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- Überlege dir, welcher mathematische Zusammenhang zwischen der Änderungsrate und dem Gesamtbestand besteht. - Was bedeutet die Angabe über das Volumen zum Zeitpunkt Null für deine Rechnung? - Wie findet man eine allgemeine Stammfunktion für ein Polynom? - Setze den gesuchten Zeitpunkt in deine hergeleitete Funktion ein.

1. Aufstellen des Integrals zur Bestimmung der Stammfunktion: \(V(t) = \int (-0{,}6t^2 + 6t + 4) \,\text{d}t = -0{,}2t^3 + 3t^2 + 4t + C\). 2. Bestimmung der Integrationskonstante \(C\) durch die Anfangsbedingung \(V(0) = 50\): \(V(0) = -0{,}2 \cdot 0^3 + 3 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 + C = 50 \implies C = 50\). 3. Resultierende Bestandsfunktion: \(V(t) = -0{,}2t^3 + 3t^2 + 4t + 50\). 4. Berechnung des Bestands zum Zeitpunkt \(t = 5\): \(V(5) = -0{,}2 \cdot 5^3 + 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5 + 50 = -25 + 75 + 20 + 50 = 120\). Das Volumen beträgt nach \(5\) Stunden \(120\,\text{m}^3\).

a) \(V(t) = -0{,}2t^3 + 3t^2 + 4t + 50\) b) Das Volumen nach \(5\) Stunden beträgt \(120\,\text{m}^3\).

- Was gibt die Fläche unter einer Geschwindigkeits-Zeit-Kurve physikalisch an? - Wie hängen die Geschwindigkeit und die zurückgelegte Strecke mathematisch zusammen? - Welche Bedeutung hat die Integrationskonstante, wenn ein Startwert gegeben ist? - Erinnere dich an die Potenzregel für das Bilden von Stammfunktionen.

1. Bestimmung der Stammfunktion von \(v(t) = 0{,}6t^2 + 5\): \(V(t) = 0{,}2t^3 + 5t\). 2. Berechnung des bestimmten Integrals im Intervall \([0; 5]\): \(\int_{0}^{5} (0{,}6t^2 + 5) \, \text{d}t = [0{,}2t^3 + 5t]_0^5 = (0{,}2 \cdot 125 + 5 \cdot 5) - 0 = 25 + 25 = 50\). 3. Interpretation: Der Wert \(50\) gibt die Strecke in Metern an, die das Fahrzeug im Zeitintervall von \(0\) bis \(5\) Sekunden zusätzlich zurückgelegt hat. 4. Aufstellen der Bestandsfunktion \(s(t)\) unter Berücksichtigung des Anfangswerts \(s(0) = 12\): \(s(t) = \int v(t) \, \text{d}t = 0{,}2t^3 + 5t + C\). Einsetzen des Anfangswerts liefert \(12 = 0{,}2 \cdot 0^3 + 5 \cdot 0 + C\), woraus \(C = 12\) folgt. 5. Ergebnis: \(s(t) = 0{,}2t^3 + 5t + 12\).

a) Das Integral beträgt \(50\). Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass das Fahrzeug in den ersten \(5\) Sekunden eine Strecke von \(50\,\text{m}\) zurücklegt. b) Der Funktionsterm lautet \(s(t) = 0{,}2t^3 + 5t + 12\).

- Überlege, was das Integral einer Änderungsrate über einen Zeitraum für den Gesamtbestand bedeutet. - Wie kommst du von der Änderungsrate zur Bestandsfunktion? - Welche Information aus dem Text hilft dir, die Integrationskonstante festzulegen? - Prüfe, ob deine Einheiten am Ende konsistent sind (Stunden und Bakterienanzahl).

1. Finden der Stammfunktion von \(r(t) = 3t^2 + 40t\): \(R(t) = t^3 + 20t^2\). 2. Berechnung des Integrals über \([0; 4]\): \(\int_{0}^{4} (3t^2 + 40t) \, \text{d}t = [t^3 + 20t^2]_0^4 = (4^3 + 20 \cdot 4^2) - 0 = 64 + 320 = 384\). 3. Interpretation: Das Integral gibt die Netto-Zunahme der Bakterienanzahl innerhalb der ersten \(4\) Stunden an (hier \(384\) Bakterien). 4. Rekonstruktion des Bestands \(N(t)\) mit dem Anfangsbestand \(N(0) = 1\,000\): \(N(t) = t^3 + 20t^2 + C\). Durch Einsetzen von \(t = 0\) ergibt sich \(1\,000 = 0^3 + 20 \cdot 0^2 + C\), also \(C = 1\,000\). 5. Ergebnis: \(N(t) = t^3 + 20t^2 + 1\,000\).

a) Das Integral hat den Wert \(384\). Dies entspricht der Anzahl der Bakterien, die in den ersten \(4\) Stunden neu hinzugekommen sind. b) Die Funktionsgleichung lautet \(N(t) = t^3 + 20t^2 + 1\,000\).

- Was berechnet man allgemein mit dem Integral über eine Änderungsrate? - Welche Einheit ergibt sich, wenn man eine Rate (Liter pro Minute) über die Zeit (Minuten) integriert? - Wie hängen die Änderungsrate und die Bestandsfunktion mathematisch zusammen? - Welche Information aus dem Text hilft dir, die Integrationskonstante zu bestimmen? - Betrachte die Grenzen des Integrals in Aufgabenteil c: Welcher Zeitraum wird hier abgedeckt?

1. Berechnung des Integrals: Eine Stammfunktion von \(f(t) = 1{,}5t^{0{,}5} + 20\) ist \(F(t) = t^{1{,}5} + 20t\). Das Integral ergibt \(\int_{10}^{40} f(t) \,\text{d}t = [t^{1{,}5} + 20t]_{10}^{40} = (40^{1{,}5} + 20 \cdot 40) - (10^{1{,}5} + 20 \cdot 10) \approx 1052{,}98 - 231{,}62 = 821{,}36\). 2. Sachdeutung: Der Wert gibt die gesamte Wassermenge in Litern an, die im Zeitintervall von \(10\) bis \(40\) Minuten in das Becken geflossen ist. 3. Bestimmung der Bestandsfunktion: Da \(V(0) = 500\) gilt und \(V(t) = t^{1{,}5} + 20t + C\) eine Stammfunktion ist, folgt \(0^{1{,}5} + 20 \cdot 0 + C = 500\), also \(C = 500\). Die Funktionsgleichung lautet \(V(t) = t\sqrt{t} + 20t + 500\). 4. Interpretation der Gleichung: Es wird der Startzeitpunkt \(t\) gesucht, ab dem innerhalb der folgenden \(5\) Minuten genau \(150\,\text{Liter}\) Wasser in das Becken fließen.

a) \(\int_{10}^{40} f(t) \,\text{d}t \approx 821{,}36\). Dies ist die Wassermenge in Litern, die zwischen der 10. und 40. Minute zugeflossen ist. b) \(V(t) = t\sqrt{t} + 20t + 500\) c) Gesucht ist der Zeitpunkt \(t\), ab dem in einem Zeitfenster von \(5\) Minuten genau \(150\,\text{Liter}\) zufließen.

- Wie findet man die Stammfunktion einer Exponentialfunktion der Form \(e^{k \cdot t}\)? - Was ist der Unterschied zwischen dem Zuwachs in einem Zeitraum und dem absoluten Bestand zu einem Zeitpunkt? - Wie nutzt man den Anfangswert, um eine allgemeine Stammfunktion zu einer spezifischen Bestandsfunktion zu machen? - Was bedeuten die Integrationsgrenzen \(t\) und \(t+2\) für die Zeitspanne?

1. Berechnung des Zuwachses: Das Integral der Wachstumsrate liefert den Bestandswertzuwachs. Eine Stammfunktion von \(w(t) = 200 \cdot e^{0{,}1t}\) ist \(W(t) = \frac{200}{0{,}1} e^{0{,}1t} = 2\,000 \cdot e^{0{,}1t}\). Das Integral für das Intervall \([0; 10]\) lautet \(\int_{0}^{10} 200 \cdot e^{0{,}1t} \,\text{d}t = [2\,000 \cdot e^{0{,}1t}]_{0}^{10} = 2\,000 \cdot e^{1} - 2\,000 \cdot e^{0} \approx 5\,436{,}56 - 2\,000 = 3\,436{,}56\). Der Zuwachs beträgt ca. \(3\,437\) Bakterien. 2. Bestimmung der Bestandsfunktion: \(N(t) = 2\,000 \cdot e^{0{,}1t} + C\). Mit der Anfangsbedingung \(N(0) = 5\,000\) folgt \(2\,000 \cdot e^{0} + C = 5\,000\), also \(2\,000 + C = 5\,000 \Rightarrow C = 3\,000\). Die Funktion ist \(N(t) = 2\,000 \cdot e^{0{,}1t} + 3\,000\). 3. Interpretation: Die Gleichung sucht nach einem Zeitpunkt \(t\), zu dem die Bakterienkultur innerhalb der nächsten zwei Stunden um genau \(2\,000\) Individuen wächst.

a) Der Zuwachs beträgt ca. \(3\,437\) Bakterien. b) \(N(t) = 2\,000 \cdot e^{0{,}1t} + 3\,000\) c) „Zu welchem Zeitpunkt \(t\) beträgt die Zunahme der Bakterienanzahl innerhalb der folgenden zwei Stunden exakt \(2\,000\)?“

- Wie hängen die Geschwindigkeit und die zurückgelegte Strecke (Höhe) mathematisch zusammen? - Überlege dir, was der Anfangswert für die Berechnung der Bestandsfunktion bedeutet. - Wann ändert sich die Bewegungsrichtung von Steigen zu Sinken? - Vergleiche für ein absolutes Maximum auch die Randwerte des Modellintervalls. - Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit der Bestand wieder den ursprünglichen Wert annimmt?

1. Aufstellen der Höhenfunktion \(h(t)\) durch Integration der Geschwindigkeit: \(h(t) = 250 + \int_0^t v(x) \, \text{d}x\). Mit \(v(t) = 2 \cdot 10^{-5}(t^3 - 130t^2 + 3000t)\) ergibt sich \(h(t) = 250 + 2 \cdot 10^{-5}(\frac{1}{4}t^4 - \frac{130}{3}t^3 + 1500t^2)\). 2. Berechnung der Höhen: \(h(60) = 250 + 2 \cdot 10^{-5}(3\,240\,000 - 9\,360\,000 + 5\,400\,000) = 235{,}6\,\text{m}\). Für \(t=120\) ergibt sich \(h(120) = 250 + 2 \cdot 10^{-5}(51\,840\,000 - 74\,880\,000 + 21\,600\,000) = 221{,}2\,\text{m}\). 3. Für die maximale Höhe im Modellintervall \([0; 150]\) werden die inneren Extremstellen und die Randwerte verglichen. Die Nullstellen von \(v(t)\) liegen bei \(t=0\), \(t=30\) und \(t=100\). Bei \(t=30\) liegt ein lokales Maximum mit \(h(30) = 257{,}65\,\text{m}\), bei \(t=100\) ein lokales Minimum mit \(h(100) \approx 183{,}33\,\text{m}\). Am rechten Rand gilt \(h(150) = 250 + 2 \cdot 10^{-5}(126\,562\,500 - 146\,250\,000 + 33\,750\,000) = 531{,}25\,\text{m}\). Damit erreicht der Ballon im betrachteten Zeitraum bei \(t=150\,\text{s}\) seine maximale Höhe von \(531{,}25\,\text{m}\). 4. Nachweis für \(t=40\): \(h(40) = 250 + 2 \cdot 10^{-5}(640\,000 - 2\,773\,333{,}33 + 2\,400\,000) \approx 255{,}33\,\text{m}\). 5. Rückkehr zur Ausgangshöhe: Ansatz \(h(t) = 250\), was zu \(\frac{1}{4}t^4 - \frac{130}{3}t^3 + 1500t^2 = 0\) führt. Ausklammern von \(t^2\) und Lösen der quadratischen Gleichung \(\frac{1}{4}t^2 - \frac{130}{3}t + 1500 = 0\) liefert \(t \approx 47{,}79\) und \(t \approx 125{,}54\). Der erste Zeitpunkt ist somit \(t \approx 47{,}8\,\text{s}\).

a) Nach \(60\,\text{s}\): \(235{,}6\,\text{m}\); nach \(120\,\text{s}\): \(221{,}2\,\text{m}\). b) Zeitpunkt: \(t = 150\,\text{s}\); maximale Höhe im betrachteten Zeitraum: \(531{,}25\,\text{m}\). c) Nachweis durch Einsetzen in die Stammfunktion: \(h(40) \approx 255{,}33\,\text{m}\). d) Zeitpunkt: \(t \approx 47{,}8\,\text{s}\).

- Wie gehst du vor, wenn du einen Funktionswert gegeben hast und den passenden x-Wert suchst? - Welche mathematische Eigenschaft einer Funktion gibt Auskunft über ihr Steigungsverhalten? - Wie hängen die Durchflussrate und das Gesamtvolumen mathematisch zusammen? - Was bedeutet der Anfangsbestand für die Integrationskonstante? - Überlege dir für den letzten Aufgabenteil, wie sich das Volumen nach der Umstellung der Pumpe zusammensetzt.

1. Berechnung von \(t\) für \(v(t) = 6\): \(12 - 12 \cdot e^{-0{,}4t} = 6 \Rightarrow e^{-0{,}4t} = 0{,}5 \Rightarrow t = \frac{\ln(0{,}5)}{-0{,}4} \approx 1{,}73\). Der Zeitpunkt ist etwa \(1{,}73\,\text{min}\). 2. Nachweis der Zunahme: Die Ableitung \(v'(t) = 4{,}8 \cdot e^{-0{,}4t}\) ist für alle \(t \geq 0\) positiv, da die Exponentialfunktion stets positive Werte liefert. Somit ist \(v(t)\) streng monoton steigend. 3. Änderungsrate nach \(5\,\text{min}\): \(v'(5) = 4{,}8 \cdot e^{-0{,}4 \cdot 5} = 4{,}8 \cdot e^{-2} \approx 0{,}65\). Die Rate beträgt etwa \(0{,}65\,\text{l/min}^2\). 4. Bestimmung von \(V(t)\): \(V(t) = \int v(t) \, \text{d}t = \int (12 - 12 \cdot e^{-0{,}4t}) \, \text{d}t = 12t + 30 \cdot e^{-0{,}4t} + C\). Mit \(V(0) = 40\) folgt \(30 + C = 40 \Rightarrow C = 10\). Also \(V(t) = 12t + 30 \cdot e^{-0{,}4t} + 10\). 5. Volumen nach \(10\,\text{min}\): \(V(10) = 12 \cdot 10 + 30 \cdot e^{-4} + 10 \approx 120 + 0{,}55 + 10 = 130{,}55\). Das Volumen beträgt ca. \(130{,}55\,\text{l}\). 6. Zeitpunkt für \(500\,\text{l}\): Zuerst Volumen nach \(20\,\text{min}\) berechnen: \(V(20) = 12 \cdot 20 + 30 \cdot e^{-8} + 10 \approx 250{,}01\,\text{l}\). Für \(t > 20\) gilt \(V_{gesamt}(t) = 250{,}01 + 12 \cdot (t - 20)\). Gleichsetzen mit \(500\): \(12 \cdot (t - 20) = 249{,}99 \Rightarrow t - 20 \approx 20{,}83 \Rightarrow t \approx 40{,}83\). Der Zeitpunkt ist ca. \(40{,}83\,\text{min}\).

a) \(t \approx 1{,}73\,\text{min}\) b) \(v'(t) = 4{,}8 \cdot e^{-0{,}4t} > 0\) für alle \(t\) c) \(v'(5) \approx 0{,}65\,\text{l/min}^2\) d) \(V(t) = 12t + 30 \cdot e^{-0{,}4t} + 10\) e) \(V(10) \approx 130{,}55\,\text{l}\) f) \(t \approx 40{,}83\,\text{min}\)

- Wann ist eine Größe steigend, wenn man ihre Änderungsrate kennt? - Wie hängen Bestand, Anfangsbestand und die Änderungsrate über ein Integral zusammen? - Was bedeuten die einzelnen Summanden und der Wert auf der rechten Seite der Gleichung in Bezug auf die Einheiten im Text?

1. Die Bakterienanzahl nimmt zu, wenn die momentane Änderungsrate positiv ist: \(f(t) > 0\). Die Nullstellen von \(f(t) = -0{,}1(t^2 - 8t + 12)\) liegen bei \(t_1 = 2\) und \(t_2 = 6\). Da der Graph von \(f\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, gilt \(f(t) > 0\) für \(t \in ]2; 6[\). Die Anzahl nimmt also im offenen Intervall \(]2; 6[\) zu. 2. Die Bakterienanzahl zum Zeitpunkt \(t=6\) berechnet sich durch \(B(6) = 10 + \int_{0}^{6} (-0{,}1t^2 + 0{,}8t - 1{,}2) \, \text{d}t\). Das Integral ist \([ -\frac{0{,}1}{3}t^3 + 0{,}4t^2 - 1{,}2t ]_0^6 = -7{,}2 + 14{,}4 - 7{,}2 = 0\). Da die Änderungsrate in Tausend Bakterien pro Stunde angegeben ist, bleibt die Anzahl bei \(10\,000\) Bakterien. 3. Die Gleichung \(10 + \int_0^k f(t) \, \text{d}t = 9{,}5\) beschreibt alle Zeitpunkte \(k\), zu denen der Bestand \(9\,500\) Bakterien beträgt. Eine passende Fragestellung lautet: „Zu welchen Zeitpunkten \(k\) beträgt die Bakterienanzahl \(9\,500\)?“

a) Das Zeitintervall ist \(]2; 6[\). b) Die Bakterienanzahl beträgt \(10\,000\). c) Mögliche Fragestellung: „Zu welchen Zeitpunkten \(k\) beträgt die Bakterienanzahl \(9\,500\)?“

- Wie hängen die Nullstellen der Änderungsrate mit der Zunahme oder Abnahme des Bestands zusammen? - Was berechnet man allgemein mit dem Integral über eine Änderungsrate in einem Zeitintervall? - Wie setzt sich der aktuelle Bestand aus dem Anfangsbestand und der bisherigen Änderung zusammen? - Überlege dir, wie sich der Bestand verhält, wenn die Änderungsrate von positiven zu negativen Werten wechselt.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f(t) = -t^2 + 12t - 20\): Über die Mitternachtsformel ergeben sich \(t_1 = 2\) und \(t_2 = 10\). Da der Graph eine nach unten geöffnete Parabel ist, gilt \(f(t) < 0\) für \(t \in [0; 2[\) und \(t \in ]10; 12]\) (Entnahme) sowie \(f(t) > 0\) für \(t \in ]2; 10[\) (Zufuhr). 2. Das Integral \(\int_{4}^{9} f(t) \, dt\) gibt die Netto-Änderung der Getreidemenge im Silo zwischen der 4. und der 9. Stunde in Tonnen an. 3. Berechnung der Menge \(m(10)\): \(m(10) = 100 + \int_{0}^{10} (-t^2 + 12t - 20) \, dt\). Das Integral berechnet sich über die Stammfunktion \(F(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 6t^2 - 20t\). Es gilt \(F(10) = -\frac{1000}{3} + 600 - 200 = \frac{200}{3} \approx 66{,}67\) und \(F(0) = 0\). Somit ist \(m(10) = 100 + 66{,}67 = 166{,}67\,\text{t}\). 4. Da die Änderungsrate \(f(t)\) bei \(t=10\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus besitzt, nimmt der Bestand bis \(t=10\) zu und danach ab. Folglich liegt zum Zeitpunkt \(t=10\) ein lokales Maximum des Bestands vor.

a) Entnahme für \(t \in [0; 2[\) und \(t \in ]10; 12]\); Zufuhr für \(t \in ]2; 10[\). b) Das Integral gibt die Netto-Änderung der Getreidemenge (in Tonnen) zwischen der 4. und 9. Stunde an. c) Die Getreidemenge beträgt ca. \(166{,}67\,\text{t}\). d) Da \(f(10)=0\) und die Änderungsrate dort von positiv (Zunahme) zu negativ (Abnahme) wechselt, ist der Bestand bei \(t=10\) maximal.

- Wann erreicht eine Sinusfunktion ihren höchsten Wert? - Wie hängen Leistung und Arbeit mathematisch zusammen, wenn die Leistung zeitabhängig ist? - Was fällt dir an der Länge des Zeitintervalls im Vergleich zur Periode der Funktion auf? - Wie skaliert man ein Ergebnis von einer Anlage auf mehrere Anlagen und längere Zeiträume?

1. Zur Bestimmung des Maximums von \(P(t)\) wird das Maximum der Sinusfunktion betrachtet: \(\sin(x) = 1\) für \(x = \frac{\pi}{2}\). Aus \(\frac{\pi}{6}(t - 3) = \frac{\pi}{2}\) folgt \(t - 3 = 3\), also \(t = 6\). Die maximale Leistung beträgt \(P(6) = 15 \cdot 1 + 20 = 35\,\text{kW}\). 2. Die elektrische Arbeit entspricht dem Integral der Leistung über die Zeit: \(\int_{0}^{12} \left(15 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6} \cdot (t - 3)\right) + 20\right) dt\). Da das Intervall \([0; 12]\) genau einer Periodenlänge \(T = \frac{2\pi}{\pi/6} = 12\) entspricht, ist das Integral über den Sinus-Term gleich Null. Es bleibt \(20 \cdot (12 - 0) = 240\,\text{kWh}\). 3. Die Gesamtarbeit für 8 Anlagen über zwei Schichten (24 Stunden) berechnet sich durch Multiplikation der Arbeit einer Anlage pro Schicht mit der Anzahl der Anlagen und der Anzahl der Schichten: \(240\,\text{kWh} \cdot 8 \cdot 2 = 3840\,\text{kWh}\).

a) Der Zeitpunkt ist \(t = 6\,\text{h}\) mit einer maximalen Leistung von \(35\,\text{kW}\). b) Die elektrische Arbeit beträgt \(240\,\text{kWh}\). c) Die gesamte elektrische Arbeit beträgt \(3840\,\text{kWh}\).

- Überlege dir, welchen Wertebereich die Sinusfunktion hat, um das Maximum der Gesamtrate zu finden. - Die Gesamtaufnahme über die Zeit entspricht der Fläche unter dem Graphen der Änderungsrate. - Achte beim Integrieren darauf, ob das Intervall eine vollständige Periode der Schwingung abdeckt. - Vergiss am Ende nicht die Einheitenumrechnung von Milligramm in Gramm.

1. Das Maximum der Funktion \(f(t)\) tritt auf, wenn der Sinus-Ausdruck den Wert 1 annimmt. Dies ist der Fall für \(\frac{\pi}{8}(t - 6) = \frac{\pi}{2}\), woraus \(t - 6 = 4\) und somit \(t = 10\) folgt. Die maximale Rate beträgt \(f(10) = 150 \cdot 1 + 150 = 300\,\frac{\text{mg}}{\text{h} \cdot \text{m}^2}\). 2. Die Gesamtmenge pro \(\text{m}^2\) wird durch das Integral \(\int_{6}^{22} (150 \cdot \sin(\frac{\pi}{8}(t - 6)) + 150) dt\) bestimmt. Die Periodenlänge ist \(T = \frac{2\pi}{\pi/8} = 16\). Da das Integrationsintervall von 6 bis 22 genau 16 Stunden umfasst, ist das Integral des Sinus-Anteils Null. Die Gesamtmenge ist \(150 \cdot 16 = 2400\,\text{mg}\) pro \(\text{m}^2\). 3. Für die Gesamtfläche von \(250\,\text{m}^2\) ergibt sich: \(2400\,\frac{\text{mg}}{\text{m}^2} \cdot 250\,\text{m}^2 = 600\,000\,\text{mg}\). Umrechnung in Gramm: \(600\,000\,\text{mg} : 1000 = 600\,\text{g}\).

a) Die Aufnahme ist um 10 Uhr am höchsten und beträgt \(300\,\frac{\text{mg}}{\text{h} \cdot \text{m}^2}\). b) Ein Quadratmeter nimmt insgesamt \(2400\,\text{mg}\) \(\text{CO}_2\) auf. c) Die gesamte \(\text{CO}_2\)-Menge beträgt \(600\,\text{g}\).

- Welche Bedingungen müssen für einen Sattelpunkt an der Stelle \(x=0\) erfüllt sein? - Nutze die Koordinaten und die notwendige Bedingung für Wendepunkte, um ein Gleichungssystem aufzustellen. - Wie hängen die Änderungsrate und der Gesamtbestand mathematisch zusammen? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. - Das Maximum einer Funktion findest du mithilfe der ersten Ableitung.

1. Aus \(f(0)=0\) folgt \(e=0\). Da im Ursprung eine waagerechte Tangente vorliegt, gilt \(f'(0)=0\), woraus \(d=0\) folgt. Da es sich um einen Wendepunkt handelt, gilt \(f''(0)=0\), woraus \(c=0\) folgt. Die Funktion reduziert sich auf \(f(x) = ax^4 + bx^3\). 2. Mit \(f(8) = 4096a + 512b = 1024\) und \(f''(8) = 768a + 48b = 0\) ergibt sich ein Gleichungssystem. Aus der zweiten Gleichung folgt \(b = -16a\). Einsetzen in die erste liefert \(4096a - 8192a = 1024\), also \(-4096a = 1024 \implies a = -0{,}25\). Damit ist \(b = 4\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -0{,}25x^4 + 4x^3\). 3. Die Bestandsfunktion \(B(x)\) ist das Integral der Rate: \(B(12) = 5000 + \int_{0}^{12} (-0{,}25x^4 + 4x^3) \, \text{d}x\). Das Integral berechnet sich zu \([-0{,}05x^5 + x^4]_0^{12} = -12\,441{,}6 + 20\,736 = 8294{,}4\). Die Gesamtmenge beträgt \(5000 + 8294{,}4 = 13\,294{,}4\) (in \(10^3\,\text{m}^3\)). 4. Das Maximum der Rate liegt vor, wenn \(f'(x) = -x^3 + 12x^2 = 0\). Dies liefert \(x=0\) oder \(x=12\). Für \(0<x<12\) ist \(f'(x)>0\), für \(12<x\le16\) ist \(f'(x)<0\). Daher ist die Zuflussrate nach 12 Tagen mit \(f(12) = 1728 \cdot 10^3\,\text{m}^3/\text{Tag}\) maximal.

a) Aus \(f(0)=0\), \(f'(0)=0\) und \(f''(0)=0\) folgt direkt \(e=0\), \(d=0\) und \(c=0\). b) \(a = -0{,}25\) und \(b = 4\), also \(f(x) = -0{,}25x^4 + 4x^3\). c) Nach 12 Tagen befinden sich \(13\,294{,}4 \cdot 10^3\,\text{m}^3\) Wasser im Becken. d) Das Maximum der Zuflussrate wird nach 12 Tagen erreicht und beträgt \(1728 \cdot 10^3\,\text{m}^3/\text{Tag}\).

- Erinnere dich an die physikalischen Beziehungen: Die Geschwindigkeit ist die Stammfunktion der Beschleunigung, und der Weg ist die Stammfunktion der Geschwindigkeit. - Schreibe die Wurzel als Potenz um, um die Integrationsregeln leichter anwenden zu können. - Vergiss nicht, bei jedem Integrationsschritt die Integrationskonstante mithilfe der Startwerte zu bestimmen. - Wie berechnet man Potenzen mit rationalen Exponenten wie \(5/2\) am besten ohne Taschenrechner?

1. Bestimmung von \(v(t)\) durch Integration von \(a(t)\): \(v(t) = \int 0{,}75 \cdot t^{1/2} \,\text{d}t = 0{,}75 \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C_1 = 0{,}5 \cdot t^{3/2} + C_1\). 2. Anwendung der Randbedingung \(v(0) = 0\): \(0{,}5 \cdot 0^{3/2} + C_1 = 0 \implies C_1 = 0\). Somit ist \(v(t) = 0{,}5 \cdot t^{3/2}\). 3. Bestimmung von \(s(t)\) durch Integration von \(v(t)\): \(s(t) = \int 0{,}5 \cdot t^{3/2} \,\text{d}t = 0{,}5 \cdot \frac{2}{5} t^{5/2} + C_2 = 0{,}2 \cdot t^{5/2} + C_2\). 4. Anwendung der Randbedingung \(s(0) = 0\): \(0{,}2 \cdot 0^{5/2} + C_2 = 0 \implies C_2 = 0\). Somit ist \(s(t) = 0{,}2 \cdot t^{5/2}\). 5. Berechnung der Strecke für \(t = 16\): \(s(16) = 0{,}2 \cdot 16^{5/2} = 0{,}2 \cdot (\sqrt{16})^5 = 0{,}2 \cdot 4^5 = 0{,}2 \cdot 1024 = 204{,}8\). Die Strecke nach \(16\) Sekunden beträgt \(204{,}8\,\text{m}\).

a) \(v(t) = 0{,}5 \cdot t^{3/2}\) (oder \(v(t) = 0{,}5 \cdot \sqrt{t^3}\)) b) \(s(t) = 0{,}2 \cdot t^{5/2}\) (oder \(s(t) = 0{,}2 \cdot \sqrt{t^5}\)) c) Die zurückgelegte Strecke beträgt \(204{,}8\,\text{m}\).

- Überlege, wie die Änderungsrate und der Gesamtbestand mathematisch zusammenhängen. - Welche Rechenoperation macht eine Ableitung rückgängig? - Was bedeutet der Wert zum Zeitpunkt \(t = 0\) für die Bestimmung der Integrationskonstante? - Erinnere dich an die Regel für die Integration von Exponentialfunktionen der Form \(e^{ax}\).

1. Identifikation des Zusammenhangs zwischen Zuflussrate und Bestand: \(V'(t) = f(t) = 200 \cdot e^{-0{,}1t}\). 2. Berechnung der allgemeinen Stammfunktion durch Integration: \(V(t) = \int 200 \cdot e^{-0{,}1t} \, \text{d}t = \frac{200}{-0{,}1} \cdot e^{-0{,}1t} + C = -2000 \cdot e^{-0{,}1t} + C\). 3. Nutzung der Anfangsbedingung \(V(0) = 5000\), um die Integrationskonstante \(C\) zu bestimmen: \(-2000 \cdot e^0 + C = 5000 \implies -2000 + C = 5000\). 4. Berechnung der Konstante: \(C = 7000\). 5. Aufstellen der endgültigen Bestandsfunktion: \(V(t) = 7000 - 2000 \cdot e^{-0{,}1t}\).

\(V(t) = 7000 - 2000 \cdot e^{-0{,}1t}\)

- Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um Bestände zu berechnen. - Wie berechnet man den Durchschnittswert einer Funktion über ein Intervall? - Was muss für die Rate gelten, damit ein Bestand ein Minimum erreicht? - Überlege dir, wie du eine Gleichung dritten Grades vereinfachen kannst, wenn eine Lösung bereits bekannt ist.

1. Bestimmung der Volumenfunktion \(V(t) = 40 + \int_0^t r(x) \, dx\). Mit \(r(t) = -0{,}02t^2 + 0{,}4t - 1{,}28\) ergibt sich \(V(t) = 40 - 0{,}02(\frac{1}{3}t^3 - 10t^2 + 64t)\). 2. Berechnung der Volumina: \(V(4) = 40 - 0{,}02(\frac{64}{3} - 160 + 256) \approx 37{,}65\,\text{m}^3\). Für \(t=10\): \(V(10) = 40 - 0{,}02(\frac{1000}{3} - 1000 + 640) \approx 40{,}53\,\text{m}^3\). 3. Minimales Volumen: Nullstellen von \(r(t)\) sind \(t=4\) und \(t=16\). Da \(r(0) = -1{,}28 < 0\), sinkt das Volumen zuerst. Bei \(t=4\) wechselt die Rate von negativ zu positiv, also liegt ein lokales Minimum vor. \(V(4) \approx 37{,}65\,\text{m}^3\). 4. Durchschnittliche Rate: \(\bar{r} = \frac{1}{16-0} \int_0^{16} r(t) \, dt = \frac{V(16) - V(0)}{16}\). Mit \(V(16) = 40 - 0{,}02(\frac{16^3}{3} - 10 \cdot 16^2 + 64 \cdot 16) \approx 43{,}41\,\text{m}^3\) ergibt sich \(\bar{r} = \frac{43{,}41 - 40}{16} \approx 0{,}213\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). 5. Zeitpunkt für \(V(t)=40\): Ansatz \(\frac{1}{3}t^3 - 10t^2 + 64t = 0\). Da \(t=0\) bekannt ist, bleibt \(\frac{1}{3}t^2 - 10t + 64 = 0\) bzw. \(t^2 - 30t + 192 = 0\). Die Lösungen sind \(t \approx 9{,}26\) und \(t \approx 20{,}74\). Der gesuchte Zeitpunkt ist \(t \approx 9{,}26\,\text{h}\).

a) Nach \(4\) Stunden: ca. \(37{,}65\,\text{m}^3\); nach \(10\) Stunden: ca. \(40{,}53\,\text{m}^3\). b) Zeitpunkt: \(t = 4\,\text{h}\); minimales Volumen: ca. \(37{,}65\,\text{m}^3\). c) Nachweis über den Mittelwertsatz der Integralrechnung: \(\frac{1}{16} \int_0^{16} r(t) \, dt \approx 0{,}21\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). d) Zeitpunkt: \(t \approx 9{,}26\,\text{h}\).

- Welches Werkzeug nutzt du, um Extremstellen einer Funktion zu finden? - Erinnerst du dich an die Regel für das Integrieren von Produkten aus einer linearen Funktion und einer Exponentialfunktion? - Wie berechnet man den Durchschnittswert einer Funktion über ein bestimmtes Intervall? - Was passiert mit dem Term \(t \cdot e^{-t}\), wenn \(t\) immer größer wird?

1. Maximale Ladeleistung: Ableitung bilden mit Produktregel: \(P'(t) = 40 \cdot e^{-0{,}5t} + 40t \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5t} = (40 - 20t) \cdot e^{-0{,}5t}\). Nullstelle bei \(40 - 20t = 0 \Rightarrow t = 2\). Da \(P'(t) > 0\) für \(t < 2\) und \(P'(t) < 0\) für \(t > 2\), liegt ein Maximum vor. \(P(2) = 40 \cdot 2 \cdot e^{-1} \approx 29{,}43\,\text{W}\). 2. Stammfunktion \(E(t)\): Mittels partieller Integration von \(\int 40t \cdot e^{-0{,}5t} \, \text{d}t\): Sei \(u(t) = 40t\) und \(w'(t) = e^{-0{,}5t}\). Dann gilt \(u'(t) = 40\) und \(w(t) = -2e^{-0{,}5t}\). Es folgt \(\int P(t) \, \text{d}t = -80t \cdot e^{-0{,}5t} - \int -80e^{-0{,}5t} \, \text{d}t = -80t \cdot e^{-0{,}5t} - 160e^{-0{,}5t} + C = -80(t+2)e^{-0{,}5t} + C\). Mit \(E(0) = 200\) folgt \(-80(2)e^0 + C = 200 \Rightarrow -160 + C = 200 \Rightarrow C = 360\). Somit \(E(t) = 360 - 80(t+2)e^{-0{,}5t}\). 3. Energie nach \(4\,\text{h}\): \(E(4) = 360 - 80(6)e^{-2} = 360 - 480e^{-2} \approx 295{,}04\,\text{Wh}\). 4. Mittlere Ladeleistung: \(\bar{P} = \frac{1}{4-0} \int_0^4 P(t) \, \text{d}t = \frac{E(4) - E(0)}{4} = \frac{295{,}04 - 200}{4} \approx 23{,}76\,\text{W}\). 5. Grenzwertbetrachtung: \(\lim_{t \to \infty} E(t) = \lim_{t \to \infty} (360 - 80(t+2)e^{-0{,}5t})\). Da \(e^{-0{,}5t}\) stärker gegen \(0\) geht als \(t\) gegen unendlich wächst, gilt \(\lim_{t \to \infty} 80(t+2)e^{-0{,}5t} = 0\). Der Grenzwert ist \(360\,\text{Wh}\).

a) \(t = 2\,\text{h}\); \(P(2) \approx 29{,}43\,\text{W}\) b) \(E(t) = 360 - 80(t+2)e^{-0{,}5t}\) c) \(E(4) \approx 295{,}04\,\text{Wh}\) d) \(\bar{P} \approx 23{,}76\,\text{W}\) e) \(360\,\text{Wh}\)

- Wie findet man Extremstellen eines Bestands, wenn die Ableitungsfunktion gegeben ist? - Was ist der Unterschied zwischen dem Bestand zu einem Zeitpunkt und der Änderung über ein Zeitintervall? - Was bedeutet es für den Wasserstand, wenn die Bilanz aus Zufluss und Abfluss über einen Zeitraum genau Null ergibt?

1. Das Volumen ist maximal, wenn die Änderungsrate \(h(t)\) von positiv zu negativ wechselt. Nullstelle suchen: \(4 \cdot e^{-0{,}5t} - 2 = 0 \Rightarrow e^{-0{,}5t} = 0{,}5 \Rightarrow -0{,}5t = \ln(0{,}5) \Rightarrow t = -2 \cdot \ln(0{,}5) = 2 \cdot \ln(2) \approx 1{,}39\,\text{h}\). Da \(h(0) = 2 > 0\) und \(h(5) \approx -1{,}67 < 0\), liegt bei \(t \approx 1{,}39\) ein Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) vor, also ein Maximum des Bestands. 2. Die gesamte Volumenänderung ist das Integral der Änderungsrate: \(\Delta V = \int_{0}^{4} (4 \cdot e^{-0{,}5t} - 2) \, \text{d}t = [-8e^{-0{,}5t} - 2t]_0^4 = (-8e^{-2} - 8) - (-8e^0 - 0) = -8e^{-2} \approx -1{,}08\,\text{m}^3\). 3. Das Integral \(\int_{2}^{x} h(t) \, \text{d}t\) berechnet die Nettoänderung des Wasservolumens zwischen den Zeitpunkten \(t=2\) und \(t=x\). Eine Lösung mit dem Integralwert Null würde bedeuten, dass das Volumen zum Zeitpunkt \(x\) genauso groß wie zum Zeitpunkt \(t=2\) ist. Im angegebenen Modellintervall existiert für \(x>2\) jedoch keine solche Lösung, da \(h(t)<0\) für alle \(t>2\) gilt.

a) Das Volumen ist zum Zeitpunkt \(t = 2 \cdot \ln(2) \approx 1{,}39\,\text{h}\) maximal. b) Das Volumen hat sich um ca. \(1{,}08\,\text{m}^3\) verringert (Änderung: \(\approx -1{,}08\,\text{m}^3\)). c) Eine Lösung würde bedeuten, dass das Wasservolumen zum Zeitpunkt \(x\) wieder genauso groß wie bei \(t = 2\) ist. Für \(x>2\) existiert im Modellintervall keine solche Lösung.

- Nutze die faktorisierte Form der Funktion, um die Vorzeichen in den Intervallen schnell zu prüfen. - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um Bestandsänderungen zu berechnen. - Der Gesamteffekt über einen Zeitraum wird durch das bestimmte Integral der Änderungsrate über diesen Zeitraum bestimmt. - Überlege dir, was ein positives Gesamtergebnis für den Vergleich zwischen End- und Anfangswert bedeutet.

1. Nachweis der Vorzeichen: \(v(t) = 0{,}2t(t^2 - 18t + 80) = 0{,}2t(t-8)(t-10)\). Für \(t \in ]0; 8[\) sind alle Faktoren \(t, (t-8), (t-10)\) so geartet, dass das Produkt positiv ist (\(+\cdot - \cdot -\)). Für \(t \in ]8; 10[\) ergibt sich \(+\cdot + \cdot -\), also ist \(v(t)\) negativ. 2. Berechnung \(V(8)\): \(V(8) = 500 + \int_{0}^{8} 0{,}2(t^3 - 18t^2 + 80t) \, dt\). Stammfunktion \(V_{st}(t) = 0{,}2 \cdot (\frac{1}{4}t^4 - 6t^3 + 40t^2)\). Auswertung: \(V_{st}(8) = 0{,}2 \cdot (\frac{4096}{4} - 6 \cdot 512 + 40 \cdot 64) = 0{,}2 \cdot (1024 - 3072 + 2560) = 0{,}2 \cdot 512 = 102{,}4\). Somit ist \(V(8) = 500 + 102{,}4 = 602{,}4\,\text{m}^3\). 3. Vergleich \(V(10)\) mit \(V(0)\): Es ist die Nettoänderung \(\int_{0}^{10} v(t) \, dt\) zu prüfen. \(V_{st}(10) = 0{,}2 \cdot (\frac{10000}{4} - 6 \cdot 1000 + 40 \cdot 100) = 0{,}2 \cdot (2500 - 6000 + 4000) = 0{,}2 \cdot 500 = 100\). Da \(\int_{0}^{10} v(t) \, dt = 100 > 0\), ist das Volumen bei \(t=10\) mit \(600\,\text{m}^3\) größer als der Anfangsbestand von \(500\,\text{m}^3\).

a) Durch Faktorisierung \(v(t) = 0{,}2t(t-8)(t-10)\) folgt: für \(0 < t < 8\) ist \(v(t) > 0\), für \(8 < t < 10\) ist \(v(t) < 0\). b) Das Gasvolumen zum Zeitpunkt \(t=8\) beträgt \(602{,}4\,\text{m}^3\). c) Da \(\int_{0}^{10} v(t) \, dt = 100 > 0\) ist, ist das Volumen zum Zeitpunkt \(t=10\) mit \(600\,\text{m}^3\) größer als zum Zeitpunkt \(t=0\).

- Wann ist ein Bestand maximal, wenn die Änderungsrate gegeben ist? - Wie berechnet man die Fläche eines Trapezes unter einem Graphen? - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über den Verlauf des Graphen im Vergleich zu einer Sehne aus? - Der exakte Zuwachs entspricht dem bestimmten Integral der Änderungsrate.

1. Produktionseinstellung: \(h(20) = -0{,}1 \cdot 20^4 + 2 \cdot 20^3 = -16\,000 + 16\,000 = 0\). Da \(h(t) = t^3(-0{,}1t + 2) > 0\) für \(0 < t < 20\) gilt, ist die Bestandsfunktion \(S\) mit \(S'(t)=h(t)\) im gesamten Inneren des Modellintervalls streng steigend. Daher erreicht der Bestand am rechten Intervallrand \(t=20\) sein Maximum. 2. Trapezwert: \(h(10) = 1000\) und \(h(15) = 1687{,}5\). Die Trapezfläche ist \(A_T = \frac{h(10) + h(15)}{2} \cdot (15 - 10) = \frac{1000 + 1687{,}5}{2} \cdot 5 = 6718{,}75\,\text{ME}\). 3. Krümmung: \(h''(t) = -1{,}2t^2 + 12t = -1{,}2t(t - 10)\). Für \(t \in (10; 15]\) ist \(h''(t) < 0\), der Graph ist also rechtsgekrümmt (konkav). Eine Trapezsehne liegt bei einer konkaven Funktion unterhalb des Graphen, weshalb die Trapezfläche kleiner ist. Exakter Wert: \(\int_{10}^{15} (-0{,}1t^4 + 2t^3) \, \text{d}t = [-0{,}02t^5 + 0{,}5t^4]_{10}^{15} = 10\,125 - 3000 = 7125\,\text{ME}\). Abweichung: \(\frac{7125 - 6718{,}75}{7125} \approx 0{,}05705\), also ca. \(5{,}71\,\%\).

a) \(h(20) = 0\); da \(h(t) > 0\) für \(0 < t < 20\), steigt der Bestand im gesamten Modellintervall bis \(t=20\) an und ist dort maximal. b) Der Näherungswert beträgt \(6718{,}75\,\text{ME}\). c) Da \(h''(t) < 0\) für \(t \in (10; 15)\), ist der Graph rechtsgekrümmt und das Trapez liegt unter der Kurve. Die Abweichung beträgt ca. \(5{,}71\,\%\).

- Beginne damit, eine allgemeine Funktion für den Bestand zu finden, indem du die Änderungsrate integrierst. - Nutze die Information über den Zustand zum Startzeitpunkt, um eine Beziehung zwischen den unbekannten Parametern herzustellen. - Wie kannst du den Messwert nach einer Stunde nutzen, um den exakten Wert der Konstante zu finden? - Schreibe den Bruch in der Ableitungsfunktion als Potenz mit negativem Exponenten um, um das Integrieren zu erleichtern.

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion für die Masse: \(m(t) = \int k \cdot (t+1)^{-2} \, dt = k \cdot \frac{(t+1)^{-1}}{-1} + C = -\frac{k}{t+1} + C\). 2. Anwendung der Anfangsbedingung \(m(0) = 0\): \(-\frac{k}{0+1} + C = 0 \implies -k + C = 0 \implies C = k\). 3. Einsetzen der Bedingung nach einer Stunde \(m(1) = 2\), um \(k\) zu berechnen: \(-\frac{k}{1+1} + k = 2 \implies -\frac{k}{2} + k = 2\). 4. Auflösen nach \(k\): \(\frac{k}{2} = 2 \implies k = 4\). 5. Da \(C = k\), folgt \(C = 4\). Die Funktionsgleichung lautet \(m(t) = 4 - \frac{4}{t+1}\).

\(k = 4\) und \(m(t) = 4 - \frac{4}{t+1}\)