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- Welche beiden senkrechten Begrenzungen der markierten Fläche erkennst du im Diagramm? - Welche geometrische Form entsteht als Querschnitt senkrecht zur \(x\)-Achse? - Welche Größe im Diagramm wird beim Rotieren zum Radius dieses Querschnitts?

1. Die markierte Fläche reicht im Diagramm von \(x=1\) bis \(x=4\). 2. Beim Rotieren um die \(x\)-Achse ist \(f(x)\) der Radius der kreisförmigen Querschnittsfläche an der Stelle \(x\). 3. Eine Kreisfläche mit Radius \(f(x)\) hat den Flächeninhalt \(\pi f(x)^2\). Deshalb lautet der Volumenterm \(V=\pi\int_1^4(\sqrt{x})^2\,\text{d}x\).

Die Grenzen sind \(1\) und \(4\). Der Volumenterm lautet \(V=\pi\int_1^4(\sqrt{x})^2\,\text{d}x\). Quadriert wird, weil der Funktionswert den Radius eines Kreisquerschnitts angibt und dessen Fläche \(\pi r^2\) beträgt.

- Welche Strecke im Diagramm wird beim Drehen um die \(x\)-Achse zum Radius eines Kreisquerschnitts? - Lies die Höhe des Graphen an der markierten Stelle aus dem Raster ab. - Für einen Kreis hängt der Flächeninhalt quadratisch vom Radius ab.

1. Beim Drehen um die \(x\)-Achse ist der Radius des Querschnitts der senkrechte Abstand des Graphen von der \(x\)-Achse. 2. Bei \(x=2\) liest man im Diagramm \(f(2)=3\) ab. Der Radius ist daher \(r=3\). 3. Der Kreisquerschnitt hat den Flächeninhalt \(A=\pi r^2=9\pi\).

Radius: \(r=3\); Querschnittsfläche: \(A=9\pi\).

- Welche Querschnittsfläche entsteht bei der Rotation des Funktionswerts um die \(x\)-Achse? - Vereinfache zuerst das Quadrat des Funktionsterms. - Danach bleibt ein Polynom, das du mit den bekannten Potenzregeln integrieren kannst.

1. Für die Rotation um die \(x\)-Achse gilt \(V=\pi\int_0^6(f(x))^2\,\text{d}x\). 2. Es ist \((f(x))^2=x^2(6-x)=6x^2-x^3\). 3. Eine Stammfunktion ist \(2x^3-\frac{1}{4}x^4\). 4. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt \(V=\pi[2x^3-\frac{1}{4}x^4]_0^6=108\pi\). 5. Numerisch ist \(V\approx339{,}29\,\text{VE}\).

\(V=108\pi\,\text{VE}\approx339{,}29\,\text{VE}\).

- Welche allgemeine Formel kennst du zur Berechnung von Rotationsvolumina bei Rotation um die \(x\)-Achse? - Was passiert mit der Wurzel, wenn du die Funktionsvorschrift quadrierst? - Wie lautet die Stammfunktion einer linearen Funktion? - Denk daran, am Ende den Faktor \(\pi\) nicht zu vergessen.

1. Aufstellen des Volumenintegrals: \(V = \pi \cdot \int_{1}^{5} (\sqrt{3x + 1})^2 \, dx\). 2. Vereinfachen des Integranden: \((\sqrt{3x + 1})^2 = 3x + 1\). 3. Bestimmen einer Stammfunktion: \(F(x) = \frac{3}{2}x^2 + x\). 4. Berechnen des bestimmten Integrals: \(\int_{1}^{5} (3x + 1) \, dx = [1{,}5 \cdot 5^2 + 5] - [1{,}5 \cdot 1^2 + 1] = 42{,}5 - 2{,}5 = 40\). 5. Multiplikation mit \(\pi\): \(V = 40\pi \approx 125{,}66\).

Das Volumen beträgt \(V = 40\pi \approx 125{,}66\) Volumeneinheiten.

- Wie quadriert man ein Produkt und eine Potenz? Erinnere dich an die Regel \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\) und \((e^x)^n = e^{n \cdot x}\). - Welche Integrationsregel benötigst du für die Exponentialfunktion mit linearem Exponenten? - Achte beim Einsetzen der Grenzen besonders auf das Vorzeichen und den Wert von \(e^0\). - Kannst du das Ergebnis zuerst exakt mit \(\pi\) und \(e\) angeben, bevor du es rundest?

1. Aufstellen des Integrals: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{4} (2e^{-0{,}25x})^2 \, dx\). 2. Vereinfachen des Integranden unter Anwendung der Potenzgesetze: \((2e^{-0{,}25x})^2 = 4e^{-0{,}5x}\). 3. Bestimmen der Stammfunktion mittels linearer Substitution: \(F(x) = \frac{4}{-0{,}5}e^{-0{,}5x} = -8e^{-0{,}5x}\). 4. Auswerten des Integrals in den Grenzen von \(0\) bis \(4\): \(\pi \cdot [-8e^{-0{,}5 \cdot 4} - (-8e^{0})] = \pi \cdot [-8e^{-2} + 8]\). 5. Zusammenfassen des exakten Ergebnisses: \(V = 8\pi(1 - e^{-2})\). 6. Numerische Berechnung: \(V \approx 21{,}73\).

Das Volumen beträgt exakt \(V = 8\pi(1 - e^{-2}) \approx 21{,}73\) Volumeneinheiten.

- Erinnere dich an die Formel, mit der man das Volumen eines Körpers berechnet, der durch Drehung einer Kurve um eine Achse entsteht. - Was passiert mit dem Funktionsterm, wenn du ihn in die Volumenformel für Rotationskörper einsetzt? - Wie hängen Volumen, Dichte und Masse physikalisch zusammen? - Denke daran, dass das Quadrat einer Wurzel den Ausdruck vereinfacht.

1. Anwendung der Formel für das Rotationsvolumen um die \(x\)-Achse: \(V = \pi \cdot \int_{a}^{b} (f(x))^2 \, dx\). Einsetzen der Funktion und Grenzen: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{5} (2\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{5} 4x \, dx\). Bestimmung der Stammfunktion: \(\pi \cdot [2x^2]_{0}^{5}\). Berechnung des Werts: \(\pi \cdot (2 \cdot 5^2 - 0) = 50\pi \approx 157{,}08\). Das Volumen beträgt \(50\pi\,\text{cm}^3\) bzw. ca. \(157{,}08\,\text{cm}^3\). 2. Berechnung der Masse mithilfe der Dichteformel \(m = \rho \cdot V\). Einsetzen der Werte: \(m = 0{,}8 \cdot 50\pi = 40\pi \approx 125{,}66\). Die Masse beträgt ca. \(125{,}66\,\text{g}\).

1. Das Volumen beträgt \(50\pi\,\text{cm}^3 \approx 157{,}08\,\text{cm}^3\). 2. Die Masse beträgt \(40\pi\,\text{g} \approx 125{,}66\,\text{g}\).

- Prüfe die Vorzeichen der beiden Faktoren \(4-x\) und \(\sqrt{x}\) im vorgegebenen Intervall. - Welche Querschnittsfläche entsteht beim Rotieren eines nicht negativen Funktionswerts um die \(x\)-Achse? - Durch das Quadrieren verschwindet die Wurzel; vereinfache danach den Integranden.

1. Für \(0\le x\le4\) gelten \(4-x\ge0\) und \(\sqrt{x}\ge0\). Daher ist \(g(x)\ge0\). 2. Für das Volumen gilt \(V=\pi\int_0^4((4-x)\sqrt{x})^2\,\text{d}x\). 3. Der Integrand vereinfacht sich zu \((4-x)^2x=16x-8x^2+x^3\). 4. Damit ist \(V=\pi\left[8x^2-\frac{8}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4\right]_0^4=\frac{64\pi}{3}\,\text{VE}\).

a) Beide Faktoren sind auf \([0;4]\) nicht negativ, also gilt \(g(x)\ge0\). b) \(V=\frac{64\pi}{3}\,\text{VE}\).

- Welche beiden roten senkrechten Linien begrenzen die Fläche im Bild? - Welche Funktion beschreibt den Radius des entstehenden Rotationskörpers? - Quadriere den Radius, bevor du das Volumenintegral auswertest.

1. Aus der Abbildung liest man die Grenzen \(x=1\) und \(x=4\) ab. 2. Damit ist \(V=\pi\int_1^4\left(\frac{2}{x}\right)^2\,\text{d}x=\pi\int_1^4\frac{4}{x^2}\,\text{d}x\). 3. Eine Stammfunktion ist \(-\frac{4}{x}\). Daher folgt \(V=\pi\left[-\frac{4}{x}\right]_1^4=3\pi\,\text{VE}\).

Grenzen: \(x=1\) und \(x=4\); \(V=3\pi\,\text{VE}\).

- Welche Querschnittsfläche entsteht aus dem Radius \(f(x)\)? - Was wird aus der Wurzelfunktion beim Quadrieren? - Verwende genau die angegebenen Intervallgrenzen.

1. Das Volumen ist \(V=\pi\int_1^4(f(x))^2\,\text{d}x\). 2. Wegen \((\sqrt{x})^2=x\) folgt \(V=\pi\int_1^4x\,\text{d}x\). 3. Damit ist \(V=\pi\left[\frac{1}{2}x^2\right]_1^4=\frac{15\pi}{2}\,\text{VE}\).

\(V=\frac{15\pi}{2}\,\text{VE}\).

- Welche Wirkung hat das Quadrieren auf die Wurzel im Radius? - Danach entsteht ein einfaches Polynom. - Setze die beiden angegebenen Grenzen erst nach dem Integrieren ein.

1. Es gilt \(V=\pi\int_0^2(\sqrt{x^2+5})^2\,\text{d}x=\pi\int_0^2(x^2+5)\,\text{d}x\). 2. Eine Stammfunktion ist \(\frac{1}{3}x^3+5x\). 3. Daher folgt \(V=\pi\left[\frac{1}{3}x^3+5x\right]_0^2=\frac{38\pi}{3}\,\text{VE}\).

\(V=\frac{38\pi}{3}\,\text{VE}\).

- Welche Querschnittsfläche entsteht beim Rotieren aus dem Radius \(\sin(x)\)? - Stelle das Volumenintegral vollständig auf, bevor du die angegebene Identität einsetzt. - Achte bei der Auswertung auf die vorgegebenen Grenzen \(0\) und \(\pi\).

1. Das Volumen ist \(V=\pi\int_0^\pi\sin^2(x)\,\text{d}x\). 2. Mit \(\sin^2(x)=\frac{1}{2}(1-\cos(2x))\) folgt \(\int_0^\pi\sin^2(x)\,\text{d}x=\frac{\pi}{2}\). 3. Daher ist \(V=\frac{\pi^2}{2}\,\text{VE}\approx4{,}93\,\text{VE}\).

\(V=\frac{\pi^2}{2}\,\text{VE}\approx4{,}93\,\text{VE}\).

- Welche Funktion liefert im Intervall den äußeren Radius, welche den inneren? - Ein Kreisringquerschnitt entsteht als Differenz zweier Kreisflächen. - Nach dem Quadrieren vereinfacht sich die Wurzelfunktion stark.

1. Auf \([0;16]\) ist \(f(x)=4\) der äußere und \(g(x)=\sqrt{x}\) der innere Radius. 2. Daher ist \(V=\pi\int_0^{16}(4^2-(\sqrt{x})^2)\,\text{d}x=\pi\int_0^{16}(16-x)\,\text{d}x\). 3. Auswerten liefert \(V=\pi\left[16x-\frac{1}{2}x^2\right]_0^{16}=128\pi\,\text{VE}\approx402{,}12\,\text{VE}\).

\(V=128\pi\,\text{VE}\approx402{,}12\,\text{VE}\).

- Entscheide zuerst, welche Funktion den äußeren und welche den inneren Radius beschreibt. - Wie erhältst du aus zwei Kreisradien die Fläche des Kreisrings? - Schreibe \(\frac{1}{x^2}\) als Potenz, bevor du integrierst.

1. Auf \([1;2]\) gilt \(f(x)\ge g(x)\), also ist \(f\) der äußere Radius. 2. Das Volumen ist \(V=\pi\int_1^2\left(\frac{1}{x^2}-0{,}25\right)\,\text{d}x\). 3. Eine Stammfunktion ist \(-\frac{1}{x}-0{,}25x\). 4. Daher folgt \(V=\pi\left[-\frac{1}{x}-0{,}25x\right]_1^2=\frac{\pi}{4}\,\text{VE}\approx0{,}785\,\text{VE}\).

\(V=\frac{\pi}{4}\,\text{VE}\approx0{,}785\,\text{VE}\).

- Welche Funktion liefert im Intervall den größeren Abstand von der \(x\)-Achse? - Wie entsteht die Querschnittsfläche eines Kreisrings aus äußerem und innerem Radius? - Was wird aus der Wurzel, wenn du den Radius quadrierst?

1. Auf \([0;4]\) gilt \(f(x)\ge g(x)\), also ist \(f\) der äußere Radius. 2. Daher ist \(V=\pi\int_0^4\left((\sqrt{x})^2-(0{,}5x)^2\right)\,\text{d}x=\pi\int_0^4(x-0{,}25x^2)\,\text{d}x\). 3. Eine Stammfunktion ist \(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{12}x^3\). 4. Auswerten ergibt \(V=\frac{8\pi}{3}\,\text{VE}\approx8{,}38\,\text{VE}\).

\(V=\frac{8\pi}{3}\,\text{VE}\approx8{,}38\,\text{VE}\).

- Vergleiche im Diagramm die Abstände der beiden Graphen von der Rotationsachse. - Welche Funktionswerte und Intervallgrenzen kannst du direkt an Raster und Achsen ablesen? - Bei einem hohlen Rotationskörper entsteht im Querschnitt ein Kreisring.

1. Im markierten Intervall liegt \(f\) oberhalb von \(g\). Daher ist \(R(x)=f(x)\) der Außenradius und \(r(x)=g(x)\) der Innenradius. 2. Aus dem Diagramm liest man \(f(x)=2\), \(g(x)=\frac{x}{2}\) und das Intervall \([0;2]\) ab. 3. Für den Kreisringquerschnitt gilt \(A(x)=\pi(R(x)^2-r(x)^2)\). Damit ist \(V=\pi\int_0^2\left(4-\frac{x^2}{4}\right)\,\text{d}x\). 4. Auswerten ergibt \(V=\frac{22\pi}{3}\,\text{VE}\).

a) Außenradius: \(f\); Innenradius: \(g\). b) \(f(x)=2\), \(g(x)=\frac{x}{2}\), Intervall \([0;2]\); \(V=\pi\int_0^2\left(4-\frac{x^2}{4}\right)\,\text{d}x=\frac{22\pi}{3}\,\text{VE}\).

- Welche geometrische Form entsteht, wenn eine schräge Gerade um eine Achse rotiert? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für das Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die \(x\)-Achse. - Achte beim Quadrieren der Funktion auf die Vorfaktoren. - Setze die Grenzen des Intervalls sorgfältig in die Stammfunktion ein.

1. Bestimmung der Körperform: Da eine Ursprungsgerade in einem Intervall rotiert, das den Ursprung nicht enthält, entsteht ein Kegelstumpf. 2. Aufstellen des Volumenintegrals: \(V = \pi \cdot \int_{k}^{3k} (f(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{k}^{3k} \left(\frac{1}{2}x\right)^2 \, dx\). 3. Vereinfachung des Integranden: \(\pi \cdot \int_{k}^{3k} \frac{1}{4}x^2 \, dx\). 4. Bestimmung der Stammfunktion und Einsetzen der Grenzen: \(\frac{\pi}{4} \cdot \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{k}^{3k} = \frac{\pi}{12} \cdot \left( (3k)^3 - k^3 \right)\). 5. Endgültige Berechnung: \(\frac{\pi}{12} \cdot (27k^3 - k^3) = \frac{26\pi}{12}k^3 = \frac{13}{6}\pi k^3\).

Es entsteht ein Kegelstumpf mit dem Volumen \(V = \frac{13}{6}\pi k^3\).

- Wie lautet die Formel für das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um die \(x\)-Achse entsteht? - Was passiert mit der Wurzel, wenn du die Funktion für die Volumenformel quadrierst? - Überlege, an welcher Stelle im Intervall der Radius des Körpers am größten ist. - Wie berechnet man das Volumen eines einfachen Zylinders?

1. Berechnung des Volumens des Rotationskörpers: \(V_{\text{Körper}} = \pi \cdot \int_{0}^{r} (\sqrt{rx})^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{r} rx \, dx\). 2. Ausführung der Integration: \(\pi \cdot r \cdot \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{r} = \pi \cdot r \cdot \frac{1}{2}r^2 = \frac{1}{2}\pi r^3\). 3. Bestimmung der Zylindermaße: Die Höhe des Zylinders entspricht der Intervalllänge \(h = r\). Der maximale Radius des Rotationskörpers liegt bei \(x = r\) und beträgt \(R = f(r) = \sqrt{r \cdot r} = r\). 4. Berechnung des Zylindervolumens: \(V_{\text{Zylinder}} = \pi \cdot R^2 \cdot h = \pi \cdot r^2 \cdot r = \pi r^3\). 5. Vergleich der Volumina: Das Volumen des Rotationskörpers beträgt genau die Hälfte des Volumens des umschreibenden Zylinders (\(V_{\text{Körper}} = \frac{1}{2} V_{\text{Zylinder}}\)).

Das Volumen des Rotationskörpers ist \(V = \frac{1}{2}\pi r^3\). Es ist genau halb so groß wie das Volumen des entsprechenden Zylinders (\(V_{\text{Zylinder}} = \pi r^3\)).

- Überlege, welche Funktion im Quadrat unter dem Integral steht. - Was für ein Körper entsteht, wenn eine geneigte Gerade um die Achse rotiert? - Erinnerst du dich an die Potenzregel für das Integrieren von Klammerausdrücken der Form \((ax+b)^n\)? - Die Radien an den Enden des Körpers hängen direkt mit der Höhe der Randfunktion an den Grenzen zusammen.

1. Die allgemeine Formel für das Rotationsvolumen lautet \(V = \pi \cdot \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx\). Durch Vergleich mit dem gegebenen Integral ergibt sich die Randfunktion \(f(x) = x + 2\). Da es sich um die Rotation einer linearen Funktion handelt, die die Rotationsachse im betrachteten Intervall \([0; 3]\) nicht schneidet, entsteht ein gerader Kegelstumpf. 2. Zur Berechnung des Volumens wird die Stammfunktion gebildet: \(\pi \cdot \int_{0}^{3} (x+2)^2 dx = \pi \cdot \left[ \frac{1}{3}(x+2)^3 \right]_{0}^{3}\). Einsetzen der Grenzen liefert \(\pi \cdot \left( \frac{1}{3}(3+2)^3 - \frac{1}{3}(0+2)^3 \right) = \pi \cdot \left( \frac{125}{3} - \frac{8}{3} \right) = \frac{117}{3}\pi = 39\pi\). 3. Die Radien der Begrenzungsflächen entsprechen den Funktionswerten an den Intervallgrenzen: \(r_1 = f(0) = 0 + 2 = 2\) und \(r_2 = f(3) = 3 + 2 = 5\).

1. Randfunktion \(f(x) = x + 2\); geometrische Form: gerader Kegelstumpf. 2. \(V = 39\pi\). 3. \(r_1 = 2\) und \(r_2 = 5\).

- Was passiert geometrisch, wenn du die Differenz der Funktionen quadrierst, im Vergleich dazu, wenn du die Quadrate der Funktionen subtrahierst? - Überlege dir, welche Form der Querschnitt des Rotationskörpers an einer Stelle \(x\) hat. - Erinnere dich an die binomischen Formeln beim Ausmultiplizieren des Integranden.

1. Aufstellen des Integrals für das Volumen nach der korrekten Formel: \(V = \pi \int_{0}^{4} ((\sqrt{x} + 1)^2 - 1^2) \, dx\). 2. Vereinfachen des Integranden: \((\sqrt{x} + 1)^2 - 1 = x + 2\sqrt{x} + 1 - 1 = x + 2\sqrt{x}\). 3. Bestimmen der Stammfunktion und Berechnung des Integrals: \(\pi \int_{0}^{4} (x + 2x^{\frac{1}{2}}) \, dx = \pi [\frac{1}{2}x^2 + \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4} = \pi (8 + \frac{4}{3} \cdot 8) = \frac{56}{3}\pi \approx 58{,}64\). 4. Aufstellen und Berechnen des Vergleichsintegrals: \(V_{falsch} = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x} + 1 - 1)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{4} x \, dx\). 5. Bestimmen der Stammfunktion: \(\pi [\frac{1}{2}x^2]_{0}^{4} = \pi (8 - 0) = 8\pi \approx 25{,}13\). 6. Vergleich der Ergebnisse: Der Wert \(V_{falsch} = 8\pi\) ist deutlich kleiner als das tatsächliche Volumen \(V = \frac{56}{3}\pi\).

a) \(V = \frac{56}{3}\pi \approx 58{,}64\) b) \(V_{falsch} = 8\pi \approx 25{,}13\). Die Ergebnisse sind nicht identisch, da die Differenz der Quadrate nicht gleich dem Quadrat der Differenz ist.

- Überlege zuerst, welche der beiden Funktionen im gegebenen Intervall größere Funktionswerte annimmt. - Erinnere dich an die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers, der durch die Differenz zweier Funktionen entsteht. - Vereinfache den Integranden so weit wie möglich, bevor du mit dem Integrieren beginnst. - Achte beim Quadrieren von Summen auf die binomischen Formeln.

1. Aufstellen des Integrals für das Volumen: \(V = \pi \cdot \int_{1}^{3} (f(x)^2 - g(x)^2) \, dx\). 2. Einsetzen der Funktionsterme: \(V = \pi \cdot \int_{1}^{3} ((x + 1)^2 - (\sqrt{2x + 2})^2) \, dx\). 3. Vereinfachen des Integranden: \((x^2 + 2x + 1) - (2x + 2) = x^2 - 1\). 4. Bestimmen der Stammfunktion: \(\int (x^2 - 1) \, dx = \frac{1}{3}x^3 - x\). 5. Auswerten des bestimmten Integrals: \([\frac{1}{3}x^3 - x]_{1}^{3} = (9 - 3) - (\frac{1}{3} - 1) = 6 - (-\frac{2}{3}) = \frac{20}{3}\). 6. Multiplikation mit \(\pi\): \(V = \frac{20}{3}\pi\).

\(V = \frac{20}{3}\pi \approx 20{,}94\)

- Denke daran, dass du beim Rotieren einer Fläche zwischen zwei Kurven die Differenz der Quadrate der Funktionen integrierst. - Es hilft oft, Brüche mit Potenzen im Nenner als Potenzen mit negativen Exponenten zu schreiben, um die Potenzregel der Integration leichter anzuwenden. - Vergiss nicht, am Ende das Ergebnis mit der Kreiszahl \(\pi\) zu multiplizieren.

1. Reihenfolge der Radien prüfen: Auf \([1;2]\) gilt \(\frac{1}{x} \ge \frac{1}{x^2} \ge 0\). Daher ist \(f(x)\) der äußere und \(g(x)\) der innere Radius. 2. Ansatz für das Rotationsvolumen: \(V = \pi \cdot \int_{1}^{2} (f(x)^2 - g(x)^2) \, dx\). 3. Quadrieren der Funktionen: \(f(x)^2 = \frac{1}{x^2} = x^{-2}\) und \(g(x)^2 = \frac{1}{x^4} = x^{-4}\). 4. Aufstellen des Integrals: \(V = \pi \cdot \int_{1}^{2} (x^{-2} - x^{-4}) \, dx\). 5. Bildung der Stammfunktion: \(\int (x^{-2} - x^{-4}) \, dx = [-x^{-1} + \frac{1}{3}x^{-3}] = [-\frac{1}{x} + \frac{1}{3x^3}]\). 6. Berechnung der Grenzen: \((-\frac{1}{2} + \frac{1}{3 \cdot 8}) - (-\frac{1}{1} + \frac{1}{3 \cdot 1}) = (-\frac{12}{24} + \frac{1}{24}) - (-1 + \frac{1}{3}) = -\frac{11}{24} - (-\frac{2}{3}) = -\frac{11}{24} + \frac{16}{24} = \frac{5}{24}\). 7. Endergebnis: \(V = \frac{5}{24}\pi\).

\(V = \frac{5}{24}\pi \approx 0{,}65\)

- Welche Querschnittsfläche besitzt der Rotationskörper in Abhängigkeit von \(f(x)\)? - Die unbekannte Füllhöhe ist die obere Integrationsgrenze. - Welche Volumeneinheit entspricht einem Milliliter? - Nach dem Integrieren erhältst du eine Gleichung für die positive Höhe \(h\).

1. Bis zur Füllhöhe \(h\) ist das Volumen \(V(h)=\pi\int_0^h f(x)^2\,\text{d}x=\pi\int_0^h3x\,\text{d}x\). 2. Damit gilt \(V(h)=\frac32\pi h^2\). 3. Wegen \(150\,\text{ml}=150\,\text{cm}^3\) folgt \(\frac32\pi h^2=150\). 4. Somit ist \(h^2=\frac{100}{\pi}\) und wegen \(h>0\) gilt \(h=\sqrt{\frac{100}{\pi}}\,\text{cm}=\frac{10}{\sqrt\pi}\,\text{cm}\approx5{,}64\,\text{cm}\).

\(h=\frac{10}{\sqrt\pi}\,\text{cm}\approx5{,}64\,\text{cm}\).

- Welche Querschnittsfläche entsteht bei der Rotation des Innenradius \(f(x)\)? - Die Füllhöhe erscheint als obere Grenze des Volumenintegrals. - Wie kannst du nach der Integration den Exponentialterm isolieren? - Prüfe abschließend, ob die gefundene Höhe im modellierten Bereich liegt.

1. Bis zur Füllhöhe \(h\) gilt \(V(h)=\pi\int_0^h(e^{0{,}2x})^2\,\text{d}x=\pi\int_0^h e^{0{,}4x}\,\text{d}x\). 2. Daraus folgt \(V(h)=\frac{5\pi}{2}(e^{0{,}4h}-1)\). 3. Wegen \(60\,\text{ml}=60\,\text{cm}^3\) gilt \(\frac{5\pi}{2}(e^{0{,}4h}-1)=60\). 4. Damit ist \(e^{0{,}4h}=1+\frac{24}{\pi}\) und somit \(h=\frac52\ln(1+\frac{24}{\pi})\,\text{cm}\approx5{,}39\,\text{cm}\). 5. Der Wert liegt im Modellintervall \([0;8]\) und ist damit geometrisch zulässig.

\(h=\frac52\ln(1+\frac{24}{\pi})\,\text{cm}\approx5{,}39\,\text{cm}\).

- Welche der beiden Funktionen beschreibt den äußeren und welche den inneren Radius? - Für das Materialvolumen ist die Differenz der beiden Rotationsvolumina entscheidend. - Prüfe beim Quadrieren von \(g(x)\) sorgfältig alle Terme. - Teil d) ist eine Radiusbedingung an einer einzelnen Stelle, keine Volumenbedingung.

1. Das Außenvolumen ist \(V_f=\pi\int_0^{10}f(x)^2\,\text{d}x=\pi\int_0^{10}(x+2)\,\text{d}x=70\pi\,\text{cm}^3\). 2. Das Innenvolumen ist \(V_g=\pi\int_0^{10}(0{,}2x+1)^2\,\text{d}x=\frac{130}{3}\pi\,\text{cm}^3\). 3. Das Glasvolumen ist \(V_{\text{Glas}}=V_f-V_g=\frac{80}{3}\pi\,\text{cm}^3\). 4. Aus \(\sqrt{x+2}=3\) folgt \(x+2=9\) und damit \(x=7\,\text{cm}\).

a) \(V_f=70\pi\,\text{cm}^3\approx219{,}91\,\text{cm}^3\). b) \(V_g=\frac{130}{3}\pi\,\text{cm}^3\approx136{,}14\,\text{cm}^3\). c) \(V_{\text{Glas}}=\frac{80}{3}\pi\,\text{cm}^3\approx83{,}78\,\text{cm}^3\). d) \(x=7\,\text{cm}\).

- Welche Grenzen ergeben sich aus der Beschreibung der Fläche? - Denk daran, dass der gesamte Funktionsterm quadriert werden muss, bevor du integrierst. - Es hilft oft, Brüche mit Potenzen im Nenner als Potenzen mit negativem Exponenten zu schreiben. - Welche Regel wendest du an, um eine Funktion der Form \((ax+b)^n\) zu integrieren?

1. Identifikation der Integrationsgrenzen: Die Fläche wird durch die \(y\)-Achse (\(x = 0\)) und die Gerade \(x = 2\) begrenzt, also \(a = 0\) und \(b = 2\). 2. Aufstellen des Volumenintegrals: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{2} (g(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{2} \left(\frac{3}{x + 1}\right)^2 \, dx\). 3. Vereinfachung des Integranden: \((g(x))^2 = \frac{9}{(x + 1)^2} = 9(x + 1)^{-2}\). 4. Bestimmung der Stammfunktion: \(\int 9(x + 1)^{-2} \, dx = 9 \cdot \frac{(x + 1)^{-1}}{-1} = -\frac{9}{x + 1} + C\). 5. Berechnung des bestimmten Integrals: \(V = \pi \cdot [-\frac{9}{x + 1}]_{0}^{2} = \pi \cdot (-\frac{9}{2 + 1} - (-\frac{9}{0 + 1}))\). 6. Ausrechnen der Werte: \(V = \pi \cdot (-3 + 9) = 6\pi\).

Das Volumen des Körpers beträgt \(6\pi \approx 18{,}85 \, \text{VE}\).

- Wie groß ist das Rotationsvolumen des Gefäßes bis zu einer variablen Füllhöhe \(h\)? - Welchen Teil dieses Volumens kann das Wasser wegen des festen Zylinders nicht einnehmen? - Prüfe bei jeder Füllhöhe, ob der Zylinder vollständig unter Wasser liegt. - Nutze den Zusammenhang \(1\,\text{dm}^3=1\,\text{L}\).

1. Das Gefäßvolumen bis zur Höhe \(h\) ist \(V(h)=\pi\int_0^h(2x+4)\,\text{d}x=\pi(h^2+4h)\,\text{dm}^3\). 2. Für \(h=2\) ist \(V(2)=12\pi\,\text{dm}^3\). Der Zylinder beansprucht \(V_Z=\pi\cdot1^2\cdot2=2\pi\,\text{dm}^3\). 3. Daher beträgt die Wassermenge bis zur Zylinderoberkante \(10\pi\,\text{dm}^3=10\pi\,\text{L}\). 4. Für \(h=5\) ist das Gefäßvolumen \(45\pi\,\text{dm}^3\). Da der Zylinder vollständig unter Wasser liegt, bleibt sein verdrängtes Volumen \(2\pi\,\text{dm}^3\). 5. Somit befinden sich \(43\pi\,\text{L}\) Wasser im Gefäß.

a) \(10\pi\,\text{L}\approx31{,}42\,\text{L}\). b) \(43\pi\,\text{L}\approx135{,}09\,\text{L}\).

- Überlege zuerst, an welchen Stellen sich die beiden Graphen schneiden. - Welche der beiden Funktionen liegt im relevanten Bereich über der anderen? - Erinnere dich an die Volumenformel für Rotationskörper, die durch zwei Funktionen begrenzt werden. - Achte beim Quadrieren der beiden Funktionsterme auf die binomischen Formeln.

1. Schnittstellen der Graphen durch Gleichsetzen bestimmen: \(x^2 = 4x - x^2 \Leftrightarrow 2x^2 - 4x = 0 \Leftrightarrow 2x(x - 2) = 0\). Die Integrationsgrenzen sind \(a = 0\) und \(b = 2\). 2. Differenz der Funktionsquadrate im Intervall \([0; 2]\) bilden, wobei \(g(x) \geq f(x)\) gilt: \((g(x))^2 - (f(x))^2 = (4x - x^2)^2 - (x^2)^2 = 16x^2 - 8x^3 + x^4 - x^4 = 16x^2 - 8x^3\). 3. Volumenintegral aufstellen: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{2} (16x^2 - 8x^3) \, dx\). 4. Stammfunktion bestimmen: \(\int (16x^2 - 8x^3) \, dx = \left[ \frac{16}{3}x^3 - 2x^4 \right]\). 5. Grenzen einsetzen und berechnen: \(V = \pi \cdot \left( \left( \frac{16}{3} \cdot 8 - 2 \cdot 16 \right) - 0 \right) = \pi \cdot \left( \frac{128}{3} - \frac{96}{3} \right) = \frac{32}{3}\pi\).

Das Volumen beträgt \(V = \frac{32}{3}\pi \approx 33{,}51 \, \text{VE}\).

- Bestimme zunächst die Schnittpunkte der beiden Funktionen, um die Integrationsgrenzen zu finden. - Denke daran, dass beim Rotieren einer Fläche zwischen zwei Kurven die Differenz der Quadrate der Funktionen integriert werden muss, nicht das Quadrat der Differenz. - Kannst du die Funktionsterme so umformen, dass sie leichter zu integrieren sind (z. B. Potenzschreibweise)? - Überprüfe am Ende, ob dein Ergebnis für ein Volumen sinnvoll ist (positives Vorzeichen).

1. Schnittstellen berechnen: \(\frac{2}{x} = 3 - x \Leftrightarrow 2 = 3x - x^2 \Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 = 0\). Mit der p-q-Formel ergeben sich die Grenzen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\). 2. Da \(g(x) \geq f(x)\) auf \([1; 2]\), lautet der Integrand für das Volumen: \((3-x)^2 - \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 9 - 6x + x^2 - 4x^{-2}\). 3. Volumenintegral berechnen: \(V = \pi \cdot \int_{1}^{2} (x^2 - 6x + 9 - 4x^{-2}) \, dx\). 4. Stammfunktion bilden: \(\left[ \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x + \frac{4}{x} \right]_{1}^{2}\). 5. Werte einsetzen: \(F(2) = \frac{8}{3} - 12 + 18 + 2 = \frac{32}{3}\) und \(F(1) = \frac{1}{3} - 3 + 9 + 4 = \frac{31}{3}\). 6. Differenz bilden: \(V = \pi \cdot \left( \frac{32}{3} - \frac{31}{3} \right) = \frac{1}{3}\pi\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(V = \frac{1}{3}\pi \approx 1{,}05 \, \text{VE}\).

- Welche Funktion beschreibt im Koordinatensystem einen Kreisbogen um den Ursprung? - In welchem Bereich auf der \(x\)-Achse muss die Funktion betrachtet werden, um eine vollständige Kugel zu erzeugen? - Wie lautet die allgemeine Formel für das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um die \(x\)-Achse entsteht? - Nutze die Symmetrie der Kugel aus, um die Rechnung gegebenenfalls zu vereinfachen.

1. Aufstellen der Funktionsgleichung für den oberen Halbkreis: \(f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}\) über dem Intervall \([-R; R]\). 2. Anwendung der Volumenformel für Rotationskörper um die \(x\)-Achse: \(V = \pi \int_{-R}^{R} (f(x))^2 dx = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 - x^2) dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = R^2 x - \frac{1}{3}x^3\). 4. Auswertung des bestimmten Integrals an den Grenzen: \(V = \pi \cdot [R^2 x - \frac{1}{3}x^3]_{-R}^{R} = \pi \cdot ((R^3 - \frac{1}{3}R^3) - (-R^3 + \frac{1}{3}R^3))\). 5. Zusammenfassen der Terme: \(V = \pi \cdot (\frac{2}{3}R^3 - (-\frac{2}{3}R^3)) = \pi \cdot \frac{4}{3}R^3\). 6. Endergebnis: \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\).

Das Volumen der Kugel beträgt \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\).

- Welche Querschnittsfläche gehört bei der Rotation zum äußeren Radius \(g(x)\)? - Im zweiten Teil bleibt ein Zylinder frei. Welche Kreisfläche musst du deshalb vom äußeren Querschnitt abziehen? - Achte darauf, dass für die beiden Teilaufgaben unterschiedliche Integrationsintervalle gelten.

1. Für den gesamten Pavillon gilt \(V=\pi\int_0^5(4-0{,}1x^2)^2\,\text{d}x\). 2. Es ist \((4-0{,}1x^2)^2=16-0{,}8x^2+0{,}01x^4\). Eine Stammfunktion ist \(16x-\frac{4}{15}x^3+\frac{1}{500}x^5\). 3. Damit folgt \(V=\frac{635\pi}{12}\,\text{m}^3\approx166{,}24\,\text{m}^3\). 4. Für den Bereich zwischen Außenhülle und Zylinder ist der Kreisringquerschnitt \(\pi((g(x))^2-2^2)\). Daher gilt \(V_{\text{Ring}}=\pi\int_0^3((g(x))^2-4)\,\text{d}x\). 5. Auswerten ergibt \(V_{\text{Ring}}=\frac{14643\pi}{500}\,\text{m}^3\approx92{,}00\,\text{m}^3\).

a) \(\frac{635\pi}{12}\,\text{m}^3\approx166{,}24\,\text{m}^3\). b) \(\frac{14643\pi}{500}\,\text{m}^3\approx92{,}00\,\text{m}^3\).

- Welche obere Integrationsgrenze gehört zu einer Füllhöhe von \(8\,\text{cm}\)? - Für die Überlaufprüfung musst du das verdrängte Volumen der vollständig eingetauchten Glassteine zum Flüssigkeitsvolumen addieren und mit der gesamten Gefäßkapazität vergleichen. - Wie erhältst du die Kapazität des Gefäßes aus demselben Volumenmodell? - Für Teil c kannst du die bereits bestimmte Stammfunktion mit der unbekannten oberen Grenze \(h\) verwenden.

1. Bei einer Füllhöhe von \(8\,\text{cm}\) ist \(V(8)=\pi\int_0^8(0{,}2x+3)^2\,\text{d}x\). 2. Mit \((0{,}2x+3)^2=0{,}04x^2+1{,}2x+9\) ergibt sich \(V(8)=\pi\left[\frac{x^3}{75}+0{,}6x^2+9x\right]_0^8=\frac{8792\pi}{75}\,\text{cm}^3\approx368{,}28\,\text{cm}^3\). 3. Das maximale Fassungsvermögen beträgt \(V(10)=\frac{490\pi}{3}\,\text{cm}^3\approx513{,}13\,\text{cm}^3\). 4. Die fünf Glassteine haben zusammen das Volumen \(5\cdot\frac{4}{3}\pi(1{,}2)^3=\frac{288\pi}{25}\,\text{cm}^3\approx36{,}19\,\text{cm}^3\). 5. Flüssigkeit und Glassteine beanspruchen zusammen \(\frac{8792\pi}{75}+\frac{288\pi}{25}=\frac{9656\pi}{75}\,\text{cm}^3\approx404{,}47\,\text{cm}^3\). Da dies kleiner als \(\frac{490\pi}{3}\,\text{cm}^3\) ist, läuft das Gefäß nicht über. 6. Für eine allgemeine Füllhöhe \(h\) gilt \(V(h)=\pi\left(\frac{h^3}{75}+0{,}6h^2+9h\right)\). Daher lautet eine integralfreie Gleichung für \(300\,\text{cm}^3\): \(\pi\left(\frac{h^3}{75}+0{,}6h^2+9h\right)=300\) mit \(0\le h\le10\).

a) \(\frac{8792\pi}{75}\,\text{cm}^3\approx368{,}28\,\text{cm}^3\) b) Flüssigkeit und Glassteine: \(\frac{9656\pi}{75}\,\text{cm}^3\approx404{,}47\,\text{cm}^3\); Fassungsvermögen: \(\frac{490\pi}{3}\,\text{cm}^3\approx513{,}13\,\text{cm}^3\). Das Gefäß läuft nicht über. c) \(\pi\left(\frac{h^3}{75}+0{,}6h^2+9h\right)=300\) mit \(0\le h\le10\).

- Stelle dir die Schale als einen großen Rotationskörper vor, aus dem ein kleinerer herausgeschnitten wurde. - Wie berechnet man allgemein das Volumen eines Körpers, der durch die Rotation einer Funktion um die \(x\)-Achse entsteht? - Beachte die unterschiedlichen Integrationsgrenzen für die Außen- und Innenseite. - Das Fassungsvermögen entspricht dem Volumen des Hohlraums im Inneren.

1. Berechnung des Volumens des durch \(f\) erzeugten Außenkörpers: \(V_f = \pi \cdot \int_{0}^{16} (f(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{16} (0{,}5x + 4) \, dx\). 2. Stammfunktion bilden und Grenzen einsetzen: \(V_f = \pi \cdot [0{,}25x^2 + 4x]_0^{16} = \pi \cdot (64 + 64) = 128\pi \approx 402{,}12\,\text{cm}^3\). 3. Berechnung des Volumens des durch \(g\) erzeugten Innenraums (Fassungsvermögen): \(V_g = \pi \cdot \int_{4}^{16} (g(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{4}^{16} (0{,}8x - 3{,}2) \, dx\). 4. Stammfunktion bilden und Grenzen einsetzen: \(V_g = \pi \cdot [0{,}4x^2 - 3{,}2x]_4^{16} = \pi \cdot ((102{,}4 - 51{,}2) - (6{,}4 - 12{,}8)) = \pi \cdot (51{,}2 + 6{,}4) = 57{,}6\pi \approx 180{,}96\,\text{cm}^3\). 5. Berechnung des Glasvolumens: \(V_{\text{Glas}} = V_f - V_g = 128\pi - 57{,}6\pi = 70{,}4\pi \approx 221{,}17\,\text{cm}^3\).

Das Fassungsvermögen der Schale beträgt \(57{,}6\pi\,\text{cm}^3 \approx 180{,}96\,\text{cm}^3\). Das Volumen des benötigten Glases beträgt \(70{,}4\pi\,\text{cm}^3 \approx 221{,}17\,\text{cm}^3\).

- Das Volumen eines Hohlkörpers lässt sich berechnen, indem man das Volumen des inneren Körpers vom Volumen des äußeren Körpers abzieht. - Erinnere dich an die Potenzgesetze, wenn du Funktionen wie \((a \cdot e^{bx})^2\) quadrierst. - Wie integriert man eine Exponentialfunktion der Form \(e^{kx}\)? - Du kannst die Integrale zusammenfassen, da sie über dasselbe Intervall verlaufen.

1. Das Materialvolumen ist die Differenz der beiden Rotationsvolumina: \(V=\pi\int_0^{10}\left(f(x)^2-g(x)^2\right)\,dx\). 2. Mit \(f(x)=2e^{0{,}1x}\) und \(g(x)=1{,}5e^{0{,}1x}\) ergibt sich \(V=\pi\int_0^{10}(4-2{,}25)e^{0{,}2x}\,dx=1{,}75\pi\int_0^{10}e^{0{,}2x}\,dx\). 3. Daher ist \(V=1{,}75\pi\left[5e^{0{,}2x}\right]_0^{10}=8{,}75\pi(e^2-1)\). 4. Numerisch gilt \(V\approx175{,}62835\,\text{cm}^3\), also auf Hundertstel gerundet \(V\approx175{,}63\,\text{cm}^3\).

\(V=8{,}75\pi(e^2-1)\,\text{cm}^3\approx175{,}63\,\text{cm}^3\).

- Welchen Punkt muss die Ursprungsgerade bei \(x=h\) erreichen? - Welche Querschnittsfläche entsteht bei der Rotation dieser Geraden um die \(x\)-Achse? - Überlege für den letzten Teil, welche geometrische Idee hinter der Rotationsvolumenformel steckt und was dadurch bereits vorausgesetzt wird.

1. Die Gerade verläuft durch \((0|0)\) und \((h|r)\). Daher ist \(m=\frac{r}{h}\) und \(f(x)=\frac{r}{h}x\). 2. Für das Rotationsvolumen gilt \(V=\pi\int_0^h(f(x))^2\,\text{d}x=\pi\int_0^h\left(\frac{r}{h}x\right)^2\,\text{d}x\). 3. Damit ist \(V=\pi\frac{r^2}{h^2}\left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^h=\frac{1}{3}\pi r^2h\). 4. Die Integralformel für Rotationsvolumina wird anschaulich über Summen dünner Kreiszylinderscheiben mit Querschnittsfläche \(\pi f(x)^2\) motiviert. Eine Herleitung der Kegelformel aus dieser Integralformel setzt daher diese geometrische Scheibenidee bereits voraus; sie ist kein davon unabhängiger Beweis der allgemeinen Rotationsvolumenformel.

a) \(f(x)=\frac{r}{h}x\). b) \(V=\frac{1}{3}\pi r^2h\). c) Die verwendete Rotationsvolumenformel beruht selbst auf der Approximation durch dünne Kreiszylinderscheiben. Die Kegelformel wird damit aus einer bereits geometrisch begründeten Volumenformel abgeleitet und beweist diese allgemeine Formel nicht unabhängig.

- Bestimme zuerst die Stellen, an denen sich die beiden Graphen schneiden, um die Integrationsgrenzen zu finden. - Überlege dir, welcher Graph im relevanten Bereich oberhalb des anderen liegt. - Stelle die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers auf, der durch die Rotation einer Fläche zwischen zwei Kurven entsteht. - Denk daran, dass du die Quadrate der Funktionswerte subtrahieren musst, bevor du integrierst.

1. Bestimmung der Schnittstellen der Funktionen \(f(x) = 2\sqrt{x}\) und \(g(x) = x\): \(2\sqrt{x} = x \implies 4x = x^2 \implies x(x - 4) = 0\). Die Integrationsgrenzen sind somit \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\). 2. Da \(f(x) \geq g(x)\) im Intervall \([0; 4]\) gilt, ergibt sich das Volumen durch die Differenz der Rotationsvolumina: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{4} ( (2\sqrt{x})^2 - x^2 ) \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{4} (4x - x^2) \, dx\). 3. Berechnung des Integrals: \(\int_{0}^{4} (4x - x^2) \, dx = \left[ 2x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{4} = (2 \cdot 16 - \frac{64}{3}) - 0 = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3}\). 4. Endergebnis: \(V = \frac{32}{3}\pi \approx 33{,}51\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(V = \frac{32}{3}\pi \approx 33{,}51\,\text{VE}\).

- Welche Schnittpunkte legen das relevante Intervall im ersten Quadranten fest? - Welche der beiden Funktionen liefert dort Außen- und welche Innenradius des Kreisrings? - Stelle zuerst den Kreisring-Integranden auf und nutze erst danach die angegebene trigonometrische Identität.

1. Bestimmung der Schnittstellen im ersten Quadranten: Durch Einsetzen oder Skizzieren erkennt man die Schnittpunkte bei \(x_1 = 0\) (da \(\sin(0) = 0\)) und \(x_2 = \frac{\pi}{2}\) (da \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\) und \(\frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 1\)). 2. Aufstellen des Volumenintegrals für die Rotation um die \(x\)-Achse: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{\pi/2} ( (\sin(x))^2 - (\frac{2}{\pi}x)^2 ) \, dx\). 3. Integration der einzelnen Terme: \(\int \sin^2(x) \, dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x)\). Ausgewertet von \(0\) bis \(\frac{\pi}{2}\) ergibt dies \(\frac{\pi}{4}\). \(\int (\frac{2}{\pi}x)^2 \, dx = \int \frac{4}{\pi^2}x^2 \, dx = \frac{4}{3\pi^2}x^3\). Ausgewertet von \(0\) bis \(\frac{\pi}{2}\) ergibt dies \(\frac{4}{3\pi^2} \cdot \frac{\pi^3}{8} = \frac{\pi}{6}\). 4. Subtraktion der Ergebnisse: \(V = \pi \cdot (\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \pi \cdot \frac{3\pi - 2\pi}{12} = \frac{\pi^2}{12}\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(V = \frac{\pi^2}{12} \approx 0{,}822\,\text{VE}\).

- Setze die Funktion in die allgemeine Formel für das Rotationsvolumen um die \(x\)-Achse ein. - Vereinfache den Integranden, indem du das Quadrat auflöst. - Welchen bekannten Funktionstyp erhältst du nach dem Quadrieren? Erinnere dich an die Stammfunktion von \(\frac{1}{x}\). - Um nach der Variable im Logarithmus aufzulösen, kannst du die Umkehrfunktion (Exponentialfunktion) verwenden.

1. Das Rotationsvolumen um die \(x\)-Achse ist definiert als \(V(b) = \pi \cdot \int_{0}^{b} (f(x))^2 \, dx\). 2. Einsetzen der Funktion: \(V(b) = \pi \cdot \int_{0}^{b} \left( \frac{3}{\sqrt{2x+1}} \right)^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{b} \frac{9}{2x+1} \, dx\). 3. Integration mittels der Regel für lineare Substitution (\(\int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a} \ln|ax+b|\)): \(V(b) = 9\pi \cdot \left[ \frac{1}{2} \ln(2x+1) \right]_{0}^{b} = 4{,}5\pi \cdot \ln(2b+1)\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielvolumen: \(4{,}5\pi \cdot \ln(2b+1) = 9\pi \implies \ln(2b+1) = 2\). 5. Auflösen nach \(b\): \(2b+1 = e^2 \implies 2b = e^2 - 1 \implies b = \frac{e^2-1}{2} \approx 3{,}19\).

a) \(V(b) = 4{,}5\pi \cdot \ln(2b+1)\) b) \(b = \frac{e^2-1}{2} \approx 3{,}19\)

- Was musst du zuerst tun, um die Integrationsgrenzen zu finden? - Wie berechnet man das Volumen eines Körpers, wenn die Fläche zwischen zwei Graphen rotiert? - Überlege, welche Funktion im relevanten Bereich weiter von der Rotationsachse entfernt ist. - Achte beim Bilden des Integranden darauf, die Quadrate der einzelnen Funktionen zu subtrahieren, nicht das Quadrat ihrer Differenz zu verwenden.

1. Bestimmung der Schnittpunkte durch Gleichsetzen: \(\sqrt{x+4} = \frac{1}{2}x + 2\). Quadrieren führt zu \(x+4 = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4\), woraus \(\frac{1}{4}x^2 + x = 0\) folgt. Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 0\). 2. Im Intervall \([-4; 0]\) verläuft der Graph von \(f\) oberhalb von \(g\). Da beide Funktionen im Intervall nichtnegativ sind, ergibt sich das Volumen aus der Differenz der Integrale der Quadrate: \(V = \pi \cdot \int_{-4}^{0} ((\sqrt{x+4})^2 - (\frac{1}{2}x + 2)^2) \, dx\). 3. Vereinfachung des Integranden: \((x+4) - (\frac{1}{4}x^2 + 2x + 4) = -\frac{1}{4}x^2 - x\). 4. Berechnung des Integrals: \(\int_{-4}^{0} (-\frac{1}{4}x^2 - x) \, dx = [-\frac{1}{12}x^3 - \frac{1}{2}x^2]_{-4}^{0}\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(0 - (-\frac{1}{12}(-64) - \frac{1}{2}(16)) = 0 - (\frac{16}{3} - 8) = \frac{8}{3}\). 6. Das Volumen beträgt \(V = \frac{8}{3}\pi \approx 8{,}38\,\text{VE}\).

\(V = \frac{8}{3}\pi \approx 8{,}38\,\text{VE}\)

- Wie findest du heraus, wo die Fläche beginnt und endet? - Welche Form haben die Querschnitte des Körpers senkrecht zur \(x\)-Achse? - Denk daran, zuerst die Funktionen einzeln zu quadrieren, bevor du die Differenz bildest. - Kannst du eine Skizze der Situation im Kopf oder auf Papier machen, um zu sehen, welche Funktion den äußeren Rand bildet?

1. Berechnung der Schnittstellen: \(x^2 - 4x + 5 = -x + 5 \Rightarrow x^2 - 3x = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 2. Vergleich der Abstände zur \(x\)-Achse: Im Intervall \([0; 3]\) ist \(g(x) \ge f(x)\). Da beide Funktionen stets positive Werte annehmen, ist \(g(x)\) der äußere Radius. 3. Aufstellen des Volumenintegrals: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{3} (g(x)^2 - f(x)^2) \, dx\). 4. Berechnung der Quadrate: \(g(x)^2 = x^2 - 10x + 25\) und \(f(x)^2 = x^4 - 8x^3 + 26x^2 - 40x + 25\). 5. Differenz bilden: \(g(x)^2 - f(x)^2 = -x^4 + 8x^3 - 25x^2 + 30x\). 6. Integration: \(\int_{0}^{3} (-x^4 + 8x^3 - 25x^2 + 30x) \, dx = [-\frac{1}{5}x^5 + 2x^4 - \frac{25}{3}x^3 + 15x^2]_{0}^{3}\). 7. Auswertung: \((-\frac{243}{5} + 162 - 225 + 135) - 0 = -48{,}6 + 72 = 23{,}4\). 8. Das Volumen ist \(V = 23{,}4\pi = \frac{117}{5}\pi\).

\(V = 23{,}4\pi = \frac{117}{5}\pi\)

- Welche Nullstellen begrenzen die Fläche, die tatsächlich rotiert? - Welche Querschnittsfläche entsteht aus einem Funktionswert bei Rotation um die \(x\)-Achse? - Vereinfache das Quadrat des Funktionsterms, bevor du integrierst.

1. Die Randpunkte der eingeschlossenen Fläche liegen bei den Nullstellen \(x=-1\) und \(x=2\). 2. Das Rotationsvolumen ist \(V=\pi\int_{-1}^{2}(f(x))^2\,\text{d}x\). 3. Es gilt \((f(x))^2=(x+1)^2(2-x)=-x^3+3x+2\). 4. Eine Stammfunktion ist \(-\frac{1}{4}x^4+\frac{3}{2}x^2+2x\). 5. Damit ergibt sich \(V=\pi\cdot\frac{27}{4}=\frac{27\pi}{4}\,\text{VE}\approx21{,}21\,\text{VE}\).

\(V=\frac{27\pi}{4}\,\text{VE}\approx21{,}21\,\text{VE}\).

- Was geschieht mit der Quadratwurzel, wenn du die Radienfunktion in der Volumenformel quadrierst? - Die angegebene Stammfunktion nimmt dir die Integrationsmethode ab; konzentriere dich auf Aufbau und Auswertung des Volumenintegrals. - Welche Vorzeichen haben \(x\) und \(\sin(x)\) im vorgegebenen Intervall?

1. Für das Rotationsvolumen gilt \(V=\pi\int_0^\pi(f(x))^2\,\text{d}x=\pi\int_0^\pi x\sin(x)\,\text{d}x\). 2. Mit der angegebenen Stammfunktion folgt \(\int_0^\pi x\sin(x)\,\text{d}x=[-x\cos(x)+\sin(x)]_0^\pi=\pi\). 3. Daher ist \(V=\pi^2\,\text{VE}\). 4. Für \(0\le x\le\pi\) gilt \(x\ge0\) und \(\sin(x)\ge0\). Somit ist \(x\sin(x)\ge0\), sodass die Quadratwurzel reell definiert ist.

a) \(V=\pi\int_0^\pi x\sin(x)\,\text{d}x\). b) \(V=\pi^2\,\text{VE}\). c) Auf \([0;\pi]\) sind sowohl \(x\) als auch \(\sin(x)\) nicht negativ; daher gilt \(x\sin(x)\ge0\).

- Wie findet man heraus, wo sich zwei Graphen schneiden? - Überlege, welche Funktion im relevanten Intervall oberhalb der anderen liegt. - Erinnere dich an die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers, der durch die Fläche zwischen zwei Funktionen entsteht. - Achte beim Quadrieren von Summen auf die binomischen Formeln.

1. Berechnung der Schnittstellen: Gleichsetzen der Funktionsterme \(\frac{1}{2}x^2 = x + 4\) führt auf die quadratische Gleichung \(x^2 - 2x - 8 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 4\). 2. Berechnung des Flächeninhalts: Da \(g(x) \geq f(x)\) im Intervall \([-2; 4]\) gilt, berechnet man das Integral der Differenzfunktion: \(A = \int_{-2}^{4} (x + 4 - \frac{1}{2}x^2) \, dx = [\frac{1}{2}x^2 + 4x - \frac{1}{6}x^3]_{-2}^{4}\). Einsetzen der Grenzen ergibt \(A = (8 + 16 - \frac{32}{3}) - (2 - 8 + \frac{4}{3}) = \frac{40}{3} - (-\frac{14}{3}) = \frac{54}{3} = 18\). 3. Berechnung des Rotationsvolumens: Das Volumen berechnet sich über \(V = \pi \cdot \int_{-2}^{4} (g(x)^2 - f(x)^2) \, dx\). 4. Einsetzen und Integrieren: \(V = \pi \cdot \int_{-2}^{4} ((x + 4)^2 - (\frac{1}{2}x^2)^2) \, dx = \pi \cdot \int_{-2}^{4} (x^2 + 8x + 16 - \frac{1}{4}x^4) \, dx\). 5. Stammfunktion bilden und Grenzen einsetzen: \(V = \pi \cdot [\frac{1}{3}x^3 + 4x^2 + 16x - \frac{1}{20}x^5]_{-2}^{4}\). Mit oberer Grenze: \(\frac{64}{3} + 64 + 64 - \frac{1024}{20} = \frac{64}{3} + 128 - \frac{256}{5} = \frac{1472}{15}\). Mit unterer Grenze: \(-\frac{8}{3} + 16 - 32 + \frac{32}{20} = -\frac{8}{3} - 16 + \frac{8}{5} = -\frac{256}{15}\). 6. Endergebnis: \(V = \pi \cdot (\frac{1472}{15} - (-\frac{256}{15})) = \frac{1728}{15}\pi = 115{,}2\pi\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(18\,\text{FE}\). b) Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(115{,}2\pi \approx 361{,}91\,\text{VE}\).

- Bestimme zuerst die Grenzen der Fläche durch Gleichsetzen der Funktionen. - Für den Flächeninhalt benötigst du die Stammfunktion von \(1/x\). - Für das Volumen musst du die Quadrate der Funktionen voneinander subtrahieren, bevor du integrierst. - Denke daran, dass \(\frac{1}{x^2}\) auch als \(x^{-2}\) geschrieben werden kann, um die Potenzregel beim Integrieren anzuwenden.

1. Schnittstellen bestimmen: Gleichsetzen \(4 - x = \frac{3}{x}\) ergibt \(4x - x^2 = 3\), also \(x^2 - 4x + 3 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 2. Flächeninhalt berechnen: \(h(x) \geq k(x)\) für \(x \in [1; 3]\). Das Integral lautet \(A = \int_1^3 (4 - x - \frac{3}{x}) \, dx = [4x - \frac{1}{2}x^2 - 3\ln(x)]_1^3\). 3. Grenzen einsetzen: \(A = (12 - 4{,}5 - 3\ln(3)) - (4 - 0{,}5 - 3\ln(1)) = 7{,}5 - 3\ln(3) - 3{,}5 = 4 - 3\ln(3) \approx 0{,}704\). 4. Rotationsvolumen berechnen: \(V = \pi \cdot \int_1^3 (h(x)^2 - k(x)^2) \, dx = \pi \cdot \int_1^3 ((4 - x)^2 - (\frac{3}{x})^2) \, dx\). 5. Integrand vereinfachen: \((4 - x)^2 - \frac{9}{x^2} = 16 - 8x + x^2 - 9x^{-2}\). 6. Stammfunktion und Auswertung: \(V = \pi \cdot [16x - 4x^2 + \frac{1}{3}x^3 + 9x^{-1}]_1^3\). 7. Werte einsetzen: Obere Grenze: \(48 - 36 + 9 + 3 = 24\). Untere Grenze: \(16 - 4 + \frac{1}{3} + 9 = 21 + \frac{1}{3} = \frac{64}{3}\). 8. Ergebnis: \(V = \pi \cdot (24 - \frac{64}{3}) = \pi \cdot (\frac{72 - 64}{3}) = \frac{8}{3}\pi\).

a) Der Flächeninhalt beträgt \(4 - 3\ln(3) \approx 0{,}704\,\text{FE}\). b) Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(\frac{8}{3}\pi \approx 8{,}378\,\text{VE}\).

- Welche Fläche hat ein Querschnitt senkrecht zur \(x\)-Achse bei der Rotation? - Vereinfache zunächst das Quadrat von \(\sqrt{x}\,e^x\). - Für die Integration musst du kein neues Verfahren wählen; die benötigte Stammfunktion ist angegeben.

1. Für das Rotationsvolumen gilt \(V=\pi\int_0^1(f(x))^2\,\text{d}x\). 2. Wegen \((\sqrt{x}\,e^x)^2=xe^{2x}\) ist \(V=\pi\int_0^1xe^{2x}\,\text{d}x\). 3. Mit der angegebenen Stammfunktion folgt \(\int_0^1xe^{2x}\,\text{d}x=F(1)-F(0)=\frac{e^2+1}{4}\). 4. Somit ist \(V=\frac{e^2+1}{4}\pi\,\text{VE}\).

a) \(V=\pi\int_0^1xe^{2x}\,\text{d}x\). b) \(V=\frac{e^2+1}{4}\pi\,\text{VE}\).

- Wie findest du heraus, in welchem Bereich die beiden Graphen eine Fläche einschließen? - Wenn eine Fläche zwischen zwei Kurven rotiert, musst du die Quadrate der einzelnen Funktionswerte voneinander abziehen. - Achte darauf, die binomischen Formeln korrekt anzuwenden, bevor du das Integral berechnest. - Kannst du die Symmetrie der Funktionen zur \(y\)-Achse nutzen, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Bestimmung der Integrationsgrenzen durch Gleichsetzen der Funktionen: \(x^2 + 1 = 9 - x^2 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x_{1} = -2, x_{2} = 2\). 2. Aufstellen des Integrals für die Differenz der Volumina: \(V = \pi \cdot \int_{-2}^{2} (g(x)^2 - f(x)^2) \, dx\). 3. Vereinfachung des Integranden: \((9 - x^2)^2 - (x^2 + 1)^2 = (81 - 18x^2 + x^4) - (x^4 + 2x^2 + 1) = 80 - 20x^2\). 4. Berechnung der Stammfunktion: \(F(x) = 80x - \frac{20}{3}x^3\). 5. Einsetzen der Grenzen und Auswertung: \(V = \pi \cdot [(160 - \frac{160}{3}) - (-160 + \frac{160}{3})] = \pi \cdot (320 - \frac{320}{3}) = \frac{640}{3}\pi\).

Das Volumen beträgt \(V = \frac{640}{3}\pi \approx 670{,}21\,\text{VE}\).

- Welche Punkte begrenzen die Fläche auf der horizontalen Achse? - Untersuche die Graphen auf Symmetrien, um die Rechnung zu vereinfachen. - Wie lautet die allgemeine Formel für das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um die Abszisse entsteht? - Überlege dir, in welche Teilintervalle du die Integrationsgrenzen aufteilen musst, wenn die obere Begrenzung der Fläche aus verschiedenen Funktionsstücken besteht.

1. Bestimmung der Nullstellen: \(f(x) = 0 \Rightarrow 2 - e^x = 0 \Rightarrow x = \ln(2)\); \(g(x) = 0 \Rightarrow 2 - e^{-x} = 0 \Rightarrow x = -\ln(2)\). 2. Bestimmung des Schnittpunkts der Graphen: \(f(x) = g(x) \Rightarrow e^x = e^{-x} \Rightarrow x = 0\). Der Schnittpunkt liegt bei \((0|1)\). 3. Symmetriebetrachtung: Da \(f(x) = g(-x)\) gilt, ist die Fläche achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Das Gesamtvolumen ergibt sich aus \(V = 2 \cdot \pi \cdot \int_{0}^{\ln(2)} (2 - e^x)^2 dx\). 4. Integration: Das Integral der quadrierten Funktion \((2 - e^x)^2 = 4 - 4e^x + e^{2x}\) lautet \(\int (4 - 4e^x + e^{2x}) dx = 4x - 4e^x + \frac{1}{2}e^{2x} + C\). 5. Auswertung: \(V = 2\pi \cdot [4x - 4e^x + \frac{1}{2}e^{2x}]_0^{\ln(2)} = 2\pi \cdot ((4\ln(2) - 8 + 2) - (0 - 4 + 0{,}5)) = 2\pi \cdot (4\ln(2) - 2{,}5) = 8\pi \ln(2) - 5\pi\).

\(V = \pi(8 \ln(2) - 5) \approx 1{,}71\,\text{VE}\)

- An welcher Stelle wechseln Sinus und Kosinus im betrachteten Intervall ihre Rolle als Rand der eingeschlossenen Fläche? - Welche Symmetrie kann die Volumenrechnung auf einen der beiden Teilabschnitte reduzieren? - Nutze die angegebene Identität erst, nachdem du den passenden Volumenansatz für einen Teilabschnitt formuliert hast.

1. Schnittpunktbestimmung im Intervall \([0; \frac{\pi}{2}]\): \(\sin(x) = \cos(x) \Rightarrow \tan(x) = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}\). 2. Intervallaufteilung: Die Fläche wird von \(x=0\) bis \(x=\frac{\pi}{4}\) durch \(f(x) = \sin(x)\) und von \(x=\frac{\pi}{4}\) bis \(x=\frac{\pi}{2}\) durch \(g(x) = \cos(x)\) begrenzt. 3. Volumenansatz: Aufgrund der Symmetrie der Sinus- und Kosinusfunktion im betrachteten Bereich sind die Teilvolumina identisch: \(V = 2\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2(x) dx\). 4. Linearisierung: Unter Verwendung von \(\sin^2(x) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2x))\) folgt \(V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 - \cos(2x)) dx\). 5. Stammfunktion und Auswertung: \(V = \pi [x - \frac{1}{2}\sin(2x)]_0^{\frac{\pi}{4}} = \pi \cdot (\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}) - (0 - 0)) = \frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi}{2}\).

\(V = \frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi}{2} \approx 0{,}90\,\text{VE}\)

- Welche Querschnittsfläche entsteht aus dem Radius \(f(x)\) bei Rotation um die \(x\)-Achse? - Für den Vergleich brauchst du zusätzlich das Volumen des angegebenen Zylinders. - Ein prozentualer Volumenvergleich entsteht aus dem Quotienten der beiden Volumina.

1. Das Füllvolumen ist \(V=\pi\int_0^8(0{,}1x^2-x+5)^2\,\text{d}x=\frac{30776\pi}{375}\,\text{cm}^3\approx257{,}8\,\text{cm}^3\). 2. Der Vergleichszylinder hat das Volumen \(V_Z=\pi\cdot5^2\cdot8=200\pi\,\text{cm}^3\). 3. Der prozentuale Anteil beträgt \(\frac{V}{V_Z}\cdot100\,\%\approx41{,}0\,\%\).

a) \(V\approx257{,}8\,\text{cm}^3\). b) \(41{,}0\,\%\).

- Welche Gleichung müssen die Funktionswerte an einem Schnittpunkt erfüllen? - Welcher Graph liefert zwischen den Schnittpunkten den äußeren Radius? - Bei einem Kreisring werden die Flächen der beiden Kreise voneinander abgezogen.

1. Aus \(\sqrt{2x}=x\) folgt für \(x\ge0\) die Gleichung \(2x=x^2\), also \(x=0\) oder \(x=2\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(0|0)\) und \(S_2(2|2)\). 2. Auf \([0;2]\) liegt \(f\) oberhalb von \(g\). Der Kreisringquerschnitt ist daher \(\pi((f(x))^2-(g(x))^2)=\pi(2x-x^2)\). 3. Es gilt \(V=\pi\int_0^2(2x-x^2)\,\text{d}x=\pi\left[x^2-\frac{1}{3}x^3\right]_0^2=\frac{4\pi}{3}\,\text{VE}\).

a) \(S_1(0|0)\) und \(S_2(2|2)\). b) \(V=\frac{4\pi}{3}\,\text{VE}\).

- Für das Füllvolumen ist nur die innere Radienfunktion auf ihrem eigenen Intervall relevant. - Das Glasvolumen erhältst du als äußeres Rotationsvolumen minus Hohlraumvolumen. - Welche Beziehung verbindet Masse, Dichte und Volumen?

1. Für den Hohlraum gilt \(V_{\text{Hohl}}=\pi\int_1^6(g(x))^2\,\text{d}x=\pi\int_1^6(4x-4)\,\text{d}x=50\pi\,\text{cm}^3\approx157{,}1\,\text{cm}^3\). 2. Wegen \(1\,\text{cm}^3=1\,\text{mL}\) beträgt das Füllvolumen \(157{,}1\,\text{mL}\). 3. Das äußere Rotationsvolumen ist \(V_{\text{außen}}=\pi\int_0^6(0{,}5x+3)^2\,\text{d}x=126\pi\,\text{cm}^3\). 4. Daher ist das Glasvolumen \(V_{\text{Glas}}=126\pi-50\pi=76\pi\,\text{cm}^3\approx238{,}8\,\text{cm}^3\). 5. Die Masse ist \(m=2{,}5\,\text{g/cm}^3\cdot76\pi\,\text{cm}^3=190\pi\,\text{g}\approx596{,}9\,\text{g}\).

a) \(157{,}1\,\text{mL}\). b) \(76\pi\,\text{cm}^3\approx238{,}8\,\text{cm}^3\). c) \(190\pi\,\text{g}\approx596{,}9\,\text{g}\).

- Welche Querschnittsfläche entsteht aus dem Radius \(f(x)\)? - Durch das Quadrieren des Funktionsterms verschwindet die Wurzel. - Vereinfache den Integranden vollständig, bevor du die Stammfunktion bestimmst.

1. Das Rotationsvolumen ist \(V=\pi\int_0^{25}(f(x))^2\,\text{d}x\). 2. Es gilt \((f(x))^2=0{,}01(x+2)^2(25-x)=0{,}01(-x^3+21x^2+96x+100)\). 3. Daher ist \(V=0{,}01\pi\int_0^{25}(-x^3+21x^2+96x+100)\,\text{d}x=\frac{7075\pi}{16}\,\text{cm}^3\).

\(V=\frac{7075\pi}{16}\,\text{cm}^3\).

- Welche Funktionswerte liefern die Radien an den beiden Enden und in der Mitte? - Für das massive Volumen kannst du zuerst \(f(x)^2\) vereinfachen. - Bei der Bohrung ist der Durchmesser gegeben. Welche Größe brauchst du für das Zylindervolumen? - Wie hängt das tatsächliche Holzvolumen mit massivem Volumen und Bohrungsvolumen zusammen?

1. An beiden Enden gilt \(f(0)=f(8)=\sqrt{12}=2\sqrt3\,\text{cm}\). Die Durchmesser betragen jeweils \(4\sqrt3\,\text{cm}\). In der Mitte ist \(f(4)=2\,\text{cm}\), also beträgt der Durchmesser dort \(4\,\text{cm}\). 2. Das massive Volumen ist \(V_{\text{massiv}}=\pi\int_0^8(0{,}5(x-4)^2+4)\,\text{d}x=\frac{160\pi}{3}\,\text{cm}^3\). 3. Die Bohrung hat den Radius \(1\,\text{cm}\) und die Länge \(8\,\text{cm}\). Ihr Volumen ist \(8\pi\,\text{cm}^3\). 4. Daher verbleibt \(V_{\text{Holz}}=\frac{160\pi}{3}-8\pi=\frac{136\pi}{3}\,\text{cm}^3\).

a) Enden: jeweils \(4\sqrt3\,\text{cm}\); Mitte: \(4\,\text{cm}\). b) \(\frac{160\pi}{3}\,\text{cm}^3\). c) \(\frac{136\pi}{3}\,\text{cm}^3\).

- Welche Gleichung bestimmen die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse? - Ist der Funktionsterm gerade oder ungerade, und was bedeutet das für das Volumenintegral? - Vereinfache das Quadrat des Radius vor der Integration.

1. Aus \(4-x^2=0\) folgen die Nullstellen \(x=-2\) und \(x=2\). 2. Das Volumen ist \(V=\pi\int_{-2}^{2}(4-x^2)^2\,\text{d}x\). 3. Wegen der Symmetrie gilt \(V=2\pi\int_0^2(16-8x^2+x^4)\,\text{d}x\). 4. Damit folgt \(V=2\pi\left[16x-\frac{8}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5\right]_0^2=\frac{512\pi}{15}\,\text{VE}\).

a) \(x=-2\) und \(x=2\). b) \(V=\frac{512\pi}{15}\,\text{VE}\).

- Bestimme zuerst die Grenzen der Fläche, indem du die Schnittpunkte der beiden Graphen berechnest. - Überprüfe innerhalb dieser Grenzen, welcher Graph weiter von der \(x\)-Achse entfernt ist. - Nutze die Potenzgesetze, um die quadrierten Terme unter dem Integral zu vereinfachen, bevor du die Stammfunktion bildest.

1. Bestimmung der Schnittpunkte im ersten Quadranten: \(x^2 = x^4 \Rightarrow x^4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x^2 - 1) = 0\). Die Lösungen sind \(x = 0\) und \(x = 1\) (da \(x \ge 0\)). 2. Vergleich der Funktionswerte im Intervall \([0; 1]\): Für \(x = 0{,}5\) gilt \(f(0{,}5) = 0{,}25\) und \(g(0{,}5) = 0{,}0625\). Also ist \(f(x) \ge g(x)\). 3. Volumenansatz: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{1} ((x^2)^2 - (x^4)^2) \,\text{d}x = \pi \cdot \int_{0}^{1} (x^4 - x^8) \,\text{d}x\). 4. Integration: \(\pi \cdot [\frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{9}x^9]_0^1 = \pi \cdot (\frac{1}{5} - \frac{1}{9}) = \pi \cdot (\frac{9}{45} - \frac{5}{45}) = \frac{4}{45}\pi\). 5. Numerisches Ergebnis: \(V = \frac{4}{45}\pi \approx 0{,}279\,\text{VE}\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(\frac{4}{45}\pi \approx 0{,}28\,\text{VE}\).

- Wie findest du heraus, wo die Fläche beginnt und wo sie endet? - Welche Funktion beschreibt den äußeren Radius des Körpers und welche den inneren Hohlraum? - Vergiss nicht, den gesamten Integralausdruck mit \(\pi\) zu multiplizieren. - Achte beim Quadrieren von \(2x\) darauf, sowohl die Zahl als auch die Variable zu quadrieren.

1. Berechnung der Schnittpunkte: \(2x = x^2 \Rightarrow x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0\). Schnittstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 2. Festlegung der oberen Funktion: Im Intervall \([0; 2]\) ist \(f(x) \ge g(x)\) (z. B. \(f(1)=2 > g(1)=1\)). 3. Volumenintegral aufstellen: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{2} ((2x)^2 - (x^2)^2) \,\text{d}x = \pi \cdot \int_{0}^{2} (4x^2 - x^4) \,\text{d}x\). 4. Stammfunktion bilden: \(\int (4x^2 - x^4) \,\text{d}x = \frac{4}{3}x^3 - \frac{1}{5}x^5\). 5. Auswertung: \(\pi \cdot [\frac{4}{3}x^3 - \frac{1}{5}x^5]_0^2 = \pi \cdot (\frac{4}{3} \cdot 8 - \frac{1}{5} \cdot 32) = \pi \cdot (\frac{32}{3} - \frac{32}{5}) = \pi \cdot \frac{160 - 96}{15} = \frac{64}{15}\pi\). 6. Ergebnis: \(V = \frac{64}{15}\pi \approx 13{,}40\,\text{VE}\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(\frac{64}{15}\pi \approx 13{,}40\,\text{VE}\).

- Findest du die Stellen, an denen sich die Parabel und die Gerade schneiden? - Du kannst dir die Arbeit erleichtern, indem du die Symmetrie der Parabel zur \(y\)-Achse nutzt. - Achte beim Quadrieren der Differenz \(-x^2 + 5\) auf die binomischen Formeln. - Überlege dir, wie der Körper aussieht – ist es ein Vollkörper oder hat er ein zylindrisches Loch in der Mitte?

1. Berechnung der Schnittpunkte: \(-x^2 + 5 = 1 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\). 2. Bestimmung der oberen Funktion: Im Intervall \([-2; 2]\) ist \(f(x) \ge g(x)\). 3. Volumenintegral: \(V = \pi\int_{-2}^{2} ((-x^2 + 5)^2 - 1^2) \,\text{d}x\). 4. Vereinfachung des Integranden: \((-x^2 + 5)^2 - 1 = x^4 - 10x^2 + 25 - 1 = x^4 - 10x^2 + 24\). 5. Integration (unter Ausnutzung der Symmetrie): \(V = 2\pi \cdot \int_{0}^{2} (x^4 - 10x^2 + 24) \,\text{d}x = 2\pi \cdot [\frac{1}{5}x^5 - \frac{10}{3}x^3 + 24x]_0^2\). 6. Auswertung: \(2\pi \cdot (\frac{32}{5} - \frac{80}{3} + 48) = 2\pi \cdot (\frac{96 - 400 + 720}{15}) = 2\pi \cdot \frac{416}{15} = \frac{832}{15}\pi\). 7. Endergebnis: \(V = \frac{832}{15}\pi \approx 174{,}25\,\text{VE}\).

Das Volumen des Rotationskörpers beträgt \(\frac{832}{15}\pi \approx 174{,}25\,\text{VE}\).

- Welche Funktion beschreibt den Hohlraum und welche die äußere Begrenzung? - Wegen der unterschiedlichen Startpunkte der Profile solltest du Außen- und Innenvolumen getrennt bestimmen. - Wie hängen Masse, Dichte und Glasvolumen zusammen? - Welche geometrische Bedeutung haben die beiden Funktionswerte bei \(x=4\)?

1. Das Fassungsvermögen ist \(V_{\text{innen}}=\pi\int_1^4(2\sqrt{x-1})^2\,\text{d}x=18\pi\,\text{cm}^3\). 2. Das äußere Gesamtvolumen ist \(V_{\text{gesamt}}=\pi\int_0^4(0{,}2x+3)^2\,\text{d}x=\frac{3484\pi}{75}\,\text{cm}^3\). 3. Das Glasvolumen ist \(V_{\text{Glas}}=\frac{3484\pi}{75}-18\pi=\frac{2134\pi}{75}\,\text{cm}^3\). 4. Mit der Dichte folgt \(m=2{,}5\,\text{g/cm}^3\cdot\frac{2134\pi}{75}\,\text{cm}^3=\frac{1067\pi}{15}\,\text{g}\). 5. Es ist \(f(4)-g(4)=3{,}8-2\sqrt3\,\text{cm}\). Dieser Unterschied der beiden Radien ist die Wandstärke am oberen Rand.

a) \(18\pi\,\text{cm}^3\). b) \(\frac{2134\pi}{75}\,\text{cm}^3\). c) \(\frac{1067\pi}{15}\,\text{g}\). d) \(3{,}8-2\sqrt3\,\text{cm}\) ist die Wandstärke am oberen Rand.

- Erinnere dich an die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die \(x\)-Achse. - Überlege dir, wie man ein uneigentliches Integral mit einer variablen oberen Grenze berechnet. - Welche Bedingung muss für den Exponenten einer Potenzfunktion \(x^n\) gelten, damit der Grenzwert für \(x \to \infty\) gegen Null geht? - Vergiss nicht den Sonderfall, in dem die Stammfunktion ein natürlicher Logarithmus ist.

1. Das Volumen eines Rotationskörpers über dem Intervall \([1; \infty[\) ist definiert durch \(V = \pi \cdot \int_{1}^{\infty} (f_k(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{1}^{\infty} x^{-2k} \, dx\). 2. Berechnung des unbestimmten Integrals: Für \(2k \neq 1\) ist \(\int x^{-2k} \, dx = \frac{x^{-2k+1}}{-2k+1}\). Für \(2k = 1\) (also \(k = 0{,}5\)) ist \(\int x^{-1} \, dx = \ln|x|\). 3. Untersuchung des Grenzwerts für \(x \to \infty\): - Falls \(k = 0{,}5\): \(\lim_{z \to \infty} [\ln|x|]_1^z = \infty\) (divergent). - Falls \(k \neq 0{,}5\): \(\lim_{z \to \infty} \left[ \frac{x^{1-2k}}{1-2k} \right]_1^z\) existiert nur, wenn der Exponent negativ ist: \(1-2k < 0 \iff k > 0{,}5\). 4. Für \(k > 0{,}5\) ergibt sich der Wert des Integrals zu \(0 - \frac{1}{1-2k} = \frac{1}{2k-1}\). 5. Das endliche Volumen lautet somit \(V(k) = \frac{\pi}{2k-1}\) für \(k > 0{,}5\).

Das Volumen ist für \(k > 0{,}5\) endlich. Die Formel lautet \(V(k) = \frac{\pi}{2k-1}\).

- Stelle zuerst die allgemeine Formel für das Volumen in Abhängigkeit von \(a\) auf. - Wie vereinfacht sich der Ausdruck \((\sqrt{x})^2\)? - Achte beim Quadrieren von \(\frac{1}{2}x\) darauf, sowohl die Zahl als auch die Variable zu quadrieren. - Um ein Verhältnis zu bestimmen, kannst du die beiden Volumina als Bruch schreiben und so weit wie möglich kürzen.

1. Das Volumen des Paraboloids berechnet sich durch \(V_p = \pi \cdot \int_{0}^{a} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \cdot \int_{0}^{a} x dx = \pi \cdot \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{a} = \frac{1}{2}\pi a^2\). Gleichsetzen mit \(32\pi\) ergibt \(\frac{1}{2}\pi a^2 = 32\pi \Rightarrow a^2 = 64 \Rightarrow a = 8\) (da \(a > 0\)). 2. Für den Kegel mit \(k(x) = \frac{1}{2}x\) und \(a = 8\) gilt: \(V_k = \pi \cdot \int_{0}^{8} (\frac{1}{2}x)^2 dx = \pi \cdot \int_{0}^{8} \frac{1}{4}x^2 dx = \pi \cdot \left[ \frac{1}{12}x^3 \right]_{0}^{8} = \pi \cdot \frac{512}{12} = \frac{128}{3}\pi\). 3. Das Verhältnis der Volumina ist \(V_p : V_k = 32\pi : \frac{128}{3}\pi\). Durch Multiplikation mit \(3\) erhält man \(96\pi : 128\pi\). Kürzen durch \(32\pi\) ergibt das einfachste Ganzzahlverhältnis \(3 : 4\).

1. \(a = 8\). 2. \(V_{\text{Kegel}} = \frac{128}{3}\pi \approx 134{,}04\) Volumeneinheiten. 3. Das Verhältnis beträgt \(3 : 4\).

- Beschreibe zuerst geometrisch, welche beiden Kreisflächen den Querschnitt des Hohlkörpers bestimmen. - Prüfe dann algebraisch, unter welchen Bedingungen der geometrisch richtige Ausdruck mit dem vorgeschlagenen Ausdruck übereinstimmen kann. - Welche geometrische Bedeutung haben die Sonderfälle, in denen die beiden Ausdrücke gleich werden?

1. Der tatsächliche Kreisring hat an der Stelle \(x\) den Flächeninhalt \(A_{\text{real}}(x)=\pi(f(x)^2-g(x)^2)\). 2. Der zu prüfende Ausdruck ist \(A_{\text{test}}(x)=\pi(f(x)-g(x))^2\). 3. Aus \(A_{\text{real}}(x)=A_{\text{test}}(x)\) folgt \(f(x)^2-g(x)^2=f(x)^2-2f(x)g(x)+g(x)^2\). 4. Umformen ergibt \(2g(x)(f(x)-g(x))=0\). Daher gilt entweder \(g(x)=0\) oder \(f(x)=g(x)\). 5. Für einen echten Hohlkörper mit \(f(x)>g(x)>0\) sind beide Bedingungen ausgeschlossen. Deshalb muss der Kreisringquerschnitt als \(\pi(f(x)^2-g(x)^2)\) und das Volumen als Integral dieser Differenz berechnet werden.

Punktweise gilt \(\pi(f(x)^2-g(x)^2)=\pi(f(x)-g(x))^2\) genau dann, wenn \(g(x)=0\) oder \(f(x)=g(x)\). Für einen echten Hohlkörper mit \(f(x)>g(x)>0\) ist daher \(\pi(f(x)-g(x))^2\) nicht der richtige Kreisringquerschnitt; verwendet werden muss \(\pi(f(x)^2-g(x)^2)\).

- Welche geometrische Bedeutung haben die \(x\)-Koordinate und die Funktionswerte in diesem Rotationsmodell? - Was sagen die unterschiedlichen Nullstellen von Außen- und Innenprofil über den Boden aus? - Für das Materialvolumen brauchst du die Differenz zwischen äußerem und innerem Rotationsvolumen. - Prüfe bei allen Volumina die Einheit \(\text{m}^3\).

1. Die Gesamthöhe entspricht dem Intervall \([0;60]\), also \(60\,\text{m}\). 2. Die Nullstellen sind \(0\) und \(0{,}8\). Ihre Differenz \(0{,}8\,\text{m}\) beschreibt die Dicke der Bodenplatte. 3. Am oberen Rand gilt \(f(60)-g(60)=\sqrt{270}-\sqrt{248{,}64}\,\text{m}\approx0{,}66\,\text{m}\). Dies ist die Wandstärke am oberen Ende. 4. Der äußere Rotationskörper hat \(V_{\text{Brutto}}=\pi\int_0^{60}4{,}5x\,\text{d}x=8100\pi\,\text{m}^3\approx25\,446{,}90\,\text{m}^3\). 5. Der Innenraum hat \(V_{\text{Innen}}=\pi\int_{0{,}8}^{60}4{,}2(x-0{,}8)\,\text{d}x=7359{,}744\pi\,\text{m}^3\). Daher beträgt das Materialvolumen \(740{,}256\pi\,\text{m}^3\approx2325{,}58\,\text{m}^3\).

a) \(60\,\text{m}\) b) \(0{,}8\,\text{m}\); Dicke der Bodenplatte. c) \(\sqrt{270}-\sqrt{248{,}64}\,\text{m}\approx0{,}66\,\text{m}\); Wandstärke am oberen Ende. d) \(8100\pi\,\text{m}^3\approx25\,446{,}90\,\text{m}^3\). e) \(740{,}256\pi\,\text{m}^3\approx2325{,}58\,\text{m}^3\).

- Hier liegt eine Unstetigkeitsstelle am Rand des Integrationsbereichs vor. Wie berechnest du hier den Flächeninhalt? - Welche Stammfunktion gehört zu \(x^{-0{,}5}\) und welche zu \(\frac{1}{x}\)? - Überlege, wie sich die Funktionen \(\sqrt{x}\) und \(\ln(x)\) verhalten, wenn \(x\) gegen Null geht.

1. Aufstellen des uneigentlichen Integrals für den Flächeninhalt aufgrund der Polstelle bei \(x=0\): \(A = \int_{0}^{1} x^{-0{,}5} \, dx\). 2. Bildung der Stammfunktion \(G(x) = 2\sqrt{x}\). 3. Grenzwertberechnung an der unteren Grenze: \(\lim_{a \to 0^+} [2\sqrt{x}]_a^1 = 2\sqrt{1} - \lim_{a \to 0^+} 2\sqrt{a} = 2 - 0 = 2\). Der Flächeninhalt ist mit \(A = 2\) endlich. 4. Aufstellen des Integrals für das Rotationsvolumen: \(V = \pi \cdot \int_{0}^{1} (g(x))^2 \, dx = \pi \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \, dx\). 5. Verwendung der Stammfunktion \(\ln|x|\). 6. Untersuchung des Grenzwerts: \(\pi \cdot \lim_{a \to 0^+} [\ln(x)]_a^1 = \pi \cdot (\ln(1) - \lim_{a \to 0^+} \ln(a)) = \pi \cdot (0 - (-\infty)) = \infty\). Das Volumen ist unendlich.

Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt \(A = 2\). Das Volumen des Rotationskörpers ist unendlich groß.

- Wie hängt die obere Integrationsgrenze von der Höhe über dem Boden bei \(x=-6\) ab? - Welche Volumendifferenz entsteht, wenn der Wasserstand um \(1\,\text{dm}\) steigt? - Warum hebt sich das Volumen des vollständig bedeckten festen Objekts in dieser Differenz auf? - Achte darauf, dass auch die erhöhte Füllhöhe im Modellintervall bleibt.

1. Für eine Füllhöhe \(h\in[0;6]\) gilt \(V(h)=\pi\int_{-6}^{-6+h}f(x)^2\,\text{d}x=\frac{144}{\pi}(\sin(\frac{\pi}{12}(h-6))+1)\,\text{dm}^3\). 2. Für \(h=3\) folgt \(V(3)=\frac{144}{\pi}(1-\frac{\sqrt2}{2})\,\text{L}\approx13{,}43\,\text{L}\). 3. Weil das fixierte Objekt vor und nach dem Nachfüllen vollständig bedeckt ist, bleibt sein verdrängtes Volumen unverändert. Deshalb gilt für \(0\le h\le5\) die Volumendifferenz \(V(h+1)-V(h)=4\). 4. Einsetzen der Volumenfunktion ergibt \(\frac{144}{\pi}(\sin(\frac{\pi}{12}(h-5))-\sin(\frac{\pi}{12}(h-6)))=4\).

a) \(\frac{144}{\pi}(1-\frac{\sqrt2}{2})\,\text{L}\approx13{,}43\,\text{L}\). b) \(\frac{144}{\pi}(\sin(\frac{\pi}{12}(h-5))-\sin(\frac{\pi}{12}(h-6)))=4\) mit \(0\le h\le5\).

- Bestimme zuerst die Gleichung der Geraden, die die schräge Mantellinie des Kegelstumpfes im Koordinatensystem darstellt. - Wie lautet die Integrationsformel für einen Rotationskörper? - Beim Integrieren eines Ausdrucks der Form \((ax+b)^2\) kann eine einfache Substitution oder die Kettenregel hilfreich sein. - Erinnere dich an algebraische Identitäten für Terme wie \(a^3 - b^3\), um das Ergebnis zu vereinfachen.

1. Aufstellen der linearen Funktionsgleichung durch die Punkte \((0|r)\) und \((h|R)\): Die Steigung ist \(m = \frac{R-r}{h}\) und der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(b = r\), also \(f(x) = \frac{R-r}{h}x + r\). 2. Aufstellen des Volumenintegrals: \(V = \pi \int_0^h (f(x))^2 dx = \pi \int_0^h \left(\frac{R-r}{h}x + r\right)^2 dx\). 3. Ausmultiplizieren des Integranden: \(\left(\frac{R-r}{h}x + r\right)^2 = \frac{(R-r)^2}{h^2}x^2 + 2r\frac{R-r}{h}x + r^2\). 4. Integration: \(V = \pi \left[\frac{(R-r)^2}{3h^2}x^3 + r\frac{R-r}{h}x^2 + r^2x\right]_0^h\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(V = \pi \left(\frac{(R-r)^2h}{3} + r(R-r)h + r^2h\right) = \pi h \left(\frac{(R-r)^2}{3} + r(R-r) + r^2\right)\). 6. Vereinfachen: \(\frac{(R-r)^2}{3} + r(R-r) + r^2 = \frac{R^2 - 2Rr + r^2 + 3Rr - 3r^2 + 3r^2}{3} = \frac{R^2 + Rr + r^2}{3}\). 7. Endergebnis: \(V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)\).

Die Herleitung ergibt die Volumenformel \(V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)\).

- Kannst du die Funktion als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben? - Wie lautet die allgemeine Formel für das Volumen eines Rotationskörpers bei Rotation um die \(x\)-Achse? - Was musst du beachten, wenn eine der Integrationsgrenzen im Unendlichen liegt oder die Funktion dort nicht definiert ist? - Erinnere dich an den Grenzwert von \(\frac{1}{x^n}\) für \(x \to \infty\) und \(x \to 0\).

1. Aufstellen des Integrals für das Volumen bei Rotation um die \(x\)-Achse: \(V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 \,\text{d}x\). Hier ist \((f(x))^2 = \left(\frac{2}{x^{3/4}}\right)^2 = \frac{4}{x^{3/2}} = 4x^{-3/2}\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(\int 4x^{-3/2} \,\text{d}x = 4 \cdot \frac{x^{-1/2}}{-1/2} = -8x^{-1/2} = -\frac{8}{\sqrt{x}}\). 3. Untersuchung für \(I_1 = [1; \infty[\): \(V_1 = \pi \cdot \lim_{k \to \infty} \left[ -\frac{8}{\sqrt{x}} \right]_1^k = \pi \cdot \lim_{k \to \infty} \left( -\frac{8}{\sqrt{k}} - (-8) \right) = \pi \cdot (0 + 8) = 8\pi\). Das Volumen ist endlich. 4. Untersuchung für \(I_2 = ]0; 1]\): \(V_2 = \pi \cdot \lim_{k \to 0^+} \left[ -\frac{8}{\sqrt{x}} \right]_k^1 = \pi \cdot \lim_{k \to 0^+} \left( -8 - (-\frac{8}{\sqrt{k}}) \right) = \pi \cdot (-8 + \infty) = \infty\). Das Volumen ist unendlich groß.

Das Volumen über \(I_1 = [1; \infty[\) ist endlich und beträgt \(V_1 = 8\pi\). Das Volumen über \(I_2 = ]0; 1]\) ist unendlich groß.

- Welche beiden uneigentlichen Integrale beschreiben den Flächeninhalt und das Rotationsvolumen? - Untersuche bei beiden Integralen den Grenzwert der jeweils benötigten Stammfunktion für eine immer größere obere Grenze. - Warum kann das Quadrieren der Radienfunktion das Konvergenzverhalten gegenüber dem Flächenintegral verändern?

1. Flächeninhalt berechnen: \(A = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x+2} \,\text{d}x = \lim_{k \to \infty} [\ln|x+2|]_0^k\). 2. Grenzwertbetrachtung für \(A\): \(\lim_{k \to \infty} (\ln(k+2) - \ln(2)) = \infty\). Der Flächeninhalt ist unendlich groß. 3. Volumen berechnen: \(V = \pi \int_{0}^{\infty} (f(x))^2 \,\text{d}x = \pi \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x+2)^2} \,\text{d}x\). 4. Stammfunktion für das Volumen: \(\int (x+2)^{-2} \,\text{d}x = -(x+2)^{-1} = -\frac{1}{x+2}\). 5. Grenzwertbetrachtung für \(V\): \(V = \pi \cdot \lim_{k \to \infty} \left[ -\frac{1}{x+2} \right]_0^k = \pi \cdot \lim_{k \to \infty} \left( -\frac{1}{k+2} - (-\frac{1}{2}) \right) = \pi \cdot (0 + \frac{1}{2}) = \frac{\pi}{2}\).

a) Der Flächeninhalt ist unendlich groß, da \(\lim_{k \to \infty} \int_{0}^{k} f(x) \, dx = \infty\). b) Das Volumen des Rotationskörpers ist endlich und beträgt \(V = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57\).

- Wie erhältst du aus der Radienfunktion \(f_k\) eine Volumenfunktion in Abhängigkeit von \(k\)? - Behandle \(k\) beim Integrieren nach \(x\) zunächst als festen Parameter. - Woran erkennst du am Vorzeichen der Ableitung, ob ein gefundener kritischer Parameter tatsächlich ein Maximum liefert?

1. Das Volumen in Abhängigkeit von \(k\) ist \(V(k)=\pi\int_1^k(f_k(x))^2\,\text{d}x=\pi\int_1^k\frac{1}{kx}\,\text{d}x=\frac{\pi\ln(k)}{k}\). 2. Die erste Ableitung lautet \(V'(k)=\frac{\pi(1-\ln(k))}{k^2}\). 3. Aus \(V'(k)=0\) folgt \(1-\ln(k)=0\) und damit \(k=e\). 4. Für \(1<k<e\) gilt \(V'(k)>0\), für \(k>e\) gilt \(V'(k)<0\). Daher steigt \(V\) bis \(k=e\) und fällt danach. 5. Somit besitzt \(V\) bei \(k=e\) ein globales Maximum.

Das Volumen ist für \(k=e\) global maximal.

- Stelle zuerst das Rotationsvolumen mit den von \(a\) abhängigen Integrationsgrenzen auf. - Vereinfache das Integral zu einer Funktion \(V(a)\), bevor du nach \(a\) ableitest. - Prüfe nach dem Lösen von \(V'(a)=0\), wie sich das Vorzeichen von \(V'\) links und rechts des Kandidaten verhält.

1. Das Volumen lautet \(V(a)=\pi\int_a^{a^2}\frac{1}{x^2}\,\text{d}x=\pi\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a^2}\right)\). 2. Die erste Ableitung ist \(V'(a)=\pi(-a^{-2}+2a^{-3})=\frac{\pi(2-a)}{a^3}\). 3. Aus \(V'(a)=0\) folgt \(a=2\). 4. Für \(1<a<2\) ist \(V'(a)>0\), für \(a>2\) ist \(V'(a)<0\). Das Volumen steigt also zunächst und fällt anschließend. 5. Daher besitzt \(V\) bei \(a=2\) ein globales Maximum.

Das Volumen ist für \(a=2\) extremal; es handelt sich um ein globales Maximum.

- Welche reale Länge entspricht einer Längeneinheit, und wie wirkt sich dieser Maßstab auf einen Durchmesser aus? - Für das Rotationsvolumen wird das Quadrat der Radienfunktion integriert. Was vereinfacht sich bei \(f(x)^2\)? - Wie viele Kubikzentimeter entsprechen \(1\,\text{LE}^3\), wenn \(1\,\text{LE}=10\,\text{cm}\) gilt? - Welche Volumenänderung verursacht die zylindrische Vertiefung?

1. Die Höhe entspricht der Intervalllänge: \(8\,\text{LE}=80\,\text{cm}\). Bei \(x=4\) ist der Radius \(f(4)=\sqrt{7{,}2}=\frac{6\sqrt5}{5}\,\text{LE}\). Daher beträgt der reale Durchmesser \(24\sqrt5\,\text{cm}\approx53{,}67\,\text{cm}\). 2. Das Modellvolumen ist \(V=\pi\int_{-4}^{4}(0{,}2x^2+4)\,\text{d}x=\frac{608\pi}{15}\,\text{LE}^3\). Wegen \(1\,\text{LE}^3=1\,\text{L}\) gilt \(V=\frac{608\pi}{15}\,\text{L}\approx127{,}34\,\text{L}\). 3. In Kubikzentimetern ist das Volumen \(1000V\). Mit der Dichte folgt \(m=0{,}08\,\text{g/cm}^3\cdot\frac{608000\pi}{15}\,\text{cm}^3=\frac{1216\pi}{375}\,\text{kg}\approx10{,}19\,\text{kg}\). 4. Die Vertiefung hat das Volumen \(V_Z=\pi\cdot1^2\cdot2=2\pi\,\text{LE}^3\). Somit ist \(V_{\text{Rest}}=\left(\frac{608\pi}{15}-2\pi\right)\,\text{L}=\frac{578\pi}{15}\,\text{L}\approx121{,}06\,\text{L}\).

a) Höhe: \(80\,\text{cm}\); Durchmesser: \(24\sqrt5\,\text{cm}\approx53{,}67\,\text{cm}\) b) \(\frac{608\pi}{15}\,\text{L}\approx127{,}34\,\text{L}\) c) \(\frac{1216\pi}{375}\,\text{kg}\approx10{,}19\,\text{kg}\) d) \(\frac{578\pi}{15}\,\text{L}\approx121{,}06\,\text{L}\)

- Was geschieht mit der Radienfunktion \(g(x)\), wenn du sie in der Rotationsvolumenformel quadrierst? - Stelle für Teil b zuerst eine Gleichung zwischen dem Volumen bis zur unbekannten Höhe \(h\) und dem gegebenen Wasservolumen auf. - Vergleiche für Teil c bei derselben Höhe den verfügbaren Innenraum einmal ohne und einmal mit dem Zylinder. - Welcher Teil des Zylinders verdrängt Wasser, wenn die Wasseroberfläche bei \(h_{\text{neu}}\) liegt?

1. Das maximale Fassungsvermögen ist \(V_{\max}=\pi\int_0^{12}(\sqrt{x+4})^2\,\text{d}x=\pi\left[\frac12x^2+4x\right]_0^{12}=120\pi\,\text{cm}^3\). 2. Für die Füllhöhe gilt \(\pi\left(\frac12h^2+4h\right)=150\). Nach Multiplikation mit \(\frac{2}{\pi}\) erhält man \(h^2+8h-\frac{300}{\pi}=0\). 3. Die positive Lösung ist \(h=-4+\sqrt{16+\frac{300}{\pi}}\,\text{cm}\approx6{,}56\,\text{cm}\). 4. Der Zylinder passt in die Schale, weil sein Radius \(1\,\text{cm}\) kleiner als der kleinste Schalenradius \(g(0)=2\,\text{cm}\) ist. Bis zu einer Wasserhöhe \(h_{\text{neu}}\le12\,\text{cm}\) verdrängt er das Volumen \(\pi h_{\text{neu}}\,\text{cm}^3\). 5. Bei gleicher Höhe steht mit Zylinder für Wasser um \(\pi h_{\text{neu}}\,\text{cm}^3\) weniger Raum zur Verfügung. Damit dieselben \(150\,\text{cm}^3\) Wasser enthalten sind, muss die Füllhöhe steigen. 6. Die neue Höhe erfüllt \(\pi\left(\frac12h_{\text{neu}}^2+4h_{\text{neu}}\right)-\pi h_{\text{neu}}=150\), also äquivalent \(\pi\left(\frac12h_{\text{neu}}^2+4h_{\text{neu}}\right)=150+\pi h_{\text{neu}}\).

a) \(120\pi\,\text{cm}^3\) b) \(h=-4+\sqrt{16+\frac{300}{\pi}}\,\text{cm}\approx6{,}56\,\text{cm}\) c) Der Zylinder verkleinert bei gleicher Füllhöhe den für Wasser verfügbaren Raum, daher steigt die Füllhöhe. Es gilt \(\pi\left(\frac12h_{\text{neu}}^2+4h_{\text{neu}}\right)-\pi h_{\text{neu}}=150\) mit \(0<h_{\text{neu}}\le12\).