -x^3 + 3x + 2\). 4. Bestimmung der Stammfunktion: \(\int (-x^3 + 3x + 2) \, dx = [-\frac{1}{4}x^4 + \frac{3}{2}x^2 + 2x]\). 5. Berechnung des bestimmten Integrals: \((-\frac{1}{4} \cdot 2^4 + \frac{3}{2} \cdot 2^2 + 2 \cdot 2) - (-\frac{1}{4} \cdot (-1)^4 + \frac{3}{2} \cdot (-1)^2 + 2 \cdot (-1)) = (6) - (-0{,}75) = 6{,}75\). 6. Endergebnis: \(V = 6{,}75\pi \approx 21{,}21\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(6{,}75\pi\) (ca. \(21{,}21\) Volumeneinheiten).

- Wie findet man heraus, wo sich zwei Graphen schneiden? - Überlege, welche Funktion im relevanten Intervall oberhalb der anderen liegt. - Erinnere dich an die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers, der durch die Fläche zwischen zwei Funktionen entsteht. - Achte beim Quadrieren von Summen auf die binomischen Formeln.

1. Berechnung der Schnittstellen: Gleichsetzen der Funktionsterme \(\frac{1}{2}x^2 = x + 4\) führt auf die quadratische Gleichung \(x^2 - 2x - 8 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 4\). 2. Berechnung des Flächeninhalts: Da \(g(x) \geq f(x)\) im Intervall \([-2; 4]\) gilt, berechnet man das Integral der Differenzfunktion: \(A = \int_{-2}^{4} (x + 4 - \frac{1}{2}x^2) \, dx = [\frac{1}{2}x^2 + 4x - \frac{1}{6}x^3]_{-2}^{4}\). Einsetzen der Grenzen ergibt \(A = (8 + 16 - \frac{32}{3}) - (2 - 8 + \frac{4}{3}) = \frac{40}{3} - (-\frac{14}{3}) = \frac{54}{3} = 18\). 3. Berechnung des Rotationsvolumens: Das Volumen berechnet sich über \(V = \pi \cdot \int_{-2}^{4} (g(x)^2 - f(x)^2) \, dx\). 4. Einsetzen und Integrieren: \(V = \pi \cdot \int_{-2}^{4} ((x + 4)^2 - (\frac{1}{2}x^2)^2) \, dx = \pi \cdot \int_{-2}^{4} (x^2 + 8x + 16 - \frac{1}{4}x^4) \, dx\). 5. Stammfunktion bilden und Grenzen einsetzen: \(V = \pi \cdot [\frac{1}{3}x^3 + 4x^2 + 16x - \frac{1}{20}x^5]_{-2}^{4}\). Mit oberer Grenze: \(\frac{64}{3} + 64 + 64 - \frac{1024}{20} = \frac{64}{3} + 128 - \frac{256}{5} = \frac{1472}{15}\). Mit unterer Grenze: \(-\frac{8}{3} + 16 - 32 + \frac{32}{20} = -\frac{8}{3} - 16 + \frac{8}{5} = -\frac{256}{15}\). 6. Endergebnis: \(V = \pi \cdot (\frac{1472}{15} - (-\frac{256}{15})) = \frac{1728}{15}\pi = 115{,}2\pi\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(18\,\text{FE}\). b) Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(115{,}2\pi \approx 361{,}91\,\text{VE}\).

- Erinnere dich an die Formel, mit der man das Volumen eines Körpers berechnet, der durch Drehung einer Kurve um eine Achse entsteht. - Was passiert mit dem Funktionsterm, wenn du ihn in die Volumenformel für Rotationskörper einsetzt? - Wie hängen Volumen, Dichte und Masse physikalisch zusammen? - Denke daran, dass das Quadrat einer Wurzel den Ausdruck vereinfacht.

1. Anwendung der Formel für das Rotationsvolumen um die \(x\)-Achse: \(V = \pi \cdot \int_{a}^{b} (f(x))^2 \, dx\). Einsetzen der Funktion und Grenzen: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{5} (2\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{5} 4x \, dx\). Bestimmung der Stammfunktion: \(\pi \cdot [2x^2]_{0}^{5}\). Berechnung des Werts: \(\pi \cdot (2 \cdot 5^2 - 0) = 50\pi \approx 157{,}08\). Das Volumen beträgt \(50\pi\,\text{cm}^3\) bzw. ca. \(157{,}08\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung der Masse mithilfe der Dichteformel \(m = \rho \cdot V\). Einsetzen der Werte: \(m = 0{,}8 \cdot 50\pi = 40\pi \approx 125{,}66\). Die Masse beträgt ca. \(125{,}66\,\text{g}\).

1. Das Volumen beträgt \(50\pi\,\text{cm}^3 \approx 157{,}08\,\text{cm}^3\). 2. Die Masse beträgt \(40\pi\,\text{g} \approx 125{,}66\,\text{g}\).

- Wie findest du heraus, in welchem Bereich die beiden Graphen eine Fläche einschließen? - Wenn eine Fläche zwischen zwei Kurven rotiert, musst du die Quadrate der einzelnen Funktionswerte voneinander abziehen. - Achte darauf, die binomischen Formeln korrekt anzuwenden, bevor du das Integral berechnest. - Kannst du die Symmetrie der Funktionen zur \(y\)-Achse nutzen, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Bestimmung der Integrationsgrenzen durch Gleichsetzen der Funktionen: \(x^2 + 1 = 9 - x^2 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x_{1} = -2, x_{2} = 2\). 2. Aufstellen des Integrals für die Differenz der Volumina: \(V = \pi \cdot \int_{-2}^{2} (g(x)^2 - f(x)^2) \, dx\). 3. Vereinfachung des Integranden: \((9 - x^2)^2 - (x^2 + 1)^2 = (81 - 18x^2 + x^4) - (x^4 + 2x^2 + 1) = 80 - 20x^2\). 4. Berechnung der Stammfunktion: \(F(x) = 80x - \frac{20}{3}x^3\). 5. Einsetzen der Grenzen und Auswertung: \(V = \pi \cdot [(160 - \frac{160}{3}) - (-160 + \frac{160}{3})] = \pi \cdot (320 - \frac{320}{3}) = \frac{640}{3}\pi\).

Das Volumen beträgt \(V = \frac{640}{3}\pi \approx 670{,}21\,\text{VE}\).

- Welche Punkte begrenzen die Fläche auf der horizontalen Achse? - Untersuche die Graphen auf Symmetrien, um die Rechnung zu vereinfachen. - Wie lautet die allgemeine Formel für das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um die Abszisse entsteht? - Überlege dir, in welche Teilintervalle du die Integrationsgrenzen aufteilen musst, wenn die obere Begrenzung der Fläche aus verschiedenen Funktionsstücken besteht.

1. Bestimmung der Nullstellen: \(f(x) = 0 \Rightarrow 2 - e^x = 0 \Rightarrow x = \ln(2)\); \(g(x) = 0 \Rightarrow 2 - e^{-x} = 0 \Rightarrow x = -\ln(2)\). 2. Bestimmung des Schnittpunkts der Graphen: \(f(x) = g(x) \Rightarrow e^x = e^{-x} \Rightarrow x = 0\). Der Schnittpunkt liegt bei \((0|1)\). 3. Symmetriebetrachtung: Da \(f(x) = g(-x)\) gilt, ist die Fläche achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Das Gesamtvolumen ergibt sich aus \(V = 2 \cdot \pi \cdot \int_{0}^{\ln(2)} (2 - e^x)^2 dx\). 4. Integration: Das Integral der quadrierten Funktion \((2 - e^x)^2 = 4 - 4e^x + e^{2x}\) lautet \(\int (4 - 4e^x + e^{2x}) dx = 4x - 4e^x + \frac{1}{2}e^{2x} + C\). 5. Auswertung: \(V = 2\pi \cdot [4x - 4e^x + \frac{1}{2}e^{2x}]_0^{\ln(2)} = 2\pi \cdot ((4\ln(2) - 8 + 2) - (0 - 4 + 0{,}5)) = 2\pi \cdot (4\ln(2) - 2{,}5) = 8\pi \ln(2) - 5\pi\).

\(V = \pi \cdot (8 \ln(2) - 5) \approx 1{,}71\,\text{VE}\)

- Was passiert mit den einzelnen Faktoren der Funktion, wenn x sehr groß wird? - Forme die Funktion in eine Potenzschreibweise um, bevor du sie ableitest. - Denke daran, dass beim Rotationsvolumen die gesamte Funktion im Integral quadriert wird. Das vereinfacht den Ausdruck mit der Wurzel erheblich. - Nutze die binomische Formel, um den quadratischen Term vor dem Integrieren auszumultiplizieren.

1. Grenzwert bestimmen: Für \(x \to \infty\) strebt \(\sqrt{x}\) gegen \(\infty\) und \((4-x)\) gegen \(-\infty\). Somit gilt \(\lim_{x \to \infty} g(x) = -\infty\). 2. Ableitung bilden: \(g(x) = 4\sqrt{x} - x\sqrt{x} = 4x^{0{,}5} - x^{1{,}5}\). Damit ist \(g'(x) = 2x^{-0{,}5} - 1{,}5x^{0{,}5} = \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{3\sqrt{x}}{2} = \frac{4 - 3x}{2\sqrt{x}}\). 3. Extrempunkt berechnen: \(g'(x) = 0 \Rightarrow 4 - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{3}\). Der Funktionswert ist \(g(\frac{4}{3}) = (4 - \frac{4}{3}) \cdot \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{3\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{9} \approx 3{,}08\). Es liegt ein Hochpunkt \(H(\frac{4}{3} \mid \frac{16\sqrt{3}}{9})\) vor. 4. Rotationsvolumen aufstellen: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{4} (g(x))^2 \, \text{d}x = \pi \cdot \int_{0}^{4} ((4-x)\sqrt{x})^2 \, \text{d}x\). 5. Integrand vereinfachen: \(((4-x)\sqrt{x})^2 = (16 - 8x + x^2) \cdot x = 16x - 8x^2 + x^3\). 6. Integral berechnen: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{4} (16x - 8x^2 + x^3) \, \text{d}x = \pi \cdot [8x^2 - \frac{8}{3}x^3 + \frac{1}{4}x^4]_{0}^{4}\). 7. Auswertung: \(V = \pi \cdot (8 \cdot 16 - \frac{8}{3} \cdot 64 + \frac{256}{4}) = \pi \cdot (128 - \frac{512}{3} + 64) = \pi \cdot (192 - \frac{512}{3}) = \pi \cdot \frac{576 - 512}{3} = \frac{64}{3}\pi \approx 67{,}02\).

a) \(\lim_{x \to \infty} g(x) = -\infty\); Hochpunkt \(H(\frac{4}{3} \mid \frac{16\sqrt{3}}{9})\). b) \(V = \frac{64}{3}\pi \approx 67{,}02\,\text{VE}\).

- Wie lautet die Formel für das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um die \(x\)-Achse entsteht? - Was passiert mit der Wurzel, wenn du die Funktion für die Volumenformel quadrierst? - Überlege, an welcher Stelle im Intervall der Radius des Körpers am größten ist. - Wie berechnet man das Volumen eines einfachen Zylinders?

1. Berechnung des Volumens des Rotationskörpers: \(V_{\text{Körper}} = \pi \cdot \int_{0}^{r} (\sqrt{r \cdot x})^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{r} r \cdot x \, dx\). 2. Ausführung der Integration: \(\pi \cdot r \cdot \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{r} = \pi \cdot r \cdot \frac{1}{2}r^2 = \frac{1}{2}\pi r^3\). 3. Bestimmung der Zylindermaße: Die Höhe des Zylinders entspricht der Intervalllänge \(h = r\). Der maximale Radius des Rotationskörpers liegt bei \(x = r\) und beträgt \(R = f(r) = \sqrt{r \cdot r} = r\). 4. Berechnung des Zylindervolumens: \(V_{\text{Zylinder}} = \pi \cdot R^2 \cdot h = \pi \cdot r^2 \cdot r = \pi r^3\). 5. Vergleich der Volumina: Das Volumen des Rotationskörpers beträgt genau die Hälfte des Volumens des umschreibenden Zylinders (\(V_{\text{Körper}} = \frac{1}{2} V_{\text{Zylinder}}\)).

Das Volumen des Rotationskörpers ist \(V = \frac{1}{2}\pi r^3\). Es ist genau halb so groß wie das Volumen des entsprechenden Zylinders (\(V_{\text{Zylinder}} = \pi r^3\)).

- Stelle zuerst die allgemeine Formel für das Volumen in Abhängigkeit von \(a\) auf. - Wie vereinfacht sich der Ausdruck \((\sqrt{x})^2\)? - Achte beim Quadrieren von \(\frac{1}{2}x\) darauf, sowohl die Zahl als auch die Variable zu quadrieren. - Um ein Verhältnis zu bestimmen, kannst du die beiden Volumina als Bruch schreiben und so weit wie möglich kürzen.

1. Das Volumen des Paraboloids berechnet sich durch \(V_p = \pi \cdot \int_{0}^{a} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \cdot \int_{0}^{a} x dx = \pi \cdot \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{a} = \frac{1}{2}\pi a^2\). Gleichsetzen mit \(32\pi\) ergibt \(\frac{1}{2}\pi a^2 = 32\pi \Rightarrow a^2 = 64 \Rightarrow a = 8\) (da \(a > 0\)). 2. Für den Kegel mit \(k(x) = \frac{1}{2}x\) und \(a = 8\) gilt: \(V_k = \pi \cdot \int_{0}^{8} (\frac{1}{2}x)^2 dx = \pi \cdot \int_{0}^{8} \frac{1}{4}x^2 dx = \pi \cdot \left[ \frac{1}{12}x^3 \right]_{0}^{8} = \pi \cdot \frac{512}{12} = \frac{128}{3}\pi\). 3. Das Verhältnis der Volumina ist \(V_p : V_k = 32\pi : \frac{128}{3}\pi\). Durch Multiplikation mit \(3\) erhält man \(96\pi : 128\pi\). Kürzen durch \(32\pi\) ergibt das einfachste Ganzzahlverhältnis \(3 : 4\).

1. \(a = 8\). 2. \(V_{\text{Kegel}} = \frac{128}{3}\pi \approx 42{,}67\pi\). 3. Das Verhältnis beträgt \(3 : 4\).

- Stelle die Formel für den Flächeninhalt eines Kreisrings auf (großer Kreis minus kleiner Kreis). - Vergleiche diesen Ausdruck mit der binomischen Formel für \((a-b)^2\). - Wann genau sind \(a^2 - b^2\) und \((a-b)^2\) mathematisch gleich? - Was bedeutet es für die Geometrie des Körpers, wenn der Innenradius null ist?

1. Der tatsächliche Flächeninhalt eines Kreisrings an der Stelle \(x\) ist \(A_{real}(x) = \pi \cdot (f(x))^2 - \pi \cdot (g(x))^2 = \pi(f(x)^2 - g(x)^2)\). 2. Der zu prüfende Ausdruck lautet \(A_{test}(x) = \pi(f(x) - g(x))^2\). 3. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf den Testausdruck: \(A_{test}(x) = \pi(f(x)^2 - 2f(x)g(x) + g(x)^2)\). 4. Gleichsetzen der beiden Ausdrücke zur Untersuchung der Identität: \(\pi(f(x)^2 - g(x)^2) = \pi(f(x)^2 - 2f(x)g(x) + g(x)^2)\). 5. Kürzen von \(\pi\) und Subtraktion von \(f(x)^2\): \(-g(x)^2 = -2f(x)g(x) + g(x)^2\). 6. Umformen zur Nullform: \(2f(x)g(x) - 2g(x)^2 = 0 \iff 2g(x) \cdot (f(x) - g(x)) = 0\). 7. Anwendung des Nullproduktsatzes: Die Gleichung ist nur erfüllt, wenn \(g(x) = 0\) (kein Hohlraum) oder \(f(x) = g(x)\) (kein Körper vorhanden). 8. Schlussfolgerung: Da für echte Hohlkörper \(f(x) > g(x) > 0\) gilt, führt die fehlerhafte Formel stets zu einem falschen Ergebnis, da der Term \(2f(x)g(x) - 2g(x)^2\) im Integranden fehlt.

Die algebraische Untersuchung zeigt: \(\pi(f^2 - g^2) - \pi(f-g)^2 = 2\pi g(f-g)\). Dieser Differenzterm ist für alle Hohlkörper mit \(f(x) > g(x) > 0\) positiv. Die Formel \(\pi \int (f-g)^2 dx\) berechnet lediglich das Volumen eines Körpers, dessen Radius der Dicke der Wandung entspricht, berücksichtigt aber nicht den Abstand dieser Wandung zur Rotationsachse.

- Denke daran, dass du beim Rotieren einer Fläche zwischen zwei Kurven die Differenz der Quadrate der Funktionen integrierst. - Es hilft oft, Brüche mit Potenzen im Nenner als Potenzen mit negativen Exponenten zu schreiben, um die Potenzregel der Integration leichter anzuwenden. - Vergiss nicht, am Ende das Ergebnis mit der Kreiszahl \(\pi\) zu multiplizieren.

1. Ansatz für das Rotationsvolumen: \(V = \pi \cdot \int_{1}^{2} (f(x)^2 - g(x)^2) \, dx\). 2. Quadrieren der Funktionen: \(f(x)^2 = \frac{1}{x^2} = x^{-2}\) und \(g(x)^2 = \frac{1}{x^4} = x^{-4}\). 3. Aufstellen des Integrals: \(V = \pi \cdot \int_{1}^{2} (x^{-2} - x^{-4}) \, dx\). 4. Bildung der Stammfunktion: \(\int (x^{-2} - x^{-4}) \, dx = [-x^{-1} + \frac{1}{3}x^{-3}] = [-\frac{1}{x} + \frac{1}{3x^3}]\). 5. Berechnung der Grenzen: \((-\frac{1}{2} + \frac{1}{3 \cdot 8}) - (-\frac{1}{1} + \frac{1}{3 \cdot 1}) = (-\frac{12}{24} + \frac{1}{24}) - (-1 + \frac{1}{3}) = -\frac{11}{24} - (-\frac{2}{3}) = -\frac{11}{24} + \frac{16}{24} = \frac{5}{24}\). 6. Endergebnis: \(V = \frac{5}{24}\pi\).

\(V = \frac{5}{24}\pi \approx 0{,}65\)

- Erinnere dich an die Potenzregel \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\), um den Integranden zu vereinfachen. - Denke daran, beim Einsetzen der unteren Integrationsgrenze \(0\) in die Exponentialfunktion den Wert korrekt zu berechnen (\(e^0 = 1\)). - Um eine Gleichung der Form \(e^{kx} = c\) zu lösen, benötigst du den natürlichen Logarithmus. - Prüfe am Ende, ob dein Ergebnis im Definitionsbereich \([0; 8]\) liegt.

1. Ansatz für das Volumen des Rotationskörpers bis zur Höhe \(h\): \(V(h) = \pi \cdot \int_{0}^{h} (e^{0{,}2x})^2 \, dx\). 2. Vereinfachen des Integranden mittels Potenzgesetzen: \((e^{0{,}2x})^2 = e^{0{,}4x}\). 3. Integration der Funktion: \(V(h) = \pi \cdot [\frac{1}{0{,}4} e^{0{,}4x}]_0^h = 2{,}5\pi \cdot (e^{0{,}4h} - e^0) = 2{,}5\pi \cdot (e^{0{,}4h} - 1)\). 4. Gleichsetzen mit dem Volumen \(V = 60\,\text{cm}^3\): \(2{,}5\pi \cdot (e^{0{,}4h} - 1) = 60\). 5. Isolieren des Exponentialausdrucks: \(e^{0{,}4h} - 1 = \frac{60}{2{,}5\pi} = \frac{24}{\pi} \approx 7{,}639\), also \(e^{0{,}4h} = \frac{24}{\pi} + 1 \approx 8{,}639\). 6. Anwendung des Logarithmus und Division durch \(0{,}4\): \(0{,}4h = \ln\left(\frac{24}{\pi} + 1\right) \approx 2{,}156\). 7. Ergebnis berechnen: \(h = \frac{\ln\left(\frac{24}{\pi} + 1\right)}{0{,}4} \approx 5{,}39\,\text{cm}\).

Das Wasser steht ca. \(5{,}39\,\text{cm}\) hoch in der Schale.

- Überlege dir, welche Dimension des Körpers durch die \(x\)-Achse und welche durch die Funktionswerte dargestellt wird. - Die Nullstelle einer Funktion gibt an, wo der entsprechende Teil des Körpers auf der \(x\)-Achse beginnt. - Der Bruttorauminhalt umfasst das gesamte vom äußeren Rand eingeschlossene Volumen. - Das Volumen eines Rotationskörpers lässt sich über das Integral der quadrierten Funktionsvorschrift (multipliziert mit \(\pi\)) berechnen. - Für die Wandung musst du das Volumen des Hohlraums vom Gesamtvolumen abziehen. Achte dabei auf die korrekten Integrationsgrenzen.

1. Die Höhe des Turms entspricht der Länge des Intervalls auf der \(x\)-Achse: \(h = 60\,\text{m}\). 2. Nullstellen berechnen: \(f(x) = 0 \implies x_1 = 0\); \(g(x) = 0 \implies x_2 = 0{,}8\). Die Differenz beträgt \(0{,}8\,\text{m}\). Im Sachkontext entspricht dies der Dicke der Bodenplatte am Fuß des Turms. 3. Funktionswerte an der Stelle \(x = 60\) berechnen: \(f(60) = \sqrt{270} \approx 16{,}43\) und \(g(60) = \sqrt{4{,}2 \cdot 59{,}2} = \sqrt{248{,}64} \approx 15{,}77\). Die Differenz ist \(f(60) - g(60) \approx 0{,}66\,\text{m}\). Dies beschreibt die Wandstärke am oberen Rand des Turms. 4. Der Bruttorauminhalt ist das Volumen des äußeren Rotationskörpers: \(V_{\text{Brutto}} = \pi \cdot \int_{0}^{60} (f(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{60} 4{,}5x \, dx = \pi \cdot [2{,}25x^2]_0^{60} = 8100\pi \approx 25\,446{,}90\,\text{m}^3\). 5. Das Materialvolumen ist die Differenz aus Außen- und Innenvolumen: \(V_{\text{Innen}} = \pi \cdot \int_{0{,}8}^{60} (g(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0{,}8}^{60} 4{,}2(x - 0{,}8) \, dx = \pi \cdot [2{,}1(x - 0{,}8)^2]_{0{,}8}^{60} = 2{,}1 \cdot 59{,}2^2 \cdot \pi = 7359{,}744\pi \approx 23\,121{,}32\,\text{m}^3\). Das Materialvolumen beträgt \(V_{\text{Brutto}} - V_{\text{Innen}} = 740{,}256\pi \approx 2\,325{,}58\,\text{m}^3\).

a) \(60\,\text{m}\) b) Differenz: \(0{,}8\,\text{m}\). Bedeutung: Dicke der Bodenplatte. c) \(f(60) - g(60) \approx 0{,}66\,\text{m}\). Bedeutung: Wandstärke am oberen Ende. d) \(V_{\text{Brutto}} \approx 25\,446{,}90\,\text{m}^3\) e) \(V_{\text{Material}} \approx 2\,325{,}58\,\text{m}^3\)

- Hier liegt eine Unstetigkeitsstelle am Rand des Integrationsbereichs vor. Wie berechnest du hier den Flächeninhalt? - Welche Stammfunktion gehört zu \(x^{-0{,}5}\) und welche zu \(\frac{1}{x}\)? - Überlege, wie sich die Funktionen \(\sqrt{x}\) und \(\ln(x)\) verhalten, wenn \(x\) gegen Null geht.

1. Aufstellen des uneigentlichen Integrals für den Flächeninhalt aufgrund der Polstelle bei \(x=0\): \(A = \int_{0}^{1} x^{-0{,}5} \, dx\). 2. Bildung der Stammfunktion \(G(x) = 2\sqrt{x}\). 3. Grenzwertberechnung an der unteren Grenze: \(\lim_{a \to 0^+} [2\sqrt{x}]_a^1 = 2\sqrt{1} - \lim_{a \to 0^+} 2\sqrt{a} = 2 - 0 = 2\). Der Flächeninhalt ist mit \(A = 2\) endlich. 4. Aufstellen des Integrals für das Rotationsvolumen: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{1} (g(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \, dx\). 5. Verwendung der Stammfunktion \(\ln|x|\). 6. Untersuchung des Grenzwerts: \(\pi \cdot \lim_{a \to 0^+} [\ln(x)]_a^1 = \pi \cdot (\ln(1) - \lim_{a \to 0^+} \ln(a)) = \pi \cdot (0 - (-\infty)) = \infty\). Das Volumen ist unendlich.

Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt \(A = 2\). Das Volumen des Rotationskörpers ist unendlich groß.

- Die Integrationsgrenzen hängen von der Lage des Bodens (\(x = -6\)) und der Füllhöhe \(h\) ab. - Überlege, wie sich die obere Grenze des Integrals verändert, wenn der Wasserstand \(h\) Dezimeter über dem Boden steht. - Wenn ein Objekt bereits ganz unter Wasser ist, ändert sich sein verdrängtes Volumen bei weiterem Auffüllen nicht mehr. Was bedeutet das für die Differenz zweier Volumina? - Nutze die allgemeine Formel für das Rotationsvolumen und setze die gegebenen Werte für die Volumenänderung ein.

1. Das Volumen des Rotationskörpers in Abhängigkeit von der Füllhöhe \(h\) (mit \(h \in [0; 6]\)) ist \(V(h) = \pi \int_{-6}^{-6+h} (f(x))^2 \, dx = \pi \int_{-6}^{-6+h} \frac{12}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{12}x\right) \, dx = 12 \int_{-6}^{-6+h} \cos\left(\frac{\pi}{12}x\right) \, dx\). 2. Integration ergibt \(V(h) = 12 \left[ \frac{12}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{12}x\right) \right]_{-6}^{-6+h} = \frac{144}{\pi} \left( \sin\left(\frac{\pi}{12}(h-6)\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) = \frac{144}{\pi} \left( \sin\left(\frac{\pi}{12}(h-6)\right) + 1 \right)\). 3. Für \(h = 3\) ergibt sich \(V(3) = \frac{144}{\pi} \left( \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 1 \right) = \frac{144}{\pi} \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \approx 13{,}43\,\text{l}\). 4. Da das Objekt bereits vollständig bedeckt ist, entspricht die Volumendifferenz beim Hinzufügen von Wasser der Differenz der Rotationsvolumina: \(V(h+1) - V(h) = 4\). 5. Einsetzen der Volumenformel liefert die Gleichung: \(\frac{144}{\pi} \left( \sin\left(\frac{\pi}{12}(h-5)\right) + 1 \right) - \frac{144}{\pi} \left( \sin\left(\frac{\pi}{12}(h-6)\right) + 1 \right) = 4\). 6. Vereinfacht lautet die Gleichung: \(\frac{144}{\pi} \left( \sin\left(\frac{\pi}{12}(h-5)\right) - \sin\left(\frac{\pi}{12}(h-6)\right) \right) = 4\).

a) Die Wassermenge beträgt ca. \(13{,}43\,\text{l}\). b) Eine mögliche Gleichung ist: \(\frac{144}{\pi} \left( \sin\left(\frac{\pi}{12}(h-5)\right) - \sin\left(\frac{\pi}{12}(h-6)\right) \right) = 4\).

- Bestimme zunächst die Schnittpunkte der beiden Funktionen, um die Integrationsgrenzen zu finden. - Denke daran, dass beim Rotieren einer Fläche zwischen zwei Kurven die Differenz der Quadrate der Funktionen integriert werden muss, nicht das Quadrat der Differenz. - Kannst du die Funktionsterme so umformen, dass sie leichter zu integrieren sind (z. B. Potenzschreibweise)? - Überprüfe am Ende, ob dein Ergebnis für ein Volumen sinnvoll ist (positives Vorzeichen).

1. Schnittstellen berechnen: \(\frac{2}{x} = 3 - x \Leftrightarrow 2 = 3x - x^2 \Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 = 0\). Mit der p-q-Formel ergeben sich die Grenzen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\). 2. Da \(g(x) \geq f(x)\) auf \([1; 2]\), lautet der Integrand für das Volumen: \((3-x)^2 - \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 9 - 6x + x^2 - 4x^{-2}\). 3. Volumenintegral berechnen: \(V = \pi \cdot \int_{1}^{2} (x^2 - 6x + 9 - 4x^{-2}) \, dx\). 4. Stammfunktion bilden: \(\left[ \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x + \frac{4}{x} \right]_{1}^{2}\). 5. Werte einsetzen: \(F(2) = \frac{8}{3} - 12 + 18 + 2 = \frac{32}{3}\) und \(F(1) = \frac{1}{3} - 3 + 9 + 4 = \frac{31}{3}\). 6. Differenz bilden: \(V = \pi \cdot \left( \frac{32}{3} - \frac{31}{3} \right) = \frac{1}{3}\pi\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(V = \frac{1}{3}\pi \approx 1{,}05 \, \text{VE}\).

- Bestimme zuerst die Gleichung der Geraden, die die schräge Mantellinie des Kegelstumpfes im Koordinatensystem darstellt. - Wie lautet die Integrationsformel für einen Rotationskörper? - Beim Integrieren eines Ausdrucks der Form \((ax+b)^2\) kann eine einfache Substitution oder die Kettenregel hilfreich sein. - Erinnere dich an algebraische Identitäten für Terme wie \(a^3 - b^3\), um das Ergebnis zu vereinfachen.

1. Aufstellen der linearen Funktionsgleichung durch die Punkte \((0|r)\) und \((h|R)\): Die Steigung ist \(m = \frac{R-r}{h}\) und der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(b = r\), also \(f(x) = \frac{R-r}{h}x + r\). 2. Aufstellen des Volumenintegrals: \(V = \pi \int_0^h (f(x))^2 dx = \pi \int_0^h \left(\frac{R-r}{h}x + r\right)^2 dx\). 3. Ausmultiplizieren des Integranden: \(\left(\frac{R-r}{h}x + r\right)^2 = \frac{(R-r)^2}{h^2}x^2 + 2r\frac{R-r}{h}x + r^2\). 4. Integration: \(V = \pi \left[\frac{(R-r)^2}{3h^2}x^3 + r\frac{R-r}{h}x^2 + r^2x\right]_0^h\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(V = \pi \left(\frac{(R-r)^2h}{3} + r(R-r)h + r^2h\right) = \pi h \left(\frac{(R-r)^2}{3} + r(R-r) + r^2\right)\). 6. Vereinfachen: \(\frac{(R-r)^2}{3} + r(R-r) + r^2 = \frac{R^2 - 2Rr + r^2 + 3Rr - 3r^2 + 3r^2}{3} = \frac{R^2 + Rr + r^2}{3}\). 7. Endergebnis: \(V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)\).

Die Herleitung ergibt die Volumenformel \(V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)\).

- Welche Stammfunktion benötigst du für Teilaufgabe a) und welche für Teilaufgabe b)? - Wie verhält sich der Logarithmus für sehr große Werte? - Wie unterscheidet sich die Konvergenz des Integrals von \(\frac{1}{x}\) im Vergleich zu \(\frac{1}{x^2}\) im Unendlichen? - Überlege, was das Ergebnis über die physikalische Vorstellung von Volumen und Oberfläche/Fläche aussagt.

1. Flächeninhalt berechnen: \(A = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x+2} \, dx = \lim_{k \to \infty} [\ln|x+2|]_0^k\). 2. Grenzwertbetrachtung für \(A\): \(\lim_{k \to \infty} (\ln(k+2) - \ln(2)) = \infty\). Der Flächeninhalt ist unendlich groß. 3. Volumen berechnen: \(V = \pi \int_{0}^{\infty} (f(x))^2 \, dx = \pi \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x+2)^2} \, dx\). 4. Stammfunktion für das Volumen: \(\int (x+2)^{-2} \, dx = -(x+2)^{-1} = -\frac{1}{x+2}\). 5. Grenzwertbetrachtung für \(V\): \(V = \pi \cdot \lim_{k \to \infty} \left[ -\frac{1}{x+2} \right]_0^k = \pi \cdot \lim_{k \to \infty} \left( -\frac{1}{k+2} - (-\frac{1}{2}) \right) = \pi \cdot (0 + \frac{1}{2}) = \frac{\pi}{2}\).

a) Der Flächeninhalt ist unendlich groß, da \(\lim_{k \to \infty} \int_{0}^{k} f(x) \, dx = \infty\). b) Das Volumen des Rotationskörpers ist endlich und beträgt \(V = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\).

- Beachte, dass für das Volumen des Rotationskörpers der Term \((g(x))^2\) integriert werden muss. Nutze die erste binomische Formel zum Ausmultiplizieren. - Die Tangentengleichung findest du mit der Punkt-Steigungs-Form oder über \(y = mx + c\). - Das Volumen zwischen zwei Rotationskörpern berechnet sich über das Integral der Differenz der Quadrate der Radienfunktionen. - Die Bodenplatte ist ein einfacher Kreis. Welcher Wert der Funktion \(g(x)\) gibt den Radius an der Stelle \(x=0\) an?

1. Volumen des Pavillons: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{5} (4 - 0{,}1x^2)^2 \, \text{d}x = \pi \cdot \int_{0}^{5} (16 - 0{,}8x^2 + 0{,}01x^4) \, \text{d}x\). 2. Stammfunktion: \(G(x) = 16x - \frac{0{,}8}{3}x^3 + \frac{0{,}01}{5}x^5\). 3. Auswertung: \(V = \pi \cdot [16 \cdot 5 - \frac{0{,}8}{3} \cdot 125 + \frac{0{,}01}{5} \cdot 3125] = \pi \cdot [80 - \frac{100}{3} + 6{,}25] = \pi \cdot [86{,}25 - 33{,}333] = 52{,}916\pi \approx 166{,}24\,\text{m}^3\). 4. Tangentengleichung bei \(x_0 = 3\): \(g(3) = 4 - 0{,}1 \cdot 9 = 3{,}1\). Ableitung \(g'(x) = -0{,}2x\), also \(g'(3) = -0{,}6\). Tangente: \(y = -0{,}6(x - 3) + 3{,}1 = -0{,}6x + 4{,}9\). 5. Volumen zwischen Hülle und Zylinder (\(x \in [0; 3]\)): \(V_{\text{Diff}} = \pi \cdot \int_{0}^{3} ((g(x))^2 - r^2) \, \text{d}x = \pi \cdot \int_{0}^{3} ((16 - 0{,}8x^2 + 0{,}01x^4) - 4) \, \text{d}x = \pi \cdot \int_{0}^{3} (12 - 0{,}8x^2 + 0{,}01x^4) \, \text{d}x\). 6. Stammfunktion: \(H(x) = 12x - \frac{0{,}8}{3}x^3 + \frac{0{,}01}{5}x^5\). Auswertung: \(H(3) = 12 \cdot 3 - \frac{0{,}8}{3} \cdot 27 + \frac{0{,}01}{5} \cdot 243 = 36 - 7{,}2 + 0{,}486 = 29{,}286\). Volumen: \(29{,}286\pi \approx 92{,}00\,\text{m}^3\). 7. Radius der Bodenplatte: \(R = g(0) = 4\,\text{m}\). Fläche: \(A = \pi \cdot 4^2 = 16\pi \approx 50{,}265\,\text{m}^2\). 8. Kosten: \(K = 50{,}265 \cdot 45 \approx 2261{,}93\,\text{€}\).

a) Volumen: ca. \(166{,}24\,\text{m}^3\) b) Tangentengleichung: \(y = -0{,}6x + 4{,}9\) c) Differenzvolumen: ca. \(92{,}00\,\text{m}^3\) d) Kosten: ca. \(2261{,}93\,\text{€}\)

- Was passiert mit dem Term unter dem Integral, wenn eine Wurzelfunktion quadriert wird? - Wie hängen das Volumen der Schale, das Volumen des Wassers und das Volumen des eingetauchten Teils eines Gegenstands zusammen? - Überlege, ob der Zylinder überhaupt in die Schale passt, indem du den Radius des Zylinders mit dem Radius der Schale am Boden vergleichst. - Erinnere dich an die Volumenformel für einen Zylinder: Grundfläche mal Höhe.

1. Maximales Fassungsvermögen: \(V_{\text{max}} = \pi \cdot \int_{0}^{12} (\sqrt{x+4})^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{12} (x+4) \, dx = \pi \cdot [ \frac{1}{2}x^2 + 4x ]_0^{12}\). \(V_{\text{max}} = \pi \cdot ( \frac{1}{2} \cdot 144 + 4 \cdot 12 ) = \pi \cdot (72 + 48) = 120\pi \approx 376{,}99\,\text{cm}^3\). 2. Füllhöhe für \(150\,\text{cm}^3\): \(\pi \cdot [ \frac{1}{2}x^2 + 4x ]_0^{h} = 150 \implies \pi \cdot (\frac{1}{2}h^2 + 4h) = 150\). \(\frac{1}{2}h^2 + 4h - \frac{150}{\pi} = 0\). Mit \(\frac{150}{\pi} \approx 47{,}75\): \(0{,}5h^2 + 4h - 47{,}75 = 0 \implies h^2 + 8h - 95{,}5 = 0\). Lösung via pq-Formel: \(h = -4 + \sqrt{16 + 95{,}5} = -4 + \sqrt{111{,}5} \approx 6{,}56\,\text{cm}\). 3. Verdrängung und neue Füllhöhe: Der Zylinder verdrängt Wasser, da sein Radius \(r=1\) kleiner ist als der minimale Innenradius der Schale (\(f(0) = \sqrt{4} = 2\)). Er steht also im Wasser. Das verdrängte Volumen des Zylinders bis zur Höhe \(h_{\text{neu}}\) ist ein Zylindervolumen: \(V_{\text{Zyl}}(h_{\text{neu}}) = \pi \cdot r^2 \cdot h_{\text{neu}} = \pi \cdot 1^2 \cdot h_{\text{neu}} = \pi \cdot h_{\text{neu}}\). Gleichung für die neue Füllhöhe: Das Volumen der Schale bis \(h_{\text{neu}}\) muss gleich der Summe aus Wasservolumen und eingetauchtem Zylindervolumen sein: \(\pi \cdot (\frac{1}{2}h_{\text{neu}}^2 + 4h_{\text{neu}}) = 150 + \pi \cdot h_{\text{neu}}\).

a) Das maximale Fassungsvermögen beträgt \(120\pi \approx 376{,}99\,\text{cm}^3\). b) Die Füllhöhe beträgt ca. \(6{,}56\,\text{cm}\). c) Da der Radius des Zylinders (\(1\,\text{cm}\)) kleiner ist als der Radius der Schale am Boden (\(2\,\text{cm}\)), verdrängt er Wasser. Die Gleichung lautet: \(\pi \cdot (\frac{1}{2}h_{\text{neu}}^2 + 4h_{\text{neu}}) = 150 + \pi \cdot h_{\text{neu}}\).

- Das Volumen eines Hohlkörpers lässt sich berechnen, indem man das Volumen des inneren Körpers vom Volumen des äußeren Körpers abzieht. - Erinnere dich an die Potenzgesetze, wenn du Funktionen wie \((a \cdot e^{bx})^2\) quadrierst. - Wie integriert man eine Exponentialfunktion der Form \(e^{kx}\)? - Du kannst die Integrale zusammenfassen, da sie über dasselbe Intervall verlaufen.

1. Aufstellen des Integrals für das Materialvolumen als Differenz der Rotationsvolumina: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{10} (f(x)^2 - g(x)^2) \, dx\). 2. Einsetzen der Funktionen: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{10} ((2 \cdot e^{0{,}1x})^2 - (1{,}5 \cdot e^{0{,}1x})^2) \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{10} (4 \cdot e^{0{,}2x} - 2{,}25 \cdot e^{0{,}2x}) \, dx\). 3. Vereinfachen des Integranden: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{10} 1{,}75 \cdot e^{0{,}2x} \, dx\). 4. Bestimmung der Stammfunktion und Berechnung: \(V = 1{,}75\pi \cdot [\frac{1}{0{,}2} e^{0{,}2x}]_0^{10} = 1{,}75\pi \cdot [5 e^{0{,}2x}]_0^{10} = 8{,}75\pi \cdot (e^2 - e^0)\). 5. Numerisches Ergebnis: \(V = 8{,}75\pi \cdot (e^2 - 1) \approx 175{,}62\,\text{cm}^3\).

Das Materialvolumen beträgt \(8{,}75\pi \cdot (e^2 - 1)\,\text{cm}^3 \approx 175{,}62\,\text{cm}^3\).

- Finde die Schnittpunkte der Graphen im ersten Quadranten, um dein Intervall festzulegen. - Nutze für das Integral von \(\sin^2(x)\) eine bekannte Stammfunktion oder eine trigonometrische Identität wie \(\sin^2(x) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2x))\). - Achte darauf, die gesamte Differenz der Quadrate mit \(\pi\) zu multiplizieren.

1. Bestimmung der Schnittstellen im ersten Quadranten: Durch Einsetzen oder Skizzieren erkennt man die Schnittpunkte bei \(x_1 = 0\) (da \(\sin(0) = 0\)) und \(x_2 = \frac{\pi}{2}\) (da \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\) und \(\frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 1\)). 2. Aufstellen des Volumenintegrals für die Rotation um die \(x\)-Achse: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{\pi/2} ( (\sin(x))^2 - (\frac{2}{\pi}x)^2 ) \, dx\). 3. Integration der einzelnen Terme: \(\int \sin^2(x) \, dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x)\). Ausgewertet von \(0\) bis \(\frac{\pi}{2}\) ergibt dies \(\frac{\pi}{4}\). \(\int (\frac{2}{\pi}x)^2 \, dx = \int \frac{4}{\pi^2}x^2 \, dx = \frac{4}{3\pi^2}x^3\). Ausgewertet von \(0\) bis \(\frac{\pi}{2}\) ergibt dies \(\frac{4}{3\pi^2} \cdot \frac{\pi^3}{8} = \frac{\pi}{6}\). 4. Subtraktion der Ergebnisse: \(V = \pi \cdot (\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \pi \cdot \frac{3\pi - 2\pi}{12} = \frac{\pi^2}{12}\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(V = \frac{\pi^2}{12} \approx 0{,}822\,\text{VE}\).

- Setze die Funktion in die allgemeine Formel für das Rotationsvolumen um die \(x\)-Achse ein. - Vereinfache den Integranden, indem du das Quadrat auflöst. - Welchen bekannten Funktionstyp erhältst du nach dem Quadrieren? Erinnere dich an die Stammfunktion von \(\frac{1}{x}\). - Um nach der Variable im Logarithmus aufzulösen, kannst du die Umkehrfunktion (Exponentialfunktion) verwenden.

1. Das Rotationsvolumen um die \(x\)-Achse ist definiert als \(V(b) = \pi \cdot \int_{0}^{b} (f(x))^2 \, dx\). 2. Einsetzen der Funktion: \(V(b) = \pi \cdot \int_{0}^{b} \left( \frac{3}{\sqrt{2x+1}} \right)^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{b} \frac{9}{2x+1} \, dx\). 3. Integration mittels der Regel für lineare Substitution (\(\int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a} \ln|ax+b|\)): \(V(b) = 9\pi \cdot \left[ \frac{1}{2} \ln(2x+1) \right]_{0}^{b} = 4{,}5\pi \cdot \ln(2b+1)\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielvolumen: \(4{,}5\pi \cdot \ln(2b+1) = 9\pi \implies \ln(2b+1) = 2\). 5. Auflösen nach \(b\): \(2b+1 = e^2 \implies 2b = e^2 - 1 \implies b = \frac{e^2-1}{2} \approx 3{,}19\).

a) \(V(b) = 4{,}5\pi \cdot \ln(2b+1)\) b) \(b = \frac{e^2-1}{2} \approx 3{,}19\)

- Wie findest du heraus, wo die Fläche beginnt und endet? - Welche Form haben die Querschnitte des Körpers senkrecht zur \(x\)-Achse? - Denk daran, zuerst die Funktionen einzeln zu quadrieren, bevor du die Differenz bildest. - Kannst du eine Skizze der Situation im Kopf oder auf Papier machen, um zu sehen, welche Funktion den äußeren Rand bildet?

1. Berechnung der Schnittstellen: \(x^2 - 4x + 5 = -x + 5 \Rightarrow x^2 - 3x = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 2. Vergleich der Abstände zur \(x\)-Achse: Im Intervall \([0; 3]\) ist \(g(x) \ge f(x)\). Da beide Funktionen stets positive Werte annehmen, ist \(g(x)\) der äußere Radius. 3. Aufstellen des Volumenintegrals: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{3} (g(x)^2 - f(x)^2) \, dx\). 4. Berechnung der Quadrate: \(g(x)^2 = x^2 - 10x + 25\) und \(f(x)^2 = x^4 - 8x^3 + 26x^2 - 40x + 25\). 5. Differenz bilden: \(g(x)^2 - f(x)^2 = -x^4 + 8x^3 - 25x^2 + 30x\). 6. Integration: \(\int_{0}^{3} (-x^4 + 8x^3 - 25x^2 + 30x) \, dx = [-\frac{1}{5}x^5 + 2x^4 - \frac{25}{3}x^3 + 15x^2]_{0}^{3}\). 7. Auswertung: \((-\frac{243}{5} + 162 - 225 + 135) - 0 = -48{,}6 + 72 = 23{,}4\). 8. Das Volumen ist \(V = 23{,}4\pi = \frac{117}{5}\pi\).

\(V = 23{,}4\pi = \frac{117}{5}\pi\)

- Was passiert mit der Wurzel, wenn du die Funktion für die Volumenformel quadrierst? - Welches Integrationsverfahren eignet sich für ein Produkt aus einer linearen Funktion und einer Winkelfunktion? - Erinnere dich an die Werte der Sinus- und Kosinusfunktion an den Stellen \(0\) und \(\pi\). - Vergiss nicht, das Ergebnis des Integrals am Ende mit dem Faktor aus der Volumenformel zu multiplizieren.

1. Aufstellen des Volumenintegrals: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{\pi} (f(x))^2 \, \text{d}x = \pi \cdot \int_{0}^{\pi} x \cdot \sin(x) \, \text{d}x\). 2. Anwendung der partiellen Integration für \(\int x \cdot \sin(x) \, \text{d}x\): Mit \(u(x) = x\) und \(w'(x) = \sin(x)\) folgt \(u'(x) = 1\) und \(w(x) = -\cos(x)\). 3. Berechnung der Stammfunktion: \(\int x \cdot \sin(x) \, \text{d}x = -x \cdot \cos(x) + \int \cos(x) \, \text{d}x = -x \cdot \cos(x) + \sin(x)\). 4. Auswertung in den Grenzen von \(0\) bis \(\pi\): \(( -\pi \cdot \cos(\pi) + \sin(\pi)) - (-0 \cdot \cos(0) + \sin(0)) = (-\pi \cdot (-1) + 0) - 0 = \pi\). 5. Multiplikation mit dem Vorfaktor \(\pi\): \(V = \pi \cdot \pi = \pi^2\).

Das exakte Volumen des Rotationskörpers beträgt \(\pi^2\) (ca. \(9{,}87\) Volumeneinheiten).

- Bestimme zuerst die Grenzen der Fläche durch Gleichsetzen der Funktionen. - Für den Flächeninhalt benötigst du die Stammfunktion von \(1/x\). - Für das Volumen musst du die Quadrate der Funktionen voneinander subtrahieren, bevor du integrierst. - Denke daran, dass \(\frac{1}{x^2}\) auch als \(x^{-2}\) geschrieben werden kann, um die Potenzregel beim Integrieren anzuwenden.

1. Schnittstellen bestimmen: Gleichsetzen \(4 - x = \frac{3}{x}\) ergibt \(4x - x^2 = 3\), also \(x^2 - 4x + 3 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 2. Flächeninhalt berechnen: \(h(x) \geq k(x)\) für \(x \in [1; 3]\). Das Integral lautet \(A = \int_1^3 (4 - x - \frac{3}{x}) \, dx = [4x - \frac{1}{2}x^2 - 3\ln(x)]_1^3\). 3. Grenzen einsetzen: \(A = (12 - 4{,}5 - 3\ln(3)) - (4 - 0{,}5 - 3\ln(1)) = 7{,}5 - 3\ln(3) - 3{,}5 = 4 - 3\ln(3) \approx 0{,}704\). 4. Rotationsvolumen berechnen: \(V = \pi \cdot \int_1^3 (h(x)^2 - k(x)^2) \, dx = \pi \cdot \int_1^3 ((4 - x)^2 - (\frac{3}{x})^2) \, dx\). 5. Integrand vereinfachen: \((4 - x)^2 - \frac{9}{x^2} = 16 - 8x + x^2 - 9x^{-2}\). 6. Stammfunktion und Auswertung: \(V = \pi \cdot [16x - 4x^2 + \frac{1}{3}x^3 + 9x^{-1}]_1^3\). 7. Werte einsetzen: Obere Grenze: \(48 - 36 + 9 + 3 = 24\). Untere Grenze: \(16 - 4 + \frac{1}{3} + 9 = 21 + \frac{1}{3} = \frac{64}{3}\). 8. Ergebnis: \(V = \pi \cdot (24 - \frac{64}{3}) = \pi \cdot (\frac{72 - 64}{3}) = \frac{8}{3}\pi\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(4 - 3\ln(3) \approx 0{,}704\,\text{FE}\). b) Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(\frac{8}{3}\pi \approx 8{,}378\,\text{VE}\).

- Welche Formel benötigst du für die Rotation einer Fläche um die \(x\)-Achse? - Was passiert mit dem Term \(\sqrt{x} \cdot e^x\), wenn du ihn quadrierst? - Welches Integrationsverfahren eignet sich für ein Produkt aus einer linearen Funktion und einer Exponentialfunktion? - Vergiss nicht, beim Einsetzen der unteren Grenze auch den zweiten Teil der Stammfunktion zu berücksichtigen.

1. Anwendung der Formel für das Rotationsvolumen um die \(x\)-Achse: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{1} (f(x))^2 \, \text{d}x\). 2. Einsetzen der Funktion ergibt das Integral \(V = \pi \cdot \int_{0}^{1} x \cdot e^{2x} \, \text{d}x\). 3. Durchführung der partiellen Integration mit \(u(x)=x\) und \(w'(x)=e^{2x}\), also \(u'(x)=1\) und \(w(x)=\frac{1}{2}e^{2x}\), liefert die Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{2}x \cdot e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}\). 4. Auswertung des bestimmten Integrals an den Grenzen \(0\) und \(1\): \(\pi \cdot [(\frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{4}e^2) - (0 - \frac{1}{4})]\). 5. Zusammenfassen zum Endergebnis \(V = \frac{e^2+1}{4}\pi\).

Das Volumen beträgt \(V = \frac{e^2+1}{4}\pi \approx 6{,}59\,\text{VE}\).

- Wo schneiden sich die beiden trigonometrischen Funktionen im ersten Quadranten? - Welche Funktion bildet in welchem Abschnitt die obere Grenze der Fläche? - Nutze trigonometrische Identitäten wie das Additionstheorem für \(\cos(2x)\), um das Quadrat der Funktion einfacher zu integrieren. - Kannst du eine Symmetrie zwischen den beiden Teilflächen erkennen?

1. Schnittpunktbestimmung im Intervall \([0; \frac{\pi}{2}]\): \(\sin(x) = \cos(x) \Rightarrow \tan(x) = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}\). 2. Intervallaufteilung: Die Fläche wird von \(x=0\) bis \(x=\frac{\pi}{4}\) durch \(f(x) = \sin(x)\) und von \(x=\frac{\pi}{4}\) bis \(x=\frac{\pi}{2}\) durch \(g(x) = \cos(x)\) begrenzt. 3. Volumenansatz: Aufgrund der Symmetrie der Sinus- und Kosinusfunktion im betrachteten Bereich sind die Teilvolumina identisch: \(V = 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2(x) dx\). 4. Linearisierung: Unter Verwendung von \(\sin^2(x) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2x))\) folgt \(V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 - \cos(2x)) dx\). 5. Stammfunktion und Auswertung: \(V = \pi [x - \frac{1}{2}\sin(2x)]_0^{\frac{\pi}{4}} = \pi \cdot (\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}) - (0 - 0)) = \frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi}{2}\).

\(V = \frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi}{2} \approx 0{,}90\,\text{VE}\)