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- Welchen Wert hat der Volumenstrom auf der y-Achse? - Über welches Zeitintervall wird das Wasser gemessen? - Wie hängen Volumenstrom, Zeit und Gesamtvolumen zusammen?

1. Analyse des Graphen: Die Rate ist konstant bei \(200\,\text{L}/\text{min}\). 2. Zeitraum bestimmen: Das betrachtete Intervall auf der Zeitachse reicht von \(0\) bis \(2{,}5\,\text{min}\). 3. Berechnung des Volumens: \(V = 200\,\text{L}/\text{min} \cdot 2{,}5\,\text{min} = 500\,\text{L}\). Ergebnis: \(500\,\text{L}\).

Es sind insgesamt \(500\,\text{L}\) Wasser abgeflossen.

- Überlege, was das Integral einer Änderungsrate über einen Zeitraum für den Gesamtbestand bedeutet. - Wie kommst du von der Änderungsrate zur Bestandsfunktion? - Welche Information aus dem Text hilft dir, die Integrationskonstante festzulegen? - Prüfe, ob deine Einheiten am Ende konsistent sind (Stunden und Bakterienanzahl).

1. Finden der Stammfunktion von \(r(t) = 3t^2 + 40t\): \(R(t) = t^3 + 20t^2\). 2. Berechnung des Integrals über \([0; 4]\): \(\int_{0}^{4} (3t^2 + 40t) \, \text{d}t = [t^3 + 20t^2]_0^4 = (4^3 + 20 \cdot 4^2) - 0 = 64 + 320 = 384\). 3. Interpretation: Das Integral gibt die Netto-Zunahme der Bakterienanzahl innerhalb der ersten \(4\) Stunden an (hier \(384\) Bakterien). 4. Rekonstruktion des Bestands \(N(t)\) mit dem Anfangsbestand \(N(0) = 1000\): \(N(t) = t^3 + 20t^2 + C\). Durch Einsetzen von \(t = 0\) ergibt sich \(1000 = 0^3 + 20 \cdot 0^2 + C\), also \(C = 1000\). 5. Ergebnis: \(N(t) = t^3 + 20t^2 + 1000\).

a) Das Integral hat den Wert \(384\). Dies entspricht der Anzahl der Bakterien, die in den ersten \(4\) Stunden neu hinzugekommen sind. b) Die Funktionsgleichung lautet \(N(t) = t^3 + 20t^2 + 1000\).

- Überlege dir, welcher mathematische Zusammenhang zwischen der Änderungsrate und dem Gesamtbestand besteht. - Was bedeutet die Angabe über das Volumen zum Zeitpunkt Null für deine Rechnung? - Wie findet man eine allgemeine Stammfunktion für ein Polynom? - Setze den gesuchten Zeitpunkt in deine hergeleitete Funktion ein.

1. Aufstellen des Integrals zur Bestimmung der Stammfunktion: \(V(t) = \int (-0{,}6t^2 + 6t + 4) \,\text{d}t = -0{,}2t^3 + 3t^2 + 4t + C\). 2. Bestimmung der Integrationskonstante \(C\) durch die Anfangsbedingung \(V(0) = 50\): \(V(0) = -0{,}2 \cdot 0^3 + 3 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 + C = 50 \implies C = 50\). 3. Resultierende Bestandsfunktion: \(V(t) = -0{,}2t^3 + 3t^2 + 4t + 50\). 4. Berechnung des Bestands zum Zeitpunkt \(t = 5\): \(V(5) = -0{,}2 \cdot 5^3 + 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5 + 50 = -25 + 75 + 20 + 50 = 120\). Das Volumen beträgt nach \(5\) Stunden \(120\,\text{m}^3\).

a) \(V(t) = -0{,}2t^3 + 3t^2 + 4t + 50\) b) Das Volumen nach \(5\) Stunden beträgt \(120\,\text{m}^3\).

- Welche mathematische Operation kehrt den Vorgang des Ableitens um? - Wie hängen Beschleunigung, Geschwindigkeit und Ort (Weg) über die Ableitung zusammen? - Was bedeutet die Information über den Zeitpunkt \(t = 0\) für deine Integrationskonstante? - In welcher Reihenfolge musst du integrieren, um vom Gegebenen zum Gesuchten zu gelangen?

1. Bestimmung von \(v(t)\) durch Integration der Beschleunigung: \(v(t) = \int 0{,}6t \, dt = 0{,}3t^2 + C\). 2. Bestimmung von \(C\) mit \(v(0) = 0\): \(0{,}3 \cdot 0^2 + C = 0 \implies C = 0\). Ergebnis: \(v(t) = 0{,}3t^2\). 3. Bestimmung von \(s(t)\) durch Integration der Geschwindigkeit: \(s(t) = \int 0{,}3t^2 \, dt = 0{,}1t^3 + C'\). 4. Bestimmung von \(C'\) mit \(s(0) = 0\): \(0{,}1 \cdot 0^3 + C' = 0 \implies C' = 0\). Ergebnis: \(s(t) = 0{,}1t^3\). 5. Berechnung der Werte für \(t = 5\): \(v(5) = 0{,}3 \cdot 5^2 = 7{,}5\) und \(s(5) = 0{,}1 \cdot 5^3 = 12{,}5\).

a) \(v(t) = 0{,}3t^2\) b) \(s(t) = 0{,}1t^3\) c) Nach \(5\,\text{s}\) beträgt die Geschwindigkeit \(7{,}5\,\text{m/s}\) und der Weg \(12{,}5\,\text{m}\).

- Überlege dir zuerst, welcher mathematische Zusammenhang zwischen einer Flussrate (in \(\text{m}^3/\text{h}\)) und der geflossenen Wassermenge (in \(\text{m}^3\)) besteht. - Wie kannst du die geflossene Wassermenge geometrisch aus dem Diagramm bestimmen? - Achte darauf, dass sich der Zufluss und der Abfluss gegenseitig beeinflussen. Welcher Rechenschritt ist nötig, um die Nettoänderung zu bestimmen? - Vergiss nicht, die anfängliche Wassermenge zum Startzeitpunkt \(t = 0\,\text{h}\) mit einzubeziehen.

1. Berechnung der Wassermenge nach \(4\) Stunden (\(t = 4\,\text{h}\)): - Das Volumen des Zuflusses entspricht der Fläche unter der grünen Kurve von \(0\) bis \(4\). Dies ist ein Dreieck mit der Grundseite \(4\,\text{h}\) und der Höhe \(8\,\text{m}^3/\text{h}\): \(V_{\text{zu}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = 16\,\text{m}^3\). - Das Volumen des Abflusses entspricht der Fläche unter der blauen Gerade von \(0\) bis \(4\). Dies ist ein Dreieck mit der Grundseite \(4\,\text{h}\) und der Höhe \(2\,\text{m}^3/\text{h}\) (da \(a(4) = 0{,}5 \cdot 4 = 2\)): \(V_{\text{ab}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\,\text{m}^3\). - Die Nettoänderung beträgt \(16\,\text{m}^3 - 4\,\text{m}^3 = 12\,\text{m}^3\). - Gesamtvolumen: \(V(4) = 20\,\text{m}^3 + 12\,\text{m}^3 = 32\,\text{m}^3\). 2. Berechnung der Wassermenge nach \(8\) Stunden (\(t = 8\,\text{h}\)): - Das Volumen des Zuflusses von \(0\) bis \(8\) setzt sich zusammen aus dem Dreieck von \(0\) bis \(4\) (\(16\,\text{m}^3\)) und einem Rechteck von \(4\) bis \(8\) mit der Breite \(4\,\text{h}\) und der Höhe \(8\,\text{m}^3/\text{h}\) (\(4 \cdot 8 = 32\,\text{m}^3\)): \(V_{\text{zu}} = 16 + 32 = 48\,\text{m}^3\). - Das Volumen des Abflusses von \(0\) bis \(8\) ist ein Dreieck mit der Grundseite \(8\,\text{h}\) und der Höhe \(4\,\text{m}^3/\text{h}\): \(V_{\text{ab}} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16\,\text{m}^3\). - Die Nettoänderung beträgt \(48\,\text{m}^3 - 16\,\text{m}^3 = 32\,\text{m}^3\). - Gesamtvolumen: \(V(8) = 20\,\text{m}^3 + 32\,\text{m}^3 = 52\,\text{m}^3\). 3. Berechnung der Wassermenge nach \(12\) Stunden (\(t = 12\,\text{h}\)): - Das Volumen des Zuflusses von \(0\) bis \(12\) enthält zusätzlich das Dreieck von \(8\) bis \(12\) mit der Grundseite \(4\,\text{h}\) und der Höhe \(8\,\text{m}^3/\text{h}\) (\(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = 16\,\text{m}^3\)): \(V_{\text{zu}} = 48 + 16 = 64\,\text{m}^3\). - Das Volumen des Abflusses von \(0\) bis \(12\) ist ein Dreieck mit der Grundseite \(12\,\text{h}\) und der Höhe \(6\,\text{m}^3/\text{h}\): \(V_{\text{ab}} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36\,\text{m}^3\). - Die Nettoänderung beträgt \(64\,\text{m}^3 - 36\,\text{m}^3 = 28\,\text{m}^3\). - Gesamtvolumen: \(V(12) = 20\,\text{m}^3 + 28\,\text{m}^3 = 48\,\text{m}^3\).

Nach \(4\) Stunden befinden sich \(32\,\text{m}^3\) Wasser im Becken. Nach \(8\) Stunden sind es \(52\,\text{m}^3\). Nach \(12\) Stunden sind es \(48\,\text{m}^3\).

- Betrachte die Fläche, die der Graph mit den Koordinatenachsen einschließt. - Wie groß sind die Grundseite und die Höhe dieses Dreiecks? - Nutze die Formel für den Dreiecksinhalt, um das Gesamtvolumen zu berechnen.

1. Geometrische Form: Die Fläche unter der Geraden ist ein rechtwinkliges Dreieck. 2. Werte ablesen: Die Rate beginnt bei \(400\,\text{L}/\text{min}\) und sinkt bis \(t=2\,\text{min}\) auf \(0\). 3. Flächenberechnung: \(V = \frac{1}{2} \cdot 2\,\text{min} \cdot 400\,\text{L}/\text{min} = 400\,\text{L}\). Ergebnis: \(400\,\text{L}\).

In den ersten zwei Minuten sind insgesamt \(400\,\text{L}\) Wasser ausgeflossen.

- Was berechnet man allgemein mit dem Integral über eine Änderungsrate? - Welche Einheit ergibt sich, wenn man eine Rate (Liter pro Minute) über die Zeit (Minuten) integriert? - Wie hängen die Änderungsrate und die Bestandsfunktion mathematisch zusammen? - Welche Information aus dem Text hilft dir, die Integrationskonstante zu bestimmen? - Betrachte die Grenzen des Integrals in Aufgabenteil c: Welcher Zeitraum wird hier abgedeckt?

1. Berechnung des Integrals: Eine Stammfunktion von \(f(t) = 1{,}5t^{0{,}5} + 20\) ist \(F(t) = t^{1{,}5} + 20t\). Das Integral ergibt \(\int_{10}^{40} f(t) \,\text{d}t = [t^{1{,}5} + 20t]_{10}^{40} = (40^{1{,}5} + 20 \cdot 40) - (10^{1{,}5} + 20 \cdot 10) \approx 1052{,}98 - 231{,}62 = 821{,}36\). 2. Sachdeutung: Der Wert gibt die gesamte Wassermenge in Litern an, die im Zeitintervall von \(10\) bis \(40\) Minuten in das Becken geflossen ist. 3. Bestimmung der Bestandsfunktion: Da \(V(0) = 500\) gilt und \(V(t) = t^{1{,}5} + 20t + C\) eine Stammfunktion ist, folgt \(0^{1{,}5} + 20 \cdot 0 + C = 500\), also \(C = 500\). Die Funktionsgleichung lautet \(V(t) = t\sqrt{t} + 20t + 500\). 4. Interpretation der Gleichung: Es wird der Startzeitpunkt \(t\) gesucht, ab dem innerhalb der folgenden \(5\) Minuten genau \(150\,\text{Liter}\) Wasser in das Becken fließen.

a) \(\int_{10}^{40} f(t) \,\text{d}t \approx 821{,}36\). Dies ist die Wassermenge in Litern, die zwischen der 10. und 40. Minute zugeflossen ist. b) \(V(t) = t\sqrt{t} + 20t + 500\) c) Gesucht ist der Zeitpunkt \(t\), ab dem in einem Zeitfenster von \(5\) Minuten genau \(150\,\text{Liter}\) zufließen.

- Wie findet man die Stammfunktion einer Exponentialfunktion der Form \(e^{kt}\)? - Was ist der Unterschied zwischen dem Zuwachs in einem Zeitraum und dem absoluten Bestand zu einem Zeitpunkt? - Wie nutzt man den Anfangswert, um eine allgemeine Stammfunktion zu einer spezifischen Bestandsfunktion zu machen? - Was bedeuten die Integrationsgrenzen \(t\) und \(t+2\) für die Zeitspanne?

1. Berechnung des Zuwachses: Das Integral der Wachstumsrate liefert den Bestandswertzuwachs. Eine Stammfunktion von \(w(t) = 200e^{0{,}1t}\) ist \(W(t) = \frac{200}{0{,}1} e^{0{,}1t} = 2000e^{0{,}1t}\). Das Integral für das Intervall \([0; 10]\) lautet \(\int_{0}^{10} 200e^{0{,}1t} \,\text{d}t = [2000e^{0{,}1t}]_{0}^{10} = 2000e^{1} - 2000e^{0} \approx 5436{,}56 - 2000 \approx 3436{,}56\). Der Zuwachs beträgt ca. \(3437\) Bakterien. 2. Bestimmung der Bestandsfunktion: \(N(t) = 2000e^{0{,}1t} + C\). Mit der Anfangsbedingung \(N(0) = 5000\) folgt \(2000e^{0} + C = 5000\), also \(2000 + C = 5000 \Rightarrow C = 3000\). Die Funktion ist \(N(t) = 2000e^{0{,}1t} + 3000\). 3. Interpretation: Die Gleichung sucht nach einem Zeitpunkt \(t\), zu dem die Bakterienkultur innerhalb der nächsten zwei Stunden um genau \(2000\) Individuen wächst.

a) Der Zuwachs beträgt ca. \(3437\) Bakterien. b) \(N(t) = 2000e^{0{,}1t} + 3000\) c) „Zu welchem Zeitpunkt \(t\) beträgt die Zunahme der Bakterienanzahl innerhalb der folgenden zwei Stunden exakt \(2000\)?“

- Wann ist eine Größe steigend, wenn man ihre Änderungsrate kennt? - Wie hängen Bestand, Anfangsbestand und die Änderungsrate über ein Integral zusammen? - Was bedeuten die einzelnen Summanden und der Wert auf der rechten Seite der Gleichung in Bezug auf die Einheiten im Text?

1. Die Bakterienanzahl nimmt zu, wenn die momentane Änderungsrate positiv ist: \(f(t) > 0\). Die Nullstellen von \(f(t) = -0{,}1(t^2 - 8t + 12)\) liegen bei \(t_1 = 2\) und \(t_2 = 6\). Da der Graph von \(f\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, gilt \(f(t) > 0\) für \(t \in ]2; 6[\). Die Anzahl nimmt also im offenen Intervall \(]2; 6[\) zu. 2. Die Bakterienanzahl zum Zeitpunkt \(t=6\) berechnet sich durch \(B(6) = 10 + \int_{0}^{6} (-0{,}1t^2 + 0{,}8t - 1{,}2) \, \text{d}t\). Das Integral ist \([ -\frac{0{,}1}{3}t^3 + 0{,}4t^2 - 1{,}2t ]_0^6 = -7{,}2 + 14{,}4 - 7{,}2 = 0\). Da die Änderungsrate in Tausend Bakterien pro Stunde angegeben ist, bleibt die Anzahl bei \(10\,000\) Bakterien. 3. Die Gleichung \(10 + \int_0^k f(t) \,\text{d}t = 9{,}5\) beschreibt alle Zeitpunkte \(k\), zu denen der Bestand \(9500\) Bakterien beträgt. Eine passende Fragestellung lautet: „Zu welchen Zeitpunkten \(k\) beträgt die Bakterienanzahl \(9500\)?“

a) Das Zeitintervall ist \(]2; 6[\). b) Die Bakterienanzahl beträgt \(10\,000\). c) Mögliche Fragestellung: „Zu welchen Zeitpunkten \(k\) beträgt die Bakterienanzahl \(9500\)?“

- Wie findet man Extremstellen eines Bestands, wenn die Ableitungsfunktion gegeben ist? - Was ist der Unterschied zwischen dem Bestand zu einem Zeitpunkt und der Änderung über ein Zeitintervall? - Was bedeutet es für den Wasserstand, wenn die Bilanz aus Zufluss und Abfluss über einen Zeitraum genau Null ergibt?

1. Das Volumen ist maximal, wenn die Änderungsrate \(h(t)\) von positiv zu negativ wechselt. Nullstelle suchen: \(4e^{-0{,}5t} - 2 = 0 \Rightarrow e^{-0{,}5t} = 0{,}5 \Rightarrow -0{,}5t = \ln(0{,}5) \Rightarrow t = -2\ln(0{,}5) = 2\ln(2) \approx 1{,}39\,\text{h}\). Da \(h(0) = 2 > 0\) und \(h(5) \approx -1{,}67 < 0\), liegt bei \(t \approx 1{,}39\) ein Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) vor, also ein Maximum des Bestands. 2. Die gesamte Volumenänderung ist das Integral der Änderungsrate: \(\Delta V = \int_{0}^{4} (4e^{-0{,}5t} - 2) \, \text{d}t = [-8e^{-0{,}5t} - 2t]_0^4 = (-8e^{-2} - 8) - (-8e^0 - 0) = -8e^{-2} \approx -1{,}08\,\text{m}^3\). 3. Das Integral \(\int_{2}^{x} h(t) \, \text{d}t\) berechnet die Nettoänderung des Wasservolumens zwischen den Zeitpunkten \(t=2\) und \(t=x\). Eine Lösung mit dem Integralwert Null würde bedeuten, dass das Volumen zum Zeitpunkt \(x\) genauso groß wie zum Zeitpunkt \(t=2\) ist. Im angegebenen Modellintervall existiert für \(x>2\) jedoch keine solche Lösung, da \(h(t)<0\) für alle \(t>2\) gilt.

a) Das Volumen ist zum Zeitpunkt \(t = 2\ln(2) \approx 1{,}39\,\text{h}\) maximal. b) Das Volumen hat sich um ca. \(1{,}08\,\text{m}^3\) verringert (Änderung: \(\approx -1{,}08\,\text{m}^3\)). c) Eine Lösung würde bedeuten, dass das Wasservolumen zum Zeitpunkt \(x\) wieder genauso groß wie bei \(t = 2\) ist. Für \(x>2\) existiert im Modellintervall keine solche Lösung.

- Wie hängen die Nullstellen der Änderungsrate mit der Zunahme oder Abnahme des Bestands zusammen? - Was berechnet man allgemein mit dem Integral über eine Änderungsrate in einem Zeitintervall? - Wie setzt sich der aktuelle Bestand aus dem Anfangsbestand und der bisherigen Änderung zusammen? - Überlege dir, wie sich der Bestand verhält, wenn die Änderungsrate von positiven zu negativen Werten wechselt.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f(t) = -t^2 + 12t - 20\): Über die Mitternachtsformel ergeben sich \(t_1 = 2\) und \(t_2 = 10\). Da der Graph eine nach unten geöffnete Parabel ist, gilt \(f(t) < 0\) für \(t \in [0; 2[\) und \(t \in ]10; 12]\) (Entnahme) sowie \(f(t) > 0\) für \(t \in ]2; 10[\) (Zufuhr). 2. Das Integral \(\int_{4}^{9} f(t) \, dt\) gibt die Netto-Änderung der Getreidemenge im Silo zwischen der 4. und der 9. Stunde in Tonnen an. 3. Berechnung der Menge \(m(10)\): \(m(10) = 100 + \int_{0}^{10} (-t^2 + 12t - 20) \, dt\). Das Integral berechnet sich über die Stammfunktion \(F(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 6t^2 - 20t\). Es gilt \(F(10) = -\frac{1000}{3} + 600 - 200 = \frac{200}{3} \approx 66{,}67\) und \(F(0) = 0\). Somit ist \(m(10) = 100 + 66{,}67 = 166{,}67\,\text{t}\). 4. Da die Änderungsrate \(f(t)\) bei \(t=10\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus besitzt, nimmt der Bestand bis \(t=10\) zu und danach ab. Folglich liegt zum Zeitpunkt \(t=10\) ein lokales Maximum des Bestands vor.

a) Entnahme für \(t \in [0; 2[\) und \(t \in ]10; 12]\); Zufuhr für \(t \in ]2; 10[\). b) Das Integral gibt die Netto-Änderung der Getreidemenge (in Tonnen) zwischen der 4. und 9. Stunde an. c) Die Getreidemenge beträgt ca. \(166{,}67\,\text{t}\). d) Da \(f(10)=0\) und die Änderungsrate dort von positiv (Zunahme) zu negativ (Abnahme) wechselt, ist der Bestand bei \(t=10\) maximal.

- Nutze die faktorisierte Form der Funktion, um die Vorzeichen in den Intervallen schnell zu prüfen. - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um Bestandsänderungen zu berechnen. - Der Gesamteffekt über einen Zeitraum wird durch das bestimmte Integral der Änderungsrate über diesen Zeitraum bestimmt. - Überlege dir, was ein positives Gesamtergebnis für den Vergleich zwischen End- und Anfangswert bedeutet.

1. Nachweis der Vorzeichen: \(v(t) = 0{,}2t(t^2 - 18t + 80) = 0{,}2t(t-8)(t-10)\). Für \(t \in ]0; 8[\) sind alle Faktoren \(t, (t-8), (t-10)\) so geartet, dass das Produkt positiv ist (\(+\cdot - \cdot -\)). Für \(t \in ]8; 10[\) ergibt sich \(+\cdot + \cdot -\), also ist \(v(t)\) negativ. 2. Berechnung \(V(8)\): \(V(8) = 500 + \int_{0}^{8} 0{,}2(t^3 - 18t^2 + 80t) \, dt\). Stammfunktion \(V_{st}(t) = 0{,}2(\frac{1}{4}t^4 - 6t^3 + 40t^2)\). Auswertung: \(V_{st}(8) = 0{,}2 \cdot (\frac{4096}{4} - 6 \cdot 512 + 40 \cdot 64) = 0{,}2 \cdot (1024 - 3072 + 2560) = 0{,}2 \cdot 512 = 102{,}4\). Somit ist \(V(8) = 500 + 102{,}4 = 602{,}4\,\text{m}^3\). 3. Vergleich \(V(10)\) mit \(V(0)\): Es ist die Nettoänderung \(\int_{0}^{10} v(t) \, dt\) zu prüfen. \(V_{st}(10) = 0{,}2 \cdot (\frac{10000}{4} - 6 \cdot 1000 + 40 \cdot 100) = 0{,}2 \cdot (2500 - 6000 + 4000) = 0{,}2 \cdot 500 = 100\). Da \(\int_{0}^{10} v(t) \, dt = 100 > 0\), ist das Volumen bei \(t=10\) mit \(600\,\text{m}^3\) größer als der Anfangsbestand von \(500\,\text{m}^3\).

a) Durch Faktorisierung \(v(t) = 0{,}2t(t-8)(t-10)\) folgt: für \(0 < t < 8\) ist \(v(t) > 0\), für \(8 < t < 10\) ist \(v(t) < 0\). b) Das Gasvolumen zum Zeitpunkt \(t=8\) beträgt \(602{,}4\,\text{m}^3\). c) Da \(\int_{0}^{10} v(t) \, dt = 100 > 0\) ist, ist das Volumen zum Zeitpunkt \(t=10\) mit \(600\,\text{m}^3\) größer als zum Zeitpunkt \(t=0\).

- Wann erreicht eine Sinusfunktion ihren höchsten Wert? - Wie hängen Leistung und Energie mathematisch zusammen, wenn die Leistung zeitabhängig ist? - Was fällt dir an der Länge des Zeitintervalls im Vergleich zur Periode der Funktion auf? - Wie skaliert man ein Ergebnis von einer Anlage auf mehrere Anlagen und längere Zeiträume?

1. Zur Bestimmung des Maximums von \(P(t)\) wird das Maximum der Sinusfunktion betrachtet: \(\sin(x) = 1\) für \(x = \frac{\pi}{2}\). Aus \(\frac{\pi}{6}(t - 3) = \frac{\pi}{2}\) folgt \(t - 3 = 3\), also \(t = 6\). Die maximale Leistung beträgt \(P(6) = 15 \cdot 1 + 20 = 35\,\text{kW}\). 2. Die aufgenommene elektrische Energie entspricht dem Integral der Leistung über die Zeit: \(\int_{0}^{12} \left(15\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 3)\right) + 20\right) \text{d}t\). Da das Intervall \([0; 12]\) genau einer Periodenlänge \(T = \frac{2\pi}{\pi/6} = 12\) entspricht, ist das Integral über den Sinus-Term gleich Null. Es bleibt \(20 \cdot (12 - 0) = 240\,\text{kWh}\). 3. Die Gesamtenergie für 8 Anlagen über zwei Schichten berechnet sich durch Multiplikation der Energie einer Anlage pro Schicht mit der Anzahl der Anlagen und der Anzahl der Schichten: \(240\,\text{kWh} \cdot 8 \cdot 2 = 3840\,\text{kWh}\).

a) Der Zeitpunkt ist \(t = 6\,\text{h}\) mit einer maximalen Leistung von \(35\,\text{kW}\). b) Die aufgenommene elektrische Energie beträgt \(240\,\text{kWh}\). c) Die gesamte elektrische Energie beträgt \(3840\,\text{kWh}\).

- Wie hängen Beschleunigung, Geschwindigkeit und Weg mathematisch über die Integralrechnung zusammen? - Welche Rolle spielen die Werte zum Zeitpunkt \(t = 0\) bei der Bestimmung der Stammfunktionen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die gesuchte Zeit die Unbekannte ist? - Erinnerst du dich an ein Verfahren, um quadratische Gleichungen zu lösen?

1. Bestimmung der Geschwindigkeitsfunktion: Da \(v(t) = \int a(t) \,\text{d}t\), folgt \(v(t) = \int 2 \,\text{d}t = 2t + C_1\). Mit der Anfangsbedingung \(v(0) = 5\) ergibt sich \(C_1 = 5\), also \(v(t) = 2t + 5\). 2. Bestimmung der Wegfunktion: Da \(s(t) = \int v(t) \,\text{d}t\), folgt \(s(t) = \int (2t + 5) \,\text{d}t = t^2 + 5t + C_2\). Mit der Anfangsbedingung \(s(0) = 10\) ergibt sich \(C_2 = 10\), also \(s(t) = t^2 + 5t + 10\). 3. Berechnung des Zeitpunkts für \(s = 160\): Setze \(t^2 + 5t + 10 = 160\), woraus die quadratische Gleichung \(t^2 + 5t - 150 = 0\) folgt. 4. Lösen der quadratischen Gleichung: Die Lösungen sind \(t = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (-150)}}{2} = \frac{-5 \pm 25}{2}\). Da \(t \ge 0\) sein muss, ist \(t = 10\,\text{s}\).

a) \(v(t) = 2t + 5\) und \(s(t) = t^2 + 5t + 10\) b) Das Fahrzeug erreicht die Position nach \(t = 10\,\text{s}\).

- Beginne damit, eine allgemeine Funktion für den Bestand zu finden, indem du die Änderungsrate integrierst. - Nutze die Information über den Zustand zum Startzeitpunkt, um eine Beziehung zwischen den unbekannten Parametern herzustellen. - Wie kannst du den Messwert nach einer Stunde nutzen, um den exakten Wert der Konstante zu finden? - Schreibe den Bruch in der Ableitungsfunktion als Potenz mit negativem Exponenten um, um das Integrieren zu erleichtern.

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion für die Masse: \(m(t) = \int k \cdot (t+1)^{-2} \, dt = k \cdot \frac{(t+1)^{-1}}{-1} + C = -\frac{k}{t+1} + C\). 2. Anwendung der Anfangsbedingung \(m(0) = 0\): \(-\frac{k}{0+1} + C = 0 \implies -k + C = 0 \implies C = k\). 3. Einsetzen der Bedingung nach einer Stunde \(m(1) = 2\), um \(k\) zu berechnen: \(-\frac{k}{1+1} + k = 2 \implies -\frac{k}{2} + k = 2\). 4. Auflösen nach \(k\): \(\frac{k}{2} = 2 \implies k = 4\). 5. Da \(C = k\), folgt \(C = 4\). Die Funktionsgleichung lautet \(m(t) = 4 - \frac{4}{t+1}\).

\(k = 4\) und \(m(t) = 4 - \frac{4}{t+1}\)

- Überlege dir zuerst, was eine positive und was eine negative Rate für den Wasserbestand bedeutet. - Wann nimmt der Wasserbestand ab, wann nimmt er zu? - Wie lässt sich die Änderung des Bestands mathematisch als Fläche zwischen dem Graphen und der horizontalen Achse deuten? - Welchen Wert (in \(\text{m}^3\)) repräsentiert ein einzelnes Kästchen des Gitternetzes? Achte dabei auf die Skalierung der beiden Achsen.

1. **Teilaufgabe a):** - Solange die Änderungsrate negativ ist (\(v(t) < 0\)), fließt Wasser aus dem Becken ab. Dies ist im Intervall \([0; 5]\) der Fall. - Ab \(t = 5\,\text{h}\) ist die Rate positiv (\(v(t) > 0\)), es fließt also wieder Wasser zu. - Der Wasserbestand nimmt somit bis zum Zeitpunkt \(t = 5\,\text{h}\) kontinuierlich ab und steigt danach wieder an. Der minimale Wasserbestand wird daher genau bei \(t = 5\,\text{h}\) erreicht. 2. **Teilaufgabe b):** - Die Bestandsänderung entspricht dem bestimmten Integral der Rate: \(\Delta V = \int_{0}^{5} v(t) \,\text{d}t\). Da der Graph im Intervall \([0; 5]\) unterhalb der \(t\)-Achse verläuft, entspricht dies dem negativen Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der \(t\)-Achse. - **Kästchenmethode:** Ein Gitterkästchen entspricht einer Breite von \(1\,\text{h}\) und einer Höhe von \(10\,\text{m}^3/\text{h}\), also einem Volumen von \(10\,\text{m}^3\). Durch Abzählen der Kästchen unter der \(t\)-Achse von \(t = 0\) bis \(t = 5\) erhält man ca. \(10\) Kästchen. Dies entspricht einem Verlust von ca. \(100\,\text{m}^3\). - Der Wasserbestand nach \(5\) Stunden beträgt näherungsweise \(V(5) = V(0) + \Delta V = 400\,\text{m}^3 - 100\,\text{m}^3 = 300\,\text{m}^3\).

a) Der Wasserbestand ist nach genau \(5\,\text{h}\) am geringsten, da bis zu diesem Zeitpunkt Wasser abfließt (die Rate ist negativ) und danach Wasser zufließt (die Rate ist positiv). b) Nach genau fünf Stunden befinden sich näherungsweise \(300\,\text{m}^3\) Wasser im Speicherbecken (die Wassermenge hat sich um \(100\,\text{m}^3\) verringert).

- Kannst du die Bedeutung einer Änderungsrate von null im Sachzusammenhang erklären? - Wie hängen die Änderungsrate und die Bestandsfunktion mathematisch zusammen? Welches Werkzeug der Analysis hilft dir hier weiter? - Wie bestimmt man den Hochpunkt einer Funktion auf einem bestimmten Intervall? - Welche Rolle spielt der Anfangsbestand bei der Bestimmung der Integrationskonstante?

1. Nullstellen von \(f(t) = t^3 - 11t^2 + 24t = t(t-3)(t-8) = 0\) bestimmen: \(t_1 = 0\), \(t_2 = 3\) und \(t_3 = 8\). Im Sachzusammenhang: Um 12:00 Uhr (\(t = 0\)) ist die Nettoänderungsrate null, um 15:00 Uhr (\(t = 3\)) wechselt der Prozess von Zufluss zu Abfluss (maximaler Bestand), und um 20:00 Uhr (\(t = 8\)) stoppt der Abfluss (Änderungsrate wieder null). 2. Lokales Maximum von \(f\) im Intervall \([0; 3]\) durch Nullsetzen der Ableitung \(f'(t) = 3t^2 - 22t + 24 = 0\) berechnen. Die relevante Lösung ist \(t = \frac{4}{3} \approx 1{,}33\). Wegen \(f''(\frac{4}{3}) = -14 < 0\) liegt ein Maximum vor. Die maximale Zuflussrate beträgt \(f(\frac{4}{3}) = \frac{400}{27}\,\text{m}^3/\text{h} \approx 14{,}81\,\text{m}^3/\text{h}\). 3. Bestimmung der Bestandsfunktion \(V(t) = \int f(t)\,dt = \frac{1}{4}t^4 - \frac{11}{3}t^3 + 12t^2 + C\). Mit dem Anfangsbestand \(V(0) = 100\) folgt \(C = 100\), also \(V(t) = \frac{1}{4}t^4 - \frac{11}{3}t^3 + 12t^2 + 100\). 4. Berechnung der Bestände: Um 15:00 Uhr (\(t = 3\)) beträgt das Wasservolumen \(V(3) = 129{,}25\,\text{m}^3\). Um 20:00 Uhr (\(t = 8\)) beträgt das Wasservolumen \(V(8) = \frac{44}{3}\,\text{m}^3 \approx 14{,}67\,\text{m}^3\). Da das Volumen im Intervall \([3; 8]\) streng monoton abnimmt und am Ende den minimalen Wert von \(14{,}67\,\text{m}^3 > 0\) erreicht, wird das Becken nie leer.

a) Die Änderungsrate ist zu den Zeitpunkten \(t = 0\) (12:00 Uhr), \(t = 3\) (15:00 Uhr) und \(t = 8\) (20:00 Uhr) null. Um 12:00 Uhr ist die Nettoänderungsrate null, um 15:00 Uhr wechselt der Zufluss zu Abfluss (Maximalbestand), und um 20:00 Uhr stoppt der Abfluss. b) Die Zuflussrate ist zum Zeitpunkt \(t = \frac{4}{3}\,\text{h} \approx 1{,}33\,\text{h}\) (um 13:20 Uhr) mit ca. \(14{,}81\,\text{m}^3/\text{h}\) maximal. c) \(V(t) = \frac{1}{4}t^4 - \frac{11}{3}t^3 + 12t^2 + 100\) d) Um 15:00 Uhr (\(t = 3\)) beträgt das Volumen \(129{,}25\,\text{m}^3\). Um 20:00 Uhr (\(t = 8\)) beträgt das Volumen ca. \(14{,}67\,\text{m}^3\) (exakt \(\frac{44}{3}\,\text{m}^3\)). Da das Becken bei \(t = 8\) sein Minimum erreicht und dieses größer als 0 ist, wird es nie leer.

- Überlege dir, welche Bedeutung das Vorzeichen der Änderungsrate \(f(t)\) für den Zu- oder Abfluss von Wasser hat. - Wie hängen die momentane Änderungsrate und die Gesamtänderung einer Größe mathematisch über ein Integral zusammen? - Vergiss nicht, den Anfangsbestand zum Zeitpunkt \(t = 0\) zu berücksichtigen, wenn du das absolute Volumen berechnest. - An welchen Stellen kann eine stetige Funktion auf einem geschlossenen Intervall ihr globales Maximum annehmen? Welche Werte musst du vergleichen?

1. Bestimmung der Abflusszeiträume: Ein Nettoabfluss liegt vor, wenn die Änderungsrate negativ ist, also \(f(t) < 0\). Laut Graph ist dies für \(0 \le t < 2\) und \(10 < t \le 12\) der Fall. Dies entspricht den Uhrzeiten von 12:00 Uhr bis 14:00 Uhr und von 22:00 Uhr bis 24:00 Uhr. 2. Berechnung des Wasservolumens um 18:00 Uhr: Das Wasservolumen \(V(6)\) berechnet sich durch Rekonstruktion des Bestands: \(V(6) = V(0) + \int_0^6 f(t)\,\mathrm{d}t\) \(V(6) = 200 + \int_0^6 (-3t^2 + 36t - 60)\,\mathrm{d}t\) \(V(6) = 200 + \left[-t^3 + 18t^2 - 60t\right]_0^6\) \(V(6) = 200 + (-6^3 + 18 \cdot 6^2 - 60 \cdot 6) - 0 = 200 + 72 = 272\,\text{m}^3\) 3. Begründung des maximalen Volumens: Die Nullstellen von \(f(t)\) liegen bei \(t = 2\) und \(t = 10\). Da \(f(t) < 0\) für \(t \in [0; 2)\), \(f(t) > 0\) für \(t \in (2; 10)\) und \(f(t) < 0\) für \(t \in (10; 12]\), nimmt das Volumen bis \(t = 2\) ab, steigt dann bis \(t = 10\) an und nimmt danach wieder ab. Bei \(t = 10\) liegt somit ein lokales Maximum vor. Durch Vergleich mit den Randwerten: \(V(0) = 200\,\text{m}^3\) \(V(10) = 200 + \left[-t^3 + 18t^2 - 60t\right]_0^{10} = 200 + 200 = 400\,\text{m}^3\) \(V(12) = 200 + \left[-t^3 + 18t^2 - 60t\right]_0^{12} = 200 + 144 = 344\,\text{m}^3\) Da das Volumen bei \(t = 10\) mit \(400\,\text{m}^3\) am größten ist, ist dies das absolute Maximum im gesamten Beobachtungszeitraum.

a) Wasser fließt netto von 12:00 Uhr bis 14:00 Uhr sowie von 22:00 Uhr bis 24:00 Uhr ab. b) Das Wasservolumen um 18:00 Uhr beträgt \(272\,\text{m}^3\). c) Da die Änderungsrate vor \(t = 10\) positiv und danach negativ ist, liegt bei \(t = 10\) ein lokales Maximum vor. Da \(V(10) = 400\,\text{m}^3\) größer ist als die Randwerte \(V(0) = 200\,\text{m}^3\) und \(V(12) = 344\,\text{m}^3\), ist dies das absolute Maximum im gesamten Zeitraum.

- Was bedeutet es für den Wasserstand, wenn die Zuflussrate negativ ist? - An welchen Stellen im Diagramm könnte der Wasserstand einen Tiefpunkt erreichen? - Wie kannst du die Flächen zwischen dem Graphen und der Zeitachse nutzen, um Volumenänderungen zu berechnen? - Denke daran, dass der aktuelle Wasserstand die Summe aus dem Startwert und allen bisherigen Änderungen ist.

1. Abnahme der Wassermenge: Das Volumen nimmt ab, wenn die Änderungsrate \(v(t)\) negativ ist. Dies ist im Intervall \(t \in (3; 8)\) der Fall. 2. Minimaler Wasserstand: Die Wassermenge steigt bis \(t=3\) an (positive Rate), sinkt dann bis \(t=8\) ab (negative Rate) und steigt danach wieder an. Ein lokales Minimum liegt somit bei \(t=8\). Ein Vergleich mit dem Anfangswert zeigt, dass der Gesamtverlust zwischen \(t=3\) und \(t=8\) (Fläche von \(7\,\text{L}\)) größer ist als der vorherige Zuwachs zwischen \(t=0\) und \(t=3\) (Fläche von \(5\,\text{L}\)). Das absolute Minimum liegt also bei \(t=8\). 3. Volumenänderung nach 5 Minuten: Die Änderung entspricht der Flächenbilanz von \(t=0\) bis \(t=5\). - Bereich \([0; 2]\): \(2\,\text{min} \cdot 2\,\text{L}/\text{min} = 4\,\text{L}\). - Bereich \([2; 3]\): \(\frac{1}{2} \cdot 1\,\text{min} \cdot 2\,\text{L}/\text{min} = 1\,\text{L}\). - Bereich \([3; 4]\): \(\frac{1}{2} \cdot 1\,\text{min} \cdot (-2\,\text{L}/\text{min}) = -1\,\text{L}\). - Bereich \([4; 5]\): \(1\,\text{min} \cdot (-2\,\text{L}/\text{min}) = -2\,\text{L}\). Netto-Änderung: \(4 + 1 - 1 - 2 = 2\,\text{L}\). 4. Wassermenge nach 10 Minuten: Die Gesamtänderung über 10 Minuten ergibt sich aus der Summe aller Teilflächen: \(5\,\text{L}\) (Zuwachs) \(- 7\,\text{L}\) (Abfluss) \(+ 2\,\text{L}\) (Zuwachs) \(= 0\,\text{L}\). Der Endbestand ist gleich dem Anfangsbestand: \(50\,\text{L} + 0\,\text{L} = 50\,\text{L}\).

a) Im Intervall \((3; 8)\). b) Bei \(t = 8\), da hier die Abflussphase endet und die Wassermenge danach wieder zunimmt. Zu diesem Zeitpunkt ist der kumulierte Verlust größer als der vorherige Zuwachs. c) Die Wassermenge hat sich um \(2\,\text{L}\) erhöht. d) Nach 10 Minuten befinden sich wieder \(50\,\text{L}\) im Speicher.

- Überlege dir, was passiert, wenn die Kurve unter die Nulllinie sinkt. Läuft dann Wasser hinein oder heraus? - Das Integral über die Rate entspricht der Bestandsänderung. - Die maximale Füllmenge wird erreicht, kurz bevor der Abfluss beginnt den Zufluss zu übersteigen. Wo ist das im Graphen? - Du kannst die Flächen im Graphen als einfache geometrische Formen (Rechtecke, Dreiecke) berechnen.

1. Maximum der Wassermenge: Die Wassermenge \(V(t)\) nimmt zu, solange die Rate \(f(t)\) positiv ist, und ab, wenn \(f(t)\) negativ ist. Der Graph von \(f\) wechselt bei \(t = 6\) das Vorzeichen von Plus nach Minus. Daher ist die Wassermenge zum Zeitpunkt \(t = 6\,\text{h}\) am größten. 2. Volumenänderung nach \(10\) Stunden: - Intervall \([0; 4]\): Rechteck mit \(4\,\text{h} \cdot 4\,\text{m}^3/\text{h} = 16\,\text{m}^3\). - Intervall \([4; 6]\): Dreieck mit \(\frac{1}{2} \cdot 2\,\text{h} \cdot 4\,\text{m}^3/\text{h} = 4\,\text{m}^3\). - Intervall \([6; 8]\): Dreieck (Abfluss) mit \(\frac{1}{2} \cdot 2\,\text{h} \cdot (-4\,\text{m}^3/\text{h}) = -4\,\text{m}^3\). - Intervall \([8; 10]\): Rechteck (Abfluss) mit \(2\,\text{h} \cdot (-4\,\text{m}^3/\text{h}) = -8\,\text{m}^3\). - Gesamte Änderung: \(V(10) = 16 + 4 - 4 - 8 = 8\,\text{m}^3\). 3. Zeitpunkt der vollständigen Leerung: - Gesucht ist \(t\) mit \(V(t) = 0\). - Aus Schritt 2 wissen wir \(V(10) = 8\,\text{m}^3\). - Für \(t \ge 8\) ist die Abflussrate konstant \(f(t) = -4\,\text{m}^3/\text{h}\). - \(V(t) = V(10) + \int_{10}^t (-4) \,\text{d}\tau = 8 - 4(t - 10)\). - Setze \(8 - 4(t - 10) = 0 \Rightarrow 8 = 4(t - 10) \Rightarrow 2 = t - 10 \Rightarrow t = 12\,\text{h}\).

a) Nach \(6\) Stunden, da die Rate dort von Zufluss (positiv) zu Abfluss (negativ) wechselt. b) Das Wasservolumen hat sich um \(8\,\text{m}^3\) erhöht. c) Nach \(12\) Stunden ist das Becken wieder leer.

- Überlege dir zuerst, wie du aus der Änderungsrate den Gesamtzustand (Bestand) berechnen kannst. - Was bedeutet die Fläche zwischen dem Graphen der Änderungsrate und der \(t\)-Achse für den Wasserstand? - Wann hört das Becken auf, voller zu werden, und fängt an, sich zu leeren? - Wenn der Wasserstand wieder den Anfangswert erreicht, muss die Bilanz aus Zufluss und Abfluss insgesamt Null ergeben.

1. Die Bestandsfunktion \(V(t)\) ergibt sich durch Integration der Änderungsrate: \(V(t) = \int (6t - t^2) \,\mathrm{d}t = 3t^2 - \frac{1}{3}t^3 + C\). Mit der Anfangsbedingung \(V(0) = 80\) folgt \(C = 80\), also \(V(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 3t^2 + 80\). 2. Für Teilaufgabe a): \(V(3) = -\frac{1}{3} \cdot 3^3 + 3 \cdot 3^2 + 80 = -9 + 27 + 80 = 98\,\text{m}^3\). 3. Für Teilaufgabe b): Das Maximum liegt vor, wenn der Zufluss null wird und von positiv zu negativ wechselt. \(f(t) = t(6-t) = 0\) liefert \(t_1 = 0\) und \(t_2 = 6\). Da \(f(t) > 0\) für \(0 < t < 6\), ist der Wasserstand bei \(t = 6\) maximal. \(V(6) = -\frac{1}{3} \cdot 6^3 + 3 \cdot 6^2 + 80 = -72 + 108 + 80 = 116\,\text{m}^3\). 4. Für Teilaufgabe c): Gesucht ist \(t > 0\) mit \(V(t) = 80\). Dies führt auf \(-\frac{1}{3}t^3 + 3t^2 = 0 \Rightarrow t^2(3 - \frac{1}{3}t) = 0\). Die Lösung ist \(t = 9\). Nach 9 Stunden ist das Anfangsniveau wieder erreicht. 5. Für Teilaufgabe d): \(V(10) = -\frac{1}{3} \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^2 + 80 = -\frac{1000}{3} + 300 + 80 = \frac{140}{3}\,\text{m}^3 \approx 46{,}67\,\text{m}^3\).

a) Nach 3 Stunden befinden sich \(98\,\text{m}^3\) Wasser im Becken. b) Der Wasserstand ist nach \(6\,\text{h}\) am höchsten. Das maximale Volumen beträgt \(116\,\text{m}^3\). c) Nach \(9\,\text{h}\) ist das Anfangsniveau wieder erreicht. d) Nach 10 Stunden befinden sich noch etwa \(46{,}67\,\text{m}^3\) Wasser im Becken.

- Der Graph ist eine ansteigende Gerade. Welche Form hat die Fläche zwischen der Geraden und der x-Achse? - Bestimme die Werte der Wachstumsrate zu Beginn und am Ende des Zeitraums. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Trapezes?

1. Identifikation der geometrischen Form: Die Fläche unter dem Graphen ist ein Trapez. 2. Ablesen der Eckwerte: Die Rate zu Beginn (\(t=0\)) ist \(2\,\text{mm/Woche}\), nach drei Wochen (\(t=3\)) ist sie auf \(8\,\text{mm/Woche}\) angestiegen. 3. Berechnung des Flächeninhalts (Trapez): \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h = \frac{2\,\text{mm/Woche} + 8\,\text{mm/Woche}}{2} \cdot 3\,\text{Wochen} = 5 \cdot 3 = 15\,\text{mm}\). Ergebnis: \(15\,\text{mm}\).

Der Durchmesserzuwachs beträgt \(15\,\text{mm}\).

- Überlege dir, wie die Änderungsrate mit der Bestandsänderung zusammenhängt. Welches mathematische Werkzeug hilft dir hier? - Ein Maximum einer Funktion findest du dort, wo ihre Steigung null ist und sich das Vorzeichen der Steigung ändert. - Denke an den Unterschied zwischen der gerichteten Änderung (Integral der Funktion) und der gesamten „Bewegung“ (Integral des Betrags). - Der Wasserbestand zu einem Zeitpunkt setzt sich immer aus einem Startwert und der bis dahin erfolgten Änderung zusammen.

1. Zur Bestimmung der maximalen Befüllrate wird das lokale Maximum von \(f\) im Intervall \([0; 10]\) gesucht. Die Ableitung ist \(f'(t) = 0{,}06t^2 - 1{,}2t + 4{,}5\). Nullstellen von \(f'\): \(0{,}06t^2 - 1{,}2t + 4{,}5 = 0 \Rightarrow t^2 - 20t + 75 = 0\). Mit der pq-Formel ergeben sich \(t_1 = 5\) und \(t_2 = 15\). Da \(f''(5) = 0{,}12 \cdot 5 - 1{,}2 = -0{,}6 < 0\), liegt bei \(t = 5\,\text{h}\) ein Maximum vor. Die maximale Befüllrate beträgt \(f(5) = 0{,}02 \cdot 125 - 0{,}6 \cdot 25 + 4{,}5 \cdot 5 - 5 = 5\,\text{m}^3/\text{h}\). 2. Die Volumenänderung zwischen \(t = 2\) und \(t = 8\) ist das bestimmte Integral \(\int_2^8 f(t) \,\text{d}t\). Eine Stammfunktion ist \(F(t) = 0{,}005t^4 - 0{,}2t^3 + 2{,}25t^2 - 5t\). Berechnung: \(F(8) = 22{,}08\) und \(F(2) = -2{,}52\). Differenz: \(F(8) - F(2) = 22{,}08 - (-2{,}52) = 24{,}6\,\text{m}^3\). 3. Der Wasserbestand nach 10 Stunden berechnet sich aus dem Anfangsbestand plus der Änderung: \(V(10) = 100 + \int_0^{10} f(t) \,\text{d}t\). Es gilt \(F(10) = 0{,}005 \cdot 10000 - 0{,}2 \cdot 1000 + 2{,}25 \cdot 100 - 5 \cdot 10 = 50 - 200 + 225 - 50 = 25\). Da \(F(0) = 0\), ist die Änderung \(25\,\text{m}^3\). Der Bestand beträgt \(125\,\text{m}^3\). 4. Das Integral über den Betrag der Änderungsrate \(\int_0^{15} |f(t)| \,\text{d}t\) gibt die gesamte Wassermenge an, die im Zeitraum von 15 Stunden bewegt wurde (Summe aus der absolut zugeflossenen und der absolut abgeflossenen Menge).

a) Die maximale Befüllrate wird nach \(5\,\text{h}\) erreicht und beträgt \(5\,\text{m}^3/\text{h}\). b) Im Zeitraum von \(t = 2\) bis \(t = 8\) fließen insgesamt \(24{,}6\,\text{m}^3\) Wasser in das Becken. c) Nach 10 Stunden beträgt der Wasserbestand im Becken \(125\,\text{m}^3\). d) Das Integral gibt die gesamte Wassermenge an, die innerhalb der 15 Stunden insgesamt durch Zu- und Abfluss bewegt wurde.

- Überlege dir, was eine positive oder negative Änderungsrate für den tatsächlichen Bestand (den Wasserstand) bedeutet. - Wie hängen die Nullstellen der Änderungsrate mit den Extrempunkten des Bestandes zusammen? - Das Integral über eine Änderungsrate gibt die Nettoänderung des Bestandes in diesem Zeitraum an. - Um den aktuellen Bestand zu einem Zeitpunkt zu finden, musst du die Änderung zum Anfangsbestand addieren.

1. Berechnung von \(v(2) = 0{,}8\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0{,}8 \cdot 0{,}5 = 0{,}4\). Zum Zeitpunkt \(t = 2\) (10:00 Uhr) steigt der Wasserstand mit einer momentanen Rate von \(0{,}4\,\text{m/h}\). Das positive Vorzeichen zeigt einen Anstieg an. 2. Der Wasserstand ist maximal, wenn die Änderungsrate \(v(t)\) von positiven zu negativen Werten wechselt. Im Intervall \([0; 12]\) ist dies an der Nullstelle \(t = 3\) der Fall (11:00 Uhr). Bis \(t=3\) steigt das Wasser (\(v(t) > 0\)), danach sinkt es (\(v(t) < 0\)). 3. Berechnung des Integrals: \(\int_0^3 0{,}8 \cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) \,\text{d}t = \left[ 0{,}8 \cdot \frac{6}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) \right]_0^3 = \frac{4{,}8}{\pi} \cdot (\sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0)) = \frac{4{,}8}{\pi} \approx 1{,}53\). Der Wert gibt den gesamten Anstieg des Wasserstands um ca. \(1{,}53\,\text{m}\) zwischen 08:00 Uhr und 11:00 Uhr an. 4. Der Zeitpunkt 14:00 Uhr entspricht \(t = 6\). Der Wasserstand ist \(h(6) = h(0) + \int_0^6 v(t) \,\text{d}t = 3{,}50 + \left[ \frac{4{,}8}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) \right]_0^6 = 3{,}50 + \frac{4{,}8}{\pi} \cdot (\sin(\pi) - \sin(0)) = 3{,}50 + 0 = 3{,}50\,\text{m}\).

a) \(v(2) = 0{,}4\,\text{m/h}\); das Wasser steigt um 10:00 Uhr mit dieser Rate. b) Bei \(t = 3\) (11:00 Uhr), da dort die Rate von positiv (Steigen) zu negativ (Sinken) wechselt. c) Das Integral beträgt ca. \(1{,}53\,\text{m}\). Das Wasser ist insgesamt um etwa \(1{,}53\,\text{m}\) gestiegen. d) Um 14:00 Uhr (\(t = 6\)) beträgt der Wasserstand wieder \(3{,}50\,\text{m}\).

- Wann steigt ein Bestand an? Überlege dir, welches Vorzeichen die Änderungsrate dafür haben muss. - Was stellt die Fläche unter einem Graphen einer Änderungsrate dar? - Nutze das Integral der Änderungsrate, um die Änderung über einen Zeitraum zu berechnen und addiere diese zum Anfangsbestand. - Betrachte das Vorzeichen der Änderungsrate kurz vor und kurz nach dem Zeitpunkt \(t = 6\).

1. Analyse der Zunahme: Das Volumen nimmt zu, wenn die Änderungsrate \(q(t)\) positiv ist. Die Nullstellen von \(q(t) = -0{,}5t^2 + 4t - 6\) liegen bei \(t = 2\) und \(t = 6\). Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt \(q(t) > 0\) für \(2 < t < 6\). In diesem Zeitraum nimmt das Volumen zu. 2. Interpretation des Integrals: Das Integral \(\int_{2}^{6} q(t) \, \text{d}t\) gibt die gesamte Volumenänderung (Netto-Zunahme) in Kubikmetern im Zeitraum von \(t = 2\,\text{h}\) bis \(t = 6\,\text{h}\) an. 3. Berechnung des Volumens nach \(6\,\text{h}\): \(V(6) = V(0) + \int_{0}^{6} q(t) \, \text{d}t\). Das Integral berechnet sich zu \(\int_{0}^{6} (-0{,}5t^2 + 4t - 6) \, \text{d}t = [-\frac{1}{6}t^3 + 2t^2 - 6t]_0^6 = (-36 + 72 - 36) - 0 = 0\). Somit ist \(V(6) = 150 + 0 = 150\,\text{m}^3\). 4. Begründung des Maximums: Zum Zeitpunkt \(t = 6\) hat die Änderungsrate \(q(t)\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus (da \(q(5) > 0\) und \(q(7) < 0\)). Das bedeutet, das Becken wird bis \(t = 6\) gefüllt und danach geleert. Somit liegt bei \(t = 6\) ein lokales Maximum des Bestands vor.

a) Das Volumen nimmt im Zeitraum \(2 < t < 6\) zu, da dort die Änderungsrate \(q(t)\) positiv ist. b) Der Wert gibt die gesamte Wassermenge in \(\text{m}^3\) an, die zwischen der zweiten und sechsten Stunde netto in das Becken geflossen ist. c) Das Volumen nach \(6\,\text{h}\) beträgt \(150\,\text{m}^3\). d) Bei \(t = 6\) wechselt die Änderungsrate ihr Vorzeichen von positiv (Zufluss) zu negativ (Abfluss). Da das Becken bis dahin gefüllt wurde und danach geleert wird, ist das Volumen zu diesem Zeitpunkt maximal.

- Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um Bestände zu berechnen. - Wie berechnet man den Durchschnittswert einer Funktion über ein Intervall? - Was muss für die Rate gelten, damit ein Bestand ein Minimum erreicht? - Überlege dir, wie du eine Gleichung dritten Grades vereinfachen kannst, wenn eine Lösung bereits bekannt ist.

1. Bestimmung der Volumenfunktion \(V(t) = 40 + \int_0^t r(x) \, dx\). Mit \(r(t) = -0{,}02t^2 + 0{,}4t - 1{,}28\) ergibt sich \(V(t) = 40 - 0{,}02(\frac{1}{3}t^3 - 10t^2 + 64t)\). 2. Berechnung der Volumina: \(V(4) = 40 - 0{,}02(\frac{64}{3} - 160 + 256) \approx 37{,}65\,\text{m}^3\). Für \(t=10\): \(V(10) = 40 - 0{,}02(\frac{1000}{3} - 1000 + 640) \approx 40{,}53\,\text{m}^3\). 3. Minimales Volumen: Nullstellen von \(r(t)\) sind \(t=4\) und \(t=16\). Da \(r(0) = -1{,}28 < 0\), sinkt das Volumen zuerst. Bei \(t=4\) wechselt die Rate von negativ zu positiv, also liegt ein lokales Minimum vor. \(V(4) \approx 37{,}65\,\text{m}^3\). 4. Durchschnittliche Rate: \(\bar{r} = \frac{1}{16-0} \int_0^{16} r(t) \, dt = \frac{V(16) - V(0)}{16}\). Mit \(V(16) = 40 - 0{,}02(\frac{16^3}{3} - 10 \cdot 16^2 + 64 \cdot 16) \approx 43{,}41\,\text{m}^3\) ergibt sich \(\bar{r} = \frac{43{,}41 - 40}{16} \approx 0{,}213\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). 5. Zeitpunkt für \(V(t)=40\): Ansatz \(\frac{1}{3}t^3 - 10t^2 + 64t = 0\). Da \(t=0\) bekannt ist, bleibt \(\frac{1}{3}t^2 - 10t + 64 = 0\) bzw. \(t^2 - 30t + 192 = 0\). Die Lösungen sind \(t \approx 9{,}26\) und \(t \approx 20{,}74\). Der gesuchte Zeitpunkt ist \(t \approx 9{,}26\,\text{h}\).

a) Nach \(4\) Stunden: ca. \(37{,}65\,\text{m}^3\); nach \(10\) Stunden: ca. \(40{,}53\,\text{m}^3\). b) Zeitpunkt: \(t = 4\,\text{h}\); minimales Volumen: ca. \(37{,}65\,\text{m}^3\). c) Nachweis über den Mittelwertsatz der Integralrechnung: \(\frac{1}{16} \int_0^{16} r(t) \, dt \approx 0{,}21\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). d) Zeitpunkt: \(t \approx 9{,}26\,\text{h}\).

- Wie gehst du vor, wenn du einen Funktionswert gegeben hast und den passenden x-Wert suchst? - Welche mathematische Eigenschaft einer Funktion gibt Auskunft über ihr Steigungsverhalten? - Wie hängen die Durchflussrate und das Gesamtvolumen mathematisch zusammen? - Was bedeutet der Anfangsbestand für die Integrationskonstante? - Überlege dir für den letzten Aufgabenteil, wie sich das Volumen nach der Umstellung der Pumpe zusammensetzt.

1. Berechnung von \(t\) für \(v(t) = 6\): \(12 - 12e^{-0{,}4t} = 6 \Rightarrow e^{-0{,}4t} = 0{,}5 \Rightarrow t = \frac{\ln(0{,}5)}{-0{,}4} \approx 1{,}73\). Der Zeitpunkt ist etwa \(1{,}73\,\text{min}\). 2. Nachweis der Zunahme: Die Ableitung \(v'(t) = 4{,}8e^{-0{,}4t}\) ist für alle \(t \geq 0\) positiv, da die Exponentialfunktion stets positive Werte liefert. Somit ist \(v(t)\) streng monoton steigend. 3. Änderungsrate nach \(5\,\text{min}\): \(v'(5) = 4{,}8e^{-0{,}4 \cdot 5} = 4{,}8e^{-2} \approx 0{,}65\). Die Rate beträgt etwa \(0{,}65\,\text{L}/\text{min}^2\). 4. Bestimmung von \(V(t)\): \(V(t) = \int v(t) \, \text{d}t = \int (12 - 12e^{-0{,}4t}) \, \text{d}t = 12t + 30e^{-0{,}4t} + C\). Mit \(V(0) = 40\) folgt \(30 + C = 40 \Rightarrow C = 10\). Also \(V(t) = 12t + 30e^{-0{,}4t} + 10\). 5. Volumen nach \(10\,\text{min}\): \(V(10) = 12 \cdot 10 + 30e^{-4} + 10 \approx 120 + 0{,}55 + 10 = 130{,}55\). Das Volumen beträgt ca. \(130{,}55\,\text{L}\). 6. Zeitpunkt für \(500\,\text{L}\): Zuerst Volumen nach \(20\,\text{min}\) berechnen: \(V(20) = 12 \cdot 20 + 30e^{-8} + 10 \approx 250{,}01\,\text{L}\). Für \(t > 20\) gilt \(V_{\text{gesamt}}(t) = 250{,}01 + 12(t - 20)\). Gleichsetzen mit \(500\): \(12(t - 20) = 249{,}99 \Rightarrow t - 20 \approx 20{,}83 \Rightarrow t \approx 40{,}83\). Der Zeitpunkt ist ca. \(40{,}83\,\text{min}\).

a) \(t \approx 1{,}73\,\text{min}\) b) \(v'(t) = 4{,}8e^{-0{,}4t} > 0\) für alle \(t\) c) \(v'(5) \approx 0{,}65\,\text{L}/\text{min}^2\) d) \(V(t) = 12t + 30e^{-0{,}4t} + 10\) e) \(V(10) \approx 130{,}55\,\text{L}\) f) \(t \approx 40{,}83\,\text{min}\)

- Welches Werkzeug nutzt du, um Extremstellen einer Funktion zu finden? - Erinnerst du dich an die Regel für das Integrieren von Produkten aus einer linearen Funktion und einer Exponentialfunktion? - Wie berechnet man den Durchschnittswert einer Funktion über ein bestimmtes Intervall? - Was passiert mit dem Term \(t \cdot e^{-t}\), wenn \(t\) immer größer wird?

1. Maximale Ladeleistung: Ableitung bilden mit Produktregel: \(P'(t) = 40 \cdot e^{-0{,}5t} + 40t \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5t} = (40 - 20t) \cdot e^{-0{,}5t}\). Nullstelle bei \(40 - 20t = 0 \Rightarrow t = 2\). Da \(P'(t) > 0\) für \(t < 2\) und \(P'(t) < 0\) für \(t > 2\), liegt ein Maximum vor. \(P(2) = 40 \cdot 2 \cdot e^{-1} \approx 29{,}43\,\text{W}\). 2. Stammfunktion \(E(t)\): Mittels partieller Integration von \(\int 40t \cdot e^{-0{,}5t} \, \text{d}t\): Sei \(u(t) = 40t\) und \(w'(t) = e^{-0{,}5t}\). Dann gilt \(u'(t) = 40\) und \(w(t) = -2e^{-0{,}5t}\). Es folgt \(\int P(t) \, \text{d}t = -80t \cdot e^{-0{,}5t} - \int -80e^{-0{,}5t} \, \text{d}t = -80t \cdot e^{-0{,}5t} - 160e^{-0{,}5t} + C = -80(t+2)e^{-0{,}5t} + C\). Mit \(E(0) = 200\) folgt \(-80(2)e^0 + C = 200 \Rightarrow -160 + C = 200 \Rightarrow C = 360\). Somit \(E(t) = 360 - 80(t+2)e^{-0{,}5t}\). 3. Energie nach \(4\,\text{h}\): \(E(4) = 360 - 80(6)e^{-2} = 360 - 480e^{-2} \approx 295{,}04\,\text{Wh}\). 4. Mittlere Ladeleistung: \(\bar{P} = \frac{1}{4-0} \int_0^4 P(t) \, \text{d}t = \frac{E(4) - E(0)}{4} = \frac{295{,}04 - 200}{4} \approx 23{,}76\,\text{W}\). 5. Grenzwertbetrachtung: \(\lim_{t \to \infty} E(t) = \lim_{t \to \infty} (360 - 80(t+2)e^{-0{,}5t})\). Da \(e^{-0{,}5t}\) stärker gegen \(0\) geht als \(t\) gegen unendlich wächst, gilt \(\lim_{t \to \infty} 80(t+2)e^{-0{,}5t} = 0\). Der Grenzwert ist \(360\,\text{Wh}\).

a) \(t = 2\,\text{h}\); \(P(2) \approx 29{,}43\,\text{W}\) b) \(E(t) = 360 - 80(t+2)e^{-0{,}5t}\) c) \(E(4) \approx 295{,}04\,\text{Wh}\) d) \(\bar{P} \approx 23{,}76\,\text{W}\) e) \(360\,\text{Wh}\)

- Welche Bedingungen müssen für einen Sattelpunkt an der Stelle \(x=0\) erfüllt sein? - Nutze die Koordinaten und die notwendige Bedingung für Wendepunkte, um ein Gleichungssystem aufzustellen. - Wie hängen die Änderungsrate und der Gesamtbestand mathematisch zusammen? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. - Das Maximum einer Funktion findest du mithilfe der ersten Ableitung.

1. Aus \(f(0)=0\) folgt \(e=0\). Da im Ursprung eine waagerechte Tangente vorliegt, gilt \(f'(0)=0\), woraus \(d=0\) folgt. Da es sich um einen Wendepunkt handelt, gilt \(f''(0)=0\), woraus \(c=0\) folgt. Die Funktion reduziert sich auf \(f(x) = ax^4 + bx^3\). 2. Mit \(f(8) = 4096a + 512b = 1024\) und \(f''(8) = 768a + 48b = 0\) ergibt sich ein Gleichungssystem. Aus der zweiten Gleichung folgt \(b = -16a\). Einsetzen in die erste liefert \(4096a - 8192a = 1024\), also \(-4096a = 1024 \implies a = -0{,}25\). Damit ist \(b = 4\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -0{,}25x^4 + 4x^3\). 3. Die Bestandsfunktion \(B(x)\) ist das Integral der Rate: \(B(12) = 5000 + \int_{0}^{12} (-0{,}25x^4 + 4x^3) \, \text{d}x\). Das Integral berechnet sich zu \([-0{,}05x^5 + x^4]_0^{12} = -12\,441{,}6 + 20\,736 = 8294{,}4\). Die Gesamtmenge beträgt \(5000 + 8294{,}4 = 13\,294{,}4\) (in \(10^3\,\text{m}^3\)). 4. Das Maximum der Rate liegt vor, wenn \(f'(x) = -x^3 + 12x^2 = 0\). Dies liefert \(x=0\) oder \(x=12\). Für \(0<x<12\) ist \(f'(x)>0\), für \(12<x\le16\) ist \(f'(x)<0\). Daher ist die Zuflussrate nach 12 Tagen mit \(f(12) = 1728 \cdot 10^3\,\text{m}^3/\text{Tag}\) maximal.

a) Aus \(f(0)=0\), \(f'(0)=0\) und \(f''(0)=0\) folgt direkt \(e=0\), \(d=0\) und \(c=0\). b) \(a = -0{,}25\) und \(b = 4\), also \(f(x) = -0{,}25x^4 + 4x^3\). c) Nach 12 Tagen befinden sich \(13\,294{,}4 \cdot 10^3\,\text{m}^3\) Wasser im Becken. d) Das Maximum der Zuflussrate wird nach 12 Tagen erreicht und beträgt \(1728 \cdot 10^3\,\text{m}^3/\text{Tag}\).

- Wann ist ein Bestand maximal, wenn die Änderungsrate gegeben ist? - Wie berechnet man die Fläche eines Trapezes unter einem Graphen? - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über den Verlauf des Graphen im Vergleich zu einer Sehne aus? - Der exakte Zuwachs entspricht dem bestimmten Integral der Änderungsrate.

1. Produktionseinstellung: \(h(20) = -0{,}1 \cdot 20^4 + 2 \cdot 20^3 = -16\,000 + 16\,000 = 0\). Da \(h(t) = t^3(-0{,}1t + 2) > 0\) für \(0 < t < 20\) gilt, ist die Bestandsfunktion \(S\) mit \(S'(t)=h(t)\) im gesamten Inneren des Modellintervalls streng steigend. Daher erreicht der Bestand am rechten Intervallrand \(t=20\) sein Maximum. 2. Trapezwert: \(h(10) = 1000\) und \(h(15) = 1687{,}5\). Die Trapezfläche ist \(A_T = \frac{h(10) + h(15)}{2} \cdot (15 - 10) = \frac{1000 + 1687{,}5}{2} \cdot 5 = 6718{,}75\,\text{ME}\). 3. Krümmung: \(h''(t) = -1{,}2t^2 + 12t = -1{,}2t(t - 10)\). Für \(t \in (10; 15]\) ist \(h''(t) < 0\), der Graph ist also rechtsgekrümmt (konkav). Eine Trapezsehne liegt bei einer konkaven Funktion unterhalb des Graphen, weshalb die Trapezfläche kleiner ist. Exakter Wert: \(\int_{10}^{15} (-0{,}1t^4 + 2t^3) \, \text{d}t = [-0{,}02t^5 + 0{,}5t^4]_{10}^{15} = 10\,125 - 3000 = 7125\,\text{ME}\). Abweichung: \(\frac{7125 - 6718{,}75}{7125} \approx 0{,}05705\), also ca. \(5{,}71\,\%\).

a) \(h(20) = 0\); da \(h(t) > 0\) für \(0 < t < 20\), steigt der Bestand im gesamten Modellintervall bis \(t=20\) an und ist dort maximal. b) Der Näherungswert beträgt \(6718{,}75\,\text{ME}\). c) Da \(h''(t) < 0\) für \(t \in (10; 15)\), ist der Graph rechtsgekrümmt und das Trapez liegt unter der Kurve. Die Abweichung beträgt ca. \(5{,}71\,\%\).

- Denke an die Stammfunktion der natürlichen Exponentialfunktion und die lineare Kettenregel. - Achte darauf, dass die Integrationskonstante nicht immer null sein muss, nur weil ein Startwert null ist. - Wie berechnet man den Wert der Exponentialfunktion an der Stelle \(0\)? - Integriere schrittweise von der Beschleunigung zur Geschwindigkeit und dann zum Weg.

1. Integration der Beschleunigungsfunktion: \(v(t) = \int -4e^{-0{,}5t} \, dt = \frac{-4}{-0{,}5}e^{-0{,}5t} + C = 8e^{-0{,}5t} + C\). 2. Bestimmung der Konstante \(C\) mit \(v(0) = 8\): \(8e^0 + C = 8 \implies 8 + C = 8 \implies C = 0\). Also \(v(t) = 8e^{-0{,}5t}\). 3. Integration der Geschwindigkeitsfunktion: \(s(t) = \int 8e^{-0{,}5t} \, dt = \frac{8}{-0{,}5}e^{-0{,}5t} + C' = -16e^{-0{,}5t} + C'\). 4. Bestimmung der Konstante \(C'\) mit \(s(0) = 0\): \(-16e^0 + C' = 0 \implies -16 + C' = 0 \implies C' = 16\). 5. Weg-Zeit-Funktion: \(s(t) = 16 - 16e^{-0{,}5t}\). 6. Berechnung für \(t = 2\): \(s(2) = 16 - 16e^{-1} \approx 10{,}11\).

a) \(v(t) = 8e^{-0{,}5t}\) b) \(s(t) = 16 - 16e^{-0{,}5t}\) c) Der zurückgelegte Weg beträgt etwa \(10{,}11\,\text{m}\).

- Das Integral der Änderungsrate über ein Zeitintervall gibt die gesamte Bestandsänderung an. - Für die Stammfunktion eines Produkts aus einer linearen Funktion und einer e-Funktion ist die partielle Integration hilfreich. - Schau dir den Verlauf der Kurve an, um den höchsten Punkt zu identifizieren. - Achte darauf, dass die berechneten Werte in der Einheit \(1000\,\text{m}^3\) (Tausend Kubikmeter) angegeben werden.

1. Bestimmung der Stammfunktion von \(f(t) = 2t \cdot e^{-0{,}1t}\) mittels partieller Integration: \(F(t) = -20(t + 10) \cdot e^{-0{,}1t} + C\). 2. Berechnung des Volumens für den Zeitraum \([0; 10]\): \(V(10) = \int_{0}^{10} f(t) \,\text{d}t = F(10) - F(0) = [-20(20)e^{-1}] - [-20(10)e^{0}] = 200 - 400 \cdot e^{-1} \approx 52{,}85\) (in \(1000\,\text{m}^3\)). 3. Aus dem Graphen lässt sich das Maximum der Zuflussrate bei \(t = 10\,\text{h}\) ablesen. (Rechnerisch: \(f'(t) = (2 - 0{,}2t)e^{-0{,}1t} = 0 \implies t = 10\)). 4. Berechnung des Volumens für den Zeitraum \([0; 20]\): \(V(20) = \int_{0}^{20} f(t) \,\text{d}t = F(20) - F(0) = 200 - 600 \cdot e^{-2} \approx 118{,}80\) (in \(1000\,\text{m}^3\)). Dies ist mehr als das Doppelte des Wertes nach 10 Stunden, da die Rate in der zweiten Hälfte des Intervalls zwar sinkt, aber immer noch hohe Werte aufweist.

a) In den ersten \(10\) Stunden fließen ca. \(52{,}85 \cdot 10^3\,\text{m}^3\) Wasser zu. b) Die Zuflussrate ist nach \(t = 10\,\text{h}\) am größten. c) Nach \(20\) Stunden sind insgesamt ca. \(118{,}80 \cdot 10^3\,\text{m}^3\) Wasser hinzugekommen. Das ist mehr als doppelt so viel wie nach \(10\) Stunden.

- Überlege dir, was eine positive oder negative Änderungsrate für den Bestand (das Volumen) bedeutet. - Die stärkste Zunahme einer Größe entspricht dem Maximum ihrer Änderungsrate. - Die Gesamtänderung einer Größe über einen Zeitraum entspricht dem orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Änderungsrate und der Zeitachse. - Achte bei der grafischen Aufgabe auf Symmetrien im Verlauf der Kurve.

1. Nullstellen von \(f(t) = 0{,}5 t (t^2 - 6t + 8) = 0{,}5 t (t-2)(t-4)\) bestimmen: \(t_1 = 0\), \(t_2 = 2\) und \(t_3 = 4\). Zu diesen Zeiten (10:00, 12:00, 14:00 Uhr) ist die Änderungsrate null. 2. Wert berechnen: \(f(1) = 0{,}5 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 = 1{,}5\). Um 11:00 Uhr nimmt das Wasservolumen momentan mit einer Rate von \(1500\,\text{m}^3/\text{h}\) zu. 3. Maximum der Änderungsrate finden: \(f'(t) = 1{,}5 t^2 - 6t + 4 = 0\). Lösungen: \(t = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{3} = 2 \pm \frac{2}{3}\sqrt{3}\). Der relevante Zeitpunkt für die stärkste Zunahme ist \(t \approx 0{,}85\) (ca. 10:51 Uhr), da dort das lokale Maximum von \(f\) liegt. 4. Da \(f(t) > 0\) für \(0 < t < 2\), nimmt das Volumen stetig zu. Da \(f(t) < 0\) für \(2 < t < 4\), nimmt es danach ab. Somit liegt bei \(t = 2\) das Maximum vor. 5. Integral berechnen: \(\int_0^4 (0{,}5 t^3 - 3 t^2 + 4 t)\,\text{d}t = [0{,}125 t^4 - t^3 + 2t^2]_0^4 = (32 - 64 + 32) - 0 = 0\). Die Gesamtänderung ist null. 6. In Abbildung 2 ist der Graph von \(g\) punktsymmetrisch zum Punkt \((2 \mid 0)\). Das Integral von \(0{,}5\) bis \(t\) ist null, wenn die Flächenbilanz ausgeglichen ist. Aufgrund der Symmetrie ist dies bei \(t = 2 + (2 - 0{,}5) = 3{,}5\) (13:30 Uhr) der Fall.

a) \(t \in \{0; 2; 4\}\) (10:00, 12:00 und 14:00 Uhr). b) \(f(1) = 1{,}5\); das Volumen steigt um 11:00 Uhr mit \(1500\,\text{m}^3/\text{h}\). c) Nach ca. \(0{,}85\) Stunden (ca. 10:51 Uhr). d) In \([0; 2]\) ist \(f(t) \ge 0\) (Zunahme), danach ist \(f(t) \le 0\) (Abnahme). e) Die Stammfunktion ist \(F(t) = 0{,}125 t^4 - t^3 + 2t^2\); es gilt \(F(4) - F(0) = 0\). f) Um 13:30 Uhr (\(t = 3{,}5\)), da die positive Fläche von \(0{,}5\) bis \(2\) genau so groß ist wie die negative Fläche von \(2\) bis \(3{,}5\).