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- Vergleiche die Flächen zwischen dem Graphen und der waagerechten Geraden links und rechts vom Schnittpunkt. - Was bedeutet es für den Gesamtflächeninhalt, wenn die Fläche unterhalb der Geraden genauso groß ist wie die Fläche oberhalb? - Die Höhe eines flächengleichen Rechtecks über dem ganzen Intervall entspricht dem Funktionsmittelwert.

1. Die Gerade \(m\) liegt bei \(y=2\). Unterhalb von \(m\) liegt zwischen \(x=0\) und \(x=2\) ein Dreieck mit Grundseite \(2\) und Höhe \(2\). 2. Oberhalb von \(m\) liegt zwischen \(x=2\) und \(x=4\) ein gleich großes Dreieck. 3. Die Flächenabweichungen unterhalb und oberhalb der Geraden gleichen sich aus. Deshalb hat das Rechteck mit Höhe \(2\) über \([0;4]\) denselben Flächeninhalt wie die Fläche unter \(f\). Der Funktionsmittelwert ist daher \(2\).

Der Funktionsmittelwert ist \(2\). Geometrisch sind die Flächenabweichungen vom Niveau \(y=2\) links und rechts gleich groß und entgegengesetzt; daher hat das Rechteck über \([0;4]\) mit Höhe \(2\) denselben Flächeninhalt wie die Fläche unter dem Graphen von \(f\).

- Welche Länge hat das Intervall \([2;6]\)? - Der Funktionsmittelwert verteilt den Integralwert gleichmäßig auf die gesamte Intervallbreite. - Welche Rechteckhöhe ergibt bei der bekannten Breite die Fläche \(28\)?

1. Die Intervalllänge beträgt \(6-2=4\). 2. Der Funktionsmittelwert ist \(\bar f=\frac{1}{4}\int_2^6f(x)\,\text{d}x=\frac{28}{4}=7\). 3. Da \(f\) nichtnegativ ist, beschreibt das Integral den Flächeninhalt unter dem Graphen. Ein Rechteck über \([2;6]\) mit der Höhe \(7\) hat den Flächeninhalt \(4\cdot7=28\) und ist damit flächengleich.

\(\bar f=7\). Ein Rechteck über \([2;6]\) mit Höhe \(7\) hat denselben Flächeninhalt \(28\) wie die Fläche unter dem Graphen von \(f\).

- Überlege zuerst, wie man den Durchschnittswert einer Funktion in einem bestimmten Bereich berechnet. - Welche geometrische Bedeutung hat das Integral im Vergleich zu einem Rechteck mit der Breite des Intervalls? - Nachdem du den Durchschnittswert gefunden hast, musst du ihn mit dem Funktionsterm gleichsetzen. - Vergiss am Ende nicht zu prüfen, ob deine berechneten Werte auch wirklich im angegebenen Intervall liegen.

1. Berechnung des Integrals der Funktion über dem Intervall \([0; 3]\): \(\int_0^3 (x-1)^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}(x-1)^3 \right]_0^3 = \frac{1}{3}(3-1)^3 - \frac{1}{3}(0-1)^3 = \frac{8}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{9}{3} = 3\). 2. Bestimmung des Mittelwerts \(\bar{m}\) im Intervall \([a; b]\) mit \(a=0\) und \(b=3\): \(\bar{m} = \frac{1}{3-0} \cdot 3 = 1\). 3. Ansatz zur Bestimmung der Stellen \(x_0\): \(f(x_0) = \bar{m} \implies (x_0-1)^2 = 1\). 4. Lösen der Gleichung: \(x_0 - 1 = -1 \implies x_{0,1} = 0\) oder \(x_0 - 1 = 1 \implies x_{0,2} = 2\). 5. Prüfung der Intervalleinschränkung: Beide Werte \(x_{0,1} = 0\) und \(x_{0,2} = 2\) liegen im Intervall \([0; 3]\).

Die gesuchten Stellen sind \(x_{0,1} = 0\) und \(x_{0,2} = 2\).

- Wo wechseln die beiden Graphen ihre Reihenfolge? - Vergleiche die Fläche, die der eine Graph links „mehr“ besitzt, mit der entsprechenden Fläche rechts. - Für den Funktionsmittelwert wird das Integral nur durch die Länge desselben Intervalls geteilt.

1. Die Graphen schneiden sich bei \(x=2\). 2. Auf \([0;2]\) liegt \(g\) über \(f\). Die Fläche zwischen den Graphen ist dort ein Dreieck mit Grundseite \(2\) und Höhe \(3\), also mit Flächeninhalt \(3\). 3. Auf \([2;4]\) liegt \(f\) über \(g\). Auch dort ist die Fläche zwischen den Graphen ein Dreieck mit Grundseite \(2\) und Höhe \(3\), also ebenfalls mit Flächeninhalt \(3\). 4. Die Flächenvorteile gleichen sich deshalb genau aus. Somit sind die Integrale von \(f\) und \(g\) über dasselbe Intervall gleich. Da auch die Intervalllänge gleich ist, besitzen beide Funktionen denselben Funktionsmittelwert.

Beide Funktionen haben auf \([0;4]\) denselben Funktionsmittelwert. Die Fläche, um die \(g\) auf \([0;2]\) über \(f\) liegt, ist genauso groß wie die Fläche, um die \(f\) auf \([2;4]\) über \(g\) liegt. Daher sind ihre Integrale und wegen derselben Intervalllänge auch ihre Funktionsmittelwerte gleich.

- Welche Formel verbindet den Funktionsmittelwert auf einem Intervall mit einem bestimmten Integral? - Welche Intervalllänge gehört zum Zeitraum von \(10{:}00\) bis \(22{:}00\)? - In Teil b wird genau eine volle Periode des sinusförmigen Anteils betrachtet. Welche Auswirkung hat das auf dessen Mittelwert?

1. Der Funktionsmittelwert auf \([10;22]\) ist \(\overline{T}=\frac{1}{12}\int_{10}^{22}T(t)\,\text{d}t\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F(t)=-\frac{120}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{12}(t-10)\right)+22t\). 3. Damit gilt \(\int_{10}^{22}T(t)\,\text{d}t=\frac{240}{\pi}+264\), also \(\overline{T}=22+\frac{20}{\pi}\,{}^\circ\text{C}\approx28{,}37\,{}^\circ\text{C}\). 4. Der Ausdruck \(\frac{1}{24}\int_0^{24}T(t)\,\text{d}t\) ist die mittlere Temperatur während des gesamten 24-Stunden-Zeitraums. Der Sinusanteil erstreckt sich über eine volle Periode und hat Mittelwert \(0\), daher beträgt der Tagesmittelwert \(22\,{}^\circ\text{C}\).

a) \(22+\frac{20}{\pi}\,{}^\circ\text{C}\approx28{,}37\,{}^\circ\text{C}\) b) Der Ausdruck ist die mittlere Temperatur über den gesamten Tag; hier beträgt sie \(22\,{}^\circ\text{C}\).

- Welche Gleichung bestimmt die Stellen, an denen das Profil den Boden erreicht? - Der Funktionsmittelwert ist die gesamte Fläche unter dem Graphen geteilt durch die Intervalllänge. - Wie lässt sich dieser Quotient als Höhe eines flächengleichen Rechtecks deuten?

1. Die Nullstellen entstehen aus \(10-0{,}4x^2=0\). Daher sind die Randstellen \(x=-5\) und \(x=5\); der Basisabschnitt ist \([-5;5]\) und hat die Länge \(10\,\text{m}\). 2. Die Querschnittsfläche ist \(A=\int_{-5}^{5}f(x)\,\text{d}x=F(5)-F(-5)=\frac{200}{e}\,\text{m}^2\). 3. Die mittlere Höhe ist \(\bar f=\frac{1}{10}A=\frac{20}{e}\,\text{m}\). 4. Ein Rechteck über dem gesamten Basisabschnitt mit der Höhe \(\frac{20}{e}\,\text{m}\) besitzt dieselbe Fläche wie der Dünenquerschnitt.

a) \([-5;5]\), Basislänge \(10\,\text{m}\). b) \(\bar f=\frac{20}{e}\,\text{m}\). c) Ein Rechteck mit Breite \(10\,\text{m}\) und Höhe \(\frac{20}{e}\,\text{m}\) hat denselben Flächeninhalt wie der Dünenquerschnitt.

- Wie lautet die Stammfunktion von Sinus? Achte beim Einsetzen der Grenzen auf die Vorzeichen. - Erinnere dich daran, dass die Sinusfunktion im Intervall von \(0\) bis \(\pi\) symmetrisch ist. Wie viele Lösungen erwartest du daher für den berechneten Wert? - Stelle sicher, dass dein Taschenrechner auf das Bogenmaß (RAD) eingestellt ist.

1. Berechnung des Integrals von \(f\) über \([0; \pi]\): \(\int_0^{\pi} (\sin(x) + 1) \, dx = [-\cos(x) + x]_0^{\pi} = (-\cos(\pi) + \pi) - (-\cos(0) + 0) = (1 + \pi) - (-1) = \pi + 2\). 2. Berechnung des Mittelwerts \(\bar{m}\): \(\bar{m} = \frac{1}{\pi - 0} \cdot (\pi + 2) = 1 + \frac{2}{\pi}\). 3. Gleichsetzen von Funktionsterm und Mittelwert: \(\sin(c) + 1 = 1 + \frac{2}{\pi} \implies \sin(c) = \frac{2}{\pi}\). 4. Bestimmung der Lösungen für \(c\) im Intervall \([0; \pi]\): \(c_1 = \arcsin\left(\frac{2}{\pi}\right) \approx 0{,}690\) \(c_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{2}{\pi}\right) \approx 2{,}451\) Beide Werte liegen innerhalb des Intervalls \([0; \pi]\).

Die Stellen sind \(c_1 = \arcsin\left(\frac{2}{\pi}\right) \approx 0{,}690\) und \(c_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{2}{\pi}\right) \approx 2{,}451\).

- Wie hängen der Flächeninhalt unter einer Kurve und der Durchschnittswert der Funktion zusammen? - Erinnere dich an die Definition des Mittelwerts \(m = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \text{d}x\). - Was stellt das Produkt aus Mittelwert und Intervallbreite geometrisch dar? - Vergleiche die Anzahl der Intervalle mit der Anzahl der Messpunkte.

1. Bestimmung der Trapezsumme mit \(h = 3\,\text{h}\): \(T = \frac{3}{2} \cdot (150 + 2 \cdot 600 + 2 \cdot 950 + 2 \cdot 700 + 200) = 1{,}5 \cdot (150 + 1200 + 1900 + 1400 + 200) = 1{,}5 \cdot 4850 = 7275\,\text{W}/\text{m}^2 \cdot \text{h}\). 2. Berechnung des Mittelwerts der Funktion: \(m = \frac{1}{18 - 6} \cdot 7275 = \frac{7275}{12} = 606{,}25\,\text{W}/\text{m}^2\). 3. Berechnung des arithmetischen Mittels der Einzelwerte: \(A = \frac{150 + 600 + 950 + 700 + 200}{5} = \frac{2600}{5} = 520\,\text{W}/\text{m}^2\). 4. Geometrische Deutung: Der Mittelwert \(m = 606{,}25\,\text{W}/\text{m}^2\) entspricht der Höhe eines Rechtecks über dem Intervall \([6; 18]\), dessen Flächeninhalt genau der Fläche unter der (durch die Trapezregel angenäherten) Strahlungskurve entspricht.

Die durchschnittliche Strahlungsintensität beträgt \(606{,}25\,\text{W}/\text{m}^2\). Das arithmetische Mittel der Messwerte ist mit \(520\,\text{W}/\text{m}^2\) deutlich niedriger. Geometrisch ist \(m\) die Höhe eines flächengleichen Ersatzrechtecks über dem Zeitintervall.

- Welche Formel verbindet den Funktionsmittelwert mit dem Integral über das gesamte Zeitintervall? - Achte darauf, dass die Breite des betrachteten Zeitintervalls zwölf Stunden beträgt. - Wie lässt sich ein Funktionsmittelwert als konstante Ersatzleistung mit derselben Gesamtwirkung deuten?

1. Der Funktionsmittelwert auf \([0;12]\) ist \(\bar P=\frac{1}{12}\int_0^{12}P(t)\,\text{d}t\). 2. Es gilt \(\int_0^{12}800\sin\left(\frac{\pi}{12}t\right)\,\text{d}t=\frac{19200}{\pi}\,\text{Wh}\). Daher ist \(\bar P=\frac{1600}{\pi}\,\text{W}\approx509{,}30\,\text{W}\). 3. Der Mittelwert ist die konstante Leistung, die über dieselben zwölf Stunden dieselbe Energie erzeugen würde. Deshalb ist \(E=12\,\text{h}\cdot\bar P=\frac{19200}{\pi}\,\text{Wh}\approx6111{,}55\,\text{Wh}\).

a) \(\bar P=\frac{1600}{\pi}\,\text{W}\approx509{,}30\,\text{W}\). b) Eine konstante Leistung von \(\bar P\) über zwölf Stunden würde dieselbe Energie erzeugen. Diese beträgt \(E=\frac{19200}{\pi}\,\text{Wh}\approx6111{,}55\,\text{Wh}\).

- Sind die Zeitabstände zwischen allen benachbarten Messwerten gleich groß? - Bei der Trapezregel trägt jedes Teilintervall entsprechend seiner eigenen Breite zum Gesamtflächeninhalt bei. - Der Funktionsmittelwert ist nicht der Flächeninhalt selbst; welche zusätzliche Division ist nötig?

1. Die Messabstände sind unterschiedlich groß: \(1\), \(2\) und \(3\) Minuten. Deshalb müssen die Teilintervalle bei einer Flächenapproximation unterschiedlich gewichtet werden. 2. Die Trapezflächen sind \(1\cdot\frac{2+4}{2}=3\), \(2\cdot\frac{4+4}{2}=8\) und \(3\cdot\frac{4+2}{2}=9\). Damit ist \(\int_0^6f(t)\,\text{d}t\approx20\). 3. Der Funktionsmittelwert wird durch die Intervalllänge geteilt: \(\bar f\approx\frac{20}{6}=\frac{10}{3}\). 4. Miras arithmetischer Mittelwert \(3\) gewichtet alle vier Messpunkte gleich und berücksichtigt die ungleichen Zeitabstände nicht. Er ist daher keine angemessene Näherung für den Funktionsmittelwert aus diesen Daten.

\(\bar f\approx\frac{10}{3}\). Miras Wert \(3\) berücksichtigt die ungleichen Messabstände nicht und ist deshalb hier nicht die passende Näherung für den Funktionsmittelwert.